1
! "
# "
$
% &'
(&
"
(&
(&
( ) *
+
,
$
- . /- . /- .
" /-
"- . /"- .
"
"- . "
/-
"-.
x=
2 3
" P( x) =
" 1 x = −2 2
, $ - 3(2 x − 1) − 3(x − 3) -
2
/-
" "
0 1
"
3 7 − x − 2 x −1
8 3 7 2 5 x − x + x − 11 27 9 3
" x=3
/-
dan lugar
puede ser
que puede ser
con
es decir
con una
obtenida mediante
por
1
4 5 67
3
" " #
"
"
"
8
,
!
# '
,
'
"
, "
6
$
"
%
x 2 − x − 10 = 2
)
− 4 − w = −16 w 2 − 4 w 3
0
z 4 − 4 z 3 − z 2 + 16 z = 12
2
5 [x − 2( x + 3)] = 7 x − 1 3 4
9
2w + 1 = w 2 + 2w 3
:
2 3 7 3 − x − 4 = − 5x 3 2 4
;
z 4 − 16 = 0
!
5
"
! !
4
" x
! " " #$ "
!
!
!
" z
!
" x "
#$ "
" w
!
! "
"
.
" "
6
!
"
x 2 − x − 10 = 2 x=4
x
x = −3
6
x
2
(4) 2 − 4 − 10 = 16 − 14 = 2 .
6
x
−3
(−3) 2 − (−3) − 10 = 9 + 3 − 10 = 2
z 4 − 4 z 3 − z 2 + 16 z = 12 z = 1; z = − 2 ; z = 2 ; z = 3
z
.
1
6
$ (1) 4 − 4(1) 3 − (1) 2 + 16(1) = 1 − 4 − 1 + 16 = 12
−2
(−2) 4 − 4(−2) 3 − (−2) 2 + 16(−2) = 16 + 32 − 4 − 32 = 12 .
6
2
$ (2) 4 − 4(2) 3 − (2) 2 + 16(2) = 16 − 32 − 4 + 32 = 12 .
6
3
6
2
$ (3) 4 − 4(3) 3 − (3) 2 + 16(3) = 81 − 108 − 9 + 48 = 12 . $ (4) 4 − 4(4) 3 − (4) 2 + 16(4) = 256 − 256 − 16 + 64 = 48
2
5
/x -= x
< > 0?9 @@@ .
"
>% )?@ @@@
# $ x + 385.000 = 1.280.000
# " " ,
!
"
"
6
"
! "
x = 11
x − 19 = 23
x = 14
6
x + 3 = 11 + 3 x + 3 = 14 x + 3 − 3 = 14 − 3 x = 14 − 3 x = 11 x − 19 + 19 = 23 + 19 x = 23 + 19 x = 42 x − 19 = 42 − 19 x − 19 = 23
x − 5 = 14 − 5 x−5 = 9
x + 8 = 34
x + 8 − 8 = 34 − 8 x = 34 − 8 x = 26 x−5+5 = 9+5 x = 9+5 x = 14 x + 8 = 26 + 8 x + 8 = 34
"
2 x = −18
− 5 x = 105
"
"
2 x − 18 = 2 2 − 18 x= 2 x = −9 x = −9 2 x = −9.2 2 x = −18 − 5 x 105 = −5 −5 105 x= −5 x = −21 x = −21 (−5) x = (−21)(−5) (−5) x = 105 "
x = −13
"
7 x = −13 ⋅ 7 7 x = −91 7 x = −91 7 x − 91 = 7 7 − 91 x= 7 x = −13
7
x = −17
(−3) x = (−17)(−3) − 3 x = 51 − 3 x = 51 − 3 x 51 = −3 −3 51 x= −3 x = −17
1
$
A
7 1 2 w−3= 3 w− 3 4 3
6
7 1 w − 3 = [3w − 2] 3 4 7 3w 1 w−3= − #! $ 3 4 2 7 3 1 w− w = − +3 3 4 2
"
#
70 − 57 1 52 = 3⋅ 19 4 57 13 13 = 19 19
19w 5 = 12 2 5 ⋅ 12 w= 2 ⋅19 30 w= 19
"
$
2 z − 1 = (3 z − 4) − (5 − 3 z ) 2
2
2 z − 1 = 9 z 2 − 24 z + 16 − 25 + 30 z − 9 z 2 2z −1 = 6z − 9 −1 + 9 = 6z − 2z 8 = 4z 2=z
8
30 ! 19 7 30 1 30 2 ⋅ −3 = 3 − 3 19 4 19 3
w#
70 1 90 − 38 −3= 3 19 4 57
28w − 9 w − 1 + 6 = 12 2
*
$#!% $
2(2) − 1 = (3(2) − 4 ) − (5 − 3(2) ) 2
4 − 1 = (6 − 4) 2 − (5 − 6) 2 3 = (2) 2 − (−1) 2 3 = 4 −1 3=3
2
C
5
x = a + b − 2ab
a
x − b = a − 2ab
"
6
B
x − b = a (1 − 2b) x−b =a 1 − 2b
5
m = ax 2 + bx + c 3
b
m − ax 2 − c = bx
m − ax 2 − c =b x !
w = −1 ; w = 1 ; w = −
# $
1 2
2w + 1 = w 2 + 2w 3 % &
"
x=
' $
1 1 w = −1 ; w = 1 ; w = − ; w = −2 ; w = 2 2 2 3 − 4 − w = −16 w − 4 w
8 9
5 [x − 2( x + 3)] = 7 x − 1 3 4
( ) * 2 x − 200.000 = 480.000 * 3 z − 270.000 = 2 z + 800.000
3 4
2 z −8 3 3 7 5 *4 x − 7 − 3x = x− 2 4 3
* [ z − 2] − 7 =
2 3 7 3 − x − 4 = − 5x 3 2 4
+ , - $
. * k de g = 40n + 20k
* f de r = 2h −
1 f 4
9
! ! ! !
at 2 2 * y de 5 x + 3 y = 6 * a de x = v0 t +
* a de y = a − ab * π de A = πr 2
3
#
#
3 3 # "
4
"
>%D9@@ @@@ ;E "
%@ E
&F
" GE
B (
. %D9@@ @@@ H @ @; @ %/%D9@@ @@@ H -
10
" "
;E %@ E
;E %D9@@ @@@ H
%@ E
3
@ @G/%D9@@ @@@#
$
@ @; I @ % /%D9@@ @@@ H - = @ @G/%D9@@ @@@@ @; I %9@ @@@ H @ % = %09 @@@ H @ @0 = H %9 @@@ x=
− 15.000 = 500.000 − 0.03
x = 500.000
"
; E
> 9@@ @@@
$ %D9@@ @@@ H 9@@ @@@ = %D@@@ @@@ > 9@@ @@@ > %D@@@ @@@
"
9@
> 0@ @@@
> )@ @@@ 4
9@
>G@@ @@@ &'
( x
. #
50 − x
, ,
* 30.000 x − (50 − x)20.000 = 900.000 30.000 x − 1.000.000 + 20.000 x = 900.000 50.000 x = 1.900.000 x=
1.900.000 50.000
x = 38
11
0?
,
%) "
$
30.000(38) = 1.140.000 20.000(12) = 240.000 900.000 "
#
/0 1
. *
/ " / / / 6 7 % 8
t
2 '+3 333 ( 4 #+3 +5 333 #% #'
" "
0 %5 9 #' :
0 ;
' 8
< 7
"
%(3 $
7 ( 8
4
)
4 %( +=
2'>##% +33 : +
<
"
; 4 ;
#% = 2 ?>(33 333 " <
12
;
:
&@ A $ $ B/@, 6 .
& ;
;. ;.
8
C
0
@
## ## ! ;. ! .
" :&
<
# '
,
"
, # 8
)#) 0#0 2#2
"
"
4 x − y + 3z − 2w = 3 3m − 2n = 5 3x + 4 y − 2 z + w = 9 8 3m + n − 2 z = −1 8 8J 5m + 3n = 2 2 x − 3 y + z − 3w = −13 5m + 3n − z = 4 5 x + y − 2 z − w = −3 2m − 3n + 4 z = 19
# !
"
6
" #
$
13
!
3m − 2n = 5 5m + 3n = 2
3
1= m
6
" 6 3(1) − 2(−1) = 5 3+ 2 = 5 5=5 5x + 3 y = 4
3
−1 = n
$
5(1) + 3(−1) = 2 5−3 = 2 2=2 x=2
2 x − 7 y = 18 6
" 5(2) + 3(−2) = 4 10 − 6 = 4 4=4 A
y = −2
$
2(2) − 7(−2) = 18 4 + 14 = 18 18 = 18
# .
a1 x + b1 y = c1
$
!
a 2 x + b2 y = c 2 l1 y l 2 x
y
$
l1
F
l2 y
l1 = l 2
x
.
14
! '
5
'
l1
F
l2 y
l1 l2
x
" A
.
' ,
l1
F
l2
,
l1
y
l2
y1
P = ( x1 , y1 ) x1
.
% '
x
A
15
'
P = ( x1 , y1 ) " *
,
"
6 x − 2 y = 8 (1) 5 3x − y = 4 (2)
3
$ − 2 y = 8 − 6x
/1 -
5
y
y=
− 6x + 8 −2
y = 3x − 4
/2 -
5
$ − y = 4 − 3x y = 3x − 4
4
&
. !
(2)
, !
( 1 )*
"
6 x − 2 y = 8 (1) 6 x − 2 y = −4 (2)
3
y
/1 -
5
y
/2 -
m1 = 3 y b1 = −4
$ − 2 y = −4 − 6 x y = 3x + 2
16
y
$ − 2 y = 8 − 6x y = 3x − 4
5
(1)
(2)
+
5
'
m2 = 3 y b2 = 2
/1 -
y
:
/2 &
'
,' -
!
6 x − 2 y = 8 (1) 5 9 x + 3 y = 6 (2)
3
y
$ − 2 y = 8 − 6x
/1 -
y
5
m1 = 3 y b1 = −4
y = 3x − 4
$ 3 y = 6 − 9x
/2 -
y
5
.
.
m2 = 3 y b2 = 2
y = −3 x + 2
*
* P = (1, − 1)
/
.
, %
$
9x + 2 y = 9x + 2 y = x − 2y = ' 9x + 3 y = 7x − 2 y = + 9x + 3 y =
#
5 −6 5 3 16 15
8x + 2 y = 4x + y = 6x − 2 y = ( 9x − 3y = 2x + 3 y = 2x + 3 y = %
4 2 8 12 8 −3
17
$
" 8
" " $
# .
*
$
a1 x + b1 y = c1 (1)
!
a2 x + b2 y = c2 (2)
" xó y
(1) ó (2)
x
4
x=
(1)
c1 − b1 y a1
( 2)
a 2 (c1 − b1 y ) + b2 y = c2 a1
! y
"
.
"
! 6
#
"
(1) ó (2)
*
18
"
x
"
$
7m + 3n = −18 (1) 5m − 2n = −17 (2)
m
5
m=
( 2)
− 17 + 2n 5
$ (1) &" $
− 17 + 2n + 3n = −18 5
7
−
'
"" $
119 14n + + 3n = −18 5 5
( 2)
14n 119 + 3n = −18 + 5 5
$
5m − 2(1) = −17
14n + 15n − 90 + 119 = 5 5
5m = −17 + 2
29n 29 = 5 5
5m = −15
n =1
m = −3
m = −3
n
"(!
n =1
# .
$
a1 x + b1 y = c1 (1)
!
a2 x + b2 y = c2 (2) *
" xó y
(1) y (2)
y=
$y=
y
4
c1 − a1 x 8 b1
c2 − a 2 x b2
"
# c1 − a1 x c2 − a 2 x = b1 b2
b2 (c1 − a1 x) = b1 (c2 − a 2 x)
,
x
19
x
" " "
"
x
*
(1) ó (2)
"
$
3w + 5 z = − 1 (1) 4w − 3z = 18 (2)
w
5 w=
!
(1) y (2)
− 1 − 5z 18 + 3 z 8 w= 3 4
− 1 − 5 z 18 + 3 z = 3 4
#
− 4 − 20 z = 54 + 9 z − 20 z − 9 z = 54 + 4 − 29 z = 58
z = −2
*
"
z
$ (1)
3w + 5(−2) = −1 3w = −1 + 10 3w = 9
w=3 w=3
z = −2
# .
$
a1 x + b1 y = c1 (1)
!
a2 x + b2 y = c2 (2) *
" xó y
4 "
! !
20
.
" "
"
,
"
" (1) y (2)
*
"
$ 10 = (2 , 5)
4 K
(1)
9
)
9 ( 2)
)
$ 30 w − 10 z = −10 6 w + 10 z = 22 36 w
= 12
w=
1 3
w
4 6 = (6 , 3)
:
4
0 K
H)
$ 6w − 2 z = − 2
( 2)
− 6 w − 10 z = −22 − 12 z = −24
z=2 w=
1 3
z=2
0
# B
"
21
*
6m + 5n = 16 9m + 8n = 25
% B
*
"
3 w − 5m = 8 * 4 7w + m = 2
2 x + 5 y = 11 * 6x − 3y = − 3 ' B *
4w − 3m = 5 6w − 3m = 2
"
7 x − 2 y = 30 4 x + 3 y =100
*
8
0.25m + 0.5n = 0.5 0.75m − 0.2n = 3.2
'0' 4 0
# &
"
1 ;m=3 2 2 m 3 − 5m 2 − 4 m + 3 = 0 m = −1 ; m =
! * y de x = ' B
y z z t
* f de d =
1 e+ f
"
* 3(5 x − 4 ) − 7 x = 6(2 − x) *
3 [(8 − 2 x )] − 2 x = 7 3 − x 4 2
(8
22
"
*3
1 (x − 2) − 2 = 2 x − 1 3 2
* (3 x + 2 ) − (2 x − 3) 2 = 5 x 2 − 2 2
4
*
2%#+ 333 ?= :
*6
"
2533 333
"
2'#5 333
<
;
f (q ) = p = 10.000 − 20q
7 )
" + B *
0 "
11m − 3n = 12 7 m − 6n = 9
- B
*
10 z − 4 y = 1 5z + 4 y = 2
"
m − 3n = 12 * 4m + n = 9 5 B
*
;
2x − 4 y = 7 * 2
3
x− y = 2
"
3 1 z+ n= 2 4 2 * 11 5z + n = 9 2
5 x + 2 y = 900 7 x − 3 y = 100
3 " " #
"
" " "
"
# "
"
"
3
23
.
"
6 " 4 $ 8
"
1 43 .. 3* 3 '
K
.
4 +
3
3
1
C
)@@% .C C <4L 7
K
A . P
<1 C K .C L %GGG '
5 A
' )@@%
24
N
O
3
4
%GG) 51
3
M
7
N 3
' K
4 7
Q 1
.
" 3
.
*
3' C 3
L B 6 K
4
.
)@@)
NA<<AL 7 3* '
!
P
.
R. N
R K
"
3
4 3
K
7
Q 1
<
%GG?
3 .
7
!S
25
26
/ L
TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT
4
TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT
'
TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT .
% C
"
-
$ TTTTTTTTTTTTTTTTT $ TTTTTTTTTTTTTTT
"
#
$
"
"
" /-
#
/,
/-
/-
,
) '
w = −2 y w =
"
/-
1 3
3w 2 = 2 − 5 x 0 *
"
$
- 3w − 4 = (4 w − 3) − (5 − 4 w) 2
-
2
1 5x x−2 = +1 3 3 5
2 ;
0
y = a − ab 1 1− b a= a= y+b y
9 4
: 5
4 3 x − 1 − 2 x = [2 x + 6] 3 4 7 5 − 3 3
$
$
a=
y 1− b
a = 1− b − y
#
$
5 4 1 -3 p en 5 p − 2q − 2 = 0 - w en w+ z = 3 7 4 - b en m = ax 2 + bx + c - a en x = a + b − 2ab -3
,
q 2 − 3000 − p = 0
27
;
3 [x − 2 ] + 2 = 7 − 4 x 2 3 48 5 17 3
$
9 17
; ? *
" > )0G 9@@ > ))G 9@@
> )@@ >))@
$ *3L < 4 ' 4* M 1 3*<U M &
$
R
( G *
"
$3
#
>%9: @@@ >%;D@@@ @@@
> )2D@@@ @@@ > %;D@@@ @@@ .
% ?E
>)2D@@@ @@@
&'
(
1
+
+
. . . .
4 N ' 5
%@
3x − 5 y = 21 7x + 2 y = 8 !%
)
" 4
x
!0
y
N
0 "
$ 5
" !2
$
'
%%
2m + 3n = 17 3m + 4n = 24 x
" 2 4 %) '
28
0 N
y !0 '
5