Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
NÚMEROS NATURALES LECTURA Y ESCRITURA, ORDEN Y COMPARACIÓN La historia de la humanidad, ha venido conformándose de hechos acumulados en distintas épocas, por pueblos con culturas y costumbres diferentes, que en virtud de sus necesidades sociales, les permitió lograr desarrollo y crecimiento científicos que las generaciones actuales aún seguimos utilizando.
Así pues, las matemáticas de nuestros tiempos, tienen su origen en aquel conocimiento logrado por esos notables pueblos, que nos dejaron su sistema de numeración, aunque actualmente ya no se encuentran en uso, nos han servido para seguir avanzando en el desarrollo de nuestra cultura. Para recordar tus conocimientos de matemáticas que aprendiste en la escuela primaria. Entremos a ver un poco de lo que sucede en tu mundo. El domingo 2 de julio de 2006, se realizó una elección constitucional para nombrar presidente de la República Mexicana, habiéndose dado una gran afluencia de votantes que emitieron su sufragio, siendo 41 971 322 ciudadanos los que participaron. ¿Cómo se leen en el número, del enunciado anterior, sólo las tres primeras cifras que hay de derecha a izquierda? 322 se lee:
_____________________________________________________
¿Cómo se leen las seis primeras cifras que hay de derecha a izquierda? 971 322 se lee:
_____________________________________________________
¿Cómo se lee el valor de las cifras que corresponden al 41? 41 000 000 se lee: _____________________________________________________ ¿Cómo se lee el número completo? 41 971 322 se lee: _____________________________________________________ Para leer un número natural entero, lo podemos hacer de la siguiente manera: 1.- Se separa el número con una coma o con un espacio, en cifras de tres en tres, de derecha a izquierda: 41 971 322 2.- Se empieza a leer el número por la izquierda, siendo las primeras tres cifras, de derecha a izquierda, las unidades simples; las siguientes tres cifras corresponden a las unidades de millar; las siguientes a las unidades de millón; las siguientes a las unidades de millar de millón y así sucesivamente. Ver tabla guía. 1
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1.1 Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.
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Significado y uso de los números
MILLONES
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Unidades de Millar de Millón C e n t e n a s
D e c e n a s
U n i d a d e s
UNIDADES
Unidades de Millón C e n t e n a s
D e c e n a s
Unidades de Millar C e n t e n a s
U n i d a d e s
D e c e n a s
U n i d a d e s
Unidades Simples C e n t e n a s
D e c e n a s
U n i d a d e s
El presupuesto para el Programa Escuelas de Calidad está formado por: a) Un préstamo del Banco Mundial de $ 2 040 000 000.00 de pesos (dos mil cuarenta millones) y b) Una participación del Gobierno Mexicano de $ 1 166 000 000.00 de pesos (mil ciento sesenta y seis millones). ¿De cuánto dinero dispondrá el Programa Escuelas de Calidad? _________________________ ¿Cómo se lee la cantidad obtenida? _______________________________________________ Al leer las cantidades numéricas de la información, ¿qué observas? _____________________________________________________________________________ Si la escuela donde estás estudiando está registrada en este programa, parte de este dinero llegará a auxiliarte en tu formación. Escribe sobre la raya el nombre a cada uno de los siguientes números. 1)
832 264
____________________________________________________________
2)
920 000
____________________________________________________________
3)
1 768 412
____________________________________________________________
4) 243 800 051
____________________________________________________________
5) 720 001 201
____________________________________________________________
6)
15 202 451
____________________________________________________________
7) 452 659 231
____________________________________________________________
2
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Significado y uso de los números
ESTADO
SUPERFICIE EN Km²
Se lee:
Chihuahua
__________________ ___________________________________________
Zacatecas
__________________ ___________________________________________
Tlaxcala
__________________ ___________________________________________
Querétaro
__________________ ___________________________________________
Yucatán
__________________ ___________________________________________
Guerrero
__________________ ___________________________________________
Durango
__________________ ___________________________________________
Veracruz
__________________ ___________________________________________ TABLA 2 MUNICIPIOS DEL ESTADO DE CHIHUAHUA
MUNICIPIO
SUPERFICIE EN Km²
Chihuahua
_________________ ____________________________________________
Se lee:
Sn. Fco. del Oro _________________ ____________________________________________ Cuauhtémoc
_________________ ____________________________________________
Delicias
_________________ ____________________________________________
Camargo
_________________ ____________________________________________
Juárez
_________________ ____________________________________________
Hgo. del Parral _________________ ____________________________________________ I.- Lea los datos que se presentan en la tabla 1 a) ¿Cuál es el nombre del estado que aparece en la tabla que es más extenso? _____________ b) ¿Cuál es su superficie? ________________ Se lee: ________________________________ II.- Lea los datos que se presentan en la tabla 2. a) ¿Cuál es el nombre del municipio que aparece en la tabla que es el más pequeño _________ b) ¿Cuál es su superficie? ________________ Se lee: _________________________________ 3
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Consulta los datos que se solicitan para completar las tablas que se muestran. TABLA 1 ESTADOS DE LA REPÚBLICA MEXICANA
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Significado y uso de los números
Escribe con cifras las siguientes cantidades:
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1) Veinte mil quinientos noventa y dos ............................................... ____________________ 2) Setenta y tres mil cinco ....................................................... .......... ____________________ 3) Ochocientos cincuenta mil ............................................................. ____________________ 4) Veinticinco millones cuatrocientos cincuenta y tres mil setecientos uno _____________________ 5) Mil ochenta y dos millones sesenta y tres mil cuatrocientos veintidos___________________ En los siguientes enunciados, se encuentran cantidades que están escritas con letra, cambia su escritura escribiendo la cantidades con número: 1.- Remato carro en sesenta y siete mil novecientos pesos. . . . . . . _____________________ 2.- Estrene residencia equipadísima a sólo un millón noventa y cinco mil pesos ____________ 3.- Egipto tuvo hace algunos años, una población de treinta y nueve millones seiscientos treinta y seis mil habitantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _____________________ 4.- Un año tiene treinta y un millones quinientos treinta y seis mil segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _____________________ 5.- México tiene una extensión territorial de un millón novecientos cincuenta y ocho mil doscientos un km² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _____________________ 6.- México está compuesto por treinta y dos estados . . . . . . . . . . .
_____________________
7.- El Estado de Chihuahua tiene tres millones, cincuenta y dos mil, novecientos siete habitantes (censo año 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _____________________ En los siguientes enunciados, se encuentran cantidades que están escritas con letra, cambia su escritura escribiendo la cantidades con número: 1) Veinte mil quinientos noventa y dos ............................................. _____________________ 2) Setenta y tres mil cinco .................................................................. _____________________ 3) Ochocientos cincuenta mil ............................................................ _____________________ 4) Veinticinco millones, cuatrocientos cincuenta y tres mil, setecientos uno ____________________ 5) Mil ochenta y dos millones, sesenta y tres mil, cuatrocientos veintidos __________________ 6) Cuarenta y un millones, novecientos setenta y un mil, trecientos veintidos _______________ 7) Tres mil doscientos cincuenta y nueve millones ............................ _____________________ 8) Un millón un mil cuatrocientos sesenta y cuatro ............................. _____________________ 9) Dos mil quinientos veinte millones ................................................ _____________________
4
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Significado y uso de los números
10.- Actualmente, México tiene cuarenta millones de pobres . . . . . .
____________________
12.- Trabajando en equipo con tus compañeros de grupo, investiga cuál era LA POBLACIÓN DE LA REPÚBLICA en: Año
N°
Letra
1900 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Con el auxilio de tu Maestra o Maestro, analicen el crecimiento, que de una a otra época, ha tenido la población de nuestra Patria. Recuerda el proceso para obtener porcentajes. ¿Cuál será la población estimada para el año 2010, 2015 y 2020?
COMPARACIÓN DE NÚMEROS Y ORDEN El siguiente cuadro nos presenta la PRODUCCIÓN AGRÍCOLA de México en el año de 1983. Analiza las cifras alcanzadas y contesta las preguntas que enseguida se hacen: PRODUCTO
TONELADAS
Maíz Frijol Arroz Trigo Sorgo Cebada
13 428 200 1 427 100 655 300 3 697 100 6 366 700 533 400
1.- ¿Cuál es el número de la tabla que tiene más cifras? . . . . . . . . . . _____________________ 2.- ¿Cuál es el producto que se produjo en mayor cantidad?. . . . . . . . ____________________ 3.- ¿Cuáles números tienen menor cantidad de cifras? ________________ y ______________ 4.- Del arroz y la cebada, ¿cuál producto se dió en mayor cantidad? _____________________ 5
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11.- El censo poblacional realizado en la República Mexicana en el año 2005, fue de ciento tres millones cien mil habitantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ____________________
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Significado y uso de los números
Basados en lo anterior, debemos tener en cuenta lo siguiente: a) Al comparar dos cantidades, es mayor la que tiene más número de cifras. 13 428 200 > 6 366 700 b) Cuando dos números tienen igual cantidad de cifras, es mayor aquel número cuya última cifra de la izquierda sea mayor. 655 300 > 533 400 6 > 5 c) Cuando las últimas cifras de la izquierda de los números que se van a comparar son iguales, entonces se compararán en base a las siguientes cifras de la derecha, y así sucesivamente. 43 485 < 43 495 8 < 9 Ordena de mayor a menor las toneladas de producción agrícola que se mencionan en la tabla de arriba. ___________ > ___________ > ___________ > __________ > _________ > _________ Compara los números de la izquierda con los de la derecha, escribiendo dentro de cada cuadro el signo mayor que, menor que, ó igual, según sea lo correcto. 1)
35 008
3)
438 069
8) 2 048 + 625
1 998
2)
729 409
735 403
500 087
4)
42 093
42 094
10)
73 x 8
85 x 6
2 047 + 62
Utilizando todas las cifras 3, 2, 1, 0 , y cambiando su orden, escribe todos los números mayores que 2 000 que puedas formar. ________ , ________ , ________ , ________ , ________ ,________ , _________ , ________ Utilizando las cifras 1, 3, 0, 9, y cambiando su orden, escribe todos los números que puedas formar que sean menores que 9 031. _________ , _________ , _________ , _________ , __________ , _________ , __________ _________ , _________ , _________ , _________ , __________ , _________ , __________ , . . .
SISTEMAS DE NUMERACIÓN Para recordar tus conocimientos de matemáticas que aprendiste en la escuela primaria. ¿Cuáles sistemas de numeración aprendiste? Comenta con tus nuevos compañeros y, en equipo, escriban lo aprendido en primaria. ______________________, ______________________, ______________________ ______________________, ______________________, ______________________ ______________________, ______________________, ______________________
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Significado y uso de los números
Las numeraciones que escribiste, son la herramienta que esos pueblos usaban para contar las cantidades de objetos que les pertenecían o con lo que ellos tenían un contacto diario y necesitaban llevar un control, como ahora también nosotros lo hacemos.
__________ = __________, __________ = _________, _________ = _________ __________ = __________, __________ = _________, _________ = _________ __________ = __________, __________ = _________, _________ = _________ __________ = __________, __________ = _________, _________ = _________
Investiga en las fuentes que creas convenientes para localizar la siguiente información. Cuáles fueron los símbolos o numerales utilizados por los: BABILONIOS
EGIPCIOS
MAYAS
ROMANOS
BINARIO
DECIMAL
Ahora que ya recordaste lo aprendido, veamos si lo hiciste bien. Escribe el número 137 de nuestro sistema decimal, como lo escribirían los Romanos
Egipcios
Babilonios
Griegos
Mayas
Base dos
¿Tienes algún otro sistema de numeración? ¡escríbelo!
7
________
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Escribe alguno o algunos de los símbolos de los sistemas antiguos de numeración escritos y su equivalente en el sistema de numeración decimal que nosotros usamos.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
BLOQUE 1
¿Qué fue lo que hiciste diferente, en cada uno de los sistemas numéricos, al escribir el número? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________
¿Los símbolos que usaste en cada sistema numérico, tienen el mismo valor en cualquier lugar que se encuentren? ¿Sí o No? ¿Por qué? Romanos
_____
_________________________________________________________
Egipcios
_____
_________________________________________________________
Babilonios
_____
_________________________________________________________
Griegos
_____
_________________________________________________________
Mayas
_____
_________________________________________________________
Otro sistema
_____
_________________________________________________________
¿En cuál de los sistemas investigados, consideras es más difícil o más fácil, escribir un número? Más difícil
_______________
¿Por qué? _____________________________________
Más fácil
_______________
¿Por qué? _____________________________________
Cada uno de los sistemas numéricos investigados, tienen un grupo de símbolos que sirven para formar sus números. ¿Cuáles símbolos encontraste para cada uno de los sistemas? Romanos _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
Egipcios _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
Babilonios_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
Griegos
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
Mayas
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
DECIMAL _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 8
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Significado y uso de los números
NUMERACIÓN BABILÓNICA
También se acredita como el primer sistema de numeración posicional, es decir, en el cual el valor de un dígito particular depende tanto de su valor como de su posición en el número que se quiere representar. Esto era un avance extremadamente importante, porque antes de lugar-valor obligaron a los técnicos de sistema a utilizar símbolos únicos para representar cada energía de una base (diez, cien, mil, y así sucesivamente), llegando a ser incluso los cálculos más básicos poco manejables. Aunque su sistema tenía claramente un sistema decimal interno prefirieron utilizaron 60 como la segunda unidad más pequeña en vez de 100 como lo hacemos hoy, más apropiadamente se considera un sistema mixto de las bases 10 y 6. Solamente dos símbolos usados en una variedad de combinaciones eran utilizados para denotar los 59 números. Un espacio fue dejado para indicar un cero (siglo III a.C.), aunque idearon más adelante una muestra de representar un lugar vacío ( ). Posiciones: Valor:
9 60 8
8 60 7
7 60 6
6 60 5
5 60 4
4 60 3
3 60 2
2 601
1 60 0
Al investigar los símbolos que usaban para sus números, te diste cuenta que hasta el número 59, no existe problema para entender su acomodo; pero, ¿cómo escribirían las siguientes fechas, haciendo uso de sus símbolos? ¿Qué se festeja en nuestro País? 31/12/06 ______ /______ /______ ______________________________________________ 05/02/07 ______ /______ /______ ______________________________________________ 24/02/07 ______ /______ /______ ______________________________________________ 21/03/07 ______ /______ /______ ______________________________________________ 05/05/07 ______ /______ /______ ______________________________________________ 10/05/07 ______ /______ /______ ______________________________________________ 15/05/07 ______ /______ /______ ______________________________________________ 23/05/07 ______ /______ /______ ______________________________________________ Observa los siguientes ejemplos: 1=
10 =
53 =
= 50 + 3
1394 = (20 + 3 ) x 60 + ( 10 + 4 ) = 1380 + 14 = Escribe el número decimal que representa cada uno de los números babilónicos: = __________;
= __________; 9
= ________
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Es uno de los sistemas de numeración más antiguos y difícil de trabajar con él.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
Analiza los símbolos babilónicos concentrados en la siguiente tabla y decide cuáles son los principales. 11
21
31
41
51
2
12
22
32
42
52
3
13
23
33
43
53
4
14
24
34
44
54
5
15
25
35
45
55
6
16
26
36
46
56
7
17
27
37
47
57
8
18
28
38
48
58
9
19
29
39
49
59
10
20
30
40
50
BLOQUE 1
1
Símbolos principales ________ ________ ________ ________
NUMERACIÓN EGIPCIA El pueblo egipcio, como muchos otros, utilizó distintos símbolos para representar las cantidades que utilizaban en sus cuentas. Por ejemplo, los egipcios escribían el número 2 311 de la siguiente manera: = 2 311 = 2000 + 300 + 10 + 1 Si analizas los símbolos que se utilizan para escribir el número anterior, puedes contestar lo siguiente: ¿Cuánto vale cada uno de los símbolos siguientes? = __________
= _______
= ______
= ______
Fíjate que lo único que hacían los egipcios era SUMAR el valor de cada uno de los símbolos. A esto se le conoce con el nombre de PRINCIPIO ADITIVO. Escribe los números que se te dan a continuación, haciendo uso de los símbolos de la NUMERACIÓN EGIPCIA. 14 =
___________________________
54 = _____________________________
372 =
___________________________
150 = _____________________________
2 002 =
___________________________ 200238 = _____________________________
10
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Significado y uso de los números
Relaciona la columna de la izquierda con la de la derecha. (___)
3 042
b)
(___)
24
c)
(___)
305
d)
(___)
46
e)
(___)
435
f) g)
(___) (___)
3 523 100 231
(Flor de loto) (Cuerda ) (Hueso de talón ) (Raya)
El siguiente es un cuadrado mágico con números egipcios, completa los cuadros con los números que faltan. Recuerda que la suma de las columnas, la suma de las filas y de las diagonales, siempre da el mismo resultado. Investigando en documentos personales, vas a encontrar fechas que distinguen cada uno de los siguientes documentos; además, encuentras el día, mes y año, indicados con sólo dos cifras. Escribe ese dato, usando símbolos de dos diferentes sistemas de numeración antiguos: DATO SISTEMA 1
SISTEMA 2
Fecha de nacimiento: _________________
_________________
_________________
Fecha en que presentaste examen para entrar a la secundaria:
_________________
_________________
_________________
Fecha de inscripción:
_________________
_________________
_________________
Inicio del ciclo escolar: _________________
_________________
_________________
¿Cómo se escriben los siguientes hechos históricos con los diferentes signos o numerales que utilizaron los Egipcios? En 1492, Cristóbal Colón pisa América . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ___________________ En 1810, Inicio de la Independencia de México . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ___________________ En 1910, Inicio de la Revolución Mexicana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ___________________ En 1936, Nacionalización del Petróleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ___________________ En 1960, Nacionalización de la Industria eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . ___________________ 11
BLOQUE 1
a)
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Significado y uso de los números
BLOQUE 1
NUMERACIÓN MAYA Los símbolos que utilizaban los mayas en su numeración tenían los valores que están al lado derecho.
Ejemplos:
3
1
6
5
18
0
10
Los mayas acomodaban los números en forma vertical, y le daban un valor a cada cifra según el lugar donde se encontraba. (Valor posicional ) EJEMPLO: 5 x 20 x 20 = 2 000 7 x 20 =
140
3x1 =
3 2 143
Tercera posición
Se multiplica por 20 por 20
Segunda posición
Se multiplica por 20
Primera posición
Se multiplica por 1
Escribe con números del sistema decimal, como en el ejemplo, el número que está escrito con símbolos mayas. 18 x 20 x 20 = 7 200 5 x 20 =
100
0x1=
0 7 300
Escribe con números mayas
Tengo
años de edad
Tu papá tiene
El número de butacas del salón son:
butacas
12
años de edad
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Significado y uso de los números
NUMERACIÓN ROMANA
Número romano
¿Cómo escribes el año 1666 en números romanos?
1666 = ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
¿Qué observas en el número romano escrito? _______________________________________ Así pues, los símbolos del Sistema de Numeración Romana, están representados por letras mayúsculas del abecedario. Como ya lo investigaste al inicio del presente curso, cada uno de los símbolos tienen el siguiente valor: SECUNDARIOS PRINCIPALES I = 1 V = 5 Estos cuatro símbolos solamente se pueden repetir hasta 3 veces
X = 10 C = 100 M = 1 000
L = 50 D = 500
Estos tres símbolos NO se pueden repetir
Los romanos iban formando los números así: I=1
II = 2
III = 3
IV = 4
V=5
VI = 6
VII = 7
VIII = 8
IX = 9
X = 10
Observando bien, ¿cómo le hacían para formar los números? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ LXIII = 50 + 10 + 1 + 1 + 1 = 63 XLVI = (50 - 10) + 5 + 1 = 40 + 6 = 46
Se suman los valores de cada símbolo Sólo se restan los símbolos principales
¿Cómo se escriben entonces los siguientes números? 11 = ______
12 = ______
13 = ______
14 = ______
15 = ______
16 = ______
17 = ______
18 = ______
19 = ______
20 = ______
¿Cómo se escribe el número 30? ________ ¿Por qué no es correcto escribir el 40 así: XXXX ? __________________________________ Lo correcto es así: XL, o sea 50 - 10 = 40 ¿Es correcto escribir el número 8 = IIX ? _____ ¿Por qué? ___________________________ Usando símbolos romanos, escribe: el año en que naciste
_____________ año de nacimiento de Mamá _____________
año de nacimiento de Papá
_____________ año de nacimiento de Abuela _____________ 13
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En 1665, Inglaterra y algunos otros Países de Europa, sufrieron una epidemia de PESTE que ocasionó varios miles de muertes. En ese tiempo, Isaac Newton estudiaba en la Universidad de Cambrige, la cual tuvo que ser cerrada por la enfermedad existente, permitiendo a Newton profundizar sus investigaciones matemáticas a partir de 1666 hasta en tanto se reanudaran los estudios.
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Significado y uso de los números
BLOQUE 1
Suma el valor de los símbolos que forman cada número y escribe sobre la línea, como en el ejemplo el número que está representado: XVIII =
10 + 5 + 3
=
18
1)
XXVII = _______________ = _____
3)
LXV = _______________ = _____
2)
XXIII = _______________ = _____
4) LXXXII = _______________ = _____
5) CCLXI = _______________ = _____
6)
XIII = _______________ = _____
7)
CLXI = _______________ = _____
8)
LXXI = _______________ = _____
9)
LXIV = _______________ = _____
10)
CXI
= _______________ = _____
Como puedes ver, estos diez números escritos en el ejercicio son algo sencillos; ¿Cuál es el número mayor que puedes escribir sumando los valores de los símbolos romanos? ______________________________________ Resta el símbolo menor que está a la izquierda del símbolo mayor, para escribir sobre la línea el número decimal que está representado en cada caso: 1) IX
= __________ = _____
2) XL
= __________ = _____
3) XC = __________ = _____
4) CD
= __________ = _____
5) CM = __________ = _____
6) ¿XM? = __________ = _____
Escribe sobre la línea el número romano que está escrito: 1) XXXVII = _________
6)
CDLXIV = ____________
2)
7)
MCM = ____________
XXII = _________
3) DCXVI = _________
8) MCDXCII = ____________
4) MMDXX = _________
9)
XCIV = ____________
10)
VCCLX = ____________
5)
LXXIV = _________
NOTA: Cuando a un símbolo romano se le escribe una línea en la parte superior, significa que el valor del símbolo se multiplica por 1000. V = 5 x 1 000 = 5 000 En cada uno de los siguientes enunciados, se encuentran algunos datos que están escritos con números romanos, escribe cada número a la derecha en la numeración decimal que nosotros usamos. 1.- En el siglo XVI los Persas recobraron su independencia ....................................... _________ 2.- Hacia el siglo XIII antes de Cristo, los Hebreos conquistaron Canaán ................... _________ 3.- Se cumple el DVI aniversario del Descubrimiento de América ............................... _________ 4.- Conmemoramos el LXXXVIII aniversario de la Revolución Mexicana ................... _________ 5.- Se cumple el CXXXVI aniversario del nacimiento de Don Benito Juárez ............... _________
14
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SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
Fue así como el sistema BINARIO de numeración o de BASE 2 es BINARIO, porque únicamente utiliza dos símbolos para representar cualquier cantidad. Los símbolos utilizados son:
0 y 1
Por ello es BINARIO.
Los valores que van adquiriendo las cifras, es según el lugar que ocupan de derecha a izquierda, de acuerdo a las potencias sucesivas del NÚMERO 2. 24 16
23 8
22 4
21 2
20 1
Donde coloquemos el 0, significa que no existe valor alguno en esa posición y, donde coloquemos el 1, quiere decir que es una vez el valor de la posición donde se encuentra. Observa en la siguiente tabla, como se van representando los números en la base dos, para que continúes escribiendo los números que faltan cuando la posición es "0" y cuando es "1"
16
8
4
1
2
El número 2 escrito a la derecha y un poco hacia abajo del número, significa que el número está escrito en BASE 2
1 1
12 =
1
0
102 =
1
1
0
0
1 x 1
=
1
(1x2) + (0x1)= 2+ 0
=
2
112 =
2 + 1
=
3
1002 =
4 + 0 + 0
=
4
= _________________________ =
5
= _________________________ =
6
= _________________________ =
7
= _________________________ =
8
= _________________________ =
9
= _________________________ = 10 = _________________________ = 11 = _________________________ = 12 = _________________________ = 13 = _________________________ = 14
15
BLOQUE 1
La herramienta computada que actualmente conocemos, tuvo sus inicios en "encendido", considerado como "1", y "apagado", considerado como "0"; consideraron sólo estos dos símbolos por ser los de más fácil manejo para cualquier operación computada.
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Significado y uso de los números
BLOQUE 1
Escribe con número decimal, cada uno de los números binarios que están representados en la siguiente tabla: 32
16
8
4
2
1
1
0
0
0
0
100002 =
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1 x 16
=
16
101102 = ( 1 x 16 ) + ( 0 x 4 ) + ( 1 x 2 )
=
22
1
100112 =
16 + 2 + 1
=
19
0
0
110002 =
4 + 0 + 0
=
4
1
1
1
_______ = _________________________ = _____
0
0
1
0
_______ = _________________________ = _____
1
0
0
0
1
_______ = _________________________ = _____
1
0
1
1
1
_______ = _________________________ = _____
1
1
0
0
1
_______ = _________________________ = _____
1
0
1
0
1
_______ = _________________________ = _____
1
0
1
0
1
0
_______ = _________________________ = _____
1
1
0
0
1
1
_______ = _________________________ = _____
1
1
0
0
0
0
_______ = _________________________ = _____
1
1
0
1
1
1
_______ = _________________________ = _____
Auxíliate de la tabla para que escribas en base dos lo que se te indica: 32 16 8 4 2 1 NÚMERO EN BASE 2 1.- Edad tuya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
______________
2.- Número de personas de tu familia . .
______________
3.- Número de hombres de tu grupo . . .
______________
4.- Número de mujeres de tu grupo . . .
______________
5.- Total de alumnos del grupo . . . . . . .
______________
Para convertir fácilmente un número de base 10 al sistema de base 2, se divide sucesivamente el número dado entre 2, hasta que el cociente de la división sea igual a 1 y, el resíduo de esa misma división, sea igual a 0 ó a 1. Para formar el número del sistema binario se anota primero el cociente de la última división, luego el resíduo de la última división, enseguida el resíduo de la penúltima división, y luego resíduo tras resíduo, hasta llegar a escribir el resíduo de la primera división que se hizo. EJEMPLO: 3610 = 1001002 = 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0
2
18 36 0
2
9 18 0
2
16
4 9 1
2
2 4 0
2
1 2 0
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
1.2 Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
NOCIÓN, USO Y SIGNIFICADO EN DIVERSOS CONTEXTOS Al dividir una cantidad considerada como entero o unidad en DOS, TRES, CUATRO, CINCO, etc..., partes iguales, a cada una de esas partes se les llama MEDIO, TERCIO, CUARTO, QUINTO, respectivamente. 1 , 1 , 1 , 1 , etc ... 2 3 4 5
Unidad
Medios
Tercios
Cuartos
Sextos
Unidad
Quintos
1
1 2
1 3
1 4
1 6
1
4 5
Unidad
Doceavos
Cuartos
Octavos
1
3 12
3 4
5 8
Quintos Décimos Décimos
3 5
4 10
2 10
A estas cantidades se les llama FRACCIONES COMUNES (área de color)
A los términos de una fracción se les llama NUMERADOR y DENOMINADOR. 3 Numerador.- Indica partes tomadas del entero. 4 Denominador.- Indica partes en que se dividió el entero. En la recta siguiente ubica las fracciones
1 1 5 3 , , , 3 4 8 12
En la recta siguiente ubica las fracciones
1 3 2 7 , , , 6 4 3 9
1 Habrás observado que para ubicar puntos en la recta numérica, es indispensable conocer la ubicación del origen o cero y/o una longitud cualquiera. 17
BLOQUE 1
NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
Muchas veces has escuchado o leído lo siguiente:
Eduardo Nájera Pérez mide de altura 2.04 m
¿Conocen los números decimales?
El precio de un refresco de 2 litros son $ 11.20 Un kilo de tortillas de maíz cuesta $ 9.00
Los jugadores de un equipo de Basquetbol tienen una altura: 1.92 m
1.96 m
1.86 m
1.98 m 1.90 m
¿Cuál jugador tiene mayor altura? .............. __________ ¿Cuál es la menor altura de los jugadores? __________ Los números anteriormente conocidos se llaman NÚMEROS DECIMALES. Un número decimal se compone de:
4 . 642 Parte Decimal
Parte Entera Punto Decimal
La PARTE DECIMAL es cuando se divide la unidad principal en 10, 100, 1 000, etc. partes iguales. Cada cifra tiene un VALOR RELATIVO de acuerdo al lugar que ocupa en el número y se les llama Décimos, Centésimos, Milésimos, etc. respectivamente. Además, se debe tomar en cuenta la base del sistema de numeración utilizado.
D ec en as U ni da pu des nt o Dé de cim cim al C os en té si m M os ilé si m os D ie zm ilé si m os C ie nm ilé si m os M illo né si m os
CUADRO DE VALORES POSICIONALES N om un bre id d ad e es las
BLOQUE 1
La calificación de tu hermana en el año fue de 8.6
10
1
.
0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 0.000 001
18
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
Como ejemplo analicemos el siguiente número decimal:
¿Cuál es el valor del dígito 6 en 91.864
91.864
BLOQUE 1
297.834 6 seis diezmilésimos
Da el valor del dígito 7.
cuatro milésimos
0.7
tres centésimos ocho décimos
8 .2 7
siete unidades nueve decenas
9.047
dos centenas
UNIDAD o ENTERO
1 10
10 100
ó 0.1
En la recta siguiente ubica los decimales
0.2,
0.75,
0 .9,
En la recta siguiente ubica los decimales
0.25,
0.87,
0.6,
ó 0.1
0.35
0.46
Las fracciones comunes se clasifican en: 2) FRACCIÓN COMÚN IMPROPIA. Tiene el valor de un entero o más.
1) FRACCIÓN COMÚN PROPIA. Tiene valor menor que la unidad. EJEMPLOS: 1 , 3 , 4 5
EJEMPLOS: 5 , 25 , 3 10
25 , 72 100 90
El numerador es menor que el denominador
El numerador es mayor que el denominador.
3) FRACCIONES MIXTAS. Son fracciones impropias expresadas por un entero y una fracción. EJEMPLOS:
38 , 4 6 4
Las fracciones comunes las usamos cuando nos referimos sólo a una parte de algo que se considera como entero.
1 23 , 2 105 , 6 62 , 5 73 19
BLOQUE 1
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
EJEMPLOS: A) Si se reparte una caja de huevos en partes iguales entre cuatro personas, cada una ¿cuánto recibe de la caja?
= 1 4
B) Si divides un metro en cien partes iguales, cada parte representa 1 del metro. 100 D) Veinte centavos son 1 de un peso. 5 F) ¿Qué parte del equipo es un jugador de beisbol?
C) 1 de hora son 20 minutos. 3 E) De un equipo de f utbol el portero representa 1 11 G) ¿Qué parte de tu grupo de clases representan las mujeres?
En cada una de las rectas siguientes, ubica las fracciones que se indiquen en cada caso. a)
3 11 5 , , 5 4 8
b)
1 2 5 , 0.75 , 2 , 1 6 3 9
c)
5 7 15 , , 1.1 , 3 4 12
d) 3.5 ,
13
4
,
1
2 4 , 6 9
1
1) Indica con número fraccionario la parte de color en cada figura.
2) Ilumina la fracción que se indica en cada figura.
6 8
1
1 4
3 5 20
2 8
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
Para entender, consideremos la existencia de "siete mitades de naranja" y analicemos de dónde surgieron. ¿Cuántas mitades salieron de una naranja? ...................... ______ ¿Cuántas mitades estamos tomando en cuenta? .............. ______ Con las mitades, ¿cuántas naranjas completas se forman? ______ y ¿cuántas mitades sobran? ............................................... ______ 3 7 2 7 1 6 1 7 = =3+ = + = −6 2 2 2 2 2 1
Dividamos:
3
1 1 (3 )(2 ) + 1 6 + 1 7 =3+ = = = 2 2 2 2 2
Transforma cada una de las fracciones impropias en fracciones mixtas y ubícalas en la recta numérica. 9 = 4 14 = 6 7 = 3 25 = 15 19 = 7
1
0 1
¿Entendiste correctamente lo anterior? Si así fue, ¿cómo explicarías este proceso que vamos a abordar? _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _____________________________________
21
BLOQUE 1
TRANSFORMACIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A FRACCIÓN MIXTA
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
BLOQUE 1
TRANSFORMACIÓN DE UNA FRACCIÓN MIXTA A FRACCIÓN IMPROPIA Como denominador se le escribe el mismo que tiene la fracción mixta. EJEMPLO: 3 2 = (3x5) + 2 = 15 + 2 = 17 5 5 5 5 TAMBIÉN, puede transformarse considerando la parte entera de la fracción mixta como una fracción impropia. 3+
Veámoslo:
2 15 2 15 + 2 17 = = + = 5 5 5 5 5
Convierte de fracción mixta a fracción impropia y ubícalas en las siguientes rectas numéricas. 7 13 = 15 1 1 2 = 2 5 1 = 6 0 Siendo el peso la moneda con que se maneja el País Mexicano, ¿cómo pueden representarse, por medio de fracciones impropias o mixtas, $ 26.50 pesos Monedas
Pesos y monedas
si se tienen solamente monedas de cincuenta centavos? si es únicamente con monedas de veinte centavos? si es sólo con monedas de cinco pesos?
PASO DE FRACCIÓN COMÚN A NÚMERO DECIMAL. APROXIMACIONES Tú debes saber que cualquier fracción común se puede convertir en un número decimal. Para efectuar esta conversión lo que hacemos es realizar la división que siempre está indicada en cualquier fracción, para ello: EJEMPLO: Cuando el numerador es menor que el denominador. SE DIVIDE EL NUMERADOR DE LA FRACCIÓN 1 ENTRE EL DENOMINADOR DE LA MISMA = 0.25 ¿Cómo se hizo? 4 sólo se realizó una división normal
Número decimal
0.25 4 1.00 −8 20 − 20 0
Se pone punto decimal en el dividendo y se van agregando ceros hasta terminar la división, según lo requerido.
22
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
EJEMPLO: Cuando el numerador es mayor que el denominador.
)
)
DECIMAL PERIÓDICO.- Es la repetición de una o más cifras cada determinado número de cifras, en el cociente de una división.
En esta división por más ceros que se agreguen, el cociente no tiene fin, por lo cual el resultado es 3.3 que se lee: TRES ENTEROS TRES DÉCIMOS "PERIÓDICO" ( )
Convierte a decimales las siguientes fracciones y ubícalas en la siguiente recta numérica. 3 9 5 35 5 7 4 10
1
1.5
FRACCIONES EQUIVALENTES Son fracciones equivalentes porque tienen el mismo valor, aunque se escriban de diferente manera. Las siguientes figuras nos representan fracciones equivalentes.
1 2
=
1 1× 2 2 = = 2 2×2 4
2 4
=
Se puede multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número (diferente de cero) y lo que nos resulta es una fracción equivalente. El resultado no se altera.
4 8
4 4÷4 1 = = 8 8÷4 2
Se multiplicó tanto numerador como denominador por 2.
Se dividió tanto el numerador como el denominador entre 4.
Completa lo que falta 2 = 3 9 4 20 = 12 3 = 7 28
5 = 6 18 3 27 = 9
16 = 50 7 96 = 8
2 = 3 15 13 104 = 42
5 = 12 144
16 = 8 3
a 2 5a 2 = b
Ubica en la recta numérica las siguientes cantidades: 1 4 3 , 0.6 , 0.80 , , 0.5 , 2 5 5
1 23
BLOQUE 1
) 10 = 3 .3 3 3
) 3.33 3 10.00 −9 10 −9 10
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
BLOQUE 1
Una vez colocados las cantidades anteriores, ¿qué puedes comentar? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ PROBLEMA. Cuando se hacen depósitos bancarios, es muy común que se cuenten varias monedas. ¿Cómo escribirías en fracción propia o impropia, las siguientes cantidades? 35 monedas de 20 centavos
__________
55 monedas de 10 centavos
_________
14 monedas de cinco centavos
_________
Divide entre 2, 3, 5, 7, y 11 para escribir fracciones equivalentes. 36 = 70
27 = 102
55 = 100
70 = 84
66 = 88
En dos fracciones equivalentes podemos observar lo siguiente: Numerador por denominador = Denominador por numerador
3 × 10 = 5 × 6 30 = 30 3 6 = 5 10
Solamente en dos fracciones equivalentes los PRODUCTOS CRUZADOS son iguales. 2 9
=
EJEMPLOS: PRODUCTO CRUZADO. 3 9 = 4 a 3×4 9×4 = 4 a 9 × 4(a ) 3(a ) = a 3a = 9 × 4 3a 9 × 4 = 3 3 36 a= 3 a = 12
14 63
2 x 63 = 126 9 x 14 = 126
PARA ENCONTRAR UN TÉRMINO DE DOS FRACCIONES EQUIVALENTES LO PODEMOS HACER CON "PRODUCTOS CRUZADOS"
Fracciones equivalentes.
Multiplicando por 4 ámbos lados para quitar el 4 que divide.
Multiplicando por "a" ámbos lados para quitar la "a" que divide.
Dividiendo entre 3 ámbos lados para quitar el 3 que multiplica
TÉRMINO FALTANTE
24
7 28 = b 32 7 × 32 = 28 × b 7 × 32 28 × b = 28 28
3 m = 9 45 3 × 45 = 9 × m 3 × 45 9 × m = 9 9
8=b
15 = b
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
Encuentra el término desconocido de las siguientes fracciones equivalentes. Házlo como en los ejemplos anteriores. 6 12 = 3 n
5 100 = a 2 200
8 d = 8 4
e 15 = 3 9
22 x = 2 3 4
9 ñ = 27 6
25 3 = y 6
f 12 = 12 16
6 2 124 = m 62
FRACCIONES REDUCIBLES E IRREDUCTIBLES Una fracción se puede simplificar cuando tanto el numerador como el denominador se pueden dividir con un mismo número. EJEMPLOS: 42 =? 48 42 42 ÷ 2 21 = = 48 48 ÷ 2 24 21 21 ÷ 3 7 = = 24 24 ÷ 3 8
54 =? 36 54 54 ÷ 18 3 = = 36 36 ÷ 18 2 1 = 2
Para simplificar de forma más práctica, se va dividiendo entre 2 (mitad), entre 3 (tercera), entre 4 (cuarta) , entre 5 (quinta), etc..., tanto al numerador como al denominador hasta en tanto se logre tener números que no permiten una operación igual
1
Fracción simplificada
Fracción simplificada
Otros Ejemplos: 60 = mitad 90 8 8 = 99 99
30 = tercera 45
10 = qu int a 15
2 3
∴
60 2 = 90 3
Es IRREDUCTIBLE al no aceptar una misma división tanto el numerador como el denominador.
400 200 100 50 25 5 1 = = = = = = 1200 600 300 150 75 15 3
25
BLOQUE 1
3 c = 4 4
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
8 = 24 50 = 90 50 = 75 40 = 12
66 = 30 6 = 30 68 = 24 200 = 40
1
0 1
2
0
1
CONVERSIÓN DE FRACCIONES A UN MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR Dos o más fracciones con denominador diferente, se pueden convertir a un mismo denominador, sin alterar su valor. "2" "4" EJEMPLO: 3 , 3 , 1 4 El divisor común a los 8 4 2 1 tres denominadores es el Divisores de "8" : {1, 2, 4, 8} 2
1 y 2, existen tres veces.
Divisores de "4" : {1, 2, 4} Divisores de "2" : {1, 2}
4 8
"8" 1) De los denominadores 8, 4 y 2 encontramos el MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR usando el procedimiento del MÍNIMO COMÚN MULTIPLO. 8 4 2 1
4 2 1
2 1
2 2 2
2x2x2 = 8
m.c.m.
2) Dividamos el m . c . m . entre cada uno de los denominadores de cada una de las fracciones y el resultado multipliquémoslo por cada uno de los numeradores. 8 entre 8 igual a 1, que multiplicado por 3, es igual a 3 8 entre 4 igual a 2, que multiplicado por 3, es igual a 6 8 entre 2 igual a 4, que multiplicado por 1, es igual a 4 Con los numeradores 3, 3 y 3, las fracciones se transformaron en:
3
3 , 3 , 8 4
8
BLOQUE 1
Simplifica las fracciones dadas y ubícalas en la recta numérica.
1 ; 2
6
3 , 8
6 8
4
8 ,
,
=
4 8
,
8
;
3 ,
6 , 4 ; 13 8 8
Mínimo común denominador ,
,
=
,
,
Mínimo común denominador
26
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
Encuentre el MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR y convierta cada uno de los grupos de fracciones a fracciones equivalentes y represéntalos en la recta numérica.
1 2
2 3 3 5
5 3,4,5 = 6 6
5 8
4 = 6
1 2
2 3
8 = 9
9 16
4 = 5
2 3
3 = 4
6 8 7 11 4 5
3 7
5 6
1
0
6 = 10
3 24
2 3
BLOQUE 1
1 2
1 2
0 1
0 1
3 = 10
COMPARACIÓN DE FRACCIONES a) POR CONVERSIÓN A UN COMÚN DENOMINADOR. Para comparar dos fracciones se convierten ámbas para que tengan un mismo denominador. EJEMPLO:
Comparar
3 3 × 5 15 = = 4 4 × 5 20
2 2× 4 8 = = 5 5 × 4 20
2 3 y 5 4
Enseguida se comparan los numeradores y se concluye que: Porque de los numeradores, el
8 15 〈 20 20
8 < 15
Compara cada par de fracciones convirtiéndolas a un común denominador, como en el ejemplo, y ubícalas en cada recta numérica. 3 7 < 9 18 2 4 3 5 15 8 30 15 2 1 3 2 7 9 8 10 13 9 32 16
6 18
<
6 18
7 18
7 18
0
1
1
0
27
BLOQUE 1
Sentido numérico y pensamiento algebraico
1 5 7 9 4 9
Significado y uso de los números
1 6 6 7 7 72
1
PROBLEMA. Dos trabajadores desempeñando el mismo puesto, obtienen en su pago por concepto de tiempo extra; el primero dos quintos más del sueldo asignado y cinco décimos más, el segundo. ¿Cuál de los dos trabajó más tiempo extra?
b) COMPARACIÓN DE FRACCIONES POR DIVISIÓN. Dos fracciones se pueden comparar convirtiendo ámbas a número decimal. Para ello dividimos el numerador entre el denominador. EJEMPLO: 0. 875 0.857142 7 8 7. 000 6 7 6.000 000 7 6 8 60 7 40 8 7 40 50 0 10 30 20 Porque 0 . 8 7 5 > 0 . 8 5 7 1 4 2 6
>
Compara las siguientes fracciones utilizando <, > ó =. a) 7 8
9 10
4 6
Ordena las siguientes fracciones, utiliza la recta numérica
2 3
1 6
6 7
4 , 5 , 1, 3 , 4, 2 , 4 5 6 3 4 7 5 8
Ordena los siguientes decimales, utiliza la recta numérica 0.43, 0.85, 1.32, 0.57, 0.93
Ordena las siguientes cantidades, utiliza la recta numérica 0.65, 5 , 3 , 0.12 , 0.82, 4 6 8 5
En la recta siguiente ubica las fracciones 3 y 4 . Enseguida, encuentra otra fracción que esté 5 5 entre las dos fracciones localizadas.
28
Sentido num茅rico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los n煤meros
En la recta siguiente ubica las fracciones 0.7, 0.8 y enseguida, encuentra otra que se encuentre entre las dos.
En la recta siguiente ubica las fracciones 1 , 2 y enseguida, encuentra otra que se encuentre 3 3 entre las dos.
En la recta siguiente ubica las fracciones 3.5, 3.6 y enseguida, encuentra otra que se encuentre entre las dos.
1 En las siguientes rectas, ubica las fracciones que se indican y encuentra otra fracci贸n, entre las dos indicadas. 3 4 , 5 5
0.7 , 0.8 1
5
1 2 , 3 3
3.5 , 3.6 1 Observa que siempre es posible encontrar una o varias fracciones o distintos decimales que se encuentre entre dos cantidades dadas. A esta relaci贸n se le llama:
PROPIEDAD DE DENSIDAD 29
BLOQUE 1
1
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las literales
BLOQUE 1
PATRONES Y FÓRMULAS 1.3 Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definan las reglas de sucesiones numéricas y figurativas.
Durante tu vida, te ha tocado ver jugar AJEDREZ o tu mismo lo juegas. Busca en tu casa o escuela un tablero de ajedrez y responde las siguientes preguntas: ¿Cuántas casillas tiene el tablero del juego? _____________ ¿Cuántas son blancas? _______ ¿Cuántas negras? _______ Si a partir de una esquina cualquiera del tablero, observas las casillas del mismo color, tienes que empezar con una casilla, luego con tres, ..., dibuja las que siguen, hasta completar todo el tablero y escribe el número de ellas en cada caso.
a) Casillas negras:
b) Casillas blancas:
30
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las literales
¿Cuál fue la secuencia que tuvo el número de casillas, tanto negras como blancas, en el tablero de ajedrez?
1
2
3
4
5
6
7
8
Si observas la variación entre uno y otro conteo, explica lo que está sucediendo hasta la mitad del tablero: ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Si consideras el inicio del conteo en una esquina de un piso con losetas asentadas a semejanza del tablero de ajedrez y no conoces donde se encuentra la esquina opuesta, indica cuál sería la sucesión del conteo: _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______ Conteo:
1
2
3
4
5
6
7
8
_______, _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______ Conteo:
9
10
11
12
13
14
15
16
Los pisos de varias habitaciones o patios amplios, tienen losetas de dos colores asentadas como las casillas del tablero de ajedrez. Si consideras un patio suficientemente grande, cuando desees saber el número de losetas de alguna de las líneas diagonales, ¿qué proceso o fórmula seguirías? _______________ ó _______________ Haciendo uso del proceso o fórmula que decidió tu equipo de trabajo y todo el grupo, contesta cuántas losetas tendrá la diagonal del: conteo 18 _________, conteo 21 _________, conteo 28 _________, conteo 33 _________, conteo 41 _________, conteo 52 _________, conteo 63 _________, conteo 97 _________ compara tus resultados de equipo, con los otros equipos del grupo. Si en la misma esquina por donde empezaste el conteo de las casillas negras, cuentas las casillas blancas, ¿qué comportamiento tienen, si no consideras la esquina opuesta? Casillas blancas, desde la esquina que inicia con casilla negra: _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______ Conteo:
1
2
3
4
5
6
7
8
_______, _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______ Conteo:
9
10
11
12
13
31
14
15
16
BLOQUE 1
_______, _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______ Conteo:
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las literales
Los antiguos griegos tenían un nombre especial para algunos números.
BLOQUE 1
Por ejemplo: Llamaban números triangulares a aquellos que, representados por puntos, formaban un triángulo. Siempre iniciaban con "1". Dibuja la secuencia de los primeros siete números triangulares e investiga cuáles son.
__1___
__3__
_____
__10__
_____
_____
_____
¿Existe algún proceso o fórmula para encontrar cualquier número triangular? _____ ¿Cuál es? _________________ También conocían los números cuadrados y los pentagonales. Haciendo uso de puntos o figuras que a tí te gusten, acuerda con tu equipo o grupo, los primeros 5 números que en cada caso encuentren. Recuerda que siempre iniciaban en "1". Ejemplos: Número cuadrado: 4 =
Número pentagonal: 5 =
Números cuadrados:
Dibuja los cinco números cuadrados en una sola figura:
Números pentagonales:
Cinco pentagonales en una sola figura:
32
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las literales
Cualquier artículo que usas en tu desempeño personal y, todos aquellos que usan las diferentes personas que te rodean, han seguido un método semejante para poder ser utilizados:
BLOQUE 1
1.- Provienen de una materia prima, 2.- Reciben un tratamiento y 3.- Salen al mercado para poder ser vendidos. A la anterior secuencia se le conoce como "Proceso de producción" INPUT - PROCCESS - OUTPUT En un proceso de producción, ¿Cuál será la secuencia de las siguientes fotografías? Debajo de cada una, escribe el número 1, para el primer paso del proceso; el 2, para el siguiente y, así sucesivamente.
a) 0
Considerando lo que hasta aquí has aprendido, completa los espacios en cada una de las sucesiones gráficas o numéricas. Utiliza las operaciones fundamentales aprendidas en la escuela primaria. fórmula 1 1 2 3 5 ____ ____ ____ ____ ________
b) 1
3
____
12
15
____
____
____
27
____
________
c) 2
7
12
____
22
____
____
37
42
____
________
d) 1
2
4
____
____
32
64
____
____
____
________
e) 1
4
10
22
____
94
____
____
____
____
________
f)
6
3
0
-3
____
____
____
____
____
________
9
h) 1
i)
1
j)
1
33
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las literales
BLOQUE 1
En cada una de las gráficas, analiza la secuencia de las figuras superiores y decide en cuál de los incisos inferiores está la secuenciación lógica. Dibuja la figura que da secuencia .
1
A)
B)
C)
D)
2
A)
B)
C)
D)
3
A)
B)
C)
D)
4
A)
B)
C)
5
A)
B)
C)
D)
D)
34
E)
E)
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las literales
PATRONES Y FÓRMULAS PERÍMETRO Si se tiene que cercar un terreno cuadrado con malla ciclónica, ¿qué tomarías en cuenta del terreno, para comprar la malla suficiente? ................. _______________________________
Si el terreno tiene 50 m por cada lado, ¿cuántos metros compras de malla? .... ___________ Si el lado mide 63.25 m, ¿cuánta malla? ___________ Para cualquier terreno con figura cuadrada, ¿qué fórmula usarías cuando necesites protegerlo en su derredor? ........................................................ P = ___________ Si la figura no es cuadrada y tiene cualquier otra forma poligonal, ¿qué fórmula utilizarías? __________________________ ÁREAS En todo terreno, no sólo se requiere protegerlo en su derredor, sino también es necesario registralo como propietario del mismo; por lo cual, se necesita conocer de cuántos metros cuadrados está formado. ¿Cómo se obtendrán los metros cuadrados de los dos terrenos que se cercaron en renglones anteriores?
SUPERFICIE. Es todo aquello que tiene dos dimensiones: Largo y Ancho. ÁREA. Es la medida de una superficie. Ilumina de rojo la superficie del círculo, de cafe la superficie del cuadrado, de verde la superficie del trapecio y de azúl la superficie del triángulo y contesta las siguientes preguntas.
Realiza cálculos y operaciones y contesta. ¿Cuál figura crees que tenga mayor área? ___________________________ ¿Cuál crees que tenga menor área? ......... ___________________________ 35
BLOQUE 1
1.4 Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.
BLOQUE 1
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las literales
PROBLEMA: Obtén el perímetro de un terreno irregular que tiene las medidas que la figura indica. Alineamos el punto decimal. OPERACIÓN: 147.034 m Agregamos ceros en la parte 72.000 m decimal. + 18.500 m Resolvemos la operación. 27.100 m Recuerda poner el punto 164.200 m decimal y el signo de metros. 428.834 m PROBLEMA: Si compro un libro de Matemáticas en $ 78.50, un cuaderno en $ 19.60 y un lápiz en $ 3.60, ¿cuánto habré de pagar?
Resuelve las siguientes sumas. 61.9 + 3.34 15.5 56.885
23.94 + 35.357 13.3 2.79
138.08 + 531.9 7.43 26.912
56.3 + 16.56 + 12.345 + 3.3
68.833 367.71 + 8.6 38.028
0.894 + 0.5 0.57 0.702
1.173 55.33 + 0.912 0.026
= _________
45.67 + 97.2 + 345.78 + 4.678 = _________
64.19 + 1.357 + 17.4 + 433.82 = _________
561.02 + 19.36 + 682.2 + 543 = _________
PROBLEMAS: 1.- Con dos de los sumandos, halla la suma menor y la mayor. 13.4; 4.69; 21.5; 0.3 suma menor _________
1.2; 0.07; 0.8; 0.26 suma menor _________
suma mayor _________
suma mayor _________
2.- En cada sumando coloca los puntos decimales para que la suma sea correcta.
900 + 900 + 900 = 999 3.- Calcula el perímetro del siguiente polígono irregular. OPERACIÓN: 3.6 cm
4.2 cm
3.2 cm 2.8 cm
P = __________________
7.8 cm
36
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las literales
4.- Calcula el perímetro y área, de la superficie sombreada, del siguiente polígono irregular. cm 3.6
OPERACIÓN:
BLOQUE 1
4. 24
cm
3.16
cm
3.0 cm
3.16
cm
4.0 cm
4 2.2 cm
m 7c 4.4
5.- El plano que se te da a continuación representa la distribución que tiene una casa habitación. a) Calcula el área total de: Sala comedor ...... _________________
Estancia ....... _________________
Cochera .............. _________________
Recámaras ... _________________
Cocina ................. _________________
Baño ............. _________________
Pasillo .................. _________________
Patio ............. _________________
b ) ¿Cuál es el área total del terreno de la casa? .............................. _________________
Patio
4.0 m
3.5m
2.0 m
4.0 m
Baño 3.9 m
Recámara
Cocina
Pasillo
2.5 m
Sala comedor
Recámara
4.4 m
Estancia
2.0 m
Cochera 4.0 m
6.0 m
3.5 m
37
Forma, espacio y medida
Transformaciones
BLOQUE 1
MOVIMIENTOS EN EL PLANO SIMETRÍA AXIAL 1.5 Construir figuras geométricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y triángulos equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.
Entender lo que es la SIMETRÍA AXIAL resulta demasiado sencillo si analizamos lo siguiente: Recordemos que dos números son SIMÉTRICOS cuando al representarlos en la recta numérica la distancia de cada número al CERO es la misma. + 3 es simétrico de - 3 ; - 8 es simétrico de + 8 Ahora, nos damos cuenta que la palabra AXIAL se refiere a lo que puede ser dividido en dos parte iguales por medio de un EJE. La SIMETRÍA AXIAL es pues, una propiedad que tienen las figuras de que al trazarle un eje de simetría ésta se convierte en dos, cuyos puntos al ser dobladas en dicho eje, coinciden perfectamente. EJE DE SIMETRÍA. Es una línea recta que divide a una figura o a cualquier objeto en dos parte iguales. EJEMPLO: Observa la simetría entre números.
-3
- 1.6
−
1 0 2
1 2
1.6
EJEMPLO: Observa los EJES DE SIMETRÍA de un CUADRADO.
38
3
Forma, espacio y medida
Transformaciones
Traza con regla y compás los ejes de simetría que tengan cada una de las siguientes figuras.
A
B
Observa que en la figura del ejemplo trazamos la mediatriz de AB. EL EJE DE SIMETRÍA divide a la figura en dos partes iguales; si una de las partes tiene un movimiento de rotación de 180° coincidirá con la otra parte en todos sus puntos.
39
BLOQUE 1
EJEMPLO:
Forma, espacio y medida
Transformaciones
1.- Dado un punto P, trazar su punto P' simétrico con respecto al EJE DE SIMETRÍA yy', utilizando la escuadra. y'
P
a) Trazamos con la escuadra la perpendicular del punto P al eje de simetría yy', cruzándolo. b) Medimos la distancia que hay del punto P al eje de simetría yy'.
M
c) Señalamos el punto simétrico de P, P', a la misma distancia del eje de simetría yy'.
P'
BLOQUE 1
EJERCICIOS CON SIMETRÍA AXIAL
y
2.- Dada una figura, trazar su simétrica con respecto a un eje de simetría, con el uso de la escuadra.
y A
a) Trazamos las líneas perpendiculares al eje yy'.
A'
B
b) Medimos la distancia de los vértices de la figura ABCD al eje yy' y marcamos los puntos simétricos.
B'
D
D' C
c) Unimos los puntos simétricos A' B' C' D' d) La figura ABCD y la figura A' B' C' D' son simétricas con respecto a yy'
C'
y' Dadas las rectas traza su SIMÉTRICA con respecto al EJE DE SIMETRÍA yy' y
y R
M
N
y'
y'
40
S
Forma, espacio y medida
Transformaciones
A las siguientes figuras trázales sus simétricas.
BLOQUE 1 Traza los puntos simétricos de A, B, C, D, con respecto al eje yy' y llámalos A', B', C', D'. También traza los simétricos de la línea recta AB y llámalos A'B'.
y
y
A
D C B A
B y'
y'
Traza las figuras simétricas con respecto al eje de simetría.
41
Manejo de la información
Análisis de la información
BLOQUE 1
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD 1.6 Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo "valor faltante" en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.
INFORMACIÓN. Gran cantidad de productos de consumo tanto del ser humano como de los animales, tienen una gran variedad de componentes; las cantidades de ellos dependen del tipo de uso que se pretenda darles y siempre están en proporciones diferentes si son para niños, jóvenes, adultos o personas de la tercera edad.
Completa las siguientes tablas de valores que cambian en proporción directa. 1.- Un litro de gasolina vale $ 7.94 pesos en el mes de abril de 2007; la tabla variable que indique el valor de litros en pesos, será:
2.- Un auto recorre 14.8 kilómetros con 1 litro de gasolina; la distancia recorrida con otra cantidad de litros será:
LITROS
PRECIO
LITROS
1
$ 7.94
1
2
2
3
3
4
4
5
$ 39.70
Km
44.4
5
6
6
7
7
8
8 Explique, cómo obtuvieron cada uno de los datos faltantes de la tabla; si usaron más de un experimento u operación matemática. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ Resuelve los siguientes problemas.
1.- Un automóvil consume 16 litros de gasolina por cada 200 kilómetros que recorre. ¿Cuántos kilómetros recorre con 72 litros de gasolina?
2.- Un árbol de 6 metros de altura proporciona una sombra de 12 metros. ¿Qué sombra dará un poste de 10 metros de alto, en el mismo momento?
42
Manejo de la información
Análisis de la información
4.- Un obrero por 30 días de trabajo recibe $ 4 500.00 ¿Cuánto recibirá por 5 días de trabajo?
5.- Un atleta recorre 600 metros en un minuto y medio. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 1600 metros?
6.- En una compra realizada en E. U. por la cantidad de 1600 dólares, se cobra un impuesto de 132 dólares. Si en otra compra se cobran 247.50 dólares de impuesto, ¿cuál fue la cantidad adquirida?
PROPORCIONES DIRECTAS RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. EJEMPLO 1 En un mapa de Chihuahua, 3 cm representan 100 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros representarán 12 centímetros? DATOS:
3 centímetros representan 100 kilómetros ¿Cuántos kilómetros representan 12 centímetros?
Formamos las dos razones: Resolvemos: Haciendo operaciones: Simplificando:
3 cm 100 Km = 12 cm x Km (12 cm)(100 Km) x= 3 cm 1200 cm Km x= 3 cm x = 400 Km
Observa que: Si los datos cambian en un mismo sentido, si uno aumenta el otro también, o si uno disminuye, también el otro disminuye, entonces estamos trabajando una PROPORCIÓN DIRECTA. EJEMPLO 2 La fuerza requerida para mover un cuerpo de 500 kg es de 25 Nw. Si se requiere mover un peso de 3 toneladas, ¿qué fuerza será necesaria? 25 Nw x = 500 kg 3000 kg
(25 Nw )(3000 kg) = x
500 kg 75000 Nw =x 500 150 Nw = x
¿DE ACUERDO? ¡ADELANTE! 43
BLOQUE 1
3.- Un carpintero ebanista, puede fabricar 2 cajas de hornato, con base cuadrada, en tres horas y media. ¿Cuánto tiempo tardará en fabricar 80 cajas, trabajando 8 horas diarias?
Manejo de la información
Análisis de la información
BLOQUE 1
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD 1.7 Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.
REPARTO PROPORCIONAL En ocasiones es necesario repartir cantidades de diversas formas en función de factores diversos como la edad, altura, distancias, etc., entre otros. Para proceder a repartir una cantidad determinada entre varias partes, se sigue como en el ejemplo:
EJEMPLO: Repartir proporcionalmente $1,100 a tres personas, tocando al mayor el triple de lo que le corresponde al menor y el doble de lo que al mediano. Primero se le asigna a cada persona la cantidad o literal que represente la proporción que le corresponde; Así al mayor le toca = 3x Al menor = x Al mediano = 1.5 x Sumanos las cantidades que son factor del reparto, en este caso será 5.5x Se divide la cantidad a repartir entre la suma de los factores de reparto y enseguida, se multiplica ese cociente por cada uno de los factores de reparto, para encontrar el resultado. $ 1,100 entre 5.5 igual a $ 200 $ 200 por 3 = $ 600
$ 200 por 1 = $ 200
$ 200 por 1.5 = $ 300
$ 600 + $ 200 + $ 300 = $ 1,100 1.- José reparte sus bienes entre los cuatro hijos que tiene, y decide hacerlo en forma proporcional a las edades que actualmente tienen que son de 16, 19, 20 y 25 años. ¿Cuánto de corresponderá a cada uno, si es la cantidad a repartir es $ 5 280 000.00?
2.- La Secretaría de Hacienda y Crédito Público reintegra a tres empresas la cantidad $ 828,000.00 por concepto de saldos a favor en sus declaraciones anuales de impuestos. Si la devolución es proporcional al monto declarado por cada empresa que fué de $ 5,000,000.00 $ 4,000,000.00 y $ 3,000,000. ¿Cuánto recibirá cada una?.
44
Manejo de la información
Análisis de la información
4.- Cinco socios de una empresa automotriz se encuentran con el 10%, 15%, 20%, 25% y 30% de las acciones. Durante el año 2005, la utilidad a repartir entre ellos es de $ 32,400.00 ¿Cuánto deberá recibir de utilidad cada socio?
5.- En el premio de la lotería que se efectuó el 15 de septiembre; Luis, Ana, José y Mario, ganaron un premio de $ 30 000.00; dicho premio se lo repartieron proporcionalmente a lo que cada uno aportó para la compra del boleto, que costó $ 100.00. A Luis le tocó $ 4 200.00, a Ana $ 11 400, a José $6 600.00 y a Mario, el resto de los $ 30 000.00. ¿Cuánto aportó cada uno para la compra del boleto?
6.- En la Colecta escolarizada Anual de la Cruz Roja Mexicana, se entregaron mochilas para ser distribuidas entre las cinco escuelas de la zona escolar que tiene 5 376 alumnos. Si se repartieron según el número de alumnos de cada una de las escuelas les correspondieron 33, 26, 24, 19 y 10. ¿Cuántos alumnos tiene cada una de las escuelas de la zona?
7.- La producción de una huerta fué de 3 540 rejas de manzana y, se las van a repartir entre los tres propietarios en la proporción en que cada uno participó en la inversión. 2 1 A Pedro , a Rodrigo y a Miguel el resto. 5 3 ¿Cuántas rejas de manzana le corresponden a cada uno?
8.- Una empresa de productos de telefonía celular, obtuvo el 2005 una utilidad neta repartible que ascendió a $ 175 258.00 p a ra e l d e p a rt a me n t o d e p e rso n a l técnico. Si el departamento está compuesto por 12 personas; de las cuales, 3 ganan el sueldo más alto, 7 ganan un tercio menos que las anteriores y las dos últimas, ganan la mitad de las segundas. ¿Qué utilidad corresponde a cada grupo de trabajadores?
45
BLOQUE 1
3.- Ana, Pedro y María son hermanos. Entre los tres obtuvieron un premio consistente en una computadora con valor de $ 6 000.00. Deciden venderla a ese mismo precio. ¿Cuánto le corresponde a cada uno, si para comprar el boleto, Ana aportó $ 32.00, Pedro $ 24.00 y María $ 30.00?
BLOQUE 1
Manejo de la información
1.8 Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales.
Representación de la información
DIAGRAMA Y TABLAS
Ya que hablamos de monedas, todos alguna vez hemos jugado a los "VOLADOS"; veamos este fenómeno cómo se maneja en las matemáticas, cuando de volados se trata. Vamos jugando primero con una moneda, luego con dos, tal vez con tres monedas y si quieres seguir jugando, házlo con cuatro monedas, siguiendo el diagrama de árbol de abajo. Te vas a dar cuenta de las posibilidades que se tienen de que se presenten combinaciones, que debes anotar en los recuadros que se encuentran en el diagrama siguiente. Sigue el sentido de las flechas, está fácil.
UNA MONEDA
DOS MONEDAS
A A A
S S
S
A A
S
S A
S
A
S
TRES MONEDAS
ACOMODOS Teniendo en cuenta el DIAGRAMA DE ÁRBOL que se generó con las monedas, contesta lo que se te solicita. a) ¿Cuántos casos diferentes se presentan cuando se juega con una sola moneda? ..________ b) ¿Cuántos casos se presentan cuando son dos monedas? ....................................... ________ c) ¿Cuántos casos se presentan cuando son tres monedas? ....................................... ________ d) ¿Cuántos casos jugando con cinco monedas? ......................................................... ________ e) Al tirar una moneda al aire, ¿qué probabilidad tienes de que resulte un águila? ...... ________ f) Si tiramos juntas dos monedas, ¿qué probabilidad se tiene que sean dos soles? .... ________ g) Si tiramos tres monedas juntas, ¿qué probabilidad se tiene que sea DISPAREJO? ________ h) Con tres monedas, probabilidad de que sean puros SOLES o puras ÁGUILAS ....... ________ i) Tú y tus compañeros, con ayuda del Maestro, sigan analizando el DIAGRAMA y obtengan otras PROBABILIDADES. EXPLICACIONES. Ya que estuvimos analizando la serie de ejemplos con dados, monedas y otros, vamos viendo que sucedió en algunos casos. EVENTOS INDEPENDIENTES. Cuando jugamos con los dados, vimos que el resultado del siguiente tiro, en nada dependió del tiro anterior o sea que cada uno de los tiros de los dos dados, no tiene que ver con el otro que hagamos, a esto se le conoce como un EVENTO INDEPENDIENTE. 46
Manejo de la información
Representación de la información
PON UNO
TOMA DOS
T O M A
TP OO DN OE SN
D O S
Á G U I L A
Á G U I L A
S E L L O
P O N U N O
S Á E G L U L I O L A
S E L L O
Á G U I L A
T O M A
T O M A
U N O
T O D O
S E L L O
Á G U I L A
BLOQUE 1
TODOS PONEN
Veamos un ejemplo entre una PERINOLA y una MONEDA. En nada depende el resultado que resulte en la perinola del que resulte en la moneda.
P O N D O S
S E L L O
Á G U I L A
S E L L O
Como la perinola tiene 6 CARAS, entonces, la probabilidad de que se nos de una CARA, queda expresada por
P( C) =
No. de posibilidades a favor o en contra Total de posibilidades
1 Entonces, si lo que deseo me salga, sólo puede suceder una vez, se expresa P( C) = 6 porque el TOTAL DE CASOS son 6 y solamente puede aparecer uno a la vez. El que suceda cualquier caso en la perinola, no afecta a lo que suceda con la moneda, puesto que son independientes uno del otro. ¿Cuáles son los resultados que pueden darse entre la perinola y la moneda? Escríbelos en el siguiente cuadro, observando el diagrama de árbol de arriba. 1. _______________ _______
5. _______________ _______
9. _______________ _______
2. _______________ _______
6. _______________ _______
10. ______________ _______
3. _______________ _______
7. _______________ _______
11. ______________ _______
4. _______________ _______
8. _______________ _______
12. ______________ _______
Existen otros eventos en la PROBABILIDAD que para poder estimarse es necesario se realicen varias observaciones del evento. EJEMPLO: En algunas tiendas grandes se anuncia:
"Si la esfera que saques dice NO PAGA, te llevas todo gratis" ¿Cómo podemos darnos cuenta de la PROBABILIDAD de ganar? ¿Por qué? _________________________________________________________ _________________________________________________________ ¿Habrá muchas esferas con NO PAGA? _____ ¿Cuántas esferas habrá de GRACIAS? ______ 47
Manejo de la información
Representación de la información
BLOQUE 1
Como puedes ver, en estos casos, no es posible obtener inmediatamente la PROBABILIDAD, como cuando conocemos el número de esferas que existen en el ánfora. En los casos como éste y en algunos que suceden dentro de la conducta de los seres humanos, es necesario hacer varias observaciones seguidas del evento, para poder estimar con cierta verdad y cercanía la probabilidad del fenómeno. En una ánfora o caja, introduce 3 canicas de color azúl y 2 de color rojo, las cuales tú ya sabes que tienen cada una probabilidad de que surjan una u otra; revuélvelas y saquen cada vez una anotando el resultado, blanco o rojo, en su cuaderno, devolviendo la canica a la caja. Háganlo así durante unas 35 veces y, verán que se van a acercar mucho a la probabilidad, como si conocieran el número de canicas que existen en la caja. PROCESOS QUE COMPRUEBAN ______ ______ ______ ______ ______ LAS PROBABILIDADES OBTENIDAS. ______ ______ ______ ______ ______ ______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
______
PROBLEMAS: Con la ayuda constante de tu Maestro, analiza cada uno de los ejemplos que se presentaron y anota la PROBABILIDAD que en cada caso se requiera. 1.- Si se lanza una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila?
2.- Si se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caigan dos águilas?
3.- Cuando se juega con un dado, ¿cuál es la probabilidad de que caiga seis?
4.- Cuando se juega con dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que caiga siete?
48
Manejo de la información
Representación de la información
6.- Cuando se juega con tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de que caiga SAA?
7.- Cuando se juega con tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de que caiga un DISPAREJO?
8.- Cuando se juega con una perinola y una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que caiga TOMA TODO y ÁGUILA?
9.- Cuando se juega con un dado de cuatro caras y una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que caiga un 4 y SELLO?
10.- Si las calificaciones se presentan del 5 al 10, ¿cuál es la probabilidad de que APRUEBE o que REPRUEBE? 5 6 7 8 9 10
1
4
11.- Al jugar con dos dados, se gana cuando la suma de las dos caras de los dos dados da siete u once puntos. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?
12.- El número de fichas del juego de dominó es 28. ¿Qué probabilidad se tiene de obtener la mula de seis y la de tres?
13.- Al realizar un juego con una moneda durante varias ocasiones. ¿Qué es probable caiga mayor número de veces, águila o sello?
14.- En la rifa de un auto participan sólo veinte boletos. ¿Qué probabilidad de obtener el premio, tiene una persona que compra 4 boletos?
49
BLOQUE 1
5.- Cuando se juega con tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de que caiga ASA?