Manual álgebra lineal

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XXX.

ÁLGEBRA LINEAL

XXX.1 Definiciones básicas 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Matriz Elementos de una matriz Orden de una matriz Vector Relación entre matrices y vectores Escalar

XXX.2 Tipos principales de matrices 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Matriz rectangular Matriz cuadrada Diagonal principal Matriz diagonal Matriz escalar Matriz identidad Matriz nula Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Matriz simétrica Matriz antisimétrica Matriz inversa Matriz escalonada Matriz escalonada reducida Matriz de cofactores Matriz adjunta

XXX.3 Relaciones entre matrices 1. Matrices comparables 2. Igualdad de matrices XXX.4 Operaciones con matrices 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Suma de matrices Multiplicación de escalar por matriz Resta de matrices Combinación lineal de matrices o vectores Producto escalar o punto de vectores Producto de matrices Potencia entera positiva de matrices Producto de matriz por vector Producto de vector por matriz Cociente de matrices Transposición de matrices

XXX.5 Operaciones elementales sobre los renglones de una matriz

1. 2. 3. 4.

Aplicaciones de las operaciones elementales Multiplicar un renglón cualquiera de una matriz por un escalar diferente de cero Intercambio de renglones Sumar a un renglón de una matriz el múltiplo de otro de sus renglones

XXX.6 Propiedades de las operaciones con matrices 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Propiedad conmutativa de la suma Propiedad del neutro aditivo Propiedad asociativa de la suma 0A=0 Propiedad distributiva de la multiplicación por escalar sobre la suma de matrices Propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto por matriz El producto de matrices, en general, no es conmutativo

XXX.7 Determinantes 1. 2. 3. 4.

Definición Función determinante Permutación Permutación par o impar

XXX.8 Propiedades de los determinantes 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Multiplicación de renglón (columna) por escalar Intercambio de renglones (columnas) Sumar a un renglón (columna) el múltiplo de otro Determinante de matriz triangular superior (inferior) Determinante de matriz diagonal Determinante de matriz escalar

XXX.9 Evaluación del determinante de matrices de orden (2X2) o de (3X3): regla de Sarrus 1. Regla de Sarrus para evaluar determinantes de matrices de orden (2X2) 2. Regla de Sarrus para evaluar determinantes de matrices de orden (3X3) 3. No existe regla de Sarrus para evaluar determinantes de matrices de orden superior a (3X3) 4. Otros métodos para evaluar determinantes XXX.10 Evaluación de determinantes mediante el desarrollo por cofactores 1. Menor del elemento de una matriz 2. Cofactor del elemento de una matriz 3. El método de desarrollo por cofactores para evaluar determinantes XXX.11 Evaluación de determinantes mediante operaciones elementales 1. 2. 3. 4.

¿Cuándo aplicarlo? Visión general del método Operaciones elementales y evaluación de determinantes: Intercambio de renglones Operaciones elementales y evaluación de determinantes: Multiplicar renglón por escalar

5. Operaciones elementales y evaluación de determinantes: A un renglón sumarle (restarle) el múltiplo de otro 6. Aplicación del método de operaciones elementales transformando la matriz original en una matriz triangular superior 7. Aplicación del método de operaciones elementales reduciendo la matriz original a una de orden (3X3) XXX.12 Obtención de la matriz inversa mediante la matriz adjunta 1. 2. 3. 4.

Matriz no singular o invertible Matriz de cofactores, Cof A Matriz adjunta, Adj A Matriz inversa, A−1

XXX.13 Obtención de la matriz inversa mediante operaciones elementales 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Rango de una matriz Construcción de la matriz aumentada, (A|I) Conversión de (A|I) en una matriz escalonada mediante operaciones elementales Determinación del rango, r(A) Conversión de (A|I) en una matriz escalonada reducida Obtención de la inversa, A−1

XXX.14 Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, SELS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Definición de SELS Vector solución de un SELS Solución paramétrica de un SELS Clasificación de los SELS Método de Gauss o de eliminación gaussiana para resolver SELS Método de Gauss–Jordan para resolver SELS Método de la matriz inversa para resolver SELS Regla de Cramer o método de determinantes para resolver SELS

XXXII. Ă LGEBRA LINEAL INTRODUCCIĂ“N XXX.1 Definiciones bĂĄsicas 1. Matriz: Conjunto de elementos ordenados en m renglones y n columnas, elementos que pueden ser nĂşmeros, funciones, etc. Suelen usarse letras mayĂşsculas para referirse a ellas. 2 Ejemplo 1: đ??´(3đ?‘‹2) = (0.5 10

−1 0 ) 0.47

2. Elementos de una matriz: Es cada uno de los nĂşmeros, funciones, etc. que se encuentran agrupados y ordenados en una matriz. Si la matriz de llama A, sus elementos serĂĄn đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— , donde đ?‘– se refiere al nĂşmero de renglĂłn y đ?‘— al nĂşmero de columna en que se ubica el elemento. Ejemplo 2: đ?‘Ž1,2 se refiere al elemento de la matriz A localizado en el renglĂłn 1 y la columna 2; es decir, para la matriz A anterior se refiere a –1. 3. Orden de una matriz: Es una forma de medir el tamaĂąo o la dimensiĂłn de la matriz, y se refiere a la cantidad de renglones y de columnas que tiene, especificĂĄndolas siempre de esa manera: primero los renglones y despuĂŠs las columnas. Ejemplo 3: El orden de la siguiente matriz es (3đ?‘‹4), o sea, tiene 3 renglones y 4 columnas: đ?‘Ž đ??ľ(3đ?‘‹4) = (đ?‘’ đ?‘–

đ?‘? đ?‘“ đ?‘—

đ?‘? đ?‘” đ?‘˜

đ?‘‘ â„Ž) đ?‘™

4 Vector: Conjunto de elementos ordenados en un Ăşnico renglĂłn o una Ăşnica columna, razĂłn por la cual se denominan vector renglĂłn o vector columna, respectivamente. Suelen denotarse con letras minĂşsculas testadas o con negrillas. 2 Ejemplo 4: đ?‘ĽĚ…(3đ?‘‹1) = ( 0 ), o bien: đ?‘ŚĚ…(1đ?‘‹4) = (8 −5

1â „3

0

−2)

5 RelaciĂłn entre matrices y vectores: La relaciĂłn entre los conceptos de matriz y vector debe entenderse en un doble sentido: por un lado, puede pensarse que un vector es un tipo especial de matriz en el que se tiene un Ăşnico renglĂłn o una Ăşnica columna, de tal manera que serĂ­a una matriz de orden (đ?‘šđ?‘‹1) o (1đ?‘‹đ?‘›). Esto implica que todo lo que se diga respecto a las operaciones con matrices y sus propiedades serĂĄ vĂĄlido para los vectores. Pero, por otro lado, puede pensarse que una matriz es un conjunto ordenado de vectores renglĂłn (columna), lo cual serĂĄ el enfoque que se adoptarĂĄ al estudiar temas como el de espacios vectoriales. 6 Escalar: En ĂĄlgebra lineal, un escalar es un nĂşmero real o complejo.

XXX.2 Tipos principales de matrices 1 Matriz rectangular: Es una matriz en la que el número de renglones y de columnas no son iguales; es decir, � ≠�

Ejemplo 1: VĂŠanse las matrices A y B anteriores. 2 Matriz cuadrada: Es una matriz en la que el nĂşmero de renglones es igual al nĂşmero de columnas; es decir, đ?‘š = đ?‘› 0 Ejemplo 2: đ??´(3đ?‘‹3) = (−3 −1

1/3 4 0

5 2 ) Como resulta obvio, esta es una matriz de orden (3đ?‘‹3). 100

3 Diagonal principal: En una matriz cuadrada, la diagonal principal es el conjunto de elementos para los que el nĂşmero de renglĂłn y de columna en que se ubican son iguales.

Ejemplo 3: Para la matriz đ??ˇ(4đ?‘‹4)

đ?‘Ž đ?‘’ =( đ?‘– đ?‘š

đ?‘? đ?‘“ đ?‘— đ?‘›

đ?‘? đ?‘” đ?‘˜ Ăą

đ?‘‘ â„Ž ), la diagonal principal estĂĄ formada por los đ?‘™ đ?‘œ

elementos (đ?‘Ž, đ?‘“, đ?‘˜, đ?‘œ) 4 Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, o sea, de orden (đ?‘›đ?‘‹đ?‘›), en la que todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son iguales a cero. En tĂŠrminos formales: đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— : đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = 0 ∀ đ?‘– ≠đ?‘—}

Ejemplo 4: đ??´(4đ?‘‹4)

2 0 =( 0 0

0 −1 0 0

0 0 1/4 0

0 0 ) 0 0

5 Matriz escalar: Es una matriz diagonal, es decir, se trata de una matriz cuadrada, o sea, de orden (đ?‘›đ?‘‹đ?‘›), por lo que todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son iguales a cero, y en la que, ademĂĄs, los elementos de la diagonal principal son iguales entre sĂ­: đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— : đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = 0 ∀ đ?‘– ≠đ?‘— ∧ đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = đ?‘¤ ∀ đ?‘– = đ?‘—} đ?‘¤ Ejemplo 5: đ??´(3đ?‘‹3) = ( 0 0

0 � 0

0 0) �

6 Matriz identidad: Se trata de una matriz con un papel relevante dentro del ĂĄlgebra lineal, pues cumple con la propiedad de ser el elemento neutro multiplicativo. Se define como una matriz escalar , es decir, es una matriz cuadrada, o sea, de orden (đ?‘›đ?‘‹đ?‘›), en la que todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son iguales a cero, y en la que, ademĂĄs, los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se denota siempre como đ??źđ?‘› , con un Ăşnico subĂ­ndice porque se parte de que es una matriz cuadrada. Esto es: đ??źđ?‘› = {đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— : đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = 0 ∀ đ?‘– ≠đ?‘— ∧ đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = 1 ∀ đ?‘– = đ?‘—} 1 0 Ejemplo 6: đ??ź5 = 0 0 (0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1)

7 Matriz nula: A semejanza de la matriz identidad, la matriz nula tiene tambiĂŠn un papel relevante en el ĂĄlgebra lineal, siendo una matriz con la propiedad de ser neutro aditivo. Se define como una

matriz de orden (đ?‘šđ?‘‹đ?‘›), con lo cual solo se establece que puede ser rectangular o cuadrada, en la que todos sus elementos son iguales a 0. Se denota con el nĂşmero 0: đ?‘‚(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— : đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = 0 ∀ đ?‘–, đ?‘—}. Ejemplo 7: 0(2đ?‘‹3) = (

0 0

0 0

0 ) 0

8 Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son iguales a 0: đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— : đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = 0 ∀ đ?‘– > đ?‘—}.

Ejemplo 8: đ??´(4đ?‘‹4)

2 0 =( 0 0

−1 0 0 0

3 −7 −4 0

0 5 ) 6 10

9 Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son iguales a 0: đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— : đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = 0 ∀ đ?‘– < đ?‘—}. −1 Ejemplo 9: đ??ˇ(3đ?‘‹3) = ( 2 0

0 0 −7

0 0) 12

10 Matriz simĂŠtrica: Es una matriz cuadrada en la que los elementos por encima de la diagonal principal son el reflejo de los que se encuentran por debajo de ella: đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— : đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = đ?‘Žđ?‘—,đ?‘– ∀ đ?‘–, đ?‘—}. (Hay una forma alternativa de definir una matriz simĂŠtrica que refiere a la operaciĂłn de transposiciĂłn, y que establece que una matriz W es simĂŠtrica si es igual a su transpuesta, o sea: đ?‘Š = đ?‘Š đ?‘‡ , pero hace referencia a una operaciĂłn con matrices que no se ha planteado aquĂ­ hasta este punto.)

Ejemplo 10: đ?‘Š(3đ?‘‹3)

2 −1 = 5 0 (1

−1 4 3 2 0

5 3 −6 9 5

0 2 9 0 −7

1 0 5 −7 1)

11 Matriz antisimĂŠtrica: Es una matriz cuadrada en la que los elementos por encima de la diagonal principal son el reflejo de los que se encuentran por debajo de ella, pero con el signo cambiado. Esto implica que los elementos de la diagonal principal serĂĄn necesariamente iguales a 0 por ser el 0 el Ăşnico nĂşmero que es igual a su negativo por carecer de signo: đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— : đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = −đ?‘Žđ?‘—,đ?‘– ∀ đ?‘–, đ?‘—}.

Ejemplo 11: đ??¸(4đ?‘‹4)

0 −2 =( 4 −7

2 0 −5 9

−4 5 0 −8

7 −9 ) 8 0

12 Matriz inversa: Esta es una matriz con mĂşltiples aplicaciones. Aunque en este punto es prematuro un tratamiento completo de este concepto, sĂ­ puede darse una definiciĂłn inicial: Si đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) es una matriz no singular, o sea, una en la que todos sus vectores renglĂłn (columna) son linealmente independientes, entonces la matriz inversa de đ??´, denominada đ??´âˆ’1 (đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) , es una matriz −1 −1 Ăşnica tal que đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) đ??´âˆ’1 = đ??´âˆ’1 đ??´ = đ??ź (đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = đ??źđ?‘› . O sea: đ??´đ??´

2â „7 1â „14 −1 ) , ⇒ đ??´âˆ’1 ), puesto que (2đ?‘‹2) = ( −1â „7 3â „14 4 1â „14 2â „7 1â „14 3 −1 1 0 )=( )( )=( ) = đ??ź2 3â „14 −1â „7 3â „14 2 4 0 1

Ejemplo 12: Si đ??´(2đ?‘‹2) = ( (

2⠄7 3 −1 )( −1⠄7 2 4

3 2

13 Matriz escalonada: Es una matriz en la que se satisfacen dos condiciones: primera, que el primer elemento diferente de cero para cada renglĂłn vale siempre uno (llamado uno principal o elemento pivote) y, segunda, en la que el nĂşmero de ceros anteriores al uno principal aumenta de renglĂłn a renglĂłn (o, lo que es equivalente, todos los elementos por debajo de cualquier uno principal son cero).

Ejemplo 13: đ??´(4đ?‘‹6)

1 0 =( 0 0

3 1 0 0

−8 1 0 0

2 −1 1 0

0.5 2.4 10 0

−1 4 ) 5 0

14 Matriz escalonada reducida: Al ser una matriz escalonada, satisface las dos condiciones enunciadas en el inciso anterior, pero el ser reducida le impone la condiciĂłn adicional de que todos los elementos por encima de cualquiera de los unos principales tambiĂŠn deben ser cero.

Ejemplo 14: đ??´(4đ?‘‹6)

1 0 =( 0 0

0 1 0 0

7 1 0 0

0 0 1 0

0.5 2.4 10 0

−1 4 ) 5 0

15 Matriz de cofactores: Es una matriz para la que sus elementos originales son reemplazados por sus cofactores. Esta matriz solo estĂĄ definida para matrices cuadradas y su orden serĂĄ el mismo que el de la matriz original. Si

đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›)

đ?‘Ž11 đ?‘Ž21 =( â‹Ž đ?‘Žđ?‘›1

1 Ejemplo 15: Si đ??´ = (0 3

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘Žđ?‘›2 −2 −2 3

â‹Ż đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž11 â‹Ż đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž21 â‹ą â‹Ž ) ⇒ đ??śđ?‘œđ?‘“ đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = ( â‹Ž â‹Ż đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘›1 1 7 −1) ⇒ đ??śđ?‘œđ?‘“ đ??´ = (−1 −2 4

−3 −5 1

đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž12 đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘›2

â‹Ż â‹Ż â‹Ż

đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž2đ?‘› ) â‹Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘›đ?‘›

6 −9) −2

16 Matriz adjunta: Es la matriz transpuesta de la matriz de cofactores de una matriz cuadrada. Si

đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›)

đ?‘Ž11 đ?‘Ž21 =( â‹Ž đ?‘Žđ?‘›1

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘Žđ?‘›2

1 Ejemplo 16: Si đ??´ = (0 3

â‹Ż â‹Ż â‹Ż

−2 −2 3

đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž11 đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž12 ) ⇒ đ??´đ?‘‘đ?‘— đ??´ = (đ??śđ?‘œđ?‘“ đ??´)đ?‘‡ = ( â‹Ž â‹Ž đ?‘Žđ?‘›đ?‘› đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž1đ?‘› 1 7 −1) ⇒ đ??´đ?‘‘đ?‘— đ??´ = (−3 −2 6

−1 −5 −9

đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž21 đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž2đ?‘›

â‹Ż â‹Ż â‹Ż

đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘›1 đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘›2 ) â‹Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘›đ?‘›

4 1) −2

17 Rango de A, đ?‘&#x;(đ??´): Siendo đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) , el rango de esa matriz es el nĂşmero de vectores renglĂłn (columna) linealmente independientes que contiene la propia matriz. Para evaluarlo, se transforma la matriz original en su matriz escalonada reducida mediante operaciones elementales sobre los renglones de la matriz, y una vez ahĂ­, el rango es el nĂşmero de renglones con al menos un elemento diferente de cero.

Ejemplo 17: Si đ??´(5đ?‘‹3)

2 3 = −2 4 (2

−1 0 1 −3 2

1 1 0 3 −1 ≈ 0 1 0 4 ) (0

0 1 0 0 0

1 1 0 , por lo que đ?‘&#x;(đ??´) = 2 0 0)

18 Matriz no singular: Una matriz đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) es no singular si todos sus vectores renglĂłn (columna) son entre sĂ­ linealmente independientes; serĂĄ singular en caso contrario. Hay dos formas de determinarlo: mediante el determinante de A, det(đ??´), o mediante el rango de A, đ?‘&#x;(đ??´). Con esto, una matriz es no singular si det(đ??´) ≠0, o bien si đ?‘&#x;(đ??´) = đ?‘›. 1 −2 1 7 Ejemplo 18: Si đ??´ = (0 −2 −1) ⇒ det(đ??´) = |−3 3 3 −2 6 matriz original en escalonada reducida: 1 đ??´(3đ?‘‹3) = (0 3

−2 −2 3

1 1 −1) ≈ (0 −2 0

−1 −5 −9 0 1 0

4 1 | = 361 ≠0, o bien, convirtiendo la −2 0 0) ⇒ đ?‘&#x;(đ??´) = 3 = đ?‘› 1

XXX.3 Relaciones entre matrices 1 Matrices comparables: Dos matrices đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) y đ??ľ(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) son comparables si y solo si son del mismo orden. Ejemplo 1: Sean las matrices đ??´(6đ?‘‹4) , đ??ľ(6đ?‘‹4) y đ??ś(2đ?‘‹5). De aquĂ­ es claro que las matrices đ??´ đ?‘Ś đ??ľ sĂ­ son comparables por ser, ambas, de (6đ?‘‹4), pero estas no son comparables con la matriz đ??ś por ser esta de diferente orden. 2 Igualdad de matrices: Las matrices đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) y đ??ľ(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) son iguales si y solo si todos sus elementos son iguales uno a uno: đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = đ??ľ(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) ⇔ đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = đ?‘?đ?‘–,đ?‘— ∀ đ?‘–, đ?‘— Ejemplo 2: Si đ??´(2đ?‘‹2) = (

2 −1

0 3 ) , đ??ľ(3đ?‘‹2) = (−5 0 −6

8 3 4 ) , đ??ś(2đ?‘‹2) = ( 1 −6

2 5 ) , đ??ˇ(2đ?‘‹2) = ( −1 2

3 ), entonces: 0

a) đ??´(2đ?‘‹2) đ?‘Ś đ??ľ(3đ?‘‹2) no son comparables por ser de diferente orden; b) đ??´(2đ?‘‹2) đ?‘Ś đ??ś(2đ?‘‹2) son matrices comparables por ser del mismo orden, pero son diferentes, y c) đ??´(2đ?‘‹2) đ?‘Ś đ??ˇ(2đ?‘‹2) son matrices comparables por ser del mismo orden y, ademĂĄs, son matrices iguales.

XXX.4 Operaciones con matrices 1 Suma de matrices: Para poderse sumar dos o mĂĄs matrices, todas ellas deben ser del mismo orden. Ahora bien, la suma de dos o mĂĄs matrices de orden (đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) es una matriz de ese mismo orden (đ?‘šđ?‘‹đ?‘›), y los elementos de la matriz suma se obtienen sumando los elementos correspondientes de las matrices sumando:

đ??ś(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) + đ??ľ(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘?đ?‘–,đ?‘— âˆś đ?‘?đ?‘–,đ?‘— = đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— + đ?‘?đ?‘–,đ?‘— ∀ đ?‘–, đ?‘—} Ejemplo 1: Si đ??´(2đ?‘‹3) = (

3 4

−5 8

−6 2 ) đ?‘Ś đ??ľ(2đ?‘‹3) = ( −5 −9

⇒ đ??ś(2đ?‘‹3) = đ??´(2đ?‘‹3) + đ??ľ(2đ?‘‹3) = (

3−6 4−5

−5 + 2 8+1

2 1

2 ), −5

2+2 −3 )=( −9 − 5 −1

−3 9

4 ) −14

2 MultiplicaciĂłn de escalar por matriz: Para la multiplicaciĂłn de escalar por matriz no hay ninguna condiciĂłn previa, esto es, siempre serĂĄ posible realizarla. Como el escalar es un nĂşmero real o complejo, la operaciĂłn se realiza multiplicando todos los elementos de la matriz por el escalar, siendo el resultado una matriz de igual orden que la original: đ??ˇ(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = đ?œ† đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘‘đ?‘–,đ?‘— âˆś đ?‘‘đ?‘–,đ?‘— = đ?œ† đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— ∀ đ?‘–, đ?‘—}

Ejemplo 2: Si đ??´(4đ?‘‹1)

2 2 −6 −5 −5 15 = ( ) đ?‘Ś đ?œ† = −3, ⇒ đ??ˇ(4đ?‘‹1) = −3 ( ) = ( ) 4 4 −12 3 3 −9

3 Resta de matrices: La resta de matrices se define igual que en ĂĄlgebra bĂĄsica, esto es, como una suma en la que uno de los elementos es multiplicado por –1, pero en ĂĄlgebra lineal, al tratarse finalmente de una suma de matrices, se tiene la restricciĂłn de que solamente podrĂĄn restarse matrices que sean del mismo orden: đ??š(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) − đ??ľ(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) + (−1) đ??ľ(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘“đ?‘–,đ?‘— âˆś đ?‘“đ?‘–,đ?‘— = đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— + (−1) đ?‘?đ?‘–,đ?‘— ∀ đ?‘–, đ?‘—} Ejemplo 3: Si đ??´(2đ?‘‹4) = (

1 7

−3 −4

0 6

2 −2 ) đ?‘Ś đ??ľ(2đ?‘‹4) = ( 5 2

đ??´(2đ?‘‹4) − đ??ľ(2đ?‘‹4) = đ??´(2đ?‘‹4) + (−1) đ??ľ(2đ?‘‹4) = ( =(

1 7

−3 −4

0 6

2 2 )+( 5 −2

1 7

3 0

1 −1

−4 ) ⇒ 5

−3 0 2 −2 3 1 −4 ) + (−1) ( )= −4 6 5 2 0 −1 5 −3 −1 4 3 −6 −1 6 )=( ) 0 1 −5 5 −4 7 0

4 CombinaciĂłn lineal de matrices o vectores: Aunque el concepto de combinaciĂłn lineal de matrices serĂĄ fundamental en desarrollos posteriores, se define Ăşnicamente a partir de las operaciones definidas antes: es decir, se tendrĂĄ una combinaciĂłn lineal de matrices cuando se realicen Ăşnica y exclusivamente operaciones de suma, resta y multiplicaciĂłn por escalar entre matrices. Debe quedar claro que para que pueda decirse que se trata de una combinaciĂłn lineal de matrices no puede haber ningĂşn otro tipo de operaciĂłn diferente de las tres mencionadas. Ahora bien, como la suma de matrices supone que las matrices sumando son del mismo orden, y la combinaciĂłn lineal de matrices supone a su vez sumas de matrices, es obvio que solamente podrĂĄ haber combinaciĂłn lineal entre matrices del mismo orden (el superĂ­ndice en las matrices A solamente sirve para numerarlas y, con ello, distinguirlas): đ?‘? (đ?‘˜)

đ?‘?(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = ∑ đ?›źđ?‘˜ đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) , đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?›ź đ?œ– â„› đ?‘˜=1

0 (1) Ejemplo 4: Si đ??´(3đ?‘‹2) = (7 6

−2 −4 (2) 6 ) , đ??´(3đ?‘‹2) = ( 4 1 −3

8 2 (3) 2) , đ??´(3đ?‘‹2) = ( 1 5 −7

đ?›ź1 = 2, đ?›ź2 = 3, đ?›ź3 = −3,

0 0), 9

0 ⇒ đ?‘?(3đ?‘‹2) = 2 (7 6

−2 −4 6 ) + 3( 4 1 −3

8 2 2) + (−3) ( 1 5 −7

0 −18 0) = ( 23 9 24

20 18 ) −10

5 Producto escalar o punto de vectores: Sean los vectores đ?‘ĽĚ…(1đ?‘‹đ?‘›) y đ?‘ŚĚ…(đ?‘›đ?‘‹1) , o sea un vector renglĂłn y un vector columna, cada uno con el mismo nĂşmero de elementos. Esta forma de producto se denomina prducto escalar porque su resultado es precisamente un escalar, o sea, un nĂşmero; pero tambiĂŠn se denomina producto punto porque es la forma en que se representa para diferenciarlo de otra forma de multiplicaciĂłn: el producto cruz. Entonces, el producto punto transforma dos vectores en un escalar, mediante la suma de los productos de los elementos de los vectores: đ?‘ĽĚ…(1đ?‘‹đ?‘›) â‹… đ?‘ŚĚ…(đ?‘›đ?‘‹1) = ∑đ?‘›đ?‘˜=1(đ?‘Ľđ?‘˜ ) (đ?‘Śđ?‘˜ )

Ejemplo 5: Si đ?‘˘Ě…(1đ?‘‹6) = (2, −1, 3, 0, 5, −4 ) y đ?‘ŁĚ… (6đ?‘‹1)

⇒ đ?›ź = đ?‘˘Ě…(1đ?‘‹6) â‹… đ?‘ŁĚ…(6đ?‘‹1) = (2, −1,

3,

−1 7 0 = , 10 2 (6) −1 7 0 5, −4 ) ⋅ = 10 2 (6)

0,

= (2)(−1) + (−1)(7) + (3)(0) + (0)(10) + (5)(2) + (−4)(6) = = (−2) + (−7) + (0) + (0) + (10) + (−24) = −23 6 Producto de matrices: El producto de dos matrices no es sino una sucesiĂłn de productos escalares o productos punto entre los vectores que conforman las matrices, tomando los vectores renglĂłn de la matriz que se encuentra a la izquierda (la que premultiplica) y los vectores columna de la que estĂĄ a la derecha (la que postmultiplica). Por esta razĂłn, al multiplicar dos matrices debe tenerse mucho cuidado en no alterar el orden en que aparecen escritas porque, segĂşn lo establecido para el producto escalar de vectores, para poder multiplicar dos matrices se requiere como condiciĂłn previa que ellas sean conformables para el producto, esto es, que el nĂşmero de columnas de la matriz que premultiplica sea igual al de los renglones de la matriz que đ?‘? postmultiplica: đ?‘Š(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘?) đ??ľ(đ?‘?đ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘¤đ?‘–,đ?‘— : đ?‘¤đ?‘–,đ?‘— = ∑đ?‘˜=1 đ?‘Žđ?‘–,đ?‘˜ đ?‘?đ?‘˜,đ?‘— ∀ đ?‘–, đ?‘—} 1 Ejemplo 6: đ??´(3đ?‘‹2) = (0 2

−2 1 5 ) đ?‘Ś đ??ľ(2đ?‘‹4) = ( 2 0

−2 4

−1 0

0 ),⇒ 6

đ?‘Š(3đ?‘‹4) = đ??´(3đ?‘‹2) đ??ľ(2đ?‘‹4) (1)(1) + (−2)(2) (1)(−2) + (−2)(4) (1)(−1) + (−2)(0) (1)(0) + (−2)(6) (0)(−2) + (5)(4) (0)(−1) + (5)(0) (0)(0) + (5)(6) ) = ( (0)(1) + (5)(2) (2)(1) + (0)(2) (2)(−2) + (0)(4) (2)(−1) + (0)(0) (2)(0) + (0)(6) 1 − 4 −2 − 8 −1 + 0 0 − 12 −3 −10 −1 −12 = (0 + 10 0 + 20 0 + 0 0 + 30) = ( 10 20 0 30 ) 2 + 0 −4 + 0 −2 + 0 0 + 0 2 −4 −2 0

7 Potencia entera positiva de matrices: Igual que en ĂĄlgebra bĂĄsica, la potencia de matrices no es sino una serie de productos sucesivos; sin embargo, dada la condiciĂłn de conformabilidad del producto de matrices, para que la potencia de una matriz sea posible se requiere que esta sea cuadrada: đ?‘› 2

đ??ľ(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = (đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) ) = đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = {đ?‘?đ?‘–,đ?‘— : đ?‘?đ?‘–,đ?‘— = ∑ đ?‘Žđ?‘–,đ?‘˜ đ?‘Žđ?‘˜,đ?‘— ∀ đ?‘–, đ?‘—} đ?‘˜=1 3

2

đ??ś(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = (đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) ) = đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = ( đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) ) đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) = đ??ľ(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) đ?‘›

= {đ?‘?đ?‘–,đ?‘— : đ?‘?đ?‘–,đ?‘— = ∑ đ?‘?đ?‘–,đ?‘˜ đ?‘Žđ?‘˜,đ?‘— ∀ đ?‘–, đ?‘—} đ?‘˜=1

Ejemplo 7: Si đ??´(2đ?‘‹2) = (

3 2

−1 3 ) , ⇒ đ??´2(2đ?‘‹2) = ( 5 2

đ??´3(2đ?‘‹2) = đ??´2(2đ?‘‹2) đ??´(2đ?‘‹2) = (

3 2

−1 3 )( 5 2

−1 3 )( 5 2 −1 3 )( 5 2

−1 7 )=( 5 16 −1 7 )=( 5 16

−8 ) 23 −8 3 )( 23 2

−1 5 )=( 5 94

−47 ) 99

8 Producto de matriz por vector: Es un caso especial del producto de matrices, puesto que un vector es una matriz con un Ăşnico renglĂłn o una Ăşnica columna. La forma de realizar este producto es, por supuesto, la misma que la del producto de matrices, observando, como siempre, que se satisfaga la condiciĂłn de conformabilidad. Debe notarse que el producto de una matriz por un vector da como resultado un vector. đ?‘?

đ?‘?Ě…(đ?‘šđ?‘‹1) = đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) đ?‘?Ě…(đ?‘›đ?‘‹1) = {đ?‘?Ě…đ?‘–,1 : đ?‘?đ?‘–,1 = ∑ đ?‘Žđ?‘–,đ?‘˜ đ?‘?đ?‘˜,1 ∀ đ?‘– } đ?‘˜=1

Ejemplo 8: đ?‘?Ě…(4đ?‘‹1) = đ??´(4đ?‘‹3) đ?‘?Ě…(3đ?‘‹1)

3 −1 =( 4 0

0 −1 2 2

1 2 1 0 1 ) (−2) = ( ) 0 0 −1 −3 −7

9 Producto de vector por matriz: Es otro caso especial del producto de matrices semejante al anterior.

Ejemplo 9: đ?‘¤ Ě…(1đ?‘‹4) đ??´(4đ?‘‹3)

3 −1 = (2, −1, 0, 3) ( 4 0

0 −1 2 2

1 0 ) = (7, 7, −4) 0 −3

10 Cociente de matrices: No estĂĄ definido el cociente de matrices. 11 TransposiciĂłn de matrices: La transposiciĂłn de matrices es una operaciĂłn que no estĂĄ presente el ĂĄlgebra bĂĄsica. Transponer una matriz implica convertir sus renglones en columnas, aunque manteniendo la posiciĂłn relativa de ellos o, si se prefiere, convertir sus columnas en renglones, manteniendo la posiciĂłn relativa entre ellas. Si đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) , entonces, la matriz transpuesta de A, se representa por đ??´đ?‘‡(đ?‘›đ?‘‹đ?‘š) .

Ejemplo 11: Si đ??´(2đ?‘‹4)

0 ={ 3

−2 −2

0 −2 5 }, entonces đ??´(4đ?‘‹2) = ( 4 6 5

4 −1

3 −2 ) −1 6

XXX.5 Operaciones elementales sobre los renglones de una matriz 1 Aplicaciones de las operaciones elementales (OO. EE.): Las tres operaciones elementales sobre los renglones de una matriz son una sistematizaciĂłn de operaciones del ĂĄlgebra bĂĄsica que se realizan al resolver un sistema de ecuaciones lineales simultĂĄneas por los mĂŠtodos de sustituciĂłn o de eliminaciĂłn. Su uso en ĂĄlgebra lineal es diverso: resolver el mismo tipo de sistemas que en el ĂĄlgebra bĂĄsica, obtener la matriz inversa para matrices no singulares y evaluar determinantes son los mĂĄs usuales. Las tres operaciones son: multiplicar un renglĂłn cualquiera por un escalar diferente de cero, intercambiar renglones y sumar a un renglĂłn el mĂşltiplo de otro de sus renglones. 2 Multiplicar un renglĂłn cualquiera de una matriz por un escalar diferente de cero: Para cualquier matriz, se puede multiplicar cualquier renglĂłn por un escalar (o sea, por un nĂşmero) no nulo. Si el escalar es diferente de la unidad, el resultado serĂĄ, por supuesto, una matriz distinta a la original. Ejemplo 2: Multiplicar el renglĂłn 2 de la matriz A por el escalar 5: 2 (−1 0

7 2 3) ⇒ 5đ?‘&#x;2 ⇒ (5(−1) 4 0

7 2 5(3)) = (−5 4 0

7 15) 4

3 Intercambio de renglones: Para cualquier matriz, se pueden intercambiar dos renglones cualesquiera o, lo que es equivalente, puede cambiarse cualquier renglĂłn de posiciĂłn, cuidando de cambiar todo el renglĂłn y de no alterar la posiciĂłn de los elementos correspondientes: Ejemplo 3: Para la matriz A, intercambiar los renglones 4 y 2: 3 0 ( 4 6

−1 1 2 9

1 3 5 6 ) ⇒ đ?‘&#x;4 ↔ đ?‘&#x;2 ⇒ ( 1 4 8 0

−1 9 2 1

1 8 ) 1 5

o, si se desea, se puede simplemente pasar el renglĂłn 4 al 2, por lo que el segundo renglĂłn inicial pasa a ser el tercero, y el tercero pasa a ser el cuarto: 3 0 ( 4 6

−1 1 2 9

1 3 5 6 ) ⇒ đ?‘&#x;4 → đ?‘&#x;2 ⇒ ( 1 0 8 4

−1 9 1 2

1 8 ) 5 1

4 Sumar a un renglĂłn de una matriz el mĂşltiplo de otro de sus renglones: Para cualquier matriz, se le puede sumar a uno cualquiera de sus renglones el resultado de multiplicar otro de los renglones de la misma matriz por un escalar no nulo: Ejemplo 4: Para la matriz A, sumar a su primer renglĂłn el resultado de multiplicar el tercero por 2:

−1 (2 −2

2 4 1

4 3 0

3 −1 + 2(−2) 6 ) ⇒ đ?‘&#x;1 + 2đ?‘&#x;3 ⇒ ( 2 −1 −2 −5 4 4 1 =( 2 4 3 6 ) −2 1 0 −1

2 + 2(1) 4 1

4 + 2(0) 3 0

3 + 2(−1) ) 6 −1

XXX.6 Propiedades de las operaciones con matrices Sean đ??´(2đ?‘‹2) = (

1 2

−3 6 ) , đ??ľ(2đ?‘‹2) = ( 5 0

−2 −4 ) , đ??ś(2đ?‘‹2) = ( 1 5

3 ) , đ?œ† = 4, đ?œ‡ = −2 −4

1 Propiedad conmutativa de la suma: đ??´ + đ??ľ = đ??ľ + đ??´ Ejemplo 1: đ??´ + đ??ľ = (

1 2

−3 6 )+( 5 0

−2 7 )=( 1 2

6 −5 )=( 0 6

−2 1 )+( 1 2

−3 )=đ??ľ+đ??´ 5

2 Propiedad del neutro aditivo: đ??´ + 0(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) = đ??´ Ejemplo 2: đ??´ + 0 = (

1 2

−3 0 )+( 5 0

0 1 )=( 0 2

−3 ) 5

3 Propiedad asociativa de la suma: (đ??´ + đ??ľ) + đ??ś = đ??´ + (đ??ľ + đ??ś) 1 Ejemplo 3: (đ??´ + đ??ľ) + đ??ś = [( 2

đ??´ + (đ??ľ + đ??ś) = (

1 2

−3 6 )+( 5 0

−2 −4 )] + ( 1 5

3 )= −4

7 =( 2

−4 −5 )+( 5 6

3 3 )=( −4 7

−3 6 ) + [( 5 0

−2 −4 )+( 1 5

3 )] = −4

−3 2 )+( 5 5

1 3 )=( −3 7

=(

1 2

−2 ) 2

−2 ) 2

4 0đ??´ = 0(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›) (ObsĂŠrvese que mientras que el 0 a la izquierda de la matriz đ??´ se refiere al escalar 0, el de la derecha del signo de igualdad se refiere a la matriz nula. Ejemplo 4:

0đ??´=0(

1 2

−3 0 )=( 5 0

0 ) = 0(2đ?‘‹2) 0

5 Propiedad distributiva de la multiplicaciĂłn por escalar sobre la suma de matrices: đ?œ†(đ??´ + đ??ľ + â‹Ż + đ??ś) = đ?œ†đ??´ + đ?œ†đ??ľ + â‹Ż + đ?œ†đ??ś Ejemplo 5: đ?œ†(đ??´ + đ??ľ + đ??ś) = 4 [(

1 2

−3 6 )+( 5 0

−2 −4 )+( 1 5

3 )] = −4

3 7

−2 12 )=( 2 28

−8 ) 8

= 4( 1 2

−3 6 ) +4( 5 0

−2 −4 ) + 4( 1 5

3 )= −4

4 8

−12 24 )+( 20 0

−8 −16 )+( 4 20

12 12 )=( −16 28

đ?œ†đ??´ + đ?œ†đ??ľ + đ?œ†đ??ś = 4 ( =(

−8 ) 8

6 Propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto por matriz: (đ?œ† + đ?œ‡)đ??´ = đ?œ†đ??´ + đ?œ‡đ??´ Ejemplo 6: (4−2) (

1 2

−3 1 ) = 2( 5 2

= 4(

1 2

−3 2 )=( 5 4

−3 1 ) + (−2) ( 5 2

−6 )= 10

−3 4 )=( 5 8

−12 −2 )+( 20 −4

6 2 )=( −10 4

−6 ) 10

7 El producto de matrices, en general, no es conmutativo: En general, đ??´đ??ľ ≠đ??ľđ??´. Es preciso distinguir varios casos: Caso 1: Ambos productos pueden realizarse, pero su resultado es diferente: 1 Ejemplo 7.1: đ??´đ??ľ = ( 2

−3 6 )( 5 0

−2 6 )=( 1 12

6 −5 ) ≠đ??ľđ??´ = ( 0 1

−2 1 )( 1 2

−3 2 )=( 5 2

−28 ) 5

Caso 2: Solamente uno de los productos puede realizarse. 1 −3 1 −2 0 −11 −11 6 )( )=( ), pero đ??ś(2đ?‘‹3) đ??´(2đ?‘‹2) no se puede 2 5 4 3 −2 22 11 −10 realizar porque no son conformables para el producto, puesto que 3 ≠2. Ejemplo 7.2: đ??´đ??ś = (

Caso 3: Ninguno de los productos puede realizarse. Ejemplo 7.3: đ??´(2đ?‘‹2) đ??ˇ(3đ?‘‹4) no puede realizarse porque 2 ≠3; pero, ademĂĄs, đ??ˇ(3đ?‘‹4) đ??´(2đ?‘‹2) tampoco puede realizarse porque 4 ≠2. Caso 4: En muchas ocasiones, el producto sĂ­ es conmutativo. El caso mĂĄs obvio es el que involucra a la matriz identidad, que posee la propiedad de ser el neutro multiplicativo: Ejemplo 7.4: đ??´đ??ź2 = (

1 2

−3 1 )( 5 0

0 1 )=( 1 2

−3 1 ), o bien đ??ź2 đ??´ = ( 5 0

0 1 )( 1 2

−3 1 )=( 5 2

−3 ) 5

XXX.7 Determinantes 1 DefiniciĂłn: Para cualquier matriz cuadrada, đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) , el determinante es una funciĂłn que le asigna un Ăşnico escalar a la matriz; es decir, el determinante es una regla de correspondencia que transforma una matriz cuadrada en un Ăşnico nĂşmero. Si el valor del determinante es cero se dirĂĄ que la matriz es singular, y en caso contrario, que es no singular. Pero debe observarse que el determinante existe Ăşnica y exclusivamente para matrices cuadradas. 2 FunciĂłn determinante: La regla de correspondencia a que se refiere la definiciĂłn anterior es la siguiente: Sea la matriz A cuadrada de orden n; entonces, su determinante es el escalar resultante de la suma de đ?‘›! tĂŠrminos con signo, cada uno de los cuales es el producto de exactamente đ?‘› elementos de la matriz, tĂŠrminos que se obtienen de tomar un elemento de cada renglĂłn y de cada columna; es decir, resultan de las permutaciones de los elementos de los renglones y de las columnas. Del total de sumandos, exactamente la mitad mantendrĂĄn el signo con que resulten del producto de elementos de la matriz (si la permutaciĂłn de la que se obtienen es par), y a la otra mitad se les cambiarĂĄ (si la permutaciĂłn de la que se obtienen es impar), y es por esto que se dice que se trata de una suma de productos con signo. El determinante se denota usualmente de dos maneras: det đ??´ = |đ??´|; aquĂ­ se usarĂĄn ambas notaciones indistintamente.

đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? Ejemplo 2: Sea la matriz đ??´(3đ?‘‹3) = (đ?‘‘ đ?‘’ đ?‘“), lo cual supone que habrĂĄ 3! = 3 đ?‘‹ 2 = 6 sumandos, đ?‘” â„Ž đ?‘– a 3 de los cuales se les respetarĂĄ y a los otros tres se les cambiarĂĄ el signo que resulte del producto. Entonces, det đ??´ = (đ?‘Žđ?‘’đ?‘– + đ?‘?đ?‘“đ?‘” + đ?‘‘â„Žđ?‘?) − (đ?‘”đ?‘’đ?‘? + đ?‘‘đ?‘?đ?‘– + â„Žđ?‘“đ?‘Ž) 3 PermutaciĂłn: Dados los elementos de un conjunto, una permutaciĂłn de ellos se refiere al orden o disposiciĂłn en que aparecen; formalmente se define como una funciĂłn biyectiva. Ejemplo 3: Sea el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Entonces, escribir los elementos de ese conjunto como “1, 2, 3, 4, 5", o "1, 2, 3, 5, 4", o "5, 4, 3, 2, 1" no es sino escribir diferentes permutaciones de los elementos. 4 PermutaciĂłn par o impar: De acuerdo con la definiciĂłn, al evaluar un determinante debemos tomar siempre un Ăşnico elemento de cada renglĂłn y de cada columna para obtener los sumandos con signo que han de agregarse. Esta selecciĂłn de un Ăşnico elemento de cada renglĂłn y de cada columna significa construir todas las permutaciones posibles de los mismos. Y la indicaciĂłn de que sea “con signoâ€? refiere a que si la permutaciĂłn es par mantiene el signo (o sea, se multiplica por +1), y si es impar se le cambia (o sea, se multiplica por −1). Partiendo del orden de los nĂşmeros naturales, en la que cualquier nĂşmero de la sucesiĂłn es menor que los que le siguen, una permutaciĂłn es par si altera o viola un nĂşmero par de veces el orden de los nĂşmeros naturales, e impar si lo altera o viola en un nĂşmero impar de ocasiones. Ejemplo 4: Sea el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Entonces, la permutaciĂłn “1, 2, 3, 4, 5" es par poque contiene cero violaciones del orden de los nĂşmeros naturales; "1, 2, 3, 5, 4" es impar porque contiene una violaciĂłn (5,4: estĂĄn invertidos); "5, 4, 3, 2, 1" es par porque lo viola diez veces: 5, 4; 5,3; 5,2; 5,1; 4,3; 4,2; 4,1; 3,2; 3,1; đ?‘Ś 2,1.

XXX.8 Propiedades de los determinantes: 1 Si se multiplica un renglĂłn (columna) por un escalar, el determinante queda multiplicado por ese mismo escalar. 0 Ejemplo 1: Si đ??´ = (−1 2

−2 3 −4

4 0 1) ⇒ 5 đ?‘&#x;2 ⇒ đ??ľ = (−5 6 2

−2 15 −4

4 5), entonces como 6

det(đ??´) = −24, ⇒ det(đ??ľ) = 5(−24) = −120 2 Si se intercambian dos renglones (columnas) cualesquiera, el signo del determinante cambia. 0 Ejemplo 2: Si đ??´ = (−1 2

−2 3 −4

4 2 1) ⇒ đ?‘&#x;1 ↔ đ?‘&#x;3 ⇒ đ??ľ = (−1 6 0

−4 3 −2

6 1), entonces como 4

det(đ??´) = −24, ⇒ det(đ??ľ) = 24 3 Si a un renglĂłn (columna) cualquiera se le suma (resta) el mĂşltiplo de otro renglĂłn o columna, el valor del determinante no cambia.

0 Ejemplo 3: Si đ??´ = (−1 2 −24, ⇒ det(đ??ľ) = −24

−2 3 −4

4 4 1) ⇒ đ?‘&#x;1 + 2đ?‘&#x;3 ⇒ đ??ľ = (−1 6 2

−10 3 −4

16 1 ), entonces como det (đ??´) = 6

4 El determinante de una matriz triangular superior (inferior) es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 2 0 Ejemplo 4: Si đ??´ = ( 0 0

−1 −1 0 0

10 250 −5 0

5 3 ) ⇒ det(đ??´) = (2)(−1)(−5)(3) = 30 4 3

5 El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 3 0 Ejemplo 5: Si đ??´ = 0 0 (0

0 −1 0 0 0

0 0 4 0 0

0 0 0 2 0

0 0 0 ⇒ det(đ??´) = (3)(−1)(4)(2)(−2) = 48 0 −2)

6 El determinante de una matriz escalar es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 2 Ejemplo 6: Si đ??´ = (0 0

0 2 0

0 0) ⇒ det(đ??´) = (2)(2)(2) = 8 2

XXX.9 EvaluaciĂłn del determinante de matrices de orden (2X2) o de (3X3): regla de Sarrus 1 Regla de Sarrus para evaluar determinantes de matrices de orden (2X2): Como evaluar determinantes con base en la definiciĂłn es un trabajo muy engorroso, se han desarrollado mĂŠtodos para ello. AsĂ­, el valor del determinante de una matriz cuadrada de orden 2 tendrĂĄ exactamente 2! = 2 sumandos, cada uno resultado de multiplicar dos elementos de la matriz y a uno de los cuales se le cambiarĂĄ el signo. En concreto, el determinante de una matriz de orden 2 es el resultado de restar al producto de los elementos de la diagonal principal, el producto de los đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ž đ?‘? elementos que estĂĄn fuera de ella. Es decir: si đ??´ = ( ), entonces det(đ??´) = | |= đ?‘? đ?‘‘ đ?‘? đ?‘‘ (đ?‘Ž)(đ?‘‘)– (đ?‘?)(đ?‘?) Ejemplo 1: Sea đ??´ = (

3 1

3 det(đ??´) = | 1

−2 ), entonces –5 −2 | = (3)(−5) − (1)(−2) = (−15) − (−2) = −15 + 2 = −13 −5

2 Regla de Sarrus para evaluar determinantes de matrices de orden (3X3): El valor del determinante de una matriz cuadrada de orden 2 tendrĂĄ exactamente 3! = 3đ?‘‹3 = 6 sumandos, cada uno de los cuales serĂĄ el resultado de multiplicar tres elementos de la matriz seleccionados de tal manera que en cada sumando haya un Ăşnico elemento de cada de renglĂłn y de cada columna. Ahora bien, a la mitad de esos sumandos se les respetarĂĄ el signo con que resulten por

tratarse de permutaciones pares, y a la otra mitad deberĂĄ cambiĂĄrsele el signo por tratarse de permutaciones impares. La selecciĂłn de cada permutaciĂłn resulta claramente mĂĄs compleja para matrices cuadradas de orden 3 que de orden 2. Veamos primero las tres permutaciones pares. đ?‘Ž Sea la matriz đ??´ = (đ?‘‘ đ?‘”

đ?‘? đ?‘’ â„Ž

đ?‘? đ?‘“). Los productos que resultan de permutaciones pares son: đ?‘– đ?‘¨ đ??´ = (đ?‘‘ đ?‘”

đ?‘? đ?‘Ź â„Ž

đ?‘? đ?‘“) ⇒ (đ?‘Ž)(đ?‘’)(đ?‘–) đ?‘°

đ?‘Ž đ??´ = (đ?‘‘ đ?‘Ž

đ?‘Š đ?‘? đ?‘’ đ?‘­) ⇒ (đ?‘?)(đ?‘“)(đ?‘”) â„Ž đ?‘–

đ?‘Ž đ??´ = (đ?‘Ť đ?‘”

đ?‘? đ?‘’ đ?‘Ż

đ?‘Ş đ?‘“ ) ⇒ (đ?‘‘)(â„Ž)(đ?‘?) đ?‘–

Los productos que resultan de permutaciones impares son: đ?‘Ž đ??´ = (đ?‘‘ đ?‘Ž

đ?‘? đ?‘Ź â„Ž

đ?‘Ş đ?‘“ ) ⇒ (đ?‘”)(đ?‘’)(đ?‘?) đ?‘–

đ?‘Ž đ??´ = (đ?‘Ť đ?‘”

đ?‘Š đ?‘’ â„Ž

đ?‘? đ?‘“) ⇒ (đ?‘‘)(đ?‘?)(đ?‘–) đ?‘°

đ?‘¨ đ??´ = (đ?‘‘ đ?‘”

đ?‘? đ?‘’ đ?‘Ż

đ?‘? đ?‘­) ⇒ (â„Ž)(đ?‘“)(đ?‘Ž) đ?‘–

De donde, en conclusiĂłn: đ?‘Ž det(đ??´) = |đ?‘‘ đ?‘”

đ?‘? đ?‘’ â„Ž

đ?‘? đ?‘“ | = [(đ?‘Ž)(đ?‘’)(đ?‘–) + (đ?‘?)(đ?‘“)(đ?‘”) + (đ?‘‘)(â„Ž)(đ?‘?)]– [(đ?‘”)(đ?‘’)(đ?‘?) + (đ?‘‘)(đ?‘?)(đ?‘–) + (â„Ž)(đ?‘“)(đ?‘Ž)] đ?‘–

0 Ejemplo 2: Si đ??´ = (−1 2

−2 3 −4

4 0 1), entonces det(đ??´) = |−1 6 2

−2 3 −4

4 1| = 6

= [(0)(3)(6) + (−2)(1)(2) + (−1)(−4)(4)] − [(2)(3)(4) + (−1)(−2)(6) + (−4)(1)(0)] = = [(0) + (−4) + (16)] − [(24) + (12) + (0)] = (12) − (36) = −24 3 No existe regla de Sarrus para evaluar determinantes de matrices de orden superior a (3X3) 4 Otros mĂŠtodos para evaluar determinantes: Para evaluar manualmente el determinante de una matriz cuadrada de orden 4 o superior, las opciones usuales son el mĂŠtodo de desarrollo de cofactores y el de las operaciones elementales. No son las Ăşnicas, pero sĂ­ las mĂĄs comunes.

XXX.10 EvaluaciĂłn de determinantes mediante el desarrollo por cofactores

1 Menor del elemento de una matriz: El menor del elemento de una matriz es el valor del determinante de la matriz que resulta de eliminar el renglĂłn y la columna correspondientes al elemento. Para la matriz đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) , el menor del elemento đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— se denota por đ?‘€đ?‘–,đ?‘— . −2 Ejemplo 1: Sea đ??´(3đ?‘‹3) = ( 0 4

1 2 −4

3 −2 5 ). Entonces đ?‘€2,3 = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą ( 4 −1

1 −2 )=| −4 4

1 |=4 −4

2 Cofactor del elemento de una matriz: El concepto de cofactor del elemento de una matriz, en tanto se basa en el de menor reciĂŠn planteado, solamente tiene sentido igualmente para matrices cuadradas, y se denota por đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— : đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = (−1)đ?‘–+đ?‘— đ?‘€đ?‘–,đ?‘— −2 1 3 Ejemplo 2: Sea đ??´(3đ?‘‹3) = ( 0 2 5 ). Entonces đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž2,3 = (−1)2+3 đ?‘€2,3 = 4 −4 −1 −2 1 −2 1 (−1)5 đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą ( ) = (−1) | | = (−1)(4) = −4 4 −4 4 −4 3 El mĂŠtodo de desarrollo por cofactores para evaluar determinantes: Es un mĂŠtodo aplicable a la evaluaciĂłn de determinantes de matrices de cualquier orden; sin embargo, dada la relativa simplicidad de la regla de Sarrus, el desarrollo por cofactores es recomendable para matrices cuadradas de orden 4 y superior. MĂĄs aĂşn, dado que para matrices de orden 5 y superior el menor de cada elemento resulta ser un determinante de orden 4 o superior que no puede evaluarse fĂĄcilmente, el desarrollo por cofactores resulta conveniente, en dado caso, solo para matrices de orden 4; para matrices de orden 5 y 6 serĂ­a mĂĄs eficiente aplicar el desarrollo de Laplace, y para matrices de orden superior habrĂ­a que emplear otros mĂŠtodos por lo engorroso de los cĂĄlculos que deben realizarse (vĂŠase el siguiente inciso). 4 Desarrollo por cofactores para evaluar determinantes: Para evaluar un determinante con el mĂŠtodo de desarrollo por cofactores, se escoge un renglĂłn o columna cualquiera (aunque efectivamente se puede seleccionar cualquier renglĂłn o columna, es conveniente escoger el que tenga mĂĄs ceros porque con ello se reducen los cĂĄlculos a realizar). Hecho esto, el valor del determinante serĂĄ el resultado de la suma de los productos de cada uno de los elementos del renglĂłn o columna seleccionado, por sus correspondientes cofactores. Entonces, si se selecciona, por ejemplo, el renglĂłn đ?‘– de la matriz: đ?‘›

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą (đ??´) = ∑ đ?‘Žđ?‘–,đ?‘&#x; đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘–,đ?‘&#x; đ?‘&#x;=1

Pero si lo que se selecciona es la columna đ?‘—: đ?‘›

đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´) = ∑ đ?‘Žđ?‘&#x;,đ?‘— đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘&#x;,đ?‘— đ?‘&#x;=1

2 −3 1 −1 4 −2 −1 0 Ejemplo 4: Sea la matriz đ??´(4đ?‘‹4) = ( ). Como đ?‘Ž2,4 = 0, conviene seleccionar el 3 −1 1 2 2 −2 5 2 renglĂłn 2 o la columna 4. (AquĂ­ se seleccionan los dos sucesivamente con propĂłsitos ilustrativos, pero debe ser claro que basta con efectuar uno y solo uno de los cĂĄlculos.)

Si se selecciona el renglĂłn 2: đ??´(4đ?‘‹4)

2 4 =( 3 2

−3 −2 −1 −2

1 −1 1 5

4

−1 0 ),⇒ 2 2 4

det(đ??´) = ∑ đ?‘Ž2,đ?‘&#x; đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž2,đ?‘&#x; = ∑ đ?‘Ž2,đ?‘&#x; [(−1)2+đ?‘&#x; đ?‘€2,đ?‘&#x; ] = đ?‘&#x;=1

đ?‘&#x;=1

= đ?‘Ž2,1 (−1)2+1 đ?‘€2,1 + đ?‘Ž2,2 (−1)2+2 đ?‘€2,2 + đ?‘Ž2,3 (−1)2+3 đ?‘€2,3 + đ?‘Ž2,4 (−1)2+4 đ?‘€2,4 = −3 = (4)(−1) |−1 −2

1 1 5

−1 2 2 | + (−2)(1) |3 2 2

1 1 5

−1 2 2 | + (−1)(−1) |3 2 2

−3 −1 −2

−1 2 |+0= 2

= (4)(−1)(25) + (−2)(1)(−31) + (−1)(−1)(14) + 0 = = (−100) + (62) + (14) + 0 = −24

Si se selecciona la columna 4: đ??´(4đ?‘‹4)

4

2 4 =( 3 2

−3 −2 −1 −2

1 −1 1 5

−1 0 ),⇒ 2 2

4

det(đ??´) = ∑ đ?‘Žđ?‘&#x;,4 đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘&#x;,4 = ∑ đ?‘Žđ?‘&#x;,4 [(−1)đ?‘&#x;+4 đ?‘€đ?‘&#x;,4 ] = đ?‘&#x;=1

đ?‘&#x;=1

= đ?‘Ž1,4 (−1)1+4 đ?‘€1,4 + đ?‘Ž2,4 (−1)2+4 đ?‘€2,4 + đ?‘Ž3,4 (−1)3+4 đ?‘€3,4 + đ?‘Ž4,4 (−1)4+4 đ?‘€4,4 = 4 = (−1)(−1) |3 2

−2 −1 −2

−1 2 1 | + 0 + (2)(−1) |4 5 2

−3 −2 −2

1 2 −1| + (2)(1) |4 5 3

−3 −2 −1

1 −1| = 1

= (−1)(−1)(18) + (2)(−1)(38) + (2)(1)(17) + 0 = = (18) + 0 + (−76) + (34) = −24

XXX.11 EvaluaciĂłn de determinantes mediante operaciones elementales 1 ÂżCuĂĄndo aplicarlo?: El mĂŠtodo de las operaciones elementales es aplicable a la evaluaciĂłn del determinante de una matriz de cualquier orden. Sin embargo, dada la simplicidad de la regla de Sarrus, el mĂŠtodo ahora propuesto resulta eficiente para matrices de orden 4 y superior, siendo preferible incluso sobre el de desarrollo por cofactores, aunque este es un criterio subjetivo sujeto a diferentes apreciaciones. 2 VisiĂłn general del mĂŠtodo: El mĂŠtodo consiste en la aplicaciĂłn de las operaciones elementales sobre los renglones de una matriz, pero teniendo presentes en todo momento las propiedades de los determinantes porque dos de las tres de aquellas operaciones alteran el valor del determinante de la matriz original, razĂłn por la que habrĂĄ que hacer operaciones que las compensen cuando sea el caso. AsĂ­, se tienen bĂĄsicamente dos posibilidades: una consiste en convertir la matriz original en una triangular superior o inferior, y la otra conlleva aplicar las operaciones como si se buscara

transformar la matriz original en una triangular, pero detener el procedimiento cuando ya se tenga en el extremo inferior derecho de la matriz una de (3X3). 3 Operaciones elementales y evaluaciĂłn de determinantes: Intercambio de renglones: El intercambio de dos renglones cualesquiera hace que la permutaciĂłn correspondiente pase de par a impar o viceversa, implicando que debamos cambiar el signo para volver a la situaciĂłn original. Cuando lo que se hace no es intercambiar dos renglones sino simplemente desplazar uno de ellos de una posiciĂłn a otra, tan solo hay que contar cuĂĄntas posiciones se desplaza para saber si la permutaciĂłn correspondiente mantiene o no su carĂĄcter de par o impar: si el nĂşmero de posiciones fue par, la condiciĂłn no cambia ese carĂĄcter y no hay que cambiar el signo, pero si el nĂşmero de posiciones fue impar sĂ­ cambia su carĂĄcter y hay que cambiar el signo para volver a la inicial. (El cambio de signo referido se hace, en todos los casos, multiplicando por −1, por supuesto). 2 3 Ejemplo 3: | 0 −1

6 −1 2 2

4 2 1 3

−2 −1 4 2 | ⇒ đ?‘&#x;4 â&#x;ś đ?‘&#x;1 ⇒ (−1) | 1 3 −2 0

2 6 −1 2

3 4 2 1

−2 −2 | 4 1

4 Operaciones elementales y evaluaciĂłn de determinantes: Multiplicar renglĂłn por escalar: Multiplicar un renglĂłn de una matriz por un escalar, hace que el determinante de la nueva matriz tambiĂŠn quede multiplicado por ese escalar Entonces, si al evaluar el determinante de una matriz se multiplica uno cualquiera de sus renglones por un escalar (no nulo), habrĂĄ que dividir el determinante obtenido de la nueva matriz entre el escalar para obtener el determinante de la matriz original. 2 3 Ejemplo 4: | 0 −1

6 −1 2 2

4 2 1 3

−2 1 4 3 | ⇒ 1â „2 đ?‘&#x;1 ⇒ (2) | 1 0 −2 −1

3 −1 2 2

2 2 1 3

−1 4 | 1 −2

5 Operaciones elementales y evaluaciĂłn de determinantes: A un renglĂłn sumarle (restarle) el mĂşltiplo del otro: Esta operaciĂłn elemental es la Ăşnica que no altera el valor del determinante de la matriz original. 2 3 Ejemplo 5: | 0 −1

6 −1 2 2

4 2 1 3

−2 2 4 0 | ⇒ đ?‘&#x;2 + 3đ?‘&#x;4 ⇒ | 1 0 −2 −1

6 5 2 2

4 11 1 3

−2 −2 | 1 −2

6 AplicaciĂłn del mĂŠtodo de operaciones elementales transformando la matriz original en una matriz triangular superior: Por la facilidad que implica trabajar con el nĂşmero 1 al realizar las operaciones elementales, suele construirse una matriz triangular superior en la que los elementos de la diagonal principal sean uno, o sea, suele construirse una matriz escalonada. Una vez alcanzado este resultado, el valor del determinante serĂĄ el producto de los elementos de la diagonal principal, por todos aquellos factores que debimos incluir por la aplicaciĂłn de las operaciones elementales. Puede haber muchas maneras de llegar a la matriz triangular; pero, sin importar cuĂĄl de las maneras escojamos, el valor del determinante serĂĄ el mismo puesto que es Ăşnico para cada matriz. Cabe seĂąalar, tambiĂŠn, que pueden realizarse dos o mĂĄs operaciones elementales simultĂĄneamente. Por Ăşltimo, sirva este ejemplo para mostrar lo engorroso que puede resultar evaluar el determinante de una matriz cuadrada de orden cinco manualmente.

2 3 Ejemplo 6: Evaluar đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´(4đ?‘‹4) ) = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą ( 0 −1

6 −1 2 2

4 2 1 3

−2 4 )⇒ 1 −2

1 1 3 ⇒ đ?‘&#x;1 ⇒ (2) | 0 2 −1

3 −1 2 2

2 2 1 3

−1 4 |⇒ 1 −2

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 1 đ?‘&#x;2 − 3đ?‘&#x;1 0 ⇒ đ?‘&#x; â&#x;ś đ?‘&#x; ⇒ (2) | 0 3 3 đ?‘&#x;4 + đ?‘&#x;1 0

3 −10 2 5

1 1 0 ⇒ − đ?‘&#x;2 ⇒ (2)(−10) | 10 0 0

3 1 2 5

2 2â „ 5 1 5

−1 − 7⠄10 |⇒ 1 −3

1 đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 0 đ?‘&#x;2 â&#x;ś đ?‘&#x;2 | ⇒ đ?‘&#x; − 2đ?‘&#x; ⇒ (2)(−10) |0 3 2 đ?‘&#x;4 − 5đ?‘&#x;2 0

3 1 0

2 2â „ 5 1â „ 5

0

3

−1 − 7⠄10 | 12⠄ | ⇒ 5 1⠄ 2

1 0 ⇒ 5đ?‘&#x;3 ⇒ (2)(−10)(1â „5) || 0 0

3 1 0 0

2 2â „ 5 1 3

−1 − 7⠄10 |⇒ 12 | 1⠄ 2

1 đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 0 đ?‘&#x;2 â&#x;ś đ?‘&#x;2 ⇒ đ?‘&#x; â&#x;ś đ?‘&#x; ⇒ (2)(−10)(1â „5) || 0 3 3 đ?‘&#x;4 − 3đ?‘&#x;3 0

2 −4 1 5

3 1 0 0

−1 7 |⇒ 1 −3

2 2â „ 5 1 0

−1 − 7⠄10 |⇒ 12 | − 71⠄2

⇒⇒ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´) = (2)(−10)(1â „5)(− 73â „2) = 142 7 AplicaciĂłn del mĂŠtodo de operaciones elementales reduciendo la matriz original a una de orden (3đ?‘‹3): No es necesario transformar la matriz original en una triangular para evaluar su determinante; basta con hacer las operaciones elementales necesarias hasta conseguir en la parte inferior derecha una matriz de (3đ?‘‹3). DespuĂŠs, evaluamos el determinante de esa matriz mediante la reglad e Sarrus, considerando los cambios que hayan provocado las operaciones elementales aplicadas. 2 3 Ejemplo 7: Evaluar đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´(4đ?‘‹4) ) = đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą ( 0 −1

6 −1 2 2

4 2 1 3

−2 4 )⇒ 1 −2

1 1 3 ⇒ đ?‘&#x;1 ⇒ (2) | 0 2 −1 đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 1 đ?‘&#x;2 − 3đ?‘&#x;1 0 ⇒ đ?‘&#x; â&#x;ś đ?‘&#x; ⇒ (2) | 0 3 3 đ?‘&#x;4 + đ?‘&#x;1 0 2 3 ⇒ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą ( 0 −1

6 −1 2 2

4 2 1 3

3 −1 2 2

2 2 1 3

3 −10 2 5

−1 4 |⇒ 1 −2

2 −4 1 5

−1 7 |⇒ 1 −3

−2 −10 4 ) = (2) | 2 1 5 −2

−4 1 5

7 1 |= −3

= (2)[(30 − 20 + 70) − (35 + 24 − 50)] = (2)(80 − 9) = 142

XXX.12 ObtenciĂłn de la matriz inversa mediante la matriz adjunta 1 Matriz no singular o invertible: Recordar que la matriz inversa solamente estĂĄ definida para matrices cuadradas no singulares, es decir, de orden (đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) cuyo determinante sea no nulo: det(đ??´) ≠0. −2 Ejemplo 1 Si đ??´(3đ?‘‹3) = ( 0 4 decir, sĂ­ tiene inversa.

1 2 −4

3 5 ) ⇒ det(đ??´) = −4, por lo que la matriz A es no singular; es −1

2 Matriz de cofactores, đ??śđ?‘œđ?‘“ đ??´: Ya en el inciso (2) del apartado XXX.10 se definiĂł el cofactor de cualquiera de los elementos de una matriz đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) como đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— = (−1)đ?‘–+đ?‘— đ?‘€đ?‘–,đ?‘— De aquĂ­ que la matriz de cofactores de la matriz A, đ??śđ?‘œđ?‘“ đ??´ = {đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Žđ?‘–,đ?‘— } O sea, es una matriz en la que todos los elementos de la matriz original son reemplazados por sus cofactores. Ejemplo 2: Con la misma matriz A del ejemplo anterior: si −2 đ??´(3đ?‘‹3) = ( 0 4

1 2 −4

3 5 ), entonces: −1 đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž1,1 = 18, đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž2,1 = −11, đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž3,1 = −1,

đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž1,2 = 20, đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž2,2 = −10, đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž3,2 = 10,

đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž1,3 = −8 đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž2,3 = −4 đ?‘?đ?‘œđ?‘“ đ?‘Ž3,3 = −4

18 Por tanto: đ??śđ?‘œđ?‘“ đ??´ = (−11 −1

20 −10 10

−8 −4) −4

3 Matriz adjunta, đ??´đ?‘‘đ?‘— đ??´: La matriz adjunta de una matriz đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) se define como la transpuesta de su matriz de cofactores; es decir: đ??´đ?‘‘đ?‘— đ??´ = (đ??śđ?‘œđ?‘“ đ??´)đ?‘‡ Ejemplo 3. Para la misma matriz A del ejemplo anterior, 18 đ??´đ?‘‘đ?‘— đ??´ = (đ??śđ?‘œđ?‘“ đ??´) = (−11 −1

20 −10 10

�

−8 đ?‘‡ 18 −4) = ( 20 −4 −8

−11 −10 −4

−1 10 ) −4

4 Matriz inversa de A, đ??´âˆ’1 : Finalmente, la matriz inversa de A, đ??´âˆ’1 , se define como: đ??´âˆ’1 =

1 đ??´đ?‘‘đ?‘— đ??´ đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą đ??´

Ejemplo 4: Para la misma matriz A de los ejemplos anteriores, como det đ??´ = −40 , ⇒ đ??´âˆ’1 = − − 9â „20 = − 1â „2 1 ( â „5

11â „ 40 1â „ 4 1â „ 10

1 18 ( 20 40 −8

1⠄ 40 −0.450 − 1⠄4 = (−0.500 0.200 1⠄ 10 )

−11 −10 −4

−1 10 ) = −4

0.275 0.250 0.100

0.025 −0.250) 0.100

XXX.13 ObtenciĂłn de la matriz inversa mediante operaciones elementales 1 Rango de una matriz: Definido el rango como el nĂşmero de renglones con al menos un elemento diferente de cero, una vez que la matriz original ha adquirido la forma de una matriz escalonada, hay que tener presente que la matriz inversa solamente estĂĄ definida para matrices cuadradas no singulares, o sea, de orden (đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) cuyo rango sea igual al nĂşmero de columnas de la matriz, o sea, đ?‘&#x;(đ??´) = đ?‘›. 1 −2 1 3 Ejemplo 1 Si đ??´(3đ?‘‹3) = ( 0 2 5 ) ≈ (0 4 −4 −1 0 singular; es decir, sĂ­ tiene inversa.

0 1 0

0 0) ⇒ đ?‘&#x;(đ??´) = đ?‘› = đ?‘›, por lo que la matriz A es no 1

2 ConstrucciĂłn de la matriz aumentada, (đ??´|đ??ź): Para obtener la inversa de la matriz đ??´(đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) , mediante operaciones elementales, primero se construye una nueva matriz de orden (đ?‘› đ?‘‹ 2đ?‘›), que no es sino la matriz original, đ??´, con una matriz identidad del mismo orden a su derecha, đ??źđ?‘› . Esta matriz se representa como (đ??´|đ??ź). 1 Ejemplo 2: Sea đ??´ = (0 3

−2 −2 3

1 −1). Entonces, −2

1 (đ??´|đ??ź) = (0 3

−2 −2 3

1 1 −1| 0 −2 0

0 1 0

0 0) 1

3 ConversiĂłn de (đ??´|đ??ź) en una matriz escalonada mediante operaciones elementales: Mediante operaciones elementales sobre los renglones de esa nueva matriz, se transforma la matriz (đ??´|đ??ź) en una matriz escalonada. Si esa matriz escalonada tiene đ?‘› renglones con al menos un elemento diferente de cero, entonces đ??´âˆ’1 existe. 1 Ejemplo 3: Sea đ??´ = (0 3

−2 −2 3

1 −1) −2 1 ⇒ (đ??´|đ??ź) = (0 3

−2 −2 3

1 1 −1|0 −2 0

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 1 đ?‘&#x; ⇒ 2 â&#x;ś đ?‘&#x;2 ⇒ (0 đ?‘&#x;3 − 3đ?‘&#x;1 0

−2 −2 9

1 1 −1| 0 −5 −3

0 1 0

0 0) ⇒ 1

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 1 đ?‘&#x; ⇒ 3 + 4đ?‘&#x;2 ⇒ (0 đ?‘&#x;2 â&#x;ś đ?‘&#x;3 0

−2 1 −2

1 1 −9|−3 −1 0

0 4 1

0 1) ⇒ 0

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 1 đ?‘&#x; ⇒ 2 â&#x;ś đ?‘&#x;2 ⇒ (0 đ?‘&#x;3 + 2đ?‘&#x;2 0

−2 1 0

1 1 −9 |−3 −19 −6

0 4 9

0 1) ⇒ 2

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 1 đ?‘&#x;2 â&#x;ś đ?‘&#x;2 ⇒ ⇒ ( 0 1 − đ?‘&#x;3 0 19

−2 1 0

1 1 −9| −3 1 6⠄19

0 1 0

0 0) ~ 1

0 4 − 9⠄19

0 1 ) − 2⠄19

4 DeterminaciĂłn del rango, đ?‘&#x;(đ??´): Como la matriz đ??´ tiene ya la forma de una matriz escalonada, se procede a calcular el rango, o sea, a contar el nĂşmero de renglones con al menos un elemento diferente de cero. Ejemplo 4: En la matriz del ejemplo anterior se observa que đ?‘&#x;(đ??´) = 3 = đ?‘›, por lo que podemos concluir que la matriz original es no singular, lo que implica que sĂ­ tiene inversa. 5 ConversiĂłn de (đ??´|đ??ź) en una matriz escalonada reducida: Si la matriz inversa existe, de acuerdo con el criterio establecido en el inciso anterior, se continĂşa la aplicaciĂłn de las operaciones elementales hasta llegar a la escalonada reducida. 1 Ejemplo 5: (0 0

−2 1 0

1 1 −9| −3 1 6⠄19

0 4 − 9⠄19

đ?‘&#x;1 − đ?‘&#x;3 ⇒ đ?‘&#x;2 + 9đ?‘&#x;3 ⇒ đ?‘&#x;3 â&#x;ś đ?‘&#x;3

1 0 0 (

0 1 )⇒ − 2⠄19 −2 1 0

13⠄ 19 0 3 | 0|− ⠄19 1 6 ⠄19

9⠄ 19 5 − ⠄19 − 9⠄19

2⠄ 19 1⠄ 19 ⇒ − 2⠄19 )

đ?‘&#x;1 + 2đ?‘&#x;2 ⇒ đ?‘&#x;2 â&#x;ś đ?‘&#x;2 ⇒ đ?‘&#x;3 â&#x;ś đ?‘&#x;3

1 0 0

7⠄ 19 0 0||− 3⠄19 1 6 ⠄19

0 1 0

(

− 1⠄19 − 5⠄19 − 9⠄19

4⠄ 19 1⠄ 19 2 − ⠄19 )

6 ObtenciĂłn de la inversa, đ??´âˆ’1 : Una vez que la matriz original A, que se encuentra a la izquierda de la matriz (đ??´|đ??ź), se ha convertido en una matriz identidad, la posiciĂłn de la matriz identidad original (a la derecha de la matriz A) estarĂĄ ocupada por la matriz inversa de A, đ??´âˆ’1 . 1 Ejemplo 6: (đ??´|đ??ź) = (0 3

Por tanto, đ??´âˆ’1

−2 −2 3

7⠄ 19 = − 3⠄19 6⠄ ( 19

1 1 −1|0 −2 0

0 1 0

− 1⠄19 − 5⠄19 − 9⠄19

0 1 0) ~ 0 1 0 (

0 1 0

7⠄ 19 0 0||− 3⠄19 1 6 ⠄19

− 1⠄19 − 5⠄19 − 9⠄19

4â „ 19 −1 1â „ 19 ~(đ??ź|đ??´ ) − 2â „19 )

4⠄ 19 1⠄ 19 2 − ⠄19 )

XXX.14 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SIMULTĂ NEAS, SELS 1 DefiniciĂłn de SELS: Un sistema de ecuaciones lineales simultĂĄneas, SELS, es un conjunto ordenado de đ?‘š ecuaciones lineales interrelacionadas a travĂŠs de las đ?‘› incĂłgnitas, puesto que tienen en comĂşn una o mĂĄs de las incĂłgnitas. En tĂŠrminos del ĂĄlgebra bĂĄsica, el SELS se representa como: đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Ž21 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?2 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?đ?‘š En tĂŠrminos del ĂĄlgebra lineal, el SELS se representa como đ??´đ?‘ĽĚ… = đ?‘?Ě…, donde:

Matriz de coeficientes: đ??´(đ?‘šđ?‘‹đ?‘›)

đ?‘Ž11 đ?‘Ž21 =( â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1

Vector columna de incógnitas: �̅(��1)

đ?‘Ž12 đ?‘Ž22 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š2

‌ ‌ ‌

đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ž2đ?‘› ) â‹Ž đ?‘Žđ?‘šđ?‘›

đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 =( â‹Ž ) đ?‘Ľđ?‘›

Vector columna de tĂŠrminos independientes: đ?‘?Ě…(đ?‘šđ?‘‹1)

đ?‘?1 đ?‘?2 =( ) â‹Ž đ?‘?đ?‘š

Ejemplo 1: El SELS: 5đ?‘Ľ1 − 2đ?‘Ľ2 + 4đ?‘Ľ3 = 10 −3đ?‘Ľ1 + 4đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3 = 0 Puede representarse como: đ??´đ?‘ĽĚ… = đ?‘?Ě…, donde: đ??´(2đ?‘‹3)

5 =( −3

−2 4

đ?‘Ľ1 10 4 đ?‘Ľ ) ; đ?‘ĽĚ… = ( 2 ) ; đ?‘?Ě… = ( ) 0 −1 đ?‘Ľ3

2 Vector soluciĂłn de un SELS: Es el conjunto ordenado en columna de valores de las incĂłgnitas que satisfacen simultĂĄneamente a todas las ecuaciones del sistema. 4 Ejemplo 2: Si đ?‘Ľ1 = 4, đ?‘Ľ2 = −6 y đ?‘Ľ3 = 1â „3 , â&#x;š đ?‘ĽĚ… = ( −6 ) 1â „ 3 3 SoluciĂłn paramĂŠtrica de un SELS: Si el SELS tiene infinidad de soluciones (o sea, si es indeterminado), estas se presentan en forma paramĂŠtrica, asignĂĄndole un valor de ese tipo a cada una de las variables no bĂĄsicas, siendo lo usual asignarles las letras r, s, t, u, v,‌ En esta soluciĂłn, hay que diferenciar la soluciĂłn particular, đ?‘Ľđ?‘? , de la homogĂŠnea, đ?‘Ľâ„Ž . 8 −2 4 đ?‘Ľ1 = 8 − 2đ?‘Ľ3 + 4đ?‘Ľ4 −1 3 −1 Ejemplo 3: Si , â&#x;š đ?‘ĽĚ… = ( ) + đ?‘ ( ) + đ?‘Ą ( ) = đ?‘Ľđ?‘? + đ?‘Ľâ„Ž đ?‘Ľ2 = −1 + 3đ?‘Ľ3 − đ?‘Ľ4 0 1 0 0 0 1 8 −2 4 −1 3 −1 donde đ?‘Ľđ?‘? = ( ), y đ?‘Ľâ„Ž = đ?‘ ( ) + đ?‘Ą ( ) 0 1 0 0 0 1 4 ClasificaciĂłn de los SELS: Partiremos de la existencia de un sistema con una matriz de coeficientes de (đ?‘šđ?‘‹đ?‘›), o sea, con đ?‘š ecuaciones y đ?‘› incĂłgnitas. AsĂ­, la primera gran divisiĂłn de los SELS es en dos conjuntos: los sistemas homogĂŠneos, en los que đ?‘?Ě… = 0Ě…, por lo que el SELS se escribe como đ??´đ?‘ĽĚ… = 0Ě…, y los sistemas no homogĂŠneos, donde đ?‘?Ě… ≠0Ě…, que se escribirĂĄn en la forma usual: đ??´đ?‘ĽĚ… = đ?‘?Ě…. Los SELS homogĂŠneos siempre tienen al menos una soluciĂłn, la llamada “soluciĂłn trivialâ€?: đ?‘ĽĚ… = 0Ě…, por lo que solamente falta determinar si esa soluciĂłn es o no Ăşnica. De serlo, el sistema se llama determinado y lo serĂĄ si đ?‘&#x;(đ??´) = đ?‘› y, en caso contrario, indeterminado, que lo serĂĄ si đ?‘&#x;(đ??´) < đ?‘›. A diferencia de los SELS homogĂŠneos, los no homogĂŠneos pueden tener o no soluciĂłn, lo cual da lugar a una divisiĂłn inicial adicional en sistemas consistentes que son los que sĂ­ tienen soluciĂłn, o sea, cuando đ?‘&#x;(đ??´) = đ?‘&#x;(đ??´|đ?‘?Ě…), y los sistemas inconsistentes, que no tienen soluciĂłn, o sea, cuando đ?‘&#x;(đ??´) < đ?‘&#x;(đ??´|đ?‘?Ě…). Por su parte, los SELS consistentes se clasifican, al igual que los homogĂŠneos, en determinados, que son los que tienen una Ăşnica soluciĂłn (cuando đ?‘&#x;(đ??´) = đ?‘&#x;(đ??´|đ?‘?Ě…) = đ?‘›), e indeterminados, que son los que tienen infinidad de soluciones (cuando đ?‘&#x;(đ??´) = đ?‘&#x;(đ??´|đ?‘?Ě…) < đ?‘›).

𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 (𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙): 𝑥̅ = 0̅ 𝑟(𝐴) = 𝑛 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑜𝑠,

{

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟(𝐴) < 𝑛

𝑏̅ = 0̅. ⇒ 𝐴𝑥̅ = 0̅

𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴|𝑏̅) = 𝑛

𝑆𝐸𝐿𝑆, 𝐴𝑥̅ = 𝑏̅ 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑠í 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 { 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴|𝑏̅) < 𝑛

𝑁𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑜𝑠, 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴|𝑏̅)

𝐼𝑛𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟(𝐴) < 𝑟(𝐴|𝑏̅) { {

𝑏̅ ≠ 0̅. ⇒ 𝐴𝑥̅ = 𝑏̅

Ejemplo 4: Tipo I: SELS homogéneo determinado: 1 𝐴𝑥̅ = 0̅ = ( 4 −2

−3 −2 1

2 𝑥1 0 3) (𝑥2 ) = (0), donde 𝑟(𝐴) = 𝑛 = 3 3 𝑥3 0

Tipo II: SELS homogéneo indeterminado 1 𝐴𝑥̅ = 0̅ = ( 4

−3 −2

2 𝑥1 0 ) ( ) = ( ), donde 𝑟(𝐴) = 2 < 𝑛 = 3 3 𝑥2 0

Tipo III: SELS no homogéneo consistente determinado 1 𝐴𝑥̅ = 0̅ = ( 4 −2

−3 −2 1

2 𝑥1 0 3) (𝑥2 ) = (1), donde 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴|𝑏̅) = 𝑛 = 3 3 𝑥3 2

Tipo IV: SELS no homogéneo consistente indeterminado

1 đ??´đ?‘ĽĚ… = 0Ě… = (4 5

−3 −2 −5

2 đ?‘Ľ1 0 3) (đ?‘Ľ2 ) = (1), donde đ?‘&#x;(đ??´) = đ?‘&#x;(đ??´|đ?‘?Ě…) = 2 < đ?‘› = 3 5 đ?‘Ľ3 1

Tipo V: SELS no homogĂŠneo inconsistente 1 đ??´đ?‘ĽĚ… = 0Ě… = (4 5

−3 −2 −5

2 đ?‘Ľ1 0 3) (đ?‘Ľ2 ) = (1), donde đ?‘&#x;(đ??´) = 2 < đ?‘&#x;(đ??´|đ?‘?Ě…) = 3 5 đ?‘Ľ3 0

5 MĂŠtodo de Gauss o de eliminaciĂłn gaussiana para resolver SELS: Este mĂŠtodo es aplicable a cualquier SELS sin importar de quĂŠ tipo sea. Es un mĂŠtodo que combina el ĂĄlgebra lineal con el ĂĄlgebra bĂĄsica, y que consta de dos etapas: una, la primera, en la que se hace uso de las operaciones elementales del ĂĄlgebra lineal y otra, la segunda, basada en el mĂŠtodo de sustituciĂłn del ĂĄlgebra bĂĄsica en caso de que el SELS sĂ­ tenga soluciĂłn (sin importar si es Ăşnica o si tiene infinidad de ellas). Primera etapa: DespuĂŠs de ordenar el SELS y de escribirlo en forma matricial, hay que convertir la matriz de coeficientes (si el SELS es homogĂŠneo) o la matriz ampliada (si el SELS es no homogĂŠneo) en una matriz escalonada mediante operaciones elementales sobre los renglones. Una vez logrado esto, se debe determinar si el SELS tiene o no soluciĂłn y, en caso afirmativo, pasar a la segunda etapa. En caso negativo, el problema de resolver el SELS termina en este punto. Segunda etapa: Reescribir en forma algebraica la matriz escalonada del SELS, y hacer la sustituciĂłn “hacia arribaâ€? para encontrar los valores numĂŠricos o paramĂŠtricos de las incĂłgnitas. Ejemplo 5 Primera etapa 5đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś − đ?‘§ − 1 = 0

5đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś − đ?‘§ = 1

đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − đ?‘§ = −2

đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − đ?‘§ = −2

Reordenando el SELS:

4đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 2đ?‘§ = 1

4đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 2đ?‘§ = 1

Escrito en forma matricial: 5 (đ??´|đ?‘?Ě…) = (1 4

3 2 1

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;2 1 1 −2) â&#x;š đ?‘&#x;2 â&#x;ś đ?‘&#x;1 â&#x;š (5 đ?‘&#x;3 â&#x;ś đ?‘&#x;3 4 1

−1 −1 −2

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 1 â&#x;š − 1â „7 đ?‘&#x;2 â&#x;š (0 đ?‘&#x;3 − đ?‘&#x;2 0

2 1 0

−1 − 4⠄7 −2

2 3 1

−1 −1 −2

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 1 −2 đ?‘&#x; 1 ) â&#x;š 2 − 5đ?‘&#x;1 â&#x;š (0 đ?‘&#x;3 − 4đ?‘&#x;1 1 0

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 −2 1 đ?‘&#x; − 11â „7) â&#x;š 2 â&#x;ś đ?‘&#x;2 â&#x;š (0 − 1â „2 đ?‘&#x;3 −2 0

2 1 0

−1 − 4⠄7 1

2 −7 −7

−1 4 2

−2 11 ) â&#x;š 9

−2 −11⠄ ) 7 1

En la Ăşltima matriz se observa que: đ?‘&#x;(đ??´) = đ?‘&#x;(đ??´|đ?‘?Ě…) = đ?‘› = 3, por lo que el SELS es consistente determinado; esto es, tiene soluciĂłn Ăşnica. Segunda etapa Reescribiendo en forma algebraica el SELS correspondiente a la matriz escalonada se tiene:

đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś − đ?‘§ = −2 đ?‘Ś − 4â „7 đ?‘§ = −11â „7 đ?‘§=1

(1) đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = −1 (2) â&#x;š, sustituyendo (3) en (1) y (2): đ?‘Ś = −1 (3) đ?‘§=1

(4) (5) â&#x;š, (6)

đ?‘Ľ=1 1 sustituyendo (5) en (4): đ?‘Ś = −1, o sea: đ?‘ĽĚ… = (−1). 1 đ?‘§=1 6 MĂŠtodo de Gauss–Jordan para resolver SELS: Igual que el anterior, es mĂŠtodo tambiĂŠn es aplicable a cualquier SELS sin importar de quĂŠ tipo sea, pero a diferencia de aquĂŠl en este no se combinan el ĂĄlgebra lineal y el ĂĄlgebra bĂĄsica, sino que todo el procedimiento de soluciĂłn se realiza con base en las operaciones elementales del ĂĄlgebra lineal. La semejanza con el mĂŠtodo de eliminaciĂłn gaussiana va mĂĄs allĂĄ: ambos mĂŠtodos comparten la misma primera etapa que consiste en transformar la matriz ampliada original en una matriz escalonada y determinar ahĂ­ de quĂŠ tipo se sistema se trata, mientras que la segunda consiste en llevar esta Ăşltima matriz a una escalonada reducida en caso de que el sistema sea compatible. Ejemplo 6 Primera etapa 3đ?‘Ľ1 − 2đ?‘Ľ2 + 2đ?‘Ľ2 = 5 −2đ?‘Ľ1

+ 4đ?‘Ľ3 = 1

5đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + 2đ?‘Ľ3 = 1 Escrito en forma matricial: 3 (đ??´|đ?‘?Ě…) = (−2 5 1 â&#x;š (0 0

−1 −2 6

6 16 −28

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 1 đ?‘&#x; â&#x;ś đ?‘&#x; â&#x;š 2 2 â&#x;š (0 đ?‘&#x;3 − 6đ?‘&#x;2 0

−1 0 1

2 4 2

đ?‘&#x;1 + đ?‘&#x;2 1 5 đ?‘&#x; ) â&#x;š 1 2 â&#x;ś đ?‘&#x;2 â&#x;š (−2 đ?‘&#x;3 â&#x;ś đ?‘&#x;3 5 1

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 1 6 13 ) â&#x;š − 1â „2 đ?‘&#x;2 â&#x;š (0 −29 đ?‘&#x;3 â&#x;ś đ?‘&#x;3 0 −1 1 0

6 −8 20

−1 1 6

−1 0 1 6 −8 −28

6 4 2

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 6 đ?‘&#x; ) â&#x;š 1 2 + 2đ?‘&#x;1 â&#x;š đ?‘&#x; 1 3 − 5đ?‘&#x;1

đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 6 − 13â „2) â&#x;š đ?‘&#x;2 â&#x;ś đ?‘&#x;2 â&#x;š đ?‘&#x;3 − 6đ?‘&#x;2 −29

1 đ?‘&#x;1 â&#x;ś đ?‘&#x;1 6 − 13â „2) â&#x;šâ&#x;š đ?‘&#x;2 â&#x;ś đ?‘&#x;2 â&#x;š (0 1â „ đ?‘&#x; 0 10 20 3

−1 1

6 −4

0

1

6 13 − ⠄4) 1⠄ 2

En la Ăşltima matriz se observa que: đ?‘&#x;(đ??´) = đ?‘&#x;(đ??´|đ?‘?Ě…) = đ?‘› = 3, por lo que el SELS es consistente determinado; esto es, tiene soluciĂłn Ăşnica. Segunda etapa 1 (0 0

−1 1

6 −4

0

1

1 6 đ?‘&#x;1 − 6đ?‘&#x;3 − 13â „4) â&#x;š đ?‘&#x; + 4đ?‘&#x; â&#x;š (0 2 3 1â „ đ?‘&#x;3 â&#x;ś đ?‘&#x;3 0 2

−1 1

0 0

0

1

3 đ?‘&#x;1 + đ?‘&#x;2 − 5â „2) â&#x;š đ?‘&#x;2 â&#x;ś đ?‘&#x;2 â&#x;š 1â „ đ?‘&#x;3 â&#x;ś đ?‘&#x;3 2

1

0

0

0

1

0

(0

0

1

1⠄ 2 − 5⠄2 1⠄ 2 )

1â „ 2 O sea, â&#x;š đ?‘ĽĚ… = − 5â „2 1 ( â „2 ) 7 MĂŠtodo de la matriz inversa para resolver SELS: En caso de la matriz de coeficientes A sea una matriz cuadrada (nXn) y no singular (o sea que đ?‘&#x;(đ??´) = đ?‘›), el vector soluciĂłn del SELS puede obtenerse de la siguiente manera: đ?‘ĽĚ… = đ??´âˆ’1 đ?‘?Ě… Ejemplo 7 2đ?‘Ľ1 + 4đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3

= −3

đ?‘Ľ1 + 4đ?‘Ľ2 − 2đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ4 = −4 3đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 +

đ?‘Ľ3

=6

4đ?‘Ľ1 + 4đ?‘Ľ2 − 2đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ4 = 3 De donde: 2 1 đ??´=( 3 4

4 4 2 4

−1 −2 1 −2

0 1 ), y đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´) = |đ??´| = 13 0 1

−1

Como đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´) = |đ??´| ≠0, la matriz es no singular. Por tanto: đ??´

−1 3 De donde: đ?‘ĽĚ… = đ??´ đ?‘? = 1â „13 ( −3 −14 −1 Ě…

−6 5 8 20

−1 3 10 12

−1 3 1 = ⠄13 ( −3 −14

−6 5 8 20

−1 3 10 12

6 −5 ) −8 −7

6 −3 3 −5 −4 −2 )( ) = ( ) −8 6 1 −7 3 1

8 Regla de Cramer o mĂŠtodo de determinantes para resolver SELS: Sea el sistema en forma matricial đ??´đ?‘ĽĚ… = đ?‘?Ě…, donde đ??´ (đ?‘›đ?‘‹đ?‘›) es la matriz de coeficientes cuadrada y no singular, y đ?‘?Ě… es un vector columna (nX1) de tĂŠrminos independientes. Sea đ??´đ?‘— (nXn) una matriz construida a partir de la de coeficientes en que la j–Êsima columna original ha sido reemplazada por el vector de tĂŠrminos đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´đ?‘— ) |đ??´đ?‘— | â „ â „ independientes, đ?‘?Ě…, entonces đ?‘Ľđ?‘— = |đ??´| đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´) = Ejemplo 7 3đ?‘Ľ1 − 2đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 = 10 −4đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 =1 2đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + 4đ?‘Ľ3 = 5 3 Como đ??´ = (−4 2

−2 1 1

1 3 −2 0) , â&#x;š đ?‘‘đ?‘’đ?‘Ą(đ??´) = |đ??´| = | −4 1 4 2 1

1 0| = −26 4

10 Como 𝐴1 = ( 1 5

−2 1 1

1 10 0) , ⟹ 𝑑𝑒𝑡(𝐴1 ) = |𝐴1 | = | 1 4 5

3 Como 𝐴2 = (−4 2

10 1 5

1 3 10 0) , ⟹ 𝑑𝑒𝑡(𝐴2 ) = |𝐴2 | = | −4 1 4 2 5

3 Como 𝐴3 = (−4 2

−2 1 1

10 3 1 ) , ⟹ 𝑑𝑒𝑡(𝐴3 ) = |𝐴3 | = | −4 5 2

−44 −1.69231 Por lo tanto, 𝑥̅ = 1⁄23 (−150) = (−5.76923) 92 3.53846

−2 1 1 0| = 44, ⟹ 𝑥1 = − 44⁄23 = −1.69231 1 4 1 0| = 150, ⟹ 𝑥1 = − 150⁄23 = −5.76923 4

−2 10 1 1 | = −92, ⟹ 𝑥1 = 92⁄23 = 3.53846 1 5

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