Tendencia central
Núcleos Temáticos y Problemáticos
Primer Caso: Cuando los Datos no Están Agrupados Segundo Caso: Cuando los Datos Están Agrupados
Proceso de Información
Las medidas de centralización son valores que tienden a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magnitud. Las medidas de centralización más usadas son: Media aritmética, mediana y moda. La media aritmética es la medida de tendencia central más conocida, es fácil de calcular, de gran estabilidad en el muestreo; se puede aplicar a variables de intervalos ya sean discretos o continuos. Esta medida se define como la suma de todos los valores observados dividido por el número de observaciones, es decir encontrar el promedio de los datos en estudio. La mediana se define como la medida de tendencia central que divide a cualquier distribución en dos partes iguales. Esta medida se puede aplicar a variables de intervalos (discretas y continuas) y variables ordinales. La moda de una distribución se define como el valor que presenta la mayor frecuencia, se usa con variables de intervalos nominales y ordinales. Es comúnmente utilizada como una medida de popularidad que refleja la tendencia de una opinión.
2.1 2.1.1
PRIMER CASO: CUANDO LOS DATOS NO ESTÁN AGRUPADOS Media Aritmética
La media aritmética de un conjunto de n números x1, x2, X3..., Xn, se representa por x y se define como: n
X =
X1 + X2 + X3 + ……Xn= xi
Cuando los números x1, x2, x3,....xn, aparecen f1, f2, f3,..... fn veces, respectivamente, es decir, que sus frecuencias respectivas son f1, f2, f3,....fn, la media aritmética se puede calcular del modo siguiente: n
X =
fixi
f1X1 +f2X2 + f3X3 + ....+fnXn = f1+f2+f3+………+fn
fi
En ocasiones, a cada uno de los números x1, x2, x3,....xn, se les asigna un peso determinado w1, w2, w3,....wn. En estos casos, se acostumbra a calcular la media aritmética ponderada del modo siguiente: n
X =
Ejemplo
w1x1 +w2x2 + w3x3 + ....+wnnn wixi wi w1+w2+w3+…..+wn
Hallar la media aritmética del puntaje obtenido por 5 estudiantes en una prueba: 6, 4, 3, 7, 8.
6+4+3+7+8 28 x = =5,6 5 5
Este es el puntaje promedio de los 5 estudiantes
Hallar la media aritmética de los siguientes datos que representan las edades de 10 niños. 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 7. 3*6+4*4+2*3+1*7 47 x= = 4,7 3+4+2+1 10 El promedio de edad de los 10 niños es de 4 años, 7meses ó de 5años.
Un estudiante ha obtenido las calificaciones siguientes: Asignatura Historia Química Física Matemática Biología Geología Dibujo Idioma filosofía
Nota 8 7 3 6 5 6 5 7 4
Peso 1 3 3 3 3 2 2 2 1
Calculando su nota media ponderada: 1*8 + 3*7 + 3*3 + 3*6 + 3*5 + 2*6 + 2*5 + 2*7 + 1*4 X =
1+3+3+3+3+2+2+2+1
111 = 5,55 20
X =
Por lo tanto el promedio de las notas del estudiante es de 5,55 2.1.2
Mediana
La mediana es una serie de datos ordenados en orden de magnitud, es el valor medio si el número de datos es impar o bien la media aritmética de los valores medios si el número de datos es par.
Ejemplo
Hallar la mediana de los siguientes datos que corresponden a la venta de leche en un expendio durante los últimos 7 días: 27800 43850 27800
54300 60500
43850
54300
60800 54350
54350
73200
60500
60800
73200
Md = 54350. El precio de la venta de leche que se encuentra en la mitad de los precios es de $54350.
Hallar el valor de la mediana para los siguientes puntajes de las pruebas ICFES: 304, 283,332, 344;295, 339. 283
295 Md =
304
332
339
344
304+332
=
318 2 El puntaje de las pruebas que se encuentra en la mitad es de 318. 2.1.3
Moda
La moda no puede ser única e incluso puede no existir.
Ejemplo
En una encuesta realizada sobre los deportes que se practican en un grado determinado de un Colegio de Varones, se presentan los siguientes resultados: Deporte Basket Fútbol Voleibol
Nº de Alumnos 10 18 5
Otros
4
La moda en este caso es el Fútbol, puesto que la mayoría de los alumnos lo prefieren.
Se le ha preguntado a un grupo de personas acerca del color preferido por ellas y se obtuvo lo siguiente:
Color Blanco Gris Azul Negro Rojo Morado Café Vinotinto
Numero de Personas 4 8 9 4 3 2 8 8
Lo cual indica que los colores que pueden estar de moda son el gris, café y vinotinto.
Hallar la moda de los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; como ningún número se repite más que los otros, por consiguiente no hay moda.
2.2
SEGUNDO CASO: CUANDO LOS DATOS ESTÁN AGRUPADOS
2.2.1
Media Aritmética n
X = xi f i
Ejemplo
Hallar la media aritmética de las ventas de los sesenta establecimientos: Intervalos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 40 -
F 2 5 12 14 15 8 4 0
X 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5
X*F 15 62.5 210 315 412.5 260 150 0
Total
60
1425
X = 1425 = 23,7 = 24 Las ventas promedio de los sesenta establecimientos son de $24000.
Hallar el valor promedio para la distribución correspondiente a las notas obtenidas por 40 estudiantes en una prueba estadística: Intervalos 10 - 19.6 19.6 - 29.2 29.2 - 38.8 38.8 - 48.4 48.4 - 58 58 - 67.6 Total
X=
F 10 3 7 7 5 8 40
X 14.8 24.4 34 43.6 53.2 62.8
X*F 148 73.2 238 305.2 266 502.4 1532.8
1532.8
= 38.3 = 38 El puntaje promedio de los 40 alumnos es de 38. 2.2.2
Mediana
Para hallarla cuando los datos están agrupados se siguen los siguientes pasos:
Ubicar el intervalo donde quede la frecuencia correspondiente a la mitad del tamaño de la muestra. Encontrar el valor del límite real inferior del intervalo dónde está. Aplicar la siguiente fórmula:
li :es el límite real inferior donde está la F n/2
n _ Fa 2 F n/2
A; donde:
Fa es la sumatoria de frecuencias anteriores a n/2 F n/2 es la frecuencia donde está n/2
Ejemplo
Encontrar la mediana de las ventas de los sesenta establecimientos:
Intervalos 5 - 10 10 – 15 15 – 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 TOTAL
F 2 5 12 14 15 8 4 60
$24.000 corresponde a la venta que está en la mitad.
Encontrar la mediana de la distribución correspondiente a las notas obtenidas por 40 estudiantes en una prueba estadística
Intervalos 10 - 19.6 19.6 - 29.2 29.2 - 38.8 38.8 - 48.4 48.4 - 58 58 – 67.6 Total
F 10 3 7 7 5 8 40
La nota que está en la mitad en esta distribución es Moda. 2.2.3
Moda
Se debe ubicar el intervalo donde esté la mayor frecuencia, y después se aplica la siguiente fórmula:
Li es el límite real inferior donde está la moda.
, 1es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia inmediatamente anterior. 2 es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia inmediatamente posterior.
A es la amplitud del intervalo.
Ejemplo
Encontrar la moda de las ventas de los sesenta establecimientos: Intervalos 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 Total
F 2 5 12 14 15 8 4 60
Encontrar la moda de la distribución correspondiente a las notas obtenidas por 40 estudiantes Intervalo 10-19.6 19.6-29.2 29.2-38.8 38.8-48.4 48.4-58 58-67.6 Total
F 10 3 7 7 5 8 40
Proceso de Comprensión y Análisis
Supóngase que en un viaje, un automovilista hace las siguientes compras de gasolina. 10 galones a $2500 c/u, 8 galones a $2550 c/u, 15 galones a $2600 c/u y 12 galones $2480 c/u. Cuál sería el costo medio por galón?.
La siguiente tabla muestra los salarios mensuales en miles de pesos de 144 empleados de una empresa: Salarios 540 - 607 607 - 674 674 - 741 741 - 808 808 - 875 875 - 942 942 - 1009 1009 - 1076 Total
F 6 19 36 24 26 19 10 4 144
Encontrar la media, la moda y la mediana.
Diez medidas del diámetro de un cilindro fueron anotadas por un científico como 3.88, 4.09, 3.92, 3.97, 4.02, 3.95, 3.98, 4.03, 3.92 y 4.06 centímetros; hallar la media aritmética de tales medidas.
De entre 100 números: 20 son cuatros, 40 son cincos, 30 son seis y los restantes sietes. Hallar la media aritmética, la media y la moda.
De los 80 empleados de una empresa, 60 cobran $7000 a la hora y el resto $4000 a la hora. Hallar cuánto cobran la media por hora.
Usar la distribución de frecuencias para hallar la altura media, la altura que más se repite y la altura que se encuentra en la mitad de 100 estudiantes. Altura (m) 1.60 - 1.63 1.63 - 1.66 1.66 - 1.69 1.69 - 1.72 1.72 - 1.75 Total
F 5 18 42 27 8 100
Hallar la media, mediana y moda de los pesos de 40 estudiantes de la siguiente tabla: PESO (Lb) 118 - 126 126 – 134 134 – 142 142 – 150 150 - 158 158 - 166 166 - 174 Total
F 3 5 9 12 5 4 2 40
Los tipos de reacción de un individuo ante diversos estímulos, medidos por un psicólogo, fueron: 0.53, 0.46, 0.5, 0.49, 0.52, 0.53, 0.44 y 0.55 segundos respectivamente. Determinar su tiempo medio de reacción.
La siguiente tabla muestra la distribución de cargas máximas en toneladas cortas que soportan los cables producidos en cierta fábrica. Determinar la carga máxima media, la carga máxima que se repite y la carga que más se repite. Carga Máxima (Toneladas Cortas) 9.3 - 9.7 9.7 - 10.1 10.1 - 10.5 10.5 - 10.9 10.9 - 11.3 11.3 - 11.7
F 2 5 12 17 14 6
11.7 - 12.1 Total
4 60
La siguiente tabla muestra el número de bodas en Colombia para hombres y mujeres de distintos grupos de edad durante 1984.
Hallar la media, mediana y moda tanto para hombres como para mujeres, estableciendo las respectivas conclusiones. Edad (años) 15 - 19 19 - 23 23 - 27 27 - 31 31 - 35 35 - 39 39 - 43 43 - 47 47 - 51
Hombres (Miles) 121 2.441 5.930 6.587 11.788 9.049 8.749 5.786 2.581
Mujeres (Miles) 481 4.184 6.952 7.193 11.893 9.022 8.171 4.654 1.524