CENTROIDES

CENTROIDES 1.

Concepto de centroide: propiedades

2.

Centroide de figuras patr贸n

3.

Centroide de figuras compuestas

1. Concepto de centroide: propiedades Consideremos un cuerpo de volumen V y un sistema de coordenadas (X,Y,Z) con origen en O, en el cual llamamos: dV: Elemento pequeño de volumen (x,y,z): Coordenadas cartesianas de este elemento de volumen

CENTROIDE x = y = z =

1 V 1 V 1 V

∫

x dV

∫

y dV

∫

z dV

todo volumen

todo volumen

todo volumen

Centroide de superficies planas

Si la superficie es plana, los ejes (X,Y) se eligen en el plano de la figura. Por tanto, como el centroide estĂĄ en el plano XY, solo hacen falta dos coordenadas ( x , y )

x

y z

=

1 A 1 A

= =

0

toda superficie

âˆŤ

x

âˆŤ

y

toda superficie

dA

dA

Propiedades del centroide El centroide de un cuerpo es un concepto totalmente geométrico. Su posición solo depende de la geometría del cuerpo, y no de sus propiedades físicas (densidad, homogeneidad, peso específico, etc...).

El centroide (C) de un cuerpo solo coincide con su centro de gravedad (G) si el cuerpo tiene peso específico constante (γ =cte).

Peso específico=Peso/Volumen (N/m3) Si el cuerpo tiene un eje de simetría, su centroide está situado sobre él.

2. Centroide de figuras patr贸n

Ejemplo de cálculo: Centroide de un rectángulo

A =bh dA = b dy y =h

1 1 1y  1 h2 h = y = ∫ y dA = y b dy =   = ∫ A bh 0 h  2  y =0 h 2 2 h

2

3. Centroide de figuras compuestas

Supongamos una superficie de área A, formada por N superficies de áreas Ai (i=1...N), cuyos centroides son conocidos y se encuentran en las coordenadas ( xi , yi ) . El centroide de la superficie completa puede calcularse mediante las expresiones: N

1 x = ∑ xi Ai A i =1 N

1 y = ∑ yi Ai A i =1

Ejemplo de cálculo: Centroide de una superficie compuesta

Y L

Y C1

C2

L

L

L

1. Cuadrado

x1 = L y1 = L A1 = 2L ⋅ 2L = 4L2

X 2. Cuadrado (Hueco)

3 x2 = L 2 3 y2 = L 2 A 2 = L ⋅ L = L2

X

Figura completa

x=

1 (x1A1 − x 2 A 2 ) = 5 L A1 − A 2 6

y=

1 (y1A1 − y 2 A 2 ) = 5 L A1 − A 2 6