LIMITE DE UNA FUNCIÓN
INTRODUCCIÓN Considerando una función con frecuencia se nos pregunta sobre el límite de la función cuando tiende a algún valor . Cierto error que se suele cometer es confundir el valor del límite con el valor de la función en La idea intuitiva de limite se refiere realmente es: “¿A qué valor se aproxima la función cuando la variable independiente se acerca a Si bien es cierto que la evaluación de la función es un procedimiento muy útil en la evaluación del límite, se debe tener cuidado de no confundir sus significados, principalmente en los casos en que la función no está definida en pero sí está definida para valores muy próximos. Esta unidad trata sobre el cálculo de límite de una función desde una perspectiva intuitiva de su concepto y valiéndose de procedimientos algebraicos estudiados en la asignatura Fundamentos matemáticos.
Introducción al concepto de límite de una función. Consideremos la función y analicemos su comportamiento para algunos valores de x cercano a x = 3, para ello complete la siguiente representación tabular de la función: X
f(x)
2.9 2.99 2.999 a) ¿A qué valor se acercan los valores de la función a medida que x se aproxima a 3 por la izquierda, es decir, tomando valores más cercanos a 3 pero menores que 3?
X
f(x)
3.1 3.01 3.001 b) ¿A qué valor se acercan los valores de la función a medida que x se aproxima a 3 por la derecha? Muy seguramente las respuestas a los interrogantes anteriores es 10, lo cual podemos ir asociando a la idea de límite de la función cuando x tiende a 3. En estos casos se nos ha pedido calcular valores de la función para valores de x tan cercanos a 3 como se quiera, no se nos ha pedido hallar el valor de la función en x = 3. Para continuar nuestra aproximación a la idea intuitiva del límite de una función tomemos en consideración los siguientes ejemplos desde una perspectiva gráfica:
La representación gráfica nos muestra, que a medida que la variable x toma valores más cercanos a , la función toma valores más cercanos a . Esto corresponde a la idea de que tiende a 3 cuando tiende a 2.
b) Como en este caso la variable independiente no puede tomar el valor de , el dominio de la función es – , en la representación gráfica esto se refleja mediante el no trazado de un punto con coordenada , sin embargo, puede tomar valores tan cercanos a como se quiera, en cuyo caso se observa nuevamente que la función toma valores más cercanos a 3. Esto refuerza la idea de que el cálculo de límite cuando x tiende a algún valor dado, no es exactamente la evaluación de la función en dicho valor.
Con lo anterior podemos concluir que el límite de cuando tiende a al valor al cual más se acerca la función a medida que se acerca a existe debe ser único.
corresponde si tal valor
En muchas situaciones como la que se ilustra gráficamente a continuación, el límite de la función no existe. En este caso notamos que cuando x se acerca a 1 por la izquierda, la función se acerca al valor 3, mientras que si x se acerca a 1 por la derecha, la función se acerca a 4, es decir no hay un valor definido al cual se acerque la función.
De manera informal el límite se define de la forma siguiente: Se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:
si siempre que se evalúe la función en un valor tan cercano a c como se quiera, se puede hallar un valor de la función tan cercano a L como se quiera. Aunque el cálculo del límite no corresponde a la evaluación de la función en x = c, la evaluación de la función en x = c, cuando es posible, puede resultar de mucha utilidad a la hora de calcular el límite.
Límites notables. Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes los cuales proveen resultados muy interesantes. El estudiante podría consultar sobre otras formulas notables involucradas en el cálculo de límite.
Teoremas y propiedades asociadas al cálculo de límite. A continuación presentamos algunas de las propiedades fundamentales muy útiles en el cálculo de límites para ilustrar su aplicabilidad se presenta un ejemplo en cada caso:
Indeterminaciones Son frecuentes las expresiones no definidas que resultan al intentar calcular límites mediante la evaluación directa de la función en x = c, alguna son las siguientes:
A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que no hay claridad sobre cuál puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de las expresiones anteriores, el resultado pudiese ser 0, 1 o infinito. En algunos casos, las expresiones que dan origen a las indeterminaciones pueden tratarse algebraicamente mediante factorización o racionalización para obtener el valor del límite. Por ejemplo, si en la función límite mediante evaluación de indeterminación
intentamos realizar el cálculo de obtenemos como resultado la forma de
, pero en la representación gráfica observamos que:
Lo cual puede obtenerse mediante:
=
–
Otros ejemplos son los siguientes:
.
Aprovechando los principios y procedimientos algebraicos estudiados en la asignatura Fundamentos Matemáticos, presentamos a continuación un conjunto de ejercicios resueltos de cálculo de límites: a)
La sustitución directa nos da:
Aplicando factorización al numerador y denominador tenemos:
b)
El intento de sustitución directa nos da:
Aplicando racionalización obtenemos:
c)
Al intentar la sustituci贸n se obtiene el siguiente resultado indeterminado:
Este tipo de indeterminaci贸n se puede intentar remover dividiendo tanto numerador como denominador por la mayor potencia de la variable y aplicando algunos de los resultados anteriores, tal como se muestra a continuaci贸n:
d)
Para resolver la indeterminación resultante dividimos en este caso denominador y denominador por , con lo que se obtiene:
e)
Aplicando procedimientos similares a los anteriores para eliminar la indeterminación se obtiene:
f)
La sustitución directa nos daría la siguiente indeterminación:
La cual se resuelve a continuación:
El último límite se corresponde a la forma indeterminada muestra seguidamente:
, la cual se resuelve como se
g)
La indeterminación resultante en este caso es:
La cual se resuelve mediante los siguientes procedimientos fundamentado en racionalización:
La nueva indeterminación que resulta en los pasos anteriores se resuelve a continuación con base en procedimientos de división por la mayor potencia de la variable, tal como antes se había ejemplificado:
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Supongamos que f(x) está definida para a y en algún intervalo (c,b) que contiene al número a. Entonces se dirá que f es continua en a si se cumplen las siguientes condiciones:
f(a) existe. Existe Los siguientes ejemplos ilustran gráficamente la idea antes expuesta. En el primer ejemplo se nota claramente que se cumplen las tres condiciones de continuidad, lo que está de acuerdo con la representación gráfica respectiva; en la segunda grafica, la discontinuidad se debe a la no existencia del valor de la función en x = 2. En el tercer dibujo la discontinuidad es debido a que no existe el límite de la función cuando x tiende a 2.
En el caso del segundo ejemplo, donde se presenta discontinuidad en x = 2, podrĂamos redefinir la funciĂłn de tal manera que tenga un valor en x = 2 y que ese valor coincida con el valor de lĂmite, en casos como estos se dice que la discontinuidad es evitable o eliminable.
La nueva definición de la función sería:
¿Qué podrá afirmarse respecto a la continuidad o discontinuidad de la función representada gráficamente a continuación?