Polinomis by Jesús Carilla

POLINOMIS

Polinomis.

I. EXPRESSIONS ALGÈBRIQUES I POLINOMIS.

Una expressió algèbrica és un conjunt de nombres i lletres units per mitjà d'operacions matemàtiques. Monomi és una expressió algebraica on només hi ha productes. La part literal d'un monomi la formen les lletres. Grau del monomi és la suma d'exponents de la part literal. Coeficient d'un monomi és el nombre que multiplica la part literal. Valor numèric d'un monomi és el nombre obtingut quan substituïm cada lletra per un valor concret. Un polinomi és una expressió del tipus: p(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + . . . . + a2 x2 + a1 x + a0 La lletra que es repeteix en un polinomi s'anomena indeterminada. Normalment es fa servir la x, però pot substituir-se per una altra lletra. Anomenem termes d'un polinomi els diferents sumands que formen el polinomi. Els coeficients d'un polinomi són els diferents números reals que acompanyen la indeterminada. Terme independent és el sumand que no porta la indeterminada. És equivalent a dir que és el coeficient que multiplica x0. Grau d'un polinomi és l'exponent més alt de la indeterminada. Els polinomis amb un nombre petit de termes s'anomenen: -monomi, si només té un terme; -binomi, si té 2 termes; -trinomi,si té 3 termes. Els polinomis es representen per expressions del tipus: p(x), q(x), A(x), .... 54

3er E.S.O.

Polinomis.

Valor numèric d'un polinomi és el nombre obtingut quan substituïm la indeterminada per un valor concret. Si en un polinomi p(x) donem a la x el valor a, representem el valor numèric del polinomi per p(a).

3er E.S.O.

Polinomis.

II. SUMA, RESTA I PRODUCTE DE POLINOMIS. 1.1.- Troba el valor numèric de cada polinomi, per al valor indicat de la indeterminada: a) p(x) = x5 - 3x4 + 2x2 - 4x -3

quan x = 2

b) q(x) = - x4 + 2x3 - 4x2 - 5x + 1 c) r(x) = - x3 - 2x2 - x - 4

quan x = - 1

quan x = - 2

1.2.- Sigui p(x) = x 2 - 2x -3. Troba els números pels quals el valor numèric del polinomi és: a) - 3 b) 0 c) 5 1.3.- Troba el valor numèric de cada polinomi, per al valor indicat de la indeterminada: a) p(x) = x3 - 3x2 - 2x - 3

quan x = - 2

b) q(x) = - x5 + 2x4 - 4x3 - 3x2 + x - 1 c) r(x) = x4 - 3x2 - 5x

quan x = - 1

quan x = 3

1.4.- Sigui p(x) = x 2 - 3x + 5. Troba els números pels quals el valor numèric del polinomi és: a) 3

b) 9

c) 5

1.5.- Sigui p(x) = x 2 - 3x + 1. Troba els números pels quals el valor numèric del polinomi és: a) - 1 b) 1 c) 11

Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal. Dos monomis es poden sumar si són semblants i l'operació es realitza treient factor comú. Si no són semblants, la suma queda indicada. Per sumar polinomis es sumen els termes que siguin semblants. Per restar dos polinomis es canvia de signe el subtrahend i es suma normalment. Per multiplicar dos monomis s'aplica successivament la propietat commutativa i associativa. 56

3er E.S.O.

Polinomis.

Per multiplicar dos polinomis p(x) i q(x), es multiplica cada monomi de p(x) per tots els monomis de q(x) i es redueix el polinomi resultant, és a dir, es sumen algèbricament els termes amb el mateix grau.

3er E.S.O.

Polinomis.

III. DIVISIÓ DE POLINOMIS. 2.1.- Donats els polinomis: p(x) = x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1

q(x) = 3x4 - 2x3 + 2x

r(x) = - x4 + 2x3 - 3x - 2

Calcula: a) p(x) + q(x)

b) p(x) - r(x)

c) q(x) - r(x)

2.2.- Donats els polinomis: p(x) = - 7x4 + 6x3 + 3x2 + 3x + 5

q(x) = 3x5 - 2x2 + 2

r(x) = - x5 + x3 + 3x2

Calcula: a) p(x) + q(x)

b) p(x) - r(x)

c) p(x) · r(x)

q(x) = x2 - 2x - 5

r(x) = - x2 + x - 3

b) p(x) · r(x)

c) q(x) · r(x)

2.3.- Donats els polinomis: p(x) = 3x2 - x + 2 Calcula: a) p(x) · q(x)

2.5.- Efectua el següent producte: ( 2x4 - 3x3 + x2 - 5x + 1 ) ( x5 - 3x3 + 2x2 - x - 5 ) 2.6.- Efectua el següent producte: ( x5 - 2x3 + 3x2 - 4x + 5 ) ( x5 - 2x3 - x2 + 4x - 3 )

DIVISIÓ DE MONOMIS. Per dividir dos monomis es divideixen per separat els coeficients i les parts literals. Per tal que el resultat sigui un polinomi es requereix que el grau del dividend sigui més gran o igual que el grau del divisor.

DIVISIÓ D'UN POLINOMI ENTRE UN MONOMI. 58

3er E.S.O.

Polinomis.

Per dividir un polinomi p(x) entre un monomi, es divideix cada monomi de p(x) entre el monomi. Aquesta divisió només es pot fer fins arribar al terme que té el mateix grau que el monomi. Els termes amb un grau més petit que el monomi queden com a residu de la divisió.

DIVISIÓ DE POLINOMIS. Efectuar la divisió entre D(x), o dividend, i d(x), o divisor, és trobar q(x), o quocient, i r(x), o residu, que acompleixen la següent expressió: D(x) = d(x) · q(x) + r(x) El residu, r(x), sempre té un grau més petit que el divisor, d(x).

3er E.S.O.

Polinomis.

IV. OPERACIONS COMBINADES. PRIORITAT. 3.1.- Fes les següents divisions de polinomis: a) ( 9x3 + 3x2 - x + 1 ) : ( 3x - 1 )

b) ( 2x4 - 6x3 + 3x2 - 3x -1 ) : ( x2 - 3x - 1 )

3.2.- Fes les següents divisions de polinomis i aplica la prova de la divisió per comprovar que han estat ben resoltes. a) ( 7x5 - 5x3 - x + 1 ) : ( x3 - 1 )

b) ( x5 - 6x3 - 5x2 + 6x + 2 ) : ( x3 + 2x - 3 )

3.3.- Fes les següents divisions de polinomis: a) ( x6 - 3x2 + 8 ) : ( x3 - 2x )

b) ( x3 - 2x2 - 1 ) : ( 2x2 - 3 )

3.4.- Fes les següents divisions de polinomis i aplica la prova de la divisió per comprovar que han estat ben resoltes. a) ( 2x4 - 3x3 - 2x + 1 ) : ( x - 2 )

b) ( x5 - x3 - 3x2 + 2 ) : ( x + 3 )

3.5.- Fes les següents divisions de polinomis i aplica la prova de la divisió per comprovar que han estat ben resoltes. a) ( x4 - x ) : ( x2 - 3 )

b) ( x5 - 3x2 + 5 ) : ( x2 + 2x )

3.6.- Fes les següents divisions de polinomis i aplica la prova de la divisió per comprovar que han estat ben resoltes. a) ( x4 - 2x3 - 4x + 5 ) : ( x2 - 2x + 3 )

b) ( x5 - 2x3 - 5x2 + 2 ) : ( x2 + x - 3 )

Quan tenim una expressió amb diferents operacions entre polinomis, el criteri de prioritat és el mateix que en les operacions entre números: 1) Parèntesis i claudàtors. 2) Potències. 3) Multiplicacions i divisions. 60

3er E.S.O.

Polinomis.

4) Sumes i restes.

3er E.S.O.

Polinomis.

[ ( 3x3 + x2 - 2x + 1 ) - ( x2 - 3x - 5 ) ] · ( x3 + 2 )

4.1.- Efectua la següent operació 4.2.- Sigui

p(x) = x3 + 3x2 - 2x + 2 , q(x) = - 2x2 + 4x - 3 ,

r(x) = x3 - 5x + 1 , s(x) = x - 2

Calcula: b) [ r(x) + q(x) ] : s(x)

a) p(x) · q(x) - r(x)

d) r(x) + q(x) · s(x)

4.3.- Donats els polinomis: A(x) = 2x3 - x2 + 2

B(x) = x4 - 2x2 + 2x + 1

C(x) = x2 - 3x

calcula: a) A(x) - [B(x) + C(x)]

b) [B(x) - 3x] . [A(x) + C(x)]

4.4.- Essent: A(x) = x2 - 3x + 2

c) A(x) - B(x) : C(x)

B(x) = 2x2 + 4x - 3

calcula: a) [A(x)]2 - [B(x)]2

b) [A(x) + B(x)] · [A(x) - B(x)]

Compara els dos resultats. A quina identitat coneguda respon? 4.5.- Essent p(x) = x2 -3x + 1 ,

troba [p(x)]3

4.6.- Troba p(x), sabent que A(x) - p(x) + B(x) = C(x ), essent: A(x) = 3x5 - 2x3 - 7x + 10 4.7.- Essent: A(x) = x3 + 2

B(x) = x4 - 7x3 - 10x + 15 B(x) = x2 + 3

C(x) = 6x3 + 7x + 1

i C(x) = x + 1

calcula: a) A(x) · [B(x) + C(x)]

b) A(x) · B(x) + A(x) · C(x)

c) [A(x)]3

4.8.- Sigui p(x) = x3 - x2 + 3x - 2 , q(x) = 2x3 - 3x - 4 , 62

r(x) = - x2 - 2x + 4 , s(x) = x + 1 3er E.S.O.

Polinomis.

V. REGLA DE RUFFINI I TEOREMA DEL RESIDU.

Calcula: a) p(x) · r(x) - s(x)

c) [ p(x) + q(x) ] : s(x)

b) p(x) : r(x)

Per efectuar una divisió p(x) entre x - a es pot procedir de la manera habitual o bé aplicar l'anomenada regla de Ruffini. Aquest procediment es pot aplicar sempre que el divisor sigui de la forma x - a. Si p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + . . . + a2x2 + a1x1 + a0 es fa: an a

an-1 a · bn-1

bn-1

bn-2

an-2

a · bn-2 bn-3

a1 a · b1

a0 a · b0

El quocient és C(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + bn-3xn-3 + . . . + b2x2 + b1x1 + b0 I el residu r

El teorema del residu afirma que el residu de dividir p(x) entre ( x - a ) coincideix amb el valor numèric de p(x) per x = a ( p(a) ) p(x)

x-a c(x) p(a) = r

3er E.S.O.

Polinomis.

5.1.- Calcula el quocient i el residu de les següents divisions aplicant la regla de Ruffini a) ( x5 - 3x3 + 5x2 + 3 ) : ( x + 2 )

b ) ( x4 + 3x3 - 6x - 5 ) : ( x - 1 )

5.2.- Aplicant la regla de Ruffini, efectua les següents divisions: a) ( x5 - 2x4 + x3 - 3x2 + 4x + 5 ) : ( x - 2 ) b) ( x4 - 3x2 + 2 ) : ( x - 3 ) c) ( x4 - 2x3 + 3x2 - 1 ) : ( x + 2 ) 5.3.- Aplicant la regla de Ruffini, efectua les següents divisions: a) ( x3 + 2x + 75 ) : ( x + 4 ) b) ( x5 + 1 ) : ( x - 3 )

c) ( y4 - 2y2 + 3 ) : ( y + 3 )

5.4.- Calcula el residu de les següents divisions, sense fer-les: a) ( 2x4 + 5x3 + 3x2 - 2x + 1 ) : ( x + 1 )

b) ( x4 - 2x2 - 3x - 1 ) : ( x - 2 )

5.5.- Aplicant la regla de Ruffini, efectua les següents divisions: a) ( x10 - x5 + 1 ) : ( x - 1 )

b) ( x 4 - 1 ) : ( x - 5 )

5.6.- Calcula el residu de les següents divisions, sense fer-les: a) ( x4 + 1 ) : ( x-1)

b) ( x4 - 1 ) : ( x-1 )

c) ( x3 + 6x - 5 ) : ( x - 5 )

5.7.- Fes les següents divisions, aplicant la regla de Ruffini: a) ( 5x4 - 3x3 - 4x2 + 6x -1 ) : ( x - 2 ) b) ( 6x3 - 2x + x4 + 15 - 6x2 ) : ( x + 3 ) 1 2

2 3

5 6

2 3

 

c)  x 6 + x 5 − 3x 4 − x 3 + x + 4  : ( x − 2)

5.8.- Calcula el residu de les següents divisions, sense fer-les:

3er E.S.O.

Polinomis.

VI. ARRELS D'UN POLINOMI. a) (x5 + 1) : (x + 3) 4)

b) (x123 - x14 + x - 1) : (x - 1)

c) (9x 3 - 3x2 - 9x + 12) : (x -

5.9.- Fes les següents divisions, aplicant la regla de Ruffini i aplica la prova de la divisió per comprovar que han estat ben resoltes. a) ( x4 + 5x3 + 3x2 - 4x + 3 ) : ( x + 2 )

b) (2x3 - 17x - 3 ) : ( x - 3 )

5.10.-Calcula el residu de les següents divisions, sense fer-les: a) ( x4 - 3x3 - 3x2 - x + 4 ) : ( x - 3 )

b) ( x4 + 2x3 - 5x - 6 ) : ( x + 2 )

5.11.-Indica quins dels següents polinomis són divisibles per x + 1 : a) ( x5 + 1 )

b) ( x122 - x14 - x - 1 )

c) ( x3 - x2 + x + 1 )

5.12.-Indica quins dels següents polinomis són divisibles per x - 2 : a) ( x3 -x2 - 4 )

b) ( x4 - 3x3 + x - 6 )

c) ( x3 - x2 + x - 6 )

Un número a és una arrel o un zero d'un polinomi p(x) si es compleix que p(a)=0. Teorema: tota arrel entera d'un polinomi divideix al terme independent. Per trobar totes les arrels d'un polinomi seguirem les següents etapes: a) Apliquem el teorema del residu per trobar una primera arrel, provant només amb els divisors del terme independent del polinomi i començant pels valors enters més senzills, positius i negatius: +1, -1, etc. b) Quan hem trobat l'arrel a, dividim per Ruffini el polinomi entre ( x - a ). c) Al polinomi quocient de l'etapa anterior busquem una altra arrel entre els divisors del nou terme independent, tenint en compte que pot repetir-se una arrel ja trobada. d) Repetim el procés a partir de l'etapa b), fins que ja no trobem cap valor que anul.li el polinomi.En aquest moment hem trobat totes les arrels del polinomi. 3er E.S.O.

Polinomis.

VII. DESCOMPOSICIÓ D'UN POLINOMI. 6.1.- Troba les arrels o zeros dels següents polinomis: a) 2x2 - 5x + 3

b) 7x - 3

c) x2 - 5

d) x4 - 5x2 + 4

6.2.- Troba les arrels o zeros dels següents polinomis: a) x4 + 3x3 - 3x2 - 11x - 6

b) x4 + 4x3 + 5x2 + 8x + 6

c) x3 + 6x2 + 12x + 8

6.3.- Troba les arrels o zeros dels següents polinomis: a) x5 + 5x3 + 7x2 - 1

b) x4 + x3 - 7x2 - x + 6

c) x3 + 2x2 - 5x - 6

6.4.- Troba les arrels o zeros dels següents polinomis: a) x4 - 5x3 + 4x2 + 10x - 12

b) x4 - x3 - 2x2

c) 3x3 - 9x2 + 9x - 3

6.5.- Troba les arrels o zeros dels següents polinomis: a) x5 - 6x4 + 10x3 - 6x2 + 9x

b) 2x3 + 7x2 + 2x - 3

c) x4 - 2x3 - 6x - 9

6.6.- Troba les arrels o zeros dels següents polinomis: a) 2x5 - x4 - 5x3 - 2x2

b) 6x4 + 5x3 - 12x2 + 4x

c) x3 - x2 - 5x - 3

6.7.- Troba les arrels o zeros dels següents polinomis: a) 6x4 + 7x3 - 3x2 - 3x + 1

b) x4 - 4x3 - x2 + 20x - 20

Descompondre un polinomi p(x) en factors significa escriure aquest polinomi com a producte de polinomis irreductibles. Per descompondre un polinomi, buscarem les diferents arrels o zeros del polinomi, a1, a2, a3,.....,an, i després escriurem: 66

3er E.S.O.

Polinomis.

p(x) = (x-a 1).(x-a2).(x-a3)....(x-an).c(x) on c(x) representa el polinomi que ens queda quan ja no podem trobar cap arrel més.

3er E.S.O.

Polinomis.

7.1.- Descompon els següents polinomis: a) x4 + 3x3 - 3x2 - 11x - 6

b) x4 + 4x3 + 5x2 + 8x + 6

c) x3 + 6x2 + 12x + 8

7.2.- Descompon els següents polinomis: a) 2x5 - x4 - 5x3 - 2x2

b) 6x4 + 5x3 - 12x2 + 4x

c) x3 - x2 - 5x - 3

7.3.- Descompon els següents polinomis: a) x4 - 5x3 + 4x2 + 10x - 12

b) x4 - x3 - 2x2

7.4.- Simplifica la següent fracció polinòmica:

c) 3x3 - 9x2 + 9x - 3

x 4 − x 3 − 2x 2 x 3 − 4 x 2 + 4x

7.5.- Descompon aquests dos polinomis en factors i després escriu el seu MCD i el MCM. p(x) = 2x3 + 2x2 - 10x + 6

q(x) = x4 - 6x2 + 8x - 3

7.6.- Simplifica les següents fraccions polinòmiques: a)

x 3 − 3x 2 − x + 3 x 3 − 7x − 6

x2 − 4 x 3 + x 2 − 4x − 4

x 4 − 16 x 3 − 2x 2 + 4x − 8

7.7.- Descompon els següents polinomis: a) x3 -3x2 - 9x - 5

b) x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8

c) 2x3 - 2x2 - 10x - 6

d) x4 - 4x3 - x + 4

7.8.- Troba el MCD i el MCM de cada grup de polinomis: a) x3 - 3x - 2

x3 - x2 - 5x - 3

b) x4 + 4x3 + 3x2 - 4x - 4

c) x3 - 3x2 + 3x - 1

x3 + x2 - x -1

x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4

3er E.S.O.

Polinomis.

VIII. FRACCIONS POLINÒMIQUES.

x 4 + 7x 3 + 12x 2 − 4x − 16 x 3 + 7x 2 + 14x + 8

7.9.- Simplifica la fracció polinòmica:

7.10.-Troba el MCD i el MCM de cada grup de polinomis: a) x3 - 2x2 - 13x - 10

x3 - 3x2 - 9x - 5

b) x3 + 8x2 + 17x + 10

7.11.-Simplifica la fracció polinòmica:

x3 + 3x2 - 4

x 3 + x 2 − 9x − 9 x 3 − 3x 2 − x + 3

7.12.-Descompon els següents polinomis: a) 6x4 + 7x3 - 3x2 - 3x + 1

b) x4 - 4x3 - x2 + 20x - 20

MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE FRACCIONS. a) Per multiplicar fraccions polinòmiques, s'agrupen els numeradors en un sol numerador, deixant indicada la multiplicació. Al denominador es fa el mateix. Després, es simplifiquen els factors comuns al numerador i al denominador. b) Per dividir dues fraccions polinòmiques, es col.loca al numerador el producte del numerador de la primera fracció i el denominador de la segona. Al denominador, es col.loca el producte del denominador de la primera fracció i el numerador de la segona. Finalment, es fa la simplificació dels factors comuns al numerador i al denominador. SUMA I RESTA DE FRACCIONS. Per resoldre una suma o resta de fraccions polinòmiques, es fan les següents etapes: a) Descomposem els denominadors en factors. b) Trobem el denominador comú, que és el MCM dels denominadors.

3er E.S.O.

Polinomis.

c) Dividim el denominador comú per cada denominador, multiplicant el resultat pel numerador corresponent i col.locant el resultat en un únic numerador, amb la precaució de respectar el signe que cada fracció portava al davant. d) Es resolen les operacions del numerador, obtenint un sol polinomi. e) Si el numerador es pot descompondre en factors, es fa i després es simplifiquen els factors comuns al numerador i al denominador.

3er E.S.O.

Polinomis.

8.1.- Fes la següent operació i simplifica el resultat:

2x − 1 1 − x −x−6 x+ 2 2

x 2 + 3x + 2 x 2 + 5x + 6 8.2.- Resol l'operació i dóna simplificat el resultat: 3 ⋅ x + 6x 2 + 12x + 8 x 2 + 4x + 3 8.3.- Fes les següents operacions entre fraccions polinòmiques, simplificant al màxim: a)

x 2 − 4x + 4 x + 2 ⋅ x− 2 x2 − 4

x3 − 1 x2 + x + 1 ÷ x 2 − 1 x 2 + 2x + 1

x 3 − 7x − 6 x− 3 c) ⋅ 3 x− 2 x + x 2 − 9x − 9 8.4.- Resol les següents operacions entre fraccions polinòmiques, deixant el resultat simplificat al màxim: a)

1 1 − 3 x + 6x + 5x − 12 2x + 7x 2 − 9

x− 2 x−1 − 3 2 x − 2x − 13x − 10 x − 7x − 6

8.5.- Fes les següents operacions entre fraccions polinòmiques, simplificant al màxim:

1 x x2 − x + 3 + − x−1 x+1 x2 − 1 8.6.- Fes les següents operacions entre fraccions polinòmiques, simplificant al màxim:

x 2 − 5x + 2 x 3x − 2 + − 2 x−1 x x −x 8.7.- Efectua l'operació entre fraccions, simplificant al màxim:

x 2 − x + 3 x + 1 3x − 1 + − x 2 + 3x + 2 x + 1 x + 2 3er E.S.O.

Polinomis.

8.8.- Efectua l'operació entre fraccions, simplificant al màxim:

x3 − 2 x + 1 3x 2 − 2 − − x 3 + 3x 2 x + 3 x2

3er E.S.O.

Polinomis.

IX. EXERCICIS DE RECAPITULACIÓ.

9.1.- Sigui p(x) = x3 - x2 + 3x + 4 , q(x) = 2x2 - 3x - 5 ,

r(x) = x2 - 2x + 3 , s(x) = x - 3

Calcula: a) p(x) · q(x) + s(x)

b) p(x) : s(x)

c) p(x) : r(x)

d) r(x) + q(x) · s(x)

9.2.- Aplicant la regla de Ruffini, efectua les següents divisions: b) ( x 5 - x2 ) : ( x - 2)

a) ( x9 - x8 + x7 + 1 ) : ( x + 1 ) 9.3.- Calcula el residu de les següents divisions, sense fer-les: a) ( 2x5 - x4 + 3x3 - 3x + 1 ) : ( x + 2 )

b) ( x6 - 2x3 - 3x2 - x ) : ( x - 1 )

9.4.- Descompon els següents polinomis: a) 3x5 + 2x4 - 7x3 + 2x2

9.5.- Essent: A(x) = x4 + x3 - 2

b) x4 - 2x3 - 6x - 9

B(x) = x2 + 3x - 5

i C(x) = x + 2

calcula: a) A(x) : [B(x) + C(x)]

b) A(x) + B(x) · C(x)

9.6.- Efectua l'operació, simplificant al màxim:

c) [A(x)]2 - B(x)

x2 − x − 2 x2 + x − 6 ⋅ x 2 + 3x x 2 − 3x + 2

9.7.- Descompon els següents polinomis: a) x4 - 2x3 - 3x2 + 4x + 4

b) x5 - x4 - 5x3 + 5x2 + 6x -6

9.8.- Calcula el residu de les següents divisions, sense fer-les: 3er E.S.O.

Polinomis.

a) ( - 2x3 + x2 - x + 3 ) : ( x + 3 )

b) ( x4 - x3 - 5x - 2 ) : ( x - 2 )

9.10.-Efectua l'operació i simplifica: 2x + 3 3x − 1 3 − 2 + 2 x + 2x x − 4 x + 2 9.11.-Simplifica la fracció:

x 3 − x 2 − 9x + 9 x 3 + 3x 2 − x − 3 9.12.-Efectua l'operació i simplifica:

4x − 5 x 2 − 2x − 3 2 + 2 − 2 x − 1 x − 2x + 1 x − 1

3er E.S.O.