Unidad 3. Fenómenos de transporte

Page 1

Programa de la asignatura:

IngenierĂ­a de bioprocesos I

U3

FenĂłmenos de transporte

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Índice Presentación de la unidad ......................................................................................................... 2 Propósitos de la unidad ............................................................................................................. 3 Competencia específica ............................................................................................................ 3 3.1. Flujo de fluidos y mezclado ................................................................................................ 4 3.1.1. Clasificación de los fluidos .............................................................................................. 4 3.1.2. Reología y viscosidad ................................................................................................... 10 3.1.3. Propiedades reológicas en medios de fermentación .................................................... 15 3.1.4. Equipos de mezclado .................................................................................................... 17 3.1.5. Mecanismos de mezclado ............................................................................................. 21 3.1.6. Cálculo de potencia de mezclado ................................................................................. 23 3.2. Transferencia de calor ...................................................................................................... 26 3.2.1. Mecanismos de transferencia de calor ......................................................................... 27 3.2.2. Transferencia de calor entre fluidos .............................................................................. 31 3.2.3. Equipos de transferencia de calor ................................................................................. 41 3.3. Transferencia de materia ................................................................................................. 51 3.3.1. Mecanismos de transferencia de materia ..................................................................... 52 3.3.2. Transferencia de materia líquido-sólido ........................................................................ 55 3.3.3. Transferencia de materia gas-líquido ............................................................................ 58 Actividades .............................................................................................................................. 64 Autorreflexiones....................................................................................................................... 64 Cierre de la unidad .................................................................................................................. 64 Para saber más ....................................................................................................................... 65 Fuentes de consulta ................................................................................................................ 66

Universidad Abierta y a Distancia de México

1

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Presentación de la unidad Tal como estudiaste en las unidades anteriores, un bioproceso se efectúa cuando a través de la sucesión de diferentes fases o etapas se obtienen productos de interés, gracias a: a) El metabolismo de diversos microorganismos b) La acción catalítica de las enzimas c) El cultivo de células animales o vegetales Al analizar o diseñar un nuevo bioproceso, es necesario tomar en cuenta ciertas condiciones, tales como el balance de masa y de energía; además de considerar los aspectos relacionados con los fenómenos de transporte, que son aquellos procesos que describen la transferencia de energía, materia y momento involucrados en un sistema. Tal como verás en la presente unidad, el dominio de los fenómenos de transporte comprende tres temas estrechamente relacionados:   

La dinámica de fluidos La transmisión de calor La trasferencia de materia

La dinámica de fluidos se refiere al transporte de cantidad de movimiento, la trasmisión de calor trata sobre el transporte de energía, y la transferencia de materia estudia el transporte de materia de varias especies (Bird, 2010). Por lo tanto, como ingeniero en biotecnología, una de las tareas que tendrás es el análisis de los fenómenos de transporte involucrados en un bioproceso. Para ello, a través del desarrollo de esta unidad, estudiaras tópicos relacionados con:   

Flujo de fluidos y mezclado Transferencia de calor Transferencia de materia

Revisarás la clasificación de los fluidos, la definición de reología y viscosidad, las propiedades reológicas en medios de fermentación, los diversos equipos existentes de mezclado, los mecanismos de mezclado y cálculos de potencia de mezclado. En el área de transmisión de calor, comprenderás los mecanismos para su trasmisión y conocerás los equipos existentes para este fin; mientras que en el tópico de transferencia de materia, comprenderás los mecanismos existentes entre líquidos y sólidos, y entre gases y líquidos. Universidad Abierta y a Distancia de México

2

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Propósitos de la unidad

A través la unidad 3, serás capaz de:  Calcular la potencia de mezclado en un bioproceso mediante el análisis de la influencia del flujo de fluido.  Aplicar las ecuaciones de transferencia de calor en la resolución de problemas relacionados con diversos bioprocesos.  Realizar cálculos de transferencia de materia líquido-sólido y gas-líquido relacionados con diversos bioprocesos.

Competencia específica

Aplicar ecuaciones que expresen la transferencia de materia, energía y momentum mediante el análisis de los fenómenos de transporte para interpretar su efecto sobre el desarrollo de un bioproceso. Universidad Abierta y a Distancia de México

3

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

3.1. Flujo de fluidos y mezclado Por lo general, los bioprocesos implican el almacenamiento, agitación, mezclado, bombeo o transporte de algún fluido, siendo este, una sustancia que tiene la capacidad de desplazarse a través de una superficie dada o por un ducto, cuando se ejerce una fuerza sobre él, lo que hace posible su manejo. Para su estudio es necesario establecer las leyes que gobiernan su movimiento, a través del análisis de los fenómenos de transferencia de momentum. La disciplina encargada de estudiar la deformación, ocasionada por la fuerza ejercida, y el flujo de los materiales, a través de ecuaciones matemáticas que definen su comportamiento, recibe el nombre de reología (García y Cárdenas, 2010). De esta forma, el estudio de este tema te permitirá comprender que la reología y la mecánica de fluidos, aportan elementos para resolver problemas relacionados con el flujo de materiales. Para ello, estudiaras los siguientes tópicos:      

Clasificación de los fluidos Reología y viscosidad Propiedades reológicas en medios de fermentación Equipos de mezclado Mecanismos de mezclado Cálculo de potencia de mezclado

3.1.1. Clasificación de los fluidos Tal como se mencionó en la introducción del tema, un fluido es una sustancia que tiene la capacidad de fluir, es decir, se desplaza a través de una superficie dada y por tanto, su forma se ajusta a la del depósito que lo contiene; además, esta clase se sustancias se caracterizan por sufrir una deformación continua cuando son sujetas a una fuerza de cizalla. Para comprender este concepto, imagina que un fluido se desplaza sobre la superficie de una placa plana. La capa de fluido en contacto con la superficie (capa límite) tratará de arrastrar a la placa por efecto de la fricción, al ejercer una fuerza de fricción sobre ella. La fuerza de fricción por unidad de área se llama esfuerzo cortante o fuerza de cizalla (Cengel, 2007). De acuerdo con esta definición, los fluidos pueden ser: a) Líquidos: son incompresibles y ocupan un volumen definido. b) Gases: son compresibles y se expanden. Universidad Abierta y a Distancia de México

4

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Las unidades que se emplean para describir sus propiedades son: m3 (volumen), m/s2 (aceleraciĂłn), kg¡m (trabajo) y kg/m2 (presiĂłn), las cuales permiten realizar cĂĄlculos en torno a: 

Fuerza (F). Su valor se deduce a partir de la expresiĂłn: đ??š = đ?‘šđ?‘Ž Donde đ??š = fuerza; kgm/s2, N đ?‘š = masa; kg đ?‘Ž = aceleraciĂłn; m/s2



Masa (m). Si se sabe que: đ?‘Š = đ?‘šđ?‘” Donde đ?‘Š = peso; kgm/s2, N đ?‘š = masa; kg đ?‘” = aceleraciĂłn de la gravedad; 9.81 m/s2 Despejando đ?‘š de la expresiĂłn anterior, se encuentra la ecuaciĂłn que permite el cĂĄlculo de la masa: đ?‘š=



đ?‘Š đ?‘”

Peso especĂ­fico (w). El peso especĂ­fico de cualquier sustancia, corresponde al peso de su unidad de volumen. En el caso de los gases, este valor se calcula a travĂŠs de la ecuaciĂłn de estado de los gases: đ?‘ƒđ?‘‰đ?‘ = đ?‘…đ?‘‡ (đ?‘™đ?‘’đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘’ đ??śâ„Žđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘Ś đ??ľđ?‘œđ?‘Śđ?‘™đ?‘’) Donde đ?‘ƒ = presiĂłn; kg/m2 đ?‘‰đ?‘ = volumen especĂ­fico o volumen ocupado por la unidad de peso; m3/kg đ?‘… = constante del gas; m/K đ?‘‡ = temperatura; K (K=°C+273) Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

5

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Como đ?‘¤ = 1/đ?‘‰đ?‘ ∴ đ?‘‰đ?‘ = 1/đ?‘¤, la expresiĂłn anterior puede escribirse como: đ?‘ƒđ?‘‰đ?‘ = đ?‘…đ?‘‡ đ?‘ƒ = đ?‘…đ?‘‡ đ?‘¤ đ?‘¤= 

đ?‘ƒ đ?‘…đ?‘‡

Densidad (Ď ). Expresa la masa por unidad de volumen: đ?œŒ=

� �

Donde đ?œŒ = densidad; kg/m3 đ?‘š = masa; kg đ?‘‰ = volumen; m3 

Densidad relativa de un cuerpo. Es un nĂşmero adimensional, dado por la expresiĂłn: đ??ˇđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘Ž =

đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘–đ?‘”đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™ đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘› đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Žđ?‘”đ?‘˘đ?‘Ž

đ??ˇđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘™đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘Ž =

đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘?Ă­đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘œ đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘?Ă­đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘Žđ?‘”đ?‘˘đ?‘Ž

Para ejemplificar estos conceptos se propone el siguiente caso de estudio. Caso de estudio: cĂĄlculo del peso especĂ­fico, del volumen especĂ­fico y la densidad

Tras un proceso de biodegradación anaerobia, se obtiene metano a una temperatura de 38°C y 8.50 kg/cm2 de presión absoluta. Determinar: a) El peso específico b) La densidad c) El volumen específico

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

6

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Solución a) Dado que se trata de un gas y considerando que R = 53 m/K, la determinación de su específico se realiza a través de la ecuación: 𝑤=

𝑃 8.5 𝑥 104 𝑘𝑔/𝑚2 = = 5.16 𝑘𝑔/𝑚3 𝑅𝑇 (53 𝑚/𝐾)(311 𝐾)

b) La densidad se calcula a partir de la expresión: 𝜌=

𝑤 5.16 𝑘𝑔/𝑚3 = = 0.53 𝑈𝑇𝑀/𝑚3 𝑔 9.81 𝑚/𝑠 2

Recuerda que un UTM es igual a kg·s2/m. c) El volumen específico se determina mediante la expresión: 𝑉𝑠 =

1 1 = = 0.19 𝑚3 /𝑘𝑔 𝑤 5.16 𝑘𝑔/𝑚3

De acuerdo a su densidad, los fluidos pueden clasificarse en: a) Fluidos compresibles. Son aquellos que experimentan un cambio en su densidad por efecto de la presión, en consecuencia, el volumen es alterado durante el movimiento. Los gases entran dentro de esta clasificación. b) Fluidos incompresibles. Son aquellas sustancias, como los líquidos, cuya densidad es independiente de la presión, en consecuencia, el volumen se mantiene inalterado durante el movimiento. Generalmente, en los bioprocesos se incluyen operaciones que implican el movimiento de los fluidos a través de tuberías o en los biorreactores mismos. La transferencia de momento en un fluido incluye el estudio de su movimiento, así como de las fuerzas que lo producen. Considerando la segunda ley de Newton del movimiento, se sabe que la rapidez de cambio de momento de un sistema es proporcional a la fuerza que se aplique sobre él, por ejemplo, por las modificaciones en la presión. Los fluidos están formados por una cantidad enorme de moléculas, por lo que para predecir el movimiento individual de cada una de ellas se necesitaría una teoría muy compleja, por tanto, en el área de ingeniería, la mayor parte de su estudio se centra en el comportamiento por lote o macroscópico. Universidad Abierta y a Distancia de México

7

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Cuando un fluido se desplaza sobre una superficie o en el interior de una tubería, la velocidad del flujo depende de su posición.

Figura 1. Campo vectorial de velocidades. Fuente: Baños, 2008.

Tal como puedes apreciar en la figura, el movimiento de un fluido está definido por un campo vectorial de velocidades correspondientes a las partículas del flujo, y un campo escalar de presiones en función de la posición y el tiempo, correspondientes a los distintos puntos del mismo. En cada instante se puede definir en cada punto del espacio un vector velocidad que es el de la partícula fluida que pasa por él en ese momento. El conjunto de todos estos vectores constituyen el campo vectorial de velocidades (Baños, 2008). Entonces, se denomina línea de flujo a la trayectoria seguida por un elemento de un fluido móvil.

A lo largo de la línea de flujo, la velocidad del elemento varía tanto en magnitud como en dirección.

Figura 2. Líneas de flujo.

Las líneas de flujo mostradas en la figura anterior, sugieren un flujo laminar, es decir, el movimiento del fluido es ordenado, debido a un flujo suave; sin embargo, cuando el movimiento del fluido es altamente desordenado, debido a altas velocidades y a fluctuaciones de la misma, se dice que se tiene un flujo turbulento, en donde suele existir la formación de remolinos. La transición entre el flujo laminar y el turbulento, no solo depende de la velocidad del fluido, sino también de su viscosidad y densidad, así como de la geometría de la superficie, del ducto o tubo por el que se desplace. Universidad Abierta y a Distancia de México

8

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Un parĂĄmetro usado para caracterizar el flujo de un fluido es el nĂşmero de Reynolds. Para el flujo en tuberĂ­as con secciĂłn transversal circular, el nĂşmero de Reynolds (đ?‘…đ?‘’) se define como: đ?‘…đ?‘’ =

đ??ˇđ?‘˘đ?œŒ đ?œ‡

Donde đ??ˇ = diĂĄmetro de la tuberĂ­a đ?‘˘ = velocidad lineal del fluido đ?œŒ = densidad del fluido đ?œ‡ = viscosidad del fluido Para tanques agitados, se expresa como: đ?‘…đ?‘’ =

đ??ˇđ?‘Ž2 đ?‘ đ?œŒ đ?œ‡

Donde đ??ˇđ?‘Ž = diĂĄmetro del rodete đ?‘ = velocidad de giro del agitador Para flujos laminares, el valor del nĂşmero de Reynolds es inferior a 2,100; en cambio, cuando el flujo es turbulento, se suelen tener valores superiores a 4,000. Las cantidades intermedias, indican que se estĂĄ trabajando en la regiĂłn de transiciĂłn entre ambos tipos de flujo. Finalmente, el flujo de un fluido se clasifica en: a) Flujo interno. Se presenta cuando el fluido estĂĄ por completo limitado por superficies sĂłlidas, por tanto, la viscosidad ejerce influencia en toda la extensiĂłn del campo de flujo. b) Flujo externo. Se refiere al flujo de un fluido no confinado sobre una superficie de una placa, un alambre o un tubo. Los efectos viscosos se limitan a las capas lĂ­mite cercanas a las superficies sĂłlidas. c) Flujo forzado. Se presenta cuando se obliga a un fluido a desplazarse sobre una superficie o dentro de un tubo por medios externos.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

9

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

d) Flujo natural. Se presenta cuando el movimiento del fluido se debe a medios naturales. e) Flujo estacionario. Se refiere a cualquier flujo en el que no hay cambio en un punto con el tiempo, en caso contrario, se dice que el flujo es no estacionario. f)

Flujo uniforme. Se presenta cuando no hay cambios con respecto a la posiciĂłn en una regiĂłn especificada.

Ahora que has aprendido algunos tĂŠrminos importantes relacionados con los fluidos, en el siguiente subtema profundizarĂĄs en el estudio de su viscosidad, la cual es una propiedad fĂ­sica que describe su capacidad para desplazarse.

3.1.2. ReologĂ­a y viscosidad De acuerdo a lo estudiado en el subtema anterior, un fluido es una sustancia que tiene la capacidad de fluir. Estas sustancias se estudian a travĂŠs de la reologĂ­a, que es la ciencia que permite definir el comportamiento de los fluidos sometidos a esfuerzos. Para comprender el comportamiento de los fluidos, es necesario hablar de su viscosidad. Cuando dos capas de fluido se mueven una en relaciĂłn con la otra, se desarrolla una fuerza de fricciĂłn entre ellas, mediante la cual, la capa mĂĄs lenta trata de desacelerar a la mĂĄs rĂĄpida. Esta resistencia interna del fluido al movimiento se cuantifica por la propiedad conocida como viscosidad (Cengel, 2007). Entonces, se puede concluir que la viscosidad se debe a las interacciones entre las molĂŠculas de un fluido, y describe la resistencia de una sustancia a fluir, es decir, la cantidad de resistencia a las fuerzas cortantes. En los lĂ­quidos, la viscosidad es debida a la fuerza de cohesiĂłn entre las molĂŠculas, y en los gases, a las colisiones moleculares. Cuando los efectos de las fricciones entre las molĂŠculas que constituyen al fluido son significativos, se habla de flujos viscosos. Imagina que se tienen dos placas planas (đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘“đ?‘–đ?‘—đ?‘Ž đ?‘Ś đ?‘œđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘šĂłđ?‘Łđ?‘–đ?‘™), como las mostradas en la siguiente figura, paralelas, de grandes dimensiones, separadas una pequeĂąa distancia (đ?‘Ś), donde dicho espacio estĂĄ lleno de un fluido. La placa superior (đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ž đ?‘šĂłđ?‘Łđ?‘–đ?‘™), puede moverse a una velocidad constante (đ?‘ˆ), si se le aplica una fuerza constante (đ??š), por tanto, el fluido que estĂĄ en contacto con la placa mĂłvil se adhiera a ella moviĂŠndose tambiĂŠn a la misma velocidad (đ?‘ˆ), mientras que el fluido en contacto con la đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ž đ?‘“đ?‘–đ?‘—đ?‘Ž permanece en reposo. Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

10

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

đ?‘ˆ

đ?‘ƒđ?‘™đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ž đ?‘šĂłđ?‘Łđ?‘–đ?‘™

đ??š đ?‘‰

đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘ƒđ?‘™đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ž đ?‘“đ?‘–đ?‘—đ?‘Ž

Figura 3. Fluido entre placas planas.

Si la velocidad (đ?‘ˆ) y la separaciĂłn de las placas (đ?‘Ś) son pequeĂąas, la variaciĂłn de la velocidad estĂĄ dada por una lĂ­nea recta. Considerando que đ??š varĂ­a con el ĂĄrea de la placa y con la velocidad (đ?‘ˆ), y que es inversamente proporcional a la separaciĂłn de las palcas (đ?‘Ś); por triĂĄngulos semejantes, đ?‘ˆ/đ?‘Ś = đ?‘‘đ?‘‰/đ?‘‘đ?‘Ś, se tiene: đ??šâˆ?

đ??´đ?‘ˆ đ?‘‘đ?‘‰ =đ??´ đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘œ

đ??š đ?‘‘đ?‘‰ =đ?œ?âˆ? đ??´ đ?‘‘đ?‘Ś

Donde đ?œ? = đ??š/đ??´ = tensiĂłn o esfuerzo cortante Recuerda que la fuerza de fricciĂłn por unidad de ĂĄrea se llama esfuerzo cortante y que la regiĂłn del flujo arriba de la placa y limitada por el espesor de la capa en contacto, en la cual se sienten los efectos de las fuerzas cortantes viscosas causadas por la viscosidad del lĂ­quido, se llama capa lĂ­mite de la velocidad (Cengel, 2007).

Introduciendo una constante de proporcionalidad se tiene: đ?œ? = −đ?œ‡

�� ��

đ?‘œ

đ?œ‡=−

đ?œ? đ?‘‘đ?‘‰/đ?‘‘đ?‘Ś

Donde đ?œ‡ = viscosidad absoluta o dinĂĄmica; kg¡s/m2

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

11

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

El signo negativo de la ecuaciĂłn es necesario, ya que el gradiente de velocidad es siempre negativo si la direcciĂłn de la fuerza y por lo tanto đ?œ?, es considerada positiva. −đ?‘‘đ?‘‰/đ?‘‘đ?‘Ś representa la velocidad de cizalla, que suele denotarse como đ?›žĚ‡ . Cuando se relaciona la viscosidad absoluta con la densidad del fluido, se obtiene la viscosidad cinemĂĄtica, la cual se represente mediante la expresiĂłn: đ?‘Ł=

đ?œ‡ đ?œŒ

Donde đ?‘Ł = viscosidad cinemĂĄtica; m2/s Existen otras unidades para describir la viscosidad de una sustancia, que son: 1 Poise = 1 dina¡s/cm2 1 N¡s/m2 = 1 Pa¡s = 10 Poise 1 Poise = 100 centiPoise (cP) 1 Stoke = 1 Poise/(1 g/cm3) = dina¡s¡cm3/g¡cm2 = cm2/s A continuaciĂłn se presenta un caso de estudio que permite observar el cĂĄlculo de la viscosidad absoluta y cinemĂĄtica. Caso de estudio: viscosidad absoluta y cinemĂĄtica

Si se sabe que la viscosidad del agua a 20°C es 0.01008 poises: a) Calcular la viscosidad absoluta en kg¡s/m2 b) Si la densidad relativa a 20°C es 0.998, calcular el valor de la viscosidad cinemåtica en m2/s Solución a) Para el cålculo de la viscosidad absoluta, se sabe que el poise estå medido en dinas¡s/cm2. Como: 1 kg = 9.81x105 dinas y 1 m = 100 cm, se tiene: 1

đ?‘˜đ?‘” ∙ đ?‘ 9.81 đ?‘Ľ 105 đ?‘‘đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘ ∙ đ?‘ = = 98.1 đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘š2 104 đ?‘?đ?‘š2

Por lo tanto, la viscosidad absoluta se calcula como: Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

12

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

đ?‘ 0.01008 đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘ = = 10.28 đ?‘Ľ 10−5 đ?‘˜đ?‘” ∙ đ?‘ /đ?‘š2 2 đ?‘š 98.1 đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘ b) Para el cĂĄlculo de la viscosidad cinemĂĄtica se sabe que: đ?œ‡ đ?‘’đ?‘› đ?‘˜đ?‘” ∙

đ?‘Ł đ?‘’đ?‘› đ?‘š2 /đ?‘ =

đ?œ‡ đ?œ‡ đ?œ‡đ?‘” (10.28 đ?‘Ľ 10−5 đ?‘˜đ?‘” ∙ đ?‘ /đ?‘š2 )(9.81 đ?‘š/đ?‘ 2 ) = = = = 1.10 đ?‘Ľ 10−5 đ?‘š2 /đ?‘ đ?œŒ đ?‘¤/đ?‘” đ?‘¤ (0.998 đ?‘˜đ?‘”/đ?‘š3 )(1,000) đ?‘‘đ?‘‰

Los fluidos que se comportan de acuerdo a la relaciĂłn đ?œ? = −đ?œ‡ đ?‘‘đ?‘Ś reciben el nombre de fluidos newtonianos. En la siguiente figura, se muestra la curva de flujo o reograma de un fluido de este tipo. đ?›ž

đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘–đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ = đ?œ‡

�̇

Figura 4. Reograma de un fluido newtoniano.

Tal como puede apreciarse en el grĂĄfico anterior, la pendiente de la curva corresponde a la viscosidad del fluido, es decir, la viscosidad de los fluidos newtonianos permanece constante a pesar de los cambios producidos por los esfuerzos cortantes (aplicaciĂłn de una fuerza) o de los gradientes de velocidad (velocidad de cizalla). Esto no implica que la viscosidad sea invariante, ya que este parĂĄmetro depende de otros factores como la temperatura, la presiĂłn y la composiciĂłn del fluido. Por otra parte, en los fluidos no newtonianos, la viscosidad se ve afectada cuando se ejerce una fuerza sobre ellos. Generalmente, en los bioprocesos, los fluidos contienen sĂłlidos suspendidos, estĂĄn formados por mĂĄs de una fase y tienen propiedades no newtonianas, de ahĂ­ la importancia de su estudio. Muchos sustratos, caldos de fermentaciĂłn, suspensiones y dispersiones, son fluidos no newtonianos, ya que estĂĄn formados por molĂŠculas de gran tamaĂąo, o bien por polĂ­meros de cadena larga. La clasificaciĂłn de estos fluidos depende de la relacion entre el esfuerzo cortante aplicado a la sustancia y a la velocidad de cizalla. Dentro de estos se encuentran: los fluidos pseudoplĂĄsticos, los dilatantes, el plĂĄstico de Binghman y el de Casson. En estos casos, la relaciĂłn entre la fuerza cortante y la velocidad de cizalla no es constante. Dicha relaciĂłn se conoce como viscosidad aparente (đ?œ‡đ?‘Ž ).

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

13

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Los pseudoplĂĄsticos y los fluidos dilatantes obedecen a la ley de potencial o de Ostwald de Waele, cuya expresiĂłn matemĂĄtica es: đ?œ? = đ?‘˜đ?›žĚ‡ đ?‘› Donde đ?œ? = esfuerzo cortante đ?‘˜ = Ă­ndice de consistencia đ?‘› = Ă­ndice de comportamiento đ?›žĚ‡ = velocidad de deformaciĂłn tangencial, velocidad de cizalla đ?‘˜ y đ?‘› son caraterĂ­sticas para cada fluido. El Ă­ndice de comportamiento es un indicativo de la desviaciĂłn respecto al fluido con comportamiento newtoniano. Cuando đ?‘› < 1 el fluido presenta un comportamiento pseudoplĂĄstico; cuando đ?‘› > 1 el fluido es dilatante. Si đ?‘› = 1 corresponde a una fluido newtoniano. Para estos fluidos el coeficiente de viscosidad aparente se define como: đ?œ‡đ?‘Ž =

đ?œ? = đ?‘˜đ?›žĚ‡ đ?‘›âˆ’1 đ?›žĚ‡

Se denomina plĂĄstico ideal o de Bingham a las sustancias o fluidos que para tensiones tangenciales inferiores a un valor caracterĂ­stico đ?œ?0 se comportan elĂĄsticamente, y superando ese valor muestran un comportamiento similar al de un fluido newtoniano. Este tipo de fluido se caracteriza por dos constantes, la tensiĂłn tangencial de fluencia que es el valor de đ?œ?0 para que se inicie el flujo, y el coeficiente de viscosidad plĂĄstica (đ?œ‡đ?‘? ) dado por la pendiente đ?‘‘đ?œ?/đ?‘‘đ?›žĚ‡ (Ibarrola, s.f.). La relaciĂłn que siguen los plĂĄsticos de Bingham es: đ?œ? = đ?œ?0 + đ?œ‡đ?‘? đ?›žĚ‡ Por su parte, los plĂĄsticos de Casson, se comportan de acuerdo a la ecuaciĂłn: 1/2

đ?œ? 1/2 = đ?œ?0

+ đ?œ‡đ?‘? đ?›žĚ‡

Una vez que la tensiĂłn tangencial de fluencia se excede, el comportamiento de los fluidos Casson es pseudoplĂĄstico. Cuando se ejerce un esfuerzo cortante sobre algunos fluidos, la viscosidad aparente aumenta o disminuye en funciĂłn de la duraciĂłn de la fuerza. Si la viscosidad aparente aumenta con el tiempo, se dice que el fluido es reopĂŠctico; en cambio, si la viscosidad aparente disminuye con el tiempo, el fluido es tixotrĂłpico. Este Ăşltimo comportamiento es Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

14

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

común en los cultivos que contienen micelios fúngicos o polisacáridos microbianos extracelulares, y se relaciona con la estructura reversible asociada con la orientación de las células y macromoléculas en el fluido. Finalmente, los fluidos viscoelásticos, tales como las soluciones de polímeros, exhiben una respuesta elástica a los cambios producidos por la fuerza de cizalla. Cuando la fuerza de corte deja de ejercerse en un fluido de este tipo en movimiento, la dirección del flujo puede invertirse debido a las fuerzas elásticas desarrollados durante el flujo. La mayoría de los fluidos viscoelásticos son también pseudoplásticos.

3.1.3. Propiedades reológicas en medios de fermentación Como se mencionó en el subtema anterior, la viscosidad se debe a las interacciones entre las moléculas de un fluido, y describe la resistencia de una sustancia a fluir, es decir, la cantidad de resistencia a las fuerzas cortantes. La viscosidad de los fluidos se puede medir a través de instrumentos llamados viscosímetros. El conocimiento adecuado de las propiedades reológicas es muy importante ya que permite el diseño de bioprocesos y equipos de ingeniería, tales como: tuberías, biorreactores, tanques de mezclado, almacenamiento, entre otros. Además, la viscosidad se utiliza para la estimación y cálculo de los fenómenos de transporte de cantidad de movimiento, calor y materia. La mayoría de las suspensiones miceliales se han modelado como fluidos pseudoplásticos o, si existe una fuerza cortante, como plásticos de Bingham o Casson. La reología de los caldos diluidos y de los cultivos de levaduras y de bacterias que no forman cadenas, es generalmente newtoniana. Las propiedades reológicas de algunas suspensiones de microorganismos y de células vegetales se muestran en la siguiente tabla. Los cambios en la reología de los caldos de fermentación se deben a la variación de algunos de los siguientes factores: a) b) c) d) e) f)

Concentración celular Morfología celular Presión osmótica del fluido de la suspensión Concentración del sustrato polimérico Concentración del producto polimérico Velocidad de cizalla

Universidad Abierta y a Distancia de México

15

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Tabla 1. Propiedades reológicas de suspensiones de suspensiones de microorganismos y células vegetales Cultivo Saccharomyces cerevisiae (torta prensada diluida con agua)

Velocidad de cizalla 2-100

Observaciones

Aspergillus niger (células lavadas en tampón) Penicillium chrysogenun (caldo de cultivo) Streptomyces noursei (caldo de cultivo)

0-21.6

Newtoniano por debajo de 10% de sólidos (µ<4-5 cP); pseudoplástico por encima de 10% de sólidos Pseudoplástico

1-15

Plástico de Casson

4-28

Streptomyces aureofacies (caldo de cultivo) Aureobasidium pullulans (caldo de cultivo)

2-58

Xanthomonas campestris Nicotiana tabacum (caldo de cultivo) Datura stramonium (caldo de cultivo) Fuente: Doran, 2013.

0.0035-100 No reportado

Newtoniano en cultivo discontinuo, viscosidad de 40cP después de 96 h Inicialmente plástico de Bingham a altas concentraciones Newtoniano al inicio del cultivo; pseudoplástico a concentraciones elevadas de producto Pseudoplástico Pseudoplástico

10.2-1,020

0-1,000

Pseudoplástico y viscoelástico, con un límite elástico

Una metodología experimental para identificar el comportamiento reológico de un fluido, la puedes consultar en el siguiente enlace:

http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web &cd=8&ved=0CFUQFjAH&url=http%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2 Fprofile%2FAlejandro_Regalado%2Fpublication%2F240045584_Comporta miento_reolgico_de_un_fluido%2Ffile%2F5046351c44a93e55c4.pdf&ei=S JQ1U92qB4nksATp5oCYCQ&usg=AFQjCNEHDdT_CYrFENpcA6MdFadv nGyX7Q

Universidad Abierta y a Distancia de México

16

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

3.1.4. Equipos de mezclado Dentro de las principales actividades que se desarrollan en un bioproceso se encuentran la agitación y el mezclado. Entiéndase por agitación al proceso en el que un material se mueve, de forma inducida y específica dentro de un contenedor; mientras que el mezclado implica la distribución al azar de dos o más fases inicialmente separadas. Ambas operaciones tienen como finalidad homogeneizar tanto la concentración, como la temperatura de una mezcla. En otras palabras, el mezclado es una operación física que reduce las no-uniformidades en los fluidos con la eliminación de gradientes de concentración, temperatura y otras propiedades. Tanto la agitación como el mezclado son indispensables en algunos procesos de transferencia de materia. Por ejemplo, en las fermentaciones aerobias, se suele inyectar oxígeno al medio de cultivo, por tanto, para una distribución homogénea de este componente y evitar la presencia de zonas anóxicas, un mezclado eficiente, es primordial. Otra función importante de esta operación física es la transferencia de calor.

Existen diversos equipos que permiten este fin, entre los que se pueden encontrar:

Propulsor de tres hojas. Dado que es de flujo axial, permite obtener máxima turbulencia. Se emplea a velocidades de hasta 1,800 rpm. Se emplea para el intercambio de calor, mezclado, dispersión, suspensión y reacción. Se aplica a fluidos viscosos (hasta 4,000 cP). Propulsor de tres hojas. Fuente: UNAD, s.f.

Turbinas de hojas planas. Dado que son de flujo radial, el flujo choca con la pared. Se utilizan para fluidos de hasta 105 cP.

Universidad Abierta y a Distancia de México

17

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Turbina de hojas planas. Fuente: UNAD, s.f.

Turbinas de disco y hojas. Se emplea para corrientes radiales y axiales. El disco posee un efecto estabilizante. Cubren entre el 30-50% del diámetro del dispositivo en el que estén contenidas. Turbina de disco y hojas. Fuente: UNAD, s.f.

Turbina de hojas inclinadas. Combina el flujo radial con el flujo axial. Está diseñada para mejorar la transferencia de calor con las paredes o serpentines. Turbina de hojas inclinadas. Fuente: Bombetec., s.f.

Turbina de hojas curvas. Se emplea para dispersar materiales fibrosos.

Turbina de hojas curvas. Fuente: MicroGiant Technology Co., s. f.

Turbina cubierta. Flujo radial intenso. Se emplea para homogeneizar emulsiones y dispersiones. Turbina cubierta. Fuente: Patentados.com, s.f.

Universidad Abierta y a Distancia de México

18

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Paleta de compuerta. Se emplea cuando se requieren velocidades bajas. Se usa para fluidos viscosos y que requieren poco esfuerzo cortante. Paleta de compuerta. Fuente: UNAD, s.f.

Mezcladores estáticos. Se emplean para la adición y mezcla de reactivos o sustratos, para la mezcla de líquidos y gases y para la difusión y mezcla de oxígeno Mezcladores estáticos. Fuente. Systemsbiology.cl, 2006. Tabla 2. Equipos de mezclado.

Los patrones de flujo en los tanques agitados dependen del diseño del rodete o impulsor, de las propiedades del fluido y de las proporciones del tanque, placas deflectoras y del agitador. La velocidad del fluido en un punto del tanque tiene tres componentes: 1. Una componente radial, que actúa en dirección perpendicular al eje del rodete. 2. Una componente longitudinal, que actúa en dirección paralela al eje. 3. Una componente tangencial o rotacional, que actúa en dirección tangencial a la trayectoria circular descrita por el rodete. De acuerdo a Doran (2013), en un tanque con dispositivos de mezclado, las componentes radial y longitudinal son útiles porque dan lugar al flujo necesario para que se produzca la mezcla. Cuando el eje es vertical y está dispuesto en el centro del tanque, la componente tangencial de velocidad es perjudicial para la mezcla ya que el flujo tangencial sigue una trayectoria circular alrededor del eje y crea un vórtice en la superficie del líquido que debido a la circulación en flujo, da lugar a una estratificación permanente en diferentes niveles, de sustancias sin mezclar, sin que exista flujo longitudinal de un nivel a otro. Universidad Abierta y a Distancia de México

19

Ingeniería de bioprocesos I

U3

Fenómenos de transporte

Si están presentes partículas sólidas, las corrientes circulatorias tienden a lanzar las partículas contra la pared del tanque, debido a la fuerza centrífuga, desde donde caen acumulándose en la parte central del fondo del tanque. Por consiguiente no se produce el proceso de mezclado, es decir, debe evitarse la formación de remolinos. Existen diversas formas de evitar remolinos, entre las que se encuentran: 

Colocar el agitador fuera del eje central del tanque. En tanques pequeños se debe colocar el rodete separado del centro del tanque, de tal manera que el eje del agitador no coincida con el eje central del tanque. En tanques mayores el agitador puede montarse en forma lateral, con el eje en un plano horizontal, pero no en la dirección del radio.

Instalando placas deflectoras. Estas son placas verticales perpendiculares a la pared del tanque. En tanques pequeños son suficientes 4 placas deflectoras, para evitar remolinos y formación de vórtice. El ancho de las placas no debe ser mayor que un doceavo del diámetro del tanque. Cuando se usan agitadores de hélice, el ancho de la placa puede ser de un octavo del diámetro del tanque. Si el eje del agitador está desplazado del centro o inclinado, no se necesitan placas deflectoras.

Cuando no se presentan remolinos, el tipo de flujo específico depende del tipo de rodete: 

Los agitadores de hélice impulsan el líquido hacia el fondo del tanque, desde donde la corriente se extiende subiendo por las paredes y retornando hacia la hélice. Se emplean cuando se desean intensas corrientes verticales, por ejemplo para mantener en suspensión partículas sólidas pesadas. No se emplean cuando la viscosidad del líquido es superior a los 5,000 cP.

Los agitadores de paletas producen un flujo radial intenso en el plano próximo a las palas, pero prácticamente no dan lugar a corrientes verticales. Estos agitadores no son eficaces para mantener sólidos en suspensión.

Los agitadores de turbina impulsan al líquido radialmente contra las paredes laterales del tanque, desde donde la corriente se divide, una parte fluye hacia arriba y otra parte hacia el fondo, retornando ambas al rodete. Por lo que producen dos corrientes de circulación separadas. Dan excelentes resultados en la mezcla de líquidos que tienen aproximadamente la misma densidad relativa.

Universidad Abierta y a Distancia de México

20

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

3.1.5. Mecanismos de mezclado Para que el proceso de mezclado sea efectivo, el fluido que pasa por el rotor o impulsor debe circular por todo el tanque en un tiempo razonable. AdemĂĄs, la velocidad del fluido debe ser suficiente como para llevar el material hacia las partes mĂĄs remotas del recipiente. El mezclado puede ser descrito como una combinaciĂłn de tres procesos fĂ­sicos: a) DistribuciĂłn (macromezclado). Es el proceso por el cual, las partĂ­culas que constituyen al fluido, son transportadas a todas las regiones del tanque, a travĂŠs de las corrientes circulatorias. Se caracteriza por ser la etapa mĂĄs lenta del mezclado. b) DispersiĂłn (micromezclado). Facilita la transferencia de material a travĂŠs del tanque de mezcla. Esta etapa se caracteriza por la ruptura de gran cantidad remolinos pequeĂąos. c) DifusiĂłn. Se lleva a cabo el transporte de materia como consecuencia de la diferencia de concentraciĂłn entre dos puntos. Para estimar la eficiencia del mezclado, se suele determinar el tiempo de mezclado, que es el tiempo requerido para alcanzar cierto grado de homogeneidad. Se puede estimar mediante la inyecciĂłn de un trazador (como los ĂĄcidos, las bases y las soluciones concentradas de sal) en el tanque, para despuĂŠs medir su concentraciĂłn en un punto fijo en el dispositivo, a travĂŠs de sondas de pH y de conductividad. El tiempo de mezclado tambiĂŠn puede determinarse midiendo la respuesta de la temperatura despuĂŠs de la adiciĂłn de una pequeĂąa cantidad de lĂ­quido caliente. Antes de que la mezcla sea completa, existen picos de concentraciĂłn separados por un periodo aproximadamente igual al tiempo medio necesario para que el fluido recorra la corriente de circulaciĂłn, este periodo se denomina tiempo de circulaciĂłn. Para una sola fase lĂ­quida, en un tanque agitado con un impulsor pequeĂąo, el tiempo de mezclado se expresa como: đ?‘Ąđ?‘š = 4đ?‘Ąđ?‘? Donde đ?‘Ąđ?‘š = tiempo de mezclado đ?‘Ąđ?‘? = tiempo de circulaciĂłn Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

21

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

A escala industrial, los tanques agitados con volĂşmenes de trabajo entre 1 y 100 m3 tienen tiempos de mezclado entre 30 y 120 segundos, dependiendo de las condiciones. El tiempo de mezclado en tanques agitados depende de variables como el tamaĂąo del tanque y del rodete, las propiedades del fluido, como la viscosidad, y la velocidad de agitaciĂłn. Para nĂşmeros de Reynolds superiores a 5x103, en turbinas Rushton, el tiempo de mezclado se estima como: đ?‘ đ?‘– đ?‘Ąđ?‘š =

1.54 đ?‘‰ đ??ˇđ?‘–3

Donde đ?‘ đ?‘– = velocidad de rotaciĂłn del rodete đ?‘Ąđ?‘š = tiempo de mezclado đ?‘‰ = volumen del lĂ­quido đ??ˇđ?‘– = diĂĄmetro del rodete Para que comprendas la metodologĂ­a del cĂĄlculo del tiempo de mezclado, se sugiere el estudio del siguiente caso de estudio. Caso de estudio: estimaciĂłn del tiempo de mezclado

Un medio de cultivo, con una viscosidad de 10-2 Pa¡s y una densidad de 1,000 kg/m3, es agitado en un tanque de 2.7 m3 usando una turbina Rushton con un diåmetro de 0.5 m y una velocidad de rotación de 1 s-1. Estimar el tiempo de mezclado.

SoluciĂłn Para estimar el tiempo de mezclado, es necesario calcular, en primer lugar, el nĂşmero de Reynolds relacionado con el medio de cultivo, a fin de conocer si su valor es superior a 5 x 103. Para ello, se emplea la expresiĂłn: đ?‘…đ?‘’ =

đ??ˇđ?‘Ž2 đ?‘ đ?œŒ đ?œ‡

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

22

IngenierĂ­a de bioprocesos I

U3

FenĂłmenos de transporte

Donde đ??ˇđ?‘Ž = diĂĄmetro del rodete đ?‘ = velocidad de giro del agitador Por tanto, el valor de đ?‘…đ?‘’ es: đ?‘…đ?‘’ =

(0.5 đ?‘š)2 (1 đ?‘ −1 )(1,000 đ?‘˜đ?‘” ∙ đ?‘šâˆ’3 ) = 2.5 đ?‘Ľ 104 10−2 đ?‘˜đ?‘” đ?‘šâˆ’1 đ?‘ −1

Puesto que đ?‘…đ?‘’ es superior a 5 x 103, el tiempo de mezclado se puede determinar a travĂŠs de la ecuaciĂłn: đ?‘ đ?‘– đ?‘Ąđ?‘š =

1.54 đ?‘‰ đ??ˇđ?‘–3

Despejando đ?‘Ąđ?‘š se tiene: đ?‘Ąđ?‘š =

1.54 đ?‘‰ đ?‘ đ?‘– đ??ˇđ?‘–3

(1.54)( 2.7 đ?‘š3 ) đ?‘Ąđ?‘š = = 33.26 đ?‘ (1 đ?‘ −1 )(0.5 đ?‘š)3 A partir del ejercicio anterior, se puede concluir que en un tanque de volumen fijo, el tiempo de mezclado es reducido si se utiliza un rodete de gran tamaĂąo y alta velocidad de rotaciĂłn.

3.1.6. Cålculo de potencia de mezclado Las variables que pueden ser controladas y que influyen en la potencia consumida por el agitador son: 

 

Dimensiones principales del tanque y del rodete: DiĂĄmetro del tanque (đ??ˇđ?‘Ą ), DiĂĄmetro del rodete (đ??ˇđ?‘Ž ), altura del lĂ­quido (đ??ť), ancho de la placa deflectora (đ??˝), distancia del fondo del tanque hasta el rodete (đ??¸), y dimensiones de las paletas. Viscosidad (đ?œ‡) y densidad (đ?œŒ) del fluido. Velocidad de giro del agitador (đ?‘ ).

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

23

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

El cĂĄlculo de la potencia consumida se hace a travĂŠs de nĂşmeros adimensionales, relacionando por medio de grĂĄficos el nĂşmero de Reynolds y el nĂşmero de Potencia. Estas grĂĄficas dependerĂĄn de las caracterĂ­sticas geomĂŠtricas del agitador y de si estĂĄn presentes o no, las placas deflectoras. NĂşmero de Reynolds: representa la razĂłn entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas. đ?‘ Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘…đ?‘’đ?‘Śđ?‘›đ?‘œđ?‘™đ?‘‘đ?‘ (đ?‘…đ?‘’) = đ?‘’đ?‘ đ?‘“đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž/đ?‘’đ?‘ đ?‘“đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ??ˇđ?‘Ž2 đ?‘ đ?œŒ đ?œ‡

đ?‘…đ?‘’ =

NĂşmero de potencia: es proporcional a la relaciĂłn entre la fuerza de rozamiento que actĂşa sobre una unidad de ĂĄrea del rodete y la fuerza inercial.

đ?‘ Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ƒđ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž (đ?‘ đ?‘? ) = đ?‘’đ?‘ đ?‘“đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ/đ?‘’đ?‘ đ?‘“đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘ đ?‘? =

đ?‘ƒ đ?‘ 3 đ??ˇđ?‘Ž5 đ?œŒ

NĂşmero de Froude: relaciona la fuerza inercial y la fuerza gravitacional ejercidas sobre un fluido por unidad de ĂĄrea. Es Ăştil en el anĂĄlisis y escalamiento de estanques sin bafles (Gelmi, 2006). đ?‘ Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ??šđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘˘đ?‘‘đ?‘’ (đ?‘ đ??šđ?‘&#x; ) = đ?‘’đ?‘ đ?‘“đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž/đ?‘’đ?‘ đ?‘“đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘§đ?‘œ đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Łđ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ đ??šđ?‘&#x; =

đ?‘ 2 đ??ˇđ?‘Ž đ?‘”

NĂşmero de mezclado: es el producto de la velocidad de giro del agitador por el tiempo de mezclado. Define un tiempo de mezclado adimensional. đ?‘ Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘šđ?‘’đ?‘§đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ (đ??ľ) = (đ?‘Łđ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘”đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘œ)(đ?‘Ąđ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘šđ?‘’đ?‘§đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ) đ??ľ = đ?‘ đ?‘Ą Para bajos nĂşmeros de Reynolds (Re<10) el flujo es laminar, la densidad deja de ser un factor importante, por lo tanto, la potencia puede calcularse como: Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

24

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

𝑃 = 𝐾𝐿 𝑁 2 𝐷𝑎3 𝜇 Donde 𝑃 = potencia 𝐾𝐿 = constante de proporcionalidad En tanques con placas deflectoras y para números de Reynolds superiores a 10,000, la función de potencia es independiente del número de Reynolds y la viscosidad deja de ser un factor. Las variaciones del Número de Froude tampoco influyen (Gelmi, 2006). En este intervalo el flujo es completamente turbulento y la potencia puede ser calculada como: 𝑃 = 𝐾𝑇 𝑁 3 𝐷𝑎5 𝜌 Donde 𝑃 = potencia 𝐾𝑇 = constante de proporcionalidad La siguiente tabla, muestra los valores de 𝐾𝐿 y 𝐾𝑇 para diferentes tipos de rodetes:

Tabla 3. Constantes 𝑲𝑳 y 𝑲𝑻 para diferentes tipos de rodete Tipo de rodete/agitador Turbina Rushton Paleta Propela marina Ancla Cinta helicoidal Fuente: Doran, 2013.

𝑲𝑳 70 35 40 420 1,000

𝑲𝑻 5-6 2 0.35 0.35 0.35

Para comprender este concepto, se propone el siguiente caso de estudio.

Caso de estudio: estimación del tiempo de mezclado

Un medio de cultivo, con una viscosidad de 10-2 Pa·s y una densidad de 1,000 kg/m3, es agitado en un tanque de 50 m3 usando una propela marina con un diámetro de 1.3 m. Calcular la potencia requerida para una velocidad de rotación de 4 s-1.

Universidad Abierta y a Distancia de México

25

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

SoluciĂłn Para estimar la potencia requerida, es necesario calcular, en primer lugar, el nĂşmero de Reynolds relacionado con el medio de cultivo, a fin de conocer si su valor corresponde a un flujo laminar o a uno turbulento. Para ello, se emplea la expresiĂłn: đ?‘…đ?‘’ =

đ??ˇđ?‘Ž2 đ?‘ đ?œŒ đ?œ‡

Por tanto, el valor de đ?‘…đ?‘’ es: đ?‘…đ?‘’ =

(1.3 đ?‘š)2 (4 đ?‘ −1 )(1,000 đ?‘˜đ?‘” ∙ đ?‘šâˆ’3 ) = 6.76 đ?‘Ľ 105 10−2 đ?‘˜đ?‘” đ?‘šâˆ’1 đ?‘ −1

Puesto que el valor obtenido corresponde con un flujo turbulento, el cĂĄlculo de la potencia se realiza mediante la expresiĂłn: đ?‘ƒ = đ??žđ?‘‡ đ?‘ 3 đ??ˇđ?‘Ž5 đ?œŒ De acuerdo a la tabla anterior, para una propela marina el valor de đ??žđ?‘‡ es igual a 0.35, por tanto, el valor de la potencia serĂĄ: đ?‘ƒ = (0.35)(4 đ?‘ −1 )3 (1.3 đ?‘š)5 (1,000 đ?‘˜đ?‘” ∙ đ?‘š3 ) = 8.32 đ?‘˜đ?‘” ∙ đ?‘š2 /đ?‘ 3 = 83.2 đ?‘˜đ?‘Š Otro ejemplo del cĂĄlculo de potencia en fermentadores de 14, lo puedes consultar en el siguiente enlace:

http://www.ibt.unam.mx/alfredo/Consumodepotencia.pdf

3.2. Transferencia de calor Tal como se mencionĂł en la introducciĂłn de la unidad, como ingeniero en biotecnologĂ­a, tendrĂĄs como tarea, el anĂĄlisis de los fenĂłmenos de transporte involucrados en un bioproceso, dentro de los que se encuentran: el flujo de fluidos y mezclado, estudiados en el tema anterior, y la transferencia de calor.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

26

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

La transferencia de calor, es la energía en tránsito debido a las diferencias de temperatura entre sistemas, y su estudio es importante, ya que permite determinar el mecanismo por el que se transfiere y por tanto, los equipos a utilizarse en aquellos bioprocesos, que para efectuarse, requieran de calor, o bien, disminuir su temperatura. Por tanto, a través del desarrollo del presente tema, se tratarán conceptos relacionados con los mecanismos de transferencias de calor, la transferencia de calor entre fluidos y los equipos empleados para este fin.

3.2.1. Mecanismos de transferencia de calor Tal como se estudió en la unidad anterior, el calor es una forma de energía que puede pasar de un sistema a otro, siempre y cuando, exista una diferencia de temperatura. La ciencia que trata de la determinación de las razones de esas transferencias de energía es la transferencia de calor (Cengel, 2007). De forma natural, existen tres mecanismos por los que se transfiere calor entre sistemas: a) Conducción. Es debida a la interacción entre partículas microscópicas (átomos o moléculas). b) Convección. Está asociado, principalmente, a la transferencia de calor a través de fluidos. Está formado por dos mecanismos: movimiento molecular aleatorio (difusión) y movimiento global o macroscópico. La transferencia de calor, se debe al traslado de paquetes de fluido calientes hacia zonas más frías del fluido. c) Radiación. Toda superficie que se encuentra sobre 0K, emite radiación electromagnética denominada radiación térmica. El intercambio neto de radiación térmica entre dos superficies a distintas temperaturas se denomina transferencia de calor por radiación térmica. Conducción Como se ejemplifica en la siguiente figura, la conducción, se presenta, cuando por la interacción entre las partículas (a nivel atómico y molecular) que forman a una sustancia, se transfiere energía de aquellas más energéticas (son aquellas con alta energía cinética, debido a movimientos traslacionales, rotacionales y vibracionales) hacia las contiguas menos energéticas.

Universidad Abierta y a Distancia de México

27

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Figura 5. EjemplificaciĂłn de la transferencia de calor por conducciĂłn. Fuente: Systemsbiology.cl, 2006.

Este fenĂłmeno se rige por la ley de Fourier (conducciĂłn unidimensional estacionaria), la cual explica que la conducciĂłn a travĂŠs del medio comprendido entre dos secciones infinitamente prĂłximas, separadas por una distancia đ?‘‘đ?‘Ľ, considerando que el flujo de calor es unidireccional en una direcciĂłn normal a las secciones consideradas, estĂĄ definida por la expresiĂłn matemĂĄtica: đ?‘‘đ?‘„ đ?‘‘đ?‘‡ = đ?‘„̇ = −đ?‘˜đ??´ đ?‘‘đ?‘‡ đ?‘‘đ?‘Ľ La ecuaciĂłn anterior establece una relaciĂłn entre la velocidad de flujo de calor (đ?‘„̇ = đ?‘‘đ?‘„/đ?‘‘đ?‘‡), el ĂĄrea de las dos secciones (đ??´) (que es la misma para ambas por estar infinitamente prĂłximas), y el gradiente de temperatura (đ?‘‘đ?‘‡/đ?‘‘đ?‘Ľ), siendo đ?‘‘đ?‘Ľ una distancia medida en la direcciĂłn del flujo del calor. En esta ecuaciĂłn, đ?‘˜ es una constante de proporcionalidad denominada conductividad calorĂ­fica. El signo negativo hace referencia al hecho de que el flujo del calor se produce en el sentido en el que el gradiente de temperatura es negativo. Caso de estudio: transferencia de calor por conducciĂłn

Calcular la cantidad de calor transferido si se sabe que: Material = cobre (K=401 W/m¡K) A= 6.452 x 10-4 m2 T1=70°C T2=10°C x1=0.25 m x2=2.30 m

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

28

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

SoluciĂłn Para calcular la cantidad de calor transferido por conducciĂłn, se emplea la expresiĂłn de la Ley de Fourier estudiada previamente. đ?‘„̇ = −đ?‘˜đ??´

�� ��

Resolviendo la ecuaciĂłn diferencial por separaciĂłn de variables, se tiene: đ?‘„̇ đ?‘‘đ?‘Ľ = −đ?‘˜đ??´đ?‘‘đ?‘‡ Integrando: đ?‘Ľ2

�2

đ?‘„̇ âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ľ = −đ?‘˜đ??´ âˆŤ đ?‘‘đ?‘‡ đ?‘Ľ1

�1

đ?‘Ľ đ?‘‡ đ?‘„̇ (đ?‘Ľ)đ?‘Ľ12 = −đ?‘˜đ??´(đ?‘‡) đ?‘‡21 đ?‘‡

�̇ =

�̇ =

−đ?‘˜đ??´(đ?‘‡) đ?‘‡21 đ?‘Ľ

(đ?‘Ľ)đ?‘Ľ12

(−401 đ?‘Š/đ?‘š ∙ đ??ž)(6.452 đ?‘Ľ 10−4 đ?‘š2 )(283 đ??ž − 343 đ??ž) 2.30 đ?‘š − 0.25 đ?‘š đ?‘„̇ = 7.57 đ?‘Š

Observa que para lograr la homogeneidad dimensional, se convirtieron los °C a Kelvin (K). Radiación La radiación es la energía emitida por la materia en forma de ondas electromagnÊticas (o fotones) como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los åtomos o molÊculas. A diferencia de la conducción y la convección, la transferencia de calor por radiación no requiere la presencia de un medio interventor. De hecho, la transferencia de calor por radiación es la mås råpida (a la velocidad de la luz) y no sufre atenuación en un vacío (Cengel, 2007).

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

29

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Figura 6. EjemplificaciĂłn de la transferencia de calor por radiaciĂłn. Fuente: Systemsbiology.cl, 2006.

En ingenierĂ­a es de especial interĂŠs el intercambio de calor por radiaciĂłn tĂŠrmica entre dos superficies sĂłlidas a travĂŠs de un medio no participativo (vacĂ­o, aire, etc.) La intensidad de la energĂ­a que un objeto irradia depende bĂĄsicamente de su temperatura (absoluta). La radiaciĂłn de energĂ­a en forma de calor estĂĄ descrita por la ley de StefanBoltzmann, representada por la siguiente expresiĂłn matemĂĄtica: đ?‘„ = đ?œŽđ?œ€đ??´đ?‘‡ 4 ∆đ?‘Ą Donde đ?‘„ = energĂ­a calĂłrica; J đ?‘„/∆đ?‘Ą = radiaciĂłn; W đ?‘‡ = temperatura; K đ?œŽ = constante de Boltzmann; 5.67 x 10-8 W/m2¡K4 đ?œ€ = factor de emisividad del cuerpo; nĂşmero adimensional con valores entre 0 y 1 đ??´ = ĂĄrea del cuerpo expuesta a irradiar o recibir radiaciĂłn; m2 Los cuerpos irradian y absorben energĂ­a radiante simultĂĄneamente. El balance neto, o la potencia neta, puede obtenerse, a travĂŠs de la siguiente ecuaciĂłn: đ?‘„ = đ?œŽđ?œ€đ??´(đ?‘‡đ?‘Ž4 − đ?‘‡đ?‘’4 ) ∆đ?‘Ą

Donde �� = temperatura absoluta del ambiente en que se halla el cuerpo (temperatura de absorción) Universidad Abierta y a Distancia de MÊxico

30

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

�� = temperatura absoluta de la superficie del cuerpo (temperatura de emisión) El fenómeno de convección serå estudiado a detalle en el próximo subtema, por estar estrechamente relacionado con el fenómeno de transferencia de calor en fluidos.

3.2.2. Transferencia de calor entre fluidos Tal como se mencionĂł en el subtema anterior, el mecanismo de transferencia de calor asociado a todo fluido en movimiento sometido a un gradiente de temperaturas es la convecciĂłn.

Figura 7. EjemplificaciĂłn de la transferencia de calor por convecciĂłn. Fuente: Systemsbiology.cl, 2006.

Es decir, la convecciĂłn es el modo de transferencia de energĂ­a entre una superficie sĂłlida y el lĂ­quido o gas adyacentes que estĂĄn en movimiento y comprende los efectos combinados de la conducciĂłn y el movimiento de fluidos (Cengel, 2007). Esto quiere decir, que entre mayor sea la velocidad con la que se mueve el fluido, mayor serĂĄ la transferencia de calor por convecciĂłn; en el caso de que este permaneciera estĂĄtico, entonces el mĂŠtodo de transferencia de calor es la conducciĂłn. En el ĂĄrea de bioprocesos, el interĂŠs de la transferencia de calor por este mecanismo, se centra en el intercambio entre un fluido y una superficie sĂłlida. Una de las formas de explicar este fenĂłmeno, es a travĂŠs de la ley de enfriamiento de Newton, que relaciona el ĂĄrea de contacto fluido/sĂłlido con un gradiente de temperatura, de acuerdo a la siguiente expresiĂłn:

đ?‘‘đ?‘„ = đ?›źđ?‘†(đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) đ?‘‘đ?‘Ą

đ?‘’đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 1

Donde

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

31

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

đ?‘‘đ?‘„ â „đ?‘‘đ?‘Ą = razĂłn de pĂŠrdida de calor đ?›ź = coeficiente de intercambio de calor đ?‘† = ĂĄrea superficial del cuerpo que se encuentra expuesta al medio ambiente đ?‘‡ = temperatura del cuerpo đ?‘‡đ??´ = temperatura del ambiente El coeficiente de transferencia de calor por convecciĂłn es un parĂĄmetro que se determina experimentalmente y que depende de factores como: la configuraciĂłn geomĂŠtrica de la superficie, la naturaleza del movimiento del fluido, las propiedades del fluido, la velocidad del fluido, entre otras. A continuaciĂłn se muestra una tabla de valores tĂ­picos del coeficiente de transferencia de calor por convecciĂłn. Tabla 4. Valores tĂ­picos del coeficiente de transferencia de calor por convecciĂłn Tipo de convecciĂłn ConvecciĂłn libre de gases ConvecciĂłn libre de lĂ­quidos ConvecciĂłn forzada de gases ConvecciĂłn forzada de lĂ­quidos EbulliciĂłn y condensaciĂłn Fuente: Cengel, 2007

ι, W/m¡°C 2-25 10-1,000 25-250 50-20,000 2,500-100,000

Observa que la ley de enfriamiento de Newton describe que la razĂłn de pĂŠrdida de calor de un cuerpo, es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y el medio que lo circunda. Cuando la temperatura del cuerpo es mayor que la ambiental, entonces este experimenta una pĂŠrdida de calor, por lo que, la expresiĂłn toma la forma: đ?‘‘đ?‘„ = −đ?‘šđ??śđ?‘’ đ?‘‘đ?‘‡

đ?‘’đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› 2

Donde đ?‘š = masa del cuerpo đ??śđ?‘’ = calor especĂ­fico El signo menos indica una pĂŠrdida de calor. Sustituyendo la ecuaciĂłn 2 en 1, se tiene: −đ?‘šđ??śđ?‘’ đ?‘‘đ?‘‡ = đ?›źđ?‘†(đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) đ?‘‘đ?‘Ą

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

32

IngenierĂ­a de bioprocesos I

U3

FenĂłmenos de transporte

Agrupando: (−đ?‘šđ??śđ?‘’ ) (

đ?‘‘đ?‘‡ ) = đ?›źđ?‘†(đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) đ?‘‘đ?‘Ą

Por tanto: đ?‘‘đ?‘‡ đ?›źđ?‘† =( ) (đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) đ?‘‘đ?‘Ą −đ?‘šđ??śđ?‘’ Si

đ?›źđ?‘† đ?‘šđ??śđ?‘’

=đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘‡ = −đ?‘˜(đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) đ?‘‘đ?‘Ą

Donde đ?‘˜ = constante de proporcionalidad conocida como parĂĄmetro de enfriamiento đ?‘‡đ??´ = temperatura del ambiente, se mantendrĂĄ constante Resolviendo la ecuaciĂłn diferencial, por separaciĂłn de variables, para un cuerpo que se enfrĂ­a desde una temperatura inicial đ?‘‡0 , hasta una temperatura đ?‘‡, se obtiene la temperatura del cuerpo en funciĂłn del tiempo: đ?‘‘đ?‘‡ = −đ?‘˜(đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘‡ = −đ?‘˜(đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘‡ = −đ?‘˜đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ Integrando: đ?‘‡

âˆŤ đ?‘‡0

đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘‡ = −đ?‘˜ âˆŤ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ 0

[đ??żđ?‘› (đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ )]đ?‘‡đ?‘‡0 = −đ?‘˜[đ?‘Ą]đ?‘Ą0 đ??żđ?‘› (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ ) − đ??żđ?‘› (đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) = −đ?‘˜(0 − đ?‘Ą) đ??żđ?‘› (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ ) − đ??żđ?‘› (đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) = đ?‘˜đ?‘Ą Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

33

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

(đ??żđ?‘› (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ ) − đ??żđ?‘› (đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) = đ?‘˜đ?‘Ą)(−1) −đ??żđ?‘› (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ ) + đ??żđ?‘› (đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) = −đ?‘˜đ?‘Ą đ??żđ?‘› (đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ ) = −đ?‘˜đ?‘Ą + đ??żđ?‘› (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ ) đ?‘’ (đ??żđ?‘› (đ?‘‡âˆ’đ?‘‡đ??´ )=−đ?‘˜đ?‘Ą+đ??żđ?‘› (đ?‘‡0 −đ?‘‡đ??´ )) đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ = (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ )đ?‘’ −đ?‘˜đ?‘Ą đ?‘‡ = đ?‘‡đ??´ + (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ )đ?‘’ −đ?‘˜đ?‘Ą Para ejemplificar la aplicaciĂłn de esta ley, se propone el estudio del siguiente caso de estudio.

Caso de estudio: transferencia de calor por convecciĂłn

Un medio de cultivo se esteriliza llevåndolo a 100°C, despuÊs de 10 minutos alcanza los 80°C, en un cuarto cuya temperatura es de 25°C. Determinar: a) La temperatura del medio de cultivo despuÊs de 20 minutos. b) ¿Cuånto tiempo tardarå para alcanzar una temperatura de 35°C?

SoluciĂłn a) Para encontrar la temperatura despuĂŠs de 20 minutos, es necesario hallar el valor de đ?‘˜, en la expresiĂłn: đ?‘‡ = đ?‘‡đ??´ + (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ )đ?‘’ −đ?‘˜đ?‘Ą Para ello, se evalĂşan las condiciones iniciales del proceso de enfriamiento, es decir, el medio de cultivo inicialmente se encontraba a una temperatura de 100°C (đ?‘‡0 ) que tras 10 minutos (đ?‘Ą), alcanza una temperatura de 80°C (đ?‘‡), si la temperatura del cuarto es de 25°C (đ?‘‡đ??´ ), entonces đ?‘˜ serĂĄ: đ?‘‡ = đ?‘‡đ??´ + (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ )đ?‘’ −đ?‘˜đ?‘Ą

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

34

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

80°đ??ś = 25°đ??ś + (100°đ??ś − 25°đ??ś)(đ?‘’ −đ?‘˜(10 đ?‘šđ?‘–đ?‘›) ) 80°đ??ś = 25°đ??ś + (75°đ??ś)(đ?‘’ −đ?‘˜(10 đ?‘šđ?‘–đ?‘›) ) 80°đ??ś − 25°đ??ś = (75°đ??ś)(đ?‘’ −đ?‘˜(10 đ?‘šđ?‘–đ?‘›) ) 55 = đ?‘’ −đ?‘˜(10 đ?‘šđ?‘–đ?‘›) 75 11 = đ?‘’ −đ?‘˜(10 đ?‘šđ?‘–đ?‘›) 15 (

11 = đ?‘’ −đ?‘˜(10 đ?‘šđ?‘–đ?‘›) ) (đ??żđ?‘›) 15

11 đ??żđ?‘› ( ) = −đ?‘˜(10 đ?‘šđ?‘–đ?‘›) 15 11

đ?‘˜=

đ??żđ?‘› (15) −10 đ?‘šđ?‘–đ?‘›

đ?‘˜ = 0.031 đ?‘šđ?‘–đ?‘›âˆ’1 Por lo tanto, la temperatura del medio de cultivo despuĂŠs de 20 minutos, es: đ?‘‡ = đ?‘‡đ??´ + (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ )đ?‘’ −đ?‘˜đ?‘Ą đ?‘‡ = 25°đ??ś + (100°đ??ś − 25°đ??ś)đ?‘’ −(0.031 đ?‘šđ?‘–đ?‘›

−1 )(20 đ?‘šđ?‘–đ?‘›)

= 65.34°đ??ś

b) Para calcular el tiempo que el medio de cultivo tardarĂĄ en alcanzar una temperatura de 35°C, es necesario despejar đ?‘Ą de la expresiĂłn: đ?‘‡ = đ?‘‡đ??´ + (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ )đ?‘’ −đ?‘˜đ?‘Ą đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ = đ?‘’ −đ?‘˜đ?‘Ą đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ (

đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ = đ?‘’ −đ?‘˜đ?‘Ą ) (đ??żđ?‘›) (đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´ ) đ?‘‡ − đ?‘‡đ??´ đ??żđ?‘› ( ) = −đ?‘˜đ?‘Ą đ?‘‡0 − đ?‘‡đ??´

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

35

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

đ?‘‡âˆ’đ?‘‡

đ?‘Ą=

đ?‘Ą=

đ??żđ?‘› (đ?‘‡ −đ?‘‡đ??´ ) 0

đ??´

−đ?‘˜

35°đ??śâˆ’25°đ??ś ) 100°đ??śâˆ’25°đ??ś −1 −(0.031 đ?‘šđ?‘–đ?‘› )

đ??żđ?‘› (

= 64.99 đ?‘šđ?‘–đ?‘›

Con base en el origen del movimiento, la convecciĂłn puede ser: a) ConvecciĂłn forzada: el fluido se desplaza por un mecanismo externo (bombas, compresores, ventiladores, etc.). b) ConvecciĂłn natural: el movimiento del fluido se debe a factores naturales, tales como los gradientes de densidad inducidos por los gradientes de temperatura. c) ConvecciĂłn por ebulliciĂłn: el movimiento del fluido se debe a las burbujas que escapas hacia la superficie debido al incremento de la temperatura del fluido. d) ConvecciĂłn por condensaciĂłn: el movimiento del fluido es causado por el condensado que se forma en la pared sĂłlida y cae por gravedad. En el ĂĄrea de bioprocesos, usualmente se realizan operaciones de calentamiento y enfriamiento, pasando un lĂ­quido o gas a travĂŠs de tubos o ductos, es decir, se emplea la convecciĂłn interna forzada. De acuerdo a Cengel (2007), la velocidad de un fluido en un tubo cambia desde cero en la superficie, en virtud de la condiciĂłn de no deslizamiento, hasta un mĂĄximo en el centro del propio tubo. Por tanto, resulta conveniente trabajar con una velocidad promedio o media, la cual permanece constante para el flujo incompresible cuando el ĂĄrea de la secciĂłn transversal del tubo es constante. Para determinar la velocidad media en un tubo, se debe satisfacer el principio de conservaciĂłn de la masa, cuya expresiĂłn matemĂĄtica es:

đ?‘šĚ‡ = đ?œŒđ?‘‰đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š đ??´đ?‘? = âˆŤ đ?œŒđ?‘˘(đ?‘&#x;) đ?‘‘đ??´đ?‘? đ??´đ?‘?

Donde đ?‘šĚ‡ = gasto de masa đ?œŒ = densidad Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

36

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

đ??´đ?‘? = ĂĄrea de secciĂłn transversal đ?‘˘(đ?‘&#x;) = perfil de velocidad đ?‘‰đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š = velocidad promedio o media Por tanto, la velocidad promedio para flujo incompresible en un tubo circular de radio đ?‘… se expresa como: đ?‘‰đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š =

âˆŤđ??´ đ?œŒđ?‘˘(đ?‘&#x;) đ?‘‘đ??´đ?‘? đ?‘?

đ?œŒđ??´đ?‘?

đ?‘…

âˆŤ đ?œŒđ?‘˘(đ?‘&#x;)2đ?œ‹đ?‘&#x; đ?‘‘đ??´đ?‘? 2 đ?‘… = 0 = âˆŤ đ?‘˘(đ?‘&#x;)đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘&#x; đ?œŒđ?œ‹đ?‘… 2 đ?‘…2 0

En base a esta expresiĂłn, se puede concluir, que cuando se conoce el gasto o el perfil de velocidad, se puede determinar la velocidad promedio. Cuando un fluido de desplaza a travĂŠs de un tubo, y se calienta o se enfrĂ­a, su temperatura cambia de la superficie hasta el centro de la tuberĂ­a. Por tanto, resulta conveniente trabajar con una temperatura promedio o media, la cual cambia en la direcciĂłn del flujo, siempre que se caliente o se enfrĂ­e. MatemĂĄticamente se expresa como: ̇ đ??¸đ?‘“đ?‘™đ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ = đ?‘šĚ‡đ??śđ?‘? đ?‘‡đ?‘š = âˆŤ đ??śđ?‘? đ?‘‡(đ?‘&#x;)đ?›żđ?‘šĚ‡ = âˆŤ đ?œŒđ??śđ?‘? đ?‘‡(đ?‘&#x;)đ?‘˘(đ?‘&#x;)đ?‘‰ đ?‘‘đ??´đ?‘? đ?‘šĚ‡

đ??´đ?‘?

Donde đ??śđ?‘? = calor especĂ­fico del fluido đ?‘šĚ‡đ??śđ?‘? đ?‘‡đ?‘š = flujo de energĂ­a en cualquier secciĂłn transversal a lo largo del tubo đ?‘‡đ?‘š = temperatura promedio o media đ?›ż = espesor de la capa lĂ­mite Por tanto, la temperatura media de un fluido, con densidad y calor especĂ­fico constantes, que fluye en un tubo circular de radio đ?‘…, se expresa como: đ?‘…

đ?‘… âˆŤ đ??śđ?‘? đ?‘‡(đ?‘&#x;)đ?›żđ?‘šĚ‡ âˆŤ đ??śđ?‘? đ?‘‡đ?œŒđ?‘˘(đ?‘&#x;)2đ?œ‹đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘&#x; 2 đ?‘‡đ?‘š = đ?‘šĚ‡ = 0 = âˆŤ đ?‘‡(đ?‘&#x;)đ?‘˘(đ?‘&#x;) đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘šĚ‡đ??śđ?‘? đ?œŒđ?‘‰đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š (đ?œ‹đ?‘… 2 )đ??śđ?‘? đ?‘‰đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š đ?‘…2 0

Recuerda que la temperatura media del fluido con respecto a la masa es el promedio aritmĂŠtico de las temperaturas medias en la admisiĂłn y la salida, es decir: đ?‘‡đ?‘? = (đ?‘‡đ?‘š,đ?‘– + đ?‘‡đ?‘š,đ?‘’ )/2. La expresiĂłn matemĂĄtica que describe la conservaciĂłn de la energĂ­a para el flujo estacionario de un fluido en un tubo es: Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

37

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

đ?‘„̇ = đ?‘šĚ‡đ??śđ?‘? (đ?‘‡đ?‘’ − đ?‘‡đ?‘– ) Donde đ?‘„̇ = razĂłn de transferencia de calor hacia el fluido o desde ĂŠste đ?‘šĚ‡ = gasto de masa đ??śđ?‘? = calor especĂ­fico del fluido đ?‘‡đ?‘– = temperatura media del fluido en la entrada đ?‘‡đ?‘’ = temperatura media del fluido a la salida del tubo El flujo de calor en la superficie se expresa como: đ?‘žĚ‡ đ?‘ = â„Žđ?‘Ľ (đ?‘‡đ?‘ − đ?‘‡đ?‘š ) Donde đ?‘žĚ‡ đ?‘ = flujo de calor en la superficie â„Žđ?‘Ľ = coeficiente de transferencia de calor local đ?‘‡đ?‘ = temperatura en la superficie đ?‘‡đ?‘š = temperatura media del fluido en ese lugar Cuando se tiene un flujo constante de calor en la superficie, la velocidad de transferencia de calor, se puede expresar como: đ?‘„̇ = đ?‘žĚ‡ đ?‘ đ??´đ?‘ = đ?‘šĚ‡đ??śđ?‘? (đ?‘‡đ?‘’ − đ?‘‡đ?‘– ) Por tanto, la temperatura media del fluido en la salida del tubo es: đ?‘‡đ?‘’ = đ?‘‡đ?‘– +

đ?‘žĚ‡ đ?‘ đ??´đ?‘ đ?‘šĚ‡đ??śđ?‘?

Donde đ??´đ?‘ = ĂĄđ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Ľ đ?‘™đ?‘œđ?‘›đ?‘”đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘?đ?‘œ = ĂĄrea superficial para la transferencia de calor La temperatura superficial se puede determinar a partir de: đ?‘žĚ‡ đ?‘ = â„Ž(đ?‘‡đ?‘ − đ?‘‡đ?‘š ) ∴ đ?‘‡đ?‘ = đ?‘‡đ?‘š +

đ?‘žĚ‡ đ?‘ â„Ž

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

38

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Cuando la temperatura superficial permanece contante, y considerando la ley de Newton del enfriamiento, la razĂłn de la transferencia de calor desde o hacia un fluido, que fluye en un tubo se expresa como: đ?‘„̇ = â„Žđ??´đ?‘ ∆đ?‘‡đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š = â„Žđ??´đ?‘ (đ?‘‡đ?‘ − đ?‘‡đ?‘š )đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š Donde â„Ž = coeficiente de transferencia de calor por convecciĂłn promedio đ??´đ?‘ = đ?œ‹đ??ˇđ??ż = ĂĄrea superficial para la transferencia de calor, donde đ??ż = longitud de un tubo circular ∆đ?‘‡đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š = diferencia promedio apropiada de temperatura entre el fluido y la superficie Dado que đ?‘‡đ?‘ = đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’, entonces ∆đ?‘‡đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š se puede expresar como: ∆đ?‘‡đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘š ≈ ∆đ?‘‡đ?‘šđ?‘Ž =

∆đ?‘‡đ?‘– + ∆đ?‘‡đ?‘’ (đ?‘‡đ?‘ − đ?‘‡đ?‘– ) + (đ?‘‡đ?‘ − đ?‘‡đ?‘’ ) đ?‘‡đ?‘– + đ?‘‡đ?‘’ = = đ?‘‡đ?‘ − = đ?‘‡đ?‘ − đ?‘‡đ?‘? 2 2 2

Donde đ?‘‡đ?‘? = (đ?‘‡đ?‘– + đ?‘‡đ?‘’ )/2 = temperatura media de la masa del fluido ∆đ?‘‡đ?‘šđ?‘Ž = diferencia media aritmĂŠtica de la temperatura La temperatura media del fluido a la salida del tubo, se calcula como: đ?‘‡đ?‘’ = đ?‘‡đ?‘ − (đ?‘‡đ?‘ − đ?‘‡)exp(−ℎđ??´đ?‘ /đ?‘šĚ‡đ??śđ?‘? ) Finalmente, de acuerdo a Cengel (2007), đ?‘„̇ , se puede expresar como: đ?‘„̇ = â„Žđ??´đ?‘ ∆đ?‘‡đ?‘™đ?‘›

Donde ∆đ?‘‡đ?‘™đ?‘› =

đ?‘‡đ?‘– − đ?‘‡đ?‘’ ∆đ?‘‡đ?‘’ − ∆đ?‘‡đ?‘– = ln[(đ?‘‡đ?‘ − đ?‘‡đ?‘’ )/(đ?‘‡đ?‘ − đ?‘‡đ?‘– )] ln(∆đ?‘‡đ?‘’ /∆đ?‘‡đ?‘– )

es la diferencia media logarĂ­tmica de temperatura, la cual se obtiene al seguir el perfil real de temperaturas del fluido a lo largo de un tubo y es una representaciĂłn exacta de la diferencia de temperatura promedio entre el fluido y la superficie.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

39

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Para observar la aplicaciĂłn de estos conceptos en el ĂĄrea de bioprocesos, se propone el siguiente caso de estudio.

Caso de estudio: esterilizaciĂłn de un medio de cultivo en un tubo por medio de vapor

Para esterilizar un medio de cultivo, este entra a 15°C y a razón de 0.3 kg/s en un tubo delgado de cobre, de 2.5 cm de diåmetro interno, que forma parte de un intercambiador de calor y se calienta por medio de vapor que se condensa en el exterior a 120°C. Si el coeficiente de trasferencia de calor promedio es de 800 W/m2¡°C, determinar la longitud requerida del tubo para llevar el medio a una temperatura de 100°C, si se sabe que su calor específico, a la temperatura media de la masa, es de 4,187 J/kg y que el calor de condensación del vapor a 120°C es de 2,203 kJ/Kg.

SoluciĂłn Para calcular la longitud requerida del tubo para llevar el medio a una temperatura de 100°C y lograr su esterilizaciĂłn, en primer lugar se estima la razĂłn de transferencia de calor hacia el fluido, de acuerdo a la siguiente expresiĂłn: đ?‘„̇ = đ?‘šĚ‡đ??śđ?‘? (đ?‘‡đ?‘’ − đ?‘‡đ?‘– ) Por tanto, el valor de đ?‘„̇ serĂĄ de: đ?‘„̇ = (0.3 đ?‘˜đ?‘”/đ?‘ )(4.187 đ?‘˜đ??˝/đ?‘˜đ?‘” ¡ °đ??ś)(100°đ??ś − 15°đ??ś) = 106.77 đ?‘˜đ?‘Š Recuerda que 1 đ?‘˜đ?‘Š = 1 đ?‘˜đ??˝/đ?‘ . Para estimar el ĂĄrea superficial de transferencia de calor, es necesario calcular la diferencia media logarĂ­tmica de temperatura, de acuerdo con la expresiĂłn: ∆đ?‘‡đ?‘’ = đ?‘‡đ?‘ − đ?‘‡đ?‘’ = 120°đ??ś − 100°đ??ś = 20°đ??ś ∆đ?‘‡đ?‘– = đ?‘‡đ?‘ − đ?‘‡đ?‘– = 120°đ??ś − 15°đ??ś = 105°đ??ś ∆đ?‘‡đ?‘™đ?‘› =

∆đ?‘‡đ?‘’ − ∆đ?‘‡đ?‘– 20 − 105 = = 51.26°đ??ś ln(∆đ?‘‡đ?‘’ /∆đ?‘‡đ?‘– ) ln(20/105)

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

40

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Por lo tanto, el ĂĄrea superficial de transferencia de calor, es de: đ?‘„̇ = â„Žđ??´đ?‘ ∆đ?‘‡đ?‘™đ?‘› ∴ đ??´đ?‘ =

đ?‘„̇ 106.77 đ?‘˜đ?‘Š = = 2.60 đ?‘š2 ℎ∆đ?‘‡đ?‘™đ?‘› (0.8 đ?‘˜đ?‘Š/đ?‘š2 ∙ ℃)(51.26°đ??ś)

Finalmente, la longitud requerida de tuberĂ­a serĂĄ: đ??´đ?‘ = đ?œ‹đ??ˇđ??ż ∴ đ??ż =

đ??´đ?‘ 2.60 đ?‘š2 = = 33.10 đ?‘š đ?œ‹đ??ˇ (đ?œ‹)(0.025 đ?‘š)

Observa que para el cĂĄlculo de la longitud, se supuso que existen condiciones de operaciĂłn estacionarias y que las propiedades del fluido y el coeficiente de transferencia de calor por convecciĂłn son constantes.

3.2.3. Equipos de transferencia de calor Ahora que ya has estudiado los diferentes mecanismos por los que se transfiere el calor, es necesario conocer los equipos que permiten, al momento de diseĂąar un bioproceso, que este fenĂłmeno se desarrolle a nivel industrial y planta piloto. Entre los mĂĄs comunes se encuentran: Intercambiadores de tubo y coraza. Proporcionan grandes superficies de transferencia de calor. Constan de un haz de tubos, por donde se hace pasar una corriente de intercambio, que introducen dentro de una coraza en cuyo interior se hace circular la otra corriente de intercambio.

Intercambiador de tubo y coraza. Fuente: Thermoequipos.com.ve, s.f.

Intercambiadores de doble tubo. Se forma de dos tubos concĂŠntricos, dos tes conectoras, un cabezal de retorno y un codo en U. El fluido entra en el tubo interior a travĂŠs de una conexiĂłn roscada localizada en la parte externa del intercambiador. Este tipo de dispositivos se ensambla en longitudes efectivas de 12,15 o 20 pies.

Intercambiador de tubo y coraza. Fuente: Thermoequipos.com.ve, s.f.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

41

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Intercambiador con cabezal de tubos fijos con tapas integrales. Al usar este tipo de intercambiador, se considera la expansión térmica diferencial entre los tubos y la coraza durante la operación, para ello, el equipo incluye una junta de expansión o junta de dilatación. Intercambiador 1-2 con cabezal de tubos fijo. Se emplea una solo tapa con una división para permitir la entrada y salida del fluido de los tubos. En el extremo opuesto del intercambiador, se coloca un bonete que permite que el fluido de los tubos pase del primero al segundo paso. Intercambiador con haz de tubos removible. Consiste en un cabezal de tubos estacionario, que se encuentra sujeto entre la brida de una tapa y la brida de la coraza. En el extremo opuesto al haz de tubos, estos se expanden en un cabezal de tubos flotantes que se mueve libremente. Al cabezal de tubos se atornilla un casquete de cabezal flotante y todo el haz de tubos puede extraerse por el extremo de la tapa. La coraza se cierra mediante una tapa. Intercambiador de calor 1-2 de cabeza flotante y anillo seccionado. A diferencia del intercambiador anterior, este contiene un anillo seccionado en el cabezal flotante de tubos y una coraza más grande que lo cubre y acomoda. Intercambiador con tubos en U. en este tipo de equipo, los tubos pueden dilatarse libremente, eliminando la necesidad del cabezal de tubos flotante, la tapa del cabezal, la brida de la coraza y la tapa remivible de esta última.

Intercambiador con cabezal de tubos fijos con tapas integrales. Fuente: Thermoequipos.com.ve, s.f.

Intercambiador 1-2 con cabezal de tubos fijo. Fuente: Thermoequipos.com.ve, s.f.

Intercambiador con haz de tubos removible. Fuente: Thermoequipos.com.ve, s.f.

Intercambiador de calor 1-2 de cabeza flotante y anillo seccionado. Fuente: Thermoequipos.com.ve, s.f.

Intercambiador con tubos en U. Fuente: Thermoequipos.com.ve, s.f.

Tabla 5. Equipos de transferencia de calor. Universidad Abierta y a Distancia de México

42

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Para conocer los intercambiadores tipo placa, puedes consultar el siguiente enlace:

http://www.thermoequipos.com.ve/pdf/articulo_03.pdf

Tal como puedes deducir de las descripciones anteriores, en un intercambiador de calor, se relacionan dos fluidos, que fluyen separados por una pared sĂłlida (Cengel, 2007). Para que la transferencia se efectĂşe, el calor pasa, por convecciĂłn, del fluido mĂĄs caliente a la pared del intercambiador, posteriormente, el calor se transfiere a travĂŠs de la pared por conducciĂłn, para finalmente, pasar de la pared hacia el fluido con menos temperatura por convecciĂłn. La resistencia tĂŠrmica de la pared del tubo, se expresa mediante la ecuaciĂłn: đ?‘…đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘ =

ln(đ??ˇ0 /đ??ˇđ?‘– ) 2đ?œ‹đ?‘˜đ??ż

Donde đ?‘…đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘ = resistencia tĂŠrmica de la pared del tubo đ?‘˜ = conductividad tĂŠrmica del material de la pared đ??ż = longitud del tubo đ??ˇđ?‘– = diĂĄmetro interior del tubo interior đ??ˇ0 = diĂĄmetro exterior del tubo interior La expresiĂłn anterior se emplea para intercambiadores de calor de tubo doble. La resistencia tĂŠrmica total del sistema, se describe mediante la ecuaciĂłn: đ?‘… = đ?‘…đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = đ?‘…đ?‘– + đ?‘…đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘ + đ?‘…0 =

1 ln(đ??ˇ0 /đ??ˇđ?‘– ) 1 + + â„Žđ?‘– đ??´đ?‘– 2đ?œ‹đ?‘˜đ??ż â„Ž0 đ??´0

Donde đ??´đ?‘– = ĂĄrea de la superficie interior de la pared que separa los dos fluidos đ??´0 = ĂĄrea de la superficie exterior de la pared que separa los dos fluidos Observa que los subĂ­ndices đ?‘– y 0 hacen referencia a las superficies interior y exterior del tubo interior. Cuando uno de los fluidos fluye adentro de un tubo circular y el otro afuera de ĂŠste, se tiene đ??´đ?‘– = đ?œ‹đ??ˇđ?‘– đ??ż y đ??´0 = đ?œ‹đ??ˇ0 đ??ż. Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

43

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

La razón de transferencia de calor entre los dos fluidos, considerando la resistencia tÊrmica total del sistema, se expresa como: �̇ =

∆đ?‘‡ = đ?‘ˆđ??´âˆ†đ?‘‡ = đ?‘ˆđ?‘– đ??´đ?‘– ∆đ?‘‡ = đ?‘ˆ0 đ??´0 ∆đ?‘‡ đ?‘…

Donde đ?‘ˆ = coeficiente de transferencia de calor total. Dado que ∆đ?‘‡ se encuentra en ambos lados de la ecuaciĂłn, se cancela, por lo que la expresiĂłn anterior queda como: 1 1 1 1 1 = = =đ?‘…= + đ?‘…đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘ + đ?‘ˆđ??´đ?‘ đ?‘ˆđ?‘– đ??´đ?‘– đ?‘ˆ0 đ??´0 â„Žđ?‘– đ??´đ?‘– â„Ž0 đ??´0 Donde â„Ž = coeficiente de convecciĂłn comĂşn

De acuerdo a Cengel (2007), cuando la pared del tubo es pequeĂąa y la conductividad tĂŠrmica del material del mismo es alta, como suele ser el caso, la resistencia tĂŠrmica de dicho tubo es despreciable (đ?‘…đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘‘ ≈ 0) y las superficies interior y exterior del mismo son casi idĂŠnticas (đ??´đ?‘– ≈ đ??´0 ≈ đ??´đ?‘ ). Entonces la ecuaciĂłn anterior para el coeficiente de transferencia de calor total se simplifica para quedar como: 1 1 1 ≈ + đ?‘ˆ â„Žđ?‘– â„Ž0 Existen intercambiadores de calor con aletas en uno de los lados. Dichas aletas se incorporan en el dispositivo para mejorar la transferencia de calor. En esos casos, el ĂĄrea superficial para la transferencia de calor total se calcula como: a) Para intercambiadores con aletas cortas đ??´đ?‘ = đ??´đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = đ??´đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ž + đ??´sin đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ Donde đ??´đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ = ĂĄrea superficial de las aletas đ??´sin đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ = ĂĄrea de la parte sin aletas de la superficie del tubo Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

44

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

b) Para intercambiadores con aletas largas, se debe considerar la caĂ­da de temperatura a lo largo de la aleta, por tanto, la expresiĂłn anterior queda como: đ??´đ?‘ = đ??´đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ = đ??´sin đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ + đ?‘›đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ž đ??´đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ž Donde đ?‘›đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ž = eficiencia de la aleta Para utilizar un intercambiador en un bioproceso, ademĂĄs de la resistencia tĂŠrmica, se considera el factor de incrustaciĂłn, es decir, la acumulaciĂłn de depĂłsitos sobre la superficie de transferencia de calor. Las incrustaciones se consideran un factor importante, ya que representan un factor mĂĄs de resistencia a la transferencia de calor. El factor de incrustaciĂłn depende de la temperatura de operaciĂłn y de la velocidad de los fluidos, asĂ­ como de la duraciĂłn del servicio. La incrustaciĂłn se aumenta al aumentar la temperatura y disminuir la velocidad (Cengel, 2007). Para los intercambiadores de calor de casco y tubos, sin aletas, dicho factor se expresa como: đ?‘…đ?‘“,đ?‘– đ?‘™đ?‘› (đ??ˇ0 /đ??ˇđ?‘– ) đ?‘…đ?‘“,0 1 1 1 1 1 = = =đ?‘…= + + + + đ?‘ˆđ??´đ?‘ đ?‘ˆđ?‘– đ??´đ?‘– đ?‘ˆ0 đ??´0 â„Žđ?‘– đ??´đ?‘– đ??´đ?‘– 2đ?œ‹đ?‘˜đ??ż đ??´0 â„Ž0 đ??´0 Donde đ?‘…đ?‘“,đ?‘– y đ?‘…đ?‘“,0 = factores de incrustaciĂłn es las superficies. La siguiente tabla, muestra algunos factores de incrustaciĂłn representativos.

Tabla 6. Factores de incrustación representativos (resistencia tÊrmica debida a la incrustación para una unidad de årea superficial) Fluido Agua destilada, agua de mar, agua de río, agua de alimentación para calderas, por debajo de 50°C Agua destilada, agua de mar, agua de río, agua de alimentación para calderas, por arriba de 50°C Combustóleo Vapor de agua (libre de aceite) Refrigerantes (líquido) Refrigerantes (vapor) Vapores de alcohol

Rf, m2¡°C/W 0.0001

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

0.0002 0.0009 0.0001 0.0002 0.0004 0.0001 45

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Aire Fuente: Cengel, 2007

0.0004

Para comprender estos tĂŠrminos, se propone el siguiente caso de estudio. Caso de estudio: efecto de la incrustaciĂłn sobre el coeficiente de transferencia de calor total (Cengel, 2007)

Se construye u intercambiador de calor de tubo doble (casco y tubo) con un tubo interior de acero inoxidable (k = 15.1 W/m¡°C), de diåmetro interior Di = 1.5 cm y diåmetro exterior D0 = 1.9 cm, y un casco exterior cuyo diåmetro interior es de 3.2 cm. El coeficiente de transferencia de calor por convección es hi = 800 W/m2¡°C, sobre la superficie interior del tubo, y h0 = 1,200 W/m2¡°C, sobre la superficie exterior. Para un factor de incrustación Rf,i = 0.0004 m2¡°C/W, del lado del tubo, y Rf,0 = 0.0001 m2¡°C/W, del lado del casco, determinar: a) La resistencia tÊrmica del intercambiador de calor por unidad de longitud. b) Los coeficientes de transferencia de calor totales Ui y U0 con base en las åreas superficiales interior y exterior del tubo, respectivamente.

SoluciĂłn a) Para el cĂĄlculo de la resistencia tĂŠrmica del intercambiador de calor por unidad de longitud, se emplearĂĄ la expresiĂłn: đ?‘…=

đ?‘…đ?‘“,đ?‘– đ?‘™đ?‘› (đ??ˇ0 /đ??ˇđ?‘– ) đ?‘…đ?‘“,0 1 1 1 1 1 = = = + + + + đ?‘ˆđ??´đ?‘ đ?‘ˆđ?‘– đ??´đ?‘– đ?‘ˆ0 đ??´0 â„Žđ?‘– đ??´đ?‘– đ??´đ?‘– 2đ?œ‹đ?‘˜đ??ż đ??´0 â„Ž0 đ??´0

Como puedes observar, es necesario el cĂĄlculo de đ??´đ?‘– y de đ??´0 , es decir: đ??´đ?‘– = đ?œ‹đ??ˇđ?‘– đ??ż = (đ?œ‹)(0.015 đ?‘š)(1 đ?‘š) = 0.0471 đ?‘š2 đ??´0 = đ?œ‹đ??ˇ0 đ??ż = (đ?œ‹)(0.019 đ?‘š)(1 đ?‘š) = 0.0597 đ?‘š2 Por lo tanto, la resistencia tĂŠrmica total es de:

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

46

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

đ?‘…=

1 0.0004 đ?‘š2 ∙ °đ??ś/đ?‘Š đ?‘™đ?‘› (0.019 đ?‘š/0.015 đ?‘š) + + 2 2 2 (800 đ?‘Š/đ?‘š ∙ °đ??ś)(0.0471 đ?‘š ) 0.0471 đ?‘š (2đ?œ‹)(15.1 đ?‘Š/đ?‘š ∙ °đ??ś)(1 đ?‘š) 0.0001 đ?‘š2 ∙ °đ??ś/đ?‘Š 1 + + 0.0597 đ?‘š2 (1,200 đ?‘Š/đ?‘š2 ∙ °đ??ś)(0.0597 đ?‘š2 ) đ?‘… = 0.02654 °đ??ś/đ?‘Š + 0.00849 °đ??ś/đ?‘Š + 0.0025 °đ??ś/đ?‘Š + 0.00168 °đ??ś/đ?‘Š + 0.01396 °đ??ś/đ?‘Š đ?‘… = 0.0532 °đ??ś/đ?‘Š

b) Los coeficientes de transferencia de calor totales, se determinan a partir de la resistencia tĂŠrmica total y de las ĂĄreas superficiales interior y exterior del tubo. Si se sabe que: đ?‘…=

1 1 = đ?‘ˆđ?‘– đ??´đ?‘– đ?‘ˆ0 đ??´0

Despejando đ?‘ˆđ?‘– y đ?‘ˆ0 se tiene: đ?‘ˆđ?‘– =

1 1 = = 399 đ?‘Š/đ?‘š2 ∙ °đ??ś đ?‘…đ??´đ?‘– (0.0532 °đ??ś/đ?‘Š)(0.0471 đ?‘š2 )

1 1 = = 315 đ?‘Š/đ?‘š2 ∙ °đ??ś đ?‘…đ??´0 (0.0532 °đ??ś/đ?‘Š)(0.0597 đ?‘š2 ) Observa que los dos coeficientes de transferencia de calor totales difieren de manera significativa debido a la diferencia considerable entre las ĂĄreas superficiales de transferencia de calor en los lados interior y exterior del tubo. AdemĂĄs, gran parte de la resistencia tĂŠrmica total, cerca del 19%, se debe a la incrustaciĂłn. Finalmente, es importante recalcar que la selecciĂłn del intercambiador de calor a emplearse en cualquier bioproceso, depende de la razĂłn de la transferencia de calor, expresada como: đ?‘ˆ0 =

đ?‘„̇đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘šĚ‡đ??śđ?‘? (đ?‘‡đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą − đ?‘‡đ?‘ đ?‘Žđ?‘™ ) đ?‘„̇ = đ?œ€đ?‘„̇đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ Donde đ?‘„̇đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = razĂłn mĂĄxima de la transferencia de calor đ?‘šĚ‡ = gasto de masa đ??śđ?‘? = calor especĂ­fico đ?‘‡đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą = temperatura de entrada Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

47

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

đ?‘‡đ?‘ đ?‘Žđ?‘™ = temperatura de salida đ?‘„̇ = capacidad nominal de transferencia de calor đ?œ€ = potencial de transferencia de calor AdemĂĄs, se deben considerar otros factores tales como: a) El costo. AdemĂĄs del precio de adquisiciĂłn del equipo, es imprescindible considerar los costos de operaciĂłn y mantenimiento. b) La potencia para el bombeo. Generalmente, tal como se estudiĂł con anterioridad, los procesos de intercambio de calor implican el uso de bombas o ventiladores para forzar el flujo del fluido a travĂŠs del intercambiador, por tanto, se debe considerar el costo anual de electricidad asociado a esta operaciĂłn. đ??śđ?‘œđ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘œđ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› = (đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘’đ?‘œ, đ?‘˜đ?‘Š)(â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘œđ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘›, â„Ž)(đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘, đ?‘‘đ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ /đ?‘˜đ?‘Šâ„Ž) c) TamaĂąo y peso. Se debe considerar el espacio disponible para la colocaciĂłn del equipo, la longitud de los tubos, entre otros factores. d) Tipo. De acuerdo a Cengel (2007), un intercambiador resulta adecuado para enfriar un lĂ­quido por medio de gas, si el ĂĄrea superficial del lado del gas es muchas veces la que se tiene del lado del lĂ­quido. Por otra parte, un intercambiador de placas o tubos y coraza es muy apropiado para enfriar un lĂ­quido por medio de otro lĂ­quido. e) Materiales. Se debe considerar propiedades tales como: expansiĂłn tĂŠrmica del material, la resistencia a la corrosiĂłn, etc. Para concluir este tema, se propone el estudio del siguiente caso de estudio. Caso de estudio: instalaciĂłn de un intercambiador de calor

En un bioproceso se esteriliza un medio de cultivo por medio de agua caliente alimentada por una caldera en la que se quema gas natural. A continuación el agua se descarga hacia un drenaje abierto en el piso a 80°C, a razón de 15 kg/min. La planta opera 24 h al día durante los 365 días del aùo. La caldera tiene una eficiencia del 75% y el costo del gas natural es de 1.10 dólar por therm (1 therm=105, 500 kJ).

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

48

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

La temperatura promedio del agua fría que entra en la caldera en todo el aùo es de 13°C. El agua caliente drenada no se puede regresar a la caldera y recircularse, porque se contamina durante el proceso. Con el fin de ahorrar energía, se propone la instalación de un intercambiador de calor para precalentar el agua fría que entra, por medio del agua caliente que va al drenaje. Si se supone que el intercambiador recupera 75% del calor disponible en el agua caliente, determinar: a) La capacidad nominal de transferencia de calor del intercambiador que se necesita comprar. b) Sugerir un tipo adecuado de intercambiador de calor. c) La cantidad de dinero que ahorrarå este intercambiador a la compaùía por aùo debido a los ahorros de gas natural. Si se sabe que el Cp del agua a la temperatura ambiente es de 4.18 kJ/kg¡°C.

SoluciĂłn a) Para estimar la capacidad nominal de transferencia de calor del intercambiador que se necesita comprar, se considera que la recuperaciĂłn de calor del agua caliente serĂĄ mĂĄxima cuando salga del intercambiador a la temperatura de entrada del agua frĂ­a, considerando de 1 min = 60 s, se tiene: đ?‘„̇đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘šĚ‡đ??śđ?‘? (đ?‘‡đ?‘’đ?‘›đ?‘Ą − đ?‘‡đ?‘ đ?‘Žđ?‘™ ) 15 đ?‘˜đ?‘”/đ?‘šđ?‘–đ?‘› đ?‘„̇đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = ( ) (4.18 đ?‘˜đ??˝/đ?‘˜đ?‘” ∙ °đ??ś)(80°đ??ś − 13°đ??ś) 1 đ?‘šđ?‘–đ?‘›/60 đ?‘ đ?‘„̇đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 70.015 đ?‘˜đ??˝/đ?‘ Por lo tanto, la capacidad nominal de transferencia de calor del intercambiador, considerando que recupera 75% del calor disponible en el agua caliente, es de: đ?‘„̇ = đ?œ€đ?‘„̇đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘„̇ = (0.75)(70.015 đ?‘˜đ??˝/đ?‘ ) = 52.51 đ?‘˜đ??˝/đ?‘ Es decir, el intercambiador debe ser capaz de entregar 52.51 kJ/s del agua caliente hacia la frĂ­a. Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

49

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

b) Con base en la capacidad nominal de transferencia de calor, se puede utilizar un intercambiador comĂşn de calor de placas o de tubos y coraza, puesto que sus dos lados estĂĄn relacionados con el mismo fluido a gastos similares y, como consecuencia, a coeficientes de calor parecidos. c) Para estimar la cantidad de dinero que ahorrarĂĄ este intercambiador a la compaùía por aĂąo debido a los ahorros de gas natural, se debe calcular, en primer lugar el nĂşmero de horas que trabajarĂĄ el equipo durante 1 aĂąo. Puesto que la planta opera 24 h al dĂ­a durante los 365 dĂ­as del aĂąo, este valor es de: â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘œđ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› = (24 â„Ž/đ?‘‘Ă­đ?‘Ž)(365 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘ /đ?‘ŽĂąđ?‘œ) = 8,760 â„Ž/đ?‘ŽĂąđ?‘œ Dado que el intercambiador ahorra 52.51 kJ de energĂ­a por segundo y considerando de 1 h = 3,600 s, la energĂ­a ahorrada durante todo el aĂąo serĂĄ: đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘”Ă­đ?‘Ž đ?‘Žâ„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž = (đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§Ăłđ?‘› đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘›đ?‘ đ?‘“đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x;)(đ?‘Ąđ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘œđ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘›) đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘”Ă­đ?‘Ž đ?‘Žâ„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž = (52.51 đ?‘˜đ??˝/đ?‘ )(8,760 â„Ž/đ?‘ŽĂąđ?‘œ)(3,600 đ?‘ /â„Ž) = 1.66 đ?‘Ľ 109 đ?‘˜đ??˝/đ?‘ŽĂąđ?‘œ Se sabe que la caldera tiene una eficiencia del 75%, es decir, por cada 75 unidades de calor suministradas, debe alimentarse gas natural con un contenido de energĂ­a de 100 unidades. Por lo tanto, el ahorro de energĂ­a que se determinĂł anteriormente, da por resultado un ahorro en combustible de: đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘’ đ?‘Žâ„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ =

đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘”Ă­đ?‘Ž đ?‘Žâ„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘’đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ž

1.66 đ?‘Ľ 109 đ?‘˜đ??˝/đ?‘ŽĂąđ?‘œ 1 đ?‘Ąâ„Žđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘š ) )( 0.75 105,500 đ?‘˜đ??˝ = 20,979.46 đ?‘Ąâ„Žđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘šđ?‘ /đ?‘ŽĂąđ?‘œ

đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘’ đ?‘Žâ„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = (

Dado que el precio del gas natural es de 1.10 dĂłlar por therm, el dinero ahorrado es de: đ?‘‘đ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Žâ„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = (đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘’ đ?‘Žâ„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ)(đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘’) đ?‘‘đ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Žâ„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = (20,979.46 đ?‘Ąâ„Žđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘šđ?‘ /đ?‘ŽĂąđ?‘œ)(1.10 đ?‘‘đ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;/đ?‘Ąâ„Žđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘š) đ?‘‘đ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Žâ„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = 23,077.41 đ?‘‘Ăłđ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ /đ?‘ŽĂąđ?‘œ

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

50

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Observa que la instalación del intercambiador de calor propuesto ahorrará 23,077.41 dólares en un año, por lo que el costo de recuperación del equipo podría recuperarse en un tiempo corto a partir de los ahorros de combustible.

3.3. Transferencia de materia Tal como se mencionó en los temas anteriores, los fenómenos de transporte tienen lugar en aquellos procesos conocidos como procesos de transferencia, en los que se establece el movimiento de una propiedad (masa, momento o energía) en una o varias direcciones bajo la acción de una fuerza impulsora. Al movimiento de una propiedad se le llama flujo (Masciarelli, 2012). Los fenómenos de transferencia de materia son de especial importancia en el área de bioprocesos, ya que muchas de las operaciones están relacionadas con la difusión de gases o bien con la homogeneización de concentraciones en el medio. Ejemplo de ello, constituye el suministro de dióxido de carbono para el cultivo de microalgas en fotobiorreactores. La concentración de dicho gas en la superficie de las burbujas es alta en relación con el resto del fluido. Este gradiente de concentración promueve la transferencia de dióxido de carbono de las burbujas al medio de cultivo. Otro ejemplo importante, es la difusión de oxígeno en biorreactores destinados a fermentaciones aerobias. Dado que el oxígeno es soluble en soluciones acuosas, gran parte del interés de la transferencia de materia recae en la transferencia de oxígeno a través de la interfase gas-líquido.

Figura 8. Cultivo de microalgas en fotobiorreactores. Fuente: ccicalidad.blogspot.mx, 2013.

Sin embargo, la transferencia de materia líquido-sólido puede tener también su importancia en sistemas que contiene agregados, floculos, películas de células o enzimas. Por tanto, a través del desarrollo del presente tema estudiaras tópicos relacionados con: la transferencia de materia líquido-sólido y la transferencia de materia gas-líquido.

Universidad Abierta y a Distancia de México

51

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

3.3.1. Mecanismos de transferencia de materia En los balances de materia, la fuerza impulsora es la diferencia de concentraciĂłn, habiendo una transferencia de las regiones mĂĄs concentradas hacia las menos concentradas. Si no existe diferencia entre las concentraciones de una especie en regiones diferentes de un medio, no habrĂĄ transferencia de masa. La masa se transfiere, a travĂŠs de dos mecanismos: por difusiĂłn y por convecciĂłn. La difusiĂłn es la transferencia de masa debida a un gradiente de concentraciĂłn, en cambio, la convecciĂłn, es la transferencia de masa entre una superficie y un fluido en movimiento, debido tanto a la difusiĂłn de masa como al movimiento de toda la masa de fluido (Cengel, 2007). DifusiĂłn de masa La razĂłn de difusiĂłn de masa de un fluido se explica a travĂŠs de la ley de Fick de la difusiĂłn, la cual establece que, en un medio de reposo en la direcciĂłn x, dicha razĂłn para una especie quĂ­mica en el espacio de una de una mezcla gaseosa, lĂ­quida o sĂłlida, es directamente proporcional a la diferencia de concentraciĂłn de la especie en ese lugar. La expresiĂłn matemĂĄtica que permite su cĂĄlculo es: đ?‘šĚ‡đ?‘‘đ?‘–đ?‘“ = −đ??ˇđ??´đ??ľ đ??´

đ?‘‘đ??śđ??´ đ?‘‘đ?‘Ľ

Donde đ??ˇđ??´đ??ľ = coeficiente de difusiĂłn o difusividad de la masa đ??śđ??´ = concentraciĂłn de la especie en la mezcla đ?‘šĚ‡đ?‘‘đ?‘–đ?‘“ = razĂłn de difusiĂłn de masa đ??´ = especie quĂ­mica đ?‘Ľ = direcciĂłn đ?‘‘đ??ś/đ?‘‘đ?‘Ľ = gradiente de concentraciĂłn La concentraciĂłn de la especie quĂ­mica, puede expresarse como: a) Base mĂĄsica: la concentraciĂłn se expresa en tĂŠrminos de densidad, que como ya has estudiado con anterioridad, relaciona la masa (kg) por unidad de volumen (m3). Si se considera un volumen pequeĂąo đ?‘‰ en un lugar dentro de la mezcla, las densidades de una especie (subĂ­ndice đ?‘–) y de la mezcla (sin subĂ­ndice) en ese lugar se expresan como: đ??ˇđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘’ đ?‘–

đ?œŒđ?‘– = đ?‘šđ?‘– /đ?‘‰

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

52

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

đ??ˇđ?‘’đ?‘›đ?‘ đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘šđ?‘’đ?‘§đ?‘?đ?‘™đ?‘Ž:

đ?œŒ = đ?‘š/đ?‘‰ = ∑ đ?‘šđ?‘– /đ?‘‰ = ∑ đ?œŒđ?‘–

La concentración de masa tambiÊn puede expresarse en forma adimensional en tÊrminos de la fracción de masa, �, como: �� =

đ?‘šđ?‘– đ?‘šđ?‘– /đ?‘‰ đ?œŒđ?‘– = = đ?‘š đ?‘š/đ?‘‰ đ?œŒ

b) Base molar: la concentraciĂłn se expresa en tĂŠrminos de concentraciĂłn molar (o densidad molar), la cual es la cantidad de materia, en kmol, por unidad de volumen (m3). Si se considera un volumen pequeĂąo đ?‘‰ en un lugar dentro de la mezcla, las concentraciones molares de una especie (subĂ­ndice đ?‘–) y de la mezcla (sin subĂ­ndice) en ese lugar se expresan como: đ??śđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘šđ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘’ đ?‘– đ??śđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘šđ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘šđ?‘’đ?‘§đ?‘?đ?‘™đ?‘Ž:

đ??śđ?‘– = đ?‘ đ?‘– /đ?‘‰

đ??ś = đ?‘ /đ?‘‰ = ∑ đ?‘ đ?‘– /đ?‘‰ = ∑ đ??śđ?‘–

La concentraciĂłn de molar tambiĂŠn puede expresarse en forma adimensional en tĂŠrminos de la fracciĂłn de molar, đ?‘Ś, como: đ?‘Śđ?‘– =

đ?‘ đ?‘– đ?‘ đ?‘– /đ?‘‰ đ??śđ?‘– = = đ?‘ đ?‘ /đ?‘‰ đ??ś

La masa (đ?‘š) y el nĂşmero de moles (đ?‘ ) de una sustancia estĂĄn relacionados entre sĂ­ por la expresiĂłn: đ?‘š = đ?‘ đ?‘€

đ?‘œ

đ?œŒ = đ??śđ?‘€

Donde đ?‘€ = masa molar o peso molecular de la sustancia. Las concentraciones de masa y molar estĂĄn relacionadas entre sĂ­ por: đ??śđ?‘– =

đ?œŒđ?‘– đ?œŒ (đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘™đ?‘Ž đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘’ đ?‘–) đ?‘Ś đ??ś = (đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘™đ?‘Ž đ?‘šđ?‘’đ?‘§đ?‘?đ?‘™đ?‘Ž) đ?‘€đ?‘– đ?‘€

Donde Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

53

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

đ?‘€ = masa molar de la mezcla. La masa molar de la mezcla puede determinarse a partir de la siguiente expresiĂłn: đ?‘š ∑ đ?‘ đ?‘– đ?‘€đ?‘– đ?‘ đ?‘– = = ∑ đ?‘€đ?‘– = ∑ đ?‘Śđ?‘– đ?‘€đ?‘– đ?‘ đ?‘ đ?‘ Las fracciones de masa y molar de la especie đ?‘– de una mezcla estĂĄn relacionadas entre sĂ­ por: đ?œŒđ?‘– đ??śđ?‘– đ?‘€đ?‘– đ?‘€đ?‘– đ?‘¤đ?‘– = = = đ?‘Śđ?‘– đ?œŒ đ??śđ?‘€ đ?‘€ đ?‘€=

Un factor determinante en el proceso de difusiĂłn es el espaciamiento molecular, ya que entre mayor sea este, mĂĄs alta serĂĄ la razĂłn de difusiĂłn. Por tanto, se puede concluir que la difusiĂłn es mĂĄs en los gases que en los lĂ­quidos, y mucho mĂĄs alta en estos que en los sĂłlidos. ConvecciĂłn de masa La convecciĂłn de masa es el mecanismo de transferencia de masa entre una superficie y un fluido en movimiento en el que interviene tanto la difusiĂłn de masa como el movimiento de la masa de fluido. La razĂłn de convecciĂłn de masa puede expresarse como: đ?‘šĚ‡đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘Ł = â„Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ??´đ?‘ (đ??śđ?‘ − đ??śâˆž ) Donde đ?‘šĚ‡đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘Ł = razĂłn de convecciĂłn de masa â„Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž = coeficiente de transferencia de masa đ??´đ?‘ = ĂĄrea superficial đ??śđ?‘ − đ??śâˆž = diferencia apropiada de concentraciĂłn de uno a otro lado de la capa lĂ­mite de concentraciĂłn. La ecuaciĂłn anterior indica que el aumento de la superficie disponible para la transferencia, mejora la razĂłn de convecciĂłn de masa. La resistencia a la transferencia de masa (đ?‘…đ?‘š ), se expresa como: đ?‘…đ?‘š =

1 â„Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ??´đ?‘

El valor del coeficiente de transferencia de masa (â„Žđ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž ) refleja la contribuciĂłn a la transferencia de masa de todo el proceso en el sistema que afecta a la capa lĂ­mite. Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

54

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

En los bioprocesos existen 3 tipos importantes de transferencia de masa: 1. Transferencia de masa líquido-sólido 2. Transferencia de masa líquido-líquido 3. Transferencia de masa gas-líquido

La transferencia de materia líquido-líquido entre solventes inmiscibles es común en la recuperación de productos en diversas etapas de los bioprocesos. Los solventes orgánicos son usados para asilar antibióticos, esteroides, alcaloides de medios de cultivo; así como grasas y aceites de microalgas oleaginosas cultivadas en fotobiorreactores; otro ejemplo es en los sistemas acuosos de dos fases, que se usan para la purificación de proteínas. También, la transferencia de materia líquido-líquido es importante cuando se usan hidratos de carbono como sustratos en la fermentación para la producción de biomasa microbiana para la obtención de células proteicas simples. Las transferencias de masa líquido-sólido y gas-líquido, se explicarán a detalle en los próximos subtemas.

3.3.2. Transferencia de materia líquido-sólido De acuerdo a lo planteado en la introducción del tema, la transferencia de masa puede ocurrir entre gases, líquidos y sólidos. Por ejemplo, cuando se deja un vaso con agua en un sitio, esta se evapora debido a la difusión de las moléculas de agua hacia el aire (transferencia de masa líquida a gaseosa). Las moléculas de dióxido de carbono, que forman al hielo seco, se difunden hacia el aire con el transcurso del tiempo (transferencia de masa sólida a gaseosa); o bien, cuando agregas una cucharada de azúcar en un vaso con agua, esta se endulza cuando las moléculas del carbohidrato se mueven hacia arriba (transferencia de masa sólida a líquida). La transferencia de materia entre un líquido en movimiento y un sólido es importante para una gran cantidad de aplicaciones en las que se involucran procesos biológicos, por ejemplo: a) La adsorción de moléculas sobre la superficie de una columna en equipos de cromatografía. b) La cristalización de moléculas que se desplazan desde el seno del líquido hasta el cristal en crecimiento. c) La disolución de sólidos (sustratos) en un medio de cultivo.

Universidad Abierta y a Distancia de México

55

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Si se asume que el componente A, de la siguiente figura, se requiere para que se efectĂşe la reacciĂłn en la superficie del sĂłlido, se puede deducir que cerca de la interfase, la velocidad del fluido es reducida y se desarrolla una capa lĂ­mite. Cuando A es consumido en la reacciĂłn, la concentraciĂłn local de A en la superficie decrece y se establece un gradiente de concentraciĂłn a travĂŠs de la capa lĂ­mite.

Interfase sĂłlido-lĂ­quido Capa de lĂ­quido

SĂ“LIDO

CA0 CAi

Figura 9. Gradiente de concentraciĂłn para una transferencia de masa lĂ­quido-sĂłlido.

Si el sĂłlido es no poroso, A no pasa a travĂŠs de la superficie, considerando que la concentraciĂłn de A en la capa lĂ­mite es đ??śđ??´đ?‘– ; la concentraciĂłn de A en el seno del lĂ­quido es đ??śđ??´0 y que đ?‘Ž es el ĂĄrea interfacial lĂ­quido-sĂłlido por unidad de volumen, la razĂłn de transferencia de masa se puede determinar mediante la ecuaciĂłn: đ?‘šĚ‡ = â„Žđ??ż đ?‘Ž(đ??śđ??´0 − đ??śđ??´đ?‘– ) Donde đ?‘šĚ‡= razĂłn de transferencia de masa â„Žđ??ż = coeficiente de transferencia de masa fase-lĂ­quida đ?‘Ž = ĂĄrea interfacial lĂ­quido-sĂłlido por unidad de volumen đ??śđ??´0 − đ??śđ??´đ?‘– = diferencia de concentraciĂłn de uno a otro lado de la capa lĂ­mite de concentraciĂłn En aquellos casos en los que se requiere la disoluciĂłn de sĂłlidos (sustratos) en un lĂ­quido (medio de cultivo), en las interfases sĂłlido-lĂ­quido, sĂłlo una cierta cantidad de sĂłlido puede disolverse en el lĂ­quido, y la solubilidad del sĂłlido en el lĂ­quido se determina con base en el requisito de que existe equilibrio termodinĂĄmico ente el sĂłlido y la soluciĂłn en la interfase. Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

56

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

La solubilidad representa la cantidad máxima de sólido que puede disolverse en un líquido a una temperatura específica y se encuentra con amplitud en muchos manuales de química y bioquímica. La siguiente tabla presenta la solubilidad de compuestos inorgánicos en agua a varias temperaturas. Tabla 7. Solubilidad de compuestos inorgánicos en agua Temperatura, K 273.15 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 373.15 Fuente: Cengel, 2007.

Sal, NaCl 35.7 35.8 35.9 36.2 36.5 36.9 37.2 37.6 38.2 38.8 39.5 39.5

Soluto Bicarbonato de calcio, Ca(HCO3)2 16.15 16.30 16.53 16.75 16.98 17.20 17.43 17.65 17.88 18.10 18.33 18.40

Para ilustrar este concepto, se propone el siguiente caso de estudio.

Caso de estudio: transferencia de materia sólido-líquido

Determinar la fracción de masa de cloruro de sodio que puede disolverse en 100 kg de agua a 310 K.

Universidad Abierta y a Distancia de México

57

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

SoluciĂłn A travĂŠs de la tabla anterior, se sabe que la solubilidad del cloruro de sodio en agua a 310 K es 36.5 kg por 100 kg de agua. Por tanto, la fracciĂłn de masa de la sal en la salmuera, en la interfase, es simplemente: đ?‘¤đ?‘ đ?‘Žđ?‘™,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘™Ă­đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ =

đ?‘šđ?‘ đ?‘Žđ?‘™ 36.5 đ?‘˜đ?‘” = = 0.267 (đ?‘œ 26.7%) (100 + 36.5) đ?‘˜đ?‘” đ?‘š

En tanto que la fracción de masa de la sal en la sal sólida pura es � = 1.0. Observa que el agua se vuelve saturada con la sal cuando 36.5 kg de Êsta se disuelven en 100 kg de agua, a 310 K.

3.3.3. Transferencia de materia gas-lĂ­quido Tal como se explicĂł en la introducciĂłn del tema, en muchos bioprocesos interviene la absorciĂłn de un gas en un lĂ­quido, por ejemplo, el suministro de diĂłxido de carbono al medio de cultivo de microalgas oleaginosas en fotobiorreactores. La mayor parte de los gases son dĂŠbilmente solubles en lĂ­quidos; para esas soluciones diluidas, se observa que las fracciones molares de una especie đ?‘– en las fases gaseosa y lĂ­quida, en la interfase, son proporcionales entre sĂ­. Es decir đ?‘Śđ?‘–,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘”đ?‘Žđ?‘ âˆ? đ?‘Śđ?‘–,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘™Ă­đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ , o bien, đ?‘ƒđ?‘–,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘”đ?‘Žđ?‘ âˆ? đ?‘ƒđ?‘Śđ?‘–,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘™Ă­đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ , puesto que, para las mezclas de gases ideales, đ?‘Śđ?‘–,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘”đ?‘Žđ?‘ = đ?‘ƒđ?‘–,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘”đ?‘Žđ?‘ /đ?‘ƒ. Esto se conoce como la ley de Henry, que se expresa como: đ?‘Śđ?‘–,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘™Ă­đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ =

đ?‘ƒđ?‘–,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘”đ?‘Žđ?‘ (đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘Ž đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“đ?‘Žđ?‘ đ?‘’) đ??ť

Donde đ??ť = constante de Henry La constante de Henry, se determina se determina a travĂŠs del producto de la presiĂłn total de la mezcla gaseosa y la constante de proporcionalidad. Para una especie dada, sĂłlo es funciĂłn de la temperatura y prĂĄcticamente es independiente de la presiĂłn para presiones por debajo de alrededor de 5 atm.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

58

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

La siguiente tabla, muestra valores de la constante de Henry para varias soluciones acuosas, para varias temperaturas. Tabla 8. Constante de Henry, H (en bars), para gases seleccionados, en agua para presiones bajas a moderadas (para el gas 𝒊, 𝑯 = 𝑷𝒊,𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒈𝒂𝒔 /𝒚𝒊,𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒈𝒖𝒂) Soluto 290 K H2S 440 CO2 1,280 O2 38,000 H2 67,000 CO 51,000 Aire 62,000 N2 76,000 Fuente: Cengel, 2007.

300 K 560 1,710 45,000 72,000 60,000 74,000 89,000

310 K 700 2,170 52,000 75,000 67,000 84,000 101,000

320 K 830 2,720 57,000 76,000 74,000 92,000 110,000

330 K 980 3,220 61,000 77,000 80,000 99,000 118,000

340 K 1,140 65,000 76,000 84,000 104,000 124,000

A partir de la tabla anterior y de la ecuación de la ley de Henry, se hacen las siguientes observaciones: 1. La concentración de un gas disuelto en un líquido es inversamente proporcional a la constante de Henry. Por lo tanto, entre mayo sea esta constante, menor será la concentración de los gases disueltos en el líquido. 2. La constante de Henry aumenta al aumentar la temperatura. Por lo tanto, pueden hacerse escapar los gases disueltos en un líquido al calentar este último. 3. La concentración de un gas disuelto en un líquido es proporcional a la presión parcial del gas. Por lo tanto, puede hacerse que aumente la cantidad de gas disuelto en un líquido al aumentar la presión del gas. Para comprender mejor esta ley, se propone el siguiente caso de estudio.

Caso de estudio: transferencia de materia gas-líquido

Determinar la fracción molar de aire disuelto en el agua, en la superficie de una laguna de aireación cuya temperatura es de 17°C. Tome la presión atmosférica en el nivel de la laguna como 92 kPa. Considere que la presión de saturación del agua a 17°C es 1.96 kPa.

Universidad Abierta y a Distancia de México

59

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

SoluciĂłn Para resolver el caso de estudio a travĂŠs de la ley de Henry, se supone que el vapor de agua y el aire son gases ideales; y que ademĂĄs, el aire es dĂŠbilmente soluble en el agua (Cengel, 2007). Considerando que, de acuerdo al caso de estudio, la presiĂłn de saturaciĂłn del agua a 17°C es 1.96 kPa, y que la constante de Henry para el aire diseuleto en agua, a 290 K, es H=62,000 bars (ver tabla anterior), se puede decir que este caso de estudio es semejante al anterior. Una vez mĂĄs, el aire en la superficie del agua estĂĄ saturado, por lo que la presiĂłn parcial del vapor de agua en el aire, en la superficie de la laguna, es la presiĂłn del agua a 17°C: đ?‘ƒđ?‘Łđ?‘Žđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; = đ?‘ƒđ?‘ đ?‘Žđ?‘Ą đ?‘Ž 17°đ??ś = 1.96 đ?‘˜đ?‘ƒđ?‘Ž Si se supone que tanto el aire como el vapor son gases ideales, se detrmina que la presiĂłn parcial del aire seco es: đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘ đ?‘’đ?‘?đ?‘œ = đ?‘ƒ − đ?‘ƒđ?‘Łđ?‘Žđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; = 92 − 1.96 = 90.04 đ?‘˜đ?‘ƒđ?‘Ž = 0.9004 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; Entonces, la fracciĂłn molar del aire en el agua es: đ?‘Śđ?‘Žđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘ đ?‘’đ?‘?đ?‘œ,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘™Ă­đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ =

đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘ đ?‘’đ?‘?đ?‘œ,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘”đ?‘Žđ?‘ 0.9004 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘ = = 1.45 đ?‘Ľ 10−5 đ??ť 62,000 đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘

Por tanto, la concenraciĂłn de aire en el agua, precisamente debajo de la interfase aireagua, es de 1.45 moles por cada 100,000 moles. La ley de Henry estĂĄ limitada a las soluciones diluidas gas-lĂ­quido, es decir, un lĂ­quido con una pequeĂąa cantidad de gas disuelto en ĂŠl. Para los casos en que el gas sea intensamente soluble en el lĂ­quido, se emplea la ley de Raoult, cuya expresiĂłn matemĂĄtica es: đ?‘ƒđ?‘–,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘”đ?‘Žđ?‘ = đ?‘Śđ?‘–,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘”đ?‘Žđ?‘ đ?‘ƒ = đ?‘Śđ?‘–,đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘™Ă­đ?‘žđ?‘˘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œ đ?‘ƒđ?‘–,đ?‘ đ?‘Žđ?‘Ą (đ?‘‡) Donde đ?‘ƒđ?‘–,đ?‘ đ?‘Žđ?‘Ą (đ?‘‡) = presiĂłn de saturaciĂłn de la especie đ?‘– a la temperatura de la interfase đ?‘ƒ = presiĂłn total del lado de la fase gaseosa.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

60

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Uno de los principales aspectos, por el que es relevante el estudio de la transferencia de materia gas-lĂ­quido en el ĂĄrea de bioprocesos, estĂĄ relacionado con los factores que promueven el consumo de oxĂ­geno en los fermentadores. La velocidad de consumo de oxĂ­geno por las cĂŠlulas determina la velocidad a la cual debe promoverse la transferencia de dicho gas hacia el lĂ­quido. Muchos factores influyen en la demanda de oxĂ­geno, tales como: la especie de los microorganismos, la fase de crecimiento celular y la naturaleza de la fuente de carbono en el medio. En los cultivos discontinuos o por lote, la velocidad de consumo de oxĂ­geno varĂ­a con el tiempo. La razĂłn que explica este fenĂłmeno, es que, la concentraciĂłn de las cĂŠlulas incrementa durante el curso del proceso y la tasa total de consumo de oxĂ­geno es proporcional al nĂşmero de cĂŠlulas presentes. La tasa de consumo de oxĂ­geno por cĂŠlula, se conoce como velocidad especĂ­fica de consumo de oxĂ­geno. La expresiĂłn matemĂĄtica que permite la tasa de consumo de oxĂ­geno, es: đ?‘„0 = đ?‘ž0 đ?‘Ľ Donde đ?‘„0 = tasa de consumo de oxĂ­geno por volumen de caldo de cultivo đ?‘ž0 = velocidad especĂ­fica de consumo de oxĂ­geno đ?‘Ľ = concentraciĂłn celular En la fermentaciĂłn aerobia, las molĂŠculas de oxĂ­geno deben superar una serie de resistencias de transporte antes de ser utilizadas por las cĂŠlulas. Las etapas involucradas en el transporte de oxĂ­geno desde las burbujas del gas, hasta el sitio de reacciĂłn intracelular son: 1. Transferencia desde el interior de las burbujas del gas hasta la interface lĂ­quida. 2. Paso del gas hasta la interface lĂ­quida. 3. DifusiĂłn a travĂŠs de la pelĂ­cula de lĂ­quido relativamente estancada que rodea la burbuja. 4. Transporte a travĂŠs del seno del lĂ­quido. 5. DifusiĂłn a travĂŠs de la pelĂ­cula de lĂ­quido relativamente estancada que rodea la cĂŠlula. 6. Movimiento a travĂŠs de la interface lĂ­quido-cĂŠlula. 7. Si las cĂŠlulas estĂĄn formando un floculo, grupo o partĂ­cula sĂłlida, difusiĂłn a travĂŠs del sĂłlido a la cĂŠlula individual; y 8. Transporte a travĂŠs del citoplasma hacia el sitio de reacciĂłn.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

61

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

En estado estacionario no puede haber acumulaciĂłn de oxĂ­geno en cualquier ubicaciĂłn del fermentador; por lo tanto, la tasa de transferencia de oxĂ­geno desde las burbujas es igual a la tasa de consumo de oxĂ­geno por las cĂŠlulas. La expresiĂłn matemĂĄtica que describe este hecho es: ∗ đ??žđ??ż đ?‘Ž(đ??śđ??´đ??ż − đ??śđ??´đ??ż ) = đ?‘ž0 đ?‘Ľ

Donde đ??žđ??ż đ?‘Ž = capacidad de transferencia de masa de oxĂ­geno en el fermentador đ??śđ??´đ??ż = concentraciĂłn de la especie A en la fase gas en el equilibrio ∗ đ??śđ??´đ??ż = concentraciĂłn de la especie A en la fase lĂ­quida en el equilibrio đ?‘ž0 = velocidad especĂ­fica de consumo de oxĂ­geno đ?‘Ľ = concentraciĂłn celular La ecuaciĂłn anterior puede utilizarse para deducir algunas relaciones importantes en los fermentadores. En primer lugar, permite estimar la concentraciĂłn mĂĄxima de cĂŠlulas que puede ser soportada por la transferencia de oxĂ­geno en el sistema. Para un conjunto dado de condiciones de funcionamiento, la tasa mĂĄxima de transferencia de oxĂ­geno se produce cuando la fuerza impulsora es una diferencia de concentraciĂłn alta, por ejemplo, cuando la concentraciĂłn de oxĂ­geno disuelto es cero. Por lo tanto, de la ecuaciĂłn anterior, la concentraciĂłn celular mĂĄxima que puede ser soportada por las funciones de transferencia de masa del reactor es: đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ =

∗ đ??žđ??ż đ?‘Žđ??śđ??´đ??ż đ?‘ž0

Otro parĂĄmetro importante es la capacidad mĂ­nima de transferencia de masa de oxĂ­geno requerida para el mantenimiento en el fermentador, es decir, cuando đ??śđ??´đ??ż > đ??śđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ą , expresada como: đ?‘ž0 đ?‘Ľ (đ??žđ??ż đ?‘Ž)đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ą = ∗ (đ??śđ??´đ??ż − đ??śđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ą ) Para comprender las expresiones anteriores, se propone el siguiente caso de estudio.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

62

U3

IngenierĂ­a de bioprocesos I FenĂłmenos de transporte

Caso de estudio: concentraciĂłn celular en un cultivo aerobio

Para la producciĂłn de alginato, una cepa de Azotobacter vinelandii es cultivada es un fermentador agitado de 15 m3. Bajo las condiciones de trabajo đ??žđ??ż đ?‘Ž es 0.17 s-1. La solubilidad del oxĂ­geno en el medio del cultivo es aproximadamente 8 x 10-3 kg¡m-3.

a) Si la velocidad específica de consumo de oxígeno es 12.5 mmol¡g-1¡h-1, ¿cuål es la posible concentración celular måxima?

b) La bacteria sufre una inhibición en el crecimiento despuÊs de la adición accidental de sulfato de cobre al medio de fermentación. Esto causa la reducción en la tasa de consumo de oxígeno a 3 mmol¡g-1¡h-1, ¿cuål es la måxima concentración celular que puede soportar el fermentador bajo estas condiciones?

SoluciĂłn a) Para el primer cĂĄlculo, cuando la velocidad especĂ­fica de consumo de oxĂ­geno es 12.5 mmol¡g-1¡h-1, se emplearĂĄ la expresiĂłn: đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ =

∗ đ??žđ??ż đ?‘Žđ??śđ??´đ??ż đ?‘ž0

Por lo tanto, considerando que 1 h = 3,600 s; 1 gmol = 1,000 mmol; 1 g mol O2 = 32 g; 1 kg = 1,000 g; la concentraciĂłn celular mĂĄxima es: đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ =

(0.17 đ?‘ −1 )(8 đ?‘Ľ 10−3 đ?‘˜đ?‘” ∙ đ?‘šâˆ’3 ) 12.5 đ?‘šđ?‘šđ?‘œđ?‘™ 1â„Ž 1 đ?‘”đ?‘šđ?‘œđ?‘™ 32 đ?‘” 1 đ?‘˜đ?‘” ( đ?‘”∙ℎ ) (3,600 đ?‘ ) (1,000 đ?‘šđ?‘šđ?‘œđ?‘™) (1 đ?‘”đ?‘šđ?‘œđ?‘™) (1,000 đ?‘”)

= 1.2 đ?‘Ľ 104 đ?‘”/đ?‘š3 = 12 đ?‘”/đ??ż

∗ b) Asumiendo que la adiciĂłn accidental de sulfato de cobre no afecta los valores de đ??śđ??´đ??ż y de đ??žđ??ż đ?‘Ž, y que đ?‘ž0 reduce en un factor de 12.5/3=4.167, đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ se determina como:

đ?‘Ľđ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = (4.167)(12 đ?‘”/đ??ż) = 50 đ?‘”/đ??ż Para alcanzar las concentraciones de cĂŠlulas calculadas, todas las demĂĄs condiciones deben ser favorables, por ejemplo, se deben proporcionar cantidades de sustrato y tiempo suficientes.

Universidad Abierta y a Distancia de MĂŠxico

63

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Actividades La elaboración de las actividades estará guiada por tu docente en línea, mismo que te indicará, a través de la Planeación didáctica del docente en línea, la dinámica que tú y tus compañeros (as) llevarán a cabo, así como los envíos que tendrán que realizar. Para el envío de tus trabajos usarás la siguiente nomenclatura: BIBP1_U3_A1_XXYZ, donde BIBP1 corresponde a las siglas de la asignatura, U3 es la etapa de conocimiento, A1 es el número de actividad, el cual debes sustituir considerando la actividad que se realices, XX son las primeras letras de tu nombre, Y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno.

Autorreflexiones Para la parte de autorreflexiones debes responder las Preguntas de Autorreflexión indicadas por tu docente en línea y enviar tu archivo. Cabe recordar que esta actividad tiene una ponderación del 10% de tu evaluación. Para el envío de tu autorreflexión utiliza la siguiente nomenclatura: BIBP1_U3_ATR _XXYZ, donde BIBP1 corresponde a las siglas de la asignatura, U3 es la unidad de conocimiento, XX son las primeras letras de tu nombre, y la primera letra de tu apellido paterno y Z la primera letra de tu apellido materno

Cierre de la unidad A lo largo de la unidad se han abordado aspectos relacionados con la transferencia de momentum, calor y materia, que habrás de aplicar en el análisis y diseño posterior de bioprocesos. Has revisado la clasificación de los fluidos y la definición de reología y viscosidad. Has conocido diversos equipos de mezclado, el mecanismo por el que se lleva a cabo y el cálculo de la potencia de mezclado. Además, has entendido los mecanismos de transferencia de calor, haciendo énfasis en la transferencia entre fluidos, para finalmente conocer el equipo utilizados para este fin.

Universidad Abierta y a Distancia de México

64

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

En la última parte de la unidad, lograste entender los mecanismos de transferencia de materia líquido-sólido y gas-líquido, lo que te permitió comprender la importancia de los fenómenos de transporte en el diseño de bioprocesos. Toda esta información podrás aplicarla en la asignatura de Ingeniería en Bioprocesos II, que estudiarás en el próximo cuatrimestre.

Para saber más

A continuación se presentan algunos recursos que te permitirán profundizar en el estudio de los temas de la tercera unidad: 

Puedes consultar en la web el video de Viscosidad, publicado en el 2013 por Tareasplus. En este tutorial se describen los conceptos básicos referentes al tema de Viscosidad (en el caso de los fluidos reales). Se deduce una expresión matemática para el cálculo de el "coeficiente de viscosidad" a partir del análisis físico ilustrado para un fluido confinado entre dos placas, una móvil y la otra fija, considerando los conceptos de esfuerzo de corte y deformación de corte. Se resuelve un primer ejemplo en el cual se solicita calcular la fuerza requerida para deslizar una placa sobre un fluido (aceite de motor) a velocidad constante, conociendo el espesor de película del fluido, el área de contacto entre el fluido y la placa, así como el coeficiente de viscosidad y la velocidad. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=STgnJ_iKvKs

Puedes consultar en la web el video de ¿Cómo va el calor de un lugar a otro? Propagación del calor y la energía, publicado en el 2013 por Dalton-Avogadro. En este recurso se explica como en física, la transferencia de calor es el paso de energía térmica desde un cuerpo de mayor temperatura a otro de menor temperatura. Cuando un cuerpo, por ejemplo, un objeto sólido o un fluido, está a Universidad Abierta y a Distancia de México

65

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

una temperatura diferente de la de su entorno u otro cuerpo, la transferencia de energía térmica, también conocida como transferencia de calor o intercambio de calor, ocurre de tal manera que el cuerpo y su entorno alcancen equilibrio térmico. La transferencia de calor siempre ocurre desde un cuerpo más caliente a uno más frío, como resultado de la Segunda ley de la termodinámica. Cuando existe una diferencia de temperatura entre dos objetos en proximidad uno del otro, la transferencia de calor no puede ser detenida; solo puede hacerse más lenta. Los modos son los diferentes tipos de procesos de transferencia de calor. Hay tres tipos: a) Conducción: transferencia de calor que se produce a través de un medio estacionario, que puede ser un sólido o un fluido, cuando existe un gradiente de temperatura; b) Convección: transferencia de calor que ocurrirá entre una superficie y un fluido en movimiento cuando están a diferentes temperaturas; c) Radiación: en ausencia de un medio, existe una transferencia neta de calor por radiación entre dos superficies a diferentes temperaturas, debido a que todas las superficies con temperatura finita emiten energía en forma de ondas electromagnéticas. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=iJT2KrgqP1o

Fuentes de consulta

Básicas Bird, R. H., Stewart, W. E., Lightfoot, E. N. (2010). Fenómenos de transporte. 2da. Edición. Editorial: Limusa Wiley. México. 1064 p. Cengel, Y. (2007). Transferencia de calor y masa. 3era. Edición. Editorial: McGraw-Hill. México. 891 p.

Universidad Abierta y a Distancia de México

66

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

García, R. M. E., Cárdena, R. J. E. (2010). Manual de laboratorio de fundamentos de fenómenos de transporte. Introducción a los fenómenos de transporte. Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de: http://labfftesiqie.files.wordpress.com/2011/02/introduccic3b3na-los-fenomenos-de-transporte.pdf Gelmi, W. C. (2006). Fundamentos de operaciones unitarias. Serie de clases de ingeniería química. Recuperado de: http://www.systemsbiology.cl/recursos/archivos/Libro_OOUUIv2.pdf Masciarelli, R., Stancich, S., Stoppani, F. 2012. Transferencia de materia. Unidad No. 2. Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional Rosario. Recuperado de: http://www.frro.utn.edu.ar/repositorio/catedras/quimica/4_anio/ingenieria_reaciones/Transf erencia_de_Materia.pdf

Complementarias (imágenes y fotografías): Bombetec. (s.f.). Turbina de hojas inclinadas. [Imagen]. Recuperado de: http://catalogo.bombetec.com.br/viewitems/agitadores-misturadores-bmix/helices-bmixccicalidad.blogspot.mx. (2013). Cultivo de microalgas en fotobiorreactores. [Fotografía]. Recuperado de: http://cci-calidad.blogspot.mx/2013_01_01_archive.html Micro-Giant Technology Co. (s. f.). Turbina de hojas curvas. [Imagen]. Recuperado de: http://www.micro-giant.com.tw/main.php?lang=en&type=product&id=80&bbd=43 Patentados.com. (s.f.). Turbina cubierta. [Imagen]. Recuperado de: http://patentados.com/invento/molino-agitador.2.html Systemsbiology.cl. (2006). Ejemplificación de la transferencia de calor por conducción. [Imagen]. Recuperado de: http://www.systemsbiology.cl/recursos/archivos/Libro_OOUUIv2.pdf Systemsbiology.cl. (2006). Ejemplificación de la transferencia de calor por radiación. [Imagen]. Recuperado de: http://www.systemsbiology.cl/recursos/archivos/Libro_OOUUIv2.pdf Systemsbiology.cl. (2006). Ejemplificación de la transferencia de calor por convección. [Imagen]. Recuperado de: http://www.systemsbiology.cl/recursos/archivos/Libro_OOUUIv2.pdf

Universidad Abierta y a Distancia de México

67

U3

Ingeniería de bioprocesos I Fenómenos de transporte

Systemsbiology.cl. (2006). Mezcladores estáticos. [Imagen]. Recuperado de: http://www.systemsbiology.cl/recursos/archivos/Libro_OOUUIv2.pdf Thermoequipos.com.ve. (s.f.). Intercambiador 1-2 con cabezal de tubos fijo. [Imagen]. Recuperado de: http://www.thermoequipos.com.ve/pdf/articulo_03.pdf Thermoequipos.com.ve. (s.f.). Intercambiador con cabezal de tubos fijos con tapas integrales. [Imagen]. Recuperado de: http://www.thermoequipos.com.ve/pdf/articulo_03.pdf Thermoequipos.com.ve. (s.f.). Intercambiador con haz de tubos removible. [Imagen]. Recuperado de: http://www.thermoequipos.com.ve/pdf/articulo_03.pdf Thermoequipos.com.ve. (s.f.). Intercambiador con tubos en U. [Imagen]. Recuperado de: http://www.thermoequipos.com.ve/pdf/articulo_03.pdf Thermoequipos.com.ve. (s.f.). Intercambiador de calor 1-2 de cabeza flotante y anillo seccionado. [Imagen]. Recuperado de: http://www.thermoequipos.com.ve/pdf/articulo_03.pdf Thermoequipos.com.ve. (s.f.). Intercambiador de doble tubo. [Imagen]. Recuperado de: http://www.thermoequipos.com.ve/pdf/articulo_03.pdf Thermoequipos.com.ve. (s.f.). Intercambiador de tubo y coraza. [Imagen]. Recuperado de: http://www.thermoequipos.com.ve/pdf/articulo_03.pdf UNAD. (s.f.). Paleta de compuerta. [Imagen]. Recuperado de: http://datateca.UNAD.edu.co/contenidos/211617/IPA/leccin_213_manejo_de_fluidos.html UNAD. (s.f.). Propulsor de tres hojas. [Imagen]. Recuperado de: http://datateca.UNAD.edu.co/contenidos/211617/IPA/leccin_213_manejo_de_fluidos.html UNAD. (s.f.). Turbina de disco y hojas. [Imagen]. Recuperado de: http://datateca.UNAD.edu.co/contenidos/211617/IPA/leccin_213_manejo_de_fluidos.html UNAD. (s.f.). Turbina de hojas planas. [Imagen]. Recuperado de: http://datateca.UNAD.edu.co/contenidos/211617/IPA/leccin_213_manejo_de_fluidos.html

Universidad Abierta y a Distancia de México

68

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.