Derivadas
Pendiente de una recta tangente La recta secante toca la curva en dos puntos y la recta tangente toca la curva en un punto
La figura muestra la gráfica de una función f, continua en un intervalo I.
Nótese que el punto A tiene coordenadas x, f x y el punto B tiene coordenadas a, f a . Al unirlos mediante una línea recta, observamos que esta recta cruza a la curva f en dos puntos. A esta recta se le llama, recta secante. Si queremos encontrar la recta tangente a la curva f en el punto A, debemos calcular la pendiente de la recta secante AB, así: f ( x) f ( a ) m xa Hacemos que el punto A se aproxime al punto B a lo largo de la curva f, lo cual significa que x se aproxime al valor a. Como podemos observar en la siguiente figura, vamos a obtener varias rectas secantes antes de obtener una recta tangente que pase por el punto B.
Luego, se define la recta tangente a la curva f como la recta que pasa por el punto B y cuya pendiente se calcula así: f ( x) f ( a ) m Lim xa xa Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva f ( x) 3x 2 2 , que pasa por el punto 3,29 Solución Debemos arrancar hallando m: f ( x) f (3) m Lim x3 x3 2 2 3x 2 (33 2) m Lim x3 x3 2 3x 2 27 2) m Lim x3 x 3 2 3x 27 3 x2 9 3x 3x 3 m Lim Lim Lim Lim 3 x 3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 m 3(3 3) 18 Luego, la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x) 3x 2 2 que pasa por el punto 3,29 , es: m 18 . Ahora, para encontrar la ecuación de la recta, debemos recordar que ésta tiene la forma: y mx b . Basta entonces con reemplazar los datos conocidos y en esta ecuación para hallar el valor de b. Veamos: y mx b
29 18(3) b 29 54 b b 29 54 b 25 Luego, la ecuación de la recta tangente buscada es: y 18x 25 . Veamos la gráfica de la función f junto con la ecuación de la recta tangente:
Es usual calcular la pendiente de la recta tangente de la siguiente manera: si se hace h x a , entonces, x h a , de modo que ahora podemos escribir f ( x) f ( a ) como: m Lim xa xa f ( a h) f ( a ) m Lim h0 h
Ejemplo 2: Encontrar la derivada de la función f ( x) Solución: Utilizamos la definición y escribimos:
x en a=3
f ( a h) f ( a ) h ah a f (a ) Lim h0 h a h a a h a . f (a ) Lim a h a h0 h f (a ) Lim h0
f (a ) Lim
2
2
ah a ah a ah a h0 h ah a aha h f (a ) Lim f (a ) Lim f (a ) Lim h0 h h0 h h0 ah a ah a 1 1 1 f (a ) f (a ) f (a ) a0 a a a 2 a
1 ah a
Como a=3 tenemos: 1 3 3 3 3 f (3) * f (3) f (3) 2 2*3 6 2 3 2 3 3 Este es el valor que corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x) x que pasa por a=3
Derivadas Básicas Derivada de una constante El fundamento de la derivación es la ocurrencia de un cambio, cuando se tiene una constante no sucede un cambio, luego la derivada en este caso es cero.
Ejemplo 3: Dada la función f ( x) 20 Hallar f (x) Solución: f ( x) 0
Derivada de una variable La derivada de la variable, también se le conoce como la derivada de la función identidad, ya que la función identidad es donde la variable es la misma función.
Ejemplo 4: Dada la función h(t ) t Hallar h(t ) Solución: h(t ) 1 Derivada de la potencia Cuando se tiene una función de la forma f(x) = xn, para derivar se hace referencia al desarrollo de la expansión binomial, por medio de lo cual se puede resolver un producto notable cuando el exponente es un entero positivo.
Ejemplo 5: Sea la función f ( x) x5 Hallar f (x) Solución: f ( x) x 5 Aplicando la regla de la potencia tenemos: f ( x) 5 x 51
f ( x) 5 x 4 Ejemplo 6: Sea la función g ( x) x Hallar g (x) Solución: 1 2
Nótese que g ( x) x la podemos escribir como g ( x) x . Luego, aplicando la regla de la potencia, tenemos que: 1 1 2 1 g ( x) x 2 1 1 1 1 g ( x) x 2 g ( x) 1 g ( x) 2 2 x 2x 2 Derivada de una constante por función
Ejemplo 7: Determinar la derivada de f ( x) 10 x3 Solución: Aplicando la regla tenemos: f ( x) 103x31 f ( x) 30 x 2 Ejemplo 8: Determinar la derivada de f (m) 50m12 Solución: Aplicando la regla tenemos: f (m) 5012m121 f (m) 600 x11