Universidad Fermín Toro Vicerrectorado Académico Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Administración
Análisis de Problema y toma de Decisiones Profesora: Énid Moreno Rincón Autor: Javier A. Roberti Guzzetta
Barquisimeto, Julio 2012
Editorial La toma de decisiones es un problema que se presenta en la vida de todo ser humano, pues prácticamente casi todos sus actos conllevan implícita una decisión previa a su realización, pero las personas usualmente no son conscientes de las numerosas decisiones que toman en la vida diaria: “Una elección es siempre nuestro propio hacer, pero puede ser un hacer irreflexivo” (Schick, 1999; p. 146). De hecho, la vida de los humanos está conformada por un gran número de decisiones, algunas son sencillas y otras son complicadas. Esto lo expresó H. Raiffa 1
con las siguientes
palabras: “Lo más frecuente es que las decisiones de la vida personal o profesional se tomen sin mayores complicaciones, pues la mejor alternativa aparece clara sin realizar mucho análisis, o la decisión no es lo suficientemente importante como para justificar que se le preste demasiada atención”. En la actualidad, tomar decisiones mejor y más rápidas es muy importante para la sobrevivencia de toda organización. Existen dos enfoques metodológicos que sustentan las diversas técnicas y métodos aplicables al análisis de problemas: Métodos de investigación cuantitativa se encargan de medir y analizar el grado de asociación o relación entre variables cuantificadas. Están basados en la inducción probabilística del positivismo lógico, y son objetivos, ya que consideran que todos los fenómenos pueden ser reducidos a indicadores empíricos que representan la realidad. Además, tratan de generalizar los resultados obtenidos a través de una muestra para hacer inferencia sobre la población de la cual procede la muestra.
Por su parte, los métodos de investigación cualitativa se encargan del proceso de
significados. Están basados en la interpretación y el constructivismo y son subjetivos ya que consideran que existen múltiples realidades o verdades basadas en una construcción de la realidad. En esta edición se tratará los temas relacionados con Técnicas e instrumentos para la toma racional de decisiones en donde se especificara los métodos determinísticos, probabilísticos e híbridos.
CONTENIDO
1.
INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 4
2.
MÉTODOS DETERMINÍSTICOS ........................................................................... 5
2.1 PROGRAMACIÓN LINEAL .................................................................................. 6 2.1.1Definición .............................................................................................................. 7 2.1.2 Objetivos............................................................................................................... 7 2.1.3Aplicaciones........................................................................................................... 8 2.1.4Teorema fundamental de la programación Lineal ..................................................... 9 2.1.7 Ejemplos ............................................................................................................. 10 2.2 MÉTODO DEL SIMPLEX .................................................................................... 13 2.2.1 Definición ........................................................................................................... 13 2.2.2 Pasos del método simplex .................................................................................... 13 2.2.3 Ejemplo .............................................................................................................. 13 2.2.4 Conclusión .......................................................................................................... 15 3.
MÉTODOS PROBABILÍSTICOS.......................................................................... 15
3.1 LÓGICA BAYESINA ........................................................................................... 16 3.1.1 Definición ........................................................................................................... 16 3.1.2 Características ..................................................................................................... 16 3.1.3 Pasos del Modelo Bayesiano como técnica de pronóstico ....................................... 16 3.1.3 Ejemplo .............................................................................................................. 17 3.2 TEORÍA DE JUEGOS........................................................................................... 17 3.2.1
Definición ...................................................................................................... 17
3.2.2
Origen de la teoría de juegos ........................................................................... 17
3.2.3
Características ................................................................................................ 17
3.2.4
Aplicaciones .................................................................................................. 18
3.2.5
Ejemplo ......................................................................................................... 18
3.2.6
Conclusión ..................................................................................................... 18
4.
MÉTODOS HÍBRIDOS ........................................................................................ 19
4.1 MODELO DE TRANSPORTE Y LOCALIZACIÓN .............................................. 19 4.1.1
Definición ...................................................................................................... 19
4.1.2 Objetivo .............................................................................................................. 19
4.1.3 Usos del modelo .................................................................................................. 19 4.1.4 Ejemplo .............................................................................................................. 19 4.2 TÉCNICA MONTECARLO .................................................................................. 20 4.2.1
Definición ...................................................................................................... 20
4.2.2
Algoritmos ..................................................................................................... 20
4.2.3
Características ................................................................................................ 21
4.2.4
Ejemplo ......................................................................................................... 21
4.2.5
Conclusión ..................................................................................................... 22
1. INTRODUCCIÓN En la toma de decisiones está inmersa la incertidumbre ya que no hay nada que garantice que las condiciones en las que se tomo la decisión sigan siendo las mismas, ya que estamos en un medio que cambia constantemente; aunque las que se toman sin previo análisis, al azar, están más expuestas que aquellas que siguen el proceso adecuado, por ello es de gran utilidad conocer que procesos se deben aplicar y abarcar para tomar decisiones efectivas. Para lograr una efectiva toma de decisiones se requiere de una selección racional, por ello, lo primero que se debe hacer es tener claro el objetivo que se quiere alcanzar; considerando las diferentes alternativas, evaluando cada una de sus ventajas, limitaciones y adoptando la que se considere más apropiada para conseguir el objetivo propuesto. Para Harold Koonts: la toma eficaz de decisiones tiene que ser racional. Las personas que actúan o deciden racionalmente intentan alcanzar alguna meta que no puede lograrse sin acción. Deben comprender claramente los cursos alternativos mediante los cuales se puede lograr una meta en las circunstancias y con las limitaciones existentes. También tienen que contar con la información y la capacidad para analizar y evaluar alternativas de lo deseado. La elección racional es instrumental está guiada por el resultado de la acción. Las acciones son evaluadas y elegidas no por sí mismas sino como un medio más o menos eficiente para otro fin. (por ejemplo: un empresario que desea maximizar la ganancia, en la fabricación de un producto secundario y para ello aplica acciones mejoradas en el área de producción de dicha empresa). Es necesario reunir pruebas suficientes para tomar una decisión, pero si se toma demasiado tiempo al momento de actuar puede ser tardío. Todo proceso racional consta de cuatro fases: a) Diagnosticar ó analizar el problema: En esta fase se definen el análisis de los problemas como un proceso lógico que canaliza un cierto conjunto de información con el propósito de encontrarle solución adecuada a un problema mayor identificado.
b) Encontrar las alternativas más adecuadas: Desarrollar alternativas se relaciona con los procesos humanos de inventiva e innovación. Una de las formas de abordarlo es suministrándole condiciones que conduzcan al pensamiento creativo, además de seleccionar personas que posean una imaginación igual. Para que estas alternativas tengan un significado se necesita de algún tipo de predicción que muestre las posibles consecuencias que surjan al seguir un curso de acción. Estos resultados pueden obtenerse a través de: estimaciones y adivinanzas, método experimental, conocimiento establecido por las teorías. c) Analizar estas alternativas c) Analizar las alternativas: La comparación de alternativas implica que los resultados se comparen en función de los objetivos preestablecidos, esta comparación tiene como propósito determinar cuál es la alternativa que cumple en mayor proporción los fines deseados. d) Seleccionar la alternativa más conveniente
Tomar la decisión es el primer paso para elegir un plan de acción; es por esto que como administradores nuestro trabajo central es continuamente decidir qué hacer, delegar su realización a quienes consideremos más capacitados para ello, justificar para que debe hacerse, cuando debe hacerse y así lograr la optimización.
2. MÉTODOS DETERMINÍSTICOS Los modelos determinísticos es un modelo matemático donde las mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Está estrechamente relacionado con la creación de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de situaciones hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la incertidumbre. La inclusión de mayor complejidad en las relaciones con una cantidad mayor de variables y elementos ajenos al modelo determinísticos hará posible que éste se aproxime a un modelo probabilístico o de enfoque estocástico. En los modelos determinísticos, una buena decisión es juzgada de acuerdo a los resultados. Por ejemplo, la planificación de una línea de producción, en cualquier proceso industrial, es posible realizarla con la implementación de un sistema de gestión de procesos que incluya un modelo determinísticos en el cual estén cuantificadas las materias primas, la mano de obra, los tiempos de producción y los productos finales asociados a cada proceso. Los modelos determinísticos tienen las siguientes características: Suelen ser introducidos para estudiar el impacto de un cambio en el régimen, como la
introducción de nuevo impuesto, por ejemplo.
Asume toda la información, hay suposición perfecta y no hay incertidumbre en torno a los
choques. Los choques pueden afectar a la economía de hoy o la de cualquier momento en el futuro, dado
el caso de previsión perfecta. También puede durar uno o varios períodos. Muy a menudo, sin embargo, los modelos introducen un choque positivo hoy y ningún choque a
partir de entonces (con certeza). La solución no requiere de linealización, de hecho, ni siquiera realmente necesita de un estado
estacionario. En su lugar, se trata la simulación numérica para encontrar las rutas exactas de las variables endógenas de primer orden que cumplan con las condiciones del modelo y la estructura del choque. Este método de solución por lo tanto puede ser útil cuando la economía está muy lejos del estado
estacionario. Entre estos modelos destacan la programación lineal y el método simplex. 2.1 PROGRAMACIÓN LINEAL La Programación Lineal (PL) es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra su aplicación práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción. Problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de PL. La industria petrolera parece ser el usuario más frecuente de la PL. Un gerente de procesamiento de datos de una importante empresa petrolera recientemente calculó que del 5% al 10% del tiempo de procesamiento informático de la empresa es destinado al procesamiento de modelos de PL y similares. La programación lineal aborda una clase de problemas de programación donde tanto la función objetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales. Este problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la década del 40. Rara vez una nueva técnica matemática encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prácticas de negocios, comerciales e industriales y a la vez recibe un desarrollo teórico tan exhaustivo en un período tan corto. Hoy en día, esta teoría se aplica con éxito a problemas de presupuestos de capital, diseño de dietas, conservación de recursos, juegos de estrategias, predicción de crecimiento económico y sistemas de transporte. Recientemente la teoría de la programación lineal también contribuyó a la resolución y unificación de diversas aplicaciones. Es una técnica que se aplica a una amplia gama de problemas administrativos y a otros de decisión. Es de valor cuando se debe escoger entre alternativas demasiado numerosas para evaluarlas con los métodos convencionales. Al usar la programación lineal, podemos determinar combinaciones óptimas de los recursos de una firma para alcanzar cierto objetivo. Se tratan de métodos gráficos y simplex de aplicación de esta técnica. Presenta las siguientes características: - Se preocupa por alcanzar una posición óptima con relación a cierto objetivo. Por ejemplo: minimizar costos y maximizar utilidades.
- Supone la escogencia entre varias alternativas o la combinación apropiada de estas. - Considera ciertos límites u obligaciones dentro de los cuales se debe alcanzar necesariamente la decisión: examinar el compromiso y la capacidad de los diversos departamentos. - Es aplicable en situaciones como: elegir el trayecto más corto para la distribución de un producto como la gaseosa, elegir los elementos más esenciales en la mezcla para obtener un producto.
Cuando se formula un problema de toma de decisiones como un programa lineal, se deben verificar las siguientes condiciones: 1. La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se debe verificar que todas las variables estén elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas (no divididas ni multiplicadas); 2. El objetivo debe ser ya sea la maximización o minimización de una función lineal. El objetivo debe representar la meta del decisor; y 3. Las restricciones también deben ser lineales. . Asimismo, la restricción debe adoptar alguna de las siguientes formas (£, ³, O =, es decir que las restricciones de PL siempre están cerradas). 2.1.1Definición Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que permiten Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas mediante inecuaciones lineales: f(x,y)= ax + by s.a.: a1x + b1y ≤ c a1x + b1y ≥ c a1x + b1y < c a1x + b1y > c El conjunto solución, se llama región factible. El conjunto de todas las soluciones posibles se denomina conjunto solución factible. La programación lineal es el estudio de modelos matemáticos concernientes a la asignación eficiente de los recursos limitados en las actividades conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos. En resumen, la Programación Lineal (PL) es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos. Es un procedimiento que encuentra su aplicación práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción. Problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de PL. 2.1.2 Objetivos Captar la idea de la programación lineal y sus posibilidades de aplicación a problemas prácticos. Dominar el lenguaje propio de la programación lineal: función objetivo, restricciones, región factible , solución óptima, etc . Aplicar las técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales. Representar regiones factibles y determinar gráficamente los puntos donde puede darse la solución óptima. Determinar la solución óptima.
Plantear un problema de programación lineal partiendo de su enunciado, en términos generales. Utilizar Software adecuado y valorar las nuevas tecnologías. Conocer y valorar la programación lineal 2.1.3Aplicaciones La Programación Lineal tiene aplicaciones en la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Conviene recurrir a ella cuando se presentan situaciones en las que se exige optimizar (maximizar o minimizar) situaciones (funciones) que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones (restricciones). Todo programa lineal consta de cuatro partes: un conjunto de variables de decisión, los parámetros, la función objetivo y un conjunto de restricciones. Al formular un determinado problema de decisión en forma matemática, debe practicar la comprensión del problema (es decir, formular un Modelo Mental) leyendo detenidamente una y otra vez el enunciado del problema. Mientras trata de comprender el problema, formular las siguientes preguntas generales: 1. ¿Cuáles son las variables de decisión? Es decir, ¿cuáles con las entradas controlables? Definir las variables de decisión con precisión utilizando nombres descriptivos. Las entradas controlables también se conocen como actividades controlables, variables de decisión y actividades de decisión. 2. Cuáles son los parámetros? - ¿cuáles son las entradas no controlables? Por lo general, son los valores numéricos constantes dados. Defina los parámetros con precisión utilizando nombres descriptivos. 3. ¿Cuál es el objetivo? ¿Cuál es la función objetivo? Es decir, ¿qué quiere el dueño del problema? ¿De qué manera se relaciona el objetivo con las variables de decisión del dueño del problema? ¿Es un problema de maximización o minimización? El objetivo debe representar la meta del decisor. 4. ¿Cuáles son las restricciones? Es decir, ¿qué requerimientos se deben cumplir? ¿Debería utilizar un tipo de restricción de desigualdad o igualdad? ¿Cuáles son las conexiones entre las variables? Escríbalas con palabras antes de volcarlas en forma matemática. En un problema de programación lineal intervienen:
La función f ( x,y ) = a x + b y + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes. Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: menores a (< ); mayores a ( > ); menores o iguales a ( ); mayores o iguales a ( ). Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos. El conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones y que se lo denomina conjunto (o región ) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución. La solución óptima del problema será un par de valores ( x 0, y 0 ) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo que corresponda.
2.1.4Teorema fundamental de la programación Lineal En un programa lineal en dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan En el caso de que la región factible no sea acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región. La evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible permite encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo) en alguno de ellos.
El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente: 1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones, para lo cual se dibujan las respectivas rectas asociadas a cada inecuación y se evalúa algún punto de cada semi plano. 2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones, pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución y en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no. Como se mencionó anteriormente, el propósito de la programación lineal es maximizar o minimizar funciones lineales de la forma: f(X) = C1X1 + C2X2 + C3X3 +. .... ....+ CnXn, denominadas función objetivo, las cuales están sujetas a un sistema de inecuaciones o ecuaciones lineales denominadas restricciones: a11X1 + a12X2 + a13X3 + ... a1nXn b1; a21X1 + a22X2 + a23X3 + ... a2nXn b2 . . . . . . . . . ; am1X1 + am2X2 + am3X3 +... amnXn bn , en donde las variables X i (i = 1,2,3,.. n) son no negativas. 2.1.5 Métodos de Resolución Método Gráfico o Método de las rectas de nivel: Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor. Si la función objetivo es f( x,y ) = a x + b y + c , la ecuación de las rectas de nivel es de la forma: a x + b y + c = 0 o bien a x + b y = k Variando k se obtienen distintos valores para f( x,y ). Las rectas de nivel siempre son paralelas, pues los coeficientes a y b de la recta a x + b y = k son los que determinan su pendiente. Por tanto, si k 1 es distinto de k 2 , las rectas a x + b y = k 1 y a x + b y = k 2 son paralelas. Luego, trazada una
cualquiera de esas rectas, las demás se obtienen por desplazamientos paralelos a ella. En la resolución de un problema de programación lineal, los únicos puntos que interesan son los de la región factible, y las únicas rectas de nivel que importan son aquellas que están en contacto con dicha región . El nivel aumenta (o disminuye) desplazando las rectas, luego el máximo (o el mínimo) de f(x,y) se alcanzará en el último (o en el primer) punto de contacto de esas rectas con la región factible. 2.1.6 Tipos de Solución Los problemas de programación lineal en dos variables se clasifican según el tipo de solución que presenten. Éstos pueden ser: FACTIBLES, si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones: Con solución única, si existe solo un vértice de la región factible donde la función objetivo alcanza su valor óptimo (una solución). Con solución múltiple, si existe más de un vértice donde la función objetivo puede alcanzar su valor óptimo y por tanto en todos los puntos del segmento que determinan ésos vértices (hay infinitas soluciones). Con solución no acotada, si no existe límite para la función objetivo, debido a que la región factible no es acotada, por lo que la función crece infinitamente sin presentar un valor extremo. Puede decirse que no hay solución. NO FACTIBLES, cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes. Carecen de solución. 2.1.7 Ejemplos A continuación, se incluyen tres problemas ilustrativos: 1. El Problema del Carpintero Durante un par de sesiones de tormenta de ideas con un carpintero (nuestro cliente), éste nos comunica que sólo fabrica mesas y sillas y que vende todas las mesas y las sillas que fabrica en un mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación. El objetivo es determinar cuántas mesas y sillas debería fabricar para maximizar sus ingresos netos. Comenzamos concentrándonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, , para revisar nuestra solución semanalmente, si fuera necesario. Para saber más acerca de este problema, debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que sucede y medir lo que necesitamos para para formular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente. El problema del carpintero se trata de determinar cuántas mesas y sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer una función objetivo La función objetivo es: 5X1 + 3X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en dólares o décimas de dólares) de la venta de una mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior, son las limitaciones de la mano de obra (esta
limitación proviene de la familia del carpintero) y los recursos de materia prima (esta limitación proviene de la entrega programada). Se miden los tiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del día y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, la formulación de PL es la siguiente: Maximizar 5 X1 + 3 X2 Sujeta a: 2X1 + X2 40 restricción de mano de obra X1 + 2 X2 50 restricción de materiales, tanto X1 como X2 son no negativas. Las variables de decisión, es decir, las entradas controlables son X1, y X2. La salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales 5 X1 + 3 X2. Todas las funciones empleadas en este modelo son lineales (las variables de decisión están elevadas a la primera potencia). El coeficiente de estas restricciones se denomina denomina Factores Tecnológicos (matriz). El período de revisión es de una semana, un período conveniente dentro del cual es menos probable que cambien (fluctúen) las entradas controlables (todos los parámetros tales como 5, 50, 2,..). Incluso en un plazo de planificación tan corto, debemos realizar el análisis what-if (que pasa si..) o de hipótesis para responder a cualquier cambio en estas entradas a los efectos de controlar el problema, es decir, actualizar la solución prescripta. Podemos intentar resolver X1 y X2 enumerando posibles soluciones para cada una y seleccionado el par (X1, X2) que maximice 5X1 + 3X2 (los ingresos netos). Sin embargo, lleva mucho tiempo enumerar todas las alternativas posibles y si no se enumeran todas las alternativas, no podemos estar seguros de que el par seleccionado (como una solución) es la mejor de todas las alternativas. La solución óptima, es decir, la estrategia óptima, es establecer X1 = 10 mesas y X2 = 20 sillas. Programamos las actividades semanales del carpintero para que fabrique 10 mesas y 20 sillas. Con esta estrategia (óptima), los ingresos netos son de US$110. Esta solución prescripta sorprendió al carpintero dado que debido a los mayores ingresos netos provenientes de la venta de una mesa (US$5), él solía fabricar más mesas que sillas. ¿Contratar o no contratar a un ayudante? Supóngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) ¿Le conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, ¿por cuántas horas? X3 es la cantidad de horas extra, entonces el problema modificado es: Maximizar 5 X1 + 3 X2 - 2 X3 Sujeta a: 2X1 + X2
40 + X3 restricción de la mano de obra con horas adicionales desconocidas
X1 + 2 X2 50 restricción de materiales. En esta nueva condición, veremos que la solución óptima es X1 = 50, X2 = 0, X3 = 60, con ingresos netos óptimos de US$130. Por lo tanto, el carpintero debería contratar a un ayudante por 60 horas.
2. En una Población se van a construir casas de dos tipos: A y B. Se dispone para ello de un máximo de 1800 millones de pesos, siendo el costo de cada tipo de casa de 30 y 20 millones, respectivamente. La Municipalidad exige que el número total de casas no sea superior a 80.
Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es 4 millones y de 3 millones por una de tipo B, ¿cuántas casas de cada tipo deben construirse para obtener la mejor utilidad? Desarrollo: La función objetivo es f( x,y ) = 4 x + 3 y. Restricciones: 30 x + 20 y 1800; x + y 80; x 0; y 0; Al Graficar las rectas asociadas, se obtiene la REGIÓN FACTIBLE y sus vértices: Las rectas de nivel son de la forma 4x+3y = k y la Solución óptima se obtiene en el vértice ( 20 , 60 ), punto de la Región Factible que hace máximo el valor de k ; esto es 260 millones de utilidad. Luego conviene construir 20 casas del tipo A y 60 casas del tipo B.
3. Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27.5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q . Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es $200 y por una docena de tipo Q es $300 . ¿Cuántas docenas de cada clase tiene que hacer para optimizar su beneficio?. Desarrollo: La función objetivo es f( x,y ) = 200 x + 300 y Restricciones: 3x + 6y 150; x + 0.5y 22; x + y 27.5; x 0; y 0 Al Graficar las rectas asociadas, se obtiene la REGIÓN FACTIBLE y sus vértices: Las rectas de nivel son de la forma 200x+300y = k y la Solución óptima se obtiene en el vértice (5 , 22.5 ), punto de la Región Factible que hace máximo el valor de k . Por lo tanto, Conviene hacer 5 docenas del tipo P y 22.5 docenas del tipo Q para ganar $ 7750.
2.1.8 Conclusión La programación lineal es una herramienta poderosa para seleccionar alternativas en un problema de decisión y por consiguiente se aplica en una gran variedad de entornos de problemas. La cantidad de aplicaciones es tan alta que sería imposible enumerarlas todas, tales Finanzas, Administración de Producción y Operaciones, Recursos Humanos, Marketing, Distribución.
La programación lineal ha demostrado ser una herramienta sumamente poderosa, tanto en la modelización de problemas de la vida real como en la teoría matemática de amplia aplicación. Sin embargo, muchos problemas interesantes de optimización son no lineales.
2.2 MÉTODO DEL SIMPLEX 2.2.1 Definición Es un método genérico de solución de problemas lineales, desarrollado por George Dantzig en 1947. El método Simplex es un algoritmo de solución muy utilizado para resolver programas lineales. Un algoritmo es una serie de pasos para cumplir con una tarea determinada. El método del simplex se basa en que si la función objetivo “f” no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta. El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de GaussJordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex. Una propiedad general del método simplex es que resuelve la programación lineal en iteraciones, donde cada iteración desplaza la solución a un nuevo punto esquina que tienen potencial de mejorar el valor de la función objetivo. El proceso termina cuando ya no se puede obtener mejoras. Para resolver se debe agregar variables de holgura o exceso según sea el sentido de la desigualdad. Para las variables de holgura se lo hace con el menor igual que (≤), y para las variables de exceso se lo hace con el símbolo de mayor igual que (≥). El número de variables de holgura y exceso se lo hace de acuerdo al número de restricciones. 2.2.2 Pasos del método simplex
1. Determinar solución básica factible
2. Seleccionar variable de entrada, aplicando la condición de optimalidad. Terminar si no hay varable de entrada, la última solución es óptima
3. Seleccionar variable de salida aplicando la condición de factibilidad
4. Determinar la nueva solución básica con los cálculos de GaussJordan
5. Ir al paso 1
2.2.3 Ejemplo Se Maximiza la función objetivo Z= f(x,y) = 3x + 2y sujeta a las restricciones: 2x + y 18, 2x + 3y 42, 3x + y 24, x 0; y 0. Procedimiento:
1. Se Convierten las desigualdades en igualdades, para lo cual se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, a objeto de convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
2. Se iguala la función objetivo a cero; esto es: - 3x - 2y + Z = 0 3. Se escribe la tabla inicial simplex, en cuyas columnas aparecen todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas; una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo. 4. Se ubica la variable de decisión que entra en la base, para lo cual se observa la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y se escoge la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto); en este caso, la variable x de coeficiente - 3. 5. De existir dos o más coeficientes negativos iguales, se elige uno cualquiera de ellos. Si en la última fila no hay ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Luego, lo que determina el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote, en este caso la columna x . Se ubica la variable de holgura que sale de la base, para lo cual se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace el cociente, y en el caso de que todos los elementos sean menores o iguales a cero, entonces la solución sería no acotada y no se puede seguir. El término de la columna pivote que en la división dé lugar al menor cociente positivo determina la fila de la variable de holgura que sale de la base y se denomina Fila Pivote. (Si dos o más de ellos son iguales, cualquiera de las variables correspondientes puede salir de la base). En la tabla SIMPLEX: El menor cociente positivo que se obtiene al dividir el valor solución 24 por su correspondiente valor de la Columna Pivote 3 es 8, lo que determina la fila de la variable de holgura, denominada Fila Pivote La intersección entre la fila pivote y la columna pivote determina el elemento pivote operacional, 3 que permite determinar los nuevos coeficientes de la Variable w mediante división de los mismos por el 3
La nueva Tabla Simplex es:
Mediante el Método de reducción de Gauss se hacen ceros los restantes términos de la columna x, con lo que se obtienen nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetiva z esto es:
La solución óptima se obtiene cuando todos los elementos de la fila de la Función Objetivo quedan positivos.
Como en el ejemplo, queda el negativo -1 , el proceso se debe repetir hasta que todos ellos sean positivos. La solución óptima se obtiene por el valor de Z en la columna de los valores solución , en este caso es 33 . En la misma columna se determinará el vértice donde se alcanza la optimización, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: D(3,12) 2.2.4 Conclusión El método simplex resuelve problemas no determinados y con un uso más práctico en la economía y administración ya que se requiere máxima ganancias, minimizar horas de trabajo, producción, mantenimiento, requerimientos, costos, etc.
3. MÉTODOS PROBABILÍSTICOS Los modelos probabilísticas están ampliamente basados en aplicaciones estadísticas para la evaluación de eventos incontrolables (o factores), así como también la evaluación del riesgo de sus decisiones. La idea original de la estadística fue la recolección de información sobre y para el Estado. La Probabilidad se deriva del verbo probar lo que significa "averiguar" lo que no es tan fácil de obtener o entender. La palabra "prueba" tiene el mismo origen el cual proporciona los detalles necesarios para entender lo que se requiere que sea cierto.
Los modelos probabilísticas son vistos de manera similar que a un juego; las acciones están basadas en los resultados esperados. El centro de interés se mueve desde un modelo determinísticos a uno probabilística usando técnicas estadísticas subjetivas para estimación, prueba y predicción. En los modelos probabilísticos, el riesgo significa incertidumbre para la cual la distribución de probabilidad es conocida. Por lo tanto, la evaluación de riesgo significa un estudio para determinar los resultados de las decisiones junto a sus probabilidades. 3.1 LÓGICA BAYESINA 3.1.1 Definición La lógica de Bayes es un tipo de análisis estadístico que permite cuantificar un resultado incierto, determinando la probabilidad de que ocurra, mediante el uso de datos relacionados previamente conocidos. El modelo Bayesiano está circunscrito, como técnica de pronostico en las llamadas técnicas cualitativas, cuya principal característica es que sus insumos son juicios de valores; es decir, opiniones que dan una valoración o cualificación a hechos o datos observados. 3.1.2 Características Su rol como instrumento de pronóstico es muy importante ya que permite hacer inferencias sobre la probabilidad de ocurrencia de una situación dada (hipótesis / escenario), sobre la base de las evidencias observadas; por ello, es un instrumento extraordinario para el monitoreo o seguimiento de situaciones de interés. dentro de este contexto, juega un rol fundamental como herramienta de alerta, ante las evidencias obtenidas como consecuencia de la dinámica de los acontecimientos. La aplicación del modelo bayesiano como técnica de pronostico está sujeta a la posibilidad de hacer seguimiento a una situación de interés determinada. Si las evidencias no favorecen de manera significativa y relevante a ninguna de las hipótesis (escenarios) planteadas; entonces no será posible inferir la ocurrencia de alguno de los escenarios, sobre la base de las evidencias observadas. 3.1.3 Pasos del Modelo Bayesiano como técnica de pronóstico 1. Se percibe y se evalúa una situación a la luz de las evidencias y acontecimientos observados 2. Se formulan los escenarios probables / hipótesis alternativas y se le asignan unas probabilidades subjetivas iniciales. Tales escenarios deben cumplir con la condición de exhaustividad y exclusión mutua. 3. Se inicia el proceso de seguimiento y monitoreo de todos los eventos (acontecimientos), hechos que inciden en el direccionamiento de las tendencias. 4. Con base en el registro de eventos (evidencias) se ajustan por el método de Bayes las probabilidades de ocurrencia asignadas a cada escenario. 5. Una vez hecho los cálculos tomando como base los juicios de valor de los analistas y expertos se hacen los gráficos de tendencias. 6. Visualizando los gráficos de tendencias en cuanto a las posibilidades de ocurrencia de cada escenario, se evalúa la necesidad de dar “el alerta”. 7. De ser requerido dar “el alerta”; la misma tendrá que fundamentarse de manera lógica y convincente en las evidencias obtenidas hasta el momento. tal “alerta” deberá servir de base para una toma de decisiones oportuna ante la situación planteada.
3.1.3 Ejemplo Si la única información de que disponemos a la hora de realizar una apuesta en una carrera de caballos es que hay 10 equinos participantes, podemos elegir cualquiera de los mismos como ganador basándonos en que la probabilidad de ganar es de 1 entre 10, es decir, de 0,10. Sin embargo, aplicar ese tipo de matemáticas a las carreras, probablemente redundará en pérdidas monetarias, y es aquí donde la lógica de Bayes entra en acción. Volviendo a las carreras, podemos decir que cada uno de los caballos habrá corrido ya algunas carreras y poseerá, por lo tanto, un historial propio. Por ejemplo, si “Rayo” ha ganado todas las carreras en las que ha participado y “Trueno” las ha perdido todas, hay una base de evidencia para apostar por “Rayo”, en lugar de hacerlo por “Trueno”. Sin embargo, es viable el acceso a más información sobre cada equino participante. Por ejemplo, su ascendencia y genética de campeón; su rendimiento bajo diferentes condiciones climáticas; su posición de salida en la pista, así como el tiempo transcurrido desde la última carrera o los kilómetros de la misma. En definitiva, toda esta información puede ayudarnos a efectuar una estimación sobre las posibilidades de victoria de un caballo mucho mejor que la simplista aproximación de “1 entre 10”, anteriormente mencionada. El análisis de todos esos factores constituye el “proceso de Bayes”, un método también muy utilizado en el mundo de los deportes.
3.2 TEORÍA DE JUEGOS Los fundamentos de la teoría de juegos fueron expuestos por Jhon Von Neumann, quien en 1.944 publica el libro "teoría de los juegos y del comportamiento económico”. 3.2.1 Definición La teoría de juegos es una teoría de la toma de decisiones. Su objetivo consiste en analizar como deberían tomarse estas decisiones, y en un sentido más restringido, como son tomadas de hecho. Todo el mundo tiene que adoptar cada día una serie de decisiones. En tiempos de incertidumbre la teoría de juegos podría venir al primer plano como herramienta estratégica porque pueden ofrecer perspectivas de cómo los "jugadores" podrían actuar en diferentes circunstancias además de otra clase de información valiosa para la toma de decisiones. 3.2.2 Origen de la teoría de juegos La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern en su libro clásico The Theory of Games Behavior, publicado en 1944. Otros habían anticipado algunas ideas. Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por los matemáticos Borel y Zermelo. 3.2.3 Características La teoría de juegos fue ideada para constituirse en un instrumento útil, no solo en los casos en que el azar y las decisiones propias fuesen los únicos factores relevantes, sino para ayudar el proceso de toma de decisiones en circunstancias más complejas.
Algunas decisiones precisan de una profunda reflexión, mientras que otras son prácticamente automáticas. Las decisiones de cada uno están vinculadas a los objetivos que se pretendan conseguir, y así, cuando se conocen las consecuencias de cada alternativa, la adopción de una solución determinada resulta una tarea sencilla. Una vez que se conoce a donde se quiere llegar, el problema se reduce a seleccionar los medios que le conduzcan a ese lugar. Sin embargo, cuando el azar interviene en el juego, las decisiones se vuelven bastante complicadas. 3.2.4 Aplicaciones La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economía es el principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teoría de Juego. Entre las disciplinas donde hay aplicación de la Teoría de Juegos tenemos: la economía, ciencia política; biología; filosofía. 3.2.5 Ejemplo El dilema del prisionero: (formulado por a. W. Tuquer). Dos sospechosos por haber cometido un crimen en complicidad son detenidos por la policía y encerrados en celdas separadas. Cada sospechoso puede hablar o permanecer en silencio. Las alternativas son las siguientes: a. Si uno de los sospechosos habla y su cómplice no, el primero sirve de testigo acusador del otro, al que le caerían 20 años de cárcel, mientras él quedaría en libertad. b. Si ambos hablan, los dos irían a prisión por 5 años. c. Si ambos permanecen callados, los dos van a la cárcel por un año, acusados de tenencia ilícita de armas (un cargo menor). 3.2.6 Conclusión El principal objetivo de la teoría de los juegos es determinar los papeles de conducta racional en situaciones de "juego" en las que los resultados son condicionales a las acciones de jugadores interdependientes. Un juego es cualquier situación en la cual compiten dos o más jugadores. El ajedrez y el póker son buenos ejemplos, pero también lo son el duopolio y el oligopolio en los negocios. La extensión con que un jugador alcanza sus objetivos en un juego depende del azar, de sus recursos físicos y mentales y de los de sus rivales, de las reglas del juego y de los cursos de acciones que siguen los jugadores individuales, es decir, sus estrategias. Una estrategia es una especificación de la acción que ha de emprender un jugador en cada contingencia posible del juego. Se supone que, en un juego, todos los jugadores son racionales, inteligentes y están bien informados. En particular, se supone que cada jugador conoce todo el conjunto de estrategias existentes, no solo para él, sino también para sus rivales, y que cada jugador conoce los resultados de todas las combinaciones posibles de las estrategias. La acción que emprende un jugador puede dictar los actos de otros jugadores o influir en la probabilidad de que se comporten en una forma particular. Esta potencialidad de posibles efectos
en los resultados es la que distingue la toma de decisiones en conflictos y la toma de decisiones en un medio incierto.
4. MÉTODOS HÍBRIDOS Este modelo permite simular la evolución de cada alternativa (y finalmente actuar según ciertos criterios específicos) en el contexto de la supuesta evolución de algunos factores exógenos altamente inciertos. Mientras el componente histórico, basado en datos, puede basarse en modelos estadísticos más o menos convencionales, las técnicas basadas en la extracción de conocimientos podrían cubrir los aspectos más inciertos. Por ejemplo, se podría utilizar un modelo difuso, basado en reglas, para almacenar primero la experiencia humana existente y las hipótesis, y combinar después, finalmente, este conocimiento. 4.1 MODELO DE TRANSPORTE Y LOCALIZACIÓN 4.1.1
Definición
El modelo de transporte es un problema de optimización de redes donde debe determinarse como hacer llegar los productos desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda, minimizando los costos de envío. 4.1.2 Objetivo El modelo busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Entre los datos del modelo se cuenta:
Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino.
4.1.3 Usos del modelo El modelo se utiliza para realizar actividades como: control de inventarios, programación del empleo, asignación de personal, flujo de efectivo, programación de niveles de reservas en prensas entre otras. 4.1.4 Ejemplo Una empresa de alimentos ha decidido expandir su línea de enlatados abriendo una nueva localización de fábrica. Esta expansión se debe a la capacidad limitada en su planta existente. La siguiente tabla muestra una serie de factores relevantes propuestos por la administración de la empresa para tomar la decisión de localización final, así como su importancia relativa y las calificaciones dadas según el grupo de expertos para dos ciudades de interés.
Del análisis anterior se puede concluir que la ciudad A es preferible para localizar la nueva planta.
4.2 TÉCNICA MONTECARLO 4.2.1
Definición
Es un método simplificado de simulación, pero también incluye factores de probabilidad. La simulación es guiada por un muestreo al azar para tomar en cuenta la probabilidad de que el evento suceda. El muestreo al azar se usa para simular sucesos naturales con el fin de determinar la probabilidad de los eventos bajo estudio. Se emplea una tabla de números al azar para obtener la muestra al azar. El Montecarlo es un medio de tanteo para ver qué sucedería cuando ciertos eventos, normales y anormales, se presenten. Este enfoque es productivo y dice lo que probablemente sucederá en los eventos reales sin analizar los eventos comprobables existentes 4.2.2
Algoritmos
El algoritmo de Simulación Monte Carlo Crudo o Puro está fundamentado en la generación de números aleatorios por el método de Transformación Inversa, el cual se basa en las distribuciones acumuladas de frecuencias: ♦ Determinar la/s V.A. y sus distribuciones acumuladas (F) ♦ Generar un número aleatorio ♦ uniforme ∈ (0,1). ♦ Determinar el valor de la V.A. para el número aleatorio generado de acuerdo a las clases que tengamos. ♦ Calcular media, desviación estándar error y realizar el histograma. ♦ Analizar resultados para distintos tamaños de muestra.
Otra opción para trabajar con Monte Carlo, cuando la variable aleatoria no es directamente el resultado de la simulación o tenemos relaciones entre variables es la siguiente: ♦ Diseñar el modelo lógico de decisión ♦ Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes. ♦ Incluir posibles dependencias entre variables. ♦ Muestrear valores de las variables aleatorias. ♦ Calcular el resultado del modelo según los valores del muestreo (iteración) y registrar el resultado ♦ Repetir el proceso hasta tener una muestra estadísticamente representativa ♦ Obtener la distribución de frecuencias del resultado de las iteraciones ♦ Calcular media, desvío. ♦ Analizar los resultados 4.2.3
Características
Las principales características a tener en cuenta para la implementación o utilización del algoritmo son: ♦ El sistema debe ser descripto por 1 o más funciones de distribución de probabilidad (fdp) ♦ Generador de números aleatorios: como se generan los números aleatorios es importante para evitar que se produzca correlación entre los valores muestrales ♦ Establecer límites y reglas de muestreo para las fdp: conocemos que valores pueden adoptar las variables. ♦ Definir Scoring: Cuando un valor aleatorio tiene o no sentido para el modelo a simular. ♦ Estimación Error: Con que error trabajamos, cuanto error podemos aceptar para que una corrida sea válida? ♦ Técnicas de reducción de varianza. ♦ Paralelización y vectorización: En aplicaciones con muchas variables se estudia trabajar con varios procesadores paralelos para realizar la simulación. 4.2.4
Ejemplo
Tenemos la siguiente distribución de probabilidades para una demanda aleatoria y queremos ver qué sucede con el promedio de la demanda en varias iteraciones:
Utilizando la distribución acumulada (F(x) es la probabilidad que la variable aleatoria tome valores menores o iguales a x) podemos determinar cuál es el valor obtenido de unidades cuando se genera un número aleatorio a partir de una distribución continua uniforme. Este método
de generación de variable aleatoria se llama Transformación Inversa.
Generando los valores aleatorios vamos a ver como se obtiene el valor de la demanda para cada día, interesándonos en este caso como es el orden de aparición de los valores. Se busca el número aleatorio generado en la tabla de probabilidades acumuladas, una vez encontrado( si no es el valor exacto, éste debe ser menor que el de la fila seleccionada pero mayor que el de la fila anterior), de esa fila tomada como solución se toma el valor de las unidades (Cuando trabajamos en Excel debemos tomar el límite inferior del intervalo para busca en las acumuladas, para poder emplear la función BUSCARV(), para 42 sería 0, para 43 0,100001 y así sucesivamente). Ejemplo: Supongamos que el número aleatorio generado sea 0,52, ¿a qué valor de unidades corresponde? Nos fijamos en la columna de frecuencias acumuladas, ese valor exacto no aparece, el siguiente mayor es 0,70 y corresponde a 48 unidades. Se puede apreciar mejor en el gráfico, trazando una recta desde el eje de la frecuencia hasta que intercepta con la línea de la función acumulada, luego se baja a la coordenada de unidades y se obtiene el valor correspondiente; en este caso 48. Cuando trabajamos con variables discretas la función acumulada tiene un intervalo o salto para cada variable (para casos prácticos hay que definir los intervalos y luego con una función de búsqueda hallar el valor). Para funciones continuas se puede hallar la inversa de la función acumulada. De esta forma logramos a partir de la distribución de densidad calcular los valores de la variable aleatoria dada. En la siguiente tabla, vemos como a medida que aumenta el número de simulaciones, el valor simulado se acerca al valor original de la media y desviación estándar, además de la disminución del error típico.
4.2.5
Conclusión
El método de Monte Carlo es una herramienta de investigación y planeamiento; básicamente es una técnica de muestreo artificial, empleada para operar numéricamente sistemas complejos que tengan componentes aleatorios o determinísticos, manteniendo tanto la entrada como la salida un cierto grado de incertidumbre. En Investigación Operativa, Monte Carlo es utilizado con fines experimentales, es decir se pueden elaborar distintos modelos e ir intercambiando parámetros para estudiar cuales son los posibles resultados.