Fundamentos Matemáticos

Fascículo

1

Fundamentos de Matemáticas Semestre 1

Fundamentos de matemáticas

Tabla de contenido

Página

Presentación

1

Programación General

3

Mapa conceptual general de la asignatura

5

Competencias generales de la asignatura

5

Introducción

6

Conceptos previos

7

Mapa conceptual del fascículo

8

Lógica proposicional

8

Conceptos básicos de la lógica proposicional

9

Negación de una proposición

9

Proposiciones compuestas: Disyunción y conjunción

11

Conceptos básicos

12

Conjuntos

12

Representación gráfica de conjuntos

13

Operaciones entre conjuntos

16

Actividad de trabajo colaborativo

22

Resumen

22

Bibliografía recomendada

23

Nexo

24

Seguimiento al autoaprendizaje

25

Créditos: 3 Tipo de asignatura: Teórica - Práctica.

Fundamentos de matemáticas

Semestre 1

Fundamentos de matemáticas

Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples” Bogotá, D.C. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de HERNÁN ALBERTO DÍAZ GONZÁLEZ Sede Bogotá, D.C. Orientación a cargo de; ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacional de Material Educativo.

Diseño gráfico y diagramación a cargo de SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Mayo de 2008

Semestre 1

Fundamentos de matemáticas

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Presentación Es innegable que toda persona en cualquier momento histórico debe tener dentro de sus conocimientos un estudio básico de las matemáticas y sus relaciones, ya que éstas le permiten interpretar muchas de las situaciones de la cotidianidad. Asistimos a una época en que el conocimiento y el manejo de la información se privilegian en la práctica de las políticas de la globalización, por lo tanto, una persona debe prepararse para responder y asumir los retos cada vez más complejos que le sugieren y plantean los avances científicos y tecnológicos, y en particular la proyección hacia el manejo y construcción de los llamados ambientes virtuales de aprendizaje.

El análisis de variables, la lectura e interpretación de gráficas, el registro de datos y la conjetura probabilística, permiten la modelación de situaciones problémicas que se presentan en cada una de las ciencias, al igual que el diseño de nuevas situaciones aún más complejas propias del contexto de la finanzas y la economía.

Este primer curso de matemáticas o de fundamentos de matemáticas inicia con un sencillo estudio de lógica y de allí partimos hacia la construcción del concepto de conjunto, gracias a las proposiciones abiertas, las operaciones entre conjuntos en relación con las conectivas lógicas. Posteriormente, abordaremos el conjunto de los reales, que servirá de base al manejo operatorio en el álgebra, que a su vez va a permitir el trabajo con variables y por ende asociar el concepto de función y de ecuación.

A continuación, un estudio básico de la función lineal y la función cuadrática, la solución de sistemas de

ecuaciones, las matrices, las

inecuaciones y en el último fascículo, las aplicaciones de cada uno de estos conceptos en la modelación, el planteamiento y obtención de los resultados de situaciones problematizables del ambiente de la administración, la Fascículo No. 1 Semestre 1

Fundamentos de matemáticas economía y las finanzas, como son: los costos, los ingresos, la utilidad, el equilibrio, la oferta, la demanda, el punto de equilibrio del mercado y para terminar una aplicación de las desigualdades en algunos de los conceptos anteriores.

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Fundamentos de matemáticas

Programación general Lógica y conjuntos Conceptos básicos de la Lógica proposicional Proposiciones simples cerradas y abiertas Negación de una proposición Proposiciones compuestas: Disyunción y conjunción Teoría de conjuntos Conceptos básicos Conjunto y notación de conjunto Operaciones entre conjuntos Aplicaciones Fascículo 1 __________________________________________________________ _____ Conjunto de los números reales y operaciones Conjuntos numéricos El conjunto de los números reales Operaciones y propiedades en los reales Potenciación, radicación y logaritmación Fascículo 2 __________________________________________________________ _____ Expresiones algebraicas Operaciones con polinomios: adición, producto y división Cocientes y productos notables.

Factorización Fascículo 3 __________________________________________________________ _____ Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales Ecuación Sistemas de ecuaciones Métodos de solución

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Fundamentos de matemáticas Fascículo 4 __________________________________________________________ _____ Función lineal y función cuadrática Función Función lineal Función cuadrática Fascículo 5 __________________________________________________________ ____ Matrices Operaciones con matrices Solución de sistemas de ecuaciones usando matrices Aplicaciones de las matrices Fascículo 6 Inecuaciones Desigualdades Inecuaciones de primer grado Inecuaciones de segundo grado Aplicaciones de las desigualdades Fascículo 7 __________________________________________________________ _____ Aplicaciones en economía Oferta y demanda Modelo lineal de mercado en equilibrio parcial Costos e ingresos totales Otras aplicaciones

Fascículo 8 ____________________________________________________________ _

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Fundamentos de matemáticas

Mapa conceptual general de la asignatura LÓGICA CONSTRUIMOS CONJUNTOS PUEDEN SER NUMÉRICOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CONTIENE A

CONTIENEN

REALES

POLINOMIOS

PUEDE SER

DAN LUGAR

RACIONALES

ENTEROS

IRRACIONALES

FUNCIÓN

ECUACIÓN

INECUACIÓN

PUEDE SER

PUEDE SER

PUEDE SER

NATURALES

SE UTILIZAN SE UTILIZAN

SE UTILIZAN

SE UTILIZASE UTILIZA SE UTILIZA SE UTILIZASE UTILIZASE UTILIZA

APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓN Y LA CONTADURÍA

Hernán Díaz González

Competencias generales de la asignatura Cognitiva Posee capacidad de aplicación del pensamiento numérico y variacional a través de la reflexión y la argumentación como fundamento de

los

principios de la teoría de costos. Aplica los fundamentos algebraicos en la modelación de situaciones del ambiente empresarial, de las finanzas y la administración.

Comunicativa Interpreta, decodificando cada uno de los símbolos de las diferentes formulas de la teoría de costos. Lee y traduce del lenguaje técnico de las

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Fundamentos de matemáticas matemáticas, la economía, las finanzas y la administración, al lenguaje cotidiano y viceversa.

Valorativa Reconoce que las decisiones que se tomen a futuro acerca de muchos cálculos numéricos tendrán unas implicaciones muy serias, ya que dan fe de unos comportamientos financieros reales tanto contables como administrativos.

Contextual Plantea y resuelve diferentes situaciones problémicas del ambiente empresarial, en especial de la teoría de costos en la producción, bienes y servicios orientados preferencialmente al área económico-administrativa.

Introducción Lógica y conjuntos El estudio de algunos elementos de la lógica, nos permiten manejar ciertos principios que habrán de servir para enjuiciar razonamientos que se vayan obteniendo de forma coherente y secuencial en la construcción de estrategias diseñadas para dar solución a situaciones problematizables propias del ambiente empresarial, es decir, del área económicoadministrativa.

Más adelante podremos establecer relación entre éstos principios y la construcción o idea de conjunto, al igual que entre estos principios y ciertas operaciones que se pueden tener entre dos o más conjuntos. La teoría de conjuntos es una teoría matemática que estudia, básicamente, a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos. La importancia de la teoría de conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir casi toda la matemática (con algunas excepciones como la teoría de categorías).

Por ejemplo, con la teoría de conjuntos se pueden definir los siguientes Fascículo No. 1 Semestre 1

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Fundamentos de matemáticas conceptos y probar todas sus propiedades: par ordenado, relación, función, partición, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, etc.

Conceptos previos Para tener un manejo más apropiado de los conceptos de la temática propuesta en este fascículo, se requiere que

además de tu auto-

motivación, buena disposición e interés personal, reflexiones y respondas los siguientes interrogantes y actividades: 1. ¿Cuál es la estructura de una frase?,¿ cómo se debe desarrollar el proceso de lecto - escritura?.

2. Señala cuáles de las siguientes frases corresponden a proposiciones, justifica tu respuesta. a) ¡Viva la Contaduría! b) Utilidad demasiado al favor se tanto costos por c) ¿Qué es la demanda? d) Auditoría hace parte de la profesión contable 3. Se da la frase q:____________ es una cuenta de obligaciones laborales.

Escribe por lo menos cinco palabras que al colocarse en el lugar subrayado completen de manera lógica la frase.

4.¿Cuándo decimos que hemos escrito un conjunto por comprensión?, ¿cuándo decimos que hemos escrito un conjunto por extensión?

5. Explica brevemente: a) Unión, diferencia y complemento entre conjuntos b) Conjunto referencial, diagramas de Venn

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Fundamentos de matemáticas Mapa conceptual fascículo 1 LAS PROPOSICIONES Son

SIMPLES

Mediante

Unas veces

Unas veces

ABIERTAS

CERRADAS

CONECTIVAS Forman

Con la

Se obtiene su O Forman

COMPUESTAS

NEGACION

DISYUNCIÓN

Y

CONJUNCIÓN CONJUNTOS Se representan con

Se pueden efectuar

Se relaciona

DIAGRAMAS DEVENN OPERACIONES

Se relaciona

Como

COMPLEMENTO

DIFERENCIA

UNIÓN

INTERSECCIOÓN Hernán Díaz González

Lógica y conjuntos Logros

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Identifica los conceptos básicos de la lógica y los conjuntos.

Expresa conjuntos por compresión y por extensión.

Identifica los diferentes tipos de operaciones entre conjuntos.

Interpreta y resuelve problemas cuyas soluciones involucran teoría de conjuntos en situaciones propias del área económicoadministrativa.

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Fundamentos de matemáticas

Conceptos básicos de la lógica proposicional Sabemos que un párrafo está compuesto por frases, cada una de las cuales debe tener sentido lógico para encajar en la situación general en la cual se enmarca. Las frases o afirmaciones con sentido lógico las llamaremos proposiciones, es decir, una proposición es una oración con sentido lógico de la cual podemos decir que es verdadera (v = 1) o falsa (f = 0), lo cual se denomina valor de verdad de la proposición.

Las proposiciones se notan con las letras minúsculas: p, q, r,

p

p

F

0

V

1

etc.

Ejemplo: t: Un activo fijo que no está sujeto a depreciación es terrenos (V) r: la revisoría fiscal hace parte de la contaduría (V) s(x): x es un activo fijo

tér min o o sujeto 6444 4744448 p: Obligaciones Financieras es una cuenta del activo (F) q(x) : x es una cuenta del pasivo 1444424444 3

predicado

Las anteriores proposiciones reciben el nombre de proposiciones simples o atómicas. Cada una de las proposiciones de la izquierda es una proposición cerrada, es decir, cuando el sujeto está perfectamente determinado, y las proposiciones de la derecha se dice que son proposiciones abiertas, es decir, cuando el sujeto no está determinado y puede tomar distintos valores. Su valor de verdad depende del sujeto que se asigne a la proposición.

Negación de una proposición La negación de una proposición p simple y cerrada es otra proposición en la cual se incluyen algunas de las palabras: no, ningún, ni, nada, no es cierto, no ocurre que. El valor de verdad de la proposición p cambia al

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En u quier

Fundamentos de matemáticas ser negada, la negación de p se nota ¬p y se lee “no p”.

Si tenemos la proposición p: Obligaciones financieras es una cuenta del activo (F), su negación será:

¬p : No se tiene que obligaciones financieras es una cuenta del activo (V) cual-

¬(¬p) : No es cierto que Obligaciones financieras no es una cuenta del activo (F).

Todos los distintos sujetos que hacen que una proposición abierta se convierta en una proposición cerrada-verdadera, conforman un conjunto específico, llamado universo de discurso de la variable x, y, o z, conjunto que algunas veces es finito y otras es infinito.

Para la proposición r: x es una cuenta de proveedores. El universo de discurso de la variable es: U r = {x / x ,x es una cuenta de proveedores}.

U r = {Nacionales, Del exterior}

Para la proposición t : x es una cuenta de Obligaciones Laborales. El universo de discurso de la variable es : U t = {x / x, x es una cuenta de Obligaciones Laborales} 1.1.

1. Construya 5 frases u oraciones con sentido lógico que sean proposiciones simples-verdaderas, propias del contexto económicoadministrativo.

2. Construya 5 frases u oraciones con sentido lógico que sean proposiciones simples-falsas, propias del contexto económicoadministrativo.

3. Dadas las proposiciones: p: Toda cuenta por pagar es una cuenta del activo. q: Los estados de resultados se presentan una sola vez cada dos meses. a) Hallar el valor de verdad de cada una. b) Obtenga, ¬p , ¬q , ¬(¬p) y dé el valor de verdad que toman.

4. Muestra tu creatividad construyendo 5 proposiciones abiertas, propias del contexto económico-administrativo y para cada una determine el universo de discurso de la variable.

5. Convierta cada una de las proposiciones anteriores en proposiciones cerradas-verdaderas.

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Fundamentos de matemáticas 6. Convierta cada una de las proposiciones anteriores en proposiciones cerradas-falsas.

7. Haga un listado de cada uno de los sujetos del universo de discurso U t

Proposiciones compuestas y conectivas lógicas Con las proposiciones simples r, s podemos formar otras proposiciones llamadas proposiciones compuestas, las cuales se obtienen mediante el enlace de proposiciones simples con conectivas lógicas. El enlace de dos proposiciones simples mediante la conectiva “o” recibe el nombre de disyunción y al enlace de dos proposiciones simples mediante la conectiva “y” recibe el nombre de conjunción.

Una una(s dos p usuale si…en si ( ↔

r o s : r ∨ s : Disyunción de r con s r y s : r ∧ s : Conjunción de r con s El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de cada una de las proposiciones que la conforman y de la conectiva de

En u puest entre

enlace. La conectiva lógica “y” es enfática, ya que solamente es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas y en los demás casos es falsa. La conectiva lógica“o” es de carácter optativo, ya que es verdadera cuando alguna de las dos proposiciones es verdadera y únicamente es falsa si las dos lo son.

Ejemplo

En u puest entre

Sean las proposiciones: r: Inventarios es una cuenta de ingresos (F) s : El capital social es una cuenta del patrimonio (V) La disyunción de r ∨ s , se redacta: “Inventarios es una cuenta de ingresos o el capital social es una cuenta del patrimonio” (V).

La conjunción de r ∧ s : se redacta: “Inventarios es una cuenta de ingresos y el capital social es una cuenta del patrimonio” (F).

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1.2.

1. Enumere los sujetos que hacen verdadera la proposición t : x es una cuenta de Obligaciones financieras 2. Redacte y de el valor de verdad de las proposiciones : i) r ∨ ¬s ii)

¬r ∧ s

3. Construya 5 proposiciones compuestas disyuntivas propias del contexto económico-administrativo. Dé el valor de verdad de cada una de las proposiciones compuestas.

4. Construya 5 proposiciones compuestas conjuntivas propias del contexto económico-administrativo. Dé el valor de verdad de cada una de las proposiciones compuestas

Anillos concatenados Estos anillos concatenados forman 7 regiones (Figura No.1.1) en las que hay que distribuir los dígitos desde el 1 hasta el 7 de tal manera que la suma de los 4 dígitos ubicados en cada anillo sea la misma.

Figura 1.1 Anillos concatenados

Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos Conjunto Recordemos de lo anterior que todos los sujetos que hacen verdadera una proposición abierta, es decir que son del universo de discurso de la variable conforman UN CONJUNTO.

Ejemplo Sea la proposición r: x es una cuenta de obligaciones financieras. Si hacemos un listado de los sujetos que satisfacen la proposición r, tenemos Fascículo No. 1 Semestre 1

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Fundamentos de matemáticas el conjunto notado por extensión.

F = {Bancos nacionales, bancos del exterior, corporaciones de ahorro y vivienda} la notación: F = { x , x es una cuenta de obligaciones financieras}. Cuando expresamos x el conjunto mediante una proposición abierta, recibe el nombre de notación por comprensión.

Se puede decir que un conjunto es una agrupación o colección de objetos o cosas bien definidos, es decir, que tienen una característica común; los objetos o cosas reciben el nombre de elementos, los cuales se notan con letras minúsculas y el conjunto con letras mayúsculas.

Sea H el conjunto de todos los números que se dejan dividir por cero. H por comprensión es: H = { x , x es un número que se deja dividir por cero}. H por extensión es: x H={}

Representación gráfica Se acostumbra a representar gráficamente, para una mayor visualización, los conjuntos, mediante cuadrados, rectángulos, círculos y óvalos, llamados diagramas de Venn-Euler. Cuando un elemento por ejemplo [acciones (a ) ] hace parte de un conjunto [Inversiones (I ) ] decimos que éste elemento (a ) pertenece al conjunto (I ) se escribe: a ∈ I . Se lee “ a pertenece a I ”.

Cuando un conjunto (I ) hace parte de otro conjunto ( A) decimos que (I ) es un subconjunto de ( A) o que está contenido en ( A) , se escribe I ⊂ A . Se lee “ I está contenido en A ”. Lo anterior se representa en la figura 1.2 Podemos establecer las siguientes proposiciones a partir de ciertas relaciones con los anteriores conjuntos: i) a ∉ P (V) Fundamentos de matemáticas

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ii) a ∉ A (F)

iii) c ∉ I (V)

iv) I ⊄ P (V) Fascículo No. 1 Semestre 1

como ismo

Fundamentos de matemáticas v ) I ⊂ A (V)

vi )

U ⊃ A (V)

vii )

I ⊄ U (F)

viii ) p ∉ P (F )

U

A

aI

I

c

b

p

P

Figura 1.2 Relación de contenencia y pertenencia.

Si tenemos los elementos acciones, bonos, cédulas y certificados, un conjunto que los recoge o de referencia (universal) sería INVERSIONES, si además tenemos los elementos caja, honorarios, vehículos, terrenos, patentes, maquinaria y equipo, el conjunto de referencia ahora sería (U) ACTIVO. El conjunto referencial o universal es aquél que recoge todos los elementos a los cuales se está haciendo referencia, se nota con la letra U. Para el ejemplo anterior si se agrega el conjunto P (Pasivo) se considera como conjunto referencial o universal el plan único de cuentas (PUC).

El conjunto que no posee elementos recibe el nombre de conjunto vacío, se nota φ o { }.

V = {x / x, x es la cantidad negativa de artículos en un proceso de producción} es un conjunto vacío.

Ahora si tomamos un conjunto Q , el complemento de Q con respecto a U es un conjunto que está formado por todos los elementos que están en U pero no están en Q . Se escribe o denota Q′ o Q En la figura No 1.3 se Fascículo No. 1 Semestre 1

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Fundamentos de matemáticas representa gráficamente como la parte sombreada.

Ejemplo Consideremos el conjunto

Q = { x , x es un número natural impar menor que 8} por extensión Q = {1, x 3, 5,7} el universal sería U = { x , x es un número digito} por extensión U = { x 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} El complemento de Q es

Q′ = {0, 2, 4, 6, 8,9} Q′

Figura 1.3 Complemento de

U

Q

El número o cantidad de elementos constitutivos de un conjunto recibe el nombre de CARDINAL del conjunto, se nota con el símbolo (#). El matemático alemán Georg Cantor fue el primero en formalizar el concepto de infinito bajo la forma de números transfinitos, debido al estudio que hizo acerca de los conjuntos infinitos, a su vez es el creador del cardinal de un conjunto. El cardinal del conjunto unitario es uno (1) y el cardinal del conjunto vacío es el cero (0).

1.3

1. Expresar por extensión y comprensión los siguientes conjuntos: a) Conjunto de las cuentas de inventarios.

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Fundamentos de matemáticas b) Conjunto de las cuentas de obligaciones financieras. c) Conjunto de los posibles resultados al lanzar un dado una sola vez.

2. Construya por comprensión dos conjuntos vacíos V y W. 3. Tomar dos conjuntos cualesquiera T, S y un tercer conjunto U que sea referencial con respecto a los otros y crear 5 proposiciones, dando su valor de verdad.

4. Halle el complemento de cada uno de los conjuntos anteriores T y S. 5. Una empresa P elabora en su línea 50 productos diferentes, otra empresa Q elabora 30 productos diferentes, ¿cuántos productos diferentes hay entre P y Q si se sabe que tienen entre sus líneas 20 productos en común?.

Operaciones entre conjuntos También se pueden establecer otros tipos de relaciones entre los conjuntos, adicionales a las anteriormente analizadas, como son las operaciones entre conjuntos. La unión de dos conjuntos Q y R es un conjunto que está conformado por todos los elementos que están en Q o que están en R ó están en ambos, es decir, por los elementos que están en alguno de los dos. Se escribe o denota con la letra U .

Q U R = {x , x ∈ Q o x ∈ R } x Ejemplo Dados los conjuntos: Q = { x , x es un número natural par menor que 7} y x R = { x , x es un número natural mayor que 3 y menor que 8}, para estos x conjuntos el universal sería U = { x , x es un número digito}. Los anteriores x conjuntos por extensión son: Q = { 0,2,4,6,}

R = { 4,5,6,7,}

U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Q U R = {0, 2, 4, 5, 6, 7}, se representa gráficamente en la figura 1.4 como la región sombreada

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Fundamentos de matemáticas

Fundamentos de matemáticas

Q U R

U

Q 1 8

R 9

0 2

4 6

5

9

3

3

7

Figura 1.4 Q unión R

La intersección de dos conjuntos Q y R es un conjunto que está conformado por todos los elementos que están simultáneamente en Q y R, es decir, por los elementos que están en ambos a la vez. Se escribe o denota con la letra I .

Q I R = { x , x ∈ Q y x ∈ R} x Ejemplo Tomemos los conjuntos: Q = { x , x es un número natural impar menor que 8} y x R = { x , x es un número natural mayor que 2 y menor que 7}, para estos x conjuntos el universal sería U = { x , x es un número digito}. Los anteriores x conjuntos por extensión son: Q = { 1,3,5,7}

R = { 3,4,5,6}

U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Q I R = {3, 5}, se representa gráficamente en la figura 1.5 como la región sombreada

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Fundamentos de matemáticas U Q

QI R

0

R 8

2

1

3

4

7

5

6

9

Figura 1.5 Q intersección R

Si la intersección Q I R = φ , es decir si los conjuntos Q y R no tienen elementos en común, se dice que Q y R son conjuntos disjuntos. El conjunto de cuentas del activo y el conjunto de cuentas del pasivo son conjuntos disjuntos.

La diferencia del conjunto Q con respecto al conjunto R , que se escribe Q – R y se lee “Q menos R” es el conjunto formado por los elementos que están en Q pero no están en R. Q – R = {x , x ∈ Q y x ∉ R } x Ejemplo Si tenemos los conjuntos: Q = { x , x es un número natural impar menor que 8} y x R = { x , x es un número natural mayor que 2 y menor que 7}, para estos x conjuntos el universal sería U = { x , x es un número digito}. Los anteriores x conjuntos por extensión son: Q = { 1,3,5,7}

R = { 3,4,5,6}

U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Q – R = {1,7}

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Fundamentos de matemáticas

Fundamentos de matemáticas

Figura 1.6 tomada (www.galeon.com/mponce/Archivos/caricaturas)

1.4

1.- Represente en un diagrama de Venn-Euler la diferencia Q – R del ejemplo anterior.

2.- Aprovecha tu creatividad y construye dos conjuntos que sean disjuntos propios del ambiente de la contaduría.

Teniendo los siguientes conjuntos: M = { x , x es un número natural mayor que 12 y menor que 18

x

N = { x , x es un número natural par mayor que 11 y menor que 17}

x

O = { x , x es un número natural impar mayor que 10 y menor que 17}

x

U = { x , x es un número natural entre 10 y el 20}

x

3. Exprese por comprensión y por extensión: a) N U O b) M U O c) M I O e) M – N

f)N–M

f)U–O

d) N I O g) O

Ejemplo de Aplicación Al consultar 57 personas frente a las actividades (lectura, juegos electrónicos y aeróbicos) que les gusta realizar en sus tiempos libres, se obtuvo la siguiente información: 5 respondieron que únicamente LEEN, 11 que únicamente practican JUEGOS ELECTRÓNICOS, 9 únicamente realizan AERÓBICOS, 20 leen o practican juegos electrónicos, 28 practican

Fundamentos de matemáticas

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Fundamentos de matemáticas juegos electrónicos o aeróbicos, 7 realizan la tres actividades a la vez. 27 personas entre sus prácticas tienen los aeróbicos. ¿Cuál es el número de personas que leen y hacen aeróbicos a la vez? ¿cuántas personas no realizan ninguna de las tres actividades consultadas?.

Valiéndonos de un diagrama de Venn-Euler, de forma lógica y coherente vamos representando la información que al leer comprensivamente se va captando.

El conjunto referencial o universal está

57

conformado por todas las personas con-

A( 27 )

sultadas, su cardinal es # U = 57 Ubicamos tres círculos uno para cada conjunto de actividades: A es el conjunto de las personas que practican Aeróbicos L es el

L

J

conjunto de las personas que practican Lectura, J es el conjunto de las personas que practican Juegos Electrónicos.

Figura 1.7 Aplicación

# A = 27 ya que esta cantidad es el número de personas que entre sus prácticas tienen los Aeróbicos (Figura 1. 7) 57 Si 7 practican las tres actividades a la vez

A( 27 )

10 9

entonces 57#( A I L I J) =7 y lo ubicamos en la intersección de los tres conjuntos, como 5

3

exclusivamente leen los ubicamos en el sector de L que no se conecta con los otros

5

8 7

L

11 J

conjuntos, como 11 exclusivamente practican juegos electrónicos, los ubicamos en el Figura 1.8 Aplicación

sector de J que no se conecta con los otros, igualmente con los 9 que exclusivamente hacen aeróbicos. Como 20 leen o practican juegos

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Fundamentos de matemáticas

Fundamentos de matemáticas electrónicos, entonces entre los sectores que no se tocan con A suman 20, pero ya hay 16 entre 5 y 11. Figura 1.8 Luego el que falta es 4, igualmente como 28 practican juegos electrónicos o aeróbicos entre los sectores que no se tocan con L suman 28 pero ya hay 20 entre 9 y 11, luego el que falta es 8. Como # A = 27 y los sectores ya ubicados suman 24 se deduce que los que leen y hacen aeróbicos a la vez son 3, que es la respuesta a la primera pregunta, y si sumamos todos los sectores entre los tres conjuntos nos da 47 luego el complemento de la unión de los tres conjuntos es 10 que es la respuesta a la segunda pregunta.

Los elementos del conjunto D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} deben reemplazarse en las interrogaciones (?) que se dan en cada uno de los espacios de los conjuntos P, Q y R del diagrama, de tal forma que: i) Cada número de D se emplee una sola vez ii) La suma de cada uno de los conjuntos P, Q y R sea igual a 27 iii) ¿Podría efectuarlo dando la suma 22?

P ??

Q

R ?

??

?

?

?

??

Figura 1.9 Reto

Fundamentos de matemáticas

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Fundamentos de matemáticas

Reúnete con tu equipo de trabajo y resuelvan: 1. Se entrevista a un grupo de 65 estudiantes de un instituto similar al SENA, de los cuales 28 se encuentran estudiando en el momento y 30 se hallan trabajando; las personas que se encuentran haciendo pasantía no pueden estudiar mientras la hacen, las personas que estudian y trabajan a la vez son 12, los que están haciendo la pasantía en la empresa oficial o trabajan en la empresa oficial a la vez son 7 y los que la hacen en la empresa privada o trabajan en la empresa privada a la vez son 9; 3 de estos últimos vienen trabajando en esa misma empresa privada, 5 de los que hacen la pasantía la realizan en la misma empresa oficial que vienen trabajando.¿Cuántos entrevistados no están ni estudiando, ni trabajando, ni haciendo pasantía en el momento?.

2. Construir o crear una situación problémica propia del ámbito de la economía y la administración en donde se aplique la teoría de conjuntos.

Una frase con sentido lógico de la cual podemos decir que es únicamente verdadera o falsa es una proposición simple cerrada. La negación de una proposición, es otra proposición con valor de verdad opuesto y que se obtiene agregando las palabras, ni, no, ningún, no es cierto, no sucede que.

Si el sujeto o el predicado en una proposición no están determinados y pueden tomar diversos o variados valores, se dice que la proposición es abierta y el sujeto es variable. Todos los sujetos que satisfacen una proposición abierta conforman un CONJUNTO. Un conjunto es una agrupación bien determinada de cosas u objetos que está definida por una proposición, se dice que los objetos pertenecen al conjunto y reciben el nombre de elementos. Cuando todos los elementos de un conjunto Q pertenecen a otro P se dice que Q está incluido o que es un Fascículo No. 1 Semestre 1

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Fundamentos de matemáticas

Fundamentos de matemáticas subconjunto de P.(Q ⊂ P) El conjunto al cual pertenecen todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto universal( U). El conjunto formado por los elementos que pertenecen al universal pero no a un conjunto Q recibe el nombre de complemento de Q ( Q′ ). La unión de dos conjuntos es otro conjunto formado por los elementos que están en uno o en el otro, o en ambos. La intersección de dos conjuntos es otro conjunto formado por los elementos que están en ambos simultáneamente. La diferencia entre el conjunto P con respecto al conjunto Q, es un conjunto formado por los elementos que están en P pero no están en Q (P – Q).

HAEUSSLER, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall. Octava Edición, 2001.

SOO TANG, Tan. Matemáticas para administración y economía.

Internacional THOMPSON. 1999 SMITH CHARLES, Dossey Keedy Bittinger. Álgebra. Editorial Addison Wesley Iberoamericana.1992 LAURENCE D Hoffmann, Gerald L. Bradley. Cálculo para Administración, Economía y Ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Septima edición.2001 SOLER, Francisco, NUÑEZ, Reinaldo, ARANDA Moisés. Fundamentos de cálculo. ECOE ediciones. Segunda edición.2002 BITTINGER. Cálculo para ciencias económico-administrativas. Editorial addison Wesley. Septima edición BUDNICK, Frank S. Matemáticas aplicadas para Administración, economía y ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Tercera edición.1998

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Fundamentos de matemáticas

En el siguiente fascículo se presentarán los diferentes sistemas numéricos, es decir, los conjuntos numéricos con una serie de relaciones y operariones entre sus elementos. Para abordar el próximo fascículo debes repasar los conceptos de: número, números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales, números reales, la potenciación, la radicación y las operaciones junto con cada una de sus propiedades.

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Fundamentos de matemáticas

Seguimientoal autoaprendizaje Fundamentos de Matemáticas - Fascículo 1 Nombre_____________________________________________________ __ Apellidos

________________________________

Fecha:

_________________ Ciudad___________________________________Semestre: _______________ 1. Entrar a la página www.gestiopolis.com, tomar un artículo sobre economía y a partir del texto escriba 5 proposiciones simples que sean verdaderas y 5 que sean falsas (cite la dirección completa del recurso utilizado).

2. Niega cada una de las anteriores proposiciones a. b. c. d.

Se tienen los conjuntos: P = { x , x es un número natural par mayor que 100 y menor que 110 } x Q = { x , x es un número natural par mayor que 98 y menor que 108 } x R = { x , x es un número natural impar mayor que 99 y menor que 111 } x

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Fundamentos de matemáticas U = { x , x es un número natural mayor que 99 y menor que 112 } x 3. Al efectuar P U Q se tiene: A. P U Q = {102, 104,106} B. P U Q = {100, 102, 104, 106,108} C. P U Q = {100,108} D. P U Q = {108} 4. Al efectuar P I Q se tiene: A. P I Q = {102, 104,106} B. P I Q = {100, 102, 104, 106,108} C. P I Q = {100,108} D. P I Q = {108} 5. Al efectuar P – Q se tiene: A. P – Q = {102, 104,106} B. P – Q = {100, 102, 104, 106,108} C. P – Q = {100,108} D. P – Q = {108} 6. De 200 estudiantes, 50 toman el curso de matemáticas I, 140 el curso de Contabilidad I y 24 ambos cursos. Como ambos cursos programaron exámenes el día siguiente sólo los estudiantes que no están en ninguno de estos dos cursos podrán ir a la fiesta. El número de estudiantes que podrá ir a la fiesta es de: A.114 B.34 C. 166 D.164

Preguntas de selección múltiple con múltiple respuesta Este tipo de pregunta consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con los números I, II, III y IV. Sólo dos de estas opciones responden correctamente el enunciado.

Si I y II son correctas, marca la respuesta Si II y III son correctas, marca la respuesta Si III y IV son correctas, marca la respuesta Si II y IV son correctas, marca la respuesta

A B C D

7. En una empresa se tienen tres líneas de inversión A (acciones), B (bienes raíces), C (cdt´s). El 20% se invierte en acciones, el 16% en bienes raíces y el 14% en cdt´s. Sin embargo el 8% en acciones y bienes raíces, el 5% en acciones y cdt´s, el 4% en bienes raíces y cdt´s, el 2% en las tres inversiones.

I. 69 % II. 35 % III. 21% IV. 65 % ¿Qué porcentaje se invierte al menos en alguna de las tres líneas? De ellos ¿Qué porcentaje se invierte en acciones o bienes raíces?

A. B. C. D.

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