Relaciones integrales para un volumen de control

Relaciones integrales para un volumen de Mecánica de fluidos control FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA, UNIDAD TORREÓN UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE COAHUILA Dr. Javier Naranjo

FIME-UT-UAdeC

Leyes de la mecánica 

Las leyes de la mecánica están escritas para la interacción del sistema con los alrededores. Como se ha mencionado las leyes de la mecánica también son cumplidas por la mecánica de fluidos. 

Conservación de masa



Relación de momentum lineal



Relación de momentum angular



Conservación de la energía



Entropía

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Flujo volumĂŠtrico ď ľ

Entonces la cantidad de fluido que pasa por dA en un determinado tiempo es el volumen de un paralelepĂ­pedo. ď ľ

ď ľ

đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰ = đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

La integral de dV/dt es el flujo volumĂŠtrico a travĂŠs de la superficie S: ď ľ

đ?‘„đ?‘„ = âˆŤđ?‘ đ?‘ đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = âˆŤđ?‘ đ?‘ đ?‘‰đ?‘‰đ?‘›đ?‘› đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

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Flujo de masa ď ľ ď ľ

ď ľ

đ?‘šđ?‘šĚ‡ = âˆŤđ?‘ đ?‘ đ?œŒđ?œŒ đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = âˆŤđ?‘ đ?‘ đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?‘›đ?‘› đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

Si la densidad y la velocidad son constantes sobre toda la superficie S, se reduce a una simple expresiĂłn de una aproximaciĂłn unidimensional.

đ?‘šđ?‘šĚ‡ = đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒ = đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒ

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Teorema de transporte de Reynolds

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Teorema de transporte de Reynolds ď ľ

Ahora proponemos una propiedad cualquiera B de un fluido y β=dB/dm es la propiedad intensiva asociada en una pequeùa porción de fluido. La cantidad total B en el volumen de control es entonces

ď ľ

đ??ľđ??ľđ??śđ??śđ??śđ??ś = âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝V

ď ľ

ď ľ

Donde Ď dV es una masa diferencial del fluido. Se quiere relacionar la razĂłn de cambio de BCV a la relaciĂłn de cambio de la cantidad de B en el sistema 2 que coincide con el volumen de control en un tiempo t.

La derivada temporal de BCV estĂĄ definida por el lĂ­mite del cĂĄlculo 1

đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

đ??ľđ??ľđ??śđ??śđ??śđ??ś =

1 đ??ľđ??ľ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ??śđ??śđ??śđ??ś

đ?‘Ąđ?‘Ą + đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ −

= đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ??ľđ??ľ2 đ?‘Ąđ?‘Ą + đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ − đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝V 1

1

= đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ??ľđ??ľ2 đ?‘Ąđ?‘Ą + đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ − đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ??ľđ??ľ2 đ?‘Ąđ?‘Ą

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1 đ??ľđ??ľ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ??śđ??śđ??śđ??ś

đ?‘œđ?‘œ + đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝V

− đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝V

đ?‘–đ?‘–

đ?‘œđ?‘œ

đ?‘Ąđ?‘Ą

−

1 đ??ľđ??ľ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ 2

đ?‘Ąđ?‘Ą

+ ������V

đ?‘–đ?‘–

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đ?‘‘đ?‘‘ ď ľ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ ď ľ

đ??ľđ??ľđ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ =

1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝V + đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝V

Los tres tĂŠrminos quieren decir fĂ­sicamente:

đ?‘œđ?‘œ

− đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝V

ď ľ

La razĂłn de cambio de B a travĂŠs del volumen de control

ď ľ

El flujo de B hacia afuera del volumen de control

ď ľ

El flujo de B hacia adentro del volumen de control

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đ?‘–đ?‘–

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Para un volumen de control arbitrario

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ď ľ ď ľ

ď ľ

đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

đ??ľđ??ľđ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ =

1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝V + âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘œđ?‘œ − âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘–đ?‘–

đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

đ??ľđ??ľđ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ =

1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝V + âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝ đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

Este el teorema de transporte de Reynolds para un volumen de control arbitrario. La propiedad B puede tomar cualquier propiedad conocida masa, momentum lineal, energĂ­a, etc. De forma elegante y compacta el teorema de Reynolds puede escribirse asĂ­:

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AproximaciĂłn unidimensional ď ľ

ď ľ

En muchas situaciones, el cruza las fronteras del volumen de control solo por una simple entrada y salida que se aproxima unidimensional. La integral de superficie se reduce a la suma de productos positivos (salidas) y negativas (entrada) para cada secciĂłn. đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

1

đ??ľđ??ľđ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ = âˆŤ đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝đ?›˝ + ∑đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?›˝đ?›˝đ?‘–đ?‘– đ?‘šđ?‘šĚ‡ đ?‘–đ?‘– |đ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œ + đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ??śđ??śđ??śđ??ś ∑đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’ đ?›˝đ?›˝đ?‘–đ?‘– đ?‘šđ?‘šĚ‡ đ?‘–đ?‘– |đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘–

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ConservaciĂłn de masa ď ľ

ď ľ ď ľ

ď ľ

Para la conservación de masa se sustituirå la propiedad B por la masa, es decir, B=m y β=dm/dm. Entonces la ecuación del teorema de transporte de Reynolds queda: �� ����

đ?‘šđ?‘š =

1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒV + âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?œŒđ?œŒ đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = 0

đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

đ?‘šđ?‘š =

1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒV + ∑ đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒ

Si el volumen de control sĂłlo tiene entradas y salidas unidimensionales se puede escribir como sigue:

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đ?‘œđ?‘œ

− ∑ đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒ

đ?‘–đ?‘–

=0

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ď ľ

Cuando el flujo a travĂŠs del volumen de control es estable, la ecuaciĂłn se reduce a lo siguiente:

ď ľ

âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?œŒđ?œŒ đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = 0

ď ľ ď ľ ď ľ ď ľ

Para las entradas y salidas unidimensionales se puede escribir como sigue: ∑ đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒ

đ?‘œđ?‘œ

= ∑ đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒ

đ?‘–đ?‘–

o de forma reducida ∑ đ?‘šđ?‘šĚ‡

đ?‘œđ?‘œ

= ∑ đ?‘šđ?‘šĚ‡

đ?‘–đ?‘–

ď ľ

Para un fluido incompresible, se reduce a una conservaciĂłn del flujo volumĂŠtrico.

ď ľ

∑ đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰

ď ľ

∑ đ?‘„đ?‘„

đ?‘œđ?‘œ

đ?‘œđ?‘œ

= ∑ đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰đ?‘‰

= ∑ đ?‘„đ?‘„

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đ?‘–đ?‘–

đ?‘–đ?‘–

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ConservaciĂłn de momentum lineal ď ľ

ď ľ

En la segunda ley de Newton la propiedad diferenciada es el momentum lineal mV. Entonces la propiedad B=mV y β=dB/dm =V, y aplicamos el teorema de transporte de Reynolds. �� ����

����

đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘

= ∑ đ?‘­đ?‘­ =

1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?‘˝đ?‘˝đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒV + âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?‘˝đ?‘˝đ?œŒđ?œŒ đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

ď ľ

El tĂŠrmino V es la velocidad relativa del fluido a un sistema coordenado inercial.

ď ľ

El tĂŠrmino ÎŁF es la suma vectorial de todas las fuerza externas actuando sobre el sistema considerando las fuerzas de superficie y de cuerpo. Actuando sobre la masa a travĂŠs del volumen de control.

ď ľ

La ecuaciĂłn entera es una relaciĂłn vectorial. Por lo tanto, la ecuaciĂłn tiene 3 componentes, en las direcciones x,y, y z.

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ConservaciĂłn de momentum lineal ď ľ

ď ľ

Para el caso unidimensional en las entradas y salidas, la ecuaciĂłn de momentum lineal se puede escribir como: đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

đ?‘šđ?‘šđ?‘˝đ?‘˝ = ∑ đ?‘­đ?‘­ =

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1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

̇ âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?‘˝đ?‘˝đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒV + ∑ đ?‘šđ?‘šđ?‘˝đ?‘˝

đ?‘œđ?‘œ

− ∑ đ?‘šđ?‘šđ?‘˝đ?‘˝

đ?‘–đ?‘–

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Teorema de momentum angular ď ľ

La variable B se sustituye por el vector del momentum angular H. Sin embargo, el fluido es un grupo de partĂ­culas no rĂ­gidas y el concepto de momento de inercia de masa no es de ayuda, entonces se tiene que calcular el momentum angular instantĂĄneo por integraciĂłn de todos los diferenciales de masa dm. Si O es el punto instantĂĄneo acerca del cual el momento es deseado, entonces el momento angular estĂĄ dado por

ď ľ

đ?‘Żđ?‘Ż = âˆŤđ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?’“đ?’“ x đ?‘˝đ?‘˝ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

ď ľ

ď ľ ď ľ ď ľ

Donde r es el vector posición desde O al elemento de masa dm y V es la velocidad del elemento. La cantidad de momentum angular por unidad de masa es entonces �� =

đ?‘‘đ?‘‘đ?‘Żđ?‘Ż đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

= �� x ��

El teorema de transporte de Reynolds queda đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

đ?‘Żđ?‘Ż

đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘

= ∑ đ?‘´đ?‘´ = ∑ đ?’“đ?’“ x đ?‘­đ?‘­ =

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1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?’“đ?’“ x đ?‘˝đ?‘˝ đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒV + âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?’“đ?’“ x đ?‘˝đ?‘˝ đ?œŒđ?œŒ đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

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EcuaciĂłn de la energĂ­a ď ľ

ď ľ ď ľ

ď ľ

Entonces, al aplicar la conservación de la energía al teorema de transporte de Reynolds la variable B es sustituida por la energía E y β=dE/dm=e. ���� ����

=

đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

−

đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

=

1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’V + âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’ đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

La energĂ­a puede ser la suma de todas las energĂ­as en particular la suma de la energĂ­a interna, cinĂŠtica, potencial y otras energĂ­as. Se despreciaran las otras energĂ­as, entonces 1 2

�� = �� + �� 2 + ����

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EcuaciĂłn de la energĂ­a ď ľ

La transferencia de calor dQ/dt son por efectos de conducciĂłn, convecciĂłn o radiaciĂłn. El trabajo puede ser de causas externas o debido a las fuerza de cuerpo o fuerzas superficiales. En este caso podemos escribir el trabajo como la suma de estos trabajos.

ď ľ

đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ = đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’ + đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘? + đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’ đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł = đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ đ?‘ đ?‘ + đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ đ?‘?đ?‘? + đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ đ?œ?đ?œ?

ď ľ

Definimos las fuerzas superficiales debido a la presiĂłn y los esfuerzos viscosos como siguen:

ď ľ

đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘Šđ?‘Šđ?‘?đ?‘?̇ = −đ?‘?đ?‘? đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

ď ľ

El trabajo neto resultante serĂĄ entonces

ď ľ

ď ľ

đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘Šđ?‘Šđ?œ?đ?œ?̇ = −đ??‰đ??‰ ďż˝ đ?‘˝đ?‘˝đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ đ?‘?đ?‘? = âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?‘?đ?‘? đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

đ?‘Šđ?‘Šđ?œ?đ?œ?̇ = âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś −đ??‰đ??‰ ďż˝ đ?‘˝đ?‘˝đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ = đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ đ?‘ đ?‘ + âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?‘?đ?‘? đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ − âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ??‰đ??‰ ďż˝ đ?‘˝đ?‘˝đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

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EcuaciĂłn de la energĂ­a ď ľ

ď ľ ď ľ

ď ľ ď ľ

ď ľ

Entonces la ecuaciĂłn de la energĂ­a para un volumen de control queda: đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

= đ?‘„đ?‘„̇ − đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ đ?‘ đ?‘ − âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?‘?đ?‘? đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ + âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ??‰đ??‰ ďż˝ đ?‘˝đ?‘˝đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ =

đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

= đ?‘„đ?‘„̇ − đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ đ?‘ đ?‘ − đ?‘Šđ?‘ŠĚ‡ đ?œ?đ?œ? =

1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’V + âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’ đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

Definiendo la entalpĂ­a como la suma de la energĂ­a interna y la energĂ­a de flujo. Finalmente, la ecuaciĂłn de la energĂ­a se escribe como: 1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś đ?‘˘đ?‘˘ + đ?‘’đ?‘’đ?‘?đ?‘? + đ?‘’đ?‘’đ?‘?đ?‘? đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒV + âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś â„Ž + đ?‘’đ?‘’đ?‘?đ?‘? + đ?‘’đ?‘’đ?‘?đ?‘? đ?œŒđ?œŒ đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

Para los tĂŠrminos unidimensionales el tĂŠrmino de la integral de superficie puede sustituirse por sumatorias de entradas y salidas. âˆŤđ??śđ??śđ??śđ??ś â„Ž + đ?‘’đ?‘’đ?‘?đ?‘? + đ?‘’đ?‘’đ?‘?đ?‘? đ?œŒđ?œŒ đ?‘˝đ?‘˝ ďż˝ đ?’?đ?’? đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = ∑ â„Ž + đ?‘’đ?‘’đ?‘?đ?‘? + đ?‘’đ?‘’đ?‘?đ?‘? đ?‘šđ?‘šĚ‡ đ?‘œđ?‘œ − ∑ â„Ž + đ?‘’đ?‘’đ?‘?đ?‘? + đ?‘’đ?‘’đ?‘?đ?‘? đ?‘šđ?‘šĚ‡ đ?‘–đ?‘–

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Estado estable y aplicaciones en la ingenierĂ­a ď ľ

Para el estado estable y con una sola entrada y una sola salida

ď ľ

â„Ž1 + đ?‘‰đ?‘‰12 + đ?‘”đ?‘”đ?‘§đ?‘§1 = â„Ž1 + đ?‘‰đ?‘‰12 + đ?‘”đ?‘”đ?‘§đ?‘§1 − đ?‘žđ?‘ž + đ?‘¤đ?‘¤đ?‘ đ?‘ + đ?‘¤đ?‘¤đ?œ?đ?œ?

ď ľ

ď ľ

1 2

1 2

Esta Ăşltima ecuaciĂłn es muy utilizada e aplicaciones de ingenierĂ­a con las consideraciones de mantener hacer las energĂ­a en forma de columnas. đ?‘?đ?‘?1 đ?›žđ?›ž

+

��12 2��

+ ��1 =

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đ?‘?đ?‘?2 đ?›žđ?›ž

+

��22 2��

+ đ?‘§đ?‘§2 + â„Žđ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“ − â„Žđ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘? + â„Žđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ą

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EcuaciĂłn de Bernoulli ď ľ

ď ľ

Cercanamente relacionado con la ecuaciĂłn de energĂ­a en estado estable es una relaciĂłn entre la presiĂłn, la velocidad y la elevaciĂłn en flujo sin fricciĂłn y sin presencia de otras energĂ­as como bombas o turbinas, es nombrada la ecuaciĂłn de Bernoulli. Llamada asĂ­ en honor de Daniel Bernoulli. La ecuaciĂłn de Bernoulli tuvo un completo desarrollo por Leonhard Euler. Esta ecuaciĂłn es ampliamente usada en la hidrĂĄulica y condiciones donde el flujo se considera inviscoso. Esta ecuaciĂłn es presentada a continuaciĂłn đ?‘?đ?‘?1 đ?›žđ?›ž

+

��12 2��

+ ��1 =

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đ?‘?đ?‘?2 đ?›žđ?›ž

+

��22 2��

+ ��2 FIME-UT-UAdeC

Principio de Bernoulli

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