1. Συναρτήσεις Να θυμάμαι Συνάρτηση είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο ενός συνόλου Β. Παρατηρήσεις
Το σύνολο Α δεν μπορεί να είναι το κενό σύνολο.
Ασχολούμαστε μόνο με συναρτήσεις στις οποίες τα σύνολα Α και Β είναι υποσύνολα των πραγματικών αριθμών.
Το Α λέγεται πεδίο ορισμού.
Πεδίο τιμών λέγεται το σύνολο όλων των τιμών (αποτελεσμάτων) της συνάρτησης. Το Β δεν είναι πάντα το πεδίο τιμών. Γενικά το πεδίο τιμών είναι υποσύνολο του συνόλου Β. Το πεδίο τιμών θα συμβολίζεται με f ( A ).
Μια συνάρτηση είναι πλήρως ορισμένη όταν δίνεται ο τύπος της και το πεδίο ορισμού της. Όταν το πεδίο ορισμού δεν δίνεται, τότε θεωρούμε ως πεδίο ορισμού του μεγαλύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο η τιμή του y είναι πραγματικός αριθμός. Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα αν οι τιμές της αυξάνονται καθώς αυξάνεται το x και γνησίως φθίνουσα αν οι τιμές της μειώνονται καθώς αυξάνεται το x. Χρήσιμο είναι να γνωρίζουμε ότι:
Κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx + β λέγεται γραμμική συνάρτηση και είναι ευθεία γραμμή. Αν α ¹ 0, τότε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών είναι το σύνολο . Αν α = 0, τότε το πεδίο ορισμού είναι το και το πεδίο τιμών το { β }.
Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις περιττού βαθμού έχουν πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το σύνολο . Η συνάρτηση y = x 3 είναι γνησίως αύξουσα και έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το σύνολο .
Η συνάρτηση y =
x έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το σύνολο +0 . Είναι γνησίως αύξουσα
συνάρτηση με lim x = 0 και lim x0
x +¥
x = +¥.
Η συνάρτηση y = e x έχει πεδίο ορισμού το σύνολο και πεδίο τιμών το σύνολο + . Είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση με lim e x = +¥ και lim e x = 0. x +¥
x -¥
Η συνάρτηση y = ln x είναι η αντίστροφη συνάρτηση της y = e x , έχει πεδίο ορισμού το σύνολο
+ και πεδίο τιμών το σύνολο . Είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση με lim+ ln x = -¥ και x 0
lim ln x = +¥.
x +¥