Programa de la asignatura:
Variable compleja
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Información general de la asignatura
Ciencias de la Salud Biológicas y Ambientales | Ingeniería en Biotecnología
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Nombre de la asignatura Variable compleja
Horas de estudio
Semestre
72
Quinto
Claves de la asignatura Biotecnología TSU: N/A
ING: 19143529
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Índice Información general de la asignatura ........................................................................................ 1 Ficha de identificación ............................................................................................................... 1 Presentación.............................................................................................................................. 3 Propósito ................................................................................................................................... 5 Competencias a desarrollar ...................................................................................................... 6 Temario…………………………………………………………………………………………………7 Metodología de trabajo ............................................................................................................ 10 Evaluación ............................................................................................................................... 13 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 15
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Presentación
Estimado estudiante, la asignatura de Variable Compleja te ofrecerá horas de entrenamiento intuitivo y deductivo que te serán de gran utilidad en tu formación profesional. Desde el punto de vista académico te permitirá encontrar la solución de problemas de las ciencias físicas, químicas y biológicas; áreas de gran interés en tu carrera. La Variable Compleja es parte del lenguaje que te ayudará a comprender ciertos fenomenos físicos que ocurren en dinámica de fluidos, mecánica clásica, termodinámica, electromagnetismo entre otras áreas físicas, todo esto mediante el uso de campos escalares y vectoriales. Asimismo, el empleo adecuado de operaciones con cantidades complejas te permitirá comprender operaciones entre funciones de variable compleja, incluyendo la derivación e integración en el plano complejo. Entre las aplicaciones destaca el mapeo conforme de gran utilidad en el estudio de fluidos. Por lo que te recomiendo prestar especial atención en este tópico. En la Unidad uno, revisarás las operaciones fundamentales entre números complejos y su representación en el plano complejo. En esta misma Unidad, relacionarás el lugar geométrico de una función cartesiana con cantidades imaginarias. Atención especial tendrá la busquedad de las raíces de un polinomio. En el contexto de la forma polar de un número complejo, encontrarás atajos para llevar a cabo operaciones que en su versión de forma cartesiana suelen ser más engorrosas. Estudiarás operaciones usando el concepto del complejo conjugado de un número y sus relaciones de gran importancia como la idéntidad de Euler. Asimismo, en el plano de Argand-Gauss podrás graficar fasores cuya utilidad práctica te garantizará el acceso a Universidad Abierta y a Distancia de México
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conceptos de las ciencias físicas y tecnologicas. Tales como análisis de circuitos, óptica ondulatoria y mecánica de fluidos. Podrás además, llevar a cabo algunos problemas sobre el cálculo de las raíces de un número complejo. En la Unidad dos abordarás de manera muy general la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Haciendo enfasis en el estudio de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Las aplicaciones de estas ecuaciones caerán en el estudio de oscilaciones, desde el movimiento armónico simple hasta los movimientos amortiguado y forzado. Se enlazarán algunos de los conceptos de la variable compleja al describir de forma detallada las soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden con valores iniciales. En la Unidad tres, estudiarás los conceptos de derivada de una función de variable compleja y sus reglas para aplicaciones en el cálculo de los extremos de funciones. Esto, resulta de gran interés para resolver problemas relacionados con funciones analíticas y el uso de las condiciones de Cauchy-Riemman, de donde podrás obtener importantes relaciones con ecuaciones diferenciales parciales. En esta misma Unidad se podrán revisar algunos métodos de integración de funciones de variable compleja, usando el teorema de Cauchy y la Serie de Laurent. Finalmente, en la Unidad cuatro se aplicarán todos los conceptos estudiados en las Unidades precedentes para entrar en tópicos como el mapeo o transformación que permitirá ampliar el campo de aplicación de la variable compleja a las ciencias físicas e ingeniería. Estas nuevas herramientas matemáticas serán el lenguaje para continuar avanzando en tu carrera y te permitirán tener una visión más amplia de un conjunto importante de fenómenos que suceden en las ciencias. El aprendizaje de una asignatura como Variable Compleja requiere de toda tu concentración, disciplina y constancia. Por lo que tendrás enfrente una asignatura que si bien no es fácil, tampoco resultará inalcanzable. A cambio, los conocimientos adquiridos a lo largo de este curso, te permitirán aprender nuevas herramientas matemáticas que te facilitarán el camino para el entendimiento de otras ciencias, muy útiles a lo largo de tu carrera. Por otra parte con el espectacular crecimiento en los últimos años de las tecnólogias de la información, la capacidad de procesamiento de los ordenadores y las ventajas de desplegado de imágenes que ofrecen las pantallas digitales de hoy día, se vuelve indispensable cada vez más el uso de herramientas digitales que apoyen la enseñanza de las matemáticas y en particular de la Variable Compleja, como tal es el caso del MathLab
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aunque existen otras aplicaciones de software libre. En ese sentido, sería deseable que te apoyarás de un graficador por computadora para la visualización de gráficas de funciones de una y dos variables.
Propósito
El estudio de esta asignatura te permitirá:
Identificar las operaciones fundamentales entre números complejos. Revisar los conceptos para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden. Relacionar los conceptos de funciones de una variable compleja y sus representaciones geométricas, en el plano complejo. Revisar las operaciones básicas de la derivación e integración de funciones, de variable compleja particularmente para los casos de funciones analíticas. Aplicar los conceptos de derivación e integración de funciones de variable compleja y sus aplicaciones prácticas en las ciencias físicas e ingeniería. Identificar y aplicar las ideas fundamentales de la variable compleja a problemas de mecánica de fluídos, electromagnetismo, óptica; entre otras áreas físicas comunmente usadas en la Ingeniería en biotecnología.
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Competencias a desarrollar
Competencia General Determinar métodos de solución analítica de variable compleja en derivadas e integrales; así como la solución de ecuaciones diferenciales para entender contextos de modelado de problemas específicos de la ingeniería.
Competencias específicas de Unidad
Unidad 1
Unidad 2
Unidad 3
Analizar las operaciones básicas de los números complejos y su representación geométrica en el plano de Argand. –para- Resolver problemas de modelos físico-matemáticos empleando números complejos en contextos específicos de la ingeniería.
Analizar los métodos de modelado y solución de ecuaciones diferenciales en problemas de la ingeniería, para proporcionar recursos de solución a problemas técnicos particulares.
Analizar las técnicas de representación y solución de modelos físico-matemáticos empleando funciones de variable compleja junto con sus operaciones de derivación e integración, para la solución de problemas de la ingeniería.
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Unidad 4
Analizar las técnicas de representación y solución de modelos físico-matemáticos empleando transformaciones conformes para su disposición y solución en contextos específicos de la ingeniería.
Temario Unidad 1. Números Complejos y funciones de variable compleja 1.1. Campo de los Números complejos 1.1.1. Definición y reglas algebraicas de Números complejos en forma cartesiana 1.1.2. Adición, substracción; multiplicación y división. 1.1.3. Complejo conjugado de un número 1.1.4. Representación polar de un número complejo 1.1.5 Raíces en la Teoría de Ecuaciones 1.2. Operaciones y Representación en el Plano de Argand-Gauss 1.2.1. Números complejos como pares ordenados en el plano 1.2.2. Operaciones geométricas con numéros complejos 1.2.3. Raíces de números complejos en el Plano Argand-Gauss 1.3. Funciones de variable compleja 1.3.1. Dominio en el plano complejo (Argand-Gauss) 1.3.2. Funciones analíticas 1.3.3. Funciones trigonométricas y trascendentes 1.3.4. Funciones inversas 1.3.5. Funciones elementales de variable compleja 1.3.6. Límites y continuidad Unidad 2. Ecuaciones diferenciales ordinarias 2.1. Definición y tipos de ecuaciones diferenciales 2.1.1. Definición, tipos y campo de Soluciones reales y complejas de ecuaciones diferenciales 2.1.2. Soluciones ímplicitas y explicitas de ecuaciones diferenciales 2.1.3. Solución por el método de Variables Separables 2.1.4. Definición y solución de ecuaciones diferenciales homogéneas
2.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
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2.2.1. Definición y solución de ecuaciones diferenciales exactas 2.2.2. Solución de Ecuaciones diferenciales exactas: Factor integrante 2.2.3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 2.2.4. Ecuación de Bernoulli y aplicaciones 2.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior 2.3.1. Definición y solución de ecuaciones lineales de segundo orden y orden superior 2.3.2. Aplicaciones
Unidad 3. Derivación e Integración de variable compleja 3.1. Derivada compleja 3.1.1. Definición de Derivada 3.1.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann 3.1.3 Aplicaciones de la Derivada de funciones de variable compleja 3.2. Integración compleja 3.2.1. La integral indefinida en el dominio complejo 3.2.2. Teorema de Cauchy 3.2.3. Aplicación a la evaluación de integrales definidas 3.3. Teorema del residuo 3.3.1. Cálculo de integrales y series de Laurent. 3.3.2 Aplicaciones Unidad 4. Mapeo Conforme y aplicaciones 4.1. Definición de transformaciones y aplicaciones conformes 4.1.1. Teorema de aplicación de Riemann 4.1.2. Algunas transformaciones Generales: Traslación, Rotación, Estiramiento, Inversión. 4.1.3. Transformaciones de Schwarz-Christoffel 4.1.4. Algunas transformaciones especiales 4.2. Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes I 4.2.1. Problemas de valores de frontera 4.2.2. Problemas de Dirichlet y de Neumann 4.2.3. Problema de Dirichlet para la circunferencia unitaria. Fórmula de Poisson.
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4.2.4 Problema de Dirichlet para el semiplano 4.3. Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes II 4.3.1 Soluciones a los problemas de Dirichlet y de Neumann mediante transformaciones conformes. 4.3.2 Aplicaciones al flujo de fluidos del problema de Dirichlet 4.3.3. Teoremas: Bernoulli, Blasius, Gauss 4.3.4. Potenciales electrostáticos complejos y temperatura compleja
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Metodología de trabajo
A continuación se describe la metodología de trabajo y se dan los lineamientos generales bajo los cuales se trabajará la asignatura. La metodología de enseñanza y evaluación será el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), así como la realización de prácticas teóricas y ejercicios, enfatizando la necesidad de la participación y cumplimiento del estudiante de forma ordenada y coordinada con el docente en línea para el logro de las competencias establecidas en la asignatura. El uso del Aprendizaje Basado en Problemas, la realización de prácticas teóricas y ejercicios le permitirán al estudiante adquirir habilidades y conocimientos que propicien aprendizajes significativos, que le permitan enfrentar situaciones de su entorno en un contexto real, aplicando el conocimiento y conceptos que se van obteniendo a lo largo de la asignatura, además de propiciar el interés por el desarrollo sustentable de su medio y la preservación de los recursos naturales. Durante el semestre se realizarán diversas actividades, cuya finalidad es reforzar y aplicar los conocimientos revisados a lo largo del curso, lo cual le permitirá desarrollar las competencias señaladas en el programa. Es importante que las prácticas y ejercicios se realicen en su totalidad y en el momento señalado, para que los estudiantes puedan evaluar sus avances o deficiencias con respecto a los temas indicados. A lo largo del curso se trabajará con problemas prototípicos, mismos que serán orientados por el docente en línea.
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Foro de Dudas y consultas.
En él podrás plasmar todas las inquietudes y cuestionamientos que te vayan surgiendo al momento de consultar los contenidos nucleares (materiales por unidad), así como al realizar las actividades y evidencia de aprendizaje. Tu docente en línea también podrá realizarte un diagnóstico de todos los conocimientos, relacionados con la asignatura, con los que cuentas, o bien, organizar equipos de trabajo si se requiere realizar una actividad en equipo con tus compañeros(as).
Planeación didáctica del docente en línea.
Este espacio fue diseñado para que el docente en línea pueda plasmar y comunicar tanto las actividades determinadas para esta asignatura como las complementarias; éstas últimas te aportarán elementos para alcanzar la competencia específica, es decir, tu objetivo por unidad. Es importante mencionar que deberás estar al pendiente de este espacio, porque el docente en línea puede comunicarse contigo y atender contingencias o problemáticas que vayan surgiendo en el semestre. Asimismo, te comunicará el diseño de cada una de las actividades que contribuirán a tu aprendizaje y asignar fechas de entrega, y que finalmente autogestiones tú tiempo requerido para esta asignatura, otra de las funciones de este espacio es que también te puede enviar material extra de consulta.
Autorreflexiones
Por otro lado, cuentas con la actividad de Autorreflexiones, misma que podrás realizar mediante dos herramientas en el aula, un foro de consulta y una tarea. El docente en línea te formulará preguntas detonadoras en el foro para generarte una reflexión respecto a lo revisado en cada unidad, reflexión que podrás plasmar a través de un documento que, a su vez, podrás subir en la herramienta de tarea con el mismo nombre.
Asignación a cargo del docente en línea
Asimismo, cuentas con la pestaña de Asignación a cargo del docente en línea, en la cual podrás encontrar, debidamente configuradas, herramientas de tareas, cuyo
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número corresponderá al número de unidades determinadas por esta asignatura. En estas herramientas deberás subir las respuestas de las actividades complementarias determinadas y comunicadas por tu docente en línea mediante el foro de Planeación didáctica del docente en línea, y te permitirán abarcar conocimientos y habilidades para alcanzar las competencias establecidas en la asignatura. Contenidos nucleares
Por último, no olvides consultar los contenidos nucleares que fueron seleccionados, determinados y desarrollados por un equipo docente para cada unidad, ya que estos contenidos nucleares son el conocimiento mínimo que debes aprender para poder realizar las actividades mencionadas anteriormente y así concluir con éxito la asignatura Desarrollo sustentable. ¡No dejes de hacerlo!
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Evaluación
Para acreditar la asignatura se espera la participación responsable y activa del estudiante, contando con el acompañamiento y comunicación estrecha con su docente en línea, quien, a través de la retroalimentación permanente, podrá evaluar de manera objetiva su desempeño. En este contexto, la retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias, así como la participación en foros y demás actividades programadas en cada una de las unidades y conforme a las indicaciones dadas. Las rúbricas establecidas para cada actividad contienen los criterios y lineamientos para realizarlas, por lo que es importante que el (la) estudiante las revise antes de elaborar sus actividades. Para este semestre, la evaluación se hará con base en las siguientes categorías: Foro de presentación y dudas En este espacio el grupo se integrará, se resolverán las dudas respecto a la asignatura y su evaluación. Planeación didáctica del docente en línea La planeación didáctica del docente en línea muestra de forma organizada y en un solo momento el diseño de las actividades e intervenciones que realizará el docente durante el desarrollo del curso en cada una de las unidades temáticas. Foro holístico En este espacio se espera que socialices y desarrolles tu objeto de investigación bajo el eje de problema prototípico, apoyándote en el contenido, así como en los recursos que se proponen.
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Producto del foro holístico Será el docente en línea quien diseñe los criterios generales del documento a entregar, el cual derivará de las ideas fuerza detectadas en el Foro holístico. Evidencia de aprendizaje – EA Dentro de la Planeación didáctica el docente en línea explicará la “Delimitación del problema prototípico” y describirá, de forma general, de que tratará la Evidencia de aprendizaje; así como el problema que se abordará. El docente proporcionará las instrucciones precisas sobre el formato en que entregarás dicho documento. Autorreflexiones En este espacio el docente es libre de proponer una actividad con el propósito de cubrir aquellos puntos que requieran de mayor profundidad. Es posible que se lancen algunas preguntas detonadoras o alguna actividad complementaria. A continuación se presenta el esquema general de evaluación.
Esquema de evaluación Evaluación continua
E-portafolio
Asignación a cargo del docente
Actividades colaborativas
10%
Actividades individuales
30%
Evidencia de aprendizaje
40%
Autorreflexiones
10%
Instrumentos y técnicas de evaluación propuestas por el docente en línea
10%
CALIFICACIÓN FINAL
100%
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Fuentes de consulta
Churchill R. V. et al. (2004). Variable Compleja y aplicaciones. España: McGrawHill.
Corral-Bustamante. (2007). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones en ciencias e ingeniería. México: Alfaomega.
Derrick W. R. (1987). Variable Compleja con Aplicaciones. España: Grupo Editorial Iberoamérica.
López-Gómez J. (2002). Ecuaciones Diferenciales y Variable Compleja. México, D. F.: Prentice-Hall
Fuster R. et al. (2006)Variable Compleja y Ecuaciones Diferenciales. España: Reverte.
Spiegel M. R. (2011). Variable Compleja. México, D. F.: Mc Graw-Hill.
Sánchez-Ruíz L. M. (2011). Fundamentos de Variable compleja y aplicaciones. España: Universitat Politècnica de València.
Wunsch, A. D. (1999). Variable compleja con aplicaciones. México: McGraw-Hill.
Zill, D. G. (2009). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. México, D. F.: CENGAGE Learning.
Zill, D. G.,et al. (2012). Ecuaciones Diferenciales. México: McGraw-Hill.
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