Matematica 9°

MÓDULO MÓDULO DE MATEMÁTICAS

CICLO IV GRADO 9°

INTRODUCCIÓN

El desarrollo del módulo de Matemáticas 9° se fundamenta en los lineamientos curriculares y en la propuesta actualizada de los estándares de competencias básicas para el área de matemáticas.

Es el resultado de una reflexión pedagógica que presenta los contenidos relacionados con los pensamientos: numérico, espacial, aleatorio y variacional, relacionándolos con la vida cotidiana. Una selección de actividades que muestra a la matemática como herramienta para otras ciencias de manera práctica y transversal.

Una preparación para la prueba de estado (ICFES) que busca fortalecer el desarrollo de competencias y practicar el manejo de las pruebas con respuesta única y con múltiple respuesta válida.

1

MATEMATICAS

GRADO 9°

TABLA DE CONTENIDO

NÚMEROS REALES

PAG.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. INTERPRETACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN LINEAL FUNCIONES POLINÓMICAS, RACIONALES, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. TEOREMA DE PITÁGORAS Y TALES. CICUNFERENCIA ÁREA DEL CÍRCULO LÚNULA DE HIPÓCRATES

DIAGRAMAS DE ÁRBOL Y TÉCNICAS DE CONTEO ACTVIDAD 1 ACTVIDAD 2 ACTVIDAD 3 AC E R TI J O S D E MA T E M A TI C AS

2

GRADO 9°

ESTÁNDARES DE MATEMÁTICAS PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS

* Utilizar números reales en Sus diferentes representaciones en diversos contextos

* Reconocer y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).

*Justificar la pertinencia de utilizar unidades de medida específicas en las ciencias.

* Calcular probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

* analizar en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones polinómicas, racionales y exponenciales.

COMPETENCIA GENERAL *Construir los significados de las operaciones con números Reales, descubrir sus respectivas propiedades y desarrollar el sentido operacional con distintas actividades para comprender y manejar situaciones problema.

INTERPRETATIVA

ARGUEMTATIVA

PROPOSITIVA

EJES TRANSVERSALES

*Identificar definiciones, propiedades y resultados referidos a operaciones con números Reales, que se encuentran en el entorno.

* Aplicar procesos matemáticos para encontrar resultados usando las operaciones matemáticas en problemas de la vida cotidiana

* Educación ambiental y desarrollo del pensamiento.

Competencias

*Aplicar

los teoremas de Pitágoras y Tales a partir de los conocimientos matemáticos adquiridos, mediante el análisis de situaciones reales.

*Identificar definiciones, propiedades y resultados referentes a Teorema de Pitágoras y Tales

* Aplicar procesos geométricos usando el cálculo en la vida cotidiana.

*Proponer alternativas de solución a diversas situaciones cotidianas haciendo uso de las operaciones con números Reales. *Proponer alternativas de solución aplicadas a situaciones cotidianas en las diferentes demostraciones

* Elaborar e interpretar diagramas de árbol y técnicas de conteo

*Identificar situaciones

*Aplicar procesos de

relacionadas con datos

3

los

*Proponer resolver diversas

y

Contenidos

* Educación en valores y desarrollo del pensamiento.

*Educación desarrollo

ambiental y del

para formular y resolver problemas que impliquen determinar la probabilidad.

en distintos ámbitos de la vida cotidiana.

representación de datos y de cálculo de conteo , combinatoria probabilidad en diferentes contextos

Situaciones cotidianas haciendo uso de diagramas de árbol, técnicas de conteo y combinatoria.

pensamiento

TEMA 1: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

EL CONJUNTO DE NÚMEROS REALES E l c o nj u n t o f or m a do p o r l o s n úm er o s r a c i o n a l es e i r r a ccii o n a l e s e s el c o n j u n t o d e l o s n úm e r o s r e a l e ess , s e de designa por .Con lo oss n úm e r o s r e a l e s p o d em os r e al i za r t o d a s l a s o p e r a c i o n e s , e x c e p ptt o l a r a d i c a ccii ó n d de e í n d i c e p a r y r a d i c a nd o n e g a t i v o y l a di vi s i ó n p or or cero.

POTENCIAS: C o n ex p o n e n t e e n t er o

C o n ex p o n e n t e r a c i o n a l

Propiedades 1 . a 0 = 1 · 7. a n : b

n

= (a : b)

n

2.a1 = a 3.am · a

n

= am+n

4.am : a

n

= am

5.(am)n=am

- n

· n

4

6.an · b

n

= (a · b)

n

R ad i c al e s : U n r a d i c a l e s u n a e x p r e s i ón d e l a f o orr m a y a

, en la que n

; c o n t al q u e c u a n d o a s e a n e g a t i v o , n h a d e s e r i m mp par. Se

p u e d e e x p r e s ar u n r a d i c a l e n f or m a d e p o t e n c i a :

R a d i al e s e q u i v a l e n t e s

S i m pl i f i c a ci ó n d e r a d i c a l es es: Si existe un número na att u r a all q u e d i v i d da a a all í n d i c e y a l e x p o n e n t e ( o l o s e x p o ne n t e s ) d e l r a d dii c a n d o , s e o b t i e n e u n radical simplificado.

R e d u c ci ó n d e r a d i ca l e s a í n di c e c om ú n: n 1 H a l l am a m o s e l m í n i m o c o mú n m ú l t i p l o d e l o s í n d i c e s , q u e s e r á el c om ú n í n d i ce 2 D i v i d i m o s el el c co om mú ún índice por ca ad d a u n o d e l o s í n d i c es es y cada

resu ull t a d o

o bt btenido

se

mu l t i p l i c a

correspondientes.

5

por

s su us

ex xp pone en ntes

E x t r a c ccii ó n d e f a ct o r e s f u e r a d el s i gn o r a d i c a l : S e d e ess c o om m p o n e el radicando en factores. Si: •

E x p o n e n t e e s m e no r q u e e l í n d i c e e,, e l f a c t or c o r r e s p o n d i e n t e s e d e j a e n e l r a di d i c a n do .

* U n e xp o n en t e e s i g u a l al í n di c e , el f a c t or c o r r e s p o n d dii en t e s a l e f u er a d el r ad i c an d o . * U n e x p o n e n t e e s m a yo r q u e el í n d i ce c e , s e d i vi d e d i c h o e exx p o n e n t e p o r e l í n d i c e . E l c o c i en t e o bt e n i d o e s e l e xp o n en tte e del fac ctt o r f u er a d e ell r a d i c a n nd d o y e l r e s t o e s e l e x p o n en t e d e l f a c ctt o r d en t rro o d e l r a d i ca n d o .

I n t r o d u c ci ó n d e f a c t o r e s d e n t r o d e l s i g n o r a d i c a l : S e i n t r o du c e n l o s f a c t or e s el e v a d o s al í n di d i c e c o rrrr e s p o n d i e n t e d e ell r a d i c a l .

T E MA 2 : O P E R A C I O N E S C O N N Ú ME R OS OS REALES.

O p e r a ci o n e s c o n r a d i c a l e s Suma

de

r a di c al e s :

S o l a m e nt e

p u ed e n

sumarse

(o

resta arr s e )

dos

r a d i c a l e s c u a n d o s o n r a d i c a l e s s em ej a n t e s , e s d e ecc i r , si s o n r a d i c a all e ess c o n e l m i sm o í n di c e e i g u a l r a di c a n d o.

P r o d uc t o d e r a d i c a l e s : R a d i c a l e s d el e l m i sm o í n di c e

Radicales de distinto índice: P r i m e r o s e r e d u c e n a í n di c e c om ú n y l u e g o s e m u ull t i p l i c a n. n.

6

Cociente de radicales R a d i c a l e s d el e l m i sm o í n di c e

Radicales de distinto índ dii c e : P r i m e r o s e r e d u c e n a í n di c e c om ú n y l u e g o s e di v i d e n .

P o t e nc i a d e r a d i c a l e s

R a í z d e u n r a d i c al

T E MA 3 : C O N J UN U N T O D E L O S N Ú ME R OS O S C O MP L E JO S

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS L a u n i d ad ad imagina arr i a e s e l n ú m e r o

y se designa por la le ett r a i .

Poten ncc i a s d e l a u n i d a d i m a g i n ar aria i0 = 1 ; i1 = i ; i2 = −1 ; i3 = −i ; i4 = 1

i22 =

i22 = (i4)5 · i2 = − 1

7

i 2 7 = −i N ú m er o s i m a gi n a r i o s : U n n úm e r o i m a g i n a r i o s e d e n o t a p o r b i , d o n d e : b e s u n n úm e r o r e a l . i e s l a u n i d a d i m a g i n a r i a .

N ú m er o s c om pl e j o s e n f o r m a bi n óm i c a : A l n úm e r o a + b i l e l l am am o s n ú m e r o co m p l ej o e n f or m a bi n óm i c a. E l n úm e r o a s e l l a m a parte

real

d el

n úm e r o

c o m pl e j o. E l

número

b

se

llama

parte

i m a gi n a r i a d e l n úm e r o c o m p l ej o . S i b = 0 el n úm e r o c om p l e j o se r e d u c e a u n n ú m e r o r e al ya q u e a + 0 i = a. S i a = 0 e l n úm e r o c om p l ej o s e r e d u c e a b i , y s e d i c e q u e e s u n n ú m e r o i ma g i n a r i o puro.

El

c o nj u nt o

de

todos

n ú m er o s

co m p l e j o s

se

designa

por:

* L o s n ú m e r o s c om p l e j o s a + bi y − a − b i s e l l am a n o p u e s t os . * L o s n ú m e r o s c om p l e j o s z = a + b i y z = a − bi s e l l am a n c on j u g a d o s . *Dos

números

c o m p l ej o s

son

iguales

cuando

tienen

la

m i sm a

c o m p o n e n t e r e al y l a m i sm a c om p o n e n t e i m a g i na r i a .

O p e r a ci o n e s d e c o m p l ej o s e n f o r m a bi n óm i c a :

S u m a y r e s t a d e n ú m e r o s co m p l e j o s ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d )i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i ( 5 + 2 i ) + ( − 8 + 3 i ) − ( 4 − 2 i ) = = ( 5 − 8 − 4 ) + ( 2 + 3 + 2) i = − 7 + 7 i M u l t i p l i c a ci ó n d e n úm e r o s c o m p l ej o s:

8

( a + b i ) · ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( ad + b c ) i ( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i D i vi s i ó n d e n ú m e rro o s co m mp p l e j o s: s

Representación plano complejo: Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1)) En esta representación se le dice eje real (Re)) al eje de las y eje imaginario (Im)) al eje de las .

Gráfica 1:: Representación del número complejo

.

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el plano

el número complejo

. De este modo tenemos complejos de la forma

coincide con el número real cuando

. Los números

son llamados imaginarios puros.

TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

9

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. P a r a r e s o l v e r l o s si s t em a s d e ec u a c i on e s d e d o s e c u a ccii o n e s c o n d o oss i n c ó g n i t a s s e u t i l i z a n l o s si g u i e nt e s m ét o d o s d e r e s o oll u c i ó n: Método de sus stt i t u ci ó n : 1 Se despe ejj a u n a i nc ó g n i t a e n u n a d e l a s e c u a ccii o n e s d el ssii s t e m a 2 S e s u s t i t u ye l a e x p r e s i ó n d e e st a i n c ó g n i t a e n l a ot r a e c u a c i ó n d de ell s i s t e m a , o b t e n i e n d o u n e c u a ccii ó n c o n u na s o l a i n c ó g n i t a .

3 S e r es u e l v e l a e cu a c i ó n .

4 E l v a l o r o bt b t e ni d o s e s u s t i t u ye e n l a e c u a c i ó n e n l a q u ue e aparecía la i n c ó g n i t a d e s p e j a d a.

5 L o s d o s v a l o r es es obtenidos con nss t i t u uyye e n l a s o l u c i ó n d el s i st e m a d e E c u a c i o n e s . E j em emplo de resolución de un siste em ma de ecua acc i o n e s p o r

S u s t i t u ci ó n : 1 . D e sp e j am o s u n a d e l a s i n c ó g n i t a s en u n a d e l as a s d o s e ccu uaciones d de ell sistema.

2 . E l eg i m o s l a i n c ó g n i t a q u e t e n ng ga el coe eff i c i e n ntt e m á s b a ajj o o..

3 . S u s t i t u i m o s e n l a o t r a e c u a c i ó n l a vva a r i a bl e x, p o r e l v a all o r a n ntt e rrii o r : 4 . R e so l v em o s l a ec u a c i ó n o bt e n i d a : 5.

Sustituimos

el

valor

obten nii do do

en

la

v ar i a b bll e

d e s p e j a d a. a

6. Solución M é t o d o d e i g u a l a ci ó n : 1 Se despe ejj a l a m i s m a i n c ó g n nii t a e n a mb m b a s e c u a c i o n e s d el e l s i s t em e m a. a.

2 S e i g u a l a n l a s e x p r e s i o n es , c o n l o qu e o b t e n e em mos una ecuación co on n u n a i n c ó g ni t a .

3 S e r es u e l v e l a e cu a c i ó n .

4 E l v al a l o r o b t e ni n i d o s e s u s t i t u ye e n c u a l q u i e r a d e l as d o s ex expresion ne es e en n l a s q u e a p a r e cí a d e s p e j a d a l a o t rra a incógnita.5 Los dos valore ess o b t e n i d o s c o n st s t i t u y e n l a s o l u ci ó n d e l s i s t e em m a d e e cu a c i o n e s s. E j e m p l o de r e s ol o l u ccii ó n de un s i sstt e em ma de e c u a ccii o n e s p po or i g u a l a ci ó n

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1 D e s p ej a mo s , p o r e j em p l o , l a i n c ó g gn n i t a x d e l a p r i m er era y segunda e c u a c i ó n:

2 I g u al a mo s am b a s e x p r e si s i o n e s: 3 R e so l v e m o s l a e c u a c i ó n :

4 S u s t i t u i m o s el v a l o r d e y, e n u n a d e l a s d o s e x xp pres sii o n e s e n l a s q u e t e n em o s d e sp e j ad a

la x:

5 Solución:

Método de reducción:

1. Se preparan las dos ecuaciones, mu ull t i p l i c á n d ol a s p o r l o oss n ú m e err os os que convenga.

2 . L a r e st a am mos, y desaparece una de la ass i nc ó g n i t a s .

3. Se resue ell v e l a e cu a c i ó n r e s u l t a n t e .

4. El valo orr o bt b t e n i d o s e s u st i t u ye e n u n a d e l a s e c u a ccii o n e s i ni c i al ales y se resuelve.

5 . L o s d o s v a l o r e s o b t e n i d o s c o n sstt i t u ye n l a s o oll u c i ó n d e ell ssii sstt e em ma a..

E j e m p l o d e r es e s o l u ci ó n d e u n s i s t e em m a d e e c u a ccii o n e s p or r e d du ucción

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L o m á s f ác i l e s su s u p r i m i r l a y, d e e s t e m o d o n o t e n d drr í a am mos qu ue e preparar la ass e c u a ci o n e s ; p er e r o v am o s a o p t a r p o r s u p r i m i r l a x , p a r a q u e v e am amo oss m e j o r el p r o c e s o .

R e s t am o s y r e s o l v e m o s l a e c u a ci ó n :

S u sstt i t u i m o s e l v al o r d e y e n l a s e g u n d a e c u a ci ó n i n i c i al .

Solución:

G r áf i c a m e n t e:

INTERPRETACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN LINEAL L a f u n c i ó n l i n e al e s d e l t i p o:

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y = m x S u g r áf i c a e s u n a l í n e a rre e c t a qu que pasa po orr e ell o r i g e en n de

X

y = 2x

=

0

1 2 3 4

0 2 4 6 8

C o o r d e n a d as . y = 2 x

P e n d i en t e : m e s l a p e n d i e n t e d e l a r e ct a .

L a p e n d i e n t e e s l a i n c l i n a ci c i ó n d e l a r e c t a c o n r e s p e cctt o a l e j e d e a b s c i s a s. S i m > 0 l a f u n ci ó n e s c r e c i e n t e y e l á n g u l o qu e f o r m a l a r e c t a c o n l a p a r t e p o s i t i v a d e l ej e O X es ag u d o .

13

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

T E MA 5 : FUNCIONES POLINÓMICAS, RACIONALES, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

FUNCIONES POLINÓMICAS, RACIONALES, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

C l a si f i c a c i ó n d e f u n ci o n e s F u n ci o n e s a l g e eb b r a i c a s : E n l a s f u n c i o n e s a l g e br a i c a ass l a s o op peracion ne ess q u e h a y q u e e f e c t ua r c o n l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e s o n : l a a di d i ccii ó n , s u s t r a c c i ó n , m ul t i p pll i c a c i ó n , d i v i s i ó n n,, p o t e n c i a acc i ó n y r a d i c a c i ó n . L as f u n c i o n e s a l g e b r ai c a s p u e d e n s e r : Funciones ex plícitas: Si

s e p u e d e n o b t e n e r l as i m á g e n e ess d e x p o r

s im pl e s ust it uci ón . f ( x ) = 5x – 2F un c i on es i m pl í ci t a s . : Si no s e pu eden

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obtener las imágenes de x por simple sustitución, si no que es preciso efectuar operaciones. 5x − y − 2 = 0

F u n c i o n e s p o l i n ó m i c a s : S o n l a s f u nc i o n e s q u e vi e n e n de f i ni d a s p o r u n

polinomio. f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn Su domini o es

, es

deci r, cual qui er número real ti ene i magen.

Funciones constantes: El criterio viene da do por un número real. f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de pri mer grado:

f(x) = mx +n

Su gráf i ca es una r ect a obl i cua, que q ue da def i ni da por dos pu nt os de l a función.

Función

afín.,Función

l i neal ,

Función

i dentidad,

Funciones

cuadráti cas f(x) = ax² + bx +c

Son funci ones pol i nómi cas es de s egundo gra do, si endo su gráfi ca una parábola.

Funciones

cri teri os,

según

los

a

trozos; Son

intervalos

que

funciones se

definidas

consideren.

por

Funciones

distintos en

absol uto; Funci ón parte entera de x; Funci ón manti sa; Funci ón si gno.

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valor

F u n ci o n e s r a c i o n al e s : E l c r i t e err i o vvii e en n e d a d o p o r u n c o c i e n t e e nt r e

p o l i n om i o s :

El dominio l o forman todos

l os números real es excepto l os val ores de x que anul an el den omi nador.

F u n c i o n e s r a d i c a l e s : E l cr i t e r i o v i e n e d a d o p o r l a v a r i a b bll e x b a ajj o e ell

s i g n o r a d i c a l . E l d om i ni o d e u n a f u n ccii ó n i r r a ccii o n al d e í n d dii c e i m p a r e s R .

F u n ci o n e s

trascende en ntes:

La

variable

independiente

figura

como

exponente, o como í ndi ce de l a raí z, o se hall a afectada del si gno l ogaritmo o de cualqui era de los signos que empl ea la trigonometría.

Fu nción exponencial

:

S e a a u n n úm e r o r e ea a l p o ssii t i v o o.. L a

f u n c i ó n q u e a c a d a n úm e r o r e al x l e h a acc e c o r r e s p o n d er l a p o t e n c i a a x s e l l a m a f u n ci ó n ex e x p o ne n c i a l d e b a s e a y ex p o n e n t e xx.

F u n c i o n e s l o g a r í t m ic a s : L a f u n ci ó n l o g ga arítmica en base a es la fun ncc i ó ón n inversa de la exponencial en base a.

TEMA 6 : FUNCIÓN LINEAL, AFÍN Y CUADRÁTICA.

Función afín

función lineal

Función constante

función cuadrática

f u n ci ó n e x xp ponec cii a l

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Función logarítmica

T E MA 7 : T E O R E MA D E T H A L E S .

T e o r e m a d e T h a l e s : S i d o s r e ct a s c u ua alesquieras se co orr t a n p o r v a r i a ass

r e c t a s p ar a l el a s, l o s s e gm e n t o s d et e r m i n a d o s e n u n a d e l a s r e c t a ass s o n p r o p o r c i o n a l e s a l os s e gm e n ntt o s c o rrrr e s p po o n d i e n t e s e n l a o t r a. a.

E l t e o r e m a d e T h a l e s e n u n t r i á n g u l o : D a d o u n t r i á n g u l o AB C , si

s e t r a z a u n s eg m me e n to to parale ell o , B 'C ', a u n o d e l o s l ad o s d el t r i a n g u l o, s e o bt i e n e o t r o t r i án g u l o AB ' C ' , c u yo s s u s l a d o s s on

p r o p o r c i o n a l e s a l o s d e l t r i án g u l o AB C .

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Te o r e m a s d e t r i รก n g u l o s r e c t รกn g u l o s Te o r e m a d e l c a t e t o :

Te o r e m a l a al t u r a :

T E MA 8 : E L T E O R E MA D E P I T ร G O R A S

Teorema de Pitรกgoras:

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A pl p l i c a ci o n e s d e ell t e or em a d e P i t á g o r a s : 1

C o n o ccii e n d o

los

dos

ca att e t o oss

calcula arr

la

hipo ott e n u s a

Los catetos de un triángulo rectángulo miden e en n 3 m y 4 m r e s p e c t i v am e n t e e.. ¿ C u á nt nto mide la hipo ott e n u s a ?

2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

L a h i p ot o t e n u s a d e u n t r i á n g u l o r e ct á n g u l o m i d e 5 m y u n o d e s u s c a t e ett o s 3 m. ¿Cuánto mide otro cate ett o ?

3 . C o n o ccii e n d o s u s l a d o s , a v er e rii g u a r s i e s r e ct á n g u l o P a r a q u e s e a r e c t án g u l o el c u a d r a d o de l a d o m a yo r h a d e s e r i g u a all a l a su um m a d e l o s c u a dr a d o s d e l o s d o s m me e n o r e s . Determinar si el triángulo es

rectángulo.

19

TEMA 9: DIAGRAMAS DE ÁRBOL Y TÉCNICAS DE CONTEO

DIAGRAMAS DE ÁRBOL Y TÉCNICAS DE CONTEO P a r a l a c o n s t r u c ccii ó n d e u n d i ag r a m a e n ár b o l s e p a r t i r á p o n i e n d o u n a r a m a p ar a c a d a u n a d e l a s p o s i b i l i d a d e s , a acc om p a ñ a d a d e ssu u p r o b ab i l i d ad . E n e l f i n al d e c a d a r a m a p a r c i al s e c o n s t i t u ye a s u v e zz,, u n n u d o d el c u al p a r t e n n u e v a s r a ma s , s e g ú n l a s p o s i b i l i d ad e s d el s i g u i e nt e p a s o , s a l v o s i e l n u d o r ep epresenta un posib bll e f i n al d e ell e x p e r i m e nt o ( n u d o f i n a l ) . H a y q u e t e n e r e n c u e n t a : q u e l a s u m a d e p r o b ab i l i d ad e s d e l a s r am a s d e c a d a n u d o h a d e d a r 1 . E j e em mplos: •

U n a c l a s e c on o n s t a d e s e i s n i ñ a s y 1 0 n i ñ o ss.. S i s e e s c o og g e un un co om m i t é d e t r e s a l a za r , h a l l a r l a pr o b a b i l i d a d d e : 1 . S el eleccionar tres niños.

C a l c u l ar l a p r o b a b i l i d a d d e q u e a all a r r o ojj a r a all ai r e t r e s m o n e d a ss,, s a l g a n : T r e s c ar a s .

20

T e or em a d e l a p r o ob babilidad tota all : S i A

1,

A

2

,... , A

n

son: Sucesos

i n c o m p at i b l e s 2 a 2. Y c u ya u n i ó n e s e l e s p a ccii o m u e sstt r al ((A A A

n

1

A

2

= E). Y B es o ott r o s u c e s o . R e s ul t a q u e : p ( B ) = p p(( A 1 ) · p ( B / A 1 ) +

p ( A 2 ) · p ( B / A 2 ) + . . . + p ( A n ) · p( B / A n ) Ejemplo: •

...

Se

dispone

de

tres

cajas

con

b om om bill as.

La

primera

c o n t i e n e 1 0 b om bi l l as , d e l a s c u a l e s h a y c u a t r o f u n d dii d a ss;; e n l a segunda hay seis bombillas, e ess t a n d o u un na de ella ass f u n d dii d a, y l a t e r c er a c a ajj a h a y t r e s b o om mb bii l l a s f u n d dii d da a s d e u n t o t al al de ocho. ¿ C u á l e s l a pr o b a b i l i d a d d e q u e a l t om a r u n a b o om mb bii l l a al a zza ar.

21

de

una

cualquiera

de

las

cca ajas,

esté

fund di d a?

T E MA 1 0 : L A C I R C U N F E R E N C I A U n a ci r cu n f e r en ci a e s u n a l í n e a cu r v a c e r r ad a c u yo s p u n t o s e st á n t o d o s a l a mi s m a d i s t a n c i a d e u n p u n t o f i j o l l a m a d o c e en ntro.

C e n t r o d e l a ccii r c u nf nferencia P u n t o d e l q u e eq u i d i s t a an n t o d o s l os p u n t o s d e l a c i r cu n f e err e n c cii a .

R a d i o d e l a ci r c u n f er e n c i a S e g m e n t o q u e u n e e l c e n t r o d e l a c i r cu n f e r en c i a c o n u n p u n t o cualquiera de la misma.

Ele em m e n t o s d e l a c i r c u n f e r en c cii a Cuerda

22

S eg m en t o q u e u n e d o s p u n t o s d e l a ci r c u n f e r en c i a .

Diámetro

C u e r d a q u e p a s a po r e l c e n t r o .

A r co

Cada una de las partes en que una cuerda divide a la c i r cu n f e r en c i a. S e s u e l e a s o c i a r a c a da c u e r d a e l m e n o r ar c o q u e d e l i m i t a.

S em i c i r c u nf e r e n c i a

C a d a u n o d e l o s a r c o s i g u al e s q u e a b a r c a u n d i á m et r o .

T E MA 1 1 : Á RE A D E L C Í R C U L O

23

L o n g i t u d d e u n a c i r c u nf e r e n ci a

L o n g i t u d d e u n a r co d e c i r cu n f e r e n c i a

Á r e a d e u n cí r c ul o

Á r e a d e u n s e ct o r ci r c u l ar

24

Á r e a d e u n a co r o n a c i r cu l a r

E s i g u a l a l ár e a de l c í r cu l o m a yo r m e n o s el á r e a d el c í r cu l o menor.

Á r e a d e u n t r ap e c i o c i r c u l a r

E s i g u a l a l ár e a d e l s e c t o r c i r c ul a r m a yo r m e n o s el ár e a de l s e ct o r c i r c ul a r m e n o r .

Á r e a d e u n s eg m en t o ci r cu l ar

Á r e a d e l s eg m en t o c i r cu l a r AB = Á r e a d e l s e c t o r ci r cu l a r AO B − Á r e a d e l t r i á n g u l o AO B T E MA 1 2 : L Ú N U L A D E H I P Ó C R A T E S .

25

Construcción de una lúnula de Hipócrates

P a r t i m o s d e u n t r i á n g u l o i s ó s c el e s r e ct á n g u l o .

Con centro en O se traza el arco AB.

C o n c e n t r o e n M , qu e e s e l p u n t o m e d i o d e l a h i p o t e n u s a , s e t r a za e l ot r o a r c o.

La

parte

e nm ar c ad a

por

el

c o l or

verde

se

H i p ó cr a t e s .

Área de la lúnula

26

l l am a

lúnula

de

AC T I V I D AD 1

1 Clasifica los nĂşmeros:

5Opera:

2Representa

en

la

recta:

3 Halla las sumas: 6EfectĂşa:

7Calcula:

4 Realiza las operaciones:

8Racionalizar

27

9. Efectuar cada una de las operaciones indicadas: a) (3 + 2i) + (−7 − i) b) (5+ 3i) + (2i −1) + (7 − 5i) c) (8 − 6i) − (2i − 7) d) (4 + i)− (2 + 6i) + (3 − 5i) e) (6 + i) + (7 + i) + (i −13) f) (3 + i) − (4 − 5i) + (3 + 5i) 10. Efectuar los siguientes productos: a) (7 + i)·(2 − 3i) b) (6 + 8i)·(6 − 5i) c) 2·(7 + i) d) (6 +8i)·(2 −3i) e) (5 + i)·(3− 6i) f) (5 − 3i)·(4 + 8i) g) (2 − i)·(3+ i)·(2 + i) h) (1−i)·(1+ 4i)·i i) (2 + i)·(1+ 5i)·(1− i) h) –3 + 5i; i) 8 + 14i.

11. Efectuar las siguientes divisiones: *

3 - 3i _______ = - 6 + 6i

*

- 1/2 + 2i ___________= 2/3 - i

*

( - 1/2 - 1/5i ) : ( - 1/2 + 1/5i ) =

*

( - 9 - 3/5i ) : ( - 9 + 3/5i )

12. Representar gráficamente los siguientes complejos B=6 D=3-i E = - 5i F = - 8 - 7i 13. R e s u el v e p or su s t i t u ci ó n , i g u al a ci ón , r e d u c ci ó n y g r áf i c a m e n t e el sistema:

28

1 4 . R es u e l v e e l s i st e m a : 1 5 . H al l a l a s s o l uc i o n e s d e l si s t em a:

1 6 . R e p r e s e n t a l a s s i g u i e n t e s r e c t a s: * y = −2 ;

y = − 2 x – 1 ; y = ½x – 1 ; y = 2 x

1 7 . R e p r e s e n t a l a s s i g u i e n t e s f u n ci o n es , s a bi e n d o q u e : 1 T i e n e p e n di e nt e − 3 y o r d e n a d a e n e l o r i g e n − 1 .

1 8 . R e p r e s e n t a g r áf i c am e n t e l a s f u nc i on e s c u a d r át i c a s : 1 . y = − x² + 4 x − 3 2. y = x² + 2x + 1 1 9 . R e p r e s e n t a l a s f u n c i o n e s r a ci o n a l e s y d e t e rm i n a s u c e nt r o : 1 f ( x ) = 6/ x

2 20. Representa las funciones exponenciales: 1

29

2 2 1 . R e p r e s e n t a l a s f u n c i o n e s l o g ar í t m i ca s :

1

2 AC T I V I D AD 2

1 . L a h i p o t e n u s a de u n t r i á n g u l o r e ct á n g u l o m i d e 4 0 5 . 6 m y l a p r o ye c c i ó n d e u n c at e t o s o b r e e l l a 6 0 m. C al c u l a r : * L o s c a t et o s. * L a a l t u r a r el a t i v a a l a h i p ot e n u s a. * El área del triángulo.

2 . C a l c u l ar l o s l a do s d e u n t r i á n g u l o r e c t á n g ul o s a b i e nd o q u e l a p r o ye c c i ó n d e u n o d e l o s c a t e t os s o b r e l a h i p o t e n u s a e s 6 c m y l a a l t ur a r e l a t i v a d e l a m i s m a

cm.

3 . U n a e s c al e r a d e 1 0 m d e l o n gi t u d es t á a p o ya d a s o b r e l a p a r e d .

E l pi e d e l a e s c a l e r a d i s t a 6 m d e l a p a r e d . ¿ Q u é a l t ur a a l c a n z a l a e s c a l e r a s o br e l a p a r e d ?

4 . C al c ul a r el á r ea d e u n t r i á n g u l o e q u i l át e r o i n s c r i t o e n u n a c i r c u nf e r en c i a d e r a d i o 6 cm .

5 . D e t e r m i n a r e l á r e a d e l c u a d r a d o i ns c r i t o e n u n a ci r c unf e r e n c i a d e l o n g i t u d 1 8. 8 4 c m .

30

6 . E n u n c u a d r a d o d e 2 m d e l a d o s e i n s c r i b e u n cí c í r c ul o y e n e s t e c í r c ul o

un

c u a dr ad o

y

en

este

otro

c í r c ul o o..

Ha all l a r

el

áre ea a

comprendida entre el último cuad drr a d o y e l ú l t i m o c í r c u ull o .

7 . C a l c ul u l ar el á r ea d e l a c o r o n a c i r c u l ar d e ett e r m i n a d a p o r l a ass c i r c u nf n f e r en c i a s i n s c r i t a y c i r c u n s c rrii t a a u n c u a d r a d o d e 8 m de de diagonal.

8 . E l p e r í m et r o d e u n t r a p e ci o i s ós ósceles es de 110 m, la ass b a s e ess miden 40 y 30 m respectiva am men ntt e . C a l ccu ular los lados no pa arr a l el elos y el área.

9. A

u n h e x á g o n o r e g ul a r 4 cm

de lado se le inscribe una

c i r c u nf n f e r en c i a y s e l e c i r c u ns c r i b e ot r a a.. H a all l a arr e ell ár área de la corona c i r c ul a r a s í f o r m a d a a..

1 0 . E n u n a ccii r c u nf e err e n c i a u n a c u e err d a m i d e 4 8 ccm m y d i s t a 7 cm del c e n t r o. C a l c u l a r e l á r e a d e l cí c í rrcc u l o.

1 1 . L o s c a t et o s d e u n t rrii á n g u l o i n s ccrr i t o e n u n a c i r c u n nff e r e n ncc i a m i d e en n 2 2 . 2 ccm m y 2 9 . 6 ccm m r e s p e c t i v am e n t e e.. C a all c u ull a r l a l o n gi t u d d e l a c i r c u nf n f e r en c i a y e l á r e a d e l ccíí rrcc u l o.

1 2 . S o br e u n c í r c u l o d e 4 c m d e r a d i o s e t r a za u n á n g u l o c e n t r a all d e 6 0 °. H a l l a r el á r e a d e l

s e gm e nt o c i r cu l a r c o om mprend dii d o e n t r e l a

c u e r d a q u e u n e l o s e x t r em o s d e l o s d o oss r a d dii o s y s u a r c o c 13. Las rectas a, b y c son parale ell a ss.. H a l l a l a l o n g i t u d d e xx..

31

14. Las rectas a, b son para all el a s . ¿ P o d de em mos a aff i r m a r q u e c e s p a r a l el a a l a s r e c t a s a y b ?

AC TI V I D AD 3 1. En un centro esc ol ar l os al umnos pueden optar por cursar como l engua extranjera inglés o francés. En un det erminado curso, el

90% de los

alumnos estudia i nglés y el resto francés. El 30% de los que estudian i n gl és s on c hi cos y de l os qu e es t u di an f r a nc és s on c hi cos el 40% . El el egi do un al umno al azar, ¿cuál es l a proba bili dad de que sea chi ca?

2. De una ba ra ja de 48 ca rt a s s e ext rae si mult ánea ment e do s de ell as.

Ca l cul a r la probabi li da d d e que:

* Las dos sean copas. * Al menos una sea copas.

* Una sea copa y l a otra espada.

3. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el al umno escoja u no de l os dos para ser exami nado del

mi smo. Hal lar l a probabi li dad de que el

el egi r en el ex am en u no de l os t ema s es tudi ados .

32

al umno p ue da

4. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de l as chicas

y la

mitad

de l os

chicos

han

elegido francés

como

asignatura

optativa.

* ¿Cuál es la proba bilidad de que una persona el egida al azar sea chico o estudie francés?

* ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

5. Un tall er sabe que por término medio acuden: por l a mañana tres automóviles con problemas el éctricos, ocho con problemas mecánicos y tres

con

eléctricos,

problemas tres

con

de

cha pa,

problemas

y

por

la

mecáni cos

tarde y

uno

dos con

con

problemas

problemas

de

chapa.

* Hacer una tabla ordenando los datos anteri ores. * Cal cul ar el porcentaje de l os que acuden por l a tarde.

* Cal cul ar el porcentaje de l os que acuden por pr obl emas mec áni cos.

6. Cal cul ar l a probab ilidad d e q ue un aut omóvi l con probl emas el éct ri cos acuda por la mañana.

7.

Una cl ase co nsta de sei s ni ñas y 10 ni ños. Si se esc oge un c omi té de

tres al azar, hall ar l a proba bil i dad de:

* Seleccionar tres niños. * Selecci onar exactamente dos niños y una niña.

* Selecci onar por lo menos un niño.

* Sel ecci onar exact amente dos ni ñas y un ni ño.

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8.

Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene

dos caras y l a otra está cargada de mo do que l a probabi li dad de obt ener cara es de 1/3. S e selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la proba bilidad de que salga cara.

AC E R T I J O S D E M A TE M A TI C AS 1. LO QUE DIJO EL REO: En un determinado país donde la ejecución de un condenado a muerte solamente puede hacerse mediante la horca o la silla eléctrica, se da la situación siguiente, que permite a un cierto condenado librarse de ser ejecutado. Llega el momento de la ejecución y sus verdugos le piden que hable, y le manifiestan: "Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla eléctrica". El preso hace entonces una afirmación que deja a los verdugos tan perplejos que no pueden, sin contradecirse, matar al preso ni en la horca, ni en la silla eléctrica. ¿Qué es lo que dijo el reo?

2. COMPONER LA PULSERA: A un experto joyero le llevan cuatro trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, para que los una formando una pulsera. "Para ello, dijo el joyero, tendré que cortar cuatro eslabones, uno de cada trozo, para engarzar los trozos y soldar a continuación cada eslabón cortado. Tendré, en definitiva, que hacer cuatro cortes y cuatro soldaduras". Pero la persona que le encarga el trabajo dice: "No, no es necesario hacer cuatro empalmes.

Puede formarse la pulsera con solo tres". ¿Cómo podría hacerse esto?.

3. LA MONEDA MAS PESADA DE TODA LA DOCENA: El amigo Jacinto tiene doce monedas, pero sabe que una de ellas es falsa, esto es, que tiene un peso mayor que el peso de cada una de las restantes. Le dicen que use una balanza y que con solo tres pesadas averigüe cuál es la moneda de peso diferente.

4. LAS PEINETAS DE LA FERIA: En la caseta de María tenemos 5 peinetas. Dos blancas, tres rojas. Se ponen tres bailaoras en fila india y, sin que ellas vean el color, se les coloca una peineta en la cabecita a cada una de ellas. Está claro que la bailaora que queda en tercer lugar si ve el color de las peinetas de las otras dos y la bailaora que está en segundo lugar verá solo el color de la peineta de la bailaora que tiene delante, la primera de la fila. Bueno, pues cuando alguien le preguntó a la última bailaora si podía deducir cuál era el color de la peineta que tenía en la cabeza, dijo "no, no puedo". A la misma pregunta, la bailaora segunda, que solo veía a la que tenia delante, dijo, "yo tampoco puedo". En cambio, cuando la pregunta se le hizo a la primera bailaora, que escuchó las respuestas de las dos compañeras de atrás, dijo: "mi peineta es roja", a pesar de que no veía el color de ninguna de las peinetas. ¿Cómo lo dedujo?.

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