FascĂculo
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1
Fundamentos de MatemĂĄticas Semestre 1
Fundamentos de matemáticas
Tabla de contenido
Página
Introducción
1
Función lineal y función cuadrática
1
Conceptos previos
1
Mapa conceptual fascículo 4
3
Función
3
Gráfica de una función
6
Función compuesta
8
Función lineal
9
Determinación de la fórmula de una función lineal
10
Pendiente de una recta y forma punto pendiente de una recta
12
Rectas paralelas
14
Rectas perpendiculares
15
Función cuadrática
17
Actividad de trabajo colaborativo
24
Resumen
24
Bibliografía recomendada
25
Nexo
26
Seguimiento al autoaprendizaje
27
Créditos: 3 Tipo de asignatura: Teórica - Práctica.
Fundamentos de matemáticas
Semestre 1
Fundamentos de matemáticas
Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples” Bogotá, D.C. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación. La redacción de este fascículo estuvo a cargo de HERNÁN ALBERTO DÍAZ GONZÁLEZ Sede Bogotá, D.C. Orientación a cargo de; ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacional de Material Educativo. Diseño gráfico y diagramación a cargo de SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Mayo de 2008
Semestre 1
Fundamentos de matemáticas
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Introducción Función lineal y función cuadrática En muchas situaciones cotidianas o del ambiente económico-administrativo, sucede que dos magnitudes o variables están íntimamente relacionadas entre sí, como: precio y cantidad de artículos demandados, precio y cantidad de artículos ofrecidos, cantidad de artículos producidos y costo, etc. En cada una de las anteriores relaciones se tiene que al variar las cantidades de una de las magnitudes o variables, las de la otra también lo hacen. El análisis de las variables presenta un problema cuantificable en donde se definen exactamente los interrogantes planteados. A partir del comportamiento de las variables involucradas y su relación de independencia o de dependencia, se llega al concepto de función. También, a partir de la representación gráfica de una función y del análisis de su comportamiento, se establece una regularidad para cada tipo de ellas, dependiendo del grado de la variable independiente. Al inicio del fascículo se aborda la función lineal o de primer grado, la obtención de la fórmula de una función de primer grado, es decir, de una recta, el principio de las rectas paralelas y perpendiculares, y posteriormente, la función cuadrática, con su interpretación tanto gráfica como analítica.
Conceptos previos Para tener un manejo más apropiado de los conceptos propuestos en este fascículo, se requiere que además de tu auto-motivación, buena disposición e interés personal, reflexiones y respondas los siguientes interrogantes y actividades: 1. ¿Qué es una tabla de valores?,¿qué es la gráfica de una función?,¿ cómo y en donde se representa gráficamente una función?, ¿cómo se
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas halla el valor numérico de un polinomio?,¿cómo se simplifican términos semejantes?. 2. Simplifique: {−( (4 − 2 2 )(5 − 2) + (1 + 3)(3 2 − 4 − 2 2 ) ) }{−(2 − 3 2 + 2 2 ) } Sea P( x) = 5 x 2 − 34 x − 8 3. Halle el valor numérico del anterior polinomio para: i) x = −2 ii) x = − 12 iii) x = 4 4. Efectuar : i) 7(2 x − 1) − 19 ii) 3x(2 x − 1) − 3x(x − 3)
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Fascículo No. 4 Semestre 1
Fundamentos de matemáticas Mapa conceptual fascículo 4 FUNCIÓN se define entre
CONJUNTO DE PARTIDA(Dom) se encuentra
CONJUNTO DE LLEGADA(Ran)
se representa mediante un
se encuentra
V. INDEPENDIENTE
es decir
V. DEPENDIENTE
conforma
conforma
PAR ORDENADO
ABSCISA
es decir
ORDENADA
hacen la
REPRESENTACIÓN GRÁFICA muestra el
COMPORTAMIENTO puede ser de
PRIMER GRADO de comportamiento
LINEAL
SEGUNDO GRADO de comportamiento
PARABÓLICO
TERCER GRADO de comportamiento
PARTICULAR
Elaboró: Hernán A. Díaz G.
CUARTO GRADO de comportamiento
PARABÓLICO O PARTICULAR
Logros
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Determina una función lineal, su modelo matemático y la interpreta gráfica y analíticamente. Halla rectas que sean paralelas o perpendiculares a otra recta dada. Traza la gráfica de una función de segundo grado.
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas Función Cuando una variable x de un conjunto P, tomado como conjunto de partida, está íntimamente relacionada o establece una correspondencia con una variable y de un conjunto Q, tomado como conjunto de llegada, de tal forma que para todos y cada uno los valores en P, que puede tomar la variable independiente x,
existe un y sólo un
valor que toma la variable
dependiente y en Q. Cuando esto sucede, se dice que se establece una función f de P en Q o que f envía a x en y, que se escribe: f(x) = y, y que
Muchos modelos matemáticos se describen mediante el concepto de función.
se lee “f de x igual a y ” ;donde x es la pre-imagen y y es la imagen. Se acostumbra a notar las funciones con las letras f ,g, h, etc. Todos los elementos del conjunto de partida P deben ser pre-imagen, y forman un conjunto que se llama dominio y los elementos del conjunto Q que son imagen, forman un conjunto que se llama rango. Ejemplo: Determinar si la correspondencia es o no una función: Dominio
Correspondencia
Rango
a) El conjunto de cuentas del disponible
El valor de cada cuenta
Un conjunto de números
Número de artículos
Un conjunto de números
positivos b) El conjunto de todas las unidades negativos producidas por un fabricante c) El conjunto de todas las unidades
producidos un día costo de producir un
Un conjunto de números
positivos producidas por un fabricante
número de artículos
Solución: a) Es una función porque cada cuenta del disponible tiene un único valor asignado que es positivo. b) No es una función porque cada número de unidades producidas por día no puede ser negativo. c) Es una función porque para cada cantidad de unidades producidas hay Fundamentos de matemáticas
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Fascículo No. 4 Semestre 1
Fundamentos de matemáticas un costo en particular. Esencialmente trabajaremos con funciones donde el dominio y el rango son subconjuntos de los números reales, es decir las variables son números reales. Definimos las funciones mediante expresiones algebraicas que establecen cómo se relacionan las variables y se denominan fórmulas. Ejemplo: I. Sea x un número real.
f ( x) = x + 1 , el siguiente de un número dado g ( x) = x − 1 , el anterior de un número dado h( x) = 2 x , el duplo o el doble de un número dado
i( x) =
x +1 , la mitad del siguiente de un número dado 2
f ( x) = x 2 + 1 , el siguiente del cuadrado de un número II. Dada la función de costo C (en pesos) definida como: C = C (q) = 2.500q +1´ 800.000 a) ¿Cuál es el costo de producir 500 artículos? b) ¿Cuáles son los costos fijos en la producción de artículos? c) ¿Cuál es el dominio y el rango?
a) Para saber cuál es el costo de producir 500 artículos, calculamos la función en 500, es decir hacemos C (500) reemplazando en la función q por 500. C (500) = 2.500(500) +1´800.000 = 1´250.000 + 1´800.000 = 3´050.000 El costo de producir 500 artículos es de $ 3´050.000
b) Los costos fijos se obtiene cuando no hay producción de artículos, es decir: Fascículo No. 4 Semestre 1
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Fundamentos de matemáticas
Cuando q = 0 hallamos C (0) C (0) = 2.500(0) +1´800.000 = 1´800.000 Los costos fijos asociados a la producción de artículos son de $ 1´800.000 c) Como la cantidad de artículos es siempre positiva Dom (C)= R + y el valor de producir cualquier cantidad de artículos es siempre positivo Ran(C)= R +
Gráfica de una función Si damos sucesivamente a la variable independiente x los valores: x1 , x2 , x3 ,... la variable dependiente y toma unos valores: y1 , y2 , y3 ,... los cuales conforman pares ordenados que determinan puntos en el plano cartesiano como: (x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y3 ),... Se denomina gráfica al conjunto de todos los puntos del plano (x, y) en donde f (x) = y. Cada uno de los valores x, y recibe el nombre de coordenada. Encontrar algunos de los puntos de la gráfica de una función, recibe el nombre de tabulación y conectar los puntos de la gráfica mediante un trazo continuo recibe el nombre de curva.
Cada punto (x, y) tiene dos coordenadas una en x que recibe el nombre de abscisa y una coordenada en y que recibe el nombre de ordenada. Para graficar una función inicialmente se acostumbra a realizar una tabulación, la cual consiste en calcular la función en varios valores de x arbitrarios cercanos al cero, tanto positivos como negativos, obteniendo los respectivos valores de y que se van colocando en una tabla. Posteriormente se llevan al plano cartesiano y se conectan mediante una curva suave.
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Fundamentos de matemáticas ⎧ x − 1, si x < 0 Ejemplo: Sea g (x) = ⎨ 2 ⎩ x + 2, si x ≥ 0
Es una función definida por partes o a trozos, cada parte tiene una curva diferente. Hacemos una tabla y le vamos dando valores cercanos a cero a la variable x tanto positivos como negativos, luego llevamos estos pares al plano cartesiano y los conectamos mediante una curva suave, es decir mediante un trazo continuo (Ver figura 4. 1). x
–4
–3
–2.5
–1
0
1
1.5
2
3
y
–5
–4
–3.5
–2
2
3
4.25
6
11
y
x
Figura 4.1 Gráfica de una función definida por partes o trozos.
4.1
1. Utilizando lenguaje matemático, es decir símbolos algebraicos, exprese los siguientes enunciados: i) El duplo de una cantidad elevada al cuadrado. ii) la suma de tres números consecutivos. iii) La mitad del siguiente del triplo de un número. 2. La función de utilidad para el producto de un fabricante está dada por:
1 U (q ) = − q 2 + 3.000q − 120.000 .Determinar U (450) y U (0), e 2 Fascículo No. 4 Semestre 1
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas interpretar los resultados. 3. Graficar la función h( x) =
1 , hallar el dominio y el rango x +1 2
⎧ x 2 − 1, si x < 2 ⎩− x + 5, si x ≥ 2
4. Graficar la función i ( x) = ⎨
Función compuesta También se puede obtener una nueva función muy importante mediante la combinación de dos o más funciones, aplicando inicialmente una de ellas y luego, a su resultado, aplicarle la otra función y así sucesivamente. Una función compuesta es una función de una función. La composición de la función f (x) con la función g(x), se escribe
( f o g )(x)
y se obtiene
introduciendo en la variable de la función f la función g. Ejemplo: Sean las funciones
(f
(
f ( x) = 2 x + 1 y g ( x) = x 2 + x − 1
)
o g )(x) = 2 x 2 + x − 1 + 1 = 2 x 2 + 2 x − 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x − 1
(g o f )( x) = (2 x + 1)2 + (2 x + 1) − 1 = 4 x 2 + 4 x + 1 + 2 x + 1 − 1 = 4 x 2 + 6 x + 1 Ejemplo: Sea m la función definida como m(x) =
3
5 (3x + 1)2
expresarla
como la compuesta de dos o más funciones: Al examinar m(x) hallamos primero la función más interna 3x +1, la elevamos al cuadrado, hacemos el cociente entre 5, y a esta función, por último le extraemos la raíz cúbica, por lo tanto se definen las siguientes funciones: f (x)= 3x+1 ; g ( x) = (3x + 1) ; h( x) = 2
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5 ; m(x) = (3x + 1)2
3
5 (3x + 1)2
Fascículo No. 4 Semestre 1
Fundamentos de matemáticas 4.2
1. Sean las funciones f ( x) = y (g o f )(x) 2. sean las funciones h( x) =
(i o h )(x)
x y g (x) = 3x +2 .Obtener ( f o g )(x) x−3 x−3 e i(x) = 2x + 3 hallar: (h o i )(x) y 2
3. Expresar como la compuesta de otras funciones, la función j(x)=
⎛ 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 5x − 2 ⎠
3
Función lineal En la primera parte de este fascículo se presentó la definición de función y su gráfica, ahora consideraremos algunas funciones, iniciando con la función donde su variable independiente es elevada a la uno, es decir, la función de primer grado. Si trazamos la recta que pasa por los puntos P ( x1 , y1 ) y Q ( x 2 , y 2 ) , se llama pendiente de la recta al grado de inclinación que tiene ésta, se representa con la letra m y se establece como el cociente entre el cambio o variación en x sobre el cambio o variación en y.
Δy y 2 − y1 y1 − y 2 = = m= (Ver Δx x 2 − x1 x1 − x 2
Por dos puntos del plano o del espacio pasa una única recta.
figura 4.2). y
. Q( x 2 , y 2 )
y2
{y 2 − y1 . P( x1 , y1 ) x − x1 12424 3
y1
0
x x1
x2
Figura 4.2 Gráfica de la función lineal, pendiente de la recta.
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Fundamentos de matemáticas Ejemplo: Hallemos la pendiente de una recta que pasa por los puntos:
Δy 3 − (−1) 4 4 −1− 3 4 = = =− ; m= =− Δx −1− 2 − 3 3 2 − (−1) 3 4 La pendiente de la recta que pasa por (-1,3) y (2,-1) es m = − 3
H = (-1,3) y D = (2,-1) m =
Para obtener la fórmula de una función lineal, podemos hacerlo de dos formas: Fórmula pendiente punto de intersección, llamada también pendiente ordenada y
.
y
Q ( x, y )
{y − b b(0,b)
x − 0 123
0 x Figura 4.3 Fórmula de una función lineal pendiente punto de intersección
Cuando se conoce la pendiente de la recta y el punto de corte de la recta con el eje y, llamado punto intercepto o punto ordenada, el cual se denota b y sus coordenadas son b = (0,b), tomamos otro punto cualquiera Q sobre la recta cuyas coordenadas son Q = ( x, y ) y hallando la pendiente de la recta tenemos : m =
y −b y −b . (Ver gráfica 4.3). = x−0 x
Si multiplicamos por x en ambos lados de la igualdad se obtiene
mx = y − b , si sumamos b en ambos lados de la igualdad se tiene mx + b = y , la cual se llama fórmula pendiente-ordenada. Ax + By + C = 0 , se denomina fórmula general de la recta.
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Fundamentos de matemáticas Ejemplo: A. Hallemos la fórmula de la recta que tiene de pendiente −
4 y corta el eje 3
y en el punto 3. La pendiente de la recta es m = −
4 y el punto ordenada es b = 3. Para 3
obtener la fórmula de la recta basta con reemplazar en mx + b = y y se tiene:
− 4x + 9 4 x+3= y ; = y ; − 4x + 9 = 3y ; − 4x − 3y + 9 = 0 3 3 B. Encontremos la pendiente y el punto ordenada de la recta que tiene −
como fórmula 5 y − 3x = 1 . Escribimos la expresión de la forma mx + b = y
5 y − 3x = 1
Sumando 3 x en ambos lados de la igualdad
5 y = 3x + 1
Dividiendo por 5 en ambos lados de la igualdad
y=
3 1 x+ 5 5
Luego la pendiente de la recta es m =
3 1 y el punto ordenada es b = 5 5
Fórmula punto-pendiente
y . Q ( x, y ) {y − y1
y
P ( x1 , y1 )
y1
x − x1 1 424 3
0
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x
Figura No.4.4 1 Fórmula de una función lineal punto-pendiente.
x
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Fundamentos de matemáticas Se presenta cuando se conoce la pendiente de la recta y un punto por donde ella pasa. Sea P el punto conocido de coordenadas P = ( x1 , y1 ) , tomamos otro punto cualquiera Q sobre la recta cuyas coordenadas son Q = ( x, y ) y hallando la pendiente de la recta tenemos: m =
y − y1 si multiplicamos por (x − x1 ) en x − x1
ambos lados de igualdad, se tiene m( x − x1 ) = y − y1 que recibe el nombre de fórmula punto-pendiente. Ejemplo: A. Hallemos la fórmula de la recta que pasa por el punto (-5, -2) y tiene de pendiente
1 3
La pendiente de la recta es m =
1 y el punto tiene coordenadas (-5, -2). 3
Como se conoce la pendiente de la recta y un punto por donde pasa para obtener la fórmula basta con reemplazar estos valores en la expresión m( x − x1 ) = y − y1
Obtenemos :
1 ( x − (−5)) = y − (−2) Aplicando la propiedad distributiva 3 1 5 x+ = y+2 3 3
Restando y y 2 en ambos miembros
1 5 x− y + −2=0 3 3
Efectuando las operaciones
1 1 x− y − =0 3 3 pendiente
m=
Es la fórmula de la recta de
1 que pasa por el punto (-5, -2). 3
B. Hallemos la fórmula de la recta que pasa por los puntos H = (-1,3) y D = (2,-1).
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Fundamentos de matemáticas Inicialmente determinamos la pendiente de la recta m =
3 − (−1) 4 4 = =− . −1− 2 − 3 3
La pendiente de la recta que pasa por (-1,3) y (2,-1) es m = −
4 . 3
Como conocemos la pendiente y tenemos dos puntos por donde ella pasa, aplicamos la fórmula punto-pendiente con cualquiera de los dos puntos H o D. Basta con reemplazar los valores m = −
4 , x = −1 , y = 3 en la expresión 3
m( x − x1 ) = y − y1 , entonces:
4 − ( x − (−1)) = y − 3 3
−
−
4 4 x− = y −3 3 3
−
4 4 x − y− +3= 0 3 3
4 5 x − y + = 0 Fórmula de la recta que pasa por H = (-1,3) y D = (2,-1) 3 3
C. Graficar la función 2 y − 3 x − 2 = 0 Para graficar una función de primer grado despejamos la variable dependiente en términos de la independiente y luego tabulamos. Despejando y tenemos 2 y = 3x + 2
3x + 2 y= 2
y=
3 x +1 2
donde m =
3 2
x
y
0
1
2
4
y
b =1
Al graficar la función tenemos: Fascículo No. 4 Semestre 1
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas
Gráfica 4. 5. Representación gráfica de la función
2 y − 3x − 2 = 0 .
Rectas paralelas x
l1
l2
y Figura 4.6 La recta
l1
es paralela a la recta
l 2 ,e.d. m1 = m2
Sean l1 y l 2 dos rectas, m1 y m2 sus pendientes respectivamente, l1 II l 2 , Dos rectas son paralelas si gráficamente jamás se interceptan, es decir sus pendientes son iguales.
l1 es paralela a l 2 si y solamente si m1 = m2 .
Rectas perpendiculares Sean l1 y l 2 dos rectas, m1 y m2 sus pendientes respectivamente, l1 ⊥ l 2 ,
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Dos r lares blecen decir s de las opues
Fundamentos de matemáticas l1 es perpendicular a l 2 si y solamente si m1 . m2 = −1
x
l1 l2
90º y Figura 4.7 La recta
l1
es perpendicular a la recta
l 2 , e.d. m1 =
1 m2
Cuando una recta es paralela al eje x la pendiente de dicha recta es cero ( m = 0 ) y al reemplazar en la fórmula mx + b = y se tiene m(0) + b = y luego su fórmula queda b = y . Cuando la recta es paralela al eje y o sea, perpendicular al eje x, la recta tiene como fórmula x = c siendo c el punto de corte con el eje x.
Ejemplo: A. La fórmula de la recta que es paralela al eje x y corta al eje y en el punto –1 es y = –1. La fórmula de la recta que es paralela al eje y y corta al eje x en el punto 3 es: x = 3. B. Obtengamos la fórmula de la recta l1 que pasa por el punto (-3,-2) y es paralela a la recta l 2 de fórmula 5 x − y − 3 = 0
Inicialmente, transponiendo adecuadamente expresamos la recta l 2 de fórmula 5 x − y − 3 = 0 en la forma y = 5 x − 3 , cuya pendiente es m2 = 5 . Como l1 II l 2 entonces la pendiente de l1 es m1 = 5 y aplicando la Fascículo No. 4 Semestre 1
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas fórmula punto-pendiente m( x − x1 ) = y − y1 tenemos:
5( x − (−3)) = y − (−2)
5 x + 15 = y + 2 y = 5 x + 13 o 5 x − y + 13 = 0 C. Hallemos la fórmula de la recta l1 que pasa por el punto (- 5,3) y que es perpendicular a la recta l 2 de fórmula − 5 x − 3 y + 1 = 0 Inicialmente transponiendo adecuadamente, expresamos la recta l 2 de
5 1 fórmula − 5 x − 3 y + 1 = 0 en la forma y = − x + , cuya pendiente es 3 3 Transponer un término significa pasarlo al otro lado de la igualdad, mediante la operación opuesta.
5 3 y m2 = − . Como l1 ⊥ l 2 entonces la pendiente de l1 es m1 = 3 5 aplicando la fórmula punto-pendiente m( x − x1 ) = y − y1 tenemos:
3 ( x − (−5)) = y − 3 5 3 15 x+ = y −3 5 5 3 x+6= y o 5
3 x− y+6=0 5
Actividad: Reto Contador y medio realizan proceso contable y medio en día y medio. Trabajando de igual forma ¿Cuántos procesos contables realizan cuatro contadores trabajando seis días?.
4.3
1. Determine cuál es la pendiente y el punto ordenada en las siguientes rectas: i) y =
Fundamentos de matemáticas
20
3 x+2 5
ii) y = 2 x − 3 Fascículo No. 4 Semestre 1
Fundamentos de matemáticas iii) 7 x − 4 y − 12 = 0 iv) 3 x − 2 y = 6 2. Obtenga la fórmula de la recta que es paralela al eje x y corta al eje y en 2. 3. Obtenga la fórmula de la recta que es paralela al eje y y corta al eje x en −
3 5
4. Si una recta pasa por los puntos (-2,3) y (3, 5) hallar la pendiente de la recta que pasa por dichos puntos. 5. Establecer la fórmula de la función lineal que pasa por el punto (-1,2) y tiene de pendiente m = −
3 . 7
6. Determine la fórmula de la recta que pasa por el punto (-1,3) y es paralela a la recta 7 x − 4 y − 12 = 0 . 7. Determine la fórmula de la recta que pasa por el punto (1,-3) y es perpendicular a la recta 3x − 2 y = 6 .
Función cuadrática Anteriormente se presentó la función de primer grado o lineal, ahora vamos a considerar la función de segundo grado, es decir, aquella donde la variable independiente es elevada a la dos, y la cual se denomina función cuadrática. La fórmula f ( x) = ax 2 + bx + c , donde a, b, c son números reales, recibe el nombre de fórmula de la función de segundo grado. Cuando graficamos una función de segundo grado se obtiene una curva muy particular llamada parábola, la cual puede ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Una parábola es cóncava hacia arriba, cuando la curva extiende infinitamente sus brazos hacia arriba desde un punto
Cuando una parábola es cóncava hacia arriba, el vértice es el punto más bajo y recibe el nombre de punto de mínimo.
v = (h, k ) llamado vértice, y es cóncava hacia abajo, cuando la curva extiende infinitamente sus brazos hacia abajo desde el punto vértice. El valor a determina el grado de concavidad de la parábola.
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Cuando una parábola es cóncava hacia abajo, el vértice es el punto más alto y recibe el nombre de punto de máximo
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas Si a > 0 la concavidad de la parábola es para arriba. y eje principal o de simetría
a>0 x
v = (h, k )
Figura 4.8 Función cuadrática cóncava hacia arriba, es decir con
a > 0.
Si a < 0 la concavidad de la parábola es para abajo y
v = (h, k )
a<0
Q
Q′
x
Figura 4.9 Función cuadrática cóncava hacia abajo, es decir con
a < 0.
eje principal o de simetría
Podemos observar en las gráficas anteriores, que el comportamiento de una parábola es igual en ambos lados de una recta vertical, que aunque no hace parte de la gráfica de la función, es útil para su construcción. Cada punto Q de la gráfica tiene uno similar Q ′ a igual distancia y altura de dicha recta llamado su simétrico, es decir, la gráfica es simétrica y a la recta se le denomina eje de simetría. Partiendo de la fórmula y = f ( x) = ax 2 + bx + c , podemos hallar el vértice, el
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Fascículo No. 4 Semestre 1
Fundamentos de matemáticas eje de simetría y los puntos de corte con el eje x. Haciendo y = 0, tenemos:
ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx = −c
restando c en cada miembro
ax 2 + bx c =− a a
dividiendo por a en cada miembro
x2 +
b c x=− a a
x2 +
b2 b b2 b2 c completamos un T.C.P sumando 2 en cada x+ 2 = 2 − a a 4a 4a 4a
T.C.P Trinomio Cuadrado Perfecto
miembro
b ⎞ b 2 − 4ac ⎛ ⎜x + ⎟ = 2a ⎠ 4a 2 ⎝ 2
x+
± b 2 − 4ac b = 2a 2a
− b ± b 2 − 4ac x= 2a
x=
− b ± b 2 − 4ac 2a
factorizando y haciendo común denominador
tomando raíz cuadrada en cada miembro
restando
b en cada miembro 2a
recibe el nombre de fórmula cuadrática.
Para hallar las coordenadas del vértice v = (h, k ) hacemos h = −
b y 2a
⎛ b ⎞ k = f ⎜ − ⎟ , los puntos de corte con el eje x que algunas veces ⎝ 2a ⎠ pueden ser dos, los obtenemos con toda la fórmula x1 , uno de los puntos tomando el signo (+) y x 2 el otro punto tomando el signo (–). La ecuación de la recta vertical que corresponde al eje de simetría es :
x=−
b . 2a
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Fundamentos de matemáticas
Ejemplo: En la parábola definida mediante la fórmula f ( x) = x 2 + 6 x + 6 ,
a = 1, b = 6, c = 6 como a > 0 la parábola tiene concavidad hacia arriba. Reemplazando en x = −
x=−
b .obtenemos la fórmula del eje de simetría 2a
6 . x = −3 que es a su vez la abscisa del vértice. 2(1)
Para obtener la otra coordenada del vértice v = (h, k ) hacemos f (−3)
f (−3) = (−3) 2 + 6(−3) + 6 = 9 − 18 + 6 = −3 Luego el vértice está ubicado en el punto v = (−3,−3) l
1 3 En la parábola definida mediante la fórmula f ( x) = − x 2 + 3 x + . 2 2 1 3 a = − , b = 3, c = como a < 0 la parábola es cóncava hacia abajo. 2 2 Reemplazando en x = −
x=−
b obtenemos la fórmula del eje de simetría 2a
3 . x = 3 que es a su vez la abscisa del vértice. 2(− 12 )
Para obtener la coordenada del vértice v = (h, k ) hacemos f (3)
1 3 9 3 f (3) = − (3) 2 + 3(3) + = − + 9 + = 6 2 2 2 2 Luego el vértice está ubicado en el punto v = (3,6)
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Fundamentos de matemáticas
Figura 4.10 Adaptada de: (www.galeon.com/mponce/Archivos/caricaturas)
4.4
1. En las siguientes parábolas determine por simple inspección su concavidad.
1 2 x − 2x − 1 3 b) f ( x) = x 2 + 6 x + 6 , c) f ( x) = − x 2 − 2 x + 3 , d) f ( x) = − x 2 − 6 x − 2 , a) f ( x) =
2. Hallar la fórmula del eje de simetría y el vértice de cada una las parábolas del punto anterior.
Para graficar la función f ( x ) = ax 2 + bx + c si hacemos x = 0 entonces y = c . notemos que ella corta al eje y en el punto
(0, c )
.Por otro lado, valiéndonos de la simetría obtenemos puntos simétricos cercanos al vértice, tanto a derecha como a izquierda, los cuales se ubican en una tabla de valores.
− b ± b 2 − 4ac permite hallar las soluciones La fórmula x = 2a ax 2 + bx + c = 0 de la ecuación Fascículo No. 4 Semestre 1
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Fundamentos de matemáticas Por el Teorema Fundamental del Algebra, como la ecuación es cuadrática, debe tener dos soluciones que corresponden a los puntos donde la función corta al eje x . Más sin embargo, no siempre la función corta al eje x. Analicemos la expresión b 2 − 4ac la cual recibe el nombre de discriminante. Si el discriminante b 2 − 4ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes, que corresponden a dos puntos diferentes de corte de la función con el eje x . Si el discriminante b 2 − 4ac = 0 la ecuación tiene un sólo punto de corte que está sobre el eje x y coincide con el vértice de la función. Si el discriminante b 2 − 4ac < 0 la solución no es real, estaría en los imaginarios, lo cual significa que la gráfica no corta al eje x. Por último, se llevan todos estos puntos al plano cartesiano y se conectan mediante una curva suave.
Ejemplo A. Graficar la función f ( x) = 2 x 2 − 4 x − 1 Como a = 2 , la parábola es cóncava hacia arriba. Obtenemos
x
y
inicialmente el vértice y el eje de simetría de la parábola
–2
15
b −4 ,. x = − = 1 . x = 1 es la ecuación 2(2) 2a
–1
5
0
–1
1
–3
2
–1
vértice está ubicado en el punto (1,−3) .Tabulamos dando
3
5
valores anteriores y posteriores a x = 1 , obteniendo uno y su
4
15
reemplazando en x = −
del eje de simetría y la abscisa del vértice. Reemplazando en la fórmula de la función f (1) = 2(1) − 4(1) − 1 = 2 − 4 − 1 = −3 , el 2
simétrico
a
cada
lado
del
vértice.
(0,−1) y
su
simétrico (2,−1) ; (−1,5) y su simétrico (3,5) ; (−2,15) y su simétrico (4,15) . Representamos los puntos en el plano y conectamos mediante una curva suave.
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Fundamentos de matemáticas
Figura 4.11
B. Graficar la función f ( x) = − x 2 − 2 x + 2 Como a = −1 , la parábola es cóncava hacia abajo. Obtenemos inicialmente el vértice y el eje de simetría de la parábola reemplazando en x = −
−2 b ,. x=− = −1 . x = −1 es la ecuación del eje de simetría y 2(−1) 2a
la abscisa del vértice. Reemplazando en la fórmula de la función
f (−1) = −(−1) 2 − 2(−1) + 2 = −1 + 2 + 2 = 3 . El vértice está ubicado en el punto (−1,3) .Tabulamos dando valores anteriores y posteriores a x = −1 , obteniendo uno y su simétrico a cada lado del vértice. (−2,2) y su simétrico (0,2) ; (−3,−1) y su simétrico (1,−1) ; (−4,−5) y su simétrico (2,−5) . x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
y
–5
–1
2
3
2
–1
–5
Representamos los puntos en el plano y conectamos mediante una curva suave .
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Fundamentos de matemáticas
Figura 4.12
Reúnete con tu equipo de trabajo y realicen la siguiente actividad: 1. Hallen la fórmula de la recta que pasa por el punto (−2,2) y es paralela a la recta 0 = −4 x + 8 y + 3 2. Obtengan la fórmula de la recta que es perpendicular a la recta. 0 = 5 x + 7 y − 2 y pasa por el punto (−3,−1) 3. Determinen inicialmente la concavidad, el eje de simetría y el vértice de cada una de las siguientes parábolas: a) f ( x) = x 2 − 5 b) f ( x) = −4 x 2 + 8 x + 3 , 4. Obtengan la gráfica de cada una de las anteriores fórmulas. 5. Grafiquen la parábola f ( x) = x 2 + 6 x + 6 , 6. Grafiquen la parábola f ( x) = −
1 2 3 x + 3x + . 2 2
En este fascículo abordamos el concepto de función, es decir la relación entre dos variables de dos conjuntos, en donde todos los elementos del primer conjunto se relacionan con uno y sólo uno de los elementos del segundo conjunto; la primera recibe el nombre de variable independiente y la segunda variable dependiente, usualmente se expresan con las letras f, g, h, etc. Una función siempre se define mediante una fórmula algebraica, que
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Fundamentos de matemáticas generalmente se representa gráficamente en el plano cartesiano mediante una curva suave la cual recibe el nombre de gráfica. A continuación se analizó la función de primer grado cuya gráfica siempre es una línea recta, por lo cual, recibe el nombre de función lineal. Así mismo, se determinaron las formas de obtener su fórmula, ya sea conociendo su pendiente, es decir, el grado de inclinación de la recta y un punto por donde ella pasa, o conociendo la pendiente y el punto de corte con el eje y , y la fórmula general Ax + By + C = 0 . Posteriormente se estudió la función de segundo grado de fórmula
f ( x) = ax 2 + bx + c , con a, b, c números reales, de donde se obtiene la fórmula cuadrática
x=
− b ± b 2 − 4ac 2a
y de allí el eje de simetría
⎡ b b ⎛ b ⎞⎤ , el vértice v = ⎢− , f ⎜ − ⎟⎥ y cómo, valiéndonos de la simetría, 2a ⎣ 2 a ⎝ 2a ⎠ ⎦
x=−
tabulamos con valores cercanos al vértice para obtener fácilmente su gráfica , la cual siempre es una curva llamada parábola, que puede ser cóncava hacia arriba, cuando a > 0 ,
es decir , que sus brazos se
extiendan infinitamente hacia arriba, o cóncava hacia abajo, cuando a < 0 ,es decir, que sus brazos se extiendan infinitamente hacia abajo,
según sea el caso.
HAEUSSLER, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall. Octava Edición, 2001.
SOO TANG tan, Matemáticas para administración y economía. Internacional THOMPSON. 1999
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Fundamentos de matemáticas
Fundamentos de matemáticas Smith Charles Dossey Keedy Bittinger. Álgebra. Editorial Addison Wesley Iberoamericana.1992 HOFFMANN D, Laurence, Gerald L. Bradley. Cálculo para Administración, Economía y Ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Séptima edición.2001 Francisco Soler, Reinaldo Núñez, Moisés
Aranda. Fundamentos de
Cálculo. ECOE ediciones. Segunda edición.2002 BITTINGER. Cálculo para ciencias económico-administrativas. Editorial Addison Wesley. Séptima edición BUDNICK, Frank S, Matemáticas aplicadas para Administración, economía y ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Tercera edición.1998
En el siguiente fascículo estudiaremos las ecuaciones, las cuales pueden ser de primer grado o lineales y cómo se pueden establecer sistemas de ecuaciones simultáneas mediante varias de ellas. Analizaremos por qué su representación gráfica permite justificar o explicar si un sistema de ecuaciones es consistente o inconsistente.
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Fundamentos de matemáticas
Seguimientoal autoaprendizaje Fundamentos de Matemáticas - Fascículo 4 Nombre______________________________________________________ _ Apellidos
_______________________________
Fecha:
_________________ Ciudad_________________________________
Semestre:
_______________ 1. Obtenga el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) Toda recta de pendiente negativa es creciente ( ) b) Toda recta de pendiente positiva es creciente ( ) c) La pendiente determina el punto de corte con el eje y de una recta ( ) d) El vértice en una parábola cóncava hacia abajo es un punto de máximo ( ) 2. La pendiente para la función lineal que se define mediante la fórmula 7 x + 3 y − 5 = 0 es: a. 7
b. 3
c. −
7 3
d.
5 3
3. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,-2) y (3, 3) es: a. y =
3 5 1 x + 3 b. y = x + 2 6 2
c. y =
6 x+3 5
d. y =
5 x−2 6
4. El vértice para la función de segundo grado que se define mediante la fórmula f ( x) = 5 x 2 + 5 x − 2 es: a. (1 , 1)
b. (− 12 , 1)
c. (− 12 ,− 134 )
⎛5 ⎝2
⎞ ⎠
d. ⎜ ,2 ⎟
Preguntas de selección múltiple con respuesta múltiple Este tipo de pregunta consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con las letras A, B, C, y D. Sólo dos de estas opciones responden correctamente el enunciado.
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Fundamentos de matemáticas Si a y b son correctas, marca la respuesta Si b y c son correctas, marca la respuesta Si c y d son correctas, marca la respuesta Si b y d son correctas, marca la respuesta
A B C D
5. Para la función de primer grado que se define mediante al fórmula 11x − 3 y − 5 = 0 se tienen: a. 11
b.
11 3
c. 5
d. −
5 3
Los valores de su pendiente y el punto de corte con el eje y respectivamente son: A. B. C. D. 6. Para la función de segundo grado que se define mediante la fórmula f ( x) = 2 x 2 − 4 x = −3 se tienen: a. (1 , 1) b. (0 , 3) c. (3 , 0) d. (0 ,−3) Los puntos vértice y ordenada respectivamente son A. B. C. D. 7. Hallar la fórmula de la recta que es perpendicular a la recta 11x − 3 y − 5 = 0 y pasa por el punto (0 ,−3)
8. Graficar la función f ( x) = 2 x 2 − 4 x = −3
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