Funciones

FUNCIONES INTRODUCCIÓN El concepto de función es de vital importancia en el estudio explicación, análisis y descripción de diversos fenómenos del ámbito técnico, tecnológico, científico social, ambiental, entre otros. Vista en términos generales, una función es un tipo especial de asociación entre dos conjuntos de objetos elementos. En la presente unidad didáctica centraremos nuestro estudio en las funciones reales, más específicamente en funciones que asocian un número real con otro número real, prestaremos especial atención al análisis de los conjuntos de valores que pueden tomar las variables involucradas.

CONCEPTO DE FUNCIONES En el estudio de la asignatura Lógica Matemática tuvimos un acercamiento al estudio de funciones, en esta oportunidad nos concentraremos en estudiar el caso concreto de funciones de una variable real, que al evaluarse dan como resultado número real.

Recordando conceptos previos tenemos que dados dos conjuntos de números reales, una función es una regla que asocia a cada número real del conjunto , uno y sólo un número real perteneciente al conjunto Al conjunto se le llama dominio de la función, lo cual corresponde al conjunto de todos los valores que puede tomar la variable al conjunto se le llama codominio de la función. La notación empleada en la formalización del concepto de función es la siguiente:

En lo anterior se resalta el hecho que a un número de le corresponde un número de Con se indica que el valor de se halla a partir de una expresión o fórmula, dada en términos de . Si una función asocia con , es usual decir que o lo que es lo mismo es la imagen de bajo la función también se dice que la pareja ordenada pertenece a la función. Otros términos utilizados son variable independiente para referirse a y variable dependiente para referirse a Ejemplo:

La expresión anterior indica que la regla asocia a un número del conjunto otro número del conjunto la regla es tal que cada número se asocia con el doble del mismo. Así, por ejemplo, se asocia con , con lo cual podemos decir que la imagen de 2 bajo la función es y que la pareja ordenada pertenece a la función. En el concepto de función es importante destacar que un elemento del dominio debe estar asociado exactamente con un elemento del condominio.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÒN La formula o expresión utilizada para definir una función es su representación algebraica, otra forma de representar una función es gráficamente, la cual corresponde al trazado que resulta al ubicar en un plano cartesiano las parejas ordenadas pertenecientes a la función.

En el caso de funciones definidas sobre intervalos de números reales resulta imposible hallar todas las parejas ordenadas que pertenecen a la función, lo usual en muchos casos es hallar un conjunto de parejas, a partir de la representación algebraica, con lo cual podemos formarnos una idea del comportamiento gráfico de la función y realizar la interpolación que nos dé la representación gráfica, sin embargo, en el caso de muchas funciones, cuya representación algebraica tiene cierto nivel de complejidad, se debe tener el cuidado de no realizar incorrectas interpolaciones, en estos casos el trazado de la curva se lleva a cabo más acertadamente mediante el uso de principios basados en cálculo diferencial, tal como veremos en una unidad posterior.

A continuación se muestra las gráficas de las funciones y . El estudiante puede verificar que efectivamente estas son las representaciones correspondientes.

MÁXIMO DOMINIO DE UNA FUNCIÓN En los ejemplos anteriores ( ), la representación algebraica permite ver fácilmente que la variable puede tomar cualquier valor real, en este caso se puede afirmar que el máximo dominio de la función es el conjunto de los números reales; en muchos casos la expresión algebraica que define la función es tal que existen restricciones para los valores que puede tomar la variable, por ejemplo no se permite valores de la variable que hagan que el denominador de una función racional sea cero, tampoco están permitidos valores que hagan que los radicandos de raíces de índice par sean negativos.

ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES A continuación se presenta ejemplos de funciones, que por su representación algebraica resultan relativamente fáciles de analizar, se presenta también argumentos que permiten especificar el correspondiente dominio.

Función constante: Es la función definida mediante: El máximo dominio es el conjunto de los números reales. (la expresión

significa para todo

Función identidad: Es la función definida mediante: El máximo dominio es el conjunto de los números reales.

Función potencia: Es la función definida mediante: El dominio de esta función es el conjunto de los números reales, funciones de este tipo son las funciones de segundo y tercer grado. Ejemplos de ellas y su respectiva representación gráfica se muestran a continuación:

Función polinómica de grado n: Es la función definida mediante:

En estos casos, para cualquier número real es posible calcular el valor de por tanto el dominio de este tipo de funciones es el conjunto de los números reales. A continuación se presenta algunos ejemplos con sus respectiva representación gráfica.

Función raíz cuadrada: Es la función definida mediante: El máximo dominio es el conjunto de los números reales no negativos.

ALGEBRA DE FUNCIONES En diversas situaciones nos encontramos con la necesidad de realizar operaciones entre funciones. Este apartado trata sobre el algebra de funciones tomando en cuenta el dominio de la función resultante.

Dadas dos funciones:

Definimos las siguientes operaciones entre ellas:

Suma: Diferencia: Producto: Cociente:

El cálculo de tiene sentido en la medida en que el valor de la variable sobre el cual se evalúa cada operación pertenezca al dominio de las dos funciones, agregando además que en el caso de , se requiere valores de para los cuales con base en lo anterior tenemos:

Ejemplos: Al considerar las funciones:

resultados de las operaciones y sus respectivos dominios.

podemos hallar los

=

=

Las operaciones Las operaciones entre funciones nos permiten el tratamiento de otros ejemplos de funciones, a continuación presentamos algunos ejemplos así como el análisis de su dominio.

Composición de funciones: Dadas dos funciones:

La función compuesta función es decir,

es la generada al aplicar a la función

Tomando como ejemplo las funciones

=

el resultado dado por la

:

=

Función racional: Es toda función definida mediante el cociente de dos expresiones polinómicas, un caso particular es:

El dominio de de cero, es decir,

es el conjunto de los números reales para los cuales el denominador es distinto

Función radical de índice impar: Son ejemplos de funciones que resultan de la composición de otras funciones, muestra de ellas es son: a) Dado que a cualquier número real se le puede calcular la raiza cùbica, se tiene que el dominio de la función es :

b) Las restricciones del dominio en este caso se refieren a la no nulidad del denominador, por tanto tenemos que el dominio de la función es:

Función radical de índice par: También resulta de composición de funciones, el análisis del dominio se fundamenta en el hecho que en el conjunto de números reales no es posible hallar raíces de índice par a cantidades negativas. A continuación presentamos casos particulares: a) El dominio de la función corresponde al conjunto de todos números reales para los cuales es una cantidad no negativa, es decir:

El estudio de soluciones de inecuaciones tratadas en la asignatura de Fundamentos Matem谩ticos nos lleva a plantear que el dominio de la funci贸n es:

b) Se require que dado por:

sea no negativo y que

no sea cero, por tanto el dominio viene

c) La exigencia en este caso es:

, por tanto

d) Se requiere que La soluci贸n de la correspondiente inecuaci贸n nos da como dominio de

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Función exponencial: Dado un número real y un número real , se define la función exponencial de base como:

Como puede elevarse a cualquier exponente real, el dominio de la función es el conjunto de los reales.

Podemos definir funciones compuestas a partir de la función exponencial, tal como se define a continuación:

Funciòn expionencial de base el número o número de Euler, es un número muy importante en la matemática, es un número irracional cuyo valor aproximado, a 10 cifras decimales, es 2,7182818284. Su importancia radica en el hecho de que surge en la formulación matemática de diversos procesos naturales, por ejemplo la desintegración de átomos radioactivos.

La función exponencial de base

se define entonces como:

Función logarítmica: Dado un número real y un número real el logaritmo de en base es el número para el cual , con base en ello definimos la función logaritmo de la siguiente forma:

El dominio de la función mayores que cero.

es el conjunto de los números reales positivos, es decir, los

Si tenemos una composición como:

Se tiene que el dominio de es conjunto de valores de ejemplo tenemos la siguiente función:

para los cuales

. A manera de

El dominio de la funciรณn es el conjunto de valores que satisface:

Funciรณn logaritmo natural: asociada a la funciรณn exponencial de base logaritmo natural, definida y simbolizada de la siguiente forma: o de forma mรกs general,

es decir:

se tiene la funciรณn