Unidad 4. Espacios vectoriales y transformaciones lineales

TÉCNICO PROFESIONAL EN SISTEMAS ÁLGEBRA LINEAL UNIDAD CUATRO: INTRODUCCIÓN A ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES Introducción: Esta unidad contempla una breve introducción a la temática de espacios vectoriales y transformaciones lineales, se presenta los conceptos y principios sin demostración y como ejercicio se deja al estudiante la verificación de algunas propiedades.

Vectores en R2 y R3: Matemático, un vector es un objeto con dirección y magnitud. En R2 un vector es una pareja de la forma , mientras que en R3 es una tripleta Representación gráfica de Vectores en R2 y R3: En R2 un vector se representa en un plano cartesiano, en R3 se requiere realizar una abstracción para asimilar su representación plana a la de un objeto tridimensional. Las representaciones para los vectores se muestran a continuación:

Suma de vectores en R2 y R3: la suma de dos vectores en R2 y R3 se define en términos de la suma de sus componentes, formalmente tenemos:

Suma de vectores en R2

Suma de vectores en R3

Dados dos vectores

Dados dos vectores y

Se tiene:

Se tiene:

La representación gráfica de la suma de dos vectores se puede obtener al trasladar la representación de cada vector de tal manera que se forme un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo, a continuación se ilustra este significado.

Producto de un vector por un escalar en R2 y R3: El producto de un vector por un escalar en R2 y R3 se define de forma análoga al producto de una matriz por un escalar, formalmente tenemos:

Producto por un escalar en R2

Producto por un escalar en R3

Dado un vector y un escalar se define el producto del escalar por el vector de la siguiente forma:

Dado un vector y un escalar se define el producto del escalar por el vector de la siguiente forma

La representación gráfica correspondiente muestra que la multiplicación de un vector por un escalar produce un vector ampliado según la magnitud del escalar, además si el escalar es negativo el resultado es un vector en la misma dirección pero en sentido contrario, tal como se muestra en el siguiente esquema:

Vectores en Rn Las ideas plantadas anteriormente para vectores en R2 y R3 permiten extender los conceptos a vectores en Rn, aunque en este caso no es posible realizar la representación gráfica. Un vector en Rn es un arreglo ordenado de n componentes, es decir, un vector de la forma:

La suma de vectores y el producto de un vector por un escalar en Rn, se definen de forma análoga a las correspondientes a R2 y R3.

Siendo claro que R2 y R3 son casos particulares de Rn, en lo que sigue de esta unidad trataremos los nuevos conceptos de forma generalizada.

Producto interno o producto punto en Rn: Dados dos vectores: y El producto interno de dentado por ó es un escalar obtenido al multiplicar los componentes correspondientes de los vectores y sumando los productos que resultan, es decir:

Ejemplo: Según la anterior definición, calculamos el producto interior de los siguientes vectores en R4.

.

Con el fin de introducir un nuevo concepto en relación a vectores en Rn, calculemos el siguiente producto en R2 y representemos gráficamente cada vector:

Al graficar los vectores en un plano cartesiano vemos que los dos vectores son perpendiculares u ortogonales y al calcular el producto interno encontramos:

La idea anterior nos facilita la comprensión de la siguiente definición: Vectores ortogonales en Rn: Dos vectores son ortogonales en Rn si su producto interno es igual a cero.

Es posible una materialización de dos vectores en R3 y verificar que a vectores ortogonales corresponde un producto punto igual a cero; para n > 3 no es posible realizar una representación gráfica, pero el concepto sigue siendo válido, esto indica que la generalidad de conceptos matemáticos no ha de estar sujeta a la posibilidad de ser representadas gráficamente.

Norma o magnitud de un vector: Para un vector la magnitud o norma de , denotada mediante ║ se define como la raíz cuadrada no negativa de su producto interior, es decir:

║,

Ejemplo: para tener una idea más cercana a la intuición calculemos la norma del vector en R2 y realicemos la representación gráfica.

║

║=

=

Observamos que la representación gráfica corresponde al valor obtenido mediante el uso de la definición.

Hasta este momento hemos estado trabajando conceptos con base en las operaciones de suma de vectores y producto por un escalas, estas operaciones son fundamentales en el concepto de espacio vectorial que se define a continuación: Espacio Vectorial: Un espacio vectorial está constituido por un conjunto no vacio de elementos llamados vectores y dos operaciones, suma y producto por un escalar de un conjunto , las operaciones satisfacen las siguientes propiedades: Conmutatividad: Asociatividad:

Identidad aditiva:

un vector , llamado vector cero, tal que:

Inverso aditivo:

tal que

El espacio vectorial en este caso se denotaría mediante Es de aclarar que las operaciones suma y producto por un escalar se definen según la naturaleza de los elementos o vectores del conjunto V. Ejemplos de espacios vectoriales: 1) El conjunto Rn junto con las operaciones definidas para ello, siendo números reales.

el conjunto de

2) El espacio de las matrices de orden m x n con las operaciones de suma y producto por un escalar definidas en la unidad uno, siendo el conjunto de números reales.

3) El conjunto de todos los polinomios en los reales, siendo reales.

el conjunto de números

Subespacio vectorial: Dado un espacio vectorial y subespacio vectorial de si se cumplen las siguientes propiedades:

,

es un

Un resultado muy importante que caracteriza a los subespacios vectoriales es el siguiente: Teorema 1: Dado un espacio vectorial y un subconjunto no vacío de es un

subespacio vectorial de

si y sólo si:

El teorema indica que, de cumplirse la condición señalada, hay garantía de cumplimiento de las demás propiedades que definen un espacio vectorial.

Transformaciones lineales: Dados dos espacios vectoriales en es una función que,

, una transformación lineal T de satisface

Al conjunto de todas las transformaciones lineales de en se representa por para el caso en que = se puede escribir o simplemente A una transformación lineal de se le llama también operador lineal sobre Ejemplos de transformaciones lineales: Transformación nula: también conocida como transformación trivial entre denota por 0: y se define mediante:

y

se

.

Transformación lineal identidad: esta transformación se representa por: define mediante:

y se

.

Transformación lineal homotecia: es la transformación

definida mediante:

.

Las temáticas aquí introducidas corresponden a un inicio de de tópicos de los cuales se invita al estudiante a profundizar autónomamente.