Números racionales

Números racionales El conjunto de los números racionales; se denota por la letra “Q”, y son todos aquellos que se puede representar, como el cociente de dos números enteros. Es decir; en forma de fracción.

Se representa por

.

1. Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.

2. Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo.

3. Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.

4. Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.

Representación de números racionales Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.

Con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Ejemplos:

Con distinto denominador En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Ejemplos:

Propiedades de la suma de números racionales Pulsa en las siguientes pestañas para analizar cada una de las propiedades de la suma: 1.Interna 2.Asociativa 3.Conmutativa 4.Elemento neutro 5.Elemento opuesto 1. Interna

El resultado de sumar dos números racionales es otro número racional.

Completa: 2 1 1 + = 5 5 5 El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene: 1 Obtenemos el numerador por el producto de los numeradores.

2 Obtenemos el denominador por el producto de los denominadores.

Ejemplo:

Propiedades de la multiplicación de números racionales Pulsa en las siguientes pestañas para analizar cada una de las propiedades de la multiplicación: 1.Interna 2.Asociativa 3.Conmutativa 4.Elemento neutro 5.Elemento opuesto 6.Distributiva 7.Sacar factor común 1. Interna

El resultado de multiplicar dos números racionales es otro número racional.

División de números racionales La división de dos números racionales es otro número racional que tiene: Por numerador el producto de los extremos.

Por denominador el producto de los medios.

También podemos definir la división de dos números racionales como producto del primero por el inverso del segundo.

Opera y simplifica, caso de que se pueda: 2 8 1 · = 5 9

Potencias de exponente entero y base racional

1 Ejemplo:

Ejemplo:

3 Ejemplo:

Propiedades de las potencias de números racionales Pulsa en las siguientes pestañas para analizar cada una de las propiedades de la multiplicación: 1. Potencia de 0

Un número racional elevado a 0 es igual a la unidad.

2. Potencia de 1

Un número racional elevado a 1 es igual a sí mismo.

3. Producto de potencias

3.1 Potencias con la misma base Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Ejemplo:

3.2 Potencias con el mismo exponente Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

Ejemplo:

4. Cociente de potencias

4.1 Potencias con la misma base Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

Ejemplo:

4.2 Potencias con el mismo exponente

Ejemplo:

5. Potencia de una potencia

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

Ejemplo:

Da el resultado de cada una de las siguientes operaciones con una fracción simplificada:

1

Dónde: a : Es el numerador b: El denominador Recordemos; que una fracción denota, la parte de un todo.

Ejemplos:

De estos ejemplos, podemos observar que hay fracciones que tienen como cociente; a un número entero. Es te es el caso de las números racionales “c”, y “d”.

Y también existe números racionales que su cociente no son números enteros; y que se les denomina, números fraccionarios. Este es el cado de los números racionales “a”, y “b”.

Ahora cómo podemos observar; en este conjunto de números racionales (Q), incluye a los números enteros (Z), y a los números fraccionarios (aquellos números racionales no enteros).

Fracción: La fracción es aquél número racional no entero, que denota la parte de un todo.

De manera gráfica, las fracciones la podemos representar de la siguiente forma:

En el numerador indica cuántas partes, entre las que se ha dividido la unidad, se consideran.

Y en el denominador, se considera el total de las partes.

Para el caso de nuestro ejemplo de la figura; tenemos: El color celeste, representa los 2/20 de la figura; Y se lee dos veinteavos.

El color blanco, representa los 3/20 de la figura; Y se lee: tres veinteavos.

El color verde, representa los 6/20 de la figura; Y se lee: seis veinteavos.

El color amarillo, representa los 9/20 de la figura; Y se lee: nueve veinteavos.

Como veis, en el numerador indica cuántas partes, entre las que se ha dividido la unidad, se consideran.

Fracciones equivalentes: Son aquellas fracciones que tienen el mismo valor; pero con términos diferentes.

Ejemplo.

Son fracciones equivalentes:

Pero como averiguar, si dos fracciones son equivalentes o no?

Muy sencillo, solo se multiplica el numerador de cada una, por el denominador de la otra. Si los productos obtenidos son iguales; entonces las fracciones son equivalentes.

En nuestro ejemplo sería:

Simplificación de fracciones: Simplificar una fracción es convertirla en otra fracción equivalente e irreductible.

Luego; para simplificar una fracción, basta con dividir el numerador y el denominador por el M.C.D. de ambos términos de la fracción.

Ejemplo:

Simplificar una fracción es convertirla en otra fracción equivalente e irreductible.

Clases de fracciones: Fracción irreductible: Es aquella fracción, cuyos términos son primos entre sí.

Ejemplos:

Fracción propia: Es aquella fracción cuyo numerador es menor que el denominador.

Ejemplos:

Fracción impropia: Es aquella fracción cuyo numerador es mayor que el denominador.

Ejemplos:

Fracciones mixtas: Son aquellos números, que está compuesto por una parte entera y otra parte fraccionaria.

Ejemplo:

Donde: La parte entera es, 2 Y la parte fraccionaria es, 3/4 Pasos para pasar una fracción mixta a fracción impropia: Se deja el mismo denominador.

El numerador es el resultado de la suma, del producto de la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria, más el numerador de la parte fraccionaria.

Ejemplo: Pasar la fracción mixta a fracción impropia.

Pasos para pasar de una fracción impropia a fracción mixta: Se divide el numerador por el denominador.

El cociente, es la parte entera del número mixto.

El resto, es el numerador de la parte fraccionaria del número mixto, siendo el denominador el mismo.

Ejemplo: Pasar la fracción impropia 21/4 a fracción mixta:

Fracciones decimales: Son todas aquellas fracciones que tienen como denominador a las patencias de 10.

Ejemplo:

Reducción de fracciones al común denominador: Reducir varias fracciones al común denominador, consiste en encontrar una fracción equivalente, cuyo denominador común es el múltiplo de todos los denominadores; para ello, seguiremos los siguientes pasos: Se calcula el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de los denominadores.

Se divide el M.C.M. por cada denominador de las fracciones propuestas, y el cociente obtenido se multiplica por los términos de cada fracción.

Ejemplo: Reducir las siguientes fracciones al común denominador:

Solución: Lo que haremos primero es hallar el m.c.m.

Luego, el m.c.m. (8, 12, 3)= 23 x 3 = 8 x 3 = 24 Dividimos el m.c.m entre cada denominador:

Se multiplica los términos de cada fracción por 3, 2, y 8; cómo se aprecia a continuación:

Comparación de fracciones: Con el mismo denominador: Si dos fraccione tienen el mismo denominador, es mayor el que tiene mayor numerador.

Ejemplo:

Con el mismo numerador: Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor el que tiene menor denominador.

Ejemplo:

Con numeradores y denominadores distintos: Para comparar dos fracciones cualesquiera, se reducen primero al común denominador, y es mayor aquél que tiene mayor numerador.

Ejemplo:

Reducimos a común denominador: m.c.m.(4, 6, 8)=24

Ejercicios: 1) Cual de las siguientes fracciones son equivalentes:

2) Simplifica las siguientes fracciones:

3) Reduce al común denominador los siguientes grupos de fracciones:

4) Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

5) Expresa los siguientes números, mediante una fracción: