Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las operaciones
1
OPERACIONES COMBINADAS De la forma ( x + a ) ² Con las figuras que tienes a continuación es posible formar cuadrados. Observa detenidamente los cuadrados que se formaron con estas figuras. Fig. 1
Fig. 3
Fig. 2 x
1
1
1
x x
A
B
C
Completa la siguiente tabla: Medida de cada lado Cuadrado A
x+1
Perímetro
Área
4(x + 1)= 4x + 4 (x + 1)² =(x + 1)(x + 1)= x² + x + x + 1= x² + 2x + 1
Cuadrado B
Cuadrado C
En todos los casos, el área de cada cuadrado es una expresión de tres términos, y siempre se comporta de la misma manera. ¿Podrás decir cómo se formó cada término? Primer término:
____________________________________________________________
Segundo término: ____________________________________________________________ Tercer término:
____________________________________________________________
BLOQUE 1
1.1 Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: ( x + a )²; (x + a)( x + b); (x + a)( x - a). Factorizar expresiones algebraicas tales como x² + 2ax + a²; ax² + bx; x²+ bx + c; x² - a²
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las operaciones
2
BLOQUE 1
Un cuadrado, que mide "x" de lado, como se muestra en la figura, se recorta a manera de que se forme otro cuadrado más pequeño, encuentra su área. figura A
figura B
x-2
x
x-2
El área de la figura A es igual a (x)(x) = x² Si le asignamos un valor cualquiera a la x, pensemos en 6 El área de la figura A es igual a (6)(6) = 6² = 36
El área sombreada de la figura B es igual a (x - 2)(x - 2) = x² - 4x + 4 Si seguimos considerando el valor de 6 para la x El área sombreada de la figura B es igual a (6 - 2)(6 - 2) = 6² - 4(6) + 4 = 36 - 24 + 4 = 16
En equipo, encuentra el área de cuadrados y comprueba gráficamente el resultado. valor de x
área del cuadrado
8
x² = _______
(x - 2)(x - 2) = _______________________________
5
x² = _______
(x - 3)(x - 3) = _______________________________
7
x² = _______
(x - 1)(x - 1) = _______________________________
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las operaciones
3
Aplicando la regla anterior, resuelve anotando en el espacio el término que falta. Si tienes duda realiza las operaciones.
BLOQUE 1
1) ( x + y )²
= x² + 2 xy + _______
2) ( 2 a - b )²
= 4 a² - _______ + b²
3) ( 5 x - 3 y )²
= _______ - 30 xy + 9 y²
4) ( m + 3 n )²
= m² + _______ + 9 n²
5) ( 2 r + 3 t )²
= _______ + 12 rt + _______
6) ( c - 4 d )²
= c² - _______ + _______
7) ( 7 a² + b )²
= _______ + 14 a²b + _______
8) ( d² - e² )²
= _______ - 2 d² e² + e
9) ( z³ - w² )²
= z - _______ + _______
4
6
8
4
10) (4 b² + 5 c )² = _______ + _______ + 25 c 2
11)
4 4 ⎛2 ⎞ ⎜ a + b ⎟ = a 2 + ab + ⎝3 ⎠ 9 3 2
12)
⎛3 2 ⎞ ⎜ b − d⎟ = ⎝5 ⎠
13)
⎛ 2 5 ⎞ ⎜ m + n⎟ = m 4 + ⎝ 4 ⎠
−
6 2 b d + d2 5
2
+
2
2 3 4 4 14) ⎛⎜ t 2 + w ⎞⎟ = t + ⎝5 4 ⎠ 25
+
9 2 w 16
2
3 1 15) ⎛⎜ x 3 − y 2 ⎞⎟ = ⎝8 3 ⎠
−
+
1 4 y 9
+
4 9c 2
2
16)
a2 ⎛a ⎞ ⎜ + 3⎟ = 2 + ⎝b ⎠ b
+
2
17)
⎛ 3c 2 ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎝ 2 3c ⎠
−
2
18) ⎛ 5 y 3 + 3 a 5 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝6 ⎠
+ 5a5 y 3 +
Sentido numérico y pensamiento algebraico
4
Significado y uso de las operaciones
BLOQUE 1
Resuelve en equipo aplicando la regla.
1) ( p + q )²
= p² + 2 pq + q²
2) ( r - w )²
= ________________________________________________________
3) ( 2 a + 3 )²
= ________________________________________________________
4) ( 5 + 3 d )²
= ________________________________________________________
5) ( 8 a - 3 b )²
= ________________________________________________________
6) ( 5 c - 6 d )²
= ________________________________________________________
7) ( w + 2 )²
= ________________________________________________________
8) ( 2 c + 3 d³ )²
= ________________________________________________________
9) ( e² - 3 f )²
= ________________________________________________________
4
10) ( f ³ + 5 g )²
= ________________________________________________________
11) ( 2 d² + 3 e )²
= ________________________________________________________
12) ( 5 h³ - g )²
= ________________________________________________________
13) ( 2 t² + r )² = ________________________________________________________ 3 2 14) ( 1 m - n )² = ________________________________________________________ 7 2 3 15) ( p² + 3 q³ )² = ________________________________________________________ 8 5 16) ⎛⎜ 4 a − 2 ⎞⎟ ⎝ b ⎠
2
=
3 ⎛ ⎞ 17) ⎜ 2 m + n ⎟ 2 ⎝ n m ⎠
2
=
⎡ ( x + 1) ( x − 1) ⎤ 18) ⎢ − ⎥ 4 ⎣ 5 ⎦
2
⎤ 3 19) ⎡ ( y − 2 ) + ⎢ ⎥ 3 ( y − 2 ) ⎥⎦ ⎢⎣
= 2
=
El resultado de elevar un Binomio al Cuadrado recibe el nombre de " TRINOMIO CUADRADO PERFECTO "
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las operaciones
5
FACTORIZACIÓN 8x
FACTORES O DIVISORES
24 x 2
3x
(3 )(4)(-6)
= - 72
(3x)(2y)
= 6 xy
( 2 mn ) ( 5 n )
= 10 mn²
Factores: ( 3 x ) ( 8 x )
5
( - 5 x ² y ) ( 3 x ³ y ² ) = - 15 x y ³ Encuentra el factor que falta para que la igualdad sea verdadera. 1)
8a
= (4a) (
)
2)
12 mn
= ( 3 m) (
)
3)
15 x²y
= (5x) (
)
4)
- 14 m³
= (
5)
48 a³b²
= ( 6 a ) ( 2 b² ) (
6)
36 m²nx
= (3n) (4x) (
7)
- 6 a² + 12 b²
= 3(
8)
5 mn + 10 m
= 5m(
+
)
9)
24 xy - 32 x
= 8x (
-
)
18 x²y - 9 xy²
= 9 xy (
-
)
10)
) (7m) ) )
+ 4 b² )
Al procedimiento que realizamos en el ejercicio anterior lo llamamos FACTORIZACIÓN. "FACTORIZAR ES DESCOMPONER EN FACTORES UNA CANTIDAD" EXTRACCIÓN DE UN FACTOR COMÚN Para encontrar en un polinomio un factor común, es decir una expresión que sea un factor de cada uno de los términos del polinomio, nos apoyamos en el máximo común divisor. (M.C.D.)
EJEMPLO: Extraer el factor común del polinomio 12 m³ + 18 m² + 36 m Buscamos el M.C.D.
12 m³ + 18 m² + 36 m 6 m²
9m
18
2 m²
3m
6
2m 3
(2m)(3)=6m M.C.D. = 6 m
BLOQUE 1
Las expresiones algebraicas que al multiplicarse entre sí, dan como producto otra expresión algebraica, reciben el nombre de factores o divisores.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
6
Significado y uso de las operaciones
BLOQUE 1
El factor común es "6 m", ( 2m )( 3 ) porque "6 m" está incluído en los tres términos del polinomio. La factorización de 12 m³ + 18 m² + 36 m , con un factor común es: 6 m ( 2 m ² + 3 m + 6 ) Los factores son ( 6 m ) y ( 2 m² + 3 m + 6 ) 6 m ( 2 m² ) = 12 m³
6 m ( 3 m ) = 18 m²
6 m ( 6 ) = 36 m
6m ( 2 m² ) + 6 m ( 3 m ) + 6 m ( 6 ) = 12 m³ + 18 m² + 36 m Factorizar con factor común, las siguientes expresiones algebraicas. 1) a² + ab
= a(a+b)
2) 3 a³ - a²
= _______________________________________________
3) 15 m³ + 5 m²
= _______________________________________________
4) 2 a²x + 6 ax²
= _______________________________________________
5) 8 m² + 12 mn
= _______________________________________________
6) 9 a³x - 18 ax
= _______________________________________________
7) 12 c³d² + 36 c²d³
= _______________________________________________
8) 15 y³ + 20 y² - 5 y
= _______________________________________________
9) 4 x² - 8 x + 2
= _______________________________________________
10) a³ + a² + a
= _______________________________________________
11) 8 y² + 12 y - 20 y³
= _______________________________________________
12) 3 w 5 + 3 w³ + 9 w²
= _______________________________________________
13) 18 c³ - 6 c² + 9 c
= _______________________________________________
14) 18 x³ - x²
= _______________________________________________
5
8
6
15) 81 m - 27 m + 56 m
= _______________________________________________
16) 10 ab - 5 ab² + 15 a²b
= _______________________________________________
17) 100 + 10 x² - 20 x³
= _______________________________________________
18) 12 n² - 9 n³ + 6 mn
= _______________________________________________
19) t 4 + t²u - tu³
= _______________________________________________
20) 16 cd² - 8 c²d + 4 cd
= _______________________________________________
21) 25 cv² + 75 c³v - 100 cv
= _______________________________________________
22) abx³ + a²bx - ab³x
= _______________________________________________
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las operaciones
7
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto aplicamos la regla siguiente:
m² + 2 mn + n² 1.- Se extrae raíz cuadrada al primer término.
m
2.- Se extrae raíz cuadrada al tercer término.
n
3.- Se anota el signo del segundo término.
+
( m + n )²
4.-Se comprueba si al multiplicar la raíz del primero por la raíz del tercero y duplicado, da el segundo término. m² + 2 mn + n² = ( m + n )² Obtén el binomio cuadrado del cual surge cada uno de los siguientes trinomios cuadrados perfectos. 1)
x² + 2 xy + y²
= (
2)
r² + 2 rw + w²
= ( ____ + _____ )²
3)
64 m² + 64 mn + 16 n²
= _________________________
4)
49 c4 + 42 c²d² + 9 d4
= _________________________
5)
4 y² + 12 y + 9
= _________________________
6)
25 d² + 10 d + 1
= _________________________
7)
16 a² - 4 a +
1 4
= _________________________
8)
m - 2 m²n + n²
= _________________________
9)
4 a² - 8 ab + 4 b² 9 3
= _________________________
w² - 14 w + 49
= _________________________
10)
4
11) 16 v 6 + 24 v 3 u 2 + 9 u 4 12)
9 4 16 10 m − 2m 2 n 5 + n 16 9
13) k 2 − 4 k + 4
x
+ _____ )²
= _________________________ = _________________________ = _________________________
14) 64 d 2 e 6 + 144 de 3 f 3 + 81f 6 = _________________________ 15) a 4 x 2 − 2 a 2 b 2 xy + b 4 y 2
= _________________________
BLOQUE 1
FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las operaciones
8
BLOQUE 1
De la forma (x + a)( x - a) De un cuadrado de lado "x" se corta un cuadrado más chico de lado "y". Con las partes que quedan se forma un rectángulo. y
y
x
A
B
x ¿Cuál es el área del cuadrado A?
x-y
x+y ¿Cuál es el área del cuadrilátero B?
( x ) ( x ) = _________________
( x + y ) ( x - y ) = ____________________________
Si observas con cuidado, encontrarás la forma para resolver productos como el del ejemplo. 2n
2n
3m
3m
Largo del rectángulo = _____________
Largo del rectángulo = ________________
Ancho del rectángulo = _____________
Áncho del rectángulo = ________________
Área del cuadrado
Área del rectángulo
= _____________
= ________________
En todos los casos, el área de cada rectángulo es una expresión de dos términos, y siempre se comporta de la misma manera. ¿Podrás decir cómo se formó cada término? Primer término: ______________________________________________________________ Segundo término:______________________________________________________________
Sentido numérico y pensamiento algebraico
9
Significado y uso de las operaciones
Resuelve los siguientes productos. (w+5)(w-5)
= ____________________________________________
2)
(5p+6q)(5p-6q)
= ____________________________________________
3)
(-m+t)(m+t)
= ____________________________________________
4)
(
2a + 3b ) ( 3 5
= ____________________________________________
5)
( 2 c² + d ) ( 2 c² - d )
= ____________________________________________
6)
( - 4 y + z² )( - 4 y - z² )
= ____________________________________________
7)
(a+3b)(a-3b)
= ____________________________________________
8)
( a² + c³ )( a² - c³ )
= ____________________________________________
9)
( 2 m³ + 3 n ) ( 2 m³ - 3 n )
= ____________________________________________
10)
( 7 r² - 3 t³ )( 7 r² + 3 t³ ) 3 4 3 4
= ____________________________________________
11)
( 7 m + 3 n )( 7 m - 3 n )
= ____________________________________________
12)
( 2 a - d )( - 2 a - d )
= ____________________________________________
13)
( 3 g + 2 h )( 3 g - 2 h )
= ____________________________________________
14)
( 9 x² + 3 y³ )( 9 x² - 3 y³ )
= ____________________________________________
15)
( 2 m + 3 n² )( 2 m - 3 n² ) = ____________________________________________
2a - 3 b ) 3 5
4
4
16)
5 7 5 7 3 1 1 3 ( ab + c )( c + ab ) 5 2 2 5
= ____________________________________________
17)
( 7 + 3 )( 7 - 3 )
= ____________________________________________
18)
( 2 x² + 3 y³ )( 2 x² - 3 y³ )
= ____________________________________________
7
7
19)
( 1.2 x - 2.4 a³ )( 1.2 x + 2.4 a³ ) = ____________________________________________
20)
[(x + y) - a][(x + y) + a]
= ____________________________________________
21)
[ (m-n)+b][(m-n)-b]
= ____________________________________________
22)
[ x-(y-z)][(y-z)+x]
= ____________________________________________
23)
( m ² + n³ ) ( n³ - m² )
= ____________________________________________
24)
(-3k-5t)(-5t+3k)
= ____________________________________________
25)
( 3² + 5² ) ( 5² - 3 ² )
= ____________________________________________
BLOQUE 1
1)
BLOQUE 1
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las operaciones
10
FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS La factorización de una diferencia de cuadrados es el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.
a² - b² = ( a + b ) ( a - b ) 1.- Se extrae raíz al primer término, que será el primer término de los binomios. 2.- Se extrae raíz al segundo término, que será el segundo término de los binomios. 3.- Un binomio será la suma y el otro será la diferencia. Factoriza la diferencia de cuadrados. 1) x² - 25
= (
+
)(
-
)
2) z 6 - y 4
= (
+
)(
-
)
a 3) 36 y² - 49
= (
+
)(
-
)
4) m² - n²
= (
+
)(
-
)
5) 9 d² - 16 e²
= (
+
)(
-
)
6) 25 x 4 - 64 y²
= (
+
)(
-
)
7) 25 c² - 1 36 9
= (
+
)(
-
)
8) 81 a 6 - 36 s 4
= (
+
)(
-
)
9) - 49 c² + 16 d²
= (
+
)(
-
)
10) - 36 g² + 4 h4
= (
+
)(
-
)
11) 121 x² - 144 y²
= (
+
)(
-
)
12) ( x + y )² - ( x - y )² = (
+
)(
-
)
a
a²
-b
- ab
+
b + ab
- b²
Sentido numérico y pensamiento algebraico
11
Significado y uso de las operaciones
De la forma (x + a)( x + b)
2
D
C
El área de la figura A es: .................... _________________ El área de la figura B es: .................... _________________ El área de la figura C es: .................... _________________
x
A
B
El área de la figura D es: .................... _________________ El área del rectángulo que forman las figuras A, B, C y D, es: _________________________________________________
x
4 En todos los casos, el área de cada rectángulo es una expresión de tres términos y siempre se comporta de la misma manera.
¿Podrás decir cómo se formó cada término? Primer término: ______________________________________________________________ Segundo término: ____________________________________________________________ Tercer término: ______________________________________________________________
Aplicando esta regla, completa las siguientes expresiones.
1) ( m + n ) ( m + p )
= m² + m ( n + p ) + ______
2) ( x + y ) ( x + z )
= ______ + x ( x + z ) + ______
3) ( 2 a + b ) ( 2 a + c )
= 4 a² + 2 a ( ______ + ______ ) + bc
4) ( r + p ) ( r - q )
= ______ + r ( ______ + ______ ) - pq
5) ( 3 d - 4 e ) ( 3d - 5 f )
= 9 d² + 3 d ( - 4 e - 5 f ) + ( ______ )
6) ( 4 g - 2 h ) ( 4 g + 3 j )
= ________ + ________ - 6 hj
7) [ ( y - 2 ) + b ] [ b - ( y + 3 ) ] = b² + b [ ( __ - __ ) + ( __ + __ )] + (
)(
)
BLOQUE 1
Se tiene un rectángulo y se corta en cuatro figuras como se muestra.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
12
Significado y uso de las operaciones
BLOQUE 1
Resuelve los siguientes productos notables.
(r+2p)(r+9)
= r² + r ( 2 p + 9 ) + ( 2 p )( 9 ) = r² + 2 pr + 9 r + 18 p
1) ( 2 t + w ) ( 2 t + x )
= ______________________________________________
2) ( 4 + a ) ( - 3 + a )
= ______________________________________________
3) ( a + b ) ( d + b )
= ______________________________________________
4) ( 3 d + 2 e ) ( 3 d - 5 f )
= ______________________________________________
5) ( 2 x - y ) ( 2 x + z )
= ______________________________________________
6) ( 3 f² + 1 ) ( 5 + 3 f² )
= ______________________________________________
7) ( 4 a - w³ ) ( 3 a - w³ )
= ______________________________________________
8) [ ( x + 1 ) - a ] [ a + ( x + 1 ) ] = ______________________________________________ 9)
( 1 x + 2 a ) ( 1 x + b ) = ______________________________________________ 2 2
10)
(-4a-3)(-4a - 5)
= ______________________________________________
11)
(3m+1)(3m -2)
= ______________________________________________
12)
(
1 1 a+x)( a+y) 5 5
= ______________________________________________
13) ( 2 c + 3 d ) ( 2 c - 2 e )
= ______________________________________________
14) ( - h + g ) ( - h - j )
= ______________________________________________
15) ( 4 t - 2 w ) ( 4 t - 3 y )
= ______________________________________________
16) ( c + 2 x ) ( c - 3 y )
= ______________________________________________
17) ( x + a ) ( x + b )
= ______________________________________________
18) ( 5d + 2e ) ( 2e - 5d )
= ______________________________________________
19) ( a b³ - b² c ) ( a b³ + b² c)
= ______________________________________________
20) ( 7b³ - b² d ) ( 7b³ + b² d)
= ______________________________________________
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las operaciones
13
FACTORIZACIÓN
Si tenemos el producto notable:
x ² + 7 x + 12
1.- Buscamos la raíz cuadrada del primer término, que será el término común en los dos binomios. ( x )(x ) 2.- Dividimos el segundo término del trinomio entre el término común, este cociente lo descomponemos en dos cantidades, tales que multiplicadas den el tercer término y que sumada y multiplicada por el término común formen el segundo término. 7x =7 x 3.- El 7 se descompone en dos sumandos que son : 6 + 1, 5 + 2 ó 4 + 3; seleccionamos los que al multiplicarse nos de el tercer término, es decir 4 y 3, ya que ( 4 ) ( 3 ) = 12 (tercer término) y ( 4 + 3 ) por ( x ) = 7 x (segundo término) Así pues, la factorización de Otro ejemplo:
x² + 7 x + 12 = ( x + 3 ) ( x + 4 )
y² - 4y - 12 = ( y - 6 ) ( y + 2 )
Sumandos que den - 4 -1 y -3=-4 -2 y -2=-4 -5 y+1=-4 -6 y+2=-4
factores que den - 12 (- 1) (- 3) = + 3 (- 2) (- 2) = + 4 (- 5) (+ 1) = - 5 (- 6) (+ 2) = - 12
El - 6 y + 2 satisfacen la condición de que sumados dan el 2º témino y multiplicados dan el 3º término; por lo tanto, son la parte no común de los binomios que resulta de factorizar el trinomio.
Factoriza los siguientes trinomios en binomios con un término común. m² + 6 m + 5
=
( m + 5 ) ( m + 1 )
1) x² - 2 x - 8
=
(
) (
)
2) 9 a² - 27 a + 8
=
(
) (
)
- 14 m² - 3 =
(
) (
)
3) 49 m
4) 16 y² - 32 y + 15
=
(
) (
)
5) 4 a² + 4 a - 15
=
(
) (
)
6) m² + 11 m + 24
=
(
) (
)
7) 25 x² + 20 x + 4
=
(
) (
)
8) 64 r² - 40 r + 6
=
(
) (
)
9) g² + 7 g + 10
=
(
) (
)
10) h² - 7 h + 10
=
(
) (
)
BLOQUE 1
La factorización del trinomio que resultó del producto de dos binomios con un término común, se obtiene de la siguiente manera.
BLOQUE 1
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
14
1.2 Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.
FIGURAS PLANAS TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Organizados en parejas, hagan lo siguiente. 1.- Marquen los cuadriláteros que, al cortarlos por una diagonal se obtienen dos triángulos CONGRUENTES (iguales).
A
B
C
D
E
F
2.- Para verificar su afirmación, en una hoja aparte dibujen los cuadriláteros y tracen una diagonal en cada uno de ellos, recórtenlos y comparen las figuras resultantes de cada cuadrilátero. Luego respondan: ¿En qué cuadriláteros los triángulos que se forman son CONGRUENTES? _____________________________________________________________________________ ¿Qué características debe tener un cuadrilátero, para que al trazarle una diagonal se formen dos triángulos CONGRUENTES? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Observa los siguientes dibujos:
CUERPO, es todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Las líneas tienen una dimensión que es la LONGITUD. Las superficies tienen dos dimensiones, LARGO y ANCHO. Los cuerpos tienen tres dimensiones, LARGO, ANCHO y ALTO. Las líneas, las superficies y los cuerpos son FORMAS GEOMÉTRICAS.
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
15
Subraya la respuesta correcta, si son o no congruentes las siguientes figuras.
SÍ - NO
SÍ - NO
SÍ - NO
SÍ - NO
SÍ - NO
Haz un trazo congruente para cada caso: a) Segmento de 5 cm de largo.
c) Un cuadrado de 10 cm de perímetro.
b) Un ángulo de 30 grados.
d) Un círculo de 4 cm de diámetro.
El punto medio de un segmento es el punto que separa al segmento en dos segmentos congruentes. A C B Desde luego, dos segmentos rectilíneos no necesitan ser parte de la misma recta para ser congruentes. Una forma sencilla para determinar si dos segmentos son congruentes o no, es utilizando un compás. __ __ __ Si C es el punto medio de AB, entonces AC es congruente con CB.
La longitud de un segmento se escribirá MN El segmento M'N' es congruente con MN Se indica escribiendo M'N' ~ = MN
Símbolo de congruencia
BLOQUE 1
SÍ - NO
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
16
BLOQUE 1
CONGRUENCIA ENTRE TRIÁNGULOS Dos o más figuras son CONGRUENTES, si tienen la misma forma y la misma medida. Los ÁNGULOS CONGRUENTES son los que miden lo mismo
A ~ = A
45°
B
B
45°
Hay tres criterios de congruencia: 1) Conocidos los tres lados (lado, lado, lado) = (L,L,L). 2) Conocidos dos lados y el ángulo entre ellos (lado, ángulo, lado) = (L,A,L). 3) Conocido un lado y los ángulos de sus extremos (ángulo, lado, ángulo) = (A,L,A). Vamos trazando triángulos congruentes.
CASO 1
Dos o más triángulos son congruentes si tienen iguales sus tres lados
Tenemos el triángulo A B C cuyos lados miden AB = 6 cm, BC = 4 cm y AC = 5 cm. Conocemos los tres lados 1.- Trazamos dos segmentos AB y A'B' de 6 cm de longitud cada uno.
2.- Se apoya el compás en A y A' y trazamos un arco con radio de 5 cm, enseguida se apoya el compás en B y B' y trazamos un arco con radio de 4 cm.
3.- Estos dos arcos se cortan en los puntos C y C'. Si se unen los puntos A, B, C, y A', B', C' se obtienen los triángulos congruentes.
Se obtiene: RESULTADO
AB =
A'B', AC = A'C',
ABC =
A'B'C'
BC = B'C'
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
17
CASO 2
BLOQUE 1
Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Sea el triángulo ABC con AB = 6 cm, AC = 5 cm y Conoces dos lados y un ángulo.
A = 30°
C m 5c
1.- Trazamos dos segmentos AB y A'B' de 6 cm de longitud cada uno.
30°
A
2.- Sobre los vértices A y A' se mide el ángulo dado A = 30°.
B
6 cm
C'
3.- Sobre la medida de cada ángulo se trazan los otros lados AC y A'C' de 5 cm de longitud.
m 5c
30°
4.- Por último, se une con un segmento de recta
A'
B'
6 cm
los puntos BC y B'C'. ~ A'B', Se obtiene: AB =
~ A =
ABC ~ =
RESULTADO: CASO 3
~ A'C' A', AC =
A'B'C'
Dos o más triángulos son congruentes, si un lado y los ángulos de sus extremos son iguales. C
Conocido un lado y los ángulos de sus extremos. Sea el triángulo ABC con AB = 5 cm, Conoces un lado y dos ángulos.
A = 60° y
B = 45°
1.- Se trazan dos segmentos AB y A'B' de 5 cm de longitud cada uno.
A
2.- Con el transportador se trazan los ángulos A, A' y B, B', ya conocidos.
60°
A' A ~ =
RESULTADO:
B
5 cm
C'
3.- De los vértices A, A' y B, B' y con la medida de los ángulos obtenidos, trazamos las líneas correspondientes y en la intersección tendremos el vértice C y C'.
Se obtiene:
45°
60°
~ A'B', A', AB = ABC ~ =
~ B =
A'B'C'
45° 5 cm
B'
B'
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
18
( L, L, L )
( L, A, L )
( A, L, A )
L = 3 cm L = 4 cm L = 5 cm
L = 6 cm = 45º L = 6 cm
= 63º L = 3.8 cm = 49 º
¿Cuáles son triángulos congruentes? 2 cm A
3.5 cm
cm
a
B
3 .5
b I
2.75 cm
60°
70°
2.5 cm
c
a A
m
n
K
F
2 cm
c
b
J
90°
3 cm
2 cm 60°
5c m
2.5 cm 70°
2.7
BLOQUE 1
Aplica los tres criterios de congruencia de triángulos para construir triángulos basados en lo siguiente:
H
m
n
E 3.5
cm
A
4 cm
6 cm 8 cm
2 cm
G
C
90°
3 cm
A B C D E F G H I J K
~ = ~ = ~ = ~ = ~ = ~ = ~ = ~ = ~ = ~ = ~ =
__________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
19
PROPIEDAD DE LOS TRIÁNGULOS
BLOQUE 1
La suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. A R---------------------------S Trazo auxiliar de RS paralela a BC n m α forman los ángulos M y N. β χ B por ser ángulos colineales o suplementarios. por ser ángulos ALTERNOS - INTERNOS. por ser ángulos ALTERNOS - INTERNOS. sustituyendo igualdades anteriores. DEMOSTRACIÓN
m +
α +
β +
α +
n m n χ
= 180° = β = χ = 180°
C
Encuentra el valor de los ángulos que faltan. b
105º a
a
b
c
a = __________ b = __________
a = _______ 40º
45º
b = _______
c = __________
A
m
x
3x + 8° 55° 70°
= ________
A = ________ 2x + 5°
m = ______
67°
B = ________
B
PARALELOGRAMOS LOS CUADRILÁTEROS TIENEN CUATRO LADOS
1.- Cuadrado. 2.- Rectángulo. 3.- Rombo. 4.- Romboide. 5.- Trapecio. 6.- Trapezoide.
Son cuadriláteros
1
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
2
3
4
5
A estos cuadriláteros también se les llama PARALELOGRAMOS porque tienen sus lados paralelos y congruentes.
6
BLOQUE 1
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
20
Ubiquémonos en un terreno plano, que nos permita hacer las medidas Necesitamos medir la distancia que requiramos. Para ello,A el terreno lo cuales entre dos puntos y B, los escogemos enfrente de la LAGUNA, se encuentran separados por señalando un punto C,se en el terreno plano, que se encuentre a la altura de una laguna en el desierto, ¿cómo la parte media de la longitud AB. Con harías para calcular dicha distancia el punto C, estamos formando un sabiendo que no tienes triángulo isóceles ABC, donde los se medios encuentra la medida que buscamos, para hacerlo directamente? en su lado AB; aún así, no podemos medir los lados AC y BC, cuyas longitudes son iguales, pero es tienen Un primer intento tratar de una parte de ellas sobre la laguna.
"reproducir" la distancia entre A y B a unareproduzcamos, parte accesible para Entonces, en el terreno plano,directamente. otro triángulo que sea ¿Cómo medirla s emej an t e al A B C ; as í p u es , harías esto? prolonguemos el lado AC, una longitud
Laguna Huacachina Desierto de Ica, Perú
A
B C
B'
A'
igual a él mismo, hasta marcar un punto A' y hagamos lo mismo con el lado BC, localizando el punto B'. Al unir los puntos B', habremos Sabemos que A'laydistancia entre dos puntos es igual a la longitud del segmento que va de A a B, logrado el triángulo A'B'C, sobre el ahora la pregunta es ¿cómo construir un segmento, en una parte accesible, A'B' = AB? Es claro terreno plano, siendo más fácil realizar que tratar de hacerlo a "ojo" es complicado, es decir, como garantizar que la construcción hecha medidas en él.
da realmente la medida deseada. Una posible solución es, tratar de construir una figura de tal Busquemos la solución midiendo las forma quedeelA'C segmento que se quiere medir forme parte de dicha figura, y tratar de "reproducirla" longitudes y B'C, que deben enseruna iguales parte y, deaccesible la misma forma, para medir el segmento que se corresponde con el segmento que se midamos A'B', que debe tener la quiere medir. misma longitud del ancho de la laguna, que es el valor de nuestro Lainterés. figura más fácil de construir
a partir de un segmento es un triángulo, entonces el problema se reduce a saber si podemos hacer alguna construcción a partir del triángulo ABC de tal forma que nos lleve a resolver el problema. Lo primero que se ocurre es construir otro triángulo, pero; ¿cómo hacerlo para solucionar el problema planteado al principio? SOLUCIÓN.
Fijamos un punto accesible C de tal manera que se pueda medir el segmento A'C y B'C, prolongamos el segmento AC hasta un punto B' que cumpla AC = CB', análogamente prolongamos BC de modo tal que BC = CA'. Afirmamos que A'B' = AB; si esto pasa habremos resuelto el problema. Bien, repasemos la solución que dimos al problema, construímos un triángulo a partir de otro que cumple con la propiedad de tener dos lados y el ángulo formado entre estos iguales a sus correspondientes en el otro triángulo (la igualdad de los ángulos se da por ser opuestos por el vértice). Ahora demostremos si dados dos triángulos, con las características descritas arriba podemos concluir que el tercer lado es igual. Dados dos triángulos ABC y _______ tales que:
C
AC = ______, ______ = A'C y ACB =
______
entonces ______ = ______
B
A
A'
B'
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
21
PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS
1)
ZWY +
WYZ + YZW = 180° 45° + 45° + 90° = 180°
Z
2)
YWX +
WXY + XYW = 180° 45° + 90° + 45° = 180°
Y
1 +
1
2 = 360º
La suma de los ángulos interiores de los triángulos que forman el cuadrilátero es igual a 360º
2 W
180° + 180° = 360°
X
Son CONGRUENTES los ángulos y los lados opuestos de los paralelogramos. 1 3
2 4
5 6 7 8
120°
4 = 120°
Al trazar una diagonal en cualquier PARALELOGRAMO se forman dos triángulos congruentes D
~ ABC =
C
ACD
ABC = 180° ACD = 180° A
B
ABC +
ACD = 360°
Dada la medida de un ángulo, calcular el valor de los demás. 1
9 10 11 12
2 3
4
5
6 7
13 14 15 16
8
1 = _____
2 = _____
3 = _____
4 = _____
5 = _____
6 = _____
7 = _____
8 = _____
9 = _____
10 = _____
4 +
11
= ________
11 = _____
12 = _____
6 +
13
= ________
13 =
14 = _____
4 +
11 +
6 +
13 = _________
55°
15 = _____
16 = _____
BLOQUE 1
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
22
BLOQUE 1
Consideren que la figura ABCD es un PARALELOGRAMO y que el segmento BD es una diagonal. Con base en esta información, busquen, organizados en equipos, los argumentos necesarios para asegurar que los triángulos ABD y BCD son congruentes. A
D 1 2
4 3
B
C
Consideren que la figura ABCD es un PARALELOGRAMO, que los segmentos AC y BD son sus diagonales y que el punto O es donde se cruzan las diagonales. Con base en esta información, busquen, organizados en equipos, los argumentos necesarios para asegurar que las diagonales se cortan en su punto medio, es decir, que AO es igual a OC y BO es igual a OD. A
D O
B
C
Con base en la información que ofrece la siguiente figura, organizados en parejas, calculen las medidas que se piden y justifiquen sus respuestas. D C 68º 57º M
A
B
BCD = ________
DAB = ________
ABC = _______
CDA = ________
CBD = ________
DBA = ________
Las medidas de AC y BD suman 60 cm. Si AM mide 3/10 de dicha suma, calcula: AM = __________
DM = __________
CM = _________
AC = __________
BD = __________
BM = _________
Si CD mide el triple de AD, y el perímetro de ABCD es de 80 cm, calcula la longitud de los cuatro lados del paralelogramo. AM = __________
DM = __________
AC = __________
BD = __________
Forma, espacio y medida
Cada figura está formada por triángulos, escribe sobre las líneas los que sean congruentes. M L D C
A
BLOQUE 1
Formas geométricas
22
P N
O
~ ______ ______ = ~ ______ ______ =
B ~ ______ ______ =
B L
O C N A M
Ñ
~ ______ ______ =
~ ______ ______ =
D
~ ______ ______ = A
P
K
C E
Q
B
O
~ ______ ______ =
D
M ~ ______ = ______ N
L
La siguiente figura es un hexágono regular: ¿Cuántos de los triángulos en la figura anterior son congruentes con el triángulo ABJ? E D _______ _______
_______
_______
_______
G H F C
M
I
L
¿Cuántos de los triángulos en la figura anterior son congruentes con el triángulo CDE?
K
_______ _______
_______
_______
¿Cuántos de los triángulos en la figura anterior son congruentes con el triángulo EMD?
J
A
_______
B
_______ _______
_______
_______
_______
Forma, espacio y medida
23
Formas Geométricas
1.3
RECTAS Y ÁNGULOS Recordando los conocimientos que ya has adquirido durante los años que ya cursaste, expresa los conceptos de circunferencia y círculo.
Circunferencia: ________________________________________________________________ Círculo:
________________________________________________________________
La circunferencia y el círculo, ¿son figuras geométricas diferentes? ... ___________________ ¿por qué?
________________________________________________________________
¿Cómo se llaman las siguientes figuras?
En los cursos que ya has acreditado, aprendiste lo que son las rectas y segmentos en relación con la circunferencia; además, la suma de las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y cuadriláteros. ¡Ahora bién! anota la respuesta a lo que enseguida se presenta y compárala con la de tus compañeros. La línea curva cerrada recibe el nombre de: .................................. ______________________
La región interior limitada por la línea curva cerrada se llama: ....... ______________________
Cuerda:
__________________________________________________________________
Diámetro: __________________________________________________________________
Radio:
__________________________________________________________________
Secante:
__________________________________________________________________
Tangente: __________________________________________________________________
Arco:
__________________________________________________________________
BLOQUE 1
Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.
Forma, espacio y medida
Formas Geométricas
24
BLOQUE 1
¿Cuáles resultaron ser rectas? ........................................... _____________________________ ¿Cuáles resultaron ser segmentos? .................................... _____________________________ ¿Cuánto mide el radio con respecto al diámetro? ............... _____________________________ ¿Cuántas cuerdas se pueden trazar en un círculo? ........... _____________________________ ¿Cuál es la cuerda de mayor dimensión? ........................... _____________________________
Forma un equipo con dos de tus compañeros, tracen pares de circunferencias en diversas posiciones. 1ª Posición
2ª posición
3ª posición
¿Cuántas posiciones diferentes pueden existir? _____________ Descríbanlas: ______________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
Considerando que la recta "r" es tangente a la circunferencia "A". ¿Cuánto mide el ángulo central trazado en la circunferencia?
30º
A
A
x
r
60º
y
x = _______
r
y = ________
Forma, espacio y medida
Formas Geométricas
25
Calcular el valor del ángulo que se te indica en las siguientes figuras, sabiendo que la recta AD es tangente a las circunferencias.
BLOQUE 1
A
A
n m
D
105º
70º
a
m = _____
a = _____
n = _____ b
A
b = _____
m
D n p q
a
a = _____
m = _____
110º c
n = _____
c = _____
d
d = _____
b
80º
D
p = _____
q = _____
D
c a a = _____ A
b = _____
c = _____
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
26
BLOQUE 1
RECTAS Y ÁNGULOS 1.4 Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ámbos abarcan el mismo arco.
Forma un equipo con dos de tus compañeros y den las respuestas a las preguntas tomando en cuenta las circunferencias que se muestran
B
A
C
b
c
•
•a E
D d
•
e •º
1.- ¿Que ángulos tienen su vértice en el centro del círculo? ....................... _________________ 2.- Cuando su vértice está en el ____________ de la circunferencia recibe el nombre de ángulo ................................................................. _________________ 3.- ¿El vértice del ángulo central podrá ubicarse en otro punto del círculo? _________________ Expliquen su respuesta ______________________________________________________ 4.- ¿Cuáles son los ángulos cuyo vértice se encuentra en la circunferencia?_________________ 5.- Los lados de los ángulos b y c, están formado por ................................ _________________ 6.- Cuando su vértice está en un ____________ de la circunferencia recibe el nombre de ángulo ................................................................ _________________ 7.- Ángulo semi-inscrito es el formado por una ________________ y una _________________ 8.- ¿En cuál figura, el diámetro forma parte del ángulo? ............................ _________________ 9.- ¿Existirá un ángulo que esté formado por dos diámetros? .................... _________________ Expliquen su respuesta ______________________________________________________
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
27
Escriba el nombre del ángulo que corresponda, Ángulo central, Ángulo inscrito, Ángulo semi-inscrito.
••
•
Traza dos círculos, con radios de diferentes medidas en cada uno de ellos, traza un ángulo central y uno inscrito, de manera que sus lados coincidan en el mismo arco.
Recorta de un círculo, el ángulo que formaste y sobrepónlo en el otro círculo para compararlo. ¿Encuentras alguna relación entre sus medidas? ............... ___________ ¿Cuál? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________
BLOQUE 1
•
BLOQUE 1
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
28
Ahora reúnete con otros 3 compañeros, comenta tus observaciones y juntos elaboren una tabla con las medidas de los ángulos central e inscritos que obtuvo cada uno. Medida del ángulo Medida del ángulo central inscrito
ALUMNO 1 2 3 4
De acuerdo con los resultados de la tabla, digan qué relación existe entre las medidas del ángulo central y la medida del ángulo inscrito.
A B C
A
•
Los arcos determinados en los círculos corresponden a la misma medida del ángulo. De aquí se puede concluir que: El ángulo central tiene la misma medida que el arco que subtienden sus lados.
Xº
B O•
AOB =
Para interpretar este concepto trazaremos circunferencias no congruentes que tengan el mismo centro, es decir, circunferencias concéntricas.
y
x
c b a
AOB = Xº
moa = 100° mza = 100°
z 100°
p
AB
nm
•o
nxb = 100° pyc = 100° mza = nxb = pyc
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
29
c
o
a
o
o
b
oo
70º
b
a
aob = 130° acb =
aob =
b aob =
acb =
acb =
c
b
acb = 240° aob =
b
a c
o
70º
b
a c abc = _____
acb = _____ aob = _____
abc = _____
Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia (mitad de la circunferencia) son rectos; es decir, miden 90°. Traza 4 ángulos inscritos que comprendan el mismo arco que el ángulo central AOB, como se muestra en la figura. C
A
•
O
B
Colorea los triángulos que se formaron a partir de los diferentes trazos que hiciste. ¿Que tipo de triángulos se formaron? ............................................ _______________________ De los cuatro triángulos que inscribiste en la semicircunferencia considera dos de ellos, mide los ángulos de cada uno y registra sus medidas. Triángulo 1 _______ _______ _______
Triángulo 2 _______ _______ _______
BLOQUE 1
De acuerdo a los siguientes datos, encuentra la medida de los ángulos y arcos que se pide. c a a
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
30
Determina la medida de cada uno de los ángulos que se te piden.
BLOQUE 1
b p
e n
• o
c
o•
npm =
m
a
f
abc =
a
def =
c
.
a
b
a
d
• o
b
0°
o
11 0°
m
m
11
b c
abc = _____
acb = _____
c abc = _____
amb = _____
acb = _____
amc = _____
c c
c b
° 130
•m
a
a
o•
b
a bac = _____ bmc = _____
abc = _____
acb = _____ acb = _____
b
Forma, espacio y medida
Medida
31
ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR Puesto que ya sabes calcular el área de un círculo y sabes que un ángulo determina una fracción de éste, no será difícil que puedas calcular lo que se te pide.
Partiendo de las circunferencias trazadas en la parte inferior, cómo obtendrías las áreas de los anillos "A y B". Redacta el procedimiento que utilizarías para encontralas. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
c
¿Cuál será el área del círculo "O" cuyo radio mide 10 cm.? _____
n
100°
O
•p
B
A
¿Cuál será el área del anillo "A" cuyo ancho mide 5 cm.?
_____
¿Cuál será el área del anillo "B" cuyo ancho mide 8 cm.?
_____
¿Cuál será el perímetro de la circunferencia "B"? .............. _____ Determina la medida del ángulo cpm ................. ____________
m
Determina la medida del arco cnm ..................... ____________
A partir de las figuras dadas encuentra los valores de los ángulos que se indican. b
n
d
b 45º
•
a
m
m
114º
a
60º
•o 74º
•a
b
p c bac =
c
bmc =
a=
dbc =
a
m
ab =
p = 30º q
p = _____
b acb = _____ c
• 140º
n
anb = _____
b = _____ p
90º
•
c = _____ a
c
r
c = _____ mpn = _____ pnr = _____
b n
BLOQUE 1
1.5 Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
Forma, espacio y medida
Medida
32
BLOQUE 1
Calcular la medida de los ángulos y arcos que se indican, tomando en cuenta la circunferencia y las rectas de la siguiente figura A = _________________ R M
B = _________________ N C = _________________ M = _________________
C A • 116º B
O
OR = _________________ OPQ = _________________
P
RNQ = _________________ Q
C
A
O = _________________ A partir de los datos que se presentan, calcula la medida de los ángulos que se indican sabiendo que "O" es el centro de la circunferencia. BAC =____________________
110º O
ABC =____________________ BCO =____________________ B
OCA =____________________ Una vaca está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una estaca que se encuentra en el centro del corral de forma cuadrada de 10 m de lado. El corral está sembrado de pasto en su interior. a).- ¿Cuánto mide el área donde puede pastar la vaca? ..... ____________________ b).- ¿Cuál será el perímetro de la circunferencia que describe el desplazamiento de la vaca? ............................................................................ ____________________
3m
10 m
c).- ¿Cuánto mide la superficie que la vaca no puede pastar? ........................... ____________________ d).- ¿Cómo harías para que la vaca pueda pastar en más superficie? ...................... ____________________
Representación de la información
Manejo de la información
33
GRÁFICAS
C
La Torre Inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de Pisa, Italia. Fue construida para que permaneciera en posición vertical pero comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción en agosto de 1173. La altura de la torre es de 60 m desde la base, su base tiene un diámetro de 20 m, su peso se estima en 14,700 toneladas y la inclinación de 4.76° apartándose 5 m de la vertical, vistos desde la parte izquierda de la torre, mientras que desde la parte derecha , el ángulo de inclinación es de 85.24° . La torre tiene 8 niveles, una base de arcos ciegos con 15 columnas, 6 niveles con una columnata externa y remata en un campanario. La escalera interna en espiral tiene 294 escalones.
A
B
Observa detenidamente la fotografía y detecta el lugar donde se encuentran las especificaciones o medidas que se mencionan en la información anterior. El triángulo en color rojo, es indicador de lo que se desea identifíques. Si cada triángulo tiene tres lados y tres ángulos, contesta usando par de letras o palabras: ¿Cuál lado representa la altura de la torre? ........................ __________ ¿Cuál lado representa el retiro de la base? ........................ __________
60
50
¿Cuál lado representa la inclinación de la torre? ............... __________ ¿Dónde se ubica el ángulo que marca la inclinación? ........ __________ ¿Qué nombre recibe el lado más grande del triángulo? ..... __________ Recordando de segundo grado, encuentra las coordenadas de cada uno de los vértices del triángulo. Considera cada lado de la cuadrícula con un valor de 5 metros.
40
30
20
10
A(
,
)
B(
,
)
C(
,
)
Tomando en cuenta estos datos, completa el siguiente cuadro: Triángulo
Valor de "x"
0
Valor de "y"
0
1
2
3
4
5 60
6
0 5 __ Valor de AB = ______
Valor de BC = ______
BLOQUE 1
1.6 Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.
Representación de la información
Manejo de la información
34
BLOQUE 1
En el Triángulo anterior, dividamos el valor de BC entre el valor de AB. También, dividamos cada uno de los valores de "y" entre cada valor de "x", en la tabla que completamos, y encontraremos el mismo valor. Este valor que obtuviste es conocido como PENDIENTE y sirve para encontrar el ángulo de inclinación que tiene una recta. Pendiente = BC/AB = 60/5 = 12 Veamos ahora, cómo la inclinación es una parte principal de una línea recta para representarla en forma matemática. Recordemos que en segundo año aprendimos una fórmula para cualquier recta: y = mx + b, donde m fue llamada pendiente (inclinación) de una recta y, b intercepto (cruce con el eje de las "yes"). En el caso de la torre de Pisa, el valor de AB se localiza en una horizontal, mientras que el valor BC se encuentra en una vertical; por lo tanto, AB es la doceava parte de BC, o bien, BC es doce veces más grande que AB. Así pues, 12AB = BC y como BC = 60 m; entonces, 12AB = 60 ó sea AB = 5 Conclusión: Como AB se midió en las "equis" y BC en las "yes";
y = 12x Veámoslo de otra manera: ¿Con qué nombre se les conoce a las rectas CB y EF? __________ ¿Cuáles son las coordenadas de C y B?
B(
,
)
C(
,
)
¿Cuántas veces es menor la "x" que la "y"? ................ __________ ¿Cuántas veces es mayor la "y" que la "x"? ................ __________ Entonces, una "x" es igual a __________ "yes" y también, una "y" es igual a __________ "equis" La expresión matemática debe ser ...... __________ o __________ ¿Cuáles son las coordenadas de E y F?
E(
,
)
F(
,
)
¿Cuántas veces es menor la "x" que la "y"? ................ __________ ¿Cuántas veces es mayor la "y" que la "x"? ................ __________ Entonces, una "x" es igual a __________ "yes" y también, una "y" es igual a __________ "equis" La expresión matemática debe ser ...... __________ o __________ ¿Qué observas en la recta verde y en la recta azúl? ______________________________________________________
Representación de la información
Manejo de la información
35
¿Qué sucederá si los ejes de coordenadas se cambian?
Ecuación de la
Ecuación de la
línea recta CB
línea recta EF
__________________
__________________
La relación entre el lado opuesto ("y") al ángulo y su lado adyascente ("x") al mismo ángulo, e s l o q u e se c o n o c e c o m o l a PENDIENTE de un línea recta.
Veamos otro ejemplo: Considerando la fotografía de la derecha, encuentra la pendiente de la escalinata, considerando cada triángulo, midiendo sus lados, y comenta lo que sucede entre ellas. LADOS Triángulo azúl ........................... ______ ______
PENDIENTE __________
Triángulo verde ......................... ______
______
__________
Triángulo morado ...................... ______
______
__________
¿Cómo son las pendientes de los triángulos? __________________
¿Cuál será la expresión o función matemática que representa la inclinación de la escalera?. Considera un ángulo agudo de cada triángulo, en el origen de las coordenadas. ________________________
BLOQUE 1
Veamos. Usa el INTERCEPTO teniendo en cuenta que las rectas son las mismas que en el ejemplo anterior y escribe su ecuación.
Representación de la información
Manejo de la información
BLOQUE 1
36
Ya que entendimos cómo localizar el valor de la pendiente en una recta y cómo localizar el valor del intercepto, trabajemos con varias rectas, en diferentes ubicaciones, encontrándoles esos valores aprendidos y formandole la ecuación.
y +6 2 3
1
4
¿Qué vamos a hacer? ¡Fíjate bien!
5 6 x
- A la recta 1 vamos a dibujarle un triángulo rectángulo que tome cuadrículas completas, donde la hipotenusa sea la misma recta.
7
8
- Si la recta no está completamente sobre la hipotenusa, prolongarla hasta que cruce el eje de las "yes".
9
- En este caso, la altura del triángulo (longitud vertical), mide 2 unidades y la base, (longitud horizontal), cuatro unidades; por tanto, la pendiente tendrá el valor de 2/4 ó también 1/2 y, el intercepto un valor de + 6 ; entonces, la ecuación será: y = 1/2 x + 6 ó 2y = x + 12, si quitamos el 2 que se encuentra dividiendo. Trabajando en equipo, completen la tabla con los valores que correspondan a cada una de las rectas ubicadas en la cuadrícula. Sigan el proceso del ejemplo dado con la recta 1. Recta
Longitud horizontal
Longitud vertical
Pendiente (m)
Intercepto (b)
Ecuación y = mx + b
1
4
2
2/4 ó 1/2
6
y = 1/2 x + 6 ó 2y = x + 12
2 3 4 5 6 7 8 9
Representación de la información
Manejo de la información
37
a) El incremento mensual que ha habido durante el el inicio del año y a través de cada uno de los meses siguientes, b) Realiza una gráfica que represente el fenómeno y c) La función matemática que lo identifica (ecuación). Mes
D
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
Litro
8.73
8.79
8.93
Costo 523.8
527.4
535.8
y V
536
(8.93, 535.8)
a) En la gráfica de la izquierda, localicen los datos obtenidos en la tabla anterior y u b iq u e n so b re la re ct a lo s p u n t o s faltantes, asignándoles una literal para identificarlos.
534
532
530
528
T
U (8.79, 527.4)
R
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(8.93, 527.4)
526
524
TRABAJO EN EQUIPO.
S (8.73, 535.8) (8.79, 527.4)
522
520
D
E
F
M
A
M
J
J
A
O
S
x
c) Si analizamos el triángulo azúl, ¿cuál es el valor de RS? ............................ ________
b) Tomen los pares de puntos que deseen y formen triángulos semejantes al azúl y verde de la gráfica. ¿Cuántos triángulos encontraron? .......................... ________
f) Con el mismo proceso, ST = ...... ________ g) Dividiendo ST entre RS = ......... ________
d)¿Qué valores tomaron en cuenta para obtener RS? ........... ________ y ________
h) Por tanto, PENDIENTE = ......... ________
e) ¿Qué operación realizaron? ..... ________
i) Ecuación de la recta _________________
BLOQUE 1
A partir de enero de 2008, el precio de la gasolina fue incrementado en 2 centavos por litro cada mes. Si en diciembre de 2007, llenar un tanque de gasolina de una capacidad de 60 litros, tenía un costo de $ 523.80 pesos, a $ 8.73 pesos por litro; encuentra los datos faltantes en el recuadro:
Representación de la información
Manejo de la información
38
BLOQUE 1
I) Analizando de la misma manera el triángulo verde, ¿cuál es el valor de TU? ________
l) Dividiendo UV entre TU = ........ ________
m) Por tanto, PENDIENTE = ........ ________ j)¿Qué valores tomaron en cuenta para obtener TU? ........... ________ y ________ n) ¿Cuál es la ecuación que representa la línea recta del problema? ____________ k) Luego, UV = ............................. ________ Sigan trabajando en equipo y encuentren la pendiente de cada uno de los triángulos que dibujaron en la línea recta de la hoja anterior. TRIÁNGULO 1
TRIÁNGULO 2
TRIÁNGULO 3
TRIÁNGULO 4
TRIÁNGULO 5
TRIÁNGULO 6
TRIÁNGULO 7
TRIÁNGULO 8
¿Qué observas en los valores obtenidos en las PENDIENTES de los triángulos? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________
Representación de la información
Manejo de la información
39
2.- La fotografía de la derecha, muestra una estructura de construcción. Encuentren la PENDIENTE y ECUACION de cada una de las barras inclinadas.
3.- La fotografía de la izquierda, muestra la megabiblioteca de París. Encuentren la PENDIENTE y ECUACION de cada una de las aristas, derecha e izquierda, de las paredes de la pirámide de cristal.
BLOQUE 1
1.- Al revisar el pago de la energía eléctrica, con un recibo de invierno y uno de verano, se encontró que este último es el triple que el primero. Encuentra la TASA DE INCREMENTO (PENDIENTE) que se tuvo entre los dos recibos y la ecuación que representa la línea de incremento.
Representación de la información
Manejo de la información
BLOQUE 1
40
4.- La Pirámide de Cholula, en Puebla, Puebla, México, manifiesta una tumba real donde f ueron encontrados restos humanos; encuentra la pendiente y ecuación de la escalinata que da acceso a dicha tumba.
5.- La fotografía corresponde a una construcción de Santiago de Compostela, España. Encuentra la pendiente y ecuación de cada una de las líneas verdes señaladas en las diferentes partes de la edificación.
a
d b
e
f
c
Línea a: g
Línea b:
Línea c:
Línea d:
Línea e:
Línea f:
Línea g:
Representación de la información
Manejo de la información
41
BLOQUE 1
6.- El incremento de los artículos de consumo, recíbe sus máximos incrementos durante los primeros meses del año. Encuentra la razón de cambio del primero al cuarto mes, si el primer mes una cámara fotográfica tiene un costo de $ 600.00 y al cuarto mes $ 1500.00. Si la misma razón se conserva, ¿cuál será el costo del mismo artículo en cada uno de los siguientes tres meses, después del cuarto?
7.- Dos compañías de telefonía celular tienen diferentes políticas de cobros, según se manifiesta en la gráfica. Analizando las líneas de cobro, contesta lo que se está pidiendo. Costo (pesos)
a) ¿Qué costo tiene el inicio de llamada? _________
_________
b) ¿Cuánto cobra cada una por minuto utilizado? ________
________
8.00 7.00 6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8
minutos
c) ¿Cómo son los incrementos en el costo por minuto utilizado?...
________
________
d) ¿Qué valor tiene la PENDIENTE de costo en cada una de las compañías? ......................................................................
________
________
e) ¿Cuál es la ECUACIÓN DE COSTO de cada compañía?.......
____________________ ___________________
f) ¿Cuál será el cobro al consumirse 15 minutos de servicio? .....
________
________
g) ¿Cuál de las dos es más barata? ................................................................ _____________
Representación de la información
Manejo de la información
42
BLOQUE 1
8.- El cobro que los taxis realizan, depende de las distancias recorridas y de las ubicaciones donde se encuentran los puntos de llegada. Si dos taxis distintos tienen un cobro dif erente recorriendo la misma distancia, analizando la gráfica bajo la foto, encuentra: a) ¿Cuánto cobra cada taxi, por cada kilómetro recorrido? ________ ________ 1
Costo 28 27 26 25 4 3 2 1
2
b) ¿Cuánto cobra cada taxi, al abordarlo? Taxi 2
________ ________ 1
2
c) ¿Cómo son los incrementos en el costo por kilómetro recorrido? ________ ________ 1
Taxi 1
2
d) ¿Qué valor tiene la PENDIENTE de costo en cada uno de los taxis? ________ ________ 1
Km
2
5 10 15 20 25 30
e) ¿Por qué el costo es distinto en cada taxi a los 25 kilómetros?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________ f) ¿Cuál ecuación representa el recorrido de cada taxi? Taxi 1 __________________
Taxi 2 ___________________
g) Con base en las ecuaciones anteriores, completa la tabla de costos que se presenta enseguida. Kilómetros
5
10
15
20
25
Taxi 1
$ 26
Taxi 2
$ 32
30
35
40
Representación de la información
Manejo de la información
43
GRÁFICAS En todos los Países del mundo actual, el conservar información estadística es una conducta acentuada, ya que estos datos son utilizados para una serie de proyectos que los Países, Estados o Municipios generan para lograr beneficios sociales o para prever fenómenos o eventos que puedan perjudicar a la población en general. Los datos numéricos recogidos, entre más detallados sean, mayor precisión proporcionarán en la construcción de cualquier tipo de proyecto que las autoridades deseen implementar.
Pueden haber estadísticas de población, económicas, distribución de la riqueza, de producción alimenticia, de materias primas, de contaminación, de preparación académica y más ... ¿Qué otras estadísticas crees existen en la sociedad en que nos encontramos o en el interior de tu centro escolar? __________________ __________________ __________________ __________________ __________________ __________________ __________________ __________________ Vamos viendo una estadística del Estado de Chihuahua en cuanto a nacimientos habidos desde el año 2000 hasta el año 2007. Si en tu escuela existe un aula de medios, solicita a tu Maestro los lleve a ella para capturar los datos que a continuación se expresan y poder con ellos obtener varios tipos de gráficas; si no tienen aula de medios, realícenlo manualmente. *NACIMIENTOS 2000-2007 2000 2002 2004 2006
89,121 85,981 73,166 69,167
2001 2003 2005 2007
96,794 77,557 77,128 74,159
Y, ¿cómo lo hacemos en la computadora?
1) Abre una hoja de Excel. 2) Captura los datos de la información, uno en cada celda. 3) Cuando hayas terminado la captura, selecciona con el mouse (ratón) los datos que quieres graficar. 4) Presiona el ícono de gráficas en la barra superior. 5) Elige el tipo de gráfico que deseas, de las opciones que se te presentan y obtienes tu gráfica. ¿Cómo la ves?
Gráfica circular simple y Gráfica circular tridimensional *Portal gubernamental del Estado de Chihuahua
BLOQUE 1
1.7 Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.
Representación de la información
Manejo de la información
BLOQUE 1
44
*NACIMIENTOS AÑO 2007 HOMBRES ENERO 2,753 FEBRERO 3,287 MARZO 3,394 ABRIL 3,295 MAYO 3,295 JUNIO 2,859
MUJERES TOTAL 2,729 5,482 3,178 6,465 3,478 6,872 3,295 6,590 3,387 6,682 2,788 5,647
*NACIMIENTOS AÑO 2007 HOMBRES JULIO 2,897 AGOSTO 3,346 SEPTIEMBRE 3,369 OCTUBRE 4,027 NOVIEMBRE 2,477 DICIEMBRE 2,297 TOTAL ANUAL 37,296
MUJERES TOTAL 2,905 5,802 3,163 6,509 3,283 6,652 4,044 8,071 2,357 4,834 2,256 4,559 36,863 74,159
Observando los datos que originaron la gráfica de excel, contesta las siguientes preguntas: 1.- ¿En qué meses el total de nacimientos es más alto? 2.- ¿En qué meses nacen mayor cantidad de hombres? 3.- ¿En qué meses nacen mayor cantidad de mujeres? 4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos? 5.- ¿En qué mes el total de nacimientos es más alto? 6.- Conformados en equipo, investiguen en el mismo portal gubernamental del Estado de Chihuahua, los datos correspondientes a MATRIMONIOS, MUERTES, DIVORCIOS, ADOPCIONES y NACIMIENTO-MUERTE y construyan una gráfica recordando lo que se aprendió en segundo año de secundaria, contestando las preguntas que en cada caso se plantean. *Portal gubernamental del Estado de Chihuahua
Representación de la información
Manejo de la información
45 I.- MATRIMONIOS
2.- ¿En qué meses el total de matrimonios es más bajo? 3.- ¿En qué meses el total de matrimonios es casi el mismo? 4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?
5.- ¿En qué mes el total de matrimonios es más alto? GRÁFICA
II.- MUERTES
1.- ¿En qué meses el total de muertes es más alto? 2.- ¿En qué meses mueren mayor cantidad de hombres? 3.- ¿En qué meses mueren mayor cantidad de mujeres? 4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?
5.- ¿En qué mes el total de muerte es más alto? GRÁFICA
BLOQUE 1
1.- ¿En qué meses el total de matrimonios es más alto?
Representación de la información
Manejo de la información
46
BLOQUE 1
III.- DIVORCIOS
1.- ¿En qué meses el total de divorcios es más alto? 2.- ¿En qué meses los divorcios disminuyen? 3.- ¿En qué meses los divorcios aumentan? 4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?
5.- ¿En qué mes el total de divorcios es más alto? GRÁFICA
IV.- ADOPCIONES
1.- ¿En qué meses el total de adopciones es más alto? 2.- ¿En qué meses el total de adopciones es más bajo? 3.- ¿En qué meses el total de adopciones es casi el mismo? 4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?
5.- ¿En qué mes el total de adopciones es más alto? GRÁFICA
Representación de la información
Manejo de la información
47 V.- NACIMIENTO-MUERTE
2.- ¿En qué meses el total de muertes es más alto que nacimientos? 3.- ¿En qué meses el total de nacimientos y muertes es casi el mismo? 4.- Si tu fueras el gobernante que decide, ¿para qué usarías estos datos?
5.- ¿En qué mes el total de nacimentos es más bajo que muertes? GRÁFICA
VI.- Realicen una investigación en su salón sobre quién juega los deportes como el BEIS BOL, BASKET BOL, VOLY BOL, FUT BOL Y BOLICHE, haciendo las gráficas representativas del número de compañeros que practican alguno o varios de estos deportes y formúlense preguntas que se originen en los datos obtenidos. ¿Por qué ...? PREGUNTA
RESPUESTA
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
BEIS BOL
GRÁFICA
BLOQUE 1
1.- ¿En qué meses el total de nacimientos es más alto que muertes?
Representación de la información
Manejo de la información
48
BLOQUE 1
PREGUNTA
RESPUESTA
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
BASKET BOL
GRÁFICA
PREGUNTA
RESPUESTA
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
VOLY BOL
GRÁFICA
Representación de la información
Manejo de la información
49
PREGUNTA
RESPUESTA _____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
FUT BOL
GRÁFICA
PREGUNTA
RESPUESTA
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
BOLICHE
GRÁFICA
BLOQUE 1
_____________________________________