1. Συναρτήσεις Να θυμάμαι Συνάρτηση είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο ενός συνόλου Β. Παρατηρήσεις
Το σύνολο Α δεν μπορεί να είναι το κενό σύνολο.
Ασχολούμαστε μόνο με συναρτήσεις στις οποίες τα σύνολα Α και Β είναι υποσύνολα των πραγματικών αριθμών.
Το Α λέγεται πεδίο ορισμού.
Πεδίο τιμών λέγεται το σύνολο όλων των τιμών (αποτελεσμάτων) της συνάρτησης. Το Β δεν είναι πάντα το πεδίο τιμών. Γενικά το πεδίο τιμών είναι υποσύνολο του συνόλου Β. Το πεδίο τιμών θα συμβολίζεται με f ( A ).
Μια συνάρτηση είναι πλήρως ορισμένη όταν δίνεται ο τύπος της και το πεδίο ορισμού της. Όταν το πεδίο ορισμού δεν δίνεται, τότε θεωρούμε ως πεδίο ορισμού του μεγαλύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο η τιμή του y είναι πραγματικός αριθμός. Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα αν οι τιμές της αυξάνονται καθώς αυξάνεται το x και γνησίως φθίνουσα αν οι τιμές της μειώνονται καθώς αυξάνεται το x. Χρήσιμο είναι να γνωρίζουμε ότι:
Κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx + β λέγεται γραμμική συνάρτηση και είναι ευθεία γραμμή. Αν α ¹ 0, τότε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών είναι το σύνολο . Αν α = 0, τότε το πεδίο ορισμού είναι το και το πεδίο τιμών το { β }.
Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις περιττού βαθμού έχουν πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το σύνολο . Η συνάρτηση y = x 3 είναι γνησίως αύξουσα και έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το σύνολο .
Η συνάρτηση y =
x έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το σύνολο +0 . Είναι γνησίως αύξουσα
συνάρτηση με lim x = 0 και lim x0
x +¥
x = +¥.
Η συνάρτηση y = e x έχει πεδίο ορισμού το σύνολο και πεδίο τιμών το σύνολο + . Είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση με lim e x = +¥ και lim e x = 0. x +¥
x -¥
Η συνάρτηση y = ln x είναι η αντίστροφη συνάρτηση της y = e x , έχει πεδίο ορισμού το σύνολο
+ και πεδίο τιμών το σύνολο . Είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση με lim+ ln x = -¥ και x 0
lim ln x = +¥.
x +¥
Οι συναρτήσεις που ο τύπος τους περιέχει παρονομαστές ορίζονται μόνο για τις τιμές για τις οποίες δεν μηδενίζεται κάποιος παρονομαστής.
Οι συναρτήσεις y = ημx και y = συνx είναι περιοδικές με περίοδο 2π , έχουν πεδίο ορισμού το σύνολο και πεδίο τιμών το διάστημα [ -1, 1 ] .
Χρήσιμο είναι επίσης να γνωρίζουμε ότι:
Αν η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α ¹ 0, έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, δηλαδή όταν
Δ ³ 0, , τότε οι τιμές της συνάρτησης y = αx2 + βx + γ είναι ομόσημες του α εκτός των ριζών και ετερόσημες του α εντός των ριζών.
Αν η παραπάνω εξίσωση δεν έχει ρίζες, τότε οι τιμές της συνάρτησης είναι ομόσημες του α για κάθε x Î .
Σύνθεση συναρτήσεων Η σύνθεση είναι μια πράξη μεταξύ συναρτήσεων. Αν f : Α και g : Β δύο συναρτήσεις, τότε ορίζουμε σύνθεση της συνάρτησης f με την g τη συνάρτηση με τύπο ( g f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) και πεδίο ορισμού Α1 = { x Î Α : f ( x ) Î Β } . Αν f ( Α ) Í Β, τότε το πεδίο ορισμού της g f είναι όλο το Α.
Πεπλεγμένη συνάρτηση Ο τύπος μιας συνάρτησης μπορεί να δοθεί στη μορφή f ( x, y ) = 0. Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση λέγεται πεπλεγμένη συνάρτηση. Γενικά μια εξίσωση της μορφή f ( x, y ) = 0 παριστάνει μια καμπύλη που είναι συνάρτηση μόνο για ορισμένες τιμές των μεταβλητών x και y.
Παραδείγματα 1. Ένα παράθυρο έχει περίμετρο 10 m και αποτελείται από ένα ορθογώνιο μήκους y και ένα ημικύκλιο ακτίνας x, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να εκφράσετε το εμβαδόν του παραθύρου σαν συνάρτηση του x.
..................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
2. Στο σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες όχθες ποταμού πλάτους ΑΒ = 10 m. Εργοστάσιο βρίσκεται στο σημείο Α της ε1 ενώ
στο
σημείο
Δ
της
ε2 ,
με
ΒΔ = 20 m,
βρίσκεται
ηλεκτροπαραγωγός σταθμός ο οποίος θα πρέπει να ενωθεί με το εργοστάσιο μέσω καλωδίου. Μέρος του καλωδίου θα είναι υποβρύχιο (απόσταση ΑΓ) και μέρος υπόγειο (απόσταση ΓΔ). Το κόστος της υποβρύχιας καλωδίωσης είναι €10 m και της υπόγειας καλωδίωσης €5 m . Να εκφράσετε το συνολικό κόστος σε συνάρτηση με το x.
....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
3. Ορθογώνιο τρίγωνο έχει περίμετρο 10 cm και μία οξεία γωνία x. Να εκφράσετε το μήκος της υποτείνουσας σε συνάρτηση με το x.
....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
4. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων. (α) y =
x-2
(γ) y =
5-x
(ε) y =
12 - x - x2
x2 - 4x + 3 x-2 (θ) y = ln ( x - 3 )
(ζ) y = ln
1 1 + x-3 x-5 x +1 (δ) y = 2 x - 9x + 14 (β) y =
(στ) y = ln ( 2 - x ) (η) y =
2x + 1 x2 - 4
....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: (α) y =
6x - 1 3x + 9
(γ) y = ln(5 - x)
(ε) g ( x ) = e x -2 + 3
(β) y = e
x -4
x-2 x-3 (στ) h ( x ) = ln ( x - 2 ) (δ) f ( x ) =
....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
6. Δίνεται η συνάρτηση f : με f ( x ) = x3 + 2x2 - x + 2.
(α) Να βρείτε τις τιμές f(0) και f(2).
(β) Να αποδείξετε ότι το y = 4 ανήκει στο πεδίο τιμών της f. ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
7. Μια συνάρτηση f : έχει την ιδιότητα f (x + y) = f (x) - f ( y) για κάθε x, y Î . Να
δείξετε ότι f (0) = 0 και f (x) = 0 για κάθε x Î . ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
8. Αν f (x) = ημx, g(x) = e x και h( x) = x2 - 1 να γράψετε ως μία σύνθετη συνάρτηση τις πιο κάτω
συναρτήσεις. (α) g( f (x))
(β) h( f ( g(x)))
(γ) f ( h( g(x)))
....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
9. Αν f (2x + 1) = 4x2 + 2 για κάθε x Î , να βρεθεί ο τύπος της f. ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
Ασκήσεις 10. Σύρμα μήκους L = 20 cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη x cm και (20 - x) cm. Με το πρώτο
κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο. Να εκφράσετε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του x. 11. Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης x cm και όγκο 628 cm3 . Το υλικό των βάσεων
κοστίζει 4 λεπτά ανά cm2 , ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας 1, 25 λεπτά ανά cm2 . Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του x. Δίνεται: Vκυλίνδρου = πR 2υ, Εκυλίνδρου = 2πRυ. 12. Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν ότι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις:
A(x) = 2, 89x + 70, 64 (για τους άνδρες) και
Γ(x) = 2, 75x + 71, 48 (για τις γυναίκες) όπου x το μήκος του βραχίονα σε εκατοστά. Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους 0, 45 m. Ποιο είναι το ύψος του ανθρώπου (α) αν προέρχεται από άνδρα και (β) αν προέρχεται από γυναίκα; 13. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = x2 + x + 3 .
(α) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; (β) Να αποδείξετε ότι f ( 1 - x ) - f ( 2 - x ) - 2x + 4 = 0 για κάθε χR. 14. Αν f (x) = 1 + e x και ( g f )(x) = x + e-x να βρείτε τον τύπο της g. 15. Μια συνάρτηση f : έχει την ιδιότητα f (x) + f (x - 1) = 2 για κάθε x Î . Να δείξετε ότι
f (x + 2) = f (x) για κάθε x Î . 16. Μια συνάρτηση f : έχει την ιδιότητα f ( x + y) = f ( x) + f ( y) για κάθε x, y Î . Να
δείξετε ότι: (α) f (0) = 0 (β) f (-x) = - f (x) για κάθε x Î (γ) f (x - y) = f (x) - f ( y) για κάθε x, y Î
Να θυμάμαι Μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί παραμετρικά, δηλαδή εκφράζοντας τις τιμές των x και y με τη βοήθεια μιας τρίτης μεταβλητής που λέγεται παράμετρος. Οι εξισώσεις: ì x = f (t) ï ï ,t Î A í ï ï î y = g (t) λέγονται παραμετρικές εξισώσεις της συνάρτησης. Γενικά οι παραμετρικές εξισώσεις μπορεί να ορίζουν μια καμπύλη που να μην είναι συνάρτηση ή που να είναι συνάρτηση μόνο για ορισμένες τιμές της παραμέτρου. Για να πάρουμε τον τύπο της συνάρτησης στη μορφή y = f ( x ) , θα πρέπει να απαλείψουμε την παράμετρο με αντικατάσταση, με χρήση τριγωνομετρικής ταυτότητας ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο.
Παραδείγματα 17. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών των πιο κάτω συναρτήσεων με παραμετρικές εξισώσεις:
(α)
x = t2 - 8 ïüï ýtÎ ïï y = t3 þ
(β)
x = t + 2 üïï ý t Î [-2, 1] y = 1 - t2 ïïþ
....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
18. Να εξετάσετε αν τα σημεία
A(5, 1) και
B ( -4, 21 )
ανήκουν στην καμπύλη με εξισώσεις:
x = 3t - 1 ü ï ï ït ¹1 1 ý ï y = ï 1-t ï þ
....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
19. Να βρείτε στη μορφή y = f (x) τον τύπο της συνάρτησης με παραμετρικές εξισώσεις:
(α)
x = 2t - 3 ïüï ý y = t - 1 ïïþ
tÎR
(β)
ü ï ï ý y = 2t + 1 ï ï þ
x = t2
t³0
....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
20. Να απαλείψετε τις παραμέτρους στις παρακάτω καμπύλες.
ì ï x = 2t2 + 1 (α) ï ,tÎ í ï ï îy = t - 2
ì ï x = 2 + 5ημθ (β) ï , 0 £ θ £ 2π í ï ï î y = 4 + 3συνθ
t +1 ì ï ï x= ï t (γ) ï , t Î - {0} í ï t -1 ï y= ï ï t î
ïìï x = α ( t2 + p2 ) ï (δ) ïí y = 2α ( t + p ) , t, p Î , c σταθερά ïï ïï t ⋅ p = 1 î
ì x = ln t ï , t Î ( 0, +¥ ) (ε) ïí ï ï î y = ln ( 3t )
ïì x = 4τεμθ , θ Î ( - π2 , π2 ) (στ) ïí ïïî y = 3εφθ
....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................
21. Να περιορίσετε το διάστημα στο οποίο ανήκει η παράμετρος t ώστε οι πιο κάτω εξισώσεις να ορίζουν συνάρτηση.
1 üï ï t - 2 ïý (α) ï y = t2 - 1 ïïþ
x = t2 - 1 üïï ïý (β) 2 ïï y= ïþ t
x=
....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................
Ασκήσεις 22. Να βρείτε στη μορφή f ( x, y) = 0 τις εξισώσεις των συναρτήσεων που δίνονται σε παραμετρική
μορφή. (α)
x = 2t - 3 üïï ýt Î y = 3t + 1 ïïþ
(β)
x = 2συνθ üïï ý0£θ £π y = 3ημθ ïïþ
(γ)
x = 1 - ημθ üïï ý y = 1 + συνθ ïïþ
(δ)
x = ημθ + συνθ üïï ý y = ημθ - συνθ ïïþ
(ε)
x = 2ημt üïï ý y = 3συνt ïïþ
(στ)
x = εφθ + 1 üïï ý y = τεμθ - 2 ïïþ
π θ Î [0, ) 2
π t Î [0, ) 2
5π π £θ£ 4 4 θ Î [-
π π , ] 4 4
23. Να απαλείψετε τις παραμέτρους στις παρακάτω καμπύλες.
ìï x = e4t (α) ï ,t Î í ïï y = e-t î
ì ï x = 3ημθ , θ Î ( - π2 , π2 ) (β) ï í ï y 4εφ θ = ï î
ìï x = ημθ , θ Î [ 0, 2π ) (γ) ïí ïïî y = συν ( 2θ )
ìï x = c ⋅ t ï (δ) ïí , t Î , c σταθερά ïï y = c ïî t
ìï 1 ïï x = 1+t , t Î - { -1 } (ε) ïí ïï t2 ïï y = 1+t ïî
ìï 2συνθ + 3 ïï x = 2συνθ , θ Î ( 0, π2 ) (στ) ï í 2συνθ + 3 ïï ïï y = 2ημθ ïî