PROBLEMAS de Matemรกticas Comunes
j.r. vizmanos - m. anzola
ES
P R O P IE D A D D E
LOS A U T O R E S
Q ueda h e c h o e í d e p ó s it o m a /ic a l a
ley.
Vep. L eg a l :
P e d td o i a J.R .
d
M - 30 847- 1976.
:
V IZ M A N O S
MEL IL L A
,1 2
M A D R ID
-
T ¿n o
266
18
60
279
70
54
:
5
IMPRESO E N O A R IC O P C / M A D ERA M A D R ID -
que
, 13
17
P ró lo g o "Ea co m p le x a m e n te u t ó p i c o e s p e s a n a pn en d en M a te m á tic a s , ya ¿ c a n e l e m e n t ó l a o s u p e s io n e s , s i n n e s o lv e n e j e n c i c i o A . Nunca in A iA tiA e m o A A l i c i e n t e
ó o ív t e e l h e c h o d e qu e n e s o lv e n un
e j e n d c i o n o c o n A iA te s o la m e n te en c o n v e n c e n s e , c o n ayuda d e un b o c e t o h ech o to d a p n is a , q u e Ae ha e n t e n d id o trúA o menoA l o t o d o p u d ie n a s e n a d m iA ib le pana I
qu e es l a
e j e n d c i o A de c á lc u lo
oa
n u m én ico ,h a c e f a l t a
p on e l c o n t n a n io e s fo n z a n s e e n n e d a c ta n c o m p le ta m e n te l a A o lu c ló n d e I c ío a
rrós t e ó n i c o s , e n l o
a
A o lu c ló n .A u n q u e e A t e mé
oa
,
e je n d
q u e h a y q u e c o n s t n u in vendadenas d e m o s tn a d o n e s .V e es
a
t a m enena, y ú n ic a m e n te d e e A ta im n e n a , poda d e l e s t u d ia n t e h ó c e n s e c o n u n t e n g u a je c lo n o y c o n n e c t o y u t i l i z a n I
oa
té n m in o A t é c n i c o s e n
A e n t id o p n o p i o . l o
au
qu e e n M a te m á tic a s , e s é l A ig n o irá s c i e n t o d e c c m p n e n s ió n d e una m í e n l a " . IGODEMEHT- ALGEBRA) Loa e j e n c i c i o A а) NOS d e C . O . l i . б) lo s
pn op u e A to A e n e s t e t i b n o a b a n ca n :
Loó p n o p u e s to A en e l l i b i o
(E Z númeno a q u e c o n n e s p o n d e o e s t á óeiro ta d o e n ca d a e n u n c ia d o ). Loó p n o p u e s to A e n ta s doA ú lt im a s c o n o o c o l o n i a s
pnuebas d e SELECTTV1VAV c)
m ila n a I
oa
d e MATEMATICAS C O M K S d e J . R BIZMA
( y a tg u n o A d e l a n t ig u o PREUNIVERSITARIO) Una A e l e c c i ó n d e e j e n c i c i o A
apantadoA a ) E A te l i b i o
(1 975, 1976) de
b ie n e le g id o A d e una d i f i c u l t a d
y b ).
c o n t i e n e t o t a l m e n t e n e s u e lt o A 325 pn oblerm A d is t n ib u id o A
en S c a p í t u l o s . L o s p n ob lem x s d e ca d a c a p i t u l o e s t á n c l a s i f i c a d o s en e l m istre on den d e l a s m í e n l a s qu e s e tn a t a n e n e l t i b n o d e TEORIA. La s o l u c i ó n d e l o s
pn oblem a s Ae ha h e c h o d e modo d e t a lla d o c o n
la
p n e te n A ió n d e qu e l o s m ismos a lum nos d e LETRAS puedan e n te n d e n lo s s i n d i f i c u l t a d .N o
o b s t a n t e , h a y a lg u n o s pn oblem a s q u e , p o n s u c o m p lic a c ió n o m í e n l a qu e
t n a t a n , s o n más p n o p io s pana l o s a lu m n os d e C IEN C IA S . Con e s t e t i b n o d e p n o b t e m x s . q u e a ba n ca d e fonma u n i t a n i a to d a s I m á te n la s d e l a MATEMATICA COMUN, hemos p n e te n d id o dos o b j e t i v o s
oa
:
1) Que e l alum no l l e g u e a d om in a n l a s t é c n i c a s d e n e s o lu c ió n de e je n c ic io A
, y 2 ) Que e l a lu m n o l l e g u e a p n e s e n ta n l o s
c la n id a d y e le g a n c ia ,
e j e n e ld o s n e s u e lto s con
e x p lic a n d o d e fo n rm p i e c i s a y p n o g n e s iv a ca d a uno d e I
p a sos qu e e n tn a n en s u n e s o lu d ó n . P on ú l t i m o , c o n v i e n e s e ñ a la n qu e l a s s o l u d o n e s dadaA a q u í a lo s pn ob lem a s n o óo n ú n ic a s y qu e e l alum no pu ed e dan o tn a s t a l v e z más d a n o s y e le g a n t e s .P o n e s o , a n te s d e m inan l a
s o lu d ó n
h a y qu e tn a t a n d e n e s o lv e n e l
pn ob lem a p e A A on a lm e n te . LOS AUTORES
oa
ALGEBRA DE P (U ) <¿Z qu e ó c dz& ctA hotlan ta& & ¿ g u ¿ z iitz ¿ m crfeA ttu
IDEA D E C O N J U N T O RELACION DE PERTENENCIA D I S T I N T A S F O R M A S D E R E P R E S E N T A R UN CONJUNTO R E L A C I O N DE
INCLUSION
IGUALDAD DE CONJUNTOS UNION DE CONJUNTOS I N T E R S E C C I O N DE C O N J U N T O S COMPLEMENTACION A L G E B R A DE C L A S E S
1 ."1 . tes
R ep resen ta r p o r e x te n s ió n
c o n ju n to s
a)
C o n ju n to d e p r o v i n c i a s
b)
C o n ju n to d e
lo s
c a e en fe ch a s c)
C o n ju n to d e 8 y
d)
y
por
c o m p re n s ió n
lo s
s ig u ie n
:
m eses
e s p a ñ o la s q u e em p ie c e n del
año en
c o rre s p o n d ie n te s
lo s
al
que
su
n in gu n o
nom bre p o r de
sus
M.
d ía s
otoñ o.
núm eros p a r e s d i v i s i b l e s
por
6 y
co m p ren d id o s e n t r e
25.
C o n ju n to
de
lo s
núm eros e n t e r o s
co m p ren d id o s
IJR V S O L O C I O M
I
-
en tre
-
|
y
j.
I)
:
a ) Designamos p or M e l c o n ju n to p e d i d o , ento nces 1 " ) p or e x t e n s i ó n ,
M - (M a d r i d , Mí l o g a , M urcia )
2“ ) p or c o a p r e n s ió n
M = ( x / x e s p r o v i n c i a e s p a ñ o l a cuyo nombre c o a i e n z a por H)
b ) Designados p or A e l c o n j u n t o p e d id o ,e n t o n c e s 1 * ) p or e x t e n s i ó n , A - ( E n e r o , F e b r e r o , M a r z o , A b r i l . M a y o , J u n i o , J u l i o , A g o s t o ) 2 o)
p or c o n p r e n s ió n , A - ( x / x e s un mes en e l que ninguno d e sus d i a s c a e en otoño)
c ) Designamos p or B e l c o n j u n t o p e d id o . en to n c e s I o)
p or e x t e n s i ó n ,
b
2 o) p o r cooprcnsiÓ n, »
- (1 2 ,1 8 ,2 4) - (x / x • 6
y 8 < x < 2 5 )
d ) F in a lm e n te ,d es ig n e m o s p o r C e l c o n ju n to p e d i d o , ento nces 1#) p or e x t e n s i ó n ,
C - (-1 ,0 ,1 ,2 )
2 * ) p o r com pre nsión, C = ( x / x € Z
y - ^ < x < | )
o o o O o o o -----
1.2 • D e f i n i r
por
to s:
e x te n s ió n
cada
uno d e
lo s
s ig u ie n te s
A
-
(1 ,2 ,3 ,5 ,7 ,1 1 ,1 3 ,1 7 ,1 9 )
B
-
(1 ,8 ,2 7 ,6 4 )
C
-
(0 ,1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,1 3 ,2 1 ,3 4 ) [ S t L E C n V lO A D -
S O L O C I O M
c o n ju n
1976)
:
a)
A • (x
/ x e s un número primo menor que 20 )
b)
B - (x
/ x e s cubo d e l o s números n a t u r a l e s 1 , 2 , 3 o 4)
c)
C - (x
/ x = a
n
donde a
o
• 0 ,a, • 1 , a « a , + a , , a I n n-Z n- 1
n
< 35)
( x / x e s un elem ento d e l a s u c e s ió n de F ib o n a c c i menor que 35 ) Wó t t A e que cada ( O m i n o , e x c e p to I do a a n tv U o n e A .
oa
doA p u m v to A &e o b tie n e n Aum ndo Loa
1.3.
D e fin ir
p or e x te n s ió n
lo s
s ig u ie n te s
a)
A
=
{ a n/
aQ =
l , . n =
b)
B -
( b n/
b „
1
S O L D C I O H a)
-
,
b j
* -
2
.
c o n ju n to s
3
,
^
<
:
30)
bn - b n . 2 . b ^ . b , < 30} (SE L E C T IV ID A D - 197*1
:
Véan os c u á l e s s on l o s e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o A : a
o
-
1
al "
al - l
*2 "
a 2 -l
*3 "
* 3-1
♦ 3 - a + 3 + 3
o
" al " *2
+ 3 -
l + 3 -
4
+ 3 - 4 + 3 -
7
+ 3 - 7 + 3 - 1 0
N ó t e s e que c ada t é r m i n o d e e s t a s u c e s i ó n de números s e o b t i e n e a ñ a d ie n d o al a n t e r i o r 3 . E s t a e s l a l e y d e f o r m a c ió n que s i g u e n . P or t a n t o , b)
A ,
{1 ,4 .7 ,1 0 ,1 3 .1 6 ,1 9 ,2 2 .2 5 ,2 8 }
Veamos c u á l e s son l o s e l e m e n t o s d e l c o n j u n t o B : b
o
-
1
bl "
2
b2 ‘
b 2-2 + b 2 - l -
bD + b , - I + 2
-3
b 3 " b 3-2 + b 3 - l "
b l + b2 " 2 + 3
-5
N ó t e s e que cada t é r m in o d e e s t a s u c e s i ó n de números s e o b t i e n e añ ad ien d o lo s d o s a n t e r i o r e s . L o s d o s p r i m e r o s nos l o s d a n . E s t a e s l a
l e y de fo r m a c i ó n .
P or tanto, B - (1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,1 3 ,2 1 }
o o o O o o o -----
1.4. cen tro
Una c i r c u n f e r e n c i a
O y e l
S O L U C I O H
ra d io
r .D e fin irla
d e te rm in a d a
com o c o n j u n t o
en de
e l
p la n o
por
pu n tos.
:
S i designamos p o r C ( 0 , r ) C (0 ,r)
queda
- { X / X e s un
la circu n feren cia se tie n e :
punto d e l p l a n o cuya d i s t a n c i a a 0
- (X / d (X ,0 ) - r )
,
siend od ( X , 0 )
es r }
la d is ta n c ia
d e l punto X d e l
p la n o a l punto f i j o 0 , e l c e n t r o .
el
* 1 .5 .
Los
u tilíc e s e
s ig u ie n te s
a lg u n a
c o n ju n to s
p ro p ie d a d
que
a)
A =
b)
B
= {L a
C)
C
= 1 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 }
está n
lo s
d e fin a
d e fin id o s por
por
e x te n s ió n ,
c o m p re n s ió n .
{O c tu b r e ,N o v ie m b r e ,D ic ie m b r e ,E n e ro ,F e b re r o ,M a rz o ,A b ril, Hayo
d)
D
= {2 ,4 ,6 ,8 ,1 0 ,1 2 }
e)
E
= {1 ,3 ,5 ,7 ,9 }
S O L ü C a)
(J R U -I-2 )
:
1 0 H
A -
{ x / x e s un mes d e l c u r s o }
b)
B -
{ x / x e s una p r o v i n c i a g a l l e g a }
c)
C -
{ x / x e s un número n a t u r a l d e una s o l a c i f r a }
d)
D -
íx / x G « , x - 2 , 1 < x
<13}
- { x / x e s un número n a t u r a l par c om p re n d ic o e n t r e e)
E -
,J u n io }
C o ru ñ a ,L u g o ,O re n s e ,P o n te v e d ra )
{ x / x e s un número n a t u r a l , i m p a r
1 y 13}
y d e una s o l a c i f r a }
■ { x / x e s un número impar d í g i t o } o o o O o o o -----
1 . 6 .
Los
d e fín a n s e
s ig u ie n te s
c o n ju n to s
d e fin id o s
por
c o m p re n s ió n ,
p or e x te n s ió n .
a)
A =
{x
/ x
es
a s ig n a tu ra
b)
B =
{x
/ x
es
m esd e
c)
C =
{x
/ x
£ H
y
d)
D =
{x
/ x
G Z
y
e)
está n
com únd e COU}
v a c a c ió n 4 < -5
E = { x / x = 2 n + l
< y
x
de
veran o}
< 9}
x
<
0 <
3} n
<
10} { J R V -I-3 1
S O L U C I O N a)
:
A ■ { R e l i g i ú n , L e n g u a , I d i o m a , M a t e m á t i c a s c o m u n e s ,F .C .y S o c i a l }
b)
B -
(J u lio ,A g o sto }
c)
C -
{4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 }
d)
D - {-4 ,-3 ,-2 ,-1 ,0 ,1 ,2 }
e)
E - {1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,1 1 ,1 3 ,1 5 ,1 7 ,1 9 ,2 1 }
NOTA:
La
p r o p ie d a d cana c t e n t s t i c a qu e d e te rm in a un c o n ju n t o no d e b e s e n a m bi -
gua. Pon e je m p lo , e n b )
" x e s meó d e v a c a c ió n d e v e n a n o " , s i es pana e s t u
d ia n t e s e s c lo n o qu e s e t n a t a de e s o s d o s , peno
pana nu ch a g e n te tam
b ié n es mes de v a c a c ió n d e venano J u n io y S e p tie jr b n e .
1 . 7 .
D íg a s e
s i
son c i e r t a s
a)
E n ero € {D ía s
b)
4 e
c)
3 £ { x / x = 2 n + l
d)
16 £
(x
/
x es
e)
-7
{x
/
x € N
{x /
€
x
de
€ Z y
la -7
la s
s ig u ie n te s
e x p re s io n e s :
sem ana) <
x < ,
n € N )
núm ero y
5)
p rim o )
2 <
x <
8) (J R V -I-4 )
S O L U C I O N
:
a ) F.s f a l s a p u e s t o que e l mes Enero no p e r t e n e c e a l c o n j u n t o d e l o s d í a s de la semana. b)
Es
v e r d a d e r a ya aue 4 6 Z
c)
La
r e l a c i ó n d ad a e n c )
y v e rific a
la rela ció n
e s c i e r t a p u e s t o que
-7 < 4 < 5
3 ■ 2.1
+ 1 y se v e r i f i c a
par a
n ■ 1. d)
El
número 16 e s un número compuesto ya que
d iv is o re s d is tin to s
16 = 8 . 2 = 4 . 4 , e s d e c i r ,
d e 16 y d e 1 y e n c o n s e c u e n c i a no e s
tie n e
un número p rim o.La
rela ció n d ) es fa ls a . c)
E s t a r e l a c i ó n e s f a l s a p u e s t o que - 7 no e s un número n a tu r a l. T a m p o c o v e r i f i ca l a segunda c o n d i c i ó n a l no e s t a r c om p re n d id o -7 e n t r e 2 y 8.
o o o O o o o -----
1 . 8
• Dado e l
tis fa c e n
c o n ju n to
s im u ltá n e a m e n te (a ,c 1 C X
S O L U C I O N a)
A
la s
=
{a ,b ,c ,d ,e ,f)
r e la c io n e s
y
,
¿qué
s ig u ie n te s
c o n ju n to s
sa
:
X C A
:
P o r s e r { a . c ) s u b c o n j u n to d e X , e s t e c o n j u n t o d e b e t e n e r a l menos l o s e l e mentos a y c .
b)
P o r s e r X un s u b c o n j u n to d e A , X p o s e e r á a l o más l o s e l e m e n t o s d e A , es d e c ir ,{a ,b ,c ,d ,e ,f).
Ten ien do en cu enta e s t a s dos c o n d ic io n e s se o b tie n e n l a s s i g u i e n t e s s o lu c io n e s : 1)
(a ,c )
2)
{a .c .b j
3)
{a ,c ,b ,d }
4)
{a ,c ,b ,d ,e }
5)
X -
,
(a ,c ,d )
,
, (a .c .b .e )
(a ,c ,e )
,
(a ,c ,f)
, (a ,c ,b ,f)
, (a .c .b .d .f)
, (a ,c ,d ,e )
, (a ,c ,b ,e ,f)
, (a .c .d .f)
, {a .c .e .f)
, (a ,c ,d ,e ,f)
(a ,b ,c ,d ,e ,f)
N ó t e s e tam bién que
X - { a , c ) U X'
, sien d o
X ' un s u b c o n j u n to d e ( b . d . e . f )
E l número de s o l u c i o n e s e s i g u a l a l número d e s u b c o n j u n t o s d e { b , d , e , f ) , d e cir
, 2* -
16.
es
1 . 9 . D *
C o n s id é re n o s
1 0 })
y
a)
¿E stá
b)
En c a s o
E -
b ie n
ju n to s
0.
lo s
Se
p id e
e n u n c ia d o e l
n e g a tiv o , son
y
A -
(0 )
,
B =
0
,
C -
(0 )
,
¡ p ro b le m a ? .
e n u n c ia rlo
ig u a le s
S O L U C I O N
c o n ju n to s
c u á le s
b ie n
e
in d ic a r
c u á le s
de
lo s
con
no.
:
a ) El e n u n c ia d o d e l pro b lem a e s t á n a l p u e s t o que
E = 0
no e s un c o n i u n t o .
b ) L o s r e s t a n t e s son c o n j u n t o s . E n t r e e s t o s c o n j u n t o s no hay n ig u n o i g u a l a l o s d e n i s . En e f e c t o : 1)
Ae s un c o n j u n t o
2)
Be s e l c o n j u n t o v a c í o
u n i t a r i o cuyo e l e a e n t o
es 0
3)
Ce s un c o n j u n t o
u n i t a r i o cuyo e le m e n t o
4)
De s un c o n j u n t o
u n i t a r i o que t i e n e como e le m e n t o a o t r o c o n j u n t o cuyo
es 0
ún ico elem ento e s e l c on ju n to v a c ío .
o o o O o o o -----
1.10 . to s
del
Dado e l
c o n ju n to
O -
{ 1 , 2 , 3 ) , fo rm a r
to d o s
lo s
mi
IJK IM -S )
S O L U C I O N
:
a)
S u b c o n ju n tos
de 0 elem entos
:
0
b)
S u b c o n ju n tos
d e 1 e le m e n t o
:
{1 )
c)
S u b c o n ju n tos
de 2 elem entos
:
(1 ,2 )
d)
S u b c o n ju n tos
de 3 elem entos
:
{1 ,2 ,3 }
E l número t o t a l d e s u b c o n j u n to s e s Por tan to.
s u b co n ju n
P (ü ) - { { 1 }
. {2 }
, {2 )
, {3 }
,{ 1 , 3 }
, {2 ,3 }
8 - 2^ ■ 2c a r d ^ .
, {3 }
, {1 ,2 }
, {1 ,3 }
, {2 ,3 }
, {1 ,2 ,3 }}
o o o O o o o -----
1.11. de
lo s
D ib u ja r
e l
d ia g ra m a
s u b c o n ju n to s d e l
S O L U C I O N S i ponemos :
de
e je rc ic io
in c lu s ió n a n te rio r.
:
A - {1 }
D - (1 ,2 )
,
B - {2 }
, E - {1 ,3 }
,
{3 }
.
s e t i e n e e l s i g u i e n t e dia gram a de Hasse
o
d ia g ra m a
de
Hasse
1.1
2.
Dados
e s c rib ir,s i
lo s
c o n ju n to s A
=
(x
/ xe s
unc u a d r a d o )
B
=
{x
/ xo s
unr e c t á n g u l o )
C
■=
íx
/xe s
unc u a d r i l á t e r o )
e x is te n ,re la c io n e s
de in c lu s ió n
en tre
lo s
c o n ju n to s A,
B y C.
(J R V -J -5 )
S O L U C I O N
t
a)
AC B
ya que t o d o cuadrado e s r e c t á n g u l o
b)
AC C
ya que t o d o cuadrado e s c u a d r i l á t e r o
c)
BC C
ya que t o d o r e c t á n g u l o e s c u a d r i l á t e r o .
En l a f i g u r a ad ju n ta s e ha r e p r e s e n t a d o e l diagrama d e Vcnn d e l a i n c l u s i ó n . o o o O o o o -----
1 . 1 3
d e c ir
. Dados
cuál de
lo s
c o n ju n to s
A -
(x/x G Z
y
x -
i)
B -
íx/x € Z
y
x -
¿)
la s
s ig u ie n te s
A C B S O L U C I O N
o
,
e x p re s io n e s
es
c ie rta
:
B C A
(JRV-I-7)
:
Expresando p or e x t e n s i ó n l o s c on ju n to s A y B
( s ó l o algunos e l e m e n t o s ) s e t i e n e
A -
( 0 , 12 , ± 4 , 16 , 18 , 110 , 112 , ± 14, ± 16 , i 18 , 120 , 122 , 124 ,
B -
{0 , 16 , 112 , 118 . 124 ,
. ••>
y
...)
P or t a n t o , l o s e le m e n t o s d e l c o n j u n t o B son e le m e n t o s d e l c o n j u n t o A , l u e g o B C A.
N óte s e que t o d o e le m e n t o de A e s m ú l t i p l o de 2 y que to do e le m e n t o de B e s múl t i p l o d e 6 y que t o d o m ú l t i p l o de 6 l o en de 2, y por e s t o , B C A. o o o O o o o -----
1 . 1 4 .C a d a c o n ju n t o c o n ju n to
v a c ío ,q u e
se
p o s e e c o m o s u b c o n j u n t o s a 6 1 mí
lla m a n
¿Hay a lg ú n c o n j u n t o q u e p o s e a S O L U C I O N
s u b c o n ju n to s un ú n i c o
im p ro p io s .
s u b co n ju n to ? (J R V -I-9
:
Solamente e x i s t e un c o n j u n t o con un ú n ic o s u b conju nto : e s
0.En e f e c t o :
Sea X un c o n j u n t o c u a l q u i e r a , s i e s t e c o n j u n t o p osee un ú n ic o s u b c o n ju n t o ,l o s sub conju nto s im p r op io s deben c o i n c i d i r , es d e c i r ,
X a 0 .
1.15.
Form ar
:
Sean:
a
)
A
A =
U
{a
, b ,
c
, d
, e}
B -
(b
, d ,
e
, f
, g ).
C -
(e
, g ,
h
, i}
B
;
b ) A U C
d ) A H B
j
e)
g)
A O
( A u B)
n
C
i)
( A u B)
u
c
;
c)
B U C
f)
B n c
III
:
a)
A U
b)
A U C ■ (a ,b ,c ,d .e ,g ,h .i)
c)
;
( B U C)
h)
S O L U C I O N
n c
A
B - (a ,b ,c ,d ,e ,f,g )
B U C - (b .d .e .f.g .h .i)
(I)
A H
B ■ {b .d .e }
e)
A O
C - { *}
f)
b n c
g)
A n (B U C)
• (c .g ) -
h)
( A U B) n c
- (e .g )
i)
(A U B )U C
- (a .b .c .d .e .f.g .h .i)
(b .d .e)
o o o O o o o -----
1 . 1 6 .
form a r
Dados
lo s
lo s
c o n ju n to s
s ig u ie n te s
c o n ju n to s
E ■
(1 ,2 ,3 ,4 }
F -
(2 ,4 ,6 ,8 }
T, -
(1,2)
:
a)
E U F
e)
E
n
b)
E u F u G
f)
E
n
c)
E n G
g)
E
n
( F n G)
d)
(E u G)
h)
E
u
(G n F)
S O L U C I O N
r\ F
f
(G u F )
(J R F -I
:
a)
EUF
b)
E U P U G - E U F
- (1 .2 ,3 ,4 ,6 .8 )
c)
E n G
d)
(F. u G) n F -
c)
EO F
f)
E n (G u F )
=■ ( 1 . 2 . 4 )
g)
E n (F n C )
■ (2 )
h)
E u (G n F )
■ (1 .2 ,3 ,4 }
•
-
G
-
(1 ,2 ,3 .4 .6 .8 }
- (1 ,2 ) ■
(2 .4 )
(E U G) n F -
EO F
(2 .4 )
(N fi t e s e que
C C E)
-III
1.17.
Sea A e l
de
lo s
18.
Se
a)
H a lla r
por
e x te n s ió n
A,
b)
H a lla r
por
e x te n s ió n
B
c)
H a lla r
A n
B
d)
d iv is o re s
¿Cuál
es
e l
de
c o n ju n to
m ayor de
lo s
de
lo s
d iv is o re s
de
12 y
B e l
c o n ju n to
p id e
e lem en to s d e
A O B?
¿Qué nom bre r e c i b e ? . S O L U C I O N a)
:
A - { x/ x e s un d i v i s o r d e 12) ■
)1 .2 ,3 ,4 .6 .1 2 }
b)
B 3 { x / x e s un d i v i s o r de 18) =
(1 ,2 ,3 ,6 ,9 ,1 8 )
c)
A ílB
d)
El mayor número d e l c o n ju n to A f")
■ ( x / x e s un d i v i s o r d e 12 y d e 18) - ( l , 2 , 3 , 6 )
El número 6 r e c i b e e l nombre d e
B
es
6.
tráxÁm) con Jn d iv iA o n de 12
ij
16
o o o O o o o -----
1 . 1 8 . D em ostra r qu e b ié n
lo
son
< *(A )
S O L U C I O N
y
s i
A y
B son
d os c o n ju n to s d ís ju n t o s
:
Haremos l a d e m o strac ió n por r e d u c c ió n a l absurdo.Supongamos que P ( A ) y no son d i s j u n t o s , en to n c e s e x i s t e un e le m e n t o X
G f*<A) O
B)
-
X € <*(A) y
X G <*(B)
-existe u n x / x G A
*»
X j* 0
y
t a l que
X C A y X C B xGB
a n b i 0
c o n t r a d i c c i ó n con la h i p ó t e s i s d e que A y B son c o n ju n t o s d i s j u n t o s . oooOooo— 1 . 1 9 .
D e fin ir
c o ín c id e n te s
en
S O L U C I O N Sean r y
tam
f(B) .
recta s
el
p a ra le la s ,
p la n o
recta s
com o a p l i c a c i ó n
seca n tes
y
recta s
de c o n ju n to s .
:
s l a s r e c t a s d e l p la n o ,e n to n c e s
a)
r esp a ra lela a s - r l s
b)
r es
s e c a n t e con s
c)
r es
c o i n c i d e n t e con s
«-•
“
r D s ■ (P ) «=»
:
r n s M , s i e n d o P un punto d e l p la n o
r n s - r ■ s
— o o o O o o o -----
<P(B)
1.20
, Dados
1)
La
u n ió n
2)
La
in te rs e c c ió n
A p lic a c ió n Aj
de
lo s
a
c o n ju n to s
cada
la
uno con de
cada
b a ra ja
A ^ ,A ^
la
A j,
d e fin ir
in te rs e c c ió n
uno con
e s p a ñ o la
la
u n ió n
cuando
■
c o n ju n to
de
la s
ca rta s
reyes
A2 -
c o n ju n to
de
la s
ca rta s
oros
Aj
c o n ju n to
de
la s
ca rta s
pares.
-
y
:
de
lo s
otros
dos
de
lo s
otros
dos.
:
(S E L E C T IV ID A D -1976)
S O L U C I O N 1)
2)
Aj U
(A2 n A j)
-
A2 U
(A j n Aj)
Aj U
(Aj
n a 2)
X e Aj
o
x G (A2 n A j) )
B {x/
x € A2
o
x G
(Aj
n A j))
■ ( x/
x
G Aj
o
X G
(Aj
n a 2) )
Aj n ( a 2 u A j ) • <x/ x € A j
y
x G
(A2 u A j) )
{x/
? n (A j
U Aj)
<x/ x G A 2
y
x G (Aj
u A j))
A j n (Aj
U A2)
(x/
y
X e
U A 2) )
Aj u (A2 n A j)
- {x/
x es
• (x/
x es oro o re y )
a
APLICACION 1)
:
A2
x
G Aj
(Aj
:
U (Aj
O Aj)
r ey u o r o par) t o que , p u e s to que
A j U ( A j D A? ) -
(x / x es c a r t a p a r)
Aj C A j
y resu lta
A j O A j ■ Aj
, puesto que e s
que
A j O A? ■ { R e y o r o s )
p a r , y en c o n secu en cia es
t á c o n t e n i d a en A j 2)
Aj A2
O ( A 2 U Aj ) - { x / x e s r e y ) O (Aj
U A j ) ■> { x / x
A j H (A j
es
oro par)
U A2 ) ■ ( x / x e s r e y u
o r o par) o o o O o o o -----
1. 21 . AB
ene l
Dar
una d e f i n i c i ó n
c o n ju n tis ta
de
m e d ia triz
d el
segm en to
p la n o .
S O L U C I O N
:
S i d esig na m o s p o r
d (P ,Q )
M e d ia triz
de AB •
la d is ta n c ia entre {
X / X punto
d e l p la n o
dos puntos d e l p la n o , en tonces: y
d (X ,A ) = d (X ,B ))
1.
z
z
.D e m o stra r
C) u C)
la s
s ig u ie n te s
le y e s
a)
A
U
(B H
= (A
U
B)
H (A U C )
b)
A
n
(B
= (A n
B)
u
S O L U C I O N
(A n
d is trib u tiv a s
C)
{ m MJJ
:
Haremos l a d e m o s t r a c i 贸 n d e e s t a s d o s p r o p i e d a d e s p o r l a R e co rd e m os : S i
x
Si
A
u
(B
:
perten ece x
a l c o n j u n t o pondremos
no p e r t e n e c e
n
C)
ta b la de p e rte n en c ia .
1
a l c o n j u n t o pondremos
=
(A
U
B)
n
0.
u
(A
C)
1
1
1
i
1
1
1
1
1
i
1
i
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
i
1
i
0
1
1
0
0
1
1
l
1
0
i
1
i
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
i
I
i
0
0
1
1
i
1
1
0
1
1
i
0
i
1
0
0
l
o
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
i
9
10
12
15
d o n d e , d e l a s colu m n a s 3 y 5 s e o b t i e n e l a 4 , d e l a s columna s 11 y 13 s e o b t i e n e de la
1 y 4 res u lta
la
n
de la s 7 y 9 la 8 ,
12;
l a 2 ( p r i m e r m ie m bro )
d e l a 8 y 12 r e s u l t a
l a colum na 1 0 ( s e g u n d o m iem bro )
d e l a s columna s 2 y 10 s e o b t i e n e f i n a l m e n t e
l a colum na d e r e s u l t a d o s f禄.
u
C)
=
(A
n
B)
u
(A
n
C)
1
l
1
1
1
i
1
1
1
i
I
i
1
1
0
1
1
i
1
1
1
0
0
i
0
1
1
1
1
0
0
1
1
i
1
A
n
1
i
1 1
(B
1
0
0
0
0 1
0
0
1
0
0
0 1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
l
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
6
7
8
9
10
II
. 12
15
0
1
l
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
"0
1
1
1
0
0
0
0
2
3
4
5
0
.
La o b t e n c i 贸 n d e l a s u c e s i v a s columna s a p a r t i r d e l o s d a t o s s e h a c e d e una manera a n 谩 l o g a a l a p a r t a d o a n t e r i o r .
1.
2
3<
c o n ju n to s a)
S ie n d o
A
y
,
b ) B D A
A
{3}
B =
a) B ■ {1 }
,e n cada
0
,
N de
{1 ,3 }
,
en con tra r
dos
lo s s ig u ie n te s casos
:
{1 ).
{4 ,5 }
,
B U N = {1 ,2 ,3 }
.
(JR IM -1 7 )
:
, lu eg o
d c A O B - 0
A ■> { 2 , 3 , 4 , 5 } y
par a que v e r i f i q u e
l a s c o n d i c i o n e s dadas
A U B • M
A D B , entonces
A U B ■ A ,
luego A ■ { 4 , 5 }
ra de lo s s ig u ie n te s
con ju n tos : { 4 }
1 ° ) De
B UN -
N »
y uno
B ■
, A U B = {2 ,3 ,4 }
S O L U C I O N
c)
O
, A U B -
A n B -
b) Si
{1 ,2 ,3 ,4 ,5 )
B no v a c ío s
A U B ■ M
C)
M =
(1 ,3 } y
, y
B puede s e r c u a l q u i e
, {5 } , {4 ,5 }
{ 1 , 2 , 3 } s e s i g u e que B
puede s e r uno
cu al
q u ie r a de l o s s ig u ie n t e s con ju n tos : {2 } 2 * ) De
. {1 .2 }
.
{2 ,3 }
. {1 ,2 ,3 }
A n B = { 3 } s e s i g u e que B t i e n e que t e n e r e l e l e m e n t o 3 , l u e g o
de la s 4
p o s ib ilid a d e s de B {2 ,3 }
3 * ) F in alm en te, de
nos quedan ú n ica m ente :
y
la r e la c ió n
{1 ,2 ,3 }
A U B ■ { 2 , 3 , 4 } deducim os q u e B puede s e r
única m ente,{ 2 , 3 } 4 #) S i
B -
{2 ,3 }
ya que :
el
,
A O B ■ {3 } y
A U B - {2 ,3 ,4 }
entonces
2 no puede p e r t e n e c e r a A p u e s t o que l a
A • {3 ,4 }
in te rs e c c ió n s e ría
{2 ,3 } el 3
debe
p e r t e n e c e r a A p u e s t o que { 3 } «* A O B
el 4
debe
p e r t e n e c e r a A p u e s t o que p e r t e n e c e a l a únio n d e A
y B y n o p e r t e n e c e a B. Por tan to, A • { 3 , 4 }
y
B -
(2 ,3 ) o o o O o o o -----
1 . 2 4 .
D em ostra r
a)
A C AU
B
b)
B C AU
B
c)
A O BC
A
d)
A O BC
B
s ie n d o
A y
todo
a)
X € A
b)
x € B
s ig u ie n te s
B d os c o n ju n to s
S O L O C I O M Para
la s
x
re la c io n e s ,
c u a le s q u ie ra .
(J R V -I-M )
:
:
•
x € A o
x € B
x
x €
€ A o
B
-
x G A U B
, lu eg o
AC A U B
-
x € A U B
, lu eg o
BC A U B
c)
x E A O B
-
x € A
y
x € B
-•
x € A
, lu eg o
A O B C A
d)
x G A O B
••
x € A
y
x € B
-
x € B
. lu eg o
A O B C B
1 . 2 5 . casos
Form ar
U
■ 0
b)
U
- (1 )
c)
U
- (1 ,2 )
d)
U
- (1.2,3)
e)
U
- (1 ,2 ,3 .4 )
-
-
lo s
s ig u ie n te s
:
(0 )
(0
(I)
,{i})
Subconjun tos d e 0 e le m e n t o s Su bconjun tos d e 1 ele m ento
(1 )
Su bconjun tos d e 2 ele m entos
( 1 ,2 )
*<U )
- (0
. (2 )
.(0 .(2 ).(1 .2 ))
Su bconjun to s d e O e le m e n t o s Su bconju n to s d e 1 ele m ento
(1 )
Su bconju n to s d e 2 elem entos
(1 .2 )
Su bconju n to s de 3 elem entos
(1 .2 ,3 )
f(\ J ) e)
uno d e
Su bconjun to s d e 0 e l e m e n t o s : 0
m
d)
cada
( J K V - 1- f á )
Su bconjun tos d e 1 ele m ento
c)
en
Su bconjun to s d e 0 e l e m e n t o s : 0 *(U >
b)
c o n ju n to f ( U )
a)
S O L U C I O H a)
el
:
- (0 . (1 )
. (2 )
. (3 )
. (2 ) . (3 ) . (1 .3 )
. (1 ,2 )
, (2 .3 )
. (1 .2 )
. (2 .3 )
. (1 ,2 ,3 ))
Su bconjun to s de O e le m e n t o s : 0 Su bconju n to s de 1 ele m ento
(1 )
Su bconju n to s de 2 elem entos
(1 ,2 )
Su bconju n to s de 3 elem entos
( I . 2 .3 )
Su bconju n to s de 4 elem entos
( I , 2 .3 ,4 )
f(U )
, (2 )
, (3 )
. (1 .3 )
, (4 )
. (1 .4 )
, (1 .2 ,4 )
. (2 ,3 )
, (1 .3 ,4 )
, (2 .4 )
. (3 .4 )
, (2 ,3 ,4 )
- (0 ,(1 ),(2 ),(3 ).(4 ).(1 ,2 ),(1 .3 ).(1 .4 ),(2 .3 ).(2 ,4 ),(3 ,4 ). (1 ,2 ,3 ),(1 ,2 ,4 ),(1 ,3 ,4 ).(2 ,3 ,4 ).(1 .2 .3 .4 ))
o o o O o o o ----NOTA : En t í c a p U u t o 4 , a l e b tu d ia n t i c tv u U n a í d t un c o n ju n t o , d e m a ta a n e n v i t i i i g u i e n t t teo-te/m : " S ¿ un c o n ju n t o ( ¡ i n i t o t i e n e n e l e m e n t a , e n to n c e ó f i n i t o y tie n e
ln
P|U) t i
tam b<ln
e le m e n to i " .
B ó te n e ó u tta d o ó e puede compxoban en t i e j e n c á U o a n t e n io * , cuando e l c o n jtu ü o t t e n e
O , 1 , 2 , 3 ,4
e le m e n t a .
1 . 2 6
del
.D a d o s
c o n ju n to
fo rm a r
lo s
lo s
c o n ju n to s
A
u n iv e rs a l
c o n ju n to s
=
{a ,b ,c ,d ,e }
B =
{b ,d ,e ,f,g }
C =
{e ,g ,h ,i}
U =
{a ,b ,c ,d ,e ,f,g ,h ,i}
s ig u ie n te s
:
a)
A'
d)
(A
b)
B' U C'
e)
( (A
c)
(b
f )
(B
in d ic a n d o con
'
n C) •
e l
S O L D C I O H
c o n ju n to
(B U C ) ) * U B)
O C) '
n C n A) •
c o m p lem e n ta rio en U.
(J R V -I-I6 1
:
a)
A ' - { í ,g . h , i }
b)
B 'U C '
c)
(B n C ) ' - { a , b , c , d , £,h, i }
d)
( A O (B U C ) ) ' -
■
n
(B n C ) '
- {e ,g }'
- {a .b .c .d .f,h ,i) ( N ó t e s e que e s e l mismo c o n j u n t o que en b ) )
(A O { b , d , e , f , g , h , i ) ) 1
- (b ,d ,e )' - {a ,c ,f,g ,h ,i) e)
( ( A U B) n C ) ’ - ( { n . b . c . d . c . f . g } n C ) • - íc .g )' - {a ,b ,c ,d ,f,h ,i)
f)
(B n C n A ) '
MOTA
- (e )'
- ía ,b ,c ,d ,f,g ,h ,i>
: La ig u a ld a d d e f o A c o n j u n t a d a d o i en a ) y bl
¿ e ve/U 6¿ca ¿ ie m p ie y ¿ e
c o n o c e como La l e y d e MORGAM. o o o O o o o -----
1 . 2 7 . H a lla r c o n ju n t o u n ió n n ió n
de
lo s
e l c o n ju n to
c o m p lem e n ta rio d e l a
d e l o s c o m p lem e n ta rio s
c o m p lem e n ta rio s
S O L P C I O H
de A
de
A y
in te rs e c c ió n
B con
y C.
e l
c o n ju n to
{S E L ÍC n v iO A D -
del u-
1976)
:
Tenemos que h a l l a r e l c o n ju n t o com p lem e nta rio o l o que e s l o mismo ( ( A ' U B' ) ( ( A ' U B ') O (A * U < : ') ) •
d e l c o n j u n t o : ( A U B) H ( Á U c )
O (A ' U C ' ) ) '. -
(A ' U B ' ) ' U (A ' U C ' ) '
. L e y d e Morgan
- ( ( A ' ) * n ( B ' ) ') U ( ( A ' ) ' O (C ’ ) ' ) - (A
n B) U ( A O C)
- A n (B U C)
.
, Ley in v o lu tiv a ,
Ley
d is trib u tiv a
1 . 2 8 . expresar to s
Sean
p o r m ed io d e
1 ,2 ,3
y
4 de
S O L U C I O N a)
A y
la
B dos la
s u b c o n ju n to s
in te r s e c c ió n
s ig u ie n te
fig u ra
de U
de
(c o n ju n to
A ,B ,A ',B '
lo s
u n iv e r s a l). s u b c o n ju n
:
:
La r e g i ó n que d e t e r m i n a e l s u b c o n ju n to 1 v i e n e dada p or : 1 ■ A - B ■ A O B'
b)
E l s u b c o n ju n to 2
v i e n e dado p or :
2 ■ A n B
c)
E l s u b c o n ju n to 3
v i e n e dado p o r :
3 - B - A - B H A '
d)
E l s u b c o n ju n to 4
v i e n e dado p o r :
4 - (A U B ) ' - A ' H B'
• A' n B
, p or l a l e y de Morgan
o o o O o o o -----
1 . 2 9 . s íó n
R ep resen ta r en
un d i a g r a m a d e
Venn
la
s ig u ie n te
expre-
:
(A n B) n c S O L U C I O N ( A n B) n C
•
U -
: ((A flB ) HC)
, p or l a d e f i n i c i ó n d e c o n j u n t o complemen ta rio .
■
U - ((A n
b)
- C)
, p or l a d e f i n i c i ó n d e d i f e r e n c i a
Las f i g u r a s s i g u i e n t e s muestran l o s c o n j u n t o s
( A H B) - C
rio : J l i P
v i)
É
;
y
su complementa
Sean A ,B m ed io
y C
s u b c o n ju n to s
de
U
la
in te r s e c c ió n
de
A , B , C , A ' , B ' #C '
p resar
por
de
ju n to s
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
S O L U C I O N 1
2
A -
:
i p or d e f i n i c i ó n d e -
A n (b' n c ’)
• p or
A n B'
• p or l a a s o c i a t i v i d a d
n
C'
la
l e y d e Morgan de n
(A n B) - c
n
b
B -
b a
n c'
t p or
la d e fin ic ió n
de -
• p or
la a s o c ia t iv id a d de
O
( A U C)
n (a * n c ') * n B nc*
• p or l a d e f i n i c i ó n d e 9 por la t p or
l e y d e Morgan
la a s o c ia t iv id a d de
n
( A o C) - B ( a n C) n B* a
n
b
' n c
a
6
(B n C ) - A (b n a
• por la a s o c ia tiv id a d d e
' n
c)
n a’
-
( A u B)
c
n
( A U B) •
c
n (a ' * n
b
n
b’ )
’ n c*
(A u b u c) • a ' n (B u C ) ' a
n
' n
b'
1 por d e f i n i c i ó n d e t p or l a a s o c i a t i v i d a d d e
n c
b
c
a
• por d e f i n i c i ó n de -
n b n c
5
8
fig u ra
lo s
( B U C)
B n (A u c ) •
7
s ig u ie n te
A n (B U O *
a
4
la
u n iv e rs a l).
:
( A n B) n C '
3
de
(c o n ju n to
n c'
n
• por d e f i n i c i ó n de • por
l a l e y d e Morgan
• por
la a s o c ia tiv id a d de
n
(A U (B U C ) ) i - a ’ n ( B ' n c ')
, p o r l a s l e y e s d e Morgan . p o r l a a s o c i a t i v i d a d de
Ex
subcon—
1 . 3 1 . to s
Dados
lo s
c o n ju n to s A y
c o m p lem e n ta rio s A '
la s ig u a ld a d e s a)
A n B -
A
b)
A U B °
B
c)
B' C
d)
A'
e)
A n
y
B'
,
B y
sus
c o rre s p o n d ie n te s
dem u éstrese que
s i
A C
b
c o n ju n
s e cu m p len
:
A* U B = U
(U c o n j u n t o
u n iv e rs a l)
= 0
B'
(J R V -I-2 5 - S e le c t iv id a d 1975)
S O L O C I O M : a)
A H B
-
( x / x G A
y x G
{ x / x G A
y x 6
B) A)
ya que
A CB
ya que
A CB
{ x / x G A } A
b)
AUB
■ -
o
xGB)
{x / x G B
o
x
G
B)
{ x / x G B)
c)
{ x / x G A
B
Par a Codo x € B'
■»
x $
B
•
x £
A
=»
x G
A'
ya que
A C B
l u e g o B ' C A' d)
A' UB
'
{ x / x G A '
o
x G B)
-
( x / x G A'
o
x G A)
-
{ x / x G U) ü
e)
A
NOTA :
n B' -
( x / x G A
y
x G B' )
-
{ x / x G A
y
x G A’ )
Loa e / e n c i c i o i a )
, b)
, d) y
e]
¿ e pueden
demeétaan pnobando l a d o
b le in c lu s ió n . L o hacemo¿ p a ta e l pnim eno : 1)
A n G
c A
pue&to que to d o e le m e n to de 1a i n t e l e c c i ó n petten e.ee pon d e f i n i c i ó n a l a
2)
Si
x
G A , eivíonce¿
y de a q u í lu e g o
x G
Ay
x e
An 8
A c A o B.
Ve I J y 2 ) ¿ e ¿ ig u e la ig u a ld a d a ) .
doó c o n ju n t o i x G 8
, p u e r to qu e
A c
8
1 . 3 2 en
.S im p lific a r
donde A '
y
S O L O C I
O
B'
son
lo s
la
e x p re s ió n
u
(A
co m p lem e n ta rio s
de
u B ')
B) n ( A A y
O
( A ' u B)
B res p e c tiv a m e n te . [ S E L E C T IV ID A D - 19761
P rim e r método : (A U B) O ( A U B ' ) O ( A ' U B )
■ ( ( A u B) O ( A u B ' ) ) O ( A ' u B)
, p. a s o c ia t.
- (A
U <BO B ’ ) ) O
, p. d is t r ib .
- (A
u 0 ) n (A * U B)
( A ' U B)
, p . d e cotspl.
- A n ( A ( U B)
, id en tid ad
- (a n a ') u (a n b )
, p. d is t r i b .
-
0
u (A n B)
, p . d e cooipl.
=
a
n B
, identidad
Segu ndo m étod o: S i expresam os p or 1 l a p e r t e n e n c i a de un e le m e n t o a l c o n ju n t o , y p or 0 l a no p e r t e n e n c i a
,
e n to n c e s s e puede c o n t r u i r l a s i g u i e n t e t a b l a de v e r i f i c a c i ó n
:
A
B
A'
B'
A U B
AUB'
A' U B
1
1
0
0
1
1
l
I
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
( A U B) n ( A U B ' ) n ( A' U B)
E l r es u lta d o ob te n id o es e q u iv a le n t e a l a ta b la de con ju nto ( A U B) O (A U B ' ) O ( A ’ U B) -
A O B , lu e g o
A O B
o o o O o o o -----
1 . 3 3
.S im p lific a r «A
s ie n d o A
y B lo s
S O L O C I O M ( ( A U B) n ( A U B ) )
la
s ig u ie n te
U B ) O ( A U B ))
c o m p lem e n ta rio s
e x p re s ió n
U ((A
B res p e c tiv a m e n te .
:
[S C LE C TÍV Í1 M ) U
((A
1976)
n B ) u (Á n B ) ) - (A U ( B n § ) ) u ( ( A U Á ) n B ) ) ,
- A
en ( 1 )
O B) U (Á O B »
de A y
- (A
d on de,
:
s e ha a p l i c a d o l a
u u
0)
u (U n B )
B
p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a
[1) , [2 ) , 13)
,
en | 2 )
s e ha a p l i c a d o l a
p ro p ied ad d e complementaciÓn,
en | 3 )
s e ha a p l i c a d o l a
p ro p ie d a d d e l e le m e n t o n e u t r o .
,
1 . 3 4 . Se rep resen ta ten ecen
a
d e fin e
por B,
la
A -B
es
,
d ife r e n c ia
a l
dos lo s
c o n ju n to s
de
e le m e n to s
B =
(x / x
G A
y
x
í
«
( x/x
e
y
x
e B'}
A
y
B
de A
,
que
y
se
no
per
d e c ir, A -
= D em o stra r q u e
de
c o n ju n to
:
A
-
a
(B n
A
B)
n b'
c)
=
(A
-
B)
U
(A
-
C) I J R V - I-?3 |
S O L U C I O N A
-
(B O C ) -
: A n (B O C ) '
,
según l a
d e fin ic ió n
-
■
A H (B ' U C ')
,
s e gú n l a
l e y d e Morgan
-
(A O B ') U (A O c ' )
,
p rop ied ad d i s t r i b u t i v a
-
( A - B) u ( A - C )
,
s e gú n l a
d e f i n i c i ó n de -
o o o O o o o ----1 . 3 5
. Dados
lo s
s ig u ie n te s
c o n ju n to s
e x p re s io n e s
A
no
la s
a)
A
(1 ( B
- C)
-
(A
O B) -
(A n C)
b)
A
U (B
- C)
/
(A
U B) -
(A U C)
,
B y
C
,
pru éb ese
s i
se
:
IS C LC C T 1 V 1 V A V
S O L U C I O N a)
( A n B> -
(A O C) =
( A n B) O ( A n C ) '
,
d e fin ic ió n
=
( A n B) O ( A ’ U C ' )
,
l e y e s d e Morga n.
=
(A O B n A ' ) U (A O B O C ' ) 0U ( A n B O C ' )
- A
n
, ley d is tr ib u tiv a ,
(B n c ' )
l e y d e c o m p lem e n ta eió n
. a s o c ia tiv id a d
*• A O (B - C)
, d e fin ic ió n
b ) C onsiderem os l o s s i g u i e n t e s c o n ju n to s
de -
:
A = {1 .2 .5 .6 .7 ) B - {4 ,5 ,6 ,8 ,1 0 } C - {3 .4 ,5 ,7 ,1 3 } B - C -
{6 ,8 ,1 0 }
Por ta n to y b)
y
A U (B - C ) -
A U B -
{1 ,2 ,4 ,5 .6 .7 ,8 ,1 0 }
)
A U C
íl.2 .3 .4 .5 .7 ,1 3 )
j
-
( A U B) -
De a )
1976)
de -
- A O B D C'
:
-
:
'
en ton ces
c u m p len
*
{1 ,2 ,5 .6 ,7 ,8 ,1 0 }
d c a" u í < "> te n e »o s
(A U C) - {8 , 1 0 }
, A U (B - C ) t
( A U B) -
( A U C)
s e s i g u e que l a s d o s r e l a c i o n e s d ad as s on v e r d a d e r a s .
:
o
1 . 3 6 to s
-D ados
dos
c o m p le m e n ta rio s
c o n ju n to s
A'
y
A'
B' -
,
A
y
B y
sus
c o rre s p o n d ie n te s
c o n ju n
d em u éstrese que
B'
=
B -
A (SELECTIVIDAD - 1976)
S O L U C I O N a ) P r i m e r método : A ' - B' - { x / x G A ' y * (x / x
A
“ { x / x G B -
>
x £ B '}
por d e fin ic ió n de d ife r e n c ia
y
x G B)
por d e fin ic ió n de '
y
x ^ A }
►c o n m u t a t i v i d a d d e " y "
B - A
» por d e fin ic ió n de d ife r e n c ia
b ) Segundo método. Tendremos que d e m o s t ra r :
1 °)
B ' C B - A
1 °)
A' -
2“ )
B - A C A ’ - B1
«*
x G A'
y
x f B '
•
x $ A
y
x G B
■*
x G B
y
x $ A
xGB
y
x
x 6 B
y
x G A’
-
x í
B'
y
x G A’
->
x G A'
y
x $ B '
Para todo x G A ' - B'
-
x G B - A
->
x GA'
lu eg o, A ' - B ' C B - A 2 o)
Par a t o d o x G B - A
lu ego, B - A
A
-B'
C A ’ - B'
De 1®) y 2 ° ) s e s i g u e e l e n u n c ia d o.
— — --- o o o O o o o —
1 . 3 7.
D em ostra r (A
S O L U C I O N
-
la B)
:
id e n tid a d
u
(B
-
A)
=
(A
u
B)
-
(A n
B)
(JM -1-24)
:
( A - B) U (B - A ) -
(A
O B’ ) n
U (B
n
A ')
p or l a d e f i n i c i ó n d e -
-
((A
-
( A u B) n (B U B ' ) O ( A U A ' ) n ( B ' U A ' )
-
( A U B)
=
(a u b ) n (b n A)'
, l e y d e Morgan
•
(A
, por la d e fin ic ió n -
B ' ) U B)
n
U B) -
n«A
,
(B ' U A ')
(A
n B)
n B ') U A ' )
,
le y d is trib u tiv a
,
le y d is trib u t.
, l e y d e c or a p le a e n ta c ió n
1 . 3 8 p ru ébese
. Dados s i
lo s
c o n ju n to s A y
s e cu m p len o
a)
A -
B -
b)
no l a s B'
-
A*
(A U B ) '
en donde A '
y
B'
son
tiv a m e n te y
(A u B ) '
lo s
s ig u ie n te s
= B'
n A' co m p lem e n ta rio s do A y
c o n ju n to com p lem e n ta rio de
A
■ I x / x 4 A' • ( x / x € B'
(x / x e
•
b)
x £ B}
. p or d e f i n i c i ó n de d i f e r e n c i a
x e b 'J
, por d e f i n i c i ó n de complementario
y y y
x i A '}
. p or d e f i n i c i ó n de d i f e r e n c i a
x e a }
, p or d e f i n i c i ó n de complementario
x e
, conmutatividad de y
x
4
a
')
, con m utativid ad do y , p or d e f i n i c i ó n d e f i f e r e n c i n
/ x € B'
■ I x / x e í 1 -
n
a
A u B.
y y y
B ' - A1
■ {x
B respec
w u e m m » - im i
A ■ B • |x / x t
-
c o n j u n t o U,
iq u a ld a d c s :
s o Loc I o N = a)
en e l
= A O B'
c o n ju n to s
es e l
B in c lu id o s
a
b *}
b'
, d e fin ic ió n de
O
E sta r e l a c i ó n e s en r e a l i d a d una de l a s l e y e s de Morgan. Veamos su demos tración . (A U B ) '
- (x / x Í
(A U B ))
- { x / x ^ A
y
■ ( x / x € A’ y -
x$B} x € B’ )
A'nB' o o o O o o o -----
1 . 3 9
. D em o stra r que
A U B = A u C
que D " C
y
A n B *
A O C im p lic a n
(S F U C 7 1 V 1 M D - 1976)
S O L U C I O N
:
Se t i e n e n l a s s i g u i e n t e s ig u a ld a d e s : B
-
B n (B U A)
•
B H ( C U A )
. p o r h ip ó tesi»
■
( B n c ) U (B n A )
, p ro p ie d ad d i s t r i b u t i v a
-
(B
C) U (C n A )
pro piedad s i n p l i f i c a t i v a
. p o r hip ó tesis
•
(C n B )U (C ftA )
, pro piedad conmutativa
■
C n (B U A )
, pro piedad d i s t r i b u t i v a
■
Cn( AUC)
.p o r
■ [E iíti
n
.
C
dtm o& O ia iión u t d
, tomtda d t i t i b i o
AC-1
hip ó tesis
pro piedad s i m p l i f i c a t i v a . - P^umcna p a i t t * I - I )
1 . 4 0 . ( A - C)
Se
u (C -
tie n e
A)
S O L U C I O N (a -
-
q u e( A
-
B)
u
(B
-
A)
D em ostra r que
B
¡SELEC T IV ID A D - 1976)
:
c ) u ( c - A ) - ( A n C ) U (C n Á )
I 1I
- r ) U ( B - A) ) ) u ( « A - B ) u ( B - A ) ) O X)
= (A n ( ( A
(A n ( ( A n B) u (b n X )» u ( « a n b) u (b n a ) ) n X) -
(A
o ( ( A n B> n ( B n X ») u ( « a n B ) n X) u ( b n X)n X ) )
= ( a n ( ( X u b) n ( b u a » ) u ( 0 u ( b n X ) ) -
( ( a n (X u b ) ) n (b u a ) )
-
( ( ( a n X) u ( a
n
u ( b n X)
b)
- ( ( A n B) o ( B u A ) ) U (B O X) -
(«a n b ) n b ) u « a n b)
n
a
))
|3 I m 151 U1
n ( b ua ) ) u ( b n X)
)
121
171 181
u
( b n X)
I 9 |
-
(a n
u (b n
X)
I 10 1
-
( a n b) u ( X n
b)
I II I
b)
- (a u X) n
( 12)
b
(1 3 ) d o n d e ,e n l o s p a s o s : I 11 y
( 3 1 s e ha a p l i c a c i ó n l a d e f i n i c i ó n de
-
í 2 1 , Be ha s u s t i t u i d o C p or su v a l o r ( 6 1 y ( 5 1 , s e ha a p l i c a d o l a l e y de Morgan I A 1 , | 7 1 , ( 9 1, ( 121 s e ha a p l i c a d o l a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a (61,
id en tid ad
I 8 1 y ( 121 , l a p ro p ie d a d de c o n p l e o e n t a c i ó n ( 11 J , l a p ro p ie d a d c o n m u t a tiv a . I 10 1 , l a p r o p i e d a d d e i d e n t i d a d
de la
i n t e s e c c i ó n con U y l a p r o p i e d a d idem-
potente. (5 j
, tam bién s e ha a p l i c a d o l a p r o p i e d a d id c m p o t e n t c .
C-idfa com ente :
C • A ¿ 8
A - C ■ A n 8
C - A - 8 - A
1.41. se
Se llama
d e s ig n a p o r
h en tos
d ife re n c ia
X A Y
que p e r te n e c e n
D em ostra r q u e ,p a r a se v e r ific a
que
, al a
s im é tric a
de
dos
c o n ju n to c o n s tr u id o
uno y
s o lo
c u a le s q u ie ra
uno de
que
sean
lo s lo s
c o n ju n to s
X e
r>or a q u e l l o s c o n ju n to s
X e
Y, e lc -
Y.
c o n j u n t o s A ,B y C,
: A A C
C
( A A B)
u
(B A C) (SELECTWPAP-1976)
S O L U C I O N
:
Consideremos l a s dos f i g u r a s s i g u i e n t e s que r ep re se n tan mediante un diagrama de Venn l o s con junto s
A A C
y
(A A B) U (B A C) :
A AC
(A A 8} U ( 8 A C)
Es e v i d e n t e que en e s t o s diagramas
A A C
C ( A A B) U (B A C)
Veamos l a dem ostra ció n ló g icam en te. Si
x £ A A
C »
x £ A- C x
£ A
y
o
x
6 C- A
x $ C ox G C
y
x $ A
De a q u í se pueden o b t e n e r l o s c u a t r o c a s o s s i g u i e n t e s : a)
x € A y
x f
b)
x £ A
«
y
B
6 B
x G A A B =>
x x
c)
x £ C
y
x
B
d ) x G C y x € B
«• ■» ■*
Loó cu a V io ca s os
x x x
€
B
~ y x £
G BA C €
G
y
C x € ( A A B) U ( B A C)
B A C
€ B
x E ( A A B) u ( B A C)
=»
x E ( A A B) U ( B A C)
x $ A
A A B
■» x E (A A B) U (B
A C)
x considenan. t e s hemos 6e.ña(ado en la Alguna I , con t a i
te ín a s a , b , c , d . NOTA : U s té e j e n e l d o "S e lla m x
¿ue pnopuesto en e l mismo examen qu e e l s ig u ie n t e :
d is t a n d o e n tn e dos c o n j u n t a
X e V , y a
n epnesenta pon < í ( X , / ) , a f
númeno de e le m e n to i de óu d lfie n e n d a s lm ítn lc a .V e m o s tn M que paAa cu a le s q u le n ii que ie a n t o i c o n ju n to s A, 8 y C
ó e v e n i^ lc a qu e :
d (A .C ) < dlA.B ) * d íB .C I" La d erro stn a d ó n d e l e j é t e t e l a a n te n io n es l a V ía s e l a d em o s tn a d ó n en 1 .4 6.
baóe pana demos(non í s t e .
y
1 . 4 2
. Pru ébese
a)
(A
s i
-
B)
-
b) en
donde
A'
es
e l
(A
-
B )•
es
c o n ju n to
se
cu m p le n o
C =
(A -
no
C)
-
B ) • = A 'U
B
(A
-
e l
c o n ju n to
la s (B
s ig u ie n te s
-
ig u a ld a d e s :
C)
co m p lem e n ta rio
de
A -
B ,
y
c o m p lem e n ta rio d e A . iSEtCCTIVIOAP - 1976
S O L U C I O N a)
b)
: (a n c*)
( A - C ) - (B - C)
(A - B )'
d e f i n i c i ó n de -
- ( b n C ')
=
(A n C ' ) n (B O c ' ) '
d e f i n i c i ó n de -
-
( A n o
l e y e s d e Morgan
-
(A n c 'n B ')U (A n c 'n c )
-
(a n c 'n b ') u 0
-
a
-
(a n
-
(a - b) - c
- {x / x
i
n (B* U C )
le y d is trib u tiv a
n C ' n B' b
le y a s o cia tiva
') n c'
d e fin ic ió n
de -
(A - B ) }
-
(x / x $ A
o
x G BÍ
-
(x / x € A ' o
x G B)
-
A'
B
U
O t r a d e m o s t r a c ió n : p or d e f i n i c i ó n de
( A - B ) ' - (A O B ' ) ' - A' U
-
p o r l a s l e y e s de Morgan
( B 1) '
p or la in v o lu c ió n de '
- A' U B
o o o O o o o -----
1 . 4 3 (A
s ie n d o
. D em ostra r n
U e l
B)
u
U ( a n
-
usando
n
c o n ju n to
S O L U C I O N (A O B)
(A
B)
u
B)
de
(á
u
n
c la s e s b
)
que
= u
u n iv e rs a l.
B)
(á n
U
b
)
u B))
- ( a n o) u (Á -
á lg e b ra
n
:
(a n ( B
A
e l (Á
U
u
(a
u (Á
n
n
b
n (B
)
u
b
)
u)
Á
U
En e l p rim e r paso s e ha a p l i c a d o l a p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a , e n e l segundo l a p ro p ie d a d d e com plementación para
, en e l t e r c e r o e l hecho d e que
c u a l q u i e r c o n j u n t o X, y en e l c u a r t o l a misma p ro p ie d a d
a n terio r.
X fi U ■ X
d e com plementación
'ji4 4 . a lg e b ra
D em ostra r de
la s
le y e s
de
M organ
a p lic a n d o
lo s
a x io m a s
del
c la s e s .
S O L U C I O N
:
Sea U un c o n j u n t o y A y B d o s s u b c o n ju n to s de U, e n t o n c e s s e t r a t a d e v e r : i)
(A
U
B )'
-
A 'O
i i )
(A
n
B )'
-
A ' U B '
B'
D e m o s tra ció n de i ) Par a d e m o strar i )
a)
(AUB)
hay que p ro b ar a ) ( A U B) n
(A '
b) ( A U B ) U
( A' f l B ' ) = U
n ( A' O B ' ) -
(A '
O B ') - 0
O B') n
(A
U B)
-
( ( a 1n b ' ) n A) u
( ( A ' n b*) n b)
-
<<b' n a ' ) n A) u
«
a
' n
b
') n
- ( b ' n ( A ' n A ) ) u (a ' n ( b ' n - (b ' n
b) ( A U B) u ( A' n B ' )
0)
u (a' n
b)
b)
)
0)
-
0
U 0
-
0
-
( ( A u B) u A ' ) n ( ( A U B) U B ’)
■
(<B U A) U A ' ) O ( ( A U B) U B* )
-
(B U
•
( B U U) O (A U U)
( ( A U A ' ) n (A U ( B U B ' ) )
-
U u u
-
u
D e m o s tra ció n d e i i ) La d e m o s t r a c i ó n de e s t á segunda l e y de Morgan s e ha ce d e una manera a n á l o g a . B a s ta ca m b ia r
U por
n
( p r i n c i p i o de d u alid ad )
Se d e j a como e j e r c i c i o .
- — o o o O o o o -----
1 . 4 5 .
D em ostrar
i)
U'
=
0
i i )
0 ’
=
U
S O L U C I O N i)
U'
-
U 'n
- U O
a p lic a n d o
lo s
a x io m a s d e l
á lg e b ra
de
: U U'
Por
d u a lid a d
:
ii)
0'
=
0'
U 0
-
0
U 0'
c la s e s
que
■f . 4 6 - S i m p l i f i c a r
usando e l
á lg e b ra
de
c la s e s
la
s ig u ie n te s
ex
p re s ió n :
({A n B) S O L U C I O N
((a n
b)
n c)
n C)
u ((a
n b)
n
b
u c ')) u (a' n
b)
n
(c
- ((a n
b)
n
u) u
(a
n
b>
- <a
u
a
-
n
b
u
((A
n C ')
u
(A'
n b)
:
- ((a n
-
u
) n c')
u
<a' n
(a *n
) -
b
p. d is tr ib u tiv a
b)
p . d e coraplementaciSn
b)
p . d e U , e le m e n t o u n i v e r s a l
u ( a ' n b)
1) n
p. d is tr ib u t iv a
b
p . d e c o n p le m e n ta c iá n p.
d e U.
oooOooo-
1.47. la
S im p lific a r,u s a n d o
s ig u ie n te
la s
del
á lg e b ra
de
c la s e s ,
e x p re s ió n :
(A n
(B
S O L U C I O N
:
n C*) ')
U
((A '
(A O ( B n C’ ) ' ) U ( ( A ' U B ' ) U C ) ' -
p ro p ie d a d e s
n c ’ >' ) u ( ( a '
(( A n (B
U C )'
■ = U B ')'
- (( a n ( B n c ' ) * ) u ( ( a n • ((a n (b
U B ')
b)
l e y d e Morgan
n C )
n c')
l e y d e Morgan
n c ' ) ' ) u (a n (b n c ') )
p. a s o c ia t iv a
- a n ((b n C ) • u (b n c ') )
p. d is t r ib u t iv a
-
p . d e com plcmentación
n u
a
• A o o o O o o o -----
1 . 4 8 la
. S im p lific a r,u s a n d o
s ig u ie n te
A ,B
p ro p ie d a d e s
del
á lg e b ra
de
c la s e s ,
e x p re s ió n :
(A n s ie n d o
la s
(A '
U B ))
U
(B n
y C s u b c o n ju n to s d e
S O L U C I O N
(B u C ) )
u B
U.
:
(A n (A' U B)> U (B n (B U C ) ) U B - ((A n A') U (A n B))
U
(B n (B
= 0 U (A O B) U (B n (B U O )
U
U
B
C)) u B
p .d is trib u tiv a p . d e compleraentacifin
»
(A n B) U (B n (B U O ) U B
p. d e 0
=
(A n B) U B U B
p. s im p lific a t iv a
-
(A n B) U B
p . id e m p o ten te p. s im p lific a t iv a
1.49.
D em ostra r usando
i)
a n c
=
-
2»
A H B
- 0 »
0
el
á lg e b ra
de c la s e s
que
:
A n ( B U c ) = A n B A
= c
-
B
A U B = C ) 3)
A n
(B
- C)
4)
(A U B)
-
=
C *
S O L U C I O N 1)
(A n B)
- c
( A - C ) U (B
- C)
:
o ( B U c) - (A n B) U ( A O C)
A
-
p or U
A O B
2) C - B " C n
p or s e r
4)
A H
c
- 0
B'
p or
d e fin ic ió n -
- (A u
B) n B '
p or
ser
- (A n
B ' ) U (B O B ' )
p or l a p ro p ied ad
- A U 0 3) A
p ro p ie d ad d i s t r i b u t i v a ,
n ( B - C )
(A U B)
C - AU B d istrib u tiva
ya que A O B = 0
-
A O B ' - A
■ A n ( B n C )
p or d e f i n i c i ó n
- ( A n B) n c '
p or l a p ro p ied ad a s o c i a t i v a de
- ( A n B) - C
p or d e f i n i c i ó n de
- C ■ ( A u B) O C ' - (A n c ' )
de B - C
-
p or d e f i n i c i ó n de -
U (B n o
p or l a p ro p ie d ad d i s t r i b u t i v a
= ( A - C) U (B - C)
p or d e f i n i c i ó n de -
o o o O o o o -----
1 . 5 0 . can
la s
Sean A .B
s ig u ie n te s
y C tres
S O L U C I O N a)
,
B
B C C
y
C C A
= C
:
y
B C C - A C C )
P or l a p ro p ie d ad t r a n s i t i v a B C C
y
C C A
•
P or h i p ó t e s i s Por l a p ro p ie d ad t r a n s i t i v a ca-
A _ c
p. an cisin é tr ic a .
CC A )
P or h i p ó t e s i s
c)
U que v e r i f i
P or l a pro piedad t r a n s i t i v a s e t i e n e : ACB
b)
c o n ju n to
r e la c io n e s : A C B
D em o stra r que A =
su b o n ju n to s d e l
se tien e:
j
B C A
_
A _ fl
p
a n l i s i mg t r i ca
A C B ) de l a ig u a ld a d de c on ju n to s A■
B
-
C
de a) y b)
resul
1 . 5 1 .
Se d e f i n e
la
s ig u ie n te B -
A ♦
D em ostrar usando e l 1)
A ♦B -
2)
a
3)
(A ♦ B)
4)
n
A
♦
B +
- (a
A ♦
A = 0
6)
A ♦
0 = A
u (A*
♦ B)
- (A
S O L U C I O N
:
1) A ♦ B -
U <B - A)
2) ( A n
de c la s e s
-
c la s e s
:
A)
que
:
n B) ♦ ( A n c )
(A n B)
( B ♦ C)
5)
(B
U
A
(B + c ) •-
á lg e b ra
o p e ra c ió n e n tr e B)
(A -
( A - B)
B) +( A n c )
♦
n
B ')
C
- ( B - A) U ( A - B) - B + A
- ( ( A n B ) - ( A n c>> u ( ( a n c ) - ( a n - ( ( A n B) n ( a
n c )')
- ( ( a n B) n (A* u c ’ ) u ( ( A n c ) n -
(a n
-
a
-a
(a * u
n c*) u
(a
n c n b ’)
n ((B n C ) u
(c
n
b
(c
- B))
((A + o
- A)
n ((B - O
u
b»
u ( ( a n c ) n (a n
b
b
)')
b
*))
b
'))
'»
- an (b + o
3) ( A + B ) ' - ( ( A - B) u ( B - A ) ) ’ - ((A n B ' ) u (B n A ' ) ) ' - (A n B ' ) ’ n - (A * u - (a'
B)
n
(B n A ' ) '
n
u A)
<B '
B*) u (A n B )
* ) A ♦( B + C ) • ( A •
( B ♦O ) U
- ( A n ( B ♦O ' )
«
u
b
+ O n A')
(A n < ( B ' n c ' ) u ( B n o »
-
(A n
b
-
(«a
n b’ ) u (b n a * ) ) n c ’ ) u
-
( ( ( A - B ) U (B - A ) ) n O
-
((a ♦
-
((A ♦ B) -
-
(A ♦ B) ♦ C
' n O
b
u (A n
) n c ’) u
o
(c
b
n
n c) u ( b n c ' n
')
u
b)
n
<c n
n ( ( a n b) u ( a ’
b'
a
') n
n b’) ) ) b
’) ) )
')
U ( C - (A ♦ B »
+A =
(A
- A) U ( A - A) - ( A n
6) A
+ 0 «*
( A - 0 ) U ( 0 - A) - ( A n 0 ’ ) U
La o p e r a c ió n Aunu M
(c
a
u ( c n (A n B) u ( a ‘ n
(a ♦
5) A
N0TA :
u ((<b n c ’ ) u (c n
-
A’)
U
( A ' n A) -0 (0 n A ’ )
- AU
0
U
0
-
0
-A
aqu Á d e f i n i d a & e b ó r to o U z a tam b¿t.n pon A , y
&e & u e le tta m x n e n to n c e A d i f e r e n c i a s i m é t r i c a
a
')
I. 1)
o z . A +
B ■
Usando 0
el
•
A =
2 ) A U C - B U C
“
3)
( A U C)
♦
C)
«'
A C B C » B -
Al
V O T A : K qu i
( BU | -
*
á lg e b ra d e
c la s e s ,
dem ostrar que
B A + B C C =
( A ♦ B) -
C
A - B - C
U t n e t i ü Q n i^ ic a d o de A , d iie \ e n c ia iim íV U c a .
S O L U C I O N
:
A + B ■ 0
(A - B) U
, entonces
( A - B) U ( B - A ) - 0
(B - A ) ■ 0. De a q u í s e s ig u e
«•
A - B • 0
y
B - A - 0
••
A n B* ■ 0
y
B O A' • 0
-
ACB
BC
•
A - B
y
A
F.l r e c í p r o c o en inm ed ia to . 2) S i A U t ■ B U C , ento nces
(A
+ B) u c ■ (A n B ') u ( B n A1) u c - ( A H B ' ) U « B U C)
H
( A' U C ) )
(A n B ' ) u ( ( A u C)
n
(A- U C ) )
-
• (A H B ' ) U C - (A U C )
n (B* U C )
-
n <b ' U C )
(B
UC)
■ (B n B’ ) u c
-c El r e c í p r o c o e s inmediato.
3) ( A U C )
♦ ( B U C ) - ( ( A U C ) O <B U C ) ’ ) U « B U C)
O (A U C ) ')
- ((A u c ) n ( B ’n c ' ) ) u ( ( b u c ) n ( a ' n c ' ) ) - (A n
b'
- ((A n
b
nc')
u (B n
') u
(b
h a
a
' nc')
*) ) n c '
- (A + B ) n c* ■ ( A ♦ B) - C 4) S i
C ■ B - A
-
C-BnA* C' - A u
luego ,
:
B
- C ■
B' n C'
B
- B H (A U B' ) ■ (B -
b
■A
n
n A) u ( B n B ' ) a
, pues
A C
B.
1 . 5 3 .
Los
esta d o
obreros
a)
su
b)
n a c io n a lid a d
c)
raza
Un
in v e s tig a d o r o
¿Cuál
de
(s o lte ro s
no e s p a ñ o l
o
lo s
S O L U C I O N
fá b ric a o
o
está n
c la s ific a d o s
por
casados)
e x tra n je ro s )
n egros) .
a v e rig u a
in v e s tig a d o r
e x tra n je ro
una
(e s p a ñ o le s
(b la n c o s o
"s o lte ro O tro
c iv il
de
que
un i n d i v i d u o
X que e s tá
buscando
es
b la n c o ".
a v e rig u a
que
ese
m ism o
in d iv id u o
es
"o
m ás i n f o r m a c i ó n
de
X?.
s o lte ro
o
n egro ". dos
in v e s tig a d o r e s
da
:
S i d e s í g n a n o s p or
A * (s o lte ro s )
»
A ' ■ (casados)
B ■ (e s p a ñ o le s )
->
B' = (e x t r a n je r o s )
C = (b la n c o s)
=»
C’ ■ (n e g r o s )
a ) E l p r im e r i n v e s t i g a d o r d i c e : " s o l t e r o o no e s p a ñ o l b l a n c o " b ) E l segu ndo i n v e s t i g a d o r d i c e
~
A U (B O C ) '
-
A U B ' U C'
:
" o s o l t e r o o e x t r a n j e r o o n e g r o " <—» A U B ' U C' De a ) y b) s e dedu ce que l o s d o s i n v e s t i g a d o r e s d i c e n l o mismo de X.
oooOooo----
1 . 5 4
. D em ostrar
que
se
a)
A
a
(A O B)
U
(A
b)
A
-
( B U C )
=
( A - B )
S O L U C I O N
:
a)
b)
v e rific a n
a p lic a n d o
la s
( A H B) U ( A - B )
( A - B) n ( A - C )
lo s
r e la c io n e s -
a x io m a s
del
á lg e b ra
de
c la s e s
s ig u ie n te s :
B) O ( A - C )
■
( A n B) U ( A n B' )
-
A O (B U B 1)
, propiedad d i s t r i b u t i v a
"
A
■
A
, d e f i n i c i ó n d e c om p le n e n ta c ión . , p r o p i e d a d d e U.
-
(A O B ') n (A n c ' )
,
p o r d e f i n c i ó n de A-B
, por d e fin ic ió n
=
A n (B ' n c ' )
, propiedad
■
A n (B
, l e y de Morgan
a
A - ( B U C)
U C )'
o o o O o o o -----
de
A-B
a s o c ia tiva
, d e f i n i c i ó n de
-
ALGEBRA DE PROPOSICIONES en eZ que óg d uanA ottan Za& ¿ZgiU ente* m x íe / tú w :
1. PROPOSICIONES 2. VALOR LOGICO DE UNA PROPOSICION 3. IMPLICACION LOGICA 4. EQUIVALENCIA LOGICA 5. DISYUNCION 6. CONJUNCION 7. TABLAS DE VERDAD 8. INFERENCIA LOGICA 9. RAZONAMIENTOS VALIDOS
2.1.
Poner
10 e j e m p l o s
de p ro p o s ic io n e s . [ JK V - U - D
S O L U C I O N
:
1)
Madrid e s l a c a p i t a l d e España
2)
P a r ís es l a c a p ita l de I t a l i a
3)
La Luna e s una b o l a d e queso
4)
Un t r i á n g u l o t i e n e t r e s la d o s
5)
Los d í a s de l a semana son s i e t e
6)
Los p e ce s son an im a le s mamíferos
7)
Los g a t o s p a r d o s v u e la n d u r a n te l a noche
8)
En e l P o l o N o r t e l a n i e v e e s negra
9)
E l hombre e s un animal r a c i o n a l
10)
E l Manzanares e s un r í o que pasa p or Madrid o o o O o o o -----
2.2. c io n e s
C a lc u la r
del
el
e je rc ic io
S O L U C I O N
v a lo r
ló g ic o
de
a n te rio r.
la s
p ro p o s i
(JR V -IZ -2 )
:
a ) Las p r o p o s i c i o n e s su v a l o r
c o rre s p o n d ie n te
1 ),4 ),5 ),9 ),1 0 )
ló g ic o es
son p r o p o s i c i o n e s c i e r t a s , y por t a n t o ,
V o 1.
b ) Las pro posicion es
2 ),3 ),6 ),7 ),8 )
su v a l o r l ó g i c o e s
son p r o p o s i c i o n e s f a l s a s
, y por t a n t o ,
F o 0. o o o O o o o -----
2.3. y
De l a s
su v a l o r
s ig u ie n te s
ló g ic o lo s
fra se s
c u á le s
son p ro p o s ic io n e s
:
a)
Todos
b)
E s te año a p r o b a r é M a te m á tic a s
c)
¿Qué
ta l
d e c ir
ga tos
son negros d e C .O .U
estás?
d)
P irrie s
e)
Si
e s tu d ia n te
f)
El Q u ijo te
llu e v e
la s
S O L U C I O N
fu e
s e m oja n
e s c rito
p or C ervan tes.
:
Son p r o p o s i c i o n e s : a )
, d)
No son p r o p o s i c i o n e s : El v a l o r l ó g i c o de
de C .O .U .
c a lle s
a)
, e)
, f )
b ) , c) ,
e) , f)
El v a l o r l ó g i c o de d ) e s 0
e s 1, e s
d e c i r , v e rd a d e ro .
, es d e c ir ,f a l s o .
2 .
4 .
Dadas
la s
p ro p o s ic io n e s
p q
: :
"Ju an e s "P ed ro
expresar
s im b ó lica m e n te
la s
de P#^ y
l ° s c o n e c tiv o s
c o rre s p o n d ie n te s
es
e s tu d ia n te
a)
Juan
b)
Pedro no e s
m ú sico .
c)
Si
Pedro
m ú sico e n to n c e s
d)
Ni
Juan e s
e)
Tan c i e r t o
es
y
p ro p o s ic io n e s
Pedro
e s tu d ia n te es
S O L U C I O N
que
ni
es
Juan e s
m ú sico
en
,
y
, fu n c ió n
:
e s tu d ia n te
m ú s ico com o q u e
Juan e s
e s tu d ia n te .
:
»)
p
b)
q
c)
q
d)
E s t a p r o p o s i c i ó n s e pude e x p r e s a r a s í :
a
m ú s ic o "
s ig u ie n te s
"
m ú s ico
Pedro es
Pedro es
es
e s tu d ia n te
q
-* P
"Jua n no e s e s t u d i a n t e y P e d r o n o e s m ú s ic o " Se t i e n e p or t a n t o , P A e)
q
E sta p r o p o s i c i ó n s e puede e x p r e s a r a s í : " P e d r o e s m úsic o s i y s o l o s i Juan e s e s t u d i a n t e " Se tie n e por tanto, P *— q o o o O o o o -----
2 .
5 -
daderas
y
D adasla s
r
y
p ro p o s ic io n e s a)
p v
sf a l s a s ,
(P
A <!• -
c)
(r
y
d)
p * -* r
e l
v a lo r
ló g ic o
:
s)
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S O L U C I O N V (p V
* ')
"
: * V
b)
V ( ( p A q) - * r )
c)
V ((r
d)
c a lc u la r
p , q ,r ,s ta le s que
r'
b)
a)
p ro p o s ic io n e s
V s ) -*
V( p * - » r )
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q
2 .
6 -
D em ostrar que
:
a)
p -
b)
( ( p -* q )
P A ( q -♦ p ) )
-* ( p «—* q )
c)
( ( p -* q )
A ( q -► r ) )
^
S 0
L
*3 M
( p -► r ) ( J R V -T f-6 )
a)
b)
U (:
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c)
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y 3 resu lta 2 , 5
de l a s columnas 2
y 6 res u lta
y d o l a s columnas
4y 10 s e o b t i e n e
«p
q)
A
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fin a lm en te la 8 •»
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2
3
4
5
6
7
S
9
10
11
donde e l c á l c u l o de l a s s u c e s i v a s columna s s e ha ce d e l a misma manera que en e l a p a r t a d o a n t e r i o r .
NOTA
:
ObóéAveAe
qu e l a * i n p l i c a c i o n e A
e q u iv a l e n c ia * l ó g i c a * . No A u cede l o miAmo e n c ) .
l ó g i c a * d e a ) y b ) t o n ta r b iln
2.71 S O L D C
Probar I O M
si
(p A
p'J'
es
una t a u t o l o g í a
:
IJ W M M O »
Una p r o p o s i c i ó n e s una t a u t o l o g í a cuando s ie m p r e toma e l v a l o r v e r d a d e r o . (p A p ')'
p
p'
p Ap '
1
0
0
1
0
1
0
1
p or t a n t o , l a e x p r e s i ó n dada e s una t a u t o l o g í a ya que toma s ie m p r e e l v a l o r verdadero. o o o O o o o -----
2 . 8 . D em o stra r S 0 L
0 C: i
p
•
(q
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p)
N :
P
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o
que
-*
(q
P)
q u e l a columna de r e s u lt a d o
e s una " i m p l i c a c i ó n l ó g i c a " o o o O o o o -----
2 .9 . E x p r e s i ó n
S O L
O C I
verbal
de
la s
s ig u ie n te s
ta b la s
a
b
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1
1
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0
a
b
a y
1
1
1
a A
a ) La p rim e ra t a b l a nos d i c e
b
ay
b
;
d e d o s p r o p o s i c i o n e s a y b ca v e rd a d e ra cuando
cb
d ad e ra a l menos una do l a s p r o p o s i c i o n e s ; en c a s o c o n t r a r i o e s f a l s a " . b ) Las segunda t a b l a nos d i c e : " L a c o n ju n c ió n
:
ISELEC JIV IV A V - ¡976)
O
"La disyun ción
b
de verdad
a/\ b
d e d o s p r o p o s i c i o n e s a y b e s v e r d a d e r a cuando son
v e r d a d e r a s ambas p r o p o s i c i o n e s ; e n cas o c o n t r a r i o e s f a l s a " .
ver
2 -"1 va
de
O -C o n s tr u ir la
d is y u n c ió n
la y
ta b la de
la
de
verdad
para
c o n ju n c ió n
de
la
p ro p ie d a d
p ro p o s ic io n e s . (JIf-II-M J
S O L U C I O N
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a s o c ia ti
II
don de, de la s
columna s 3
y 5 s e o b t i e n e l a A , d e l a s columna s 7 y 9
de la s
c olu a n a»l
y A s e o b tie n e la 2 (p rim er a ie a b r o )
de la s
columna s 8
y 11 s e o b t i e n e l a 10 ( s e g u n d o a i e a b r o )
de l a »
columna s 2
y 10 r e s u l t a f i n a l m e n t e l a
la 8
colum na d e r e s u l t a d o s
6.
S e t r a t a , p o r t n n t o . d e una e q u i v a l e n c i a l ó g i c a . b)
r)
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0
0
I
10
II
E l c á l c u l o d e l a s s u c e s i v a s columna s s e h a c e i g u a l que e l a ) . N ó t e s e que i o s d a t o s , columna s d a t o s , s o n
o o o O o o o -----
1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,1 1 .
a p a rta d o an te
2 . 11. D e m o s t r a r a)
P v
p «~» P
b)
P A
P <=» P
idempotentes
:
tJRV »
S 0 L U C I
10 N
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V
P)
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P
donde , d e l a s columnas 1 y
3 s e o b t i e n e l a columna 2 ,
y
d e l a s columnas 2 y
5 s e o b t i e n e l a columna d e r e s u lt a d o s o o o O o o o -----
2.12
-D em ostra r
a)
(p v
q) A
p
b)
(p A
q) V
p —
la s
le y e s
s ím p lífic a tiv a s
:
p
S O L U C I O N
IJIW - U - t )
p
:
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donde , de
l a s columnas
1
y
3
r e s u l t a la columna 2
de de
l a s columnas
2
y
5
r e s u l t a l a columna 4
l a s columnas
4
y
7
( n ó t e s e que son i g u a l e s ) s e o b t i e n e f i n a l m e n t e
l a co
lumna 6. P or t a n t o , l a s l e y e s dadas son e q u i v a l e n c i a s l ó g i c a s .
NOTA :
E n e l c a p i t u l o ¿ ¿ g u íe n t e vexem oó u n a d e f i n i c i ó n a b ¿ t x a c t a d e l A lg e b r a d e BOOLE.
A d m it ie n d o l o ¿ a x io m u d e l A lg e b r a d e B o o íe l a ¿ d e r á ¿
pxo-
p ie d a d e ¿ ¿ e p u e d e n d e m o ó tx a x ¿ i n n e c e s id a d d e x e c u x x ix a l a ¿ t a b la ¿ t a l como ¿ e h a h e ch o e n a lg u n o ¿ e j e x c i c i o á d e l c a p i t u l o
I.
L a ¿ l e y e ¿ id e m p o t e n te ¿ u ¿ i m p t i f i c a t i o a ¿ ¿ e x á n t e o x e m u e n e l A lg e b r a d e B o o le .
JL.
1 *3.
Demostrar
a)
P V
b)
P A (q V
las
(q A r ) r)
siguientes
( P V <l) A Ă? P V <=Âť
(p A q ) V
(P
leyes
distributivas
:
r> A r> (J K V -II-7 )
S O L U C I O N
:
a)
p
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3 y 5 s e o b tie n e 4
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y 13 s e o b t i e n e
de
l a s colu m n a s
1 y 4 res u lta
de
l a s c o lu m n a s
8 y 12 r e s u l t a
de
l a s colu m n a s
2 y 10 s e o b t i e n e
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7 y 9 s e o b t i e n e 8 y de
12. 2 ( p r i m e r m iem bro) 10 ( s e g u n d o m i e m b r o ) fin a lm e n te l a
c o lu m n a d e
res u lta d o s 6
r)
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3
4
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11
12
13
La o b te n c iĂł n de l a s
s u c e s i v a s colu m n a s
de
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1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,1 1 ,1 3
, a p a r tir de
A
l a s colu m n a s
d e una m a n e r a a n ĂĄ l o g a a l
o o o O o o o ------
ap artad o
d atos a ).
2 . 1 4 .
D em o stra r que
S O L O C I O N
p
«
(p V
q)
es
una t a u t o l o g í a .
:
Una p r o p o s i c i ó n e s una t a u t o l o g í a cuando s ie m p r e to na e l v a l o r v e r d a d e r o . (P
V
q)
p o r t a n t o , l a e x p r e s i ó n dada e s una t a u t o l o g í a p uesto que par a c u a l q u i e r v a l o r de p y q
e s siempre c i e r t a . o o o O o o o -----
2.1
5.
D em o stra r que
|p A q ) “
p
es
una t a u t o l o g í a . IJ R IM M 3 I
S O L O C I O N Una p r o p o s i c i ó n e s una t a u t o l o g í a cuando s i e n p r e toma e l v a l o r v e rd a d e ro . Veamos c uál e s l a t a b l a de v erd ad d e e s t a e x p r e s i ó n :
p o r t a n t o , l a fórm u la dada e s una t a u t o l o g í a p uesto que par a c u a l q u i e r v a l o r de p y q e s s ie m p r e c i e r t a . o o o O o o o -----
2 . 1 6
• D em ostra r
S O L O C I O N La
que
( p ‘ ) * *” * p
(J R V -II-5
:
t a b l a d e v e rd a d e s l a s i g u i e n t e : ( P 1)
i?')'
~
1
1
0
1
l u e g o , l a r e l a c i ó n dada e s c i e r t a .
P
2 . 1 7 .
D e te rm in a r
s i
la
(p A es
o
no
una
im p lic a c ió n
S O L D C I O N Una
im p lic a c ió n
Veamos c u á l e s
-
(p
A
q)
ló g ic a .
e s un a p r o p o s i c i ó n
ta b la de verdad
c o n d i c i o n a l q u e e s una t a u t o l o g í a .
de e s ta
p ro p o s ició n :
q
p
q
1
i
0
o
i
0
i
1
1
0
0
i
0
0
i
1
0
i
1
0
0
0
i
1
0
0
1
1
0
i
0
1
p
Según s e v e en l a se
q)
p ro p o s ic ió n
:
ló g ic a la
s ig u ie n te
trata
d e un a
Por ta n to ,
la
pA
q
p a
q
p
c olu m na c o r r e s p o n d i e n t e
al
a
(P A
q
v a lo r
q) “* <P A
ló g ic o de
q
la p ro p o s ició n
ta u to lo g ía .
e x p r e s i ó n d a d a e s un a
im p lica ció n
( P A <l>
•
ló g ic a
y s e puede e s c r i b i r
a s í:
( P A ^
0 0 0 O 0 0 0 ----------
2 - 1
es
o
8
- D e te rm in a r
n o una
la
(p
-* q ) *_ * ( q
e q u iv a le n c ia
S O L D C I O N
:
Una e q u i v a l e n c i a
ló g ic a
Veamos c u á l e s
la
s ig u ie n te
ló g ic a .
e s una p r o p o s i c i ó n
ta b la
p ro p o s ic ió n
-* p )
b i c o n d i c i o n a l q u e e s un a t a u t o l o g í a .
de v e r d a d d e e s t a p r o p o s i c i ó n :
P
q
p
q
p -* q
1
i
0
0
0
0
1
1
0
0
i
1
i
1
0
i
i
0
1
i
1
0
o
i
i
1
i
1
Según s e v e en l a dada,
s i
q -
c olu m n a c o r r e s p o n d i e n t e a l
p
v a lo r
( p _» q )
4— ( q
ló g ic o de
la
p)
p ro p o s ició n
s e t r a t a d e un a t a u t o l o g í a .
Por ta n to ,
esta
e x p r e s ió n e s una e q u i v a l e n c i a ( p -• q )
*“ * ( q - * p )
ló g ic a
y se puede e s c r i b i r a s í :
9 .
Demostrar
que
las proposiciones q
P V son
Y
P A
q
e q u iv a le n te s .
S O L U C I O N
:
S e t r a c a d e d e m o s t r a r que : (p
V
q)
1
1
i
pV
q
PA
<-
p
1
0
1
—
í
ILW
A
-
0
0
1
1
0
1
0
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l
0
1
i
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
5
6
7
í
9
1 2
1
4
MORGAN)
10
miembro d e l a e q u i v a l e n c i a . 3 ) N e g a c i ó n de l a colum na 7 e s l a colum na 6 , n e g a c i ó n d e l a colum na 10 e s l a columna 9 4 ) De l a s columna s 6 y 9 r e s u l t a l a colum na 8 que e s e l
r e s u l t a d o d e l segu ndo
miembro. 5 ) De l a s columna s I y 8 s e o b t i e n e l a colum na 5 , l o que no s d i c e que l a s p r o p o s i c i o n e s d ad as s on e q u i v a l e n t e s . o o o O o o o ----.D e m o stra r S O L U C I O N
que
la s ig u ie n te
(P 0
1
q> —
(p V
q>
:
La t a b la de verdad e s
1
(p a
A
1 1
1 0
0
q) 1
: « =>
1
(0
0 1
P 1
L
V 0
0
o
1
o
1 0
0
1
e v v E
0
1
0
0
0
1
1
0
1
I
o
M 0 R
2
3
4
5
6
7
i
9
10
0
L o s d a t o s v i e n e n d a d o s e n l a s columna s 2 , 4 , 7 , 1 0
A M
2 .21. S i m p l i f i c a r
la
s ig u ie n te
( p -* q ) v
(p
e x p re s ió n
:
q)
a
[SELECTIV1VA0 -Í 9 7 6 ) S O L U C I O N
:
P rim e r Método : Haremos uso de l a s t a b l a s d e v erd ad p
9
p
9
P -* 9
1
1
0
0
1
p
-» q
P A 9
( p -* q ) V ( P A 9 )
0
1
1 0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
l De e s t a
t a b la s e deduce que :
( p -* q ) V
(p A q)
q
S eg u n do M é t o d o :
( p -• q ) V
(p A q)
• - * Cp V q ) V ( p A q)
ya que
*■* ( p A q ) V ( p A q)
l e y de Morgan
-
le y d is trib u tiv a
(p V p) A q
a -* b « - • a V b
T ta u to lo gía
« T A q
, T ■ p V P
id en tid ad
o o o O o o o -----
2.22 y de
su
• Form ar
la
ta b la
de
verdad
de
la
p ro p o s ic ió n
q A
r
\SELECTJVWW -I975J
n e g a c ió n .
S O L U C I O N
pA
:
Las t a b l a s de v e rd a d de l a p r o p o s i c i ó n dada y d e su n e g a c ió n son l a s s i g u i e n t e s : A
q) A
q)
r
P A
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
l
0
0
0
0
0
1
1
r
A
9
9
(p
(p
p
0
A
r
2 .2 3
Demostrar
si
la (p
es
una t a u t o l o g í a
da.
Hágase
la
S O L O C I O M
,
ta b la
siguiente A
q)
-*
proposición
( (p V q )
una c o n t r a d i c c i ó n
o
V q)
una e x p r e s i ó n
in d e te rm in a
c o rre s p o n d ie n te .
:
La t a b l a de v e rd a d e s l a s i g u i e n t e :
donde, l a s columnas
1 ,3 ,5 ,7 ,9
son l o s d a t o s ,
de l a s
columnas 1 y 3 r e s u l t a l a columna 2,
de l a s
columnas 5 y 7 r e s u l t a l a columna 6,
de l a s
columnas 6 y 9 r e s u l t a l a columna 8
de l a s
columnas 2 y 8 r e s u l t a l a columna 4 , que
e s l a columna d e l o s r e s u l t a -
dos. Como t o d o s l o s v a l o r e s d e l a columna 4 son l
, s e t i e n e que l a e x p r e s i ó n dada
e s una t a u t o l o g í a o o o O o o o -----
2 . 2 4 .
D e te rm in a r
s i
( ( p -* q ) es
una t a u t o l o g í a , u n a
S O L U C I O N
la
s ig u ie n te
A p i
p ro p o s ic ió n
—* q
c o n tra d ic c ió n
o
una e x p r e s ió n
in d e te rm in a d a .
:
La e x p r e s i ó n dada puede tomar v a l o r e s v e r d a d e r o s o f a l s o s según l o s v a l o r e s que toman l a s p r o p o s i c i o n e s p y q , p o r t a n t o , s e t r a t a d e una e x p r e s i ó n i n d e te rmin ad a.
. D e te rm in a r
s i
"(p es
una
ta u to lo g ía ,
S O L U C I O N
la
A
s ig u ie n te
q)
A
(P
p ro p o s ic ió n
V
q )"
una c o n t r a d i c c i ó n
o
una e x p r e s i ó n
in d e te rm in a d a .
:
P a r a v e r s i s e t r a t a de una t a u t o l o g í a , d e una c o n t r a d i c c i ó n o d e una e x p r e s i ó n in d eterm in ad a, h a llarem os l a t a b la de verdad o fa ls e d a d :
La p r o p o s i c i ó n d ad a e s una c o n t r a d i c c i ó n p u e s t o que s i e m p r e e s f a l s a s e a c u a l f u e r e e l v a l o r d e p y q. 0 0 0 O0 0 0 ------
. La s ic io n e s que
v ie n e
p ro p o s ic ió n
"la
n e g a c ió n
d e fin id a
"N i
* e l
s ím b o lo
S O L U C I O N
ni
q"
lla m a la
de
la
q
v
«=, p
n e g a c ió n
q
de
verdad
c o n ju n ta .
:
q
p
\
:
<1
P V
1
1
l
0
I
0
1
0
q
<=»
0
1
l
0
0
0
0
1
T e n ie n d o e n c u e n t a t a & t e y e & d e M o a g a n
Po't t a n t o
ta b la
á lg e b ra
[ 1J
p
p + q
en
:
L a t a b l a d e v e r d a d de ( l ) v i e n e d e f i n i d a p or
NOTA :
se
c o n ju n ta ".H a lla r
a sí
p * s ie n d o
p
p V
q <->
"n i p n i q "
p A
p V
q
t>e t i e n e
:
q
et> e q u iv a l e n t e a
" n o p y no q "
de
p ropo
s a b ie n d o
2 . 2 7 . tes
y r
D em ostrar que s i una p r o p o s i c i ó n
p o s ic io n e s ( p -*
r ) — (q
-* r )
b)
( r -*
p ) —» ( r
q)
(p A
d)
(p v
son d o s p r o p o s i c i o n e s e q u i v a l e n c a d a una d e l a s
s ig u ie n te s
pro
e s una t a u t o l o g í a :
a)
c)
p y q
c u a lq u ie ra ,
r) « ( q r)
A r)
- I q v
S O L U C I O N
r)
:
Dos p r o p o s i c i o n e s e q u i v a l e n t e s tooan e l ais&c
va lo r lS g ic o , es d e c ir ,
l a s dos
son v e rd a d e ra s o f a l s a s a l a v e z . Vei
>s l a s t a b l a s d e l a s p r o p o s i c i o n e s dadas
a)
<P
b)
(r
(q
-♦
P)
(r
En l o s c u a t r o casos se t r a t a de una t a u t o l o g í a , p uesto que la columna d e l o s r e s u lt a d o s e s t o d a d e unos.
o o o O o o o -----
2 . 2 8 a
=
"1 5
.
Dadas
la s
es m ú ltip lo
b =
"T od o s
c =
"M a d rid e s
d =
"C a rlo s
C a lc u la r
lo s
I
p ro p o s ic io n e s
de
5"
a lu m n o s
de
la
c a p ita l
fu e
e l
C .O .U .
e s tu d ia n
F ilo s o fía "
d e F ra n c ia "
padre de
F e lip e
II"
:
I o)
V (a )
2o)
a V
b
,
V (b )
3 °)
a A
b
4 °)
(a V
b)
A c V c
,
5 °)
(a A
b)
6 °)
a' A
b*
7 °)
(a 1A
8o )
(d
V c)
A a ’
9o )
(d
A b)
V
b ')
A
V (d )
c *
(J R V -II-3 ) :
1°)
V (a ) -
2 °)
15 e s
m ú l t i p l o de 5 o t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a
3 o)
15 e s
m ú l t i p l o de 5 y t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a
15 e s
m ú l t i p l o de 5 o t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a ,
4 °)
,
,
b'
S O L U C I O N 1
V (c )
V (b ) = 0
, V (c) - 0
,
V (d ) -
1
y
M ad rid e s l a c a p i t a l d e F r a n c i a . 5 o)
15 e s m ú l t i p l o de 5 y t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a , o Madrid e s l a c a p i t a l de F r a n c i a .
6°)
15 no
e s m ú l t i p l o d e 5 y no t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a .
7°)
15 no
e s m ú l t i p l o d e 5 y no t o d o s l o s alumnos d e C .O .U . e s t u d i a n F i l o s o f í a
y M ad rid no e s l a c a p i t a l de F r a n c i a . 8 °)
C arlos I
fu e e l p a d re d e F e l i p e I I o M ad rid e s l a c a p i t a l d e F r a n c i a , y
15 no e s m ú l t i p l o d e 5. 9 *)
C a r l o s I f u e e l p a d re de F e l i p e I I
y t o d o s l o s alumnos de C .O .U . e s tu d ia n
F i l o s o f í a , o no t o d o s l o s alumnos d e C .O . U . e s t u d i a n F i l o s o f í a . o o o O o o o -----
2 . 2 9 "E s
fa ls o
.E x p resa r que
S O L U C I O N Sean (p
ni
en
fu n c ió n
P ed ro ha
del
operador v
a p ro b a d o M a te m á tic a s
ni
p ro p o s ic ió n
:
F ís ic a "
:
p - " P e d r o ha aprob ad o M a te m á tic a s " y
* q)
la
(p v q ) «-*
p v
q
q -
"h a aprobado F í s i c a " , lu e g o
, d e donde l a p r o p o s i c i ó n dada
es :
" P e d r o ha aprob ad o M atem áticas o P e d r o ha aprobad o F í s i c a "
2 .3 0
. Expresar
a)
"ser
b)
"n i
c h ic h a
c)
"n i
son
S
O
a)
L
U
o
C
s im b ó lic a m e n te
la s
e x p re s io n e s
:
no s e r " ni
lim o n a d a "
todos
I
O
Llamemos
N
lo s
que
están
ni
está n
todos
lo s
:
que
son"
(« U C n W O A ®
.9 7 6 )
a l a p rop osición " t a l cosa e x i s t e " e q u iv a le n t e a la p rop osi
p
c i ó n " s e r " . E n to n c e s , " s e r o no s e r " b)
Llamemos p a l a p r o p o s i c i ó n
5
p y
p
: " e s t o es ch ich a "
q a l a p ro p osición
. y
: " e s t o e s lim ona da ".
Ento nces ,
c)
" n i c h ic h a n i l im o n a d a " = " n o e s c h i c h a y no e s
lim ona da " s p A q
Sean l a s p r o p o s i c i o n e s , p :" s o n t o d o s l o s que
están"
q :
" e s t á n t o d o s i o s que s o n " ,
entonces , " n i s on t o d o s
l o s que e s t á n n i e s t á n t o d o s
" n o son t o d o s
l o s que e s t á n y no e s t á n t o d o s l o s que s on "
l o s que s o n "
“
p A i
0 0 0 O 0 0 0 -----
2 . 3 1
h a lla r 1°)
.
e l
Dadas
v a lo r
la s
ló g ic o
de
la s
P A q
4o)
2 °)
p V q
5 °)
3 °)
p V q
S O L D C I O N
=
5 .
4
=
20
q
=
7 + 3
=
15
r
=
8 - 5
=
3
p ro p o s ic io n e s p
s ig u ie n te s p _
(r
( (p V
v r)
p ro p o s ic io n e s
q) A p)
-*
r
:
L o s v a l o r e s l ó g i c o s de l a s p r o p o s i c i o n e s d ad as son : V ( p ) V (r) 1°)
:
- 1 V (p A q ) -
1A
0
- 0
2 o)
V (p V q ) -
1V
0
-
3 o)
V (p V q ) ■ 1 V
1
- 1
1
4o)
V (p -» ( r V q ) ) - 1 •* (1
5°)
V (((P v r )
A p)
-* r )
V 1) - i
- ((1
V
-» 1
1) A
- (1 A
0)
-
0
1
=
1
-
0) 1
■
>
-* 1
1 ,V (q ) - 0
y
2.3 2 - D e t e r m i n a r ción
si
es
verdadera
o
falsa
la
siguiente
proposi
:
"E s f a l s o
que
M a d rid e s
la
S O L D C
I O H
Sean
la
Luna e s
c a p ita l
un q u e s o y q u e
la
n ie v e
es n e g ra ,o
que
d e E spaña".
:
p ■ " l a Luna e s un q u e s o " q - " l a n ie v e e s negra" r = "M a d r id e s l a c a p i t a l d e E spaña"
e n t o n c e s l a p r o p o s i c i ó n dada s e e x p r e s a d e l a s i g u i e n t e form a : (P A
q) V
r
L a t a b l a d e v e rd a d p a r a l o s v a l o r e s l ó g i c o s d e l a s p r o p o s i c i o n e s dadas e s l a sigu ien te
: t
A
q
(P A q ) V
(p A q)
r
V
r
1 p or t a n t o ,
l a p r o p o s i c i ó n dada e s f a l s a .
o o o O o o o -----
2 .3 3 c ió n "E s
s i
es
verd ad era
o
fa ls a
la
s ig u ie n te
p ro p o s i
: fa ls o
paña,
o
que
que
S O L D C Sean
. D e te rm in a r
la
la
Luna
n ie v e
es es
un q u e s o y
que
M a d rid e s
la
c a p ita l
de
n egra ".
:
I O N
p ■
" L a lu n a e s un q u e s o "
q =
"M a d r id e s l a c a p i t a l d e E spaña"
r -
"La n ie v e e s n egra "
e n t o n c e s l a p r o p o s i c i ó n dada s e e x p r e a a d e l a s i g u i e n t e fo rm a : (p A
q)
V
r
L a t a b l a d e v e r d a d par a l o s v a l o r e s l ó g i c o s d e l a s p r o p o s i c i o n e s dadas e s : p
q
r
p A
0
i
0
0
q
(p A
p o r t a n t o , l a p r o p o s i c i ó n dada e s v e r d a d e r a .
o o o O o o o -----
q)
0
V
r
(P
A
q) 1
V
r
Es
2 .3 4 "S i
¿. C u á l
llu e v e
la s
es
S O L O C I O N Sean
la
n e g a c ió n
c a lle s
de
la
p ro p o s ic ió n
:
s e m o ja n "? .
:
p - "llu e ve "
y
q - " l a s c a l l e s s e mojan" en to n c e s l a p r o p o s i c i ó n dada e s : p _» q. La n e g a c i ó n d e e s t a p r o p o s i c i ó n s e r á : p - q
v
«= »
p
q
«-»
p A
<1
• Po r , a l e y de Morgan
«"»
p A
Q
. Po r l fl l e y de d o b l e n e g ac ió n
p or t a n t o , l a p r o p o s i c i ó n p e did a e s : " l l u e v e y l a s c a l l e s no s e mojan" NOTA : O b t O iv a e que l a n e g a c ió n d e l a p n o p o A ld ó n dada no t e : " S I no l l u e v e e n tó n e te I o a c a t i t e ¡ x i t e t o que
p -* q
no ¿ e m ojan"
n o t e e q u iv a le n t e a
p
q
Es e v id e n te que I oa c a t i t e 6 e pueden m ojan A ln que llu e v a .T o d o A heno, v l& to como n ie g a n L oa banaendenoA en la ¿ c lu d a d te .
o o o O o o o -----
2 . 3 5 . D e te rm in a r c ió n
si
es
verdadera o
fa ls a
la
s ig u ie n te
p ro p o s i
:
“ S i M a d rid e s
la
c a p ita l
de
F ra n c ia ,
e n to n c e s N a p o le ó n
fu e
rey
de
España" S O L U C I O N Sean
:
p
=
"Madrid e s l a c a p i t a l de F r a n c i a "
q
■
"N ap ole ón f u e r e y de España" ,
en to n c e s l a p r o p o s i c i ó n dada e s :
y
p _* q .
La t a b l a de v erd ad e s :
Sie ndo l a p r o p o s i c i ó n
p fa lsa
, s e s ig u e que l a p r o p o s i c i ó n
d e ra como s e v e observ an do l o s dos ú l t im o s c a s o s de l a t a b l a .
p -» q
e s v e rd a
2 .3 6 "P ed ro
. ¿Cuál e s
n e g a c ió n
de
la
p ro p o s ic ió n
:
ha a p r o b a d o M a t e m á t i c a s y J u a n h a a p r o b a d o F í s i c a " ? .
S O L U C I O N Sean
la
:
p -
" P e d r o ha aprob ad o M a t e m á t i c a s "
q ■
"Jua n
ha aprob ad o F í s i c a "
e n t o n c e s l a p r o p o s i c i ó n dada e s :
y
,
p/\ q
La negación de e s t a p r o p o s ic ió n s e r á
:
(p A
q )' «
(p ' V
q ')
t e n i e n d o en c u e n ta l a s l e y e s d e M o r g a n .P o r t a n t o , l a n e g a c i ó n d e l a p r o p o s i c i ó n p edid a e s : " P e d r o no ha aprob ad o M a te m á tic a s NOTA : O b s é rv e s e qu e l a
Juan no ha aprob ad o F í s i c a "
n e g a c i ó n no e s :
"P e c h o no ha a p ro b a d o N a t m l t i c a s y Juan no ha a p ro b a d o F í s i c a "
— 0 0 0 O 0 0 0 -----
, ¿Cuál e s
la
n eg a ció n
de
la
p ro p o s ic ió n
:
" P e d r o ha a p r o b a d o M a t e m á t ic a s o Juan ha a p r o b a d o F í s i c a " ? . S O L U C I O N Sean
:
p
-
" P e d r o ha a p r o b a d o M a t e m á t i c a s "
q
=
"Jua n
ha aprob ad o F í s i c a "
e n t o n c e s l a p r o p o s i c i ó n d ad a e s
:
y
,
p Vq
La n e g a c i ó n d e e s t a p r o p o s i c i ó n s e r á :
(p V < l)'
***
(p 'A
<T)
t e n i e n d o e n c u e n ta l a s l e y e s de Morga n. P or t a n t o , l a n e g a c i ó n d e l a p r o p o s i c i ó n pedida es : " P e d r o no ha a p r o b a d o M ate raáticas_£_Juan no ha aprob ad o F í s i c a " NOTA : O b s é rv e s e qu e l a n e g a c i ó n no es : "P e c h o n o ha a p rob a d o M a te m ttic a s o Juan no ha a p ro b a d o F í s i c a " . 0 0 0 O 0 0 0 -----
3 8 . S e
En e f e c t o
,
lla m a
"ley
de t e r c io
e x c lu s o "
p
p'
P V
1
0
1
0
1
1
p
'
a
p v
p '.
D em ostrar
2 . 3 9 . C om probar
si
el
lid o :
APLIC A C IO N
:
E s tu d ia r "S i
ra zo n a m ien to s ig u ie n t e
P j:
P
P2 :
*
c :
P
la
S O L O C I O N
la s
s ig u ie n te
c a lle s
no ha
in vá
ra zo n a m ien to :
s e m oja n .
la s
c a lle s .
llo v id o ".
:
Veamos que e l ra zo n a m ie n to e s v á l i d o ,
A
-»
q>
1
1
i
0
(p
del
han m o ja d o
Luego,
o
q
v a lid e z
llu e v e
No se
-
es v á lid o
e s d e c i r , q u e s e t r a t a d e una t a u t o l o g í a .
-
q
-»
-
p
0
i
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
i
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
E sta t a u t o l o g í a r e c i b e en L ó g i c a e l nombre de " L e y d e modus t o l l e n d o t o l l e n s " A P L I C A C I O N
:
E l ra zo n a m ie n to dado e s v á l i d o . En e l e j e m p l o :
p
-
"llu e v e "
q
-
" l a s c a l l e s s e mojan" 0 0 0 O 0 0 0 ----------
2 . 4 0 te
D em ostrar p o r
ra zo n a m ie n to
S O L U C I O N
:
re d u c c ió n p
•
p
p -> *
P
C
q
_
al
absurdo
la
v a lid e z
del
s ig u ie n
q
:
Un ra zo n a m ie n to e s v á l i d o cuando l a c o n c l u s i ó n e s v e r d a d e r a . Supongamos que l a c o n c l u s i ó n e s f a l s a , V (q ) - 0
y
V (p - * q) - 1 s e s i g u e que
P or o t r a p a r t e ,
codo
e s d e c i r , que q e s
f a l s a . E n t o n c e s de
V (p ) - 0 .
p e s una p rem is a e s v e r d a d e r a ; l u e g o
que l a c o n c l u s i ó n e s f a l s a nos l l e v a a una c o n t r a d i c c i ó n . P or t a n t o , q e s v e r d a d e r a y e l ra zo n a m ie n to v á l i d o .
e l hecho de suponer
2.41
.
E s tu d ia r "S i
S O L O C I O H Sean
v a lid e z
del
E stán
m o ja d a s
Luego
,
ha
s ig u ie n te
c a lle s la s
se
ra zo n a m ie n to :
m o ja n .
c a lle s .
llo v id o ".
:
p
- "llu e ve "
q
=
en ton ces
la
"la s
la
llu e v e -la s
c a lle s
s e m o ja n "
,
a rg u m en ta c ión a n t e r i o r
Pj
:
se e s c rib e
p -
P2 1
*
C
p
:
a s f:
q
Como l a s p r e m i s a s P j y P^ s e c o n s i d e r a n s i e m p r e v e r d a d e r a s , s e t i e n e V (q ) * De
1
:
, e s d e c i r , q e s verdadera.
V (q ) ■ 1
P or t a n t o ,
y
V (p
-* q ) ■ 1
s e s i g u e que
V (p ) -
1
o b ien
V ( p ) ■ 0.
l a c o n c l u s i ó n p puede s e r v e r d a d e r a o f a l s a .
N ó t e s e , p o r t a n t o , que e l e s t a r l a s c a l l e s m ojad as no i m p l i c a que haya l l o v i d o , p u e s to que l a s han p o d i d o r e g a r l o s b a r r e n d e r o s . o o o O o o o -----
2.42
. E s tu d ia r
"S i
la s
la
g a v io ta s
v a lid e z está n
del
en
la
s ig u ie n te p la y a
es
ra z o n a m ie n to que
la
yendo. Las g a v io ta s Luego,
la
S O L U C I O N Sean
está n
tard e
en
está
p la y a .
:
p ■ " l a s g a v io ta s están en q - "la
la
cayen d o".
la p la y a "
t a r d e e s t á cayendo"
e n t o n c e s e l r a z o n a m i e n t o d ad o s e s i m b o l i z a p or :
L a p r e m is a
Pj
:
p -* q
P2
:
P
C
:
q
P^ e s v e r d a d e r a , p or t a n t o p e s v e r d a d e r a .
De p v e r d a d e r a y
p -♦ q
v e r d a d e r a s e s i g u e que q e s v e r d a d e r a .
La c o n c lu s ió n e s v e rd a d e ra , lu e g o e l razon aoien do es v á l i d o .
tard e
: está
ca
2. 43. Estudiar
Poner
del
P j
:
P
V
q
p2
!
q
-*
r
P3
:
?
siguiente
razonamiento:
un e j e m p l o .
S O L U C I O N 1)
validez
la
:
Se t r a t a de v e r que l a p r o p o s i c i ó n (<P V q ) A
:
(q -* r ) A
r) ^
p
e s una t a u t o l o g í a . P u e d e h a c e r s e l a t a b l a d e v e rd a d y c o n p r o b a r que a s í e s . A h ora b i e n , c o n o e n un r a z o n a m i e n to suponemos que l a s p re m is a s s on c i e r t a s , vamos a) V (r)
2)
a d e d u c i r d e e s t e hecho que p e s v e r d a d e r a . -
1, l u e g o
V (r)
- 0
b ) De V ( r ) ■=
0
y
V ( q -* r ) = 1
, s e sigu e que
V (q ) - 0
c ) De V ( q ) -
0
y
V (p V
, se sigu e que
V (p ) - 1
Por tan to la
p ro p osición
Veamos a h o r a
un e j e m p l o d e l r a z o n a m i e n t o dado:
q) - 1
p e s c i e r t a y e l r a z o n a m ie n t o v e r d a d e r o .
"Pedro e s e s tu d ia n te o a lb a ñ il . S i e s a l b a ñ i l e s t á en e l
rano de l a
con stru cción .
No e s t á e n e l ramo d e l a
con stru cción ,
lu e g o , es e s tu d ia n te". o o o O o o o -----
2 . 4 4 .
E s tu d ia r
v a lid e z
del
lo s
e s p a ñ o le s
Todos
lo s
europeos
Luego
to d o s
S O L U C I O N Sean
la
"T o d o s
lo s
s ig u ie n te son son
ra z o n a m ie n to
:
europeos. m o rta le s .
e s p a ñ o le s
son m o r ta le s ".
:
p - " s e r e s p a ñ o l" .
q ■ " s e r europeo" ,
r -
"s e r m ortal ,
e n t o n c e s e l r a z o n a m i e n t o dado s e e x p r e s a s i m b ó l i c a m e n t e a s í : Pj
:
P -* q
P2 :
q
C
p -* r
:
-
r
E s t e r a z o n a m i e n t o e s v á l i d o p u e s to que s e t r a t a de l a p r o p i e d a d t r a n s i t i v a de l a i m p l i c a c i ó n , que e s una t a u t o l o g í a , (< p
-* q )
A
(q
es d e c i r
-* r ) )
-* ( p
: -* r )
2 . 4 5 g u ie n te
- D em o stra r,p o r ra zo n a m ien to
S O L O C I O M
r e d u c c ió n
al
absurdo,
la
v a lid e z
d el
s i
: P j
:
p
p2
í
p «-*
P3 :
i
C
r
:
-
q r
:
Un r a z o n a m ie n to e s v á l i d o cuando l a c o n e l u s i 6 n e s v e r d a d e r a . Supongamos que l a ^ c o n c l u s i 6 n e s f a l s a , e s d e c i r , V ( r ) - 0. 1)
V (? )
- 1
2)
D« V ( p ■* r )
»
1
y de
3)
De V ( p * - * q ) - 1
4)
P o r o t r a p a r t e , como
1) se sigu e que
V (p ) -
1
y de V ( p ) ■ 1 s e s i g u e que V ( q )
P o r t a n t o , a l s u p on er
q
e s p r e m is a
que r
V (q ) -
*
1
1, l u e g o
V (q )
-
0
e s f a l s a hemos l l e g a d o a l a b s u r d o de que
q es v e r
dadera y f a l s a a l a v e z . En c o n s e c u e n c i a , r e s v e r d a d e r a y e l r a z o n a m ie n to v á l i d o . o o o O o o o -----
2 . 4 6
. E s tu d ia r
lid o :
Poner
un
s i
e l
ra z o n a m ie n to
Px
:
p V
p2
:
p A q
q
s ig u ie n te
v á lid o
o
in v á
V r
e je m p lo .
S O L D C I Q H
:
La l e y d e modus t o l l o n d o pon eos e s : S i sustitu im os
a p or a
"
p V q (p V
(a V b)
(((p
V
A 5■*
b .
. entonces "
P A q
p o r l a l e y d e Morgan ,
L u e g o , n o s qu eda e l r a z o n a m i e n to s i g u i e n t e q) V f )
A
(p
que s e r á , p o r t a n t o , una t a u t o l o g í a .
A
:
q>)
r
S e t i e n e , p u e s que
v á lid o . EJEMPLO :
es
"P ed ro canta , b a i l a o ju e g a . P e d r o no c a n t a y no b a i l a . Luego, P ed ro ju e g a " .
e l r a z o n a m i e n to dado e s
2.47.
Sí
p -* q ,
rem a r e c í p r o c o ,
e l
rep resen ta
e l
c o n tra rio y
E je m p lo y e q u iv a le n c ia
de
la s
e l
teorem a d ir e c t o ,e x p r e s a r
e l
teo
c o n tra re c íp ro c o .
p ro p o s ic io n e s
p *♦ q
y
p'
Vq-
(fflF C rm iM P
- J975J
S O L O C I O I i d i r e c t o donde p e s l a h i p ó t e s i s y q l a t e s i s
a)
P ■* q
, teo
b)
q -♦ p
, teo
recíp roco
c)
P -
q
, teo
c on tra rio
d)
q -
P
, teo
c on tra rrecíp roco
N0TA : Reco\dono6 qu e ¡ t e o t e m d iA tc X o t e e x e m c o n tA a jú o La d trv t,V ia cÁ 6 n u
—
U o i e r a co n V u iK xe cíp A o co
«-»
t e o e o r a le u lp A o c o
im n e d ia ía p o * l a * t a b la t, d e veAdad.
Veamos ah ora l a segunda p a r t e d e l e j e r c i c i o . Las p r o p o s i c i o n e s
p -* q
y
p -* q
p' V
q
son e q u i v a l e n t e s s i y s o l o s i
- p ' V q
e s una t a u t o l o g í a .
p
-
9
—
-
p
V
9
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 1 0
1 l I 1
0 0 1 1
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 1 0
P u e s to que l a columna d e r e s u l t a d o s e s t o d o u n o s . s e t r a t a d e una t a u t o l o g í a . EJEMPLO : S i
Pedro c a t u d i a , en to n c e s a p r o b a r á e l exáacn de Mate m áticas.
En e s t e c a s o :
p -
Pedro e s t u d i a
q
P e d r o ap r o b a r á e l examen d e Mate m áticas.
»
P o r t a n t o , l a p r o p o s i c i ó n e q u i v a l e n t e a l a dada e s : " P e d r o no e s t u d i a o Pedro ap r o b a r á e l oxámen de M ate m áticas" Teorema r e c í p r o c o : S í P e d r o ha aprobado e l examen d e M a te m á tic a s , en to n c e s ha e s t u d i a d o . Teorema c o n t r a r i o : S i Pedro no e s t u d i a . e n t o n c e s no ap r o b a r á e l examen d e Ma te m á t ic a s . Teorema c o n t r a r r e c í p r o c o : S i P e d r o no ha aprobad o e l examen d e M ate m átic as , en to n c e s no ha e s tu d i a d o .
2 . 4 8 g u ie n te
■ La
sum a d e
fó rm u la
lo s
n
p rim e ro s
núm eros v i e n e
1 + 2 + 3 + . . . + n = D e m o s tra rla
S O L D C
por
I O N
dada
por
la
s i
:
e l
m étodo
de
- .nl g t 1)
in d u c c ió n .
:
a ) L a f ó r m u la s e v e r i f i c a
para n - 1 . E n
,
.
> 4 i± > >
-
e fecto , .
:
|
b ) Supongamos que l a f ó r m u la e s v á l i d a p a r a n ■ h , e s d e c i r 1 + 2 +
3 +
...
+ h
-
h-(-iy
,
{ 11
c ) S e t r a t a ah ora d e d e m o s t r a r que l a f ó r m u l a s i g u e s i e n d o v á l i d a
p a r a n - h+1
Sumando a l o s d o s t é r m i n o s d e l a e c u a c i ó n I 1 ] , h + 1 , s e t i e n e : 1+
2+ 3 +
—
+ h+
(h +
1)
-
h- ' h2+
«
1 +
2+ 3 +
...
+ h + (h +
1)
-
M f r - t .1* * 2 <h + l )
—
1 +
2+ 3 +
...
+ h + (h +
1)
que e s l a
f ó r m u la dada p a r a
l}
+ ( h + 1)
- J h jL iK h -L iL
n = h + 1 , l u e g o l a e c u a c i ó n d ad a e s c i e r t a .
0 0 0 O 0 0 0 ---
2 » 4 9 la
«L a
sum a d e
lo s
s ig u ie n te
fó rm u la
:
1 + D e m o s tra rla
por
S O L O C I O N
3 +
n p rim e ro s
5 +
7 +
...
im p a re s
+
1)
(2 n
-
=
v ie n e
dada
por
n2
in d u c c ió n . :
a ) Es e v i d e n t e que s e v e r i f i c a p a r a n b)
núm eros
1
(C om pruébese p a r a n - 2 , 3 )
Supongamos que l a f ó r m u la e s v á l i d a p a r a n - h 1 + 3 +
5 + 7 +
...
+
(2 h -
, es d e cir,
1) - h2
{ 11
c ) S e t r a t a a h o r a d e d e m o s t ra r que l a f ó r m u la s i g u e s i e n d o v á l i d a p a r a n • h+1 Sumando a l o s d o s miembros d e l a e c u a c i ó n ( 1 1 , 2h + 1 , s e t i e n e 1 + 3 + 5 + 7 +
. . . +
(2 h -l) +
( 2 h + l ) = h2 + ( 2 h + l )
1 + 3 + 5 + 7 + . . . +
(2 h -l) +
(2 h + l) -
que e s l a f ó r m u la d ad a p a r a
(h + l ) 2
n - h + 1.
P o r t a n t o l a e c u a c i ó n dada e s v á l i d a p a r a t o d o n G H.
•**
:
3
ALGEBRA DE BOO LE e n eZ q u e ¿ e d u o M o t í a n tcu> 6 ¿ g u Z e n te ¿ m a Z e'u a ó :
1.
AXIOMATICA DE UN ALGEBRA DE BOOLE
2.
PROPIEDADES
3.
A P L I C A C I O N D E L A L G E B R A D E B O O L E A LOS CIRCUITOS LOGICOS
4.
CIRCUITOS EQUIVALENTES
5.
TABLAS DE RESPUESTAS
6.
SISTEMA BINARIO
3 . 1. c io n e s gebra
Se d ic e
d e fin id a s de
BOOLE
que
en A s i
,
se
y
que
v e rific a n
P ro p ie d a d e s
c o n m u ta tiv a s .
a
a
A2 :
P ro p ie d a d e s
d is trib u tiv a s .
a
=
Aj
:
.
(b
b +
+
c)
;
(a . b)
E le m e n to s c e r o A tie n e
a . b
y
p ro p ie d a d e s a
A4
:
+
todo
e le m e n to a +
P a rtie n d o
de
estos
1)
a
2)
a
.a
a
+1
4)
a
.0
5)
a
+ (a
. b)
6)
a
. (a
+ b)
S O L 1)
a x io m a s
por
con
+ y
dos
.
,
s ig u ie n te s
:
opera
es
un a l
b . a
(a . c )
;
a + (b .c )
=
(a + b )
.
(a + c)
que
se d e s ig n a n
por
0 y
1 con
la s
s i
: =
0
a
;
a
.
=
1
a
C om p lem en ta ció n . Para
V
ju n ta m e n te
u n id a d
d o s e le m e n to s
g u ie n te s
lo s
=
+
,
s im b o liz a re m o s
A1 :
+ b =
A
un c o n j u n t o
a
de A e x is te a'
=
1
:
a
a x io m a s ,d e m o s tr a r
otro .
a'
lo s
e le m e n to =
a'
ta l
que
0
s ig u ie n te s
teorem a s
+a
O C I
NOTA. :
vez de
0 y 1
lot> 6<ité)olo6
¿ e empíea t a n é i í n
C y 1.
O a . a -
(a . a)
+0
, p o r A3
-
(a . a)
+ (a
. p or A4
- a + (a . a ')
-
a . (a
+ a ')
. p or A2
■ a + 0
-
a. 1
(a + a) a + a -- 0
. 1
- (a + a)
2)
. (a + a ')
. P or A^ , p o r A3
3)
(a . 0) + 0
, p o r A3
1)
0 +
. p or A j
- (a + a ')
. ( a + 1)
(a
-
a 4- ( a -
. 1)
-
a + a'
a . a'
, p o r A3
-
1
0
, p o r A,
a + 1 - (a + 1 ). -
I . (a +
1
4)
( a . 0) . a ' ) + (a
a . (a*
0)
0)
6) a . (a + b) - (a + 0 ) .(a + b )
5) .
(1 + b)
. 1 •
a
, p or A4 . p or A2
, p o r A3
« a + <0 . b)
, p or A2
- a + 0
, p or * ) . p or A ,
3 - 2 -
Sea A
un á l g e b r a d e B o o l e , d e m o s t r a r q u e
1)
.. a
.
b =
0 im p lic a
a .
2)
a
.
b =
0. i m p l i c a
a .
b'
= c
im p lic a
3 )a . b = 0
y
a + b
S O L D C I O N
:
1)
( a .b ) + ( a . c )
a
2)
. (b + c ) = a
0+
(a
a
a . c
(b
+ c) =
. c
a
= c
a .b'
, p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a
. c)
, a . b ■ 0
a ■ a . 1
, p ro p ie d a d d e l e le m e n t o
1,
a a . (b + b ')
, b y b ' c o n j u n t o s c om p lem e n ta rio s,
- (a . b) +
, propiedad d i s t r i b u t i v a
■ 3)
a
:
c .
0
+ (a
(a . b ' ) . b’ )
,
, a . b - 0
a . b’ b' -
(a + b)
. b'
a
(a
. b ')
+ (b
-
(a
. b ')
+ 0
, ya que . b ')
a + b «■ c
, p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a , , ya que b y b ' son
c om p le m e n ta rio s.
a a . b' , p or 2)
o o o O o o o -----
3 . 3 . d ia d o tos
Poner
este
cero
y
lo s
curso
con
e je m p lo s la s
de
A lg e b ra s
o p e ra c io n e s
d e B o o le
u n id a d .
S O L U C I O N
que
c o rre s p o n d ie n te s
s e han y
lo s
estu ciern en
[SELECTIVIDAD -1 9 7 6 )
:
1) A l g e b r a de B o o l e d e l a s p a r t e s d e un c o n j u n t o . O p e r a c io n e s : Unión , I n t e r s e c c i ó n Elementos c e r o y unidad :
0
y
, c o m p le o e n t a c i ó n .
U
2) A l g e b r a de B o o l e d e l a s p r o p o s i c i o n e s . O p e r a c io n e s : D is yu n c ió n , c o n j u n c ió n , n e g a c ió n Elementos c e r o y unidad : L a c o n t r a d i c c i ó n y t a u t o l o g í a 3 ) A l g e b r a de B o o le d e l o s c i r c u i t o s . O p e r a c io n e s : suma ( a s o c i a c i ó n en p a r a l e l o )
.produ cto ( s e r i e )
, c on tra rio
Elementos c e r o y unidad : C i r c u i t o s ie m p r e c e r r a d o , c i r c u i t o s ie m p r e a b i e r t o . 4 ) A l g e b r a de B o o le d e l o s s u c e s o s . O p e r a c io n e s : Unión , i n t e r s e c c i ó n
, co n tra rio .
Elementos c e r o y unidad : Suceso i m p o s i b l e , s u c e s o c i e r t o .
3. 4.
Sea A2 e l
no. Se d e fin e n Suma
+
c o n ju n t o form a d o p o r t o d o s
él
dos o p e ra c io n e s dadas
: P + Q = p u n t o más
P rod u cto Si
en
P es
.
a le ja d o d e l
: P . Q = p u n t o más
un p u n t o , P '
por
lo s
o rig e n
cercan o a l o r ig e n
se d e fin e
c om o e l
pu ntos d e l p la
: en tre en tre
punto s i m é t r i c o
P y
Q
P y 0
.
resp ecto
del
o rig e n . ¿Es A2 c on e s t a s S O L O C I O N
o p e r a c i o n e s un A l g e b r a
de B o o le ? .
:
A2 con e s t a s op e r a c io n e s no e s un á l g e b r a de B o o l e . En e f e c t o , s i f u e s e un á l gebra de Boole l a o p e r a c iá n pro ducto d e c i r , t e n d r í a que e x i s t i r un punto rific a ría
te n d r í a que te n e r elemento unidad, es X t a l que para to do punto P d e l p lan o s e ve
que P.X - P . E s to i m p l ic a que : Todo punto d e l p lan o e s t á más
p ró x i
mo a l o r i g e n que e l punto X". E s te punto no e x i s t e evidentemente. o o o O o o o -----
3.
5.
Se c o n s i d e r a e l D =
en e l
que
Suma
+
:
Prod u cto
.:
S i a es ¿Es e l
c o n ju n to
{1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,1 0 ,1 2 ,1 5 ,2 0 ,3 0 ,6 0 }
se d e fin e n
la s
s ig u ie n te s
o p e ra c io n e s
:
a + b
= m í n i m o c om ún m ú l t i p l o d e
a
= m áxim o c om ún d i v i s o r
de a
,
núm ero t a l qu e
.
b
un n ú m e r o c o n ju n to D
S O L D C I Q H
se d e fin e
con e s ta s
a ' c om o e l
a y b y b a .a '
•
60
o p e r a c i o n e s un á l g e b r a d e B o o l e ? .
:
Los elementos de D son l o s d i v i s o r e s de 60. Evidentemente la s op e r a c io n e s suma y pro ducto d e f i n i d a s son i n t e r n a s . a)
M .C .D (a .b ) - M . C . D (b .a )
y
M . C . M .(a .b ) - M . C . M .(b . a ) , l u e g o s e cumplen
b)
Se comprueba también f á c il m e n t e que se v e r i f i c a n l a s propiedad es d i s t r i b u
c)
E l elemento c e ro d e l A l g e b r a de Boole es 1; e l elemento unidad 60.
d)
Veamos que no s e v e r i f i c a n l a s l e y e s de complementación.
l a s pro piedad es conmutativas.
tivas.
En e f e c t o : E l complementario d e 6 e s
10. Entonces s e v e r i f i c a r í a :
o + a ' - 60
y en n u e s tr o caso
M . C . M . ( 6 , I 0 ) ■ 30
a . a' - 1
y en n u e s tr o caso
M.C.D.C6.10) ■ 2
P or t a n t o , D con l a s
op e r a c io n e s dadas no e s un á l g e b r a de BOOLE.
3 * 6 a r io
D e m o s t r a r q u e en un á l g e b r a un e l e m e n t o e s ú n i c o .
de
S O L U C I O N
de
B o o le
A ,e l
c o m p le m e n ta
;
Sean + , . , ' la s o p e ra c io n e s Se a x un e le m e n t o d e A y se an x ' y x "
y c o m p l o a e n t a c i ó n d e f i n i d a s en A. d o s c o m p le m e n ta r i o s d e x , e n t o n c e s ,
x "
-
+
x'
-1 .x *
1 .x "
- <x' + x ) - (x + x " )
. x "
-
(x '.x " )
(x .x ")
. x'
-
(x .x ') + ( x " . x ' )
- (x '.x " )
+ 0 - x'
- 0 + (x "
. x ')
. x "
- x - '.x 1
De la B d o s r e l a c i o n e s a n t e r i o r e s y de l a c o n m u t a t i v i d a d d e l a s o p e r a c i o n e s de un á l g e b r a d e B o o l e , s e s i g u e : x'
- x "
. X*
-
x "
oooOooo
3.
7-
( x *)* » x d e B o o le .
,
D e m o s t r a r q u e e n un á l g e b r a d e B o o le s e v e r i f i c a que s ie n d o ' l a c o m p le m e n ta c ió n d e f i n i d a en e l á lg e b r a
S O L U C I O N
:
x +
x 1 ■
De x dado que gue que
el
.
x*
-
11 J 0 I
< x ')'
♦
x'
- 1 1
(x')'
.
x'
-
y
c o m p lem e n ta rio
en
<x'>'
un -
a lg e b ra
de
0 f B o o le
es
ú n ic o ,s e
s i
x
oooO ooo-—
3.8.
D e m o s tra r
a)
a
+
b -
b
b)
a
.
b =
a
a .
la s
r e la c io n e s
s ig u ie n t e s
:
S O L U C I O N a) -
que
b) b- a . ( a + b )
p or h i p á t c s i s
- a b) -
a)
a +
b- ( a - b
y a que
a + b - b
p or l a propiedad s i a p l i f i c a t i v a
. b)
+
b
p o r h i p á t e s i a ya que
a . b ■ a
p or la propiedad s i m p l i f i c a t i v a .
son
e q u iv a le n t e s
3 .
9 .
fin id a s
¿Es
por
Sea
la s
un á l g e b r a
e l
c o n ju n to
s ig u ie n te s
de
S O L D C I O M
B o o le
A
=
(a ,b )
ta b la s
con
la s
+
y
.
de
:
(A ,+ ,.)? .
:
a ) L a suma e s c o n m u t a t iv a como s e puede c om p ro b a r e n l a b ) Veamos s i
o p e ra c io n e s
se v e r i f i c a
l a propiedad
a .(b + c )
L a s p o s i b i l i d a d e s s on l a s s i g u i e n t e s 1)
a .(b + a ) - a .b + a .a
2)
a.(b + fc) - a . b + a.b
3)
b . (b + a ) - a . b + b .a
4)
b .(b + b ) - b .b + b .b
«-*
.b -
«=*
- a . b + a.b
:
a + a
*-*
a - a
+ a
«-*
a - a
b.b -
a + a
«-*
a - a
b.a -
b + b
«-*
a - a
a .a - a
C ab la .
a .a - a + a * - *
a - a
b. a - a + a * - *
a - a
5)
a .(a + a ) ■ a .a + a.a
6)
b .(a + a ) ■ b.a + b.a
7)
a . (a + b ) - a . a + a.b
e s e l mismo
8)
b .(a + b ) - b .a + b .b
p o r l a c o n m u t a t i v i d a d s e r e d u c e a l c a s o 3)
«-*
Veamos a h o r a s i s e v e r i f i c a
c a s o que 1) p o r l a c o n m u t a t i v i d a d .
la p rop ied ad
Las p o s i b i l i d a d e s son l a s s i g u i e n t e s
a + (b .c )
-
(a + b ).(a + c )
:
1)
a + ( b . a ) • ( a + b ) . ( a + a ) «*•*
a + a - b.a
2)
a + (b .b )- (a + b ).(a + b )
«-•
a + b - b .b
*■*
a - a b - b
3)
b + (b .a )- (b + b ).(a + a )
*4*
b + a - b.a
*4 »
b i
a
,
l u e g o l a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a no s e v e r i f i c a p a r a e s t e c a s o y e n c o n s e cu en cia
(A
, + , . ) no e s un á l g e b r a d e B o o l e . o o o O o o o ------
3 . 1 0 . tes
D em ostra r a)
a .b '
S O L D C I O M a)
-
=
s ig u ie n te s
c o n d ic io n e s
son
e q u iv a le n
0
; b ) a + b = b
;
c)
a'
+
b
-
1
:
(a + b ).l -
(a + b ). (b + b ’ ) -
(b + a ) . ( b + b ' )
- b + (a .b ')
■* c )
a* + b - a* + (a + b ) c)
la s
b)
a + b b)
que
:
-
(a' + a) + b -
1 + b -
1
a)
a' + b -
1
-
(a ' + b )'
-
1'
-
a'
. b' -
0
-»
a . b’ -
0
- b + 0 - 0
3 .1 1 .
Sea A
un á l g e b r a
e x p re s ió n : S
O
L U
C
♦
B o o le .
(((a .b ).c )
I O
(((a.b ).c)
de
N
+
S im p lific a r
(< a .b ).c '))+
la
s ig u ie n te
(a '.b )
:
((a .b ).c '))
♦
(a '.b )
(¿}
((a.b ).(c
♦ e '))
( 2> ( ( a . b ) . l )
donde en ( 1 ) y (/,) s e a p l i c a
♦
♦
<- )
(a.b)
<¿>
(a ♦ a ' ) . b
<-*>
l.b
<S>
b
(a'.b)
(a'.b)
(a '.b )
l a p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a
dad d e l e l e m e n t o 1 ; en ( 2 ) y ( 5 )
♦
; en ( 3 ) y ( 6 )
la p ro p ie
l a p r o p i e d a d d e com plcmcntacifin.
o o o O o o o -----
3 .1 2
■
S ea
A
un á lg e b r a
d e B o o le .D e m o s tra r
la s
s ig u ie n te s
re la c io n e s : a)
(a .b )
♦
(a .b ')
♦
(a '.b )
+
(a '. b ')
=
1
b)
(a .b )
.
(a .b *)
.
(a '.b )
.
(a '.b * )
-
0
S O L U C I O N a)
:
(a .b )+ (a .b ')+ (a \ b )+ (a '.b ')
((a .b )+ (a .b ')) ♦ ( ( a '. b ) + ( a '. b ') ) ( 2} (3 ) -
(a .(b + b ')) + (a '.(b (a + a ' ) . (b ♦ b ') 1 . 1 - 1
donde e n ( 1 ) , ( 2 ) y ( 3 ) He ha a p l i c a d o l a p ro p ie d a d b)
Para es 0.
d e m o s t ra r
b) basta v e r
d is trib u tiva .
que e l
producto de
dos fa c t o r e s cu a les
.
(a .b ).(a .b * ) -
a .(b .a ).b '
-
a .(a .b ).b '
, p o r l a p ro p ie d a d c o n s m t a t i v a
-
(a .a ).(b .b ')
,
p o r la propiedad a s o c ia t iv a
,
p o r l a id e m p o t e n c ia y c o a p l c a e n t a c i ó n
-
c)
♦ b ')
, p o r l a propiedad a s o c i a t i v a
a . 0
P e una m ne/ia a n á lo g a ¿ e pu ed e d ex n a tfu u i paaa d o6 p a o d u c to t c u a te A q iu e A a . En l a te o a X a d e c o n j u n t a
la
p * o d u c to ¿ &on c o n ju n t o a d it, j u n t a
d oó. H á g a e una ¿ n te A p -ie X a c ió n
e n un diagaarra d e l/enn
de a )
u b)
do¿ a
3.13.
Sea
un á l g e b r a
A
de
B o o le .
S im p lific a r
la
s ig u ie n te
e x p r e s ió n -: (a .b ) In terp reta r e l
en
re s u lta d o
e l
(a *.b )
á lq e b ra
de
+
(a .b * )
B o o le
de
+
(a *.b *)
la s
p a rtes
de
un c o n j u n t o
E
a n te rio r.
S O L D C I O M 1)
+
:
(a .b ) + (a '.b )
♦ (a .b ') + (a *.b ,) ( i ) ((a .b )+ (a '.b )) ♦ ( ( a . b ') + ( a '. b ') ) ( 2) ( ( a+ a ' ) . b ) + ( a + a ' ) . b ' ) l.b + l.b * <¿> b ♦ b ' < S>
.
d on de en ( 1 ) s e a p l i c a l a p ro p ie d a d a s o c i a t i v a ; (3 )
( 2 ) p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a
p ro p ied ad de l a c o m p le c e n t a c i ó n , l o mismo que en ( 5 )
; y en ( * )
;
la pro
p ie da d d e l ele m ento 1. 2)
En l a s i g u i e n t e
f i g u r a s e d i b u j a n l o s c o n ju n t o s
A Í1 B ,
p a r te rayada***
A 'íl B ,
parce rayada^*-
A 0 B' ,
p arte r a y a d a ^
A' fl B' ,
p a r t e ra y a d a Hl|
Es e v i d e n t e que l a unión de e s t o s c o n j u n t o s e s e l c o n j u n t o u n i v e r s a l E.
3.14.
Sea
A
un á l g e b r a
de
B o o le .S im p lific a r
la
s iq u ie n te
e x p re s ió n : (a . < b .c ') ')
+ ( ( (a '+ b * ) + c) ')
S O L B C I O W : (a .(b .c ')')
+
( ( ( a ' + b ' ) + c ) , ) <" ) ( a . ( b ' * c ) )
+
((a '+ b '> *
( 2 ) ( a. (b '+ c ))
+
((a .b ).c ')
(3 ) ( a . ( b ’ + c ) )
+
(a .(b .c ’ ))
a . ( <b*+c) ( 2) a . ( ( b . c ') '
+
. c' )
(b .c ') +
(b .c '))
< § > a .l ( z>. donde (4 )
en ( 1 ) , ( 2 ) , ( 5 )
s e a p l i c a n l a s l e y e s d e Morgan;
, p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a
l a p ro p ie d a d d e l e le m e n t o 1 .
( 3 ) propiedad a s o c ia t iv a
; ( 6 ) p ro p ie d a d de l a com plementación ; y ( 7 )
3 . 1 5 .
E n un á l g e b r a a
D em ostrar qu e
:
1)
(a
(b +
2)
a
+ +
c)
A
c - b
+
S O L O C I O N 1)
A b
c)
c
de
B o o le
=
=
(a
(a
.
d e fin e
b ')
A b)
e q u iv a le n te
se
+
(b
.
la
s ig u ie n te
o p e ra c ió n
a ')
. c' a
a
A b í
c
:
(a + c ) A (b + c ) ■
((a + c)
.
-
((a + c)
. (b ' + c ') + « b
-
(a
-
(b + c ) ' ) + <(b + c ) + c)
. b' . c ’ ) + (c
. b'
. c’> +
(a . b ' . c ' ) + (b
.a'
. c ')
((a
. b’ > + (b
.
(a
+ c )')
.( a ' + c ' ) (b .
a ' . c ’ ) + (c
. a ')) . c'
- (a A b) . c ' J u A t i f í q u u e cada uno d e to & paAo& en e ¿ a ca tea d a d e ig u a id a d e & . 2)
Supónganos (a
a
c • b + c
A b) + c
(a
. b ’ ) + (b . a ’ ) + c
(a
. b * ) + C(b + c )
.
(a ' + c ))
(a
. b ') + ((a + c)
.
(a ' + c ))
(a . b ') + ( ( a
, por h ip ó tesis
. a’ ) + c)
(a . b ') + c (a + c )
. (b * + c)
, p ro p ie d a d d i s t r i b u t i v a
(b + c)
.
, p or h i p ó t e s i s
(b ' + c )
(b . b ’ ) + c c e n to n c e s
a A
í
R ecíp rocam ente luego
c a
si
A b í
. c ’ ■» 0
( a A b)
A
e n to n c e s
(a A b) . c ' í
. A p lica n d o e s t o en
a + c - b + c
&e H o rra d i f e r e n c i a t i m l V U c a . Re c u tn d e t e t a d e f i n i c i ó n
i n t u i t i v a d e t a t e o n i a d e c o n ju n t o t en un d ia g u a m d e Venn. o o o O o o o ----3 . 1 6 . a)
a
D em ostrar
A b = b A a
S O L O C I O N
c . c ’ = 0.
1) s e o b t i e n e :
de donde s e o b t i e n e que
(a + c ) A (b + c ) - 0 La o p e r a c ió n
c
la s ,
s ig u ie n te s
b)
a
A a
=
0
e c u a c io n e s ,
a
A 0 =
:
a)
a A b - ( a . b 1) +
(b .a ')
-
(b .a ’ ) +
b)
a A a - (a .a ') + (a .a ')
=
0 + 0 - 0
c)
a A 0 - (a .O 'í + (0 .a ’ ) - a + 0 - a
(a .b ’ )
b A a
: a
.c ’ )
3 . 1 7 . , con
la s
Se c o n s id e ra s ig u ie n te s 0
+ 0 1 y
se
d e fin e
la
b)
D em ostrar
1
1
1
1
o p e ra c ió n
de
A b de
a A (b
d o s e le m e n to s .J o
1 ° I 0
•
a
a'
1 0
0
0
1
1
1
0
:
=
(a .b *)
esta
A c)
+
(b .a ')
o p e ra c ió n
se v e r if ic a
que
B o o le
1
0
ta b la
de
:
1
a H a lla r
á lg e b ra
* 0
la
a)
e l
ta b la s
=
lla m a d a
la
p ro p ie d a d
(a
A b)
" ¿ ¿ m ito te a
a s o c ia tiv a ,
e:
A c {S E L E c n m
S O L
0 C I
a ) T a b la de
() R
:
a A b
es l a s ig u ie n te
corso puede com p ro ba rse según l a d e fin ic ió n .
l
0
1
0
0
1
1
1
0
:
A
(b
A
c)
(a
A
b)
A
c
l
1
0
1
-
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1 0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
L o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s e n c ada miembro son i g u a l e s .
o o o O o o o -----
3 . 1 8 . B o o le
D em ostra r
la s
a)
a
b)
a +
.
(á + b ) = a
. b
(a . b ) *
+ b
S O L O C I O M a)
a
e c u a c io n e s
del
A lg e b ra
:
a . (a + b) - (a
b)
s ig u ie n te s
s
a +
(á
.b) -
-
0
.
á) +
+
( a . b)
(a . b)
, l e y d e c om p lem e nta ció n
a . b (a +
1
, propiedad d e l c e ro ¡)
.
a + b
, propiedad d i s t r i b u t i v a
(a
.
( a+
+ b)
b)
, propiedad d i s t r i b u t i v a , l e y d e com ple m enta ción , p r o p i e d a d d e l uno.
del
3 .1 9 c irc u ito s
.D e t e r m i n a r
la e x p r e s i ó n
representada
k
a
b)
(a .
I
O ■
. (a + b )
rx s .b
:
. a'
b ' . (a +
b ) ) + ( b .. c ' )
e t « c o v i t t p o n d e a l o t ¿ n t e s o iu p ío t e t
Wó t e t e q u e
siguientes
el
h
5
F íg . a
a)
los
:
- < S O L Q C
pos
e n p á s t a t e lo
y
. c o n s ie tp o n d e a t o 6 ¿ n te s is m p to n e * e n 6 e / U e .
o o o O o o o ----3 - 2
0 - C o n s tru ir
e x p re s io n e s
e l
c irc u ito
c o rre s p o n d ie n te
a
la s
s ig u ie n te s
:
1 -)
(a
+
b) .
2o)
(a
.
b)
(a ' +
.
(C
(c '
+
a ))
(c
.
b ))
+
I J RV - I I I - J 2 I S O L ü C I O M
:
a)
b)
3 . 2 1 . c u ito
E s c rib ir
la
e x p re s ió n
rep resen tad a
por
:
SOLDCI OM : La
e x p re s ió n
dada
por e l c i r c u i t o es l a s ig u ie n te ((a
. b * ) + c*>
. c
:
e l
s ig u ie n te
c ir-
3 . 2 2 g u ie n t e
. R e p re s e n ta r e x p r e s ió n
e l
c ir c u it o
d e fin id o
por
la
s i
: (a
S O L U C I O N
g r á f ic a m e n t e
.
b *)
+
((a '
.
b')
+ c)
:
El c i r c u i t o que d e t e r m in a g r á f i c a m e n t e e s t a e x p r e s i ó n e s : a
b* •
b'
o o o O o o o ----
3 . 2 3
. Un
p r e s io n a d o se
un
e n c ie n d a
ju r a d o b o tó n .
una
b o m b illa
v o te n
s í.
(R a z o n a r
S
U
I
O L
C
e s tá
c o m p u e sto
D ib u ja r
un
cuando
ú n ic a m e n te
por
esquem a a l
con
tre s de
m enos lo s
un
dos
m ie m b r o s .C a d a c ir c u it o m ie m b r o s
en d el
e l
uno
v o ta
que
ju ra d o
c ir c u it o s )
O
b b b'
b L a e x p r e s i ó n de e s t e c i r c u i t o e s l a s i g u i e n t e
:
(a .b .c ) + (a .b .c ') + (a .b '.c ) + (a '.b .c ) Veamos que e s t e c i r c u i t o cumple l a s c o n d i c i o n e s d e l enu ncia do. a ) S i l o s t r e s v o ta n que s í l a c o r r i e n t e p asa p or e l h i l o 1 b ) S i a y b v o t a n que s í l a c o r r i e n t e pasa p or e l h i l o 2 , p u e s t o . q u e a l v o t a r c no , c ' e s s í . c ) S i a y c v o t a n que s í l a c o r r i e n t e p asa p or e l h i l o 3 , p u e s to que a l v o t a r b no , b ' e s s í . d) S i b y c v o t a n que s í l a c o r r i e n t e p asa p or e l h i l o 4 , p u e s to que a l v o t a r a no , a ' e s s í . e ) Cuando dos c u a l e s q u i e r a v o t a n que no l a c o r r i e n t e no pasa n i por 1
ya que hay d o s i n t e r r u p t o r e s a b i e r t o s , n i p o r l o s h i l o s r e s t a n t e s , por
l a misma r azón . f ) S i no v o t a ninguno de l o s t r e s que s í e s e v i d e n t e que no pasa c o r r i e n t e por nin gu no d e l o s h i l o s .
3 . 2 4
.D e m o s tra r
c ia
de
lo s
a)
(a
+ b)
.
a
-
a
b)
(a
.
+ a
-
a
m e d ia n te
s ig u ie n t e s
b)
una
c ir c u it o s
ta b la
de
re s p u e s ta
la
e q u iv a le n
:
b)
:
3
4
Las columnas d a to s son : 1 , 3 , 5 , 7 - de
l a s columnas 1 y 3 s e
ob tien e la
2;
- de
l a s columnas 2 y 5 s e
ob tien e la
4 (resu ltad o del
- de
l a s columnas 4 y 7 s e
obtien e la
6 (resu ltad o f i n a l ) .
P or t a n t o , s e t i e n e una
p r i m e r miembro)
equivalen cia en tre c i r c u i t o s . o o o O o o o -----
3 . 2 5 .
Se
re ú n e n
lo s
re p re s e n ta n te s
r a ,F r a n c ia ,B ó lq ic a ,H o la n d a cho
a l
que
lo s
s ió n e l
v e to ,lo tre s
que
que
se
se
m is m o q u e
re s ta n te s to m e e s
e n c ie n d a
S O L U C I O N
de
E s ta d o s
D in a m a r c a .E s ta d o s
In g la t e r r a
ju n to s .
v á lid a . una
y
En
D ib u ja r
b o m b illa
a l
y
lo s un
F r a n c ia
ju n to s
dem ás c a s o s esquem a
to m a r
una
U n id o s ,In g la t e r
U n id o s
de
t ie n e y
lo
m is m o
c u a lq u ie r un
d e re
d e c i
c ir c u it o
en
d e c is ió n .
:
a ) E s tad os Unidos t i e n e d e re c h o a l v e t o , l u e g o e l c i r c u i t o s e rá
b ) F r a n c i a o I n g l a t e r r a t i e n e n d e re c h o a l v e t o , p e ro ju n ta m en te , no c od a uno de e l l o s , l u e g o e s t a r á n en p a r a l e l o
y e l c i r c u i t o a n t e r i o r s e com pletará
• asf:
c ) B é lg ic a .D in a m a r c a y Holanda también t i e n e n d erecho a l v e t o p e ro j u n t a s . n o separadam ente, l u e g o ha de e s t a r e n p a r a l e l o y e l c i r c u i t o f i n a l s e r á :
3 .2 6 . Construir
una
tabla de
respuesta
para
las
quivalencias de circuitos
:
a)
.
(b
.
c )
=
(a
.
b)
+
(b
+ c )
=
(a
+ b)
(a
•
b)
•
c
1
1
1
1
1
S O L U C I O N a)
.
c
:
•
(b
•
c)
"
1
i
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
s
9
10
11
a
+
(b
+
c)
(a
+
b)
+
c
1
I
1
1
1
1
1
1
1
1
1
l
1
I
1
0
l
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
l
1 '
1
l
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
.
e-
+ c
a
0
b)
b)
siguientes
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
r
2
3
4
5
6
7
s
9
10
II
l a o b t e n c ió n d e (a & & uce& ¿va& c o lu m a t , ¿e h a c e como h e rró , v l ¿ t o e n t a i t a b la * d e l ó g i c a .
L a s columnas 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 1 1 son l a s columnas d e d a to s . De l a s columnas 3 y 5 se o b t i e n e l a 4 ,
y
de l a 4 y 1 l a columna 2 que e s e l r e s u l t a d o d e l p r im e r miembro De l a s columnas 7 y 9 se o b t i e n e l a 8 , y de l a 8 y
11
l a columna 1 0 que e s e l r e s u l t a d o d e l segundo miembro.
De l a s columnas 2 y 10 ( q u e son i g u a l e s ) se o b t i e n e f i n a l m e n t e l a columna b que demuestra l a e q u i v a l e n c i a de l o s c i r c u i t o s . o o o O o o o -----
3 . 27. C o n s t r u i r valencia de
la t a b l a d e
circuitos
respuesta para
la s i g u i e n t e
equi
: (a
+
b )* =
a'
.
b' (J R V - U I - i
S O L
0 C I
O
a
b
a'
b*
1
1
0
0
1
0
0
1
I
0
0
1
1
0
0
1
a +
b
(a
+
b )'
a’ .b’
(a
+ b )*
■
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
Se
a ’ .b ’
t r a t a d e una e q u i v a l e n c i a d e c i r c u i t o s p u e s t o qu e l a c olu m n a d e r e s u l t a d o s
e s to d a de unos. 0 0 0 O0 0 0 -----
3. S 0 L
2 8 . U C I
D em o stra r q u e 0 N
( a 1) '
■ a
:
a
a’
( a 1) ’
1
0
1
1
0
1
0
1
<a’ ) '
-
a
o o o O o o o -----
3 . 2 9 v a le n c ia
.C o n s tru ir de
una t a b l a
de
resp u esta
para
la
s ig u ie n te
e q u i
c irc u ito s : a
S O L U C I O N
+
(b
. c)
=
(a
+
b)
:
HOTA : E&ta p r o p ie d a d u l a p ro p ie d a d dual, a .
.
(a
+ c) U B M II-H »
l a d ú t A l b u t i v a . Ve una m n e n a a n d lo g a ¿ e d e m u V i a de t i l a : (b ♦ c )
»
( a . 6) ♦ ( a . c )
3 . 3 0
.U n a m áqu in a i n d i c a d o r a d e m a y o r í a d e v o t o s
in te rru p to re s ,x ,y ,z , s e o b tie n e n
y una
lá m p a ra .L a
d o s o m ás v o t o s
lá m p ara
fa v o ra b le s .D ib ú je s e
t a m á q u in a , h a c ie n d o p r e v ia m e n t e
la
ta b la
com prende t r e s
s e e n c ie n d e cuando el
c irc u ito de es
d e resp u estas.
S O L U C I O N : La s i g u i e n t e
ta bla
i n d i c a o m u e s tr a l a s d i f e r e n t e s p o s i b i l i d a d e ; X
y
*
1
i
¡
1
1
1
0
1 0
lámpara - I.
x.y.z
0
1 1
1
1
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0
0
0
1
1
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0
1
0
0
0
0
f
0
0
0
0
0
x.y.z'
x '.y .z
f u n c i ó n b o o l e a n a v i e n e dad a p o r :
La
L -
x . y . z •* x . y . z ' + x . y ' . z + x * . y . z
Y e l c ir c u ito es e l sigu ien te -
*
—
x
: -
ti y
—
y
-
—
?
z
—
--------- o o o O o o o —
3 . 3 1 s ig u ie n te
. C o n s t r u y e un c i r c u i t o dado en
la
fig u ra
a.
e q u iv a le n te
al
U W -III-M ) X ------- y
S O L U C I O N La
fu n c ió n del
B •
x .y ♦ x .y '
: c i r c u i t o es :
♦ x '.y '
-
x .(y
-
x .1 ♦ x ' . y '
-
x
-
(x ♦ x ' ) . ( x
♦ y ')
♦ x\y'
x ----
y'
x '—
y
Ü 9-*
♦ x '.y '
-
I . (*
-
x
♦ y*)
♦ y’ j
♦ y*
E l c i r c u i t o s i n p l i f i c a d o e s t á d ad o en l a
6 < 9 .b f i g u r a b.
3 . 3 2 . to r .S e
En
un
e n c ie n d e
p e lig r o ,
y
se
s e g u ir
puede
se
lo s
S O L D C
I O N
se tie n e
una
hay
lu z
e n c ie n d e
D ib ú je n s e
S i x ,y ,z
c o h e te
la
tre s
r o ja una
h o m b re s
cuando
lu z
ve rd e
uno
cada
uno
con
c u a lq u ie r a
cuando
lo s
de
tre s
e llo s s e ñ a la n
s e ñ a la que
c ir c u it o s .
:
son l o s in te r r u p to r e s y
R la lu z r o ja y V la lu z verde
, entonces
l a s i g u i e n t e t a b l a e n l a q u e s e m u e stra n l a s d i f e r e n t e s p o s i b i l i d a d e s
: p e Z ig x o
0 : a d e la n te
x
y
Z
R
1
1
1
1
0
1
1
0
1
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I
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R •
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0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
ro ja )
( x ' . y ' . i t’ ) *
■
x + y + z
La f u n c i ó n b o o l c a n a d e V ( l u z v e r d e )
que te u
v i e n e d ad a p o r :
x . y . z + x . y . x ' + x . y ' . z + x ' . y . z ♦ x . y \ .z ' ♦
•
V -
V
0
L a f u n c i S n b o o l e n n a de R ( l u z
H 6t u e
in te r r u p
m a n io b r a .
y sus r e s u lt a d o s .
I
un
v i e n e d ad a p o r :
x'.y'.z'
d a d a * p o n R y V son c o * p ¿ e n * e n t a u a ¿ .
iu n iio n u
E l c i r c u i t o de l a fu n ció n
R
es
E E l c i r c u i t o de l a fu n c i6 n
V
:
X -
y z -
es : y-
0 0 0 O 0 0 0 -----
z'
3.
3 3 -
E s c r ib ir
lo s
núm eros
12,
57,
423
en
e l
s is te m a
b in a rio .
(J R V -III-I) S
O
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O
6 /
2
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2
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2
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1 1 1 0 0 1
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1
2
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2
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1
52
1
0
2 26 0
2
13 1
P o r t a n t o , 423 -
110100111
(2
o o o O o o o ------
3 - 3 4 . en
e l
S
O
1
0
L 0
Dados
s is te m a O 0
C
I
1 0
O 1
lo s
núm eros
1
b in a r io ,p a s a r lo s N
(2
1 0 0 0 1( 2 - 1. 2
0 a l
0
0
1
0
1
y
s is te m a
1
0
0
0
1
e s c rito s
d e c im a l.
:
1.26 + 1 .2 2 + 1 - 6 4 + 4 + 1 - 6 9
17
+ 1 - 1 6 + 1
Tam bién s e puede a p l i c a r l a r e g l a de R u f f i n í . V e a m o s cémo s e ha ce p a r a e l p r i mer número :
1
2 1 1
0
0
0
l
0
1 68
2
4
8
16
34
2
4
8
17
34 /69
3 . 3
5 .
E fe c tu a r
+
la s
s ig u ie n t e s
sum as e n
e l
s is te m a
1 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1 1 0 1
+ 1 1 1 0 1 1
b in a r io :
( J R V - II I - 3 1 S O L O C I O H
: 1 0
+
1 0 0 0 1
1 1 0
1 1 1 1 1 0 1
+
1 1 0 0 1 1 1 0
1
1
1
0
1
1
1
1 0 0 1 0 0 0
o o o O o o o ----
3 . 3 6
, E fe c tu a r
la
o p e r a c ió n
1 1 0
1 1 1 1
s ig u ie n t e
o p e r a c ió n
en
base
dos
1 1 0 0 0 1 S O L O C I O N
: 1 1 0
1 1 1 1
1 1 0 0 0
1
1 1 1 1 1 0
—
3 . 3
7.
E fe c tu a r
e l
o o o O o o o ----
s ig u ie n t e
1 1 0
p ro d u c to
: 1 1 0 x
1 1 0 1 1 0
1 0
11
1 1 0 1 1 0
1 0
e l
s is te m a
b in a r io :
1 1
x 1 1 0 1 ------------------------S O L O C I O H
en
1 11
1 1 0 11
1 1 1 1 1
oooO ooo--
(J R V - I I 1 - 5 )
3 . 3 8 tie n e
2
.D e te rm ín e s e c in c o
e l
m áxim o n ú m ero c u y a
re p re s e n ta c ió n
d e base
c ifra s . I S íL E C T W m
S O L U C I O N
- 1975 - J W - I 1 M
6)
:
L a s c i f r a s en e l s is te m a b i n a r i o o de base d o s son : 0,1 E l número mayor d e c i n c o c i f r a s en b a s e dos s e r á e n to n c e s : 11111
(2
Se t r a t a de e x p r e s a r e s t e número e n base 10. ! l ! l l (2
- 1.2A + 1.23 ♦ 1 . 2 2 + 1 . 2 * + 1 . 2 ° -
16
-
31
+
4
+
2 + 1
o o o O o o o -----
3 . 3 9 que con de
1 a
in d ic a r
, Se e lla s
desea ob ten er s e pueda
1 5 .H a lla r c u á le s
S O L U C I O N
e l
una c o l e c c i ó n
pesar
c u a lq u ie r
de
pesas d is t in t a s
c a n tid a d
exacta
de
ta le s
k ilo s
nú m ero m ín im o d e p e s a s q u e d e b e n a d q u i r i s e
e
son. :
Como l a s p esa s han d e s e r d i s t i n t a s , b a s t a e x p r e s a r e l número 15 en sis te ma b i n a rio . 15
-
I I 11(2
P or t a n t o , s e n e c e s i t a una pesa de 8 k i l o s , o t r a d e 4 . o t r a d e 2 y o t r a de 1 E l número de p esa s par a cada uno d e l o s k i l o s d e 1 a 15 v i e n e e x p r e s a d o en e l s i g u i e n t e cuadro: PESAS DE & kg
4 kg
2 kg
4
APLICACIONES en e l que 6e d i& a v io lla n l o 贸 驴 i g u i e n t e 贸 rntU eM as:
1.
PRODUCTO CARTESIANO
2.
PROPIEDADES
3.
CORRESPONDENCIAS
4.
APLICACIONES
5.
T I P O S DE A P L I C A C I O N E S
6.
C A R D I N A L DE U N
7.
C A R D I N A L E S DE C O N J U N T O S F I N I T O S
8.
C A R D I N A L DE L A U N I O N DE C O N J U N T O S
CONJUNTO
4 . 1 .
C o n s id e re m o s e l
g u ín e o s ,e s lo s
d e c ir,
d is tin to s
gru pos
S O L U C I O N Los d i s t i n t o s c a rtes ia n o
M =
c o n ju n to
{A ,B ,0 ,A B }, de
sangre que
y
H fo rm a d o p o r sea
se
N =
lo s
{R h + ,R h ” ) .
pueden
gru pos
san
C a lc u la r
form a r.
:
(J M M IM I
grupos d e s a n g re v ie n e n dados p or l o s e le m e n to s d e l produ cto
M xN
. E l s i g u i e n t e d ia gra m a en á r b o l nos d a l o s d i f e r e n t e s gru p os
d e s a n g r e y su número :
Hxn
■ Rh4
(A ,R h + )
Rh'
(A , R h ~ )
RhH
(B,Rh+ )
Rh'
(B . R h " )
RhH
(0 ,R h + )
Rh'
(0 , R h ~ ) (AB,Rh+ ) (A B .R h ")
E l número d e g r u p o s d e s a n g r e e s 8 . OOOOOOO-----
4 . 2 . te s ia n o
R ep resen tar del
e je rc ic io
S O L U C I O N
g rá fic a m e n te
a n te rio r
lo s
e lem en to s
del
.
p ro d u cto c a r (J R V-IV -5 1
:
Rh (A .R h ‘ 1 ( B . R h ' l i
i
JO.Rh')
(AB.Rh
i
Rh' (A,R h j i
(B.Rh J (0 . i
i
8
AB
Los pu n tos d e l d iagra m a c a r t e s i a n o v ie n e n dados p o r l a
i n t e r s e c c i ó n de
- r e c t a s p a r a l e l a s p o r l o s puncos d e l c o n ju n t o M tie n e
-
rectas
a la
r e c t a qu e con
lo s puntos d e l c o n ju n to N
p a r a l e l a s p o r l o s p u n t o s d e l c o n j u n t o N a l a r e c t a qu e c o n t i e n e l o s p u n t o s d e l c o n j u n t o M.
4
. 3
.D em o stra r
re la c ió n
A* x
B'
S O L U C I O N a)
y
A
e q u iv a le n te
G
A 'x
x
B es
B'
son
dos
c o n ju n to s
a
A 'C
nov a c ío s ,la
A
y
B'
C B
:
La r e la c ió n (a , b )
Por ta n to b)
que s i A ' C
A 'C A
y
B ' *»
a G A'
y
b £ B '
•
a £ A
y
b G B
=»
(a .b ) G
B' C
B
por e s t a r
A 'C A
y B’ C B
A x B
im p lica que
A ' x B'
C
A x B
R ecíp rocam en te: 1)
Sea
x
un e l e m e n t o d e A ' , p u e s t o q u e B '
e lem e n to y G B ’
t a l que
y p or c o n s ig u ie n te 2)
Sea un
x G A lo
y un e l e m e n t o d e x
G A'
t a l que
c on s ig u ie n te
(x .y )
B’
lo
A' x
B'
d e donde
que dem u estra que
A 'C
(x ,y ) G
A x B
A.
, p u e s t o q u e A' e s un c o n j u n t o no v a c í o , e x i s t e
(x .y )
y G B
G
e s un c o n j u n t o n o v a c í o , e x i s t e un
G
A' x
B'
de
que dem u estra que
donde B'
( x ,y ) G A x B
y por
C B
o o o O o o o ------
A
=
4 .
4
0
o
. D em ostrar B =
0
e fe c to ,
lu ego
A i
la 0
B j* 0
R ecíp roca m en te,la
A
x
B =
0
es
e q u iv a le n te
a
z G A
x B
x G A y x G B
A x B i
0.
s e r l a s p ro p o sion es "A x
B i
mis mo s u c e d e c o n l a
im p lica que
p r^z)
G A
y
pr2(z )
G B,
.
re la c ió n
y p or c o n s ig u ie n te Al
re la c ió n
:
re la c ió n y
la
.
S O L U C I O N En
que
0"
y
n eg a ción d e ó s t a s
"
im p lica
A i
0
la
y
re la c ió n
B i
, de d on d e s e s ig u e
0"
(x .y )
G A x B,
e q u iv a le n te s,
lo
e l en u n cia do.
o o o O o o o -----4 . s ia n o
5 * de
R ep resen ta r A
=
S O L U C I O N A x B «
en
{1 ,2 ,3 }
un
por
d ia g ra m a B =
de
fle c h a s
e l
p rod u cto
{a ,b ,c }
:
{ ( 1 ,a ) ,(1 ,b ) , ( l, c ) , (2 , a ) , (2 ,b ) , ( 2 , c ) , (3 , a ) , (3 ,b ) , (3 ,c )}
y su d i a g r a m a d e f l e c h a s
: A
c a rte
6 s ia n o
-
D em o stra r
la s
s ig u ie n te s
p ro p ie d a d e s d e l
p ro d u cto c a r t e
:
a)
A x
(B U C)
■
(A x B)
U (A x C)
b)
A x
(B O C )
-
(A x B)
n (A x C )
S O L D C I Q H
(J W -IV -3 )
:
a ) P a r a d e o o s t r a r e s t a ig u a ld a d tendremos que v e r que s e cumple l a d o b l e i n c l u sifin . 1 ) Veamos que
A x (B U C) C (A x B) U (A X
( a . b ) G A x (B U C)
2) Veamos ah ora que (a .b )
G( A
-
aG A
yb G ( B U C )
a G A
y
( b G Bo
•
( aGA
y
b G B) o
-
( a , b ) G Ax B
-
( a , b ) G ( A x B) U (A x C)
(A x B) U ( A x x B)
C)
C) C
U (A x C) -
Ax
o
b G C) ( a G A y b G C)
(a ,b )
G A x C
(B U C)
(a .b ) G A
x B o (a .b ) €
-
( aGA
-
a G A
*
( a . b ) G A x (B U C)
AX
y b G B) o ( a G A y
y
C bGC)
b G B U C
Lue go de l a s d o s i n c l u s i o n e s de 1) y 2 ) se dedu ce l a p ro p ie d ad
a)
b ) L a d e m o s t ra c ió n de e s t a p ro p ied ad e s a n á lo g a a l a a n t e r i o r . 1) Veamos que
A x (B n C )
C ( A x B) O ( A x C)
( a . b ) G A x ( B n C) -
-» ->
aG A
y
b G B n C
a G A
y
(b G B
(aGA
y b G B)
(a .b ) G A x B
y y
bGC) (aGA y
y (a .b ) G A
bGC)
x C
( a . b ) G (A x B) n ( A x C) 2 ) Veamos ah ora l a o t r a i n c l u s i 6 n . e s d e c i r , ( A x B) O (A x C) (a .b )
C A x (B H c )
G ( A x B) n ( A x C ) •
(a .b )
G Ax B y
-*
(aGA
■*
a G A
y (b G B
a G A
y
-
y
(a .b ) G A x C
b G B ) y ( a G A y b G C ) y
bGC)
b G B O C
( a . b ) G A x (B O C)
P or t a n t o , de l a s i n c l u s i o n e s demostradas en l o s a p a r ta d o s 1) y 2 ) s e t i e n e l a ig u a ld a d de l o s c o n ju n t o s dados en
b ).
o o o O o o o ----
4 . 7.
Dados
lo s
c o n ju n to s
de
p a la b ra s
s ig u ie n te s
:
A =
{T o rm e n ta ,c o c h e ,b a rc o ,c ru s tá c e o ,In g la te rra ,in s e c to ,p é n d u lo )
B =
(R u e d a ,a n c la ,re lo j.re lá m p a g o ,L o n d re s ,m o s q u ito ,c e n to llo ),
se p id e de
A y
e s ta b le c e r lo s
de
una c o r r e s p o n d e n c ia
ló g ic a
en tre
lo s
B.
S O L U C I O N
e le m e n to s (J R f-IV -9 )
:
La c o r r e s p o n d e n c i a n a t u r a l e n t r e l o s c o n j u n t o s A y B v i e n e dada p or : A ------------------ f -----------------► B Tormenta
----------------------- ► Relámpago
Coche Barco
^
Rueda
^
An cla
—
C ru s tá c e o
--------------------- ►
C en tollo
I n g l a t e r r a --------------------- ►
Lon dres
Insecto
-------------------------►
Mosquito
P éndulo
-------------------------►
R eloj
oooOooo---4, 8.
D e fín a s e
la
c o rre s p o n d e n c ia
re c íp ro c a
del
e je rc ic io
te rio r.
an-
(J R V -IIM 0 I
S O L U C I O N : S i f e s l a c o r r e s p o n d e n c i a de A en B , e n to n c e s l a c o r r e s p o n d e n c i a r e c í p r o c a f
* v i e n e dada p or : ,-1 A Relámpago
^
Tormenta
Rueda
Coche
An cla
Barco
C en tollo
--------------------- ►
L on d res
NOTA:
-
»•
C ru s tá c e o In g la terra
M osquit o
^
Insecto
R eloj
»
Péndulo
T a n to ¿a c o v i u p o n d e n d a í como l a c o K A U p c n d e n d a ¿ 1 a l K p U c a d o n tA b| K p l i c a d o n u
¿ n y ic tiv a &
e l K p l i c a d o n u A u p n a y id iv c u d]
A p lic a d o m
a
b iy c d iv a A .
, y poa ta n to
¿on
y
4. f
9.
que a s ig n a
Sean
M ■ N =
a cada
e le m e n to
{1 ,2 ,3 ,4 ,5 ).
In (f)
4» )
lm (f)
2o)
F in (f)
5o)
¿Es
f
3o)
O r(f)
6o)
¿Es
f _1
I o)
Se
su s ig u ie n t e .
d e fin e
la
C a lc u la r
c o rre s p o n d e n c ia
:
una a p l i c a c i ó n ? una a p l i c a c i ó n ? . IJ R V -IV -I3 )
S O L U C I O N
, p uesto que e l número 5 no t i e n e imagen e n N
3 o)
O r(f) -
4°)
Im (f)
(1 ,2 ,3 ,4 }
5“ >
f no e s una a p l i c a c i ó n , p u e s to que
6#)
f
, p u e s to que e l número 1 no t i e n e o r i g i n a l en M
- {2 ,3 ,4 .5 }
tampoco e s a p l i c a c i ó n
O r(f)
i
In (f)
, ya que e l número 1 € N
no t i e n e imagen en M.
o o o O o o o -----
4 . 1 0 . Sea e l p o n d e n cia m ero
en tre
im p a r
le
c o n ju n to e l
c o n ju n to
I o)
O rC f) lm (f)
3o )
¿Es
la
{ 2 ,3 ,4 ,5 , 6 , 7 } .
A y
s i
hacem os c o r r e s p o n d e r
hacem os c o r r e s p o n d e r
2o)
A =
su m ita d .
c o rre s p o n d e n c ia
S O L O C I O N
f
m ism o, e l
d e m anera
m ism o y
C a lc u la r
D e fin im o s
a
cada
que
una c o r r e s a c a d a nú
núm ero p a r
una a p l i c a c i ó n
?.
:
(J W -IIM 5 I
2 *) Im (f) - {2 ,3 ,5 .7 } 3®) La c o r r e s p o n d e n c i a f no e s una a p l i c a c i ó n ya que que e l número 2 no t i e n e imagen.
le
:
O r(f)
i
I n ( f ) . N óte s e
| |. S e a
A
-
{1 ,2 ,3 ,4 ,5 )
f
de
f
-
{ ( l , a ) , ( l , c ) , (2 ,b ), (3 ,b ), (3 ,c ))
1*)
s ig u ie n te
B = {a ,b ,c ,d ).
res p o n d en c ia
C a lc u la r
la
y form a
Se d e fin e
la
cor
:
:
In (f)
5 °)
f(l)
2•)
P ín (f)
6 °)
f (5 )
3*)
O r(f)
7o )
f ” 1 (a )
4 °)
Im (f)
8o) ff‘ l { d ) 9o ) . S e
S O L U C I O N
v e rific a
1 f
a
,
2 f
a
?.
i j w
:
-
iv
-
m
:
l ( i , l ( e , 2 f b , 3 f b , 3 f c también,
f(l)
- a . f(l)
- c , f<2 ) - b . f (3 ) - b , f ( 3 ) • c
In(f) - A F in (f) • B O r ( f ) ■ { 1 , 2 , 3 ) . N óte s e que e l
1 no t i e n e ninguna imagen
I m ( f ) •* ( a . b . c ) . N óte s e que d no t i e n e o r i g i n a l . f(l)
-
f(5 )
■
la , c ) 0
, p uesto que e l 3 no t i e n e ninguna imagen.
f ' ‘ (a ) - { ! ) f _ I (d ) -
0
l í a
e s c i e r t a p uesto que e l 1 e s t á r e l a c i o n a d o con la a
2 f a
en f a l s a p uesto que e l
2 no e s t á r e l a c i o n a d o con l a a. o o o O o o o -----
4 . 1 2 en e l
.D ib u ja
e je rc ic io
un d i a g r a m a c a r t e s i a n o
a n te rio r.
de
la
c o r r e s p o n d e n c ia dada
4 . 1 3
.P o n e r
un e j e m p l o
de
a p lic a c ió n
que
sea
in y e c tiv a
s u p ra y e c tiv a
no
\JKV-1V-17)
S O L O C I O M a)
p ero
:
La a p l i c a c i ó n r e p r e s e n t a d a e n e l s i g u i e n t e dia gram a d e Vcnn e s una a p l i c a c i ó n i n y e c t i v a p e r o no s u p r a y e c t i v a . Los números 5 y 7
do
tien en o r i g i n a l . f
A
b)
A =
(a ,b ,c ,d ,e )
B =
(1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 1
La s i g u i e n t e a p lic a c ió n
e s i n y e c t i v a p e r o no s u p r a y e c t i v a . S o l a m e n t e l o s cuad rad os p e r f e c t o s t i e n e n o rig in a l. o o o O o o o -----
4 . 1 4 . no
P o n e r un e j e m p l o
de a p lic a c ió n
que
sea
s u p ra y e c tiv a
pero
in y e c tiv a . I J K V - 7 V - 1S)
S O L O C I O M a)
:
La a p l i c a c i ó n r e p r e s e n t a d a en e l s i g u i e n t e diag rama de Venn e s una a p l i c a c i ó n s u p r a y e c t i v a p e r o no e s i n y e c t i v a , p u e s t o que d y e t i e n e n l a misma ima ge n en B , e l número 4. A
b)
La a p l i c a c i ó n
f
f: k
n A =
{a ,b ,c ,d ,e l
B =
(1 ,2 ,3 ,4 1
► R+
x ---------- ►
f(x ) -
x2
e s una a p l i c a c i ó n s u p r a y e c t i v a p e ro no e s i n y e c t i v a , p u e s to que f (2 ) - f (-2 )
- 4 o o o O o o o -----
4 . 1 5 .
D e f in im o s
n u m é r ic o s ,ta l es
d e c ir
,
A v e r ig u a r c la s e
que
f(x ) en
■
cu a l
a
cada
3x2 de
-
c o r r e s p o n d e n c ia
e le m e n t o
x
le
de
A
en
hacem os
B
,A
y
B
c o n ju n to s
co rre sp o n d e r
3x2-
7,
7.
lo s
s ig u ie n t e s
casos
e s
a p lic a c ió n
y
de
qué
:
f
: N ---- — ► N
2 °)
f
:
3 °)
f
1 °)
una
Z --- —
: 0
---
4 °)
;
f
:
Z
1
;
5»)
f
: N
0
;
6o)
f
:
R \JKV-IV-16)
S O
I o)
L O
C
I O
H
:
L a c o r r e s p o n d e n c i a f no e s una a p l i c a c i ó n p u e s t o que l o s números no t i e n e n im agen e n N . En e f e c t o f(0 )
2 o)
-
-
7
y
f <1) « - A y
0 y l
:
l o s nú meros - 7 y - 4 no s on n a t u r a l e s .
L a c o r r e s p o n d e n c i a f e3 una a p l i c a c i ó n ( s i m p l e m e n t e ) . a)
L a im agen d e un número e n t e r o e s un número e n t e r o y además ú n i c o .
b ) E s t a a p l i c a c i ó n no e s i n y e c t i v a f (-1 ) c)
-
í(l)
, y a que
- -4
No e s s u p r a y c c t i v a . Supongamos q u e e l número 0 f u e s e imagen d e a lg ú n número, e n t o n c e s 3x2 - 7 - 0 y
3o )
7 ^
—
3x2 ■ 7
~
x2 -
\ '
no e s c u a d r a d o d e n in g ú n número e n t e r o .
La c o r r e s p o n d e n c i a f e s una a p l i c a c i ó n a ) No e s i n y e c t i v a b)
ya que
Tampoco e s s u p r a y c c t i v a un número t a l que
f(l)
*
(-1 )
, p u e s t o que
x2 - ^
( V e r 2o)
e l o rig in a l ,c ))
del
y x en e s t e
cero sería c a s o tampoco es
un número r a c i o n a l . 4 ®)
La c o rre s p o n d e n c ia
f no e s a p l i c a c i ó n ya que
f(0 )
• - 7 , número que no p e r
tenece a l o s n a tu ra les. 5 °)
A q u í l a c o r r e s p o n d e n c i a e s una a p l i c a c i ó n . E s t a a p l i c a c i ó n e s i n y e c t i v a p e r o no s u p r a y e c t i v a . D e m u é s t r e s e .
6 *)
f es a p lic a c ió n . a ) No e s i n y e c t i v a p o r l a s misma r a z ó n q u e e n 2 " ) . b ) Tampoco e s s u p r a y e c t i v a
, p u e s t o q u e , p o r e j e m p l o e l n ú m e r o -3 4 n o t i e
n e o r i g i n a l e n R. En e f e c t o , 3x2 -
7 - -34
—
3x2 - -
y - 9 no t i e n e r a í z c u a d r a d a e n R .
27
—
x2 - -9
4.
1 6.
b le c e r
la
En e l
c o n ju n to
s ig u ie n te "A
cada
¿Es
a p lic a c ió n ? .
¿De
qué
de
todos
lo s
seres
humanos v a m o s a
c o rre s p o n d e n cia :
ser
humano s e
le
hace
corresp on der
su m adre"
{JM -1V-22)
c la s e ? .
S O L O C I O H
esta
:
E s t a c o r r e s p o n d e n c i a e s una a p l i c a c i ó n , p u e s t o que t o d o s e r t i e n e una nadro y s o la m e n te una, y e s t a e s l a c o n d i c i ó n d e a p l i c a c i ó n . a ) E s t a a p l i c a c i ó n NO e s i n y e c t i v a y a que v a r i o s 3 e r e s humanos pueden t e n e r l a misma madre como s u cede r e a l m e n t e . b ) E s t a a p l i c a c i ó n tampoco e s s u p r a y e c t i v a , p u e s t o que l o s hombres ( y m u je r e s no mad res) no t i e n e n o r i g i n a l e n e s t a a p l i c a c i ó n . c ) De a ) y b ) s e s i g u e que tampoco e s b i y e c t i v a . o o o O o o o -----
4.17. fo rm a r
to d a s
Dados la s
S O L O C I O N
e l
c o n ju n to
a p lic a c io n e s
X -
(1 ,2 )
p o s ib le s
de
y
e l
c o n ju n to
A -
ír ,s ,t)
X en A.
:
Las d i s t i n t a s a p l i c a c i o n e s v i e n e n e x p r e s a d a s e n l o s s i g u i e n t e s d ia g ram as de Venn.
4 . 1 8 .S e d e fin e ros te
Se
en teros form a
p id e
en
e l
la
c o rre s p o n d e n c ia
c o n ju n to
:
c a lc u la r
de
lo s
f
d el
núm eros
f : Z
-----------►
x
►
c o n ju n to
n a tu ra le s
de
de
la
lo s
núme
s ig u ie n
n f(x )
=
y
-
4x
:
I o)
In (f)
4o)
Im (f)
2o)
F in (f)
5o)
¿Es
f
3o )
O r(f)
6o)
¿Es
f -1
una a p l i c a c i ó n ? una a p l i c a c i ó n ? .
S O L U C I O N : I o)
E l c o n j u n t o i n i c i a l de f e s Z , e s d e c i r ,
2 o)
E l c on ju n to f i n a l de f es N
ln (f)
• Z
3 o)
E l c o n j u n t o o r i g i n a l d e í e s e l c o n j u n t o d e l o s e l e m e n t o s d e Z t a l e s que
, es d e c ir , F in (f) = N
t i e n e n imagen en N. a)
La imagen d e un número n e g a t i v o s e r á n e g a t i v a , y a que
y - (-4 )x
- -4x
P o r t a n t o , l o s números n e g a t i v o s d e Z no t i e n e n imagen e n N. b ) L a imagen d e un número p o s i t i v o e s p o s i t i v o , O r(f) e s d e c i r , e l c on ju n to de 4 ')
f (0 )
■= 0 , f ( l )
luego
- Z+ lo s en teros p o s itiv o s .
- 4 , f (2 ) - 8 , f (3 ) -
12 ,
...
L u e g o , e l c o n j u n t o imagen e s : Im (f)
- {0 ,4 .8 ,1 2 ,1 6 ,2 0 ,2 4 ,2 8 ,...) {x
5 o)
f no e s una a p l i c a c i ó n
6 o)
f
1 no e s a p l i c a c i ó n
/ x e s p o s i t i v o y m ú ltip lo de 4) p u e s t o que
In (f)
, p u e s t o que
F in (f)
i O r(f) i
Im (f) , y la
i g u a l d a d e s una con
d ic ió n n ecesa ria . o o o O o o o -----
4 . 1 9 . g u ie n te
Sobre
e l
c o n ju n to
c o rre s p o n d e n c ia
de
lo s
núm eros
f
: Z X
¿Es
f
en teros
►
Z
►
f(x ) =
/x
una a p l i c a c i ó n ? .
S O L U C I O N
se
d e fin e
la
:
-
1 [JM-1V-27)
:
f no e s una a p l i c a c i ó n
. p u e s t o que
f(0 )
-
/ 0 - 7 - / -7
0 no t i e n e imagen e n Z . P or t a n t o , f no cumple l a c o n d i c i ó n d e s e r a p l i c a c i ó n .
£ Z ,cs d e c ir, e l
si
4 . 2 0
. A
m u n ic ip io s
cada
que
la
I o)
D e c ir
s i
e s ta
2o )
D e c ir
s i
la
3o)
C a lc u la r f
la
p r o v in c ia
de
E s p a ñ a ,s e
le
hacen
c o rre sp o n d e r
lo s
in te g r a n . c o r r e s p o n d e n c ia e s
c o r r e s p o n d e n c ia
f " 1 (E lc h e )
c o r r e s p o n d e n c ia
,
una
a p lic a c ió n .
r e c ip r o c a
es
f ” 1 (C a rta g e n a )
,
una
a p lic a c ió n .
f _ I (A v ilé s )
,
s ie n d o
dada.
[J R l f - 1 1 / - 2 I S O L U C I O N Sean
I o) f
:
P ■
{x / x
es
una p r o v i n c i a d e España) ,
M-
{x / x
e s un m u n i c i p i o )
f :
P ------------- ► M
,
la correspon den cia
no e s una a p l i c a c i ó n , y a que a l t e n e r l a
d ad a. p r o v i n c i a v a r i o s m u n ic ip io s f no
cumple l a c o n d i c i ó n d e a p l i c a c i ó n . 2o) La c o r r e s p o n d e n c ia r e c í p r o c a s í e s a p l i c a c i ó n , p u e s to que a cada m u n i c i p i o l e c o r r e s p o n d e un p r o v i n c i a y s olam e n te una. 3 ")
f - '(E lc h e )
- A l i c a n t e . f " 1 ( C a r t a g e n a ) - M u r c ia .
f _1( A v ilé s )
- A s tu ria s .
se d e fin e
la
o o o O o o o -----
4 . 2 1
. Sobre e l
c o rre s p o n d e n c ia
c o n ju n to
:
f
de
lo s
núm eros
• R _-_________ ► R x
------------ ►
f(x )
=
j- 2
-y
¿ES una a p l i c a c i ó n ? . S O L U C I O N f
no
s ig u ie n te
(J R IM V -2 4 )
:
e s una a p l i c a c i ó n , p u e s to que no t o d o e le m e n t o d e R t i e n e imagen.
Par a x - 1 l a c o r r e s p o n d e n c i a f no e s t á d e f i n i d a , e s d e c i r ,
e l 1 no t i e n e ima
ge n en R. o o o O o o o -----
4 . 2 2 c ic io
.H a lla r
la
g rá fic a
de
la
c o rre s p o n d e n c ia
dada
en e l
e je r
a n te rio r. | J R V - I V - f 5)
S O L U C I O N
:
La g r á f i c a de e s t a c o r r e s p o n d e n c i a v i e n e dada e n l a f i g u r a s iigguui ci ón t e : En e l e j e OX s e toman l o s v a l o r e s de x. En e l e j e OY s e toman l o s v a l o r e s de f ( x ) .
J
El gra fo e s : G - {(x ,f(x )/
f(x ) -
)
*'
4. y
=
2 3 E(x)
tu ra l
ta l
,
A n a líc e s e s i
x
es
que E (x)
la
c o rre s p o n d e n c ia
un n ú m e r o
real
-
E(x).
1 <
x <
d e fin id a
p o s itiv o
por
y E(x)
es
la
e x p re s ió n
un núm ero n a
(S E L E C n V IV A D - 1 975- J R V - 1 V - 3 I ) S O L D C I O N
:
C onsid erem os l o s s i g u i e n t e s segm ento s d e l a r e c t a 0 <
x < 1
,
entonces
y ■ E (x )
- 1
1 <
x < 2
,
entonces
y ■ E (x )
■2
2 <
x < 3
,
entonces
y - E (x )
- 3
3 <
x < 4
,
entonces
y - E (x )
- 4
n < x < n+1 , e n t o n c e s
:
y ■ E ( x ) - n+1
P or t a n t o , a ) A c ada número r e a l d e c i m a l y p o s i t i v o
le
c o r r e s p o n d e l a p a r c e e n t e r a más 1
b ) A c ada número n a t u r a l l e c o r r e s p o n d e e l mismo. Se t r a t a , p u e s , d e una a p l i c a c i ó n
s im p le m e n te , p u e s to que no e s i n y e c t i v a n i su
p ra yectiva . La rep re se n ta c ió n de e s ta a p lic a c ió n es la s ig u ie n t e
4 . 2 4 ¿Es
-S e
c o n s id e ra
una a p l i c a c i ó n
¿Cuál
es
la
s ig u ie n te
a p lic a c ió n
de R en R
,
y
=
b iy e c tiv a ?
a p lic a c ió n
S O L D C I O N
la
:
re c íp ro c a ? .
:
Es una a p l i c a c i ó n b i y e c t i v a ya que
a ) Es i n y e c t i v a b)
, f(x)
- f(x ')
=*
2x ■ 2 x '
x - x' Es s u p r a y e c t i v a , dado y ••
E x is t e , por ta n to , a p lic a c ió n re c íp ro c a y es :
x a y /2.
x - ^
2x
4.25.Sean a)
D e fin ir
b)
C o n s tru ir
la
C o n s tru ir
lo s
c)
A
-
(a ,b ,c ,d }y
una a p lic a c ió n
de
a p lic a c ió n g ra fo s
e x is te ,re s p e c to
de
la
de
B -
A en
B que
re c íp ro c a f
y
f
(m ,n ,p ,q )
1
b is e c triz
f
sea
b iy e c tiv a .
1.
y observar del
la
s im e tría
p rim e r c u a d ra n te ,
am bas a p l i c a c i o n e s . S
a)
O
L
D
C
I
O
I
La a p l i c a c i ó n
que
en tre
|Jf*-IV-3l
:
dada p or
: f(a )
■ n , f(b )
P . f (c ) - q , f(d )
■
e s e v id e n t e m e n t e una a p l i c a c i ó n b i y e c t i v a . b)
La a p lic a c ió n b i y e c t i v a r e c íp r o c a e s : r l (.)
c)
V«
d , r l (o)
b . f
a . Í ‘ ‘ (P )
■1. (q ) - c
>s a h o r a c u á l e s s on l a s g r á f i c a s d e e s t a s a p l i c a c i o n e s .
S i con sid e ram o s s u p e rp u e s ta s l a s f i g u r a s s e t i e n e l a s i m e t r í a p e d id a :
m
n
p
q
4 . 2 6 . Se d ic e e x is te
que dos c o n ju n to s A y B son e q u ip o te n te s ,c u a n d o
unaa p l i c a c i ó n
b iy e c tiv a
P ru éb ese que e l c o n ju n to al
de
que tr a n s fo r m a
un c o n j u n t o e n
l o s núm eros n a t u r a l e s
e s e q u íp o te n te
de sus cuadrados p e r f e c t o s .
S O L U C I O N Sean
otro.
(JRV-IV- 2 0 )
:
N ■ (0,1,2,3,4,5.6.,
n , ...)
C - { 0 , 1 , 4 , 9 , 1 6 , 2 5 , 3 6 , . . . , n2 , . . . } S e d e f i n e una a p l i c a c i ó n f d e N en C d e l a s i g u i e n t e manera: : N -----------► C
f
f ( x ) - X2
X ----------------- ►
a ) f e s una a p l i c a c i ó n f(x )
«
i n y e c t i v a . En e f e c t o
f(y)
x2 - y 2
■»
:
x - y
p or s e r números n a t u r a l e s .
b ) f e s s u p r a y e c t i v a . Es e v i d e n t e que t o d o e l e m e n t o d e C t i e n e un o r i g i n a l en N
que e s su r a í z cuadrada.
De a ) y b ) s e s i g u e que N y C s on c o n j u n t o s b i y e c t i v o s y p or t a n t o , e q u i p o t e n tes.
MOTA : Loó c o n ju n to * zqiU p oten teA a N o una pastfe de N ó e lla m a n con/untoó NUMERABLES.
— o o o O o o o ----
4 . 2 7 . Se lla m a c o n ju n to en s i E s c rib ir
la s
m is m o .
Las a p lic a c io n e s ►
A
,
b iy e c tiv a s A ------- ►
de A en s i
A
,
3 -------
3
3
3
co n ju n to
d a cuando conocem os
(1 ,2 ,3 ) o
tam biü n
123
2 in ic ia l la s
132
d e un
(1,2,3)
son
A
la s ►
A
2 ---------3
m ism o
s ig u ie n te s ,
3
3 --- * 1 , cada
A
:
► A
d ife re n te s
, (2 ,1 ,3 )
,
213
se
. (2 .3 ,1 ) a
,
231
,
,
23 —
así
, (3 ,2 ,1 )
:
312
,
► A
3
pueden e s c r i b i r
co n fu s ió n
A
12 ------- * 2
s u s titu c ió n
, (3 ,1 ,2 )
,
2
321
1
queda d e te rm in a
im ágen es d e ca d a a p l i c a c i ó n .
, cuando no hay lu g a r
,
,
1
s ie m p re e l
s u s titu c io n e s
, (1 ,3 ,2 )
m ism o
► A
A
2 —
la s
b iy e c tiv a
(JRV-1V-19)
2 --------- * 3
tan to,
a p lic a c ió n
:
2
Por
toda
de c o n ju n to A -
2 ------
S ien d o e l
a
(Ta m bién ó e lla m a n p v t m i t a c l o n u )
s u s titu c io n e s
S O L U C I O N
A
s u s titu c ió n
:
4 . 2 8 .H a lla r e l en á r b o l, de
p r o d u c t o c a r t e s i a n o , p o r m e d i o d e un d i a g r a m a
lo s co n ju n to s
A = {1,2,3,4}
y
B =
{p ,q ,r ).
¿C uántos e le m e n t o s t i e n e ? . O L
U C X O N A x8
E l diagram a en á r b o l e s e l s i g u i e n t e :
11. P)
d .q ) (1 . r) 12. p ) 12. q ) 12. r) 13. p) (3 . q) (3 . r) Í4 .p ) ( 4 .q ) 14. 0
E l número d e e le m e n t o s e s :
C a r d ( A x B ) = C a r d ( A ) .C a r d ( B ) ■ 4 . 3 - 12
o o o O o o o ----4 . 2 9 . Ha l l a r en á r b o l,
el
de lo s
c o n ju n to s
¿C uántos e le m e n to s S O L O C I O H
p r o d u c t o c a r t e s i a n o , p o r m e d i o d e un d i a q r a n a
tie n e e l
A =
{p,q,r)
,
B «* { 1 , 2 }
, C =
produ cto?.
:
E l diagram a e n á r b o l e s e l s i g u i e n t e :
{x,y,z}
A x B x C
X V * -X V z X
v z
(P. 1 . >) (P. i. y) (p . 1 . *)
(P. 2. i) ÍP. 2. y) (p . 2 . z) ( q . 1. «O ( q . i . y) (q . i . Z )
z
(q . 2. x ) (q . 2 . y) (q . 2 . z)
X
(r.
V
(r. 1. y) ( r . 1 . z)
* V
z
1 , x)
r
( r . 2 . x) Cr. 2. y)
z
( r . 2 . z)
X
E l número d e e le m e n t o s e s : Card(AxBxC) = C a r d ( A ) C a r d ( B ) C a r d ( C ) - 4 . 2 . 3 - 24
4.
3 0 .
Dados
d e te rm ín e s e e l ro
lo s
c o n ju n to s
p rod u cto c a r te s ia n o
de e le m e n to s d e e s t e
e le m e n to s
e x is te n te s
c
r
n
n
r
o
A -
n
en
(a ,b ,c),
AxBxC
c o n ju n to e s e l
y
B =
{1 ,2 ),
com pruébese
prod u cto de
lo s
C - ( 1 , 3 , 5,6) sí
el
núme
núm eros de
cada c o n ju n to .
.
(S E IE C T M M P -
Par a d e te rm in a r e l p rod ucto c a r t e s i a n o A * B » C
E1 número de elementos d e l c o n ju n to
A »B *C
Í9 7 6 I
, vamos a d i b u j a r un diagrama
es
4 , cono se deduce d e l d i a g r a -
ma. P or t a n t o . s e t i e n e C ard (A » B * C ) - C a rd (A ) * C a r d ( B ) * C a r d ( C ) - 3 . 2 . 4 - 24
o o o O o o o ----
4 . 3 1 . A v e r i g u a r d e c u á n ta s form a s d i s t i n t a s s e puede v e s t i r un c a b a l l e r o y
que
tie n e
en
su a r m a r io
4 ch aq u etas
,
3 p a n ta lo n es
2 pares de zap atos.
(J R V - It '- I)
S O L D C I O N
:
Si
{ C j ,C2 ,C^,CÍ(}
e s e l conju nto de l a s chaq uetas,
{P
es e l
j
.P ^ .P j }
co n ju n to de pan talo n es
es e l c o n ju n to de l o s za p atos , en to n c e s e l pro ducto c a r t e s ia n o de i o s t r e s con ju nto s nos da l a s d i f e r e n t e s te r n a s que puede l l e v a r y que son d i s t i n t a s . P or t a n to , Maneras de v e s t i r • { C j . C ^ C y C j * { P t . P j . P j ) * ( Z , , Z 2> N ú m e ro d e m a n e r a s d e v e s t i r
-
C a r d í t C j . ( ^ . ( ^ . ( ^ D c a r d í C P j , P ? , P 3 ) ) C a r d ( { Z 1 , Z 2»
-
4 . 3 . 2
=24
o o o O o o o -----
4 . 3 2 . S i C a rd (A )
■ n
y C a rd (B )
= m , c a lc u la r
a que
C a rd (A x B ). S O L D C I O N Sean
A -
f
a
es
ig u a l
U R V -IIM )
^
: . . . . a^)
y
B ■ ( b j. b ^ , . . . .b ^ í
dos
co n ju n to s A y B cuyo c a r
d in a l e s n y m resp ec tiv a m e n te . E n ton ces,
A x B ■ { (a ^ ,b j), (a j,b ^ )
,
...
,
(a ^ .b ^ )
►
( a j . b j J . í a j . b j ) ............... ( a 2 ,bJ
••• (a y su c a r d i n a l
^
n elem en tos
m elementos
•••
,b ) , ( a
n i
, C a r d ( A x B) =
,b ,)
n
/
. . . . .
(a
m+ m + ? }. + a
,b ) }
►
n o
n
elem en tos
, ya que hay n f i l a s
y cada
f i l a t i e n e a elementos.
o o o O o o o -----
4 .
3 3 . D em ostrar que
C a rd (A n )
= C a rd (A ) .C a rd ( A ) =
S O L D C I O N Es c o n se cu e n c ia d e l C a rd (A °)
C a rd (A )
(C a rd (A )) n
: e je rc ic io
= C ard (A x A > . . . « A )
a n te rio r •
, y a que
C ad r(A ) . C a r d (A ).
...
C ard (A )
-
(C a rd (A ))n
4 . 3 4 .S e a n m in a r
A
= {a ,b ,c }
y
B
= {1 ,2 ,3 ,4 }
de
A
en
c o n ju n to s .D e te r
:
a)
¿C u á n ta s
a p lic a c io n e s
hay
b)
¿C u á n ta s
a p lic a c io n e s
in y e c t iv a s
S O L O C I O H a)
dos
hay
de
A
en
B ?.
:
Una a p l i c a c i ó n f de A e n P e ro
B ?.
B queda d ete rm in ada p or l a te r n a ( f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) }
{ f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) } € B*B*B , l u e g o habra t a n t a s a p l i c a c i o n e s cuantos
e le m e n t o s te n g a e l c o n j u n t o
B*B*B.
P or o t r a p a r t e , C ard (B*B *B ) ■ C a r d ( B ) . C a r d ( B ) . C a r d ( B ) * 4 . 4 . 4 - 64 Luego e l número de a p l i c a c i o n e s e s 64. b)
Veamos ahora e l número de a p l i c a c i o n e s i n y e c t i v a s d e A en B. 1) L a imagen d e a , f ( a )
, puede s e r c u a l q u i e r a d e l o s e le m e n t o 1 , 2 , 3 , 4
L uego, t i e n e 4 p o s i b i l i d a d e s . 2) La imagen de b , f ( b )
, puede s e r c u a l q u i e r a d e l o s e le m e n t o s 1 , 2 , 3 , 4
con l a c o n d i c i ó n d e que f ( a ) Luego, f ( b )
i
f(b )
, p or s e r f
in y e c tiv a .
tie n e t r e s p o s ib ilid a d es
3) F i n a l m e n t e , e l e g i d a s l a s imágenes f ( a )
y f(b ),
f(c )
, t i e n e únicamente
d o s p o s i b i l i d a d e s , p uesto que f e s i n y e c t i v a . P or t a n t o , e l número de a p l i c a c i o n e s i n y e c t i v a s e s : 4 . 3 . 2 ■ 24
o o o O o o o ----
4 .
3 5 . D e m o s tra r q u e s i lo s
n e le m e n to s
r e s p e c tiv a m e n te ,
A
n
en
B
es
,
es
e n to n c e s
e l
fin ito s n ú m e ro
A
de
y
B
t ie n e n
a p lic a c io n e s
m y de
d e c ir , C a r d íA
S O L U C I O N
c o n ju n to s
----►
B)
=
nm
:
(JRV-IU-29)
Una a p l i c a c i ó n a p l i c a c i ó n f d e A en B queda d ete rm in ada p or m -pla
( f ( a j ) , f ( a 2) , f ( a 3) , . . . siendo Pero
A ■
{a j.a 2 .a j,
...
( f ( a j ) , f ( a 2) , f ( a 3) ,
, aB > ...
, f ( a m) )
e
B . B x B x ? ! . xB , l u e g o habra ta n ta s
a p l i c a c i o n e s c u an tos e le m e n t o s te n g a e l c o n j u n t o Por otra*p arte, de donde ,
, fíaj)
Card (B x B x
b
x .**
B xB xB x
x B) = ( c a r d ( B ) ) “ -
C ard íA — ^ B )
o o o O o o o ----
xB n"
4 -
3
6
.
Sea
A
un
c o n ju n to
e le m e n t o s .D e te r m in a r f in ir
de
A
en
A - W
j
B
un
c o n ju n to so
* B*
*
B "
n de
L a im a g e n d e a ( s e p u e d e e l e g i r
2)
E le g id a
im agen d e 3 j
d i f e r e n t e s y a que
( b , , b 2 > . . . , b n) .
es in y e c t iv a entonces
1)
E le gid a s la s
d e
pueden
s
N ó t e s e q u e s i una a p l i c a c i ó n
3)
y
ín y e c t ív a s
[JW -1 V -2 9 ]
.A j
la
m e le m e n to s
a p lic a c io n e s
B.
S O L O C I O N Sean
de
c u á n ta s
en
B
m <
n.
d e n m aneras d i s t i n t a s .
, l a im a g e n d e a 2 s e p u e d e e l e g i r d e ( n - 1 ) m aneras
f(a t) i
im á g e n e s d e
f ( a 2>
s ien d o
0 j,a 2, la
f
la a p lic a c ió n
im a g e n d e a ^ s e puede e l e g i r
de (n -2 )
m aneras d i f e r e n t e s .
• ••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
•••
P r o c e d i e n d o d e l a misma m anera p a r a l o s r e s t a n t e s e l e m e n t o s d e A , s e fin a lm e n te n)
im á g e n e s d e a j , a 2
(n - m +
P o r canto
tie n e
:
E le g id a s la s de
•••
1)
aR l
,
l a im a g e n d e aR s e p u e d e
to m a r
m aneras d i s t i n t a s .
:
Número d e a p l i c a c i o n e s i n y c c t i v a s d e A e n B - n ( n - l ) ( n - 2 ) .
...
(n-nr+1)
o o o O o o o ----
4 . 3 7 . m io s
¿D e
d is tin to s
n in g u n o
de
S O
C
L O
c u á n to s
e n tre
e llo s
I O
N
m odos
d if e r e n t e s
A b e la r d o ,B a s ilio
r e c ib a
lo s
dos
se
pueden
.C a r m e lo
y
r e p a r tir
D a v id
de
m odo
p re
que
p r e m io s ? .
:
E l p r o b le m a q u e d a r á r e s u e l t o s i c a l c u l a m o s e l número d e a p l i c a c i o n e s d e l c o n ju n to de prem ios o o s s eñ alad o
dos
P ■ J p j’ P jí
en e* c o n ju n t o
la s p erson as con la s i n i c i a l e s
E l d iagram a en á r b o l e s
in y c c tiv a s
Q ■ | A , B , C , d | , d o n d e he
d e l o s no m b res.
:
Húnvw d i M p a x to b • 12 B -A
4 . 3 8 . c a rd in a l
Sea de
U
un
rf'(U)
S O L D C I Q H
co n ju n to
f in it o
de
c a rd in a l
n.
D em ostrar
que
e l
= 2n .
:
La dem ostra ció n de e s t e teorema s e puede ha ce r p or v a r i o s cam in os .A qu í s e demues t r a p or t r e s métodos muy c o n o c id o s . 1) METODO DE RECURRENCIA S i c a r d ( U ) - 0 , en to n c e s
U * 0
y
Í>(U) - { 0 } . P or ta n to c a r d ( f ( U > ) - 2° -
S i c a r d ( U ) • 1, en to n c e s
U ■ (0 } y
Í’ (U) ■ { 0 , ü }
y
c a r d ^ í U ) ) ■ 2* -
Supongamos que s i c a r d ( U )
" n-1
c o n ju n to U de c a r d ( U ) • n
, x 6 U, I T e l com ple m enta rio d e { x ) y A c ü.
2
en to n c e s c a r d ( P ( U ) ) ■ 2n * . Sea ahora un
Si
A no c o n t i e n e a { x } , e n to n c e s
Si
A
Si
A y A ' son dos p a r t e s de U c on te n ie n d o a { x } t a l e s que
ces
1.
A e s una p a r t e de U'
c o n t i e n e a ( x ) , A - { x ) e s una p a r t e de U
A - {x } i
A i A'
, e n to n
A ' - fx ).
De a q u í s e deduce que , c a r d í ^ O » ) - 2 .ca rd ( (ü * )) - 2 .2 "-1
•
- 2n 2 ) METODO DE LA FUNCION CARACTERISTICA Se t r a t a de d e f i n i r una b i y e c c i ó n d e l c o n ju n to f ( U )
en
£ (U ;{ 0 . i })
de la s
a p l i c a c i o n e s de U en { 0 , 1 } . Loa a p tic a c io n e ¿ d e U en
{ 0 , 1 ) ¿ e H orra n (¡u n c io n e t c a A a c t e A l& t ia u .
Es tas fu n c io n e s s e d e f i n e n a s í : A to d a p a r t e A de U s e l e a s o c i a l a fu n c ió n
f ^ de
£ (U ; { 0 , 1 } )
( s e llama
en to n c e s (¡u n ción ceu ta cX eA ÍA tica de A ) d e f i n i d a p o r :
La a p l i c a c i ó n
f de
par a t o d o elem ento
fA(x ) - 1
si
x € A
f A (x > " 0
8i
x f A
f * ( U ) en e l c o n ju n to A
de
<P(U)
£ (U ; { 0 , I } )
es una b i y e c c i ó n .
d e f i n i d a p or
f ( A ) - f.
(Hágase)
Se t i e n e , c a r d ( f ( l » ) - card( £ ( U ; { 0 , 1 ) ) ) ya que é s t e e l número de a p l i c a c i o n e s de
- 2°
U en { 0 , 1 } .
3 ) METODO DE NEWON Los subcon ju nto s de U de 0 elem entos
son :
0 . Su número es
El número d e subcon ju nto s de 1 elem ento e s : ...
,de
n-1
s e r á ( n° , j y f i n a l m e n t e de
( ; ) ♦ ? ; ) P or t a n t o ,
♦ (;)♦■••♦
c a r d ( f ( 0 ) ) - 2n
n
;
de do9 ele m entos : ^ " J
serᣓ ) .
(„:.)♦ (:)- * •
A
4 . 3 9 . fe re n c ia
Se
c o n s id e ra n
U fin ito .
B y
C se
la
re la c ió n
v e rific a
a)
la
A
y
+
C a rd (B )
[ 1 ] d em ostrar
de
s on s u b c o n j u n t o s Por o t r a p a rte
que
-
C a rd (A
para
n
tres
B)
(1 ]
s u b c o n ju n to s
A
=
C a rd (A )
-
C a rd (A
n B)
+
C a rd (B )
+
C a rd (A
O B O
-
+
C a rd (C )-
C a rd (A n C )
-
C a rd (B n C )
C)
12 1
A y B d e U sabemos que A - B , A n B , B - A
se t ie n e : -
B) U ( A
B ) U (B - A)
A -
( A - B) U ( A
B)
B - (B
- A ) U (A
B)
d e d o n d e , s i c o n s id e r a m o s s u s c a r d i n a l e s , r e s u l t a
:
C a r d ( A u B)
- C ard (A -
B) + C a r d ( A D B ) + C a r d (B
C ard (A)
- C ard (A -
B ) + C a r d ( A n B)
C ard (B )
.- C ard(B -
A ) + C a r d ( A O B)
S u s t itu y e n d o en ( 5 1
C a r d ( A U B)
[3 1 lo s v a lo r e s de res u lta
- A)
(
3 J
[4 1 I
C ard (A -
B)
5 1
y C a rd (B
- A ) ob ten id o s
:
- C a r d ( A ) - C a r d ( A n B) + C a r d ( A
B) + C a r d ( B ) - C a r d ( A n B)
- C a r d ( A ) + C a r d ( B ) - C a r d ( A O B) b ) D em ostra ción de l a C ard (A U B U C )
fórm u la 12 1
- C a r d ( ( A U B) U C) - C a r d ( A U B) + C a r d ( C ) - C a r d ( ( A U - C ard (A )
+
C ard (C )
B) n C)
C a r d ( B ) - C a r d ( A O B) +
- C a rd ((A
- C ard (A )
+
H C ) U (B D C ) )
C a r d ( B ) + C a r d ( C ) - C a r d ( A n B)
- Card ( A n C) - C a r d (B H C )
+
C a r d ( A n B O C)
- - - o o o O o o o ------
tra r
De m a n e ra
que
C a rd (A
para
cu atro
u B u C u D)
C a rd (A O B )
-
,
d i s j u n t o s como s e v e ta m b ié n e n e l d ia g r a m a d e Venn.
A U B - (A
NOTA :
re
fórm u la ( 1 |
Dados l o s s u b c o n j u n t o s
y
c o n ju n to
:
D em ostración de l a
de (4 1
B del
r e la c ió n
u B u C>
C a rd (A
S O L U C I O N
s u b c o n ju n to s que
u B) = C a rd (A )
C a rd (A A p lic a n d o
lo s
D em o stra r
a n á lo g a
= C a rd (A )
C a rd (A n c )
-
C a rd (C
n D)
+
C a rd (A
n C n D)
+
C a rd (A +
a l
e je rc ic io
s u b c o n ju n to s
n
de
U
+ C a rd (B )
C a rd (A n o ) b n
C a rd (B
,
c)
n C O
+
-
)
-
A ,B ,C
y
se D
+ C a rd (C ) C a rd (B
C a rd (A b
e n te rio r
n b
C a rd (A
dem os—
c u m p le
:
+ C a rd (D )-
n C) n D)
puede se
-
C a rd (B
+
n B O C O D ).
n d)
4 .4 0 .E n llo s
F ilo s o fía , y
una U n iv e r s id a d
2300 m a tr ic u la d o s 1200
F ilo s o fía ,
tu ra s .L o s
en M a te m á tic a s
300
en
a lu m n o s
vez,
y
Para
c o n fe c c io n a r
saber
de o tra s
E c o n o m ía
se
pueden
la s
supone que
y
y
en
E c o n o m ía ,
F ilo s o fía
d is tin ta s
fic h a s
de
la s
hay
4000
1700 e n
m a tric u la r
a s ig n a tu ra s
y
de de
715 en
50 e n
la s
v a ria s la s
a lu m n o s .D e e -
E co n o m ía
,
1850 en
M a te m á tic a s tres
a s iq n a -
a s ig n a tu ra s
a
la
c ita d a s .
d is tin ta s
a s iq n a tu ra s
se
desea
:
a)
C u án tas
hay
que
b)
C u án tas
son
n e c e s a ria s
c)
C u á n to s a lu m n o s tas
se
en M a te m á tic a s ,
encargar
en tre
para
M a te m á tic a s
la s
hay que
no
le s
hay qu e
s o lo
tres
y
E c o n o m ía .
a s ig n a tu ra s .
corresp on da
n in g u n a
fic h a
de é s
a s ig n a tu ra s .
d)
C u á n to s a lu m n o s
e)
C u ántos
S O L O C
la
tie n e n
. O»
en
una
ten ga n
s o la
fic h a
a s ig n a tu ra
d e M a te m á tic a s . de
la s
c ita d a s .
:
IJM M -III
C onsid erem os e l d ia g ra m a a d j u n t o . M •
{ x / x e s t á m a t r i c u l a d o en M a t e m á t ic a s )
E -
{ x / x e s t á m a t r i c u l a d o e n Economía)
P ■
{x / x e s t á m a tricu la d o en F i l o s o f í a )
U -
{x / x e s t á m a tr ic u la d o en la U n ivcr sid a d )
A n tes de c o n te s t a r a la s preguntas va mos a c a l c u l a r e l c a r d i n a l d e c ada uno d e l o s s u b c o n j u n to s e n que M,E y F d i v i d e n a U. En l a f i g u r a e s t á n s e ñ a la d a s l a s 8 r e g i o n e s que i n d i c a n e s t o s sub con ju n tos d is ju n t o s . 1)
R e g ió n 1 : Son l o s alumnos m a t r i c u l a d o s e n l a s t r e s a s i g n a t u r a s y s e t i e n e CardíM n
2)
e
n F) -
50
R e g i ó n 2 : Alumnos m a t r i c u l a d o s s o l a m e n te en M a te m á tic a s y Economía , 1200 - 50 - 1150
3)
R e g i ó n 3 : Alumnos m a t r i c u l a d o s s o l a m e n te e n M a te m á tic a s y F i l o s o f í a
4)
R e g i ó n 4 : Alumnos o a t r i c u l a d o s s o l a m e n te e n Economía y F i l o s o f í a
715
300 5)
- 50 -
- 50 ■
665
250
R e g i ó n 5 : Alumnos n a t r i c u l a d o s s o l a m e n te e n M a te m á tic a s , 2300 - 665 - 1150 - 50
6)
•
435
R e g i ó n 6 : Alumnos m a t r i c u l a d o s s o l a m e n te e n Economía , 1700 -
1150 - 50 - 250
-
250
,
,
7)
Región 7 : Alumnos m a t r i c u l a d o s s olam e n te en F i l o s o f í a
8)
R e g ió n 8 : Alumnos m a t r i c u l a d o s e n a s i g n a t u r a s d i s t i n t a s a l a s dadas ,
1850 - 665 -
,
50 - 250 - 885
4000 - 435 - 1150 - 50 - 665 - 250 - 250 - 885 - 315 Con e s t o s d a t o s l a c o n t e s t a c i ó n a l a s p re g u n t a s e s in m e d ia ta : a ) Número de alumnos e n t r e M atem átic as y Economía : 435 ♦ 1150 + 50 + 665 + 250 + 250 - 2800 b)
Número d e alumnos m a t r i c u l a d o s en 2800 +
c)
885 - 3685
(2800 m a t r i c u l a d o s en M atemáticas y Economía)
Número de alumnos no m a t r i c u l a d o s 315
l a s t r e s a s ig n a t u r a s :
e n e s t a s a s ig n a t u r a s :
(v ía s e 8 ))
d ) Número d e alumnos m a t r i c u l a d o s s olam e n te en M ate m átic as : 435 c)
(v ía s e 5 ))
Número de alumnos m a t r i c u l a d o s s olam e n te e n una de l a s a s i g n a t u r a s dad as: 435 + 250 + 885 - 1570
(véase
5)
, 6) y 7 ) )
o o o O o o o -----
4.41. tic a s
En una e s c u e l a
271,
en
F ís ic a
204,
M a te m á tic a s y
F ís ic a
hay
m á tic a s
y Q u ím ica
¿ C u á n t o s a lu m n o s
Card(M
en F ís ic a
Se
519 a lu m n o s , sabe
y Q u ím ic a
e n M atem á
ta m b ién q u e hay
en
95 y e n M a te
168. a
la
vez
en M a te m á tic a s ,
F ís ic a
(J R V -l-ff)
:
- (x/
x
e s t u d i a M a te m á tic a s )
F■
(x/ x estu dia F í s i c a )
0■
í x / x e s t u d i a Quím ic a)
P or o t r a
319.
*
S O L O C I O N
M
55,
Q u ím ic a
hay m a tric u la d o s
y Q u ím ic a ? .
Sean :
s e han m a t r ic u la d o
en
p a r t e , e n e l e j e r c i c i o 1.
s e ha v i s t o que
U F U Q ) = Card(M ) + C a r d ( F ) + C ard(Q) Card(M O F) - Card(M H
q)
:
_ C a rd (F H q ) +
Card(M O F O Q) y s u s t i t u y e n d o en e s t a fórm u la l o s d a t o s d e l pro blema r e s u l t a 519
- 271 + 204 + 314 - 55 -
:
168 - 95 + Card(M D F n q )
= 769 - 318 + Card(M O F O Q) «* 471 + Card(M O F H Q) d e donde ,
Card(H O F O Q)
■ 519 - 471 »
48
P or t a n t o , hay 48 alumnos m a t r i c u l a d o s a l a v e z en M ate m ática, F í s i c a y Ouímica.
4 . 4 2
,
que
beben
que
hom bres
que
no
En
que
una
hom bres
que
beben
re u n ió n
no
n i
por el
lo s
que
m ás
co n ju n to
lo s
fo rm a d o
q u e no beb en ,
hom bres
que
fig u ra
y el
en t o t a l
lo s
ju n to s.
A s f.p o r es e l
II
Se tie n e
por
c a rd (l) ♦
que
y
fu m an
hay
no
del
y
m enos
m u je re s no
beben
m u je re s
fu m a n .
co n ju n to
que beben e s d is ju n t o
co n ju n to
l o s q u e no
fo rm ad o p o r
I0 9 que
del
fo rm a d o
por
l a s mu
c o n j u n t o fo rm a d o
fum an e s d i s j u n t o
con
fu m an . lo s
co n ju n to s a n te r io r e s
y
sus in
8 co n ju n to s d is ju n to s .
s e h a numerado l a s
man,
m u je re s ,m á s
que
beben
hom bres e s d i s j u n t o por
HOMBRES
■En l a
m u je re s
fu m a n .D e m o s tra r
s i g u i e n t e d ia g r a m a d e Venn s e m u e stra n
te rs e c c io n e s ;
que
(OLIMPIADA MATEMATICA)
c o n ju n t o fo rm ad o p o r
En e l
n i
hom bres
:
E l c o n ju n t o fo rm ad o p or el
m ás
fu m a n ,y
beben
fu m an
S O L U C I O N
jere s;
que
hay
e je m p lo ,
I
co n ju n to de
r e g io n e s que
in d ica lo s
MUJERES
el
r e p r e s e n t a n en d n uno d e
co n ju n to de
lo s
lo s
8 con
hom bres que beben y no
hom bres que no beben n i
fu m a n ,
fu
etc.
tan to,
c a rd (II)
♦ c a rd (Ill)
+
c a rd (lV )> c a rd (V )
4
ca rd (V )
4
c a rd (V l)> c a rd (lll)
ca rd (V I)
♦ c a rd (V II)
4
4 c a rd (V IIl) ca rd (IV )
4
c a rd (V Il) > c a r d (ll) Sumando e s t a s d e s i g u a l d a d e s m i e m b r o a m i e m b r o y s i m p l i f i c a n d o c a rd (I) donde
I
es
V III
, como a o ha d i c h o
es e l
>
se tie n e
:
c a rd (V IH )
, c o n j u n t o d e h om b re s q u e b e b e n y n o fuman y
c o n ju n to d e m u je res n i beben n i
fu m an .
o o o O o o o ------
4 . 4 3 ram o
de
-E n la
p in te ro s ; 4
c o n s tru c c ió n .
fo n ta n e ro s p id e
a )
¿C u án tos ¿A
y
de
de 13
c o lo c a c ió n son
se
o fre c e n
a l b a ñ i l e s , 13
ó s to s
6
tie n e n
c a rp in te ro s
y
5
que
se r
a lb a ñ ile s
y
20
p u esto s
fo n ta n e ro s a lb a ñ ile s
y
y
15
d e l ca r
fo n ta n e ro s ,
c a rp in te ro s .
: tie n e n
cu á n ta s
puede
o fic in a
adem ás,
Se
b)
una
que
s e r
la s
person as
que
s o lo
o fr e c e r
e m p le o ?
tr e s
cosas
ten ga n
e l
a
la
vez?
o f ic io
de
a lb a ñ il
se
le s
c)
¿ C u ín ta s pero
no
p erson as
r e q u ie re n
que
sean c a r p in t e r o s
y
a lb a ñ ile s
fo n ta n e ro s ?
S O L O C I O B Sea
se
:
A - (a lb a ñ ile s ) F - {fon ta n eros) C - (c a rp in te ro s )
i)
C a r d ( A n F n C ) - 29 ; C a r d (A n F ) - 6
;
C a r d ( A ) - 13
C ard (F n C) - 4
; C a r d ( F ) - 13 ; ;
C a r d (C ) - 15
C a r d (A n C ) - 5
P o r o t r a p a r t e s e sabe que : C a r d (A U P U C) - C ard ( A ) + C a r d ( B ) + C a r d ( C ) C a r d ( A n F ) - C a r d ( A O C) - C a rd (C n P> + C ard (A n P f l O S u s t it u y e n d o s e t i e n e : 2 9 - 1 3 + 1 3 + 1 5 - 6 - 4 - 5
+ C a r d (A n p f l c )
Card ( A n p n c ) ii)
Sea
X -
d e donde ,
• 3
(s o lo a lb a ñ iles )
C a r d ( X ) - Card ( A ) - C a r d ( A O F ) - C a r d (A n C) + C a r d ( A n p n c )
iii)
Sea
-
1 3 - 6 - 5 + 3
-
5
Y -
( c a r p i n t e r o s y a l b a ñ i l e s p e r o no f o n t a n e r o s )
C a r d ( Y ) - C a r d ( A O C) -
5 -3
-
2
C a r d ( A n F O C)
o o o O o o o -----
4 . 4 4 que
•E n un g r u p o d e
e s tu d ia n
m a te m á tic a s ,
tu d ia n m a te m á tic a s y Se a) b) c)
q u ím ic a , p id e
y
y
200 a lu m n o s d e
120
fís ic a
y
90 q u í m i c a ;
f í s i c a , 30 m a t e m á t i c a s
fin a lm e n te
20
la s
tres
s e le c tiv o
y
hay
adem ás
q u ím ic a ,
40
70 a lu m n o s 50 e s fís ic a
a s ig n a tu ra s .
:
¿Es c o r r e c t a
l a in fo rm a c ió n
s i
to d o s
e s tu d ia n
¿ C u á n to s a lu m n o s e s t u d i a n m a t e m á t ic a s o ¿C u án tos
a lu m n o s
no e s t u d ia n
n in gu n a
d)
¿C u án tos
e)
¿C u án tos
a lu m n o s e s t u d i a n a l
f)
¿ C u a fito s
a lu m n o s e s t u d i a n f í s i c a
S O L O C I O W
o
fís ic a ? .
a s ig n a tu ra
a lu m n o s e s t u d i a n m a t e m á t ic a s o m enos
a l g u n a de la s tre s?
de
la s
dadas?
q u ím ic a ?
a lg u n a
de
la s
tres?
q u ím ic a ?
:
E l s i g u i e n t e diag rama de Venn
m uestra l a s 8 r e g i o n e s en que t r e s c o n j u n t o s
d i v i d e n a l c o n j u n t o u n i v e r s a l U < - c o n j u n t o d e alumnos d e s e l e c t i v o ) a)
.
S i to d o s l o s e s t u d ia n t e s cursan s o l o es asign atu ras
l a i n f o r m a c i ó n e s f a l s a ya
C a r d (M a t e m á t ic a s U F í s i c a U Q u ím ic a ) ■ - 70 + 120 + 9 0 - 5 0 - 3 0 - 4 0 + 2 0 -
180
que no e s e l número t o t a l de alumnos. S i no imponemos e s t a c o n d i c i ó n hay 20 a no s que no e s t u d i a n e s t a s a s i g n a t u r a s . b)
C ard (M U F ) - Card(M ) + C a r d ( P )
c)
Lo hemos v i s t o y a : 20 alumnos
d)
Card(M U Q) - Card(M ) + C a rd (Q )
e)
La c o n t e s t a c i ó n v i e n e dada en
f)
C a r d ( F U Q) - C a r d ( F ) + C a r d (Q )
- Card(M n F )
- 70 + 120
- 50 - 140
- C ard (M O Q)
- 70 + 90
- 30 - 140
a)
: 180 alumnos - C a r d ( F n Q)
- 120 + 90
- 40 - 170
o o o O o o o ----. En e l m enores
que
c o n ju n to d e c ir
1000
S O L O C I O H
A n B
to d o s
núm eros
lo s
hay que
; B ■ {m ú ltip lo s de 5)
- {m ú ltip lo s
núm eros no son
de 3 y 5 }
;
- { m ú l t i p l o s de
m ú ltip lo s
15}
■ (m ú ltip lo s
de 3 y 7}
■ {m ú ltip lo s de
21}
Bn C
* {m ú ltip lo s
de 5 y 7}
■ (m ú ltip lo s de
35}
A n Bn C
■ {m ú ltip lo s
de 2 ,5 y
7} ■ { m ú l t i p l o s de 105}
C ard (A)
n a tu ra le s
C - { m ú l t i p l o s d e 7}
AD C
( A U B U C)1 * a)
cu án tos
por
:
Sean A = { m ú l t i p l o s d e 3 Í entonces
fo rm a d o
( n o m ú l t i p l o s de 3 n i d e 5 n i d e 7 . }
-
999/3 - 333
ya que 999 e s e l Ú lt im o m ú l t i p l o d e
3
<
1000
C ard(B ) -
995/5 - 199
ya que 995 e s e l ú l t i m o m ú l t i p l o d e
5
<
1000
C ard(C ) =
994/7 - 142
y a que 994 e s e l ú l t i m o m ú l t i p l o d e
7
<
1000
De una manera a n á l o g a s e c a l c u l a n l o s c a r d i n a l e s s i g u i e n t e s : C a r d (A O B) = 66
;
C a r d ( A n C) - 47
;
C a rd (B O C)
=28
C a r d (A H B H C ) = 9 b)
E l c a r d i n a l d e l a unió n d e l o s t r e s c o n j u n t o s e s : C ard (A U B U C )
c)
■
333 +
199 + 142 - 66 - 47 - 28 + 9 - 542
E l c a r d i n a l d e c o n j u n t o c o m p le m e n ta r io que no s da e l número d e números no m ú l t i p l o s d e 3 n i d e 5 n i d e 7 C a rd ((A U B U C ) ' )
es :
■ 999 - C a r d (A U B U C) - 999 - 542 - 457
4 . 4 6 se
.S e
lla m a
rep resen ta
d is ta n c ia
por d ( X , Y ) ,
en tre
al
dos
c o n ju n to s
n llm ero d e
fin ito s
e lem en to s d e
X e
Y,
y
su d ife r e n c ia
s im é tric a . D em o stra r que v e rific a
que
para
c u a le s q u ie ra
que
sean
lo s
c o n ju n to s
A ,B
y C,
se
: d (A ,C )
<
d (A ,B )
+ d (B ,C ) (S E LE C T1 V W M -1976)
S O L U C I O H
:
a)
d ( X , Y ) = número de e le m e n t o s d e su d i f e r e n c i a s i m é t r i c a
b)
P or o t r a p a r t e , s e
= C ard(X
ha demostrado en e l e j e r c i c i o 1 . 4 1 . l a A A C
A Y)
s ig u ie n te rela ciú n
C ( A A B) U (B A C)
p ar a c u a l e s q u i e r a c o n ju n t o s A,B y C. De a ) y b ) s e s i g u e que : C a r d ( A A C ) < C a r d ( ( A A B) Ü ( B A C ) ) - C ard (A A B) + Card (B A C) - C a r d ( ( A A B) O (B
A C)
< C ard íA A B) + Card (B A C) es d e c i r ,
d (A ,C ) < d (A ,B ) +
n in g u n o d e to ta l,d e
lo s
lo s
te
a
B ,1 a
la
d é cim a
c o n ju n to s
c u a le s
tercera p arte
S O L O C I O B
a
la
A,
B y C s a b ie n d o que
tercera
p arte lo a
d (B ,C )
a
p a rte
C ,la
hay
p erten ecen
q u in ta
p arte
a A ,la
a cada
tres.
N e le m e n to s
par
tercera de
en par
e llo s
IS IirC n irtW » -
19761
:
Sabemos que s e v e r i f i c a
la sigu ien te rela ciú n :
C ard íA U B U C )
-
C a rd (A ) + C a r d (B ) + C a r d (C ) C ard (A O B) - C ard (A n C) - Card (B f t C) + C ard íA n B n C)
,
su stitu yen do se t i e n e : Card(AUBUC)
- *
+ |
+ f
un - 5 3 -- H(1 P or t a n t o , sien d o
„ C ard íA U B U C ) ' N - Í
C ardíA U B U C )
+ +
»
1 iq
■
\)
s -j-
n ( t2
+r 1 \ . - 735N - - — N + e>
,
e l número d e e le m e n t o s que no p e r t e n e c e n n i a A , n i
y
4 . 4 8 está tín
. En
un c u r s o
m a tric u la d o
en
, G rie g o y
33 a lu m n o s , ¿C u á n tos
y
a lu m n o s
m en te?. ¿P o r
S O L U C I O N
d o s ,y
hay
s o lo
40 en
a lu m n o s ,c a d a dos,
de
la s
uno de
lo s
a s ig n a tu ra s
c u a le s de
La
A ra b e ,s e sab equ e
enL a tín hay
queenG r ie g o h a y
m a t r i c u l a d o s e n t o t a l 33a lu m n o s .
hay
qué?.
donde
m a tric u la d o s
Hacer
en
un d i a g r a m a
L a tín de
y
m a tric u la d o s en t o t a l
en
G rie g o
s im u ltá n e a
Venn.
:
(S E lE e n W W ® I975-M
aMd)
1 ) C o n s id e r e m o s p r i m e r o e l d ia g ra m a d e Venn d e l a f i g u r a a d j u n t a . L d esig n a
el
c o n j u n t o d e lofe
alum nos m a t r i c u l a d o s en L a t í n
C d esig n a
el
c on ju n tode l o s
alum nos m a t r i c u l a d o s e n G r i e g o y
A d esig n a
el
c on ju n tode l o s
alum nos m a t r i c u l a d o s e n A r a b e ,
x
- c a rd (L O
G)
y
= c a rd (L H
A)
z
- card (G H
A)
L o s demás s u b c o n j u n t o s s e ñ a l a d o s e n e l d ia g ra m a d e Venn s on v a c í o s s e gú n l a s c o n d i c i o n e s d e l p r o - j b lem a. 2 ) Se t i e n e p o r t a n t o e l
s ig u ie n t e sistem a de ecu acion es
x + y + z ■ x + y x
40
- 33 + z -
33
R e s o lv ie n d o e l sistem a se o b tie n e x - 26
:
,
y D 7
,
: z = 7
3 ) E l número d e alum nos m a t r i c u l a d o s s i m u l t á n e a m e n t e e n G r i e g o y e l L a t í n e s 26.
o o o O o o o -----
COMBINATORIA en
t í que ó e d t& a n n o tla n la & 6 ¿g iU trU t6 rrateA ieu '•
1.
VARIACIONES SIN REPETICION
2.
FACTORIALES
3.
PERMUTACIONES SIN REPETICION
4.
C O M B I N A C I O N E S SIN R E P E T I C I O N
5.
NUMEROS COMBINATORIOS
6.
V A R I A C I O N E S CON R E P E T I C I O N
7.
PERMUTACIONES CON REPETICION
8.
COMBINACIONES CON REPETICION
5*"1-
Hallar x
en
la s i g u i e n t e e c u a c i ó n
Vx , 4 =
2 0 ’ Vx , 2
<* >
: 3) ( JRV-1/-6:
S O L O C I V
O
. x , **
son l a s v a r i a c i o n e s d e x e le m e n t o s tomados d e 4 en 4.
V x, 2
son l a s v a r i a c i o n e s de x e le m e n t o s tomados d e 2 en 2
E nto nces :
V
. x,4
-
x ( x - l ) (x -2 ) (x -3 ) ~
„ x,2
■= 20. x ( x - 1)
(x -2 )(x -3 )
*■*
20. V
, s i m p l i f i c a n d o p or
- 20
x 2 - 5x + 6
•
x 2 - 5x - 14
20
, h a cie n d o o p e r a c io n e s
» 0
, r e s t a n d o 20
Y r e s o l v i e n d o l a e c u a c ió n d e segundo g r a d o , r e s u l t a x
5 i / IT T IT -----------------------
=
x (x -l)
-
5 ± /8T
5 i 9 -
- x ’
2
2
1
2
De l a s dos s o l u c i o n e s s o l o e s v á l i d a
: , 7 .x
- -2 2
x ■ 7 , ya que x e s e l c a r d i n a l d e un con
ju n to. o o o O o o o -----
5 . 2 .
R e s o lv e r
la
Vx ,3
s ig u ie n te =
e c u a c ió n
2 4 *C x - 2 , 2
<x
: 3)
> 3 >
I J KV-V-2 S O L U C I O N -
V
x, 3
:
son l a s v a r i a c i o n e s d e x e le m e n t o s tomados de 3 en 3.
Cx _ 2 ^ son l a s com bin aciones de x - 2 elem entos tomados de 2 en 2 .
— — — «-*
,(, - I X , x(x
Vx . 3
• “ •Cx - 2 . 2
-2)
»24
X2
1)
3)
- 1 2 ( x - 3)
- x = 12x - 36
x2 - 13x + 36 • 0
Y r e s o l v i e n d o l a e c u a c i ó n d e segundo g r a d o , r e s u l t a : 13 * / 169 - 144 ---------------- 2------------l u e g o l a s r a f e e s son :
x^ * 9
,
= U
P or t a n t o , x puede tomar l o s v a l o r e s 9 y 4.
"
13 i 5 ~
5. 3. y
5 en
H a lla r
la s
el
c u a le s
den r e l a t i v o
núm ero d e
la s
tres
p e rm u ta c io n e s d e
p rim e ra s
c ifra s
1 ,2 ,3 .
S O L O C I O H
la s
c ifra s
conserven
1 ,2 ,3 ,4
s ie m p re e l
or
(PRFtfflVreSITARIO)
:
S i l a s c i f r a s 1 , 2 , 3 han de c o n s e r v a r e s t e o r d e n , l a s dos c i f r a s r e s t a n t e s 4 y 5 pueden i n t e r c a l a r s e e n t r e e l l a s de to das l a s maneras p o s i b l e s . a ) Las c i f r a s 4 y 5 van
s e g u id a s :
Los c a s o s p o s i b l e s son : CC123
, ICC23 , 12CC3 .123CC
donde C puede s e r 4 o 5 , l u e g o e l número
de c a s o s e s 8 b ) Las c i f r a s 4 y 5 s e c o l o c a n a lt e r n a t i v a m e n t e : La c o l o c a c i ó n p o s i b l e e s :
C 1 C 2 C 3 C
donde C puede s e r 4 o 5.
I n f l u y e n d o e l o r d e n e n que se toman l a s c i f r a s y e l lu g a r donde se c o lo c a n , l o s números d i f e r e n t e s s e o b t i e n e n h a lla n d o l a s v a r i a c i o n e s de 4 elementos tomados de dos e n d o s . Por ta n to Número de c a s o s p o s i b l e s e n b ) -
v 4 2 “ 4,3
De a ) y b ) s e s i g u e que : Número d e perm utac iones - 8 + 1 2 - 2 0 o o o O o o o ----5 . form ar
4 .
El
s é x tu p lo
con m o b je t o s
r ia c io n e s
que
H a lla r
v a lo r
el
S O L O C I O H
se
del
tom ados d e
pueden de
núm ero d e c o m b in a c io n e s
form a r
3 en
3,
es
ig u a l
c o n m -1 o b j e t o s
m, m > 4 .
q u e s e pueden al
núm ero d e v a
tom ados d e
4 en
( PREUNIVERSITARIO)
:
La e c u ac ión deducida d e l enunciado e s l a s i g u i e n t e :
‘ ■C. , 3
'
V l . «
"
(“ - * ) ( « " -
i
—
6.
m(°
2 )(m - 3 )(m - 4)
«—
m - (m
- 3 ) ( m - 4)
—*
m - m2
-
7m + 12
«= »
0
-
8m + 12
- m2
R e s o l v i e n d o l a e c u a c i ó n de segundo grad o m=
8 i ■■/64 - 48 — 2
Como m > 4 , se s ig u e que
m - 6.
■
, resu lta :
8 ± 4
-----------2
«•
m -o
o
,
m r ¿
4.
5.5.
««s o lv e r
la
s ig u ie n te
3.
e c u a c ió n
( « ♦ * ) .
5 .(x
:
♦ i jrv -v -1 5:
S O L U C I O N
:
3. , i
(x
+
2) (x
+
l)x
(x
. ------------------------------------------------
*
x
1. 2 + 2
-
3
x
-
3
— El
v a lo r
de
x
,
es
por
canco —
5 .
6 . Se
m aneras e s
tie n e n
p o s ib le
S O L U C I O N
l)x
—
1 . 2 . 3 —
♦
5.
17 b o l a s c o lo c a r
,3 . o o o O o o o -----
d ife re n te s
8 b o la s
en
y dos c o fre s .¿ D e
uno de
e llo s
y
cu án tas
9 en
e l
otro?.
:
A cada com binac ión d e 8 b o l a s d e n c ro de un c o f r e l e c o r re s p o n d e o c r a d e 9 b o l a s en e l o c r o . E s c a s d i f e r c n C e s oa n e ra s e s i g u a l a l s i g u i c n c e núnero c o m b i n a t o r io : _ 1 7 ,S '
1 7 ,9 '
1 7 .1 6 . 1 5 . 1 4 . 1 3 . 1 2 .1 1 . 1 0 ---------é . 7 '.' 6 . 5 . S . 3 . S . ' Í-------
_ ’
‘
, lrt 24 310
o o o O o o o -----
5.7.
H a lla r
S O L U C I O N
todos
lo s
núm eros c a p i c ú a s d e c i n c o
c ifra s . IJ K IM M )
:
L o s núaeros c a p i c ú a s d e c i n c o c i f r a s son de l a f o r a a
: a b c b a
con a . b y c
c ifra s . 1*)
El lu g a r d e l a c i f r a " a " l o pueden ocupar codas l a s c i f r a s nonos e l 0. P or c anc o , e l núnero de p o s i b i l i d a d e s de e l e c c i ó n de " a " e s 9.
2 °)
E l lu g a r d e l a c i f r a " b " l o pueden ocupar cod as l a s c i f r a s .
3“)
F in alm ente , e l l u g a r
P or canco, e l número de de
P or c anc o , e l número de
p o s i b i l i d a d e s de e l e c c i ó n de " b " e s 10 l a c i f r a " c " l o pueden ocupar to d a s l a s c i f r a s . p o s i b i l i d a d e s de e l e c c i ó n de " c " e s 10.
En c on se c u e n c ia : Número d e c a p ic ú a s ■ e l e c c i o n e s de a « e l e c c i o n e s de b « e l e c c i o n e s de c - 9 . 10 . 10 - 900
5 . 8 .
D e un t o t a l
un c o m i t é pueden
con
dos
Puede
2 °)
Un
3o )
Dos
y
fra n c e s e s tres
s ig u ie n te s al
c o m ité
no
fra n c é s al
se
form a
form a s
se
o
in g lé s .
c o m ité en
e l
c o m ité .
=
n)
E l número de
e l e c c i o n e s d i s t i n t a s de
b)
El número d e
e l e c c i o n e s d i s t i n t a s de t r e s i n g l e s e s
dos fra n ceses es
Número de c o m i t é s d i s t i n t o s a)
in g le s e s
cu án tas
pueden e s t a r
P or t a n t o ,
2*)
s ie te
:
p erten ecer
d e te rm in a d o s
y
in g le s e s .D e
casos
c u a lq u ie r
d e te rm in a d o d eb e
fra n c e s e s
S O L O C I O H 1*)
lo s
p erten ecer
in g lé s
c in c o
fra n c e s e s
a gru p a r en
1 °)
de
-
es
! ( 2) : ( 3)
✓s w 7 \ ( 2 J C 3J ” l 0 * 33 "
El número d e e l e c c i o n e s d i s t i n t a s de d o s f r a n c e s e s e s
350
1 0 , según hemos
v i s t o a rrib a . b ) El número d e e l e c c i o n e s d i s t i n t a s d e d o s i n g l e s e s , a l com ité , e s
ya que uno p e r t e n e c e
: ( 2)
P or t a n t o , Número d e c o m i t é s d i s t i n t o s 3*)
a)
E l número de
e le cc io n e s d is t in ta s de
-
( 9X
2/
10,1S “
dos fra n ceses es
150
: ( 2)
• PUPSl°
que d o s f r a n c e s e s d e te r m i n a d o s no pueden e s t a r en e l c o m i t é , b ) El número de e l e c c i o n e s d i s t i n t a s de t r e s i n g l e s e s e s 35 . ( V e r P or t a n t o , Número d e c o m i t é s d i s t i n t o s
e \ \ r 7\ ' - ( 3 J “ 3 - 3S “
1* ) .
105
o o o O o o o -----
5 .
9.
Un i n t e r r u p t o r
En un c u a d r o 4 do
e llo s
con
6
tie n e
dos
in te rru p to re s ,
:
p o s ic io n e s ¿decu á n ta s
A p ertu ra
form a s
cerrados?.
S O L U C I O N
y
Considerem os e l s i g u i e n t e esquema que m uestra l o s 6 i n t e r r u p t o r e s :
2
puedene s ta r
( JRV- V- 70)
:
1
c ie rre .
3
4
5
6
Una fo rm a de e s t a r 4 i n t e r r u p t o r e s c e r r a d o s puede s e r l a s i g u i e n t e
S e t r a t a , p u e s , de c o m b i n a c io n e s d e 6 e l e m e n t o s tomados d e 4 e n 4. Por tan to. Número d e p o s i c i o n e s d i f e r e n t e s
•
Q ) “
:
5 .
1 O .U n
e s tu d ia n te
tie n e
que
co n testa r
8 de
pregu n tas
10
de
un e x a m e n . I o)
¿C u á n tas
fo rm a s d i f e r e n t e s
de
co n testa r
tie n e ?
2o)
¿C u á n tas
fo rm a s d i f e r e n t e s
de
co n testa r
tie n e
s i
la s
tie n e
s i
de
m eras 3o )
p regu n tas fo rm a s
p rim e ra s
p regu n tas
S O L U C I O N I o)
Se
trata
de
le m e n to s
de
s ie te
Núm ero d e 3 o)
Veam os a)
tres
de
la s
5
E n ton ces
la s
otras
El
Por
4?.
por
tan to,
son
de co n testar
- (
c
co m b in a cio n e s d e
C D
o b lig a to ria s .d e b e
de
co n testar
s ig u ie n te s
“ ( 5)
=
f ~ ' ?
10 e -
e le g ir
"
la s
=
otras
c in c o
T
*
la s
resta n tes.
:
la s
puede e l e g i r
de
de co n testar
■ ( 3)
4 de
T
" ( 2)
fo rm a s d i f e r e n t e s la s
tres
3
núm ero d e
El
c in c o
p rim e ra s .
Ü H ! ) i i )
8.
p rim e ra s p re g u n ta s
C on testa
i)
10 p r e g u n t a s
dos p o s ib ilid a d e s
C on testa
con testa r
la s
en 8.
form as d i f e r e n t e s
la s
con testa r
resta n tes.
N úm ero d e b)
de
form as d i f e r e n t e s
la s
la s
ha
de
:
e le g ir
S ie n d o
p ri
o b lig a to ria s ? .
d ife re n te s
tom ad os d e 8
N úm ero d e 2°)
son
¿C u á n tas
tres
5
" ( 2)
"
p rim e ra s .
p o s ib ilid a d e s
de co n testar
4
de
la s
3
p rim e ra s e s
de co n testar
4 de
la s
5 ú ltim a s
:
5
núm ero d e
p o s ib ilid a d e s
«)-(?)•
*
tan to,
e le g ir
puede
la s
8
pregu n tas
en e s t e
caso d e
5 .3
es
a 25
:
fo r
m as d i f e r e n t e s . De a )
y
b)
Núm ero d e
se
sig u e
que
:
fo rm a s d i f e r e n t e s
de
- 1 0 + 2 5 - 3 5
co n testar
o o o O o o o -----
5 . 1 1 que se
son con
. Para 28
fic h a s ,
in flu y e n d o
tom ad os de N um ero
a l
h a lla r
d o m in ó
cu án tos
7 fic h a s ju e g o s
hacen
un j u e g o . S a b i e n d o
d ife re n te s
e lla s .
el
7 en
d e ju e g o s
pueden
hacer
IJRV-1/-9)
S O L U C I O N No
ju g a r
: orden
7.
de
la s
Por tan to
d ife re n te s
fic h a s .s e
trata
d e co m b in a cio n e s
d e 28
ele m en to s
,
a
(28^ \ j J
-
51
580
2 8 .2 7 .2 6 .2 5 .2 4 .2 3 .2 2 3 — 4~~ 3 — 6 — /
= ~ — J—
V .iJ .a .o .n
5,12. hay
tres
recta s
Dados n p u n tos en
que
lín e a ,
ni
re s u lta n
del
e s p a c io ,d e
cu atro
de
en
u n irlo s
en dos
(ca d a
recta
por dos
I o)
H a lla r
e l núm ero d e
recta s
que
d e te rm in a n l o s
n pu n tos.
2o)
Hallar
e l núm ero d e
p la n o s que
d e te rm in a n l o s
n pu ntos.
H a l l a r e l núm ero n ,
se ordenan
ú ltim o
con con
el
líq o n o ,c u y o s
que e l
n pu n tos,
tercero , p rim e ro
la d o s
lo s
el
núm ero d e
H a lla r
n para que
e l
e l
y
Se
al
p id e
núm ero d e p l a n o s
lo s
se
se
unen e l
tercero
r e s u lta
son
unen
H a lla r
una
con
segm en tos
lla m a n
e l
fig u ra
p rim e ro
se
c o n s id e :
íq u a l
con e l
cu a rto, oue
al
etc.
podem os
a n te rio re s ;lo s
segun ,
el
lla m a r dem ás
po
seg
d ia g o n a le s .
éstas. núm ero d e d i a g o n a l e s
sea
la d o s .
e l
d o b le
que e l
(PREUNIVERSITARIO)
S O L U C I O N 1" )
lo s
e l
m en tos q u e
de
para
se o b tie n en
un p l a n o ) .
de
de r e c ta .
d o ,é s te
5o)
p u n tos d e te rm in a n
la s
queda
tre s (tre s
Sí
p la n o s que
su p on e q u e no c o n s id e ra n
cada
4’ )
lo s
se
rar
núm ero
y
de dos
que
p la n o .S e
te rm in a d a
3o )
pu ntos)
lo s
un n i s m o
s
E l número d e r e c t a s ( y a que dos puncos dete rm inan una r e c t a y s o l o una) v i e n e dado p or e l número d e c om b in s c io n e s de n e le m e n t o s tomados d e dos en «lo s . P or t a n t o . N ú m e r o d«* r e c t a s
-
G )
n (n - 1) 5—
2o) E l número d e p l a n o s ( y a que t r e s puntos d e te rm in a n un p la n o y s o l o uno) v i e n e dado p or e l número de com binaciones de n e le m e n t o s tomados de t r e s en tres.
P or t o n t o ,
„(„-l)(n -2 )
-(3J .)
~ 2>
« e don de
4 * ) De cada v é r t i c e d e l p o l í g o n o s a l e n o p a r t e n
^ n - 5 n - 3 diagon a les
, ya que e s t e
forma d i a g o n a l e s con t o d o s l o s r e s t a n t e s menos con l o s dos a d y a c e n te s y e l nÍBm0,
n (n - 3) Número de d i a g o n a l e s ■ — - - ^
p u e s to que dos v é r t i c e s
d e te rm in a n una d i a g o n a l y a l c o n s i d e r a r l o s dos
v é r t i c e s l a contamos d o s v e c e s . 5 * ) L a c o n d i c i ó n d e l en u n c iad o s e tr a d u c e e n : " (n- j - -
-
2n
*-»
n
-
3
«
4
—
n - 7
5 . 1 3
.E l
c o n ju n to
¿C u á n tos e le m e n t o s S O L O C I O N Sea
tie n e
0
tie n e
:
x - C a rd (U )
, es d e c ir ,
\ X
R esolvien do
.
0?.
e l número d e e l e n e n t o s de U, e n to n c e s e l número de
su b c o n ju n to s de d o s e l e m e n t o s e s ( 2) "
28 s u b c o n j u n t o s d e d o s e l e m e n t o s
* (X '
esta
0
( * ) • P or t a n t o , "
28
ecuación s e
-
x (x
tie n e
- 1) -
:
56=»x2 - x -
56
- 0
x - 8 . L u e g o , C a r d (O ) = 8
o o o O o o o -----
5 . 1 4 a) b)
.U n
c o n ju n to
0
Número d e e l e m e n t o s
tie n e
64 s u b c o n j u n t o s .
Se
p id e
:
de O
Núm ero d e s u b c o n ju n t o s d e
0 ,l,2 ,...,n
e le m e n to s ,
s ie n d o
n el
núm ero d e e le m e n t o s d e U S O L O C I O N
:
Hemos v i s t o en e l c a p í t u l o a n t e r i o r que s i un c o n j u n t o t i e n e n e l e m e n t o s . e n to n c e s e l número de s u b c o n ju n to s e s a)
2°
- 64
■*
2n . P or t a n t o :
2 ° - 26
n ■> 6
L u e g o , C a rd (U ) - 6 b)
Su bconju n to s Su bconju n to s d e
de 0 e le m e n t o s : 1 1 e le m e n t o
:
( e l sub conju nto 0)
6
Su bconju n to s d e 2 e le m e n t o s : (
"
“ 77T~ "
Su bconju n to s d e
3e l e m e n t o s : ( 3 ) a
Su bconju n to s d e
4e le m e n t o s = ( 4 ) ’ ( 2 ) "
Su bconju n to s de
5e le m e n t o s : ( 5 ) “
Su bconju n to s d e
6 e le m e n t o s :
20
75 '
"* ^
1 o o o O o o o -----
5 . 1 5
, Un c o n j u n t o U
¿ C u á n tos e le m e n to s S O L U C I O N Se a x ■ C a rd (U )
PO tC * nt0'
tie n e
tie n e
10
s u b c o n ju n to s d e
3 e le m en to s .
U?.
:
, e n to n c e s e l número de sub conju nto s d e 3 e l e m e n t o s es
( » ) -
- f r - i l f ó - P
-
10
-
x ( x - l , ( x - 2 ) - 60
Como x d e be s e r un número n a t u r a l e l ú n ic o que cumple e s t a e c u a c i ó n e s Luego, C a rd (D ) - 5
x - 5.
5 . 1 6 5 fic h a s
. Se
de
modo q u e e n
na
s o la
en
a)
¿De
cada
cu á n ta s
tin g u ib le s b)
¿Y
s i
tie n e
son
c o lu m n a . m aneras
en tre
un
ta b le ro
cada Se
fi l a p id e
de
dam as
haya
una
de
s o la
5 por fic h a
5 y
y
se
c o lo c a n
ta m b ié n
u-
:
pueden c o lo c a r s e
s ie n d o
la s
fic h a s
in d is
s í? .
d is tin g u ib le s ? .
S O L O C I O H C o n s id e r e m o s e l
:
t a b l e r o de l a f i g u r a ad ju n ta.
Como d e b e h a b e r una f i c h a e n c a d a f i l a
y en
cada colu m na ,p o de m os c o l o c a r d e s d e e l p r i n c i p i o una f i c h a e n c a d a colum na y l u e g o permu ta r a)
l a s f i c h a s s e gú n l a s f i l a s . P or t a n t o . Número d e maneras d e c o l o c a c i ó n d e f i c h a s
b ) S i s on d i s t i n g u i b l e s 5* •
1. 2 . 3 . A . 5 -
- 5 ! *■ 1 . 2 . 3 . 4 . 5 -
120
l a s f i c h a s c a d a una d e l a s f o r m a s d e a ) d a l u g a r a
120
form a s d i s t i n t a s .
P o r tan to. Número d e maneras d e c o l o c a c i ó n d e f i c h a s - 5 ! .
5! -
120.1 2 0 -
14400
o o o O o o o -----
¿C u á n tos
p ro d u ctos
p ro d u cto
en tre
S O L O C I O H
a 12
a 13
a 14
a 21
a 22
a 23
a 24
a 31
3 32
a 33
a 34
a 41
a 42
a43
a 44
d is tin to s
un n ú m ero
de
se
pueden
cada
fi l a
fo rm a r y
uno d e
de
modo q u e
cada
en
cada
c o lu m n a ? .
:
Cada p r o d u c t o t i e n e c i n c o fila
all
f a c t o r e s y c ada uno d e l o s f a c t o r e s p e r t e n e c e a una
y a una colum na .
Son p r o d u c t o s d i s t i n t o s , p o r e j e m p l o , T e n i e n d o e n c u e n t a que s e v e r i f i c a
a n a 22a 33a44 * a l l a 24a 33a42 *
* **
l a p r o p i e d a d c o n m u t a t i v a , e s t a m o s en e l p r i
mer c a s o d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r . Por tan to. Número d e f a c t o r e s d i s t i n t o s - 4 ! - 1 . 2 . 3 . 4 - 24
5.18.Resolver S O L
O C I
la
siguiente
ecuación
: Pn
=
8 *p n _ i (JRV-V-i)
O
son l a s p e rm u tac io n e s d e n e le m e n t o s . Pn_ j son l a s p e rm u tac io n e s d e n-1 e le m e n t o s . E n to n c e s :
8 - Pn - l
n
O B SE R V AC IO N
«-»
n !
«=**
n
I u & u e l a o b ótA va cÁ ó n )
8 . (n -1 )!
. Por t a n to ,la solu ció n e s
n!
=
1 . 2 . 3 . 4 . 5 ..................( n - 3 ) ( n - 2 ) ( n - 1 ) n
(n -1 )!
=
1 . 2 . 3 . 4 . 5 ................. ( n - 3 ) ( n - 2 ) ( n - 1 )
:
n ■ 8
o o o O o o o ----
5 . 1 9 d ia n te s
y
•E n e l
un t o r n e o
de b a lo n c e s to
J u ven tu d d e
p a rtic ip a n
e l
M a d rid ,e l
B a d a lo n a .¿ D e c u á n ta s m aneras
E stu
pueden c l a s i
(JRV-I/-3)
fic a rs e ? . S O L U C I O N
:
E l número de c l a s i f i c a c i o n e s d i s t i n t a s v i e n e d ad o p or e l número de p e rm u ta c io nes d e l c o n j u n t o P or t a n t o :
( M a d r id , E s t u d i a n t e s , J u v e n t u d ) .
N(¡mero d e c l a s i f i c a c i o n e s - P 3 - 3 ! “ 6
S i designamos l o s e q u i p o s p or sus i n i c i a l e s , l a s d i s t i n t a s maneras de c l a s i f i c a r s e v i e n e n dadas en e l s i g u i e n t e diagram a en á r b o l : J
:
M- E - J
E
:
M- J - E
J
:
E - M - J
M
:
E - J - M
E
:
J - M - E
M
:
J - E - M
o o o O o o o -----
5 . 2 0 . co
¿De
cu á n ta s
fo rm a s
pueden c o l o c a r s e
4 a lu m n o s
en
un b a n
?. (J R V -V -U
S O L U C I O N
:
Se t r a t a d e p e rm u ta c io n e s de 4 e l e m e n t o s . P o r t a n t o , Número d e form a s d e c o l o c a r s e ■ P¿ -
4! = 1 .2 .3 .4
- 24
5 . 2 1 . guna
de
¿ C u á n to s e lla s ,
C a lc u la r
su
se
n ú m e ro s
pueden
de
c in c o
fo rm a r
con
c if r a s la s
que
s in
r e p it a
n in
0, 1 , 2,3,4?.
c if r a s
su m a.
S O L U C I O N
se
(JffV-V-lfl
:
a ) C á l c u l o d e l número d e números que s e pueden f o r m a r . Con l a s c i f r a s
0 , 1 , 2 , 3 , A s e pueden f o r m a r
*» 5 ! -
120 números, e s d e c i r ,
l o s números que s e o b t i e n e n perm utan do l a s c i n c o c i f r a s . De e s t o s
120 n ú m e ros , no t o d o s t i e n e n 5 c i f r a s , p u e s t o que l o s números que
com ie nzan p o r l a c i f r a 0 t i e n e n e n r e a l i d a d A c i f r a s . 1 ° ) Números que c o m ie n z a n p o r 0
:
120 : 5 - 2A 2 ° ) Números d e c i n c o c i f r a s 120 -
:
24 - 96
b ) C á l c u l o d e l e suma d e e s t o s 96 números d e c i n c o c i f r a s . 1")
Suma d e l a s u n i d a d e s : 2 4 .0 +
1 8 .1 +
1 8 .2 +
1 8 .3 +
18.A -
18(1 + 2 + 3 + 4 )
N ó t e s e que a l q u i t a r 2A números que e m p ie za n e n 0 , hemos q u i t a d o 2A números que t e r m i n a n : 6 e n 1 , 6 e n 2 , 6 e n 3 y 6 e n A 2o )
Suma
de la s decenas :
2A.0 + 3 *)
18.1 +
Suma
1 8 .2 +
1 8 .3 +
-
1 8 (1 + 2 + 3 + 4 )
-
18(1 + 2 + 3 + 4 )
•
1 8 (1 + 2 + 3 + 4 )
de la s centenas :
2 4 .0 ♦
18.1 ♦ 1 8 . 2 + 1 8 . 3 ♦
Suma
de lo s m illa r e s
4*)
18.A
2 4 . 0 ♦ 1 8 .1 ♦ 1 8 . 2 + 1 8 . 3 ♦
1 8 .4 : 1 8 .4
5 * ) Suma d e l a s d e c e n a s d e m i l l a r 2 4 .1 + 2 4 . 2 + 2 4 . 3 + 2 4 . 4 -
: 24(1 + 2 + 3 + 4 )
N ó t e s e que nin gú n número c o m ie n z a p or 0 2A p or 2 , 2A p o r 3
y h a y 2A que c om ie nzan p o r 1,
y 2A p o r A.
Sumando l o s números de l o s a p a r t a d o s u n t e r i o r e s s e t i e n e SUMA
-
1 8 (1
+2 +
3 + 4 ). 1
1 8 (1 +
2 + 3 ♦ 4 ) . 10
1 8 (1 ♦
2 +
+ +
1 8 (1 + 2 + 3 + 4 ) .
1000
2 4(1 + 2 + 3 + 4 ) .
10000
(I
-
1 0 (1 8 ♦ 180 +
-
+
3 + 4 ) . 100
-
+ 2 + 3 + 4 )(1 8 .1 ♦
2 599 980
1800 ♦
:
♦
1 8 .1 0 ♦ 1 8 .1 0 0 +
18000 ♦ 240000)
18.1 0 0 0 ♦ 2 4 .1 0 0 0 0 )
5 . 2 2
.C o n s id e re m o s
m u ta c io n e s
p o s ib le s
a)
¿Qué
p e rm u ta c ió n
b)
¿Qué
lu g a r
de
e s c rita s
la s
ocupa
ocupará
la
le tra s e l
en
orden
A ,B ,C ,D
lu g a r
a lfa b é tic o
y
to d a s
la s
per
e.
73?.
p e rm u ta c ió n
CDABE?
JRV-V-14 S O L O C I O H a)
:
Perm u tacion es que
em piezan p o r
A ,
A - - - -
( p u e s t o q u e d e t r i s d e A s e pueden c o l o c a r ,
: 24
perm u tá n d ola s,
la s cu atro le tr a s
re s ta n te s ). P e r m u t a c i o n e s que
em piezan p o r B ,
B
-
- - -
Perm u tacion es que
em piezan p o r C ,
C
-
- - -
L u ego,p or A .B y C
e m p i e z a n : 24
+ 24
L a p e r m u t a c i ó n 73 e m p e z a r á , p o r t a n t o ,
• 24 : 24
+ 24 «
72
por la l e t r a
D y será
:
D A B C E PPeerrm muuttaacciioonneess q u e eem mppiieezzaann p or or
b)
A
,
A
- - - -
: 24
P e r m u t a c i o n e s q u e e m p ie z a n p or
B ,
B ------
P e r m u t a c i o n e s q u e e m p ie z a n p or
C A,
C A ---------
:
6
P e r m u t a c i o n e s que e m p ie z a n p or
CB,
CB
:
6
:
1
. C D A B E
La p e rm u ta c ió n s i g u i e n t e es
Por tan to,
:
l a p e r m u t a c i ó n CDABE ocupa e l
lu g a r
24
: 61
o o o O o o o ------
5 . 2 3 AB C D E F G por
.C o lo c a d a s ,
se
desea
en
saber
orden e l
a lfa b é tic o
lu g a r
que
ocupa
"C G A D B E F ".
S O L U C I O N
to d a s la
la s
p e rm u ta c io n e s
p e rm u ta c ió n
dada
( PREUNIVERSITARIO] :
-
Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie za n p o r A
> A --------------
Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie z a n p o r B
♦ B -------------- ■ -
■
-
720
6 ! ■
720
B 120
Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie z a n p or CA
>
Número d e p e r m u t a c i o n e s q u e e m p ie za n p or CB
* C B -------- ---- -
=
5!
120
Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie za n p or CD
> C D -------- -- ■ -
-
5!
120
Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie za n p or CE
C E -------- -- - -
-
5!
** 120
Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie za n p or CF
9 C F -------- --. _ 9 C G A B - -
-
3 ! ■
Número d e p e r m u t a c i o n e s que e m p ie za n p or CGAB
120
T ota l La s i g u i e n t e p erm u tació n e s p re c is a m e n te ocupará , por ta n to
de
, el
lu g a r
2047.
la p ed id a , e s d e c i r ,
-
6
2046
C G A D B E F ,
y
5 . 2 4 . das
la s
¿C u á n tas o r d e n a c io n e s d i f e r e n t e s
le tr a s
de
la
p a la b ra
pueden
fo rm a rs e con
to
PERM UTACIO N?.
¿ C u á n ta s e m p ie za n p o r P ? . ¿C u á n tas
e m p ie za n
S O L U C I O N a)
p o r PER?.
(J R IM M 3 )
:
Las o rd e n a cio n e s d i f e r e n t e s p a l a b r a PERMUTACION
que s e pueden fo rm a r con t o d a s
son la s
p e r m u t a c io n e s de e s t a s
N ú m e ro d e o r d e n a c i o n e s d i f e r e n t e s -
P ^
=
1 1 1 -
la s
letra s .
11
letra s Por
de
tanto
la ,
1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .1 0 .1 1
. 39916800 b ) ¿Cuántas empiezan p or P?. L a s p a la b r a s que com ien zan p o r P son d e
la
P
-
y se o b tie n en
-
-
-
perm utando l a s
-
-
-
le tra s
fo rm a
-
-
resta n tes
-
(in d ica d a s por
Num ero d e o r d e n a c i o n e s q u e c o m ie n z a p o r P ■ P j q
-
tra zo s ).
10 !
- 1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .1 0 . 3628800 c)
¿Cuántas empiezan por PER?. Las p a l a b r a s que comienzan p or PER son d e l forma PER
-
- -
- -
- -
-
y s e o b t ie n e n permutando l a s l e t r a s r e s t a n t e s ( i n d i c a d a s por t r a z o s ) . N ú m e ro d e o r d e n a c i o n e s q u e c o m i e n z a n p o r PER «
Pg -
8 !
-
1. 2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .
= 40320
con
la s
c ifra s
re p e tir
núm eros d e 2,3,4,5
c in c o
y 6 que
c ifra s
d is tin to s
sean m enores
pueden
65000,
n o p u d ié
(SELECT1V1VAV - f 976]
n in gu n o ? .
S O L U C I O N
de
form a
l»1
se
dose
¿C u á n tos
ID
o o o O o o o -----
5 . 2 5 .
:
Es e v i d e n t e que s e t r a t a de perm utac iones de 5 e l e m e n t o s , p u e s to que solamente hay c i n c o c i f r a s y deben e n t r a r en l a formación d e l número l a s c i n c o ya que no se rep iten . a)
Núm eros d i f e r e n t e s
b)
De e s t o s
que s e pueden
120 n ú m e r o s n o c u m p l e n
fo rm a r ■ la
co n d ic ió n
Núm eros q u e e m p i e z a n p o r 6 5 : 6 5 p u e s to q u e en
lo s
tres
trazos
■
---------
■
Núm eros m e n o re s q u e 65000
-
1 .2 .3 .4 .5
lo s ’ que
3 1 -1 .2 .3
120
-
6
-
114.
-
120
son m a y o r e s q u e 65000. “
6
,
podemos c o l o c a r l o s nú m eros 2 , 3
n eras d ife r e n te s . c)
5* ■
y 4 de
6 ma
5 . 2 6 lo s
. U s a n d o un d i a g r a m a d e á r b o l h a l l a r
e le m e n to s
a)
con
b)
s in
m ,n ,p ,q
re p e tic ió n
la s
v a ria c io n e s
de
de dos en dos:
r
re p e tic ió n .
S O L O C I O B a)
tom ados
(J W -V -5 1
:
V a r ia c io n e s con rep e
b)
ic ió n .
V a ria cio n es s in
re p e tic ió n
■- P m-q n-B n-n n-p n-q
P '-° p-n P-P p-q
q -«
El
q-n
nS»ero d e va ria c io n e s
es
q- p
4Í3 -
sin
rep etició n
12
q-q E l número d e v a r i a c i o n e s c ió n es 4 .4
= 42 -
con r e p e t i
16.
o o o O o o o -----
5.2 7. c ifra s te
¿ C u á n to s núm eros d e 9 c i f r a s
1 ,2 ,4 ,6
s a b ie n d o qu e e l
2 se
s e pueden e s c r i b i r
re p ite
3 veces
4 veces?.
lo s
cu a le s e l
Por
tanto,
con
6 se
la s repí
: p ed id os s e r á d e l a
Es e v id e n t e que s e t r a t a lo s
el
(J R R -V -19 )
S O L U C I O » Un n ú m e r o d e
y
2 se re p ite
de
la s
fo rm a s i g u i e n t e :
1 2 2 2 4 6 6 6 6
p e rm u tacion es c o n r e p e t i c i ó n
3 veces y
el
6
se r e p i t e
............................................................................ 9 ! Nu m e ro d e n ú m e r o s d i f e r e n t e s - - y ^ T
d e 9 e le m e n t o s de
4 veces. 1 . 2 .3 . 4 . 5 . 6 .7 .8 .9
-
1 7 7 X 0 7 5 7 5--------
2520
5 . 2 8 fo rm a rs e
.¿ C u á n t o s con
lo s
n ú m e ro s
a)
S in
r e p e tic ió n
b)
Con
r e p e tic ió n .
S O L D C I Q H
p ro d u c to s
d if e r e n t e s
de
c u a tro
fa c to re s
pueden
3 ,5 ,7 ,9 ? .
(JtP - IM O )
:
a ) Con l o s números 3 , 5 , 7 y 9
sola m ente s e puede form a r e l p rod ucto 3 . 5 . 7 . 9
p uesto que l o s que s e o b t i e n e n permutando e s t o s
números son i g u a l e s por
l a p ro p ie d ad con mutativa d e l p ro d uc to. b) E l número de pro d u c tos d i f e r e n t e s que s e pueden formar con l o s números 3 , 5 , 7 , 9 . r e p i t i é n d o l o s , e s i g u a l a l número de com binac iones c on r e p e t i c i ó n d e A elem entos tomados de A en 4 . P or t a n t o : número d e pro d u c tos d i f e r e n t e s • CR¿ ¿
°
¿ + ¿
*)
'
( ! )
* ( j ) *
^
OTIO METODO; 1)
Pro d u c tos d i f e r e n t e s r e p i t i e n d o A v e c e s cada número : 3 .3.3 .3
;
5 .5 .5 .5
;
Número de pro ductos 2)
7 .7.7 .7
; 9.9.9.9
- A
Pro ductos d i f e r e n t e s r e p i t i e n d o 3 v e c e s cada número : 3 3 i 5 7 ; 7 .7 .7 . J 5 ; 9 .9 .9 . { 3.3.3. j 7 ; 5.5.5. 9 9 ( 9 f
3 5 7
Número de pro d u c tos ■ A . 3 = 12 3)
Pro d u c tos d i f e r e n t e s r e p i t i e n d o 2 v e c e s cada número. Consideremos que s e r e p i t e n l o s dos p rim e ro s f a c t o r e s , en to n c e s l o s dos ú lt im o s s e pueden e l e g i r de l o s t r e s números r e s t a n t e s y e l número de po s ib ilid a d e s es
Cj j
^
Números d e pro d u c tos ■ A . 3 ■ 12 A)
Pro d u c tos d i f e r e n t e s r e p i t i e n d o l o s dos p rim e ro s f a c t o r e s 3 .3 .5 .5
; 3 .3.7 .7
;
3 .3.9 .9
; 5 .5.7 .7
;
Número d e pro ductos - 6 5)
Pro ductos d i f e r e n t e s s in r e p e t i r ningún f a c t o r . Número de pro d u c tos ■ 1
Sumando se t i e n e :
(E s e l ap artad o
A + 12 + 12 + 6 + 1 - 35
o o o O o o o -----
a ))
y l o s dos ú ltim o s .
5 . 5 . 9 . 9 ;7 . 7 . 9 . 9
5 . 2 9 -
con
la s
c ifra s
y
9
1 *)
¿C u á n tos
2 °)
H a lla r
la
suma d e t o d o s
e llo s
3 °)
H a lla r
la
sum a d e
lo s
S
O L
I*)
ü
Si
C
I
núm eros d e
6 ,7 ,8
O
6 c ifra s
to d o s
:
pueden
que
fo rm a rs e ? .
te rm in a n
H :
6.
(PREUNIVERSITARIO!
A - (6 ,7 ,8 ,9 }
elem en tos de
en
e n t o n c e s l o s números de 6 c i f r a s v i e n e n d a d o s p o r l o s
A «A > A«A < A"A.
Su número e s :
4 « 4
k
4
x
4
x
4»4
■ 4096
E s te número e s tam b ié n e l d e v a r i a c i o n e s c on r e p e t i c i ó n d e c u a t r o e le m e n t o s tomados d e s e i s e n s e i s . 2*)
En e s t o s 4096 números e n t r a r á n i g u a l número d e v e c e s c ada c i f r a , el
tan to *
l u g a r de l a u n id a d e s , como d e l a d e c e n a s , c e n t e n a s o m i l l a r e s .
t a n t o , hay
SUMA -
4096 : 4 = 1024
números q u e
te r m in a n e n 6
1024
números q u e
te r m in a n e n 7
1024
números q u e
te r m in a n e n 8
1024
números q u e
te r m in a n e n 9
1 0 24(6 + 7 + 8 + 9 ) . 1
, suma d e u n id a d e s
♦
1024(6 + 7 + 8 + 9 ) . 1 0
, suma de d ecen as
+
1024(6 + 7 + 8 + 9 ) . 1 0 0
+
, suma de c e n te n a s
1 0 2 4 (6 + 7 + 8 + 9 ) . 1 0 0 0
+
, suma de m i l l a r e s
10 24(6 + 7 + 8 + 9 ) . 1 0 0 0 0
+
, suma de d e c e n a s d e m i l l a r , suma d e c e n t e n a s d e m i l l a r
10 24(6 + 7 + 8 + 9 ). 1 0 0 0 0 0 -
1 0 24(6 + 7 + 8 + 9 ) ( I ♦
-
1024 . 30 .
P or
10 ♦
100 ♦ 1000 + 10000 + 100000)
lililí
- 3 413 329 920 3*)
Hemos v i s t o que l o s números que te r m in a n en 6 s on 1024. En l o s
lu g a res de l a decen as, c e n te n o s , e t c
6 , 7 , 8 y 9 . Su número e s
SUMA -
la s c i f r a s
: 1024 : 4 - 256
1024.6
+
2 5 6 (6 +
7
+8+
9 ).1 0
2 5 6 (6 +
7
+8+
9 ).1 0 0
2 5 6 (6 +
7
♦ 8+
9 ).10 0 0
256(6 +
7
+8+
9).10 0 0 0
256(6 +
7
+ 8+
9 ). 1 0 0 0 0 0
suma de l a s u n id a d e s
- 256(6 +
7
+ 8♦
- 2 5 6. 30 .111110 - 853 330 944
en trarán por ig u a l
+
suma de l a s d e c e n a s ♦
suma de l a s c e n t e n a s ♦
suma de l o s m i l l a r e s ♦
suma de l a s d e c e n a s d e m i l l a r suma d e l a s c e n t e n a s d e m i l l a r
9 ) ( 1 0 + 1 0 0 * 1000 ♦ 10000 + 1 0 0 0 0 0 ) + + 1024.6
1024.6
5 . 3 0 . m ero a
P erm u tan d o d e
111223
se
form a n
to d o s
lo s
d is tin to s
m odos
p o s ib le s
núm eros q u e
la s
c ifra s
ordenarem os
de
del
ni
m enor
m ayor.
I o)
¿C u á n tos
2o)
¿Qué
S O L I o)
núm eros
re s u lta n ?
núm ero o cu p a
D C I
O N
e l
lu g a r
50 e n
esa
o rd e n a c ió n ? .
:
(PREUNIVERSITARIO)
L o s números d i s t i n t o s que s e pueden f o r m a r s on l o s p e r m u t a c io n e s c on r e p e t i c i ó n d e 6 e l e m e n t o s d e l o s c u a l e s uno s e r e p i t e 3 v e c e s y o t r o d o s v e c e í Por ta n to , Números d i f e r e n t e s
2 o)
=
«3 ,2 .1 P6
-
60
61 3i.2l.li
-
"
1 .2 .3 .4 .5 .6 1 .2 .3 .l\ ? .l
a ) Números que em piezan p o r 1 F ija
l a p r i m e r a c i f r a , quedan :
t e s q u e s e pueden f o r m a r e s : „2 ,2 5! 5
b)
5TT5T
11223
y e l número de números d i f e r e n
1 .2 .3 .A .5 n
r
a
_ 30
Números que e m p ie za n p o r 2. F i j a en e l prim er l u g a r l a c i f r a
2 , quedan : 11123 y e l número d e núme
r o s d i f e r e n t e s que s e pueden f o r m a r e s :
p3, l f I
B
4 ? "
" 20
P or t a n t o , e l número que ocupa e l l u g a r 50 ros.
es d e cir
e s e l ú l t i m o d e e s t o s 20 núme
, 232111 o o o O o o o -----
5 . 3 1
.E n
s e s .S a le n ¿De
de
cu án tas
la
lo s
de
hay uno
d is tin ta s
cu atro
4 c o n e jo s en
pueden
c o n e jo s
b la n c o s
y
cu atro
c o n e jo s
g r i
uno. h a c e r lo ? .
b la n c o s
y
lo s
(S e
c o n s id e ra n
cu atro
c o n e jo s
in g ri-
.
S O L O C I O N
:
S i to do s l o s c o n ejo s se ría 8! es
ja u la
ja u la
m aneras
d is tin g u ib le s 0
una
f u e r a n d i s t i n t o s e l número d e form a s d e s a l i r de l a j a u l a
. Como h a y A c o n e j o s b l a n c o s y c u a t r o c o n e j o s g r i s e s i n d i s t i n g u i b l e s ,
e v i d e n t e que s e t r a t a d e p e r m u t a c i o n e s con r e p e t i c i ó n d e 8 e l e m e n t o s de l o s
c u a l e s s e r e p i t e n A y A. Por tan to
, 8!
1 .2 .3 .A . 5 .6 .7 .8
5 .
3 2 .
s ig n a n
por
que van pueden la s
de
Las c a lle s
de
1 ,2 ,3 ,—
la s
W a
E,
s e g u irs e
c a lle s
una c i u d a d que
¿cu á n tos
para
ir
van de
ca m in o s
del
fo rm a n una c u a d r i c u l a . S i
cru ce
N a
S y por
d is tin to s de
la s
de
c a lle s
lo n g itu d A- -1 a l
D -7?.
S O L O C I O H
la s
m ín im a
cru ce
de
: D-7
A • -* i 0 -*
I
hay que r e c o r r e r :
2
-
t r e s manzanas de W a E , y
-
s e i s manzanas de N a S.
i 3
E l número t o t a l de cam in os e s , p o r t a n t o ,
0
4
0
-» -*
l 5
0
S i formamos l a s p e rm u tac io n e s c on r e p e t i 6
t r o s 3 i g u a l e s también e n t r e s £ , en to n c e s
s e g u i r d e A - l a D-7. -
0
-*
i
suponemos que 6 s on i g u a l e s e n t r e s i y 0 -
cada perm uta ción no s i n d i c a un camino
-*
l
e l e m e n t o s , d e l o s c u a le s
8 0
C -•
0
i 0
-»
-» 1 O -• i 0 i 0
0
1
7
0
S
0
-»
0
-*
* O -* i 0 -♦ 1 0 -* 1 O -* 1 0 -* 1 0 -*
*
1
q
6 + 3 = 9
de
(J R I7 -V -I i
Para pasar d e l cru ce A - l a l cru ce
ció n
A,B,C,...
se
-»
0
0
V
E
0
0
i O i
0
0
0
1 0
0
i O l
O
0
0
1 •
0
O
O
a
Un c a m i n o . p o r e j e m p l o , e s : -*
\
o b ien , P or t a n t o . Número de caminos d i s t i n t o s ■
91 6 s. 3 j
1. 2 .3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 .9
1.2.3.4.5'.T7Í.T.T
84
o o o O o o o -----
5 . 3 3 con
la s
.¿ C u á n to s c ifra s
nú m eros m a y o re s q u e un m i l l ó n
pueden e s c r i b i r s e
0,2,2,3,3,3,47. (PREUNIVERSITARIO)
S O L O C I O H
:
a ) Los números d i s t i n t o s que s e pueden f o r m a r s e o b t i e n e n h a l l a n d o l a s permuta c i o n e s con r e p e t i c i ó n de 7 e le m e n t o s d e l o s c u a l e s uno s e r e p i t e 2 v e c e s y o tro tres. Número d e números d i f e r e n t e s
-
p j ’ 2’ 3' 1
-
"2! ]j!
*
1 \
- 420
b ) L o s números que comienzan p o r l a c i f r a 0 son menores que un m i l l ó n , p or ta n t o no s e deben c o n s i d e r a r . E l número d e números que comienzan p or 0
es :
420 : 7 - 60
De a ) y b ) s e s i g u e que : Números d i f e r e n t e s m ayores que un m i l l ó n ■ 420 - 60 ■ 360
5 . 3 4 . I o)
La
2 o)
La
D em ostrar
sum a
r ia s
es
sum a
n a ria s
de
lo s
q u e ,d a d a s núm eros
m ú ltip lo de con
lo s
tre s
c if r a s
a ,b ,c
:
o b te n id o s
fo rm á n d o la s
o b te n id o s
fo rm a n d o
v a ria c io n e s
b in a
22.
de
núm eros
re p e tic ió n
es
m ú ltip lo
d e
la s
v a ria c io n e s
te r
37.
{PREUNIVERSITARIO) S O L U C I O N I o)
:
Las v a r i a c i o n e s b i n a r i a s d e t r e s e l e m e n t o s son :
^ = 3.2 * 6
También s e pueden o b t e n e r d i r e c t a m e n t e y son : ab
, a c
,
b a , c a , b c , c b
L a suma d e e s t o s números e s : SUMA -
(a
+ b+
c ).2
(a +
b + c ) .2 .1 0
+
, suma d e l a s un id ades ,
-
(a
+ b+
c ) ( 2 + 20)
-
(a
+ b+
c ) .2 2
suma d e l a s d ecen as
l u e g o , l a suma e s un m ú l t i p l o de 22. 2o )
Las v a r i a c i o n e s t e r n a r i a s de t r e s e l e m e n t o s tomados d e t r e s en t r e s s on : VR. _ B 3 . 3 . 3 - 27 JfJ En e s t o s 27 números . l a s c i f r a s a , b , c s e r e p i t e n en e l
l u g a r d e l a s u n i d a d e s , como de
SUMA
- 9 (a + b + c ) . l
, suma +
9 (a + b + c ).1 0 0 -
9 (a + b + c ) ( l
+ 10 +
■ 999(a + b + c )
-
v eces tan to
la decenas y cen ten a s.
+
9 ( a + b + c ) .10
27 : 3 - 9
de l a s
un idades
, suma d e l a s
d ecen as
, suma
c e ntena s
de l a s
100)
37 . 2 7 ( a
+
b +
c)
•*
37 d i v i d e a l a SUMA.
o o o O o o o ------
5 . 3 5 . modo dos
que
Con e l
ve ce s.
1
la s se
re p ita
H a lla r
S O L U C I O N
c if r a s
1 ,2 3
cu án tos
y
5 fo rm a m o s
ve ce s,
e l
núm eros
2
se
núm eros re p ita
4
de
9 c ifra s
veces
y e l
de c in c o
1RV-V-I7)
hay.
:
Es e v i d e n t e que s e t r a t a de p e rm u ta c io n e s con r e p e t i c i ó n d e 9 e l e m e n t o s e n t r e l o s que hay uno que s e r e p i t e t r e s v e c e s
, o t r o que s e r e p i t e 4 v e c e s y un t e r
c e r o que s e r e p i t e d o s v e c e s . Por tan to : -3 ,4,2
9
_
9!
‘ j T . i 'r a i '
_
1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 _
“
1 .2 .3 .1 .2 .3 .4 .1 .2
L u e g o , s e pueden f o r m a r 1260 números d i f e r e n t e s .
1260
5 . 3 6 c iu d a d la s
.H a lla r
p ara
m ism a s
de
28)
que
núm ero
sea
m ín im o
in e v ita b le
in ic ia le s
de
su
de
que
nom bre
h a b ita n te s
a l y
m enos
dos
dos
que
debe
te n e r
h a b ita n te s
a p e llid o s
(con
un
una
tengan a lfa b e to
[SELECTÍV1VAD
..
S O L O C I O H Sean
e l
-
1976)
:
X . Y , 7. l a s i n i c i a l e s d e l nombre y d o s a p e l l i d o s d e un h a b i t a n t e c u a l q u i e r a .
Vamos a
c a l c u l a r e l número d e t e r n a s p o s i b l e s c on l a s 28 l e t r a s d e l a l f a b e t o ,
r e p e t i d a s o no. Se t r a t a , p o r t a n t o , d e l a s v a r i a c i o n e s c on r e p e t i c i ó n d e 28 e l e m e n t o s tomados de t r e s en t r e s .
Su número e s : .
VR28 3
-
2 8 . 2 8 . 2 8 - 283 - 21 952
S i a s oc iam os a c ada t e m a una s o l a p e r s o n a , e s t a r e m o s s e g u r o s q u e nin gu no d e o lío s
r e p i t e n l a s mismas i n i c i a l e s de su nombre y d o s a p e l l i d o s . L u e g o , s i a ñ a d i
mos o t r a p e r s o n a , t e n d r á n e c e s a r i a m e n t e que c o i n c i d i r d i c h a s i n i c i a l e s c on a l guna d e l a s t e r n a s . P o r t a n t o , e l número mínimo d e i n d i v i d u o s s e r á n
-
:
21 952 ♦ 1 • 21 953
o o o O o o o -----
5 . 3 7 . den
p asar
tom an sa r
En tre s
p a rte
lo s
un
coches
c in c o
coches
c ir c u it o ,e n
p o r
a
la
v e z,
c o c h e s .¿ D e e l
e l
c ita d o
que se
p o r
d e te rm in a d o
c e le b ra
cu án tas
una
m aneras
pun to
c a rre ra
d is t in t a s
en
s o lo
la
podrán
pue
que pa
p un to?.
( PREUNIVERSITARIO)
S O L O C I O H
:
Cono e l núnero máximo d e c o c h e s que pueden p a s a r p o r un d e te r m in a d o p u n to e s 3, é s t o s pueden h a c e r l o d e uno e n uno , d e d o s e n dos y d e t r e s e n t r e s . a ) S i pasan de uno d e uno s e t i e n e que : Número d e form a s d i s t i n t a s * ( j )
= 5
b ) S i pasan de d o s e n d o s s e t i e n e que : Número de form a s d i s t i n t a s c)
“
10
S i pasan de t r e s e n t r e s s e t i e n e que : Número d e form a s d i s t i n t a s ■
*
10
Por tan to. Número t o t a l d e forma s d i f e r e n t e s - 5 +
10 + 10 »
25
ALGEBRA DE SUCESOS en e l q u e ¿ e d u a A A o lla rx ¿ a ¿ ¿ i g i U e n l t ó m t e A l a ¿ :
1. E X P E R I M E N T O A L E A T O R I O 2. S U C E S O S 3. O P E R A C I O N E S C O N S U C E S O S l\. S U C E S O S C O N T R A R I O S 5. A L G E B R A DE B O O L E DE L O S S U C E S O S
6.1. de S
lo s O
L
E n ú n c ie s e
s ig u ie n t e s O
C
I
O
H
un
e x p e r im e n to
cam pos
:
a le a t o r io
a s o c ia d o
a
cada
uno
S o c io lo g ía ,in g e n ie r ía ,t r á fic o .
:
.(J R V -V I -Í )
a) S o cio lo g ía : E l e x p e r i m e n t o c o n s i s t e e n p r e g u n t a r en c l a s e a c ada uno d e l o s alumnos p o r su c a n t a n t e p r e f e r i d o . b)
In g en ie ría : El e x p e r i m e n t o c o n s i s t e e n a n o t a r l a r e s i s t e n c i a d e 10 v i g u e t a s d e hormigón e l e g i d a s en 10 c a s a s en c o n s t r u c c i ó n .
c ) T rá fic o
:
E l e x p e r i m e n t o c o n s i s t e en a n o t a r e l número d e a c c i d e n t e s m o r t a l e s cada semana d u r a n t e un año. o o o O o o o ----
6. de S
2.
lo s O
L
E n ú n c ie s e
s ig u ie n t e s O
C
I
O
H
cam pos
un :
e x p e r im e n to E c o n o m ía
,
a le a t o r io m e d ic in a
a s o c ia d o ,
a
cada
uno
p e d a g o g ía .
=
U W - W - t l
a) Economía : E l e x p e r i m e n t o c o n s i s t e e n a n o t a r l a s v a r i a c i o n e s d e l a b o l s a d u r a n t e un mes Es e v i d e n t e que e s t e e x p e r i m e n t o e s a l e a t o r i o . b ) M e d ic i n a : E l e x p e r i m e n t o c o n s i s t e e n e s t u d i a r e l c o m p o r ta m ien to d e una m e d i c i n a e n 100 e n fe rm o s . c)
Pedagogía : Un e x p e r i m e n t o a l e a t o r i o e s e l que c o n s i s t e en v e r l a s n o t a s de una c l a s e e n l a a s i g n a t u r a d e M atem áticas d u r a n t e un año.
o o o O o o o ----
6 . 3 .
¿ S a b ría s
e n u n c ia r
a lg ú n
t ip o
de
e x p e rim e n to
a le a to rio ? . S
O
L
O
C
I
que
no
fu e se
(JR I/-I/I-3) O
H
:
No s on e x p e r im e n t o s a l e a t o r i o s , p o r e j e m p l o , l o s s i g u i e n t e s
:
a) E l c á l c u l o d e l a v e l o c i d a d d e c a í d a de un c u e rp o e n e l v a c í o c ada segundo. b ) La r e a c c i ó n d e l á c i d o s u l f ú r i c o c on e l h i e r r o c)
E l e x p e r i m e n t o c o n s i s t e n t e en l a n z a r una moneda de dos c a r a 9 i g u a l e s y ano t a r su r e s u l t a d o .
d ) Tampoco e s a l e a t o r i o e l dar una l l a v e d e l u z y v e r e l r e s u l t a d o .
0. 4. neda
y
Se
c o n s id e ra
an otar
la
cara
e l
s u p e rio r.
a)
E l e s p a c io
m u e s tra l.
b)
El
de
e s p a c io
e x p e rim e n to Se
c o n s is te n te
p id e
en
la n z a r
u n a mo
:
sucesos.
S O L O C I O H
:
a ) S i E d esign a e l e s p a c io m u e s tra l,s e t i e n e
:
E - ÍC .X )
, indican do p o r
C
cara y por X cru z. b) S i S d e s i g n a e l e s p a c i o d e s u c e s o s , s e t i e n e : S »
{0
. {c },(x j,{c ,x }}
o o o O o o o -----
0 . 5 do
de
Se
p id e
. Se c o n s id e ra
q u in ie la s
al
a ire
e l
e x p e rim e n to
y an otar
e l
c o n s is te n te
re s u lta d o
de
en la
la n z a r cara
un da
s u p e rio r.
:
a)
E s p a c io
m u estral
b)
E s p a c io
de
,
sucesos
S O L O C I O H
:
a ) S i E design a e l e s p a c io m uestral , s e t i e n e
:
b ) S i S d e s i g n a e l e s p a c i o de s u c e s o s , s e t i e n e
E - (l
, X , 2)
:
S - (0 , ( 1 } , ( X ) , { 2 ) , { 1 , l ) , ( l , 2 ) , { X , 2 ) , { l , X , 2 } }
o o o O o o o -----
0 . 0 .
Se
do
y an otar
a)
E s p a c io
b) c) d) S
O
c o n s id e ra e l
e l
núm ero q u e
e x p e rim e n to aparece
en
m u e stra ld e l
e x p e rim e n to
Elsuceso
" s a c a r un
núm ero p a r " .
E l suceso
" s a c a r un
núm ero p r im o "
E l suceso
" s a c a r un m ú l t i p l o
L
O
C
I
O
H
de
c o n s is te n te la
cara
en
la n z a r
s u p e rio r.
Se
un d a
p id e
:
3 ".
:
a)
Si
E
d e sig n a e l e s p a c io m uestral s e t i e n e
b)
Si
A
ese l suceso
"sacar
un
número
par"
c)
Si
B
ese l suceso
"sacar
un
número
p r i m o " , e n to n c e s B ■ ( 2 , 3 , 5 }
d)
Si
C
ese l suceso
"sacar
un
número
m ú l t i p l o d e 3 " ,e n t o n c e s
o o o O o o o -----
: E ■ O ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ) , e n to n c e s A ■ { 2 , 4 , 6 }
C ■ {3 ,6
6 . a l
~e
a ir e
y
c o n s id e r a a n o ta r
Se
p id e
a)
E l
e s p a c io
m u e s tr a l,
b)
E l
e s p a c io
de
lo s
e x p e r im e n to
r e s u lt a d o s
sucesos
y
su
la s
dos
en
caras
la n z a r
d o s mo
s u p e r io r e s .
n ú m e ro .
:
L o s r e s u l t a d o s p o s i b l e s s on :
Cara y Cara
que indic aremos por CC
Cara y Cruz
que
por CX
Cruz y Cara
que indicaremos por XC
Cruz y Cruz
que indicaremos por XX
en to n c e s e l e s p a c i o n u e s t r a l e s : b)
de
c o n s is t e n t e
:
S O L U C I O N
a)
e l
E s 1n
nedas
7.
E - (CC,CX,XC,XX)
S i designamos p or S e l e s p a c i o d e sucesos , s e t i e n e :
s = { 0 ,{cc},{cx),{xc),(xx}, {cc,cx},{cc,cx},{cc,xx},{cx,xc),{cx,xx},{xctxx} {cc,cx,xc},{cc,cx,xx},f c c . x c . x x ) ,fcx,xc,xx} {cc,cx,xc,xx}} 4 E l número de sucesos e s 2
-
16. o o o O o o o ----
6 . 8 . dados rá n
y
C o n s id e r e m o s ve r
lo s
c o m p u e s to s
e l
e x p e r im e n to
p u n to s .D e c ir lo s
sucesos p u n to s)
a)
A
=
(s u m a r 10
b)
B
=
(s u m a r 6 p u n t o s )
c)
C
=
(s u m a r 11 p u n t o s )
S O L O C I O M
por
que
c u á n to s
s ig u ie n t e s
c o n s is te sucesos
en
la n z a r
e le m e n ta le s
dos e s ta
:
(JR V - V I- 5 )
:
E l e s p a c i o m u e stral v i e n e dado p or 36 r e s u l t a d o s p o s i b l e s : E - ( 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 ............. ind ican do p or
11, 12, . . .
etc
e l segundo, 1 en e l p rim e ro
6 1 ,6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 , 6 6 )
e l r e s u l t a d o de s a c a r 1 en e l p rim e r y 2 e n e l segundo , . . .
dado y 1 en
etc.
Los sucesos e le m e n t a le s s on l o s e le m e n t o s d e l e s p a c i o m u e s t r a l. Los sucesos A, B y C son sucesos compuestos.Veamos d e quf? sucesos e l e m e n t a l e s . a)
A - (6 4 , 55 , 4 6 )
y a que l a suma de l o s puntos o b t e n id o s por l o s dados
b)
B•
(51
, 42 , 33 , 24, 15 )
c)
C■
(6 5
, 56)
e s 10 , l a suma,en e s t e c a s o . d e l o s puntos e s 6
, l a suma d e be s e r a q u í 11.
6 - 9 . a rro ja r s ia n o
In terp réten se dos
de
dos
dados
a l
lo s
a z a r,a
re s u lta d o s
que
p a r t ir
con cepto
d e l
se
pueden
produ cto
[SELECTIVIDAD
co n ju n to s.
S O L O C I O B
de
o rig in a r
a l
c a rte -
1976)
:
L o s r e s u l t a d o s de t i r a r d o s dados s on : E - {
11
, 12 , 13
, 14
, 15 , 16
21
, 22 , 23
, 24
, 25 , 26
31
. 32 , 33
, 34
, 35 , 36
41
, 42 , 43
, 44
, 45 , 46
51
. 52 , 53
. 54
, 55 , 56
61
, 62 . 63
, 64
, 65 , 66 }
d o n d e , l a p r i n e r a c i f r a i n d i c a e l r e s u l t a d o d e l p rim e r dado y l a segunda e l r e s u l t a d o d e l segundo dado. Sie ndo
U - { l , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , e l e s p a c i o m u e s t r a l E s e puede c o n s i d e r a r como
e l p ro d u c to c a r t e s i a n o de U p or U , e s d e c i r , E - Ü X U -
{l,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }x {l,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } { (1 ,0
, (1 ,2 )
, (1 ,3 )
.
(1 ,4 )
, (1 ,5 )
,
(1 ,6 )
(2 .1 )
, (2 ,2 )
, (2 ,3 )
, (2 ,4 )
. (2 .5 )
,
(2 .6)
(3 .1 )
, (3 ,2 )
, (3 ,3 )
,
, (3 ,5 )
,
(3 ,6 )
(4 .1 )
, (4 ,2 )
, (4 ,3 )
, (4 ,4 )
, (4 .5 )
.
(4 ,6)
(5 .1 )
, (5 ,2 )
, (5 ,3)
, (5 .4 )
, (5 ,5)
.
(5 ,6)
,
.
,
.
(6 ,6 ))
(6 .1 )* ,
(6 .2 )
(6 .3 )
(3 ,4 )
(6 .4 )
(6 .5 )
s i quitamos l o s p a r é n t e s i s y l a coma de cada par r e s u l t a l a e s c r i t u r a c l á s i c a de arrib a. N ó t e s e que E v i e n e dado p or l a s v a r i a c i o n e s con r e p e t i c i ó n de 6 ele m entos toma dos d e d o s en dos. o o o O o o o -----
6 .10.
C o n s id e re m o s
dos
y
an otar
su
sum a.
e l
e x p e rim e n to
Form ar
e l
que
e s p a c io
c o n s is te
en la n z a r
dos
m u e s tra l.
(J R I/ -V I-4 ) S O L O C I O M
:
L o s r e s u l t a d o s p o s i b l e s son : 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , l u e g o e l e s p a c i o m u e stral d e l e xp e rim e n to a l e a t o r i o dado e s : E - {2 .3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1 ,1 2 }
o o o O o o o -----
da
0 . 1 1 . S e c o n s id e r a dos
a l a ir e
y
a n o ta r
e l
lo s
e x p e rim e n to p an tos de
Se
p id e
a)
E l e s p a c io
b)
■ C im ero d e
c)
E le m e n t o s d e l
suceso
"sa ca r a l
d)
E le m e n t o s
suceso
"sa ca r dos
a le a to rio
la s
caras
de
tir a r
tres
da—
s u p e rio re s .
t m u e s tra l su cesos
del
S O L O C I O H
E.
d e l e s p a c io
de
sucesos
m enos d o s doses
y
S. c in c o s " un t r e s "
:
In d icarem os p or " a b e " uno c u a l q u i e r a d e l o s r e s u l t a d o s d e t i r a r t r e s dados siendo a , b , y c
números que v a r í a d e l 1 a l 6.
P o r ta n to , e l espa cio n u e s tra l es : E - {1 1 1 , 1 1 2 , 1 1 3 . 1 1 4 , 1 1 5 ,1 1 6 , 1 2 1 , 1 2 2 , 1 2 3 , 1 2 4 ,1 2 5 , 1 2 6 ................. ................. 6 5 1,6 5 2 .6 5 3 ,6 5 4 ,6 5 5 ,6 5 6 ,6 6 1 ,6 6 2 ,6 6 3 ,6 6 4 ,6 6 5 ,6 6 6 ) E l nónero de ele m entos d e E e s : C a r d ( E ) 13
p o s i b i l i d a d e s d e l p r im e r dado
.
p o s i b i l i d a d e s d e l segundo dado . p o s i b i l i d a d e s d e l t e r c e r dado -
6 . 6 . 6
- 216
Se t r a t a también d e v a r i a c i o n e s con r c p c t i c i S n de 6 ele m entos ( l o s r e s u l t a dos d e l d a d o ) tomados d e 3 en 3. VR, , = 63 -■ 216 6,3 b)
E l número de sucesos d e l e s p a c i o de s u c e s o s e s : C a r d (S ) »
c)
Sea A e l s u c e s o " s a c a r a l menos d o s c i n c o s " , e n to n c e s :
,2 1 6
2
A - {5 5 1 ,5 5 2 ,5 5 3 ,5 5 4 ,5 5 5 ,5 5 6 ,5 1 5 ,5 2 5 ,5 3 5 ,5 4 5 ,5 6 5 ,1 5 5 ,2 5 5 ,3 5 5 ,4 5 5 ,6 5 5 } Sea B e l suceso " s a c a r dos d o s e s y un t r e s "
d)
B -
, en to n c e s
{ 2 2 3 .2 3 2 ,3 2 2 } o o o O o o o -----
6.12
.H a lla r
e l
e s p a c io
la n z a r s im u ltá n ea m en te c u a t r o S
O
L
P
C
I
O
B
m u estral
a s o c ia d o
a l e x p e rim e n to de
m onedas.
:
I n d i c a r e m o s p o r " a b e d " uno c u a l q u i e r a d e l o s r e s u l t a d o s de l a n z a r l a s c u a t r o las, p u d i e n d o
tomar a,b,c y d
c u a l q u i e r a de l o s v a l o r e s c a r a ( C ) o c r u z (X)
P or t a n t o , e l e s p a c i o m u e stral e s : E - { C C C C , CCCX, CCXC. CCXX. CXCC, CXCX, C X X C , CXXX , XCCC, I C C X , XCXC, XCX X, XXCC, XXC X, XXXC, XXXX}
6 . 1 3 m ayor o caras
.¿ C u á le s ig u a l a
son
17"
s u p e rio re s
S O L D C I O .
de
,
lo s si
e lem en to s d e l d ic h o s
tres
dados
puntos
suceso son
a rro ja d o s
lo s
al
"sum a d e
lo s
puntos
que aparecen en
azar y
:
la s
s im u ltá n e a m e n te ?
U t lt c n m * - .974)
a) Loa e le m e n t o s d e l e s p a c i o m u e stral que s e o b t i e n e a l t i r a r t r e a dados e s : E - (1 1 1 ,1 1 2 ,1 1 3 ,1 1 4 ,1 1 5 ,1 1 6 ,
...
,6 61 ,6 6 2.6 6 3 ,6 6 4 ,6 6 5 ,6 6 6 }
en t o t a l 2 1 6 ele m e ntos . b) Véanos c u á l e s son l o s e le m e n t o s d e l suc eso dado. 1*)
La suma v a l e 18 puntos :
Se o b t i e n e d e
666
2*)
La suma v a l e 17 puntos :
Se o b t i e n e d e
566 , 656 , 665
P o r t a n t o , e l suc eso "suma de l o s puntos mayor o i g u a l a 17" = {6 6 6 ,5 6 6 , 6 5 6 , 6 6 5 } o o o O o o o -----
6 . 1 4 tra l
e l
uno d e
e le m e n ta le s d e l
lo s
s ig u ie n te s
e s p a c io
m ues
e x p e rim e n to s
al
aza r de dos
b o la s
b la n c a s
y dos b o la s
n e g r a s .{ E t iA o c c c ó n ¿ucea-ó/a)
d ía
de
la
s o l u c i o h a)
sucesos
a le a
:
e x tra c c ió n b o la s
b)
lo s
d e te rm in a d o p o r cad a
to rio s a)
.D e te rm ín e n s e
d e una u r n a q u e c o n t i e n e
semana e n q u e o c u r r e
:
S i indicamos p or
un a c c i d e n t e
[Selectividad B s a c a r b o l a b lan c a y
de
tres
trá fic o .
.975 - . « r - M - n i
N s a c a r b o l a negra , en to n c e s e l '
capacio m uestral es : E b)
• ÍBB , BN , NB , ÑU}
O c u rrie n d o a c c i d e n t e s de t r á f i c o c u a l q u i e r d í a de l a semana , e l e s p a c io m u e stral d e e s t e exp erim ento e s : E • (L un es , M a r t e s , M ié rc o le s , J u e v e s . V ie r n e s , S á b a d o , D o m i n g o )
—
6.15.En
cu atro
núm ero en
cada
fic h a s
azar.
al
S O L D C
1 Q E
S i designamos p or siendo a y b
fic h a s
oooOooo—
hem os e s c r i t o
fic h a ).H a lla r
e l
lo s
núm eros
ex p e rim e n to de
1 ,1 ,2 ,2
tom ar a
la
vez
(un dos
: " a b " e l r e s u l t a d o de l a e x t r a c c i ó n a l a v e z de dos f i c h a s ,
l e t r a s que pueden tomar c u a l q u i e r a d e l o s v a l o r e s 1 y 2 , s e t i e n e
p or t a n t o , e l e s p a c i o m u e stral : E - (II
, 2 2 , 12)
6.16 p a rtid o s
โ ข L o s de
e q u ip o s
modo
que
se
d e
A rg e n tin a
p ro c la m a
y
B r a s il
cam peรณn
e l
d is p u ta n
p rim e ro
que
una
s e r ie
gane
t r e s
v e c e s . H a lla r S
O
L
O
e l C
e s p a c io I
O
H
D esign a rem os p o r
m u e stra l
d e
lo s
re s u lta d o s
p o s ib le s .
:
A A rge n tin a y p or B B ra s il
E l d ia g ra m a en รก r b o l de l o s r e s u l t a d o s p o s i b l e s e s e l s i g u i e n t e
Ganado* PARTIDOS
r
Ganadon
Ganado*
Ganado*
Ganado*
:
RESULTADOS
2o
E l e s p a c io m uestral c o n s ta , campeรณn A r g e n t i n a y e n o t r o s
como s e v e , d e 20 e l e m e n t o s . 10 c a s o s B r a s i l .
o o o O o o o ------
En 10 c a s o s a p a r e c e
de
6 . 1 7 .
C o n s id e re m o s
t o r n illo s
de
una
c a ja
e l y
e x p e rim e n to
ve r
c u á le s
Se
p id e
a)
E l
b)
E le m e n to s
d e l
su ceso
" e l
ú ltim o
c)
E le m e n to s
d e l
suceso
"a l
menos
en
e x tra e r
y
buenos.
d e fe ctu o so s
tre s
:
e s p a c io
rau estral
S O L D C I O M a)
c o n s is te n te
son
E
y
e l
núm ero
de
e le m e n to s
t o r n illo dos
es
de
que
con sta.
d e fectu o so "
t o r n illo s
son
d e fe ctu o so s".
t
S i designamos p or
" a b e " e l r e s u l t a d o d e una e x t r a c c i á n , a i e n d o a . b , y e
l e t r a » que pueden tomar l o s v a l o r e s
B - bueno
y D ■ d efectu o so
, en to n c e s
e l e s p a c i o m uentr al e s : P. - (BBB , BBD , BDB , BDD , DBB , DBD , DDB , DDD> b ) Sea A e l s u c e s o " e l
d ltim o t o r n i l l o es d e fe c tu o s o "
y Card(F.) - 8
, e n to n c e s :
A ■ (BBD , BDD , DBD ,DDD) c)
Sea B e l
suc eso " a l menos d o s t o r n i l l o s son d e f e c t u o s o s " , e n to n c e s B - (BDD , DBD , DDB , DDD) o o o O o o o -----
G . l 8 . * n t o n í o n is .G a n a
e l
n o s .H a lla r
torn eo e l
S O L D C I O M Indicarem os p o r por
y
B a s ilio q u ie n
e s p a c io
son
gane
m u estral
lo s
dos d e
f in a lis t a s
ju e g o s lo s
de
un
s e g u id o s
re s u lta d o s
to rn eo o
t r e s
de
te
a lt e r
p o s ib le s .
: A e l s u c e s o "g a n a r A n t o n i o " y B e l s u c e s o "g a n a r B a s i l i o "
-
"p e rd e r A n ton io"
E l s i g u i e n t e dia gram a e n á r b o l m uestra l o s d i f e r e n t e s r e s u l t a d o s p o s i b l e s A-A A:
P o r t a n t o , e l e s p a c io m uestral es : E - <AA, ABAA, ABABA, ABABB, ABB, BAA, BABAA, BABAB, BABB.BBÍ
:
0 . 1 9 . b o la s
Una u r n a c o n t i e n e
m ayor qu e
Se p id e
3 ).
Se
b o la s
negras
b la n c a s tres
(e l
b o la s
núm ero de de
la
urna.
:
a)
El
b)
E le m e n to s
del
suceso "sacar
a l
c)
E le m e n to s
del
suceso "sacar
la s
e s p a c io
m u estral
S O L O C I O H a)
y
sacan s u c e siv a m e n te
E del
e x p e rim e n to .
el
re s u lta d o
s ie n d o a . b . c
de
lo s
cu a lq u ie ra
e s p a c io m u estral
E b)
S i A es e l
c)
Si
{NN N
suceso A •
B es
el
, NNB
tres
ÍNNN
al
, NNB
(NNN
,
de
b o la s
negra"
del
m ism o
c o lo r".
re a liza c ifin b o la
negro
del
(N )
e x p erim en to ,
o
b o la
b la n c a
(B ),
: , NBB
, BNN
m enos u na
, NB N , la s
la
re s u lta d o s
es
, NBN
"sacar
suceso "sa ca r B •
una b o la
:
S i d e sígn a n o s p o r " a b e "
en ton ces e l
m enos
NBB
tres
b o la ,
BNN
b o la s
,
BNB ,
n egra" ,
del
BNB
BBN
,
BBB)
.en ton ces , B BN}
mism o c o l o r "
,
en ton ces
BBB)
o o o O o o o -----
0 . lo
2 0 -U n
hom bre
su m o.C a da
p eseta s
apu esta
y d e ja rá
300 p e s e t a s .
H a lla r
S O L P C I O H El
s ig u ie n te
de
es de
tie m p o p a ra 100
ju g a r
p e s e ta s .E l
ju g a r cuando p ie r d a
la s
e l
de
e s p a c io
m u estral
a
la
ru le ta
hom bree m p ie za 100
lo s
p eseta s
5 veces con o
ro s u lta d o s
a
100
gane p o s ib le s .
t
d ia g ra m a en
E M P I E Z A CON
tie n e
1A . j u g a d a
árbol
m uestra
lo s
2* . ju ga d a
re s u lta d o s
3a
4a .
p o s ib le s
del
5a .
ju eg o :
RESULTADOS 1-0 1- 2 - 1 - 0
1 -2 -1 -2 - 1-0 1 -2 -1 -2 - 1-2
1 -2 -I-2 -3 -4 V• £ • • í -fl 1-7 f « 7 - \-7- í - 7 I - 2 - 3 - 2 - 3-4 1 -2 -3 -4 donde seta s. E -
1 ,2 ,3 ,4
y
0
Por tan to,
expresan e l el
d in e ro
e s p a c io m u estral
que es
tie n e
en
c a d a m om ento en
c ie n to s
:
{1 0 ,1 2 1 0 ,1 2 1 2 1 0 ,1 2 1 2 1 2 ,1 2 1 2 3 2 ,1 2 1 2 3 4 ,1 2 3 2 1 0 ,1 2 3 2 1 2 ,1 2 3 2 3 2 ,1 2 3 2 3 4 ,1 2 3 4 }
d e pe
6. do
2 1 .S e
y a n o t a r e l n ú m e ro
Sean
lo s sucesos
¿So n S
c o n s id e r a
c o m p a tib le s
O
L
O
C
I
O
»
e l de
e x p e r im e n t o la
cara
c o n s is te n te
" s a c a r un m ú l t i p l o
B
" s a c a r un nú m ero
p rim o "
C
" s a c a r un
n ú m e ro
p a r".
y
y
sucesos
A
la n z a r
un
da
s u p e r io r .
A
lo s
en
B
,A
de
3"
C
o B y C ? .
:
Veamos cómo s e e x p r e s a n l o s s u c e s o s d a d o s e n f u n c i ó n d e l o s e l e m e n t o s d e l e s p a c i o m u estral. A - " s a c a r un m ú l t i p l o d e 3 " - Í 3 , 6 ) B - " s a c a r un número p r i m o " C - " s a c a r un número p a r "
- (2 ,3 ,5 ) »
(2 ,4 ,6 )
a)
A O B-
(3 )
, lu eg o
A
y B son
com p atib les.
b)
A O C-
(6 )
, luego
A
y C Hon c o m p a t i b l e s .
c)
B O C-
(2 )
, lu eg o
B
y C s on
com p atib les. o o o O o o o ------
6.22 y
de
S i
•Un e x p e r i m e n t o
c o n s is te
en
el
la n z a m ie n to
de
una m oneda
un d a d o . A
es
B
es
e x p lic a r 1#)
Á
2°)
B
3°)
A
e l e l e l
suceso
"ca ra
suceso
"o b ten er
s ig n ific a d o
de
en
e l 3 o
lo s 4°)
n B
la n z a m ie n to 6 en
e l
s ig u ie n te s A O
de
dado"
la
m oneda"
y
,
sucesos
:
B
5°)
A U
B
6°)
Á O
B
{JR V -V I-9) S
O
1")
L
O
C
I
O
H
:
Á
e s e l su ceso "n o sa c a r c a ra en e l
2 *)
B
e s e l s u c e s o " n o s a c a r n i 3 n i 6 en e l d a d o " .
3 o)
A n B
ea e l s u c e s o " s a c a r c a r a
l a n z a m i e n t o d e l a moneda".
en e l l a n z a m i e n t o de l a moneda y o b t e n e r
3 o 6 en e l d a d o " . 4 °)
A HB
e s e l s u c e s o " s a c a r c a r a c on l a moneda y no s a c a r n i 3 n i 6 con e l dado".
5 o)
A U B
e s e l s u c e s o "n o s a c a r c a r a e n e l l a n z a m i e n t o d e l a moneda o no sa c a r n i 3 n i 6 en e l dado"
6°)
Á O B
e s e l s u c e s o "n o s a c a r c a r a e n e l l a n z a m i e n t o d e l a moneda y no sa c a r n i 3 n i 6 en e l d a d o ".
o o o O o o o -----
6 . 2 3 . cesos
H a lla r
que
se
la
u n ió n
o b tie n e n
a l
y
la
in te rs e c c ió n
la n za r
1)
A =
{s a c a r
núm ero
2)
B =
{s a c a r
núm ero no
un d a d o
de
lo s
s ig u ie n te s
su
:
par} in fe r io r
a
cu a tro)
( S o lz it iv id a d
- 1975 - JRV - V I -
S O L O C I O H
:
Los sucesos A y B
se exp resa n en fu n c ió n de l o s su ceso s e le m e n t a le s
12)
, de la
s i g u i e n t e fo rm a : A -
{ s a c a r número p a r }
■ (2 ,4 ,6 )
B • { s a c a r número no i n f e r i o r a c u a t r o ) a)
{4 ,5 ,6 }
L a u n ió n d e l o s s u c e s o s e s : AU B
b)
- {2 ,4 ,6 }U {4 , 5 , 6 } - {2 ,4 ,5 ,6 }
La i n t e r s e c c i ó n d e l o s s u c e s o s e s : A O B
-
{2 ,4 ,6 } n {4 , 5 , 6 ) - {4 ,6 }
o o o O o o o -----
6 . 2 4 S .S e
.C o n s id e re m o s
p id e
expresar
c o m p lem e n ta rio s a)
Se
en
lo s
fu n c ió n
Á
,
B y
re a liz a n A
y
C pero
b)
Se
r e a liz a
c)
Se
re a liz a n
d)
No s e
e)
Se
a l
re a liz a
re a liz a
A
S O L O C I O H
C
m enos
al
su ceso s A ,B
uno d e
m enos
p ero
dos
no
lo s
sucesos
s ig u ie n te s
e s p a c io
A ,B
y
C
y
de de
sucesos sus
sucesos :
no B lo s
tres
sucesos
n in g u n o d e ,
de
lo s
y C del
lo s
se
de
tres
re a liz a
lo s
dados
sucesos B y
C
:
a)
( A n B) - B
- ( A n B) n B
b)
E s t e s u c e s o s e r e a l i z a cuando s e r e a l i z a e l s u c e s o A , o e l s u c e s o B , o e l suceso C , por ta n to
, por
, será e l
l a d e f i n i c i ó n de -
suceso :
A U B U C c)
( A n B ) u ( a n c ) u (B n c ) U ( A n
d)
E s t e s u c e s o e s c o m p l e m e n t a r io d e l s u c e s o dado en b ) , p o r t a n t o ,
e)
E l sucesos es :
a u b u c
=
A - ( B U C ) -
n ( bU
a
A
c)
-
b
n c)
Á n (b n c ) >
C (F u e )
,
p or l a
Á n S n c
d e f i n i c i ó n de -
-
A O (B O C)
,
p o r l a l e y d e Morgan
-
A
,
p or l a
O B O C
a s o c i a t i v i d a d de
6 . 2 5 do
al
a)
.S e
a ire
El
y
e s p a c io un
b)
Dar
c)
H a lla r
d)
Com probar p le to
c o n s id e ra
an otar
e l
e x p e rim e n to
núm ero
de
la
c o n s is te n te
cara
en
s u p e rio r.S e
la n za r
p id e
un d a
:
m u estral
s is te m a lo s
de
e l
c o m p le to
sucesos s i
lo s
de
sucesos
c o n tra rio
sucesos
de
lo s
o b te n id o s
del
s is te m a
en c )
a n te rio r
form a n
un
s is te m a
com
sucesos.
S O L U C I O N
:
a)
El esp a cio
m uestral e s :
E ■ { 1 , 2 , 3 , A ,5 ,6 )
b)
Un s i s t e m a
com p leto e s :
A ■ (1 ,3 ,5 )
c)
Á - b
d)
L o s s u c e s o s o b t e n i d o s e n c ) forman uns i s t e m a
, B « ( 2 , A ,6)
y B - A
Veamos que e s t o no s ie m p r e e s c i e r t o sistem a
A - {1 }
:
b)
Sea a h o r a e l
c)
L o s s u c e s o s c o n t r a r i o s s on : Á - ( 2 , 3 , A , 5 , 6 }
d ) L o s s u c e s o s A,B y C
,
com p leto de sucesos.
B - (2 )
, C = (3 ,A ,5 ,6 } , B • {l,3 ,A ,5 ,6 )
, C = (1 ,2 )
no form an un s i s t e m a p u e s t o que no s on i n c o m p a t i b l e s
dos a dos. o o o O o o o -----
6 . 2 6 extra en A C E E e l
•D e
una u rn a
que
s im u ltá n e a m e n te d o s s i
A
e s p a c io
es
e l
suceso
"h a b er
2 b o la s
¿ c u á le s
e x tra íd o
al
ro ja s
son
lo s
m enos
m u e s tra l? .
S O L U C I O N
y
tres
a z u le s
e le m e n to s una b o l a
se
de
a z ú l"
y
(SElECTIl/IPAP -1 9 7 6 )
:
El e s p a c io m uestral E e s N ó t e s e que
c o n tie n e
b o la s ,
:
E ■ ( ( r o j a , r o j a ) , ( r o j a ,a z u l ) , ( a z u l . a z u l ) )
( a z u l , r o j a ) . e s l a misma e x t r a c c i ó n que ( r o j a , a z u l )
por ser
la ex
t r a c c i ó n s im u l t á n e a . Por tan to, A * " h a b e r e x t r a í d o a l menos una b o l a a z u l " ■ { ( a z u l , r o j a ) . ( a z u l , a z u l ) } o o o O o o o -----
6 . 2 7 . to rio m oneda
de de
H a lla r sacar
a
la
e l vez
5 p ta s ,o tra
S O L U C I O N
e s p a c io
de
m u estral
d o s m onedas 25 p t a s
de
y otra
a s o c ia d o una b o l s a de
50
E - ((5 ,2 5 )
: , (5 ,5 0 )
que
p ta s.
:
El e s p a c io m uestral E e s e l s ig u ie n t e
a l
, (2 5 ,5 0 ))
e x p e rim e n to c o n tie n e
a le a
una
6 . 2 8
. Se c o n s i d e r a e l e x p e r im e n t o c o n s i s t e n t e en l a n z a r t r e s
monedas a l Se p id e
a ire
y an otar e l
r e s u lta d o de la
cara
s u p e rio r.
:
a)
E l e s p a c io m u es tra l y e l
b)
E lem en to s d e l
s u c e s o " s a c a r a l menos d o s c a r a s " ,
c)
E lem en to s d e l
su ceso " s a c a r so la m en te d os c r u c e s "
S O L O C I O N
:
a) S i d esig na m o s p o r sien d o a , b , y c
número d e e l e m e n t o s d e l m ism o.
" a b e " e l r e s u l t a d o d e l a r e a l i z a c i ú n de un e x p e r i m e n t o , c u a l q u i e r a de l o s r e s u l t a d o s C a ra ( C ) o Cruz ( X ) ,
e l e s p a c io m uestral e s
e n to n c e s
:
E - {CCC , CCX , CXC , CXX , XCC , XCX , XXC , XXX) E l núm ero de
e le m e n to s e s
e v id e n te m e n te 8.
b ) Sea A e l s u c e s o " s a c a r a l menos d o s c a r a s "
, entonces
A - {CCC , CCX , CXC , XCC} c)
Sea B e l s u c e s o " s a c a r
s o la m e n t e d o s c r u c e s " , e n t o n c e s
B - {CXX , XCX , XXC}
o o o O o o o ----6 . 2 9 . Se c o n s i d e r a " s a c a r una f i g u r a "
el
en l a
suceso
A " s a c a r un r e y "
e x tra c c ió n
y B el
suceso
d e una c a r t a d e una b a r a j a
e sp a ñ o la .¿ C u á l d e l a s dos s ig u ie n t e s e x p r e s io n e s e s c i e r t a
?:
C B
a)
A
b)
B C A
Razonar l a
c o n te s ta c ió n .
S O L O C I O N a ) Es c i e r t a
:
l a prim era r e l a c i á n , e s d e c i r
- s e r r e y im p lica s e r f ig u r a , o
, A C B , p u e s t o que ,
tam bién
- e l s u b c o n j u n t o d e l o s r e y e s e s t á c o n t e n i d o e n e l s u b c o n j u n t o de l a s figu ra s .
o o o O o o o ----6 . 3 0
.S e
re a liz a
la
ex p e rie n c ia
y s e d i c e q u e s e ha r e a l i z a d o A 4 s i
la
: " E l e g i r una f i c h a d e d o m in ó " suma t o t a l d e p u n t o s e s
i.
¿Cuál e s e l e s p a c io m u e s tra l? . S O L U C I O N
:
El e sp a cio m uestral es
E - {0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,1 0 ,1 1 ,1 2 }
d e l o s puntos v a r í a de 0 a 1 2 .
p u e s t o que l a suma
6 . 3 1 de
una
■Un
b a ra ja
Sean
A
e x p e rim e n to
e l
B e l C e l E x p lic a r
c o n s is te
en
suceso"sacar
r e y en
e x tra c c ió n
de
suceso
"sacar rey
en la
segunda e x t r a c c ió n " ,
suceso
"sa ca r rey
en la
te rc e ra e x tra c c ió n ".
e l
s ig n ific a d o
de
lo s
s ig u ie n te s
ca rta s
n b
4o)
A
A
U B
5o)
( Á U B )
3° )
Á
U B
6o)
B U C
S O L U C I O N
casos
y
:
n § n c
A
2o)
A n B
t r e s
l a p rim e ra e x t r a c c ió n " ,
I o)
1°)
la
e s p a ñ o la .
ílC
:
e s e l su ceso " s a c a r r e y en l a p rim era e x t r a c c i ó n
y no s a c a r r e y
e n l a segunda e x t r a c c i ó n " . 2o )
AU B
e s e l s u c e s o " s a c a r r e y e n l a p r i m e r a e x t r a c c i ó n o s a c a r r e y en
la
segunda e x t r a c c i ó n " . 3 o)
Á U B
es
4 C)
Á n B H C
e l s u c e s o " n o s a c a r r e y e n l a p r i m e r a e x t r a c c i ó n o no s a c a r r e y en l a segunda e x t r a c c i ó n " . e s e l su ceso "n o sa c a r r e y en l a p rim era e x t r a c i ó n n i en l a se gunda n i e n l a
5o)
(ÁUB)
6°)
B U C
n C
tercera".
e s e l s u c e s o " n o s a c a r r e y e n l a p r i m e r a o en l a segunda e x t r a c c i ó n y no s a c a r en l a t e r c e r a " .
e s e l s u c e s o " s a c a r r e y en l a segunda e x t r a c c i ó n o no s a c a r r e y la
en
tercera e xtra cción ". o o o O o o o -----
6 . 3 2
. S im p lifíq u e s e
la
( A U B ) donde
A
y
B
son
S O L O C I O H (AUB)
lo s
su cesos
s ig u ie n te O
(A
e x p re s ió n
U B)
c o n tra rio s
n de
(Á
U
B)
A
y
B
de
su ceso s
:
re s p e c tiv a m e n te .
ISELECrlVWAP -1916)
=
n ( A U B) n ( Á U B) ■ ( ( A U B )
n ( A U B ) ) O ( Á U B)
, p. a s o c ia t iv a
■
( A U ( B n B ) ) n ( Á U B)
,
p. d is t r ib u t iv a
=
( Au 0) ' ' ( Á U B )
,
p . d e compleraenta c iÓ n
= A O (Á U B) ■
( A n Á) U ( A n B) í U (A
H B)
,
id en tid a d
,
p. d is t r ib u t iv a
,
p . d e complemen-
,
id en tid ad
tación -
A O B
0 . 3 3«
C o n s id e re m o s
e l
e x p e rim e n to
c a r t a de
la b a ra ja
e s p a ñ o la .
Sean
A
e l suceso
"ex tra e r
un a s " ,
B
e l suceso
"ex tra e r
un o ro "
C
e l suceso
"ex tra e r
e l as
E x p lic a r
e l
s ig n ific a d o
de
cada
,
de uno
c o n s is te n te
en
ex tra er
y copas". de
lo s
s ig u ie n te s
sucesos:
I o)
A
5 o) A n B
9 o)
A
ñB
n
2°Í
B
6 o) A U B
1 0° )
A
OB
O C
3 o)
c
7") A n c
11°)
aTTb
D
A U B
8") A n c
1 2° )
A
S
O
L
O
C
I
O
N
una
n
C
c
OB ? T c
:
I o)
Á es
e l suc eso "no e x t r a e r un a s "
2o)
B es
e l suc eso " n o e x t r a e r un o r o "
3 o)
C es
e l suc eso " n o e x t r a e r e l a s d e c o p a s "
4°)
AUB
e s e l s u c e s o " e x t r a e r un as o
un o r o "
5o)
An B
e s e l suc eso " e x t r a e r un as y
e x t r a e r un o r o " ■ " e x t r a e r e l as de o -
ros" 6 o)
A U B *
A n B
e s e l suc eso "n o e x t r a e r e l as d e o r o s "
7°)
A n C es e l suceso " e x t r a e r
un o r o y e x t r a e r un as de c o p a s "
* 0 ,
e s , p o r t a n t o , e l suc eso i n p o s i b l e . 8o)
A O C e s e l suc eso " e x t r a e r un o r o y no e x t r a e r un as de c o p a s " ■ " e x t r a e r un o r o " N ó t e s e que
9 o)
A n B n C
A
C C
e s e l suc eso " e x t r a e r un o r o
y un a s y as de c o p a s "
■ 0 - "su
ceso im posible" 10°)
A n BO
11°)
AUB
C es e l suceso im po sible
nc*
c i e r t o p u e s to que e s e l com plem enta rio d e l suceso
( V e r 9 8) )
Á n B n C = 0
A D B O C p u e s to que
"n o e x t r a e r un a s " y e x t r a e r un
as d e c o p a s " son sucesos in c o m p a t i b l e s . 1 2 °)
A n Bn
A
* A n 0 •
A O E
■
A
, ya que B y C son s u c e s o s in c o m p a t ib le s ,
donde E e s e l suc eso c i e r t o
e s e l suc eso " e x t r a e r un a s " .
o o o O o o o -----
6 . 3 4
• Se
ha
fa m ilia s
de
tre s
Sean
A
e l
suceso
" e l
B
e l
suceso
" lo s
¿ C u á le s
son
lo s
S O L D C I O . S i designaDOS p or mayor a menor A =
observado
la
d is trib u c ió n
por
sexo
de
lo s
h ijo s
en
h ijo s . h ij o m ayor dos h ijo s
e le m e n to s
de
A
:
y
es
unv a ró n "
pequeños de
son
y varon es".
B?.
{ S U t c t í x i d t i -H75-JKV-VH-HI
V e l h i j o v a r á n y p or H h i j o heabra , y l o s nonbraoos de
, se tie n e : {VW
,
WH
, VHV , VHH)
( y a que en c ada uno d e e s t o s sucesos e l e m e n t a l e s e l h i j o mayor e s v arón ) B -
{VW
, HW)
( y a que en c ada uno d e e s t o s s u c e s o s e l e m e n t a l e s l o s d o s h i j o s menores son v a r o nes) . o o o O o o o ------
PROBABILIDAD en
e£
que
¿e
d u a v io t t a n t a ¿ 6 ¿ g u ¿ e n te ¿ m citz rU a ¿:
1. F R E C U E N C I A S A B S O L U T A S Y R E L A T I V A S 2. D E F I N I C I O N C L A S I C A D E P R O B A B I L I D A D 3. D E F I N I C I O N A X I O M A T I C A D E P R O B A B I L I D A D 4.
PROBABILIDAD CONDICIONADA
5. P R O B A B I L I D A D E S T O T A L E S Y C O M P U E S T A S 6. S U C E S O S D E P E N D I E N T E S E I N D E P E N D I E N T E S
7. 1.
L a n z a r una m oneda
100 v e c e s
y an otar
lo s
res u lta d o s
ob
te n id o s . a)
¿Cuál
será
b)
¿Y
fre c u e n c ia
la
la
fre c u e n c ia
:
Hemos r e a l i z a d o
ex p erim en to y
suceso
"ca ra "?.
.
1)
Número d e c o r a s
2)
Núm ero d e c r u c e s q u e h an
Con e s t o s
del
re la tiv a ? .
S O L U C I O N el
a b s o lu ta
s e han o b t e n id o s l o s
que han s a l i d o
res u lta d o s
-
s ig u ie n te s
resv
ios
48
s a lid o *
se tie n e
(J W -V II-n
52
:
a)
La
fre c u e n c ia
a b so lu ta
d e l suceso "c a r a "
*
b)
La
fre c u e n c ia
re la tiv a
d e l suceso
•
"cara"
48 48/100
o o o O o o o -----
7.2.
E x trá ig a s e
deran do e s t e y
an óten se
m ontón
lo s
n id o lo s
50 e x t r a c c i o n e s
todos
con
lo s
oros.
C o n s i
ree m p la za m ie n to IJ K V -I/ Il-Z ]
:
el
e x p erim en to ,p ro c u ra n d o b a r a ja r b ie n
s ig u ie n tc o
As d e
háganse
e s p a ñ o la
res u lta d o s .
S O L U C I O N H em o s r e a l i z a d o
,
d e una b a r a j a
oros
res u lta d o s
:
4
cu a tro de oros
dos
de
oros
5
tres
de
oros
6
la s
ca rta s,y
s e han o b te
5
s ie te
de o r o s
6
de oros
3
sota
de
oros
4
s e is de oros
7
c a b a llo
de
oros
6
de o r o s
4
c in c o
rey
NtTTA : O b i f a v e i t que t a i ¿aecu en cúiA t ie n d e n a e s t a b i l í z a m e en t o m e a l 5. o o o O o o o -----
7. 3 . de
lo s
¿C u án to v a le n
sucesos
S O L O C X O N Los
sucesos
sucesos, De o t r o
es
modo :
a) b)
la
sum a d e de
to d a s
la s
fre c u e n c ia s
U W -W M ) un e x p e r i m e n t o a l e a t o r i o
e s una p a r t i c i ó n Dos s u c e s o s la
suma d e
re la tiv a s
un e x p e r i m e n t o a l e a t o r i o ?
:
ele m en ta le s de d e c ir,
la
e le m e n ta le s
c u a lesq u iera
u n ió n de
E n ton ces
,
Sea
E •
( a | , « 2 , . . . , a Q)
c ia s
a b so lu ta s a l
d e l es p a cio
todos
fre c u e n c ia s
1«6
e l
re a liza r
es p a cio el
lo s
ea
son in c o m p a tib le s
sucesos es e l
re la tiv a s
m u estral
un s i s t e m a
c o m p l e t o de
m u e stra l.
v a le y
e x p erim en to n v e c e s .S e
y
suceso c ie r to .
l.E n
efec to
n j . O j , . . . ^ tie n e
,
: la s
en ton ces
frecu en ,
7. que e l
4.
Un e x p e r i m e n t o
c o n tie n e
una b o l a
c o rre s p o n d ie n te
del
c o n ju n to
Se d e fin e
p(0)
p (E )
¿Es
a
-
0
una ,
a z u l,
e s p a c io
E ,e s S
en
extra er
b la n c a s y
2
m u estral
una b o l a
de
3 ro ja s .S e a
y S e l
una u rn a
E =( a , b , r )
c o n ju n to
de la s
p a rtes
d e c ir,
= (0
,(a ),{ b } ,{ r} ,{ a ,b ),{ a ,r), ( b ,r ) ,
fu n c ió n
p ({a ))
c o n s is te
p
sobre p ( { b ))
-
g
,
p ({a ,b ))
-
\
,
S de =
^
p ((a ,r l)
la s ig u ie n te ,
p ((r })
*» \
,
-
E)
m anera ^
:
,
p ((b ,r ))
=
|
1
p una p r o b a b i l i d a d ? . (S E L E c n i n v w -
S O L U C I O N
19701
S
P a r a que l a f u n c i ó n p d e f i n i d a s o b r e S , e s p a c i o d e s u c e s o s , s e a una p r o b a b i l i d a d , d e be v e r i f i c a r l o s ax io m as s i g u i e n t e s : Ax-1
:
p (0 ) - 0
Ax-2
: p (E ) - 1
A x - 3 : S i A,B G S s on t a l e s que A H B ■ 0 , e n t o n c e s p ( A U B) = p ( A ) + p (B ) Veuoo s s i s e v e r i f i c a n
e s t o s axiomas.
Ax-1
: p (0 ) = 0
, p or d e f i n i c i ó n d e p
A x -2
: p (E ) = 1
. p o r d e fin ic ió n de p
A x -3
: I o) Sear. A -
(a)
, B ■ { b } , s on
t a l e s que
p ( {a )) ♦ p ({b )>
A H B - 0
p ((*.b ))
, y
y
c o b o
ía .b ) - A U B
e s t o s s u c e s o s v e r i f i c a n e l a x i o n a 3. 2°)
Sean
A "
(a )
,
B
p ((a }) + p (ír }) " g
■
+ 5 = g " 5
"
{ r } , s on t a l e s que
A
^ B ■ 0
y
P ((«.r ))
( a . r ) - AU
B
. y como
e s t o s s u c e s o s v e r i f i c a n e l ax iom a 3 3")
Sean
A *> ( b )
,
p (íb }) + p (ír }) "
B 5
■
+ 5
"
| "
{ r } , e s t o s s u c e s o s son P Í(b .r))
t a l e s que
, y con o { b , r } ■ A U b
e s t o s s u c e s o s tam bién v e r i f i c a n e l axioma 3. De l o a n t e r i o r s e s i g u e que l a
f u n c i ó n p e s una p r o b a b i l i d a d en S y ( E . S . p ) un
espa cio p r o b a b ilís t ic o . W0TA s Una ¿ u n c ió n cíe p io b a b ilid a d queda t a m b it n deXenminada c o n o c ie n d o t a i i m íg e n e i d e t o i i u c e i o ó e l e m e n t ó l a . L a
iu c t io i
e le m e n t a l a
¿ow m
u n a b a ie d e l A lg e b r a d e i u c t i o i .
o o o O o o o -----
A
B• 0
7. 5 .
Sea
s ig u ie n t e s
¿ C u á le s
S O
1)
L O
La
de
C
E
=
(a l f a 2 ,a 3/a 4)
f u n c io n e s
e s ta s
I O
H
de
suqb
de
E
en
f u n c io n e s
R
un
e s p a c io
(n ú m e r o s
d e fin e n
una
m u e s tr a l.
r e a le s )
Se
d e fin e n
en
E ?.
la s
:
p r o b a b ilid a d
:
p U j)
, p ( a 2> , p ( a ^ )
, p ía ^ )
e s mayor que 1 , l u e g o p no
d e f i n e una p r o b a b i l i d a d . 2 ) P ( a 2)
• - j
que c e r o
, y como l a p r o b a b i l i d a d d e un s u c e s o e s s i e m p r e mayor o i g u a l
, s e s i g u e que p no d e f i n e a q u í una p r o b a b i l i d a d .
3 ) L a f u n c i d n p d e f i n e a q u í una p r o b a b i l i d a d es 1
p u e s t o que l a suma d e l o s v a l o r e s
y s on no n e g a t i v o s .
4 ) L o s v a l o r e s s on no n e g a t i v o s
, y su suma e s 1 , l u e g o d e f i n e n una p r o b a b i l i
dad s o b r e E 5 ) p tam b ié n e s a q u í una p r o b a b i l i d a d , p u e s t o que l o s v a l o r e s que toman l o s su c e s o s e l e m e n t a l e s s on no n e g a t i v o s y su suma e s
1.
o o o O o o o ----
S O
L O
C
I O
H
:
S i s e la n z a n d o s monedas a l a i r e
lo s casos p o s ib le s
o r e s u l t a d o s p o s i b l e s s on :
CC , CX , XC , XX ind ican do p or C c a ra y p or X cru z. E l ú n ico c a s o f a v o r a b le e s
: CC.
P or t a n t o , l a p r o b a b i l i d a d e s :
p (C C ) -
^
OTRO METODO :
Sea
A B CC
e l su ceso " s a c a r c a r a en l a p rim e ra
moneda" y
e l s u c e s o " s a c a r c a r a e n l a segunda moneda" ,
e n to n c e s e l suceso
" s a c a r c a r a e n l a p r i m e r a y e n l a segunda moneda" e s l a i n t e r s c c c i ú n de
l o s s u c e s o s A y B. P o r s e r s u c e s o s
in d e p e n d ie n te s se t i e n e
p (C C ) - p ( A O B )
- p (A ).p (B )
:
- 5 . \ - l
7
7 .
i
a p a r tir
C o n s id e r e m o s d el
p u n to
la s
d ir e c c io n e s
por
la s
se
par
o b tie n e n
según o
a l
s ig u ie n t e
ju e g o .U n a
f ic h a
puede
avanzar
en
in d ic a d a s
fle c h a s
r e s u lt a d o s
e l
n e g ro
lo s
im p a r q u e
t ir a r
un d a
do. Se
p id e
a)
¿C u á n to s
b)
c a m in o s
to s
puede
s e g u ir
cha
h a s ta
e l
¿C u ál de
c)
:
es
cada
¿C u á l de
de
la
la
uno
f i
e llo s ? .
p r o b a b ilid a d
f ic h a de
s u p e r io r e s
la
f in a l? p r o b a b ilid a d
uno
es
que
cada
la
d is t in
lo s
lle g u e
a
c ir c u io s
después
de
4
ju g a d a s ? . S O L O C I O H
:
a ) L o s caminos a s e g u i r ha sta l l e g a r a c ada uno d e l o s c i r c u i o s son : 1
4 1
6 3
4 3
1
2
1
4a f i l a de c i r c u i o s 3a f i l a de c í r c u l o s 2a f i l a de c í r c u l o s
1
1
1
I a f i l a de c í r c u l o s
1
0 Cuando s e term in a e l j u e g o e l número de caminos p o s i b l e s e s : 1 + 4 + 6 + 4
+ 1
-16
b ) Tod os l o s caminos t i e n e n l a misma p r o b a b i l i d a d , l u e g o su v a l o r e s
^
c ) La p r o b a b i l i d a d d e l l e g a r a c ada c í r c u l o depende d e l número de caminos p o s i b le s.
En a ) s e ha s e ñ alad o l o s caminos p o s i b l e s . P o r t a n t o ,
p r o b a b i l i d a d de
l l e g a r a A - 1/16
p r o b a b i l i d a d de
l l e g a r a B - 4/16
p r o b a b i l i d a d de
l l e g a r a C - 6/16
p rob ab ilida d de
l l e g a r a D = 4/16
p r o b a b i l i d a d de
l l e g a r a E = 1/16
NOTA : Pe una im n e ra a n d lo g a ¿ e c a lc u la ( a p r o b a b ilid a d d e l l e g a r a cada uno d e lo & c ir c u lo t > .
—
o o o O o o o -----
7 . ta rse
8 , en
Sean un
A
§
B
dos
e x p e r im e n t o
in d e p e n d ie n t e s , y
y
de
lo s
p o s ib le s
sucesos
a le a t o r io .P r o b a r
e n to n c e s
t a m b ié n
lo
que
son
sus
s i
que A
y
sucesos
pueden B
son
p re se n
sucesos
c o n t r a r io s
(SELECTIVIDAD
.
S O L O C I O H
-
A F976)
:
Sabemos que dos sucesos son in d e p e n d i e n t e s s i
,
p (A 0 8 ) - p (A ).p (B ) Se t r a c a , p o r t a n t o , d e d e m o strar que ,
p(A n i ) ■ p (Á ). p(B) En e f e c t o ,
______ p ( A n B) - p « A U B)
l e y d e Morgan
■ l - p ( A U B ) - 1 - p ( A ) - P ( B ) + p ( A O B) -
1 - p íA ) - p íB ) + p íA )p (B )
-
Í1 - p í A ) ) Í 1
A y B in d e p e n d i e n t e s
- píB ))
- p íX ).p íB ) l u e g o , l o s sucesos
A y
B
son s u c e s o s i n d e p e n d ie n t e s .
o o o O o o o ----
7. 9.
S e a n S un e s p a c i o
na m ed id a d e Se
p ro b a b ilid a d
sabe qu e p (A )
C a lc u la r
p (A
=
U B)
S O L O C I O H
0 .6
,
y
p (A
de
en
sucesos,
A y
B e lem en to s d e
S y p u
S.
p (B )
=
0 .7
y
p (A u B)
n B ).
-
p (A n
B)
[SELECTIVIDAD
=0 .3 . -
1976)
:
Sabemos que dados d o s s u c e s o s de S , A y B , s e v e r i f i c a
la sigu ien te rela ció n :
P Í A U B) - p í A ) + p í B ) - p í A n B) % «= *
p í A U B) + p (A O B) -
p í A ) + p íB )
De e s t a d l t i m a fórm u la y de l a r e l a c i ó n dada en e l e n u n c i a d o . s e o b t i e n e e l g u i e n t e s is te m a :
¡
p íA U B )
+ P Í A n B) - 0 . 6 + 0 . 7 - 1.3
P Í A U B) - p í A n B) - 0 . 3 I o) Sumando l a s dos e c u a c io n e s , r e s u l t a 2 p íA U B )
.
1.6
-»
: p íA U B )
a 0.8
2 o) R e stan d o l a s d o s e c u a c i o n e s , r e s u l t a : 2píA O B) - 1
-
p í A f l B) - 0 . 5
s i
7 .
1®
la n z a m ie n t o s
c o n s e c u t iv o s
S O L O C I O » Sean
A
p r o b a b ilid a d de
de
una
sacar
a l
m enos
una
cara
en
n
m oneda.
*
- 197S - J W - W M 9 J
1* * * * * * * *
e l s u c e s o " s a c a r a l aenos una c a r a e n n l a n z a a i e n t o s de una e on ed a"
XXX . . .
X
e l suc eso
e n to n c e s l o s s u c e s o s p ( A ) - 1 - p(XXX . . .
A y
" s a c a r n c ru c e s e n n la n z a a i e n t o s de una ao n e d a "; X X X ...X
son s u c e s o s c o n t r a r i o s . P or t a n t o :
X)
- 1 - p ( X ) . p ( X ) . p ( X ) ..............p(X) .
1
1
1
1
2°
1
" 1 ■ 2 • 5 * 5 ..........2 " ‘
'
- 1
~
o o o O o o o ----
7 . 1 1 ta i 1) 2)
, Sean
que p (A
p (A ) U
y
3/8
,
D
dos
sucesos
p (B )
= 1/2
3)
p (B )
de
y
un
e s p a c io
p (A
n
-
g ♦
de
B)
-
1/4
g
-
|
,
4)
p íA
O B)
p (A
O B I
#
5)
, 7
)
p (Á U
B)
n
A)
p (B
Se
p id e
:
:
1)
p ( A U B)
-
2)
p (Á )
-
1
-
p (A )
-
1
- |
- l
3)
p (B )
-
1 -
p (B )
-
1
- i
- 5
4)
P < Á O B)
- p (X T T b )
-
1
- p (A
U B)
- 1 -
l
-
5)
p (Á U B)
- p ( A O B)
■ 1
- p (A
n B)
■ 1 •
|
■ j
6)
p ( A O B)
-
-
p( A)
p(A
♦
-
p (B )
B)
-
p (A O B)
p(A -
ÍA H
B))
-
‘ p íB
H A ) -
p íB
-
A)
-
p íB
-
ÍA
H B ))
-
’ 8)
.
S,
p ( A A B)
S O L O C I O M
7)
sucesos
B)
p (X )
6) 8)
-
A
p íA
A B)
-
p ííA
-
P ÍA n
O g) B)
U ÍB n Á ) ) + p <B
n
Á)
3
á’
1
|
1
1
n
B)
* 8
-
5• l
píA - 1
i
p íB )
l
p í A O B) - 1
i
, p or d e f i n i c i A n d e d i f e r e n c i a , p or s e r A O B y B O A in c o m p a ti b le s.
-¡♦i-i
píA)
-
7 . 1 2, traen c ir
Una u r n a c o n t i e n e
sim u ltá n e a m e n te d os
en
la
u rn a ;p o s te rio rm e n te se
s im u ltá n e a m e n te ). H a ll a r que
lo s
36,
y que
36 b o l a s
de d ic h a s
núm eros que adem ás,
da e x tra c c ió n
la
saca
en
p rod u cto de
no s e a
la
lo s
y
otro
p ro b a b ilid a d
se o b tie n en
e l
1
num eradas d e l b o la s
a l
se v u e lv e n p a r de
del
36. a
b o la s
Se ex
in tro d u (ta m b ié n
suceso c o n s is te n te
p rim e ra
e x tra c c ió n
en
n o sumen
núm eros o b t e n i d o s e n
la
según
36. (SELECTIVIDAD -1976)
S O L D C I O B Sean
:
A
" l o s d o s números o b t e n id o s en l a . p r i m e r a e x t r a c c i ó n no suman 36"
B
" l o s dos números o b t e n id o s en l a segunda e x t r a c c i ó n t i e n e n un produc t o d i s t i n t o de 36"
Los sucesos A y B son ev ide n te m e n te in d e p e n d i e n t e s , p or ta n to p (A n B) - p ( A ) . p (B ) a)
C á l c u l o de l a p r o b a b i l i d a d de A. A p lic a r e m o s l a r e g l a de L a p la c e : I o) Casos p o s i b l e s
de e x t r a e r dos b o l a s :
"j "
"
2o) Casos f a v o r a b l e s ; La p rim era
bola es e l
1 : Las p a r e j a s que cumplen l a c o n d ic ió n v a r í a n e n to n c e s d e l 1-2
a l 1-34, en
total
: 33
La p rim era b o la
e s e l 2 : V arían d e l 2-3 a l 2-33
en
tota l
: 31
La p rim era b o la
e s e l 3 : V arían d e l 3-4 a l 3-32
, en
total
: 29
La p rim era b o la
e s e l 4 : V arían d e l 4-5 a l 4-31
en
tota l
: 27
en
total
;
La p rim era b o la e s e l 16 : V aría n d e l 16-17 a l
16-19,
La p rim era b o l a e s e l 17 : La ún ic a p a r e j a es l a 16-17 ,
3 1
P or t a n t o , e l número t o t a l de p a r e j a s v i e n e dado por : 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 27 + 29 + 31 + 33 “ 289
b) C á l c u lo de l a p r o b a b i l i d a d de B. 1 * ) Casos p o s i b l e s - 630
( l o s mismos que e n a ) - l ® ) )
2®) Casos f a v o r a b l e s ■ 630 - 5 ■ 625 6 -6
, p u e s to que
1-36 ,18-2 ,1 2 - 3 ,9 -4 y
son l o s c a s o s d e s f a v o r a b l e s d e l suc eso B
De a) y b) s e s i g u e que :
p (A n B) = p ( A ) . p ( B ) =
o o o O o o o -----
•
0.455
7 . 1 3 . H a l l a r l a p r o b a b ilid a d d e o b t e n e r dos c a r a s al
4
y
cruces
l a n z a r 6 m onedas s o b r e una mesa. ¡SELECTIVIDAD - 1976)
S O L O C I O H En e l
:
l a n z a m i e n t o d e una moneda l o s r e s u l t a d o s s o n d o s : Cara ( C ) y Cruz ( X ) .
Su p r o b a b i l i d a d e s s on : P (C ) - p (X ) - i I Vanos a c a l c u l a r l a p r o b a b i l i d a d d e l s u c e s o p e d i d o p o r l a " r e g l a de L a p l a c e " . a ) Casos p o s i b l e s . Cada moneda t i e n e d o s p o s i b i l i d a d e s , c on l a s 6 e s Número
l u e g o e l número d e r e s u l t a d o s p o s i b l e s
:
de c a s o s p o s i b l e s = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
- 26 - 64
b ) Caso f a v o r a b l e s . Un r e s u l t a d o f a v o r a b l e e s
:
C
C
X
X
X
X
o tam bién
:
X
C
X
C
X
X
Es e v i d e n t e que
lo s casosp o s ib le s
r c p e t i c i S n de 6
elem en tosde l o s c u a le s
v i e n e n d a d o s p or l a s uno
„ 4 ,2
6! , 2¡
Numero d e c a s o s f a v o r a b l e s : De a ) y b )
se sigu e que la p ro b a b ilid a d e s
ser e p it e "
p e r m u t a c i o n e s con
2 v e c e s y o t r o 4.
1 .2 .3 .4 .5 .6 1 2 3 4 1 2 “
,,
:
P r o b a b i l i d a d d e o b t e n e r 2 c a r a s y 4 c r u c e s - -g|- • o o o O o o o -----
7 . 1 4 la s
. H a lla r
caras
la
v is ib le s
p ro b a b ilid a d de
un d a d o
de
que
que
se
la
la n z ó
suma d e al
de 5. S O L
p u n tos
sea
de
m ú ltip lo
( SELECTIVIDAD - 1976)
ü C
I
O
L a s sumas q u e s e
El
azar,
lo s
pueden o b t e n e r son
1 no e s v i s i b l e
:
:
2 + 3 + 4 + 5 + 6
-20
2 no e 3 v i s i b l e
:
1 + 3 + 4 + 5
j*
5
El
3 no e s v i s i b l e
:
1 + 2 + 4 + 5 + 6
=18 A
5
El
4 no e s v i s i b l e
:
1 + 2 4 3
-1 7
5
El
5 no e s v i s i b l e
:
1 + 2 + 3 + 4
+ 6
-1 6
j»
5
El
6 no e s v i s i b l e
:
1 + 2 + 3 + 4
+ 5
-1 5
-
5
Por tan to
,
-
casos fa v o r a b le s - 2
-
casos p o s ib le s
+ 6
-1 9
5
El
+ 5
+ 6
-
j*
- 6
p r o b a b ilid a d d e que l a
suma s e a m ú l t i p l o d e 5, -
g -
^
7. 15. de
H a lla r
suc u a d r a d o
tra rio
es
la y la
ig u a l a
S O L O C I O H Sea A e l s u c e s o
p ro b a b ilid a d del
^
d e un
s u c e s o .s a b ie n d o quel a
cu ad rad o de la
p ro b a b ilid a d
.
suma
d e l s u c e s o con
ISELECTJVIVAD -1976)
: y
x su p r o b a b i l i d a d
Ento nces e l s u c e s o c o n t r a r i o
, e s d e c ir , p (A ) = x .
, A , tie n e por p rob ab ilida d
:
p (A ) - 1 - p (A ) - 1 - x El enunciado d e l pro blema s e tr a d u c e e n l a s i g u i e n t e e c u a c ió n : x 2 + (1 - x ) 2 - l
~
x 2 + 1 - 2 x + x2 ■ | 18x2 -
18x + 9
- 5
18x2 -
18 x + 4
- 0
9x2 -
9x + 2
=0
“ “ «=*
Y r e s o l v i e n d o l a e c u a c i ó n d e segundo g r a d o r e s u l t a n t e , s e t i e n e :
6 x 2 " 18 '
y
Por t a n t o ,
1 3 2 r
p (A ) •
, o tam bién
1 p (A ) ■ - .
o o o O o o o -----
7■ 1 6 .
H a lla r
la n za m ie n to s
la
p ro b a b ilid a d
de ob ten er
d e un d a d o .
m enos
un 3 ”
:
Sean
A e l suc eso
" s a c a r un 3 e n e l p r im e r d a d o "
B e l suc eso
" s a c a r un 3 e n e l segundo d a d o "
y , e n to n c e s e l suceso
" o b t e n e r a l menos un 3 e n dos l a n z a m ie n to s de un dado" e s l a unión de
l o s s u c e s o s A y B , e s d e c i r , C = A U B. P or t a n t o , p (C ) - p (A U B) - p ( A ) + p ( B ) -
p
( A H
b)
■g + g - ; ^ ”
^
Veamos ah ora como s e r e s u e l v e e s t e pro blema p or l a " r e g l a d e L a p l a c e " . a) Los r e s u l t a d o p o s i b l e s b)
a l t i r a r d o s dados son 36.
Los r e s u l t a d o s f a v o r a b l e s a l s u c e s o C son : 31,32,33,34,35,36
Ueg0’
en dos
\ J R V -V 1 1 - 1 1 )
S O L U C I O N
C
”a l
p(C ) .
■£
, 1 3 ,2 3 ,
4 3 ,5 3 ,6 3
7 . 1 7. dos
¿Cuál
es
la
p ro b a b ilid a d
de
ob ten er
9 o
dados?
con
iS E L E C T J V lM ) -1976)
S O L O C I O H Sean
10 p u n t o s
:
A
e l suceso "s a c a r
9 puntos c on d o s d a d o s "
y
B
e l suceso "s a c a r
10 p u n t o s c on d o s d a d o s "
, l o s s u c e s o s A y B s e pue
den e x p r e s a r e n t o n c e s a s í : A
- {6 3
, 54
, 45 .
B
- {6 4
, 55
, 46}
Siendo 1' a)
36}
“ ado p o s i b l e s , a l
Prot
t i r a r dos dados,
36 , s e t i e n e
d e l suceso A :
p (A ) •
b)
P ro b a b ilid a d d e l suceso B :
p(B ) ■
c)
Como l o s s u c e s o s A y B s on s u c e s o s i n c o m p a t i b l e s 3 e rá
que
:
^ - ■— , la pro b ab ilida d
p e did a
:
p (A
o
B)
- p (A ) + p(B ) - - j g +
HOJA: N ó te A e que , A o B
*
{ 6 3 , 54 , 45 , 36 , 64 , 55 , 4 6 }
y a p lic a n d o l a
" a e g t a d e L a p la c e " o b te n e n o A
e l A e A u lta d o a n t e ó l o * .
o o o O o o o -----
7 . 1 8 dad
de
¿Cuál
.S e
o b ten er es
la
ha cara
es
una m oneda
trip le
p ro b a b ilid a d
S O L O C I O H Sean
tru ca d o
de
que
cada
ta l
form a
p ro b a b ilid a d
suceso
"ca ra "
y
que de
la
p ro b a b ili
o b ten er
cru z.
"cru z"?.
:
C
e l suceso
"obtener cara"
X
e l suceso
"obtener c ru z",
a)
C O X ■ 0
b)
p ( C ) - 3 p (X )
c)
p (C U X) - P ( C ) + p ( X ) -
d)
C U X - E
De e s t a s
la
de
y entonces se t i e n e :
, e s d e c i r , C y X s on s u c e s o s i n c o m p a t i b l e s .
p(C n X)
, s ie n d o E e l suceso c i e r t o .
rela cio n e s
se s igu e :
l - P ( E ) - p (C U X) - p(C> + p ( X ) - p ( C n X) - p (C ) + p(X ) -
3 p (X ) + p (X )
- 4 p (X )
,
d e don de
p (X ) - ¿
, y por tan to.
7 . 1 9 la n za r
.H a lla r
tres
la
p ro b a b ilid a d
de que
lo s
p u n tos
o b te n id o s
al
dados,
a)
sum en 3
b)
sum en un m ú l t i p l o
de
3. ISFLECTIl/IPAP -
S O L U C I O N
1975)
:
a ) Sea A e l s u c e s o "suma de l o s p u n t o s d e l o s t r e s dados e s 3 " , e n t o n c e s A ■ {1 1 1 } p(A ) - p ( l l l )
, es d e c i r ,
en l o s t r e s d a d o s s e d e be o b t e n e r 1.
- p (l).p (l).p (l)
-
I
. I
. i - -L
N ó t e s e que l o s c a s o s f a v o r a b l e s s on I y l o s c a s o s p o s i b l e s son 216. b ) Sea B e l s u c e s o "6uma d e l o s puncos d e l o s t r e s d a d o s m ú l t i p l o de 3 " , c n t o ces 1) 2)
resu ltad os
cuya suma es 3
:
resu ltad os
cuya suma es 6
:
111 114 • 141
. 411
123 • 132 , 213 , 231 , 312 , 321 3)
resu ltad os
cuya suma es
12 :
651
» 615 , 516 . 562 . 156 ,
165
642 • 624 , 426 , 462 . 246 . 264 633 • 363 , 336 552 t 525 . 255 543 • 534 . 435 , 453 , 354 , 345 444 4)
resu ltad os
cuya suma es
Por ta n to , casos fa v o ra b le s
18 :
666
: 36
casos p o s i b l e s
P (B ^
:216
36
1
216
6
o o o O o o o -----
7 . 2 0 la n z a r
.¿ C u á l
tres
A el
la
p ro b a b ilid a d
de
sacar
tres
dados?
S O L U C I O N Sean
es
(tre s
1)
al
\ J R V -V U - 7 }
:
suceso" s a c a r
as
e n e l p r im e r d a d o "
B
el
s u c e s o " s a c a r a s en
e l segu ndo dado"
C
el
su ceso" s a c a r a s en
e l tercer
suceso i n t e r s e c c i ó n
ases
"A y B y C"
es
P Í A y B y C) = p ( A ) . p ( B ) . p ( C )
dado" , entonces l a p ro b a b ilid a d del
: -
g . g . g -
~
ya que l o s s u c e s o s A,B y C s on i n d e p e n d i e n t e s . Tam bién s e puede a p l i c a r l a " r e g l a d e L a p l a c e " .En número d e c a s o s f a v o r a b l e s es 1
y e l número de c a s o s p o s i b l e s e s 2 1 6 y su c o c i e n t e 1/216 e s l a p r o b a b i l i
dad d e l s u c e s o A O B n C.
7. ner
2 1 las
.Un
dado
está
distintas
trucado
caras
es
de
modo
proporcional
Se
pide
a)
Probabilidad
de
cada
b)
Probabilidad
de
sacar
un
número
c)
Probabilidad
de
sacar
un
múltiplo
a
la los
probabilidad números
de
de
obte
estas.
:
S O L U C I O N a)
que
una
de
las
caras par de
3
:
Sea x l a p r o b a b i l i d a d de s a c a r 1 , e s d e c i r
,p ( 1 )
p ( 2 ) - 2x , p ( 3 ) - 3x . p<4) - 4x , p<5) - 5x ,
■ x , entonces
p<6) -
P or s e r 1 , 2 , 3 , 4 , S , 6 elem entos d e l e s p a c io m u e stra l, dades e s 1 , e s d e c i r
6 x ).
l a suma d e l a s p r o b a b i l i
,
p ( l ) + p ( 2 ) ♦ p ( 3) ♦ p ( 4 ) ♦ p ( 5 ) + p ( 6 )
- x ♦ 2 x ♦ 3x ♦ 4x ♦ 5x ♦ 6x -
21x
Luego . * • Por tan to,
p< 1) - -yj-
, p (2 ) -
, p (3 ) -
, p (4 ) -
, p (5 ) = ~
P<6) - - j r
b) p C ' s a c a r p a r " ) - p ( { 2 , 4 , 6 ) ) - p ( 2 ) + p < 4 ) + p ( 6 ) c)
p C 's a c a r m lílc ip lo de 3 " ) - p < {3 ,6 > ) = p ( 3 ) + p ( 6 )
- -j f
-
o o o O o o o ----
7 . 2 2 haga zar
.L a
b la n c o e l
p r o b a b ilid a d en
e l
o b je tiv o ,
S O L U C I O N E l suceso
de
o b je tiv o s i
se
que
es
t ir a n
una
bom ba
1/3. H a l l a r tre s
bom bas
la n z a d a la
B-
"h acer
b l u n c o en
e l o b je tiv o
c on
l a segunda bomba",
C-
"h acer
b la n c o en
e l o b je tiv o
c on l a
t e r c e r a bomba",
entonces , i -
a le a n
e s e l s u c e s o c o m p le m e n ta r io d e 5 ,
= " h a c e r b la n c o en e l o b j e t i v o c on l a p r i m e r a bomba",
p (D ) •
a v ió n de
:
D ■ "h a c e r b la n c o en e l o b j e t i v o "
A
un
s e g u id a s .
D ■ "n o h a c e r b l a n c o e n e l o b j e t i v o " Sean
por
p r o b a b ilid a d
p (D ) •
i -
p (Á n
•
l -
p(X).p(B).p(C)
. 1
2
T
b
2
• T
n c)
2
’ T
.
I
1 -
8 - 19
27
7T
7.
2 3 .
En u n a l o t e r í a
m en te
desde e l
ga
p rim e r
e l
fra s
0000
al
lo s
b ille te s
9999.C a lc u la r
p re m io a lg u n o d e
d is tin ta s ,ta le s
com o
:
lo s
está n la
num erados
p ro b a b ilid a d
núm eros
que
s o lo
ten g a n
tres
c i
0 0 9 4 ,0 2 1 0 ,8 5 5 0 ,9 6 7 6 ,3 2 8 3 ,...
=
s o l ü c i o h
c o n s e c u tiv a de que ob ten
t im
m
m
i
Aplicarem os l a r e g l a de Laplace. a ) Casos p o s i b l e s : 10000 b) Casos f a v o r a b l e s
:
I o) Las p o s i b i l i d a d e s d e e l e g i r t r e s c i f r a s d i s t i n t a s e s : -
-
120
2o) Cobo s e ha de r e p e t i r una d e l a s c i f r a s d e c ada grup o , c ada uno d e e s t o s 120 no s d a t r e s nu evas p o s i b i l i d a d e s , 120.3
y tendremos e n to n c e s
- 360
3o) Cada uno de e s t o s 360 g ru p o s e s d e l a
forma
aab e , a b b c . a b c c . S i permuta
mos l a s l e t r a s obtendremos f i n a l m e n t e t o d o s l o s números p o s i b l e s . A s í e l grup o
aabe da l u g a r a
12 números
pl "
" 12
P or t a n t o , e l número de b i l l e t e s
fa v o ra b le s e s
P r o b a b i l i d a d d e o b t e n e r e l p r i m e r p rem io -
, p u e s to que
:
360.12 = 4320.
- 0 '4 3 2 1 0000
o o o O o o o -----
7. 2 4 .
Los
p e n d ie n te s
y
H a lla r rra
la
sucesos A tie n e n
p ro b a b ilid a d
uno d e
lo s
dos
S O L O C I O N C on sid erem o s l a lo s
se
un e x p e r i m e n t o
de
que
al
,
p (A )
re a liz a r
e l
=
a le a to rio p y
p (B )
son =
e x p e rim e n to
in d e
q. s o lo
ocu
:
fig u ra
tie n e
B de
p ro b a b ilid a d
sucesos.
a d ju n to .
s u c e s o s co m p lem en ta rio s
tiv a m e n te ,
y
por
que
el
S i A y B son
de A y B re s p e c su cesos p e d id o
es
A A B - (A O B) U (X n B) Por tan to : p ( (A n § ) U ( A n B »
“
p ( A O B)
+
p (A
O B)
=
p (A )p (B )
+
p (A )p (B )
, y a que l o s s u c e s o s A f l B
y ADB
son i n c o m p a t i b l e s , , ya que l o s s u c e s o s A y B , A y B son in d e p e n d ie n t e s »
p (l-q )
+
(l-p )q
, ya que p ( A ) -
I - p
p (B ) -
1 - q
y
7 . 2 5 . ga
por
¿Cuál e s
suma
,
o
la
b ie n
p ro b a b ilid a d 3
, o
b ie n
de que a l
4
, o
b ie n
la n z a r d os
5?.
S O L O C I O M : Sean
A el
d a d o s ,s a l
IJ K V -V 1 1 -6 )
suc eso
"sacar
3
puntos
con
dos
B e l suceso
" s a c a r 4 puntos con d o s d a d o s " y
C e l suceso
" s a c a r 5 puntos con dos
dados" ,
dados"
,
en to n c e s l o s sucesos
A.B y
C s e pueden e x p r e s a r también a s í : A
- (2 1 , 12}
B
- (31
. 22 . 13}
C
- (41
. 32 , 23 . 14}
Recordemos que e l número de c a s o s p o s i b l e s a l t i r a r dos dados e s 3 6 . Por t a n t o . PÍA o 1 o O
■ P Í A ) + P ÍB ) * P ÍC ) -
—
7 . 2 6 Se
, Una u r n a c o n t i e n e
extrae
a)
una a l
azar.
4 -
+
4 -
-
4 -
-
o o o O o o o -----
8 b o la s
D e te rm in a r
Sea r o ja
♦
ro ja s ,
la
d)
No s e a
b)
Sea a m a r illa
e)
Sea
c)
Sea v e rd e
f)
No sea
5 a m a rilla s
p ro b a b ilid a d
de
,7
que
verdes. :
ro ja
ro ja
o
verde
verde. ( J R V - V I I - I 3)
S O L U C I O N Sean
:
A
e l suc eso
"s a c a r bola
B
e l suc eso
"s a c a r bola a m a r illa " y
ro ja "
,
C
e l suc eso
"s a c a r bola ve rd e ".
a)
8 P <A) " « T T T T T
b)
p (B ) -
c)
P ÍC ) - - 1 -
d)
El suc eso " s a c a r b o l a NO r o j a " e s e l suc eso c o n t r a r i o d e l A. P or t a n t o ,
‘
8 2 20 = 5
±
p í í s a c a r b o l a no r o j a } ) e)
3 ■ 5
E l suc eso " s a c a r b o l a r o j a o v e r d e " e s e l suc eso unió n de p (A U B) = p ( A ) + p íB ) -
f)
2 ■ 1 - p (A ) = 1 - 5
-
A y B. Por t a n t o ,
-1
E l suc eso " s a c a r b o l a NO v e r d e " e s e l s u c e s o c o n t r a r i o d e l C. P or ta n to , p í í s a c a r b o l a no v e r d e } ) - 1 - p ( C ) = 1 -
^
7.
2 7 .
v iv a n
La p r o b a b ilid a d
50 m ás e s
0 .6
y
de
0 .7
que
un h o m b re
P ro b a b ilid a d de que v iv a n
b)
P ro b a b ilid a d de que v iv a
s o lo
e l
c)
P ro b a b ilid a d de que v iv a
s o lo
la
d)
P ro b a b ilid a d de que v iv a
al
e)
P ro b a b ilid a d de que no v iv a
Sean
una
re s p e c tiv a m e n te .S e
a)
S O L U C I O N
y
después
de
m u je r
c a s a n .S e
de
18 a ñ o s
p id e
:
50 a ñ o s
hom bre m u je r
m enos
uno d e
n in g u n o
de
lo s
lo s
dos
dos.
:
B e l suceso " l a
m u je r v i v e
A e l s u c e s o " e l hombre v i v e
50 a ñ o s más"
,
50 a ñ o s m ás"
,
A y B lo s sucesos c o n t r a r io s de A y B resp e c tiv a m e n te . E n to n c e s : a)
p ( " v i v a n d e s p u é s de 50 a ñ o s " ) ■ p ( A H B) • p ( A ) . p ( B )
b)
p ( " v i v a s o l o e l h o m b r e ") ■ p ( A n B ) - p ( A ) . p ( B )
■ 0 .6 x 0 .7 -
0.42
c)
p C 'v iv a s o lo la m u jer")
d)
p C ' v i v a a l menos uno de l o s d o s " ) - p ( A U B) ■ p ( A ) + p ( B ) - p ( A H B)
■ 0 . 6 x 0 . 3 ■ 0 .18
=> p ( A n B ) - p ( A ) . p ( B ) - 0 . A x 0 . 7 - 0 . 2 8
- 0 .6 + 0 .7 - 0.42 -
c)
0.88
E l s u c e s o " n o v i v a n in g u n o d e l o s d o s " e s e l s u c e s o c o n t r a r i o de " v i v a a l menos uno d e l o s d o s " por tan to, p ( " n o v i v a n in g u n o d e l o s d o s " ) • -
l - p C ' v i v a a l menos uno d e l o s d o s " ) 1 - 0 . 8 8 - 0 .12
o o o O o o o -----
7 . 2 8 na
urna
. ¿Cuál que
p la za m ie n to
es
la
c o n tie n e y
s in
p ro b a b ilid a d 14
b o la s
de
b la n c a s
sacar y
dos b o la s
16 b o l a s
b la n c a s
n egras,
é l? .
con
de
u
reem
[J K V - V lI - í )
S O L U C I O N
:
Sean
A e l suceso
" s a c a r b la n c a en l a p rim era e x t r a c c i ó n "
B e l suceso
" s a c a r b l a n c a e n l a segunda e x t r a c c i ó n " .
Veamos c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d en c ada uno d e l o s c a s o s
:
a ) Con r e e m p l a z a m ie n t o .
. -1^- -
p (A y B ) - p(A O B ) ■ p ( A ) . p ( B ) -
- yy . - jy
b ) S i n r e e m p l a z a m ie n t o . 14
13
7
13
91
=
7 . 2 9 . n
tira d a s
H a lla r
la
de
dados.
dos
p ro b a b ilid a d
de
ob ten er
a l
m enos
un
6 d o b le
en
(SELEC TIVID AD - 1976) S O L U C I O N Sean
La
Aj
:
el
suceso
"s a c a r 6 d o b le en
ln p rim era
tira d a ".
Ay e l
suceso
" s a c a r 6 d o b l e en
l a segunda
tira d a ",
A^
suceso
"s a c a r 6 d o b le en
la tercera
el
• ••
•••
A
suceso
n
e l
p ro b a b ilid a d
P Í A )
••• ♦••
•••
será
U A 2
-
1
- p (A . U A . U A . Ü
■
i
- p í Á j
l
■
1
U
3
. . .
¿
n
n
3
Á
n -é s im a
A
e l
.
tira d a ",
suceso dado
,
:
U A n )
J
2
Á
,
•••
la
n
...
U A
. . .
n
n
)
Á n )
p í Á J) p í Á 2 ) p í Á 3 )
_ 1
A
s ie n d o
p ( A j
-
U
,
=
1 -
•••
" s a c a r 6 d o b l e en
p e d id a
tira d a "
p íA n> ,
ya
que
lo s
sucesos
son
in d e -
p en d ien tes, . ya y a <lue q u e t o d o s l o s s u c e s o s t i e n e n l a misma p r o b a b i lid a d ,
-
»
ya
*1u c ¿ e
l° s
dados s o lo Aj
es
e l
co m p lem en ta rio
,
su
36
e l
p ro b a b ilid a d
ca so s que es
66
re s u lta n
fa v o ra b le
,
al
tira r
por
tan to
dos como
será
o o o O o o o -----
7 la
. 3
0
.D e
una
p ro b a b ilid a d
S O L O C I O H
b a ra ja de
que
de
40 c a r t a s
sean
dos
se
sacan
dos
a l
a z a r.H a lla r
reyes.
=
(S E L E C T m m
-
.9 ,6 ,
P r i m e r m étod o : a)
El
núm ero d e
p o s ib ilid a d e s
de
e le c c ió n
de
dos ca rta s
b)
El
núm ero d e
p o s ib ilid a d e s
de e le c c ió n
de
dos
A p lica n d o
la
re g la
de L a p la c e
p ro b a b ilid a d Segundo m étodo Sean
A B
p e d id o azar Por
v ie n e
de dos tan to
,
se
de
tie n e
:
es
:( 2 ) '
T ~ T "^
:
sacar dos
reyes
-
^
-
-y jQ
:
e l suceso el
,
reyes
es
suceso
"sa ca r
rey
en
la
p rim e ra
e x tra c c ió n "
"sacar
rey
en
la
segunda
e x tra c c ió n "
d a d o como ca rta s p (A
es n
la
in te r s e c c ió n
e q u iv a le n te _
a
de
la
p (A )> p (B / A )
A y
B,
p u estoque
e x tra c c ió n „
#
la
,
en ton ces
e x tra c c ió n
al
s u c e s iv a s in re e m p la za m ie n to . . _ í_
„
e l su
7 . 3 1
.
e s p a ñ o la
H a lla r
la
un
rey
y
un a s
2 o)
un
rey
o
un a s
dos
e x tra c c io n e s
de
la
p rim e ra
s u c e s iv a s ,d e v o lv ie n d o
e x tra c c ió n .
S O L U C I O N el
A
ob ten er
al
a za r.d e
una b a r a j a
reyes
en
Sean R
de
:
I o)
3®)
p ro b a b ilid a d
la
ca rta
a
la
iS tttc U v id a d -
b a ra ja
después
1975 - J W - V U - t O )
:
suceso " s a c a r
e l suceso " s a c a r
R* e l suceso " s a c a r
un r e y
en l a
p rim era e x t r a c c ió n "
un as e n l a se gu n d a e x t r a c c i ó n " un r e y
en l a
, y
segunda e x t r a c c i ó n " .
1 * ) E l s u c e s o " s a c a r un r e y y un a s " e s e l s u c e s o i n t e r s e c c i ó n d e R y A , y a d e más s on s u c e s o s i n d e p e n d i e n t e s . P o r t a n t o p C ' s a c a r un r e y
y un a s " ) - p ( R n A )
,
- p (R ).p (A )
4
-
4
1
2 ° ) E l s u c e s o " s a c a r un r e y o un a s " e s e l s u c o s o unió n d e R y A , y además son i n c o m p a t i b l e s . P o r t a n t o
,
p C ' s a c a r un r e y o un a s " ) - p ( R U A ) - p ( R ) ♦ p ( A ) - A
+
- A
• ^
3 #) E l s u c e s o " s a c a r d o s r e y e s " e s e l s u c e s o i n t e r s e c c i ó n d e l o s s u c e s o s R y R*
, además s on i n d e p e n d i e n t e s . P o r t a n t o
,
p C 's a c a r dos r e y e s " ) - p(R O R * ) - p ( R ) . p ( R * )
.
. A
„ ^
o o o O o o o -----
7 . 3 2 .
Una u rn a c o n t i e n e
c o n tie n e
cu atro
da
¿Cuál
es
S O L U C I O N
:
urna.
b o la s la
tres
b la n c a s
y
b o la s
b la n c a s
y
s ie te
5 n e g r a s . E xtraem os
p ro b a b ilid a d
de
que
la s
dos
n e g ra s.O tra
una b o la
sean
de
ca
negras?. U K if-m -in
Sean
A e l suceso
"s a c a r b o la
negra de la
B e l suceso
"s a c a r b o la
n e g r a d e l a segunda u r n a " , e n t o n c e s e l s u c e s o
C
prim era
" s a c a r b o l a n e g ra en l a p rim e ra urna
secció n de lo s sucesos A y B , e s d e c ir
y
La p r o b a b ilid a d d e l suceso A e s
: p (A )
-
b)
La p r o b a b ilid a d d e l suceso B e s
: p(B )
-
S ie n d o l o s sucesos A y B in d e p e n d ie n te s P (C ) • p (A n B) - p ( A ) . p(B ) -
A
yg
, res u lta . -|- •
y
en l a segun da"
, C - A O B
a)
c)
urna"
: ■
-J g
es la in te r
7 . 3 3 la
• H a lla r
e x tra c c ió n
la
p ro b a b ilid a d
s im u ltá n e a
al
de
azar
sacar
de dos
un r e y
ca rta s
y
de
ñ o la .
un c a b a l l o una b a r a j a
ISELECTIVW AD -
S O L U C I O M
en espa 1976)
:
P rim er m étodo: La ex tra c c ió n
sim u ltá n e a de d o s
re e m p la za m ie n to .
en ton ces e l lo s
sucesos
ca rta s
e q u iv a le
a
la
ex tra c c ió n
su ce siv a
sim
Si
R
es
el
suceso
C
es
el
suceso
suceso "sa ca r RC y C R .
P (RC U CR )
"sacarrey
"sa ca rc a b a llo "
rey
Por
"
y ca b a llo
s im u ltá n e a m en te " e q u i v a l e
a
la
u n ió n de
tan to,
- p(RC ) + p(C R) ■ p (R )p (C / R ) + p (C )p (R /C ) _
A
3
4
" T O - T T
+
AO
*
3
A
8
39
390
390
Secundo m étod o: Veam os cómo ce"
se o b tie n e
I o)
Casos p o s ib le s
2o)
Casos
1®)
y
-
fa v o ra b le s
tin g u ib le s De
la
p ro b a b ilid a d
del
su c e s o p e d id o
por
la
"re g la
de
La p la
.
al
C4 0
-
ser
2 -
-
^
®
la
ex tra c c ió n
* ya
390
<,UÜ * o s
caso
CR °
Rc
*nd' s “
sim u ltá n e a .
2®) s e s i g u e q u e l a p r o b a b i l i d a d d e l s u c e s o p e d i d o e s p C 're y
son
y c a b a llo ")
-
:
^
o o o O o o o ----7 .3 4 .¿ C u á l m en te ,d o s
es
ca rta s
de
S O L U C I O M Sean
la
n u m e ra c ió n
una
B -
una c a r t a
e n to n c e s ,e l
ca rta
de
p (A O B)
-
la
b a ra ja
la a
azar
y
s u c e s iv a
e n una b a r a ja
p rim era v e z "
la
dado p o r
es p a ñ o la ?
■
p (B / A )
1
-
,
1
ya que es ryy
a n te rio r
la
y segunda v e z "
A n B.
8
p (A )
al
p (A ).p (B / A )
" p u e s to que
extra er
c o n s e c u tiv a
co n se cu tiv a
su ceso p e d id o v ie n e
P o rta n te,
de
:
A ■ "sacar "sacar
p ro b a b ilid a d
,
8
19
* el
"
Im
suceso c ie r to ,
ya que hay 8 c a r ta s cada p a lo
,
la
y
co n s e c u tiv a s
a n te rio r
y
a
una d a d a , d o s d e
s ig u ie n te .
7 . 3 5 neda
• C a lc u la r
ob ten gam os
la
p ro b a b ilid a d
n caras.
de que
a l
la n z a r
•
:
Sean
" s a c a r c a ra en e l p rim e r la n z a m ie n to " ,
C e l suceso
" s a c a r c a r a en e l
CCC e l s u c e s o
u n a mo
(J R V -V II-1 5 )
S O L U C I O N
CC e l s u c e s o
n veces
p r i m e r o y en e l s e g u n d o " ,
" s a c a r c a r a en e l
p r i m e r o , en e l
segu ndo y en e l
tercero"
•• • CCC . . . C
e l s u c e s o " s a c a r c a r a e n c a d a uno d e l o s n l a n z a m i e n t o s "
Se t i e n e entonces : CC • C n C
ccc - c n c n c ccc...c»cnc n c n . . . n c s i e n d o además t o d o s l o s s u c e s o s i n d e p e n d i e n t e s . P or t a n t o : p(CCC . . .
C) - p (C ).p (C ).p (C )
...
p(C ) = 1 . 1 . 1
.............
I
-
-i-
o o o O o o o -----
7 . 3 6 que
. En
una b a r a j a
un g r u p o d e
c in c o
de
ca rta s
40 c a r t a s
,
con ten ga
¿cuál
es
exacta m en te
la
p ro b a b ilid a d
dos
de
ases?.
[ S i t i c t i v i d a d - 1975 - J M - V U - 1 7 ) S O L U C I O N
:
Vamos a a p l i c a r l a " r e g l a d e L a p l a c e " . a ) Número d e c a s o s p o s i b l e s . L o s g r u p o s d i s t i n t o s de c i n c o c a r t a s que s e pueden f o r m a r son p r e c i s a m e n t e l a s c o m b in a c io n e s de l a s 40 c a r t a s tomadas d e 5 en 5 , e s d e c i r
,
número d e c a s o s p o s i b l e s * b ) C as os f a v o r a b l e s . C on s id e re m os que e l e g i m o s p r i m e r o l o s d o s a s e s . b l e s es
Él número d e e l e c c i o n e s p o s i
(í)
E l e g i d o s l o s d o s a s e s , h a y que e l e g i r l a s t r e s c a r t a s r e s t a n t e s . E l número e le c c io n e s para e s ta s t r e s c a r t a s es
p u e s t o que l o s a s e s no e n t r a n .
Por tan to, número d e c a s o s f a v o r a b l e s " De a ) y b ) s e s i g u e
( 2
) ( ^ )
, s i e n d o A e l s u c e s o d ad o ,
... "
M W
I Í
T
^
(3 6 3 l 3J T
~
4 .3 1.2 ' "
3 6 .3 5 . 3 4 1. 2 . 3
4 0 . 39. 3 ¿ .
3) . 3¿
t : sva. c
5
119 “
■■
—
18 278
de
7 . 3 7 . s e g u id o
C a lc u la r
de
un r e y
la y
p ro b a b ilid a d
este
de
sacar
re y ,s e g u id o de
s e g u i d o d e un c a b a l l o ,
en
un a s ,
una b a r a j a
es
p a ñ o la . a)
Con r e e m p la z a m ie n t o
b)
S in
ree m p la za m ie n to .
(J K V
S O L U C I O N
:
Sean
A e l suc eso
" s a c a r r e y e n l a p rim era e x t r a c c i ó n " ,
B e l suc eso
" s a c a r as en l a segunda e x t r a c c i ó n " ,
C e l suc eso
" s a c a r r e y en la t e r c e r a e x t r a c c i ó n " y
D el
" s a c a r c a b a l l o en l a c u a r ta e x t r a c c i ó n " .
suc eso
VJJ
9'
Veamos c uál e s la p r o b a b i l i d a d en cada uno de l o s d o s casos. a ) Con reeraplaznmiento. En e s t e cas o l o s c u a t r o sucesos A,B,C y D son in d e p e n d ie n te s y cada uno t i e n e de
pro b ab ilida d
P (A n B n C n D) -
p (a )
1/40 . P or t a n to , . p ( b) . p ( c) . p ( d ) -
b) S i n reemplazamiento. En e s t e cas o l o s s u c e s o s no son in d e p e n d i e n t e s . c a d a suc eso e s t á c o n d i c i o n a do a lo s a n te rio re s . p(a
n
b
n c n
d)
- p (A ).p (B / A ).p (c/ A n 4
4
•
4 .4 .3 .4
s i
S O L P C I O N
la
la
•
_
— . H a lla r
p ( d /a
b
n
c)
~TT
4
4
5 .1 3 . 1 9 .3 7
45695
oooOooo—
p ro b a b ilid a d
p ro b a b ilid a d
n
4
I T
4 0 .3 9 .3 8 .3 7
7 . 3 8
.
3
" 4 0 - 1 9 -
p e n d ie n te s
b)
de
g a n a r dos
de ganar
de
c u a lq u ie ra
:
tres
ju e g o s
de e l l o s
es
in d e 0 ,0 1 .
IS F IE C T IW M D -19751
S i designamos p or G ganar un p a r t i d o y p or P p e r d e r l o , en to n c e s l o s c a s o s f a vora b lea s o „ :
GCP
, CPG , PGG
Por t a n t o , p C'ganar dos j u e g o s de t r e s " ) - p(GGP U GPG U PGG) - p(CCP) + p(GPG) + p(PGG) - p (G )p (C )p (P )+ p (G )p (P )p (G )+ p (P )p (G )p (C ) - 3 . p ( G ) p ( G ) p ( P ) - 3 . 0 , 012 . 0 ,99 - 0,000297
7. 3 9 . Se
extrae
Se
tie n e
una b o l a
u rn a ,ex tra em o s Se p id e a) b)
con
4 b o la s
a za r,a n o ta m o s
su
b la n c a s c o lo r,y
La
p ro b a b ilid a d
d e v o lv e rla
a
la
de
cada
uno de
lo s
su cesos e le m e n ta le s
del
espa
m u e s tra l. :
re s u lta d o s p o s ib le s
es p a cio
En l a la s
s in
n egras.
b o la .
son
B la n ca -B la n c o B la n ca -N e g ra N eg ra -B la n ca N egra -N egra
a)
tres
m u e s tra l.
S O L U C I O N
y el
y
:
e s p a c io
Los
al
una s e g u n d a
El
c ió
a)
una u r n a
m u estral es
fig u ra
b o la s .
s e ha
S ie n d o
:
se ñ a la d o
E la s
(V éa se l a
fig u ra )
(B B ,B N ,N B ,N N ) p ro b a b ilid a d e s
sucesos d e p e n d ie n te s
,
se
de e x tra cció n
tie n e
d e c a d a una d e
:
O
p (8 8 )• p {8 lp (S / 8 )
» y
p lB N )• p(8|p|N/8]
. |
2 p(W B }- p (V ]p (B / N ) ■ y
Q
p ( N N ) . p(N)p(W/W) • \
o o o O o o o -----
7 . 4 0 . En una c a j a ro ja s .E x tra y e n d o dos de ob ten er
una b o la
a)
R ep o n ie n d o
b)
S in
la
ten em os b o la s
negra
dos b o la s
b la n c a s ,
s u c e s iv a m e n te ,¿ c u á l s e g u id a
de
una n e g r a
es
la
s ie te
una b l a n c a ? .
b o la IJ R V -V 1 1 -1 6 )
re p o n e rla .
S O L U C I O N
:
Sea
" s a c a r una b o l a
negra" b la n c a "
N
e l suceso
B
e l suceso
" s a c a r una b o la
NB
e l suceso
" s a c a r una b o l a b l a n c a s e g u i d a d e una n e g r a "
Veamosa h o r a c u á l e s
y
p ro b a b ilid a d
la
p ro b a b ilid a d
en cada
unod e l o s
casos
p e d id os.
a ) R e p o n ie n d o l a b o la . p(NB) - p(N O B) ■ p ( N ) . p ( B )
• iV b)
, ya que l o s s u c e s o » son
• -n r
“
independientes
j ó
S in r e p o n e r l o b o l a . P (NB) - p(N O B) - p ( N ) . p(B/N) 1
2
1
■nr • —
15o o o O o o o ----
7
. 4
1 . A
D e e l l o s , 80 de
que
dos
un
co n g re so
h a b la n
de
fra n c é s
c o n g r e s is t a s
c ie n t íf ic o s
y
40
e le g id o s
in g le s . a l
azar
in té r p r e te ? . S
1)
O
L
O
Sean
C
I
O
a s is te n ¿C u ál no
es
100 la
puedan
c o n g r e s is ta s . p r o b a b ilid a d
e n te n d e rs e
s in
(P R E U N IV E R S IT A R IO ) H
:
F
■ { » / x es
un c o n g r e s i s t a que h a b la f r a n c é s }
I
- { x / x es
un c o n g r e s i s t a que h a b l a i n R l é n }
entonces , C ard(P U I ) es d e c i r , de don de ,
100 C ard (P O I )
P or c a n c o , a ) Número b ) Número c) 2)
- C a r d ( F ) + C a r d ( l ) - C a r d (F O I )
Vamos a h a l l a r
80
-
+
40
- C a r d ( F n 1)
20.
d e c o n g r e s i s t a s que habla n s o l o f r a n c é s
= 60
d e c o n g r e s i s t a s que h a b la n s o l o i n g l é s
-
20
Número d e c o n g r e s i s t a s que hablan f r a n c é s c i n g l é s ■ 20 l a p r o b a b i l i d a d a p l i c a n d o l a " r e g l a de L a p l a c e " .
a ) Número de c a s o s f a v o r a b l e s . Cono hay 60 c o n g r e s i s t a s que no saben i n g l é s y 20 no saben f r a n c é s , e l número d e p a r e j a s que no s e e n t i e n d e n e s : 20 . 60
-
1200
b) Número d e c a s o s p o s i b l e s . E l número de p a r e j a s que s e pueden form a r c on Ion 100 c o n g r e s i s t a s e s (,0 0 ).
100.99
2J Por tan to,
T
I
4 950
l a p r o b a b i l i d a d p e d id a , p , es 1 200
P
T W
8
IT
o o o O o o o -----
:
7.
4 2 .
g u ie n te s
D e te rm in a r
sucesos
p ro b a b ilid a d
A p a ric ió n
b)
La
o b te n c ió n
d e 6 pu n tos
c)
La
a p a ric ió n
do ca ra
un nú m ero p a r
la n za m ien to s
S O L D O a ) Sea A e l
p para
cada
uno de
lo s
s i
:
a)
100
de
la
en
en
en
una s o l a
e l
p re v io s
una t i r a d a
de
tira d a
la n z a m ie n to
a p a re c ie ro n
54
un d a d o e q u i l i b r a d o . d e un p a r
de dados.
d e una m o n e d a ,s i
en
caras.
1 0 .
:
IJW-»II-«|
s u c c h o
" s a c a r par a l t i r a r un d a d o " . e n t o n c e s
e s p a c io eq u ip rob a b le s e t i e n e p (A ) ■ p ( ( 2 , 4 , 6 } )
A
■
{ 2 . 4 , 6 )
.S ien d o e l
:
- p < {2 })
+ p ({4 })
+ p( { 6 } )
■ g + g + g
■ g ■ ^
También s e puede a p l i c a r l a " r e g l a de L a p l a c c " ... P (A ) ' b ) Sea
B
ces
el
cosos fa vo ra b les c a s is p o s ib le s
3 "
1 "
6
2
s u c e s o " o b t e n e r 6 puntos en una s o l a t i r a d a de d o s d a d o s " , e n to n
B - (5 1 ,4 2 ,3 3 ,2 4 ,1 5 }
. Sien do e l
e s p a c io equ ip rob ab le r e s u lt a
P ÍB ) - p < (5 1 ,4 2 .3 3 .2 4 ,5 1 )) - p ( { 5 l ) )
:
+ P( { 4 2 ) ) ♦ p < {3 3 )> ♦ P < (2 4 )) ♦ p< (5 1 })
' 5 y a que l a p r o b a b i l i d a d d e l un s u c e s o e l e m e n t a l e s
—— 3b
A p l i c a d o l a " r e g l a de L a p l a c e " s e o b t i e n e e l mismo r e s u l t a d o p u e s to que l o s c a s o s f a v o r a b l e s son 5 y l o s c a s o s p o s i b l e s 36. c)
S i l a moneda f u e s e e q u i l i b r a d o l a p r o b a b i l i d a d de s a c a r c a r a o c r u z s e r í a j , a q u í , s i n embargo,debemos c o n s i d e r a r l a p r o b a b i l i d a d e m p í r i c a d e d u c id a de l a s e r i e d e l o a 100 p ri m e r o s l a n z a m i e n t o s . P or t a n t o , l a p r o b a b i l i d a d de s a c a r c a r a e s
:
o o o O o o o -----
7 . 4 3 0 .7 5
.
.S e
Se
tira n
tie n e 1000
p ro b a b lem e n te
s a ld rá
S O L U C
N
I O
una m oneda
la n z a m ie n to s .
.
cuya
H a lla r
e l
p ro b a b ilid a d núm ero d e
de
veces
cara que
cara.
:
A plican do l a r e g la de Laplace se t ie n e
'
ta ra d a
. c s s o i ^ r s ^ r.i M e s casos p o s i b l e s
:
entonces ’
o 75 .
, >. pl)r e , „ t 0 1000
Número de v e c e s que s a l d r á p ro b a b le m e n te c a r a - n ' - 0 .75 x 1000 - 750
:
es
7 . 4 4 y
la
.U n e x p e r i m e n t o c o n s i s t e
e x tra c c ió n
Sean
d e una c a r t a
A
e l
suceso
"s a lir
B
el
suceso
"extra er
C a lc u la r
en
e l
la n za m ie n to d e
d e una b a r a ja
cru z
al
tira r
un o r o
de
la
la
m oneda"
y
b a ra ja ".
: a)
p (A )
e)
p ( A n B)
b)
p (Á )
f)
p ( A n B)
C)
p (B)
g)
p ( Á n B)
d)
p (B )
h)
p ( A U B)
S O L U C I O N
IJ K V -V U -W
:
1
a)
p(A)
b)
p(Á) = 1 - p(A) - 1 - ¿
c)
P (B ) -
d)
p (B ) - 1 - p(B)
e)
Los sucesos A y B son i n d e p e n d ie n t e s , p or t a n t o :
>0 -jó '
I 4
1
1 1 2 • 4
P (A O B ) ■ p ( A ) . p(B) f)
una m oneda
e s p a ñ o la .
Los sucesos A y B son también in d e p e n d i e n te s , p or t a n t o : 1 3 2 • 4
p ( A O B) - p ( A ) . p ( B ) g)
3
También son in d e p e n d ie n te s l o s sucesos A y B , p or t a n t o :
h)
1
p ( A n B) = p ( Á ) . p ( B ) “
5 • ¿
S ie n d o
in c o m p a t ib l e s , s e v e r i f i c a que :
A y B
sucesos
p ( A V B) » p ( A ) + p (B ) "
^
+
g
'
¿
1 Z
¿
3 4
"
o o o O o o o -----
7 . 4 5 p (A
n B)
■Sean •
j
lo s
sucesos
. H a lla r
S O L U C I O N
i)
A y
B con
p (A / B )
y
:
i)
p (A / B )
p ( A n B) pTH
. 1 . 1 4 • 3 '
3 4
Ü )
p ( B /A )
p ( A n B) p (A )
"
1 . 1 4 • 2 "
1 2
íi)
p (A )
=
|
p (B / A ).
# p (B )
=
|
y
7 .
4
6
c o n tie n e S i
se
. Una
urna c o n t ie n e
8 b o la s
extra e
neqras
una
b o la
a)
Sean
am bas
n egras
b)
Sean
am bas
ro ja s
c)
Sean
una r o j a
S O L O C I O N Sea
N el
urna,
h a lla r
la
el
su ceso "s a c a rb o la
negra
en
la
segunda
u rn a"
R el
su ceso "s a c a r b o la
ro ja
en
la
p rim era u rn a "
R* e l
suceso "s a c a r b o la
ro ja
en
la
segunda u rn a "
;
por
tan to
p (N N *)
el
tan to,
P (R R *)
el
ya
son
que
suceso ya
que
dos
-|-
NR*
y
si
.
una
RN*.
ambas b o l a s
p (N R * U R N *)
-
otra
p (N R *)
♦
p (R N *)
p (R *)
■
:
-jg-
n e g r a s " , en ton ces re s u lta
ro ja s "
,
in d ep e n d ie n tes
,
NN*
-
N O N*
y
:
e n t o n c e s RR* re s u lta
• R H R*
y
:
4
?
-
p rim era d e b e s e r
y
en ton ces
- jj-
“
:
ro ja NR* o
negra" es tá
p ro b a b ilid a d
,
dados.
in d ep e n d ie n tes,
p o s ib ilid a d e s
ro ja La
;
sucesos
-y g-
sucesos
la
-
ambas b o l a s
"sacar son
lo s
sucesos
s ig u ie n te s
suceso "sea
cesos
de
"sa ca r
p (R )
p (R ) . p ( R * ) - - J - . - } *
-
la s
;
suceso
Ya que no s e d ic e ten
•
- p (N ). p (N *) “
S e a RR* por
p (N *)
p ro b a b ilid a d
,
que:
: urn a"
NN* e l
de
1J R V - V I I - 1 4 |
p rim era
ahora la
p ro b a b ilid a d
n egra.
la
Sea
ro ja s .O tra
^
•
otra
3 b o la s
r o ja s .
10
cada
en
Veam os
c)
y
negra
pCN) -
b)
negras
su ceso "s a c a rb o la
N*
a)
y
y
de
6 b o la s
es
(n e g ra ) RN*
.
o
Por
fo rm a d o p o r
la
segunda
tan to la
.e x is
,
u n ió n d e
lo s
su
:
-
p (N ).p (R *)
’
T
6
♦
10 * T8
p (R ).p (N *)
.3 + T
8
„
U
*
o o o O o o o -----
7 . 4 P (A U S
O
L
7 . Sean B) U
C
-
|
.
I
O
N
lo s
sucesos
H a lla r
i)
B
con y
p (A )
i i )
-
|
,p (B )
p (B / A )
=
|
y
.
:
T e n i e n d o en c u e n t a
que
p (A f l B )
pí a n b) ■ i,
A y
P (A / B )
P ÍA / B ) -
P<B>
i : | 8 8
■ p ( A ) +• d ( B ) - p ( A U B)
| * | - | - | 3
, r e s u l t a que :
¡
S i ) P ÍB / A ) .
. p (A )
j : 3 8 8
. 2 3
7. 4 8 . sucesos a)
H a lla r
p ro b a b ilid a d
p
de
cada
uno
de
lo s
s iq u ie n te s
:
E x tra e r re c id o
b)
la
un 7
E x tra e r
c e rro jo
no
d e fe ctu o so
,
s i
de
500
e x a m in a d o s
han
apa
d efe ctu o so s. de
una
b a ra ja
de
40
c a rta s ,
re y
,
a s
o
so ta
en
una
la
sum a
8
s o la
e x tra c c ió n . c)
La
a p a ric ió n
en
una
s o la
tira d a
de
dos
dados
de
u
11.
(J K V -V U -S ) S O L U C I O N a)
:
Sea A e l suc eso " s a c a r un c e r r o j o NO d e f e c t u o s o "
y
B e l s u c e s o " s a c a r un c e r r o j o d e f e c t u o s o " . P a r a h a l l a r l a p r o b a b i l i d a d de l o s s u c e s o s A y B tendremos en c u e n ta l a p r o b a b i l i d a d e m p ír ic a de l o s 500 examinados p r e v i a m e n t e . P or t a n t o , a)
P (B ) - ¿
b)
p (A ) - 1 - P(B ) =
7
491
1 - 5ÓÓ
“
5ÓÓ
ya que l o s s u c e s o s A y B son s u c e s o s c o n t r a r i o s . b)
Sea C e l s u c e s o de
" e x t r a e r r e y , a s o s o t a d e una b a r a j a de 40 c a r t a s " ,
e n to n c e s , p (C ) = p ( í r e y , a s , s o t a } ) - p ( { r e y } ) + p ( { a s > ) + p ( {s o t a }> _ _ 4 40 c)
4 40
4 40
_ "
Sea A e l suc eso " s a c a r 8 puntos a l t i r a r dos d a d o s " B el
suceso " s a c a r U
A y B se
puntos a l t i r a r
pueden e x p r e s a r también
12 40
_
2 10
y
dos dados "
, en to n c e s
así :
A - { 6 2 , 53 , 44 , 35 , 2 6 } B a { 6 5 , 56} Por tan to,
p (A o B) ■
p (A ) + p (B ) -
o o o O o o o -----
7 . 4 9 .
Se
la n za
un d a d o . S i
e l
núm ero q u e
ha s a l i d o
es
im pa r /
¿cuál
es
la
p ro b a b ilid a d
S O L U C I O N Sea
de que
sea
p rim o ? .
:
A e l suceso
" e l número que ha s a l i d o e s i m p a r "
»
(1 ,3 ,5 }
B e l suceso
" e l número que ha s a l i d o e s p r im o "
=
{3 ,5 }
e n to n c e s ,
l a p r o b a b i l i d a d d e l s u c e s o B y a que s e ha r e a l i z a d o A e s : p ( B ) • ^
7 . 5 0 . se
De
e x tra e n
una
u rn a
que
c o n t ie n e
s im u lt á n e a m e n t e ' d o s
a)
E s c r ib ir e l
e s p a c io
b)
c a lc u la r la
p ro b a b ilid a d
S O L U C I O N a)
Si
tre s
b o la s
ro ja s
y
c in c o
b o la s .
m u e s tra l
y
de que
la s
dos b o la s
sean
a z u le s .
tSELECTMMO
:
b ■ b o l a bla n ca y a *
a z u le s
b o la a z u l,
- ,9761
tenem os l a urna l l e n a d e l a s i g u i e n t e
form a : C • { b 1, b 2 , b 3 , a I , a 2 , a 3 , a 4 , a s } Como e x t r a e m o s s im u ltá n e a m e n te d o s b o l a s , e l E = {b b
p o s ib le s e s p a c io m uestral e s
:
, ba , a a }
NOTA : 0b*¿>we*e que ¿ a e W u tc U ó n e* S1UULTANEA . S i ( a ext/tacción ¿ u e a e &uce* iv a , entonce* e l e* p ació im e&tAal * e n la : E * { 5 6 , ba , a b , a a ) c)
Sea
A e l suceso B el
suceso
"sacar
l a p rim era b o la a z u l "
y
" s a c a r l a segunda b o l a a z u l " .
Tenemos que c a l c u l a r l a p r o b a b i l i d a d d e l s u c e s o p e n d ien tes , se t ie n e
ADB.
Coao s on s u c e s o s de
:
P ÍA H B ) ® p (A ).p (B / A ) - g .
~
-
p-
También s e puede r e s o l v e r e s t a segunda p a r t e p o r l a " r e g l a d e L a p l a c e " . I o)
C as os p o s i b l e s
.
Es e v i d e n t e que s e t r a t a d e c o m b i n a c i o n e s d e 8 e l e m e n t o s tomados d e 2 e n 2. Número d e c a s o p o s i b l e s = ( 2 ) “
"P T
= 28
2 o) C as os f a v o r a b l e s . Se t r a t a de e l e g i r de 5 b o la s a z u le s d o s , s o n ,p o r t a n t o , com bin acion es de 5 e l e m e n t o s tomados de d o s e n d o s . Número d e c a s o s f a v o r a b l e s ' ( 2 ) " De I o) y 2o)
T T
s e s i g u e que l a p r o b a b i l i d a d p e d i d a e s :
p ía
n n
- ij-
-
n
o o o O o o o -----
"
10
8
ESTADISTICA DESCRIPTIVA e/t t i que 多 e d tia w io lL a n t a i 多 I g i U z n t t i m a fe 'u a i:
1.
MUESTRA Y POBLACION
2.
VARIABLES ESTADISTICAS
5.
DISTRIBUCIONES ESTADISTICAS
4.
REPRESENTACIONES GRAFICAS
5.
M E D I D A S DE C E N T R A L I Z A C I O N
6.
M E D I D A S DE D I S P E R S I O N
8.1 . ron
:
Las c a lific a c io n e s
8 7 ,6 4 ,9 2 ,8 6 ,6 9 ,7 1 .
H a lla r
la
m ed ia
S O L O C I O N C o n s id ere m o s
la
y
la
un e s t u d i a n t e
en
s e is
p ru ebas
fu e
d e s v ia c ió n
típ ic a .
:
ta b la
s ig u ie n te
x .-5
xi
de
•
<
:
v *>2
87
8 '8 4
7 8 ' 14
64
- 1 4 '1 6
2 0 0 '5 0
92
13*84
191*54
86
7 ' 84
61 '4 6
69
- 9 ' 16
8 3 '9 0
71
- 7 ' 16
5 1 ' 26 6 6 6 '8 0
46 9 a)
De
b)
C o n o c id o e s t e
la
p r im e r a co lu m n a s e o b t i e n e v a lo r
c)
De
co lu m n a s e
la
tercera
típica.
.
s2
se
puede
ya
la
m ed ia
ca lc u la r
o b tie n e
:
x
la
-
"
7 8 '1 6
s e g u n d a co lu m n a
fin a lm e n te
la
va ria n za
y
y la
la
tercera.
d e s v ia c ió n
6 6 6 ’ 80
i)
ii)
S -
1 0 '5 4
o o o O o o o ----8 y
uno
. 2
. Un a l u m n o d e C . O . U .
fin a l.C a d a
exam en
a n te rio r
y
e l
ca
y
8 n otas
6 ,7 ,5
exam en
S O L U C I O N Se
trata
no v a le
lo
de
trim e s tra l
fin a l
una
a ritm é tic a
la
nota
exám enes
d o b le
im p o rta n c ia ¿Cuál
tie n e
pon derada,
la
trim e s tra le s
im p o rta n c ia
tr ip le . es
fin a l
p u esto
que
Un a l u m n o
n o ta
el
sa
fin a l? .
q u e c a d a un3 d e
.p u es, Pt
6
tan to,
tie n e
r e s p e c tiv a m e n te .
xi
Por
tres
:
una m ed ia
m ism o.S e
r e a liz a
es :
(p e s o )
V i
1
6
14
7
2
5
4
20
8
12
96
19
136
136
:
19 •
7 '1 5
la s
n otas
8.
3.
E n un e x á m e n b i o l ó g i c o
o b tu v ie ro n ,e n 8 '5 H a lla r
la
m ile s
de
,
,
m ed ía
S O L U C I O N
9 '5 y
la
le u c o c ito s ,la s 12
,
11*5
v a ría n z a
,
y
la
sangre de
c a n tid a d e s
1 4 *5 ,1 0
d e s v ia c ió n
,
unos e n fe rm o s
17*5
,
13*5
típ ic a . U M -V 1 U -7 )
:
xi
X. - X i
( x i - x)
8*5
-3 *6 2
13*10
9*5
-2*62
6*86
12
-0*12
O'OI
11*5
-0*62
0*38
2*38
5*66
14*5
-2 *1 2
4*49
17*5
5*38
28'94
13*5
1*38
1*90
10
se
s ig u ie n te s :
:
Consideremos l a t a b l a s i g u i e n t e
97
a)
de
I:
61'34
De l a p rim era columna s e o b t i e n e l a media :
97 * ** —
12*12
b ) Conocido e l v a l o r de l a media se c a l c u l a n l o s v a l o r e s de l a segunda y t e r c e ra columnas. c ) De ln t e r c e r a columna s e o b t i e n e f i n a l m e n t e l o s v a l o r e s de l a v a r in n z n y des v ia c ió n típ ic a . i)
ii)
V ar ia n z a
S* -
61¡ 3 —
-
7'66
D e s v ia c i ó n t í p i c a S - /7'66
= 2'76
oooOooo—
8 . 4 y otras sos
. En un g r u p o d e que
es de
pesan
8 0 k g s .¿S e
50 p e r s o n a s
hay a lg u n a s
puede a f ir m a r que
la
que
m ed ía d e
pesan lo s
70 kqs pe
75 k g s ? . ¿ P o r q u é ? .
S O L U C I O N
:
a ) S i hay 25 p ersonas que pesan 70 y 25 que pesan 80 e n to n c e s s í , e s d e c i r ,
la
media en c 6 t c cas o e s 75 como puede comprobarse inmediatamente. b ) En c u a l q u i e r o t r o c a s o l a media no
es
75. P or e j e m p l o , s i hay 40 con 70 kgs
y 10 con 8 0 kgs , en to n c e s l a media e s : 4 0 .7 0 ♦ 10.80
50
72.
O . de
La
lo s
ta b la
s a la rio s
a d ju n ta
d ia rio s
m u estra
d e - 70 e m p le a d o s
S A L A R I O S EN P T A S
C a lc u la r
una d is t r i b u c i ó n de
de
una e m p re s a
400-449
8
450-499
12
500-549
17
550-599
15
600-649
11
650-699
5
700-749
2
:
L ím ite
in fe r io r
de
la
sexta
b)
L ím ite
s u p e rio r
de
la
cu a rta
c)
M arca
d)
L ím ite s
e)
R e c o rrid o
f)
M e d ia
g)
M e d ia n a
h)
M od a
i)
D e s v ia c ió n
de
la
tercera
re a le s o
S O L O C I O H
de
c la s e c la s e
c la s e
la
q u in ta
c la s e
rango
típ ic a
y v a ria n z a .
(JRI/-1/III-3J
:
C on s id e re m os e l s i g u i e n t e c u a d r o :
I . RE A L ES
MARCA
h u¿
k
*A
Ia
399'5-449'5
424'5
8
-2
-1 6
32
2a
449'5-499'5
474' 5
12
-1
-12
12
0
n
0
3a
499'5-549'5
524'5
17
4a
549'5-599'5
574' 5
15
1
15
15
5a
599'5-649'5
624'5
11
2
22
44
6a
649'5-699'5
674'5
5
3
15
45
7a
699'5-749'5
724 ' 5
2
4
8
32
32
180
70
f)
:
NUMERO DE EMPLEADOS
a)
CLASf
fre c u e n c ia s
L a m edia v i e n e d ad a p o r :
x B x o
+cu
= x o
+
c
Z f.u . --- ^— N
a)
L í m i t e i n f e r i o r de l a s e x t a c l a s e ■ 650
b)
L í m i t e s u p e r i o r de l a c u a r t a c l a s e ■ 599
c)
Marca d e l a t e r c e r a c l a s e
: 499’ 5 + 549' 5
3
2
-
524*5
d ) - L ím ite s r e a l e s de la q u i n ta c l a s e : L í m i t e i n f e r i o r - 599'5 L í m i t e s u p e r i o r = 6 4 9 '5 e ) Rango o r e c o r r i d o g)
- 749*5 - 3 9 9 ' 5 a 350
La mediana v i e n e dada por la t e r c e r a c l a s e , e s d e c i r , p u e s to que e s donde s e a l c a n z a l a mitad de l o s
l a mediana e s 524'5
ind ivid u os.
S i queremos un v a l o r más p r e c i s o podemos a p l i c a r l a s i g u i e n t e fórm u la :
h)
L a c l a s e modal e s l a t e r c e r a . P or t a n t o , l a moda e s 524 ' 5 S i queremos un v a l o r m is r e a l podemos a p l i c a r l a s i g u i e n t e fórm u la :
- 431*14
i)
Veamos ahora c u á l e s e l v a l o r de l a v a r i a n z a y d e s v i a c i ó n t í p i c a .
s
2
b)
5906'12
D e s v i a c ió n t í p i c a :
.
-
/ 7
= ✓ 5096'12
- 76'85
8 - 0 g u ie n te
E1 núm ero d e !
h ijo s
5 , 2 ,
a)
C o n s tru ir
el
b)
H a lla r
la
m ed ia
c)
H a lla r
la
d e s v ia c ió n
de
10
fa m ilia s
s e le c c io n a d a s
es e l
si
0 * 6 , 3
d ia g ra m a
de
b arras.
a ritm é tic a típ ic a . ( J W - V I U -4 )
S O L U C
I
O H
:
Consideremos e l s i g u i e n t e cuadro: recu en to
X. X
f
.
V
X
i
V
i
0
/
1
0
0
1
//
2
2
2
2
//
2
u
8
3
//
2
6
18
4
/
1
4
16 23 36
3
/
1
3
6
1
1
6 27
10
105
a ) El dia gram a de b a r r a s v i e n e dado en l a s i g u i e n t e f i g u r a
h ijo 6
x
c)
27 7ó
-
-
2 '7
L a v a r i a n z a v i e n e dada p or : 2
« V
i - a 2 N
I f i*i
103 10 La d e s v ia c ió n t í p i c a = s *
-2
x
N
1 '79
-
2 ,7
-
10*5 - 7*29
- 3 '21
8 . 7 . co
en
El
núm ero d e m u e r t e s
una p o b l a c i ó n
a
8 , a)
R ep resen tar
la
lo 3 ,
la rg o 5 ,
b)
H a lla r
la
m ed ia
H a lla r
la
m ed ia n a
d)
H a lla r
la
v a ria n za
de
2 ,
d is trib u c ió n
c)
p ro d u c id a s una
por
a c c id e n te s
semana h a
s id o
de
tr á fi
:
7 , 1 , 9
m ed ia n te
y d e s v ia c ió n
un d ia g r a m a .
típ ic a . IJW - V JJJ- S i
S O L U C I O N a)
:
R epresen ta m os l a d i s t r i b u c i ó n m e d i a n t e e l s i g u i e n t e d ia g ra m a p o l i g o n a l : A c c m m is 9 8 7
6 5 4 3 2 1 N c)
Ordenados es
tie n e
X
J
V
S
D
: 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 9
, l u e g o l a mediana
5.
C on s id e re m os ah ora l a s i g u i e n t e t a b l a : Dias
Lunes M arte s
Ju e v e s Viern es Sabado Domingo
b) d)
La m edia d e l a d i s t r i b u c i ó n d ad a e s :
x -
“
5
De l a c u a r t a columna s e o b t i e n e e l v a l o r de l a v a r i a n z a y d e l a d e s v i a c i ó n típ ic a .
A la derecha d e l cuadro e s t á n e s t o s v a l o r e s .
8.
8. L a
m éd ic o e s K ilo s
de
Núm ero d e
la
d is trib u c ió n
s ig u ie n te
peso
p a c ie n te s
:
50 -60
:
3
a)
R e p r e s e n ta r m a d ía n te H a lla r
la s
pesos
de
60 p a c i e n t e s
de
un c e n t r o
:
b)
to d a s
por
60-70
7 0 -80
15
20
un h i s t o g r a m a
m ed id a s d e
la
8 0 -90 1 90-100
17
100-110
4
1
d is trib u c ió n .
d is p e rs ió n
e s tu d ia d a s . (J R V - V H 1 - 6 )
S O L O C I O H
:
a ) E l h is to g r a m a de l a d i s t r i b u c i ó n v i e n e dado e n l a s i g u i e n t e f i g u r a : 20 n 16 14 12 10 8 6 4 2
50 Mtwtuu
:
60 55
70
SO
65
75
90 85
100 95
110 105
f. i
Xi
x .f.
• X. - X i
|x. - x|
\ * i ~ x| *f.
(x.-
XI ro
Consideremos ahora l a s i g u i e n t e t a b l a :
55
3
165
-2 1 *1 6
21*16
6 3 '4 8
447'7 4
1343'22
65
15
975
- 1 1 ' 16
11*16
167'40
124*54
1868'10
75
20
1500
- 1*16
1*16
2 3 '2 0
1'34
2 6 '8 0
85
17
1445
8 '84
8 '84
150'2 8
78' 14
1328'38
95
4
380
18'84
18'84
74 '36
359'9 4
1419*76
105
l
105
28’ 84
28'84
28'84
831'7 4
8 3 1 ' 74
60
4570
b)
i)
iv )
; 110 - 50 - 60
D e s v i a c i ó n media
D-
Varianza
S2 - 6818
D esviación t í p i c a
S -
- 507'56
: 60 - 8 ' 4 6 63
R
iii)
Rango o r e c o r r i d o
S
ii)
507'5 6
10'65
6818 '0 0
« u
- i B
L
- 76'16
O . tes
d ía s
de
La
tem p era tu ra
la
sem ana ha s i d o
D I A S
ha m arcad o e l
term óm etro
lo s
d ife re n
:
M IN IM A
Lunes
H a lla r
que
MAXIMA
4
19
M artes
-2
18
M ié rc o le s
-3
21
Jueves
1
13
V ie rn e s
4
12
Sábado
0
14
D om ingo
3
22
:
a)
La
t e m p e r a t u r a m e d ia m ínim a
b)
La
t e m p e r a t u r a m e d i a m á x im a
c)
La
m ed ia d e
la s
S O L O C I O N
o s c ila c io n e s
extrem a s d ia r ia s .
(J R V -V I7 I-7 }
:
Consideremos e l s i g u i e n t e cuadro : DIAS
MINIMA
MAXIMA
OSCILACIONES
4
19
15
Martes
-2
18
20
M iércoles
Lunes
-3
21
24
Jueves
I
13
12
Viern es
4
12
8
Sábado
0
14
14
Domingo
3
22
19
7
119
112
7
a) La temperatura media mínima e s
:
x
b ) La temperatura media máxima e s
:
xM “ 119 ; 7 = 17
m
= 7 : 7
=1
c ) La media de l a s o s c i l a c i o n e s extremas d i a r i a s e s : x
NOTA
:
La ¿
o 6 c ita c io n e ¿
te m p e ra tu ra
v ie n e n
dadai
por
m á x im a y m ín im a .
o o o O o o o -----
la
o
= 112 : 7 = 16
d ife r e n c ia
e n tre
ta
8 . 1 0 . L a s
d e c la ra c io n e s
fu n c io n a rio s
son
la s
s ig u ie n te s
Número de h ij o s
:
o
Núm ero d e
:
21
fu n c io n a rio s la
a)
R ep resen tar
b)
H a lla r
la
m ed ia
c)
H a lla r
la
v a ria n z a
S O L O C I O H a)
d e Ayuda F a m ilia r
fo rm u la d a s
por
100
:
1 18
d is trib u c ió n
2
3
4
5
6
7
8
9
26
17
9
4
3
1
0
1
m e d i a n t e un d ia g r a m a
de
b arras.
a ritm é tic a . y
la
d e s v ia c ió n
típ ic a .
f jg V -V J U -S |
:
e n barras vi e n e dado e n la siguiente figura :
E l d iag rí n 24 21 16 15 12
9 6
Il
3
0
1
2
3
4
5
Consideremos ahora la siguiente tabla
:
2
b)
Xi
fi
V i
X. i
x * f.
0
21
0
0
0
18
18
1
18
1 2
26
52
4
104
3
17
51
9
153
4
9
36
16
144
5
4
20
25
100
6
3
18
36
108
7
1 0
7
49
49
8
0
64
0
9
1
9
81
100
211
x ■ =
2 1 1 :1 0 0
-
2 ' 11
; c) S2 -
81 757
(757:100)
- 2*112 - 3*12
;
s -
1'76
y a)
8 . 1 1 .
Los
la
de
razón
La
El
de
la
v a lo r
S O L D C a)
X j , x 2 ,
de e s to s
d
>
núm eros
a
la
lo s
t é r m in o s d e una
S
-
L a m ed ia a r i t m é t i c a re la c io n e s
de
lo s
+ x_ +
-i
...
V
lo s
+ x
2
núm eros
xl *
I.J
-
x|
S ien d o
cu ál es
|xj
-
-
|<x,
-
l“
d >
^
+
+
,
+
(i- l)d )
la
-
(« ,
-
n -
-
1) |
|2 i - ( n
+
a) 2i
(n +
+
1| ■
|2 i
en teros
y
-
(n + - 0
1)|
—
es
-
por tan to,
g re s ió n .
x, + x
.
_!
m e d ia .S e
l)
-
1)
i
•
"
.
»
«-* 1
*-*
-1
h ,
la s
G_
trata,
por
tan to,
.
>) d | .
|i .
»
.
>|d
0 o
12i
-
(n +
2i
-
n +
-
(n +
i) -
2i
+
l) -
(n n +
i -
h +
= n
<-»
2i
-
2h
i
-
h
h +
1
,
2
2h +
2i
1) | -
1
d e donde n es
im p a r,n =
2h+l
2
la
2i -
cuando
1
de
-
sea
0
,
1
cen tral
2i
■
c ie rto
-
2h +
h +
lo
1) |
será
*-»
i
m ínim a cu a n d o
2i
2i
térm in o
1) | ■ 1
(n +
en cu en ta
2
la
— (n + esto
<=» 2i
S .n
< H z i> ± )| .| < i
[ 1 1 será
—
b)
e s ,te n ie n d o
m
e x p res ió n
ta n to ,i
-
_J
másp r ó x i m o a
i
2*)
:
2
—
por
es
m ín im o.
12i
|2 i - ( n
y
tér
(n -l)d
- 2“ ~ ‘ l d 0
a ritm é tic a
2n
e l v a lo r
x|
t r a t á n d o s e de núm eros
I a)
p rim e r
- Xj + ( n - l ) d
x^
x, + x
_2_ -
X>
|2 i y
del
a )y b ):
S
-
(n -l)d =
Veam os a h o r a hacer
fu n c ió n
x ^ .x ^ .-.-.x ^
n
2
de
a ritm é tic a
:
n
apartados
n
.
p ro g re s ió n
2
de
2-
:
p ro g re s ió n
x i + x„
"
x
en
en
p id e
m ed ia .
El t é r m i n o g e n e r a l d e l a p r o g r e s i ó n e s
¿ - -i
O .S e
O M :
L a su m a d e
b)
es
razón .
m ás p r ó x i m o
I
están
x^
p ro g re s ió n
m ed ia a r i t m é t i c a
m in o y b)
n(S iseros esta
p ro g re s ió n . 1
o 2i
d edonde n
-
(n
+ 1)
espar,
-
n -
-1 2h
2 1
,
son
lo s
de donde n es
térm in o s
par,
c e n tra le s
n =
de
la
2h
pro
8.12 yecto
•H a lla r
d 1* d 2 ,
s i
la
dj
v e lo c id a d
m ed ia c o n
que s e
ha r e c o r r i d o
se
re c o rrió
con
v e lo c id a d
Vj
d2 se
re c o rrió
con
v e lo c id a d
v 2> ••
tra
y
S fL B C T m V M ) -
S O L U C I O N
e l
1976)
Recordemos que l a fórm u la de l a media a r i t m é t i c a e s : s « i'i - T 7 ¡ -
-
* S i hacemos :
x ¿ - v^ - v e l o c i d a d e s en l o s d i s t i n t o s t r a y e c t o s ■ t j ■ tiem po t a r d a d o en cada t r a y e c t o
e n to n c e s l a fórm u la s e tran s form a en :
X
-
2 V i ~
.—
¿ rc
*V B * v e l o c i d a d media)
■ v=
y p a r t i c u l a r i z a n d o par a n u e s tr o c a s o , cenemos :
V i
+ v2 c 2
t 1 + c2 Pon ien do
t j • d j/ vj
, t 2 - d 2^v 2
< 1 ,
y s u s C Ítu y endo • r e H u l t a :
d2 »
v?
dl + d2
3 T 7 3 v,
dl *
j i + di
v2
v,
d2
divi * V i
v2
V
v2
d l + d2 ■
- r ’ 2
o o o O o o o -----
8
. * 1 3 . H a lla r la
tra yecto y
lo s
de
20
km s i
10 km ú l t i m o s
S O L U C I O N
v e lo c id a d lo s
10
m ed ia c o n q u e
p rim e ro s
s e han r e c o r r i d o
se a
han
se
ha r e c o r r i d o
re c o rrid o a
60
un km/h
80 k m / h .
:
T eniendo e n cu enta l a fórm u la que da l a v e l o c i d a d media par a dos t r a y e c t o s (v é a se e j e r c i c i o a n te rio r)
, se tie n e :
v. - ibi S4-!g.6-ó • 60 • 80 - /h - 6 8 '5 6 km/h
o o o O o o o -----
8 .14. R e p r e s e n t a c i o n e s
gráficas en una distribución estadísti
ca. Aplicación de S
las O
L
10 D
C
a
una
distribución
primeras I
Q
Considerem os l a s
H
palabras
de
del
frecuencia presente
del
nfimero
de
letras
enunciado.
:
( S E L E C r m W S
10 p r i m e r a s p a l a b r a s d e l e n u n c i a d o
19761
:
"REPRESENTACIONES GRAFICAS EN UNA DISTRIBUCION EST ADISTICA, APLICACIO N A L A DISTRIBUCION" R e p r e s e n t a m o s e n una t a b l a l a d i s t r i b u c i ó n d e l a s l e t r a s X
X
f .*
fi
X
f.
1
a
10
8
1
r
5
b
2
i
12
s
7
c
7
1
2
t
5
d
3
n
7
u
3
e
6
0
ii
f
1
P
2
En t o t a l h a y 16 l e t r a s d i s t i n t a s .
:
Pod em o s r e p r e s e n t a r e s t a d i s t r i b u c i ó n m e d i a n
t e e l d iagram a d e b a r r a s s i g u i e n t e .
NOTA : S í i uiónoó lo& vaío M t*
de
ío& punto&
Ia , 10 )
,
I b, 2 ) , . . . , (u ,3 )
con
to ¿ obtinturof> una p o lig o n a l , y t í diagram a a e c íb t t í nombAt d i "diagnarra p o lig o n a l"
o
"p o líg o n o d i fritcu en cM U " .
o o o O o o o -----
ótgmin-
8 . 1 5 lo s
n
-C a lc u la r
p rim e ro s
d rados
de
lo s
la
m ed ia
núm eros
a ritm é tic a
y
n a t u r a le s , s a b ie n d o
n p rim e ro s
núm eros
la
d e s v ia c ió n
que
n a tu ra le s
la
es
típ ic a
suma d e
lo s
| (n (n + l)(2 n
+
cua 1 ).
(SELECTIVIDAD -1 9 75 ) S O L U C I O N
:
a ) C a lc u l e m o s p r i m e r o l a m e d ia a r i t m é t i c a .
X
1 + 2 + 3 + ñ
... + n
1 + "
n 2--
b ) C o n s id e r e m o s a h o r a e l s i g u i e n t e c u a d r o :
T e n i e n d o e n c u e n t a l o s v a l o r e s d e l a ú l t i m a columna s e t i e n e : s2 - i(i +
4
+
... +
l ( nl n_ L D . Í 2 n
-
+
n2 +
1)
+
n
(n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6
. +
(n_+ l ) ( . 2n + 1) 6
_
(1 + n )(4 n + 2 -
3n -
(1
+ n )(n -
1)
(2
n(iyí)2 _
(1
—
( i ? ) 2
+ n) ------------
( 1 + n ) _ 4
l +
o
4 + 6 +
^
+ 2 n ))
)
+ n) 5------
(1
( i ] , ( n ó t e s e que
- ; 2)
3)
n2 -
12
_
+
1
12
NOTA: A l mi&mo r e A u t t a d o ¡>e l l e g a t e n ie n d o e n c u e n t a qu e :
-
x2
y por ta n to , i e p o d ría haber e& cAito d irectam ente
a
&2 =
-
n
Z (x .-í)2 = l X x 2 i n < .
-
2xJ Zx. n x
-
x
* - X x2 n i
2 « 11 1
de
8 . 16. ria n z a de
x
H a lla r
de
es
una
x
E s tu d ia r
y e l
la
e x p re s ió n
v a ria b le
su
v a r ia n z a
caso
y
= es
de
ax s
+
la b
,
m e d ia
a ritm é tic a
cuando
se
sabe
y
de
la
que
la
m ed ia
va-
.
p a rtic u la r
y
=
x --
x lS t L E C n t n t M P - l 9 7 S 1
S
O
L
O
C
I
O
I
:
a)
, p o r d e f i n i c i ó n d e m e d ia a r i t m é t i c a £ ( a x . ♦ b) , su stitu y en d o y . a I
po su v a l o r
ax. + b
x . + nb n
=
8
y
, p u e s t o que £ x 7 n - x
r <y¡ -
2
b)
ax + b
-
y )2
-----------------
. p o r l a d e f i n i c i ó n d e media
n
£ (a x ¿ + b -
(ax + b ) )
^ s u s t i t u y e n d o y . e y p o r su v a l o r
£ (a x l - a x )2 h a cien do
n
op era cion es.
a2 £ ( x i - i ) 2 sacando f u e r a a
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2
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2
CASO PARTICULA* :
,
p u e s to que £ (x^ - x )
y - —
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• l u e &°
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2
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2
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OTRAS PUB LICACIONES DE LOS AUTORES
M A TE M A TIC A S
COM U N E S
DE
C .O .U .
p o r J .R .V Ízm a n o s
I N D I C E : J . - C o n j u K t o 6 : 1-1 I n t r o d u c c i ó n . 1 . 2 R e l a c i ó n d e p e r t e n e n c i a 1 . 3 D i s t i n t a s f o r m a s d e r e p r e s e n t a r un c o n j u n t o . 1 . 4 R e l a c i ó n d e i n c l u s i ó n . 1 .5 P r o p ie d a d e s d e l a r e l a c i ó n d e i n c l u s i ó n . 1 .6 Id e n t id a d d e c o n j u n t o s . 1 .8 D iagra m as d e c o n j u n t o s . 1 -9 O p e r a c i o n e s c o n c o n j u n t o s . 1 . 1 0 A l g e b r a d e p a r t e s d e un c o n j u n t o . E J E R C IC IO S . 2 . -P A O p O & icÁ O H tA : 2 . 1 P r o p o s i c i ó n . 2 . 2 V a l o r l ó g i c o d e u n a p r o p o s i c ió n . 2 .3 O p era cio n es con p r o p o s ic io n e s . 2 .4 Im p lic a c ió n l ó g i c a . 2 .5 E q u iv a le n c ia l ó g i c a . 2 .6 T a b la s de v e rd a d . 2 .7 A lg e b r a de p r o p o s ic io n o s . E J E R C IC IO S . 3 . - C ¿ A c iU t O & ¿ Ó Q ¿ C 0 ¿ : 3 . 1 S i s t e m a s d e n u m e r a c i ó n . 3 . 2 S i s t e m a b i n a r i o . 3 .3 A lg e b ra b in a r ia . 3 .4 C ir c u it o s l ó g i c o s . 3 .5 C om b in acion es con c i r c u i t o s . 3 .6 C i r c u i t o s e q u i v a l e n t e s . 3 .7 T a b la s d e r e s p u e s ta . 3 . 8 A l g e b r a d e B o o l e . E J E R C IC IO S . A . - A p í l c n t U o n e i '- 4 . 1 P r o d u c t o d e c o n j u n t o s . 4 . 2 R e p r e s e n t a c i ó n del pro d u cto de c o n ju n to s . 4 .3 P ro p ied a d e s d e l p ro d u cto de c o n ju n to s . 4 .4 C o rres p o n d e n c ia s . 4 .5 A p lic a c io n e s . 4 .6 C la s e s de a p lic a c io n e s . 4 .7 C om p o sició n d e a p l i c a c i o n e s . 4 . 8 R e p r e s e n ta c io n e s g r á f i c a s . 4 .9 N o c i ó n d e g r a f o . E J E R C IC IO S . 5 . - V a jU a t U o n t 6 , p V a m U a c Á D M A y c t m ix in a x ú o n t l, : 5 . 1 V a r i a c i o n e s sin r e p e t i c i ó n . 5 . 2 F a c t o r i a l e s . 5 . 3 P e r m u t a c io n e s s i n r e p e t i c i ó n . 5.4 N ú m e r os c o m b i n a t o r i o s . P r o p i e d a d e s . 5 . 6 V a r i a c i o n e s c o n r e p e t i c i ó n . 5 . 7 P e r m u t a c i o n e s c o n r e p e t i c i ó n . E J E R C IC IO S . 6 . -A lg e b r a d e ¿ u c e ¿ 0 ¿ : 6 .1 E x p e rim e n to a l e a t o r i o . 6 .2 S u c e s o s . 6 .3 O p e r a c io n e s con s u c e s o s . 6 . 4 A l g e b r a d e B o o le d e l o s s u c e s o s a l e a t o r i o s . E J E R C IC IO S . 7 . - P x o b a i x ¿ t ¿ d a d e & y ¿4££U£JUU04; 7 . 1 F r e c u e n c i a s a b s o l u t a s y r e l a t i _ v a s . 7 .2 P ro p ie d a d e s de la s fr e c u e n c ia s . 7 .3 D e fin ic ió n c l á s i c a de p r o b a b ilid a d . 7 .4 D e fin ic ió n a x io m á tic a de p r o b a b ilid a d . 7 .5 P roba b i l i d a d c o n d ic io n a d a . 7 .6 P r o b a b ilid a d e s t o t a l e s y com puestas. 7 .7 S u c e s o s d e p e n d i e n t e s e i n d e p e n d i e n t e s . E J E R C IC IO S . $ . - E ó t a d í á t c c a d tA C J L Íp t c v a : 8 . 1 M u e s t r a y p o b l a c i ó n . 8 . 2 I n f e r e n c i a e s t a d í s t i c a . 8 .3 C a ra c te re s e s t a d í s t i c o s . 8 .4 V a r ia b le s e s t a d í s t i cas d i s c r e t a s . 8 .5 V a r ia b le s e s t a d ís t ic a s c o n tin u a s. 8 .6 D i s t r i b u c i o n e s e s t a d í s t i c a s d e un c a r á c t e r . 8 . 7 R e p r e s e n t a c i o n e s g r á f i c a s . 8 . 8 T r a t a m i e n t o d e l a i n f o r m a c i ó n . 8 . 9 M ed id a s d e c e n t r a l i z a c i ó n . 8 . 1 0 M e d i d a s d e d i s p e r s i ó n . E JE R C IC IO S . * * * * * * * * *
PROBLEMAS
DE
ALGEBRA T o - o .l
p or.M . A n z o la y J .
Caroncho
IN D I C E : J e o f U a de. C O n jiu it o & : 1 . C o n j u n t o s - A l g e b r a d e c l a s e s . 2 . C o rrc s p o n d e n c ia s - A p lic a c io n e s . 3 .R e la c io n e s de e q u iv a le c ia . 4 .C o n ju n to s ord en ad os. 5 .A lg e b r a d e B o o le . 6 .C a r d in a le s . 7 .C o m b in a to ria . T e o 'ú a d e g e u p o * : 1 . O p e r a c i o n e s . 2 . E s t r u c t u r a d e g r u p o . 3 . G r u p o s cí_ c l i c o s . 4 . Grupos f i n i t o s . 5 . Grupos a b e l i a n o s . 6 . Grupos l i b r e s . A n l t t o i y CJieApOA! I . L a P on fjm m ío e v un m u A* .. * *
estru ctu ra de a n illo .
* * * * * * *
2 .Id e a le s .
3 .C uerpos.
PROBLEMAS DE ALGEBRA L IN E A L IN D IC E : 1 . M ó d u lo s : E s p a cio v e c t o r i a l : m os.
estru ctu ra . estru ctu ra .
6 . D e term in a n tes
e c u a c io n es
.
-
8 .V a lo re s *
Jomo , , ^
2 . A n i l l o s y n o d u lo s n o e t h e r i a n o s . 3. 4 . M a tr ic e s . 5 .M a tr ic e s y en d o m o rfis -
a p lic a c io n e s y vectores
*
*
*
H A n Io la y J C3njncho
*
m u ltilin e a le s .
*
*
*
Por J .R .V ia w n o s y
-----------------------------------------------------------------------------------d e & C / U p t iv a :
-
*
CURSO Y E J E R C IC IO S D E B IO E S T A D IS T IC A I NDICE: U t a d i& t i c a
7 .S is te m a s de
p ro p io s .
R .A s en s io
1. G e n e r a l i d a d e s .
2 .D is trib u c io n e s
e s t a d í s t i c a s d e un c a r á c t e r . 3 . M e d i d a s d e c e n t r a l i z a c i ó n . d e d i s p e r s i ó n . 5 . M e d i d a s d e f o r m a . PROBLEMAS RESUELT OS.
4 . M edid as
P n o b a b ¿ L ¿ d a d t& : 1 . A l g e b r a d e s u c e s o s . 2 . F r e c u e n c i a y p r o b a b i l i d a d . 3 . P r o b a b i l i d a d c o n d i c i o n a d a . PROBLEMAS RESUELTOS. V ¿ 6 ÍX ib u e Á / )H t& d i Á C A e t a * : 3 .D is tr ib u c ió n
1. G e n e r a l i d a d e s .
h ip e rg e o m é tric a .
2 .D is trib u c ió n
4.D is trib u c ió n
b in o m ia l
d e P o is s o n .
PROBLE
MAS RESUELTOS. V ¿ ¿ ft¿ b a c ¿ o n t6 c o n tin u a * : 1 . G e n e r a lid a d e s . 2 . D i s t r ib u c i ó n n o rm a l. 3 . D i s t r i b u c i ó n X2 d e P e a r s o n . 4 . D i s t r i b u c i ó n t d e S t u d e n t . 5 . D is trib u c ió n R tty it* ¿ 6 n c ió n .
F d e F i s h e r - S n e d c c o r . PROBLEMAS RESUELTOS. y c o X A e la c Á ó n : 1 . G e n e r a l i d a d e s . 2 . R e g r e s i ó n .
3 .C o r re la
PROBLEMAS RESUELTOS.
E A tú m c X ó n d t p a x h m X h o * : 1 . I n t r o d u c c i ó n . 2 . D e f i n i c i o n e s . 3 . E stim a d o r e s p o r p u n t o mas u s u a l e s . 4 . D i s t r i b u c i ó n e n e l m u e s t r e o d e e s to s e s tim a d o re s . 5 .D is tr ib u c io n e s a s o c ia d a s a l e s tu d io de d os pol a c i o n e s n o rm a le s e i n d e p e n d ie n t e s . 6 . C o n s tr u c c ió n d e i n t e r v a l o s de c o n fia n za .
PROBLEMAS RESUELTOS.
C o n tA a A te d e k i p 6 t t * ¿ á :
1.In tro d u c c ió n .
2 .D e fin ic io n e s .
para lo s c o n tra s te s . 4 .A n a lo g ia s e n tr e c o n tra s te s i n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a . PROBLEMAS RESUELTOS. X2 : A p t ic o c d x m e A d e l a t r ib u c ió n ex p e rim e n ta l y in d e p e n d e n c ia e n t r e n eid a d d e v a r ia s A jtí l i é Í Á
de la
1. I n t r o d u c c i ó n . una t e ó r i c a .
caracteres
m u estras.
V O A ám za:
3 . F órm u la s
de h ip ó te s is
2 .C o n fo rm id a d d e
3 .R e la c ió n
c u a lita tiv o s .
una d i s
d e d e p e n d e n c ia
ca.
PROBLEMAS RESUELTOS.
1.In tro d u c c ió n .
1 .C o n c e p to .
3 .M étodos d e e s t u d io
de
o
4 . C o n t r a s t e d e homoge
2 .A n á lis is
de
la
v a ria n za
c o n un f a c t o r d e v a r i a c i ó n . 3 . A n á l i s i s d e l a v a r i a n z a c o n d o s t o r e s i n d e p e n d i e n t e s d e v a r i a c i ó n . PROBLEMAS RESUELTOS. S e tU z 4 c A x m o ló g íe J U :
e
la
2 .A n á lis is
d e una s e r i e
te n d e n c ia s e c u la r .
4.
fa c
c ro n o ló g _i
E s tu d io d e
la s
v a r ia c io n e s e s t a c io n a le s . S .D e s e s ta c io n a liz a c ió n . 6 .E s tu d io d e la s flu c tu a c io n e s c í c l i c a s . 7 E s tu d io de l a s v a r ia c io n e s a c c id e n t a le s . 8.
P re d ic c ió n .
PROBLEMA RESUELTO.
& ¿ t x t ¿ o g x a l¿ a . A p é n d ic e ; T a b l a I : D i s t r i b u c i ó n b i n o m i a l . T a b l a I I : D i s t r i b u c i ó n P o is s o n . T a b la I I I : D i s t r ib u c i ó n n o rm a l. T a b la I V : D i s t r i b u c i ó n d e P earson. de
T a b la V:
D is tr ib u c ió n
t
de
S tu d en t.
F is h e r-S n e d e c o r .
* * * * * * * * *
V I:
D is tr ib u c ió n
de
x2 F