Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Page 1

vnoΥ ΡΓΕ ΙΟ ΠΑΙΔ Ε ΙΑΣ ΚΑΙ Π ΟΛΙΤΙΣΜογ

• ΔΙΕ'Υ'ΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗ Σ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ • ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΑΙ Γυμνασίου

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ANAΠTVΞHΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

• ΛΕΥΚΩΣΙΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΊ ΚΥΠΡΟΊ ΔΙΕΊΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΙ ΓΥΜΝΑΣlογ

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

."!J Σωτήρης Σεργίδης, Καθηγητής Μαθηματικών

1'1 Κωνσταντίνος Δεληγιάννης, Καθηγητής Μαθηματικών

ΕΠΟΠΤΕΙΑ

"'!J Μιχάλης Μακρυγιώργης, Επιθεωρητής Μαθηματικών

""ΙΊ Κλαίλια Σουρμελή-Σκοτεινού, Επιθεωρήτρια Μαθηματικών

:rJ Ανδρέας Σχοινής, Επιθεωρητής Μαθηματικών

ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΛΕΥΚΩΣΙΑ 2007

ΜΑΘΗΜΑΤιΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α' έκδοση

1999

Α' Έκδοση

1999 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΚΔΟΣΗΣ

Σωτήρης Σεργίδης

Κωνσταντίνος Δεληγιάννης ΦΙΛΟΤΕΧΝΗΣΗ ΕΞΩΦΥΜΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΕΞΩΦΥΜΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

Σοφία Παναγιωτίδου Στέλιος Καραμαλλάκης Γιώργος Θεοδωρίδης

ΠΛΗΚΤΡΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΣΕΛΙΔΩΣΗ

Δημιουργία με συνεργάτες Λτδ

Ανατύπωση: 2001, 2002, 2003, 2004,2005,2006

Β' Έκδοση

2007: Προσαρμοσμένη στην εισαγωγή του ευρώ

Επιμέλεια Β' Έκδοσης 2007: Υπηρεσία Ανάmυξης Προγραμμάτων

: Ανατύπωση 2008, 2009

ISBN 978-9963-0-4488-7 Εκτύπωση: Τ. Βασιλείου & Υιοί Λτδ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Προλογίζω με μεγάλη χαρά και ικανοποίηση την έκδοση του βιβλίου «Μαθηματικά Α: Γυμνασίου», που αποτελεί αξιόλογο βήμα στην προσπάθεια για εκσυγχρονισμό του περιεχομένου των διδα­ κτικών βιβλίων των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο. Στο βιβλίο αυτό οι διάφορες έννοιες αναmύσσονται μέσα από προβλήματα που είναι οικεία στις εμπειρίες και γνώσεις των μαθητών και παρουσιάζονται με τέτοιο τρόπο, ώστε οι μαθητές να ευ­ κολύνονται στην κατανόηση και να ενθαρρύνονται στη μελέτη τους. Αναμένω από τους διδάσκοντες να εκφράσουν τις απόψεις τους και να υποβάλουν τις εισηγή­

σεις τους όχι μόνο σχετικά με το περιεχόμενο του βιβλίου και το επίπεδο των ασκήσεων αλλά και σχετικά με τον τρόπο προσέγγισης της ύλης. Τους καθηγητές των Μαθηματικών κυρίους Σωτήρη Σεργίδη και Κωνσταντίνο Δεληγιάννη που ανέλαβαν τη συγγραφή, καθώς και τους επιθεωρητές των Μαθηματικών κυρίους Μιχάλη Μακρυγιώργη, Κλαίλια Σουρμελή-Σκοτεινού και Ανδρέα Σχοινή που είχαν την εποmεία, ευχαριστώ θερμά και συγχαίρω.

Δρ Γεώργιος Χρ. Πουλλής

Διευθυντής Μέσης Εκπαίδευσης

ΕΙΣΑΓΩΠΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό να βοηθήσει τους μαθητές της Α' Γυμνασίου να κατανοήσουν και εμπε­ δώσουν τις διάφορες μαθηματικές έννοιες και να αποκτήσουν τις αναγκαίες δεξιότητες που πε­ ριλαμβάνοv:rαι στο νέο αναλυτικό πρόγραμμα της τάξης τους. Για τη συγγραφή του βιβλίου αυτού στηριχrήKαμε στα βιβλία «Μαθηματικά Ν και Β' Γυμνασίου»

που εκδόοθηκαν από την γπηρεσία Ανάmυξης Προγραμμάτων το

1995 και 1997 αντίστοιχα.

Η διάταξη της ύλης, ο τρόπος προσφοράς της και ο σχεδιασμός του βιβλίου, αποβλέπουν στο να δώσουν στο μαθητή ένα βιβλίο που να του προκαλεί το ενδιαφέρον και να διαβάζεται εύκολα. Μετά από κάθε παράγραφο δίνουμε παραδείγματα για να βοηθήσουμε το μαθητή να κατανοή­ σει καλύτερα τις διάφορες έννοιες και να του l1ΠOδείξOυμε τρόπους εργασίας, ώστε να διει'κο­ λυνθεί στην κατ' οίκον εργασία του. Η ποικιλία και η διαβάθμιση των ασκήσεων που υπάρχει σε κάθε ενότητα είναι αρκετά μεγάλη ώστε ο διδάσκων να κάνει επιλογή, ανάλογα με το επίπεδο της τάξης του. Επειδή πιστεύουμε ότι ένα διδακτικό βιβλίο πρέπει να γράφεται μέσα από τη διδακτική πράξη, θα αναμένουμε από τους συναδέλφους που θα το διδάξουν εισηγήσεις για βελτίωσή του. Τελειώνοντας θέλουμε να ευχαριστήσουμε τις συναδέλφους Μαρία Φραγκέσκου και Ρίτα Αναστασιάδου που έγραψαν το προηγούμενο βιβλίο όσο και τους επιθεωρητές των Μαθηματικών κυρίους Λουκά Φανή και Χάρη Χατζηθεοδοσίου που είχαν την εποmεία του.

Μιχάλης Μακρυγιώργης

Επιθεωρητής

Κλαίλια Σουρμελή-Σκοτεινού

Επιθεωρήτρια

Ανδρέας Σχοινής

Επιθεωρητής

Σωτήρης Σεργίδης

Καθηγητής

Κωνσταντίνος Δεληγιάννης

Καθηγητής

r

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ

1.

Από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο

ΕΝΟΤΗΤΑ2. Τα σύνολα

......................................... 1

............................................................ .7

1.

Η έννοια του συνόλου

2.

Συμβολισμός του συνόλου

3.

Τρόποι παράστασης συνόλου

4.

Ειδικά σύνολα

5.

Τα σύμβολα Ε και

6.

Σχέσεις συνόλων

7.

Πράξεις με σύνολα

...........................................................7 ......................................................8 ...................................................9

.................................................................13 (i<:

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 14

..............................................................14 ............. " .............................................19

ΕΝΟΤΗΤΑ 3. Οι φυσικοί αριθμοί και το μηδέν

. ...................................... .29

1.

Εισαγωγή

2.

Σύγκριση αριθμών στο σύνολο Ν ο

..............................................31

3.

Ιδιότητες ισοτήτων και ανισοτήτων

..............................................31

4.

Πρόσθεση αριθμών στο σύνολο Ν ο

..............................................36

5.

Ιδιότητες της πρόσθεσης

......................................................40

6.

Αφαίρεση στο σύνολο Ν ο

...................................................... .46

7.

Ιδιότητες της αφαίρεσης

...................................................... .47

8.

Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις

9.

Πολλαπλασιασμός στο σύνολο Ν ο

.....................................................................30

...........................51

..............................................55

10.

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού

11.

Διαίρεση στο σύνολο Ν ο

........................................................63

12.

Ιδιότητες της διαίρεσης

.......................................................66

................................................56

13.

Ειδικές περιmώσεις διαίρεσης

14.

Προτεραιότητα των πράξεων

15.

Εξισώσεις

16.

Επίλυση εξισώσεων

17.

Λύση προβλήματος με τη βοήθεια εξίσωσης

.................................................68

...................................................73

....................................................................76 .......................................................... .79

ΕΝΟΤΗΤΑ 4. Βασικές γεωμετρικές έννοιες

.....................................83

..........................................90

1.

Σημείο, ευθεία, επίπεδο

2.

Επίπεδα σχήματα ..............................................................94

3.

Μέτρηση ευθυγράμμων τμημάτων

..............................................97

4.

Σύγκριση ευθυγράμμων τμημάτων

.............................................1ΟΙ

5.

Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

6.

Απόσταση δύο σημείων

7.

Γωνία

8.

Σχηματισμός μιας γωνίας με στροφή ημιευθείας

9.

Μέτρηση γωνιών

........................................................92

.................................................103

.......................................................104

.......................................................................108 ................................109

.............................................................11 Ο

10.

Κατασκευή γωνίας ίσης με δεδομένη

11.

Διχοτόμος γωνίας

12.

Είδηγωνιών

13.

Κάθετες ευθείες

14.

Μεσοκάθετη ευθυγράμμου τμήματος

15.

Απόσταση σημείου από ευθεία

16.

Εφεξήςγωνίες

17.

Πρόσθεση εφεξής γωνιών

....................................................123

18.

Αφαίρεση εφεξής γωνιών

.....................................................126

19.

Συμπληρωματικέςγωνίες

.....................................................127

..........................................113

............................................................113

.................................................................113 .............................................................118 .......................................... 119

................................................120

...............................................................122

20.

Παραπληρωματικές γωνίες

21.

Κατακορυφήνγωνίες .........................................................131

22.

Κύκλος ......................................................................136

23.

Στοιχεία του κύκλου

24.

Κυκλικός δίσκος ..............................................................137

25.

Σχέσεις τόξων και χορδών

26.

Επίκεντρηγωνία

27.

Σχέσεις τόξων και επίκεντρων γωνιών

28.

Μέτρηση τόξου

29.

Θέσεις ευθείας και κύκλου ....................................................140

30.

Κατασκευές με χάρακα και διαβήτη

...................................................129

..........................................................136

....................................................137

.............................................................138 .......................................... 138

..............................................................139

............................................144

ΕΝΟΤΗΤΑ5. Παράλληλες ευθείες, τρίγωνα, τετράπλευρα

.......................... .150

1.

Θέσεις ευθειών στο επίπεδο

2.

Χάραξη παράλληλων ευθειών .................................................151

3.

Απόσταση παράλληλων ευθειών

4.

Γωνίες παράλληλων ευθειών που τέμνονται από άλλη ευθεία .................... 154

5.

Πολύγωνα

6.

Τρίγωνο - Κύρια στοιχεία τριγώνου

7.

Είδητριγώνων

8.

Δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου .........................................163

9.

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου

..................................................151

...............................................153

...................................................................160 ............................................161

...............................................................161

10.

Εξωτερική γωνία τριγώνου

11.

Άθροισμα των γωνιών τετραπλεύρου

12.

Είδη τετραπλεύρων

........................................166

....................................................169 ..........................................171

..........................................................175

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Δυνάμεις φυσικών αριθμών και του μηδέν.

Τετραγωνική ρίζα φυσικού αριθμού στο σύνολο Ν ο .................... 189

1.

Δυνάμεις φυσικών αριθμών και του μηδέν

2.

ΕιδιΚέςπεριmώσεις

3.

Προτεραιότητα των πράξεων

4.

Ιδιότητες των δυνάμεων

5.

Δυνάμεις με εκθέτη

6.

Τετραγωνική ρίζα στο σύνολο Ν ο

......................................189

..........................................................193 ..................................................194

............ , .........................................198

1 και εκθέτη Ο .............................................200

.............................................. 206

ΕΝΟΤΗΤΑ 7. Περίμετρος και Εμβαδόν

............................................ .211

1.

Περίμετρος

2.

Έννοια του εμβαδού

3.

Ισοδύναμες ή ισεμβαδικές επιφάνειες

4.

Μονάδες μέτρησης εμβαδού

5.

Εμβαδόν και περίμετρος τετραγώνου

.. " ......................................218

6.

Εμβαδόν και περίμετρος ορθογωνίου

..........................................222

7.

Εμβαδόν και περίμετρος παραλληλογράμμου

8.

Εμβαδόντριγώνου

9.

Ρόμβος

..................................................................212 ..........................................................215 ..........................................217

...................................... " ......... .218

..................................230

...........................................................234

......................................................................238

1Ο.

Εμβαδόν και περίμετρος ρόμβου

11.

Πυθαγόρειο Θεώρημα

12.

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

..............................................238

........................................................241 ...............................................247

ΕΝΟΤΗΤΑ 8. Διαιρετότητα στο σύνολο Ν ο

1.

Διαιρέτες αριθμών

2.

Πολλαπλάσια αριθμών

3.

Ιδιότητες των διαιρετών

....... : ................................. 254

...........................................................255 ........................................................256 .......................................................257

4.

Κριτήρια διαιρετότητας .......................................................259

5.

Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί ..................................................266

6.

Ανάλυση σύνθετου αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ................... 266

7.

Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών ................................. .267

8.

Ε.ΚΠ. δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών ................................. .269

9.

Προβλήματα Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ.

ΕΝΟΤΗΤΑ 9.

Τα κλάσματα

................................................ .272

....................................................... .278

1.

Έννοια του κλάσματος

2.

Το κλάσμα ως πηλίκο δύο φυσικών αριθμών ................................... .283

3.

Ειδικές περιmώσεις κλασμάτων

4.

Ισοδύναμα κλάσματα .........................................................287

5.

Τροπή ετερωνύμων κλασμάτων σε ομώνυμα ....................................293

6.

Σύγκριση Κλασμάτων ........................................................ .295

7.

Πράξεις με κλάσματα ........................... , ............................ .299

8.

Σύνθετα κλάσματα ...........................................................322

.......................................................279

.............................................. .284

ΕΝΟΤΗΤΑ 10. Οι δεκαδικοί αριθμοί .............................................. .327

1.

Δεκαδικά κλάσματα. Δεκαδικοί αριθμοί ........................................330

2.

Ιδιότητες των δεκαδικών αριθμών

3.

Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών αριθμών ...................................333

4.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών ........................................334

5.

Διαίρεση δεκαδικών αριθμών

6.

Τροπή κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό

..............................................331

..................................................334

Ασκήσεις για επανάληψη όλης της ύλης

.........................................337

............................................341

Δείγμα δοκιμίου γραπτών προαγωγικών εξετάσεων lουνίου Απαντήσεις των ασκήσεων

.........................349

........................................................354

ΙΙΑΠΟ ΤΟ ΔΗΜΟTlΚΟ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Μας χρειάζονται τα Μαθηματικά; Η χρησιμότητα των Μαθηματικών είναι τόσο μεγάλη που δεν μπορεί

να χωρέσει στη σελίδα μας. Τα Μαθηματικά μας βοηθούν στην ανάmυξη της σωστής σκέψης, της δημιουργικής φαντασίας και της μνήμης. Τα Μαθηματικά δεν χρησιμοποιούνται μόνο σαν συγκεκριμένες γνώ­

σεις αλλά και σαν μέθοδος σκέψης, έρευνας και κριτικής σε όλα τα προβλήματα της ζωής.

Η ακρίβεια, η σαφήνεια και η απλότητα της μαθηματικής γλώσσας, μας βοηθούν στον προφορικό και γραmό μας λόγο και έτσι πετυ­ χαίνουν την καλλιέργεια της γλώσσας. Τα ωραία σχήματα, τα σωστά βιβλία, όχι μόνο στο περιεχόμενο αλ­

λά και στη μορφή συντελούν στην αισθητική καλλιέργεια. Η τελειότητα, η ευκρίνεια και η διαύγεια των Μαθηματικών μας δεί­ χνουν ότι η αλήθεια είναι αντικειμενική δηλαδή κοινή και παραδεκτή για όλους. Τούτο μας βοηθά να γίνουμε καλοί συζητητές, αντικειμε­ νικοί και περισσότερο προσεκτικοί.

Τα Μαθηματικά είναι ο πυρήνας των μεγάλων θεωριών και νόμων κάθε επιστήμης και επομένως είναι βασικός παράγοντας του πο­ λιτισμού μας.

ΠΡΑΞΗ

ΜΕΛΗ

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ

ΣΥΜΒΟΛΝ ΟΝΟΜΑΣΙΑ

Πρόσθεση

Προσθετέοι ή Όροι

Άθροισμα

+ (Συν)

Αφαίρεση

Μειωτέος Αφαιρετέος

Διαφορά

-

Πολλαπλασιασμός

Παράγοντες

Γινόμενο

χή· (ΕπΟ

Διαίρεση

Διαιρετέος Διαιρέτης

(Πλην)

(12

+ 4)

(12-4)

+ή: (Διά)

~ Διαφορά

(12χ4) ή

(12. 4) Πηλίκο

~ Άθροισμα

~ Γινόμενο

(12+4) ή (12:4) ή 12μ. ~ Πηλίκο η' 12

4

- - = - - - - - - - - - - . --------- -----------__ ._==--,C,___________

2

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

ο Πίνακας του Πολλαπλασιασμού

1

2

3

1χ 1= 1

1 χ2 = 2

2χ1=

2

2χ2

3χ1=

3

4χ1=

4

5

1 χ3 = 3

1 χ4 = 4

1 χ5 = 5

= 4

2χ3

= 6

2χ4

= 8

2 χ 5 = 10

3χ2

= 6

3χ3

= 9

3 χ4 = 12

3 χ5 = 15

4

4χ2

= 8

4 χ 3 = 12

4 χ4 = 16

4χ5

= 20

5χ1=

5

5 χ 2 = 10

5 χ3 = 15

5χ4=20

5χ5

= 25

6χ1=

6

6 χ 2 = 12

6 χ 3 = 18

6χ4

= 24

6 χ 5 = 30

1= 7

7 χ 2 = 14

7 χ 3 = 21

7χ4

= 28

7χ5

= 35

8 χ4 = 32

8χ5

= 40

9χ4

= 36

9χ5=45

7χ

8χ1=

8

8 χ 2 = 16

8χ

9χ1=

9

9 χ 2 = 18

9 χ3 = 27

10χ1=10

10 χ 2 = 20

10χ3=30

10 χ4 = 40

10 χ 5 = 50

6

7

8

9

10

1 χ6 = 6

1 χ7 = 7

1 χ8 = 8

1 χ9 = 9

1 χ 10 == 10

2 χ 6 = 12

2 χ 7 = 14

2 χ 8 = 16

2 χ 9 = 18

2χ

3 χ 6 = 18

3 χ 7 = 21

3 χ 8 = 24

3χ9

= 27

3 χ 10 = 30

4 χ 6 = 24

4χ

4χ8

= 32

4χ9

= 36

4χ

10 = 40

5 χ6 = 30

5χ7

= 35

5χ

8 = 40

5χ9

= 45

5χ

10 = 50

6χ7

= 42

6χ8=48

6χ9

= 54

6χ

10 = 60

7χ7

= 49

7χ8

= 56

7χ9=63

7χ

10 = 70

= 48

8χ7

= 56

8χ8=64

8 χ 9 = 72

8χ

10 = 80

9χ6=54

9χ7

= 63

9 χ8 = 72

9 χ 9 = 81

9χ

10 = 90

6χ6

7χ

= 36

6 = 42

8χ6

10 χ 6 = 60

7 = 28

10 χ 7 = 70

3 = 24

10χ8

= 80

10χ9

= 90

10 = 20

10 χ 10 = 100

Η καλή γνώση και κατανόηση του πιο πάνω πίνακα βοηθά στην ανάmυξη της μνήμης και της ικα­ νότητας να εκτελούμε γρήγορα και ορθά διάφορες πράξεις.

3

1. ΑΠΟ ΤΟ ΔΗΜΟTlΚΟ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Από την ύλη του Δημοτικού Να κάνετε τις προσθέσεις:

1. 38 + 12

2. 12 + 5 + 107

3.26

4. 56

43 +

65 +

6. 3785

5. 107 285 +

402 + 742

Να κάνετε τις αφαιρέσεις:

7.95

8. 308

24 11.78-6

9. 3775

245 -

10. 4308

1008 -

299 -

13. 157 -48

1'4. 1004 - 98

16.8Χ14

17. 39 Χ 10

18. 125 Χ 100

20. 18

21. 157

22. 2030

12. 48-29

Να κάνετε τους πολλαπλασιασμούς:

15.

15Χ7

19.24

3

Χ

13

Χ

52

Χ

308

Χ

Να κάνετε τις διαιρέσεις:

23. 12: 4

24. 72: 9

25. 36: 12

26. 250: 10

27.86 Γ

28. 1554 137

29.340 Γ

30. 38834 1125

Να κάνετε τις πράξεις:

31. 4

415-(14Χ

10)

32. (250: 50)

+ (125 -

25)

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Να λύσετε τα προβλήματα:

33.

Ο μισθός της Μαρίας που ήταν €974 το μήνα αυξήθηκε κατά €97. Πόσα παίρνει το μήνα τώ­ ραη Μαρία;

34.

Να βρείτε πόσο πιο μεγάλος είναι ο αριθμός 458 από τον αριθμό 206.

35.

Πόσο πρέπει να ελαττωθεί ο αριθμός

36.

Ο Μιχάλης είναι

14 χρονών.

1099 για να γίνει 888;

Η μητέρα του έχει τριπλάσια ηλικία από αυτόν. Ποια είναι η

ηλικία της μητέρας του;

37.

Ένας έμπορος αγόρασε 45 τηλεοράσεις και πλήρωσε € 15.525. Πόσα αγόρασε την κάθε τη­ λεόραση;

38.

Κάποιος αγόρασε ένα μεταχειρισμένο αυτοκίνητο €3.440 και πλήρωσε για επιδιορθώσεις

€600. Το πούλησε €5.400. 39.

Πόσα κέρδισε;

Ο Κυριάκος έχει €98. Ο Μιχάλης έχει €33 λιγότερα από τα διπλάσια χρήματα του Κυριάκου. Να βρείτε: (α) Πόσα χρήματα έχει ο Μιχάλης

(β) Πόσα χρήματα έχουν και οι δύο μαζί.

40.

Η κυρία Ελένη αγόρασε ένα μεταχειρισμένο σπίτι €80.000. Έδωσε για να το επιδιορθώσει

€18.000. 41.

Πόσα πρέπει να το πουλήσει, αν θέλει να Kερδίσει€12.000;

Παντοπώλης αγόρασε

120 κιλά πατάτες προς 72 σεντ το κιλό. Πούλησε 78 κιλά προς 102

σενττο κιλό. Πόσα πρέπει να πουλήσει το κάθε κιλότων υπολοίπων, ώστε να κερδίσει συ­ νολικά 3348 σεντ;

Να κάνετε τις πράξεις:

42.24,5 0,18 +

43. 10,006 8,43 -

44. 4,42 8,5

45. 36,45\ 0,9 χ

46. 4,08 + 12,3

47. 0,84-0,08

48. 48 χ 1,2

49. 1,782: 0,03

50. 42,18 χ 10

51. 13,8 χ 100

52. 0,45: 1000

53. 83,24: 1Ο

5

1. ΑΠΟ ΤΟ ΔΗΜΟTlΚΟ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Να κάνετε τις πράξεις:

5

217

• 58.

2

8

56. Π-2

5~ + -l-

59. 9-2~

60.5Χ

5

5. 25 63 ·13· 26

64. 1i: 130

1

62·6 χ 13

1 2 57.66-23

1

55·7-7

: 54·9 + 9 + 9

2

4

5

61·7 χ 8

3

65.

~~ :12

66. Να υπολογίσετε την περίμετρο του διπλανού σχήματος.

67.

Θέλουμε να χωρίσουμε μια κορδέλα μήκους

15 m σε ίσα κομμάτια που το καθένα να έχει

μήκος 130 m. Πόσα κομμάτια θα πάρουμε; 68. Να συμπληρώσετε το κάθε τετράγωνο με το κατάλληλο ψηφίο. (α)

(γ)

6

Ο

(β)

Ο

4

6

8

9

6

Ο

10

4

Ο

3

Ο

7

8

Ο

9

Ο

9

6

Ο

7

6

Ο

:3

Ο

+

4

8

(δ)

Ο

Ο

Ο

4

6

o~

2

1 Ο 4

8

χ

Στα Μαθηματικά, με τον όρο σύνολο εννοούμε «κάθε συλλογή από αντικείμενα καθορισμένα και τελείως διακεκριμένα μεταξύ τους που τη θεωρούμε ως ένα όλο». Τούτο διατύπωσε ο δημιουργός της

θεωρίας των συνόλων Γκέοργκ ΚάνΤορ. Η θεωρία αυτή θεωρείται ως μια από τις πιο ψηλές δημιουργίες του

ανθρώπινου πνεύματος. 'λλλαξε τη μορφή των Μαθηματικών. Έδωσε σ' αυτά τη σημερινή ομορφιά τους. Έπαιξε σπουδαίο ρόλο για την πρόοδό τους. Στάθηκε πηγή για νέους κλάδους των Μαθηματικών. Οι βασικές έννοιες για τα σύνολα εισάγοντα σήμερα ακόμη και στο Δημοτικό σχολείο και δίνουν μια σύγχρονη μορφή στη στοιχειώδη δι­ δασκαλία. Η μορφή αυτή επιτρέπει στην στοιχειώδη διδασκαλία να

φθάνει σε πιο μακρινούς στόχους από ό,τι στο παρελθόν .

.

ε

Α = {α, η, ι, υ, ε, ω, ο}

.ω

•υ .

Α = {Χ/χ φωνήεντο}

ο

§ 1, Η έννοια του συνόλοι! •

Σύνολο είναι μία ομάδα από αντικείμενα που έχουν κάποιο κοινό χαρακτηριστικό γνώρισμα ή ιδιότητα. Πχ

•

Οι μέρες της εβδομάδας

7

2.

ΤΑ ΙΥΝΟΛΑ

• Τα ψηφία του αριθμού 3525 • Οι μήνες της Άνοιξης • Τα ψηφία της λέξης «μέρα» αποτελούν σύνολα.

• Τα αντικείμενα ή οι έννοιες που ανήκουν σε ένα σύνολο ονομάζο­ νται στοιχεία του συνόλου. Πχ

• Κυριακή, Δευτέρα, Τρίτη, Τετάρτη, Πέμπτη, Παρασκευή, Σάββατο ·3,5,2 • Μάρτης, Απρίλης, Μάης •

μ, ε, ρ, α

είναι τα στοιχεία των πιο πάνω συνόλων αντίστοιχα.

§ 2. Ο συμβολισμός του συνόλου χ / χ σημaΙνει: χ όπου χ.

ο

• Τα σύνολα συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα του αλφαβήτου και δύο άγκιστρα. Π.χ το σύνολο

• τα ψηφία του αριθμού 3525,

ο ο

συμβολίζεται με τους πιο κάτω τρόπους:

Α

= {3, 5, 2}

ή

Α = {Τα ψηφία του αριθμού 3525}

ή

Α = {χ / χ ψηφίο του αριθμού 3525}

/

•

Ένα σύνολο επίσης συμβολίζεται και με διαγράμματα, όπως πιο κάτω:

Επειδή ο πρώτος που μελέτησε και πα­ ρέστησε τα σύνολα με διαγράμματα εί­ ναι ο John Venn, ονομάζονται και Βέννια διαγράμματα.

8

ι (

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

•

Ο αριθμός που φανερώνει πόσα στοιχεία έχει ένα σύνολο Α ονο­ μάζεται πληθικός αριθμός του συνόλου και συμβολίζεται με ν(Α). Πχ Αν Α

= {3, 5, 2},

τότε ν(Α)

=3

§ 3. Τρόποι παράστασης συνόλου • Ένα σύνολο μπορεί να παρασταθεί με τέσσερις τρόπους: • Με αναγραφή των στοιχείων του. Πχ Α

= {3, 5, 2}

• Με περιγραφή των στοιχείων του. Π Χ Α = {Τα ψηφία του αριθμού 3525}

ο ο ο

• Με περιγραφή και χρήση μεταβλητής. Π.χ. Α = { χ / χ ψηφίο του αριθμού 3525} • Με διάγραμμα. Πχ Α

n v •

Αν ένα σύνολο δίνεται με αναγραφή των στοιχείων του, μπορούμε να το δώσουμε και με περιγραφή κάνοντας χρήση διαφόρων ιδια­ τήτων των στοιχείων του, που ο καθένας μπορεί να σκεφτεί. Π.χ.Ανέχω

Α= Α

{1, 2, 3} μπορώ να το γράψω περιγραφικά έτσι:

= {οι φυσικοί αριθμοί μικρότεροι του 4} ή

Α = {τα ψηφία του αριθμού

2312}

ή Α = {χ / χ ψηφίο του αριθμού

2312}

ή Α

= {οι διαιρέτες του 6 που είναι μικρότεροι του 6} 9

2. ,- .. ΤΑ - -ΣΥΝΟΛΑ ... ,- . ~

• Αν όμως δίνεται με περιγραφή, τότε το χαρακτηριστικό γνώρισμα ή οι ιδιότητες των στοιχείων του πρέπει να είναι τέτοιες που να μας επιτρέπουν να πούμε με βεβαιότητα ποια είναι τα στοιχεία από τα οποία αποτελείταΙ.

Για παράδειγμα δεν μπορούμε να καθορίσουμε ένα σύνολο με τη φράση «οι μαθητές της τάξης μας που είναι καλοί στα Μαθηματικά»,

διότι δεν διευκρινίζουμε από ποιο βαθμό και πάνω θεωρούνται κα­ λοί οι μαθητές. (ΤΟ σύνολο δεν είναι καλά ορισμένο). Θα μπορούσαμε όμως να καθορίσουμε το σύνολο με τη φράση «οι μαθητές της τάξης μας με βαθμό μεγαλύτερο του Γ στα Μαθηματικά»

.

Αν Α

=

{χ / χ φυσικός αριθμός μέχρι και το

15}

Β

=

{Οι περιποί αριθμοί μικρότεροι του

16}

Γ

=

{Ταπολλαπλάσιατου 4 μέχρι καιτο 15πouΑVΉKOUVστOσύvoλo Ν}

Δ

=

{οι διαιρέτες του

Ε

=

{Τα ψηφία του αριθμού

10} 831 158}

(α) Να γραφούν με αναγραφή τα σύνολα Α, Β, Γ, Δ και Ε.

(β) Ποιος είναι ο πληθικός αριθμός του κάθε συνόλου; Λlιση: (α) Α=

10

{1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12,13,14, 15}

Β=

{1,3,5, 7,9,11,13, 15}

Γ=

{4, 8, 12}

Δ

= {1, 2, 5, 1Ο}

Ε

= {8, 3, 1, 5}

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

-----~-----------------<----_

(β) ν(Α)

. ------_.----,-

.

= 15

ν (Β) =

Κάθε στο/χε[ο του συνόλου το γράφω μόνο μ/αφορά.

8

ν(η

=3

ν(Δ)

=4

u

ν(Ε)

= 4

ο

ο

Αν Α = {Τα γράμματα της λέξης «μόρφωσψ>} Β = {Οι κάτοικοι της Λευκωσίας} Να κάνετε το διάγραμμα των συνόλων Α και Β.

Α = {μ, ο, ρ, φ, ω, σ, η}

Γράφουμε πρώτα τα στοιχεία του συ­ νόλουΑ.

Α Β

u ο

ο

11

2.

ΤΑ ΙΥΝΟΛΑ

1.

Να γράψετε με αναγραφή τα πιο κάτω σύνολα και να βρείτε τον πληθικό αριθμό τους: Α

= {Τα γράμματα της λέξης «σύνολα»}

Β

= {Τα ψηφία του αριθμού 302 043}

Γ

= {Οι πόλεις της Κύπρου}

Δ = {Οι μήνες του χειμώνα}

2.

Να γράψετε με περιγραφή τα σύνολα και να βρείτε τον πληθικό αριθμό τους: Α = {Ιούνιος, lούλιος, Αύγουστος}

Β

= {Πέμπτη, Παρασκευή}

Γ= {Ο,

3.

1,2,3,4}

Να εξετάσετε, αν οι πιο κάτω φράσεις ορίζουν σύνολο: (α) Τα ωραία χωριά της Κύπρου.

(β) Οι μαθητές του σχολείου μας με βαθμό

14 στα Ελληνικά.

(γ) Οι ποδοσφαιρικές ομάδες της Ν κατηγορίας. (δ) Τα ψηλά δέντρα του σχολείου. (ε) Οι μεγάλοι αριθμοί.

4.

Αν

Α = {Οι φυσικοί αριθμοί από το

10 μέχρι και το 23}

Β = {Χ/Χ ψηφίο του αριθμού 230

151}

= {Τα πολλαπλάσια του 5 μικρότερα του 30} Δ = {Οι διαιρέτες του 30} Γ

να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα Α, Β, Γ, Δ και στη συνέχεια να βρείτε τον πληθικό αριθ­ μότους.

5. Να βρείτε δύό σύνολα που να μην είναι καλά ορισμένα και να δικαιολογήσετε το γιατί.

12

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

• Ας πάρουμε τα σύνολα: Α

= {Οι μέρες της εβδομάδας που αρχίζουν από Δ}

Β

= {Τα ψηφία του αριθμού 896 που είναι μικρότερα του 5}

Γ

= {Οι περιποί αριθμοί}

Έχουμε: Α = {Δευτέρα} Β={ Γ=

}

ή

0

{1,3,5, 7, ... }

Ονομάζουμε το σύνολο Α μονομελές, διότι έχει ένα στοιχείο. Ονομάζουμε το σύνολο Β κενό, διότι δεν έχει στοιχεία. Το κενό σύνολο το συμβολίζουμε με

{ }

ή

0.

Ονομάζουμε το σύνολο Γ απειροσύνολο, διότι έχει άπειρο αριθμό στοιχείων.

• Ας πάρουμε το σύνολο {οι μαθητές της τάξης μου}. Με αυτό το σύνολο μπορούμε να σκεφτούμε και μερικά άλλα. Δ

= {οι μαθητές της τάξης μου που φορούν γυαλιά}

Ε

= {οι μαθητές της τάξης μου που έχουν γαλανά μάτια}

Ζ

= {τα αγόρια της τάξης μου}

Ονομάζουμε το σύνολο {οι μαθητές της τάξης μου} σύνολο ανα­ φοράς ή υπερσύνολο των συνόλων Δ, Ε και Ζ που βρίσκονται στο σύνολο αναφοράς.

Το σύνολο αναφοράς το συμβολίζουμε με Ω. Έτσι έχουμε Ω

= {οιμαθητέςτηςτάξης

μου}.

13

2.

ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ

Αν έχουμε ένα στοιχείο και ένα σύνολο, τότε το στοιχείο αυτό είτε ανήκει είτε δεν ανήκει στο σύνολο και αυτή τη σχέση τη συμβολί­ ζουμε με Ε ή ~.

Το σύμβολο

Ε

σημαίνει ανήκει'

Το σύμβολο

~

σημαίνει δεν ανήκει'

Ας πάρουμε το σύνολο Α

= {1, 3, 5, 7, 9}.

Για να δηλώσουμε ότι ο αριθμός 5 είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε:

5

Ε

Α

διαβάζουμε:

το

5 ανήκει στο Α

Για να δηλώσουμε ότι ο αριθμός 4 δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε:

4

~

Α

διαβάζουμε:

το

4 δεν ανήκει στο Α.

• Ας πάρουμε τα σύνολα Α = {Τα ψηφία του αριθμού

33 142}

Β = {Οι φυσικοί αριθμοί που είναι μικρότεροι του

5}.

Έχουμε: Α

= {3, 1, 4, 2}

Β =

{1, 2, 3, 4}

Παρατηρούμε ότι τα σύνολα Α και Β έχουν ακριβώς τα ίδια στοι­

χεία. Στην περίmωση αυτή λέμε ότι τα σύνολα Α και Β είναι ίσα και γράφουμε Α

= Βή Β = Α.

• Δυο σύνολα Α και Β που έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό, λέμε ότι είναι ισοδύναμα και γράφουμε Α '" Β. Είναι φανερό ότι δύο ίσα σύ­ νολα είναι και ισοδύναμα ενώ δύο ισοδύναμα σύνολα δεν είναι κατ' ανάγκη και ίσα.

• Ας πάρουμε τα σύνολα 14

Α={1,2,Ο,3,6}

Το διάγραμμα τους θα είναι:

Β={1,6,Ο}

Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία του συνόλου Β είναι και στοιχεία του

Α

συνόλου Α. Το σύνολο Α περιέχει επιπλέον και τα στοιχεία 2, 3 που δεν είναι στοιχεία του συνόλου Β. Στην περίmωση αυτή λέμε ότι το

σύνολο Β είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Α. Γράφουμε:

Β

c

Α

Διαβάζουμε: Το Β είναι γνήσιο υποσύνολο του Α Αν πάρουμε τα σύνολα Γ = {οι μαθητές του τμήματος Β 3 } Δ = {οι μαθητές του τμήματος Β3 που παίζουν μπάλα}. Παρατηρούμε ότι μπορεί να παίζουν μπάλα μερικοί μόνο μαθητές του Β 3 .

Τότε γράφουμε:

ΔcΓ

Μπορεί όμως να παίζουν μπάλα όλοι οι μαθητές του Β3 . Τότε όλα τα

στοιχεία του συνόλου Δ είναι τα ίδια με τα στοιχεία του συνόλου Γ. Τότε γράφουμε:

Δ=Γ

Στην περίmωση αυτή που μπορεί το Δ να είναι γνήσιο υποσύνολο του Γ ή ίσο με το Γ, γράφουμε:

Δ ς;; Γ

c

και ς;;

λέγονται σύμβολα εγκλεισμού γιοτ{ δε{χνοuν ότι κάποιο σύνολο εγκλε{εται ή περιέχεται σε κάποιο άλλο σύνολο.

διαβάζουμε: Το Δ είναι υποσύνολο του Γ

ο

<

:i,

Αν Κ = {α, ε, λ} να γραφούν όλα τα υποσύνολα του Κ.

15

2.

ΤΑ ΙΥΝΟΛΑ

{ },

{α}, {ε}, {λ}, {α, ε}, {α, λ}, {ε, λ}, {α, ε, λ} .

Ας πάρουμε τα σύνολα

•

Ω

= {Οι οικογένειες της Λευκωσίας}

Α

= {Οι οικογένειες της Λευκωσίας που έχουν μόνο ένα αυτοκίνητο}

Β = {Οι οικογένειες της Λευκωσίας που έχουν περισσότερα από ένα αυτοκίνητα}

Το διάγραμμά τους θα είναι όπως πιο κάτω:

Ω

Οό

ο ο ο

Τ α σύνολα Α και Β λέμε ότι είναι ξένα μεταξύ τους .

•

Ας πάρουμε τα σύνολα Ω

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}

Α

= {Οι φυσικοί αριθμοί μικρότεροι του 6}

Β

= {Οι περιποί αριθμοί μικρότεροι του 8}

Το Ω είναι το σύνολο αναφοράς. Τα σύνολα Α και Β είναι υποσύνολα του Ω. Έτσι έχουμε: Α= {1,2,3,4,5}και

Β

= {1, 3, 5, 7}

Τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β είναι τα 1, 3, 5 μόνο.

Άραούτε Α

Ω Α

Β

~

~

.6

c Β ούτε Β c Α.

Τα διαγράμματά τους είναι όπως φαίνεται δίπλα: Το σύνολο αναφοράς Ω το παριστάνουμε συνήθως με ένα

.8

ορθογώνιο .

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου -------------_.-

1.

ΑνΑ= (α)

{2,4,5,6, 10}, Β = {Οιπεριποίαριθμοί} και Γ= {Ο} να βάλετε ΙΙΙστιςορθέςσχέσεις:

6Ε

Α

(δ) ν(Α)

=5

(ζ) Ο Ε Β (ι) ν(Γ)

(ιγ) ν(Γ)

=

(β)

4έ Α

(ε)

9Ε

(η) ν(Β)

(ια) Γ

Ο

Β

(στ)

12έ Β 5έ Α

(θ) Α

=5

= { }

(ιδ) ν(Α)

= 1

(γ)

= 1Ο

= {}

(ιβ)

56Ε Α

(ιε)

{4, 6} Ε Α

2. Να εξετάσετε ποια από τα σύνολα είναι ίσα και ποια ισοδύναμα:

= {Ο, 1,3, 5}

Α

= {1, 3, 5}

Β

Γ

= {5, 1,3}

Δ=

{5,3,0}

Ε

=

{Τα ψηφία του αριθμού

Ζ

= {Τ α ψηφία του αριθμού 103050}

113555}

3. Να εξετάσετε αν τα σύνολα είναι ίσα. Β

Α = {α, ο, ι}

4.

{Τα φωνήεντα της λέξης «κορίτσια»}

Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε τα δύο σύνολα να είναι ίσα. (α) {α, β,

5.

=

_' δ} = {_, γ, δ, α}

(β)

{3,_,_, 5, 7} = {1, 4,_, 7,_}

(γ)

(2, 5, _}

Αν Α

= {5, _' _}

= {Οδυσσέας, Μάριος, Άγγελος, Σάββας}, να γράψετε όλα τα υποσύνολα του συ­

νόλου Α που έχουν πληθικό αριθμό 2.

6.

Αν Α

= {οι άρτιοι αριθμοί από το 2 μέχρι και το 20} να γράψετε τα στοιχεία των πιο κάτω

υποσυνόλων του Α.

Β

= {πολλαπλάσια του 3}

Γ

= (πολλαπλάσια του 4}

Δ

= {Οι φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 12}

2.

ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ

7.

Να συμπληρώσετε τα κενά χρησιμοποιώντας το διάγραμμα. (ί)

......... cB

(ίί) Β

c ........ .

(ίίί) Γ ς; .........

8.

Δίνονται τα σύνολα Α

= {1, 2, 5, 7, 8}

Β =

Γ

{2, 8, 7}

και

= {τα ψηφία του αριθμού 2278}

Να συμπληρώσετε το κενό με ένα από τα σύμβολα Ε, "', =, c.

18

(α)

Β

......... Α

(δ)

{8} .........

Β

(β)

2 ......... Α

(γ)

(ε)

9 ......... Α

(στ)

Β

......... Γ

27 ......... Γ

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Ένωση συνόλων Ας πάρουμε τα σύνολα Α

= {2, 4, 6, 8}

και Β

= {1, 2, 3, 4, S}, που

ανήκουν στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Αν σχηματίσουμε ένα νέο σύνολο που να αποτελείται από τα στοιχεία των συνόλων Α και Β, τότε αυτό ονομάζεται ένωση των συνόλων Α

και Β, συμβολίζεται Α Έτσι έχουμε Α

u

Β

u

Β και διαβάζεται "Α ένωση Β».

={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

Μπορούμε να το δείξουμε αυτό με το πιο κάτω διάγραμμα. Η σκιασμένη περιοχή παριστάνει το σύνολο Α

Η πράξη Α

u

u

Β.

Ω

Α

Β

Β ονομάζεται ένωση των

δύο συνόλων. Το αποτέλεσμα της πράξης ονομάζεται επίσης ένωση των δύο συνόλων.

Στο πιο πάνω διάγραμμα της ένωσης, το κάθε στοιχείο γράφεται μόνο μια φορά.

Αν σκεφτούμε τι σημαίνει ένωση δύο συνόλων Α και Β, μπορούμε να γράψουμε: Αυ Β = {χ/χε Α

Α

u

Β

ή χε Β}, δηλαδή

= {όλα τα στοιχεία χ τέτοια ώστε το κάθε χ να ανήκει στο Α ή στο Β}

Α

ug

= g u Α = Α. Το g είναι το ουδέτερο στοιχείο της ένωσης συ­

νόλων.

19

2.

ΤΑ ΙΥΝΟΛΑ

Ας πάρουμε τα σύνολα Α

= {2, 4, 6, 8}

και Β

= {1, 2, 3, 4, 5} που

ανήκουν στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Αν σχηματίσουμε ένα νέο σύνολο που να αποτελείται από τα στοιχεία

που ανήκουν και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β, δηλαδή τα κοινά Ω

Α

Β

τους στοιχεία, τότε το σύνολο αυτό ονομάζεται τομή των συνόλων

Α και Β, συμβολίζεται με Α n Β και διαβάζεται "Α τομή Β". Έτσι έχουμε

Αn Β

= {2, 4}

Μπορούμε να δείξουμε αυτό με το διπλανό διάγραμμα. Η σκιασμένη περιοχή παριστάνει το σύνολο Α n Β

Αν σκεφτούμε τι σημαίνει τομή δύο συνόλων Α και Β, μπορούμε να γράψουμε:

Α

n

Β = {Χ/Χ Ε Ακαιχ Ε Β}, δηλαδή

Α

n

Β = {όλα τα στοιχεία που ανήκουν και στο Α και στο Β}

Συμπλrlρωμα σuvολtΗJ

Ας πάρουμε τα σύνολα Ω= Α

{1,2,3,4,5,6,7,8}

= {2, 4, 6, 8}

και

Β={1,2,3,4,5}

20

.

Μαθηματικά Α'Γυμνασίου

Τα στοιχεία του συνόλου αναφοράς Ω που δεν περιέχονται στο Α, αποτελούν ένα σύνολο που λέγεται συμπλήρωμα ή συμπληρωματι­

κό του Α ως προς το Ω και συμβολίζεται ΑΏ ή Α'. Έτσι έχουμε

Α'

= {1,3,5, 7}

Β'

= {6, 7, 8}

Μπορούμε να τα δείξουμε αυτά με τα πιο κάτω διαγράμματα. Ω

Η σκιασμένη περιοχή παριστάνει

Η σκιασμένη περιοχή παριστάνει

το συμπλήρωμα του Α.

το συμπλήρωμα του Β.

Πα να υπάρχει το συμπλήρωμα των Α και Β ως προς το Ω, πρέπει τα σύνολα Α και Β να είναι υποσύνολα του Ω.

Παράδειγμα

1.

Δίνονται τα σύνολα Ω={Χ/Χ$13, Χε Ν}

Α

= {τα πολλαπλάσια του 3}

Β

= {οι άρτιοι φυσικοί αριθμοί}, όπου Α, Β υποσύνολα του Ω

(α) Να βρεθούν τα στοιχεία των πιο πάνω συνόλων. (β) Να γίνει το διάγραμμα των πιο πάνω συνόλων. (γ) Χρησιμοποιώντας το διάγραμμα, να γραφούν με αναγραφή τα σύ­ νολα: (ί)ΑυΒ

(ν) (Α u Β)'

(ίi)

An

(νί) Α'

n

Β Β'

(ίίί) Α' (νίί)

An

(ίν) Β' Β'

21

2.

ΤΑ ΙΥΝΟΛΑ

(δ) Σε ξεχωριστά διαγράμματα να σκιαστούν τα σύ\'ι .λα: (ί) Αυ Β (ν) (Α

(α) Ω ΦυσικοΕ αριθμοΕ (Ν) Ν (1, 2, 3, ... ) Ω={X/X~'13}

=

Α Β

C C

Α

Ω Ω

u

(ίί) Α n Β

Β)'

n

Β'

(ίν) Β'

(νίί) Α n Β'

= {1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11, 12, 13}

= {3, 6, 9, 1'~}

Β={2,4,6,8,

(β)

(νί) Α'

(ίίί) Α'

1:), 12}

Ω Α

Β

.13 .1

(γ)

(ί) Αυ Β

= {2,3,4,6,8,9, 10, 12}

(ίί)

= {6, 12}

AnB

(iίί) Α'

=

{1,2,4,~,7,8,

(ίν) Β'

= {1,3,5, 7, ), 11, 13}

10, 11, 13}

(ν) (Α

u

Β)'

= {1, 5, 7,1 ,13}

(νί) Α'

n

Β'

= {1, 5, 7,11, 13}

(νίί) Α n Β'

= {3, 9}

(δ)ΙΩ ω Ι (ί)

ΓωllΩωι (ίί)

(ίίί)

ΙΩω IΙΩωlΙΩω Ι (ίν)

(ν),(νί)

(νίί)

ΠαράδεΙΥμα

2

Οι αριθμοί μέσα στα σύνολα στο διπλανό διάγραμμα, δηλώνουν τον αριθμό των στοιχείων στο κάθε σύνολο, δηλαδή τον πληθικό αριθμό του κάθε συνόλου.

Να χρησιμοποιηθεί το διάγραμμα για να βρεθούν: (α) ν(Α)

(β) ν(Β)

(δ) ν(Β')

(ε) ν(Α

(ζ) ν(Α'

n

Ω

(γ) ν(Α')

u

Β)

Β)

(η) ν[(Α

n

= 9

(β) ν(Β)

= 7

(στ) ν(Α

Β

Β)

n

(θ) ν[(Α

Β)']

Α

Β)']

u

.8

Λύση: (α) ν(Α) (δ) ν(Β')

= 13

(ζ) ν(Α'

Β)

n

Παράδε,γιια

= 3

(ε) ν(Αυ Β) (η) ν[(Α

n

(γ) ν(Α')

= 12

Β)']

= 16

(στ)

= 11

v(An

(θ) ν[(Α

Β)

u

= 4

Β)']

= 8

3

Οι αριθμοί στο διάγραμμα δηλώνουν τον πληθικό αριθμό κάθε συνόλου.

Ω

Π

γ

Π: Το σύνολο των μαθητών του ~ που έχουν ποδήλατο. γ:

Το σύνολο των μαθητών του ~ που έχουν ηλεκτρονικό

.4

υπολογιστή.

Να χρησιμοποιηθεί το διάγραμμα για να βρεθεί πόσοι μαθητές του

~έxoυν: (α) ποδήλατο

(β) και ποδήλατο και υπολογιστή

(γ) είτε ποδήλατο είτε ύπολογιστή (δ) μόνο υπολογιστή (ε) ούτε ποδήλατο ούτε υπολογιστή (στ) μόνο ποδήλατο

23

ΤΑ ΣγΝΟΛΑ

Λύση:

(α) ν(Π)

= 20

(δ) ν\{

ΠΙ

n

Παράδειγμα

=8

(β) ν(Π n Υ)

=6

(ε) ν\{ υ Π)'

=4

(γ) ν(Π υΥ) = (στ) ν(Π

n Υ}

28

= 14

4

= {οι αθλητές του σχολείου μας} Γ = {οι αθλητές του σχολείου μας που παίζουν καλαθόσφαιρα}

Αν Ω

Δ = {οι αθλητές του σχολείου μας που παίζbυν πετόσφαιρα}

= {οι αθλητές του σχολείου μας που παίζουν μόνο ποδόσφαι­

Ε

ρο},

να περιγραφεί με λόγια το σκιασμένο μέρος των συνόλων στα πιο κά­ τω διαγράμματα: (β)

(ο)

Ω

(γ) ~------------~

Γ

Ω

Δ

Γ

Δ

ω Ε

ω Ε

ο

ο

Ω

Γ

Δ

ωο

Λύση:

(α) {οι αθλητές του σχολείου μας που παίζουν καλαθόσφαιρα και πε­ τόσφαιρα}

(β) {οι αθλητές του σχολείου μας που παίζουν καλαθόσφαιρα μόνο} (γ) {οι αθλητές του σχολείου μας που παίζουν ή καλαθόσφαιρα μό­ νο ή ποδόσφαιρο μόνο}

24

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1. Αν

Ω

= {οιμαθητές της τάξης μου} Ω έχουν πράmνα μάτια}

Λ

Κ

Λ

ω

Κ = {οι μαθητές της τάξης μου που

= {οι μαθητές της τάξης μου που έχουν Α στα Μαθηματικά}

να σκιάσετε σε ξεχωριστά διαγράμματα τα πιο κάτω: (α)

{οι μαθητές της τάξης μου που έχουν πράmνα μάτια και έχουν Α στα Μαθηματικά}

(β)

{οι μαθητές της τάξης μου που δεν έχουν πράmνα μάτια}

(γ)

{οι μαθητές της τάξης μου που δεν έχουν πράσινα μάτια και δεν έχουν Α στα Μαθηματικά}

2.

(δ)

{οι μαθητές της τάξης μου που έχουνπράmνα μάτια και δεν έχουν Α στα Μαθηματικά}

Αν

Ω

= {οιμαθητέςτου σχολείου μου}

Α

= {οι μαθητές του σχολείου μου που φοιτούν στην Α: τάξη}

Β = {οι μαθητές του σχολείου μου που είναι φίλοι μου}, να περιγράψετε με λόγια το σκιασμένο μέρος των πιο κάτω συνόλων Ω

Α

Β

ω

Ω

ΑΒ

Α

Β

,ωι (δ)

Ω

Α

Β

ω

ω

(β)

(γ)

(ο)

Ω

Ω

Α

Β

Ω

Α

Β

ωllOD (ε)

(στ)

25

2.

ΤΑ ΙΥΝΟΛΑ _~ _ _ _ _ A_' _

3. Αν

_ _ ' _ _ _ ' _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ' _ _ _ ._ _' _ '_ _ _ _ _ -,

Ω

= {οι φυσικοί αριθμοί από το 1 μέχρι και το 16}, Δ = {4, 8,12, 16} και Ζ = {2, 6,10,14, 16},

.

(α)

να κάνετε το διάγραμμα των συνόλων Ω, Δ και Ζ

(β)

να βρείτε τα στοιχεία του συνόλου Δ u Ζ

(γ)

να σκιάσετε, στο διάγραμμα που κάνατε, το σύνολο Δ

4. Αν

= {τα χρώματα του ουράνιου τόξου} Α = {κόκκινο, γαλάζιο, κίτρινο} και Ω

u

Ζ.

Ουράνιο τόξο

Β = {μπλε, κόκκινο, μωβ} (α)

να κάνετε το διάγραμμα των συνόλων Ω, Α και Β.

5.

(β)

να σκιάσετε το σύνολο Α Γ'Ι Β

(γ)

να βρείτε τα στοιχεία του συνόλου Α Γ'Ι Β.

Αν

Ω

= {τα γράμματα της λέξης ,(rριγωνoμετρία»}

Α = {τα γράμματα της λέξης «μετρώ»} Β

ι

(α)

να γράψετε τα στοιχεία των συνόλων Ω, Α και Β.

(β)

να κάνετε το διάγραμμα των συνόλων Ω, Α και Β.

(γ)

να γράψετε τα στοιχεία των πιο κάτω συνόλων: (ί)

Α'

(ίν)

(Α

u

Β)'

(ίί)

Β'

(ίίί)

Αυ Β

(ν)

A'u Β'

(νί)

Α' Γ'Ι Β

6. Να χρησιμοποιήσετε το πιο κάτω διάγραμμα για να βρείτε: (α) ν(Α)

26

= {τα γράμματα της λέξης «γωνία»}

(β) ν(Α u Β)

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

(γ) ν(Β)

(δ) ν(Α

(ε) ν(Α')

(σr) ν[(Α

(]

Β)']

(η) ν(Α'

u

Β)'

(]

Β) Ω

(ζ) ν(Α'

(]

Β)

Αν ν(Α)

= 5,

ν(Β)

= 8 και

8. Αν ν(Α)

= 4,

ν(Β)

Αν ν(η

= 7,

ν(Δ)

7.

9.

Β

Α

Α

(]

Β

= { }, να βρείτε το

= 7 και

ν(Α

(]

Β)

= 2, να βρείτε το

ν(Α

u

= 5 και

ν(Γ u Δ)

= 8, να βρείτε το

ν(Γ

(] Δ),

10. Στο διπλανό διάγραμμα έχουμε:

ν(Α

Ω

u

Β),

Β),

Κ

Β

Ω = {oιμαθητέςτoυ~}, Κ = {οι μαθητές του ~ που παίζουν κιθάρα} Β = {οι μαθητές του ~ που παίζουν βιολί}

.18

Οι αριθμοί μέσα σrα σύνολα σro διάγραμμα δείχνουν τον πληθικό αριθμό του κάθε συνόλου, Να βρείτε πόσοι μαθητές παίζουν: (α) και τα δύο μουσικά όργανα (β) μόνο βιολί

(γ) βιολί ή κιθάρα (δ) ένα μόνο μουσικό όργανο, είτε βιολί είτε κιθάρα μόνο

11. (α) Στο πιο κάτω διάγραμμα να τοποθετήσετε τα σroιxεία των συνόλων: Ω

= {1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

Α=

{2,4,6,8, 10, 12}

= {4,8, 12} Γ = {3, 6, 9, 12}

Β

27

2.

ΤΑ ΙΥΝΟΛΑ

(β) Από το ίδιο διάγραμμα να βρείτε τα

σύνολα: (ί)

An Β

(ίίί) Α

n

(ii)

12.

(Γ

(νί) Α

n

n Β) n Γ

Ω

n

Α

Γ'

(νίίί) (Α u Β)'

Β)'

Να χρησιμοποιήσετε το διάγραμμα για να βρείτε τα στοιχεία των πιο κάτω συνόλων: (α) Α

(β) Αυ Β

(γ) Α u Β (ε) Γ

u

u Γ

(στ) Α

(θ) (Αυ Β)

..... ___ n

Ω

(δ) Γ'

Α

, ~ζμaΓl f)'

n

Β

n

Α

Γ

(η)ΒΓιΓ...

Γ

Πίνακας με τους κυριότερους συμβολισμούς αεΑ

Το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α.

α~A

Το στοιχείο α δεν ανήκει στο σύνολο Α.

{}

Άγκιστρα για την παράσταση κάποιου συνόλου. ...

Χ όπου Χ .. .

Χ/Χ ...

Χ όπου Χ .. .

o

Κενό σύνολο

AcB

Α είναι γνήσιο υποσύνολο του Β.

ΑςΒ

Α είναι υποσύνολο του Β.

ΑυΒ

Α ένωση Β.

AnB

Α τομή Β.

Χ: Χ

Το συμπλήρωμα του Α.

28

Β

@

(ίν) Αυ Γ

Γ

(ν) Α' (νίί)

(Α

Ω

Το σύνολο αναφοράς

ν(Α)

Πληθικός αριθμός του συνόλου Α.

Β

..r,

Από πείρα ξέρουμε ότι το παιδί, από πολύ μικρό, ακούοντας τους με­ γάλους να λένε ένα, δύο, τρία, τέσσερα, ... μαθαίνει τις λέξεις και φυσι­ κά τις επαναλαμβάνει. Πολύ γρήγορα προχωρεί στη σύνδεση των λέ­ ξεων με το πλήθος των αντικειμένων. Εδώ είναι παρατηρημένο πως το παιδί, κάθε τι που βλέπει, απλώνει το χέρι να το πιάσει Έτσι εξακριβώ­ νει το πλήθος με <<το πιάσιμο με το χέρι». Κατά τους παιδαγωγούς, το πιάσιμο με το χέρι βοηθά στην ανάmυξη της παιδικής σκέψης. Πολύ σημαντικό είναι πως το παιδί μετράει αντικείμενα της ίδιας κα­ τηγορίας. Έτσι μετρά τα μολύβια του χωριστά, τις γλάστρες της βε­

ράντας χωριστά, τις καρέκλες του δωματίου του χωριστά. Δηλαδή μετρά ομοειδή αντικείμενα. Δεν μετρά μαζί τη γάτα, το δέντρο και το ποδήλατο. Τούτο το κάνει από μόνο του χωρίς να του γίνει καμμιά σχετική υπόδειξη.

Με τη μέτρηση το παιδί εξασκεί την πνευματική του δύναμη, χαίρε­ ται και ικανοποιείται γι' αυτό και δεν κουράζεται να επαναλαμβάνει

το μέτρημα πολλές φορές.

-

Ενα τρενάκι, δύο, τρία,

... , δέκα τρενάκια.

-

Οκτώ κιλά μήλα, εννιά κιλά μήλα,

-

Δεκαπέντε βιβλία,

-

Θ' αγοράσω κι άλλα βιβλία, θα τα κάνω εκατόν πενήντα ...

... , είκοσι κιλά μήλα.

... , εκατό βιβλία.

Έτσι ο άνθρωπος έμαθε πρώτα να χωρίζει τα αντικείμενα σε κατη­ γορίες και μετά να μετράει τα αντικείμενα της κάθε κατηγορίας χρη­ σιμοποιώντας συγκεκριμένους αριθμούς. Μετά, κατέληξε να χΡησι­ μοποιείτους αφηρημένους αριθμούς

1, 2, 3,10,8,9,20,25,100, ...

29

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

§ 1. Εισαγωγή

1

Ι

2ΟΜ

900

:;?:;;>;;,,y/;:?-:,,/,;>//j//~P,~?7///}77 ,~~' / :.'~:/;~L?// ~ '1/ ~Δ/: //~::~J;~~~//.:~__ ~ Οι εικόνες δείχνουν μερικές περιmώσεις που χρησιμοποιούνται αριθ­ μοί σro περιβάλλον μας.

Με τους αριθμούς εκφράζουμε: .Το βάρος μας.

• Την τιμή πώλησης διαφόρων πραγμάτων. • Την απόσταση ενός σπιτιού από ένα δρόμο κτλ. •

Οι αριθμοί

1, 2, 3, 4, ... λέγονται Φυσlκοί Αριθμοί και το σύνολό

τους συμβολίζεται με Ν.

·

Δηλαδή Ν

= {1, 2, 3, 4, ... }

• Οι αριθμοί Ο, 1,2,3,4, 5, ... αποτελούν το σύνολο Ν ο • Δηλαδή Ν ο

= {Ο, 1,2,3, ... }

Φυσικός αριθμός, που να είναι μεγαλύτερος από όλους τους άλλους φυσικούς αριθμούς, δεν υπάρχει, διότι όποιο αριθμό και αν πάρου­

με υπάρχει πάντα μεγαλύτερός του.

30

• Οι αριθμοί που διαιρούνται με το δύο δηλαδή οιΟ, 2, 4, 6, 8,10, ... 'λέ­ γονται Άρτιοι (ΖuγοΟ (όσοι αριθμοί τελειώνουν σε Ο,

2, 4, 6, 8).

• Οι αριθμοί που δεν διαιρούνται με το δύο δηλαδή οι 1,3,5, 7, 9, 11, ... 'λέγονται Περιποί (ΜονοΟ (όσ~ι αριθμοί τελειώνουν σε 1, 3, 5, 7,9). • Αν ένας φυσικός αριθμός αναφέρεται σε κάτι συγκεκριμένο, πχ

8 μήλα, 15 μαθητές, κτλ ονομάζεται συγκεκριμένος.

• Αν όμως δεν αναφέρεται σε κάτι συγκεκριμένο και είναι απλά ένας αριθμός, ονομάζεται αφηρημένος. Πχ.

8, 15, .,. κτλ.

§ 2. Σύγκριση αριθμών στο σύνολο Να • Τα 8 πρόβατα είναι περισσότερα από τα 4 πρόβατα ή ο αριθμός 8 είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό

4 και το συμβολίζουμε 8 > 4

(έχουμε ανισότητα).

• Οι 15 μαθητές είναι λιγότεροι από τους 20 μαθητές ή ο αριθμός 15 είναι μικρότερος από τον αριθμό

20 και το συμβολίζουμε 15 < 20

(έχουμε ανισότητα).

• Ο Αντρέας κρατά € 15. Ο Γιώργος που κρατά κι αυτός € 15, έχει το ίδιο ποσό χρημάτων με τον Αντρέα ή ο αριθμός αριθμό

15 και το συμβολίζουμε 15

15 ισούται με τον

= 15 (έχουμε ισότητα).

§ 3. Ιδιότητες ισοτήτων και ανισοτήτων Ανακλοσl1κη

Καθε φυσικός αριθμός είναι ίσος με τον εαυτό του.

Δηλαδή

Γενικά

2 = 2, α

10

= 10

156

= 156, ...

Όταν μια σχέση ισχύει για οποιουσδήποτε αριθμούς, στη θέση των αριθμών χρησιμοποιούμε γράμμστα.

=α

31

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

Συμμετρική

Αν ένας φυσικός αριθμός είναι ίσος με κάποιο δεύτερο φυσικό αριθ­ μό, τότε και ο δεύτερος φυσικός αριθμός είναι ίσος με τον πρώτο. Γενικά

Μεταβατική Αν ένας φυσικός αριθμός είναι ίσος με κάποιο δεύτερο φυσικό αριθ­ μό και ο δεύτερος φυσικός αριθμός είναι ίσος με κάποιο τρίτο, τότε και ο πρώτος αριθμός είναι ίσος με τον τρίτο αριθμό. Γ

Γενικά

~

Ι αν α_______ = β και β =_______ γ τότε_________ α =γ Ι ,~_~~

~_~

~

~J

• Άραγε ισχύουν οι πιο πάνω ιδιότητες και στις ανισότητες; Δηλαδή

αν 8

> 5 τότε ισχύει 5 > 8; Όχι!

ή

αν 7 < 9 τότε ισχύει 9 < 7; Όχι!

Άρα δεν ισχύει η συμμετρική ιδιότητα στις ανισότητες. Γενικά

αν α

ή

αν α< β δεν ισχύει β < α

Επίσης

αν 10> 6 και 6> 3τότε 10> 3

ή

αν 5 < 8 και 8 < 16 τότε 5 < 16

Γενικά

αν α > β και β > γ τότε α > γ

ή

αν α < β και β < γ τότε α < γ

>

β δεν ισχύει β

>

α

Άρα ισχύει η μεταβατική ιδιότητα και στις ανισότητες. Παρατηρήσεις:

, Προσθέτουμε και στα δύο μέλη της

ισότητας τον

Ι.

Αν 8

= 6 + 2 τότε 8 + 3 = (6 + 2) + 3

=β ~ α + γ =β + γ

αριθμό 3.

Γενικά, αν α

Έχουμε πάλι ισότητα.

Το σύμβολο ~ το γράφουμε για να δηλώσουμε

(1)

ότι από την πρώτη σχέση προκύmει η δεύτερη σχέση.

32

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Το σύμβολο:::::} το διαβάζουμε «συμπεραίνουμε» ή «συνεπάγεται».

Αν

ΓπαρατηΡΟύμε ότι αν προ- Ι

i σθέσουμε και στα δύο μέλη

Αντίστροφα

Ι μιας ισότητας τον ίδιο αριθμό

8 + 3 = (6 + 2) + 3 :::::} 8 = 6 + 2

Γενικά αν α + Υ = β + Υ :::::} α = β Οι συνεπαγωγές

i

έχουμε πάλι ισότητα.

ι

(2)

(1) και (2) γράφονται:

α=β <=:>α+Υ=β+Υ Το σύμβολο <=:> το διαβάζουμε «ισοδυναμεί με» και σημαίνει ότι: Όταν είναι ορθή η πρώτη σχέση είναι ορθή και η δεύτερη και αντίστροφα, όταν είναι ορθή η δεύτερη σχέση είναι ορθή και η πρώτη σχέση.

11.

Αν 8 =

6

+2

:::::} 8 - 3 = (6

+ 2) -

~φαΙΡOύμε και από τα δύο μέλη της ισότητας τον

3

l

Γενικά αν α = β :::::}α-Υ= β-Υ (1) Αντίστροφα Αν 8 -

3

= (6 + 2) - 3

:::::} 8

=6 + 2

Γενικά αν α - Υ = β - Υ :::::} α = β Οι συνεπαγωγές

(2)

(1) και (2) γράφονται:

α Ρ Ιθμό3.

Έχουμε πάλι ισότητα.

ι

i Παρατηρούμε όπ αν αφαιρέσουμε και από τα δύο μέλη

Ι μιας ισότητας τον ίδιο αριθμό έχουμε πάλι ισότητα.

α=β <=:>α-Υ=β-Υ ~

i α=β <=:>α+Υ=β+Υ

!

α=β <=:>α-Υ=β-Υ L _______ _

33

3. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

111.

:Πολλαπλασιάζουμε και τα

:δύο μέλη της ισότητας με :

τον αριθμό 3. 'Εχουμε πάλι

Αν 8·3

= (6 + 2) ·3

Γενικά αν α

; λαπλασιάσουμε και τα δυο : μέλη μιας ισότητας με τον

.γ =

Οι συνεπαγωγές

αριθμό έχουμε πάλι

(1)

β

(1)

=} 8

=6 + 2

. γ =}

α

και

(2)

=

β

(2)

γράφονται:

α=β~α·γ=β·γ

, ισότητα.

--~

..

_..

------

---

- - -----

IV. Αν 8 = 6

:Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ισότητας με τον αριθμό

+ 2 =} 8 : 2 =

Γενικά αν α

i

2.

=

β

(6

=} α: γ =

+ 2)

:2

β: γ

(1)

Αντίστροφα

'Έχουμε πάλι ισότητα.

Αν 8 : 2

= (6 + 2) : 2 =} 8 = 6 + 2

Γενικά αν α : γ

.. Παρατηρούμε ότι αν διαιρέ­ ,

+ 2) . 3

Αντίστροφα

, Παρατηρούμε ότι αν πολ­

-_._--

8 = 6 + 2 =} 8 . 3 = (6

Γενlκάανα=β =}α·γ=β·γ

:

ισότητα.

. ίδιο

Αν

σουμε και τα δυό μέλη μιας ;

= β: γ =} α = β (2)

Οι συνεπαγωγές

ι

:ισότητας με τον ίδιο αριθμό

(1) και (2) γράφονται:

α=β~α:γ=β:γ

έχουμε πάλι ισότητα.

α=β ~α.γ=β.γ

, γ "* ο (γ διάφορο του μηδενός)

α=β~α:γ=β:γ

Αξιόλογη παρατήρηση:

Αν πάρουμε τις ισοδυναμίες:

Προσθέτουμε 3 kg στον κάθεδίσκο

34

χ=ψ

χ+ 3 =ψ+3

χ=ψ

χ-5=Ψ-5

χ=ψ

2χ = 2ψ

Χ

=Ψ

Χ:4=Ψ:4ή~=t

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Στην αντίστροφη πορεία της ισοδυναμίας, η διαδικασία λέγεται δια­ γραφή. Δηλαδή, χ+3=ψ+3

{:::>

χ

χ-5=ψ-5

{:::>

Χ= Ψ

2χ

=

2ψ

Χ:4=Ψ:4ή~=t

=

ψ

{:::>

χ=ψ

{:::>

χ=ψ

Διπλασιάζουμε το βάρος στον κάθε δίσκο

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ισοτήτων να συμπληρωθούν τα κενά στις πιο κάτω ισοδυναμίες.

1.

α+9=β+9

{:::>

•...••...

α+9=β+9

{:::>

α=β

χ-12=ψ-12

{:::>

Χ

χ-12=ψ-12

{:::>

Χ =ψ

5χ= 10ψ

{:::>

Χ

=β

Λύση:

2.

Διαγράφουμε και από τα δύο μέλη τον προσθετέο 9.

= ........ .

Λύση:

3.

Διαγράφουμε και από τα δύο μέλη τον αφαιρετέο

12.

= ........ .

Λύση: 5χ

=

5χ=

10ψ

5'

2ψ

4. 25 + ω =37

Γράφουμε το {:::>

Χ =2ψ

{:::>

ω

= .........

{:::>

ω

= 12

ντα

10 σαν 5' 2. Διαγράφουμε τον παράγο­ 5 και από τα δύο μέλη.

Λύση:

25 + ω = 37 25 + ω = 25 + 12

Γράφουμε τον 37 σαν 25

+ 12. Διαγράφουμε τον προ­

σθετέο 25 και από τα δύο μέλη.

35

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

5.

72:9=γ:9

<=>

γ

= ........ .

Λύση:

<=> 72

72:9=γ:9

Διαγράφουμε το διαιρέτη

=γ ήγ=72

9 και από τα δύο μέλη.

•

Από το περίπτερο της γειτονιάς μου αγόρασα ένα περιοδικό που στοίχιζε 94 σεvτ και μια σοκολάτα 23 σεvτ. Πλήρωσα συνολικά

•

Είμαι

•

Κρατώ

...... σεvτ.

12 χρονών. Μετά από 16 χρόνια θα είμαι ...... χρονών. 175

σεvτ και ο πατέρας μου έδωσε ακόμη

Επομένως τώρα Kραrώ

50

σεvτ.

...... σεvτ.

• Σήμερα έτρεξα 15 χιλιόμετρα. Αύριο θα τρέξω 8 χιλιόμετρα περισσότερα. Δηλαδή αύριο θα τρέξω ...... χιλιόμετρα.

• Η πράξη που μας επιτρέπει να δώσουμε απάντηση στα πιο πάνω παραδείγμαrα είναι η πρόσθεση.

•

Το σύμβολο που χρησιμοποιούμε για την πράξη αυτή είναι το

+ και

ονομάζεται συν ή στην καθομιλουμένη και

• Η πράξη της πρόσθεσης μπορεί να γίνει οριζόντια ή κατακόρυφα. Η διαδικασία που ακολουθούμε είναι γνωστή από το Δημοτικό.

36

94+23=117

ή

94 23 + 117

12 + 16 = 28

ή

12 16 + 28

175 + 50 = 225

ή

175 50 + 225

15+8=23

ή

15 8 + 23

•

r Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

• Οι αριθμοί 94,23, 12, 175,50, 15,8 στα πιο πάνω παραδείγματα ονομάζονται προσθετέοι και το αποτέλεσμα 117, 28, 225, 23 της κάθε πρόσθεσης ονομάζεται άθροισμα.

Να υπολογιστεί το άθροισμα 1586

+ 342.

10ςτgόΠQς:

Βρίσκουμε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης οριζόνπα.

1586 + 342 = 1928 20ςτgόπος:

1586 342

Βρίσκουμε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης κοτακόρυφα.

+

1928

Αν α = 87 και β = 36 τότε το άθροισμα α

α

+β

είναι ..... .

Στη θέση του α βάζουμε τον αριθμό 87 που λέγεται αριθμητική τιμή του α.

+ β=87 + 36

Στη θέση του β βάζουμε τον αρθμό 36 που λέγεται αριθμητική τιμή του β.

= 123

Μετά κάνουμε την πρόσθεση .

• Η εργασία αυτή λέγεται αντικατάσταση, διότι αντικαθιστούμε τα γράμματα με τις αριθμητικές τιμές τους για να μπορούμε να κά­ νουμε την πράξη της πρόσθεσης.

Αν

Χ = 16, Ψ = 25 και Ψ = 43, να υπολογιστεί το άθροισμα

250

+ Χ + 17 + Ψ + ω.

250

+ χ + 17 + Ψ + ω

= 250 =351

+ 16 + 17 + 25 + 43

Ανπκαθιστούμε τα γρόμματα με τις αριθμητι­

κές τους τιμές. Κάνουμε την πρόσθεση.

37

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

Παράδειγμα

4

Σε ένα λεωφορείο μπήκαν

18 άντρες και 23 γυναίκες. Έμειναν 9 θέ­

σεις κενές. Πόσες θέσεις συνολικά έχει το λεωφορείο;

18 + 23 + 9 = 50 Το λεωφορείο έχει συνολικά 50 θέσεις.

1.

Στις πιο κάτω προσθέσεις να αναφέρετε:

(α) Ποιοι είναι οι προσθετέοι; (β) Ποιο είναι το άθροισμα; (ί) 18

2.

3.

38

+ 59 = 77

(ίί)

α

+β=γ

(ίίί)

130 = 60 + Ψ + χ

Να γράψετε την πρόσθεση κατακόρυφα και να βρείτε το άθροισμα: (α)

42 + 26

(β)

584 + 49

(δ)

58 + 30 + 79

(ε)

7865 + 7 + 385 + 62

(β)

42 + 620

(γ)

3 + 16 + 184

(γ)

670 + 105 + 3004

Να βρείτε το άθροισμα: (α)

48 + 500

(δ)

5 + 12 + 1820

4.

Αν α =

1Ο

και β =

5.

Αν α

= 25 + 7 και β = 23, να βρείτε το άθροισμα α + β.

6.

Αν Χ

= 83,

7.

Αν Χ = 12, Ψ

8.

Αν α

Ψ =

42

23, να βρείτε το άθροισμα

και ω

= 30 + Χ

= 5, β = 15

και γ

α

+ β.

= χ +7να βρείτε το άθροισμα Χ + Ψ + ω.

και ω

= Ψ + 8, να βρείτε το άθροισμα Χ + Ψ + ω.

= α + β, να βρείτε το άθροισμα α + β + γ.

9.

Η Ελένη κρατά €20. Θα της δώσει η μητέρα της ακόμη

€80 δώρο για τα γενέθλιά της.

Για

να μπορέσει να αγοράσει μια εγκυκλοπαίδεια χρειάζεται ακόμη €45. Πόσα στοιχίζει η εγκυ­ κλοπαίδεια;

10. Ο κ. Κώστας αγόρασε ένα μεταχειρισμένο αυτοκίνητο €4.250. Έδωσε για κάποιες επι­ διορθώσεις του

€ 1600. Αν θέλει να κερδίσει €900, πόσα πρέπει να το πουλήσει;

11. Η κ. Δέσποινα πλήρωσε 480 σεντ για 4 κιλά ντομάτες, 1245 σεντ για 3 κιλά κιμά και 280 σε­ ντ για 2 κιλά μανιτάρια. Αν κρατά ακόμη 360 σεντ, πόσα κρατούσε πριν κάνει τα ψώνια της;

12. Σε ένα Γυμνάσιο η κάθε τάFη έχει 4 τμήματα. Στον πιο κάτω πίνακα φαίνεται πόσοι μαθητές είναι σε κάθε τμήμα. (α) Να υπολογίσετε το άθροισμα της κάθε γραμμής και να το τοποθετήσετε δίπλα στη στήλη

(i).

(β) Να υπολογίσετε το άθροισμα της κάθε στήλης και να το βάλετε κάτω στη γραμμή (ίί)

(γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα της στήλης (ί) και να το βάλετε στη θέση (ίίί). (δ) Να υπολογίσετε το άθροισμα της γραμμής (ίί) και να το βάλετε στη θέση (ίίί). (ε) Τι παρατηρείτε;

k

10

20

30

40

Τάξεις (ι)

Α

29

30

28

32

Β

27

32

28

30

Γ

30

29

31

27

(ιl)

Ο(ιιι)

39

3. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

§ 5. Ιδιότητες της πρόσθεσης Αντιμεταθετlκή ιδιότητα Τέσσερις μαθητές από Γυμνάσια της Πάφου και πέντε μαθητές από Γυμνάσια της Λεμεσού παρακολούθησαν ένα σεμινάριο. Την α' μέρα μπήκαν στην αίθουσα του σεμιναρίου πρώτοι 014 μαθη­ τές της Πάφου και μετά οι Μπήκαν συνολικά

5 μαθητές της Λεμεσού.

9 μαθητές, δηλαδή

4+5=9 Την β' μέρα μπήκαν στην αίθουσα του σεμιναρίου πρώτοι οι

5 μαθη­

τέςτης Λεμεσού και μετά 014 μαθητές της Πάφου.

Μπήκαν συνολικά

9 μαθητές, δηλαδή

5+4=9 Παρατηρούμε ότι ανεξάρτητα του ποιοι μαθητές μπήκαν πρώτοι στην αίθουσα του σεμιναρίου είτε της Πάφου είτε της Λεμεσού, το σύνολο των πιο πάνω μαθητών στην αίθουσα ήταν 9.

Αυτό ισχύει όχι μόνο για τους αριθμούς 4 και 5 αλλά για οποιουσδή­ ποτε αριθμούς:

16 + 12

= 12 + 16

135 + 47 = 47

+ 135

,-----~-_.--,

Γενικά

•

Ι α+β=β+α i L . _____ ._______J

Σε μια πρόσθεση δεν αλλάζει το αποτέλεσμα, αν αλλάξουμε τη σειρά των δύο προσθετέων. Αυτό ονομάζεται αντιμεταθετlκή ιδιότητα της πρόσθεσης. (Αν σε μια πρόσθεση αλλάξουμε τη σει­

ρά των δυο προσθετέων το αποτέλεσμα δεν αλλάζει). Προσεταιριστική ιδιότητα

Ας υποθέσουμε ότι το σεμινάριο του προηγούμενου παραδείγματος αποφασίζουν να παρακολουθήσουν και 3 μαθητές από Γυμνάσια της Λάρνακας.

Μαθηματικά Α' ΓυμναΌί Ί.υ

Την α μέρα μπήκαν σrην αίθουσα του σεμιναρίου πρώτοι οι 4 μαθη­ Ι

τές της Πάφου μαζί με τους 3 μαθητές της Λάρνακας και μετά οι

5

μαθητές της Λεμεσού. Μπήκαν συνολικά

12 μαθητές, δηλαδή (4 +3)

+ 5 =7 + 5 = 12

Τη βι μέρα μπήκαν σrην αίθουσα του σεμιναρίου πρώτοι οι 4 μαθητές της Πάφου και μετά οι 3 μαθητές της Λάρνακας μαζί με τους 5 μα­ θητές της Λεμεσού.

Μπήκαν συνολικά

12 μαθητές, δηλαδή 4

+ (3 + 5) = 4 + 8 = 12

Παρατηρούμε ότι ανεξάρτητα του αν οι μαθητές της Λάρνακας μπή­ καν μαζί με τους μαθητές της Πάφου ή μαζί με τους μαθητές της

Λεμεσού, το σύνολο των πιο πάνω μαθητών σrην αίθουσα ήταν Αυτό ισχύει όχι μόνο για τους αριθμούς 3,

12.

4 και 5 αλλά για οποιουσ­

δήποτε αριθμούς:

(23

+ 17) + 30 = 23 + (17 + 30)

152 + (56 + 38)

•

= 152 + (38 + 56) = (152 + 38) + 56

Σε ένα άθροισμα με τρεις προσθετέους επιτρέπεται να προ­ σθέσουμε πρώτα τους δύο πρώτους προσθετέους ή πρώτα τους δύο τελευταίους ή επιλεκτικά δύο, αφού προηγηθεί αVΤΙ­ μετάθεση. Αυτό ονομάζεται προσεταιριστική ιδιότητα της πρό­ σθεσης.

Γενικά

1ί3+3+9+Ί+5

g+9+3-1-i+5 23+9+(3+1)+5

α

+ β + γ = (α + β) + γ = α + (β +γ) : ,

ή α

+ β + γ = α + (γ + β)

i

= (α + γ)

!

+β Ι

Αφού λοιπόν δεν έχει σημασία ποιους αριθμούς προσθέτουμε πρώ­ τα, σε μια πρόσθεση με πολλούς, επιτρέπεται να παραλείπουμε τις παρενθέσεις.

3 +8+'3+1 t5

3. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

" __ " _ _ • _ _ ~ _ _ _ ~~ _ _ • _ _ _ _ .~_ • _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~ _ _ _ _ _ _ " •• _

~ __

+. _ _ _ _ _ >~ _ _ _ _ ~

_ _ _ _ 0. _ _ _ " . _ _ < • __ • _ _ ~

._,~ • _ _ _ ~ _ _ _ _ _ . " _ _ _ T_ • • _ _ _ _ _ ~ _ _ ~ _ _ ~ _ _ _ ~

Χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα

μπορούμε να υπολογίσουμε πιο γρήγορα ένα άθροισμα με πολλούς προσθετέους γιατί μπορούμε να τους προσθέσουμε κατά ομάδες και με όποια σειρά θέλουμε. Παράδειγμα

1

Να υπολογιστεί με τον πιο εύκολο τρόπο το άθροισμα

145 + 15 + 60.

Λύση: Προσεταιριστική ιδιότητα.

145 + 15 + 60 = (145 + 15) + 60 = 160 + 60 =220 Παραδειγμα

2

Να υπολογιστεί με τον πιο εύκολο τρόπο το άθροισμα

197 + 36 + 3.

Λύση: AvτιμεταθετΙKή ιδιότητα. !

Προσεταιριστική

: ιδιότητα.

197 + 36 + 3 = = = = Παράδειγμα

197 + (3 + 36) (197 + 3) + 36 200 + 36 236

3

Να υπολογιστεί με τον πιο εύκολο τρόπο το άθροισμα

(44 + 72)

+ 56.

Λίιση: . AvτιμεταθετΙKή ιδιότητα.

Προσεταιριστική ιδιότητα.

44 + 72 + 56 = 72 + 44 + 56 = 72 + (44 + 56) = 72 + 100 = 172 :γμα4

Να

υπολογιστεί

με

3 + 20 + 8 + 5 + 32.

42

τον

πιο

εύκολο

τρόπο

το

άθροισμα

•~

,

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου_

Λύση:

3 + 20 + 7 + 8 + 5 + 32 = (20 + 3) + 7 + 5 + 8 + 32 = 20 + (3 + 7) + 5 + (8 + 32) = 20 + 10 + 5 + 40 = (20 + 10) + (40 + 5) = (30 + 40) + 5 =70+5 =75

Αν Χ

= 12

και Ψ

= 38

να υπολογιστεί το Χ

+ 10 +

Αντιμεταθετική ιδιότητα Προσεταιριστική ιδιότητα

Αντιμεταθετική ιδιότητα Προσεταιριστική ιδιότητα

ψ.

Αντικαθιστούμε Χ = 12 και Ψ

χ

+ 10 +

Αν α

α

•

+

+

(β

β

Ψ

= = = =

12 + 10 + 38 12 + (38 + 10) (12 + 38) + 10 50 + 10 = 60

= 38

Αντιμεταθετική ιδιότητα

Προσεταιριστική ιδιότητα

= 15, να υπολογιστεί το

α

+

(β

+ 13).

+ 13) = (α + β) + 13 = 15 + 13 =28

Προσεταιριστική ιδιότητα

Αντικαθιστούμε α

+ β = 15

Ένα λεωφορείο ξεκινά από την αφετηρία με 20 επιβάτες. Αν στην

πρώτη στάση ανεβούν

4 επιβάτες το λεωφορείο θα έχει

20 + 4 = 40 επιβάτες. Αν ανεβούν 3 επιβάτες θα έχει 20

+ 3 = 23 επιβάτες. 43

3.01 -ΦΥΙΙΚΟΙ '--

ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

Αν δεν ανεβεί κανένας επιβάτης, δηλαδή αν ανεβούν μηδέν επι­

βάτες, τότε το λεωφορείο θα έχει 20 επιβάτες, άρα 20

Γενικά για κάθε αριθμό α στο Ν ο ισχύει

+Ο =

20.

α+Ο=α Ο+α=α

Το στοιχείο Ο το ονομάζουμε ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.

44

Μαθηματικά Α' Γυμνασί( υ

.•

Να υπολογίσετε με τον πιο εύκολο τρόπο το άθροισμα:

1. (24 + 25) + 15

2. 8 + 53 + 42

3. 19 + (156 + 21)

4. 38 + (12 + 36)

5. 233 + 16 + 7 + 24

6. (534 + 182) + 6

7. 9 + 52 + 121 + 26 + 148 + 1974 8. 253 + 45 + 12 + 7 + 5 + 48 + 1Ο 9. (22 + 213) + 7 + 84 + (20 + 16) ,

Να συμπληρώσετε τα κενά:

10. (83 + ...... ) + 36 = 83 + (24 + 36) (ψ

= (χ + ...... ) + 16

12.

Χ

14.

Δίνεται το άθροισμα

+

+ 16)

11. (...... + 18) + 3 = 59 + (18 + 3) 13. (...... + 46) + 22

= (46 + 22) + 35

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

(α) Να υπολογίσετε το άθροισμα με τον πιο εύκολο τρόπο (β) Ποιες ιδιότητες εφαρμόσατε;

15. Αν Χ = 13 και Ψ β=

= 27 να υπολογίσετε το Χ + 17 + ψ.

16.

Αν α

+

17.

Αν κ

+ λ = 54 να υπολογίσετε το (23 +

18.

Αν α

+

19.

Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα:

β

485

να υπολογίσετε το α

+ γ = 65 να υπολογίσετε το

(β

+

κ)

(α

+ 38).

i ι

+ λ + 46.

+ 15) + (14 +

ι β)

Ι

+ γ.

ι

α

7

4

2

6

β

Ο

4

1

5

α+β 1

~

1

α+2+β 25+α+β

________________________________________________

Ι

ι

ι

~.Ι

--------------------------------'7'1"45

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

20.

Η Μαρία αγόρασε ένα ποδήλατο και πλήρωσε €512. Η Ρίτα αγόρασε ένα ποδήλατο € 144 πιο ακριβό από το ποδήλατο της Μαρίας.

(α) Πόσα πλήρωσε η Ρίτα για το ποδήλατό της; (β) Πόσα στοίχισαν και τα δύο ποδήλατα μαζί;

•

Σε ένα καλάθι έχουμε

8 αχλάδια. Αν βγάλουμε από το καλάθι 5 ...... αχλάδια. Η Ελένη είναι 18 χρονών και η Μαρία 32 χρονών. Η Μαρία είναι μεγαλύτερη από την Ελένη κατά ...... χρόνια. Η Ελένη είναι μικρότερη από τη Μαρία κατά ...... χρόνια.

αχλάδια, τότε θα μείνουν στο καλάθι

•

•

Η πράξη που μας βοηθά να δώσουμε απάντηση στα πιο πάνω προβλήματα ονομάζεται αφαίρεση. Γράφουμε:

8-5 = 3 32-18 = 14

Διαβάζουμε: οκτώ

πλην

πέντε

ίσον

οκτώ

μείον

πέντε

ίJOν

οκτώ

έξω

πέντε

ίσον

3 3 3.

ή ή

τριανταδύο πλην δεκαοκτώ ίσον δεκατέσσερα ή

τριανταδύο μείον δεκαοκτώ ίσον δεκατέσσερα ή τριανταδύο έξω

•

Στηναφαίρεση

δεκαοκτώ ίσον δεκατέσσερα .

8-5 = 3,

το

8

ονομάζεται μειωτέος

(είναι αυτός που πρέπει να μειωθει)

το

5 ονομάζεται αφαιρετέος (είναι αυτός που πρέπει να αφαιρεθεΟ

το

3 ονομάζεται διαφορά

(είναι το απστέλεσμα της αφαίρεσης)

Αν δε ο μειωτέος είναι ένας αριθμός α και ο αφαιρετέος είναι ένας αριθμός β, τότε σαν διαφορά ορίζεται το (α - β). Γενικά αν Μ είναι ο μειωτέος, Α ο αφαιρετέος και Δ η διαφορό του Α από τον Μ, έχουμε:

Μ- Α

46

=Δ

ή

Μ

= Α +Δ

ή Α

=Μ - Δ

.t Παράδειγμα

1

Η Βασιλική έκαμε την αφαίρεση

(72 - 48) και βρήκε 24. Είναι ορθό

το αποτέλεσμα; Λύση:

Για να ελέγξουμε αν είναι ορθό το αποτέλεσμα, εργαζόμαστε ως εξής:

48

.

+ 24 = 72

Προσθέτουμε τον αφαιρετέο στη διαφορά. Βρίσκουμε άθροισμα

72

που είναι ο μειωτέος.

Άρα το αποτέλεσμα είναι ορθό. Παράδειγμα

2

Κάνουμε την αφαίρεση

(256 - 64)

και βρίσκουμε

182. Είναι ορθό το

αποτέλεσμα; Λύση:

Προσθέτουμε τον αφαιρετέο στη διαφορά.

64 + 182 = 246

, Βρίσκου l '::; άθροισμα 246 . της διαφοράς (256 - 64).

246#256

aντί του 256 που είναι ο μειωτέος

Άρα το αποτέλεσμα είναι λάθος.

Προσοχή!!! Οι πράξεις της επαλήθευσης να γίνονται προσεκτικά και σωστά.

§ 7. Ιδιότητες της Αφαίρεσης Ας εξετάσουμε αν οι ιδιότητες που μάθαμε στην πρόσθεση ισχύουν και στην αφαίρεση.

•

Αν πάρουμε τους αριθμούς

9 και 5, παρατηρούμε ότι:

9-5=4

Δεν μπορεί να γίνει η αφαίρεση στο σύνολο Να διότι ο μειωτέος

5-9

εiναι μικρότερος από τον αφαιρετέο.

Άρα Γενικά

9-5#5-9 α-β#β-α

Έτσι δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα.

47

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

•

Αν πάρουμε τους αριθμούς 9,

4, 2, παρατηρούμε ότι:

(9-4) -2 = 5-2 = 3 9-(4-2) = 9-2 = 7 Άρα (9-4) -2*9- (4-2) Γενικά

(α-β)-Υ *α - (β-Υ)

Έτσι δεν ισχύει η πρoσεταιρισrΙKή ιδιότητα. Παρατήρηση:

Οι ιδιότητες που μάθαμε στην πρόσθεση δεν ισχύουν, στην αφαίρε­ ση. Θα αναφέρουμε πιο κάτω κάποιες XαρακτηρισrΙKές ιδιότητες της αφαίρεσης. Υπάρχουν κι άλλες που στηρίζovται σ' αυτές.

•

Ο Νεόφυτος έχει δυο κουμπαράδες. Τον κουμπαρά Α και τον κου­

μπαρά Β. Στον Α κουμπαρά είχε

300 σεvτ.

Ξόδεψε

156 σεvτ. Στον Β κουμπαρά είχε

36 σεντ για να αγοράσει ένα τετράδιο.

Πόσα

σεντ του έμειναν; Μπορούμε να εργασroύμε με τους πιο κάτω τρόπους:

(156 + 300) -36 = 456-36 =420

156 + (300-36) = 156 + 264 =420

i, Αφαιρούμε τα i

ι

μπα ρόδων. ! iι_____ ~ _________ ~ _____!

!

Αφαιρούμε -τα 36 σεντ από τον:

Ι,

!

i κουμπαρα Β. ι

(156-36) + 300 = 120 + 300 =420

36 σεντ από το Ι

άθροισμα των σεντ των δύο KOU- i

_ _ _ _ _ . __

~~

i _____________ .. ____

~

ΓΑφαιροόμε τα 36 σεντ από τον! i ,

i κουμπαρα Α.

ι

!~---~ --------~-_._------._.......;

Παρατήρηση:

Όταν θέλουμε να αφαιρέσουμε έναν αριθμό από ένα άθροισμα, ή θα

αφαιρέσουμε τον αριθμό από το άθροισμα ή θα τον αφαιρέσουμε

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

από οποιοδήποτε προσθετέο του αθροίσματος που επιτρέπεται η

,

..

αφαίρεση.

Άρα

(156

+ 300) -36 == 156 + (300-36) == (156-36) + 300

Γενικά

•

(α

+ β)-γ ==

α

+

(β-γ) == (α-γ)

+β

i

___ J

Ο Στέλιος έχει € 156. Ο Μιχάλης έχει €36 λιγότερα από το Στέλιο. Ο Μιχάλης θέλει να αγοράσει ένα ποδήλατο αξίας

€300. Πόσα

χρήματα χρειάζεται ακόμα;

Μπορούμε να εργαστούμε με τους πιο κάτω τρόπους: Γ-

300- (156-36) == 300 -120

Ί

~~ ::-J156 _-::~6!L

== 180 ή

(300 -156)

.. --------~-~-~-·--·--------_ι

i Ο Μιχάλης έχει €(156 - 36), χρειάζεται ακόμα

+ 36 == 144 + 36

r

ι

___________________j

IA;~;;~~-τOν μειωτέο της διαφ~ράς----

--:1

,J~~_-:- 36) και προσθέτουμε τον ~φαιρετέo της.J

== 180 ή 1 "1 -

(300

+ 36) -156 == 336-156

Προσθέτουμε τον αφαιρετέο της διαφοράς -1 (156 - 36) και αφαιρούμε τον μειωτέο της. i _______

[_~

----------~----------Λ

== 180

Ας δούμε πώς εξηγείται η πιο πάνω ιδιότητα: Ο αριθμός

156 είναι μεγαλύτερος κατά 36 από τη διαφορά (156 - 36).

Αν λοιπόν από τον αριθμό

300 αφαιρέσουμε τον 156 αντί του

(156 - 36), τότε θα έχουμε αφαιρέσει €36 περισσότερα. Άρα θα πρέ­ πει μετά την αφαίρεση να προσθέσουμε τα €36. Παρατήρηση:

Όταν θέλουμε να αφαιρέσουμε μια διαφορά από ένα αριθμό, ή θα αφαιρέσουμε τη διαφορά από τον αριθμό ή θα αφαιρέσουμε το μει­ ωτέο της διαφοράς και να προσθέσουμε τον αφαιρετέο της ή θα προ­ σθέσουμε τον αφαιρετέο της και να αφαιρέσουμε τον μειωτέο της.

49

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

Άρα

300- (156-36) = (300 -156) + 36 = (300 + 36) -156

Γενικά

α - (β -

v) =(α -

β)

+ v = (α + v) - β

Παράδειγμα 1

Να γίνουν με τον πιο εύκολο τρόπο οι πράξεις

(168 + 200) - 68.

Λύση: Αφαιρούμε τον 68 από τον προσθετέο

168.

(168 +200) -68 = (168-68) + 200 = 100 + 200 = 300 Παράδειγμα

2

Να γίνουν με τον πιο εύκολο τρόπο οι πράξεις 288 -

(188 - 70).

Λύση:

:Aφαιρoύμ~-τoμ&ιωτέo ~ης: :διαφοράς (188-70) και προ­ σθέτουμε τον αφαιρετέο της.

288- (188- 70) = (288-188) + 70 = 100 + 70 = 170 Παραδειγμα

Αν Χ =

3

92 και Ψ = 42 να υπολογιστεί το (χ + 85) - Ψ

Λύση: Αντικαθιστούμε Χ

= 92

και Ψ

(χ

= 42.

+ 85) -

Ψ

'Αφαιρούμε τον 42 από τον προσθετέο 92.

Αν α Προσθέτουμε τον αφαιρε­ τέο της διαφοράς

(24 - β)

και αφαιρούμε τον μειωτέο της.

Αντικαθιστούμε α

50

+ β = 90.

= (95 + 85) - 42 = (92-42) + 85 =50+85 = 135

+ β = 90, να υπολογιστεί το α - (24 -

ι\υση:

α-

(24 -

β)

= (α + β) - 24 = 90-24 =66

β).

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Αν Χ - Ψ = 120, να υπολογιστεί το Χ - (ψ - 200)

χ - (ψ

- 100) =

(χ - ψ)

+ 100

Αφαιρούμε τον μειωτέο της διαφοράς (ψ -

100) και ΠΡΟσθέ­ = 120.

τουμε τον αφαιρετέο της. AVΤΙKαθιστOύμε Χ - Ψ

= 120 + 100 =220

Να γίνουν με το δυνατό τρόπο οι πράξεις 120 - (320 - 386).

120 - (320 - 386) = (120

+ 386) - 320

Προσθέτουμε τον αφαιρετέο της διαφοράς

(320 - 386) και

αφαιρούμε τον μειωτέο της.

= 506-320 = 186

Να αφαιρεθεί από το 108 η διαφορά των 28 και 19.

108 - (28-19) = (108 - 28)

+ 19

= 80 + 19

Αφαιρούμε τον μειωτέο της διαφοράς

(28 - 19) και προσθέ­

τουμε τον αφαιρετέο της.

=99

•

Έχω 20 σεντ

Βάζω 8 σεντ

Βγάζω τα 8 σεντ

Έχω πάλι 20 σεντ

51

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

•

Έχω 20 σεντ

Παρατηρούμε ότι

Βάζω 8 σεντ

(20

Γενικά

•

(20 (α

Έχω πάλι 20 σεντ

+ 8) - 8 = 20

(20 - 8) Δηλαδή

Βγάζω τα 8 σεντ

+ 8 = 20

+ 8)-8 = (20-8) + 8 = 20

+ β) -

β

= (α - β) + β =α

Δηλαδή η πρόσθεση και η αφαίρεση, αν εφαρμοστούν η μία μετά την άλλη, αλληλοεξουδετερώνονται. Γι' αυrό η πρόσθεση και η αφαίρεση λέγονται αντίστροφες πράξεις.

52

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1. Να ε'λtγξε:rε την ορθότητα των πράξεων:

Ι

= 500

(α)

800 - 300

(γ)

125-92 = 33

.

= 478

(β)

815-327

(δ)

1024 - 755

= 239

2. Να Kάνε:rε τις πράξεις με τον πιο απλό τρόπο: (α)

(184 + 172) -84

(β)

479- (79-61)

(γ)

845 - (94 - 55)

(δ)

85 - (85 - 35)

(ε)

780 - (1090 -310)

(στ)

(35 + 68 + 48) -68

3. Να Kάνε:rε τις πράξεις με το δυνατό τρόπο: (α)

100-(180-280)

(γ)

568- (68-132)

4. Αν Χ = 74 και Ψ 5. Αν α+ β

(β)

250 - (250 - 300)

= 34 να υπολογίσετε το

= 110 ναυπoλoγίσε:rετo

(χ + 58) - ψ.

α-(47-β).

6. Αν μ - ν = 360 να υπολογίσετε το μ - (ν - 52). 7. Να Kάνε:rε τις πράξεις: (ι)

48-12

(ιι)

(48 + 8) - (12 + 8)

(α) Τι παρατηρείτε; (β) Να διατυπώσετε με δικά σας λόγια τη νέα ιδιότητα της αφαίρεσης που ανακαλύψατε.

8. Να Kάνε:rε τις πράξεις: (ι)

103-44

(ιι)

(103 - 6) - (44 - 6)

(α) Τι παρατηρείτε; (β) Να διατυπώσετε με δικά σας λόγια τη νέα ιδιότητα της αφαίρεσης που ανακαλύψατε. '

53

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

9. Να κάνετε τις πράξεις: (ι)

(58-24) + (28-12)

(ιι)

(58 + 28) - (24

+ 12)

(α) Τι παρατηρείτε; (β) Να διαrυπώσετε με δικά σας λόγια π νέα ιδιότητα της αφαίρεσης που αναKαλύψαrε.

!

: 10. Πώς θα βρείτε το αποτέλεσμα 850 - (100 -'- 50); Σκεφτείτε διάφορους τρόπους. (α) Τι παρατηρείτε;

(β) Να διαrυπώσετε με δικά σας λόγια τη νία ιδιότητα της αφαίρεσης που ανακαλύψατε. !

11. (α) Να αφαιρέσετε από τον αριθμό 49 τη δΗ ιφορά των αριθμών 32 και 18. (β) Να προσθέσετε στη διαφορά των αριθμιί;ν 49 και 32 τον αριθμό

18.

Συγκρίνετε τα δύο αποτελέσματα.

12.

Ο κ. Νικόλας αγόρασε ένα αυτοκίνητο €3.400 και πλήρωσε για επιδιορθώσεις € 1.384. Να

! :,1;

βρείτε πόσα κέρδισε, όταν το πούλησε €5.080.

_

\13.

Ι

Ο κ. Μιχάλης αγόρασε ένα σπίτι €140.000. Πλήρωσ για να το βάψει€9.500. Το πούλησε Ι

ι ~ ζή~~~~~6.00~~_~ βρείτε πόσα το πούλησε.

.____._______________.1

CJCJc::JCJCJOOCJ CJCJOCJDCJCJCJ 16+ 8-8= 16

54

16-8+ 8= 16

~

r ~•

t

•

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

• ~

ΟΤΟ

ι

~

• Αν έχω €5 και μου δώσει ο Γιώργος ακόμη €5 και ο Δημήτρης το ίδιο και ο Βασίλης επίσης, τότε θα έχω ...... ευρώ. •

Αν είμαι

12 χρονών, τότε το τριπλάσιο της ηλικίας μου είναι ..... .

χρόνια.

• Αν αγοράσω 5 κιλά ζάχαρη προς 15 σενττο κιλό, τότε θα δώσω ...... σεντ. • Αν στο σχήμα η μία πλευρά έχει μήκος 3 cm και η άλλη πλευρά Ε u έχειμήκος4 cm, τότε ο αριθμός των τετραγώνων με πλευρά 1 cm ("') που φαίνονται μέσα στο σχήμα είναι .......

r-~----+----r--~

Η πράξη που μου επιτρέπει να δώσω απάντηση στα πρoβλήμαrα αυτά είναι αρχικά η πρόσθεση.

4cm

1.5 + 5 + 5 + 5 = 20

2. 12 + 12 + 12 = 36

3. 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 75

4. 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Αυτό όμως μπορώ να το εκφράσω και διαφορετικά όπως: 4χ5 ή

Τέσσερις φορές 10 5 Τρεις φορές το

12

Πέντε φορές το

15

που συμβολίζεται

Τέσσερις φορές το 3

•

4'5

3χ

12

ή

3 '12

5χ

15

ή

5 '15

4χ3ή4'3

Έτσι έχουμε την πράξη του πολλαπλασιασμού που μας βοηθά να εκτελέσουμε σύντομα μια πρόσθεση με ίσους προσθετέους.

Το σύμβολο

.ή

χ ονομάζεται «επί» ή στην καθομιλουμένη «φο­

ρές».

•

Στον πολλαπλασιασμό 4 χ 5

= 20 (που γράφεται και 4 . 5 = 20) ο

αριθμός 20 λέγεται γινόμενο των αριθμών 4 και 5 και οι αριθμοί 4 και 5 λέγονται παράγοντες του πολλαπλασιασμού.

55

3.

ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

του

Ο Αντρέας για να βρει πόσα αυτοκίνητα υπάρχουν στο χώρο στάθ­ μευσης είπε:

5 σειρές από 3 αιποκίνητα η κάθε μια κάνουν 5 χ 3 = 15 αυτοκίνητα Ο Κώστας για να βρει πόσα αυτοκίνητα υπάρχουν στο χώρο στάθ­ μευσης είπε:

3 σειρές από 5 αυτοκίνητα η κάθε μια κάνουν 3 χ 5 = 15 αιποκίνητα Παρατηρούμε ότι Γενικά

5·3 = 3·5 = 15 α.β=β.α

Δηλαδή στον πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. Ουδέτερο (Π'}Ι:" Αν έχουμε

.ου πολλαπλασιασμού

4 . 1 = 1 + 1 + 1 + 1 και 1 . 4 = 4 =4

Παρατηρούμε ότι

4 . 1 = 1.4 =4

~

r f ,~

, .. ~

~

Γενικά

α·1=1·α=α

Στη διπλανή τάξη υπάρχουν:

Ι

3 σειρές από 5 θρανία η κάθε μια. Σε κάθε θρανίο κάθονται 2 μαθητές. Όλοι οι μαθητές είναι ...... .

ο

Ι

Ο

ο

ο.

ο

ο

Ι Ι

Ι

(3·5).

Σε κάθε θρανίο κάθονται 2 μαθητές.

Ο

Q

Οι

(5 . 5).

Δ

Ο

Υπάρχουν τρεις σειρές. Έτσι όλοι οι μαθητές είναι 3 . (5

Ο

ο

Ι

Ο

] Ο

Ι

Ο

Ι

Ο

Ι

20ςτρόπος:

Κάθε σειρά έχει

Q

Q

Ι ο

(3 . 5) . 2.

Ο

Ι C~

] 0,0

Έτσι όλοι οι μαθητές είναι

Ο

Ι Q

10ςτρόπος:

Τα θρανία είναι

Ο

ο.

ο

Ι

Ι

Ι Ο

ο

Ι

. 2).

Παρατηρούμε ότι:

(3 . 5) . 2 = 3 . (5 . 2) Δηλαδή ατον πολλαπλασιασμό ισχύει η προσεταιριατlκή ιδιότητα. Γενικά

•

α

. β . v=

(α

. β) . v=

α

. (β . v)

=

(α

. v) . β

Η πρoσεταιρισrική ιδιότητα μας επιτρέπει να πολλαπλασιάσουμε τρεις ή πφισσότερους αριθμούς, εfrε πολλαπλασιάζοντας τους δύο πρώτους και μετά τον Tptro ή τους δυο τελευταίους και μετά τον πρώτο ή επιλεκτικά δύο, αφού προηγηθεί αντιμετάθεση.

57

3.

ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

Πόσα στοιχίζουν συνολικά οι πιο πάνω γραβάτες αν η κάθε μία στο ι­ Xίζει€12; 10ςτρόπος: Οι

(4 + 3) γραβάτες του πιο πάνω σχήματος στοιχίζουν €12 η κάθε

μία. Έτσι όλες οι γραβάτες στοιχίζουν Δηλαδή

12 . (4 + 3) ευρώ.

12.(4+3)=12.7 =84

20ςJQQrιJ& Οι

4 μπλε γραβάτες

στοιχίζουν

12 . 4 ευρώ.

Οι

3 ριγέ γραβάτες

στοιχίζουν

12 . 3 ευρώ.

Έτσι όλες οι γραβάτες στοιχίζουν Δηλαδή

(12 .4) + (12 . 3)

(12 . 4) + (12 . 3) ευρώ.

=48 + 36 =84

Παρατηρούμε ότι

Έτσι,

12· (4

+ 3) = (12.4) + (12.3)

αν πολλαπλασιάσουμε ένα αριθμό επί ένα άθροισμα ή αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό ξεχωριστά με τον κάθε προσθετέο και προσθέσουμε τα «επί μέρους» γινόμενα, προκύmει το ίδιο αποτέλεσμα.

Γενικά

58

α (β + γ)

=(α . β) + (α . γ) ή (α. β) + (α . γ) =α . (β + γ)

,t

~ ~

,~

,ι

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Επίσης

α(β-Υ)=(α.β)-(α'Υ) ή (α.β)-(α'Υ)=α.(β-Υ)

Παρατήρηση:

3·0=0+0+0 =0 0·3 =

Δηλαδή

Αν εΙχα 5· (16 - 4) ~ ;

5' (16-4) ~5' 12 ~60

Ο

(5' 16)-(5- 4) ~80-20 =60 Άρα 5-(16-4)=(5-16)-(5.4)

3·0=0·3=0

Γενικά

Η επιμεριστική ιδιότητα ισχύει και στην περΙmωση που αντl Υια πρό­ σθεση έχουμε αφαΙρεση.

α·Ο=Ο·α=Ο

ο ο ο

4)

Αν αβ = 5 να υπολογιστούν: (ι)

3 (αβ)

(ιι) 5(βα)

(ιιι) (6α)β

(ιν) β (α - 8)

αβ

=α . β =β . α =βα

Λύση:

(ι)

3 (αβ) = 3 . 5 AVΤΙKαθιστOύμε το αβ

= 15

Ι AVΤιμεταθετΙKή ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

(11) 5 (βα) = 5 (αβ) =5·5

! AVΤΙKαθιστOύμε το αβ = 5.

(ιιι) (6α) β = 6 (αβ)

=6·5

= 5.

i

Προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

!

AVΤΙKαθιστOύμε το αβ = 5.

=30 (ιν) β (α . 8) = (βα) ·8

Προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

= (αβ). 8

AVΤιμεταθετΙKή ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

=5·8

AVΤΙKαθιστOύμε το αβ

=5.

=40

Να βρεθεί με δύο τρόπους η τιμή της παράστασης 6 (8

+ 4). 59

3.

ΟΙ φγιικοι ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

10ςτρόπος:

6 (8 + 4)

= 6 . 12

Κάνουμε την πράξη της παρένθεσης.

=72

Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό

20ςτρόπος:

6 (8

πoλλαπλα~άζoυμε τον αριθμό 6 ξεχωριστά

+ 4) = 6·8 + 6 . 4

με τον κάθε προσθετέο. Προσθέτουμε τα <<Επί

= 48+ 24

μέρους» γινόμενα. Χρησιμοποιήσαμε την επι­

μερισπκή ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως

=72

προς την πρόσθεση.

Να γραφούν με πιο απλό τρόπο οι παραστάσεις: (α) 11χ+ 12χ

(β) 18χ-χ

(α) 11χ+12χ=(11+12)χ

= 23 χ (β) 18χ-χ

=

18χ-1

= .=

.Χ

(18-1)χ 17χ

Επιμερισπκή ιδιότητα του πολλαπλασια­ σμού ως προς την πρόσθεση.

Γράφουμε Χ

= 1· χ.

Επιμερισπκή ιδιότητα του πολλαπλα­

σιασμού ως προς τηναφαίρεση.

Να βρεθεί με δύο τρόπους η τιμή της παράστασης

(1 Ο + 2 + 7) . 4.

10ςτρόπος:

(10 + 2 + 7) ·4= 19·4 =76

Κάνουμε πς πράξεις της παρένθεσης. Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

20ςτρόπος: Πολλαπλασιάζουμε τον αρι­

(10 + 2 + 7) .4= (10.4) + (2.4) + (7.4) θμό4ξεχωριστάμετονκάθε = 40 + 8 + 28 προσθετέο. Προσθέτουμε = 76 τα <<Επί μέρους» γινόμενα.

r

,

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

•

Να υπολογιστεί το γινόμενο 42 χ 15 με εύκολο τρόπο, χρησιμοποιώ­ ντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού.

42· 15

= (40 + 2). = (40· 15)

Το 42 γράφεται

15

+ (2.15)

= 600 + 30

(40 + 2).

Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.

=630

Να συμπληρωθούν τα πιο κάτω:

= 5 τότε Χ = ..... . Αν 8α = Ο τότε α = ..... . Αν ψι- Ο και γ. α = γ τότε α = ..... . Αν X;t: Ο και αχ = Ο τότε α = ..... .

(α) Αν 5χ (β) (γ) (δ)

(α) Αν 5χ =

(β) Αν 8α

5 τότε Χ = 1

= Ο τότε α = Ο

(γ) Αν

y;t: Ο

και γ. α

(δ) Αν

X;t: Ο

και αχ

= γ τότε α = 1

= Ο τότε α = Ο

Το oυδtτερo στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Ιδιότητα του μηδέν στον πολλαπλασιασμό. Το ouδtτερo στοιχείο του πολλαπλασιασμού.

Ιδιότητα του μηδέν στον πολλαπλασιασμό

61

3.

ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

1. Να κάνετε τις πράξεις με τον πιο εύκολο τρόπο: (α)(5·7) ·4

(β)

7·0·8

(γ)

(15 . 7) + (15 . 3)

(δ)

25 (13.4)

(ε)

10 (8 + 23 + 9)

(ζ)

(8 . 97) - (8 . 95)

(στ) (η)

8· Ο (χ. + ψ) (9-2+4).5

2: Να κάνετε τις πράξεις με δύο τρόπους: (α) 6

(8 + 2)

(δ) 5 . ο· (α

3.

13 (12-8)

(ε)

5 (8 - 1 + 5)

(γ)

(12 + 5 + 17).3

(στ)

(13+20-13).5

Να γράψετε με πιο απλό τρόπο τις παραστάσεις: (α)6β

+ 16β

(δ)7χ-2χ

4.

+ β)

(β)

Αν κ

(β)

16α-9α

., (γ)

3ρ

+ 4ρ-2ρ

+ 5ψ-ψ

= 12 και λ = 3, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων: + λ)

(α) κ . λ

(β)

4 (κ

(δ) κ

(ε)

(κ-λ).7

+ 15-λ

(γ)

(στ)

(κ

+ λ)

(3κ)

(κ - λ)

- (5λ)

+8

5. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα: α

4

8

7

1

β

Ο

3

1

1

α.β

3 (α + β) (α-β).3

,

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _0

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

6. Αν α

7.

+ β == 35, να υπολογίσετε την παράσταση

Πόσο μεγαλύτερο είναι το γινόμενο 5 (100

8. Αν 2α

+ β == 25,

4α

+ 4β.

+ α) από το 5α;

να υπολογίσετε την παράσταση

2 (α + 7)

+ β.

9. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού να κάνετε τους πιο κάτω πολλα­ πλασιασμούς με εύκολο τρόπο: (α)

104·35

(β)

97.45

(β)

(6v)

(γ)

215·8

10. Αν μν == 14 να υπολογίσετε: (α)

11.

10 (μν)

μ

(γ) ν (4μ)

Έμπορος αγόρασε 4800 κιλά πατάτες και πλήρωσε €2.304. Πώλησε τις πατάτες προς 53

i ι

σενττο κιλό. Κέρδισε ή ζήμιωσε και πόσο;

12.

Σε ένα εργοστάσιο εργάζονται 35 εργάτες. Οι 8 εργάτες παίρνουν €900 το μήνα ο καθένας,

οι 10 εργάτες €700 το μήνα ο καθένας και οι υπόλοιποι €640 το μήνα ο καθένας. Πόσα!

χρήματα χρειάζεται το εργοστάσιο για να πληρώσει τους εργάτες του για ένα μήνα;

!ι

,

13. Να λύσετε το πιο κάτω πρόβλημα με δύο διαφορετικούς τρόπους.

L

Ι

Ι

'Ενας ανθοπώλης ετοίμασε 12 ανθοδέσμες. Η κάθε ανθοδέσμη είχε 6 κόκκινα και 8 άσπρα Ι

τριαντάφυλλα. Να υπολογίσετε πόσα λουλούδια χρησιμοποίησε ο ανθοπώλης.

L________.

i

_ . _ .. _.________ .__ . _. . .___.______.______1

§ 11. Διαίρεση στο σύνολο Να •

Έχω

72 αυγά. Αν βάλω 6 αυγά σε κάθε κουτί θα ΧΡειαστώ ......

κουτιά.

• Ο Ερυθρός Σταυρός έχει 80 δέματα με τρόφιμα. Αν θέλει να δώσει ίσο αριθμό δεμάτων σε 5 οικογένειες, θα δώσει σε κάθε οικογένεια

......

•

δέματα.

Η πράξη που μας επιτρέπει να χωρίσουμε ή να μοιράσουμε ένα αριθμό ή ένα ποσό σε ίσα μέρη, ονομάζεται διαίρεση.

63

3.

ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

•

Θέλω να μοιράσω εξίσου

12 βιβλία σε 3 παιδιά. Για να δω πόσα

βιβλία θα πάρει το κάθε παιδί μπορώ να εργαστώ με τρεις δια­ φορετικούς τρόπους. 10ςτρόπος:

( ο αριθμός Δηλαδή

Οβ βαλ~Ιθμός τωθν

) (

,χ

των παιδιων

ι

ιων που

, παρει το

α

'θ

κα ε παι

δ'

(ο αριθμός ,όλων)

) =

των βιβλιων

ι

3·4= 12

20ςτρόπ~

( ο αριθμός όλων] των

' β ι βλιων

Δηλαδή

.( .

Ο αΡΙθμός) = ( βOβαλ~Ιθμός τωθν

δ ' των παι ιων

ι

,

ιων που 'θ

α

παρει το κα ε παι

) δ' ι

12: 3 = 4

30ςτρόπος:

( ο αριθμ~ς όλων) των βιβλιων

Δηλαδή

~::~~~~~~

:(

,

'θ

παρει το κα

ε παι

δ'

) =(

ι

Ο αριθμό~ )

των παιδιων

12: 4 = 3

Παρατηρούμε ότι για κάθε πολλαπλασιασμό έχουμε δύο διαιρέσεις. Δηλαδή

αν

3·4= 12

τότε

12: 3 = 4

ή

.

αν "

•

3·4= 12

τότε

12; 4 = 3

Θέλουμε να μοιράσουμε εξίσου σε 8 παιδιά 56 βιβλία και 278 τε­ τράδια. Για να δούμε πόσα θα πάρει κάθε παιδί από το κάθε εί­ δος, μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

64---~----------'----------"-----------------------------,-----

Για να μοιράσουμε τα βιβλία

Για να μοιράσουμε τα τετράδια

κάνουμε τη διαίρεση:

κάνουμε τη διαίρεση:

56

f+--

278 -24 38 - 32

-5~ 17

8 34

6 Κάθε παιδί θα πάρει 7 βιβλία

Κάθε παιδί θα πάρει 34 τεrράδια

Δε θα περισσέψει κανένα βιβλίο.

Θα περισσέψουν 6 τεrράδια

Η διαίρεση αιπή λέγεrαι τέλεια

Η διαίρεση αιπή λέγεrαι ατελής

διαίρεση.

διαίρεση.

Ο αριθμός 7 λέγεrαι πηλίκο,

Ο αριθμός 34 λέγεrαι πηλίκο,

ο αριθμός 56 λέγεrαι διαιρετέος,

ο αριθμός 278 λέγεrαι διαιρετέος

ο αριθμός 8 λέγεrαι διαιρέτης και

ο αριθμός 8 λέγεrαι διαιρέτης και

ο αριθμός Ο λέγεrαι υπόλοιπο.

ο αριθμός 6 λέγεrαι υπόλοιπο.

Στην τέλεια διαίρεση

56 : 8, παρατηρούμε ότι 8·7 = 56.

Δηλαδή αν πολλαπλασιάσουμε το πηλίκο επί το διαιρέτη, βρίσκουμε το διαιρετέο.

Γενικά σε μια τέλεια διαίρεση, αν Δ είναι ο διαιρετέος, δ ο διαιρέτης και π το πηλίκο, τότε:

Δ:δ=π

Σε μια τέλεια διαίρεση α

ή

π·δ=Δ

: β, λέμε ότι:

«Ο α διαιρείται ακριβώς με το β». ή «Ο β διαιρεί ακριβώς τον α». Στην ατελή διαίρεση

278 : 8, παρατηρούμε ότι (34· 8) + 6 = 278.

Δηλαδή, αν πολλαπλασιάσουμε το πηλίκο επί το διαιρέτη και μεrά προσθέσουμε το υπόλοιπο, βρίσκουμε το διαιρεrέo.

---_.-- - - -

65

3.

ΟΙ φnlκοι ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ MHA!Ξ~

Γενικά σε μια ατελή διαίρεση, αν Δ είναι ο διαιρετέος, δ ο διαιρέτης, π το πηλίκο και υ το υπόλοιπο, τότε:

Δ =π·δ+υ όπου υ<δ

Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στη διαίρεση;

•

15:3*3:15 Άρα δεν ισχύει η αvτιμεταθεΤΙKή ιδιότητα στη διαίρεση. Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στη διαίρεση;

•

(72 : 12) : 3 = 6 : 3 = 2 72 : (12: 3)

= 72: 4 = 18

*

(72: 12) : 3 72: (12: 3) Άρα δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στη διαίρεση. Επιμερ,στική lοlόΤΓjTα

•

Ο κ. Γιώργος έχει

€48 και η σύζυγος του € 12. Θέλουν να τα μοι­

ράσουν εξίσου στα 6 παιδιά τους. Πόσα χρήματα θα δώσουν στο κάθε παιδί; 10ςτρόπος: Όλα τα χρήματα είναι

(48 + 12) ευρώ.

Έτσι κάθε παιδί θα πάρει Δηλαδή

(48 + 12) : 6

(48 + 12) : 6 ευρώ.

= 60:6 = 10

20ςτρόπος:

Ο κ. Γιώργος θα δώσει στο κάθε παιδί (48 : 6) ευρώ. Η σύζυγος του θα δώσει στο κάθε παιδί (12

Δηλαδή

: 6) ευρώ.

+ (12: 6) ευρώ. (48: 6) + (12: 6) = 8 + 2

Έτσι κάθε παιδί θα πάρει

(48: 6)

= 10 Παρατηρούμε ότι

66

(48

+ 12): 6 =

(48: 6)

+ (12: 6)

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου " .. .. ... _'.' ~._--_.-_.->

,-~.

-~.~-

<~

Έτσι, αν διαιρέσουμε ένα άθροισμα με ένα αριθμό

(48

+ 12) : 6

ή

αν διαιρέσουμε κάθε προσθετέο (αν διαιρείται) με τον αριθμό

και προσθέσουμε τα «επί μέρους» πηλίκα, προκύmει το ίδιο αποτέλεσμα: Γενικά

(α

(48

+ 12) : 6 =

+ β) : γ = (α : γ) + (β: γ) ή

(α:γ)

+ (Ι::γ) = (α + β):γ

(48: 6)

και

(48: 6)

+ (12: 6)

(48: 6)

(12 : 6)

+ (12: 6)

(δεδομένου ότι τα α και β διαιρούνται με το Υ)

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι ισχύει η επιμερισnκή ιδιό­ τητα και στην περίmωση που αντί για πρόσθεση έχουμε αφαίρεση. Δηλαδή

(α - β) : γ

= (α : γ) - (β : γ) ή

(α: γ) - (β: γ)

•

= (α -

β) : γ

Αν έχουμε να διαιρέσουμε το γινόμενο

(δεδομένου ότι τα α και

β διαιρούνται με το Υ)

(30 . 12) με τον αριθμό 6,

μπορούμε να εργαστούμε με τους πιο κάτω τρόπους: 10ςτρόπος: Κάνουμε την πράξη της παρένθεσης.

(30 . 12) : 6 = 360 : 6

Κάνουμε τη διαίρεση.

= 60 20ςτρόΠQς:

(30· 12) : 6 = 30 . (12: 6) =30·2 =60

, Διαιρούμε το 12 με το 6.

Ι Πολλαπλασιάζουμε το 30 με το πηλίκο που βρήκαμε.

30ςτρόπος:

(30 . 12) : 6 = (30 : 6) . 12 = 5·12

= 60 Παρατηρούμε όΤΙ:'(30,

rΔιαιρούμε το 30 με το

6.

Ι

Ι Πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο που βρήκαμε με το Ι

112.

12) : 6 = 30, (12: 6) = (30: 6) . 12

i,

3.

ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

Άρα για να διαιρέσουμε ένα γινόμενο με έναν αριθμό μπορούμε να διαιρέσουμε έναν από τους παράγοντες του γινομένου με τον αριθμό (αν υπάρχει τέτοιος παράγοντας που να διαιρείται με τον αριθμό) και να πολλαπλασιάσουμε το πηλίκο που θα βρούμε με τους άλλους πα­

ράγοντες.

Γενικά

. (α . β) : V = α . (β: V) = (α: v) . β = <χ: ν). ψ. ω = (ψ: ν). χ. ω =

<χ. ψ. ω): ν

Το

(ω: ν). χ. Ψ

1 είναι το ουδέτερο στοι­

χείο του πολλαπλασιασμού.

Το

Γενικά

α:

Γενικά

α:α=

1 =α

1 είναι το ουδέτερο στοι­

χείο του πολλαπλασιασμού.

1

Το Ο όταν πολλαπλασιαστεί με οποιοδήποτε αριθμό,

δίνει

αποτέλεσμα μηδέν.

Γενικά

•

α : Ο είναι αδύvmη διαίρεση

Τι γίνεται τώρα, αν έχουμε τη διαίρεση Ο : Ο; Σ' αι.πή την περίmωση έχουμε Ο : Ο

=Κ

αν Κ . Ο

= Ο.

Το Κ όμως μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

1.Ο

= Ο,

2· Ο = Ο, 3· Ο = Ο κτλ.

Γι' αυτό λέμε ότι η διαίρεση Ο: Ο είναι «αόριστη», ή λέμε ότι «έχουμε αοριστία».

68

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Να βρεθεί με δύο τρόπους η τιμή της παράστασης (18 + 36) : 6.

10ςτρόπος:

(18 + 36) : 6 = 54 : 6

Κάνουμε την πράξη της παρένθεσης. Κάνουμε τη διαίρεση.

=9 20ςτρόπος:

(18 + 36) : 6 = (18: 6) + (36: 6) =3+6

Διαιρούμε ξεχωριστά τον κάθε προσθετέο με το

6.

Προσθέτουμε τα επί μέρους πηλίκα. Δηλαδή χρησιμο­ ποιήσαμε την επιμεριστική ιδιότητα της διαίρεσης ως

=9

προς την πρόσθεση.

Να βρεθεί με δ60 τρόπους η τιμή της παράστασης (35 : 5) - (20 : 5).

10ςτρόπος:

(35 : 5) - (20 : 5) = 7 - 4 =3

Κάνουμε την πράξη της κάθε παρένθεσης. Κάνουμε την αφαίρεση.

20ςτρόπος:

(35 : 5) - (20 : 5) = (35 - 20) : 5 = 15:5 =3

Χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα.

Κάνουμε την πράξη στην παρένθεση. Κάνουμε τη διαίρεση.

Να βρεθεί με δύο τρόπους η τιμή της παράστασης (32 + 16 - 4) : 4.

10ςτρόπος:

(32 + 16-4) : 4 = 44: 4

= 11

Κάνουμε την πράξη της παρένθεσης. Κάνουμε την αφαίρεση.

69

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ __ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ ,._. _":. ."," .. ___ •• _ _ •___ , _ _ _ _ . __ .. _ ' _ " _.<._._ ., ___ ~

_·,"_.~

Διαιρούμε τον κάθε αριθ­

(32

μό της παρένθεσης με το

4. Δηλαδή

.,u~."

~~_"

+ 16-4) : 4 =

(32 :4)

= 8

χρησιμοποιού­

"_,~~_,~_,_"

+ (16: 4) -

______

,,,~

__,,-,_

'<

_.,"

~

__

~.~.

__•

_~.

" ___

(4: 4)

+ 4-1

= 11

με την επιμεριστική ιδιότη­

τα. Κάνουμε τις πράξεις.

Να γίνουν οι πράξεις με τον πιο εύκολο τρόπο (125 . 32) : 25.

Διαιρούμε το

125 με το 25.

(125·32) : 25 = (125: 25) ·32

(Χρησιμοποιούμε ιδιότητα

=5·32

της διαίρεσης)

= 160

Κάνουμε τον πολλαπλασια­

σμό.

Να συμπληρωθούν τα πιο κάτω:

= 5 τότε Χ = .... .. β: 4 = Ο τότε β = ..... .

(α) Αν 5: Χ (β) Αν

(γ) Αν Ψ

(α) Αν

:3 =

1 τότε Ψ = .... ..

5 : Χ = 5 τότε Χ = 1

(β) Αν β:

4 = Ο τότε β

=Ο

:

(γ) Αν Ψ 3 = 1 τότε Ψ = 3 Παράδειγμα

6

Αν κ + λ = 35 να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης (κ:7)+(λ:7).

Επιμεριστική ιδιότητα ~~l διαίρεσης ως προς την:

πρόσθεση.

ι

Αντικαθιστούμε κ + λ = 35. i i Κάνουμε τη διαίρεση.'

Λύση: (κ: 7) + (λ: 7)

= (κ + λ) : 7 = 35 : 7 = 5

~

• • • _ _ ••

Υ_

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1. Να αντιγράψετε τον πίνακα στο τετράδιο σας και να τον συμπληρώσετε, όπου είναι δυνατόν.

Διαιρετέος

5

διαιρέτης

5

πηλίκο

3.

i

2528 15

10

υπόλοιπο

2.

120

9

250

4

50

26

Ο

1994

12

Ο

18

63

1

148 130 148

20

3

7

Να γράψετε δίπλα από κάθε σχέση «ορθό» ή «λάθος». (β)

546: 13 = 42

(γ)

9510: 25

=5

(ε)

8:8

=Ο

(στ)

3:0 =3

Ο

(η)

0:4 = Ο

(8)

Ο:

=Ο

(ια)

9: 1 = Ο

(ιβ)

14: 14 == 1

(α) 891

: 11

(δ) 5 :1 (ζ)

7: 7 =

(ι)

18: Ο

= 81

= 38

1=1

Να βρείτε με δύο τρόπους την τιμή των παραστάσεων:

+ 22) : 11

(α)

(44

(δ)

(24 - 18) : 6

(β)

(63: 9)

+ (9 : 9)

(γ)

(ε)

(36:3)-(12:3)

(στ)

(17 + 34 + 85) : 17 (64-16 + 32): 16

4. Να κάνετε τις πράξεις με τον πιο εύκολο τρόπο. (α)

(450 ·64) : 90

(β)

(19·48): 16

(γ)

(54· 24) : 54

71

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

r--~_"._o_~'~_

!

~

__

.,,~.

___ ,___

,~~_~_,

_ _, ___

,,~,.

.---.~

5. Αν α = 7 και β = 18, να βρείτε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων: (α)

(21

+ (β:3)

(β)

(150· α) : α

+ 3α + (β : 6)

(ε)

[(8α)

:α)

(δ) (αβ)

(γ)

+ (αβ)] : α

(στ)

(4α)

-

(β

: 9)

(140'

β)

:α

6. Αν κ + λ = 70, να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης (κ: 5) 7.

Αν Χ - Ψ =

+ (λ: 5).

42, να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης (χ : 6) -

8. Αν μ + ν - Ρ

i

(ψ

: 6).

= 54, να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης (μ : 9) + (ν : 9) -

(ρ

: 9).

9. Ένας έμπορος είχε 135 kg πατάτες. Κράτησετα 15 kg για το σπίτι του. Τα υπόλοιπα θέλει ' να τα βάλει σε κιβώτια των 1Ο kg. Πόσα κιβώτια χρειάζεται; i

10.

Έχουμε ένα κομμάτι ύφασμα μήκους

6 m και Ε

πλάτους

40 m. Θέλουμε να ράψουμε πετσέτ­ τες μήκους 30 cm και πλάτους 40 cm. Πόσες

u

Ο

"<t

πετσέτες θα ράψουμε;

11. Αγοράσαμε από δύο φρουταρίες πορτοκάλια της ίδιας ποιότητας. Από την πρώτη φρου­ ταρία αγοράσαμε 5 kg πορτοκάλια και πληρώσαμε €8,00. Από τη δεύτερη φρουταρία αγο­ ράσαμε

12 kg πορτοκάλια και πληρώσαμε €24,00. Ποια φρουταρία είχε τα φθηνότερα

πορτοκάλια;

12. Ένας ηλεκτρολόγος έχει ένα σύρμα μήκους 5 m. Θέλει να κόψει κομμάτια μήκους 14 cm. ' Πόσα κομμάτια μπορεί να κόψει;

13. Το διπλανό ορθογώνιο τραπέζι έχει μήκος 320 cm και πλάτος 160 cm. Πόσα το πολύ άτομα μπορούν να καθίσουν γύρω από το τραπέζι, αν το κάθε άτο­ μο χρειάζεται περίπου μέρος 80

cm;

14. Ο κ. Προδρόμου αvτΙKαιέστησε τα 4 λάστιχα του αυτοκινήτου του και πλήρωσε €420. Σ' αυ­ τό το ποσό τα €20 ήταν για την τοποθέτηση των λαστίχων. Ποια η αξία του κάθε λαστίΧΟΌ;

-_._._."""----------------"_._~"--_._-------

._---_..-._----_ .... _. ---_ ....

- - - ----------_ , ..

_-_._ _-------------_. ..

• ~

§ 14~ Προτεραιότητα rwv τφόξεωΙ,.' • Πόσα θα βρω αν στον αριθμό 5 προσθέσω το τριπλάσιο του 1Ο; Στοον 5 θα προσθέσω το 3·10 δηλαδή το 30. Έτσι θα έχουμε

5 + 3 . 1Ο = 5 + 30 =35

Παρατηρούμε ότι πρώτα κάναμε τον πολλαπλασιασμό και μετά την πρόσθεση.

Έτσι λέμε ότι ο πολλαπλασιασμός προηγείται της πρόσθεσης.

•

Η Ελένη, ο Γιώργος και η Γιάννα μοιράστηκαν εξίσου

15

σοκολάτες. Η Γιάννα έφαγε τις

2

σοκολάτες.

Πόσες σοκολάτες έχει τώρα η Γιάννα;

Η Γιάννα πήρε

15: 3

δηλαδή

5 σοκολάτες.

15: 3-2 = 5-2 =

~

~~ _ n ;'_~~~~-~!KΙ ~-~Ξi lJ

Έφαγε τις 2 σοκολάτες. Τώραέχει

t!!;t,

3 σοκολάτες

Παρατηρούμε ότι πρώτα κάναμε τη διαίρεση και με­

_ AH-10jl

n Ο"ΛΑfl",,'1Ι ΔΙΑΙΡf,.>:ΕΞ.IJ- __ _

τά την αφαίρεση.

Έτσι λέμε ότι η διαίρεση προηγείται της αφαίρε­

---Γι po~θEΙ~II-----~------

σης.

•

Ένας έμπορος θέλει να βάλει βώτια των 6 kg και

καθένα χωρεί 4

90 kg πατάτες σε κι­

14 kg φασόλια σε κιβώτια που το

kg λιγότερα από τα πρώτα κιβώτια.

Πόσα κιβώτια χρειάζεται συνολικά; Για τις πατάτες χρειάζεται 90 ΓιαταφασόλιαχΡειάζεται

: 6 δηλαδή 15 κιβώτια. 14: (6-4) δηλαδή 14: 2 δηλαδή 7 κι­

βώτια. Συνολικά χρειάζεται 90

: 6 + 14: (6-4)

= 90: 6 + 14: 2 =

15 + 7

=22 κιβώτια Παρατηρούμε ότι πρώτα κάναμε την πράξη στην παρένθεση.

Ύστερα κάναμε τις διαιρέσεις και στο τέλος κάναμε την πρόσθεση.

--

- -

---.

ΑΨΑ' ΡΕΞΣΕIΣ ---- ---

.3. Q)ΦΥΣJΚΟ!ΑΡΙ~ΜQΙ ΚΑΙ το ΜΗΔΕΝ Έτσι λέμε ότι η παρένθεση προηγείται της διαίρεσης και η διαί­ ρεση προηγείται της πρόσθεσης.

•

Ο κ. Γιάννης έβαλε

240 kg παταιες σε κιβώτια των 20 κιλών. λησε το κάθε κιβώτιο 4 ευρώ. Πόσα χρήματα εισέπραξε; Ο κ. Γιάννης χρειάστηκε Εισέπραξε 240 Έτσιέχουμε

: 20 . 4

240: 20

δηλαδή

δηλαδή

Πού­

12 κιβώτια.

12· 4, δηλαδή 48 ευρώ.

240: 20·4 = 12·4 = 48 ευρώ.

Παρατηρούμε ότι πρώτα κάναμε τη διαίρεση και μετά τον πολλα­ πλασιασμό.

Δηλαδή κάναμε τις πράξεις της διαίρεσης και του πολλαπλασια­ σμού με τη σειρά που τις συναντήσαμε.

Να γίνουν οι πράξεις

30 + 20 : 5 - 5 . 2

Λυση:

, . Κάνουμε τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό. Κάνουμε

τις προσθέσεις και τις αφαι~

30 + 20 : 5 - 5 . 2 = 30 + 4 - 1Ο = 34-10 =24

ρέσεις.

Παράδειγμα

2

Να γίνουν οι πράξεις

Κάνουμε την πράξη στην παρένθεση. Κάνουμε τον

πολλαπλασιασμό και τη δι­ αίρεση. Κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.

74

48-2· (4 + 6) + 6: 3-1.

48-2· (4 + 6) + 6: 3-1 = 48-2 ·10 + 6: 3-1 =48-20+2-1 = 28 + 2-1 =30-1 =29

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Να γίνουν οι πράξεις 150: 2 - (20 -13) : 7 + 90 . 10: 5.

Κάνουμε την πράξη στην παρέν­ θεση.

150:2-(20-13) :7+90·10:5= 150:2-7:7+90.10:5

Κάνουμε τις διαιρέσεις και τον

= 75 - 1 + 900 : 5

πολλαπλασιασμό με τη σειρά που

= 74 + 180

τις συναντούμε. Κάνουμε τη διαί­

= 254

ρεση. Κάνουμε τις αφαιρέσεις και τις προσθέσεις.

Δηλαδή όταν σε μια αριθμητική παράσταση έχουμε πολλα­ πλασιασμούς και διαιρέσεις, προσθέσεις και αφαιρέσεις,

θα πρέπει να κάνουμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις με τη σειρά που τις συναντούμε και μετά τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.

Αν όμως υπάρχουν παρενθέσεις, οι πράξεις που είναι μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται

1. Να κάνετε τις πράξεις: (α) 12: 3 + 1 (δ)36-16:4

2.

(β)

48: 12·2 (ε) 30-20:(4+1)

(γ)

(στ)

2· 18 - 8 : (7 + 1) - 1 25 + 6: 2-2· (8-3)

Να κάνετε τις πράξεις: (α) 6

(γ) (ε)

+ 14·4 - 28: 7

2 + 5 (6 - 6) + Ο : 9 - 1 9 + 4 (7 - 3) - 7 (6 - 5)

(β) 30 - (20 + 4) : (8 - 6) + 5 (δ) 4· 3 - 5 : 5

+6 .Ο +7 . 1

στ) 4·3 + 5 (2·3 - 4) - 8

3. Αν Χ = 12 και Ψ = 8, να βρείτε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων: (α) 60 : Χ

+ ψ: 4

(β)

(150·χ):χ

+Χ:4

(ε)

(8χ + χψ) : Χ

(δ) 3χ - Ψ

(γ)

(στ)

(χ

+ ψ). 12-χψ

(χ + 2ψ) : 4- (2χ-3Ψ) : Ψ

4. Αν Χ = 6, Ψ = 5 και ω = 3, να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης 2ψ + 3(χ-ω)-(ψ + ω) :2.

----------

-----------"'

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

•

Θέλουμε να χωρίσουμε τον αριθμό

56 σε δύο προσθετέους. Αν

ο ένας είναι ο 25 ποιος θα είναι ο δεύτερος; Θα χρησιμοποιήσουμε μία νέα μέθοδο για να λύσουμε το πιο πά­ νω πρόβλημα.

Το πρόβλημα μιλά για τρεις αριθμούς. Μας δίνει όμως τους δύο αριθμούς. Για τον τρίτο (άγνωστο) αριθμό θα χΡηmμοποιήσου­

με ένα γράμμα του αλφαβήτου, το α ή οποιοδήποτε άλλο γράμ­ μα χ, ψκτλ.

Έτm έχουμε την ισότητα:

56 =

\0 άγνωσroς προσθετέος \ + 25

Για τον άγνωστο προσθετέο χρησιμοποι­

56=α+25

•

ή

ούμε το γράμμα α.

Αυτή η ισότητα, η οποία περιέχει αριθμούς και το γράμμα α, λέ­ γεται εξίσωση. Το γράμμα α λέγεται άγνωσroς της εξίσωσης. 56=α+25

56-25 = α + f6'-~ 31

=α ή α=31

Εξίσωση. Αφαιρούμε και από τα δύο μέλη τον αριθμό 25. Διαγράφουμε στο β' μέλος.

Μπορούμε να εργαστούμε και ως εξής: 56=α+25

Το

~+31 =α+%

56

τογράφουμε

25 + 31.

Διαγράφουμε και στα δύο μέλη τους ίσους προ­

σθετέους.

31 = α

•

ή α

= 31

Ο δεύτερος προσθετέος είναι ο αριθμός 31 και ονομάζεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης.

76

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

•

Η διαδικασία που ακολουθήσαμε για να βρούμε το ζητούμενο αριθμό α, ονομάζεται επίλυση της εξίσωσης. Στην περίmωση αυ­ τή λέμε ακόμα ότι λύουμε την εξίσωση .

•

" ,

Επαλήθευση

Χρησιμοποιούμε την αρχική εξίσωση. AVΤΙKαθΙOΤOύμετo α μετοναριθμό31.

56=α+25

Παρατηρούμε ότι καταλήγουμε σε μια αληθή

56 = 31 + 25 56 = 56 (αληθής)

.

"

αριθμητική ισότητα.

Άρα η λύση που βρήκαμε είναι ορθή.

•

Η πιο πάνω διαδικασία, που ακολουθήσαμε για να ελέγξουμε αν είναι ορθή η λύση της εξίσωσης, λέγεται επαλήθευση.

•

Ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση λέγεται λύση ή ρίζα της

εξίσωσης.

Να εξεταστεί αν ο αριθμός

9 είναι λύση της εξίσωσης Χ + 12 = 20. Εξίσωση

χ+

12 =20

AVΤΙKαθιστoύμε τον αριθμό Χ με τον αριθμό 9. Παρατηρούμε ότι καταλήγουμε σε μία ψευδή

9 + 12 = 20

αριθμητική ισότητα.

21 = 20 (ψευδής) Άρα ο αριθμός

9 δεν είναι λύση της εξίσωσης Χ + 12 = 20, διότι δεν

την επαληθεύει

Να εξεταστεί αν ο αριθμός

10 + χ =

20-χ

10+5 =20-5 15 = 20 (αληθής) Άρα ο αριθμός

5 είναι λύση της εξίσωσης 1Ο + Χ = 20 - Χ. Εξίσωση

AVΤΙKαθΙOΤOύμε τον αριθμό Χ με τον αριθμό 5.

.Παρατηρούμε ότι

καταλήγουμε σε μία αληθή

αριθμητική ισότητα.

5 είναι λύση της εξίσωσης 1Ο + Χ = 20 - Χ. διότι την

επαληθεύει

77

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ισοτήτων να συ μππληρώσετε τα κενά στις πιο κάτω ισοδυ­ ναμίες:

1.

α+8= β+8

2.

α-3

3.

Χ+

4.

α-3

5.

α

α

= β-3

<=>

...... = β

4 =Ψ + 7

<=>

Χ=

<=>

α

= .........

<=>

α

+ ......... =

<=>

Χ=

.........

7. 2·3· Χ = 24 . Ψ

<=>

Χ=

.........

8. 9· α = 36 . β

<=>

α

Ι

<=>

Χ=

Ι

'1

<=>

...... = Χ (γ;i:O)

1

9.

= 5

+ 10 = β + 5

6.3.χ

ί ι

= .........

<=>

= 3·

Ψ

Χ: 12 = ψ: 12

10. 24: γ = (2χ) : γ

+ .........

β

= .........

11.

Να εξετάσετε αν ο αριθμός

13.

Να εξετάσετε ποιος από τους αριθμούς

15

Ψ

.........

είναι λύση της εξίσωσης

50 -

Χ=

112. Να εξετάσετε αν ο αριθμός 28 είναι λύση της εξίσωσης 3)( = 74. Ι

Ι i

Χ + 30 = 52 - χ.

78

35.

5, 1Ο, 11, είναι λύση της εξίσωσης

~

."

...

_.~-

--._---

--,-

_.~

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου . .-_-.-.- ,---

----~-_

.--."~

._~-

:~ ~ -, . ,

>

Σε προηγούμενη παράγραφο μάθαμε την έννοια της ισότητας και της εξίσωσης. Στη συνέχεια θα δούμε πώς λύονται μερικές εξισώσεις με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των ισοτήτων και των πράξεων στο σύνολο Ν ο . Παραδι.:ίγμα >~

Να λυθεί η εξίσωση α

+ 18 = 40.

ι\(ισιι: 10ςτρόπος: α

+ 18 = 40 α

= 40-18

α

=22

Άγνωστος είνάι ο ένας προσθετέος. : Αφαιρούμε από το άθροισμα τον ένα προσθετέο και βρίσκουμε , τον άλλο προσθετέο. Το 22 είναι η λύση της εξίσωσης.

20ςτρόπος: α

+ 18 = 40

. Το 40

α+%=22+% α = 22

Το

30ςτρόπος:

(22 + 18). 18

22

και στα δύο μέλη.

είναι η λύση της εξίσωσης.

Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των ισοτήτων.

+ 18 = 40 α + ;β- % = 40 - 18 α

α

το γράφουμε

Διαγράφουμε τον προσθετέο

Αφαιρούμε και από τα δύο μέλη τον αριθμό

18.

Διαγράφουμε στο α' μέλος. Το

=22

22

είναι η λύση της εξίσωσης.

Επαλήθευση: α

+ 18 = 40

Αντικαθιστούμε τη λύση ή ρίζα μέσα στην αρχική εξίσωση.

22 + 18 = 40

Το

40 =40

Να λυθεί η εξίσωση β -

22

επαληθεύει την εξίσωση, άρα είναι η λύση της εξίσωσης.

25 = 45

10ςτρόπος: β-25 β β

= 45 =45+25 =70

Άγνωστος είναι ο μειωτέος. Μ=Α+Δ

Το

70

είναι η λύση της εξίσωσης.

79

3. ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ AP.IΘrvιOI ~KAI.TO rvιHΔE_N 20ςτρόπος: β-25

= 45

Το

β-25

= 70-25

Διαγράφουμε τον αφαιρετto

β =

λη. Το

70

Να λυθεί η εξίσωση 74-κ

= 60

74-κ

45

το γράφουμε

(70 - 25). 25

και στα δύο μέ­

είναι η λύση της εξίσωσης.

70

= 60.

Άγνωστος είναι ο αφαιρετέος.

κ

= 74-60

κ

= 14

Να λυθεί η εξίσωση 7χ

; Α=Μ-Δ Το 14 είναι η λύση της εξίσωσης.

= 28.

Λιίση: Άγνωστος είναι ο ένας παράγοντας.

10ςτρόπος: 7χ =

Για να βρούμε τον ένα παράγoνrα διαιρούμε το

28

Χ

=28:7

Χ

=4

. γινόμενο με τον άλλο παράγoνrα. Το 4 είναι η λύση της εξίσωσης.

20ςτρόπος: 7χ

=28

7χ

=7·4

Χ

Το

28

το γράφουμε

(7. 4).

Διαγράφουμε τον παράγοντα λη. Το

4

7 και στο δύο μέ-.

είναι η λύση της εξίσωσης.

=4

Παράδειγμα

5

Να λυθεί η εξίσωση ρ:

24 = 3.

{ωση:

ρ:

80

Ρ

=3 = 24·3

Ρ

=72

24

Άγνωστος είναι ο διαιρετέος. Δ=δ .π

Το 72 είναι η λύση της εξίσωσης.

t Ι-

•

Να λυθεί η εξίσωση

150: γ = 6

150 :γ= 6

Άγνωστος είναι ο διαιρέτης.

γ

= 150: 6

γ

=25

δ=Δ :π

Το 25 είναι η λύση της εξίσωσης.

Ναλυθείηεξίσωση (8χ)

(8χ)

+ 12 = 52.

+ 12 = 52 8χ

=52-12

8χ

=40

Χ

=40:8

Χ

=5

Παράδειγμα

.Αφαιρούμε από το άθροισμα τον ένα πρασθετέο. Άγνωστος είναι ο ένας παράγοντας.

,Διαιρούμε το γινόμενο με τον ένα παράγοντα. Το 5 είναι η λύση της εξίσωσης.

8

Να λυθεί η εξίσωση Χ

+

3χ

+ 20 = 80.

Λυση:

Χ +3χ+ 2Ο (χ+3χ)

=80

+20=80

4χ+ 2Ο

Κάνουμε την πρόσθεση <χ

=80

4χ

= 80-20

4χ

=60

Χ

=60:4

Χ

= 15

Να λυθεί η εξίσωση [(2ψ)

+ 3Χ>.

1Αφαιρούμε από το άθροισμα τον ένα πρασθετέο. 'Διαιρούμε το γινόμενο με τον ένα παράγοντα. Το

-5] : 3 = 5.

15

είναι η λύση της εξίσωσης.

3.

ΟΙ φγιικοι ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

;'.<,':"

[(2ψ)

-5] : 3 =5 Πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη 3 με το πηλίκο 5

(2ψ)

-5 = 5·3 (2ψ) -5 = 15 2ψ = 15 + 5 2ψ =20 Ψ =20:2 Ψ =10 Γ1aρόδε;γμα

Προσθέτουμε τον αφαιρετέο στη διαφορά.

• Διαιρούμε το γινόμενο με τον ένα παράγοντα. . ΤΟ 10 είναι η λύση της εξίσωσης

20 -

3ω

=8

i Αφαιρούμε από το μειωτέο τη διαφορά. : Κάνουμε την αφαίρεση. ; Διαιρούμε το γινόμενο με τον ένα παράγοντα.

ω

=8 ~ 20-8 =12 = 12: 3 =4

2.

χ- 12 =45

3.

115-λ=

= 120

5.

80:χ

6.

121:ρ=11

25 = 125

8.

7χ+χ=

9.

5κ-6

3ω 3ω ω

- 5].

10

Να λυθεί η εξίσωση

20-3ω

για να βρούμε το διαιρετέο [{2ψ)

Ι Κάνουμε τη διαίρεση. Το

4

είναι η λύση της εξίσωσης.

Να λύσετε τις εξισώσεις:

1.

Ψ

4.

24γ

7.

μ:

+ 25 = 32

= 16 32

37

= 34

= 25

11.

(ω-5):6=10

12. 3 (α + 2) = 15

13. 18: (π + 2) = 3

14.

(7α-3)

15. 8 (2α + 5) = 72

10.

8ν-2ν-5

: 2 = 16

16. 50:' (3β + 2β) = 10 17.

Αν

(α) (7χ-6):

3+

5χ

=

22-χ

ποιας εξίσωσης είναι λύση το Χ =

82

και

3;

(β)

2 (8χ-5) -6χ =

2χ

+ 14,

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Οι εξισώσεις μας βοηθούν στη λύση πολλών προβλημάτων. Θα δού­ με πώς θα μετατρέπουμε τις λεκτικές προτάσεις σε συμβολικές μα­ θηματικές εκφράσεις, όπως πιο κάτω:

Λεκτικές προτάσεις

Ι Συμβολικές προτάσεις

• Σκέφτομαι έναν αριθμό

αήΧ

• Το διπλάσιο ενός αριθμού

2α ή 2χ

• Το μισό ενός αριθμού

α :2 ή ~

• Τρία περισσότερα από κάποιο αριθμό

Ψ

• Οκτώ λιγότερα από κάποιο αριθμό

ω-

• Δέκα λιγότερα από το τριπλάσιο ενός αριθμού

(3 . β) - 1Ο

+3 8

Στη συνέχεια θα δούμε πώς θα σχηματίζουμε μία εξίσωση για να βρί­ σκουμε τη λύση ενός προβλήματος. Παράδειγμα

1

Ποιον αριθμό θα προσθέσω στο 26 για να βρω 93;

'IΔεν χρησιμοποιούμε την εξί­ Ισωση του προβλήματος για

Λύση: Ποιον αριθμό

θα προσθέσω στο

+ Έχουμε την εξίσωση Χ + 26 = 93. Λύουμε την εξίσωση: Χ + 26 = 93 Χ

Χ

26

για να βρω

~

93 ~

=93-26

Χ =67 Ο αριθμός 67 είναι ο ζητούμενος αριθμός.

]να κάνουμε την επαλήθευσή • !του αλλά τα λόγια του.

!Αυτό το κάνουμε, διότι αν '•

,

'σχηματίσουμε μια λανθα-: σμένη εξίσωση και τη λύσα-

μ-:: σωστά, τότε η επαλήθευ­ σή της θα είναι ορθή. Στην πραγματικότητα όμως η λύ­ ση της εξίσωσής .μας δεν θα συμφωνεί με τα λόγια του

Επαλήθευση:

προβλήμστος.

Αν προσθέσουμε τον αριθμό 67 στον αριθμό 26 βρίσκουμε 93. Άρα ο αριθμός 67 είναι ο ζητούμενος αριθμός.

83

:

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

Αν αφαιρέσουμε

15

από το πενταπλάσιο ενός αρθμού, βρίσκουμε

85. Ποιος είναι ο αριθμός;

Ο αριθμός είναι Χ. Το πενταπλάσιό του είναι 5χ. Σχηματίζουμε την εξίσωση 5χ -

15 = 85

Λύουμε την εξίσωση: 20ςτρόπος:

10ςτρόπος:

15= 85 5χ-15 = 100-15 5χ = 100 Χ = 100: 5 Χ =20

5χ5χ-15

= 85

5χ

= 85 + 15

5χ

= 100

Χ

= 100: 5

Χ

=20

Ο αριθμός

20

είναι η λύση της εξίσωσης, δηλαδή ο ζητούμενος αριθμός.

Η ηλικία της Φωτεινής είναι τριπλάσια από την ηλικία της Ελένης. Το άθροισμα των ηλικιών τους είναι 48. Ποια είναι η ηλικία της καθεμιάς; χ+3χ

l·χ+3· Χ (Ι

+ 3)· Χ

4,χ

4χ

Η ηλικία της Ελένης είναι

Χ

Η ηλικία της Φωτεινής είναι

3χ

Το άθροισμα των ηλικιών τους είναι

Χ + 3χ Χ + 3χ =

Σχηματίζουμε την εξίσωση Λύουμε την εξίσωση

Χ + 3χ 4χ

48

= 48 =48

Χ

=48:4

Χ

= 12

Η ηλικία της Ελένης είναι Χ, δηλαδή

12 χρονών. Η ηλικία της Φωτεινής είναι 3χ, δηλαδή 36 χρονών.

• ,~

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Είχα Χ ευρώ

Τώρα έχω

(α) Πήρα €5 ακόμα

............

(β) Ξόδεψα €8

............

(γ) Τριπλασίασα τα χρήματά μου

............

(δ) Ξόδεψα τα μισά

............

(ε) Διπλασίασα τα χρήματά μου και κέρδισα €20 ακόμα

............

Να σχηματίσετε την εξίσωση για τα πιο κάτω προβλήματα. Ακολούθως να λύσετε την εξί­ σωση.

2. Σκέφτομαι έναν αριθμό. Προσθέτω 156 και βρίσκω 832. Ποιος είναι ο αριθμός; 3. Ο Στέλιος έχει 380 σεντ. Πόσα χρειάζεται ακόμα για να αγοράσει ένα βιβλίο που στοιχίζει 750σεντ;

4. Η Βασιλική έχει ύψος 158 cm. Πόσα εκατοστά πρέπει να ψηλώσει για να φτάσει τη μητέρα της που είναι 163 cm.

5.

Ένα λεωφορείο, όταν ξεκίνησε από την αφετηρία είχει 24 επιβάτες. Πόσοι επιβάτες μπήκαν στις επόμενες στάσεις, αν στο τέρμα κατέβηκαν 48 επιβάτες και στις άλλες στάσεις δεν κατέβηκε κανένας;

6. Στην αυλή μου έχω 32 κότες και κουνέλια. Αν οι κότες είναι 14, πόσα είναι τα κουνέλια;

7.

Ο Μιχάλης έδωσε στη Μαρία 25 ευρώ και του έμειναν 128 ευρώ. Πόσα ευρώ είχε αρχικά ο

:

Μιχάλης;

8. Ο κύριος Άγγελος μοίρασε εξίσου τα xpήμαrά του στα 4 παιδιά του. Πόσα xpήμαrα είχε, αν : έδωσε στο κάθε παιδί €3.580;

85

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ

9. 10. 11.

Ποιον αριθμό θα αφαιρέσουμε από το 356 για να βρούμε

124;

ΤΟ τετραπλάσιο ενός αριθμού είναι 64. Ποιος είναι ο αριθμός; Η Α' τάξη ενός Γυμνασίου έχει Χ μαθητές. Η Β' τάξη έχει 5 μαθητές περισσότερους από

τους διπλάσιους μαθητές της Ρ\ τάξης. Αν η Β' τάξη έχει

125 μαθητές πόσους μαθητές

έχει η Α' τάξη;

12.

Ο Κυριάκος κρατά τετραπλάσια χΡήματ(ι από τη Χρυσάνθη. Αν και οι δύο μαζί κρατούν

120 σεντ, πόσα χρήματα κρατά η ΧρυσάνΘη; 13.

Ένας έμπορος πλήρωσε €175 για 35 m ύφασμα. Ποια ήταν η τιμή του

14.

Ο Στέλιος κρατά διπλάσια χρήματα από το\" Κυριάκο. Πόσα χρήματα κρατά ο καθένας, αν

1 m;

και οι δύο μαζί κρατούν €375;

15.

Η Ελένη είναι κατά 4 χρόνια πιο μεγάλη από τη Γεωργία. Αντο άθροισμα των ηλικιών τους

είναι 32 χρόνια, να βρείτε ποια είναι η ηλικία της καθεμιάς.

16.

Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 28. Αν ο ένας είναι εξαπλάσιος του άλλου, να βρείτε ποιοι εί­ ναι οι δύο αριθμοί.

86

,, ,

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1.

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ισοτήτων να συμπληρώσετε τα κενά στις πιο καιω ισο­ δυναμίες: (α)γ

+ 4 = δ + 4 {:::} γ = ........ .

(y)x~5 = α-5 {:::} Χ= ........ . (ε) β (ζ)

+5=

Ρ

+ 8 {:::}

α

β

+ 3 {:::} ......... +

8+

=

β

=

ρ

=

= 4ρ {:::} κ = ........ .

(δ) χ:

4 = Ψ : 4 {:::}

(στ) 45:λ=(5μ):λ

+ ........ . α

(β) 4κ

β

(η) 12β=36α

{:::}

Χ

= ........ .

{:::} ......... β=

=μ,λ#Ο

........ .

2. Να εξετάσετε ποιος από τους αριθμούς που είναι δίπλα είναι λύση της εξίσωσης: (α)12-χ=χ+6

χ=2,

(β)3ω-2

ω

=

10-ω

χ=5,

= 2,

ω

χ=3

= 3,

ω

=4

3. Να γράψετε δίπλα από κάθε ισότητα «ορθό» ή «λάθος». (α) Ο (γ)

:5 =

Ο

5 (6 - 2) = 5 . 6 - 2

(β)

5: Ο =

Ο

(δ)

9: 9 =

Ο

(στ)

(ε)14-4:2=5

7: 1 = 7

4. Να αντιστοιχίσετε κάθε ισότητα της Α στήλης με μια ιδιότητα της Β στήλης. Α στήλη

Β στήλη

= (3χ)ψ =β .α (ιιι) α + β = β + α (ιν) 3 + Ο = 3 (ν) 4 ()( + ψ) = 4χ + 4ψ (νι) β·1 = β (νιι) (8 - 4) : 4 = (8 : 4) - (4 : 4) (νιιι) (8 + 3) + 5 = 8 + (3 + 5) (ι)

3 {)(ψ)

(ιι) α· β

(α) Αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού (β) Ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης (γ) Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης. (δ) Προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού

(ε) Αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης (στ) Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση (ζ) Επιμεριστική ιδιότητα της διαίρεσης ως προς την πρόσθεση

(η) Ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού

(θ) Επιμεριστική ιδιότητα της διαίρεσης ως προς την αφαίρεση

(ι)

--j

(δ)

(V)--j ........ .

(ιι)

--j .........

(ιιι)

--j ........ .

(ιν)

--j ... ..... .

(νι)

--j .........

(νιι)

--j ........ .

(νιιι)

--j ... ..... .

87

3.

ΟΙ ΦΥΙΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ _ . _ ••••

~,μ

••••

~._~

-

...

~.~.,y,._~-~~,,~-

,_.-

~

- -.

~.~

,

5. Να κάνετε τις πράξεις με τον πιο εύκολο τρόπο:

+ (35 + 12)

(α) 48

(γ) (48

+ 36 + 40) -36

+ 625 + 17 + 25

(ε) 33

(164

(δ)

(12·84) - (12·82)

-,

(στ)

875 - (75 -163) ,

(η)

(ζ) (8' 36)·5

+ 218) -64

(β)

(35· 28) : 7

+ 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19

(θ) 11

+β=

185, να υπολογίσετε το α

+ (β + 15).

6.

Αν α

7.

Αν κ-λ = 160, να υπολογίσετε το κ- (λ-36).

8.

Αν 3μ

+ν-

9.

Αν 2μ

+ 2v -

Ρ = 8, να υπολογίσετε το 3μ: 2

+ν :2-

2ρ = 6, να υπολογίσετε το μ: 3

Ρ : 2.

+ν :3-

Ρ : 3.

10. Αν μ = 1Ο και ν = 6, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων: (α)3μ-2v

(β) (μ- ν) (μ

+ ν)

(γ)

5 (μ-ν)

+ ν): 2

(δ)(μ

! 11. Να γράψετε με πιο απλό τρόπο τις παραστάσεις: (α)6α

+ 5α

(δ)2ω

+ 3 + 7ω-6ω

(γ) 3χ + 2ψ

(β) 7β-3β

+ Χ + 6ψ

12. Να κάνετε τις πράξεις με δύο τρόπους: (α)(24

+ 6) . 2

(β) (16-8

(γ) (32

+ 20 -16) : 4

(δ)

(ε)

= 45

(α) Χ + 30

(η) 2χ + ~

.

·

~

_

~

_

~

25

___ __ ~

~

.

~

_

"

"

_

~

w

·

~

.

_

~

~

+ 4 + 2ω =

____

= 11

(ε) 64: Χ = 4

= 52

.

(ζ) ω )

(β) 20-χ

,

(δ) 13ψ

>._. ____

(στ)

1'6

+ 63 : 7

64: 8-40: 8 + 8: 8

Να λύσετε τις εξισώσεις:

O

13.

+7 .6-

12 . 6

49: 7

+ 20)·3

..

1 = 23

(γ)

ω-12

= 36

(στ) χ:26=3 (θ)

(4λ-5):

3=9

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

14. Κάποιος αγόρασε ντομάτες προς 60 σενττο κιλό και πλήρωσε €15. Του χάλασαν όμως 5 κιλά. Πόσα σεντ πρέπει να πωλεί το κάθε κιλό από τις υπόλοιπες για να κερδίσει €2;

15. Ένας έμπορος αγόρασε 5 ραδιόφωνα και 3 τηλεοράσεις και πλήρωσε €1.175. Αν όμως αγόραζε 5 ραδιόφωνα και 6 τηλεοράσεις θα πλήρωνε €2.075. Να βρείτε ποια είναι η τιμή του ραδιοφώνου και ποια η τιμή της τηλεόρασης.

16. Θέλουμε να περιφράφουμε το χωράφι στο δι­

6m

πλανο σχήμα με συρματόπλεγμα. (α) Πόσα μέτρα συρματόπλεγμα θα χρεια­

4m

7m

στούμε;

3m

(β) Αν το συρματόπλεγμα στοιχίζει 90 σεντ το

μέτρο και η τοποθέτηση του €50 επιπλέον, πόσα θα μας στοιχίσει συνολικά η περίφραξη του χωραφιού; Να διατυπώσετε καθένα από τα πιο κάτω προβλήματα με μια εξίσωση. Ακολούθως να λύ­ σετε την εξίσωση.

17. Ο Κώστας ξόδεψε €300 και του έμειναν €80. Πόσα χρήματα είχε; 18. Το διπλάσιο κάποιου αριθμού αν αυξηθεί κατά 5 θα μας δώσει 47. Ποιος είναι ο αριθμός; 19. Ένας έμπορος αγόρασε 15 τηλεοράσεις και πλήρωσε €2.1 00. Πόσο του στοίχισε η κάθε τη­ λεόραση;

20. Να κάνετε τις πράξεις: (α)

16 + 4: 2

(β)

18: 6-3

(δ)

2· 15 - 64 : (6 + 2)

(ε)

8: 8 + 4 . 4 - 3 . Ο + 9 . 1 +

(στ)

(γ) Ο

20-15:(3+2) :8

12:2+ (8·2-10)-4:4

21. Αν κ

= 15, λ = 3 να βρείτε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων:

(α) κ : λ-9:λ (γ) (κ

+ λ) : λ-2λ

(β)

(60· κ) : κ

(δ) (2κ - λ)

. 3 - (2λ + κ) : 7

Η Γεωμετρία είναι μια ανθρώπινη απασχόληση που, όπως φανερώ­ νει και το όνομά της, άρχισε με τη μέτρηση γης.

Για τους χωρικούς στην αρχαία Αίγυmο, γεωμετρία ήταν η καταμέ­ τρηση των εκτάσεων της γης που καλλιεργούσαν. Αυτό έπρεπε να γίνεται σχεδόν κάθε χρόνο, γιατί ο Νείλος με τα χώματα που κατέβα­

ζαν τα νερά του και με τις πλήμμυρες του, σκέπαζε εκατομμύρια στρέμματα γης με αποτέλεσμα να χάνουνται τα σύνορα των αγροτι­ κών «κλήρων». Η γη της Αιγύmου, ήταν τότε ιδιοκτησία του βασιλιά (των Φαραώ), γι' αυτό οι καλλιεργητές έπρεπε να πληρώσουν κάποιο

ενοίκιο ή φόρο από τα έσοδά τους, ανάλογο με την έκταση γης που καλλιεργούσαν. Έτσι μετά από τις πλήμμυρες, γινόταν ξανά ο χωρι­ σμός της γης στους καλλιεργητές, με κρατική φροντίδα, δηλαδή από

«υπαλλήλους» που ονομάζονταν «αρπεδονάmες». Αυτοί ήταν και οι πρώτοι-πρώτοι <cyεωμέτρες». Αυτά μας αναφέρει ο Έλληνας ιστορι­ κός Ηρόδοτος που ταξίδεψε στην Αίγυmο εκείνη την εποχή και γνώ­ ρισε από κοντά την όλη κατάσταση. Ο αρχαίος Έλληνας φυσικός φιλόσοφος Θαλής από τη Μίλητο (60ς

αιώνας πΧ), που ταξίδεψε κι αυτός στην Αίγυmο, πήρε αυτή τη γε­ ωμετρία από τους Αιγύmιους και την έκαμε επιστήμη. Η Γεωμετρία αυτή του Θαλή είναι η πρώτη ανθρώπινη επιστημονική δημιουργία.

90

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Μοιρογνωμόνιο

Μοιρογνωμόνιο

Χάρακας

Γνώμονας

Διαβήτης

91

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Β

A~

• Το σημείο καθορίζει μια θέση. Δεν έχει μήκος, πλάτος ή πάχος. Το συμβολίζουμε με μία τελεία και ένα κεφαλαίο γράμμα, πχ .Α και διαβάζουμε σημείο Α.

• Αν με τη βοήθεια ενός χάρακα γράψουμε μια γραμμή που να αρχί­ ζει από το σημείο Α και να τελειώνει στο σημείο Β, τότε η γραμμή αυτή λέγεται ευθύγραμμο τμήμα. Τα σημεία Α και Β λέγονται άκρα του ευθύγραμμου τμήματος. Γράφουμε ΑΒ ή ΒΑ και δια­ βάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ή το ευθύγραμμο τμήμα ΒΑ. (κοίταξε το πιο πάνω σχήμα). Το ευθυγραμμο τμήμα μπορούμε να το ονομάσουμε και με ένα μι­

κρό γράμμα του αλφαβήτου, π.χ.Υ και διαβάζουμε ευθύ­ γραμμο τμήμα α.

• Αν,

με τη βοήθεια ενός χάρακα, προεκτείνουμε ένα ευθύγραμμο

τμήμα ΑΒ πιο πέρα από τα δύο άκρα του, (τοποθετώντας κατάλ­ ληλα το χάρακα), θα έχουμε μια νέα γραμμή που λέγεται ευθεία. Α

(

.Β

)

ι {:: : : : i::::: ::: Ι::::::: :t:::::: :~:i: : : : ι::::::: :t::::::: ::ι:::::: ::ι::::::: :t:: :::::::t ι Η ευθεία δεν έχει άκρα. Δηλαδή δεν έχει αρχή ούτε τέλος. Μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα. Κάθε ευθεία συμβολίζεται με ένα μικρό γράμμα πχ ε ή με δύο μι­ κρά γράμματα π.χ. χχ' και διαβάζουμε ευθεία χχ' ή ευθεία ε. χ

χ

Τα γράμματα Χ, Χ δεν δηλώνουν συγκεκριμένα σημεία. ΔείΥΥουν απλώς τις δύο αντίθετες κατευθύνσεις της ευθείας χΧ. Από το σημείο Α διέρχονται (περνούν) άπειρες ευθείες. Από το Α στο Β όμως διέρχεται μόνο μία ευθεία, η ευθεία ε που ονομάζεται και ευθεία ΑΒ.

92

. r

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

• Ημιευθεία είναι ένα μέρος της ευθείας. Έχει μόνο αρχή, η οποία είναι σημείο της ευθείας και δεν έχει τέλος. Προεκτείνεται απεριό­ ριστα μόνο προς τη μία κατεύθυνση της ευθείας. Διαβάζουμε ημιευθεία Αχ', όπου Α η αρχή της ημιευθείας.

χ

Διαβάζουμε ημιευθεία ΒΧ, όπου Β η αρχή της ημιευθείας.

• Αντικείμενες ημιευθείες είναι οι ημιευθείες που έχουν κοινή αρχή, βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία και έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Π.χ. Αχ και ΑΧ είναι αντικείμενες ημιευθείες.

Ευθείες που τέμνονται. Οι ευθείες ΔΕ και ΧΨ διέρχονται από το σημείο Ο. Λέμε ότι τέμνονται στο σημείο Ο.

• Τα σημεία που βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία ονομάζονται συ­ νευθειακά. Π.χ.τασημεία Δ, Ο, Ε είναισυνευθειακά. Τα σημεία Δ, Ο, Γ δεν είναι συνευθειακά.

• Επίπεδο ή επίπεδη επιφάνεια λέγεται η επιφάνεια πάνω στην οποία ο χάρακας εφαρμόζει ακριβώς. ΤΟ επίπεδο θεωρείται ότι έχει δύο μόνο διαστάσεις. Για να σχεδιάσουμε ένα επίπεδο, σχηματίζουμε συνήθως ένα πα­ ραλληλόγραμμο το οποίο αποτελεί μέρος του επιπέδου. Το ονομάζουμε χρησιμοποιώντας ένα κεφαλαίο γράμμα του αλ­ φαβήτου πχ Π και διαβάζουμε επίπεδο Π.

Η επιφάνεια του πίνακα, η επιφάνεια του τζαμιού, η επιφάνεια μιας σελίδας του τετραδίου μας, η επιφάνεια ενός τραπεζιού Μμε ότι είναι επίπεδα, αν φανταστούμε ότι επεκτείνονται απεριόριστα.

τετρόδιο

πίνακας

παρόθυρο

93

• Επίπεδα που τέμνονταΙ. Τα επίπεδα Π και Ρ τέμνονται στην ευ­ θείαΜΝ .

• Σ'

ένα επίπεδο γράφουμε

ε

μια ευθεία ε. Παρατηρούμε ότι η ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη. Κάθε ένα από τα μέ­ ρη αυτά μαζί με την ευθεία ε αποτελεί ένα σχήμα που

λέγεται ημιεπίπεδο και η ευθεία ε λέγεται ακμή του. Αν διπλώσουμε και τσακίσουμε μια σελίδα του τετραδίου μας και ύστερα την ξεδιπλώσουμε πάνω στο θρανίο μας, η ευθεία που πα­ ριστάνεται από τη τσάκιση της σελίδας μας είναι η κοινή ακμή των δύο ημιεπιπέδων που βλέπουμε.

3 .2, •

σχηματα

Ο μαθητής κατασκευάζει στον πίνακα διάφορα σχήματα. Το κάθε σχήμα αποτελείται από σημεία τα οποία βρίσκονται όλα στο ίδιο

επίπεδο, στο επίπεδο του πίνακα. Τα Οχήματα αυτά λέγονται επί­ πεδα σχήματα.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

• Ακουμπώντας τη μύτη του μολυβιού πάνω στο χαρτί και σύροντας το μολύβι λέμε ότι γράφουμε γραμμή. Τη γραμμή τη συμβολίζουμε με ένα μικρό γράμμα πχ β. β

• Αν η γραμμή αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα οποία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, λέγεται τεθλασμένη γραμ­ μή ή πολυγωνική γραμμή ΑΒΓΔΕ. Β Ε

Α Δ

• Η γραμμή που δεν έχει κανένα τμήμα της που να είναι ευθύγραμ­ μο τμήμα λέγεται καμπύλη γραμμή.

• Η γραμμή που αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα και καμπύ­ λες γραμμές λέγεται μεικτή γραμμή.

• Ένα μέρος του επιπέδου λέγεται επίπεδο χωρίο.

Σε dλλες παραγράφους θα ασχοληθούμε με τη μελέτη μερικών επι­ πέδων σχημάτων.

95

1. Ποιο από τα πιο κάτω έχει αρχή και τέλος, μόνο αρχή, μόνο τέλος, ούτε αρχή ούτε τέλος; (α) το ευθύγραμμο τμήμα

2.

(γ) η ημιευθεία

Να χαράξετε μια ευθεία. Να σημειώσετε και να ονομάσετε πάνω σ' αυτή: (α) ένα σημείο

3.

(β) ηευθεία

(β) ένα ευθύγραμμο τμήμα

(α) Να χαράξετε και να ονομάσετε μια ημιευθεία και (β) να χαράξετε και να ονομάζεται την αντικείμενη ημιευθεία της.

4.

(α) Να χαράξετε και να ονομάσετε ένα επίπεδο και (β) να χαράξετε και να ονομάσετε πάνω στο επίπεδο δύο ευθείες που τέμνονται Να ση­ μειώσετε και να ονομάσετε το σημείο τομής τους.

(γ) Να βρείτε και να ονομάσετε πάνω στο προηγούμενο επίπεδο τρία σημεία συνευθεια­ κά.

5. Χρησιμοποιώντας το διπλανό σχήμα να γράψετε δίπλα από την κάθε πρόταση «ορθό» ή «λάθος».

(α) Τα σημεία Β, Μ, Α είναι συνευθειακά.

Χ

(β) Οι Μχ και Μχ' είναι ημιευθείες. (γ) Οι ήμιευθείες ΜΓ και ΜΒ είναι αντικείμε­ νες ημιευθείες.

(δ) Η ευθεία ΑΒ περιέχει μόνο τρία σημεία. (ε) Η ευθεία ΓΔ είναι η ίδια με την ευθεία ΓΜ.

96

Χ'

Β

• Ο κύριος Γιώργος ήθελε να βρει πόσο λάστιχο πρέπει να αγορά~

•

σει για να μεταφέρει νερό από το σημείο Α μέχρι το σημείο Β του περβολιού του. Έτσι περπάτησε από το σημείο Α μέχρι το Β με­ τρώντας τα βήματά του και βρήκε ότι έκανε

12 βήματα.

Επειδή σκέφτηκε ότι τα βήματά του, ίσως να μην είναι πάντοτε τα

Α

•

ίδια, πήρε μία ράβδο και βρήκε ότι η ράβδος από το Α μέχρι το Β χωρούσε 5 φορές.

•

Στην καθημερινή μας ζωή, βλέπουμε ότι πολλές φορές χρειάζεται να συγκρίνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα με άλλο. Η σύγκριση λέ­

γεται μέτρηση. Το ευθύγραμμο τμήμα που χρησιμοποιούμε για τη

μέτρηση λέγεται μονάδα μέτρησης. Ο αριθμός που προκύmει λέ­ γεται μήκος του ευθύγραμμου τμήματος. Στο παράδειγμά μας, ο κύριος Γιώργος σύγκρινε το ευθύγραμμο τμήμαΑΒ:

1.

Με το μήκος του βήματός του. Ο αριθμός

12 που προέκυψε

από τη σύγκριση, είναι το μήκος του ΑΒ, με μονάδα μέτρη­ σης το βήμα.

2.

Με το μήκος της ράβδου. Ο αριθμός 5 που προέκυψε από τη σύγκριση, είναι το μήκος του ΑΒ, με μονάδα μέτρησης τη ρά­ βδο.

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός που εκφράζει το μήκος ενός ευθύγραμ­ μου τμήματος εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποι­ ούμε. Για να είναι πιο εύκολη η συνεννόηση, συμφωνήσαμε να χρη­ σιμοποιούμε όλοι την ίδια μονάδα μέτρησης, (που εδώ θα τη λέμε μονάδα μήκους).

Κατά καιρούς χρησιμοποιήθηκαν διάφορες μονάδες μέτρησης μή­ κους. Σήμερα επικρατέστερη μονάδα μέτρησης είναι το μέτρο, το

οποίο συμβολίζουμε με m. Επίσης ως μονάδες μέτρησης ΧΡησιμο­ ποιούμε και τις υποδιαιρέσεις και τα πολλαπλάσια του μέτρου, ανά­ λογα με το πόσο μεγάλο είναι το μήκος που θα μετρήσουμε. Έτσι για να μετρήσουμε το πλάτος μιας σελίδας μας χρησιμοποιούμε εκατο-

97

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

στόμετρα

(cm) , που

είναι υποδιαίρεση του μέτρου. Για να μετρή­

σουμε την απόσταση δύο πόλεων χρησιμοποιούμε χιλιόμετρα

(km),

που είναι πολλαπλάσιο του μέτρου. Ο πιο κάτω πίνακας περιέχει συγκεντρωτικά τις υποδιαιρέσεις και τα

πολλαπλάσια του μέτρου καθώς και τις σχέσεις μεταξύ τους. Ονομασία της

Σύμβολο

Σχέση με το μέτρο

μονάδας μήκους

Πολλαπλάσια

Χιλιόμετρο

του μέτρου

Εκατόμετρο

km hm

1 km = 1000 m 1 hm = 100m

Δεκάμετρο

dam

1 dam = 10m

ΜΕΤΡΟ

m

Δεκατόμετρο

dm

1 dm = ~m =0 1 m 10 '

Εκατοστόμετρο

cm

1 cm = 1JO m = 0,01 m

Χιλιοστόμετρο

mm

1 mm

Υποδιαιρέσεις

ή παλάμη

του μέτρου

= 10~0 m =0,001 m

ή χιλιοστό

Για τη μέτρηση μεγάλων αποστάσεων χρησιμοποιούμε για μονάδα μήκους το μίλι

1 μίλι

= 1609 m = 1,609 km.

Στη ναυτιλία χρησιμοποιείται για μονάδα μήκους το ναυτικό μίλι

1 ναυτικό μίλι

= 1852 m.

Στο χάρακα της φωτογραφίας φαίνονται οι υποδιαιρέσεις του μέ­ τρου.

,~

[' J

11::::::1:::::::1::::::::;::::::::1:::::::1:::::::1::::::::[::::::Ι::::::<:~} Ι 1<

98

1dm

>1

Σε μερικές χώρες, η βασική μονάδα μήκους είναι η υάρδα ή η γιάρδα

(yrd) , από το αγγλικό yard.

1 yrd διαιρείται σε 3 πόδια (ft), από το αγγΝ.κό food - feet. 1 ft διαιρείται σε 12 ίντζες (ίη), από το αγγλικό inches. Οι σχέσεις των μονάδων αυτών μεταξύ τους αλλά και με το μέτρο είναι:

1 yrd = 3ft = 36 ίπ 1ft= 12ίπ 1 yrd = 0,9144 m = 91,44 cm 1ft

0,3048 m = 30,48 cm

1 ίπ

0,0254 m = 2, 54 cm

•

Για μετατροπές από μια μονάδα σε άλλη μονάδα μπορεί να μας βοηθήσει το πιο κάτω σχήμα.

·w

~

·w

·w

·w

·w

~ Km hm dam m dm cm mm ~~~~~~ :10

:10

:10

:10

:10

:10

Δηλαδή: Για να μετατρέψουμε

km σε hm πολλαπλασιάζουμε με το 10.

Ενώ για να μετατρέψουμε hm σε Για να μετατρέψουμε

km διαιρούμε με το 10.

m σε cm πολλαπλασιάζουμε με το 1Ο . 1Ο,

δη­

λαδή με το 100. Ενώ για να μετατρέψουμε cm σε m διαιρούμε με το (10 . 10), δηλαδή μετο

100.

Παράδειγμα

1

Να μετρηθούν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΑΓ με μονάδα μή­ κους το ευθύγραμμο τμήμα β.

99

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Α

Β

Α ι

Γ

Β Ι

Γ

Ι

Ι

Ι

Ι

Ι

Ι

~~~~~~~~ β β β β β β β β

Ι

Παρατηρούμε ότι το ΑΒ αποτελείται από δύο ευθύγραμμα τμήματα, που το καθένα είναι ίσο με το β. Λεμε ότι το μήκος του ΑΒ είναι 2 με μονάδα μήκους το β. Γράφουμε

ΑΒ=2β

Επίσης:

Το ΑΓ αποτελεπαι από

6 ευθύγραμμα τμήματα, που

το καθένα είναι ίσο με το β.

Λέμε ότι το μήκος του ΑΓ είναι 6 με μονάδα μήκους το β. Γράφουμε:

ΑΓ=6β

Να μετρηθεί το μήκος των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΑΓ με μονάδα μήκους το 1 cm.

.

Β

Α

Α

•

Β

Γ

-

1 cm

Γ

Ι Ι:::::: :i:::::: : :Ι: ::: ::::1:: :::::: :i::: : : : Ι ::::: :::t: ::::::: :i::::: ::: :f: ::::: ::: t: :::::: ::t ι Μετρούμε το μήκος του ΑΒ με τη βοήθεια του χάρακα. Βλέπουμε ότι το μήκος του ΑΒ είνdι 3 cm (ακέραιος αριθμός), ενώ το μήκος του ΑΓ δεν είναι ακέραιος αριθμός αλλά 6 cm και 7 mm. Γράφουμε:

AB=3cm ΑΓ=

100

6cm 7mm

.

r

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Να μετατραπούν τα 7 m σε mm.

Χρησιμοποιώντας το σχήμα 1, για να μετατρέψουμε τα m σε mm πολ­ λαπλασιάζουμεμετο (10 .10 .10), δηλαδή με το 1000. Άρα:

7 m = 7·1000 mm = 7000mm

Να μετατραπούν 1600 m σε km.

Για να μετατρέψουμε m σε km διαιρούμε με το 1000. Άρα:

1600 m = 1600: 1000 km = 1,6km

Να μετατραπούν 2 m και 7 cm σε cm.

Για να μετατρέψουμε

Άρα:

m σε cm πολλαπλασιάζουμε με το 100.

2m =2·100cm = 200cm

Δηλαδή τα 2 m και 7cm είναι 200 cm

+ 7 cm = 207 cm. Δ Β

• Θέλουμε να συγκρίνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ. Μπορούμε να εργαστούμε με πολλούς τρό­

A~

πους.

Για παράδειγμα:

Γ

10ςτρόπος: Μετρούμε το μήκος τους. Βρίσκουμε

ΑΒ

= 3 cm

ΓΔ=5cm

----_.

Α

Γ

Β

Δ

101

Παρατηρούμε ότι το ΓΔ είναι μεγαλύτερο από το ΑΒ. Γράφουμε ΓΔ> ΑΒ ή ΑΒ

< ΓΔ.

20ςτρόπος:

Τοποθετούμε το ΑΒ πάνω στο ΓΔ, όπως φαίνεται πιο κάτω. Β

Α Γ

Δ

Παρατηρούμε ότι περισσεύει στο ΓΔ το τμήμα ΒΔ. Άρα το ΓΔ είναι μεγαλύτερο από το ΑΒ. Γράφουμε ΓΔ> ΑΒ ή ΑΒ

<

ΓΔ.

30ςτρόπος:

Χρησιμοποιούμε το διαβήτη.

Α '--------' Β

Ανοίγουμε το διαβήτη έτσι, ώστε τα άκρα του να είναι στα σημεία Α και Β.

Στη συνέχεια, χωρίς να αλλάξουμε το άνοιγμα του διαβήτη, τοποθε­ τούμε το ένα άκρο του στο Γ.

Παρατηρούμε ότι το ΓΔ είναι μεγαλύτερο από το ΑΒ. ΓL-----L----Δ

Γράφουμε ΓΔ > ΑΒ ή ΑΒ

<

ΓΔ.

Να συγκριθούν τα ευθύγρc.. , Ό τμήματα ΚΛ και ΜΝ. Λ

Κ

-~----

ΓMετρ~ύμε-:;:~~ήKoς '-1

Μ

- - - - - -Ν

Λίιση:

τους.

Παρατηρούμε ότι έχουν Ι

!

το ίδιο μήκος. -~---"--"_. ->~ ._--~

,_ • •

j

ι

K~_ _ _ _-,Λ

ΚΛ=3cm

ΜΝ

=3cm

Γράφουμε ΚΛ = ΜΝ και λέμε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΚΛ, ΜΝ εί­ ναι ίσα.

102

M:..:....-_ _ _ _~N

·r Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Αν χωρίσουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στη μέση, θα έχουμε δύο

Β

ευθύγραμμα τμήματα ΑΜ, ΜΒ που θα είναι ίσα. Δηλαδή ΑΜ

= ΜΒ

Τότε το σημείο Μ λέγεται μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Δηλαδή: Αν

ΑΜ

=

ΜμέσοτουΑΒ

ΜΒ

ή Αν

ΜμέσοτουΑΒ

ΑΜ=ΜΒ

=>

Έτσι έχουμε την ισοδυναμία: Μ μέσοτοu ΑΒ ~ ΑΜ = ΜΒ

Να βρεθεί το μέσο των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ, ΓΔ,

El. Δ

Α

Ε Β

-----

Ζ

Δ

Α

ΓΝ=ΝΔ Β

Ε

Ρ Ζ

Ν μέσο του ΓΔ

ΑΜ=ΜΒ

ΕΡ= ΡΖ

ΜμέσοτουΑΒ

Ρ μέσοτουΕΖ

103

4-,.. B~~II(EΣ ΓΕ,ΩI\iΙΠΡIΚΕΣ ENNQIEΣ

' " q:, , q: ~

ι

Α

- Θέλουμε να μετρήσουμε την απόσταση των δύο δέντρων

Α και Β. Μετρούμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήμα­

τος ΑΒ.

Χρησιμοποιούμε σαν μονάδα μήκους το

.

Β

~

Βρίσκουμε ΑΒ =

4 m.

Άρα η απόσταση των δύο δέντρων είναι

-

1 m.

4 m.

Απόσταση δύο σημείων Α και Β ονομάζεται το μήκος του ευθύ­ γραμμου τμήματος ΑΒ, που ενώνει τα δύο σημεία.

Όπως βλέπουμε, χρησιμοποιούμε το ίδιο σύμβολο ΑΒ για να δη­ λώσουμε δύο διαφορετικά πράγματα. Δηλαδή:

Με το σύμβολο ΑΒ εννοούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, αλλά εν­ νοούμε επίσης και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Αυτό το κάνουμε για πιο εύκολη χρήση του συμβολισμού ΑΒ. -Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχειμήκος

3 cm.

Η τεθλασμένη γραμμή ΑΓΒ έχει μήκος Ε

4 cm.

Η τεθλασμένη γραμμή ΑΖΕΔΒ έχει μήκος 9 cm.

Παρατηρούμε ότι

ΑΒ

< ΑΓΒ και

ΑΓΒ<ΑΖΕΔΒ

Δηλαδή το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει το μικρότερο μήκος από Δ

Α

Β

όλες τις γραμμές που ενώνουν τα σημεία Α και Β.

Η ευθεία είναι ο πιο σύντομος δρόμος μεταξύ δύο σημείων

Να χαραχθεί μία ευθεία ε. Να γραφτούν δύο σημεία Α και Β, έτσι ώστε το Α να είναι σημείο της

ευθείας ε και το Β να μην είναι. Να σχεδιαστεί η απόσταση των Α και Β.

104

~

• Χαράσσουμε την ευθεία ε. Γράφουμε τα σημεία Α και Β.

Το Α βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε.

~ε

Το Β δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε.

Α

Σχεδιάζω την απόσταση ΑΒ των σημείων Α, Β.

Παρατήρηση:

_____

ε

_ _~

Β

Αν μετρήσουμε το ΑΒ, θα βρούμε ΑΒ == 4 cm. Λέμε τότε ότι η από- Α σταση των σημείων Α και Β είναι 4 cm ή ότι το σημείο Α απέχει από το σημείο Β

4 cm.

105

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1. Να μετρήσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ με μονάδα μήκους το ευθύγραμμο τμήμα α.

Α-

_______________ Β

Γ ___________ Δ

α

2. Να σχεδιάσετε μια ημιευθεία Οχ. Να σημειώσετε πάνω στην Οχ τρία σημεία Α, Β, Γ έτσι ώστε: ΟΑ=2α

ΟΓ= 5,5α

(Δίνεται το

.....Q..,)

3. Να μετατρέψετε σε cm τα μήκη: (α)

(β) 0,4

35 dm

km

(γ)

7,2 m

(δ)

0,3 hm

4. Να συμπληρώσετε τα κενά. (α)

625 cm

(β) 5420

= ............ m

mm = ............ cm = ............ dm = ............ m

= ............ dam = ......... dm = ............ cm

(γ)

2,5 hm

(δ)

0,03 km = ......... hm = ............ m = ............ mm

5. Να μετατρέψετε σε m τα μήκη: (α)

4dam 4m

(β)

8cm 2dm

(γ)

18 m 3 dm 3 mm

(γ)

12 mm

6. Να μετατρέψετε σε cm τα μήκη: (α)

106

4m

(β)

1 dm

(δ)

5m 8dm

7.

Να γράψετε τα πιο κάτω μήκη από το μικρότερο στο μεγαλύτερο:

3,4dm,

0,2m,

1,34cm,

34mm,

8.

Να συγκρίνετε ανά δύο τα ευθύγραμμα τμήματα α, β, γ.

9.

Στο διπλανό σχήμα, να φέρετε:

1,3m

.

Α

(α) Την απόσταση των σημείων Α και Β.

(β)

Την απόσταση των σημείων Γ και Δ.

(γ)

Την απόσταση των σημείων Α και Γ.

Β

Δ

. Γ

Να συγκρίνετε τις αποστάσεις ΑΒ και ΑΓ.

Να συγκρίνετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ με το μήκος της τεθλασμένης γραμμής ΑΒΓ. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

10.

Ένα αεροπλάνο πετάει σε ύψος

1000 ft

και ένα άλλο πετάει σε ύψος

350 m.

Να υΠΟλογί­

σετε ποιο από τα δύο αεροπλάνα πετάει ψηλότερα.

11.

Να βρείτε και να ονομάσετε το μέσο των πιο κάτω ευθυγράμμων τμημάτων. Μ

Ν κ

! 12.

Να γράψετε ένα σημείο Α. Να βρείτε τρία άλλα σημεία που το καθένα να απέχει 3 cm από τοΑ.

13.

Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ. Να βρείτε και να ονομάσετε το μέσο Μ του ΚΛ. Να βρείτε ένα σημείο Ρ που να απέχει

4 cm από το Κ και να μη βρίσκεται πάνω στην ευ­

θεία ΚΛ. Να σχεδιάσετε την ευθεία που περνά από τα σημεία Μ και Ρ.

-

--------

~

--~....::::::.-

Ο

~~~,

1

~~'

------:71- --;::-~~~~

.----.-/'~,_;:Γ;=

-.

- -'

--

~

--

---~- - - ; - - ~

-- ==-:::--~-----~ =---

~'=="

ι ____ ~~~~~Ξ~=------

I

107

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

χ

•

Σχηματίζουμε δύο ημιευθείες Οχ και οψ, που έχουν κοινή αρχή Ο. Οι ημιευθείες χωρίζουν το επίπεδο σε δύο περιοχές.

Κάθε μια από αυτές τις περιοχές λέγεται γωνία. Το σηψ

μείο Ο λέγεται κορυφή και οι ημιευθείες Οχ και ΟΨ λέγονται πλευρές της γωνίας.

Επειδή δύο ημιευθείες ορίζουν δύο γωνίες, για να δεί­ ξουμε για ποια γωνία μιλούμε, γράφουμε μέσα σ' αυτή ένα τόξο .

•

Από τις δύο γωνίες που ορίζουν οι ημιευθείες Οχ και οψ,

η μια λέγεται κυρτή γωνία και η άλλη μη κυρτη γωνία. Για να ξεχωρίσουμε ποια γωνία είναι η κυρτή και ποια η

μη κυρτή φέρουμε την αντικείμενη ημιευθεία μιας πλευράς, π,χ. την οψ'.

Η ευθεία

ψψ' αφήνει την κυρτή γωνία στο ίδιο

ημιεπίπεδο, ενώ χωρίζει τη μη κυρτή σε δύο μέρη που ανήκουν σε διαφορετικά ημιεπίπεδα.

ψ

Στα επόμενα, όταν μιλούμε για γωνία, θα εννοούμε την κυρτή γωνία .

• Συνήθως ονομάζουμε μία γωνία χρησιμοποιώντας το γράμμα

χ

της κορυφής της. Χρησιμοποιούμε το σύμβολο Λ πάνω από την κορυφή της γωνίας αντί της λέξης «γωνία».

Γράφουμε ό.

ο

Διαβάζουμε γωνία Ο. ψ

108

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Στο διπλανό σχήμα, δεν μπορούμε να μιλούμε για γωνία Ο, διότι

Η

Ο είναι κορυφή πολλών γωνιών. Έτσι για να ονομάσουμε μια γωνία χρησιμοποιούμε και τους πιο κάτω τρόπους:

• Με τρία γράμματα. Από αυτά το μεσαίο πρέπει να είναι το γράμμα ο

της κορυφής και τα άλλα δύο σημεία των πλευρών της.

ψ

Γράφουμε ΑΒΓ ή ΓΒΑ. Διαβάζουμε γωνία ΑΒΓ ή γωνία ΓΒΑ.

Ζ Α

• Με ένα

μικρό γράμμα το οποίο γράφουμε μέσα στη γωνία κοντά

Β

στην κορυφή.

Γράφουμε φ.

Γ

Διαβάζουμε γωνία φ.

• Με το γράμμα της κορυφής και ένα αριθμό τον οποίο γράφουμε μέσα στη γωνία κοντά στην κορυφή.

χ

Διαβάζουμε γωνία ΟΙ ή γωνία 02'

oL.~-----

.

.

arpCf.pfl

t'

• Σε ένα επίπεδο γράφουμε δύο ημιευθείες

Οχ

n ' ημ~ευσε~("ς

και οψ, που

έχουν κοινή αρχή το σημείο Ο και συμπίmουν.

Οι δύο ημιευθείες που συμπίmουν λέμε ότι σχηματίζουν μηδε-

_.--------:ι.---.....

νlκήγωνία.

ο

Ψ

Χ

109

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

•

Περιστρέφοντας γύρω από το σημείο Ο την ημιευ­ θεία ΟΨ και κρατώντας την ημιευθεία Οχ σταθερή,

σχηματίζονται οι κυρτές γωνίες όπως στο διπλανό σχήμα. ο

χ

•

Όταν η ημιευθεία ΟΨ συμπέσει με την αντικείμενη

ημιευθεία της Οχ, σχηματίζεται η γωνία χ6ψ.

Η

γωνία αυτή λέγεται ευθεία γωνία. ο

ψ

χ

• χ

Όταν η ημιευθεία ΟΨ συνεχίσει να περιστρέφεται, σχηματίζονται οι μη κυρτές γωνίες, όπως στο διπλα­ νόσχήμα.

• ψ

χ

Όταν η ημιευθεία οψ επανέλθει στην αρχική θέση Οχ, η γωνία που σχηματίζεται λέγεται πλήρης γω­ νία .

• Για να μετρήσουμε μια γωνία πρέπει (όπως είδαμε στη

μέτρηση

των ευθυγράμμων τμημάτων) να τη συγκρίνουμε με μία άλλη γω­ νία, την οποία παίρνουμε ως μονάδα. χ

Στο σχήμα πήραμε ως μονάδα τη γωνία α.

Χρηmμοποιώντας διαφανές χαρτί βλέπουμε ότι η γωνία ΧΟΨ απο­

τελείται από

3γωνίες ίσες με α. Έτσι γράφουμε χ6ψ

=

3a.

Ο αριθμός που προκύmει από τη σύγκριση λέγεται μέτρο της γω­ ο ~--~--------ψ

11 Ο

νίας.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

• Για τη

μέτρηση των γωνιών χρησιμοποιούνται διά­

φορες μονάδες. Η πιο συνηθισμένη μονάδα είναι η

γωνία μίας μοίρας, η οποία συμβολίζεται με

1ο.

Μια μοίρα υποδιαιρείται σε 60 πρώτα λεmά

(60'). Ένα πρώτο λΕ­ mό υποδιαιρείται σε 60 δεύτερα λεmά (60'). Δηλαδή

1ο

= 60' = 3600"

l' = 60" Η μέτρηση των γωνιών γίνεται με το μοιρογνωμόνιο. Για να μετρή­

σουμε μία γωνία εργαζόμαστε ως εξής: Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο έτσι, ώστε το κέντρο του να συ­

1.

μπέσει με την κορυφή της γωνίας.

2.

Τοποθετούμε το σημείο Ο ο πάνω σε μια πλΕυρά της γωνίας.

3.

Διαβάζουμε την ένδειξη από την οποία περνά η άλλη πλευρά της γωνίας, αρχίζοντας από το Ο ο , όπως δείχνουν τα τόξα.

(1)

,.

(3)::--.....

B----~L-

Α

____~~----~~

(2)/ (1)

ΑΟΒ

= 1270 111

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Ας μετρήσουμε τις πιο κάτω γωνίες

Παραδειγucι

;(.

Να συγκριθούν οι γωνίες ΑΒΓ και ΚΛΜ.

Λύση:

Μετρούμε την κάθε γωνία με το μοιρογνωμόνιο. Βρίσκουμε ότι:

ΑΒΓ

= 400

και κΛΜ

Άρα ΑΒΓ < κΛΜ.

= 500

Ι r

,~

•

,~

,•

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Θα κατασκευάσουμε γωνία ίση με τη γωνία φ, χρησιμοποιώντας χά­ ρακα καΙ' μοιρογνωμόνιο .

1. Μετρούμε τη γωνία φ και βρίσκουμε ότι είναι 55 ο . 2.

Γράφουμε ημιευθεία ΟΑ.

3.

Τοποθετούμε το μοιρογνωμόνιο, όπως δείχνει το σχήμα, και ση­

μειώνουμε ένα σημείο Β στην ένδειξη

4.

55 ο •

Φέρουμε με το χάρακα την ημιευθεία ΟΒ. Η γωνία ΑΟΒ που σχηματίστηκε είναι ίση με τη γωνία φ.

~.;.55.Ά"

~ Ο

Α

" i..

~

Θα φέρουμε μια ημιευθεία που θα χωρίζει τη γωνία ΑΟΒ σε δύο ίσες γωνίες. Α

1.

Μετρούμε τη γωνία ΑΟΒ και βρίσκουμε

rr::k

56 ο •

2. Σημειώνουμε ένα σημείο Δ στην ένδειξη 280.

3.

Φέρουμε την ημιευθεία ΟΔ.

ο

Β

Η ημιευθεία ΟΔ χωρίζει τη γωνία ΑΟΒ στις γωνίες ΑΟΔ και

ΔΟΒ, που έχουν η κάθε μια μέτρο 280, δηλαδή είναι ίσες. Η ημιευθεία ΟΔ που χωρίζει τη γωνία ΑΟΒ σε δύο ίσα μέρη λέ­ γεται διχοτόμος της γωνίας.

§ 12.

γωνι.ων

• Η ορθή γωνία. Η ορθή γωνία είναι ίση με 90·. Για να σημειώσουμε

ψ

στο σχήμα ότι μία γωνία είναι ορθή, αντί τόξου γράφουμε το σύμ-

βολο

+

εκεί που τέμνονται οι ευθείες, δηλαδή Ι

. Η ορθή

γωνία χρησιμοποιείται και ως μονάδα μέτρησης των γωνιών. (Μια ορθή

= 1 Ι). ο

Γράφουμε χόψ

= 90·

ή χόψ

= 1L.

χ

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάζουμε η γωνία χοψ είναι 90 Ο ή η γωνία χοψ είναι ίση με μία ορθή .

• Η οξεία γωνία. Κάθε γωνία που είναι μικρότερη από την ορθή και μεγαλύτερη από Ο Ο λέγεται οξεία γωνία .

• Η αμβλεία γωνία. Κάθε γωνία που είναι μεγαλύτερη από την ορθή γωνία και μικρότερη από

180 Ο λέγεται αμβλεία γωνία.

Κάθε κυρτή γωνία είναι μεγαλύτερη από 00 και μικρότερη από

1800

~oι(--_--LO __..I...-_---.~ • Η ευθεία γωνία. Η ευθεία γωνία είναι ίση με 1800. Ψ

Ο

χ

Γράφουμε χ6ψ = 1800 ή χ6ψ = 2 L.

χοψ= 1800

Διαβάζουμε η γωνία χοψ είναι 180 Ο ή η γωνία χοψ εί­

ΧΟΨ=2L

.. (9-----

Ψ

Χ

ΧοΨ= 3600

ΧΟΨ=4L

ναι ίση με δύο ορθές.

•

Η πλήρης γωνία. Η πλήρης γωνία είναι ίση με 360 Ο

Γράφουμε χ6ψ

= 3600

ή χ6ψ

•

=4 Ι

ή G-χοΨ. Διαβάζουμε η γωνία χοψ είναι

360 Ο ή η γωνία χοψ είναι ίση με

τέσσερις ορθές ή η πλήρης γωνία χοψ.

1800< ΧΟΨ< 3600 Ψ

χ •

Μη κυρτή γωνία. Κάθε μη κυρτή γωνία είναι μεγαλύτερη από 180 Ο και μικρότερη από 360 Ο

Γράφoυ~ε

cr

•

χ6ψ.

Διαβάζουμε μη κυρτή γωνία χοψ.

114

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1.

Να ονομάζετε τις γωνίες

α

και

β,

Β

Γ

χρησιμοποιώντας τρία γράμματα. V---I._ _ _ _

Α

ο Α

2. Να σημειώσετε στο σχήμα τις πιο κάτω γωνίες, γράφοντας ένα τόξο στο άνοιγ­ μά τους και να τις ονομάσετε με ένα μι­ κρόγράμμα.

Α., ΒΓΑ,

ΓΔΒ,

B~-----""">'Δ

ΑΓΔ.

3. Ποιες από τις πιο κάτω γωνίες είναι κυρτές και ποιες μη κυρτές;

δ

4. Να μετρήσετε με το μοιρογνωμόνιο τις γωνίες 61 και 62. (α)

(β)

~o

ο

5. Να μετρήσετε με το μοιρογνωμόνιο τις γωνίες:

115

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

6.

Να συγκρίνετε τις γωνίες α και β

L 7.

Να συγκρίνετε τις γωνίες

ΓΟΔ

και

o~ Β

ΑΟΒ. Τι παρατηρείτε;

Δ

8. Να βρείτε το είδος (οξεία, ορθή, αμβλεία) των γωνιών που έχουν μέτρο: 300,900,890,1020, 1790,630,950. 9.

Να βρείτε το είδος κάθε μιας από τις πιο κάτω γωνίες:

10. Στο διπλανό πίνακα είναι σημειωμένα τα μέτρα των πιο κάτω γωνιών. Να εκτιμήσετε την κάθε γωνιά χω­ ρίς τη χρήση μοιρογνωμόνιο υ και να συμπληρώσετε

10·

τον πίνακα. Να επαληθεύσετε τα αποτελέσματα με­

30·

τρώντας τις γωνίες με το μοιρογνωμόνιο.

45·

ΟΊ

60· 90· 95·

γ

~

ε&==-

Γ

ιl 116

Γωνία

160· 220· 270· 340·

Όνομα γωνίας

..

",

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

•.

11.

Η ΟΖ είναι η διχοτόμος της ΧΟΨ.

ψ

Χωρίς μοιρογνωμόνιο, να υπολογίσετε

Ζ

τις γωνίες ΨΟΖ και ψοχ.

12.

ο

Να συγκρίνετε τις πιο κάτω γωνίες:

χ

Α 13.

δ

Να μετρήσετε τις γωνίες β και γ, με μονάδα μέτρησης της γωνία α.

14. Να σχηματίσετε γωνίες ίσες με 80 ο και 1080 και να φέρετε τις διχοτόμους τους. 15.

Νασχηματίσετεμίαγωνία ΧΟΨ.Στιςημιευθείες ΟΧ και ΟΨ να σημειώσετε τα σημεία Α

και Β, έτσι, ώστε ΟΑ

== ΟΒ == 3 cm.

Να χαράζετε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και να συγκρίνετε τις γωνίες ΟΒΑ και ΟΑΒ.

117

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Γ

•

Δύο ευθείες που έχουν ένα κοινό σημείο (τέμνονται) και σχηματίζουν ορθές γωνίες λέγονται κάθετες ευ­ θείες.

Α

ο

Οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ στο διπλανό σχήμα τέμνο­

Β

νται ι<αι σχηματίζουν ορθές γωνίες. Γι' αυτό είναι κά­ θετες.

Δ

Για ψι δηλώσουμε ότι δύο ευθείες είναι κάθετες χρη­ Ν

σιμοποιούμε το σύμβολο

•

1

και γράφουμε ΑΒ

1 ΓΔ.

Οι ευθείες ΚΛ και ΜΝ που δεν είναι κάθετες λέγο­ νται πλάγιες ευθείες.

Λ

•

Κατασκευή κrιθέτων με γνώμονα. Για τη χάραξη KCΙθέτων ευθειών χρησιμοποιούμε το γνώμονα. Οι πλε ιρές του γνώμονα που σχηματίζουν την ορθή γωνία' Εγονται κάθετες πλευρές του γνώ­ μονα.

κάθετη πλευρά

•

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται πώς πρέπει να τοποθε­ τήσουμε το γνώμονα για να φέρουμε ευθεία κάθετη στην ευθεία ε, στο σημείο Α

αυτής (σημείο που

ανήκει στην ευθεία ε). Στο διπλανό σχήμα φαίνεται πώς πρέπει να τοποθε­ τήσουμε το γνώμονα για να φέρουμε ευθεία κάθετη στην ε, από σημείο Β εκτός αυτής (σημείο που δεν ε

Α

ε

ανήκει στην ευθεία ε).

1-18-------------·----- -------

•.. ,

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

§ 14. Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος • Μετρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και σημειώνουμε με ση­

ε

μείο Μ το μέσο του. Γ

Με το γνώμονα γράφουμε ευθεία ε κάθετη πάνω στο ΑΒ στο σημείο Μ. Η ευθεία ε, επειδή είναι κάθετη στο μέσο του ΑΒ, λέγεται μεσοκάθετη του ΑΒ. Πάνω στη μεσοκάθετη του

ΑΒ

παίρνo~μ ένα σημείο Γ.

Μετρούμε τις αποστάσεις του Γ από τα σημεία Α και Β. Παρατηρούμε ότι ΓΑ = ΓΒ. Την ίδια ιδιότητα έχουν όλα τα ση­ μεία της μεσοκάθετης του ΑΒ. Α

Δηλαδή,

Β

Μ

Κάθε σημείο της μεσοκάθετης ενός ευθύγραμμου τμήματος αΠέ-\ Ι

χει ίσες αποστάσεις από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος.

'---

•

ι Ι

Παίρνουμε ένα σημείο Δ που δεν ανήκει στη μεσοκάθετη ε και συγκρίνουμε τις αποστάσεις ΔΑ και ΔΒ.

ε

Δ

Διαπιστώνουμε ότι ΔA;t: ΔΒ. Δηλαδή,

Ισχύει η ιδιότητα: Αν ένα σημείο δεν βρίσκεται πάνω στη με­ σοκάθετη του ΑΒ, τότε δεν ισαπέχει από τα άκρα του Α και Β.

Αυτό ισχύει για όλα τα σημεία που δεν ανήκουν στη μεσοκάθε- Α'Ο<-----+-Μ----' Β τη.

Άρα, αν ένα σημείο ισαπέχει από τα Α και Β, θα βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετη.

Δηλαδή, Τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα Α και Β ευθυγράμμου τμήματος βρίσκονται πάνω στη μεσοκάθετη του ΑΒ.

--------------------

119

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

• Από το σημείο Α φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ,

Α

ΑΓ πλάγια προς την ευθεία ε και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ κάθετο στην ε. Συγκρίνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα

ΑΔ, ΑΒ, ΑΓ και παρατηρούμε ότι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι μικρότερο από τα πλάγια ΑΔ και ΑΓ. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, που φέρουμε

από το Α κάθετο πάνω στην ε, λέγεται απόσταση του Α Δ

Β

Γ

ε

απότην ε.

Τα σημεία Δ, Β, Γ λέγονται ίχνη των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΔ, ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα πάνω στην ε .

• Στο πιο κάτω σχέδιο παρατηρούμε ότι: (α)

Η απόσταση του σπιτιού από το δρόμο είναι η ΑΒ. Δηλαδή ΑΒ .l.. Ε 1 .

(β)

Το πηγάδι απέχει από το δρόμο απόσταση ΓΔ. Δηλαδή ΓΔ

(γ)

.l.. Ε 1 •

Η απόσταση του δέντρου από το σκύλο είναι η ΕΖ (απόστα­ ση δύο σημείων).

δρόμος: Ε 1

μoνoπάτι:~

120

(δ)

Η απόσταση του δέντρου από το μονοπάτι είναι η ΕΗ. Δηλαδή ΕΗ .l.. Ε2 .

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1. Να χαράξετε δύο κάθετες ευθείες. 2. Να φέρετε ευθεία κάθετη στην ευθεία ε, στο σημείο Α.

~I

Α

ε

ε

3. Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

= 4 cm και να φέρετε τη μεσοκάθετή

του.

4. Να φέρετε ευθεία κάθετη στην ευθεία ε, από το σημείο Α.

Α

.

Α

ε

ε

).8 \

5. Να φέρετε τις αποστάσεις του σημείου Β από τις ευθείες ε 1 και ε2 .

6. Να σχηματίσετε μία γωνία χοψ και να φέρετε τη διχοτόμο της. Από ένα σημείο Α της διχοτόμου να φέρετε κάθετες ΑΒ και ΑΓ πάνω στις πλευρές Οχ και ΟΨ αντιστοίχως. Να συγκρίνετε τις αποστάσεις ΑΒ και ΑΓ.

7. Να φέρετε ευθεία κάθετη πάνω στην ευθεία ε από το σημείο Α.

L

ε

ε

> 121

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Γ

8. Η ΓΔ είναιμεσοκάθετη του ΑΒ και η ΑΒ μεσοκάθετη του ΓΔ. Να δικαιολογήσετε με συλλογισμούς ότι ΑΔ = ΓΒ.

A f - - - +_ _~B

Δ

9. Οι ιδιοκτήτες των αγροτικών σπιτιών Α και

Β θέλουν να πάρουν ηλεκτρικό ρεύ­

ε

μα από το ηλεκτρικό καλώδιο ε. Η Αρχή Ηλεκτρισμού για να τους δώσει ρεύμα πρέ­ πει να εγκαταστήσει ένα ηλεκτρικό στύλο στη γραμμή ε. Σε ποιο σημείο της ε πρέ­

πει να τοποθετήσει το στύλο, ώστε τα δύο σύρματα που θα χρησιμοποιήσουν οι ιδιο­ κτήτες να έχουν ίσο μήκος;

""

"" Β

~

§ 16. Εφεξής γωνίες

Α

• Οι γωνίες ΒΟΓ και ΑΟΒ έχουν: Την ίδια κορυφή Ο, μία κοινή πλευρά την ΟΒ και δεν έχουν άλλο κοινό σημείο. Β

Τότε λέμε ότι οι γωνίες ΒΟΓ κα ΑΟΒ

είναι εφεξής γωνίες. Γ

Η κοινή πλευρά βρίσκεται ανάμεσα στις άλλες δύο πλευρές.

Ο ο

122

Ο

• ~

,

Mαθηματι~άA' Γυμνασίου

• Οι γωνίες α και β είναι εφεξής; Όχι, διότι δεν έχουν κοινή πλευρά.

Α---

____

• Οι γωνίες ΑΟΒ και ΒΔΓ είναι εφεξής;

ο

Όχι, διότι δεν έχουν κοινή κορυφή. Β Γ

• Οι γωνίες ΑΟΒ και ΑΟΓ είναι εφεξής; Β

Όχι, διότι εκτός από την κοινή πλευρά ΟΑ, έχουν και άλλα κοινά σημεία. Δηλαδή η κοινή πλευρά δεν βρίσκεται μεταξύ

των δύο άλλων πλευρών.

Ο

.Οιγωνίες 01,02' 03,04' Οs,είναιηκάθεμία(εκτόςητελευ­ ταία) εφεξής με την επόμενη της.

Οι γωνίες αυτές λέγονται διαδοχικές.

§ 17. Πρόσθεση εφεξής γωνιών

Α

• Οι γωνίες ΑΟΒ και ΒΟΓ είναι εφεξής. Η γωνία ΑΟΓ είναι το άθροισμά τους.

Γράφουμε ΑΟΓ = ΑΟΒ

+ ΒΟΓ.

• Στο διπλανό σχήμα έχουμε δύο εφεξής γωνίες,

ΧΟΨ

= 24 ο

και ΨΟΖ

O~"Tt--_B

= 520

Γ

Ο _--π-τ---- Χ

Η γωνία ΧΟΖ είναι 760. Δηλαδή χΟΖ

ψ

= 24 ο + 520. Ζ

123

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Η γωνία ΧΟΖ είναι το άθροισμα των γωνιών ΧΟΨ και ΨΟΖ .

• Οι γωνίες α και β δεν είναι εφεξής. Θέλουμε να τις προσθέσουμε.

Σχηματίζουμετιςεφεξήςγωνίες, ΑΟ8

= a.

και

80Γ

=β

χρησιμοποιώντας διαφανές χαρτί ή τα γεωμετρικά όργανα (διαβήτη και χάρακα). ο

Η γωνία ΑΟΓ είναι το άθροισμα των γωνιών α και β.

Δηλαδή

a. + β = ΑΟ8 + 80Γ = AOr .

• Οι γωνίες α, β, γ είναι περισσότερες από δύο και δεν είναι δια­ δοχικές. Θέλουμε να τις προσθέσουμε. Σχηματίζουμε τις δια-

δοχικές γωνίες ΑΟ8 = Α

a.,

80Γ = β και ΓΟΔ = γ.

Προσθέτουμε τις δύο πρώτες γωνίες, στο άθροισμά τους προ­ σθέτουμε την τρίτη γωνία και προχωρούμε με τον ίδιο τρόπο, αν έχουμε περισσότερες από τρεις γωνίες. Δηλαδή

a. + β + γ = (α + β) + γ = (ΑΟ8 + 80r) + ΓΟΔ = ΑΟΓ + ΓΟΔ = ΑΟΔ Σας θυμίζει αυτό κάποια ιδιότητα της πρόσθεσης;

Α

Να βρεθεί το άθροισμα των γωνιών Α8Γ και ΔΕΖ.

124

Γ~B

,

~ •

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

•.. 400 + 650 χ

= 1050

\0:/

Προσθέτουμε τα μέτρα των γωνιών ΑΒΓ και ΔΕΖ. ψ

Κατασκευάζουμε γωνία ίση με

105 ο •

ο

Η Χόψ

= 1050, είναι το άθροισμα των γωνιών

ΑΒΓ και ΔΕΖ.

Το μέτρο του αθρο{σματος των γωνιών είναι

Να σχεδιαστούν δύο εφεξής γωνίες που να έχουν άθροισμα

180 ο •

Σχεδιάζουμε μία ευθεία ΧΧ'ο

Από ένα σημείο Ο της ευθείας φέρουμε την ημιευθεία ΟΥ. χ'

ο

Οι γωνίες α και β είναι εφεξής. (γιατί;) χ

Παρατηρούμε ότι:

a + β = χ'όχ Αλλά χ'όχ = 180 ο

Άρα

a + β = 1800

Δηλαδή οι γωνίες που ζητούμε είναι οι

aκαι β.

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

§ 18. Αφαiρεση εφεξής γωνιών • Οι γωνίες α και β είναι εφεξής. Θέλουμε να αφαιρέσουμε την δ

από τη γ

ή τη β από τη γ. Ξέρουμε ότι:

δ+β=γ ή

γ-δ=β

Η β είναι η διαφορά τηι;

ή

γ-β=δ

a

από τη γ.

Η δ είναι η διαφορά της β από τη γ.

Να βρεθεί η διαφορά της

B6r

από την

A6r.

ο

Ζητούμε τη διαφορά (A6r - B6r).

~ A~

A6r _B6r =

1360 _ 34 ο

~~ ~Γ 1020 Β

= 1020

Η Α6Β = 1020 είναι η διαφορά της

126

B6r

από την

A6r.

Μαθηματικά Α' ΓυμνασίQ..l!..

§ 19. Συμπληρωματικές γωνίες •

Οι γωνίες ΓΔΕ και ΑΟΒ έχουν άθροισμα

ΓΔΕ + ΑόΒ= 540 + 360

= 900 Οι γωνίες

,

ι,

,•

α και β έχουν άθροισμα

a + β = ΧΨΖ = 900 • Δηλαδή οι γωνίες 540 άθροισμα

και 360 όπως και οι γωνίες α και β έχουν

900.

Λέμε τότε ότι οι γωνίες 54 ο, 360 καθώς και οι γωνίες α, β είναι συ­ μπληρωματικές.

Δύο γωνίες που έχουν άθροισμα

900 ονομάζονται

συμπληρωματικές γωνίες.

ο ο

Γενικά αν ισχύει ω

+ φ = 90 ο,

ο

τότε λέμε ότι:

Οι γωνίες ω, φ είναι συμπληρωματικές ή

Η ω είναι συμπληρωματική της φ ή

η φ είναι συμπληρωματική της ω. Παράδειγμα

1

Η γωνία ω είναι 470. Να υπολογιστεί η συμπληρωματική της. Λύση:

Αν φ είναι η συμπληρωματική της, τότε: ω

+ φ = 900

470

+ φ = 900 φ

= 900 _ 470

φ

= 430

------------ --------------, Αντικαθιστούμε ω 470.' Ι

=

'---------

- - - - - - - - - - ----_ _ _ _ _~I

Γ-----~ συμ~~-~;:~α~~ή Τ';~~---l

[ _______________________________ -1

127

4. " ΒΑΣΙΚΕΣ - .... -_. ,.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ,,-

Αν δύο γωνίες α και β είναι συμπληρωματικές και η γωνία α είναι διπλάσια της γωνίας β, να βρεθεί το μέτρο της κάθε γωνίας (χωρίς μοιρογνωμόνιο) .

ό

+ β = 900

2β

+ β = 900 3β

a και β είναι συμπληρωματικές a = 2 β διότι η aείναι διπλάσια της β.

= 900

β = 900: 3 β = 300

Άρα β

= 30 ο

και

ό

= 213

= 600

Να υπολογιστεί το χ.

ΑόΒ = 1 ορθή

χ

+ (Χ + 200) = ΑΟΒ ή

Χ

+ (Χ + 20 ο) = 90 ο Χ

+ Χ + 20 ο = 90 ο 2Χ

= 900 - 200

2Χ

= 700

Χ

Χ

128

= 700: 2 = 350

r t, •. - Οι γωνίες Κ

Κ και Λ έχουν άθροισμα,

Ι

+ Λ = 20 ο + 160 ο

Μ

= 1800 Οι γωνίες

α

Λ

~ Ν

~ 1600

Κ

και β έχουν άθροισμα,

a + β = χοψ

ο(

= 1800

ψ

ο

χ

-Δηλαδή οι γωνίες 200 και 1600 όπως και οι γωνίες α και β έχουν άθροισμα

180 ο • Λέμε τότε ότι οι γωνίες 20 ο, 160 ο καθώς και οι γω­

νίες α, β είναι παραπληρωματικές.

Δύο γωνΕες που έχουν άθροισμα

1800 ονομάζονται

παρσπλη';;.JμαTlΚές γωνfες.

--------------------------------~o ο

Γενικά αν ισχύει ω

+φ=

1800, τότε λέμε ότι:

ο

Οι γωνίες ω, φ είναι παραπληρωματικές ή

Η ω είναι παραπληρωματική της φ ή

η φ είναι παραπληρωματική της ω.

Η γωνία ω είναι 70 ο • Να υπολογιστεί η παραπληρωματική της.

Αν φ είναι η παραπληρωματική της, τότε:

+ φ = 1800 700 + φ = 1800 ω

φ

φ

= 1800 = 1100

Αντικαθιστούμε ω

=70"

700 Η παραπληρωματική της ω.

Τ

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Παράδειγμα

2

Αν δύο γωνίες α και β είναι παραπληρωματικές και η γωνία α εί­ ναι τριπλάσια της γωνίας β, να βρεθεί το μέτρο της κάθε γωνίας (χω­ ρίς μοιρογνωμόνιο). Λύση:

d+β 3β

+β 4β β β

Ι Λ

= 180·

Λ,

.

--------έ --Ι

lα και β ειναι παρaπληρωμαΤΙK ς

i

α = 3 β διότι η α είναι τριπλάσια της β. Ι

= 180·

= 180· = 180· : 4 = 45·

Άρα β = 45·

και

d =3β

= 3 ·45· = 135· Παράδειγμα

3

Να υπολογίσετε τη γωνία ω.

z~

~

ψ

χ

Λύση:

ω + (ω -120·) =χόψ --- - - - - - - - - - - - :

Λ

r.ΧΟΨ = 1 ευθεία γωνία i _________ ._____ .___ __ ,

ι

,

~

J

ή

ω + (ω- 120·) = 180· ω

+ ω-120·

= 180·

2 ω- 120· = 180· 2ω

= 180· + 120·

2ω

= 300·

ω =

ω

300· : 2

= 150·

z~

~

χ

ψ

,ι

..•

§ 21. Κατακορυψήν γωνί"ες • Οι ευθείες ε 1 και ε2 τέμνονται στο σημείο Α και σχημαrίζOυντις τέσσερις διαδοχικές γωνίες α, β, γ, δ. Οι γωνίες αυτές έχουν κοινή κορυφή το σημείο Α. Αν κοιτάξουμε τις γωνίες α και γ, παρατη­ ρούμε ότι οι πλευρές της μιας γωνίας είναι αvnκείμενες ημιευθείεςτων

πλευρών της άλλης γωνίας (προεκτάσεις των πλευρών της άλλης). Λέμε τότε ότι οι γωνίες α

και γ είναι κατακορuφήν.

Είναι φανερό ότι και οι γωνίες β και δ είναι κατακορυφήν.

Δηλαδή όταν δύο ευθείες τέμνονται, σχηματίζουν δύο ζεύγη κατα­ κορυφήν γωνιών. Μετρούμε με το μοιρογνωμόνιό μας τις γωνίες ΧΟΨ και ΖΟΘ. ψ

Βρίσκουμε ΧΟΨ

= 560

και ΖΟΘ

= 560.

Δηλαδή οι γωνίες ΧΟΨ και ΖΟΘ είναι ίσες.

Άρα

Οι κατακορuφήν γωνίες είναι ίσες

Παρατήρηση:

Θ

Επειδή το μοιρογνωμόνιο δεν είναι ακριβές όργανο και επειδή στις μετρήσεις παίζουν ρόλο και άλλοι παράγοντες, όπως π-χ- το πάχος

της γραμμής του μολυβιού μας κ.ά., θα δικαιολογήσουμε πιο κάτω την ισότητα των κατακορυφήν γωνιών με απλούς συλλογισμούς και όχι μετρήσεις.

131

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Στο διπλανό σχήμα έχουμε:

α

= 180 ο γ β = 180· -γ

Η α είναι παραπληρωμαTlκήτης Υ.

-

Η β είναlπαραπληρωμαTlκήτης Υ.

Άρα οι γωνίες α και β είναι ίσες γιατί είναι παραπληρωματικές της ίδιας γωνίας γ. Οι πιο πάνω συλλογισμοί είναι οι ίδιοι ανεξάρτητα από το μέτρο των γωνιών.

Έτσι το συμπέρασμά μας ισχύει για κάθε περίmωση.

Να υπολογιστούν οι γωνίες Χ, Υ, ω.

~_ ~ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~. _ _ b",

9 = 380 χ

= 1800 = 1800 -

Χ

=

Χ

132

9

χ παραπληρωμαTlκήτης Υ Αντlκαθιστούμε Υ

= 380

380

142

ω =Χ ω

. Κατακορuφήνμε τη γωνία 38 ο

= 1420

Κατακορuφήνμετην Χ

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Κ

1.

Να γράψετε όλα τα ζεύγη των εφεξής γωνιών που βλέπετε στο διπλανό σχήμα. H~------~~----~E Ζ

Α

2.

Δ

Γ

Να γράψετε ποια από τα πιο κάτω ζεύγη γωνιών είναι εφεξής. Να δικαιολογήσετε την απά­ ντησήσας.

(ι)

Β

(ιι)

(ιιι)

~ ~π

A~Γ Ο

χ

ψ

Ζ

Κ

Δ

3.

Ε

Στο διπλανό σχήμα να γράψετε πέντε ζεύγη εφεξής γωνιών. Β

Ζ

Α ---------'~

ο

4.

Γ/ 29ΙΔ

Να σχηματίσετε γωνία ίση με το άθροι­

V~

σματωνγωνιών ΑΟΒ, ΓΕΔ και ΖΗΘ.

Ε

5.

.,,,,0 (

Ζ

Η

Να βρείτε τη συμπληρωματική των πιο κάτω γωνιών. (α)

430

(β)

800

(γ)

450

(δ)

31 ο

133

6. Να βρείτε την παραπληρωματική των πιο κάτω γωνιών. (γ)

1040

(δ)

900

7.

Να βρείτε τη γωνία που είναι οκταπλάσια από τη συμπληρωματική της.

8.

Να βρείτε τη γωνία που είναι πενταπλάσια από την παραπληρωματική της.

9. Να υπολογίσετε χωρίς μοιρογνωμόνιο τη γωνία χ. (β)

(α)

(γ)

10. Να σχηματίσετε μια γωνία ΑΟΒ και μετά να σχηματίσετε την κατακορυφήν της.

11. Στο διπλανό σχήμα να γράψετε πέντε ζεύγη κατακορυφήν γωνιών.

12. Να υπολογίσετε τις άγνωστες γωνίες. (α)

134

(β)

f t .

•

,

~

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

113. Να υπολογίσετε το Χ. (α)

(β)

(γ)

(δ)

ι

•

14. Να εξετάσετε: (ι) Αν οι γωνίες α, β είναι εφεξής. (ιι) Αν οι γωνίες α, β είναι κατακορυφήν. (ιιι) Αν οι γωνίες α, β είναι παραπληρωματικές. (ιν) Αν οι γωνίες α, β είναι συμπληρωματικές.

135

Δένουμε ένα μολύβι στο άκρο Α του νήμαroς Αο. Στερεώνουμε το άλ­ λο άκρο Ο του νήμαroςγια να μη κινείται ΚραrώνταςτεντωμένO το νή­

μα γράφουμε τη γραμμή, όπως δείχνει το σχήμα. Είναι φανερό ότι κάθε σημείο της γραμμής που γράψαμε απέχει από το Ο απόστηση ίση με το μήκος του νήμαroς.

Η γραμμή αυτή λέγεται κύκλος, το σημείο Ο κέντρο και το μήκος του νήμαroς ακτίνα του κύκλου. Η ακrίνα συνήθως συμβολίζεται με ρ. ΓεVΙKά Κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα Ρ είναι το επίπεδο σχή­ μα του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το Ο από­ σταση ίση με ρ.

Για συντομία όταν αναφερόμαστε σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ, γράφουμε «ο κύκλος (ο, ρ)>>. ο

Για να σχεδιάσουμε ένα κύκλο στο χαρτί, συνήθως χρησιμοποιούμε το διαβήτη.

Προσέχουμε, όταν γράφουμε τον κύκλο, το άνοιγμα του διαβήτη να είναι σταθερό.

του

•

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία του κύκλου λέγεται χορδή του κύκλου. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι χορδή του κύκλου Ο. (Δηλαδή του κύκλου με κέντρο Ο) .

• Κάθε χορδή που περνά από το κέντρο του κύκλου λέγεται διάμετρος του κύκλου. Η διάμεrΡOςΤOυ κύκλου είναι η πιο μεγάλη χορδή του κύ­ κλου.

Η ΓΔ είναιδιάμεrΡOςΤOυ κύκλου Ο. Όπως φαίνεται από το σχήμα η διάμετρος είναι διπλάmα από την ακτί­ να του κύκλου.

136

r

,t • ~

,

• Δύο σημεία Α και Β του κύκλου χωρίζουν τον κύκλο σε δύο μέρη που το καθένα λέγεται τόξο του κύκλου με άκρα τα Α και Β.

Δ

Το τόξο με άκρα τα Α και Β συμβολίζεται με ΑΒ. Πολλές φο­ ρές για να ξεχωρίσουμε τα δύο τόξα γράφουμε ακόμα ένα γράμμα ανάμεσα στα άκρα τους.

Α

Έτσι τα δύο τόξα που ορίζονται από τα Α και Β είναι τα ΑΓΒ και Γ

ΑΔΒ.

ΑΒ διαβάζεται:

τόξΟ,ΑΒ.

• Αν τα σημεία Α και Β είναι τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου Κ, τό­

Γ

τε τα δύο τόξα ΑΓΒ και ΑΔΒ είναι μεταξύ τους ίσα και λέγονται ημι­ κύκλια.

Έτσι έχουμε ΑΓΒ

= ΑΔΒ.

Β

Κ

Α

- ... Δ

• Το μέρος του επιπέδου που περικλείει ένας κύκλος μαζί με τον κύκλο λέγεται κυκλικός δίσκος.

~:σειc τσΕων κα! χορδων Οι χορδές ΑΒ και ΓΔ του κύκλου Ο είναι ίσες. Αποτυπώνουμε σε ένα διαφανές χαρτί το ΑΒ (τόξο ΑΒ) και παρατηρούμε ότι τοποθετώντας το κατάλληλα ταυτίζεταιμε το ΓΔ (τόξο ΓΔ). Δηλαδή ΑΒ

= ΓΔ.

Έτσι συμπεραίνουμε ότι: Στον ίδιο κύκλο η σε ίσους κύκλους

•

αν δύο χορδές είναι ίσες, τότε τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα

• αν δύο τόξα είναι ίσα, τότε οι αντίστοιχες χορδές είναι ίσες. 137

4.

BAΣIKEΣΓEΩMET~P~IK~E~Σ~E~N~N~O~I~EΣ~

__________________________________

Παράδειγμα

Να σημειωθεί σε κύκλο (Λ, (Κ,

2 cm), τόξο

ίσο με το ΑΒ του κύκλου

2 cm).

Λύση: Γράφουμε κύκλο (Λ,

2 cm)

Μετρούμε τη χορδή ΑΒ και γράφουμε στον κύκλο (Λ,

2 cm) χορδή

ΓΔ ίση με τη χορδή ΑΒ. Έτσι έχουμε χορδές ΑΒ και ΓΔ ίσες, άρα τα τόξα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα.

Γράφουμε:

ΑΒ =ΓΔ

<=}

ΑΒ = ΓΔ

§ 26. Επίκεντρη γωνία Οι ημιευθείες ΟΧ και ΟΨ με αρχή το Ο, το κέντρο του κύκλου, τέ­ μνουντον κύκλο στα σημεία Α και Β. Οι ημιευθείες αυτές σχημαήζουν δύο γωνίες μια κυρτή την ω και μία μη

κυρτή τη φ χ

.Κάθε μία από τις γωνίες αυτές λέγεται επίκεντρη γωνία.

Γενικά, επίκεντρη γωνία είναι κάθε γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο ενός κύκλου.

Το ΑΕΒ που περιέχει η επίκεντρη γωνία ω λέγεται αντίστοιχο τόξο της ω. ψ

Ζ

Το ΑΖΒ είναι το αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας φ.

§ 27. Σχέσεις τόξων και επίκεντρων γωνιών Στον κύκλο Ο σχηματίζουμε δύο ίσες επίκεντρες γωνίες ω και φ. Μετρούμε τις χορδές ΑΒ και ΓΔ και διαπιστώνουμε ότι είναι ίσες. Άρα και τα τόξα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα.

Γράφουμε: Δ

138

ω=φ

<=}

ΑΒ = ΓΔ

<=}

ΑΒ = ΓΔ

.•'"

Έτσι συμπεραίνουμε ότι:

ι

Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους

•

αν δύο επίκεντρες γωνίες είναι ίσες, τότε τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα

•

αν δύο τόξα είναι ίσα, τότε οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες είναι ίσες

"-

"-

,

Για να μετρήσουμε ένα τόξο πρέπει να το συγκρίνουμε με ένα τόξο του ιδίου κύκλου ή ίσου κύκλου, το οποίο παίρνουμε ως μονάδα μέτρησης. Ο αριθμός που προκύmει από τη σύγκριση λέγεται μέτρο του τόξου. Η μονάδα που χρησιμοποιούμε για τη μέτρηση των τόξων είναι το τόξο

;

μιας μοίρας (1 Ο), το οποίο είναι ίσο με 3~0 του κύκλου. Το μέτρο του τόξου ΑΒ είναι

150. Μετρούμε με το μοιρογνωμόνιο

την επίκεντρη γωνία ΑΟΒ και βρίσκουμε ότι το μέτρο της είναι 15 Ο

•

Έτσι συμπεραίνουμε ότι: Το μέτρο ενός τόξου σε μοίρες είναι ίσο με το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας σε μοίρες.

Α

Β

Το ημικύκλιο έχει μέτρο 180'

Ο κύκλος έχει μέτρο 360'

ΑΒ = 180'

Σε κύκλο (Κ, 2,5 cm) να σημειωθεί ΑΒ

= 800.

139

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Γράφουμε κύκλο (Κ,

2,5 cm).

Σχηματίζουμε επίκεντρη γωνία ΑόΒ

= 80·.

Το ΑΒ είναι αυτό που ζητούμε, διότι έχει μέτρο

80·.

Αν σχεδιάσουμε ένα κύκλο και μία ευθεία, θα παρουσιαστεί μία από τις πιο καιω περιmώσεις:

•

Η ευθεία ε 1 έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο Κ και λέμε ότι τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία. Η ευθεία ε 1 λέγεται τέμνουσα του κύκλου .

•

Η ευθεία ε2 έχει ένα κοινό σημείο, το Γ, με τον κύκλο Κ και λέμε ότι εφάπτεται του κύκλου. Η ευθεία ε2 λέγεται εφοΜόμενη του κύκλου και το σημείο Γ σημείο επαφής. Από το κέντρο Κ του κύκλου φέρουμε την ακτίνα ΚΓ που καταλήγει στο σημείο επαφής. Μετρούμε τη γωνία Γ 1 και βρίσκουμε ότι

Γ\

= 90·.

Άρα η ΚΓ είναι κάθετη στην ε 2'

Έτσι συμπεραίνουμε ότι: Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής,

;

είναι κάθετη στην εφαmόμενη.

Παράδ;;:ιγμα

Να σχεδιαστεί εφαmόμενη σε σημείο Α κύκλου (Κ, Γ,

.'

J',

Γράφουμε κύκλου (Κ,

2 cm).

Παίρνουμε σημείο Α πάνω στον κύκλο. Φέρνουμε την ακτίνα ΚΑ.

140

2 cm).

.

,"

Μαθηματικά Α' ΓΙJμνασίοu

Φέρνουμε ευθεία ε.l ΚΑ στο σημείο Α. Η ευθεία ε είναι η εφαmόμενη του κύκλου στο σημείο Α.

• Η ευθεία ε3 δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο. Στην περίmωση αυτή λέμε ότι η ευθεία ε 3 δεν τέμνει τον κύκλο ή ότι είναι ξένη προς τον κύκλο.

1. Να γράψετε ένα κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα 2 cm, δηλαδή ένα κύκλο (ο, 2 cm). Να χα­ ράξετε μία ακτίνα, μία διάμετρο και μία χορδή του.

2.

Τι στοιχείο του κύκλου στο διπλανό σχήμα είναι το κάθε ένα από τα ευθύγραμμα τμήματα στον πιο κάτω πίνακα; Να βάλετε ιι στο κάθε ορθό τετραγωνάκι

Εuθύγρ.

Ακτίνα

Διάμετρος

Χορδή

Τμήμα ΟΒ ΑΒ ΟΑ ΑΓ

ΒΓ

3. Να χαράξετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

= 4 cm και να σχεδιάσετε τον κύκλο που έχει

διάμετρο ΑΒ.

4.

Να σχεδιάσετε δύο κύκλους που να έχουν το ίδιο κέντρο Ο και ακτ~νες κύκλοι που έχουν το ίδιο κέντρο λέγονται ομόκεντροι κύκλοι).

2 cm και 3 cm. 8'

(Οι

141

4.

ΒΑΣΙΚΕ'.Τ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

5. Να συγκρίνετε: (α) τατόξα ΑΒ και ΓΔ (β) τις χορδές ΑΒ και ΓΔ.

Γ

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Α

Να βρείτε το μέτρο του ΑΒ.

6.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

7.

Να βρείτε το μέτρο των ΑΒ και ΑΔΓ. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 300 Β Α

8. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (Κ, 2 cm) και να σημειώσετε ένα σημείο Α πάνω στον κύκλο. Να φέρετε την εφαmόμενη του κύκλου στο σημείο Α.

9. Να χαράξετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

= 5cm. Πάνω στο ΑΒ να σημειώσετε σημείο

Γ,

ώστε ΑΓ = 2 cm. Να φέρετε ευθεία ε.l ΑΒ στο σημείο Γ και να σχεδιάσετε τους κύκλους (Α, 2 cm), (Β, 4 cm). Ποια είναι η θέση της ευθείας ε ως προς τους κύκλους;

10. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο και με τη βοήθεια του μοιρογνωμονίου να σημειώσετε:

11. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο και με τη βοήθεια του γνώμονα να σημειώσετε: ΑΒ = 90 ο •

12. Να συγκρίνετε τα ΜΛ και ΚΝ. Κ ~-~~----j Λ

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

, i

! 13.

Να γράψετε ένα κύκλο με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

!L________ εφαmόμενες του κύκλου στα σημεία Α και Β. ____ _ _ _ _ ._~_c

~

~<_ _ ~ _ _ _ _ • _

_ •_ _ _ _ _ _ _ _ _

~

Ι

= 4 cm και να φέρετε τις ! ι

_ _ _ _ _ _ _ _• _ _ _ _ _

.--1

_ _ _ _Μ_α_θηματιΚά

Α' Γυμνασίου

14. Να γράψετε ένα ημικύκλιο με διάμετρο ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Να σημειώσετε ένα ση-Ιι μείο Γ πάνω στο r::~κύκλιa και να φέρετε τις χορδές ΑΓ και ΒΓ. Να μετρήσετε την

ΑΓΒ.

Ι

Ι

15. Η ε είναι η μεσοκάθετη της χορδής ΑΒ. Να φέρετε τις χορδές ΑΜ και ΜΒ. Να συγκρίνετε τα τόξα ΑΜ και ΜΒ.

i

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ε

16. Χρησιμοποιώντας το διπλανό σχήμα, (α) να υπολογίσετε το χ

(β) να βρείτε τα ίσα τόξα.

Α Ζ

17. Αν ΑΒ

= ΒΓ = ΓΔ = ΔΕ = ΕΖ = ΖΑ

να βr ::ίτε το

μέτρο της ΒΟΓ του διπλανού σχήματος.

Ε

Β

Γ

18. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο και να σημειώσετε δύο σημεία Α και Β πάνω σ' αυτόν. Οι εφα­ mόμενες του κύκλου στα σημεία Α και Β τέμνονται στο σημείο Γ. Να συγκρίνετε τα ευ­ θύγραμμα τμήματα ΓΑ και ΓΒ. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

19. Στον κύκλο (Κ, ρ) να φέρετε δύο διαμέτρους ΑΒ και ΓΔ. Να αποδείξετε ότι ΑΓ 20. Αν ΑΒ

= ΒΓ

= ΒΔ.

Α

να αποδείξετε ότι η ΟΒ

είναι η διχοτόμος της ΑΟΓ.

--_._--------! 143

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Σε προηγούμενες παραγράφους είδαμε πώς κατασκευάζουμε γω­ νία ίση με άλλη γωνία, διχοτόμο γωνίας, ευθεία κάθετη σε άλλη ευ­ θεία. Στις κατασκευές αυτές χρησιμοποιήσαμε το μοιρογνωμόνιο, το χάρακα και το γνώμονα. Οι κατασκευές αυτές, όπως και άλλες, γίνο­ νται με μεγαλύτερη ακρίβεια, αν χρησιμοποιήσουμε χάρακα και διαβήτη .

• Κατασκευή γωνίας ίση με δεδομένη

Θα κατασκευάσουμε γωνία ίση με τη ΧΟΨ. 1. Με κέντρο το Ο και ακτίνα όση θέλουμε πχ.

Ρ

= 2 cm, γρά-

φουμετόξο που τέμνει τις πλευρές της ΧΟΨ στα σημεία Α και Β.

2. ο

Γράφουμε ημιευθεία Ο'Χ'. Με κέντρο το Ο' και την ίδια ακτίνα Ρ

= 2 cm γράφουμε τόξο

τ που τέμνει την Ο'Χ' στο ση­

μείοΓ.

ψ

3.

Με κέντρο Γ και ακτίνα ίση με ΑΒ γράφουμε τόξο που τέ­ μνει το τόξο τ στο σημείο Δ.

4.

Γράφουμετηνημιευθεία Ο'Δ και σχηματίζεται η Χ'Ο'Ψ' . Μετρώντας τη Χ'Ο'Ψ' διαπιστώνουμε ότι είναι ίση με τη

Τ

Γ

ΧΟΨ χι

Όπως έγινε η κατασκευή ΑΒ = ΓΔ, διότι ανήκουν σε ίσους κύκλους και έχουν τις αντίστοιχες χορδές ίσες (ΑΒ = ΓΔ). Επομένως και οι επίκεντρες γωνίες τους είναι ίσες, δηλαδή

ΧΟΨ = Χ'Ο'Ψ'.

144

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

•

Κατασκευή διχοτόμου γωνίας

Θα κατασκευάσουμε τη διχοτόμο της χ6ψ. 1.

χ

Με κέντρο το Ο και ακτίνα όση θέλουμε Π.χ. Ρ = 2 cm, γρά-

φουμε τόξο που τέμνει τις πλευρές της χ6ψ στα σημεία Α και Β.

2.

Με κέντρα τα Α και Β και ακτίνα μεγαλύτερη από το μισό του ΑΒ γράφουμε τόξα που τέμνονται στο Γ.

3.

Γράφουμε την ΟΓ. Μετρώντας τις γωνίες χΟΓ και

ο

ΓΟΨ ψ

διαπιστώνουμε ότι είναι ίσες. Άρα η ΟΓ είναι η διχοτόμος

της χόψ .

•

Κατασκευή μεσοκάθετης ευθυγράμμου τμήματος Θα κατασκευάσουμε τη μεσοκάθετη του ΑΒ.

1.

Με κέντρα τα Α και Β και ακτίνα μεγαλύτερη από το μισό του ΑΒ γράφουμε τόξα που τέμνονται στα Γ και Δ.

2.

Γράφουμε την ευθεία ΓΔ, η οποία τέμνει το ΑΒ στο Μ.

Μετρώντας τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΜ και ΜΒ διαπιστώ- Α _ - - - r M . : - - - _ B νουμε ότι είναι ίσα. Δηλαδή το Μ είναι μέσο του ΑΒ.

Επίσης βρίσκουμε ότι ΓΜΒ

= 90·. Άρα η ΓΔ είναι κάθε­

τη στο μέσο του ΑΒ. (Μεσοκάθετη του ΑΒ). Το ότι η ΓΔ είναι η μεσοκάθετη του ΑΒ με συλλογισμούς μπορεί να δικαιολογηθεί ως εξής: Αφού τα τόξα έγιναν με την ίδια ακτίνα, τότε ΓΑ

= ΓΒ

και ΔΑ

= ΔΒ. Δηλαδή το ση­

μείο Γ, όπως και το σημείο Δ, ισαπέχει από τα άκρα Α και Β

του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Άρα τα σημεία Γ και Δ βρί­ σκονται πάνω στη μεσοκάθετη του ΑΒ .

•

Εύρεση του μέσου ευθυγράμμου τμήματος Α

...----1---4

Δ

Για να βρούμε το μέσο Μ ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ κατα­ σκευάζουμε τη μεσοκάθετη του ΑΒ. Το σημείο Μ στο οποίο η με­ σοκάθετη τέμνει το ΑΒ είναι το μέσο του ΑΒ.

145

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

• Κατασκευή

κάθετης σε σημείο ευθείας

Θα κατασκευάσουμε την κάθετη στο σημείο Α της ευθείας ε.

1. Με κέντρο το

Α και ακτίνα όση θέλουμε φέρνουμε δύο τό­

ξα που τέμνουν την ευθεία στα Γ και Δ.

ε

Γ

Δ

•

2. Φέρνουμε τη μεσοκάθετη του σημείο Α της ευθείας ε .

ΓΔ, που θα είναι κάθετη στο

Κατασκευή κάθετης ευθείας από σημείο που δεν ανήκει στην ευθεία

Θα κατασκευάσουμε την κάθετη από το σημείο Α προς την ευθεία ε.

1. Με κέντρο το

Α φέρνουμε τόξο που τέμνει την ευθεία

ε σε δύο σημεία Γ και Δ.

ε

2. Φέρνουμε τη μεσοκάθετη του

ΓΔ. Αφού ΑΓ = ΑΔ, η με­

σο κάθετη θα περάσει από το Α.

146

.., • ~

,

Μαθηματικά Α' _Γυllνασίου

Οι κατασκευές να γίνουν με χάρακα και διαβήτη.

1. Να σχεδιάσετε μία γωνία χοψ και στη συνέχεια μία γωνία ΑΓΒ ώστε ΑΓΒ = χόψ. 2.

Να σχεδιάσετε μία γωνία ΑΟΒ και να χαράξετε τη διχοτόμο της.

3.

Να χαράξετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και να φέρετε τη μεσοκάθετή του.

4.

Να χαράξετε ημιευθεία ΑΧ. Να φέρετε ευθεία κάθετη στην ΑΧ στο σημείο Α.

5.

Να φέρετε εφαmομένη του κύκλου (Κ, ρ) σε ένα σημείο Α του κύκλου αυτού.

6.

Να χωρίσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε τέσσερα ίσα μέρη.

7.

Να διχοτομήσετε ένα τόξο ΑΒ.

8.

Να κατασκευάσετε μία γωνία

45 ο •

L _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

Γ--------------

Ι

Ι

i

ΓΕΝlκΕΣ

1.

----

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4- ,

_ '

"J

-

,~_

- '_ -

4

-

~ ,"-"'<Ο

~»

Χρησιμοποιώντας το διπλανό σχήμα να γράψετε δύο γωνίες που να είναι: (α) οξείες

(β)

αμβλείες

(γ) ορθές

(δ)

κατακορυφήν

Ζ

Β

(ε) συμπληρωματικές

(στ)

Α

παραπληρωματικές Ε

2. Να κατασκευάσετε με το μοιρογνωμόνιο γωνία 360. Μετά, χωρίς το μοιρογνωμόνιο, να κατασκευάσετε (α) τη συμπληρωματική της

3.

(β)

την παραπληρωματική της

Να χαράξετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και να φέρετε τη μεσοκάθετή του ε. Να συγκρί­ νετε τις αποστάσεις των σημείων Α και Β από την ε.

4.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

4. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο με κέντρο Ο και να σημειώσετε μια χορδή ΑΒ. Να φέρετε την απόσταση του Ο από την ΑΒ.

5. Η ΑΔ είναι εφαmομένη του κύκλου που έχει κέντρο το Ο.

Να υπολογίσετε τη Γ ΑΔ. Β

6. Να υπολογίσετε, χωρίς μοιρογνωμόνιο, τις γωνίες που είναι σημειωμένες. (ίίί)

ω

7. Να υπολογίσετε, χωρίς μοιρογνωμόνιο, τις γωνίες που είναι σημειωμένες (ίίί)

ω

8. Αν

ΑfrΔΒ ' .. 600 ,

#-

ro.l ΔΕ

Γ

\Ε

ΟΕ διχοτόμος

να υπολογίσετε τις

~ Δ Ο

ΒΟΓ και ΑΟΕ.

Β

380

Γ

Ε

9. Αν η ΟΕ είναι η διχοτόμος της ΑΟΔ,

να υπολογίσετε τις ΕΟΔ και ΒΟΓ. Β

148

Δ

ι

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

t,

10. Να βρείτε τη γωνία ποιί είναι πενταπλάσια από τη συμπληρωματική της. 11. Να βρείτε τη γωνία που είναι τριπλάσια από την παραπληρωματική της. 12. Να υπολογίσετε τις γωνίες χ και Ψ, αν η Ψ είναι 20 ο μικρότερη από το τριπλάσιο της Χ.

13. Να υπολογίσετε τη γωνία χ.

14. Αν A6r = Α6Δ να αποδείξετε ότι

r6B

= Δ6Β.

~

Δ

149

ΠΑΡΑΜΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ~ ΤΡΙΓΩΝΑ - ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ. Τι είναι απόδειιη: Κανένας πριν από τους Έλληνες δε' Γόλμησε να ρωτήσει:

-

Γιατί λέμε ότι «απ) ένα σημείο που δεν βρίσκεται πάνω σε μια ευ­

θεία μπορούμε να φer.-Jυμε μόνο μια ευθεία παράλληλη προς αυτή»;

-

Γιατί λέμε ότι «από ένα σημείο που δεν βρίσκι::ται πάνω

ac. μια ευ­

θεία μπορούμε να φέρουμε μόνο μια f'Jθεία κάθετη προς αυτή»; ;"ίλ,) Όλοι ακολ')υθούσαν K'J.l εφάρμοζαν τις «συνταγές» και ιις «οδηγίες» που αναφί ..JOVTav στη Γεωμετρία, Οι Έλληνες προσπάθησαν μέσα από την εμπειρία τους να δικαιολο­ γήσουν την αλήθεια των πιο πάνω και άλλων προτάσεων στηριζόμε­

νοι σε άλλες προτάσεις που ήταν φανερά αληθείς και δεν μπορούσε να τις αμφισβητήσει κανένας, Έτσι γεννήθηκε η «αποδεικτικ

1μέθοδος στα Μαθηματικά», Δηλαδή,

λέμε ότι κάνουμε «απόδειξll», όταν συμπεραίνουμε την αλήθεια κά­ ποιας πρότασης χΡησιμοποιωντ ις άλλες προτάσεις, Τις προτάσεις αυτές πάνω στις οποίες στηρί( Jυμε την απόδειξη, τις ονόμασαν «αξιώματα» ή «αιτήματα», διόι . ήταν τόσο φανερή η αλήθεια τους που «αξίωναν» δηλαδή «απαl~. ύσαν» να τις παραδεχτούν και οι άλ­ λοι χωρίς αμφισβήτηση. Π.χ. τέτοια αξιώματα είναι ότι "από bύo σημεία περνά μόνο μια ευ­ θεία», «από ένα σημείο Α εκτ Jς ευθείας ε μπορούμε να φέρουμε μόνο μια παράλληλη προς την ευθεία ε».

150-------------------------------·-----------·----·-._----------_.--

ι,

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

~,

(γ)

Στα πιο πάνω επίπεδα σχήματα,

(α) Οι ευθείες ε 1 και ε 2 όσο κι αν προεκταθούν δεν έχουν κοινό σημείο. (β) Οι ευθείες ε3 και ε 4 έχουν ένα κοινό σημείο το Δ. (γ) Οι ευθείες ε s και ε 6 έχουν άπειρα κοινά σημεία.

• Οι ευθείες ε 1 και ε2 πόυ βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και όσο κι αν προεκταθούν δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες. Ι-ράφουμε: ε 1 ιι ε 2 και διαβάζουμε: "η ευθεία ε 1 είναι παράλληλη με την ευθεία ε 2 ».

Γενικά Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και που όσο κι αν προεκταθούν δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες.

• Οι ευθείες ε3 και ε4 τέμνονται στο σημείο Δ.

ε α

• Οι ευθείες εs και ε6 συμπίΜουν.

§ 2. Χάραξη παράλληλων ειιθειων Σχεδιάζουμε .στο τετράδιό μας μια ευθεία ε και δυο ευ­

β

θείες α και β κάθετες στην ε. Οι ευθείες α και β δεν τέμνονται, είναι παράλληλες. Τούτο μπορούμε να το δικαιολογήσουμε, όπως πιο κά­ τω:

151

5_.Ι:Ι~~ΑΛΛΗΔΙ;J._~Υ~ΕI';Σ

ε

" ΤΡΙΓΩΝΑ "_ ΤΕΤΡΑΠΛΕγΡΑ

Αν υποθέσουμε ότι οι ευθείες α και β τέμνονται σε ένα ση­

. α

μείο Γ, τότε θα έχουμε από το σημείο Γ δύο κάθετες προς

""

">Γ

την ευθεία ε.

Ξέρουμε όμως ότι από ένα σημείο μόνο μία ευθεία κάθετη μπορούμε να φέρουμε σε μια άλλη ευθεία.

β

Άρα η υπόθεση ότι οι ευθείες α και β τέμνονται σε ένα σημείο δεν είναι σωστή. Επομένως οι ευθείες α και β είναι παράλ­ ληλες.

Δηλαδή Δύο ευθείες του ιδίου επιπέδου που είναι κάθετες σε μια ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Η ιδιότητα αυτή συμβολικά γράφεται:

--_ \

α 1-ε} =>α ιι β

(--

ο ο

i~\\\<

t7<r

β1-ε

~ ~ 2

Χρησιμοποιουμε τα

για να δει'ξουμε ότι α

βέλη

11 β.

Στο διπλανό σχήμα έχουμε ευθεία ε και σημείο Α που δεν ανήκει σ'

ε

αυτή. Θα χαράξουμε ευθεία που να περνά από το σημείο Α και να είναι πα­ ράλληλη προς την ευθεία ε. ε

Δ

ζ

ε

• Φέρουμε την ευθεία

ΑΔ κάθετη στην ευθεία ε.

• Φέρουμε την ευθεία

ζ κάθετη στην ΑΔ στο σημείο Α.

ε 1-ΑΔ} =>ε 11 ζ ζ1-ΑΔ

Άρα η ευθεία

ζ είναι η ευθεία που ζη­

τούμε, διότι είναι παράλληλη με την ε και

περνά από το σημείο Α.

152

Μπορώ να βάλω και τα δύο Τρίγωνα να εφάπτονται, όπως στο σχήμα, και να φέρω την ζι!ε που να περνά από το Α.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

§ 3. Απόσταση παράλληλων ευθειών Από ένα σημείο Α της ευθείας ε 1 φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ κάθετο πάνω στην ε2 , ε 1 11 ε2 . Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι κάθετο και πάνω στην ε 1 .

• Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ λέγεται από­ σrαση των παράλληλων ευθείων ε 1 και ε2 •

ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ απόσταση των παραλλήλων ε 1 , ε2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.

Να δείξετε στην αίθουσα της τάξης σας: (α) ευθείες παράλληλες (β) ευθείες που τέμνονται

(γ) ευθείες που δεν είναι παράλληλες και δεν τέμνονταΙ.

2. Να σχηματίσετε μία γωνία ΧΟΨ. Πάνω στην ημιευθεία Οχ να πάρετε σημείο Α. Από το Α να φέρετε ευθεία παράλληλη προς την οψ.

3. Να σχηματίσετε μια οξεία γωνία ΧΟΨ και να σημειώσετε ένα σημείο Α μέσα σ' αυτή. Από το Α να φέρετε ευθείες παράλληλες προς τις ημιευθείες Οχ και οψ.

4. Να σχηματίσετε ένα κύκλο και να χαράξετε μία διάμετρο ΑΒ του κύκλου. Στα σημεία Α και Β να φέρετε ευθείες ε και ζ εφαπτομένες του κύκλου. Να δικαιολογήσετε γιατί οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες.

5.

Να σχεδιάσετε το διπλανό σχήμα στο τετράδιό σας. Από

το μέσο Μ της ΑΒ να φέρετε παράλληλη ευθεία ζ προς την ευθεία ε, που τέμνει την ΑΔ. στο σημείο Γ. Να μετρή­ σετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΜΓ.

6.

ε

Δ

Β

Να χαράξετε μια ευθεία ε και στη συνέχεια να φέρετε ευθεία ζ παράλληλη προς την ε, ώστε η απόσταση των ζ και ε να είναι

2 cm.

§ 4. Γωνίες παράλληλων ευθειών ποι! τέμνοντα! από άλλη ευθεια Η ευθεία ε τέμνει τις παρόλληλες ευθείες ε 1 και ε2 σrα

ι:;

σημεία Α και Β. Η ευθεία ε σχημαήζει με την ευθεία ε 1 τtσ-

σερις ΥωνΙες τις Α 1. Α 2. Α 3' Α 4 και τΙσσερις Υωνίες με

την ευθεία ε 2. τις Β l' Β 2. Β 3 και Β 4. Ονομασίες γωνιών

• Οι γωνίες ~. Α4• 81' 82 βρίσκoνrαι μεταξύ (εντός) των πα­ ράλληλων και λέγονται ενrός yωνΊCς.

• Οι γωνίες A1'~' 83' 84 βρίσκονται έξω (εκτός) των πα­ ράλληλων και λέγονται εκτ6ς Υωνίες.

ε

• Οι γωνίες Α1 • Α4 • 81' 84 βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της ε σε σχέση με τις παράλληλες και ονομόζονται επί τα αu­ τάyωνίcc;. Ποιες 6λλες γωνίες είναι επί τα αυτό;

ε

• Οι γωνίες ~. ~. με τις 81' 84 βρίσκονται σε διαφορετικό μέρη της ε σε σχέση με τις παρόλληλες και λέγονται εναλ­

λάξΥωνίες. Ποιες 6λλες γωνίες είναι εναλλόξ;

154

ι __

ο

,,_~

••

~

_~"'.

__

-'_~

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου ,_,._<_

_______

~

__

+ ___

,.~

_ _ •••

~_~

__ • _ _

Αν τώρα πάρουμε μία γων:',] από την πάνω τετράδα, δηλαδή μία από

.•

τις γωνίες με κορυφή Α, και μία απι) την κάτω τετράδα, δηλαδή μία

από τις γωνίες με κορυφή

8, και λάβουμε υπόψη μας τις ονομασίες

που δώσαμε πιο πάνω, θα δώσουμε την κατάλληλη ονομασία γι' αυ­ τό το ζεύγος των γωνιών. ε

• Οι γωνίες 81 και Α 1 είναι εντός και εκτός των παραλλήλων αντί­ στοιχα και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος (επί τα αυτά) της ευ­

θείας ε. Γι' αυτό οι γωνίες 81 και Α 1 λέγονται εντός ε~. ~·~-ω ~πί τα αυτά.

ε2

-----7~~----------

ε

•

Οι γωνίες ~ και 81 είναι εντός των παραλλήλων και είναι η μία από

_ε1__________--τ"'-r~_____

3

το ένα μέρος και η άλλη από το άλλο μέρος (εναλλάξ) της ευθεί­ ας ε. Γι' αυτό οι γωνίες ~ και 81 λέγονται εντ~ς εναλλάξ.

• Πώς λέγονται οι γωνίες Α4 και 81;

ε

Η Α 4 βρίσκεται εντός των παραλλιΊλων. Η Β 1 βρίσκεται εντός των παραλλήλων. Οι δύο γωνίες Α 4 και 81 είναι επί τα αυτά της ευθείας ε, άρα

ε2

οι γωνίες Α 4 και 81 λέγονται εντός και επί τα αυτά.

ε

Παράδειγμα

Να γραφούν όλα τα ζεύγη των (α) εντός εναλλάξ γωνιών

(β) εντός εκτός και επί τα αυτά γωνιών (γ) εντός και επ! τα αυτά γωνιών

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

.

ΤΡΙΓΩΝΑ

.

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

ε,α

(α) γ, ε) λ

λ

,

εντος εν

αλλα'ξ

(β)

ζ,δ

δ,θ γ,η

εντός εκτός και επί τα αυτό

ζ,β (γ)

, ,

δ,λ ε}, λ εντος και επι τα αυτα γ,ζ

ε

• Μετρούμε με το μοιρογνωμόνιο, δύο εντός εναλλόξ γωνίες Π.χ. τις

Α 4 , 82' Διαπιστώνουμε ότι Α 4 = 120·, 82 = 120·

όραΑ 4 =

82' Δηλαδή, οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες.

• Η Α 2 = 120·, διότι είναι κατακορυφήν με την Α 4'

Άρα 82

= Α 2 . Δηλαδή, οι εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες είναι ίσες

ε

• Η Α 3 = 180· - 120· =60·, διότι είναι παραπληρωματική

της Α 4 • (Α 3 + Α 4 = 180·) Η

82 = 120 ο . Άρα και Α 3 + 82 = 180·.

Δηλαδή,

οι εντός και επί τα αυτά γωνίες είναι παραπληρωματικές.

Οι πιο πόνω ιδιότητες ισχύουν για κόθε περίmωση γωνιών. Ισχύει και το αντίστροφο.

156

..

r ι

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Όταν δύο ευθείες τtμνoνται από τρίτη ευθεία και

•

οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες ή

•

οι εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες ή

•

οι εντός και επί τα αυτά γωνίες που σχηματίζονται είναι παρα­ πληρωματικές,

τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.

Στο διπλανό σχήμα ε 1 ιι ε 2 και ε είναι ευθεία που τέμνει τις ε 1 και ε2 .

Αν α =

ζ

500 να υπολογιστούν οι γωνίες που είναι σημειωμένες.

= α = 500

εντός εναλλάξ με την α.

= α = 500 η = α = 500

γ

κατακορυφήν με την α. εντός εκτός και επί τα αυτά με την α.

στο σχήμα ε{ναι {σες.

Όλες οι αμβλε{ες Υων{ες στο σχήμα ε{ναι {σες.

= 1800 - 500 = 1300 δ = β = 1300 ε = δ == 1300 θ = δ == 1300 β

παραπληρωματική της α.

ο ο ο

κατακορυφήν με την β.

εντός εναλλάξ με τη δ.

εντός εκτός και επί τα αυτά με τη δ.

Στο διπλανό σχήμα ε 1 ιι ε 2 και οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ τέμνουν τις ε 1 .

Να υπολογιστούν οι γωνίες Χ και ψ.

χ

= Γ2 == 530

41=Α 1 =71

εντός εναλλάξ με την Γ2' 0

εντ6ςεΚΤός και επί τα αυτά με την Α l'

157

1.

Στο διπλανό σχήμα ζ1 11 ~ και ευθεία ζ τέμνει τις ζ1 ΚΟΙ ~. Να ονομάζετε κάθε ένα από τα πιο κάτω ζεύγη γωνιών:

ό,β

εντός εναλλάξ

β,γ

ό,δ ε,δ γ,δ 2. Στα πιο κάτω σχήματα είναι ε 1 11 ε2 . Να υπολογίσετε τις ω

a και β. Οίί)

3. Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του διπλανού σχήματος.

4.

Στα πιο κάτω σχήματα ε 1 11 ε 2 . Να υπολογίσετε τις γωνίες που είναι σημειωμένες. ω

158

ι

f f ,J

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

5.

Η ΖΕΙ! ΓΒ

η ΑΔ είναι διχοτόμος της ΖΑΒ

••,

η ΖΑΔ = 530.

Να υπολογίσετε την ΑΒΓ.

6. Η ε 1 " ε2 η Α1

= 440

ε

και 131

1

= 570.

Να υπολογίσετε τις Χ, ψ.

7. Η ε 1 Ι! ε2 , ζ1 Ι! ~ και ΑΒΓ = 650 να υπολογίσετε τη χ.

Γ

8. Στα πιο κάτω σχήματα να υπολογίσετε τις γωνίες που είναι σημειωμένες. (ίίί)

(ί) ε

1

ε

1

ε

1 χ

9.

Η ΑΒ Ι! ΔΓ και ΑΔ Ι! ΒΓ

να αποδείξετε ότι ΑΔΓ

= ΑΒΓ.

Γ

159

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

5.

•

ΤΡΙΓΩΝΑ

•

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

Α

• Το μέρος του επιπέδου που περικλείεται από μία κλειστή πολυγω­ νική γραμμή, μαζί με την πολυγωνική γραμμή, λέγεται πολύγωνο. Ε

.Ταευθύγραμματμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ... που αποτελούντηνπολυ­ Γ

γωνική γραμμή λέγονται πλευρές του πολυγώνου .

• Τα σημεία

Α, Β, Γ, ... που είναι τα άκρα των πλευρών του πολυγώ­

νου, λέγονται κορυφές του πολυγώνου.

• Οι γωνίες Α, Β, f

Δ

... που σχηματίζονται από τις πλευρές του

πολυγώνου, λέγονται γωνιές του πολυγώνου.

Α

• Τα πολύγωνα διακρίνονται από τον αριθμό των πλευρών τους. Τα Β'--------Δ.Γ

πολύγωνα με τρεις πλευρές λέγονται τρίγωνα,

Τρίγωνο ΑΒΓ

Ε K~_ _-;Λ

με τέσσερις πλοορές λέγονται τετράπλευρα, Θ

με πέντε πλευρές λέγονται πεντάγωνα. Μ Ν

Η

Τετράπλευρο ΕΖΗΘ Πεντάγωνο ΚΛΜΝΡ

• Για να ονομάσουμε ένα πολύγωνο γράφουμε διαδοχικά όλες τις Ζ

κορυφές του. Το πολύγωνο του σχήματος ονομάζεται εξάγωνο Γ

ΑΒΓΔΕΖ.

• Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο μη διαδοχικές κορυφές του πολυγώνου Π.χ. το ΑΓ λέγεται διαγώνιος του πολυγώνου.

Α

• Ένα πολύγωνο στο οποίο όλες οι διαγώνιοί του Δ,

εσωτερικό του λέγεται κυρτό πολύγωνο.

_ _--' Β

Γ

Η30

Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι κυρτό πολύγωνο.

βρίσκονται στο

, f ~

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

ι

,Ι

• Το τετράπλευρο στο οποίο τουλάχιστο μία διαγώνιός του βρίσκεται

f

στο εξωτερικό του λέγεται μη κυρτό πολύγωνο.

~

Το τετράπλευρο εΖΗΘ είναι μη κυρτό πολύγωνο.

,

Ε

§ 6. Τριγωνο·Κυρlα στοlχεlο τριγώνου • Τρίγωνο είναι το πολύγωνο που έχει τρεις πλευρές. Οι πλευρές του τριγώνου συμβολίζονται και με τα μικρά γράμ­

Α

μαια των απέναντι κορυφών.

Έτσι: η πλευρά ΑΒ συμβολίζεται με γ. η πλευρά ΑΓ συμβολίζεται με β. η πλευρά ΒΓ συμβολίζεται με α.

,

~

• Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοι- B'----------:::..r α

χεία του τριγώνου.

ι

Γράφουμε ΑΒΓ

,

Διαβάζουμε ΑΒΓ τρίγωνο

§ 7. Είδη τριγώνων • Αν εξετάσουμε τα τρίγωνα ως προς τις γωνίες τους, τα χωρίζουμε σε τρία είδη: ορθογώνια, οξυγώνια και αμ­

Γ

βλυγώνια.

• Ορθογώνιο, λέγεται το τρίγωνο που έχει μία γωνία ορ­ θή.

κάθετη

• Η πλευρά ΒΓ που βρίσκεται αrτέναντι από την ορθή γω­ νία λέγεται υποτείνουσα.

• Οι άλλες δύο πλευρές, η ΑΒ και η ΑΓ, λέγονται κάθετες

κάθετη

πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου. Οι κάθετες πλευρές

Β

Ορθογώνιο

σχημαιίζουν την ορθή γωνία.

• Οξυγώνιο, λέγεται το τρίγωνο που έχει και τις τρεις γω­ νίες του οξείες.

• Αμβλυγώνιο, λέγεται το τρίγωνο που έχει μία γωνία αμ­ βλεία. Οξυγώνιο

Αμβλυγώνιο

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

-

ΤΡΙΓΩΝΑ

-

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

• Αν εξετάσουμε τα τρίγωνα ως προς τις πλευρές τους, τα χωρίζου­ με σε τρία είδη: ισόπλευρα, ισοσκελή και σκαληνά.

• Ισόπλευρο, λέγεται το τοίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες. Ισόπλευρο

ρ<!Π Ισοσκελές

•

Ισοσκελές, λέγεται το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες. Στο τρίγωνο ΠΡΣ οι πλευρές ΠΡ, ΠΣ είναι ίσες. Η πλευρά ΡΣ λέγεται βάση του τριγώνου ΑΒΓ.

Σ

•

Σκαληνό, λέγεται το τρίγωνο που έχει τις πλευρές του άνισες. Το τρίγωνο ΖΗΘ είναι σκαληνό.

Σκαληνό

π

• Ιδιότητα ισοσκελούς τριγώνου Συγκρίνουμε τις γωνίες Ρ και Σ της βάσης του ισοσκελούς τρι­ γώνου ΠΡΣ και διαπιστώνουμε ότι είναι ίσες. Οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

Ρ '--------'Σ

•

Ιδιότητα ισόπλευρου τριγώνου Δ

Κ

Αφού ΚΛ

=

ΚΜ στο τρίγωνο ΚΛΜ, τότε Κ Λ Μ είναι ισοσκε-

λές με βάση την ΛΜ.

Έτσι Λ

= Μ. Δ

Λ

'----1-------" Μ

Επίσης ΚΛ

Έτσι Κ

Κ Λ Μ είναι ισοσκελές με βάση την ΚΜ.

= Μ.

Έχουμε:

162

= ΛΜ, δηλαδή το

λ

λ)

Λ=Μ

κ=Μ

λ

::::}Κ

λ

= Λ=

λ

Μ

Μαθηματικά Κ [υμΥασίQJJ

Δηλαδή Οι γωνίες ενόι; lσοπλ$ύρου τριγώνου είναι ίσες.

Να κατασκευαστεί ισοσκελές τριγώνο ΑΒΓ το οποίο έχει βάση

ΒΓ

= 2 cm και ίσες πλευρές ΑΒ = ΑΓ = 3 cm.

Γράφουμε ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ και Γ και ακτίνα

3 cm

= 2 cm. Με κέντρα τα σημεία

Β

Υ'ράφουμε τόξα τα οποία τέμνονται στο Α.

Δ

Το Α Β Γ είναι το τρίγωνο που ζητούμε, διότι έχει βάση Β '-----::------' Γ

ΒΓ

= 2 cm

και πλευρές ΑΒ

= ΑΓ = 3 cm.

Α

• Διάμεσος τριγώνου. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώ­ νει μια κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απένα­ ντι πλευράς λέγεται διάμεσος του τριγώνου. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ είναι διάμεσος του

Α Β '---+-'---\-"""'"

Μ

Δ

ΑΒΓ.

Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διαμέσους. Παρατηρούμε ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχο­ νται από το ίδιο σημείο Κ, το οποίο ονομάζεται κέντρο βάρους ή βαρύκεντρο.

Β

"'--_ _'--_--3>

Γ

Μ μέσο της ΒΓ} ~> ΒΜ=ΜΓ

ΑΜ διαμεσος

163

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

-

ΤΡΙΓΩΝΑ

-

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

•

Α

Διχοτόμος τριγώνου. Η διχοτόμος μιας γωνίας ενός τρι­ γώνουΑΒΓ

Α

πχ. της Α, τέμνει την απέναντι πλευρά σε ένα σημείο Δ.

Β L..-_....L-_--" Γ

Β ΑΔ διχοτόμος

L.»..._-'--"1---""

<=>

Α , =Α

Γ

Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ λέγεται διχοτόμος του τρι­ γώνου.

2

Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διχοτόμους. Παρατηρούμε ότι οι διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο Η, το οποίο ονομάζεται έγκεντρο .

•

Α

Ύψος τριγώνου. Η απόσταση κάθε κορυφής ενός τριγώνου από την απέναντι πλευρά λέγεται ύψος του τρι­ γώνου. ToευθιJγραμμOτμήμα ΑΔ είναιύψοςτουτρι­

Α

γώνου ΑΒΓ. Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη. Παρατηρούμε ότι τα ύψη ενός τριγώνου διέρχονται

από το ίδιο σημείο Η, το οποίο ονομάζεται ορθόκεBIιG--l..J.----"'"' Γ

ντρο.

•

Στο οξυγώνιο τρίγωνο το κοινό σημείο των υψών είναι μέσα στο τρίγωνο.

Γ

Στο ορθογώνιο τρίγωνο τα δύο ύψη συμπίmουν με τις κάθε­

•

τες πλευρές. Το κοινό σημείο των υψών είναι η κορυφή της ορθής γωνίας Α.

loI<.L.---->-E Γ

•

Στο αμβλυγώνιο τρίγωνο για να φέρουμε τα ύψη που αντι­ στοιχούν στις πλευρές της αμβλείας γωνίας πρέπει να προ­ εκτείνουμε τις πλευρές προς την κορυφή της γωνίας. Το κοι­ νό σημείο των υψών είναι έξω από το τρίγωνο. Πώς θα το βρούμε;

164

ι

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1.

Να βρείτε με τη βοήθεια του γνώμονα, τι είδους είναι το κάθε τρίγωνο, αν εξετάζεται ως προς τις γωνίες του.

2.

Αφού μετρήσετε τις πλευρές του κάθε τριγώνου, να αναφέρετε τι είδους τρίγωνο είναι ως προς τις πλευρές του.

3.

Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου οι κάθετες πλευρές να είναι ΑΒ

= 2cm και

ΑΓ=

3cm.

4.

Να κατασκευάσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο του οποίου η κάθε πλευρά να είναι ίση με 3 cm.

5.

Να κατασκευάσετε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο και να φέρετε τις διαμέσους του.

6.

Να κατασκευάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και να φέρετε τις διχοτόμους του.

7.

Στον πιο κάτω πίνακα:

(α) να αVΤιστOΙXίσετε κάθε τρίγωνο της πρώτης στήλης με ένα ή περισσότερα τρίγωνα της δεύτερης στήλης (β) σε κάθε αvτιστoιxία να κάνετε και τις σχετικές κατασκευές των τριγώνων. Είδος του τριγώνου

Ειδος του τριγώνου

ως προς τις γωνίες του

ως προς τις πλευρές του

Ορθογώνιο

Ισόπλευρο

Αμβλυγώνιο

Ισοσκελές

Οξυγώνιο

Σκαληνό

165

8. Να κατασκευάσετε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο Kr,.: ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο και να φέ­ ρετε τα ύψη τους.

9.

Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ίσες πλευρές τις ΑΒ και ΑΓ. Να φέρετε το

ύψος ΑΔ. Να συγκρίνετε τις γωνίες ΒΑΔ και ΔΑΓ και τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΔ και ΔΓ. Τι παρατηρείτε;

10. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ το οποίο να έχει Α = 75 ο, ΑΒ = 3 cm και ΑΓ = 4 cm.

Β

11. Στο διπλανό σχήμα αν ΓΕ = ΕΒ,

Δ 1 = Δ 2 και ΒΖ ~ ΓΖ, Δ

να αναφέρετε τι είναι για το Α Β Γ Γ~----!

(ύψος, διάμεσος, διχοτόμος) τα ΑΕ, ΑΔ και

Bl.

12. Να κατασκευάσετε τρίγωνο το οποίο να έχει πλευρές ΑΒ = 4 cm, ΑΓ = 5 cm και ΒΓ = 3 cm. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του.

Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ θέλουμε να βρούμε το άθροισμα των

Α

γωνιών του.

Μπορούμε να εργαοτ r IJμε με πολλούς τρόπους: 1Qgρόπος:

Μετρούμε, με το μοιρογνωμόνιο, τις γωνιές Α, Β και Γ του τριγώ­

Γ

νουΑΒΓ. Α

Βρίσκουμε:

Β

Α = 40 ο, Β = 60 ο και Γ = 80 ο . Παρατηρούμε ότι: Γ

Α

+Β +Γ

= 40 ο =

Β

166

+ 60 ο + 80 ο

1800

Δηλαδή το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ είναι

180 ο •

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

20ςTQQΠΟ~

Α

Με ένα ψαλίδι κόβουμε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ, όπως φαί­ νεται στο διπλανό σχήμα

Γ

Τις τοποθετούμε μετά κατάλληλα έτσι ώστε να είναι διαδοχικές για να βρούμε το άθροισμά τους. Παρατηρούμε ότι:

Α

+Β +Γ

Β

= 1800

Δηλαδή το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 ο • Γ

30ςlQόπ~ Με τους πιο πάνω τρόπους πιθανόν να κάνουμε κάποια

χ

ψ

σφάλματα είτε στη χρήση του μοιρογνωμονίου είτε στην το­ ποθέτηση των κομμένων γωνιών. Εδώ θα εργαστούμε θεωρητικά (με συλλογισμούς) για να γενικεύσουμε σε κάθε τρίγωνο το πιο πάνω συμπέρασμα. Σχεδιάζουμε ένα τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ.

Β

Γ

Γράφουμε την ευθεία ΧΨ που περνά από το Α και είναι πα­ ράλληλη προς την πλευρά ΒΓ. Παρατηρούμε ότι:

ω

=Β

Εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΧΨ και ΒΓ που τέμνονται από την ΑΒ.

φ= Γ

Εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΧΨ και ΒΓ που τέμνονται από την ΑΓ.

Αλλά

ω + Α + "φ

= 1800

Β + Α + Γ = 1800

χΑψ ευθεία γωνία Αντικαθιστούμε ω = Β, φ = Γ

Άρα

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με 2 ορθές ή 1800

167

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

-

ΤΡΙΓΩΝΑ

-

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

Εφαρμογl11

Α

Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α

Να υπολογιστεί η γωνία

BL......l..------->o.r

Μάθαμε ότι Α + Β + ο

F=

ο

Ε

EφαΡΙΙCίγΓ!

Δ

Ζ

= 500

2

Δ

Χ

. Το άθροlσματωνγωνlώντουΔΕΖ \

+ Χ + Χ = 1800

Οι γωνιές του lσόπλευρουτριγώνου

3 Χ = 1800

Α

Δ

Άρα Α

= 1800 : 3

Χ

= 600

= 60 ο,

Β

__

! είναι ίσες.

Χ

Εφαρμογή

60

,_.

= 60 ο, F = 60 ο

.~~-_._---

...

_---

•

3

Η γωνία Α της κορυφής του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ είναι 560.

Να υπολογιστούν οι υπόλοιπες γωνίες Β και Fτου τριγώνου.

Χ

Α

ΒL.......Ι---.ι.......><Γ

Γ

Λυση:

+Β +F 56 ο + Β + F 56 ο + Χ + Χ Α

Β=Γ

= 1800

AVΤIKαθlστoύμεB και Γ με Χ

= 180 ο = 180 ο

2 Χ = 180 ο 2 Χ = 1240

168

'_'~.~~"'~·~_~-><r_.~ -'~.-.:-~. ~---.-~~~~:--'~ ~----Ί

= 180" - 1300

Δ. + Ε + Ζ = 180 ο

ΕL.......Ι---.ι.......><Ζ

Β

-.'''>

Ο Γ--

Να υπολογιστούν οι γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου ΔΕΖ.

Δ

Χ

1800

Λ

F F

χχ

= 820.

48 + 82 + Γ = 180 • AVΤIKαθlστoύμεA = 480, Β = 82°i 1300 + F = 1800 .-_.. '~-"""-~""-'~"'-~~--"-"""-

Έτσι

Δ

Β

= 480, F.

-

56 ο

l

Οι παρά τη βάση γωνίες ενός Ι Ι . ______ J' . _____. _. ____ ___._._. . _ ι"

ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. ~.~

Άρα Β

χ

= 1240 : 2

Χ

= 620

= 620,

Γ

= 620 κ

Να υπολογιστούν οι γωνίες του ορθογωνίου

και ισοσκελούς τριγώνου ΚΛΜ. (κ

=

ΟΡθή)

Μ

Λ

Κ + Λ + Νι = 1800 90 ο

+ Λ + Νι 90 ο + Χ + Χ 90 ο + 2 Χ

Κ Γ-"--~~--"'----""~-:~--ϊ

! AVΤΙKαθιστoύμεK = 900

= 180 ο

180 ο = 180 ο

:

Δ

ΚΛΜ ισοσκελές τρίγωνο _

Ι

Μ

90 ο Λ

2 Χ = 900

Άρα Λ

Χ

= 900 : 2

Χ

= 450

= 45 ο

,

Νι

= 45 ο

•

§ 10. Εξωτερική γωνια τριγώνου • Στο διπλανό τρίγωνο προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ προςτο Α κα­ τά την ημιευθεία ΑΒ' που είναι αντικείμενη της ημιευθείας ΑΒ. Σχηματίζεται τότε η γωνία ω που είναι εφεξής και παραπληρωμα­ τική της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ. Η γωνία ω λέγεται εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΓ.

Γράφεται δε και Α εξ ..

Β

Γ

Γενικά ΓιΞi,--

---------..

-.-------.~

Ι Εξωτερική γωνία τριγώνου λέγεται η γωνία που η μια πλευρά της εί-Ι

IvaI μια από τις πλευρές του τριγώνου και η άλλη πλευρά της είναι η ,Ι , !προέκταση μιας από τις πλευρές του τριγώνου. !

169

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

.

ΤΡΙΓΩΝΑ

.

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

Δηλαδή κάθε τρίγωνο έχει έξι

(6)

εξωτερικές γωνΕες;

ο

Ποιες είναι αυτές;

ο

ο

Παρατηρούμε τώρα ότι:

Αν στο τρίγωνο ΔΕΖ σχηματίσουμε την ω που είναι η εξωτερική

χ'

γωνία της Δ, όπως μάθαμε και φέρουμε την ημιευθεία Δχ' που είναι παράλληλη προς την πλευρά ΕΖ, έχουμε:

ω==ω 1 +ω 2 Ε

εντός εκτός και επί τα αυτά

ή

Ζ

εντός εναλλάξ

ω==Ε+Ζ

κόθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δυο εσωτερικών και απέναντι γωνιών του τριγώνου.

ΊΖ ψ

χ

Λ

Λ

α

Λ

ω=χ+ψ

ο

ο

ο

170

r ι

t Α

Στο διπλανό σχήμα να υπολογιστεί η γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ.

Γ

Η εξωτερική γωνία της Β είναι 1060. Γράφουμε Β εξ = 1060 Άλλα

AVΤΙKOθιστoύμεB εξωτ.

1060 = Α

= 1060, f = 300

+ 300 Α

Α = 1060 - 300

Α = 760

Άρα

Γ

• Για να βρούμι

άθροισμα των γωνιών TOL τετραπλεύρου

Α

ΑΒΓΔ εργαζόμαστε ως εξής. Φέρουμε μία διαγώνιο του ΑΒΓΔ πχ τη ΒΔ.

Χωρίσαμε έτσι το τετράπλευρο σε δύο τρίγωνα, Δ

Δ

το ΑΒΔ και ΒΔΓ. Γ

Έχουμε'

Α + Β + Γ + Δι

AVΤΙKOθιστoύμεB = ω + φ, Δ = Χ + Ψ

= Α + (ω + Φ) + Γ + (Χ + ψ) =Α+ω+φ+Γ+χ+ψ

=(Α+ω+χ)+(Φ+Γ+ψ) = 1800 + 1800 = 3600

Φεύγουμετις πoρενθέσει~ Προσθέτουμετις γωνίες με όποιο σειρά θέλουμε. λ

Α Λ

φ

Λ

Λ

Ο

Λ

Λ

Ο

+ ω + Χ = 180 + Γ + Ψ = 180

Δ

στο ΑΒΔ Δ

στο ΒΔ Γ

171

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

- ΤΡΙΓΩΝΑ - ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

Δηλαδή

Το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι 360 ο

ο ο ο

ο

ο ο

ο

ο

ο

Κυρτό τετράπλευρο

1.

Να υπολογίσετε τη γωνία Χ στα πιο κάτω τρίγωνα. (α)

(β)

(γ) Δ

Η

Ζ

Ε

~ Θ

(δ)

(στ) Σ

Ρ

172

~

Τ

Κ

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

2. Αν σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ, Α = 840, Β = 560 και Γ = 930, να υπολογίσετε τη γωνία Δ.

3.

Χ'

Α

χ

Στο διπλανό σχήμα, να βρείτε τις γωνίες του τριγώ­ νου ΑΒΓ, αν ξέρουμε ότι χΧ // ΒΓ.

4.

BL------'r

Να υπολογίσετε το χ. (γ)

(β)

Δ

r

Ε ι......ι----'---"'Ζ

Λ

5.

Να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου, αν η μία είναι διπλάσια της άλλης.

6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η Α

(α) Α εξ.

= 80 ο και

Β

(β) Β εξ.

= 60 ο. Να υπολογίσετε: (γ) Γεξ Α

7. Στο διπλανό σχήμα η ΒΔ είναι η διχοτόμος

της Β και η ΓΔ είναι η διχοτόμος της Γ. Αν Α

= 64 ο

και Β

= 760 να υπολογίσετε:

(α) τη γωνία Γ και Β

IC--_ _ _ _ _

~

r

(β) τη γωνία ω που σχηματίζεται από τις

διχοτόμους των Β και Γ. 8.

Στο διπλανό σχήμα ΒΔ

= ΔΓ και η

Α

ΒΔ είναι η

διχοτόμος της γωνίας ΑΒΓ. Να υπολογίσετε τη γωνία Α. Β

ιε.......

_ _ _"""""",,..L-":"

Γ

173

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

.

ΤΡΙΓΩΝΑ

.

Τ':' ΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

9. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η μία από τις γωνίες της βάσης του είναι 59 ο • Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου.

10. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, η γωνία Α είναι 840 και η γωνία Γ είναι διπλάσια από τη Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου.

11. Στο διπλανο σχήμα ε 1 11 ε2 . Να υπολογί?ετε τη γωνία ω.

12. Στο διπλανό σχήμα η γωνία ΑΒΔ είναι 300, η ΒΔΓ είναι

ορθή και η ΑΒΓ είναι 80 ο. Να υπολογίσετε τη γωνία Γ.

!

ι 13. Να αποδείξετε ότι κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει μόνο μία ορθή γωνία.

14. Να αποδείξετε ότι οι οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου είναι συ: ιπληρωματικές.

15.

Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ ιι ΓΔ.

Να υπολογίσετε τη γωνία α.

Ι

1'74 ----.-----.."---. --..--.-----..- - - - . - -...--- ---..

40 AJιB

Γ

480

αΔ

~---.---.----.-

..-.-----......- ..

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Α;-

____

-....,Β

• Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ στο διπλανό σχήμα, έχει τις πλευρές ΑΒ και ΔΓπαράλληλες.Οιπλευρέςτου, ΑΔ και ΒΓ δεν είναι παράλληλες. Το τετράπλευρο τότε το ονομάζουμε τραπέζιο. Γενικά Γ

Δ

Κάθε τετράπλευΓ 1 που έχει μόνο τις δύο του πλευρές παράλληλες και τις άλλες δύο μη παράλληλες, λέγεται τραπέζιο.

Ι ι

J

• Οι πλευρές ΑΒ, ΔΓ λέγονται βάσεις του τραπεζίου.

• Το ευθύγραμμο τμήμα ΖΕ που είναι η απόσταση των βάσεων του τραπεζίου λέγεται ύψος του τραπεζίου. Δ

• Στο τραπέζιο ΚΛΜΝ, οι μη παράλληλες πλευρές του, ΚΝ και ΛΜ είναι ίσες. Το τραπέζιο αυτό λέγεται ισο­

σκελές τραπέζιο. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι γω­ νίες Ν και Μ του τραπεζίου ΚΛΜΝ είναι ίσες. Το ίδιο και οι γωνίες Κ και Λ. Ν

Δηλαδή

Ν

=Μ

και Κ

=Λ

Μπορείτε να το δικαιολογήσετε;

• Το τραπέζιο ΠΡΣΤ

που έχει τη μη παράλληλη πλευρά

ΤΠ κάθετη στις βάσεις του, λέγεται ορθογώνιο τρα­ πέζιο.

Μ

π

[ τ

ρ

λ, 175

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

•

ΤΡΙΓΩΝΑ

Δ

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

•

/8

Ι ~

•

Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Δηλαδή ΑΒ

11 ΔΓ

και ΑΔ

11 ΒΓ.

Το τετράπλευρο τότε το ονομάζουμε παραλληλόγραμμο.

Γ

Γενικά Κάθε τετράπλευρο που έχει ης απέναντί του πλευρές παράλ­ ληλες, λέγεται παραλληλόγραμμο .

ί$!

Δ

Ε

Γ

•

Η απόσταση των απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου

ΑΒΓΔ, λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου. Ένα παραλληλόγραμμο έχει δύο ύψη: Το ΖΕ που είναι το ύψος που αντιστοιχεί στις πλευρές ΑΒ και ΔΓ και το ΗΘ που είναι το ύψος που αντιστοιχεί στις πλευρές ΑΔκαιΒΓ.

ο

ο

οα

Β

Με μετρήσεις και κάποιους συλλογισμούς διαπιστώνουμε ότι το πα­

ραλληλόγραμμο έχει τις εξής ιδιότητες:

Γ

• Οι απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου είναι ίσες. Δηλαδή, ΑΒ

• 176

==

ΔΓ και ΑΔ

==

ΒΓ .

Οι απένανn γωνίες του παραλληλογράμμου είναι ίσες.

,

,~ Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Δηλαδή, Α

=f

και Β

=Δ

• Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται Δηλαδή, ΑΟ

= ΟΓ

και ΔΟ

= ΟΒ. Ε

Ζ

• Το παραλληλόγραμμο ΕΖΗΘ έχει όλες τις γωνίες του ορθές. [

]

Τότε το ονομάζουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο.

.

Γενικά

e~--------......J..JH

Ορθογώνιο είναι το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές.

Το ορθογώνιο, αφού είναι παραλληλόγραμμο, έχει όλες τις ιδιότη­ τες του παραλληλογράμμου. Αν μετρήσουμε τις διαγωνίους του

C><J

ορθογωνίου ΕΖΗΘ, θα δούμε ότι είναι ίσες.

Άρα, εκτός από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου, το Ε

ορθογώνιο έχει και την ιδιότητα:

Οι ~ι~γώνloι του ορθογωνίου είναι ίσες. Δηλαδή ΕΗ = ez.

Θ

• Το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

Ζ

Η

Α

Δηλαδή, ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ΔΑ. Τότε λέμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. Γενικά

Δt----Ι------+ Β

Κάθε παραλληλόγραμμο που έχει ίσες πλευρές λέγεται ρόμβος

Ο ρόμβος, αφού είναι παραλληλόγραμμο, έχει όλες τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου.

Γ

177

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

•

ΤΡΙΓΩΝΑ

•

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΡ.

Στο διπλαμό σχήμα, με τη βοήθεια του γνώμονα, διαπιστώνουμε

Α

ότι η γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι ορθή.

Δηλαδή,ΑΟΒ = 900. Επίσης, αν συγκρίνουμε τις γωνίες

Α 1 , Α 2 , 81'

82'

Γ 1 ,Γ2' Δ 1 , Δ 2 ,

Θα δούμε ότι:

Α 1 =Α 2 ,8 1 =8 2 ,Γ 1 =Γ2 καιΔ 1 =Δ 2 . Δηλαδή οι διαγώνιοι του διχοτομούν τις γωνίες του.

Γ

Άρα, εκτός από τις ιδιότητες του

παραλληλογράμ­

μου, ο ρόμβος έχει και την ιδιότητα:

Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κά­ θετες και διχοτομούν τις γωνίες του.

Α

Α ....,....---->r---" Β ..J

L

•

Το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ

έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ορθές. Δηλαδή, ΑΒ

~

Γ

Δ

Γ

ΑΟ=ΟΓ ΔΟ = ΟΒ

Τότε λέμε ότι το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. ~ :Τετράγωνο είναι το παραλληλόγραμμο' που έχει όλες τις πλευρές του ίσες και. -όλες τις γωνίες του ορθές.

.

Ορθογώνιο

ΑΟΒ= 90'

= ΒΓ = ΓΔ = ΔΑ και

Γενικά --------~--------.

178

Ρόμβος

Α = 8 = Γ = Δ = 90 ο •

Γ

Δ

Β

4Ι • -...,/

-

....

Ι

Μαθηματικπ Α' Γυμνασίου

• Αφού το τετράγωνο έχει όλες τις γωνίες του ορθές, είναι ειδική πε­ ρίmωση ορθογωνίου.

Επίσης, αq.ιoύ το τετράγωνο έχει και όλες τις πλευρές του ίσες, εί­ ναι ειδική περίmωση ρόμβου.

Άρα το τετράγωνο έχει τις ιδιότητες του ορθογ(.'νίου<οι του ρόμ­ βου .

•

Μια ταξινόμηση των κυρτών τετραπλεύρων μπορεί να είναι η εξής:

ΚΥΡΤΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

Π.,ραλληλόγραμμα

(1) Τυχόν παραλληλόγραμμο

l.· 18

Δ

Γ

(2) Ορθογώνιο παραλλΙΊλόγμαμμο

Δ

:

(3) Τετράγωνο

(4)

Ρόμβος

Τραπεζοειδή

(1) Τυχόν τραπέζιο

(1) Τυχόν τετράπλευρο

Oι~

(2)5

t.

Γ

(2) Ειδική ~oρφή ΔΕ

Δ

Γ

(3) Ορθογώνιο τραπέζιο

ΑοΒ Δ

Τραπέζια

Γ

A

L

Δ

Γ

Γ

Γ

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

.

ΤΡΙΓΩΝΑ

.

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

• Η ταξινόμηση αυτή γίνεται και με το διάγραμμα του Venn.

Θα αναφέρουμε εδώ μερικές γνωστές μας περιmώσεις, όπου

δύο γωνίες ω και φ είναι ίσες (ω

= $).

Τις περιmώσεις αυτές θα τις χρησιμοποιούμε για να αποδεικνύουμε την ισότητα άλλων γωνιών ή την αλήθεια άλλων προτάσεων. Χ

(α) Γωνίες που σχηματίζει η διχοτόμος

O~-'-ί===----

μιας γωνίας με τις πλευρές της γωνίας.

ω=$.

ψ

XL X'L Ο

ψ

Ο'

(β) Ορθές γωνίες. ω=$.

ψ'

ψ' (γ) Κατακορυφήν γωνίες. ω= Χ'

180

$.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

~ Ι

(δ)

Γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγώνου.

ω=φ.

βάση

(ε)

Οξείες ή αμβλείες γωνίες που σχηματίζονται από την τομή των παράλληλων ευθειών ε 1 και ε 2 με άλλη ευθεία ε.

α

= β =γ =δ ω = φ = χ = ψ.

(στ)

και

Οι απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου.

ω

=φ

και

Ρ = σ.

(ζ)

rIJ

Δύο επίκεντρες γωνίες του ίδιου κύκλου, ή ίσως κύκλων που αντιστοιχούν σε ίσα τόξα. τόξο ΑΒ

= τόξο

ΓΔ.

Δ

ω=φ.

(η)

Γ

Οι γωνίες της κάθε βάσης ισοσκελούς τραπεζίου.

ω

=φ

και Ρ

= σ. Δ

........-----ιο----'--"

Γ

Τίη

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

.

ΤΡΙΓΩΝΑ

.

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

(θ)

Οι παραπληρωματικές ή συμπληΡΙUμαΤΙKές γωνίες ίσων γωνιών είναι ίσες.

Αν ω = φ τότε β = ό και

αν 6. = β τότε γ = δ.

Β

----"",

Στο διπλω ΔΟ

J σχήμα είναι

ΑΟ = ΟΓ = 2 cm και

= ΟΒ::.: 3 cm.

Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.

Αφού ΑΟ

Δ

= ΟΓ = 2cm και

ΔΟ=ΟΒ=3cm

σημαίνει ότι οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ διχοτομούνται. Αυτό είναι μία από τις ιδιότητc:ς του παραλληλογράμμου. Άρα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ ~ίvαι παραλληλόγραμμο .

• Αν σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓ Δ, που οι διαγώνιοί του τέμνονται κά­ θεταστο Ο,είναιΑΟ

= Or=3cm και ΒΟ = ΟΔ= 12cmθαμπο­

ρούσε να ήταν τετράγωνο ή 1)ι1uβος;

Α

Να αποδειχθεί ότι το διπλανό ταραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.

Δ f---"+-Τ---Τ---7 Β

Στο τρίγωνο ΟΓΒ ισχύει ω

+ 50" + 40" ω + 90"

= 180"

= 180"

Οι διαγώνιοι του είναι κάθετες

ω = 90" Γ

Άρα το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος.

182

.ι

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

~ Ι

1. ,

Στο διπλανό παραλληλόγραμμο να υπολογί­ σετε τα ΟΒ και ΟΑ, αν είναι:

t

Ar=8cm

και ΔΒ=

10cm.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. A~

2.

_ _ _ _ _ _"-?IB

Στο διπλανό ορθογώνιο είναι: ΑΓ=

12cm.

Να υπολογίσετε το ΟΒ. Δ

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

3.

Γ

Να κατασκευάσετε παραλληλόγραμμο που οι διαγώνιοί του να έχουν μήκος

7 cm και 8 cm

και η οξεία γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους οι διαγώνιοι να είναι 40 ο .

4.

Να κατασκευάσετε ρόμβο με διαγωνίους 5 cm και 8 cm.

5.

Να κατασκευάσετε τετράγωνο, αν γνωρίζετε ότι η μία διαγώνιός του είναι 7 cm.

6.

Να βρείτε το είδος του καθενός από τα πιο κάτω τετράπλευρα. (α)

(β) Β

AQr Δ

7.

(δ)

(γ)

-

Ε

z/;$J" Η

ΤΟΜ Κ

Λ

Ο

Ν

Π

Να κάνετε δύο κύκλους με το ίδιο κέντρο Ο. Να φέρετε μια διάμετρο ΑΒ του ενός κύκλου· και μία διάμετρο ΓΔ του άλλου κύκλου, που να μη βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Να

.

φέρετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΑΔ, ΒΓ, ΒΔ. Τι σχήμα είναι το ΑΓΒΔ; Να δικαιολο­ γήσετε την απάντησή σας.

183

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

-

ΤΡΙΓΩΝΑ

-

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

Α

8.

Το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος.

Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ.

Β

Δ

Γ

9. Ποιες είναι οι ομοιότητες και ποιες οι διαφορές των πιο κάτω τετραπλεύρων; (α) ρόμβου -τετραγώνου (β) ορθογωνίου - τετραγώνου (γ) ρόμβου - ορθογωνίου.

10. Το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. Να υπολογίσετε τη γωνία ΒΔΑ.

11.

:0:

Να αποδείξετε ότι:

Αν ένα παραλληλόγραμμο έχει μια γωνία ορθή, τότε είναι ορθογώνιο.

184

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

.

1. Να αντιστοιχίσετε κάθε πρόταση της Α στήλης με τρίγωνα της Β στήλης .

~

Aσrήλη

. Ι

(α) Οι γωνίες του τριγώνου είναι

Bσrήλη

60 ο, 60 ο, 60 ο

(β) Οι πλευρές του τριγώνου έχουν μήκη

6 cm, 7 cm, 6 cm

(γ) Οι δύο γωνίες του τριγώνου είναι 58 ο και 32 ο

(ι) Ισόπλευρο (ιι) Ορθογώνιο

(ιιι) Ορθογώνιο και ισοσκελές

,

r

(δ) Μια από τις εξωτερικές γωνίες του τριγώνου είναι 30 ο

(ιν) Ισοσκελές

(ε) Οι πλευρές του τριγώνου έχουν μήκη

(ν) Οξυγώνιο

5 cm, 6 cm, 3 cm

(στ) Δυο από τις εξωτερικές γωνίες του τριγώνου

είναι

150 ο

η κάθε μία

(ζ) Δύο από τις εξωτερικές γωνίες του τριγώνου

είναι

(νι) Σκαληνό

(νιι) Αμβλυγώνιο και

1350 η κάθε μία

ισοσκελές (νιιι) Αμβλυγώνιο

2.

Να βρείτε ποιες από τις πιο κάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες όχι Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (α)

Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι και ισογώνιο.

(β)

Το αμβλυγώνο τρίγωνο έχει τουλάχιστο μία αμβλεία γωνία.

(γ)

Υπάρχουν ορθογώνια τρίγωνα που είναι και ισοσκελή.

(δ)

Υπάρχουν οξυγώνια τρίγωνα που είναι και ισόπλευρα.

(ε)

Δεν υπάρχει αμβλυγώνιο τρίγωνο που να είναι και ισοσκελές.

(στ) (ζ)

Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει μόνο μία ορθή γωνία. Το ισόπλευρο τρίγωνο μπορεί να είναι και σκαληνό.

185

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

-

ΤΡΙΓΩΝΑ

-

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

3. Στο διπλανό σχήμα, οι ευθείες ε 1 ,

1';2

ε

1

ε

2

είναι παράλληλες. Να αποδείξετε ότι και οι ευθείες ε 2 , ε 3 είναι παράλληλες.

ε

4.

Στο διπλανό σχήμα είναι ε

3

Γ

11 ζ.

Αν η διχοτόμος της εΑΒ. βψ η διχοτόμος της ΑΒζ'. Να αποδείξετε ότι Αχ

ζ'

11 Βψ.

Τι συμπεραίνετε;

5.

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. (ΑΒ

==

Χ

ΑΓ).

Αχ είναι προέκταση της ΒΑ προς

Ψ

το μέρος του Α. Αψ

11

ΒΓ.

Να αποδείξετε ότι ω == φ.

Τι είναι η Αψ για τη χΑΓ;

6.

Β

Γ

Στο διπλανό σχήμα είναι ε 1 11 ε 2 . Αχ η διχοτόμος της γωνίας ΒΑε 1 . Βψ η διχοτόμος της γωνίας ΑΒε 2 . Να υπολογίσετε τη γωνία ω. Τι παρατηρείτε; Τι συμπεραίνετε;

7.

Στο διπλανό σχήμα είναι: ζ

οψ η διχοτόμος της χ6ε. Οζ η διχοτόμος της ε6χ'. Να υπολογίσετε τη γωνία ω.

Ψ

Τι παρατηρείτε; Τι συμπεραίνετε; Χ

186

Χ'

ι

r t ι

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

,ι

8. Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ του τριγώνου ΑΚΒ.

9. Να γράψετε ένα κύκλο (Ο, ρ) και μία διάμετρο του ΑΒ. Να πάρετε ένα σημείο Μ πάνω στον κύκλο. Να φέρετε τα ΜΑ, ΜΒ και Μα. (α) Τι είδους τρίγωνα είναι τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΜΟΒ ως προς τις πλευρές τους;

(β) Να εξετάσετε με τη βοήθεια του γνώμονά σας τι είδους γωνία είναι η ΑΜ Β (γ) Να αποδείξετε το συμπέρασμα που βρήκατε στην ερώτηση (β). Δ

10. Η ΑΜ είναι διάμεσος του Α Β Γ. Επίσης ΑΜ = ΜΒ. Δ

Τι είδους τρίγωνο είναι το Α Β Γ

Α

fu

Β

ως προς τις γωνίες του;

i 11.

Μ

Γ

Α

Η ΒΕ είναι η διχοτόμος Β. Η ΔΕ είναι παράλληλη της ΒΓ.

Να υπολογίσετε τις γωνίες Α και Δ

Γ του ΑΒΓ.

12. Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α

Β

= 420

και Β

= 860. Οι διχοτόμοι

γωνιών Α και Β αντιστοίχως τέμνονται στο σημείο

ΑΔ και ΒΕ των

l. Να υπολογίσετε τη

γωνία ΑΓΖ.

187

5.

ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

-

ΤΡΙΓΩΝΑ

-

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

13. Η μια γωνία ισοσκελούς τριγώνου είναι 64 ο. Να υπολογίσετε τις άλλες δύο γωνίες του. Πόσες περιmώσεις υπάρχουν; Εργαστείτε στην κάθε περίmωση ξεχωριστά.

14.

Το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. Να δικαιολογήσετε γιατί είναι και τετράγωνο. Δ

Γ

15. Να κατασκευάσετε τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 6 cm. Να σχεδιάσετε κύκλο με κέντρο το Α και ακτίνα 5 cm. Ο κύκλος τέμνει την ΑΒ στο Ε και την ΑΔ στο l. Να φέρετε την κάθετη πάνω στην ΑΒ στο Ε και την κάθετη πάνω στην ΑΔ στο l. Οι κάθετες αuτές τέμνονται στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι το ΑΕΗΖ είναι τετράγωνο.

16.

Ένα τετράπλευρο που έχει διαγωνίους δύο κάθετες διαμέτρους ενός κύκλου, είναι τε­ τράγωνο; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

17.

Το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο.

Είναι δυνατόν οι γωνίες ω και φ να εί­ ναι και οι δύο οξείες ή και οι δύο αμ­ Δ

βλείες; Γιατί;

Γ Ε

18.

Το ΕΖΗΘ είναι ορθογώνιο. Αν η διαγώνιός του ΕΗ σχηματίζει με

την πλευρά του ΘΗ γωνία

35 ο, να

Ζ Θ

υπολογίσετε τις άλλες γωνίες του που σχηματίζουν οι διαγώνιοι με τις πλευ­ ρέςτου ορθογωνίου.

19.

Η

Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. ΑΗΙΓΔ.

Οι ΑΗ και ΒΓ όταν προεκταθούν τέ­ μνονται στο Ε.

Αν η ΓΕΗ είναι 23 ο, να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών που είναι σημειωμέ­ νες στο σχήμα.

188

Β

l~ Γ

Ε

•

(ι)

2·3·5

(ιι)

2· 5 . 3 . 3

(ιιι)

2· 2 . 2 . 2 3·3 5·5·5

(ιν)

(ν)

Από τα πιο πάνω γινόμενα, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα

γινόμενα που αποτελούνται από ίσους παράγοντες. Πχ τα γινό­ μενα

(ιιι)

2· 2 . 2 . 2

(ιν)

3·3

(ν)

5·5·5

• Το γινόμενο 2 . 2 . 2 ·2 αποτελείται από τέσσερις παράγοντες ίσους με τον αριθμό 2. Γράφεται 24. Λέγεται δύναμη του δύο. Διαβάζεται δύο στην τετάρτη ή τετάρτη δύναμη του δύο . • Το γινόμενο 3 . 3 αποτελείται από δύο παράγοντες ίσους με τον αριθμό 3. Λέγεται δύναμη του τρία. Γράφεται 32. Διαβάζεται τρία στη δευτέρα ή δευτέρα δύναμη του τρία ή τρία στο τετράγωνο ή

το τετράγωνο του τρία.

J2

= το

εμβQδ6ν του

τετραγώνου με πλευ­ ρά

3 110νάδες.

189

6. ΔγΝΑ,.,ΕΙΣ φγΣΙ'ΏΝ ΑΡΙΘΜΩΝ κ.ΑΙ τογ ΜΗΔΕΝ.- TET~AΓΩNΙKH ΡΙΖΑ φγΣΙKO~ APΙ~Moγ ΣΤΟ Σ~NOΛO Ν ο

• Το γινόμενο 5 . 5 . 5 αποτελείται από τρεις παράγοντες ίσους με τον αριθμό 5. Λέγεται δύναμη του πέντε. Γράφεται 53. Διαβάζεται πέντε στην τρίτη ή τρίτη δύναμη του πέντε ή πέντε στον κύβο ή ο κύβος του πέντε.

5·5·5 == 53

53

== Ο όγκος του

κύβου με πλευρά

5

• Γενικά το γινόμενο

μονάδες.

α

•

. α· α ... w

α γράφεται σύντομα αν.

-

νπαράγoνrες

3• . 3 . 3'W'. 3 . 3_ = 35

Διαβάζεται «άλφα στη ν» ή «νιοστή δύναμη του άλφα».

5 παράγοντες

Αν πάρουμε τη δύναμη 56, τότε:

X·X·X·x·x·x=f . w

Το

6 παράγαντες α· α· α

... α

Το 5 λέγεται βάση της δύναμης 56.

=αν

6

λέγεται εκθέτης της δύναμης

Γενικά

56.

δύναμη ~εKθέτης

αν

βάση

ν παράγοντες

Ο εκθέτης μιας δύναμης μας δείχνει πόσες φορές πρέπει να πολ­ λαπλασιάσουμε τη βάση επί τον εαυτό της για να υπολογίσουμε τη δύναμη. Επειδή όμως, ένα γινόμενο πρέπει να έχει τουλάχιστον δύο

όρους (παράγοντες), έτσι και ο εκθέτης μιας δύναμης πρέπει να εί­ ναι <': 2. Πολλές φορές όμως συναντούμε δυνάμεις με εκθέτη το ή το Ο. Σ' αυτές τις περιmώσεις είναι α 1 = α και α = Ο

1.

1

(Οι απο­

δείξεις τους θα γίνουν μετά τις ιδιότητες των δυνάμεων).

Η διαδικασία με την οποία από ένα αριθμό α βρίσκουμε τη νιοστή του δύναμη αν, λέγεται «ύψωση του α στη ν». Πχ

190

Να υψωθεί το τρία στην πέμπτη δύναμη σημαίνει:

35

Να υψωθεί το τρία στον εκθέτη

35.

5

σημαίνει:

t Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Ι Προσοχή!!!

Πολλές φορές σuvxίζoυμε το ~ με το 3 . 4. Και στις δύο περιmώσεις έχουμε τέσσερα τριάρια. Δηλαδή 34

= 3 .3 .3 .3

και 3 . 4 = 3

+3 +3 +3

Στη μια περίmωση όμως (34) πολλαπλασιάζουμε τα τριάρια. Στην άλλη περίmωση

(3 . 4) προσθέτουμε τα τριά­

ρια.

:J4 = 3·3·3·3,

ενώ

S2 = 5·5,

ενώ

2! =2·2·2-2-2

ο

ο ο

Να γραφούν υπό μορφή δύναμης τα γινόμενα: (α)

7· 7·7· 7· 7

(β) χ. Χ . Χ . Χ

(γ) ψ2

.

ψ3

(δ)

5 . 5 . 5 ... 5 . -

--

12 παράγοντες

(α)

7· 7 . 7 . 7 . 7 = 75

(β) χ. Χ . Χ . Χ (γ) ψ2

. ψ3

= Χ"

= (ψ . ψ) (ψ . ψ . ψ)

=ψ.ψ.ψ.ψ.ψ

= ψ5 (δ)

5·5·5 ... 5. = 512 -

....

12 παράγοντες

Να υπολογιστούν οι δυνάμεις:

191

6: ΔYNA~~ΙΣ_ΦYΣΙKΩN~_PΙΘMΩN ΚΑΙ τον ΜΗΔΕΝ • TETPAΓ~NΙKH ΡΙΖΑ ΦΥΣικον ΑΡΙΘΜον ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Ν ο

(α)

25 =2·2·2·2·2 =4·2·2·2 =8·2·2 = 16·2 =32

(β)

34 =3·3·3·3 = 81

(γ)

43 =4·4·4 =64

Βρίσκουμε το γινόμενο των δυο πρώ-

: των παραγόντων, το πολλαπλασιάζου­ με με τον επόμενο παράγοντα και συ­ νεχίζουμε έτσι, μέχρι τον τελευταίο παράγοντα.

Να υπολογιστεί (α) το τετράγωνο του αριθμού 6 και (β) ο κύβος του αριθμού

(α)

62 = 6·6 =36

(β)

53

5.

= 5 .5 .5 = 125

Να γραφούν υπό μορφή δύναμης οι αριθμοί: (α)

8

(α)

8

(β)

= 2·2·2 =~

(β) 25

192

= 5·5 = 52

25

(γ)

1000

r t t

,ι

,t

(γ)

= 10· 10· 10 = 103

1000

Να γραφούν πιο σύντομα οι παραστάσεις: (α)

5+5+5+5

(β)

(α)

5 + 5 + 5 + 5 = 4 .5

(β)

2· 2 . 2 . 2 . 2 = 25

2·2·2·2·2

(γ) Χ

+Χ+Χ

(ψ

ψ)

(δ) ψ. ψ. Ψ

+Ψ+Ψ

(γ) Χ + Χ + Χ = 3χ (δ) ψ. ψ. Ψ

+Ψ+Ψ=

(ψ

. ψ . ψ) +

+

Πρoηγεiraι ο πολλα-

: πλασιασμός

=ψ3+2ψ

Σύμφωνα με τον ορισμό της δύναμης έχουμε:

Γενικά ον

= Ο . Ο . 0... 0 = Ο v παράγοντες

Άρα

ον

=

Ο, νε Ν και Y~2

ιΙ Δυναμε!ι::: του i

Σύμφωνα με τον ορισμό της δύναμης έχουμε:

12 = 1 . 1 = 1 Γενικά 1 ν

14 = 1 . 1 . 1 . 1 = 1

13 = t . 1 . 1 = 1

= 1. . 1 . 1 .... 1 = 1 v παράγοντες

Άρα

,--------=ι

1V = 1, νε Ν και Y~2

Ι

193

6.

ΔΥΝΑΜΕΙΙ ΦΥΙΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝ

•

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΦΥΙΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΤΟ ΙΥΝΟΛΟ Ν ο

Σύμφωνα με τον ορισμό της δύναμης έχουμε:

1()2= 10·10= 100 1()3= 10·10·10= 1000 1Q4= 10·10·10·10= 10000 Γενικά 10 ν

= 1000 ... 0. . ν μηδενικά

10ν

Άρα

= 1000 ... Ο,

-

.

ν ε Ν και ν ~ 2

ν μηδενικά

! Για

να υπολογίσουμε τη νιοστή δύναμη του 10, γράφουμε ν μηδε- •

:νικά δεξιά του 1.

Μπορώ να συντομεύσω τη γραφή ή την εκτέλεση πράξεων, αν χρησιμοποιήσω δυ­

νάμεις του

10. Π.χ.

α)

1 000 000 = 1Ο 6

β)

3000000= 3·1 000000 = 3·10 6

γ)

5·2000000 = 5-2·106 = 10·106 = 10·10·10·10·10·10·10 = 107

....-.. .. (α) Δυνάμεις (υπολογίζουμε τις δυνάμεις). ._~~_.

,_._~--

,_

_~,

,~.-,

(β) Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις. (γ) Προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Αν υπάρχουν πράξεις μέσα σε παρενθέσεις ή αγκύλες, τότε κάνου­

με πρώτα τις πράξεις αυτές και μετά συνεχίζουμε με την προηγού­ μενησειρά.

194

~

,~

Παρcδείγμα!

Να γίνουν οι πράξεις: (α)

3·24

(β)

(α)

3· 24 = 3 . (2 . 2 . 2 . 2)

(3 + 2)3

(γ)

33 + 23

Πρώτα υπολογίζουμε τη δύναμη. Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

= 3 ·16 (β)

(γ)

(δ)

= 48 (3 + 2)3 = 53 = 5 . 5 . 5 = 125 33 + 23 = 27 + 8 =35 103- (4·5)2 + (9-8)5 = 103-202 + 15 = 1000-400 + 1

= 600

+1

Κάνουμε την πράξη μέσα στην παρένθεση. Υπολογίζουμε τη δύναμη. Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις.

Κάνουμε την πρόσθεση. Κάνουμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Κάνουμε τις πράξεις.

= 601

Αν Χ =

2 και Ψ = 5, να υπολογιστεί

η αριθμητική τιμή της παράστασης: Α

=

ψ2

+

χ3 _ 2 χψ

Α=ψ2+ χ3- 2 χψ

=52+23-2·2·5 = 25 + 8-20 = 33-20 = 13

Αντικαθιστούμε Ψ

= 5, Χ = 2.

Υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Κάνουμε τις πράξεις.

195

6.

ΔΥΝΑΜΕΙΙ ΦΥΙΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Κ:ΑΙ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝ

•

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΦΥΙΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΤΟ ΙΥΝΟΛΟ Ν.

1. Να γράψετε υπό μορφή δύναμης τα γινόμενα: (α) 2 . 2·2·2

(ε)

2.

1- 1 ·1 ...J .χ

[9[10 [11 [121

Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τους κύβους των αριθμών.

ΟΙ

[2[3[4[5[6[7[

Να υψώσετε τους αριθμούς Ο,

5.

Να υπολογίσετε τις δυνάμεις:

Β

19[10 [11

Ι

1,2,3,4 στην τετάρτη δύναμη.

(ε)

(γ) 115

109

Να γράψετε υπό μορφή δύναμης τους αριθμούς: (β)

(α) 49 (ε)

(στ)

125

8

(γ)

9

(δ)

100

1 000000

(η)

32

(θ)

121

Να βρείτε τις προτάσεις που είναι ορθές. (α)

ι

Β

[2[3[4[5[ :6[7[

4.

7.

10· 10·10· 10· 10

Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τα τετράγωνα των αριθμών.

[ :' [

6.

(δ)

(γ) ο· ο· Ο

18 παρόγοντες

(στ) -ι:. χ

3·3·3·3

Ι :, Ι 3.

(β)

(β) (7

17 = 7

(ε) ~

= 32

(θ) 62

: 22

=9

(στ) (ι)

+ 3)2 = 100

(3·4)2 = 122 34 < 43

(γ)

(5-4)2

(ζ)

5·22

(ια)

25

= 52-42

= 102

= 52

(δ)

23

=6

(η)

34

= 81

_______.__.-_. __. ___.__ . . ________ ..... ---.-..--.--.. . . . . .-... --.. . .--.. . . .-..----.................._. . _-_. .:

196

,

,~ t

.•

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

8. Ποιου αριθμού το τετράγωνο είναι 81 ;

9.

Ποιου αριθμού ο κύβος είναι 64;

10. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 2 ·105 και 8 . 104. 11. Η ακτίνα του πλανήτη Πλούτωνα είναι 3 . 106 m. Πόσα km είναι; 12. Να γράψετε σε συντομία τις παραστάσεις: (α) Χ . Χ . Χ . Χ . Χ . Χ . Χ

+Ψ +Ψ +Ψ +Ψ

(β) Ψ

(γ) χ + χ

+χ + ψ .ψ .ψ .ψ .ψ

13. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: (α) 52

+ 72

(δ)4 3 -2 2 . ~

+1

+ 2)2 + 43

(β)

(3

(ε)

2(22-1)

+ 102

14. Αν Χ = 3 και Ψ = 2, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων: (β) (χ

+ ψ)2

(ε) Ύ(--χψ

+ 2χψ_ψ2

(γ) χ2

+ ψ3

(στ) ψ3

+ χ2 ψ3 -

Η πολυκατοικία έχει Κάθε όροφος έχει

2ψ 2χ

10 ορόφους.

10 διαμερίσματα.

Κάθε διαμέρισμα έχει

10 δωμάτια .

• Πόσα είναι

όλα τα διαμερ[σματα;

• Πόσα είναι

όλα τα δωμάτια;

197

6. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝ· ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Ν •

.~•.~

1διι)nπες των δlJν(lμεων

• Ας δούμε τα εξής παραδείγματα:

Να βρεθούν τα γινόμενα: (α)

72 ·76

(α)

72·76 = (7 . 7) (7·7·7·7·7·7)

Δηλαδή

72.76 = 72+6 = 78

=7·7·7·7·7·7·7·7 = 78 (β)

33. 34 = (3 . 3 . 3) (3 . 3 . 3 . 3) =3·3·3·3·3·3·3 = 37

Γενικά

Άρα

α μ • α ν =α μ + ν όπου α ε Ν ο και μ, ν ε Ν

Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις που έχουν την ίδια βά­ ση, σχηματίζουμε μία νέα δύναμη με την ίδια βάση και εκθέ­ τη το άθροισμα των εκθετών.

Να βρεθούν τα πηλίκα:

198

,

.'"

.~ Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

α μ : αν =α μ - ν όπου α, μ, ν Ε Ν και μ> Ν

Γενικά

Άρα

Για να διαιρέσουμε δυνάμεις που έχουν την ίδια βάση, σχη­ ματίζουμε μία νέα δύναμη με την ίδια βάση και εκθέτη τη δια­ φορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου .

• Τι κάνουμε όταν έχουμε τη διαίρεση 56 : 58

αφού

6 < 8;

Έχουμε:

111111 56: 58 = 56 = ,5.,5.,5.,5.,5 .--5 =~ 58 ,5·,5·--5·--5·,5·,5·5·5 52

ο

ο

111111

•

Τι κάνουμε όταν έχουμε τη διαίρεση 75: 75 αφού 5

= 5;

jl~O

111 1 1 75: 75

= 75 = ;r.;r.;r.;r.;r = 1 75

;r.;r.;r.;r.;r 111 11

Να βρεθούν οι δυνάμεις:

(α)

(58)3

= 58 . 58 . 58 = 524 (β) (32)5 = 32 . 32 . 32 . 32 . 32 = 310

(α)

(γ)

(58)3

(73)3 = 73. 73 . 73

Δηλαδή

(32)5 = 32'5 = 310

Δηλαδή

(73)3 = 73'3 = 79

=]9

199

6.

ΔΥΝΑΜΕΙΙ ΦΥΙΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝ

Άρ α

•

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΦΥΙΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΤΟ ΙΥΝΟΛΟ Ν

ο

Για να υψώσουμε μία δύναμη σε ένα εκθέτη, σχηματίζουμε μία νέα δύναμη με την ίδια βάση και εκθέτη το γινόμενο των εκθετών.

Οι ιδιότητες που αναφέραμε πιο πάνω είναι α μ · αν

=

α μ : αν

=

(αμ)ν

=

α

αμ + ν αμ - ν μν

και τις χρησιμοποιούμε σε δυνάμεις που έχουν την ίδια βάση. Δηλαδή δεν μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε στις περιmώσεις,

23. 54

ή

78. 33 .........

(γιατί;)

Μπορούμε να βρούμε το πηλίκο της διαίρεσης

37 : 36 με δύο τρόπους.

1ος τρόπQS;. . Διαίρεση δυνάμεων που έχουν την ίδια βάση. 20ςτρόπος:

111111 37: 36 = 37 = ,3"3'3',3',3'3'3 36 3'·3·,3·,3·,3·3 111111

=3

Αφού και στους δύο τρόπους κάναμε την ίδια διαίρεση, θα πρέπει τα πηλίκα που βρήκαμε να είναι ίσα. Δηλαδή

31

=3

~"

.. ,.. ____ ,,_, Μαθηματικά". Α' __ Γυμνασίου _~

Γενικά

Μπορούμε να βρούμε το πηλίκο της διαίρεσης 35 : 35 με δύο τρόπους. 10ςτρόπος:

35: 35 = 35-5 = 30 20ςτρόπος:

11 1 11 35: 35 = 35 = 3·3·Ζ·2·2 35 2·2 .,a .,a .,3 1 1 1 1 1

=1

Αφού και στους δύο τρόπους κάναμε την ίδια διαίρεση, θα πρέπει τα πηλίκα που βρήκαμε να είναι ίσα. Δηλαδή

30

=1

Γενικά

Να γραφούν σε μορφή μιας δύναμης οι παραστάσεις:

(α) 210·28

= 210+8

>»><>- >---- >»-->- -> -> -»->-

-- -- ->--»»-»--- -->--

-

-~-->--,

-Ιδιότητα του πολλαπλασιασμού δυνάμεων.

= 218 (β)

57.5.56 = 57+1+6 = 514

(γ) 710: 78

(δ) (3Ί)4

= 710-8 = 72

= 37' 4

= 328

ΙδΊ6Τήτα του πΟλλαΠλασιασμΟ6"δuνάμεων. Μάθαμεότι

51 = 5.

ίδιότηταΎηςδιαίρεσης δυν6μεων.

>

_,~

~.<_

.,_~_

,~.

,,~_~~.c

6. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝ • ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Ν ο

Να γραφεί σε μορφή μιας δύναμης η παράσταση

(38 . 32 . 3) : 34 = 38 + 2+ 1: 34

Ιδιότητα του πολλαπλασιασμού στην

= 311 :34 = 37

παρένθεση. Ιδιότητα της διαίρεσης.

Να γραφεί σε μορφή δύναμης το γινόμενο

4 . 8 . 32

= 22 . 23 . 25

(38·32·3) : 34.

4· 8 . 32.

: Γρ6φουμε τoυ~αΡάyo~ες 4,8,32 σε μορφή δύ-

=22,8 =23,32 =25.

= 22 + 3 + 5

ναμης. Δηλαδή 4

= 210

Ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία.

Να γραφεί σε δύναμη ενός αριθμού η παράσταση 34. 93.

t"

34 . 93 = 34 . (32)3

= 34·32'3 = 34. 36 = 310

202

__

~_.~

_____ .. _..0._

------.----.-.

, Γράφουμε τον αριθμό 9 σε μορφή δύναμης. Δηλαδή

9 =32.

. Εφαρμόζουμε τις κατάλληλες ιδιότητες.

t

Μαθ'JJ1α~~~.Α:.Γuμν.ασίοu

•.

,

,,

Να βρεθεί το Χ, ώστε να είναι ορθές οι ισότητες.

~

(α)

23 . 25 . 2Χ = 215 ή

23+5+Χ

Δηλαδή 3

= 215 + 5 + Χ = 15

Άρα χ=7

αν aχ = aΨ

(β) (5Χ)5 = 510 ή 5Χ·5

ο

= 510

Δηλαδή χ.

ο

ο

5 = 1Ο

Άρ α χ=2 (γ)

310: 3Χ = 37 ή 31Ο-χ

= 37

Δηλαδή

1Ο - Χ = 7

Άρα χ=3

203

6.

ΔΥΝΑΜΕΙΙ ΦΥΙΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝ

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΦΥΙΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΤΟ ΙΥΝΟΛΟ Ν

-

1. Να γράψετε τις παραστάσεις σε μορφή μιας δύναμης: (α) 27

(β)

. 25

(ε) Χ . χ2 . χ9

53. 59 . 5

(γ)

310: 35

(δ)

(78)5

(στ)

(52) 1

(ζ)

212: 212

(η)

(50) 1

(ι)

5: 56

(ιβ)

35·36·30

(θ) (χ3)5

2.

3.

4.

5.

(ια) χ 1Ο :

f

Να γράψετε τις παραστάσεις σε μορφή μιας δύναμης: (α)χ2 . (χ3)5

(β)

(59: 54)3

(δ)

(26)3 : 210

(ε)

(56·5)7

(ζ)

54 . 52 . (53)3

(η)

(34}2: 38

(γ) (στ)

(32·3·39): 38 (23)0. (25) 1 . (26)2

(θ) (χ9: χΒ)3 : Χ

Να βρείτε το Χ, ώστε να είναι ορθές οι ισότητες: (α)5Χ·

5·56 = 514

(β) (3ψ

= 315

(δ) 6Χ:

66 = 66

(ε) (2Χ)3

= 28·24

(γ) (7 8 )Χ (στ)

=1

(38. 3Χ) : 34 = 35

Να γράψετε τις παραστάσεις σε μορφή μιας δύναμης: (α) 25

.4

(β)

37. 3 ·39

(δ) 35

: 27

(ε)

162. (26)3

Να υπολογίσετε το Χ αν (2ψ

(γ) (στ)

43. 85 . 2 (94·275): 32

. 26 = 221.

6. Αν το Χ Ε Ν ο και 28: 2Χ < 3, να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει το χ. 7. Να κάνετε τις πράξεις: (α)

204

(58 : 56)

+ 40 -

(312 : 310)

(β)

8· 90 - (54 : 54)6 + (3 + 2) 1

(δ)

(3·274) : (10-1)6

ο

,t Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Ας πάρουμε ένα σύνολο Α Μάθαμε ότι ο πληθικός αριθμός ενός συνόλου συμβολίζεται με ν. Αν

ν(Α) =

Αν

ν(Α)

= 2,

τότε»

»

»

»

»»

»4.

Αν

ν(Α)

= 3,

τότε»

»

»

»

»»

»

Αν

ν(Α)

= 1Ο, μπορείς να βρεις ποιος είναι ο αριθμός των υποσυνόλων του συνόλου Α;

1,

τότε ο αριθμός των υποσυνόλων του Α είναι

2.

8.

Μήπως θα σε βοηθούσαν οι δυνάμεις φυσικών αριθμών για να το βρεις πιο εύκολα;

205

6.

ΔΥΝΑΜΕΙΙ ΦΥΙΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝ

-

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΦΥΙΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΤΟ ΙΥΝΟΛΟ Ν ο

• Αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό 3 με τον εαυτό του θα βρούμε τον αριθμό 9. Δηλαδή

3 .3 = 9

Τότε λέμε ότι ο αριθμός 3 είναι η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 9. Για να γράψουμε «τετραγωνική ρίζα» χρησιμοποιούμε το

σύμβολοΓ· Γράφουμε:

J9 = 3

Διαβάζουμε: Η τετραγωνική ρίζα του 9 είναι το 3. Γενικά:

Άρα

ια = β

αν

β .β = α

ή

β2 = α .

Τετραγωνική ρίζα ενός φυσικού αριθμού α είναι ένας άλλος φυσικός αριθμός β που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυ­

τό του, μας δίνει τον αριθμό α.

,;," .

(α)

14 = 2

διότι

2·2= 4

ή

22 = 4

(β)

f16 = 4

διότι

4·4= 16

ή

42 = 16

διότι

1. 1 = 1

ή

12 = 1

(γ) Π = 1 (δ)

)900 = 30 διότι

30·30 = 900 ή

302 = 900

• Για να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 8, δοκιμάζουμε διάφορους αριθμούς: Πχ

22 = 4

Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει φυσικός αριθμός που όταν υψωθεί

στο τετράγωνο θα μας δώσει το 8. Δηλαδή η J8 δεν είναι φυσι­ κός αριθμός. Για τους αριθμούς αυτούς θα μιλήσουμε σε άλλη τάξη.

206

t t

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

• Οι αριθμοί των οποίων η τετραγωνική ρίζα είναι φυσικός αριθμός λέγονται τέλεια τετράγωνα. Π.χ. Οι αριθμοί Ο, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... είναι τέλεια τετράγωνα.

Να υπολογιστεί η

16.

= V9

Κάνουμε την αφαίρεση.

=3

Η τετραγωνική ρίζα του

-/25-16

jα 2

J25 -

+132

Αντικαθιστούμε α

= )62 + 82 =

= 6,

β

9

= 8.

Υπολογίζουμε τις δυνάμεις.

136 + 64

Κάνουμε την πρόσθεση.

= v100

Η τετραγωνική ρίζα του

100.

= 10

Να εξεταστεί αν είναι αληθείς οι ισότητες:

(α)

(α)

-/9 + 16

= V9 + ff6

ιg--t16 =

V9

f25

(β) v169 -144

= v169 -

v144

= 5 (α' μέλος)

+ ff6 = 3 + 4 = 7

(β' μέλος)

Παρατηρούμε ότι α' μέλος

"* β' μέλος.

Άρα η ισότητα δεν είναι αληθής.

207

6.

ΔΥΝΑΜΕΙΙ ΦΥΙΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ τον ΜΗΔΕΝ

(β)

•

J169 - 144

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΦΥιlκον ΑΡIΘΜον ΣΤΟ ΙΥΝΟΛΟ Ν.

= J25 = 5

(α' μέλος)

J169 - 1144 = 13 - 12 = 1 (β' μέλος). Παρατηρούμε ότι α' μέλος ::F β' μέλος.

Άρα η ισότητα δεν είναι αληθής.

Αν Χ

JX

2

-

=4 ψ2

και Ψ

=R

= 3, να εξεταστεί αν είναι αληθής η ισότητα

- {ιjl.

Θέλουμε να εξετάσουμε αν τα δύο μέλη της ισότητας

Jχ

2

- ψ2

=R

- {ιjl είναι ίσα. Εργαζόμαστε με το

κάθε μέλος χωριστά. Έχουμε: α' μέλος:

Jχ 2 _ ψ 2

=J4 2 -32 =J16-9

Αντικαθιστούμε Χ

= 4, Ψ = 3.

Υπολογίζουμε ης δυνάμεις. Κάνουμε την αφαίρεση

=fi β' μέλος:

R-{ιjl=J42-fi

=Jl6-J9

= 4-3 =1 Δηλαδή

= fi β' μέλος = 1 α' μέλος

Αντικαθιστούμε Χ

= 4, Ψ = 3.

Υπολογίζουμε ης δυνάμεις. Υπολογίζουμε ης τετραγωνι­ κέςρίζες.

Κ(JΥQυμε τrιν (lIJ!Q~QJ1

και . ΣυΥκρίνουμε τα ~ύΟJ:l~η

Επομένως α' μέλος ::F β' μέλος.

Άρα δεν ισχύει η ισότητα ανχ

Jχ 2 -

ψ2

=R

- {ιjl,

= 4καιψ = 3.

Άραγε η πιο πάνω ισότητα ισχύει, αν δώσετε άλλες τιμές στα Χ και ψ; Όχι βέβαια! Μπορείτε να δοκιμάσετε, αρκεί X::F Ψ και χ, ψ", Ο.

208

ι Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1.

Να υπολογίσετε τα πιο κάτω:

(α)

f25 J49

(ε)

2.

(β) J10000 (στ)

.fO

(γ)

J64

(δ) ΙΤ2Τ

(ζ)

J8T

(η)

.)400

Να υπολογίσετε τα πιο κάτω:

(α)

.[9 + 16

(β)

(δ) 19~

J100 - 64

(ε) 1100·64

(γ) J4· 25

(στ) Γe!

~Ι

3. Αν Χ

= 10 και Ψ = 8, να υπολογίσετε την JX 2 _ ψ2.

f

4. Αν Χ = 3 και Ψ = 4, να υπολογίσετε την JX 2 + ψ2.

J

5. Αν α = 13 και β = 4, να υπολογίσετε την α 2 _ β2. 6. Αν α = 5 και β = 12 και γ= 13, να εξετάσετε αν ισχύει η ισότητα: Γa2 + β2 =

R.

7. Αν Χ = 5 και Ψ = 4, να εξετάσετε αν ισχύουν οι ισότητες:

(α) JX2ψ2 = Χ Ψ (γ)

J(χ + ψ) = Χ + Ψ 2

(β) (δ)

JX JX

2

± ψ2 = Χ ± Ψ

2

ψ4

= Χ ψ2

209

6. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝ - ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Να

1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: (α) 4 -

2.

(α)

-

(β)

17

(δ) 2531

(γ)

125

(δ) α· α· α: α

2·4·8

(γ)

08

(ε) [(46

. 2530

+ 18) : 64]20

(στ)

120 (3·7

+ 25 . 10 -15: 3)0

Να βάλετε σε κύκλο την ορθή απάντηση:

3.

4.

5.

(β)

. 4 ... 4

1Ο παρ6γovτες Να υπολογίσετε τις δυνάμεις:

(α) Το 23 ισούταιμε:

(ι) 6

(ιι) 8

(ιιι) 23

(β) Το α 3 σημαίνει:

(ι) 3α

(ιι) α

+α +α

(ιν) 9 (ιιι) α· α . α

(ιν) 3

Q

Να γράψετε σε μορφή μίας δύναμης τις παραστάσεις:

(α)

(33)4

(ε)

(35. 34 . 36 . 3) : (32)4

Να βάλετε τους κατάλληλους αριθμούς στα τετραγωνάκια ώστε να ισχύουν οι ισότητες:

(α) (23.2=1) : 25

=4

(γ) 30: 81 = 9 (ε) 38: (34)0 = 1

(δ) (25)0 . 162 = 212·64

(στ) 5·25·125 = 50

(ζ)(23 . 34.45)0 = 112

6. Να βρείτε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων: (α)χ2

+ 2χψ + ψ2

(β)2χ3ψ

αν Χ =

+ 10 (7χ- 4 ψ)4_ 8χ ψ: (12χ) 2

αν Χ

5 και Ψ = 3.

=2

και Ψ =

3.

7. Να κάνετε τις πράξεις: (α) 5 (γ)

210

. 24

+ 3· (42-50) -37: 35

49 - 5 . 22

+ 32 : (7 - 5)3 + (9 . 2 - 24 : 3) . 102

+ 4)2-55: 53 + 32·60

(β)

(3

(δ)

43: 4 + (22)2 - 3 . 32

Η λέξη Γεωμετρία όπως αναφέρει και ο Ηρόδοτος σημαίνει «μέτρηση

της γης". Όλοι ξέρουμε πως στην αρχαία Αίγυmο οι πλήμμυρες του Νείλου έγιναν αφορμή να αναmυχθεί η Γεωμετρία. Οι πλήμμυρες εξανάγκασαν τους κατοίκους της περιοχής γύρω από το Νείλο για να ξαναβρούν τα όρια των χωραφιών τους, να βρουν τρόπους να με­

τρούν τις επιφάνειες και να κατανοούν τα γεωμετρικά σχήματα.

~ t;~\ ~~~~<~~~,:CA~ ω~ \~~I~~_- \?;λ ίΙ/~ ~

n

\\\ Ι'{'ι~"

~ \I~;?, ":V: ~I:~Ι_,-,~:;.~," {~}

~"

l

~~. '~'):

-7 -';;'-- 1/ ;,

--

~_

f ~~ .~ I)'~ / /

~(\

/Α>

\\!!\n~' '~t.'\~'"'~.~~11Jrr\\~ i;'d;l.;t~?(~~i;)\~~~ρr.:, ~\~~~~I~~~1~~'.~\.;' /~Y\ \:-:,.! ι \,::;~.! \-~'ι' !

.\

.' Ι /~,~\\~<: .:\Ι !f:iiiI:~'l\\"ili,I\\;

,. "".

(ΙΓΓΙΙ,( \/1/

\\

,!

(. \,II{,.lj\

,;)1;\\ :!j~' Υ:

:

ιJ~( 1',:::'\\,

,'-c-,.~"'_-:::;'!!L",,'~ . . L--=::>',

~L.,\~

i 1'\ \ '

f

ι' / fΙ

\\, '\\

,i'L"='.' ~

Τοιχογραφία στην αρχαία Αίγυmο

Πώς επηρέασαν την Τέχνη τα γεωμετρικά σχήματα;

Η Γεωμετρία έχει επηρεάσει και τη ζωγραφική και τη διακοσμητική. Μετά το

1100 π.χ. ακολουθεί μία περίοδος τεσσάρων αιώνων που

στην ιστορία της τέχνης ονομάζεται γεωμετρική εποχή. Κυρίαρχο στοιχείο στη διακόσμηση είναι τα γεωμετρικά σχήματα. Η Γεωμετρική περίοδος θεωρείται ως η αρχή τηι:, cλληνικής τέχνης.

,φι

••,., •••

®®®

?ΖΖαΖαα 72 ριω

Αγγεία και διακοσμήσεις της Γεωμετρικής περιόδου

211

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΙ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

Για να υπολογίσουμε πόσο σύρμα χρειαζόμαστε για να

.

περιφράξουμε το διπλανό χωράφι πρέπει να μετρή­

.----------------------------------~

:

σουμε την περίμετρό του.

Η περίμετρος είναι το μήκος της γραμμής που περι­ βάλλει το χωράφι. Δηλαδή η περίμετρος του χωραφιού

10m

είναι:

1Ο m + 16 m + 1Ο m + 16 m = 52 m 16m

Για να βρούμε πόσο χαλί χρειαζόμαστε για να καλύψουμε το πάτωμα

1

4m

j

του διπλανού δωμαrίoυ πρέπει να μετρήσουμε την επιφάνειά του. Για ,

,

1m :

π- ~

να μετρήσουμε μία επιφάνεια τη συγκρίνουμε με μία άλλη την οποία

-; ,- :---------

-----0-----'----- ----- -----

παίρνουμε ως μονάδα μέτρησης των επιφανειών. Ο αριθμός των μο-

νάδων που προκύmει από τη σύγκριση αυτή λέγεται εμβαδόν της

L..---L_~_':""----I._-' επιφάνειας.

_ - - 5m

---0+

Ως μονάδα μέτρησης εμβαδού παίρνουμε συνήθως τετράγωνο με

πλευρά

1 m ή με πλευρά πολλαπλάσιο ή υποδιαίρεση του μέτρου.

Δηλαδή το εμβαδόν του πιο πάνω πατώματος του δωματίου είναι:

4 m.5

m=

20

m2 .

30m

Θέλουμε να περιφράξουμε το χωράφι του διπλανού σχή­ μαroς. Για να υπολογίσουμε πόσο σύρμα θα χρειαστούμε για την περίφραξη πρέπει να βρούμε το μήκος της γραμ­ μής που το περιβάλλει.

64m

212

,.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Άρα

,

Περίμετρος ενός σχήματος είναι το

,~

μήκος της γραμμής που το περιβάλλει.

Έτσι έχουμε:

Περίμετρος χωραφιού = 30

+ 45 + 64 + 40

= 179 ή

!

n=179m

ο

Θα χρειασroύμε για την περίφραξη του χωραφιού 179 m σύρμα.

Να βρείτε την περίμετρο των πιο κάτω πολυγώνων. (α)

(β)

D'4m 24m

(α) Π

(β) Π

(γ) Π

(γ)

Δ 12dm

= 24 + 14 + 24 + 14

Το πολύγωνο είναι ορθογώνιο και

= 76 => Π = 76m

έχει τις απένανπ πλευρές του ίσες.

= 12 + 12 + 12

Το πολύγωνο είναι ισόπλευρο τρί­

= 36 => Π = 36 dm

γωνο και έχει τις πλευρές του ίσες.

= 8 + 8 + 14 + 3 + 3

Οι πλευρές που είναι σημειωμένες

=36 => n=36cm

με το ίδιο σημάδι είναι ίσες.

213

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΙ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

1. Να βρείτε την περίμετρο των πιο κάτω σχημάτων. (ο)

(β) Γ

(δ)

(γ)

ΠDΡ

32mm

16m

34mO~mm Θ

Τ

Σ

Ε

24mm

Η

26 mm

1 cm ~

2. Να βρείτε την περίμετρο του διπλανού σκιασμένου σχήμα­ τοςσεcm.

3.

Θέλουμε να περιφράξουμε με σύρμα ένα χωράφι σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις

120 m και 60 m. Πόσο θα στοιχίσει η περίφραξη αν κάθε m του σύρματος στοιχίζει €2;

214

Μαθηματικά Α' Γuμνασίo~

§ 2. Έννοια του εμβαδού Τα πιο κάτω έξι γράμματα έχουν σχεδιαστεί πάνω σε τετραγωνισμέ­ νοχαρτί.

Θέλουμε να μετρήσουμε την επιφάνεια που περικλείει η κλειστή γραμμή γύρω από το κάθε γράμμα, δηλαδή θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του κάθε γράμματος χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρη­ σης ένα τετραγωνάκι

Ι

11 Ι

11

Ι

V

t'-...

\ Δ \

/

V'

.......

.......

.......

./

r-...

,

1\

V 1\

\ \

\

1 ι'

v

/

Μετρώντας τα τετραγωνάκια βρίσκουμε ότι το εμβαδόν του γράμ­ ματος Ε είναι

•

15 τετραγωνάκια .

Ας δοκιμάσουμε να μετρήσουμε το εμβαδόν του γράμματος Ρ.

(1)

Μετρούμε τα τετραγωνάκια και βρίσκουμε

(2)

Αφαιρούμε τα τετραγωνάκια που έχουν αριθμούς

(3)

Άρα το εμβαδόν του γράμματος Ρ είναι:

15. 9

και

1Ο .

15 τετραγωνάκια - 2 τετραγωνάκια = 13 τετραγωνάκια (κατά προσέγγιση).

215

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΙ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

1.

Στο σχήμα της προηγούμενης σελίδας

§2 να βρείτε το εμβαδόν του

(α) γράμματος Η (β) γρόμματος Τ.

2. Να βρείτε τα πιο κάτω εμβαδά σε τετραγωνάκια.

216

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Οι Κινέζοι είχαν αναmύξει σε μεγάλο βαθμό τη γεωμετρία των εμβα­

δών. Στηριζόμενοι στη θεωρία των εμβαδών είχαν ανακαλύψει διά­ φορα παιγνίδια. Ένα από τα παιγνίδια αυτά είναι το πανάρχαιο παι­ γνίδι ταvγKράμ.

~

Ας κατασκευάσουμε το δικό μας ταvγKράμ.

1

~V

~

Σε χαρτόνι σχεδιάστε ένα τετράγωνο όπως το διπλανό (Μπορεί να γίνει σε μεγαλύτερο μέγεθος).

7

Κόψετε τις 7 αριθμημένες επιφάνειες. Συνδυάζοντας κατάλληλα τις επιφάνειες αυτές και χρησιμοποιώντας και τις

7 επιφάνειες

κάθε φορά σχηματίστε φιγούρες όπως οι πιο κάτω ή και άλλες δικές σας.

/

/

/

~ l', 2

~V

/

~ 3 ~ l~ 4

"" '" 6

~ 5

'"

~

Όπως έχουμε αναφέρει, για να μετρήσουμε μία επιφάνεια, τη συγκρίνουμε με μία άλλη, την οποία παίρνουμε ως μονάδα μέ­

τρησης των επιφανειών. Ο αριθμός που προκύmει από τη σύ­ γκριση αυτή λέγεται εμβαδόν της επιφάνειας.

Στο διπλανό σχήμα, το εμβαδόν του σχήματος Α είναι ίσο με 3 τετράγωνα. Παρατηρούμε ότι και το εμβαδόν του σχήματος Β είναι 3 τετράγωνα.

Οι επιφάνειες αυτές που έχουν ίσα εμβαδά λέγονται ισοδύνα­ μες ή ισεμβαδικές επιφάνειες.

217

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΙ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

§ 4. Μονάδες μέτρησης εμβαδού Λεγοvrας ότι το εμβαδόν ενός σχήματος είναι 1Ο τετραγωνάκια δεν εί­ 1m

ναι αρκετό για να γίνουμε κατανοητοί από όλους. Γι' αυτό πρέπει να ορίσουμε μονάδα μέτρησης του εμβαδού.

1m

Ως μονάδα μέτρησης παίρνουμε το τετράγωνο με πλευρά ένα μέτρο. Το εμβαδόν ενός τέτοιου τετραγώνου είναι ένα τετραγωνικό μέτρο. 1 dm

Το γράφουμε

1dm

1 cm

1 cm

1 m2 .

Τετράγωνα με πλευρά

1 dm θα έχουν εμβαδόν 1 dm2 .

Τετράγωνα με πλευρά

1 cm

Τετράγωνα με πλευρά

1 mm θα έχουν εμβαδόν 1 mm 2•

θα έχουν εμβαδόν

1 cm 2 .

1 mm 1 mm

•

Ας δοκιμάσουμε να βρούμε το εμβαδόν του τετραγώνου στο δι­ πλανό σχήμα.

Παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου είναι

16 τετραγω­

νάκια.

1--+--+---+----1

4 cm

Κάθε τετραγωνάκι έχει πλευρά

1 cm και εμβαδόν 1 cm2 .

Άρα το εμβαδόν του τετραγώνου είνα

16 cm 2 •

Έτσι έχουμε: 4cm

~ετραγώvoυ = 4 cm . 4 cm

= 16cm2 Πτετραγώvου = 4 cm

+ 4 cm + 4 cm + 4 cm

Πτετραγώvου = 4 . 4 cm

=16cm 3cm

•

Το εμβαδόν του τετραγώνου στο διπλανό σχήμα με πλευρά 3 cm είναι:

~ετραγώvoυ = 3 cm . 3 cm 3cm

218

=9cm 2

"

Πτετραγώνοu =

4 .3

cm

= 12cm • Το εμβαδόν του τετραγώνου στο διπλανό σχήμα με πλευρά 2 cm είναι:

~ετραγώνou = 2 cm . 2 cm

=4cm 2 Πτετραγώνοu =

4 .2

2cm

cm

=8cm Γενικά Εμβαδόν τετραγώνου

= πλευρά

χ πλευρά

=α·α

= α2

Περίμετρος τετραγώνου

α

=4 . πλευρά

α

=4α

Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο ενός τετραγώνου που έχει πλευρά 36 cm.

AIiafj: Το εμβαδόν του τετραγώνου δίνεται από τον τύπο:

~ετραγώνou = α . α = 36cm ·36cm

AVΤΙKαθιστOύμε α

= 36 cm

= 1296cm2 Π τετραγωνοu . =4·α

= 4 ·36cm = 144cm

Να βρείτε τη περίμετρο ενός τετραγώνου που έχει εμβαδόν 64 m2 .

219

7. ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΙ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

Ο τύπος του εμβαδού ενός τετραγώνου είναι: ~ετραγώνou

=α .α

64

=α·α

α

Έτσι:

Διότι

=8m

Π =4·α

=4·8m =32m

220

AVΤΙKαθισroύμε Ε = 64 m2 •

8 . 8 =64.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1. Να βρείτε το εμβαδόν των πιο κάτω σχημάτων σε cm2 . (Κάθε τετραγωνάκι έχει εμβαδόν

1 cm2).

(α)

(β)

2. Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο: (α) Ενός τετραγώνου που έχει πλευρά 52

cm.

(β) Ενός τετραγώνου που έχει πλευρά 8 dm.

(γ) Ενός τετραγώνου που έχει πλευρά

12 km.

(δ) Ενός τετραγώνου που έχει πλευρά

105 m.

3. Να βρείτε το μήκος της πλευράς τετραγώνου που έχει εμβαδόν: (α)

16 cm2

(β)

25dm2

(γ) 49m2

(δ)

81 km 2

221

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

• Ας δοκιμάσουμε να βρούμε το εμβαδόν και την περίμετρο του ορθογωνίου στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου

4cm

είναι

24 τετραγωνάκια.

Κάθε τετραγωνάκι έχει πλευρά δόν

1 cm

2

1 cm

και εμβα­

.

Άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 24

cm 2 .

6cm

Έτσι έχουμε:

ΕοΡθογωνίοu = 6 cm . 4 cm

= 24cm 2 Πορθογωνίοu = 2 (6 cm

+ 4 cm)

=20cm •

Τ ο εμβαδόν του ορθογωνίου στο διπλανό σχήμα είναι:

Εορθογωνίοu = 3 cm . 2 cm

= 6cm 2

2cm

Πορθογωνίοu = 2 (3 cm

+ 2 cm)

= 2 . 5 cm

=10cm

3cm

•

Το εμβαδόν του ορθογωνίου στο διπλανό σχήμα είναι:

ΕΟΡθογωνίΟU = 5 cm . 3 cm

= 15 cm 2 ΠΟΡθογωνίοu = 2 (5 cm

3cm

+ 3 cm)

= 2· 8cm

=16cm 5cm

222

,~, •

Τις πλευρές του ορθογωνίου τις ονομάζου­

με διαστάσεις. Η μία διάσταση ονομάζεται μήκος και η άλλη διάσταση ονομάζεται πλάτος.

Εμβαδόν

Μήκος

Πλάτος

6·4

6

4

3·2

3

2

5·3

5

3

Μήκος

Για να υπολοylσουμε το εμβαδόν πρέπει οι δια-

ο ο

β

Πλάτος

α

Γενικά

Γ---" -~

---.-- ----- ---------- ---------------1

! Περίμετρος ορθογωνίου = α + =

β+ α + β

ο

,

ο

2α +2β

=2 (α + β)

Να βρείτε το εμβαδόν και τη περίμετρο ορθογωνίου που έχει μήκος

12dm και πλάτος 14dm.

Το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο:

ΕοΡθογωνίου = α . β = 12dm ·14dm

= 168dm2

AVΤΙKαθισroύμε α

= 12 dm και

β

= 14 dm

223

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΙ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

ΠοΡθογωνίοu = 2 (α

+ β)

= 2 (12dm + 14dm) = 2 ·26dm =52dm

Να βρείτε το πλάτος ορθογωνίου αν το εμβαδόν του είναι 84 m2 και το μήκος του

7 m.

Ο τύπος του εμβαδού του ορθογωνίου είναι: AVΤΙKαθιστOύμε Ε ΚοΙ 0=

=84 m2

7m

Λύουμε την εξίσωση με άγνωστο το β.

Εορθογωνίοu =α·β 84 = 7·β β = 84:7 β = 12 Άρα: β = 12m Ορθογώνιο έχει εμβαδόν 64 mm2 . Αν το μήκος του είναι τετραπλά­ σιο από το πλάτος του, να υπολογιστούν οι διαστάσεις του.

Συμβολίζουμε το μήκος και το πλάτος του ορθογωνίου:

Πλάτος =Χ Μήκος

= 4χ

ΕορθογωνίΟU = Μήκος χ Πλάτος

64 = 4χ' Χ 64 = 4χ2

γωνίου.

χ2

=64:4

AVΤΙKOθιστOύμε το μήκος

χ2

= 16 =4 =4·4

Χ 4χ

Μήκος

= 16 = 16mm

Πλάτος

224

= 4mm

Γράφουμε τον τύπο του εμβαδού του ορθο­

πλάτος

=

4χ,

= Χ και το Ε = 64 mm2 •

Λύουμε την εξίσωση που προκύmει. Το πλάτος είναι Το μήκος είναι

4 mm. 4 . 4 mm.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Να βρείτε το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους στο διπλα­

3cm

νόσχήμα.

8cm

Ε μεγάλου ορθογωνίου = 8 . 3 = 24cm 2 Ε μικρού ορθογωνίου

= 4·1 =4cm2

Ε σκιασμένου μέρους = Ε μεγάλου ορθογωνίου - Ε μικρού ορθογωνίου = 24-4 = 20cm2

Ορθογώνιο έχει περίμετρο 24 dm. Η μια πλευρά του είναι τριπλάσια από την άλλη. Να βρείτε το εμβαδόν του.

α=3χ

β=χ

ΠΟΡθογωνίου = 2 (α + β) 24 = 2 (3χ + χ)

α

=

24

=2·4χ

24

=8·χ

Χ

= 24:8

Χ

=3dm

3χ ~ α

= 3 .3

Q=3x

~ α

= 9 dm

β=χ ~ β=3dm Ε=α·β

Ε = 9 dm . 3 dm ~ Ε = 27 dm2

225

Παράδειγμα

6

Ορθογώνιο είναι ισοδύναμο με τετράγωνο. Αν οι πλευρές του ορθο­

γωνίου είναι 20 cm και 5 cm, να βρείτε την περίμετρο του τετραγώ­ νου.

ΕΟΡθογωνίοu = α . β

Εορθογωνίοu = 20 . 5 ::::} Εορθογωνίοu = 100 cm

2

ΕΟΡθογωνίοu = ~ετραγώνou (Τετράγωνο και ορθογώνιο είναι ισοδύναμα)

Άρα

2 ~ετραγώνou = 100 cm

~ετραγώνou

=α·α

100

=α·α

Πτετραγώνοu

=4·α

Πτετραγώνοu = 4 ·10

226

::::}

α

::::}

= 10cm

Πτετραγώνοu = 40 cm

Μαθτψα_τικά Α' Γuμ~ασίou

1.

Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο των πιο κάτω σχημάτων: (α)

(β)

(γ)

r

r

-

t

....•.

!

..

-:.....

-

.

2.

Χρησιμοποιώντας τους τύπους που μας δίνουν το εμβαδόν τετραγώνου και το εμβαδόν ορθογωνίου ή με άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρο των σχημάτων

(κάθε τετραγωνάκι είναι (α)

1 cm2). (β)

Ι

! ! 227

7. ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΙ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

(γ)

(δ)

(ε)

3.

Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο ενός ορθογωνίου που έχει μήκους τος

4.

(στ)

15 cm και πλά­

24cm.

Ένα Xαλi σχήματος ορθογωνίου έχει εμβαδόν 350 dm 2 και μήκος 50 dm. Να βρεπε το πλά­ τος του.

5.

Ένα θέατρο σχήματος ορθογωνίου έχει εμβαδόν

1200 m2 και πλάτος 30 m. Να βρείτε την

περίμετρο του θεαιρου.

6.

Ένας κήπος σχήματος ορθογωνίου φυτεμένος με γρασίδι έχει εμβαδόν 256 dm 2 . Να βρεί­ τε την περίμετρο του αν το μήκος του είναι 32 dm.

7.

Ορθογώνιο έχει εμβαδόν

162 m2 . Αν το μήκος του είναι διπλάσιο από το πλάτος του, να

υπολογίσετε τις διαστάσεις του.

8. Τραπέζι σχήματος ορθογωνίου έχει εμβαδόν 147 dm 2 . Αν το πλαιοςτου είναι τριπλάσιο από το μήκος του, να υπολογίσετε την περίμετρό του.

228

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

9. Ορθογώνιο έχει περίμετρο 20 cm. Αν το μήκος του είναι τετραπλάσιο από το πλάτος του, να βρείτε το εμβαδόν του.

10. Τετράγωνο είναι ισοδύναμο με ορθογώνιο. Αν οι διασrάσεις του ορθογωνίου είναι

16 m

και 9 m, να βρείτε την περίμετρο του τετραγώνου.

11. Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο των πιο κάτω σκιασμένων σχημάτων.

(β)

(α)

4m

6m

Ι ι

(γ)

-

(δ)

10m

3m

8m

Ο διάδρομος γύρω έχει πλάτος

1m

229

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ -- . ~"

•

Ας δοκιμάσουμε να βρού­ με το εμβαδόν του παραλ­

•

Α

•

Α

του σχήματος (2) και το

/ Α

υ

V

V

(3).

Βλέπουμε στο σχήμα (4)

•

V /

(3)

τοποθετούμε όπως στο σχήμα

υ

/

(2).

Μετακινούμε το τρίγωνο

7

/

(2)

γώνιο τρίγωνο, όπως στο σχήμα

/

/

Γράψουμε το ύψος υ και σχηματίζεται ένα ορθο­

/

/

(1)

ληλογράμμου (Α).

(4) Α

ότι παίρνουμε ένα ορθο­

υ

γώνιο που έχει το ίδιο εμβαδόν με το παραλληλόγραμμο.

Άρα το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου, δηλαδή: Ε = βάση χ ύψος

Βάση'" 5 cm, ύψος

= 5cmχ3cm

= 3cm.

= 15cm2 Γενικά Εμβαδόν παραλληλογράμμου Β

Α

Λ

Δ

230

Ε

β

Ι Γ

Περίμετρος παραλληλογράμμου

= βάση χ ύψος = βχυ

= ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ

=2 (α + β)

Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου μπορούμε να το βρούμε με δύο τρόπους:

ο ο ο

Να βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που έχει βάση και ύψος

Ε#

18 cm

24 cm.

= β. υ = 18·24 = 432 cm 2

.Γράφουμε τον τύπο του εμβαδού παραλληλογράμμου. .AvτΙKαθισroύμε β = 16 cm και υ = 24 cm.

=:}

Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ.

AVΤΙKαθισroύμε

Ε# = β. υ

=8·10

= 80cm2

=:}

β

= 8cm

και

u=10cm.

10

cm'" Δ

231

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΙ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

Παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 72 dm 2 και βάση 6 dm. Να βρείτε το ύψος του.

Ε#

= β. υ

72

=6·υ

Αντικαθιστούμε Ε

υ

= 72: 6

Λύουμε την εξίσωση που προκύmει.

υ

=12dm

Γράφουμε τον τύπο του εμβαδού

= 72 dm 2 και β = 6 dm.

1. Να βρείτε το εμβαδόν των πιο κάτω σκιασμένων σχημάτων σε cm 2 .

(ο)

(β)

/ V

/i

v:~

1 cm

232

#.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

2.

Να βρείτε το εμβαδόν των πιο κάτω παραλληλογράμμων.

(ο)

(γ)

(β)

6cm 9cm (δ)

(ε)

(στ)

7cm

7cm~. : ........ ~(j";' "".'

•

~

... 1.... : 3.

~ό\iΊ

fJ

14dm

Να βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που έχει βάση

9

"?:~

12 cm και ύψος 14 cm.

4. Παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 88 dm2 και ύψος 11 dm. Να βρείτε τη βάση του. 5.

Παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 224

m2

και βάση

14 m.

Να βρείτε το ύψος του.

6. Παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 256 cm 2 . Αν η βάση του είναι τετραπλάσια από το ύψος του, να βρείτε τη βάση και το ύψος του.

7.

Παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 288 m2 • Αν το ύψος του είναι διπλάσιο από τη βάση του,

να βρείτε το ύψος και τη βάση του.

233

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

§ 8, Εμβαδόν τριγώνου Αν φέρουμε τη διαγώ­ νιο ΑΓ του παραλληλο­ γράμμου

Α

ΑΒΓΔ, σχη­

ΙΙ\ v ·,:.U \ )

ματίζονται τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΒΓ.

Ας

δοκιμάσουμε

να

βρούμε το εμβαδόν του

Β

Δ

/

·

/

1\

\/

'1'1

β Ε

/

L

Γ

τριγώνου ΑΔΓ στο δι­ πλανό σχήμα.

Παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι το ~ του εμβαδού του παραλληλογράμμου.

Ε τριγώνου

= ~ χ Εμβαδόν παραλληλογράμμου =

~ (βάση χ αντίστοιχο ύψος)

Γενικά

Ι Ετριγώνου =

t βάση χ αντίστοιχο ύψος Ι

Α

=12 (β χυ) = tβ·υ _

Ε τριγώνου

Γ

β·υ

---τ

.

ΤΟ εμβαδόν του τριγώνου μπορούμε

'~--=β:ϋ

.

Ετριγώνου - - 2 - ,

να το βρούμε με τρεις τρόπους. Α

ή _ β2' U2

Ε Τριγώνου - - 2 ή _ β3' U3

Ε τριγώνου - - 2 -

234

Β

Ζ

Γ

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Περίμετρος τριγώνου

= ΑΒ +

ΒΓ

Α

+ ΓΑ

=α+β+γ

ο

Να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου που έχει βάση

18 cm και ύψος 9 cm.

Ετριγώνοu

_

β. υ

Γράφουμε τον τύπο του εμβαδού τριγώνου.

-218·9 2

AVΤΙKαθιστOύμε β = 18 cm και υ = 9 cm.

_l?'.9

- 71

Απλοποιούμε το 2 του παρονομαστή με το

= 81 cm 2

18 του αριθμητή.

Να βρείτε το εμβαδόν των πιο κάτω σκιασμένων τριγώνων. (ο)

(β) Γ Γ-ι---....:..:..;.;-~Z

5dm:

3 cm

... .0 ..... "--_ _ _ _..::.... Δ

Α

6dm

β·υ

Ε

Γράφουμε τον τύπο του εμβαδού τριγώνου.

(α) Ε ΑΒΓ =-2

6·5

AVΤΙKαθιστOύμε β

2

-b - ~1 = 15 dm

Β

Απλοποιούμε το 2

= 6 dm και υ = 5 dm.

2 του παρονομαστή με το

6 του αριθμητή.

235

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

Προσοχή!!! Στο αμβλυγώνιο τρίγωνο τα ύψη που αντιστοιχούν στις πλευρές της αμβλείας γωνιάς βρίσκονται έξω από το τρίγωνο

(β) Ε ΗΕΖ

β·υ = -2-

_3·ff2

-21=

6cm 2

Γράφουμε τον τύπο του εμβαδού τριγώνου.

AVΤΙKαθΙOΤOύμε β

Απλοποιούμε

Προσοχή!!!

Στο ορθογώνιο τρίγωνο τα δύο ύψη συ­ μπίπτουν με τις κάθετες πλευρές.

1. Να βρείτε το εμβαδόν των πιο κάτω τριγώνων σε cm2 .

236

.

= 3 cm και υ = 4 cm.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

2.

Να βρείτε το εμβαδόν των πιο κάτω σκιασμένων τριγώνων. (β)

(α)

(γ)

10mm

(δ)

(ε)

,

",

8m

""

(στ)

: 15dm

'

"\,<>",,"'~ m 16 dm

6cm (ζ)

(η)

(θ)

ρ

13 cm

4dm

............... '; " 3cm

,

3dm

14 cm

3.

Να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου που έχει βάση

20 cm και αντίστοιχο ύψος 3 cm.

4.

Τρίγωνο έχει εμβαδόν 30 cm2 και βάση 6 cm. Να βρείτε το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση

αυπ'ι.

5.

Τρίγωνο έχει εμβαδόν 48

m2

και αντίστοιχο ύψος

16 m. Να βρείτε τη βάση που αντιστοιχεί

στο ύψος αυτό.

6.

Τρίγωνο έχει εμβαδόν 128 dm 2 • Αν η βάση του είναι τετραπλάσια από το ύψος του, να υπο­ λογίσετε τη βάση του και το ύψος του.

237

7.

Να βρείτε το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους των πιο κάτω σχημάτων. (α)

(β)

Ζ "..--"Τ'Γ''ϊ

Γ

1dm Ε,

2dm:

0. ............ . Α

Δ

3 dm

1 dm

Θ

Β

Α

Ρόμβος είναι το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Όπως ξέρουμε, οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. Μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα ρόμβο με δύο τρόπους: (α) Σχηματίζουμε δύο κάθετα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΔΒ που διχοτομούνται στο Ο και ενώνουμε τα άκρα τους. Γ

Α..--

(β) Σχηματίζουμε παραλληλόγραμμο με ίσες πλευρές.

_ _α_ _""'Β

§ 'ω, Εμβαδόν και περψετρος ρόμβου Επειδή ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, το εμβαδόν του δίδεται απότοντύπο: Δ

Ε

Γ

= (Δη

(ΒΕ)

Επειδή οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα, μπορούμε να εργαστού­ με και ως εξής, για να βρούμε το εμβαδόν του.

Α

Ε ρόμβου = Ε ΑΒΔ

+ Ε ΒΓΔ

αλλά

Ε ΑΒΔ =Ε ΒΓΔ , επομένως Δ

Ε ρόμβου

= 2 Ε ΑΒΔ

Ε ρόμβου = Ερόμβου Γ

238

2(ΒΔ) (ΑΟ)

2

= (ΒΔ) (ΑΟ)

' Ε ΑΒΔ

(ΒΔ) (ΑΟ)

2

Μαθηματικά Α' Γuμνασίo~

Επειδή ΑΟ Ε

=

AJ, θα έχουμε

Α

- (ΒΔ) (Αη

ρόμβου

---2--

Αν συμβολίσουμε την ΑΓ

=δ1

και ΒΔ

= δ2 ο τύπος του εμβαδού γίνεται:

r---------------, : Ε _δ 1 ·δ 2 ρόμβου

- -2- ~

;

--~._--------~

Γ

Η περίμετρος του ρόμβου με πλευρά α δίδεται από τον τύπο: Π

=40

Ο τύπος Ε = δ 1 ~ δ 2 δίδει το εμβαδόν ενός οποιουδήποτε τε­ τράπλευρου που οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα.

Α

Δ f---μ------==~ Β

Έτσι το εμβαδόν του τετραπλεύρου του σχήματος δίδεται από τον τύπο:

Ε = (Αη (ΒΔ)

Γ

2

Α

Το εμβαδόν ενός τετραγώνου δίδεται και από τον πιο πάνω τύπο, διότι οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. Επιπλέον, επειδή οι διαγώ­ νιοι του τετραγώνου είναι και ίσες, ο τύπος γίνεται:

Ε =-2δ·δ

'

η Γ

Παράδειγμα

Α

Να υπολογιστεί το εμβαδόν ρόμβου με διαγωνίους 12 m και 16 m. Λυση:

δ 1 = 12 m,

δ 2 = 16 m, Ερόμβου = ;

Το εμβαδόν του ρόμβου δίδεται από τον τύπο:

Ε

=

~~δ.~ 2

:=}

Ε

= 12· 16

2

:=}

Ε

= 96 m 2 Γ

239

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

Η μια διαγώνιος ρόμβου είναι 8 cm και το εμβαδόν του 72 cm 2 . Να βρείτε την άλλη διαγώνιο του ρόμβου.

Τ ο εμβαδόν του ρόμβου δίδεται από τον τύπο:

Ε

=

δ 1 · δ 2 => 2

=>

72 = δ2

~~ => 2

= 72 : 4

=>

72 = 4· δ2

δ 2 =>

= 18 cm

Η μια διαγώνιος ρόμβου είναι διπλάσια από την άλλη. Το εμβαδόν του ρόμβου είναι 25

m2 . Να βρείτε τις διαγωνίους του ρόμβου.

Ζητούμενα

Δεδομένα

δ 1 =Χ δ 2 = 2χ

E=25m2 Το εμβαδόν του ρόμβου δίδεται από τον τύπο: Ε

=

δ·δ

_1_2

2

χ·2χ => 25 = - => 25 = 2

Χ

2

=>

=> χ=/25 => x=5m Άρα

240

δ1

=

Χ

= 5m

και δ 2

=

2χ

= 2·5 => δ 2 = 10 m

, •

Μ αθηματικά Α' Γυμνασίου

1.

Οι διαγώνιοι ρόμβου είναι

14 m και 1Ο m.

Να βρείτε το εμβαδόν του.

2. Η μία διαγώνιος ρόμβου είναι 20 m και το εμβαδόν του 300 m2 . Να βρείτε την άλλη διαγώ­ νιο του ρόμβου.

3.

Η μεγάλη διαγώνιος ρόμβου είναι τριπλάσια από τη μικρή. Το εμβαδόν του είναι

24 cm 2.

Να βρείτε τις διαγωνίους του ρόμβου.

4. 5.

Η διαγώνιος τετραγώνου είναι ίση με 8 dm. Να βρείτε το εμβαδόν του. Σε τετράπλευρο οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. Η μία διαγώνιος έχει μήκος η άλλη

6.

20 dm.

17 dm

και

Να βρείτε το εμβαδόν του.

Ένα τετράγωνο έχει περίμετρο

48 m και είναι ισεμβαδικό με ρόμβο του οποίου η μία δια­

γώνιος είναι 36 m. Να βρείτε την άλλη διαγώνιο του ρόμβου.

Ο Πυθαγόρας, αρχαίος Έλληνας μαθηματικός

(582-500 π.Χ.) είχε

Γ

διαπιστώσει πώς σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο υπάρχει μία σπουδαία σχέση που συνδέει τις πλευρές του. Με τη σχέση αυτή θα ασχολη­ θούμε πιο κάτω.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓτου σχήματος, Α = 900 οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ (σχηματίζουν την ορθή γωνία) ονομάζονται

κάθετες πλευρές του τριγώνου. Η πλευρά ΒΓ που βρίσκεται απέ­

Β

ναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα του τριγώνου. Η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε μία από τις κάθετες πλευρές.

Ας πάρουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α πλευρές ΑΓ

= 3 μονάδες μήκους και

και υποτείνουσα ΒΓ

ΑΒ

= 1Ι) με κάθετες

= 4 μονάδες μήκους

= 5 μονάδες μήκους.

241

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

Ακολούθως σχηματίζουμε τρία τε­ τράγωνα Δ, Ε, Ζ που έχουν το κα­ θένα πλευρά ίση με μία πλευρά του

τριγώνου όπως φαίνεται στο σχή-

μα. Όπως ξέρουμε.

.----τ---r~

Δ

ΕΔτετραγώνου = 32 = 9τ.μ. Ε Ε τετραγώνου =42=16τμ . .

ΕΖτετραγώνου = 52 = 25τ.μ.

Ε

Διαπιστώνουμε ότι:

+ 16τ.μ. = 25τ.μ. Δηλαδή 32 + 42 = 52 ,-----------------, 9τ.μ.

! (ΑΓ)2

+ (ΑΒ)2 == (ΒΓ)2! ή

ι..-~~_,. _,~

.,_. __ . __ ._~._ .. _ _ _;

> _ _ . _ . _ _ ~.

_.

_

••

_ _ _ ~".

,,>_~"_<

,,,._"._._"

Η πιο πάνω σχέση ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, όπως μπο­ ρούμε να διαπιστώσουμε, αν εργαστούμε με τον ίδιο τρόπο και σε άλλα ορθογώνια τρίγωνα. Αυτή η σχέση είναι γνωστή ως Πυθαγόρειο θεώρημα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Πυθαγόρειο Θεώρημα: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμq

ισχύει μόνο στα ορθογώ­

των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του, δηλαδή

νια τρίγωνα. Αν σ' ένα τρί­ γωνο, που δεν ξέρουμε το είδος του, διαπιστώσουμε ότι ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα, τότε το τρίγω. νο είναι ορθογώνιο.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα μας επιτρέπει να βρούμε μία από τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, αν ξέρουμε τις άλλες δύο. Παράδειγμα

1

Να βρείτε την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου, του οποίου οι κά­ θετες πλευρές έχουν μήκη

5 cm και 12 cm.

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:

242

(ΒΓ)2

= (ΑΒ)2 + (ΑΓ)2

Β

5Cm~

= 52 + 122 = 25 + 144 = 169 ΒΓ

= J169

ΒΓ

= 13cm

Α

12cm

Γ

Σε ορθογώνιο τρίγωνο η μία κάθετη πλευρά του είναι 6 m και η υπο­

τείνουσα του 1Ο

m. Να βρείτε την άλλη κάθετη πλευρά.

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:

(ΒΓ)2 = (ΑΒ)2

102 = 62 100

+

(ΑΓ)2

(ΑΓ)2 = 64

+ (ΑΓ)2

ΑΓ

= 36 + (ΑΓ)2

ΑΓ

=.f64

= 8 cm

(ΑΓ)2 = 100 - 36

Να βρείτε το εμβαδόν ορθογωνίου του οποίου η μία πλευρά είναι

9 dm και η διαγώνιόςτου 15 dm. Λιίση:

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ορθογωνίου δίδεται από τον τύπο: Ε = (Δη· (ΑΔ). Η ΑΔ =

9 dm, η ΔΓ είναι άγνωστη.

Για να βρούμε τη ΔΓ, θα εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο

τρίγωνο ΑΔΓ.

(ΑΓ)2 = (ΑΔ)2

+ (ΔΓ)2

(ΔΓ)2 = (ΑΓ)2 - (ΑΔ)2

(ΔΓ)2 = 144 ΔΓ =

J144

ΔΓ =

12dm

Α

9dmL:SJ

Επομένως: (ΔΓ)2 =

152 - 92

(ΔΓ)2 = 225 - 81

Ε ΑΒΓΔ =9·12

Ε ΑΒΓΔ = 108dm

Δ

Β

Γ

2

243

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΙ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

1.

Στα πιο κάτω τρίγωνα να ονομάσετε τις κάθετες πλευρές τους καθώς και την υποτείνουσά τους.

(α)

(β)

d

A~~T Β

2.

(δ)

(γ) Δ

Η

ω

Σε ορθογώνιο τρίγωνο δίδονται οι κάθετες πλευρές του ίσες με 9 cm και

12 cm.

Να βρείτε

την υποτείνουσά του.

3.

Ορθογώνιου τριγώνου η μία κάθετη πλευρά είναι ίση με

16 dm και η υποτείνουσα 20 dm. Να

βρείτε την άλλη κάθετη πλευρά του.

4.

Στα πιο κάτω σχήματα: (α) Δίδεται ΒΓ

= 13 m,

= 5 m, ΚΕ = 5 m,

(β) Διδεται ΖΕ (γ) Δίδεται

(δ) Δίδεται ΜΘ

= 8 m,

ΑΒ

= 12 m.

Να βρείτε την ΑΓ.

= 3 m. Να βρείτε την ΔΕ. ΚΛ = 13 m. Να βρείτε την ΕΛ.

ΖΔ

ΘΡ

= 15 m. Να βρείτε την ΜΡ.

(α)

(β)

(γ)

Ε

Γ

Λ

~BZ

(δ) Θ

Μ

Α

Δ

244

Κ

Ε

Ρ

5.

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ και με βάση ΒΓ =

= ΑΓ = 13 cm

Α

1Ο cm. Να βρεfrε:

(α) το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ και (β) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Γ

6.

Μία σκάλα είναι ακουμπισμένη στο σπίτι, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η απόσταση της βά­ σης της σκάλας από το σπίτι είναι 3 m και το μή­ κος της σκάλας

5 m.

Να βρείτε το ύψος του τοί­

χου που είναι ακουμπισμένη η σκάλα.

7.

Να βρείτε την απόσταση ΒΓ στο διπλανό σχήμα όπου Α

8.

= 1 Ι,

ΑΒ

= 60 m

και ΑΓ

= 80 m.

Ένα σχοινί έχει στηριχθεί σε ένα ηλεκτρικό πάσσαλο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το μή­ κος του ηλεκτρικού πασσάλου ΑΒ είναι 24 m και η βάση Γ του σχοινιού απέχει

7 m από τον ηλε­

κτρικό πάσσαλο. Να βρείιε το μήκος Β Γ του

[

σχοινιού.

9.

Naσuμπληρώσεrετoδmλavόnίvακoαν α εiναιη Ι α ιmoτείνoυσα ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ και· β, γ είναι οι κάθετες πλευρές του.

10.

~

117 . 8

Ι

12012

Ι

. ~2 . . . . .

Ορθογώνιο έχει διαγώνιο ίση με 25 m. Η μία πλευρά του είναι ίση με 24 m. Πόσο είναι το εμβαδόντου;

11.

Να βρείτε την περίμετρο ορθογωνίου του οποίου η διαγώνιος είναι ίση με πλευρά του

61 m και η

μία

60 m.

245

.

m. Ι

Να βρείτε τη βάση ισοσκελούς ~ριγώνoυ, του οποίουτο ύψος είναι ίσο με 16~-;:Ξι ί~ςΊI πλευρές του 20 m η κάθε μία.

113. Να εξετάσετε ποιες από τις πιο κάτω πλευρές μπορούν να σχηματίσουν ορθογώνιο τρί, γωνο.

! ! ,

!

(α)

\14.

Θέλουμε να χαράξουμε ένα δρόμο, πουνc.συνδέειαπευθείαςτις

(β)

17, 15, 8

(γ)

6, 9, 14

13, 16, 19

πόλεις Α και Γ του διπλανού σχήματος, ΟΤΟ οποίο η γωνία Β είναι ορθή. Πόσα θα κοστίσει η χάραξη του <ιρόμου αν το κάθε χι­ λιόμετρο κοστίζει 1500 ευρώ;

(δ)

29, 21, 20

Γ 90 Km Β

1'20Km Α

15. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των τετραγώνων στα πιο κάτω σχήματα. (γ)

(β)

(α)

8cm ψ

ι

Ι L~_

15cm

'om

.,_ .~_.,

._~._>O_.

ι

i

ι

ι

!

150m

_._ .Μ.· •.

_.~ _ _ .~.>_ .. __ .ψ

• • _ , , _ , , __ • _ _ _ _ _ .> ____

~_

' __

~~~'_""

,

•,, • ,r f

§ 12. Εμβαδόν ορθογωνίου ΤΡΙΨ;}VQ\J Στα ορθογώνια τρίγωνα, επειδή οι δύο πλευρές είναι κάθετες μεταξύ τους, μπορεί η μία να θεωρηθεί ως βάση και η άλλη ως το αντίστοιχο σ' αυτή ύψος. Έτσι στα ορθογώνια τρίγωνα έχουμε:

[Ξ~β.y

Γ

(διότι ΑΓ -L ΑΒ)

Αν θεωρήσουμε ως βάση την υποτείνουσα ΒΓ = α, τότε το αντί­ γ

στοιχο σ' αυτή ύψος είναι το ΑΔ = υ α .

Β

Έτσι έχουμε:

Ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Α = 1Ι) η μία κάθετη πλευρά είναι 5 cm και η υποτείνουσα 13 cm. Να βρείτε: Δ

.(α) Την άλλη κάθετη πλευρά του Α Β Γ. Δ

(β) Την περίμετρο του Α Β Γ. Δ

(γ) Το εμβαδόν του ΑΒΓ. Δ

(δ) Το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του Α Β Γ. Λύση:

Δεδομένα

Σχήμα

Γ~ υ

Α

α

5cm

Ζητούμενα

Δ

ΑΒΓ (Α = 1L ΒΓ=

Δ

ΑΒ Β

13cm

= 5cm

ΑΓ Π Ε υ

α

Θα εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, για να υπολογίσουμε τηνΑΓ.

247

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

Γ-·-------,

lα 2 =β2+ γ2

Ι

\

j

\

, β2 = α2_γ2

i

(ΒΓ)2

= (ΑΒ)2 + (ΑΓ)2

(ΑΓ)2

= (ΒΓ)2- (ΑΒ)2

(ΑΓ)2 = 132 - 52

(Αη2

= 144

ΑΓ

= 1144

ΑΓ

= 12cm Δ

Για την περίμετρο του Α Β Γ προσθέτουμε τις πλευρές του.

π = Π

13 + 5

+ 12

=30cm Δ

Για το εμβαδόν του Α Β Γ εφαρμόζουμε τον τύπο:

E=~β.γ Ε=112·5 2

Ε

= 30cm 2

Για να υπολογίσουμε το υ α , χρησιμοποιούμε τον τύπο του εμβαδού ορθογωνίου τριγώνου.

Ε ΑΒΓ = ~α. υ α Αφού ξέρουμε το Ε ΑΒΓ και το α, έχουμε:

60

= 1. 2 13· υ

α

120 = υ 13 α => υ α

3 cm = 9 13

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

<

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

-

~

- ... ,

,

,:,

1.

Να βρείτε το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου με κάθετη πλευρά 6 m και υποτείνουσα 1Ο

2.

Το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου είναι

24 m2

,

m.

και η μία κάθετη πλευρά του είναι 8 m. Να

βρείτε: (α) την άλλη κάθετη πλευρά του (β) την υποτείνουσα του (γ) την περίμετρό του.

3.

Οθρογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές γραμμο που έχει ύψος

8 m.

22 m

και

24 m είναι ισεμβαδικό με παραλληλό­

Να βρείτε την αντίστοιχη στο ύψος αυτό πλευρά του παραλ­

ληλογράμμου.

4. Ορθογωνίου τριγώνου η μία κάθετη πλευρά του είναι διπλάσια από την άλλη. Το εμβαδόν του είναι 36 m2 • Να βρείτε τις κάθετες πλευρές του. 5.

Ορθογωνίου τριγώνου οι κάθετες πλευρές του είναι

24 m

και 7 m. Να βρείτε το ύψος που

αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του. Α

6.

ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς

Β

12 cm.

Να βρείτε το εμβαδόν του ΑΒΓΖΕ. Ε

4cm Δ

7.

ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο με διαστάσεις ΑΒ

= 12 cm,

ΑΔ

= 10 cm. Να βρείτε

το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν.

Α

4cm

Γ

Ζ

ι-τ--------'::!ΙΙ Β

7cm Ε

Δ

6cm

Ζ

Γ

249

7.

ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

1. Να βρείτε το εμβαδόν: (α) Τετραγώνου με πλευρά 6 cm. (β) Ορθογωνίου με μήκος

10 cm

και πλάτος

3 cm.

(γ) Παραλληλογράμμου με βάση 20 cm και αντίστοιχο ύψος

5 cm.

(δ) Τριγώνου με βάση 20 cm και αντίστοιχο ύψος 4 cm.

2. Να βρείτε την περίμετρο των πιο κάτω πολυγώνων. (α)

(γ)

(β)

D7,m 7cm

8dm

•

/

l

dm

(ε)

(δ)

10mmD 17 mm

(στ)

6m 34dm 4m 13 m

3. Να βρείτε το εμβαδόν των πιο κάτω σχημάτων: (α)

(β)

5cm

Ο

250

cfA

(γ)

6dm

~ .L--L------"'2dm~ 6cm

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

----.-._--_._---------------4.

(α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα

(β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα

των πιο κάτω τετραγώνων

των πιο κάτω ορθογωνίων

Εμβαδόν

Πλευρά

Πλευρά

3cm

3cm

4m2 16cm2

Εμβαόulf

30cm 2

4cm

Βάση

4m

5m 8dm

5cm

(δ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα

των πιο κάτω παραλληλογράμμων

των πιο κάτω τριγώνων Εμβαδόν

Ύψος

16dm2

2m

(γ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα

Βάση

Αντίστοιχο

Εμβαδόν

Βάση

Αντίστοιχο

Ύψος

6m 30cm2

8m

6.

12dm

6dm

30m2

10cm

108dm2

5.

Ύψος

24cm 2

6dm

10m 6cm

i

i

Ι '~να γή~εδo ποδοσφαίρου έχει διαστάσεις 110 m και 75 m. Να βρείτε το εμβαδόν και τηνπε-Ι ριμετροτου.

.

άζονται για να το καλύψουν;

i

Να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο με πλευρά 4 cm. Πόσα τετράγωνα με πλευρά 2 cm χΡει-1

7. Πόσα τετράγωνα με πλευρά 5 cm χρειάζονται για να καλύψουν ένα ορθογώνιο με διαστά-Ι ~~~~~~;

8.

Πόσες τετράγωνες πετσέτες με πλευρά .ύφασμα με διαστάσεις

9.

ι

50 cm

ί

μπορούμε να κόψουμε από ένα κομμάτι i

25 m και 1 m;

Μία αίθουσα που έχει μήκος

8 m και περίμετρο 28 m καλύmεται με τετράγωνα πλακάκια

που έχουν πλευρά 50 cm. Πόσα πλακάκια θα χρειαστούμε;

10.

Ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα 20 m και μία κάθετη πλευρά

16 m. Να βρείτε την πε­

ρίμετρο και το εμβαδόν του. ."-"~-~-~

...

; _~_.

--,.~_.,-_.~.

~-

~"~"-"

251

7. ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΙ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ

11. Χαλί σχήματος ορθογωνίου έχει διαστάσεις 2χ m, ()( + 1) m και περίμετρο 14 m. (α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του.

(β) Πόσα θα στοιχίσει να καθαριστεί, αν για κάθε τετραγωνικό μέτρο πληρώνουμε 75 σεvτ;

12.

Ρόμβος έχει πλευρά 5 m και μία διαγώνιο 6 m. Να βρείτε το εμβαδόν του.

13.

Να βρείτε το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους των πιο κάτω σχημάτων: (α)

(ε)

(β)

4dm 8cm

6dm

8cm

(γ)

(δ)

6cm

12 cm

8cm

2cm Α

Ε

4cm

.-----------~~----~

14.

Το διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο με διαστάσεις ΑΒ

= 20 cm, ΒΓ = 16 cm. Να

5cm Θ

Ζ

βρείτε το εμβαδόν του ΕΖΗΘ. 8cm Δ

15.

Ρόμβος έχει περίμετρο 40

16.

Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ του.

252

10 cm

Η

Γ

m καιμία διαγώνιο 16 m. Να βρείτε το εμβαδόν του.

= ΑΓ = 20 cm και

ΒΓ

= 32 cm. Να βρείτε το εμβαδόν

, Γ

,,

r

...-.-

.

-~----'"'--,

..- . --"'.-'- - -.. '-- - -----.----.--... ' .. ---....---

17. Η περίμετρος τετραγώνου είναι 20 m. Ορθογωνίου τριγώνου η μία κάθετη πλευρά είναι ίση με 8 m και το εμβαδόν του είναι κατά

1 m2 μικρότερο από το εμβαδόν του τετραγώνου.

Να βρείτε την περίμετρο του ορθογωνίου τριγώνου. Δ

18. Στο σχήμα δίνονται 8Γ = 5 m, ΑΓ = 13 m, ΔΓ = 16 m. Να βρείτε:

16m

(α) την περίμετρο του σχήματος Α8ΔΕ (β) το εμβαδόν του σχήματος Α8ΔΕ

Ε

Γ

5m Α

Β

19. Ορθογώνιο τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά 4 cm και είναι ισεμβαδικό με ορθογώνιο του: οποίου το μήκος είναι 3 cm και η περίμετρος 1Ο

cm.

Να βρείτε την περίμετρο του ορθο-

;

γωνίου τριγώνου.

20. Ενός ορθογωνίου η περίμετρος είναι 56 m και η βάση του εξαπλάmα του ύψους του. Τούτο ! είναι ισοδύναμο με ρόμβο, του οποίου η μία διαγώνιος είναι τρο του ρόμβου.

16 m.

Να βρείτε την περίμε-

.

ΙΙΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ N~ Από τα πολύ παλιά χρόνια, οι άνθρωποι χρησιμοποιούσαν τους αριθ­ μούς και τις ιδιότητές τους για τη ψυχαγωγία τους και επίσης για την

πνευματική τους άσκηση. Πολλά παιγνίδια και αινίγματα στηρίζονται στα μαθηματικά. Έτσι σιγά-σιγά δημιουργήθηκε ο ~άδoς των μα­ θηματικών που μελετά τους αριθμούς, "η θεωρία των αριθμών». Η θεωρία των αριθμών ασχολείται με τους πιο γνωστούς αριθμούς, τους

1,2,3,4,5,6, ...

Ας δούμε τώρα τους 1Ο μικρότερους φυσικούς αριθμούς.

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Ο καθένας από αυτούς είναι είτε ζυγός είτε μονός. Μερικοί γράφο­ νται ως γινόμενο άλλων πχ

4

= 2 . 2, 6 = 2 . 3, 8 = 2 . 4,9 = 3 . 3 και

άλλοι γράφονται ως γινόμενο μόνο του 1 επί τον εαυτό τους π.χ.

2

= 1 . 2,

3 = 1 . 3, 5 = 1 . 5, 7 = 1 . 7.

Οι αριθμοί που δεν γράφονται ως γινόμενο άλλων αριθμών εκτός από το γινόμενο του 1 επί τον εαυτό τους λέγονται πρώτοι αριθμοί.

Πόσοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Αυτό το απέδειξε ο Ευκλείδης το

300 πΧ περίπου: "Οι πρώτοι αριθμοί δεν έχουν τέλος». Πώς βρίσκουμε πρώτους αριθμούς; Ο φιλόσοφος Ερατοσθένης ανα­ ~-----,_

..

".~.~--

.,._,~>~.-

:Γράφουμε

~~-γ~_._~,-

τους

,--

αριθ-

Ιμούς από το 1 μέχρι το

'50. Διαγράφουμε τα πολ­ 'λαπλάσια του 2, στη συ- :

κάλυψε ένα τρόπο που να μπορεί κανείς να βρίσκει τους πρώτους αριθ­

μούς. Αυτή η μέθοδος ονομάστηκε το "κόσκινο του Ερατοσθένη».

2

3

Α'

5

λ)

7

~

Ε'

W

11

~

13

14'

%

17

;8'

19

2('5

κτλ. Κοσκινίζοντας τους

21

22

23

ίΜ

'β

2β

29

.3()

αριθμούς μας μένουν οι

31

~

23

34

25 35

37

28

~

Α{)

πρώτοι αριθμοί.

41

Α2

43

44

Α5

% 26 26 46

47

48

49

Βό

νέχεια του

254

3, του 5, του 7

§ 1. Διαιρέτες αριθμών • Η κυρία Μαρία έχει 12 τριαντάφυλλα και με αυτά θέλει να φτιάξει ανθοδέσμες που να έχουν τον ίδιο αριθμό τριανταφύλλων, χωρίς να περισσέψει κανένα. Πόσες δυνατότητες έχει;

Ας δούμε τον πιο κάτω πίνακα:

1.----------"------Ι Αριθμός ανθοδέσμων, 1"-- -- .--'

1

-------

3

4

Ι Αριθμός τριαντάφυλλων σε κάθε ανθοδέσμη

Περίσσευμα τριαντάφυλλων

ο

Δεκτη περίmωση

Παρατηρούμε ότι μπορεί να φτιάξει ανθοδέσμες που να έχουν

2, 3, 4, 6 ή 12 τριαντάφυλλα, βώςτο 12.

1,

διότι οι αριθμοί αυτοί διαιρούν ακρι­

Όταν περισσεύουν τριαντάφυλλα η περίπτωση δεν είναι δεκτή.

• Οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 6, 12 λέγονται διαιρέτες του 12.

000

Γενικό Διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού α λέγεται κάθε φυσικός αριθμός β που τον διαιρεί ακριβώς. L--

• Για να δηλώσουμε ότι ο β είναι διαιρέτης του α γράφουμε βΙα. Αν ο β είναι διαιρέτης του α, λέμε επίσης ότι, «ο β διαιρεί τον α» ή «ο α είναι διαιρετός διό του β».

• Το σύνολο των διαιρετών ενός αριθμού α θα το συμβολίζουμε με~. Π.χ. το σύνολο των διαιρετών του Δ 12

12 γράφεται:

= {1, 2, 3, 4, 6, 12} 255

8.

ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΙΥΝΟΛΟ Ν ο

§ 2. Πολλαπλάσια αριΘμών _.•......

Ο περιmεράς της γειτονιάς μας θα αγοράσει -~

".

-

...

..

'-....

) ! ~ r: \ \ \ ι \ " ι' 1- 'Αι ~. ~'Ί:) ~~"~".''>1τ'. ',.

... ,..

rJ1jι?~uιJi)'iΓ\J~

,

σοκολάτες που είναι συσκευασμένες σε πακέ­ τα των

12 σοκολάτων.

Πόσες σοκολάτες μπορεί να αγοράσει, αν πω­ λούνται μόνο ολόκληρα πακέτα;

Ας δούμε τον πιο κάτω πίνακα:

[,ιφΙθμός παKέτ~;-'--­

Ι Πράξη

ΙΑριθμός σοκολάτων

L _ _.

Ο

0·12

1 ·12

2

3

4

5

2·12

3 ·12

4 ·12

5·12

36

48

60

Ο

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-'--_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Οι αριθμοί 0,12,24,36,48,60, πλασιασμό του

λαδή το Ο,

... , οι οποίοι προκύmουν με πολλα­

12 με τους αριθμούς που ανήκουν στο σύνολο Ν ο δη-

1, 2, 3, 4, 5, ... , λέγονται πολλαπλάσια του 12.

• Το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού

α θα το συμβολίζου­

με με Πα' Π.χ. το σύνολο των πολλαπλασίων του Π 12

= {Ο, 12,24,36,48,60, ... } Παρατηρούμε ότι ο αριθμός

12

διαιρεί όλα τα πολλαπλάσιά του Εύκολα

διαιρέτες

διαπιστώνουμε

του

πολλαπλάσια του

256

ότι

οι

12 διαιρούν τα

12.

12 γράφεται:

,

___--1

§ 3, Ιδιότητες των διαιρετών • Ο αριθμός 4 διαιρεί τον αριθμό 12, Ο αριθμός 4 διαιρεί και τους αριθμούς 0,24,36,

48, ,., Δηλαδή ο αριθμός 4 διαιρεί και τα πολλαπλάσια του

12.

Γενικά

----'--',

Γ---"---'--

Ι Αν ένας αριθμός διαιρεί έναν άλλο, θα διαιρεί και τα πολ- Ι

! λαπλάσιάτου.

L __.___________,_______._,_._\

Παράδειγμα

Να εξετάσετε αν ο αριθμός 8 διαιρεί τον αριθμό 400 000. Λύση:

Ο αριθμός 400 000 είναι πολλαπλάσιο του 40 διότι

400000

= 40·10000

Ο αριθμός 8 διαιρεί το 40, άρα διαιρεί και το πολλαπλάσιο του

400000. • Ο αριθμός 5 διαιρεί τους αριθμούς 45 και 65. Ο αριθμός 5 διαιρεί και τον αριθμό (45

+ 65)

Ο αριθμός 5 διαιρεί και τον αριθμό (65 - 45)

= 110.

= 20.

Δηλαδή ο αριθμός 5 διαιρεί το άθροισμα και τη διαφορά των αριθ­ μών 45 και 65. Γενικά

Ι Αν ένας αριθμός διαιρεί δύο άλλους, θα διαιρεί και το άθροι­ Ι σμα και τη διαφορά τους. Παράδειγμα

Να εξεταστεί αν ο αριθμός 24 διαιρεί τον αριθμό 2472.

257

ΛιίοιΊ

Ο αριθμός 2472 γράφεται (2400

+ 72).

Ο αριθμός 24 διαιρεί και το 2400 και το

72, άρα διαιρεί και το άθροι­

σμά τους 2472 .

•

Ο αριθμός 7 διαιρεί το 56

Ο αριθμός 7 διαιρεί το

21.

Ο αριθμός 7 διαιρεί και το υπόλοιπο της διαίρεσης Δηλαδή ο αριθμός 7 διαιρεί το

(56: 21).

14.

Γενικά

.------------------------------------l Αν ένας αριθμός διαιρεί δύο άλλους, θα διαιρεί και το υπό-

Ι

λοιπο της διαίρεσης του μεγάλου διά του μικρού αριθμού. Ι ~-------------------------------------------------------___ι

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.

6130

(β)

5124

(γ)

2015

(δ)

8164

Να βρείτε τις αληθείς προτάσεις: (α) Το 60 είναι πολλαπλάσιο του

(β) Το

(γ) Το

(δ) Το Ο είναι πολλαπλάσιο του

5 21 είναι πολλαπλάσιο του 21

8 είναι πολλαπλάσιο του 40 3

3.

Να βρείτε τα σύνολα των διαιρετών των αριθμών:

4.

Να βρείτε το σύνολο των πολλαπλασίων του 5 που είναι μικρότερα από το 60.

16, 30, 54.

5. Να εξετάσετε ποια από τα πιο κάτω αθροίσματα και διαφορές διαιρούνται με το 23. (α)

6.

4600 + 69

(β)

230000 + 26

(γ)

2300 - 69

(δ)

6900 - 46

Αφού γράψετε τους πιο κάτω αριθμούς ως αθροίσματα, να εξετάσετε αν διαιρούνται με το (α)

2814

(β)

2818

(γ)

14.

14042

7. Να αποδείξετε, με αριθμητικό παράδειγμα, ότι οι πιο κάτω προτάσεις δεν ισχύουν για όλους τους φυσικούς αριθμούς. (α) Αν αlγ και βlγ τότε (α

258

+ β) Ι γ

Ι

ι

Να βρείτε τις αληθείς προτάσεις: (α)

2.

-,

(β) Αν αlγ και βlγ τότε α· βlγ

_________.__________________________ ._._____ .

Μαθη ματικά Α' Γυl!Υ..ασίου

§ 4. Κριτήριο διαιρετότητας Πολλές φορές μας χρειάζεται να ξέρουμε αν ένας αριθμός είναι δι­ αιρετός με κάποιο άλλο αριθμό. Μπορούμε να το εξακριβώσουμε κά­ νοντας διαίρεση. Επειδή η διαίρεση απαιτεί χρόνο, πιο κάτω θα δού­

με πρακτικούς κανόνες με τους οποίους, χωρίς να εκτελούμε τη διαίρεση θα εξακριβώνουμε, σε ορισμένες πολύ συνηθισμένες περι­ mώσεις, αν κάποιος αριθμός διαιρείται ακριβώς με ένα άλλο. Οι κα­

νόνες αυτοί λέγονται κριτήρια διαιρετότητας. Κριτήρια διαιρετότηται; δεν υπάρχουν για όλους τους αριθμούς αλ­ λά για ορισμένους πολύ χαρακτηριστικούς.

Για να βρούμε τα κριτήρια διαιρετότητας στηριζόμαστε στην ιδιότητα που έχει κάθε αριθμός να διαιρεί τα πολλαπλάσια του και μόνο αυτά .

•

Κριτήριο διαιρετότητας με το

10, 100, 1000, ...

Ένας αριθμός στο σύνολο Ν ο είναι"διαιρετός με το

...

μόνο αν είναι πολλαπλάσιο του

10, 100, 1000, .,.

Για να είναι όμως πολλαπλάσιο του

γει σε ένα, δύο, τρία,

...

10, 100, 1000,

αντιστοίχως.

10, 100, 1000, ... πρέπειναλή­

μηδενικά αντιστοίχως.

Δηλαδή Ένας φυσικός αριθμός είναι διαιρετός με το

,

λειώνει τουλάχιστο σε ένα, δύο, τρία,

Να βρεθεί αν ο αριθμός 377

Ο αριθμός

377 500

...

10,100,1000, ... , αν τε- .

μηδενικά αντιστοίχως.

500 διαιρείται με το 1Ο, 100 και 1000.

διαιρείται με το

10 και

με το

σε δύο μηδενικά. Δεν διαιρείται όμως με το

100, διότι τελειώνει

1000. 259

8.

ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΙΥΝΟΛΟ Ν ο

• Κριτήριο διαιρετότητας με το 2 ή με το 5

• Τα πολλαπλάσια του 2 είναι οι αριθ­ μοί:

0,2,4,6,8, 10, 12, 14, 16, 18,20, ... Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι αριθμοί (ζuγOO και το ψηφίο των μο­ νάδωντους είναι το Ο, ή

ο

ο

2 ή 4 ή 6 ή 8.

ο

Άρα

; Ένας αριθμός στο σύνολο Ν ο είναι διαιρετός i με το

2

αν τελειώνει σε Ο, 2, 4, 6 ή 8.

Ποιοι από τους αριθμούς

112, 3570, 121,99 885 διαιρούνται με το 2;

Το

112 διαιρεfrαι με το 2, διότι τελειώνει σε 2. Το 3570 διαιρείται με το 2, διότι τελειώνει σε ο. Το 121 δεν διαιρείται με το 2, διότι τελειώνει σε 1. Το 99 885 δεν διαιρείται με το 2, διότι τελειώνει σε 5. • Τα πολλαπλάσια του 5 είναι οι αριθμοί: 0,5, 10, 15,20,25,30,35, ... Παρατηρούμε ότι τα πολλαπλάσια του 5 έχουν το ψηφίο των μονά­ δωντους Ο ή 5. Άρα

•Ένας αριθμός στο σύνολο Νο είναι αν τελειώνει σε Ο ή 5.

διαιρετός με το

Ποιοι από τους πιο κάτω αριθμούς διαιρούνται με το

2 και ποιοι με το 5;

46,285,36,120,1112,10000 Διαιρούνται με το 20ιαριθμοί

Διαιρούνταιμετο

5

46,36,120,1112,10000.

οιαριθμοί285,

120,10000.

5

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Παραδειγμα

2

Να συμπληρωθούν τα τετραγωνάκια ώστε ο αριθμός που θα προκύ­ ψει να διαιρείται με το 5 και το

2.

3080

308[QJ

Για να διαιρείται ένας αριθμός με το 2 και με το 5 πρέ­ πει να τελειώνει :Jε Ο.

Για το άλλο τετραγωνάκι μπορούμε να χρηmμοποιή­ σουμε όποιο ψηφίο θέλουμε: Ο,

•

Κριτήριο διαιρετότητας με το 4 ή με το

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

25

• Τα πολλαπλάσια του 4 είναι οι αριθμοί: 0,4,8, 12, 16,20,24,28,32,36,40, ... 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124,128, ... Παρατηρούμε ότι σroυς πιο πάνω αριθμούς το τελευταίο διψήφιο τμήμα τους σχημαrίζει αριθμό που διαιρείται με το 4. Π.χ. το

1200 δι­

αιρείται με το 4 διότι τελειώνει σε 00. Άρα Ένας αριθμός στο σύνολο Ν ο είναι διαιρετός με το 4 αν το τελευ-

.

ταίο διψήφιο τμήμα του σχηματίζει αριθμό που διαιρεtrαι με το 4.

Ποιοιαπότουςαριθμούς

114,112,150,

1500διαιρούνταιμεΤ04;

Το 114 διαιρείται με το 4, διάn τελειώνει σε 14 που δεν διαιρείται με το 4. Το

1112 διαιρείται με το 4, διάn τελειώνει σε 12 που διαιρείται με το 4.

261

8. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΙΥΝΟΛΟ Ν ρ Το

150 δεν διαιρείται με το 4, διότι τελειώνει σε 50 που δεν διαιρείται με

το

4.

Το

1500 διαιρείται με το 4, διότι τελειώνει σε 00 που διαιρείται με το 4.

• Τα πολλαπλάσια του 25 είναι οι αριθμοί: 0,25,50,75,100,125,150,175,200, ... ,2000, ... Παρατηρούμε ότι τα πολλαπλάσια του 25 τελειώνουν σε 25,50,75 ή σε τουλάχιστο δύο μηδενικά. Άρα Ένας αριθμος στο σύνολο Ν ο είναι διαιρετός με το νει σε 25,

25 αν τελειώ­

50, 75, ή σε δύο τουλάχιστον μηδενικά.

(α) Ποιοι από τους πιο κάτω αριθμούς διαιρούνται με το οιμετο

25 και ποι­

5;

45,60,125,75,130,150,425 (β) Αν ένας αριθμός διαιρείται με το

25 διαιρείται και με το 5;

Ισχύει και το αντίστροφο;

(α) Οι αριθμοί 45,

60,125,75,130,150,425 διαιρούνταιμετο 5 διότι

τελειώνουν σε Ο ή Οι αριθμοί νουν σε

5. 125, 75, 150,425 διαιρούνται με το 25,

διότι τελειώ­

25, 50 και 75.

(β) Οι αριθμοί που διαιρούνται με το τελειώνουν σε Ο ή

25 διαιρούνται και με το 5, διότι

5.

Οι αριθμοί όμως που διαιρούνται με το 5 δεν διαιρούνται πάντοτε με το

25.

Π.χ.

45, 60, 130 .

• Κριτήριο διαιρετότητας με το 9 ή με το 3

• Τα πολλαπλάσια του 9 είναι οι αριθμοί: 0,9,18,27,36,45,54,63,72,81, ...

262

,

~ Ι

Παρατηρώντας τα πολλαπλάσια του

9 δεν μπορούμε να καταλή­

ξουμε σε κανένα κριτήριο και γι' αυτό χρησιμοποιούμε την πιο κά­

των μέθοδο:

10 = 9 + 1 = 1 . 9 + 1 100 = 99 + 1 = 11 . 9 + 1 1000 = 999 + 1= 111 . 9 + 1 Έτσι:

80 = 8· 10

= 8· (1 ·9+ 1)

= 8·9 + 8

500 = 5· 100 = 5· (11 ·9+ 1) = 55·9

+5

3000 = 3 . 1000 = 3 . (111 . 9 + 1) = 333 . 9 + 3 Θα εξετάσουμε τώρα, αν ο αριθμός 756 διαιρείται με το 9. Έχουμε

IIΑντικαθιστΟύμε:

756 = 700 + 50 + 6 =77·9+5·9+7+5+6

700=77·9+7 Ι \50=5.9+5

= 82·9 + 18

16=6

Παρατηρούμε ότι το 82

. 9 και το 18 (το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 756 δηλαδή 7 + 5 + 6 = 18) διαιρείται με το 9. Άρα ο αριθμός

756 διαιρείται με το 9.

Από τα πιο πάνω διαπιστώνουμε ότι ένας αριθμός είναι διαιρετός

με το

9, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι διαιρετό με το 9. Με

παρόμοιο τρόπο διαπίστώνουμε ότι ένας αριθμός είναι διαιρετός

με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι διαιρετό με το 3.

Δηλαδή

~ Ένας αριθμός είναι διαιρετός με το 9 ή με το 3, αν το άθροισμα

Ι των ψηφίων του είναι διαιρετό με το 9 ή με το 3 αντιστοίχως.

Να εξεταστεί αν ο αριθμός 7635 διαιρείται με το 9 ή με το

3. 263

8.

ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΙΥΝΟΛΟ

Λύση: Γ

_... _.. . ...-

... _ ......_...... ---.----.........]

!

7 + 6 + 3 + 5 = 21 ~E~(J~~u~~~~~~l>.0Ioμ,c:ι!~~ ψl!~ων.Τοu αριθμού .. Το 21 διαιρείται με το 3, άρα και το

7635 διαιρείται με το 3.

Το 21 δεν διαιρείται με το 9, άρα το 7635 δεν διαιρείται με το 9. Παράδειγμα

2

Να συμπληρωθεί το τετραγωνάκι, ώστε ο αριθμός

574 Ο

να διαι­

ρείται με το 5 και με το 3. Ι\ύση

5740

Για να διαιρείται ο αριθμός με το 5 πρέπει να τε­ λειώνει σε Ο ή 5.

574[Q]

Ας βάλουμε ο.

5 + 7 + 4 = 16

ΤΟ άθροισμα των ψηφίων του είναι

16

και δεν

διαιρείται με το 3.

574[5]

Ας βάλουμε

5 + 7 + 4 + 5 = 21

Το άθροισμα των ψηφίων του είναι

5.

αιρείται με το 3. Άρα το 5745 διαιρείται και με το 3.

264

21 που δι­

-,

-'. -----_.

-~-_._-~-_. -----,-_._-----,,---~---~.

---

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

--,---

---------------~-------_.-

__ .. _----_._---------- ._------_..._-------------_ ..

_--~

! 1. Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς α

β = 9225,

=81,

γ

= 312

δ

= 800

ε=530

διαιρούνται, (ι) μετο (ιν) με το

2.

10

(ιι) με το 100

(ιιι) με το

5

(ν) με το

(νί) μετο9

3

2

Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς α

β

= 432,

= 140,

γ =

1005,

δ

= 132

διαιρούνται, (ι) με τους αριθμούς (ιιι) με τους αριθμούς

2 και 5 3 και 5

(ιι) με τους αριθμούς 2 και 3 (ιν) με τους αριθμούς 2 και 9

3. Να συμπληρώσετε το τετραγωνάκι με ένα ψηφίο, ώστε ο αριθμός που προκύmει να διαι­ ρείται με τους αριθμούς που είναι δίπλα του. (α) 5 3 4 (β) 9 3

D

D

με τους αριθμούς 2 και 5 με τους αριθμούς 3 και 5

(γ) 1 8 1

D

με τους αριθμούς 2 και 9

(δ) 8 4 1

D

με τους αριθμούς 2 και 3

4. Να συμπληρώσετε το τετραγωνάκι με ένα ψηφίο ώστε ο αριθμός 1 3 5 με το 2 και το 3 και να μη διαιρείται με το 5. 5. Να συμπληρώσετε το κάθε τετραγωνάκι με ένα ψηφίο ώστε ο αριθμός 4 αιρείται με το 5 και το 9.

D D

να διαιρείται

3

D

να δι­

6. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το 6;

265

§ 5. Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί 8

Οι φυσικοί αριθμοί που έχουν ένα τουλάχιστο ακόμα διαιρέτη εκτός από το

1 και τον εαυτό τους λέγονται σύνθετοι αριθμοί, π-χ. το 4 1 και το 4 έχει ως διαι­ ρέτη το 2, το 6 είναι σύνθετος αριθμός γιατί έχει ως διαιρέτες και το 2 και το 3. Ο αριθμός 5 δεν είναι σύνθετος γιατί έχει ως διαι­ ρέτη μόνο το 1 και το 5. 8 Οι φυσικοί αριθμοί που έχουν ως διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυ­ τό τους και είναι μεγαλύτεροι του 1 λέγονται πρώτοι αριθμοί, π-χ. οι αριθμοί 2, 3, 5, 7, 11, ... , είναι πρώτοι αριθμοί. είναι σύνθετος αριθμός γιατί εκτός από το

8

Οι σύνθετοι αριθμοί αναλύονται πάντοτε σε γινόμενο πρώτων αριθ­ μών (πρώτων παραγόντων) π-χ.

8

6 = 2 . 3, 8 = 2 . 2 . 2, 22

= 2 . 11.

Οι πρώτοι αριθμοί δεν αναλύονται σε γινόμενο (αφού δεν έχουν δι­ αιρέτες) εκτός από το

1 επί τον εαυτό τους Π.χ. 2 = 2· 1,3 = 3 . 1,

11 = 11 . 1 Κ.Ο.Κ.

§ 6. Ανάλυση σύνθετου αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Ας πάρουμε ένα σύνθετο αριθμό Π.χ το 18. Τον γράφουμε ως γινόμενο παραγόντων.

18 = 2·9 ή 18 = 3·6 ή 18 = 2·3·3

• Στην περίmωση 18 = 2 . 3 . 3 ή 18 = 2 . 32 που οι παράγοντες 2, 3, 3 είναι πρώτοι αριθμοί, λέμε ότι ο αριθμός είναι αναλυμένος σε γι­ νόμενο πρώτων παραγόντων. Ένας σύνθετος αριθμός αναλύεται πάντοτε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Θα αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τον αριθμό

120.

ι----.-

i Βρίσκουμε το μικρότερο πρώτο αριθμό που διαιρεί το 120. Eιvαι το 2. · Γράφουμε 120 =2 . 60.

Ιi

120 = 2·60

Βρίσκουμε το μικρότερο πρώτο αριθμό που διαιρεί το 60. Είναι το 2. Γράφουμε 60

=2·30.

120 = 2·2·30

!Βρίσκουμε το μικρότερο πρώτο αριθμό που διαιρεί το 30. Eιvαι το 2. i Γράφουμε 30 = 2 ·15.

120 = 2·2·2· 15

: Γράφουμε 15 = 3 . 5. :ο αριθμός 120 αναλύθηκε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Οι παράγοντες που είναι οι ίδιοι μπορούν να γροφούν σε μορφή δύναμης.

120 = 2·2·2·3·5

iΒρίσκουμε το μικρότερο πρώτο αριθμό που διαιρεί το 15. Είναι το 3.

i

266

-

-- -

-

-~

-

120 = 23 ·3·5

ι

,ι

~

Η εργασία αυτή γίνεται πιο εύκολη με την πιο κάτω διάταξη.

120

2

60

2

30

2

15

3

5

5

r

Ώστε

120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5

ή

120 = 23 . 3 . 5

§ 7. ΜΧ.Δ. δύο ή περισσότερων ωυσ,.!({~ν αριθμών • Σε πολλά προβλήματα χρειάζεται να βρίσκουμε τους κοινούς διαι­ ρέτες δύο ή περισσότερων αριθμών.

Για να βρούμε τους κοινούς διαιρέτες των αριθμών 24 και 36, βρί­ σκουμε τα σύνολα:

~4 = Δa6

{1,2,3,4,6,8, 12, 24}

= {1, 2, 3, 4, 6,9,12,18, 36}

Το σύνολο των κοινών διαιρετών τους είναι η τομή των συνόλων:

~4

(1

~6

= {1, 2, 3, 4, 6, 12}

• Ο αριθμός 12 που είναι ο πιο μεγάλος κοινός διαιρέτης των αριθ­ μών 24 και 36 λέγεται μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών. Συμβολικά γράφουμε:

Μ.Κ.Δ. (24,36) = 12

Γενικά

!

Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο ή περισσότερων αριθμών λέγε- :

. ται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαρέτες των αριθμών.

Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ. των αριθμών

18, 24 και 30.

Βρίσκουμε τα σύνολα Δ 18 , Δ 24 , ΔaO'

267

8.

ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΙΥΝΟΛΟ Ν ο .... ._--- .. - .. .. .._- .. _-_.,.

._._

~

'~_

_._-~---_.

__

~._-------_._.

Δ 18

= {1, 2, 3, 6, 9, 18}

~4

= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

~o = {1, 2, 3, 5, 6,10,15, 30} Παρατηρούμε ότι ο Μ. Κ.Δ. (18, 24, 30) = 6

•

Ο τρόπος που χρησιμοποιήσαμε πιο πάνω για την εύρεση του Μ.κ.Δ. πολλές φορές είναι κουραστικός, κυρίως όταν οι αριθμοί εί­ ναιμεγάλοι.

Πιο εύκολα μπορούμε να βρούμε το Μ. ΚΔ. με ανάλυση των αριθ­ μών σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, όπως θα δούμε πιο κάτω.

Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ. των αριθμών 72, 120 και 108.

Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

72

2

120

2

108

2

36

2

60

2

54

2

18

2

30

2

27

3

9

3

15

3

9

3

3

3

5

5

3

3

Έχουμε:

. Οι αριθμοί 2 και 3 είναι κοινοί παράγο­

72 = 23·32 120

=23·3·5

108 = ~. 33

ντες των τριών γινομένων. Ο αριθμός 22

. 3 που αποτελείται από

τους κοινούς παράγοντες, με το μι­ κρότερό τους εκθέτη διαιρεί και τους τρεις αριθμούς.

Συμβολικά γράφουμε: Μ.κ.Δ. (72,120,108) = 22·3 = 12.

268

,ι

Δηλαδή Για να βρούμε το Μ.Κ.Δ. φυσικών αριθμών, που είναι αναλυμένοι σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, σχηματίζουμε το γινόμενο με τους κοινούς τους μόνο παράγοντες και με εκθέτη το μικρότερο

εκθέτη που έχει ο καθένας στα γινόμενα .

•

Ο Μ.Κ.Δ.

(4,9)

Οι αριθμοί

4

=1

και

9

που έχουν Μ.Κ.Δ. το

1 λέγονται πρώτοι

μετα­

ξύτοuς. Γενικά

Δύο ή περισσότεροι αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους, αν ο

.

Μ.Κ.Δ. τους είναι η μονάδα.

Σε πολλά προβλήματα χρειάζεται να βρίσκουμε τα κοινά πολλαπλά­ σια δύο ή περισσότερων αριθμών. Για να βρούμε τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών

4

και

6 βρίσκου­

με τα σύνολα: Π4

= {Ο, 4, 8,12,16,20,24, ... }

Π6

= {Ο, 6, 12, 18,24,30, ... }

Το σύνολο των κοινών πολλαπλασίων τους είναι το:

Ο αριθμός

12

που είναι το μικρότερο, μη μηδενικό, πολλαπλάσιο των

αριθμών 4 και 6 λέγεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών. Συμβολικά γράφουμε: Ε.Κ.Π.

(4,6)

= 12

269

8.

ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Ν ο

- - - - - ----_.-.-----------

--------------

Γενικά

Ι EλάX Ισro κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αριθμών Μ-Ι Ι γεται το μικρότερο, μη μηδενικό, κοινό πολλαπλCσιο των αριθ-

: ~

μών αυτών ή ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται από αυτούς. __ ._.._____. __._.___ .__ ... _._....._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ J

η'.:φαδειγμα ~

Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των αριθμών 5,15 και 20.

α'τρόπος:

Βρίσκουμε τα σύνολα Π 5 ' Π 15 ' Π 20 ' Π

5 =-

{ο,

5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70, ... }

Π 15 = {Ο,

15,30,45,60,75,90, ... }

= {Ο, 20, 40, 60, 80,100,120, ... } Έτσι Ε.Κ.Π. (5, 15,20) = 60. Π 20

β'τρόπος: Πιο πρακτικά θα μπορούσαμε να βρούμε το Ε.Κ.Π. (5, 15,20) ως εξής: Παίρνουμε το μεγαλύτερο από τους αριθμούς. Βρίσκουμε τα διαδοχικά πολλαπλάσιά του. Εξετάζουμε αν αυτά διαιρούνται με τους υπόλοιπους αριθμούς. Το πρώτο από τα πολλαπλάσια που θα όιαπιστώσουμε ότι διαιρείται με όλους τους άλλους είναι το Ε.κ.π. τους. Δηλαδή: το

20

Ο μεγαλύτερος από τους 5, 15, 20

το

20

Δεν διαιρείται με το 15.

το

40

Δεν διαιρείται με το 15.

το

60

Διαιρείται με το 5 και το 15.

Έτσι Ε.Κ.Π.

270

(5, 15,20) = 60.

r

• r

,

,

Παoόδ~γμα2

Να βρεθεί το ΕΚ.Π. των (",ι.θμών 80,

108 και 150.

Λύση:

Όταν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, όπως στην εύρεση του Μ.κ.Δ., η εύ­ ρεση του ΕΚ.Π. γίνεται πιο εύκολα με ανάλυση των αριθμών σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

80

2

108

2

150

2

40

2

54

2

75

3

20

2

27

3

25

5

10

2

9

3

5

5

5

5

3

3

1 Έχουμε:

80 = 24·5 108=22·33 150 = 2·3·52

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 2,

3 και 5 είναι οι κοινοί και μη κοινοί πα­ 24 . 33 . 52,

ράγοντες των τριών αριθμών 80, 108 και 150. Ο αριθμός

που αποτελείται από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με το

μεγαλύτερο εκθέτη, είναι πολλαπλάσιο και των τριών αριθμών 80,

108 και 150. Πιο μικρός αριθμός από το 24 . 33 . 52, που να είναι πολ­ λαπλάσιο και των τριών αριθμών, δεν υπάρχει Έτσι το ΕΚ.Π. (80, 108, 150) = 24·33·52

= 10800 Δηλαδή Για να βρούμε το ΕΚΠ. φυσικών αριθμών, που είναι αναλυμένοι σε γι­ νόμενο πρώτων παραγόντων, σχηματiζoυμε το γινόμενο από τους κο..

ι

νούς και μη κοινούς παράγοντες παίρνοντας τον καθένα με το μεγα-Ι λύτερό εκθέτη του που παρουσιάζεται στις αναλύσεις των αριθμών. i L_, ______________________,___ __ _______,_________ -1Ι

8.

ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ

Προβλήματα

§ 9.

EX.n.

και Μ.Κ.Δ.

Σε πολλά προβλήματα χρειάζεται να βρίσκουμε το Ε.κ.π. ή το Μ.Κ.Δ. ΠαΡάδειγμα;

Τ ρεις αθλητές προπονούνται σε ένα στίβο και ξεκινούν την ίδια στιγ­

μή από το ίδιο σημείο. Ο πρώτος διατρέχει το στίβο σε 4 λεmά, ο δεύ­ τερος σε 5 λεmά και ο τρίτος σε 6 λεmά.

(α) Μετά από πόσα λεmά θα βρεθούν και οι τρεις μαζί στο ίδιο ση­ μείο, απ' όπου ξεκίνησαν για πρώτη φορά;

(β) Πόσες φορές θα διατρέξει μέχρι τότε το στίβο ο καθένας; Λύση:

Κάνουμε πίνακα με τα πολλαπλάσια των αριθμών

-.--.--------.-~,-~--~-:---- -.-------~---~

ΓΓύρ~~·~-·--.

! λεmά ,, ! ο'

10ς 20ς 30ς

!

4ος

50~ 60~

70ς

4, 5

και 6.

---------~--:----l

80ς' 90ς! 100ς 110ς 12ος 130<; 140ς 150<1160ς!

!

Ι

4

Έ. αθλητής

,

--

β'

,i αθλητής i

Υ'

! αθλητής t_~,_~_~

__ ,, __

--

5

6 ,"~_

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56!

60

64

i i

i

t-

10

12

15

18

20 ι

25

24

30 !

30 '

35

40

45

50

55

60

Ι

65

70

75

80

i i

36 !

42 1 48

54 ;

~

....... _._ _ _ ':"'.

Ι

96 Ι

___-,-__________ __]

60

66

72

78

84:

90.

~

Χρησιμοποιώντας τον πιο πάνω πίνακα, μπορούμε να απαντήσουμε στις πιο πάνω ερωτήσεις.

(α) Μετά από 60' θα βρεθούν πάλι στο σημείο από όπου ξεκίνησαν. (β) Ο πρώτος θα διατρέξει τον στίβο

15 φορές,

ο δεύτερος

12 φο-

ρές και ο τρίτος 1Ο φορές.

Παρατήρηση: Θα μπορούσαμε να βρούμε το χρόνο που θα ξανασυναντηθούν οι 3 αθλητές, βρίσκοντας το Ε.Κ.Π.

(4,5,6) που είναι το 60. Στη συνέχεια

για να βρούμε πόσες φορές θα διατρέξει το στίβο ο κάθε αθλητής, διαιρούμε:

60 : 4 = 15 γύρους 60: 5 = 12γύρους 60: 6 = 10γύρους

ι1αράδειγμα

• ~

2

Ένας ανθοπώλης έχει 48 γαρίφαλα και 36 τουλίπες και θέλει να φτιά­

ξει με αυτά ομοιόμορφες ανθοδέσμες.

t

(α) Πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπορεί να κάμει; (β) Πόσα γαρίφαλα και πόσες τουλίπες θα έχει κάθε ανθοδέσμη; Λύση:

Κατασκευάζουμε πίνακα με τους διαιρέτες των αριθμών

Γ, Αριθμός

i

ανθοδέσμων

1,

2'

3

4

48

και

6

8

12

24:

8

6

4

2

36. 48

με γαρίφαλλα __ ---l.-

Αριθμός γαρίφαλων σε

Ί

48

24

16

12

κάθε ανθοδέσμη

j Ι

Ι Αριθμός Ι ανθοδέσμων Ι

4

3

6

9

!

12

18

με τουλίπες

1--------- -._. _- - .

2

Ι ι

i

------~

-----.+-----j-

------i-- ----- ..

j

Αριθμός

τουλίπωνσε

36

36

18

12 :

9

6

4

3

- -----1, 2

κάθε ανθοδέσμηi L~._,

___

~~

..

ι, ~

__

~_~

___

! ._~<

_____i .__

~

Χρησιμοποιώντας τον πιο πάνω πίνακα μπορούμε να απαντήσουμε στις πιο πάνω ερωτήσεις: (α) Μπορούμε να φτιάξουμε το πολύ

12 ομοιόμορφες ανθοδέσμες.

(β) Κάθε ανθοδέσμη θα περιέχει 4 γαρίφαλα και 3 τουλίπες. Παρατήρηση: Θα μπορούσαμε να βρούμε τον αριθμό των ομοιόμορφων ανθοδέ­ σμων, βρίσκοντας το ΜΚΔ.

(48,36) που είναι το 12. Στη συνέχεια για

να βρούμε πόσα γαρίφαλα και πόσες τουλίπες θα περιέχει κάθε ανθοδέσμη, διαιρούμε:

48 : 12 = 4 γαρίφαλα 36 : 12 = 3 τουλίπες

---..- -..-.-.----.---------------..--.-.- ---·---------------·----------273

8. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ Ν ο r--------.----.-.-------------.----------.-----~----·

ι

i

1.

Ποιοι από τους αριθμούς: 4, 7, 9,15,27,31 είναι πρώτοι;

2.

Να βρείτε τους πρώτους αριθμούς μέχρι και το 30.

3.

Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τους αριθμούς: 36, 60, 100,320.

4.

Να βρείτε το Μ.Κ.Δ. των αριθμών: (α)

5.

(β)

5

54, 60

(γ) 23·3·7, 98

4,5, 12

(β)

120, 150, 160

(δ)

96, 108, 144

(β)

5, 8

(γ)

5,6,8

3,5, 10

(γ)

2,5,9

Να βρείτε το ΕΚΠ. των αριθμών:

30, 36

(β)

23. 32 . 5, 22. 3 . 7

26, 39, 36

(δ)

15, 16, 18,20

(α) 24, (γ)

9.

12, 30, 42

Γράφοντας τα πολλαπλάσια του πιο μεγάλου αριθμού, να βρείτε το Ε.Κ.Π. των αριθμών: (α)

8.

(γ)

Να βρείτε το Μ ΚΔ. των αριθμών: (α) 36,

7.

10,25

Να βρείτε το Ε.Κ. Π. των αριθμών: (α) 3,

6.

(β)

12, 18

Αν ο ΜΚΔ. (120, β)

= 15 καιτο Ε.Κ.Π. (120, β) = 1800 να βρείτε τον αριθμό β.

10. Ένας ανθοπώλης έχει 36 γαρίφαλα και 60 τριαντάφυλλα και θέλει να φτιάξει με αυτά ομοι­ όμορφες ανθοδέσμες.

Να βρείτε πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπορεί να κάμει και πόσα γαρίφαλα και πόσα τριαντάφυλλα θα έχει η κάθε ανθοδέσμη.

ι

11. Τρία πλοία Α, Β, Γ κάνουν διαδρομές από το λιμάνι της Λεμεσού. ΤΟ Α κάθε 6 μέρες, το Β κάθε 8 μέρες και το Γ κάθε 9 μέρες. Αν ξεκινήσουν και τα τρία την ίδια μέρα, σε πόσες μέ­

ι.

__.

~ε~~~ξαν~~_υ~~~θ~~ν.~ι~_~~~τη φορά στο λιμάνι της Λεμεσού;

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

---,

12. Έχουμε 144 τετράδια, 60 μολύβια και 18 ξύστρες. Πόσα το πολύ όμοια δέματα μπορούμε Ι' να φτιάξουμε και πόσα τετράδια, μολύβια και ξύστρες θα περιέχει το καθένα;

13.

Να βρείτε το μεγαλύτερο αριθμό που, όταν διαιρεί τους αριθμούς 75 και 109, αφήνει υπό-

!

λοιπο

Ι

7 στην κάθε περίmωση.

ι

\

14.

Τρία κουδούνια κτυπούν το ένα κάθε 3 ώρες, το άλλο κάθε 5 ώρες και το άλλο κάθε 6 ώρες. Αν κτυπήσουν συγχρόνως,

(α) μετά από πόσες ώρες θα ξανακτυπήσουν συγχρόνως; (β) μέσα σε

100 ώρες πόσες φορές θα ξανακτυπήσουν συγχρόνως;

15. Τρία αεροπλάνα βρίσκονται προσγειωμένα στο αεροδρόμιο της Λάρνακας. Το πρώτο κά­ νει τη διαδρομή Λάρνακα-Αθήνα κάθε 30 ώρες, το δεύτερο κάθε 40 ώρες και το τρίτο κά­ θε

16 ώρες. Αν ξεκινήσουν και τα τρία μαζί:

(α) Μετά από πόσες ώρες θα ξανασυναντηθούν και τα τρία αεροπλάνα στη Λάρνακα; (β) Ποιος είναι ο μικρότερος χρόνος που θα περάσει, ώστε δύο από τα αεροπλάνα να ξα-

i

νασυναντηθούν στη Λάρνακα;

116. 'Ενα εργοστάσιο απασχολεί 114 άντρες, 60 γυναίκες και 48 παιδιά. .

ι

(α) Πόσες το πολύ ομοιόμορφες ομάδες μπορεί να σχηματίσει ο διευθυντής του εργο­ στασίου; (β) Από πόσους άντρες, πόσες γυναίκες και πόσα παιδιά θα αποτελείται κάθε ομάδα;

17. Οι μαθητές ενός σχολείου μπορούν να παραταχθούν σε τριάδες, πεντάδες και οκτάδες χωρίς να περισσεύει κανένας.

Να βρείτε πόσους μαθητές έχει το σχολείο αυτό, αν ξέρουμε ότι είναι λιγότεροι από 400 και περισσότεροι από 350;

275

Στις πιο κάτω ασκήσεις να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.

1. Οι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το 2 και με το 9 είναι: (α)

234 και 105

(δ) 234 και 612

(β)

234 και 120

(γ)

120 και 123

(ε) 105και612

2. Η ανάλυση του 24 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι: (α)

22 . 32

(δ) 2

3·8

.3

(α) 23

. 32·52

(δ) 2 . 3·5

4.

(γ)

(β)

24. 34 . 53

(ε)

212. 38 . 56

Τρία κουδούνια κτυπούν κάθε 3,

5 και 8 ώρες αρχίζοντας συγχρόνως. Θα κτυπήσουν ξανά

συγχρόνως μετά από: (α) 24 ώρες

(β)

(δ) 60 ώρες

(ε) 15ώρες

(γ)

40 ώρες

120 ώρες

5. Ένα εργοστάσιο απασχολεί 48 άντρες, 18 γυναίκες και 15 παιδιά. Ο μεγαλύτερος αριθ- . μός ομοιόμορφων ομάδων που μπορούν να σχηματισθούν είναι: (α)

10

(β)

6

(γ)

(δ)

5

6. Το 9 είναι διαιρέτης του αριθμού: (α)315

(β)

275

(δ) 929

(ε)

739

(γ)

7. Πόσοι από τους αριθμούς 21, 39, 45, 77 είναι πρώτοι;

276

(α) ένας

(β) δύο

(δ) όλοι

(ε) κανένας

(γ) τρεις

318

15

(ε)

3

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

8. Το ΕΚΠ. των αριθμών 8 και 12 είναι: (α) 24

9.

(β)

16

(γ) 96

(δ) 48

(ε)

812

(γ)

(δ)

(ε)

5

Ο Μ.ΚΔ. των αριθμών 60,90 και 105 είναι: (α)

(β)

10

15

30

10. Ποιος αριθμός ταιριάζει στο τέλος, ώστε ο αριθμός 5 8 3

D

60

να διαιρείται ακριβώς με το

2και3;

(α) Ο

11.

12.

(β)

(γ)

2

Ο Μ.Κ.Δ. καιτο Ε.κ.π. των αριθμών 18 και (α)3 και

6

(β) 3 και 180

(δ) 6 και

1080

(ε)

6

και

60

4

(δ)

6

(ε) 5

είναι αντιστοίχως οι: (γ) 6 και 180

120

Ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί τους αριθμούςς 78 και 114 και αφήνει υπόλοιπο 6 στην κάθε περίmωση είναι: (α)

13.

(β)

18

D

3

D

(δ)

72

(ε)

36

να διαιρείται ακριβώς με τα 5 και 9 είναι αντιστοίχως οι:

(α)2 και

10

(β)

και

4

(δ)Ο και

2

(ε) Ο και

9

5

(γ)

4 και 5

Το σύνολο των πρώτων αριθμών μέχρι και το 10 είναι: (α)

{1, 3, 5, 7, 9}

(γ){1,2,3,4,5,6, (ε)

15.

6

Το ζεύγος των αριθμών που θα συμπληρώσετε στο πρώτο και δεύτερο τετραγωνάκι, ώστε

ο αριθμός 6

14.

(γ)

12

7,8,9, 10}

(β)

{2, 4, 6, 8, 10}

(δ)

{2, 3, 5, 7}

{1, 2, 3, 5, 7}

Αν Δ 12

= {Διαιρέτες του 12} και Δ 16 = {Διαιρέτες του 16}τότε

(α){1,2}

(β)

{1, 2, 4}

(δ)

(ε)

{12)

{8}

(γ)

Δ 12 n Δ 16 =

{16}

277

ΙJΚΛΑΣΜΑΤΑ Τι ρόλο έπαιζαν τα κλάσματα στη ζωή των oνθpώπων~ Ηταν απαραιτητα; Ας ανατρέξουμε με Τ,) φαντασία μας στα βάθη της Ιστορίας. Όταν για

πρώτη φορά οι άνθρωrιoι καλλιέργησαν από κοινού τα δημητριακά και ήλθε ο καιρός να μοιρ .laOUV τη σοδειά, σκέφτηκαν πως έπρεπε η μοι­ ρασιά να είναι δίκαιη. 'ίΞτσι αποφασίστηκε να μοιράσουν τη σοδειά σε ίσα μέρη. Κάποιο από τα μέρη αυτά έπρεπε να μοιραστεί ξανά σε ίσα μέρη. Τότε οι άνθρωπcι αντιλήφθηκαν ότι χρειάζεται και το μισό και το μισό του μισού. Το ίδιο συνέβηκε όταν, αργότερα, θέλησαν να καλλιεργούν τη γη μόνοι τους και να έχουν το δικό τους εισόδημα.

Κάποτε χρειάστηκε να ανταλλάσσουν τα προϊόντα τους (εμπόριο), οπό­ τε έπρεπε να χρησιμοποιούν κοινές μονάδες μέτρησης. Κατά τη διατα­ γή του τότε Άρχοντα, τα χρήματα που θα χρησιμοποιούσαν θα έπρεπε να είναι τα τάλαντα. Κάθε τάλα\ίΟ χωρίζετο σε 60 ίσα μέρη, που το κα­ θένα λέγεται μνα. Κάθε μνα χα οίζεται επίσης σε 60 ίσα μέρη, που το

καθένα λέγεται σίκλος. Έτσι εμφcνίστηκαν τα κλάσματα 6~' 6~' ... Πιο ύστερα οι ιδιοκτήτες σKέφΤηί~αν να νοικιάσουν τη γη τους στους δούλους τους και να τους παίρ' ουν για νοίκι ένα μεγάλο μέρος της 'Π

παραγωγης.

.χ. τα

4"3,η τα f(r ...

Έτσι θα είχαν περισσότερο κέι:' 50ς, νοουμένου ότι θα απέφευγαν τα έξοδα που είχαν για τους δούλι }υς κτλ. Εδώ έπρεπε να χΡησιμοποιή­ σουντα κλάσματα σε άλλη μορφή. Π-χ. ένας ιδιοκτήτης έλεγε:

«Οι δικοί μου δούλοι παράγουν 400 κιλά. Αν τους παίρνω τα ~ για νοίκι, τι εισόδημα θα έχω; Αν χωρίσω τα 400 κιλά σε 5 ίσα μέρη,

το κάθε μέρος θα είναι το ~ της παραγωγής και τούτο θα είναι 80

κιλά. Άρα τα ~ της παραγωγής θα είναι 4 . 80, δηλαδή 320 κιλά.

Και το εισόδημα αυτό θα το έχω χωρίς έξοδα. Έτσι άρχισαν τα κλάσματα να γίνονται απαραίτητα στη ζωή των αν­ θρώπων.

278

,

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

,

Β

• Παίρνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Τ ο χωρίζουμε σε 4 ίσα μέρη. Το τμήμα ΑΓ είναι ένα από τα 4 αυτά ίσα μέρη. Λέμε ότι το ΑΓ είναι το ένα τέταρτο του ΑΒ.

, ~

Γράφουμε: ΑΓ =

t· ΑΒ

Το τμήμα ΑΕ αποτελείται από τρία από τα τέσσερα ίσα μέρη που χωρίσαμε το ΑΒ. Λέμε ότι το ΑΕ είναι τα τρία τέταρτα του ΑΒ.

Γράφουμε: ΑΕ

= ~ . ΑΒ ή ΑΕ = ~ ΑΒ.

Παρατηρούμε επίσης ότι:

ΑΔ= 2 του ΑΒ 4

ΓΔ

Επομένως, ΑΒ =

= Ι4 του ΑΒ

Δηλαδή τα

ΔΒ = 2 του ΑΒ 4

! του ΑΒ.

! είναι ολόκληρο το ΑΒ.

ΓΒ = ~ του ΑΒ κτλ. 'β ολα 4' 1 4' 2 4 3 λ'εγονται κλ'ασματα. Τα συμ

Ειδικά το σύμβολο

t λέγεται κλασματική μονάδα.

Α ν χωρίσω το πιο πάνω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε

5 ίσα μέρη, ποια θα είναι η κλασματική μονάδα;

Άλλ

α

κλ' , .3 ασματα ειναι τα. 5'

2 1 10

1

7

9' 7' 39' 10' 10' ...

• Γενικά, κάθε σύμβολο της μορφής φυσικοί αριθμοί, λέγεται κλάσμα.

i' όπου τα α και β είναι

0J;i

ο

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Όταν μιλούμε για το κλάσμα ~, εννοούμε ότι: Χωρίζουμε ένα μέγεθος σε β ίσα μέρη και σχηματίζουμε ένα νέο μέγεθος που απο­ τελείται από α τέτοια ίσα μέρη. Επειδή δεν μπορούμε να χωρί­

σουμε ένα μέγεθος σε μηδέν ίσα μέρη, ο αριθμός β δεν μπορεί να είναι μηδέν.

Δηλαδή, όταν γράφουμε ένα κλάσμα ~, πρέπει β::f- Ο. Οι αριθμοί α και β λέγονται όροι του κλάσματoς~.

Η γραμμή -, λέγεται γραμμή του κλάσματος ~ .

• Ο αριθμός

α που είναι πάνω από τη γραμμή του κλάσματος, λέγε­

ται αριθμητής .

• Ο αριθμός

β που είναι κάτω από τη γραμμή του κλάσματος, λέγε­

ται παρονομαστής .

•

Δύο ή περισσότερα κλάσματα που έχουν όλα τον ίδιο παρο-

, λ'

νομαστη

•

,

εγονται ομωνυμα.

Π

.χ.

1 5 3 7' 7' 7' '"

Τα κλάσματα που δεν είναι ομώνυμα, λέγονται ετερώνυμα.

2 1 3

Π.χ. 5' 3' 6' ...

Να βρεθεί το κλάσμα που εκφράζει το χρωματισμένο μέρος του κα­

θενός από τα πιο κάτω σχήματα. (α)

(β)

(γ)

®. :1]: Me, 280

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

, ι

t του κύκλου.

~

(α) Το χρωματισμένο μέρος είναι το

,

(β) Το χρωματισμένο μέρος είναι τα %του τετραγώνου.

(γ) Τ ο χρωματισμένο μέρος είναι τα ~ του εξαγώνου, δηλαδή ολόκληρο το εξάγωνο.

2

Να βρεθεί πόσα cm είναι το

Ξέρουμε ότι 1 m

Επομένως το Γράφουμε:

t

t

του 1 m.

= 100 cm.

t του 1 m είναι 100 : 5 = 20 cm. του 1 m είναι 20 cm.

Τα ~ των μαθητών ενός τμήματος είναι 20 μαθητές. Να βρεθεί πόσους μαθητές έχει το τμήμα.

Αφού τα ~ των μαθητών είναι 20 μαθητές το ~ των μαθητών θα είναι 20: 5 = 4 μαθητές. Άρα τα ~ των μαθητών, δηλαδή ολόκληρο το τμήμα, θα είναι 7·4= 28 μαθητές.

Εργάζομαι 6πως και στην αναγωγή στη μονάδα

ο

ο

ο

281

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ . , -

-~.,

."~

~~.--"-

1. Να βρείτε το κλάσμα που εκφράζει το σκιασμένο μέρος για το καθένα από τα πιο κάτω σχήματα. (ο)

(β)

(γ)

2. Να χαράξετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Να σημειώσετε πάνω στο ΑΒ τρία σημεία Γ, Δ, Ε, έτσι ώστε να ισχύει:

3. Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο με πλευρά 3 cm. Να χρωματίσετε με διαφορετικά χρώματα:

*

(α) το του τετραγώνου 4.

Να βρείτε πόσα γραμμάρια είναι:

(α) το ~ του κιλού 5.

i

(β) τα του τετραγώνου

i

(β) τα του κιλού

Να βρείτε:

(α) Τι μέρος του μέτρου είναι τα

20 cm; (β) Τι μέρος του κιλού είναι τα 400 γραμμάρια; (γ) Τ ι μέρος της ορθής γωνίας είναι οι 60 μοίρες; 6. Από τους 100 μαθητές που έδωσαν εξετάσεις στα μαθηματικά απέτυχαν οι 20 μαθητές. Τι μέρος των μαθητών απέτυχε;

7.

Ένα υποκάμισο αξίας €64, πουλήθηκε μόνο €48. Να βρείτε το κλάσμα που εκφράζει την έκ­ mωση που έγινε στην αξία του υποκαμίσου.

8. Τα ~ των μαθητών ενός τμήματος είναι αγόρια. Να βρείτε πόσοι είναι όλοι οι μαθητές του 6 τμήματος, αν τα αγόρια είναι 25.

9. Η Ελένη αγόρασε ένα ζευγάρι παπούτσια από ένα κατάστημα που κάνει έκπτωση, σε όλα

τα είδη του, 1 πάνω στην αξία τους. Αν η Ελένη πλήρωσε €72, πόση ήταν η αξία των πα4 πouτσιών πριν της Υ'λινει η έκπτωση;

282

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _~M~α~θ~η~μ~ατι~Kά

Α' Γυμνασίου

§ 2. Το κλάσμα ως πηλίκο δύο φυσικών αριθμών • Ι. Θέλουμε να μοιράσουμε 6 ίδιες σοκολάτες σε 3 παιδιά.

Πόσες σοκολάτες θα πάρει το κάθε παιδί; Για να βρούμε πόσες σοκολάτες θα πάρει το κά­ θε παιδί, αρκεί να βρούμε το πηλίκο 6

Έτσι το κάθε παιδί θα πάρει 6 : 3

: 3.

= 2 σοκολάτες.

11. Αν τώρα θέλουμε να μοιράσουμε 3 ίδιες σοκο­ λάτες σε 4 παιδιά.

Πόσες σοκολάτες θα πάρει το κάθε παιδί;

ΟΟΟ οοο

οοο

Για να βρούμε πόσες σοκολάτες θα πάρει το κάθε παιδί, αρκεί και εδώ να βρούμε το πηλίκο 3: 4.

Αλλά το πηλίκο 3 : 4 δεν είναι φυσικός αριθμός, διότι η διαίρεση

3 : 4 δεν είναι τέλεια. Ένας τρόπος για να μοιράσουμε τις 3 ίδιες σοκολάτες στα 4 παι­ διά, είναι ο εξής:

Χωρίζουμε την κάθε σοκολάτα σε 4 ίσα μέρη, δη- ΕΕ λαδή όσα είναι τα παιδιά.

Δίνουμε στο κάθε παιδί το 1 από τα 4 ίσα μέρη της κάθε

σοκολάτας, δηλαδή το

t της κάθε σοκολάτας.

Αφού όμως όλες οι σοκολάτες είναι οι ίδιες, το κάθε παιδί

θα πάρει συνολικά τα ~ της σοκολάτας. Επομένως μπορούμε να πούμε ότι το αποτέλεσμα της διαί­

ρεσης

3 :4

είναι το κλάσμα ~.

Δηλαδή 3: 4 = ~. Το κλάσμα ~ λέγεται ακριβές πηλίκο της διαίρεσης

Γενικά ι.

3: 4.

β =J' όπου α Ε Ν Ο και β Ε Ν. ,..". _.α__:.____ .__ . . __. _.___ .. _._....,____. ~._.

.~_

Ι

[:>; :1

ΕΕ'

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

•

Άρα

Κάθε κλάσμα είναι το πηλίκο της διαίρεσης που έχει· διαιρετέο τον αριθμητή του κλάσματος και διαιρέτη τον παρονομαστή του κλάσματος.

Δηλαδή

Επομένως, •

~

= α : β, β * ο.

~==4:5,

i==1:3, 190==9:10, ...

Επειδή ένα κλάσμα παριστάνει το πηλίκο μιας διαίρεσης, πολλές φορές τη γραμμή του κλάσματος τη διαβάζουμε «διά"

Π.χ. το κλάσμα ~. το διαβάζουμε ,,8 διά 9». •

Μερικές φορές το κλάσμα, δηλαδή το πηλίκο δύο αριθμών, το ονο­ μάζουμε «λόγο» των δύο αριθμών.

Π.χ. ο λόγος των αριθμών 4 και 7 λέμε ότι είναι ζουμε

«4 διά 7» ή 4 προς 7.

• Κλάσματα της μορφής

Έχουμε: Γενικά

1και διαβά­

2 == 2: 1 ==

l'

r

α = α: 1 =

α ε Νο Κάθε φυσικός αριθμός γράφεται και ως κλάσμα.

l'

όπου α ε Ν ο

Δηλαδή κάθε φυσικός αριθμός γράφεται σαν κλάσμα που έχει αριθ­ μητή τον ίδιο τον αριθμό και παρονομαστή τη μονάδα.

α=1 ή 1=α, 284

αεΝ ο

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

• Κλάσματα της μορφής ~ι α ε Ν

~=O:3=O

Έχουμε:

Γενικά

Δηλαδή, όταν ο αριθμητής μόνο ενός κλάσματος είναι το μηδέν, τό­ τε το κλάσμα είναι ίσο με μηδέν.

Q=O α ι

αεΝ

Τα σύμβολα ~,~, όπου α Ε Ν δεν

παριστάνουν

τίποτα

το

συγκεκριμένο!!

• Κλάσματα της μορφής ~ι α ε Ν

Έχουμε: Γενικά

~ = 5 :5 = 1 ~=α:α=1ι

αεΝ

Δηλαδή, αν οι όροι ενός κλάσματος είναι ίσοι, τότε το κλάσμα είναι ίσο με τη μονάδα.

~=1 α ι

Να λυθεί η εξίσωση 3χ

3χ χ

αεΝ

= 7.

= 7 = 7: 3

χ -

7 - 3-

Διαιρούμε το γινόμενο με τον ένα παράγοντα. Η λύση της εξίσωσης.

285

Παράδειν:.,ο 2

Να γραφούν ως κλάσματα τα πηλίκα των διαιρέσεων: (α)

(β) 12 : 13

5: 8

(α)5: 8 = ~

(β)

12: 13 =

(γ)

~~

1: 50

(γ)

1 : 50 = 56

6

Να λυθεί η εξίσωση χ 5 = ο.

χ-5 = Ο

6

.

6

Αφού το κλάσμα χ 5 είναι ίσο με το μηδέν, σημαίνει ότι ο αριθ­ μητής του είναι μηδέν. Δηλαδή

χ-

Άρα

1.

:5

(β)

(γ)

1: 100

13: 100

(δ)

25: 83

(γ) 55 11

16

(β) 1ΟΙ

(δ)

1

2χ

+ 1 = 1Ο

2

36

(ε) 253

Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 3χ

286

χ=5

Να βρείτε ποια διαίρεση παριστάνει το καθένα από τα κλάσματα:

(α)~~ 40 3.

Ο

Να γράψετε ως κλάσματα τα πηλίκα των διαιρέσεων: (α) 2

2.

5=

=2

(β)

7Χ =

15

(γ)

(δ) 3Χ - 2

= 16

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

4. Να λύσετε τις εξισώσεις:

(ιιι) Χ = 7

(ιι) Q = Ο 4

4.

(ιν)!! = χ 8

Να λύσετε τις εξισώσεις:

(ι)α-10=1 .2

J

Ι

1

(ιι)χ+~=9 1

(ιιι)α-1=0 3

+1 =1

10

: I'--__________~I:

• Έχουμε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ.

~

(ιν) 3χ

1

2

A.------~..."....,..."....,..."....,..."....,,...,...,,B

Χρωματίζουμε το ~ του ορθογωνίου.

J

Δ'-------..ι..:.....;~~~~"""'--"Γ

Ι

2

Ι

Χρωματίζουμε τα

*

4

Α

Δι

του ορθογωνίου.

.

Ι Ι

Χρωματίζουμε τα ~ του ορθογωνίου.

Αν προσέξουμε τις τρεις επιφάνειες που χρωματίσαμε, θα δούμε ότι αυτές καλύmουν το ίδιο μέρος του ορθογωνίου ΑΒΓΔ .

•

Δηλαδή τα κλάσματα ~,

*, ~, εκφράζουν το ίδιο μέρος του

ορθογωνίου ΑΒΓΔ. Για το λόγο αυτό τα κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ή ίσα. Γράφουμε:

Γενικά

Ισοδύναμα ή ίσα ονομάζονται τα κλάσματα που εκφρά-

ζουν το ίδιο μέρος ενός μεγέθους.

•

287

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Ας δούμε τώρα, πως μπορούμε να βρούμε κλάσματα που να είναι ισο­ δύναμα με ένα δεδομένο κλάσμα. Παραδειγμα

ΑΔ 11-. _ __________--11. r

Έχουμε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ.

B

2-

Α I'-___

Δ

3

Λύση: Χωρίζουμε το ορθογώνιο σε

--II

B

--L_ _ _ _' - -_ _

-

.r

3 ίσα μέρη και χΡωμα-

τίζουμε τα 2 από αυτά. Δηλαδή το χρωματισμένο μέρος του ορθογωνίου

είναι τα ~ του. 2

"3

:1 i 1i Ι i : i Ι i i i Ι: 8

Θέλουμε να βρούμε άλλο κλάσμα που να είναι

ισοδύναμο με το ~. Χωρίζουμε το κάθε τρίτο του ίδιου ορθογωνίου σε

12

4 ίσα μέρη.

Το ορθογώνιο τώρα είναι χωρισμένο σε

12 ίσα μέρη. Από αυτά τα 8 εί­

ναι χρωματισμένα.

Δηλαδή το χρωματισμένο μέρος του, που πριν ήταν τα ~ του,

τώρα έγινε τα 182 του.

Επειδή όμως τα δύο αυτά κλάσματα, ~ και 1~' εκφράζουν το ίδιο μέρος του ορθογωνίου, σημαίνει ότι είναι ισοδύναμα.

Δηλαδή Ζ 3

=~ 12

Επειδή 8 = 2 . 4 και 12 = 3 . 4, αντί της ισότητας ~ = 182'

μπορούμε να γράψουμε ~ = ~ : 4 Δηλαδή αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρο­

νομαστή του ~ με τον αριθμό 4, προκύmει το κλάσμα 182' που είναι ισοδύναμο με το ~. 288

Μαθηματικά Α' ΓυμVC!E"iου.

Γενικά

Γ···-·_

..··

-' -..

--.-.-----~--------.--.--.-.--.---.----

IΑν πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους ενός κλάσματος /με τον ίδιο φυσικό αριθμό (δlαφOρεnKό από το μηδέν), προ­

ικύmειισοδύναμο κλάσμα.

~ = β: ~ όπου α, β, λ ε Ν

• Στο πιο πάνω παράδειγμα βρήκαμε ότι τα κλάσματα ~ και 182 είναι ισοδύναμα.

Αν πάρουμε το κλάσμα 182 και διαιρέσουμε και τους δύο όρους του με ένα κοινό τους διαιρέτη, π-χ. το

4,

θα έχουμε:

fi:~ που είναι το ~ (κάναμε τις διαιρέσεις 8:4,

12: 4).

Άρα προέκυψε το κλάσμα ~ που είναι ισοδύναμο με το

f2.

Γενικά [Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους ενός κλάσματος με ένα ~olνό διαιρέτη τους, προκύmειισοδύναμο κλάσμα.

Q β

Έτσι Ακόμη

=Q..:.,\ β:λ

ο' που α β λ ε Ν ' ,

18 _ 18: 3 _ 6

Το κλάσμα ~. είναι ισοδύναμο με το κλάσμα J~

18_18:6_3

Το κλάσμα

24 - 24: 3 - 8' 24 - 24: 6 -

4'

i είναι ισοδύναμο με το κλάσμα ~1

Παρατηρούμε ότι, όταν διαφούμε τους όρους ενός κλάσματος με ένα κοινό διαιρέτη τους, το ισοδύναμο κλάσμα που βρίσκουμε έχει όρους που είναι πιο μικροί από τους όρους του αρχικού κλάσματος. Δηλαδή το κλάσμα που βρίσκουμε είναι πιο «απλό».

• Η εργασία αυτή λέγεται απλοποίηση κλάσματος.

Οι όροι του κλάσματος ~ είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους. • Το κλάσμα αυτό λέγεται ανάγωγο. Δηλαδή δεν απλοποιείται άλλο.

Μ.Κ.Δ.

(3, 4)

= 1 άρα, οι αριθμοί 3, 4 είναι πρώ-

τοι μεταξύ τους.

289

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

• Αν πάρουμε δύο ισοδύναμα κλάσματα π-x.,~, 160' παρατη­ ρούμε ότι:

3·10 = 30 5·6=30 Δηλαδή

3 . 1Ο = 5 . 6 = 30

Αν δοκιμάσουμε το ίδιο και με άλλα ζεύγη ισοδυνάμων κλασμάτων

θα δούμε ότι αuτό~ει πάντα.

Γενικά, αν δύο κλάσματα

%,! είναι ισοδύναμα, τότε ισχύει

α· δ = β .γ.

Αν

Λέμε τότε. ότι πολλαπλασιάζουμε τους όρους των ισοδυνάμων κλα­

σμάτων όπως δείχνουν τα βέλη και έχουμε και πάλιν ισοτητα.

α β

~_~ ~----)

γ δ

τότε

α·δ=β·Υ

Να βρεθεί το κλάσμα που είναι ισοδύναμο με το ~ και έχει πα­ ρονομαστή 28.

Πολλαπλασιάζω και τους δύο ·.όρους του κλάσματος με το 4.

Το ζητούμενο κλάσμα

3 _3·4

7 -7·4 _ 12

- 28

Να απλοποιηθεί το κλάσμα ~δ έτσι ώστε να γίνει ανάγωγο.

290

Λύση:

12 _ 12: 2

Διαιρώ και τους δύο όρους του κλάσματος με το 2.

30 - 30: 2

Τ015 6ειναιπιοαπ , λ" οαποτο

_ 6

-15

12 30·

Διαιρώ και τους δύο όρους του κλάσματος με το 3.

_ 6:3 - 15: 3

Το ζητούμενο κλάσμα. Δεν απλοποιείται άλλο, διότι οι όροι του 2 και

_2 -s

5 είναι

πρώτοι μεταξύ τους.

Σημείωση: Στο παράδειγμα 2 βλέ:πουμε ότι για να βρούμε το ανάγωγο κλά­

σμα ~, κάναμε δύο διαδοχικές απλοποιήσεις. Σε άλλες περιmώ­ σεις ίσως να χρειάζονταν περισσότερες από δύο. Για να μην κάνουμε πολλές διαδοχικές απλοποιήσεις, μπορούμε να διαιρούμε τους όρους του κλάσματος, από την πρώτη διαίρεση, με

τον Μεγιστο Κοινό Διαιρέτη τους, οπότε το κλάσμα που θα βρίσκουμε θα έχει όρους πρώτους μεταξύ τους, δηλαδή θα είναι ανάγωγο. Π.χ.

Άρα

Μ.Κ.Δ.

(12,30) = 6

12 _ 12: 6 _ 2

30 - 30: 6 -

S

Να βρείτε ποια από τα κλάσματα~,~, ~~ είναι ισοδύναμα (ίσα).

(α) Ζ "--λ~

Παίρνουμε τα κλάσματα ανά δύο και εξετάζουμε, αν είναι ίσα.

9~7

7·7=49 9·5=45 49*45

Άρα τα κλάσματα~, ~ δεν είν51Ι ίσα.

Γράφουμε: ~

*~ 291

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

(β) ~ t><J ~: 7·18 = 126 9·14 = 126 126 = 126

Άρα τα κλάσματα ~ και ~: είναι ίσα.

Γράφουμε: ~ = ~: Στην περίmωση αυτή παρατηρούμε ότι θα μπορούσαμε να

απλοποιούσαμε το ~: οπότε θα βρίσκαμε το ~. ή ακόμα θα ,

μπορουσαμε να

(γ) ~

Άt γαμε

7 _ 7·2 _ 14

9 - 9 . 2 - 18'

t><J14

7 18 5·18 = 90 7·14 = 98 90*98

Άρα τα κλάσματα ~ και ~: δεν είναι ίσα.

Γράφουμε: ~ * ~: Για ποια τιμή του χ τα κλάσματα ~5 και! είναι ίσα;

Πολλαπλασιάζουμε χιαστί

Για να ισχύει η ισότητα .~ =!.

Η ζητούμενη πμή

πρέπει να ισχύει και η ισότητα Άρα

χ.

1 = 15 . 4 χ

= 60

Επαλήθευση:

15 _ 1 60 - 4 4·15=60·1 60 = 60

292

Ανπκαθιστούμε το χ με το 60.

Πολλαπλασιάζουμε χιαστί. Βρίσκουμε αληθή ισότητα.

Άρα το 60 είναι η ζητούμενη πμή.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1. Να μετατρέψετε το καθένα από τα κλάσματα~,~, παρονομαστή το

2.

t, 1~' σε ισοδύναμο κλάσμα με

36.

Να απλοποιήσετε τα πιο κάτω κλάσματα ώστε να γίνουν ανάγωγα.

4

20

16

5

33

1Ο

15

72

6' 35' 24' 10' 44' 60' 100' 60· 3. Να μετατρέψετε το κλάσμα ~ σε ισοδύναμο κλάσμα, το οποίο να έχει παρονομαστή: (α)

4.

το

(β)

8

το

20

(γ)

το

(δ)

52

το

96

Να βρείτε ποια από τα πιο κάτω κλάσματα είναι ίσα:

2

12

4

8

1

40

3

10

3' 15' 5' 12' 6' 60' 18' 16· 5. Για ποια τιμή του α τα κλάσματα 1~ και ~~ είναι ίσα; 6.

Να λύσετε τις εξισώσεις:

(α)

4- χ

5-10

(δ) ~ 2

= ~λ

(β)

(γ)

13 _ 1 13-3

(ε) ~ γ

= 1'1 4

(στ)

6 _ 1 4-α

5 _ 45 θ-ω

• Μάθαμε ότι τα κλάσματα που έχουν όλα τον ίδιο παρονομαστή λέ­ γονται ομώνυμα, και τα κλάσματα που δεν έχουν όλα τον ίδιο πα­

ρονομαστή λf.γoνται ετερώνυμα. Π-χ.

1 5 10 3,

,

(α) τα κλάσματα

9' 9' 9' 9 ειναι ομωνυμα.

(β) τα κλάσματα

3' 7' 14' 6' 2 ειναι ετερωνυμα.

24541'

,

Όπως θα δούμε πιο κάτω, για να συγκρίνουμε κλάσματα ή για να προσθέσουμε κλάσματα ή για να αφαιρέσουμε κλάσματα, πρέπει τα κλάσματα να είναι ομώνυμα. Γι' αυτό θα μάθουμε πώς τρέπουμε ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα.

293

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ.-'--_ __

---

,.---,--

Παράδειγμα 1

'κλ' 5 1 3 ' Ν α τραπουν τα ασματα 8' 12' 4' σε ομωνυμα.

Ζητούμε να βρούμε κλάσματα ισοδύναμα με τα~, 1~' ~ αντι­ στοίχως, που να έχουν όλα τον ίδιο παρονομαστή. Ο κοινός αυτός παρονομαστής πρέπει να είναι κοινό πολλαπλάσιο των παρονο­ μαστών 8,

12, 4.

Κοινά πολλαπλάσια των παρονομαστών 8,

12, 4

είναι:

24, 48, 96, ...

Συνήθως παίρνουμε σαν κοινό παρονομαστή, το ελάχιστο από τα κοι­ νά πολλαπλάσια (Ε.Κ.Π.) των παρονομαστών των αρχικών κλασμάτων,

έτσι ώστε τα κλάσματα που θα προκύψουν να έχουν όσο γίνεται μι­ κρότερους όρους. Στηνπερίmωση μας, το Ε.Κ.Π.

(8,12,4)

= 24.

Για να τρέψουμε τα κλάσματα~, 1~' ~ σε ομώνυμα, δηλαδή σε ισοδύναμα κλάσματα με παρονομαστή το

24, πολλαπλα­

σιάζουμε τους όρους: αντιστοίχως!

15

5

-=-

24 2 24

8 1 12 18 3 -=24 4 ο

5 _ 5·3 _ 15 δηλαδή 8 - 8·3 - 24 1_1·2_2 • του 1~ με τον αριθμό 2/ . 12 = 2 δηλαδή 12 - 12·2 - 24 3 _ 3·6 _ 18 • του ~ με τον αριθμό 24: 4 = 6 δηλαδή 4 - 4·6 - 24

• του ~ με τον αριθμό 24: 8 = 3

Τα

' 15 24' 2 24 18' , κλασματα 24' ειναιομωνυμακαι

ισοδύναμα με τα κλάσματα ~, 1~' ~ αντιστοίχως. Δηλαδή για να τρέψουμε τα ετερώνυμα κλάσματα

513 ' λ θ' , '. 8' 12' 4' σε ομωνυμα, ακο ου ουμε την πιο κατω πορεια.

294

~ r

~

~

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

~

t

(α)

Ε.κ.π.

t

(β)

24: 8 = 3

(8, 12,4)

= 24

Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.

Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τον παρονομαστή του κάθε

24: 12 = 2 24:4

κλάσματος και βρίσκουμε τα πηλίκα

@@®

5

(γ)

1

3, 2, 6.

=6 .Γράφουμε το

3

κάθε πηλίκο πάνω από το αντίστοι­

8' 12' 4

χο του κλάσμα, όπως φαίνεται δίπλα.

(δ)

3·5 2·1 6·3 3·8' 2·12' 6·4

'όρους του κάθε κλάσματος.

(ε)

15 2 18 24' 24' 24

•

Πολλαπλασιάζουμε το κάθε πηλίκο και με τους δύο ;Είναι τα ομώνυμα κλάσματα που ζητούσαμε.

Οι κύκλοι σro διπλανό σχήμα είναι ίσοΙ. Χωρίσαμε τον κάθε κύκλο σε

Α

8 ίσα μέρη.

Στον κύκλο Α χρωματίσαμε τα ~ του. Στον κύκλο Β χρωματίσαμε τα ~ του. Παρατηρούμε ότι το μέρος του κύκλου που εκφράζει το κλάσμα

~ είναι μεγαλύτερο από το μέρος του κύκλου που εκφράζει το

Β

κλ'ασμα 3 .

8 Δηλαδή το ~ είναι μεγαλύτερο από το ~. Γράφουμε:

§ >~ ή 8 8

~<§ 8

8

Γενικά

Όταν δύο κλάσματα είναι ομώνυμα, μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει μεγαλύτερο αριθμητή.

295

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Σύγκριοη ετερωνύμων

•

Για να συγκρίνουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και συγκρίνουμε τα ομώνυμα κλάσματα που προκύmουν.

Παράδειγμα

Να συγκριθούν τα κλάσματα ~, ~ Λύση:

Τρέπουμε τα κλάσματα ~, ~. σε ομώνυμα. 3 5 4' 6 192'

Ε.Κ.Π.

~~

(4,6)

= 12

Τα κλάσματα είναι τώρα ομώνυμα.

Παρατηρούμε ότι το ~ ~ είναι μεγαλύτερο από το 192' Άρα και το αντίστοιχο κλάσμα του ~g, δηλαδή το κλάσμα ~ είναι μεγαλύτερο από το κλάσμα ~. ,

5

Γραφουμε:

3 ,3

6>4

η

5

4 < (3

Α

Σύγκριση κλασμάτων με τον ίδιο αριθμητή

01. κύκλοι Α,

Β του διπλανού σχήματος είναι ίσοι

Χωρίζουμε τον κύκλο Α σε 4 ίσα μέρη.

Β

Χρωματίζουμε το

t του κύκλου Α.

Χωρίζουμε τον κύκλο Β σε

Χρωματίζουμε το

296

6 ίσα

μέρη.

i του κύκλου Β.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Παρατηρούμε ότι:

Τα κλάσματα

Γ

1και i έχουν τον ίδιο αριθμητή.

Δ

Το μέρος του κύκλου που εκφράζει το κλάσμα

i είναι μεγαλύτερο από το μέρος του κύκλου που εκφράζει το κλάσμα i. Δηλαδή

1 >1 ή 1 <1 4

6

6

4

Ακόμη, αν χρωματίσουμε τα %και τα ~ των ίσων κύκλων Γ και Δ αντίστοιχα, θα δούμε ότι το μέρος του κύκλου που εκφράζει το

κλασμα %είναι μεγαλύτερο από το μέρος του του κύκλου που

εκφράζει το κλάσμα~. Δηλαδή ~ > ~. ή ~ < ~ 4

6

6

4

Γενικά

Όταν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύ­ τερο είναι εκείνο που έχει το μικρότερο παρονομαστή.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.

Να κάνετε ομώνυμα τα κλάσματα:

2 5

(β) %, ~

(α) 3' (3

2 9 3 1

(ε) 5' ΤΟ' 4' 2 2.

(στ)

i2'

3, -151

7 3 15

(γ) 8' 4' 16 2 5 (ζ) 8, 3' 8

3 (ιν) Το' 4

Να κάνετε ομώνυμα τα κλάσματα:

11

13

(α) 60' 144

297

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3.

Να συγκρίνετε τα κλάσματα και να τοποθετήσετε ανάμεσά τους το κατάλληλο σύμβολο

(>, =, <)

4.

(α)

5 6 9 ... 9

(β

(ε)

t .. ~

(στ)

11

31

(ζ)

53 .. , 73

γ) 33 .. '

53 ... 76

(δ)

4

5 ...

3

10

(β) από το 1Ξ

(γ) από το

t

(β) από το 110 223

(γ) από το 160

Να βρείτε ποιες από τι πιο κάτω σχέσεις είναι αληθείς:

8

(α) Π <

98

(β) 150

(δ) 1Ζ =

l

(ε)

17,

7.

(

Να βρείτε ένα κλάσμα μικρότερο:

(α) από το ~i 6.

12

Να βρείτε ένα κλάσμα μεγαλύτερο:

(α) από το ~ 5.

12

)31"'28

12

=

(γ)

~

1 > 1 7

6

172 > 196

Να γράψετε στη σειρά τα πιο κάτω κλάσματα ξεκινώντας από το μικρότερο:

5 5 5 5 (β) 6' 9' 12' 2Τ

3 1 5 11 7 (α)π,π,π,π,π, () 2279

γ 3'5'9'10

8. Αν προσθέσουμε στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος ~ τη μονάδα, θα βρούμε ένα νέο κλάσμα. Να εξετάσετε αν το νέο αυτό κλάσμα είναι ίσο, μικρότερο,

ή μεγαλύτερο από το ~, Να κάνετε το ίδιο για τα κλάσματα ~, ~~. 9.

Να εξετάσετε αν οι πιο κάτω ισότητες είναι αληθείς.

(β) ~ ~ 298

=;

=

~~

(γ) ~~ ~ ~ = ~~

-----------_.-._---_.--_._----10.Σε μια εξέταση η Μαρία πήρε τα ~ του συνόλου των βαθμών και η Ελένη τα ~~ του συνόλου των βαθμών. Ποια πήρε τη ψηλότερη βαθμολογία;

11. Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει το χ στο Ν ο' έτσι ώστε να ισχύει η σχέση χ

1

8<2' 12. Να βρείτε ένα κλάσμα που να είναι:

(α) μεγαλύτερο από το ~ και μικρότερο από τo~. (β) μεγαλύτερο από το

~ και μικρότερο από τo~.

(γ) μεγαλύτερο από το

! και μικρότερο από το ~.

(δ) μεγαλύτερο από το

~ και μικρότερο από τo~.

(ε) μεγαλύτερο από το

~ και μικρότερο από τo~.

Πρόσθεση ομωνύμων κλασμάτων

•

Χωρίσαμε τη σοκολάτα του διπλανού σχήματος σε

6 ίσα μέρη.

Η Άννα πήρε το

i της σοκολάτας.

[; . •. • .[ ι·..Υ:ΙitΙ• .• 1

"6

Ο Γιώργος πήρε τα ~ της σοκολάτας.

·1

4

"6

Τι μέρος της σοκολάτας πήραν η Άννα και ο Γιώργος μαζί; Αν παρατηρήσουμε το συνολικό σκιασμένο μέρος της σοκολάτας,

θα δούμε ότι τα δύο παιδιά πήραν μαζί τα ~ της σοκολάτας.

Έτσι:

i της σοκολάτας + ~ της σοκολάτας

=

~ της σοκο­

λάτας.

Δηλαδή

299

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Γενικά Για να προσθέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα, σχημα­

τίζουμε ένα νέο κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή και με αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών τους. α

Υ

β_α+β

+V-

-γ-'

α, β, Ε Νο και γ ΕΝ.

Με τον ίδιο τρόπο προσθέτουμε και περισσότερα από δύο ομώνυμα κλάσματα.

πχ ~ .. 15

+ ~ + L + 1Q = 1 + 2 + 7 + 13 = 23 15

15

15

15

15

Πρόσθεση ετερωνύμων κλασμάτων

• Για να προσθέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα τρέπουμε σε ομώ­ νυμα και μετά τα προσθέτουμε σύμφωνα με τον κανόνα πρόσθε­ σης ομωνύμων κλασμάτων.

Να βρείτε το άθροισμα

i +~ ; Ε.Κ.Π. (4, 5) = 20 Τα κλάσματα είναι ομώνυμα. Προσθέτουμε τους αριθμητές. Το ζητούμενο άθροισμα.

Να βρείτε το άθροισμα ~ + 2 + ~.

300

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

~ +2 + ~ 9 5

= ~9 + g1 + ~5 ~~J!..,

=~+g+~ 915 = ZQ + 90 + 27 45 45 45 20 + 90 + 27 45 _ 137

Γράφουμε2 = Ε.Κ.Π.

(9, 5)

t

= 45

Ομώνυμα κλάσματα. Προσθέτουμε τους αριθμητές.

Το ζητούμενο άθροισμα.

- 45Παρατήρηση:

Όπως είδαμε, η πρόσθεση κλασμάτων ανάγεται σε πρόσθεση φυσι­ κών αριθμών. Έτσι και στην πρόσθεση κλασμάτων ισχύουν οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών.

• Στο διπλανό σχήμα έχουμε 3 ίσα ορθογώνια.

Χρωματίσαμε τα δύο ορθογώνια ολόκληρα και τα ~ του τρίτου ορθογωνίου.

Λέμε ότι συνολικά χρωματίσαμε τα 2 και ~ των ορθογωνίων.

Γράφουμε

2

+~

Ι

. Ι ··1·:1

Διαβάζουμε «δύο και τρία τέταρτα».

Το άθροισμα 2 + .~ γράφεται πιο απλά 2 ~ . •

Το σύμβολο 2 ~ λέγεται μεικτός αριθμός. Ο αριθμός 2 λέγεται ακέραιο μέρος του μεικτού αριθμού.

Τ ο κλάσμα ~. λέγεται κλασματικό μέρος του μεικτού αριθμού.

Μπορούμε να μετατρέψουμε (τρέψουμε) ένα μεικτό αριθμό σε κλά­ σμα.

301

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Πρόβλημα

Να τρέψετε το μεικτό αριθμό 3 ~ σε κλάσμα. AutJΓI:

Γράφουμε 3 = { Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα.

Ι Κάνουμε τις πράξεις. Το ζητούμενο κλάσμα.

Με πιο εύκολο τρόπο, μπορούμε να τρέψουμε ένα μεικτό αριθμό

π.χ. 3 ~ σε κλάσμα ως εξής: ,

3~

μού με τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους του:

6 3 ' 6 = 18 18

+5=

'

, Πολλαπλασιάζουμε το ακέραιο μέρος του μεικτού αριθ- ' • μεικτού αριθμού.

: Προσθέτουμε στο γινόμενο που βρήκαμε τον αριθμη­ 23

23

6

τή του κλασματικού μέρους.

. Σχηματίζουμε

κλάσμα με αριθμητή το άθροισμα που

βρήκαμε και παρονομαστή τον παρονομαστή του κλα-

, σματικού μέρους του μεικτού αριθμού. Παρατήρηση: Όταν τρέψουμε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα, το κλάσμα που προκύ­ mει έχει αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή.

Να τρέψετε το κλάσμα 2~ σε μεικτό αριθμό.

'

.

2~ = 20:7

Ι Το κλάσμα γράφεται ως πηλίκο δύο φυσικών αριθμών. Κάνουμε τη διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή.

-~: ι ~

i

; Το 2 είναι το ακέραιο πηλίκο της διαίρεσης και το 6 ΤΟ υπόλοιπο. Σχηματίζουμε μεικτό αριθμό με ακέραιο μέρος το ακέραιο πηλίκο και

κλασματικό μέρος το κλάσμα με αριθμητή το υπόλοιπο της διαίρε­

Άρα 20 = 2 §.

7

Μαθηματικά Α'Γυμνασίου

σης και παρονομαστή τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος.

7

Να γράψετε σαν μεικτούς αριθμούς τα αθροίσματα:

(α)

2+~

(α) 2 + ~ 8

(β)

= 2 ~8

(β)

12 +

12 +

~

~ = 12~

(γ)

230 + 150

(γ)

230 + 150 = 150 230

Να γράψετε σαν κλάσματα τους μεικτούς αριθμούς:

(α) 5 ~

(β) 16 ~

(γ) 100 ~

ο

Να γράψετε σαν μεικτούς αριθμούς τα κλάσματα:

(α) 37 5

(β) 149 12

(γ) 1503 10

(β) 149=12~ 12 12

(γ) 1503 = 150 ~ 10 10

ο ο

303

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Να βρείτε το άθροισμα 6~ + 8~.

10ςτρόπος: ~

62 5

~

+ 8~ = 6 2 + 8~ 4

5

!'

Ε.Κ.Π.

(5, 4)

=20

4

_ 8 - 6 20

Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα.

15

+ 820

Προσθέτουμε χωριστά το ακέραιο μέ~ ρος των μεικτών αριθμών και χωριστά!

= 14 23 20

,

= 15~ 20

το κλασματικό τους μέρος

' 23 - 1 3 Ε πισης 20 20·

20ςτρόπος:

6

2 + 8~ 5

4

= 32

5

+ 35 4

Μετατρέπουμε τους μεικτούς αριθμούς: . σε κλάσματα. Κάνουμε τις πράξεις.

0g σε μεικτό

Μετατρέπουμετο κλάσμα 3

2

, αριθμό. (303 > 20)

304

Μαθηματικά Α'Γυμνασίου

1. Να βρείτε τα αθροίσματα:

t

1 5 7 () α 12 + 12 + 12

(β) ~ +

(δ) ~ + 5

(ε) ~ + 1Ll

(ζ) 11

13

7

+ 30 + 36

24

31 () ι 150

7

13

(η) §. + 11 + 4 + 1

5

6

15

2

1

+ 12ό + 5 + 2

2. Να τρέψετε σε κλάσματα τους μεικτούς:

(α)

5 161

(β) 7

i

(δ)

10 121

(ε) 4

io

(γ) 9

3. Να τρέψετε τους μεικτούς σε κλάσματα:

(α)

1.j-

(β) 1~3

(δ)

2;g

(ε) 1{;

(γ)

152

6:

(στ) 723

9

4. Να βρείτε τα αθροίσματα:

(α)

3

t+ t

(β)

2

5~+

~

5. Να τοποθετήσετε στην κατάλληλη θέση πάνω στην ημιευθεία Αχ τους αριθμούς 1

3

1

13 3

10

22,64' 4' 4' 2' 3-' Α

χ

~I------~------r-----~------_+------~----~. 5 ..... . 4 ο 2 3

305

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

6.

Η κυρία Γεωργία αγόρασε 1~ κιλά κεράσια και 2~ κιλά πεπόνια. Πόσα κιλά φρούτα αγόρασε;

7. Ένας γεωργός έσπειρε το

i του χωραφιού του με κριθάρι, το t με σιτάρι και το ~

με καλαμπόκΙ. Τι μέρος του χωραφιού έσπειρε συνολικά;

8. Η Άννα πήρε σε ένα διαγώνισμα τα ~ της συνολικής βαθμολογίας. Η Ελένη πήρε στο

ίδιο διαγώνισμα

i της συνολικής βαθμολογίας περισσότερο από την Άννα. Τι μέρος

της συνολικής βαθμολογίας πήρε η Ελένη;

Χωρίσαμε τη σοκολάτα του διπλανού σχήματος σε 6 ίσα μέρη.

6 (3

Η Μαρία πήρε τα ~ της σοκολάτας.

Έδωσε τα ~ στην Ελένη.

5 (3

Τι μέρος της σοκολάτας κρατεί τώρα η Μαρία;

3

Παρατηρούμε ότι τώρα η Μαρία κρατεί τα ~ της σοκο­

2

(3

(3 Η

~I. . . .1---""1 ι- ΙΈ]"" Ι

λάτας.

Έτσι: ~ της σοκολάτας - ~ της σοκολάτας ,5

=

~ της σοκολάτας

3_5-3_2 -6- - β

Δηλαδη β-β Γενικά

Για να αφαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα, σχηματίζουμε ένα νέο κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή και με αριθμητή τη διαφορά των αριθμητών τους.

α

β_α-β

Υ-Υ--γ-'

α,

β

εΝοκαιγε

Ν

.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

ια να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα τρέπουμε σε ομώνυμα και μετά τα αφαιρούμε σύμφωνα με τον πιο πάνω γενικό κανόνα αφαίρεσης κλασμάτων.

ο ο ο

Παράδειγμα

1

Να βρείτε τις διαφορές:

(β )

4

4

5-5

Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα. Κάνουμε την αφαίρεση.

Να βρείτε τη διαφορά 2 Q - 1 g 4 5

Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα. Ε.Κ.Π.

(4, 5) = 20

: Αφαιρούμε το ακέραιο

μέρος του αφαιρετέου από το

! ακέραιο μέρος του μειωτέου. ι

Πολλές φορές κάνουμε τους μεικτούς κλάσματα και μετά κάνουμε την αφαί­ iρεση.

: Αφαιρούμε το

κλασματικό μέρος του αφαιρετέου από

το κλασματικό μέρος του μειωτέου.

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Να βρείτε τη διαφορά 4

t -2 ~. Δεν μπορούμε να κάνουμε την αφαί­

ρεση ( 1~ -

192)·

Έτσι παίρνουμε από το ακέραιο μέρος

του μειωτέου μια ακέραια μονάδα που

ισοδυναμεί με~~Kαι τα προσθέτουμε στ01~. Ο μειωτέος τώρα έχει ακέραιο μέρος 3 και κλασματικό μέρος ~~ .

Κάνουμε τους μεικτούς αριθμούς κλά­ σμστα.

Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα Ε.Κ.Π.

(3,4) = 12.

Κάνουμε την αφαίρεση.

Κάνουμε το κλάσμα μεικτό αριθμό, επειδή ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον

παρανομαστή

' 'ξεις 21- (23 - 8 3) Ν α κανετε τις πρα ®®@

~-(~-i) = ~-(~-~) _ 12 (16 9) - 24 - 24- 24

= ~~ - (1~49) _ 12 7 - 24 - 24 _ 5 - 24

308

Κάνουμε την αφαίρεση στην παρένθεση.

ΜαθTjματικά Α' Γυμνασίου

Να λύσετε την εξίσωση χ - 1 6

= g3

x- 1 =::g<=:> 6 3 χ =l+g<=:> 6 3

Η αφαίρεση κλασμάτων, όπως είδαμε, ανάγεται στην αφαίρεση φυσικών αριθμών. Έτσι και στην αφαίρεση κλασμάτων ισχύουν οι ιδιότητες της αφαίρεσης φυσικών αριθμών.

.

Στους φυσικούς αριθμούς μάθαμε όπ:

χ=1+1<=:>

6

6

Μ-Α=Δ<::>Μ=Α+Δ ή Α=Μ-Δ

χ - 5

Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για τους κλασμαπκούς αριθμούς.

-6

Η Μαρία ξόδεψε το ~ των χρημάτων της για τρόφιμα, το ~ για έξοδα του αυτοκινήτου και το

i για τη δόση του δανείου της.

Τι μέρος των χρημάτων της, τής έμεινε;

20

~

12

l +l

+ 1 _ 20 + 12 + 15

354_ 47 - 60 1

Τ-

60

47 _ 60 47 60 - 60 - 60 _ 13

- 60

.

Βρίσκουμε το μέρος των χρημάτων που ξόδεψε συνολικά.

Για να βρούμε το μέρος των χρημάτων που της έμειναν ; αφαιρούμε τα λεφτά από τη μονάδα. Το μέρος των χρημάτων που της έμεινε.

309

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

1.

Να βρείτε τις διαφορές:

(γ) ~~ - ~

(α) ~- ~

3 3

(δ) 3~-~ (ζ) 4 ~- 2~

5

2.

4

31- 2 ~

(θ)

1 178 - 125

2

5

Να κάνετε τις πράξεις:

(α) ~- (L_~) 4

3.

(στ)

10 5

(β)

8 - ( 2 ~ - 1 ~)

(β)

28

Να κάνετε τις πράξεις:

(α) 81(1 + ~) 234

3+ (1 3 - - 1 -3) 2 4

(γ) 1Ο ~ -( 3 - 1 ~)

4. Ο Κώστας ξόδεψε τα ~ των χρημάτων του για να αγοράσει σοκολάτες και το

*

για να

αγοράσει μολύβια. Τι μέρος των χρημάτων του τού έμεινε;

5. Να βρείτε ποιον αριθμό θα προσθέσουμε στο ~ γιο να βρούμε ~~. 6. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι~. Αν ο ένας προσf1ετ,~ος είναι~, ποιος είναι ο άλλος προσθετέος;

7. Ο κύριος Αλέκος ξόδεψε το ~ του μισθού του για τρ ιφιμα, το για τη δόση του δανείου του. Τι μέρος του μισθού ',( υ έμεινε;

i για ενοίκιο και το ~

*

8. Ένα αυτοκίνητο διάνυσε απόσταση 5 χιλιομέτρων. Ένα δεύτερο αυτοκίνητο διάνυ­ σε απόσταση 3 ~ χιλιομέτρων. Πόσα περισσότερα >..ιλιόμετρα διάνυσε το πρώτο αυτο­ κίνητο από το δεύτερο;

9.

Μια ντουλάπα αποτελείται από

3 κομμάτια που τοποθετούνται το ένα δίπλα στο άλλο. Το ένα από τα κομμάτια αυτά έχει μήκος 1 ~ m, το δεύτερο 190 m και το τρίτο 2 m. Να βρείτε αν μπορούμε να την τοποθετήσουμε σε ένα τοίχο που έχει μήκος 4 ~m.

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

10. Ένας κηπουρός φύτεψε τα ~ του κήπου του με γαριφαλιές, το ~ με τριανταφυλλιές και το υπόλοιπο με γρασίδΙ. Τι μέρος του κήπου του φύτεψε με γρασίδι;

11.Να λύσετε τις εξισώσεις:

(α) χ + .:l = .:l 8 2

(β) 21- ω = ~ 2 6

(γ) ψ + 1_1 = L 2 3 12 ------------_.-1

---_._------~----~_.-

111.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

e Πολλαπλασιασμός κλάσματος επί ακέραιο -Έχουμε τρεις ίσες σοκολάτες.

Θέλουμε να πάρουμε τα 152 των τριών σοκολάτων. Πόσες σοκολάτες θα πάρουμε;

Για να πάρουμε τα 152 των τριών σοκολάτων, αρκεί να πcφουμε τα 152 της κάθε σοκολάτας, όπως φαί­ νεται στο σχήμα.

. 5 5 5 - 15 Σ υνολικα' θ' α παρουμε. 12 + 12 + 12 - 12

(1)

Ξέρουμε ότι:

ο

0+0+0=0·3

Επίσης: 152 + 152 + 152 Από τις ισότητες

(2)

= 152 . 3

(1) και (2) συμπεραίνουμε ότι, αφού τα πρώτα τους

μέλη είναι ίσα, τότε θα είναι και τα δεύτερα μέλη ίσα. Δηλαδή

~·3=1§ 12 12

Γενικά

Για να πoλλ~~λ~σιάσoυμ~ κλάσμα επί φυσικό αριθμό, ΠΟλλαΠλα-Ι σιάζουμε τον αριθμητή με το φυσικό αριθμό και τον παρονομαστή! τον αφήνουμε τον ίδιο.

α

β .Υ

-_α'Υ β'

α, Υ ε

Ν

ο'

β

Ν

ε.

ο

ο

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Παρατήρηση:

Είδαμε ότι τα

152

των 3 σοκολάτων είναι ~ ~

ή

5

τα 12 του 3

είναι1§. 12

-5 · 3_-15 -

Επίσης Γενικά

12

12

Για να βρούμε το κλασματικό μέρoς~O~~ός'~;~-;;~' α,

°i

πολλαπλασιάζουμε το κλάσμα ~ επί τον αριθμό α.

Ι

Το ~ του α είναι ~. α, λ, α Ε Ν Ο' ν Ε Ν. _ _ _~ Παράδειγμα

1

Να βρείτε:

(α) τα ~ του 18

(β) τα 1~O του 500

(γ) τα ~ των 90 ο

Λύση:

(α) τα ~ του 18 είναι ~ . 18 = 2 . 18 3

3

3

= 36 = 12 3

,3 _ 3 . 500 _ 1500 _ 3 (β) τα 100 του 500 ειναι 100 . 500 100 - 15

----:roo -

(γ) τα ~ των 900 είναι ~ . 900 3

3

= 2·900 = 1800 = 600 3

3

Παράδειγμα 2 Η αξία ενός πλυντηρίου είναι € 1.400. Αν ο έμπορος κάνει έκπτωση

που είναι το 1 της αξίας του, πόσο θα πουληθεί το πλυντήριο; 5

!\tJΨi\t; αξίας του είναι το 1 των € 1.400 που είναι 5

5

1.1400 = 1400

5

1400 - 280

5

= €280 (η έκπτωση)

= €1.120

Άρα θα πουληθεί € 1.120. ί Αφαιρούμε την έΚΜωση από την αξία. ! '------_._-----_._--' 312

, ~ Ι

Μαθηματικά Α' [υμVQQίQ.ιΙ

• Πολλαπλασιασμός κλάσματος επί κλάσμα Έχουμε ένα ορθογώνιο.

•

6

6

Θέλουμε να βρούμε τα ~ των ~ του ορθογωνίου. Μάθαμε όπ Τα g των ~ είναι g. ~ .

3

6

Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι

(1)

3 6

Μπορούμε να βρούμε τα ~ των ~ και ως εξής:

~o(----

Χωρίζουμε τα ~ του ορθογωνίου σε 3 ίσα μέρη και χρωματίζουμε τα 2 από αυτά.

Το χρωματισμένο μέρος τώρα είναι τα ~~ όλου του

65

---~~

Ι Ι Ι Ι 11:: ~

ορθογωνίου.

g των ~ είναι 1Q

Δηλαδή

3

6

Από τις ισότητες

(2)

18

(1) και (2) συμπεραίνουμε ότι, αφού τα πρώτα τους

μέλη είναι ίσα, τότε είναι και τα δεύτερα μέλη ίσα. Δηλαδή

Παρατηρούμε ότι ο αριθμητής του κλάσματος ~ ~ είναι το γινόμενο 2·5 των αριθμητών, ενώ ο παρονομαστής είναι το γινόμενο 3 . 6 των παρονομαστών. Γενικά

Ι Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα, σχηματίζουμε έ~α κλ~

i σμα με αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το Ι

!

•

Ι γινόμενο των παρονομαστών.

i

α

γ_α·γ

β -δ '-----

-

β _δ'

α, γ ε

Ν

ο

και

β,

δ

ε

Ν

' .

.--_._--------

Με τον ίδιο τρόπο πολλαπλασιάζουμε και περισσότερα από δύο κλά­ σματα.

._-_._-----313

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Παράδειγμα

1

Να βρείτε τα γινόμενα:

(α) ~.

(β) i. 1f3.

g

5 7

(γ) ~.!i. ~ 7 9 10

9 31

Λύση:

(α) ~. g = 3·2 = ~ 575·735 2

18 _ 4 . Μ' _ 8 (β) 94 . 3Τ - $'. 31 - 3Τ 1

1

4

(γ) ~.!i. ~ = Ά' . ~ . ~ 7 9 10 7 ~3){)5 = 1 ·4· 1 7·3·5

Απλοποιούμε τα κλάσματα.

4

105

Να κάνετε τις πράξεις:

i Τρέπουμε το μεικτό αριθμό σε κλάσμα.! ~

Ι ΑπλΟΤ1()ιού]J.~. .

i

Ι Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό πρώτα. Ι Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα.

ΙΕ.Κ.Π.

(3, 10) = 30

i

Ι

.,._______ •_ _•_ _ _ •_ _ _... _ _... _.1

Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό πρώτα. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα.

314

._-------------------------Παράδειγμα

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

-

3

Να κάνετε τις πράξεις 5 ~ . 9· 1~' Λύση:

1

3

r

Τρέπουμε το μεικτό και το φυσικό αριθμό σε κλάσμα. Ι

5 g . 9 . -±- = Y1.g.-±3

17

1~ 1 _ 12

Ι

Κάνουμε τις απλοποιήσεις που υπάρχουν.

-Τ

ΙΙ Κανουμε ' 'ξ τις πρα εις. '------------_._---

= 12

ι

:

r-------·---·------ ------------._--.- .---.--------------.... !

1. Να βρείτε τα γινόμενα:

(α) ~. 4

(ε) +~.

(β) ~. 16

(δ) 21. 10

12

100

(8) 10·..J100

(στ) 20·

2

(η) 200· 1όο

g

3 (ι) 90· ~ 18

2. Να βρείτε τα γινόμενα:

(α)

g. 9. 3 7

(ε) ~_. ~2. 8 45 (8) ~. 2 2 12 5

(β) i. Ά. 5 44 5 8 (στ) - . 8 5

(ι)

(γ) 1. ~

6 7

(ζ)

31. g 2 3

31. 1 ~ 2

4

3. Να κάνετε τις πράξεις:

(α) %. (~+ ~) (δ)

(1 g5 + 1)3 .112

4. Ένα κιλό έχει 1000 γραμμάρια. Να βρείτε πόσα γραμμάρια είναι:

(α) τα %των 8 κιλών

(β) τα ~ των 6 κιλών

(γ) τα των 2 κιλών

(δ) τα ~ των ~ του κιλού

i

, _. __ ."

._. _ _ _ _ _ _ _ _ -

,~.

__ ._. __ .• _._.

~

- '"+_"_'

Ι

,-.Ι

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

5. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι:

(α) τα ~ της ορθής γωνίας

(β) τα ~ της ευθείας γωνίας

(γ) τα 1 της ορθής γωνίας

(δ) .τα ~ της πλήρους γωνίας

i

6. Να βρείτε:

(β) Πόσα m είναι τα

(α) Πόσα cm είναι τα ~ του m

i5 του

km.

7. Σε ένα σχολείο με 650 μαθητές, τα 173 των μαθητών είναι κορίτσια. Πόσα είναι τα κορίτσια;

8.

i

Ένας υπάλληλος ξοδεύει κάθε μήνα τα ~ του μισθού του για τροφή και το για ενοίκιο. Πόσα χρήματα ξοδεύει για τροφή και πόσα για ενοίκιο αν ο μισθός του είναι

9.

€ 1.920.

Σε ένα περιβόλι το

i των δέντρων του είναι λεμονιές και τα ~ αυτού του μέρους των

δέντρων έχουν ξηρανθεί. Τι μέρος των δέντρων του περιβολιού αυτού έχουν ξηρανθεί;

10.Αγόρασα 6 ~ κιλά πατάτες προς 28 σ το κιλό. Πόσα πλήρωσα; 11 :Ενα δοχείο χωρεί ~ του λίτρου γάλα. Πόσα λίτρα γάλα θα χρειαστώ για να γεμίσω 3 ~δoxεία;

12.κρατούσα €420. Ξόδεψα τα ~ των χρημάτων μου για την επιδιόρθωση του αυτοκινή­ του μου και τα ~ των υπολοίπων τα κατάθεσα στην τράπεζα. Πόσα χρήματα κατάθεσα στην τράπεζα;

13.Κάποιος αγόρασε 180 κιλά πατάτες προς 15 σενττο κιλό. Πούλησε τα ~ αυτών προς 25 σεντ το κιλό, τα 175 προς 20 σεντ το κιλό και τις υπόλοιπες στην τιμή που τις αγόρασε. Πόσα κέρδισε; 14.Τα 8 m ενός υφάσματος στοιχίζουν €16. Πόσα στοιχίζουν:

(α) τα

2 ~ m του

υφάσματος;

(β) τα

2 ~ m του

υφάσματος;

15:Ενα αυτοκίνητο που έτρεχε με σταθερή ταχύτητα, διάνυσε 240 km σε 4 ώρες.

*

Πόσα χιλιόμετρα είχε διανύσει στις 3 ώρες αν έτρεχε με την ίδια ταχύτητα;

Αντίστροφο ι αριθμοί Ας υπολογίσουμε τα πιο κάτω γινόμενα:

7 5

(α) §. Ζ 7 5

= 5·7 = 35 = 1 7·5

8·1

(γ) Χ. ~ Ψ

Χ

ψ

8

(β) 1. 8 = U 8

(γ) X.~

(β) 1·8

(α) §. Ζ

~~-

= ~8 = 1

ψ.χ

.-,,,.<-

,~~

•.

-~"~-

""-Κάνουμε τις πράξεις σύμφωνα με τον πολλαπλα-

35

=χ .ψ =1

χ

!

σιασμό κλασμάτων.

'

(χ ψ;t: Ο) '

Παρατηρούμε ότι στο καθένα από τα παραδείγματα το γινόμενο είναι

1.

Τότε λέμε ότι οι αριθμoί~, ~ ή οι αριθμοί

i, 8 ή οι αριθμοί *, t

είναι αντίστροφοι. Γενικά Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο

1 λέγονται αντίστροφοι αριθμοί

Παρατήρηση:

Σύμφωνα με τα πιο πάνω όλοι αριθμοί εκτός του μηδενός έχουν αντί­ στροφο. ~

,: ,

Να βρείτε τον αντίστροφο

i

(α) του αριθμού ~

(β) του αριθμού

(γ) 'fou αριθμού 27

(δ) του αριθμού 4

αντίστροφο

130

ο

(α) ο αντίστροφο ς του αριθμού ~ είναι ο αριθμός ~ (β) ο αντίστροφος του αριθμού

ο

i είναι ο αριθμός ~

(γ) ο αντίστροφος του αριθμού 27 = 217 είναι ο αριθμός

(δ) ο αντίστροφος του αριθμού 4

130

ενός

αριθμού αντιστρέ-

2j

= ~δ είναι ο αριθμός ~g 317

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Εφαρμογή

Να λύσετε την εξίσωση l . χ = 1 12

Λύση:

Ι Για να έχουμε γινόμενο 1 θα πρέπει οι αριθμοί 1721

172· Χ =1 χ

\ και χ είναι αντίστροφο ι. Αυτό σημαίνει ότι ο χ είΙ ναι αντίστροφος του 172

= 12 7

! Επαλήθευση

172' χ

l.12= 12

Η αρχική εξίσωση

=1

7

Αντικαθιστούμε χ

1

Άρα το "Jf είναι η λύση της εξίσωσης.

ή

1

= V-

= 1 (αληθής)

1. Να βρείτε τον αντίστροφο των αριθμών:

2.

(α)

194

(β) 1~

(γ) ~δ6

(δ)

(στ)

4~

(ζ)

(η)

(θ) ~

10

1~0

(ι)

100 1560

Να λύσετε τις εξισώσεις:

(α) ~. χ 13

=1

(δ) 51. φ = 1

2

318

18

(ε)

125

(β) 24· ω

=1

(ε) Ι. χ = 1

2

(γ) ~. ψ = 1 22

(στ) 36· λ

=1

!

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

b :δ=Π

Στη διαίρεση φυσικών αριθμών μάθαμε ότι:

δ.π

Το πηλίκο όταν πολλαπλασιαστεί με το διαιρέτη μας δίνει το

Διαιρετέο. Πχ

=Δ

Ο ο

ο~

J11

8:3~g .. g3~8

~

Και στην περίmωση διαίρεσης κλασμάτων λέμε ότι το πηλίκο είναι ο

/Υ-

αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με το διαιρέτη, δίνει το Διαιρετέο.

Ας πάρουμε τη διαίρεση ~: ~ Έχουμε:

~: ~ = χ

χ ειναι το πηλικο της διαίρεσης αυτής.

(1)

πηλίκο· διαιρέτης

χ.2 = ~ 5 4

= Διαιρετέος.

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το ~.

x·2.~=~.~ 5 2 4 2

(Ιδιότητα ισοτήτων)

x·1=~.§.

Οι αντίστροφοι αριθμοί δίνουν γινόμενο

4 2

χ = ~ . ~ ή ~: ~ = χ

1.

(2) Πολλαπλασιάζουμε

Από τις ισότητες

(1) και (2) συμπεραίνουμε ότι:

με τον αντίστροφο

του διαιρέτη που εί­

ναι ο αριθμός ~ 2 Γενικά

Ι Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουι

Ι με το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη Ι . Q.Y=Q.~ β' δ

Να βρείτε τα πηλίκα:

(α) ~. Ζ , 5' 8

(β) 1Q . 5 23'

β

γ

ο ο

•

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Λύση:

(α) ~. Ζ

= ~. ~ = 24

5' 8

5 7

35

Γράφουμε το διαιρέτη σαν

(β) ~~ : 5 = ~~ . § = 2~

κλάσμα και ακολουθούμε τον κανόνα διαίρεσης κλασμάτων.

i

(γ) 3 ~ : = ~ . ~ = ~4 = 4 ~ (δ) Q . 1 8'4

Τρέπουμε το μεικτό αριθμό σε

= Q. 1 = § = 2 Ι 8 1

Εφαρμογή

2

κλάσμα και συνεχίζουμε όπως

2

και στο (α) παράδειγμα.

1

Να λύσετε την εξίσωση χ. ~

3

= §7 Διαιρούμε το γινόμενο με τον ένα παράγοντα.

Άρα χ = 1 ~ 14

Εφαρμογή

Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαίρεσης κλασμάτων.

2

Ένα σχολείο έχει χ μαθητές. Στις τελικές εξετάσεις απέτυχαν

τα 158 των μαθητών. Αν απέτυχαν 250 μαθητές, πόσοι είναι όλοι οι μαθητές;

Λύση: χ είναι όλοι οι μαθητές.

Τα 158 των μαθητών είναι 250 ή

1\' χ

= 250

250 : 158 = χ 250· ~ 5

320

=χ

Άρα χ

= 900 μαθητές.

1

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

iiil

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε τα πηλίκα:

i

1

(β) ~ : 4

~. Ά

(στ) ~: ~

(α) ~:

(ε) 6' 18 (θ) 9 .27

(ι) 2

25' 25 (μ) 1: 1 ~

(δ)

(γ) 3 : ~

(ζ)

t: g

1:

i

. .1 (η) 1§ 21 . 3

(κ) 5 ~: 1 ~

(ν) 16: 1

(ξ)

16: ~

(λ)

2 ~: 6

i: 1

4

2. Να κάνετε τις πράξεις:

(α) ~: ~ +

(δ) (~:

i

(β) ~ + ~: !

(γ) ~: (~ + i)

(ε) ψ: 12 + 12 : Ψ (στ) (~: 9): ~

190) : ~ + ~ : 5

3. Να βρείτε με ποιο αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο αριθμός ~ για να μας δώσει: .

(α)

i

(β) ~~

(γ)

(δ)

136

2~

(ε) 5

(στ)

1

4. Να βρείτε με ποιο αριθμό πρέπει να διαιρεθεί ο αριθμός ~ για να μας δώσει:

(α) 2~ 5.

(β)

5

(γ) ~

(δ)

1

i

(ε)

1

(στ)

4

(ζ) 2~

Ένα μπουκάλι χωρεί ~ λίτρα λάδΙ. Πόσα μπουκάλια θα γεμίσουμε με 273 λίτρα λάδι;

6. Τα ~ ενός αριθμού είναι 7

i. Ποιος είναι ο αριθμός;

7. Τα ~ ενός αριθμού είναι 11. Ποιος είναι ο αριθμός; 8. Το

t ενός χωραφιού είναι φυτεμένο με λεμονιές, τα ~ με πορτοκαλιές

και το υπόλοιπο, που είναι 12 στρέμματα, είναι ακαλλιέργητο. Πόσα στρέμματα είναι όλο το χωράφι;

9. Κάποιος ξόδεψε τα ~ των χρημάτων του για τρόφιμα και το ~ των υπολοίπων για ενοίκιο. Του έμειναν €60. Πόσα χρήματα είχε;

10. Να λύσετε τις εξισώσεις:

(α) ~ χ 5

= ~4

(β) .1 ω

(γ) ψ: ~ =

3

= 1 g9

(β)

1 χ _1 = 11

15

(δ) ~: ν = ~

11. Να λύσετε τις εξισώσεις:

(α) g χ 3

+1 = 2

~ 4

2

4

3

321

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

§ 8. Σύνθετα κλάσματα Όπως το πηλίκο δύο φυσικών αριθμών γράφεται ως κλάσμα, έτσι και το πηλίκο δύο κλασμάτων συμφωνούμε να το γράφουμε ως κλάσμα. Δηλαδή

3

(α) i: ~ = ~ 7

(β) ~: 3 (γ)

24:

5

=!

~

=

~4 9

,------------'----.--------_.,---Ο αριθμητήςτου νέου κλάσματος είναι το! και ο παρονομαστήςτου το ~. Και ΟΙ δύο όροι του δηλαδή είναι κλάσματα.

Ι

Ο αριθμητής είναι το ~ και παρονομαστήςτο 3. Ι

Ο αριθμητής είναι το και παρονομα",ήςτο ~.I 2.

3

Στις πιο πάνω περιmώσεις παρατηρούμε ότι στα κλάσματα ~, 7 5 8 24 ο ένας τουλάχιστο από τους όρους τους είναι κλάσμα. 3' Τ

9

• Τ α κλάσματα αuτά λέγονται σύνθετα κλάσματα. Γενικά

Σύνθετο κλάσμα λέγεται το κλάσμα που ο ένας τουλάχιστο από Ι Ι 1 τους όρους του είναι κλάσμα. 1

L-___

322

i

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

• Τροπή ενός σύνθετου κλάσματος σε απλό κλάσμα Για να τρέψουμε ένα σύνθετο κλάσμα σε απλό κλάσμα εργαζόμαστε ως εξής:

7

8 _ 7,3 3-8'S S =I,Q

Γ

Ι Διαιρούμε τον αριθμητή του με τον παρονομαστή του.

8 3 _ 35

- 24 Παρατηρούμε ότι:

Ο αριθμητής του g~ ισούται με 7 . 5 και ο παρονομαστής του g~ ισούται με

8 . 3.

Έτσι:

Γενικά

Παράδειγμα 1 Να κάνετε απλά τα σύνθετα κλάσματα:

3

3

(α) S 2 7

(β) "[ 5

Μση:

3 (α) S 2

7

= 3·7 = gι 5·2

10

323

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

3 _ 8

3

(β) 8

-5

5

Γράφουμε 5 =

Τ

t

_ 3·1 - 8· 5

_ 3

- 40 6

(γ)~ = Τ 21 Ζ 3

Γράφουμε 6 = ~1 και 21 =Ι 3 3

3

Να κάνετε απλό το σύνθετο κλάσμα

l+l 31

41

3--12 6

[Kό:;~~μ;~.;:;ς~Ρόξ~ις στον αριθμητή !και τον παρονομαστή του σύνθετου

:κλάσματος. '<,"

11

= 12

.-

-~,,-

-, .--,

-.

.

11

_ -12

37

=

2 - 35 12 -12 12 11 . 12

12·35 _ 11 - 35

324

;Το ζητούμενο απλό κλάσμα.

1. Να κάνετε απλά τα σύνθετα κλάσματα:

2

(α) ~ 3

(δ) ~ 2

5

2.

7

Να κάνετε απλά τα σύνθετα κλάσματα:

l+g (α) ~~

g_l·§ (β) 3 2

f·

1W 2

(ε)

1

3·3

1.

1 1).1 2 15 ·5 1-·3 3

7-51

(στ) ~ 2

Να κάνετε τις πράξεις:

(α) ~ 4

(ε) 2.

(

(9 - 5)2_

~+ 1·2 4 2

15

(3 _2~)2 (δ)

(γ)

(β)

+2 5

2~- 1~

(γ)

§:_1 9

2

(στ) 1 ~ : 2 ~

§:. 18 6 25

(ζ) 2 .1. ~ 345

Να βρείτε πόσα cm είναι:

(α) τα ~ m

(β) τα ~ hm

3

(δ) τα 1 ~ dam

(γ) τα 20 km

3. Να λύσετε τις εξισώσεις:

(α)

§:. χ = 1 6

3

(β) ω . 1 ·4

= g5

(γ) 7 ~ - λ = ~ (δ) Ψ + ~ = 1 ~

4. Να κάνετε τις πράξεις: (α)

3 -1 +2 -. 423

(γ) 1+1.5

4

(δ) 20.-41 +-81

6· 24

5. Να κάνετε απλά τα σύνθετα κλάσματα:

21

(α) ~

.4 3

§ (β) _6_

3-21

2

(δ)

99:

1~

10--L 10

325

9.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ

il

Γ (ε) (2i+ :~ (στ) ξ + (~)' + 7

Ι,

I 1

!

+ -21

(ζ)

(5

6

+ 2 1) 1 1

3' 5

6.

Αν ξοδέψω το i και τα ~ των χρημάτων μου, τι μέρος των χρημάτων μου θα μου μείνει;

7.

Κάποιος πλήρωσε τα ~ και μετά το

1 1,

32 - 2 -41

6 - 4 -7

(4~-1 t): &

t του χρέους του. Πόσο ήταν όλο το χρέος

του, αν χΡωστεί ακόμα €350; 8. Ένας παντοπώλης είχε 45 κιλά λάδΙ. Πούλησε τα ~ προς 80 σεντ το κιλό και το ~ των υπολοίπων προς

75 σεντ το κιλό. Πόσα πήρε συνολικά από τις πωλήσεις;

9. Από ένα σύρμα μήκους 8 %m έκοψα 3 κομμάτια των 2 ~ m το καθένα. Πόσο σύρμα μου έμεινε;

10. Ένας γεωργός είχε 400 κιλά πατάτες. Από αυτές το 1~ καταστράφηκε. Μετά

πούλησε τα ~ των υπολοίπων προς 30 σεντ το κιλό και τις υπόλοιπες προς 25 σεντ το κιλό. Με τα χρήματα που πήρε αγόρασε 56 11. Η

κυρία Μαρία αγόρασε

i κιλά τυρί. Πόσα άξιζε το κιλό το τυρί;

12 κιλά κεράσια. Τα καθάρισε για να κάνει γλυκό. Το

των κουκουτσιών ήταν το

βάρος

i του βάρους των ακαθάριστων κερασιών. Πρόσθεσε στα

καθαρισμένα κεράσια ζάχαρη ίση με τα ~ του βάρους του. Στη συνέχεια έφτιαξε

γλυκό ίσο με τα %του μίγματος. Πόση είναι η ποσότητα του γλυκού που έφτιαξε η κυρία Μαρία;

12.'Ενας γεωργός αγόρασε σπόρο

1200 κιλά σιτάρι Γ'')ος 40 σεντ το κιλό. Η παραγωγή 30 σεντ το κιλό. Να βρείτε

του ήταν πέντε φορές μεγαλύτερη και την πούληοc; προς

πόσα κέρδισε ο γεωργός, αν το

i των εισπράξεων του ήταν τα έξοδά του για την

καλλιέργεια του σιταριού.

13. Ο κύριος Αντρέας έχει τρία χωράφια Α, Β, Γ με εμβαδόν

5 600 m2 το καθένα. Καλλιέργησε τα ~ του χωραφιού Α,

τα 1- του χωραφιού Β και τα %του χωραφιού Γ. (α) Ποιου από τα τρία χωράφια καλλιέργησε το περισσότερο μέρος;

(β) Πόσα m2 έμειναν ακαλλιέργητα στο κάθε χωράφι;

326

Α

Πώς χρησιμοποιούσαν οι άνθρωποι τους δεκαδικούς αριθμούς;

i

Είναι ευκολότερο να κάνουμε υπολογισμούς με χρήματα, βάρη και άλλα μεγέθη χρησιμο­ ποιώντας δεκαδικούς αριθμούς.

Ι Σήμερα με τη χρήση των υπολογιστών οι δε­

1-= ·1-•• ..ί ' ..-.'

ι~

Ι καδικοί,αριθμοί χρησιμοποιούνται όλο και i

περισσοτερο.

ί

,

ι-ι

,

Ι Χρησιμοποιουνται σε περιmωσεις που χρει-

!άζεται μεγάλη ακρίβεια. Π.χ. ο χρόνος σε : αγώνες, οι ραδιοφωνικοί σταθμοί (98,9), σε : βιομηχανίες φαρμάκων κτλ.

-==

1:1

-

Ξ

10. ΑΡΙΘΜΟΙ _ _ _ _ _ _ _ _ _,._.._ _ΟΙ _ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ _ _ _oC.-_....:....:c::..:.c:.

..._ _ _ _ _ _

Η μέτρηση και το μέτρο με τις υποδιαιρέσεις του Οι άνθρωποι από τα πολύ παλιά χρόνια χρειάστηκε να εισαγάγουν

μονάδες μέτρησης για να μπορούν να συγκρίνουν διάφορα πράγ­ ματα όμοια μεταξύ τους. Αρχικά οι μονάδες αυτές ήταν απλές. Για να μετρήσουν π-χ- το μήκος ξύλων χρησιμοποιούσαν άλλο ξύλο μι­ κρότερο. Αργότερα άρχισαν να αναζητούν πιο σταθερές μονάδες. Τέτοιες μονάδες τις αναζήτησαν στο ανθρώπινο σώμα. Μερικές μο­ νάδες μήκους είναι και οι πιο κάτω:

(α) Ο πήχυς είναι η απόσταση μεταξύ του αγκώνα και της άκρης του μεσαίου δακτύλου.

(β) Η πιθαμή είναι το μήκος μεταξύ του μικρού δακτύλου και του αντί­

χειρα, όταν η παλάμη είναι τεντωμένη.

(γ) Η ίντζα είναι το πλάτος του αντίχειρα.

(δ) Το πόδι είναι το μήκος του ποδιού.

(ε) Η παλάμη είναι το μήκος της κλειστής παλάμης.

(στ) Η υάρδα (γιάρδα)είναι η απόσταση από τη μύτη μέχρι το άκρο του μεσαίου δακτύλου, όταν το χέρι είναι τεντωμένο.

328

ίr

r t ~

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Οι πιο πάνω μονάδες είναι μεν πρακτικές, γιατί ο καθένας μας τις με­ ταφέρει μαζί του, δεν είναι όμως ακριβείς γιατί ο καθένας μας δεν έχει το ίδιο πόδι, την ίδια παλάμη κτλ. Έτσι οι άνθρωποι κατασκεύασαν τις ξύλινες ή σιδερένιες υάρδες και πήχεις. Η ακρίβειά τους και πάλι εξαρτάτο από τον κατασκευαστή. Οι προσπάθειες για μεγαλύτερη ακρίβεια και για μια μονάδα που θα χρη­ σιμοποιούσαν παγκόσμια συνεχίστηκαν μέχρι το

1971

που ορίστηκε

μια καινούρια μονάδα διαφορετική από τις προηγούμενες, το μέτρο.

«Μέτρο είναι το ένα δεκάκις εκατομμυριοστό (Τ6 001 000) της απόστασης από τον Ισημερινό ως το Βόρειο πόλο του μεσημ­ βρινού της Γης που περνά από το Παρίσι». Το μέτρο και οι υποδιαιρέσεις του, τα οποία εκφράζονται πολύ εύκολα με δεκαδικούς αριθμούς μας βοηθούν στο να κάνουμε υπολογισμούς με

ακρίβεια και ευκολία. Π.χ

1 μέτρο και 30 cm γράφεται 1,30 m.

Εκτός από τη μονάδα μήκους, το μέτρο, έχουμε και άλλες μονάδες που εκφράζονται με δεκαδικούς αριθμούς όπως οι μονάδες βάρους, οι νο­

μισματικές μονάδες κτλ.

'~

--------

~~ 329

10.

ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

-<,

ί.~'IιxαδΙK6 K~6σμOTα. Δεκαδικο:

Πολλές φορές οι φυσικοί αριθμοί δεν μας δίνουν με ακρίβεια κάποια μέτρηση, γι' αυτό χρησιμοποιούμε τους δεκαδικούς αριθμούς.

-ο ι κλ ασμαTlκες ' μονα'δ' 1 100' 1 1000' 1 ... ες. 10' έχουν παρονομαστή δυνάμεις του γράφονται και στη μορφή:

10,

0,1,0,01,0,001 ...

διαβάζονται: «ένα δέκατο», «ένα εKατoσrό», «ένα xιλιoσrό» ...

-τ κλ' . 5 4 9 18 α ασματα. 10' 100' 1000' 100 ... έχουν παρονομαστή δυνάμεις του γράφονται και στη μορφή:

10,

0,5, 0,04, 0,009, 0,18 ...

διαβάζονται: «πέντε δέκατα», «τέσσερα εKατoσrά», «εννέα χιλιο­ σrά», «δεκαοκτώ εKατOσrά»

Το κλάσμα 435 100 γράφεται 4,35.

=4

...

35 100

- Τα δεκαδικά κλάσματα, όταν γραφούν με το νέο συμβολισμό, λέ­ γονται δεκαδικοί αριθμοί. Πχ. οι αριθμοί 3,76

-Το

,

15,7 0,036

είναι δεκαδικοί αριθμοί.

(κόμμα), που χρησιμοποιούμε μετά το ακέραιο μέρος του

αριθμού, λέγεται υποδιαστολή.

- Τα ψηφία του αριθμού που είναι δεξιά της υπoδιασroλής λέγονται δεκαδικά ψηφία.

- Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό: .. .............. _. "1 !Γράφουμε μόνο τον αριθμητή και χωρίζουμε από! 253 = 253 10 ' ι δ εξ' , με μια υπο δ lαστολ"η,1 ;τα lα προς τα αριστερα 327 = 327 !τόσα ψηφία όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής. Ι 100 ' Γ-·-'"--"-·---·~"·-··

330

.~

~.,._~

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1660

Αν ο αριθμητής του δεκαδικού κλάσματος δεν έχει αρκετά ψηφία, γράφουμε

= 0,014

lπρος τα αριστερά του τόσα μηδενικά όσα χρειάζονται.

Ι ~

i

• Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα: 237

,

Ι

= 237 100

1

Ι Γράφουμε για αριθμητή τον αριθμό χωρίς υποδιαστολή και για παρονομαστή τη! Ι μονάδα, με τόσα μηδενικά όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού. ' ____________________________ .__________________ ι

~

§ 2. Ιδιότητες των δεκαδικών αριθμών • Ας συγκρίνουμε τουι; αριθμούς 2,3 2,30 2,300. Έχουμε:

2,3

_ 23 -ΊΟ

_ 230 _ 23 2,30 - 100 -ΊΟ - 23 2 ,300 -- 2300 1000 -ΊΟ Παρατηρούμε ότι: 2,3

= 2,30 = 2,300.

Δηλαδή

Αν στο τέλος ενός δεκαδικού αριθμού προσθέσαυμε ή αφαιρέ­ σουμε μηδενικά, ο δεκαδικός αριθμός δεν μεταβάλλεται .

• Αςπολλαπλασιάσουμεδεκαδικούςαριθμούςμετο 10,100,1000 ...

Έχουμε:

1,35·10 =

~~δ

.

10

_ 135

-10 = 13,5

0,124 . 100

=

124 . 100 .1000 _ 124

-10

Γράφουμε το 1,35 σε δεκαδικό κλάσμα.

---,1

ι :'::;::::σμα οε δεκα&κό αριθμό Ι

k _ _ _ _ _._ _ _ _ _ _ _ _•_ _ _ _ _ _.___

~

Γράφουμε το 0,124 σε δεκαδικό κλάσμα . Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

Μετατρέπουμε το δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό.

= 12,4 331

111.Q\

~EKAΔ\KΡU\P)<;)I,!IO\

2,45· 1000

= 245 . 1000 100

,, Γράφουμε

το 2,45 σε δεκαδικό

, κλάσμα.

= 245·10 = 2450

ι

Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

Δηλαδή

. Για να πολλαπλασιάσουμε ένα δεκαδικό αριθμό με το 10,100, 1000... μεταφέρουμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά τόσες θέ­ σεις όσα είναι τα μηδενικά του αριθμού με τον οποίο πολλαπλα­ σιάζουμε .

• Ας διαιρέσουμε δεκαδικούς αριθμούς με το 1Ο, 100, 1000 ...

Έχουμε: 12,5: 10

=

Ψ~

.

16

_ 125 - 100 = 1,25

· Γράφουμετο 12,5σεδεκαδικό κλάσμα.

Πολλαπλασιάζουμε με το αντί­

: στροφοτου 10. · Μετατρέπουμε το δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό.

0,367 : 100

= =

Γράφουμε το 0,367 σε δεκαδι­

36 10riO . 160 367 100000

= 0,00367

κόκλάσμα.

, Πολλαπλασιάζουμε με το αντίστροφοτου 100. · Μετατρέπουμε το δεκαδικό · κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό. · Το 425 είναι ακέραιος και μένει

425: 100 = 425· 160 _ 425 - 100

όπως είναι. Πολλαπλασιάζουμε με το αντίστροφο του 100. Μετατρέπουμε το

δεκαδικό

κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό.

= 4,25 Δηλαδή

Για να διαιρέσουμε ένα δεκαδικό αριθμό με το

10, 100, 1000...

. μεταφέρουμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά τόσες θέσεις i

332

όσα είναι τα μηδενικά του διαιρέτη.

•

r

, t,

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1.

2.

Να μετατρέψετε σε δεκαδικούς αριθμούς τα πιο κάτω κλάσματα:

7

15

15'

15' 1,2

5 100'

15 1000

15,4

0,25

0,025.

Να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς

2,5

0,4

(α) με το

. 4.

234 100'

Να μετατρέψετε σε κλάσματα τους πιο κάτω δεκαδικούς αριθμούς:

0,5

3.

23 100'

15,65

0,06

0,0758

1,873

(β) με το

10

100

(γ) με το

1000

(γ) με το

1000

Να διαιρέσετε τους αριθμούς

47,56

1,55

(α) με το

.'\

ι '1,

0,2

31,8

~:?".

7,8

(β) με το

10

.":":;

23

100

a{D:J~O!~:Gr"

• Ας βρούμε το άθροισμα 3,27 + 2,5

Έχου με:3,27 + 2,5

= 327 + 25 100 10 _ 327 + 250 100 _577 - 100

\'~'--'~-

-,,~~

,.,

Γράφουμε το 3,27 και το 2,5 σε δεκαδικά κλάσματα. ~ Κάνουμε ομώνυμα και προσθέτουμε.

iΜετατρέπουμε το δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό ί

•αριθμό.

= 5,77 Στο ίδιο αποτέλεσμα φθάνουμε πιο εύκολα, αν γράψουμε τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο έTm, ώστε οι υποδιαστολές να είναι στην ίδια στήλη (η μια κάτω από την άλλη).

3,27 2,5 5,77

+

:Προσθέτουμε όπως και τους φυσικούς αριθμούς. ιΒάζουμε την υποδιαστολή στην ίδια στήλη.

10.

ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜ.::.Ο:...Ι_ _~_ _ _ _ _ _ _ __

8Ας βρούμε τη διαφορά 23,6-2,75.

23,60 2,75 20,85

ΙΙ Γράφουμε τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο με

11

τις υποδιαστολές στην ίδια στήλη.

Ι Κάνουμε την αφαίρεση όπως και στους φυσικούς αριθ-

i μούς. Βάζουμε την υποδιαστολή στην ίδια στήλη.

1

----'1

L

§ 4. Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών 8 Ας

βρούμε το γινόμενο 2,6· 0,19

'Εχοuμε'. 26 019 -- 10' 26 , .,

19; 100

----------------,

Γραφουμε ' θ '26 Ι τους αρι μους , και Ι

: 0,19 σε δεκαδικά κλάσματα.

!

! Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

_ 494 - 1000

!Μετατρέπουμε το δεκαδικό κλά­

= 0,494

L._ _ _ _ _ _ _ _ _---I

Ι σμα σε δεκαδικό αριθμό.

Μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

iΠολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς όπως και τους φυ­

2,6 0,19

χ

των δύο αριθμών.

234 26 0,494

Ι σικούς αριθμούς. Μετρούμε τα δεκαδικά ψηφία και

Το γινόμενο θα έχει τόσα δεκαδικά ψηφία όσα είναι τα

+

δεκαδικά ψηφία και των δύο αριθμών.

Δηλαδή, το

2,6 έχει ένα δεκαδικό

ψηφίο και το

0,19

έχει δύο δεκαδικά ψηφία.

Άρα το γινόμενό τους θα έχει τρία δεκαδικά ψηφία δη­ λαδή

0,494.

§ 5. Διαίρεση δεκαδικών αριθμών 8

Διαίρεση δεκαδικού αριθμού με φυσικό αριθμό Ας βρούμε το πηλίκο

64,88: 4 "'-"-_""".'

,

_ 6488 1 Εχοuμε: 64,88: 4 - 100 . 4" _ 1622 - 100 = 16,22

334

~._----,

Ι Γράφουμε το 64,88 σε δεκαδικό iκλάσμα.

! .

1Αντιστρέφουμε το 4 και πολλα-

!πλασιάζουμε.

I~;:;::~~~~;;~~J

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Μπορούμε να εργαστούμε και ως εξής:

64,88

4

24

16,22

08

Ι Διαιρούμε τους αριθμούς όπως και τους φυσικούς αριθμούς, με τη διαφορά

Ι

1

ότι, πριν κατεβάσουμε το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του διαιρετέου, βάζουμε 1 i υποδιαστολή στο πηλίκο.

J

L-

_

Ο

• Διαίρεση φυσικού αριθμού με φυσικό αριθμό, όταν η διαίρεση είναι ατελής Ας βρούμε το πηλίκο 45 : 8

45,000 50

8

f----

5,625

20

Ι Γράφουμε το διαιρετέο σαν δεκαδικό αριθμό.

145 =45,0 = 45,00 = 45,000 = 45,000 ... Ο , Καταλήγουμε σε διαίρεση δεκαδικού αριθμού με φυσικό αριθμό.

i______

< ____ ,

, _ , _ _ _ _<

_"

_ _ _ _ <, _ _ _ , , _ _ _ _ _ , , < _ ,

40 Ο

• Διαίρεση δεκαδικού αριθμού με δεκαδικό αριθι.ό Ας βρούμε το πηλίκο 2,808 : 1,2

2,808

r-

28,08

12

40

2,34

Γράφουμε τη διαίρεση όπως και στους φυσικούς αριθμούς. Πολλαπλασιάζουμε και το διαιρετέο και το διαιρέτη με κατάλληλη δύναμη του i

10, έτσι ώστε ο διαιρέτης να γίνει φυσικός αριθμός.

48 Ό

να μετα-

335

10.

ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ~PIΘMOI

__ ._._ ....______.__ ....___________ .. _. ____ .______.. ______._

•

Πηλίκο με προσέγγιση Στις πιο πάνω διαιρέσεις συνεχίζαμε τη διαίρεση μέχρι που βρί­ σκαμε υπόλοιπον μηδέν. Ας δούμε τώρα τη διαίρεση

17,6: 3

Γ·-----,·--------

17,6

3

26

5,8666

ι

Γράφουμε τη διαίρεση όπως και στους φυσι- Ι

: κούς αριθμούς.

Ι

Ι που έχουμε, βρίσκουμε υπόλοιπο 2.

Ι

Ι Τελειώνοντας τη διαίρεση με τους αριθμούς Ι

20

Συνεχίζουμε τη διαίρεση προσθέτοντας στο Ι

20

υπόλοιπο

κάθε

φορά

ένα

μηδενικό.

Παρατηρούμε ότι, όσο και αν συνεχίσουμε τη Ι

20

διαίρεση, δεν θα βρούμε ποτέ υπόλοιπο Ο.

Στην περίmωση αυτή «σταματούμε» τη διαί- Ι

2

Ι ρεση σε κάποιο δεκαδικό ψηφίο.

! Έχουμε τότε πηλίκο με προσέΥγιση,δεκάτου,

! !

εκατοστού, χιλιοστού κτλ.

Γ~-====~==~~~=====

i Το πηλίκ? 5,8666 το γράφουμε με προσέγγιση

5,866 :6"" 5,867

;

χιλιοστου

~_, Ι

i

5,867

___ ...._._

. _____ ..J

------_._..,

ι

5,86 :66"" 5,87

;

ι

Το πηλίκο 5,8666 το γράφουμε με προσέγγιση

i εκατοστού 5,87.

i i

!. Το πηλίκο 5,8666 το γράφουμε με προσέγγιση Ι , Ι δεκατου 5,9. _.... __________ .__ .j

ι

ι

5,8 :666"" 5,9 ι

Το σύμβολο

Ι

""

διαβάζεται

«περίπου ίσο με».

Όταν το ψηφίο δεξιά της διαχωριστικής

γραμμής ε{ναι

μεγα­

λύτερο ή ίσο με

5,

τε

στον

στερά

αριθμό

της

τό­ αρι­

διαχωρι­

στικής γραμμής προ­ σθέτουμε

ο

336

1 μονάδα.

ο ο

ο

ο

•

-------_._------------------------------'-..-

Μαθηματικά Α' Γυμνασ{ου

~

§ 6. Τροπή κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό

J J

• Ας μετατρέψουμε τα κλάσματα 1~ και§- σε δεκαδικούς αριθμούς. Ξέρουμε ότι -1i- = 15: 8 Έτσι για να μετατρέψουμε το κλάσμα κάνουμε τη διαίρεση

15

8

70

1,875

·if σε δεκαδικό αριθμό

15: 8. ---Ι

Στο υπόλοιπο 7 προσθέτουμε ένα μηδενικό και στο πηλ(κο μετό Ι 1, βάζουμε υποδιαστολή και συνεχΙζουμε τη διαΙρεση. Πρασθέτουμε ένα μηδενικό κάθε φορά στο υπόλοιπο και συνεχί- . ζουμε τη διαίρεση. . Ι

το

60 40

ι

~,-------_._~_.)

= Έτσι έχουμε:

Jl = 1,875

Ξέρουμε ~ = 4 : 9 Έτσι για να μετατρέψουμε το κλάσμα ~ σε δεκαδικό αριθμό κά­ νουμε τη διαΙρεση

40

4: 9.

.

9

40

-----

ί

1----

-------,

;

! Το 4 δεν διαιρείται με το 9 γι' αυτό βάζουμε ένα μηδεVΙKό στο 4 i Ι και Ο με υποδιαστολή στο πηλίκο και συνεχίζουμε, όπως και πιο i

0,444 ...

i πάνω τη διαίρεση.

40

j Σταματούμε τη διαίρεση, γιατί δεν θα βρούμε ποτέ υπόλοιπο Ο.

___.___.__ ._..___________ J

l

4

Έτσι έχουμε: ~::: 0,44 με προσέγγιση εκατοστού ~ ::: 0,4 με προσέγγιση δεκάτου

ο αριθμός δεξιά της διαχωριστι­ κής γραμμής ε{ναι μιιφ6τερος

Δηλαδή το ~ δεν μετατρέπεται ακριβώς σε δεκαδικό αριθμό ι

0,44 ,: 4 '" 0,44

,

του

5'

γι' αυτό ο αριθμός αριστε­

ρά της διαχωριστικής γραμμής μένει ο {διaς.

ο

ο ο

' :

10.

ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ερώτηση:

Ποια από τα κλάσματα ~,

i, t, i, i, t' i, ~

μετατρέπονται

ακριβώς σε δεκαδικό αριθμό; Παρατήρηση:

•

Οι αριθμοί

i = 0,333 .. . i = 0,166 .. . ~

= 0,111 .. .

+ 0,142857142857 ... =

Το πηλίκο δεν είναι ακριβές. Το πηλίκο έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία που κατά κάποιο τρόπο επαναλαμβάνονται Οι δεκαδικοί αυτοί ονομάζονται περιοδι­

κοί δεκαδικοί αριθμοί. Ανήκουν στους ρητούς αριθμους.

Για τους ρητούς αριθμούς θα ασχοληθούμε αργότερα.

• Οι αριθμοί 1 } -2 = 0,5

t = 0,25

•

Οι δεκαδικοί αυτοί αριθμοί έχουν τέλος.

Ανήκουν στους ρητούς αριθμούς.

Οι αριθμοί που δεν είναι περιοδικοί και έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία αλλά δεν επαναλαμβάνονται, δηλαδή δεν μπορούν να γραφούν σε μορ­ φή κλάσματος όπως οι πιο πάνω δύο κατηγορίες, ονομάζονται άρρη­ τοΙ.

Στους άρρητους αριθμούς ανήκουν οι αριθμοί που η τετραγωνική

τους ρίζα δεν είναι ακέραιος αριθμός. Π.χ.

338

123 = 4,795831523 ...

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ~

"

-

,

~.

",

,'_,

1. Να κάνετε τις πράξεις: (α) 4,6

+ 7,46

(β) 25,44

+ 11,6 + 12,78

(δ)

40,65-18,49

(ε)

(ζ)

1,3 ' 0,18

(η) 3,14' 8

(ι)

0,023, 0,14

(ιγ)

(γ) 3,468 (στ)

14,6 -11 ,35

+ 12,84

8,19-3,8

(θ) 11,4' 1,15

(ια) 0,15: 0,5

(ιβ) 1 : 0,08

(ιδ) 0,0018: 0,09

0,04: 0,2

. 2. Να κάνετε τις διαιρέσεις: (α)

3.

(β) 4,05 : 3,6

15,6: 1,2

(γ)

5,616: 1,8

(δ) 12: 0,04

42: 12,5

(δ) 82: 0,32

Να βρείτε με προσέγγιση δεκάτου το πηλίκο: (α)

(β) 130,4: 3,6

38,2: 1,2

(γ)

4. Να βρείτε με προσέγγιση εκατοστού τα πηλίκα: (α)

(β)

15,88: 12

(γ)

10,6: 0,27

9,2: 7

(δ) 2,05: 9

5. Να μετατρέψετε σε δεκαδικούς τα κλάσματα:

(α) ~

(β) ~

(γ) ~

6. Να μετατρέψετε σε δεκαδικούς με προσέγγιση εκατοστού τα κλάσματα:

(α) 1~ 7.

(β)

1

(γ) ~g

Να κάνετε τις πράξεις: (α)

2,5

+ 3,1 ,4

(γ) (2,3)2

+ (4,1)2

(ε) ~ + 5,48

(β) (12,6 - 3,15) : 4,2

+ 3,2,1,4 (στ) 5 ~ : 0,8 + ~ , 4,3 (δ)

13,84: 1,6

8. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) 3,14Χ = 12,56

+ 11,74

(β) 2,4 χ

+ 4,82 = 8,96

10.

ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

9.

Αγόρασε κάποιος κεράσια προς €4,80 το κιλό και πλήρωσε € 120. Του χάλασαν όμως 5 κι­ λά. Πόσα πρέπει να πουλεί το κάθε κιλό από τα υπόλοιπα για να κερδίσει συνολικά € 16;

10.

Ένας μανάβης αγόρασε 15 κιλά μήλα προς €6 το κιλό. Κράτησε το 16 των μήλων για το σπίτι του. Πούλησε τα υπόλοιπα και εισέπραξε

€ 18 περισσότερα από όσα έδωσε για να

τα αγοράσει Πόσα το κιλό πούλησε τα μήλα;

11. Θέλουμε να καλύψουμε με ορθογώνιες πλάκες μια αυλή μήκους 9 m και πλάτους 4 m. Οι

πλάκες που αγοράσαμε έχουν μήκος ~ m και πλάτος 0,6 m. Πόσες πλάκες θα χρεια­ στούμε;

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

1. Δίνεται το σύνολο αναφοράς Ω = {1, 2,3,4,5,6, 7} και τα υποσύνολα του, Α = {1, 3, 5}, Β =

{2, 3, 4, 6}.

(α) Να βρείτε τα σύνολα Α υ Β, Α n Β, Α', (Α υ Β)' (β) Να κάνετε το διάγραμμα των συνόλων Ω, Α, Β.

Ω

2. Με βάση το σχήμα να βρείτε τα σύνολα: Β, Α

3.

n

Β, Β υ Γ, Γ', (Α υ Β)'

Να βάλετε στα τετραγωνάκια τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να ισχύει η ισότητα: (ι)

{4, 6, D, 7}n{O, 5,

(ιι) {α, β, γ,

D,

6,Ο}={Ο,

ε, Ο} υ {ζ,

D,

ι, β}

1,4}

= {α, Ο,

γ,

D, δ,

ρ, ε, η, Ο}

4. Να κάνετε τις πράξεις: (α)

30: 6 + 4 + 5 . 8

(β)

8 + 10·5 + 6 : (13 - 7)

(γ)

(5 + 3 . 2) . 2 - 1Ο + 8 : 4

(δ)

15+7·(8-5+1)-12:(9-3)

5. Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) χ

(δ)

+ 13 = 31

15-Χ

=8

(β) χ-7 (ε) χ:

= 26

2 =7

(γ) 3Χ

= 36

(στ) 2χ+5=27

6. Κάποιος πούλησε 360 κιλά πατάτες προς 15 σεντ το κιλό. Από τα χρήματα που πήρε έδωσε στην κόρη του 240 σεντ και με τα υπόλοιπα αγόρασε ύφασμα προς

120 σεντ το

μέτρο. Πόσα μέτρα ύφασμα αγόρασε;

7. Κάποιος αγόρασε βούτυρο προς 85 σενττο κιλό και το πούλησε προς 103 σενττο κιλό. Από την πώληση κέρδισε συνολικά €45. Πόσα κιλά βούτυρο αγόρασε;

341

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ

!Γ

8.

Κάποις αγόρασε έπιπλα αξίας €4.800. Έδωσε € 1.200 σαν προκαταβολή. Τα υπόλοιπα θα τα ξοφλήσει σε μηνιαίες δόσεις των € 120. Σε πόσους μήνες θα ξοφλήσει;

9.

Αγόρασε κάποιος ντομάτες προς 35 σενττο κιλό και πλήρωσε €84. Του χάλασαν όμως 8 κιλά. Πόσα πρέπει να πωλεί το κάθε κιλό από τις υπόλοιπες για να κερδίσει €8,80;

ι

: 10.Στο σχήμα έχουμε ΓΟ l- ΟΔ, ΖΟ l- ΒΟ και ΑΟΒ

= 1800.

Στα παρακάτω να υπογραμμίσετε τη λέξη ορθό ή λάθος.

11.

ΒΟΕ

αμβλεία

ορθό / λάθος

ΕΟΖ

οξεία

ορθό/ λάθος

ΒΟΓ και ΓΟΑ

παραπληρωματικές γωνίε'~

ορθό/ λάθος

ΔΟΑκαιΑΟΕ

εφεξής γωνίες

ορθό

/ λάθος

ΑΟΖ

ευθεία γωνία

ορθό

/ λάθος

:~B Ε

Ζ

Η γωνία α του σχήματος είναι τριπλάσια της γωνίας β. Να βρείτε τις γωνίες α και β. Ζ

, 12.Στο σχήμα ΓΟ l-AB, η ΖΟ είναι η διχοτόμος της ΑΟΓ και ΕΟΒ = 320. Να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΟΖ, ΖΟΓ, ΓΟΕ, ΒΟΔ, ΔΟΑ.

Γ Ε

! _ _ _---::~ι....::.:=---_

Β

Ε

.13.

Στο σχήμα η ΑΒ είναι κάθετη στη ΓΔ.

Α

-----=='JFo:!:-T-'-=--- Β Ζ

Να υπολογίσετε τις γωνίες Χ και ΕΟΓ.

14. Δυο γωνίες είναι συμπληρωματικές και η μια είναι κατά 180 μεγαλύτερη της άλλης. Να

βρείτε τις δύο γωνίες. 15.Αν ΑΟΓ

= 400 και η

Γν Δ ΟΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας

ΒΟΓ, να υπολογίσετε τη γωνία ΒΟΔ. Α

342

ο

Β

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

16. Να υπολογίσετε τη γωνία Χ.

17. Στο σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ.

Α

Να βρείτε όλες τι~ γωνίες του σχήματος αν η ΓΔ είναι η ΔΔ

διχοτόμος της ΑΓΕ.

650

BL---------~r~----E

18.

Δεδομένα

Ζητούμενα

ΑΒΓ σκαληνό τρίγωνο

Δ 1 , Γ\

ΑΔύψος

Α 1 = 400 ω = 1200

Α

ω

Β

Γ

ε1

, 19. Αν ε 1 11 ε2 να βρείτε τις γωνίες του σχήματος.

ε

2

χΑ

\Χ+580

20. Στο σχήμα δίνεται κύκλος με κέντρο Κ. Να συμπληρώσετε τις πιο κάτω ισότητες.

(β)

= ΚΣ = ...... = ..... . ΑΡ = ..... .

(γ)

ΑΤ = ..... .

(δ)

ΑΣ

(α)

ΚΑ

= ..... .

Α

21. Στο διπλανό σχήμα δίνονται: ΑΒΓ τυχαίο τρίγωνο, ΒΕ διχοτόμος της γωνίας Β.

Να υπολογίσετε τις γωνίες Β 1 , Ε 1 , Ε 2 και τις γωνίες Β, Γτουτριγώνου ΑΒΓ.

B~--------------~-Γ

343

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ

Γ

Β

Κ

Ε

22. Στο σχήμα είναι ΓΒ 11 ΚΕ και ΑΖ η διχοτόμος της

ΓΑ.Δ. Να υπολογίσετε τις γωνίες φ, θ, ω, χ.

ε 1 ------~~----------

23. Στο σχήμα είναι ε 1 11 ε2 και ΑΒ 1- ε2 . Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ.

24. Στο σχήμα είναι ε 1 " ε 2 ,

a= 70'

και β == 130Ό

Να υπολογίσετε τις γωνίες γ, δ, ε, ζ, η.

Χ' ----.-'ιr-τ---- Χ

25.Αν χχ' 11 ΒΓ, ΑΒ

= ΑΓ, ΒΔ 1- ΑΓ και

Α.

= 48'

να υπολογίσετε τις γωνίες Γ, φ, ω, θ, ψ. Β ~...L...;'--

_ _ _ _.....

Γ

26. Αν ε 1 11 ε2 να υπολογίσετε τις γωνίες χ,ψ,ω,θ,φ.

27.

Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ΑΗ 1- ΓΔ.

Οι ΑΗ και ΒΓ προεκτεινόμενες συναντώνται στο

σημείο Ε. Αν η γωνία ΓΕΗ έχει μέτρο 23' να υπο­ λογίσετε τα μέτρα των υπόλοιπων γωνιών του σχή­ ματος.

344

.LΞL, Γ

28. Στο διπλανό σχήμα δίνονται

ΖΔ

11

ΗΕ, η ΑΓ είναι

Ζ

διχοτόμος της ΒΑΔ και η ΒΓ είναι η διχοτόμος της ΑΒΕ. (α) Να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΒΓ, ΒΑΓ, Γ, BAl.

Δ

(β) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του;

Η

Ε

ε1

Α

29.Στο σχήμα δίνονται ε 1 11 ε 2' ΑΒ

ABJ..AΔ,ABE

= ΑΓ,

= 1250.

Να βρείτε τις γωνίες Α

l'

Δ l' Γ1 , Α 3 , Α 2

και να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ε

i

12Ζ§;:" Β

Γ

Δ

30. Να βρείτε τις τιμές των πιο κάτω παραστάσεων:

(δ)

. 31.

Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια, ώστε να ισχύουν οι πιο κάτω ισότητες:

(α)

2" . ~ =

212

(δ) (253)0 = 530

32.

(12-3)3: 3-1 + (16-8)0- (9-7)3

(β) χΙ':χ3 = Ρ (ε) 70 =1

Να γράψετε ως μια δύναμη την παράσταση

i

(στ)

34·27·812·3.

; 33. Αν α = 3 και β = 2 να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α Γ = 3αβ2 + 4 (α + β)2. 34. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α

= 20 ]6: 70 = 7

(γ) (23)4

= 5α

3

- 3β4, Β

= β5 - 2α + 1, 2

= 90 Ο) με ΑΒ = 15 m και ΒΓ = 25 m. Να βρείτε την

περίμετρο και το εμβαδόν του.

35.

Παραλληλόγραμμο έχει βάση

18 m και αντίστοιχο ύψος 8 m. Τούτο είναι ισεμβαδικό με ρόμβο, του οποίου η μία διαγώνιος είναι 8 m. Να βρείτε την άλλη διαγώνιο του ρόμβου.

36.

Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ

= ΑΓ = 15cm καιΒΓ = 24cm. Να βρείτε το εμβαδόν του. 345

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΛΗ-".Σ-'τ-'-'Η.:Σ-'γ-'-'Λ-'-'.Η..,..Σ_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

r-----------------------

Ρόμβος έχει περίμετρο 52 cm και μία διαγώνιο 24 cm. Να βρείτε το εμβαδόν του.

! 37. !

Ι 38. Τετράγωνο έχει περίμετρο 64 cm και είναι ισεμβαδικό με τρίγωνο που έχει βάση 32 cm. Να Ι Ι

βρείτε το αντίστοιχο στη βάση αυτή ύψος του τριγώνου.

i i

Ι

39. Παραλληλόγραμμο έχει βάση 25 m και είναι ισοδύναμο με ορθογώνιο που έχει μήκος 20 m και περίμετρο 60 m. Να βρείτε το αντίστοιχο στη βάση αυτή ύψος του παραλληλογράμμου.

i

40. Να βάλετε στο τετραγωνάκι κατάλληλο ψηφίο ώστε: (α)

ο αριθμός

750

να διαιρείται με το

(β)

ο αριθμός

750

να διαιρείται με το 9

(γ)

ο αριθμός

150

να διαιρείται με το

2 και το 3

(δ)

ο αριθμός

2670

να διαιρείται με το

2 και το 5

(ε)

ο αριθμός

8030

να διαιρείται με το

1Ο και το 9

(στ)

ο αριθμός

4070

να διαιρείται με τους αριθμούς

2

2 και 5 και 9

41. Να βρείτε το Ε.κ.π. και το Μ.Κ.Δ. των αριθμών: (α)

180,120,420

(β)

200,80,2· 3·52

(γ)

360, 108, 126

(δ)

24·3 '52,2·33,90

42. Κάποιος έχει 400 μολύβια, 300 τετράδια και 200 πένες και Θέλει να ετοιμάσει όμοια δέματα. (α) Πόσα το πολύ όμοια δέματα μπορεί να ετοιμάσει; (β) Πόσα μολύβια, πόσα τετράδια και πόσες πένες θα περιέχει το καθένα;

43.

Τρία αεροπλάνα βρίσκονται προσγειωμένα στο αεροδρόμιο Λάρνακας. Το πρώτο κάνει τη διαδρομή του και επανέρχεται στη Λάρνακα κάθε κάθε

20 ώρες, το δεύτερο κάθε 30 και το τρίτο

12 ώρες.

(α) Αν ξεκινήσουν και τα τρία μαζί, μετά από πόσες ώρες θα ξανασυναντηθούν και τα τρία αεροπλάνα στη Λάρνακα; L~~,

346

(β) Πόσα δρομολόγια θα έχει κάνει το κάθε αεροπλάνο;

__ .

_~_",,~

__ ~_.

.<~_~"~_'_'

~

.. _.",,~.

_,. _____ .____ .~

_~._._~~~_._~

Γ44. ΊΞνας δάσκαλος-ρωτήθηκε πόσoυ~ μαθ~~ές-έxει K~~α~άν~;;~(7Exω περισσότερ~~~ απόΊ 350 και λιγότερους από 400. Αντους χωρίσω σε ομάδες ανά 8 ή 12 ή 15 περισσεύουν 3». Πό- Ι

:

!

.

σους μαθητές έχει ο δάσκαλος;

45. Να

κάνετε τις πράξεις:

(α) g + ~-~ 3 4 12

(δ)

(1] -5 ~ ) : 2 ~

3 1 (ζ) ( 2- 3

)2

(g5 + ~).1 2 3 (ε) (6-3~): (2 + 1~)

(β)

(Υ) (~+~):~ (στ) (~+ ~)2

(η) (~)2 + (t)2

46.Να λύσετε τις εξισώσεις:

(α) x-2~=41 4 2

(β)

(γ) ~x = 1 ~

(δ) Χ:!=

(ε)

152:

χ

=

~

(στ)

3 ~- χ = 2

t

16

g χ +1 χ =

1~ 324

47.Να κάνετε απλά τα σύνθετα κλάσματα:

(α) 1 ~ - ~

(β) (3 ~ - 1~ ) : 1 ~

~'1~ (δ)

(1~_1)2

(5-2~).~

---2~·1 6'2

48. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η μια οξεία γωνία του είναι 170 της ορθής. Πόσες μοίρες είναι η άλλη οξεία γωνία του;

49.

Είχα € 1.272. Ξόδευσα το ~ των χρημάτων μου και αγόρασα τηλεόραση. Μετά ξόδευσα τα

.

50.

Κάποιος αγόρασε 180 κιλά πατάτες προς 15 σενττο κιλό. Πώλησε το ~τωνπατατώνμεKέΡ-

!

! των υπολοίπων χρημάτων μου και αγόρασα βιβλιοθήκη. Πόσα χρήματα μου έμειναν;

δος 4 σενττο κιλό, τα ~ τους με ζημιά 2 σενττο κιλό και τις υπόλοιπες στην τιμή που τις αγό­ ρασε. Πόσα πήρε από την πώληση;

347

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΛΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ

51.

Κάποιος πούλησε τα ~ από ένα βαρέλι γεμάτο με λάδι και του έμειναν 24 κιλά λάδι. (α) Πόσα κιλά ήταν όλο το λάδι;

(β) Αν κάθε κιλό λάδι το πούλησε προς € 2 ~, πόσα πήρε από το λάδι που πούλησε; 52. Πλήρωσα για την αγορά αυτοκινήτου το των χρημάτων μου και για επιδιόρθωση τα ~ των

i

χρημάτων μου. Αν μου έμειναν €240, πόσα ήταν τα χρήματά μου;

53. Δυο συνέταιροι μοιράστηκαν ένα ποσό χρημάτων. Ο πρώτος πήρε τα ~ των χρημάτων και ο δεύτερος τα υπόλοιπα. Αν ο δεύτερος πήρε €75 περισσότερα από τον πρώτο, πόσα πήρε ο καθένας;

*

και β = ~ να υπολογίσετε την παράσταση Α = ~ ~ g.

54.

Αν α =

55.

Να κάνετε τις πράξεις:

(4 ~ -1i): ~~ + (7 -6i)' ~ 56.

Να κάνετε τις πράξεις: (α)

3,56

+ 15,49 .(δ) 9 ~ - (2,03 + 1,4)

+ 5,2·3

(β)

(γ) 4,8· (7,2 - 5,19) + 1 ~ 57.

Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) Χ

+ 2,7

(γ) χ:

58.

60.

(β) 0,25χ

= 5,8

0,231

(δ) 0,3χ

= 100

= 72,5

= 3~

Να κάνετε τις πράξεις:

(α) 59.

42,8: 1,6

(12,4 - 0,42) . 3 0,4

(β)

(2,6

+ 5 ~ ) : 0,4 - 1 ~

Παντοπώλης είχε 50,5 κιλά πατάτες. Πούλησε 14,5 κιλά προς 20,5 σενττο κιλό, 30 κιλά προς 18,5 σενττο κιλό και τις υπόλοιπες προς 20 σενττο κιλό. Πόσα χρήματα πήρε; Κρεοπώλης αγόρασε δυο αρνιά των 9 κιλών και

12 κιλών, προς €9 το κιλό. Μετά τα πούλησε

προς € 11,20 το κιλό. Πόσα κέρδισε;

61.

Ένας έμπορος αγόρασε 360 κιλά πορτοκάλια και τα έβαλε σε τσάνrεςτων 5 κιλών. Πούλησε τα

πορτοκάλια προς €3,80τη τσάντα και κέρδισε €66. Πόσα το κιλό αγόρασε τα πορτοκάλια;

62.

Να βρείτε την περίμετρο τετραγώνου που είναι ισοδύναμο με ορθογώνιο τρίγωνο που έχει κά­

θετες πλευρές 9 m και 32 m. 63. Ρόμβος έχει περίμετρο 40 m και μία διαγώνιο 12 m. Ο ρόμβος είναι ισοδύναμος με ορθογώ­

νιο που έχει μήκος εξαπλάσιο του πλάτους του. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

348

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Σχολική χρονιά .................... .

......................................... .

Προαγωγικές Γραπτές Εξετάσεις lουνίου Μάθημα: Μαθηματικά Ημερομηνία:

....................... .

Ονοματεπώνυμο:

Τάξη: Α'

Χρόνος:

2 ώρες

Βαθμός: ....................... .

Υπογραφή:

.................... .

............................................................... τμήμα: ............... αρ ............ .

ΜΕΡΟΣΑ'

Από τις

15 ερωτήσεις να απαντήσετε μόνο 12. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογεπαι με 1 μο­

νάδα. (Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής).

1.

Να κάνετε τις πράξεις (α)

2.

3.

5+1'3-(8-4):4=

Να κάνετε τις πράξεις

Να βρείτε τις γωνίες Χ και ψ.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

349

ΔΟΚΙΜΙΟ ΠΡΟΑΓΩΓιΚΩΝ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Γ Δ

Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

4.

(Α = 900) που έχει ΒΓ = 26 cm και ΑΓ = 24 cm. Ε

u

'<t

Ν

Α

5.

Β

Να λύσετε τις εξισώσεις (α) Χ +

(γ) 16-χ

(β)χ- 7 =10

12 = 18

=9

(δ) χ:

5= 8

6. Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια ώστε να ισχύουν οι ισότητες:

7. β

(α) Να βρείτε τις γωνίες 0., β

(β) Να ονομάσετε τις γωνίες

0., γ ................................ . β,γ ................................ .

8.

Α

Τρίγωνου ΑΒΓ δίδονται:

Α

=χο

,

Β

= χ ο + 20 ο,

Γ

= 50 ο

Να βρείτε τις γωνίες Α και Β του τριγώνου ΑΒΓ.

Μ αθr:ι~.αΤΙKά Α' Γυμνασί()υ

Α

Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με διαγώνιο ΑΓ = 12 m και

9.

εμβαδόν Β l---I-----} Δ

96 m2.

Να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου ΑΟΒ.

Γ

10.

ALSJB

Ι

Ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΓ = 13 cm και ΓΔ = 12 cm είναι Ι

ισοδύναμο με παραλληλόγραμμο που έχει βάση Ι 20 cm.

Δ

Γ

12 cm

Να βρείτε το ύψος του παραλληλογράμμου Ι

που αντιστοιχεί στη βάση αυτή.

Ι

11. Να βάλετε στο τετραγωνάκι ένα μόνο ψηφίο ώστε ο αριθμός να διαιρείται ακριβώς (α) 16 D με το 3 (β)

71 D D με το 9 και 10

(γ) 3 D 1 D (δ)

12.

8D D

με το 9 και 5 και όχιμε το 2 με το

2 και 3 και 5

Να κάνετε τις πράξεις:

~ . 8 - 21. § + (1 _1)2 = 4

2' 6

2

ΑΒΓΔ#

13.

ΑΕ διχοτόμος της Α Να βρείτε

a, β, Δ, Β, Γ

14. Να κάνετε απλό το σύνθετο κλάσμα

1+ ~.§ 2

4' 8 =

22 5

351

,

"

"

.

_

~

__ .o_ _

~

•••••

~

_ _ _ '_A "

,

~

~

••

~

~

.

• • • " __

,

~

.

"_ ••

_

_

~

______

,

~

~

ΔΟΚΙΜΙΟ ΠΡΟΑΓΩΓιΚΩΝ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ "0_._

15. Ένας xrίστης ανάλαβε να τοποθετήσει πλακόστρωτο σε μια τετραγωνική πλατεία με πε­ ρίμετρο 120 m. Συμφώνησε να πληρωθεί 16 ευρώ το τετραγωνικό μέτρο. Με τα χρήματα που πήρε έδωσε προκαταβολή για να αγοράσει αυτοκίνητο και του έμεινε χρέος

13.600

ευρώ. Ποια η αξία του αυτοκινήτου;

,

!ΜΕΡΟΣΒ' ,

ΙΑπό τις 6 ερωτήσεις να απαντήσετε μόνο τις 4. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με 2 lμονάδες.

1. (α) Αν Χ = 2 και Ψ

= 5 να βρείτε την τιμή της παράστάσης.

(β) Να κάνετε τις πράξεις

2. Με το

i των χρημάτων μου αγόρασα τηλεόραση, με τα 125 των χρημάτων μου

αγόρασα ραδιόφωνο και με τα ~ αγόρασα πλυντήριο. Μου έμειναν 60 ευρώ. Πόσα χρήματα είχα και με πόσα χρήματα αγόρασα το καθένα;

3. (α) Τρεις ποδηλάτες αναχωρούν ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο ενός κυκλικού στίβου και κινούνται με την ίδια φορά. Ο πρώτος διανύει το στίβο σε 30 λεmά, ο δεύτερος σε 25 λε­ mά και ο τρίτος σε

20 λεmά.

Μετά από πόσα λεmά θα συναντηθούν πάλι για πρώτη φορά και πόσους γύρους θα κάμει ο καθένας; (β) Να λύσετε την εξίσωση

(~-i)X=1~

,

352

'---,

4.

Α

Δεδομένα

Ζητούμενα

ΑΒ = ΑΓ

Χ

ΑΓΒ = 600

Β,Α 1 ,Α 2 , ΓΕΔ,Δ

ΓΕ ύψος

Το είδος του τριγώνου ΑΒΓ

ΒL-------~~~~------~Δ Γ

5.

ΑΒΓΔ#, ΑΒ= 15m,AΔ=

10m,AE=8m

Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο της σκιασμένη ς περιοχής. Δ

Ε

Γ

Α

6.

Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Ε

ΔΕ // ΒΓ, ΔΖ -L ΖΕ, ΔΖ διχοτόμος ΒΔΕ Να βρείτε:

(α) τη γωνία Χ B~~--~~~----------~Γ Ζ

! Εισηγητές:

(β) ω, φ, ό, Γ,Α

Ο Διευθuvrής

353

ΕΝΟΤΗΤΑ

1

Ασκήσεις σελ. 4

1. 50 2. 124 3.69 4. 121 5.392 6.4929 7. 71 8.63 9. 2767 10. 4009 11. 72 12. 19 13. 109 14. 906 15. 105 16. 112 17. 390 18. 12500 19.72 20. 234 21. 8164 22.625240 23.3 24.8 25.3 26.25 27.43 28.42 29. π = 22, υ = 1Ο 30. π = 310, υ = 84 31. 275 32. 105

33. €1.071 354

34. 252 35. 211 36.42

63.~ 64.

37. €345

1

65. 23

38. €1.360 39.

(α)

€65

(β)

40. €110.000 41. 60 σ 42. 24,32 43. 1,576 44.37,57 45. 40,5 46. 16,38 47. 0,76 48. 57,6 49. 59,4 50. 421,8 51. 1380 52. 0,00045 53.8,324

€163

66.26,408 m 67.50 ΕΝΟΤΗΤΑ

12 4. Α ={10, 11, 12, 13, 14, 15,16,17,18,19,20, 21, 22, 23} Β = {Ο, 1, 2, 3, 5} Γ = {Ο, 5, 10, 15,20, 25} Δ= {1,2,3,5,6, 10, 15} Ασκήσεις σελ.

5.

6.

(γ) ν(Β)

ν (Γ n Δ) (β) (ιιι)

5

(νι)

60.3t 5

61'14 62. 1 ~

=4

=4

Anr= {6, 12}

Anr = {2,4,8, 10}

= {3, 9} {1,2,3,4,5,6} (Β u η' ={2, 5, 6, 9} (νιιι) (Α u Β)'

1

6~

ι, γ, α, ν,

=4

(ζ) ν (Α' u Β)

56. 22

59.

A'u Β' = {τ,

ο,ρ,μ,ε}

8.

58.6

25

(ι) Α'= {ι, γ, ν, ο, α} (ν)

11.

57.32

2

Ασκήσεις σελ.

54. 1 ~

3 55'7

3~

12.

(ε) ΓυΑ= (ζ)

ΕΝΟΤΗΤΑ

3 Ασκήσεις σελ. 38 6. 215 7. 104 8.40

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

(γ)

9. €95 10. €6.750 11. 2365 σεντ Ασκήσεις σελ. 45

16. 523 17. 123 18.94 20.

(α)

€656

(β)

€1.168 Ασκήσεις σελ. 53

5.63 6.412 12. €296 13. €143.500 Ασκήσεις σελ.

4.

(α) (γ) (ε)

36 135 63

(β) (δ) (στ)

62 60 24 29

5.39 8.39 9. (α) (100 + 4) ·35 = = 100 . 35 + 4 . 35 = = 3500 + 140 = 3640 11. Κέρδισε €240 12. €25.080 13. 168 Ασκήσεις σελ. 71 6. 14 7.7 8.6 9. 12 10.20 11. Η πρώτη φρouταρία 12.35 13. 12 14. €100 Ασκήσεις σελ. 75

1.

(α)

5

(β)

8

34 26 58 1 18 7 144 16

(δ)

(γ)

(στ)

(ε)

32 18 2. (α) (β) 23 (γ) (δ) 18 (ε) (στ) 14 3. (α) (β) 150 (γ) (δ) 31 (ε) (στ) 7 Ασκήσεις σελ. 82 (ε)

21.

(δ)

17 26

(γ) Ο

(δ)

78

ΕΝΟΤΗΤΑ4

Ασκήσεις σελ.

7.800 8. 1440 9. (β) 400 12. (α)χ=95 ,

χ=4

ψ=25 ,

=8 ν= 5 α α

4

=5 =2

β

=1

της β

Ασκήσεις σελ.

= 150 ο , ω = 30 ο = 700 13. (α) Χ= 650 (β) Χ = 500 (γ) Χ = 20 ο (δ) Χ = 40 ο Γενικές ασκήσεις σελ. 147 6. (ι) 150,750 (ιι) 700,1100 (ιιι) 420 7. (ι) β = 1280, α = 520, φ

=3

α

0

(β) Ρ

ω=65 π =

0

ω=60

0

κ

133

ζ=95

0

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

22 11

(στ)

85

11. 60

(11)

12.24σ

Χ

= 880, 64 ο,

ω

= 880,

Ψ

= 28 ο

(ιιι) ΑόΔ = 1200, ΑόΓ = 600

Γενικές ασκήσεις σελ.

87 =3

2. (α) χ = 3 (β) ω 7. 196 8.4 9. 1 13. (Q ω = 7 (η) = 11 (8) λ = 8

ΒόΔ = 600, ΓόΕ = 600

8. ΒόΓ = 1280, ΑόΕ = 1420 9. ΕόΔ

14.85σ

16. (α) 34 m, €80,60 18. 21 20. (α) 18 (β) Ο

= 520

ζ =

14. 125, 250 15. 14, 18 16. 4,24

15. €55, €300

γ

10. 11. 12. 13.

= 580

ΒόΓ = 1160 750 1350 Χ = 500, Ψ = 1300 Χ = 520

355

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ --" .•._---_..... __

,.

~

,-~.

~--->_.

._--_.~.-

-- ---ΕΝΟΤΗτΑ5Ασκήσεις σελ.

8. Α

158 0

0

4. (ι)χ=60 ,2χ=120 , α = 60 ο, β = 120 Ο

= 750,

(ιι) Χ

+ 300

Χ

= 1050

Χ

= 630,

= 61 ο

(ιν) Χ =

530, α = 41 Ο β = 1020

11.ω=55

12. Γ = 400 15.

(ιll) Χ

= Ί9

(α)

Ψ

= 680,

(γ) (ε)

2. Δ

0

= 600

540

(β) (δ) (στ)

= 300 Χ = 300 Χ = 460

4. (α) Χ

5. 300,600 6. (γ) Γεξ. = 1400 7. (β) ω

183

φ

= 55 ο

8. 10.

Ορθογώνιο

172 540 500 680

= 1220

ω

6

Ασκήσεις σελ.

196

(ε)

(η)

13.

(α)

74 (γ) 74 (ε) 106 (ζ) 6 (θ) 8 14. (α) 35 (γ) 17 (ε) 29

(ζ) ψ6 (β) (δ) (στ) (η)

(β) (δ) (στ)

χ=3

2.

(α)

79 33 126 925 25 48 56

=Ο =4

.

515 χ2

(στ)

=3 Χ = 12 Χ =1

(στ)

321

(β) Χ (δ)

Χ=

7, χ= 8 (α) 17 (β) 12 (γ) 303 (δ) 3 Ασκήσεις σελ. 209

5 10 80

(β) (δ)

6 12

(στ) 8

Γενικές ασκήσεις σελ. 210

2. 4.

(ε)

1 (δ) 312

(στ)

24

5. (α) 4 (γ) 6

56

(ε)

2 6. (α) 49 7. (α) 116 (γ) 1033

(ε)

1 38

(ζ) ω 4 (β) Ο (δ)

(στ) (β) (β) (δ)

ΕΝΟΤΗΤΑ

2 6 (ζ) 204 33 5

7

Ασκήσεις σελ.

1. (β) 68 cm 2.20cm 3. €360

356

= 1 (θ)

232

(στ)

1.

34,

(ζ)

3.6 4.5 5. 12

670

ΕΝΟΤΗΤΑ

5. 6. 7.

(ε)

= 1130, β = 230

Ρ = ω =

(ε)

(γ)

18.1100,1100,700,700 19. φ

4.

185

= 590, Γ = 65 ο 12. ΑΓΖ = 260

3. Α = 500, Γ = 750 Β = 550

(γ)

= 55 ο,

= 900 ω = 900 ω = φ = 300

6.

= 1270

(β)

(ε) Χ

11. Α

= 1300

600 350 900

ω

30

(γ) Χ

2.0B=6cm 7. Παραλληλόγραμμο

8.

(ε) 549

28 (στ) 217

3. (α) Χ = 7

= 880

Ασκήσεις σελ.

7.

Ασκήσεις σελ.

1.

α

(δ)

(η)

Γενικές ασκήσεις σελ.

6. Ψ = 790, Χ 7. Χ= 1150

(ιι) α =

0

10. ΒΔΑ = 450

5. ΑΒΓ = 740

8. (ι) Χ

2.

9. Β = 320, Γ = 640

α = 750, β = 1050 (ιιι) β

Ασκήσεις σελ. 204

= 660

(γ)

214 64 m

Ο

Μαθηματικά Α' Γυμνασίου

Ασκήσεις σελ.

227

5. 140 m 6.80dm 7. 9m, 18m 8. 56dm

9. 16 cm 2 10.48m 11. (α) 25m2, 24m (β) 56 m2 , 44 m (γ) 32 m2 , 64 m (d) 54 m2, 36 cm Ασκήσεις σελ. 232 6. 8cm, 32cm 7. 24 cm, 12 cm Ασκήσεις σελ. 236

Γενικές ασκήσεις σελ. 250

11. 72

6.4 7.45 8. 100 9. 192

12. 6 δέματα. Το κάθε δέμα θα έχει 24 τετράδια, 1Ο μολύβια, 3 ξύστρες 13.34

10. 48 m, 96 m2 11. (α) 12m2 (β) f:9 12. 24m2 13.

36 cm 2 (β) 33 dm2 (γ) 66 cm 2 (δ) 36 cm 2

144 cm 2 14. 167cm2 15. 96m2 16. 192 cm 2 18. (α) 58 m 19. 12cm 20.40cm

244

(α)

60 cm 2

Ασκήσεις σελ.

12. 142 m 13. 24m 15. (β) 225 cm 2 Ασκήσεις σελ.

2. (α) 6 m (β) 10 m 3. 33m 4.6m,12m 5.6,72m 6. 136cm2

249 (γ)

άντρες, 10 γυναί­ 8 παιδιά

17. 360

επιλογής σελ.

2.

(ι)

140 1005

156 m2

8 265

(ιι)

432, 132 (ιιι) (ιν) 432 Ασκήσεις σελ. 274

3. 36 = 22 . 32, 60 = 22 . 3 . 5

14. €225.000

}.39cm2

(β)

ΕΝΟΤΗΤΑ

Ασκήσεις σελ. (β)

19

κες,

Ασκήσεις πολλαπλής

17. 24m

3.4cm, 12cm 6.8m 12 cm 11. 168m2

(β)

(α)

(ε)

6. 32dm, 8dm 7. (α) 3 dm2 (β) 45 cm 2 Ασκήσεις σελ. 241

5.

14. (α) 30 ώρες (β) 3 φορές 15. (α) 240 ώρες (β) 80 ώρες 16. (α) 6

24 m

320=26·5 4. (α) 6 (β) 5 (γ) 6 5. (β) 60 (γ) 120 6. (α) 6 (β) 10 (γ) 14 (δ) 12 7. (γ) 90 8. (δ) 720 9. β = 225 10. 12, 3γαρίφaλαKαι 5 τριαντάφυλλα

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

(δ)

234 και 612

(β) (β)

23·3 24. 34 . 53

(γ)

120 ώρες

(ε)

3 315

(α)

(ε) κανένας (α)

24 15 (β) 2 (γ) 6 και 180 (ε) 36 (γ) 4 και 5 (ε){1, 2, 3, 5, 7} (β)

(β){1,2,4} ΕΝΟΤΗΤΑ

10

Ασκήσεις σελ.

7.

276

t

282

8. 30 9. €96 357

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

:==-=----------------------------------

Ασκήσεις σελ.

3.

5.

286

(γ) Χ = ~ (δ) Χ = 6 (ι) ο

= 12 (ιι) Χ = 6 (ιιι) ο = 1 (ιν) Χ = 3 Ασκήσεις σελ.

(ο) Χ

Ασκήσεις σελ.

1. (ο) 1

=8

(β) β

= 39

2.

7. (γ 5' 3' 9' 10 10. Η Ελένη

1.

(η) 6 1~

(ε) 1~ 305

(8) 1 ~~

89

358

11

(ο) 7

152

(γ) 9

i

(β) 4

i

(γ) 2 152 (δ)

12-1

(8) 1

(ι) ~

(ο) ~

(β) 1 2~

(γ)

111 (δ) ~3

(ε)

356

(στ) Ι6 (δ) 53-1

5. (ο) 600 (β) 1080 (γ) 1200 (δ) 2880

6.

(ο)

(β)

80

120

7.350

10. 182 σ

11.

4~

12. €160

5

13. €10,20

3

14. (ο) €5"5

7

15. 195

6"

1

14

(στ) ~

(o)~

(δ)

1. (ο)

Δεν μπορούμε

(ο) ~ (β) ~ (γ)

β) €5

Ασκήσεις σελ.

17 8. 1 20

11.

(η) 1~

4 9. 27

2.

10. 110

i

535

315 130

8. €768, €320

7. 40

9.

2. (ε) 20

4.

3.

(β) 6 190

6'10

(ι) 51δg 3. (ε) 12

io

(γ) 7

5.

Ασκήσεις σελ.

2

13 4. 28

)2 2 7 9

11

(ο)

(β)

(ε)

4. (ο) 600

(8) 1 ~g

<

(στ)

1~

20

Ασκήσεις σελ.

297 8 18 15 10 1. (ε ) 20' 20' 20' 20 9 66 10 (στ) 22' 22' 22

1

(ζ) 1 Ώ. (η) 1Ο 1

(δ)λ = ~

(ε) γ = ~ (στ) ω = 72

(ο)

3.

(β) 136

(ε) 7 ~ (στ)

(γ) ο =~

12.

31 Ο

(γ) 1~ (δ) 3 1~

5

3. (δ) >

2.

17 8. 20

5. 0=20 6.

1. (γ) 28

29

7. 45

293

5 - 20 1. 9 - 36 72 _ 6 2 . 60 -

Ασκήσεις σελ.

1

6.54

152

(στ) 3~

318

121

MαθlΊμαΤΙKά Α' Γυμνασίου

Ασκήσεις σελ. 321

1.

~

~

(α)

7

10

(β)

Ασκήσεις σελ. 325

1

1.

6

(α) 10

(γ) 3 ~

9 (κ) 3 20

(γ)

3 10

9 2. (α) 1 20

(β) 2 ~

(ε)

5 18

(γ) ~

7 (δ) 115

11 2. (α) 39

5

t

(ε)

7

3. (α)

52

(β) ~

(γ)

3 10

(δ)

(ε)

8

1 5 3

t

3.

8.45

(ε) ~

2

325

ΕΝΟΤΗΤΑ

(στ)

12

g 3

(β) ω =

16

(γ) λ

(δ) Ψ

~;

3

3

(γ)

1 -4

7 6. 20 7. €1.200 8. 2625

i

(β) 1 ~ (δ)

5 (ε) 2 22 2 (ζ) 45

=

(β) 11 72

(δ) 8

(στ)

4,39 (ι) 0,00322 (ιδ) 0,02 2. (α) 13 (β) 1,125

(α) χ = ~

3 5. (α) 14

(δ) ~ (γ)

1. (β) 49,82

(η) 3~

= 6~

10

Ασκήσεις σελ. 339

12

1 (γ) 1 20

(β) 11

8 (β) 3 ~

7

13. (α) του Γ (β) 2 100 m2 στο Α 2400 m2 στο Β 1400 m 2 στο Γ

(δ) 511

1 4. (α) 1 24

9. €200

4

1 11.102

5 2. (α) 40 cm (β) 7500 cm (γ) 15000 cm (δ) 1500 cm

5 7. 126

11. (α)

t (δ)

(ε) 1 ~ (ζ) 1

6. 18

2 3

(β)

5

5.364

10. (α)3 3

14

12. 102000 σεντ

(γ) ~

10

(γ) ~

(δ)

3 1 1. (α) 1 20 (β) 18

3

(στ)

(β) 4 ~

Γενικές ασκήσεις σελ.

8 4

(β) 2~ (δ) g

(ε) ~ (ζ)

(γ) 9

1

(στ) ~

4. (α) 5 (γ)

(στ)

9.1 1 m 4 10. 180 σεντ

(γ)3,12

(δ)

300

3. (α)31,8

(β)

36,2

(γ) 3,4 4. (α) 1,32

(δ)

256,3

(β)

39,26

(γ) 1,31 7. (α) 14,9

(δ)

0,23

(β)

13,99

(γ)

22,1

(δ)

(ε)

8,73

(στ)

8. (α) Χ = 4 9. €6,80

13,13 7,95

(β) χ=1,725

10. €8 11. 120

100

8 (στ) 1 87

Ασκήσεις για επανάληψη όλης της ύλης σελ. 341

1. (α) AuB={1,2,3,4,5,6} AnB={3} ΑΙ = {2, 4, 6, 7} (ΑυΒ)'= {7}

σεντ

359

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ_

2.

Β=

30. (α) 133

(3,4,5, 6}

Α"Β= {3}

(γ) 110

ΒυΓ= {3,4,5,6, 7} Γ'

= {1, 2, 3, 4, 5, 8} (Αυ Β)' = {7, 8}

4.

5.

(α) 49

(β)

(γ) 10

(δ) 41

59

(στ)χ= 11

6.43m 7. 250κιλά 8. 3Ομήνες 9.40σεντ

16. χ=θ6

0

17. ΑΓΔ

= 650, ΑΓΒ = 500 8 = 50 ο, Α = 80 Ο 21.81 = 180, Ε 1 = 940 Ε 2 = 860,8 = 360

= 760 φ = 55\ θ = Γ

22.

700

ω = 70 ο , Χ = 11 Ο ο

25. Γ = 660, φ = 240 ω = 660, θ = 420 Ψ = 660 29. Α 1 = 700, Δ 1 = 350 Γ 1 = 1250, Α 3 = 350 Α 2 = 200

360

83

(δ)

21

32.316 33. Α

= 87, Β = 15, Γ = 136

34. 60 m, 150 m

2

47.(α)

(γ)

1 156

(β)

11

157

(δ)

7

48. 270 49. €212

35. 36m

50. 2 796 σεντ 2

36. 108cm

51.(α) 60 κιλά (β) €90

37. 120 cm 2

52. €900

38. 16cm 39.8m 41. (α) 2520, 60

53. €30, €105

0

11. α = 1350, β=45 13. χ= 180, ΕΟΓ= 720 14. 360,540

(β)

42.

54.

Α

=

3~

(β) 1200, 10

55. 5

(γ) 10800, 6

56.(α) 19,16 (γ) 11,448

(α) 100

(β) 4 μολύβια, 3 τετράδια και 2 πέννες

43. (α) 60

(β)

3, 2, 5

(β)

1t

44.363

45.(α) ~ (γ) ~ (ε)

(δ) 1~ (στ) 31~

i

(ζ)

1 1~

(η)

2 156

(β)

1~

(γ) ~1

(δ)

12

(ε) ~

(στ) ~

46. (α) 7

~

57.(α) 3,1

(γ)

(β) 42,24 (δ) 6,07 (β) 290

(δ)

23,1

11

~

58. (α) 89,85 (β) 19 152 59. 972,25

οεντ

60. €46 61. 58σεντ

62.48m 63. 24m, 4m

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.