Ivan Francisco Duarte Noguera
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Matemática Financiera
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Lic. Ronald Remberto Martínez
NARRATIVA EN FUNCIÓN DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS La matemática es una de las ciencias lógico deductivas más antiguas que se ocupa especialmente de las propiedades que observan los entes abstractos y también DE las relaciones que entre estos se establecen para así desarrollar cálculos, cuentas y mediciones. Mayormente, es una ciencia que trabaja con números, figuras geométricas y símbolos.
En tanto, la matemática financiera es una rama dentro de la ciencia matemática que se ocupa excluyentemente del estudio del valor del dinero a través del tiempo y de las operaciones financieras, es decir, no es otra cosa que la aplicación de las matemáticas en el ámbito de las finanzas para así por ejemplo dilucidar cuál es la mejor opción a la hora de la inversión. Al estudiarse el valor del dinero en el tiempo y combinando cuestiones como el capital, la tasa y el tiempo, se podrá lograr un interés o rendimiento y entonces, diversos métodos de evaluación puestos en práctica nos indicarán cuál es la mejor decisión de inversión a tomar. Cabe destacar, que las matemáticas financieras se hallan en estrecha vinculación con la contabilidad, ya que la información que toma para llevar a cabo sus evaluaciones es justamente aquella que ha sido asentada en los libros contables oportunamente. También son una aliada inestimable de la política, ya que asiste a la ciencia pólitica en la resolución de problemas económicos originados en la sociedad. Su aplicación es eminentemente práctica. Para comprender mejor el alcance de la misma será preciso echar luz también sobre el concepto de operaciones financieras, que resulta ser el reemplazo de uno o más capitales por uno o más de uno que es equivalente en un diferente momento temporal, a partir de la implementación de una ley financiera.
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La Matemática financiera se puede dividir en dos grandes bloques de operaciones financieras que se dividen en operaciones simples, con un solo capital, y complejas, las denominadas rentas, que involucran corrientes de pagos como es el caso de las cuotas de un préstamo. Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. La ley financiera que se aplique puede ser mediante un régimen de interés simple cuando los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro. Los intereses se calculan sobre el capital original. Si se trabaja en un régimen de capitalización compuesta los intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital original y generan, a su vez, intereses en el futuro (los intereses se capitalizan). Según el sentido en el que se aplica la ley financiera existen operaciones de capitalización: cuando se sustituye un capital presente por otro capital futuro y de actualización o de descuento: cuando se sustituye un capital futuro por otro capital presente. La Matemática Financiera es el campo de la matemáticas aplicada, que analiza, valora y calcula materias relacionadas con los mercados financieros, y especialmente, el valor del dinero en el tiempo.
Ante la pregunta: ¿Que preferiría usted, cobrar 1.000 hoy o 1.000 dentro de un mes? La respuesta parece obvia, 1.000 hoy. Pero si la pregunta fuese 1.000 hoy o 1.050 dentro de un mes? La respuesta no lo sería tanto. Dependería de la necesidad de la persona, pero también de cuanto podría ganar durante ese mes. De esta manera, si con 1.000 invertidos durante un mes pudiese obtener más de 50, al cabo de un mes tendría más de 1.050 por lo que preferiría cobrar 1.000 hoy e invertirlos por su cuenta. Si sólo pudiese obtener menos de 50, preferiría 1.050 dentro de un mes. Las matemáticas financieras van más allá y nos proveerán de las herramientas para poder contestar a la pregunta ¿cuanto valen hoy 1.050 que se cobrarán dentro de un mes? Así, las matemáticas financieras se ocuparán del cálculo del valor, tipo de interés o rentabilidad de los distintos productos que existen en los mercados financieros (depósitos, bonos, préstamos, descuento de papel, valoración de acciones, cálculos sobre seguros, etc). Para presentarlas, se seguirá un proceso secuencial desde lo más sencillo, el tipo de interés simple, hasta los cálculos más complejos,
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que consistirán en el valor actual o futuro de rentas temporales y/o infinitas. Por tanto, en el estudio de las matemáticas financieras, abordaremos: Sin embargo, pese a que estas herramientas son la base de las matemáticas financieras, el avance en su investigación ha llevado hasta herramientas tremendamente sofisticadas como para la valoración de opciones, las matemáticas actuariales o las más diversas aplicaciones en la estadística y econometría. INTERÉS SIMPLE Previo a analizar el concepto de interés simple, en primer lugar, debemos tener claro que es el interés en este contexto, que se puede definir como la cantidad (normalmente expresada el porcentaje o tasa) me mide la relación de intercambio entre el valor del dinero en dos momentos determinados de tiempo. Cuando una persona (prestamista) le presta a otra (prestatario) un dinero hoy, espera que en un futuro el prestatario se lo devuelva, pero que además le de una cantidad adicional en contraprestación, esto es el interés. Que, volvemos a recordar, suele expresarse en porcentaje. Para entender el concepto de interés simple y compuesto, sin duda, la mejor forma es atender a unos ejemplos (ver ejemplo también en interés compuesto). Supongamos un préstamo de 10.000 durante 1 año que genera un interés anual del 5%. No será lo mismo que esos intereses se paguen en dos veces (cada seis meses), frente a que se paguen de una vez al final. En el primer caso, el prestamista recibirá el dinero en dos veces, primero 250 a los seis meses y después 10.250 al final del año. Por su parte, en el segundo caso, el prestamista recibirá todo el dinero a la vez 10.500 al final del año. Pero donde está la diferencia, pues en que en el primer caso el prestamista podrá invertir esos 250 que cobra previamente y obtener una rentabilidad, por lo que, si suponemos que también los puede invertir a un 5% anual durante los seis meses que quedan, obtendría 250*5%/2=6,25. Por tanto, en el primer caso el prestamista obtendría al final del año 10.000+250+250+6,25=10.506,25.
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Ese 5% del enunciado del ejemplo será lo que se denomina interés simple, mientras que el interés compuesto será, en este caso, el interés equivalente que se obtiene por el hecho de reinvertir los cobros intermedios. Así, podríamos calcular el interés compuesto con una regla de tres: 10.500 --> 5% 10.506,25 --> X = 5,0625%, ya que el interés simple no es del 5% anual sino del 5% pagadero
semestralmente que no es lo mismo. Esta diferencia, que puede parecer pequeña, cuando se considera en operaciones de mucho volumen o mucha duración puede provocar diferencias sustanciales. Fórmula Interés Simple Interés Simple = Cantidad x Tipo de Interés x Plazo Interés Simple.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación durase un año Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años Como estándar, en las operaciones financieras, cuando una operación dura menos de un año, se sigue como método de cálculo el interés simple, mientras que cuando una operación tiene una duración superior a un año, se utilizará el interés compuesto. INTERÉS COMPUESTO Al contrario que el interés simple, el interés compuesto se produce cuando el interés se suma al capital, por lo que, a partir de ese momento, el interés que se ha añadido también gana intereses. Esta adición de interés al principal de la operación financiera se llama compuesto.
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Al igual que con el interés simple, donde ya pusimos un primer ejemplo. Consideramos que la mejor manera de entender la necesidad y funcionamiento del interés compuesto es mediante un ejemplo. Imaginemos que nos ofrecen la opción de invertir 10.000 en dos depósitos a 3 años. El primer depósito para un 10% te tipo de interés al año y paga esos intereses al final de cada año. Por su parte, el segundo depósito pagará un 10% anual de tipo de interés, pero en lugar de pagar los intereses al final de cada año, los pagará todos al final de los tres años. Si ambos depósitos pagan el mismo tipo de interés, parecería lógico pensar que la ganancia al final debería ser la misma, pero, ¿es realmente así?. Analicemos cada caso. 1- Si cobraremos 1.000 al final de cada año, los intereses del primer año serán 1.000, pero y los del segundo. El segundo año volveremos a cobrar 1.000 provenientes del depósito de 10.000, pero también podremos cobrar intereses de los 1.000 de intereses que ya tenemos en nuestro poder. Si esta cantidad la invertimos también al 10% obtendríamos 100 adicionales por lo que los intereses del segundo año serían 1.100 y no 1.000. Lo mismo sucedería en el tercer año, por un lago cobraríamos los 1.000 del depósito, pero aún nos faltaría por contabilizar los intereses por invertir los intereses de los dos años anteriores que, recordemos, ascendía a 2.100. Así, el 10% de 2.100 serían 210 adicionales. Por tanto, al cabo de los tres años tendríamos 10.000+1.000+1.000+100+1.000+210=13.310. 2- En el caso del segundo depósito, los intereses se pagaban todos al final. Si utilizásemos la formulación del interés simple, la cantidad de intereses sería: 10.000 x 10% x 3 = 3.000 por lo que al final tendríamos 13.000 que es menos que en el caso 1. Para resolver esta diferencia, en aquellas operaciones que generan intereses con una duración superior a un año (como ya mencionamos e el interés simple), el cálculo de intereses utiliza la formulación del interés compuesto que tiene en consideración los intereses que generan los pagos intermedios. Interés=10.000*(1+10%)3=3.310, que sumados al principal darán los mismos 13.310 que en el caso 1. Fórmula Interés Compuesto Interés = Cantidad x (1 + Tipo de Interés) Plazo -1 Interés.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la
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operación durase un año Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años Sin embargo, la utilización del interés compuesto, y su fórmula, no se queda sólo aquí, sino que es la que se utilizará para calcular el valor presente y el valor futuro, las rentas temporales y las rentas infinitas, así como para el cálculo de Valor Presente Neto y la TIR ya que es el que nos permitirá comparar cantidades con distintas formas y plazos de cobro. El interés compuesto, es, por tanto, la base para poder calcular la rentabilidad comparable de distintos productos y proyectos de inversión a través del descuento de descuento de flujos de caja, herramienta básica de las finanzas. AMORTIZACIÓN La amortización es un término económico y contable, referido al proceso de distribución en el tiempo de un valor duradero. Adicionalmente se utiliza como sinónimo de depreciación en cualquiera de sus métodos. Se emplea referido a dos ámbitos diferentes casi opuestos: la amortización de un activo y la amortización de un pasivo. En ambos casos se trata de un valor, con una duración que se extiende a varios periodos o ejercicios, para cada uno de los cuales se calcula una amortización, de modo que se reparte ese valor entre todos los periodos en los que permanece. Amortizar es el proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes. En las amortizaciones de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda. Amortización financiera Desde el punto de vista financiero, se entiende por amortización, el reembolso gradual de una deuda. La obligación de devolver un préstamo recibido de un banco es un pasivo, cuyo importe se va reintegrando en varios pagos diferidos en el tiempo. La parte del capital prestado (o principal) que se cancela en cada uno de esos pagos es una amortización. Los métodos más frecuentes para repartir el importe en el tiempo y segregar principal de intereses son el sistema Francés, Alemán y el Americano. Todos estos métodos son correctos desde el punto de vista contable y están basados en el concepto de interés compuesto. Las condiciones pactadas al momento de acordar el préstamo determinan cual de los sistemas se utilizará. • El sistema Francés consiste en determinar una cuota fija. Mediante el cálculo apropiado del interés compuesto se segrega el principal (que será creciente) de los intereses (decrecientes). • En el sistema Alemán, o sistema de cuota de amortización fija, la amortización de capital es fija, por lo tanto los intereses y la cuota total serán decrecientes. Se caracteriza porque el interés se paga de forma anticipada en cada anualidad. • El sistema Americano establece una sola amortización única al final de la vida del préstamo. A lo largo de la vida del préstamo solo se pagan
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intereses. Al no haber pagos intermedios de capital, los intereses anuales son fijos. En si son el contrario de la depreciación. Amortización técnica o económica Desde un punto de vista económico-contable, los fondos de amortización son aquellos que se crean para compensar la pérdida de valor o depreciación que experimentan ciertos elementos patrimoniales. Los fondos de amortización se crean por las dotaciones que se realizan cada año por un determinado importe, de tal forma que al final de la vida económica del bien amortizado, la empresa podrá reponerlo con la acumulación de las dotaciones efectuadas. La dotación anual es el reflejo contable de la depreciación que sufren los activos, que recibe el nombre de amortización. Desde el punto de vista lingüístico la expresión depreciación es más apropiada para reflejar la pérdida de valor de los activos materiales (también llamados bienes de uso). Sin embargo, las normas contables de algunos países eligen la expresión amortización. Sentido económico de la amortización La amortización tiene un sentido económico muy claro para la empresa, dado que si ésta no cargase la depreciación (pérdida de valor) experimentada por sus activos inmovilizados en el transcurso del año en la cuenta de resultados, el beneficio resultaría ficticio, ya que al final de su vida útil el inmovilizado habría desaparecido y la empresa se habría empobrecido (o descapitalizado, en términos técnicos). Por otro lado, si el balance de la empresa sólo registrase el inmovilizado en términos brutos (esto es, el precio de adquisición de los inmovilizados), el activo no reflejaría el valor de los bienes y derechos de propiedad de la empresa en ese momento, sino el valor de los activos cuando se adquirieron, que evidentemente puede ser muy distinto. En el establecimiento de una política de amortización intervienen los siguientes factores: a) El precio de adquisición del inmovilizado, que incluye todos los gastos adicionales para su instalación y puesta en condiciones. b) La vida útil del inmovilizado. Es la menor de las tres vidas siguientes: - La vida física. - La vida técnica (obsolescencia): una máquina puede encontrarse en perfectas condiciones de trabajo pero poder sustituirse con ventaja económica por una segunda máquina que realiza mejor la misma función (ejemplos típicos son los ordenadores o los aparatos electrónicos). - La vida comercial: el producto, en cuya intervención interviene el inmovilizado puede haber sido sustituido por otro obtenido por procedimientos distintos. c) El valor residual del inmovilizado al final de su vida útil, que con frecuencia se estima nulo. d) El método de amortización empleado para repartir el coste del inmovilizado entre los períodos contables que constituyen su vida útil. e) La base de la amortización, es decir, si la amortización pretende cubrir bien el coste original del inmovilizado, bien este mismo coste actualizado con un índice de
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precios que indique la pérdida de valor del dinero en períodos de inflación, o bien el coste de reposición del inmovilizado. Causas de la depreciación La amortización económica recoge la depreciación de un bien. La amortización es la cuantificación de la depreciación que sufren los bienes que componen el activo de una empresa. Esta depreciación puede ser motivada por tres causas: • Depreciación física ocasionada por el simple paso del tiempo, aunque el bien no haya sido empleado en ninguna actividad productiva. • Depreciación funcional a causa de la utilización del bien. • Depreciación económica, también llamada obsolescencia, motivada por la aparición de innovaciones tecnológica que hacen que el bien sea ineficiente para el proceso productivo. •
IMPORTANCIA EN LOS CENTROS EDUCATIVOS Las matemáticas son fundamentales para el desarrollo intelectual de los niños, les ayuda a ser lógicos, a razonar ordenadamente y a tener una mente preparada para el pensamiento, la crítica y la abstracción. Las matemáticas configuran actitudes y valores en los alumnos pues garantizan una solidez en sus fundamentos, seguridad en los procedimientos y confianza en los resultados obtenidos. Todo esto crea en los niños una disposición consciente y favorable para emprender acciones que conducen a la solución de los problemas a los que se enfrentan cada día. A su vez, las matemáticas contribuyen a la formación de valores en los niños, determinando sus actitudes y su conducta, y sirviendo como patrones para guiar su vida, como son, un estilo de enfrentarse a la realidad lógico y coherente, la búsqueda de la exactitud en los resultados, una comprensión y expresión clara a través de la utilización de símbolos, capacidad de abstracción, razonamiento y generalización y la percepción de la creatividad como un valor. Podemos dividir estos valores en dos grupos:
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1) Valores de la inteligencia: afán de saber, adquirir conocimientos, estudiar, hábitos y técnicas de trabajo intelectual para utilizar la información, sentido crítico de lo verdadero; 2) Valores de la voluntad: a) Capacidad de decisión (prudencia, predicción, iniciativa, seguridad, confianza en sí mismo), b) Valores morales: respecto a las creencias e ideas de los demás, colaboración, solidaridad, honradez, honestidad, laboriosidad, optimismo. Sin embargo en el colegio, la asignatura de matemáticas suele ser de lejos, la más odiada. Y ¿Por qué? Parece que nos estamos dando cuenta de que las matemáticas llevan años enseñándose mal. Es necesario que desde la escuela se transmita una idea positiva de las matemáticas y para ello hay que cambiar la manera en la que se les presentan a los alumnos. En este vídeo realizado por el Banco Interamericano de Desarrollo (BID) hacen algunas propuestas. El éxito en la vida comienza por el éxito en las matemáticas.