B250815

Page 1

International Refereed Journal of Engineering and Science (IRJES) ISSN (Online) 2319-183X, (Print) 2319-1821 Volume 2, Issue 5(May 2013), PP.08-15 www.irjes.com

On A Class Of đ?’‘ −Valent Functions Involving Generalized Hypergeometric Function Chena Ram And Saroj Solanki Department of Mathematics and Statistics, Jai Narain Vyas University Jodhpur, (Rajasthan), India.

Abstract: Invoking the Hadamard product (or convolution), a class of p-valent functions has been introduced. The coefficient bounds, extreme points, radii of close-to-convex, starlikeness and convexity are obtained for the same class of functions. Distortion theorem and fractional differ-integral operators are also obtained. Key words: đ?‘?-valent function; Analytic function; Hadamard product; Generalized hyper-geometric functions; Linear operator; Starlike function; Convex function; Fractional differential and integral operator.

I. Introduction Let đ??´(đ?‘›, đ?‘?) denote the class of functions đ?‘“(đ?‘§) of the form ∞

đ?‘“ đ?‘§ = đ?‘§đ?‘? +

đ?‘Žđ?‘› +đ?‘? đ?‘§ đ?‘›+đ?‘? , đ?‘?, đ?‘› ∈ N = 1,2, ‌ ‌ ,

(1.1)

đ?‘› =1

which are analytic and đ?‘? −valent in the unit disk đ?•Œ = { đ?‘§ âˆś đ?‘§ < 1}. A function đ?‘“(đ?‘§) ∈ đ??´ (đ?‘›, đ?‘?) is said to be đ?‘? −valent starlike of order đ?›ż (0 ≤ đ?›ż < đ?‘?) if and only if Re

�� ′ (�)

> đ?›ż , đ?‘§ ∈ đ?•Œ; 0 ≤ đ?›ż < đ?‘? .

�(� )

(1.2)

We denote by đ?‘†đ?‘› đ?‘?, đ?›ż the subclass of đ??´(đ?‘›, đ?‘?) consisting of functions which are đ?‘? −valent starlike of order đ?›ż. Also a function đ?‘“ đ?‘§ ∈ đ??´(đ?‘›, đ?‘?) is said to be in the class đ??žđ?‘› đ?‘?, đ?›ż if and only if Re 1 +

�� ′′ (�) � ′(� )

> đ?›ż , (đ?‘§ ∈ đ?•Œ; 0 ≤ đ?›ż < đ?‘?).

(1.3)

A function đ?‘“ đ?‘§ ∈ đ??žđ?‘› đ?‘?, đ?›ż is called đ?‘? -valent convex function of order đ?›ż (0≤ đ?›ż < đ?‘?), if đ?‘“ đ?‘§ ∈ đ??žđ?‘› đ?‘?, đ?›ż ďƒł đ?‘§đ?‘“ ′ (đ?‘§) ∈ đ?‘†đ?‘› đ?‘?, đ?›ż , ∀ đ?‘› ∈ đ?‘ . For a function đ?‘“(đ?‘§) is given by (1.1) and đ?‘”(đ?‘§) ∈ đ??´ đ?‘›, đ?‘? is given by

(1.4)

∞

đ?‘?

đ?‘?đ?‘›+đ?‘? đ?‘§ đ?‘›+đ?‘? ,

� � =� +

đ?‘? ,đ?‘› ∈ N ,

(1.5)

đ?‘› =1

we define the Hadamard product of đ?‘“ đ?‘§ and đ?‘” đ?‘§ as ∞

đ?‘?

đ?‘Žđ?‘› +đ?‘? đ?‘?đ?‘›+đ?‘? đ?‘§ đ?‘›+đ?‘? ,

đ?‘“∗đ?‘” đ?‘§ = đ?‘§ +

đ?‘§ ∈ đ?•Œ.

(1.6)

đ?‘›=1

Let the subclass A đ?‘›, đ?‘? is denoted by đ?œ‘ consisting of functions of the form ∞

đ?‘?

đ?‘Žđ?‘› +đ?‘? đ?‘§ đ?‘› +đ?‘? ,

đ?‘“ đ?‘§ =đ?‘§ −

đ?‘? , đ?‘› ∈ N; đ?‘Žđ?‘› ≼ 0 .

(1.7)

đ?‘›=1

Invoking the Hadamard product, a linear operator đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“(đ?‘§) is defined as đ??żđ?‘˜đ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘“ đ?‘§ = (đ?‘§ đ?‘? 2đ?‘…1 đ?‘Ž, đ?‘?; đ?‘?; đ?‘˜; đ?‘§ ) ∗ đ?‘“ đ?‘§ ∞ Γ đ?‘? (đ?‘Ž)đ?‘› Γ đ?‘? + đ?‘˜đ?‘› đ?‘Žđ?‘›+đ?‘? đ?‘§ đ?‘›+đ?‘? đ?‘? =đ?‘§ − Γđ?‘? Γ đ?‘? + đ?‘˜đ?‘› đ?‘› ! ∞ đ?‘?

đ?‘Žđ?‘›+đ?‘? đ??ľ đ?‘› đ?‘§ đ?‘› +đ?‘? ,

=đ?‘§ −

(1.8)

đ?‘›=1

(1.9)

đ?‘› =1

where 2đ?‘…1 đ?‘Ž, đ?‘?; đ?‘?; đ?‘§ is generalized hypergeomertric function defined by Virchenko, Kalla and Al-Zamel [6] as, ∞ Γđ?‘? (đ?‘Ž)đ?‘› Γ đ?‘? + đ?‘˜đ?‘› đ?‘§ đ?‘› , đ?‘˜ ∈ đ?‘…, đ?‘˜ > 0, đ?‘§ < 1, (1.10) 2 đ?‘…1 đ?‘Ž, đ?‘?; đ?‘?; đ?‘˜; đ?‘§ = Γđ?‘? Γ đ?‘? + đ?‘˜đ?‘› đ?‘› ! đ?‘›=0

where (đ?‘Ž)đ?‘› is the pochhammer symbol defined as

www.irjes.com

8 | Page

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.