FascĂculo
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Fundamentos de MatemĂĄticas Semestre 1
Fundamentos de matemáticas
Tabla de contenido
Página
Introducción
1
Conceptos previos
1
Mapa conceptual fascículo 2
3
Logros
3
Conjuntos numéricos
3
Conjunto de los números naturales
4
Conjunto de los números enteros
5
Conjunto de los números racionales
8
Conjunto de los números irracionales
11
Conjunto de los números reales
12
Operaciones y propiedades fundamentales
13
Potenciación, radicación y logaritmación
17
Propiedades
18
Actividad de trabajo colaborativo
22
Resumen
22
Bibliografía recomendada
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Nexo
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Seguimiento al autoaprendizaje
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Créditos: 3 Tipo de asignatura: Teórica - Práctica.
Fundamentos de matemáticas
Semestre 1
Fundamentos de matemáticas
Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples” Bogotá, D.C. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación. La redacción de este fascículo estuvo a cargo de HERNÁN ALBERTO DÍAZ GONZÁLEZ Sede Bogotá, D.C. Orientación a cargo de; ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacional de Material Educativo. Diseño gráfico y diagramación a cargo de SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Mayo de 2008
Semestre 1
Fundamentos de matemáticas
Introducción Conjuntos numéricos Los conjuntos que revisten una gran relevancia dentro de las matemáticas, son los conjuntos numéricos, y es primordial el estudio de las diferentes propiedades y operaciones que pueden definirse entre ellos. En este fascículo se sintetiza el estudio tanto de la adición como del producto, enunciando las propiedades y reglas que deben tenerse en cuenta en el momento de realizar dichas operaciones básicas, en cada uno de los conjuntos numéricos, lo cual va permitiendo articulación y continuidad, con el trabajo desarrollado en el anterior fascículo con las proposiciones lógicas y los conjuntos. Se presenta una descripción de los diferentes sistemas numéricos, mostrando cómo se constituye el sistema de los números reales, atendiendo a que toda la contabilidad se lleva a cabo en el campo de los números reales. Posteriormente, en forma general, se presentan las operaciones de potenciación y radicación junto con sus propiedades, ya que estas últimas van a permitir la simplificación del proceso operatorio en los reales y más adelante en otros conjuntos.
Conceptos previos Para tener un manejo más apropiado de los conceptos de la temática propuesta en este fascículo, se requiere que
además de tu auto-
motivación, buena disposición e interés personal reflexiones y respondas los siguientes interrogantes: 1. ¿Qué diferencia encuentras entre una operación y una propiedad?. 2. ¿El conjunto de los enteros un subconjunto de los números racionales? 3. Describe el procedimiento para la obtención del tanto por ciento de un Fascículo No. 2 Semestre 1
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas valor. 4. Dé el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) La suma de dos enteros negativos es un entero positivo ( ). b) La suma de dos enteros negativos es un entero negativo ( ). c) La suma de un entero negativo con un positivo es siempre un entero negativo ( ). d) La suma de un entero negativo con un positivo es siempre un entero positivo ( ). e) El producto de dos enteros negativos es siempre un entero positivo ( ). f) El cociente de dos enteros negativos es siempre un entero negativo ( ). g) El cociente de un entero negativo con uno positivo es siempre un entero negativo ( ). h) El cociente de dos fracciones se efectúa mediante una multiplicación cruzada ( ). i) El producto de potencias de igual base se simplifica sumando las bases y los exponentes ( ).
Mapa conceptual fascículo 2 CONJUNTODELOS N. REALES
PUEDESER
CONJUNTOS DELOS N. IRRACIONALES
CONJUNTOS DELOS N. RACIONALES CONFORMADOPOR CONJUNTOS DELAS FRACCIONES
CONJUNTOS DELOS N. ENTEROS CONFORMADOPOR
CONJUNTOS DELAS NEGATIVOS
Fundamentos de matemáticas
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CONJUNTOS DELOS N. NATURALES
Fascículo No. 2 Semestre 1
Fundamentos de matemáticas
Hernán A. Díaz González
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Analiza los diferentes sistemas numéricos. Identifica las operaciones básicas entre los números reales. Aplica las diferentes propiedades y operaciones en situaciones propias del área económico-administrativa. Identifica y aplica las propiedades de la potenciación y la radicación para simplificar resultados.
Conjuntos numéricos A través del desarrollo histórico, el hombre se ha venido organizando cada vez más en el aspecto social, y en ese proceso de transformación y de organización social, ha tenido que descubrir y crear herramientas que le permitan dar explicación a los eventos propios de dicho avance. El Ser Humano inicialmente contaba o enumeraba los objetos y cosas de la naturaleza, posteriormente, empezó a producir o colectar más de lo que necesitaba para subsistir y entonces se vio en la necesidad de establecer trueques y ventas con los productos que, de alguna manera, sobraban y no eran trascendentales para él. Con estas actividades de intercambio, se inicia cierta forma de comercio y con éste, el registro de ésta nueva actividad para poder ejercer control sobre la misma. Estos procesos se van a perfeccionar aún más con la creación de las cantidades negativas, que posteriormente con la aparición de las fracciones, y la posibilidad de expresar estas últimas en forma decimal, van a constituir lo que conocemos como expresiones o números reales. Podemos decir que en ese devenir histórico se han venido construyendo paulatinamente cada uno de los conjuntos numéricos, partiendo de los naturales hasta los reales.
Fascículo No. 2 Semestre 1
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas Conjunto de los números naturales El hombre al tener percepción y conciencia de los objetos y cosas de la naturaleza, crea la necesidad de contar o enumerar dichos elementos, desprendiéndose implícitamente de allí el concepto de número natural. Los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…. constituyen el conjunto de los números naturales, el cual se nota con la letra N. N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,12,13,…} Los naturales son un conjunto ordenado el cual se acostumbra a representar sobre una semi-recta que se extiende a la derecha, a
Semi-recta: Un punto cualquiera H sobre una recta y todos los infinitos puntos que le preceden en un solo sentido establecen un conjunto de puntos llamado semi-recta.
intervalos igualmente espaciados, y denominada semi-recta natural. Ver figura No. 2.1
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Figura 2. 1 Semi-recta de los números naturales
Con la utilización de este conjunto se resuelven ecuaciones sencillas como por ejemplo: x + 3 = 7, donde x = 4 , 4 ∈ N En relación con lo anterior, hallemos el valor de verdad de las proposiciones: a) La cantidad de artículos en un proceso de producción es un número natural (V) b) La cantidad de empleados en un proceso de producción es un número natural(V) c) La cantidad de un sobregiro en una cuenta corriente es un número natural(F)
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Fascículo No. 2 Semestre 1
Fundamentos de matemáticas Podemos efectuar algunas operaciones entre los conjuntos numéricos, como la suma y la multiplicación: 103.456 + 207.002 = 310.458 25.745 * 765 =
310.458 ∈ N
19.694.925 ∈ N
No obstante, al efectuar: 105.823 – 285465 = – 179.642 ∉ N o 245.348 ÷ 125 = 1.962,784∉ N Esto debido a que la resta y la división no son posibles, es decir, no son cerradas en este conjunto. La sencilla ecuación x + 7 = 3 no tiene solución en los naturales, para resolverla se hace necesario la existencia de opuestos, por lo tanto su
Opuesto: El opuesto de cualquier número a ; es un número que se expresa anteponiendo el signo (–), es decir (– a ) y recibe el nombre de inverso aditivo. El opuesto de 5 es –5, el opuesto de –4 es – (– 4) = 4
solución se obtiene en otro conjunto numérico.
Conjunto de los números enteros Con la aparición de situaciones donde hace falta para, de déficit, de deuda y de equilibrio, arbitrariamente surgen las cantidades negativas. Cada uno los números naturales tiene un opuesto excepto el cero que es llamado el negativo de dicho número, con ellos se forma un conjunto llamado de los enteros negativos, se nota Z (− ) . Ampliamos el conjunto de los números naturales con los números negativos y el cero, conformando el conjunto de los números enteros, el cual se nota Z . Z = Z (− ) U {0} U Z (+ ) Z = {…-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} Los números enteros son un conjunto ordenado ascendentemente de izquierda a derecha, es decir de menor a mayor, los cuales se representan en una recta llamada recta entera. Fascículo No. 2 Semestre 1
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Figura 2.2 Recta de los números enteros.
Para todo par de números enteros h y q, h es mayor que q siempre que la diferencia de h con respecto a q sea una cantidad positiva, es decir, si (h, q)
∈ Z , h > q si y solamente si (h – q) ∈ Z (+ ) . En este conjunto se resuelven ecuaciones sencillas como por ejemplo: x + 7 = 3, donde x = –4 , –4∈ Z Hallemos el valor de verdad de las proposiciones: a) La cantidad de artículos en un proceso de producción es un número entero negativo(F) b) El valor del resultado del ejercicio de una compañía es un número entero(V) c) Un sobregiro en una cuenta corriente puede ser un número entero negativo(V) Podemos en los enteros efectuar las operaciones de suma, resta y multiplicación. 123.895 – 245.665 + 842.007 – 1.978.003 + 503.448 = 1.469.350 – 2.223.668 = – 754.318∈ Z (– 24)(– 23.005)(56)(– 3) = – 92.756.160∈ Z
La división no es posible, la sencilla ecuación 3x = 1 no tiene solución en los enteros, ya que la solución es x =
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1 ∉ Z , y en los enteros no existen 3 Fascículo No. 2 Semestre 1
Para tiene ley de
Fundamentos de matemáticas inversos, por lo tanto, la solución se obtiene en otro conjunto numérico
Figura 2.3 Tomada de www.galeon.com/mponce/Archivos/caricaturas.
En la caja de caudales de un BANCO se tienen 10 bolsas con monedas, en cada una hay un cierto número, en 9 de ellas hay monedas buenas cuyo peso es de 10 g y en una bolsa hay monedas falsas cuyo peso es de 9 g. Se necesita determinar cuál es la bolsa de las monedas falsas utilizando una única vez una báscula electrónica: Explique ¿cómo?
Conjunto de los números racionales Tomar una parte o porción de un todo se convirtió en una necesidad que finalmente, fue el punto de partida para llegar a considerar las fracciones. Se llama fracción a un número de la forma:
a , con a,b∈ Z , b ≠ 0. b recibe el nombre de denominador y a el nombre b de numerador Toda fracción
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a , tiene un inverso b
−1
b a b ⎛a⎞ y es tal que • = 1 ⎜ ⎟ = a b a ⎝b⎠
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Fundamentos de matemáticas Las fracciones se puede expresar de una de las cuatro formas a saber: a) Como una fracción de la forma
a b
b) Como una razón de la forma a : b , se lee “ a es a b ” c) Como una expresión decimal, mediante la división de a sobre b d) Como un porcentaje, en forma decimal y multiplicada por 100 Ejemplo Podemos aplicar lo anterior en situaciones problémicas del ambiente empresarial. A. En un proceso de producción si de cada 4 artículos elaborados 3 salen sin defectos se dice que la razón de los artículos buenos con relación a los artículos producidos es 3 a 4. Si expresamos la fracción decimal se tiene 30
3 en forma 4
4
20 0,75 0 Como
3 = 0,75 decimos que el 75 % de la producción no sale defectuosa. 4
B. Hallar el monto del impuesto de venta (T) pagado por un artículo que se vendió a un precio (p) de $ 14.000 usando la fórmula T = 0.08p ¿Cuál es la tasa de impuesto pagado?. Inicialmente, para hallar el monto del impuesto de venta pagado (T): (T) = 0.08 (14.000) = 1120. Para determinar la tasa, como se cobra el 0.08 0.08 =
(0.08)(100) 8 (que es el 8 %). = 100 100
Luego, para obtener el tanto por ciento de una cantidad basta multiplicar la cantidad por la expresión decimal equivalente al porcentaje. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división están definidas.
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Para l cuenta signos
Fundamentos de matemáticas − 22 + 4 1 7 3 15 1 − 7 + 3 − 15 18 9 − + − = = = − =− 4 4 4 4 4 4 4 2 7 1 3 5 105 − 20 + 36 + 50 − 20 + 191 171 57 − + + = = = = 4 3 5 6 60 60 60 20 ⎛ 6 ⎞⎛ 15 ⎞⎛ 2 ⎞ (−6)(15)(−2) (−1)(3)(−1) 3 = = ⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ − ⎟ = 25 • 4 • 3 5 •1•1 5 ⎝ 25 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 3 ⎠ −
5 15 5•4 1• 2 2 =− =− =− ÷ 2 4 2 • 15 1• 3 3
Establecemos el conjunto de los racionales como el conjunto formado por todas las fracciones, se representa con la letra Q
a Q = {x , x = con a,b ∈ Z , b ≠ 0 } x b
Todo número entero se puede ver como un racional cuyo denominador es la unidad.
Cada uno de los números racionales, se expresa decimalmente de una y sólo una de las tres siguientes formas: a) Como un decimal finito b) Como un decimal infinito periódico puro c) Como un decimal infinito periódico mixto Ejemplo
−
3 = −3 ÷ 4 = −0.75 parte decimal finita 75 4
27 3 3 = = 3 ÷ 11 = 0.272727... periodo 27. = 0, 27 99 11 11
−
1475 295 59 =− =− = −1.638888.... parte decimal finita 63 parte periódica 8. 900 180 36
−
59 = –1,63 8 36
Todo número racional tiene una representación decimal, ya sea, decimal finita o decimal periódica. Todo número cuya representación decimal no cumple con lo anterior no es un número racional. Fascículo No. 2 Semestre 1
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Fundamentos de matemáticas
La sencilla ecuación x 2 = 8 no tiene solución en los racionales, ya que la solución es x = ± 8 ∉ Q . Ésta es una cantidad decimal infinita pero no periódica, por lo tanto la solución se obtiene en otro conjunto numérico. 2.1
1. ¿A cuál conjunto numérico pertenecen los siguientes números? • 49
64 81
• •
7 3 1
• 52 2. Utiliza tu creatividad y construye 3 proposiciones acerca de los conjuntos numéricos, propias del contexto de la contaduría 3. Escribe con tus palabras una definición de número irracional. 4. Si en una empresa de cada $ 2.500 que se obtienen de utilidad $ 900 se reinvierten en la misma empresa ¿cuál es la razón entre la utilidad y lo que se reinvierte? , ¿cuál es el porcentaje de reinversión?. 5. Con relación a la empresa anterior, si en un mes se obtuvo una utilidad de $10.745.825 ¿Cuánto se reinvirtió en la misma empresa?. 6. Camilo y Heidy para la clase de creación de empresa inventaron una receta para un refresco. La mezcla que hicieron consta de : 3/2 de taza de jugo granadilla, 4/13 de taza de jugo de lima, 7/2 de taza de jugo de naranja y 8/3 de jugo de manzana. Si poseen tres recipientes con capacidad de 5 tazas, 7 tazas y 8 tazas respectivamente ¿Cuál de ellos es el más apropiado para realizar la mezcla?
Figura 2.4 Tomada de www.galeon.com/mponce/Archivos/caricaturas.
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Fundamentos de matemáticas Conjunto de los números irracionales Si queremos obtener la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 2, en los números racionales no la encontramos. Utilizando el teorema de Pitágoras podemos expresar su valor como x 2 = 2 2 + 2 2 = 8 la solución sería x=
8∉Q
La relación que existe entre dos de los lados más cortos de un triángulo rectángulo llamados catetos y el lado más largo llamado hipotenusa, fue descubierta por una hermandad griega re-conocida como los Pitagóricos. Determinaron que la suma de cada uno de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado, dicha relación se expresa como h 2 = c12 + c 22 y es conocida como teorema de Pitágoras.
Existen otros números como
8 que no se pueden expresar como el
cociente de dos números enteros, estas expresiones corresponden a decimales infinitos no-periódicos; como no son racionales reciben el nombre de números irracionales, son irracionales por ejemplo: –4,010010001000010000010000001…
π = 3,141592654… 6,123456789101112131415161718192021…
8 = 2,828427125…
e = 2,718281828… 3
131 = 5,078753078…
Todas las raíces de cualquier orden que sean inexactas. El conjunto de los números irracionales se representa mediante la letra I .
I = { x , x es un número cuya expresión decimal es infinita no- periódica}. x Las operaciones usuales de suma, resta, multiplicación y división no son
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Fundamentos de matemáticas cerradas en los irracionales, es decir no siempre dan un número irracional
3 7 ∈ I ,−3 7 ∈ I pero 3 7 − 3 7 = 0 ∉ I 5 3 ∈ I ,−4 3 ∈ I pero (5 3 )(−4 3) = –60 ∉ I 8 3 ∈ I ,−4 3 ∈ I pero (8 3 ) ÷ (−4 3 ) = –2 ∉ I
El número irracional e será estudiado con mayor profundidad en el siguiente curso de matemáticas, ya que éste es base de un tipo de interés que recibe el nombre de interés compuesto continuo.
Conjunto de los números reales El conjunto de los números racionales Q está formado por todos los números que se pueden expresar decimalmente, como decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números irracionales ( I ) por todos los números que se expresan decimalmente, como decimales infinitos no-periódicos; luego los conjuntos Q e I
son disjuntos
(Q I I = φ ) .Se conforma el conjunto de los números reales como la unión de los números racionales y los números irracionales. Se simboliza con R Luego R = Q U I
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Fundamentos de matemáticas Podemos decir que un número real es todo aquél que se puede expresar decimalmente. Los números reales pueden ser representados en una recta horizontal llamada recta real, en donde se establece una correspondencia biunívoca,
Un número real se puede expresar decimalmente de cualquiera de las siguientes cuatro formas: Decimal finito, decimal infinito periódico puro, decimal infinito periódico mixto y decimal infinito no-periódico.
es decir, para cada punto existe un número real y para cada número real existe un punto en la recta, debido a que la cantidad de números reales, entre dos, es infinita. Usualmente, se ubican algunos de ellos en la representación en la recta, de acuerdo al valor que tengan los números a los cuales queremos hacer referencia. Para representar números irracionales en la recta real nos valemos del teorema de Pitágoras
2 =
12 + 12
1 –2 − 2 –1
0
1 2
1
2
2
e 3
Figura 2.5
Operaciones y propiedades fundamentales Los números reales por sus características y por ser un conjunto demasiado denso, es cerrado para la gran mayoría de las operaciones, a la vez que satisface una serie de propiedades que permite en el mayor de los casos simplificar los resultados de las mismas. Se presenta a continuación una tabla donde veremos la operación y las propiedades que cumple dicha operación.
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Fundamentos de matemáticas Operación Suma Resta Multiplicación
División
Cerradura
x
x
Asociativa
x
x
Conmutativa
x
x
Modulativa
x
x
Invertiva
x
x
Propiedad
Distributiva
X
(con
x
Suma y resta
respecto)
Suma
y
resta Cuadro 2.1 Propiedades de las operaciones de los Números Reales.
Algunas personas, en ciertas situaciones cotidianas, realizan con gran rapidez el cálculo operatorio aplicando propiedades de las operaciones para simplificar los resultados, por ello es importante en el desarrollo de situaciones problémicas la aplicación de
dichas propiedades en su
planteamiento y solución. Ejemplo: En una empresa de asesorías estipularon los siguientes salarios: Contadores un salario básico mensual de $ 100.000 más $ 15.000 por cada hora diaria de informes presentado. Los auxiliares un básico mensual de $ 50.000 más $ 10.000 por cada hora diaria de informes presentado. Uno de los auxiliares entra a las 8 a.m. durante la primera quincena y trabaja 12 días, 8 horas diarias, mientras que el contador durante los 12 días entra a las 12 m. Y trabaja 5 horas diarias. ¿Qué observa el pagador al comparar los desprendibles de pago?. Si un día cualquiera se realiza un estudio de sueldo y el contador inició labores a las 10 a.m. y el auxiliar a las 8 a.m., cuando sean las 2 p.m. ¿Cuál habrá ganado mayor salario?. Si cada uno se propone ahorrar lo que les sobra; ambos trabajan durante 22 días 8 horas diarias, el contador se gasta 2/3 de su sueldo en tanto que el auxiliar 5/7 del
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Fundamentos de matemáticas sueldo.¿Cuál es el ahorro de cada uno?. Solución: Vale la pena aplicar propiedades de las operaciones para simplificar el proceso: a) en una quincena se labora aproximadamente 12 días. Salario básico auxiliar en una quincena 50.000 ÷ 2 = 25.000 10.000 * 12 * 8 = 10.000 * 96 = 960.000, por tanto el salario total sería: 960.000 + 25.000 = 985.000 Salario básico del contador es 100.000 ÷ 2 = 50.000 15.000 * 5*12 = 15 * 1000 * 5 * 12 = 15 * 1000 * 60 = 15 * 6 * 10.000 =900.000, por lo tanto el salario total sería: 900.000 + 50.000 = 950.000 Luego el pagador concluye que el auxiliar recibió una asignación mayor. b) El auxiliar ha ganado 10.000* 6 = 60.000 + 50.000 / 30 = 61.666,66 El contador ha ganado 15.000*4 = 60.000 + 100.000/30 = 63.333,33 c) En un mes se labora aproximadamente 22 días. Salario básico del auxiliar en un mes 50.000 10.000*8 * 22 = 10.000 * 176 =1.760.000, por lo tanto el salario total del auxiliar sería 1.760.000 + 50.000 = 1.810.000 Ahorra 2/7 de su salario, luego ahorra (1.810.000 / 7) * 2 = 517.142,85 Salario básico del contador en un mes 100.000 15.000* 8* 22 = 15 * 1.000 * 8* 22 = 2.640. * 1.000 = 2.640.000, por lo tanto el salario total del contador sería 2.640.000+100.000 = 2.740.000 Ahorra 1/3 de su salario, luego ahorra (2.740.000 / 3) = 913.333,33
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas 2.2
1. En una empresa se producen pernos con medidas que van de media pulgada hasta pulgada y media, variando un dieciseisavo de pulgada. Si un cliente dice que un perno de media pulgada le es pequeño y el de cinco octavos un tanto grande, ¿será que se tiene el perno que él necesita?. Si para otro cliente un perno de tres cuartos de pulgada es demasiado pequeño y uno de siete octavos es demasiado grande ¿qué tamaño es el que requiere?. Más que hacer énfasis en la técnica de las operaciones, es importante la aplicación de las propiedades de dichas operaciones para que nos permitan simplificar los resultados. Se presentan una serie de situaciones numéricas donde se han aplicado varias de las propiedades que satisfacen los números reales y que nos permiten simplificar la operatoria. 2. Narra brevemente el proceso de la operación que se sigue en cada una y la propiedad(es) que se aplica(n) i) ii) iii) iv) v) vi)
278.755 – 299.840 = 278.755 + ( – 299.840) = – 21.085 1´456.890 – ( – 127.560) = 1´456.890 + 127.560 = 1´584.450 0.16( 22,12 + 5,35) = 0.16 * 22,12 + 0.16 * 5,35 = 4,3952 – (345.780 – 265.455) = – 345.780 + 265.455 = – 80.325 ( –45)(23.450) = – (45 * 23.450) = 45 (– 23.450) = – 1´055.250 ( –75)(– 223.450) = 75 * 223.450 = 16´758.750
⎛ 1⎞ ⎛ 78.985 ⎞ ⎛ 323 ⎞ viii) 453⎜ ix) ⎟ = 78.985 ⎟ = 323⎜ ⎟ ⎝ 33 ⎠ ⎝ 453 ⎠ ⎝ 33 ⎠ ⎛ 1 ⎞ 987⎜ ⎟ =1 ⎝ − 987 ⎠ ⎛ 47 ⎞⎛ 7 ⎞ 47 • 7 329 ⎛ 44 ⎞⎛ 7 ⎞ 4 • 1 4 xi) = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 33 ⎠⎝ 11 ⎠ 33 • 11 363 ⎝ 35 ⎠⎝ 11 ⎠ 5 • 1 5
vii) ⎜
x)
–
xii) 1´234.455 + 345.650 + 65.545 – 345.650 = 1´300.000 xiii) 375.234 * 25 * 4 = 37´523.400 xiv) 23.9000 * 123 * 0 * 45890 = 0
xvi)
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20
345 ÷
4 345 • 5 1725 = = 5 4 4
23 1175 − 23 1152 = = 5 5 5 35 35 37 1 xvii) xviii) 21 = = 23 23 4 84 37 xv) 235 −
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Existe una relación entre los siguientes números reales b , e y p . b llamado BASE , e llamado EXPONENTE y p llamado POTEN-CIA. Según como se establezcan, generan una operación diferente, entre ellas tenemos la potenciación, la radicación y la logaritmación, esta última se estudiará con mayor profundidad en el siguiente curso de matemáticas. Algunas propiedades de estas operaciones, se aplicarán en el conjunto de las expresiones algebraicas que se estudiarán en el siguiente fascículo.
Potenciación La potenciación es una operación que consiste en hallar el resultado p de multiplicar por sí misma la base b una cierta cantidad de veces e
b e = b1•4 b4•2 b.... •3b = p , se lee “ b elevado a la e ” 44 e − veces b
Ejemplo:
(−5) 3 = (–5)(–5)(–5) = –125 (745,68) 2 = (745,68)(745,68) = 556.038,8624 (2,43) 4 = (2,43)(2,43)(2,43)(2,43) = 34,8678 En algunas potencias es más conveniente apoyarse en una calculadora. Para obtener (82,47) 2,5 se escribe inicialmente la base luego la tecla de elevar x y o ∧ y por último la tecla =
(82,47) 2,5 = (82,47) ∧ 2,5 = 61.764,65023
Toda base elevada al exponente cero, es igual a uno excepto la base cero
o
(82,47) 2,5 = (82,47) x y 2,5 = 61.764,65023 (4,89) −3, 4 = (4,89) ∧ −3,4 = 0,00453 o (4,89) −3, 4 = (4,89) x y − 3,4 = 0,00453 b4 •2 b4 • b4 • 1 , b 3 = b1•4 b2 •4 b3 • 1 , b 2 = b1•2 b3 • 1 , b1 = b{ Por definición: b 4 = b1•4 •1 = b , 3 4 − veces b
b = 0
3− veces b
2 − veces b
1− vez b
1 1 424 3
ninguna − vez b
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas Como el exponente positivo indica que se habrá de multiplicar por sí misma Elevar a un exponente negativo equivale a invertir y cambiar el signo del exponente
tantas veces la base, el exponente negativo inversamente indicará que se habrá de dividir tantas veces por sí misma la base b −e =
1 1 = e b1•4 b4•2 b.... •3b b 44 e − veces b
(4,89) −3, 4 =
1 = 0,00453 (4,89) 3, 4
Propiedades Es útil aplicar propiedades para simplificar el proceso operatorio. a) Producto de potencias de igual base: Para multiplicar potencias de igual base, se deja la misma base y se suman los exponentes.
( p )m ( p ) n ( p ) r = ( p )m + n + r b) Producto de potencias de igual exponente: Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases dejando el mismo exponente.
( p )n (q )n (r )n = ( p ⋅ q ⋅ r )n c) Cociente de potencias de igual base: Para dividir potencias de igual base se deja la misma base restando los exponentes.
pm = p m−n n p d) Cociente de potencias de igual exponente: Para dividir potencias de igual exponente, se deja el mismo exponente haciendo el cociente de las bases
qn ⎛ q ⎞ =⎜ ⎟ p n ⎜⎝ p ⎟⎠
n
e) Potencia de un exponente elevado a otro exponente: Para elevar una potencia de un exponente a otro exponente se deja la misma base
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Fundamentos de matemáticas multiplicando los exponentes.
(q )
m n
= q m⋅ n
Ejemplo
[(−7,3) ]
5 2
= (−7,3)10
2 6 ⋅ (5 2 ) 3 = 2 6 ⋅ 5 6 = 10 6 (3,5) 3 (3,5) − 2 (3,5) − 4 = (3,5) −3 =
1 (3,5) 3
2
4x 2 ⎛ 2x ⎞ . ⎜ ⎟ = 29,16 ⎝ 5,4 ⎠
Radicación La radicación es una operación que consiste en hallar la base b que multiplicada una cierta cantidad de veces e es la potencia p . Lo expresamos
e
p = b siempre que b e = p , se lee “raíz e- ésima de p ”
Ejemplo: 3
− 8 = −2 ya que (−2) 3 = 8
4
625 = 5 ya que 5 4 = 625
El obtener raíces es más conveniente con el apoyo de una calculadora. Para obtener
4
27,9841 = 2,3 se escribe inicialmente 4 luego la tecla SHIFT 1
después la tecla
Para obtener
5, 4
x
ox
y
27,9841 y se obtiene 2,3 ya que (2,3) 4 = 27,9841 .
5.627 = 4,9487... escribimos 5,4 SHIFT
1 x
o x
y
5.627y se
obtiene 4,9487… Podemos establecer las raíces como potencias con exponente racional a partir de la siguiente definición:
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas m
Siempre que b ≠ 0 se define b n = n b m y se lee “raiz n-esima de b elevado a la m ”. De esta forma, se pueden justificar las propiedades de la radicación a partir de las de la potenciación.
Propiedades a) Producto de raíces de igual radicando: El producto de raíces de igual radicando, es igual a una raíz de índice igual al producto de los índices anteriores del mismo radicando elevado a la suma de los índices. m
i m
1 n
q⋅ q =q q =q n
n+ m m⋅ n
= m⋅n q n + m
b) Producto de raíces de igual índice: El producto de raíces de igual índice ,es igual a una raíz del mismo índice del producto de los radicandos. 1
n
1
1
q ⋅ n p = q n ⋅ p n = (q ⋅ p ) n = n p ⋅ q
c) Raíz de otra raíz: La raíz de otra raíz, es una raíz de índice igual al producto de los anteriores índices del mismo radicando. n m
( ) =q
q = q
1 m
1 n
1 1 ⋅ n m
1
= q m ⋅ n = m⋅n q
Ejemplo 3
3
2 ⋅3 4 = 3 8 = 2 7 x12 = 6 7( x 2 ) 6 = x 2 6 7
63 15 23 21
=
33 5 2 7
Logaritmación La logaritmación es una operación que consiste en hallar la cantidad de veces e que la base b multiplicada por sí misma da una cierta potencia p .
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Fundamentos de matemáticas
Log
Lo expresamos
b
p = e siempre que b e = p se lee “logaritmo en base
b de p es igual a e ”.
Ejemplo:
Log
3
81 = 4 siempre que 3 4 = 81 2
1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = 4 ⎝2⎠
1 Log 12 4 = 2 siempre que
2.3
1. Obtenga las siguientes potencias: a) (−5,16) 3 b) 3,41,3 c) (−0,27) −0.27 1
⎛ −1⎞ 3 d) ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ 2. Aplique propiedades para simplificar el resultado
[
a) 510 ⋅ (3,5) 2
[
b) (5,03) −3
]
]
5
−2 , 5
2
⎛ 7,4 x 3 ⎞ ⎟⎟ c) ⎜⎜ 2 ⎝ ⎠ 2,3 5, 7 d) 3 ⋅ 3 (4,2) 8 3. Aplique propiedades para simplificar el resultado
8
a)
72 b) 4 ⋅ 5 2 3
c)
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3
a 5b 4 ab 2
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Reúnete con tu equipo de trabajo y resuelvan: 1. Se compra un artefacto de $ 4.560.000 el cual tiene un descuento del 16%, pero sobre este precio se cobra el impuesto del IVA ( del 16%) ¿Cuál es el valor que finalmente se paga por el artículo? . 2. El administrador de una tienda rebaja el 20% en el precio de todos los productos, sin embargo, observa que las ventas no se mejoran y decide nuevamente aumentar el 20% sobre los nuevos precios a todos sus productos. ¿Qué se puede afirmar en relación con el aumento y la rebaja en el precio de los productos que se ofrecen en esta tienda?, al final del proceso de rebaja y aumento ¿cuánto se gana o pierde?, un producto cualquiera se afecta por el descuento y el alza respectiva, ¿cómo se emite una factura si se debe adicionar el porcentaje del IVA? 3. Construir o crear una situación problémica propia del ámbito de la economía y la administración en donde se apliquen las operaciones y propiedades de los números reales.
De los tantos conjuntos que podemos conocer, iniciamos este fascículo con los conjuntos numéricos, los cuales están conformados por el conjun-to de los números naturales N={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,12,13,…} los cuales junto con los números negativos van a conformar los números enteros Z = {…-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} y éstos con las fracciones
a con a,b ∈ Z , b ≠ 0 }. conforman los número racionales Q = { x , x = x b Cada uno de los números racionales puede expresarse como un decimal finito o infinito ya sea periódico simple o mixto, sin embargo existen unos decimales infinitos no-periódicos que no son racionales llamados irracionales I, el conjunto de los números irracionales por ser disjuntos con Q, mediante la unión conforman los números reales, que es el conjunto numérico en donde se construye la contaduría, R.= I U Q. Abordamos luego en el conjunto de los números reales las operaciones de
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Fascículo No. 2 Semestre 1
Fundamentos de matemáticas suma, resta, multiplicación y división junto con las propiedades que satisfacen, y por último, se estudiaron las operaciones que se desprenden de la relación (b) e = p , como la potenciación, la radicación, la logaritmación y las propiedades que satisfacen la potenciación y la radicación.
Haeussler, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall. Octava Edición, 2001. Soo tang tan. Matemáticas para administración y economía. Internacional THOMPSON. 1999 Smith Charles Dossey Keedy Bittinger. Álgebra. Editorial Addison Wesley Iberoamericana.1992 Laurence D Hoffmann, Gerald L. Bradley. Cálculo para Administración, Economía y Ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Septima edición.2001 Francisco Soler, Reinaldo Nuñez, Moisés
Aranda. Fundamentos de
Cálculo. ECOE ediciones. Segunda edición.2002 Bittinger. Cálculo para ciencias económico-administrativas. Editorial addison Wesley. Septima edición Frank S. Budnick. Matemáticas aplicadas para Administración, economía y ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Tercera edición.1998
En el siguiente fascículo damos inicio al estudio del álgebra, analizaremos las expresiones algebraicas, los productos y cocientes notables y la teoría de la factorización, por lo cual se requiere que el estudiante domine y aplique los principios operatorios de la suma, resta, multiplicación, potenciación y radicación estudiadas en los conjuntos numéricos en el proceso operatorio del conjunto de las expresiones algebraicas.
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Seguimientoal autoaprendizaje Fundamentos de Matemáticas - Fascículo 2 Nombre______________________________________________________ _ Apellidos
_______________________________
Fecha:
_________________ Ciudad_________________________________
Semestre:
_______________ 1. Narra brevemente el proceso y las propiedades de los números reales que se deben utilizar para simplificar dicho proceso, a la vez que lo va efectuando. a)
[(− 100.800) + 357.000] + 100.800 = (875)25 • 4 • 2 =
b) c) 875.750 + 4.580+1.250 – 2.580= d) 12´457.889 • 987.456 •
2 = 12´457.889
2. Utiliza tu creatividad y crea mínimo 5 ejercicios similares a los anteriores, aplicando una propiedad que cumplan los números reales y que permitan simplificar el proceso. 3. Consulta cuál es valor del salario mínimo mensual vigente y calcula: a) Un operario gana el salario mínimo en un mes ¿Cuánto gana al año?. b) Si cada tres meses tiene una bonificación equivalente a la cuarta parte del salario mensual, ¿a cuánto asciende su bonificación anual?. 4. Se le pidió al administrador de una plaza comercial que cercara con una cuerda una sección rectangular del estacionamiento, para una exhibición de autos: El área cercada fue de 250 m por 300 m, se colocaron postes cada 25 m alrededor de la sección, ¿Cuántos postes se necesitaron?. 5. La señora Hernández recibe un sobresueldo de $750.000 en su cheque mensual. Su salario mensual es de $ 2´500.000 ¿Qué porcentaje de su salario es el sobresueldo? A. 50%
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B.70%
C.30%
D.40%
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Fundamentos de matemáticas
Preguntas de selección múltiple con respuesta múltiple Este tipo de pregunta consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con los números I, II, III y IV. Sólo dos de estas opciones responden correctamente el enunciado.
Si I y II son correctas, marca la respuesta Si II y III son correctas, marca la respuesta Si III y IV son correctas, marca la respuesta Si II y IV son correctas, marca la respuesta
A B C D
6. En una ferretería se tiene un tipo de tornillo con medidas que van de media pulgada hasta pulgada y media, variando un dieciseisavo de pulgada. Si Camilo dice que un tornillo de media pulgada le es pequeño y el de cinco octavos un tanto grande, al igual que Heidi, que dice que un tornillo de tres cuartos de pulgada es demasiado pequeño y uno de siete octavos es demasiado grande. Teniéndose: I.
3 in. 4
II.
9 in 16
III.
13 in. 16
IV.
5 in. 6
El tornillo que sirve a cada uno respectivamente es: A.
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B.
C.
D.
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