Proposiciones

UNIDAD TRES: LOGICA PRPOSICIONAL Introducción a los principios de la lógica proposicional: Si queremos establecer la veracidad de nuestros planteamientos, acudimos a razonamientos, argumentos o evidencia que los respalden. Un argumento es un conjunto de proposiciones, llamadas premisas, que conducen a una conclusión. Las premisas son la evidencia o razones que han de convencer acerca de la veracidad de la conclusión, el argumento es la concatenación de las primeras con la conclusión.

Desde el punto de vista de la lógica, un argumento se considera correcto si en toda situación en la que sus premisas son verdaderas, su conclusión también lo es. Lo anterior equivale a decir que un argumento es correcto si no puede producir una conclusión falsa a partir de premisas verdaderas. Si un argumento es correcto decimos que la conclusión dada es consecuencia lógica del mismo.

En un argumento correcto ni las premisas ni la conclusión tienen que ser verdaderas, lo que realmente se debe dar es que si las premisas son verdaderas, también debe serlo la conclusión.

Ejemplos: Todos los hombres son mortales.

Sócrates es hombre.

Luego Sócrates es mortal.

Si Sócrates es hombre, entonces Sócrates es mortal.

Sócrates es hombre.

Luego Sócrates es mortal.

Juan irá al cine o dormirá.

Juan irá al cine.

Luego Juan no dormirá.

Algunos hombres son mortales.

Algunos mortales son mamíferos.

Luego algunos hombres son mamíferos.

Estructura Lógica de los Argumentos El que un argumento sea correcto depende más de la forma en que se relacionan las proposiciones que los componen, que del tema del que se habla, de tal manera que si

alguien no conoce el significado de una palabra, igual debe poder determinar si el argumento es correcto, por ejemplo: Todos los plum son pran.

Frafran es un plum.

Luego Frafran es un pran.

Un paso más adelante en este análisis nos lleva al uso de términos genéricos o variables.

Todos los A son B. c es un A. Luego c es un B. Proposiciones.

En el contexto de la lógica, las proposiciones son expresiones gramaticales para las cuales tiene sentido preguntarse si son verdaderas o falsas.

Un buen método para determinar si una expresión X es una proposición o no, es preguntarse ¿Es verdad que X?, Si esta pregunta no tiene sentido, entonces X no es una proposición. Por ejemplo: Salga de esta habitación! no es una proposición.

Lo anterior no significa que debamos ser capaces de determinar si X es verdadera o falsa, tiene sentido preguntarse: ¿Es verdad que existe vida en Andrómeda? aunque no sepamos ni podamos determinar si hay vida en Andrómeda.

Consistencia Lógica: Diremos que un conjunto de oraciones es consistente o tiene consistencia lógica si existe alguna situación en la cual todas ellas son verdaderas, en caso contrario se dice que es inconsistente. Por ejemplo: Hace frío.

Llueve.

Debo ir a clases y no hace frío.

Es inconsistente.

El médico me ha recetado antibióticos tres veces el año pasado.

De hecho, fui hospitalizado dos veces en ese período.

Pero yo tengo muy buena salud.

Es consistente ya que existe la posibilidad de que sean todas ciertas.

Relación entre argumento correcto y conjunto consistente de oraciones: Dado un argumento, el conjunto formado por las premisas y la negación de la conclusión se llama su conjunto contraejemplo.

Teorema 1. Un argumento es correcto si y solamente si su conjunto contraejemplo es inconsistente.

Lógica Matemática: Es la disciplina que desarrolla modelos matemáticos del concepto de consecuencia lógica.

Lógica Proposicional: Los argumentos correctos lo son en virtud de su estructura lógica basada en un lenguaje formal L en el que no existan ambigüedades, el lenguaje L está formado por los siguientes símbolos que forman el alfabeto del lenguaje: 1. Letras proposicionales: p; q; r; 2. Conectivos lógicos o términos de enlace: 3. Paréntesis: ( ).

Las expresiones de L serán cadenas fintas de estos símbolos. Una proposición de L es una expresión construida mediante la aplicación de una de las reglas siguientes: (1) Toda letra proposicional corresponde a una proposición.

(2) Si es una proposición también lo es.

(3) Si y son dos proposición, entonces también lo son ˄ ,

˄ ,

⇒

⇔

,

.

(4) Solo las expresiones construidas según las reglas (1), (2) y (3) son proposiciones de L. Las Letras proposicionales: representan proposiciones elementales o atómicas como "Llueve", "Sócrates es mortal", "Todos los gatos son negros", entre otras.

Los conectivos lógicos o términos de enlace: pretenden representar los conectivos del castellano como sigue.

La Negación: la proposición

representa la negación de .

La Conjunción: La proposición lee y .

La Disyunción: La oración

˄ representa la conjunción de las oraciones

˄ representa la disyunción de

y , Se lee “

y

Se

˄ ”.

La Implicación: La oración ⇒ se llama la implicación entre y , la implicación Intenta representar el conectivo castellano “si…, entonces…" Sin embargo, hay diferencias

importantes entre ambos. La verdad o falsedad de ⇒ , depende exclusivamente de la verdad o falsedad de y y de ninguna otra consideración.

A se le llama antecedente y , consecuente. Se acostumbra con esta implicación decir que es condición suficiente para ; es condición necesaria para . También podemos decir que es la hipótesis y es la conclusión.

La proposición q ⇒ p se le llama la recíproca de la proposición p ⇒ q. Es necesario que nos demos cuenta de que p ⇒ q no garantiza que q ⇒ p. Por ejemplo, x = 3 ⇒ x2 = 9 es verdadera, pero la recíproca x2 = 9 ⇒ x = 3 es falsa.

Debemos notar que en castellano, “si …, entonces …” no se usa en el mismo sentido que la lógica, y el hacerlo acarrea ciertas complicaciones, particularmente resulta molesto que: “Si 2 + 2 = 5, entonces el cielo es azul”, sea una oración verdadera, donde nuestra intuición nos dice que no sólo no es verdadera sino que carece de sentido.

El Bicondicional: La oración ⇔ se llama la bicondicional o equivalencia entre y , representa al conectivo castellano “si y solamente si”. Las mismas objeciones para el condicional se pueden hacer para el bicondicional. p ⇔ q es una combinación de las dos proposiciones condicionales p ⇒ q y q ⇒ p. El símbolo de enlace ⇔ se lee “si y sólo si” o “necesario y suficiente”.

Semántica para L: La interpretación o significado de una proposición de L es su valor de verdad, es decir, si es verdadera o falsa. Una valuación para L consiste en asignar un valor de verdad, V (verdadero) o F (falso), a cada letra proposicional. Para una fórmula con n letras proposicionales habrá 2n valuaciones posibles. La determinación de valores de verdad para fórmulas complejas a partir de las distintas valuaciones se organiza a través de las tablas de verdad.

Valores y Tablas de Verdad: Valor de verdad de la Negación: Es claro que si una proposición negación ( es falsa, y si es falsa, su negación será verdadera.

es verdadera, su

Valor de verdad de la Conjunción: el valor de verdad de la conjunción verdadero sólo si las dos proposiciones y son verdaderas.

˄

es

Valor de verdad de la disyunción: el valor de verdad de la disyunción ˄ es verdadero si al menos una de las dos proposiciones es verdadera. En otro caso es falso.

Valor de verdad de la condicional o implicación: el valor de verdad de la condicional o implicación ⇒ es falso sólo si es verdadero y es falso, en los otros casos es verdadero.

Valor de verdad de la bicondicional o doble implicación: el valor de verdad de la bicondicional o doble implicación ⇔ es verdadero sólo si y son ambas verdaderas o ambas falsas, en otros casos es falso.

Con base en lo anterior podemos presentar las correspondientes tablas de verdad.

A partir de las anteriores tablas básicas se puede construir tablas de proposiciones más complejas como las mostradas a continuación:

Las tablas de verdad pueden ser usadas para determinar si un argumento es correcto o no, si un conjunto de oraciones es consistente o

Tautologías: Se llama tautología a una oración de L que es siempre verdadera, mediante la evaluación de las tablas de verdad, se puede determinar si una oración es o no tautología.

Consecuencia Tautológica: para determinar si un argumento es correcto podemos valernos de las tablas de verdad. Aplicando la definición, primero se determina bajo qué valuaciones son todas las premisas verdaderas y luego se verifica para cuales de ellas, la conclusión verdadera o falsa. Si para todas, la conclusión es verdadera, el argumento es correcto. En caso de existir una valuación para la cual todas las premisas son verdaderas pero la conclusión es falsa, entonces el argumento es incorrecto. Consideremos el siguiente argumento y su tabla de verdad:

Solo en la líneas uno y tres las premisas son verdaderas y en esos casos la conclusión también lo es, por tanto podemos afirmar que el argumento es correcto.

Consistencia Lógica en L: Conjuntos Satisfactibles: Un conjunto de oraciones es satisfactible si existe una valuación que asigna el valor verdadero a todas las oraciones, es decir, si en la tabla de verdad existe alguna fila de valores V en todas las oraciones del conjunto. Como ejemplos de este concepto tenemos: El conjunto:

Es inconsistente, tal como lo demuestra la siguiente tabla:

Vemos en la tabla que no existe situación en la que todas las oraciones sean verdaderas.

En cambio, el conjunto:

Es consistente ya que hay situaciones en las cuales todas las oraciones son verdaderas al mismo tiempo, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Inferencia lógica: La idea de inferencia se puede expresar diciendo que de proposiciones verdaderas (premisas verdaderas) se obtienen sólo conclusiones que son verdaderas. Es decir de premisas verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de ellas lógicamente, han de ser verdaderas.

Se dice que es consecuencia lógica de p, (p ⇒ q) si la veracidad de implica la de Se dice que un razonamiento es válido si la conclusión es consecuencia lógica de las premisas.

Reglas de inferencia: Cada una de las premisas Pi dadas a continuación se consideran verdaderas y por lo tanto sus conclusiones también lo son:

Proposiciones abiertas: Una proposici贸n abierta es un enunciado sobre una variable que se convierte en una proposici贸n cada vez que la variable x se sustituye por un valor particular xo.

Ejemplo 1: es una proposición abierta. Se convierte en proposición para cada número definido xo. En particular, es cierta mientras que es falsa.

Cuantificadores lógicos: Con frecuencia las proposiciones abiertas van acompañadas de expresiones que hacen referencia a cuantificaciones, estas expresiones se conocen como cuantificadores, y están estrechamente relacionados con el valor de verdad de la proposición resultante. Los cuantificadores lógicos son los siguientes:  Cuantificador universal:  Cuantificador existencial:  Cuantificador de existencia y unicidad:

.

Notas importantes sobre los cuantificadores:  Si una propiedad P es compartida por todos los elementos de un conjunto B, escribiremos: “Todo x en B tiene la propiedad P ”, Simbólicamente, ∀x ∈ B, P (x)  Si una propiedad es compartida por uno o varios elementos de un conjunto B, escribiremos: “Algún x en B tiene la propiedad P ”, Simbólicamente, ∃x ∈ B, P (x) Ejemplos: ∀x(x2 ≥ 0) es una proposición verdadera.

Para todo x existe algún y tal que x + y = 0, simbólicamente esta proposición es (∀x) (∃y)(x + y = 0) Esta proposición es verdadera, ya que dado x arbitrario tomamos y = −x.  Se debe tener cuidado con expresiones del tipo (∀x) (∃y) y (∃y) (∀x) las cuales no tienen el mismo significado.

Por ejemplo si H representa los seres humanos, podríamos decir: Para todo x ∈ H existe y ∈ H tal que y es la madre de x. Simbólicamente se representa por (∀x ∈ H) (∃y ∈ H)(y = m(x)) Ahora estudiemos la proposición Existe y ∈ H tal que para todo x ∈ H, y es la madre x.

Simbólicamente se representa por (∃y ∈ H) (∀x ∈ H) (y = m(x)) Observemos que la primera proposición es cierta mientras que la segunda es falsa.

 La negación de la proposición “Todo x en B tiene la propiedad P ”, simbólicamente ∼ (∀x ∈ C, P (x)), es “Existe algún x en B que no tiene la propiedad P ”, Simbólicamente, ∃x ∈ C, ∼ P (x).  La negación de la proposición “Existe x en C tiene la propiedad P ”, simbólicamente ∼ (∃x ∈ C, P (x)), es “Para todo x en C, x que no tiene la propiedad P ”, Simbólicamente, ∀x ∈ C, ∼ P (x).

Métodos de demostración: Existen diversos métodos de demostración, la conveniencia de usar uno i otro depende de la naturaleza de lo que se quiera probar. Algunos de los métodod existentes son los siguientes: Demostración directa: La demostración directa consiste en comenzar con algo conocido y proceder paso por paso usando las leyes de inferencia y de otros resultados conocidos hasta llegar al resultado esperado. Podemos decir que una demostración directa es una cadena de proposiciones de la forma:

El conocimiento y correcto uso de las reglas de inferencia garantizan la validez de la conclusión T. Ejemplo: Demostrar que la multiplicación de un numero entero par por un entero impar es un entero par. El enunciado es de la forma Si H entonces T, esto es, si m es par y n es impar entonces mn es par.

Su demostración directa es como sigue: Po : m es par y n es impar P1 : m es par y n es impar ⇒ m = 2r, y n = 2s + 1 para enteros únicos r y s.

P2 : m = 2r, y n = 2s + 1 ⇒ mn = 2r(2s + 1) P3 : mn = 2r(2s+ 1) ⇒ mn = 2[r(2s + 1)] P4 : mn = 2[r(2s + 1)] ⇒ mn es par T : mn es par (conclusión a la que queríamos llegar)

Demostración indirecta: En ciertas ocasiones, la demostración directa tiene algunas dificultades y se opta por realizar la demostración utilizando una fórmula equivalente. Dos de ellas son: Demostración por la contrarecíproca: conocida también como demostración por contraposición. Utilizamos la propiedad (H ⇒ T ) ⇔ (∼ T ⇒∼ H) Consiste en demostrar la validez de ∼ T ⇒∼ H usando la demostración directa; la equivalencia implicará la validez de H ⇒ T. Ejemplo: Para que el producto de dos números enteros sea par es necesario que por lo menos uno de los dos sea par. Escrito en la forma H ⇒ T tenemos que si mn es un entero par, entonces m es par o n es par. Teniendo en cuenta que ∼ (p ∨ q) ⇔∼ p ∧ ∼ q (Ley de Morgan). La contrarecíproca se leería: Si m es impar y n es impar entonces mn es impar.

La demostración directa es como sigue: m = 2s + 1 y n = 2t + 1 ⇒ mn = (2s+ 1)(2t + 1) = 2h + 1 donde h = 2ts + t + s. Entonces queda demostrado que mn es impar.

Demostración por contradicción: Este tipo de demostración tiene su sustentación en las siguientes equivalencias lógicas: 1. ∼ (H ⇒ T ) ⇔ H∧ ∼ T 2. H∧ ∼ T ⇒ R∧ ∼ R ⇔ H ⇒ T El método consiste en suponer que el contenido del teorema es falso, lo que significa que siendo la hipótesis H verdadera la conclusión T puede ser falsa. En todo razonamiento las premisas se toman como verdaderas. Por eso se escribe el supuesto H∧ ∼ T. Este supuesto tiene como consecuencia lógica la contradicción R∧ ∼ R y según 2 lo cual implicaría que H ⇒ T es verdadera, lo cual finaliza la demostración.

Ejemplo: Demostrar que el cuadrado de la razón de dos enteros no puede ser igual a 2.

La proposición dice que si a y b son dos enteros entonces Para demostrar esta proposición demostraremos que su negación es falsa. Por tanto debemos demostrar que si a y b son dos enteros entonces no es posible que

Supongamos que a y b no tienen factores comunes y que la negación de la proposición es cierta es decir que:

Entonces

Lo anterior indica que

es un entero par y por la demostración anterior a es par, o sea:

a = 2s donde s es algún entero.

Substituyendo el valor de a obtenemos: , lo cual implica que

es par y por lo tanto b es par, esto es, b = 2t.

El hecho que a = 2s y b = 2t significa que a y b tiene como factor común 2, en contra de la suposición de que a y b no tiene factores comunes. En consecuencia, no es cierto que:

lo cual completa la demostración.

Demostración por disyunción de casos: Aplicando la regla de inferencias podemos mostrar la validez del siguiente razonamiento:

Hacemos uso de este razonamiento en teoremas cuya hipótesis puede partirse en casos mutuamente excluyentes, cada uno de los cuales conduce igualmente a la conclusión prevista.

Ejemplo. El cuadrado de todo entero, o es un múltiplo de 4 o difiere de un múltiplo de 4 en 1. Esto es, si n es entero ⇒ n2 = 4t o n2 = 4t + 1 para algún entero t.

Puesto que n es entero, la separamos en dos casos: n es par o n es impar (p ∨ q). (i) Si n es par ⇒ n = 2s para algún entero s. ⇒ n2 = 4s2, es decir n2 es múltiplo de 4.

(ii) Si n es impar ⇒ n = 2t + 1 para algún entero t. ⇒ n2 = 4t2 + 4t + 1 = 4u + 1, es decir n2 difiere de un múltiplo de 4. en 1.

Demostración por contraejemplo: Cuando hemos probado la validez de la implicación P ⇒ q, frecuentemente se trata de investigar la validez de la reciproca q ⇒ p. Empezamos analizando casos particulares que satisfagan la hipótesis q y confrontamos la validez o no de la conclusión p. Si damos un ejemplo donde la conclusión resulta falsa, tenemos que q ∧ ∼ p es verdadera. Puesto que ∼ (q ⇒ p) ⇔ q ∧ ∼ p se sigue por las reglas de inferencia que ∼ (q ⇒ p) es verdadera y por lo tanto q ⇒ p es falsa.

El determinar la falsedad de q ⇒ p mediante un caso particular se denomina un contraejemplo.

Ejemplo. Si n es un entero primo entonces n es impar. Es una implicación falsa porque n=2 es primo y sin embargo es par. En este caso, n = 2 es un contraejemplo.