Propagación de las ondas en medios homogeneos

Ondas

ElectromagneticaS Por Jesus Arteaga

Jea

Editorial

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¿Qué es una onda?

En un cierto caso especial puede decirse que:

Una onda es una señal reconocible que puede ser transferida de un lugar a otro de un medio con una velocidad de propagación reconocible.

G. B. Whithman

También podemos decir que una onda es una perturbación que se propaga en el espacio y en el tiempo manteniendo ciertas caracte-

rísticas discernibles. En esta forma decir las cosas hay una diferencia sustancial con el párrafo anterior: no estamos haciendo referencia a medio alguno, y esto es vital ya que en el caso de las ondas electromagnéticas no hace falta ningún medio para la propagación ya que las ondas electromagnéticas se propagan en el vacio.

Tópicos en Propagación de Ondas M. I. Caicedo; P. J. Mora

Problemas de propagación Como habíamos mencionado en la introducción, la descripción de los procesos ondulatorios en electrodinámica, así como su descripción en mecánica de medios continuos, presenta además de las particularidades propias de cada caso, abundantes y representativos elementos comunes. Queremos presentar a continuación una descripción de los elementos esenciales que conforman el problema general de propagación (fig.2.1).

Dada una región (s) del espacio donde ocurre la propagación, que puede o no estar ocupado por un medio material contínuo 1 , se define como objeto cinemático fundamental la cantidad (escalar ´o vectorial) que describe matemáticamente el comportamiento de una perturbación que viaja en (s).

La cantidad constituye la función incógnita en toda ecuación de onda. La solución describe pues explícitamente la cantidad que se propaga en forma de onda. La evolución de en el dominio espacio-temporal

describe la propagación de la perturbación en la región s.

La especificación analítica del comportamiento de constituye las condiciones iniciales del problema, y son suficientes para iniciar la propagación de la perturbación. El problema de propagación para puede pues resolverse completamente aunque solo estan presentes las condiciones iniciales como agente iniciador. Adicionalmente, una excitación o fuente (f) puede forzar condiciones extra en t ≥ 0 además de las impuestas por las C.I. La especificación de las condiciones físicas en el límite geométrico (borde ´o frontera) de la región s constituye las condicione de borde (c.b).

Hacemos la observación dado que las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío, que no es un medio material contínuo.

Figura 2.1: Problema General de Propagación

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Algunas puntualizaciones importantes:

-Hemos mencionado que la región s puede contener un medio material sobre el cual ocurre la propagación. Este puede ser un medio acústico (fluidos) ´o elástico, con sus respectivas ´ variantes dispersivas y/o disipativas (con pérdidas). En cualquier caso, sus propiedades están descritas por tensores en términos de los parámetros constitutivos del medio.

- En el dominio temporal, la excitación o fuente puede ser aperiódica (pulso o shot) o periódica; en este último caso, si además la dependencia es armónica, la ecuación de onda es resoluble por separación de variables, dando a la parte temporal una solución de la forma ,ya la parte espacial una solución via la ecuación de Helmholtz.

-Llamamos objeto cinemático fundamental a la cantidad que aparece como función incógnita en la ecuación de onda. La solución pues describe explícitamente la cantidad que se propaga en forma de onda.

Como ejemplos, podemos citar la i-ésima componente del campo eléctrico, que aparece como incógnita en la ecuación de onda electromagnética y como tal se comporta de forma ondulatoria o tambien, en elastodinámica, la cantidad aparece en la ecuación de onda-S, y es por tanto el objeto cinemático fundamental de dicha ecuación La forma de la ecuación a resolver, y por ende la naturaleza de sus soluciones, depende de los factores físicos que se desee incorporar a la observación. Hablamos entonces de ecuación de onda libre, ecuación de onda con fuentes, ecuación de onda en coordenadas esféricas, ecuación de onda en medio dispersivo, etc.

- Finalmente, un elemento esencial a tener en cuenta es el enfoque, (scope) ´o rango de observación del problema (O-), el cual dicta en buena medida las aproximaciones idóneas a realizar en el análisis cuantitativo del mismo. Asi por ejemplo, una onda cuyo análisis cuantitativo predice como esférica, puede ser tratada como onda plana si el análisis se hace suficientemente lejos de la fuente. O una onda 3D puede ser resuelta en 1D o 2D si la física del problema permite una tal simplificación.

Ondas Longitudinales y Transversales Existen diversas clasificaciones (todas incompletas) para las ondas.

En una de ellas hablamos de ondas longitudinales y ondas transversales.

un fluido y de las ondas tipo P en un medio elástico.

En las ondas transversales la perturbación es ortogonal a la dirección de propagación. Tal es el caso por En las ondas longitudinales la per- ejemplo de las ondas electromagturbación es paralela a la dirección néticas y de las ondas S en un mede propagación. Tal es el caso por dio elástico. ejemplo de las ondas de presión en

Figura 2.2: La ecuación de ondas

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Editorial Figura 2.2: La ecuaci贸n de ondas predice la propagaci贸n de pulsos como los que se observan en una cuerda (en este caso una onda transversal). Los pulsos viajan sin deformaci贸n con velocidad c.

Figura 2.3: Ondas longitudinales en un resorte

Rayos y Frentes de Onda En el curso de cualquier discusión acerca de propagación de ondas en más de una dimensión, las expresiones rayo y frentes de ondas aparece en forma tan natural que usualmente no nos preguntamos si habrá alguna definición precisa para estos objetos, de hecho, cualquier discusión al respecto de los rayos queda rápidamente -y aparentemente- resuelta haciendo referencia a la propagación de la luz de una linterna o de un haz de LASER y al éxito de la óptica geométrica como descripción de un número bastante alto de fenómenos físicos asociados a la propagación de la luz (figura (6.1)). Mientras que los frentes de ondas se describen en forma heurística haciendo referencia a las olas que forma una piedrita al caer en la superficie de un estanque. En este capítulo definiremos cuantitativamente tanto los frentes de onda como los rayos, y veremos que las definiciones implican una profunda relación entre ambos objetos.

En la definición de los rayos a par-

tir de fenómenos ondulatorios es necesario discutir la Ecuación Eikonal, esta no es más que una aproximación de la ecuación de ondas válida para la propagación en frecuencia infinita y que relaciona el gradiente de las superficies de fase constante

Figura 6.1: Rayos de luz atravesando un prisma. Obsérvense los rayos reflejados y refractados (frentes de onda) con la función de rapidez de las ondas que se propagan en el medio.

Comenzaremos por estudiar brevemente las propiedades de algunas soluciones de la ecuación escalar de ondas en 3 dimensiones

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Editorial En coordenadas cartesianas es muy sencillo construir soluciones de esta ecuación, en efecto, si se escoge un vector unitario constante y se escoge un sistema de coordenadas con uno de sus ejes paralelos a la ecuaci´on (6 se reduce a

donde es la coordenada a lo largo de la dirección y nuestra experiencia con la ecuación de ondas en una dimensión nos permite construir soluciones a la ecuación (6) de la forma La interpretación de la solución (6) es muy sencilla, la perturbación ondulatoria se propaga en el espacio de tal suerte que para cada instante (fijo) de tiempo el lugar geométrico de los puntos de fase constante está dado por la familia de planos constante, estos planos son ortogonales al vector de propagación y se mueven con rapidez c. A este tipo de ondas, representadas en la figura 6 se les conoce por el nombre de ondas armónicas planas monocromáticas.

En coordenadas esféricas, y asumiendo simetría rotacional la ecuación (6) se reduce a

Figura 6.2: Los frentes de onda para las soluciones planas monocromáticas

O ecuación que luego del cambio de variables se reduce de nuevo al caso unidimensional con soluciones de donde obtenemos -tomando solo la onda expansiva- la expresión que se utiliza normalmente en geofísica para modelar una onda en tres dimensiones, y en que se observa claramente el factor de divergencia esférica

en esta solución el lugar geométrico de los puntos de fase constante consiste en la familia de esferas concéntricas de radios

A los dos tipos de superficie de fase constante que hemos discutido se les conoce con el nombre de frentes de onda; ambas clases de superficies se pueden caracterizar a través de sus vectores normales (el vector en el caso de las ondas planas y el vector en el caso de los frentes esféricos, las direcciones determinadas por estos vectores constituyen los rayos en medios homogéneos.