RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM MATEMÁTICA

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CONSIDERAÇÕES Antes de tudo, essa apostila não deve ser encarada com um livro didático, sendo que a sua principal finalidade é servir de apoio no curso de modelagem de problemas ministrado pelo próprio autor. No entanto, a mesma pode ser consultada em certos aspectos caso o leitor tenha dúvida sobre algum dos assuntos aqui abordados. Nesta apostila, a modelagem de alguns problemas será tratada como é feita na Cingapura, pelo Modelo de Barras, que é uma estratégia visual de interpretar e reescrever um problema a fim de tornar a sua solução mais prática. Também não encare o texto aqui escrito como um texto formal de matemática. Essa não é a intenção do autor. O texto aqui exposto é sua maneira particular de olhar os objetos matemáticos aqui tratados. Por fim, espera-se que com esse material o leitor posso adquirir novas habilidades em resolução de problemas e aperfeiçoar as que já tem. Mas acima disso, possa enxergar os objetos matemáticos aqui tratados com outros olhos, se isso é possível.

SUMÁRIO 1. AS QUATRO OPERAÇÕES ...................................................................................................................... 4 1.1 ADIÇÃO ................................................................................................................................................ 4 1.2 SUBTRAÇÃO ........................................................................................................................................ 8 1.2 MULTIPLICAÇÃO .............................................................................................................................. 11 1.4 DIVISÃO .............................................................................................................................................. 15 1.4.1 DIVISÃO EXATA ......................................................................................................................... 15 1.4.2 DIVISÃO NÃO EXATA............................................................................................................... 18 2. MÍNIMO MULTIPLO COMUM (MMC) E MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) .......................... 20 2.1 MÚLTIPLOS .......................................................................................................................................... 20 2.2 MÚLTIPLOS COMUNS ...................................................................................................................... 21 2.3 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) .......................................................................................... 21 2.4 UMA MANEIRA DE DETERMINAR O MMC ................................................................................. 22 2.5 CÁLCULO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) ................................................................ 25 3. FRAÇÕES .................................................................................................................................................. 29 3.1 TIPOS DE FRAÇÕES .......................................................................................................................... 30 3.2 FRAÇÕES EQUIVALENTES ............................................................................................................... 31 3.3 COMPARANDO FRAÇÕES ............................................................................................................ 32 3.4 FRAÇÕES IRREDUÍVEIS .................................................................................................................... 35 3.5 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ...................................................................................................... 36 3.6 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM MESMO DENOMINADOR ........................... 38 3.7 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES MÚLTIPLOS .................. 40 3.8 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES PRIMOS ENTRE SI....... 42 3.9 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO E UMA FRAÇÃO .............................................................. 44 3.10 DIVISÃO DE UM NÚMERO POR UMA FRAÇÃO ..................................................................... 47 3.11 DIVISÃO DE FRAÇÃO POR UM NÚMERO ................................................................................ 50 3.12 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÃO POR FRAÇÃO ........................................................................ 52 3.13 DIVISÃO DE FRAÇÃO POR FRAÇÃO ........................................................................................ 53 3.14 PROBLEMAS ENVOLVENDO FRAÇÕES .................................................................................... 55 4. FRAÇÕES DECIMAIS OU NÚMEROS DECIMAIS .............................................................................. 58 4.1 ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS .............. 59 5. PORCENTAGENS ..................................................................................................................................... 67 6. RAZÃO ....................................................................................................................................................... 77 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................................... 87

4

1. AS QUATRO OPERAÇÕES As quatro operaçþes aqui serĂŁo desenvolvidas tendo em vista a manipulação com nĂşmeros positivos para que,

Hum, entĂŁo os nĂşmeros naturais servem para contar objetos?

por exemplo, faça sentido o trabalho com fraçþes. 1.1 ADIĂ‡ĂƒO Quando vocĂŞ junta uma certa quantidade a uma outra significa que vocĂŞ estĂĄ fazendo uma adição.

Exemplo 1. Augusto tinha 5 reais na segunda-feira e seu irmĂŁo mais velho lhe deu 7 reais na quarta. Como ele tinha guardado os 5 reais que jĂĄ tinha, pois gosta de economizar dinheiro, ele juntou com os 7 que ganhou.

Observe tambÊm que essa adição poderia ter sido feita, como 7 + 5 = 12.

Quantos reais ele passou a ter? Veja que: Digamos

que

as

barras

abaixo

representem

as

5 + 7 = 7 + 5.

quantidades que Augusto tinha e a que ganhou de seu

Isso resulta do fato da Adição

irmĂŁo.

ser comutativa, isto ĂŠ, nĂŁo

Tinha

importa a ordem na qual vocĂŞ adiciona

dois

nĂşmeros

ou

mais, o resultado sempre serĂĄ

đ?‘…$ 5,00

o mesmo. Isso nĂŁo ĂŠ legal? đ&#x;˜Š

Ganhou

đ?‘…$ 7,00 Assim, 5 + 7 = 12 Portanto, Augusto passou a ter đ?‘…$ 12,00 reais.

Observação: a cada número da adição chamamos de parcela. Assim, dizemos que na adição 5 + 7 = 12 os números 5 e 7 são as parcelas. Ao resultado 12 chamamos de soma ou total.

5 Exemplo 2. A adição dos números 4, 6 e 9, quanto vale? Temos 4 + 6 + 9 = 19

6 + 9 + 4 = 19

4 + 9 + 6 = 19

9 + 4 + 6 = 19

6 + 4 + 9 = 19

9 + 6 + 4 = 19

Hum, então não faz diferença a ordem na qual eu adiciono os números?

Veja, todas as adiçþes acima dão como resultado o número 19.

Exemplo 3. Pedro foi ao mercado na segunda-feira,

Observe que:

comprou pĂŁo e biscoitos, gastando R$ 23,00. Na quarta-

(23 + 34) + 55 = 112

feira comprou carne e leite, gastando R$ 34,00. No

(23 + 34) = 57

sĂĄbado, comprou alguns produtos de limpeza, gastando

57 + 55 = 112

R$ 55,00. Quantos ele gastou durante a semana?

ou Digamos que as barras abaixo representem o que Pedro

23 + (34 + 55) = 112 (34 + 55) = 89

gastou nos dias em que foi ao mercado.

89 + 23 = 112

Segunda

Isto ĂŠ,

đ?‘…$ 23,00

(23 + 34) + 55 = 23 + (34 + 55) Este fato ĂŠ a Propriedade

Quarta

Associativa dos nĂşmeros. Ela quer dizer que vocĂŞ pode

đ?‘…$ 34,00 SĂĄbado

associar

o

adição

de

resultado dois

da

nĂşmeros

quaisquer a um outro e o resultado

đ?‘…$ 55,00 Assim, 23 + 34 + 55 = 112 Portanto, Pedro gastou đ?‘…$ 112,00 durante a semana.

mesmo. đ&#x;˜Š

serĂĄ

sempre

o

6 Exercícios 1. Faça as adições abaixo: a) 12 + 74 =

f) 13 + 55 + 96 =

b) 74 + 12 =

g) 64 + 45 + 98 =

c) 45 + 39 =

h) 86 + 1 + 74 =

d) 39 + 45 =

i) 13 + 35 + 75 + 40

e) 25 + 75 =

j) 65 + 74 + 32 + 12 =

Problemas 1. A professora de língua portuguesa indicou aos alunos de 5° série os livros que eles deverão ler no primeiro bimestre do ano letivo: o primeiro tem 64 páginas e o segundo têm 72 páginas. Considerando os dois livros, quantas páginas, ao todo, os alunos vão ler? 2. Durante o ano de 2008, uma equipe de futebol venceu 49 partidas, empatou 18 partidas e perdeu 5 partidas. Quantas partidas essa equipe disputou durante o ano de 2008? 3. Um objeto custa 415 720 reais. O comprador terá que pagar ainda 28 912 reais pelo frete. Quanto o comprador vai pagar por esse objeto? 4. Ao receber meu salário eu tive que pagar R$ 437,00 de aluguel, R$ 64,00 de impostos. R$ 1 089,00 de gastos com alimentação e me sobraram R$ 749,00. Quanto eu recebo de salário? 5. Um automóvel passou pelo quilômetro 435 de uma rodovia. Ele ainda deverá percorrer 298 quilômetros até chegar ao seu destino. Quantos quilômetros da estrada vai percorrer para chegar ao destino? 6. Uma empresa tem sede em São Paulo e filiais em outros estados. Na sede trabalham 316 pessoas e nas filiais 1 098 pessoas. Juntando todas as pessoas, quantos trabalham nessa empresa? 7. Quando Júlia tinha 7 anos, seu pai tinha 33 anos. Se hoje ela tem 11 anos, qual a soma da sua idade com a de seu pai?

7 8. Qual a soma de todos os números de três algarismos que podem ser formados com os algarismos 1, 5 e 6? 9. No sábado corri 1 700 metros. No domingo corri 500 metros a mais do que no sábado. a) Quantos metros percorri no domingo? b) Quantos metros percorri ao todo? 10. Um programa de TV começa às 11h 25min e dura 5h 45min. A que horas ele termina? 11. Lucas e mais 15 amigos saíram de Rio Branco para acampar no interior. Antes de chegarem ao acampamento reuniram mais 12 amigos. Quantas pessoas foram acampar? 12. Eduardo e Mônica, resolveram fazer um bolo. Monica colocou 500 gramas de farinha de trigo, quando a massa estava quase pronta, Eduardo achou que ainda precisava de mais farinha e misturou 200 gramas. Com quantos gramas de farinha ficou a massa de bolo? 13. Lucas e Larissa comparam alguns quebra-cabeças. Larissa, montou 12 e Lucas, conseguiu montar 9. Quantos os dois montaram?

8 1.2 SUBTRAÇÃO Quando você retira uma certa quantidade de outra maior significa que você fez uma subtração.

Se na adição as partes são as parcelas e a soma, então como se chama as partes da subtração?

Exemplo 4. Rita tinha uma coleção de 17 bonecas. Ela deu 8 para sua prima, Luiza. Com quantas bonecas ficou Rita? Observe que Digamos

que

as

barras

abaixo

representem

as

quantidades de bonecas que Rita tinha e deu para a sua prima.

Observe que: 17 − 8 = 9 Só ocorre pelo fato de que

Tinha

9 + 8 = 17 Isto é, em toda Subtração:

17

O Minuendo menos o Subtraendo é igual ao Resto se ocorrer de o Resto mais o Subtraendo for igual ao Minuendo.

Deu

8 Assim, 17 − 8 = 9 Portanto, Rita ainda ficou com 9 bonecas.

Na subtração acima, o número 17 é o minuendo, o número 8 é o subtraendo e o número 9 é o resto ou diferença.

9

Exercícios 1. Resolva as subtrações a) 47 − 31 =

i) 98 − 78 =

b) 58 − 45 =

j) 48 − 29 =

c) 65 − 57 =

l) 38 − 29 =

d) 89 − 65 =

m) 68 − 59 =

e) 97 − 21 =

n) 56 − 37 =

f) 78 − 34 =

o) 23 − 19 =

g) 56 – 31 =

p) 99 − 81 =

h) 87 − 78 =

q) 21 − 19 =

2. Resolva as subtrações a) 72224 − 6458 =

e) 80469 − 6458 =

b) 701 − 638 =

f) 866 − 638 =

c) 131003 − 88043 =

g) 131012 − 88142 =

d) 1138 − 909 =

h) 2238 − 909 = Problemas ou Aplicações

1. À vista um automóvel custa 26 454 reais. A prazo o mesmo automóvel custa 38 392 reais. A diferença entre o preço cobrado é chamada de juros. Qual é a quantia que se pagará de juros? 2. De acordo com o Censo de 1980, a população de uma cidade era de 79 412 habitantes. Feito o Censo em 1991, verificou-se que a população dessa cidade passou a ser de 94 070 habitantes. Qual foi o aumento da população dessa cidade nesse período de tempo? 3. Uma indústria, no final de 1991, tinha 10 635 empregados. No início de 1992 em virtude da crise econômica dispensou 1 880 funcionários. Com quantos funcionários a indústria ficou?

10 4. Dom Pedro II, imperador do Brasil, faleceu em 1891 com 66 anos de idade. Em que ano ele nasceu? 5. Em um açougue havia 248 quilos de carne e foram vendidos 196. Quantos quilos ainda não foram vendidos? 6. Joana fez uma compra e, na hora de pagar, deu uma nota de 50 reais. O caixa reclamou, dizendo que o dinheiro não dava. Ela deu mais uma nota de 50 e o caixa deu um troco de 27 reais. Então Joana reclamou, corretamente, que ainda faltavam 9 reais de troco. Qual era o valor da compra? 7. Em uma partida de basquete, os ”Abelhas” venceram os ”Legumes” por uma diferença de 19 pontos. Se os ”Abelhas” fizeram 104 pontos, quantos pontos fizeram os ”Legumes”? 8. Roberto tinha 35 figurinhas. Deu 7 para André, 12 para João e ganhou 5 de Tomas. Com quantas figurinhas ficou Roberto? 9. Lucas precisava organizar seus 250 livros em prateleiras. Ele organizou todos em cinco prateleiras diferentes, da seguinte maneira: na primeira pôs 50, na segunda 75, na terceira 25 e na quarta 55. Quantos livros ele pôs na quinta prateleira? 10. Juliana, ganha um salário de 1 500 reais. Desse dinheiro, ela pagou 500 de contas, 237gastou com alimentos e 95 com produtos de higiene. Quantos reais sobrou para ela passar o restante do mês?

11 1.2 MULTIPLICAÇÃO Como se denomina as partes que compõem a multiplicação?

A Multiplicação é como a adição sucessiva de um mesmo número ou o agrupamento sucessivo de uma mesma quantidade.

Exemplo 5. Numa turma as carteiras estão dispostas em filas e colunas. Sabendo que existem 6 filas e em cada fila cabem 4 carteiras, quantos alunos cabem nessa sala? •

Uma solução

•

Digamos que as barras abaixo presentam as filas.

Observe que:

Filas

7 ∙ 5 = 35

5 ∙ 7 = 35

9 ∙ 3 = 27

3 ∙ 9 = 27

13 ∙ 4 = 52

4

4

4

4

4

4

Assim,

4 ∙ 13 = 52

Isto é, não importa a ordem na qual você multiplica dois ou

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24.

mais números, o resultado deles será sempre o mesmo!

6 vezes Observe que foram adicionadas 6 parcelas do número 4.

Essa

é

a

propriedade

Comutativa da Multiplicação.

Para não escrevermos como acima escreveremos como segue abaixo, isto é, As partes que compõem a 6 ∙ 4 = 24, onde o ponto ( ∙ ) representação o sinal de multiplicação. Portanto, nessa classe cabem 24 alunos

multiplicação

são

denominadas de fatores e produto. Assim, por exemplo, a multiplicação do exemplo 5,

Exemplo 6. Observe o acontece nas multiplicações

onde 6 ∙ 4 = 24, os números 6 e

abaixo

4 são chamados de fatores, 5 ∙ 7 = 35, pois 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 3 ∙ 9 = 27, pois 9 + 9 + 9 = 27 4 ∙ 13 = 52, pois 13 + 13 + 13 + 13 = 52

enquanto que o número 24 é o produto.

12 Exemplo 7. Qual ĂŠ o resultado da multiplicação abaixo? É possĂ­vel multiplicarmos mais do que dois ao mesmo tempo?

4 ∙ 5 ∙ 6 = 120

Observe duas maneiras de fazermos essa multiplicação: Primeiro podemos fazer 4 ∙ 5 = 20 Esse resultado multiplicamos por 6, isto ĂŠ, 20 ∙ 6 = 120 Perceberam o que aconteceu? đ&#x;˜Š

Note que o que aconteceu no exemplo ao lado foi que associamos o resultado da

(4 ∙ 5) ∙ 6 = 120

multiplicação de 4 por 5 ao número 6, o que tambÊm

Do mesmo modo podemos fazer 5 ∙ 6 = 30 e multiplicarmos 4 por esse resultado, ou seja:

pode ser feito associando-se ao nĂşmero 4 o resultado da multiplicação de 5 por 6. Isto ĂŠ, (4 ∙ 5) ∙ 6 = 4 ∙ (5 ∙ 6).

4 ∙ 30 = 120

A este resultado chamamos

Isto ĂŠ,

de Propriedade Associativa 4 ∙ (5 ∙ 6) = 120

da Multiplicação.

Observação: não Ê possível multiplicarmos mais do que dois

nĂşmeros

tempo. Por que?

ao

mesmo

13 Exercícios 1. Resolva as multiplicações a) 2 ∙ 9 =

f) 51 ∙ 257 =

b) 5 ∙ 1 =

g) 63 ∙ 176 =

c) 7 ∙ 55 =

h) 61 ∙ 257 =

d) 555 ∙ 71 =

i) 7 ∙ 56 =

e) 5 ∙ 372 =

j) 71 ∙ 300 = Problemas ou Aplicações

1. Considere que 1 mês tem 30 dias, 1 ano tem 365 dias e uma semana tem 7 dias, determine: a) quantos dias há em 15 semanas completas. b) Quantos dias há em 72 meses completos. c) Quantos dias há em 8 anos completos. 2. Para uma demonstração de ginástica, um professor de Educação Física prepara 64 grupos de alunos. Cada grupo é formado por 25 alunos. Quantos alunos devem participar dessa demonstração? 3. Com 12 prestações mensais iguais de 325 reais posso comprar uma moto. Quanto vou pagar por essa moto? 4. Qual é o número natural que você vai obter quando multiplicar 736 por 208? 5. Para cobrir o piso de um barracão foram colocadas 352 placas de 35 metros quadrados cada uma. Quantos metros quadrados tem o piso desse barracão? 6. Um carro bem regulado percorre 12 quilômetros com um litro de gasolina. Se numa viagem foram consumidos 46 litros, qual a distância em quilômetros que o carro percorreu? 7. Em um teatro há 18 fileiras de poltronas. Em cada fileira foram colocadas 26 poltronas. Quantas poltronas há nesse teatro? 8. Em uma multiplicação, os fatores são 134 e 296. Qual o produto?

14 9. Numa mercearia há 7 caixas de bombons e cada caixa contém 3 dúzias de bombons. Quantos bombons há na mercearia? 10. Uma pessoa deu R$ 4.700,00 de entrada na compra de um objeto e pagou mais 6 prestações de R$ 2.300,00. Quanto custou o objeto? 11. Um motorista percorreu 749 km em 6 dias. Nos cinco primeiros dias andou 132 km por dia. Quanto percorreu no 6º dia? 12. Para cortar um tronco reto de eucalipto em 6 partes, o madeireiro Josué faz 5 cortes. Ele leva meia hora para fazer os cortes, que são feitos sempre da mesma maneira. Quanto tempo Josué levará para cortar outro tronco igual em 9 pedaços?

15 1.4 DIVISÃO A divisão é como a subtração sucessiva de uma mesma quantidade.

Hum, então dividir é como subtrair a mesma quantidade repetidas vezes?

Lembrete: A adição e Subtração são operações inversas; isto é, uma desfaz o que a outra faz, e do mesmo modo acontece com a Multiplicação e a Divisão (são operações inversas).

1.4.1 DIVISÃO EXATA Uma divisão é exata quanto não sobra nada para dividir. Exemplo 8. Pedro tem uma cesta contendo 16 laranjas.

Observe uma representação do problema abaixo para uma melhor compreensão.

Ele deseja dividi-las em partes iguais com seus amigos, Lucas, João e Mário. Quantas unidades caberá a cada

16

um? •

Uma solução

Laranjas

Siga as seguintes etapas a) Ele retira (subtrai) da cesta uma laranja para cada um; isto é, Pedro retirou 4 unidades. Como tinha 16 laranjas, ficaram ainda 12. Cada um tem uma laranja. b) Ele procede como antes, retirando uma para cada

4

um. Como tinha 12 resta 8. Cada um agora tem 2 laranjas.

As 16 laranjas são divididas em

c) Pedro repete o processo. Como tinha ainda 8 e cada

parte iguais, onde cada um

um recebe mais uma laranja restam 4 na cesta. Cada um

ganha 4 laranjas.

deles tem agora 3 laranjas. d) Por fim, como restavam apenas 4 laranjas, ele deu mais uma para cada e restam 0 (zero) laranjas na cesta. Cada um ficou com 4 laranjas. Por tanto, 16 dividir em 4 partes iguais o resultado é 4 partes iguais de 4 unidades. Assim, cada um deles ficou com 4 laranjas.

Além disso, note que 4 ∙ 4 = 16, isto é, a multiplicação refaz o que a divisão fez.

16 Exercícios 1. Resolva as divisões abaixo: a) 20 ÷ 4 =

d) 11 ÷ 11 =

b) 20 ÷ 5 =

e) 36 ÷ 6 =

c) 55 ÷ 11 =

f) 32 ÷ 8 =

lembre-se de que numa divisão cada uma parte também recebe um nome, a saber: Dividendo

8

2

0

4

Resto

Divisor

Quociente

Observe que:

8(dividendo) = 2 (divisor) x 4 (quociente) + 0 (resto)

Isto é:

Dividendo = divisor ∙ quociente + resto

Numa divisão, o reto é sempre menor do que o divisor. Pense no motivo disso ser verdade.

17

Problemas 1. Resolvas as divisões a) Qual é a metade de 784? b) Qual é a terça parte de 144? c) Qual é a quinta parte de 1800? d) Qual é a décima parte de 3500? 2. Em um teatro há 126 poltronas distribuídas igualmente em 9 fileiras. Quantas poltronas foram colocadas em cada fileira? 3. Quantos garrafões de 5 litros são necessários para engarrafar 315 litros de vinho? 4. Uma pessoa ganha R$ 23,00 por hora de trabalho. Quanto tempo deverá trabalhar para receber R$ 391,00? 5. Uma torneira despeja 75 litros de água por hora. Quanto tempo levará para encher uma caixa de 3 150 litros? 6. Numa pista de atletismo uma volta tem 400 metros. Numa corrida de 10.000 metros, quantas voltas o atleta tem de dar nessa pista? 7. Um livro tem 216 páginas. Quero terminar a leitura desse livro em 18 dias, lendo o mesmo número de páginas todos os dias. Quantas páginas eu preciso ler por dia? 8. Quantos grupos de 18 alunos podem ser formados com 666 alunos? 9. Uma tonelada de cana de açúcar produz aproximadamente 85 litros de álcool. Quantas toneladas de cana são necessárias para produzir 6970 litros de álcool? 10. Numa pista de atletismo, uma volta tem 400 metros, quantas voltas cada atleta deve percorrer? 11. Mariana ficou responsável pela compra dos livros de matemática de alguns alunos. Cada aluno colocou o nome numa lista e pagou o valor do livro: R$ 6,00. Chegando à livraria, ela viu que tinha esquecido de trazer a lista. Primeiro, ela contou o dinheiro (inclusive o seu), dando um total de R$ 162,00. Depois, ela faz uma conta e descobriu quanto livros deveria comprar. Quantos eram?

18 1.4.2 DIVISĂƒO NĂƒO EXATA

EntĂŁo, uma divisĂŁo que o resto nĂŁo ĂŠ zero ĂŠ uma divisĂŁo nĂŁo exatas?

Quando o resto da divisão não Ê zero. Exemplo 9. Dividir 21 por 4 •

Resposta

Faremos como vocĂŞ jĂĄ aprendeu, usando o algoritmo abaixo:

−

21

4

20

5

1 Como 1 nĂŁo divide por 4 no Conjunto dos NĂşmeros

Veja na figura abaixo outra maneira de se escrever a divisĂŁo:

Naturais dizemos que essa ĂŠ uma divisĂŁo nĂŁo exata. Perceba que 21 = 4 ∙ 5 + 1 De outro modo, 21(dividendo) = 4 (divisor) ∙ 5 (quociente) + 1 (resto) Isto ĂŠ: Dividendo = divisor ∙ quociente + resto

A figura representa a divisĂŁo exata de 965 por 5 VocĂŞ sabia que todo nĂşmero que termina em 5 quando dividido por 5 de deixa resto igual a 0. Interessante, nĂŁo ĂŠ? SerĂĄ por que isso acontece? VocĂŞ

saberia

responder?

Pense a respeito. đ&#x;˜Š

19 Exercícios e Problemas 1. Reescreva na forma: Dividendo = divisor x quociente + resto. a) 79 ÷ 8 b) 49 ÷ 6 c) 57 ÷ 7 d) 181 ÷ 15 e) 321 ÷ 10 f) 85 ÷ 18 g) 93 ÷ 32 h) 79 ÷ 12

2. Sete pessoas, juntas, sempre compram duas caixas de laranja e, depois, as dividem igualmente. Quando sobram menos de 7 laranjas, elas sorteiam as laranjas que restaram para uma dessas pessoas. Diga, quantas laranjas cada uma pessoa recebe quando as caixas têm um total de: a) 150 laranjas b) 151 laranjas c) 152 laranjas d) 153 laranjas e) 154 laranjas 3. Um engradado de refrigerantes comporta 6 garrafas. João conseguirá colocar 75 garrafas em 12 engradados?

20

2. MĂ?NIMO MĂšLTIPLO COMUM (MMC) E MĂ XIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Hum, então os múltiplos de um número qualquer Ê a multiplicação deste número pelo conjunto dos números naturais?

Comecemos essa parte com o MMC. Primeiramente, vamos relembrar o que Ê um múltiplo tendo como base o conjunto dos números naturais: ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ‌ }.

2.1 MĂšLTIPLOS Vamos começar pelos mĂşltiplos do nĂşmero 2. Para sabermos quem sĂŁo os mĂşltiplos de 2 basta multiplica-lo pelos nĂşmeros naturais, por exemplo:

Veja essa curiosidade entre os đ?‘š(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, ‌ } e o nĂşmero 37: 3 ∙ 37 = 111 6 ∙ 37 = 222 9 ∙ 37 = 333

2 ∙ 1 = 2 ĂŠ um mĂşltiplo de 2

12 ∙ 37 = 444

2 ∙ 2 = 4 ĂŠ um mĂşltiplo de 2

15 ∙ 37 = 555 18 ∙ 37 = 666

2 ∙ 3 = 6 ĂŠ um mĂşltiplo de 2

21 ∙ 37 = 777 VocĂŞ jĂĄ deve ter percebido que os mĂşltiplos de começando do 0 (zero) vĂŁo aumentando de 2 em 2, isto ĂŠ, sĂŁo: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... O conjunto dos mĂşltiplos, de qualquer nĂşmero que seja, ĂŠ um conjunto infinito. Escrevemos o conjunto de mĂşltiplos da seguinte maneira: đ?‘š(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ‌ . },

�(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, ‌ }.,

�(4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, ‌ } e �(5) = {5, 10, 15, 20, ‌ },

Estes sĂŁo alguns exemplos de conjuntos de mĂşltiplos

24 ∙ 37 = 888 27 ∙ 37 = 999

Na matemĂĄtica existem muitas coisas curiosas como essa, faça uma pesquisa sobre algumas delas! đ&#x;˜Š

21 2.2 MĂšLTIPLOS COMUNS Veja os dois conjuntos de mĂşltiplos abaixo:

Todos os mĂşltiplos de 4 sĂŁo tambĂŠm mĂşltiplos de 2?

đ?‘š(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ‌ }. đ?‘š(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, ‌ }. VocĂŞ deve ter percebido que no conjunto dos mĂşltiplos de 2 e 3 existem nĂşmeros que estĂŁo nos dois conjuntos ao mesmo tempo; estes sĂŁo os mĂşltiplos comuns desses dois conjuntos e, anotamos da seguinte maneira: đ?‘šđ?‘?(2, 3) = {6, 12, 18, 24, 30, ‌ } 2.3 MĂ?NIMO MĂšLTIPLO COMUM (MMC) Tomemos os conjuntos dos mĂşltiplos comuns de 2 e 3

Se consideramos o nĂşmero zero, serĂĄ que este ĂŠ mĂşltiplo de algum nĂşmero? Quais?

đ?‘šđ?‘?(2, 3) = {6, 12, 18, 24, 30, ‌ } O menor nĂşmero que ĂŠ mĂşltiplo comum de 2 e 3 ao mesmo tempo ĂŠ o 6; assim: đ?‘šđ?‘šđ?‘?(2, 3) = 6 Para indicar o MĂ­nimo MĂşltiplo Comum (MMC) entre os mĂşltiplos de 2 e 3.

VocĂŞ percebeu que os mĂşltiplos comuns entre 2 e 3 sĂŁo os mĂşltiplos de 6 e que a multiplicação 2 ∙ 3 ĂŠ igual a 6? SerĂĄ que para quaisquer outros dois nĂşmeros os mĂşltiplos comuns entre eles sĂŁo os mĂşltiplos do nĂşmero que resulta da multiplicação entre eles dois? Por exemplo, serĂĄ que os mĂşltiplos comuns entre 2 e 4 sĂŁo os mĂşltiplos de 8? Tente pensar a respeito. đ&#x;˜Š

22 2.4 UMA MANEIRA DE DETERMINAR O MMC É muito cansativo ter que determinar o MMC construindo o conjunto de múltiplo e múltiplos comuns, por isso vamos

O que ĂŠ um nĂşmero primo? SerĂĄ que existem infinitos nĂşmeros primos?

aprender uma maneira mais conveniente, atravĂŠs do que chamamos de fatoração por nĂşmeros primos. Exemplo 10. Fatore o nĂşmero 6 por produto de nĂşmero primos. Primeiramente, relembre que dizemos que um nĂşmero ĂŠ primo quando ele ĂŠ maior do que 1 e sĂł divide por si mesmo e por 1. Estes sĂŁo alguns nĂşmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 97, ... SĂŁo apenas alguns, pois existem infinitos nĂşmeros primos. đ&#x;˜Š Agora observe que podemos escrever o nĂşmero 6 como a multiplicação de dois nĂşmeros primos, isto ĂŠ, 2 ∙ 3 = 6. De outra maneira tambĂŠm podemos fazer apenas divisĂľes por nĂşmeros primos e depois reescrever o nĂşmero em fatores de primos. Exemplo 11. Fatore o nĂşmero 12 em produto de primos. Solução. Vamos usar o seguinte esquema:

12 2 6 2 6 2 3 3 1 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 O que se foi feito foram as seguintes divisĂľes, 12 para 2, 6 para 2, 3 para 3. Portanto, a fatoração ĂŠ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Todo nĂşmero pode ser reescrito por meio da multiplicação de nĂşmeros primos independentemente da ordem dos fatores. (Teorema Fundamental da AritmĂŠtica). Vamos provar que existe uma infinidade de nĂşmeros primos? đ&#x;˜Š Prova: Considere que nĂŁo existem infinitos nĂşmeros primos; isto ĂŠ, os nĂşmeros primos sĂŁo em um nĂşmero finito, por exemplo, em uma quantidade đ?‘˜. Digamos entĂŁo que estes finitos nĂşmeros primos sĂŁo: 2, 3, 5, 7, 11, â‹Ż , đ?‘?đ?‘˜ . EntĂŁo, por exemplo, o nĂşmero đ?‘ = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 ∙ ‌ ∙ đ?‘?đ?‘˜ + 1 que ĂŠ o resultado da multiplicação dos finitos nĂşmeros primos adicionados ao nĂşmero 1 ou ĂŠ um nĂşmero primo ou ĂŠ composto. Se o nĂşmero đ?‘ for primo entĂŁo hĂĄ mais do que đ?‘˜ nĂşmeros primos. Se o nĂşmero đ?‘ for composto entĂŁo algum dos nĂşmeros primos 2, 3, 5, 7, 11, â‹Ż , đ?‘? divide o nĂşmero đ?‘ = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 ∙ ‌ ∙ đ?‘?đ?‘˜ + 1. No entanto, nenhum dos nĂşmeros primos 2, 3, 5, 7, 11, â‹Ż , đ?‘?đ?‘˜ divide a parcela referente ao nĂşmero 1, o que nĂŁo poderia acontecer. Assim, sĂł nos resta acreditar que hĂĄ mais do que uma quantidade đ?‘˜ de nĂşmeros primos; isto ĂŠ, deve mesmo haver uma infinidade de nĂşmeros primos.

23 Exemplo 12. Dois Ă´nibus đ??´ e đ??ľ partem de uma mesma Estação RodoviĂĄria em uma viagem no mesmo dia. O primeiro deles vai e volta a cada 4 meses e o outro a

Como se chama um nĂşmero que nĂŁo ĂŠ primo?

cada 6 meses. Em quantos meses eles vĂŁo se encontrar novamente?

Digamos que tanto o Ă´nibus đ??´ quanto o đ??ľ partiram no mĂŞs de janeiro. Ă”nibus đ?‘¨:

Partindo

Voltando

Jan

Fev

Mar

Abr

Mai

Jun

Jul

Ago

Set

Out

Nov

Dez

SerĂĄ que existe ao menos outra maneira de calcular o đ?‘šđ?‘šđ?‘? alĂŠm do mĂŠtodo que foi usado na pĂĄgina anterior? Pensei a respeito

Ônibus �: Partindo

Voltando

Jan

Fev

Mar

Abr

Mai

Jun

Jul

Ago

Set

Out

Nov

Dez

VocĂŞ notou que de um determinado nĂşmero os mĂşltiplos crescem sempre ao tamanho do prĂłprio nĂşmero? Por exemplo, os mĂşltiplos de 3 crescem de 3 em 3. SerĂĄ que todos sĂŁo assim?

O padrĂŁo de crescimento dos mĂşltiplos ĂŠ chamado de ProgressĂŁo AritmĂŠtica.

O que ĂŠ uma ProgressĂŁo AritmĂŠtica? Pense a respeito. Portanto, os Ă´nibus se encontrarĂŁo novamente em 12 meses.

Note que o đ?‘šđ?‘šđ?‘?(4,6) = 12

Na matemĂĄtica existem muitos padrĂľes. VocĂŞ consegue notar algum padrĂŁo em alguma parte da matemĂĄtica? SenĂŁo, tente! đ&#x;˜Š

24 ExercĂ­cios e Problemas 1. Calcule o MMC a) đ?‘šđ?‘šđ?‘?(2, 5) =

b) đ?‘šđ?‘šđ?‘?(12, 8) =

c) đ?‘šđ?‘šđ?‘?(6, 9) =

d) đ?‘šđ?‘šđ?‘?(16, 40) =

e) đ?‘šđ?‘šđ?‘?(20, 16) =

f) đ?‘šđ?‘šđ?‘?(18, 32) =

g) đ?‘šđ?‘šđ?‘?(14, 18) =

h) đ?‘šđ?‘šđ?‘?(10, 9) =

2. Resolva as seguintes aplicaçþes a) Um país tem eleiçþes para presidente de 5 em 5 anos, e para governadores de 4 em 4. Em 1988, essas duas eleiçþes coincidiram, quando tais eleiçþes ocorreram juntas novamente? b) Muitos cometas nos visitam de tempos em tempos. Um certo cometa passa pela terra de 12 em 12 anos. Outro passa a cada 32 anos. Em 1912, eles passaram juntos, quando isso ocorreu novamente? c) Uma årvore de natal tem três tipos de luzes. As vermelhas acendem a cada 8 segundos; as verdes, a cada 10; e as amarelas, a cada 12. Se elas acenderem todas juntas num determinado momento, depois de quantos segundos elas acenderão juntas novamente? d) Duas culturas de bactÊrias A e B se multiplicam da seguinte maneira: a cultura a se multiplica a cada 6 segundos e a B a cada 8 segundos. De quantos em quantos segundos elas se multiplicam juntas? e) Duas pessoas, fazendo exercícios diårios, partem simultaneamente de um mesmo ponto e, andado, contornam uma pista oval que circunda um jardim. Uma dessas pessoas då uma volta completa em 12 minutos. A outra, andando mais devagar, leva 20 minutos para completar a volta. Depois de quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se encontrar no mesmo ponto de partida? f) Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro relógio B bate a cada 25 minutos, e um terceiro relógio C a cada 40 minutos. Qual Ê, em horas, o menor intervalo de tempo decorrido entre duas batidas simultâneas dos três relógios? g) Três luminosos acendem em intervalos regulares. O primeiro a cada 20 segundos, o segundo a cada 24 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um dado instante, os três acenderem ao mesmo tempo, depois de quantos segundos os luminosos voltarão a acender simultaneamente?

25 2.5 CĂ LCULO DO MĂ XIMO DIVISOR COMUM (MDC) SerĂĄ que o nĂşmero zero pode ser o divisor de algum nĂşmero?

O mĂĄximo divisor comum (đ?‘šđ?‘‘đ?‘?)serĂĄ calculado usando o mesmo mĂŠtodo do cĂĄlculo do đ?‘šđ?‘šđ?‘?. No entanto olharemos apenas para as linhas onde o divisor primo divide ambos os nĂşmeros ao mesmo tempo. Exemplo 13. Calcular o đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(28, 36)

Iremos fatorar os dois como se estivĂŠssemos calculando o đ?‘šđ?‘šđ?‘?. Assim, temos que:

28, 36

2

14, 18 2 7, 9

3

7, 3

3

7, 1

7

1, 1

7 2∙2 = 4

Curiosidade! VocĂŞ sabe o que ĂŠ um nĂşmero perfeito? Bem, um nĂşmero ĂŠ dito perfeito quando a adição dos seus divisores menores do que ele mesmo ĂŠ igual a ele. Por exemplo, os divisores de 28 sĂŁo đ?‘‘(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}. O menos do que 28 sĂŁo 1, 2, 4, 7 e 14, e: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. O nĂşmero 6 tambĂŠm perfeito, pois os divisores de menos do que ele sĂŁo 1, 2 e 3, e: 1 + 2 + 3 = 6.

Vejo o conjunto de alguns divisores: đ?‘‘(2) = {1, 2}, đ?‘‘(9) = {1, 3, 9}, đ?‘‘(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}, etc.

Veja mais perfeitos:

alguns

nĂşmeros

496, Vejo o conjunto dos divisores comuns de 6 e 8: Temos que

8 128, 33 550 336,

đ?‘‘(6) = {1, 2, 3, 6} e đ?‘‘(8) = {1, 2, 4, 8}, assim os divisores comuns sĂŁo: đ?‘‘đ?‘?(6,8) = {1, 2} Note que o mĂĄximo divisor comum entre 6 e 8 ĂŠ 2, isto ĂŠ, o đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(6,8) = 2.

8 589 869 056, 137 438 691 328, 2 305 843 008 139 952 128. Note que estes nĂşmeros perfeitos acima sĂŁo todos pares. SerĂĄ que existe algum nĂşmero perfeito que seja Ă­mpar?

26 Exemplo 14. Em uma mercearia o proprietĂĄrio deseja estocar 72 garrafas de ĂĄgua, 48 de suco e 36 de mel em caixas com o maior nĂşmero possĂ­vel de garrafas, sem

SerĂĄ que existe alguma relação entre o đ?‘šđ?‘šđ?‘? e o đ?‘šđ?‘‘đ?‘??

misturĂĄ-las e sem que sobre ou falte garrafa. Qual deve ser a quantidade de garrafas por caixa?

Primeiramente, cuidado, pois certamente, o nĂşmero de caixas de ĂĄgua serĂĄ maior do que as de suco e, por sua vez serĂĄ maior do que o nĂşmero de caixas de mel. No entanto, em cada caixa deverĂĄ haver o mesmo nĂşmero de garrafa e ĂŠ isso o que queremos saber, o nĂşmero mĂĄximo de garrafas que serĂŁo colocados em cada caixa. Basta calcular o mĂĄximo divisor comum entre 36, 48 e 72, que por sua vez ĂŠ 4; isto ĂŠ, đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(36, 48, 72) = 4. Portanto, deverĂĄ ter no mĂĄximo 4 garrafas em cada caixa segundo as condiçþes do problema.

Observação: Dizemos que dois nĂşmeros sĂŁo primos entre si quando o mĂĄximo divisor comum (đ?‘šđ?‘‘đ?‘?) entre eles for igual a 1. Por exemplo, os nĂşmeros 8 e 9 sĂŁo primos entre si, pois o đ?‘šđ?‘‘đ?‘? entre eles ĂŠ igual a 1. Realmente, đ?‘‘(8) = {1, 2, 4, 8} divisores de 8. đ?‘‘(9) = {1, 3, 9} divisores de 9.

Exemplo 15. O Sr. Vicente tem uma banca de frutas na

đ?‘‘đ?‘?(8,9) = {1} divisores comuns de 8 e 9.

feira. Nela hĂĄ uma penca com 18 bananas e outra com

e assim,

24 bananas. Ele quer dividir as duas em montes iguais.

đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(8,9) = 1.

Qual deve ser o maior nĂşmero possĂ­vel de bananas em

Os nĂşmeros primos entre si sĂŁo muito importantes!

cada monte?

Basta calcular o mĂĄximo divisor comum entre 18 e 24. Ora, đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(18, 24) = 2 Logo, cada monte deverĂĄ conter duas bananas. đ&#x;˜Š

Observação: Se đ?‘Ž e đ?‘? sĂŁo dois nĂşmeros Naturais, entĂŁo uma relação conhecida entre eles ĂŠ: đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(đ?‘Ž, đ?‘?) ∙ đ?‘šđ?‘šđ?‘?(đ?‘Ž, đ?‘?) = đ?‘Ž ∙ đ?‘? Faça alguns testes.

27 Exercício e Aplicaçþes 1. Numa classe hå 27 meninos e 21 meninas. A professora quer formar grupos só de meninos ou só de meninas, com a mesma quantidade de alunos e usando ao maior quando possível. a) quantos alunos terå cada um desse grupos? b) quantos grupos de meninas pedem ser formados? c) quantos grupos de meninos? 2. Todos os alunos de uma escola de ensino mÊdio participarão de uma gincana. Para essa competição, cada equipe serå formada por alunos de um mesmo ano com o mesmo número de participantes. Veja na tabela a distribuição de alunos por ano:

Responda Ă s seguintes perguntas: a) Qual ĂŠ o nĂşmero mĂĄximo de alunos por equipe? b) Quantas equipes serĂŁo formadas ao todo? 3. Regina possui 3 pedaços de fita, como os apresentados abaixo, que serĂŁo utilizados na confecção de alguns enfeites. Ela pretende cortĂĄ-los em pedaços do maior tamanho possĂ­vel, de forma que nĂŁo haja sobras e que todos os pedaços tenham o mesmo tamanho. 810 đ?‘?đ?‘š

630 đ?‘?đ?‘š

540 đ?‘?đ?‘š

28 a) Qual será o tamanho de cada pedaço de fita após o corte? b) Quantos pedaços de fita serão obtidos ao todo? 4. Para o casamento de sua filha Bernadete, dona Fátima encomendou 600 rosas, 300 margaridas e 225 cravos. Ela quer fazer arranjos de flores para enfeitar o salão de festas, sem deixar sobrar nenhuma flor. Todos os arranjos devem ser iguais e, para isso, devem ter o mesmo número de rosas, de margaridas e também de cravos. Desejando montar o maior número possível de arranjos, quantas flores dona Fátima deve colocar em cada um? 5. Uma editora recebeu pedidos de três livrarias, como mostra o quadro abaixo.

Como a editora deseja remeter os três pedidos com a mesma quantidade de livros e com o maior número de livros possível por pacote, a) quantos livros terá cada pacote? b) quantos pacotes serão ao todo?

29

3. FRAÇÕES Quantos quartos cabem em um todo?

o que ĂŠ uma fração? A palavra fração deriva da palavra latina fractus que significa “partidoâ€?, “divididoâ€? ou “quebradoâ€?, do verbo frangere: quebrar.

Veja a seguinte representação: Todo Curiosidade: Você sabe por que o denominador de uma fração não pode ser zero? Pense a respeito.

Partes

1 4 Leia a fração

1 4

tambĂŠm como: um sobre quatro, um

quarto ou a quarta parte.

Curiosidade: Você sabia que os egípcios só trabalhavam com fraçþes de numerador igual a 1? Por exemplo: 1 1 1 1 1 1 , , , , , , 2 3 4 5 6 7

Observe que o todo estĂĄ dividido em quatro partes, onde cada uma delas tĂŞm o mesmo tamanho. Cada uma 1 destas partes ĂŠ representada pelo nĂşmero , onde o

etc.

Tente saber o motivo deles usarem apenas esse tipo de fração. đ&#x;˜Š

4

nĂşmero 1 representa o todo e o nĂşmero 4 representa as partes.

De modo geral, representaremos uma fração por um đ?‘Ž nĂşmero (đ?‘Ž sobre đ?‘?), onde đ?‘? ĂŠ um nĂşmero diferente de

Uma fração tambÊm pode ser considerada um todo? Pense a respeito.

đ?‘?

zero (đ?‘? ≠0). Ao nĂşmero đ?‘Ž chamaremos de numerador e ao nĂşmero đ?‘?, denominador. Assim, por exemplo, na 3 4

fração três quartos, representada por , o número 3 Ê o numerador e número 4 Ê o denominador.

Observação: algumas vezes ao invÊs de dizermos o todo diremos o inteiro.

Você reconhece alguma situação do seu dia-a-dia no qual você se depara com fraçþes? Pense a respeito.

30 3.1 TIPOS DE FRAÇÕES Uma fração ĂŠ dita uma fração prĂłpria se o numerador for menor do que o denominador. Assim, por exemplo, sĂŁo fraçþes prĂłprias as fraçþes:

As fraçþes egípcias são fraçþes próprias?

1 2 3 4 5 6 , , , , , ,‌ 2 3 4 5 6 7 Uma fração ĂŠ dita uma fração imprĂłpria se o numerador for maior do que o denominador. Assim, por exemplo, sĂŁo fraçþes imprĂłprias as fraçþes: 2 4 6 8 10 12 , , , , , ,‌ 3 5 7 9 11 13 Uma fração ĂŠ dita uma fração aparente se o resultado da divisĂŁo do numerador for um nĂşmero natural. Assim, por exemplo, sĂŁo fraçþes aparente: 2 6 9 20 , , , ,‌ 1 2 3 5

O olho de Hórus Udyat repartido em partes e representado por fraçþes egípcias

Observe como fica a leitura dos denominadores Quando for: 2, lemos “meioâ€?, exemplo a fraçþes TrĂŞs Meios

3 2 4 3

3, lemos “terçoâ€?, exemplo a fração Quatro Terços 4, lemos “quartoâ€?, exemplo a fração Seis Quartos

6 4

5, lemos “quintoâ€?, exemplo a fração Dois Quintos

2 5

Procure saber Udyat. đ&#x;˜Š

7 6

6, lemos “sextoâ€?, exemplo a fração Sete Sextos

7, lemos “sĂŠtimoâ€?, exemplo a fração Oito SĂŠtimos

8 7

8, lemos “oitavoâ€?, exemplo a fração Cinco Oitavos 9, lemos “nonoâ€?, exemplo a fração Dez Nonos

Cada parte Ê representada por uma fração.

5 8

10 9

10, lemos “dĂŠcimoâ€?, exemplo a fração Nove DĂŠcimos

9 10

Quando os Denominadores forem maiores do que dez Lemos com a terminação avos, exemplo, as fraçþes: Seis Onze Avos

6 , 11

TrĂŞs Doze Avos

3 , 12

Dois Treze Avos

2 , 13

etc.

sobre

HĂłrus

31 3.2 FRAÇÕES EQUIVALENTES Duas fraçþes serĂŁo ditas equivalente se elas representam a mesma porção de um todo, ou de um inteiro (lembra?).

Hum, então fraçþes equivalentes são fraçþes que têm o mesmo valor?

Todo

Partes

5 10

Observe que duas moedas de cinquenta centavos tĂŞm o mesmo valor de uma moeda de um real.

Todo

Partes

1 2 Todo

Partes

Isto ĂŠ, duas moedas de cinquentas centavos equivalem a uma moeda de um real.

3 6 1 3 2 6

As fraçþes , e

5 10

são fraçþes equivalente. 1 3 2 6

VocĂŞ percebeu que as fraçþes , mesma porção do todo? đ&#x;˜Š

e

5 10

representam a

VocĂŞ consegue notar mais alguma coisa no seu dia-a-dia que sĂŁo equivalentes? Pense a respeito. đ&#x;˜Š

32 3.3 COMPARANDO FRAÇÕES

Hum, então para saber 3 6 se 5 e 10 são equivalentes

Se duas frações têm o mesmo denominador, será maior

basta multiplicar 3 e 5 por 2 e obter 6 e 10?

aquela que tiver o maior numerador. Exemplo 16. As frações 5 4

5 4

e

3 4

têm mesmo denominar, 3 4

então a fração é maior do que a fração , pois a fração 5 4

3 4

tem o numerador maior do que a fração .

Anotamos esse fato da seguinte maneira: 5 3 > 4 4 ou 3 5 < . 4 4 Na segunda representação logo acima lemos que a 3

5

4

4

fração é menor do que a fração . E se duas frações não têm o mesmo denominar? Exemplo 17. Qual é a maior fração, a fração 2 3

1 2

ou a

fração ?

5

Para responder isso é necessário encontrarmos duas 1 2

frações equivalente a denominador. numerador.

Daí,

e

será

3 6

1 2

2 3

4 6

maior

aquela

4 6

Como é maior do que 3 6

2 3

Isto é, > e assim, >

3 , 6

por, digamos por 3. Temos então que:

que tenham o mesmo de

maior

2 3

então é maior do que

1 . 2

1 . 2

1 2

3 6

2 3

4 6 1 3 e 2 6 2 4 e . 3 6

Perceba na figura acima que as frações a mesma porção da figura, assim como

3∙2 = 6 e 3 ∙ 5 = 15

2 3

Ora, é equivalente a e é equivalente a .

4 6

Observação: Sempre que você realmente quiser obter uma fração equivalente a partir de uma fração conhecido, basta que você multiplique por um mesmo número o numerador e denominador dessa fração. Por exemplo, tomemos a 2 fração e multiplique o 2 e o 5

6 15 2 fração . 5

obtemos a fração equivalente a

que é

Você consegue pensar noutra maneira de encontrar uma fração equivalente a uma fração dada? Pense a respeito.

equivalem

33 đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘? đ?‘‘

De modo mais formal, dizemos que duas fraçþes e são equivalentes quando a multiplicação do numerador da primeira pelo denominador da segunda for igual a multiplicação

do

denominador

da

primeira

pelo

Hum, então duas fraçþes são equivalentes quando as multiplicaçþes de numeradores por denominadores forem iguais?

numerador da segunda. Isto ĂŠ: đ?‘Ž đ?‘? ~ đ?‘? đ?‘‘

quando đ?‘Ž ∙ đ?‘‘ = đ?‘? ∙ đ?‘?

Usaremos o sĂ­mbolo “~" para representar que duas fraçþes sĂŁo equivalentes. Exemplo 18. Verificar se as fraçþes

3 4

e

9 12

sĂŁo

equivalentes. De fato, pois 4 ∙ 9 = 36 e 3 ∙ 12 = 36 isto ĂŠ, 4 ∙ 9 = 3 ∙ 12 Portanto, as fraçþes acima sĂŁo equivalentes! 7 4

5 2

Exemplo 19. Verificar se as fraçþes e sĂŁo equivalentes. NĂŁo, pois 7 ∙ 2 = 14 e 4 ∙ 5 = 20 isto ĂŠ, 7∙2 ≠4∙5 Portanto, as fraçþes acima nĂŁo sĂŁo equivalentes! Observe que usamos que acima o sĂ­mbolo “≠â€? para dizer que o produto que querĂ­amos ĂŠ “diferente ou nĂŁo ĂŠ igualâ€? para nĂŁo escrevermos: 7 ∙ 2 ĂŠ diferente de 4 ∙ 5.

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu por fraçþes equivalente.

34 Exercícios 1. Nos exercícios abaixo dê o nome de cada uma das frações, e encontre ao menos três frações equivalente usando a multiplicação, e a divisão quando essa for possível. 1

a)

9 12

m)

b)

2 7

n)

4 5

c)

3 8

o)

12 16

d)

5 15

p)

7 4

e)

25 75

q)

3 9

r)

6 16

4 24

s)

1 9

6

t)

2

12

f)

60

g) h)

3

18

9

i)

7 14

u)

8 7

j)

5 7

v)

21 27

k) l)

8 3

1 2

w)

2 8

35 3.4 FRAÇÕES IRREDUĂ?VEIS Dizemos que duas fraçþes sĂŁo irredutĂ­veis quando o đ?‘šđ?‘‘đ?‘? entre o seu numerador e denominador ĂŠ igual a 1 e, mais

Um nĂşmero par e um nĂşmero Ă­mpar sĂŁo sempre primos entre si?

ainda, nesse caso dizemos que o numerador e o denominador sĂŁo primos entre si.

Dois nĂşmeros sĂŁo primos entre si se o đ?‘šđ?‘‘đ?‘? entre for igual a 1.

Vejamos de maneira mais clara 3 7

6 9

Exemplo 20. Verifique se as fraçþes e são irredutíveis. Vamos analisar primeiro a fração

3 7

Como foi dito acima, devemos verificar se o đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(3, 7) ĂŠ igual a 1; daĂ­, caso isso seja verdade, entĂŁo ela ĂŠ irredutĂ­vel.

Esse ĂŠ o caso mais simples de se verificar, pois tanto o 3 como 7 sĂŁo nĂşmeros primos; assim, obrigatoriamente, temos que đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(3, 7) = 1. Portanto, 3 e 7 sĂŁo primos entre 3 7

si e desse modo a fração Ê irredutível.

Lembre-se dos nĂşmeros primos, pois eles sĂŁo muito importantes para se trabalhar com fraçþes. đ&#x;˜Š 6 9

Vamos verificar agora a fração . Note que o đ?‘šđ?‘‘đ?‘?(6, 9) = 3. 6

Sendo assim, a fração não Ê irredutível. 9

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu por fraçþes irredutíveis.

36 3.5 SIMPLIFICAĂ‡ĂƒO DE FRAÇÕES Sempre que uma fração nĂŁo estiver na sua forma irredutĂ­vel ĂŠ possĂ­vel simplificĂĄ-la de modo a obter uma

Hum, então se dividirmos o numerador e o denominador ao mesmo tempo por dois números diferentes a nova fração obtida não Ê uma fração equivalente?

fração equivalente a ela na forma irredutível. E o que Ê simplificar uma fração? Ora, nada mais Ê do que pegar o seu numerado e denominador e dividi-los ao mesmo tempo pelo mesmo número atÊ que eles sejam primos entre si. Exemplo 21. Simplifique a fração

12 18

atĂŠ a sua forma

irredutível. Veja que tanto 12 como 18 dividem por 2, desse modo, temos 12á2 18á2

=

6 9

Agora observe que tanto 6 como 9 podem ser divididos por 3, daí 6á3 9á3

=

2 3

Como 2 e 3 sĂŁo primos e tambĂŠm primos entre si o đ?‘šđ?‘‘đ?‘? entre eles ĂŠ 1 e, assim, a fração

2 3

jĂĄ estĂĄ na forma

irredutível. Por fim, observe que fizermos duas divisþes para chegarmos na fração

2 3

partindo da

12 . 18

Dividimos por 2 e

depois do 3, assim poderíamos ter dividido de uma vez só por 6, veja: 12á6 18á6

=

2 3

NĂŁo ĂŠ interessante? Se pergunte o porquĂŞ disso. đ&#x;˜Š

Use o espaço abaixo para escrever o que você entender sobre simplificação de fraçþes.

37 Exercícios 1. Nos itens abaixo nenhuma fração está na forma irredutível, simplifique-as até chegar a tal forma. a)

12 16

b)

21 15

c)

27 15

d)

6 8

e)

36 48

18 12

f)

g)

16 12

h)

40 16

i)

25 60

j)

9 15

k) l)

9 27

7 21

38 3.6 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM MESMO DENOMINADOR 5 6

9 6

Exemplo 22. Fazer a adição das frações e .

Hum, então na adição de frações com mesmo denominador, basta repetir o denominador e fazer a adição dos numeradores?

Vamos somar apenas os numeradores e manter os denominadores. Veja: 5 9 14 + = 6 6 6 Ou também 9 5 14 + = 6 6 6 Observe que o resultado 7 3

14 6

pode ser simplificado para 7 3

fração irredutível . Note que e

14 6

são equivalentes.

Exemplo 23. Fazer a adição das frações

7 11

e

5 11

Resposta. Como fizemos acima 7 5 12 + = 11 11 11 Ou 5 7 12 + = 11 11 11 Já que na adição não importa a ordem ☺ Agora, perceba que

12 11

já está na sua forma irredutível,

pois 11 e 12 são primos entre si.

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu por adição de mesmo denominador.

39 5 6

9 6

Exemplo 24. Faça a subtração das frações e . Ora,

Em que conjuntos se pode fazer a subtração entre duas frações sem problema algum?

9 5 4 − = 6 6 6

Note que 5 9 4 − =− 6 6 6 não vale no conjunto dos números naturais.

Exemplo 25. Faça a subtração das frações

7 11

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu por subtração de frações de mesmo denominador. e

5 . 11

Como no exemplo anterior 7 5 2 − = 11 11 11

Do mesmo modo o resultado 5 7 2 − =− 11 11 11 não vale no conjunto dos números naturais. Assim, é no conjunto dos números naturais é preciso tomar cuidado ao se fazer a subtração entre duas frações.

40 3.7 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES MÚLTIPLOS 3

7

4

2

Exemplo 26. Faça a adição entre as frações e .

Hum, então para adicionar frações com denominadores múltiplos é preciso usar frações equivalente?

7

Observe que a fração tem denominador menor do que 2

3 4

o denominador da fração . Assim, iremos conservar a fração que tem o maior denominador e “transformar” a fração de menor denominador numa fração equivalente a ela e que tenha o denominar igual a 4.

Temos que 3 7 17 + = 4 2 4

7 2

Ora, observe a fração , e se pergunte por qual número se deve multiplicar o denominador 2 para se obter um denominador igual a 4 como resultado? Essa não é muito difícil, é claro que é por 2, pois 2 ∙ 2 = 4. Desse modo: 3 7 + 4 2 3 2∙7 + 4 2∙2 3 14 17 + = 4 4 4

Observe que fração de maior denominador foi repetida; isto é, foi conservado, mudamos apenas a de menor denominador.

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu por adição de frações com denominadores múltiplos.

41 3 4

5 8

Exemplo 27. Faça a subtração entre as fraçþes e . Serå que existem outras maneiras de adicionar e subtrair façþes?

Jå vimos no exemplo 25 que precisamos conserva a fração de maior denominador, ou seja, devemos manter a fração

5 8

e “transformarâ€? a fração

3 4

numa fração

equivalente de denominador 8.

Ora, 2∙3 6 = 2∙4 8 EntĂŁo a subtração segue 6 5 1 − = 8 8 8

Observe que a subtração 5 6 1 − =− 8 8 8 nĂŁo pode ser feita no conjunto dos nĂşmeros naturais, mas pode ser feita em conjuntos que tenham nĂşmeros negativos. đ&#x;˜Š

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu por subtração de fraçþes com denominadores múltiplos.

42 3.8 ADIĂ‡ĂƒO E SUBTRAĂ‡ĂƒO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES PRIMOS ENTRE SI. Quando os denominadores das fraçþes forem primos

Hum, então para adicionar e subtrair fraçþes existem um mÊtodo que funciona para todos os casos de denominadores?

entre si ĂŠ interessante usar a definição formal de adição e subtração de fraçþes. •

Para a adição: đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Žâˆ™đ?‘‘+đ?‘?∙đ?‘? + = đ?‘? đ?‘‘ đ?‘?∙đ?‘‘

3 2

Exemplo 28. Faça adição das fraçþes e

1 5

Usando a definição, temos que 3 1 3 ∙ 5 + 2 ∙ 1 15 + 2 17 + = = = 2 5 2∙5 10 10

•

Para a subtração: đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Žâˆ™đ?‘‘−đ?‘?∙đ?‘? − = đ?‘? đ?‘‘ đ?‘?∙đ?‘‘

5 3

Exemplo 29. Faça a subtração fraçþes e

2 7

Como estamos trabalhando apenas com nĂşmeros positivos, sĂł podemos fazer a subtração como segue 5 2 5 ∙ 7 − 3 ∙ 2 35 − 6 29 − = = = 3 7 3∙7 21 21

Observação: o mĂŠtodo acima funciona para quaisquer duas fraçþes, independentemente dos seus denominadores. NĂŁo ĂŠ legal? đ&#x;˜Š

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu sobre a definição formal de adição e subtração de fraçþes.

43 Exercícios 1. Adição e Subtração com denominadores múltiplos um do outro. 2 6

4 3

a) + 5

b)

12

1

+

9 2

6

3 4

c) + d)

12 7

+

3 14

e)

12 7

−

3 14

7 2

f) −

3 4

5 1 − 12 6

g)

4 3

h) − 5 3

i) −

2 6

1 6

2. Adição e Subtração com denominadores primos entre si. a) +

1 6

3 7

b) +

7

1

9

4

c) +

5 8

1 6

d) +

7

5

4

6

7 9

1 4

e) − 9 2

f) −

1 3

g) −

7 4

3 5

1 3

1 8

h) − 2

3

5

9

i) −

44 3.9 MULTIPLICAĂ‡ĂƒO DE UM NĂšMERO E UMA FRAĂ‡ĂƒO Hum, entĂŁo o todo ĂŠ o mesmo que um inteiro?

Exemplo 30. Quanto ĂŠ duas vezes meio? 1 2∙ ? 2 Todo

Parte

1 2

Observação: cuidado para não confundir a forma de escreve uma fração mista com a multiplicação de um número por uma fração. Por exemplo,

1 2 2∙

1 1 1 = + =1 2 2 2

Duas vezes meio ĂŠ igual ao todo. VocĂŞ pode dizer tambĂŠm que duas vezes meio ĂŠ igual a um inteiro. Exemplo 31. Quanto ĂŠ trĂŞs vezes meio?

2∙

1 3

Ê a multiplicação de 2 pela 1 3

fração , enquanto que

1 3∙ ? 2

2

1 3

Todo

Ê a fração mista que significa dois inteiros e um terço. AlÊm, 1 7 disso a fração mista 2 vale e

Parte

logo mais entenderemos o motivo disso.

3

1 2

1 2

1 2

3∙

1 1 1 1 3 = + + = 2 2 2 2 2

Como se multiplica uma fração por um nĂşmero, por exemplo, quanto ĂŠ 1 ∙ 4? 2

isto Ê, três vezes meio Ê igual a três meios. A fração Ê, como Todo + Parte

3 tambĂŠm pode ser escrita na forma mista, 2 1 1 :que ĂŠ lida como um inteiro e meio. 2

1

3

1 2

isto

Pense a respeito. đ&#x;˜Š

45 Exemplo 32. Quanto Ê meio vezes quatro? Ah! Então multiplicar fração ou número por fração Ê o mesmo que fazer uma divisão?

1 ∙ 4? 2

Primeiramente, observe que 1 multiplicação 4 ∙ , terĂ­amos que

se

quisĂŠssemos

a

2

4∙

1 1 1 1 1 4 = + + + = =2 2 2 2 2 2 2 1 2

que significa 4 parcelas inteiras de . 1 2

Mas entĂŁo o que significa ∙ 4? Ora, significa a metade de uma parcela de 4, isto ĂŠ, 1 ∙ 4 = 2. 2 Veja mais na observação ao lado.

1

1

2

2

Certamente vocĂŞ notou que 4 ∙ = 2 como

∙ 4 = 2; isto

Ê, que multiplicar um número por uma fração ou uma fração por um número Ê equivalente a fazer uma divisão.

Descreva a baixo o que você entendeu sobre multiplicação de fração por número e número por fração. AlÊm do mais, serå que Ê possível expressar a multiplicação de fração por número como fizemos com a multiplicação de número por fração? Pense a respeito.

Veja: Observação:

1 4 ∙4= =2 2 2 4∙

Note o padrĂŁo

1 4 = =2 2 2

4 ∙ 4 = 4 + 4 + 4 + 4 = 16

NĂŁo ĂŠ incrĂ­vel! đ&#x;˜Š

2∙4 = 4+4= 8

Exemplo 33. Quanto ĂŠ trĂŞs meio vezes oito?

1∙4 = 4= 4 1 4 ∙4 = = 2 2 2

3 ∙ 8? 2 3

Primeiramente, note que trĂŞs meios significam trĂŞs vezes 2

a metade. EntĂŁo estamos querendo saber quando ĂŠ trĂŞs vezes a metade de uma parcela de oito, isto ĂŠ, 3 ∙ 8 = 4 + 4 + 4 = 12 2

Isto ĂŠ, o nĂşmero de parcelas estĂĄ sendo sempre a metade do resultado anterior. EntĂŁo parece atĂŠ natural pensarmos 1 que o nĂşmero ∙ 4 seja a 2

metade de uma parcela do nĂşmero 4.

ou 3 3 ∙ 8 24 ∙8= = = 12. 2 2 2 Percebeu o que aconteceu?

46 Exercícios 1. Dê os resultados das operações abaixo explique o significado dos seus procedimentos. 3 4

a) ∙ 12 4

b) ∙ 15 5

5 4

c) ∙ 6 3 4

d) ∙ 5 e) 3 ∙ f) 4 ∙

2 3

6 5

2. Reescrevas as frações abaixo como frações mistas. a)

7 4

b)

13 5

c)

9 2

d)

21 6

47 3.10 DIVISĂƒO DE UM NĂšMERO POR UMA FRAĂ‡ĂƒO Hum, entĂŁo um nĂşmero divido por uma fração ĂŠ na verdade uma multiplicação?

Exemplo 34. Quanto ĂŠ trĂŞs divido por meio? Todo

Partes

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

Observe que três inteiros em partes de meio são seis partes, isto Ê, 3á

Observação: A divisão 3 á tambÊm como

1 = 6. 2

pode

ser

1 2

escrita

Note que que hĂĄ trĂŞs inteiros e em cada inteiro hĂĄ duas partes de meio, isto ĂŠ,

3 1 2

3∙2=6

e assim qualquer divisão de número por fração.

Então 3á

1 = 3 ∙ 2 = 6. 2

Exemplo 35. Dividir dois por um quarto.

Você certamente percebeu que nos dois exemplos ao lado, o resultado da divisão de um número por uma fração deu um número natural. Serå que Ê sempre assim?

Todo

Partes

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

Dois inteiros divididos em partes de um quarto são oito partes, isto Ê, 2á

1 =8 4

VocĂŞ percebeu que para cada inteiro hĂĄ quatro partes de meio, isto ĂŠ, em dois inteiros cabem oito meios? Por isso 2 ∙ 4 = 8. đ&#x;˜Š

48 Exemplo 36. Qual Ê o resultado da divisão de três por dois terços? 2 3á ? 3

Ah, então dividir um número por uma fração Ê o mesmo que multiplicar este número pela fração invertida?

Todo

Partes

2 3

2 3

2 3

2 3

1 2

de

2 3

Olhando para a representação acima se pergunte: quantas vezes dois terços cabem em três inteiros?

VocĂŞ percebeu que dois terços cabem inteiramente quatro vezes e metade? É isso mesmo! Temos que 3á

2 1 =4 . 3 2 1 2

Note que a fração mista 4 tambÊm pode ser reescrita 9 2

como , então assim, tambÊm temos que 3á

2 9 = 3 2

isto Ê, 3á

2 3 3∙3 9 =3∙ = = 3 2 2 2

Agora, se pergunte o que significam cada a figura acima. đ&#x;˜Š

3 2

em relação

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu no exemplo ao lado.

49 Exercícios 1. Recorte duas tiras em pedaços, cada uma com 20 cm de comprimento e dois de largura. Corte cada tira em 5 partes iguais. Escreva 1/5 em cada parte. Use duas dessas partes para formar grupos iguais de forma que cada grupo tenha 2/5. a) Quantos grupos você formou? Você formou 5 grupos? 2 5

b) Explique que é 2 ÷ a partir do que você fez em 4 passos. 5 2

c) Calcule 2 ∙ . É o mesmo resultado que você obteve nos quatro passos? 2 5

5 2

d) Explique como a atividade acima mostrou que: 2 ÷ = 2 ∙ . 2. Repita o mesmo procedimento do exercício 1 dividindo as tiras em três partes iguais 2

3

3

2

para mostrar que: 2 ÷ = 2 ∙ . 3. Faça os exercícios abaixo a) 1 ÷

1

b) 7 ÷

5 6

6

4. Quantos terços cabem em quatro inteiros? 5. Quantos sétimos cabem em seis inteiros? 6. Um grupo de crianças dividiram quatro pizzas igualmente. Cada criança recebeu 2 da pizza. Quantas crianças há nesse grupo? 3

50 3.11 DIVISÃO DE FRAÇÃO POR UM NÚMERO Será que existem outra maneira de fazer a divisão de fração por número?

Exemplo 37. Quanto é meio divido por um? 1 ÷ 1? 2 Se pergunte, se um inteiro cabe em metade. Senão que porção dele cabem em meio? Todo

Partes

Você observou algum padrão nos exemplos ao lado? 1 2

1 2

1 2

do inteiro

Note pela modelo acima que um inteiro não cabe na metade, mas metade cabe. Portanto,

Observação: No exemplo 38, você também poderia ter feito, como abaixo:

1 1 ÷1 = 2 2 Exemplo 38. Quanto é meio divido por dois?

Antes

1 ÷ 2? 2 Do mesmo modo, do exemplo anterior se pergunte, quantas vezes dois inteiros cabem em meio.

1 2 Depois

Todo 1 4 Partes 1 2

1 2

1 4

Isto é, quando você divide as 1 partes de tamanho em duas do inteiro

Assim, pela representação, temos que 1 1 ÷2 = . 2 4 Você percebeu que se quatro metades formarem um inteiro então cada metade representará a quarta parte desse novo inteiro?

2

partes de mesmo tamanho, cada uma dessas partes terá 1 tamanho . 4

51 Exercícios 1. Faça as divisões abaixo 1 3

a) ÷ 6 = 4 5

b) ÷ 4 = 3 2

c) ÷ 9 = 4 3

d) ÷ 8 = 2. Construa um modelo geométrico como no exemplo da página anterior para cada um dos itens dos exercícios acima. 3. Explique o seu entendimento, isto é, o que você consegue transcrever do modelo para a respostas que você encontrou.

52 3.12 MULTIPLICAĂ‡ĂƒO DE FRAĂ‡ĂƒO POR FRAĂ‡ĂƒO Exemplo 39. Quanto ĂŠ meio multiplicado por trĂŞs quartos?

Hum, então a multiplicação de fração por fração Ê o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador?

1 3 ∙ ? 2 4 Todo

Partes

Como seria geomĂŠtrico

3 4 Jå vimos que multiplicar por uma fração Ê o mesmo que fazer uma divisão. Observe: Todo

Partes

1 2 3 4

Isto ĂŠ, 1 3 3 ∙ = 2 4 8 VocĂŞ conseguiu perceber o que foi feito? SenĂŁo, tente pensar um pouco, vocĂŞ consegue! đ&#x;˜Š

Observação: de modo geral, se definida como:

đ?‘Ž đ?‘?

e

đ?‘? đ?‘‘

são duas fraçþes, Ê

đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Žâˆ™đ?‘? ∙ = đ?‘? đ?‘‘ đ?‘?∙đ?‘‘ Veja o caso do exemplo acima: 1 3 1∙3 3 ∙ = = 2 4 2∙8 8 O modelo acima ĂŠ apenas uma ideia geometria. Tente vocĂŞ fazer alguma multiplicação modelando o problema. đ&#x;˜Š

multiplicação

um modelo para a 3 1 ∙ ? 4 2

SerĂĄ que

darĂĄ o mesmo resultado do exemplo ao lado? Tente fazer no espaço abaixo. đ&#x;˜Š

53 3.13 DIVISĂƒO DE FRAĂ‡ĂƒO POR FRAĂ‡ĂƒO Exemplo 40. Quanto ĂŠ a divisĂŁo de trĂŞs quartos por meio? 3 1 á ? 4 2 Se pergunte quantos meios cabem em trĂŞs quartos. Veja o modelo geomĂŠtrico abaixo:

pois,

Do mesmo modo, quando você quer fazer a divisão 3 1 á 4 2

Partes

3 4 Agora, observe que a metade cabe inteiramente uma vez e mais metade de si em trĂŞs quartos.

Partes

1 2

1 2

de

você estå interessado em encontrar uma fração que 1 3 multiplicada por resulte em . 2

∙

4

1 3 = 2 4

No entanto vocĂŞ jĂĄ sabe que multiplicação de fração por fração ĂŠ numerador por numerador e denominador por denominador. EntĂŁo basta vocĂŞ se perguntar qual ĂŠ o nĂşmero que multiplicado por 1 resulta em 3 e por 2 resulta em 4. Neste caso ĂŠ o 3, pois 3 ∙ 1 = 3 e o 2, pois 2 ∙ 2 = 4. Assim,

Todo

1 2

3 1 3∙1 3 ∙ = = . 2 2 2∙2 4

Partes

No entanto, nem sempre Ê fåcil encontrar essa fração. PorÊm usando a definição formal de divisão de fraçþes abaixo isso sempre serå possível.

3 4 Isto Ê, 3 1 1 3 á =1 = . 4 2 2 2 3 . 4

8 á 2 = 4.

4 ∙ 2 = 8.

Todo

Note que

Ora, quando vocĂŞ, por exemplo, divide 8 por 2 estĂĄ observando quantas vezes o 2 cabe em 8, o que por sua vez ĂŠ 4 vezes, isto:

3 2

Ê fração que multiplicada por

O que isso quer dizer? Veja ao lado uma resposta para isso.

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘?

đ?‘‘

De modo geral, se e sĂŁo duas 1 2

resultam em

fraçþes temos que

đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ž đ?‘‘ đ?‘Žâˆ™đ?‘‘ á = ∙ = . đ?‘? đ?‘‘ đ?‘? đ?‘? đ?‘?∙đ?‘? Assim, o exemplo ao lado seria: 3 1 3 2 3∙2 6 3 á = ∙ = = = . 4 2 4 1 4∙1 4 2

54 Exercícios 1. Faça as multiplicações abaixo usando a definição formal de multiplicação de frações: 2 3

a) ∙ = 5 2 3 1

b) ∙ = 4 5

8 1

c) ∙ = 3 5 2

d) ∙

6

4 12

=

2. Faça as divisões abaixo usando a definição formal de divisão de frações: 1 2

4 5

3

5

5

6

6 3

2 4

5 3

1 3

a) ÷ = b) ÷ = c) ÷ = d) ÷ = 2 5

3 4

3. Divida e multiplique as frações e na ordem em que você quiser. Faça um modelo geométrico para e explique a partir dele o seu entendimento da divisão e multiplicação dessas duas frações.

55 3.14 PROBLEMAS ENVOLVENDO FRAÇÕES 1. Maria tinha três quartos de sucos de laranja em uma jarra. Ela estava com muita sede, então bebeu a metade da quantidade total que cabia na jarra. Quanto suco ainda sobrou para ela?

Digamos que as barras em amarelo representam o suco de laranja contido na jarra. 3 4

1

2

2

4

Note que é equivalente a . Assim, temos que:

3 1 − 4 2 é o mesmo que 3 2 1 − = 4 4 4

Tinha

Portanto, ainda sobrou um quarto de suco para ela. Bebeu

1 2 2. Carla Comprou camarão.

2 5

de 1 kg de camarão. Larissa comprou

1 10

a menos do que 1 kg

a) Encontre o “peso” do camarão comprado por Larissa. b) Encontre o “peso” total do camarão comprado por elas.

Digamos que a barra inteira represente 1 kg de camarão. Todo

Note que 1 é equivalente a

10

. Assim:

10

10 1 9 − = 10 10 10 Portanto,

2 5

a)

Larissa

comprou

quantidade. 2 5

Como é equivalente a

Carla

4 , 10

9 10

dessa

temos que:

4 9 13 + = 10 10 10 Larissa

Portanto,

1 10

b) Elas compraram juntas total do camarão.

13 10

do peso

56 3. Luana e Marcos resolveram comprar uma pizza. Luana pagou um

2 5

da pizza e

Marcos pagou R$ 15,00. Quanto Luana pagou e qual foi o preço total da pizza? Uma solução: Digamos que a barra inteira representa a pizza

Perceba que Luana pagou 2 partes e Marcos pagou 3 partes da pizza. Assim, 3 partes = đ?‘…$ 15,00

Pizza

2 partes = đ?‘…$ 5,00 2 5

2 partes = đ?‘…$ 10,00 đ?‘…$ 15,00

Portanto, Luana pagou R$ 10,00 pelos

2 5

da pizza, que por sua vez custou ao todo R$ 25,00.

Luana

Marcos

4. Um confeiteiro deseja fazer um terço da receita original de um bolo. Na receita original ele colocaria trĂŞs quartos de xĂ­cara de manteiga. Quantas xĂ­caras de manteiga ele usarĂĄ para a terça parte da receita do bolo? 5. Tamara leva consigo todos os dias uma garrafa de suco contendo dois copos e meio de suco. Na sexta-feira ela bebeu apenas a terça parte desse suco. Quantos copos de suco ela bebeu? 6. Tamara saiu mais cedo na sexta-feira porque fez dois testes de matemĂĄtica. Um foi sobre fraçþes decimais que tinha quinze perguntas, das quais ela acertou quatro quintos. No outro, sobre fraçþes, que tinha doze perguntas ela acertou cinco sextos. Em qual dos dois testes ela teve melhor aproveitamento? 7. Um quarto de um bolo “pesaâ€? meio quilo. Qual ĂŠ o peso de meio bolo em quilogramas? 8. Um contĂŞiner ĂŠ cheio com meio litro de ĂĄgua. Se trĂŞs oitavos dessa vaza, quanto de ĂĄgua, em litros, ainda resta no contĂŞiner? 9. Alberto e Beto estĂŁo comendo uma pizza. Se Alberto jĂĄ comeu um oitavo e Beto, trĂŞs oitavos, qual ĂŠ a fração que sobrou desta pizza? 10. A rodovia que liga duas cidades estĂĄ sendo asfaltada. Se a terça parte desta rodovia jĂĄ estĂĄ pronto e ainda faltam vinte quilĂ´metros, qual ĂŠ o tamanho total desta rodovia?

57

11. Nelson e Nilson herdaram um terreno de modo que

3 5

da área do terreno ficou

com Nelson e os 180 m² restantes ficaram com Nilson. Determine a área total do terreno. 12. Luísa tomou

1 5

de um refrigerante de 1 500 mililitros. Seu irmão, tomou

havia sobrado. Quanto de refrigerante ainda sobrou?

2 3

do que

2 3

13. Ângela tem uma caneca com capacidade para e um litro de água. Que fração 1 2

dessa caneca ele conseguirá encher com litros de água? 14. Maria saiu para trabalhar e deixou uma quantia em dinheiro para seus três filhos com o seguinte recado: dividam igualmente. Assim, o primeiro filho, chegou, pegou a sua parte e saiu. O segundo filho, pensando que era o primeiro pegou sua parte e saiu. O terceiro filho pensando que realmente era o último pegou os R$ 20,00 que restavam e saiu. Quanto Maria deixou ao sair para trabalhar? 15. Julia e Carol foram fazer uma viagem de carro entre duas cidades. Julia dirigiu do percurso e Carol

1 3

3 4

quando elas param para almoçar. Quando elas terminaram o

almoço Julia olho no mapa e notou que ainda faltavam 150 km para elas terminarem a viagem. Quantos quilômetros têm todo o percurso? 16. Jack, Jill e Bill carregavam, cada um, um balde de 48 litros cheio de água de cima de um morro. Quando chegaram ao pé do morro, o balde de Jack, Jill e Bill estava 3 2 1 com , e da capacidade, respectivamente. Quanta água eles derramaram ao 4 3

6

descer a colina? 17. A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento de partida e no momento de chegada de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina João gastou nesta viagem?

58

4. FRAÇÕES DECIMAIS OU NĂšMEROS DECIMAIS Fraçþes decimais ou nĂşmeros decimais ĂŠ outra maneira de representar fraçþes, em particular as fraçþes mistas.

Ah, então fraçþes decimais ou números decimais são números com vírgula?

Veja a representação

0

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 10

1

1 Um dÊcimo 10 Vaja que o número 1 pode ser representado pela fração 10 . 10

O nĂşmero 1 ĂŠ comumente chamado de unidade

inteira. Do mesmo modo, chamaremos de unidade decimal ao nĂşmero 0,1 (um dĂŠcimo), isto ĂŠ,

1 10

= 0,1.

0,1

Note que no nĂşmero 0,1 o nĂşmero 0 antes da vĂ­rgula representa a parte inteira e o nĂşmero depois da vĂ­rgula representa a parte decimal, que neste caso ĂŠ 1 dĂŠcimo.

O nĂşmero 1 tambĂŠm pode ser escrito como um nĂşmero decimal, isto ĂŠ, 1 = 1,0. Note que 1,0 significa uma parte inteira e nenhum dĂŠcimo. đ&#x;˜Š

Assim como existem os dÊcimos existem os centÊsimos, por exemplo, o número 1 tambÊm pode ser escrito como 1,00, onde o segundo zero após a vírgula significa os centÊsimos, que neste caso são zero centÊsimos. Um centÊsimo Ê a fração Um milÊsimo Ê a fração

Observação: Veja que não importa quantos zeros você coloca a direita de um número após a vírgula que este número continuarå sendo o mesmo número, mudando apenas a maneira como este foi escrito, por exemplo:

1 100

1 1000

e tambĂŠm o nĂşmero 0,01.

e tambĂŠm o nĂşmero 0,001.

VocĂŞ notou que um milĂŠsimo (0,001) ĂŠ menor do que um centĂŠsimo (0,01), que por sua vez ĂŠ menor do que um dĂŠcimo (0,1)?

0,10 0,100 0,1000 SĂŁo todos o mesmo nĂşmero, apenas escrito de forma diferente.

O nĂşmero 0,01 ĂŠ a unidade de centĂŠsimos e o nĂşmero 0,001 ĂŠ a unidade de milĂŠsimos, mas ambos sĂŁo chamados de nĂşmeros decimais. Curioso, nĂŁo? đ&#x;˜Š

59 4.1 ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS Exemplo 41. Quanto é 0,1 + 0,1?

Hum, então dez centavos é a decima parte de um real, ou seja, um décimo?

Antes de responder, você lembra que 1 + 1 = 2? Isto é, uma unidade mais uma unidade são duas unidades. Então, de modo análogo, temos que: 0,1 + 0,1 = 0,2 ou seja, uma unidade de décimo mais uma unidade de décimo são duas unidades de décimo. Não é legal?! 😊 Note então que 0,1 + 0,2 = 0,3

Observação: Como dez centavos é um décimo de um real, então um centavo é centésima parte de um real, pois com cem centavos se forma um real.

0,2 + 0,3 = 0,5 Quanto seria então, por exemplo, 0,1 + 0,9? Seria 0,10? Um centavo é representado pela unidade de centésimos que é o número decimal:

Isto é, 0,1 + 0,9 = 0,10?

0,01

Bem, a resposta é não, não é 0,10, pois como vimos na página anterior 0,1 = 0,10, lembra? Ou seja, 0,10 + 0,90 não é igual a 0,10. A resposta correta é 0,1 + 0,9 = 1,0. Você consegue compreender? Não? Então pense que você tem dez moedas de dez centavos e cada dez centavos vale 0,1, ou melhor 0,10.

Com quantos centésimos se forma um décimo? Ora, pense sobre os centavos. Com quantas centavos se forma dez centavos? Dez! Não é? 😊 Isto é, 0,01 + 0,01 + ⋯ + 0,01 = 0,1 Dez vezes Sempre agrupando de dez em dez para forma unidades maiores! 😊

Do mesmo modo, 0,10 + 0,10 + ⋯ + 0,10 = 1,0 Dez vezes Um real é justamente a unidade de real!

Está convencido agora de que 0,1 + 0,9 = 1,0 e não 0,10?

60 Exemplo 42. Quanto ĂŠ dois reais e cinquenta centavos mais um real e cinquenta e cinco centavos? 2,50 + 1,55?

Pela representação acima, o resultado Ê quatro reais e cinco centavos (4,05). Isto Ê, +

1 2,50 1,55 4,05

Essa adição foi feita do mesmo modo que se faz a adição usual, começando com as unidades menores indo para as unidades maiores. Neste caso, dos milĂŠsimos para os dĂŠcimos atĂŠ os inteiros. đ&#x;˜Š

Para entender melhor a posição dos nĂşmeros decimais, veja a tabela abaixo e a posição ocupada por cada algarismo do nĂşmero decimal 3,125. Unidade DĂŠcimos CentĂŠsimos đ?&#x;‘ 1 2

MilĂŠsimos 5

Isto ĂŠ, Ă direita das unidades que ĂŠ parte inteira do nĂşmero acima ficam sempre unidades menores e, quanto mais Ă direita menor ĂŠ o valor posicional ocupado pelo nĂşmero. Assim, por exemplo, na tabela acima, o nĂşmero 5 tem valor posicional menor do que o 2, do que o nĂşmero 1 e do que o nĂşmero 3.

Hum, entĂŁo quanto mais a direita depois da virgula menor ĂŠ o valor do nĂşmero?

Use o espaço abaixo para dizer o que você estå entendendo sobre os números decimais. Sempre anote as suas dúvidas.

61 Exemplo 43. Marcos tinha đ?‘…$ 3,05 e gastou đ?‘…$ 0,80 com doces. Quanto sobrou para Marcos?

Basta fazer a subtração, como abaixo:

Hum, entĂŁo adicionar e subtrair nĂşmeros decimas ĂŠ como fazermos com os nĂşmeros inteiros?

10

−

3,05 0,80

−

2,05 0,80 2,25

É como vocĂŞ jĂĄ estĂĄ acostumado, isto ĂŠ, quando em uma determina posição nĂŁo for possĂ­vel subtrair vocĂŞ “pede emprestadoâ€? da unidade Ă esquerda afim de fazer a subtração. đ&#x;˜Š

VocĂŞ tambĂŠm poderia ter feito a subtração acima como segue: 3,05 = 3,00 + 0,05 Como 3,00 − 0,80 = 2,20 + 0,80 − 0,80 = 2,20 EntĂŁo 2,20 + 0,05 = 2,25

VocĂŞ consegue pensar noutra maneira? Tente! đ&#x;˜Š

Adicionar ou subtrair dois números decimais segue os mesmos mÊtodos de adição e subtração de números inteiros, mas não esqueça de igualar as casas decimais completando com zeros os números que aparecem com menos dígitos e feita a conta manter a vírgula sempre após a unidade.

Use o espaço abaixo para escrever as suas dúvidas sobre a subtração de números decimais.

62 Exemplo 44. Qual é o produto de 0,6 por 1,35?

Primeiramente, veja que 0,6 te apenas uma casa decimal, enquanto que 1,35 tem duas, assim, vamos colocar um zero depois do seis em 0,6 para igualar as casas decimais, isto é, 0,6 = 0,60. Daí,

Hum, então o tanto de números que vão depois da vírgula na multiplicação é quantidade dos números depois da vírgula do primeiro mais as do segundo?

23 1,35

×

0,60 000 810 000 08100

Veja que a multiplicação acima foi feita como normalmente fazemos. Agora conte quatro números da direita para a esquerda e depois coloque a virgula. Daí o resultado ficará como abaixo. 23 1,35

×

0,60 000 810 000 0,8100

isto é, 1,35 ∙ 0,60 = 0,8100. Se você quiser pode desconsiderar os dois zeros depois do número 1, assim, tem-se 0,81.

Use o espaço abaixo para escreve as suas dúvidas ou o que você entendeu.

63 Exemplo 45. Bela usou pano de 0,6 m para para fazer 3 lenços semelhantes. Quantos metros ela usou para cada pano?

Hum, entĂŁo a divisĂŁo de nĂşmeros decimais segue os mesmos princĂ­pios da divisĂŁo comum?

Queremos saber quanto vale 0,6 á 3. Bem, ao invÊs de se perguntar quantas vezes 3 cabe em 0,6 se pergunte qual Ê o tamanho de cada parte de 0,6 divido em 3 parte iguais. Veja 0

0,6

0,2

1

dois dĂŠcimos

Pelo modelo acima percebe-se que cada uma das três partes nas quais 0,6 foi divido tem tamanho 0,2. Isto Ê, 0,6 á 3 = 0,2 Portanto, cada lenço tem 0,2 m.

Claro que tambĂŠm daria se vocĂŞ se perguntasse quantas vezes 3 cabe em 0,6, mas seria mais complicado de ver a resposta.

Se vocĂŞ tivesse se perguntado quantas vezes 3 cabe em 0,6, bastaria vocĂŞ lembrar, por exemplo, que 3 inteiros equivalem a 30 dĂŠcimos e de 30 dĂŠcimos, obviamente que apenas 6 dĂŠcimos cabem em 0,6 e como 6 partes de 30 ĂŠ o mesmo que: 6 2 = = 0,2 30 10 VocĂŞ seria capaz de fazer um desenho para esse segundo pensamento? Tente, isso pode ser bastante enriquecedor. đ&#x;˜Š

Use o espaço abaixo para anotar dúvidas ou descrever o que você entendeu.

64 Exemplo 46. Tamara dividiu 3 litros de suco de laranja entres seus amigos. Cada amigo bebeu 0,6 litros de suco. Com quantos amigos Tamara dividiu o suco?

Imagine que o modelo ao lado representa exatamente os 3 litros de suco. Assim, vocĂŞ percebe que esse suco foi divido em partes de tamanho 0,6, em um total de 5 partes iguais. Isto ĂŠ,

Hum, então a divisão de número de números decimais Ê possível ser feita como divisão de fraçþes?

3

3 á 0,6 = 5 Portanto, concluímos que Tamara dividiu o suco de laranja com um total de 5 amigos.

VocĂŞ lembra que 0,6 = vocĂŞ lembra! đ&#x;˜Š

6

? Certamente que

10

2

Note que você poderia ter feito a divisão acima do seguinte modo: 3á

6 . 10

E isso jå foi aprendido na divisão de número por fração. Assim teríamos que 3á

6 3 6 3 10 30 = á = ∙ = = 5. 10 1 10 1 6 6

Isto Ê, då para fazer a divisão de número decimal como fração sempre que você a representação deles.

1

0,6

0

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu ou sobre suas dúvidas.

65 Exemplo 47. Quanto vale 0,63 ÷ 0,3?

Vamos fazer usando o algoritmo usado comumente para fazer divisões, isto é:

0,63

Hum, então a divisão de número de números decimais também é feita como a divisão usual igualando as casas decimais?

0,3

Primeiramente, iguale as casas decimais, como abaixo 0,63

0,30

Agora, retire as virgulas dos números para fazer a divisão como se fossem números inteiro 063

030

Como 063 é 63 e 030 é 30, fazemos −

63

30

60

2

3 Normalmente a divisão pára no resto. No entanto, 3 é igual a 30 décimos. Assim, coloque 30 no lugar do 3 e uma vírgula depois do 2. Essa vírgula é pelo motivo de estamos dividindo nas unidades decimais. Isto é, −

63

30

60

2,

30 Continue a divisão como é feita normalmente, ou seja

−

−

63

30

60

2,1

30

30 0

Portanto, o resultado da divisão de 0,63 por 0,3 é mesma de 0,63 por 0,30 que é a mesma de 63 por 30, isto é: 0,63 ÷ 0,3 = 2,1

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu ou sobre alguma dúvida.

66 Aplicações 1. Kelly comprou 0,5 litro de leite e 0,25 litro de suco. Gloria comprou 0,65 litro de leite e 0,8 litro de suco. a) Quantos litros de bebida as duas garotas compraram ao todo? b) Quantos litros a mais de bebidas Glória comprou do que Kelly? 2. Em uma determinada competição, os participantes tiveram que nadar uma distância de 800 m, percorrer uma distância de 5,6 km e pedalar uma distância de 12,3 km. Qual foi a distância total que um participante teve que cobrir? Dê sua resposta em km. 3. Tom tem 1,61 m de altura. Junior é 45 cm mais baixo do que Tom. Qual é a altura de Junior? 4. Rui e Barbosa foram para uma fazenda de morangos. Rui pegou 1,25 kg de morangos. Barbosa colheu duas vezes mais morangos do que Ryan. a) Encontre a massa dos morangos que Barbosa colheu. b) Encontre a massa dos morangos que os dois garotos colheram juntos. 5. Qual é a área de um retângulo que tem lados de medidas 6 e 3,5 cm? 6. A massa de 6 pesos de papel idênticos é de 2,16 kg. Encontre a massa de 8 desses pesos de papel. Arredonde sua resposta para o quilograma mais próximo. 7. Ângela pagou R$ 22,45 por uma garrafa de suco de laranja e 4 pacotes de mistura de bolo. A garrafa de suco de laranja custa R$ 2,25. Quanto custou cada pacote de mistura de bolo? 8. A Loja A, a Loja B e a Loja C vendem rosas. A Loja A vende uma rosa por R$ 2,65. A loja B vende por 20 centavos a mais do que a loja A e 35 centavos a menos que a loja C. Se Kate comprou 7 rosas da loja C, quanto ela gastou? 9. Um fruteiro tinha 300 maçãs. Depois de guardar 15 maçãs para si mesmo, ele empacotou as maçãs restantes em sacos de 5. Se ele vendeu cada saco a R$ 3,25, quanto dinheiro ele ganhou?

67

5. PORCENTAGENS Por cento significa uma parte de cem, simbolizado por %.

Se toda porcentagem é uma fração então é também um número decimal?

Veja a figura baixo.

Observação: Porcentagens podem ser representadas tanto por frações como por números decimais. Assim, por exemplo, Há 25 quadrados preenchidos na cor rosa num total de 100. Dizemos assim que a parte em rosa é 25% (vinte e cinco por cento) dos quadrados. Note também que 25% =

25 1 = . 100 4

Agora na próxima figura temos que todos os quadrados estão preenchidos de rosa, isto é, 100% (cem por cento) dos quadrados estão preenchidos.

Note que 100% =

100 = 1. 100

50% =

50 = 0,5 100

Escreva abaixo o que você entendeu por porcentagem ou alguma dúvida sobre isso.

68 3 5

Exemplo 48. Como escrever como uma porcentagem? Maneira 1: 3 20 ∙ 3 60 60 = = = ∙ 100% = 60% 5 20 ∙ 5 100 100

Hum, então trabalhar com fração, números decimal e porcentagem Ê do mesmo jeito?

Transforme o denominador em 100, o que foi feito multiplicando 5 por 20. Claro que nem sempre ĂŠ fĂĄcil fazer isso. VocĂŞ consegue dizer o motivo? đ&#x;˜Š

Maneira 2: Divida a fração, como abaixo. 3 = 3 á 5 = 0,6 5 Multiplique o decimal por 100%. 0,6 ∙ 100% = 60% Note que multiplicar qualquer nĂşmero decimal por 100 ĂŠ o mesmo que mover a vĂ­rgula duas casas para a direita.

Maneira 3: Usaremos o modelo de barras para nos ajudar. 100%

5 partes Pelo modelo acima, temos que 5 partes = 100% 1 parte =

100% 5

= 20%

3 partes = 3 ∙ 20% = 60%

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu ou alguma dúvida.

69 Exemplo 49. Como porcentagem?

escrever

0,12

como

uma

Todo nĂşmero decimal que tem duas casas apĂłs a vĂ­rgula ĂŠ um nĂşmero que foi dividido por 100. Assim,

SerĂĄ que multiplicar um nĂşmero decimal por 1000 ĂŠ andar com a vĂ­rgula trĂŞs casas para a direita?

12 = 0,12. 100 Portanto, 0,12 =

12 ∙ 100% = 12%. 100

VocĂŞ tambĂŠm poderia ter feito como 0,12 ∙ 100% = 12%, pois multiplicar um nĂşmero por 100 ĂŠ o mesmo que andar com a vĂ­rgula duas casas para a direita.

Observação: sempre que vocĂŞ multiplicar um nĂşmero decimal por 10 basta andar com a vĂ­rgula uma casa para a direita, por exemplo: 12,50 ∙ 10 = 125,0

Veja algumas representaçþes de fraçþes em decimais e como ficam essas representaçþes em porcentagem: 1 = 0,5 = 0,5 ∙ 100% = 50% 2

JĂĄ por 100 anda-se duas casas, como foi visto ao lado. Assim, ĂŠ do mesmo modo para 1000. Veja: 1,2567 ∙ 1000 = 1256,7

1 ≈ 0,333 ≈ 0,333 ∙ 100% ≈ 33,3% 3

Percebeu o que aconteceu?

1 = 0,25 = 0,25 ∙ 100% = 25% 4

Tente vocĂŞ alguns exemplos. đ&#x;˜Š

1 = 0,20 = 0,20 ∙ 100% = 20% 5 1 ≈ 0,166 ≈ 0,166 ∙ 100% = 16,6% 6 1 ≈ 0,143 ≈ 0,143 ∙ 100% ≈ 14,3% 7 1 = 0,125 = 0,125 ∙ 100% = 12,5% 8 1 ≈ 0,111 ≈ 0,111 ∙ 100% ≈ 11,1% 9 Veja que acima, o sĂ­mbolo ≈ significa aproximadamente, isto ĂŠ, ĂŠ uma aproximação do valor real do nĂşmero em questĂŁo.

70 Exemplo 50. Cem pessoas visitaram um zoolĂłgico no Ăşltimo sĂĄbado. Vinte e cinco delas eram homens e o restante eram mulheres. Qual ĂŠ a porcentagem das pessoas que visitaram o zoolĂłgico eram mulheres?

Hum, entĂŁo nĂŁo ĂŠ necessĂĄrio usar regra de trĂŞs para resolver problemas de porcentagem?

Solução NĂşmero de mulheres = 100 − 25 = 75 75 de 100

75 100

∙ 100% = 75%

Portanto, 75% das pessoas que visitaram o zoolĂłgico eram mulheres. Exemplo 51. Jane tinha đ?‘…$ 1 000,00. Ele gastou 40% do dinheiro dela. Quanto ela gastou?

Solução Maneira 1: 40% do dinheiro dela =

40 100

∙ 1000 = 400

Observação: A regra de trĂŞs ĂŠ um artifĂ­cio muito usado para resolver problemas de proporcionalidade, em particular problemas de porcentagem. No entanto, nĂŁo ĂŠ necessĂĄrio usar deste artifĂ­cio para resolver problemas de porcentagem. đ&#x;˜Š

Assim, ela gastou đ?‘…$ 400,00.

Maneira 2: đ?‘…$ 1 000,00

Gastou 10 partes = đ?‘…$ 1 000,00 1 parte =

đ?‘…$ 1 000,00 10

= đ?‘…$ 100,00

4 partes = đ?‘…$ 4 ∙ 100,00 = đ?‘…$ 400,00 Portanto, ela gastou đ?‘…$ 400,00.

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu ou sobre alguma dúvida.

71 Exemplo 52. Davi tem 1 200 selos. Ele deu 15% dos seus selos para seu vizinho e 10% para seu irmão mais novo. a) Qual é o percentual de selos que sobrou para ele? b) Quantos selos sobrou para Davi?

Hum, então as palavras porcentagem e percentagem significam a mesma coisa?

Solução item a) 100%

15%

10%

Percentual restante

Temos que 100% − 15% − 10% = 75% Portanto, o percentual restante é 75%.

Solução item b) Como sobrou 75% dos selos para ele, temos que: 75% de 1 200 =

75 100

∙ 1200 = 900.

Portanto, ainda sobrou 900 selos para Davi.

Note que você também poderia ter feito como abaixo:

100% = 1200 selos 1% =

1200 100

= 12 selos

75% = 75 ∙ 12 = 900 selos

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu ou sobre alguma dúvida.

72 Exemplo 53. Um par de sapatos costa đ?‘…$ 100,00 e numa compra Ă vista ĂŠ dado um desconto de 10%. Quanto se paga pelo par de sapatos numa compra Ă vista? Passo 1: Calculando o desconto. 10% de đ?‘…$ 100,00 =

10 100

Hum, entĂŁo prejuĂ­zo ĂŠ quando se perde dinheiro e lucro ĂŠ quando se ganha?!

∙ đ?‘…$ 100,00 = đ?‘…$ 10,00

Passo 2: Calcular o preço a ser pago. đ?‘…$ 100,00 − đ?‘…$ 10,00 = đ?‘…$ 90,00 Portanto, đ?‘…$ 90,00 ĂŠ o valor a ser pago Ă vista apĂłs o desconto de 10%.

Exemplo 54. Digamos que vocĂŞ comprou uma bola de futebol por đ?‘…$ 50,00 e vendeu para um amigo por đ?‘…$ 80,00. VocĂŞ ganhou ou perdeu dinheiro com essa situação? Ora, đ?‘…$ 50,00 foi o preço de custo da bola, que ĂŠ o preço pelo qual a bola foi comprada. Enquanto que đ?‘…$ 80,00 foi o preço de venda. Como o preço de venda ĂŠ maior do que o preço de custo vocĂŞ obteve um lucro de đ?‘…$ 80,00 − đ?‘…$ 50,00 = đ?‘…$ 30,00. Se fosse o preço de custo maior do que o preço de venda entĂŁo vocĂŞ teria tido um prejuĂ­zo de đ?‘…$ 30,00.

Exemplo 55. Uma caneta normalmente ĂŠ vendida por đ?‘…$ 20,00. ApĂłs um certo desconto, a caneta foi vendida por đ?‘…$ 12,00. Qual ĂŠ a percentagem de desconto dado? Passo 1: Calcular o valor do desconto. Desconto = Preço original − Preço de venda đ?‘…$ 20,00 − đ?‘…$ 12,00 = đ?‘…$ 8,00 Passo 2: Calcular percentagem de desconto. Percentagem de Desconto =

đ?‘‘đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’çđ?‘œ đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘™

∙ 100%

Portanto, Percentagem de Desconto =

8 ∙ 20

100% = 40%.

Escreva abaixo o que vocĂŞ entendeu ou sobre alguma dĂşvida.

73 Exemplo 56. Durante o Natal, uma loja de VĂ­deo games estĂĄ dando um desconto de 20% para cada jogo comprado. Um cliente comprou um jogo de futebol por đ?‘…$ 200,00. Qual ĂŠ o preço original do jogo antes do desconto? Passo 1: Calcular o percentual do preço de venda. Como o percentual do preço original ĂŠ 100% e o desconto ĂŠ de 20%, entĂŁo: 100% − 20% = 80% Isso significa que o preço de compra ĂŠ 80% do seu valor original. Passo 2: Calcular o preço original. Como 80% = o preço de compra, temos que 80% = đ?‘…$ 200,00 1% =

đ?‘…$ 200,00 80

= đ?‘…$ 30,00

100% = 100% ∙ đ?‘…$ 30,00 = đ?‘…$ 300,00 Portanto, o preço original era đ?‘…$ 300,00. Tente outra maneira de resolver. đ&#x;˜Š Exemplo 57. Marcos e Luan dividiram as jujubas que estavam em um pote. Um terço das jujubas de Marcos ĂŠ igual a um quinto das jujubas de Luan. Qual ĂŠ a porcentagem das jujubas de Luan? Siga o modelo baixo:

1 3 Marcos

100% das jujubas Luan

1 5 Pelo modelo de barras acima, vemos que as jujubas estĂŁo divididas em 8 partes. Assim 1 parte = 12,5%. Como Luan tem 3 dessas partes, temos que Luan tem 3 ∙ 12,5% = 37,5% das jujubas.

Use o espaço abaixo para escrever sobre suas dúvidas ou sobre o que você entendeu.

74 Exemplo 58. O custo de um bolo simples ĂŠ 80% do preço de um bolo de milho. Se o bolo de milho ĂŠ đ?‘…$ 0,30 a mais do que o bolo simples, qual ĂŠ custo total dos dois bolos?

Serå que as porcentagens tambÊm podem ser operadas como fraçþes?

Bolo Simples

Bolo de Milho

80% đ?‘…$0,30 Observação: Como toda porcentagem ĂŠ tambĂŠm uma fração, entĂŁo ĂŠ possĂ­vel operĂĄ-las da mesma maneira.

Assim 20% = đ?‘…$ 0,30 1% =

đ?‘…$ 0,30 = 0,015 20

80% = 80 ∙ 0,015 = 1,20 100% = 1,50 O que nos dĂĄ que o bolo simples custa đ?‘…$ 1,20 e o bolo de milho đ?‘…$ 1,50. Portanto, os dois bolos juntos custam đ?‘…$ 2,70.

Exemplo 59. Julia comprou uma camiseta com um desconto de 12% e ainda recebeu um desconto adicional de đ?‘…$ 7,00. O custo final da camisa foi de đ?‘…$ 15,00. Qual ĂŠ o preço original da camisa? Custo final

Desconto Adicional

Desconto

đ?‘…$ 15,00

đ?‘…$ 7,00

12%

Camisa

Note que 88% = đ?‘…$ 22,00 1% = 100% = 100 ∙

đ?‘…$ 20,00 88

đ?‘…$ 20,00 = đ?‘…$ 25,00 88

Portanto, o preço original foi de đ?‘…$ 25,00.

HĂĄ ainda uma variedade de exemplos que podem ser explorados, assim alguns exercĂ­cios que virĂŁo logo a seguir ficam como desafios.

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu ou sobre alguma dúvida.

75 Aplicação 1. Eric e Daniel compartilham uma quantidade de doces. 1/3 da parte de Eric é igual a 1/5 da parte de Daniel. Qual é a porcentagem da parte de Daniel nos doces? 2. Num certo dia, 48% dos que fizeram um curso de primeiros socorros eram do sexo feminino. Havia 8 homens a mais do que mulheres. Encontre o número total de pessoas que fizeram o curso de primeiros socorros naquele dia. 3. O custo de uma blusa é de 70% do custo da saia. A saia custa 6 reais a mais do que uma blusa. Qual é o custo da saia? 4. Ben tem 40% menos dinheiro do que Jeremias. Marcos tem 40% mais dinheiro do que Jeremias. Se Jeremias tem R$ 36 a mais do que Ben, quanto dinheiro tem a Marcos? 5. Entre os 920 participantes de uma maratona, 35 a mais de 55% do número total de participantes são do sexo masculino, quantos participantes são do sexo feminino? 6. Daniel comprou uma mesa e uma cadeira por R$ 105. Sabendo que 10% do custo da tabela é igual a 25% do custo da cadeira, encontre o custo da tabela. 7. Num certo dia, havia 4/5 tantos homens como mulheres em um parque. O número de crianças era 192 mais do que as mulheres. Se o número de mulheres era de 30% do número total de pessoas no parque, quantas pessoas estavam no parque naquele dia? 8. Depois que Tom deu 38% de sua coleção de chaves para Maria e 27% para Carol, ele ficou com 105 chaves restantes. Quantas chaves ele tinha no início? 9. Na carteira da Alvin, 20% das notas são notas de dez dólares, 45% são notas de dois dólares e o restante são notas de cinco dólares. Ele tem $ 350 em notas de cinco dólares. Encontre o valor total das notas em sua carteira. 10. A mãe de Valério deu-lhe algum dinheiro. Ele comprou um par de sapatos por R$ 90 e um relógio que custava 80% a mais do que o custo do par de sapatos. Se 37% do dinheiro foi, quanto lhe deu a mãe? 11. Charles deu 1/5 de suas conchas a Ane e 3/4 delas para Eunice. Qual a porcentagem de suas conchas foi dada? 12. Dario deu 2/3 de suas borrachas de bandeira para Milton e 1/4 das borrachas de bandeira restantes para Joseph. Encontre a porcentagem das borrachas da bandeira que restaram. 13. Felícia dá 1/4 de seus ímãs de botão para Paula. Ela então dá 3/5 dos ímãs restantes para Mari e o resto para Jasmine. Qual porcentagem de seus ímãs de botão ela deu a Jasmine? 14. Um florista tem flores de 4 cores diferentes. 15% deles são laranja, 25% são amarelos, 35% são rosa e o resto é branco. Ela tem 150 talos de flores brancas. Depois de vender todas as suas flores rosas, quantos talos de flores restaram?

76 15. Patrick tem 32% mais dinheiro do que Saulo. Se Patrick der a Saulo R$ 24,00 eles terão a mesma quantia de dinheiro. Quanto tem Saulo? 16. 30% dos itens em um recipiente são doces. 40% dos doces são pirulitos e 20% dos doces restantes são jujubas cor de rosa. Se houver 18 jujubas rosa, quantos itens existem no recipiente? 17. 36% das flores que um florista tinha em sua loja foram vendidas ontem. 80% do restante fora vendida hoje. Então, a ela ainda restaram 16 talos de flores. Quantos talos de flores que a florista tinha inicialmente? 18. Uma barraca em uma praça de alimentação vende dois tipos de refeições estabelecidas. O prato A custa R$ 9,00. O prato B custa 30% menos do que o prato A. Em um determinado dia, as vendas totais totalizaram R$ 1 998,00. Se 75% das vendas foram do prato A, qual foi o valor total das vendas para o prato A? 19. Mary, cobra R$ 2,00 por uma torta de frango e 25% menos por uma torta de maçã. Num certo dia, a venda total foi de R$ 760,00. Sabendo que 80% das tortas vendidas foram torta de frango, quanto ela ganhou a mais com a venda das tortas de frango do que as tortas de maçã? 20. 40% dos 7 920 visitantes de um museu eram crianças. 25% das crianças e 1/3 dos adultos estavam na sua segunda visita. Qual é o percentual dos visitantes que estavam na sua primeira visita? 21. Sara tinha 55 cartas. Ela de 25% das cartas para sua irmã, 25% do restante para o irmão dela e o resto para um amigo. Quantos porcento das cartas ela deu para o amigo dela? 22. 80% das crianças em uma classe tem animais de estimação. 45% delas tem cachorros, 40% tem gatos e o restantes, pássaros. Se 3 dessas crianças têm pássaros, quantas crianças há na classe? 23. Uma locadora de filmes tem 1375 filmes. 40% dos filmes são classificados como comédia enquanto o resto é classificado como comédia romântica. A loja adiciona mais filmes para a coleção, aumentando o número de filmes para 45%. Quantos filmes com classificação comédia são adicionados?

77 Hum, então toda razão pode também ser vista como uma fração?

6. RAZÃO Razão é uma relação que compara as quantidades entre duas ou mais grandezas. Exemplo 60. Luana e Bruna colecionam cartas. Luana tem cinco cartas vermelhas enquanto que Bruna tem três azuis. Qual é a razão entre as cartas de Luana e Bruna e a razão entre as cartas de Bruna e Luana?

Veja que para cada 5 cartas da Luana há 3 cartas da Bruna e escrevemos que a razão das cartas nessa ordem é de 5∶3 e lemos “cinco para três” ou “cinco está para três”. Já as para cada 3 cartas da Bruna há 5 da Luana e escrevemos que a razão das cartas nessa ordem é de

Observação: Chamamos os números de uma razão de termos. Por exemplo, nas razões ao lado os números 3 e 5 são os termos. E mais, o que vem primeiro chamamos de antecedente e o que vem depois de consequente. Assim na razão 3 ∶ 5, o termo 3 é o antecedente enquanto que o termo 5 é o consequente.

3∶5 e lemos “três para cinco” ou “três está para cinco”. Também podemos escrever uma razão como uma fração, isto é 5∶3=

5 3

Quando duas razões são tais que o antecedente de uma é o consequente da outra dizemos elas são razões inversas. As razões

e 3∶5=

3 5

Como cada razão é também uma fração, note que as razões 5 ∶ 3 e 3 ∶ 5 não são a mesma razão.

5∶3=

5 3

3∶5=

3 5

e

são razões inversas, isso porque a multiplicação delas tem como resultado o número 1. Veja: 5 3 15 ∙ = = 1. 3 5 15

78 Exemplo 61. Tamara, Nathália e Ju tem, respectivamente, 10, 7 e 3 reais. Qual é razão Tamara, Nathália e Ju? Ora, é justamente 10 para 7 para 3, isto é: 10 ∶ 7 ∶ 3

Hum, então como razões são frações elas também podem ser simplificadas e equivalentes a outras razões?

Exemplo 62. Numa classe há 15 meninos e 20 meninas. Ache é a razão: a) de meninos para meninas; b) de meninas para meninos; c) de meninos e meninas para o número de alunos na classe. Solução Item a) 15 para 20, isto é 15 ∶ 20 Item b) 20 para 15, isto é

Observação: Como razões também podem ser vistas como frações, logo elas estão sujeitas às mesmas operações de que as frações estão. Assim, é claro como as porcentagens.

20 ∶ 15 Item c) de meninos para alunos é de 15 para 25, isto é 15 ∶ 25 de meninas para alunos é de 20 para 25, isto é 20 ∶ 25 Exemplo 63. Simplifique a razão 2 ∶ 6. Note que tanto 2 como 6 dividem por 2. Assim, 2÷2∶ 6÷2 1∶3 Exemplo 64. As razões 4 ∶ 8 e 2 ∶ 4 são equivalentes? Sim, por exemplo, se dividirmos a razão 4 ∶ 8 por 2 obtemos a razão 2 ∶ 4. E também, se multiplicássemos a razão 2 ∶ 4 por 2 obteríamos a razão 4 ∶ 8. Portanto as razões são equivalentes. Exemplo 64. Qual é o número que falta nas razões abaixo para que elas sejam equivalentes? 45 ∶ 30 = 3 ∶ ___ Ora, 2, pois 45 ÷ 15 = 3 e 30 ÷ 15 = 2. Isto é: 45 ∶ 30 = 3 ∶ 2

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79 Exemplo 65. Se 3/4 da massa de Júlia é igual 6/7 da massa de Ana. Qual é razão entre a massa de Júlia e a massa de Ana, nessa ordem? Vamos usar o modelo de barras para resolver esse problema. Veja abaixo:

Júlia

3 4 Ana

6 7

Júlia

3 4 Ana

6 7 Assim, vemos que a massa de Júlia é formada por 8 partes, enquanto que a massa de Ana é formada por 7 partes. Portanto a razão da massa de Júlia para a massa de Ana é: 8∶7 ou em termos de fração 8 7

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80 Exemplo 66. A razão entre o número de garotos para o número de garotas em uma classe é 3 ∶ 4. Na classe há 12 garotos. Quantas garotas e quantas crianças há nessa classe?

Garotos

12 Garotas

? 3 partes = 12 1 parte =

12 3

=4

Como uma parte é igual a 4 e há 4 partes de garotas. Então o número de garotas é: 4 ∙ 4 = 16 Assim, o número total de alunos é: 12 + 16 = 28

Veja que ração 3 ∶ 4 diz que a cada 7 alunos, tem-se que 3 deles são garotos e 4 são garotas.

Note ainda que o número total de alunos poderia ter sido encontrado fazendo 4 ∙ 7 = 28 pois uma parte é igual a 4 e o número de garotos e garotas está em 7 partes, 3 para garotos e 4 para garotas.

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81 Exemplo 67. Mariana coleciona figuras do Dragon Ball Z e dos Cavaleiros do Zodíaco, na razão de 5 ∶ 3, respectivamente. Ela tem 64 há mais figurinhas do Dragon Ball Z do que dos Cavaleiros do Zodíaco. Quantas figurinhas ela tem de cada tipo?

Dragon Ball Z

64 Cavaleiros

Ora, 2 partes = 64 1 parte =

64 2

= 32

Como há 5 partes referentes ás figurinhas do Dragon Ball Z e 3 partes referentes aos Cavaleiros do Zodíaco, o número de figurinhas:

Dragon Ball Z = 5 ∙ 32 = 160 Cavaleiros do Zodíaco = 3 ∙ 32 = 96

Portanto, há 160 figurinha do Dragon Ball Z e 96 dos Cavaleiros do Zodíaco.

Veja também que há um total de 8 ∙ 32 = 256 figurinhas.

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu ou sobre alguma dúvida.

82 Exemplo 68. Os lados de um triângulo estão numa razão de 3 ∶ 5 ∶ 7. O perímetro do triângulo mede 75 cm. Encontre o tamanho de cada lado do triângulo. Veja o seguinte modelo

Lado a

75 cm

Lado b

c

Lado c Então pelo modelo acima vemos que 15 partes = 75 cm 1 parte =

75 15

= 5 cm

Como cada parte vale 5 cm, então o Lado a mede 5 ∙ 3 = 15 cm Lado b mede 5 ∙ 5 = 25 cm Lado c mede 5 ∙ 7 = 35 cm Exemplo 69. Encontre duas razões de mesmo consequente tais que essas duas encontradas sejam equivalentes as razões 1 ∶ 2 e 2 ∶ 3. Responda se os consequentes das razões 1 ∶ 2 e 2 ∶ 3 significam a mesma quantidade ao se olhar para as duas novas razões encontradas. Ora, olhando para as razões 1 ∶ 2 e 2 ∶ 3 como frações temos: 1 2

e

2 3

Como os consequentes das razões são os denominadores das frações, o problema do exercício equivale a encontrar duas frações de mesmo denominador e que ainda sejam equivalentes as frações 1 2

2 3

e . Como os denominadores 2 e 3 são primos entre si,

basta fazermos o produto entre eles e o resultado será o denominador frações pedidas, isto é, o denominador será 2 ∙ 3 = 6. Assim, queremos duas frações que tenham 1 2 denominadores 6 e equivalentes as frações e . Mas estas são

3 6

=

1 2

e

4 6

2

2

3

= . Por fim, o 2 e 3 que são os 3

consequentes significam a mesma quantidade em relação as frações encontradas.

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83 Exemplo 70. A razão do número de moedas de Maria para o número de moedas de João era de 1 ∶ 2. Depois de Maria ganhar mais 6 moedas a nova razão passou a ser 2 ∶ 3. Quantas moedas tem cada um? Antes Maria João

6 Maria João

Agora, o que Maria tem significa 2 partes para 3 do João.

6 Maria

João

Lembra no exemplo 69 que 1 ∶ 2 = 3 ∶ 6 e que 2 ∶ 3 = 4 ∶ 6?

6 Depois

Maria João

Assim, pelo modelo acimo vemos que Maria 6 ∙ 4 = 24 moedas, enquanto que João passou a ter 6 ∙ 6 = 36 moedas.

Use o espaço abaixo para escrever o que você entendeu ou sobre alguma dúvida.

84 Aplicações 1. Se 3/4 da massa de Fanny é igual a 6/7 da massa de Kathy, qual é a razão da massa de Fanny para a massa de Kathy? 2. 3/5 dos adesivos de Xavier é igual a 2/3 dos adesivos de Sarah. Encontre a razão dos adesivos de Sarah para os adesivos de Xavier. 3. Em um curso de treinamento, a razão de homens para mulheres é de 3 : 5. Existem 85 participantes do sexo feminino. Quantos participantes estavam no curso de treinamento? 4. Julia e Selina compartilharam uma caixa de doces de goma de fruta na razão de 2 : 3. Encontre a porcentagem de doces recebida por Julia. 5. A razão do número de bolas vermelhas da árvore de Natal para as bolas azuis que Vanessa tinha era de 3 : 8. Ela comprou mais 42 bolas vermelhas, trazendo o número total de bolas vermelhas para 96. Encontre a nova razão do número de bolas vermelhos para bolas azuis que Vanessa passou a ter. 6. Existem 78 convidados em uma festa. A razão do número de homens para o número de mulheres é de 8 : 5. Quando 10 mulheres mais se juntam à festa, qual é a nova razão do número de mulheres para o número total de convidados na festa? 7. 2/3 do dinheiro de Jair é o mesmo que 4/5 do dinheiro de Kelly. (a) Encontre a razão do dinheiro de Kelly para o dinheiro da Jair. (b) Se a Jair tem R$ 1.80 a mais do que Kelly, quanto dinheiro eles têm? 8. O número de mamões para o número de mangas em uma barraca estava na razão de 3 : 8 no início. Depois de 91 mangas serem vendidas, passou a ter duas vezes mais mamões do que mangas. Encontre o número de mamões na barraca. 9. Na parte da manhã, a razão do número de chapéus para o número de cachecóis em uma loja de lembranças foi de 9 : 7. Foram vendidos 196 cachecóis. À tarde, depois que alguns chapéus foram vendidos, a proporção dos chapéus restantes para o número de cachecóis tornou-se 5 : 7. Quantos chapéus foram vendidos? 10. Rachel tem algumas borrachas cor de rosa, verde e amarelo. A razão de suas borrachas rosa para borrachas verdes é 3 : 1. A proporção de borrachas verdes para borrachas amarelas é 3 : 8. Qual porcentagem de borrachas são rosa? 11. 40% dos itens em uma bolsa são borrachas. Os itens restantes são apontadores de lápis e canetas na razão de 5 : 1. Existem 36 apontadores de lápis a mais do que canetas. Quantos itens existem na bolsa? 12. O número de sanduíches de atum e sanduíches de frango em uma barraca estava na proporção de 3 : 8 no início. Depois de metade do número de sanduiches de frango foram vendidos, o número total de sanduíches restante passou a ser de 392 unidades. (a) Encontre o número de sanduíches de atum restantes.

85 (b) Se todos os sanduíches restantes foram vendidos, a cada 4 cobrava-se R$ 3.50, quanto foi arrecadado da venda desses sanduíches restantes? 13. Amanda, Marlene e Ian participaram de uma campanha de caridade vendendo biscoitos. Amanda vendeu 1/3 do número total de frascos de biscoitos vendidos. Marlene e Ian venderam os frascos restantes de biscoitos na razão de 3 : 7. Ian vendeu mais 32 frascos de biscoitos do que Amanda. Se cada frasco foi vendido por R$ 12, qual foi o valor total arrecadado pelas 3 crianças? 14. Um agricultor vende 3 tipos de grãos: A, B e C. O custo de cada kg de A, B e C é de R$ 3, R$ 6 e R$ 9, respectivamente. Roger compra uma mistura dos grãos de tal forma que a proporção da massa de A para B para C é 3 : 2 : 5. Quanto custará 15 kg da mistura? 15. Nicolas e Benedito um certo montante em dinheiro, cada. Se Nicolas conceder 1/3 de seu dinheiro a Benedito, a quantia de dinheiro que Benedito terá será três vezes a quantia de dinheiro que Nicolas tem. Encontre a razão da quantidade de dinheiro que Nicolas tem para a quantia de dinheiro que Benedito possui. 16. Prateleira 1 e Prateleira 2 de uma estante de livros continham algumas revistas. Samuel removeu 19 das revistas na prateleira 2 e colocou-as na prateleira 1. Agora, a razão do número de revistas na prateleira 1 para a razão do número de revistas na prateleira 2 é 3 : 2. Qual era a razão da Número de revistas na prateleira 1 para o número de revistas na prateleira 2 no início? 17. Samanta tinha mais 62 prendedores de cabelo do que Clara no início. Quando Clara deu 7 prendedores cabelo para Samanta, a razão do número de prendedores de cabelo de Clara para os prendedores de cabelo de Samanta tornou-se 1 : 5. Quantos prendedores de cabelo Samanta tinham no início? 18. A razão da quantia de dinheiro de Alberto para a quantidade de dinheiro de Sandra é de 7 : 4. Se Alberto der a Sandra R$ 12.30, ambos terão a mesma quantia de dinheiro. Quanto tem Alberto? 19. Havia um total de 132 crianças em uma festa. Depois de 7/10 dos meninos e 1/8 meninas deixarem a festa, a razão do número de meninos para o número de meninas tornou-se 1 : 3. Encontre a razão do número de meninos para o número de meninas na festa no início. 20. Donald tinha um total de 450 cartazes azuis e vermelhas na sua loja. Depois de ter vendido 2/5 das placas azuis e 72 dos vermelhos, a razão do número de placas vermelhas para o número de placas azuis se tornou 3 : 1. Qual era a razão do número de placas azuis para a do vermelho no início? 21. Para um projeto de angariação de fundos, Joel e Timóteo fizeram origamis de papel. A razão do número de origamis de Joel para o número de origamis de Timóteo é 4 : 9. Timóteo dobrou 225 origamis. Se Timóteo der a Joel 25 origamis, qual será a razão do número de origamis de Joel para o número de origamis de Timóteo? 22. Um ônibus deixa uma rodoviária com 96 mulheres e alguns homens. A razão entre o número de mulheres e homens era de 4 : 7. Na próxima rodoviária, um grupo de homens embarcou no ônibus. Como resultado, a razão do número de mulheres para

86 o número de homens tornou-se 3: 8. Encontre o número de homens que embarcaram na segunda estação. 1 2

23. Um certo moinho de vento faz 465 revoluções em 2 minutos. Quantas revoluções serão feitas em 6 minutos?

24. Glenn tem 6 anos e 3 meses de idade. Kelly tem 10 anos e 5 meses de idade. Encontre a proporção da idade de Kelly para a idade de Glenn. 25. O diagrama dado mostra um retângulo, o ABDE. ABC e CDE são triângulos de ângulo reto no retângulo. A razão do comprimento, BC, para o comprimento, CD, é 1 : 2. Encontre a área do triângulo sombreado, CDE.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS • • •

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https://www.ace-learning.com/singapore-maths-primary https://my.homecampus.com.sg/ Itellectual Mathematics Textbook For Grade 4, 1st Edition 2007, Alan Tan, eISBN 978-1-946765-88-8, Print ISBN 978-1946765-89-5, Published by www.booksmango.com Itellectual Mathematics Textbook For Grade 5, 1st Edition 2007, Alan Tan, eISBN 978-1-946765-90-1, Print ISBN 978-1946765-91-8, Published by www.booksmango.com Itellectual Mathematics Textbook For Grade 6, 1st Edition 2007, Alan Tan, eISBN 978-1-946765-92-5, Print ISBN 978-1946765-93-2, Published by www.booksmango.com New Syllabus Primary Mathematics 6A, First Published 2009, Teh Pick Ching, Lu Jitan, ISBN 978-981-237-378-6, Printed by Mainland Press Pte Ldt.

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