B250815

Page 1

International Refereed Journal of Engineering and Science (IRJES) ISSN (Online) 2319-183X, (Print) 2319-1821 Volume 2, Issue 5(May 2013), PP.08-15 www.irjes.com

On A Class Of đ?’‘ −Valent Functions Involving Generalized Hypergeometric Function Chena Ram And Saroj Solanki Department of Mathematics and Statistics, Jai Narain Vyas University Jodhpur, (Rajasthan), India.

Abstract: Invoking the Hadamard product (or convolution), a class of p-valent functions has been introduced. The coefficient bounds, extreme points, radii of close-to-convex, starlikeness and convexity are obtained for the same class of functions. Distortion theorem and fractional differ-integral operators are also obtained. Key words: đ?‘?-valent function; Analytic function; Hadamard product; Generalized hyper-geometric functions; Linear operator; Starlike function; Convex function; Fractional differential and integral operator.

I. Introduction Let đ??´(đ?‘›, đ?‘?) denote the class of functions đ?‘“(đ?‘§) of the form ∞

đ?‘“ đ?‘§ = đ?‘§đ?‘? +

đ?‘Žđ?‘› +đ?‘? đ?‘§ đ?‘›+đ?‘? , đ?‘?, đ?‘› ∈ N = 1,2, ‌ ‌ ,

(1.1)

đ?‘› =1

which are analytic and đ?‘? −valent in the unit disk đ?•Œ = { đ?‘§ âˆś đ?‘§ < 1}. A function đ?‘“(đ?‘§) ∈ đ??´ (đ?‘›, đ?‘?) is said to be đ?‘? −valent starlike of order đ?›ż (0 ≤ đ?›ż < đ?‘?) if and only if Re

�� ′ (�)

> đ?›ż , đ?‘§ ∈ đ?•Œ; 0 ≤ đ?›ż < đ?‘? .

�(� )

(1.2)

We denote by đ?‘†đ?‘› đ?‘?, đ?›ż the subclass of đ??´(đ?‘›, đ?‘?) consisting of functions which are đ?‘? −valent starlike of order đ?›ż. Also a function đ?‘“ đ?‘§ ∈ đ??´(đ?‘›, đ?‘?) is said to be in the class đ??žđ?‘› đ?‘?, đ?›ż if and only if Re 1 +

�� ′′ (�) � ′(� )

> đ?›ż , (đ?‘§ ∈ đ?•Œ; 0 ≤ đ?›ż < đ?‘?).

(1.3)

A function đ?‘“ đ?‘§ ∈ đ??žđ?‘› đ?‘?, đ?›ż is called đ?‘? -valent convex function of order đ?›ż (0≤ đ?›ż < đ?‘?), if đ?‘“ đ?‘§ ∈ đ??žđ?‘› đ?‘?, đ?›ż ďƒł đ?‘§đ?‘“ ′ (đ?‘§) ∈ đ?‘†đ?‘› đ?‘?, đ?›ż , ∀ đ?‘› ∈ đ?‘ . For a function đ?‘“(đ?‘§) is given by (1.1) and đ?‘”(đ?‘§) ∈ đ??´ đ?‘›, đ?‘? is given by

(1.4)

∞

đ?‘?

đ?‘?đ?‘›+đ?‘? đ?‘§ đ?‘›+đ?‘? ,

� � =� +

đ?‘? ,đ?‘› ∈ N ,

(1.5)

đ?‘› =1

we define the Hadamard product of đ?‘“ đ?‘§ and đ?‘” đ?‘§ as ∞

đ?‘?

đ?‘Žđ?‘› +đ?‘? đ?‘?đ?‘›+đ?‘? đ?‘§ đ?‘›+đ?‘? ,

đ?‘“∗đ?‘” đ?‘§ = đ?‘§ +

đ?‘§ ∈ đ?•Œ.

(1.6)

đ?‘›=1

Let the subclass A đ?‘›, đ?‘? is denoted by đ?œ‘ consisting of functions of the form ∞

đ?‘?

đ?‘Žđ?‘› +đ?‘? đ?‘§ đ?‘› +đ?‘? ,

đ?‘“ đ?‘§ =đ?‘§ −

đ?‘? , đ?‘› ∈ N; đ?‘Žđ?‘› ≼ 0 .

(1.7)

đ?‘›=1

Invoking the Hadamard product, a linear operator đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“(đ?‘§) is defined as đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§ = (đ?‘§ đ?‘? 2đ?‘…1 đ?‘Ž, đ?‘?; đ?‘?; đ?‘˜; đ?‘§ ) ∗ đ?‘“ đ?‘§ ∞ Γ đ?‘? (đ?‘Ž)đ?‘› Γ đ?‘? + đ?‘˜đ?‘› đ?‘Žđ?‘›+đ?‘? đ?‘§ đ?‘›+đ?‘? đ?‘? =đ?‘§ − Γđ?‘? Γ đ?‘? + đ?‘˜đ?‘› đ?‘› ! ∞ đ?‘?

đ?‘Žđ?‘›+đ?‘? đ??ľ đ?‘› đ?‘§ đ?‘› +đ?‘? ,

=đ?‘§ −

(1.8)

đ?‘›=1

(1.9)

đ?‘› =1

where 2đ?‘…1 đ?‘Ž, đ?‘?; đ?‘?; đ?‘§ is generalized hypergeomertric function defined by Virchenko, Kalla and Al-Zamel [6] as, ∞ Γđ?‘? (đ?‘Ž)đ?‘› Γ đ?‘? + đ?‘˜đ?‘› đ?‘§ đ?‘› , đ?‘˜ ∈ đ?‘…, đ?‘˜ > 0, đ?‘§ < 1, (1.10) 2 đ?‘…1 đ?‘Ž, đ?‘?; đ?‘?; đ?‘˜; đ?‘§ = Γđ?‘? Γ đ?‘? + đ?‘˜đ?‘› đ?‘› ! đ?‘›=0

where (đ?‘Ž)đ?‘› is the pochhammer symbol defined as

www.irjes.com

8 | Page

On A Class Of đ?‘? −Valent Functions Involving Generalized Hypergeometric Function (đ?‘Ž)đ?‘› = and đ??ľ đ?‘› =

Γ �+� Γ �

=

1, đ?‘Ž đ?‘Ž + 1 ‌‌ đ?‘Ž + đ?‘› − 1 ;

Γ đ?‘? (đ?‘Ž) đ?‘› Γ đ?‘?+đ?‘˜đ?‘› Γ đ?‘? Γ đ?‘?+đ?‘˜đ?‘›

đ?‘› !

đ?‘›=0 đ?‘›âˆˆđ?‘

.

(1.11) đ??żđ?‘˜đ?‘?

If we set đ?‘˜ = 1 in (1.8), then the linear operator đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§ reduces to the linear operator đ??żđ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§ defined (cf. [5]) as ∞ (đ?‘Ž)đ?‘› (đ?‘?)đ?‘› đ?‘Žđ?‘›+đ?‘? đ?‘§ đ?‘›+đ?‘? đ?‘? đ??żđ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§ = đ?‘§ − = đ?‘§ đ?‘? 2đ??š1 đ?‘Ž, đ?‘?; đ?‘?; đ?‘§ ∗ đ?‘“ đ?‘§ . (1.12) (đ?‘?)đ?‘› đ?‘› ! đ?‘› =1

In particular, if we set đ?‘? = 1, then linear operator đ??żđ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§ reduces to Carlson-Shaffer operator đ??ż đ?‘Ž, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§ defined as ∞ (đ?‘Ž)đ?‘› đ?‘Žđ?‘›+đ?‘? đ?‘§ đ?‘› +đ?‘? đ??żđ?‘? đ?‘Ž, 1, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§ = đ??żđ?‘? đ?‘Ž, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§ = đ?‘§ đ?‘? − (đ?‘?)đ?‘› đ?‘›=1

= đ?‘§ đ?‘? đ?œ™ đ?‘Ž, đ?‘?; đ?‘§ ∗ đ?‘“ đ?‘§ , where đ?œ™ đ?‘Ž; đ?‘?; đ?‘§ is incomplete beta function defined as

(1.13)

ď‚Ľ

đ?œ™ đ?‘Ž, đ?‘?; đ?‘§ =2đ??š 1 đ?‘Ž, 1; đ?‘?; đ?‘§ =

ďƒĽ n 0

(�) � � �

.

(đ?‘?)đ?‘›

For detail, one can see [1, 4]. A function đ?‘“ đ?‘§ ∈ đ?œ‘, for đ?›ź ≼ 0 and 0 ≤ đ?›˝ < đ?‘? is said to be in the class đ??´đ?‘˜đ?‘? (đ?›ź, đ?›˝) if it satisfies the following relation Re

′

đ?‘§ đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘? đ?‘“ đ?‘§

> �

đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘? đ?‘“(đ?‘§)

′

đ?‘§ đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘? đ?‘“ đ?‘§

− đ?‘? +đ?›˝.

đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘? đ?‘“ đ?‘§

(1.14)

For detail, one can see [7].

Coefficient Bounds for Function đ?’‡(đ?’›) in đ?‘¨đ?’Œđ?’‘ (đ?œś, đ?œˇ)

II.

Theorem 2.1. Let the function đ?‘“(đ?‘§) defined by (1.7) be in the class đ??´đ?‘˜đ?‘? (đ?›ź, đ?›˝) if and only if ∞

đ?‘› 1+đ?›ź + đ?‘?−đ?›˝ đ?‘Žđ?‘› +đ?‘? đ??ľ đ?‘› < 1, đ?‘?−đ?›˝

đ?‘› =1

(2.1)

where 0 ≤ đ?›˝ < đ?‘? , đ?›ź ≼ 0 and đ??ľ đ?‘› is defined by (1.11). Proof. Let đ?‘“ ∈ đ??´đ?‘˜đ?‘? (đ?›ź, đ?›˝). By using Re đ?‘¤ > đ?›ź đ?‘¤ − đ?‘? + đ?›˝, if and only if, Re đ?‘¤ 1 + đ?›ź đ?‘’ đ?‘–đ?›ž − đ?‘?đ?›ź đ?‘’ đ?‘–đ?›ž for real đ?›ž and letting đ?‘¤=

đ?‘§ đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž,đ?‘? ,đ?‘? đ?‘“ đ?‘§ đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž,đ?‘? ,đ?‘? đ?‘“ đ?‘§

> đ?›˝

′

,

(1.14) reduces to Re

đ?‘§ đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§

′

(1 + đ?›ź đ?‘’ đ?‘–đ?›ž ) − pÎąđ?‘’ đ?‘–đ?›ž

đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§

> đ?›˝,

or, equivalently, ď‚Ľ

đ?‘?−đ?›˝ −

Re

ďƒĽ

ď‚Ľ

đ??ľ đ?‘› đ?‘›+đ?‘?−đ?›˝ đ?‘Ž đ?‘› +đ?‘?

n 1

đ?‘§ đ?‘› −đ?›źđ?‘’ đ?‘–đ?›ž

ďƒĽ

đ?‘› đ??ľ đ?‘› đ?‘Ž đ?‘› +đ?‘? đ?‘§ đ?‘›

n 1

ď‚Ľ

1−

ďƒĽ

> 0.

(2.2)

đ??ľ đ?‘› đ?‘Ž đ?‘› +đ?‘? đ?‘§ đ?‘›

n 1

The inequality (2.2) must hold for all đ?‘§ in đ?•Œ. By letting đ?‘§ → 1− , we have

www.irjes.com

9 | Page

On A Class Of 𝑝 −Valent Functions Involving Generalized Hypergeometric Function 

𝑝−𝛽 −

𝑛+𝑝−𝛽 𝑎 𝑛 +𝑝 −𝛼𝑒 𝑖𝛾

𝐵 𝑛

n 1

Re

𝑛 𝐵 𝑛 𝑎 𝑛 +𝑝

n 1

> 0,

1−

𝐵 𝑛 𝑎 𝑛 +𝑝

n 1

by means of mean value theorem, we get ∞

∞

𝑝−𝛽 −

𝑎𝑛 +𝑝 𝐵 𝑛

𝑛+𝑝−𝛽 −𝛼

𝑛=1

Therefore,

𝑛 𝑎𝑛 +𝑝 𝐵 𝑛

≥ 0.

𝑛=1

∞

𝑛 1+𝛼 + 𝑝−𝛽

𝑎𝑛+𝑝 𝐵 𝑛 ≤

𝑝−𝛽 .

(2.3)

𝑛 =1

Conversely, we assume that (2.1) hold. We are to show that (1.14) is satisfied and so 𝑓 ∈ 𝐴𝑘𝑝 (𝛼, 𝛽). By using Re 𝑤 > 𝛼 if and only if 𝑤 − 𝑝 + 𝛼 < 𝑤+ 𝑝−𝛼 that ′

𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓 𝑧

− 𝑝+𝛼

𝐿𝑘𝑝 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓 𝑧

<

′

𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓 𝑧

− 𝑝 +𝛽

𝐿𝑘𝑝 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓 𝑧 ’

𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓 𝑧

, it is sufficient to show

+

𝐿𝑘𝑝 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓 𝑧

𝑝− 𝛼

𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓 𝑧

’

−𝑝 −𝛽

𝐿𝑘𝑝 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓 𝑧

.

Let 𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

𝑒 𝑖∅ =

𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

then, ′

𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

E=

+

𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏 ,𝑐 𝑓 𝑧 ′

𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

+ 𝑝−𝛽

𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

𝑝 − 𝛼

−𝑝 −𝛽

𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏 ,𝑐 𝑓 𝑧

𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏 ,𝑐 𝑓 𝑧 −𝛼𝑒 𝑖∅ 𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎 ,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

=

′

′

− 𝑝( 𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧 )

𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

𝑧𝑝

2𝑝−𝛽 −

2𝑝 −𝛽 +𝑛 (1−𝛼) 𝐵(𝑛 ) 𝑎 𝑛 +𝑝 𝑧 𝑛

n 1

>

.

𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

(2.4)

and F =

′

𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

−

𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

′

𝑝+𝛼

𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

− 𝑝+𝛽

=

𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

′

𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

− 𝛼𝑒 𝑖∅ 𝑧 𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

−𝑝 +𝛽 ′

− 𝑝 𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

𝑧𝑝

𝛽+

[𝑛 (1+𝛼)−𝛽 ] 𝑎 𝑛 +𝑝 𝐵(𝑛 ) 𝑧 𝑛

n 1

>

(2.5)

𝐿𝑘𝑝 𝑎,𝑏,𝑐 𝑓 𝑧

if (2.1) holds, then it is easy to show that E – F > 0. So the proof is completed.

III. Theorem 3.1. Let 𝑓1 𝑧 = 𝑧

Extreme Points for the class 𝑨𝒌𝒑 (𝜶, 𝜷)

𝑝

(3.1)

www.irjes.com

10 | Page

On A Class Of 𝑝 −Valent Functions Involving Generalized Hypergeometric Function 𝑝−𝛽 𝑧 𝑛 +𝑝 , 𝑛 1 + 𝛼 + 𝑝 − 𝛽 𝐵(𝑛) where 𝑛 ∈ 𝑁, then 𝑓(𝑧) ∈ 𝐴𝑘𝑝 (𝛼, 𝛽), if and only if, 𝑓(𝑧) can be expressed as and 𝑓𝑛 𝑧 = 𝑧 𝑝 −

(3.2)

∞

𝑓(𝑧) =

𝜆𝑛 𝑓𝑛 𝑧 ,

(3.3)

𝑛 =1

where

∞

𝜆1 +

𝜆𝑛 = 1 ,

𝜆1 ≥ 0; 𝜆𝑛 ≥ 0; 𝑛 ∈ 𝑁

(3.4)

𝑛 =1

and 𝐵 𝑛 is defined by (1.11). Proof. Invoking (3.1), (3.2) and (3.3), we get ∞

𝑝

𝜆𝑛 𝑧 𝑝 −

𝑓 𝑧 = 𝜆1 𝑧 + 𝑛 =1

∞

𝑓 𝑧 = 𝑧𝑝 −

𝑝−𝛽 𝑧 𝑛 +𝑝 𝑛 1 + 𝛼 + 𝑝 − 𝛽 𝐵(𝑛)

𝑡𝑛+𝑝 𝑧 𝑛 +𝑝 ,

(3.5)

𝑛 =1

where 𝑝−𝛽 𝜆 𝑛 1+𝛼 + 𝑝−𝛽 𝐵(𝑛 ) 𝑛

𝑡𝑛+𝑝 =

By using (3.4), we get ∞ 𝑛 1 + 𝛼 + 𝑝 − 𝛽 𝐵(𝑛) 𝑡𝑛+𝑝 = 1 − 𝜆1 < 1, 𝑝−𝛽

(3.6)

𝑛 =1 ∈ 𝐴𝑘𝑝 (𝛼, 𝛽).

hence 𝑓 Conversely, if 𝑓 ∈ 𝐴𝑘𝑝 𝛼, 𝛽 , then by using theorem 2.1, we get 𝑝−𝛽 𝑎𝑛+𝑝 ≤ , 𝑛 ∈ 𝑁 , 𝑛 1 + 𝛼 + 𝑝 − 𝛽 𝐵(𝑛) then

(3.7)

𝑛 1 + 𝛼 + 𝑝 − 𝛽 𝐵(𝑛) 𝜆𝑛 𝑎𝑛+𝑝 < 1, 𝑛 ∈ 𝑁 𝑝−𝛽

(3.8)

∞

and 𝜆1 = 1 −

𝜆𝑛 . 𝑛 =1

i.e.

∞

𝑓 𝑧 = 𝑧𝑝 − ∞

= 𝑧𝑝 − 𝑛 =1

𝑎𝑛 +𝑝 𝑧 𝑛+𝑝 𝑛=1

𝑝−𝛽 𝑧 𝑛 +𝑝 𝑛 1+𝛼 + 𝑝−𝛽 𝐵 𝑛

Using (3.2) and (3.4), we get ∞

𝑝

𝑓(𝑧) = 𝑧 − 𝑛 =1

𝑓 𝑧 =𝑧

𝑝

𝑧 𝑝 − 𝑓𝑛 𝑧

𝜆𝑛 ∞

∞

1−

𝜆𝑛 + 𝑛=1

𝜆𝑛 𝑓𝑛 𝑧 . 𝑛 =1

Theorem is completely proved.

IV.

Distortion Bounds 𝐟𝐨𝐫 𝐭𝐡𝐞 𝑳𝒌𝒑 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝒇 𝒛

Theorem 4.1. Let the function 𝑓 𝑧 defined by (1.7) be in the class 𝐴𝑘𝑝 (𝛼, 𝛽). Then 𝑧𝑝 − 𝑧

𝑝−𝛽

1+𝑝

Proof. Let 𝑓

∞

1+𝛼 + 𝑝−𝛽 ∈ 𝐴𝑘𝑝 (𝛼, 𝛽).

≤

≤

𝑧

𝑝

+ 𝑧

1+𝑝

𝑝−𝛽 1+𝛼 + 𝑝−𝛽

(4.1)

Then by using theorem 2.1, we have

𝑎𝑛+𝑝 𝐵 𝑛 ≤ 𝑛 =1

𝐿𝑘𝑝 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓 𝑧

𝑝−𝛽 , (𝑛 ≥ 1) 1+𝛼 + 𝑝−𝛽

www.irjes.com

(4.2)

11 | Page

On A Class Of đ?‘? −Valent Functions Involving Generalized Hypergeometric Function now by using (1.9), we get đ??żđ?‘˜đ?‘?

∞

đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§

�

đ?‘?

đ?‘?

+

≤ ≤

�

+

đ?‘›=1 đ?‘?−đ?›˝

�

1+đ?›ź + đ?‘?−đ?›˝

and

đ?‘›+đ?‘?

đ?‘Žđ?‘› +đ?‘? đ??ľ đ?‘› đ?‘§ 1+đ?‘?

∞

đ??żđ?‘˜đ?‘?

đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§

≼ �

đ?‘?

−

đ?‘Žđ?‘›+đ?‘? đ??ľ đ?‘› đ?‘§ đ?‘› =1

≼

�

đ?‘?

−

đ?‘?−đ?›˝

1+đ?›ź + đ?‘?−đ?›˝

�

đ?‘› +đ?‘?

1+đ?‘?

.

Theorem is completely proved.

V. Radius of close –to- convexity, starlikeness and convexity Theorem 5.1. Let the function đ?‘“ đ?‘§ defined by (1.7) be in the class đ??´đ?‘˜đ?‘? (đ?›ź, đ?›˝). Then đ?‘“ đ?‘§ is đ?‘? − valently close to convex of order đ?›ż(0 ≤ đ?›ż < đ?‘?) in đ?‘§ < đ?‘&#x;1 đ?›ź, đ?›˝ , where 1

(đ?‘?−đ?›ż ) đ?‘› 1+đ?›ź + đ?‘?−đ?›˝ đ??ľ(đ?‘›)

đ?‘&#x;1 đ?›ź, đ?›˝ = inf

đ?‘›

đ?‘› +đ?‘? (đ?‘?−đ?›˝ )

đ?‘›

,� ≼ 1

(5.1)

and đ??ľ(đ?‘›) is defined by (1.11). Proof. It is sufficient to prove that đ?‘“ ′(đ?‘§) đ?‘§ đ?‘? −1

− đ?‘? ≤ đ?‘? − đ?›ż , for đ?‘§ < đ?‘&#x;1 đ?›ź, đ?›˝ ,

we have đ?‘“ ′ (đ?‘§) −đ?‘? ≤ đ?‘§ đ?‘?−1

∞

(đ?‘› + đ?‘?) đ?‘Žđ?‘›+đ?‘? đ?‘§ đ?‘› . đ?‘› =1

đ?‘“ ′ (đ?‘§) Thus đ?‘?−1 − đ?‘? ≤ đ?‘? − đ?›ż if đ?‘§ ∞ đ?‘› + đ?‘? đ?‘Žđ?‘› +đ?‘? đ?‘§ (đ?‘? − đ?›ż)

đ?‘›

≤ 1,

đ?‘› =1

but by theorem 2.1, above inequality hold true if đ?‘›+đ?‘? đ?‘› 1+đ?›ź + đ?‘?−đ?›˝ đ??ľ đ?‘› đ?‘§đ?‘› ≤ , (đ?‘?−đ?›ż ) (đ?‘?−đ?›˝) đ?‘§ ≤

(đ?‘?− đ?›ż ) đ?‘› 1+đ?›ź + đ?‘? −đ?›˝ đ??ľ đ?‘›

1

đ?‘›

đ?‘›+đ?‘? (đ?‘?−đ?›˝ )

,� ≼ 1

or đ?‘&#x;1 đ?›ź, đ?›˝ = inf

1

(đ?‘?−đ?›ż ) đ?‘› 1+đ?›ź + đ?‘?−đ?›˝ đ??ľ(đ?‘› ) đ?‘›+đ?‘? (đ?‘?−đ?›˝ )

đ?‘›

đ?‘›

, � ≼ 1.

The Theorem is completely proved. Theorem 5.2. Let the function đ?‘“ đ?‘§ defined by (1.7) be in the class đ??´đ?‘˜đ?‘? (đ?›ź, đ?›˝). Then đ?‘“ đ?‘§ is đ?‘? − valently starlike of order đ?›ż(0 ≤ đ?›ż < đ?‘?) in đ?‘§ < đ?‘&#x;2 đ?›ź, đ?›˝ , where đ?‘&#x;2 đ?›ź, đ?›˝ = inf

1

(đ?‘?−đ?›ż) đ?‘› 1+đ?›ź + đ?‘?−đ?›˝ đ??ľ(đ?‘›) đ?‘›+đ?‘?−đ?›ż (đ?‘?−đ?›˝ )

đ?‘›

đ?‘›

,� ≼ 1

(5.2)

and đ??ľ(đ?‘›) is defined by (1.11). Proof. It is sufficient to prove that đ?‘§đ?‘“ ′ (đ?‘§) đ?‘“(đ?‘§ )

− đ?‘? ≤ đ?‘? − đ?›ż , (0 ≤ đ?›ż < đ?‘?)

we have ď‚Ľ

′

đ?‘§đ?‘“ (đ?‘§) −đ?‘? ≤ đ?‘“(đ?‘§)

ďƒĽ n 1

đ?‘› đ?‘Žđ?‘› +đ?‘? đ?‘§

.

ď‚Ľ

1−

ďƒĽ n 1

Thus

đ?‘›

đ?‘Žđ?‘›+đ?‘? đ?‘§

đ?‘›

đ?‘§đ?‘“ ′ (đ?‘§) − đ?‘? ≤ đ?‘? − đ?›ż if đ?‘“(đ?‘§)

www.irjes.com

12 | Page

On A Class Of đ?‘? −Valent Functions Involving Generalized Hypergeometric Function ∞

đ?‘› + đ?‘? − đ?›ż đ?‘Žđ?‘›+đ?‘? đ?‘§ (đ?‘? − đ?›ż)

đ?‘› =1

đ?‘›

≤ 1,

but by theorem 2.1, above inequality hold true if (đ?‘?− đ?›ż ) đ?‘› 1+đ?›ź + đ?‘? −đ?›˝ đ??ľ đ?‘›

� ≤

1

đ?‘›

đ?‘›+đ?‘?− đ?›ż (đ?‘?−đ?›˝ )

,� ≼ 1

or 1

(đ?‘? − đ?›ż) đ?‘› 1 + đ?›ź + đ?‘? − đ?›˝ đ??ľ(đ?‘›) đ?‘› đ?‘&#x;2 đ?›ź, đ?›˝ = inf , đ?‘› ≼ 1. đ?‘› đ?‘› + đ?‘? − đ?›ż (đ?‘? − đ?›˝) The Theorem is completely proved. Corollary 1. Let the function đ?‘“ đ?‘§ defined by (1.7) be in the class đ??´đ?‘˜đ?‘? (đ?›ź, đ?›˝). Then đ?‘“ đ?‘§ is đ?‘? − valently convex of order đ?›ż(0 ≤ đ?›ż < đ?‘?) in đ?‘§ < đ?‘&#x;3 đ?›ź, đ?›˝ , where đ?‘&#x;3 đ?›ź, đ?›˝ = inf

đ?‘? (đ?‘?− đ?›ż ) đ?‘› 1+đ?›ź + đ?‘?−đ?›˝ đ??ľ(đ?‘› )

1

đ?‘›

đ?‘› +đ?‘? đ?‘› +đ?‘?−đ?›ż (đ?‘?−đ?›˝ )

đ?‘›

,� ≼ 1

(5.3)

and đ??ľ(đ?‘›) is defined by (1.11).

VI.

Fractional integral operator

The following definition given by Srivastava and Owa [2] are required to prove the results in this section: Definition 1. The fractional derivative of order đ?›ź for a function đ?‘“ đ?‘§ is defined by 1 đ?‘‘ đ?‘§ đ?‘“(đ?‘Ą) đ??ˇđ?‘§đ?›ź đ?‘“ đ?‘§ = Γ(1âˆ’Îą) đ?‘‘đ?‘§ 0 đ?‘§âˆ’đ?‘Ą đ?›ź đ?‘‘đ?‘Ą ; 0≤ đ?›ź < 1, (6.1) where the function đ?‘“ đ?‘§ is analytic in simply-connected region of the đ?‘§ -plane containing the origin and multiplicity of đ?‘§ − đ?‘Ą −đ?›ź is removed by requiring log(đ?‘§ − đ?‘Ą) to be real when (đ?‘§ − đ?‘Ą) > 0. Definition 2. The fractional integral of order đ?›ź is defined , for a analytic function đ?‘“ đ?‘§ by đ?‘§ 1 đ?‘“(đ?‘Ą) đ??ˇđ?‘§âˆ’đ?›ź đ?‘“ đ?‘§ = Γ(Îą) 0 đ?‘§ −đ?‘Ą 1−đ?›ź đ?‘‘đ?‘Ą ; đ?›ź > 0 , (6.2) where the analytic function đ?‘“ đ?‘§ is in a simply-connected region of the đ?‘§ -plane containing the origin and multiplicity of đ?‘§ − đ?‘Ą đ?›źâˆ’1 is removed by requiring log(đ?‘§ − đ?‘Ą) to be real when (đ?‘§ − đ?‘Ą) >0. Definition 3. By the hypothesis of definition 1, the fractional derivative of function đ?‘“ đ?‘§ for order đ?‘˜ + đ?›ź is defined by đ?‘‘đ?‘˜

đ??ˇđ?‘§đ?‘˜ +đ?›ź đ?‘“ đ?‘§ = đ?‘‘đ?‘§ đ?‘˜ đ??ˇđ?‘§đ?›ź đ?‘“ đ?‘§ , (0 ≤ đ?›ź < 1; đ?‘˜ ∈ đ?‘ 0 ). (6.3) We also need the following definition of fractional integral operator given by Srivastava, Saigo and Owa [3] defined as đ?›ź,đ?œ‚,đ?›ż Definition 4. The fractional operator đ??ź0,đ?‘§ for real numbers > 0 , đ?œ‚ đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ đ?›ż is defined by đ?›ź ,đ?œ‚,đ?›ż

đ??ź0,đ?‘§

� � =

đ?‘§ −đ?›ź −đ?œ‚

� 0

Γ(ι)

đ?‘Ą

đ?‘§ − đ?‘Ą 2đ??š1 đ?›ź + đ?œ‚, −đ?›ż; đ?›ź ; 1 − đ?‘§ đ?‘“ đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą,

(6.4)

where the function đ?‘“ đ?‘§ is analytic in simply-connected region of the đ?‘§ -plane containing the origin with order đ?‘“ đ?‘§ = O đ?‘§ đ?œ€ , đ?‘§ → 0 and đ?œ€ > max 0, đ?œ‚ − đ?›ż − 1, ∞ (đ?‘Ž)đ?‘› (đ?‘?)đ?‘› đ?‘§ đ?‘› đ??š đ?‘Ž, đ?‘?; đ?‘?; đ?‘§ = , 2 1 (đ?‘?)đ?‘› đ?‘›! đ?‘›=0

where (đ?‘Ž)đ?‘› is the Pochhammer symbol and multiplicity of đ?‘§ − đ?‘Ą real when (đ?‘§ − đ?‘Ą) > 0. Lemma 1. If đ?›ź > 0 and đ?‘› > đ?œ‚ − đ?›ż − 1, then Γ đ?‘› +1 Γ đ?‘› −đ?œ‚+đ?›ż+1 đ?›ź ,đ?œ‚,đ?›ż đ??ź0,đ?‘§ đ?‘§ đ?‘› = đ?‘§ đ?‘›âˆ’đ?œ‚ . Γ đ?‘› −đ?œ‚+1

�

đ??´đ?‘˜đ?‘? (đ?›ź, đ?›˝)

(6.5)

for đ?›ź > 0, đ?œ‚ < 2, then

≼ Γ đ?‘?+1 Γ đ?‘?−đ?œ‚ +đ?›ż+1 Γ đ?‘?−đ?œ‚+1

and đ?›ź ,đ?œ‚ ,đ?›ż đ??ź0,đ?‘§ đ?‘“ đ?‘§

is removed by requiring log(đ?‘§ − đ?‘Ą) to be

Γ �+� +�+1

Theorem 6.1. Let đ?‘“ đ?‘§ defined by (1.7) be in the class đ?›ź,đ?œ‚ ,đ?›ż đ??ź0,đ?‘§ đ?‘“

đ?›źâˆ’1

Γ đ?‘?+đ?›ź+đ?›ż +1

�

đ?‘?−đ?œ‚

1−

đ?‘?+1

Γ đ?‘?+đ?‘˜

đ?‘?−đ?›˝ đ?‘?+1−đ?œ‚ +đ?›ż

đ?‘?+1−đ?œ‚ đ?‘?+1+đ?›ź+đ?›ż

Γ đ?‘?

đ?‘? +1+đ?›ź −đ?›˝ đ?‘Ž Γ đ?‘? +đ?‘˜ Γ c

�

(6.6)

≤

Γ đ?‘?+1 Γ đ?‘?−đ?œ‚ +đ?›ż+1

Γ đ?‘?−đ?œ‚+1

Γ đ?‘?+đ?›ź +đ?›ż +1

�

đ?‘?−đ?œ‚

1+

đ?‘?+1

đ?‘? −đ?›˝ đ?‘?+1−đ?œ‚ +đ?›ż

đ?‘?+1−đ?œ‚ đ?‘?+1+đ?›ź +đ?›ż

Γ đ?‘?+đ?‘˜

Γ đ?‘?

đ?‘?+1+đ?›źâˆ’đ?›˝ đ?‘ŽÎ“ đ?‘?+đ?‘˜ Γ c

� .

(6.7)

Proof. By using lemma 1, we get ď‚Ľ

đ?›ź ,đ?œ‚,đ?›ż đ??ź0,đ?‘§ đ?‘“

Γ đ?‘?+1 Γ đ?‘?−đ?œ‚ +đ?›ż +1

đ?‘§ = Γ đ?‘?−đ?œ‚+1

Γ đ?‘?+đ?›ź+đ?›ż +1

đ?‘§ đ?‘?−đ?œ‚ −

ďƒĽ n 1

Γ đ?‘› +đ?‘?+1 Γ đ?‘›+đ?‘?−đ?œ‚+đ?›ż +1 Γ đ?‘›+đ?‘?−đ?œ‚ +1

www.irjes.com

Γ đ?‘› +đ?‘?+đ?›ź+đ?›ż +1

đ?‘Žđ?‘› +đ?‘? đ?‘§ đ?‘› +đ?‘?−đ?œ‚ 6.8

13 | Page

On A Class Of 𝑝 −Valent Functions Involving Generalized Hypergeometric Function Γ 𝑝 − 𝜂 + 1 Γ 𝑝 + 𝛼 + 𝛿 + 1 𝜂 𝛼,𝜂 ,𝛿 𝑧 𝐼0,𝑧 𝑓 𝑧 Γ 𝑝+1 Γ 𝑝−𝜂+𝛿+1 ∞ Γ 𝑛+𝑝+1 Γ 𝑛+𝑝−𝜂+𝛿+1 Γ 𝑝−𝜂+1 Γ 𝑝+𝛼+𝛿+1 = 𝑧𝑝 − 𝑎𝑛 +𝑝 𝑧 𝑛+𝑝 , Γ 𝑛+𝑝−𝜂+1 Γ 𝑛+𝑝+𝛼+𝛿+1 Γ 𝑝+1 Γ 𝑝−𝜂+𝛿 +1 𝑛=1

let Γ 𝑝 − 𝜂 + 1 Γ 𝑝 + 𝛼 + 𝛿 + 1 𝜂 𝛼,𝜂,𝛿 𝐻(𝑧) = 𝑧 𝐼0,𝑧 𝑓 𝑧 = 𝑧 𝑝 − Γ 𝑝+1 Γ 𝑝−𝜂+𝛿 +1

∞

𝑕 𝑛 𝑎𝑛+𝑝 𝑧 𝑛+𝑝 ,

(6.9)

𝑛 =1

where 𝑕 𝑛 =

Γ 𝑛+𝑝+1 Γ 𝑛+𝑝−𝜂+𝛿+1 Γ 𝑝−𝜂+1 Γ 𝑝+𝛼+𝛿+1 Γ 𝑛+𝑝−𝜂+1 Γ 𝑛+𝑝+𝛼+𝛿+1 Γ 𝑝+1 Γ 𝑝−𝜂+𝛿+1 𝑝+1 𝑛 𝑝+1−𝜂+𝛿 𝑛 = , 𝑛 ≥1 , 𝑝+1−𝜂 𝑛 𝑝+1+𝛼+𝛿 𝑛

we can see that h(𝑛) is decreasing for 𝑛 ≥ 1, thus we get 𝑝+1 1 𝑝+1−𝜂 +𝛿 1 𝑝+1 0 < 𝑕(𝑛) ≤ 𝑕 1 = = 𝑝+1−𝜂 1 𝑝+1+𝛼+𝛿 1

(𝑝 +1−𝜂 +𝛿 )

6.10

(6.11)

𝑝+1−𝜂 (𝑝+1+𝛼 +𝛿)

now, by using equation (2.1) and (6.11 ) in (6.9), then we get ∞

𝐻(𝑧) ≥ 𝑧

𝑝

− 𝑕(1) 𝑧

1+𝑝

𝑎𝑛 +𝑝 , 𝑛 ≥ 1 𝑛=1

𝐻 𝑧

≥ 𝑧

𝑝

𝑝+1 𝑝−𝛽 𝑝+1−𝜂+𝛿 Γ 𝑐+𝑘 Γ 𝑏 𝑧 , 𝑝+1−𝜂 𝑝+1+𝛼+𝛿 𝑝+1+𝛼−𝛽 𝑎Γ 𝑏+𝑘 Γ c

1−

and

∞

𝐻(𝑧) ≤ 𝑧

𝑝

+𝑕 1 𝑧

1+𝑝

𝑎𝑛+𝑝 , 𝑛 ≥ 1, 𝑛=1

𝐻 𝑧

≤ 𝑧

𝑝

1+

𝑝+1 𝑝−𝛽 𝑝+1−𝜂+𝛿 Γ 𝑐+𝑘 Γ 𝑏 𝑧 , 𝑝+1−𝜂 𝑝+1+𝛼 +𝛿 𝑝 +1+𝛼−𝛽 𝑎Γ 𝑏 +𝑘 Γ c

therefore, Γ 𝑝+1 Γ 𝑝−𝜂+𝛿+1 𝑧 𝑝−𝜂 1 Γ 𝑝−𝜂+1 Γ 𝑝+𝛼+𝛿 +1 𝑝+1 𝑝−𝛽 𝑝+1−𝜂+𝛿 Γ 𝑐+𝑘 Γ 𝑏 − 𝑧 𝑝+1−𝜂 𝑝+1+𝛼+𝛿 𝑝+1+𝛼−𝛽 𝑎Γ 𝑏+𝑘 Γ c 𝛼 ,𝜂,𝛿

≤ 𝐼0,𝑧 𝑓 𝑧

≤

Γ 𝑝+1 Γ 𝑝−𝜂+𝛿 +1 Γ 𝑝−𝜂 +1

Γ 𝑝+𝛼+𝛿+1

𝑧

𝑝−𝜂

1+

𝑝+1

𝑝−𝛽 𝑝+1−𝜂 +𝛿

𝑝+1−𝜂 𝑝+1+𝛼+𝛿

𝑝+1+𝛼−𝛽

Γ 𝑐+𝑘

Γ 𝑏

𝑎Γ 𝑏+𝑘 Γ c

Theorem is completely proved. Corollary 2. If 𝜂 = −𝛼 = −𝜆 in theorem 6.1 and let the function 𝑓(𝑧) defined by (1.7) be in the class 𝐴𝑘𝑝 (𝛼, 𝛽). Then we have Γ 𝑝+1 𝑝+1 𝑝−𝛽 Γ 𝑐+𝑘 Γ 𝑏 𝐷𝑧−𝜆 𝑓 𝑧 ≥ 𝑧 𝑝+𝜆 1 − 𝑧 Γ 𝑝+𝜆+1 𝑝+1+𝜆 𝑝+1+𝜆 −𝛽 𝑎Γ 𝑏 +𝑘 Γ c and

𝑧

.

(6.12)

Γ 𝑝+1 𝑝+1 𝑝−𝛽 Γ 𝑐+𝑘 Γ 𝑏 𝑧 𝑝+𝜆 1 + 𝑧 . (6.13) Γ 𝑝+𝜆+1 𝑝 + 1 + 𝜆 𝑝 + 1 + 𝜆 − 𝛽 𝑎Γ 𝑏 + 𝑘 Γ c Corollary 3. If 𝜂 = −𝛼 = 𝜆 in theorem 6.1 and let the function 𝑓(𝑧) defined by (1.7) be in the class 𝐴𝑘𝑝 (𝛼, 𝛽). Then we have Γ 𝑝+1 𝑝+1 𝑝−𝛽 Γ 𝑐+𝑘 Γ 𝑏 𝐷𝑧𝜆 𝑓 𝑧 ≥ 𝑧 𝑝−𝜆 1 − 𝑧 (6.14) Γ 𝑝−𝜆+1 𝑝+1−𝜆 𝑝+1−𝜆−𝛽 𝑎 Γ 𝑏+𝑘 Γ c and Γ 𝑝+1 𝑝+1 𝑝−𝛽 Γ 𝑐+𝑘 Γ 𝑏 𝐷𝑧𝜆 𝑓 𝑧 ≤ 𝑧 𝑝−𝜆 1 + 𝑧 . (6.15) Γ 𝑝−𝜆+1 𝑝 +1−𝜆 𝑝+1−𝜆−𝛽 𝑎Γ 𝑏 +𝑘 Γ c 𝐷𝑧−𝜆 𝑓 𝑧

≤

www.irjes.com

14 | Page

On A Class Of đ?‘? −Valent Functions Involving Generalized Hypergeometric Function References [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

B. C. Carlson and S. B. Shaffer (2002): Starlike and prestarlike hypergeometric functions, SIAM J. Math. Anal., 15, 737745. H.M. Srivastava and S. Owa (1984): An application of the fractional derivative, Math. Japonica, 29, 383-389. H.M. Srivastava, M. Saigo and S.Owa (1988): A class of distortion theorem of fractional calculus, J. Math. Anal. Appl., 131, 412-420. J.L. Liu and H.M. Srivastava (2001): A linear operator and associated families of meromorphically multivalent functions, J. Math. Anal. Appl., 259, 566-581. J.L. Liu and H.M. Srivastava (2004): Classes of meromorphically multivalent functions associated with generalized hypergeometric functions, Maths. Comput. Modelling, 39, 21-34. N. Virchenko, S.L. Kalla and A. Al-Zamel (2001): Some results on generalized hypergeometric function, Integral Transforms and Special Functions, 12 (1), 89-100. S.P. Goyal and R. Goyal (2005): On a class of multivalent functions defined by generalized Ruscheweyh derivatives involving a general fractional derivative operators, J. Indian Acad. Math., 27(2), 439-456.

www.irjes.com

15 | Page

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.