1 El movimiento 1. ●●
Imagínate que en la pista de atletismo tomamos la meta como origen del sistema de referencia (100 m). ¿Cómo indicarías la posición de los dos corredores? Al tomar el origen del sistema de referencias en el punto 100 m que corresponde a la meta, la posición de salida se expresa mediante el valor negativo de -100 m. Como consecuencia, la posición de los corredores estará comprendida entre los valores de -100 m (posición de salida) y de 0 m (posición de la meta). En la figura, la posición del corredor más cercano a la meta se indicará como de -20 m, y la del segundo corredor, como de -40 m.
2. ●●
●
Teniendo en cuenta el sistema de referencia que hemos establecido en el circuito de Jerez, indica la posición de las curvas Ángel Nieto y Dry Sack. En el diagrama 1 cm corresponde a 200 m reales aproximadamente. La posición se indica mediante un vector que va desde el origen del circuito hasta el punto donde se encuentra la curva.
3. ●●●
En el sistema de referencia de la habitación en la que vuela la mosca, indica la posición de la mosca que se ha posado en un punto 2 m a la izquierda del origen, 1 m adelante (alejándose de la lámpara) y 0,5 m por debajo de ese punto. Las coordenadas de la mosca en la habitación son: x = -2 m; y = 1 m; z = -0,5 m. P (-2, 1, -0,5)
4. ●
Trabajando sobre el circuito de Jerez representado en esta página: a) Busca algún tramo del circuito en el que el desplazamiento coincida con el espacio recorrido. b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, completa la frase. r ) y el espacio recorrido (s) cuando c) Dibuja el vector desplazamiento (DW una moto se desplaza desde la curva Sito Pons a la curva Peluqui del circuito de Jerez.
●
a) En los tramos rectos del circuito el desplazamiento coincide con el espacio recorrido. Por ejemplo, el tramo recto entre la curva Sito Pons y la curva Dry Sack. b) El desplazamiento coincide con el espacio recorrido cuando el móvil describe una trayectoria rectilínea y no hay cambio en el sentido del movimiento. c) El espacio recorrido es la distancia que recorren los motoristas sobre su trayectoria. Sin embargo, el vector desplazamiento es un vector que va del extremo del vector posición de la moto en la curva Sito Pons al extremo del vector posición de la moto en la curva Peluqui.
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SOLUCIONARIO
5. ●
La luz recorre trescientos mil kilómetros por segundo. Expresa su velocidad en km/h y en m/s. La velocidad aproximada de la luz es de 300 000 km/s, que equivale a: 300 000 km/s ?
da
rá
300 000 km/sY ? 6. ●●
k.
1000 m = 3 ? 10 8 m/s 1 km
3600 Ys = 1,08 ? 10 9 km/h 1h
Seguridad vial. a) Teniendo en cuenta que el tiempo de reacción medio de un adulto es de 3/4 de segundo, calcula qué distancia recorre un conductor, como mínimo, desde que observa una situación de peligro hasta que toma una decisión si viaja a 120 km/h. ¿Y si viaja a 50 km/h? b) Teniendo en cuenta los resultados anteriores, justifica la norma que limita a 50 km/h la velocidad de los coches en una vía urbana. a) En 0,75 s un automóvil que circula a 120 km/h tiene una velocidad de 33,33 m/s. Por tanto, en 0,75 s recorre una distancia de 25 m, la longitud de una piscina. Cuando la velocidad es de 50 km/h (13,9 m/s) solamente recorre 10,4 m.
m
b) Si los automóviles circularan por las vías urbanas a estas velocidades, no tendrían espacio ni tiempo suficiente para detenerse ante un imprevisto, en los pasos de peatones y en los semáforos, y como consecuencia se producirían muchos más atropellos y accidentes. Seguridad vial. ●● a) Indica cuál debe ser la distancia de seguridad para un coche que circula a 120 km/h. b) ¿Y si el coche circula a 50 km/h? 7.
a) y b) A la vista de los resultados del ejercicio anterior y tomando como referencia el doble de este valor, la distancia de seguridad de un vehículo que circula a 120 km/h debe ser como mínimo de 100 m, y de 21 m cuando circula a 50 km/h.
a 8. ●
Calcula el espacio que recorre un coche que se desplaza en línea recta y con velocidad constante de 72 km/h, cuando se mueve durante 30 minutos. Cambio de unidades:
re
72 km/h ?
.
1h 1000 m 60 s ? = 20 m/s; 30 min ? = 1800 s 3600 s 1 km 1 min
x = v ? t = 20 m/s ? 1800 s = 36 000 m = 36 km
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1 El movimiento 9.
Una persona tarda 15 minutos en recorrer 300 m. ¿Qué velocidad lleva?
●
1
60 s = 900 s 1 min x 300 m v= = = 0,33 m/s = 1,2 km/h t 900 s
Cambio de unidades: 15 min ?
10. ¿Cómo sería la gráfica de un MRU en el que comenzamos a contar el tiempo cuando el móvil se encuentra en el origen de coordenadas? ● La gráfica sería una línea recta que sale del origen y con una pendiente que nos proporciona la velocidad del móvil.
x
1 t
11. Describe: ¿cómo sería la forma de la gráfica x-t de un móvil con MRU que avanza, desde una posición alejada, hacia el origen de coordenadas? ● La gráfica sería una línea recta que corta al eje de coordenadas en la posición inicial y con una pendiente negativa, que indica que el móvil se acerca al origen.
x
t
12. ¿Cómo sería la forma de la gráfica v-t de un móvil con MRU que avanza, desde una posición alejada, hacia el origen de coordenadas? ● La gráfica sería una recta paralela al eje del tiempo, que corta al eje de ordenadas en el valor de la velocidad que tenga el móvil. La velocidad es positiva, puesto que el móvil avanza, no importa desde dónde.
v
t
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SOLUCIONARIO
13. Ordena los siguientes móviles según su velocidad (de mayor a menor). ●
x (m) D C 200
o
B A
100
0
t (s) 0
1
2
3
4
5
6
El móvil de mayor velocidad corresponde a la gráfica que tenga mayor pendiente o inclinación: v D > vA > v C > v B
t
x (m) 14. El movimiento de un cuerpo se puede representar por la gráfica de la derecha. ● 70 Para cada tramo, determina las características del movimiento, su ecuación de velocidad y la representación v-t.
2 1
30
3
5
10
t (s)
15
-20
El movimiento se puede descomponer en tres tramos diferentes: v (m) • El primer tramo corresponde 20 a un movimiento uniforme (rectilíneo o circular), 1 10 la pendiente de la recta nos proporciona un valor constante 2 0 de la velocidad:
t
70 m - 30 m v= = 8 m/s 5s L a gráfica de v-t es una recta paralela al eje de los tiempos con un valor de 8 m/s. t
5
10
15
-10
20
t (s)
-20 -30 -40
3
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1 El movimiento • El segundo tramo corresponde a una situación en que el cuerpo está en reposo y el espacio recorrido no varía en función del tiempo; por tanto, la velocidad es nula. La gráfica v-t sería una recta coincidente con el eje de los tiempos. • En el tercer tramo la recta tiene una pendiente negativa, lo que indica que el cuerpo retrocede hasta la posición inicial de origen del movimiento con velocidad constante, siendo el valor de la velocidad: -90 m v= = -36 m/s 2,5 s
1
L a gráfica v-t es una recta paralela al eje del tiempo con un valor constante y negativo de 36 m/s.
15. Imagínate que hacemos un recorrido de 10 km, de manera que los 9 primeros vamos a 54 km/h, y el kilómetro restante, a 90 km/h. ● ¿Cuál será la velocidad media? La velocidad media se obtiene dividiendo el espacio total recorrido entre el tiempo total. Primer tramo, 9 km a 54 km/h. Consumimos: t1 =
1
9 km 1 = h 54 km/h 6
Segundo tramo, 1 km a 90 km/h. Consumimos: 1 t2 = h 90 v=
10 km = 56,5 km/h = 15,7 m/s 0,166 h + 0,011 h
16. ¿Cuál será la velocidad media si recorremos los 9 primeros kilómetros a 90 km/h y el kilómetro restante a 54 km/h? ¿Y si recorremos ● 5 km a 54 km/h y otros 5 a 90 km/h? En el primer caso: t = t1 + t2 =
1
9 km 1 km + = 0,1 h + 0,0185 h " 90 km/h 54 km/h
●
9 km + 1 km
" v = 0,1 h + 0,0185 h = 84,4 km/h En el segundo caso: t = t1 + t2 =
5 km 5 km + = 0,093 h + 0,0556 h " 54 km/h 90 km/h 5 km + 5 km
" v = 0,093 h + 0,0556 h = 67,3 km/h
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o;
SOLUCIONARIO
x (m)
17. Calcula la velocidad media de un cuerpo que tiene ● el movimiento representado en la gráfica de la derecha.
2
75 1 50
El movimiento se compone de tres tramos: en el primero recorre 50 m en 5 s, 25 en el segundo está en reposo durante 5 s y en el tercero recorre 91,7 m 0 (75 m + 16,7 m) en 5 s. La velocidad media se obtiene dividiendo -25 el espacio total 141,7 m entre el tiempo total (15 s): v=
3
5
10
15
t (s)
141,7 m = 9,4 m/s 15 s
18. Calcula la velocidad media x (m) de un cuerpo que tiene el movimiento ● 10 representado en la gráfica de la derecha. 5 Ahora: vmedia =
0
15
30
espacio total 30 m +-5 25 m + 0 m = 1,2 m/s = 15 s + 15 s + 15 s tiempo total
45
t (s)
-10 espacio total 30 m + 25 m + 0 m = 1,2 m/s = tiempo total 15 s + 15 s + 15 s -15 pacio total 30 m + 25 m + 0 m = 1,2 m/s = mpo total 15 s + 15 s + 15 s
vmedia =
-20
19. Calcula la velocidad angular de la Tierra en unidades del SI. Suponiendo que es una esfera de 6370 km de radio, ¿a qué velocidad lineal ●● nos estaremos moviendo? La velocidad angular se define como la relación entre el ángulo recorrido y el tiempo empleado, cuando la Tierra da una vuelta completa (360º o 2r radianes = 6,28 rad) emplea un día (24 h = 86 400 s): 6,28 rad ~= = 7,3 ? 10-5 rad/s 86 400 s La velocidad lineal de un punto del ecuador se obtiene de la expresión: v = ~ ? Radio = 7,3 ? 10-5 rad/s ? 6370 ? 103 m = 463 m/s = 1668 km/h
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1 El movimiento 20. Calcula el periodo y la frecuencia de las tres manecillas del reloj (horario, minutero y segundero). ●
2
●
La aguja de los segundos tarda 60 s en dar una vuelta completa. Por tanto, el periodo de dicha aguja es de 60 s y la frecuencia es: 1 f= = 1,7 ? 10-2 s T La aguja de los minutos tarde 60 minutos (3600 s) en dar una vuelta completa, siendo el periodo igual a 3600 s, y la frecuencia, 1 = 2,8 ? 10-4 s-1 f= T La aguja de las horas tarda 12 h (43 200 s) en dar una vuelta completa. El periodo es igual a 43 200 s, y la frecuencia, 1 f= = 2,3 ? 10-5 s-1 T
2
●
21. El tambor de una lavadora gira a 0,5r rad/s. Calcula el periodo y la frecuencia. ●
La velocidad de 0,5r rad/s equivale a un cuarto de vuelta por segundo, por lo que tardará cuatro segundos en dar una vuelta completa: ~=
2r rad T
2r rad 2r rad " T = 0,5r rad/s = 4 s " ~ 1 1 " f = T = 4 s = 0,25 s-1
"T=
22. Indica en qué situaciones existe movimiento para el piloto que tripula un avión cuando se produce el reabastecimiento de combustible en vuelo ●● mediante un avión nodriza, con respecto a: a) La Tierra. c) Una nube. b) El piloto del avión nodriza. d) La cola del avión.
2
Para al piloto existe movimiento respecto a la Tierra y a una nube, pero no respecto al avión nodriza o a la cola del avión, que se mantienen en reposo respecto a él.
●
23. Clasifica las siguientes trayectorias: lineal, circular, curvilínea… ● a) El lanzamiento de un tiro libre de baloncesto. b) El despegue de un cohete espacial. c) El movimiento de una noria. d) El lanzamiento de un penalti. a) Trayectoria curvilínea: parabólica. b) Trayectoria rectilínea. c) Trayectoria circular: circunferencia. d) Trayectoria rectilínea.
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a.
o,
SOLUCIONARIO
24. Un explorador sale de un punto tal que al recorrer 10 km en dirección sur, 10 km en dirección este y 10 km en dirección norte, se encuentra en el mismo punto que al principio. a) ¿Qué distancia recorre? b) ¿Cuál es su desplazamiento? c) ¿En qué punto del planeta Tierra se cumple esta situación? d) ¿Cómo es la trayectoria descrita por el explorador?
●●●
a) La distancia total recorrida es de 30 km. b) El desplazamiento es nulo al volver al punto inicial de partida. c) Esta situación se cumple en el Polo Norte. d) La trayectoria tiene que ser curvilínea, como se comprueba si dibujamos los recorridos en un globo totalmente esférico. 25. Dibuja el vector desplazamiento cuando sales a la pizarra desde tu puesto ●●● en clase. a) Tomando tu mesa como referencia. b) ¿Coincide el desplazamiento con el espacio recorrido? c) ¿Cómo tendría que ser la trayectoria para que no coincidiese con el espacio recorrido? a) El vector desplazamiento coincide con el vector posición; un vector que tiene su origen en tu mesa y el extremo en la pizarra. b) Si el recorrido hasta la pizarra es rectilíneo y no retrocedes, el desplazamiento coincide con el espacio recorrido, c) No coinciden cuando la trayectoria es curvilínea, rectilínea con cambio de sentido o rectilínea quebrada. 26. La gráfica muestra la posición en cada instante de un coche teledirigido que sigue una trayectoria rectilínea. ●● Indica la posición y el espacio x (m) 35 recorrido para los siguientes 30 tiempos: a) t = 0 s b) t = 10 s c) t = 20 s d) t = 30 s
25 20 15 10 5 0
t (s) 0
10
20
30
Para t = 0 se encuentra a 10 m del origen, a t = 10 s se encuentra a 30 m del origen, a t = 20 s se encuentra en la misma posición, a 30 m del origen, y para t = 30 s se encuentra en el origen. El espacio total recorrido es: 20 m + 30 m = 50 m.
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1 El movimiento 27. La estrella Próxima Centauri, la más cercana al Sol, se encuentra a 4,2 años luz de distancia. Un año luz equivale a la distancia recorrida ●● por la luz en un año. Como la luz viaja a 300 000 km por segundo, calculando los segundos que tiene un año obtenemos la distancia, que equivale a 9 460 800 000 000 km. a) ¿Qué distancia recorre la luz en un año? Dato: 1 año ~ 31 536 000 s. b) ¿Cuánto tardará la luz de esta estrella en llegar hasta la Tierra? c) Si en una escala cada millón de kilómetros se representa como un milímetro, ¿a qué distancia estaría Próxima Centauri? d) Expresa todas las cantidades calculadas con notación científica.
3
●
a) Como la luz viaja a 300 000 km/s, multiplicando este valor por los segundos que tiene un año obtenemos la distancia 9 460 800 000 000 km = 9,4608 ? 1015 m. b) La luz de la estrella tardará 4,2 años en llegar hasta la Tierra. c) 9 460 800 mm que equivale a 9460,8 m (9,4608 ? 103 m) o 9,4608 km. d) 9,4608 ? 1015 m; 9,4608 ? 103 m.
3
28. Ordena de mayor a menor las velocidades: ● a) Un pájaro que recorre 10 km en 20 minutos. b) Un atleta que recorre 100 m en 10 segundos. c) Un barco que recorre una milla marina en media hora. (Dato: 1 milla marina = 1852 m).
3
●
Expresadas en el Sistema Internacional: vb = 10 m/s > va = 8,3 m/s > vc = 1,0 m/s 29. Ordena en orden creciente las siguientes velocidades: ● a) Un camión que circula a 15 m/s. b) Una moto que se mueve a 48 km/h. c) Una ciclista que circula en pista a 1400 cm/s. d) Un automóvil que se desplaza a 360 m/min. Ahora: vd = 6 m/s < vb = 13,3 m/s < vc = 14,0 m/s < va = 15 m/s 30. El récord mundial masculino de velocidad en la distancia de 100 m está en 9,58 s (2010). ●● a) Calcula la velocidad media. b) ¿En algún punto del recorrido se habrá superado esta velocidad? c) ¿Por qué este valor no se puede alcanzar en las carreras de larga distancia?
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100 m = 10,44 m/s 9,58 s b) Teniendo en cuenta que se parte del reposo, en algún punto de la carrera, sobre la mitad, se alcanza una mayor velocidad que luego se mantiene hasta el final. c) El metabolismo de las personas no está adaptado para proporcionar la energía necesaria para mantener esta velocidad en distancias largas; por esta razón la velocidad de los récords va disminuyendo a medida que aumenta la distancia de la prueba. a) v media =
31. Calcula la velocidad media para cada uno de los récords mundiales masculinos de atletismo (2010). ●● Longitud (m)
Tiempo (s)
v (m/s)
v (km/h)
60
6,39
9,39
33,80
100
9,58
10,44
37,58
200
19,19
10,42
37,52
400
43,18
9,26
33,35
32. Una agencia espacial ha diseñado un híbrido entre avión y aeronave espacial no tripulada que ha alcanzado una velocidad de 6,7 Mach. ● Expresa esta velocidad en m/s y en km/h. Dato: 1 Mach = 330 m/s. La velocidad de 6,7 Mach equivale a 2211 m/s o 7959,6 km/h. 33. Lee el texto y responde a las cuestiones: ●●
Los nuevos trenes de levitación magnética se mueven, para ser exactos, flotan, a una velocidad de 430 km/h. Esta tecnología emplea la fuerza de repulsión entre dos polos magnéticos para deslizarse sobre la vía sin tocar el suelo. De esta forma, la fricción se reduce a cero. El récord de velocidad lo ostenta un prototipo japonés con 521 km/h. a) ¿Cuánto se tardaría en realizar un trayecto con esta nueva tecnología entre Sevilla y Valencia, que distan 650 km? b) ¿Cuánto tiempo se ahorra si se realiza el mismo recorrido con el récord de velocidad? c) ¿Por qué razón estos trenes pueden circular a velocidades mucho mayores que los trenes normales? 650 km t 650 km b) 521 km/h = t a) 430 km/h =
" t = 1,51 h = 90,70 min. " t = 1,25 h = 74,86 min.
Se ahorran 15,84 minutos.
c) Circulan a velocidades muy altas debido a que no se pierde energía por rozamiento entre las ruedas y los raíles.
a?
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1 El movimiento 34. El pez espada puede alcanzar velocidades de 130 km/h cuando se desplaza por el mar. ●● a) Calcula el tiempo que tardaría en cruzar el estrecho de Gibraltar, que mide 14,4 km. b) ¿Cuánto tiempo tardaría el nadador David Meca en realizar esta travesía si nada a una velocidad de 8 km/h?
3
●
14,4 km " t = 398,77 s t 14,4 km b) tMeca " v = 8 km/h = " t = 6480 s t a) tpez " v = 130 km/h =
35. Lee el texto y responde a las preguntas: La velocidad de los trenes que circulan entre Madrid y Zaragoza aumentará ●● de 250 a 300 km/h. Esto se traduce en un recorte de 15 minutos en el trayecto de 300 km entre la capital y Zaragoza. a) Calcula el tiempo que tarda un tren en ir desde Madrid hasta Zaragoza a cada una de las velocidades indicadas. b) ¿Es exacto decir que el viaje se acorta en 15 min? a) A la velocidad media de 250 km/h se tarda 1,2 h, y a la velocidad media de 300 km/h se emplea una hora en el mismo recorrido. b) El viaje se acorta exactamente en 0,2 h, es decir, 12 minutos. 36. Una patinadora que se desliza en una pista de hielo con MRU se mueve a 16 m/s. Si empezamos a estudiar su movimiento cuando pasa ●● por la posición de salida: a) Escribe la ecuación de su movimiento. b) Haz la representación de sus gráficas x-t y v-t. a) La ecuación del movimiento es: x = v ? t = 16 m/s ? t b) La gráfica x-t es una línea recta que parte del origen de coordenadas y con una pendiente igual a la velocidad de la patinadora. La gráfica v-t es una recta paralela al eje de los tiempos con v = 16 m/s. x (m) 160 140 120 100 80 60 40 20 0
3
●
v (m/s) 16 12 8 4
0
2
4
6
8
t
0
t 0
2
4
6
8
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37. Una atleta se entrena en una pista de atletismo en el sentido desde la meta hasta la salida (que tomamos como origen del sistema de referencia). ●● Comenzamos a estudiar su movimiento cuando pasa delante de la posición 85 m. Suponiendo que se mueve con MRU a la velocidad de 9,1 m/s: a) Escribe la ecuación de su movimiento. b) Haz la representación de sus gráficas x-t y v-t.
ía
a) Ecuación de su movimiento: x = 85 m - 9,1 m/s ? t El sentido negativo indica que se dirige hacia la salida en lugar de hacia la meta. Al iniciar el movimiento su posición es de +85 m y al llegar a la salida su posición es de 0 m. b) La gráfica x-t será la de una recta que no parte del origen de coordenadas, sino del valor de +85 m, y con una pendiente igual a la velocidad de -9,1 m/s. La gráfica de la velocidad v-t es una recta paralela al eje de los tiempos con un valor del módulo de la velocidad de -9,1 m/s.
rá
a
0
x (m) 80
8
t (s)
-4
40
-6
20
-8 t (s)
0 0
/s.
6
-2
60
as
4
2
0
2
4
6
38. La gráfica representa la posición de un automóvil ●● en función del tiempo. Indica lo que sucede: a) En el primer tramo: t0 = 0 y t f = 4 s. b) En el segundo tramo: t0 = 4 s y t f = 10 s. c) ¿Representa una situación real el último tramo? ¿Por qué?
8
v (m/s)
9,3
x (m) 2
4 3 1 2
3 1 0
t (s) 0
2
4
6
8
10
a) En el primer tramo, de 0 a 4 s, el automóvil realiza un movimiento uniforme con una velocidad constante de 1 m/s, pudiendo ser la trayectoria rectilínea o circular.
t
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1 El movimiento b) En el segundo tramo, de 4 a 10 s, el móvil se encuentra detenido en reposo durante 6 s. c) El tercer tramo no es posible, porque los valores del tiempo no pueden retroceder. 39. En el último tramo del Rally Dakar, a 30 km de la meta, un vehículo ●●● todoterreno pasa por el control a una velocidad constante de 100 km/h. Al cabo de cinco minutos lo hace una moto a 136 km/h. ¿Qué vehículo llegará primero a la meta? El todoterreno emplea en recorrer los 30 km: 30 km 100 km/h = " t = 0,3 h = 18 min = 1080 s t En el caso de la moto emplea en este mismo recorrido: 30 km 136 km/h = " t = 0,22 h = 13,24 min = 794 s t
4
Al que habrá que sumar los cinco minutos de retraso respecto al todoterreno: tTotal = 300 s + 794 s = 1094 s Llegará antes el todoterreno con una ventaja de 14 s. 40. El movimiento de un cuerpo se puede representar por la siguiente gráfica. a) Para cada tramo, determina las características del movimiento. b) Determina su ecuación de velocidad. c) Realiza la representación v-t.
x (m)
●●●
10
3
0
t (s) 15 1
25
50
2
-20
a) El primer tramo corresponde a un movimiento uniforme de velocidad constante e igual a: -30 m = -2 m/s 15 s El segundo tramo corresponde a un movimiento uniforme de velocidad constante e igual a: 25 m = 2,5 m/s 10 s En el tercer tramo no hay movimiento; la velocidad es nula.
10
b) Para el primer tramo, v = -2 m/s; para el segundo tramo, v = 2,5 m/s, y para el tercero, v = 0.
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SOLUCIONARIO
c) En el primer tramo la gráfica v-t es una recta paralela al eje de los tiempos con un valor de la velocidad de -2 m/s. En el segundo tramo, la gráfica es otra recta paralela al eje horizontal pero con una velocidad mayor, 2,5 m/s. En el tercer tramo, la gráfica es una recta que coincide con el eje de los tiempos al ser cero la velocidad. v (m/s) 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
2 3 1 10
20
30
t (s)
40
50
41. Un guepardo se mueve con v = 110 km/h durante 100 m. ● a) ¿Cuánto tiempo emplea en recorrer esa distancia? b) ¿Cuánto tiempo tardaría en recorrer 100 m un avestruz a 67 km/h? ¿Y un campeón olímpico a 10 m/s? c) Realiza la representación gráfica posición-tiempo y velocidad-tiempo para cada caso. a) En 100 m de carrera el guepardo empleará un tiempo de 3,3 s: x 100 m = = 3,3 s x = v ? Dt " Dt = v 30,56 m/s b) Para el avestruz (v = 18,6 m/s): x 100 m Dt = = = 5,37 s v 18,6 m/s
(s)
d
El campeón olímpico tardará: x 100 m Dt = = = 10 s v 10 m/s
c) La gráfica espacio-tiempo es una línea recta que parte del origen de coordenadas y con una pendiente igual a la velocidad. x
x
x Guepardo
Avestruz
100
Atleta 100
100
0
2
4
t
0 0
2
4
6
t
0
2
4
6
8
10
t
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1 El movimiento
v
L a gráfica de la velocidad frente al tiempo es una línea horizontal, paralela al eje del tiempo, que corta al eje de la velocidad en el valor indicado para cada caso. v
Guepardo
120 100 80 60 40 20 0 0
2
t 4
v Avestruz
120 100 80 60 40 20 0 0
2
4
t 6
Atleta
120 100 80 60 40 20 0
t 0
2
4
8
6
10
42. Seguridad vial. Un coche que se mueve a 60 km/h choca frontalmente con otro que va a 72 km/h. ¿El resultado será el mismo que si ambos ●● coches se mueven en el mismo sentido y el segundo alcanza por detrás al primero? ¿Por qué? El efecto del choque no será el mismo, ya que cuando ambos circulan en el mismo sentido, la velocidad relativa entre ambos es de 12 km/h, por lo que el impacto es el mismo que se produciría estando el primer coche detenido y el segundo aproximándose a 12 km/h. En el caso del choque frontal la velocidad relativa es de 60 + 72 = 132 km/h. 43. Ana vive a 3 km del instituto y María, en la misma carretera, 500 m más lejos. Todas las mañanas, a las ocho y cuarto, cogen la bici para ir a clase. ●● Ana pedalea a 6 m/s, y María, a 8 m/s. a) ¿Cuándo y dónde se encuentran? b) ¿A qué velocidad tendría que pedalear Ana, como mínimo, para que María no la alcanzase antes de llegar al instituto?
4
●
a) Definimos el origen de referencia (x = 0) en el instituto. Entonces: x0 Ana = 3000 m x0 María = 3500 m
G
Ana 3 km
FG
María
500 m
F
Escribimos la ecuación posición-tiempo para cada una: xAna = x0 Ana - vAna ? t = 3000 m - 6 m/s ? t xMaría = x0 María - vMaría ? t = 3500 m - 8 m/s ? t
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SOLUCIONARIO
Se encuentran cuando xAna = xMaría. Es decir: 3000 m - 6 m/s ? t = 3500 m - 8 m/s ? t Despejando la incógnita t: -6 m/s ? t + 8 m/s ? t = 3500 m - 3000 m "
" 2 m/s ? t = 500 m " 500 m
" t = 2 m/s = 250 s = 4 min 10 s Para ver dónde se encuentran basta con sustituir este valor en la ecuación de posición de Ana o de María:
t
xAna = x0 Ana - vAna ? t = 3000 m - 6 m/s ? 250 s = 1500 m Es decir, María alcanza a Ana cuando aún faltan 1500 m para llegar al instituto. b) Para que ocurra esto Ana y María deben llegar al instituto al mismo tiempo. Primero calculamos el tiempo que tarda Maria, pedaleando a 8 m/s.
n , r
vMaría = x
"
3500 m
0 María = = 437,5 s = 7 min 17,5 s " tT = v 8 m/s María
Este es el tiempo que debe tardar Ana para que María no la alcance antes de llegar al instituto:
e.
:
x 0 María tT
vlAna =
x 0 Ana 3000 m = = 6,857 m/s tT 437,5 s
44. Las casas de Clara y Luis están en la misma carretera, separadas 5 km. El sábado por la mañana deciden intercambiarse un juego; cogerán ●● sus bicicletas a las doce y tratarán de encontrarse hacia la mitad del camino. Como Luis pedalea más despacio (6 m/s) que Clara (10 m/s), sale cinco minutos antes. ¿Dónde y cuándo se encuentran los dos amigos? Definimos el origen de referencia (x = 0) en casa de Clara. Entonces: x0 Clara = 0 m x0 Luis = 5000 m
Clara
G
5 km
F
Luis
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1 El movimiento Escribimos la ecuación posición-tiempo para cada uno de los amigos: xLuis = x 0 Luis - vLuis ? t = 5000 m - 6 m/s ? t x Clara = x0 Clara + v Clara ? (t - 300 s) = 0 m + 10 m/s ? (t - 300 s) Escribimos (t - 300 s) en la ecuación de clara porque ella sale 5 m (300 s) después que Luis.
4
●
Se encuentran cuando xLuis = xClara. Es decir: 5000 m - 6 m/s ? t = 10 m/s ? (t - 300 s) Despejando la incógnita t: 5000 m + 3000 m = 6 m/s ? t + 10 m/s ? t " 800 m " 16 m/s ? t = 8000 m " t = 16 m/s = 500 s = 8 min 20 s Para ver dónde se encuentran basta con sustituir este valor en la ecuación de posición de Luis o de Clara: xLuis = x 0 Luis + vLuis ? t = 5000 m - 6 m/s ? 500 s = 2000 m Así pues, no se encuentran a mitad de camino, sino que están algo más cerca de la casa de Clara (2000 m) que la de Luis (5000 m - 2000 m = 3000 m).
4
●
45. El Thrust SCC es un vehículo híbrido entre coche y avión capaz de acelerar de 0 a 1000 km/h en solo 16 s. Calcula la aceleración que puede conseguir ●● y el tiempo que tardará en romper la barrera del sonido (1215 km/h). La aceleración mide la variación de la velocidad producida en un tiempo determinado (1215 km/h = 337,5 m/s): Dv 277,8 m/s = = 17,4 m/s2 a= 16 s Dt A partir de la ecuación de la velocidad y partiendo del reposo (v0 = 0): v 337,5 m/s = = 19,4 s v = v0 + a ? Dt " Dt = a 17,4 m/s2
4
●
46. Calcula la aceleración de cada móvil suponiendo que, partiendo del reposo, al cabo de diez segundos alcanzan la velocidad indicada. ●● a) Coche de Fórmula 1: 250 km/h. b) Atleta de élite: 10 m/s. c) Caracol corredor: 10 m/h. a) a =
Dv 69,4 m/s = = 6,94 m/s2 10 s Dt
b) a =
Dv 10 m/s = = 1 m/s2 10 s Dt
c) a =
Dv 0,0027 m/s = = 2,7 ? 10-4 m/s2 10 s Dt
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:
SOLUCIONARIO
47. Calcula y ordena de menor a mayor la aceleración centrípeta en cada apartado: ●● a) Una noria que se mueve a 20 km/h con un diámetro de 22 m. b) Un tiovivo que se mueve a 15 km/h con un radio de 5 m. c) Un vagón en una montaña rusa que describe un rizo de 10 m de diámetro a 80 km/h. a) Noria: ac =
b) Tiovivo: ac =
v2 17, 36 m2 / s2 = = 3,5 m/s2 Radio 5m
c) Montaña rusa: ac =
v2 493,83 m2 / s2 = = 98,8 m/s2 Radio 5m
48. Seguridad vial. Un vehículo que va a 80 km/h tiene una aceleración de frenada máxima de 6,5 m/s2. ●● Calcula cuánto tiempo tarda en detenerse el vehículo, como mínimo, y qué espacio recorre hasta que se para.
r
0):
v2 30,86 m2 / s2 = = 2,8 m/s2 Radio 11 m
v = 0 m/s; v0 = 80 km/h = 22,22 m/s; a = -6,5 m/s2 v = v0 + a ? t " 0 = 22,22 m/s - 6,5 m/s2 ? t " t = 3,42 s Dx = v0 ? t + = 22,22 m/s ? 3,42 s -
1 ? a ? t 2 = 2
1 ? 6,5 m/s2 ? 3,422 s2 = 37,99 m 2
49. Seguridad vial. Se llama distancia de detención al espacio que recorre un vehículo desde que el conductor se da cuenta de que debe parar hasta ●● que lo consigue. Para calcularla hay que sumar a la distancia de reacción la distancia de frenado. Calcula la distancia de detención para un coche que va a 80 km/h. Recuerda que el tiempo mínimo de reacción es de 3/4 s y que la aceleración de frenada máxima de un coche que va a esa velocidad es de unos 6,5 m/s2. El tiempo mínimo de reacción es de 0,75 s viajando a 80 km/h = 22,22 m/s en un MRU: Dx1 = v ? t = 22,22 m/s ? 0,75 s = 16,67 m Como se vio en el ejercicio anterior, para pasar de 80 km/h a 0 km/h frenando a 6,5 m/s2 se emplearon 3,42 s recorriendo Dx2 = 37,99 m, en un MRUA. La distancia de detención será la suma de ambas: Dx = Dx1 +Dx2 = 16,67 m + 37,99 m = 54,66 m
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1 El movimiento
5
50. Para cada uno de los movimientos que hemos estudiado en el ejercicio resuelto 4, escribe las ecuaciones y dibuja las gráficas que tendríamos si ● el móvil comenzase su recorrido en el origen. Caso 1.
x (m)
Ecuaciones del movimiento cuando x0 = 0: 1 x = v0 ? t + a ? t 2 = 3t + t 2 2 v = v0 + a ? t = 3 + 2t
4 x = 3 ? t - t 2
2
La gráfica x-t es la misma que la de la página 20 (del libro del alumno), pero la curva parte del origen del sistema de coordenadas. v (m/s) 6 4 2 0 -2 -4 -6
0 0
v=3-2?t 1
2
3
40
t (s)
5
x = 3 ? t + t 2
30 20 10 t (s)
0 0
v=3+2?t
1
2
3
4
5
La gráfica v-t es la misma que la de la página 20 del libro.
t (s) 0
26
4
x (m)
v (m/s)
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3
4
La gráfica x-t es la misma que la de la página 20, pero la curva parte del origen de coordenadas. 16 14 12 10 8 6 4 2 0
2
La gráfica v-t es la misma que la de la página 20 del libro.
t (s)
Caso 2. Ecuaciones del movimiento cuando x0 = 0: 1 x = v0 ? t + a ? t 2 = 3t - t 2 2 v = a ? t = 3 - 2t
26
1
1
2
3
4
5
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t (s)
SOLUCIONARIO
51. Para cada uno de los movimientos que hemos estudiado en el ejercicio resuelto 4, escribe las ecuaciones y dibuja las gráficas que tendríamos ● si el móvil comenzase su recorrido en el origen y partiendo del reposo. Caso 1. Ecuaciones del movimiento cuando x0 = 0 y v0 = 0: 1 x = a ? t 2 = t 2 2 v = a ? t = 2t
x (m) 40
x = t 2
30 20 10
v (m/s)
t (s)
0 0
16 14 12 10 8 6 4 2 0
1
2
3
4
5
v=2?t
La gráfica v-t es la misma que la de la página 20, pero partiendo del origen de coordenadas. t (s) 0
1
2
3
4
5
Caso 2. Ecuaciones del movimiento cuando x0 = 0 y v0 = 0: x=
1 a ? t 2 = -t 2 2
x (m) 0 0
t (s) 1
2
3
4
5
x = -t 2 -2
v = a ? t = -2t
(s) -4 v (m/s) 6 4 2 0 1 -2 -4 -6
v = -2 ? t 2
3
4
t (s)
La gráfica v-t es la misma que la de la página 20, pero partiendo del origen del coordenadas.
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1 El movimiento 52. Los datos de la tabla indican la velocidad de un coche en una pista recta.
5
●●
●
Velocidad (m/s) Tiempo (s)
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
a) Representa gráficamente la velocidad en función del tiempo. b) Clasifica el movimiento. c) Escribe la ecuación del movimiento suponiendo que en el instante inicial se encuentra en el origen del sistema de referencia. d) Calcula la distancia que ha recorrido el coche: • A los 2,5 s. • Entre el instante 2,0 s y el instante 5,0 s. a) La gráfica velocidad-tiempo es una línea inclinada ascendente que corta al eje de ordenadas en el valor de 10 m/s, que es la velocidad inicial del coche, con una pendiente igual a la aceleración: Pendiente " a =
v (m/s) 30 20 10 0
t (s) 0
1
2
3
4
5
Dv = 2 m/s2 Dt
b) Si el coche circula por una pista recta, el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado. c) Las ecuaciones de este movimiento se expresan de la forma: v = v0 + a ? t = 10 m/s + 2 m/s2 ? t x = v0 ? t +
1 ? a ? t 2 = 10 ? t + t 2 2
d) Para t = 2,5 s: x = 10 m/s ? 2,5 s + 1 m/s2 ? (2,5 s)2 = 31,25 m Para t = 2 s: x = 10 m/s ? 2 s + 1 m/s2 ? (2 s)2 = 24 m Para t = 5 s: x = 10 m/s ? 5 s + 1 m/s2 ? (5 s)2 = 75 m
5
●
La distancia recorrida entre el instante 2 s y 5 s viene dada por la diferencia entre el espacio recorrido a los 5 s y el recorrido a los 2 s: x final = 75 m - 24 m = 51 m
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.
SOLUCIONARIO
53. La siguiente gráfica indica cómo varía la velocidad de un coche durante su recorrido. Suponiendo que parte del reposo y del origen del sistema de referencia, determina: a) Qué tipo de movimiento lleva en cada tramo. b) Las ecuaciones del movimiento en cada tramo. c) El espacio total que recorre.
●●●
v (m/s)
2
30 1
3 t (s) 5
11
13
Suponiendo trayectoria rectilínea. a) Tramo 1: movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tramo 2. movimiento rectilíneo uniforme. Tramo 3: movimiento rectilíneo uniformemente decelerado. b) Tramo 1: v = v0 + a ? t " 30 m/s = 0 + a ? 5 s " a = 6 m/s2 1 1 x = v0 ? t + a ? t 2 = 0 + ? 6 m/s2 ? 25 s2 " x = 75 m 2 2
s)
Tramo 2: v = constante = 30 m/s x = v ? t = 30 m/s ? 6 s = 180 m
Tramo 3: v = v0 + a ? t " 0 = 30 m/s + a ? 3 s " a = -10 m/s2 1 1 x = v0 ? t + a ? t 2 = 30 m/s ? 3 s - ? 10 m/s2 ? 9 s2 " 2 2 " x = 45 m c) Espacio total: v = 75 m + 180 m + 45 m = 300 m 54. Un coche eléctrico en reposo acelera durante 4 s a 3 m/s2. A continuación mantiene la velocidad constante durante 10 s y finalmente ●● se detiene, parándose en 5 s. Dibuja las gráficas velocidad-tiempo y aceleración-tiempo. a) La gráfica velocidad-tiempo presenta tres tramos:
• El primer tramo, de t = 0 a t = 4 s, una línea inclinada ascendente que parte del origen de coordenadas y con una pendiente de 3 m/s2.
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1 El movimiento
• El segundo tramo, de t = 4 s a t = 14 s, una línea recta horizontal, paralela al eje de las abscisas, que corta al eje de la velocidad en el valor de la velocidad: v = v0 + a ? t = 0 + 3 m/s2 ? 4 s = 12 m/s
• El tercer tramo, de t = 14 s a t = 19 s, una línea inclinada que desciende hasta cortar al eje de tiempos en el valor 19 s con una pendiente igual a la aceleración del coche:
v = v 0 + a ? t " 12 m/s = 12 m/s + a ? 5 s " a = -2,4 m/s2
b) La gráfica aceleración-tiempo presenta tres tramos diferentes:
• El primer tramo, de t = 0 a t = 4 s, una línea horizontal, paralela al eje de tiempos, que corta al eje de ordenadas en el punto 3 m/s2.
• El segundo tramo, de t = 4 s a t = 14 s, una línea horizontal paralela situada sobre el mismo eje de abscisas, ya que la velocidad es constante, y la aceleración, nula.
• El tercer tramo, de t = 14 s a t = 19 s, una línea horizontal, paralela al eje de tiempos, que corta al eje de ordenadas en el punto -2,4 m/s2.
5
●
a (m/s2) v (m/s)
3
16
1
2 2
12
1
1
2
0
8
5
3 4
1
0
2
0
4
8
12
16
20
t (s)
10
3
15
20
t (s)
5
● 3
55. Una conductora que circula por una autovía rectilínea a una velocidad de 120 km/h observa con sorpresa que a 100 m de distancia se encuentra ●● un gatito en medio de la carretera. a) ¿Qué aceleración debe comunicar a los frenos del coche para no atropellarlo? b) ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse? a) Durante el tiempo de reacción tenemos un MRU a 120 km/h = 33,33 m/s. Recorrerá: Dx1 = v ? treacción = 33,33 m/s ? 0,75 s = 25 m
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SOLUCIONARIO
De los 100 m restan 75 m por recorrer, y como la velocidad final v debe ser nula: v2 - v 20 = 2 ? a ? Dx " 02 - 33,332 (m/s)2 = 2 ? a ? 75 m " " a = - 7,41 m/s2
e
b) Sustituyendo en v = v0 + a ? tfrenado, tenemos: 0 = 33,33 m/s - 7,41 ? tfrenado " tfrenado = 4,5 s El tiempo total será: t = treacción + tfrenado = 0,75 s + 4,5 s = 5,25 s 56. Un deportista entrena por un parque corriendo con velocidad constante de 6 m/s. Observa que, a veinte metros de distancia, una deportista corriendo con su misma velocidad, dirección y sentido, pierde su reproductor mp3. ¿Qué aceleración tendrá que alcanzar el corredor para devolver el mp3 antes de que transcurran 10 s?
●●●
El deportista debe adquirir un MRUA: x1 = v0 ? t +
1 ? a ? t 2. 2
La deportista mantiene un MRU: x2 = x0 + v ? t . En el momento en que el deportista alcanza a la deportista las posiciones son iguales: 1 x1 = x2 " v0 ? t + ? a ? t 2 = x0 + v ? t 2 Sustituyendo el tiempo t = 10 s: 6 ? 10 +
(s)
1 ? a ? 102 = 20 + 6 ? 10 2
Se obtiene el valor de la aceleración: a = 0,4 m/s2. 57. Un coche teledirigido pasa por la marca de salida de una pista rectilínea a una velocidad de 90 km/h. En ese momento se le aplica una frenada de -5 m/s2.
●●●
a) Calcula su velocidad y la posición donde se encuentra a los 3 s y a los 6 s de aplicar la frenada. b) Interpreta el resultado.
ra
a) y b) Pasamos la velocidad a unidades del Sistema Internacional: 90
km h
?
1h 1000 m ? = 25 m/s 3600 s 1 km
Escribimos la ecuación de posición tomando el origen en la marca que nos indican: 1 x = x0 + v0 ? t + ? a ? t 2 = 0 m + 25 m/s ? t - 2,5 m/s2 ? t 2 2
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1 El movimiento Ahora sustituimos en la ecuación para cada instante pedido. • t = 3 s: x 3 s = 25 m/s ? t - 2,5 m/s2 ? t 2 = 25 m/s ? 3 s - 2,5 m/s2 ? (3 s)2 " " x 3 s = 52,5 m • t = 6 s: x6 s = 25 m/s ? t - 2,5 m/s2 ? t 2 = 25 m/s ? 6 s - 2,5 m/s2 ? (6 s)2 " " x 6 s = 60 m No parece posible que el coche tan solo recorra 7,5 m en estos 3 s. Lo que ocurre es que el coche se detiene antes de que pasen 6 s. Para saber cuándo se detiene podemos escribir la ecuación de la velocidad y ver cuándo la velocidad final es 0:
6
●
v = v0 + a ? t Si v = 0: 0 = v0 + a ? t
v
25 m/s
0 =5s " t = -a = -(-5 m/s2)
Como vemos, se detiene antes de los 6 s que nos indicaba el enunciado. 58. Un coche circula por una vía recta a 100 km/h en una zona limitada a 50 km/h. Un coche de la policía de tráfico, parado en esa zona, arranca ●● y lo persigue con una aceleración de 1,2 m/s2. Calcula el tiempo que tarda en alcanzarlo y la distancia recorrida por la policía.
6
El coche circula con un movimiento rectilíneo uniforme descrito por esta ecuación: x1 = v ? t
●
El policía arranca con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: 1 x2 = v0 ? t + ? a ? t 2, y como parte del reposo, v0 = 0 2 Cuando el coche de policía alcanza al vehículo infractor, las posiciones de ambos respecto al origen son las mismas: x1 = x2 Igualando ambas ecuaciones se obtiene el tiempo: 1 v · t = v0 · t + ? a ? t 2 " t = 46,3 s 2 Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones x1 o x2 se obtiene el espacio recorrido en este tiempo: x = 1286 m. 59. Un paracaidista salta de un helicóptero desde una altura de 3 km. Después de descender 50 m, abre su paracaídas y cae con velocidad ●● constante de 5 m/s. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo.
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SOLUCIONARIO
Los primeros cincuenta metros de la trayectoria son negativos, corresponden a una caída libre con velocidad inicial nula: 1 y1 = v0 ? t - ? 9,8 m/s2 ? t 2 " -50 m = -4,9 m/s2 ? t 2 " t = 3,2 s 2
"
El resto de la caída (y2 = 3000 m - 50 m = 2950 m) se produce a velocidad constante; corresponde a un movimiento rectilíneo uniforme: y2 = v ? t " 2950 m = 5 m/s ? t " t = 590 s
"
Sumando los dos tiempos tenemos 593,2 s.
s.
60. Desde lo alto de un edificio de 50 m de altura se deja caer una pelota. ●● a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? b) ¿Con qué velocidad llegará? a) Sustituimos la altura de 50 m y la velocidad inicial nula en la ecuación del espacio para obtener el tiempo de caída: 1 y = v 0 ? t - ? 9,8 m/s2 ? t 2 " 50 = -4,9 ? t 2 " t = 3,2 s 2 b) Ecuación de la velocidad: v = v 0 + g ? t = -9,8 m/s2 ? 3,2 s = -31,3 m/s El signo indica que la pelota se dirige hacia abajo. (Criterio de signos eje Y: positivo hacia arriba, negativo hacia abajo.)
a da
61. Una moneda es arrojada verticalmente hacia arriba desde el borde ●●● de la azotea de un edificio de 30 m de altura con una velocidad de 5 m/s. Calcula: a) La altura máxima que alcanza la moneda sobre el suelo de la calle. b) El tiempo que tarda en llegar a la altura máxima. c) La velocidad con que llega al suelo. El movimiento corresponde a un lanzamiento vertical. b) La ecuación de la velocidad nos proporciona el tiempo que tarda la moneda en llegar a la altura máxima: v = v0 -9,8 m/s2 ? t " 0 = 5 m/s - 9,8 m/s2 ? t " t = 0,51 s
es
a) Para obtener la altura máxima se sustituye este tiempo en la ecuación de la posición: 1 y = y0 + v0 ? t - ? 9,8 m/s2 ? t 2 = 2 = 30 m + 5 m/s ? 0,51 s - 4,9 m/s2 ? (0,51 s)2 = 31,27 m c) Una vez la moneda en la altura máxima se produce la caída libre desde 31,27 m: 2 v = v 20 + 2 ? g ? y " v 2 = 0 + 2 ? (-9,8 m/s2) ? (-31,27 m) " " v = -24,76 m/s (hacia abajo)
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1 El movimiento 62. El velocímetro de una moto marca 100 km/h. ¿Se puede asegurar que la aceleración es nula tanto en tramos rectos como en tramos curvos? ●● ¿Por qué? Aunque la velocidad sea constante, si la trayectoria es curva se produce una aceleración debido al cambio en la dirección de la velocidad, aceleración que se denomina centrípeta o normal. La aceleración tangencial solo mide el cambio en la dirección del módulo de la velocidad respecto al tiempo. 63. Un viaje en un tiovivo de feria dura dos minutos. Si la velocidad angular es de 0,5 rad/s, calcula: ●● a) El número de vueltas que describe el tiovivo. b) La distancia total que recorre un niño que viaja sentado a una distancia de 5 m del eje de giro. c) El ángulo descrito por el tiovivo en esos 2 minutos. Se supone que el movimiento del tiovivo es circular y uniforme con una velocidad constante de 0,5 rad/s. a) ~ = D{/t "D{ = ~ ? t = 0,5 rad/s ? 120 s = 60 rad, que equivale a: 1 vuelta 60 rad ? = 9,55 vueltas 2r rad
6
●
b) Una vuelta completa equivale a un espacio recorrido igual a la longitud de la circunferencia. L = 2r ? Radio = 2r ? 5 m = 31,42 m 9,55 vueltas ?
31,42 m = 300 m 1 vueltas
c) D{ = ~ ? t = 0,5 rad/s ? 120 s = 60 rad 64. En un tractor las ruedas traseras son mucho más grandes que las delanteras. Al ponerse en movimiento, ¿qué ruedas adquieren ●● mayor velocidad angular? La velocidad angular de las ruedas es proporcional a la velocidad lineal e inversamente proporcional al radio de cada rueda: v v = ~ ? Radio " ~ = Radio Como consecuencia, las ruedas de menor radio tendrán mayor velocidad angular que las de mayor radio. 65. El disco duro de un ordenador gira con una velocidad angular de 4200 vueltas por cada minuto. Calcula: ●●
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SOLUCIONARIO
a) La velocidad angular en unidades del SI. b) El tiempo que tarda en dar una sola vuelta (periodo).
?
c) Las vueltas que da en 1 s. d) La velocidad con que se mueve el borde del disco. Dato: diámetro del disco duro = 10 cm. a) ~ = 4200 rev /min ? b) T =
2r rad 1 min = 439,82 rad/s ? 60 s 1 rev
1 vuelta 2r rad = = 1,43 ? 10-2 s ~ ~
4200 vueltas = 70 vueltas/s c) 60 s
ia
d) Conocido el radio (5 cm) se obtiene la velocidad lineal: v = ~ ? Radio = 439,82 rad/s ? 5 ? 10-2 m = 21,99 m/s 66. La Luna tarda 29 días, 12 horas y 44 minutos en dar una vuelta alrededor de la Tierra. Calcula la velocidad angular de la Luna alrededor de la Tierra ●● y su velocidad lineal. Dato: d T-L = 384 000 km. La velocidad angular de la Luna alrededor de la Tierra se calcula a partir del tiempo que tarda en dar una vuelta completa (2r rad). Es decir: T = 29 ? 24 ? 3600 + 12 ? 3600 + 44 ? 60 = 2 551 440 s T = 2 551 440 s " ~ =
2r rad = 2,463 ? 10-6 rad/s 2 551 440 s
La velocidad lineal se obtiene a partir de la velocidad angular y del radio de la órbita: v = ~ ? radio = 2,463 ? 10-6 rad/s ? 384 400 000 m = = 946,6 m/s = 3408 km/h
al
Rincón de la lectura 1. ●
Imagina una atleta que corriese a la velocidad que se recoge en el segundo texto. ¿Cuál sería su tiempo en los 100 m lisos? ¿Y si lo hiciera a la velocidad que se señala para el tsunami? Si la velocidad es de 34 km/s " 34 000 m/s: v=
x t
x
100 m
" t = v = 34 000 m/s = 2,94 ? 10-3 s
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1 El movimiento A la velocidad del tsunami (700 km/h = 194,44 m/s): t= 2. ●
x 100 m = = 0,50 s v 194,44 m/s
En el primer texto se indica que los científicos saben mucho acerca de cómo ocurren los tsunamis, pero que el que se generó el 26-12-04 les pilló desprevenidos. Aporta alguna reflexión acerca de esta aparente contradicción. Respuesta libre. Existe red de vigilancia de tsunamis en el Pacífico para EE UU, Japón, Australia y Latinoamérica. En la zona no había dispositivos de alarma preparados.
3. ●●
En ese texto se comenta que la velocidad de los tsunamis depende de la profundidad del océano. Aventura una hipótesis razonada acerca de cómo fue la velocidad de ese tsunami (mayor o menor de la señalada) al llegar a la costa. Respuesta libre. Al llegar a la costa las olas se frenan, su velocidad disminuye, pero ganan altura, lo que causa la catástrofe, pues el agua se introduce muchos metros tierra adentro.
4. ●
Hay un aparente error de medidas en el segundo texto. Localízalo y escribe algún comentario crítico acerca de ese desliz. 34 km/s son 4 km por segundo más (y no 4 metros por segundo, como dice el texto) que la velocidad a la que se desplaza la Tierra en su recorrido alrededor del Sol. Respuesta libre. En la prensa se trabaja a contrarreloj, por lo que debería destacarse la comprensión por parte de los alumnos hacia ese desliz. Aunque, por otra parte, hay que darle la importancia que merece con el objetivo de ser rigurosos en el tratamiento de datos numéricos.
5. ●
Deduce también a partir de los datos que allí se recogen cuál es la velocidad aproximada en el desplazamiento de la Tierra en su órbita, expresada en kilómetros por hora. Si viajaras a esa velocidad, ¿cuánto tiempo tardarías en viajar de Lisboa a París (1734 km)? La velocidad de la Tierra en su órbita es de unos 30 km/s en km/h " 108 000 km/h. Para viajar 1734 km a esa velocidad: t=
x 1734 km = = 0,016 h c 58 s v 10 8 000 km/h
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