формули з математики

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Київський міжнародний університет цивільної авіації

К .А . Гаєва

МАТЕМАТИКА ВИЗНАЧЕННЯ. ФОРМУЛИ Довідник для учнів 7-11 класів та вступників до вузів Київ - 2011

УДК SI: 51-7 ББК В1я2 1 134 Рецензенти: канд. техн. наук Л.О. Антонова, доц. Ю.Г.Криводуб. Гаєва Е.А. Г 134 Математика. Визначення, формули: Довідник для учнів 7-11 класів та вступників до вузів: -K.: НАУ, н.п. ЛВК, 2006 - 80 с. З м іст д ов ід н и к а в о с н о в н о м у в ід п о в ід а є п р о г р а м і в ст у п н и х ісп и т ів з м а т е м а т и к и д л я а б іт у р іє н т ів . Д о в ід н и к ох о п л ю є о с н о в н і в и зн а ч е н н я , т е о р е м и т а ф о р м у л и , н ео б х ідн і д л я в и в ч е н н я м а т е м а т и к и в м е ж а х к у р са е л е м е н т а р н о ї м а т ем а т и к и . Д овідн ик' р о зр а х о в а н и й н а ш и р о к е кол о ч и тачів: в с т у п н и к ів д о ви щ и х н а в ч а л ь н и х за к л а д ів , у ч н ів з а г а л ь н о о с в іт н іх ш к іл , г ім н а зій , к о л ед ж ів , л іц е їв , ст у д ен т ів т е х н ік у м ів та вузів.

ISBN 966-598-004-і

ББІСВШ. О К.А.Гаєва, О п.п. ЛВК, 2006

Зміст 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Дійсні чи сла...............

4 Многочлени та алгебраїчні рівняння............ 14 Прогресії...............................................................23 Комбінаторіка та біном Ньютона ........ ,.......... 26 Вектори.................................................................28 Тригонометрія .................................................... 32 Планіметрія .................

43 Стереометрія.........................................................53 Аналітична геометрія..........................................58 Похідна.................................................................63 Інтеграл.........................................................

68 З

1. Позначення: N — множина Z — множина <? - множина Я — множина

ДІЙСНІ ЧИСЛА

натуральних чисел, цілих чисел, раціональних чисел, дійсних чисел.

1.1 Деякі ознаки подільності натуральних чисел • Число ділиться на 2, якщо його остання цифра є число парне або нуль.

• Число ділиться на 3, якщо сума цифр числа ділить­ ся на 3.

• Число ділиться на 4, якщо дві його останні цифри — нулі або утворюють число, яке ділиться на 4.

4

• Число ділиться на 5, якщо воно закінчується на куль або на 5.

• Число ділиться на 8, якщо три його останні цифри - нулі або утворюють число, яке ділиться на 8.

• Число ділиться на 9, якщо сума цифр числа ділить­ ся на 9.

• Число ділиться на 10, якщо воно закінчується на нуль.

• Число ділиться на 11, якщо сума його цифр, що стоять на парних місцях, дорівнює сумі цифр, що стоять на непарних місцях, або відрізняється від неї на число, яке ділиться на 11.

• Число ділиться на 25, якщо дві його останні цифри — нулі або утворюють число, яке ділиться на 25.

5

1.2. Найменше спільне кратне (НСК) та найбільший спільний дільник (НСД) кількох натуральних чисел НСК - найменше число, яке ділиться на кожне з да­ них чисел. НСД - найбільше з чисел, на які діляться декілька да­ них чисел. Формула зв'язку НСД і НСК двох натуральних чисел т і я: т ’ П = НСД(/и,я)*НСК(т,я).

1.3. Абсолютна величина (модуль) дійсного числа І а, якщо а>0 , 'а ' \ - а , якщо й<0 .

Якщо а і Ь - два дійсних числа, то \аЬ\=*\а\\Ь\,

( ^ 0 ),

|а+ 6 |< Ід | + |£| (нерівність трикутника), |о - і |> ||а |- |6 ||.

1.4.

Дії над дійсними числами Д ро б и

Правила дій з дробами: т 1р

п

тд+пр

д

т_ _ р_ п д

т р

п т д-пр пд 5

Ч

п Ч’

^ р_ _ « £ я ' д пр '

Формула перетворення скінченного десяткового дробу в раціональний дріб: °>«іп2...пк=—

,

пип2,...,пк - цифри.

Формула перетворення нескінченного періодичного дробу в раціональний дріб:

0 ,п ]п2 ...пк{пк+1пк+2...пк+р)= _ п [п2...пкпк+у...пк+р- п [пг...пк (пк+\пк+2-пк+Р) ‘ період дробу. П р о п о р ц ії

Із пропорції

~

слідують рівності: а±Ь с±сі а—Ь с—с/ аеІ=Ьс, ь ~ б * а+ й~7+ 7’ та+пЬ _ тс+псі ра+дЬ рс+дсі ’ де т,п,р.д - будь-які числа та р 2+д2Ф0. С теп ен і та корені

Для будь-яких х, у та додатних а і Ь вірні рівності: "

і XV

х+ у

/ І-\Х

Х ,Х

а =1, а а = а

X

_ у _ х- у

, а : сг^ а

,

X

(ай) = а Ь ,

/ а \Х

а

(-г) =7х* о о

Х ху _

, (а ) - а -X _

а

1 ' а

ху

.Для будь-яких натуральних п і к, більших 1, та будьяких невід'ємних а і Ь вірні рівності: - —\іГ~т ап а , ’^

пгт —ча пГ~пІТ ЧаЬ чЬ ,

ґПГ\к - л(~к (У<з) Ча ,

“47.

ф * о),

" ^ = ‘* 4 7 ,

( І Ї ) " = а.

Якщо а< 0, £<0, то при «= 26, А:е !V,

«/—г лг,—:пггг,

ІІй

Уйб = У и Л б | ,

\* = щ

■

При п=2к+\, ке N та будь-яких а і Ь:

Ч7ь=Ч7Ч

’*

*0

ь , (6*0). \'Й

Якщо т і п - цілі числа (пУО), то

1.5с

Логарифми

Логарифм додатного числа у при основі а є показник степеня х, до якого треба піднести а, щоб одержати у\ ІобаУ—•* <==> аХ~У,

(.<*>0, а ї 1).

Основна логарифмічна тотожність: а ^ ау=у Власт ивост і логариф м ів 1. І0Еио = 1 , 2. \cyga 1= 0, 11

3.

4 -

Iogax y = i o g J x | + l o g J y | , lo g û ~

=

io g a ! ^ | - lo g û b K

ху>0, j c y > 0 ,

5. \oga x 2" u —(2 n + \)\o g a x, x > 0 , n e /V, 6. loga x i,J= 2 « l o g a |x|,

x&O, n e IV,

7- loga* X - logö X,

x > 0 , к ~ Я , к Ф 0,

8. toga X—log^X*,

x > 0 , к е Я , к Ф 0,

logÄx 9. l o g „ x > 0 , 10. l°g„

ö > 0 , Z)>0, аф 1, ЬФ\,

. « > 0 , b> 0, аФ1, ЬФ 1.

12

Д е с я т к о в і ло га ри ф м и

^а=1о§|0а - логарифм за основою 10. Н а т ур а л ьн і ло гар и ф м и

Іпа~1о^а - логарифм за основою е=2,718281828459045... . Зв'язок між десятковими та натуральними логарифма­ ми: 1па=-|ё , ще£ =1п 10-1ва=І£д-2,30259... « О \ща—

1п 10

= І8<?'Іп а = \\\а *0,43429... .

13

2. МНОГОЧЛЕНИ ТА АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ 2.1.

Формули скороченого множення

Для будь-яких а і Ь вірні рівності: а2- Ь2- ( а - Ь ) ( а + Ь), (а+ Ь)2= а2+ 2 аЬ+ Ь2. ( а ~ Ь ) ' ~ а 2~2аЬ+ Ь2, (а + Ь ^ - а 2-і- 3а2Ь+ 3аЬ2+ Ь2- а '+ Ь2+ ЗаЬ(а + Ь), {а—Ь)1‘- а 2~ З а іЬ+ ЗаЬ1- Ь 2~ а 2- І ) 2—ЗаЬ(а-Ь), а2+ Ь2~ ( а + Ь )(а2—аЬ+ /г ), 14

а і —Ьі = ( а —Ь ) (а 2+ аЬ+ Ь2), а п- Ь п= ( а - Ь ) ( а п'' + а л-2Ь+ а п'гЬ Ч . . . + аЬп'2+ Ь” ')

(я — будь-яке), а п- Ь п= ( а + Ь ) ( а п- ' - а " - 2Ь+ а п' }Ь2~ . . . + а Ь ^ - Ь " ' ' )

(я - парне), а п+ Ь п= ( а + Ь ) ( а ' " ' - а а-2Ь + а',-3Ь2- . . . - а Ь " - 2+Ь п-')

(я — непарне). Ф орм ули В:ста

Формули Вієта для зведеного многочлена л-го степеня Р(х)=хп+ а ]х п' ]а 2х"~2+ . . . + а п-\Х+ а п

15

з коренями X ] , х 2, ... , х п: х ( + х2+ ... + х пЛ+ х п= - а , , Х|Х2+ Х|Х3+ ... + х п_\хп= а-і, х, х2х3+ х, х2х4+ ... + хл.2хй.,х я= - а 3,

х ,* гх3... х #|. 1х и= ( - 1 ) " я „ • Формули Вієта для зведеного квадратного тричлена Р(х)=:х 2+рх+ у з коренями х і , х 2: Х| + х2= - р , 16

Х|Х2=<7-

Формули Вієта для зведеного кубічного многочлена Р(х)—х ' + р х 2+ цх+г З КОреНЯМИ Х| , Х2, х у х і + х2+ х і= - р , Х\Х 2 + х хх г+ Х2ХЪ~ ц,

X,Х2Х2— —г.

2.2.

Розклад многочлена ма множники

Многочлен Р(х)—а(ух"+а |х ”'Ч - ...+ « Л_|Х+ с п можна розкласти на множники Р(х)=(х~х, )$(х), де х і - корінь .многочлена.

17

Многочлен S(x) можна знайти за допомогою ділення многочлена Р(х) на {х—х\). Цілий корінь зведеного многочлена (тобто при а 0=1) з цілими коефіцієнтами є дільник вільного члена. Усі цілі корені можна знайти підбором, якщо перебрати дільники вільного члена. Раціональні корені многочлена Р(х) відшукують у вигляді p/q, де р - дільник ап, q - дільник а0 і p , q взаємно прості. Будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами роз­ кладається на множники з дійсними коефіцієнтами пер­ шого та другого степеня відповідної кратності, тобто flox"+a |ХЛ І+ ... + а п_|Х+ ап= а й{ х - Х \ ) k( x - x 2) ' . . . ( x - x r ) m ( x 2+ P ] X + q ] ) p. . . ( x 2+ p sx + q / ,

при чому k + l+ ... + m+2p+ ... + 2r=n.

18

Зокрема, якщо квадратний тричлен ах +Ьх+с має два дійсні різні корені (£ > 0 ), то він розкладається на лі­ нійні множники ах2+Ьх+с = а{х-х\)(х-хі).

ТОЯкщо квадратний тричлен має кратний корінь ах'+Ьх+с=а(х ~х | )2.

2.3.

Алгебраїчні рівняння

К в а д р а т н е р івн ян н я

ах2+Ьх+с-=0 (а ^ 0). Дискримінант квадратного рівняння й=Ь2-4ас.

19

0),

Якщо 0 > 0, то рівняння мас два різні дійсні корені х '-2

~Ь±-{ьг- 4ас 2а ‘

Якщо £>=0, то рівняння має два рівні корені (або одін корінь кратності 2). Якщо £)<(), то рівняння має два комплексно-спряжеиі корені: _____ х ,-

-Ь+іЛІ4ас—Ь2 2а "

.

1

—Ь—і^4ас~Ь2 х2 ~ ~ Та ’

Формула обчислення коренів зведеного квадратного рівняння х '+ р х + д --0:

2 0

Формула обчислення коренів квадратного рівняння парним другим коефіцієнтом ах2+2кх+с=0: —к±^1к'і— ас

X і 7 -------------------

*>1

а

.

К у б іч н е р ів н я н н я

Корені неповного кубічною рівняння У*+РУ*Ч.7=0 обчислюються за формулами Кардано:

„ Ц |- .1 + ^

< ? = ф ’ +ф \

причому за ,4 і і? обираються будь-які значення кубічних коренів, які задовільняють рівності

" — іКорені повного кубічного рівняння ах3+Ьх2+сх+(І—0 обчислюються за формулами хк = У к - ^ де

(*=1,2,3),

— корені неповного кубічного рівняння.

22

3. ПРОГРЕСІЇ 3.1. Арифметична прогресія Арифметична прогресія - послідовність чисел ап, в якій кожний слідуючий член, починаючи з другою, ут­ ворюється з попереднього члена за допомогою додавання одного і того ж числа d (d — різниця арифметичної про­ гресії). Якщо d> 0 — прогресія зростаюча, якщо d< 0 — спадна. Позначення: а \ - перший член, d - різниця, п - кількість членів, ап — л-й член, S„ - сума перших п членів.

23

Я„=Я| +•СІ(П- 1) а к - \ + ак+\

к —2 , 3 , . . . , п - I ,

а^+ а^ар+ йд, й| + ап 5 Я= —

де к+т=р+д, 2а] + с1(п— 1)

2—

2

п '

3.2. Геометрична прогресія Геометрична прогресія — послідовність чисел Ьп, в якій кожний слідуючий член, починаючи з другого, утво­ рюється з попереднього за допомогою множення на одне і те ж стале для даної послідовності число д (д —зн а м е н ­ ник геометричної прогресії).

24

Позначення: Ь і — перший член (6*0), <7 - знаменник (<7* 0), Ь„ - п-Рі член, Бп - сума перших п членів. ьп ~ ь \^

’

к-\Ь к + ь

Ьк&т ЬрЬд, „

**

к = 2 ,3 ,...,п —

1,

де к~^м р ^ у ,

М І-/) 1-9

Якщо І9І< І , то при необмеженому зростанні «(«—>оо) сума прямує до числа 5 (сума нескінченно спадної геометричної прогресії): Ьі

4. КОМБІНАТОРИКА ТА БІНОМ НЬЮТОНА Число перестановок із п елементів РЙ=І »2*... • (л -І)л - пі Число розміщень із п елементів по т < = < » - і)< п - 2

1) > =

Число комбінацій із п елементів по т

.

Справедливі слідуючі властивості комбінацій: тп п-т ^ їті і 1_х-г/я+1

с и+ ї >

с ° + с > с ^ + ...+ с ;‘І+ с ”= 2". Ф о р м ул а б ін о м а Н ью т о н а

( а И ) п= с У Ь ° + с у - іЬ + . . . + С у ь п^ =ап+пап-'Ь+ЛІПШІЇ ап'2Ь2+. .+ 1• 2 + я ( я - 1 )-(/і-(т ~ 1 )) а"'тьт+...+Ья~ 1 • 2 • ... • т -~ УУ \0Сп г тпп-тИт “ Ь ,

27

N ' ЛЄЛЛ

(т+ 1)-й член розкладу бінома Ньютона має вигляд т п-ттт

т + \ ~ С па

Ь

,

причому

1+С^+С^+...+С"'|+1=2л, і + с п2+с*п+...= с!,+ с3 п+ ф . . .

5.

ВЕКТОРИ

5.1. Загальні поняття Модуль вектора

а = {х,у,і} 28

Якщо А ( х ІУу ь і \ ) , B(x2, y2, z 2), то А В = { х 2- х , , у 2- у і, Z2- Z \ ) .

Якщо а |= { х ,,у ;,г і} , ~a2= {x2,y 2,z 2), то а х± а 2= { х і ± х 2, у {± у 2, Z \ ± Z 2}.

Якщо вектори О) і а2 к о лі не а р н і , то

£ і= 1 і = І1 *і У\ гІ • Якщо а, Р, у —кути, які утворює вектор а з додатними напрямками координатних осей, то cos a, cos|3, c o s y н а п р я мн і к о с и н у с и вектора а.

Якщо а0 - орт вектора a = { x ,y ,z ), то * Г І Щ >Щ , j~fMcosoc, cos ß, cos у}.

5.2. Скалярний добуток векторів а Ь~\а\ j/>|cos(p = |a | пр.~А-?=|А| п р.^а . Інші позначення; ( а Ь );

( а , Ь ).

Якщо a ^ { x i , y l t z i ) t b = { x2, y 2, z2} , ? o ä b = x ]x 2+ y , y 2+ z , z 2 , ab CO S(D=?-=— —-

x ix 2+ y ly 2+ z i Z2

'^xf+ yf+ zi ^ x 2+y2+z2 30

_

Скалярний квадрат а а = а 2= \ а 2\ . Необхідна і достатня умова перпендикулярності векторів: аЬ = 0 або х 1Х2 + у 1у 2+ і ] І 2 —®В л а ст и в о с т і ск а л я р н о го д о б у т к у

1. а Ь~ Ь а .

2. (Іса Ь)=к(а~Ь) .

3. а{ Ь + с)= а Ь+ а с .

4. ( а 6) 2< а2 Ь2 (нерівність Коші - Буняківс.ького).

31

6.

ТРИГОНОМЕТРІЯ

6.1. Знаки тригонометричних функцій Чверть

а 0<а<-т Лу у •у< а <п ✓ у Іт % л<а< — 3Пу у ґ\ — <а<2л

6.2.

.

1 II III

с\%а

БІаа + +

сова

—

—

+

+

—

+

—

—

IV

+

+

+

—

—

—

Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу о

т

а + сов а = 1, !

1+сіе2а =-т'і— , він а біп

>С

І

l+tgга = — з— , сов а і§а^а=1.

32

6.3. Формули зведення Аргумент <p л-a

37C 371■+a , 2k- a 2 ~a — 2 -sin a -c o sa -c o sa -sin a Jt+a

№■ I H sin<p cos a

§+a cosa

COS(p sina

-sin a -c o sa -cos a -s in a

sina

cosa

sina

tgq>

ctga

-ctg a

- tg a

tg a

ctga

-ctg a

- tg a

ctg(p

tg a

- tg a

-ctg a

ctga

tg a

- tg a

-ctg a

6.4.

Формули додавання

sin (а + Р)= sina cosp + cosa sin (3 , sin (a — P) = sina cos p - cosa sinp , 33

cos (a + p)= cosa cos(3 — sina sinp , cos (a - j3)= cosa cosp + sina sin В ,

‘8 <« + » = 7 * 7 ^ 6.5.

■

« <“ - » “ Т

Ї ^

'

Формули подвійного і потрійного аргументів sin 2а = 2 sin a cosa , cos2a = cos3a -sin 2a--2cos3a —1= I—2sin2a ,

2tga tg 2a = --—«-r— 1 -tg a

„ 1—tg2a cos 2a = - - - - - — l+ tg -a

. „ 2tga sm 2a -" 7 7 7 1 — > 1+tg a

sin 3a — 3sina —4sin3a , cos 3a - 4cos3a - 3cos a , 34

. 3 tg a -tg a tg 3a = — , 1 - 3 tg a

6.6. a

t , ctg a ~ 3 c tg a ctg 3a = —f —-5— 7— 3ctg4a - 1

Формули половинного аргумеїпу , .l l + c o s a

cos ~2 = ± V —

. a , л I—cos a sin - j = ±

----- ,

a _ + . 1 -c o s a _ 1- c o s a _ sin a 2 ~ ) 1+ cosa sin a 1+ cosa 6 .7 .

Формули зниження степеня

2 l+cos2a cos a = -z ,

. 2 !—cos 2a sin a = ------~— — 35

6.8. Формули перетворення суми в добуткок sin a + sinp —2 sin а -І~Р: cos и 2 2 s i n a —sin В =2 sin c o s 2 2 c o s a -<•cos[}„= 2 c o

twa + g • bP ■ ctg p

.

s C0SI*zJL ;

cosa —cos p = - 2 s in - j ^ l + c o s 2 a = 2 e o s 2a ,

,

s in -

,

~1—c o s 2 a = 2 s i n 2a ,

cos a cos p ’ ±a)

■

6.9. Формули перетворення добутку в суму cos a cos [3 —у (cos (а —(3) + cos(a+ (і)), sin a sin р =—■(co s(a-p ) -c o s (a + р)), sin a cosp = 4-(sin(a+ P) + sin (a—р)),

sin « sinß siny==-^(sin(a+ß—y) + sin(ß + y—a ) + + sin (y+ a —ß) —sin(a+ ß + Y))) sin« cosß c o sy = ^ -(sin (a + ß —y) —sin(ß + y—a ) + + sin (y + a - ß) + sin (a+ ß + y)), sin or sinß cosy = -|'(—c o s (a + ß —y)—cos(ß + y—a ) + + cos (y + a —ß) —cos (a+ ß + y)), cos a cosß cosy = -^ (cos (a+ ß —y) + cos(ß + Y -o’.)+ + c o s ( y + a —ß )+ c o s(a + ß + y )) .

38

6.10. Співвідношення міні оберненими тригонометричними функціями - -у < arcsin х < у ,

arcsin ( - х ) ——arcsin х ,

0 < arccosх < 7і ,

arccos (—х) = я —arccosх,

- y < a r c tg x < y ,

a rc tg (-x )r= -a rctg x ,

0 < arcctgх < я ,

arcctg (—x ) ~ я —arcctgх ,

я ^ х arcsm х ~ от—arccos х —arctg - 7======, z

Vі - х

я х arccos х = -у —arcsm х —arcctg 2 л/1—х ЗР

,

ТС

X

a r c t g x = y —a rc ctg x = arcsm ^ y = = = ,

тс 2

x •• T .

Vl-t-x-

arcctg x = -тс-—arctg x = arccos ■

6.11.

Найпростіші тригонометричні рівняння

Рівняння вигляду s in x = a . При |а|>1

розв’язків немає.

При |о|<1

х —(—1)” arcsinа + п%, n e Z .

Окремі випадки. а= 0 sinx = 0

х —пк, n e Z,

к

а —1

sin x = 1

х = у + 2тш, n e Z .

а=—1

sin x = —1 х = —у + 2 тсл , n e Z.

71

40

Рівняння вигляду соь х —а. При | й |> 1 розв'язків немає. При |а|<1

х= ± агссо5й+2пл, пє І.

Окремі випадки. а= 0 собх —0 а= 1

со5х = 1

а~ —1 со5х = —1

х=- 2 +пк, n є Z , х=2кп, n є Z , х~к+2кп, nєZ.

Рівняння вигляду tgх = а . х=:агс(§ а+пл, пє Z. Рівняння вигляду (Д£.Х=(2. х=йхссі% а+пк, пє ?.Г.

41

6.12. Найпростіші тригонометричні нерівності Вил нерівності

Множина розв'язків (ne Z)

sin x > ü (М < 1) sin x < а (1 а\ < 1)

х е (arcsin а+ 2лп; я - a r c s in о+2пп) х е ( —тс- a r c s in а + 2пп; arcsin а + 2тіп)

cosх > а ( |а j< 1)

х е ( —arccos й + 2тги; arccos а + 27t«)

cosx< а ({а і < 1)

х е (arccos а + 2лп; 2п—arccos а + 2кп)

tg x > a tg х< а

х е (arctg а+кп; ^- + кп) К х е ( —-у+гсп; arctg а+кп)

ctgх> а

х е {кп; arcctgа+кп)

ctg х < а

х е (arcctg а + кп; к + кп) 42

7. ПЛАНІМЕТРІЯ 7.1. Трикутники Позначення: а, Ь, с — сторони трикутника, а, (3, у — кути, протилежні до цих сторін відповідно, р~(а+Ь+с)/2 — півпериметр, /? і г — радіус описаного та вписаного кіл відповідно, Иа, И^, Ис — висоти, проведені до сторін а, Ь, с, І а * т а ~ відповідно бісектриса і медіана, проведені до сторони а. Основні спі вві дношення м і ж е л ем ен т ам и три ку тника 1. а+Ь>с

(с — найбільша із сторін).

43

2. a+|3+Y= 180°=7c (радіан), ті= 3 ,141592653... , 1 радіан = 1807^*57°17*45", Г = іс/І8 0 радіана-0,017453 радіана.

3. Теорема синусів _JL __ _ А _ ^ _JL_ =2 R sin« sin (3 siny 4. Теорема косинусів а7= Ь1+с2—2be cos а., . , 2\jp( p- a)( p~b)( p- c) па~ 6. та= у ^ Ш + 2 с 2- а 2 ,

- 2^ cos І а + ь~

_ 2ас cos -§• ~ а +с ■И

Ф о р м у л и дл я о б ч и с л е н н я площ і т р и к у т н и к а

5 = у й /г а ,

5і = у йбзіпу,

5 =-~ -,

$ =рг,

5 = \р{р—а)(р—Ь)(р -с) — формула Герона. Правильний тр ик у тн и к ( а —Ь—с). і

а 2у[:3

у -,

вл/з"

Я— — ,

а = р = у = 60° = у ,

ал[ї

г - —

Иа = Іа --= /яв

, ^ 2~ -

Пря мо к утний трикутник (у=90°, с - гіпотенуза, а, Ь — катети). . а2+Ь2 = с2 (теорема Піфагора),

5 = уй/>,

2

{ас ,

с ’

с >

^

’

"с

и с и с ■<

- проекції катетів а і Ь на гіпотенузу с), <2= СЯНІ О! = 0 005(3 = ^ « = 6 ^ ( 3 .

'7.2. Чотирикутники Бу дь - як ий опуклий чо тирику тник Позначення: с?! і <і2 —діагоналі, Ф —кут між діагоналями, а, Ь — суміжні сторони, а - кут між сторонами а і Ь, 46

Иа — висота, опущена на сторону а, 5 - площа.

5 - у о/, й723*п Ф • У к вадраті а -Ь ,

а=у,

сіі = сІ2= а^І2,

5 = у сі2.

У прямокутнику <х=у,

Б^аЬ.

У ромбі а = Ь,

<р=у,

Я ^ а ^ іп а .

У паралелограмі г/2+</22= 2(а2+ 62),

5 = ай а, 47

5 = й/>зіпа.

У трапеції (а, b - основи, h - висота, / - середня лі­ нія) s =a±Lh ,

S= lh,

S ^ y ^ s in c p ,

£, 1 'AV . Вписані та описані чотирикутники

В чотирикутник можна вписати коло тоді і тільки тоді, коли суми протилежних сторін рівні: а + с —b+ d. Із усіх паралелограмів лише в ромб (зокрема, в квад­ рат) можна вписати коло, його центр лежить на перетині діагоналей. Навколо чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли суми протилежних кутів рівні: a+Y =f}+5=7t= 180°.

48

Із усіх паралелограмів лише навколо прямокутника (квадрата) можна описати коло. Навколо трапеції можна описати коло тільки тоді, коли вона рівнобічна. Для вписаного чотирикутника справедливі формули: ас + Ьсі~ сіл сІ2 .

8 = '1{р—а){р—Ь)(р—с){р—<І) , дс

а+Ь+с+сі р,—----------

7.3.

—пшпериметр.

Многокутники

Многокутник опуклий, якщо при продозженні будьякої з його сторін увесь многокутник лежить по одну сто­ рону від цієї прямої.

49

Діагональ многокутника - відрізок, що з'єднує дві несусідні вершини. Сума внутрішніх кутів опуклого «-кутника дорівнює 2й(п-2), де й=к/ 2 — величина прямого кута. Сума зовнішніх кутів опуклого моногокутника, якщо взяти по одному при кожній вершині, дорівнює 4(І. , Число діагоналей опуклого я-кутника дорівнює - я (я -З ).

Правильні м н ог ок утник и Позначення: ап —сторона, Я —радіус описаного кола, /• —радіус вписаного кола, 5 —площа.

50

Многокутник правильний, якщо всі його сторони рівні і всі внутрішні кути рівні між собою. .

180“ .

.

0

180“

ап —2 R ssn ~ = 2/*tg — , a ^ =R ^ f i , c

nQnr

S ~ — 2— >

7.4.

a^—R ,

a$= RV 2 , c

I

~2

Di

.

360°

n s m —— .

Коло та круг

Позначення: R - радіус, L - довжина кола, 5 — площа круга, 51

180°

r^Rcos-jj-,

/ —довжина дуги, а - хорда, що стягує дугу, а - центральний кут в радіанах, що спирається на цю хорду, п° — градусна міра центрального кута.

1 = 2 к Я,

£ = я/?2,

КЯ. V _ І ‘-'сектора“

^сегмента= У

360°

_

2

о2

1=Е^ г = Я а , —т о а ~

• 2 ’

- ї і п Я * ) = у Л 2( а - БІп а ) .

52

8.

СТЕРЕОМЕТРІЯ 8.1.

Призма

Позначення: / —бічне ребро, Р —периметр основи, S —площа осно­ ви, Н — висота, Рпер —периметр перпендикулярного пе­ рерізу, 5біч - площа бічної поверхні, V — об'єм, £пов — площа повної поверхні призми.

V = S H,

Sno= S ^ + 2 S ,

S6iH = Pncpl .

У прямої призми S6i4= P l .

8.2.

Прямокутний паралелепіпед

Позначення: а, Ь, с —виміри, d —діагональ, V — об’єм, S —площа по53

вної поверхні. іі7—а2+Ь7+і;2,

V—аЬс,

8~2(аЬ+ас+Ьс).

Куб - прямокутний паралелепіпед вимірами ( а - Ь = с ) . Усі грані куба - рівні квадрати. </=«>/3,

У=а\

з

рівними

З '- 6а 2.

8.3. Піраміда Позначення: Р - периметр основи, / - апофема, Н - висота, 50СН площа основи, 5біч - площа бічної поверхні, 5ион - пло­ ща повної поверхні, V —об'єм правильної піраміди.

1 „ 1

У = \ ї т н. Зрізана піраміда Позначення: Р\, Р2 — периметри основ, / —апофема, Н - висота, 5), ^2 - площі основ, 5 — площа бічної поверхні правиль­ ної зрізаної піраміди, V - об'єм.

5 - | ( Р , + Р 2)/, у - Д ?т

8.4.

Р = у Я ( 5 ,+ л /з д + б '2). Л» лЗтт

Фігури обертання Циліндр

Позначення: Я - радіус основ!., // - висота, 6’біч - площа бічної по55

верхні, 5110в циліндра.

площа повної поверхні, Л&,=2 лД Я ,

V — об'єм

5П0В=2тг Л (Я + Л ).

Конус Позначення: Я - радіус основи, /, - твірна конуса, Я - висота, К об'єм, 5б;Ч - площа бічної поверхні, 5П0В - площа повної поверхні. У=\^жЯгН,

5біч= л /?£ ,

8п0В=кКЬ+жЯ2=кК( £+/?)■

Зрізаний конус К = ~ я //(Д ,2+ Л ,Я 2+ /г22),

5біч= л (Я , + Д2) І ,

/?і і /?2 - радіуси верхньої та нижньої основ.

56'

Куля. Сфера Об'сМ кулі К=угс/?3. Площа сфери 5 = 4 я Я2. Об’єм кульвого сектора К = у я Я 2Я. Площа повної поверхні кульового сектора 5П0В= пК(2 Н + ^ 2 Я Н - Я 2) . Об’єм кульового сегмента К =лЯ 2( Я - у ) .

57

Площа сегментної поверхні $=2тіКН ( Я — висота сегмента).

9.

А Н А Л ІТИ ЧН А Г Е О М Е Т Р ІЯ

Відстань між двома точками А(х\, у\) і В(х2, у 2) (І^ їх г -х ^ + ^ -у і)2■ Д і л е нн я відрізка в даному відношенні Якщо точка М(х,у) належить прямій, яка проходить через дві задані точки М х( хх,У\) і М 2(х2, у 2), а також відоме відношення 1 - М | М / М М 2, у якому точка М ділить відрізок М] М2, то координати точки М визначаються за формулами: ..

X ]+ ІХ 2

х

У \+ ІУ 2

\+1 5 у 58

і+я. •

Я к щ о

ТО

т о ч к а

М

є

с е р е д и н а

Л'|+Л'2 х =- ^ Г ~ ’

в ід р із к а

М

( М

2

( т о б т о

к = 1 ) ,

У\+У2 2 ‘

Пря ма лінія на площині Загальне рівняння прямої

Ах+Ву+С=0, Аг+В1*- 0. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом у=кх+Ь,

к ~ -~ ~ = Щ а ,

а —кутовий коефіцієнт прямої, а —кут між прямою і додатним напрямом осі ОХ . Рівняння прямої, що проходить через точку М (х0,>’о) Л (.х-х0)+,8( у - у о) = О

або

У -У о ^ О -^ о )-

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і м 2(х2>у 2) У-У і _ х - х { У2~Уі

х 2—х | •

Рівняння прямої у відрізках (а^О , ЬФ0), (д,0) і (0,6) — координати точок перетину прямої з осями ОХ і О У відповідно. Нормальне рівняння прямої хсо5 а+ у зіп а —/>=0, р — відстань від початку координат до прямої, а — кут 60

між додатним напрямом осі ОХ і перпендикуляром до прямої, опушеним із початку координат. Відстань сі від точки Л/(х0,у0) до прямої Ах+Ву+С—0 |/Ц)+Ду0+СІ л /Т О г

•

Необхідна і достатня умова паралельності двох прямих /І,х+5|>-+С і =0 і А2х+В2у + С 2~ 0 або у - к \ Х + Ь у і у = к 2х+Ь2 А, В, т ~ т 2 360 к ‘= к іНеобхідна і достатня умова перпендикулярності пря­ мих А і А2+В і В2—0

або 61

к \ к 2——\.

Кут а між двома прямими АіАт + ВіВі

к\ —ІС2

а* аш1лі+в}-1л]ЇГі

аб° ,іа~ттщ;-

Коло Коло - множина всіх точок площини, що знаходять ся на даній відстані від даної точки. Рівняння кола радіуса К з центром у початку коорди пат 0 {0;0) х 2+у2= Я2. Рівняння кола радіуса Я з центром в точці С(а\Ь) ( х - а ) 2+ ( у - Ь ) 2= Я 2.

62

10. ПОХІДНА Похідною функції у = /(х ) у точці х 0 називається гра­ ниця Л х о+Ах) ~ / ( ч ) ї ї ----------

„

ч

де Ах - приріст аргументу в точці ,х0.

10.1.

Правила діференціювання

Якщо с - стада, функції и (х), мДх) і у(х) - диференційовні в точці х 0, то в цій точці справедливі формули: 1. с ' = 0 ,

2. ( с и ) '- с и ', 63

3. (и, + м2+ ... + и п) '^ и \ + и2+ ... + и'„

4.

( и и ) ' = и'г)+ит>',

Похідна складної фу н к ці ї Нехай у=Р{и ) , и=и(х) і у ( х ) —? ( и ( х ) ) - складна функція. Якщо функція и(х) диференційовна в ТОЧЦІ Л'о і функція Р(и) диференційовна в точці « ()= « (х 0).. то складна функція у ( х ) —Р(и{х)) диференційовна в точці х 0 і її похідна дорівнює / ( Х 0) = Г ( « 0 ) • и ' ( х о ).

64

Похідна оберненої ф у н к ц і ї Якщо функція у = /(х ) неперервна і монотонна в окопі точки А'0 і існує похідна / '( х о ) ^ 0 , то обернена функція g(y) дифсренційовна в точці }’о ~ Д х 0) і її похідна дорівнює .. .

8 ' Ш = 1 / Г ( х 0). Похідна ф ун к ц і ї , що задана в параме тричні й формі Якщо функція у ^ у їх ) задана параметричними рівняннями х = х ( 0 , у = у ( 0 і функції х (/) і у( і) дифер еН Ц І Й О Б Н І В ТОЧЦІ /0, причому х '( / 0) ^ 0 , то функція у(х) дифсренційовна в точці х0 = х (г0) і її похідна дорівнює /_ (іу _ У І О о) Ух

*?(/())'

сіх 65

10.2.

Похідні основних елементарних функцій (таблиця похідних)

1. {хаУ ~ а х а’\ а — дійсне число,

а)

)• б

2 . (sin x )'= c o sx , 3. ( c o s x ) '= - s in x , 4. ( tg x ) '= — cos x 5. ( c t gx) ' =— , sin x 66

6 -(log” JC,' ’ T l b ' 7. ( a x) ' = a x \ n a ,

C“ * ) ' - T ( e x y = ex ?

8; (x v) '= x x(ln x + l) , 9. (arcsin x)'=-p===* , VI —x 10. (arccos x ) ' = —

..

V l-x 2

I 1. ( arctg x ), —~r~~T , 1+x 12. (arcctg x )' = -----1+x 67

11. ІНТЕГРАЛ 11.1.

Невизначений інтеграл

Функція F(x) - первісна функції /( х ) на проміжку X (скінченному або нескінченному), ЯКЩО ДЛЯ ВСІХ X з цьо­ го проміжку F ' ( x ) —f { x ) . Невизначений інтеграл від ф ункції/(х) на проміжку X — множина всіх її первісних: J/(x )rfx = F (x) + С

68

(C^const).

Найпр ості ші правила і методи і нте гру вання 1- I ( С | / | ( Х ) + С 2 / 2( Х ) +

= Сі \ / \ ( х ) <

...

+ С П/ П{ Х ) ) ( І Х =

і х + с1\ / 2 І . х ) с іх +

.. .

+

ся | / л(х)</х..

2. (] /( х ) < /х ) '= /( х ) .

3. |< //(х )= /(х ) + С.

4. \ u d v - u v —\vclu. (формула інтегрування частинами). (заміна змінної).

69

Основні формули інтегрування ( таб личні інтеграли) [ ха+[ 1. ) х а<іх=~гх + С

( а Ф - 1).

2 . і 4 “ 1пі* і + с 3. / ЯІП X СІХ — — С 05 X + С .

4. |с о 8Хй?х—віпл:+ С.

5. 1і8хс/х=-1п |со5 хі+ С.

70

). jctgXÛ?X=ln jsinx| + С.

1.

j-ry -= -c tg x + C .

I.

Jdx - — ~ = tg x + C . cos2x

9

і

fiy

j _

_

і _

Y*

(<Bfe0).

:=_ arctg_ + c

{0^ 7 b =Ta]al^

+C 71

j a ’d x = ^ + c ,

H

\ e ’d x = e * + C .

12 . J p-fr —=arcsin^+C a/ û —X ІЗ

[

(|x!<a).

, ^ —- = 1п |х + ^ х 2± о 21+ С "V xifl

14. 1— = ln |tg 4 |+ ^-

smx

Ä

1 5 .1 — О ЛС V- l n |t g ( f + f )* l + C cosx 72

(ffi^O).

11.2. Визначений інтеграл Якщо функція у —Д х ) визначена на відрізку [а,Ь] і то визначений інтеїрал функціїД:к) на [а,Ь\ є границя а = х 0< Х \ < ...< х п= Ь ,

Де

S/Є [ x h x i+]],

Ахі = х і+]- х і .

Функції Д х ) , для яких ця границя існує, називаються інтегрованими на відрізку' [а,Ь).

73

Властив ості визначеного інтегралу ь 1. \ d x - b - a . а

Ь

с

Ь

2. \ f ( x ) d x = \ f i x ) d x + \ f ( x ) d x . о

а b

с а

3. \ f { x ) d x = - } f { x ) d x . а

b Ь

Ь

4. І|/( x )r f x |< J |/(* )|rfx . а

а

74

ь 5. ) (с ,/і (х) + с2 / 2(х) + ... + с„ / п(х))сіх = О ь ь ь = С, ] / , (А) і/а + С2| / 2( а) </х + ... + с„ \ / п{х)сІх. а

а

а

6. Я к щ о /( х ) > # ( х ) на

ь

то

ь \gW dx.

а

а

7. Якщо / и і Л / - найменш е і найбільше значення функції / ( а ) на [а,Ь\ і аКЬ , то

ь т(Ь—а )4 $ / (х )( іх 4 М (Ь — а). а

75

8. Теорема про середнє. Якщо f{x ) неперервна на [a,b\, то на цьому відрізку знайдеться така точка що справедлива рівність ь \ f { x) dx ^ ib -a ) f {% ) . а

Основні правила і нтегрування 1.Формула Ньютона - Лсйбніца (основна формула інтегрального числення) ь jf(x)dx±F(b)-Fia)=F(x)t , а де F(x) — первісна для f ( x) .

2. Інтегрування частинами ь ь ^ u d v - u v \ ab - I vdu. а

а

76

3.

Формула заміни змінної

\/(х)сіх - І|/ ( г ( / » г ' ( /)Л , а де * = £ (/), о= 5 (а), 6 = £ ф ). а

Геометричний зміст визначеного і нтегралу Якщо функція у = Д х ) невід'ємна і неперервна на [а,Ь], то площа криволінійної трапеції аАВЬ обчислюється за формулою , а

Площа, обмежена двома неперервними кривими У~Уі(х) і У—Угіх), причому у2{-х) > Уі(^), та двома прямими х=а і х=Ь, дорівнює ь

Таблиця квадратів двозначних чисел Десятки 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

121

144

441

484

3

Одиниці 4 5

6

7

8

9

169 196 225 256 289 324 361 529 576 625 676 729 784 841 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 3721 3844 3969 5041 5184 5329 6561 6724 6889 8281 8464 8649

4096 4225 4356 5476 5625 5776 7056 7225 7396 8836 9025 9216 78

4489 4624 4761 5819 6084 6241 7569 7744 7921 9409 9604 9801

Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кул ів

а

0°

30°

45°

60“ 90° 120° 135“ 150“ 180“ 270“

№

0

я/6

7 Г /4

я/3

зіпа

0

соза

1 VI VI

2

2

2

1 VI VI 1 2 2 2 0 VI 1 VI 3

(Л £ (Х

_

VI

І

VI 3

я/ 2 2я/3 Зя/4

VI VI

5в/6 я Зя/2 1

0

-і 0

-

VI VI -1 2 2 -VI -1 VI 0

-

0

VI -1 -VI -

0

1 0

2

2

1

2

3

3 7.9

2

ГАЄВА Катерина Антонівна

МАТЕМАТИКА Визначення. Формули Д о ц ід ц и к д л я у ч п 'к У - І І к л а с н і т а с с т у п ч и к іп д о вузп і

і

Оптовий продаж - видавництво "JIBK” Київ-65, а/с 23, тел./факс: 455-32-91 Редактор Н.МІУгякренко Підписано до друку 12.01.03. Формат 60x80/64. Папір друк. Офс.друк. Ум.друх.арк. 2,5. Ум.фзрс.відб.6. Обл.-вид.арк.2,'/5. Тираж 1500 екз. 8ид. Ma 6/iV. Зам.№ 16-1. Видавництво НАУ. 03058 Киів-58, проспект Космонавта Комарова, 1.