Teza de doctorat, 2008, Florian Ion T. Petrescu by Ion Tiberiu

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Universitatea Politehnică din Bucureşti Facultatea de Ingineria şi Managementul Sistemelor Tehnologice

Catedra de „Teoria Mecanismelor şi a Roboţilor”

Teza de doctorat: „CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE PRIVIND DINAMICA MECANISMELOR PLANE CU CUPLE SUPERIOARE” „Theoretical and Applied Contributions About the Dynamic of Planar Mechanisms with Superior Linkages” Vclasic[m/s] Vprecis[m/s]

4 3

4000 3000 2000 1000

2 1 0 -1 0

100

150

200

-2

0 -1000 0

-3

-2000 -3000

-4

-4000

F u, v2

WD [s-1] -1 320 ω [s ] 315 310 305 300 295 290 200 285 280 275 270 265 0

a2clasic[m/s2] a2precis[m/s2]

5000

100

150

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5200[rot/min] amax =9400 translant plat - A8 ϕ u=75 [grad] s max =5.68 k=50 [N/mm] r0=15 [mm]

10000 8000 6000 4000 2000 0 0

100

150

φ [rad]

-4000

rB rA

rb n

F a, va

hT=7 [mm]

0 -40

-20

-10

-20

200

η=11.2% legea: C4P-1 2 y=2x-x yc =1-x2

-30

a[m/s2] 1317.04

-40

γ ϕ

I G

G0 D

αM αm β

ψ ϕ

B0 x

b ψ

l ρ

b ψ0

θA

τ b

Fm, vm ψ2

αB B 0 α A rb

A0 α0

l.ψ’ ρ.ψ’

B Fc, vc

Fa, va

θA ϕ

α0 αA

Fn, vn α

θB

r0=29 [mm]

hT=6 [mm] i=1;η=8.1% legea: sin-0 y=x-sin(2πx)/(2π)

αA-δ

ϕ u=ϕ c=40[grad]

s*k[mm] k=

Fu, vu B δ Fn, vn

F m, vm

rb s

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

hs=6 [mm]

amin= -3000

F n, vn

F i, vi

x0=20 [mm]

-2000

δ F n, vn

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta este cel de urcare. Modul clasic C.

D 1

2 v2 F⎯ Fm

⎯1

P rp1 ⎯1

F⎯ v12 t

O1 0

K1 rb1 n

⎯1 1

Conducător ştiinţific:

Doctorand:

Prof. Dr. Ing. Păun ANTONESCU

Asist. Ing. Florian Ion PETRESCU Bucureşti -20081

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

CUP C U P R I N S

COPERTA (cu titlul lucrării): CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE PRIVIND DINAMICA MECANISMELOR PLANE CU CUPLE SUPERIOARE

pag. 001

CUPRINS INTRODUCERE

002 004

PARTEA I-a: CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE PRIVIND DINAMICA MECANISMELOR CU CAME, TACHEŢI ŞI SUPAPE

006

1. UN SCURT ISTORIC AL MECANISMELOR DE DISTRIBUŢIE LEGAT DE ISTORICUL MOTORULUI OTTO ŞI DE CEL AL AUTOMOBILULUI 1.1. Apariţia şi dezvoltarea motoarelor cu ardere internă, cu supape, de tip Otto sau Diesel 1.2. Primele mecanisme cu supape 1.3. Primele mecanisme cu came 1.4. Mecanismele de distribuţie – prezentare generală 2. MODELE DINAMICE ALE MECANISMELOR CU CAME 2.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu dublă amortizare internă 2.2. Model dinamic cu două grade de libertate, fără amortizare internă 2.3. Model dinamic cu un grad de libertate cu amortizare internă şi externă 2.4. Model dinamic cu un grad de libertate, ţinând cont de amortizarea internă a resortului supapei 2.5. Model dinamic cu două grade de libertate, cu dublă amortizare 2.6. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii torsionale 2.6.1. Model dinamic monomasic amortizat 2.6.2. Model dinamic bimasic amortizat 2.6.3. Model dinamic monomasic cu vibraţii torsionale 2.6.4. Influenţa vibraţiilor transversale 2.7. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii de încovoiere 2.8. Modele dinamice cu amortizare internă variabilă 2.8.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu amortizarea internă a sistemului - variabilă – 2.8.1.1. Determinarea coeficientului de amortizare al mecanismului 2.8.1.2. Determinarea ecuaţiilor de mişcare 2.8.2. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu amortizarea internă a sistemului - variabilă – 2.8.2.1. Ecuaţiile de mişcare pentru modelul dinamic cu patru mase 3. DINAMICA GENERALĂ A MECANISMELOR CU CAMĂ ŞI TACHET, EXEMPLIFICATĂ PE MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUŢIE 3.1. Cinematica exactă, la mecanismul clasic de distribuţie 3.2. Randamentul mecanic la modulul clasic C 3.3. Sinteza profilului camei, la modulul clasic C 3.4. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiei de mişcare Lagrange 3.5. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, (cea care a fost obţinută la paragraful 2.8.1.) 3.5.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, printr-o soluţie particulară 3.5.2. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, printr-o soluţie particulară completă 3.5.3. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, cu ajutorul dezvoltărilor în serie Taylor 3.5.4. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, în doi paşi 3.6. Prezentarea unei ecuaţii diferenţiale, (model dinamic), care ţine cont de masa camei 3.7. Determinarea anticipată a vitezei dinamice reduse şi a acceleraţiei dinamice reduse la axa supapei 3.7.1. Determinarea anticipată aproximativă a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei 3.7.2. Determinarea anticipată precisă a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei 3.7.3. Determinarea anticipată, precisă, a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei, prin metoda cu diferenţe finite 3.7.4. Determinarea anticipată şi precisă a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei, utilizând modelul dinamic care ia în calcul şi masa m1 a camei 3.8. Model dinamic cu integrare 3.9. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale prin, integrare directă şi obţinerea ecuaţiei mamă 3.9.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, mamă, prin utilizarea ipotezei statice 3.9.1.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,mamă, prin utilizarea ipotezei statice, prin rezolvarea obişnuită a ecuaţiei de gradul II, în x 3.9.1.2. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,mamă, cu ajutorul ipotezei statice, prin utilizarea diferenţelor finite 4. ANALIZA DINAMICĂ LA MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUŢIE 4.1. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.107), bazată pe dezvoltările în serie Taylor şi pe modelul dinamic-A1, cu amortizare internă variabilă, fără considerarea masei m1 a camei 4.2. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.107), bazată pe modelul dinamic cu amortizare internă variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, cu rezolvarea ecuaţiei diferenţiale în doi paşi 4.3. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.124), cu considerarea masei m1 a camei 4.4. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.139), (3.140), (3.141), pentru modelul dinamic fără

007 007 007 008 008 011 011 011 012 012 012 013 014 014 014 015 016 018 018 018 020 021 022 024 024 028 030 031 033 033 034 035 036 036 038 039 040 042 043 044 046 047 047 048 050 050 050 051

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, aproximativă, a vitezei şi acceleraţiei reduse, ambele reduse la supapă 4.5. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.143-3.146), pentru modelul dinamic fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, precisă, a vitezei şi acceleraţiei reduse la supapă 4.6. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.168, 3.169, 3.162), pentru modelul dinamic cu considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, precisă, a vitezei şi acceleraţiei reduse la supapă 4.7. Analiza dinamică, cu ajutorul relaţiilor (3.186-3.187), pentru modelul dinamic cu integrare, fără considerarea masei m1 a camei 4.8. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), cu rezolvarea normală a ecuaţiei de gr. II, (3.198, 3.200) 4.9. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), rezolvând ecuaţia de gr. II, prin diferenţe finite (3.204, 3.205) 4.10. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), prin diferenţe finite cu relaţiile (3.203, 3.206) 5. DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE CU TACHET DE TRANSLAŢIE CU ROLĂ (MODUL B) 5.1. Prezentare generală 5.2. Relaţiile pentru trasarea profilului camei 5.3. Cinematica exactă la modulul B 5.4. Determinarea randamentului la modulul B 5.5. Determinarea funcţiei de transmitere, D, la modulul B 5.6. Dinamica modulului B 5.7. Analiza dinamică la modulul B 6. DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE CU TACHET BALANSIER CU ROLĂ (MODUL F) 6.1. Prezentare generală 6.2. Determinarea unghiului de presiune, δ 6.3. Determinarea unghiului de presiune suplimentar (intermediar), α 6.4. Cinematica de bază la Modulul F 6.5. Relaţiile pentru trasarea profilului camei, la Modulul F 6.6. Determinarea randamentului la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă, ( Modul F) 6.7. Determinarea funcţiei de transmitere a mişcării, la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă 6.8. Dinamica la Modulul F 6.9. Analiza dinamică a modulului F 7. DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE CU TACHET BALANSIER PLAT (MODUL H) 7.1. Prezentare generală 7.2. Dinamica la Modulul H 7.3. Analiza dinamică a modulului H Bibliografie (la partea I-a)

054 055 057 057 058 058 061 061 062 062 073 073 075 076 077 079 079 081 082 083 086 086 087 088 090

PARTEA a II-a: CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE PRIVIND DINAMICA MECANISMELOR PLANE FORMATE DIN ANGRENAJE CU ROŢI DINŢATE CU AXE PARALELE

098

1. CÂTEVA MODELE DINAMICE UTILIZATE LA STUDIUL MIŞCĂRII REALE A ANGRENAJELOR CU ROŢI DINŢATE CÂT ŞI AL FENOMENELOR DINAMICE DIRECTE ŞI SECUNDARE CARE APAR 1.1.Model dinamic cu impact între dinţii în angrenare, cu deplasare şi cu deformaţii elastice 1.2. Model dinamic cu două discuri inerţiale legate între ele printr-un arc şi un amortizor 1.3. Modelul dinamic Tadashi TAKEUCHI (Firma MITSUBISHI) 1.4. Model dinamic belgian cu două discuri inerţiale legate între ele printr-un arc şi un amortizor 1.5. Model dinamic cu patru discuri inerţiale legate între ele prin arcuri şi amortizoare 1.6. Prezentarea unui „Model dinamic original” utilizat la studiul angrenajelor cu axe paralele 2. DETERMINAREA EFICIENŢEI (RANDAMENTULUI) ANGRENAJELOR CU ROŢI DINŢATE 2.1. Determinarea randamentului instantaneu 2.2. Elementele geometrice ale angrenării 2.3. Determinarea randamentului angrenării 2.4. Randamentul calculat 2.5. Discuţie 2.6. Relaţiile pentru calculul randamentului angrenajului cu roţi dinţate, în cazul când angrenarea este interioară 2.7. Determinarea randamentului, angrenajului cu roţi dinţate cu axe paralele, ţinând cont de gradul de acoperire 2.8. Sinteza angrenajelor cu roţi dinţate cu axe paralele, pe baza realizării unor randamente ridicate în funcţionare Bibliografie (la partea a II-a)

099 099 100 101 102 103 103 109 109 111 112 113 115 116 117 121 122

PARTEA a III-a: CONTRIBUŢII ALE AUTORULUI, ELEMENTE ORIGINALE + ANEXE

123

CONTRIBUŢII ALE AUTORULUI, ELEMENTE ORIGINALE, COMENTARII, CONCLUZII FINALE ANEXA I ANEXA II ANEXA III ANEXA IV ANEXA V ANEXA VI ANEXA VII –Scurt istoric privind apariţia şi evoluţia mecanismelor cu roţi dinţate (şi bare)

124 129 132 135 138 141 144 147

051 052 053 053 054

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

INTRODUCERE

Dezvoltarea şi diversificarea maşinilor şi mecanismelor cu aplicaţii în toate domeniile reclamă noi cercetări ştiinţifice pentru sistematizarea şi perfecţionarea sistemelor mecanice existente, prin crearea de noi mecanisme adaptate cerinţelor moderne, ceea ce implică structuri topologice tot mai complexe. Industria modernă, practica proiectării şi realizării construcţiilor de maşini se bazează tot mai mult pe rezultatele cercetărilor ştiinţifice şi aplicative. Fiecare realizare industrială are în spate activitatea de cercetare teoretică şi experimentală asistată de calculator, prin care se rezolvă probleme tot mai complexe cu programe de calcul performante, utilizând software tot mai specializat. Robotizarea proceselor tehnologice determină şi influenţează tot mai mult apariţia de noi industrii, aplicaţii în condiţii speciale de mediu, abordare de noi tipuri de operaţii tehnologice, manipularea de obiecte în spaţiul extraterestru, teleoperatori în disciplinele de vârf precum medicina, roboţi care acoperă un domeniu tot mai mare al prestaţiilor de servicii în societatea noastră, modernă şi computerizată. În acest context lucrarea de faţă încearcă să aducă o contribuţie ştiinţifică şi tehnică aplicativă în analiza şi sinteza dinamică a mecanismelor cu came şi roţi dinţate plane. La elaborarea acestei teze s-au avut în vedere următoarele exigenţe: - realizarea unei lucrări unitare în ceea ce priveşte documentarea şi contribuţiile ştiinţifice personale; - modul sintetic al prezentării diferitelor aspecte analizate; - scoaterea în evidenţă a realizărilor deosebite ale cercetătorilor şi specialiştilor în domeniul mecanismelor; - alcătuirea unei lucrări de înalt nivel ştiinţific, dar cu posibilitatea de a fi urmărită uşor de specialişti; - formularea unor concluzii menite a fixa ceea ce este esenţial şi totodată de a fi generatoare de noi idei. Lucrarea a fost structurată în trei părţi: prima parte prezintă studiile autorului referitoare la dinamica mecanismelor plane cu came, tacheţi şi supape, cu bibliografia aferentă; partea a doua prezintă pe scurt dinamica mecanismelor plane formate din angrenaje cu roţi dinţate cu axe paralele, în viziunea autorului, împreună cu bibliografia respectivă; partea a treia conţine capitolul de concluzii finale, cu enumerarea contribuţiilor şi elementelor originale, cât şi anexele întregii lucrări; astfel lucrarea propriuzisă „CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE PRIVIND DINAMICA MECANISMELOR PLANE CU CUPLE SUPERIOARE” este practic structurată în primele două părţi, partea a treia fiind rezervată concluziilor finale, enumerării elementelor originale şi prezentării anexelor. Prima parte „CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE PRIVIND DINAMICA MECANISMELOR PLANE CU CAME, TACHEŢI ŞI SUPAPE”, conţine 7 capitole. Primul capitol (partea I) prezintă un scurt istoric al apariţiei şi dezvoltării motoarelor cu ardere internă, datorită cărora au apărut şi s-au dezvoltat şi mecanismele de distribuţie; de acest istoric sunt legate nume sonore ale unor cercetători şi ingineri, olandezi, belgieni, francezi, elveţieni, englezi şi mai ales germani: Este meritul inginerilor germani Eugen Langen şi Nikolaus August Otto de a fi construit primul motor cu ardere internă în patru timpi, în anul 1866, având aprinderea electrică, carburaţia şi distribuţia într-o formă avansată. În anul 1892, inginerul german Rudolf Christian Karl Diesel, inventează motorul cu aprindere prin comprimare, pe scurt motorul diesel. Primele mecanisme cu supape apar în anul 1844, fiind utilizate la locomotivele cu aburi; ele au fost proiectate şi construite de inginerul mecanic belgian Egide Walschaerts. Primele mecanisme cu came sunt utilizate în Anglia şi Olanda la războaiele de ţesut. Se face o prezentare a mecanismelor de distribuţie utilizate la motoarele cu ardere internă: se remarcă modelele actuale cu patru supape pe cilindru, cu distribuţie

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

variabilă, în special modelul suedez al firmei „Scania”, cel franţuzesc al firmelor reunite „PeugeotCitroen”, şi modelele germane ale concernului „Volkswagen”. Capitolul al doilea prezintă câteva modele dinamice utilizate la studiul mecanismelor de distribuţie. Se prezintă şi un model dinamic original „cu amortizare internă variabilă”, [A15, A17, P29, P34], (a se vedea cap. 2.8.). Capitolul 3, prezintă efectiv dinamica mecanismelor de distribuţie, exemplificată pe mecanismul clasic cu camă rotativă şi tachet plat translant. La începutul capitolului este prezentată cinematica de precizie (cinematica dinamică, originală), a acestui tip de mecanism ([P30], [P31], [P32], [P33], [P34], [P35], [P38]). Capitolul 4 (al primei părţi) face analiza dinamică pentru sistemul de distribuţie clasic (a se vedea şi lucrările: [A15], [A16], [A17], [P21], [P23], [P24], [P28], [P29], [P34]), pe baza relaţiilor dinamice prezentate în cap. 3, utilizând programe de calcul originale (scrise în excel şi prezentate în anexele din partea a III-a a lucrării; în fiecare program sunt generate, diagramele dinamice ale deplasării, vitezei şi acceleraţiei tachetului şi supapei, viteza unghiulară variabilă a camei, profilul sintetizat al camei; cele mai interesante sunt profilul camei, deplasarea şi acceleraţia supapei). Capitolul 5, se ocupă de studiul dinamic al mecanismului cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă, modul B. Capitolul 6, tratează dinamica modulului F, la care tachetul este tot cu rolă (bilă), însă are o mişcare de rotaţie (balans). Capitolul 7 prezintă mai concentrat, modulul H, reprezentând cama rotativă cu tachet rotativ plat. Partea I-a se încheie cu o bibliografie generoasă. Partea a II-a „CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE PRIVIND DINAMICA MECANISMELOR PLANE FORMATE DIN ANGRENAJE CU ROŢI DINŢATE CU AXE PARALELE”, este formată din două capitole. În capitolul 1 sunt prezentate câteva modele utilizate la studiul dinamicii angrenajelor cu roţi dinţate. În subcapitolul 1.6. este prezentat un model dinamic nou şi original. Capitolul al doilea (de la partea a doua) se ocupă cu o problemă deosebit de importantă în studiul dinamic al angrenajelor, şi anume determinarea eficienţei (randamentului) angrenajelor. Se pleacă de la o metodă originală (prezentată deja de autor în ultimii 6-7 ani, publicată şi republicată aproape anual – vezi lucrările [P2], [P3], [P4], [P5], [P6], [P7], [P8], [P9]) care determină randamentul cuplei superioare plane a unui angrenaj cu roţi diţate, ţinându-se cont de o singură pereche de dinţi în angrenare, pentru ca la final să se prezinte o medodă nouă care ţine cont de toate perechile de dinţi aflate simultan în angrenare, astfel încât randamentul rezultat va fi o funcţie complexă nu numai de numărul de dinţi al roţii conducătoare şi conduse, şi de unghiul normal al angrenării, cât şi de gradul de acoperire al angrenajului. Se ajunge astfel la un grad de acoperire de 8, pentru un unghi normal de angrenare de 4 grade, astfel încât putem avea opt perechi de dinţi în angrenare simultan, chiar pentru angrenajul clasic cilindric cu dinţi drepţi, fapt care conduce la randamente efective de peste 99.9%. Partea a doua, se încheie cu o bibliografie concisă. Partea a treia începe cu capitolul rezervat concluziilor finale şi enumerării elementelor originale, continuînd apoi cu anexele, în care sunt prezentate programele de calcul elaborate în limbajul excel şi un scurt istoric privind apariţia şi dezvoltarea mecanismelor cu roţi dinţate. Consider că finalizarea prezentei lucrări de doctorat nu ar fi fost posibilă fără îndrumarea, ajutorul direct şi sprijinul moral acordat de conducătorul ştiinţific, prof. dr. ing. Păun Antonescu, căruia îi sunt recunoscător şi doresc să-i transmit şi pe această cale multe mulţumiri. Un gând de mulţumire doresc să transmit şi membrilor catedrei de Teoria Mecanismelor şi a Roboţilor din Facultatea IMST a Universităţi POLITEHNICA din Bucureşti, pentru încurajările şi sprijinul acordate în perioada pregătirii examenelor şi referatelor de doctorat. Apreciez că rezultatele obţinute în prezenta lucrare ştiinţifică, vizând analiza şi sinteza dinamică a mecanismelor plane cu came şi roţi dinţate, constituie un punct de referinţă în abordarea problematicii moderne, complexe, a dinamicii mecanismelor plane în general, contribuind la dezvoltarea ei şi aducând un ajutor important studiului şi dezvoltării construcţiei de maşini (în particular industriei constructoare de motoare cu ardere internă).

Autorul 5

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

PARTEA I-a CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE

PRIVIND DINAMICA MECANISMELOR CU CAME, TACHEŢI ŞI SUPAPE 6

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

CAP. 1

UN SCURT ISTORIC AL MECANISMELOR DE DISTRIBUŢIE LEGAT DE ISTORICUL MOTORULUI OTTO ŞI DE CEL AL AUTOMOBILULUI 1.1. Apariţia şi dezvoltarea motoarelor cu ardere internă, cu supape, de tip Otto sau Diesel În anul 1680 fizicianul olandez, Christian Huygens proiectează primul motor cu ardere internă. În 1807 elveţianul Francois Isaac de Rivaz inventează un motor cu ardere internă care utiliza drept combustibil un amestec lichid de hidrogen şi oxigen. Automobilul proiectat de Rivaz pentru noul său motor a fost însă un mare insucces, astfel încât şi motorul său a trecut pe linie moartă, neavând o aplicaţie imediată. În 1824 inginerul englez Samuel Brown adaptează un motor cu aburi determinându-l să funcţioneze cu benzină. În 1858 inginerul de origine belgiană Jean Joseph Etienne Lenoir, inventează şi brevetează doi ani mai târziu, practic primul motor real cu ardere internă cu aprindere electrică prin scânteie, cu gaz lichid (extras din cărbune), acesta fiind un motor ce funcţiona în doi timpi. În 1863 tot belgianul Lenoir este cel care adaptează la motorul său un carburator făcându-l să funcţioneze cu gaz petrolier (sau benzină). În anul 1862 inginerul francez Alphonse Beau de Rochas, brevetează pentru prima oară motorul cu ardere internă în patru timpi (fără însă a-l construi). Este meritul inginerilor germani Eugen Langen şi Nikolaus August Otto de a construi (realiza fizic, practic, modelul teoretic al francezului Rochas), primul motor cu ardere internă în patru timpi, în anul 1866, având aprinderea electrică, carburaţia şi distribuţia într-o formă avansată. Zece ani mai târziu, (în 1876), Nikolaus August Otto îşi brevetează motorul său. În acelaşi an (1876), Sir Dougald Clerk, pune la punct motorul în doi timpi al belgianului Lenoir, (aducându-l la forma cunoscută şi azi). În 1885 Gottlieb Daimler aranjează un motor cu ardere internă în patru timpi cu un singur cilindru aşezat vertical şi cu un carburator îmbunătăţit. Un an mai târziu şi compatriotul său Karl Benz aduce unele îmbunătăţiri motorului în patru timpi pe benzină. Atât Daimler cât şi Benz lucrau noi motoare pentru noile lor autovehicole (atât de renumite). În 1889 Daimler îmbunătăţeşte motorul cu ardere internă în patru timpi, construind un «doi cilindri în V», şi aducând distribuţia la forma clasică de azi, «cu supapele în formă de ciupercuţe». În 1890, Wilhelm Maybach, construieşte primul «patru-cilindri», cu ardere internă în patru timpi. În anul 1892, inginerul german Rudolf Christian Karl Diesel, inventează motorul cu aprindere prin comprimare, pe scurt motorul diesel.

1.2.

Primele mecanisme cu supape

Primele mecanisme cu supape apar în anul 1844, fiind utilizate la locomotivele cu aburi; ele au fost proiectate şi construite de inginerul mecanic belgian Egide Walschaerts.

Fig. 1.1. Primele mecanisme cu supape, utilizate la locomotivele cu aburi.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

1.3.

Primele mecanisme cu came

Primele mecanisme cu came sunt utilizate în Anglia şi Olanda la războaiele de ţesut. În 1719, în Anglia, un oarecare John Kay deschide într-o clădire cu cinci etaje o filatură. Cu un personal de peste 300 de femei şi copii, aceasta avea să fie prima fabrică din lume. Tot el devine celebru inventând suveica zburătoare, datorită căreia ţesutul devine mult mai rapid. Dar maşinile erau în continuare acţionate manual. Abia pe la 1750 industria textilă avea să fie revoluţionată prin aplicarea pe scară largă a acestei invenţii. Iniţial ţesătorii i s-au opus, distrugând suveicile zburătoare şi alungându-l pe inventator. Pe la 1760 apar războaiele de ţesut şi primele fabrici în accepţiunea modernă a cuvântului. Era nevoie de primele motoare. De mai bine de un secol, italianul Giovanni Branca propusese utilizarea aburului pentru acţionarea unor turbine. Experimentele ulterioare nu au dat satisfacţie. În Franţa şi Anglia, inventatori de marcă, ca Denis Papin sau marchizul de Worcester, veneau cu noi şi noi idei. La sfârşitul secolului XVII, Thomas Savery construise deja "prietenul minerului", un motor cu aburi ce punea în funcţiune o pompă pentru scos apa din galerii. Thomas Newcomen a realizat varianta comercială a pompei cu aburi, iar inginerul James Watt realizează şi adaptează un regulator de turaţie ce îmbunătăţeşte net motorul. Împreună cu fabricantul Mathiew Boulton construieşte primele motoare navale cu aburi şi în mai puţin de o jumătate de secol, vântul ce asigurase mai bine de 3000 de ani forţa de propulsie pe mare mai umfla acum doar pânzele navelor de agrement. În 1785 intră în funcţiune, prima filatură acţionată de forţa aburului, urmată rapid de alte câteva zeci. Fig. 1.2. Război de ţesut.

1.4.

Mecanismele de distribuţie – prezentare generală

Primele mecanisme de distribuţie apar odată cu motoarele în patru timpi pentru automobile. Schemele arborelui cu came şi a mecanismului de distribuţie pot fi urmărite în figura 1.3: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

– – – – – –

roata de lanţ; fixare axială a arborelui; camă; arborele de distribuţie zonă neprelucrată ; fus palier; carcasă.

– arbore de distribuţie; – tachet; – tijă împingătoare; – culbutor; – supapă; – arc de supapă.

a) – model clasic cu tijă şi culbutor; b) – varianta compactă. Un model constructiv pentru varianta compactă, b. Tachetul este clasic, adică plat. În ultimii 25 ani, s-au utilizat fel de fel de variante pentru a spori numărul de supape pe un cilindru; de la 2 supape pe cilindru s-a ajuns chiar la 12 supape/cilindru; s-a revenit însă la variantele mai simple cu 2, 3, 4, sau 5 supape/cilindru. O suprafaţă mai mare de admisie sau evacuare se poate obţine şi cu o singură supapă, dar atunci când sunt mai multe se poate realiza o distribuţie variabilă pe o plajă mai mare de turaţii. Fig. 1.3. Schema mecanismului de distribuţie.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

În figura 1.4 se poate vedea un mecanism de distribuţie echilibrat, de ultimă generaţie, cu patru supape pe cilindru, două pentru admisie şi două pentru evacuare; s-a revenit la mecanismul clasic cu tijă împingătoare şi culbutor, deoarece dinamica acestui model de mecanism este mult mai bună (decât la modelul fără culbutor). Constructorul suedez a considerat chiar că se poate îmbunătăţii dinamica mecanismului clasic utilizat prin înlocuirea tachetului clasic cu talpă printr-unul cu rolă.

Mecanismul de distribiţie Scania. Camera de ardere modulară are o construcţie unică a sistemului de acţionare a supapelor. Arcurile supapelor exercită forţe mari pentru a asigura închiderea lor rapidă. Forţele pentru deschiderea lor sunt asigurate de tacheţi cu rolă acţionaţi de arborele cu came. Economie: Tacheţii şi camele sunt mari, asigurând o acţionare lină şi precisă asupra supapelor. Aceasta se reflectă în consumul redus de combustibil. Emisii poluante reduse: Acurateţea funcţionării mecanismului de distribuţie este un factor vital în eficienţa motorului şi în obţinerea unei combustii curate. Cost de operare: Un beneficiu important adus de dimensiunile tacheţilor este rata scăzută a uzurii lor. Acest fapt reduce nevoia de reglaje. Funcţionarea supapelor rămâne constantă pentru o perioada lungă de timp. Dacă sunt necesare reglaje, acestea pot fi făcute rapid şi uşor. Fig. 1.4. Schema mecanismului de distribuţie Scania (cu tachet cu rolă şi patru supape/cilindru). În figura 1.5 se pot vedea schemele cinematice ale mecanismului de distribuţie cu două (în stânga), respectiv cu patru (în dreapta) supape pe cilindru.

Fig. 1.5. Schemele cinematice ale mecanismului de distribuţie cu două (în stânga), respectiv cu patru (în dreapta) supape pe cilindru. În figura 1.6 se poate vedea schema cinematică a unui mecanism cu distribuţie variabilă cu 4 supape pe cilindru; prima camă deschide supapa normal iar a doua cu defazaj (motor hibrid realizat de grupul PeugeotCitroen în anul 2006).

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Fig. 1.6. Schema cinematică a unui mecanism cu distribuţie variabilă cu 4 supape pe cilindru; prima camă deschide supapa normal iar a doua cu defazaj (motor hibrid realizat de grupul Peugeot-Citroen în anul 2006).

Fig. 1.7. Distribuţie cu 4 supape pe cilindru; prima camă deschide supapa normal iar a doua cu defazaj: în stânga se vede un motor Audi V-6, model-2007, iar în dreapta un Volkswagen normal cu 4 cilindri în linie verticali, model-2006. Aproape toate modelele actuale s-au stabilizat la patru supape pe cilindru pentru a realiza astfel o distribuţie variabilă (vezi şi modelele concernului Volkswagen, figura 1.7.). În 1971 K. Hain propune o metodă de optimizare a mecanismului cu camă pentru a obţine la ieşire un unghi de transmitere optim (maxim) şi o acceleraţie minimă [H4]. În 1979 F. Giordano investighează influenţa erorilor de măsurare în analiza cinematică a camei [G4]. În 1985 P. Antonescu prezintă o metodă analitică pentru sinteza mecanismului cu camă şi tachet plat [A11, A12, A13], şi a mecanismului cu tachet balansier [A26, A27, A28, A29, A30, A31, A32, A33, A34, A35, A36, A37]. În 1988 J. Angeles şi C. Lopez-Cajun prezintă sinteza optimală a mecanismului cu camă şi tachet plat oscilant [A20]. În 2001 Dinu Taraza analizează influenţa profilului sintetizat al camei, asupra variaţiei vitezei unghiulare a arborelui de distribuţie, şi asupra parametrilor de putere, sarcină, consum şi emisii ai motorului cu ardere internă [T10, T11, T12, T13]. În 2005 Fl. I. Petrescu şi R. V. Petrescu prezintă o metodă de sinteză a profilului camei rotative cu tachet de translaţie sau rotativ, plat sau cu rolă, pentru obţinerea unor randamente ridicate la ieşire [P33, P34, P35, P38].

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

CAP. 2

MODELE DINAMICE ALE MECANISMELOR CU CAME 2.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu dublă amortizare internă În lucrarea [W1] se prezintă un model dinamic de bază, cu un singur grad de libertate, cu două resorturi şi cu dublă amortizare internă, pentru simularea mişcării mecanismului cu camă şi tachet (vezi fig. 2.1.) şi relaţiile de calcul (2.1-2.2).

&x& + 2ξ 2 ω 2 x& + ω 22 x = ω12 y + 2ξ 1ω1 y& K (K + K 2 ) c (c + c 2 ) ;2ξ 1ω1 = 1 ;2ξ 2 ω 2 = 1 ω1 = 1 ; ω 2 = 1 M M M M

(2.1) (2.2)

y= miscarea de intrare impusã de x profilul camei, x= miscarea de iesire, a tachetului, k1 si k2 reprezintã elasticitãtile sistemului, c1 si c2 amortizãrile din sistem si M este masa redusã.

Fig. 2.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu dublă amortizare internă Ecuaţia de mişcare a sistemului propus (2.1), utilizează notaţiile (relaţiile) din sistemul (2.2); ω1 şi ω2 reprezintă pulsaţiile proprii ale sistemului şi se calculează din sistemul de relaţii (2.2), în funcţie de elasticităţile K1 şi K2 ale sistemului din figura 2.1, cât şi în funcţie de masa redusă M, a sistemului.

2.2. Model dinamic cu două grade de libertate, fără amortizare internă În lucrarea [F1] este prezentat modelul dinamic de bază al unui mecanism cu camă, tachet şi supapă, cu două grade de libertate, fără amortizare internă (vezi fig. 2.2.). y=x+z (2.3)

d2y + ( K1 + K ) y = K1 x − s0 dt 2 Fn = m1 &x& − K 1 ( y − x) = m1 &x& − k1 z

k m y

k1 m1

Model clasic, cu douã grade de libertate, fãrã amortizãri si care tine cont de forta de prestrângere s0 . (2) reprezintã ecuatia de miscare a supapei (3)reprezintã ecuatia de miscare a tachetului, din care se scoate si ecuatia de contix nuitate a miscãrii.

Fig. 2.2. Model dinamic cu două grade de libertate, fără amortizare internă

(2.4) (2.5)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

2.3. Model dinamic cu un grad de libertate cu amortizare internă şi externă Un model dinamic cu ambele amortizãri din sistem, cea externã (a resortului supapei) si cea internã, este cel prezentat în lucrarea [J2], (vezi fig. 2.3.).

masă

m amortizare internă

elasticitate

amortizare externă

y tachet camă

Fig. 2.3. Model dinamic cu un grad de libertate cu amortizare internă şi externă

2.4. Model dinamic cu un grad de libertate, ţinând cont de amortizarea internă a resortului supapei Un model dinamic cu un grad de libertate, generalizat, este prezentat în lucrarea [T7], (vezi fig. 2.4.): ELASTICITATEA RESORTULUI SUPAPEI,

AMORTIZAREA RESORTULUI SUPAPEI,

Cr IESIRE MASA ECHIVALENTA A SISTEMULUI

. .. y, y, y

ELASTICITATEA ECHIVALENTA A SISTEMULUI

K INTRARE

2.4. Model dinamic cu un grad de libertate, ţinând cont de amortizarea internă a resortului supapei Ecuaţia de mişcare se scrie sub forma (2.6):

M d 2 y C r dy ( K + K r ) + + y=S K dt K K dt 2

(2.6)

Utilizând relaţia cunoscută (2.7) ecuaţia (2.6) ia forma (2.8):

dKy = y ( K )ω K dt K S = μ M y ' '+ μ C y '+ μ K y

(2.7) (2.8)

unde coeficienţii μ au forma (2.9):

μM =

(K + K r ) C M 2 ω ; μ C = r ω; μ K = ≅ 1, cuK r << K K K K

(2.9)

Reacţiunea verticală are forma:

FK = K ( S − y ) + P = Mω 2 y ' '+C r ωy '+ K r y + P

(2.10)

2.5. Model dinamic cu două grade de libertate, cu dublă amortizare Tot în lucrarea [T7] se prezintă modelul cu două grade de libertate (vezi fig. 2.5.), cu dublă amortizare:

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Kr1

Cr1 . .. y1 , y1 , y1

M1 K1

Kr2

Cr2 . .. y2 , y2 , y2

M2 K2

Fig. 2.5. Model dinamic cu două grade de libertate, cu dublă amortizare Relaţiile de calcul utilizate sunt (2.11-2.16):

S = P4 y1'''' + P3 y1''' + P2 y1'' + P1 y1' + P0 y1 M M P4 = 1 2 ω 4 K1 K 2 ( M 2 C r1 + M 1 C r 2 ) 3 ω P3 = K1 K 2 [ M 2 ( K 1 + K r1 ) + M 1 ( K 1 + K 2 + K r 2 ) + C r1C r 2 ] 2 P2 = ω K1 K 2 [C ( K + K r1 ) + C r1 ( K 1 + K 2 + K r 2 )] ω P1 = r 2 1 K1 K 2 ( K K + K 1 K 2 + K 2 K r1 + K 1 K r 2 + K r1 K r 2 ) P0 = 1 r1 K1 K 2

(2.11) (2.12) (2.13) (2.14) (2.15) (2.16)

2.6. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii torsionale În lucrarea [S5] se propune un model dinamic cu 4 grade de libertate, obţinute astfel: modelul are două mase în mişcare; acestea prin vibraţia verticală impun fiecare câte un grad de libertate; una din mase se consideră că vibrează şi transversal, generând încă un grad de libertate; iar ultimul grad de libertate, este generat de vibraţia torsională a arborelui cu came (vezi fig. 2.6.). Relaţiile de calcul sunt (2.17-2.20). Primele două ecuaţii rezolvă vibraţiile normale verticale, a treia ecuaţie ţine cont de vibraţia torsională a arborelui cu came, iar ultima ecuaţie (independentă de celelalte), cea de-a patra, se ocupă numai de vibraţia transversală a sistemului. M&x&1 + 2cx&1 + (k + K ) x1 − cx& 2 − Kx 2 = − P (t ) (2.17)

m&x&2 + 2cx& 2 + ( K + k ac ) x 2 − cx&1 − Kx1 = Fv + cs& + k ac s Jq&& + c r q& + k r q − s ' k ac x 2 − cs' x& 2 = − s ' (k ac s + cs' ) mu&& + k t u = Fh P . f(x1 )

k x1

M K

u m

Fv kac

. . f(x1 ,x2 ) kt . . f(x2 , s ) s(ϕ )

J fr (q)

ϕ = ω t +q

ϕr = ω t

Fig. 2.6. Model dinamic cu patru grade de libertate cu vibraţii torsionale

(2.18) (2.19) (2.20)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

2.6.1. Model dinamic monomasic amortizat Tot în lucrarea [S5] este prezentat un model dinamic simplificat, monomasic amortizat (vezi fig. 2.7.). Ecuaţia de mişcare folosită are forma (2.21):

k x

M&x& + cx& + (k + K ) x = cs& + Ks − P (2.21)

P M

Care se poate scrie mai convenabil,

(2.22):

x' ' = A1 ( y '− x' ) + ω12 ( y − x) − F

(2.22)

Unde coeficienţii A1, ω12 şi F se calculează cu expresiile date în relaţia (2.23):

A1 =

Fig. 2.7. Model dinamic monomasic amortizat

ct 0 (2 K + k )t 02 Pt 2 ; ω12 = ; F = 0 (2.23) M M Ms 0

2.6.2. Model dinamic bimasic amortizat În figura 2.8. este prezentat modelul bimasic propus în lucrarea [S5]. k x1

M K

-Fv

m kac

c s(ϕ )

Fig. 2.8. Model dinamic bimasic amortizat Modelul matematic se scrie:

M&x&1 + 2cx&1 + (k + K ) x1 − cx& 2 − Kx 2 = − P (t ) m&x&2 + 2cx& 2 + ( K + k ac ) x 2 − cx&1 − Kx1 = Fv + cs& + k ac s

(2.24) (2.25)

Ecuaţiile (2.24-2.25) se pot scrie sub forma:

x1'' = A1 ( x 2' − 2 x1' ) + ω12 ( x 2 − x1 ) − F (2.26) '' ' ' 2 2 x 2 = A1 ( y '−2 x 2 + x1 ) + ω 2 ( y − x 2 ) + μω1 x1 + [ μF + (1 + μ ) y ' ' ]( B1 + B2 y '+ B3 y ) (2.27) unde s-au folosit notaţiile (2.28):

μ= ω 22 =

M ⇒ raportul celor două mase, m

(k ac + K )t 02 k ac t 02 ≅ ⇒ pulsaţia proprie adimensională a masei m, m m μ s B1 = μ1 ; B2 = 2 0 ; B3 = μ 3 s 0

(2.28)

ϕ0

2.6.3. Model dinamic monomasic cu vibraţii torsionale În figura 2.9. se poate vedea un model dinamic monomasic, care ţine cont şi de vibraţiile torsionale ale arborelui cu came [S5]:

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

k x1

M K

c s(ϕ )

ω cr

ϕ = ω t +q

ϕr = ω t

Fig. 2.9. Model dinamic monomasic cu vibraţii torsionale Studiul evidenţiază faptul că vibraţiile torsionale ale arborelui cu came au o influenţă neglijabilă şi deci ele pot fi excluse din modelele de calcul dinamice. Aceiaşi concluzie rezultă şi din lucrarea [S6] unde modelul cu torsiune este studiat mai amănunţit.

2.6.4. Influenţa vibraţiilor transversale Elasticitatea tachetului, lungimea variabilă a tachetului în timpul funcţionării mecanismului cu came, variaţia unghiului de presiune, excentricitatea tachetului, frecările din cuplele cinematice, uzura cuplei de translaţie, erorile tehnologice şi de fabricaţie, jocurile din sistem şi alţi factori, sunt elemente care favorizează prezenţa unei vibraţii transversale a masei tachetului [S5]. În cazul unor vibraţii de amplitudine ridicată, parametrii de răspuns la ultimul element al sistemului urmăritor vor fi influenţaţi. Urmărind figura 2.10., se poate constata că dacă curba a, este traiectoria vârfului A, al tachetului, punctul A va ajunge periodic în punctul A’, caz în care cursa reală a tachetului yr , se va modifica după legea: yr=y-yv=y-u.tgv , unde y este deplasarea longitudinală a tachetului, u reprezintă deplasarea transversală a masei m, a tachetului, iar v este unghiul de presiune. Cursa reală a tachetului, yr, se va modifica după legea (2.29): (2.29) y r = y − y v = y − utg (v) Ecuaţia de mişcare (adimensională) se scrie (2.30):

u ' '+

A1u = [ F + (1 + μ ) y ' ' ]( B11 + B 21 y '+ B31 y ) (1 − A2 y ) 3

(2.30)

unde s-au notat cu (2.31) constantele adimensionale:

3EIt 02 s A1 = ; A2 = 0 ; B11 = f 1 B1 ; B21 = f 1 B2 ; B31 = f 1 B3 3 a ma

(2.31)

Tot în lucrarea [S5] se analizează influenţa diametrului tijei tachetului, a intervalului de ridicare, a lungimii maxime aflate în afara ghidajelor tachetului, a cursei maxime de ridicare, precum şi a diverselor profile de came, asupra traiectoriei punctului A. Concluzii: Se constată că reducerea diametrului tijei tachetului conduce la mărirea amplitudinii şi micşorarea frecvenţei medii a vibraţiilor transversale. Reducerea diametrului de 1.35 ori, conduce la creşterea amplitudinii de aproape trei ori, iar frecvenţa medie scade sensibil. Amplitudinile iniţiale sunt mai mari la începutul intervalului, către mijlocul intervalului de ridicare scad, oscilaţia devenind neînsemnată, iar către sfârşitul ridicării, din cauza reducerii lungimii a, prin scăderea cursei y, frecvenţa creşte şi în consecinţă amplitudinea scade de la dublu la simplu, faţă de începutul intervalului. Mărirea lungimii tachetului în afara ghidajelor sale de la 2.2 la 3 cm, conduce la creşterea amplitudinii vibraţiei de circa 25 ori. Legea de mişcare fără salturi în curba acceleraţiei de intrare reduce amplitudinea vibraţiei transversale a tachetului. Autorul lucrării [S5] menţionează că oricare ar fi influenţa parametrilor enumeraţi, pentru cazurile considerate, valorile amplitudinii rămân destul de mici, iar în cazul unor frecări reduse în cupla superioară, ele pot a scădea şi mai mult. Prin urmare conchide autorul lucrării [S5], vibraţiile A v y transversale ale tachetului există şi trebuie să atragă atenţia constructorului A’ y u numai în cazul unor valori exagerate, ale constantelor care caracterizează aceste R vibraţii. În ceea ce priveşte distribuţia motoarelor cu ardere internă, vibraţia transversală poate fi neglijată fără a se afecta parametrii de răspuns, realizaţi la ω supapă. 2.10. Influenţa vibraţiilor transversale v

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

2.7. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii de încovoiere În lucrarea [K3] este prezentat un model dinamic cu patru grade de libertate, având o singură masă oscilantă în mişcare de translaţie, care reprezintă unul dintre cele patru grade de libertate. Celelalte trei libertăţi rezultă dintr-o deformaţie de torsiune a arborelui cu came, o deformaţie de încovoiere pe verticală (z), tot a arborelui cu came şi o deformaţie de încovoiere a aceluiaşi arbore, pe orizontală (y), toate trei deformaţiile producându-se într-un plan perpendicular pe axa de rotaţie (vezi fig. 2.11.). . x

R(β)

. y

. z

ωs

Fig. 2.11. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii de încovoiere Lucrarea [K3] este extrem de interesantă prin modelul pe care îl propune (se iau în studiu toate tipurile de deformaţii), dar mai ales prin ipoteza pe care o avansează şi anume: turaţia camei nu este constantă, ci variabilă, viteza unghiulară a camei ω=f(β) fiind o funcţie de poziţia camei (unghiul de rotaţie al camei=β). Viteza unghiulară a camei este o funcţie de unghiul de pozitie β (pe care uzual îl notăm cu ϕ), iar variaţia ei este cauzată de cele trei deformaţii (una de torsiune şi două încovoieri) ale arborelui, cât şi de jocurile unghiulare existente între sursa motoare (de antrenare) şi arborele cu came. Modelul matematic ţinând cont de flexibilitatea arborelui cu came este următorul; rigiditatea de legătură între camă şi tachet este o funcţie de pozitia β (unghiul de rotaţie al camei), vezi relaţia (2.32):

1 1 1 1 1 = + +[ + ]tg 2α C (β ) C x C z C β (β ) C y

1 1 1 = + Cc C x C z

(2.32) (2.33)

Unde 1/Cc vezi (2.33) este o rigiditate constantă, dată de rigidităţile tachetului (Cx) şi a camei (Cz ) pe direcţia de lucru a tachetului.

1 1 1 = + C tan ( β ) C β ( β ) C y

(2.34)

Iar: 1/Ctan (β) vezi (2.34) reprezintă rigidităţile tangenţiale, Cβ fiind rigiditatea la torsiune a camei şi Cy rigiditatea la încovoierea după axa y a camei, cu, Cβ (β) dată de relaţia (2.35) .

C β (β ) =

K [ R( β )] 2

(2.35)

Cu (2.33) şi (2.34) relaţia (2.32) se rescrie sub forma (2.36):

tg 2α 1 1 = + C ( β ) C c C tan ( β )

(2.36)

Unde α, este unghiul de presiune, care în general e o funcţie de β, iar la tacheţii plaţi (folosiţi la mecanismele de distribuţie), are valoarea constantă (zero): α=0. Ecuaţia de mişcare se scrie sub forma (2.37): m.&x& + C ( β ).x = C ( β ).h( β ) (2.37) unde h(β) este legea de mişcare impusă tachetului de către camă.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Unghiul de presiune, α, influenţează astfel (2.38):

tgα =

1 dh R( β ) dβ

(2.38)

Unde R(β), este raza curentă, care dă poziţia camei (distanţa de la centrul camei la punctul de contact camă-tachet) şi se aproximează prin raza medie, R1/2. Relaţia (2.38) se poate pune sub forma (2.39); Unde raza medie, R1/2, se obţine cu formula (2.40):

tgα =

1 h& R1 / 2 ω s

(2.39)

R1 / 2 = Rb +

1 hm 2

(2.40)

Rb este raza cercului de bază, iar hm este cursa maximă proiectată a tachetului. Se obţine astfel o rază medie, care este utilizată în calcule, pentru simplificări; ωs=viteza unghiulară a maşinii, constantă, dată de turaţia maşinii. Ecuaţia (2.37) se poate scrie acum:

&x& =

C c .[h(t ) − x] C 1 h& 2 ) ] m.[1 + c ( C tan R1 / 2 ω s

(2.41)

Rezolvarea ecuaţiei (2.41) se face pentru α=0, cu următoarele notaţii: Perioada vibraţiei naturale se determină cu relaţia (2.42);

Tc = 2π

m Cc

(2.42)

Raţia perioadei vibraţiei naturale se obţine cu formula (2.43);

τ=

Tc tm

(2.43)

Panta în timpul ridicării camei (2.44) este;

hm R1 / 2 .β m

tgα mc =

(2.44)

Factorul rigidităţii arborelui se obţine cu formula (2.45);

Fa =

Cc tg 2α mc C tan

(2.45)

Cu parametrii adimensionali daţi de (2.46);

t h x 2 h x ;X = ; T = ; H& = t m ; X&& = tm hm hm tm hm hm

(2.46)

Ecuaţia de mişcare se scrie sub forma (2.47):

2π H−X X&& = ( ) 2 . τ 1 + H& 2 .Fa

(2.47)

Curba nominală a camei este cunoscută (2.48) şi (2.49):

H& = H& (T ) H = H (T )

(2.48)

(2.49) Cu (2.47), (2.48) şi (2.49) se calculează răspunsul dinamic printr-o metodă numerică. Autorul lucrării [K3] dă un exemplu numeric, pentru o lege de mişcare, corespunzătoare camei cicloidale (2.50):

H =T −

1 sin( 2π .T ) 2π

(2.50)

Lucrarea este interesantă mai ales prin modul în care reuşeşte (să cupleze) să transforme cele patru grade de libertate într-unul singur, utilizând în final o singură ecuaţie de mişcare după axa principală. Modelul dinamic prezentat poate fi utilizat integral sau numai parţial, astfel încât pe un alt model dinamic clasic sau nou, să se insereze, ideea utilizării deformaţiilor pe diferite axe, cu efectul lor cumulat pe o singură axă.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

2.8. Modele dinamice cu amortizare internă variabilă Dacă în general problema elasticităţilor este rezolvată, în problema amortizărilor sistemului lucrurile nu sunt clare şi bine puse la punct. De obicei se consideră o valoare “c” constantă pentru amortizarea internă a sistemului şi uneori aceeaşi valoare c şi pentru amortizarea resortului elastic care susţine supapa. Aproximarea este însă mult forţată, ştiut fiind că, amortizarea resorturilor elastice este variabilă, iar pentru resorturile clasice, cilindrice, cu parametru de elasticitate (k) constant, cu deplasare liniară cu forţa, amortizarea este mică şi se poate considera zero. Trebuie să se facă specificaţia faptului că amortizarea nu înseamnă neapărat oprirea (sau opoziţia) mişcării, ci amortizare înseamnă consum de energie în scopul frânării mişcării (elementele elastice din cauciuc au o amortizare considerabilă; la fel şi amortizoarele hidraulice). Arcurile metalice elicoidale, au în general o amortizare mică (neglijabilă). Efectul de frânare pe care îl realizează aceste resorturi creşte odată cu constanta elastică (rigiditatea k a arcului) şi cu forţa de prestrângere (P0 ori F0 ) a resortului (altfel spus cu săgeata statică a arcului, x0 = P0 /k ). Energia se transformă în permanenţă dar nu se disipează (din acest motiv randamentul acestor resorturi este în general mai mare). În lucrările [A15] şi [A17] sunt prezentate două modele dinamice cu amortizarea internă a sistemului, c, variabilă. Determinarea amortizării interne a sistemului, c, are la bază comparaţia între coeficienţii ecuaţiei dinamice, scrisă în două moduri diferite, Newtonian şi Lagrangian.

2.8.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu amortizarea internă a sistemului - variabilă În lucrarea [A15] se prezintă un model dinamic cu un grad de libertate, cu considerarea amortizării interne a sistemului (c), amortizare pentru care se consideră o funcţie specială. Mai exact se defineşte coeficientul de amortizare al sistemului (c), ca parametru variabil depinzând de masa redusă a mecanismului (m* sau Jredus ) şi de timp, adică, c, depinde de derivata lui mredus în funcţie de timp. Ecuaţia de mişcare, diferenţială, a mecanismului, se scrie considerând deplasarea supapei ca răspuns dinamic.

2.8.1.1. Determinarea coeficientului de amortizare al mecanismului Pornindu-se de la schema cinematică a mecanismului de distribuţie clasic (vezi figura 2.12.) se construieşte modelul dinamic monomasic (cu un singur grad de libertate), translant, cu amortizare variabilă (vezi figura 2.13.), a cărui ecuaţie de mişcare este: (2.51) M .&x& = K .( y − x) − k .x − c.x& − F0 Ecuaţia (2.51) nu este altceva decât ecuaţia lui Newton, în care suma de forţe pe un element, pe o anumită direcţie (x), este egală cu zero. Notaţiile din formula (2.51) sunt următoarele: M- masa mecanismului redusă la supapă; K- constanta elastică redusă a lanţului cinematic (rigiditatea lanţului cinematic); k- constanta elastică a arcului supapei; c- coeficientul de amortizare al întregului lanţ cinematic (amortizarea internă a sistemului); F ≡ F0 - forţa elastică de prestrângere a arcului supapei; x- deplasarea efectivă a supapei; y≡s- legea de deplasare a tachetului (impusă de profilul camei) redusă la axa supapei. 4

C 3

ω1

Fig. 2.12. Schema cinematică a mecanismului clasic de distribuţie

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

F(t)

c kx

x(t)

. cx

M K(y-x)

K y(t) ω1

camã

Fig. 2.13. Model dinamic monomasic, cu amortizarea internă a sistemului variabilă. Ecuaţia Newton (2.51) se ordonează astfel:

M .&x& + c.x& = K .( y − x) − ( F0 + k .x)

(2.52)

Totodată ecuaţia diferenţială a mecanismului se scrie şi sub forma Lagrange, (2.53), (Ecuaţia Lagrange):

M .&x& +

1 dM x& = Fm − Fr 2 dt

(2.53)

Ecuaţia (2.53), care nu este altceva decât ecuaţia diferenţială Lagrange, permite ca prin identificarea coeficienţilor polinomului, cu cei ai polinomului Newtonian (2.52), să se obţină forţa rezistentă redusă la supapă (2.54), forţa motoare redusă la supapă (2.55), cât şi expresia lui c, adică expresia coeficientului variabil de amortizare internă, a sistemului, (2.56). Fr = F0 + k .x = k .x 0 + k .x = k .( x 0 + x) (2.54)

Fm = K .( y − x) = K .( s − x) 1 dM c= . 2 dt

(2.55) (2.56)

Se obţine astfel o nouă formulă, (2.56), în care coeficientul de amortizare internă (a unui sistem dinamic), este egal cu jumătate din derivata cu timpul a masei reduse a sistemului dinamic respectiv. Ecuaţia de mişcare Newton (2.51, sau 2.52), prin înlocuirea lui c, ia forma (2.57):

M .&x& +

1 dM x& + ( K + k ).x = K . y − F0 2 dt

(2.57)

În cazul mecanismului clasic, de distribuţie (din figura 2.12.), masa redusă, M, se calculează cu formula (2.58):

M = m5 + (m 2 + m3 ).(

y& 2 2 ω ω ) + J 1 .( 1 ) 2 + J 4 .( 4 ) 2 x& x& x&

(2.58)

formulă în care sau utilizat următoarele notaţii: m2 = masa tachetului; m3 = masa tijei împingătoare; m5 = masa supapei; J1 = momentul de inerţie mecanic al camei; J4 = momentul de inerţie mecanic al culbutorului; y& 2 = viteza tachetului impusă de legea de mişcare a camei;

x& = viteza supapei. Dacă se notează i=i25 , raportul de transmitere tachet-supapă (realizat de pârghia culbutorului), viteza teoretică a supapei (impusă prin legea de mişcare dată de profilul camei), se calculează cu formula (2.59):

y ≡ y& 5 =

y& 2 i

(2.59)

unde:

i= este raportul braţelor culbutorului. Se scriu următoarele relaţii:

CC 0 C0 D

(2.60)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

x& = ω1 .x' &x& = ω12 .x' '

(2.61) (2.62)

y& 2 = ω1 . y = ω1 .i. y ' ' 2

ω1

(2.63)

ω1 1 = x& ω1 .x' x' y& 2 ω1 . y 2' ω1 . y '.i ω1 . y ' CC 0 ω1 . y ' = = = = ω4 = CC 0 CC 0 CC 0 CC 0 C 0 D C 0 D ω4 ω1 . y ' 1 y' = = x& C 0 D.ω1 .x' C 0 D x' =

(2.64) (2.65) (2.66)

unde y’ este viteza redusă impusă tachetului (prin legea de mişcare a profilului camei), redusă la axa supapei. Cu relaţiile anterioare (2.60), (2.63), (2.64), (2.66), relaţia (2.58) devine:

M = m5 + (m 2 + m3 ).(

i. y ' 2 1 1 y' 2 ) + J 1 .( ) 2 + J 4 .( ) x' x' C 0 D x'

(2.67)

M = m5 + [i 2 .(m 2 + m3 ) +

J4 y' 1 ].( ) 2 + J 1 .( ) 2 2 x' x' (C 0 D )

(2.68)

ori:

y' 1 M = m5 + m * .( ) 2 + J 1 .( ) 2 x' x'

(2.69)

Facem derivata dM/dϕ şi rezultă următoarele relaţii:

y' d [( ) 2 ] y' y' y ' ' x' ' 2. y ' ( y ' '.x'− x' '.y ' ) 2. y ' x' = = 2 .( y ' '− x' '. ) = 2.( ) 2 .( − ) 2 dϕ x' x' x' y ' x' x' x' 1 d [( ) 2 ] x' ' 2 − x' ' x' = . 2 = −2. 3 dϕ x' x' x' y' y ' ' x' ' dM x' ' = 2.m * .( ) 2 .( − ) − 2.J 1 . 3 dϕ x' y ' x' x' Se scrie relaţia (2.56) sub forma:

ω dM . 2 dϕ

(2.70)

(2.71) (2.72)

(2.73)

care cu (2.72) devine:

c = ω.{[i 2 .(m 2 + m3 ) +

J4 y' y ' ' x' ' x' ' ].( ) 2 .( − ) − J 1 . 3 } 2 x' y ' x' x' (C 0 D )

(2.74)

deci

y' y ' ' x' ' x' ' c = ω.[m * .( ) 2 .( − ) − J 1 . 3 ] x' y ' x' x'

(2.75)

unde s-a notat:

m* = i 2 .(m 2 + m3 ) +

J4 (C 0 D ) 2

(2.76)

2.8.1.2. Determinarea ecuaţiilor de mişcare Cu relaţiile (2.69), (2.62), (2.75) şi (2.61) ecuaţia (2.52) se scrie mai întâi în forma (2.77), care se dezvoltă în formele (2.78), (2.79) şi (2.80):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

M .ω 2 .x' '+c.ω.x'+( K + k ).x = K . y − F0 y' y' y ' ' x' ' 1 ω 2 .x' '.m5 + ω 2 .m * .( ) 2 .x' '+ J 1 .( ) 2 .x' '.ω 2 + ω 2 .x'.m * .( ) 2 .( − ) − x' x' x' y ' x' x' ' x'.ω 2 .J 1 . 3 + ( K + k ).x = K . y − F0 x'

(2.77)

(2.78)

adică:

y' x'

ω 2 .m5 .x' '+ω 2 .m * .x' '.( ) 2 − ω 2 .m * .( ) 2 .x' ' (2.79)

y' + ω .m * . y ' '. + ( K + k ).x = K . y − F0 x' 2

şi forma finală:

ω 2 .m5 .x' '+( K + k ).x + ω 2 .m * . y ' '.

y' = K . y − F0 x'

(2.80)

care se mai poate scrie şi sub o altă formă:

y' x'

ω 2 .(m5 .x' '+ m * . y ' '. ) + ( K + k ).x = K . y − F0

(2.81)

Ecuaţia (2.81) se poate aproxima la forma (2.82) dacă considerăm viteza teoretică, de intrare, y, impusă de profilul camei-tachetului (redusă la axa supapei), aproximativ egală cu viteza supapei, x.

ω 2 .(m5 .x' '+ m * . y ' ' ) + ( K + k ).x = K . y − F0

(2.82)

Dacă se notează legile de intrare cu s, s’ (viteza redusă), s’’ (acceleraţia redusă), ecuaţia (2.82) ia forma (2.83), iar ecuaţia mai completă (2.81) capătă forma mai complexă (2.84):

ω 2 .(m5 .x' '+ m * .s' ' ) + ( K + k ).x = K .s − F0 s' x'

ω 2 .(m5 .x' '+ m * .s' '. ) + ( K + k ).x = K .s − F0

(2.83) (2.84)

2.8.2. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu amortizarea internă a sistemului - variabilă În lucrarea [A17] se prezintă un model dinamic cu amortizare variabilă ca şi cel din paragraful anterior, însă cu patru grade de mobilitate. Se face ipoteza existenţei a patru mase, în mişcare de translaţie în acelaşi timp (vezi fig. 2.14.). În fig. 2.14.a se prezintă schema cinematică a mecanismului clasic de distribuţie, iar în fig. 2.14.b este prezentat modelul dinamic aferent, cu patru mase în mişcare, deci cu patru grade de libertate. Modul în care se deduc cele patru mase dinamice, cât şi constantele elastice aferente, ca şi cele de amortizare corespunzătoare va fi prezentat în paragraful următor. m4 ,k4 C

F0 k4 * c4

m4 * m6 ,k6

k3 *

m3 * k2 *

m3 ,k3

ω1

m2 * k1 *

m2 ,k2

A O1

m5 ,k5

m1 *

m1 ,k1

y4 = x y3 y2

Fe b)

Fig. 2.14. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu amortizarea internă a sistemului - variabilă -

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

2.8.2.1. Ecuaţiile de mişcare pentru modelul dinamic cu patru mase Se consideră modelul dinamic cu patru grade de libertate (fig. 2.14.), la care cele patru mase reduse la elementul condus (supapa) se calculează cu formulele (2.85). Masa m1* se calculează ca fiind masa m1 (masa camei) care se reduce la axa supapei, adică această masă m1, se 2 înmulţeşte cu viteza teoretică de intrare, y& 1c , ridicată la pătrat şi se împarte cu pătratul vitezei supapei, x& , mai

exact se face raportul între viteza de intrare la camă, y& 1c şi viteza supapei, x& , şi se ridică la pătrat, iar acest raport la pătrat se înmulţeşte cu masa m1. Cum viteza de intrare, y& 1c , trebuie să fie şi ea redusă la axa supapei, în locul ei se va scrie viteza de intrare redusă la axa supapei, y& 1 , înmulţită cu raportul de transmitere al culbutorului, i, adică avem relaţia

y& 1c = i.y& 1 , iar viteza la pătrat y& 12c , se va înlocui cu i 2 .y& 12 , urmând a nota acest i2 înmulţit cu masa m1 cu m1’. Pentru masa m2* se consideră masa tachetului, m2, plus o treime din masa tijei împingătoare, m3, iar viteza corespunzătoare, y& 2 , este practic viteza dinamică, reală, a tachetului, redusă la axa supapei. Masa m3* corespunde tijei împingătoare şi este formată din două treimi rămase ale masei tijei împingătoare, m3, plus jumătate din masa culbutorului, m4; viteza y& 3 , este viteza medie reală, cu care se va deplasa tija împingătoare pe axa verticală redusă la axa supapei, sau viteza culbutorului în punctul C redusă la axa supapei. Masa m4* este obţinută din toate masele însumate de pe lateralitatea supapei, adică jumătate din masa culbutorului, plus masa m5 (care reprezintă la rândul ei suma dintre masa supapei şi masa talerului supapei), plus o treime din masa m6, a arcului supapei. Viteza supapei (evident la axa sa) a fost notată cu x& .

y&1 2 y& y& y& 1 ) = m1' .( 1 ) 2 ; m2* = (m2 + .m3 ).i 2 .( 2 ) 2 = m2' .( 2 ) 2 ; x& x& x& x& 3 y& y& 2 1 1 1 m3* = ( .m3 + .m4 ).i 2 .( 3 ) 2 = m3' .( 3 ) 2 ; m4* = .m4 + m5 + .m6 = m4' x& x& 3 2 2 3 m1* = m1.i 2 .(

(2.85)

în care i = O4C / O4D (vezi fig. 2.14.) reprezintă raportul de transmitere al culbutorului; m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 sunt în ordine: masa camei, a tachetului, a tijei împingătoare, a culbutorului, a supapei (cu tot cu taler) şi respectiv a arcului supapei. Se precizează următoarele constante elastice (vezi fig. 2.14.) echivalente reduse la supapă (2.86):

K1* =

K1.K 2 2 * .i ; K 2 = K 3 .i 2 ; K 3* = K 4 ; K 4* = K 6 K1 + K 2

(2.86)

unde k1, k2, k3, k4, k6, sunt rigidităţile (constantele elastice ale) elementelor corespunzătoare. Constanta elastică a supapei nu intră în discuţie. Se menţionează că F0 este forţa exterioară, cunoscută ca forţa de prestrângere a arcului supapei, iar Fe este forţa de echilibrare la supapă, practic forţa motoare. În continuare se va neglija influenţa momentelor de inerţie mecanice (masice), a forţelor de greutate şi a forţelor de frecare. Urmărind echilibrul dinamic pentru fiecare masă redusă în parte se scriu patru ecuaţii de forma:

K 1* .( y1 − y 2 ) − Fe + m1* .&y&1 + c1 . y& 1 = 0

(2.87)

K .( y 2 − y 3 ) − K .( y1 − y 2 ) + m .&y&2 + c 2 . y& 2 = 0

(2.88)

* 2

* 1

* 2

K .( y 3 − x) − K .( y 2 − y 3 ) + m .&y&3 + c 3 . y& 3 = 0 * 3

* 2

* 3

K .x − K .( y 3 − x) + F0 + m .&x& + c 4 .x& = 0 * 4

* 3

* 4

(2.89) (2.90)

Deplasările liniare y1 , y2 , y3 , y4 =x corespund maselor reduse m1*, m2*, m3*, m4*. În ipoteza că deplasarea y1 este cunoscută din legea de mişcare y1 = y1 (ϕ), impusă tachetului la proiectarea camei, rămân ca necunoscute deplasările y2, y3, x şi forţa de echilibrare Fe, adică forţa motoare Fm. În acest caz se observă că ecuaţiile (2.88), (2.89) şi (2.90) formează un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute y2 , y3 , x. După calculul celor trei deplasări se obţine din ecuaţia (2.87) forţa de echilibrare Fe . Practic, sistemul nu este liniar deoarece, pe lângă necunoscutele date de cele trei deplasări, avem ca necunoscute suplimentare şi vitezele şi acceleraţiile derivate din deplasările necunoscute, adică în mod practic necunoscutele vor fi zece iar ecuaţiile întregului sistem numai patru.

1 dM ω1 dM = c= . . 2 dt 2 dϕ

(2.91)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Pentru rezolvarea efectivă a sistemului de ecuaţii (2.87)-(2.90), se determină coeficienţii de amortizare c1, c2, c3, c4, cu formula (2.91), deja cunoscută de la sistemul cu un grad de libertate şi cu sistemul de mase (2.85), astfel:

y& .&y& y& 2 .&x& 1 dm * c1 = . 1 = m1' .( 1 2 1 − 1 3 ) 2 dt x& x& * y& .&y& y& 2 .&x& 1 dm c3 = . 3 = m3' .( 3 2 3 − 3 3 ) 2 dt x& x&

y& .&y& y& 2 .&x& 1 dm * c 2 = . 2 = m 2' .( 2 2 2 − 2 3 ) 2 dt x& x& * 1 dm c4 = . 4 = 0 2 dt

(2.92) (2.94)

(2.93) (2.95)

care se mai pot scrie şi sub forma (2.96-2.99):

y&1 2 &y&1 &x& ) .( − ) x& y&1 x& &y& y& &x& c 3 = m3' .( 3 ) 2 .( 3 − ) x& y& 3 x& c1 = m1' .(

(2.96)

c 2 = m 2' .(

(2.98)

c4 = 0

y& 2 2 &y&2 &x& ) .( − ) x& y& 2 x&

(2.97) (2.99)

Cu ajutorul relaţiilor (2.96-2.99) şi cu sistemul (2.85) se pot obţine imediat relaţiile (2.100-2.103):

y& 1 2 y& y& ) .( &y&1 − 1 .&x&) = m1* .( &y&1 − 1 .&x&) x& x& x& & & y y y& = m 2' .( 2 ) 2 .( &y&2 − 2 .&x&) = m 2* .( &y&2 − 2 .&x&) x& x& x& y& y& y& = m3' .( 3 ) 2 .( &y&3 − 3 .&x&) = m3* .( &y&3 − 3 .&x&) x& x& x& = c 4 .x& = 0

c1 . y& 1 = m1' .(

(2.100)

c 2 . y& 2

(2.101)

c3 . y& 3 c 4 . y& 4

(2.102)

(2.103) Ţinând seama de relaţiile (2.100-2.103), ecuaţiile (2.87-2.90) se rescriu sub forma următoare (2.1042.107):

y& 1 2 y& ) .&y&1 − m1' .( 1 ) 3 .&x& = 0 x& x& & y y& − K 1* . y1 + ( K 1* + K 2* ). y 2 − K 2* . y 3 + 2.m 2' .( 2 ) 2 .&y&2 − m 2' .( 2 ) 3 .&x& = 0 x& x& y& y& − K 2* . y 2 + ( K 2* + K 3* ). y 3 − K 3* .x + 2.m3' .( 3 ) 2 .&y&3 − m3' .( 3 ) 3 .&x& = 0 x& x& − K 3* . y 3 + ( K 3* + K 4* ).x + m 4' .&x& + F0 = 0 K 1* . y1 − K 1* . y 2 − Fe + 2.m1' .(

(2.104) (2.105) (2.106) (2.107)

Cu sistemul de ecuaţii (2.104-2.107) se rezolvă modelul dinamic prezentat în figura 2.14., având în vedere faptul că sistemul este neliniar şi pe lângă cele patru necunoscute principale, y2, y3, x, Fe, mai apar încă şase necunoscute y& 2 , &y&2 , y& 3 , &y&3 , x& , &x&. care sunt dependente însă între ele şi depind deasemenea de deplasările liniare, y2, y3, respectiv x. Sistemul se simplifică foarte mult dacă considerăm cele trei viteze aproximativ egale între ele şi egale cu viteza cunoscută de intrare, y& 1 ; în acest caz sistemul de ecuaţii (2.104 – 2.107) se simplifică considerabil, luând forma (2.108-2.111):

K 1* . y1 − K 1* . y 2 − Fe + 2.m1' .&y&1 − m1' .&x& = 0

(2.108)

− K . y1 + ( K + K ). y 2 − K . y 3 + 2.m .&y&2 − m .&x& = 0

(2.109)

− K . y 2 + ( K + K ). y 3 − K .x + 2.m .&y&3 − m .&x& = 0

(2.110)

− K . y 3 + ( K + K ).x + m .&x& + F0 = 0

(2.111)

* 1

* 2

* 3

* 1

* 2

* 3

* 2

* 3

* 4

' 2

* 3

' 3

' 4

' 2

' 3

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

CAP. 3

DINAMICA GENERALĂ A MECANISMELOR CU CAMĂ ŞI TACHET, EXEMPLIFICATĂ PE MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUŢIE 3.1. Cinematica exactă, la mecanismul clasic de distribuţie În lucrările [P22], [P23], [P25], [P26], [P27], [P29], se prezintă câteva modalităţi de sinteză a mecanismelor cu camă şi tachet. Pornind de la metoda de sinteză prin utilizarea coordonatelor polare (sau metoda triunghiurilor), pentru mecanismul clasic de distribuţie (Modulul C), se urmăreşte în continuare cinematica mecanismului clasic de distribuţie, mai exact cinematica la Modulul C, adică la mecanismul cu camă de rotaţie şi tachet de translanţie plat (cu talpă), vezi (fig. 3.1.) şi relaţiile de calcul (3.0-3.27).

r v1 Ai

s’

r r v2 v12 B

θ&

A0 rA

r0=s0

A0i O

Fig. 3.1. Cinematica la mecanismul clasic de distribuţie

În figura 3.1. este prezentată schema cinematică a mecanismului clasic de distribuţie, în două poziţii consecutive; cu linie întreruptă este reprezentată poziţia particulară când tachetul se află în planul cel mai jos, (s=0), iar cama, care se roteşte în sens orar cu viteza unghiulară constantă, ω, se situează în punctul A0, adică în punctul de racordare dintre profilele de bază şi de urcare, punct particular care marchează începutul urcării tachetului, datorită ridicării profilului camei; cu linie continuă este reprezentată cupla superioară într-o poziţie oarecare aparţinând fazei de ridicare. Punctul A0 marchează deci, poziţia iniţială a cuplei, reprezentând în acelaşi timp şi punctul de contact dintre camă şi tachet în poziţia iniţială. Cama se roteşte cu viteza unghiulară ω, viteză constantă ce caracterizează arborele cu came (mişcarea arborelui de distribuţie). Cama se roteşte deci cu viteza ω, parcurgând unghiul ϕ, care arată cum cercul de bază s-a rotit în sens orar, solidar cu arborele; rotaţia se poate urmări pe cercul de bază între cele două puncte particulare, A0 şi A0i. În acest timp vectorul rA=OA (care reprezintă distanţa de la centrul camei, O, până la punctul de contact A, dintre camă şi tachet), se roteşte în sens invers (trigonometric) cu unghiul τ. Dacă măsurăm unghiul θ, care poziţionează vectorul general rA în funcţie de vectorul particular rA0 (care arată distanţa de la centrul camei, O, la punctul de racordare A0 dintre profilul de bază şi cel de ridicare, vector care se roteşte şi el odată cu cama), observăm faptul că valoarea lui θ este de fapt suma dintre cele două unghiuri care se rotesc în sensuri opuse, ϕ şi τ. De fapt acest unghi θ se măsoară trigonometric, de la vectorul rA0 la vectorul rA, fapt care ne obligă să măsurăm unghiul ϕ tot trigonometric, de la vectorul rA0 aflat într-o poziţie oarecare i, la vectorul rA0 din poziţia iniţială (corespunzător axei verticale); aşadar şi unghiul ϕ se va măsura tot trigonometric, invers rotaţiei, adică în sensul care descrie trasarea profilului camei. Putem exprima acum relaţia (3.0):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

θ =ϕ +τ

(3.0)

r Practic dacă rA este modulul (lungimea variabilă a) vectorului rA , θA reprezintă unghiul de r r fază al vectorului rA . Adică rA şi θA sunt coordonatele polare ale vectorului rA . r Viteza de rotaţie a vectorului r este θ& şi este o funcţie de viteza unghiulară a camei, ω A

(adică de turaţia camei), dar şi de unghiul ϕ, prin intermediul legilor de mişcare s(ϕ), s’(ϕ), s’’(ϕ). Un lucru evident (care deşi a fost demonstrat de autor în alte lucrări, în general, nu este înţeles şi deci acceptat, de studenţi, dar din păcate şi de unii specialişti din domeniu), este faptul că tachetul r nu este acţionat direct de camă, de unghiul ϕ, şi de viteza unghiulară ω, ci de către vectorul rA , care are modulul rA, unghiul de poziţie θA şi viteza unghiulară (viteza de rotaţie) θ& A . Aşadar, definitoriu pentru cinematica mecanismelor cu camă şi tachet, este faptul că tachetul nu este acţionat direct de r camă ci indirect, în cazul modulului clasic C prin vectorul rA , care se roteşte cu viteza unghiulară θ& A , iar nu cu cea a camei, ω. De aici rezultă o cinematică particulară-exactă, cea prezentată în general în manualele de specialitate fiind de fapt doar o cinematică aproximativă a cuplei superioare cu camă şi tachet. Aşa cum se va vedea în continuare acest fapt conduce la o funcţie de transmitere a mişcării foarte complexă, greu de dedus şi de urmărit, fapt care ar justifica ocolirea ei printr-o cinematică aproximativă, mult mai comodă (dar inexactă). Din punct de vedere cinematic definim următoarele viteze (vezi fig. 3.1.): r r v1 =viteza camei; este de fapt viteza vectorului rA , în punctul A, astfel încât nu este corect să scriem relaţia (3.1), dar este valabilă relaţia (3.2) pentru determinarea precisă a vitezei de intrare, v1: (3.1) v1 = rA .ω

v1 = rA .θ&A

(3.2)

r Relaţia (3.2) exprimă modulul exact al vitezei de intrare, cunoscută, v1 . r r Viteza v1 =AC se descompune în vitezele v 2 =BC (viteza tachetului care acţionează pe axa r acestuia, pe direcţie verticală) şi v12 =AB (viteza de alunecare dintre profile, viteza de alunecare dintre camă şi tachet, care lucrează pe direcţia tangentei comune la cele două profile dusă în punctul de contact). Cum deobicei cama (profilul camei) se construieşte cu AD=s’, pentru modulul clasic, C, putem scrie relaţiile: rA2 = (r0 + s ) 2 + s ' 2 (3.3)

rA = ( r0 + s) 2 + s ' 2

(3.4)

cos τ =

r0 + s r0 + s = rA (r0 + s ) 2 + s ' 2

(3.5)

sin τ =

AD s' s' = = rA rA (r0 + s ) 2 + s ' 2

(3.6)

s' v 2 = v1 . sin τ = rA .θ&A . = s '.θ&A rA

(3.7)

Se credea că viteza tachetului se poate scrie; v2=s’.ω, dar iată că în realitate cama (mecanismul cu camă şi tachet) impune o funcţie de transmitere (în funcţie de tipul cuplei). La mecanismul clasic de distribuţie, funcţia de transmitere este reprezentată printr-un parametru D, conform relaţiilor (3.8-3.9):

θ&A = D.ω D=

θ&A ω

(3.8)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

v 2 = s '.θ&A = s '.D.ω

(3.9)

Determinarea vitezei de alunecare dintre profile se face cu ajutorul relaţiei (3.10):

r +s v12 = v1 . cos τ = rA .θ&A . 0 = (r0 + s ).θ& A rA

(3.10)

Unghiurile τ şi θA vor fi determinate în continuare, împreună şi cu derivatele lor de ordinul 1 şi 2. Unghiul τ se determină din triunghiul ODAi (vezi fig. 3.1.) cu relaţiile (3.11-3.13):

sin τ =

cos τ = tgτ =

(3.11)

(r0 + s ) 2 + s ' 2

r0 + s

(3.12)

(r0 + s ) 2 + s ' 2

s' r0 + s

(3.13)

Derivăm (3.11) în funcţie de unghiul ϕ şi obţinem (3.14):

(r0 + s ).s '+ s'.s' ' rA 2 (r0 + s) + s ' 2

s ' '.rA − s '.

τ '. cos τ =

(3.14)

Relaţia (3.14) se scrie sub forma (3.15):

τ '. cos τ =

s ' '.(r0 + s ) 2 + s ' '.s ' 2 − s ' 2 .(r0 + s ) − s ' 2 .s ' ' [(r0 + s ) 2 + s ' 2 ]. (r0 + s ) 2 + s ' 2

(3.15)

Din relaţia (3.12) scoatem valoarea lui cosτ şi o introducem în termenul stâng al expresiei (3.15); apoi se reduc s’’.s’2 din termenul drept al expresiei (3.15) şi obţinem o relaţie de forma (3.16):

τ '.

r0 + s (r0 + s ) 2 + s ' 2

(r0 + s ).[ s ' '.(r0 + s ) − s ' 2 ]

(3.16)

[(r0 + s ) 2 + s ' 2 ]. (r0 + s ) 2 + s' 2

După simplificări obţinem în final relaţia (3.17) care reprezintă expresia lui τ’:

τ'=

s ' '.(r0 + s ) − s ' 2 (r0 + s) 2 + s ' 2

(3.17)

Acum, când avem τ’ explicitat, putem determina imediat derivatele următoare, pentru moment limitându-ne la derivata de ordinul 2, τ’’ (aşa cum se va observa în cadrul unor modele dinamice prezentate ulterior, vor mai fi necesare încă cel puţin două derivate, τ’’’ şi τIV). Expresia (3.17) se derivează direct şi obţinem pentru început relaţia (3.18):

τ ''=

[ s ' ' ' (r0 + s) + s ' ' s '−2 s ' s ' ' ][(r0 + s ) 2 + s ' 2 ] − 2[ s' ' (r0 + s ) − s ' 2 ][(r0 + s ) s '+ s ' s ' ' ] (3.18) [(r0 + s ) 2 + s ' 2 ] 2

Se reduc parţial termenii s’.s’’ din prima paranteză de la numărător, după care se scoate s’ din a patra paranteză de la numărător în factor comun şi obţinem expresia (3.19):

[ s ' ' '.(r0 + s ) − s '.s ' ' ].[(r0 + s ) 2 + s ' 2 ] − 2.s '.[s ' '.(r0 + s ) − s ' 2 ].[r0 + s + s ' ' ] τ ''= (3.19) [(r0 + s ) 2 + s ' 2 ] 2 Acum se poate calcula θA, cu primele două derivate ale sale, θ& şi θ&& . Pentru simplificare în A

loc de θA se va scrie simplu, θ. Din figura 3.1. se observă imediat relaţia (3.20), care este o reluare a primei expresii prezentate în acest capitol, expresia (3.0):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

θ =τ + ϕ

(3.20)

Derivăm (3.20) şi obţinem relaţia (3.21):

θ& = τ& + ϕ& = τ '.ω + ω = ω.(1 + τ ' ) = D.ω

(3.21)

Derivăm a doua oară (3.20), adică derivăm (3.21) şi obţinem (3.22):

θ&& = τ&& + ϕ&& = τ ' '⋅ω 2 = D'⋅ω 2

(3.22) Se observă faptul că funcţia de transmitere a mişcării, la modulul clasic (C), se poate scrie acum sub forma (3.23-3.24): D = τ '+1 (3.23) (3.24) DI =τ'' Rolul funcţiilor de transmitere, D şi D’, sau funcţia de transmitere D cu derivata ei. Relaţia s& = s '.ω este perfect valabilă, numai că ideea conform căreia s& este identic cu v2 (viteza tachetului) este greşită. Viteza tachetului pe care deja am demonstrat-o anterior, se obţine cu ajutorul funcţiei de transmitere, D, conform relaţiei (3.25): v2 = s '⋅w = s '⋅θ&A = s '⋅θ& = s '⋅D ⋅ ω = s& ⋅ D (3.25) Iată că în realitate viteza tachetului este produsul lui s’ nu cu ω, ci cu o viteză unghiulară variabilă, w, care însă se poate exprima sub forma unui produs dintre o variabilă D şi viteza unghiulară constantă, ω, (vezi relaţia 3.26). w = D.ω (3.26) Această relaţie generală lucrează în cazul tuturor mecanismelor cu camă şi tachet, iar pentru mecanismul clasic de distribuţie (Modul C), variabila w este identică cu θ& A (vezi relaţia 3.25). De exemplu, la modulul B (mecanismul cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă), funcţia de transmitere este mult mai complexă, cum se poate vedea în cadrul capitolului 5, fapt care conduce şi la derivate ale ei mult mai complexe, deoarece dacă obţinerea funcţiei de transmitere, D, la modulul B, este dificilă, deja prima ei derivată, D’, se obţine cu multă trudă, iar pentru D’’ şi D’’’ volumul de muncă este considerabil. Dacă viteza reală (chiar cinematic, nu numai dinamic) a tachetului, la modulul clasic C, este y& ≡ v 2 = s '.D.ω , putem determina imediat şi acceleraţia reală a tachetului (vezi relaţia 3.27), prin derivarea lui v2 în funcţie de timp. &y& ≡ a2 = ( s ' '⋅D + s '⋅D' ) ⋅ ω 2 (3.27) Rezultă de aici faptul că pentru determinarea acceleraţiei reale a tachetului, sunt necesare atât s’ şi s’’, cât şi D şi D’, iar pentru obţinerea lui D respectiv D’ sunt necesare variabilele τ’ şi respectiv τ’’. Numai când se trasează diagramele v2 şi a2 în funcţie de unghiul ϕ, calculate cinematic precis, pe baza relaţiilor (3.25) şi respectiv (3.27), avem impresia unei viteze şi a unei acceleraţii cu aspecte dinamice (vezi diagramele din figura 3.2.a-b). Vclasic[m/s] Vprecis[m/s]

4 3 2 1 0 -1 0 -2 -3 -4

100

a2clasic[m/s2] a2precis[m/s2]

5000 4000 3000 2000 1000 150

200

0 -1000 0 -2000 -3000 -4000

100

a) b) Fig. 3.2. Comparaţie între cinematica clasică şi cea propusă în prezenta lucrare. a-viteze şi b-acceleraţii ale tachetului

150

200

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Calculele care au stat la baza trasării diagramelor comparative, se bazează pe legea SINus, o turaţie a arborelui motor de n=5500 [rot/min], un unghi de urcare ϕu=75 [grade] egal cu cel de coborâre, o rază a cercului de bază r0=17 [mm] şi o cursă maximă a tachetului hT=6[mm]. Totuşi dinamica este mult mai complexă, ţinând cont şi de masele şi momentele inerţiale, de forţele rezistente şi motoare ale mecanismului, de amortizările şi elasticităţile întregului lanţ cinematic, de forţele de inerţie din sistem, de turaţia mecanismului, de variaţia vitezei unghiulare ω (considerată în general constantă) cu poziţia ϕ a camei dar şi cu turaţia n a arborelui motor, cât şi de randamentul mecanic al întregului mecanism. Influenţa forţelor de greutate şi a pierderilor datorate frecărilor din cuple nu se iau în consideraţie.

3.2. Randamentul mecanic la modulul clasic C În continuare se va prezenta o metodă exactă de calcul a randamentului mecanic la mecanismele de distribuţie clasice, cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu talpă (tachet de translaţie plat), adică la Modulul clasic de distribuţie, Modulul C; a se vedea şi lucrările [P30], [P31], [P32], [P33], [P34-P38]. În figura 3.3. se poate urmări modul de calcul al randamentului, la mecanismul clasic de distribuţie, cu determinarea vitezelor principale din cuplă şi a forţelor principale din cuplă, cu care se calculează puterile principale şi pe baza lor randamentul mecanic al cuplei cinematice superioare (camă-tachet), care reprezintă de fapt randamentul mecanic al întregului mecanism cu camă şi tachet.

r Fc r v1 A rA

s’ δ

τ D

r v12

r Fm

r v2

r Fψ

E s

r0 O

Fig. 3.3. Determinarea randamentului la Modulul C. Forţe şi viteze.

Forţa motoare consumată, Fc, sau forţa motoare de intrare, adică forţa motoare redusă la camă (forţa motoare redusă la arborele de distribuţie), perpendiculară în A pe vectorul rA, se împarte în două componente perpendiculare între ele: Forţa Fm, care reprezintă forţa motoare redusă la tachet, sau forţa utilă şi acţionează pe verticală (de jos în sus pe porţiunea de ridicare), ea fiind forţa care mişcă tachetul pe porţiunea de ridicare şi care este opusă forţei rezistente redusă la tachet; Forţa Fψ, care acţionează pe orizontală şi produce alunecarea dintre cele două profile (camă-tachet), provocând pierderile din sistem datorate alunecărilor dintre profile. Se pot scrie următoarele relaţii:

Fm = Fc . sin τ v 2 = v1 . sin τ

(3.28) (3.29)

Pu = Fm .v 2 = Fc .v1 . sin 2 τ Pc = Fc .v1

(3.30) (3.31)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Pu Fc .v1 . sin 2 τ = = sin 2 τ = cos 2 δ Pc Fc .v1 Fψ = Fc . cos τ

(3.33)

v12 = v1 . cos τ Pψ = Fψ .v12 = Fc .v1 . cos 2 τ

(3.34) (3.35)

Fc .v1 . cos 2 τ = = cos 2 τ = sin 2 δ ψi = Pc Fc .v1

(3.36)

ηi =

Pψ

(3.32)

Unde Pc este puterea totală consumată, Pu=Pm reprezintă puterea utilă, Pψ este puterea pierdută, ηi este randamentul instantaneu al mecanismului, iar ψi reprezintă coeficientul instantaneu al pierderilor din mecanism. Se ştie că suma dintre ηi şi ψi trebuie să fie 1, iar dacă facem această verificare ea apare ca adevărată imediat (vezi relaţia 3.37): η i + ψ i = sin 2 τ + cos 2 τ = cos 2 δ + sin 2 δ = 1 (3.37) Determinarea randamentului mecanic total, pentru cursa de urcare de exemplu, se face prin integrarea randamentului mecanic instantaneu, pe porţiunea de ridicare, conform relaţiilor (3.38-3.48), vezi şi lucrarea [P30]: τ

η=

1 M . η i .dτ Δτ τ∫m

η=

1 M 2 . sin τ .dτ Δτ τ∫m

(3.38)

(3.39)

1 M η= . 2.sin 2 τ .dτ 2.Δτ τ∫m

η=

(3.40)

1 M . [1 − cos(2.τ )].dτ 2.Δτ τ∫m

1 1 .[τ − .sin(2.τ )]ττ mM 2.Δτ 2 1 1 .{Δτ − .[sin(2.τ M ) − sin(2.τ m )]} η= 2.Δτ 2 1 sin(2.τ m ) − sin(2.τ M ) η= + 2 4.Δτ τm = 0 1 sin(2.τ M ) η= − 2 4.τ M 1 2.sin τ M . cosτ M 1 sin τ M . cosτ M = − η= − 2 4.τ M 2 2.τ M (r0 + sτ M ).s 'τ M η = 0.5 ⋅ {1 − } τ M .[(r0 + sτ M ) 2 + s' 2 τ M ]

η=

(3.41) (3.42) (3.43) (3.44) (3.45) (3.46) (3.47) (3.48)

Se determină τM şi valorile corespunzătoare ale lui sτ M şi s 'τ M , după care se calculează, uşor, randamentul total al mecanismului, pentru cursa de urcare, cu relaţia (3.48). Dificultatea constă tocmai în determinarea matematică a valorii τM, fapt pentru care în practică se aproximează s 'τ M cu s’ la

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

mijlocul intervalului de ridicare şi cu valorile s şi τ care îi corespund, sau se extrag aceste valori prin tabelare. În cadrul prezentei lucrări, în toate programele utilizate, s-a folosit metoda integrării aproximative, prin însumarea valorilor instantanee, pe intervalul considerat şi prin medierea lor aritmetică. Această metodă mult mai rapidă, generează rezultate foarte apropiate de cele reale, fiind totodată şi mai rapidă şi mai directă, integrarea (însumarea) putându-se face separat pe intervalele de urcare şi apoi de coborâre, sau direct pe tot intervalul ridicare plus revenire. (Metoda constă practic în calcularea mediei aritmetice a valorilor randamentelor instantanee direct pe intervalul dorit).

3.3. Sinteza profilului camei, la modulul clasic C În continuare se va prezenta o metodă exactă de sinteză a profilului camei, pentru mecanismul clasic de distribuţie (Modulul C); a se urmări şi lucrările: [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [A11], [A12], [A13], [A14], [A15], [A16], [A17], [A18], [A26]. Deoarece se cunosc acum coordonatele polare ale punctului A (rA şi θA), punct care determină profilul efectiv al camei, pentru a putea trasa mai uşor, (printr-o metodă analitică), profilul camei, vom determina coordonatele carteziene corespunzătoare, xA, yA (a se vedea relaţiile 3.49-3.52): (3.49) x A = rA . cos θ A

y A = rA . sin θ A x A = rA . cos(τ + ϕ ) = rA .[cos τ . cos ϕ − sin τ . sin ϕ ] = (r0 + s ). cos ϕ − s '.sin ϕ

(3.50)

y A = rA . sin(τ + ϕ ) = rA .[sin τ . cos ϕ + sin ϕ . cos τ ] = s '. cos ϕ + (r0 + s ). sin ϕ

(3.52)

(3.51)

Observaţii: Profilul se construieşte în mod normal de la dreapta spre stânga (adică trigonometric) şi pentru ca primul profil construit să fie cel de urcare (de ridicare), este necesar ca la proiectare sensul de rotaţie să fie cel orar (vezi figura 3.1.); acest sens (cel orar), trebuie păstrat şi în funcţionare. În cazul în care dorim să construim o camă care să se rotească invers (adică să funcţioneze trigonometric), va fi necesară răsucirea camei în planul ei cu 1800 (ca şi cum am întoarce foaia pe care este desenată cama pe verso şi am privi profilul camei care acum este schimbat; în acest caz axa Ox nu se mai construieşte spre dreapta planului, ci spre stânga lui, adică axa absciselor nu mai apare în plan la răsărit ci la apus, în vreme ce axa ordonatelor, Oy, se construieşte întotdeauna normal către Nord; altfel spus, sistemul drept se înlocuieşte cu unul stâng). Dacă legile de mişcare, s, s’, s’’, s’’’, sIV, sV, etc..., pentru profilul de urcare sau cel de coborâre, se pot defini cu o valoare ϕ locală, ϕ1, sau ϕ3, ϕ1∈[0,ϕu], respectiv ϕ3∈[0,ϕc], pentru proiectarea profilului efectiv al camei, se va utiliza unghiul ϕ propriuzis, care variază de la 0 la 3600; astfel pentru cursa de ridicare, unghiul ϕ este identic cu unghiul ϕ1, adică ϕ≡ϕ1∈[0, ϕu]; pentru intervalul de staţionare superioară (pe cercul de vârf), unghiul ϕ este egal cu ϕ1M+ϕ2≡ϕu+ϕ2, adică ϕ∈[ϕu, ϕu+ϕsv]; la coborâre (la revenirea tachetului pe cercul de bază), unghiul ϕ ia valori în continuare de la ϕu+ϕsv până la ϕu+ϕsv+ϕc, în timp ce pe acelaşi interval unghiul de coborâre ϕ3 variază de la 0 la ϕc, adică la coborâre ϕ3∈[0,ϕc] iar ϕ∈[ϕu+ϕsv, ϕu+ϕsv+ϕc]; pe ultima porţiune, în care tachetul staţionează pe cercul de bază, ϕ4∈[0, ϕsb], iar ϕ∈[ϕu+ϕsv+ϕc, ϕu+ϕsv+ϕc+ϕsb], sau ϕ∈[ϕu+ϕsv+ϕc, 2.π]. Unghiul ϕ care apare în relaţiile (3.51, 3.52) de sinteză a profilului camei, este deci un unghi global, care variază de la 00 la 3600 [adică de la 0 la 2.π] şi nu trebuie confundat cu unghiurile ϕ locale, care trebuiesc notate cu ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4, deşi uzual ele se notează tot cu ϕ. Unghiul ϕ se foloseşte pentru sinteza profilului camei, iar unghiurile ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4, se utilizează la scrierea legilor de mişcare. Se poate folosi şi la determinarea legilor de mişcare tot unghiul general ϕ, caz în care se evită neînţelegerile ce ar putea să apară, dar relaţiile vor fi mai complicate deoarece introducem în sisteme constante suplimentare, care altfel puteau fi eliminate pentru a nu complica prea mult relaţiile de calcul. În continuare se prezintă două profile de camă Modul C, unul SINus şi altul COSinus.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta este cel de urcare. Modul clasic C.

Suportã o turatie n=5500[rot/min] ϕu=ϕc =75[grad]

Suportã o turatie n=5500[rot/min] ϕu=ϕc=75[grad]

r0=17 [mm]

r0=16 [mm]

hT=6 [mm] η=6.7% legea:sin y=x-sin(2π x)/(2π )

10 5 0 -20

-10

-5

hT=6 [mm] η=6.4% legea:cos y=.5-.5cos(π x)

10 5 0

-20

-10

-5

-10

-15

-20

Fig. 3.4. Profile de camă Modul C. a) profil SIN; b) profil COS

3.4. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiei de mişcare Lagrange În cadrul studiului cinematic şi cinetostatic al mecanismelor [A1-A30], [C17], [G11], [M15], [T9], [H11, U1, V3], se consideră viteza de rotaţie a arborelui de intrare (manivela), constantă, ϕ& = ω =constant, iar acceleraţia unghiulară corespunzătoare, nulă, ϕ&& = ω& = ε = 0 . În realitate, datorită maselor şi momentelor inerţiale, dar şi a momentelor motoare şi rezistente, această viteză unghiulară ω nu este constantă, ci variază în funcţie de poziţia ϕ a arborelui respectiv. Mecanismele cu camă şi tachet se supun şi ele acestei legi, astfel încât vom urmări ecuaţia generală Lagrange, scrisă sub formă diferenţială, şi modul ei general de rezolvare. Ecuaţia Lagrange, scrisă sub formă diferenţială (denumită şi ecuaţia maşinii), are forma (3.53):

J * .ϕ&& +

1 *I 2 .J .ϕ& = M * 2

(3.53)

unde J* este momentul de inerţie (momentul masic, sau mecanic) al mecanismului, redus la manivelă, iar M* reprezintă momentul motor redus minus momentul rezistent redus, reduse la manivelă; unghiul ϕ reprezintă unghiul de rotaţie al manivelei. J*I reprezintă derivata momentului mecanic în funcţie de unghiul ϕ de rotaţie al manivelei.

1 *I 1 dJ * =L .J = . 2 dϕ 2

(3.54)

Dacă utilizăm notaţia (3.54), ecuaţia (3.53) se rescrie sub forma (3.55):

J * .ϕ&& + L.ϕ& 2 = M *

(3.55)

Împărţim ambii termeni la J* şi (3.55) ia forma (3.56):

ϕ&& +

L 2 M* .ϕ& = * J* J

(3.56)

Trecem termenul cu ϕ& 2 în dreapta şi obţinem (3.57):

ϕ&& =

M* L − * .ϕ& 2 * J J

(3.57)

Prelucrăm termenul din stânga ecuaţiei sub forma (3.58), după care îl introducem în (3.57) şi obţinem forma (3.59):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

dϕ& dϕ& dϕ dϕ& dω = . = .ϕ& = .ω dt dϕ dt dϕ dϕ dω M * L 2 M * − L.ω 2 ω. = * − * .ω = dϕ J J J*

ϕ&& =

(3.58) (3.59)

Deoarece, pentru un anumit unghi ϕ, ω variază de la valoarea nominală constantă ωn la valoarea ω, putem scrie relaţia (3.60), unde dω reprezintă variaţia instantanee pentru un anumit ϕ, ea fiind o variabilă de ϕ, care adăugată la constanta ωn conduce la variabila căutată, ω: (3.60) ω = ω n + dω În relaţia (3.60), ω şi dω sunt funcţii de unghiul ϕ, iar ωn este un parametru constant, care poate lua diferite valori în funcţie de turaţia arborelui conducător, n. La un moment dat, turaţia n este considerată constantă şi la fel ωn, însă cum ea poate lua diferite valori (şi n şi ωn) se poate considera ωn ca fiind o funcţie de turaţia n, astfel încât şi ω devine o funcţie şi de n, cu atât mai mult cu cât chiar dω este funcţie de ϕ dar şi de ωn (vezi relaţia 3.60’): ω (ϕ , n) = ω n (n) + dω (ϕ , ω n (n)) (3.60’) Introducând (3.60) în (3.59), obţinem ecuaţia (3.61):

(ω n + dω ).dω = [

M* L − * .(ω n + dω ) 2 ].dϕ * J J

(3.61)

În continuare (3.61) se scrie sub forma (3.62):

ω n .dω + (dω ) 2 =

M* L .dϕ − * .dϕ .[ω n2 + (dω ) 2 + 2.ω n .dω ] * J J

(3.62)

Ecuaţia (3.62) se poate desface în forma (3.63):

ω n .dω + (dω ) 2 −

M* L L L .dϕ + * .dϕ .ω n2 + * .dϕ .(dω ) 2 + 2. * .dϕ .ω n .dω = 0 * J J J J

(3.63)

Grupăm termenii doi câte doi şi obţinem ecuaţia (3.64):

(

L L M* L 1 2 d d d d . ϕ + 1 ).( ω ) + 2 .( . ϕ + ). ω . ω − ( .dϕ − * .dϕ .ω n2 ) = 0 n * * * 2 J J J J

(3.64)

Ecuaţia (3.64) este o ecuaţie de gradul 2 în (dω). Discriminantul ecuaţiei (3.64) se scrie iniţial sub forma (3.65), iar apoi se reduce la forma (3.66):

ω n2 L2 L L.M * 2 2 2 Δ = *2 .(dϕ ) .ω n + + * .dϕ .ω n + *2 .(dϕ ) 2 4 J J J * 2 M L L + * .dϕ − *2 .(dϕ ) 2 .ω n2 − * .dϕ .ω n2 J J J 2 * ω L.M M* Δ = n + *2 .(dϕ ) 2 + * .dϕ 4 J J

(3.65)

(3.66)

Se reţine, pentru dω, numai soluţia cu plus, care poate genera atât valori pozitive cât şi valori negative (3.67), valori care se încadrează în limite normale, generând pentru ω valori normale; pentru Δ < 0 se consideră dω=0 (acest caz nu apare de loc pentru o ecuaţie corectă).

dω =

−

ω L .dϕ .ω n − n + Δ * 2 J L .dϕ + 1 J*

(3.67)

Observaţii: Pentru mecanismele cu camă şi tachet, utilizând relaţiile (3.66, 3.67 şi 3.60), cu M* (momentul redus al întregului mecanism) obţinut prin scrierea momentului rezistent redus cunoscut şi prin calculul celui motor prin integrarea celui rezistent pe toată zona de urcare (de exemplu), se determină

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

frecvent valori mari şi chiar foarte mari pentru dω, sau zone întregi în care realizantul Δ, ia valori negative, generând soluţii complexe pentru dω, pe care îl considerăm 0 pe aceste zone, fapt care ne îndreptăţeşte să reconsiderăm problema determinării momentului redus, unde unul din cele două momente, cel rezistent sau cel motor este cunoscut printr-o relaţie de calcul, iar celălalt, se determină prin integrarea celui cunoscut pe un anumit domeniu. Dacă considerăm cunoscute atât M*r cât şi M*m şi le calculăm pe fiecare în parte cu relaţia aferentă (independentă una de alta, adică fără integrare), se obţin pentru mecanismele cu camă şi tachet, valori normale pentru dω (valori care se păstrează pe tot intervalul în limite normale, iar în plus discriminantul, Δ, este în permanenţă pozitiv, adică ≥0, astfel încât nu apar soluţii complexe pentru dω). În lucrările [A15], [A17], [P29], cât şi în capitolul 2, se prezintă relaţiile pentru calculul forţei rezistente (2.54) redusă la supapă, cât şi a forţei motoare (2.55) redusă la axul supapei: (3.68) Fr* = k .( x 0 + x)

Fm* = K .( y − x)

(3.69) Momentul rezistent redus sau cel motor redus, se calculează înmulţind forţa rezistentă redusă, respectiv cea motoare redusă, cu viteza redusă x’. M r* = k .( x 0 + x).x' (3.70)

M m* = K .( y − x).x'

(3.71) Observaţie: Atât ecuaţiile (3.66), (3.67), (3.60), cât şi (3.68), (3.69), (3.70), (3.71), se utilizează ca un algoritm separat, în toate programele dinamice din cadrul acestei lucrări, pentru determinarea vitezei unghiulare variabile ω, a arborelui de distribuţie.

3.5. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, (cea care a fost obţinută la paragraful 2.8.1.) În cadrul paragrafului 2.8.1. a fost prezentat un model dinamic cu un grad de mobilitate, cu amortizare internă a sistemului variabilă, care conduce în final (paragraful 2.8.1.2.) la ecuaţia (2.84), pe care o rescriem sub forma (3.72) şi la ecuaţia simplificată (2.83), pe care o aranjăm în forma (3.73).

( K + k ).x = K . y − k .x 0 − ω 2 .m S . X II − ω 2 .mT . y ' '. ( K + k ).x = K . y − k .x 0 − ω 2 .m S . X II − ω 2 .mT . y ' '

y' XI

(3.72)

(3.73) Se va utiliza ecuaţia diferenţială (3.73), adică forma simplificată (în care se consideră viteza redusă de intrare, impusă de profilul camei, y’, egală cu viteza redusă dinamică, X’; ambele fiind reduse la axa supapei). În continuare vom urmări câteva moduri de rezolvare a ecuaţiei diferenţiale (3.73).

3.5.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, printr-o soluţie particulară Ecuaţia (3.73) se scrie sub forma (3.74):

m S . X&& + ( K + k ). X = K . y − k .x 0 − mT .&y& (3.75):

(3.74)

Împărţim ecuaţia (3.74) cu mS şi amplificăm termenul drept cu cosωt, obţinându-se forma

K . y − k .x 0 − mT .&y& K +k .X = . cos(ω.t ) X&& + mS m S . cos(ω.t ) Se utilizează următoarele notaţii (3.76-3.77):

(3.75)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

K +k mS K . y − k .x 0 − mT .&y& q= m S . cos(ω.t ) p2 =

(3.76) (3.77)

Ecuaţia (3.75) se scrie simplificat sub forma (3.78):

X&& + p 2 . X = q. cos(ω.t )

(3.78)

Soluţia particulară a ecuaţiei (3.78) este de forma (3.79):

X = a. cos(ω.t )

(3.79)

Derivatele 1 şi 2 ale soluţiei (3.79) se notează cu (3.80-3.81):

X& = −a.ω. sin(ω.t ) X&& = −a.ω 2 . cos(ω.t )

(3.80) (3.81)

Înlocuind valorile (3.79) şi (3.81) în ecuaţia (3.78), se obţine forma (3.82):

− a.ω 2 . cos(ω.t ) + p 2 .a. cos(ω.t ) = q. cos(ω.t )

(3.82)

Ecuaţia caracteristică se scrie sub forma (3.83):

a.( p 2 − ω 2 ) = q

(3.83)

Se explicitează a sub forma (3.84):

q p −ω2

(3.84)

Se scrie acum soluţia X, sub formele (3.85), (3.86):

q . cos(ω.t ) p −ω2 K . y − k .x 0 − mT .&y& K . y − k .x 0 − mT .&y& cos(ω.t ) = . X= K +k m S . cos(ω.t ) K + k − m S .ω 2 −ω2 mS X=

(3.85) (3.86)

Soluţia particulară, astfel obţinută, este interesantă şi simplă, dar se comportă ca şi cum am fi && cu –X.ω2, adică prin obţinut-o direct din ecuaţia diferenţială (3.74), prin aproximarea lui X aproximarea lui X’’ cu –X, o aproximare puţin cam forţată. Pentru o rezolvare mai exactă, aproximăm direct în ecuaţia (3.74), X’’ cu y’’ cu s’’, adică X&& = &y& = &s& şi ajungem la ecuaţia liniară (3.87):

K .s − k .x 0 − (m S + mT ).&s& K .s − k .x 0 − m * .&s& = X= K +k K +k

(3.87)

Soluţia aproximativă (3.87), este ceva mai precisă decât soluţia particulară (3.86), care se poate obţine şi ca o soluţie directă aproximativă, cu X’’= -X.

3.5.2. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, printr-o soluţie particulară completă Ecuaţia (3.74) se poate scrie sub forma (3.88), ţinând cont de coeficienţii D şi D’:

m S .ω 2 .D.x' '+ m S .ω 2 .D'.x'+( K + k ).x = K .s − k .x 0 − mT .ω 2 .( D.s' '+ D'.s' )

(3.88)

Împărţim ecuaţia (3.88) cu mS.ω .D şi obţinem (3.89):

x' '+

m S .ω 2 .D' K .s − k .x 0 − mT .ω 2 .( D.s' '+ D'.s' ) K +k + = x x . ' . m S .ω 2 .D m S .ω 2 .D m S .ω 2 .D

(3.89)

Termenul drept se amplifică cu (cosϕ+sinϕ) şi ecuaţia (3.89) se scrie sub forma (3.90):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

x' '+

K .s − k .x 0 − mT .ω 2 .( D.s' '+ D'.s' ) D' K +k x .x'+ . = .(cos ϕ + sin ϕ ) (3.90) D m S .ω 2 .D m S .ω 2 .D.(cos ϕ + sin ϕ )

Notăm coeficienţii corespunzător:

D' D K+k b= m S .D.ω 2 K .s − k .x 0 − mT .ω 2 .( D.s' '+ D'.s' ) c= m S .ω 2 .D.(cos ϕ + sin ϕ ) a=

(3.91) (3.92) (3.93)

Ecuaţia (3.90) se poate scrie acum sub forma (3.94):

x' '+ a.x'+b.x = c.(cos ϕ + sin ϕ ) (3.94) Soluţia particulară completă a ecuaţiei (3.94) este de forma (3.95), iar derivatele ei în funcţie de unghiul ϕ, derivatele I şi II, capătă formele (3.96), respectiv (3.97): x = A. cos ϕ + B. sin ϕ (3.95) x' = − A. sin ϕ + B. cos ϕ (3.96) x' ' = − A. cos ϕ − B. sin ϕ (3.97) Introducând soluţiile (3.95-3.96) în (3.94) obţinem ecuaţia (3.98): − A. cos ϕ − B. sin ϕ − a. A. sin ϕ + a.B. cos ϕ

+ b. A. cos ϕ + b.B. sin ϕ = C. cos ϕ + C. sin ϕ

(3.98)

Identificăm coeficienţii în cos şi respectiv cei în sin şi obţinem un sistem liniar de două ecuaţii cu două necunoscute, A şi respectiv B:

(b − 1). A + a.B = c

− a. A + (b − 1).B = c

(3.99)

Pentru rezolvarea operativă a sistemului (3.99) înmulţim prima ecuaţie cu a şi pe cea de-a doua cu (b-1), după care le adunăm şi obţinem B, iar apoi similar îl determinăm pe A, înmulţind prima ecuaţie cu (b-1) şi pe cea de-a doua cu –a, după care le adunăm şi obţinem sistemul (3.100):

c .(b − 1 − a) a + (b − 1) 2 c B= 2 .(b − 1 + a) a + (b − 1) 2 A=

(3.100)

Soluţia se poate scrie acum sub forma (3.101):

c .[(b − 1 − a). cos ϕ + (b − 1 + a). sin ϕ ] a + (b − 1) 2 2

(3.101)

unde coeficienţii a, b, c, sunt cunoscuţi (3.91-3.93).

3.5.3. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, cu ajutorul dezvoltărilor în serie Taylor Se scrie relaţia (3.102), care exprimă legătura dintre deplasarea dinamică a supapei, x, şi cea impusă de profilul camei, s: x(ϕ ) = s(ϕ ) + Δx(ϕ ) ≅ s(ϕ + Δϕ ) (3.102) Funcţia s(ϕ+Δϕ) o dezvoltăm în serie Taylor şi reţinem primii 8 termeni ai dezvoltării; se găseşte astfel relaţia (3.103):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

1 1 s (ϕ ).(Δϕ ) 0 + s I (ϕ ).Δϕ 1! 0! 1 II 1 1 + .s (ϕ ).(Δϕ ) 2 + .s III (ϕ ).(Δϕ ) 3 + .s IV (ϕ ).(Δϕ ) 4 2! 3! 4! 1 1 1 + .s V (ϕ ).(Δϕ ) 5 + .s VI (ϕ ).(Δϕ ) 6 + .s VII (ϕ ).(Δϕ ) 7 5! 6! 7! x = s (ϕ + Δϕ ) =

(3.103)

Relaţia (3.103) se mai scrie şi sub forma (3.104):

1 II 1 1 IV .s .(Δϕ ) 2 + .s III .(Δϕ ) 3 + .s .(Δϕ ) 4 2 6 24 1 V 1 VI 1 + .s .(Δϕ ) 5 + .s .(Δϕ ) 6 + .s VII .(Δϕ ) 7 120 720 5040 x = s + s I .Δϕ +

(3.104)

Prin derivare obţinem x’ (relaţia 3.105):

1 III 1 1 V .s .(Δϕ ) 2 + .s IV .(Δϕ ) 3 + .s .(Δϕ ) 4 2 6 24 1 VI 1 1 + .s .(Δϕ ) 5 + .s VII .(Δϕ ) 6 + .s VIII .(Δϕ ) 7 120 720 5040 x I = s I + s II .Δϕ +

(3.105)

Derivăm a doua oară şi obţinem x’’, (relaţia 3.106):

1 x II = s II + s III .Δϕ + .s IV .(Δϕ ) 2 + 2 1 VII 1 VIII + .s .(Δϕ ) 5 + .s .(Δϕ ) 6 120 720

1 V 1 .s .(Δϕ ) 3 + .s VI .(Δϕ ) 4 6 24 1 + .s IX .(Δϕ ) 7 5040

(3.106)

Ecuaţia diferenţială utilizată este (3.72), adică ecuaţia completă, pe care o scriem sub forma (3.107), ţinând cont şi de funcţia de transmitere, D: Diagramele dinamice ale deplasării şi acceleraţiei, trasate pentru legea SINus, se pot urmări în paragraful 4.1.

K .s − k .x 0 − m S* .( D.x' '+ D'.x' ).ω 2 * 0.001 − mT* .( D.s ' '+ D'.s ' ).ω 2 * 0.001 * K +k

s' x'

(3.107)

3.5.4. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, în doi paşi Ecuaţia diferenţială cunoscută, scrisă în una din formele prezentate anterior, de exemplu în forma (3.107), se rezolvă de două ori. Prima dată se utilizează pentru x’ valoarea s’ iar pentru x’’ valoarea s’’. Se obţine în acest fel, valoarea x(0), adică deplasarea dinamică a supapei la pasul 0. Această deplasare se derivează numeric şi se obţin x’(0) şi x’’(0). Valorile astfel obţinute se introduc în ecuaţia diferenţială (care se utilizează pentru a doua oară consecutiv) şi obţinem x(1), adică deplasarea dinamică a supapei căutată, x, care se consideră a fi valoarea finală. Dacă încercăm să iterăm acest proces (pentru mai mulţi paşi), se va observa lipsa convergenţei către o soluţie unică şi amplificarea valorilor la fiecare trecere (iteraţie). Se consideră rezolvarea ecuaţiei nu iterativ, în doi paşi, ci exact şi direct, rezolvare dintr-un singur pas, cel de al doilea, primul pas fiind de fapt o intermediere necesară determinării aproximative a valorilor x’ şi x’’, (paragraful 4.2).

3.6. Prezentarea unei ecuaţii diferenţiale, (model dinamic), care ţine cont de masa camei Pornind de la modelul dinamic prezentat în cadrul paragrafului 2.8.1., se va obţine o nouă ecuaţie diferenţială, care să descrie funcţionarea dinamică a mecanismului de distribuţie, de la motoarele cu ardere internă, în patru timpi.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Practic se modifică formula care exprimă masa redusă a întregului lanţ cinematic şi atunci se modifică şi amortizarea internă a sistemului, c, şi automat se schimbă şi întreaga ecuaţie dinamică (diferenţială), fapt care ne îndreptăţeşte să spunem că avem de a face cu un nou model dinamic, cel care ia în consideraţie şi masa camei. Masa redusă M, a întregului lanţ cinematic se scrie acum în forma (3.108):

M = m5 + (m 2 + m3 ).i 2 + J 1 .( * = m LS + (m 2 + m3 ).i 2 + J 1 .(

* LS

= m* +

* LT

+ J 1 .(

ω1 X&

ω1

ω1 X&

)2 =

) = m + J 1 .( 2

m1 2 ω1 2 .rA .( ) 2 X&

ω1 X&

(3.108)

) = 2

Constanta de amortizare a sistemului se determină cu formula prezentată la 2.8.1., şi capătă acum forma (3.109):

m ω3 X&& 1 dM 1 c= . = .[−2.J 1 .ω12 . 3 + 2. 1 .rA .rAI . 12 ] (3.109) 2 dt 2 2 X& X& Pentru mecanismul de distribuţie clasic se găseşte valoarea rA .rAI dată de (3.110) şi se introduce în relaţia (3.109), care capătă forma (3.111):

rA .rAI = (r0* + s + s ' ' ).s ' m ω3 X&& c = − J 1 .ω12 . 3 + 1 .(r0* + s + s ' ' ).s '. 12 2 X& X&

(3.110) (3.111)

Se utilizează în continuare ecuaţia diferenţială prezentată la 2.8.1. şi anume (3.112): M . X&& + c. X& + ( K + k ). X − K . y + F0 = 0 (3.112) Se introduce în continuare masa M, determinată cu (3.108) şi coeficientul de amortizare, c, obţinut cu (3.111), în ecuaţia (3.112) şi obţinem o nouă ecuaţie dinamică, diferenţială, (3.113), care reprezintă de fapt un nou model dinamic de bază.

m1* * X&& X&& 1 2 − J . . + .(r0 + s + s' ' ).s '.ω13 . ω 1 1 2 2 & & 2 X X X& + ( K + k ). X − K . y + F0 = 0

m * . X&& + J 1 .ω12 .

(3.113)

Ecuaţia diferenţială (3.113) se scrie sub forma (3.114), după ce se reduc cei doi termeni identici care îl conţin pe J1:

m1* * 1 & & m .X + .(r0 + s + s ' ' ).s '.ω13 . 2 X& + ( K + k ). X − K . y + k .x 0 = 0 *

(3.114)

Utilizând funcţia de transmitere, D şi prima ei derivată, D’, ecuaţia diferenţială (3.114), devine ecuaţia (3.115):

m * .ω12 .( x' '.D + x'.D' ) +

m1* * 1 .(r0 + s + s ' ' ).s '.ω12 .ω1 . 2 x'.D.ω1

(3.115)

+ ( K + k ).x − K . y + k .x 0 = 0 Ecuaţia (3.115) se aranjează în forma (3.116):

m1* 2 (r0* + s + s ' ' ) s ' .ω . . 2 D x' + ( K + k ).x − K .s + k .x 0 = 0 m * .ω 2 .D.x' '+ m * .ω 2 .D'.x'+ Notăm x cu s+Δx, (3.117):

(3.116)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

x = s + Δx

(3.117)

Cu (3.117), ecuaţia (3.116) capătă forma (3.118):

Δx =

− ω 2 .m * .[ D.x' '+ D'.x' ] −

m1* 2 r0* + s + s ' ' s ' .ω . . − k .( s + x 0 ) 2 D x' K +k

(3.118)

unde Δx reprezintă diferenţa dintre deplasarea dinamică x şi cea impusă s, ambele reduse la axa supapei. Pentru aflarea aproximativă a valorilor x’ şi x’’ utilizăm relaţiile (3.119-3.122) şi în final (3.121-3.122):

dx' ⇒ dx' = x' '.dϕ ⇒ Δx' = x' '.Δϕ ≅ s ' '.Δϕ (3.119) dϕ dx' ' x' ' ' = ⇒ dx' ' = x' ' '.dϕ ⇒ Δx' ' = x' ' '.Δϕ ≅ s ' ' '.Δϕ (3.120) dϕ dΔx dx x = s + Δx ⇒ x' = s '+ = s '+ Δ = s '+ Δx' ≅ s '+ s ' '.Δϕ (3.121) dϕ dϕ dΔx' dx' x' = s '+ Δx' ⇒ x' ' = s ' '+ = s ' '+ Δ = s ' '+ Δx' ' ≅ s ' '+ s ' ' '.Δϕ (3.122) dϕ dϕ s' ≅ 1 , ecuaţia (3.118) se scrie sub forma Cu relaţiile (3.121) şi (3.122), dar şi cu aproximaţia x' x' ' =

(3.123):

Δx =

− ω 2 .m * .[ D.( s ' '+ s ' ' '.Δϕ ) + D'.(s '+ s ' '.Δϕ )] − K +k

m1* 2 r0* + s + s ' ' .ω . − k .( s + x 0 ) 2 D (3.123)

Ecuaţia (3.123) se ordonează sub forma (3.124):

r0 + s + s' ' m − ω 2 .m * .[ D'.s '+( D + D'.Δϕ ).s ' '+ D.Δϕ .s ' ' ' ] − 12 .ω 2 . i − k .( s + x 0 ) D 2 . i (3.124) Δx = K +k

Se calculează Δx de două ori, Δx(0) şi Δx. Δx(0) adunat la s generează x(0), care este utilizat pentru determinarea vitezei unghiulare variabile, ω. În ecuaţia Δx(0) se utilizează ω=ωn=constant. În ecuaţia a doua Δx, se utilizează ω variabil determinat cu ajutorul primei ecuaţii; pentru viteza redusă x’ şi acceleraţia redusă x’’, acum avem două variante: fie introducem direct, tot valorile aproximative, calculate cu relaţiile (3.121-3.122), ori utilizăm x’(0) şi x’’(0) obţinute deja prin derivarea directă (numerică) a lui x(0), care altfel nu vor fi folosite decât pentru aflarea vitezei unghiulare variabile, ω. Cu Δx adunat la s obţinem valoarea exactă a lui x, pe care o derivăm numeric şi obţinem şi valorile finale (exacte) pentru viteza redusă, x’ şi acceleraţia redusă, x’’.

3.7. Determinarea anticipată a vitezei dinamice reduse şi a acceleraţiei dinamice reduse la axa supapei La paragraful 2.8.1. s-au determinat relaţiile de calcul ale forţelor ce acţionează asupra supapei (Forţa MOTOARE redusă şi Forţa REZISTENTĂ redusă). Aceste forţe au fost utilizate deja în cadrul paragrafului 3.4. pentru determinarea forţelor reduse şi a momentelor reduse, din cadrul ecuaţiei diferenţiale Lagrange, ecuaţie care odată rezolvată generează valorile vitezei unghiulare ω în funcţie de unghiul de rotaţie al camei, ϕ.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Se vor reaminti acum expresiile celor două forţe reduse la supapă, forţa motoare (3.125) şi cea rezistentă (3.126): (3.125) Fm = K .( y − x) ≅ K .( s − x)

Fr = k .( x + x 0 )

(3.126) Static cele două forţe sunt egale în modul (3.127-3.128), dar de sens contrar (acţiune şi reacţiune), iar dinamic ele diferă foarte puţin una faţă de alta (în modul). Fm = Fr (3.127)

K .( s − x) = k .( x + x 0 )

(3.128)

Din relaţia (3.128) explicităm deplasarea supapei, xS, (3.129):

x ≡ xS =

K .s − k .x 0 K +k

(3.129)

Ne reamintim acum ecuaţia dinamică determinată la modelul 2.8.1., scrisă sub forma (3.130):

Δx ≡ x − s = −

k . X + k .x 0 + m S . X&& + mT .&y& K

(3.130)

În ecuaţia (3.130) înlocuim valoarea x cu cea statică obţinută prin relaţia (3.129) şi rezultă expresia (3.131):

Δx = −

k .K .( s + x 0 ) + ( K + k ).(m S . X&& + mT .&y&) K .( K + k )

(3.131)

&& cu O modalitate simplă de a determina valoarea expresiei (3.131), este înlocuirea lui X & & expresiile (3.132) şi a lui y cu relaţia (3.133), care se determină cu ajutorul funcţiilor de transmitere, D, D’.

K .s ' K +k K .s ' ' x SII = K +k x SI =

(3.132)

ω 2 .K X&& = ω 2 .( D.x' '+ D'.x' ) = .( D.s ' '+ D'.s ' ) K +k &y& = ω 2 .( D.s ' '+ D'.s ' )

(3.133)

După înlocuire se obţine expresia (3.134):

Δx = −

k .mT ).( D.s' '+ D'.s' ) K K +k

k .( s + x 0 ) + ω 2 .(m * +

(3.134)

Cu relaţia (3.134) se poate calcula acum expresia (3.135):

x = s + Δx

(3.135)

3.7.1. Determinarea anticipată aproximativă a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei Expresia (3.134) se scrie sub forma aproximativă (3.136):

Δx = −

k .mT ).s' ' k .x 0 K − K +k K +k

k .s + ω 2 .(m * +

(3.136)

Ecuaţia (3.136) se derivează de două ori şi obţinem la prima derivare (Δx)’, (3.137), iar la a doua derivare, (Δx)’’, (3.138):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

(Δx) I = −

(Δx) = −

k .s I + ω 2 .(m * + K +k

k .mT ).s III K

k .s II + ω 2 .(m * +

K +k

(3.137)

k .mT ).s IV K

(3.138)

Se poate determina acum x’, (3.139), dar şi pe x’’, (3.140):

x' (0) = s'+(Δx)' =

K .s I − ω 2 .(m * +

x' ' (0) = s ' '+(Δx) II =

K +k

k .mT ).s III K

K .s II − ω 2 .(m * + K +k

k .mT ).s IV K

(3.139)

(3.140)

În continuare se utilizează ecuaţia (3.131), pe care o rescriem sub forma (3.141); unde x’’ şi x’ se înlocuiesc cu x’’(0) respectiv x’(0), date de formulele (3.140), respectiv (3.139).

Δx = −

k ⋅ K ⋅ ( s + x0 ) + ( K + k ) ⋅ ωn2 ⋅ [( D ⋅ x0'' + D ' ⋅ x0' ) ⋅ mS + ( D ⋅ s '' + D ' ⋅ s ' ) ⋅ mT ] K .( K + k )

(3.141)

Analiza dinamică pe baza acestui model se face pe scurt în paragraful 4.4.

3.7.2. Determinarea anticipată precisă a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei Pentru o determinare mai precisă a vitezei dinamice reduse a supapei, x’, şi a acceleraţiei dinamice reduse a supapei, x’’, se pleacă de la relaţia (3.142), care exprimă valoarea exactă a lui Δx.

Δx = −

k .s + ω 2 .(m * +

k .mT ).( D.s ' '+ D'.s ' ) k .x 0 K − K +k K +k

(3.142)

Expresia (3.142) se derivează de două ori şi se obţin (Δx)’, (3.143), şi (Δx)’’, (3.144):

k .mT ).( D' '.s '+2.D'.s ' '+ D.s ' ' ' ) I K (Δx) = − K +k k k .s II + ω 2 .(m * + .mT ).( D' ' '.s '+3.D' '.s ' '+3.D'.s ' ' '+ D.s IV ) II K (Δx) = − K +k k .s I + ω 2 .(m * +

(3.143)

(3.144)

Cu relaţiile (3.143) şi (3.144) se determină imediat viteza redusă a supapei (3.145) şi acceleraţia redusă a supapei (3.146): x' = s '+ (Δx)' (3.145) x' ' = s' '+(Δx)' ' (3.146) Dificultatea metodei constă în necesitatea determinării suplimentare a valorilor D’’ şi D’’’, adică derivatele de ordinul doi şi trei ale funcţiei de transmitere D. Mai întâi trebuie să ne reamintim expresia lui D’ (3.147):

D = I

[ s ' ' '.(r0 + s ) − s '.s ' ' ].[(r0 + s ) 2 + s ' 2 ] − 2.s '.[s ' '.(r0 + s ) − s ' 2 ].[r0 + s + s ' ' ] [(r0 + s ) 2 + s ' 2 ] 2 Expresia (3.147) se scrie sub forma (3.148):

(3.147)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

DI =

s ' ' '.(r0 + s) − s '.s ' ' (r0 + s ) + s ' 2

−

2.s ' ∗ (r0 + s ) 2 + s ' 2

(r0 + s + s ' ' ).(r0 + s ).s' '−(r0 + s + s ' ' ).(r0 + s ).

s' 2 (r0 + s )

(3.148)

(r0 + s) 2 + s ' 2 Din (3.148) se determină forma restrânsă (3.149):

DI =

s ' ' '.(r0 + s ) − s '.s ' ' 2.s '.D s' 2 [ ' ' ] − ⋅ s − (r0 + s ) (r0 + s ) 2 + s ' 2 (r0 + s ) 2 + s ' 2

(3.149)

D’ se poate scrie mai compact, în relaţia (3.150):

s ' ' '.(r0 + s ) − s '.s ' '−2.s '.D.s ' '+2.D.s ' 3 ⋅ DI =

1 r0 + s

(r0 + s ) 2 + s ' 2

(3.150)

Pentru a putea deriva mai uşor relaţia (3.150) o scriem sub forma (3.151):

D I ⋅ [(r0 + s ) 2 + s ' 2 ] = s ' ' '⋅(r0 + s ) − s'⋅s ' '−2 ⋅ D ⋅ s '⋅s ' '+

2 ⋅ D ⋅ s' 3 r0 + s

(3.151)

Acum urmează derivarea propriuzisă a expresiei (3.151), care a fost aranjată în mod special în vederea derivării şi obţinem relaţia (3.152):

D II ⋅ [(r0 + s ) 2 + s' 2 ] + 2 ⋅ D I ⋅ [(r0 + s ) ⋅ s '+ s '⋅s ' ' ] = s IV ⋅ (r0 + s ) + s ' ' '⋅s '− s ' ' 2 − s '⋅s ' ' '−2.D I ⋅ s '⋅s ' '−2 ⋅ D ⋅ s ' ' 2 −2 ⋅ D ⋅ s'⋅s' ' ' 2 ⋅ ( D ⋅ s' +3 ⋅ D ⋅ s' ⋅s' ' ) ⋅ (r0 + s) − 2 ⋅ D ⋅ s' I

(3.152)

(r0 + s) 2

Din (3.152) se explicitează D’’ sub forma (3.153):

D II =

s IV ⋅ (r0 + s ) − s ' ' 2 −2 ⋅ D I ⋅ s'⋅s ' '−2 ⋅ D ⋅ s ' ' 2 −2 ⋅ D ⋅ s'⋅s ' ' ' (r0 + s ) 2 + s ' 2

2 ⋅ D I ⋅ s' 3 +6 ⋅ D ⋅ s' 2 ⋅s ' ' 2 ⋅ D ⋅ s ' 4 − − 2 ⋅ D I ⋅ s '⋅(r0 + s + s ' ' ) 2 r0 + s (r0 + s )

(3.153)

(r0 + s) 2 + s ' 2

Expresia (3.153) se scrie sub forma (3.154) în vederea unei noi derivări:

D II ⋅ [(r0 + s ) 2 + s ' 2 ] = s IV ⋅ (r0 + s ) − s ' ' 2 −2 ⋅ D I ⋅ s '⋅s ' ' − 2 ⋅ D ⋅ s ' ' 2 −2 ⋅ D ⋅ s '⋅s ' ' '+ −

2 ⋅ D I ⋅ s ' 3 +6 ⋅ D ⋅ s ' 2 ⋅s ' ' r0 + s

2 ⋅ D ⋅ s' 4 − 2 ⋅ D I ⋅ s '⋅(r0 + s + s ' ' ) 2 (r0 + s )

Se derivează relaţia (3.154) şi rezultă expresia (3.155):

(3.154)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

D III ⋅ [(r0 + s ) 2 + s ' 2 ] = s V ⋅ (r0 + s ) + s IV ⋅ s '−2 ⋅ s ' '⋅s ' ' ' − 2 ⋅ D II ⋅ s '⋅s ' '−2 ⋅ D I ⋅ s ' ' 2 −2 ⋅ D I ⋅ s '⋅s ' ' '−2 ⋅ D I ⋅ s ' ' 2 − 4 ⋅ D ⋅ s ' '⋅s' ' '−2 ⋅ D I ⋅ s '⋅s ' ' '−2 ⋅ D ⋅ s ' '⋅s ' ' '−2 ⋅ D ⋅ s '⋅s IV +

2 ⋅ D II ⋅ s' 3 +6 ⋅ D I ⋅ s' 2 ⋅s ' '+6 ⋅ D I ⋅ s ' 2 ⋅s' '+12 ⋅ D ⋅ s '⋅s ' ' 2 +6 ⋅ D ⋅ s' 2 ⋅s ' ' ' r0 + s

−

2 ⋅ D I ⋅ s ' 4 +6 ⋅ D ⋅ s ' 3 ⋅s ' ' 2 ⋅ D I ⋅ s ' 4 +8 ⋅ D ⋅ s ' 3 ⋅s' ' 4 ⋅ D ⋅ s ' 5 − + (r0 + s ) 2 (r0 + s ) 2 (r0 + s ) 3

(3.155)

− 2 ⋅ D II ⋅ s '⋅(r0 + s + s ' ' ) − 2 ⋅ D I ⋅ s ' '⋅(r0 + s + s ' ' ) − 2 ⋅ D I ⋅ s '⋅( s '+ s ' ' ' ) − 2 ⋅ D II ⋅ s '⋅(r0 + s + s ' ' ) Expresia (3.155) se aranjează în forma (3.156), din care se extrage D’’’:

D III ⋅ [(r0 + s ) 2 + s ' 2 ] = s V ⋅ (r0 + s ) + s IV ⋅ s '−2 ⋅ s ' '⋅s ' ' '−2 ⋅ D II ⋅ s '⋅s ' ' − 4 ⋅ D I ⋅ s ' ' 2 −4 ⋅ D I ⋅ s '⋅s ' ' '−6 ⋅ D ⋅ s ' '⋅s ' ' '−2 ⋅ D ⋅ s '⋅s IV +

2 ⋅ D II ⋅ s' 3 +12 ⋅ D I ⋅ s' 2 ⋅s ' '+12 ⋅ D ⋅ s '⋅s' ' 2 +6 ⋅ D ⋅ s ' 2 ⋅s ' ' ' r0 + s

−

4 ⋅ D I ⋅ s ' 4 +14 ⋅ D ⋅ s ' 3 ⋅s ' ' 4 ⋅ D ⋅ s' 5 + (r0 + s ) 2 (r0 + s ) 3

(3.156)

− 4 ⋅ D II ⋅ s '⋅(r0 + s + s ' ' ) − 2 ⋅ D I ⋅ s ' '⋅(r0 + s + s ' ' ) − 2 ⋅ D I ⋅ s '⋅( s '+ s ' ' ' ) Cu acest model dinamic prezentat, se poate face analiza dinamică completă şi precisă. Un exemplu analizat, pentru legea sin, se prezintă în cap. 4.5., numai pentru o singură turaţie, la fel ca şi la modelele dinamice anterioare.

3.7.3. Determinarea anticipată, precisă, a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei, prin metoda cu diferenţe finite Calculul lui Δx este similar cu cel anterior (de la paragr. 3.7.2.), cu excepţia faptului că în loc de ipoteza statică (Fm=Fr), utilizăm diferenţele finite, pentru amorsarea calculelor, conform relaţiilor (3.157):

x ≅ s + s '.Δϕ x' ≅ s '+ s ' '.Δϕ x' ' ≅ s' '+ s ' ' '.Δϕ X&& = ω 2 ⋅ ( D ⋅ x' '+ D I ⋅ x' ) = ω 2 ⋅ [ D I ⋅ s '+ ( D + D I ⋅ Δϕ ) ⋅ s ' '+ D ⋅ s ' ' '⋅Δϕ ] &y& = S&& = ω 2 ⋅ ( D ⋅ s ' '+ D I ⋅ s ' )

(3.157)

Ecuaţia de pornire este cea cunoscută deja pe care o rescriem în forma (3.158):

Δx = −

k . X + k .x 0 + m S . X&& + mT .&y& K

(3.158)

Cu relaţiile (3.157), ecuaţia (3.158) se scrie sub forma (3.159):

k .s + k .s '.Δϕ + k .x 0 + m S .ω 2 .[ D'.s '+ ( D + D'.Δϕ ).s ' '+ D.s ' ' '.Δϕ ] K 2 m .ω .( D.s ' '+ D'.s ' ) − T K

Δx = −

(3.159)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Prin derivare se obţin expresiile lui (Δx)’, (3.160) şi (Δx)’’, (3.161).

m S .ω 2 .[ D' '.s '+ (2.D'+ D' '.Δϕ ).s ' '+( D + 2.D'.Δϕ ).s ' ' '+ D.Δϕ .s IV ] K 2 k .s '+ k .Δϕ .s ' '+ mT .ω .( D' '.s '+2.D'.s ' '+ D.s ' ' ' ) − K 2 m .ω .[ D' ' '.s '+ (3.D' '+ D' ' '.Δϕ ).s ' '+3.( D'+ D' '.Δϕ ).s ' ' ' ] (Δx)' ' = − S K IV 2 m .ω .[( D + 3.D'.Δϕ ).s + D.Δϕ .s V ] − S K k .s ' '+ k .Δϕ .s ' ' '+ mT .ω 2 .( D' ' '.s '+3.D' '.s ' '+3.D'.s ' ' '+ D.s IV ) − K (Δx)' = −

(3.160)

(3.161)

3.7.4. Determinarea anticipată şi precisă a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei, utilizând modelul dinamic care ia în calcul şi masa m1 a camei La paragraful 3.6. a fost prezentat un model dinamic care ia în calcul şi masa camei (vezi ecuaţiile 3.114, 3.115, 3.116 şi 3.118). Relaţia (3.118) se rescrie sub forma (3.162):

Δx =

− ω 2 .m * .[ D.x' '+ D'.x' ] −

m1* 2 r0* + s + s ' ' s ' .ω . . − k .( s + x 0 ) 2 D x' K +k

(3.162)

De la ipoteza statică (Fm=Fr), reţinem relaţiile de amorsare (3.163):

K ⋅ sI K +k K ⋅ s II x SII ≅ K +k

x SI ≅

(3.163)

Cu relaţiile (3.163), expresia (3.162) capătă forma (3.164):

Δx =

− ω 2 ⋅ m* ⋅ K ⋅ [ D ⋅ s II + D I ⋅ s I ] (K + k ) 2

(3.164)

m1* ω 2 (r0* + s + s II ) k − ⋅ ⋅ − ⋅ (s + x0 ) K +k 2 K D

Expresia (3.164) se derivează succesiv, de două ori, pentru obţinerea lui (Δx)’, (3.165) şi (Δx)’’, (3.166).

(Δx)' = −

ω 2 ⋅ m* ⋅ K (K + k )

⋅ [ D II ⋅ s I + 2 ⋅ D I ⋅ s II + D ⋅ s III ]

m * ω 2 s I + s III (r0* + s + s II ) ⋅ D I k⋅s − 1 ⋅ ⋅[ − ] − K +k D 2 K D2 ω 2 ⋅ m* ⋅ K ⋅ [ D III ⋅ s I + 3 ⋅ D II ⋅ s II + 3 ⋅ D I ⋅ s III + D ⋅ s IV ] (Δx) II = − (K + k ) 2 I

k ⋅ s II m1* ω 2 s II + s IV − ⋅ ⋅[ − K +k D 2 K 2 ⋅ ( s I + s III ) ⋅ D I + (r0* + s + s II ) ⋅ D II

−

(3.165)

(3.166)

+ 43

2 ⋅ (r0* + s + s II ) ⋅ D' 2 D3

]

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Cu relaţiile (3.165) şi (3.166), expresiile (3.167) capătă formele (3.168) şi respectiv (3.169).

x I = s I + (Δx) I

(3.167)

x II = s II + (Δx) II

xI = sI −

ω 2 ⋅ m* ⋅ K (K + k )

⋅ [ D II ⋅ s I + 2 ⋅ D I ⋅ s II + D ⋅ s III ]

m * ω 2 s I + s III (r0* + s + s II ) ⋅ D I k ⋅s − 1 ⋅ ⋅[ − ] − K +k D 2 K D2 ω 2 ⋅ m* ⋅ K ⋅ [ D III ⋅ s I + 3 ⋅ D II ⋅ s II + 3 ⋅ D I ⋅ s III + D ⋅ s IV ] x II = s II − (K + k ) 2 I

k ⋅ s II m1* ω 2 s II + s IV − ⋅ ⋅[ − K +k D 2 K 2 ⋅ ( s I + s III ) ⋅ D I + (r0* + s + s II ) ⋅ D II

−

(3.168)

(3.169)

2 ⋅ (r0* + s + s II ) ⋅ D' 2 D3

]

Expresiile (3.168) şi (3.169) determină, anticipat şi precis, viteza redusă a supapei, respectiv acceleraţia redusă a supapei. Ele se introduc în relaţia (3.162) şi se determină astfel cu precizie Δx. Cu Δx calculat putem afla imediat deplasarea supapei, x, (cu relaţia x=s+Δx). Rezultă un model dinamic precis şi flexibil. Cu acest model dinamic se face analiza dinamică prezentată la cap. 4.6. Precizare: Trebuie făcută următoarea precizare. În modelele dinamice utilizate, s-a luat în calcul pentru deplasarea dinamică (reală) a supapei, valoarea x în loc de X, din motive de simetrie faţă de funcţia de intrare, cunoscută, s. Funcţia de intrare necunoscută, S s-a notat cu y. Avantajele utilizării deplasării x (care este aproximativ egală cu X, dar care are alte derivate, în comparaţie cu X) sunt următoarele: utilizarea în ecuaţia dinamică (diferenţială) a valorii s (cunoscută), în loc de S=y (necunoscută), utilizarea deasemenea a valorii x care se poate aproxima atât ea , cât şi derivatele ei cu valori cunoscute (anticipat), fapt care uşurează mult rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, prin posibilitatea introducerii anticipate în ecuaţie a valorilor x’ şi x’’ aproximativ cunoscute, ceea ce conduce la transformarea ecuaţiei diferenţiale într-o ecuaţie liniară de gradul I. Utilizarea la ieşire a funcţiei x, care lucrează simetric cu funcţia de intrare cunoscută, s, crează posibilitatea obţinerii unor rezultate mai apropiate de realitate. Între aceste funcţii, între care există o transformare (X cu x) şi (y=S cu s) se crează următoarele relaţii de legătură (3.170):

K k K K ⋅s − ⋅ x0 ; x ' ≅ ⋅ s ' ; x' ' ≅ ⋅ s' ' ; K +k K +k K +k K +k K k K K X ≅ ⋅y− ⋅ x0 ; X ' ≅ ⋅ y' = ⋅ D ⋅ s ' = D ⋅ x' ; K +k K +k K +k K +k K K X ''≅ ⋅ y' ' = ⋅ ( D'⋅s '+ D ⋅ s ' ' ) = D'⋅ x'+ D ⋅ x' ' ; K +k K +k

x≅

(3.170)

X = ∫ D ⋅ x'⋅dϕ ≅ x; X ' = D ⋅ x' ; X ' ' = D'⋅ x'+ D ⋅ x' ' ; S ≡ y = ∫ D ⋅ s '⋅dϕ ≅ s; S ' ≡ y ' = D ⋅ s ' ; S ' ' ≡ y ' ' = D'⋅s '+ D ⋅ s ' '

3.8. Model dinamic cu integrare Influenţa resortului supapei, în modelele dinamice prezentate anterior, este în general redusă, deşi în realitate ea trebuie să fie mult mai substanţială. Deficienţa apare datorită modului de rezolvare aproximativã a ecuaţiei dinamice (diferenţiale) cunoscute, rezolvare care face ca elasticitatea k a resortului supapei să devină neglijabilă comparativ cu K. Pentru a putea ţine cont de k, cât şi de x0, se scrie ecuaţia (3.171), de echilibru de forţe pe axa supapei, numai pentru supapă (pentru masa supapei, mS*):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

m S* ⋅ ω 2 ⋅ X II − m S* ⋅ g = F *

(3.171) Forţa redusă care acţionează asupra supapei, se scrie cu cele două componente ale sale, cea motoare şi cea rezistentă (3.172): F * = Fm* − Fr* (3.172) Forţa redusă rezistentă la supapă este cunoscută (3.173): (3.173) Fr* = k ⋅ ( X + x 0 ) Forţa motoare redusă la supapă, Fm*, se poate exprima în mai multe moduri. Dacă o calculăm direct printr-o relaţie cunoscută, de tipul celei deja prezentate Fm* = K ⋅ ( y − X ) , ea preia controlul în ecuaţie, iar K practic face constanta k inoperabilă (deşi resortul există şi lucrează); pe de altă parte orice deplasare înmulţită cu K este mult mai mare decât prestrângerea resortului supapei k.x0, astfel încât şi influenţa lui x0 dispare practic din ecuaţie, din teorie, (deşi ea există în procesul dinamic real). Soluţia care se întrevede în acest caz este ca forţa redusă motoare, Fm*, să fie exprimată în funcţie de Fr*, prin integrarea momentului rezistent redus cunoscut. Se consideră relaţia (3.174) care exprimă valoarea momentului rezistent redus: (3.174) M r* = Fr* ⋅ X I = k ⋅ ( X + x 0 ) ⋅ X I Momentul motor redus corespunzător (3.175), se află prin integrarea momentului rezistent redus pe toată cursa de ridicare (de exemplu), adică pe intervalul [0,ϕu].

M m* =

ϕu

⋅ ∫ M r* ⋅ dϕ = 0

ϕu

⋅ ∫ k ⋅ ( X + x 0 ) ⋅ X I ⋅ dϕ 0

ϕu

( X + x 0 ) 2 ϕu ]0 = ⋅ ( X + x 0 ) ⋅ X ⋅ dϕ = ⋅[ 2 ϕ u ∫0 ϕu k

k k ⋅ [( X + x 0 ) 2 ]ϕ0 u = ⋅ [(h + x 0 ) 2 − x 02 ] 2 ⋅ ϕu 2 ⋅ ϕu

k k ⋅ (h 2 + 2 ⋅ h ⋅ x 0 + x 02 − x 02 ) = ⋅ (h 2 + 2 ⋅ h ⋅ x 0 ) 2 ⋅ ϕu 2 ⋅ ϕu

h⋅k h⋅k h ⋅ (h + 2 ⋅ x 0 ) = ⋅ ( + x0 ) 2 ⋅ ϕu 2 ϕu

(3.175)

Momentul redus total se scrie sub forma (3.176):

M * = M m* − M r* =

h⋅k

ϕu

h ⋅ ( + x0 ) − k ⋅ ( X + x0 ) ⋅ X I 2

(3.176)

Forţa redusă totală este (3.177):

F * = Fm* − Fr* =

M m* − M r* h ⋅ k h 1 = ⋅ ( + x0 ) ⋅ I − k ⋅ X − k ⋅ x0 I 2 ϕu X X

(3.177)

Ecuaţia dinamică la supapă se scrie sub forma (3.178):

h⋅k

ϕu

1 h ⋅ ( + x0 ) ⋅ I − k ⋅ X − k ⋅ x 0 = m S* ⋅ ω 2 ⋅ X II − m S* ⋅ g 2 X

(3.178)

Se poate scrie (3.178) în forma (3.179):

h⋅k

ϕu

1 h ⋅ ( + x 0 ) ⋅ I = k ⋅ X + k ⋅ x 0 + m S* ⋅ ω 2 ⋅ X II − m S* ⋅ g 2 X

(3.179)

Ecuaţia (3.179) se mai scrie şi sub forma (3.180):

h⋅k

ϕu

h ⋅ ( + x 0 ) = [k ⋅ X + k ⋅ x 0 + m S* ⋅ ω 2 ⋅ X II − m S* ⋅ g ] ⋅ X I 2

Din (3.180) se explicitează X’ (3.181):

(3.180)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

h⋅k XI =

ϕu

h ⋅ ( + x0 ) 2

k ⋅ X + k ⋅ x 0 + m S* ⋅ ω 2 ⋅ X II − m S* ⋅ g

(3.181)

Pentru evaluarea efectivă a lui X’ (din 3.181), se scriu X şi X’’ sub formele (3.182), respectiv (3.183) şi se substituie în numitorul relaţiei (3.181), care ia forma (3.184):

X= X II

k ⋅ x0 k ⋅ x0 K⋅y K ⋅s ≅ − − K +k K +k K +k K +k K = ⋅ ( D I ⋅ s I + D ⋅ s II ) K +k

(3.182) (3.183)

h⋅k

XI =

h ⋅ ( + x0 ) ϕu 2

2 2 * 2 ( K + k ) ⋅ m S* ⋅ g k ⋅ K ⋅ s k ⋅ x0 K ⋅ k ⋅ x0 + k ⋅ x0 mS ⋅ ω ⋅ K − + + ⋅ ( D I ⋅ s I + D ⋅ s II ) − K +k K +k K +k K +k K +k Relaţia (3.184) se reduce la forma (3.185):

(K + k ) ⋅ h ⋅ k

XI =

ϕu

h ⋅ ( + x0 ) 2

k ⋅ K ⋅ ( s + x 0 ) + m ⋅ ω ⋅ K ⋅ ( D I ⋅ s I + D ⋅ s II ) − ( K + k ) ⋅ m S* ⋅ g * S

(3.184)

(3.185)

Se derivează relaţia (3.185) şi se obţine expresia (3.186):

(K + k ) ⋅ h ⋅ k

X II = −

ϕu

h ⋅ ( + x 0 ) ⋅ [k ⋅ K ⋅ s I + m S* ⋅ ω 2 ⋅ K ⋅ ( D II ⋅ s I + 2 ⋅ D I ⋅ s II + D ⋅ s III )] 2

[k ⋅ K ⋅ ( s + x 0 ) + m S* ⋅ ω 2 ⋅ K ⋅ ( D I ⋅ s I + D ⋅ s II ) − ( K + k ) ⋅ m S* ⋅ g ] 2

(3.186)

Reamintim ecuaţia diferenţială (3.187), pentru modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără să ţină cont de masa camei:

K ⋅ s − k ⋅ x 0 − m S* ⋅ ω 2 ⋅ X II − mT* ⋅ ω 2 ⋅ K +k

K +k ⋅ ( D I ⋅ s I + D ⋅ s II ) K

(3.187)

Acum se poate rezolva direct ecuaţia diferenţială (3.187), introducând pentru necunoscuta X’’, expresia (3.186), obţinută cu ajutorul modelului dinamic cu integrare, scris pentru supapă; x’ şi x’’ se obţin prin derivare numerică, dar se pot obţine mai precis şi prin derivarea directă a expresiilor (3.186 şi 3.187), cu specificaţia că va trebui calculat şi DIV; Deplasarea x, calculată cu (3.187 şi 3.186) se obţine acum prin metoda dinamică cu integrare; la fel şi v şi a supapă. Avantajele acestui model dinamic sunt date de variaţia efectivă a lui x, x’, x’’, sau X, v, a, şi cu coeficientul elastic, k, al arcului supapei, cât şi cu prestrângerea resortului, x0. Analiza dinamică cu acest model, se face în cadrul cap. 4., paragraful 4.7. Pentru a nu avea o dublă impunere, relaţiile (3.186) şi (3.187) se modifică în (3.188), respectiv (3.189), rezultând astfel modelul A7M (A7 modificat).

(K + k ) ⋅ h ⋅ k

x II = −

ϕu

h ⋅ ( + x 0 ) ⋅ [k ⋅ K ⋅ s I + m S* ⋅ ω 2 ⋅ K ⋅ s III ] 2

[k ⋅ K ⋅ ( s + x 0 ) + m S* ⋅ ω 2 ⋅ K ⋅ s II − ( K + k ) ⋅ m S* ⋅ g ] 2 K + k II K ⋅ s − k ⋅ x 0 − m S* ⋅ ω 2 ⋅ x II − mT* ⋅ ω 2 ⋅ ⋅s K x= K +k

(3.188)

(3.189)

3.9. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale prin, integrare directă şi obţinerea ecuaţiei mamă Rezolvarea cea mai firească a ecuaţiei dinamice, care este o ecuaţie diferenţială, este rezolvarea prin integrare directă, printr-o metodă originală.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Ecuaţia diferenţială de bază, cunoscută atât de la cap. 2 cât şi din cadrul acestui capitol, cea cu amortizare internă a sistemului variabilă, dar care nu ţine cont de masa camei, se scrie sub forma (3.190):

− ( K + k ) ⋅ x + K ⋅ y − k ⋅ x 0 − m S* ⋅ ω 2 ⋅ x II =

mT* ⋅ ω 2 ⋅ y II ⋅ y I xI

(3.190)

Înmulţim ecuaţia cu x’ şi obţinem forma (3.191):

− ( K + k ) ⋅ x ⋅ x I + K ⋅ y ⋅ x I − k ⋅ x 0 ⋅ x I − m S* ⋅ ω 2 ⋅ x I ⋅ x II = mT* ⋅ ω 2 ⋅ y I ⋅ y II

(3.191) Cum singurul care se integrează mai greu (nu se poate integra direct) este termenul K.y.x’, îl

înlocuim prin aproximare (ţinând cont de ipoteza statică), cu K ⋅ y ⋅

K ⋅ y I şi obţinem ecuaţia K +k

(3.192):

− (K + k ) ⋅ x ⋅ x I +

K2 ⋅ y ⋅ y I − k ⋅ x 0 ⋅ x I − m S* ⋅ ω 2 ⋅ x I ⋅ x II = mT* ⋅ ω 2 ⋅ y I ⋅ y II (3.192) K +k

Ecuaţia (3.192) obţinută se integrează direct şi obţinem părintele ei (3.193):

− (K + k ) ⋅

y2 y' 2 x2 K2 x' 2 + ⋅ − k ⋅ x 0 ⋅ x − m S* ⋅ ω 2 ⋅ = mT* ⋅ ω 2 ⋅ + C (3.193) 2 K +k 2 2 2

Punând condiţia ca la momentul iniţial ϕ=0, când y=y’=0 şi x=x’=0, obţinem pentru constanta de integrare, C, valoarea zero, (C=0). Ecuaţia mamă, (3.193) se scrie sub forma finală (3.194):

− (K + k ) ⋅

y2 y' 2 x2 K2 x' 2 + ⋅ − k ⋅ x 0 ⋅ x − m S* ⋅ ω 2 ⋅ = mT* ⋅ ω 2 ⋅ 2 K +k 2 2 2

(3.194)

Ordonăm termenii, înmulţim ecuaţia cu -2 şi o împărţim la (K+k) şi rezultă forma (3.195):

x2 + 2 ⋅

m* ⋅ ω 2 k ⋅ x0 m* ⋅ ω 2 2 K2 ⋅x+ S ⋅ x' 2 + T y' − ⋅ y2 = 0 K +k K +k K +k (K + k ) 2

(3.195)

Această ecuaţie este mult mai simplu de rezolvat. Integrarea directă încă odată, fiind dificilă, preferăm rezolvarea ei, prin una din diversele metode posibile.

3.9.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, mamă, prin utilizarea ipotezei statice Rezolvarea cea mai simplă a ecuaţiei diferenţiale mamă, se face prin utilizarea imediată a ipotezei statice care înlocuieşte viteza redusă a supapei, x’, cu viteza redusă impusă de camă, y’, conform relaţiei deja prezentate, x' =

K ⋅ y ' , astfel încât ecuaţia mamă (3.195) capătă forma K +k

(3.196):

K2 ⋅ m S* + mT* 2 2 k ⋅ x0 (K + k ) K ⋅ ω 2 ⋅ y' 2 = 0 ⋅x− ⋅ y2 + x2 + 2 ⋅ 2 (K + k ) K +k (K + k )

(3.196)

Am obţinut astfel o ecuaţie de gradul 2 în x, care se rezolvă simplu ca orice ecuaţie de gradul II, (paragraful 3.9.1.1.), sau mai elegant, prin metoda diferenţelor finite (paragraful 3.9.1.2.):

3.9.1.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,mamă, prin utilizarea ipotezei statice, prin rezolvarea obişnuită a ecuaţiei de gradul II, în x Rezolvarea cea mai simplă a ecuaţiei (3.196), ecuaţie de gradul doi în x, se face direct prin calculul realizantului Δ, (vezi relaţiile 3.197, 3.198), şi a celor două soluţii x1,2, (a se vedea relaţiile 3.199 şi 3.200):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Δ=

(k ⋅ x 0 ) 2 + ( K ⋅ s) 2 (K + k ) 2

m S* ⋅ −

K2 + mT* 2 (K + k ) ⋅ y ' 2 ⋅ω 2 (K + k )

K2 + mT* 2 (k ⋅ x 0 ) 2 + ( K ⋅ s) 2 (K + k ) ⋅ ( D ⋅ s' ) 2 ⋅ ω 2 Δ= − 2 (K + k ) (K + k ) k ⋅ x0 X 1, 2 = − ± Δ K +k

(3.197)

m S* ⋅

(3.198) (3.199)

Cum nu se doreşte o soluţie negativă pe tot intervalul (nu este posibilă fizic), oprim numai soluţia cu plus (3.200):

X= Δ−

k ⋅ x0 K +k

(3.200)

Programul de calcul (scris în Excel) este prezentat în Anexa 1, iar diagrama dinamică pentru legea sin se poate urmări la cap. 4.8.

3.9.1.2. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,mamă, cu ajutorul ipotezei statice, prin utilizarea diferenţelor finite Rezolvarea mai elegantă a ecuaţiei (3.196), ecuaţie de gradul doi în x, se face prin utilizarea diferenţelor finite. În acest scop utilizăm notaţia (3.201): X = s + ΔX (3.201) Cu relaţia (3.201) ecuaţia (3.196) capătă forma (3.202):

s 2 + (ΔX ) 2 + 2 ⋅ ΔX ⋅ s + 2 ⋅

k ⋅ x0 k ⋅ x0 ⋅s + 2⋅ ⋅ ΔX K +k K +k

K2 ⋅ m S* + mT* 2 2 (K + k ) K ⋅ ω 2 ⋅ y' 2 = 0 − s2 + 2 (K + k ) (K + k )

(3.202)

Ecuaţia (3.202) este o ecuaţie de gradul doi în ΔX, care se poate rezolva direct (exact), prin aflarea realizantului Δ (a se urmări relaţia 3.204) şi a soluţiilor ΔX1,2, din care oprim doar soluţia cu plus (a se vedea relaţia 3.205), sau se poate transforma într-o ecuaţie de gradul I, în ΔX, punând (ΔX)2≅0, ecuaţie care îl generează imediat şi direct pe ΔX (vezi relaţia 3.203). ΔX = (−1) ⋅

(k 2 + 2 ⋅ k ⋅ K ) ⋅ s 2 + 2 ⋅ k ⋅ x0 ⋅ ( K + k ) ⋅ s + [

Δ=

K2 ⋅ mS* + ( K + k ) ⋅ mT* ] ⋅ ω 2 ⋅ ( Ds' ) 2 K +k

k ⋅ x0 2 ⋅ (s + ) ⋅ ( K + k )2 K +k

K2 ⋅ m S* + ( K + k ) ⋅ mT* ] ⋅ ω 2 ⋅ ( D ⋅ s' ) 2 K +k (K + k ) 2 k ⋅ x0 ΔX = Δ − ( s + ) K +k

(3.203)

K 2 ⋅ s 2 + k 2 ⋅ x 02 − [

(3.204) (3.205)

Programul de calcul (scris în Excel) este prezentat în Anexa 2, iar diagrama dinamică pentru legea sin, se poate urmări la cap. 4.9.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Ecuaţiile utilizate direct sunt (3.205) care o cheamă pe (3.204), dar atunci când în mod sporadic (foarte rar) Δ ia valori negative (ecuaţia are rădăcini complexe), soluţia va fi dată direct de ecuaţia (3.203). Putem să scriem un program de calcul (vezi Anexa 3), care să utilizeze numai ecuaţia (3.203) pentru aflarea soluţiilor ΔX. Avantajul principal al unui astfel de model dinamic este în primul rând faptul că în acest mod găsim direct diferenţa finită, ΔX, care adunată la S generează chiar soluţia finală, X, a sistemului mecanic, soluţie pe care o căutam. În programul prezentat (A3, scris în Excel), s-a utilizat (ca de obicei) metoda derivării numerice pentru determinarea lui X’ şi X’’, când se cunoaşte X, metodă mai rapidă şi foarte avantajoasă atunci când expresia lui X este complexă iar derivarea normală este foarte dificilă chiar şi pentru aflarea primei derivate, X’. De aici rezultă şi un alt avantaj al cunoaşterii expresiei lui X, şi anume faptul că putem deriva expresia lui X, (3.206, sau 3.207), direct şi cu uşurinţă, obţinând pentru X’ relaţia (3.208) şi pentru X’’ relaţia (3.209).

K2 [ ⋅ mS* + ( K + k ) ⋅ mT* ] ⋅ ω 2 ⋅ ( Ds' ) 2 X = s− K +k k ⋅ x0 2 ⋅ (s + ) ⋅ (K + k ) 2 K +k (k 2 + 2 ⋅ k ⋅ K ) ⋅ s 2 + 2 ⋅ k ⋅ x0 ⋅ ( K + k ) ⋅ s − k ⋅ x0 2 ⋅ (s + ) ⋅ (K + k ) 2 K +k C1 ⋅ s 2 − C 2 ⋅ s − C 3 ⋅ y ' 2 X= C4 ⋅ s + C2

(3.206)

(3.207)

X '=

2 ⋅ C1 ⋅ s ⋅ s '−C 2 ⋅ s '−2 ⋅ C 3 ⋅ y '⋅ y ' '−C 4 ⋅ s '⋅ X C4 ⋅ s + C2

X ''=

2C1 s ' 2 +2C1 ss ' '−C 2 s' '−2C 3 y ' ' 2 −2C 3 y ' y ' ' '−2C 4 s ' X '−C 4 s ' ' X C4 ⋅ s + C2

(3.208)

(3.209)

S-au utilizat notaţiile (3.210):

C1 = 2 ⋅ K 2 + k 2 + 2 ⋅ k ⋅ K C 2 = 2 ⋅ k ⋅ x0 ⋅ ( K + k ) C3 =

K 2 ⋅ m S* + ( K + k ) 2 ⋅ mT* ⋅ω2 (K + k )

C4 = 2 ⋅ (K + k ) 2

(3.210)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

CAP. 4

ANALIZA DINAMICĂ LA MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUŢIE

În cadrul capitolului 4 se va face analiza dinamică la mecanismul clasic de distribuţie (Modul C) – a se vedea şi lucrările [A15], [A16], [A17], [P21], [P23], [P24], [P28], [P29]. Pentru început, analiza se va face pentru condiţii similare, cu ajutorul a diverse modele dinamice, cu aceeaşi lege SINus, la o turaţie constantă, mereu cam de aceeaşi valoare (n=5500 [rot/min]), urmând ca pentru un model dinamic (final) ales, să se facă o analiză mai completă, la care se vor schimba legile de mişcare, turaţia motorului şi diversele constante de lucru, cum ar fi k, x0.

4.1. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.107), bazată pe dezvoltările în serie Taylor şi pe modelul dinamic-A1, cu amortizare internă variabilă, fără considerarea masei m1 a camei Utilizând relaţia (3.107), obţinută din ecuaţia diferenţială (3.72), bazată pe modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, dar utilizând în calcule dezvoltările în serie Taylor cu reţinerea a 8 termeni consecutivi, se obţine modelul dinamic (A1). Pentru acest model dinamic (A1) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.1.): Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] 8000 amax=7200 translant plat - A1 ϕu=75 [grad] s max =4.49 k=60 [N/mm] 6000 r0=14 [mm] x0=30 [mm]

4000

hs=5 [mm]

2000 0 0

100

150

-2000

hT=5 [mm] i=1;η=6.9% legea: sin-0 200 y=x-sin(2π x)/(2π )

-4000 amin= -4000

-6000

a[m/s2] s*k[mm] k=

1278.41

Fig. 4.1. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A1

Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=14 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=5 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=60 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm]. Randamentul mecanic este scăzut (în general la mecanismele cu camă rotativă şi tachet, randamentul mecanic are valori scăzute, iar la Modulul C-mecanism de distribuţie clasic, aceste valori sunt chiar ceva mai scăzute), η=6.9%.

4.2. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.107), bazată pe modelul dinamic cu amortizare internă variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, cu rezolvarea ecuaţiei diferenţiale în doi paşi Utilizând relaţia (3.107), obţinută din ecuaţia diferenţială (3.72), bazată pe modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei şi folosind ecuaţia diferenţială de două ori consecutiv, odată pentru determinarea vitezei dinamice reduse, x’, şi a acceleraţiei dinamice reduse, x’’, iar a doua oară normal, se obţine modelul dinamic A2.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Pentru acest model dinamic (A2) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.2.): Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] translant plat - A2 ϕu=80 [grad] amax =6700 k=50 [N/mm] s max =4.70 r0=13 [mm]

8000 6000

x0=20 [mm]

4000

hs =5 [mm]

2000 0 0

100

150

hT=5 [mm] i=1;η=6.9% legea: sin-0 y=x-sin(2πx)/(2π) 200

-2000 amin= -2900

-4000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 1129.61

Fig. 4.2. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A2

Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=800, raza cercului de bază, r0=13 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=5 [mm].Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=20 [mm]. Randamentul mecanic este , η=6.9%.

4.3. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.124), pentru modelul dinamic cu considerarea masei m1 a camei Pentru acest model dinamic (A3) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.3.): Utilizând relaţia (3.124), obţinută din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, cu considerarea masei m1 a camei, rezultă modelul dinamic A3, care se aplică în cadrul analizei dinamice prezentate în diagrama din figura 4.3. 12000 10000 8000

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] translant plat - A3 ϕu=75 [grad] amax =10100 k=60 [N/mm] s max =4.62 r0=14 [mm]

6000

x0=30 [mm]

4000

hs=5 [mm]

2000 0 -2000 0

100

150

-4000

hT=5 [mm] i=1;η=6.9% 200legea: sin-0 y=x-sin(2πx)/(2π)

-6000 -8000

amin= -7700

-10000

a[m/s2] s*k[mm] k=

1747.95

Fig. 4.3. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A3

4.4. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.139), (3.140), (3.141), pentru modelul dinamic fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, aproximativă, a vitezei şi acceleraţiei reduse, ambele reduse la supapă Utilizând relaţiile (3.139), (3.140) şi (3.141), obţinute din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată şi aproximativă a vitezei dinamice reduse a supapei şi a acceleraţiei dinamice

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

reduse a supapei; rezultă modelul dinamic A4, model care se aplică în cadrul analizei dinamice, prezentate în diagrama din figura 4.4. Pentru acest model dinamic (A4) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.4.): Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=16 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm].Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm]. Randamentul mecanic este , η=7.4%. Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] translant plat - A4 ϕu=75 [grad] amax =8300 k=50 [N/mm] s max =5.56 r0=16 [mm]

10000 8000 6000

x0=30 [mm]

4000

hs=6 [mm]

2000 0 -2000

100

150

hT=6 [mm] i=1;η=7.4% 200legea: sin-0 y=x-sin(2π x)/(2π )

-4000 -6000

amin= -5800

-8000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 1200.96

Fig. 4.4. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A4

4.5. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.143-3.146), pentru modelul dinamic fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, precisă, a vitezei şi acceleraţiei reduse la supapă Utilizând relaţiile (3.143), (3.144), (3.145) şi (3.146), obţinute din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată şi precisă a vitezei dinamice reduse a supapei şi a acceleraţiei dinamice reduse a supapei; rezultă modelul dinamic A5, model care se aplică în cadrul analizei dinamice, prezentate în diagrama din figura 4.5. Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=17 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm].Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm]. Randamentul mecanic este , η=6.7%. Pentru acest model dinamic (A5) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.5.): 14000 12000 10000

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] translant plat - A5 ϕu=75 [grad] amax =12000 k=50 [N/mm] s max =5.57 r0=17 [mm]

8000

x0=30 [mm]

6000

hs =6 [mm]

4000 2000 0 -2000 0

100

150

hT=6 [mm] i=1;η=6.7% legea: sin-0 200y=x-sin(2π x)/(2π )

-4000 -6000 -8000

amin= -5500

s*k[mm] k=

a[m/s2] 1718.49

Fig. 4.5. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A5

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

4.6. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.168, 3.169, 3.162), pentru modelul dinamic cu considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, precisă, a vitezei şi acceleraţiei reduse la supapă Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] amax =5500 translant plat - A6 ϕu=80 [grad] k=50 [N/mm] s max =3.59 r0=13 [mm]

6000 5000 4000

x0=30 [mm]

3000

hs =4 [mm]

2000

hT=4 [mm] i=1;η=4.9% legea: sin-0 y=x-sin(2π x)/(2π ) 200

1000 0 -1000

100

150

-2000 amin= -2500

-3000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 1209.26

Fig. 4.6. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A6 Utilizând relaţiile (3.168), (3.169), şi (3.162), obţinute din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, care ia în considerare masa m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată şi precisă a vitezei dinamice reduse a supapei şi a acceleraţiei dinamice reduse a supapei, rezultă modelul dinamic A6, model care se aplică în cadrul analizei dinamice, (figura 4.6). Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=800, raza cercului de bază, r0=13 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=4 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm]. Randamentul mecanic este , η=4.9%. Profilul sinus utilizat, se poate vedea în figura 4.7.

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta este cel de urcare. Modul clasic C.

20 15

0 -5

250

hT=4 [mm] η=4.9% legea:sin y=x-sin(2π x)/(2π )

-10

300

r0=13 [mm]

-20

WD [s-1]

-1 350 ω [s ]

Suportã o turatie n=5500[rot/min] ϕu=ϕc =80[grad]

200 150 100

-10

0 0

-15

φ [rad]

Fig. 4.8. Diagrama de variaţie a lui ω, viteza unghiulară a camei, pt. fig. 4.6.

Fig. 4.7. Profilul Sin, corespunzător diagramei dinamice din fig. 4.6.

Viteza unghiulară variabilă a camei (a arborelui de distribuţie), ω, pentru situaţia dată, poate fi urmărită în figura 4.8.

4.7. Analiza dinamică, cu ajutorul relaţiilor (3.186-3.187), pentru modelul dinamic cu integrare, fără considerarea masei m1 a camei Utilizând relaţiile (3.186) şi (3.187), obţinute din modelul dinamic cu integrare, cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, rezultă modelul dinamic A7.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=16 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm]. Randamentul mecanic este , η=7.4%. Vezi diagrama dinamică din fig. 4.9.: Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] translant plat - A7 ϕu=75 [grad] am ax =8670 k=50 [N/mm] s max =5.56 r0 =16 [mm]

10000 8000 6000

x0=30 [mm]

4000

hs=6 [mm]

2000 0 -2000

100

150

hT=6 [mm] i=1;η=7.4% legea: sin-0 200y=x-sin(2πx)/(2π)

-4000 a min = -4800

-6000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 1246.67

Fig. 4.9. Analiza dinamică, pentru legea SINus, utilizând modelul dinamic cu integrare, A7.

4.8. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), cu rezolvarea normală a ecuaţiei de gr. II, (3.198, 3.200) Utilizând relaţiile (3.196), (3.198) şi (3.200), obţinute din modelul dinamic cu integrare directă, rezultă modelul dinamic A8 (al cărui program de calcul, scris în Excel, este prezentat în Anexa I). De data aceasta s-a procedat prin integrarea directă a ecuaţiei diferenţiale de ordinul II, o singură dată, obţinându-se o ecuaţie mamă, ecuaţie diferenţială de ordinul I, care se poate rezolva uşor prin diferite metode. Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5200[rot/min] translant plat - A8 amax =9400 ϕ u=75 [grad] s max =5.68 k=50 [N/mm] r0=15 [mm]

10000 8000 6000

x0=20 [mm] hs =6 [mm]

4000

hT=6 [mm] i=1;η=8.1% legea: sin-0 y=x-sin(2πx)/(2π)

2000 0 0

100

150

200

-2000 -4000

amin= -3000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 1317.04

Fig. 4.10. Analiza dinamică a legii sin, ϕu=75 [grad], pentru n=5200 [rot/min], cu modelul dinamic A8

Prin utilizarea ipotezei statice, x’ se înlocuieşte cu C.y’, iar ecuaţia diferenţială de ordinul I, se transformă într-o banală ecuaţie de gradul II, în X (3.196). Rezolvând direct ecuaţia cu Δ dat de (3.198), obţinem singura soluţie viabilă (din punct de vedere fizic), (3.200). În figura 4.10. se prezintă dinamica rezultată cu acest model fizico-matematic (A8). Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5200 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=15 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=20 [mm]. Randamentul mecanic este , η=8.1%.

4.9. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), rezolvând ecuaţia de gr. II, prin diferenţe finite (3.204, 3.205) Utilizând relaţiile (3.196), (3.203), (3.204) şi (3.205), obţinute din modelul dinamic cu integrare directă, prin utilizarea diferenţelor finite, rezultă modelul dinamic A9 (al cărui program de

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

calcul, scris în Excel, este prezentat în Anexa II). În figura 4.11. se prezintă dinamica rezultată cu acest model fizico-matematic (A9). Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5200 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=15 [mm]. Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5200[rot/min] translant plat - A9 ϕu=75 [grad] amax =7400 s max =5.68 k=50 [N/mm] r0=15 [mm]

8000 6000

x0=20 [mm]

4000

hs =6 [mm]

2000 0 0

100

150

hT=6 [mm] i=1;η=8.1% legea: sin-0 y=x-sin(2πx)/(2π) 200

-2000 amin= -3000

-4000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 1037.56

Fig. 4.11. Analiza dinamică a legii sin, ϕu=75 [grad], pentru n=5200 [rot/min], cu modelul dinamic A9

Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=20 [mm]. Randamentul mecanic este , η=8.1%. Observaţie: Vârfurile pozitive ale acceleraţiei coboară de la circa 10000 [m/s2] (modelul dinamic anterior, A8), la aproximativ 7000 [m/s2], fiind mai apropiate de determinările experimentale, care utilizează legi clasice şi care pentru condiţii similare generează acceleraţii maxime de circa 60007000 [m/s2]. E drept că în aceste determinări experimentale (vezi[R6], p.1.197), şi maximul negativ nu trece de 2000 [m/s2], în vreme ce în modelele A8 şi A9 el atinge 3000 [m/s2]. Corecţia necesară se face cu modelul A10 (Anexa III).

4.10. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), prin diferenţe finite cu relaţiile (3.203, 3.206) Modelul dinamic A10 (Anexa III), corespunde foarte bine cu cel experimental (vezi diagramele experimentale de la pag. 1.197 lucrarea [R6]). Acest model dinamic utilizează pentru aflarea directă a lui ΔX relaţia (3.203). În continuare se vor urmări diagramele dinamice, trasate cu modelul A10, pentru turaţiile motorului de 5000, 5600 şi respectiv 5900 [rot/min]. Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5000[rot/min] translant plat - A10 ϕu=75 [grad] k=20 [N/mm] s max =5.78 r0=14 [mm]

6000 5000

amax =4900

4000

x0=40 [mm]

3000

hs =6 [mm] hT=6 [mm] i=1;η=8.9% legea: sin-0 y=x-sin(2πx)/(2π)

2000 1000 0 -1000

100

150

200 a[m/s2]

amin= -1400

-2000

s*k[mm] k=

673.05

4.12. Analiza dinamică a legii sin, ϕu=75 [grad], pentru n=5000 [rot/min], cu modelul dinamic A10 Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5600[rot/min] translant plat - A10 ϕu=75 [grad] amax =7400 s max =5.78 k=20 [N/mm] r0=14 [mm]

8000 6000

x0=40 [mm]

4000

hs=6 [mm]

2000 0 0

100

150

hT=6 [mm] i=1;η=8.9% legea: sin-0 y=x-sin(2πx)/(2π) 200

-2000 amin= -1750

-4000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 1027.71

4.13. Analiza dinamică a legii sin, ϕu=75 [grad], pentru n=5600 [rot/min], cu modelul dinamic A10

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5900[rot/min] translant plat - A10 ϕu=75 [grad] amax =9300 s max =5.78 k=20 [N/mm] r0=14 [mm]

10000 8000 6000

x0=40 [mm] hs =6 [mm]

4000

hT=6 [mm] i=1;η=8.9% legea: sin-0 y=x-sin(2π x)/(2π )

2000 0 0

-2000

100

150

200

amin= -2000

a[m/s2]

-4000

s*k[mm] k=

1284.44

4.14. Analiza dinamică a legii sin, ϕu=75 [grad], pentru n=5900 [rot/min], cu modelul dinamic A10

Se va aplica acest model dinamic, pentru studierea legii C4, sintetizată de autor. Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=10000[rot/min] translant plat - A10 ϕu=45 [grad] amax =39000 k=200 [N/mm] 40000 r0=17 [mm] 50000

s max =4.10

x0=50 [mm]

30000

hs =6 [mm] hT=6 [mm] i=1;η=15.7% legea:C4P1-1 2 y=2x-x

20000 10000

yc =1-x

0 0

amin= -8000

-10000

100 s*k[mm] k=

a[m/s2] 7531.65

4.15. Analiza dinamică a legii C4P pentru ϕu=45 [grad], n=10000 [rot/min], cu modelul dinamic A10

Analiza dinamică a legii C4P, cu ajutorul modelului A10 (net superior celorlalte modele dinamice), arată că pentru un unghi de fază scăzut la 45 grade, nu putem depăşi 10000 ori 15000 [rot/min], cu un randament bun, dar cu o cursă maximă efectivă smax de numai 4.1 [mm], (fig. 4.15). n=20000[rot/min] Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A10 ϕu=80 [grad] k=200 [N/mm] s max =4.99 r0=18 [mm]

100000

amax =89000

80000

x0=50 [mm]

60000

hs =7 [mm] hT=7 [mm] i=1;η=7.2% legea:C4P2-0 2 y=2x-x

40000 20000

yc =1-x

0 0 -20000

100

150

amin= -8100

200 s*k[mm] k=

a[m/s2] 14220.35

4.16. Analiza dinamică a legii C4P pentru ϕu=80 [grad], n=20000 [rot/min], cu modelul dinamic A10

Dacă ridicăm faza de urcare la 80 grade, se poate ajunge până la n=20000 [rot/min], dar cu un randament scăzut la jumătate şi cu o acceleraţie maximă dublată, însă cu o ridicare maximă a supapei ceva mai mare, smax=4.99, (un minus reprezentându-l faza care acum este foarte mare, fig. 4.16). Cursa maximă efectivă este scăzută, ca şi randamentul, în timp ce vârfurile acceleraţiilor sunt mai ridicate.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

CAP. 5

DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE CU TACHET DE TRANSLAŢIE CU ROLĂ (MODUL B)

În cadrul capitolului 5 se va prezenta pe scurt mecanismul de distribuţie, cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu rolă (Modul B); a se vedea şi lucrările [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [P29], [P31], [P32-P38].

5.1. Prezentare generală Mecanismele cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă (Modul B), au o cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului, fapt care ne obligă la un studiu mai amănunţit dacă dorim să determinăm cu precizie cinematica şi dinamica acestui mecanism. În mod normal acest tip de mecanism se studiază aproximativ, considerându-se, atât pentru cinematică cât şi pentru cinetostatică, suficient un studiu asupra cuplei B (centrul rolei). Aproximarea aceasta (vezi fig. 5.1.) prezintă însă o mare deficienţă datorită faptului că se neglijează cinematica şi cinetostatica de precizie a mecanismului, fapt ce conduce la un studiu dinamic inadecvat. Fn, vn

Fu, v2 δ Fn, vn

Fi, vi

Fm, vm

rb s

α A-δ

Fa, va rB rA

B0 rb n

θB

θA ϕ

α0 αA e

Fig. 5.1. Mecanism cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu rolă

Un studiu precis (exact), este posibil doar atunci când analizăm ce se petrece în punctul A (punctul de contact dintre camă şi rola tachetului). Punctul A este definit de vectorul rA având lungimea (modulul) rA şi unghiul de poziţie θA. La fel se defineşte poziţia punctului B (centrul rolei), prin vectorul rB , care se poziţionează la rândul său prin, unghiul θB şi are lungimea rB. Între cei doi vectori prezentaţi ( rA sirB ) se formează un unghi μ. Unghiul α0 defineşte poziţia, de bază, a vectorului rB 0 , în triunghiul dreptunghic OCB0, astfel încât putem scrie relaţiile (5.1-5.4):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

rB0 = r0 + rb

(5.1)

s 0 = rB20 − e 2

(5.2)

cos α 0 =

e rB0

(5.3)

sin α 0 =

s0 rB0

(5.4)

Unghiul de presiune δ, care apare între normala n dusă prin punctul de contact A şi o verticală, are mărimea cunoscută dată de relaţiile (5.5-5.7):

cos δ = sin δ =

tgδ =

s0 + s

(5.5)

( s 0 + s) 2 + ( s'−e) 2 s '−e

(5.6)

( s 0 + s ) 2 + ( s '−e) 2

s'−e s0 + s

(5.7)

Vectorul rA se poate determina direct cu relaţiile (5.8-5.9):

rA2 = (e + rb ⋅ sin δ ) 2 + ( s 0 + s − rb ⋅ cos δ ) 2 rA = (e + rb ⋅ sin δ ) + ( s 0 + s − rb ⋅ cos δ ) 2

(5.8) 2

(5.9)

Putem determina direct şi unghiul αA (5.10-5.11):

e + rb ⋅ sin δ rA s + s − rb ⋅ cos δ sin α A = 0 rA cos α A =

(5.10) (5.11)

5.2. Relaţiile pentru trasarea profilului camei Se poate acum trasa direct profilul camei cu ajutorul coordonatelor polare rA (cunoscută, vezi relaţia 5.9) şi θA (care se determină cu relaţiile 5.12-5.17):

γ = α A − α0 cos γ = cos α A ⋅ cos α 0 + sin α A ⋅ sin α 0 sin γ = sin α A ⋅ cos α 0 − cos α A ⋅ sin α 0 θA =ϕ −γ cos θ A = cos ϕ ⋅ cos γ + sin ϕ ⋅ sin γ sin θ A = sin ϕ ⋅ cos γ − sin γ ⋅ cos ϕ

(5.12) (5.13) (5.14) (5.15) (5.16) (5.17)

5.3. Cinematica exactă la modulul B Se determină în continuare câteva relaţii de calcul, necesare obţinerii cinematicii precise pentru mecanismul cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu rolă.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Din triunghiul OCB (fig. 5.1.) se determină lungimea rB (OB) şi unghiurile complementare αB şi τ (unde unghiul αB este unghiul COB, iar unghiul complementar τ este de fapt unghiul CBO; aceste două unghiuri intuitive nu au mai fost trecute pe desenul din fig. 5.1. pentru a nu o încărca prea mult): (5.18) rB2 = e 2 + ( s 0 + s) 2

rB = rB2

(5.19)

e rB s +s sin α B ≡ cos τ = 0 rB

cos α B ≡ sin τ =

(5.20) (5.21)

Din triunghiul oarecare OAB, la care se cunosc laturile OB şi AB şi unghiul dintre ele B (unghiul ABO), care reprezintă suma unghiurilor τ şi δ, putem determina lungimea OA şi unghiul μ (unghiul AOB): (5.22) cos(δ + τ ) = cos δ ⋅ cos τ − sin δ ⋅ sin τ

rA2 = rB2 + rb2 − 2 ⋅ rb ⋅ rB ⋅ cos(δ + τ ) r +r −r 2 ⋅ rA ⋅ rB sin(δ + τ ) = sin δ ⋅ cos τ + sin τ ⋅ cos δ r sin μ = b ⋅ sin(δ + τ ) rA

cos μ =

2 A

2 B

2 b

(5.23) (5.24) (5.25) (5.26)

Cu αB şi μ putem acum să determinăm αA:

αA =αB − μ

(5.27)

Relaţia (5.27) o derivăm în raport cu timpul şi obţinem α& A :

α& A = α& B − μ& Se derivează expresia (5.20) şi se obţine α& B (5.32): − sin α B ⋅ α& B = −

α& B =

e ⋅ r&B rB2

e ⋅ rB ⋅ r&B ( s 0 + s ) ⋅ rB2

(5.28)

(5.29) (5.30)

Pentru a afla r&B se derivează expresia (5.18):

2 ⋅ rB ⋅ r&B = 2 ⋅ ( s 0 + s) ⋅ s& rB ⋅ r&B = ( s 0 + s) ⋅ s&

(5.31)

Acum α& B se scrie sub forma (5.32):

α& B =

e ⋅ ( s 0 + s ) ⋅ s& e ⋅ s& = 2 ( s 0 + s) ⋅ rB2 rB

(5.32)

Expresia lui μ& este ceva mai dificilă, pentru obţinerea ei derivăm în raport cu timpul relaţia (5.24) şi obţinem expresia (5.33):

2 ⋅ r&A ⋅ rB ⋅ cos μ + 2 ⋅ rA ⋅ r&B ⋅ cos μ − 2 ⋅ rA ⋅ rB ⋅ sin μ ⋅ μ& = (5.33) 2 ⋅ rA ⋅ r&A + 2 ⋅ rB ⋅ r&B Din (5.33) se explicitează μ& (5.38), care se poate determina dacă obţinem mai întâi r&A prin

derivarea expresiei (5.23):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

2 ⋅ rA ⋅ r&A = 2 ⋅ rB ⋅ r&B − 2 ⋅ rb ⋅ r&B ⋅ cos(δ + τ ) + 2 ⋅ rb ⋅ rB ⋅ sin(δ + τ ) ⋅ (δ& + τ&) Pentru rezolvarea expresiei (5.34) sunt necesare derivatele δ& şi τ& .

(5.34)

Se derivează (5.7) şi se obţine (5.35 şi 5.36):

δ '=

s ' '⋅( s 0 + e) − s '⋅( s'−e)

(5.35)

( s 0 + s ) 2 + ( s '−e) 2

δ& = δ '⋅ω

(5.36) Se observă faptul că τ este complementarul lui αB, astfel încât vitezele lor (derivatele lor în raport cu timpul) sunt egale dar de semne contrare, astfel încât există relaţia:

τ& = −α& B = − Acum putem calcula μ& :

e ⋅ s& rB2

(5.37)

r&A ⋅ rB ⋅ cos μ + rA ⋅ r&B ⋅ cos μ − rA ⋅ r&A − rB ⋅ r&B rA ⋅ rB ⋅ sin μ Se poate determina acum α& A (5.28) şi θ& A (5.39): θ& = ϕ& − γ& = ω − α&

μ& =

(5.38)

(5.39) În continuare reexprimăm funcţiile trigonometrice de bază (sin şi cos) de unghiul αA în alt mod decât prin relaţiile (5.10-5.11), pe baza calculelor anterioare: A

cos α A =

sin α A =

e ⋅ ( s 0 + s ) 2 + ( s '−e) 2 + rb ⋅ ( s '−e) rA ⋅ ( s 0 + s ) 2 + ( s'−e) 2

( s 0 + s) ⋅ [ ( s 0 + s) 2 + ( s'−e) 2 − rb ] rA ⋅ ( s 0 + s) 2 + ( s'−e) 2

(5.40)

(5.41)

Putem să obţinem acum expresia cos(αA-δ):

cos(α A − δ ) =

(s 0 + s) ⋅ s'

rA ⋅ ( s 0 + s) 2 + ( s'−e) 2

s' ⋅ cos δ rA

(5.42)

Produsul cos(αA-δ).cosδ se exprimă acum sub forma simplificată:

cos(α A − δ ) ⋅ cos δ =

s' ⋅ cos 2 δ rA

(5.43)

Putem scrie următoarele forţe şi viteze: La intrare avem Fm şi vm perpendiculare pe vectorul rA. Ele se descompun în Fa (respectiv va), forţa şi viteza de alunecare dintre profile, şi în Fn (respectiv vn) forţa şi viteza normale la profil, care trec prin punctul B şi se descompun la rândul lor în două componente; forţa Fi (respectiv viteza vi), forţa şi viteza de încovoiere a tachetului (produc vibraţii, oscilaţii laterale) şi forţa Fu (respectiv viteza v2), adică forţa utilă care deplasează tachetul efectiv şi viteza sa de deplasare v2. În plus forţa Fa dă naştere la un moment Fa.rb care face ca rola să se rotească. Scriem următoarele relaţii de forţe şi viteze:

v a = v m ⋅ sin(α A − δ ) Fa = Fm ⋅ sin(α A − δ ) v n = v m ⋅ cos(α A − δ ) Fn = Fm ⋅ cos(α A − δ )

(5.44) (5.45)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

vi = v n ⋅ sin δ Fi = Fn ⋅ sin δ v 2 = v n ⋅ cos δ = v m ⋅ cos(α A − δ ) ⋅ cos δ Fu = Fn ⋅ cos δ = Fm ⋅ cos(α A − δ ) ⋅ cos δ

(5.46) (5.47)

5.4. Determinarea randamentului la modulul B Se determină în continuare randamentul mecanic exact al mecanismului. Puterea utilă se scrie:

Pu = Fu ⋅ v 2 = Fm ⋅ v m ⋅ cos 2 (α A − δ ) ⋅ cos 2 δ

(5.48)

Puterea consumată este:

Pc = Fm ⋅ v m

(5.49)

Se determină randamentul instantaneu:

ηi =

Pu Fm ⋅ v m ⋅ cos 2 (α A − δ ) ⋅ cos 2 δ = = Pc Fm ⋅ v m

= cos 2 (α A − δ ) ⋅ cos 2 δ = [cos(α A − δ ) ⋅ cos δ ] 2 = =[

(5.50)

s' s' 2 ⋅ cos 2 δ ] 2 = 2 ⋅ cos 4 δ rA rA

5.5. Determinarea funcţiei de transmitere, D, la modulul B Se determină în continuare funcţia de transmitere a mişcării la modulul B, adică funcţia notată cu D: Se reia viteza tachetului din expresia (5.47) şi se scrie sub forma (5.51):

v 2 = v n ⋅ cos δ = v m ⋅ cos(α A − δ ) ⋅ cos δ = v m ⋅

s' ⋅ cos 2 δ = rA

s' = rA ⋅ θ&A ⋅ ⋅ cos 2 δ = θ&A ⋅ s '⋅ cos 2 δ = θ AI ⋅ ω ⋅ s '⋅ cos 2 δ rA

(5.51)

Pe de altă parte se cunoaşte pentru viteza tachetului expresia (5.52):

v 2 = s '⋅D ⋅ ω

(5.52)

Din egalarea celor două relaţii (5.51 şi 5.52) se identifică expresia lui D (5.53):

D = θ AI ⋅ cos 2 δ

(5.53)

Expresia lui cos δ se cunoaşte (5.54):

cos 2 δ =

( s 0 + s) 2 ( s 0 + s ) 2 + ( s '−e) 2

(5.54)

Expresia lui θ’A este ceva mai dificilă având forma din relaţia (5.55):

θ AI = [( s 0 + s) 2 + e 2 − e ⋅ s'−rb ⋅ ( s 0 + s) 2 + ( s'−e) 2 ] ⋅ {[( s 0 + s ) 2 + ( s '−e) 2 ] ⋅ ( s 0 + s ) 2 + ( s '−e) 2 + rb ⋅ [ s ' '⋅( s 0 + s ) − s '⋅( s '−e) − ( s 0 + s ) 2 − ( s '−e) 2 ]} /[( s 0 + s ) 2 + ( s '−e) 2 ] / {[( s 0 + s ) 2 + e 2 + rb2 ] ⋅ ( s 0 + s ) 2 + ( s '−e) 2 − 2 ⋅ rb ⋅ [( s 0 + s ) 2 + e 2 − e ⋅ s ' ]}

(5.55)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Se dau în continuare şi expresiile lui μ:

cos μ =

[( s 0 + s ) 2 + e 2 ] ⋅ ( s 0 + s ) 2 + ( s '−e) 2 − rb ⋅ [( s 0 + s ) 2 + e 2 − e ⋅ s ' ] rA ⋅ rB ⋅ ( s 0 + s) 2 + ( s '−e) 2

sin μ =

rb ⋅ ( s 0 + s ) ⋅ s ' rA ⋅ rB ⋅ ( s 0 + s ) 2 + ( s'−e) 2

(5.56)

(5.57)

5.6. Dinamica modulului B Se utilizează pentru dinamica modulului B relaţia finală (modelul A10) de la cap. 3 care genera direct valoarea deplasării dinamice a supapei, X, în funcţie de câţiva parametri de intrare. Relaţia solicită doar funcţia de transmitere D, fără derivatele ei, iar pentru obţinerea vitezei reduse X’, cât şi a acceleraţiei reduse, X’’ folosim derivarea numerică a deplasării supapei, X. Dacă dorim scrierea exactă a ecuaţiilor de viteze şi acceleraţii funcţia D trebuie derivată de două ori. Relaţia dinamică utilizată fost notată cu (5.58 şi 5.59):

K2 ⋅ m S* + mT* ] ⋅ ω 2 (K + k ) 2 k 2 + 2kK 2 2kx 0 ⋅s + ⋅s+ ⋅ y' 2 K +k K +k (K + k ) 2 ΔX = − kx 0 2 ⋅ [s + ] K +k [

K2 ⋅ m S* + mT* ] ⋅ ω 2 (K + k ) 2 k 2 + 2kK 2 2kx 0 ⋅s + ⋅s+ ⋅ ( D ⋅ s' ) 2 K +k K +k (K + k ) 2 ΔX = − kx 0 2 ⋅ [s + ] K +k

(5.58)

[

(5.59)

Cunoscându-l pe ΔX îl putem determina imediat pe X cu relaţia (5.60):

X = s + ΔX

(5.60)

Programul de calcul scris în Excel, este prezentat în Anexa IV.

5.7. Analiza dinamică la modulul B În continuare se prezintă analiza dinamică a modulului B, pentru câteva legi de mişcare cunoscute. Se începe cu legea clasică SIN (vezi diagrama dinamică din figura 5.2.), pentru a o putea compara cu dinamica acestei legi de la modulul clasic C. Se utilizează o turaţie de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet, h=5 [mm]. Unghiul de fază este, ϕu=ϕc=65 [grad]; raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm]. Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=20 [mm].

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã

7000

amax =6200

6000

s max =4.82

5000 4000 3000

n=5500[rot/min] ϕu=65 [grad] k=30 [N/mm] r0=13 [mm] x0=20 [mm] hs =5 [mm]

2000 1000 0 -1000 0 -2000 -3000

hT=5 [mm] i=1;η=9.8% rb=20 [mm] e=0 [mm] legea: sin-0 150 y=x-sin(2πx)/(2π)

100

amin= -2400

s*k[mm] k=

a[m/s2] 1041.06

Fig. 5.2. Analiza dinamică la modulul B. Legea SIN, n=5500 [rot/min] ϕu=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].

Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=0 [mm]. Randamentul are o valoare ridicată, η=9.8%; reglajele resortului sunt normale, k=30 [N/mm] şi x0=20 [mm].

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

yC [mm]

20 ϕ u = 65[grad]

ϕ c= 65[grad] r0 = 13[mm]

10 5 0 -20

-10

-5

10 ω

-10 -15

rb = 20[mm] e= 0[mm] hT = 5[mm] Legea SIN

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

Fig. 5.3. Profilul SIN la modulul B. n=5500 [rot/min] ϕu=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].

Dinamica este mai bună (în general) comparativ cu cea a Modulului clasic, C. Pentru un unghi de fază de numai 65 grade atingem aceleaşi vârfuri de acceleraţii pe care modulul clasic le atingea la o fază relaxată de 75-80 grade. În figura 5.3. se poate urmări profilul aferent, trasat invers decât cele de la modulul C, adică cu profilul de ridicare în partea stângă şi cu cel de revenire în dreapta, (deoarece sensul de rotaţie a camei a fost şi el inversat, din orar în trigonometric). Pentru legea cos vibraţiile sunt mai liniştite comparativ cu legea sin, la fel ca la modulul dinamic clasic, C (a se vedea diagrama dinamică din figura 5.4.).

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã

4000

amax =3400

s max =4.75

3000

n=5500[rot/min] ϕu=65 [grad] k=30 [N/mm] r0=13 [mm] x0=30 [mm]

2000

hs =5 [mm] hT=5 [mm] i=1;η=8.7%

1000

rb=20 [mm] e=0 [mm] legea: cos-0 150 y=.5-.5cos(πx)

0 0

100

-1000 amin= -1600

-2000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 577.42

Fig. 5.4. Analiza dinamică la modulul B. Legea COS, n=5500 [rot/min] ϕu=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].

Turaţia aleasă este de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet de, h=5 [mm]. Unghiul de fază este, ϕu=ϕc=65 [grad]; Raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm]. Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=20 [mm]. Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=0 [mm]. Un studiu dinamic arată că ce se câştigă la randament în una din faze (urcare sau coborâre) datorită excentricităţii, e, se pierde în faza cealaltă, astfel încât, e, poate regla o fază şi în acelaşi timp o dereglează pe cealaltă. Iată un motiv serios ca valoarea adoptată a lui e să fie zero. Randamentul mecanismului are o valoare ridicată (mai mare decât cea de la modulul clasic, C), η=8.7%, dar mai redusă cu un procent comparativ cu legea sin. Reglajele resortului sunt normale, k=30 [N/mm] şi x0=30 [mm]. Profilul COS (pentru modulul dinamic B), corespunzător diagramei dinamice din figura 5.4., este trasat în figura 5.5. Profilul de ridicare, sau de urcare, sau de atac, este cel din stânga, iar cel de revenire (sau coborâre), este situat în dreapta. Ca o primă observaţie aceste profiluri sunt mai rotunjite şi mai pline, comparativ cu cele de la modulul clasic, C.

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

yC [mm]

20 ϕ u= 65[grad]

ϕ c= 65[grad] r0= 13[mm]

10 5 0 -20

-10

-5

10 ω

-10 -15

rb = 20[mm] e= 0[mm] hT = 5[mm] Legea COS

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

Fig. 5.5. Profilul COS la modulul B. n=5500 [rot/min] ϕu=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

n=5500[rot/min] ϕu=80 [grad] k=50 [N/mm] r0=13 [mm]

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã

14000

amax =13000

12000 s max =5.37

10000

x0=50 [mm] hs =6 [mm]

8000

hT=6 [mm] i=1;η=8.3%

6000

rb=3 [mm] e=0 [mm] legea: C4P1-0

4000 2000

y=2x-x

0 -2000

100

amin= -600

150

200

s*k[mm] k=

a[m/s2] 1920,48

Fig. 5.6. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-0, n=5500 [rot/min], ϕu=80 [grad], r0=13 [mm], rb=3 [mm], hT=6 [mm].

În figura 5.6. se analizează dinamic legea C4P, sintetizată de autor, pornind de la o turaţie n=5500 [rot/min]. Vârfurile negative ale acceleraţiilor sunt foarte reduse (funcţionare normală, cu zgomote şi vibraţii scăzute). Ridicarea efectivă a supapei este suficient de mare, smax=5.37 [mm], comparativ cu h impus de 6 [mm]. Randamentul se păstrează în limite normale, η=8.3%. În figura 5.7. se prezintă profilul corespunzător.

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

yC [mm]

25 ϕu= 80[grad]

ϕc = 80[grad] r0= 13[mm]

rb = 3[mm] e= 0[mm] hT= 6[mm] Legea C4P1-0

10 5 0 -20

-10

-5

-10

-15 -20

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

Fig. 5.7. Profilul C4P la modulul B.

Pentru această lege sintetizată se observă faptul că modulul B păstrează o rezervă de turaţie şi randament.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

60000 50000

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=10000[rot/min] translant cu rolã ϕu=80 [grad] amax =50000 k=50 [N/mm] r0=13 [mm] s max =5.37

40000

x0=50 [mm] hs=6 [mm]

30000

hT=6 [mm] i=1;η=8.3% rb=3 [mm] e=0 [mm] legea: C4P1-1 2 y=2x-x

20000 10000 0 -10000

100

150

200

a[m/s2] 7874,63

s*k[mm] k=

amin= -1700

Fig. 5.8. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-1, n=10000 [rot/min].

În figura 5.8. turaţia a crescut până la 10000 [rot/min], iar în fig. 5.9. ea a atins 15000 [rot/min], pentru ca în diagrama dinamică din figura 5.10. turaţia motorului să devină 20000 [rot/min]. 35000 30000 25000

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=15000[rot/min] translant cu rolã ϕu=80 [grad] amax =33000 k=150 [N/mm] s max =3.91 r0=13 [mm] x0=80 [mm]

20000

hs =6 [mm]

15000 10000 5000 0 -5000 0

100

150

hT=6 [mm] i=1;η=8.3% rb=3 [mm] e=0 [mm] legea: C4P1-2 2 y=2x-x

200

a[m/s2] 6719,04

amin= -3800

-10000

s*k[mm] k=

Fig. 5.9. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-2, n=15000 [rot/min].

80000 70000 60000

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=20000[rot/min] translant cu rolã ϕu=80 [grad] k=150 [N/mm] s max =3.91 r0=13 [mm]

amax =69000

x0=80 [mm]

50000

hs =6 [mm]

40000

hT=6 [mm] i=1;η=8.3%

30000

rb=3 [mm] e=0 [mm] legea: C4P1-3

20000 10000 0 -10000 0 -20000

y=2x-x

100

150

200

a[m/s2] amin= -6400 14229,64 Fig. 5.10. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-3, n=20000 [rot/min]. s*k[mm] k=

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=30000[rot/min] translant cu rolã ϕu=80 [grad] k=400 [N/mm] r0=13 [mm] s max =3.88

60000

amax =49000

50000 40000

x0=150 [mm]

30000

hs =10 [mm]

20000

hT=10 [mm] i=1;η=12.7% rb=2 [mm] e=0 [mm] legea: C4P1-4 200 2 y=2x-x

10000 0 -10000 0

-20000

100

150

amin= -19000

-30000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 10103,95

Fig. 5.11. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-4, n=30000 [rot/min].

120000 100000 80000

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=40000[rot/min] translant cu rolã ϕu=80 [grad] amax =97000 k=400 [N/mm] r0=13 [mm] s max =3.88 x0=150 [mm] hs =10 [mm]

60000 40000 20000 0 -20000 0 -40000

100 amin= -33000

150

hT=10 [mm] i=1;η=12.7% rb=2 [mm] e=0 [mm] legea: C4P1-5 2 y=2x-x

200

s*k[mm] k=

a[m/s2] 19963,94

Fig. 5.12. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-5, n=40000 [rot/min].

În diagramele din figurile 5.11. şi 5.12. turaţia creşte până la 30000 şi respectiv 40000 [rot/min], în vreme ce randamentul creşte şi el, în detrimentul lui smax care abia mai atinge valoarea de 3.88 [mm]. Se poate vorbi în mod evident de un avantaj al tachetului cu rolă, sau bilă, (Modul B), faţă de tachetul clasic cu talpă, (Modul C). Se pot obţine aşadar turaţii ridicate, dar şi randamente superioare, cu ajutorul modulului B, fapt care relansează cursa pentru construirea unui motor compact. În figura 5.13. este prezentată dinamica modulului B pentru legea arctangent. Turaţia aleasă este de n=20000 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet de, h=10 [mm]. Unghiul de fază este, ϕu=ϕc=80 [grad]; Raza cercului de bază are valoarea, r0=6 [mm]. Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=6 [mm]. Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=0 [mm]. Randamentul mecanismului are o valoare foarte ridicată, η=24.8%. Reglajele resortului sunt, k=250 [N/mm] şi x0=100 [mm]. Profilul corespunzător poate fi urmărit în figura 5.14.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

40000 20000 0

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=20000[rot/min] translant cu rolã ϕu=80 [grad] amax =23000 s max =5.88 k=250 [N/mm] r0=6 [mm]

-20000 0

100

x0=100 [mm]

150

200hs=10 [mm]

hT=10 [mm] i=1;η=24.8% rb=6 [mm] e=0 [mm] legea: ATAN-1 y=arctg(x/a) 0 642

-40000 -60000 -80000 -100000

amin= -99000

-120000

a[m/s2] 3172.40

s*k[mm] k=

Fig. 5.13. Analiza dinamică la modulul B. Legea ATAN, n=20000 [rot/min].

Aşa cum se poate observa raza cercului de bază este mult mai mică decât în mod normal, ajungând egală sau chiar mai mică decât ridicarea teoretică, h. Este o proprietate importantă, a unor legi (cum ar fi legile logaritm, radical, putere, e la x, arctangent, arcsin, etc…), care trebuie exploatată în mod corespunzător, astfel încât pe baza reducerii razei de bază, r0, în raport cu înălţimea, h, să obţinem un randament superior şi o ridicare suficientă, în condiţiile creşterii turaţiei motorului. Proprietatea acestor legi este valabilă în toate sistemele dinamice (pentru toate modulele), dar poate fi exploatată în mod special în unele dintre ele, printre care şi modulul B, modulul care utilizează tachetul de translaţie cu rolă (sau cu bilă). Dezavantajul tuturor acestor legi este apariţia unui şoc la trecerea de la ridicare la coborâre, care mai poate fi atenuat parţial printr-o racordare optimă în zona de vârf a camei. Fără acest şoc legile ar fi fost extraordinare. Oricum ele sunt de preferat legilor clasice, dar cea mai bună lege este până la urmă polinomiala particulară de gradul II, C4P - net superioară faţă de legile prezentate (studiate) până acum. În acest caz sunt necesare racordări suplimentare pe profil, la ridicare, la revenire, dar şi (mai ales) la vârf (la conexiunea dintre cele două profile urcare-coborâre). 15

ϕu= 80[grad] ϕc = 80[grad] r0= 6[mm] rb = 6[mm] e= 0[mm] hT= 6[mm] Legea ATAN-1

Series1 0 -15

-10

-5

-10

Fig. 5.14. Profilul ATAN la modulul B.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

4000 2000 0 -2000 0

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] translant cu rolã amax=2400 ϕu=75 [grad] s max =4.31 k=200 [N/mm] r0=5 [mm]

100

x0=30 [mm]

150

200 h =6 [mm] s

hT=6 [mm] i=1;η=22.9% rb=2 [mm] e=0 [mm]

-4000 -6000 -8000

-x

y=(e -e )/a

-10000

a=2.35040238

-12000

a[m/s2] 448,64

amin= -12500

-14000

s*k[mm] k=

Fig. 5.15. Analiza dinamică la modulul B. Legea y=(ex-e-x)/a, n=5500 [rot/min].

e x − e−x acţionează asemănător cu legea atan, putând genera turaţii mari şi mai a r ales randamente ridicate, pe seama scăderii raportului 0 . h Legea y =

În figura 5.15. se urmăreşte analiza dinamică la modulul B, pentru legea elax, iar în fig. 5.16. se poate vedea profilul corespunzător. PROFIL Camã rotativã 12cu tachet translant cu rolã ϕ u= 75[grad] ϕ c= 75[grad] r0= 5[mm] rb = 2[mm] e= 0[mm] hT= 6[mm] Legea x -x y=(e -e )/a

Series1

0 -8

-6

-4

-2

-4

-6

-8

-x

Fig. 5.16. Profilul y=(e -e )/a, la modulul B. Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] amax =3900 translant cu rolã smax =6.99 ϕu=85 [grad] k=80 [N/mm] r0=6 [mm]

5000 0 0

100

-5000

x =40 [mm]

2000

hs =8 [mm]

hT=8 [mm] i=1;η=21.% rb=2 [mm] e=0 [mm] legea:Putere-0

-10000 -15000

150

y=2 -1

amin= -14800

-20000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 448,76

Fig. 5.17. Analiza dinamică la modulul B. Legea Putere, n=5500 [rot/min].

În figura 5.17. se prezintă analiza dinamică a legii Putere, iar în fig. 5.18. se poate urmări profilul corespunzător.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

PROFIL Camã rotativã cu 15 tachet translant cu rolã ϕu= 85[grad] ϕc= 85[grad] r0= 6[mm]

rb = 2[mm] e= 0[mm] hT= 8[mm]

Series1

0 -10

-8

-6

-4

-2

-5

-10

Fig. 5.18. Profilul Putere, la modulul B. 6000 4000 2000

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] translant cu rolã ϕu=75 [grad] amax =4300 s max =8.75 k=80 [N/mm] r0=8 [mm] x0=60 [mm]

hs=10 [mm]

-2000 0

100

150

200 hT=10 [mm]

-4000 -6000 -8000

y=((x+a)b-ab)/((a+1)b-ab)

-10000

i=1;η=13.3% rb=2 [mm] e=0 [mm] legea: Rad-0 a=0.001;b=0.5

amin= -10000

-12000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 397,98

Fig. 5.19. Analiza dinamică la modulul B. Legea Radical, a=0.001.

În figura 5.19. se prezintă analiza dinamică a legii Radical, unde b=0.5, iar parametrul a ia valoarea 0.001; Vârfurile acceleraţiilor sunt în limite acceptabile (pentru asemenea tipuri de legi), dar randamentul nu mai ia valori de peste 20%, ci doar circa 13.3%. În fig. 5.20. se poate urmări profilul corespunzător. PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã 20

ϕ u = 75[grad] ϕ c= 75[grad] r0 = 8[mm]

rb = 2[mm] e= 0[mm] hT = 10[mm] Legea RAD-0 a=0.001;b=0.5

5 Series1 0 -15

-10

-5

ω -10

-15

Fig. 5.20. Profilul Radical, cu a=0.001, (la modulul B).

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã a =7700

10000

n=5500[rot/min] ϕu=75 [grad] k=80 [N/mm] r0=8 [mm]

max

s max =8.71

5000

x0=60 [mm]

0 -5000

100

150

hs =10 [mm]

200 h =10 [mm] T

i=1;η=22.2% rb=3 [mm] e=0 [mm] y=((x+a)b-ab)/((a+1)b-ab) legea: Rad-1 a=1;b=0.5

-10000 -15000 amin= -16000

-20000

a[m/s2] 705.59

s*k[mm] k=

Fig. 5.21. Analiza dinamică la modulul B. Legea Radical, a=1.

În figura 5.21. se prezintă analiza dinamică a legii Radical, unde b=0.5, iar parametrul a ia valoarea 1; Vârfurile acceleraţiilor sunt în limite acceptabile (pentru asemenea tipuri de legi) şi în plus randamentul ia valori de peste 20%, mai exact 22%. În fig. 5.22. se poate urmări profilul corespunzător. PROFIL Camã rotativã cu tachet trans lant cu rolã

ϕu= 75[grad] ϕc= 75[grad] r0= 8[mm]

rb = 3[mm] e= 0[mm] hT= 10[mm] Legea RAD-1 a=1;b=0.5

Series1 0 -15

-10

-5

-5 ω

-10

-15

Fig. 5.22. Profilul Radical, cu a=1, (la modulul B). 15000 10000 5000 0 -5000 0

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] translant cu rolã ϕu=55 [grad] amax =11000 s max =10.00 k=120 [N/mm] r0=8 [mm] x0=60 [mm]

100

hs =12 [mm]

150

-10000 -15000 -20000 -25000 -30000 -35000

y=(ln(x+a)-ln(a))/(ln(a+1)-ln(a)) amin= -32000

hT=12 [mm] i=1;η=24.3% rb=2 [mm] e=0 [mm] legea:Log-0 a=1

s*k[mm] k=

a[m/s2] 902,62

Fig. 5.23. Analiza dinamică la modulul B. Legea Logaritm natural, ϕu=55[grad].

În figura 5.23. se prezintă analiza dinamică la modulul B, pentru legea Logaritm (natural), cu faza de urcare şi coborâre de 55 grade fiecare. Această fază scurtă forţează creşterea randamentului la valori de circa 30%, dar vârful negativ este ridicat. Profilul corespunzător se poate urmări în figura 5.24.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

20 ϕ u= 55[grad] ϕ c= 55[grad] r0= 8[mm]

rb = 2[mm] e= 0[mm] hT = 12[mm] Legea LOG-0 a=1

5 Series1 0 -20

-15

-10

-5

15 ω

-5

-10

-15

Fig. 5.24. Profilul Logaritm, cu ϕu=55[grad] (la modulul B). Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] translant cu rolã ϕu=85 [grad] amax =12900 k=80 [N/mm] s max =11.00 r0=8 [mm]

15000 10000

x0=40 [mm]

5000

hs =12 [mm] hT=12 [mm] i=1;η=19.5% rb=2 [mm] 100 150 200 e=0 [mm] y=(ln(x+a)-ln(a))/(ln(a+1)-ln(a)) legea:Log-1 a=1

0 -5000

-10000

amin= -13000

-15000

a[m/s2] 937,35

s*k[mm] k=

Fig. 5.25. Analiza dinamică la modulul B. Legea Logaritm natural, ϕu=85[grad].

În figura 5.25. se vede cum relaxând faza de la 55 la 85 grade, vârfurile negative scad, dar din păcate scade de asemenea şi randamentul mecanismului, de la circa 24% la aproximativ 20%. Profilul corespunzător poate fi urmărit în figura 5.26. PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã 25

ϕ u= 85[grad] ϕ c= 85[grad] r0= 8[mm] rb =2[mm] e= 0[mm] hT = 12[mm] Legea LOG-1 a=1

Series1

0 -15

-10

-5

ω -10

-15

Fig. 5.26. Profilul Logaritm, cu ϕu=85[grad] (la modulul B).

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

CAP. 6

DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE CU TACHET BALANSIER CU ROLĂ (MODUL F) În cadrul capitolului 6 se va prezenta pe scurt mecanismul de distribuţie, cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F); a se vedea şi lucrările [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [P29], [P31], [P32-P38].

6.1. Prezentare generală Mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F), (fig. 6.1.), au o cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului, fapt care ne obligă la un studiu mai amănunţit dacă dorim să determinăm cu precizie cinematica şi dinamica acestui mecanism. În mod obişnuit studiul acestui tip de mecanism se face aproximativ, (vezi figura 6.1.) considerându-se suficient, atât pentru cinematică cât şi pentru cinetostatică, un studiu asupra cuplei B (centrul rolei). Aproximarea aceasta prezintă însă o mare deficienţă, datorită faptului că se neglijează cinematica şi cinetostatica de precizie a mecanismului, fapt care conduce la un studiu dinamic inadecvat.

B A

rA αB B 0 α A

γ O

A0 α0

ψ2

b ψ0 d

θA

Fig. 6.1. Mecanism cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă

Un studiu foarte precis (exact), este posibil doar atunci când analizăm ce se petrece în punctul A (punctul de contact dintre camă şi rola tachetului). Punctul A este definit de vectorul rA având lungimea (modulul) rA şi unghiul de poziţie θA măsurat de la axa OX. În calculele care vor fi prezentate vectorul rA va mai fi poziţionat şi prin unghiul αA, care în loc să plece de la axa OX se măsoară de la axa OD. La fel se defineşte poziţia punctului B (centrul rolei), prin vectorul rB , care se poziţionează la rândul său prin, unghiul θB faţă de axa OX şi prin unghiul αB faţă de axa OD şi are lungimea rB. Între cei doi vectori prezentaţi ( rA sirB ) se formează un unghi μ. Unghiul α0 defineşte poziţia, de bază (iniţială), a vectorului rB 0 , în triunghiul dreptunghic ODB0, fiind măsurat de la axa OD. Rotaţia camei (arborelui de distribuţie), dată de unghiul ϕ, se măsoară de la axa OX până la vectorul rB 0 . Această rotaţie reprezintă unghiul, ϕ, cu care s-a rotit arborele cu came din poziţia

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

iniţială (dată de vectorul rB 0 , vector ce coincide cu axa OX în poziţia iniţială), până în poziţia curentă, când axa OX ocupă o nouă poziţie (vezi fig. 6.1.); deşi rotaţia arborelui de distribuţie este orară, sensul de construcţie al profilului camei este cel trigonometric, fapt pentru care vom inscripţiona unghiul ϕ invers, de la axa OX, în poziţia curentă până la poziţia ei iniţială, care coincide cu vectorul rB 0 . În timp ce arborele cu came se roteşte cu unghiul ϕ, vectorul rA , se roteşte cu unghiul θA, iar între cele două unghiuri θA şi ϕ apare un defazaj notat pe figura 6.1. cu γ. Defazajul γ, apare şi între unghiurile αA şi α0, fapt care ne ajută la determinarea exactă a valorii lui. Raza tachetului, DB, egală cu b, în poziţia iniţială DB0, face cu axa OD unghiul ψ0, constant care poate fi determinat cu uşurinţă din triunghiul ODB0, ale cărui laturi au lungimi cunoscute: OD=d, DB0=b, OB0=r0+rb, unde r0 este raza cercului de bază (al camei) iar rb reprezintă raza rolei tachetului (care poate fi un bolţ, o rotiţă, o rolă, un rulment, sau o bilă).

rb B

B τ β2

αB ψ2 d

Fig. 6.2. Determinarea unghiului B la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.

Din poziţia iniţială şi până în poziţia curentă, tachetul se roteşte în jurul lui D cu un unghi cunoscut, ψ. Acest unghi, ψ, este dat de legea de mişcare a tachetului şi este o funcţie de unghiul ϕ; el este cunoscut împreună şi cu derivatele sale: ψ’, ψ’’, ψ’’’, etc. În general este mai uşor de exprimat mişcarea tachetului faţă de axa OD, astfel încât apare unghiul ψ2=ψ0+ψ. Derivatele lui ψ2, sunt egale cu cele cunoscute, ale lui ψ, deoarece unghiul ψ0 este o constantă (deci nu variază nici cu unghiul de intrare ϕ). Din triunghiul ODB, în care se cunosc lungimile OD=d, DB=b şi unghiul ψ2, se determină lungimea OB=rB, unghiul DOB=αB şi unghiul OBD=β2. În continuare se determină unghiul OBA=B, aparţinând triunghiului OBA (vezi figura 6.2.). Unghiul B căutat, împreună cu unghiurile β2 şi τ însumează 1800. Unghiul de transmitere τ este complementul unghiului de presiune δ, care se va determina în cadrul paragrafului următor. Putem scrie relaţia (6.1): B = 180 − β 2 − τ = 180 − β 2 − (90 − δ ) = 180 − β 2 − 90 + δ = 90 + δ − β 2 (6.1) În triunghiul OAB (vezi figurile 6.1. şi 6.2.) se cunosc acum lungimile elementelor AB=rb şi OB=rB, cât şi mărimea unghiului B (vezi relaţia 6.1). Putem determina în continuare lungimea OA=rA, mărimea unghiului AOB=μ şi mărimea unghiului OAB (vezi figura 6.2.). Cu relaţia (6.2) obţinem valoarea unghiului αA: (6.2) αA = αB + μ Acum putem să-l determinăm pe γ cu relaţia (6.3): γ = α A −α0 (6.3) În continuare se determină unghiul θA cu relaţia (6.4):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

θA = ϕ + γ

(6.4) Cu coordonatele polare rA şi θA, acum deja cunoscute, se poate sintetiza profilul camei. Pentru o trasare mai rapidă se preferă coordonatele carteziene, xA şi yA:

⎧ x A = rA ⋅ cos θ A ⎨ ⎩ y A = rA ⋅ sin θ A

(6.5)

În continuare se stabilesc forţele şi vitezele care acţionează în mecanism, în cuplele lui, cât şi pe elementele sale. Astfel se determină randamentul mecanic, al mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă, cinematica precisă a mecanismului (funcţia de transmitere a mişcării, de la camă la tachet, la acest tip de mecanism - Modul F) şi putem trece în final la studiul dinamic al mecanismului (odată determinată funcţia sa de transmitere a mişcării). Pentru a demara toate aceste calcule (anticipate) este necesar mai întâi să determinăm unghiul de presiune, δ, pe care mecanismul îl face între forţa utilă (perpendiculară pe tachet în punctul B) şi forţa normală (care este în lungul normalei n-n, normală ce trece prin punctele A şi B, constituind normala comună între profilul camei şi cel al rolei tachetului, în punctul A).

6.2. Determinarea unghiului de presiune, δ Determinarea unghiului de presiune, δ, la mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F), (fig. 6.3.), se face în modul următor. Unghiul de presiune, δ, apare între direcţia n-n şi dreapta t-t. Dreapta n-n trece prin B şi este normală la cele două profile în contact (cel al camei şi cel al rolei tachetului). Dreapta t-t este perpendiculară în B pe segmentul DB. Se construieşte la scară, triunghiul vitezelor rotite cu 900 (vezi figura 6.3.); viteza camei în B (vB1) apare în lungul lui BO de la B la O, viteza redusă a tachetului în B, (vB2) apare în lungul lui BD de la B la b2, iar viteza de alunecare dintre profile în punctul B (vB2B1) apare în lungul lui n-n de la O la b2. Se alege polul vitezelor rabătute, Pv, în B şi scara vitezelor kv=kl.ω1. (BO)=(Pvb1)=vB1/[kl.ω1]; (Bb2)=(Pvb2)=vB2/[kl.ω1]; (Ob2)=(b1b2)=vB2B1/[kl.ω1]. Se pot exprima lungimile reale de pe desen; sistemul (6.6) şi relaţia (6.7):

v B2 ⎧ = b ⋅ψ ' ⎪ DB = b; Bb2 = ω1 ⎪⎪ ⎨CD = d ⋅ cosψ 2 ; OC = d ⋅ sin ψ 2 ⎪b D = b − b ⋅ ψ ' ⎪ 2 ⎪⎩Cb2 = CD − b2 D = d ⋅ cosψ 2 − (b − b ⋅ ψ ' ) = d ⋅ cosψ 2 + b ⋅ ψ '−b δ

B τ t

n rB

τ δ

b ψ2

Fig. 6.3. Determinarea unghiului de presiune, δ, la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.

(6.6)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Din triunghiul oarecare ODb2 se exprimă lungimea Ob2, (relaţia 6.7):

Ob2 = RAD = d 2 + (b − b ⋅ ψ ' ) 2 − 2 ⋅ d ⋅ (b − b ⋅ ψ ' ) ⋅ cosψ 2

(6.7)

Se pot determina acum funcţiile trigonometrice sin, cos şi tg, ale unghiului de presiune δ, (vezi relaţiile 6.8-6.10):

sin δ = cos δ = tgδ =

d ⋅ cosψ 2 + b ⋅ ψ '−b

d 2 + (b − b ⋅ ψ ' ) 2 − 2 ⋅ d ⋅ (b − b ⋅ ψ ' ) ⋅ cosψ 2 d ⋅ sin ψ 2 d 2 + (b − b ⋅ ψ ' ) 2 − 2 ⋅ d ⋅ (b − b ⋅ ψ ' ) ⋅ cosψ 2

d ⋅ cosψ 2 + b ⋅ ψ '−b RAD

(6.8)

d ⋅ sin ψ 2 RAD

(6.9)

d ⋅ cosψ 2 + b ⋅ ψ '−b d ⋅ sin ψ 2

(6.10)

6.3. Determinarea unghiului de presiune suplimentar (intermediar), α În continuare se determină unghiul de presiune-suplimentar, α, la mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F). Acest unghi apare între direcţia n-n şi segmentul de dreaptă AA’, perpendicular în A pe OA (vezi figura 6.4.).

n n

rb B

B β 2

rA μ

b A’

αA

ψ2

Fig. 6.4. Determinarea unghiului de presiune-suplimentar, α, la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.

Din triunghiul oarecare OAB s-a exprimat şi unghiul OAB (vezi figura 6.4.). Din unghiul OAB scădem 900 şi obţinem direct unghiul de presiune suplimentar, α. Este una din multiplele modalităţi prin care se poate determina unghiul α, dar probabil şi cea mai simplă (cea mai rapidă şi mai directă). Relaţiile de calcul sunt următoarele:

α = OAB − 90 sin α = sin(OAB − 90) = − sin(90 − OAB) = − cos(OAB) cos α = cos(OAB − 90) = cos(90 − OAB) = sin(OAB) =

rB ⋅ sin B rA

(6.11) (6.12) (6.13)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

d − b ⋅ cosψ 2 rB b ⋅ sin ψ 2 sin α B = rB d ⋅ cosψ 2 + b ⋅ ψ '−b sin δ = RAD d ⋅ sin ψ 2 cos δ = RAD sin(δ + ψ 2 ) = sin δ ⋅ cosψ 2 + sin ψ 2 ⋅ cos δ = cos α B =

d ⋅ cosψ 2 + b ⋅ ψ '−b d ⋅ sin ψ 2 ⋅ sin ψ 2 ⋅ cosψ 2 + = RAD RAD d − b ⋅ cosψ 2 ⋅ (1 − ψ ' ) = RAD cos(δ + ψ 2 ) = cos δ ⋅ cosψ 2 − sin δ ⋅ sin ψ 2 = =

d ⋅ sin ψ 2 ⋅ cosψ 2 − d ⋅ cosψ 2 ⋅ sin ψ 2 − b ⋅ ψ '⋅ sin ψ 2 + b ⋅ sin ψ 2 = RAD b ⋅ sin ψ 2 ⋅ (1 − ψ ' ) = RAD sin B = sin(δ + ψ 2 ) ⋅ sin α B − cos(δ + ψ 2 ) ⋅ cos α B = =

(6.15) (6.16) (6.17)

(6.18)

(6.19)

d ⋅ b ⋅ sin ψ 2 − b 2 ⋅ sin ψ 2 ⋅ cosψ 2 ⋅ (1 − ψ ' ) + rB ⋅ RAD

b 2 ⋅ cosψ 2 ⋅ sin ψ 2 ⋅ (1 − ψ ' ) − d ⋅ b ⋅ sin ψ 2 ⋅ (1 − ψ ' ) + = rB ⋅ RAD =

(6.14)

(6.20)

d ⋅ b ⋅ sin ψ 2 ⋅ ψ ' d ⋅ sin ψ 2 b ⋅ ψ ' b ⋅ ψ ' = ⋅ = ⋅ cos δ rB ⋅ RAD RAD rB rB

sin B =

b ⋅ ψ '⋅ cos δ rB r r b ⋅ ψ '⋅ cos δ b ⋅ ψ '⋅ cos δ cos α = B ⋅ sin B = B ⋅ = rA rA rB rA b ⋅ψ ' cos α = ⋅ cos δ rA

(6.21)

Am reuşit astfel să-l exprimăm pe cosα într-o formă simplificată (vezi formula 6.21), care ne va permite determinarea directă a randamentului mecanismului, determinarea directă a funcţiei de transmitere a mişcării şi mai departe cu ajutorul acesteia realizarea directă a dinamicii mecanismului.

6.4. Cinematica de bază la Modulul F În continuare se determină câţiva parametri cinematici (care constituie baza acestui mecanism) ai mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.

cosψ 0 =

b 2 + d 2 − (r0 + rb ) 2 2⋅b⋅d

(6.22)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

ψ 2 =ψ +ψ 0

(6.23)

RAD = d 2 + b 2 ⋅ (1 − ψ ' ) 2 − 2 ⋅ b ⋅ d ⋅ (1 − ψ ' ) ⋅ cosψ 2 d ⋅ cosψ 2 + b ⋅ ψ '−b sin δ = RAD d ⋅ sin ψ 2 cos δ = RAD d ⋅ cosψ 2 + b ⋅ ψ '−b tgδ = d ⋅ sin ψ 2 b ⋅ ψ ' '−d ⋅ sin ψ 2 ⋅ ψ '−d ⋅ tgδ ⋅ cosψ 2 ⋅ ψ ' δ '= ⋅ cos 2 δ ψ ⋅ sin d 2 rB2 = b 2 + d 2 − 2 ⋅ b ⋅ d ⋅ cosψ 2

(6.24) (6.25) (6.26) (6.27) (6.28) (6.29)

rB = rB2 b ⋅ d ⋅ sin ψ 2 ⋅ ψ ' rBI = rB

(6.30) (6.31)

d 2 + rB2 − b 2 2 ⋅ d ⋅ rB b ⋅ sin ψ 2 sin α B = rB cos α B =

(6.32) (6.33)

d 2 − b 2 − rB2 ⋅ψ ' 2 ⋅ rB2

(6.34)

sin(δ + ψ 2 ) = sin δ ⋅ cosψ 2 + sin ψ 2 ⋅ cos δ =

(6.35)

α BI =

d − b ⋅ cosψ 2 ⋅ (1 − ψ ' ) RAD b ⋅ sin ψ 2 ⋅ (1 − ψ ' ) cos(δ + ψ 2 ) = cos δ ⋅ cosψ 2 − sin δ ⋅ sin ψ 2 = RAD cos B = sin(δ + ψ 2 ) ⋅ cos α B + sin α B ⋅ cos(δ + ψ 2 ) = =

d 2 + b 2 ⋅ (1 − ψ ' ) − d ⋅ b ⋅ cosψ 2 ⋅ (2 − ψ ' ) rB ⋅ RAD

sin B = sin(δ + ψ 2 ) ⋅ sin α B − cos(δ + ψ 2 ) ⋅ cos α B =

(6.37) b ⋅ψ ' ⋅ cos δ rB

rA2 = rB2 + rb2 − 2 ⋅ rb ⋅ rB ⋅ cos B rA = rA2 2 B

2 b

B ' = δ '+ψ '+α B' r ⋅ r ' − rb ⋅ rB' ⋅ cos B + rb ⋅ rB ⋅ sin B ⋅ B ' rA' = B B rA

(6.38) (6.39) (6.40)

r +r −r 2 ⋅ rA ⋅ rB r sin μ = b ⋅ sin B rA cos μ =

2 A

(6.36)

(6.41) (6.42) (6.43) (6.44)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

μ' =

rb r' ⋅ (cos B ⋅ B'− sin B ⋅ A ) rA ⋅ cos μ rA αA =αB + μ

α = α + μ' cos α A = cos α B cos μ − sin α B sin μ sin α A = sin α B cos μ + cos α B sin μ α = π − α A −ψ 2 − δ cos α = − cos(ψ 2 + δ + α A ) = sin(ψ 2 + δ ) ⋅ sin α A − cos(ψ 2 + δ ) ⋅ cos α A ψ '⋅b cos α = ⋅ cos δ ' A

' B

cos α ⋅ cos δ =

ψ '⋅b

⋅ cos 2 δ rA θA =ϕ + γ γ = α A − α0 θ& = ϕ& + γ& = ω + α& A

θ =1+ α ' A

(6.45) (6.46) (6.47) (6.48) (6.49) (6.50) (6.51) (6.52) (6.53) (6.54) (6.55)

' A

(6.56) (6.57)

6.5. Relaţiile pentru trasarea profilului camei, la Modulul F În continuare se determină câţiva parametri cinematici cu ajutorul cărora se poate trasa direct profilul camei, pentru mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.

(r0 + rb ) 2 + d 2 − b 2 2 ⋅ (r0 + rb ) ⋅ d b ⋅ sin ψ 0 sin α 0 = r0 + rb cos γ = cos α A ⋅ cos α 0 + sin α A ⋅ sin α 0 cos α 0 =

sin γ = sin α A ⋅ cos α 0 − sin α 0 ⋅ cos α A cos θ A = cos ϕ ⋅ cos γ − sin ϕ ⋅ sin γ sin θ A = sin ϕ ⋅ cos γ + sin γ ⋅ cos ϕ x A = rA ⋅ cos θ A y A = rA ⋅ sin θ A

(6.58) (6.59) (6.60) (6.61) (6.62) (6.63) (6.64) (6.65)

6.6. Determinarea randamentului la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă, ( Modul F) În continuare se determină randamentul mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă (Modul F). Forţele şi vitezele transmise de mecanism se pot urmări în figura 6.5.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Fn, vn α

A μ

rB Fa, va

αB B 0 α A

γ O

A0 α0

Fu, vu B δ Fn, vn B Fc, vc b

Fm, vm ψ2

b ψ0 d

θA

x Fig. 6.5. Forţele şi vitezele la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă. Determinarea randamentului mecanismului.

Putem scrie următoarele forţe şi viteze (sistemul 6.66):

⎧ Fa = Fm ⋅ sin α ⎪v = v ⋅ sin α m ⎪ a ⎪ Fn = Fm ⋅ cos α ⎪ ⎪v n = v m ⋅ cos α ⎪ F = F ⋅ sin δ ⎪ c n ⎨ ⎪v c = v n ⋅ sin δ ⎪ Fu = Fn ⋅ cos δ = Fm ⋅ cos α ⋅ cos δ ⎪ ⎪vu = v n ⋅ cos δ = v m ⋅ cos α ⋅ cos δ ⎪ P = F ⋅ v = F ⋅ v ⋅ cos 2 α ⋅ cos 2 δ 2 u m m ⎪ u ⎪⎩ Pc = Fm ⋅ v m

(6.66)

Unde Fm şi vm reprezintă forţa de intrare şi respectiv viteza de intrare, ambele perpendiculare pe OA în A. Forţa Fm se descompune în două componente: Fa şi Fn. Componenta Fa este o forţă de alunecare între profile, tangentă la cele două profile în contact în punctul A, ea producând alunecarea dintre cele două profile (cel al camei şi cel al rolei tachetului). Această componentă dă şi un moment faţă de centrul rolei B, (M=Fa.rb), moment care poate produce rostogolirea rolei (acest lucru este avantajos, deoarece se schimbă mereu punctul de contact de pe rolă, uzura acesteia fiind astfel redusă şi uniformizată pe toată suprafaţa rolei). Componenta Fn, este cea principală, care se transmite rolei şi apoi tachetului. Ea este perpendiculară pe Fa şi tangentă la dreapta n-n care trece prin punctele A şi B. Când tachetul urcă (ca în figura 6.5.) forţa Fn apasă pe rolă, deci este îndreptată de la A la B. Forţa Fn se transmite radial până

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

în centrul rolei unde se descompune în două componente, pe două direcţii: o direcţie este în lungul tachetului de la B la D, iar cealaltă direcţie este perpendiculară pe tachet (pe DB) în B. Componenta Fc apasă tachetul în lungul lui, comprimându-l, iar componenta Fu perpendiculară în B pe DB, produce rotaţia tachetului în jurul articulaţiei D, ea fiind până la urmă singura componentă utilă. Viteza de intrare vm, se descompune într-o viteză de alunecare între profile, va, sau de rostogolire a rolei în raport cu cama în jurul articulaţiei B, cât şi într-o viteză normală (sau radială), vn. Componenta normală (radială), vn, se descompune la rândul ei în alte două componente: vc şi vu. Viteza vu fiind singura componentă utilă, care roteşte tachetul efectiv în jurul articulaţiei fixe D. Relaţiile de legătură între forţe, cât şi cele dintre viteze, se dau în sistemul (6.66). Aşa cum se poate observa există două unghiuri de presiune, α şi δ. Randamentul instantaneu al mecanismului (vezi relaţia 6.67), este raportul dintre puterea utilă şi cea consumată, astfel încât utilizând ultimele două relaţii din sistemul (6.66), obţinem expresia randamentului mecanic instantaneu al mecanismului (6.67), ca fiind 2 2 2 η i = cos α ⋅ cos δ = (cos α ⋅ cos δ ) , adică, tocmai produsul cosinusurilor celor două unghiuri de presiune, ridicat la pătrat. Utilizând relaţia (6.53), obţinem forma finală a expresiei randamentului (vezi relaţia 6.67), în care unghiul de presiune intermediar, α, (suplimentar), este eliminat.

ηi =

Pu ψ '⋅b ψ ' 2 ⋅b 2 = cos 2 α ⋅ cos 2 δ = (cos α ⋅ cos δ ) 2 = ( ⋅ cos 2 δ ) 2 = ⋅ cos 4 δ 2 Pc rA rA

(6.67)

6.7. Determinarea funcţiei de transmitere a mişcării, la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă, ( Modul F) În continuare se determină funcţia de transmitere a mişcării la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă (Modul F), funcţie notată cu D. Cum am arătat în capitolele precedente, între viteza utilă şi viteza cunoscută v2 a tachetului apare o diferenţă pe care o înglobăm în coeficientul de transmitere D, sau funcţia de transmitere, D. Scriem viteza redusă a tachetului vB2r sub forma cunoscută (6.68):

vB 2r =

vB2

= b ⋅ψ '

(6.68)

Viteza absolută a tachetului în B, se obţine înmulţind viteza redusă cu ω (6.69):

v B 2 = b ⋅ ψ '⋅ω

(6.69) O să scriem însă această viteză sub forma (6.70), împreună cu un coeficient de tansmitere a mişcării, D: v 2 = b ⋅ψ '⋅D ⋅ ω (6.70) Viteza utilă obţinută din figura (6.5.) şi a cărei expresie se regăseşte în sistemul (6.66), o rescriem în relaţia (6.71), unde introducem pentru produsul cos α ⋅ cos δ valoarea obţinută în expresia (6.53):

vu = v m ⋅ cos α ⋅ cos δ = v m ⋅

b ⋅ψ ' ⋅ cos 2 δ rA

(6.71)

Pentru viteza de intrare vm luăm în varianta (1), convenabilă din punct de vedere dinamic, valoarea dată de expresia (6.72): v m = rA ⋅ θ&A = rA ⋅ θ A' ⋅ ω (6.72) Cu relaţia (6.72) expresia (6.71) capătă forma (6.73):

vu = rA ⋅ θ A' ⋅

ω ⋅ b ⋅ψ ' rA

⋅ cos 2 δ = b ⋅ ψ '⋅(θ A' ⋅ cos 2 δ ) ⋅ ω

(6.73)

Comparând expresiile (6.70) şi (6.73) identificăm coeficientul D sub forma (6.74): D = θ A' ⋅ cos 2 δ (6.74) În varianta (2), clasică şi raţională, viteza de intrare vm este dată de relaţia (6.75):

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

v m = rA ⋅ ω

(6.75)

Caz în care funcţia de transmitere D ia forma simplificată (6.76):

D = cos 2 δ

(6.76) Pentru calculul dinamic, se va utiliza pentru funcţia de transmitere a mişcării, D, expresia completă (6.74), care convine din punct de vedere al rezultatelor, adepţii mecanicii clasice putând lua expresia (6.76), sau putând considera tot calculele dinamice dezvoltate pentru varianta (1), însă cu θ A' = 1 .

6.8. Dinamica la Modulul F Pentru calculul dinamic al mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă se utilizează tot aceeaşi relaţie dinamică prezentată la capitolele anterioare (6.77), (6.78), (6.79): Se utilizează pentru dinamica modulului F relaţia finală (modelul A10, şi program de calcul Anexa V) de la cap. 3 care genera direct valoarea deplasării dinamice a supapei, X, în funcţie de câţiva parametri de intrare. Relaţia solicită doar funcţia de transmitere D, fără derivatele ei, iar pentru obţinerea vitezei reduse X’, cât şi a acceleraţiei reduse, X’’ folosim derivarea numerică a deplasării supapei, X. Dacă dorim scrierea exactă a ecuaţiilor de viteze şi acceleraţii funcţia D trebuie derivată de două ori.

K2 ⋅ m S* + mT* ] ⋅ ω 2 2 2 (K + k ) k + 2kK 2 2kx 0 ⋅s + ⋅s+ ⋅ y' 2 2 K +k K +k (K + k ) ΔX = − kx 0 2 ⋅ [s + ] K +k [

K2 ⋅ m S* + mT* ] ⋅ ω 2 (K + k ) 2 k 2 + 2kK 2 2kx 0 ⋅s + ⋅s+ ⋅ ( D ⋅ s' ) 2 K +k K +k (K + k ) 2 ΔX = − kx 0 2 ⋅ [s + ] K +k

(6.77)

[

(6.78)

Cunoscându-l pe ΔX îl putem determina imediat pe X cu relaţia (6.79):

X = s + ΔX

(6.79)

b l D

Fig. 6.6. Transformarea mişcării de rotaţie a tachetului, în mişcare de translaţie a supapei. Schemă simplificată.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Deplasarea supapei, s, se obţine la Modulul F, înmulţind l cu ψ (vezi figura 6.6.). Cum i este dat de raportul b/l, iar i şi b se cunosc, se poate determina l ca fiind raportul dintre b şi i cunoscute (vezi relaţia 6.80), iar s şi derivatele lui se pot exprima cu grupul de relaţii (6.81):

b i

(6.80)

⎧ b ⎪s = i ⋅ ψ ⎪ ⎪s ' = b ⋅ ψ ' ⎪ i ' ⎨ b ⎪s ' ' = ⋅ψ ' ' ⎪ i ⎪ b ⎪s ' ' ' = ⋅ ψ ' ' i ⎩

(6.81)

Programul de calcul scris în Excel, este prezentat în Anexa V.

6.9. Analiza dinamică a modulului F Se începe cu legea clasică SIN (vezi diagrama dinamică din figura 6.7.), pentru a o putea compara cu dinamica acestei legi de la modulul clasic C. Se utilizează o turaţie de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet, h=10 [mm]. Unghiul de fază este, ϕu=ϕc=60 [grad]; raza cercului de bază are valoarea, r0=24 [mm]. Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=20 [mm]; b=20[mm]; d=50[mm]; Randamentul are o valoare ridicată, η=12.0%; reglajele resortului sunt: k=60 [N/mm] şi x0=30 [mm]. Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] balansier cu rolã (Modul F) - A12 ϕu=60 [grad] amax=13000 k=60 [N/mm] s max =9.9 r0=24 [mm]

15000

10000

rb=20 [mm] b=20 [mm] d=50 [mm] x0=30 [mm] i=1;η=12.0% legea: sin-0 150 y=x-sin(2πx)/(2π)

5000

0 0

100

-5000 a[m/s2]

amin= -5300

-10000

s*k[mm] k=

1051.14

Fig. 6.7. Analiza dinamică la modulul F. Legea SIN, n=5500 [rot/min] ϕu=60 [grad], r0=24 [mm], rb=20 [mm]. Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta este cel de urcare. Modul F.

Suportã o turatie n=5500[rot/min] ϕu=ϕc =60[grad]

40 30

r0=24 [mm]

20 10 0 -40

-20

-10

rb=20 [mm] b=20 [mm] d=50 [mm] i=1 l=b/i legea:sin 40 y=x-sin(2πx)/(2π)

-20 -30

Fig. 6.8. Profilul SIN la modulul F. n=5500 [rot/min] ϕu=60 [grad], r0=24 [mm], rb=20 [mm].

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Dinamica este mai bună (în general) comparativ cu cea a Modulului clasic, C. Pentru un unghi de fază de numai 60 grade se ating aceleaşi vârfuri de acceleraţii pe care modulul clasic le atingea la o fază relaxată de 75-80 grade. În plus şi deplasarea maximă a tachetului (cursa), hT, este mai mare (aproape dublă). În figura 6.8. se poate urmări profilul aferent. Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] balansier cu rolã (Modul F) - A12 ϕu=60 [grad] k=60 [N/mm] amax =14800 r0=24 [mm]

20000 15000

s max =12.48

rb=20 [mm] b=25 [mm] d=50 [mm] x0=30 [mm] i=1;η=14.1% legea: cos-0 y=.5-.5cos(πx) 150

10000 5000 0 0

100

-5000 -10000

amin= -8600

s*k[mm] k=

a[m/s2] 951.35

Fig. 6.9. Analiza dinamică la modulul F. Legea COS, n=5500 [rot/min]

Pentru legea cos ridicarea este mai mare comparativ cu legea sin, (a se vedea diagrama dinamică din figura 6.9.). Profilul COS, corespunzător poate fi urmărit în figura 6.10. Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta este cel de urcare. Modul F.

Suportã o turatie n=5500[rot/min] ϕu=ϕc =60[grad]

40 30

r0=24 [mm]

rb=20 [mm] b=25 [mm] d=50 [mm] i=1 l=b/i legea:cos-0 40 y=.5-.5cos(πx)

10 0 -40

-20

-10

-20 -30

Fig. 6.10. Profilul COS la modulul F. n=5500 [rot/min] ϕu=60 [grad], r0=24 [mm], rb=8 [mm], hT=13 [mm].

În figura 6.11. se poate urmări dinamica pentru legea C4P1-0, iar în fig. 6.12. profilul aferent; utilizat astfel nu este interesant (vibraţii mari şi zone concave); se măreşte unghiul de urcare de la 45 la 85 [grad] şi rezultă profilul C4P3, care racordat, suportă o turaţie de 40000 [rot/min]. Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min] balansier cu rolã (Modul F) - A12 ϕu=45 [grad] k=50 [N/mm] amax =22000 r0=6 [mm] s max =3.6

25000 20000

rb=3 [mm] b=8 [mm] d=15 [mm] x0=50 [mm] i=1;η=22% legea: C4P1-0

15000 10000 5000

y=2x-x 2 yc =1-x

0 0 -5000

amin= -1200

100 s*k[mm] k=

a[m/s2] 4894,11

Fig. 6.11. Analiza dinamică la modulul F. Legea C4P1-0, n=5500 [rot/min]

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta este cel de urcare. Modul F.

Suportã o turatie n=5500[rot/min] ϕu=ϕc =45[grad]

10 8

r0=6 [mm]

rb=3 [mm] b=8 [mm] d=15 [mm] i=1 l=b/i legea:C4P1-0 2 10 y=2x-x

4 2 0 -10

-5

-2

-4

Se pot face racordãri

-6 -8

Fig. 6.12. Profilul C4P1-0 la modulul F. n=5500 [rot/min] ϕu=45 [grad], r0=10 [mm], rb=3 [mm], hT=6.28 [mm].

În figura 6.13. se poate urmări dinamica pentru legea C4P3-2, iar în fig. 6.14. profilul corespunzător (la care trebuiesc făcute racordările la urcare şi la revenire). Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=40000[rot/min] balansier cu rolã (Modul F) - A12 ϕu=85 [grad] amax =80600 k=800 [N/mm] s max =4.28 r0=10 [mm]

100000 80000 60000

rb=3 [mm] b=30 [mm] d=30 [mm] x0=200 [mm] i=1;η=16.5% legea: C4P3-2

40000 hT=15.70 [mm]

20000 0 -20000

-40000

100

150

200 y=2x-x2 2 yc =1-x

amin= -40600

-60000

s*k[mm] k=

a[m/s2] 15044,81

Fig. 6.13. Analiza dinamică la modulul F. Legea C4P3-2, n=40000 [rot/min] Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta este cel de urcare. Modul F.

Suportã o turatie n=40000[rot/min] ϕu=ϕc =85[grad]

30 25

r0=10 [mm]

20 15 10 5 0 -20

-10

-5

rb=3 [mm] b=30 [mm] d=30 [mm] hT=15.70 [mm] i=1 l=b/i legea:C4P3-2 2 y=2x-x

-10 -15

Fig. 6.14. Profilul C4P3-2 la modulul F. n=40000 [rot/min] ϕu=85 [grad], r0=10 [mm], rb=3 [mm], hT=15.70 [mm].

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

CAP. 7

DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE CU TACHET BALANSIER PLAT (MODUL H) În cadrul capitolului 7 se va prezenta pe scurt mecanismul de distribuţie, cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) plat (Modul H); a se vedea şi lucrările [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [P29], [P31], [P32-P38].

7.1. Prezentare generală Mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) plat (Modul H), (fig. 7.1.), au o cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului (a se urmări schema cinematică din figura 7.1).

l.ψ’ ρ.ψ’

I G θ

A0 γ G0

δ ρ

αM

B0 x

αm β

b ψ

D 1

Fig. 7.1. Schema cinematică a mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier plat (Modul H).

Relaţiile de calcul vor fi prezentate în continuare pe scurt: Pentru uzul general se introduc relaţiile cinematice 7.1-7.4; Forţele, vitezele şi puterile, se determină cu relaţiile 7.5.; Randamentul mecanic instantaneu, se determină cu relaţia 7.6. ψ' AH = [ d 2 − (r 0 − b) 2 ⋅ cos ψ − (r 0 − b) ⋅ sin ψ ] ⋅ 1 −ψ ' OH = b + (r0 − b) ⋅ cosψ + d 2 − (r0 − b) 2 ⋅ sinψ

r 2 = AH 2 + OH 2

(7.1) (7.2) (7.3)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

sin τ =

AH ; r

sin 2 τ =

AH 2

Fn = Fm ⋅ cos α = Fm ⋅ sin τ ;

ηi =

AH 2

(7.4)

AH 2 + OH 2

vn = vm ⋅ cos α = vm ⋅ sin τ

(7.5)

Pn F ⋅v F ⋅ v ⋅ sin 2 τ AH 2 = n n = m m = sin 2 τ = 2 Pc Fm ⋅ vm Fm ⋅ vm AH + OH 2

(7.6)

În figura 7.2 sunt prezentate forţele şi vitezele din cuplă: Fn; vn α

Fm ; vm

Fa; va l.ψ’ ρ.ψ’

I G

A0 γ G0

ψ αM

ψ ϕ

B0 x

αm β

b ψ

D 1

Fig. 7.2. Distribuţia forţelor şi a vitezelor la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier plat (Modul H).

7.2. Dinamica la Modulul H Pentru calculul dinamic al mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier plat se utilizează relaţiile dinamice deja prezentate în cadrul cap. 3 (7.7), (7.8), (7.9): Se utilizează pentru dinamica modulului H relaţia finală (modelul A10) de la cap. 3 care genera direct valoarea deplasării dinamice a supapei, X, în funcţie de câţiva parametri de intrare. Relaţia solicită doar funcţia de transmitere D, fără derivatele ei, iar pentru obţinerea vitezei reduse X’, cât şi a acceleraţiei reduse, X’’ folosim derivarea numerică a deplasării supapei, X.

K2 ⋅ m S* + mT* ] ⋅ ω 2 (K + k ) 2 k 2 + 2kK 2 2kx 0 ⋅s + ⋅s+ ⋅ y' 2 2 K k + K + k (K + k ) ΔX = − kx 0 2 ⋅ [s + ] K +k [

(7.7)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

K2 ⋅ m S* + mT* ] ⋅ ω 2 (K + k ) 2 k 2 + 2kK 2 2kx 0 ⋅s + ⋅s+ ⋅ ( D ⋅ s' ) 2 K +k K +k (K + k ) 2 ΔX = − kx 0 2 ⋅ [s + ] K +k [

(7.8)

Cunoscându-l pe ΔX îl putem determina imediat pe X cu relaţia (6.79):

X = s + ΔX

(7.9)

7.3. Analiza dinamică a modulului H Se prezintă legea clasică SIN (vezi diagrama dinamică din figura 7.3. şi Anexa VI), pentru a o putea compara cu dinamica acestei legi de la modulul clasic C. Se utilizează o turaţie de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet, h=8.72 [mm]. Unghiul de fază este, ϕu=ϕc=80 [grad]; raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm]. Randamentul are o valoare ridicată, η=12.9%; reglajele resortului sunt: k=60 [N/mm] şi x0=40 [mm]. În figura 7.4 este trasat profilul corespunzător (Modul H – legea SIN). Pentru legea C4P, cu reglajele şi racordările corespunzătoare, se poate ajunge până la o turaţie a motorului de 30000 [rot/min], însă randamentul şi deplasarea sunt mici, deoarece a crescut r0; a se urmări analiza dinamică din fig. 7.5. şi profilul corespunzător din fig. 7.6. 8000 Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=5500[rot/min]

ϕu=80 [grad] k=60 [N/mm] r0=13 [mm] ls=50 [mm] b=5 [mm] d=45 [mm] x0=40 [mm] η=12.9% h=8.72 [mm] legea: sin-0 y=x-sin(2πx)/(2π)

balansier plat cu dezaxare (Modul H)-A13 amax=7400

6000

smax=8.42

4000 2000 0 -2000

100

150

amin= -3000

-4000

200

a[m/s2] 702.96

s*k[mm] k=

Fig. 7.3. Analiza dinamică la mec. cu camă rotativă şi tachet balansier plat (Modul H). Legea SIN; n=5500 r/m. Randamentul=13%. Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta 25 este cel de urcare. Modul H.

Suportã o turatie n=5500[rot/min] ϕu=ϕc =80[grad] r0=13 [mm]

ls =50 [mm] b=5 [mm] d=45 [mm] η=12.9% legea:sin y=x-sin(2πx)/(2π)

Series1

0 -15

-10

-5

-10

-15

Fig. 7.4. Trasarea profilului SIN al camei rotative cu tachet balansier plat (Modul H).

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet n=30000[rot/min] ϕu=70 [grad] s max =3.0 amax =133000 k=800 [N/mm] 100000 r0=20 [mm]

150000balansier plat cu dezaxare (Modul H)-A13

50000 0 -50000

100

-100000

ls =50 [mm] b=3 [mm] d=30 [mm] x0=150 [mm] 150 η=3.7% s=3 [mm] legea: C4P y=2x-x2

amin= -94000

a[m/s2]

-150000

s*k[mm] k=

35959,78

Fig. 7.5. Analiza dinamică la mec. cu camă rotativă şi tachet balansier plat (Modul H). Legea C4P; n=30000 [rot/min]. Randamentul=3.7%. Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta 30 este cel de urcare. Modul H.

Suportã o turatie

n=30000[rot/min] ϕu=ϕc =70[grad]

r0=20 [mm] ls =50 [mm] b=3 [mm] d=30 [mm] η=3.7% legea:C4P y=2x-x2

15 10 5

Series1 0 -30

-20

-10

-5 -10 -15 -20 -25

Fig. 7.6. Trasarea profilului C4P al camei rotative cu tachet balansier plat (Modul H).

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

B-PI-

B i b l i o g r a f i e (la partea I-a)

1.-A1. ANTONESCU P., Mecanisme - Calculul structural si cinematic. I.P.B., Bucuresti, 1979. 2.-A2. ANTONESCU P., Cinetostatica si dinamica mecanismelor. I.P.B.,Bucuresti, 1980. 3.-A3. ANTONESCU P., Sinteza mecanismelor. I.P.B.,Bucuresti, 1983. 4.-A4. ANTONESCU P., COMANESCU A.,GRECU B., Indrumar de proiect la mecanisme. Partea a I-a, I.P.B., Bucuresti, 1987. 5.-A5. ALEXANDRU P., DUTA FL.,JULA A., Mecanismele directiei autovehiculelor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1977. 6.-A6. ARTOBOLEVSKI I., Teoria mehanizov, Izd. Nauka, Moskva, 1965. 7.-A7. ANTONESCU P., DRANGA M., TEMPEA I., Asigurarea preciziei cinematice a preselor de vulcanizat camere de aer. In revista Constructia de masini, nr.8., Bucuresti, 1978. 8.-A8. ATANASIU M., Mecanica. Ed. Did. Ped., Bucuresti, 1973. 9.-A9. ATTILA H., DRAGULESCU D., Probleme de mecanicã - dinamicã. Editura Helicon, Timisoara, 1993. 10.-A10. ANTONESCU P., Sinteza mecanismului cu camã rotativã si tachet translant. In al V-lea Simpozion national de mecanisme si transmisii mecanice, Cluj-Napoca, 20-22 octombrie 1988. 11.-A11. ANTONESCU P., PETRESCU FL., Metodã analiticã de sintezã a mecanismului cu camã si tachet plat. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985. 12.-A12. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Contributii la sinteza mecanismului cu camã oscilantã si tachet plat oscilant. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985. 13.-A13. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., La projection de la came oscillante chez les mechanismes a distribution variable. In a V-a Conferintã de motoare, automobile, tractoare si masini agricole, Vol. I-motoare si automobile, Brasov, noiembrie 1985. 14.-A14. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Proiectarea profilului Kurz al camei rotative ce actioneazã tachetul plat oscilant cu dezaxare. In al III-lea Siopozion national de proiectare asistatã de calculator în domeniul mecanismelor si organelor de masini-PRASIC’86, Brasov, decembrie 1986. 15.-A15. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Analiza dinamicã a mecanismelor de distributie cu came. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale, Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987. 16.-A16. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Sinteza analiticã a profilului Kurz, la cama cu tachet plat rotativ. In revista Constructia de masini, nr. 2., Bucuresti, 1988. 17.-A17. ANTONESCU P., PETRESCU FL., Contributii la analiza cinetoelastodinamicã a mecanismelor de distributie. In SYROM’89, Bucuresti, iulie 1989. 18.-A18. ANTONESCU P., PETRESCU FL., ANTONESCU O., Contributii la sinteza mecanismului cu camã rotativã si tachet balansier cu vârf. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994. 19.-A19. AUTORENKOLLEKTIV (J. VOLMER COORDONATOR), Getriebetechnik-VEB, Verlag technik, pp. 345-390, Berlin, 1968. 20.-A20. ANGELAS J., LOPEZ-CAJUN C., Optimal synthesis of cam mechanisms with oscillating flat-face followers. Mechanism and Machine Theory 23,(1988), Nr. 1., pp. 1-6., 1988. 21.-A21. ARAMA C., SERBANESCU A., Economia de combustibil la automobile. Editura tehnicã, Bucuresti, 1974. 22.-A22. ALLAIS D.C., Cycloidal vs modified trapezoid cams. Machine Design 35(3), 31 Jan. 1963, pp. 92-96. 23.-A23. ANDERSON D.G., Cam dynamics. Prod. Engineering, 24(10), 1953, pp. 170-176. 24.-A24. ASTROP A.W., Automatic high-speed inspection of variable pitch cams for zoom lenses. Machinery (London), 1967, 110(2849), pp. 1360-1364. 25.-A25. AOYAGI Y., s.a., Hino Motors, Ltd. Japan, Swirl Formation Process in Four Valve Diesel Engines. (945011), In XXV FISITA Congres, 17-21 October 1994, Beijing, pp. 99-105. 26.-A26. ANTONESCU P., sa., Contributions to the synthesis of the oscillating cam profile in the variable distribution mechanisms, Eighth World Congress on TMM, Praga, vol. 5, 1991. 27.-A27. ANTONESCU P., PETRESCU FL., ANTONESCU D., Geometrical synthesis of the rotary cam and balance tappet mechanism. SYROM’97, Vol. 3, pp. 23, Bucuresti, august 1997. 28.-A28. ANTONESCU P., Mecanisme şi Manipulatoare, aplicaţii-teme de proiect, Printech, Buc., 2000.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

29.-A29. ANTONESCU, P., PETRESCU, F., ANTONESCU, O. Contributions to the Synthesis of The Rotary Disc-Cam Profile, In VIII-th International Conference on the Theory of Machines and Mechanisms, Liberec, Czech Republic, pp. 51-56, 2000. 30.-A30. ANTONESCU, P., PETRESCU, F., ANTONESCU, O., Synthesis of the Rotary Cam Profile with Balance Follower, In the 8-th Symposium on Mechanisms and Mechanical Transmissions, Timişoara, Vol. 1, pp. 39-44, 2000. 31.-A31. ANTONESCU, P., PETRESCU, F., ANTONESCU, O. Contributions to the synthesis of mechanisms with rotary disc-cam. In The Eigth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM'2001, Bucharest, ROMANIA, 2001, Vol. III, p. 31-36. 32.-A32. ANTONESCU P., OCNARESCU C., ANTONESCU O., Mecanisme şi Manipulatoareîndrumar de laborator, Ed. Printech, Bucuresti, 2002. 33.-A33. ANTONESCU P., Sinteza unitară geometro-cinematică a profilului camei-disc rotative, Rev. Mecanisme şi Manipulatoare, I, 2, 2002. 34.-A34. ANTONESCU P., sa., Geometric and Kinematic Synthesis of Mechanisms with Rotary DiscCam, Proceedings of the 11th World Congress in Mechanism and Machine Science, Tianjin, 2003. 35.-A35. ANTONESCU P., Mecanisme, Printech, Bucuresti, 2003. 36.-A36. ANTONESCU P., Mechanism and Machine Science, Printech Press, Bucharest, Romania, 2005. 37.-A37. ANTONESCU P., ANTONESCU O., Aplicaţii de mecanică tehnică, mecanisme şi manipulatoare, Printech, 2007. 38.-B1. BUZDUGAN GH., Teoria vibratiilor si aplicatiile ei în constructia de masini. Editura tehnicã, Bucuresti, 1958. 39.-B2. BUZDUGAN GH., Rezistenta materialelor. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1964. 40.-B3. BOGDAN R., LARIONESCU D., CONONOVICI S., Sinteza mecanismelor plane articulate. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1977. 41.-B4. BOGDAN R., LARIONESCU D., Analiza armonicã complexã si mecano-electricã a mecanismelor plane. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1968. 42.-B5. BALAN ST., Probleme de mecanicã. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1977. 43.-B6. BUZDUGAN GH., FETCU L., RADES M., Vibratii mecanice. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1979. 44.-B7. BUZDUGAN GH., MIHAILESCU E., RADES M., Mãsurarea vibratiilor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1979. 45.-B8. BOBANCU S., Consideratii cinetoelastice asupra variabilei “excentricitate” a mecanismelor plane cu camã având tachet oscilant plat. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985. 46.-B9. BARSAN A., Algoritm de sintezã asistatã de calculator, a mecanismelor plane cu camã de rotatie si tachet plat. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987. 47.-B10. BARSAN A., Algoritm de sintezã asistatã de calculator a mecanismelor cu camã cilindricã. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987. 48.-B11. BOGDAN R., S.A., Algoritm si program pentru analiza cinematicã si dinamicã a mecanismelor diferentiale complexe. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987. 49.-B12. BUGAEVSKI E., Contributii la studiul cinematic si dinamic al mecanismelor cu trenuri diferentiale. Tezã de doctorat, I.P.B., 1971. 50.-B13. BOIANGIU D., s.a., Elemente elastice ale masinilor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1967. 51.-B14. BUZDUGAN GH., Izolarea antivibratorie a masinilor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1980. 52.-B15. BLOOM D., and RADCLIFFE C.W., The effect of camshaft elasticity on the response of cam driven systems, ASME paper 64-mech 41. 53.-B16. BARTON P., REESJONES J., The dynamic effects of functional clearance and motor characteristics on the performance of a Geneva mechanism. IFTOMM International Symp. on Linkages and Computer Design Methods, Bucharest, 1973. 54.-B17. BARABYI J.S., Cams, dynamics and design. Design News, 1969, 24, pp. 108. 55.-B18. BARKAN P., Calculation of high-speed valve motion with flexible overhead linkage. Trans. SAE, 1953, 61,pp. 687-700. 56.-B19. BEARD C.A., Problems în valve gear design and instrumentation. SAE Technical Progress Series, 1963, pp. 58-84. 57.-B20. BEARD C.A., Cam mechanism design problems-an engine designer’s view point. In, Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONES, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974, pp.49-53.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

58.-B21. BARKAN P., s.a., A spring-actuated, cam follower system; Design theory and experimental result. Journal Engineering, Trans. ASME, 1965,(87 B), pp. 279-286. 59.-B22. BAUMGARTEN J.R., Preload force necessary to prevent separation of follower from cam. Trans. 7 th. Conf. on Mech., Purdue University, 1962. 60.-B23. BENEDICT C.A., s.a., Dynamic responses of a mechanical system containing a coulomb friction force. The 3 rd. Appl. Mech. Conf. Paper, Nr. 44., Oklahoma State University, 1973. 61.-B24. BAXTER M.L., Qurvature-acceleration relation for plane cams. Trans. ASME 70,1948, pp.483-489. 62.-B25. BISHOP J.L.H., An analytical approach to automobile valve gear design. Inst. of Mech. Engrs. Auto-Division Proc. 4, 1950-51, pp. 150-160. 63.-B26. BUHAYAR E.S., Computerized cam design and plate cam manufacture. Paper Nr. 66MECH-2, ASME Mechanisms Conference, Lafayette, Ind., Oct. 1966. 64.-B27. BARBULESCU N., Bazele fizice ale relativitãtii Einsteiniene. In E.S.E., Bucuresti, 1979. 65.-B28. BACKLUND O., s.a., Volvo’s MEP and PCP Engines: Combining Environmental Benefit with High Performance. In Fifth Autotechnologies Conference Proceedings, SAE, (910010), pp. 238. 66.-C1. CHIRIACESCU S., Proiectarea automatã a camelor folosite la masina de ascutit pânze de fierãstrãu. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985. 67.-C2. CIONCA O., Studiul mecanismelor camã-tachet ca sisteme oscilante autoexcitante. In al IV-lea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985. 68.-C3. COMANESCU D., COMANESCU A.,S.A., Sinteza profilelor zonelor de contact ale elementelor cinematice din mecanismele perforatoarelor de bandã. In al IV-lea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985. 69.-C4. COMANESCU A., COMANESCU D., Aplicarea sistemelor modulare de calcul cinetodinamic la instruirea si comanda mecanismelor multimobile. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale, Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987. 70.-C5. CONSTANTINESCU G., Teoria sonicitãtii. Ed. Academiei R.S.R., Bucuresti, 1985. 71.-C6. CRUDU M., Contributii la studiul mecanismelor cu conexiuni dinamice. Tezã de doctorat, I.P.B., 1971. 72.-C7. CECCARELLI M., GARCIA-LOMAS J., On the dynamics of two-link manipulators. Al VI-lea SYROM, Vol. II.,Bucuresti, iunie 1993. 73.-C8. CHEN F.Y., Kinematic synthesis of cam profiles for prescribed acceleration by a finite integration method. Trans. ASME, J. Engng., 1973, Ind. 95B, pp. 519-524. 74.-C9. CHURCHILL F.T. and HANSEN R.S., Theory of envelopes provide new cam-design equations. J. Engng., 1962, 35, pp. 45-55. 75.-C10. CROSSLEY F.R.E., How to modify positioning cams. Machine Design, 1960, pp. 121-126. 76.-C11. CRUTCHER D.E.G., The dynamics of valve mechanisms. Prod. Instr. mech. Engr., 1967-68, 1, 182, Part 3L, 129. 77.-C12. CHENEY R.E., Production of very accurate high-speed master cams. Machinery (London), 1962, 100(2570), pp. 380-386. 78.-C13. CLAYTON J.C., Cast Iron Camshafts in Car Production. Design and Components in Engineering. April 1971, 16. 79.-C14. ***, Combustion effects of asymmetric valve strategies. In Automotive Engineering, Decembrie 1993, pp. 49-53. 80.-C15. CHOI J.K., KIM S.C., Hyundai Motor Co. Korea, An Experimental Study on the Frictional Characteristics in the Valve Train System. (945046), In FISITA CONGRESS, 17-21 October 1994, Beijing, pp. 374-380. 81.-C16. ***, Chrysler’s Vlo light-truck engine. In revista Automotive Engineering, Decembrie 1993, pp. 55-57. 82.-C17. COMĂNESCU Adr., COMĂNESCU D., GEORGESCU L., Bazele analizei şi sintezei mecanismelor cu memorie rigidă, Edit. Politehnica Press, Bucureşti, 175 pag., 2008. 83.-D1. DRANGA M., Contributii la analiza dinamicã a mecanismelor cu unul si cu mai multe grade de mobilitate. Tezã de doctorat. I.P.B., Bucuresti, 1975. 84.-D2. DUDITA FL., Teoria mecanismelor. Universitatea Brasov, 1979. 85.-D3. DEMIAN T., s.a., Mecanisme de mecanicã finã. Editura Didacticã si Pedagogicã, Bucuresti, 1982. 86.-D4. DRANGA M., Mecanisme si organe de masini, partea I. Transmisii mecanice. I.P.B., Bucuresti, 1983. 87.-D5. DARABONT AL., s.a., Socuri si vibratii- Aplicatii în tehnicã. Editura tehnicã, Bucuresti, 1988.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

88.-D6. DARABONT AL., VAITEANU D., Combaterea poluãrii sonore si a vibratiilor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1975. 89.-D7. DECIU E.,s.a., Probleme de vibratii mecanice. I.P.B.,Bucuresti, 1978. 90.-D8. DODESCU GH., Metode numerice în algebrã. Editura tehnicã, Bucuresti, 1979. 91.-D9. DRANGA M., Asupra echilibrãrii unei structuri de robot 6R. In al VI-lea SYROM’93, Vol. II., Bucuresti, iunie 1993. 92.-D10. DRANGA M., Metodã de echilibrare a unui lant cinematic plan articulat. In al IV-lea SYROM’85. Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985. 93.-D11. DUCA C., Sinteza mecanismelor cu came în functie de raza de curburã a profilului. In al IVlea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985. 94.-D12. DRAGHICI I., s.a., Suspensii si amortizoare. E.T. , Bucuresti, 1970. 95.-D13. DUDLEY W.M., New Methods in Valve Cam Design. Trans. SAE, January 1948, 2, pp. 1933. 96.-D14. DRUCE G., Research in cam mechanisms. I. Mech. E. Discussion on Mechanisms, 1971, 413. 97.-E1. ERMAN A.G., SANDOR G.N., Kineto-elastodynamic- a review of the state of the art and rends. Mechanism and Machine Theory nr.1., 1972. 98.-E2. EISS N.S., Vibration of cams having tow degrees-of-fredom. Trans. ASME, J. Engng., Ind. 86B, 1964, pp. 343-350. 99.-E3. ERISMAN R.J., Automotive cam profile synthesis and valve gear dynamic from domensionless analysis. Trans. SAE, 75, 1967, pp. 128-147. 100.-F1. FAWCETT G.F., FAWCETT J.N., Comparison of polydyne and non polydyne cams. In, Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONED, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974. 101.-F2. FRATILA G., PETRESCU FL., s.a., Cercetãri privind transmisibilitatea vibratiilor motorului la cadrul si caroseria automobilului. In, CONAT, Brasov, 1982. 102.-F3. FRATILA G., PETRESCU FL., s.a., Contributii privind ameliorarea suspensiei grupului motopropulsor. Buletinul Universitãtii Brasov, 1986. 103.-F4. FENTON R.G., Determining minimum cam size. In Machine Design, 1966, 38(2), pp. 155158. 104.-F5. FENTON R.G., Cam design-determining of the minimum base radius for disc cams with reciprocating flat faced followers. In Automobile Enginer, 3, 1967, pp. 184-187. 105.-G1. GRECU B., CANDREA A., COLTOFEANU N., Determinarea reactiunilor dinamice în cuplele cinematice la mecanismele plane cu ajutorul modulelor de calcul. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987. 106.-G2. GHITA E., Proiectarea camelor bilaterale poliracordate. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994. 107.-G3. GRUNWALD B., Teoria,calculul si constructia motoarelor pentru autovehicule rutiere. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1980. 108.-G4. GIORDANA F., s.a., On the influence of measurement errors in the Kinematic analysis of cam. Mechanism and Machine Theory 14 (1979), nr. 5., pp, 327-340, 1979. 109.-G5. GRADU M., Stadiul actual al cercetãrilor în domeniul mecanismelor de distributie ale motoarelor cu ardere internã. Referat I pentru doctorat, I.P.B., Bucuresti, 1991. 110.-G6. GRUMAZESCU M., s.a., Combaterea zgomotului si vibratiilor. E.T., Bucuresti, 1964. 111.-G7. GAGNE A.F., Design high speed cams. In Machine Design, 25, 1953, pp. 121-135. 112.-G8. GRANT B., s.a., Cam design survey. Design Technology Transfer, ASME, 1974, pp. 177-219. 113.-G9. GRODZINSKI P., Production of cam profiles by positive mechanisms. Machinery (London), 1959, 88(2269), pp. 683-688. 114.-G10. GOODMAN T.P., Linkages vs cams. Machine Design, 1958, 30(17), pp. 102-109. 115.-G11. GRECU B., PETRESCU, F., s.a., Mecanisme Plane – lucrãri pentru laborator si proiect. Editura BREN, Bucuresti, ISBN 978-973-648-697-5, 191 pag., 2007. 116.-H1. HANDRA-LUCA V., Organe de masini si mecanisme. Editura Did. si pedagogicã, Bucuresti, 1975. 117.-H2. HANDRA-LUCA V.,STOICA A., Introducere în teoria mecanismelor. Vol. II., Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1983. 118.-H3. HERRMANN R., DELANGE J., LOURDOUR G., Evolution du trasee des cames. Ingenieurs de l’automobile, nr. 11, 1969. 119.-H4. HAIN K., Optimization of a cam mechanism to give goode transmissibility maximal output angle of swing and minimal acceleration. Journal of Mechanisms 6 (1971), Nr. 4., pp.419-434. 120.-H5. HARRIS M.C., CREDE E.C., Socuri si vibratii. Vol. I-III., E.T., Bucuresti, 1968-69.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

121.-H6. HEBELER C.B., Design equation and graphs for finding the dynamic response of cycloidalmotion cam systems. Machine Design, Feb. 1961, pp. 102-107. 122.-H7. HRONES J.A., An analysis of Dynamic Forces in a Cam-Driver System, Trans. ASME, 1948, 70, PP. 473-482. 123.-H8. HIRSCHHORN J., Disc-cam curvature. In Machine Design 31(3), 1959, pp. 125-129. 124.-H9. HALE F.W., Cam machining without master former. Tool Engineer, 1955, 35(6), pp. 82-87. 125.-H10. HOSAKA T., and HAMAZAKI M., Development of the Variable Valve Timing and Lift (VTEC) Engine for the Honda NSX, (910008), Fifth Auto-technologies Conference Proceedings, SAE,pp. 238. 126.-H11. HOORFAR, M., NAJJARAN, H., CLEGHORN, W.L, Software demonstration of disc cam mechanisms for mechanical engineering education, Journal: The International Journal of Mechanical Engineering Education, ISSN: 0306-4190, Volume 35 Issue 2, April 2007, pp. 166-180. 127.-I1. IACOB C., Mecanica teoreticã. E.D.P., Bucuresti, 1971. 128.-I2. IUDIN E., s.a., Issledovanie suma ventileatornîh ustanovok I metodov borbî s nim. Oborongiz, Moskva, 1958. 129.-J1. JIANG QI , XU ZENG-YIN, Compounding of mechanism and analysis and synthesis of complex mechanisms. In al IV-lea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985. 130.-J2. JONES J.R., REEVE J.E., Dynamic response of cam curves based on sinusoidal segments. In Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONES, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974. 131.-J3. JACOBSEN and AYRE R., Engineering Vibration. Mc Graw- Hill Book Co. Inc., 1958. 132.-J4. JENSEN P.W., Cam Design and Manufacture. Industrial Press., New York, 1965. 133.-J5. JOHNSON R.C., A rapid method for developing cam profiles having desired acceleration characteristics. In Machine Design 27(12), 1965, pp. 129-132. 134.-J6. JELLING W., Precision machines assure cam accuracy. In Iron Age, 1954, 173(15), pp. 140142. 135.-J7. JASSEN B., Kraftschlub bei Kurventrieben. Ind. Anz., 1966, 88, Part. I: 1906-1907; part. II: 2193-2196. 136.-K1. KOVACS FR., PERJU D., CRUDU M., Mecanisme. Partea I-a. Analiza mecanismelor. I.P.”Traian Vuia” din Timisoara, 1978. 137.-K2. KOVACS FR., PERJU D., Mecanisme. I.P. “Traian Vuia” din Timisoara, 1977. 138.-K3. KOSTER M.P., The effects of backlash and shaft flexibility on the dynamic behaviour of a cam mechanism. In, Cams and cam mechanisms, 1974, pp. 141-146. 139.-K4. KWAKERNAAK H., Minimum Vibration Cam Profiles, J. Mech. Eng. Sci., 1968, 10, pp. 219-227. 140.-K5. KLOOMOK M., s.a., Plate cam design-evaluating dynamic loads. Prod. Engng., 27(1), 1956, pp. 178-182. 141.-K6. KLOOMOK M., MUFFLEY R.V., Plate cam design-pressure angle analysis. In Product Engineering, 1955, 26(5), pp. 155-160. 142.-K7. KERLE H., How effective is the method of finite differences as regards simple cam mechanisms. Cams and cam mechanisms, 1974, pp. 131-135. 143.-L1. LOWN G., s.a., Survey of Investigations in to the Dynamic Behaviour of Mechanisms Contsining Links with Distributed Mass and Elasticity. Mech. and Mach. Th., 7, 1972. 144.-L2. LEDERER P., Dynamische synthese der ubertragungs-funktion eines Kurvengetriebes. In, Mech. Mach. Theory ,Vol. 28., Nr.1., pp. 23-29, Printed in Great Britain, 1993. 145.-M1. MANOLESCU N.I., KOVACS FR., ORANESCU A., Teoria mecanismelor si a masinilor. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1972. 146.-M2. MANOLESCU N.I., MAROS D., Teoria mecanismelor si a masinilor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1958. 147.-M3. MANOLESCU N.I., s.a., Probleme de teoria mecanismelor si a masinilor. Vol. II., E.D.P., Bucuresti, 1968. 148.-M4. MAROS D., Mecanisme. Vol. I., I.P. Cluj-Napoca, 1980. 149.-M5. MERTICARU V., Mecanisme si organe de masini. I.P.Iasi, 1979. 150.-M6. MANGERON D., IRIMICIUC N., Mecanica rigidelor cu aplicatii în inginerie. Vol. I,II si III. Editura tehnicã, Bucuresti, 1981. 151.-M7. MARUSTER ST., Metode numerice în rezolvarea ecuatiilor neliniare. Ed. Tehn., Bucuresti, 1981. 152.-M8. MARINA M., Contributii la studiul optimizãrii distributiei motoarelor cu ardere internã în 4 timpi. Rezumatul tezei de doctorat, Timisoara, 1978. 153.-M9. MANEA GH., Organe de masini. Editura Tehnicã, Bucuresti, 1970. 154.-M10. MITSI S., TSIAFIS J., Optimal synthesis of cam mechanisms. In SYROM’93, Vol. III., pp. 155-162., Bucuresti, iunie 1993.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

155.-M11. MARINA M., Consideration on the functional compatibility of the engine distribution mechanism springs. SYROM’97, Vol. 3., pp. 313, Bucuresti, august 1997. 156.-M12. MERCER S., Dynamic characteristics of cam forms calculated by the digital computer. Trans. ASME, Nov. 1958, 80, pp. 1695-1705. 157.-M13. MARINCAS D., FRATILA G., PETRESCU FL., s.a., Rezultatele experimentale privind îmbunãtãtirea izolatiei fonice a cabinei autoutilitarei TV-14. In CONAT, Brasov, 1982. 158.-M14. MOLIAN S., The Design of Cam Mechanisms and Linkages. Elsevier, New York, 1968. 159.-M15. MOISE V., SIMIONESCU I., ENE M., NEACŞA M., TABĂRĂ I., Analiza mecanismelor aplicate, Editura Printech, ISBN 978-973-718-891-5, Bucureşti, 216 pag., 2008. 160.-N1. NEKLUTIN C.N., Designing cams for controlled inertia and vibration. In Machine Design, June 1952, pp. 143-153. 161.-N2. NAKANISHI F., On cam from which induce no surging in valve springs. Report of the Aeronautical Research Institute, 220, TOKYO Imperial University, 1941, pp. 271-280. 162.-O1. OPREAN M., Studiul interactiunii camã-arc de supapã la motoarele, cu aprindere prin scânteie, de turatie ridicatã. Tezã de doctorat, I.P.B., Bucuresti, 1984. 163.-O2. OPRISAN C., POPOVICI GH., O analizã a variatiei unghiului de presiune la mecanismele cu camã si tachet de translatie. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994. 164.-O3. OHRNBERGER G., MANN M., AUDI A.G., Germany, The Audi 5- Valve Cylinder Head Concept.(945004), In XXV FISITA CONGRESS, 17-21 October 1994, Beijing, pp. 36-44. 165.-P1. PELECUDI CHR., DRANGA M., Dinamica masinilor. I.P.B., Bucuresti, 1980. 166.-P2. PELECUDI CHR., Bazele analizei mecanismelor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1967. 167.-P3. PELECUDI CHR., Precizia mecanismelor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1975. 168.-P4. PELECUDI CHR., MAROS D., MERTICARU V., PANDREA N., SIMIONESCU I., Mecanisme. E.D.P., Bucuresti, 1985. 169.-P5. PELECUDI CHR., s.a., Proiectarea mecanismelor. I.P.B., Bucuresti, 1981. 170.-P6. PELECUDI CHR., s.a., Probleme de mecanisme. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1982. 171.-P7. PELECUDI CHR., s.a., Algoritmi si programe pentru analiza mecanismelor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1982. 172.-P8. PELECUDI CHR., SIMIONESCU I., ENE M., CANDREA A., STOENESCU M., MOISE V., Mecanisme cu cuple superioare: came si roti. I.P.B., Bucuresti, 1982. 173.-P9. POPESCU I., Proiectarea mecanismelor plane. Editura Scrisul Românesc din Craiova, 1977. 174.-P10. PANDREA N., MUNTEANU M., Curs de vibratii. Vol. I. si II., I.P.B., Bucuresti, 1979. 175.-P11. PELECUDI CHR., SAVA I., Studiul experimental al dinamicii mecanismelor cu came. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 3., Bucuresti, 1970. 176.-P12. PELECUDI CHR., SAVA I., MATHEESCU A., Optimizarea legilor de functionare ale mecanismelor de distributie. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 3., Bucuresti, 1968. 177.-P13. PFISTER F., FAYET M., Linearization of dynamic models. In al VI-lea SYROM’93, Vol. II., Bucuresti, iunie 1993. 178.-P14 PELECUDI CHR., BOGDAN R., Sinteza mecanismelor cu came la prescrierea valorilor arcelor de curbã. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 6., Bucuresti, 1962. 179.-P15. PELECUDI CHR., MATHEESCU A., Analiza armonicã a legilor de miscare la mecanismele cu camã. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 1., Bucuresti, 1969. 180.-P16. PELECUDI CHR., SAVA I., Asupra analizei si sintezei mecanismelor cu came. In revista Constructia de masini, nr. 8-9., Bucuresti, 1967. 181.-P17. PANDREA N., HARA V., POPA D., Sinteza dimensionalã a mecanismelor de distributie cu admisie adaptivã pentru optimizarea legii de deplasare a supapei de admisie. In PRASIC’94, Brasov, dec. 1994. 182.-P18. POPOVICI GH., Sinteza profilului camei cu tachet de translatie. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994. 183.-P19. POPOVICI GH., LEOHCHI D., CIAUSU V., Sinteza profilului camei cu tachet oscilant. In PRASIC’94, Brasov, dec. 1994. 184.-P20. PELECUDI CHR., SAVA I., Optimizãri în sinteza numericã a miscãrii mecanismelor cu came. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 5., Bucuresti, 1971. 185.-P21. PETRESCU F., PETRESCU R., Contributii la optimizarea legilor polinomiale de miscare a tachetului de la mecanismul de distributie al motoarelor cu ardere internã. In E.S.F.A.’95, Vol. 1.,pp. 249-256., Bucuresti, mai 1995. 186.-P22. PETRESCU F., PETRESCU R., Contributii la sinteza mecanismelor de distributie ale motoarelor cu ardere internã. In E.S.F.A.’95, Vol. 1., pp. 257-264., Bucuresti, mai 1995. 187.-P23. PETRESCU F., PETRESCU V., Dinamica mecanismelor cu came (exemplificatã pe mecanismul clasic de distributie). SYROM’97, Vol. 3., pp. 353-358., Bucuresti, august 1997.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

188.-P24. PETRESCU F., PETRESCU V., Contributii la sinteza mecanismelor de distributie ale motoarelor cu ardere internã cu metoda coordonatelor carteziene. SYROM’97, Vol. 3., pp. 359-364., Bucuresti, august 1997. 189.-P25. PETRESCU F., PETRESCU V., Contributii la maximizarea legilor polinomiale pentru cursa activã a mecanismului de distributie de la motoarele cu ardere internã. SYROM’97, Vol. 3., pp. 365-370., Bucuresti, august 1997. 190.-P26. PETRESCU F.,PETRESCU V., Sinteza mecanismelor de distributie prin metoda coordonatelor rectangulare (carteziene). In Conferinta “Grafica-2000”, Universitatea din Craiova, Craiova, 2000. 191.-P27. PETRESCU F., PETRESCU V., Designul (sinteza) mecanismelor cu came prin metoda coordonatelor polare (metoda triunghiurilor). In Conferinta “Grafica-2000”, Universitatea din Craiova, Craiova, 2000. 192.-P28. PETRESCU F., PETRESCU V., Legi de mişcare pentru mecanismele cu came. In al VII-lea Simpozion Naţional cu Participare Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 321-326. 193.-P29. PETRESCU, F., PETRESCU, R. Elemente de dinamica mecanismelor cu came. In al VII-lea Simpozion Naţional cu Participare Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 327-332. 194.-P30. PETRESCU, V., PETRESCU, I., ANTONESCU, O. Randamentul cuplei superioare de la angrenajele cu roţi dinţate cu axe fixe. In al VII-lea Simpozion Naţional cu Participare Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 333-338. 195.-P31. PETRESCU, I., PETRESCU, V., OCNĂRESCU, C. The Cam Synthesis With Maximal Efficiency. In al VII-lea Simpozion Naţional cu Participare Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 339-344. 196.-P32. PETRESCU, F., PETRESCU, R. Câteva elemente privind îmbunătăţirea designului mecanismului motor. În al VIII-lea Simpozion Naţional, de Geometrie Descriptivă, Grafică Tehnică şi Design, GTD 2003, Braşov, iunie 2003, Vol. I, p. 353-358. 197.-P33. PETRESCU, F., PETRESCU, R. The cam design for a better efficiency. In the International Conference on Engineering Graphics and Design, ICEGD 2005, Bucharest, 2005, Vol. I, p. 245-248. 198.-P34. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V. Contributions at the dynamics of cams. In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 123-128. 199.-P35. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V. Determining the dynamic efficiency of cams. In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 129-134. 200.-P36. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V. An original internal combustion engine. In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 135-140. 201.-P37. PETRESCU, R.V., PETRESCU, F.I. Determining the mechanical efficiency of Otto engine’s mechanism. In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 141-146. 202.-P38. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V., POPESCU N., The efficiency of cams. In the Second International Conference “Mechanics and Machine Elements”, Technical University of Sofia, November 4-6, 2005, Sofia, Bulgaria, Vol. II, p. 237-243. 203.-R1. RADOI M., DECIU E., Mecanica. E.D.P., Bucuresti, 1973. 204.-R2. RADOI M., DECIU E., Mecanica. E.D.P., Bucuresti, 1977. 205.-R3. RAO A., Optimum Elastodynamic Synthesis of a Cam-Follower Train Using StochasticGeometric Programming. Mech. and Mach. Theory, Vol. 15., 1980. 206.-R4. RAICU A., Consideratii privind nedeterminarea din ecuatia de miscare a masinii. In PRASIC, Brasov, decembrie 1994. 207.-R5. REES JONES J., Analog simulation of SCCA cam motion. In Mech. Eng. Deptl. Report, 1974, Liverpool Polytechnic. 208.-R6. ROSKILLY M., s.a., Valve gear design analysis. In XXII FISITA CONGRESS (865027), PP. 1.193-1.200. 209.-R7. ***, Revue Technique, aprilie 1991, pp. 22. 210.-S1. SILAS GH., Mecanicã-vibratii mecanice, E.D.P., Bucuresti, 1968. 211.-S2. SILAS GH., s.a., Culegere de probleme de vibratii mecanice. Editura tehnicã, Bucuresti, 1967. 212.-S3. SARSTEN A.,VALLEND H., Computer aided design of valve cams. Internal Combustion Engines conference, Bucharest, Paper II-19, 1967.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

213.-S4. SAVA I., Stadiul actual în dinamica mecanismelor cu came. I-II., Rev. S.C.M.A., Nr. 5., 1969. 214.-S5. SAVA I., Contributii la dinamica si sinteza optimalã a mecanismelor cu came. Tezã de doctorat, I.P.B., 1970. 215.-S6. SAVA I., Cu privire la functionarea in regim dinamic a supapei mecanismului distributiei motoarelor cu ardere interna. In revista C.M. Nr.12.,Bucuresti, 1971. 216.-S7. SAVIUC S., Optimizarea duratei de deschidere simultanã a supapelor la motoarele cu aprindere prin scânteie. Tezã de doctorat, I.P.B., 1979. 217.-S8. SIRETEANU T., GRUNDISCH O., PARAIAN S., Vibratiile aleatoare ale automobilelor. E.T., Bucuresti, 1981. 218.-S9. STOICESCU A., Dinamica autovehiculelor. Vol. I-II., I.P.B., Bucuresti, 1980-82. 219.-S10. STOICESCU A., Dinamica autovehiculelor pe roti. E.D.P., Bucuresti, 1981. 220.-S11. SONO H., UMIYAMA H., Honda RDCo., Ltd. Japan, A study of Combustion Stability of Non-Throttling S.I. Engine with Early Intake Valve Closing Mechanism. (945009), In XXV FISITA CONGRES, October 1994, Beijing, pp. 78-87. 221.-T1. TEMPEA I., POPA GH., Mecanisme plane articulate. I.P.B., Bucuresti, 1978. 222.-T2. TEMPEA I., MARTINEAC A., Organe de masini, teoria mecanismelor si prelucrãrii prin aschiere. Partea I , mecanisme, I.P.B., Bucuresti, 1983. 223.-T3. TEMPEA I., BALESCU C., ADIR G., Mecanism de presare destinat mecanizãrii operatiei de formare în rame (pãrtile I si II). In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, 1987. 224.-T4. TEMPEA I., GRADU M., Sinteza camei de translatie cu tachet cu rolã, cu ajutorul functiilor spline. In lucrãrile simpozionului de R.I., Timisoara, 1992. 225.-T5. TUTUNARU D., Mecanisme plane rectiliniare si inversoare. Editura tehnicã, Bucuresti, 1969. 226.-T6. TORAZZA G., A variable lift and event control device piston engine valve operation. In FISITA XIV Congres,Paper II / 10, London, 1972. 227.-T7. TESAR D., MATTHEW G.K., The design of modelled cam sistems. In Cams and cam mechanisms, 1974. 228.-T8. TERME D., Besondere Merkmalebeider Nutzung des Pressungwinkels fur kurvengetriebeanalyse und-Synthese. In SYROM’85,Vol. III-2, pp. 489-504, Bucuresti, iulie 1985. 229.-T9. TEMPEA I., DUGĂEŞESCU I., NEACŞA M., Mecanisme. Noţiuni teoretice şi teme de proiect rezolvate, Ed. Printech, ISBN (10) 973-718-560-9, 2006. 230.-T10. D. Taraza, N.A. Henein, W. Bryzik, "The Frequency Analysis of the Crankshaft's Speed Variation: A reliable Tool for Diesel Engine Diagnosis," ASME Journal for Gas Turbines and Power 123(2), 428-432, 2001 231.-T11. D. Taraza, "Accuracy Limits of IMEP Determination from Crankshaft Speed Measurements," SAE Transactions, Journal of Engines 111, 689-697, 2002. 232.-T12. D. Taraza, "Statistical Correlation Between the Crankshaft's Speed Variation and Engine Performance, Part I: Theoretical Model," ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power 125(3), 791-796, 2003. 233.-T13. D. Taraza, "Statistical Correlation Between the Crankshaft's Speed Variation and Engine Performance, Part II: Detection of Deficient Cylinders and MIP Calculation," ASME journal of Engineering for Gas Turbines and Power 125(3), 797-803, 2003. 234.-U1. ULF A., WILLIAM S., A Simple Procedure for Modifying High-Speed Cam Profiles for Vibration Reduction, Journal of Mechanical Design - November 2004 - Volume 126, Issue 6, pp. 1105-1108. 235.-V1. VOINEA R., VOICULESCU D., CEAUSU V., Mecanica. E.D.P., Bucuresti, 1975. 236.-V2. VOINEA R., ATANASIU M., Metode analitice noi în teoria mecanismelor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1964. 237.-V3. Van de Straete, H.J., De Schutter, J., Hybrid cam mechanisms, Mechatronics, IEEE/ASME Transactions on Volume 1, Issue 4, Dec. 1996 Page(s):284 - 289 238.-W1. WIEDERRICH J.L., ROTH B., Design of low vibration cam profiles. In Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONES, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974. 239.-W2. WIEDERRICH J.L., ROTH B., Dynamic Synthesis of Cams Using Finite Trigonometric Series, Trans. ASME, 1974. 240.-Y1. YOUNG V.C., Considerations în valve gear design. Trans. SAE, 1, 1947, pp. 359-365. 241.-Z1. ZHANG J.L., LI Z., Research on the dynamics of a RSCR spatial mechanisms considering bearing clearances. In al VI-lea SYROM, Vol. II, Bucuresti, iunie 1993.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

PARTEA A II-a CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE PRIVIND n

2 v2 Fτ Fm

α1

Fτl, vτl

rb2 Fml, vml

rp1

α1

Fψ v12 O1

DINAMICA

Fτi, vτi

rl1 rk1

rb1

ri1αj αi

rj1

ω1

Fmi, vmi

j i

rb1 O1

MECANISMELOR PLANE FORMATE DIN ANGRENAJE CU ROŢI DINŢATE CU AXE PARALELE 98

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

CAP. 1

CÂTEVA MODELE DINAMICE UTILIZATE LA STUDIUL MIŞCĂRII REALE A ANGRENAJELOR CU ROŢI DINŢATE CÂT ŞI AL FENOMENELOR DINAMICE DIRECTE ŞI SECUNDARE CARE APAR 1.1. Model dinamic cu impact între dinţii în angrenare, cu deplasare şi cu deformaţii elastice

În lucrările [B1 şi B2] americanii de la Austin Texas, prezintă un model dinamic cu impact între dinţii în angrenare; impactul are ca efect deplasarea dinţilor, dar şi deformaţii elastice ale danturii şi chiar ale roţilor în angrenare. În figura 1.1 sunt prezentate câteva probleme ridicate de variaţia vitezei unghiulare în momentul impactului şi imediat după el; apar şi variaţii energetice cât şi oscilaţii ale frecvenţei principale. Model dinamic cu impact între dintii în angrenare cu deplasare si cu deformatii elastice

Oscilatii ale frecventei

Variatii energetice

Fig. 1.1. Model dinamic cu impact între dinţii în angrenare

În figura 1.2 roţile în angrenare au fost împărţite într-o plasă (reţea) pentru a se putea observa astfel cum se deformează ele dar şi dinţii atunci când sunt în contact. Model dinamic cu impact între dintii în angrenare cu deplasare si cu deformatii elastice

Fig. 1.2. Model dinamic cu impact între dinţii în angrenare; plasă elemente finite

Efectele deformaţiilor retelelor datorate variaţiilor de viteză unghiulară a celor două roţi, se pot observa pe aceste reţele fotografiate pas cu pas (la diferite momente de timp) în figura 1.3: 99

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Model dinamic cu impact între dintii în angrenare cu deplasare si cu deformatii elastice

Fig. 1.3. Model dinamic cu impact între dinţii în angrenare; propagarea undelor elastice induse de impactul dintre dinţii celor două roţi în angrenare la diferite momente temporare

1.2. Model dinamic cu două discuri inerţiale legate între ele printr-un arc şi un amortizor

În figura 1.4 este prezentat un model dinamic simplu cu două discuri inerţiale (care înlocuiesc cele două roţi dinţate din angrenare), discurile având axe paralele; ele sunt legate printr-un arc (care impune o constantă de elasticitate sistemului) şi printr-un amortizor (ce impune şi el o constantă de amortizare întregului sistem), [L1]. Pe baza modelului dinamic teoretic prezentat, se determină experimental zgomotele şi vibraţiile produse de angrenajul considerat (a se urmări figura 1.5).

Model dinamic cu douã discuri inertiale (având fiecare axe proprii dar paralele) legate printr-un arc si un amortizor

Fig. 1.4. Model dinamic cu două discuri inerţiale

100

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Model dinamic cu douã discuri inertiale (având fiecare axe proprii dar paralele) legate printr-un arc si un amortizor

Fig. 1.8. Model Dinamic simplu, cu douã discuri inertiale, legate printr-un arc si un amortizor;

Determinãri experimentale: mãsurãtori ale vibratiilor si zgomotelor produse de rotile în angrenare.

Fig. 1.5. Model dinamic cu două discuri inerţiale, legate printr-un arc şi un amortizor: Determinări experimentale

1.3. Modelul dinamic Tadashi TAKEUCHI (Firma MITSUBISHI)

În figura 1.6 este prezentat un model dinamic interesant al japonezilor de la concernul Mitsubishi Motors. Lucrarea lor [T1], nu numai că este interesantă, dar în permanenţă compară, aşa cum firesc ar trebui să procedeze şi alţii, rezultatele teoretice cu cele experimentale (vezi diagramele teoretice şi experimentale din figura 1.7). Modelul Dinamic Tadashi TAKEUCHI – Concernul Mitsubishi Motors

Fig. 1.9. Modelul Dinamic Tadashi TAKEUCHI – Concernul Mitsubishi Motors

Fig. 1.6. Model dinamic Tadashi – Mitsubishi Motors Modelul Dinamic Tadashi TAKEUCHI – Concernul Mitsubishi Motors

Fig. 1.10. Modelul Dinamic Tadashi TAKEUCHI – Concernul Mitsubishi Motors:

-rezultate teoretice si experimentale (comparatie).

Fig. 1.7. Model dinamic Tadashi – Mitsubishi Motors; comparaţie între rezultatele teoretice şi cele experimentale

101

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

1.4. Model dinamic belgian cu două discuri inerţiale legate între ele printr-un arc şi un amortizor

În figura 1.8 este prezentat un model dinamic belgian [P1], cu două discuri inerţiale legate printr-un arc, care prezintă şi constantă elastică şi coeficient de amortizare (sus la mijloc - în imagine); modelul mecanic echivalent pentru vibraţii liniare cu două mase vibrante şi un grad de mobilitate (prezentat în dreapta sus) poate uşura calculele efectuate pentru dinamica celor două roţi dinţate aflate în angrenare, cea conducătoare şi cea condusă. În figura 1.9 sunt prezentate forţele luate în calcul. Model dinamic belgian, cu douã discuri inertiale, legate printr-un arc si un amortizor; Model echivalent cu douã mase vibrante (în dreapta).

Fig. 1.8. Model dinamic belgian – în dreapta modelul echivalent, cu două mase vibrante

Model dinamic belgian, cu douã discuri inertiale, legate printr-un arc si un amortizor;

Fig. 1.9. Model dinamic belgian – Forţele din sistem

102

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

1.5. Model dinamic cu patru discuri inerţiale legate între ele prin arcuri şi amortizoare

În figura 1.10 este prezentat un model dinamic [L2], cu patru discuri inerţiale legate prin arcuri şi amortizoare, toate prezentând atât constantă elastică cât şi coeficient de amortizare. Model dinamic, cu 4 discuri inertiale, legate prin arcuri si amortizoare.

Fig. 1.10. Model dinamic cu patru discuri inerţiale

1.6. Prezentarea unui „Model dinamic original” utilizat la studiul angrenajelor cu axe paralele

Aproape toate modelele dinamice studiate referitoare la angrenajele cu axe paralele, se bazează pe modelele mecanice clasice (cunoscute) care studiază vibraţiile torsionale ale arborilor angrenajului şi determină pulsaţiile proprii şi deformaţiile torsionale ale arborilor; sigur că sunt foarte utile, dar nu tratează efectiv cupla formată din cei doi dinţi în angrenare (sau mai multe perechi de dinţi în angrenare), adică nu tratează fiziologia propriuzisă a mecanismului cu roţi dinţate pentru a vedea care sunt fenomenele dinamice ce au loc în cupla superioară plană; modelul de la paragraful 1.1 încearcă tocmai acest lucru, însă toată teoria se bazează direct pe impactul dintre dinţi (ciocnirile dintre dinţi); în cadrul paragrafului 1.6 se va prezenta un model original care încearcă să studieze fenomenele dinamice ce au loc în cupla plană superioară de la angrenajele cu roţi dinţate cu axe paralele.

O2 rb2 K2 P

A ϕ1

θ1

K1 rb1

Fig. 1.11. Unghiurile caracteristice poziţiei unui dinte al roţii conducătoare, aflat în angrenare

103

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

În figura 1.11 este prezentat un dinte al roţii 1 conducătoare, aflat în angrenare într-o poziţie oarecare pe segmentul de angrenare K1K2. El este caracterizat de unghiurile θ1 şi ϕ1, primul arătând poziţia vectorului O1P (vectorul de contact) în raport cu vectorul fix O1K1, iar al doilea arătând cu cât s-a rotit dintele (roata conducătoare 1) în raport cu O1K1. Între cele două unghiuri există relaţiile de legătură 1.1: ϕ1 = tgθ1 (1.1) θ1 = arctgϕ1 Deoarece ϕ1 este suma dintre unghiurile θ1 şi γ1, unde unghiul γ1 reprezintă funcţia cunoscută invθ1: ϕ1 = θ1 + γ 1 = θ1 + invθ1 = θ1 + (tgθ1 − θ1 ) = tgθ1 (1.2) Relaţiile (1.1.) se derivează şi obţinem relaţiile (1.3.):

ϕ&1 = (1 + tg 2θ1 ) ⋅ θ&1 = (1 + ϕ12 ) ⋅ θ&1 ϕ& 1 1 θ&1 = 1 2 = D1 ⋅ ω1; D1 = = 2 1 + ϕ1 1 + ϕ1 1 + tg 2θ1 − 2 ⋅ ϕ1 − 2 ⋅ tgθ1 = θ&&1 = D& 1 ⋅ ω1 = D1' ⋅ ω12 ; D1' = 2 2 (1 + ϕ1 ) (1 + tg 2θ1 ) 2

(1.3)

Modelul dinamic luat în considerare este similar celui de la partea I a lucrării deoarece mecanismele cu roţi dinţate sunt similare celor cu came; practic roata dinţată este o camă multiplă, fiecare dinte fiind o camă, prezentând numai faza de ridicare. Forţele şi J* (M*) se modifică, deci şi ecuaţia de mişcare va căpăta un alt aspect. Contactul dintre cei doi dinţi este practic contactul dintre o camă de rotaţie şi un tachet balansier (tot de rotaţie). Similar deci modelelor cu came se va determina cinematica de precizie (dinamică) la cupla superioară cu angrenaje cu axe paralele. Vectorul care se impune pe roata 1 conducătoare (la cinematica dinamică), este vectorul de contact O1P, unghiul său de poziţie fiind θ1 , iar viteza sa unghiulară θ&1 . La roata 2, condusă, se transmite viteza v2 (vezi schema cinematică din figura 2.1.): v2 = −v1 ⋅ cosθ1 = − rp1 ⋅ θ&1 ⋅ cosθ1 = − rb1 ⋅ θ&1 = − rb1 ⋅ D1 ⋅ ω1 (1.4) r dar : v2 = rb 2 ⋅ ω2 => ω2 = − b1 ⋅ D1 ⋅ ω1 rb 2 Prin derivare se calculează şi acceleraţia unghiulară (de precizie), la roata 2 (1.5), iar prin integrare deplasarea roţii 2 (1.6): rb1 ⋅ D1' ⋅ ω12 rb 2

(1.5)

rb1 r ⋅ arctg (ϕ1 ) = − b1 ⋅ θ1 rb 2 rb 2

(1.6)

ε2 = − ϕ2 = −

Forţa redusă (motoare şi rezistentă) la roata 1, conducătoare, este egală cu forţa elastică din cuplă (atâta timp cât la roata condusă 2 nu mai intervine şi o forţă rezistentă tehnologică sau suplimentară) şi se scrie sub forma (1.7):

104

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

F * = K ⋅ (rb1 ⋅ ϕ1 − rb 2 ⋅ ϕ 2 ) = = K ⋅ (rb1 ⋅ ϕ1 − rb 2 ⋅

rb1 ⋅ θ1 ) = rb 2

(1.7)

= K ⋅ rb1 ⋅ (tgθ1 − θ1 ) Semnul minus a fost luat odată, astfel încât ϕ 2 se înlocuieşte doar în modul, în expresia 1.7, iar K reprezintă constanta elastică a dinţilor în angrenare, şi se măsoară în [N/m]. Ecuaţia dinamică de mişcare se scrie: 1 dM * (1.8) M * ⋅ &x& + ⋅ ⋅ x& = F * 2 dt Masa redusă, M * , se determină cu relaţia (1.9): 1 1 1 cos 2 θ1 M * = ( J 1 + 2 ⋅ J 2 ) ⋅ 2 = ( J1 + 2 ⋅ J 2 ) ⋅ = i rp1 i rb21 (1.9) 1 1 J1 + 2 ⋅ J 2 J1 + 2 ⋅ J 2 i i = ⋅ cos 2 θ1 = CM ⋅ cos 2 θ1; CM = 2 rb1 rb21 Unde, J1 şi J2 reprezintă momentele de inerţie (masice, mecanice), reduse la roata 1, iar i este modulul raportului de transmitere de la roata 1 la roata 2 (vezi relaţia 1.10): r ω (1.10) i = b2 = − 1 rb1 ω2 Deplasarea x a roţii 2 pe segmentul de angrenare, se scrie: r (1.11) x = rb 2 ⋅ ϕ 2 = rb 2 ⋅ − b1 ⋅ arctgϕ1 = − rb1 ⋅ arctgϕ1 = − rb1 ⋅ θ1 rb 2 Viteza şi acceleraţia corespunzătoare se scriu: 1 x& = −rb1 ⋅ θ&1 = − rb1 ⋅ ⋅ ω1 (1.12) 1 + tg 2θ1 tgθ1 − 2 ⋅ tgθ1 &x& = −rb1 ⋅ θ&&1 = − rb1 ⋅ ⋅ ω12 = 2 ⋅ rb1 ⋅ ⋅ ω12 (1.13) 2 2 2 2 (1 + tg θ1 ) (1 + tg θ1 ) Se derivează masa redusă în raport cu timpul şi rezultă expresia (1.14): cosθ1 ⋅ sin θ1 dM * (1.14) = −2 ⋅ CM ⋅ ⋅ ω1 1 + tg 2θ1 dt Ecuaţia de mişcare (1.8.) ia acum forma (1.15), care se poate aranja şi sub forma (1.16): tgθ1 3 ⋅ CM ⋅ rb1 ⋅ ⋅ ω12 = K ⋅ rb1 ⋅ (tgθ1 − θ1 ) (1.15) 2 3 (1 + tg θ1 ) rb21 ⋅ J 2 ) ⋅ ω12 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ C tg 3 θ ω r 1 1 M b2 = tgθ1 ⋅ [1 − 2 ] (1.16) θ1d ≡ θ1 = tgθ1 − K ⋅ (1 + tg 2θ1 )3 rb1 ⋅ K ⋅ (1 + tg 2θ1 )3 Expresia (1.16) reprezintă soluţia ecuaţiei de mişcare a cuplei superioare; pentru un unghi de rotaţie al roţii 1, ϕ1 , cunoscut, căruia îi corespunde un unghi de presiune θ1 , cunoscut, expresia (1.16) generează un unghi de presiune dinamic, θ1d . În condiţiile în care constanta de elasticitate a dinţilor în contact, K, este suficient de mare, dacă raza cercului de bază a roţii 1 nu scade prea mult (z1 să fie mai mare de 15-20), pentru turaţii normale sau chiar ridicate (dar nu foarte mari), raportul din paranteza expresiei 3 ⋅ ( J1 +

105

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

1.16 rămâne subunitar şi chiar mult mai mic decât 1, astfel încât expresia 1.16 se poate aproxima firesc la forma (1.17): θ1d = tgθ1 = ϕ1c ≡ ϕ1 (1.17) Acum se poate determina viteza unghiulară instantanee a roţii 1 conducătoare (relaţia 1.19): Δω1 Δϕ1 = ⇒

ωm

ϕ1

Δϕ1

ϕ d − ϕ1 tg (θ1d ) − ϕ1 tg (ϕ1 ) − ϕ1 invϕ1 Δω1 = ⋅ ωm = 1 ⋅ ωm = ⋅ ωm = ⋅ ωm = ⋅ ωm ϕ1 ϕ1 ϕ1 ϕ1 ϕ1 ω1 = ωm + Δω1 = (1 +

invϕ1

ϕ1

) ⋅ ωm =

tg (ϕ1 )

ϕ1

⋅ ωm =

tg (tgθ1 ) ⋅ ωm = Rd 1 ⋅ ωm tgθ1

(1.18)

(1.19)

Se defineşte coeficientul dinamic, Rd1, ca fiind raportul între tangentă de fi1 şi tg (tgθ1 ) , relaţia 1.20: unghiul fi1, sau raportul tgθ1 tg (tgθ1 ) (1.20) Rd 1 = tgθ1 Sinteza dinamică a angrenajelor cu axe paralele se poate face ţinând cont de relaţia (1.20.). Necesitatea obţinerii unui coeficient dinamic cât mai scăzut (cât mai apropiat de valoarea 1), impune limitarea unghiului de presiune maxim, θ1M şi a celui normal, α 0 , cât şi creşterea numărului minim de dinţi al roţii conducătoare, 1, z1min. În tabelul 1.1. sunt prezentate câteva valori ale coeficientului dinamic Rd1 în funcţie de unghiul de presiune normal şi de numărul minim de dinţi al roţii 1 conducătoare; Valoarea unghiului de presiune normal (standardizată) trebuie scăzută pentru a atinge coeficienţi dinamici apropiaţi de valoarea unitară; în acelasi timp trebuie mărit numărul minim de dinţi al roţii 1 conducătoare.

α 0 [grad] z1min [] 20 20 25 60 100 z1min [] 10 20 25 60 100 z1min [] 5 20 25 60 100

θ1M

Tabelul 1.1. [grad]

31,321 29,531 24,580 22,888

θ1M

[grad]

26,456 24,236 17,629 15,094

θ1M

[grad]

25,092 22,720 15,408 12,403 106

Rd1 [] 1,145 1,123 1,076 1,064 Rd1 [] 1,092 1,074 1,035 1,025 Rd1 [] 1,080 1,063 1,026 1,016

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Dinamica la roata 2, a angrenajului; Pentru roata 2 condusă putem scrie următoarele relaţii (cu c-cinematic, cp-cinematica de precizie, d-dinamic): r ϕ 2c = − b1 ⋅ ϕ1 (1.21) rb 2 r (1.22) ω2c = − b1 ⋅ ω1 rb 2 r ε 2c = − b1 ⋅ ε 1 = 0 (1.23) rb 2 r r (1.24) ϕ 2cp = − b1 ⋅ arctgϕ1 = − b1 ⋅θ1 rb 2 rb 2 r r 1 1 ω2cp = − b1 ⋅ ⋅ ω1 = − b1 ⋅ ⋅ ω1 (1.25) 2 rb 2 1 + ϕ1 rb 2 1 + tg 2θ1 r − 2 ⋅ ϕ1 r − 2 ⋅ tgθ1 ε 2cp = − b1 ⋅ ⋅ ω12 = − b1 ⋅ ⋅ ω12 (1.26) 2 2 rb 2 (1 + ϕ1 ) rb 2 (1 + tg 2θ1 ) 2 r tgϕ1 (1.27) ϕ 2d = − b1 ⋅ ∫ dϕ1 rb 2 ϕ1 + ϕ13 r tgϕ1 r tg (tgθ1 ) 1 1 (1.28) ω2d = − b1 ⋅ ⋅ ⋅ ω1 = − b1 ⋅ ⋅ ⋅ ω1 2 2 rb 2 1 + ϕ1 ϕ1 rb 2 1 + tg θ1 tgθ1

ε 2d = −

rb1 (1 + tg 2ϕ1 ) ⋅ (ϕ1 + ϕ13 ) − tgϕ1 ⋅ (1 + 3 ⋅ ϕ12 ) 2 ⋅ ⋅ ω1 (ϕ1 + ϕ13 ) 2 rb 2

(1.29)

Cu:

ϕ1m = tgθ1m =

( z1 + z2 ) ⋅ sin α 0 − z22 ⋅ sin 2 α 0 + 4 ⋅ z2 + 4 z1 ⋅ cos α 0

(1.30)

z12 ⋅ sin 2 α 0 + 4 ⋅ z1 + 4 (1.31) z1 ⋅ cos α 0 Dinamica la roata 2 (condusă), se calculează cu relaţiile (1.27-1.31). Se poate defini şi pentru roata 2 un coeficient dinamic Rd2, (a se vedea relaţiile 1.28 şi 1.32): tgϕ1 tg (tgθ1 ) 1 1 ⋅ = ⋅ Rd 2 = (1.32) 2 2 1 + ϕ1 ϕ1 1 + tg θ1 tgθ1

ϕ1M = tgθ1M =

Viteza unghiularã a rotii 2, cu: rb1=18.79[mm], rb2=93.97[mm], w1=104.72 [s-1], alfa0=20[grad], m=2[mm] 0 0

-5 w2c [s-1]

w2cp [s-1]

w2d [s-1]

-10

-15

-20

-25

FI1 [rad]

Fig. 1.12. Dinamica la roata 2; variaţia vitezei unghiulare cinematice, în cinematica de precizie şi dinamice, a roţii 2, conduse, în funcţie de unghiul FI1

107

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Reprezentarea vitezei unghiulare, ω2, în funcţie de unghiul ϕ1, pentru rb1 şi rb2 date (z1, z2, m şi α0 impuse), şi pentru o anumită valoare a vitezei unghiulare de intrare, constantă (impusă de turaţia arborelui pe care este montată roata conducătoare 1), se poate urmări în figurile 1.12.-1.14.; Se observă aspectul de vibraţie al vitezei unghiulare dinamice, ω2; se porneşte cu raze diferite şi unghiul normal de 20 grade, apoi se continuă cu raze egale şi alfa0 tot 20 grade, iar în ultima diagramă rămânem pe raze egale şi se scade alfa0 la 5 grade.

Fig. 1.13. Dinamica la roata 2; variaţia vitezei unghiulare cinematice, în cinematica de precizie şi dinamice, a roţii 2, conduse, în funcţie de unghiul FI1

Fig. 1.14. Dinamica la roata 2; variaţia vitezei unghiulare cinematice, în cinematica de precizie şi dinamice, a roţii 2, conduse, în funcţie de unghiul FI1

108

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

CAP. 2

DETERMINAREA EFICIENŢEI (RANDAMENTULUI) ANGRENAJELOR CU ROŢI DINŢATE

În acest capitol se prezintă o metodă originală de calcul a randamentului cuplei superioare de la mecanismele cu roţi dinţate cu axe fixe (vezi şi lucrările [P2], [P3], [P4], [P5], [P6], [P8], [P9]). Originalitatea constă în modul de determinare a randamentului cuplei cinematice superioare, determinare la care nu sunt utilizate forţele de frecare din cuplă, spre deosebire de metodele clasice sau noi întâlnite până în prezent. Se elimină astfel necesitatea determinării coeficienţilor de frecare prin diferite metode experimentale. Precizăm că totuşi randamentul determinat prin această metodă nu este altul decât randamentul mecanic al cuplei cinematice superioare amintite.

2.1. Determinarea randamentului instantaneu Modelul luat în calcul este foarte simplu, el putând fi urmărit în figura 2.1.

2 v2 Fτ Fm

α1

P rp1 α1

Fψ v12 t

K1 rb1

O1 0

Fig. 2.1. Forţele la angrenajele cu axe paralele

Relaţiile de calcul propuse sunt următoarele: 109

ω1 1

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Fτ =Fm .cosα1

(2.1)

Fψ =Fm .sinα1

(2.2)

v2 = v1 .cosα1

(2.3)

v12 = v1 . sinα1

(2.4)

Fm = Fτ +Fψ

(2.5)

v1 = v2 + v12

(2.6)

unde,

cu: Fm - forţa motoare; Fτ - forţa transmisă (sau utilă); Fψ - forţa care produce alunecarea profilelor (este o forţă pe care o putem considera pierdută); v1 - viteza elementului 1, sau a roţii 1 (conducătoare); v2 - viteza elementului 2, sau a roţii 2 (conduse); v12 - viteza relativă a roţii 1 în raport cu roata 2 (este o viteză de alunecare). Puterea consumată care în acest caz coincide cu puterea motoare se scrie cu relaţia 2.-7 : Pc = Pm = Fm . v1

(2.7)

Puterea utilă sau transmisă profilului 2 de către profilul 1 se poate scrie: Pu = Pτ = Fτ . v2 = Fm .cosα1 .v1 .cosα1 Pu = Fm .v1 .cos2 α1

(2.8) (2.9)

Puterea pierdută se poate scrie astfel: Pψ =Fψ .v12 =Fm .sinα1 .v1 .sinα1 Pψ = Fm . v1 .sin2 α1

(2.10) (2.11)

Randamentul instantaneu al cuplei se determină imediat cu următoarea relaţie: ηi = Pu /Pc =Pτ /Pm =Fm.v1.cos2α1 / Fm.v1 ηi = cos2α1 110

(2.12) (2.13)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Coeficientul de pierdere instantanee se scrie: ψi =Pψ /Pm = Fm.v1.sin2α1 / Fm.v1 = sin2α1

(2.14)

Ca verificare, se vede uşor că suma randamentului instantaneu şi a coeficientului pierderilor instantanee este unu (1): ηi + ψi = cos2α1 +sin2α1 =1

(2.15)

După ce am prezentat pe scurt ideea de bază a lucrării, vom determina în continuare elementele geometrice ale angrenajului, necesare pentru calculul randamentului propriuzis (η), al cuplei. 2.2. Elementele geometrice ale angrenării Se calculează câteva elemente geometrice ale angrenajului, necesare determinării randamentului global al mecanismului.

Raza cercului de bază al roţii 1, conducătoare: rb1 = 1/2.m.z1 .cosα0

(2.16)

Raza cercului de capăt al roţii 1: ra1 = 1/2.(m.z1 +2.m)=m/2.(z1 +2)

(2.17)

În continuare se determină unghiul maxim de presiune al angrenării: cosα1M =rb1 /ra1 =1/2m.z1 .cosα0 /[1/2.m.(z1 +2)]=z1 .cosα0 /(z1 +2)

(2.18)

Se determină apoi razele similare ale roţii 2, (a angrenajului), raza cercului de bază şi cea a cercului de capăt: rb2 = 1/2.m.z2 ..cosα0

(2.19)

ra 2 = 1/2.(m.z2 +2.m)=m/2.(z2 +2)

(2.20)

Putem calcula acum imediat unghiul de presiune minim, al angrenajului: tgα1m =[(rb1 +rb2 ).tgα0 -sqrt(r2a2 -r2b2 )]/rb1

(2.21)

unde, numărătorul lui (2.-21) se calculează cu relaţia (2.-23), rezultată din (2.22): N=1/2.m.(z1 +z2 ).sinα0 -sqrt[(m/2)2 . (z2 +2)2 -(m/2)2 .z22 .cos2α0 ]

(2.22)

N=m/2.[(z1 +z2 ).sinα0 -sqrt( z22 .sin2 α0 +4.z2 +4)]

(2.23)

astfel încât (2.21) devine (2.24): tgα1m =[(z1 +z2 ).sinα0 -sqrt (z22.sin2α0 +4.z2 +4)]/(z1 .cosα0 ) 111

(2.24)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Unghiul minim de presiune şi cel maxim, se pot scrie acum direct ca inverse ale funcţiilor arătate mai devreme, astfel încât expresiile lor vor arăta astfel: α1m =atan{[(z1 +z2 ).sinα0 –sqrt (z22.sin2α0 +4.z2 +4)]/(z1 .cosα0 )} α1M = acos[z1 .cosα0 /(z1 +2)]

(2.25) (2.26)

2.3. Determinarea randamentului angrenării Expresia randamentului global se determină prin integrarea randamentului instantaneu pe toată porţiunea angrenării, adică de la unghiul minim de presiune până la cel maxim: αM η = 1/Δα. ∫ ηi.dα αm

(2.27)

αM η = 1/Δα. ∫ [cos2α.dα] αm

(2.28)

αM η = 1/(2.Δα). ∫[2.cos2α.dα] αm αM η = 1/(2.Δα). ∫{[cos(2.α)+1].dα} αm αM η = 1/(2.Δα). [1/2.sin(2.α)+α] αm η=1/(2.Δα).{1/2.[sin(2.αM)-sin(2.αm)]+Δα} η=1/[4.(αM-αm)].[sin(2.αM)-sin(2.αm)]+0.5

(2.29)

(2.30)

(2.31) (2.32) (2.33)

Randamentul angrenajului se calculează cu relaţia finală (2.-33), utilizând pentru unghiurile de presiune minim şi maxim expresiile (2.-25) şi (2.-26) în cazul angrenajelor cu dinţi drepti (β=0), iar pentru angrenajele cu dinţi înclinaţi (β≠0) se vor folosi pentru determinarea unghiurilor de presiune extreme relaţiile (2.-35) şi (2.-36). αt =atan(tgα0 /cosβ)

(2.34)

αm=atan{[(z1+z2)/cosβ.sinαt-sqrt(z22/cos2β.sin2αt+4.z2/cosβ+4)].cosβ/(z1.cosαt)} (2.35)

112

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

αM =acos[z1 /cosβ.cosαt /(z1 /cosβ+2)]

(2.36)

În continuare vom urmări câteva calcule, care vor scoate în evidenţă modul cum variază randamentul total, global sau final, cu parametrii de intrare. 2.4. Randamentul calculat Vom urmări în continuare patru tabele cu randamentul calculat în funcţie de parametrii de intrare, iar pe baza rezultatelor vom face şi o discuţie. Parametrii de intrare sunt: z1 =numărul de dinţi de la roata conducătoare 1; z2 =numărul de dinţi de la roata condusă 2, sau raportul de transmitere i12 = -z 2 / z1 ; α0 =unghiul de presiune normal pe cercul de divizare; β=unghiul de înclinare al danturii (numai la roţile cu dinţi înclinaţi!). Începem calculul cu dinţii drepţi, cu i=-4, iar pentru z1 vom lua succesiv diverse valori, în creştere, pornind de la 8 dinţi. Se vede că pentru numai 8 dinţi la roata conducătoare α0 =200 este prea mic pentru a putea fi utilizat (rezultă αm negativ, ceea ce nu este permis)! i12efectiv=-4

dinţi drepţi

Tabel 2.1.

i12efectiv=-2

dinţi drepţi

z1 =8 α0 =200 ? αm = -16.220 ? αM=41.25740

z2 =32 α0 =290 αm = 0.71590 αM=45.59740 η=0.8111

α0 =350 αm = 11.13030 αM=49.05600 η=0.7308

z1 =10 α0 =200 ? αm = -9.890 ? αM=38.45680

z2 =40 α0 =260 αm = 1.30770 αM=41.49660 η=0.8375

α0 =300 αm = 8.22170 αM=43.80600 η=0.7882

z1 =18 α0 =190 αm = 0.98600 αM=31.68300 η=0.90105

z2 =72 α0 =200 αm =2.73580 αM=32.25050 η=0.8918

z1 =30 α0 =150 αm = 1.50660 αM=25.10180 η=0.9345 z1 =90 α0 =80 ? αm =-0.16380 ? αM=14.36370

z1 =8 α0 =200 ? αm=-12.6570 ? αM=41.25740

z2 =16 α0 =280 αm = 0.91490 αM=45.06060 η=0.8141

α0 =350 αm = 12.29330 αM=49.055960 η=0.7236

z1 =10 α0 =200 ? αm = -7.1320 ? αM=38.45680

z2 =20 α0 =250 αm = 1.33300 αM=40.95220 η=0.8411

α0 =300 αm = 9.41060 αM=43.80600 η=0.7817

α0 =300 αm =18.28300 αM=38.79220 η=0.7660

z1 =18 α0 =180 αm = 0.67560 αM=31.13510 η=0.9052

z2 =36 α0 =200 αm =3.92330 αM=32.25050 η=0.8874

α0 =300 αm =18.69350 αM=38.79220 η=0.7633

z2 =120 α0 =200 αm =9.53670 αM=28.24140 η=0.8882

α0 =300 αm =23.12250 αM=35.71810 η=0.7566

z1 =30 α0 =140 αm =0.88450 αM=24.54270 η=0.9388

z2 =60 α0 =200 αm =10.04160 αM=28.24140 η=0.8859

α0 =300 αm =23.27740 αM=35.71810 η=0.7555

z2 =360 α0 =90 αm =1.58380 αM=14.93540 η=0.9750

α0 =200 αm =16.49990 αM=23.18120 η=0.8839

z1 =90 α0 =80 αm =0.52270 αM=14.36370 η=0.9785

z2 =180 α0 =200 αm =16.56670 αM=23.18120 η=0.8836

α0 =300 αm =27.78250 αM=32.09170 η=0.7507

113

Tabel 2.2.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

În tabelul al doilea, vom scădea valoarea raportului de transmitere, (în modul desigur) i, de la 4 la 2. Vom vedea cum iarăşi pentru valori prea mici ale numărului de dinţi al roţii 1, unghiul de presiune de 20 de grade nu mai este suficient, el trebuind să fie crescut la o valoare minimă. Pentru z1 =8 de exemplu, valoarea minimă necesară este de α0 =290 la un i=-4 (vezi tabelul 2.1.)şi de 280 la un i=-2 (tabelul 2.2.), iar pentru o valoare z1 =10 unghiul de presiune minim necesar este α0 =260 pentru i=-4 (tab. 2.1.) şi de 250 pentru i=-2 (vezi tabelul 2.2.). Atunci când numărul de dinţi de la roata 1 creşte putem să-l scădem pe α0. Se vede că pentru z1 =90 putem lua chiar o valoare de numai 80 pentru unghiul de presiune de referinţă. i12efectiv=-6

dinţi drepţi

Tabel 2.3.

z1 =8 α0 =200 ? αm=-17.8630 ? αM=41.25740

z2 =48 α0 =300 αm = 1.77840 αM=46.14620 η=0.8026

α0 =350 αm =10.66000 αM=49.055960 η=0.7337

z1 =10 α0 =200 ? αm=-11.1290 ? αM=38.45680

z2 =60 α0 =260 αm =0.60540 αM=41.49660 η=0.8403

α0 =300 αm = 7.73910 αM=43.80600 η=0.7908

z1 =18 α0 =190 αm =0.42940 αM=31.68300 η=0.9028

z2 =108 α0 =200 αm =2.24490 αM=32.25050 η=0.8935

z1 =30 α0 =150 αm =1.09220 αM=25.10180 η=0.9356 z1 =90 α0 =90 αm =1.36450 αM=14.93540 η=0.9754

i12efectiv=-4

dinţi înclinaţi β=150 z2 =32 α0 =300 αm = 1.12650 αM=46.25920 η=0.8046

α0 =350 αm = 9.44550 αM=49.29530 η=0.7390

z1 =10 α0 =200 ? αm=-10.5630 ? αM=38.34740

z2 =40 α0 =260 αm =0.23550 αM=41.571390 η=0.8412

α0 =300 αm = 6.91880 αM=43.99650 η=0.7937

α0 =300 αm =18.12800 αM=38.79220 η=0.7670

z1 =18 α0 =190 αm =0.327150 αM=31.71800 η=0.9029

z2 =72 α0 =200 αm =2.02830 αM=32.32020 η=0.8938

α0 =300 αm =17.18400 αM=39.18030 η=0.7702

z2 =180 α0 =200 αm =9.34140 αM=28.24140 η=0.8891

α0 =300 αm =23.06660 αM=35.71810 η=0.7570

z1 =30 α0 =150 αm =1.02690 αM=25.13440 η=0.9357

z2 =120 α0 =200 αm =8.86020 αM=28.45910 η=0.8899

α0 =300 αm =22.15500 αM=36.25180 η=0.7593

z2 =540 α0 =200 αm =16.47630 αM=23.18120 η=0.8841

α0 =300 αm =27.75830 αM=32.09170 η=0.7509

z1 =90 α0 =90 αm =1.31870 αM=14.96480 η=0.9754

z2 =360 α0 =200 αm =15.89440 αM=23.63660 η=0.8845

α0 =300 αm =26.94030 αM=32.82620 η=0.7513

z1 =8 α0 =200 ? αm=-16.8360 ? αM=41.08340

Tabel 2.4.

În tabelul al treilea se măreşte valoarea lui i în modul până la 6. Trecem acum la ultimul tabel cu rezultate de calcul şi anume cel cu dinţii înclinaţi, la care am considerat pentru unghiul de înclinare β o valoare de 150 , iar cum rezultatele nu s-au modificat prea mult faţă de tabelul similar cu dinţi drepţi

114

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

(β=0), nu am mai insistat pentru a schimba valoarea unghiului β, şi pentru a reface calculele şi cu alte unghiuri de înclinare Concluziile le vom trage după ce vom urmări şi tabelul cu datele rezultate în urma calculelor pentru unghiul de înclinare β de 15 grade. Se consideră pentru raportul de transmitere tot valoarea iniţială de i= - 4 (vezi tab. 1.): 2.5. Discuţie În urma analizării rezultatelor celor 4 tabele de calcul, s-au putut trage următoarele concluzii: - randamentul creşte atunci când z1 creşte şi când unghiul α1 (sau unghiul de presiune, α0) scade; - z2 sau raportul de transmitere, i12 , nu influenţează prea mult variaţia randamentului; - se observă faptul că pentru valoarea α0 =200 , randamentul se păstreazã în jurul valorii de 0.89 , indiferent de ceilalţi parametri ai angrenajului, astfel încât apare justificată alegerea lui α0 =200 ca unghi de presiune de referinţă STAS. Totuşi, α0 poate fi scăzut simţitor concomitent cu creşterea lui z1 , pentru a se atinge valori mult mai ridicate ale randamentului; Dimpotrivă, atunci când dorim să realizăm un angrenaj care să aibă z1 mic (gabarit redus al angrenajului), este necesară creşterea lui α0 , pentru ca αm să rămână pozitiv, dar desigur angrenajul va avea gabarit mai mic însă, va funcţiona şi cu randamentul mai mic; -modulul angrenajului nu influenţează valoarea randamentului mecanismului; putem lua un modul normal mai mare atunci când α0 este scăzut, pentru a creşte înălţimea dinţilor pe seama creşterii modulului, însă creşterea valorii modulului concomitent cu cea a lui z1 va duce şi la creşterea gabaritului angrenajului, astfel încât se vor face nişte optimizări. Deci, dacă este nevoie să-l scădem pe α0 pentru a creşte randamentul mecanismului, dinţii se scurtează; putem să-l creştem pe mn pentru a mări înălţimea lor, dar numai în anumite limite, astfel încât gabaritul mecanismului să nu depăşească cu mult limitele normale, mai ales că nu putem să-l scădem pe z1 , ci dimpotrivă şi acesta trebuie să crească, odată cu scăderea unghiului α0 , pentru a avea un randament ridicat; -gradul de acoperire nu influenţează randamentul mecanismului în mod direct, deoarece şi gradul de acoperire ca şi randamentul sunt amândouă funcţii de parametrii de intrare (z1 , z2 ,α0 , β); se poate stabili o relaţie de legătură indirectă între ε şi η (însă nu are rost deoarece fiecare dintre ele este o funcţie independentă de cealaltă); - apariţia înclinării dinţilor face ca randamentul mecanismului să crească uşor, odată cu creşterea lui β. Creşterea nu este prea mare şi cu cât z1 este mai ridicat, creşterea randamentului datorată lui β este mai mică, pentru valori ale lui z1 peste 10-15, ea devenind nesemnificativă. Se poate considera că înclinarea dinţilor nu influenţează randamentul mecanismului; -Dacă creşterea lui β aduce un spor mic al lui η, acelaşi lucru se întâmplă şi la creşterea în modul a raportului de transmitere i12 . Este interesant şi neaşteptat acest fapt, deoarece condiţiile de lucru ar trebui să se înrăutăţească atunci când i12 creşte 115

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

şi ne-am aştepta la o scădere a randamentului (oricât de mică), iar nu la o creştere a lui. Se poate considera că η nu variază cu β şi cu i12 (sau cu z2) şi nici cu ε. Variaţia efectivă a randamentului se face numai cu unghiul de presiune normal pe cercul de divizare (α0 ), cât şi cu numărul de dinţi al roţii conducătoare 1, (z1 ). Pe baza acestei concluzii se poate trece la sinteza mecanismului cu roţi dinţate, astfel încât randamentul cuplei superioare să fie cât mai ridicat. Sinteza se face pe baza parametrilor de intrare z1 şi α0 , dar şi pe baza parametrilor intermediari, αm şi αM , adică unghiurile de presiune minim şi maxim. -Se vede că dacă îl creştem pe α0 putem să scădem z1 , dar nu putem exagera prea mult cu scăderea lui z1 , căci, chiar dacă α0 , care ar fi prea mare ar fi acceptabil, unghiul αM ar avea o valoare prea mare (inacceptabilă). Invers, putem merge mai mult, scăzând pe α0 concomitent cu creşterea lui z1 , căci chiar dacă αM va fi foarte mic, funcţionarea mecanismului poate fi asigurată prin creşterea modulului normal mn ,(dar numai atunci când gabaritul mecanismului care va creşte considerabil, nu deranjează). După o analiză serioasă a randamentului pentru diverşi parametri schimbaţi, dar având în vedere două situaţii posibile, când roata 1 a unui angrenaj 1-2 este conducătoare şi când roata 2 este conducătoare, (roata conducătoare fiind cea care introduce momentul în angrenaj), randamentele fiind în general diferite pentru acelaşi angrenaj în funcţie de roata conducătoare 1 sau 2, am observat faptul că diferenţele de randament obţinut pentru acelaşi angrenaj scad considerabil atunci când numărul de dinţi la ambele roţi ale angrenajului creşte, în special peste cifra de minim 60 dinţi, dar rezultate satisfăcătoare se pot obţine şi atunci când numărul de dinţi la roata cu dinţii cei mai puţini, din cadrul angrenajului, este de minim 30. Dacă tendinţa generală este de a scădea numărul de dinţi al celor două roţi ale angrenajului, în special la una din ele (cea de intrare la mecanismele reductoare, sau cea de ieşire la mecanismele multiplicatoare), iată acum avem un motiv temeinic (fundamentat teoretic) să alegem numărul de dinţi la roata cu numărul cel mai mic de dinţi, cât mai mare posibil, minim 30 (ar trebui chiar 60), astfel încât randamentul mecanismului să crească, dar mai ales pentru ca randamentul unui angrenaj să fie aproximativ acelaşi indiferent de care roată a angrenajului este conducătoare. Această cerinţă este utilă şi importantă în general, dar devine indispensabilă atunci când angrenajele cu roţi dinţate sunt planetare şi mai ales când acestea sunt folosite la cutii automate de transmitere a mişcării (transmisii automate). 2.6. Relaţiile pentru calculul randamentului angrenajului cu roţi dinţate, în cazul când angrenarea este interioară Se calculează valorile unghiurilor extreme, αm şi αM, cu relaţiile (A3.38), (A3.39) respectiv (A3.42), (A3.41) şi cu aceste valori se utilizează aceeaşi relaţie (A3.33) pentru calculul randamentului angrenajului interior, la fel ca şi în cazul celui exterior. La angrenarea interioară apar două cazuri posibile: A. când roata 1 conducătoare, are dantură exterioară; B. când roata 1 conducătoare, are dantură interioară.

116

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Calculele sunt similare, pentru ambele situaţii, iar formulele au fost scrise pentru cazul general când dantura este înclinată, urmând ca pentru dinţi drepţi să facem β=0. A. ROATA CONDUCĂTOARE 1, ARE DANTURĂ EXTERIOARĂ: tgαt=tgα0/cosβ

(2.37)

tgα1m=[(z1-z2)/cosβ.sinαt+(z22/cos2β.sin2αt-4.z2/cosβ+4)1/2]/[z1/cosβ.cosαt] (2.38) cosα1M=z1/cosβ.cosαt/(z1/cosβ+2)

(2.39)

B. ROATA CONDUCĂTOARE 1, ARE DANTURĂ INTERIOARĂ: tgαt=tgα0/cosβ

(2.40)

tgα1M=[(z1-z2)/cosβ.sinαt+(z22/cos2β.sin2αt+4.z2/cosβ+4)1/2]/[z1/cosβ.cosαt] (2.41) cosα1m=z1/cosβ.cosαt/(z1/cosβ-2)

(2.42)

2.7. Determinarea randamentului, angrenajului cu roţi dinţate cu axe paralele, ţinând cont de gradul de acoperire Se calculează randamentul unui angrenaj cu roţi dinţate cu axe fixe, ţinând cont de faptul că la un moment dat există mai multe perechi de dinţi în angrenare, şi nu doar una singură. Se pleacă de la ideea existenţei a patru perechi de dinţi în angrenare (simultan). Prima pereche de dinţi mergând pe linia de angrenare de la dreapta spre stânga (aşa cum intră ei în angrenare), are punctul de angrenare i, definit de raza vectoare ri1 şi de unghiul de poziţie αi1; forţele ce se manifestă în acest punct sunt forţa motoare Fmi, perpendiculară în punctul i pe vectorul de poziţie ri1 şi forţa ce se transmite de la roata 1 la roata doi prin punctul i, Fτi, paralelă cu linia de angrenare şi îndreptată de la roata 1 către roata 2 (forţa de transmitere fiind practic proiecţia forţei motoare pe axa (linia) de angrenare); vitezele definite sunt similare cu forţele (aşa cum s-a mai arătat şi în alte capitole, ale acestei lucrări, fiind vorba de cinematica originală sau de precizie); aceiaşi parametri se vor defini şi pentru celelalte trei puncte de angrenare, j, k, l (a se urmări desenul din figura 2.2.). Pentru demararea relaţiilor de calcul, se începe cu relaţiile între viteze: vτi = vmi ⋅ cos α i = ri ⋅ ω1 ⋅ cos α i = rb1 ⋅ ω1 vτj = vmj ⋅ cos α j = rj ⋅ ω1 ⋅ cos α j = rb1 ⋅ ω1 vτk = vmk ⋅ cos α k = rk ⋅ ω1 ⋅ cos α k = rb1 ⋅ ω1 vτl = vml ⋅ cos α l = rl ⋅ ω1 ⋅ cos α l = rb1 ⋅ ω1

117

(2.43)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Din relaţiile (2.43) se obţine egalitatea vitezelor tangenţiale (2.44), şi se explicitează vitezele motoare (2.45): vτi = vτj = vτk = vτl = rb1 ⋅ ω1

(2.44)

O2 Fτl, vτl rb2 Fml, vml

Fτi, vτi

K2 l

rl1 rk1

Fmi, vmi

j i

ri1αj αi

rj1

rb1 O1

Fig. 2.2. Determinarea randamentului unui angrenaj cu roţi dinţate cu axe fixe, ţinând cont de faptul că la un moment dat există mai multe perechi de dinţi în angrenare (adică determinarea randamentului în funcţie de ε12); în figură se sugerează existenţa a patru perechi de dinţi aflate în angrenare simultan.

vmi =

rb1 ⋅ ω1 cos α i

vmj =

rb1 ⋅ ω1 cos α j

vmk

r ⋅ω = b1 1 cos α k

vml =

(2.45)

rb1 ⋅ ω1 cos α l

Forţele transmise simultan în cele patru puncte trebuie să fie egale între ele: Fτi = Fτj = Fτk = Fτl = Fτ

Forţele motoare se deduc (2.47): 118

(2.46)

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Fmi =

Fτ cos α i

Fmj =

Fτ cos α j

(2.47)

Fτ Fmk = cos α k Fml =

Fτ cos α l

Randamentul instantaneu se scrie sub forma (2.48): Fτi ⋅ vτi + Fτj ⋅ vτj + Fτk ⋅ vτk + Fτl ⋅ vτl P P ηi = u = τ = = Pc Pm Fmi ⋅ vmi + Fmj ⋅ vmj + Fmk ⋅ vmk + Fml ⋅ vml =

4 ⋅ Fτ ⋅ rb1 ⋅ ω1 = Fτ ⋅ rb1 ⋅ ω1 Fτ ⋅ rb1 ⋅ ω1 Fτ ⋅ rb1 ⋅ ω1 Fτ ⋅ rb1 ⋅ ω1 + + + cos 2 α i cos 2 α j cos 2 α k cos 2 α l 4 1 1 1 1 + + + cos 2 α i cos 2 α j cos 2 α k cos 2 α l

(2.48)

4 4 + tg α i + tg α j + tg 2α k + tg 2α l 2

Se scriu acum relaţiile ajutătoare (2.49) şi (2.50): K1i = rb1 ⋅ tgα i ; K1 j = rb1 ⋅ tgα j ; K1k = rb1 ⋅ tgα k ; K1l = rb1 ⋅ tgα l

K1 j − K1i = rb1 ⋅ (tgα j − tgα i ); K1 j − K1i = rb1 ⋅

2 ⋅π 2 ⋅π ⇒ tgα j = tgα i + z1 z1

K1k − K1i = rb1 ⋅ (tgα k − tgα i ); K1k − K1i = rb1 ⋅ 2 ⋅ K1l − K1i = rb1 ⋅ (tgα l − tgα i ); K1l − K1i = rb1 ⋅ 3 ⋅

tgα j = tgα i ±

2 ⋅π 2 ⋅π ⇒ tgα k = tgα i + 2 ⋅ z1 z1

(2.49)

2 ⋅π 2 ⋅π ⇒ tgα l = tgα i + 3 ⋅ z1 z1

2 ⋅π z1

tgα k = tgα i ± 2 ⋅

2 ⋅π z1

tgα l = tgα i ± 3 ⋅

2 ⋅π z1

(2.50)

S-au reţinut relaţiile (2.50) unde semnul plus este pentru angrenajele la care roata 1 conducătoare are dantură exterioară (angrenare exterioară sau interioară), iar semnul minus se utilizează atunci când roata 1 conducătoare are dantură interioară, adică atunci când roata 1 conducătoare este un inel (numai la angrenarea interioară). 119

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Randamentul instantaneu din expresia (2.48) utilizează relaţiile (2.50) şi ia forma (2.51):

ηi = =

4 4 + tg α i + tg α j + tg 2α k + tg 2α l 2

2π 2 2π 2π 4 + tg α i + (tgα i ± ) + (tgα i ± 2 ⋅ ) 2 + (tgα i ± 3 ⋅ ) 2 z1 z1 z1

4 4π 2π 4 + 4 ⋅ tg α i + 2 ⋅ (02 + 12 + 22 + 32 ) ± 2 ⋅ tgα i ⋅ ⋅ (0 + 1 + 2 + 3) z1 z1 2

1 E 4π 2π 2 i tg 1 + tg α i + ( 1 ) 2 (i − 1) α ⋅ − ± ⋅ ⋅ ⋅ ∑ ∑ i E ⋅ z12 i =1 E ⋅ z1 i =1 2

1 = E ⋅ ( E − 1) ⋅ (2 ⋅ E − 1) 4π ⋅ tgα1 E ⋅ ( E − 1) 4π 2 1 + tg α1 + ⋅ ± ⋅ E ⋅ z12 E ⋅ z1 6 2 2

1 = 2π ⋅ ( E − 1) ⋅ (2 E − 1) 2π ⋅ tgα1 ⋅ ( E − 1) 2 1 + tg α1 + ± z1 3 ⋅ z12 2

(2.51)

2π 2π ⋅ tgα1 ⋅ (ε12 − 1) ⋅ (2 ⋅ ε12 − 1) ± ⋅ (ε12 − 1) 2 z1 3 ⋅ z1 Randamentul mecanic mediu poate fi mai util decât cel instantaneu, putânduse calcula cu uşurinţă dacă integrăm randamentul instantaneu sau mai simplu prin aproximarea care determină randamentul mediu prin înlocuirea în expresia randamentului instantaneu a unghiului de presiune variabil (α1) cu valoarea sa medie dată de unghiul de presiune normal (standardizat, α0), (2.52): 1 ηm = (2.52) 2 2π 2π ⋅ tgα 0 2 1 + tg α 0 + ⋅ (ε12 − 1) ⋅ (2 ⋅ ε12 − 1) ± ⋅ (ε12 − 1) 3 ⋅ z12 z1 Unde ε12 reprezintă gradul de acoperire şi se calculează cu formula (2.53) pentru angrenarea exterioară şi cu expresia (2.54) pentru angrenarea interioară: 1 + tg 2α1 +

a .e . 12

z12 ⋅ sin 2 α 0 + 4 ⋅ z1 + 4 + z22 ⋅ sin 2 α 0 + 4 ⋅ z2 + 4 − ( z1 + z2 ) ⋅ sin α 0 2 ⋅ π ⋅ cos α 0

(2.53)

ze2 ⋅ sin 2 α 0 + 4 ⋅ ze + 4 − zi2 ⋅ sin 2 α 0 − 4 ⋅ zi + 4 + ( zi − ze ) ⋅ sin α 0 (2.54) 2 ⋅ π ⋅ cos α 0 Pentru calculul randamentului în funcţie de gradul de acoperire, se reţin formulele originale (2.51) şi (2.52) împreună cu expresiile ajutătoare cunoscute (2.53) şi (2.54). Se scrie un program de calcul (în excel), iar rezultatele se centralizează în tabelul 2.5.

ε12a.i. =

120

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

2.8. Sinteza angrenajelor cu roţi dinţate cu axe paralele, pe baza realizării unor randamente ridicate în funcţionare Tabelul 2.5. Determinarea randamentului angrenajelor cu axe paralele z1

α0

ε12ae

η12ae

η21ae

ε12ai

[grad]

η12ai

η21ai

126

1.799463

0.844769

0.871197

1.920902

0.83866

0.89538

138

1.875212

0.856744

0.882524

2.004616

0.850911

0.905915

156

1.964633

0.869323

0.893686

2.099177

0.864094

0.915635

174

2.062449

0.880938

0.904223

2.205675

0.87608

0.925023

195

2.173287

0.892173

0.914292

2.326635

0.887672

0.933877

222

2.301654

0.903305

0.923963

2.465121

0.899241

0.942103

255

2.449656

0.914052

0.933147

2.624685

0.910419

0.949774

294

2.620345

0.924221

0.941781

2.810001

0.920962

0.956932

115

345

2.822316

0.934095

0.949936

3.027795

0.931246

0.963487

137

411

3.062854

0.943503

0.957556

3.286764

0.941054

0.969476

165

495

3.351511

0.952271

0.964586

3.599006

0.950177

0.974938

204

510

3.687451

0.960703

0.970155

4.020382

0.958606

0.980652

257

514

4.097102

0.968417

0.975013

4.577099

0.966232

0.98587

336

672

4.666475

0.975348

0.980651

5.214391

0.973645

0.989299

0.98562

6.067023

0.980251

0.992231

0.989899

7.264006

0.986011

0.994672

457

914

5.427328

0.981528

657

1314

6.495028

0.986917

Concluziile care rezultă din studiul datelor cuprinse în tabelul 2.5 sunt următoarele: - Randamentul cel mai ridicat care se poate obţine cu două roţi dinţate este cel al angrenării interioare, cu roata cu dantură interioară conducătoare (roata inel devine conducătoare, iar roata mai mică cu dantură exterioară va fi condusă); - Invers, când formăm o angrenare interioară cu roata mică (cu dantură exterioară) conducătoare, randamentul rezultat este cel mai mic posibil; - Atunci când angrenarea este exterioară, randamentul este mai ridicat pentru roata mare conducătoare; - Cu cât unghiul normal de angrenare, α0, scade, creşte gradul de acoperire, şi odată cu el şi randamentul angrenării; când unghiul normal de angrenare, scade la valoarea de 5 grade, gradul de acoperire ajunge la valorile 6.5-7.3, iar randamentul ia valori teoretice de 99-99.5%, adică practic angrenajul va lucra cu randamente de 100%. - Randamentul creşte şi odată cu numărul de dinţi al roţii conducătoare; - Pentru un unghi normal de angrenare scăzut (α0=4 [grad]), putem obţine o angrenare cu roţi dinţate cu 8 perechi de dinţi în angrenare simultan. Mai trebuie făcute precizările, că odată cu creşterea gradului de acoperire şi implicit a randamentului mecanic al angrenării, scad forţele şi tensiunile (eforturile) din angrenaj împreună cu uzura lui, creşte fiabilitatea şi eficacitatea acestuia, şi se diminueaza zgomotele şi vibraţiile produse de angrenare. 121

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

B-PII-

B I B L I O G R A F I E (la partea a II-a) 1-B1.- Bajer, A., „Parallel finite element simulator of planetary gear trains”, In Ph. D. Dissertation, The University of Texas, 2001; 2-B2.- Bajer, A., „Dynamic Contact/Impact Problems, Energy Conservation, and Planetary Gear Trains”, In Texas Institute for Computational and Applied Mathematics, The University of Texas at Austin, TX78712; 3-L1.- Litak, G., Przystupa, W., Szabelski, K., Warminnski, J., „Chaotic vibration of a gear system: strange attractor destruction by white noise”, Folia Societas Scientarium Lublinensis 4, 1995, 5-16; 4-L2.- Li, J., „Gear Fatigue Crack Prognosis Using Embedded Model, Gear Dynamic Model and Fracture Mechanics”, Department of Mechanical, Aerospace and Nuclear Engineering, Rensselaer Polytechnic Institute; 5-P1.- Peeters, J., Vandepitte, P., „Flexible multibody model of a three-stage planetary gear-box in a wind turbine”, In Proceedings of ISMA, 2004, p. 3923-3942; 6-P2.- PETRESCU, R.V., PETRESCU, F.I., POPESCU N., „Determining Gear Efficiency”, In Gear Solutions magazine, March 2007, USA, p. 19-28; 7-P3.- PETRESCU, R.V., PETRESCU, F.I., POPESCU N., „Save Energy And Diminish The Pollutions By Increasing The Efficiency Of Gears”, În Conferinţa Naţională “MEDIU-06”, Craiova, Romania, 2006; 8-P4.- PETRESCU, R.V., PETRESCU, F.I., POPESCU N., „The efficiency of gears”, In the Second International Conference “Mechanics and Machine Elements”, Technical University of Sofia, November 4-6, 2005, Sofia, Bulgaria, Vol. II, p. 244249; 9-P5.- PETRESCU, R.V., PETRESCU, F.I., „Determining the dynamic efficiency of gears”, In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. II, p. 381-386; 10-P6.- PETRESCU, R., PETRESCU, F., „Gear’s design for the mechanism’s highest efficiency”, In the International Conference on Engineering Graphics and Design, ICEGD 2005, Bucharest, 2005, Vol. I, p. 257-260; 11-P7.- PETRESCU, R., PETRESCU, F., RĂDULESCU, C., „Cinematica mecanismelor plane cu bare şi angrenaje multiple”, Revista Mecanisme şi Manipulatoare, Bucharest, Vol. 2, Nr. 2, 2003, p. 23-28, ARoTMM – IFToMM; 12-P8.- PETRESCU, R., PETRESCU, F., „The gear synthesis with the best efficiency”, In the 7th International Conference, FUEL ECONOMY, SAFETY and RELIABILITY of MOTOR VEHICLES, ESFA 2003, Bucharest, May 2003, Vol. 2, p. 63-70; 13-P9.- PETRESCU, V., PETRESCU, I., ANTONESCU, O., „Randamentul cuplei superioare de la angrenajele cu roţi dinţate cu axe fixe”, In al VII-lea Simpozion Naţional cu Participare Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 333-338; 14-T1.- Takeuchi T., Togai, K., „Gear Whine Analysis with Virtual Power Train”, In Mitsubishi Motors Technical Review, 2004, No. 16, p. 23-28.

122

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

PARTEA A III-a CONTRIBUŢII ALE AUTORULUI, ELEMENTE ORIGINALE +ANEXE 123

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

CONTRIBUŢII CONTRIBUŢII ALE AUTORULUI, ELEMENTE ORIGINALE, COMENTARII, CONCLUZII FINALE

Lucrarea a fost structurată în trei părţi: prima parte prezintă studiile autorului referitoare la dinamica mecanismelor plane cu came, tacheţi şi supape, cu bibliografia aferentă; partea a doua prezintă pe scurt dinamica mecanismelor plane formate din angrenaje cu roţi dinţate cu axe paralele, în viziunea autorului, împreună cu bibliografia respectivă; partea a treia conţine capitolul de concluzii finale, cu enumerarea contribuţiilor şi elementelor originale, cât şi anexele întregii lucrări; astfel lucrarea propriuzisă „CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE PRIVIND DINAMICA MECANISMELOR PLANE CU CUPLE SUPERIOARE” este practic structurată în primele două părţi, partea a treia fiind rezervată concluziilor finale, enumerării elementelor originale şi prezentării anexelor. Prima parte „CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE PRIVIND DINAMICA MECANISMELOR PLANE CU CAME, TACHEŢI ŞI SUPAPE”, conţine 7 capitole. Primul capitol (partea I) prezintă un scurt istoric al apariţiei şi dezvoltării motoarelor cu ardere internă, datorită cărora au apărut şi s-au dezvoltat şi mecanismele de distribuţie; de acest istoric sunt legate nume sonore ale unor cercetători şi ingineri, olandezi, belgieni, francezi, elveţieni, englezi şi mai ales germani: Este meritul inginerilor germani Eugen Langen şi Nikolaus August Otto de a fi construit primul motor cu ardere internă în patru timpi, în anul 1866, având aprinderea electrică, carburaţia şi distribuţia într-o formă avansată. Zece ani mai târziu, (în 1876), Nikolaus August Otto îşi brevetează motorul său. În 1885 Gottlieb Daimler aranjează un motor cu ardere internă în patru timpi cu un singur cilindru aşezat vertical şi cu un carburator îmbunătăţit. Un an mai târziu şi compatriotul său Karl Benz aduce unele îmbunătăţiri motorului în patru timpi pe benzină. Atât Daimler cât şi Benz lucrau noi motoare pentru noile lor autovehicole (atât de renumite). În 1890, Wilhelm Maybach, construieşte primul «patru-cilindri», cu ardere internă în patru timpi. În anul 1892, inginerul german Rudolf Christian Karl Diesel, inventează motorul cu aprindere prin comprimare, pe scurt motorul diesel. Primele mecanisme cu supape apar în anul 1844, fiind utilizate la locomotivele cu aburi; ele au fost proiectate şi construite de inginerul mecanic belgian Egide Walschaerts. Primele mecanisme cu came sunt utilizate în Anglia şi Olanda la războaiele de ţesut. Se face o prezentare a mecanismelor de distribuţie utilizate la motoarele cu ardere internă: se remarcă modelele actuale cu patru supape pe cilindru, cu distribuţie variabilă, în special modelul suedez al firmei „Scania”, cel franţuzesc al firmelor reunite „Peugeot-Citroen”, modelele germane ale concernului „Volkswagen”. Capitolul al doilea prezintă câteva modele dinamice utilizate la studiul mecanismelor de distribuţie. Se remarcă modelul dinamic cu patru grade de libertate cu vibraţii torsionale, [S5], (obţinute astfel: modelul are două mase în mişcare; acestea prin vibraţia verticală impun fiecare câte un grad de libertate; una din mase se consideră că vibrează şi transversal, generând încă un grad de libertate; iar ultimul grad de libertate, este generat de vibraţia torsională a arborelui cu came), cât şi modelul dinamic cu patru grade de libertate, având o singură masă oscilantă în mişcare de translaţie, care reprezintă unul dintre cele patru grade de libertate [K3]; celelalte trei libertăţi rezultă dintr-o deformaţie de torsiune a arborelui cu came, o deformaţie de încovoiere pe verticală (z), tot a arborelui cu came şi o deformaţie de încovoiere a aceluiaşi arbore, pe orizontală (y), toate trei deformaţiile producându-se într-un plan perpendicular pe axa de rotaţie. Se prezintă în continuare un model dinamic original, „cu amortizare internă variabilă”, [A15, A17], (a se vedea cap. 2.8.). Determinarea amortizării interne a sistemului, c, are la bază comparaţia între coeficienţii ecuaţiei dinamice, scrisă în două moduri diferite, Newtonian şi Lagrangian. Se determină masa redusă la supapă a sistemului. Ecuaţia (2.53), care nu este altceva decât ecuaţia diferenţială Lagrange, ne permite ca prin identificarea coeficienţilor polinomului, cu cei ai polinomului Newtonian (2.52), să obţinem forţa rezistentă redusă la supapă (2.54), forţa motoare redusă la supapă (2.55), cât şi expresia lui c, adică expresia coeficientului variabil de amortizare internă, a sistemului, (2.56). Tot originală este şi ecuaţia de mişcare determinată (2.83.-2.84.).

124

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Ecuaţia de mişcare se rezolvă exact, printr-o metodă originală, de integrare directă, în cadrul cap. 3.9. Capitolul 3, prezintă efectiv dinamica mecanismelor de distribuţie, exemplificată pe mecanismul clasic cu camă rotativă şi tachet plat translant. La începutul capitolului este prezentată cinematica de precizie (cinematica dinamică, absolut originală), a acestui tip de mecanism. Deşi se prezintă vitezele şi acceleraţiile cinematice (dar cele originale, de precizie), aspectul lor este asemănător celor dinamice (a se urmări diagramele cinematice din figura 3.2.). În cap. 3.2. este prezentat randamentul mecanic al modulului clasic, obţinut printr-o metodă absolut originală (vezi lucrările [P30], [P31], [P32], [P33] şi relaţiile 3.28.-3.48.); practic se determină exact randamentul mecanic, care nu are nici o legătură cu pierderile suplimentare prin frecare (se elimină astfel necesitatea determinării coeficientului de frecare). La paragraful 3.3. se face sinteza profilului camei, iar la 3.4. se rezolvă ecuaţia de mişcare, Lagrange, printr-o metodă aproximativă (originală). În continuare (paragrafele 3.5.-3.9.) se rezolvă ecuaţia de mişcare prin diverse metode clasice, cunoscute din cadrul mecanicii clasice, metode care au fost adaptate şi modificate original, pentru mecanismul clasic de distribuţie; ultimele metode, cu integrare (cap. 3.8.) şi cu integrare directă (cap. 3.9.), sunt absolut originale. Capitolul 4 (al primei părţi) face analiza dinamică pentru sistemul de distribuţie clasic (a se vedea şi lucrările: [A15], [A16], [A17], [P21], [P23], [P24], [P28], [P29]), pe baza relaţiilor dinamice prezentate în cap. 3, utilizând programe de calcul originale (scrise în excel şi prezentate în anexele din partea a III-a a lucrării). Se testează din punct de vedere dinamic noi legi de mişcare, imaginate de autor, cum ar fi: legea C4P de tip polinomial, (a se urmări şi lucrările [P28], [P29], [P31]). Modelului dinamic (A10) cu integrare directă, arată pentru noile legi sintetizate de autor, posibilitatea creşterii turaţiei motorului până la cel mult 20000 [rot/min]. Capitolul 5 (partea I) se ocupă de cama rotativă tot cu tachet translant dar cu rolă. Dinamica tachetului cu rolă este deosebită fapt pentru care ea trebuie studiată separat, atât la tachetul translant (cap. 5), cât şi la cel balansier (rotativ, cap. 6). În figura 5.1. se prezintă distribuţia forţelor şi vitezelor la tachetul translant cu rolă, în viziunea originală a autorului; în paragraful 5.1. se prezintă relaţiile generale; în paragraful 5.2 se dau relaţiile (originale) pentru trasarea profilului camei; în paragraful 5.3. se determină relaţiile de calcul pentru cinematica originală, exactă, de precizie, sau dinamică a mecanismului; paragraful 5.4. determină randamentul modulului B, printr-o metodă absolut originală; în continuare în cadrul paragrafului 5.5. se determină funcţia de transmitere (parametrul D) la modulul B (totul este original); paragraful 5.6. prezintă relaţiile impuse de modelul dinamic ales, cu care se face analiza dinamică în cadrul paragrafului 5.7.: se începe cu legea sin pentru care se prezintă diagrama dinamică şi profilul sintetizat al camei (la modulul B, sin, fig. 5.3.); Dinamica este mai bună (în general) comparativ cu cea a Modulului clasic, C. Pentru un unghi de fază de numai 65 grade atingem aceleaşi vârfuri de acceleraţii pe care modulul clasic le atingea la o fază relaxată de 75-80 grade. În figura 5.3. se poate urmări profilul aferent, trasat invers decât cele de la modulul C, adică cu profilul de ridicare în partea stângă şi cu cel de revenire în dreapta, (deoarece sensul de rotaţie a camei a fost şi el inversat, din orar în trigonometric). Pentru legea cos (aşa cum ne-am obişnuit deja) vibraţiile sunt mai liniştite comparativ cu legea sin, la fel ca la modulul dinamic clasic, C (a se vedea diagrama dinamică din figura 5.4.). Profilul cos (modul B) poate fi urmărit în figura 5.5. La tachetul translant cu rolă (modul B), legea C4P sintetizată de autor, suportă o creştere a turaţiei motorului până la valoarea 30000-40000 [r/m] (adică o turaţie maximă dublă în comparaţie cu modulul clasic, C, a se urmări diagramele din figurile 5.10., 5.11., 5.12.). Se poate vorbi în mod evident de un avantaj al tachetului cu rolă, sau bilă, (Modul B), faţă de tachetul clasic cu talpă, (Modul C). Se pot obţine aşadar turaţii ridicate, dar şi randamente superioare, cu ajutorul modulului B. În figura 5.13. este prezentată dinamica modulului B pentru legea arctangent, iar profilul atan sintetizat de autor poate fi urmărit în fig. 5.14. Turaţia aleasă este de n=20000 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet de, h=10 [mm]. Unghiul de fază este, ϕu=ϕc=80 [grad]. Raza cercului de bază are valoarea, r0=6 [mm]. Aşa cum se poate observa raza cercului de bază este mult mai mică decât în mod normal, ajungând egală sau chiar mai mică decât ridicarea teoretică, h. Este o proprietate importantă, a unor legi (cum ar fi legile logaritm, radical, putere, e la x, arctangent, arcsin, etc…), care trebuie exploatată în mod corespunzător, astfel încât pe baza reducerii razei de bază, r0, în raport cu înălţimea, h, să obţinem un randament superior şi o ridicare suficientă, în

125

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

condiţiile creşterii turaţiei motorului. Proprietatea acestor legi este valabilă în toate sistemele dinamice (pentru toate modulele), dar poate fi exploatată în mod special în unele dintre ele, printre care şi modulul B, modulul care utilizează tachetul de translaţie cu rolă (sau cu bilă). Deşi turaţia nu este foarte ridicată, (circa 20000 [r/m]), la modulul B, legea ArcTg, în schimb raza cercului de bază este extrem de scăzută, iar randamentul de funcţionare al mecanismului este ridicat. În acest caz sunt necesare racordări suplimentare pe profil, la ridicare, la revenire, dar şi la vârf (la conexiunea dintre cele două profiluri urcare-coborâre). Se introduc acum şi legile originale, e la x, putere, radical, logaritm natural. Capitolul 6, tratează dinamica modulului F, la care tachetul este tot cu rolă (bilă), însă are o mişcare de rotaţie (balans). În mod obişnuit studiul acestui tip de mecanism se face aproximativ, (vezi figura 6.1.) considerându-se suficient, atât pentru cinematică cât şi pentru cinetostatică, un studiu asupra cuplei B (centrul rolei). Aproximarea aceasta prezintă însă o mare deficienţă, datorită faptului că se neglijează cinematica şi cinetostatica de precizie a mecanismului, fapt care conduce la un studiu dinamic inadecvat. Un studiu foarte precis (exact), este posibil doar atunci când analizăm ce se petrece în punctul A (punctul de contact dintre camă şi rola tachetului). Punctul A este definit de vectorul rA având lungimea (modulul) rA şi unghiul de poziţie θA măsurat de la axa OX. În timp ce arborele cu came se roteşte cu unghiul ϕ, vectorul rA , se roteşte cu unghiul θA, iar între cele două unghiuri θA şi ϕ apare un defazaj notat pe figura 6.1. cu γ. Defazajul γ, apare şi între unghiurile αA şi α0, fapt care ne ajută la determinarea exactă a valorii lui. Relaţiile generale sunt prezentate în cadrul paragrafului 6.1., iar cap. 6.2. determină unghiul de presiune, δ; în continuare se determină unghiul de presiunesuplimentar, α, la mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F). Acest unghi apare între direcţia n-n şi segmentul de dreaptă AA’, perpendicular în A pe OA (vezi figura 6.4., paragraful 6.3.). Cinematica de precizie este prezentată în cadrul paragrafului 6.4., pentru acest modul (F), ea fiind cea mai laborioasă. În paragraful 6.5. sunt prezentate relaţiile pentru trasarea profilului camei. Paragraful 6.6. determină randamentul mecanic al cuplei, printr-o metodă absolut originală; în figura 6.5. este prezentată distribuţia forţelor şi a vitezelor (distribuţie originală). Randamentul instantaneu al mecanismului (vezi relaţia 6.67), este raportul dintre puterea utilă şi cea consumată, astfel încât utilizând ultimele două relaţii din sistemul (6.66), obţinem expresia randamentului mecanic instantaneu al mecanismului (6.67), ca fiind η i = cos 2 α ⋅ cos 2 δ = (cos α ⋅ cos δ ) 2 , adică, tocmai produsul cosinusurilor celor două unghiuri de presiune, ridicat la pătrat. Utilizând relaţia (6.53), obţinem forma finală originală a expresiei randamentului (vezi relaţia 6.67), în care unghiul de presiune intermediar, α, (suplimentar), este eliminat. În continuare (paragraful 6.7.), se determină funcţia de transmitere a mişcării la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă (Modul F), funcţie notată cu D. Cum am arătat în capitolele precedente, între viteza utilă şi viteza cunoscută v2 a tachetului apare o diferenţă pe care o înglobăm în coeficientul de transmitere D, sau funcţia de transmitere, D. La calculul dinamic, se va utiliza pentru funcţia de transmitere a mişcării, D, expresia completă (6.74). Paragraful 6.8. prezintă relaţiile desprinse din modelul dinamic, iar în cadrul cap. 6.9. se face analiza dinamică la modulul F; profilul sin sintetizat are o formă aparte (a se urmări fig. 6.8.); dinamica este mai bună (în general) comparativ cu cea a Modulului clasic, C. Pentru un unghi de fază de numai 60 grade se ating aceleaşi vârfuri de acceleraţii pe care modulul clasic le atingea la o fază relaxată de 75-80 grade. În plus şi deplasarea maximă a tachetului (cursa), hT, este mai mare (aproape dublă). Pentru legea cos vibraţiile sunt mai liniştite comparativ cu legea sin, la fel ca la modulul dinamic clasic, C (a se vedea diagrama dinamică din figura 6.9.). Profilul COS, corespunzător poate fi urmărit în figura 6.10. Capitolul 7 prezintă mai concentrat, modulul H, reprezentând cama rotativă cu tachet rotativ plat (cu talpă). Mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) plat (Modul H), (fig. 7.1.), au o cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului (a se urmări schema cinematică din figura 7.1). În fig. 7.1. se prezintă schema cinematică a mecanismului, iar în figura 7.2. distribuţia de viteze şi forţe în cuplă. Paragraful 7.2. prezintă relaţiile dinamice, iar analiza dinamică pe scurt a modulului H, se face în cadrul paragrafului 7.3.; este prezentat profilul clasic sin şi profilul original C4P (acesta din urmă ajungând să lucreze până la o turaţie a motorului de 30000 [rot/min], bineînţeles cu reglajele aferente); a se urmări analiza dinamică din figura 7.5. şi profilul corespunzător sintetizat în fig. 7.6.

126

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Partea I-a se încheie cu o bibliografie proprie, generoasă. Partea a II-a „CONTRIBUŢII TEORETICE ŞI APLICATIVE PRIVIND DINAMICA MECANISMELOR PLANE FORMATE DIN ANGRENAJE CU ROŢI DINŢATE CU AXE PARALELE”, este formată din numai două capitole, ea fiind prevăzută iniţial ca un capitol al primei părţi (în viziunea autorului acestei lucrări mecanismele cu roţi dinţate sunt mecanisme cu came şi tacheţi, şi pot fi studiate chiar şi din punct de vedere dinamic, ca atare; ele fiind de fapt un mecanism cu camă de rotaţie şi tachet de rotaţie multiplicate, dar care utilizează numai cursa de ridicare a tachetului, după terminarea ei, în locul revenirii, intrând într-o altă cursă un alt profil de ridicare care roteşte un alt profil corespunzător al tachetului balansier), totuşi pe parcurs s-a distins ca o lucrare separată şi a fost încadrată în partea a doua, deoarece au apărut mai multe elemente specifice angrenajelor cu roţi dinţate, elemente care meritau un studiu separat (amănunţit); dealtfel angrenajele cu roţi dinţate au căpătat în ultimul veac o asemenea răspindire şi au luat o astfel de amploare încât importanţa lor (după părerea autorului ele sunt cele mai utilizate şi mai răspândite mecanisme, la ora actuală) a contribuit la separarea acestor două capitole; în plus la mecanismele cu camă şi tachet randamentul mecanic de 10% este în general unul acceptabil (pierderile mecanice datorate utilizării acestor cuple sunt extrem de mari; toate studiile dinamice imaginate de autor nu au condus la randamente mai mari de 20-25% pentru aceste mecanisme, putându-se obţine şi randamente de 6070% dar numai la solicitări reduse, momente şi turaţii mici, neinteresante); dimpotrivă la angrenajele cu roţi dinţate, randamentele uzuale se situează în plaja 55-85%; autorul a dovedit prin contribuţiile sale demonstrate şi în cadrul acestei lucrări dar şi în multe alte publicaţii, faptul că aceste cuple pot lucra în condiţii grele şi foarte grele din punct de vedere dinamic (turaţii şi momente ridicate) la randamente mecanice foarte mari, 85-99.9%. În capitolul 1 sunt prezentate câteva modele utilizate la studiul dinamicii angrenajelor cu roţi dinţate. Marea majoritate a modelelor dinamice urmează calea tradiţională a determinării pulsaţiilor proprii ale arborilor pe care sunt montate roţile dinţate, considerându-se deformaţiile torsionale ale arborilor; primul model prezentat (paragraful 1.1.), este unul mai special deoarece încearcă să stabilească ce se întâmplă în cupla superioară (nu doar deformaţiile arborilor solicitaţi la torsiune, deformaţii care se produc la orice arbori şi nu numai la cei care susţin angrenaje cu roţi dinţate), adică încearcă să stabilească un anumit fenomen dinamic specific cuplei amintite; totuşi mai înainte de a considera ciocnirile dintre dinţi (aşa cum o face modelul respectiv) ar fi mai potrivit să încercăm să surprindem fiziologia mecanismului propriuzis, adică comportamentul cinematic-dinamic-cinetostatic al cuplei superioare, mergând până la contactul propriuzis dintre perechile de dinţi în angrenare; exact acest lucru se doreşte în încercarea de studiu dinamic original, prezentată în modelul dinamic original (paragraful 1.6.). În fig. 1.11 sunt prezentate cele două unghiuri caracteristice cuplei superioare (se studiază pentru moment numai contactul dintre doi dinţi unul aparţinând roţii conducătoare iar al doilea roţii conduse). Se stabileşte legătura dintre aceste două unghiuri, şi funcţia de transmitere. Se obţin şi derivatele aferente. Se determină astfel cinematica de precizie (care se apropie de cinematica dinamică), asemănător modelelor dinamice ale cuplelor cu came. Apoi se stabilesc forţele reduse din cuplă, masele reduse, deplasările (şi deformaţiile elastice), şi se scriu ecuaţiile de mişcare (similar cu cele de la mecanismele cu came şi tachet). Se rezolvă ecuaţiile dinamice şi se obţine soluţia finală (exactă şi cea aproximativă). Se determină viteza unghiulară reală a roţii 1 conducătoare şi în funcţie de ea şi acceleraţia unghiulară (prin derivare), cât şi deplasarea unghiulară (prin integrare). Apare coeficientul dinamic Rd1 specific roţii 1 conducătoare de la angrenajele cu roţi dinţate cu axe paralele. În continuare se determină parametrii cinematico-dinamici ai roţii 2 conduse. Se defineşte coeficientul dinamic Rd2, al roţii 2(conduse). Aspectul vibratoriu al vitezei unghiulare al roţii 2 este prezentat în trei diagrame (figurile 1.12.- 1.14.). Nu s-a mai specificat care ecuaţii sunt originale şi care nu, deoarece întregul model dinamic prezentat este original. Capitolul al doilea (de la partea a doua) se ocupă cu o problemă deosebit de importantă în studiul dinamic al angrenajelor, şi anume determinarea eficienţei (randamentului) angrenajelor. Se pleacă de la o metodă originală (prezentată deja de autor în ultimii 6-7 ani, publicată şi republicată aproape anual – vezi lucrările [P2], [P3], [P4], [P5], [P6], [P7], [P8], [P9]) care determină randamentul cuplei superioare plane cu angrenaj similar cu cel de la cama, ţinându-se cont de o singură pereche de dinţi în angrenare, pentru ca la final să se prezinte o medodă nouă (completă) care ţine cont de toate

127

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

perechile de dinţi aflate în angrenare, astfel încât randamentul rezultat va fi o funcţie complexă nu numai de numărul de dinţi al roţii conducătoare şi conduse, şi de unghiul normal al angrenării, cât şi de gradul de acoperire al angrenajului. Paragraful 2.1. determină simplu şi direct randamentul instantaneu (a se urmări şi figura 2.1.); în paragraful 2.2. sunt prezentate elementele geometrice ale angrenării, necesare calculului unghiului maxim şi minim de presiune al roţii conducătoare, unghiuri în funcţie de care se determină randamentul angrenării prin integrare de la unghiul minim de presiune până la cel maxim (vezi paragraful 2.3., „determinarea randamentului angrenării”); paragraful 2.4. prezintă randamentul calculat şi tabelat în patru tabele (primele trei pentru dinţi drepţi, cu diverse rapoarte de transmitere, iar al patrulea pentru dinţi înclinaţi); în paragraful 2.5. se trag câteva concluzii şi se face o discuţie pentru a vedea cum influenţează diverşii parametrii luaţi în calcul, randamentul angrenajelor; paragraful 2.6. prezintă direct şi concis relaţiile pentru calculul randamentului în cazul angrenării interioare, pentru cele două variante când avem ca roată conducătoare roata cu dantură exterioară şi apoi cea cu dantură interioară (inelul). Paragraful 2.7. (cel mai nou şi mai interesant), determină randamentul unui angrenaj cu roţi dinţate cu axe paralele (pentru început numai pentru dinţii drepţi, relaţiile urmând a se extinde cu uşurinţă şi la dinţii înclinaţi, iar mai apoi la angrenajele cu axe neparalele) în funcţie şi de gradul de acoperire al angrenajului. Se consideră pentru început patru perechi de dinţi aflate în angrenare simultan, (a se urmări fig. 2.2. de la partea a doua a lucrării); se prezintă relaţiile de calcul, care apoi se generalizează direct (în cadrul expresiei 2.51), înlocuindu-se în cadrul acestei expresii, numărul 4 care reprezintă perechile de dinţi aflate în angrenare simultan, cu variabila E, iar după restrângerea expresiilor celor două sume generalizate care apar, se poate trece la final la înlocuirea lui E cu gradul de acoperire al angrenajului; deoarece am obţinut numai expresia randamentului instantaneu, pentru a uşura mult calculele (integrarea unei astfel de expresii complicate, nu se poate face direct), se face aproximarea prin care unghiul de presiune ia direct valoarea medie (normală), iar astfel randamentul instantaneu se transformă în cel mediu, expresia 2.52, care se rezolvă cu relaţiile ajutătoare 2.53, sau 2.54. În paragraful 2.8. se face sinteza dinamică a angrenajelor pe baza expresiei randamentului mecanic (2.52), utilizându-se rezultatele centralizate în tabelul 2.5. Se face cu această ocazie şi o discuţie şi se trag câteva concluzii: - Randamentul cel mai ridicat care se poate obţine cu două roţi dinţate este cel al angrenării interioare, cu roata cu dantură interioară conducătoare (roata inel devine conducătoare, iar roata mai mică cu dantură exterioară va fi condusă); - Invers, când formăm o angrenare interioară cu roata mică (cu dantură exterioară) conducătoare, randamentul rezultat este cel mai mic posibil; - Atunci când angrenarea este exterioară, randamentul este mai ridicat pentru roata mare conducătoare; - Cu cât unghiul normal de angrenare, α0, scade, creşte gradul de acoperire, şi odată cu el şi randamentul angrenării; când unghiul normal de angrenare, scade la valoarea de 5 grade, gradul de acoperire ajunge la valorile 6.5-7.3, iar randamentul ia valori teoretice de 99-99.5%, adică practic angrenajul va lucra cu randamente de 100%. - Randamentul creşte şi odată cu numărul de dinţi al roţii conducătoare; - Pentru un unghi normal de angrenare scăzut (α0=4 [grad]), putem obţine o angrenare cu roţi dinţate cu 8 perechi de dinţi în angrenare simultan. Mai trebuie făcute precizările, că odată cu creşterea gradului de acoperire şi implicit a randamentului mecanic al angrenării, scad forţele şi tensiunile (eforturile) din angrenaj împreună cu uzura lui, creşte fiabilitatea şi eficacitatea acestuia, şi se diminueaza zgomotele şi vibraţiile produse de angrenare. Partea a doua se încheie cu o bibliografie concisă (la obiect). Partea a treia prezintă contribuţiile autorului, şase anexe cu programe de calcul scrise în excel, şi o anexă interesantă care prezintă un scurt istoric privind apariţia şi evoluţia mecanismelor cu roţi dinţate (şi bare).

128

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

AI ANEXA I

În Anexa I se prezintă programul de calcul scris în Excel, pentru analiza dinamică a mecanismului clasic de distribuţie, prin utilizarea relaţiilor (3.196, 3.198, 3.200), obţinute din modelul dinamic prezentat în cadrul paragrafului 3.9.1.1., model cu integrarea directă a ecuaţiei diferenţiale, cu utilizarea ipotezei statice, cu rezolvarea directă a ecuaţiei de gradul doi obţinute; analiza dinamică se face în cadrul cap. 4.8. A 1

n[rot/min]

B =5200

ϕu[rad]

=PI()/180*75

k[N/mm]

=50

=SUM(B103:AP103)/41

K[N/mm]

r0[mm]

=1/(1/(B58*B28^2)+1/(B59*B28^2) +1/(B60*B28^2)+1/B61+1/B62) =15

x0[mm]

=20

hs[mm]

m*[kg]

=B10+B11

mLS*[kg]

=B52+B53+1/3*B54+B55/(B28+1)

mLT*[kg]

=B28^2*(B56+B57+B28*B55/(B28+1))

-1

ωn[s ]

ωn [s ]

=B12^2

Δx[]

=0.05

x[]

y[]

=B15-SIN(B15*PI()*2)/(2*PI())

y'[]

=1-COS(2*PI()*B15)

y''[]

=2*PI()*SIN(2*PI()*B15)

y'''[]

=4*PI()^2*COS(2*PI()*B15)

y []

=-8*PI()^3*SIN(2*PI()*B15)

y []

=-16*PI()^4*COS(2*PI()*B15)

s[mm]

=B16*B8

s [mm]

-2

=PI()*B1/60

=B17*B8/B2

=B18*B8/B2^2

III

=B19*B8/B2^3

=B20*B8/B2^4

=B21*B8/B2^5

s [mm]

i[]

verificare

=B47

Kv[N/mm]

x'(0)[mm]

x''(0)[mm]

=1/((1/(20*PI()*(B6+B8/2)^2)+1/72871) *B23^2/(B6+B22)^2+1/B5) =B23-B13*0.001*B9*B30/(B30+B3)^2 *(B66*B23+2*B65*B24+B63*B25) -B3*B23/(B30+B3)-B51/B28^2*B13*0.001/B30 *((B23+B25)/B63-(B6/B28+B22+B24)*B65/B63^2) =B24-B13*0.001*B9*B30/(B30+B3)^2 *(B67*B23+3*B66*B24+3*B65*B25 +B63*B26)-B3*B24/(B30+B3)-B51/B28^2 *B13*0.001/B30*((B24+B26)/B63-(2*(B23 +B25)*B65+(B6/B28+B22+B24)*B66)/B63^2 +2*(B6/B28+B22+B24)*B65^2/B63^3)

129

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

X''[mm]

Δx(0) [mm]

X[mm]aproximativ

Δ [mm ]

X[mm]precis

Δϕ[rad]

=(-1)*(B30+B3)*B8*B3*(B8/2+B7) *(B30*B3*B23+B10*B127*0.001*B30 *(B66*B23+2*B65*B24+B63*B25))/B2 /(B3*B30*(B22+B7)+B10*B127*0.001*B30 *(B65*B23+B63*B24)-(B30+B3)*B10*9.81)^2 =(-B13*0.001*B9*(B63*B32+B65*B31) -B51/B28^2*B13*0.001*(B6/B28+B22+B24) /B63*IF(ABS(B31)<=0.05,1,B23/B31) -B3*(B22+B7))/(B30+B3) =(B30*B22-B3*B7-B10*B127*0.001*B33 -B11*B127*0.001*(B30+B3)/B30* (B65*B23+B63*B24))/(B30+B3) =((B3*B7)^2+(B30*B22)^2)/(B30+B3)^2 -(B10*(B30/(B30+B3)*B63*B23)^2 +B11*(B63*B23)^2)/(B30+B3)*B127*0.001 =IF(B38<0,B37,-B3*B7/(B30+B3) +SQRT(B38)) =B14*B2

=1/B40^2

X''[mm]

=B41*(C39+AO39-2*B39)

=1/(2*B40)

X'[mm]

a[m/s ]

v[m/s]

=B44*B125/B40*B126*0.001 +B42*B127*0.001 =B44*0.001*SQRT(B64)

s*[verificare]

=B3*(B7+B8)/B9

cb[]

=2.2

bcama[mm]

=10

ρcama[g/cm ]

mc/2[kg]

mS[kg]supapa

=B49/2*(B6^2*PI()+B6*B28*B8 *SIN(B2))*B50*10^(-6) =0.0532

mTS[kg]talersupapa

=0.0185

mAS[kg]arcsupapa

=0.0332

mcu[kg]culbutor

=0.052

mT[kg]tachet

=0.0353

mt[kg]tija

=0.0322

KCama[N/mm]

=163960

KTachet[N/mm]

=15000000

Ktija[N/mm]

=23820

Kculbutor[N/mm]

=5044

KSupapa[N/mm]

=600000

D[]

=1-((B23*B28)^2-B24*B28*(B6+B22*B28)) /((B23*B28)^2+(B6+B22*B28)^2) =B13*B63^2

=B43*(C39-AO39)

-2

Wp[s ]

D'[]

D''[]

D'''[]

130

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

+(2*B66*B23^3*B28^3+12*B65*B23^2*B24*B28^3 +12*B63*B23*B24^2*B28^3+6*B63* B23^2 *B25*B28^3)/(B6+B22*B28)-(4*B65*B23^4*B28^4 +14*B63*B23^3*B24*B28^4)/(B6+B22*B28)^2 +4*B63*B23^5*B28^5/(B6+B22*B28)^3 -4*B66*B23*B28*(B6+B22*B28+B24*B28) -2*B65*B24*B28*(B6+B22*B28+B24*B28) -2*B65*B23*B28^2*(B23+B25)) /((B6+B22*B28)^2+B23^2*B28^2) 70

trasare profil

rA [mm ]lasupapã

=(B6/B28+B22)^2+B23^2

φ [rad]

=B15*B2

rA [mm]lacamã

=SQRT((B6+B22*B28)^2+(B23*B28)^2)

cosϕ

=COS(B72)

sinϕ

=SIN(B72)

cosγ

=(B6+B22*B28)/B73

sinγ

=B23*B28/B73

cosθ

=B74*B76-B75*B77

sinθ

=B75*B76+B77*B74

xC [mm]

=B73*B78

yC [mm]

=B73*B79

rA [mm]

=SQRT(B71) 2

=B51*B91*B94+B9*B23*B24

le [kg.mm ]

I* [kg.mm ]

=B51*B71+B9*B23^2

r'A [mm]

=(B6/B28+B22+B24)*B23/B91

-1

-2

lC [kg mm ]

Mrez*10 [Nm]

101

103

ηi

104

Δ [s ]

105

dw [s ]

106

WD [s ]

107

WD [s ]

=B106^2

108

φ [rad]

=B2*B15

109

-1

WD [s ]

=B126

112

X(0)[mm]

=B22+B34

113

Δϕ[rad]

=B14*B2

114

=1/B113^2

115

X''(0)[mm]

=B114*(C112+AO112-2*B112)

116

=1/(2*B113)

117

X'(0)[mm]

118

a[m/s ]

119

v[m/s]

121

Mm*10 [Nm]

=(B23*B28)^2/((B23*B28)^2 +(B6+B22*B28)^2) =B13/4+B92*B101/B93^2*(B2*B14)^2 +B101/B93*(B2*B14) =(-B92/B93*B2*B14*B12-B12/2 +(IF(B104<0,0,B104))^0.5) /(B92/B93*B2*B14+1) =B12+B105

-2

-1

-2

=B117*0.001*SQRT(B64) 6

122

Mrez*10 [Nm]

123

M*10 [Nm]

124

Δ [s ]

-2

=B116*(C112-AO112) =(B117*B65+B115*B63)*B13*0.001

=ABS(B92-B93*(COS(B15*B2) -SIN(B2*B15))/(COS(B2*B15)+ SIN(B2*B15)))/(B92^2+B93^2) =B3*(B22+B7)*B23*1000*B28^2 *B30^2/(B30+B3)^2 =B97

=B30*(B22-B112)*B117*1000 =B3*(B7+B112)*B117*B28^2*1000 =B121-B122 =B13/4+B92*B123/B93^2* (B2*B14)^2+B123/B93*(B2*B14)

131

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

-1

125

dw [s ]

126

WD [s ]

127

WD [s ]

=(-B92/B93*B2*B14*B12-B12/2 +(IF(B124<0,0,B124))^0.5) /(B92/B93*B2*B14+1) =B12+B125

-1

-2

=B126^2

A II ANEXA II

În Anexa II se prezintă programul de calcul scris în Excel, pentru analiza dinamică a mecanismului clasic de distribuţie, prin utilizarea relaţiilor (3.196, 3.203 , 3.204 şi 3.205), obţinute din modelul dinamic prezentat în cadrul paragrafului 3.9.1.2., model cu integrarea directă a ecuaţiei diferenţiale, cu utilizarea ipotezei statice, cu rezolvarea ecuaţiei de gradul doi obţinute prin aplicarea diferenţelor finite; analiza dinamică se face în cadrul cap. 4.9. A

n[rot/min]

=5200

ϕu[rad]

=PI()/180*75

k[N/mm]

=50

=SUM(B103:AP103)/41

K[N/mm]

r0[mm]

=1/(1/(B58*B28^2)+1/(B59*B28^2) +1/(B60*B28^2)+1/B61+1/B62) =15

x0[mm]

=20

hs[mm]

m*[kg]

=B10+B11

mLS*[kg]

=B52+B53+1/3*B54+B55/(B28+1)

mLT*[kg]

=B28^2*(B56+B57+B28*B55/(B28+1))

-1

ωn[s ]

-2

=PI()*B1/60

ωn [s ]

=B12^2

Δx[]

=0.05

x[]

y[]

=B15-SIN(B15*PI()*2)/(2*PI())

y'[]

=1-COS(2*PI()*B15)

y''[]

=2*PI()*SIN(2*PI()*B15)

y'''[]

=4*PI()^2*COS(2*PI()*B15)

y []

=-8*PI()^3*SIN(2*PI()*B15)

y []

=-16*PI()^4*COS(2*PI()*B15)

s[mm]

=B16*B8

s [mm]

=B17*B8/B2

=B18*B8/B2^2

III

=B19*B8/B2^3

s [mm]

s [mm] IV

=B20*B8/B2^4

s [mm]

=B21*B8/B2^5

i[]

Kv[N/mm]

x'(0)[mm]

=1/((1/(20*PI()*(B6+B8/2)^2)+1/ 72871)*B23^2/(B6+B22)^2+1/B5) =B23-B13*0.001*B9*B30/(B30+B3)^2 *(B66*B23+2*B65*B24+B63*B25)-B3 *B23/(B30+B3)-B51/B28^2*B13*0.001

132

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

/B30*((B23+B25)/B63(B6/B28+B22+B24)*B65/B63^2) =B24-B13*0.001*B9*B30/(B30+B3)^2 *(B67*B23+3*B66*B24+3*B65*B25 +B63*B26)-B3*B24/(B30+B3)-B51/B28^2 *B13*0.001/B30*((B24+B26)/B63 -(2*(B23+B25)*B65+(B6/B28+B22 +B24)*B66)/B63^2+2*(B6/B28 +B22+B24)*B65^2/B63^3) =(-1)*((B3^2+2*B3*B30)*B22^2+2*B3*B7 *(B30+B3)*B22+(B30^2/(B30+B3)*B10 +(B30+B3)*B11)*B127*0.001*(B63*B23)^2) /(2*(B22+B3*B7/(B30+B3))*(B30+B3)^2) =(-B13*0.001*B9*(B63*B32+B65*B31) -B51/B28^2*B13*0.001*(B6/B28+B22+B24) /B63*IF(ABS(B31)<=0.05,1,B23/B31) -B3*(B22+B7))/(B30+B3) =(B30^2*B22^2+B3^2*B7^2-(B30^2/(B30 +B3)*B10+(B30+B3)*B11)*B127 *0.001*(B63*B23)^2)/(B30+B3)^2 =IF(B36<0,B33,SQRT(B36) -B22-B3*B7/(B30+B3)) =B22+B37

x''(0)[mm]

Δx [mm]

Δx(0) [mm]

Δ [mm ]

ΔX [mm]

X[mm]precis

Δϕ[rad]

=B14*B2

=1/B40^2

X''[mm]

=B41*(C39+AO39-2*B39)

=1/(2*B40)

X'[mm]

a[m/s ]

v[m/s]

=B43*(C39-AO39)

=B44*B125/B40*B126*0.001 +B42*B127*0.001 =B44*0.001*SQRT(B64)

s*[verificare]

=B3*(B7+B8)/B9

cb[]

=2.2

bcama[mm]

=10 3

ρcama[g/cm ]

mc/2[kg]

mS[kg]supapa

=B49/2*(B6^2*PI()+B6*B28*B8 *SIN(B2))*B50*10^(-6) =0.0532

mTS[kg]talersupapa

=0.0185

mAS[kg]arcsupapa

=0.0332

mcu[kg]culbutor

=0.052

mT[kg]tachet

=0.0353

mt[kg]tija

=0.0322

KCama[N/mm]

=163960

KTachet[N/mm]

=15000000

Ktija[N/mm]

=23820

Kculbutor[N/mm]

=5044

KSupapa[N/mm]

=600000

D[]

=1-((B23*B28)^2-B24*B28*(B6+B22*B28)) /((B23*B28)^2+(B6+B22*B28)^2) =B13*B63^2

-2

Wp[s ]

D'[]

D''[]

133

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

-2*B65*B23*B28*(B6+B22*B28+B24*B28)) /((B6+B22*B28)^2+B23^2*B28^2) =(B27*B28*(B6+B22*B28)+B26*B23*B28^2 -2*B24*B25*B28^2-2*B66*B23*B24*B28^2 -4*B65*B24^2*B28^2-4*B65*B23*B25*B28^2 -6*B63*B24*B25*B28^2-2*B63*B23*B26*B28^2 +(2*B66*B23^3*B28^3+12*B65*B23^2*B24*B28^3 +12*B63*B23*B24^2*B28^3+6*B63* B23^2*B25*B28^3) /(B6+B22*B28)-(4*B65*B23^4*B28^4+14*B63*B23^3 *B24*B28^4)/(B6+B22*B28)^2+4*B63*B23^5 *B28^5/(B6+B22*B28)^3-4*B66*B23*B28 *(B6+B22*B28+B24*B28)-2*B65*B24*B28 *(B6+B22*B28+B24*B28)-2*B65*B23*B28^2 *(B23+B25))/((B6+B22*B28)^2+B23^2*B28^2)

D'''[]

trasare profil

rA [mm ]lasupapã

=(B6/B28+B22)^2+B23^2

φ [rad]

=B15*B2

rA [mm]lacamã

=SQRT((B6+B22*B28)^2+(B23*B28)^2)

cosϕ

=COS(B72)

sinϕ

=SIN(B72)

cosγ

=(B6+B22*B28)/B73

sinγ

=B23*B28/B73

cosθ

=B74*B76-B75*B77

sinθ

=B75*B76+B77*B74

xC [mm]

=B73*B78

yC [mm]

=B73*B79

rA [mm]

=SQRT(B71) 2

=B51*B91*B94+B9*B23*B24

le [kg.mm ]

I* [kg.mm ]

=B51*B71+B9*B23^2

r'A [mm]

=(B6/B28+B22+B24)*B23/B91

95 97

-1

lC [kg mm ] 6

Mrez*10 [Nm]

101

103

ηi

104

-2

=ABS(B92-B93*(COS(B15*B2)-SIN(B2*B15)) /(COS(B2*B15)+SIN(B2*B15)))/(B92^2+B93^2) =B3*(B22+B7)*B23*1000*B28^2 *B30^2/(B30+B3)^2 =B97 =(B23*B28)^2/((B23*B28)^2+(B6+B22*B28)^2)

-2

Δ [s ]

=B13/4+B92*B101/B93^2* (B2*B14)^2+B101/B93*(B2*B14) =(-B92/B93*B2*B14*B12-B12/2+ (IF(B104<0,0,B104))^0.5)/(B92/B93*B2*B14+1) =B12+B105

-1

105

dw [s ]

106

WD [s ]

107

WD [s ]

=B106^2

108

φ [rad]

=B2*B15

109

-1

WD [s ]

=B126

112

X(0)[mm]

=B22+B34

113

Δϕ[rad]

=B14*B2

114

=1/B113^2

115

X''(0)[mm]

=B114*(C112+AO112-2*B112)

116

=1/(2*B113)

117

X'(0)[mm]

-1

-2

118

a[m/s ]

119

v[m/s]

121

Mm*10 [Nm]

122

Mrez*10 [Nm]

123

=(B117*B65+B115*B63)*B13*0.001 =B117*0.001*SQRT(B64) 6

=B116*(C112-AO112)

M*10 [Nm]

=B30*(B22-B112)*B117*1000 =B3*(B7+B112)*B117*B28^2*1000 =B121-B122

134

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

-2

124

Δ [s ]

125

dw [s ]

126

WD [s ]

127

WD [s ]

=B13/4+B92*B123/B93^2*(B2*B14)^2 +B123/B93*(B2*B14) =(-B92/B93*B2*B14*B12-B12/2 +(IF(B124<0,0,B124))^0.5)/(B92/B93*B2*B14+1) =B12+B125

-1

-2

=B126^2

A III ANEXA III

În Anexa III se prezintă programul de calcul scris în Excel, pentru analiza dinamică a mecanismului clasic de distribuţie, prin utilizarea relaţiilor (3.196, 3.203, şi 3.206), obţinute din modelul dinamic prezentat în cadrul paragrafului 3.9.1.2., model cu integrarea directă a ecuaţiei diferenţiale, cu utilizarea ipotezei statice, cu rezolvarea ecuaţiei de gradul doi obţinută, prin aplicarea diferenţelor finite astfel încât ecuaţia de gradul doi să se transforme într-o ecuaţie liniară de gradul 1; analiza dinamică se face în cadrul cap. 4.10. 1

n[rot/min]

=5000

ϕu[rad]

=PI()/180*75

k[N/mm]

=20

=SUM(B103:AP103)/41

K[N/mm]

r0[mm]

=1/(1/(B58*B28^2)+1/(B59*B28^2) +1/(B60*B28^2)+1/B61+1/B62) =14

x0[mm]

=40

hs[mm]

m*[kg]

=B10+B11

mLS*[kg]

=B52+B53+1/3*B54+B55/(B28+1)

mLT*[kg]

=B28^2*(B56+B57+B28*B55/(B28+1))

-1

ωn[s ]

ωn [s ]

=B12^2

Δx[]

=0.05

x[]

y[]

=B15-SIN(B15*PI()*2)/(2*PI())

y'[]

=1-COS(2*PI()*B15)

y''[]

=2*PI()*SIN(2*PI()*B15)

y'''[]

=4*PI()^2*COS(2*PI()*B15)

y []

-2

=PI()*B1/60

=-8*PI()^3*SIN(2*PI()*B15)

y []

=-16*PI()^4*COS(2*PI()*B15)

s[mm]

=B16*B8

s [mm]

=B17*B8/B2

=B18*B8/B2^2

III

=B19*B8/B2^3

s [mm]

=B20*B8/B2^4

s [mm]

=B21*B8/B2^5

i[]

Kv[N/mm]

Δx(0) [mm]

=1/((1/(20*PI()*(B6+B8/2)^2)+1/72871) *B23^2/(B6+B22)^2+1/B5) =(-1)*((B3^2+2*B3*B30)*B22^2 +2*B3*B7*(B30+B3)*B22+(B30^2 /(B30+B3)*B10+(B30+B3)*B11) *B13*0.001*(B63*B23)^2)/(2*(B22

135

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

+B3*B7/(B30+B3))*(B30+B3)^2) 35

Δx [mm]

x[mm]precis

=(-1)*((B3^2+2*B3*B30)*B22^2 +2*B3*B7*(B30+B3)*B22+(B30^2/(B30 +B3)*B10+(B30+B3)*B11)*B127*0.001 *(B63*B23)^2)/(2*(B22 +B3*B7/(B30+B3))*(B30+B3)^2) =B22+B35

Δϕ[rad]

=B14*B2

=1/B40^2

x''[mm]

=B41*(C39+AO39-2*B39)

=1/(2*B40)

x'[mm]

a[m/s ]

=B43*(C39-AO39)

v[m/s]

=B44*B125/B40*B126 *0.001+B42*B127*0.001 =B44*0.001*SQRT(B64)

s*[verificare]

=B3*(B7+B8)/B9

cb[]

=2.2

bcama[mm]

=10

ρcama[g/cm ]

mc/2[kg]

mS[kg]supapa

=B49/2*(B6^2*PI()+B6*B28*B8 *SIN(B2))*B50*10^(-6) =0.0532

mTS[kg]talersupapa

=0.0185

mAS[kg]arcsupapa

=0.0332

mcu[kg]culbutor

=0.052

mT[kg]tachet

=0.0353

mt[kg]tija

=0.0322

KCama[N/mm]

=163960

KTachet[N/mm]

=15000000

Ktija[N/mm]

=23820

Kculbutor[N/mm]

=5044

KSupapa[N/mm]

=600000

D[]

Wp[s ]

=1-((B23*B28)^2-B24*B28 *(B6+B22*B28))/((B23*B28)^2 +(B6+B22*B28)^2) =B13*B63^2

D'[]

D''[]

D'''[]

-2

=(B28*(B6+B22*B28)*(2*B23+B25) +B24*B23*B28^2-2*B63*B28*B23 *(B24*B28+B6+B22*B28)) /(B23^2*B28^2+(B6+B22*B28)^2) =(B26*B28*(B6+B22*B28)-B24^2*B28^2 -2*B65*B23*B24*B28^2-2*B63*B24^2*B28^2 -2*B63*B23*B25*B28^2+(2*B65*B23^3*B28^3 +6*B63*B23^2*B24*B28^3)/(B6+B22*B28) -2*B63*B23^4*B28^4/(B6+B22*B28)^2 -2*B65*B23*B28*(B6+B22*B28+B24*B28)) /((B6+B22*B28)^2+B23^2*B28^2) =(B27*B28*(B6+B22*B28)+B26*B23 *B28^2-2*B24*B25*B28^2-2*B66*B23 *B24*B28^2-4*B65*B24^2*B28^2 -4*B65*B23*B25*B28^2-6*B63*B24 *B25*B28^2-2*B63*B23*B26*B28^2 +(2*B66*B23^3*B28^3+12*B65*B23^2 *B24*B28^3+12*B63*B23*B24^2*B28^3 +6*B63* B23^2*B25*B28^3)/(B6+B22*B28) -(4*B65*B23^4*B28^4+14*B63*B23^3*B24 *B28^4)/(B6+B22*B28)^2+4*B63*B23^5 *B28^5/(B6+B22*B28)^3-4*B66*B23*B28 *(B6+B22*B28+B24*B28)-2*B65*B24*B28

136

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

*(B6+B22*B28+B24*B28) -2*B65*B23*B28^2*(B23+B25)) /((B6+B22*B28)^2+B23^2*B28^2) 70

trasare profil

rA [mm ]lasupapã

=(B6/B28+B22)^2+B23^2

φ [rad]

=B15*B2

rA [mm]lacamã

cosϕ

=SQRT((B6+B22*B28)^2 +(B23*B28)^2) =COS(B72)

sinϕ

=SIN(B72)

cosγ

=(B6+B22*B28)/B73

sinγ

=B23*B28/B73

cosθ

=B74*B76-B75*B77

sinθ

=B75*B76+B77*B74

xC [mm]

=B73*B78

yC [mm]

=B73*B79

rA [mm]

=SQRT(B71)

le [kg.mm ]

=B51*B91*B94+B9*B23*B24

I* [kg.mm ]

=B51*B71+B9*B23^2

r'A [mm]

=(B6/B28+B22+B24)*B23/B91

lC [kg mm ]

Mrez*10 [Nm]

101

103

ηi

-1

-2

=(B23*B28)^2/((B23*B28)^2 +(B6+B22*B28)^2) =B13/4+B92*B101/B93^2 *(B2*B14)^2+B101/B93*(B2*B14) =(-B92/B93*B2*B14*B12-B12/2 +(IF(B104<0,0,B104)) ^0.5)/(B92/B93*B2*B14+1) =B12+B105

-2

104

Δ [s ]

105

dw [s ]

106

WD [s ]

107

WD [s ]

-1

-2

108

φ [rad]

109

WD [s ]

=ABS(B92-B93*(COS(B15*B2) -SIN(B2*B15))/(COS(B2*B15) +SIN(B2*B15)))/(B92^2+B93^2) =B3*(B22+B7)*B23*1000 *B28^2*B30^2/(B30+B3)^2 =B97

=B106^2 =B2*B15

-1

=B126

112

X(0)[mm]

=B22+B34

113

Δϕ[rad]

=B14*B2

114

=1/B113^2

115

X''(0)[mm]

=B114*(C112+AO112-2*B112)

116

=1/(2*B113)

117

X'(0)[mm]

118

a[m/s ]

=(B117*B65+B115*B63)*B13*0.001

119

v[m/s]

=B117*0.001*SQRT(B64)

=B116*(C112-AO112)

120 121

Mm*10 [Nm] 6

122

Mrez*10 [Nm]

123

M*10 [Nm]

124

Δ [s ]

-2

-1

125

dw [s ]

126

WD [s ]

-1

=B30*(B22-B112)*B117*1000 =B3*(B7+B112)*B117*B28^2*1000 =B121-B122 =B13/4+B92*B123/B93^2*(B2*B14) ^2+B123/B93*(B2*B14) =(-B92/B93*B2*B14*B12-B12/2 +(IF(B124<0,0,B124))^0.5) /(B92/B93*B2*B14+1) =B12+B125

137

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

127

-2

WD [s ]

=B126^2

A IV ANEXA IV

Anexa IV: camă rotativă şi tachet de translaţie cu rolă (Modul B). 1

n[rot/min]

ϕu[rad]

=5500

=PI()/180*65

k[N/mm]

=30

=B90

K[N/mm]

r0[mm]

=1/(1/(B61*B24^2)+1/(B62*B24^2) +1/(B63*B24^2)+1/B64+1/B65) =13

x0[mm]

=20

hs[mm]

m*[kg]

=B10+B11

mLS*[kg]

=B55+B56+1/3*B57+B58/(B24+1)

mLT*[kg]

=B24^2*(B59+B60+B24*B58/(B24+1))

-1

ωn[s ]

ωn [s ]

=B12^2

Δx[]

=0.05

x[]

y[]

=B15-SIN(B15*PI()*2)/(2*PI())

y'[]

=1-COS(2*PI()*B15)

y''[]

=2*PI()*SIN(2*PI()*B15)

y'''[]

=4*PI()^2*COS(2*PI()*B15)

s[mm]

=B16*B8

s'[mm]

=B17*B8/B2

s''[mm]

=B18*B8/B2^2

s'''[mm]

=B19*B8/B2^3

i[]

Kv[N/mm]

-2

=PI()*B1/60

a[]

=1/((1/(20*PI()*(B6/B24+B8/2)^2) +1/72871)*B21^2/(B6/B24+B20)^2+1/B5) =-1

rb [mm]

=13

e [mm]

s0 [mm]

=SQRT((B6+B28)^2-B29^2)

RAD[mm]

=SQRT((B30+B20*B24)^2+(B21*B24-B29)^2)

A[]

B[]

A'[]

=1-B21*B24*(B29*B31+B28*(B21*B24-B29)) /(((B30+B20*B24)^2+B29^2+B28^2)*B31 -2*B28*((B30+B20*B24)^2+B29^2-B29*B21*B24)) =(B28*(B22*B24*(B30+B20*B24)-B21*B24 *(B21*B24-B29))*((B30+B20*B24)^2 +B29^2-B29*B21*B24-B28*B31))/(((B30 +B20*B24)^2+(B21*B24-B29)^2)*(((B30 +B20*B24)^2+B29^2+B28^2)*B31 -2*B28*((B30+B20*B24)^2+B29^2-B29*B21*B24))) =((1-B32)*(2*(B30+B20*B24)*B21*B24*B31 +((B30+B20*B24)^2+B29^2+B28^2) *((B30+B20*B24)*B21*B24+(B21*B24-B29) *B22*B24)/B31-2*B28*(2*(B30+B20*B24) *B21*B24-B29*B22*B24))-B22*B24*(B29*B31

138

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

+B28*B21*B24-B28*B29)-B21*B24 *(((B30+B20*B24)*B21*B24+(B21*B24-B29) *B22*B24)*B29/B31+B28*B22*B24)) /(((B30+B20*B24)^2+B29^2+B28^2)*B31 -2*B28*((B30+B20*B24)^2+B29^2-B29*B21*B24)) =((B28*B23*B24*(B30+B20*B24) -B28*B22*B24*(B21*B24-B29)) *((B30+B20*B24)^2+B29^2-B29*B21 *B24-B28*B31)+(B28*B22*B24 *(B30+B20*B24)-B28*B21*B24 *(B21*B24-B29))*(2*(B30+B20*B24) *B21*B24-B29*B22*B24-B28*((B30 +B20*B24)*B21*B24+(B21*B24-B29) *B22*B24)/B31)-B33*(2*(B30+B20*B24) *B21*B24+2*(B21*B24-B29)*B22*B24) *(((B30+B20*B24)^2+B29^2+B28^2)*B31 -2*B28*((B30+B20*B24)^2+B29^2-B29*B21 *B24))-B33*((B30+B20*B24)^2+(B21*B24 -B29)^2)*(2*(B30+B20*B24)*B21*B24*B31 +((B30+B20*B24)^2+B29^2+B28^2) *((B30+B20*B24)*B21*B24+(B21*B24-B29) *B22*B24)/B31-2*B28*(2*(B30+B20*B24) *B21*B24-B29*B22*B24)))/(((B30 +B20*B24)^2+(B21*B24-B29)^2) *(((B30+B20*B24)^2+B29^2+B28^2)*B31 -2*B28*((B30+B20*B24)^2+B29^2-B29*B21*B24))) =(B30+B20*B24)^2*(B32+B33) /((B30+B20*B24)^2+(B21*B24-B29)^2) =2*(B30+B20*B24)*(B21*B24-B29) *(B21*B24*(B21*B24-B29)-B22*B24 *(B30+B20*B24))*(B32+B33)/((B30 +B20*B24)^2+(B21*B24-B29)^2)^2 +(B30+B20*B24)^2*(B34+B35)/((B30 +B20*B24)^2+(B21*B24-B29)^2) =B36*B12

B'[]

D[]

D'[]

W [s ]

ΔX(0)[mm]

ΔX[mm]

-1

X[mm]

=(-1)*((B3^2+2*B3*B26)/(B26+B3)^2*B20^2 +2*B3*B7*B20/(B26+B3)+(B26^2/(B26+B3)^2 *B10+B11)/(B26+B3)*B13*0.001 *(B36*B21)^2)/(2*(B20+B3*B7/(B26+B3))) =(-1)*((B3^2+2*B3*B26)/(B26+B3)^2*B20^2 +2*B3*B7*B20/(B26+B3)+(B26^2/(B26+B3)^2 *B10+B11)/(B26+B3)*B141*0.001 *(B36*B21)^2)/(2*(B20+B3*B7/(B26+B3))) =B20+B41

Δϕ[rad]

=B14*B2

=1/B43^2

X''[mm]

=B44*(C42+AO42-2*B42)

=1/(2*B43)

X'[mm]

a[m/s ]

v[m/s]

=B47*0.001*SQRT(B67)

s*[verificare]

=B3*(B7+B8)/B9

b[]

bcama[mm]

=B46*(C42-AO42)

=B141*0.001*B45

=12 3

ρcama[g/cm ]

mC/2 [kg]

mS[kg]supapa

=B52/2*B24^2*(B6^2*PI()+B6 *B24*B8*SIN(B2))*B53*10^(-6) =0.0532

mTS[kg]talersupapa

=0.0185

mAS[kg]arcsupapa

=0.0332

mcu[kg]culbutor

=0.052

mT[kg]tachet

=0.0353

139

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

mt[kg]tija

=0.0322

KCama[N/mm]

=163960

KTachet[N/mm]

=15000000

Ktija[N/mm]

=23820

Kculbutor[N/mm]

=5044

KSupapa[N/mm]

la [mm ]

lb [mm ]

=600000

=(B30+B20*B24)^2

=B71+(B21*B24-B29)^2

lc [mm ]

rA [mm ]

rA [mm]

=B71+B29^2

=B73+B28^2-2*B28*(B73-B29 *B21*B24)/(SQRT(B72)) =SQRT(B74)

rB [mm ]

=B71+B29^2

rB [mm]

=SQRT(B76)

cosαΒ

=B29/B77

sinαΒ

=(B30+B20*B24)/B77

cosδ

=(B30+B20*B24)/SQRT(B72)

sinδ

=(B21*B24-B29)/SQRT(B72)

cosB

=(B73-B29*B21*B24)/B77/SQRT(B72)

sinB

=B21*B24*(B30+B20*B24)/B77/SQRT(B72)

sinμ

=B28/B75*B83

cosμ

=(B74+B76-B28^2)/(2*B75*B77)

cosαΑ

=B78*B85+B79*B84

sinαΑ

=B79*B85-B84*B78

cos(αΑ−δ)

=B86*B80+B87*B81

ηi

=B88^2*B80^2

η(total-urc+cob)

=SUM(B89:AP89)/41

ηurcare

=SUM(B89:V89)/21

ηcoborare

=SUM(V89:AP89)/21

m0*[kg]

=B9/B24^2

rA [mm]

le [kg.mm ]

=SQRT(B74) 2

=B54*B94*B97+B9*B21*B22

=B54*B74+B9*B21^2

I* [kg.mm ]

r'A [mm]

=(B6/B24+B20+B22)*B21/B94

106

ηi

=B89

107

=SUM(B106:AP106)/41

111

cosαΑ0

=B86

112

sinαΑ0

=B87

113

cosαΑ

=B86

114

sinαΑ

=B87

115

ϕ [rad]

=B15*B2

116

cosϕ

=COS(B115)

117

sinϕ

=SIN(B115)

118

cosθΑ

119

sinθΑ

=B116*(B113*B111+B114*B112) +B117*(B114*B111-B113*B112) =B117*(B113*B111+B114*B112) -B116*(B114*B111-B113*B112)

140

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

120

xC [mm]

=B75*B118*B123

121

yC [mm]

=B75*B119

122

semnrotatiecama

123

semnaxaX

=-1

126

X[mm]

=B20+B40

127

Δϕ[rad]

=B14*B2

128

=1/B127^2

129

X''[mm]

=B128*(C126+AO126-2*B126)

130

=1/(2*B127)

131

X'[mm]

134

Mrez*10 [Nm]

135

Mm*10 [Nm]

=B130*(C126-AO126) 6

136

M*10 [Nm]

137

Δ [s ]

138

ω [s ]

139

dω [s ]

140

Wdinamic [s ]

=B26*(B20-B126)*B131*1000 =B135-B134

-2

=B13/4+B95*B136/B96^2*(B2*B14)^2 +B136/B96*(B2*B14) =B12

-1

=B3*(B126+B7)*B131*1000

-2

=IF(B137<0,0,(-B95/B96*B2*B14*B138-B138/2 +SQRT(B137))/(B95/B96*B2*B14+1)) =B138+B139

141

ωD [s ]

=B140^2

143

ϕ [rad]

144

ϕ [grad]

=B143*180/PI()

145

ω [s ]

-1

=B140

147

ϕ [grad]

148

a2 [m/s ]

=B144 2

=B40

AV ANEXA V

Anexa V: camă rotativă şi tachet balansier cu rolă (Modul F). 1

n[rot/min]

=5500

ϕu[rad]

=PI()/180*60

k[N/mm]

=60

=SUM(B83:AP83)/41

K[N/mm]

r0[mm]

=1/(1/(B110*B28^2)+1/(B111*B28^2) +1/(B112*B28^2)+1/B113+1/B114) =24

x0[mm]

=30

ψM [rad]

=PI()/180*30

m*[kg]

=B10+B11

mLS*[kg]

=B104+B105+1/3*B106+B107/(B28+1)

mLT*[kg]

=B28^2*(B108+B109+B28*B107/(B28+1))

-1

ωn[s ]

ωn [s ]

=B12^2

Δx[]

=0,05

x[]

y[]

=B15-SIN(B15*PI()*2)/(2*PI())

-2

=PI()*B1/60

141

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

y'[]

=1-COS(2*PI()*B15)

y''[]

=2*PI()*SIN(2*PI()*B15)

y'''[]

=4*PI()^2*COS(2*PI()*B15)

y []

=-8*PI()^3*SIN(2*PI()*B15)

y []

=-16*PI()^4*COS(2*PI()*B15)

ψ [mm]

=B16*B8

ψ [mm]

=B17*B8/B2

=B18*B8/B2^2

III

=B19*B8/B2^3

=B20*B8/B2^4

ψ [mm]

=B21*B8/B2^5

i[]

Kv[N/mm]

b [mm]

=1/((1/(20*PI()*(B6+B8/2)^2)+ 1/72871)*B23^2/(B6+B22)^2+1/B5) =25

d [mm]

=30

rb[mm]

ψ0 [rad]

ψ2 [rad]

=ACOS((B31^2+B32^2-(B6+B33)^2) /(2*B31*B32)) =B22+B34

cosψ2

=COS(B35)

sinψ2

=SIN(B35)

1-ψ'

=1-B23

RADδ

sinδ

=SQRT(B32^2+B31^2*B38^2 -2*B31*B32*B38*B36) =(B32*B36-B31*B38)/B39

cosδ

=B32*B37/B39

tgδ

=(B32*B36-B31*B38)/(B32*B37)

δ'

rB [mm ]

=(B31*B24-B32*B37*B23-B32* B42*B36*B23)/(B32*B37)*B41^2 =B31^2+B32^2-2*B31*B32*B36

rB [mm]

=SQRT(B44)

rB' [mm]

=B31*B32*B37*B23/B45

cosαB

=(B32^2+B44-B31^2)/(2*B32*B45)

sinαB

=B31*B37/B45

αB'

=(B32^2-B31^2-B44)/(2*B44)*B23

sin(δ+ψ2)

=B40*B36+B37*B41

cos(δ+ψ2)

=B41*B36-B40*B37

cosB

=B50*B47+B48*B51

sinB

2 A

=B50*B48-B51*B47 2

[mm ]

=B44+B33^2-2*B33*B45*B52

rA [mm]

=SQRT(B54)

cosμ

=(B54+B44-B33^2)/(2*B55*B45)

sinμ

=B33/B55*B53

=B43+B23+B49

rA' [mm]

μ'

=(B45*B46-B33*B46*B52 +B33*B45*B53*B58)/B55 =B33/(B55*B56)*(B52*B58-B53*B59/B55)

αA'

=B49+B60

cosαA

=B47*B56-B48*B57

142

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

sinαA

=B48*B56+B57*B47

cosα

=B50*B63-B51*B62

θA'

=1+B61

cosα0

sinα0

=((B6+B33)^2+B32^2-B31^2) /(2*(B6+B33)*B32) =B31*SIN(B34)/(B6+B33)

cosγ

=B62*B66+B63*B67

sinγ

=B63*B66-B67*B62

cosθA

=B73*B68-B74*B69

sinθA

=B74*B68+B69*B73

φ [rad]

=B15*B2

cosϕ

=COS(B72)

sinϕ

=SIN(B72)

Trasare profil

xC [mm]

=B55*B70

yC [mm]

=B55*B71

cosα

=B23*B31*B41/B55

cosαcosδ

=B80*B41

=B65*B41^2

ηi

=B81^2

Δx(0) [mm]

Δx [mm]

x[mm]precis

=(1)*((B3^2+2*B3*B30)*(B22*B31/B28)^2 +2*B3*B7*(B30+B3)*(B22*B31/B28) +(B30^2/(B30+B3)*B10+(B30+B3)*B11) *B13*0,001*(B115*B23*B31/B28)^2) /(2*((B22*B31/B28)+B3*B7/(B30+B3)) *(B30+B3)^2) =(1)*((B3^2+2*B3*B30)*(B22*B31/B28)^2 +2*B3*B7*(B30+B3)*(B22*B31/B28) +(B30^2/(B30+B3)*B10+(B30+B3)*B11) *B141*0,001*(B115*B23*B31/B28)^2) /(2*((B22*B31/B28)+B3*B7/(B30+B3)) *(B30+B3)^2) =B22*B31/B28+B87

Δϕ[rad]

=B14*B2

=1/B92^2

x''[mm]

=B93*(C91+AO91-2*B91)

=1/(2*B92)

x'[mm]

=B95*(C91-AO91)

a[m/s ]

=B94*B141*0,001

v[m/s]

s*[verificare]

=B3*(B7+B8)/B9

100

cb[]

=2,2

101

bcama[mm]

=10 3

102

ρcama[g/cm ]

103

mc/2[kg]

104

mS[kg]supapa

=B101/2*(B6^2*PI()+B6*B28*B8* SIN(B2))*B102*10^(-6) =0,0532

105

mTS[kg]talersupapa

=0,0185

106

mAS[kg]arcsupapa

=0,0332

107

mcu[kg]culbutor

=0,052

108

mT[kg]tachet

=0,0353

109

mt[kg]tija

=0,0322

143

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

110

KCama[N/mm]

=163960

111

KTachet[N/mm]

=15000000

112

Ktija[N/mm]

=23820

113

Kculbutor[N/mm]

=5044

114

KSupapa[N/mm]

=600000

115

D[]

=B65*B41^2

120

le [kg.mm ]

=B103*B55*B59+B9*(B31/B28)^2*B23*B24

121

I* [kg.mm ]

=B103*B54+B9*(B31/B28)^2*B23^2

123

φ [rad]

=B2*B15

124

WD [s ]

126

X(0)[mm]

=B22*B31/B28+B86

127

Δϕ[rad]

=B14*B2

-1

=B140

128

=1/B127^2

129

X''(0)[mm]

=B128*(C126+AO126-2*B126)

130

=1/(2*B127)

131

X'(0)[mm] 2

=B130*(C126-AO126)

132

a[m/s ]

=(B131*B117+B129*B115)*B13*0,001

133

v[m/s]

=B131*0,001*SQRT(B116)

135

Mm*10 [Nm]

136

Mrez*10 [Nm]

137

M*10 [Nm]

138

Δ [s ]

-2

dw [s ]

140

WD [s ]

141

WD [s ]

-1

=B3*(B7+B126)*B131*1000 =B135-B136 =B13/4+B120*B137/B121^2*(B2*B14)^2 +B137/B121*(B2*B14) =(-B120/B121*B2*B14*B12-B12/2+(IF(B138 <0;0;B138))^0,5)/(B120/B121*B2*B14+1) =B12+B139

-1

139

=B30*(B22*B31/B28-B126)*B131*1000

-2

=B140^2

A VI ANEXA VI

Anexa VI: camă rotativă şi tachet balansier plat, cu excentric (Modul H). 1

n[rot/min]

5500

ϕu[rad]

1.396263402

k[N/mm]

=SUM(B83:AP83)/41

5 6 7 8 9 10 11 12

K[N/mm] r0[mm]

=1/(1/(B110*B28^2)+1/B113+1/B114) 13

x0[mm]

ψM [rad]

=PI()/180*10

m*[kg]

=B10+B11

mLS*[kg]

=B104+B105+1/3*B106+B107/(B28+1)

mLT*[kg]

=B28^3*B107/(B28+1)

-1

ωn[s ]

=PI()*B1/60

ωn [s ]

=B12^2

Δx[]

=0.05

-2

144

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

x[]

y[]

=B15-SIN(B15*PI()*2)/(2*PI())

y'[]

=1-COS(2*PI()*B15)

y''[]

=2*PI()*SIN(2*PI()*B15)

y'''[]

=4*PI()^2*COS(2*PI()*B15)

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

=-8*PI()^3*SIN(2*PI()*B15)

y []

=-16*PI()^4*COS(2*PI()*B15)

ψ [mm]

=B16*B8

y []

=B17*B8/B2

=B18*B8/B2^2

III

=B19*B8/B2^3

ψ [mm] ψ [mm] ψ [mm] IV

=B20*B8/B2^4

=B21*B8/B2^5

ψ [mm] ψ [mm] i[]

=B56/B33

30 31 32

=B8*B33 b [mm]

d [mm]

ls [mm]

r0-b [mm]

=B6-B31

cosψ

=COS(B22)

sinψ

=SIN(B22)

1-ψ'

=1-B23

Rad [mm]

=SQRT(B32^2-(B6-B31)^2)

39 40

cosαm

=B35/B32

sinαm

=B39^2/B32

cosβ

=(B35*B36+B39*B37)/B32

sinβ

=(B39*B36-B35*B37)/B32

AH [mm]

=B32*B43*B23/B38

OH [mm]

=B32*B42+B31

r [mm ]

r [mm]

=SQRT(B46)

sinτ

=B44/B47

cosτ

=B45/B47

AH' [mm]

=((B32*B43+B44)*B24-B32*B42*B23^2)/B38

OH' [mm]

=B32*B43*B23

r' [mm]

=(B44*B50+B45*B51)/B47

τ'

=(B50-B48*B52)/(B47*B49)

θ'

=1-B23+B53

l [mm]

=B32*B43/B38

ρ [mm]

=SQRT(B31^2+B55^2) =B107*(2*B28-1)*B55*(B55*B24-B32*B42*B23) /(B56*B33*B38)

57 m*' [kg]

=B44^2+B45^2

φ [rad]

=B15*B2

cosθ

=COS(B72-B22)*B49-B48*SIN(B72-B22)

sinθ

=SIN(B72-B22)*B49+B48*COS(B72-B22)

xC [mm]

=B47*B73

yC [mm]

=B47*B74

=B54

ηi

=B48^2

77 78 82 83

145

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Δx(0) [mm] 87

Δx [mm]

=(-1)*((B3^2+2*B3*B5)*(B22*B33)^2+ 2*B3*B7*(B5+B3)*(B22*B33) +(B5^2/(B5+B3)*B10+(B5+B3)*B11) *B13*0.001*(B115*B23*B33)^2) /(2*((B22*B33)+B3*B7/(B5+B3))*(B5+B3)^2) =(-1)*((B3^2+2*B3*B5)*(B22*B33)^2+ 2*B3*B7*(B5+B3)*(B22*B33)+ (B5^2/(B5+B3)*B10+(B5+B3)*B11)* B141*0.001*(B115*B23*B33)^2)/ (2*((B22*B33)+B3*B7/(B5+B3))*(B5+B3)^2)

x[mm]precis

=B22*B33+B87

Δϕ[rad]

=B14*B2

=1/B92^2

x''[mm]

=B93*(C91+AO91-2*B91)

=1/(2*B92)

x'[mm]

=B95*(C91-AO91)

=B94*B141*0.001

a[m/s ]

v[m/s]

s*[verificare]

=B3*(B7+B8)/B9

cb[]

2.2

100 101 102

bcama[mm]

10 3

ρcama[g/cm ] mc/2[kg]

9 =B101/2*(B6^2*PI()+B6*B28*B8*SIN(B2)) *B102*10^(-6)

mS[kg]supapa

=0.0532

mTS[kg]talersupapa

=0.0185

103 104 105 106

mAS[kg]arcsupapa

=0.0332

107

mcu[kg]culbutor

0.1

110

KCama[N/mm]

=163960

Kculbutor[N/mm]

10000

114

KSupapa[N/mm]

=600000

115

D[]

=B54 =B103*B47*B52+B9*B33^2*B23*B24 +0.5*B57*(B33*B23)^2

113

120

le [kg.mm ] 121 123

I* [kg.mm ]

=B103*B46+B9*(B33*B23)^2

φ [rad]

=B2*B15

124

WD [s ]

=B140

126

X(0)[mm]

=B22*B33+B86

127

Δϕ[rad]

=B14*B2

128

=1/B127^2

129

X''(0)[mm]

=B128*(C126+AO126-2*B126)

130

=1/(2*B127)

131

X'(0)[mm]

135 136 137 138

-1

Mm*10 [Nm] 6

Mrez*10 [Nm] 6

M*10 [Nm] -2

Δ [s ]

139 -1

dw [s ] 140 141

-1

WD [s ] W

2 D

-2

[s ]

=B130*(C126-AO126) =B5*(B22*B33-B126)*B131*1000 =B3*(B7+B126)*B131*1000 =B135-B136 =B13/4+B120*B137/B121^2*(B2*B14)^2 +B137/B121*(B2*B14) =(-B120/B121*B2*B14*B12B12/2+(IF(B138<0,0,B138))^0.5)/ (B120/B121*B2*B14+1) =B12+B139 =B140^2

146

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

A VII

ANEXA VII –Scurt istoric privind apariţia şi evoluţia mecanismelor cu roţi dinţate (şi bare) Scurt istoric privind apariţia şi evoluţia mecanismelor cu roţi dinţate şi bare

Începutul utilizării mecanismelor cu bare şi roţi dinţate trebuie căutat în Egiptul antic cu cel puţin o mie de ani înainte de Christos. Aici s-au utilizat, pentru prima dată, transmisiile cu roţi „pintenate” la irigarea culturilor cât şi angrenajele melcate la prelucrarea bumbacului.

In stânga se vede masina cu aburi proiectatã de Boulton & Watt. Schitã datând din anul 1784. La mijloc si la dreapta se vãd primele autovehicule echipate cu motoare cu ardere internã realizate de Karl Benz (1885):

Cu 230 de ani î.Ch., în oraşul Alexandria din Egipt, se folosea roata cu mai multe pârghii şi angrenajul cu cremalieră. Astfel de angrenaje au fost

construite si utilizate din cele mai vechi timpuri, la început pentru ridicarea ancorelor grele ale navelor cât si pentru pretensionarea catapultelor folosite pe câmpurile de luptã. Apoi au fost introduse la masinile cu vânt si cu apã (pe post de reductoare sau multiplicatoare la pompe, mori de vânt, sau cu apã.).

In stânga se vede primul autobuz din istorie (un model Benz realizat în anul 1895 de compania Netphener); în dreapta, jos se vede prima masinã de mare vitezã “Blitzen Benz”, realizatã în anul 1909:

Deasemenea, angrenajele planetare cu roţi dinţate satelit au fost utilizate încă din perioada anilor 100-80 î.Ch. la un astrolab din Grecia antică. Acest mecanism ingenios afişa mişcarea soarelui şi a lunii, cu ajutorul a zeci de roţi dinţate de diferite dimensiuni, a căror mişcare venea de la un singur element cinematic de intrare (Antikythera 1). Transmiterea mişcării cu ajutorul angrenajelor cu roţi dinţate a cunoscut un progres substanţial începând cu anul 1364 d.Ch., când meşterul italian Giovani da Dondi a realizat un orologiu astronomic, în a cărui componenţă se aflau angrenaje interioare şi roţi dinţate eliptice.

Motorul Benz avea transmisii cu angrenaje cu roti dintate dar si cu roti dintate cu lant (patentate dupã anul 1882). In dreapta (sus si jos), se pot vedea schitele unui prim patent de transmisii cu roti dintate (angrenaje cu roti dintate) si cu roti dintate cu lant realizate în anul 1870 de britanicii Starley & Hillman.

Antikythera-1 mecanism Primele transmisii reglabile cu roţi dinţate au fost folosite în 1769 de către Cugnot la echiparea primului autovehicul propulsat de un motor cu abur. Primul inginer (om de stiintã), care proiecteazã efectiv astfel de transmisii, este considerat a fi mesterul italian Leonardo da Vinci (secolul al XV-lea).

Aventura modernă a roţii dinţate a început odată cu roata pintenată a lui LEONARDO DA VINCI, în secolul XV; Tot el a pus bazele cinematicii şi dinamicii moderne, enunţând printre altele principiul superpoziţiei mişcărilor independente.

Dupã 1912, în Cleveland (USA), încep sã se producã industrial, roti si angrenaje specializate (cilindrice, melcate, conice, cu danturã dreaptã, înclinatã sau curbã).

Secolele 18 si 19 sunt profund marcate de revolutia industrialã produsã prin dezvoltarea explozivã a rãzboaielor de tesut (masinilor de tesut automate) – la început în Olanda si Anglia, apoi în toatã Europa. Acum începe sã se dezvolte si compartimentul siderurgic, datoritã cerintei tot mai mari de metal impusã de dezvoltarea si automatizarea industrialã. Apare prima masinã cu aburi (1769, realizatã de către Cugnot primul autovehicul propulsat de un motor cu aburi; modelul din stânga jos, cel din dreapta fiind unul îmbunãtãtit, 1771.); Ambele modele sunt construite cu ajutorul unor mecanisme cu bare si roti dintate:

Cele mai vechi mecanisme cu roti dintate (si bare) care s-au conservat: A-mecanism cu clichet; B-mecanism cu surub melc si roatã melcatã; C-pendul; D-mecanism Leonardo da Vinci, cu surub fãrã sfârsit, manivelã, bielã si culisã; E-Mecanism planetar.

D E

147

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Rotile dintate astãzi

Teste: fizic, chimic, ultrasonic si cel cu particule magnetice.

Roti dintate si angrenaje pentru utilaje grele (pt. industria grea).

Cutii de viteze clasice (manuale)

Primele transmisii automate (cu roti dintate si mecanisme planetare)

Reductoare cu roti dintate specializate, folosite în:

Industria Aerospatialã

Industria Minierã

Industria Agricolã

Industria Petrochimicã

Industria Energeticã

Industria Auto

Industria Siderurgicã

Industria Hârtiei

Industria Cimentului

Industria Zahãrului

Industria Navalã

Fig. 2 Fig. 1 Fig. 3 Transmisia Hydra-Maticã din Fig. 1, este un model de transmisie automatã experimentat de concernul General Motors pe modelul Oldsmobile în anul 1940; Modelul Dynaflow (Fig. 2), creat tot de General Motors în 1948, pentru marca Buick, era mult mai eficient;

Industria de Reciclare a Materialelor

Modelul particular Powerglide, care a fost proiectat de General Motors în 1953, era o transmisie automatã tipicã cu douã viteze, care a servit ca model-etalon pentru alte companii; astfel: Ford anunta pe baza lui modelul Ford-O-Matic (Fig. 3).

Transmisii pt Tren si Metrou

Cutiile de viteze automate moderne si CVT-urile

Câteva domenii de utilizare a angrenajelor cu roti dintate.

148

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Compact Rotor CVT (Euro Patent) Acest proiect (grand european), cuprinde o transmisie completã, care include: Cutia de Viteze, un ambreiaj, un mecanism cu angrenaje pentru mers înainte, un alt mecanism cu angrenaje pentru mersul înapoi, si un diferential la partea inferioarã. Observatie importantã: toate functiile sunt realizate (configurate) în jurul axei de iesire, folosindu-se un singur mecanism planetar.

Noutãti CVT clasicã, sau Transmisia Variabilã (automatã) Continuã, modelul clasic.

Acest patent de mecanism de actionare pentru schimbãtoarele de viteze, se bazeazã pe un mecanism secvential cu cruce de Malta, care lucreazã pe post de element conducãtor având rolul de a schimba pozitia pentru treapta de vitezã imediat urmãtoare. Acest mecanism are avantajul de a elimina comanda si mecanismul hidraulic sau pe cel servo, comanda, actionarea si temporizarea fãcându-se toate cu ajutorul mecanismului cu cruce de Malta modificat. Mecanismul de actionare se poate vedea si în diapozitivul urmãtor.

Cutie de Viteze cu Mecanism Schimbãtor Oscilant. Acest mecanism, schimbãtor de viteze oscilant, este condus de un cilindru cu came, cuplate la un mecanism închizãtor (rezultã astfel o vitezã ridicatã de schimbare a treptelor de vitezã). Mecanismul oscilant se poate vedea în diapozitivul urmãtor.

Acest model compact de CVT (Transmisie Variabilã Continuã), a fost prezentat la “Frankfurt motor show, September 2007” si reprezintã un model functional complet de transmisie variabilã continuã, compact, si autonom. Acest model a mai fost expus dealtfel si la expozitia organizatã în cadrul “SAE Commercial Vehicle Engineering Congress & Exhibition, October 30 - November 1, 2007 Rosemont (Chicago), Illinois, USA”. Transmisia variabilã se bazeazã pe un mecanism cu tambur, cu lant si cu bare.

Mecanism oscilant format dintr-un cilindru cu came.

Mecanism variator cu tambur, cu roti dintate, cu lant si cu bare.

149

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Acest “recuperator de energie” (prezentat de un grup de britanici, si considerat o noutate de ultimã orã, era proiectat si acum circa 25 ani, inclusiv la noi în cadrul unui colectiv mixt de cercetare catedra AR - Intr. Autobuzul Bucuresti). In stânga sus se vede mecanismul demontat: RZ+MP+Ambr+CVT; sub el se vede “roata zburãtoare”, construitã din circa 5 kg otel cu fibre de carbon, ea rotindu-se cu aproximativ 65000 rpm si fiind capabilã sã înmagazineze cu usurintã 400 kJ energie mecanicã atunci când motorul ruleazã în gol, si sã o redea sistemului atunci când acesta ruleazã la plinã capacitate (în plinã sarcinã); jos este prezentat un astfel de model compact de recuperator de energie mecanicã prin stocare si redare CV (CVT) 25 kg.

La sfârsitul lui 2006 firma germanã de transmisii ZF (care lucra în special pentru BMW), a refãcut designul pentru convertorul de moment de torsiune, cu ajutorul mai multor ambreiaje specializate. Rezultatele promise sunt micsorarea inertiei sistemului la trecerea dintr-o treaptã de vitezã în alta, adicã un timp de rãspuns mult mai mic (de circa o zecime de secundã), cât si un consum de combustibil micsorat pentru autovehiculele echipate cu aceastã cutie de viteze automatã cu 6 trepte de viteze si cu convertor de moment îmbunãtãtit.

La începutul anului 2006, când francezii prezentau un tren de putere hybrid, americanii de la (GM si DC) împreunã cu germanii de la BMW puseserã la punct o transmisie automatã hybrid, cu motoare (generatoare) electrice recuperatoare de energie. Energia nefolositã la anumite regimuri de sarcinã si putere nu mai este stocatã si recuperatã mecanic ca la modelul britanic, ci electric si reintrodusã în sistem prin utilizare directã sau prin stocarea în acumulatorul electric al autovehiculului. Dezavantajul acestui mastodont este cã o parte din recuperãri se pierde prin inertiile mari si prin numãrul mare de angrenaje.

La începutul anului 2007 a fost lansat în productie un nou DCT (Dual CluTches = Dublu Ambreiaj); In imagine se poate vedea o cutie Automatã Antonov cu DTC. Economie la consumul de conbustibil prognozatã de 10%.

Motor olandez cu tren de putere modificat – cu Raport de Compresie Variabil.

Un an mai târziu este prezentat modelul (brevetul) “Strigear”compact, din imagine, care reuseste o economie de combustibil pe autovehicule de circa 60% (promisã în 2007) si realizatã efectiv, de 40-50% în 2008 pe modelul Toyota Prius; în plus fiind (compact), simplu, elegant, cu masã si volum reduse, este mult mai simplu de realizat tehnologic si mai ieftin; are un timp de reactie mic (creste acceleratia cu 55%), si contribuie la scãderea procentului de noxe.

Pentru începutul anului 2007 compania olandezã “Gomecsys” lanseazã o nouã provocare; un motor având trenul de putere modificat, astfel încât cursa pistonului sã poatã fi variatã cu ajutorul unor angrenaje interioare cu roti dintate; prin modificarea ei variazã si volumul camerei de compresie si indirect si raportul de compresie. Compania sperã ca prin acest hibrid sã obtinã o realã economie de combustibil.

Cãutând în diferite reviste auto si pe Net gãsim la francezii grupului Peugeot-Citroen urmãtorul concept de motor modificat (hibrid), unde nu doar cursa pistonului (implicit si raportul de compresie) este variabil ci si distributia (mec. cu supape). El este prezentat cu cel putin un an înaintea grupului olandez si nu numai cã este mai complet dar se aratã colectivul de lucru al acestui concept care studiazã proiectul de peste 15 ani; aflãm acum cã si firma germanã Mercedes are în studiu un astfel de proiect cu compresie variabilã, si chiar si japonezii de la Toyota.

In primul semestru al lui 2007 Ford a prezentat propriul model de tren de transmisie modificat (hibrid). Gãsim aici pe lângã un CVT compact, o transmisie hibrid, si un sistem DCT (dublu ambreiaj) suprapuse. Acum putem sã realizãm diversitatea acestor sisteme hibrid. Ceea ce aduc ele nou (sau spun cã aduc nou) trebuie comparat cu eventualele lor neajunsuri, inclusiv cele tehnologico-financiare. Toate utilizeazã angrenaje cu roti dintate, în cele mai multe cazuri fiind folosite mecanisme planetare.

150

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Consideratii teoretice:

z2 A

ϕ3

360

a Az

B 00

180

360 ϕ1

Fig. A5

180

Un caz particular este cel al mecanismului motorului Watt (fig. A5), în care lipsesc roţile z3 şi z4 şi ωc=0. De menţionat că J. Watt a folosit o astfel de schemă pentru maşina cu abur pe care a brevetat-o în anul 1784. Urmărind transformarea mişcării de rotaţie oscilantă în mişcare de rotaţie continuă, J. Watt a imaginat un nou mecanism, în care a combinat mecanismul cu bare tip balansier-manivelă cu un mecanism planetar cu două roţi dinţate (fig. A6).

Fig. A1

În figura A1a se arată [KOJEVNIKOV] mecanismul cu r. d. condusă z3 a cărei mişcare se transmite de la r.d. z2 de pe balansierul c al mecanismului patrulater tip manivelă – balansier. R. d. z2 angrenează cu r.d. z1 care se roteşte în raport cu o axă excentrică. Rotaţia obţinută poate fi continuă (neîntreruptă), cu grad de neuniformitate dat, mişcare cu opriri, mişcare înainte cu întoarcere parţială (pas de pelerin), fig. A1b.

D A A0 Fig. A6

Mişcarea de translaţie a pistonului în cilindrul vertical (fig. A6) se transformă mai întâi în mişcare de rotaţie oscilantă a balansierului BB0C, după care mişcarea de balans este transformată în mişcare continuă de rotaţie cu ajutorul mecanismului planetar cu o roată centrală şi o roată satelit solidară cu biela AB.

Fig. A2 În figura A2 se arată câteva scheme de mecanisme cu bare şi r.d., construite pe baza mecanismului patrulater cu bare, ale căror r.d. conduse se rotesc în jurul axei fixe a balansierului, iar acţionarea se face de la manivelă.

B2 b C a 3 A 1

B2b C a 3 A 1

B0 5

Fig. A7

A 3 4 B D 2 C E 1 E0 b)

Englezul E. Cartwright inventează în 1800 un mecanism de ghidare cu bare 0 articulate şi două roţi dinţate aşezate simetric (fig. A7a), în scopul transformării mişcării rectiliniare a pistonului (pus în mişcare de abur) în mişcare de rotaţie a volantului. Tija pistonului 1 este articulată cu bara 2 în punctul E, care este situat pe mediatoarea segmentului CD. Traiectoriile punctelor C şi D sunt rectiliniare şi paralele cu tija pistonului 1. Manivelele A0A şi B0B sunt montate solidar fiecare pe roata dinţată respectivă 5 şi 6, în poziţie simetrică faţă de verticala punctului E, ceea ce le asigură unghiuri de rotaţie egale. Din analiza schemei cinematice echivalente (fig. A7b), în care se precizează elementul conducător 1, simetria este pusă şi mai mult în evidenţă.

Ca exemplu de mecanism multimobil cu bare şi r.d. se consideră schema cinematică din figura A3a, acest mecanism are 3 mobilităţi. Astfel, viteza unghiulară a oricăreia dintre roţi se poate determina dacă se impun vitezele unghiulare ale barelor a şi b şi a uneia dintre roţile dinţate. Numărul mobilităţilor şi prin urmare numărul elementelor conducătoare poate fi micşorat dacă se leagă elementele între ele. De exemplu, dacă se leagă roata 1 la bază, iar roata 2 cu elementul b, se obţine mecanismul monomobil (fig. A3b), în care roţile 2 şi 3 nu se rotesc în raport cu bara b, dar punctul C descrie ceea ce se numeşte epicicloida alungită. Un astfel de mecanism mai este denumit tren diadă.

2 B b C z3’ z3 3 z a 2 c

6 B 0

A B C0 3 4 7 2 D C E

b) Fig. A3

’

A 1

Fig. A8

Agregarea în serie a două mecanisme simple implică alungirea primului mecanism cu un al doilea mecanism, astfel că mi şcarea elementului de ieşire din primul mecanism este folosită ca mişcare de intrare pentru al doilea mecanism. Cel mai adesea agregarea în serie se foloseşte în cazul mecanismelor cu roţi dinţate de tipul reductoarelor de turaţie cilindrice, conice, melcate sau cu angrenaje mixte (conicocilindrice, melcate-conice). Astfel pot fi agregate în serie două angrenaje cilindrice (fig. A8a) sau un angrenaj conic cu unul cilindric (fig. A8b), obţinându-se un reductor cu două trepte cu un raport de demultiplicare egal cu produsul rapoartelor parţiale.

Fig. A4 Mecanismul astfel rezultat posedă două mobilităţi (fig. A4); în mişcarea sa roata condusă 4 depinde de viteza unghiulară a uneia din roţile dinţate ale lanţului cu roţi în serie şi de viteza unghiulară a uneia din barele mecanismului patrulater articulat. Acest mecanism patrulater poate fi admis ca mecanism de bază. Acest caz, pornind de la relaţia cinematică a acestuia, se poate extinde la diferite cazuri particulare.

151

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

2 ϕ

1800

3600

Fig. A9

B φ

Fig. A13

2 Fig. A14

Un alt tip de mecanism cu bare şi roţi dinţate se poate alcătui prin suprapunerea unui angrenaj cilindric pe una din bielele mecanismului pentalater articulat (fig. A13). Prin solidarizarea celor două roţi dinţate de barele 1 respectiv 3, angrenajul cilindric este suprapus bielei 2, având centrele roţilor dinţate în articulaţiile A şi C. Mecanismul pentalater este bimobil, unghiurile ϕ şi ψ fiind independente, dar prin suprapunerea angrenajului cilindric pe biela 2, mecanismul rezultat (cu bare şi roţi dinţate) devine monomobil, astfel că unghiurile ϕ şi ψ sunt dependente.

Două mecanisme cu bare, de tip patrulater articulat, pot fi agregate în serie (fig. A9a), ceea ce permite obţinerea unei amplificări a unghiului de rotaţie ψ al balansierului B0B până la o valoare θ realizată de balansierul D 0D (fig. A9b).

3 1

5 B0

A0 Fig. A10

Foarte frecvent sunt utilizate mecanisme cu bare şi roţi dinţate de tip planetar (fig. A14), care realizează la roata centrală 5 o mişcare de rotaţie cu grad mare de neuniformitate [ŞAŞKIN]. Mobilitatea mecanismului patrulater (de bază) cu bare articulate se menţine egală cu unu şi după suprapunerea celor două angrenaje cilindrice pe lanţul diadic (2,3). Astfel, angrenajul (1, 4) se ataşează bielei 2 şi angrenajul (4, 5) se ataşează la balansierul 3.

În practică se realizează adesea o agregare în serie, între un mecanism cu roţi dinţate (angrenaj cilindric) şi un mecanism cu bare (fig. A10), în care manivela A0A este solidară cu roata dinţată 2.

θmax MPD Fig. A11

θm

ϕ AI

BI A0

θ B0

ψm

ψ 180 b)

00 1800 3600 * B a) 0 B 0 Fig. A15 b) Deasemenea, mecanismele cu bare şi roţi dinţate, care sunt agregate prin suprapunere peste un patrulater articulat tip dublă manivelă (fig. A15a), pot realiza la roata centrală mişcarea de rotaţie unisens cu oprire limitată. În anumite situaţii roata centrală poate realiza o rotaţie cu o mică întoarcere parţială (pas de pelerin). Rotaţia cu întoarcere limitată reprezentată prin curba θ* (fig. A15b) se obţine prin interferenţa dintre mişcarea planetară a roţii dinţate solidară cu biela 2 şi mişcarea de rotaţie relativă din articulaţia A (fig. A15a).

B ϕ

ϕ 00 Fig. A12

Agregarea în paralel a două mecanisme simple se realizează atunci când fluxul de mişcare se împarte mai întâi, prin ramificarea puterii, fiind dirijat prin două mecanisme cuplate în paralel, la care se produce transformarea mişcării, după care cele două fluxuri se reunesc într-un mecanism sumator (ca de exemplu mecanismul planetar bimobil). O astfel de agregare în paralel se întâlneşte la ştandurile de încercări cu circuit închis, precum şi la unele transmisii mecanice de la automobile (fig. A11). De la arborele de intrare fluxul de mişcare / putere se ramifică prin transmisia variabilă continuu (CVT) cu discuri tronconice şi reductorul cilindric (RC). Apoi cele două fluxuri de putere / mişcare se reunesc în mecanismul planetar diferenţial (MPD), al cărui braţ portsatelit transmite mişcarea / puterea însumată, spre arborele de ieşire, printr-un angrenaj cilindric.

θ*

CVT

360

Agregarea prin suprapunere a două mecanisme simple, dintre care unul este cu bare (considerat ca mecanism de bază) şi celălalt este un mecanism cu roţi dinţate, care primeşte mişcarea de la una din barele primului mecanism. Ca exemplu se consideră un mecanism cu bare şi roţi dinţate (fig. A12a), obţinut prin cuplarea prin suprapunere a mecanismului cu bare tip manivelă-balansier şi a unui angrenaj cilindric, ale cărui axe de rotaţie coincid cu cele ale articulaţiilor balansierului B0B. Mecanismul cu roţi dinţate, care se suprapune mecanismului patrulater cu bare, este un angrenaj cilindric format dintr-un sector dinţat ca satelit (solidar cu biela AB) şi o roată dinţată cu axul fix în B0. Acest mecanism cu bare şi roţi dinţate (fig. A12a) serveşte la transformarea mişcării de rotaţie uniforme a manivelei A0A într-o mişcare de rotaţie oscilantă neuniformă, care poate fi realizată cu oprire, sau poate fi realizată cu întoarcere parţială (în pas de pelerin). Variaţia deplasării unghiulare ψ a balansierului (braţ portsatelit) se amplifică, prin intermediul rotaţiei bielei AB, obţinându-se la roata centrală unghiul θ (fig. A12b).

(ΓB)

CI,CII

BII Fig. A16 Mecanismele cu bare şi roţi dinţate realizează funcţii similare cu cele ale mecanismului patrulater cu dublă manivelă. Curbele cicloidale sunt generate cu ajutorul mecanismelor cu bare şi roţi dinţate tip planetare, cu angrenare exterioară sau interioară. De exemplu, curba hipocicloidă este folosită la unele maşini unelte tip presă, la care patina translantă realizează o cursă cu oprire prelungită la capătul exterior din dreapta (fig. A16).

152

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

A 3 2 1 0A0

A 1 5 A0

ϕ1

M =

R. Neumann studiază mecanismul cu b. şi r.d. alcătuit din mecanismul manivelă-balansier la care s-au ataşat trei roţi dinţate formând două angrenaje (fig. A18a). În funcţie de raportul de transmitere dintre roţile 1 şi 5 rezultă funcţia deplasării unghiulare ψ(ϕ) al cărei grafic (fig. A18b) poate fi: - o linie dreaptă (K) când A0B0 = 0, - o curbă continuu crescătoare (U) cu punct de inflexiune la jumătatea cursei, - o curbă continuă cu un palier (R) ceea ce implică oprirea momentană a rotaţiei elementului condus 5. - o curbă continuă cu linie punct (P) care prezintă o porţiune de întoarcere după care revine la rotaţia în sensul iniţial; este mişcarea în pas de pelerin.

4 C

A 6

5 D0

B’

Fig. A19 W. Rehwald şi K. Luck au realizat un program de simulare a mecanismelor plane cu b. şi r.d. fiind analizate cinematic şi dinamic o serie de scheme cinematice (fig. A19), alături de care sunt prezentate diagramele de variaţie a forţelor şi momentelor de echilibru dinamic.

4 A0 1 B0 a)

4 A0

B0 0

m =1

r =2

B 1 5 4

A 2 1 3 A0 4

(21)

4 A2 2’ 1 3 A0 0 0 c)

2 A 3 2’ A0 1 4

Mecanisme plane cu bare şi roţi dinţate cu contur închis Se consideră în continuare lanţul cinematic cu bare tip manivelă-balansier (fig. A24), la care se ataşează lanţul cinematic cu două, trei sau patru roţi dinţate respectiv unu, două sau trei angrenaje cilindrice exterioare sau interioare:

3 C

B Fig. A20 2

∑ (m ⋅ C m ) − ∑ (r ⋅ N r )

Supraetajarea se referă la lanţul cinematic cu bare, acesta putând avea două bare (fig. A23a), sau mai multe bare (fig. A23b).

M 3 C

A 2 3 1 A0

Mecanisme complexe cu bare şi roţi dinţate etajate se obţin prin operaţia de supraetajare a mecanismelor elementare analizate anterior. D 7 7 C C Fig. A23 6 6 2’B 6’ B B 2’ B 6 2 6 62 6 6’ 2 C’ B’ 5 2 A A A A 2 5 3 5 3 A’ 5 3 2 3 1 4 4 1 1 4 D’ A0 A0 1 A0 4 0 A0 0 0 0 b) a)

2 A 3 1 A 0 0 0

Fig. A22 Mecanismele elementare cu două roţi dinţate centrale (fig. A22) se obţin din cele anterioare prin adăugarea unei roţi dinţate 4 care se află în angrenare cu roata 2’ solidară cu 2. Deoarece o roată dinţată este echivalentă structural-topologic cu un lanţ cinematic tip diadă, mobilitatea noilor mecanisme (fig. A22) se conservă, deci M = 2. Cele două angrenaje cilindrice sunt ambele exterioare (fig. A22a), unul interior şi celălalt exterior (fig. A22b) sau ambele interioare (fig. A22c). La montajul celei de a doua roţi centrale 4 se ţine seama de condiţia geometrică ca distanţa dintre axele celor două angrenaje să fie aceeaşi: m12 ⋅ ( z1 ± z 2 ) = m 2 '4 ⋅ ( z 2 ' ± z 4 ) (22)

Fig. A18

A 2 2 A 2’ 1 3 4 1 4 34 1 A0 A0 0 0A0 0 0 a) b)

ϕs

A 2 2’

R U

ψs

A 32 1 A0

Mecanisme elementare ( cu o singură bară articulată, 3), cu o roată centrală, 1, cu axă fixă de rotaţie (fig. A21) şi o roată satelit, 2, având axul mobil; articulaţiile sunt notate cu litera A0 (articulaţie dublă) respectiv A (articulaţie simplă). Cele două roţi 1 şi 2 formează un angrenaj cilindric, acesta fiind exterior (fig. A21a) sau interior (fig. A21b,c). Mobilitatea acestui mecanism cu bare şi roţi dinţate este egală cu 2, ceea ce se deduce cu ajutorul formulei structural-numerice:

ψ B 3

Fig. A21

W. Lichtenheldt rezolvă cinematica mecanismelor cu b. şi r.d. prin metoda grafică a centrelor instantanee de rotaţie, considerând ca exemplu un mecanism manivelă-patină centric, la care se ataşează trei roţi dinţate (3, 4 , 5), formând două angrenaje exterioare (fig. A17).

2 A 1 ϕ

1 2

3’

Fig. A17

A 3 2 1 A0

A 1 ϕ A0 a)

2 A

B 3

2 ψ

B0 4

A 2 1 ϕ A0 b) Fig. A24

B 3

4’ ψ

B0 5

5 B 4’ 5’ 4A 2 3 ψ 1 ϕ 0 A0 c) B0 6

Varianta 1 (fig. A24a) se obţine când roata 2 este solidară cu biela 2 de lungime AB = l2, iar roata dinţată 4 are axa de rotaţie fixă în B0, fiind roată condusă. Varianta 2 (fig. A24b) are două angrenaje cilindrice, montate pe barele 2 şi 3, la care roata 1 cu centrul în A este solidară cu manivela 1, de lungime A0A = l1, iar roţile 4(4’) şi 5 sunt elemente cinematice distincte, având centrele în B respectiv B0. Cele două roţi dinţate 4(4’) şi 5 sunt echivalente cu două lanţuri diadice, ceea ce conservă mobilitatea mecanismului patrulater M = 1. Varianta 3 (fig. A24c) conţine trei angrenaje cilindrice, montate pe barele 1, 2 şi 3, la care roata dinţată 0 cu centrul în A0 este solidară cu baza patrulaterului. Roţile 4(4’), 5(5’) şi 6 sunt elemente distincte ce echivalează cu trei lanţuri diadice, astfel că mobilitatea M = 1 este conservată.

P. Antonescu prezintă un mecanism complex cu b. şi r.d. folosit ca ştergător de parbriz cu braţ telescopic (fig. A20). Mecanismul cu bare este un pentalater (0, 1, 2, 3, 4) cu baza de lungime zero, având articulaţia din A0 dublă (fig. A20a) şi cele două elemente 1 (manivelă) şi 4 (balansier) cu rotaţie absolută faţă de aceeaşi axă fixă Δ1 (fig. A20b). Mobilitatea mecanismului pentalater este M = 2, dar prin ataşarea celor trei roţi dinţate cilindrice (1, 4 , 5) cu două angrenaje, mobilitatea devine M = 1. De bara 3 se fixeazā un segment, reprezentând lama ştergătorului de parbriz, ale cărui capete descriu traiectorii foarte apropiate de conturul parbrizului unui autovehicul.

153

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Mecanisme cu lanţ cu bare tip pentalater se pot realiza cu unul sau mai multe angrenaje cilindrice ataşate pentalaterului articulat (fig. A25), la care, pentru a obţine mobilitatea unu (M = 1), se introduc două condiţii care vizează solidarizarea a două roţi dinţate cu bare distincte [ŞAŞKIN].

B 2

Fig. A25

z5 B z5’ z6 3 2 z1 A C z6’ 1 ϕ 4 ψ A0 c) 0 C0 z0

Mecanismele spaţiale elementare cu două roţi conice centrale (fig. A29) se obţin din cel anterior (fig. A28a) prin operaţia de adăugare a unei roţi dinţate conice 4, a cărei axă este comună cu cea fixă. A A 2

A 1

C z A C 3 z5’ 1 ϕ ϕ 4 ψ 4 ψ A0 a)0 C0 z0 A0 b)0 C0 z0

D ϕ

B 2

C 4 A

0 D0 a)

Fig. A29

Mecanismele spaţiale complexe cu roţi dinţate conice se obţin, din cele analizate anterior, prin operaţia de supraetajare a lanţului cinematic cu bare. Prin supraetajare, mecanismul spaţial are cel puţin două bare articulate (fig. A30), în care angrenajele conice sunt oarecare (fig. A30a) sau ortogonale (fig. A30b).

2’ A 5

2’

5’

6 5’

B 1

Primul mecanism spaţial (fig. A29a) conţine bara 3 şi două angrenaje conice (1, 2) şi (2’, 4) montate în paralel. Al doilea mecanism spaţial (fig. A29b) este un caz particular al primului mecanism.

0 D0 A0 0 D0 b) c) Fig. A26 S-au considerat (fig. A26) trei scheme cinematice de astfel de mecanisme complexe cu bare şi roţi dinţate, fiecare având câte două angrenaje cilindrice. A0

D 1

C 4

B 2

C 4

2 1

Mecanismele cu lanţ cu bare tip hexalater se obţin prin ataşarea unui lanţ de roţi dinţate, cu două sau mai multe angrenaje , la un hexalater articulat (fig. A26), la care, pentru realizarea unei mobilităţi unitare (M = 1), cel puţin patru roţi sunt solidarizate cu barele respective. 3

0 A0

Varianta 1 (fig. A25a) se obţine prin folosirea a două roţi dinţate (cu numerele dinţilor z3 şi z0), având centrele în articulaţiile C şi C0 ale barei 4 şi solidarizate de bara mobilă 3 respectiv cea fixă 0. Varianta 2 (fig. A25b) se obţine din lanţul pentalater articulat bimobil, prin ataşarea lanţului de roţi dinţate cu două angrenaje cilindrice montate pe barele 3 şi 4. Între roţile cu centrele în articulaţiile B şi C0 (solidare cu barele 2 respectiv 0) se află roata dinţată 5(5’), cu centrul în C, aceasta fiind un element cinematic distinct. Varianta 3 (fig. A25c) rezultă din lanţul pentalater bimobil, prin operaţia de ataşare a unui lanţ cinematic de roţi dinţate cu trei angrenaje cilindrice montate pe barele 2, 3 şi 4.

B 2

2’

4 1

2 S1

0 A0

a) Fig. A30

B. Mecanisme spaţiale cu bare şi roţi dinţate cu contur închis

Mecanisme cu lanţ cu bare tip heptagonal şi octogonal

Mecanisme spaţiale cu patrulater sferic. Se formează prin suprapunerea lanţului format din două, trei şi patru roţi dinţate conice.

Pentru aceste mecanisme se prezintă câte un exemplu de schemă cinematică cu structură geometrică simetrică (fig. A27).

D 5

6 ϕ

0 E0

A 1 A0

C 3

2’ 3

B A 1

4 B0

7 0 F0 b)

2 A

3 1

A 3

A0 S

0 A0

1 A0

3 0

2 1 A0

5’ 6

B0 c)

5’ S

2A 5 1 4

A0 6’

0 A0

b) Fig. A31

A 2

Lanţul cinematic cu bare este format cu două articulaţii la bază (A0, B0) şi două cuple cilindrice (A, B) cu axele mobile ortogonale (fig. A32). Se porneşte de la mecanismul spaţial cu bare tip RCCR (fig. A32a) care transformă rotaţia manivelei 1 într-o rotaţie limitată a barei 3 de tip balansier. La acest lanţ cinematic cu bare (0, 1, 2, 3) se ataşează un lanţ cinematic cu roţi dinţate cilindrice (4, 5, 6’, 7) şi conice (5’, 6), împreună cu care formează mecanismul spaţial complex cu bare şi roţi dinţate (fig. A32b).

Mecanismele spaţiale elementare pot fi realizate cu o singură roată centrală (fig. A28) respectiv cu două roţi centrale (fig. A29) ale căror axe fixe coincid cu axa articulaţiei fixe a barei. Roţile dinţate folosite la mecanismele spaţiale sunt roţi conice (fig. A28a) şi roţi hipoide, cu şurub melc şi roată melcată (fig. A28b).

A 1 4

4’ 5

1’

3 B

Mecanisme spaţiale cu lanţ patrulater tip RCCR

A. Mecanisme spaţiale cu bare şi roţi dinţate cu lanţ deschis

3' B

Varianta 1 (fig. A31a) se obţine prin ataşarea la patrulaterul sferic (0, 1, 2, 3) a angrenajului conic ortogonal (2’, 4), astfel încât roata 2’ este solidară cu bara 2 şi roata 4 are axul fix comun cu cel al barei 3, cu mişcare oscilantă de balansier. Varianta 2 (fig. A31b) se obţine prin ataşarea la patrulaterul sferic articulat a lanţului cinematic format din două angrenaje conice (1’, 4) şi (4’, 5), în care roata 1’ este solidară cu bara 1. Varianta 3 (fig. A31c) are în componenţă trei angrenaje conice, la care roata 4 este element distinct cu axa fixă comună cu a barei 1, roţile 5(5’) sunt montate liber pe axa articulaţiei din A, roata 6 este montată liber pe axa articulaţiei din B, iar roata 7 condusă este montată liber pe axul fix al articulaţiei din B0.

Fig. A27

Fig. A28

154

3 B0

0 Fig. A32

B b)

3 B0

7 0

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Mecanisme spaţiale cu lanţ patrulater tip RCCC Mecanismul spaţial cu lanţ cinematic patrulater tip RCCC (fig. A33a) are axele dispuse oricum în spaţiu, astfel că lanţul adiţional va avea în componenţă angrenaje hipoide (4,5) şi (5’, 6) în care unele roţi hipoide culisează în lungul axelor de rotaţie (fig. A33b). ΔB

ΔA

ΔB

ΔA

ΔC

A0 ΔA0

B’

(ΔC)

(ΔB)

B (ΔA)

2 A’ 1

A A0

A’0

(ΔC) D’

(ΔA) 1

A0 0

Fig. A34

4 B

1 B0

MECANISMUL PATRULATER ARTICULAT CU TREI ANGRENAJE ÎN SERIE

2’

7 a)

4 C0

2’’

Fig.A39.Schema cinematicã a mecanismului cu 3 angrenaje înseriate. MECANISMUL PATRULATER ARTICULAT CU TREI ANGRENAJE ÎN PARALEL

4’ A ω1

1 6 0 A0

3’

5 D0

7’

Fig. A35

Se porneşte de la mecanismul sferic cu 5 bare mobile la care se ataşează un lanţ cinematic cu roţi dinţate conice în mai multe variante structural-topologice, dintre care mai jos se prezintă o variantă cu patru angrenaje conice (fig. A36) cu mobilitatea M = B 2. 3 2 2’

1 6’

Mecanisme spaţiale cu lanţ hexalater sferic

5 4

6’

4 C0

0 A0

Fig. A38. Schema cinematicã a mec. cu 2 angr. dispuse în paralel.

2’’

4’

Lanţul cinematic sferic cu bare articulate (fig. A35) are în componenţă elementele mobile 1, 2, 3 şi 4 articulate între ele şi legate la elementul fix 0 prin axele ortogonale din A0 şi C0. La acest lanţ cinematic cu bare se ataşează un lanţ cinematic cu roţi format din trei angrenaje conice (5, 2’), (2’’, 6) şi (6’, 7). Primele două angrenaje conice sunt reprezentate în proiecţie axială, iar cel de al treilea angrenaj conic apare în proiecţie transversală (fig. A35a). Angrenajul conic (6’, 7) a fost reprezentat şi în proiecţie axială (fig. A35b).

ϕ3C=ϕ3-α

Mecanisme spaţiale cu lanţ pentalater sferic

ϕ3 α

MECANISMUL PATRULATER ARTICULAT CU DOUĂ ANGRENAJE

4 (ΔD) 9 2’ D 5 9’ (ΔE) 10 E 6 E0 0 b)

(ΔB) 2 B

D 5 (ΔD) E (ΔEE’ ) E0 6 E’0 0

ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR CU BARE ŞI ANGRENAJE MULTIPLE

Fig. A37. Mecanism cu bare şi roti dintate R+RRR+RRR(3,0)+C(3,4)a

Lanţul cinematic cu şapte bare articulate formează un contur închis heptagon şi are cele şapte axe de rotaţie dispuse oricum în spaţiu (fig. A34a). La acest lanţ cinematic spaţial se ataşează unul sau mai multe lanţuri spaţiale cu angrenaje hipoide (fig. A34b), mecanismul obţinut este cu bare şi roţi dinţate hipoide (hiperboloidale). În cazul considerat (fig. A34b) au fost ataşate trei angrenaje hipoide: angrenajul (7, 2’) între axele (ΔA) şi (ΔB), angrenajul (8, 9) între (ΔC) şi (ΔD) respectiv angrenajul (9’, 10) între (ΔD) şi (ΔE).

ϕ4

ϕ2 C

Mecanisme spaţiale cu lanţ heptalater tip 7R

C’

4 l4

Fig. A33

ϕ1

5 l5

ϕ5

5’ ΔC

A0 ΔA0

MECANISMUL CU B. ŞI R.D. TIP R+RRR+RRR (fig. A37)

Fig. A36

Fig. A40.

155

4 0

φ1 l0

5’ B

3 6 B0

Mec. Patrulater + 3 angrenaje paralele

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Sinteza mecanismelor cu bare şi roţi dinţate utilizate la acţionarea geamurilor de la uşile automobilelor

a) cu baza A0B0 perpendiculară pe ghidajul culisei în care se fixează geamul (fig. A44a);

Mecanismul cu angrenaj cilindric şi balansier: Mecanismul este alcătuit (fig. A41) din roata dinţată 1 (articulată în O la bază) ca element conducător, roata dinţată 2 (articulată în A0 la bază ) de care este rigidizat balansierul 2’, rola 3 articulată în A la balansier, culisa 4 (ghidată vertical în C şi C’ prin cuplă de translaţie la baza 0) ca element condus.

b) cu baza A0B0 paralelă cu ghidajul culisei geamului (fig. A44b).

A2 b

ϕ1

ϕ2

2’

0 AI A0 AII A1

B1 2 ϕ2

ϕ1 Fig. A42

2’

4’ α2 A0

B0 0

2 Fig. A45a

Mecanismul manivelă – patină . Acest mecanism manivelă – patină are o cuplă de translaţie faţă de un ghidaj fix şi poate fi folosit în două variante: prima cu ghidajul patinei în poziţie verticală (fig. A46a) şi a doua cu ghidajul patinei în poziţie orizontală (fig. A46b).

E’

α4

A 2 1

Mecanismul patrulater Evans : Schema cinematică a mecanismului (fig. A43) evidenţiază un patrulater articulat, asemănător cu cel de tip λ, la care punctul de interes C se află pe prelungirea bielei, însă la o distanţă mai mare decât în cazul mecanismului Cebâşev.

CI 1 O

E’ 6’

hmax

0 1

Fig. A44b

3 B

CII C2

2 2

A doua variantă (fig. A45) se realizează într-un singur mod, prin plasarea paralelogramului articulat în partea inferioară a bazei A0B0 şi prelungirea celor două balansiere A0A şi B0B în partea superioară unde sunt legate printr-o a doua bielă CD ⎜⎜AB (fig. A45a).

Mecanismul patrulater Cebâşev: Schema cinematică a patrulaterului articulat corespunde unui mecanism tip λ la care traiectoria unui punct C (fig. A42) de pe biela 2 este aproximativ o linie dreaptă pe porţiunea CICII.

Primul mod de utilizare (fig. A44a) foloseşte mişcarea de translaţie circulară a bielei 4 de care sunt montate rolele 5 şi 5’ în punctele C şi C’, astfel încât CC’⎥⎥ AB. Modul al doilea de utilizare (fig. A44b) foloseşte aceeaşi mişcare de translaţie circulară a bielei 4, dar punctele C şi C’ sunt plasate de-o parte şi de alta a bielei 4, astfel că CC’⊥ AB.

Mecanismul cu angrenaj şi patrulater articulat

Fig. A44a

0 A1

Fig. A41

D’ C’ B 5’ 4 A

D C 5 3

0 h12

3 2

½β

A0 2

C’

D’ C’ B 5’

6 D C 5 A 4

C2 A1

3 l2

5 h

A0 2

Fig. A46a

Fig. A44

5 A 2’

O1 1 2 A0

ϕ2

Fig. A47

4 B0

Pinionul 1 este elementul conducător; acesta angrenează cu roata 2 care se execută sub forma unui sector dinţat de unghi β = 90...1200. Solidar cu roata 2 se montează bara 2’ (A0A) care este articulată la biela 3, iar aceasta ghidează în culisa oscilantă 4 (articulată la bază în B0). Punctul C se află în prelungirea bielei 3, la o distanţă stabilită astfel ca traiectoria acestuia să se apropie de una rectiliniară pe o porţiune limitată. Prin intermediul rolei 5 (plasată în punctul C) mişcarea se transmite cadrului 6 (în care se fixează geamul portierei) a cărui mişcare de translaţie este asigurată prin ghidaje laterale.

Fig. A46b

2 l2 δ

Sinteza mecanismului manivelă - culisă oscilantă : Mecanismul complex este format prin legarea în serie a unui angrenaj cilindric (1, 2) cu mecanismul manivelă – culisă oscilantă (fig. A47).

Mecanismul paralelogram: Se pot considera două variante ale mecanismului paralelogram, unul la care baza este latura cea mică (fig. A44) şi celălalt la care baza este latura cea mare a paralelogramului articulat (fig. A45).

l’2

0 ϕ

Fig. A43

Fig. A45

Prima varianta (fig. A44) este folosită în două moduri:

156

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Sinteza mecanismului cu două culise

Sinteza mecanismului patrulater etajat: Acest mecanism se obţine din mecanismul manivelă-patină la care se înlocuieşte patina translantă cu un balansier (fig. A51). Acest mecanism complex cu bare şi roţi dinţate este format dintr-un angrenaj cilindric interior (1, 2), la care se leagă în serie patrulaterul articulat A0ABB0 (2’, 3, 4, 0).

Acest mecanism poate fi realizat în două variante distincte, una cu ajutorul lanţului cinematic tip TRT (fig. A48a) şi cealaltă cu lanţul cinematic tip RTT (fig. A48b).

C 4

3 2’

7 B

ϕ2

2’ 1

4 B

ϕ2 C1

C’

4’ 3’ B

A 2’ 2

1 O1

Analiza şi sinteza mecanismelor cu bare şi roţi dinţate utilizate la manipulatoare-roboţi.

6 5 4 3 2

O1 Fig. A49

Angrenajul exterior (2, 3) realizează rotaţiile barelor 2’ şi 3’ în sensuri contrare, astfel că punctele A şi B se găsesc la aceeaşi înălţime. Pe rolele 4 şi 4’ reazemă cadrul 5 al geamului, a cărui mi şcare de translaţie pe verticală este asigurată de ghidajele laterale fixe (fig. A49). Acţionarea mecanismului se face de la roata dinţată 1 care angrenează cu roata dinţată 2, cu care realizează un raport de transmitere suficient de mare (i12 = 5…7).

Δ2

1 5’ 1 M1

9 8 7’

9’ 2’

3’ B

Δ3

A 2’ 0

3’

M3 M5

D C

M2 M4 M6 Fig. A53

O variantă a acestui mecanism, cu angrenaj exterior cu roţi egale, se poate realiza prin legarea la roţile dinţate 2 şi 3 a unui lanţ cinematic simetric (4, 5), tip diadă RRR (fig. A50).

Fig. A50

Se evidenţiază mecanismul complex cu bare şi roţi dinţate, care este format din lanţul cinematic tip pentalater cu bare (A0ACBB0), la care s-a ataşat un lanţ cinematic cu roţi dinţate cilindrice (2, 3).

Fig. A54

157

5 4

Δ1 6 7

6 F

Fig. A52.

O5 O4 5 4 O3 3 O2

B 2

A D

A 1

Sinteza mecanismului cu două angrenaje: Acest mecanism are un prim angrenaj cilindric exterior, cu raport de transmitere unu (fig. A49) şi reprezintă o soluţie mai eficientă faţă de soluţiile anterioare.

Fig. A48b

Sinteza unui mecanism original: Pe mecanismul paralelogram clasic se mai adaugă diada 4,5 de tip RRT, care face ca punctul M să aibă tot timpul o mişcare de translaţie după axa verticală A0M (practic s-a generalizat mecanismul rectiliniar Tutunaru). Dacă mai adăugăm, simetric şi diada 6,7 astfel încât punctul N să urmărească verticala B0N, putem adăuga elementul pasiv 8 cu cele două cuple de rotaţie M şi N (tot pasive), pe care fixăm geamul portierei, astfel încât acesta va efectua doar o mişcare sus-jos. M GEAM N

B 4

Fig. A51

0 3

Fig. A48a

2’

A ϕ2

2’

Mecanisme complexe cu bare şi roţi dinţate specifice roboţilor: Se analizează o schemă cinematică complexă (fig. A53) cu bare şi roţi dinţate conice a unui manipulatorrobot cu 6+1 mobilităţi, la care mecanismul de poziţionare (de tip RRR) nu se distinge de mecanismul de orientare RRR. Cele două lanţuri cinematice ale MPz (Rz⊥Rx⎪⎢Rx) şi MOr (Rz⊥Rx⊥Rz) sunt înseriate (în prelungire). La partea terminală (în punctul O6) a lanţului cinematic articulat O0O1O2O3O4O5 se ataşează mecanismul de apucare (MAp), realizat cu două paralelograme articulate.

Mecanisme cu b. şi r.d. din structura MPz: Se consideră un MPz tip RRR varianta R||R||R (fig. A54), care reprezintă lanţul cinematic cu bare, la care se ataşează două lanţuri cinematice cu r.d. conice. Acţionarea se face prin motoare electrice plasate la bază de o parte şi de alta a unei carcase deschise. Motorul M1 acţionează, prin intermediul unui angrenaj cilindric, braţul 1, care se roteşte în jurul axei fixe Δ1 ( fiind prevăzute două lagăre coaxiale în carcasa fixă). Motorul M2 acţionează braţul 2 prin lanţul cinematic ataşat la bara 1, acesta fiind format din două angrenaje conice ortogonale. Motorul M3 acţionează bara 3 prin intermediul lanţului cinematic format din patru angrenaje conice ortogonale. Bara 3 se roteşte în jurul axei mobile Δ3, rotaţie care se realizează în două lagăre coaxiale montate la capătul barei 2.

Contribuţii teoretice şi aplicative privind dinamica mecanismelor plane cu cuple superioare – Florian PETRESCU – teză doctorat 2008

Mecanisme cu b. şi r.d. cilindrice din structura Mor: Un MOr este un subsistem al robotului industrial, prin care se realizează orientarea şi micropoziţionarea unui obiect într-un subdomeniu restrâns, în vecinătatea unor puncte din spaţiul de lucru al robotului. Micropoziţionarea unui corp, prins prin intermediul mecanismului de apucare, se obţine prin însumarea unor rotaţii succesive limitate ale MOr. Se consideră un MOr tip vertebroid [DIACONESCU] care este realizat prin ataşarea la un lanţ cinematic cu bare a unui lanţ cinematic cu roţi dinţate cilindrice (fig. A55).

Δ3

Δ1

Δ4

3 Δ2

0 A0

Δ1

z1 z3

z2 z4

θ1

θ2

Δ5

θ5

5 Δ 5 θ5

Fig. A55

Fig. A59 Pompã cu roti dintate

Mecanisme cu b. şi r.d. cilindrice şi conice din structura Mor: Se consideră schema cinematică a unui MOr trimobil cu lanţuri cinematice cuplate (fig. A56), acţionat cu motoare electrice şi reductoare cilindrice [ANTONESCU]. Lanţul cinematic cu bare A0AB (0, 1, 2, 3) este de tip R ⊥ R ⊥ R , la care elementele A 2 1 şi 2 sunt realizate în stilul, carcase de forme speciale. La 1 acest lanţ cinematic principal cu bare (fig. A56) se ataşează A0 4 2’ două lanţuri cinematice cu roţi B 3 5 dinţate conice şi cilindrice: 3’ lanţul format din angrenajul ω32 ω5 ω4 ω1 conic (4, 2’) şi lanţul format 7’ 6 0 din trei angrenaje în serie (5, 6), (6’,7) şi (7’, 3’). Angrenajele (5, 6) şi (7’, 3’) 6’ 7 sunt conice ortogonale, iar angrenajul intermediar (6’, 7) este cilindric exterior, pentru Fig. A56 care elementul 2 este braţ portsatelit.

Fig. A60 Schema cinematicã a unui schimbãtor automat cu 4 trepte.

Mecanisme sferice cu b. şi r.d. conice din structura Mor: Aceste mecanisme complexe au în componenţă angrenaje conice cu toate axele concurente ortogonale sau neortogonale. Prin dispunerea elementelor cinematice, mecanismele sferice complexe formează un sistem mecanic compact şi sunt folosite ca MOr la roboţii industriali moderni (fig. A57). Se consideră două variante de astfel de mecanisme sferice, acestea fiind prezentate ca scheme cinematice cu angrenaje conice exterioare şi interioare. Prima variantă este realizată cu trei angrenaje conice exterioare şi un angrenaj conic interior (fig. A57a), iar cea de a doua variantă are în structură trei angrenaje conice interioare (fig. A57b).

1 A0 ω5 ω

4 ω1 0

Δ2

Δ3 3 ω32 B Δ2 2 1A 3’ A0 2’ 6’ 4 Δ1 5 S ω5 ω 4ω 0 1 6

2’ 6’ 4 5 Δ1 S 3’ B 3 ω32 6 a)

Δ3

Fig. A57

Fig. A61 Schema cinematicã a unei CVT (transmisie variabilã continuã)

Mecanisme cu b. şi r.d. conice din structura Mor tip vertebroid: Se consideră schema cinematică a unui mecanism spaţial tip vertebroid cu o structură geometrică parţial simetrică (fig. A58), prevăzut cu trei arbori de intrare şi un arbore de ieşire.

1’ 3’

1 A0 ω6 ω5 ω 1

Δ3

5 6 Δ1 7 2’ A

9’

8 8’ 7’ Δ2 2

Fig. A58

4’ C 3

Δ4

ω43

Prima etapă în procesul de sinteză a acestui mecanism complex constă în alegerea unui lanţ cinematic simetric cu bare articulate (0, 1, 2, 3, 4), cu o axă fixă Δ1 şi trei axe mobile Δ2, Δ3 şi Δ4. La acest lanţ cinematic cu bare articulate se ataşează două lanţuri cu roţi dinţate conice cu structuri simetrice (fig. A58). Primul lanţ ataşat este format dintr-un angrenaj conic (5, 2’) şi face legătura celui de al doilea arbore conducător cu bara 2, iar al doilea lanţ ataşat este montat în interiorul lanţului tubular cu bare.

Fig. A62 Schema cinematicã a unui schimbãtor automat de viteze din cadrul transmisiei unei biciclete cu mai multe viteze.

158