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LENGUAJES REGULARES Y AUTÓMATAS FINITOS
AUTÓMATA FINITO (AF): El Autómata Finito es el modelo más restrictivo de todos y desde luego que se puede definir a partir de una MT. Pero es más bien un caso particular de una MEF tipo Moore, con dos salidas posibles: Acepto o Rechazo. De tal modo que se puede omitir la cinta de salida y considerar dos tipos de estados: Finales (con salida Acepto) y No-Finales (con salida Rechazo). Este modelo matemático abstracto resuelve el problema de aceptación de lenguajes de tipo 3 o LR. Para su mejor comprensión lo representaremos con el siguiente esquema:
e1
e2
en-1 en
Cabezal de Lectura
Control
Estados
Cinta Finita Entrada X
. .
01 2 . 3 ING. JORGE BUABUD
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AUTÓMATA FINITO (AF): Al comienzo se escribe en la cinta de entrada la palabra que se desea analizar (ei ), la misma termina con un símbolo de fin de cadena que por simplicidad no consideraremos en forma explícita y un cabezal de lectura se encuentra sobre la posición del primer símbolo de dicha palabra. Esta descripción corresponde al estado inicial y desde aquí el modelo comienza a funcionar del siguiente modo: 1) LEE un símbolo de la cinta de entrada y mueve el cabezal a la derecha. 2) De acuerdo al ESTADO ACTUAL y al símbolo leído, transiciona a un NUEVO ESTADO (que puede ser el mismo). 3) Repite 1) y 2) hasta que lee totalmente la palabra, en este caso si se encuentra en alguno de los llamados ESTADOS FINALES se dice que la palabra escrita inicialmente es ACEPTADA y en caso contrario es RECHAZADA; o hasta que se llega a un estado en el que no está definida una transición, entonces se dice que el AF se BLOQUEA y la secuencia de entrada es RECHAZADA. ING. JORGE BUABUD
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AUTÓMATA FINITO (AF): Definición formal de un Autómata Finito:
AF = Q , Σ , q0 , F , f Q : Conjunto finito y no vacío de estados. Σ : Alfabeto de símbolos de entrada. q0 : Estado inicial (perteneciente a Q). F : Conjunto de estados finales (incluido en Q). f : Función de control o transición, que se define como: f:Qx Q En este caso F esta en el dominio, es decir que los estados finales no son de parada y el final de cadena está implícito en el funcionamiento del AF. ING. JORGE BUABUD
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AUTÓMATA FINITO (AF): En el caso de los AF y en correspondencia con el algoritmo constructivo de comprobación de pertenencia para LDC, que por jerarquía de Chomsky vale para LR, el lenguaje universal * ,
queda dividido en dos subconjuntos:
*
Todas las palabras aceptadas por el AF. Todas las palabras rechazadas por el AF.
Es decir que para todo LR existe un AF que es capaz de aceptarlo y a la vez rechazar a su complemento. ING. JORGE BUABUD
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AUTÓMATA FINITO (AF): Representación formal de la función de transición: Tabla de Transición
Est. Actual
Símb. Leído
Est. Nuevo
q
e
q’
Grafo de Transición
q0
q
e
q’
F
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AUTÓMATA FINITO (AF): En ambos casos se representa cada pareja estímulo/ /reacción, compuesta por el par (estado actual, símbolo leído) y el (estado nuevo) respectivamente. Al igual que todos los modelos, la relación de transición puede ser determinista o no-determinista. Pero en este caso se puede demostrar que el AF es DETERMINISTA por naturaleza. Es decir que todos los AF no-deterministas tienen un equivalente determinista.
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EJEMPLO DE AF: AF = Q , Σ , q0 , F , f Q = { 1, 2 } = { a, b } q0 = 1
F={2}
La función de control f se representa con su tabla y grafo de transición.
Este AF acepta el lenguaje L(AF) = { an bm / n 0 , m 1 } sobre el alfabeto {a, b}, que contiene todas las palabras compuestas por una secuencia de “a” seguida de otra secuencia de “b” o solamente una secuencia de “b”. ING. JORGE BUABUD
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GRAFO DE TRANSICIÓN
EJEMPLO DE AF:
a 1
b
b
2
TABLA DE TRANSICIÓN Est. Actual
Sím. Leído
Est. Nuevo
1
a
1
1
b
2
* 2
b
2
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CONFIGURACIÓN DE UN AF: Una descripción instantánea de un AF requiere las siguientes especificaciones:
Estado actual del AF. Contenido que falta leer de la cinta de entrada. Este par constituye la CONFIGURACIÓN del AF y vamos a representar con el estado actual seguido de la secuencia de símbolos que faltan leer en la cinta de entrada: qkei...en De igual modo que en los modelos anteriores, una sucesión de configuraciones consecutivas se llama SECUENCIA DE CONFIGURACIÓN del AF. ING. JORGE BUABUD
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LENGUAJE ACEPTADO POR UN AF: Se define el lenguaje aceptado por un AF como el conjunto de palabras que partiendo de una configuración inicial, llegan a una configuración que contiene un estado final del AF y el total de la entrada leída. Formalmente se representa como: L(AF) = {w / w* q0w├─ * qF qF F } Por otro lado, todas las palabras que partiendo de una configuración inicial llegan a un estado no final o producen el bloqueo del modelo, dice que son rechazadas por el AF. ING. JORGE BUABUD
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EJEMPLO DE SECUENCIA DE CONFIGURACION: Consideremos el ejemplo de AF anterior y las palabras: w1 = aabbb , w2 = bb , w3 = aaa ,
w4 = baa
Las secuencias de configuración correspondientes serían: 1) 1aabbb ├─ 1abbb ├─ 1bbb ├─ 2bb ├─ 2b ├─ 2 final/acepta 2) 1bb ├─ 2b ├─ 2
final/acepta
3) 1aaa ├─ 1aa ├─ 1a ├─ 1 4) 1baa ├─ 2aa
no-final/rechaza
bloqueo/rechaza ING. JORGE BUABUD
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AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): En síntesis: Los AF son modelos abstractos capaces de aceptar LR. Un AF es un caso particular de MT con ciertas restricciones.
Un AF es Determinista (AFD) si para cada estímulo tiene solo una reacción posible, caso contrario es No-determinista. Por naturaleza estos modelos son DETERMINISTAS.
La función de transición tiene los siguientes dominio y rango
f: Qx Q ING. JORGE BUABUD
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AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): AUTÓMATA CONEXO: Un AFD se dice conexo cuando todos sus estados son accesibles desde el estado inicial. AUTÓMATA COMPLETO: Un AFD se dice completo cuando todos sus estados tienen transiciones con cada uno de los símbolos de entrada válidos. ESTADO SUMIDERO: Un estado se llama sumidero cuando no es final y transiciona con todos los símbolos de entrada a si mismo. Es un estado de rechazo. ESTADO GENERADOR: Un estado se llama generador cuando solo salen transiciones desde él. Solo es útil cuando es el inicial. ING. JORGE BUABUD
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AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD):
EJEMPLOS DE AFD:
AFD2
a
b
AFD1
1
a
a 2
3
a
4
Características: Conexo Incompleto Estado 1 generador
b
b
a
b
a
2
4
b a
b
3
a
1 5
a b
b
5
7
a
b
6
Características: No-conexo Completo Estado 5 generador Estado 6 sumidero
b,a
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AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD):
EJEMPLOS DE AFD:
AFD4
b
AFD3
1
a
2
b
b
a 2
3
a 5
a b
4
b Características: Conexo Completo Estado 4 sumidero
1
b a,b
b,a
a a
a 4
a 3
b 6
b a
5
b
Características: Conexo Completo Estado 1 generador Estado 4 sumidero ING. JORGE BUABUD
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AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): REPRESENTACIÓN MATRICIAL: Cuando tenemos un AF completo conviene representar su función de transición con una matriz cuyas columnas representan los símbolos de entrada AFD2 a b y sus filas los estados. AFD4 a b 1 1 2 AFD3
a
b
1
4
2
*2
7
2
1
2
1
*2
3
2
3
2
7
2
3
4
3
4
6
4
3
4
3
5
1
4
4
4
*5
4
7
4
4
4
*5
4
3
6
6
6
*5
2
4
*6
6
5
*7
6
7
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AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): ¿ CÓMO HACEMOS CONEXO A UN AF ? : Simplemente se elimina los estados inaccesibles y todas las transiciones que salen o llegan a ellos. Hay una correspondencia entre estos estados y los No-terminales inútiles de una GR. Por ejemplo, el AFD2 quedaría: AFD2 b AFD2
a
b
1
1
2
*2
7
2
6
6
6
*7
6
7
b
a a
b 1
7
a
2
b,a
6
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LENGUAJES REGULARES Y AUTÓMATAS FINITOS
AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD): ¿ CÓMO COMPLETAMOS UN AF ? : Si el AF tiene un estado sumidero o algún estado sin transiciones, enviamos todas las transiciones faltantes hacia ese estado. Caso contrario agregamos un estado sumidero nuevo y procedemos igual. Por ejemplo, el AFD1 quedaría: AFD1 b AFD1
a
b
1
2
6
2
3
4
3
5
3
4
6
5
*5
2
6
6
6
6
1
b
2 6
a,b
a
a a
3
a 5
a b
4
b b
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LENGUAJES REGULARES Y AUTÓMATAS FINITOS
AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD):
Ejemplos de AFD para ER sencillas: Lenguaje sobre ={a,b,c} de secuencias de “a,b” con prefijo “a,b,c” y con sufijo “c” más secuencias de “a”:
Lenguaje sobre ={a,b} de secuencias de “a” con prefijo “ab” y sufijo “ba”:
ER = (a+b+c).(a+b)*.c.a* a, b
ER = a.b.a*.b.a a
a
1
AFD5
a, b, c
2
a, b, c
c
3
a, b
4
AFD6
a4
a
b
b
2
b, c
b
3
b 1
a
a, b
a
5
6 ING. JORGE BUABUD
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LENGUAJES REGULARES Y AUTÓMATAS FINITOS
AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (AFD):
Ejemplos de AFD para ER sencillas: Lenguaje de secuencias pares y sobre ={a, b, c}:
Lenguaje de secuencias con prefijo “a” y sufijo “b” sobre ={a, b}:
ER = ((a+b+c).(a+b+c))*
ER = a.(a+b)*.b a
b
a, b, c a
1 1
a, b, c
2
a, b, c
3
b 3
AFD7
b
2
AFD8
a,b
4
a
ING. JORGE BUABUD