Continuidad

Continuidad

El concepto de continuidad está relacionado con la no interrupción de una curva de una función en un punto o en un intervalo, decimos que una función es continua si su gráfica no presenta “huecos” ni saltos.

La continuidad es muy importante, debido a que en Matemáticas las funciones continuas son trabajadas de una manera muy particular.

Continuidad en un punto

Sea la función y = f(x), además, se a el valor de x. Se dice que f(x) es continua en x = a, si se cumplen las siguientes condiciones:

Para que una función sea continua en un punto, se deben cumplir las tres condiciones simultáneamente.

Existen casos donde se puede cumplir la primera y/o segunda condición, pero no la tercera.

Ejemplo 13: Determinar la continuidad de la función dada en x = 4 y x = 0. f ( x) 

x2 x 2  16

Solución:

 Aplicamos las tres condiciones para x = 4:

x2 42 2  2    No existe 2 x  16 4  16 0 42 2 f (4)     No existe 16  16 0 La primera y segunda condición no se cumplen, luego la tercera tampoco se cumplirá, como conclusión se puede decir que la función dada, NO es continua en x = 4.

Aplicamos las tres condiciones para x = 0: x2 02 2 1 Lim 2  2   Existe x0 0  16 0  16  16 8 02 2 1 f (0)    0  16  16 8 1 Lim f ( x)  f (0)  x0 8 Como la función en el punto x = 0, cumple las tres condiciones, se x2 concluye que f ( x)  2 es continúa en x=0 x  16 Lim x4

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