Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS NÚMEROS CON SIGNO Representa numéricamente cada uno de los siguientes casos: 1.- Manuel obtuvo una ganancia de $ 360.00 ............ _______ 2.- La temperatura será de tres grados bajo cero ...... _______ 3.- Cuatrocientos años antes de Cristo (a. C.) ........... _______ 4.- Juan haciendo ejercicio bajó cinco kilos de peso .. _______ 5.- Antonio perdió $ 50.00 en la escuela .................... _______ 6.- Un río tiene 20 metros de profundidad .................
_______
En algunos problemas existe la necesidad de utilizar los números enteros positivos ( + ) y los enteros negativos ( – ), para solucionar dichos problemas y en algunas situaciones, se necesita de ambos números para representarlas. Ejemplos: NIVEL DEL MAR TEMPERATURA
+
NEGOCIOS
sobre cero
ias nc na + a G
0
+
as id rd Pé
–
-
–
S O B R E
B A J O
bajo cero
EL ÚNICO NÚMERO QUE NO ES POSITIVO NI NEGATIVO ES EL "CERO" Utilicen la tecla (+/-) de la calculadora para que resuelvan las siguientes tablas, háganlo en equipo. En la división de números con signo, los números de la columna vertical son el dividendo.
(x)
+2
0
- 3.1 − 2 1.9 3
( ÷)
+3
+3
+2
+2
-4
0
- 1/4
- 1/2
- 2.5
- 3.2
1
+3
-4
-6
−
2 3
3.4
BLOQUE 1
1.1 Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
Hay cuatro diferentes casos de multiplicar o dividir los números con signo.
BLOQUE 1
Al multiplicar dos números con signos diferentes el resultado tiene signo ............. ____________ Si multiplicas o divides dos números con signos iguales el resultado tiene signo .. ____________ Al dividir dos números con signos diferentes el resultado tiene signo .................... ____________ Resuelve las siguientes operaciones con signos: (+ 5) (- 5) =
(- 7) (- 4) =
(- 5.3) (+ 6) =
(+ 6) (- 5.3) =
Si al multiplicar dos números simbolizamos el primer número como n1 y al segundo como n2, ¿qué signo tendrán los resultados? Escribe el signo que corresponda. (+ n1) (+ n2) =
(+ n1) (- n2) =
(- n1) (+ n2) =
(- n1) (- n2) =
Escribe el signo que falta en las siguientes operaciones: (+ 8) + (- 4) = + 8
4=+4
(- 9) + (+ 7) =
9
7=-2
(+ 6) - (- 5) = + 6
5 = + 11
(- 2) - (+ 8) = - 2 - 8 =
10
La Multiplicación es una suma abreviada, de sumandos iguales. 4 veces el 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 o también: 4 x 3 = 12 La multiplicación puede expresarse en diferentes formas: ( + 5 ) ( + 4 ) = + 20
.
(+5)
( + 4 ) = 20
Al multiplicar no se utiliza el signo "x" (por) para evitar que se confunda con la "equis" y si cambias de lugar el multiplicador y el multiplicando el producto no se altera. "3 veces 5" +5
Usando la recta numérica para multiplicar números con signo.
0
1
2
+5
3
4
5
6
7
+5
8
9
10
11
12
13
14
15
+ 15
+3 (+ 5) (+ 3) = 15
Usando coordenadas cartesianas.
5 4
+5 3
3
2
2
+15
1 0
1
2
3
+3 4
2
5
+15
+5
1 0
1
2
3
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
Hay cuatro diferentes casos de multiplicar los números con signo. 1.- LOS FACTORES CON SIGNO POSITIVO
(+) (+)
( + 7 ) ( + 3 ) = 21;
( + 7 ) ( + 3 ) = 21;
+ 21
( + 7 ) ( + 3 ) = + 21
+7
:
2.- LOS FACTORES CON SIGNOS NEGATIVOS
(–)(–)
( - 7 ) ( – 3 ) = 21;
( – 7 ) ( – 3 ) = + 21
( – 7 ) ( – 3 ) = 21;
–7
+ 21 –3
+7
3.- LOS FACTORES CON SIGNOS DIFERENTES ( + ) ( – ) ( + 7 ) ( – 3 ) = – 21;
( + 7 ) ( – 3 ) = – 21;
( +7 ) ( – 3 ) = – 21
4.- LOS FACTORES CON SIGNOS DIFERENTES
(–) (+)
( – 7 )( + 3 ) = – 21;
( – 7 ) ( + 3 ) = – 21
( – 7 ) ( + 3 ) = 21;
- 21 –3
+3
- 21 –7
DE ES Y LE
S NO G I SS LO
( + )( + )
= +
Si haces el bien y te va bien, ¡qué bien!
( – )( – )
= +
Si haces el mal y te va mal, ¡qué bien!
( + )( – )
= –
Si haces el bien y te va mal, ¡qué mal!
( – )( + )
= –
Si haces el mal y te va bien, ¡qué mal!
Resuelve las siguientes multiplicaciones: ( – 4 )( + 10 ) =
( + 9 )( – 7.8 ) =
( – 5 )( – 3 ) =
( – 8 )( + 3 ) (– 5 ) =
( + 7 )( + 8 ) =
( – 0.7 )( + 2.3 ) =
( + 12 )(
) = – 48
(
)( – 9 ) = – 54
( – 6 )(
) = + 54
(
)( – 3.7 ) =
( – 7.8 )( – 1.1 ) =
( + 6 )( – 2 ) (– 4)(+ 1) =
( – 5.5 )(
( + 7 )( – 3 ) (– 0.3)(+ ) =
)=0
⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 5 ⎠⎝ 6 ⎠
⎛ 7 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ − ⎟ = ⎝ 8 ⎠⎝ 3 ⎠
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟ = ⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 5 ⎠
3
BLOQUE 1
+3
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
Si al dividir dos números simbolizamos al divisor con n1 y al dividendo como n2, ¿qué signo tendrán los cocientes? Escribe el signo que corresponda.
BLOQUE 1
(+ n2 ) = (+ n1 )
(− n2 ) = (+ n1 )
(+ n2 ) = (− n1 )
(− n2 ) = (− n1 )
Escribe los signos que faltan en el siguiente ejercicio. (− 4) + (− 9) + (− 4) − (+ 4) ⋅ (− 2) = (− 3) (
4) + (
3) + (
¿Cuál es el resultado de
4) - (
(− 7)(+ 4) 2
8) =
3
?
Resuelve las siguientes operaciones ( – 14 ) ÷ ( – 2 ) =
________________
( + 90 ) ÷ ( + 3 ) = _________________
( + 49 ) ÷ ( – 7 ) =
________________
( – 81 ) ÷ ( – 9 ) = _________________
( – 54 ) ÷ ( + 9 ) =
________________
( – 56 ) ÷ ( + 8 ) = _________________
( 8.4 )
⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎜− ⎟ ÷ ⎜− ⎟ = ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ Escribe el número que hace falta en cada operación.
÷ ( – 2.1 ) = ________________
( -35 ) ÷ ( ( (
)= -7
( + 48 ) ÷ (
)= 8
) ÷ ( + 4.5 ) = 4
( – 6.6 ) ÷ (
) = – 6.6
) ÷ ( –1) =–9
( – 5.1 ) ÷ ( (
_________________
)=
) ÷ ( – 12 ) = – 5
( – 3.9 ) ÷ (
(
) ÷ ( + 12 ) = – 5
(
) ÷ ( – 25 ) =
( – 4.1 ) ÷ ( ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ÷ ⎜⎜ ⎝2⎠ ⎝
)=+1
) = – 4.1
⎞ 3 ⎟⎟ = − 4 ⎠
La DIVISIÓN es la operación inversa a la MULTIPLICACIÓN. ( + 5 )( + 4 ) = 20 porque
( + 20 ) ÷ ( + 5 ) = + 4
ó
( + 20 ) ÷ ( + 4 ) = + 5 +
División de números con signo positivo ( + 72 ) ÷ ( + 8 ) = + 9 ⎛ 72 ⎞ ⎜ ⎟=9 ⎝ 8 ⎠
+ 72
70
¿Por qué?
60 50
Porque ( + 9 )( + 8 ) = + 72
40 30
( + 60 ) ÷ ( + 0.5 ) =
20
¿Por qué?
+8
10
Porque ¡Observa lo que sucede con los signos! 4
+9
1
2 3
4 5 6 7 8
+
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números +7
División de números con signos negativos.
10
-9-8-7-6-5-4-3-2-1
( – 63 ) ÷ ( - 9 ) = + 7
–
¿Por qué?
- 10 –9
Porque ( – 9 )( + 7 ) = – 63
BLOQUE 1
− 63 = +7 −9
1 2 3
- 20 - 30 - 40
¿Por qué? ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜− ⎟ ÷ ⎜− ⎟ = ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠
- 50 - 60
Porque
– 63
- 70
–
¡Sigue observando los signos!
División de números con diferentes signos. + ( + 40 ) ÷ ( – 5 ) = - 8
¿Por qué? + 40 = −8 −5
+ 40
50 40 30
Porque ( – 5 )( – 8 ) = + 40
20
–5
10
¿Por qué? ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜− ⎟ ÷ ⎜+ ⎟ = ⎝ 6⎠ ⎝ 5⎠
–
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
- 10
–8
Porque
De las observaciones anteriores, concluyes que: 1) ______________________________________________
LEYES DE LOS SIGNOS
2) ______________________________________________ 3) ______________________________________________ 4) ______________________________________________
INTRODUCCIÓN AL USO DE LOS PARÉNTESIS Los signos de agrupación más usuales son: SE CONVIENE usar el paréntesis ( ) en primera Paréntesis común.............. ( ) instancia, una vez usado el ( ) y necesitas asociar nuevamente cantidades, se usará el paréntesis [ ], si Paréntesis rectangular ...... [ ] aún es necesario agrupar otras cantidades, entonces Paréntesis de llaves ........ { } usaremos el paréntesis { } Para eliminar paréntesis, en primer lugar lo hacemos Paréntesis triangular ........ con los ( ), luego con [ ] y posteriormente { } Cuando se va a "quitar" un signo de agrupación (paréntesis), se deben tomar en cuenta dos casos: 1° Signo más (+) antes del signo de agrupación, las cantidades que están dentro de él seguirán con su mismo signo. EJEMPLO: x + ( a – b ) = x + a – b 2a + [ – b + ( c ) ] = 2a + [ – b + c ] poner números = 2a – b + c 5
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
BLOQUE 1
2° Signo menos ( – ) antes del signo de agrupación, a las cantidades que están dentro del paréntesis, se les cambia su signo aplicando las leyes de los signos. EJEMPLO:
3y – ( y – 4 ) = 3y – y + 4 – x – [ – 2a + ( b ) ] = – x – [ – 2a + b ] = – x + 2a – b
Resuelve primero la operación entre paréntesis. 4 – (– 11 – 5) =
7 + (– 9 – 5) ( 2 ) =
(12 + 6 ) – 4 =
( 20 – 8 ) x 2 =
(4 +3) x 6=
( 28 – 7 ) ÷ 3 =
( 3.6 + 6.4 ) ( – 10 ) =
⎛ 2 5 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ = ⎝ 3 6 ⎠⎝ 4 ⎠
Resuelve las siguientes operaciones.
(− 2 + 4) − (− 4 − 2) =
(2 + 4)(− 3 + 1)(3 + 7 − 5) =
4
5
Si al divisor y al dividendo los cambias de lugar, el resultado de la división se modifica. Las leyes de los signos permanece.
(− 1) = +0.5 (− 2) (− 2) = +2 (− 1)
(+ 1) = +0.5 (+ 2) (+ 2) = +2 (+ 1)
(+ 1) = −0.5 (− 2) (− 2) = −2 (+ 1)
(− 1) = −0.5 (+ 2) (+ 2) = −2 (− 1)
Subraya la operación que resuelve cada problema. a) - 7 se multiplica por - 4 y se divide entre 2. (- 7) (- 4) (2)
(− 7)(− 4)(2)
(− 7)(− 4)
2
2
b) El resultado es - 7: - 21 : - 3
(- 19) + (- 12)
(- 25) - (- 18)
c) La temperatura en la mañana era de - 16 °C, al medio día subió 7 °C y en la noche bajó 4 °C. - 16 - 7 + 4
- 16 + 8 - 4
- 16 + 7 - 4
d) La operación que tiene como resultado el número - 1 es: - 11 : - 11
(0) + (- 1)
(- 1) (- 1)
6
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
PROBLEMAS ADITIVOS ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Un terreno tiene de largo 4 veces lo que mide de ancho. ¿Cuál es el perímetro del terreno?
ancho = n
P = ___________ largo = 4n
¿Cuál es el perímetro de las siguientes figuras? b
x
x+y
b
b
b P = ___________
NOTA: En el Álgebra, las literales nos servirán para sustituir a los números por letras y formar las EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
x
y
P = ____________
P = ____________
En forma algebraica expresa el perímetro de las figuras siguientes:
a 3x + y
3x + y
b x+y
P =__________________
+
a
P =__________________
En un rectángulo se quieren hacer cuatro agujeros del mismo diámetro a distancias iguales. Si cada agujero es un círculo de 2 cm de diámetro, ¿cuánto deben medir las separaciones entre los agujeros señaladas en la figura con la letra "y"? 13 cm
y
2 cm
y = _________
y
Expresiones algebraicas con las que se puede representar el problema anterior: y + 2 + y + 2 + y + 2 + y + 2 + y = 13 cm 8 + y + y + y + y + y = 13 cm
2 + 2 + 2 + 2 + y + y + y + y + y = 13 cm
8 + 5y = 13 cm
8 + 3y + 2y = 13 cm
8 + 4y + y = 13 cm
¿Cuál es la expresión algebraica que está más simplificada? .................... _______________ 7
BLOQUE 1
1.2 Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
BLOQUE 1
Expresen en lenguaje común, cada una de las expresiones algebraicas siguientes: n + (n + 1) + (n + 2) = ..........................
____________________________________________
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = .............
____________________________________________
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = ____________________________________________ La reducción de términos semejantes es sumar o restar números con términos semejantes. 4x + 5x = (4 + 5)x = 9x 4ab + 2a - 3ab + a = ab +3a
Recuerda que son términos semejantes los que tienen las mismas literales y los mismos exponentes. Ejemplo: 3ab y 6ab
c
Observa la ecuación 2x - 3xy = 10y - 2xy + 3 ¿Qué términos son semejantes? ______________ Reduce al mínimo las expresiones algebraicas siguientes. - 6n + 13n =
x + 4x =
- 17a + 11a =
4a + 3a - b =
6.3x - 7.3x =
13x - 8x + 5x - 13x + 7x =
10n - n + 8n =
2m + 3n - 10n + 4n + 2n =
21/2x + 1/2x =
- 4.7b + 4.7a + 4.7b =
Resuelve las siguientes operaciones. x + y + 2x - y
3b - 4a - 4b - 3a
+ 5c - 6c
2n + 4n - 5n - 6n
- 7 + 6
Escribe los términos correctos en los espacios en blanco. 4n - ______ = - n
6n + ______ - 8n = - 2n + 3m
______ + 2n = 5n
12n - ______ - 4n = 0
______ + 2n = - 6n
______ + n + n = - n
______ - 2n = 6n
______ + 6n - 8n = - 2n - 3m
5n - 6n ______ = - 8n
5n + 4n + ______ = 9n + m
Simplifica las siguientes expresiones algebraicas. (Primero elimina los paréntesis) 5x - (3y + 7x) =
4n + (- 5n + 2m) =
8n + (- 8m - 9n) =
3b - (- 2b - a) = 8
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
Resuelva las siguientes sumas de términos semejantes. ( 9x - 12y + 4z ) + ( 7x + 6y - 3z ) =
BLOQUE 1
(2a + 3ab) + (5c - 12a) = (3a - 2b) + (a + 7b) = (2a - 2b + 5b) + (- a - 2a - b + 4) = (5.7x + 2.4y + z) + (4.3x + 0.6y - 3z) =
Resuelva las siguientes restas de términos semejantes. (8y + 6x) - (24y - 10x) = (6.2x + 3.1y) - (2.3x - 1.9) = (5a + 9b - 2) - (5a + 8b - 3) = (2a - 4b) - ( 4a - b) = (3x - 1) + (x + 1) - (2x - 3) + 4 =
En el siguiente cuadrado mágico, la suma de las líneas horizontales, verticales y diagonales, es igual a 15m - 21n. Encuentra los binomios faltantes y verifica que cada línea sume lo indicado.
3m - 4n
2m - 2n
5m - 7n
7m - 10n
La suma de tres números enteros consecutivos es 168. ¿Cuáles son esos números?
9
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
BLOQUE 1
OPERACIONES COMBINADAS 1.3 Recuerda cómo encuentras el Área del cuadrado. Reconocer y obtener 4u expresiones algebraicas equivalentes a partir del A = 4u x 4u = 16 u² empleo de modelos a geométricos. 4u
a
(u) (u) = u²
A = (_____) (_____) =_______ Determina algebraicamente el área de cada figura. y
B
C
y
Figura A; Área = _____________________ Figura B; Área = _____________________
x
A
D
x
Figura C; Área = _____________________ (x) (y) Figura D; Área = _____________________
x
y
Obtener la expresión algebraica que representen las áreas de las siguientes figuras. x x
y
x
y x
y A = ___________________
y
y
y
y
A = ___________________ a
y
a
a
x x
b b
b
x
x
y
A = ____________________
b
a
a
A = ____________________ 10
A = ____________________
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
Representen con una expresión algebraica las áreas de las siguientes figuras. Figura B
5u
5u
x
+
1u + 1u
x
A = _____________________
1u
A = ______________________ Figura D
Figura C 3u
3u
2u
2u x
1u
+
1u + 1u
x
A = _____________________
1u
1u
A = ______________________
Figura E
Figura F
y
y
x
+
x
2u
A = _____________________
+
2u
A = ______________________
Calcula el valor numérico de las áreas de las figuras anteriores. Si x = 8; y = 5
Expresión Algebraica Figura A
A=
Figura B
A=
Figura C
A=
Figura D
A=
Figura E
A=
Figura F
A=
Valor Numérico
11
BLOQUE 1
Figura A
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números
BLOQUE 1
Encuentra el valor numérico de las áreas de las siguientes figuras. a
b
c
d
Figura a; A = ________________ = ___________________
2 Figura b; A = ________________ = ___________________ Figura c; A = ________________ = ___________________
5
Figura d; A = ________________ = ___________________ 5
5
Observa las siguientes figuras. ¿Son equivalentes? __________________ ¿Por qué? _________________________ __________________________________
En base a las siguientes figuras, representa con modelos geométricos cada una de las expresiones geométricas y expresa algebraicamente sus áreas.
y
1) 2y² + 2xy
2) 2xy + 2x²
4) 3y² + x² + 3xy
5) y² + xy + x²
12
y
x
x
x y 3) 2x² + xy + y²
6) 3xy + x²
Forma, espacio y medida
Medida
ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR
Recordando los conocimientos que ya has adquirido, observa las líneas de la figura que se muestra, escribe el nombre de cada ángulo que se forma con las líneas del techo y las paredes; enseguida compara tu trabajo con tus compañeros.
E
K
C
CAB = _______________
G
F
EBD = _______________
I
FGH = _______________ HJD = _______________
H
CKF = _______________ L
A B
J
ILJ
= _______________
D CKE = _______________
Relaciona la columna de la izquierda con el ángulo de la derecha y escribe la letra que corresponda dentro del paréntesis.
B
E Ángulo obtuso
(
)
Ángulo recto
(
)
Ángulo llano
(
)
Ángulo agudo
(
)
Ángulo perígono o de vuelta entera (
)
D
C
A
13
BLOQUE 1
1.4 Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos utilizando el grado como unidad de medida.
Forma, espacio y medida
Medida
ÁNGULOS
BLOQUE 1
En el curso anterior se trabajó con abertura, giros y ángulos, y con lo que aprendiste te diste cuenta que para medir su tamaño se usa una unidad de medida. ¿Cómo se llama la unidad de medida? __________________________________________ ¿Cómo se representa al grado? _________________ ¿Cuál es el símbolo que se utiliza para representar un ángulo? ____________________________________ ¿Cómo se llama al punto donde se juntan dos líneas rectas? ____________________________________ La unidad de medida para los ángulos, es el GRADO, que equivale a 1/360 de una vuelta (La vuelta completa es igual a 360°) Un grado es la parte de la circunferencia que resulta de dividirla en 360 partes. Completa la siguiente tabla, que equivale a los giros y los grados del ángulo, terminado tu trabajo, compáralo con tus compañeros de grupo. Giro
Grados del ángulo
Giro
Vuelta completa
Grados del ángulo
Media vuelta 90°
270°
1/8 de vuelta
1/10 de vuelta
1/360 de vuelta
1/6 de vuelta
Mide con transportador los siguientes ángulos y escribe su medida.
C
B
A ABC = _______
C
B B = _______ D
A
P
N
PNM = _______
M
C = _______
B
O
B C
AOB = _______ 14
DCB = _______
Forma, espacio y medida
Medida
Consulta en tu biblioteca la biografía de TALES de MILETO y coméntala con tus compañeros.
Reúnete en equipo con tus compañeros y escriban los valores de los ángulos que le correspondan a cada una de las figuras de la parte inferior y anota en los grados la letra que corresponda. 20º = _____
60º = _____ 180º = _____
90º = _____
A = _______
B = _______
D = _______
E = _______
240º = _____
120º = _____
C = _______
F = _______
Traza el ángulo que resulta después de haber efectuado la operación que se indica. a) 120º 30' 25'' + 59º 29' 35''
b) 32º 45' 20'' + 27º 14' 40''
c) 36º 14' 35'' + 23º 45' 25''
d) 100º 11' 39' + 19º 48' 21''
15
BLOQUE 1
Agapito no pudo venir a la escuela, pero su tarea del día de ayer la envió con Lencho, su compañero de clase. Su tarea no la hizo completa, porque no anotó a cada ángulo la medida que le corresponde.
Forma, espacio y medida
Medida
BLOQUE 1
Observa los siguientes relojes, indica el nombre del ángulo que se forma según las manecillas del reloj.
La manecilla chica (horario) de un reloj requiere de 12 horas para dar el recorrido completo de la carátula y la manecilla grande (minutero) requiere de 60 minutos para dar el recorrido completo de la carátula. En los relojes que se te indican arriba, haz lo que se pide partiendo de las horas. a) Señala con rojo el área que indica las 3 horas. b) Señala con azúl el área que indica las 9 horas. c) Señala con verde el área que indica las 6 horas. d) Señala con fiucha el área que indica las 12 horas. ¿Cuánto mide el ángulo que forman las manecillas del reloj cuando indica las 12 horas?
¿Cuánto mide el ángulo que forman las manecillas del reloj cuando indica las 6 horas?
______________________________________
_____________________________________
¿Cuánto mide el ángulo que forman las manecillas del reloj cuando indica las 3 horas?
¿Cuánto mide el ángulo que forman las manecillas del reloj cuando indica las 9 horas?
______________________________________
_____________________________________
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS POR SU MEDIDA Consulta las siguientes preguntas que se te presentan. ¿Cuánto mide el ángulo RECTO? ......... _____________________ ¿Cuánto mide el ángulo LLANO? .......... _____________________ ¿Cuánto mide el ángulo AGUDO? ......... _____________________ ¿Cuánto mide el ángulo OBTUSO? ....... _____________________ ¿Cuánto mide el ángulo PERÍGONO? ... _____________________ El grado ( ° ) es la unidad para medir ángulos. Un grado se divide en 60 partes llamadas MINUTOS. ( ' ) Un minuto se divide en 60 partes llamadas SEGUNDOS ( '' ) No confundas los minutos de un grado y los minutos de una hora.
16
Formas geométricas
Forma, espacio y medida
RECTAS RECTASYYÁNGULOS ÁNGULOS E
C
B
1.5 Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas A paralelas, perpendiculares y oblicuas. O N Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.
F
I P
M
L
G H
Q
K
J
Recordando los conocimientos que ya has adquirido, cuáles de las siguientes líneas que se te indican tomando en cuenta el dibujo de la parte superior son paralelas, oblicuas o perpendiculares. AG y BC = Líneas _____________________
BG y AC = Líneas ____________________
ON y ML = Líneas _____________________
OH y NI = Líneas ____________________
PQ y KJ = Líneas _____________________
AG y BC = Líneas ____________________
¿Qué tipo de rectas describe cada caso? 1.- Vías del ferrocarril ....................................... 2.- La letra mayúscula "T" ................................ 3.- La esquina de una hoja .............................. 4.- La letra mayúscula "X" .............................. 5.- El borde superior e inferior de una puerta .. Traza las RECTAS conforme a las siguientes condiciones que se te mencionan. a) Si la recta I es perpendicular con la recta II y, la recta II es perpendicular con la recta III. ¿Cómo son las rectas I y III ?
b) Si la recta I es paralela con la recta II y la recta II es oblicua con la recta III. ¿Cómo son las rectas I y III ? 17
BLOQUE 1
D
Formas geométricas
Forma, espacio y medida
Con los conocimientos que ya has adquirido contesta las preguntas que se presentan.
BLOQUE 1
RECTAS PERPENDICULARES
RECTAS PARALELAS ¿Cuáles son las rectas paralelas?
¿Cuáles son las rectas perpendiculares? __________________________________
________________________________
__________________________________
________________________________
El símbolo " I " significa rectas perpendiculares
¿Cuáles son las dos regiones en que se divide las rectas paralelas?
CD
________________________________
AB "Recta CD perpendicular a recta AB"
________________________________ A
AB II CD, "Recta AB paralela a recta CD"
indicador de ángulo recto
exterior
A C
B
D interior
B C
exterior
D
RECTAS SECANTES U OBLICUAS E
α
B
δ λ
D
¿Cuáles son las rectas secantes u oblicuas?
β C
__________________________________
Ángulos α = β ; δ = λ
__________________________________
El punto de intersección forman ángulos bien definidos
Traza una perpendicular a la recta OQ que pase por el P exterior a dicha recta.
Traza la paralela a la recta dada MN que pase por un punto P exterior a dicha recta
P
P M _________________________________ N O 18
Q
Formas geométricas
Forma, espacio y medida
Encuentra el valor de los ángulos conociendo el valor de uno de ellos.
e 115 ° f g
a = ______
e = _____
b = ______
f = _____
c = ______
g = _____
d = ______
Ángulo complementarios son dos ángulos que juntos suman 90º Ángulo suplementarios son dos ángulos que juntos suman 180º Encuentra el valor del ángulo complementario anotando en la línea que se da el valor correspondiente. a)
37º
b)
_____________________
49º 45' 28''
_______________________
Encuentra el valor del ángulo suplementario, anotando en la línea que se da el valor correspondiente. c)
20º 30' 25''
d)
_____________________
115º 40' 30''
_______________________
RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE Dos rectas paralelas cortadas por otra recta (secante), forman ocho pares de ángulos suplementarios o colineales.
R M
1
1 3 5 7 1 2 5 6
N
2 3 4
P
5 6 7 8
Q
S
+ + + + + + + +
2 4 6 8 3 4 7 8
= = = = = = = =
180° 180° 180° 180° 180° 180° 180° 180°
Recuerda: "Las figuras que tienen el mismo tamaño y forma son CONGRUENTES" También en la figura anterior se forman cuatro parejas de ángulos congruentes: a) Ángulos OPUESTOS POR EL VÉRTICE
b) Ángulos CORRESPONDIENTES
c) Ángulos ALTERNOS - INTERNOS
d) Ángulos ALTERNOS - EXTERNOS 19
BLOQUE 1
a b c d
Formas geométricas
Forma, espacio y medida
BLOQUE 1
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son dos ángulos iguales que tienen un vértice común y los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro. 2
1 3
4
6
5 7
8 ¿Por qué los ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE miden igual? a a
a b
c
=
b = 180° c = 180°
Colineales
PROPIEDAD TRANSITIVA Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí. a
b
+ +
c
+
b =
a +
c
anulando los ángulos iguales
Haz la demostración de cada uno de los casos abajo presentados. Toma en cuenta la demostración que se te dió.
a)
b) 1
2 4
2 4
3
c)
d) 5 7
5 7
8
6
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Son dos ángulos iguales que se ubican uno dentro y otro fuera de cada paralela pero del mismo lado de la línea transversal 2
1 5
6
4
3
8
7
1
y
5
2
y
6
3
y
7
4
y
8
¿Por qué los ángulos correspondientes son iguales? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 20
Formas geométricas
Forma, espacio y medida
ÁNGULOS ALTERNOS - INTERNOS
¿Por qué los ángulos alternos - internos son iguales? 3
4
______________________________________________
6
5
______________________________________________ 4
y
5
3
y
6
______________________________________________ ______________________________________________
ÁNGULOS ALTERNOS - EXTERNOS Son dos ángulos exteriores a las paralelas ubicados en diferente lado de la transversal 1
2
¿Por qué los ángulos alternos - externos son iguales? ______________________________________________ ______________________________________________
8
7
______________________________________________
1
y
8
______________________________________________
2
y
7
______________________________________________
Escribe las literales que corresponden a los ángulos. Opuestos por el vértice
mp
______ ______ ______
Correspondientes
______ ______ ______ ______
Alternos - internos
______ ______ ______ ______
Alternos - externos
______ ______ ______ ______
Dada la medida de un ángulo, calcular el valor de los demás. 1
1 =
2 3
4 5
6 7
a b c d e f g h
8
60 °
5 = _______
2 = ________
6 = _______
3 = ________
7 = _______
4 = ________
8 = _______
e = ( 4 x + 1 )°
f = ( x - 5 )°
a = _________
b = _________
d = _________
g = _________
h = _________ 21
BLOQUE 1
Los dos ángulos son interiores de diferente paralela, sin ser suplementarios, pero en distinto lado de la secante.
Formas geométricas
Forma, espacio y medida
RECTAS Y ÁNGULOS
BLOQUE 1
1.6 Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una tranversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los águlos interiores de los triángulos y paralelogramos.
Forma un equipo de trabajo con tres de tus compañeros e intenta trazar triángulos con las medida de los ángulos que se indican a continuación.
a)
30º
60º
90º
b)
45º
45º
90º
c)
100º
60º
60º
d)
40º
80º
120º
e)
50º
45º
85º
f)
80º
40º
60º
g)
20º
90º
130º
h)
90º
70º
70º
i)
80º
40º
60º
¿Cuántos triángulos fue posible su trazo? __________________________________________
SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DEL TRIÁNGULO La SUMA de las medidas de los ÁNGULOS INTERIORES de cualquier TRIÁNGULO es 180 grados. R
A
S
M a N RS trazo auxiliar paralela a BC formando los ángulos M y N. b B 22
c C
Formas geométricas
Forma, espacio y medida
DEMOSTRACIÓN a +
b +
a +
N M N c
= 180° = b = c = 180°
Por ser ángulos suplementarios Por ser ángulos alternos - internos Por ser ángulos alternos - externos Sustituyendo igualdades anteriores
BLOQUE 1
M +
Encuentra el valor de los ángulos marcados con literal. a
110°
b 60° 60°
25° a a = ______
d 135°
c
a = ______
c = ______
b = ______
d = ______ Por ser ángulos alternos - internos
SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN CUADRILÁTERO a
b
c
d
w
x
y
z
CUATRO ÁNGULOS RECTOS "360°" a + b + c + d = 360° w + x 90° + 90° + 90° + 90° = 360° 90° + 90° OTRO EJEMPLO: b a
e
1 d
a +
b +
2)
c = 180°
90° + 45° + 45° = 180°
2
c
1)
+
y
+ 90°
d +
+
z = 360°
+ 90° = 360°
e +
f = 180°
45° + 45° + 90 = 180°
La suma de los ángulos interiores de los dos triángulos que forman el cuadrilátero es igual a 360°
f
180° + 180° = 360°
"En cualquier cuadrilátero se forman dos triángulos al cortarlos en su diagonal" 1
1
2 2
1
2 2
23
1
Formas geométricas
Forma, espacio y medida
BLOQUE 1
De los triángulos que se te dan, calcula el valor del ángulo que te falta conociendo alguno de ellos. B A C 90° B= 90º 60º
C
45° C= A
N
B
60º
30º
A
A = _______
N = _______ B = _______ 25º M
B
120º 0
C
C = _______
De los siguientes cuadriláteros que se te dan, calcula los ángulos que faltan, conociendo algunos de ellos. M = _____ 35º
M
N
N = _____ O = _____
145º P
O
75° Q
R
C
70° A 110º D
N
M
O P
P = _____
B 70º
M = _____
N = _____
O = _____
A = _____
B = _____
P = _____
Q = _____
R = _____
C = _____
D = _____
A = _____ I = _____
B
A = 110° I
IV
B = _____ IV = _____
II = _____ D = _____ C = _____ III = _____
II
D
C III
VI
V
70º VII
VI = _____ VII = _____
V = _____ 24
Formas geométricas
Forma, espacio y medida
BLOQUE 1 Observa tu salón de clases y comenta con tus compañeros las siguientes preguntas que se te plantean. Además; tú, puedes hacer otras preguntas a tus compañeros sobre el mismo tema. ¿De los objetos que tiene tu salón, donde se forman líneas paralelas, oblicuas y transversales?
¿Qué tipo de líneas forma la unión del techo con una de las paredes del salón?
De los objetos que tiene tu salón, ¿dónde se forman líneas paralelas, oblicuas o transversales?
Observa el marco de la puerta de tu salón y comenta con tus compañeros si se forman líneas transversales, paralelas u oblicuas. Observa las manecillas de tu reloj y comenta con tus compañeros las siguientes preguntas que se te plantean. Además, tú, puedes hacer otras preguntas a tus compañeros sobre el mismo tema.
Al recorrer la manecilla de los minutos, una hora, ¿cuántos grados recorre? ________________ Al recorrer la manecilla de las horas, una hora, ¿cuántos grados recorre? ..
________________
Al recorrer la manecilla del minutero 15', ¿cuántos grados recorre? ............
________________
Al recorrer la manecilla del minutero 45', ¿cuántos grados recorre? ............
________________
Al recorrer la manecilla de las horas, 4 horas, ¿cuántos grados recorre? ....
________________
Completa la siguiente tabla anotando los grados que correspondan a la carátula del reloj, tomando en cuenta la manecilla que marca las horas. Hora
1
2
3
4
Grados 25
5
6
7
Manejo de la información
Análisis de la información
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD
BLOQUE 1
1.7 Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
Fotografías del recorrido del Ferrocarril Chihuahua Pacífico
A
3 cm
B
2 cm 4 cm
6 cm Partiendo de la fotografía A, obtuvimos la fotografía B, 2 considerando la relación de proporcionalidad de , 3 es decir que por cada 3 unidades de la fotografía A se obtuvieron 2 unidades de la fotografía B.
(6 cm)⎛⎜ 2 ⎞⎟ = 4 cm ⎝3⎠ (3 cm)⎛⎜ 2 ⎞⎟ = 2 cm ⎝3⎠
¿Qué operación aritmética Y si a partir de la fotografía B, queremos obtener la fotografía A, tuviste que realizar para ¿Cuál será la relación de proporcionalidad? _______________ encontrar las dimensiones (4 cm)⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 6 cm de la fotografía B? 3 2 ⎝2⎠ es el recíproco de 2 3 (2 cm)⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 3 cm ⎝2⎠ Observa que al multiplicar las dimensiones de la fotografía A por su constante de proporcionalidad, encontramos las dimensiones de la fotografía B; y al multiplicar las dimensiones de la fotografía B por el recíproco del factor de proporcionalidad, encontramos las dimensiones de la fotografía A. Reproduce a escala las siguientes figuras considerando la relación de proporcionalidad que se te señala. Construye un rectángulo D cuyo 3 Factor de proporcionalidad = 2
4 cm 2 cm
C
(4 cm)⎛⎜ 3 ⎞⎟ = _________ ⎝2⎠ (2 cm)⎛⎜ 3 ⎞⎟ = _________ ⎝2⎠
Y si a partir del rectángulo D, queremos construir el rectángulo C (
)
(
) = 2 cm
(
)
(
) = 4 cm
¿Cuál será la relación de proporcionalidad? _______________ 26
Manejo de la información
Análisis de la información
Construye un cuadrado F cuyo Factor de proporcionalidad =
3 5
BLOQUE 1
(5 cm)⎛⎜ 3 ⎞⎟ = _________ ⎝5⎠
5 cm
E
Y si a partir del cuadrado F queremos construir el cuadrado E (
)
(
) = 5 cm
¿Cuál será la relación de proporcionalidad? _______________ Considerando que las dos fotografías siguientes están a escala, encuentra las medidas que faltan.
15 m 75 m
X 9m
Puente Verde sobre el canal del Río Chuviscar para el paso del ferrocarril. Chihuahua, Chih.
¿Por cuál número es necesario multiplicar las dimensiones de la foto X para encontrar las de la foto Y? ______
¿Por cuál número es necesario multiplicar las dimensiones de la foto Y para encontrar las de la foto X? ______
Y 27
BLOQUE 1
Manejo de la información
1.8 Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.
Análisis de la información
RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD Construye una hoja de cálculo relacionando ámbas cantidades
Un automóvil va a una velocidad constante de 80 Kilómetros por hora. Las dos cantidades que consideraremos son la distancia recorrida (d) y el tiempo que tarda en recorrerla (t). ¿Qué distancia recorrerá en 3 horas? __________________ ¿Qué distancia recorrerá en 4 horas? __________________ ¿Qué distancia recorrerá en 5 horas? __________________ ¿Qué pasa a la distancia recorrida si duplicamos el tiempo? ............
_____________________
Si se duplica el tiempo, ¿Ocurre lo mismo con la distancia? ..............
_____________________
¿Qué pasa a la distancia si triplicamos el tiempo? ............................
_____________________
¿Qué pasa a la distancia recorrida si el tiempo se reduce a la mitad?
_____________________
¿Qué pasa a la distancia recorrida si el tiempo se reduce a la quinta parte?
________________
¿A qué conclusión puedes llegar? _______________________________________________ ____________________________________________________________________________ Si 0.45 Kg equivalen a 1 libra, ¿cuántas libras habrá en 90 Kg? _________________ Construye una hoja de cálculo ¿Cuál es el factor de proporcionalidad en el ejemplo?
_______
Continúa llenando la hoja hasta que encuentres cuántas libras equivalen a 90 Kilogramos y escribe la respuesta ......... _______ ;;;.:----., ___________________e
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL ______________________-----
Ahora observa el tercer renglón de la hoja, ¿Podrías haber resuelto el problema considerando sólo esta información? _____ ¿Cómo?
___________________________________________
__________________________________________________ Usa solamente los primeros 10 datos de tu hoja de cálculo para responder a las siguientes preguntas. ¿Cuántas libras equivalen a 2700 kg? .................................................................. ________________ ¿Cuántos Kg, equivalen a 50 libras? .................................................................... ________________ ¿Cuántos Kg, equivalen a 0.5 libras? ____ usa el 6º renglón de tu hoja para responder esta pregunta. ¿Cuántos Kg, equivalen a 1.5 libras? ________ usa el resultado anterior para encontrar la respuesta. ¿Cuántos Kg, equivalen a 2.6 libras? __________________ usa la misma estrategia. Regresemos ahora al tercer renglón de la hoja de cálculo donde se indica que dos libras equivalen a 0.9 Kg, (casi 1 Kg) y busca cuántas libras equivalen aproximadamente a 10 kg, ________________ 28
Manejo de la información
Análisis de la información
Ahora toma en cuenta la siguiente tabla y responde a las preguntas que aparecen abajo ¿Cuántos kilómetros equivalen a 60 millas? ....... _______________ Km 1.6 3.2 4.8
¿Cuántos kilómetros equivalen a 75 millas? ....... _______________ ¿Cuántos kilómetros equivalen a 0.5 millas? ...... _______________ ¿Cuántos kilómetros equivalen a 2.5 millas? ...... _______________ ¿Cuántos kilómetros equivalen a 3.4 millas? ...... _______________ ¿Cuántas millas equivalen a 112 km? ................ _______________ ¿Cuántas millas equivalen a 10 km? .................. _______________
Si una embarcación puede navegar 360 millas con 16 galones de combustible diesel, ¿qué distancia recorrerá con 60 galones? Construye una hoja de cálculo ¿Cuál es el factor de proporcionalidad? __________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A Galones 1 3 6 9 12 15 16 18
B Millas
360
Usa tu hoja de cálculo para responder las siguientes preguntas: ¿Qué distancia recorrerá con 300 galones? ....................................... ______________________ ¿Qué distancia recorrerá la embarcación con 180 galones? ............. ______________________ ¿Qué distancia recorrerá la embarcación con 90 galones?................ ______________________ ¿Cuántos galones necesitará para recorrer 900 millas? ..................... ______________________ Construye una hoja de cálculo para resolver las siguientes situaciones: Si un frasco de café de 450 grs cuesta $ 42.75, ¿cuánto deberá costar uno de 250 grs?
_____
Si se determinó que el precio de un frasco de café es de $ 19.00, ¿cuántos grs contiene? _____
1 2 3 4 5 6 7
A grs 450 400 350 300 250 200
B $ 42.75
29
BLOQUE 1
Millas 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Manejo de la información
Análisis de la información
BLOQUE 1
La RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD entre las figuras A y B es igual a
6 cm
A
B
16 cm
3 cm
8 cm
6 16
3 8
cateto menor de cada triángulo cateto mayor de cada triángulo
La RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD entre las figuras C y D es igual a
C
1 2
10 cm
D
6 cm
5 3
9 cm 15 cm
6 9
ancho de cada rectángulo largo de cada rectángulo
10 15
Observa que el factor de proporcionalidad entre las dimensiones de las figuras es la misma 1. En un grupo de personas hay 5 hombres por cada tres mujeres. Si hay 120 mujeres, ¿cuántos hombres hay?
2. Un administrativo realiza 1470 pulsaciones de teclado en 7 minutos. ¿Cuántas veces le da a la tecla en 100 seg?
3. En 17 cajas iguales hay 1632 botones iguales, ¿cuántos habrá en 37? ¿Cuántas cajas se necesitarán para guardar 900 botones?
30
Manejo de la información
Análisis de la información
Dado el siguiente prisma rectangular:
Su volumen será: 4u x 3u x 6u = 72 u³
3u 4u
"Se sabe que el volumen de un prisma es proporcional a cada una de sus dimensiones" Observa que sucede al duplicar cualquiera de sus dimensiones:
12u
Duplicamos la altura
Su volumen será: 4u x 3u x 12u = 144 u³
3u 4u Duplicamos uno de los lados de la base
6u
Su volumen será: 8u x 3u x 6u = 144 u³
3u
8u Duplicamos el otro lado de la base
6u
Su volumen será:
x
x
=
6u 4u CONCLUIMOS QUE: Al duplicar cualquiera de sus dimensiones, su volumen TAMBIÉN SE DUPLICA ¿Y SI SE TRIPLICA CUALQUIERA DE SUS DIMENSIONES? completa el cuadro
¿Y SI SE REDUCE A LA MITAD CUALQUIERA DE SUS DIMENSIONES? completa el cuadro Base
2 Base 3
Altura 5
Volumen 30
2
2
Volumen
5
30
REDUCIMOS A LA MITAD CUALQUIER LADO
TRIPLICAMOS CUALQUIER LADO 6 3 5 90 2
3
Altura
1
5
3
2
3
2 ¿Qué sucede con su volumen?
5
15
5 3
¿Qué sucede con su volumen?
31
BLOQUE 1
6u
Manejo de la información
Análisis de la información
Qué sucederá con el volumen de un prisma cuando una de sus dimensiones se duplica y otra se triplica
BLOQUE 1
Un Prisma cuyas dimensiones son: 5 u 3u 12 u su volumen es 180 u³
duplicamos triplicamos
10 u 9u 12 u su volumen es 1080 u³
12 u El volumen también se duplicó y se triplicó Considerando las dimensiones del prisma auméntalas o disminúyelas en la cantidad señalada y concluye lo que sucede con su volumen.
3u 5u 5u
se cuadruplica
20 u
3u 12 u
3u la tercera parte
4u
su volumen es 180 u³
su volumen es _______
5u
5u
3u 12 u su volumen es 180 u³
se triplica
9u
la cuarta parte
3u
______________________________
Conclusión: ____________________ ______________________________
su volumen es _______
5u
se duplica
10 u
3u
se duplica
6u
12 u
se duplica
24 u
su volumen es 180 u³
Conclusión: ____________________
Conclusión: ____________________ ______________________________
su volumen es _______
Con $ 30.00 de alimento para animales comen 4 mascotas durante 5 días.
¿Qué sucede con el costo del alimento si el número de mascotas se triplica?
_______________
¿Qué sucede con el costo del alimento si el número de mascotas se reduce a la mitad? _______
¿Qué sucede con el costo del alimento si el número de días se reduce a la mitad? ___________
¿Qué sucede con el costo del alimento si el número de días se duplica? ___________________
32
Manejo de la información
Análisis de la información
2.- Un ganadero posee forraje para alimentar a sus vacas durante 14 semanas. Tras vender 60 animales comprueba que le queda alimento para 20 semanas, ¿cuántas vacas le quedaron?
3.- Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km/h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase una velocidad de 20 Km/h?
4.- Un deportista camina 5 horas diarias durante 4 días realizando una marcha de 68 Km. ¿Cuánto hubiese caminado si lo hiciese a igual rítmo que antes, durante 7 horas diarias, en 5 días?
5.- ¿Cuánto costará la comida de 150 turistas durante 15 días, si la de 20 turistas durante 7 días cuesta $ 56,000 ?
33
BLOQUE 1
1.- Un tanque de almacenamiento de agua que mide 15 m de largo, 8 m de ancho y 3.5 m de profundidad, requiere de 6 horas para llenarse cuando se alimenta del chorro de un tubo de 6 pulg de diámetro. ¿Cuánto tiempo será necesario para llenar un tanque que mide 10 m de largo, 7 m de ancho y 3 m de profundidad?
Manejo de la información
Representación de la información
BLOQUE 1
DIAGRAMAS Y TABLAS 1.9 Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.
En parejas, analicen el siguiente problema y encuentren la solución comparándola con otras parejas del grupo. Para una fiesta, las jóvenes buscan entre su vestuario la mejor combinación de sus pantalones, blusas, sacos y zapatos. Si se tienen 4 blusas, 3 pantalones, 2 sacos y 1 par de zapatos de colores diferentes, ¿cuántas combinaciones diferentes tienen a su disposición?
Blusas
1
2
Pantalones
3
4
a
b
EJEMPLO: Observa cómo la blusa lila marcada con el número 1, se combina con los pantalones, sacos y zapatos.
Sacos
c
Zapatos
6
5
1
COMBINACIÓN 1
d
B
1
1
1
1
1
1
P
a
b
c
a
b
c
S
5
6
5
6
5
6
Z
d
d
d
d
d
d
En las combinaciones 2, 3 y 4 completa con números, letras y colores, aquellas que estén faltando. B = Blusas, P = Pantalones, S = Sacos y Z = Zapatos.
2
B
P
S
Z
B
P
2
a
5
d
3
a
2
b
3
b
2
c
2 2 2
d 6
b
3
5 d
S
B
d
4
P
S
Z
5
d
4
3
5
3
6
3
Z
b
4
c
4 d
4
3
4 4
5 d
¿Hay alguna combinación repetida? ................................... __________ ¿Cuántas ocasiones se puede usar cada blusa? ...............
__________
En total, ¿cuántas combinaciones son posibles disponer?
__________
¿Se pueden usar dos prendas iguales al mismo tiempo? .... __________ ¿Cuál o cuáles combinaciones son las mejores, teniendo en cuenta el color? __________ __________ __________ __________ __________ __________ ¿Qué operación aritmética realizas para saber el número total de combinaciones? ___________ 34
Representación de la información
Manejo de la información
El primer DIAGRAMA DE ÁRBOL es de la combinación 1 y con base en él, encuentra los otros tres diagramas utilizando colores, números y letras. d
6
d
5
d
6
d
5
d
6
d
BLOQUE 1
5
a
C 1
b
c
Observando los diferentes diagramas anteriores, contesta las siguientes preguntas: a) ¿En cuántas combinaciones participa el par de zapatos?
________
b) El pantalón rojo, ¿en cuántas combinaciones se usa? ..... ________ c) El saco rosa, ¿cuántas veces es utilizado? ...................... ________ d) La blusa fiucha, ¿con qué pantalones está combinada? .. ________ ________ ________ e) El pantalón café, ¿con cuáles sacos se combinó? ........... ________ ________ ________ f) El pantalón rojo, ¿con cuáles blusas se combinó? ........... ________ ________ ________ Encuentra una operación matemática para cada una de las preguntas anteriores. 35
________
Representación de la información
Manejo de la información
BLOQUE 1
Todos los diagramas de árbol anteriores partieron del grupo de blusas para generar las 24 combinaciones. Si se inicia del conjunto de sacos para formar un diagrama de árbol, ¿cómo lo realizarían en tu equipo? Compáralo con el realizado por otros equipos.
Un médico general tiene clasificados a sus pacientes conforme su sexo (F y M), tipo de sangre (A, B, AB u O) y presión sanguínea (Alta, Normal y Baja). Rellenando la cuadrícula según corresponda el caso, forma un diagrama de árbol que contemple las características que el médico mantiene; Diseña un diagrama de árbol y una tabla que contemple por lo menos 10 clasificaciones de pacientes. Compara con tus compañeros de equipo y con los otros equipos del grupo. DIAGRAMA Paciente
P
Sexo Tipo de sangre Presión Sanguínea Ya realizado el diagrama, escribe las clasificaciones que el médico maneja en su organización: TABLA a)
b)
c)
Clasificación
1
FAA
FAN
FAB
2
_______
_______
3
_______
4
Clasificación
a)
b)
c)
13
_______
_______
_______
_______
14
_______
_______
_______
_______
_______
15
_______
_______
_______
_______
_______
_______
16
_______
_______
_______
5
_______
_______
_______
17
_______
_______
_______
6
_______
_______
_______
18
_______
_______
_______
7
_______
_______
_______
19
_______
_______
_______
8
_______
_______
_______
20
_______
_______
_______
9
_______
_______
_______
21
_______
_______
_______
10
_______
_______
_______
22
_______
_______
_______
11
_______
_______
_______
23
_______
_______
_______
12
_______
_______
_______
24
_______
_______
_______
36
Representación de la información
Manejo de la información
Trabajando en equipo, realicen un diagrama de árbol y una tabla para cada caso.
2.- Jugando con una moneda (águila y sello) y un dado (1, 2, 3, 4, 5 y 6) encuentren el total de combinaciones que se pueden presentar.
3.- Teniendo 3 pantalones, 2 camisas y un par de zapatos, ¿cuántas combinaciones se logran?
4.- De los 6 mejores basquetbolistas del grupo se formarán tercias para competir en un torneo corto. ¿De cuántas tercias diferentes se dispone para dicha competencia? Identifica a cada jugador con un número (1, 2, 3, 4, 5, 6).
37
BLOQUE 1
1.- Jugando con tres monedas, ¿cuántas combinaciones es posible lograr?
Representación de la información
Manejo de la información
PON DOS
TOMA TODO
TOMA UNO
BLOQUE 1
5.- Jugando con una PERINOLA (Toma todo, todos ponen, toma uno, toma dos, pon uno, pon dos) y TRES MONEDAS (águila, sello), obtén el número de combinaciones posibles mediante un DIAGRAMA DE ÁRBOL.
6.- Los seres humanos tenemos ascendientes y descendientes. Así pues, tú y cualquier otro de tus compañeros tienen varios familiares. Cuando se investiga el "parentesco" que cada uno tenemos, se forma lo que se llama un "ÁRBOL GENEALÓGICO". Hagamos un ejercicio. En la gráfica siguiente, escribe el nombre de cada uno de tus parientes de forma ascendente: empezando por tí y tus hermanos en el mismo nivel; tus padres, en un nivel más alto; tus abuelos, sobre el nivel de tus padres y tus bisabuelos, sobre el nivel de los abuelos. Será así, como puedes empezar tu árbol genealógico personal. Utiliza flechas de un nivel a otro. Actualmente se está empezando la formación de árboles genealógicos considerando el ADN (ácido desoxirribonucléico) de las personas.
38
Representación de la información
Manejo de la información
GRÁFICAS Actualmente, existen varias formas de representar un fenómeno o evento que haya sucedido en la vida cotidiana. En nuestro mundo, se maneja la economía, el crecimiento poblacional, la cantidad de viviendas, el número de empleos y otros que tu puedes investigar, que son representados por medio de gráficas.
En las colonias A y B de la ciudad, se realizaron 5 agrupamientos de tipos de casa, según las características de cada una, habiendo surgido una gráfica como la siguiente. Observa detenidamente cada una de las dos líneas en sus puntos de quiebre y contesta las preguntas que se te presentan.
N° de Casas
Colonia A Colonia B
16 14 12 10 8 6 4 2 0 1
2
3 A grupamientos
4
5
En los espacios marcados, anota el número que corresponda a la cantidad de casas, según indica la gráfica. Agrupamientos Colonia
1
2
3
4
5
TOTAL
A
________
________
________
________
________
________
B
________
________
________
________
________
________
Lo que acabas de hacer, es leer o interpretar una GRÁFICA LINEAL que es representativa del conteo de casas, con características diferentes, hecho en dos colonias de una ciudad. Teniendo en cuenta los mismos datos de las dos colonias anteriores, es posible rerpresentarlos por medio de otro tipo de gráficas como de BARRAS PLANAS Y BARRAS TRIDIMENSIONALES. Sobre cada barra, escribe el número que representa. Deben ser los números que leíste en la primera gráfica. Colonia A
Colonia B
N° de Casas
N° de Casas
Colonia A 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1
2
3
4
5
16 14 12 10 8 6 4 2 0 1
Agrupamientos
Colonia B
2
3
4
Agrupamientos
39
5
BLOQUE 1
1.10 Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.
Representación de la información
Manejo de la información
Trabajando en equipo, con orden y disciplina preguntemos y anotemos la edad de cada uno de los compañeros del grupo, separándolos en mujeres y hombres. Usa el siguiente cuadro de concentrado, escribiendo una raya en el espacio que señala la edad informada.
Edad
Mujeres
TOTAL
Hombres
TOTAL
11 12 13 14 15 16 Cuando hayamos terminado de preguntar todas las edades de nuestros compañeros, sumemos el número de rayas (frecuencias) de cada edad y anotémoslas en la columna de TOTAL, tanto de mujeres como de hombres. Con los datos anotados en las dos columnas de TOTAL, ya es posible que construyamos una gráfica. ¿Cómo la harías? ¡Muy fácil!
4.- Une cada uno de los puntos de las mujeres y continua luego con los datos de los hombres (color azúl).
10 12 8 6
3.- De la columna TOTAL de Mujeres, toma el número que representa las alumnas de 11 años y escribe un punto en la cuadrícula donde se encuentre la cantidad de ellos; toma el número de 12 años y haz lo mismo y así sucesivamente hasta terminar con los datos de mujeres (puntos color rosa).
4
2.- En la parte izquierda de la cuadrícula, escribe la palabra "Alumnos"
2
1.- En la cuadrícula de la derecha, escribe en la parte inferior la palabra "Edades"
14 16 18
Veamos cómo:
0
BLOQUE 1
Ya que analizamos el tipo de gráficas que pueden usarse para representar un evento que contiene números, hagamos una investigación entre los integrantes del grupo al que correspondes.
11 12
5.- Por ejemplo: Si tenemos 15 alumnos de 20 años. Observa el punto rojo en la cuadrícula como señala el 20 abajo y el 15 a la izquierda.
13
14 15 16
17
18
19
20
¿Cómo la ves? 40
Representación de la información
Manejo de la información
Hasta aquí, hemos aprendido a leer y a construir una gráfica conociendo los datos de un fenómeno. Si en tu escuela se tiene un áula de medios, solicítale a tu Maestro les enseñe cómo obtenerla usando el programa de Excel y verás que fácil.
2.- Abrir una nueva hoja electrónica. 3.- Bajo la columna A escribir la palabra Edades; bajo B, Mujeres y bajo C, Hombres. 4.- En la columna A, escribir los números que representan las edades del grupo, uno en cada celda;
en la B, la cantidad existente de cada edad de mujeres;
en la C, la cantidad de hombres de cada edad.
7.- Haz clik en finalizar y obtendrás la gráfica.
Con este proceso puedes obtener cualquier tipo de gráfica que tú desees, usando diferentes informaciones numéricas de algún evento que se presente en tu entorno.
9 6
Máxima
3
Mínima
0
DÍAS
12 15 18
1.- Del 23 de diciembre al 20 de marzo, es el tiempo de INVIERNO cuando se presentan los días más fríos del año. Si del lunes al viernes de una semana de diciembre se presentaron las temperaturas siguientes, realiza una gráfica que las represente. Lunes: mínima - 5 °C, máxima 14 °C; martes: mínima - 7 °C, máxima 10 °C; miércoles: mínima - 2 °C, máxima 16 °C; jueves: mínima - 6 °C, máxima 13 °C y viernes: mínima 0 °C, máxima 17 °C.
-9 -6 -3
BLOQUE 1
6.- Abrir el ícono de gráficas y escoger "líneas".
L
41
M
M
J
V
BLOQUE 1
5.- Seleccionar las celdas desde Mujeres y Hombres hasta el último número de éstos (área azúl).
1.-Encender la computadora y abrir el programa Excel.
Representación de la información
Manejo de la información
Grupo R
Grupo S
Grupo T
10
Promedios
Asignatura
Grupo R
Grupo S
Grupo T
8 6 4 2
s lé
s
In g
(B io lo
gí a)
ra fía G
em
C
ie nc ia
M
at
eo g
át ic as
ol
0 Es pa ñ
BLOQUE 1
2.- El promedio de calificaciones por asignatura, de 3 grupos del ciclo escolar anterior, se presenta en la siguiente gráfica. Completa la tabla con los datos que contiene la gráfica.
Asignaturas
a) ¿Cuáles son los mejores promedios y en qué grupo? Promedio
________
Grupo
________
Promedio
________
Grupo
Promedio
Grupo
________
________
_______
Grupo
Asignatura
Grupo
________
________
_______
b) ¿Qué asignaturas tienen más bajos promedios? ______________
______________
c) ¿Qué asignaturas tienen el mismo promedio y en qué grupo? Asignatura
Grupo
________
________
Asignatura
________
3.- Investiga en tu escuela y construye una gráfica en cada caso: a) Del personal que allí trabaja, ¿cuántas son mujeres y cuántos son hombres? Mujeres
Hombres
42
Representación de la información
Manejo de la información
b) Los grupos de 2° grado, ¿cuántos alumnos tiene cada uno? Grupo
Alumnos
BLOQUE 1
BLOQUE 1 c) La estatura de cada uno de tus compañeros y compañeras de grupo. Estatura
Alumnos
d) El número de lonches, sodas, burritos, alimento chatarra y dulces, que se venden en la cooperativa escolar, diariamente, durante una semana. Día
Mercancía
43