Lenguajes Regulares y Autómatas Finitos - Clase 6 by Jorge Buabud

U.T.N. – F.R.T. S. y S. de los L.

LENGUAJES REGULARES Y AUTÓMATAS FINITOS

GRAMÁTICAS REGULARES (GR): Recordemos..... : Las GR corresponden al Tipo 3 de la Jerarquía de Chomsky. Sus reglas pueden tener un formato regular por la derecha o regular por la izquierda, pero no ambos. Tienen la capacidad de generar solo Lenguajes Regulares. Sirven para describir el Nivel Lexicográfico de un Lenguaje. El modelo aceptor correspondiente es el Autómata Finito. Su formato estándar es:

N1 → t N2 , N → t ,

S→λ

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GRAMÁTICAS REGULARES (GR): Obtención del Formato Estándar: Pasos a seguir para obtener el Formato Estándar de Chomsky tipo 3: 1.- Eliminar reglas innecesarias. 2.- Eliminar el axioma S de la derecha, si es que λ ∈ L(GR). 3.- Eliminar reglas de redenominación o renombrado: N1 → N2 4.- Eliminar reglas de borrado: N→ →λ 5.- Realizar las sustituciones necesarias para reducir a uno la longitud de las secuencias de terminales que hubiera en las reglas. ING. JORGE BUABUD

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GRAMÁTICAS REGULARES (GR): 1.- Eliminar reglas innecesarias: Son producciones que no aportan nada. 1.1.- Reglas que tienen no-terminales inútiles, es decir aquellos N que no cumplen con: S ⇒* αNβ β y N⇒ ⇒* w donde S es el axioma, w ∈ ΣT* y α,β β ∈ Σ* 1.2.- Reglas de la forma: N→ →N 2.- Eliminar el axioma de la derecha: Si el axioma S aparece en la derecha de alguna producción y S ⇒* λ , entonces se realiza el siguiente artificio: 2.1.- se introduce un nuevo símbolo inicial S1 2.2.- se agrega a las producciones originales las reglas: S1 → S | λ ING. JORGE BUABUD

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GRAMÁTICAS REGULARES (GR): 3.- Eliminar reglas de redenominación: Se reemplaza las producciones de la forma N1→N2 , por las reglas que surgen de reemplazar en las mismas N2 por las partes derechas de sus producciones. 4.- Eliminar reglas de borrado: Se reemplaza las producciones de la forma N→λ →λ , por las reglas que surgen de reemplazar N por λ, en todas las reglas donde figure N; a excepción de la regla S → λ , donde S es el axioma. 5.- Reducción de longitud: Se reemplaza las reglas de la forma N1 → t1t2...tKN2 por las reglas N1→t1M1 , M1→t2M2 , .... , MK-1→ tKN2 donde los Mi son nuevos no-terminales, los ti son terminales, N1 es un no-terminal y N2 puede ser un no-terminal o vacío (en forma similar para una GR regular por la izquierda). ING. JORGE BUABUD

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GRAMÁTICAS REGULARES (GR): Ejemplo de obtención del formato estándar de una GR: Supongamos la siguiente GR por la derecha:

G = 〈 ΣN , ΣT , S , P 〉 ΣN = {S, A, B, C, D, E} ΣT = {a, b}

S → abaB | bb | λ | A A → baS | aabC | a B → aaA | B | λ C → baC | aC

D → bbB | aaa | abaD E → aaE | abC ING. JORGE BUABUD

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GRAMÁTICAS REGULARES (GR): 3) Eliminación de reglas de redenominación: S1 → abaB | bb | baS | a | λ S → abaB | bb | λ | baS | a A → baS | a B → aaA | λ 4) Eliminación de reglas de borrado: S1 → abaB | bb | baS | a | λ | ba | aba S → abaB | bb | baS | a | ba | aba A → baS | a | ba B → aaA ING. JORGE BUABUD

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GRAMÁTICAS REGULARES (GR): 5) Reducción de la longitud: S1 → aF | bH | bI | a | λ | bJ | aK F → bG Los otros componentes de G: G → aB H→b ΣN = { S1, A, B, F, G, H, I, J, K, L, S} I → aS ΣT = {a, b} J→a donde S1 es el nuevo axioma K → bJ S → aF | bH | bI | a | bJ | aK A → bI | a | bJ B → aL L → aA ING. JORGE BUABUD

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GRAMÁTICAS REGULARES (GR): Equivalencia entre GR por derecha y GR por izquierda: Los dos formatos posibles para una GR son equivalentes. Veamos un algoritmo para pasar del formato por izquierda al formato por derecha, partiendo de una GR en su forma estándar: 1.- Si el axioma figura en alguna parte derecha de las reglas, se procede a transformar la GR de la siguiente forma: 1.1.- Agregar un nuevo símbolo no-terminal L 1.2.- Si S es el axioma, t∈Σ ∈ΣT y N∈Σ ∈ΣN , entonces: 1.2.1.- Para cada regla de la forma S → Nt se crea una regla L → Nt 1.2.2.- Cada regla de la forma N → St se cambia por la regla N → Lt ING. JORGE BUABUD

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GRAMÁTICAS REGULARES (GR): 2.- Se crea un grafo dirigido: 2.1.- Se crea un nodo para cada no-terminal N y otro para λ 2.2.- Para cada regla de la forma N1 → N2t se crea un arco desde el nodo N1 al nodo N2 con rótulo t 2.3.- Para cada regla de la forma N → t se crea un arco desde el nodo N al nodo λ con etiqueta t 2.4.- Si existe una regla S → λ se crea un arco sin rótulo desde el nodo S al nodo λ 3.- Se transforma este grafo de la siguiente manera: 3.1.- Se intercambian las etiquetas de los nodos S y λ 3.2.- Se invierte el sentido de todos los arcos ING. JORGE BUABUD

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GRAMÁTICAS REGULARES (GR): 4.- Se transforma el grafo en un conjunto de reglas: 4.1.- Para cada arco etiquetado con t que va del nodo N1 al nodo N2 se crea la regla N1 → tN2 4.2.- Para cada arco etiquetado con t que va del nodo N al nodo λ se crea la regla N → t 4.3.- Si existe un arco del nodo del axioma S al nodo de λ se crea una regla S → λ

En forma similar se puede definir un algoritmo para transformar una GR por derecha en su formato por izquierda equivalente. ING. JORGE BUABUD

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GRAMÁTICAS REGULARES (GR): 3) Transformamos el grafo: a λ

B b

b a a

S C

4) Creamos las reglas de la GR por la derecha a partir del grafo: S → aB A → bC | bA | b B → aC | bB | a C → aA ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Lenguaje Regular (LR): Un LR es el lenguaje generado por una GR y se define mediante las siguientes cláusulas: 1) Todo lenguaje finito es un LR 2) Si L1 y L2 son LR entonces L1∪L2 y L1.L2 también son LR 3) Si L es un LR entonces L* también es un LR 4) Todo LR se puede definir mediante las cláusulas 1, 2 y 3 ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Ejemplos de LR: Consideremos el alfabeto Σ={a, b} L1 = { } = Φ L2 = {λ λ} = Lλ L3 = {a, b} L4 = {aa, ab, ba, bb} L5 = {λ λ, aba, aaa, bab, bbb} L6 = L3 . L5 ∪ L4 L7 = L5* . L4 L8 = L4 . L4* ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Expresión Regular (ER): Es una forma algebraica que se define sobre un alfabeto base Σ y un alfabeto especial Σ’ = {+, *, • , Φ , λ , ( , ) }, con Σ y Σ’ disjuntos, mediante las siguientes cláusulas: 1) Φ, λ, x∈Σ ∈Σ son ER 2) Si E1 y E2 son ER entonces E1+E2 y E1.E2 también son ER 3) Si E es una ER entonces E* y (E) también son ER 4) Todo ER se puede definir mediante las cláusulas 1, 2 y 3 ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Correspondencia entre las ER y los LR: Aunque es casi obvio,

la siguiente tabla

{}

formaliza la relación

{λ λ}

{x}

R1+R2

L1 ∪ L2

R1.R2

L1.L2

entre ER y LR:

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Ejemplos de ER: Consideremos el alfabeto base Σ={a, b} E1 = Φ E2 = λ E3 = a+b E4 = aa+ab+ba+bb E5 = λ+aba+aaa+bab+bbb E6 = E3.E5+E4 = (a+b).(λ λ+aba+aaa+bab+bbb)+(aa+ab+ba+bb) E7 = E5* . E4 = (λ λ+aba+aaa+bab+bbb)*.(aa+ab+ba+bb) E8 = E4 . E4* = (aa+ab+ba+bb).(aa+ab+ba+bb)* ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Algunas aplicaciones de las ER: En general las ER se asocian con los lenguajes regulares y están presentes en diversas aplicaciones, por ejemplo: 1) Para descripción de patrones textuales: La mayoría de los procesadores de texto utilizan variantes de las ER para facilitar la búsqueda de palabras en un texto, como los “comodines” del Word . (Ver el help del MS-Word 2007). También se utilizan en la representación de cadenas de caracteres en muchos sistemas operativos, como en el GNU/Linux. (Ver página web http://iie.fing.edu.uy/~vagonbar/unixbas/expreg.htm) ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): 2) Para representar estructuras algorítmicas: En el campo del análisis de algoritmos se utilizan ER para representar las estructuras básicas de control, por ejemplo: a

b d

a.(b.(c+d))*.e c

e ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): 3) Para describir el léxico de un lenguaje de programación: Por ejemplo para el lenguaje C++: PalabrasClaves = main+if+else+while+do+switch+case+...... Dígitos = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 NúmeroEnteroSinSigno = 0+Dígitos.(Dígitos+0)* Letra = a+b+c+d+..............+z Identificador = (Letra+ _ ).(Letra+ _ +Dígitos+0)* ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Propiedades de las ER: Existen muchas propiedades asociadas a las ER, a continuación se muestran las más importantes: 1) Φ* = λ 2) E . E* = E* . E 3) E* = λ + E . E* 4) (E1* . E2*)* = (E1+ E2)* = (E1* . E2)* . E1* 5) E* = (λ λ+E+E2+E3+....+EN-1) . (EN)* ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Sistema de Ecuaciones Características de una GR: Dada una GR se puede obtener un conjunto de definiciones regulares de la forma: X = R + T.X , donde X∈Σ ∈ΣN y (R,T) son ER sobre Σ, del siguiente modo: 1) Agrupar todas las reglas que tengan igual parte izquierda 2) Igualar cada no-terminal X con la unión de todas las partes derechas correspondientes, usando el conectivo “+”

3) Sustituir la yuxtaposición de símbolos con la concatenación de los mismos, usando el conectivo “•” ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Ejemplo de Ecuaciones Características de una GR: G = 〈 ΣN , ΣT , P , S 〉 ΣN = { S, A, B, C }

Sistema de Ecuaciones Características

ΣT = { a, b, c }

S = a.A+b.B+c.C

P: S → aA | bB | cC

A = b.A+a.B

A → bA | aB

B = c.B+a

B → cB | a

C = c.C+c

C → cC | c ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Solución de una ecuación genérica: X=R+T.X Mediante los siguientes pasos podemos deducir una expresión para X tal que cumpla dicha igualdad: 1) Partimos de la propiedad de la expresión regular T: T* = λ + T . T* 2) Pos-concatenamos con la expresión regular R: T*.R = ( λ + T . T*).R 3) Resolvemos: T*.R = R + T . T*.R 4) Por simple comparación deducimos que: X = T*.R ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Obtención de la ER del lenguaje generado por una GR: 1) Se plantea el Sistema de Ecuaciones Características. 2) Se resuelve el sistema mediante método de sustitución y aplicación de la solución de la ecuación genérica. 3) La ER del lenguaje generado por la GR, es la solución correspondiente al axioma de la gramática.

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Ejemplo de obtención de la ER de una GR: Dando continuidad al ejemplo anterior de ecuaciones características, tenemos: C = c*.c B = c*.a A = b.A+a.c*.a

S = a.b*.a.c*.a+b.c*.a+c.c.c*

A = b*.a.c*.a S = a.b*.a.c*.a+b.c*.a+c.c*.c ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Derivada de una ER: La derivada de una expresión regular “E” respecto a un símbolo “x” perteneciente a un alfabeto “Σ Σ”, se define como:

Dx(E) = {w / x.w ∈ E} Es decir del conjunto de palabras “w” que están representadas por “E”, se selecciona aquellas que comienzan por el símbolo “x” respecto al que se deriva y la derivada será el conjunto de los restos de esas palabras sin el prefijo “x”. ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Propiedades de la Derivada de una ER: Para todo x,y∈Σ ∈Σ se cumple que: 1) Dx(Φ Φ) = Φ

2) Dx(λ λ) = Φ

3) Dx(x) = λ

4) Dx(y) = Φ con y≠ ≠x

5) Dx(E1+E2) = Dx(E1)+Dx(E2) 6) Dx(E1.E2) = Dx(E1).E2+f(E1).Dx(E2) con f(E1)=

λ si λ∈E λ∈ 1 Φ si λ∉E λ∉ 1

7) Dx(E*) = Dx(E).E* ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Ejemplo de Derivadas de una ER: Supongamos la siguiente ER: E = a*.b.(a+b)*.b Da(E) = Da(a*).b.(a+b)*.b+f(a*).Da(b.(a+b)*.b) = Da(a).a*.b.(a+b)*.b+λ λ.(Da(b).(a+b)*.b+f(b).Da((a+b)*.b)) = λ.a*.b.(a+b)*.b+Φ Φ.(a+b)*.b+Φ Φ.Da((a+b)*.b) = a*.b.(a+b)*.b+Φ Φ+Φ Φ = a*.b.(a+b)*.b = E Db(E) = Db(a*).b.(a+b)*.b+f(a*).Db(b.(a+b)*.b) = Φ.b.(a+b)*.b+λ λ.(Db(b).(a+b)*.b+f(b).Db((a+b)*.b)) = Φ+λ λ.(a+b)*.b+Φ Φ.Db((a+b)*.b) = (a+b)*.b ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Composición de Derivadas de una ER: Se puede componer derivadas de la siguiente forma: Dxy(E) = Dy(Dx(E)) En el ejemplo anterior tendríamos: Dab(E) = Db(Da(E)) = Db(E) = (a+b)*.b Dba(E) = Da(Db(E)) = Da((a+b)*.b) = Da((a+b)*).b+f((a+b)*).Da(b) = Da(a+b).(a+b)*.b+λ λ.Φ Φ = (a+b)*.b ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Obtención de la GR que genera el lenguaje de una ER: Dada una ER E0 y el conjunto D de todas las ER Ei distintas que se obtienen por derivación compuesta con respecto a todos los símbolos x de Σ, el alfabeto base de E0 ; los componentes de la gramática G que genera el lenguaje definido por E0 son:

ΣN = {E0} ∪ D

ΣT = Σ

S = E0

Si Dx(E1)=E2 , E2≠ λ , E2≠Φ , crear la regla E1 → x E2 Si λ∈D λ∈ x(E1) , crear una regla E1 → x Si λ∈E λ∈ 0 , crear una regla E0 → λ Si Dx(E1)=Φ Φ , no crear ninguna regla ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): Ejemplo de obtención de una GR a partir de una ER: Partamos de la ER del ejemplo anterior: E0 = a*.b.(a+b)*.b Da(E0) = E0 Db(E0) = (a+b)*.b = E1 Da(E1) = E1 Db(E1) = Db((a+b)*.b) = Db((a+b)*).b+f((a+b)*).Db(b) = Db(a+b).(a+b)*.b+λ λ.λ λ = (a+b)*.b+λ λ = E2 Da(E2) = Da(E1)+Da(λ λ) = E1+Φ Φ = E1 Db(E2) = Db(E1)+Db(λ λ) = E2+Φ Φ = E2 ING. JORGE BUABUD

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EXPRESIONES REGULARES (ER): De tal manera que: ΣN = {E0 , E1 , E2} ΣT = {a, b} S = E0 E0 → aE0 | bE1 P=

E1 → aE1 | bE2 | b E2 → aE1 | bE2 | b

≡

E0 → aE0 | bE1 E1 → aE1 | bE1 | b con ΣN = {E0 , E1} ING. JORGE BUABUD