Математика, уџбеник за шести разред основне школе by Izdavačka kuća Eduka

радица Каровић • Сузана Ивановић • Душан Мијајловић

МАТЕМАТИКА 6

уџбеник за шести разред основне школе

Радица Каровић • Сузана Ивановић • Душан Мијајловић

МАТЕМАТИКА 6

Уџбеник за шести разред основне школе ГЛАВНИ УРЕДНИК Проф. др Бошко Влаховић ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Доц. др Наташа Филиповић

РЕЦЕНЗЕНТИ Др Марјан Матејић, ванредни професор на Катедри за математику, Електронски факултет у Нишу Љиљана Рајчић, наставник математике, ОШ „Иво Андрић”, Београд Ненад Вићентијевић, мастер математике, ОШ „Дринка Павловић”, Куршумлија Ивана Крупниковић, наставник математике, ОШ „Јован Поповић”, Крушевац

ДИЗАЈН И ГРАФИЧКА ПРИПРЕМА ЗЕМАРТ а�еље за �изајн

ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА Биљана Никић

ИЗДАВАЧ Едука д.о.о. Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 3287 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: http://www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs ЗА ИЗДАВАЧА Проф. др Бошко Влаховић, директор

ШТАМПА _______________ ИЗДАЊЕ _______________ ТИРАЖ _______________

САДрЖАЈ 5 6

Предговор Водич кроз уџбеник ЦЕлИ БроЈЕвИ

Скуп целих бројева Бројевна права. Супротни бројеви. Апсолутна вредност целог броја Упоређивање целих бројева Сабирање целих бројева Одузимање целих бројева Множење целих бројева Дељење целих бројева Изрази са целим бројевима ТроугАо

Појам троугла. Елементи троугла Неједнакост троугла Углови троугла Однос страница и углова троугла Конструкције неких углова Основне конструкције троуглова Подударност троуглова. Ставови подударности Описана и уписана кружница троугла

8 12 17 20 26 29 35 38

44 49 54 62 67 75 79 82

рАЦИонАлнИ БроЈЕвИ

Појам рационалног броја. Скуп Q Рационални бројеви на бројевној правој Упоређивање рационалних бројева Сабирање и одузимање рационалних бројева Једначине и неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу Q Множење и дељење рационалних бројева Једначине и неједначине са множењем и дељењем у скупу Q Правоугли координатни систем у равни Приказивање зависности међу величинама Проценти, размере и пропорције Директна и обрнута пропорционалност

90 95 99 103 109 116 124 129 140 143 149

ЧЕТвороугАо Појам четвороугла. Углови четвороугла Паралелограм Ромб, правоугаоник и квадрат Конструкција паралелограма Вектори Трапез Делтоид

160 166 173 180 183 191 197

Појам површине и једнакост површина Површина паралелограма Површина троугла Површина трапеза Површина четвороугла са нормалним дијагоналама Површина произвољног четвороугла

ПовршИнЕ ТроуглА И ЧЕТвороуглА

Решења задатака

202 207 212 216 219 221

225

ПрЕДговор

„Човек који хоће савесно да утиче на развитак другог човека може да поступа само на један начин: да развија његову снагу мишљења, да га научи да посматра чињенице сам својим умом и да сам уме правити логичке закључке.” Светозар Марковић

Стварајући овај уџбеник, имали смо намеру да пажљивим избором примера и задатака развијамо твоју снагу мишљења, да те научимо да посматраш чињенице својим умом и да научиш да правиш логичке закључке. Ове вештине и стечено знање ће у много чему одредити твоје место у свету у који ћеш закорачити када на крају школске године затвориш и последњу страну књиге која је пред тобом. На почетку сваке теме примером смо истакли ситуације или прилике из реалног окружења у којима се можеш сусрести са математичким појмом који објашњавамо. Задаци у делу Вежбамо су градирани. За једноставније захтеве (задаци означени са ) довољно је да познајеш основне појмове и поступке и зато је важно да их све пажљиво урадиш. Затим следе задаци за чије решавање је потребно да повежеш појмове који су обрађени у лекцији (задаци означени са ). На крају су задаци који се решавају сложенијим поступцима и који ти посебно помажу да уочаваш чињенице и повезујеш их (задаци означени са ). У оквиру вежбања понудили смо помоћ у виду сугестије, инструкције или једног од начина на који би требало да закључујеш приликом решавања задатака. На крају сваке лекције је петоминутни тест којим провераваш своје знање. Желимо ти много радости коју знањем и решеним задатком можеш да осетиш.

Срећно!

воДИЧ КроЗ уЏБЕнИК НАУЧИЋЕШ У ЛЕКЦИЈИ

НАСЛОВ ЛЕКЦИЈЕ

ЗАДАТАК ЗА САМОСТАЛНИ РАД ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Никола је првог дана у месецу имао на рачуну 17 300 динара. Наредних пет дана је подизао на банкомату (дневно) по 1 300 динара. Петог и шестог дана му је на рачун уплаћено по 3 200 динара. За колико се променило стање на Николином рачуну после седмог дана тог месеца (у односу на први дан)? Решење Бројевни израз који одговара наведеном проблему можемо записати у облику 17 300 − 5 ∙ 1 300 + 2 ∙ 3 200 = 17 200. Дакле,након седмог дана, Никола има 100 динара мање на рачуну у односу на први дан у месецу.  Када је проверавао стање на свом рачуну путем апликације, Никола је приметио да је свако подизање новца евидентирано бројем −1 300 , док је уплата забележена са +3 200 . Како је Никола пет пута подигао новац, а добио две уплате, бројевни израз из претходног примера је могуће записати у облику: 17 300 + (−1 300) + (−1 300) + (−1 300) + (−1 300) + (−1 300) + (+3 200) + (+3 200), односно 17 300 + 5 ∙ (−1 300) + 2 ∙ (+3 200). Приметимо да важи 5 ∙ (−1 300) = −(5 ∙ 1 300) и 2 ∙ (+3 200) = +(2 ∙ 3 200). Претходни изрази представљају множење позитивног целог броја негативним, односно множење два позитивна цела броја. ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Дефиниција 1

Пример 4

РЕШЕНИ ПРИМЕР

КРАЈ РЕШЕЊА ПРИМЕРА ИЛИ ОБРАЗЛОЖЕЊА ТВРЂЕЊА

Број 𝑛𝑛𝑛 ∙ (−𝑚𝑚𝑚) представља збир 𝑛𝑛𝑛 сабирака од којих је сваки једнак −𝑚𝑚𝑚 .

ТВРЂЕЊЕ

Слично: |𝑛𝑛𝑛 ∙ (+𝑚𝑚𝑚)| = |+(𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚)| = |𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚| = |𝑛𝑛𝑛| ∙ |𝑚𝑚𝑚|

Израз −(−5 + 4) има исту вредност као и израз: Проверавамо своје знање (5 минута) Пример а) −5 1+ 4; б) 4 − 5; в) 5 − 4; г) −(+1). (Заокружиследеће слово испред тачног одговора.) Одредићемо производе: 1. а) 7Вредност ∙ (−6) = −(7 ∙ 6) =−(7 −42; б) 12 ∙ (+8) = +(12 израза + 2 ∙ 3) је негативан цео број. ∙ 8) = +96.  3.

(− )) +12 једнака:

Одредићемо следеће производе: а) (−1) ∙ 17 = −17, б) (−1) ∙ (−28) = +28, в) (−8) ∙ 5 = −(8 ∙ 5) = −40, г) (−15) ∙ (−6) = 15 ∙ 6 = −90, д) (−5) ∙ 0 = −(5 ∙ 0) = 0.  Задатак 3

ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБУ

За сваки 𝑛𝑛 важи ∙ 1 = 1 ∙ = . Израчунај вредност израза на што једноставнији начин: −2023 + 92 + (−17) + (−92) + 16 + 2023 =

Број 1 је неутрални елемент за множење у скупу целих бројева. Код сабирања, неутрални елемент је нула, а за сваки цео број постоји њему супротан, чији је збир са полазним бројем једнак нули.

вЕЖБАМо

ПроЈЕКТнИ ЗАДАТАК: врЕМЕнСКА лИнИЈА

Својства множења целих бројева

Пр

Пример 2

Одредићемо јека следеће производе: Про Одабрати највише десет научника (математичара, филозофа а) (−1) ∙ 17 = −17, б) (−1) ∙ (−28) = +28, итд) и њихова најзначајнија постигнућа. Годину (или век) у коме в) (−8) ∙ 5 = −(8 ∙ 5) = −40,су стварали г) (−15) ∙ (−6)на = 15 ∙ 6 = −90, приказати бројевној правој. Одабрати и значајне д) (−5) ∙ 0 = −(5 ∙ 0) = 0. личности које су живеле пре нове ере. ПроЈЕКТнИ За сваки ЗАДАТАК: 𝑛𝑛 важи врЕМЕнСКА ∙ 1 = 1 ∙ = лИнИЈА .

ПРОЈЕКТНИ ЗАДАТАК

збир са полазним бројем једнак нули.

Саставила сам већ задатак: 1. Који цео број треба написати уместо променљиве величине тако да једнакост буде тачна: а) 2 + = 0; б) + (−5) = 0; в) 1 ∙ = 1; г) ∙ (−1) = 1 д) −2 ∙ = 1.

Решења су: а) = −2; б) = 5; в) = 1; г) = −1; д) = Имам проблем да одредим вредност променљиве . Мислим да то не може бити цео број.

Проверимо да ли постоји цео број тако да важи −2 ∙ = 1. Очигледно је 0. То значи да је | | 1. Даље имамо |−2 ∙ | = |−2| ∙ | | = 2 ∙ | | па производ −2 ∙ не може бити једнак 1. Можемо рећи да једначина −2 ∙ = 1 нема решења у скупу целих бројева.

Израчунај:

Лепо запажање. Сада ме интересује да ли за сваки цео број 0 постоји цео број тако да је ∙ = 1. Ајмо ово кроз неки пример.

а) +12 + (+3); б) −26 + (−7); Саставила сам већ задатак:

в) +33 + (−1); Решења су:г) −35 + 7. а) = −2; б) = 5; 1. Који цео број треба написати в) = 1; г) = −1; уместо променљиве величине Уместо упиши један од знакова плус (+) или минус (−),д)тако да једнакост буде тачна: = тако да једнакост буде тачна: Имам проблем да одредим а) ( 12)а)+2 (+ 15) б) (= 0;13) + ( 18) = −31; в) ( 13) + ( 18) = 5; = 0;= −3;б) + (−5) вредност променљиве . Мислим = 1;= −5; г) ∙ (−1) г) ( 13)в)+1(∙ 18) д)=(1 16) + (−16) = 0; ђ) ( 29) + ( 29) = 58. да то не може бити цео број. д) −2 ∙ = 1. Попуни табелу:

Проверимо да ли постоји цео број 7тако да важи −2 ∙ = 1. –11 17 Очигледно је 0. То значи да је | | 1. Даље имамо |−2 ∙ | = |−2| ∙ | | = 2 ∙ | | +5 +18 –33 па производ −2 ∙ не може бити једнак 1. 20 +33 +20 0 + Можемо рећи да једначина −2 ∙ = 1 нема решења у скупу целих бројева. 10 –42 +9 c

Одабрати највише десет научника (математичара, филозофа итд) и њихова најзначајнија постигнућа. Годину (или век) у коме Број 1 је неутрални елемент за множење уна скупу целих бројева. Код сабирања,и значајне су стварали приказати бројевној правој. Одабрати неутрални елемент је нула, а засу сваки цео број личности које живеле препостоји нове њему ере. супротан, чији је Лепо запажање. Сада ме интересује да ли за сваки цео број 0 постоји цео број тако да је ∙ = 1. Ајмо ово кроз неки пример.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

= 1 , па имамо: Тачка ( ) се пресликава у тачку 1(− ) у односу на (0). Важи На| основу претходних можемо закључити да важе следећа тврђења: Другим речима, |= = 1 = |− |.разматрања Међусобно суūро�ни цели бројеви имају је�наке аūсолу�не вре�нос�и. Тврђење 1 Како се нула пресликава у саму себе, то ће одговарајуће растојање бити једнако нули, тј. важи |0| = 0. Производ свака два цела броја је цео број, тј. за 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 важи (𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛𝑛) 𝑛𝑛 .

Својства множења ЦЕЛИ БРОЈЕВИ целих бројева

и произвољни цели бројеви. Тада је | ∙ | = | | ∙ | |.

ат ојек

Размотримо претходну дефиницију. Нека је 𝑛𝑛 и тачка ( ) бројевне праве. Ако је тачка (0), онда дужина дужи представља апсолутну вредност целог броја . Дакле, важи = | |.

Тврђење 2 14 Нека су и произвољни цели бројеви. Тада је | ∙ | = | | ∙ | |.

2. 4. Израз −(−5 + 4) има исту вредност као и израз: За произвољне , −и4; вредност израза −( − ) − (− − + ) − једнака је: а) −5 + 4; б)целе 4 − 5;бројевев) 5 г) −(+1). а) 0; б) 2испред ; в) ;одговора.)г) − . (Заокружи слово тачног (Заокружи слово испред тачног одговора.) 3. Ако је = −36 и = −3, онда је вредност израза −(− (− )) +12 једнака: а) −12; б) 0; в) 12; г) 1. ЦЕЛИ БРОЈЕВИ (Заокружи слово испред тачног одговора.) На основу претходних разматрања можемо закључити да важе следећа тврђења: 4. За произвољне целе бројеве , и вредност израза −( − ) − (− − + ) − једнака је: Тврђење 1 а) 0; б) 2 ; в) ; г) − . Производ свака два цела броја је цео број, тј. за 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 важи (𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛𝑛) 𝑛𝑛 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Пример 2

Растојање између тачака (5) и (0) једнако је 5, па је |5| = 5. Слично, растојање између тачака (−7) и (0) једнако је 7, па је |−7| = 7. 

Приметимо да, уколико је 𝑛𝑛 + тада важи | | = . Међутим, у случају када је 𝑛𝑛 −, тада се одређивање апсолутне вредности броја своди на одређивање њему супротног броја, тј. | | = − . На пример, |−25| = −(−25) = 25. Аūсолу�на вре�нос� цело� броја је нене�а�иван цео број, �ј. за 𝑛𝑛 важи | | 𝑛𝑛 𝑛𝑛 .

Вредност израза −(7 + 2 ∙ 3) је негативан број. број. Резултат јецео негативан ДА НЕ ЦЕЛИ БРОЈЕВИ Можемо приметити да важи |𝑛𝑛𝑛 ∙ (−𝑚𝑚𝑚)| = |−(𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚)| = |𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚| = |𝑛𝑛𝑛| ∙ |𝑚𝑚𝑚| (Заокружи тачан одговор.)

Нека су

У праву си. Твоју причу потврђују и особине централне симетрије. Наиме, ако су тачке 1 и 2 централносиметричне у односу на тачку , онда важи 1 = 2 .

Растојање између тачке чија је координата број 𝑛𝑛 и тачке чија је координата нула на бројевној правој, представља аūсолу�ну вре�нос� датог целог броја, што означавамо са | |.

КРАТАК ТЕСТ ПРОВЕРЕ ЗНАЊА

Тврђење 2

ДЕФИНИЦИЈА

За 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 и 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑛𝑛 важи: 𝑛𝑛𝑛 ∙ (−𝑚𝑚𝑚) = −(𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚) 𝑛𝑛𝑛 ∙ (+𝑚𝑚𝑚) =(5+(𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚) Проверавамо своје знање минута)

Ако = −36 и = −3, онда је вредност израза −(− ДА је НЕ а) −12; б) 0; г) 1. (Заокружи тачан одговор.) в) 12; (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Апсолутна вредност целог броја

МОТИВАЦИОНИ ПРИМЕР

Банковни рачун

Дат је скуп целих бројева = −9 0 7 −3 −1 5 . а) Одреди скуп чији су елементи супротни бројеви елементима скупа . б) Одреди скупове и . в) Да ли у скупу има више позитивних бројева него у скупу ? г) Прикажи елементе скупова и на бројевној правој.

МноЖЕЊЕ ЦЕлИХ БроЈЕвА

Задатак 1

Научићеш да множиш целе бројеве.

ЗА ОНЕ КОЈИ ЖЕЛЕ ДА ЗНАЈУ ВИШЕ

c+d

–42

–3

55 55

+10

+22 –44

Збиру бројева −35 и −26 додај број који је супротан броју −99. Запиши одговарајући израз, па израчунај његову вредност.

Одреди збир свих елемената скупа = 𝑛𝑛 | | 6 −3 .

Помоћ31 око 4. задатка?

Помоћ око 4. задатка? Запиши одговарајући израз: (......... + .........) + (−.........) = При одређивању вредности израза можеш користити позната својства сабирања целих бројева.

Дати су бројеви: = −(−(−7)) = −|−|−21|| и = |−(−13)|. Одреди вредност израза −|−| + − || − 3.

ПОМОЋ У РЕШАВАЊУ И ДОДАТНА ПОЈАШЊЕЊА

ЦЕлИ БроЈЕвИ

Упознаћеш неке бројеве који не припадају скупу N0.

СКуП ЦЕлИХ БроЈЕвА Централна симетрија

Наравно. Тачке A и A1 су централносиметричне у односу на тачку S ако важи A − S − A1 и AS = A1S. Зашто питаш?

На пример, тачке A(1) и E(5) су централносиметричне у односу на тачку C(3). Слично, тачке O(0) и D(4) су централносиметричне у односу на тачку B(2).

Док сам помагала млађем брату да представи природне бројеве на бројевној полуправој, уочила сам парове централносиметричних тачака чије су координате природни бројеви, а да притом координате центра симетрије буду такође природни бројеви.

Сећаш се централне симетрије?

Задатак 1

Уочи још неки пар централносиметричних тачака (координате тих тачака и центра симетрије су елементи скупа N0). Када сам задала да центар симетрије буде тачка O(0) и покушала да пресликам, рецимо, тачку A(1), нисам могла да одредим координату тачке која представља одговарајућу слику.

Да бисмо одредили тачку коју тражиш, морамо проширити бројевну полуправу са леве стране. Тражена тачка је A1. Притом важи |A1O| = | | = 1. Остаје проблем да сазнамо који број представља координату тачке A1. Нека је A1( ). Важи 𝑛𝑛 .

Хмм... Да. Разумем проблем. Та тачка уопште не припада бројевној полуправој. Њена координата самим тим не може бити елемент скупа N0.

A1 a

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Тако је. Овакав запис бројева се јавља на скалама термометра, у лифтовима...

На скали термометра примећујемо да тачки чија је координата 10 одговара централносиметрична тачка чија је координата означена са −10 (центар симетрије је тачка са координатом нула).

Према томе за координату тачке 1( ), користићемо број −1, тј. важи = −1. Број −1 читамо „минус један”.

Сетио сам се да бројеви који су лево од нуле или испод нуле на различитим скалама, имају ознаку – (минус) уз одговарајуће бројеве који су нам већ познати.

Овако задатим централносиметричним пресликавањем можемо пресликати све елементе скупа природних бројева. Скуп координата одговарајућих слика представља нови бесконачни скуп бројева.

Дефиниција 1

Број облика −𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 представља не�а�иван број придружен природном броју 𝑛𝑛𝑛. Скуп свих бројева облика −𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 називамо скуū не�а�ивних целих бројева и означавамо = −4 −3 −2 −1 . Негативан број придружен природном га са −. Важи − = −𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 броју 𝑛𝑛𝑛 називамо још и не�а�иван цео број.

Дефиниција 2

Унија скупа негативних целих бројева и скупа природних бројева са нулом представља скуū целих бројева, који означавамо са . −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 . Дакле, важи = − 𝑛𝑛 = Скуп природних бројева називамо још и скуūом ūози�ивних целих бројева и означавамо га са +. Дакле, важи 𝑛𝑛 = +. За скуп 𝑛𝑛 кажемо још да је скуū нене�а�ивних целих бројева.

−

Нула није ни позитиван ни негативан број!

𝑛𝑛 =

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

За записивање негативних целих бројева, као што смо већ рекли, користимо знак – испред одговарајућег природног броја. Како су природни бројеви уједно и позитивни цели бројеви, често се испред њиховог записа користи знак +. Дакле, сваком целом броју, различитом од нуле, можемо придружити његов знак. Како нула није ни позитиван ни негативан цео број, нећемо јој доделити знак. Хмм... То значи да ако природан број 5 посматрам као позитиван цео број, онда ћу писати +5. Свакако важи 5 = +5, што значи да се знак + може изоставити. Тако је. С друге стране, знак − испред негативног броја се не сме изоставити. Ако би важила једнакост −5 = 5, то би значило да постоји цео број који је истовремено позитиван и негативан, што нема смисла.

Тачно тако. Из Дефиниција 1 и 2 ове лекције јасно је да су скупови + + и − дисјунктни, тј. − = .

Задатак 2 Заокружи слова испред тачних исказа: а) 5 𝑛𝑛 𝑛𝑛; в) 0 𝑛𝑛 ; д) −352 𝑛𝑛 −; е) Број 0 је ненегативан цео број;

Тачни су следећи искази: + + 𝑛𝑛 𝑛𝑛 = 0

Пример 1

б) −1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 ; г) 0 𝑛𝑛 −; ђ) Број 17 је ненегативан цео број; ж) 0 𝑛𝑛 +.

−

𝑛𝑛 =

= 𝑛𝑛 

вЕЖБАМо

Дат је скуп = −256 0 −35 1 17 2 562 . Одреди елементе подскупова садржи позитивне целе бројеве, а негативне. У празна поља упиши знак 𝑛𝑛 или а) 11

;

б) −9

;

скупа ако

тако да запис буде тачан: в) 0

г) −17

𝑛𝑛 ;

д) 0

3. Заокружи слова испред тачних исказа: + а) + ; б) − 𝑛𝑛 ; в) − ; 10

г)

−

;

д) 𝑛𝑛

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

4. У празна поља упиши знак а) 11 0 5 257 −1 000

в) 11 0 5 257 1 000

или

тако да запис буде тачан: б) 11 0 5 257 −1 000

г) 11 0 5 257 1 000

;

−

𝑛𝑛

( −

); в) ( +

)

−

𝑛𝑛.

Представи дате тачке на бројевној правој. Присети се особина централне симетрије.

Одреди скупове: + а) ( + 𝑛𝑛 ) ; б)

Помоћ око 5. задатка?

Одреди број 𝑛𝑛 тако да тачке ( ) и (17) буду централносиметричне у односу на тачку (−7). Затим, одреди тачку ( ) 𝑛𝑛 , у односу на коју се тачка ( ) централносиметрично пресликава у тачку (13).

Скупу = 3 −7 6 −8 0 припадају тачно два позитивна цела броја. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Нула је позитиван цео број. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Проверавамо своје знање (5 минута)

Ако је = | 𝑛𝑛 + и = | је ненегативан цео број}, онда је: а) = ; б) = 𝑛𝑛 ; в) = +; г) = ; д) (Заокружи слова испред тачних одговора.)

Скуп 𝑛𝑛 једнак је: а) ; б) +; в) −; г) 𝑛𝑛 ; (Заокружи слово испред тачног одговора.)

д)

= .

БроЈЕвнА ПрАвА. СуПроТнИ БроЈЕвИ. АПСолуТнА врЕДноСТ ЦЕлог БроЈА

Научићеш да представљаш целе бројеве на бројевној правој. Сазнаћеш за које целе бројеве кажемо да су супротни и шта је апсолутна вредност целог броја.

Бројевна права Твоја прича о централној симетрији на бројевној полуправој била ми је јако занимљива. Пресликавао сам тачке чије су координате природни бројеви редом у односу на тачку координате нула. Сваки пут сам морао додатно да проширим бројевну полуправу улево. Што је координата тачке већи природни број, то је „продужетак” бројевне полуправе са леве стране дужи.

Тако је. То значи да, уколико желимо да пресликамо све тачке редом чије су координате природни бројеви, неће нам бити довољна дуж са леве стране нуле, већ читава полуправа!

Слажем се. Иначе, полуправа за коју кажемо да је „проширење” наше бројевне полуправе представља њену централносиметричну слику у односу на тачку чија је координата нула.

Унија бројевне полуправе и њене централносиметричне слике у односу на тачку координате нула, назива се бројевна ūрава.

Присетимо се да избор јединичне дужи бројевне полуправе одређује положаје тачака чије су координате одговарајући бројеви. Исто важи и у случају бројевне праве. Природне бројеве тј. позитивне целе бројеве, већ умемо да приказујемо.

Најпре бирамо дужину јединичне дужи и положај тачке нула.

Негативне целе бројеве представљамо лево од нуле, за одговарајући број јединичних дужи.

–1

–2

–1

За сваки цео број постоји тачно једна тачка са дате бројевне праве која му одговара. Ако са означимо бројевну праву, тада важи: За сваки број 𝑛𝑛 , ūос�оји �ачно је�на ( ) 𝑛𝑛 . 12

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Пример 1 На Слици 1 је приказан део бројевне праве. а) Ако је (−3), одредићемо координате тачака и . б) Ако је координата тачке најмањи прост број, одредићемо координате тачака , и . Решење а) (−4), (1); Пример 2

Слика 1

б) (−8), (−6), (2). 

(3);

Супротни бројеви

б) (−5)

(−6);

в) (7)

(4). 

Решење а) (−5)

Одредићемо координате тачака и ако важи: а) Тачка се налази лево од нуле за пет јединичних дужи, а тачка за три јединичне дужи десно од нуле; б) Тачке и се налазе лево од нуле и то: тачка за пет јединичних дужи, а тачка за шест; в) Тачка се налази десно од нуле за седам јединичних дужи, док је тачка за три јединичне дужи ближа нули од тачке .

Негативне бројеве смо представили као бројеве придружене природним бројевима са циљем да одредимо одговарајуће централносиметричне слике у односу на нулу.

Пример 3

Нека је 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 . Број −𝑛𝑛𝑛 је суūро�ан број датом броју 𝑛𝑛𝑛 . Како се тачка (𝑛𝑛𝑛) пресликава централносиметрично у тачку (−𝑛𝑛𝑛) (у односу на нулу), то важи да се и тачка (−𝑛𝑛𝑛) истим пресликавањем пресликава у тачку (𝑛𝑛𝑛). Другим речима, ако је −𝑛𝑛𝑛 супротан број броју 𝑛𝑛𝑛 , онда је и број 𝑛𝑛𝑛 супротан броју −𝑛𝑛𝑛 . Супротан број броју −𝑛𝑛𝑛 записујемо са −(−𝑛𝑛𝑛). Важи −(−𝑛𝑛𝑛) = 𝑛𝑛𝑛. Како се центар симетрије пресликава у самог себе, то је нула сама себи супротан број. Број − је суūро�ан број броју 𝑛𝑛 . Важи −(+ ) = − и −(− ) = + = . Супротан број броју 13 је −13 , док је супротан број броју −25 једнак −(−25) = 25.  Интересантно. То значи да знак − испред целог броја означава супротан број тог целог броја. То не мора бити негативан број.

− 17

Ја сам супротан број броју 17.

− (−6) = 6

Тако је. Док сам те слушао, скицирао сам мини-стрип који одговара твојој причи.

Ја сам супротан број броју −6.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Задатак 1 Дат је скуп целих бројева = −9 0 7 −3 −1 5 . а) Одреди скуп чији су елементи супротни бројеви елементима скупа . б) Одреди скупове и . в) Да ли у скупу има више позитивних бројева него у скупу ? г) Прикажи елементе скупова и на бројевној правој. Апсолутна вредност целог броја

Када сам покушала да пресликам тачку координате 2 бројевне полуправе у односу на тачку која одговара нули, било ми је потребно да лево од нуле „продужим” бројевну полуправу за две јединичне дужи. Дужина која је недостајала једнака је растојању тачке која одговара броју 2 од нуле на тој полуправој. У праву си. Твоју причу потврђују и особине централне симетрије. Наиме, ако су тачке 1 и 2 централносиметричне у односу на тачку , онда важи 1 = 2 .

Дефиниција 1

Пример 4

= 1 , па имамо: Тачка ( ) се пресликава у тачку 1(− ) у односу на (0). Важи | |= = 1 = |− |. Другим речима: Међусобно суūро�ни цели бројеви имају је�наке аūсолу�не вре�нос�и. Како се нула пресликава у саму себе, то ће одговарајуће растојање бити једнако нули, тј. важи |0| = 0. 14

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

За различите целе бројеве , дефиниција апсолутне вредности се може исказати на следећи начин: ⎧ | |= 0 ⎨− ⎩

𝑛𝑛 + =0 𝑛𝑛 −

или краће | | = Задатак 2

| | је једнако у случају када је 𝑛𝑛

| | је једнако − у случају када је 𝑛𝑛

−

Краћи записи увек добро дођу!

| | је једнако 0 у случају када је = 0

| | је једнако у случају када је ненегативан цео број.

⎰ 𝑥, 𝑥 ∈ 𝒁+ ∪ {𝟎} ⎱ −𝑥, 𝑥 ∈ 𝒁−

| | је једнако − у случају када је негативан цео број.

Допуни следеће реченице тако да буду тачне: а) Апсолутну вредност броја −15 записујемо: ................... б) Запиши на линији одговарајуће целе бројеве тако да једнакости буду тачне: |27| = ..................; |−36| = ..................; .................. = |−17 | = |............|

Задатак 3

Одреди све целе бројеве за које важи | | = 11. Задатак 4

Задатак 5

за које је | | = −3?

Колико има целих бројева

Одреди елементе скупа

| 𝑛𝑛

| | 4.

вЕЖБАМо

1. 2.

На бројевној правој представи тачке: (4)

(−3)

(0)

(1)

(5).

Попуни празна поља у табели одговарајућим целим бројевима:

−

−22

−19

560

| | 15

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

На бројевној правој дате су тачке (−5) и (6) Ако је растојање између те две тачке 33 cm, колика је дужина јединичне дужи? Одреди растојање (у cm) између тачке (10) и тачке чија је координата нула. Одреди вредност израза: а) −(+17); в) |−24|−|−8|∙|−2|+3∙|−4|; д) −(−|+10+30|)−|−(−4)+3∙9|.

Присети се дефиниције

Ако је цео ненегативан број, упрости изразе: а) 5∙| |+4|− |; б) −(|−7|∙|− |+3|− |). Дати су скупови = 𝑛𝑛 и | | 3 = 𝑛𝑛 и | | 2 , = 𝑛𝑛 и | | 3 . Одреди елементе скупа

(

Помоћ око 5. задатка?

броја | |. Пажљиво прочитај услов задатка.

б) |−22|−|+22|; г) −(−(−(−9)))∙|−(−13)|;

Супротан број броју −5 једнак је 5. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Проверавамо своје знање (5 минута)

Свака два супротна цела броја имају међусобно једнаке апсолутне вредности. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Ако је (−17), (−52), (0), (152), (1), онда важи распоред тачака: а) − − − − ; б) − − − − ; в) − − − − . (Заокружи слово испред тачног одговора.) Скуп свих целих бројева за које важи | | −6 једнак је: а) ; б) +; в) −; г) −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 ; д) . (Заокружи слово испред тачног одговора.) 16

Научићеш да упоређујеш целе бројеве.

уПорЕЂИвАЊЕ ЦЕлИХ БроЈЕвА

Научили смо да упоређујемо природне бројеве у зависности од положаја одговарајућих тачака на бројевној полуправој. То значи да већ умемо да упоређујемо позитивне целе бројеве.

Тврђење 1

Природан број који се на бројевној полуправој налази лево од датог броја те полуправе мањи је од датог броја. Природни бројеви чије се одговарајуће тачке бројевне полуправе међусобно поклапају, једнаки су међусобно.

Претходно тврђење можемо исказати на следећи начин: Ако је тачка ( ) лево од тачке ( ) на бројевној полуправој ( 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛), онда је .У случају када се тачке ( ) и ( ) поклапају, онда је = . Наиме, из наведеног тврђења следи да се свака два природна броја могу упоредити, као и да је сваки природан број већи од нуле. На исти начин ћемо упоређивати и целе бројеве. Наводимо „проширено” тврђење:

Тврђење 2

Цео број који се налази лево на бројевној правој у односу на дати цео број те праве, мањи је од датог броја. Цели бројеви чије се одговарајуће тачке бројевне праве међусобно поклапају, једнаки су међусобно.

У Тврђењу 2 наводи се „цео број” уместо „природан” , као и „бројевна права” уместо „бројевна полуправа”.

Задатак 1 Прочитај пажљиво претходна тврђења, па допуни следеће реченице речима ПОЗИТИВАН или НЕГАТИВАН. а) Сваки .................................... цео број је мањи од сваког .................................... целог броја. б) Сваки .................................... цео број је већи од нуле. в) Сваки .................................... цео број је мањи од нуле.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Нека су на бројевној правој дате тачке (0), ( ) и ( ), при чему је 𝑛𝑛 +, 𝑛𝑛 + и . Означимо са 1 и 1 централносиметричне слике тачака и , редом, у односу на тачку . Тада је 1(− ) и 1(− ), при чему важи − 𝑛𝑛 −, − 𝑛𝑛 −. A1

–b

–a

а) Од два позитивна цела броја већи је онај чија је апсолутна вредност већа. б) Од два негативна цела броја већи је онај чија је апсолутна вредност мања. Задатак 2

На линији упиши знак , > или = тако да исказ буде тачан: а) −4 ............. −17 б) 156 ............. −73; в) −15 ............. −21; г) −50 ............. +50; д) −37 ............. 0; ђ) 49 ............. 0; е) +4 ............. −(−4).

Задатак 3

Прочитај пажљиво Тврђење 3, па допуни реченице одговарајућим променљивама: а) Ако је 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + и | | | |, онда је ............. > .............. б) Ако је 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛 − и | | | |, онда је ............. .............. в) Ако је 𝑛𝑛 − и 𝑛𝑛 + онда је ............. > .............. г) Ако је 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑛𝑛 и = 0, онда је ............. .............. д) Ако је 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 − и = 0, онда је ............. ..............

вЕЖБАМо

Који од знакова или = треба да упишеш у одговарајући квадратић, тако да добијени искази буду тачни: а) −7

г) |−121|

|−7|;

|121|;

б) −33

д) −|−(−9)|

−|−33|;

−(−(−9));

в) −6

ђ) |−18|

−(−6);

|−13|?

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Дат је скуп целих бројева = −1 43 −29 2 54 −2019 . Одреди скуп бројеви супротни бројевима из скупа . Затим, одреди: a) најмањи елемент скупа ; б) највећи елемент скупа .

чији су елементи

Запиши: а) два позитивна; б) три негативна цела броја чија је апсолутна вредност мања од 7.

г) −|−𝑚𝑚𝑚| 0?

Одреди све целе бројеве и за које важи: а) | | + | | = 1; б) | | + | | 2.

За које целе бројеве 𝑚𝑚𝑚 важи да је: а) −𝑚𝑚𝑚 0; б) |−𝑚𝑚𝑚| 0; в) 𝑚𝑚𝑚 0;

Нека су цели бројеви и задати на следећи начин: − = −(−(−8)) = −|−9| − = |−(−1)| = −(−|−4|). а) Одреди најмањи од датих бројева; б) Одреди највећи од датих бројева. Помоћ око 6. задатка?

Размотри могуће случајеве. Притом, води рачуна да је апсолутна вредност увек ненегативна!

Неједнакост −6 −2 је тачна. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Проверавамо своје знање (5 минута)

Не постоји ниједан цео број ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

за који важи | | −1.

Ако је

скуп свих следбеника броја −3, а скуп свих претходника броја 2, онда је скуп једнак: а) ; б) +; в) −; г) 𝑚𝑚𝑚 | 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 −3 𝑚𝑚𝑚 2 ; д) . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Колико постоји парова целих бројева и за које важи | | + | | 0? а) ниједан; б) један; в) бесконачно много; г) два. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 19

Научићеш да сабираш целе бројеве.

САБИрАЊЕ ЦЕлИХ БроЈЕвА

Како сабрати два произвољна цела броја? Ако су оба сабирка ненегативни цели бројеви, то већ знамо! Како сабирамо у случају када је бар један од сабирака негативан цео број?

Пример 1

Нека су на бројевној правој дате тачке (0) и (2). Одредићемо координате тачке ( ), која је од тачке удаљена три јединичне дужи удесно.

–5

–4

–3

–2

–1

–6

Решење Тражена тачка је (5). Представимо решење овог проблема на бројевној правој. 3

Одређивање тражене координате своди се на одређивање збира 2 + 3, тј. на сабирање одговарајућих позитивних целих бројева (први сабирак је почетна позиција, док је други сабирак број јединичних дужи за који се померамо удесно од те позиције). Полазна тачка може бити позитиван цео број, нула или негативан цео број. Приметимо да важи 2 𝑛𝑛 + 3 𝑛𝑛 + (2 + 3) 𝑛𝑛 + и |2 + 3| = |2| + |3|. 

–6

Посматрајмо, сада, централносиметричне тачке (0). Важи 1(−2) и 1(−5). B1

–5

–4

+(–3)

–3

–2

–1

тачака

и , редом, у односу на тачку

Приметимо да је тачка 1 удаљена три јединичне дужи улево од тачке 1. Кретање за три јединичне дужи улево, описаћемо сабирањем негативним целим бројем (−3). Важи −2 + (−3) = −5.

Приметимо да је −2 𝑛𝑛 − −3 𝑛𝑛 − (−2 + (−3)) 𝑛𝑛 − и |−2 + (−3)| = |−2| + |−3|. Нека је 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + и . Тада је − 𝑛𝑛 − и − 𝑛𝑛 −.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

На бројевној правој представљено је сабирање целих бројева истог знака: S1

–a + (–b)

–a

–b

+(–b)

− 𝑛𝑛 − − 𝑛𝑛 − (− + (− )) 𝑛𝑛 − |− + (− )| = |− | + |− |

S +b

a+b

𝑛𝑛 + ( + ) 𝑛𝑛 + | + |=| |+| | 𝑛𝑛

Тврђење 1

Збир два цела броја истог знака је цео број истог знака као и сабирци. Апсолутна вредност збира једнака је збиру апсолутних вредности сабирака.

Пример 2

Одредићемо следеће збирове користећи бројевну праву: а) −2 + 3 б) 2 + (−3)

–2

–1

−2 + 3 = +1 𝑛𝑛 + |−2 + 3| = |+1| = |3| − |−2|

–3

Решење

–2

+(–3)

–1

2 + (−3) = −1 𝑛𝑛 − |2 + (−3)| = |−1| = |−3| − |2|



Нека је 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + и . Тада је − 𝑛𝑛 − и − 𝑛𝑛 −. На бројевној правој представљено је сабирање целих бројева различитог знака (у једном од случајева):

–a

–b +b

–a + b

(− + ) 𝑛𝑛 − |− | | | |− + | = |− | − | |

Тврђење 2

–b + a

(− + ) 𝑛𝑛 + | | |− | |− + | = | | − |− |

Збир два цела броја различитих знакова је цео број чији је знак једнак знаку сабирка са већом апсолутном вредношћу. Апсолутна вредност збира једнака је разлици апсолутних вредности сабирака (када од веће одузмемо мању). 21

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Пример 3 При одређивању збира −4 + 0 сматрамо да тачка чија је координата −4 није променила положај на бројевној правој, па важи −4 + 0 = −4. Такође је 0 + (−7) = −7 (крећемо се седам јединичних дужи лево од нуле). Већ је познато да је нула неутрални елемент за сабирање у скупу природних, тј. позитивних целих бројева.  За сваки 𝑛𝑛

важи + 0 = 0 + =

На основу претходних разматрања, можемо формулисати следеће тврђење: Тврђење 3

Пример 4

Ако је = −7 и

в) 15 + (−18) =

г) 0 + (−18) =

Одреди вредности следећих израза: а) −15 + 18 = б) −15 + (−18) =

важи (𝑚𝑚𝑚 + 𝑛𝑛𝑛) 𝑛𝑛

Задатак 1

и 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛

Збир свака два цела броја је цео број, тј. за 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛

= −12, одредићемо вредност израза + (− ).

Решење Заменом одговарајућих вредности добијамо −7 + (−(−12 )) = −7 + 12 = 5.  Својства сабирања целих бројева

На бројевној правој је приказано сабирање произвољног целог броја броја.

–a +a

+(–a)

За сваки 𝑛𝑛

и њему супротног

важи + (− ) = − + = 0

Задатак 2 Упиши на линији цео број тако да једнакост буде тачна: а) −7 + ......... = 0; б) 8 + ......... = 0; в) ......... + (−(−19 )) = 0;

г) 0 + ......... = 0.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Знамо да је операција сабирања комутативна у скупу природних, тј. позитивних целих бројева. Образложимо комутативност сабирања у скупу негативних целих бројева. Нека је 𝑛𝑛 + и 𝑛𝑛 +. S1

+(–b)

+(–a)

–a

–a + (–b)

–b + (–a)

+(–a)

–b

+(–b)

a+b M b+a

Како је + = + (важи комутативност у скупу +), то се тачке ( + ) и ( + ) на одговарајућој бројевној правој поклапају. Како се и њихове централносиметричне тачке у односу на тачку координате нула, морају поклапати, тј. тачке 1(− + (− )) и 1(− + (− )) се поклапају, то важи − + (− ) = − + (− ). Сличним разматрањем, није тешко уочити да се тачке (− + ) и ( + (− )) бројевне праве поклапају, тј. важи − + = + (− ). Слично се и тачке ( + (− )) и (− + ) поклапају, па је + (− ) = − + . Наведена разматрања указују на тачност закључка:

Сабирање у скупу целих бројева је кому�а�ивно тј. за сваки 𝑛𝑛 𝑛𝑛 важи + = +

(–a + (–b)) + (–c)

–a + (–b)

–a

+(–a + (–b))

+(–c)

+(–a)

+(–b + (–c))

–a + ((–b) + (–c))

Користећи особину асоцијативности сабирања у скупу позитивних целих бројева, образложићемо асоцијативност сабирања у скупу негативних целих бројева.

Пример 5

+a a

+(b + c)

+(a + b)

a+b

Сабирање у скупу целих бројева је асоција�ивно тј. за сваки 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 важи + ( + ) = ( + ) +

a + (b + c) +c

(a + b) + c

Користећи својства сабирања целих бројева, одредићемо вредност израза: (17 + (−23)) + (−17) = (−23 + 17) + (−17) = −23 + (17 + (−17)) = −23 + 0 = −23  комутативност

асоцијативност

Збир целог броја и њему супротног је нула.

Нула је неутрални елемент за сабирање. 23

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Задатак 3 Израчунај вредност израза на што једноставнији начин: −2023 + 92 + (−17) + (−92) + 16 + 2023 =

вЕЖБАМо 1.

б) −26 + (−7);

в) +33 + (−1);

г) −35 + 7.

Уместо упиши један од знакова плус (+) или минус (−), тако да једнакост буде тачна: а) ( 12) + ( 15) = −3; б) ( 13) + ( 18) = −31; в) ( 13) + ( 18) = 5; г) ( 13) + ( 18) = −5; д) ( 16) + (−16) = 0; ђ) ( 29) + ( 29) = 58.

–42 –42

+20 +9 –3

c+d

–17

+18 –20

–7

–33

–11

Попуни табелу:

+33

–55

–44

–55

Израчунај: а) +12 + (+3);

–10

+10

+22

Одреди збир свих елемената скупа = 𝑛𝑛 | | 6 −3 .

Помоћ око 4. задатка?

Помоћ око 4. задатка? Запиши одговарајући израз: ( + ) + (− )= При одређивању вредности израза можеш користити позната својства сабирања целих бројева.

Дати су бројеви: = −(−(−7)) = −|−|−21|| и = |−(−13)|. Одреди вредност израза −|−| + − || − 3.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Проверавамо своје знање (5 минута)

Збир свих целих бројева који се налазе између −54 и 55 једнак је: а) 0; б) 54; в) 55; г) 2 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Ако је = −11 и = −35, онда је вредност израза −(− + (− )) једнака: а) 46; б) −46; в) 24; г) −24. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Вредност израза −13 + (−22) + 35 је позитиван цео број. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Вредност израза 72 + (−18) је негативан цео број. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Научићеш да одузимаш целе бројеве.

оДуЗИМАЊЕ ЦЕлИХ БроЈЕвА

Позната нам је операција одузимања у скупу 𝑛𝑛 . Наиме, ако је 𝑛𝑛 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 𝑛𝑛 и , онда је ( − ) 𝑛𝑛 𝑛𝑛 . Под датим условима, у скупу 𝑛𝑛 није могуће одредити разлику − , па ( − ) 𝑛𝑛 . Задатак 1

Заокружи слова испред израза чија вредност припада скупу 𝑛𝑛 : а) 18 − 5; б) 79 − 81; в) 24 − 0; г) 0 − 3; д) 0 − 0;

ђ) 13 − 13.

Пример 1

–6

–5

–4

–3

–2

–1

Разлика 4 − 3 је изводљива у скупу 𝑛𝑛. Важи 4 − 3 = 1 𝑛𝑛 𝑛𝑛. Наведено одузимање можемо приказати на бројевној правој: 1

–3

Разлику 4 − 3 на бројевној правој приказујемо кретањем за три јединичне дужи улево од тачке чија је координата 4. Зато разлику 4 − 3 можемо посматрати као збир 4 + (−3). Дакле, 4 − 3 = 4 + (−3) = +1 𝑛𝑛 +. 

На овај начин ћемо одузимати произвољна два цела броја.

Дефиниција 1

умањеник, а

Разлика целих бројева и , при чему је броја и броја супротном броју .

Претходну дефиницију можемо исказати на следећи начин: За 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛 важи − = + (− ). Пример 2

умањилац, једнака је збиру

Одузимање је увек изводљиво у скупу целих бројева!

Одредићемо вредности израза: а) 3 − 4 = 3 + (−4) = −1 б) −3 − 4 = −3 + (−4) = −7; в) −3 − (−4) = −3 + (−(−4)) = −3 + 4 = +1. г) −7 − (19 − 22) = −7 − (−3) = −7 + (−(−3)) = −7 + 3 = −4.  Пример 3

Ако је = −11 = −(−16) и = 17 , одредићемо вредност израза −( − − (− )) = −(−11 − (−(−16)) − (−17)) = −(−11 − 16 + 17) = −(−11 + (−16) + 17) = −(−27 + 17) = −(−10) = +10 .  26

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

вЕЖБАМо

Који од датих израза = 30 − (−10) − (−20) = −200 − 240 − (−440) имају једнаке вредности?

в) +43 − (−21);

Израчунај вредности бројевних израза: а) (−3 − 12) − (−29 − 1); в) (−31 − (−39)) − (−28 − (−9));

б) (34 − 46) − (84 − 21); г) (−151 − 224) − (−400 − 3).

Разлику бројева −31 и −44 (−31 је умањеник) умањи за негативан број са најмањом апсолутном вредношћу. Одреди вредност одговарајућег израза.

Одреди вредност израза | | − |− − 17| − 17, ако је | | = 6 и 0.

Ако је = −5 = +9 = −6, одреди који од наведених израза има најмању вредност: =9−( − )− =− + − = − + − 10.

Помоћ око 5. задатка?

Најпре одреди , а затим и вредност израза у апсолутној вредности. Даље је једноставно.

г) −42 − 13.

= −52 − 40 − (+28) = −128 − (−28) + 100

б) −22 − (−9);

Израчунај: а) +16 − (+7);

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Проверавамо своје знање (5 минута)

Вредности израза −14 − (−10) и 5 − (+1) су супротни цели бројеви. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Вредност израза 12 − 17 је негативан цео број. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Ако је = −15

= −25, онда је вредност израза −(− − (− )) једнака:

а) 40; б) −40; в) 10; г)−10. (Заокружи слово испред тачног одговора.) Ако је је

и , онда је а) ( − ) 𝑛𝑛 ; б) ( − ) 𝑛𝑛 +; в) (− − (− )) 𝑛𝑛 (Заокружи слово испред тачног одговора.) +

, 𝑛𝑛

𝑛𝑛

Научићеш да множиш целе бројеве.

МноЖЕЊЕ ЦЕлИХ БроЈЕвА Банковни рачун

Када је проверавао стање на свом рачуну путем апликације, Никола је приметио да је свако подизање новца евидентирано бројем −1 300 , док је уплата забележена са +3 200 . Како је Никола пет пута подигао новац, а добио две уплате, бројевни израз из претходног примера могуће је записати у облику: 17 300 + (−1 300) + (−1 300) + (−1 300) + (−1 300) + (−1 300) + (+3 200) + (+3 200), односно 17 300 + 5 ∙ (−1 300) + 2 ∙ (+3 200).

Приметимо да важи 5 ∙ (−1 300) = −(5 ∙ 1 300) и 2 ∙ (+3 200) = +(2 ∙ 3 200). Претходни изрази представљају множење позитивног целог броја негативним, односно множење два позитивна цела броја. За 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 и 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑛𝑛 важи: 𝑛𝑛𝑛 ∙ (−𝑚𝑚𝑚) = −(𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚) 𝑛𝑛𝑛 ∙ (+𝑚𝑚𝑚) = +(𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚)

Број 𝑛𝑛𝑛 ∙ (−𝑚𝑚𝑚) представља збир 𝑛𝑛𝑛 сабирака од којих је сваки једнак −𝑚𝑚𝑚 . Резултат је негативан број. Можемо приметити да важи |𝑛𝑛𝑛 ∙ (−𝑚𝑚𝑚)| = |−(𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚)| = |𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚| = |𝑛𝑛𝑛| ∙ |𝑚𝑚𝑚| Слично: |𝑛𝑛𝑛 ∙ (+𝑚𝑚𝑚)| = |+(𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚)| = |𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚| = |𝑛𝑛𝑛| ∙ |𝑚𝑚𝑚|

Пример 1 Одредићемо следеће производе: а) 7 ∙ (−6) = −(7 ∙ 6) = −42; б) 12 ∙ (+8) = +(12 ∙ 8) = +96. 

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Задатак 1 Који од следећих израза имају једнаке вредности: = (−5) + (−5) + (−5) + (−5) = 20 = −(4 ∙ 5) = 4 ∙ (−5)

= −20?

Како множимо негативан број неким целим бројем? Можда би могло да помогне ово: За 𝑛𝑛 + важи (+1) ∙ = + ; За − 𝑛𝑛 − важи (+1) ∙ (− ) = −(1 ∙ ) = − ; За = 0 важи (+1) ∙ 0 = +(1 ∙ 0) = 0. За

𝑛𝑛

важи (+1) ∙ = + .

Дефиниција 1

(–1) ∙

а) За 𝑛𝑛 важи (−1) ∙ = − ; б) За 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 и 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑛𝑛 важи (−𝑛𝑛𝑛) ∙ 𝑚𝑚𝑚 = −(𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚).

Мотивисани претходним разматрањем, уводимо дефиницију:

Хмм... Већ сам кренуо да размишљам о томе. Најпре треба дати одговор на питање: Како одредити производ (−1) ∙ 𝑛𝑛 ?

–a

–1

(+1) ∙

Производ два цела броја различитог знака је негативан цео број.

Приметимо: |(−𝑛𝑛𝑛) ∙ 𝑚𝑚𝑚| = |−(𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚)| = |𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚| = |𝑛𝑛𝑛| ∙ |𝑚𝑚𝑚| = |−𝑛𝑛𝑛| ∙ |𝑚𝑚𝑚|

На основу Дефиниције 1 б) јасно је како се множи негативан број позитивним. Остаје да образложимо множење два негативна цела броја. Нека је 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 и 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑛𝑛. Важе једнакости (−𝑚𝑚𝑚) ∙ (−𝑛𝑛𝑛) = −(𝑚𝑚𝑚 ∙ (−𝑛𝑛𝑛)) = −(−(𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛𝑛)) = +(𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛𝑛) = 𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛𝑛. Дефиниција 1 б)

Множење позитивног броја негативним

Производ два цела броја истог знака је позитиван цео број. Приметимо: |(−𝑚𝑚𝑚) ∙ (−𝑛𝑛𝑛)| = |−(𝑚𝑚𝑚 ∙ (−𝑛𝑛𝑛))| = |−(−(𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛𝑛))| = |+(𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛𝑛)| = |𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛𝑛| = |𝑛𝑛𝑛| ∙ |𝑚𝑚𝑚| = |−𝑛𝑛𝑛| ∙ |−𝑚𝑚𝑚|

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

На основу претходних разматрања можемо закључити да важе следећа тврђења: Тврђење 1 Производ свака два цела броја је цео број, тј. за 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛

Тврђење 2

Пример 2

важи (𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛𝑛) 𝑛𝑛 .

и произвољни цели бројеви. Тада је | ∙ | = | | ∙ | |.

Својства множења целих бројева

𝑛𝑛

важи

∙1=1∙ = .

За сваки

Одредићемо следеће производе: а) (−1) ∙ 17 = −17, б) (−1) ∙ (−28) = +28, в) (−8) ∙ 5 = −(8 ∙ 5) = −40, г) (−15) ∙ (−6) = 15 ∙ 6 = 90, д) (−5) ∙ 0 = −(5 ∙ 0) = 0. 

Нека су

и 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛

Лепо запажање. Сада ме интересује да ли за сваки цео број 0 постоји цео број тако да је ∙ = 1. Хајдемо да закључимо на основу примера!

Саставила сам већ задатак: Који цео број треба написати уместо променљиве величине тако да једнакост буде тачна: а) 2 + = 0; б) + (−5) = 0; в) 1 ∙ = 1; г) ∙ (−1) = 1 д) −2 ∙ = 1?

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Одраније знамо да је множење комутативно у скупу природних, тј. позитивних целих бројева. Проверимо да ли комутативност за множење важи у скупу целих бројева. Нека је 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 и 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑛𝑛. На основу претходно изведених закључака и дефиниције, важи: 𝑛𝑛𝑛 ∙ (−𝑚𝑚𝑚) = −(𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚) = −(𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛𝑛) = (−𝑚𝑚𝑚) ∙ 𝑛𝑛𝑛 (−𝑛𝑛𝑛) ∙ (−𝑚𝑚𝑚) = 𝑛𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚𝑚 = 𝑚𝑚𝑚 ∙ 𝑛𝑛𝑛 = (−𝑚𝑚𝑚) ∙ (−𝑛𝑛𝑛) Множење у скупу целих бројева је кому�а�ивно, тј. за сваки 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛 важи ∙ = ∙ .

Задатак 2

У празна поља упиши целе бројеве, тако да једнакости буду тачне: а) −6 ∙ ......... = ......... ∙ (−6) = −42; б) ......... ∙ 32 = 32 ∙ ......... = −64.

Није тешко уочити да важи асоцијативност множења у скупу целих бројева. Полазећи од асоцијативности множења у скупу природних, тј. позитивних целих бројева, показаћемо да ова особина важи у скупу негативних целих бројева. Преостале случајеве провежбај сам.

Асоцијативност множења у скупу 𝑛𝑛 Нека је 𝑛𝑛 𝑛𝑛, 𝑛𝑛 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛 𝑛𝑛. Важи (− ) ∙ ((− ) ∙ (− )) = (− ) ∙ ( ∙ ) = −( ∙ ( ∙ )) = −(( ∙ ) ∙ ) = ( ∙ ) ∙ (− ) = ((− ) ∙ (− )) ∙ (− ).

Множење у скупу целих бројева је асоција�ивно, тј. за сваки 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 важи ∙ ( ∙ ) = ( ∙ ) ∙

Задатак 3

Задатак 4

Применом особина множења целих бројева израчунај што једноставније: а) −5 ∙ (19 ∙ (−2)); б) (−25 ∙ (−17)) ∙ (4 ∙ (−5)); в) (2023 ∙ (−17)) ∙ (−2023 ∙ 0).

Израчунај: а) (−15 + 9) ∙ (−4); в) (−15 − 9) ∙ (−4); д) (−8) ∙ (17 + (−2));

б) −15 ∙ (−4) + 9 ∙ (−4); г) −15 ∙ (−4) − 9 ∙ (−4); ђ) (−8) ∙ 17 + (−8) ∙ (−2).

Који од наведених израза имају једнаке вредности? Шта примећујеш?

Множење у скупу целих бројева је �ис�рибу�ивно према сабирању и одузимању, тј. за сваки 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 важи ∙ ( + ) = ∙ + ∙ , тј. ( + ) ∙ = ∙ + ∙ ∙ ( − ) = ∙ − ∙ , тј. ( − ) ∙ = ∙ − ∙

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

вЕЖБАМо

Попуни табелу:

∙

–11 +5

–17 +2

–7

–3

+18

–11

–33

а) Производу бројева −5 и 16 додај апсолутну вредност броја −89 Запиши одговарајући израз, па израчунај његову вредност. б) Применом особина множења целих бројева израчунај вредности израза: = 5 ∙ (576 ∙ (−20)); = (−25 ∙ (−16)) ∙ (40 ∙ (−50)); = −15 ∙ (−325) − 15 ∙ (−4); = 29 ∙ (−25) + 25 ∙ (−34).

г) −1 ∙ 7.

Уместо упиши један од знакова плус (+) или минус (−), тако да једнакост буде тачна: а) ( 6) ∙ (−5) = −30; б) (−13) ∙ ( 2) = 26; в) ( 4) ∙ (−1) = −4; г) ( 15) ∙ (+5) = −75; д) ( 16) ∙ (−16) = 256; ђ) ( 1) ∙ (−1) = −1.

в) 12 ∙ (−3);

б) −16 ∙ (−2);

Израчунај: а) +9 ∙ (+5);

За колико је производ −23 ∙ (−22) ∙ (−21) ∙

Одреди све парове целих бројева

Помоћ око 4. a) задатка?

Запиши одговарајући израз: (......... ∙ .........) + |.........| = Води рачуна о приоритету операција.

∙ 20 ∙ 21 ∙ 22 ∙ 23 мањи од 1?

и за које важи | | ∙ | | = 6.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Проверавамо своје знање (5 минута)

Вредност израза −2 ∙ (−18) је негативан цео број. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Вредности израза −17 ∙ (−24) ∙ 35 је позитиван цео број. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Ако је = −5 и = 7, онда је вредност израза ∙ (− ) једнака:

и најмање вредности целог броја

Разлика између највеће вредности целог броја које важи | | ∙ | | = 4 једнака је: а) 4; б) 5; в) 0; г) 1. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

а) 35; б) −35; в) 12; г) −12. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

за

Научићеш да делиш у скупу целих бројева.

ДЕЉЕЊЕ ЦЕлИХ БроЈЕвА лаптоп Вељко је на рачуну имао 60 000 динара. Он жели да купи лаптоп по цени од 52 500 динара и то да га исплати у пет једнаких месечних рата, без камате. Колико ће Вељку остати на рачуну после исплаћене прве рате? Решење Вељку ће после прве исплаћене рате остати 60 000 − 52 500 5 = 60 000 − 10 500 = 49 500 динара.



Присетимо се дефиниције дељивости у скупу 𝑛𝑛 .

Апликација наведени дуг од 52 500 динара евидентира са −52 500, па је стање након прве рате могуће израчунати помоћу израза 60 000 + (−52 500) 5. Приметимо да је (−52 500) 5 = −(52 500 5). Последњом једнакошћу је приказан један случај дељења у скупу целих бројева.

Дефиниција 1

Нека су 𝑛𝑛 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛 𝑛𝑛. Ако постоји 𝑛𝑛 𝑛𝑛 тако да је = ∙ , тада кажемо да је број �ељив бројем , што записујемо | и читамо: „ дели ”. Број је �елилац броја , док је са�ржалац броја .

Уколико број из претходне дефиниције не постоји, тада кажемо да број није дељив бројем , што записујемо и читамо: „ не дели ”. Формулишимо сада одговарајућу дефиницију дељења у скупу целих бројева: Дефиниција 2

Нека су 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛 0 . Ако постоји 𝑛𝑛 тако да је = ∙ , тада кажемо да је број �ељив бројем , што записујемо | и читамо: „ дели ”. Број је �елилац броја , док је са�ржалац броја . Пример 1 Из једнакости 3 ∙ (−7) = −21 закључујемо да важи 3 | (−21) и −7 | (−21), као и −21 3 = −7 и −21 (−7) = 3. Такође је |−21 3| = |−7| = |−21 | |3| и |−21 (−7)| = |3| = |−21 | |−7|.  35

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Количник два цела броја различитог знака је негативан цео број. Количник два цела броја истог знака је позитиван цео број. Апсолутна вредност количника једнака је количнику апсолутних вредности дељеника и делиоца, редом. Осврнимо се на претходно уведену, Дефиницију 2. Није тешко пронаћи пример тако да за дате целе бројеве 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛 0 , не постоји 𝑛𝑛 тако да је = ∙ .

На пример, за бројеве 2 и −5 не постоји цео број тако да је −5 = 2 ∙ . Закључујемо да (−5 2) .

Пример 2

Одредићемо вредност израза: а) −(−72 (−12) + 36 (−9)) = −(+6 − 4) = −(2) = −2; б) −256 (− ) − (−18) за = −16 и = 54 −256 (−(−16)) − 54 (−18) = −256 16 + 3 = −16 + 3 = −13 . 

б) −27 (−3);

в) +33 (−1);

г) 0 (−7).

Уместо упиши један од знакова плус (+) или минус (−), тако да једнакост буде тачна: а) ( 48) (−16) = −3; б) (−21) ( 7) = 3; в) ( 16) (−4) = −4; г) ( 1) (−1) = −1; д) ( 48) (−16) = +3; ђ) (−21) ( 7) = −3.

Израчунај: а) −12 (+3);

вЕЖБАМо

Попуни табелу: –15 +5

–64

+16

+18 –2

–9 0

Количнику бројева −35 и −5 додај број који је супротан броју производу бројева −14 и 6. Запиши одговарајући израз, па израчунај његову вредност. 36

–33 +1

Помоћ око 4. задатка?

Запиши одговарајући израз: (..... .....) + (−(−14 ∙ .....)) =

5. 6.

За који од елемената скупа

𝑛𝑛

| | 6и

−3 важи (

Дати су бројеви: = −(−(−54)), = −|−|−9|| и = |−(−3)|. Одреди вредност израза −|−| − || −1.

2) 𝑛𝑛

−

Проверавамо своје знање (5 минута)

Ако је = −48 и = −4, онда је вредност израза −(− а) 12; б) −12; в) 0; г) −16. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

(− )) једнака:

Најмања вредност целог броја тако да количник 7 ( − 3) буде цео број је: а) 2; б) 4; в) −2; г) −4. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Вредности израза −121 (−11) + (−11) је позитиван цео број. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Вредност количника 72 (−18) је негативан цео број. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Научићеш да примењујеш изразе са целим бројевима тако да можеш решавати проблеме.

ИЗрАЗИ СА ЦЕлИМ БроЈЕвИМА ослобађање од заграде

Није тешко уочити да за произвољне целе бројеве и важи да су вредности израза − + (− ) и + међусобно супротни бројеви. Слично важи и за вредности израза − + и − + . Види Слику 1. –a

–a + b

a + (–b)

+(–b)

Слика 1

Пример 1

+(–a)

–a + (–b)

+(–b)

Одредићемо вредности израза: а) + + (− ) + (− ) = + (− ) + + (− ) = 0 + 0 = 0; б) − + + (− ) + = − + + + (− ) = 0 + 0 = 0. 

Присети се: Збир супротних целих бројева је нула!

Претходна разматрања указују да важе следеће једнакости:

−( + ) = − + (− ) = − − −(− − ) = + −(− + ) = + (− ) = − −( − ) = − +

Минус испред заграде мења знак свим сабирцима унутар ње!

Тачно. Минус и заграду бришемо, а сабирке заменимо супротним.

Како поступамо у ситуацији када је испред заграде плус? Размишљао сам о томе. Како је за произвољан цео број тачна једнакост +( ) = , то ће и за произвољан израз важити +( ) = , па се у том случају знак плус и заграда само бришу.

a+b

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Пример 2 Одредићемо вредност израза −6 − (17 + (−19)) + (−24 − 11) на два начина. Решење Први начин (без ослобађања од заграда): −6 − (17 + (−19)) + (−24 − 11) = −6 − (−2) + (−35) = −6 + 2 − 35 = −39 . Други начин (ослобађање од заграде): −6 − (17 + (−19)) + (−24 − 11) = −6 − 17 + 19 − 24 − 11 = −39 .  Пример 3

Производ бројева −12 и 15 поделићемо бројем који је супротан вредности израза (−17 + (−11) ∙ 2) (−13) и израчунати вредност тако добијеног израза.

Решење (−12 ∙ 15) (− ), при чему је = (−17 + (−11) ∙ 2) (−13). Најпре одредимо вредност израза : = (−17 + (−11) ∙ 2) (−13) = (−17 − 22) (−13) = −39 (−13) = 3 Сада је (−12 ∙ 15) (− ) = −180 (−3) = 60 . 

Пример 4

Решење

Прва три дана у недељи, измерена је најнижа дневна температура од −7 , у четвртак је измерено десет степени испод нуле, док је у петак измерено за степен више него у четвртак. Одредићемо просечну (најнижу) температуру током тих пет дана.

Пример 5

Тражена температура једнака је вредности израза па је тражена температура −8 . 

(−7) ∙ 3+(−10)+(−9) −21 −19 −40 = = =8 5 5 5

У скупу целих бројева одредићемо вредност израза − + (−6) за = −5 и 0 4.

− ( − (− ) 3)

Решење Количници (−6) и (− ) 3 истовремено припадају скупу целих бројева једино ако 𝑛𝑛 −6 −3 3 6 . Из услова 0 4 и претходног закључка, имамо да је = 3. Тражена вредност израза једнака је: −(−5) + (−6) 3 − (−5 − (−3) 3) = 5 − 2 − (−5 + 1) = 3 − (−4) = 7. 

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

вЕЖБАМо

Одреди вредности израза: а) −16 + (−7 + 13); б) 25 − (−24 − 5);

3∙ −

–42

–5

+18 –20

–7

–10

∙( − )

г) 24 (3 − 3 ∙ 2).

в) −(−36 − 22) + 5.

Попуни табелу: –11

–2

–33

+19

Збир бројева −17 и −45 умањи за −17. Добијеном броју додај супротан број производа бројева 9 и −5, а затим одреди вредност добијеног израза. Израз (−14) ∙ − (− ) ∙ 27 запиши у облику ∙ , при чему је цео број, а затим израчунај његову вредност за = −13.

в) (24 3 − 3) ∙ 2;

б) 24 (−3) − 3 ∙ (−2);

Израчунај: а) 24 3 − 3 ∙ 2;

Одреди најпре знак производа −(− ) ∙ 27, па примени дистрибутивни закон. Пажљиво рачунај!

Дати су бројеви: = −(+(−24)), = −|−|−48|| и = |−(−(+225))|. Одреди вредност израза −3 ∙ |−| + 3 ∙ − (−15)|| − 1.

Помоћ око 5. задатка?

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Проверавамо своје знање (5 минута)

Ако је = −36 и = −3, онда је вредност израза −(− а) −12; б) 0; в) 12; г) 1. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

(− )) +12 једнака:

За произвољне целе бројеве , и вредност израза −( − ) − (− − + ) − једнака је: а) 0; б) 2 ; в) ; г) − . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Израз −(−5 + 4) има исту вредност као и израз: а) −5 + 4; б) 4 − 5; в) 5 − 4; г) −(+1). (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Вредност израза −(7 + 2 ∙ 3) је негативан цео број. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Про

т јека

ПроЈЕКТнИ ЗАДАТАК: врЕМЕнСКА лИнИЈА Одабрати највише десет научника (математичара, филозофа итд.) и њихова најзначајнија постигнућа. Годину (или век) у коме су стварали приказати на бројевној правој. Одабрати и значајне личности које су живеле пре нове ере.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Ed o

ТроугАо

Обновићеш појам троугла и научићеш који су основни елементи троугла.

ПоЈАМ ТроуглА. ЕлЕМЕнТИ ТроуглА град будућности

Лана учествује у пројекту „Град будућности”. Њен задатак је да осмисли живот људи у том граду, испланира рационалну употребу природних ресурса (обновљивих извора енергије и сл.). Поред културних садржаја и важних институција, Лана је посебну пажњу посветила планирању саобраћајница. На Слици 1 је приказан део мапе Ланиног града.

Слика 1

Задатак 1

Положај спортског терена је на слици означен тачком , аутобуске станице тачком , болнице тачком , док је положај школе означен тачком . Путеви који повезују наведене објекте представљени су одговарајућим дужима.

а) Колико се затворених линија може уочити на Слици 1? б) Колико троугаоних линија се може уочити на Слици 1? Како називамо фигуру одређену троугаоном линијом? Посматрајмо праве , и приказане на Слици 2. Пресечне тачке ових правих одређују три надовезане дужи: , и . Како ове дужи одређују затворену линију у равни, то је њима одређена фигура у тој равни. Унија наведених дужи назива се �роу�аона линија, коју означавамо са . Одговарајућа фигура (унија троугаоне линије и унутрашњег дела равни) назива се �роу�ао и означава са . 44

a C c

A B

Слика 2

ТРОУГАО

Тачке , и представљају темена, док су дужи , и странице тог троугла. Користићемо ознаке = , = , = . Притом, за страницу кажемо да је наспрамна темену . Слично су странице и наспрамне теменима и , редом. Задатак 2

Прецртај у свеску дату слику, па нацртај троугаону линију одређену тачкама и , а затим обој троугао одређен тачкама и .

а)

б)

;

в)

тако да искази буду тачни:

;

г)

. C

;

Задатак 3 Посматрај претходну слику, па у празна поља упиши 𝑛𝑛 или

Поред темена и страница, у основне елементе троугла сврставамо и у�лове тог троугла.

B Слика 3

Које углове можеш уочити на Слици 3?

Сваке две странице троугла одређују по два угла. Означио сам са један од углова одређен страницама и Које особине има угао ?

Рекла бих да бар једна тачка унутрашњег дела троугла припада том углу. Зар у том случају неће и цела унутрашња област троугла припадати углу ? У праву си. Штавише, читав троугао ће бити подскуп означеног угла.

Дефиниција 1 Угао одређен двема страницама троугла, чија област садржи дати троугао, назива се уну�рашњи у�ао тог троугла. Пример 1 Из претходно наведене дефиниције закључујемо следеће: а) Унутрашњи угао троугла садржи страницу троугла наспрамну темену тог угла. б) Ако су и два унутрашња угла троугла, тада је = .

ТРОУГАО

Значајан нам је и тзв. спољашњи угао троугла, па уводимо следећу дефиницију: Дефиниција 2 Угао упоредан унутрашњем углу троугла је сūољашњи у�ао који одговара том унутрашњем углу. Пример 2

На основу ознака са Слике 4, тачни су следећи искази: а) Углови , и су унутрашњи углови троугла. б) Угао 1 је спољашњи угао троугла који одговара унутрашњем углу . в) Угао 1 је спољашњи угао који одговара унутрашњем углу . г) Углови 1 и 2 су спољашњи углови који одговарају унутрашњем углу . 

Задатак 4

Слика 4

На Слици 5 теменима троугла представљени су положаји два цвета и лептира. Измери растојање тачке која представља положај лептира од праве одређене тачкама које представљају положаје цветова.

Да бисмо решили Задатак 4, морамо се присетити како се одређује растојање тачке од праве.

Слика 5 q

Растојање тачке од праве једнако је дужини дужи , где је тачка подножје нормале из тачке на праву .

Дефиниција 3 Дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга подножје нормале из те тачке на праву одређену наспрамном страницом јесте висина тог троугла. 46

ТРОУГАО

Сваки троугао има три висине. C b

C b

hb A

C b

ha A

Висину која одговара страници означићемо са . Слично, за висине које одговарају страницама и користићемо ознаке и , редом.

Задатак 5

Нека је дата права и тачка , . Нека је, даље, тачка 1 подножје нормале из тачке на праву . Означи тачке и на правој тако да 1 буде висина троугла за коју важи: а) 1 ; б) 1 .

На слици је приказан троугао . Допиши основне елементе троугла који недостају.

C a

вЕЖБАМо

Нацртај троугао =5 , = 40

тако да важи = 55 .

Помоћ око 2. задатка?

Најпре нацртај страницу =5 . Дате углове нацртај помоћу угломера, тако да они буду унутрашњи за дати троугао.

Нацртај произвољан троугао чији су сви унутрашњи углови оштри. Нацртај све три његове висине. Шта примећујеш?

ТРОУГАО

Колико различитих троуглова је одређено са 5 тачака међу којима: а) не постоје три колинеарне; б) тачно три тачке су колинеарне?

Троугао има све три странице једнаких дужина. Ако је његов обим 22 2 израчунај дужину његових страница. Две странице троугла имају дужину по 0 54 дужину треће странице.

. Ако је обим тог троугла 1 72

Пресек сва три унутрашња угла троугла је тај троугао. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Посматрај слику, па заокружи слова испред тачних исказа: а) Угао означен бројем 3 је спољашњи угао троугла ; б) Угао означен бројем 3 је спољашњи угао троугла ; в) Угао означен бројем 1 је унутрашњи угао троугла г) Угао означен бројем 1 је унутрашњи угао троугла д) Угао означен бројем 2 је унутрашњи угао троугла ђ) Угао означен бројем 4 је спољашњи угао троугла

Унија било које три надовезане дужи је троугаона линија. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

, одреди

Проверавамо своје знање (5 минута)

; ; ; .

3 A

E 4

троугла . Ако важи распоред тачака Нека је 1 висина која одговара страници − − 1, онда троугао има: а) све углове оштре; б) један прав угао; в) један туп угао. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 48

Научићеш да примењујеш неједнакост троугла у решавању проблема са страницама троугла.

нЕЈЕДнАКоСТ ТроуглА

Помагала сам млађем брату Вељку да увежба одређивање обима троугла. Задала сам му следеће дужине страница: 4 1 и 2 cm, уз упутство да обим троугла представља збир дужина свих његових страница. Он је то на брзину израчунао и добио да је тражени обим једнак 4 + 1 + 2 = 7 cm. Похвалила сам његов рад. Супер. У чему је онда проблем?

Вељко је решио да се детаљније позабави задатком, тако што ће уз помоћ шарених штапића задатих дужина да састави модел троугла, а затим на том моделу да провери тачност решења. Након неколико минута пришао је збуњен, носећи са собом штапиће одговарајућих дужина и рекао: „Овај троугао не постоји.” Убрзо сам схватила да је у праву и да мој задатак нема смисла. О чему треба да водим рачуна када састављам овакве задатке? Вељко нас је навео на размишљање. Кад мало размислим, странице троугла не могу бити ни 4 2 и 2 cm. Које је правило?

услов колинеарности и неколинеарности тачака

Присетимо се да, ако важи једнакост = + , онда важи распоред тачака − − , тј. тачке , и су колинеарне. У том случају, дужи , и не могу бити странице троугла. Види Слику 1 а). Како је од свих путања којима се из објекта стиже у објекат , најкраћа она која одговара дужи , то закључујемо да мора бити + . Види Слику 1 б). Претходну неједнакост можемо сматрати условом неколинеарности тачака , и . Овај услов обезбеђује да наведене дужи могу бити странице троугла.

AB = AC + CB C

Слика 1 а)

AB B

AC + CB

Слика 1 б)

ТРОУГАО

Тврђење 1 Свака страница троугла мања је од збира преостале две странице тог троугла. C b A

+ + +

a c

Претходно тврђење одређује горњу границу за дужину странице троугла. Како из неједнакости + и + следи − и − , то мора бити | − | . Дакле, важи тврђење:

Тврђење 2

Свака страница троугла већа је од апсолутне вредности разлике преостале две странице тог троугла.

Задатак 1

Заокружи слово испред дужина које могу бити странице троугла: а) 6 5 и 2 cm; б) 6 5 и 1 cm; в) 6 6

Задатак 2

и 6 cm.

Одреди најмању и највећу могућу дужину треће странице троугла у милиметрима (мерни бројеви су природни), ако су дужине две странице тог троугла: а) 5 cm и 2 cm; б) 1 cm и 1 cm; в) 16 cm и 13 cm.

врсте троуглова према броју једнаких страница

Из скупа свих троуглова, издвојићемо неке његове важне подскупове. Једнакокраки троугао

Сваки троугао који има бар две једнаке странице назива се је�накокраки �роу�ао. За троугао који није једнакокраки кажемо да је разнос�рани.

4 cm

2 cm

4 cm

На Слици 2 приказани су неки једнакокраки троуглови.

Пример 1

Слика 2

3 cm

ТРОУГАО

У једнакокраком троуглу, странице које су међусобно једнаке су краци троугла (странице на Слици 3), док је преостала страница основица једнакокраког троугла (страница на Слици 3). У случају када је = , тј. када су све странице троугла међусобно једнаке, добијемо специјалан случај једнакокраког троугла.

Троугао чије су све странице међусобно једнаких дужина назива се је�накос�ранични �роу�ао.

a Слика 3 скуп свих

Нека је скуп свих троуглова, скуп свих једнакокраких троуглова, а једнакостраничних троуглова. Тада важи .

Сваки једнакостранични троугао је једнакокраки.

Задатак 3

У складу са претходно уведеним ознакама, запиши скуповним операцијама: а) Скуп свих троуглова који нису једнакокраки; б) Скуп свих једнакокраких троуглова који нису једнакостранични; в) Скуп свих троуглова који нису једнакостранични; г) Скуп разностраних троуглова. Тврђења 1 и 2 ове лекције важе за сваки троугао, па и за једнакокраки. Ако основицу једнакокраког троугла означимо са , а крак са , онда важи: + = 2 . Из последње a неједнакости једноставно се изводи закључак: . Другим речима, важи тврђење: 2 Тврђење 3

Основица једнакокраког троугла мора бити мања од двоструке дужине крака. Крак једнакокраког троугла мора бити већи од половине дужине основице.

ТРОУГАО

Претходно формулисано тврђење ближе одређује услове под којима постоји једнакокраки троугао. Задатак 4 Да ли постоји једнакокраки троугао чија је: а) основица 5 cm, а крак 2 cm; б) основица 5 cm, а крак 3 cm?

Једнакостранични троугао увек постоји.

Затвореном изломљеном линијом једне равни одређена је фигура у тој равни. Дужина одговарајуће затворене линије назива се обим те фигуре. Специјално, дужина троугаоне линије представља обим одговарајућег троугла. • Обим разностраног троугла, чије су странице , и једнак је = + + . • У случају једнакокраког троугла, где је основица, а крак, обим рачунамо = + + = +2 . • Обим једнакостраничног троугла странице рачунамо = + + = 3 . Задатак 5

Обим једнакокраког троугла једнак је 33 cm. Ако је основица 8 cm, одреди дужину крака.

Задатак 6

вЕЖБАМо

Обим једнакостраничног троугла странице 12 cm једнак је обиму једнакокраког троугла чији је крак 7 5 . Одреди основицу тог једнакокраког троугла.

Лана располаже цевчицама чије су дужине 10 cm, 20 cm и 30 cm. Вељко има цевчице чије су дужине 20 cm, 30 cm и 40 cm. Чије цевчице могу чинити модел троугаоне линије? Странице троугла су , и . Попуни празна поља у табели: 5 cm | − | +

6 cm

2 cm 7 cm

3 cm

ТРОУГАО

Обим једнакокраког троугла је 68 cm, а његове странице су одређене изразима 3k 7k Одреди дужине страница тог троугла.

Помоћ око 5. задатка?

Присети се особина једнакокраког троугла, као и услова да три дужи буду странице троугла. Пажљиво рачунај.

Од страница дужина 8 cm и 12 cm формиран је једнакокраки троугао највећег обима. Једнакокраки троугао и квадрат имају једнаке обиме. Одреди дужину странице квадрата.

Обим једнакокраког троугла је 7 7 . Израчунај дужине страница тог троугла, ако је једна од њих: а) 3 пута дужа од друге; б) 5 пута дужа од друге.

Две странице троугла имају дужине 28 cm и 5 dm. Одреди дужину треће странице, ако је она два пута краћа од једне од датих страница.

Од дужи дужина 3 cm, 4 cm и 5 cm могуће је формирати троугаону линију. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Једнакостранични троугао може имати страницу произвољне дужине. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Проверавамо своје знање (5 минута)

Да ли постоји троугао чији је обим 202 cm, а једна страница има дужину 108 cm? ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

4. Основица једнакокраког троугла и његов крак су одређени изразима k Ако је обим тог троугла 25 cm, онда крак има дужину: а) 15 cm; б) 5 cm; в) 10 cm; г) 20 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

2k.

Научићеш да примењујеш законитости везане за углове троугла при решавању проблема.

угловИ ТроуглА Дефинисали смо унутрашње и спољашње углове троугла. Унутрашњем углу одговара спољашњи угао 1. Како су, по дефиницији, углови и 1 упоредни, то мора бити + 1 = 180 . Слично важе и једнакости + 1 = 180 и + 1 = 180 (Слика 1). Према ознакама са Слике 1, важи да је и угао 2 спољашњи угао који одговара углу . Важи 1 = 2. Зашто?

Слика 1

Претходна разматрања указују на везу између унутрашњег угла и одговарајућег спољашњег. Да ли међу унутрашњим угловима троугла постоји одређена повезаност? C

�� Транслацијом угла за вектор AB добијамо угао једнак углу . Како је ( ) ( ), то је = (углови на трансверзали). Праве ( ) и ( ) су паралелне и имају једну заједничку тачку, па се морају поклапати. Закључујемо да је угао + + једнак опруженом углу.

B Слика 2

Овај закључак је потврдио и мој експеримент. Нацртала сам произвољан троугао, а затим изрезала и надовезала његове унутрашње углове.

Тврђење 1 Збир унутрашњих углова троугла једнак је опруженом углу, тј. углу мере 180 .

Другим речима, ако су , 54

и унутрашњи углови троугла, онда је

+ = 180 .

ТРОУГАО

риба риби гризе реп

82 85

Слика 3

Задатак 1

Одреди мере углова које је Невена уочила.

Невенин млађи брат има задатак да изради пано на тему „Риба риби гризе реп“ користећи углове и њихове мере. Он је уз помоћ угломера цртао углове на папирима у боји, а затим их резао и лепио као на Слици 3. Невена је пратила цео поступак и том приликом, међу приказаним угловима, уочила три која могу бити унутрашњи углови троугла.

Задатак 2

Задатак 3

Одреди меру трећег унутрашњег угла троугла, ако су мере два унутрашња угла тог троугла једнака: а) 48 75 ; б) 69 95 ; в) 33 44 .

Задатак 4

Збир два унутрашња угла троугла је 158 . Одреди меру трећег унутрашњег угла тог троугла. Одреди мере унутрашњих углова троугла, ако су они задати изразима: а) 2 3 ; б) + 17 + 52 . Знамо да је збир унутрашњих углова троугла једнак 180 .

Притом важи да је унутрашњи угао упоредан одговарајућем спољашњем углу. Готово сам сигуран да последица ових тврђења указује на везу између спољашњих углова троугла.

ТРОУГАО

Нека су и унутрашњи углови троугла, а 1 1 и 1 њима одговарајући спољашњи углови. Важи + 1 + 1 = (180 − ) + (180 − ) + (180 − ) = 3 ∙ 180 − ( + + ) = 540 − 180 = 360 . 1 Важи тврђење: Тврђење 2 Збир спољашњих углова троугла једнак је пуном углу, тј. углу мере 360 .

Транслација је од помоћи и у образложењу Тврђења 2. Шта примећујеш?

Пример 1

Спољашњи угао троугла има меру 1 = 123 . Одредићемо меру угла Решење Важи + = 180 − = 1 = 123 . 

+ .

Решење претходног примера је било прилично једноставно. Да ли увек важи + = 1? Да ли су тачне и једнакости + = 1 + =

То се једноставно може проверити.

Тврђење 3

Збир два унутрашња угла троугла једнак је спољашњем углу који одговара трећем (унутрашњем) углу тог троугла. Пример 1 Два спољашња угла троугла су 1 = 106 и 1 = 118 . Одредићемо мере унутрашњих углова, као и преосталог спољашњег угла тог троугла. Решење Из 1 + 1 + 1 = 360 следи 106 + 118 + 1 = 360 одакле је 1 = 136 . Даље, из једнакости + 1 = 180 добијамо + 106 = 180 , па је = 74 . Слично, из + 1 = 180 следи + 118 = 180 , па је = 62 . Из + + = 180 тј. 74 + 62 + = 180 , следи = 44 .  56

ТРОУГАО

Задатак 5 Збир свака два (различита) унутрашња угла у троуглу је међусобно једнак. Одреди спољашње углове овог троугла. врсте троуглова према унутрашњим угловима Марко и Невена су имали задатак да направе моделе троуглова који задовољавају одређене особине. Особине које троуглови треба да задовоље су исписане на картицама које свако од њих извлачи. На Невениној првој картици је писало: „Тачно један оштар угао”. Од ње се очекује да нацрта, а затим направи модел таквог троугла.

ТАЧно ЈЕДАн ошТАр угАо.

Када је покушала да нацрта троугао који задовољава ту особину, приметила је да нешто није у реду. Размишљала је овако: „Ако троугао има тачно један оштар угао, тада друга два морају бити прави или већи од правог угла. Дакле, оба права, један прав и један туп, или оба тупа.”

Слика 4

„У сваком од случајева, збир унутрашњих углова би био већи од 180 , што је немогуће. Троугао који има само један унутрашњи оштар угао не постоји!” Из ове игре се изводе интересантни закључци.

Слажем се. Испада да троугао мора имати макар два оштра унутрашња угла. Пратимо игру даље.

Марко је следећи на потезу. Извукао је картицу на којој пише: „Бар два оштра угла”. Марко је био свестан да је добио лакши задатак, јер је троугао са особином да има бар два оштра угла једноставно нацртати.

БАр ДвА ошТрА углА.

ТРОУГАО

Пре свега је уочио да такав троугао може нацртати помоћу ивица троугаоног лењира. Тај троугао има један прав унутрашњи угао, али су преостала два оштра. Над истом страницом нацртао је још два троугла и приметио да један од њих има све унутрашње углове оштре, док други има један туп угао.

Слика 5

Троугао чији су сви унутрашњи углови оштри, назива се ош�роу�ли �роу�ао.

Пример 3

60 42

в) 40

Проверићемо да ли су приказани троуглови оштроугли. а) б)

110



Задатак 6

Решење а) Трећи унутрашњи угао овог троугла једнак је 180 − (60 + 60 ) = 60 , па је приказани троугао оштроугли; б) Из 180 − (42 + 63 ) = 75 закључујемо да је троугао оштроугли; в) Како унутрашњи углови овог троугла имају мере 40 70 и 70 , то је и овај троугао оштроугли. Дате су мере два унутрашња угла троугла. Који од тих троуглова су оштроугли? а) 57 82 ; б) 30 34 ; в) 50 80 ; г) 42 48 .

Троугао чији је унутрашњи угао прав, назива се ūравоу�ли �роу�ао.

Нека је дат чији је један унутрашњи угао прав, нпр. = 90 . Страница наспрамна правом углу назива се хиūо�енуза, док су преостале две странице ка�е�е правоуглог троугла. 58

b c

B Слика 6

ТРОУГАО

За унутрашње углове и кажемо да належу на хипотенузу. Које особине имају ови углови? Из + + = 180 закључујемо да важи + = 90 , тј. углови и су комплементни. Из последњег закључујемо да су углови који належу на хипотенузу правоуглог троугла оштри. Дакле, ако међу унутрашњим угловима троугла уочимо пар комплементних углова, одмах можемо закључити да је троугао правоугли! Направила бих чак и тврђење од тог закључка: Ако два унутрашња угла троугла належу на хипотенузу тог троугла, тада су ти углови комплементни.

Задатак 7

Прочитај још једном Задатак 6. Да ли међу наведеним троугловима има правоуглих? Пример 4

Доказаћемо да је троугао чији су унутрашњи углови одређени изразима 2 и 3 правоугли. Решење Из + 2 + 3 = 180 следи 6 = 180 , одакле је = 30 . Мере преосталих унутрашњих углова су 2 = 2 ∙ 30 = 60 и 3 = 3 ∙ 30 = 90 . Дакле, дати троугао је правоугли. 

B Слика 7

Пример 5

Троугао чији је унутрашњи угао туп, назива се �уūоу�ли �роу�ао.

Мере два унутрашња угла троугла су 36 30 и 52 40 . Доказаћемо, без одређивања трећег унутрашњег угла, да је дати троугао тупоугли. Решење Спољашњи угао троугла, несуседан датим унутрашњим угловима једнак је 36 30 + 52 40 = 89 10 . Како је добијени спољашњи угао оштар, то одговарајући унутрашњи угао мора бити туп. Дакле, троугао је тупоугли.  Пример 6 Мера унутрашњег угла код темена , троугла приказаног на слици, два пута је мања од мере унутрашњег угла код темена . Одредићемо спољашњи угао који одговара темену , ако је дуж висина троугла.

C 55 A

Слика 8 59

ТРОУГАО

Решење Троугао је правоугли, па је унутрашњи угао код темена једнак 90 − 55 = 35 . Даље је унутрашњи угао код темена једнак 2 ∙ 35 = 70 . Спољашњи угао код темена једнак је збиру њему несуседних унутрашњих, па је тражени угао једнак 70 + 35 = 105 .  И раније се могло наслутити да положај висине у троуглу на неки начин зависи од његових унутрашњих углова.

У геогебри можемо посматрати различите врсте троуглова (према угловима) и лакше уочити шта се дешава.

геогебра

Катете правоуглог троугла су висине једна другој. И у овом случају су висине целе садржане у одговарајућем троуглу.

Све висине оштроуглог троугла су подскуп тог троугла. Можемо рећи и да су „целе садржане” у том троуглу.

Висине тупоуглог троугла из темена оштрих углова нису целе садржане у троуглу. За цртање тих висина неопходно је доцртати праве одређене одговарајућим страницама.

вЕЖБАМо

Одреди меру трећег унутрашњег угла троугла, ако су мере два унутрашња угла: а) 66 и 47 ; б) 79 и 36 ; в) 111 и 42 ; г) 62 и 84 36 . Одреди мере непознатих углова са слике.

а)

б)

в)

132

110

ТРОУГАО

Унутрашњи углови троугла су задати изразима 2 , 3 и 4 . Израчунај мере унутрашњих и спољашњих углова тог троугла.

У троуглу тачка је подножје висине из темена . Ако је мера угла једнака 58 , а мера угла = 24 , израчунај мере унутрашњих углова троугла .

Симетрале два унутрашња угла троугла секу се под углом од 130 . Ако су ти унутрашњи углови одређени изразима 3k 7k, одреди мере спољашњих углова тог троугла. Помоћ око 5. задатка?

Мере спољашњих углова троугла (у степенима) су три узастопна парна броја. Одреди мере унутрашњих углова тог троугла.

Присети се најпре симетрале угла и њене особине. Након тога ћеш лако уочити троугао на који примењујеш тврђење о збиру унутрашњих углова троугла. Одатле добијаш податак о збиру та два унутрашња угла. Пажљиво рачунај.

Ако су 60 и 80 мере два унутрашња угла троугла, тада је мера трећег унутрашњег угла једнака: а) 140 ; б) 40 ; в) 20 ; г) 120 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Проверавамо своје знање (5 минута)

Збир оштрих углова правоуглог троугла може бити једнак 89 . ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Сви спољашњи углови троугла имају меру већу од 90 . Тај троугао је оштроугли. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

4. На основу података са слике, мера угла + је једнака: а) 190 ; б) 200 ; в) 180 ; г) 220 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

C E 110

B 61

Научићеш да поредак унутрашњих углова троугла зависи од поретка дужина страница и обрнуто, као и да примењујеш важне особине једнакокраких троуглова.

оДноС СТрАнИЦА И угловА ТроуглА Задатак 1

Обим троугла приказаног на Слици 1 је 22 cm. Одреди дужину странице , па уз помоћ угломера упореди мере унутрашњих углова код темена и . Шта примећујеш? C

C 8 cm

6 cm A

B Слика 1

Слика 2

Задатак 2

, а затим упореди дужине њима наспрамних

Одреди меру унутрашњег угла код темена страница (Слика 2). Шта примећујеш?

Тврђење 1

Решења претходних задатака јасно указују да, ако су две странице троугла међусобно једнаке, онда ће и њима наспрамни углови бити једнаки. Важи и обрнуто.

У троуглу, наспрам једнаких страница налазе се једнаки углови. Тврђење 2

У троуглу, странице наспрам једнаких углова међусобно су једнаке. Претходно формулисана тврђења се односе на једнакокраке троуглове, заправо. С тим у вези, наводимо тврђења која су њихова директна последица. Њих ћемо најчешће примењивати у задацима. Тврђење 3 а) Углови налегли на основицу једнакокраког троугла међусобно су једнаки. б) Унутрашњи углови једнакостраничног троугла међусобно су једнаки.

ТРОУГАО

Тврђење 4 а) Троугао чија су бар два унутрашња угла међусобно једнака јесте једнакокраки. б) Троугао чији су сви унутрашњи углови међусобно једнаки јесте једнакостранични. Пример 1

а) Угао на основици једнакокраког троугла има меру 75 . Одредићемо меру угла који образују краци (угла при врху). б) Угао при врху једнакокраког троугла једнак је 54 . Одредићемо меру угла на основици.

Пример 2

= 63 . 

Слика 3

Решење а) Важи = = 75 . Даље је = 180 − 2 ∙ 75 = 30 . б) Решавањем једначине 2 + 54 = 180 добијамо

Угао на основици једнакокраког троугла ( = ) има меру 72 . Ако је обим троугла једнак 26 cm, на основу података са Слике 4, одредићемо обим троугла .

E 36

приказан на

3c m

Решење Троугао је једнакостранични, па је = = = 60 . Троугао је једнакокраки, па важи = . Важи = 2 ,одакле је = = 30 . Унутрашњи углови троугла имају мере 60 , 30 и 90 . Дакле, троугао је правоугли. 

C m

Доказаћемо да је троугао Слици 5, правоугли.

Пример 3

72 B A Решење 6 cm Из 2 + 6 = 26 добијамо = 10 . Слика 4 Преостаје да одредимо дужине страница и . Важи = 72 − 36 = 36 . Даље је = 180 − (72 + 36 ) = 72 , па је троугао једнакокраки. Одатле закључујемо да је = =6 . Једноставно је уочити да је троугао једнакокраки, па је = =6 . Обим троугла једнак је О = 10 + 2 ∙ 6 = 22 . 

3 cm

B Слика 5

3 cm

ТРОУГАО

Нека је дат једнакокраки троугао који није једнакостранични. Из = закључујемо = . Како дати троугао није једнакостранични, мора бити Постоје две могућности: б)

C b

. > >

Мерењем сам дошла до следећег закључка: Ако је основица краћа од крака, онда ће и угао наспрам основице бити мањи од угла наспрам крака.

b A

b a

Слично је и у другој ситуацији: Ако је основица дужа од крака, онда ће и угао наспрам основице бити већи од угла наспрам крака.

;

а)

, што значи да је

Наведена разматрања важе и у случају произвољног троугла. Дужој страници одговара већи наспрамни угао и обрнуто.

Тврђење 5

Наспрам дуже странице троугла је већи унутрашњи угао. Тврђење 6

Наспрам већег унутрашњег угла троугла је дужа страница. C

C b

a c

b B

a B

C a

b A

B c a

ТРОУГАО

Пример 4 На слици су приказани: а) правоугли троугао у општем случају; 90

б) једнакокрако-правоугли троугао.

b Оштри углови једнакокрако-правоуглог троугла једнака су 45 !

Хипотенуза је најдужа страница правоуглог троугла!

Пример 5

а) тупоугли троугао у општем случају;

и c

б) једнакокрако-тупоугли троугао.

На слици су приказани:

= 45

Страница наспрам тупог угла је најдужа!

вЕЖБАМо 1.

Поређај углове троугла у растућем поретку, ако су дужине његових страница: 2 а) = 7 =6 =9 ; б) = 11 4 = 11 41 = 11 3 cm. Поређај странице троугла а) = 113 = 31 ;

у растућем поретку, ако су унутрашњи углови троугла: б) = 22 = 67 . 65

ТРОУГАО

Одреди мере унутрашњих углова једнакокраког троугла, ако је збир угла на основици и угла који образују краци 120 .

Збир два спољашња угла 1 и 1 троугла најдужа? Образложити одговор.

У троуглу , угао износи 20% угла , а угао једнак је збиру углова и . Којој врсти припада троугао ? Докажи да угао на основици произвољног једнакокрако-тупоуглог троугла има меру мању од 45 . Помоћ око 6.

једнак је 286 . Која страница тог троугла је

задатка?

Присети се, најпре, коју меру може имати туп угао. Затим, користећи добијену неједнакост и особину углова на основици једнакокраког троугла, једноставно ћеш довршити задатак.

Погледај слику, па заокружи слово испред тачне неједнакости: а) ; б) ; в) .

Проверавамо своје знање (5 минута)

b A

Мера спољашњег угла једнакостраничног троугла једнака је: а) 120 ; б) 60 ; в) 90 ; г) 30 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

a c

Правоугли троугао може имати све странице међусобно једнаке. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

4. Ако је збир два оштра угла троугла мањи од 90 , тај троугао може бити оштроугли. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Научићеш да конструишеш неке углове на основу конструкције углова од 90 и 60 .

КонСТруКЦИЈЕ нЕКИХ угловА

Присетимо се конструкција неких углова које су нам одраније познате. Пример 1 Конструисаћемо угао мере: а) 45 ; б) 22 30 . Решење Приметимо да важи 2 ∙ 45 = 90 и 2 ∙ 22 30 = 45 . Конструишимо, најпре, угао мере 90 . Конструкцијом симетрале тог угла добијамо два угла мере 45 . За конструкцију угла од 22 30 конструисаћемо симетралу угла од 45 .

Задатак 1

22 30

Слика 1

Користећи Слику 1, означи угао мере 135 , 67 30 и 157 30 .

Задатак 2

Конструиши угао мере 33 45 .

Пример 2

Нека се кружнице 1( 1 1 2) и 2( 2 1 2) секу у тачкама и . Одредићемо мере унутрашњих углова троуглова и . 1 2 1 2 Решење Важи = = 1 2= = . 1 2 1 2 Дакле, троуглови и су 1 2 1 2 једнакостранични, па су њихови унутрашњи углови мере 60 . 

k2 O2

O1 B Слика 2

Конструкција угла мере 60 своди се на конструкцију једног од поменутих троуглова. Притом, довољно је конструисати један његов унутрашњи угао. B

На полуправој са почетком у тачки конструишемо дуж

O .

A Цртамо кружницу ( )

Ако је пресечна тачка кружница, онда је угао = 60 .

ТРОУГАО

Пример 3 Конструисаћемо углове чије су мере = 30 и = 7 30 . Решење Конструишимо најпре угао мере 60 . Конструкцијом симетрале тог угла, добићемо угао = 30 . Угао = 7 30 добијамо конструкцијом симетрале угла чија је мера 15 . Види Слику 3. 

Слика 3

Конструисаћемо угао мере 75 . Решење Надовежимо углове чије су мере 45 и 30 . Тражени угао је угао = 45 + 30 = 75 . Види Слику 4. 

Пример 4

Пример 5

Слика 4

Дат је угао мере = 73 . Конструисаћемо угао = 39 . Решење Најпре цртамо угломером угао = 73 (Слика 5). Затим, у области тог угла конструишемо угао мере 60 (Слика 6). Разлика тих углова има меру 73 − 60 = 13 = . Тражени угао је једнак = 3 . Види Слику 7.



Слика 5

Слика 6

Слика 7

ТРОУГАО

вЕЖБАМо 1.

в) 150 ;

г) 165 .

Помоћ око 1. задатка?

Можеш користити следеће једнакости: а) 15 = 30 2; б) 120 = 60 ∙ в) 150 = − 30 ; г) 165 = 180 −

;

Конструиши угао мере 75 користећи једнакост 75 = 90 − 15 .

г) 52 30 .

Конструиши угао мере 105 користећи једнакости: а) 105 = 180 − 75 ; б) 105 = 75 + 30 ; в) 105 = 60 + 45 ; г) 105 = 2 ∙ 52 30 .

Угломером нацртај угао = 39 . Конструиши угао

Конструиши угао чија је мера: а) 22 30 ; б) 82 30 ; в) 97 30 ;

Конструиши угао мере: а) 15 ; б) 120 ;

Угломером нацртај угао

= 18 .

= 54 . Конструкцијом га подели на девет једнаких делова.

ТРОУГАО

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

Ако је права симетрала угла , са приказане слике, онда је мера тог угла једнака: а) 60 ; б) 30 ; в) 15 ; г) 120 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

s a

Посматрај слику, па заокружи слова испред тачних исказа: а) На слици је могуће уочити угао мере 135 ; б) На слици је могуће уочити угао мере 105 ; в) На слици је могуће уочити угао мере 195 ; г) На слици је могуће уочити угао мере 150 .

Конструкцијом симетрале угла од 60 добија се угао шест пута мањи од опруженог. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Симетрале унутрашњих углова једнакостраничног троугла граде угао мере 120 . ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Научићеш основне поступке конструисања троуглова.

оСновнЕ КонСТруКЦИЈЕ ТроугловА Одраније знамо да цртање само уз помоћ лењира и шестара сматрамо конструкцијом. Конструисање дужи једнаке задатој (преношење дужи), као и конструкције неких углова, биће нам основни алати приликом конструисања троуглова. Ради краћег записивања података, користићемо стандардне ознаке темена, страница и углова троугла (Слика 1).

Слика 1

Пример 1

Конструисаћемо троугао чији су елементи = 5 , = 60 и = 3 . Решење Постоји више начина како се ова конструкција може започети. Један од њих је следећи: Најпре цртамо полуправу са почетком у тачки . Затим, конструишемо тачку тако да важи = =5 . Даље, на тој полуправој конструишемо угао = 60 . На другом краку тог угла конструишемо тачку тако да је = = 3 . Дуж = је трећа страница траженог троугла.



Конструисани и тражени троугао имају једнаке две странице и њима захваћен угао. Ови троуглови се могу довести до поклапања.

Слика 2

Пример 2 Конструисаћемо троугао чији су елементи = 45 =5 и = 30 . Решење На полуправој са почетком у тачки конструишемо тачку тако да важи = = 5 . Даље, на истој полуправој конструишемо угао = 45 тако да му теме буде тачка и угао = 30 тако да му теме буде тачка , а пресек углова и буде троугао. Пресечна тачка кракова добијених конструкцијом је теме троугла . Види Слику 3. 

ТРОУГАО Конструисани и тражени троугао имају једнаку по једну страницу и углове налегле на ту страницу. Ови троуглови се такође могу довести до поклапања.

c c

A Слика 3

Пример 3

Конструисаћемо троугао чији су елементи = 3 , = 5 и =7 . Решење На полуправој са почетком у тачки конструишемо тачку тако да важи = = 7 . Даље, цртамо кружницe ( 5 ) и ( 3 ). Једну од пресечних тачака кружница означимо са . Тиме је конструкција троугла завршена. 

a b c

Све одговарајуће странице конструисаног и траженог троугла су међусобно једнаке. Ови троуглови се такође могу довести до поклапања.

Слика 4

Пример 4

Конструисаћемо правоугли троугао чија је хипотенуза = 6 и једна катета = 4 . Решење Конструишимо, најпре, прав угао чије је теме тачка . На једном краку конструисаног угла, одређујемо тачку тако да је = =4 . Даље, конструишемо кружницу ( 6 ). Пресечну тачку кружнице и крака правог угла означимо са . Цртамо дуж . Тиме је конструкција траженог троугла завршена.  B

c a

A Слика 5 72

Конструисани и тражени троугао имају једнаке две странице и угао наспрам дуже од њих. Ови троуглови се такође могу довести до поклапања.

ТРОУГАО

вЕЖБАМо

( |=8

= 105 .

= 90 ) чије су катете: | |=55 .

Конструиши правоугли троугао а) = 5 =4 ; б) |

б) = 7

Конструиши једнакокраки троугао ( = ), ако је дата дужина основице | |=4 и мера унутрашњег угла на основици = 30 .

ако је: =45 ;

= 135 ;

Конструиши једнакокраки троугао ( = ), ако је дата дужина основице | |=35 и мера унутрашњег угла који образују краци = 45

Конструиши троугао а) = 7 5 =6

=55

Конструиши троугао чији су елементи: а) = 6 =4 = 30 ; б) = 7 в) | | = 6 5 | |=7 = 60 .

ТРОУГАО Научићеш да препознаш подударне троуглове, као и да примењујеш ставове подударности.

ПоДуДАрноСТ ТроугловА. СТАвовИ ПоДуДАрноСТИ Пресликавања

Ученици одељења 6/1 имају задатак да направе ликовни рад у коме ће применити сва пресликавања која су научили до сада. Потребно је направити изложбу радова где ће бити приказана централна симетрија, транслација и осна симетрија одређених фигура у равни. Невенин тим је добио пресликавање троугла.

Задатак 1

Уочи по три пара троуглова који су централносиметрични у односу на тачку те равни, осносиметрични у односу на приказану праву, као и оне који су добијени транслацијом за одређени вектор.

Најпре су на хамеру цртали троуглове и примењивали особине пресликавања. Затим су троуглове обојили. Један од чланова тима је уочио да се свака два од добијених троуглова могу довести до поклапања. За троуглове који се могу довести до поклапања кажемо да су подударни. Прецизније, уводимо дефиницију. Дефиниција 1

Ако су све странице једног троугла једнаке страницама другог троугла и ако имају једнаке одговарајуће унутрашње углове, за та два троугла кажемо да су ūо�у�арни.

= 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1

Слика 1 Ако су троуглови (читамо: Троугао 74

C1 1

и 1 1 1 подударни, то записујемо подударан троуглу 1 1 1).

c1 1

ТРОУГАО

напомена: Приликом записивања подударности два троугла, водимо рачуна о редоследу навођења темена. Ако важи , онда је унутрашњи угао код темена једнак унутрашњем углу код темена итд. Такође је = = итд. Задатак 2

Заокружи слово изнад троугла који је подударан осенченом троуглу: б)

в)

а)

Задатак 3

Троуглови и приказани на слици су подударни. У осенчена поља упиши темена, а у преосталим пољима одговарајуће мере.

3 cm

4 cm

Прочитај још једном Дефиницију 1, као и напомену која следи.

Ставови подударности

Казаљке које на сату показују минуте и сате, модели су две странице троугла. Сви троуглови које казаљке истог сата формирају имају по две једнаке странице.

Да ли је, међу тим троугловима, могуће уочити подударне троуглове? Можемо приметити да се углови које образују казаљке на овим сликама, разликују, па самим тим, одговарајући троуглови не могу бити подударни.

ТРОУГАО

Пример 1 На Слици 2 су приказани троуглови одређени казаљкама истог сата, у различитим временским тренуцима.

Слика 2

Задатак 4

а) Одреди мере углова које заклапају казаљке. б) У колико сати су одговарајући углови једнаки? в) Повежи линијом међусобно подударне троуглове. Тврђење 1

(Став подударности СуС) Ако су две странице и њима захваћен угао једног троугла једнаки одговарајућим страницама и углу другог троугла, тада су одговарајући троуглови подударни.

Дакле, није неопходно утврдити једнакост свих одговарајућих елемената два троугла да бисмо закључили да су подударни.

Пример 2

Тако је. Довољна су нам три. У овом тврђењу – две странице и њима захваћен угао! То нам прилично олакшава рад.

Користећи став подударности СУС, испитаћемо подударност приказаних троуглова:

3 cm

б)

2c m

а)

ТРОУГАО

Решење а) Како је = 1 1 1 = 1 1=3 = 1 1=35 СУС, важи ; 1 1 1 б) Важи = 180 − (25 + 60 ) = 95 , па слично важи 1 1 1

, на основу става подударности 1

Пример 3

У прилици смо да докажемо особину поменуту у теми У�ао: Је�наким цен�ралним у�ловима ис�о� кру�а о��оварају је�наке �е�иве.

.

На Слици 3 је приказан круг са центром у тачки , као и два централна угла и тако да је = . E Доказаћемо да важи = . F Како је = = = (полупречници) и = , Слика 3 на основу става подударности СУС важи . На основу доказане подударности следи једнакост свих одговарајућих елемената, па самим тим важи = , чиме је особина доказана. 

од углова до троуглова

Помагала сам брату да увежба поступке конструисања углова. Имао је задатак да конструише углове чије су мере 45 и 22 30 . Када сам погледала његову свеску, приметила сам да је неке парове углова конструисао тако да они буду унутрашњи углови троугла.

22 30 6 cm 22 30 7 cm

6 cm

45 4 cm

22 30

Интересантно. Заправо је дуж одређена теменима конструисаних углова једна од страница троугла. Неки од троуглова имају једнаку страницу на коју належу конструисани углови. Троуглове са том особином могуће је довести до поклапања. Такође је овде могуће уочити парове троуглова чији су унутрашњи углови међусобно једнаки, али се не могу довести до поклапања.

ТРОУГАО

Тврђење 2 (Став подударности уСу) Ако су једна страница и на њу налегли углови једног троугла једнаки одговарајућој страници и угловима другог троугла, тада су одговарајући троуглови подударни. Задатак 5 У претходном мотивационом примеру: „Од углова до троуглова” осенчи међусобно подударне троуглове према ставу УСУ. Пример 4

Два правоугла троугла имају хипотенузу дужине 4 cm. Доказаћемо да су ти троуглови подударни, ако један има оштар угао 38 , а други 52 . Решење Оштри углови правоуглог троугла су комплементни и належу на хипотенузу. Правоугли троугао чији је један оштар угао 38 мора имати и угао мере 90 − 38 = 52 . Дакле, ова два троугла имају по једну једнаку страницу и углове налегле на њу, па су, према ставу УСУ, подударни. 

Да ли се податак о једнакости углова два троугла може изоставити приликом доказивања њихове подударности? Другим речима, да ли из једнакости свих одговарајућих страница можемо закључити да су троуглови подударни?

Било које две дужи једне равни, које су међусобно једнаке, могу довести у положај да буду паралелне.

Занимљиво. То значи да два троугла чије су одговарајуће странице међусобно једнаке, можемо довести у положај да им странице буду паралелне! Тако је. Тада се између тих троуглова може успоставити транслација за одређени вектор.

Јасно ми је на шта циљаш! Тада и одговарајући унутрашњи углови морају бити једнаки као слике при транслацији!

� v

Тврђење 3 (Став подударности ССС) Ако су све странице једног троугла подударне одговарајућим страницама другог троугла, тада су ти троуглови подударни.

A B

Слика 4 78

ТРОУГАО

Пример 5 Доказаћемо особину: Је�наким �е�ивама ис�о� кру�а о��оварају је�наки цен�рални у�лови.

Искористимо Слику 3 из Примера 3, ове лекције. Ако је = , треба доказати = . E Важи = = = (полупречници) и F притом = , па, на основу става подударности ССС, важи . Из подударности ових троуглова следи једнакост свих одговарајућих елемената, па самим тим важи и = , чиме смо доказали особину. 

Формулисаћемо и четврти став подударности, који се често примењује у образложењу различитих особина. Тврђење 4

(Став подударности ССу) Ако су две странице једног троугла једнаке двема страницама другог троугла, као и одговарајући углови наспрам дужих од тих страница, тада су ти троуглови подударни. Пример 6

Доказаћемо важну особину једнакокраког троугла: Висина која о��овара основици је�накокрако� �роу�ла ūолови у�ао између кракова. Такође, ūо�ножје �е висине ује�но је и сре�иш�е основице. Наведене особине директно следе из подударности троуглова и (Сликa 6). Важи = (краци једнакокраког троугла), = (заједничка страница) и угао наспрам дуже странице је прав. На основу става ССУ важи , одакле следи = и = , чиме су особине доказане. 

Пример 7

4 cm

Доказаћемо да су троуглови и приказани на Слици 5, подударни. Решење Како је = =5 и = = 4 , а угао наспрам дужих од тих страница, прав, то су, према ставу ССУ, троуглови и подударни. 

R Слика 5

4 cm

D Слика 6

ТРОУГАО

Пример 8 Ако претходно наведене особине применимо на једнакостранични троугао, долазимо до важне особине правоуглог троугла са оштрим углом мере 30 . Наиме, висина једнакостраничног троугла дели тај троугао на два подударна правоугла троугла чије су мере унутрашњих углова 30 , 60 и 90 . Један од њих је троугао приказан на Слици 7. Хипотенуза тог троугла једнака је страници , док је a катета наспрамна углу од 30 , једнака . 2

a 2

Слика 7

вЕЖБАМо

30 30

Који од приказаних троуглова су међусобно подударни? в)

г)

е)

ж)

б)

а)

ђ)

д)

Запиши који су од приказаних троуглова међусобно подударни и по ком ставу. C 15 F W 3c 90 Z m

2 cm L

3 cm

90 N 2 cm

D Y

2 cm

G 15

E 15

3 cm

90 V 15

3 cm

ТРОУГАО

Доказати да су дијагонале: а) квадрата; б) правоугаоника међусобно једнаке.

Нека је средиште странице

квадрата

. Доказати да је

Доказати да је средиште странице једнакостраничног троугла подједнако удаљено од преостале две странице тог троугла. Помоћ око 5. задатка?

Пажљиво скицирај слику. Присети се растојања тачке од праве. Након што нацрташ дужи чије су дужине тражена растојања, моћи ћеш да уочиш два правоугла троугла чију подударност треба доказати. Доврши задатак самостално.

Висина једног једнакостраничног троугла једнака је висини другог једнакостраничног троугла. Доказати да су ти троуглови подударни.

Троуглови приказани на слици су подударни. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Проверавамо своје знање (5 минута)

Свака два једнакостранична троугла су подударна. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Ако два троугла имају једнаке обиме, тада они морају бити подударни. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

4. У правоуглом троуглу чији је оштар угао 30 , хипотенуза , а краћа катета , важи: а) = 2 ; б) = ; в) = 2 г) = 3 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Научићеш да конструишеш описану и уписану кружницу произвољног троугла и упознати се са њиховим важним особинама.

оПИСАнА И уПИСАнА КруЖнИЦА ТроуглА описана кружница троугла Задатак 1 Нацртај кружницу ( Задатак 2

) и тачке

које јој припадају.

Допуни реченицу користећи слику из претходног задатка. Тачке , и су ..................................................... (упиши: колинеарне / неколинеарне), па представљају темена ..................................................... (упиши назив одговарајуће фигуре). Дефиниција 1

За кружницу којој припадају сва три темена троугла кажемо да је оūисана кружница око тог троугла. Одговарајући круг је оūисан око тог троугла.

Задатак 3

Заокружи слово изнад слике на којој је приказан троугао са одговарајућом описаном кружницом: а) б) в)

За дату кружницу постоји бесконачно много троуглова за које је та кружница описана! То је очигледно. Како постоји бесконачно много тројки тачака које припадају датој кружници, то ће бити и бесконачно много одговарајућих троуглова. Да ли за сваки троугао постоји описана кружница? Ако постоји, колико таквих кружница има? То већ захтева мало анализирања.

ТРОУГАО

Нека је дат троугао . Треба утврдити да ли постоји тачка подједнако удаљена од сва три темена тог троугла. Уколико је то испуњено, та тачка ће представљати центар описане кружнице око тог троугла. Треба нам тачка која је подједнако удаљена од сва три темена троугла. Другим речима, та тачка је подједнако удаљена од крајева дужи које представљају странице троугла.

Присетимо се особине симетрале дужи: Свака �ачка са симе�рале �ужи, ūо�је�нако је у�аљена о� крајева �е �ужи.

Центар описане кружнице троугла мора припадати симетралама страница тог троугла. Означимо са симетралу странице , симетралу странице и са симетралу странице . Нека важи = . Одатле имамо = и = . Даље закључујемо = , па је 𝑛𝑛 . Дакле, = .

sa B

sc Слика 1

Описана кружница троугла је јединствена.

Тврђење 1

Све три симетрале страница троугла секу се у једној тачки, која представља центар описане кружнице око тог троугла.

C r O

B A

Довољно је конструисати симетрале две странице. Пресечна тачка симетрала је центар, а растојање центра и било ког темена троугла је полупречник описане кружнице.

Слика 2

ТРОУГАО

Пример 1

Центар описане кружнице тупоуглог троугла не припада троуглу.

Центар описане кружнице правоуглог троугла припада хипотенузи.

Центар описане кружнице оштроуглог троугла припада области троугла.

Приказане су описане кружнице оштроуглог, правоуглог и тупоуглог троугла.

Можемо уочити да центар описане кружнице правоуглог троугла припада хипотенузи, па самим тим се мора поклапати са њеним средиштем.

Тврђење 2

Центар описане кружнице правоуглог троугла је средиште хипотенузе тог троугла.

Задатак 4

За конструкцију описане кружнице правоуглог троугла довољно је конструисати средиште хипотенузе. Слика 3

Нацртај произвољан једнакокраки и једнакостранични троугао, па им конструиши описане кружнице. Задатак 5 Конструиши једнакокрако-правоугли троугао чија је катета 3 cm, па опиши кружницу око тог троугла.

ТРОУГАО

Колико постоји кругова који садрже дати троугао? Бесконачно много. Чак и ако фиксирамо центар круга, можемо пронаћи полупречник који садржи дати троугао, и касније га повећавати колико желимо. Да. Слажем се у потпуности. А ако бисмо смањивали полупречник? Хмм... Морала би да постоји нека доња граница за дужину полупречника и у том смислу најмањи круг који садржи дати троугао.

Задатак 6

Пажљиво прочитај горњу дискусију, па покушај да изведеш закључак.

уписана кружница троугла Задатак 7

Задатак 8

) и три њене тангенте, које нису међусобно паралелне.

Нацртај кружницу (

Дефиниција 1

Допуни реченице користећи слику из претходног задатка: а) Нацртане тангенте ограничавају фигуру у равни која се назива ............................................. (уписати назив фигуре). б) Кружница додирује све странице ................................................. (уписати назив фигуре).

За кружницу која додирује све три странице троугла кажемо да је уūисана кружница у тај троугао. Одговарајући круг је уūисан у тај троугао. A

Задатак 9 Заокружи слово изнад слике на којој је приказан троугао са одговарајућом уписаном кружницом: а) б) в)

ТРОУГАО

Слично разматрање имамо и овде. За сваку кружницу постоји бесконачно много троуглова тако да је дата кружница уписана у те троуглове. Када је дат троугао, претпостављам да ће постојати јединствена кружница уписана у тај троугао. Анализирајмо...

O r E

Тврђење 3

Нека је кружница ( ) уписана у троугао . Тада је = = = и полупречници су нормални на одговарајуће странице. Важи (став ССУ), па је = . Закључујемо да је права ( ) симетрала унутрашњег угла код темена . Слично је права ( ) симетрала унутрашњег угла код темена , а права ( ) симетрала унутрашњег угла код темена . Све три симетрале садрже тачку .

Слика 4 Уписана кружница троугла је јединствена.

Све три симетрале унутрашњих углова троугла секу се у једној тачки, која представља центар уписане кружнице у тај троугао.

O B

B C

r O r A

B Слика 5

Довољно је конструисати симетрале два унутрашња угла. Пресечна тачка симетрала је центар, а растојање центра и било које странице троугла је полупречник уписане кружнице.

ТРОУГАО

Пример 2 Приказане су уписане кружнице неких троуглова. Центар уписане кружнице припада области троугла.

Задатак 10

pr a

Присетимо се особина једнакокраког троугла. Висина која одговара основици одређује симетралу угла између кракова, али и симетралу основице.

Нацртај једнакокраки троугао, па му конструиши описану и уписану кружницу. Шта примећујеш?

Тачно. Ово значи да оба центра (и описане и уписане кружнице) морају припадати висини која одговара основици.

− центар описане кружнице − центар уписане кружнице

Задатак 11

Конструиши једнакостранични троугао странице 3 cm, па му опиши и упиши кружницу. Шта примећујеш? Како све три висине једнакостраничног троугла одређују симетрале наспрамне странице и одговарајућег угла, то се центри описане и уписане кружнице морају поклапати.

ТРОУГАО

вЕЖБАМо

Мера спољашњег угла код темена једнакокраког троугла једнака је 112 ( = ). Ако је центар уписане кружнице тог троугла, одреди меру угла .

Конструиши правоугли троугао ( = 90 ), ако су дате дужине његових катета: =8 = 5 . Затим, упиши кружницу у тај троугао.

У правоуглом троуглу ( = 90 ) тачка Одреди мере унутрашњих углова троугла

Конструиши троугао , ако су дати његови елементи =5 , =3 , = 60 , а затим опиши кружницу око тог троугла.

Присети се конструкције троуглова, а затим проучи поступак испод Тврђења 1.

је центар уписане кружнице тог троугла. , ако је мера угла = 118 .

Помоћ око 1. задатка?

Проверавамо своје знање (5 минута)

На слици је приказана кружница описана око троугла. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Код произвољног једнакокраког троугла, центри описане и уписане кружнице се поклапају. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Полупречник описане кружнице око правоуглог троугла је 3 cm. Хипотенуза тог правоуглог троугла има дужину: а) 1 5 ; б) 6 cm; в) 9 cm; г) ниједна од понуђених. (Заокружи слово испред тачног одговора.) Полупречници описане кружнице једнакостраничног троугла граде угао мере 120 . ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

рАЦИонАлнИ БроЈЕвИ

Научићеш шта је то рационалан број. Упознаћеш се са особинама скупа рационалних бројева.

ПоЈАМ рАЦИонАлног БроЈА. СКуП Q Пример 1

Одредићемо вредност променљиве тако да једнакости буду тачне: а) 5 ∙ = 15;

б) 5 ∙ = 16;

а) = 3

б)

Решење

𝑛𝑛 ;

Дефиниција 1

= 16 5

;

в) 5 ∙ = −15;

г) 5 ∙ = −16.

в) = −3

д) = (−16) 5

𝑛𝑛 ;

Именилац разломка не може бити нула.

бројева означавамо са

Нека су 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛 . Израз краће записујемо у облику a и тај облик називамо рационалан број. Број је бројилац, b док је број именилац рационалног броја. Скуп рационалних .

а) 12 (−3) = (−12) 3 = −12 3;

б) −12 (−3) = 12 3. 

Важе једнакости:

Пример 2

Претходни пример нас је подсетио на особине дељења целих бројева. Ако применимо Дефиницију 1 на дате једнакости, добијамо одговарајуће изразе у облику разломка: 12 −12 12 −12 12 а) =− ; б) . = = −3 −3 3 3 3 Уопштено, за бројеве 𝑛𝑛 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛 𝑛𝑛 важе једнакости: x −x x −x x = =− и = . −y y y −y y

a одређује знак одговарајућег рационалног броја. Знак бројиоца и имениоца разломка b a За = 0 и 0, важи =0 Нула је рационалан број. b a За 0и 0, важи >0 b Ово значи да, као и у скупу a За 0и 0, важи >0 целих бројева, b разликујемо позитивне a За 0и 0, важи 0 и негативне рационалне b a бројеве. За 0и 0, важи 0 b 90

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Дефиниција 2 a | 𝑛𝑛 b означава се са a Скуп { | 𝑛𝑛 b означава се са Скуп {

−

𝑛𝑛

a b a b

0 назива се скуп позитивних рационалних бројева и

0 назива се скуп негативних рационалних бројева и

Пример 3

Важе једнакости:

−

x y

= −

x y

Пример 4 Скупови

Q−

;

| 𝑛𝑛 𝑛𝑛

| 𝑛𝑛 𝑛𝑛 −

𝑛𝑛 𝑛𝑛 ;

Z−

в)

−

𝑛𝑛 𝑛𝑛 . 

су дисјунктни, тј.

−

Задатак 1

Дефиниција 3

; б)

−

;

−

Да ли су тачни искази: а) Образложити одговор.

= .

б)

Q+ Z+

Слика 1

в)

−

= ?

Рационалан број

Рационалне бројеве који представљају неправе разломке записиваћемо у облику мешови�о� броја. Пример 5 17 важи |17| |−4|, па представља неправи разломак. −4 17 1 17 17 1 = 4 , па је = −4 . Знамо да важи =− 4 4 −4 4 4

За разломак

Дефиниција 4

a Ако бројилац и именилац рационалног броја помножимо истим целим бројем b a a а∙k ūроширили бројем . Важи једнакост = . онда кажемо да смо број b b b∙k

0, 91

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 6 Разломак

3 проширићемо бројевима 3 5 и 8. −7

Решење 3 3∙3 9 = = −7 −7 ∙ 3 −21

3 3∙5 15 = = −7 −7 ∙ 5 −35

Дефиниција 5

3 3∙8 24 = = . −7 −7 ∙ 8 −56

a Ако бројилац и именилац рационалног броја поделимо истим целим бројем b a a а k скра�или бројем Важи једнакост = . онда кажемо да смо број b b b k

Задатак 2

Решење −48 −48 2 −24 = = 36 36 2 18

−48 бројевима 2 3 и 12. 36

−48 −48 3 −16 = = 36 36 3 12

Колико различитих елемената има скуп =

24 ⎰ 7 − ⎱ 8 21

Пример 8

−48 −48 12 −4 = = . 36 36 12 3

Скратићемо разломак

Пример 7

21 14 − 24 10

2 ⎱ ? 5 ⎰

Пример 9

Представићемо у облику децималног записа следеће рационалне бројеве: 1 3 3 48 24 =−05 = − 0 75 −1 − =− =−1 = − 1 24.  −4 200 100 2 4 Апсолутне вредности неких рационалних бројева представљају разломке који имају периодичан децимални запис. Представићемо у облику децималног записа бројеве: 2 37 −38 а) ; б) − ; в) . −3 30 11 Решење 2 2 2 а) Како је = 0 666 = 0 (6) то важи =− = −0 (6) 3 −3 3 37 7 б) − = −1 = −1 2333 = −1 2(3) 30 30 −38 38 5 в) =− = −3 = −3 4545 = −3 (45 )  11 11 11

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

вЕЖБАМо

=−

6 ; 7

б)

13 −39 = ; 17

в)

−15

4 ; 60

г)

1 ; −5

б)

−3 ; 2

Одреди скупове: + а) ( + ) ;

в) −

4 ; 25

б)

(

1 ; −20

г) 1

−

o −9 = ; 36 12

д)

11 = . 7 −35

Преведи у децимални запис следеће разломке: а)

Попуни празна поља тако да једнакости буду тачне: а)

б) позитивне целе бројеве; г) позитивне рационалне бројеве;

Издвој из претходног задатка: а) природне бројеве; в) негативне целе бројеве; д) негативне рационалне бројеве.

Запиши у облику разломка дате количнике. Да ли је вредност неког количника цео број? а) 24 (−6); б) −1 (−50); в) −12 (−5); г) 0 (−72); д) −19 19; ђ) −6 (−2).

);

Одреди све целобројне вредности броја скупа: а) +; б) −.

д) − 3

в) (

1 . 6 )

−

𝑛𝑛 .

тако да прави разломак

x буде елемент −11 Помоћ око 6. задатка?

Присети се дефиниције правог и неправог разломка, као и особина које одређују знак рационалног броја.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

−18 представља: 6 а) позитиван рационалан број;

Број

б) негативан рационалан број;

в) позитиван цео број;

г) негативан цео број;

д) ниједан од понуђених одговора.

Децимални запис броја − а) −1 25;

б) −0 75;

35 једнак је: 20 в) −1 75; г) −0 25.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Сваки цео број је рационалан.

једнак је: б) ;

а) 0 ;

в) 𝑛𝑛;

Скуп 𝑛𝑛

г) .

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

(Заокружи слова испред тачних одговора.)

Научићеш да представљаш рационалне бројеве у различитим записима на бројевној правој.

рАЦИонАлнИ БроЈЕвИ нА БроЈЕвноЈ ПрАвоЈ Попут целих бројева, и рационалне бројеве је могуће представити на бројевној правој. Научили смо да представљамо (позитивне) разломке на бројевној полуправој, дељењем јединичне дужи на одговарајући број једнаких делова.

–1 – 3 – 2 – 1 4 4 4

1 4

Слика 1

2 4

3 4

1 Тачка чија је координата пресликава се, у односу на тачку координате нула, у тачку чија је 4 1 координата − . Слично важи и за преостале разломке приказане на Слици 1. 4 Мени је лакше да одаберем подеону дуж коју ћу наносити десно и лево од нуле потребан број пута.

Када представљамо разломке са имениоцем 4, одговарајуће јединичне дужи треба делити на четири једнака дела.

Задатак 1

(1)

⎧ 1⎫ ⎩ 3⎭

Означи на Слици 2 тачке (0) Пример 1

⎧ 2 ⎫. ⎩3⎭

–1 – 2 3

1 13

1 3

Слика 2

Решење

Представићемо на истој бројевној полуправој тачке које одговарају разломцима −

1 4 и на исти именилац. Важи 2 3 1 3 4 8 2 1∙3 4∙2 1 − =− и = =1 Важи ⎧ 2 ⎫ =− = 2∙3 3∙2 2 6 3 6 6 ⎩ ⎭ Сведимо, најпре, разломке − A

Пример 2

–

1 2

(2 3) = 6 па је

1 4 и . 2 3

⎧4⎫  ⎩3⎭

B 4 3

1 Представићемо на бројевној правој тачке задате својим координатама: ⎧ 2 ⎫ ⎩ ⎭ ⎧ 6 ⎫ (0 7) и ⎧ 1 ⎫. ⎩5⎭ ⎩ 5⎭

(−0 8)

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Решење Како је Важи

(2 5 10) = 10, то се именилац сваког разломка може свести на 10 .

1 5 = 2 10 B

–1

07=

7 10

6 12 = 5 10

–

Дефиниција 1

−0 8 = −

1 5

8 1 2 и− =− . 10 5 10

1 2

6 5

Нека је дат број 𝑛𝑛 . Број − је суūро�ан број рационалном броју .

a a За рационалан број 𝑛𝑛 𝑛𝑛 , број − је њему супротан. Такође, супротан број b b a a a a записујемо −⎧ ⎫. Важи −⎧ ⎫= 𝑛𝑛 𝑛𝑛 . броју − b ⎩ b⎭ ⎩ b⎭ b Пример 3

3 3 и− чине пар супротних бројева.  7 7

Бројеви

Задатак 2

Који од следећих бројева чине пар супротних бројева: в) −1 3 и −(−(−1 3))

5 16 г) −1 11 и 11 ?

Дефиниција 2

5 5 б) − 6 и −⎧ 6 ⎫; ⎩ ⎭

5 5 а) 6 и −⎧ 6 ⎫; ⎩ ⎭

Растојање између тачке чија је координата број 𝑛𝑛 и тачке чија је координата нула на бројевној правој, представља аūсолу�ну вре�нос� датог рационалног броја, што означавамо са | |. Апсолутну вредност рационалног броја

a b

𝑛𝑛

a⎥ . ⎥ b⎥

означавамо са⎥

Из теме Цели бројеви, позната је особина: Аūсолу�на вре�нос� количника је�нака је количнику аūсолу�них вре�нос�и �ељеника и �елиоца, ре�ом. | | a На основу наведене особине, важи једнакост:⎥ ⎥ = |b| 𝑛𝑛 𝑛𝑛 . ⎥ b⎥ 96

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Дефиницију апсолутне вредности, као и код целих бројева, можемо краће записати у облику: a a , ∈ 𝑸+ ∪ {0} ⎰ a b b ⎥ ⎥= ⎥ b ⎥ ⎱ − a , a ∈ 𝑸− b b

⎰ 𝑟, 𝑟 ∈ 𝑸+ ∪ {0} | |= ⎱ −𝑟, 𝑟 ∈ 𝑸−

Задатак 3

⎰ ⎱

вЕЖБАМо

1 Означи на приказаној бројевној правој тачке ⎧ 2 ⎫ ⎩ ⎭

–1

апсолутних вредности

= –

1 3 1 ⎱ 2 75 − 2 , 1 0 −⎧ 7 ⎫⎰ . Одреди скуп ⎩ ⎭ 7 4 бројева из скупа . Који скуп има више елемената?

Дат је скуп

(0 1)

(−0 2)

9 (1 1) и ⎧10⎫ . ⎩ ⎭ 1

Помоћ око 1. задатка?

Сведи најпре све разломке на исти именилац. Присети се да тачке чије су координате негативни рационални бројеви одређујеш лево од нуле на бројевној правој. Самостално доврши задатак. 2.

Одреди координате приказаних тачака на бројевној правој.

3. Прикажи на истој бројевној полуправој тачке координате средишта дужи

B 1 13

–1

⎧–1 1 ⎫ и ⎩ 5⎭

(−1 5), а затим одреди 97

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Одреди све рационалне бројеве за које важи: 5 а) | | = 8 ;

1 в) | | = −3 2 ;

б) | | = 0;

1 г) | | = 5 3 .

5. ⎰ ⎱

Дат је скуп = –

а)

б)

Посматрај скупове из претходног задатка, па одреди: + + − − а) ; б) ; в) ; г) ( )

= | | | 𝑛𝑛 д) (

)

;

, одреди скупове:

;

1 1 1 ⎱ 1 25 − 1 , 1 −⎧ 9 ⎫⎰ . Ако је ⎩ ⎭ 9 4 ; в) ; г) .

Проверавамо своје знање (5 минута) Која од приказаних тачака са слике одговара 3 разломку − ? 4 а) ; б) ; в) ; г) ниједна од приказаних тачака.

C 0

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Рационалних бројева б) два;

а) један;

за које важи једнакост |− | = в) не постоји тај број;

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 3.

3 има: 4 г) бесконачно много.

Постоји рационалан број чија је апсолутна вредност негативна. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Једнакост |− | = − је тачна за сваки број: а)

𝑛𝑛 ;

б)

𝑛𝑛

;

в)

𝑛𝑛

;

−

г) неједнакост је увек нетачна.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

B 1

Научићеш да упоређујеш рационалне бројеве дате у различитим записима.

уПорЕЂИвАЊЕ рАЦИонАлнИХ БроЈЕвА

Научили смо да упоређујемо позитивне разломке у зависности од положаја одговарајућих тачака на бројевној полуправој. То значи да већ умемо да упоређујемо елементе скупа +. Преостаје да научимо како се упоређују два негативна разломка, али и два разломка од којих је један позитиван, а други негативан.

Научили смо да представљамо рационалне бројеве на бројевној правој. Положај одговарајућих тачака одређује који је од датих бројева мањи, а који већи. Наводимо тврђење: Тврђење 1

Рационалан број који се налази лево на бројевној правој у односу на дати рационалан број те праве, мањи је од датог броја. Рационални бројеви чије се одговарајуће тачке бројевне праве међусобно поклапају, једнаки су међусобно.

Претходно тврђење можемо исказати на следећи начин: Ако је тачка ( ) лево од тачке ( ) на бројевној правој ( 𝑛𝑛 𝑛𝑛 ), онда је . У случају када се тачке ( ) и ( ) поклапају, онда је = . Наиме, из наведеног тврђења следи да се свака два рационална броја могу упоредити. Задатак 1

Прочитај пажљиво претходно тврђење, па допуни следеће реченице речима ПОЗИТИВАН или НЕГАТИВАН. а) Сваки ...................................... рационалан број је мањи од сваког ...................................... рационалног броја. б) Сваки ...................................... рационалан број је већи од нуле. в) Сваки ...................................... рационалан број је мањи од нуле. Присети се, како се упоређују два позитивна цела броја, а како два негативна. Одговарајућа тврђења важе и у скупу рационалних бројева. Тврђење 2 а) Од два позитивна рационална броја већи је онај чија је апсолутна вредност већа. б) Од два негативна рационална броја већи је онај чија је апсолутна вредност мања.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Упоређивање апсолутних вредности рационалних бројева своди се на упоређивање позитивних разломака, што одраније знамо. Користили смо свођење на једнаке имениоце или бројиоце. Од два разломка са једнаким бројиоцима већи је онај који има мањи именилац.

Од два разломка са једнаким имениоцима већи је онај који има већи бројилац. Задатак 2

На линији упиши знак , > или = тако да исказ буде тачан: д) −

2 ; 7

37 ......... 0; 64

5 5 ......... ; 8 6 39 ђ) 15 ......... 0; 59

в)

б) 2 ......... − 3

4 3 ......... − ; 5 5 8 2 г) − ......... − 2 ; 3 3 2 1 ......... − . е) − 5 3

а) −

а) Упореди, најпре, апсолутне вредности датих бројева. 4⎥ ⎥ 3 ⎥ , па је, према Тврђењу 2. б) − 4 Важи ⎥ 5 ⎥ 5⎥ ⎥ 5⎥ (Упиши одговарајући знак у празно поље.)

−

Помоћ око 2. задатка?

3 . 5

Пример 1

Одраније знамо да упоређујемо позитивне разломке дате у децималном запису. Децималне записе поредимо тако што, посматрајући их слева надесно, поредимо редом одговарајуће цифре (најпре целе, затим десете, стоте итд.). Већи је онај запис код кога се најпре дође до веће одговарајуће цифре. Користићемо Тврђење 2 и приликом упоређивања рационалних бројева датих у децималном запису.

Упоредићемо бројеве −3 257 и −3 24. Решење Како је |−3 257| |−3 24|, то закључујемо да важи −3 257 −3 24.  Пример 2

Упоредићемо следеће бројеве користећи њихове децималне записе: 2 2 ; б) −3 и −3 6. а) −2 5 и −2 5 3 Решење 2 2 = −2 4 |−2 5| |−2 4|, то је −2 5 −2 ; а) Како је −2 5 5 2 2 б) Важи −3 = −3 (6) |−3 (6)| = |−3 666 | |−3 60|, тј. −3 −3 6.  3 3 100

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

вЕЖБАМо 1.

Који од знакова или = треба да упишеш у одговарајући квадратић, тако да добијени искази буду тачни: а) −

2 5

г) |−1 21|

⎥ 2⎥ ; ⎥ 5⎥

б) −

3 11

д) −5 676

|1 21|;

3⎥ ; 11 ⎥ ⎥

−⎥

−5 67;

в) −

3 8

ђ) −1 2

4 ; 9 6 ? − 5 −

⎱ 3 – 37 ⎰ = –1 92 , – 2023⎰ . Одреди скуп ⎱ 5 4 су елементи бројеви супротни бројевима из скупа . Затим, одреди: a) најмањи елемент скупа ; б) најмањи елемент скупа .

чији

Одреди цео број најближи датом рационалном броју:

1 ; 3

б) −3

1 ; 11

в)

Нека су рационални бројеви

– 47 ; 3

7 ; – 55

а)

г)

д)

– 17 . 20

задати на следећи начин:

Дат је скуп рационалних бројева

8 ⎫⎫ 1 ⎫⎥ 7⎥ = −⎥ − = ⎥ − ⎧− 1 = −(−|−4|). 8 ⎭⎥ ⎥ 8⎥ ⎥ ⎩ ⎩⎩ 7 ⎭ ⎭ а) Одреди најмањи од датих бројева; б) Одреди највећи од датих бројева. – = −⎧ ⎧ −

Одреди скуп свих рационалних бројева 𝑚𝑚𝑚 за које важи да је: а) −𝑚𝑚𝑚 0;

б) |−𝑚𝑚𝑚| 0;

в) 𝑚𝑚𝑚 0;

г) −|−𝑚𝑚𝑚| 0.

Наведи три рационална броја која задовољавају неједнакости −1 15

−1 12.

Помоћ око 6. задатка?

Тражени рационални бројеви морају бити негативни. Прочитај пажљиво Тврђење 2 б) у овој лекцији, па ћеш једноставно моћи да решиш задатак.

101

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Неједнакост −

1 4

−

1 је тачна. 5

ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 2.

Не постоји ниједан рационалан број

7 11 б) >;

а) ;

−0 6(3) је тачан ако у празно поље упишемо знак:

в) =;

г) ;

д)

(Заокружи слова испред тачних одговора.)

Колико постоји рационалних бројева за које важи | | 1? б) три;

в) бесконачно много;

а) ниједан;

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

3. Исказ −

3 . 7

ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

за који важи | | −

102

г) два.

САБИрАЊЕ И оДуЗИМАЊЕ рАЦИонАлнИХ БроЈЕвА

Научићеш да сабираш и одузимаш рационалне бројеве дате у различитим записима.

Стање на рачуну 3.969,00 RSD −570,95 RSD −257,75 RSD

Слика 1

На Слици 1 су приказане три последње промене на Јеленином рачуну. Износ означен позитивним рационалним бројем представља уплату, док су негативним рационалним бројевима означене исплате, тј. трошкови које је Јелена направила. За колико се променило стање на Јеленином рачуну након што су извршене наведене три промене? Један од начина је сабирање уплата и исплата. Уколико је вредност добијеног израза позитиван број, то ће бити износ за који се повећало стање на Јеленином рачуну.

Сабирање рационалних бројева Тврђење 1

Уколико је вредност израза негативан број, његова апсолутна вредност представља износ за који се смањило стање на рачуну. Дакле, треба одредити вредност израза 3 969 + (−570 95) + (−275 75). Како сабирамо два произвољна рационална броја?

a b а+b 0, важи c + c = . Збир два c рационална броја једнаких именилаца је рационалан број чији је бројилац једнак збиру одговарајућих бројилаца, а именилац једнак имениоцу датих рационалних бројева.

Пример 1

a b За дате рационалне бројеве c и c , при чему је

Одредићемо дате збирове:

−1 + 2 1 2 −1 2 1 = + = + = ; 3 3 3 3 3 3 −7 + 2 7 2 −7 2 −5 = б) − + = + = = − 1; 5 5 5 5 5 5 3 ⎧ 2 ⎫ − 3 − 2 −3 + (−2) − 5 5 = = в) − + + = =− . 11 11 ⎩ 11⎭ 11 11 11 11 а) −

У случају када имениоци датих рационалних бројева нису једнаки, сводимо их на именилац једнак најмањем заједничком садржаоцу датих именилаца. Користимо иста правила која важе при сабирању позитивних разломака, али имамо у виду и правила сабирања целих бројева.

103

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 2 Одредићемо следеће збирове: 3 1 + 4 8

а) −

Решење

)

− 5 ⎧ 1 ⎫ 31 + + . 16 ⎩ 24⎭ 48

−3 ∙ 2 −6 + 1 − 5 3 1 1 −6 1 5 + = + = = + = =− . 4∙2 8 4 8 8 8 8 8 8 −5 ∙ 3 + (−1) ∙ 2 + 31 − 5 ⎧ 1 ⎫ 31 14 7 = + б) Важи (16 24 48) = 48, па је + = = . 48 16 ⎩ 24⎭ 48 48 24

а) −

Наводимо тврђења која ћемо користити при сабирању рационалних бројева.

Тврђење 2

Збир два рационална броја истог знака је рационалан број истог знака као и сабирци. Апсолутна вредност збира једнака је збиру апсолутних вредности сабирака.

Тврђење 3

Пример 3

Збир два рационална броја различитих знакова је рационалан број чији је знак једнак знаку сабирка са већом апсолутном вредношћу. Апсолутна вредност збира једнака је разлици апсолутних вредности сабирака (када од веће одузмемо мању).

Сабраћемо следеће рационалне бројеве: 1 5 + ; 3 7

Решење

4 ⎧ 1⎫ . + –3 5 ⎩ 10⎭

а) −1

б) −2

а) Први начин: Мешовити број преведемо у неправе разломке које затим саберемо. −1

−4 ∙ 7 + 5 ∙ 3 −13 1 5 4 5 13 = + =− + = =− . 3∙7 3 7 3 7 21 21

Други начин: Без превођења мешовитог броја у неправи разломак. 1 5 7 15 ⎫ ⎧ 28 15 ⎫ 1 5 13 – ⎫= −⎧1 – – + = −⎧1 =− =− 7 ⎭ ⎩ 21 21 ⎭ ⎩ 21 28 ⎭ 3 7 21 ⎩ 3 1 8 1 4 ⎧ 1⎫ ⎧ 4 9 + 3 ⎫ = −⎧2 + 3 ⎫ = −5 =− 2 б) −2 + –3 . 10⎭ ⎩ 10 10⎭ 5 ⎩ 10⎭ ⎩ 5 10

−1

104

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Наведена правила користимо и приликом сабирања рационалних бројева датих у децималном запису. Пример 4 Одредићемо збир: а) −3 2 + 0 43;

б) −52 785 + (−1 03);

Решење

в)

3 + (−0 125). 4

а) −3 2 + 0 43 = −(3 2 − 0 43) = −2 77;

б) −52 785 + (−1 03) = −(52 785 + 1 03) = −53 815;

3 + (−0 125) = 0 75 + (−0 125) = +(0 75 − 0 125) = 0 625 .  4

в)

Својства сабирања рационалних бројева

Све особине сабирања које важе у скупу целих бројева, важе и у скупу рационалних бројева.

Нула је неу�рални елемен� за сабирање, тј. a a a a 𝑛𝑛 важи +0=0+ = . за сваки b b b b важи

Задатак 1

a ⎧ a⎫ a a =− + + = 0. b ⎩ b⎭ b b

a 𝑛𝑛 b

За сваки

а) −

Упиши на линији рационалан број тако да једнакост буде тачна: 7 + ......... = 0; 5

б) 1

6 + ......... = 0; 7

в) ......... + (−(−2 9)) = 0.

Сабирање у скупу рационалних бројева је кому�а�ивно, тј. a c a c c a за сваки 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛 важи + = + . b d b d d b Сабирање у скупу рационалних бројева је асоција�ивно, тј. a c e 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 важи за сваки b d f ⎧ a + c ⎫+ e = a + ⎧ c + e ⎫. b ⎩ d d⎭ f f ⎭ ⎩ b Важи правило за ослобађање од заграде, тј. a c a ⎧ c⎫ a c . за сваки 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 важи −⎧ + ⎫ = − + b d b ⎩ d⎭ b d ⎩ ⎭

105

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 5 Користећи својства сабирања рационалних бројева, израчунаћемо: комутативност

асоцијативност

⎧1 2 +⎧− 2 3 ⎫ ⎫ +⎧− 6 ⎫ =⎧− 2 3 + 1 2⎫ +⎧− 6 ⎫ =− 2 3 +⎧1 2 +⎧− 6 ⎫ ⎫ = 10 ⎭ ⎭ ⎩ 5 ⎭ ⎩ 10 10 ⎩ ⎭ ⎩ 5 ⎭ ⎩ ⎩ ⎩ 5 ⎭⎭

3 3 3 + (1 2 + (−1 2)) = − 2 +0=−2  10 10 10

Нула је неутрални елемент за сабирање.

Збир рационалног броја и њему супротног је нула.

одузимање рационалних бројева

=−2

Научили смо да одузимамо позитивне разломке, као и целе бројеве. Слична правила ћемо користити и при одузимању произвољних рационалних бројева. Тврђење 4

a b За дате рационалне бројеве једнаких именилаца c и c , при чему је 0, важи a b а–b c – c = c . Разлика два рационална броја једнаких именилаца је рационалан број чији је бројилац једнак разлици бројилаца датих бројева, а именилац једнак имениоцу датих бројева.

Задатак 2

Одузимање рационалних бројева можемо свести и на сабирање са одговарајућим супротним бројем: a c a c a ⎧ c⎫ За сваки . 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 важи − = + b d b d b ⎩ d⎭ Упиши бројеве у празним пољима тако да једнакости буду тачне: а)

−7 2 − = ; 9 9 9

Задатак 3

б)

31 ⎧ 2 ⎫ −33 − − = ; 5 ⎩ 5 ⎭

Израчунај: а) −3

7 1 −2 ; 8 4

106

б) 3

1 5 −5 . 24 36

в)

−

2 3 =− ; 11 11

г)

−15 4 − = . 17 17

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 6 Одредићемо вредност израза − Решење

7 ⎧3 − 8 ⎩4

0 5⎫. ⎭

p Први начин: Користимо облик q : −

1 ⎫ 4 ⎫ 2 9 1 7 ⎧ 3 7 ⎧ 3 7 ⎧ 6 7 − 0 5⎫ = − − − =− =−1 . =− =− − − − − 2 ⎭ 8 ⎭ 8 8 8 8 ⎩ 4 8 ⎩ 4 8 ⎩ 8 8 ⎭

−

7 ⎧ 3 − 0 5⎫ = − 0 875 − (0 75 − 0 5) = − 0 875 − 0 25 = −1 125.  − 8 ⎩ 4 ⎭

Други начин: Користимо децимални запис:

Пример 7

3 3 ⎫ +2 на два начина: 5 ⎭ ⎩ 4

Одредићемо вредност израза −2 5 −⎧

Решење

Први начин – без ослобађања од заграде:

3 3 ⎫ 5 ⎧ 3 13 ⎫ 5 ⎧ 15 52 ⎫ 5 ⎧ 67 ⎫ +2 − + − + − + =− =− =− = 5 ⎭ 2 ⎩ 4 5 ⎭ 2 ⎩ 20 20 ⎭ 2 ⎩ 20 ⎭ ⎩ 4 5 67 117 17 − =− =−5 . =− 2 20 20 20

−2 5 −⎧

Други начин – коришћењем правила за ослобађање од заграде:

3 3 ⎫ 3 ⎫ +2 = − 2 5 +⎧ − + (−2 6) = − 2 5 − 0 75 + (−2 6) = − 5 85 .  5 ⎭ 4 ⎭ ⎩ 4 ⎩

−2 5 −⎧

вЕЖБАМо

Израчунај: а) −

1 2 + ; 5 5

б)

Израчунај: а)

7 −3 − ; 8 8

б) −

−7 2 ; + 3 9

в) 3

1 −4 + ; 3 5

17 5 − ; 12 6

в) −2 −

1 ; 6

г) −5 6 + 1 2; г) −7 8 − 3 1;

д) 0 13 − 14 7. д) 32 5 − (−0 83). 107

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

а) −

15 7 ⎧ 1 1 ⎫ − + − ; 16 8 ⎩ 4 2 ⎭

⎩

2 2 ⎫ − . 3 5 ⎭

Од збира бројева −7 25 и 1 4 одузми њихову разлику (број чија је већа апсолутна вредност је умањеник). Колика је вредност одговарајућег израза?

Ако је = −1 5 +

1 4

=− −1

Одреди вредност израза −|− 1 ⎫⎥ = ⎥ − ⎧− 1 − 5 125 и 8 ⎭⎥ ⎥ ⎩

1 , одреди вредност израза − . 8

− (− )| + |

Најпре одреди вредност израза „главни” израз.

−

3 − = −1 8

б) 3 −⎧−1

− | ||, ако је

Одреди вредност израза:

Помоћ око 6. задатка?

, а затим вредност израза , а потом пређи на

Проверавамо своје знање (5 минута)

3 5 − једнака је: 4 4 б) −2; в) −8;

Вредност израза − а) 4;

г) 2 .

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Који од следећих израза имају вредност −1 2?

1 ⎫ 7 1 ⎫ − ; б) −⎧ ; в) − 0 96 + 0 24 ; 5 ⎭ ⎩ 5 ⎭ ⎩ 5 (Заокружи слова испред тачних одговора.) а) −1 +⎧−

г) −14 − 0 2?

1 − 0 99 већа је од −2 5. Вредност израза −1 2 ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

4 1 −4−1 − = = −5. 5 4 5–4 Збир вредности коју је Вељко добио и тачне вредности израза једнак је:

Вељко је, на погрешан начин, рачунао − а) −2

108

9 ; 20

б) 3

11 ; 20

в) −6 05 ;

г) 5

11 . (Заокружи слово испред тачног одговора.) 20

ЈЕДнАЧИнЕ И нЕЈЕДнАЧИнЕ СА САБИрАЊЕМ И оДуЗИМАЊЕМ у СКуПу Q

Научићеш да решаваш једначине и неједначине са сабирањем и одузимањем рационалних бројева.

Једначине са сабирањем и одузимањем у скупу Q Задатак 1

;

2 и 5

= −(−0 2 + 6).

б) Повежи изразе са једнаким вредностима ( +2

−27

−2 7

0):

знак једнакости

а) Провери да ли важи

= −7 2 + 1

L=D

Дати су бројевни изрази

десна страна једнакости

+ в) Запиши све тачне једнакости редом добијене под б).

лева страна једнакости

Дефиниција 1

Тврђење 1

Два израза (од којих бар један садржи променљиву величину) повезана знаком једнакости чине је�начину. Сваки број који, замењен уместо променљиве у једначини, претвара једначину у тачну бројевну једнакост представља решење те једначине.

Ако левој и десној страни једнакости додамо (одузмемо) исти израз, једнакост ће и даље важити.

Тасови који стоје у равнотежи остају у том положају докле год додајемо или одузимамо исту масу!

m+3–3=5–3 1

m+3=5

m=2

109

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 1 Решићемо следеће једначине применом Тврђења 1: 1 1 + = 2 4; в) − 3 2 = −5 ; а) + 7 = −11; б) −2 4 3 Решење

г) −

23 1 − =1 . 18 9

а) + 7 = −11

−7

Како бисмо „елиминисали” +7, на обе стране једнакости додамо −7. На тај начин, лева страна једнакости биће једнака непознатој , одакле се директно одређује њена вредност.

+ 7 − 7 = −11 − 7 0

= −18 б)

1 1 + = 2 4 +2 4 4 1 1 1 −2 + +2 =24+2 4 4 4 1 1 −2 +2 + = 2 4 + 2 25 4 4

Додајемо + 2

= 4 65

Комутативност сабирања.

в)

− 3 2 = −5

1 3

−3 2 + 3 2 = −5 0

+3 2

1 +32 3

16 16 + 3 5 80 48 32 2 =− + =− =−2 15 15 15 15 =−

110

1 на обе стране једнакости. 4

−2

г) 23 1 23 − =1 + 18 9 18 23 23 1 23 − − + =1 + 18 18 9 18 23 23 2 5 − + − =1 +1 18 18 18 18

−

7 18 7 = −2 . 18

− =2

Особина супротног броја.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 2 3 ⎫ Решићемо једначину 18 4 −⎧ − 2 = −1 на два начина. 5 ⎭ ⎩ Први начин подразумева примену правила за ослобађање од заграде када је испред заграде знак минус. Након тога применимо особине сабирања рационалних бројева и Тврђење 1. 3 у првом кораку сматрамо непознатом величином. Други начин подразумева да израз − 2 5 Најпре се бира слово којим се смењује одговарајући израз, па се зато овај начин често зове и метода смене.

Други начин:

3 ⎫ = −1 5 ⎭ ⎩ 3 = −1 18 4 − + 2 5 3 18 4 + 2 − = −1 5

18 4 −⎧ − 2

⎩

18 4 − а = −1

Задатак 2

Уводимо смену 3 = a, а −2 5 затим решавамо једначину са непознатом а.

Враћамо смену.

3 3 = 19 4 +2 5 5 3 3 3 −2 +2 = 19 4 + 2 5 5 5 −2

= 22

= 19 4

− = −22

− = −19 4

−21

21 − − 21 = −1 − 21

−18 4

18 4 − − 18 4 = −1 − 18 4

18 4 + 2 6 − = −1 21 − = −1

3 ⎫ = −1 5 ⎭

Први начин:

Решење

= 22 

3 добићеш број за 2 5 мањи од 1 2. Када непознатом броју додаш − 1 7 Састави одговарајућу једначину и одреди непознати број. Задатак 3

8 , добићеш најмањи природан Када од броја −5 6 одузмеш збир непознатог броја и броја 9 број. Одреди непознати број.

111

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 3

Решење

−

1 ⎥ = 3 2 у скупу: 5 ⎥

⎥ ⎥

−

1 =32 5

− 0 2 = 3 2 +0 2

−02+02=32+02 0

=34

1 ⎥ =32 5 ⎥

или или или

или

−

а) 𝑛𝑛; б) ;

в) .

Ако је | | = 3 2 онда 𝑛𝑛 3 2 −3 2

1 = −3 2 5

Једначина | | = 𝑚𝑚𝑚 има решења ако је 𝑚𝑚𝑚 0. У том случају решења једначине су = 𝑚𝑚𝑚 или = − 𝑚𝑚𝑚.

− 0 2 = −3 2 +0 2

− 0 2 + 0 2 = −3 2 + 0 2 0 =−3

⎥

−

Решићемо једначину ⎥

Скуп решења дате једначине једнак је 3 4 −3 . а) У скупу 𝑛𝑛 једначина нема решење. а) У скупу једначина има једно решење и то = −3. б) У скупу једначина има два решења. То су бројеви 3 4

неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу Q

−3. 

Дефиниција 1

Присетићемо се дефиниције неједначине и формулисати тврђење које ћемо користити при решавању неједначина.

Неједнакост у којој се јавља бар једна променљива представља неје�начину. Скуп свих допустивих вредности променљиве које, замењене у неједначини, претварају неједначину у тачну бројевну неједнакост чини скуū решења неје�начине.

Тврђење 1

Ако левој и десној страни неједнакости додамо (одузмемо) исти израз, неједнакост се неће променити. Добијена неједначина има исти скуп решења као и полазна. Слично размишљамо као и код једначина.

112

m+2>5 1

m 1

m+2–2>5–2 1

m>3 1

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 4 Решићемо следеће неједначине и решења приказати на бројевној правој. 1 2

Решење

−

2 ; 3

б) − 1 6 −2

1 ; 5

в) −3

7 1 = −1 6 6 −1

1 6

− 1 6 + 1 6 −2 0

+1 6

1 +16 5

−0 6 −1

−0 6

Скуп решења: | −0 6 и 𝑛𝑛

Скуп решења: 1 и 𝑛𝑛 | −1 6 Пример 5

1 5

Одредићемо збир свих негативних целих бројева 3 . −0 2 + −6 10 Решење Решење дате неједначине је збир је −21 . 

3 3 − 0 75 + 3 4 4 3 3 3 −3 − +3 0 75 + 3 4 4 4 3 3 3 −3 +3 − 0 75 + 3 4 4 4 −3

−

− 1 6 −2

1 2 1 − − 2 3 2 1 1 2 1 + − − − 2 2 3 2 +

0 75

в)

б)

3 − 4

а) +

−(− ) −4 5

Ако је онда је −

− .

−4 5

−4 5 4 Скуп решења: | −4 5 и 𝑛𝑛



за које важи неједнакост

−6 1. Тражени цели бројеви су −6 −5 −4 −3 −2 и −1. Њихов

Пример 6

Користећи одговарајуће неједнакости, записаћемо следеће реченице: Израз је позитиван. 0 Израз је негативан. 0 Израз је ненегативан. 0 Вредност израза није мања од 5. 5 Вредност израза је већа од −3 6 −3 6 

113

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 7 Одредићемо све вредности променљиве за које је израз −1 6 + ненегативан.

Решење Проблему одговара неједначина −1 6 +

0 чије је решење

Пример 8

Решићемо неједначине:

а) | − 3| 0 6;

Решење

б) |1 − |

1 6.  1 . 5

б)

| − 3| 0 6

1 5 1 1− − или 1 − 5 6 4 или 5 5

−3и −3 06 36

4 5

1 5

24и

−3 06

−0 6 24

|1 −

−0 6

6 5

вЕЖБАМо

Реши једначине: а)

1 3 + =− ; 14 7

1 − = −4 45; 4

в) −

5 1 − = ; 18 9

г) + 2 = −

Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој: а) −

б) 3

1 + 5

4 ; 15

б) 2 1 −

−0 95;

в)

5 − 6

−

3 ; 8

г) + 2

2 7

Реши једначине: а) 5 2 +⎧− 2

114

⎩

3 − ⎫ = −0 1; 5 ⎭

б) −4 −⎧ − 1 ⎩

3 ⎫ 1 − 1 25. = −2 4 ⎭ 10

24 . 9 −3

4 . 9

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

1 да би добијена разлика била Које бројеве можеш одузети од збира бројева −2 7 и 3 1 мања од −1 ? 5 3 − ⎥ = 6 75 у скупу: ⎥ 4 ⎥

Реши једначину ⎥

а) 𝑛𝑛; б) ;

в) .

Одреди све негативне целе бројеве за које израз −5 2 −⎧ + ⎩

1 ⎫ није већи од −1 1. 5 ⎭

Помоћ око 6. задатка?

Задатак се своди на решавање неједначине. Пажљиво прочитај Пример 6 у лекцији, па састави одговарајућу неједначину. Можеш користити правила за ослобађање од заграде или методу смене.

Решење једначине + а) −3;

б) 3;

Ако је + 3

1 5 = и 8 6 б) ;

1 5 =− једнако је: 2 2 в) 0; г) 2.

Проверавамо своје знање (5 минута)

2. ;

+ 1 2 = −5 2, тада важи:

а)

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

в) = .

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 3.

Број −2 56 припада скупу решења неједначине − ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

7 − 2

−1.

Једначина | − 5 3| = −0 3 има тачно једно решење у скупу целих бројева. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

115

Научићеш да множиш и делиш рационалне бројеве дате у различитим записима.

МноЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ рАЦИонАлнИХ БроЈЕвА Множење у скупу Q

Научили смо да множимо позитивне разломке, тј. множење у скупу ћемо множити и два произвољна рационална броја.

. По сличном правилу

Тврђење 1

Производ два рационална броја дата у облику разломка је рационалан број чији је бројилац једнак производу бројилаца, а именилац производу именилаца тих бројева, а∙c a c a c за ∙ = 𝑛𝑛 𝑛𝑛 . тј. b∙d b d b d Правила са којима смо се упознали при множењу целих бројева, важе и при множењу рационалних бројева:

Тврђење 2

Пример 1

а) Производ два рационална броја истог знака је позитиван рационалан број. б) Производ два рационална броја различитог знака је негативан рационалан број.

Одредићемо производе: 2 7 ∙ ; 9 5

Решење

б)

12 ⎧ 3 ⎫ ∙ − ; 21 ⎩ 4 ⎭

а) −

в) −3 ∙

5 ; 6

г) −2

3 ⎧ 1 ⎫ ∙ − . 5 ⎩ 9 ⎭

2 7 −2 7 −2∙7 −14 14 ∙ = ∙ = = =− ; 9 5 9 5 9∙5 45 45 12 ⎧ 3 ⎫ 12 − 3 12 ∙ (−3) −36 −36 12 − 3 3 б) ∙ − ∙ = = = = =− ; = 21 ⎩ 4 ⎭ 21 4 21 ∙ 4 84 84 12 7 7 5 − 3 ∙ 5 −15 15 5 1 в) −3 ∙ = = =− =− = −2 ; 6 6 6 6 2 2 3 ⎧ 1 ⎫ 13 − 1 −13 ∙ (−1) 13 г) −2 ∙ − ∙ = = . =− 5 ⎩ 9 ⎭ 5 9 45 45 а) −

116

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 2 Присети се множења бројева датих у децималном запису. Након тога, прочитај још једном Тврђење 2.

Одредићемо следеће производе: а) −1 2 ∙ 1 5; Решење

б) 3 25 ∙ (−1 6);

в) −0 38 ∙ (−2 56).

а) −1 2 ∙ 1 5 = −(1 2 ∙ 1 5) = −1 8;

б) 3 25 ∙ (−1 6) = −(3 25 ∙ 1 6) = −5 2;

в) −0 38 ∙ (−2 56) = +(0 38 ∙ 2 56) = 0 9728.  Својства множења рационалних бројева

Све особине у вези са множењем позитивних разломака и целих бројева можемо применити и код множења са произвољним рационалним бројевима. Множење је кому�а�ивна и асоција�ивна операција. Такође, множење је �ис�рибу�ивно према сабирању и одузимању. a c e За произвољне рационалне бројеве , и важе једнакости: b d f

a a a ∙1=1∙ = b b b

Множење је комутативна операција.

Број 1 је неутрални елемент за множење.

a c c a ∙ = ∙ b d d b a ⎧c e a c a e ∙ + ⎫= ∙ + ∙ b ⎩d f⎭ b d b f

Множење је дистрибутивно према сабирању. Пример 3

⎧ a ∙ c ⎫ ∙ e = a ∙⎧ c ∙ e ⎫ b ⎩d f ⎭ ⎩b d⎭ f a ⎧c e a c a e ∙ − ⎫= ∙ − ∙ b ⎩d f⎭ b d b f

Не постоји цео број за који важи −2 ∙ = 1. 1 ⎫ Међутим, како је −2 ∙⎧− = 1, то тражени број постоји у ⎩ 2 ⎭ скупу . Тражени број је 1 1 =− 𝑛𝑛 . Број − је реципрочан број броју −2.  2 2 За рационалан број

a b

0 важи

Множење је асоцијативна операција.

a b b a ∙ = ∙ = 1. b a a b

Множење је дистрибутивно према одузимању.

Нула нема реципрочан број! Производ рационалног броја и њему реципрочног је 1.

117

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 4 Одредићемо вредности следећих израза: а) ⎧− ⎩

5 1 ⎫ − ∙ (−2) 6 8 ⎭

Решење

б) −3

5 1 ⎧ 1 ⎫ −1 ∙ −2 ; 9 3 ⎩ 4 ⎭

в) −

5 ⎧ 1 ⎫ 12 5 ∙ − ∙ − . 3 ⎩ 15 ⎭ 25 3

а) Први начин (одредимо најпре вредност израза у загради, па добијени резултат помножимо): ⎧− 5 − 1 ⎫ ∙ (−2) = ⎧− 20 − 3 ⎫ ∙ (−2) = − 23 ∙ (−2) = 23 = 1 11 . 8 ⎭ 24 12 12 ⎩ 6 ⎩ 24 24 ⎭

Други начин (применимо дистрибутивни закон):

⎧− 5 − 1 ⎫ ∙ (−2) = − 5 ∙ (−2) − 1 ∙ (−2) = 5 + 1 = 20 + 3 = 23 = 1 11 ; 8 ⎭ 6 8 3 4 12 12 12 12 ⎩ 6

5 1 ⎧ 1 ⎫ 5 4 9 5 5 ⎫ −1 ∙ −2 + ∙ = −3 + 3 = −⎧3 + = −3 +3= 9 3 ⎩ 4 ⎭ 9 3 4 9 9 ⎭ ⎩ 5 5 +3=− ; = −3 − 9 9

б) −3

12 5 5 ⎧ 1 ⎫ 4 1 36 5 31 ∙ − ∙ − + =− + =− ; =− 25 3 3 ⎩ 15 ⎭ 5 9 45 45 45

−

в) Први начин:

Други начин (дистрибутивни закон):

12 5 5 ⎧ 1 ⎫ 12 5 1 5 ⎧ 12 1 ⎫ 5 ⎧ 36 5 ⎫ 5 ∙ − ∙ − ∙ + ∙ = − + = − + = =− ∙ ∙ 25 3 3 ⎩ 15 ⎭ 25 3 15 3 ⎩ 25 15 ⎭ 3 ⎩ 75 75 ⎭ 3 31 5 31 =− ∙ =− . 75 3 45

−

Дељење у скупу Q Тврђење 3

Два рационална броја делимо тако што дељеник помножимо реципрочним бројем делиоца. Притом, делилац мора бити различит од нуле. Добијени количник је рационалан број. a c c a c a d 𝑛𝑛 𝑛𝑛 0 важи = ∙ . За b d d b d b c 118

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Као и у скупу целих бројева, важи следеће тврђење: Тврђење 4 а) Количник два рационална броја истог знака је позитиван рационалан број. б) Количник два рационална броја различитог знака је негативан рационалан број. Пример 5 Одредићемо количнике: 5 9

Решење

4 ; 7

б)

5 ⎧ 1 ⎫ − ; 12 ⎩ 4 ⎭

8 ⎫⎧ 1 ⎫ −1 ; 3 ⎭ ⎩ 15 ⎭ ⎩

в)⎧−

18 ; 23

д) 2

5 ⎧ 5 ⎫ −3 . 8 ⎩ 36 ⎭

4 5 7 35 =− ∙ =− ; 7 9 4 36 5 ⎧ 1 ⎫ 5 4 5 2 ∙ =− = −1 ; б) − =− 12 ⎩ 4 ⎭ 12 1 3 3 8 ⎫⎧ 1 ⎫ 8 4 8 3 2 в) ⎧− = ∙ = ; −1 = 3 ⎭ 15 3 15 4 5 ⎩ 15 ⎭ ⎩ 18 9 23 23 1 г) −9 =− ∙ =− = −11 ; 23 1 18 2 2 5 ⎧ 5 ⎫ 21 113 21 36 189 д) 2 =− ∙ =− . −3 =− 8 ⎩ 36 ⎭ 8 36 8 113 113 а) −

5 9

г) −9

а) −

Пример 6

Решење −4

Одредићемо вредност израза −4 2 1 −1 5 3

5 22 4 9 22 12 34 4 =− − ∙ =− − =− = −6 . 9 5 3 5 5 5 5 5

Пример 7

Израчунаћемо: Решење а) −10 86

2 ⎧ 1 ⎫ 5 + −1 . 5 ⎩ 3 ⎭ 9

а) 32 58 (−3);

б) −3 185 (−1 3).

б) 2 45 

119

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Изрази са рационалним бројевима Двојни разломак a c c a 𝑛𝑛 𝑛𝑛 0. Количник b d d b као и у случају позитивних разломака. a b a c . Важи = b d c d

Нека је

c можемо записати у облику двојног разломка, d

Разломачка црта која означава дељење одговарајућих и

кажемо да су

разломака је �лавна разломачка цр�а двојног разломка. За целе бројеве сūољашњи чланови, док су и уну�рашњи. Једноставно је показати да важи тврђење: Тврђење 5

Двојни разломак једнак је количнику производа спољашњих и производа одговарајућих унутрашњих чланова. Пример 8

Одредићемо вредност следећих двојних разломака: –3 –7 –7 8 1 5 1 3 ∙ 16 2 –7 ∙ 5 ; б) =–2 . = = = а) = =– 3 2 2 8∙9 1 ∙ 14 9 14 14 –16 5 5

Аритметичка средина Дефиниција 1

За рационалне бројеве бројева

вредност израза

и .

а+b назива се ари�ме�ичка сре�ина 2

Пример 9 Тачка , приказана на бројевној правој представља средиште дужи приказане на истој бројевној правој. Координата тачке је аритметичка средина координата тачака и . Заиста, 1 6 – + 5 5 1 = . 2 2 E A D C –

120

1 5

1 2

6 5

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Задатак 1 Одреди координатe средишта дужи , и 1 6 – + 5 5 1 1 Приметимо да je , и да важи − = 2 5 2 Тврђење 6

За рационалне бројеве

и , при чему је

са претходне слике. 1 2

6 . 5 p+q 2

, важе неједнакости

Аритметичку средину три или више бројева одређујемо тако што збир тих бројева поделимо бројем одговарајућих сабирака. Пример 10

−1 4

−7 8

−5 2

Приказане су минималне дневне температуре од понедељка до петка у једном граду:

Пример 11

Одредићемо просечну температуру током те седмице. Решење Тражена просечна температура једнака је вредности израза: −5 2 + (−1 4) + 4 5 + (−7 8) + 2 = −1 58 .  5

а) −3 ∙⎧− ⎩

Решење

Одредићемо вредности израза: 1 + 0 9 6⎫ ; 3 ⎭

б) 3 − 0 2 ∙ (−1 5) + 5 ⎧− ⎩

1 ⎫ . 2 ⎭

1 1 100 45 ⎫ 55 ⎫ 55 + 0 9 6⎫ = −3 ∙⎧− + 0 15⎫ = −3 ∙⎧− + = 0 55. = −3 ∙⎧− = ⎭ ⎭ ⎩ 3 ⎩ 3 ⎩ 300 300 ⎭ ⎩ 300 ⎭ 100 1 ⎫ б) 3 − 0 2 ∙ (−1 5) + 5 ⎧− = 3 + 0 3 − 10 = −6 7.  ⎩ 2 ⎭ а) −3 ∙⎧−

Пример 12

1 2 +1 . Доказати да је вредност израза 2 −1 цео број за = − 2 Решење 1 ⎫ 2 ∙⎧− +1 2 +1 −1 + 1 0 ⎩ 2 ⎭ = = = 2 −1 −1 − 1 − 2 = 0 𝑛𝑛 .  1 ⎫− 1 2 ∙⎧ − ⎩ 2 ⎭

121

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

вЕЖБАМо Израчунај: 4 ; 5 3 15 г) −2 ∙ ; 5 26

а) −3 ∙

Израчунај:

18 (−3); 5 г) 5 4 (−0 9);

27 ⎫ 9 ; ⎩ 40 ⎭ 10 д) −5 51 3 8.

в) ⎧−1

ђ) 1 24 ∙ (−0 7).

24 ⎧ 13 ⎫ 14 ∙ − ; ∙ 7 ⎩ 6 ⎭ –26

б) ⎧− ⎩

⎩

4 ⎫⎧ 5 ⎫ − ; 21 ⎭ ⎩ 7 ⎭

б) ⎧−

Одреди вредности израза: а)

25 ⎫ ⎧ 7 ⎫ ∙ − ; ⎩ 21 ⎭ ⎩ 5 ⎭

д) 3 2 ∙ (−2);

а)

в) ⎧−

6 ⎧ 5 ⎫ ∙ − ; 11 ⎩ 7 ⎭

б)

3 1 ⎫ 1 − ; ∙1 5 8 ⎭ 29

в) − 4

1 1 ⎧ 1 ⎫ −1 −2 . 3 3 ⎩ 4 ⎭

Помоћ око 3. задатка?

1 ⎫ Одреди координате средишта дужи ако је ⎧−1 , а тачка 4 ⎭ ⎩ десно од тачке на бројевној правој.

Прочитај пажљиво Пример 11 у лекцији, а затим покушај да самостално решиш задатак.

Израчунај вредност бројевног израза:

за три јединичне дужи

5 2 ⎫ − 05 3 ⎭ ⎩ 6 − 3. ⎧− 1 1 + 2 ⎫ ⎧− 5 ⎫ 2 3 ⎭ ⎩ 12 ⎭ ⎩

−1 125 ∙⎧−

Поређај по величини од најмањег до највећег следеће количнике: 1 3 ⎧− 1 ⎫ ; ⎧− 2 ⎫ ; ; ако је 𝑛𝑛 −. 10 3 4 3 ⎭ ⎭ ⎩ ⎩

122

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

3 ∙ (−5) једнака је: 4 15 15 3 б) − ; в) − ; г) −5 . 20 4 4

Вредност производа а) −

3 ; 20

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

а) = ;

б)

;

⎩

13 ⎫ и 14 ⎭ в)

= − 1 44 1

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 3.

1 , онда важи: 5

Ако је = − 0 0011 ∙ 0 ∙⎧−2

1 једнака је: 3

5 a Вредност двојног разломка за 15

=−

а) −0 1; б) −10; в) −1; г) −150. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Вредност израза 4 2 + 5 5 (−5) је природан број. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

123

Научићеш да решаваш једначине и неједначине са множењем и дељењем у скупу рационалних бројева.

ЈЕДнАЧИнЕ И нЕЈЕДнАЧИнЕ СА МноЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ у СКуПу Q Једначине са множењем и дељењем у скупу Q

Слична правила која смо користили при решавању једначина са сабирањем и одузимањем, применићемо и код једначина са множењем и дељењем. 1

M=N

M∙3=N∙3

A=B

A 3=B 3

Тврђење 1

Ако леву и десну страну једначине помножимо (поделимо) истим изразом различитим од нуле, једнакост ће и даље бити тачна. Добијена једначина има исти скуп решења као и полазна једначина. Пример 1

а) ∙ 8 = −

Решење

а) ∙ 8 = −

Решићемо следеће једначине: 4 5

4 5

)

∙

1 8

1 4 1 =− ∙ 8 5 8 1 1 ⎫ =− ∙⎧ 8 ∙ 8 10 ⎭ ⎩ 1 =− 10

( ∙ 8) ∙

124

(−4 5) =

1 . 18

Делимо познатим чиниоцем или множимо његовом реципрочном вредношћу. Асоцијативност множења.

Дељење можемо свести на множење реципрочним бројем делиоца.

1 18 ⎧− 9 ⎫ = 1 ⎩ 2 ⎭ 18 2 ⎫ 1 9 ⎫ ∙⎧ − ∙⎧ − = ⎩ 9 ⎭ 18 ⎩ 2 ⎭ 2 ⎫⎧ 9 ⎫ 1 ⎧ 9 ⎫ ∙ − ∙⎧− ∙ − = ⎩ 9 ⎭ ⎩ 2 ⎭ 18 ⎩ 2 ⎭ 1 =−  4

б)

(−4 5) =

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 2

⎩

−0 1

−3 ∙ + 0 1 − 0 1 = − 0 2 − 0 1 0

1 ⎫ −3 ∙ = −0 3 ∙⎧− ⎩ 3 ⎭ 1 ⎫ 1 ⎫ (−3 ∙ ) ∙⎧− = −0 3 ∙⎧− ⎩ 3 ⎭ ⎩ 3 ⎭ =01

1 ⎫⎧ 8 ⎫ − = 1 5. 3 ⎭⎩ 9 ⎭

Најпре „елиминишемо” сабирак 0 1 додавањем −0 1. Једначина се своди на једначину са множењем.

Комутативност и асоцијативност множења.

1 ⎫⎧ 8 ⎫ − =15 3 ⎭⎩ 9 ⎭ ⎩ ⎧− − 1 ⎫ ∙⎧− 9 ⎫ = 1 5 ∙⎧− 8 ⎫ 3 ⎭⎩ 8 ⎭ ⎩ ⎩ 9 ⎭ 1 4 1 =− + − − 3 3 3 1 1 4 1 − − + =− + 3 3 3 3 0 б) ⎧− −

− = −1

1 а) −3 ∙ + 0 1 = − 5

б)⎧− −

Решићемо једначине: 1 а) −3 ∙ + 0 1 = − ; 5 Решење

Задатак 1

=1 

Реши једначине из Примера 2 методом смене.

неједначине са множењем и дељењем у скупу Q

Задатак 2

Свака два рационална броја се могу упоредити. Дакле, за 𝑛𝑛 и 𝑛𝑛 тачан је један од исказа: = или . Притом, исказе: или = можемо краће записати у облику . Слично важи и за исказ . Упоредимо, најпре, бројевне вредности неких израза.

У празно поље упиши знак 3 а) −1 2 5 3 −1 2 ∙ 2 ∙2 5

или > тако да исказ буде тачан: 3 б) −1 2 5 3 −1 2 ∙ (−2) ∙ (−2) 5

Ако је онда је −

− .

Шта закључујеш? Слично размишљамо и током решавања неједначина. Тврђење 2

а) Ако леву и десну страну неједначине помножимо истим позитивним бројем, знак неједнакости се не мења. Притом, добијена неједначина има скуп решења као и полазна. б) Ако леву и десну страну неједначине помножимо истим негативним бројем, знак неједнакости се мења. Притом, добијена неједначина има скуп решења као и полазна. 125

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 3 Решићемо следеће неједначине применом претходно формулисаног тврђења и решења приказати на бројевној правој: 2 1 ; б) ∙ (−1 5) 2 ; а) ∙ 2 − 3 4 Решење

⎧− 3 ⎫ −1 5. ⎩ 5 ⎭

в)

б)

1 4 3 ⎫ 1 ⎧ 2 ⎫ ∙⎧ − ∙ − 2 4 ⎩ 3 ⎭ ⎩ 2 ⎭ 3 ⎫⎧ 2 ⎫ ∙⎧ − ∙ − ⎩ 2 ⎭⎩ 3 ⎭ 1 ⎧ 2 ⎫ ∙ − 2 4 ⎩ 3 ⎭ 3 − 2

1 3

Скуп решења: 1 и 𝑛𝑛 | − 3

Пример 4

3 2

−

−1

Скуп решења: 3 | − 2

⎧− 3 ⎫ −1 5 ⎩ 5 ⎭ 5 ⎫ 3 ⎫ ∙⎧ − −1 5 ∙⎧− ⎩ 3 ⎭ ⎩ 5 ⎭ 5 3 ⎫ ∙⎧ − ⎫ ∙⎧ − 3 5 ⎭ ⎭ ⎩ ⎩ 3 ⎫ − 1 5 ∙⎧− ⎩ 5 ⎭

−

∙ (−1 5) 2

−1

1 2 2 1 − ∙ 3 2 ∙

1 2 1 − 3

∙2∙

2 3

∙2 −

в)

𝑛𝑛

9 10

9 10 Скуп решења: 9 {a | a a 𝑛𝑛 10 0

Решење

Одредићемо све целе бројеве веће од −3 за које је тачна неједнакост ⎧ − 1 ⎫ ⎧− 1 ⎫ −3 75. 2 ⎭⎩ 4 ⎭ ⎩ ⎧ − 1 ⎫ ⎧− 1 ⎫ −3 75 2 ⎭⎩ 4 ⎭ ⎩ ⎧ − 1 ⎫ ∙ (−4) −3 75 ∙⎧− 1 ⎫ 2 ⎭ ⎩ ⎩ 4 ⎭

⎧ − 1 ⎫ ∙ (−4) ∙⎧− 1 ⎫ −3 75 ∙⎧− 1 ⎫ 2 ⎭ ⎩ ⎩ 4 ⎭ ⎩ 4 ⎭

1 15 1 + 2 16 2 1 1 15 1 − + + 2 2 16 2

−

23 16

126

7 16

Тражени цели бројеви су: −2 −1 0 и 1 



РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

вЕЖБАМо Реши једначине: а)

в)

(−1 2) = −

2 ; 3

г) ∙ 2

1 5

−3

3 ; 4

б) −2 1 ∙

⎩

3 − ⎫ 2 1; 5 ⎭

3 ; 8

в) ⎧−

б) 2

2 ⎧ 1 ⎫ ∙ − +5 − 0 2. 5 ⎩ 4 ⎭

⎩

Реши неједначине: а) −4 5 ∙⎧− 1

5 ⎫ ∙ 6 ⎭

0 4;

−

7 1 =− 8 4

г) ∙ 2

2 7

−3

1 . 14

1 да би добијени Које бројеве можеш помножити са производом бројева −4 2 и 6 1 ? производ био мањи од − 3 Реши једначину −

18 ⎧ 1 ⎫⎫ − −4 ∙⎧ − − 3 2. 5 ⎩ 10 ⎭ ⎭ ⎩

2 3 ∙ = ; 5 10

Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој: а)

б) −2

1 1 ∙ =− ; 4 12

Помоћ око 5. задатка?

18 на обе стране 5 неједначине. Затим се ослободи минуса испред заграде, па леву и десну 1 . Доврши самостално задатак. страну помножи са − 4

Један од начина за решавање јесте да најпре додаш +

Одреди заједничка решења неједначина −5

1 1 и1 − 15 2

− 0 3.

127

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Решење једначине ∙

1 3 =− једнако је: 2 2 в) 0; г) 1.

а) −3;

б) −2;

Ако је ∙⎧− 3

1 ⎫ 5 и = 8 ⎭ 6 б) ;

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 2. а)

;

⎩

(−5) = 0 04 тада важи:

в) = .

Број −5 припада скупу решења неједначине

Неједначина −5 ∙ 8 7 + 0 3 нема решења у скупу негативних целих бројева. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

−14

ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

7 2

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

128

Научићеш да одређујеш координате тачака и дужине неких дужи у правоуглом координатном систему. Такође ћеш одређивати средиште произвољне дужи и примењивати особине пресликавања у координатном систему.

ПрАвоуглИ КоорДИнАТнИ СИСТЕМ у рАвнИ

Сваком рационалном броју одговара тачка бројевне праве. Дати рационалан број је координата те тачке. 1 ⎫ (1) и ⎧−1 . 2 ⎭ ⎩

B 1 2

–1

1 2

–1

На основу ознака са Слике 1 важи

Пример 1

Слика 1

Како одредити координате тачака и са Слике 1? Те тачке не припадају датој бројевној правој.

Може се уочити да подножје нормале кроз тачку

на дату бројевну праву 1 одговара тачки чија је координата 1 . 2

Ту особину имају све тачке које припадају нормали коју си поменуо. Дакле, треба нам мало прецизнији податак о положају тачке .

Потребна нам је још једна координата. Можемо одредити растојање тачке од дате бројевне праве. То растојање једнако је дужини једне јединичне дужи. Да ли сада имамо довољно података? Мислим да смо близу. Наиме, постоје две тачке (налазе се са различитих страна бројевне праве) које су на растојању 1 од бројевне праве и припадају нашој нормали.

Можемо направити договор да тачке које се налазе изнад дате бројевне праве имају позитивну другу координату, а тачке које су испод – негативну. Практично, поред дате бројевне праве, потребна нам је још једна узајамно нормална са датом бројевном правом.

129

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Дефиниција 1 Две међусобно нормалне бројевне праве, са заједничком тачком координате нула и јединичном дужи једнаких дужина, чине ūравоу�ли коор�ина�ни сис�ем у равни. Бројевне праве представљају коор�ина�не осе, док је заједничка тачка коор�ина�ни ūоче�ак. Хоризонталну осу називамо аūсцисна оса, а вертикалну ор�ина�на оса.

Ако апсцисну осу означимо са , ординатну са , а координатни почетак са , онда одговарајући правоугли координатни систем означавамо са . При одређивању координата задате тачке у правоуглом координатном систему, цртамо нормале на координатне осе, тако да тим нормалама припада задата тачка. Затим, одређујемо координате тачака које су подножје нацртаних нормала.

y M(a, b)

Слика 2

Ако је координата подножја нормале на апсцисну осу једнака , а на ординатну осу једнака , онда координате тачке записујемо са ( ). Кажемо да је вредност апсциса тачке , док је вредност ордината тачке . Приликом записивања координата дате тачке, у загради најпре наводимо њену апсцису, а затим ординату.

напомена: Позитивни део ординатне осе цртамо „изнад” апсцисне осе. Према ознакама са Слике 2, важи 0и 0.

Пример 2

Одредићемо координате означених тачака на Слици 3. Решење

Цртањем одговарајућих нормала, једноставно је 1 уочити да важи ⎧− 1 −2⎫ , (2 1) и 2 ⎭ ⎩ 1 ⎫. ⎧1 2 2 ⎭ ⎩ Тачка припада -оси, па је њено растојање од те осе једнако нули. Апсциса тачке а њена ордината је нула. Важи разматрањем, тачка

(−3 0). Сличним

припада ординатној оси, па

је њена апсциса једнака нули. Важи 130

је једнака −3, (0 1). 

y 3

C 1 A O –3 –2 –1 0 1 –1 B

–2 –3

Слика 3

E 2

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ Ако тачка Ако тачка

правоуглог координатног система припада ординатној оси, онда је (𝑚𝑚𝑚 0). правоуглог координатног система припада апсцисној оси, онда је (0 𝑛𝑛𝑛).

За координатни почетак важи да припада и апсцисној и ординатној оси, па су обе координате те тачке једнаке нули, тј. (0 0).

Приметимо да знак координата тачке координатног система зависи од положаја тачке у том систему. Наиме, координатним осама, правоугли координатни систем је подељен на четири (неограничене) области.

M (m 0) m > 0

A (a, b) a 0 b > 0

B (c, d) c 0 d > 0 O

N (0 n) n > 0

P (0, p) p 0

Q (q, 0) q 0

G (g, h) g 0 h 0

E (e, f) e 0 f 0

Слика 4

Уочимо неке важне скупове тачака у правоуглом координатном систему. Скуп = ( )| 0 0 свих тачака координатног система чије су обе координате позитивни бројеви, називамо ūрви ква�ран�. Скуп = ( ) | 0 0 свих тачака координатног система чијa је апсциса негативан, а ордината позитиван број, називамо �ру�и ква�ран�. Скуп = ( )| 0 0 свих тачака координатног система чијe су обе координате негативни бројеви, називамо �рећи ква�ран�. Скуп = ( )| 0 0 свих тачака координатног система чијa је апсциса позитиван, а ордината негативан број, називамо че�вр�и ква�ран�. Задатак 1

Прочитај још једном дефиниције квадраната, па одреди квадрант коме припадају дате тачке: (−3 −3) (−1 5) (35 782) (1 1) (17 −36). 131

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 3 Правоугли координатни систем једнак је унији одговарајућих квадраната и координатних оса.  Дужи у правоуглом координатном систему Сваке две различите тачке правоуглог координатног система одређују дуж у том координатном систему. Уз помоћ координата крајњих тачака дате дужи, можемо одредити дужине дужи које су паралелне једној од координатних оса. Такође, можемо одредити координате средишта произвољне дужи у координатном систему.

–1

–

Решење

1 5

датих на бројевној правој.

Одредимо дужине дужи

Пример 4

Једноставно се може уочити да је дужина дужи

1 2

6 5

једнака 0 7. Добијена вредност једнака је

1 6 апсолутној вредности разлике одговарајућих координата. Заиста, како је ⎧ ⎫ и ⎧ ⎫ , то ⎩ 2 ⎭ ⎩ 5 ⎭ 1 6 5 12 7 7 ⎥ =⎥ ⎥ =⎥ − ⎥= је | | =⎥ − − . 5 ⎥ ⎥ 10 10 ⎥ ⎥ 10 ⎥ 10 ⎥ 2 6 Слично је | | =⎥ − 0 7⎥ = |1 2 − 0 7| = |0 5| = 0 5. ⎥ 5 ⎥ 1 1 ⎥ =⎥ − 7 ⎥ = 7 Даље је | | =⎥ − − 2 ⎥ ⎥ 10 ⎥ 10 ⎥ 5 1 и | | =⎥ − − (−0 8)⎥ = |−0 2 + 0 8| = |0 6| = 0 6.  ⎥ 5 ⎥ Дакле, ако је ( ) и ( ), онда је | | = | − | = | − |. Нека тачке и припадају -оси правоуглог координатног система. Тада је ( 0) и ( 0). На основу претходног разматрања, важи | | = | − | = | − |. Слично, ако тачке и припадају -оси правоуглог координатног система, тада је (0 ) и (0 ). Тада важи | | = | − | = | − |. 132

D |yC − yD| C 0

yC A xA

−

Слика 5

B xB

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 5 На Слици 6 су приказане дужи у правоуглом координатном систему, паралелне једној од координатних оса. Одредићемо дужине тих дужи.

y 4

3 2

C –5 –4 –3 –2 –1 0

1 –1 –2 –3 –4

D 1

Слика 6

Решење

Приметимо да важи (−5 3) и (−1 3). Тачке и имају исту ординату, а дуж

апсцисној оси.

је паралелна

Дужина дужи

не зависи од од ординате њених крајњих тачака.

Тачно. То важи за дужи које су паралелне -оси. То значи да за њихову ординату могу узети нулу, на пример. Дужина се неће променити. Тада ће дужина дужи бити једнака дужини дужи 1 1, где је 1 (−5 0) и B1(−1 0). Дужину овако задате дужи 1 1 умемо да одредимо.

Задатак 2 Одреди дужину дужи

Због тога је |

| = |−5 − (−1)| = 4.

Ако је ( онда је |

)и ( |=| −

приказане на Слици 6.

133

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Одредимо, сада, дужину дужи са Слике 6. Приметимо да важи (3 −1) и (3 −4). Тачке и имају исту апсцису, а дуж је паралелна ординатној оси. Слично као у претходном разматрању, једноставно се закључује да дужина дужи паралелне ординатној оси не зависи од апсцисе њених крајњих тачака. Дакле, важи | | = | 1 1|, где је 1 (0 −1) и 1 (0 −4). | = |−1 − (−4)| = 3. 

Задатак 3 Одреди дужину дужи

Ако је ( онда је |

)и |=|

( −

), |.

приказане на Слици 6.

Зато је |

Пример 6 Посматрајмо Слику 7. Одредићемо растојање тачке Решење 1

је

Присети се растојања тачке од праве. Тачка

подножје нормале из тачке M на -осу. Тражено растојање је једнако дужини дужи

, што је 1

једнако апсолутној вредности ординате тачке Тачка

y b

M(a, b)

. Приметимо да је тражено растојање

једнако

од -осе и од -осе.

је подножје нормале из тачке

на

-осу. Тражено растојање је једнако дужини дужи , што је једнако . Приметимо да је тражено

растојање једнако апсолутној вредности апсцисе тачке

.

Задатак 4 Одреди растојања тачака

134

(−3 5) и

(−2 −2) од координатних оса.

Слика 7

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Средиште дужи у координатном систему Одредићемо, најпре, координате средишта дужи које су паралелне једној од оса координатног система. Пример 7 Одредићемо координате средишта дужи

са Слике 8.

3 1 M1

–5 –4 –3 –2 –1 0

–1 –2

–3

–4

Слика 8

Средиште дужи Дакле, важи (

Решење

, паралелне апсцисној оси, има исту ординату као и крајње тачке те дужи. 3).

Преостаје да одредимо апсцису тачке . Симетрала дужи

уједно је и симетрала дужи

да је апсциса средишта

дужи

аритметичкој средини апсциса тачака Закључујемо Нека је

средиште дужи

, где је

(−5 0) и

(−1 0). То значи

једнака апсциси тачке . Апсциса тачке 1

једнака је

− 5 + (−1) = −3. Дакле, (−3 3). 2

једнака је ординати средишта Важи

. Важи 1

3 + (−2) 1 = . Дакле, 2 2

дужи

). Сличним разматрањем, ордината тачке

, где је

⎧5 1 ⎫ .  2 ⎭ ⎩

(0 3) и

(0 −2).

135

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Ако је

(

)и

(

), онда је тачка ⎧

Ако је

(

)и

(

), онда је тачка ⎧ x, ⎩

Одредимо, сада, координате средишта произвољне дужи координатног система. Нека је ( ) ( )и ( ). Означимо са тачку тог координатног система тако да је ( ). Тада је троугао правоугли. Тачка је центар описане кружнице тог троугла, па припада симетралама катета и . Једноставно се уочава да је једнака аритметичкој средини вредности и . Слично је једнака аритметичкој средини вредности и .

y⎫ средиште дужи

⎩

⎭

y +y ⎫ средиште дужи 2 ⎭

(

Решење

) средиште дужи Нека је тачка ( 7+(−6) 1 1 ⎫ = Дакле, ⎧1 =  2 2 2 ⎭ ⎩

), онда је тачка ⎧

Одредићемо координате средишта дужи

⎩

ако је

Тада је

M xB x

Слика 9

Пример 8

)и

y yB

(

Ако је

y +y ⎫ средиште дужи 2 ⎭

(−3 7) и

(5 −6).

−3+5 =1и 2

Пример 9

5 ⎫ Тачка ⎧−5 је средиште дужи 7 ⎭ ⎩

Решење

. Ако је

(−1 2), одредићемо координате тачке

+ −1 + ). Важи = , па имамо −5 = 2 2 y +y 2+y 5 Слично из = = добијамо , одакле је 7 2 2 4 ⎫ Координате тражене тачке су ⎧−9 − . 7 ⎭ ⎩ Нека је

136

(

. Одавде је =−

4 . 7

= −9.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Задатак 5 y

На основу података са Слике 10, одреди: а) координате означених тачака; б) које од тачака имају једнаке апсцисе, а које имају једнаке ординате.

Пример 10

Посматрај Слику 10. Тачни су следећи искази: а) Тачке и су осносиметричне у односу на -осу; б) Тачке и су осносиметричне у односу F на -осу; Слика 10 в) Дужи и су осносиметричне у односу на -осу; г) Дужи и су осносиметричне у односу на -осу; д) Тачке и су централносиметричне у односу на координатни почетак. 

Задатак 7

централносиметричну дужи и ?

у односу на координатни почетак.

Уцртај на Слици 10 дуж У ком су односу дужи

Задатак 6

�� Изврши транслацију дуж (Слика 10) за вектор EF . Одреди координате крајњих тачака добијене дужи при транслацији.

137

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

вЕЖБАМо 1.

Одреди координате приказаних тачака у правоуглом координатном систему. y

2 D

A –2

–1

–3

4 L

–4

Прикажи у правоуглом координатном систему тачке задате координатама:

–2 M

(−3 −3)

(0 2)

(2 −2)

(−2 0)

⎧ 1 − 1⎫ ⎭ ⎩ 2

⎧ − 1 1 − 2⎫ . 2 ⎭ ⎩

Одреди растојања између тачака датих у правоуглом координатном систему: а) в)

(−5 0) и

(−8 11) и

(−4 0);

(−8 −5);

3 ⎫ 1 ⎫ 6 и ⎧2 6 ; д) ⎧− 1 5 ⎭ ⎩ ⎩ 10 ⎭

138

б) г)

(0 3) и

(8 3) и

(0 −7);

(−1 3);

4 ⎫ 3 ⎫ ђ) ⎧− 5 и ⎧− 5 − 3 . 7 ⎭ 14 ⎭ ⎩ ⎩

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

4. а) Одреди координате средишта дужи

ако је

(−5 1) и

(11 −9). 1 ⎫ б) Тачка ⎧− 1 2 је средиште дужи . 2 ⎭ ⎩ Ако је (−3 4), одреди координате тачке .

Прочитај пажљиво Примере 7 и 8 у овој лекцији.

Представи у координатном систему дуж , ако је (0 −3) и (1 2). а) Пресликај осном симетријом дуж у односу на -осу; б) Пресликај дуж централном симетријом у односу на координатни почетак.

6. Тачке

(−1 2),

(3 5) и

(0 0) су темена троугла.

Помоћ око 4. задатка?

а) Пресликај троугао осном симетријом у односу на -осу; �� б) Изврши транслацију троугла за вектор OD , где је (0 5).

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. (5 3); б)

(3 5); в)

а)

приказана на слици има координате: (0 5); г)

Тачка

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Средиште дужи

где је

а) (−5 −8); б) (−1 0);

(−5 0) и

(3 −8), има координате:

в) (−1 −4);

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

(3 0).

г) (−5 −4).

Растојање између тачке координатног система и -осе једнако је: а) ординати; б) апсолутној вредности ординате; в) апсциси; г) апсолутној вредности апсцисе те тачке. (Заокружи слово испред тачног одговора.) За које од датих вредности , тачка (−17 ) припада трећем квадранту? а) 5; б) −3; в) 16 ; г) −17 . (Заокружи слова испред тачних одговора.) 139

Научићеш да представљаш податке табелом, стубичастим, тачкастим и линијским дијаграмом.

ПрИКАЗИвАЊЕ ЗАвИСноСТИ МЕЂу вЕлИЧИнАМА Пројекат

Ученици одељења 6 2 решавали су пројектни задатак на тему „Омиљено воће”. Било је потребно да анкетирају ученике шестог разреда и да прикажу податке до којих су дошли. Анкетирана су укупно 64 ученика. Податке су приказивали на четири начина: табелом, стубичастим дијаграмом, тачкастим дијаграмом и линијским дијаграмом.

Омиљено воће

10 8 6 4 2 0

Омиљено воће 20

14 10 8 6 4 2 0

4) линијски дијаграм:

Омиљено воће

3) тачкасти дијаграм:

2) стубичасти дијаграм:

1) Приказ података табелом:

14 10 8 6 4 2 0

У сваком од наведених приказа, дате су две величине: воће и број ученика који се определио за једно од понуђеног воћа. У том смислу можемо рећи да постоји одређена повезаност између те две величине. Кажемо да број ученика зависи од одговарајућег воћа, па су због тога наведене величине зависне.

140

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 1

Писмени задатак 8

Стубичастим дијаграмом су приказани резултати са писменог задатка из математике. Дата је зависност броја ученика од добијене оцене. Одредићемо: а) Колико ученика је добило оцену одличан (5)? б) Која је најчешћа оцена у том одељењу? в) Које оцене је добио исти број ученика? г) Колико ученика је радило писмени задатак? д) Која је просечна оцена? ђ) Колико ученика је добило оцену мању од просечне?

7 6 5 4 3

(3 )

(2 )

(1 )

(4 )

(5 )

Пример 2

На слици је приказана промена температуре мерена од 8 h до поноћи једног зимског дана у девет термина. а) У колико сати је измерена највиша, а у колико најнижа температура? б) Колика је температура забележена у 18 h? в) У колико сати је температура порасла до нуле, а у колико се сати спустила до нуле? г) Колика је просечна измерена температура тог дана?

Решење а) Највиша температура је измерена у 16 h и износила је 5 б) 4 ; в) Порасла је до нуле у 12 h, а спустила се до нуле у 20 h; г) Приближно −1 56 . 

6 4 2

( )

Решење а) Четири ученика; б) Добар (3); в) Оцене недовољан (1) и довољан (2) је добио исти број ученика (петоро). Оцене врлодобар (4) и одличан (5) је добио исти број ученика и то њих четири; г) 25 ученика; д) 2 88 ; ђ) Десет ученика. 

–2 –4

(h)

8 10 12 14 16 18 20 22 24

–6 –8

–10 –12

, а најнижа у 8 h и то −10

;

Задатак 1

а) Представи табелом и тачкастим дијаграмом податке из Примера 2. б) Између која два суседна мерења је забележен највећи раст, а између која два суседна мерења је забележен највећи пад температуре? в) У колико сати су забележене температуре изнад просечне, а у колико сати су забележене температуре испод просечне? 141

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

вЕЖБАМо Стубичастим дијаграмом је приказано истраживање о употреби мобилних телефона, које су спровели ученици шестог разреда једне школе. Свако од испитаника је проценио колико времена проводи користећи мобилни телефон у току дана.

а) Колико ученика користи мобилни телефон тачно четири сата дневно? б) Колико ученика најмање користи мобилни телефон у току дана?

Употреба мобилног телефона

8 6 4

в) Представи табелом податке приказане на дијаграму; г) Одреди просечно време употребе мобилног телефона у току дана; д) Одреди колико ученика користи мобилни телефон дуже од просечног времена употребе, а колико њих користи мобилни краће од просечне вредности?

т јека

Про

142

ПроЈЕКТнИ ЗАДАТАК: оМИЉЕно воЋЕ / ПоврЋЕ / ФИлМ... Спроведи у својој школи истраживање о омиљеном воћу/ поврћу, филму, ТВ емисији и сл. Можеш анкетирати млађе и старије ученике и направити поређење према узрасту. Податке прикажи табелом, стубичастим, тачкастим и линијским дијаграмом.

Научићеш да примењујеш проценте, размере и пропорције у решавању проблема.

ПроЦЕнТИ, рАЗМЕрЕ И ПроПорЦИЈЕ Проценат Присетимо се дефиниције процента. Дефиниција 1

Стоти део неке целине назива се је�ан ūроцена�, у ознаци 1%. Важи1% = 1 . 100 x у облику процента записујемо са 100 процената”.

Пример 2

Пример 1 На Слици 1 је графички приказан број 1 дате целине.  25 = 0 25 = 4

Записаћемо у облику процента следеће бројеве: 1 3 1 б) ; в) ; г) 0 22; а) ; 2 5 25 Решење 1 50 3 60 а) = = 50%; б) = = 60%; 2 100 5 100 г) 0 22 = 22 ; д) 1 93 = 193 .  Задатак 1

и читамо:

Разломак

Изрази у облику процента обојене делове целине: а) б) в)

25% Слика 1

д) 1 93. в)

1 4 = = 4%; 25 100

г)

Пример 3 Одредићемо: Решење а) 20

а) 20% броја 450;

∙ 450 = 0 2 ∙ 450 = 90;

б) 12 5

броја 64.

б) 12 5

∙ 64 =

1 ∙ 64 = 8.  8

143

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 4 Цена карте за биоскоп износи 320 динара. Одредићемо нову цену карте након: а) поскупљења за 15%; б) појефтињења за 12%. Решење а) Нова цена карте је једнака 100% + 15% = 115% полазне цене. Дакле, након поскупљења, цена износи 115 ∙ 320 = 1 15 ∙ 320 = 368 динара. б) Слично, нова цена карте једнака је 100 − 12 = 88 полазне цене. Након појефтињења, цена карте износи 88 ∙ 320 = 0 88 ∙ 320 = 281 6 динара.  Пример 5

Цена хаљине од 5 800 је најпре појефтинила за 20%, а затим поскупела за 20%. Да ли је цена након поскупљења једнака цени пре појефтињења? Уколико није, одредићемо за колико се разликују ове две цене. Решење Цена након појефтињења за 20% једнака је 5 800 ∙ 0 8 = 4 640 динара. Добијену цену повећамо за 20% и добијамо: 4 640 ∙ 1 2 = 5 568 динара. Цена након поскупљења је мања од цене пре појефтињења за 5 800 − 5 568 = 232 динара.  Пример 6

Пример 7

Цена књиге је увећана за 50%, а затим смањена за 20% и сада износи 120 динара. Колика је била цена пре увећања? Решење Означимо са цену књиге. Према условима задатка, важи (1 5 ∙ ) ∙ 0 8 = 120 динара. Решење дате једначине је = 100, што је тражена цена књиге пре увећања.  Страница квадрата = 8 је најпре повећана за 12%, а затим смањена за 12%. Да ли се разликују обими полазног квадрата и квадрата добијеног након умањења странице? Ако се разликују, одредићемо за колико. Решење Ако са 1 означимо страницу увећану за 12%, онда важи 1 = 1 12 ∙ = 1 12 ∙ 8 = 8 96 . Даље, добијену дужину странице 1 умањујемо за 12%. Добијену страницу означимо са 2. Важи 2 = 0 88 ∙ 1 = 0 88 ∙ 8 96 = 7 8848 . Важи = 4 ∙ = 4 ∙ 8 = 32 и 2 = 4 ∙ 2 = 4 ∙ 7 8848 = 31 5392 . Обими ових квадрата се разликују за − 2 = 32 − 31 5392 = 0 4608 . 

144

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

размера Ако две размере имају једнаке вредности, онда за те размере кажемо да су једнаке.

Дефиниција 1 x За два броја и , 0, израз = y је њихова размера, а одговарајући количник је вре�нос� размере. У размери први члан размере је , а други . Пример 8

Одредићемо вредност размере следећих величина: а) 8 cm и 4 dm; б) 5 20 и 6 . Решење Изразимо дате величине истом јединицом мере:

8 cm 1 = . 40 cm 5

а) Важи 4 dm = 40 cm, па је тражена вредност размере једнака 8 б) Наведене мере изразимо у минутима: 5 20 = 320 и 6 = 360 . 320 8 = . Тражена вредност размере једнака је 320 360 = 360 9 Пример 9

Никола је направио смути тако што је помешао у блендеру малине и банане у размери 2 7. Ако је добио 1 8  смутија, колико литара малине, а колико литара банане је садржано у добијеној количини смутија? Решење Укупну количину смутија 1 8  = 1 800 m, треба поделити на 2 + 7 = 9 једнаких делова. Сваки од тих делова једнак је количини од 1800 m 9 = 200 . Тражена количина малина једнака је 2 ∙ 200  = 400 m, а количина јабука 7 ∙ 200  = 1 400 m.  Пропорција

Дефиниција 1 Две једнаке размере и повезане знаком једнакости чине ūроūорцију = , при чему је 0 0. Чланови и су сūољашњи, а и уну�рашњи чланови пропорције. Из ∙

∙

a c a c − = 0, тј. = следи = , одакле је b d b d c∙b = 0 тј. ∙ − ∙ = 0, па је ∙ = ∙ .

∙ ∙

−

c∙b = 0. Даље имамо d∙b

145

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Тврђење 1 Производ спољашњих чланова пропорције једнак је производу унутрашњих, тј. ако је = , онда је ∙ = ∙ .

Осим особине пропорције дате у Тврђењу 1 наводимо још једну важну особину која се често примењује у задацима. Покажимо, најпре, да унутрашњим и спољашњим члановима пропорције можемо мењати места. Заиста, ако је = , онда је ∙ = ∙ , а због комутативности важи ∙ = ∙ , па је тачна једнакост = . Сада, из = , најпре следи = . Ово значи да постоји број тако да важи = и = . Из последње две једнакости важи = ∙ и = ∙ . Ако важи пропорција Пример 10

Тврђење 2

, онда постоји број тако да је

= ∙ и =

∙ .

Пример 11

Одредићемо непознати члан пропорције: 1 а) 5 = 2 1 10; б) 2 ( − 1) = − 3. 2 Решење а) Из 5 = 2 1 10, применом Тврђења 1, следи 10 ∙ = 5 ∙ 2 1, одакле је = 1 05; 1 1 б) Слично претходном, из 2 ( − 1) = − 3 следи 2 ∙ 3 = − ∙ ( − 1), одакле је = −11.  2 2

Странице правоугаоника су у размери 4 5, а обим правоугаоника је 32 4 . Одредићемо површину тог правоугаоника. Решење Из = 4 5, на основу Тврђења 2 важи = 4 ∙ и = 5 ∙ . Из = 2 + 2 , заменом добијамо 32 4 = 2 ∙ 4 + 2 ∙ 5 = 8 + 10 = (8 + 10) ∙ = 18 . Из 32 4 = 18 следи = 1 8. Сада је = 4 ∙ = 4 ∙ 1 8 = 7 2 и =5∙ =5∙18=9 . Тражена површина је = ∙ = 7 2 ∙ 9 = 64 8 2. 

Задатак 2

Реши Пример 9 у овој лекцији применом Тврђења 2.

146

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

вЕЖБАМо

б) 75% броја 500;

в) 140% броја 285.

Завршни тест из математике садржи 20 задатака. Никола је тачно решио 12 задатака, док је Марко имао 55% решених задатака. Ко је имао више тачних одговора? Одреди непознати члан пропорције 2 2 4 =

4 6.

Израчунај: а) 20% броја 350;

Цена робе је била 1650 динара. Колика је цена робе након: а) поскупљења од 10%; б) појефтињења од 25%?

Цена књиге је најпре увећана за 10%, а затим смањена за 20% и сада износи 220 динара. Колика је била цена књиге пре увећања?

Како ће се променити површина правоугаоника ако једну његову страницу повећамо за 20%, а другу смањимо за 15%?

Два суплементна угла су у размери 2 3. Одреди те углове.

Помоћ око 7. задатка?

Присети се како се одређује површина правоугаоника. Затим, прочитај пажљиво Пример 7 у овој лекцији, па покушај самостално да решиш задатак.

147

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

Број 35% изражен у облику несводљивог разломка има облик: 1 35 7 1 ; б) ; в) ; г) 3 . а) 35 100 20 2 (Заокружи слово испред тачног одговора.) За стан који кошта 80 000 евра треба припремити 20% учешћа. Колико у еврима износи

учешће при куповини тог стана?

в) 70 000;

г) ниједан од понуђених одговора.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Странице правоугаоника су у размери 2 3. Ако је обим тог правоугаоника 10 cm, онда је површина тог правоугаоника једнака: а) 2 cm2; б) 4 cm2; в) 6 cm2; г) 8 cm2. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Два комплементна угла су у размери 1 2. Мера већег од њих је једнака: а) 120 ; б) 135 ; в) 45 ; г) 60 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

б) 40 000;

а) 20 000;

148

Научићеш да примењујеш директно пропорционалне и обрнуто пропорционалне величине у решавању проблема.

ДИрЕКТнА И оБрнуТА ПроПорЦИонАлноСТ Директно пропорционалне величине Задатак 1 Одреди обим квадрата странице: а) 3 cm; б) 3 2 ; = .........

в) 4 cm;

= .........

г) 1 2

= .........

= ......... cm.

Приметимо да промена дужине странице квадрата утиче на обим тог квадрата. Дакле, за страницу и обим квадрата можемо рећи да су међусобно зависне величине. Пример 1

0 0

100

( )

200

()

Познато је да су брзина, пређени пут и време величине међу којима постоји одређена повезаност. Наиме, уколико фиксирамо једну од те три величине (сматрамо сталном, константном), преостале две величине су међусобно зависне. Нека се аутомобил креће сталном брзином од 50 . Ако са означимо пређени пут (у километрима), а са време (у сатима), онда важи = 50 ∙ . Величине и су међусобно зависне. Кажемо да пређени пут зависи од дужине трајања вожње. Представимо табелом и тачкастим дијаграмом одговарајућу зависност: 6

300

400

500

Приметимо да дату зависност можемо приказати и линијским дијаграмом. Пређени пут и време су међусобно зависне величине. Промена једне величине утиче на другу и обрнуто. Приметимо да повећање једне од величина доводи до повећања друге и обрнуто.

s 500 400 300 200 100 0

t 2

Слично важи и за величине попут странице и обима квадрата. Што је страница квадрата дужа, то је обим тог квадрата већи. Такође, уколико смањимо дужину странице квадрата, смањује се и њен обим. Величине повезане једнакостима = 4 и = 50 ∙ примери су �ирек�но ūроūорционалних величина. 149

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Посматрајмо дијаграм који представља зависност пређеног пута од протеклог времена. Свака тачка тог дијаграма има координате ( ), где је време у сатима, а одговарајући пређени пут. Притом је испуњена једнакост = 50 ∙ . Приметимо да за 0, количник одговарајућих координата увек је једнак 50. s = 50. Дакле, количник датих величина увек је с�алан. Заиста, из = 50 ∙ закључујемо t O Слично, из = 4 следи = 4, па је количник обима квадрата и дужине одговарајуће странице a увек сталан.  Дефиниција 1

вре�нос�и за дату директну пропорционалност. Одговарајући пар записујемо са ( 0 0).

За зависне величине и повезане једнакошћу = ∙ 0 кажемо да су �ирек�но ūроūорционалне величине. Број је коефицијен� �ирек�не ūроūорционалнос�и. За све парове бројева 0 и 0 за које важи 0 = ∙ 0 0 кажемо да су ūарови о��оварајућих

Пример 2

Задатак 2

Једнакошћу = 50 ∙ одређене су директно пропорционалне величине (време и пређени пут). Број = 50 је коефицијент директне пропорционалности. Неки од парова одговарајућих вредности су (2 100) (6 300) … 

Задатак 3

Запиши једнакост којом се изражава зависност обима једнакостраничног троугла од дужине одговарајуће странице. Да ли су наведене величине директно пропорционалне? Уколико јесу, одреди коефицијент пропорционалности и наведи неколико парова одговарајућих вредности.

Заокружи слово испред једнакости којима су одређене директно пропорционалне величине. За те величине одреди коефицијент директне пропорционалности. 3 x в) −6 ∙ = ; г) = − ; д) = . а) = 3 ∙ ; б) = ; x 3 Пример 3

Представићемо табелом и линијским дијаграмом зависност директно пропорционалних величина и за које важи: 1 ∙ . а) = 3 ∙ ; б) = − 2 150

Вредности за бирамо произвољно. Када је коефицијент пропорционалности неки разломак, треба бирати погодне вредности због једноставнијег рачуна.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Решење а) −6

−1 −3

y 6

−4 2

−2 1

−1

−2

=3∙

–2 –1 0

=− 1

–2

0 –1

–2

–3

–4

1 ∙ 2

−2

б)



–6

Линијски дијаграм којим представљамо зависност директно пропорционалних величина називамо �рафикон (�рафик). На основу Примера 3 можемо извести следеће закључке:

График зависности директно пропорционалних величина јесте права којој припада координатни почетак. У случају када је 0, поред координатног почетка, графику зависности припадају тачке првог и трећег квадранта.

У случају када је 0, поред координатног почетка, графику зависности припадају тачке другог и четвртог квадранта.

Пример 4 Нека је (−2 5) пар одговарајућих вредности за директну пропорционалност задату формулом = ∙ . Одредићемо вредност 0, тако да ( 0 1) буде пар одговарајућих вредности исте директне пропорционалности.

151

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Решење Како је (−2 5) пар одговарајућих вредности, то важи 5 = ∙ (−2). Одавде је = −2 5, па одговарајућу зависност можемо представити формулом = −2 5 ∙ . Пар ( 0 1) је пар одговарајућих вредности, па важи 1 = −2 5 ∙ 0, одакле је 0 = − 0 4. 

У уводним примерима ове лекције истакли смо важну особину директно пропорционалних величина. Повећање једне од њих, доводи до повећања друге. Слично смањење једне, доводи до смањења друге. Прецизније: Тврђење 1

Нека су две (позитивне) величине директно пропорционалне. Ако једну од њих повећамо (смањимо) одређени број пута, онда ће се и друга повећати (смањити) исти број пута.

Пример 5

За пет килограма кромпира треба платити 180 динара. Колико треба платити за седам килограма истог кромпира? Решење Количина неке робе и њена цена су директно пропорционалне величине (за већу количину робе треба више платити, и обрнуто: за мању количину треба издвојити мање новца). Цена робе зависи од количине, па је (5 180) пар одговарајућих вредности. Треба одредити 0

тако да (7 0) буде пар одговарајућих вредности. Из 180 = ∙ 5 следи = 36, па је одговарајућа зависност дата формулом = 36 ∙ . Како је (7 0) пар одговарајућих вредности, то је 0 = 36 ∙ 7 = 252. Дакле, за седам килограма кромпира треба платити 252 динара.  Да ли можемо овај задатак да решимо мало брже? Знамо да је количник директно пропорционалних величина сталан. То значи да би морала важити 180 = 0 . Решавањем последње једначине добијамо 0 = 252. једнакост 5 7

180 = 0 је могуће приказати Допада ми се тај начин размишљања. Једнакост 5 7 пропорцијом 180 5 = 0 7, па се проблем своди на одређивање непознатог члана пропорције.

Тврђење 2 За парове ( 0 0) и ( 1 1) одговарајућих вредности директно пропорционалних величина одређених формулом = ∙

152

0 важи пропорција

Величина 1 Величина 2 0

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 6 За 24 енглеске фунте добије се 36 швајцарских франака. а) Колико се франака добије за 196 фунти? б) Колико се фунти може добити за 144 франка? Решење Број фунти и број швајцарских франака су директно пропорционалне величине. Заиста, за више (мање) фунти добија се више (мање) франака. И обратно. Формираћемо одговарајуће пропорције. Стрелице са истим усмерењем указују на директну пропорционалност величина. а) б)

24 196 = 36 = 294

144

= 36 144 = 96



Пример 7

Франак 36

196

Фун�а 24

Франак 36

Фун�а 24

За колико процената треба повећати број 120 да би се добио број 150? Решење

150

Дакле, број 150 представља 125% броја 120, па број 120 треба повећати за 25% да би се добио број 150.

Процена� 100

Број 120

120 150 = 100 = 125



обрнуто пропорционалне величине Задатак 4 Нека су и странице правоугаоника површине 24 cm2. Попуни дату табелу мерним бројевима дужина (у cm):

a b

Приметимо да промена дужине странице правоугаоника дате површине, утиче на дужину друге странице. У том смислу, дужине страница правоугаоника задате површине су зависне величине. Притом, повећање (смањење) дужине једне странице доводи до смањења (повећања) друге. 153

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Задатак 5 Одреди производ парова одговарајућих вредности дужина странице из табеле изнад. Шта примећујеш? Пример 8 Нека је задат пут који аутомобил треба да пређе, = 60 . Ако са означимо брзину у , 60 . а са време у сатима, добијамо да важи једнакост = t Величине и су међусобно зависне. Кажемо да брзина зависи од дужине трајања вожње. Представимо табелом и тачкастим дијаграмом одговарајућу зависност:

10 6

Приметимо да повећање једне од величина доводи до смањења друге и обрнуто. Слично важи и за дужине страница правоугаоника задате површине. Што је једна страница дужа, то је друга краћа и обрнуто. 24 Величине повезане једнакостима = b 60 = примери су обрнуто пропорционалних t величина. Из наведених једнакости закључујемо ∙ = 24 и ∙ = 60. Дакле, производ обрнуто пропорционалних величина је сталан.

( )

()

15 10 6 0

t 1

Ако планирам да путујем краће, морам ићи брже и обратно.

Дефиниција 2 k 0 0 кажемо да су обрну�о За зависне величине и повезане једнакошћу = x ūроūорционалне величине. Број је коефицијен� обрну�е ūроūорционалнос�и. k За све парове бројева 0 и 0 за које важи 0 = 0 0 0 кажемо да су ūарови x0 о��оварајућих вре�нос�и за дату обрнуту пропорционалност. Одговарајући пар записујемо са ( 0 0).

154

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 9 60 одређене су обрнуто пропорционалне величине (брзина и време). Једнакошћу = t Број = 60 је коефицијент обрнуте пропорционалности. Неки од парова одговарајућих вредности су (3 20) (10 6) …  Задатак 6

Заокружи слово испред једнакости којима су одређене обрнуто пропорционалне величине. За те величине одреди коефицијент обрнуте пропорционалности. 4 –6 x в) = ; г) = − ; д) = − . а) = 2 ∙ ; б) = ; x x 3

Пример 10

Нека је (−2 3) пар одговарајућих вредности за обрнуту пропорционалност задату формулом k = . Одредићемо вредност 0, тако да ( 0 −3) буде пар одговарајућих вредности дате x обрнуте пропорционалности. Решење k Како је (−2 3) пар одговарајућих вредности, то важи 3 = . Одавде је = −6, па одговарајућу –2 6 зависност можемо представити формулом = − . x 6 Пар ( 0 −3) је пар одговарајућих вредности, па важи −3 = − , одакле је 0 = 2.  x0

Истакли смо да за две обрнуто пропорционалне величине важи да повећање једне од њих, доводи до смањења друге. Слично смањење једне, доводи до повећања друге. Прецизније:

Тврђење 3

Нека су две (позитивне) величине обрнуто пропорционалне. Ако једну од њих повећамо (смањимо) одређени број пута, онда ће се друга смањити (повећати) исти број пута. ) и ( 1 1) парови одговарајућих вредности обрнуте пропорционалности за k једнакост = , онда важи ∙ = , па је 0 ∙ 0 = 1 ∙ 1. Последња једнакост одговара x пропорцији 0 1 = 1 0.

Ако су ( 0

Тврђење 4

За парове ( 0 0) и ( 1 1) одговарајућих вредности обрнуто k 0, пропорционалних величина одређених формулом = x 0 важи пропорција 0 1 = 1 0.

Величина 1 Величина 2 0

155

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Пример 11 Три радника окрече школу за 12 дана. За колико дана би кречење завршило 9 радника? Решење Број радника и број дана потребних да се заврши неки посао обрнуто су пропорционалне величине. Заиста, ако се број радника повећа, посао ће се брже завршити, тј. смањује се број потребних дана за завршетак посла. Формираћемо одговарајућу пропорцију. Стрелице са супротним усмерењем указују на обрнуту пропорционалност.

Пример 12

Девет радника би кречење завршило за четири дана.

3 9 = 12 =4

Број �ана 12

Број ра�ника 3



Износ у �ин. 320

Број �ечака 8

Осам дечака жели да купи кошаркашку лопту. Израчунали су да свако треба да приложи по 320 динара. Колико свако треба да плати, ако им се придруже још два дечака? Решење Ако се повећа број дечака који учествују у плаћању, износ по особи биће мањи. Стога, дате величине су обрнуто пропорционалне.

8 10 = 320 = 256

Након што им се придруже још два дечака, свако од њих треба да приложи по 256 динара.

вЕЖБАМо

Које од следећих величина су директно, а које обрнуто пропорционалне: а) Страница и обим једнакостраничног троугла; б) Број цеви и време потребно да се напуни базен; в) Брзина и пређени пут при константном времену; г) Пређени пут и време при константној брзини; д) Брзина и време (пређени пут је сталан); ђ) Број радника и број дана потребних да се заврши неки посао? 156



РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Изрази одговарајућом једнакошћу зависност: а) Обима једнакостраничног троугла и дужине његове странице; б) Броја минута 𝑚𝑚𝑚, од броја сати . Одреди одговарајући коефицијент пропорционалности. Скицирај график директне пропорционалности задате формулама: 3 а) = 2 ∙ ; б) = −2 ∙ ; в) = − ; г) = ∙ . 2

Невена је за шест килограма кромпира платила 330 динара. Колико треба да плати за 11 килограма истог кромпира?

Аутомобил се креће равномерно брзином 80 . а) Одреди формулу којом се изражава зависност пређеног пута од протеклог времена ; б) Зависност одговарајућих величина прикажи табелом и тачкастим дијаграмом ако је 𝑛𝑛 0 2 4 6 8 . Да ли дата зависност може да се прикаже линијским дијаграмом?

Ако лети просечном брзином од 600 , авион пређе предвиђени пут за 8 сати. Колико му времена треба да стигне на одредиште ако се креће 20 % мањом брзином?

Осам цеви напуне базен за три сата. За које време би базен напунило 12 цеви?

Четири радника заврше неки посао за пет сати. Састави формулу зависности: а) Броја радника од времена завршетка посла у сатима; б) Времена завршетка посла у минутима од броја радника .

Помоћ око 8. задатка?

Најпре препознај да ли се ради о директној или обрнутој пропорционалности. Затим састави одговарајућу пропорцију у којој ће се јавити променљиве и . Из добијене пропорције следи тражена формула. Доврши задатак самостално.

157

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Ако је 𝑚𝑚𝑚 = 5 ∙ 𝑛𝑛𝑛, онда су величине 𝑚𝑚𝑚 и 𝑛𝑛𝑛 директно пропорционалне. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 2.

Ако за шест килограма кромпира треба платити 240 динара, онда за седам килограма

истог кромпира треба платити:

б) 280 динара;

в) 420 динара;

г) ниједан од понуђених одговора.

График приказан на слици одговара формули: а) = 3 ; б) = −3 ; 1 в) = ; 3 1 г) = − . 3 (Заокружи слово испред тачног одговора.)

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

а) 200 динара;

y 9 6 3

–2 –1 0

–3

Плантажу малина обере 10 радника за 7 5 дана. Колико треба обезбедити радника да би иста плантажа била обрана за 2 5 дана? а) 3; б) 6; в) 30; г) 12 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

158

ЧЕТвороугАо

159

Упознаћеш се са основним елементима четвороугла, као и са особинама његових углова.

ПоЈАМ ЧЕТвороуглА. угловИ ЧЕТвороуглА од троугла до четвороугла

Док помаже свом млађем брату у учењу, Лана је често инспирисана и пуна идеја. Њен млађи брат Вељко увежбава поступак надовезивања углова. Лана га подсећа на одговарајући поступак и истиче да углови треба да имају заједнички крак, али да им се области не преклапају. Тада се запитала како би било да сличан поступак примени у такозваном надовезивању троуглова. Тај поступак би се састојао у томе да се два троугла са бар једном страницом једнаке дужине надовежу тако да имају једну заједничку страницу, а да им се области не преклапају. Притом, не постоје три колинеарна темена тих троуглова. На тај начин настаје нова фигура, али и идеја за слободну тему из ликовних радионица.

Слажем се. Интересантне фигуре настају и надовезивањем подударних троуглова. У сваком случају, добијена фигура у равни ограничена је затвореном изломљеном линијом која се састоји од четири дужи.

Занимљиво. Под наведеним условима, могуће је надовезати разноврсне троуглове. Међу њима се могу наћи разнострани, једнакокраки, једнакостранични, правоугли...

Праве и приказане на Слици 1, одређују затворену изломљену линију без тачака самопресецања. Затворена изломљена линија представља унију четири дужи: и .

Дефиниција 1 Затворена изломљена линија у равни без тачака самопресецања коју чине четири дужи назива се че�вороу�аона линија. Унија четвороугаоне линије и унутрашњег дела равни који ограничава назива се че�вороу�ао. 160

A a b

B c

Слика 1

ЧЕТВОРОУГАО

На Слици 1 је приказан четвороугао . Тачке и су �емена четвороугла, дужи и су странице четвороугла. За темена која представљају крајње тачке исте странице четвороугла кажемо да су сусе�на. За четвороугао приказан на Слици 1, суседна темена су и , и итд. Темена која нису суседна су насūрамна. На Слици 1 наспрамна темена су и , као и и . За странице које имају заједничку тачку (крајњу) кажемо да су сусе�не с�ранице. Суседне странице су нпр. и , и итд. Странице које нису суседне су насūрамне с�ранице. Странице и , као и и jeсу наспрамне. C

Слика 2

Слика 3

Свидела ми се прича о надовезивању троуглова. Посебну су ми пажњу привукли четвороуглови које добијем надовезивањем два тупоугла троугла. Могу нацртати два тупоугла троугла која ћу надовезати тако да им одговарајући тупи (унутрашњи) углови буду суседни.

Приметимо да на Слици 3, за разлику од Слике 2, постоји неконвексан угао одређен страницама тог четвороугла, који садржи тај четвороугао. Сећам се конвексних и неконвексних углова.

Дефиниција 2 Ако сваке две различите тачке четвороугла представљају крајње тачке дужи целе садржане у одговарајућем четвороуглу, онда за тај четвороугао кажемо да је конвексан. Уколико постоје две различите тачке четвороугла које су крајње тачке дужи која није садржана у одговарајућем четвороуглу, онда за тај четвороугао кажемо да је неконвексан. Четвороугао приказан на Слици 2 је конвексан, док је четвороугао са Слике 3 неконвексан.

161

ЧЕТВОРОУГАО

Дефиниција 3 Дуж чије су крајње тачке наспрамна темена четвороугла назива се �ија�онала четвороугла. Дужи и су дијагонале конвексног четвороугла .

B D

Дијагонала није садржана у неконвексном четвороуглу .

Дужи и су дијагонале неконвексног четвороугла

Слика 4

углови четвороугла

Дефиниција 4

На Слици 5 означени су унутрашњи углови конвексног четвороугла.

Угао одређен двема страницама четвороугла чија област садржи дати четвороугао назива се уну�рашњи у�ао тог четвороугла.

На Слици 6 означени су унутрашњи углови неконвексног четвороугла. Приметимо да је угао на Слици 6 неконвексан.

C P

Слика 5

Слика 6

За углове чија су темена суседна кажемо да су суседни углови четвороугла. Парови суседних углова приказаних на Сликама 5 и 6 су: и , и , и , и . За углове чија су темена наспрамна кажемо да су наспрамни углови четвороугла. Парови наспрамних углова приказаних на сликама 5 и 6 су: и , и .

162

ЧЕТВОРОУГАО

Дефиниција 5 Угао упоредан унутрашњем углу конвексног четвороугла јесте сūољашњи у�ао који одговара том унутрашњем углу.

1 1

Спољашњи углови који одговарају, редом, угловима и су 1 1 1 и 1. Види Слику 7. +

= +

= 180 .

Слика 7

Важи

Збир унутрашњих углова сваког троугла једнак је опруженом углу, тј. углу мере 180 . Да ли је збир унутрашњих углова било ког четвороугла увек исти? То би требало проверити. Не делује компликовано.

Слика 8

Сада је

D z

Дијагоналом произвољан четвороугао је разложен на два троугла. Самим тим су и углови и разложени на по два угла. Важи = + и = + . Како су и унутрашњи углови троугла то важи + + = 180 . Слично је и + + = 180 . +

Тврђење 1

+ + =

+ + + + + = 180 + 180 = 360 .

Збир унутрашњих углова четвороугла једнак је пуном углу, тј. углу мере 360 .

Уколико саберемо спољашње углове произвољног четвороугла, добијамо: + 1 + 1 + 1 = (180 − ) + (180 − ) + (180 − ) + (180 − ) 1 = 4 ∙ 180 − ( + + + ) = 720 − 360 = 360 . Тврђење 2

Збир спољашњих углова четвороугла једнак је пуном углу, тј. углу мере 360 . 163

ЧЕТВОРОУГАО

Пример 1 Одредићемо мере углова и са Слике 9. Решење Важи = 180 − 100 = 80 и = 180 − 40 = 140 . Даље, из 2 + + = 360 добијамо = 70 . 

100

Слика 9

Q P

M N

Одреди мере унутрашњих и спољашњих углова четвороугла са слике.

На слици је приказан четвороугао . Одреди све парове: а) суседних темена; б) наспрамних темена; в) суседних страница; г) наспрамних страница; д) суседних углова; ђ) наспрамних углова тог четвороугла.

вЕЖБАМо

Помоћ око 2. задатка?

Прочитај пажљиво Пример 1 у овој лекцији.

Мере унутрашњих углова четвороугла одређене су изразима: а) 2 9 60 ; б) 2 3 3 4 . Одреди мере тих углова. Унутрашњи углови четвороугла су α, β, γ и δ. Ако је α два пута мањи од β, β пет пута већи од γ, а мера угла δ једнака 40°, одреди унутрашње углове тог четвороугла. Да ли је тај четвороугао конвексан или неконвексан?

164

ЧЕТВОРОУГАО

Дијагоналом је конвексан четвороугао разложен на два једнакокрака троугла чији су углови при врху 120 и 140 . Одреди мере унутрашњих углова тог четвороугла. D

На основу података са слике, одреди мере унутрашњих углова четвороугла .

44 105

Колико неконвексних четвороуглова уочаваш на слици?

Проверавамо своје знање (5 минута)

Неконвексан четвороугао може имати највише један угао чија је мера већа од 180 . ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

а) један; б) два; в) три; г) четири. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Збир три унутрашња угла четвороугла једнак је 285 . Мера трећег угла је: а) 85 ; б) 15 ; в) 75 ; г) 65 . (Заокружи слово испред тачног одговора.) Дијагонала разлаже четвороугао на два подударна једнакокрака троугла чији је угао при врху 30 . Ако је та дијагонала заједничка основица тих троуглова, онда је мера највећег унутрашњег угла датог четвороугла једнака: а) 120 ; б) 150 ; в) 165 ; г) 60 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

165

Научићеш да примењујеш особине паралелограма у решавању проблема.

ПАрАлЕлогрАМ Присетимо се појма ūаралело�рамa. На Слици 1 представљена су два пара паралелних правих, међу којима нису све међусобно паралелне. Пресечне тачке ових правих одређују четири надовезане дужи: и , које чине четвороугаону линију, па самим тим и четвороугао.

Слика 1 Дефиниција 1

Четвороугао који има два пара међусобно паралелних страница назива се ūаралело�рам.

Парови међусобно паралелних страница морају бити наспрамне странице.

углови паралелограма

За наспрамне странице

, као и

На Слици 1 је приказан паралелограм важи и .

Тако је. Суседне странице не могу бити међусобно паралелне.

Пар паралелних страница паралелограма одређује са преосталим страницама углове на трансверзали.

Слика 2 Присетимо се да за углове на трансверзали важи следеће: За било која два угла исте врсте (оба оштра, оба права или оба тупа) важи да су међусобно једнаки. Ако је један од углова оштар, а други туп, онда су они суплементни. На основу ознака са Слике 2, важи = и = . Такође, тачне су једнакости + = + = + = +

166

= 180 .

ЧЕТВОРОУГАО

Тврђење 1 Наспрамни углови паралелограма су међусобно једнаки. Свака два суседна угла паралелограма су суплементна. Важи и обрнуто тврђење. Тврђење 2 Ако су наспрамни углови четвороугла међусобно једнаки или су свака два суседна угла тог четвороугла суплементна, онда је тај четвороугао паралелограм.

Приметимо најпре да из једнакости наспрамних углова произвољног четвороугла следи да су свака два суседна угла суплементна и обрнуто. Заиста: Ако је = и = а притом важи + + + = 360 , онда је 2 + 2 = 360 , па је + = 180 . Слично важи и за преостале парове суседних углова. Лако се проверава да из + = + = + = 180 следи = и = .

Образложимо Тврђење 2. Нека су суседни углови четвороугла суплементни, нпр. + = 180 . Ако наспрамне странице нису паралелне, онда (с обзиром на то да су у равни), праве одређене тим страницама морају да се секу. Тада би углови и били унутрашњи углови троугла, што је немогуће. Дакле, наспрамне странице морају бити паралелне. 

Пример 1

Одредићемо унутрашње углове паралелограма ако: а) један унутрашњи угао паралелограма има меру 42 ; б) збир два унутрашња угла има меру 150 . Решење а) Нека је угао = 42 . Тада је њему суседан угао = 180 − 42 = 138 . Угао наспрам угла једнак је = 42 . Угао наспрам угла једнак је = 138 . б) Како је збир било која два суседна угла паралелограма једнак 180 , онда је 150 мера збира два наспрамна угла. Ако су и наспрамни углови, онда је + = 150 , па је + = 150 , одакле је = 75 = . За, њима суседне углове и важи = = 105 . 

167

ЧЕТВОРОУГАО

Како је тачка њихово заједничко средиште, то закључујемо да се дужи и узајамно 1 1 полове.

M S

Слика 3 Наспрамне странице паралелограма су међусобно једнаке и паралелне. Дијагонале паралелограма се узајамно полове.

Наведене дужи су странице паралелограма.

Присетимо се неких особина паралелограма које смо уочили уз помоћ централне симетрије. На слици је приказана дуж и њена слика 1 1 при централној симетрији у односу на тачку . Такође, дуж је централносиметрична слика 1 дужи 1 у односу на тачку . Важи | | = | 1 1| и | | = | 1 |, као и 1 || 1 1 и || 1 . 1

Сада смо у прилици да наведена својства детаљније образложимо и докажемо.

Тврђење 3

а) Наспрамне странице паралелограма су међусобно једнаке. б) Ако су наспрамне странице четвороугла међусобно једнаке, онда је тај четвороугао паралелограм.

Доказ а) Нека је четвороугао паралелограм. Права одређена дијагоналом је трансверзала правих одређених паралелним страницама. Углови чији је део области обојен истом бојом међусобно су једнаки. Страница је заједничка за троуглове и A, па су, према ставу УСУ, наведени троуглови подударни. Из доказане подударности следи једнакост одговарајућих страница, тј. важи = = .

Слика 4

б) Нека сада важи = = . Према ставу ССС, важи , па су одговарајући углови тих троуглова међусобно једнаки. Лако се сада закључује да су наспрамни углови посматраног четвороугла једнаки, па на основу Тврђења 2 следи да је четвороугао паралелограм. 

168

ЧЕТВОРОУГАО

обим паралелограма

За паралелограм , на основу Тврђења 3, важи = = и = = . Обим паралелограма чије су странице и одређујемо формулом = 2 + 2 .

Слика 5

Тврђење 4

om D

Доказ а) Нека је четвороугао паралелограм. Тада је = . Углови означени истом бојом су једнаки (углови на трансверзали). На основу става УСУ важи да је , одакле је = и = . Дакле, тачка је заједничко средиште дијагонала и , па се дијагонале узајамно полове.

а) Дијагонале паралелограма се полове. б) Ако се дијагонале неког четвороугла полове, онда је тај четвороугао паралелограм.

Слика 6

б) Нека се сада дијагонале и узајамно полове, тј. = Важи = (унакрсни углови). Према ставу СУС, важи = . На основу Тврђења 3 б), следи да је четвороугао

, па је паралелограм. 

Било које две дужи са заједничким средиштем јесу дијагонале паралелограма. Дијагонале паралелограма могу бити међусобно једнаке, међусобно нормалне, могу испуњавати оба услова или ниједан.

169

ЧЕТВОРОУГАО

Да ли четвороугао који има један пар паралелних и једнаких страница мора бити паралелограм? D

Слика 7

Нека су странице и четвороугла паралелне и међусобно једнаке. Види Слику 7. Углови означени истом бојом су међусобно једнаки (углови са паралелним крацима). Како је = , то су, на основу става УСУ, троуглови и подударни. Из доказане подударности следи = и = , тј. дијагонале четвороугла се полове. Према Тврђењу 4 б) следи да је четвороугао паралелограм. Доказали смо тачност тврђења: Тврђење 5

Ако четвороугао има један пар паралелних и једнаких страница, онда је тај четвороугао паралелограм.

висина паралелограма

Присети се појма висине троугла. На сличан начин дефинишемо висину паралелограма.

Дефиниција 1

Дуж чија је једна крајња тачка теме паралелограма, а друга подножје нормале из тог темена на страницу која не садржи то теме назива се висина ūаралело�рама.

Слика 5 Према Дефиницији 1, из једног темена паралелограма могуће је нацртати две висине. Висину која одговара страници означавамо са , а висину која одговара страници означавамо са

170

ЧЕТВОРОУГАО

вЕЖБАМо

Један унутрашњи угао паралелограма има меру: а) 80 ; б) 54 ; в) 129 . Одреди преостале унутрашње углове паралелограма. Одреди обим паралелограма чије су странице: а) 5 cm и 3 cm; б) 1 2 и38 .

Прочитај пажљиво Тврђење 3 у овој лекцији, а затим и део Обим ūаралело�рама.

Помоћ око 2. задатка?

Одреди мере унутрашњих углова паралелограма ако је збир његова два унутрашња угла: а) 68 ; б) 235 .

а) Дијагонала паралелограма са страницама образује углове мере 36 и 40 . Одреди мере унутрашњих углова паралелограма. б) Висина паралелограма са страницом образује угао мере 44 Одреди углове тог паралелограма.

Дужине страница паралелограма су у размери 2 , одреди обим тог паралелограма.

лограма 3 5

1 . Ако је краћа страница тог парале2

Дијагонале паралелограма су међусобно једнаке. Ако је угао између тих дијагонала 58 , одреди углове између дијагонала и страница тог паралелограма, као и његове унутрашње углове.

171

ЧЕТВОРОУГАО

Проверавамо своје знање (5 минута)

Ако је угао између висине и странице паралелограма једнак 36 , онда је један од унутрашњих углова тог паралелограма једнак: а) 54 ; б) 90 ; в) 126 ; г) 72 . (Заокружи слова испред тачних одговора.) Ако су унутрашњи углови паралелограма у размери 1 4, онда је мера већег унутрашњег угла тог паралелограма једнака: а) 144 ; б) 72 ; в) 135 ; г) 150 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Дијагонала сваког паралелограма полови углове чија темена спаја. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Ако унутрашњи угао паралелограма има меру 60 , онда је мера њему наспрамног угла једнака: а) 120 ; б) 60 ; в) 130 ; г) 180 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

172

роМБ, ПрАвоугАонИК И КвАДрАТ

Научићеш да примењујеш особине паралелограма у решавању проблема.

Из скупа свих паралелограма издвојићемо његове важне подскупове. Дефиниција 1

Паралелограм чије су све странице међусобно једнаке назива се ромб.

Дефиниција 2

Паралелограм чији су сви углови прави назива се ūравоу�аоник.

Дефиниција 3

Правоугаоник чије су све странице једнаких дужина назива се ква�ра�.

a A

C a

За паралелограм чије странице нису све међусобно једнаке и нису сви углови прави кажемо да је паралелограм у општем случају. Из претходно наведених дефиниција, једноставно се изводе следећи закључци: Паралелограм чије су све странице једнаких дужина и сви углови прави је квадрат. Сваки квадрат је правоугаоник. Сваки квадрат је ромб.

173

ЧЕТВОРОУГАО

Нека је скуп свих паралелограма, скуп свих правоугаоника и скуп свих ромбова. Тада је скуп свих квадрата једнак .

Слика 1

ромб

Слика 2

Ромб је паралелограм коме ћемо, због његових особина, посветити посебну пажњу. Својим дијагоналама ромб је разложен на четири троугла. С обзиром на то да су све странице ромба међусобно једнаке и да се дијагонале узајамно полове, према ставу ССС лако се закључује да су свака два посматрана троугла подударна. Важи . На основу доказане подударности, важи: = = = . Слично је и = = = .

Последње једнакости указују на тачност тврђења:

Тврђење 1

Дијагонале ромба полове углове чија темена спајају. Из доказане подударности следи да важи једнакост углова = = = Наведени углови образују пун угао, па је мера сваког од њих једнака 360 4 = 90 Стога, није тешко закључити:

Тврђење 2 Дијагонале ромба су узајамно нормалне. Присети се да је паралелограм централносиметрична фигура. Дакле, и ромб мора бити централносиметрична фигура. На основу доказане подударности можемо уочити да је ромб осносиметричан у односу на праве одређене његовим дијагоналама. Паралелограм у општем случају није осносиметрична фигура. 174

ЧЕТВОРОУГАО

Претходним разматрањем смо доказали и наредно тврђење:

Слика 3

Тврђење 3

Нека су тачке , , и подножја висина које одговарају хипотенузама правоуглих троуглова и . Није тешко уочити да су троуглови и међусобно подударни. Одатле закључујемо да су посматране висине међусобно једнаке, па је тачка подједнако удаљена од страница ромба. Растојање тачке од странице ромба једнако је половини дужине висине ромба.

У ромб се може уписати кружница. Пресечна тачка дијагонала је центар те кружнице, док је полупречник једнак половини дужине висине ромба.

Ако је

полупречник уписане кружнице h ромба, тада је = , где је висина ромба. 2

Слика 4

Правоугаоник

Значајно место у скупу паралелограма заузима и правоугаоник. Према дефиницији, сви углови правоугаоника су прави. Због ове особине могуће је уочити парове подударних правоуглих троуглова, одакле следи особина која важи за дијагонале произвољног правоугаоника. Правоугаоник је паралелограм, па су његове наспрамне странице међусобно једнаке. Додатно важи да су углови правоугаоника прави, па се једноставно уочава да важи . (На основу става СУС, јер је AD = BC, AB је заједничка страница одговарајућих троуглова и BAD = ABC.) Из подударности наведених правоуглих троуглова следи да им хипотенузе морају бити једнаке, па је 1 = 2.

D d2 d1 A

Слика 5 175

ЧЕТВОРОУГАО

Тврђење 4 Дијагонале правоугаоника су међусобно једнаке. На основу претходног тврђења, уз особину да се дијагонале правоугаоника међусобно полове, закључујемо да је пресечна тачка дијагонала правоугаоника подједнако удаљена од темена тог правоугаоника. Другим речима, око правоугаоника је могуће описати кружницу. Центар описане кружнице је пресечна тачка дијагонала, док је половина дужине дијагонале једнака полупречнику описане кружнице. Тврђење 5

Квадрат

Како је сваки квадрат ромб и како је сваки квадрат правоугаоник, то сва тврђења о ромбу и сва тврђења о правоугаонику важе и код квадрата. Другим речима, важе наредна тврђења: Тврђење 6 а) Дијагонале квадрата полове углове чија темена спајају. б) Дијагонале квадрата су међусобно нормалне и једнаке.

C ro O

Слика 6

ro a

Слика 7

176

Ако је полупречник описане кружнице d правоугаоника, тада је = , где је 2 дијагонала правоугаоника.

Око правоугаоника се може описати кружница. Пресечна тачка дијагонала је центар описане кружнице, док је полупречник описане кружнице једнак половини дужине дијагонале правоугаоника.

a d

ЧЕТВОРОУГАО

Тврђење 7 а) У квадрат се може уписати кружница. Центар уписане кружнице квадрата је пресечна тачка дијагонала, док је полупречник уписане кружнице једнак a половини дужине странице квадрата. Важи = . 2

б) Око квадрата се може описати кружница. Центар описане кружнице квадрата је пресечна тачка дијагонала, док је полупречник описане кружнице једнак половини d дужине дијагонале квадрата. Важи = . 2

Пример 1

om 32

Слика 8

Пример 2

32 . Решење Према услову задатка, означени угао на Слици 8 има меру 32 . Дијагонала ромба полови углове чија темена спаја, па је један од унутрашњих углова ромба једнак 2 ∙ 32 = 64 , као и њему наспрамни угао. Преостала два унутрашња угла ромба имају меру 180 − 64 = 116 . 

Одредићемо мере унутрашњих углова ромба ако је угао између странице и дијагонале ромба

Дијагонале правоугаоника се секу под углом од 67 . Одредићемо угао између дуже странице и дијагонале тог правоугаоника. Решење Угао мере 67 дат према услову задатка, означен је на Слици 9. Један од тражених углова је угао означен са . Дијагонале се полове, па је троугао једнакокраки. Важи = . Спољашњи угао троугла једнак је збиру два њему унутрашња несуседна, па је 2 = 67 , одакле је = 33 30 .

Слика 9



177

ЧЕТВОРОУГАО

вЕЖБАМо 1.

Заокружи слова испред тачних исказа: а) Дијагонале било ког ромба су узајамно нормалне. б) Дијагонале било ког ромба су међусобно једнаке. в) Дијагонале сваког правоугаоника су међусобно једнаке. г) Око сваког ромба је могуће описати кружницу.

Угао између дијагонале и странице правоугаоника има меру 47 . Одреди (оштар) угао између дијагонала тог правоугаоника.

Помоћ око 2. и 3. задатка?

Прочитај пажљиво тврђења дата у лекцији, а затим добро проучи примере 1 и 2. То ће ти бити довољно да самостално довршиш задатак.

Одреди мере унутрашњих углова ромба ако је угао између дијагонале и странице ромба: а) 18 ; б) 83 .

Нека је квадрат и тачка тако да важи − − . Ако права у размери 1 2, одреди унутрашње углове троугла .

Доказати да су средишта страница ромба заправо темена правоугаоника.

178

(

) дели угао

ЧЕТВОРОУГАО

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

Ако дијагонала правоугаоника полови углове чија темена спаја, онда је тај правоугаоник квадрат. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Постоји ромб који има више од две осе симетрије. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Ако је висина ромба једнака 7 cm, онда је полупречник уписане кружнице у тај ромб једнак: а) 7 cm; б) 3 5 ; в) 4 cm; г) 14 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Ако је угао између дијагонале и странице ромба 30 , онда је мера већег унутрашњег угла ромба једнака: а) 120 ; б) 60 ; в) 130 ; г) 180 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

179

Научићеш да конструишеш неке паралелограме.

КонСТруКЦИЈА ПАрАлЕлогрАМА

Раније смо уочили да је паралелограм дијагоналом разложен на два подударна троугла. Конструкција произвољног паралелограма може се свести на конструкцију одговарајућег троугла и примену особина паралелограма. Пример 1

Конструисаћемо паралелограм чије су странице = 5 =3 и унутрашњи угао = 60 . Решење Постоји више начина како се ова конструкција може извести. Један од њих је да најпре конструишемо троугао . Цртамо полуправу са почетком у тачки . Затим, конструишемо тачку тако да важи = =5 . Даље, на тој полуправој конструишемо угао = 60 . На другом краку тог угла конструишемо тачку тако да је = =3 . Дуж је трећа страница троугла и дијагонала траженог паралелограма. Види Слику 1. Знамо да је паралелограм централносиметрична фигура у односу на пресечну тачку дијагонала. Најпре конструишемо средиште конструисане дијагонале, а затим тачку пресликамо централном симетријом у односу на тачку . На тај начин смо конструисали тачку . Види Слику 2. Тачке и су темена паралелограма (Слика 3). 

Слика 1

Слика 2

Слика 3

Задатак 1 Конструиши паралелограм из Примера 1 на други начин. Уūу�с�во Најпре се конструише као у Примеру 1. Теме представља једну од пресечних тачака кружница k(D a) и k(B b).

180

ЧЕТВОРОУГАО

Пример 2 Конструисаћемо ромб чије су дијагонале 1 = 7 cm и 2 = 4 cm. Решење Да бисмо конструисали ромб са задатим елементима, искористићемо одређене особине ромба. Познато је да се дијагонале ромба узајамно полове и да су међусобно нормалне. Дакле, наша конструкција се своди на конструкцију две узајамно нормалне дужи са заједничким средиштем. D

Слика 4 Слика 5 Цртамо полуправу са почетком у тачки . Затим, конструишемо тачку тако да важи = 1 = 7 cm. Даље, конструишемо симетралу дијагонале 1. На тој симетрали конструишемо дужи тако да је = = 2 и важи распоред − − . Види Слику 4. 2 Тачке и су темена ромба (Слика 5). 

Пример 3

Конструисаћемо правоугаоник чија је страница = 4 5 и дијагонала = 5 . Решење Дијагоналом је правоугаоник разложен на два подударна правоугла троугла. Страница траженог паралелограма је катета, док је дијагонала хипотенуза тих правоуглих троуглова. Конструишимо један од тих правоуглих троуглова. D

d A

Слика 6

D d B

Слика 7

Цртамо полуправу са почетком у тачки . Затим, конструишемо тачку тако да важи = =45 . Даље, на тој полуправој конструишемо угао = 90 са теменом у тачки . На другом краку тог угла конструишемо тачку тако да је B = = 5 . Дуж B је хипотенуза троугла и дијагонала траженог паралелограма. Види Слику 6. Конструишемо прав угао са теменом у тачки и на краку тог угла одредимо тачку тако да је = . Види Слику 7. Тачке и су темена траженог правоугаоника.  181

ЧЕТВОРОУГАО

Задатак 2 Конструиши правоугаоник из Примера 3 на други начин. Уūу�с�во Правоугаоник је централносиметрична фигура у односу на пресечну тачку дијагонала. Задатак 3

Конструиши квадрат чија је дијагонала 6 cm. Уūу�с�во Види Пример 2 у овој лекцији. Квадрат је ромб чије су дијагонале међусобно једнаке итд.

Конструиши ромб чија је страница 5 cm, а унутрашњи угао 30 .

Конструиши паралелограм чије су странице а) 60 ; б) 30 ; в) 45 .

Конструиши ромб чије су дијагонале 6 cm и 4 cm.

вЕЖБАМо

, а унутрашњи угао:

Присети се особина које важе за дијагонале ромба и квадрата. Затим, прочитај пажљиво Пример 2 у лекцији, па покушај да пажљиво довршиш задатак.

Конструиши квадрат чија је дијагонала 8 cm. Страница ромба је 6 5 Конструиши тај ромб.

, а угао између дијагонале и странице 30 .

Дијагонала правоугаоника је 7 cm, а угао између дијагонала 75 . Конструиши тај правоугаоник.

182

Помоћ око 2. и 3. задатка?

Научићеш да сабираш и одузимаш векторе, множиш број и вектор, као и да примењујеш особине средње линије троугла у решавању проблема.

вЕКТорИ

Присетимо се појма усмеренe �ужи и век�ора. За дуж код које смо једну од крајњих тачака прогласили почетком, а другу крајем, кажемо да је усмерена �уж.

Слика 1

Слика 2

Слика 3

На Слици 1 дата је дуж која описује путању између приказаних објеката. Кретање од објекта ка објекту приказано је на Слици 2, и то уз помоћ усмерене дужи чија је почетна �� тачка , а крајња тачка . Ову усмерену дуж означавамо са AB . На Слици 3 приказана је �� усмерена дуж BA . Стрелица одређује смер усмерене дужи, нпр. усмерена дуж B има смер од тачке ка тачки . Дужина усмерене дужи представља њен ин�ензи�е�. Права која садржи почетну и крајњу тачку усмерене дужи, као и свака права њој паралелна, одређује ūравац те усмерене дужи.

�� Смер приказане усмерене дужи AB одређен је стрелицом (од тачке ка тачки ). �� Интензитет усмерене дужи AB једнак је дужини дужи , што означавамо са �� |AB |. �� Правац усмерене дужи AB је права ( ) и свака права њој паралелна.

B �� AB a

Слика 4

Дефиниција 1 Скуп свих међусобно једнаких усмерених дужи назива се век�ор. Сваки вектор садржи бесконачно много међусобно једнаких усмерених дужи и одређен је било којом од усмерених дужи која му припада. Кажемо да је вектор задат уколико је задата једна његова усмерена дуж. Често ћемо вектор представљати једном од усмерених дужи која му припада. За векторе који имају исти правац, смер и једнаке интензитете кажемо да су је�наки. 183

ЧЕТВОРОУГАО

�� Вектори MN и PQ имају исти правац и интензитет, а супротан смер (Слика 5). За векторе са овом особином кажемо да су суūро�ни век�ори. � � Супротан вектор вектору a означавамо са −a . �� Ако је AB = a , онда је BA = −a .

Слика 5

Сабирање вектора

� a

�� Вектори AB = a и BC = b су надовезани. �� Вектор AC = c је збир вектора a и b . �� Важи AB + BC = AC , тј. a + b = c . Види Слику 6.

За два вектора одређена усмереним дужима таквим да се почетак једне дужи поклапа са крајем друге, кажемо да су на�овезани век�ори. За векторе дате у овом положају дефинишемо њихов збир.

Пример 1

� b

� c

Слика 6

� m

� n

� � Одредићемо збир вектора m и n , приказаних на Слици 7. Решење

� n

Слика 7

� � m+n

� n

Слика 8

� � � Најпре цртамо вектор једнак вектору n тако да вектори m и n буду надовезани. Вектор � � једнак збиру вектора m и n обојен је црвеном бојом.  За векторе који имају исти правац кажемо да су колинеарни. На Слици 9 је приказан збир колинеарних � � вектора c и d . � � � � Вектори c d и c + d су међусобно колинеарни. 184

� c

� d

� c +� d Слика 9

ЧЕТВОРОУГАО

одузимање вектора Присети се дефиниције одузимања целих бројева. На сличан начин дефинишемо и разлику два вектора. � � � � Разлика вектора a и b је вектор једнак збиру вектора a и вектора супротном вектору b . � � � � Другим речима, важи a − b = a + (−b ).

Пример 2

� � � � За векторе m и n , приказане на Слици 10, одредићемо вектор m − n . Решење � n –� n

� m

� m –� n

� n

Слика 10

� m

–� n

Слика 11

� � � Најпре цртамо вектор супротан вектору n тако да вектори m и − n буду надовезани. � � � � Вектор једнак збиру вектора m и − n једнак је вектору m − n . 

Збир произвољног рационалног броја и њему супротног броја једнак је нули, тј. + (− ) = 0 𝑛𝑛 . � � � За произвољан вектор a , збир a + (−a ) је вектор који називамо нула вектор и означавамо � га са 0 . Интензитет нула вектора једнак је нули. Ово значи да се код нула вектора почетак и крај поклапају. Нула вектор је неутрални елемент за сабирање вектора.

Операција сабирања је комутативна и асоцијативна у скупу рационалних бројева. Исте особине важе и при сабирању вектора. Образложићемо комутативност при сабирању вектора. � a Једноставно се проверава комутативност сабирања два вектора истог правца. � � Нека су дати произвољни вектори a и b различитог правца надовезани на два различита начина (Слика 9) тако да добијена два пара вектора чине странице паралелограма. Очигледно је � � � � a +b =b +a.

� b

� a +� b

� a

� b +� a

� b

Слика 12 185

ЧЕТВОРОУГАО

На Слици 12 могуће је уочити још један начин сабирања вектора. Наиме, векторе које сабирамо најпре доведемо на заједничку почетну тачку, а затим над тим векторима цртамо паралелограм. Вектор одређен дијагоналом тог паралелограма, чија је почетна тачка заправо почетна тачка вектора које сабирамо, представља збир одговарајућих вектора. Често се наведени начин сабирања вектора назива ūравило ūаралело�рама. Можемо сабирати и више од два вектора. Вектор који представља збир три или више вектора јесте вектор чији се почетак поклапа са почетком првог вектора у збиру, док му се крај поклапа са крајем последњег вектора у збиру. Пример 3

На Слици 13 приказан је збир четири вектора надовезивањем. 

� d

� a

� c

� b

� a+� b +� c +� d

Слика 13

Множење вектора бројем Дефиниција 2

� � Производ броја 𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛 0 и вектора a , једнак је вектору 𝑛𝑛𝑛 ∙ a , који: � а) има исти правац као и вектор a ; � б) исти смер као и вектор a ако је 𝑛𝑛𝑛 0; � в) супротан смер у односу на вектор a ако је 𝑛𝑛𝑛 0; � г) интензитет једнак производу броја |𝑛𝑛𝑛| и интензитета вектора a . � Вектор 2 ∙ a има исти правац и смер као и вектор � a , али два пута већи интензитет.

186

� a

� Вектори a и � 𝑛𝑛𝑛 ∙ a су колинеарни.

� 2∙a

ЧЕТВОРОУГАО

1 � Вектор − ∙ b има исти правац 3 и супротан смер у односу на � вектор b и три пута мањи интензитет.

� b

1 � − 3 ∙b

Средња линија троугла Нека је дат троугао и тачке страница и , редом.

средишта

C M

Дуж чије су крајње тачке средишта две странице троугла назива се сре�ња линија �роу�ла.

Дуж приказана на слици је средња линија троугла која одговара страници . Ако је тачка средиште странице истог троугла, онда су и дужи и средње линије тог троугла. Дуж одговара страници , a дуж страници .

Слика 14 C N

Слика 15

ме подсећа на паралелограм.

Четвороугао

Дефиниција 3

И ја бих рекао. То би онда значило да је средња линија троугла паралелна наспрамној страници. И не само то. Средња линија је у том случају два пута краћа од наспрамне странице. Ово запажање треба свакако проверити.

Посматрајмо троугао , средњу линију која одговара страници , као и векторе означене на Слици 16. Важе једнакости: �� MN = MA + AB + BN и MN = MC + CN .

C M

Слика 16 187

ЧЕТВОРОУГАО

Даље имамо: �� MN + MN = MA + AB + BN + MC + CN = MA + MC + BN + CN + AB = AB � � 0 0 Закључујемо: �� 2MN = AB тј. MN = 1 AB . Дакле, вектори MN и AB су колинеарни, па су одговарајуће дужи �� 2 међусобно паралелне. Такође, интензитет вектора MN два пута је мањи од интензитета �� вектора AB , па је дужина дужи два пута краћа од дужи . Тврђење 1

Средња линија троугла паралелна је страници којој одговара и два пута је краћа од ње.

је 37 cm. Одредићемо обим троугла одређеног његовим средњим

Обим троугла линијама.

Пример 4

Решење Нека је троугао одређен средњим линијама троугла . Важе једнакости: =2 =2 и =2 . Из + + = 37 cm следи 2 +2 +2 =37 , тј. 2∙( + + ) = 37 cm, одакле је + + = 18 5 .

188

Слика 15

ЧЕТВОРОУГАО

вЕЖБАМо

B A1

� � За приказане векторе a и b одреди � � � � � � векторе a + b a − b 2a −3b .

�� Нацртај векторе AA1 и A1B на слици. �� На истој слици уцртај вектор AA1 + A1B.

На слици је приказан паралелограм . Одреди векторе одређене теменима тог паралелограма: �� а) AB + BC ; б) AB + AD ; в) AD + DC .

� b

� a

B Помоћ око 3. задатка?

Задатак ћеш најједноставније решити применом правила паралелограма. Објашњење тог правила је дато у лекцији.

Нацртај троугао �� а) AB + BC ;

, па одреди векторе: �� б) AB + BC + CA ;

�� в) AB + BC + AC .

189

ЧЕТВОРОУГАО

Проверавамо своје знање (5 минута)

Вектор означен на слици једнак је: � � � � а) a + b ; б) a − b ; � � � в) b − a ; г) 0 .

M N

� x � a

� b

�� Нека је произвољан четвороугао. Вектор AB + BC + CD + DA је нула вектор. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Посматрај слику, па заокружи слова испред тачних исказа: �� а) Вектори AB и CD су супротни; �� б) Вектори PQ и ST су једнаки; �� в) Вектори GH и MN су једнаки; �� г) Важи EF = 2 PQ ; 3 �� д) Важи PQ = 2 EF . 3

�� Збир вектора AB и BA је нула вектор. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

190

Научићеш да примењујеш особине трапеза у решавању проблема.

ТрАПЕЗ

Осим паралелограма, који има два пара паралелних страница, из скупа четвороуглова издвојићемо оне који имају тачно један пар паралелних страница и размотрити њихова својства.

Пресецањем модела паралелограма, правоугаоника и једнакокраког троугла, добила сам различите моделе четвороуглова са тачно једним паром паралелних страница.

Дефиниција 1

Четвороугао који има тачно један пар паралелних страница је �раūез. Међусобно паралелне странице су основице, док су преостале две странице краци �раūеза.

и .

Слика 1 D

Основице трапеза приказаног на Слици 1 су , док су странице и краци. Важи

Дефиниција 2

Трапез чији је један крак нормалан на основице назива се ūравоу�ли �раūез. A

Трапез приказан на Слици 2 је правоугли. Важи .

Слика 2 D

Дефиниција 3

Ако су краци трапеза међусобно једнаки, онда за тај трапез кажемо да је је�накокраки. За једнакокраки трапез, приказан на Слици 3, важи = .

Слика 3 191

ЧЕТВОРОУГАО

висина трапеза Дефиниција 4

Дуж чије крајње тачке припадају правама одређеним основицама трапеза, која је притом нормална на те праве, назива се висина �раūеза.

Висину трапеза означавамо са .

Слика 4

особине трапеза

Права одређена краком трапеза представља трансверзалу паралелних правих одређених основицама. Зато важи тврђење: D

Тврђење 1

Слика 5

Посматрајмо сада једнакокраки трапез (Слика 6). Према ознакама са слике, важи = . Постоји јединствена права која садржи тачку и паралелна је правој ( ). Та права сече страницу у тачки . Како је четвороугао паралелограм, то важи = . Другим речима, троугао је једнакокраки, па је = . Како и њихови суплементи морају бити једнаки, тј. 180 − = 180 − , то важи и = .

Према ознакама са Слике 5 важи: + = 180 и + = 180 .

Унутрашњи углови трапеза налегли на исти крак су суплементни.

Слика 6

Тврђење 2

Углови на основици једнакокраког трапеза међусобно су једнаки. Пример 1 Мере унутрашњих углова на једној основици трапеза су 132 и 106 . Одреди мере преосталих углова трапеза. 192

ЧЕТВОРОУГАО

Решење Нека важе ознаке као на Слици 5 и нека је = 132 и = 106 . Из + = 180 следи = 180 − 106 = 74 . Слично, из + = 180 следи = 180 − 132 = 48 . 

Пример 2

Симетрале углова на основици једнакокраког трапеза образују угао од 125 . Одреди мере унутрашњих углова овог трапеза.

= 180

125

Решење Према ознакама са Слике 7, важи + + 125 = 180 . 2 2 Даље је = 180 − 125 = 55 . Из добијамо = 180 − 55 = 125 . 

Слика 7 C

Посматрајмо сада једнакокраки трапез и његове дијагонале и . Није тешко уочити да на основу става СУС важи ( = = = (заједничка страница)). Из подударности посматраних троуглова следи = . Другим речима, важи тврђење:

Тврђење 3

Слика 8

Дијагонале једнакокраког трапеза међусобно су једнаке.

Средња линија трапеза

Нека је дат трапез и тачке кракова и , редом.

средишта M

Дефиниција 5 Дуж чије су крајње тачке средишта кракова трапеза назива се сре�ња линија �раūеза.

Слика 9

Средња линија трапеза се назива и медијана, па се најчешће означава са 𝑚𝑚𝑚. 193

ЧЕТВОРОУГАО

Које особине има средња линија трапеза? Посматрајмо трапез , средњу линију трапеза, као и векторе означене на Слици 9.

тог M

Важе једнакости: �� MN = MA + AB + BN и MN = MD + DC + CN .

дужина дужи

два пута краћа од дужи

Тврђење 4

Слика 9 Даље имамо: �� MN + MN = MA + AB + BN + MD + DC + CN = MA + MD + BN + CN + AB + DC � � 0 1 �� 0 Следи 2MN = AB + DC тј. MN = ∙ ( AB + DC ). 2 �� Вектори AB и DC су колинеарни, па је и вектор AB + DC њима колинеаран. Дакле, средња линија трапеза је паралелна основицама. �� Такође, интензитет вектора MN је два пута мањи од интензитета вектора AB + DC , па је .

Пример 3

основице трапеза, а 𝑚𝑚𝑚 средња линија тог трапеза, онда је 𝑚𝑚𝑚 =

Ако су

Средња линија трапеза је паралелна основицама и два пута је краћа од њиховог збира. а+b . 2

Решење

а) Основице трапеза су = 4 и =12 . Одредићемо средњу линију трапеза. б) Средња линија трапеза има дужину 𝑚𝑚𝑚 = 1 1 . Ако једна основица има дужину 0 7 одредићемо дужину друге основице.

а+b 4+12 следи 𝑚𝑚𝑚 = =26 . 2 2 а+b 07+b добијамо једначину 1 1 = , чије је решење б) Нека је = 0 7 . Слично, из 𝑚𝑚𝑚 = 2 2 =15 . а) Из 𝑚𝑚𝑚 =

Конструкција трапеза

Пример 4 Конструисаћемо трапез чијe су основице =4 . 194

, унутрашњи угао

= 60 и крак

ЧЕТВОРОУГАО

Решење Цртамо полуправу са почетком у тачки . Затим, конструишемо тачку тако да важи = =5 . Даље, на тој полуправој конструишемо угао = 60 . На другом краку тог угла конструишемо тачку тако да је = =4 . Како су углови на истом краку трапеза суплементни, код темена конструишемо угао мере 120 . На другом краку тог угла конструишемо тачку тако да је = =2 . и

Конструисаћемо једнакокраки трапез чијa je основицa крак = 2 5 .

, угао на основици

D c

= 45 и

c a

Слика 11

су темена траженог трапеза (Слика 11). 

Решење Цртамо полуправу са почетком у тачки . Затим, конструишемо тачку тако да важи = =6 . Даље, код темена и конструишемо углове мере = 45 . На добијеним крацима тих углова конструишемо тачке и тако да је = =25 . Тачке

Слика 10

су темена траженог трапеза (Слика 10). 

Пример 5

Тачке

вЕЖБАМо 1.

Унутрашњи углови трапеза имају мерe 80 и 54 . Одреди преостале унутрашње углове тог трапеза. Правоугли трапез има оштар угао мере 34 . Одреди мере преосталих углова тог трапеза. 195

ЧЕТВОРОУГАО

Средња линија трапеза има дужину 3 6 3 cm, одреди другу основицу.

. Ако је дужина једне основице тог трапеза

Средња линија трапеза има дужину 4 2 тог трапеза.

, а његови краци 6 cm и 3 6

Конструиши правоугли трапез чија је основица d=25 .

=55

крак с = 4

и страница

Збир два унутрашња угла једнакокраког трапеза једнак је 252 . Одреди унутрашње углове тог трапеза.

. Одреди обим

Помоћ око 6. задатка?

Присети се како се одређује средња линија трапеза. За одређивање обима трапеза није неопходно знати дужину сваке странице. Довољан је и збир неких од страница. Покушај самостално да решиш задатак!

На слици је дат трапез. Мера угла − једнака је: а) 20 ; б) 15 ; в) 175 ; г) 60 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

105

120

Проверавамо своје знање (5 минута)

Трапез може имати три права угла. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Оштар угао једнакокраког трапеза има меру 46 Мера њему наспрамног угла једнака је: а) 54 ; б) 90 ; в) 134 ; г) 46 . (Заокружи слово испред тачног одговора.) Збир кракова трапеза једнак је 13 cm, док је средња линија трапеза 6 cm. Обим трапеза једнак је: а) 25 cm; б) 24 cm; в) 18 cm; г) не постоји такав трапез. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 196

Научићеш да примењујеш особине делтоида у решавању проблема.

ДЕлТоИД

Пресликајмо троуглове осном симетријом у односу на праву одређену једном од страница. Унија троугла и његове слике при осној симетрији чини четвороугао.

Слика 1

Дуж се осном симетријом пресликава у дуж једнаке дужине, па посматрани четвороуглови имају два пара једнаких суседних страница. Дефиниција 1

Четвороугао који има два пара међусобно једнаких суседних страница, при чему заједничка темена страница нису суседна, назива се �ел�ои�. D

На Слици 2 је приказан делтоид Важи = и = .

Приметимо да ромб задовољава Дефиницију 1 (има два пара једнаких суседних страница). Зато је сваки ромб делтоид. Директна последица овог тврђења јесте и да је сваки квадрат делтоид.

Слика 2 На Слици 3 је приказан неконвексан делтоид. Размотрићемо неке важне особине конвексног делтоида.

B C

Слика 3 197

ЧЕТВОРОУГАО

Посматрајмо конвексан делтоид на Слици 4. Важи = и = , па тачке симетрали дужи .

приказан и

припадају

Тврђење 1 Дијагонале конвексног делтоида узајамно су нормалне и једна полови другу.

Слика 4 подударни. Из те подударности следи = и = . Формулишимо

На основу става ССС важи да су троуглови једнакост одговарајућих углова: = одговарајућа тврђења. Нека важи , према ознакама са Слике 4. Тврђење 2

Пример 1

= , делтоид представља ромб, за који смо већ формулисали одговарајућа

У случају када је тврђења.

а) Углови делтоида одређени страницама различитих дужина међусобно су једнаки. б) Дијагонала делтоида која полови другу дијагоналу полови и углове чија темена спаја. Права одређена том дијагоналом јесте оса симетрије делтоида.

Два једнакокрака троугла, од којих један има угао при врху 62 , а други 140 имају заједничку основицу, а области им се не преклапају. Одредићемо унутрашње углове делтоида који представља унију ових троуглова.

198

140

Решење Мера угла при врху једнакокраког троугла једнака је 140 , па је 180 − 140 = 20 . = = 2 Слично важи и у троуглу , па је 180 − 62 = = = 59 . 2 Унутрашњи углови делтоида код темена имају меру 20 + 59 = 79 . 

и B

Слика 5

ЧЕТВОРОУГАО

Четвороугао у координатном систему Пример 2

Задатак 1

б)

(2 3);

в)

D 1

(1 3). 

x B

0 1

Слика 6

Решење а) (3 3);

Дате су тачке (−3 −2) (2 −2) и (−2 3). Одредићемо: а) Координате тачке из првог квадранта тако да буде паралелограм; б) Координате тачке из првог квадранта тако да буде правоугли трапез ( и су основице трапеза); в) Координате тачке из првог квадранта тако да буде једнакокраки трапез ( и су основице трапеза).

За паралелограм из Примера 2 а) одреди координате пресечне тачке дијагонала.

Задатак 2

За трапезе из Примера 2 б) и в) одреди дужине средњих линија.

вЕЖБАМо

Мере два наспрамна угла делтоида једнака су 100 и 114 . Одреди преостале унутрашње углове тог делтоида.

Два једнакокрака троугла, од којих један има угао на основици 54 , а други 37 , имају заједничку основицу, а области им се не преклапају. Одреди унутрашње углове делтоида који представља унију ових троуглова.

Помоћ око 2. задатка?

Пажљиво прочитај Пример 1 у лекцији.

Да ли су средишта страница произвољног делтоида темена правоугаоника? Образложи одговор. 199

ЧЕТВОРОУГАО

Проверавамо своје знање (5 минута)

Сваки делтоид је осносиметрична фигура. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) На слици је приказан делтоид ( = = ). Мера угла − једнака је: а) 65 ; б) 10 ; в) 15 ; г) 25 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Постоји делтоид који је централносиметрична фигура. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Ако су две странице делтоида дужина 9 cm и 6 cm, онда је обим тог делтоида једнак: а) 9 cm; б) 6 cm; в) 30 cm; г) не постоји такав делтоид. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

200

115 B

ПовршИнЕ ТроуглА И ЧЕТвороуглА

201

ПоЈАМ ПовршИнЕ И ЈЕДнАКоСТ ПовршИнА

Научићеш да одређујеш површину неких фигура.

Декорација стана Марија је решила да један део зида у својој дневној соби обложи украсним украсним тапетама облика правоугаоника. Задатак 1 а) Колико тапета је Марија искористила за облагање зида? б) Изрази несводљивим разломком део зида који је Марија обложила украсним тапетама. в) Да ли је већи део зида обложен тапетама?

јединица мере

Слика 1 Део зида обложен тапетама, као на Слици 1, представља модел геометријске фигуре. Број тапета које чине посматрану фигуру представља површину те фигуре, при чему је јединица мере једна од тих тапета. У складу са претходним, кажемо да је површина посматране фигуре једнака 21.

Пример 1

Дакле, површина фигуре представља број јединица мере које чине дату фигуру и означава се словом . Мерни број површине фигуре зависи од јединице мере.

Одредићемо површину фигуре на Слици 2 ако је мерна јединица осенчена фигура. Поред мерне јединице упиши одговарајући мерни број површине.

Решење а) = 12;

б)

= 6. 

Слика 2

Да ли се две фигуре које имају исту површину могу довести до поклапања? Да ли две фигуре које се могу поклопити морају имати једнаке површине (мерене истом јединицом мере)? Пример 2 На Слици 3 приказане су фигуре. Одредићемо њихову површину ако је обојени квадратић јединица мере. Решење а) = 12; 202

б)

= 12. 

б)

Слика 3

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Дакле, фигуре приказане на Слици 3 имају једнаке површине, али се очигледно не могу довести до поклапања. С друге стране, на Слици 4 су приказане фигуре које можемо довести до поклапања. Њихове површине су међусобно једнаке. Слика 4 Задатак 2

Подударни троуглови имају једнаке површине!

Изабери јединицу мере, па одреди површине фигура приказаних на Слици 4.

основне јединице мере за површину

Основна јединица мере за површину је квадрат странице 1 m. Тај квадрат називамо ме�ар ква�ра�ни и означавамо га са 1 m2. Јединице мере веће од метра квадратног: • Ар: a (квадрат странице 10 m) • Хектар: ha (квадрат странице 100 m) • Километар квадратни: km2 (квадрат странице 1000 m)

Јединице мере мање од метра квадратног: • Дециметар квадратни: dm2 • Центиметар квадратни: cm2 • Милиметар квадратни: mm2 1 m2 = 1 000 000 mm2 1 dm2 = 100 cm2

1 cm2 = 100 mm2

Задатак 3

1 cm2 = 0 0001

1 mm2 = 0 000001

1 cm2 = 0 01

1 mm2 = 0 01

1 mm2 = 0 0001

1 dm2 = 10 000 mm2

1 m2 = 10 000 cm2

1 dm2 = 0 01

1 m2 = 100 dm2

1 ha = 10 000 m2

1 m2 = 0 0001

1 a = 100 m2

1 m2 = 0 01

1 ha = 100 a

1 km2 = 1 000 000 m2

Једнакости допуни одговарајућим мерним бројем: б) 3 700 km2 = a; а) 5 a = m2; 2 2 2 г) 334 a = m; д) 7 km = m; Задатак 4

Вељков воћњак има површину 15 a. Вељко је оградио део воћњака површине 8 a и 5 m2. Одреди

1 = 0 01

1 m2 = 0 000001

в) 214 a = ђ) 581 km2 =

m2; ha.

Прочитај пажљиво јединице мере за површину.

површину неограђеног дела воћњака.

203

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Површина правоугаоника и квадрата Присети се како одређујемо површине правоугаоника и квадрата. Површина квадрата чија је страница дужине једнака је = ∙ .

Површина правоугаоника чије суседне странице имају дужине и једнака је = ∙ .

Нека су суседне странице правоугаоника једнаке и . Уколико важи = , онда је тај правоугаоник квадрат, па је одређивање површине квадрата на горе наведен начин оправдано. Пример 3

Одредићемо обим и површину правоугаоника чије су странице 1 2 и 2 cm. Решење Обим правоугаоника је једнак = 2 + 2 = 2 ∙ ( + ) = 2 ∙ (1 2 + 2) = 6 4 . 2 Површина правоугаоника је једнака P = a ∙ b = 1 2 ∙ 2 = 2 4  Пример 4

Површина квадрата једнака је 25 cm2. Одредићемо обим тог квадрата. Решење Из ∙ = 25 следи = 5 . Обим квадрата је једнак = 4 = 4 ∙ 5 = 20

Пример 5

На слици је дата површина квадрата правоугаоника .

Решење Из површине датог квадрата важи = = = =5 . Странице правоугаоника су једнаке = 5 + 8 = 13 =5 . Обим правоугаоника је једнак = 2 ∙ (5 + 13) = 36 .

.

и дужина дужи МВ. Одредићемо обим D

25 cm2 A

8 cm

Слика 5

Пример 6

За фарбање дрвених врата облика правоугаоника чије су странице 200 cm и 80 cm потребно је 500 m фарбе. Колико је фарбе потребно за фарбање површине стола облика квадрата странице 1 2 ? Решење 2 Површина датог правоугаоника једнака је 200 ∙ 80 = 16 000 = 1 6 2, док је површина квадрата 1 2 ∙ 1 2 = 1 44 2. Површина и количина фарбе су директно пропорционалне величине, па важи пропорција 1 6 1 44 = 500 , одакле је = 450 . Дакле, потребно је 450 m фарбе.  204

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

вЕЖБАМо 1.

Одреди површине приказаних фигура ако је обојени квадратић јединица мере. a)

o om

а) Одреди површину квадрата странице 1 6 . б) Одреди обим и површину правоугаоника чије су странице дужина 6 cm и 1 5

1 Једна страница правоугаоника има дужину 1 cm. Ако је површина тог правоугаоника 3 16 cm2, одреди обим тог правоугаоника. 9

Зид купатила облика правоугаоника димензија 3 m и 2 4 треба обложити плочицама облика квадрата странице 15 cm. Ако је цена једне плочице 120 динара, колико треба платити за облагање тог зида?

г)

в)

б)

Како ће се променити површина правоугаоника ако једну његову страницу повећамо за 10%, а другу смањимо за 20%? Помоћ око 5. задатка?

Присети се најпре особина процената. Ако страницу увећамо за 10%, онда је њена дужина једнака ∙ . Ако страницу умањимо за 20%, онда је њена дужина једнака ∙ . Површина новог правоугаоника једнака је = . Доврши самостално задатак.

205

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Проверавамо своје знање (5 минута)

правоугаоника једнак: а) 4 2 ; б) 8 8 ; в) 4 4 ; г) 6 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Ако два правоугаоника имају једнаке површине, онда и њихови обими морају бити једнаки. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

. Ако је једна његова страница 3 cm, онда је обим тог

Од свих правоугаоника обима 16 cm (мерни бројеви дужина страница су природни бројеви), највећу површину има квадрат странице 4 cm. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

Површина правоугаоника је 4 2

Површине фигура приказаних на слици су међусобно једнаке. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

206

ПовршИнА ПАрАлЕлогрАМА

Научићеш да одређујеш површину паралелограма у различитим ситуацијама.

Мајстор у кући

Модерна пословна зграда је имала необичне (нестандардне) просторије, које нису у основи имале правоугаоник, већ неке друге четвороуглове.

Вељков тата је мајстор. Он обавља различите послове, међу којима је уређивање станова и пословних простора. Један од задатака Вељковог тате је био да процени и одабере врсту паркета којим би се обложио одређени пословни простор. Вељко је, као и обично, кренуо са татом.

Након што је одабрао врсту паркета која би највише одговарала потребама фирме, на ред је дошло процењивање буџета потребног за Слика 1 облагање пода паркетом. Требало је одредити колико је паркета потребно за облагање ових просторија. Вељко је уочио да је потребно израчунати површину пода. Одговарајућа површина једнака је збиру површина паралелограма, једнакокраког и правоуглог трапеза. Замолио је и сестру да му помогне у решавању проблема корак по корак.

Како да одредим површину паралелограма?

Разлагањем паралелограма могу формирати правоугаоник, чију површину једноставно одређујем.

C ha A

a C1

Тако је! Још да утврдимо да ли су троуглови 1 и подударни. 1 и 1 су висине Дужи 1 паралелограма које одговарају истој страници, па су међусобно једнаке. Важи = = 90 1 1 и = , па на основу става ССУ важи . 1 1

ha a

207

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Слично важи и у случају када посматрамо другу страницу паралелограма и њој одговарајућу висину. a

Слика 1

Тврђење 1

Пример 1

b A

C hb b

ha a

Површина паралелограма једнака је производу дужина његове странице и њој одговарајуће висине. Важи = ∙ и = ∙ .

Задатак 1

Одредићемо површину паралелограма чија је страница = 3 , а њој одговарајућа висина =25 . Решење На основу претходног тврђења важи = ∙ = 3 ∙ 2 5 = 7 5 2.  На Слици 1 су приказани паралелограми. Одреди површине тих паралелограма, ако је површина најмањег квадратића у мрежи 1 cm2. Шта примећујеш?

Слика 2 208

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Пример 2 Једна страница паралелограма је 64 cm, а њој одговарајућа висина 2 8 страницу тог паралелограма, којој одговара висина дужине 40 cm. Решење Нека је = 64 =28 = 28 и = 40 cm. 2 Важи = ∙ = 64 ∙ 28 = 1 792 . Из = ∙ , добијамо 1 792 = ∙ 40, одакле је = 44 8 . 

. Одреди другу

Пример 3

Обим ромба је 128 cm, а његова површина 960 cm2. Одреди висину ромба. Решење Ромб је паралелограм, па Из = 4 добијамо 128 = 4 , одакле је његову површину рачунамо на = 32 . Даље, из = ∙ следи исти начин! 960 = 32 ∙ , па је = 30 cm.  геогебра

Три темена паралелограма дата су у правоуглом координатном систему: (1 2) (5 2) и (2 5). Одредићемо: а) координате четвртог темена у првом квадранту; б) површину паралелограма . Решење а) (6 5). б) Нека је подножје висине из темена паралелограма . Важи | | = 3. Површина паралелограма једнака је = | | ∙ | | = 4 ∙ 3 = 12. Резултат можемо проверити уз помоћ алата Area, у програмском пакету Геогебра.

209

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Задатак 2 Покушај да мењаш положаје темена паралелограма у Геогебри, тако да добијеш нови паралелограм. Податак о површини ће се мењати. Покушај да направиш свој задатак. Није тешко! Пример 4 Ромб странице 6 cm има оштар угао мере 30 . Одредићемо површину ромба.

Одреди површине паралелограма приказаних у квадратној мрежи.

3. 4.

E B

Слика 3

G 1cm2

I L

H F

J E

б)

в)

Одреди површину паралелограма чија је страница = 2 1 cm, а њој одговарајућа висина 5 =65 . Одреди површину ромба чији је обим 36 cm, а страница и висина имају једнаке дужине. Паралелограм је пресликан осном симетријом у односу на праву одређену једном његовом страницом. На основу података са слике одреди површину обојене фигуре.

210

8 cm

9 cm

вЕЖБАМо

Решење Нека је подножје висине из темена . Тада је дуж висина ромба. Троугао је правоугли са оштрим углом мере 30 , па је =2 . Даље имамо 6 = 2 , одакле је = 3 . Површина ромба једнака је = ∙ , тј. 2 = 6 ∙ 3 = 18 .

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Паралелограм чије су странице 8 cm и 12 cm има оштар угао мере 30 . Одреди површину тог паралелограма. Помоћ око 5. задатка?

Проучи пажљиво Пример 4 у овој лекцији. Након тога ћеш самостално моћи да решиш задатак.

Проверавамо своје знање (5 минута) 1.

За одређивање површине паралелограма, довољно је да знам: а) дужине суседних страница; б) страницу и њој одговарајућу висину; в) страницу и било коју висину. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Површина паралелограма странице 4 cm и њој одговарајуће висине 2 cm једнака је: а) 6 cm2; б) 8 cm2; в) 2 cm2.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Ако имам само податак о обиму ромба, тада могу одредити његову површину. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) Паралелограм приказан на слици има исту површину као и ромб странице 10 cm (површина најмањег квадрата у мрежи је 1 cm2). Висина тог ромба је: а) 1 5 ; б) 15 cm; в) 0 15 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

211

Научићеш да одређујеш површину троугла у различитим ситуацијама.

ПовршИнА ТроуглА Посматрајмо произвољан троугао . Нека је тачка средиште странице . Централном симетријом се троугао у односу на тачку пресликава у њему подударан троугао . 1 Очигледно је четвороугао паралелограм и 1 његова површина је једнака двострукој површини троугла .

A b

hb C

Слика 1

Приметимо да су висине које одговарају страницама и троугла уједно и висине паралелограма. Важи ∙ = ∙ , па површину посматраног троугла можемо рачунати ∙ b∙ = 2 = 2 .

Слично, пресликавањем троугла централном симетријом у односу на средиште странице , чије су висине и уједно и висине посматраног троугла. уочавамо паралелограм 1 Дакле, површину посматраног троугла можемо рачунати ∙ c∙ = 2 = 2 . Тврђење 1

Површина троугла једнака је полупроизводу дужина његове странице и њој одговарајуће ∙ b∙ c∙ висине. Важи = 2 = 2 = 2 , где су и странице троугла, а , и одговарајуће висине.

Код правоуглог троугла важи да су катете једна другој висина, па је, према ознакама са Слике 2, површина приказаног троугла једнака ∙ c∙ = 2 = 2 . Правоугли троугао се може њему подударним троуглом допунити до правоугаоника, чије су странице катете тог правоуглог троугла.

Пример 1

b hc

Слика 2

Одредићемо површину троугла чија је страница = 4 , а њој одговарајућа висина Решење ∙ 4∙22 На основу претходног тврђења важи = 2 = 2 = 4 4 2.  212

=22

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Задатак 1 На Слици 3 су приказани троуглови. Одреди површине тих троуглова ако је површина најмањег квадратића у мрежи 1 cm2 Шта примећујеш?

Слика 3

Пример 2

Површина правоуглог троугла једнака је 7 2 2. Ако је једна његова катета дужине 4 cm, одреди другу катету. Решење ∙ 4∙ Нека је = 4 . Из = 2 добијамо 7 2 = 2 , одакле је = 3 6 . 

Пример 3

Одредићемо површину осенченог дела квадрата приказаног на Слици 5. Решење Нека је површина квадрата, а површина једног од правоуглих троуглова одсечених од квадрата. 2∙2 Важи = 6 ∙ 6 = 36 2 и = 2 = 2 cm2. Површина осенчене фигуре једнака је = − 4 ∙ = 36 − 4 ∙ 2 = 28 2. 

a = 6 cm

Слика 4

2 cm

6 cm

Пример 4

Одредићемо површину троугла приказаног на Слици 4. Решење Катета наспрам угла од 30 два пута је краћа од хипотенузе. Зато је = 4 6 2 = 2 3 . 6∙23 Даље је = 2 = 6 9 2 

Слика 5

213

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

вЕЖБАМо Одреди површине троуглова приказаних у квадратној мрежи ако је површина најмањег квадратића у мрежи 1 cm2.

Одреди површину троугла чија је страница =32

, а њој одговарајућа висина

Површина троугла је 45 cm2. Ако је једна његова страница 9 cm, одреди њој одговарајућу висину. Катете правоуглог троугла су 6 cm и 8 cm. Ако је хипотенуза тог троугла 10 cm, одреди висину која одговара хипотенузи.

г)

в)

Дужина једне странице троугла је 6 cm, а њој одговарајуће висине 1 2 . Ако је дужина друге странице истог троугла 9 cm, колика је дужина њене одговарајуће висине?

б)

Дат је правоугли троугао чија је катета 20 cm, а угао = 45 . Ако је тачка средиште странице одреди површину троугла .

S A

B Помоћ око 6.

задатка? Троуглови и имају заједничку катету . Важи = cm . Одатле имамо = cm. Сада је једноставно одредити површину троугла . Доврши самостално задатак.

214

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. За одређивање површине троугла, довољно је да знам: а) дужине две странице троугла; б) страницу и њој одговарајућу висину; в) страницу и било коју висину. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 2.

Површина троугла странице 6 cm и њој одговарајуће висине 4 cm једнака је: а) 6 cm2; б) 8 cm2; в) 12 cm2.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Површина троугла странице , при чему је одговарајућа висина два пута дужа од странице, једнака је површини квадрата странице . ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 4.

Фигура приказана на слици има исту површину као и троугао странице 10 cm (површина најмањег квадрата у мрежи је 1 cm2).

Висина троугла која одговара датој страници има дужину: а) 3 2 ; б) 16 cm; в) 0 16 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

215

Научићеш да одређујеш површину трапеза у различитим ситуацијама.

ПовршИнА ТрАПЕЗА

Посматрајмо произвољан трапез . На правама одређеним основицама тог трапеза конструишимо тачке и тако да важе распореди − − и − − . Притом, важи = = и = = . Важи = = + и , па четвороугао има један пар паралелних и међусобно једнаких страница. Према доказаном тврђењу, четвороугао мора бити паралелограм. Висина трапеза је уједно и висина паралелограма која одговара страници = + , па је површина паралелограма једнака ( + ) ∙ . По конструкцији, трапези и се могу довести до поклапања, па је површина трапеза ( + )∙ једнака = . 2 h

Слика 1

Тврђење 1

Површина трапеза једнака је половини производа збира основица и дужине висине. Ако ( + )∙ су и основице трапеза, а висина, онда је површина трапеза једнака = . 2

Пример 1

+ Како је 2 = 𝑚𝑚𝑚 , где је 𝑚𝑚𝑚 средња линија трапеза, то се површина трапеза може одређивати помоћу једнакости = 𝑚𝑚𝑚 ∙ . Одредићемо површину трапеза чије су основице = 0 5 и = 6 , а висина = 4 Решење ( + )∙ (0 5 + 6) ∙ 4 На основу претходног тврђења важи = = = 13 cm2.  2 2

Пример 2

2 Површина једнакокраког трапеза једнака је 9 6 . Одредићемо обим трапеза ако је његов крак = 6 , а висина = 4 . Решење + Из = 𝑚𝑚𝑚 ∙ следи 9 6 = 𝑚𝑚𝑚 ∙ 4, одакле је 𝑚𝑚𝑚 = 2 4 . Даље, из 2 = 𝑚𝑚𝑚 следи + =2∙24=48 . Обим трапеза је једнак = + + 2 = 4 8 + 2 ∙ 6 = 16 8 . 

216

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Пример 3 Одредићемо површину трапеза приказаног на Слици 2 ако су основице = 12 Решење Троуглови и су једнакокрако-правоD b C угли и међусобно подударни. Важи = = = = . − h h Такође је = = 2 = . 12 − 3 Одавде закључујемо да је = 2 = 4 5 . 45 A E a F Површина трапеза је једнака ( + )∙ (12 + 3) ∙ 4 5 = 33 75 2.  = = Слика 2 2 2

вЕЖБАМо

Одреди површине приказаних трапеза ако најмањи квадрат у мрежи има површину 1 cm2.

в)

Основице трапеза су 5 cm и 7 cm, а висина 15 cm. Одреди површину трапеза. Површина трапеза је 24 cm2, а висина тог трапеза 3 cm. Одреди средњу линију трапеза.

Одреди површину осносиметричне фигуре приказане на слици.

14 cm

Помоћ око 6. задатка?

Присети се особина осносиметричних фигура. Површина фигуре и њене осносиметричне слике међусобно су једнаке.

Оштар угао правоуглог трапеза има меру 45 и висину једнака 96 cm2, одреди основице тог трапеза.

8 cm

б)

и =3

s 9 cm

. Ако је површина трапеза

217

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Ако знам збир дужина основица и висину трапеза, могу да одредим његову површину. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 2. Основице трапеза су 2 cm и 6 cm , а висина 3 cm. Површина трапеза једнака је: а) 6 cm2; б) 8 cm2; в) 12 cm2.

(Заокружи слово испред тачног одговора.) 3.

Два трапеза једнаких површина морају имати једнаке обиме. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 4.

Површина правоуглог трапеза приказаног на слици је: б) 8 cm2; в) 16 cm2. а) 24 cm2; (Заокружи слово испред тачног одговора.)

218

4 cm

ПовршИнА ЧЕТвороуглА СА норМАлнИМ ДИЈАгонАлАМА

Научићеш да одређујеш површину четвороугла са нормалним дијагоналама у различитим ситуацијама.

На слици је приказан произвољан четвороугао чије су дијагонале = 1 = 2 узајамно нормалне. Нека је = = = и = .

c D

Површина четвороугла једнака је збиру површина четири правоугла троугла.

Слика 1

ab + bc + cd + da b∙c c∙d d∙a = + 2 + 2 + 2 = 2 ∙ ∙( + )+ ∙( + ) ( + )∙( + ) = 12 2 . = 2 2 =

∙ 2

Важи =

Тврђење 1

дијагонале четвороугла и притом је ∙ = 12 2. 2

Другим речима, ако су

Површина четвороугла са узајамно нормалним дијагоналама једнака је полупроизводу дужина његових дијагонала.

тог четвороугла једнака

, онда је површина

Пример 1

Квадрат, ромб и делтоид су четвороуглови чије су дијагонале узајамно нормалне. Према томе, њихову површину можемо одређивати применом претходно формулисаног тврђења.

Одредићемо површину четвороугла са нормалним дијагоналама ако су дужине тих дијагонала = 12 cm и 2 = 10 cm. 1 Решење ∙ 12 ∙ 10 Из = 1 2 2 следи = = 60 cm2.  2 Пример 2

Површина квадрата је једнака 128 cm2. Одредићемо дијагоналу тог квадрата. Решење Дијагонале квадрата су међусобно једнаке и узајамно нормалне, па важи ∙ ∙ = 2 одакле је 128 = 2 , па је ∙ = 256. Из 16 ∙ 16 = 256 и претходног следи = 16 . 

219

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

вЕЖБАМо 1.

Одреди површину четвороугла са нормалним дијагоналама дужина = 15 cm. 2

= 16 cm и

. Одреди дијагоналу тог квадрата.

Одреди обим ромба ако су дужине његових дијагонала =45 и 2 = 4 cm, а висина ромба има дужину 5 cm. 1

Помоћ око 4. задатка?

Присети се како се одређује површина ромба. У овој лекцији је дат још један начин за одређивање те површине.

Површина квадрата је 40 5

Одреди површину четвороугла са узајамно нормалним дијагоналама ако најмањи квадрат у мрежи има површину 1 cm2.

220

ПовршИнА ПроИЗвоЉног ЧЕТвороуглА

Научићеш да одређујеш површину произвољног четвороугла у неким ситуацијама.

необична парцела Вељко жели да купи парцелу на којој планира да узгаја лешник. Смештена између два пута и две међе, парцела није била правоугаоног облика (Слика 1). Требало је одредити површину те парцеле, како би извршио куповину исте. Цена за један ар парцеле је 70 000 динара.

o Слика 1

Површина парцеле ће бити једнака разлици површине правоугаоника и збира површина три правоугла троугла. Нека је површина правоугаоника, а 1 2 и 3 површине правоуглих троуглова као што је означено на Слици 2.

= 90 ∙ 50 = 4 500 2 1 = 20 ∙ 90 и 3= = 900 m2. 2 Површина парцеле једнака је −( 1+

20 ∙ 50 = 500 m2 2

Слика 2

20 ∙ 30 = 300 m2 2

) = 4 500 − (500 + 300 + 900) = 2 800

20 m

Важи

20 m

50 m 20 m

Вељко је размишљао: Цену парцеле могу једноставно израчунати ако њену површину (у арима) помножим са 70 000 динара. Један од начина на који могу да одредим површину парцеле, јесте да најпре одговарајући четвороугао „допуним“ до правоугаоника (Слика 2).

90 m

= 28 a.

За парцелу Вељко треба да плати 28 ∙ 70 000 = 1 960 000 динара. 

Пример 1

Делтоид је дијагоналом разложен на два једнакокрака троугла са заједничком основицом. Троугао је једнакокраки ( = ) са углом при врху мере 30 и краком дужине 8 cm. Троугао је једнакокрако-правоугли. Ако је обим делтоида 28 cm, одредићемо површину делтоида.

221

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

D x C

C x

Слика 3

Слика 4

Решење Одредимо најпре површину троугла . Види Слику 3. Висина која одговара краку је катета правоуглог троугла (Слика 4). Како је оштар угао тог правоуглог троугла 30 , то важи 4∙8 AB 8 = = = = 4 cm. Важи = 16 cm2. Означимо крак троугла C са . Важи 2 2 2 6∙6 = 2 ∙ 8 + 2 ∙ = 28 одакле је = 6 . Сада је = 18 cm2.  2

Над краћом катетом правоуглог троугла чија је хипотенуза 20 cm, а једна катета 16 cm, конструисан је квадрат (области троугла и квадрата се не преклапају). Одреди површину четвороугла који представља унију тог троугла и квадрата.

Одреди површине приказаних фигура на слици ако најмањи квадрат у мрежи има површину 1 cm2.

вЕЖБАМо

б) Помоћ око 2. задатка?

Прочитај пажљиво уводни пример у овој лекцији.

222

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

Проверавамо своје знање (5 минута) 1. Ако четвороугао има међусобно нормалне дијагонале, онда је површина тог четвороугла једнака 1 ∙ 2. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.) 2.

Дијагонале ромба су дужина 4 cm и 12 cm. Површина ромба једнака је: б) 48 cm2; в) 12 cm2. а) 24 cm2; (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Површина квадрата је једнака 18 cm2. Дијагонала тог квадрата има дужину:

а) 9 cm; б) 36 cm; в) 6 cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Површина приказаног четвороугла је нацртаном линијом подељена на два троугла чије су површине у размери 1 2. ДА НЕ (Заокружи тачан одговор.)

223

ПОВРШИНЕ ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

224

рЕшЕЊА ЗАДАТАКА

225

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

уПорЕЂИвАЊЕ ЦЕлИХ БроЈЕвА вежбамо (стр. 19)

ЦЕлИ БроЈЕвИ СКуП ЦЕлИХ БроЈЕвА вежбамо (стр. 10)

1. а) б) =; в) г) =; д) =; ђ) 2. а) −2019; б) 2019.

1. = 1 17 2 562 = −256 −35 2. а) 𝑛𝑛 б) ; в) 𝑛𝑛; г) ; д) .

3. а) На пример: 3 и 5; б) На пример: −6 −2 и −5 4. а) Број б) Број

3. а), г). 4. а) ; б) ; в) ; г) .

5. a) 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 −; б) 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 0 ; в) 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 г) 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 6. а) = 0 = 1 или = 0 = −1 или = 1 = 0 или = −1 = 0. б) = 0 = 0 или = 0 = 1 или = 1 = 0 или = 0 = −1 или = −1 = 0. Проверавамо своје знање (стр. 18) 1. НЕ; 2. ДА; 3. г); 4. б).

5. (−31) (−9). 6. а) б) 0 в) 𝑛𝑛 Проверавамо своје знање (стр. 11) 1. ДА; 2. НЕ; 3. б), в), г); 4. .

БроЈЕвнА ПрАвА. СуПроТнИ БроЈЕвИ. АПСолуТнА врЕДноСТ ЦЕлог БроЈА вежбамо (стр. 15)

–3

−

| |

2. +7

−22

−7

−19

−35

3. 3 cm; 30 cm. 4. а) −17; б) 0; в) 20; г) 117; д) 9. 5. а) 9 ; б) −10 . 6. ( ) = −1 0 1 . Проверавамо своје знање (стр. 16) 1. ДА; 2. ДА; 3. б); 4. а).

226

САБИрАЊЕ ЦЕлИХ БроЈЕвА вежбамо (стр. 24)

1. Види слику испод. B

;

560

−560 560

1. а) 15; б) −33; в) 32; г) −28. 2. а) (+12) + (−15) = −3; б) (−13) + (−18) = −31; в) (−13) + (+18) = 5; г) (+13) + (−18) = −5; д) (+16) + (−16) = 0; ђ) (+29) + (+29) = 58. 3.

+ c

c+d

–11 +5

–17

–38

–7

–10

–6

+20

–42

–3

–42 0

–12

+18 –20 –55 –55

–33

+33

–44

+10

–66

+22

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

4. −35 + (−26) + (−(−99)) = 38.

5. Мањи је за 1. 6. = 1 = 6 или = 1 = −6 или = −1 = 6 или = −1 = −6 или = 2 = 3 или = 2 = −3 или = −2 = 3 или = −2 = −3. Проверавамо своје знање (стр. 34) 1. НЕ; 2. ДА; 3. а); 4. б).

5. Збир је нула. 6. −44 . Проверавамо своје знање (стр. 25) 1. НЕ; 2. НЕ; 3. б); 4. б). оДуЗИМАЊЕ ЦЕлИХ БроЈЕвА вежбамо (стр. 27)

ДЕЉЕЊЕ ЦЕлИХ БроЈЕвА вежбамо (стр. 36)

1. а) 9; б) −13; в) 64; г) −55. 2. Изрази и .

1. а) −4; б) 9; в) −33; г) 0. 2. а) (+48) (−16) = −3 б) (−21) (−7) = 3 в) (+16) (−4) = −4 г) (+1) (−1) = −1 д) (−48) (−16) = +3 ђ) (−21) (+7) = −3

3. а) 15; б) −75; в) 27; г) 28. 4. −31 − (−44) − (−1) = 14.

МноЖЕЊЕ ЦЕлИХ БроЈЕвА вежбамо (стр. 33)

5. Вредност израза је −34 6. Израз има најмању вредност. Проверавамо своје знање (стр. 28) 1. ДА; 2. ДА; 3. в); 4. б), в).

∙

–55

–34

–3

+18 –54

4. а) −5 ∙ 16 + |−89| = 9; б) = −57 600 = −800 000 = 4 935 = −1 575.

–64 –4

+16

–36

+18 –2

–9

4. −35 (−5) + (−(−14) ∙ 6) = 91.

–33

–33 +1

5. Важи за = −2 6. Вредност израза је −10. Проверавамо своје знање (стр. 37) 1. ДА; 2. НЕ; 3. б); 4. г).

–17

–3

1. а) 45; б) 32; в) −36; г) −7. 2. а) (+6) ∙ (−5) = −30; б) (−13) ∙ (−2) = 26; в) (+4) ∙ (−1) = −4; г) (−15) ∙ (+5) = −75; д) (−16) ∙ (−16) = 256; ђ) (+1) ∙ (−1) = −1. –11

–15

–7

–11 77

–33 0

ИЗрАЗИ СА ЦЕлИМ БроЈЕвИМА вежбамо (стр. 40) 1. а) 2; б) −2; в) 10; г) −8. 2. а) −10; б) 54; в) 63.

227

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

3. –11

–5

+18

–38

–33

–42

3∙ −

∙( − )

–20

–672

–2

–7

–33

–10

+19

–140

–589

–28

–460

4. (−17 + (−45)) − (−17) + (−9 ∙ (−5)) Вредност израза је нула.

ПоЈАМ ТроуглА. ЕлЕМЕнТИ ТроуглА вежбамо (стр. 47)

Ed A

2. Види слику.

B C

c = 5 cm

3. Све три висине се секу у једној тачки. 4. а) Десет троуглова; б) Девет троуглова.

228

9 6

3. Трећа страница има дужину 25 4. Нека је основица, а крак једнакокраког троугла. а) = 1 1 =33 б) = 0 7 =35 5. Основица има дужину 12 cm, а крак 28 cm. 6. Страница квадрата је 8 Проверавамо своје знање (стр. 53) 1. НЕ; 2. ДА; 3. НЕ; 4. в).

1. Вељкове цевчице. 2. Прва колона: | − | = 1 + = 11 1 Друга колона: | − |=5 + =9 5 Трећа колона: | − |=0 + =6 0

ТроугАо

1. Види слику.

нЕЈЕДнАКоСТ ТроуглА вежбамо (стр. 52)

5. (−14) ∙ − (− ∙ 27) = (−14 + 27) = = 13 ∙ За = −13, вредност израза је −169. 6. Вредност израза је −394. Проверавамо своје знање (стр. 41) 1. ДА; 2. в); 3. б); 4. а).

5. Дужина странице је 7 4 . 6. Дужина треће странице је 0 64 . Проверавамо своје знање (стр. 48) 1. НЕ; 2. ДА; 3. а), в), г), ђ); 4. в).

угловИ ТроуглА вежбамо (стр. 60) 1. а) 67 ; б) 65 ; в) 27 ; г) 33 24 . 2. а) = 56 ; б) = 48 , = 52 ; в) = 70 , = 50 , 1 = 120 .

3. Унутрашњи углови имају мере 40 60 80 Спољашњи углови имају мере 140 120 100

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

4. 58 66 56

3. Конструиши симетрале одговарајућих углова из једнакости: а) 22 30 = 45 2; б) 82 30 = 165 2; в) 97 30 = 195 2; г) 52 30 = 105 2. 4. Без упутства.

1. а) 2. а)

; б) ; б)

. .

3. Сви имају по 60 . 4. Најдужа страница је , с обзиром на то да је угао туп.

оСновнЕ КонСТруКЦИЈЕ ТроугловА вежбамо (стр. 73) 1. а) На полуправој са почетком у тачки конструишемо тачку тако да је =6 . Затим конструишемо угао мере 30 тако да му теме буде тачка , а крак нацртана полуправа. На другом краку конструисаног угла конструишемо тачку тако да је =4 . б) и в) Слично као под а). 2. а) Конструишимо најпре дуж =6 . Затим цртамо кружнице ( 4 5 ) и ( 75 ). Једна од пресечних тачака ових кружница је тачка . б) Најпре конструишимо угао = 105 са теменом . На једном од кракова конструишимо тачку тако да је =5 . Цртамо кружницу ( 7 ). Пресек кружнице и другог крака угла је тачка .

5. Троугао је правоугли. 6. Збир углова на основици мора бити мањи од 90 , а како су ти углови једнаки, онда сваки од њих мора имати мање од 45 . Проверавамо своје знање (стр. 66) 1. б); 2. а); 3. НЕ; 4. НЕ.

5. Конструисати најпре угао = 45 − . Затим, конструисати угао једнак = 3 . 6. Конструисати најпре угао 60 − 54 = 6 . Даље користити једнакост 54 = 9 ∙ 6 итд. Проверавамо своје знање (стр. 70) 1. а); 2. ДА; 3. а), в), г); 4. ДА.

оДноС СТрАнИЦА И угловА ТроуглА вежбамо (стр. 65)

5. 150 110 100 6. 62 60 58 . Проверавамо своје знање (стр. 61) 1. б); 2. НЕ; 3. ДА; 4. а).

КонСТруКЦИЈЕ нЕКИХ угловА вежбамо (стр. 69) 1. Види слику.

165

150

120

2. Види слику. 15

3. а) Најпре се конструише прав угао са теменом . Затим се на крацима тог угла одреде тачке и тако да дужи и буду дате катете. б) Слично као под а). 229

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

4. На полуправој са почетком у тачки конструишемо тачку тако да је =4 . Затим конструишемо угао мере 30 тако да му теме буде тачка , а крак нацртана полуправа. Угао исте мере и са исте стране полуправе, конструишемо тако да му теме буде тачка , а крак садржи тачку . Пресек кракова конструисаних углова је тачка .

5. Упутство: Одреди најпре меру унутрашњег угла на основици. ПоДуДАрноСТ ТроугловА. СТАвовИ ПоДуДАрноСТИ вежбамо (стр. 80)

5. Нека је средиште странице једнакостраничног троугла и тачке и подножја D нормала из тачке на странице и , редом. A

1. Конструиши симетрале две произвољне странице конструисаног троугла. Ако је тачка пресек симетрала, онда је тражена кружница нпр. ( ). 2. Конструиши симетрале две произвољне странице конструисаног правоуглог троугла. Ако је тачка пресек симетрала, а тачка подножје нормале из тачке на било коју страницу троугла, онда је тражена кружница ( ).

pr a

3. а) Према ознакама са слике важи да је (став СУС), па следи = . A б) Слично као а). 4. Како је = = и D = = 90 , то важи (став СУС), па следи = .

оПИСАнА И уПИСАнА КруЖнИЦА ТроуглА вежбамо (стр. 88)

1. а) и г); б) и е); в) и д); ђ) и ж). 2. (став УСУ); (став СУС); (став ССС); (став ССУ).

230

Правоугли троуглови и EBS су подударни (сви одговарајући унутрашњи углови су међусобно једнаки и важи AS = SB, па се може применити став УСУ), одакле је = . 6. Правоугли троуглови које одређује висина у једном и другом једнакостраничном троуглу су међусобно подударни (став УСУ), па су странице ових једнакостраничних троуглова међусобно једнаке. Проверавамо своје знање (стр. 81) 1. ДА; 2. НЕ; 3. НЕ; 4. а).

B C

3. 124 . 4. 34 56 90 . Проверавамо своје знање (стр. 88) 1. НЕ; 2. НЕ; 3. б); 4. ДА.

E S

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

рАЦИонАлнИ БроЈЕвИ 3. Координата средишта је −1 35. 5 ⎱ ⎰ 5 4. а) 𝑛𝑛 − ; б) = 0 ⎱ 8 8 ⎰ 1 1 ⎱ ⎰ −5 в) 𝑛𝑛 ; г) 𝑛𝑛 5 . ⎱ 3 3 ⎰

вежбамо (стр. 93) 24 −1 −12 0 1. а) ; б) ; в) ; г) ; −6 −50 −5 −72 −19 −6 д) ; ђ) . 19 −2 Цели бројеви су под а), г), д) и ђ). −6 −6 24 −19 2. а) ; б) ; в) , ; −2 −2 −6 19 −1 −12 −6 24 −19 г) , , ; д) ; . −50 −5 −2 −6 19

а) б) в) г)

–1

–1 2

0 01

2 ⎫ 2. ⎧– ⎩ 3 ⎭

= ;

1 1 ⎱ ⎰ −1 − ; ⎱ 9 4 ⎰

= .

1 1 ⎱ ⎰ −1 − ; ⎱ 9 4 ⎰

1. Види слику. B

= ;

д) . Проверавамо своје знање (стр. 98) 1. а); 2. б); 3. НЕ; 4. в).

рАЦИонАлнИ БроЈЕвИ нА БроЈЕвноЈ ПрАвоЈ вежбамо (стр. 97)

1 ⎱ ⎰ 1 1 ,1 . ⎱ 9 4 ⎰

6. a) ; б) ; в) ; г)

5. а) ; б) 0 ; в) 𝑛𝑛 6. а) 𝑛𝑛 1 2 3 10 б) 𝑛𝑛 −10 −9 −8 −1 Проверавамо своје знање (стр. 94) 1. б), г); 2. в); 3. ДА; 4. а).

3. а) −28 б) −51 в) −1 г) −3 д) Редом уписати бројеве 21 и −55 4. а) −0 2; б) −1 5; в) −0 16; г) −1 05; д) −3 1(6).

ПоЈАМ рАЦИонАлног БроЈА. СКуП Q

9 1 11 10

уПорЕЂИвАЊЕ рАЦИонАлнИХ БроЈЕвА вежбамо (стр. 101)

1. а) <; б) =; в) >; г) =; д) <; ђ) =. 3 2. а) −2 023 б) 1 5

3. а) 0; б) −3; в) −16; г) 0; д) −1. 4. а) ; б) . 5. a) 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 −; б) 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 +; в) 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 +; г) 𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛 +. 6. На пример: −1 14 −1 13 −1 131. Проверавамо своје знање (стр. 102) 1. ДА; 2. ДА; 3. а), г); 4. в).

(1).

231

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

САБИрАЊЕ И оДуЗИМАЊЕ рАЦИонАлнИХ БроЈЕвА вежбамо (стр. 107)

МноЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ рАЦИонАлнИХ БроЈЕвА вежбамо (стр. 122)

1 1 8 ; б) − ; в) 2 ; 5 9 15 г) −4 4; д) −14 57. 1 1 1 2. а) 1 ; б) −2 ; в) −2 ; 4 4 6 г) −10 9 д) 33 33

2 30 2 ; б) − ; в) 1 ; 1. а) −2 5 77 3 1 г) −1 ; д) −6 4; ђ) −0 868. 2 1 3 2 2. а) −1 ; б) − ; в) 1 ; 5 4 3 г) −6; д) −1 45.

1. а)

1 1 ; б) 5 . 3. а) −2 16 15 4. 2 8

3. а) 4;

2 . 3 7 5 ; б) 3 05; в) 1 ; 2. а) 15 24 46 . Приказ решења на бројевној г) −5 63 правој остављамо за вежбу.

1 ⎱ ⎰ 𝑛𝑛 − 6 7 ⎱ 2 ⎰

5. а) 𝑛𝑛 б) = −6 в) 6. −4 −3 −2 −1 Проверавамо своје знање (стр. 115) 1. а); 2. б); 3. ДА; 4. НЕ. 232

1 је тачка ⎧ ⎫ ⎩ 4 ⎭

7 ; 18

3. а) = 2 7; б) = 1 1. 7 4. То су бројеви већи од − 6

20 27

1 ; б) 2

ЈЕДнАЧИнЕ И нЕЈЕДнАЧИнЕ СА САБИрАЊЕМ И оДуЗИМАЊЕМ у СКуПу Q вежбамо (стр. 114)

= 7 7; в) = −

в) −3

5 . 16 1 3 ⎧− 2 ⎫ ⎧− 1 ⎫ 6. 3 4 ⎩ 3 ⎭ ⎩ 10 ⎭ Проверавамо своје знање (стр. 123) 1. в); 2. в); 3. НЕ; 4. б). 5. −1

1. б); 2. а), б); 3. ДА; 4. в).

г) = −4

3 ; 4

4. Средиште дужи

5. −1 375. 5 6. 2 8 Проверавамо своје знање (стр. 108)

1. а) = −

б) −

ЈЕДнАЧИнЕ И нЕЈЕДнАЧИнЕ СА МноЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ у СКуПу Q вежбамо (стр. 127)

1. а) = −

1 ; б) 3

=−

2 ; б) 15

1 ; 8

4 2 ; г) = − . 5 23 3 4 ; б) − ; 2. а) − 4 21 9 11 в) ; г) −1 . Приказ решења на 20 32 бројевној правој остављамо за вежбу. в) =

1 . 3 10 4. То су бројеви већи од . 21 3. а)

−1

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

5. а)

0 2; 1 9 6. − 75 5 Проверавамо своје знање (стр. 128) 1. а); 2. а); 3. ДА; 4. НЕ.

(0 1)

(2 0)

б)

pr –2 –3

3. а) 1; б) 10; в) 16; г) 9; д) 3 7; 11 ђ) 3 . 14 4. а) (3 −4); б) (1 1).

A1 A –3

y 3 A1

–1

1 2

–1

D –2 –1 1 2

–2

y B 2

–3

–1

(−3 1) (−2 2) 3 ⎫ (−1 −1) ⎧ 0 (1 3) ⎭ ⎩ 5 (4 4) (4 −1) (0 −2) 2. Види слику.

–2

(−3 0)

ПрАвоуглИ КоорДИнАТнИ СИСТЕМ у рАвнИ вежбамо (стр. 138) 1.

y 2

–2

–1

x 1

–1 –2 –3

233

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

г) 3 61 . д) Дуже од просечног времена телефон користe 27 ученика. Краће од просечног времена телефон користи 22 ученика.

6. а) y

5 4

ПроЦЕнТИ, рАЗМЕрЕ И ПроПорЦИЈЕ вежбамо (стр. 147)

2 1

–3 –2 –1 0 –1

–2

–3

–5

5 4 3 1

A1 O

–1 0 –1

6. 250 динара. 7. Површина ће се повећати за 2%. Проверавамо своје знање (стр. 148) 1. в); 2. г); 3. г); 4. в).

4. а) 1 815 динара; б) 1 237 5 динара. 5. 72 108 .

–4

б)

1. а) 70; б) 375; в) 399. 2. Никола. 3. = 2 53.

Проверавамо своје знање (стр. 139) 1. а); 2. в); 3. б); 4. б), г). ПрИКАЗИвАЊЕ ЗАвИСноСТИ МЕЂу вЕлИЧИнАМА вежбамо (стр. 142) 1.

ДИрЕКТнА И оБрнуТА ПроПорЦИонАлноСТ вежбамо (стр. 156) 1. Директно пропорционалне величине: а), в), г). Обрнуто пропорционалне величине: б), д), ђ). 2. а) = 3 = 3; б) 𝑚𝑚𝑚 = 60 = 60. 3. а) 2 1

а) 12; б) 4. в) 05 4

234

2 2

–2

–1

–1 –2

x 1

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

4. а) = 80 ∙ ; б)

1 –2

–1

160

320

480

640

320

160

x 1

–1

–2

г)

480

1 –2

5. 605 динара. 6. 2 сата.

t 4

0 0

( )

–2

в)

()

б)

7. 10 сати. 20 1200 ; б) = . 8. а) = t r Проверавамо своје знање (стр. 158) 1. ДА; 2. б); 3. а); 4. в).

ЧЕТвороугАо

ПоЈАМ ЧЕТвороуглА. угловИ ЧЕТвороуглА вежбамо (стр. 164)

2 1

–2

–1

–1 –2 –3

x 1

1. а) и ; и ; и ; и б) и и ; в) и и и г) и и ; д) и и и и ; ђ) и и . 2. = 85 = 115 1 = 95 = 105 1 = 95 . 1

; и

235

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

4. Нека важе ознаке као на слици.

3. а) 50 225 25 60 ;

б) 60 90 90 120

4. 200 100 20 40 .

Четвороугао је неконвексан. 5.

Како

је

троуглови

четвороугао морају

неконвексан,

Дуж

заједничку

је

имати

је средња линија троугла . Слично је дуж

, па

средња линија

основицу. Унутрашњи углови четвороугла

троугла

, па је

имају мере: 140 50 50 120

Дакле,

. Слично важи

, па је

паралелограм. Сада из

следи

6. 31 168 54 107 Проверавамо своје знање (стр. 165) 1. а); 2. ДА; 3. в); 4. б).

да су суседне странице паралелограма узајамно нормалне. Дакле,

= 10

= 35

б) 46 134

3. а) 34 146 ; б) 117 30 62 30 4. а) 76 104 .

6. 61 29 . Унутрашњи углови су прави. Проверавамо своје знање (стр. 172) 1. б); 2. НЕ; 3. а), в); 4. а). роМБ, ПрАвоугАонИК И КвАДрАТ вежбамо (стр. 178) 1. а), в).

5. 15 45 120 Проверавамо своје знање (стр. 179) 1. а); 2. ДА; 3. б); 4. ДА.

б)

1. а) 80 100 ; б) 54 126 ; в) 129 51 = 16

КонСТруКЦИЈА ПАрАлЕлогрАМА вежбамо (стр. 182) 1. Види Пример 1 у лекцији. 2. Слично као претходни задатак. 3. Видети Пример 2 у лекцији. 4. Видети Пример 2 у лекцији. 5. Задатак се своди на конструкцију ромба странице 6 5 60 .

и унутрашњег угла мере

6. На полуправој са почетком у тачки конструишемо тачку

2. а) 36 144 ; б) 166 14 . 3. 86 .

236

је

правоугаоник.

ПАрАлЕлогрАМ вежбамо (стр. 171)

2. а)

тако да је

Даље се конструише средиште дужи

које представља теме угла мере 75 , итд.

. ,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

5. Цртамо полуправу са почетком у тачки

вЕКТорИ вежбамо (стр. 189)

и конструишемо прав угао чији је крак нацртана полуправа. На крацима правог

1. Види слику. A

угла конструишемо тачке = 55

�� AA1 + A1B

= 25

тако да је

. Код темена

конструишемо прав угао, а затим цртамо кружницу

(

). Пресек кружнице и

крака правог угла са теменом

� b

� –3b

� 2a

1. 73 .

�� 4. а) AC ; б) 0 ; в) 2 AC . Проверавамо своје знање (стр. 190) 1. ДА; 2. а), в), д); 3. б); 4. ДА. ТрАПЕЗ вежбамо (стр. 195) 1. 100 126 .

2. 56 90 90 3. 54 126 . 4. 4 2

ДЕлТоИД вежбамо (стр. 199)

�� 3. а), б) в) AC .

� � a +b

6. = 18 . Проверавамо своје знање (стр. 196) 1. б); 2. НЕ; 3. в); 4. а).

� a

� � a –b

траженог трапеза.

2. Види слику.

је теме

2. 72 91 106 3. Јесу темена правоугаоника. Види упутство за 4. задатак у лекцији Ромб, ūравоу�аоник и ква�ра�. Проверавамо своје знање (стр. 200) 1. в); 2. ДА; 3. а); 4. ДА. ПовршИнЕ ТроуглА И ЧЕТвороуглА ПоЈАМ ПовршИнЕ И ЈЕДнАКоСТ ПовршИнА вежбамо (стр. 205)

1. а) 3 5

2. а) 2 56

б) 5; в) 5; г) 8 ; б)

= 15

237

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА

ПовршИнА ТрАПЕЗА вежбамо (стр. 217)

1 cm . =5 3

4. 38 400 динара.

1. а) 18 cm2; б) 16 cm2; в) 18 cm2. 2. 90 cm2.

5. Површина ће се смањити за 12% Проверавамо своје знање (стр. 206) 1. НЕ; 2. б); 3. НЕ; 4. ДА.

3. 8 4. 198 cm2

ПовршИнА ПАрАлЕлогрАМА вежбамо (стр. 210)

5. 16 cm и 8 Проверавамо своје знање (стр. 218) 1. ДА; 2. в); 3. НЕ; 4. а).

ПовршИнА ТроуглА вежбамо (стр. 214)

5. 48 cm2. Проверавамо своје знање (стр. 211) 1. б); 2. б); 3. НЕ; 4. а).

ПовршИнА ЧЕТвороуглА СА норМАлнИМ ДИЈАгонАлАМА вежбамо (стр. 220)

1. а) 10 cm2; б) 6 cm2; в) 4 cm2; г) 2 cm2. 2. 8 cm2 3. 10 4. 4 8 5. 0 8

6. 100 cm2 Проверавамо своје знање (стр. 215) 1. б); 2. в); 3. ДА; 4. а).

238

1. 17 5 2. 2. 120 cm2

3. 81 cm2 4. 144 cm2

1. а) 8 cm2; б) 6 cm2; в) 12 cm2. 2. 14 3 2.

3. 9 4. 7 2

ПовршИнА ПроИЗвоЉног ЧЕТвороуглА вежбамо (стр. 222) 1. 240 cm2 2. а) 25 5 2; б) 25 cm2 Проверавамо своје знање (стр. 223) 1. НЕ; 2. а); 3. в); 4. ДА.