Радица Каровић • Сузана Ивановић • Душан Мијајловић
МАТЕМАТИКА 5
Ed
uk a
pr om
o
Уџбеник за пети разред основне школе
Радица Каровић • Сузана Ивановић • Душан Мијајловић
МАТЕМАТИКА 5
Уџбеник за пети разред основне школе ГЛАВНИ УРЕДНИК Проф. др Бошко Влаховић ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Доц. др Наташа Филиповић
ДИЗАЈН И ГРАФИЧКА ПРИПРЕМА ЗЕМАРТ а�еље за �изајн ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА Едвард Јукић
pr om
o
РЕЦЕНЗЕНТИ Александар Брзаковић, наставник математике, ОШ „Иво Лола Рибар”, Сомбор Др Весна Врцељ Каћански, професор математике Слободан Павловић, професор математике
uk a
ИЗДАВАЧ Едука д.о.о. Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 3287 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: http://www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs
Ed
ЗА ИЗДАВАЧА Проф. др Бошко Влаховић, директор
ШТАМПА _______________ ИЗДАЊЕ _______________ ТИРАЖ _______________
САДРЖАЈ 5 6
Предговор Водич кроз уџбеник ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
8 14 20 28 34 39 44
Тачка, права и раван Односи правих у равни. Делови равни Мерење дужине и једнакост дужи Кружница и круг Централна симетрија Вектор и транслација
50 57 63 68 75 81
pr om
o
Појам скупа. Венов дијаграм Бројевна полуправа. Подскуп. Једнаки скупови Скуповне операције. Искази у математици Рачунске операције у N0. Бројевни изрази Изрази са променљивом. Придруживање и зависност величина Једначине у скупу N0 Неједначине у скупу N0
uk a
ОСНОВНИ ПОЈМОВИ ГЕОМЕТРИЈЕ
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – други део
Ed
Дељење у скупу N0 Правила дељивости Прости и сложени бројеви Заједнички делиоци. Највећи заједнички делилац Заједнички садржаоци. Најмањи заједнички садржалац
90 96 102 107 111
РАЗЛОМЦИ – први део Појам разломка Проширивање и скраћивање разломака Децимални запис разломка Представљање разломака на бројевној полуправој Упоређивање разломака Приближна вредност броја. Заокругљивање бројева
116 123 128 136 140 144
УГАО Појам и елементи угла Централни угао и упоређивање углова Конструктивно сабирање и одузимање углова Врсте углова Мерење углова Угао између две праве Углови са паралелним крацима
148 154 160 164 168 173 178
РАЗЛОМЦИ – други део
ОСНА СИМЕТРИЈА
uk a
Појам осне симетрије Осносиметрични објекти Симетрала дужи. Нормала праве Симетрала угла
pr om
o
Сабирање и одузимање разломака Једначине и неједначине са сабирањем и одузимањем разломака Множење и дељење разломака Једначине и неједначине са множењем и дељењем разломака
186 195 199 211
216 223 227 233
РАЗЛОМЦИ – трећи део
238 242 246
Решења задатака
250
Ed
Проценат Аритметичка средина Размера
ПРЕДГОВОР
„Човек који хоће савесно да утиче на развитак другог човека, може да поступа само на један начин: да развија његову снагу мишљења, да га научи да посматра чињенице сам својим умом и да сам уме правити логичке закључке.” Светозар Марковић
uk a
pr om
o
Стварајући овај уџбеник, имали смо намеру да пажљивим избором примера и задатака развијамо твоју снагу мишљења, да те научимо да посматраш чињенице својим умом и да научиш да правиш логичке закључке. Ове вештине и стечено знање ће у много чему одредити твоје место у свету у који ћеш закорачити када на крају школске године затвориш и последњу страну књиге која је пред тобом. На почетку сваке теме, кроз пример, истакли смо ситуације или прилике из реалног окружења у којима се можеш сусрести са математичким појмом који смо уводили. Задаци у делу „Вежбамо” су градирани. За једноставније захтеве (задаци означени са ) довољно је да познајеш основне појмове и поступке и зато је важно да их све пажљиво урадиш. Затим, следе задаци за чије решавање је потребно да повежеш појмове који су обрађени у лекцији (задаци означени са ). На крају су задаци који се решавају сложенијим поступцима и који ти посебно ). помажу да уочаваш чињенице и повезујеш их (задаци означени са У оквиру вежбања понудили смо помоћ која је у виду сугестије, инструкције или једног од начина на који би требало да закључујеш приликом решавања задатака. На крају сваке лекције је петоминутни тест којим провераваш своје знање.
Ed
Желимо ти много радости коју знањем и решеним задатком можеш да осетиш.
Срећно!
5
ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК НАУЧИЋЕШ У ЛЕКЦИЈИ
НАСЛОВ ЛЕКЦИЈЕ ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Упознаћеш се са појмом скуп и елемент скупа; Научићеш да представљаш скупове на различите начине.
ПОЈАМ СКУПА. ВЕНОВ ДИЈАГРАМ
ДЕФИНИЦИЈА
Дефиниција 1
МОТИВАЦИОНИ ПРИМЕР
Подела задужења Ученици одељења V3 учествују у реализацији пројекта на тему: „Здрави стилови живота”. Сваки ученик одељења узео је учешће у некој од активности пројекта. РАЗЛОМЦИ – трећикоји део На Слици 1 су приказана задужења и у оквиру њих редни бројеви ученика из дневника су задужени за ту активност. Ученици су подељени у тимове у складу са својим интересовањима. Презентацију израђује тим ученика који показује веће интересовање за информатику. Посао презентовања обављају Проверавамо својејача знање минута) они ученици којима је јавни наступ страна (5 (добри „оратори”) и сл.
4.
Пример 2
Аритметичка средина бројева 3,2 и 4,8 већа је од аритметичке средине бројева Израда Презентовање 1 2 . , 2,6презентације и 10 5
Пример 3
Одредимо све подскупове скупа 𝑆𝑆 = {𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎}.
Аритметичка средина првих деветнаест природних бројева једнака је: а) 9 ; б) 10 ; в) 11 ; г) ниједан од понуђених одговора. Дискутовање и Прикупљање (Заокружи слово испред тачногнаодговора.) одговарање материјала за презентацију (13, 14, 15, 16, 23)
питања (2, 18, 21, 8, 10)
Дуња је у току првог полугодишта добила следеће оцене из математике: 4, 2 и 5. Коју оцену Дуња може да добије тако да просек Слика све 1 четири оцене не буде мањи од 3,5? а) 5се ; јавља потреба б) 2 ; да се између в) 4 ; неких објеката г) 3. успоставе одређене везе или односи у Често (Заокружи слова испред тачних одговора.) циљу решавања проблема. Сваки од састављених тимова можемо посматрати као скуū. Чланови тима су елемен�и (чланови) тог скупа. Скупове означавамо великим словима латинице, а његове чланове наводимо унутар витичастих заграда.
Ако скуп ученика који учествују у изради презентације означимо са I, онда је I = {1, 5, 12, 17}. Слично, скуп T ученика који врше тестирање и анкетирање, једнак је T = {4, 7, 11, 19, 20}. Није важан редослед навођења елемената. Елемент може припадати или не припадати одређеном скупу. Рецимо, број 5 припада скупу I, што записујемо 5 � I и читамо: „број 5 ūриūа�а скупу I”. Број 5 не припада скупу T, што записујемо 5 � T и читамо: „број 5 не ūриūа�а скупу T”.
Решење: Према дефиницији, важи 𝑆𝑆 ⊂ 𝑆𝑆 и ∅ ⊂ 𝑆𝑆. Једночлани подскупови су: {𝑎𝑎𝑎𝑎 ⊂ 𝑆𝑆 и {𝑏𝑏𝑏𝑏 ⊂ 𝑆𝑆. Двочлани подскуп је већ сам скуп 𝑆𝑆. Скуп 𝑆𝑆 има четири подскупа.
ЗАДАТАК ЗА САМОСТАЛНИ РАД
Тврђење 1
т јека
Про
Задатак 4
Одреди све подскупове скупа 𝑆𝑆 = {𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎}. Задатак 5
ПРОЈЕКТНИ ЗАДАТАК
ПРОЈЕКТНИ ЗАДАТАК: ОНЛАЈН – НА ДАН Прочитај још једном пажљиво уводни део лекције, па одабери заједно са својим вршњацима друштвену мрежу за коју бисте обавили слично истраживање. Можете пратити кораке описане у лекцији, користити графички приказ и решавати дате задатке.
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Скуп B = {6, 8, 10} записаћемо навођењем својстава његових елемената.
Решење: Осим што су елементи скупа B парни бројеви, треба навести и „ограничење” тј. „сместити” их између одређених природних бројева. Дакле, B = {x | x је паран и 5 < x < 11}. Задатак 5
Покушај да скуп B из претходног примера представиш уз помоћ другачијег својства.
1.
ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБУ
2.
Проверавамо своје знање (5 минута)
2.
3.
Број елемената скупа F = {1, 3, {1, 3}, 13} једнак је: а) 5; б) 2; в) 3; г) 4. (Заокружи слово испред тачног одговора.) Скуп E = {s | s � N0 и s ≤ 4} једнак је:
а) {1, 2, 3};
б) {0, 1, 2, 3};
в) {1, 2, 3, 4};
(Заокружи слово испред тачног одговора.) 4.
7
6
8
КРАЈ РЕШЕЊА ПРИМЕРА ИЛИ ОБРАЗЛОЖЕЊА ТВРЂЕЊА
ВЕЖБАМО
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
На слици је приказан Венов дијаграм скупа X = {3, 7, 6, 8}. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)
3
X 9
г) {0, 1, 2, 3, 4}.
Број елемената скупа природних бројева друге десетице који не садрже цифру 1 једнак је броју елемената скупа {∅}. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)
3.
КРАТАК ТЕСТ ПРОВЕРЕ ЗНАЊА
Запиши навођењем елемената скуп: а) свих једноцифрених природних бројева;
б) природних бројева треће десетице.
Скуп A = {7, 6, 9, 11, 13} представи Веновим дијаграмом, а затим у празна поља упиши знак � или �, тако да запис буде тачан: а) 11
A;
б) 69
A; в) 5
A;
г) 17
A.
Допуни Венов дијаграм тако да њиме буде приказан скуп S = {x | x � N0 и x ≤ 4}.
S
1
4.
5.
6.
Који од следећих скупова имају међусобно једнак број елемената: P = {a, b, a, c, b}, Q = {, , , , }, R = {m | m � N и m < 3}? Дат је скуп M = {1, 4, a}. а) Одреди a � N тако да важи n(M) = 2; б) Одреди најмањи број a � N тако да важи n(M) = 3. Скуп L = {23, 25, 27, 29} представи навођењем својстава његових елемената.
ПОМОЋ 12У РЕШАВАЊУ И ДОДАТНА ПОЈАШЊЕЊА
6
Реши Задатак 1, па формулиши тврђење о броју подскупова скупа који има три елемента. Није тешко!
Пример 6
РЕШЕНИ ПРИМЕР
Ed
Посматрај скупове 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 и 𝑈𝑈𝑈 из Примера 1 ове лекције. Одреди 𝑛𝑛𝑛𝐼𝐼𝐼), 𝑛𝑛𝑛𝑇𝑇𝑇) и 𝑛𝑛𝑛𝑈𝑈𝑈). Упореди бројеве елемената скупа 𝑈𝑈𝑈 и његових подскупова. 16
245
1.
Математичке реченице изведене од дефиниција и познатих чињеница називамо тврђењима (теоремама). Њихову тачност (истинитост) можемо доказати.
Двочлани скуп има четири подскупа.
uk a
8
Одредићемо скупове задате на следећи начин: а) 𝐴𝐴 = {𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ∈ 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵 𝑵𝑵𝑵 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵 𝑵𝑵𝑵𝑵, 𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎} = {2, 4, 6} б) 𝐵𝐵 = {𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 ∈ 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵 𝑵𝑵𝑵 𝑵𝑵𝑵𝑵н } = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…} в) 𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑐 ∈ 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵 𝑵𝑵𝑵 н е паран , 𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐= {29, 31, 33, 35, 37, 39,…}. Скуп 𝐴𝐴 пример је коначног подскупа скупа природних бројева 𝑵𝑵, док су скупови 𝐵𝐵 и 𝐶𝐶𝐶 примери бесконачних подскупова скупа 𝑵𝑵. Записујемо: 𝐴𝐴 ⊂ 𝑵𝑵, 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ⊂ 𝑵𝑵.
ТВРЂЕЊЕ
(3, 6, 9, 22, 24, 25)
(1, 5, 12, 17)
ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 3.
Скупови 𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝐼𝐼, 5, 12, 17} и 𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇𝑇𝑇, 7, 11, 19, 20} подскупови су скупа 𝑈𝑈𝑈 𝑈𝑈𝑈𝑈, 2, 3, 4, 5, 6, …, 22, 23, 24, 25}, редних бројева ученика одељења V3. Записујемо: 𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 и 𝑇𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝑈𝑈𝑈. Скуп 𝐼𝐼𝐼 није подскуп скупа 𝑇𝑇𝑇, што записујемо: 𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑇𝑇𝑇.
Аритметичка средина бројева 10 иТестирање 8 једнака ије: а) 9 ; б) 4,5 ; в) 0,8 ;анкетирање г) 40. (4, 7, 11, 19, 20) (Заокружи слово испред тачног одговора.)
1
B
o
2.
A
Пример 1
pr om
1.
1. Ако су сви елементи скупа 𝐴𝐴 уједно и елементи скупа 𝐵𝐵, онда за скуп 𝐴𝐴 кажемо да је подскуп скупа 𝐵𝐵, што записујемо: 𝐴𝐴 ⊂ 𝐵𝐵. Тада, за скуп 𝐵𝐵 кажемо да је надскуп скупа 𝐴𝐴𝐴 што записујемо: 𝐵𝐵 ⊃ 𝐴𝐴. 2. Сваки скуп је подскуп самог себе, тј. за сваки скуп 𝑆𝑆 важи 𝑆𝑆 ⊂ 𝑆𝑆. 3. Празан скуп је подскуп сваког скупа, тј. за сваки скуп 𝑆𝑆 важи ∅ ⊂ 𝑆𝑆.
3
Помоћ око 6.
задатка? Коју особину имају наведени бројеви? Одговор: Сви су ....................................... За даље решавање, погледај пажљиво Пример 3 из ове лекције.
Ed
uk a
pr om
o
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
7
Упознаћеш се са појмовима скуп и елемент скупа, научићеш да представљаш скупове на различите начине.
ПОЈАМ СКУПА. ВЕНОВ ДИЈАГРАМ Подела задужења
Презентовање (3, 6, 9, 22, 24, 25)
uk a
Израда презентације (1, 5, 12, 17)
pr om
Тестирање и анкетирање (4, 7, 11, 19, 20)
Дискутовање и одговарање на питања (2, 18, 21, 8, 10)
Ed
o
Ученици одељења V3 учествују у реализацији пројекта на тему: „Здрави стилови живота”. Сваки ученик одељења узео је учешће у некој од активности пројекта. На Слици 1 су приказана задужења и у оквиру њих редни бројеви ученика из дневника који су задужени за ту активност. Ученици су подељени у тимове у складу са својим интересовањима. Презентацију израђује тим ученика који показује веће интересовање за информатику. Посао презентовања обављају они ученици којима је јавни наступ јача страна (добри „оратори”).
Прикупљање материјала за презентацију (13, 14, 15, 16, 23)
Слика 1
Често се јавља потреба да се између неких објеката успоставе одређене везе или односи у циљу решавања проблема. Сваки од састављених тимова можемо посматрати као скуū. Чланови тима су елемен�и (чланови) тог скупа. Скупове означавамо великим словима латинице, а његове чланове наводимо унутар витичастих заграда. Ако скуп ученика који учествују у изради презентације означимо са I, онда је I = {1, 5, 12, 17}. Слично, скуп T ученика који тестирају и анкетирају једнак је T = {4, 7, 11, 19, 20}. Није важан редослед навођења елемената. Елемент може припадати или не припадати одређеном скупу. Рецимо, број 5 припада скупу I, што записујемо 5 � I и читамо: „број 5 ūриūа�а скупу I”. Број 5 не припада скупу T, што записујемо 5 ∉ T и читамо: „број 5 не ūриūа�а скупу T”. 8
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Преведено на наш пример, ученик под редним бројем 5 учествује у изради презентације, али не тестира и анкетира.
Задатак 1
Дат је скуп A = {a, b, 7, , d}. У празно поље упиши знак � или ∉ тако да добијеш тачан запис:
а) a
A;
б) e
A;
в) 7
A;
г) #
A.
o
Колико ученика је укључено у оквиру појединачног тима? Можемо приметити да тимови броје четири, пет или шест чланова. Другим речима, колико елемената имају одговарајући скупови? Скуп I има четири елемента, што записујемо n(I) = 4, док скуп T има пет елемената, дакле n(T) = 5. Број елемена�а неко� скуūа S означавамо са n(S).
Задатак 2
pr om
Напомена: Елемент који се више пута јавља у скупу рачунамо једанпут.
Сваком од наведених скупова придружи број његових елемената:
{5, 6, 7, 6}
{7, {6, 7, 6}}
3 2
uk a
{5, 6, 7, 8}
4
Ed
Приликом формирања тимова у оквиру израде пројекта ученици одељења су на хамер-папиру исписали бројеве ученика који ће радити у оквиру тима. Како би им било уочљивије који ученик припада ком тиму, уоквирили су бројеве ученика из истог тима затвореним линијама. Види Слику 2. На тај начин су одговарајуће скупове задали графичким приказом, односно тзв. Веновим �ија�рамом.
Елементи скупова могу бити и сами скупови. Скуп који је елемент неког скупа бројимо као један елемент тог скупа. Тако, скуп {1, 2, {1, 2}} има три елемента. То су бројеви 1, 2 и скуп {1, 2}.
T
I 1
4
5
12
17
7
11
19
20
Слика 2
Уз помоћ затворене линије направљена је јасна граница између ученика који припадају одређеном тиму (скупу) и оних који му не припадају. Елементи су у Веновом дијаграму означени тачком и одговарајућом ознаком. Ознаку скупа пишемо изван затворене линије. Задатак 3 На Слици 3 су приказани бројеви. Нацртај Венов дијаграм скупа S = {4, 11, 13, 15}, а затим наведи два елемента која не припадају скупу S и један који припада. Користи одговарајући математички запис.
1
13 4
17
11 8
15
25
Слика 3
9
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Пример 1 Одредићемо скуп ученика који није учествовао у реализацији пројекта. Решење Како одељење има 25 ученика, од којих су свих 25 укључени у пројекат, закључујемо да нема ученика који нису узели учешће у пројекту. Тражени скуп нема елемената. Скуū који нема елемена�а је ūразан скуū и означаваћемо �а са ∅ или са { }. Број елемена�а ūразно� скуūа је 0, �ј. n(∅) = 0. Скупови N и N0
Када су у питању скупови бројева, посебну пажњу ћемо посветити скупу природних бројева. Дефинишимо најпре скуп N природних бројева:
pr om
1. Најмањи елемент скупа N је 1; 2. Сваки наредни елемент (следбеник) скупа N добија се сабирањем претходног (претходника) и јединице.
Дефиницијом уводимо нови појам уз помоћ већ познатих појмова. Њом исказујемо битну особину (особине) новог појма коју ћемо користити у даљем раду.
o
Дефиниција 1
Дакле, N = {1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1,…} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…}
2
3
4
uk a
Да ли је могуће, користећи наведену дефиницију, формирати број 0? Како нула не може бити резултат наведених сабирања из Дефиниције 1, то закључујемо: Нула није ūриро�ан број, �ј. 0 ∉ N.
Ed
Како нула није природан број, а често имамо потребу да укажемо на одсуство неке количине, уводимо скуп природних бројева са нулом: N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…}, па у овом скупу важи 0 � N0.
По дефиницији скупа природних бројева најмањи елемент скупа N је 1. Који је највећи елемент овог скупа? Како се сваки природан број већи од јединице добија увећавањем претходног за 1, то закључујемо да највећи елемент не постоји и да природних бројева има бесконачно много. Наиме, свака два природна броја можемо упоредити, тј: За a � N и b � N важи је�ан о� сле�ећих заūиса: a < b или a = b или a > b. Пример 2
Тачни су записи: 7 < 11, 7 ≤ 11, 29 = 29, 29 ≥ 29.
Пример 3
Често користимо „двоструке” неједнакости. Наведене неједнакости су тачне: 3 < 5 < 8, 3 < 7 < 8, 48 ≤ 72 < 100. 10
Волим ове краће записе!
Нула је мања од било ког природног броја! 0 < n, n � N
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Пример 4 Одредићемо све бројеве x � N тако да важи: 4 < x ≤ 7. Решење x � {5, 6, 7}.
Скупови N и N0 су примери бесконачних скуūова. То значи да није могуће набројати све елементе који им припадају па у њиховом записивању користимо знак ... (три тачке) у замену за преостале елементе тог скупа. Скуп чије све елементе можемо набројати јесте коначан скуū. Задатак 4
o
б) Највећи претходник броја 17 је 16. г) Најмањи претходник броја 16 не постоји.
pr om
Заокружи слово испред тачних реченица: а) Постоји природан број мањи од 1. в) Најмањи следбеник броја 16 је 17. д) Највећи следбеник броја 16 не постоји.
Представљање скупова навођењем својстава елемената
uk a
Указали смо на потребу за успостављањем веза или односа међу објектима. Понекад је непрактично наводити све елементе скупа. Довољно је уочити заје�ничко својс�во тих елемената. Уколико је потребан податак о ученицима који учествују у поменутом пројекту с почетка лекције, није практично наводити имена или редне бројеве свих 25 ученика тог одељења. Једноставније је обухватити их својством: „ученици о�ељења ūе�о� �ри”. Користићемо следећи запис скупа: P = {u | u је ученик одељења петог три} ознака за елемент
својство елемента
Ed
ознака за скуп
читамо: „P је скуп свих елемената u, са особином да су ученици одељења V3”.
Ознака којом означавамо елемент чије својство наводимо није важна. Усправну црту читамо: „тако да”, „са особином да” , „таквих да”. Својство елемената можемо доживети и као услов или услове које треба да испуне елементи да би били чланови скупа. Пример 5 Наведимо елементе следећих скупова: а) L = {x | x је непаран једноцифрен број} = {1, 3, 5, 7, 9}; б) K = {a | a је самогласник} = {а, о, е, и, у}; в) S = {y | y � N0 и y < 3 } = {0, 1, 2}; г) T = {m | m � N и 4 ≤ m < 11} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Напомена: Понекад се за скуп T = {m | m � N и 4 ≤ m < 11} користи краћи запис: T = {m � N | 4 ≤ m < 11}.
11
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Пример 6 Скуп B = {6, 8, 10} записаћемо навођењем својстава његових елемената.
Решење Осим што су елементи скупа B парни бројеви, треба навести и „ограничење” тј. „сместити” их између одређених природних бројева. Дакле, B = {x | x је паран и 5 < x < 11}. Задатак 5
Покушај да скуп B из претходног примера представиш уз помоћ другачијег својства.
2.
3.
Запиши навођењем елемената скуп: а) свих једноцифрених природних бројева;
б) природних бројева треће десетице.
Скуп A = {7, 6, 9, 11, 13} представи Веновим дијаграмом, а затим у празна поља упиши знак � или ∉ , тако да запис буде тачан: а) 11
A;
б) 69
A; в) 5
A;
г) 17
uk a
1.
pr om
o
ВЕЖБАМО
A.
4.
5.
6.
Ed
Допуни Венов дијаграм тако да њиме буде приказан скуп S = {x | x � N0 и x ≤ 4}.
S
1
Који од следећих скупова имају међусобно једнак број елемената: P = {a, b, a, c, b}, Q = {, , , , }, R = {m | m � N и m < 3}? Дат је скуп M = {1, 4, a}: а) одреди a � N тако да важи n(M) = 2; б) одреди најмањи број a � N тако да важи n(M) = 3. Скуп L = {23, 25, 27, 29} представи навођењем својстава његових елемената. 12
Помоћ око 6.
задатка? Коју особину имају наведени бројеви? Одговор: Сви су ....................................... За даље решавање погледај пажљиво Пример 3 из ове лекције.
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Проверавамо своје знање (5 минута)
3.
7
8
X 9
Број елемената скупа F = {1, 3, {1, 3}, 13} једнак је: а) 5; б) 2; в) 3; г) 4. (Заокружи слово испред тачног одговора.) Скуп E = {s | s � N0 и s ≤ 4} једнак је:
б) {0, 1, 2, 3}; в) {1, 2, 3, 4}; а) {1, 2, 3}; (Заокружи слово испред тачног одговора.)
г) {0, 1, 2, 3, 4}.
uk a
Број елемената скупа природних бројева друге десетице који не садрже цифру 1 једнак је броју елемената скупа {∅}. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)
Ed
4.
6
3
o
2.
На слици је приказан Венов дијаграм скупа X = {3, 7, 6, 8}. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)
pr om
1.
13
БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА. ПОДСКУП. ЈЕДНАКИ СКУПОВИ
Упознаћеш се са појмом бројевне полуправе, научићеш да одређујеш подскупове датог скупа као и да препознајеш једнаке скупове.
Воћне саднице
1
5m
9m
1
Ed
0
5m
2
5m
uk a
0
pr om
o
Приликом посете свом родном селу Никола је, инспирисан причом свог деде који више није у могућности да одржава воћњаке, решио да искористи потенцијале које нуди готово запуштено имање. Заинтересовала га је садња воћних садница. Пре него што приступи садњи, потребно је да направи план које ће воћне врсте садити. Потребно је прикупити детаљне информације о сорти, њиховој бујности и сл. Сорте које су „бујније” захтевају већу површину за гајење, посебан тип земљишта... Специјално треба водити рачуна и о размаку између стабала. Размак треба да буде такав да свако стабло буде довољно осветљено и да се обезбеди слободна циркулација ваздуха. Посећивао је интернет сајтове који садрже ове информације па је дошао до следећих сазнања: Шљиве се саде на раздаљини од пет метара, док је нпр. за трешње потребно више простора, чак девет метара између садница.
9m
2
Слика 1
3
5m
9m
4
3
5m
9m
5
4
Никола је у једном реду засадио шљиве, а у другом трешње. Положаје стабала означио је уз помоћ елемената скупа N0, пратећи одговарајући редослед. Уколико замислимо бесконачне низове ових стабала, на Слици 1 можемо уочити моделе две бројевне ūолуūраве. Почетак полуправа представља положај броја 0, док сваки наредни број „има своје резервисано место (тачку)” на тачно утврђеној међусобној удаљености (у случају стабала шљиве удаљеност између стабала је 5 m, док је растојање између стабала трешње 9 m).
Дуж чија је дужина једнака растојању између две суседне тачке на бројевној полуправој назива се је�инична �уж. Бројевна полуправа је о�ређена ако је позната дужина њене јединичне дужи коју можемо произвољно изабрати. Нека је дата бројевна полуправа чија је јединична дуж a приказана на Слици 2. Сваком елементу скупа N0 додељујемо тачно једну тачку са бројевне полуправе. Тачке означавамо великим словима латинице. Најчешће броју 0 додељујемо тачку O. 14
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
a O
A
B
C
E
0
1
2
3
n
Слика 2
o
Кажемо и да је тачки O, задате бројевне полуправе, придружен број 0, па кажемо да тачка O има коор�ина�у 0, што записујемо: O(0). Слично: 𝐴(1) , 𝐵(2) , 𝐶(3) ,… 𝐸(𝑛) , 𝑛 � 𝑵. Уз помоћ бројевне полуправе једноставно можемо упоредити природне бројеве. Већ смо поменули да за свака два природна броја можемо утврдити који је већи, мањи или да су они једнаки. Број који се налази лево на бројевној ūолуūравој у о�носу на �а�и број �е ūолуūраве, мањи је о� �ог броја.
pr om
Пребројавање Задатак 1
Одреди колико има природних бројева између: а) 36 и 48; б) 54 и 72? (Mожеш исписати тражене бројеве, а затим пребројати.)
uk a
Задатак 2
Покушај да уочиш правило по ком се одређује колико има природних бројева између природних бројева 𝑎 и 𝑏, 𝑎 < 𝑏.
Ed
Задатак 3
Одреди колико има природних бројева између 996 и 1785.
Сваком природном броју доделили смо тачно једну тачку са бројевне полуправе. Да ли важи и обрнуто, тј. да ли свакој тачки са бројевне полуправе можемо доделити неки природан број? O
A
B
0
1
2
Тачка коју сам означила црвеном бојом дефинитивно не одговара ниједном природном броју са наше полуправе!
Подскуп скупа
Ако са 𝑈 означимо скуп свих ученика одељења V3 из мотивационог примера претходне лекције и издвојимо скуп 𝐼 – ученика који учествују у изради презентације и скуп 𝑇 − ученика који раде анкетирање и тестирање, можемо закључити да су скупови 𝐼 и 𝑇 формирани од неких елемената скупа 𝑈. Другим речима, сваки елемент скупова 𝐼 и 𝑇 уједно је и елемент скупа 𝑈. Скупови 𝐼 и 𝑇 су примери подскупова скупа 𝑈.
U 4
I 1
12
5
17
7
T
11
19
20
Слика 3 15
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Дефиниција 1 1. Ако су сви елементи скупа 𝐴 уједно и елементи скупа 𝐵, онда за скуп 𝐴 кажемо да је ūо�скуū скупа 𝐵, што записујемо: 𝐴 ⊂ 𝐵. Тада за скуп 𝐵 кажемо да је на�скуū скупа 𝐴, што записујемо: 𝐵 ⊃ 𝐴. 2. Сваки скуп је подскуп самог себе, тј. за сваки скуп 𝑆 важи 𝑆 ⊂ 𝑆 . 3. Празан скуп је подскуп сваког скупа, тј. за сваки скуп 𝑆 важи ∅ ⊂ 𝑆 .
A
B
Пример 1 Скупови 𝐼 = {1, 5, 12, 17} и 𝑇 = {4, 7, 11, 19, 20} подскупови су скупа 𝑈 = {1, 2, 3, 4, 5, 6 , …, 22, 23, 24, 25}, редних бројева ученика одељења V3. Записујемо: 𝐼 ⊂ 𝑈 и 𝑇 ⊂ 𝑈. Скуп 𝐼 није подскуп скупа 𝑇 , што записујемо: 𝐼 ⊄ 𝑇 .
o
Пример 2
pr om
Одредићемо скупове задате на следећи начин: а) 𝐴 = {𝑎 | 𝑎 � 𝑵, 𝑎 је паран број, 𝑎 ≤ 7} = {2, 4, 6 }; б) 𝐵 = {𝑏 | 𝑏 � 𝑵, 𝑏 је паран} = {2, 4, 6 , 8, 10, 12,…}; в) 𝐶 = {𝑐 | 𝑐 � 𝑵, 𝑐 је непаран, 𝑐 > 28} = {29, 31, 33, 35, 37, 39,…}. Скуп 𝐴 пример је коначног подскупа скупа природних бројева 𝑵, док су скупови 𝐵 и 𝐶 примери бесконачних подскупова скупа 𝑵. Записујемо: 𝐴 ⊂ 𝑵, 𝐵 ⊂ 𝑵, 𝐶 ⊂ 𝑵. Пример 3
uk a
Одредимо све подскупове скупа 𝑆 = {𝑎, 𝑏}.
Ed
Решење Према дефиницији важи: 𝑆 ⊂ 𝑆 и ∅ ⊂ 𝑆 . Једночлани подскупови су: {𝑎} ⊂ 𝑆 и {𝑏} ⊂ 𝑆 . Двочлани подскуп је већ сам скуп 𝑆 . Скуп 𝑆 има четири подскупа. Тврђење 1
Двочлани скуп има четири подскупа. Задатак 4 Одреди све подскупове скупа 𝑆 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}.
Математичке реченице изведене од дефиниција и познатих чињеница називамо �врђењима (�еоремама). Њихову тачност (истинитост) можемо доказати.
Задатак 5
Посматрај скупове 𝐼 , 𝑇 и 𝑈 из Примера 1 ове лекције. Одреди 𝑛(𝐼 ) , 𝑛(𝑇 ) и 𝑛(𝑈) . Упореди бројеве елемената скупа 𝑈 и његових подскупова. 16
Реши Задатак 4 па формулиши тврђење о броју подскупова скупа који има три елемента. Није тешко!
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Тврђење 2 Ако за скупове 𝑃 и 𝐾 важи 𝑃 ⊂ 𝐾 , онда је тачна неједнакост 𝑛(𝑃 ) ≤ 𝑛(𝐾 ) .
За скупове 𝑇 и 𝑈 из Примера 1 ове лекције важи 𝑇 ⊂ 𝑈. Скуп 𝑈 је подскуп скупа природних бројева, тј. 𝑈 ⊂ 𝑵. У ком су односу онда скупови 𝑇 и 𝑵? Тврђење 3
C
Дати су скупови 𝐴, 𝐵 и 𝐶. Ако је 𝐴 ⊂ 𝐵 и 𝐵 ⊂ 𝐶, онда је 𝐴 ⊂ 𝐶.
B
o
A
pr om
Пример 4
Дат је скуп 𝑃 = {2, 7, 8, 11}. Који од следећих записа је тачан: а) {2, 7} ⊂ 𝑃 ; б) {1, 8} ⊂ 𝑃 ; в) ∅ ⊂ 𝑃 ; Решење Тачни су записи: а) и в). Пример 5
г) 𝑃 ⊂ {2, 7, 8, 1, 2, 3}?
uk a
Дат је скуп 𝐿 = {2, 3, 5, 7, 15, 24, 8, 9}. Одредићемо скуп 𝑀 ⊂ 𝐿 тако да важи: 𝑛(𝑀 ) = 3 и елементи скупа 𝑀 су једноцифрени непарни бројеви. Колико могућности постоји? Решење Постоје три могућности за скуп 𝑀 : {3, 5, 7}, {3, 5, 9}, {3, 7, 9} и {5, 7, 9}.
Ed
Једнаки скупови
Задатак 6
Одреди скуп 𝐸 свих цифара којима се записује број 8 462, а затим скуп 𝐹 = {𝑎 | 𝑎 � 𝑵, 𝑎 < 10, 𝑎 је паран}. Шта примећујеш? Дефиниција 2
Ако је сваки елемент скупа A уједно и елемент скупа B, и обрнуто, ако је сваки елемент скупа B уједно и елемент скупа A, онда за скупове A и B кажемо да су је�наки, што записујемо: 𝐴 = 𝐵.
Пример 6
Скупови 𝐴 = {1, 2, 2, 1, 1, 3} и 𝐵 = {1, 2, 3} су једнаки.
Сети се: Елементе који се у скупу јављају више пута рачунамо као један елемент. Није нам важан редослед навођења елемената. 17
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Пример 7 Скупови ∅ и {∅} немају једнаке елементе па нису једнаки, тј. ∅ ≠ {∅}. Из дефиниције једнаких скупова једноставно је извести тврђење: Тврђење 4 Ако су два скупа једнака, онда они морају имати једнак број елемената, тј: ако је 𝐴 = 𝐵 онда је 𝑛(𝐴) = 𝑛(𝐵) . Да ли два скупа која имају исти број елемената морају бити једнаки?
o
Пример 8
pr om
У примеру с почетка одељка из скупа свих ученика одељења петог три издвојили смо неке подскупове ученика. Скуп ученика који тестирају и анкетирају 𝑇 = {4, 7, 11, 19, 20} и скуп ученика који учествују у дискусији 𝐷 = {2, 18, 21, 8, 10}. Ови скупови имају једнак број елемената, али нису једнаки.
2.
3.
Попуни празна поља одговарајућим бројевима са бројевне полуправе: 0
Ed
1.
uk a
ВЕЖБАМО
3
74
Дат је скуп 𝐴 = {7, 6 , 9, 11, 13}. Који скуп представља његов подскуп? Заокружи слова испред тачних одговора. а) {7, 6, 13}; б) {11, 3, 6, 7}; в) 𝐴; г) ∅. Помоћ око 3. задатка?
Колико има природних бројева између 342 и 1459?
4. Заокружи слова испред тачних записа: а) {11, 22, 112, 221} = {1, 2}; б) {1, 2, 1, 1, 2} = {1, 2}; г) Ако је 𝐴 ⊂ 𝐵, онда је 𝑛(𝐴) ≤ 𝑛(𝐵) ; 18
Реши најпре задатке 1, 2 и 3. из лекције означене са „пребројавање”. Искористи изведене закључке. Тражени број биће једнак ......... − 1 − ..........
в) {3, 7, 8, 5} ⊂ {8, 7, 3}; д) ∅ ⊂ {∅}; ђ) {𝑎, {𝑏, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑏}, 𝑐}.
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
5.
6.
Одреди све подскупове скупа 𝑀 = {2, 3, 5, 7}, који: а) садрже број 2; б) не садрже број 5.
Колико елемената има скуп свих подскупова скупа 𝑆 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}?
Проверавамо своје знање (5 минута) На слици су приказани Венови дијаграми скупова 𝐴, 𝐵 и 𝐶. Заокружи слово испред тачне реченице: а) скуп 𝐵 је подскуп скупа 𝐴; б) скуп 𝐶 је подскуп скупа 𝐴. A
B 5
3
o
1.
4.
pr om
C
4
6
г) 𝑃 ⊃ {∗, Δ, Δ, Δ, Δ, ∗}?
Ако је 𝑛(𝐴) = 𝑛(𝐵), онда је 𝐴 = 𝐵. НЕ ДА (Заокружи тачан одговор.)
uk a
3.
Дат је скуп 𝑃 = {∗, Δ}. Који од следећих записа је нетачан: б) {∇} ⊂ 𝑃; в) ∅ ⊂ 𝑃; а) {∗} ⊂ 𝑃; (Заокружи слово испред тачног одговора.)
2
Сви природни бројеви којима се може заменити променљива 𝑎, тако да важи {8, 𝑎} ⊂ {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑁, 6 < 𝑥 ≤ 10}, припадају скупу: а) {6, 9, 10}; б) {7, 8, 9, 10}; в) ∅; г) {7, 9}. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
Ed
2.
1
19
Научићеш да извршаваш операције са скуповима и да користиш исказе у математици.
СКУПОВНЕ ОПЕРАЦИЈЕ. ИСКАЗИ У МАТЕМАТИЦИ Три предузетника
S 1
4
uk a
2
pr om
o
Дуња, Лана и Вељко су недавно започели своје бизнисе. Након извесног периода састали су се и разменили искуства и идеје. Дуња је решила да се бави осликавањем амбалажа за храну и пиће (тегле и флаше – означени бројевима 1, 2 и 3 на Слици 1) и да их продаје. Вељко је свој новац уложио у куповину ласерског штампача, који му је омогућио масовну производњу различитих украсних предмета (означени са 4 и 5 на Слици 1), по жељи и мери купаца. Лана је пак отворила инстаграм налог помоћу ког рекламира фармацеутске производе. Она израђује рекламе у виду постера које се, осим на интернету, јављају и на билбордима широм града (бројеви 6 и 7 на Слици 1).
5
G 6
7
Ed
3
Слика 1
Када је започињао свој посао, свако од њих је био свестан да је неопходно добро проценити тржиште и његове потребе пре пласирања производа. Дуња је знала да ће посао са амбалажама боље „проћи” у сеоским срединама него у градским. Вељков бизнис нема ту врсту ограничења па се његови производи пласирају подједнако добро у обе средине, док је град место где су све врсте реклама заступљеније па је Лана зато изабрала градску средину. Сходно томе, њих троје су нацртали Венов дијаграм за скуп 𝑆 − производа који се најбоље пласирају у сеоским срединама и скуп 𝐺 − производа који се најбоље пласирају у граду. На дијаграму се јасно могу уочити заједнички елементи ових скупова, као и елементи који Размисли па дај идеју нашим предузетницима како да припадају само једном од приказаних скупова. остваре међусобну сарадњу. Скупови поменутих елемената резултат су Образложи свој предлог. скуūовних оūерација.
20
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Пресек скупова Предмети које производи Вељко се подједнако добро пласирају и у селу и у граду. Посматрајући његове производе као елементе скупова, закључујемо да су ти елементи заједнички за скупове 𝑆 и 𝐺 и кажемо да ти елементи припадају ūресеку скупова 𝑆 и 𝐺. Дефиниција 1
Пресек скупова 𝐴 и 𝐵, у ознаци 𝐴 ∩ 𝐵, јесте скуп елемената који припадају и скупу 𝐴 и скупу 𝐵. Знак ∩ представља ознаку за скуповну операцију пресек.
A
𝐴 ∩ 𝐵
o
Пример 1
B
pr om
Пресек скупова 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5} и 𝐺 = {4, 5, 6, 7} је скуп 𝑆 ∩ 𝐺 = {4, 5}. Пример 2
Приметимо да за скупове из Примера 1 важи: 𝑆 ∩ 𝐺 = 𝐺 ∩ 𝑆 = {4, 5}.
На основу дефиниције 1, пресек два произвољна скупа можемо представити навођењем својстава елемената: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 и 𝑥 ∈ 𝐵}. Пример 3 Пример 4
uk a
За било који скуп 𝑆 важи: 𝑆 ∩ ∅ = ∅ ∩ 𝑆 = ∅.
Ed
Одредимо пресек скупова 𝐾 = {4, 8} и 𝐿 = {𝑎 | 𝑎 је паран број 1. десетице}. Решење Како је 𝐿 = {2, 4, 6, 8, 10}, то је 𝐾 ∩ 𝐿 = {4, 8} = 𝐿. Ако за скупове 𝐴 и 𝐵 важи: 𝐴 ⊂ 𝐵, онда је 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴.
Пример 5
Одредимо пресек скупа ученика који учествују у изради презентације и скупа ученика који тестирају и анкетирају из мотивационог примера са почетка одељка. Решење Како је 𝐼 = {1, 5, 12, 17} и 𝑇 = {4, 7, 11, 19, 20}, то закључујемо да је 𝐼 ∩ 𝑇 = ∅. У плану реализације пројекта није предвиђено да један исти ученик буде у више тимова. Дефиниција 2 Скупови 𝐴 и 𝐵 који немају заједничких елемената, тј. 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, јесу међусобно �исјунк�ни скуūови.
21
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Пример 6 Скуп парних бројева 𝑃 и скуп непарних бројева 𝑁 су међусобно дисјунктни, тј. 𝑃 ∩ 𝑁 = ∅. Унија скупова
За сваки од предмета или услуга које врше наша три предузетника важи да се добро пласирају у селу или граду. Дакле, ради се о елементима који припадају скупу 𝑆 или скупу 𝐺. Ти елементи припадају унији скупова 𝑆 и 𝐺. Дефиниција 3
A
B
pr om
o
Унија скупова 𝐴 и 𝐵, у ознаци 𝐴 ∪ 𝐵, јесте скуп елемената који припадају скупу 𝐴 или скупу 𝐵. Знак ∪ представља ознаку за скуповну операцију унија. Пример 7
𝐴 ∪ 𝐵
Одредимо унију скупова 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5} и 𝐺 = {4, 5, 6, 7}.
uk a
Решење Када одређујемо унију два скупа, најпре запишемо елементе једног од скупова (по избору), а затим елементе другог. Тражени скуп је 𝑆 ∪ 𝐺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Важи 𝑆 ∪ 𝐺 = 𝐺 ∪ 𝑆. На основу дефиниције 3, унију два произвољна скупа можемо представити навођењем својстава елемената: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 или 𝑥 ∈ 𝐵}. Пример 8
Ed
За било који скуп 𝑆 важи: 𝑆 ∪ ∅ = ∅ ∪ 𝑆 = 𝑆. Пример 9
Унија скупова 𝑃 = {2, 3, 5, 4} и 𝑄 = {𝑥 ∈ 𝑵 | 𝑥 је паран број, 𝑥 < 5} је скуп 𝑃. Ако за скупове 𝐴 и 𝐵 важи: 𝐴 ⊂ 𝐵, онда је 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵. Пример 10
Одредићемо скуп 𝐵 ако важи 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, 𝐴 ∪ 𝐵 = {3, 4, 5, 6, 7, 8} и скуп 𝐴 = {6, 7} . Решење Како скупови 𝐴 и 𝐵 немају заједничких елемената, довољно је из скупа 𝐴 ∪ 𝐵 „елиминисати” елементе 6 и 7. Дакле, 𝐵 = {3, 4, 5, 8}. Задатак 1
Посматрај скупове 𝐴 и 𝐵 из претходног примера па упореди бројеве 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) и 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵). Шта закључујеш? 22
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Тврђење 1 Ако су скупови 𝑃 и 𝐾 дисјунктни, онда је 𝑛(𝑃 ∪ 𝐾) = 𝑛(𝑃) + 𝑛(𝐾). Разлика скупова
Производи које пласира Дуња у свом послу најбоље се пласирају само у сеоским срединама. Реч је о елементима који припадају скупу 𝑆, а не припадају скупу 𝐺. Ти елементи чине скуп који представља разлику скупова 𝑆 и 𝐺. Дефиниција 4
B
A
Разлика скупова 𝐴 и 𝐵, у ознаци 𝐴\𝐵, јесте скуп елемената који припадају скупу 𝐴, а не припадају скупу 𝐵. Знак \ представља ознаку за скуповну операцију разлика.
B\A
pr om
o
𝐴\𝐵
Пример 11
Посматрајмо Венов дијаграм на Слици 2. Важи 𝑆\𝐺 = {1, 2, 3} и 𝐺\𝑆 = {6, 7}.
Пример 12
S
1
2
3
4 5
Слика 2
6
7
uk a
За различите скупове 𝐴 и 𝐵 важи 𝐴\𝐵 ≠ 𝐵\𝐴.
G
На основу дефиниције 4, разлику два произвољна скупа можемо представити навођењем својстава елемената: 𝐴\𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 и 𝑥 ∉ 𝐵} и 𝐵\𝐴 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐵 и 𝑥 ∉ 𝐴}. Задатак 2
Ed
За произвољан скуп 𝐴 одреди скупове 𝐴\𝐴, 𝐴\∅ и ∅\𝐴. Пример 13
Ако је 𝑆 ∪ 𝑄 = {∗, Δ, ∇, ∎}, 𝑆 ∩ 𝑄 = {∎}, 𝑛(𝑆) = 3 и ∇ ∉ 𝑆, одредићемо скупове 𝑆 и 𝑄.
Решење Користићемо Венов дијаграм скупова 𝑆 и 𝑄. Најпре упишемо елемент који припада пресеку скупова. На основу услова о елементима скупа 𝑆 закључујемо да је 𝑆 = {∗, Δ, ∎} и 𝑄 = {∎, ∇}.
S Δ
∗
Q ∎
∇
Слика 3
23
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Веза између скуповних операција
А
Задатак 3
5
Одреди пресек свака два од обојених скупова на Веновом дијаграму (Слика 4). Шта закључујеш?
4
9
8
11
3
7
Слика 4
6
0
12
B 2
13
За произвољне скупове 𝐴 и 𝐵 важи да су скупови 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴\𝐵 и 𝐵\𝐴 дисјунктни. Унија ових дисјунктних скупова представља унију скупова 𝐴 и 𝐵, тј. важи: 𝐴 ∪ 𝐵 = (𝐴\𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵\𝐴) . На основу Тврђења 1 закључујемо: 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴\𝐵) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑛(𝐵\𝐴) .
o
Пример 14
pr om
Испитивањем 24 производа утврђено је да 13 производа садрже конзерванс, а 10 вештачке боје. Колико је производа без конзерванса и без вештачке боје ако четири производа имају и конзерванс и вештачке боје?
uk a
Решење Означимо са 𝐾 скуп производа који садрже конзерванс, а са 𝑉 скуп производа који садрже вештачке боје (Слика 5). Пресек ових скупова има четири елемента, што значи да у скупу 𝐾 остаје још 9, а у скупу 𝑉 још 6 производа. Број производа без конзерванса и без вештачке боје једнак је 24 − (9 + 4 + 6 ) = 5.
K
9
V 4
6
Слика 5
Искази у математици
Ed
Реченица чију тачност можемо утврдити представља исказ у математици. Исказ не може бити истовремено тачан и нетачан. Пример 15
Које од следећих реченица представљају исказе: а) највећи природан број је 99; б) за свако 𝑥 � N важи 𝑥 > 0; в) колико има једноцифрених парних бројева?; г) постоје два природна броја која се не могу упоредити; д) изјава коју управо изговарам је лаж. Решење а) Ова реченица представља исказ јер можемо испитати њену тачност. Она је нетачна. б) Јесте исказ и то тачан. в) Овом реченицом није исказана тврдња, ово није исказ. г) Јесте исказ и то нетачан. 24
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
д) Ова реченица представља тврдњу, међутим, њена тачност зависи од истинитости изјаве па је не можемо сматрати исказом. Правилна употреба речи и, или, сваки, неки, ако, онда (следи) и не, у математици веома је важна, а нарочито у раду са скуповима. Везник и користимо када описујемо пресек или разлику скупова, али и када наводимо особине које треба да задовоље неки елементи (постављање услова). Овај везник се понекад замењује зарезом. 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 � 𝐴 и 𝑥 � B} 𝐴\𝐵 = {𝑥 | 𝑥 � 𝐴 и 𝑥 ∉ B} T = {m | m � N и 4 ≤ m < 11}
Везник или користимо када описујемо унију скупова (елементи треба да задовоље бар један од услова).
pr om
o
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 � 𝐴 или 𝑥 � B}
Тврђење 2
uk a
Речи сваки и неки користимо приликом дефинисања подскупа неког скупа. У односу на Слику 6, тачне су следеће реченице: 1. сваки елемент скупа 𝐶 уједно је и елемент скупа 𝐴 (важи 𝐶 ⊂ 𝐴); 2. неки елемент скупа 𝐴 није елемент скупа 𝐶; 3. неки елемент скупа 𝐵 припада скупу 𝐴.
Ed
Ако за скупове 𝑃 и 𝐾 важи 𝑃 ⊂ 𝐾 , онда је тачна неједнакост 𝑛(P) ≤ 𝑛(K).
A
C
2
1
B 3
4
5
6
Слика 6
Речи ако и онда (следи) користимо када изводимо закључке. (Види тврђења испод).
претпоставка закључак
Понекад је претпоставка сложенија па за њено формулисање треба искористити везнике.
Тврђење 3
Дати су скупови А, B и C. Ако је А ⊂ B и B ⊂ C, онда је А ⊂ C. 𝑥 ∉ B
Не постоји заједнички елемент скупова 𝐵 и 𝐶 приказаних на Слици 6.
Речца не (негација) користи се када тврдимо да неки елемент не припада скупу. Често смо и у ситуацији да негирамо неки исказ.
25
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Задатак 4 А
Посматрај Слику 7 па заокружи слово испред тачних исказа: а) сваки елемент скупа 𝐴 је паран број; б) неки елементи припадају скупу 𝐵, а не припадају скупу 𝐴; в) број 4 припада и скупу 𝐴 и скупу 𝐵;
5
4
9
8
11
6
3
0
7
12
Слика 7
B 2
13
pr om
o
г) сви елементи скупа 𝐵 мањи су од највећег елемента скупа 𝐴; д) сви непарни бројеви прве десетице припадају или скупу 𝐴 или скупу 𝐵; ђ) ако сваки елемент скупа 𝐴 повећамо за 1, онда ће у скупу 𝐴 бити више непарних бројева него парних; е) у скупу 𝐵 не постоји број који није природан.
ВЕЖБАМО
Q
𝑆 \𝑄 = {𝑐, 𝑛}
5 � 𝑆 \𝑄
Приказан je Венов дијаграм скупова 𝑄 и 𝑆 . а) Запиши елементе скупова 𝑄 и 𝑆 . б) Испод исказа у табели заокружи ДА ако су тачни, односно НЕ ако су нетачни:
Ed
2.
Елементе скупова 𝐴 = {1, 2, 3, 9, 10} и 𝐵 = {9, 10, 11} прикажи Веновим дијаграмом, а затим одреди 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴\𝐵 и 𝐵\𝐴.
ДА
3.
4.
Прочитај пажљиво дефиниције 1, 3 и 4 из ове лекције, а затим проучи добро примере који следе након тих дефиниција. Након тога, задатак ћеш једноставно решити!
uk a
1.
НЕ
𝑄 \𝑆 = {1, 𝑑} ДА
НЕ
Помоћ око 1. задатка?
S b
ДА
a 5
1
d
c n
НЕ
Ако је А\В = {1} ,В\А = ∅ и В = {2, 3}, одреди елементе скупова 𝐴 и 𝐴 ∩ 𝐵. У каквом су односу скупови 𝐴 и 𝐵?
Ако је 𝑋 = {𝑥 | 𝑥 � N, 4 ≤ 𝑥 < 11} и 𝑌 ={𝑦 | 𝑦 је непаран број прве десетице}, одреди скупове 𝑋 ∩ 𝑌 , 𝑋 \𝑌 и 𝑌 \𝑋 . Прикажи скупове 𝑋 и 𝑌 Веновим дијаграмом. Одреди елементе скупа 𝑋 ∪ 𝑌 , а затим 𝑛(𝑋 ∩ 𝑌 ) , 𝑛(𝑋 \𝑌 ) , 𝑛(𝑌 \𝑋 ) и 𝑛(𝑋 ∪ 𝑌 ) . 26
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
6.
Речима „и”, „или”, „не припадају”, као и ознакама скупова 𝑄 и 𝑆 допуни реченице посматрајући Венов дијаграм из задатка 2: а) елементи 1 и 𝑑 припадају скупу 𝑄 ........... скупу 𝑆; б) елементи 𝑎, 5 и 𝑏 припадају скупу ........... и ........... скупу 𝑆; в) елементи 𝑎, 𝑑 и 𝑐 припадају скупу 𝑄 ........... скупу 𝑆.
За математички камп се ове године пријавило 110 ученика петог разреда. У слободно време 35 ученика се пријавило да играју шах, 50 ученика да играју пикадо, а њих 15 се пријавило да играју и шах и пикадо. Остали ученици би да сликају у слободно време. Колико ученика ће своје слободно време провести у сликању?
3.
4.
Ако је 𝐴 = {7, 18, 25} и 𝐵 ⊂ 𝐴, онда је 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)
uk a
2.
Колико елемената има скуп једнак унији скупова 𝐴 = {1, 2, 3} и 𝐵 = {2, 3, 4}? а) 5; б) 2; в) 3; г) 4. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
Ако је 𝐾 = {𝑘 | 𝑘 ∈ 𝑵𝟎, 𝑘 ≤ 5} и 𝐿 = {𝑙 | 𝑙 ∈ 𝑵, 𝑙 > 5}, онда је скуп 𝐾\𝐿 једнак: а) {0, 1, 2, 3, 4, 5}; б) ∅; в) 𝑵; г) {6, 7, 8, 9, 10,…}. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
Ed
1.
pr om
Проверавамо своје знање (5 минута)
o
5.
Ученици одељења петог два обавештени су да се одржава Ноћ музеја. Они су изабрали седам музеја које ће посетити и поделили су се у две групе. Прва група је посетила пет музеја, а друга шест. Колико су музеја успели да посете ученици обе групе ако је сваки од музеја посетила бар једна група? б) 5; в) 4; г) 7. а) 11; (Заокружи слово испред тачног одговора.)
27
РАЧУНСКЕ ОПЕРАЦИЈЕ У СКУПУ N0. БРОЈЕВНИ ИЗРАЗИ.
Подсетићеш се рачунских операција у скупу 𝑵𝟎, особина операција и одређивања вредности бројевних израза.
Планирање буџета
Назив артикла
Цена по комаду (дин.)
Материјал за обраду
3860
Број комада
48 000
Заштитне наочаре
Укупно динара
1
48 000
uk a
Ласер машина
pr om
o
Основни „алат” у раду једног предузетника свакако јесте рачун. Добра калкулација и процена остваривања профита у односу на уложени буџет важан је део планирања. Вељко и Лазар располажу буџетом од 67 000 динара. Они желе да купе ласер-машину и отпочну производњу украсних предмета од дрвета, пластике, алуминијума итд. Проценили су да ласер може донети профит с обзиром на то да постоји велика потреба на тржишту за том врстом услуге. Договор је да све трошкове и приходе деле „на равне части”. У табели су приказани потребни артикли, материјали и опрема, као и њихове цене. Попунићемо обојена поља у табели и комплетирати њихове трошкове.
1500
Укупни трошкови (дин.) :
2
11 580
Ed
Преостали буџет:
Укупне трошкове добијамо сабирањем бројева из одговарајуће колоне: 48 000 + 11 580 + 3 000 = 62 580 дин.
Број комада добијамо када укупан износ поделимо ценом по комаду, тј. 11 580 ∶ 3 86 0 = 3.
Када цену једних заштитних наочара помножимо са 2, добијаму цену за два комада: 1 500 ∙ 2 = 3 000 динара.
Преостали буџет представља разлику полазног буџета и трошкова: 6 7 000 − 6 2 580 = 4 420 динара.
Добијене вредности у обојеним пољима резултат су рачунских оūерација. Наиме, под рачунском операцијом подразумевамо правило које повезује два броја и додељује им одређени број. Симболи основних рачунских операција су: сабирање (+), одузимање (− ) , множење (∙ ) и дељење (∶ ) . Пажљиво прочитај записе из следеће табеле: сабирак 𝑥 � 𝑵𝟎
умањеник 𝑥 � 𝑵𝟎
28
чинилац 𝑥 � 𝑵𝟎 дељеник 𝑥 � 𝑵𝟎
𝑥 + 𝑦 збир
𝑥 − 𝑦 разлика
𝑥 ∙ 𝑦 производ 𝑥 ∶ 𝑦 количник (ако је 𝑥 дељиво са 𝑦 )
сабирак 𝑦 � 𝑵𝟎
умањилац 𝑦 � 𝑵𝟎, 𝑦 ≤ 𝑥 чинилац 𝑦 � 𝑵𝟎 делилац 𝑦 � 𝑵
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Операције сабирања и множења су у скупу 𝑵𝟎 увек изводљиве, а резултат операције је елемент скупа 𝑵𝟎. Дакле, За свака �ва елемен�а 𝑥 ∈ 𝑵𝟎 и 𝑦 ∈ 𝑵𝟎 важи (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑵𝟎 и (𝑥 ∙ 𝑦) ∈ 𝑵𝟎. Претходна табела подсећа нас да операције одузимања и дељења нису увек изводљиве у скупу 𝑵𝟎. Другим речима, постоје елементи 𝑥 ∈ 𝑵𝟎 и 𝑦 ∈ 𝑵𝟎 за које (𝑥 − 𝑦) ∉ 𝑵𝟎 и (𝑥 ∶ 𝑦) ∉ 𝑵𝟎.
Задатак 1
Заокружи слова испред записа чија вредност припада скупу 𝑵𝟎: а) 17 − 15; б) 15 − 17; в) 0 − 24; г) 24 ∶ 8; д) 25 ∶ 8; Пример 1
е) 54 ∶ 0.
Операције сабирања и множења су кому�а�ивне, тј. за свако 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑵𝟎 важи 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 и 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎.
pr om
o
Извршћемо наведене операције: а) 35 + 16 = 51; в) 12 ∙ 15 = 180; б) 16 + 35 = 51; г) 15 ∙ 12 = 180. Пример 2
ђ) 0 ∶ 166;
Како је 18 − 3 = 15, а 3 − 18 није могуће одредити у скупу 𝑵𝟎, закључујемо да умањеник и умањилац не могу мењати места. С друге стране, нпр. важи 18 ∶ 3 = 6, а 3 ∶ 18 није могуће одредити у скупу 𝑵𝟎 па ни дељеник и делилац не могу мењати места. Пример 3
Операције сабирања и множења су асоција�ивне, тј. за свако 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑵𝟎 важи: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) и (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐).
Ed
uk a
Израчунаћемо: а) (42 + 17) + 23 = 59 + 23 = 82; б) 42 + (17 + 23) = 42 + 40 = 82; в) (5 ∙ 17) ∙ 20 = 85 ∙ 20 = 1700; г) 5 ∙ (17 ∙ 20) = 5 ∙ 340 = 1700.
На Слици 1, приказана су геометријска објашњења особина асоцијативности операција сабирања и множења:
a
b+c a+b
a∙ b
c c
b∙ c
a
b
b
a
c
Слика 1
29
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Пример 4 Израчунаћемо: а) (16 − 7) − 4 = 9 − 4 = 5; б) 16 − (7 − 4) = 16 − 3 = 13; г) 48 ∶ (12 ∶ 4) = 48 ∶ 3 = 16. в) (48 ∶ 12) ∶ 4 = 4 ∶ 4 = 1; Резултати добијени из примера а) и б) су различити, што указује да је једнакост (16 − 7) − 4 = 16 − (7 − 4) нетачна. Слично, једнакост (48 ∶ 12) ∶ 4 = 48 ∶ (12 ∶ 4) такође је нетачна. Оūерације о�узимања и �ељења нису асоција�ивне. a
b
c
a∙ c
o
=
pr om
Важна особина рачунских операција која повезује сабирање (одузимање) са множењем представљена је на Слици 2. Наиме, множење је �ис�рибу�ивно у односу на сабирање и одузимање.
a+b
+
b∙ c
Слика 2
За свако 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑵𝟎 важи: 𝑐 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑐 ∙ 𝑎 + 𝑐 ∙ 𝑏.
Примењујући особину комутативности множења на претходну једнакост, добијамо:
uk a
Слично:
За свако 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑵𝟎 важи: (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐. За свако 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑵𝟎 ūри чему је 𝑎 ≥ 𝑏, важи: 𝑐 ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑐 ∙ 𝑎 − 𝑐 ∙ 𝑏 и (𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 − 𝑏 ∙ 𝑐.
Ed
Наведени дистрибутивни закони имају важну улогу у решавању проблема. Између осталог, применом ових закона можемо једноставније рачунати у неким ситуацијама. Пример 5
Израчунаћемо што једноставније: а) 49 ∙ 8 + 49 ∙ 2; б) 97 ∙ 72;
Решење а) Применом дистрибутивног закона добијамо: 49 ∙ 8 + 49 ∙ 2 = 49 ∙ (8 + 2) = 49 ∙ 10 = 490; б) Да бисмо створили услове за примену дистрибутивног закона, број 97 написаћемо у облику „згодне” разлике, нпр: 97 = 100 − 3 па имамо: 97 ∙ 72 = (100 − 3) ∙ 72 = 100 ∙ 72 − 3 ∙ 72 = 7 200 − 216 = 6 984.
30
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Задатак 2 Испитај тачност следећих једнакости: а) 40 ∶ (4 − 2) = 40 ∶ 4 − 40 ∶ 2; б) (24 + 18) ∶ 3 = 24 ∶ 3 + 18 : 3; в) (24 − 18) ∶ 3 = 24 ∶ 3 − 18 : 3; г) 6 0 ∶ (4 + 6 ) = 6 0 ∶ 4 + 6 0 ∶ 6 .
Покушај да изведеш закључке на основу решења Задатка 2. Која су правила за дељење збира и разлике?
Задатак 3
Израчунај па изведи закључке о сабирању са нулом и множењу јединицом:
Бројевни изрази
б) 0 + 789 = .............;
в) 18 ∙ 1 = .............;
г) 1 ∙ 18 = ..............
o
а) 45 + 0 = .............;
pr om
Математички записи формирани од бројева, рачунских операција и заграда називају се бројевни изрази. Пример 6
Наведимо неке бројевне изразе: 47, 6 ∶ 2 + 4, 13 − (4 ∙ 5 − 16 ) , ...
Пример 7
uk a
Напомена: Изрази у којима учествују рачунске операције и заграде морају бити правилно записани. На пример, записи: 4 + − 7 ∙ 2, 17 ∙ (5 − 1 не представљају бројевне изразе. Сваки бројевни израз има своју (бројевну) вре�нос� и она је јединствена. Другим речима, једном бројевном изразу није могуће придружити две или више различитих вредности.
Ed
Одредићемо вредности следећих израза: а) 𝐴 = 3 + 4 ∙ 2; б) 𝐵 = (3 + 4) ∙ 2; Решење а) 𝐴 = 3 + 4 ∙ 2 = 3 + 8 = 11;
в) 𝐶 = 44 ∶ 4.
б) 𝐵 = (3 + 4) ∙ 2 = 7 ∙ 2 = 14;
Приметимо да изрази 𝐴 и 𝐶 имају исту вредност, и то је број 11. Уколико прикажемо Веновим дијаграмом скуп 𝐼 бројевних израза 𝐴, 𝐵 и 𝐶 и скуп природних бројева са нулом 𝑵𝟎, могуће је направити ūри�руживање између ова два скупа, при чему се сваком бројевном изразу придружује тачно један елемент скупа 𝑵𝟎, који представља његову вредност. Више речи о придруживању биће у наредној лекцији.
I
в) 𝐶 = 44 ∶ 4 = 11.
N0
B
14
A
11
C
Слика 3
Наиме, за сваки број 𝑎 � 𝑵𝟎 можемо пронаћи израз чија је вредност број 𝑎.
31
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Задатак 4 Састави по два бројевна израза чија је вредност:
а) 47;
б) 0;
в) 99.
Приметимо да се изрази 𝐴 и 𝐵 из Примера 7 разликују пo заградама које су у изразу 𝐵 одредиле редослед рачунања (најпре рачунамо оно што је у загради). Приликом одређивања вредности израза 𝐴 треба водити рачуна о ūриори�е�у рачунских оūерација. Ако у изразу имамо множење и сабирање (одузимање) или дељење и сабирање (одузимање), а заградама није одређен редослед рачунања, најпре множимо, тј. делимо.
pr om
o
Образложимо зашто је приликом одређивања вредности израза 𝐴 = 3 + 4 ∙ 2 важно прво множити, а онда сабирати. Ако искористимо дефиницију множења, тада имамо: 𝐴 = 3 + 4 ∙ 2 = 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 11. Уколико прво саберемо, а онда множимо, тада ће вредност израза 𝐴 бити једнака вредности израза 𝐵 = (3 + 4) ∙ 2, која износи 14, што није вредност израза 𝐴.
Када се у изразу јавља само сабирање и одузимање, а заградама није одређен редослед рачунања, рачунске операције обављамо оним редоследом којим су записане. Кажемо да су сабирање и одузимање „истог приоритета”. Исто поступамо када се у изразу јавља само множење и дељење. Пример 8
uk a
Одредићемо вредност израза: а) 47 − 3 + 5 − 2 = 44 + 5 − 2 = 49 − 2 = 47;
б) 16 ∶ 4 ∙ 2 = 4 ∙ 2 = 8.
1.
2.
3.
Ed
ВЕЖБАМО
Израчунај: а) 1 346 + 728;
б) 2 6 32 ∶ 28;
Одреди вредност израза: а) 306 ∶ 18 − 6 ; б) 89 − 14 ∙ 5;
в) (89 − 14) ∙ 5;
Који од следећих израза имају исту вредност: 𝐴 = 48 ∶ 3 ∙ 4; 𝐵 = (48 ∶ 3) ∙ 4; 𝐶 = 48 ∶ (3 ∙ 4) ? 32
в) 1 346 − 728;
г) 47 ∙ 12.
г) (6 489 − 1 478 ∙ 3) ∙ 0 + 16 . Помоћ око 3. задатка?
Присети се редоследа рачунања када се у изразу јавља само множење и дељење. Када се у изразу јаве заграде, оне одређују редослед рачунања. Прочитај пажљиво Пример 7 из ове лекције.
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
4.
5.
Дарко располаже са 14 800 динара. Треба да плати рачун за струју који износи 2 460 динара и купи три стрипа, при чему је цена једног 750 динара. Запиши израз помоћу ког ћеш израчунати колико новца преостаје Дарку након што плати рачун за струју и стрипове. Да ли Дарко има довољно новца да плати кирију која кошта 10 000 динара? Рачун од 820 динара Никола је платио новчаницама од 50 и 20 динара. Ако је дао укупно 20 новчаница, колико је било новчаница од 50, а колико од 20 динара?
pr om
o
6.
Дати су бројевни изрази: 𝑋 = 24 ∙ 13 + 176 и 𝑌 = 1728 − (40 ∙ (36 + 4) + 70 − 3). а) За колико је вредност израза 𝑌 мања од вредност израза 𝑋? б) Колико је пута вредност израза 𝑌 мања од вредност израза 𝑋?
Проверавамо своје знање (5 минута)
2.
Вредности израза 24 ∶ 3 и 17 − 9 су једнаке. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)
uk a
1.
Вредност израза 24 ∶ 3 ∙ 2 − 4 је природан број. ДА НЕ
3.
4.
Ed
(Заокружи тачан одговор.)
У одређивању вредности израза 14 ∙ 12 + 12 ∙ 6 = (14 + 6) ∙ 12 примењен је асоцијативни закон. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Вељко има 200 динара и треба да купи две свеске, при чему је цена једне 30 динара и једну хемијску оловку по цени од 45 динара. Заокружи слова испред израза којима је могуће одредити Вељков кусур: а) 200 − 2 ∙ 30 + 45; б) 200 − (2 ∙ 30 + 45); в) 200 − 2 ∙ 30 − 45; г) (200 − 2) ∙ 30 + 45; д) 200 − 2 ∙ (30 + 45); ђ) (200 − 2) ∙ (30 + 45).
33
Научићеш да одређујеш вредности израза са променљивом; тумачиш дијаграме и користиш правила придруживања.
ИЗРАЗИ СА ПРОМЕНЉИВОМ. ПРИДРУЖИВАЊЕ И ЗАВИСНОСТ ВЕЛИЧИНА Ананас
9
4 3 2 1
8
6
2
2
7
7
6
5
5
4 3
Ed
0
8
количина у тонама
5
1 2 3 4 месеци у години
Слика 1
1 0
ананас
9
uk a
количина у тонама 6
10
9
8
7
10
ананас
количина у тонама
10
ананас
pr om
o
Никола је желео да сазна више о послу којим се бави његов тата. Отац га је упутио да сврати у његову радну собу. Оно што је прво уочио када је стигао до радног стола, јесу папири на којима су, осим бројева, били и цртежи (правоугаоници, дужи и тачке). Желео је боље да разуме оно што је видео па му је отац појаснио: „Никола, на овим папирима су представљени �ија�рами. Они служе да сликовито прикажемо неке податке који су нам важни. Моја фирма се бави пласирањем воћа на тржишту, а овде је приказано како се та продаја (у тонама) „креће” по месецима. Рецимо, у јануару месецу су продате три тоне, у фебруару пет, у марту седам, а у априлу девет тона. На дијаграмима је јасно приказано како количина продатог ананаса зависи од месеца у години.”
1 2 3 месеци у години
Слика 2
4 3
4
1 0
1 2 3 месеци у години
4
Слика 3
Разликујемо с�убичас�и �ија�рам (Слика 1), �ачкас�и �ија�рам (Слика 2) и линијски �ија�рам (Слика 3). Након што му је дао потребна објашњења, отац је кренуо на посао, а Никола је остао да анализира графиконе. Уочио је да међу бројевима који представљају количину продатог воћа постоји извесна правилност. Када број који одговара Уочио је да важе једнакости: одређеном месецу 2 ∙ 1 + 1 = 3, 2 ∙ 2 + 1 = 5, 2 ∙ 3 + 1 = 7, 2 ∙ 4 + 1 = 9. помножим са 2 и том Ако са 𝑥 означим број који одговара месецу у годипроизводу додам 1, добијам количину продатог ни, онда ову продају „описује” израз 2 ∙ 𝑥 + 1. ананаса тог месеца. 34
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Слово 𝑥 у изразу 2 ∙ 𝑥 + 1 представља ūроменљиву величину. Израз у коме учествује променљива величина назива се израз са ūроменљивом величином.
Пример 1
Неки од израза са променљивом величином су: 𝑥 + 5, 49 − 3 ∙ 𝑥, (𝑎 − 1) ∙ 2, (𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏), …
Напомена: Знак ∙ ћемо често изостављати па уместо 2 ∙ 𝑥 + 1 пишемо 2𝑥 + 1. Променљивој величини у изразу можемо доделити вредност (заменити бројем). Скуп из кога променљива узима вредности називамо �омен ūроменљиве. Када променљиву величину заменимо бројем из домена променљиве, израз са променљивом постаје бројевни израз који има своју вредност.
7
2∙3+1
2∙2+1
o
2∙1+1
pr om
3
2𝑥 + 1
2∙4+1
5 9
Задатак 1
uk a
У примеру са продајом ананаса домен променљиве је скуп 𝐷 = {1, 2, 3, 4}, док је одговарајући скуп вредности 𝑉 = {3, 5, 7, 9}.
Одреди скуп вредности израза 5𝑥 + 3 ако је 𝑥 ∈ {11, 29, 40, 100}.
Домен променљиве не може бити увек произвољан подскуп скупа 𝑵𝟎. Често се домен зове и скуū �оūус�ивих вре�нос�и променљиве величине.
Ed
Пример 2
Одредићемо скуп свих допустивих вредности следећих израза: б) 𝑥 − 6; в) 18 ∶ 𝑥 − 5; г) 2x + 3. а) 26 − 3𝑥;
Решење а) Треба водити рачуна да наведена разлика буде изводљива у скупу 𝑵𝟎, тј. треба да важи 26 ≥ 3𝑥. Ова неједнакост је тачна за 𝑥 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; б) 𝑥 ∈ {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,…}. в) Да бисмо одредили скуп допустивих вредности променљиве у изразу 18 ∶ 𝑥 − 5, треба имати у виду да и количник и разлика морају бити изводљиви у скупу 𝑵𝟎. Тражене вредности су 𝑥 ∈ {1, 2, 3}. г) Сабирање и множење су увек изводљиви у скупу N0 , па је x ∈ N0.
35
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Пример 3 Означимо са 𝑎 непознати број. Записаћемо израз који описује следеће реченице: а) Број који је за 6 већи од непознатог броја; б) Број који је два пута већи од збира непознатог броја и броја 11; в) Број који је осам пута мањи од разлике броја 99 и непознатог броја.
Решење
а) 𝑎 + 6 ;
б) 2 ∙ (𝑎 + 11) ;
в) (99 − 𝑎) ∶ 8.
pr om
o
Често се израз са променљивом означава новим словом које има улогу вредности израза у зависности од променљиве која се јавља у изразу. На тај начин добијамо формуле зависнос�и: 𝑦 = 2𝑥 + 1 (𝑦 зависи од 𝑥 ) ; 𝑚 = 𝑛 + 6 (𝑚 зависи од 𝑛) ; 𝑏 = (99 − 𝑎) ∶ 8 (𝑏 зависи од 𝑎) ; 𝑐 = 26 − 3𝑧 (𝑐 зависи од 𝑧) . Кажемо да је формулама зависности одређено придруживање. На пример, формулом 𝑦 = 2𝑥 + 1 одређено је придруживање које сваком 𝑥 из скупа допустивих вредности израза 2𝑥 + 1, додељује одговарајућу вредност израза, што записујемо: 𝑥 → 2𝑥 + 1. Пример 4
Приказаћемо табелом, скуповно и стубичастим дијаграмом придруживање задато формулoм 𝑦 = 10 − 2𝑥 ако применљива 𝑥 узима вредност из скупа 𝐷 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Решење Скуп одговарајућих вредности једнак је 𝑉 = {0, 2, 4, 6 , 8, 10}. 𝑦 = 10 − 2𝑥
0
Ed
1 2 3 4 5
0
1
uk a
𝑥
10 8 6 4 2 0
10
8
2
6
3
12
4
4
5
2
0
10 8 6 4 2 0
0
1
2
Слика 5 Слика 4 Геометријским фигурама често придружујемо њихов обим или површину.
3
4
5
Пример 5 Нека је страница правоугаоника 𝑎 = 2 cm. Одредићемо формулу зависности обима 𝑂 правоугаоника у зависности од његове друге странице 𝑏 и представити формулу одговарајућом табелом за 𝑏 � {24, 30, 45, 59, 6 3} (елементи скупа су мерни бројеви дужине странице 𝑏 изражени у центиметрима). 36
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Решење Како је обим правоугаоника једнак 𝑂 = 2𝑎 + 2𝑏, имамо: 𝑂 = 2 ∙ 2 + 2𝑏, одакле је 𝑂 = 4 + 2𝑏. 𝑏
24
30
52
𝑂 = 4 + 2𝑏
64
45
94
59
63
122 130
ВЕЖБАМО
𝑥
33
𝑥 ∶ 3
3.
Одреди придруживање дато табелом: 𝑥
6.
999 1 011
Никола има обичај да по завршетку школских обавеза вози бицикл. На слици је приказан линијски дијаграм пређеног пута (у километрима) у зависности од протеклог времена (у сатима). Претпостављамо да Никола вози бицикл константном брзином. Одговори на питања: а) Колико километара је прешао Никола након вожње од три сата? б) После колико времена је Никола прешао 40 километара?
Ed
5.
741
Прикажи табелом придруживање одређено формулом 𝑦 = 4 ∙ 𝑥 − 2 ако 𝑥 чине непарни бројеви друге десетице.
uk a
4.
𝑥 ∶ 3 − 11
540
o
Попуни дату табелу.
?
1
8
2
18
3
28
4
38
5
48
У изразу 200 − 3𝑎 одреди вредност природног броја 𝑎 тако да вредност израза буде: а) најмања; б) највећа.
90
пређени пут (у километрима)
2.
Израчунај вредност израза 540 + 𝑎 ∶ 5, ако је 𝑎 � {5, 25, 70, 425}.
pr om
1.
80
70
60
50
40 30 20 10 0
1 2 3 4 време (у сатима) Помоћ око 6. задатка?
Одреди најпре скуп вредности променљиве 𝑎 за које дати израз има смисла. Затим изабери највећи и најмањи елемент тог скупа и одреди одговарајуће вредности израза. Сада већ сигурно можеш самостално довршити задатак.
37
5
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Проверавамо своје знање (5 минута)
3.
Вредност израза 111 − 37𝑎, за 𝑎 = 3 је природан број. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)
o
2.
Израз који представља број пет пута мањи од броја 𝑥 записујемо: а) 𝑥 ∶ 5; б) 𝑥 − 5; в) 5 ∶ 𝑥; г) 5 − 𝑥. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
Посматрај линијски дијаграм из задатка 4 дела „Вежбамо”. Колико би километара Ни-
pr om
1.
кола прешао након шест сати вожње? б) 40; в) 120; а) 60; (Заокружи слово испред тачног одговора.) 4.
г) 80.
Ed
uk a
Израз 10 − 2𝑏 има вредност већу од 5 ако променљива 𝑏 припада скупу: б) {0, 1, 2}; в) {8, 9}; г) {6, 7}. а) {3, 4, 5}; (Заокружи слово испред тачног одговора.)
38
ЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ N0
Научићеш да решаваш једначине у скупу N0.
Потрошња података
pr om
o
Вељко има на располагању 30 гигабајта интернета које може да потроши у току априла. Уз помоћ апликације ограничио је количину података које може потрошити у току дана. Одредио је да то буде количина од једног гигабајта. Такође, подесио је да апликација пошаље обавештење када му преостане три гигабајта. а) Саставићемо формулу потрошње интернета (број преосталих гигабајта у зависности од броја протеклих дана); б) Одредићемо ког дана ће Вељко добити обавештење од апликације. Решење а) Ако са 𝑥 означимо број протеклих дана, а са 𝑦 број преосталих гигабајта, онда је тражена формула 𝑦 = 30 − 𝑥 ; б) Потребно је одредити ког дана ће број преосталих података бити једнак 3. Другим речима, треба одредити број 𝑥 који задовољава једнакост 30 − 𝑥 = 3. Дефиниција 1
uk a
Два израза (од којих бар један садржи променљиву величину) повезана знаком једнакости чине је�начину. Сваки број који, замењен уместо променљиве у једначини, претвара једначину у тачну бројевну једнакост представља решење те једначине.
Ed
Једнакост 30 − 𝑥 = 3, према претходној дефиницији представља једначину. Како је 30 − 27 = 3, то закључујемо да је 𝑥 = 27 решење једначине. Дакле, Вељко добија обавештење од апликације 27. дана у месецу. Једначине са сабирањем
Пример 1
Никола је желео да уз помоћ ваге са два таса одреди масу 𝑚 врећице приказане на Слици 1. Уочио је да ако скида исти број тегова са оба таса, тасови ће бити у равнотежи као на почетку. На тај начин је дошао до закључка да је мерни број масе врећице једнак 2 (Види Слику 2).
Слика 1
Слика 2 39
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Равнотежа тегова на Слици 1 може се описати једначином: 𝑚 + 4 = 6. Њено решење је 𝑚 = 6 − 4 = 2. Променљива 𝑚 у претходној једначини представља непознати сабирак. Неūозна�и сабирак о�ређујемо �ако ш�о о� збира о�узмемо ūозна�и сабирак.
Једначине са одузимањем Пример 2
o
Из једнакости 19 + 17 = 36, на основу претходно изведеног правила закључујемо да важе једнакости: 19 = 36 − 17 и 17 = 36 − 19. Саставимо од ових једнакости једначине, при чему ћемо обојене бројеве прогласити за непознате: 19 = 𝑥 − 17 и 17 = 36 − 𝑦. Непозната 𝑥 представља непознати умањеник, док је 𝑦 непознати умањилац одговарајуће једначине. Користећи претходно наведене једнакости, можемо закључити:
Задатак 1 Одреди решења једначина: а) 254 + 𝑥 = 785; б) 𝑥 + 36 = 101; Пример 3
в) 𝑥 − 86 = 178;
г) 77 − 𝑥 = 14.
uk a
Једначине са множењем
pr om
Неūозна�и умањеник о�ређујемо �ако ш�о разлику и умањилац саберемо. Неūозна�и умањилац о�ређујемо �ако ш�о о� умањеника о�узмемо разлику.
Ed
Одредићемо масу врећице приказане на Слици 3. Решење На левом тасу се налазе две једнаке врећице при чему је маса сваке једнака 𝑚. Како је 𝑚 + 𝑚 = 2 ∙ 𝑚, oдговарајућа једначина је 2 ∙ 𝑚 = 6 или 𝑚 ∙ 2 = 6.
Слика 3
Да бисмо одредили масу једне врећице, потребно је масу тегова са десне стране поделити са 2, тј. 𝑚 = 6 ∶ 2 = 3. Променљиву 𝑚 у једначини можемо посматрати као непознати чинилац. Неūозна�и чинилац о�ређујемо �ако ш�о ūроизво� ūо�елимо ūозна�им чиниоцем.
Једначине са дељењем Пример 4 Из једнакости 4 ∙ 17 = 68, на основу претходног правила, закључујемо: 4 = 68 ∶ 17 и 17 = 68 ∶ 4. 40
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Слично као код одузимања, од последњих једнакости саставићемо једначине, при чему ћемо обојене вредности сматрати непознатим величинама: 4 = 𝑎 ∶ 17 и 17 = 68 ∶ 𝑏. Непозната 𝑎 представља непознати дељеник, док је 𝑏 непознати делилац одговарајуће једначине. Користећи претходно наведене једнакости, можемо закључити: Неūозна�и �ељеник о�ређујемо �ако ш�о количник и �елилац ūомножимо. Неūозна�и �елилац о�ређујемо �ако ш�о �ељеник ūо�елимо количником.
Задатак 2
Пример 5
в) 𝑥 ∶ 586 = 2 344;
pr om
Одредићемо масу врећице на основу података са Слике 4.
г) 1 782 ∶ 𝑥 = 891.
o
Одреди решења једначина: а) 𝑥 ∙ 5 = 235; б) 16 ∙ 𝑥 = 336;
Задатак 3
Реши једначине: а) 4𝑥 − 86 = 134;
б) 135 − 18 ∶ 𝑥 = 129.
Ed
Пример 6
Слика 4
uk a
Решење Подацима са слике одговара тзв. сложена једначина: 2𝑚 + 2 = 6 непознати сабирак 2𝑚 = 6 − 2 2𝑚 = 4 𝑚 = 4 ∶ 2 непознати чинилац 𝑚 = 2
Невена је потрошила 320 динара од свог недељног џепарца на књигу о здравој храни. Преостало јој је 200 динара од тог џепарца. Колики је Невенин месечни џепарац? Решење Решићемо задатак на два начина. Први начин: Означимо са 𝑛 Невенин недељни џепарац. Тада је 𝑛 − 320 = 200, одакле је 𝑛 = 200 + 320, па је 𝑛 = 520 динара. Месечни џепарац добијамо множењем недељног са 4, па је месечни џепарац једнак 520 ∙ 4 = 2 080. Дру�и начин: Ако означимо са 𝑚 месечни џепарац, добијамо сложену једначину: 𝑚 ∶ 4 − 320 = 200. Одавде добијамо 𝑚 ∶ 4 = 200 + 320, одакле је 𝑚 ∶ 4 = 520. Даље је 𝑚 = 520 ∙ 4, па је 𝑚 = 2 080 динара.
41
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
ВЕЖБАМО
5.
6.
д) 145 ∶ 𝑥 = 29.
б) подељен бројем 56 даје број 82.
Који број треба сабрати са бројем 429 да би се добила разлика бројева 1 199 и 120?
o
4.
г) 𝑥 ∶ 47 = 28;
pr om
3.
Одреди број који: а) помножен са 54 даје број 594;
в) 34 ∙ 𝑥 = 544;
Збир два броја је 986. Ако један од сабирака повећамо за 64, а други смањимо за 50, одреди за колико се збир повећао или смањио.
Реши једначинe: а) 10𝑥 − 252 = 478;
б) 46 0 + 88 ∶ 𝑥 = 471.
uk a
2.
Реши једначине: а) 𝑥 + 372 = 6 51; б) 789 − 𝑥 = 198;
Збир два узастопна парна броја једнак је 22. Одреди те бројеве.
Помоћ око 6. задатка?
Подсети се најпре који облик има произвољни паран број: 0, 2, 4, 6 , 8, 10, 12, …, 2𝑘 , 2𝑘 + 2, 2𝑘 + 4,… Сваки паран број можемо представити као производ броја _____ и неког броја из скупа N0. Ако посматрамо произвољна два парна броја, од којих мањи има облик 2𝑘 , тада је већи број једнак ......................... . Према услову задатка важи ................... + ................... = .................... На овај начин добијамо једначину коју треба решити. На основу њеног решења једноставно је открити о којим бројевима је реч. Пробај!
Ed
1.
42
ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ И ДЕЉИВОСТ – први део
Проверавамо своје знање (5 минута)
2.
Решење једначине 111 − 37𝑎 = 0 је 𝑎 = 3. НЕ ДА (Заокружи тачан одговор.) Ако од неког броја одузмемо разлику бројева 56 и 14, добије се број 89. Која једначина
pr om
3.
Решење једначине 54 − 𝑥 = 29 је: а) 25; б) 83; в) 23; г) 73. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
o
1.
Четири руже са украсним папиром коштају 500 динара. Ако је цена украсног папира 20 динара, онда је цена једне руже једнака: а) 480 динара; б) 120 динара; в) 100 динара; г) 250 динара. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
Ed
4.
uk a
описује наведену реченицу: а) 𝑥 − 56 − 14 = 89; б) (56 − 14) − 𝑥 = 89; в) 𝑥 − (56 − 14) = 89; г) не може се саставити једначина? (Заокружи слово испред тачног одговора.)
43