Aplicación de las Derivadas

Aplicaci贸n de las Derivadas

Trazo de curvas Que una función sea derivable, significa que la gráfica de dicha función tiene curvas suaves, es decir, que podemos encontrar la recta tangente en cada uno de los puntos de la gráfica de la función.

La recta tangente en cada punto de la gráfica de la función indica cómo se comporta la función allí justamente.

La siguiente figura muestra la gráfica de una función f y algunas de las rectas tangentes que nos dan información acerca del comportamiento de dicha función f.

Veamos entonces en qué consiste el criterio de la primera derivada y cómo lo aplicamos para trazar la gráfica de una función:

Ejemplo 22: Trazar la gráfica de la función f ( x)  x3  x 2 Solución:  Calculamos la derivada de f y la igualamos a cero. Esto nos proporcionará los valores críticos, es decir, los valores del dominio de f en donde se encuentra un máximo o un mínimo relativo o absoluto de la función. Veamos: f ( x)  3x 2  2 x Hacemos ahora f ( x)  0 , es decir, 3x 2  2 x  0 Resolvemos la ecuación:

3x 2  2 x  0

x3 x  2   0

2 3 Colocamos en la recta real los valores críticos y vemos que ésta queda  2 2  dividida en tres intervalos:  ,0,  0, ,  ,    3  3  x0 o





x

Ahora, escogemos un punto de prueba en cada intervalo, para aplicar el criterio de la primera derivada y saber de esta manera cómo se comporta la gráfica de la función.

En  ,0 escogemos x=-1 y evaluamos este valor en la primera derivada: f (1)  3(1) 2  2(1)  f (1)  3(1)  2  f (1)  5 f (1)  o  f es creciente en - ,0  2 En  0,  escogemos x=0.5 y evaluamos este valor en la primera  3 derivada: f (0.5)  3(0.5) 2  2(0.5)  f (0.5)  3(0.25)  1  f (0.5)  0.25

 2 f (0.5)  o  f es decrecient e en  0,   3 2  En  ,   escogemos x=1 y evaluamos este valor en la primera 3  derivada: f (1)  3(1) 2  2(1)  f (1)  3(1)  2  f (1)  1



2  f (1)  o  f es creciente en  ,   3  Para saber hasta dónde crece o decrece la gráfica de la función f, basta con evaluar cada valor crítico en la función y de esta manera, obtenemos los denominados puntos críticos. Veamos: Evaluamos en f el valor crítico x  0 : f ( x)  (0)3  (0)2  0 . Luego, obtenemos el punto crítico 0,0 3

2

4 2 2 2 2 : f           . Luego, 3 27 3 3 3 2 4  obtenemos el punto crítico  ,   3 27  Evaluamos en f el valor crítico x 

 Para precisar un poco más el trazado de la gráfica de f, podemos determinar el punto de corte de la gráfica con el eje y. Basta con hacer x  0 y evaluarlo en la función f. Veamos: f (0)  03  02  0 Luego, obtenemos el punto 0,0

Los ceros o puntos de corte de la gráfica con el eje x no siempre es posible hallarlos debido a que no siempre corresponden a números racionales.

 Trazamos la gráfica de f. Basta con colocar los puntos críticos y el punto de corte con el eje y, en el plano cartesiano. Al momento de trazar la curva, debemos tener presente en qué intervalos crece o decrece la gráfica, para obtener un buen bosquejo de la curva de f.

Decimos que una curva es cóncava hacia arriba, como se muestra en la figura, debido que el valor de la pendiente de las rectas tangentes a la curva, de izquierda a derecha, va aumentando.

Decimos que una curva es cóncava hacia abajo, como se muestra en la figura, debido a que el valor de la pendiente de las rectas tangentes a la curva, de izquierda a derecha, va disminuyendo.

Para nuestro ejemplo, tenemos que: f ( x)  x 3  x 2 Luego f ( x)  3x 2  2 x Ahora calculamos la segunda derivada de f que consiste en calcular la derivada a la derivada de f: f ( x)  6 x  2 Igualamos a cero la segunda derivada: f ( x)  6 x  2  0 y despejamos x en esa ecuación: 6x  2  0

6x  2 2 1 x x 6 3 Colocamos este punto en la recta real y ésta queda dividida en dos intervalos: 1 1     ,  y  ,   : 3  3  

1  Escogemos un valor de prueba en el intervalo   ,  , por ejemplo x  0 , y lo 3  evaluamos en la segunda derivada: f (0)  6(0)  2  2  0 Luego, f es cóncava 1  hacia abajo en   ,  3 .  1  Escogemos un valor de prueba en el intervalo  ,   , por ejemplo x  1 , y lo 3    evaluamos en la segunda derivada: f (1)  6(1)  2  4  0 Luego, f es cóncava 1  hacia arriba en  ,   . 3  En la gráfica de la función f lo podemos verificar. Nótese además que en el 1 1 punto x  , la gráfica cambia de concavidad. Al evaluar x  en la función f, 3 3 3

2

2 1 1 1 1 2  obtenemos f           . Luego, el punto  ,  es el punto de 27  3  3  3  3 27  inflexión.

Un punto es de inflexión si allí cambia de concavidad la gráfica de una función.

Optimización Las aplicaciones de las derivadas tienen como objetivo determinar el máximo absoluto de una función o el mínimo absoluto de una función en un intervalo, que modele un problema dado.

Veamos algunos ejemplos para ilustrar la aplicación de las derivadas.

Ejemplo 23: Se cuenta con 500 metros de alambre para cercar un terreno de forma rectangular. Determinar el área máxima que es posible cercar.

Solución: Para ello, x representa el largo ( en metros ) del terreno y y representa el ancho ( en metros ) del terreno, como se muestra en la figura.

Sabemos que se cuenta con 500 metros de alambre para cercar. Luego, podemos escribir: 2 x  2 y  500 que es la ecuación del perímetro.

El área A del terreno rectangular está dada por: A  xy que es a quien debemos maximizar.

Despejando y en 2 x  2 y  500 , tenemos que: 2 y  500  2 x y

500  2 x 500 2 x y   y  250  x 2 2 2

Ahora, reemplazamos y  250  x en A  xy , para escribir el área en función de una sola variable: A  xy

A( x)  x250  x   A( x)  250 x  x 2 Ahora, derivamos la función A y obtenemos: A( x)  250  2 x Igualamos a cero la derivada: A( x)  250  2 x y despejamos x: 250  2 x  0

250  2 x 250 x  x  125 2 Luego, el valor crítico es x  125 . Este valor divide en dos intervalos la recta numérica:  ,125 y 125,  Aplicamos el criterio de la primera derivada: Escogemos un punto de prueba en  ,125 , por ejemplo x  120 , y evaluamos en la primera derivada: A(120)  250  2120  10  0 . Luego,  ,125 la función A es creciente.

Escogemos un punto de prueba en 125,  , por ejemplo x  130 , y evaluamos en la primera derivada: A(130)  250  2130  10  0 . Luego, 125,  la función A es decreciente.

lo en lo en

Así las cosas, en x  125 se presenta un máximo, ya que la función A pasa de crecer a decrecer. Entonces, basta con reemplazar x  125 en y  250  x para obtener el ancho: y  250  125  y  125 En conclusión, la mayor área que es posible cercar con 500 metros de alambre corresponde a un cuadrado de lado 125 metros.

El área máxima es A  125125  15625 metros cuadrados Ejemplo 24: Suponga que las funciones de costo total, C, e ingreso total, I, están dadas respectivamente, por: C ( x)  100 x  100

C ( x)  100 x  100 e I ( x)  180 x  x 2 en miles de pesos. Calcular la utilidad máxima.

Solución: Como la utilidad, U, está dada por: U ( x)  I ( x)  C ( x) Entonces: U ( x)  180 x  x 2  (100 x  100)

U ( x)  180 x  x 2  100 x  100 U ( x)   x 2  80 x  100 Para maximizar la utilidad, primero derivamos U: U ( x)  2 x  80 Ahora, hacemos U ( x)  0 y despejamos x:

 2 x  80  0  2 x  80  80 x  x  40 2 Luego, deberán ser producidas y vendidas 40 unidades del producto para obtener una utilidad máxima.

Se deja al lector que pruebe que efectivamente en x  40 hay un máximo. Por el momento, calculamos la utilidad máxima, así: 2 U (40)  40  80(40)  100  U (40)  1600  3200  100  U (40)  1500