Calculo diferencial by jesus

Cálculo Diferencial

Ing. Agustín Cervantes Gómez

Mapa conceptual Cálculo Cálculo diferencial diferencial Inician el conocimiento de

Números Números reales reales

Funciones Funciones Funciones Funciones elementales elementales

Funciones Funciones trascendentes trascendentes Límites Límites

Derivadas Derivadas

Diferenciales Diferenciales

Reglas Reglasde de derivación derivación

Aplicaciones Aplicaciones

Máximos Máximosyy mínimos mínimos

Graficado Graficadode de curvas curvas complejas complejas

Optimización Optimizaciónde de las lasciencias ciencias

Prefacio El material está pensado para proveer al estudiante de un conjunto de herramientas matemáticas que se engloban con el denominador de precálculo: números reales, variable, función y límite; para así abordar el tema de Cálculo Diferencial de manera exitosa. En el Cálculo Diferencial el estudiante adquiere los conocimientos necesarios para afrontar con éxito el Cálculo Integral, Cálculo Vectorial, Ecuaciones Diferenciales, asignaturas de Física y otras ciencias además de la Ingeniería. También, se presentan los principios básicos para el modelado matemático. Un curso de Cálculo contribuye a desarrollar en el Ingeniero el lenguaje universal de la ciencia, además de un pensamiento lógico, formal, heurístico y algorítmico. El material de este documento está diseñado para desarrollar un curso de 80 hrs. frente a grupo con 48 hrs. teóricas y 32 hrs. prácticas

Introducción El material que se presenta cubre los temas fundamentales del Cálculo Diferencial, incluyendo una introducción al Cálculo. Se divide en 5 unidades: la unidad número uno se inicia con un estudio sobre el conjunto de los números reales y sus propiedades básicas, así como la solución de desigualdades. En la unidad número dos se estudian los conceptos necesarios para el estudio de las funciones de variable real, en la unidad número tres se introduce el concepto de límite de una sucesión, caso particular de una función de variable natural. Una vez comprendido el límite de una sucesión se abordan los conceptos de límite y continuidad de una función de variable real. En la unidad cuatro, a partir de los conceptos de incremento y razón de cambio, se desarrolla el concepto de derivada de una función continua de variable real. También se estudian las reglas de derivación más comunes; y en la quinta unidad se utiliza la derivada en la solución de problemas de razón de cambio y optimización (máximos y mínimos).

Objetivo General El enfoque en competencias del curso nos lleva a plantearnos el objetivo general de promover y evaluar el desarrollo de las siguientes competencias genéricas: • Procesar e interpretar datos. • Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica, trascendente y verbal. • Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita. • Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. • Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético. • Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de información. • Resolución de problemas. • Analizar la factibilidad de las soluciones. • Optimizar soluciones. • Toma de decisiones. • Reconocimiento de conceptos o principios integradores. • Argumentar con contundencia y precisión. Todas ellas en el contexto del calculo diferencial

Contenido Unidad No. ! Números Reales 1.1

Recta Numérica

1.2

Números Reales

1.3

Propiedades de los Números Reales

1.4

Intervalos y su representación mediante desigualdades

1.5

Resolución de desigualdades de primer orden con una incógnita y de desigualdades cuadráticas de una incógnita

1.6

Valor absoluto y sus propiedades

1.7

Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto

Contenido Unidad No. 2 Funciones 2.1

Concepto de variable, función, dominio,condominio y recorrido de una función.

2.2

Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

2.3

Función real de variable real y su representación gráfica.

2.4

Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional.

2.5

Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.

2.6

Función definida por más de una regla de correspondencia. función valor absoluto.

2.7

Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición.

2.8

Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas.

2.9

Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas.

2.10

Función implícita.

Contenido Unidad No. 3 Límites y Continuidad 3.1

Límite de una sucesión.

3.2

Límite de una función de variable real.

3.3

Cálculo de límites.

3.4

Propiedades de los límites.

3.5

Límites laterales.

3.6

Límites infinitos y límites al infinito.

3.7

Asíntotas.

3.8

Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.

3.9

Tipos de discontinuidades.

Contenido Unidad No. 4 Derivadas 4.1

Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.

4.2

La interpretación geométrica de la derivada.

4.3

Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.

4.4

Propiedades de la derivada.

4.5

Regla de la cadena.

4.6

Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.

4.7

Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital.

4.8

Derivada de funciones implícitas.

Contenido Unidad No. 5 Aplicaciones de la Derivada 5.1

Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Recta Numérica

5.2

Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.

5.3

Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

5.4

Análisis de la variación de funciones

5.5

Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.

5.6

Problemas de optimización y de tasas Relacionadas.

Instrumentación Didáctica Unidad No. ! Números Reales Competencia especifica a desarrollar: Comprender las propiedades de los números reales para desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita y desigualdades con valor absoluto ,representando las soluciones en la recta numérica real. Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

de una • .Construir elAplicación conjunto de losevaluación diagnóstica que números reales anos indique el nivel de las partir de los naturales,competencias previas. Examen de Diagnostico.docx enteros, racionales e Encuadre del curso. irracionales yRealimentación. representarlos en laExposición del concepto de recta numérica. número real y su • Plantear situacionesrepresentación en la recta en las que senumérica. de las reconozca lasExposición propiedades básicaspropiedades de los números de los números reales:reales. orden, tricoto mía,Números Reales.docx transitividad, densidad y el axioma del supremo.

Horas teorico‑ prácticas Procesar e 5 hrs te interpretar datos. Representar e Oricas interpretar 2 hrs. conceptos en Practicas diferentes formas: numérica, 1 hr. geométrica, Examen algebraica, trascendente y Total: 8 hrs verbal. Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

• RepresentarResolución en el pizarrón subconjuntos dede desigualdades números lineales, cuadráticas y reales a través decon valor absoluto. intervalos y Explicación de las representarlos prácticas I y II y gráficamente en lademostración del uso de recta numérica. los software a utilizar • ResolverDesigualdades.docx desigualdades de primer grado con una incógnita. • Resolver desigualdades de segundo grado con una incógnita. • Resolver desigualdades con valor absoluto y representar la solución en la recta numérica.

Desarrollo de Horas competencias teorico‑ genéricas prácticas Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético. Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de información. Resolución de problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Optimizar soluciones. Toma de decisiones. Reconocimiento de conceptos o principios integradores. Argumentar con contundencia y precisión

Instrumentación Didáctica Unidad No. 2 funciones Comprender el concepto de función real y tipos de funciones, así como estudiar sus propiedades y operaciones. Actividades de aprendizaje

•

Actividades de enseñanza

.Identificar, cuándoA partir de un una situación real, se una relación es una establece el concepto de función entre dos función, se les pide a los conjuntos. estudiantes que realicen • Identificar el una tabla con los dominio, el codominio valores que se obtengan, y el hagan una recorrido de una representación gráfica e función. identifiquen las • Reconocer cuándo variables, dominio y una función es recorrido así como del inyectiva, suprayectiva concepto de función. o biyectiva. Exposición de los • Representar una conceptos inyectiva, función real de biyectiva y suprayectiva. variable Exposición de las real en el plano diferentes tipos de cartesiano. (gráfica de funciones y sus gráfica. una función).

Horas teorico‑ prácticas Procesar e interpretar datos. 13 hrs te Oricas Representar e interpretar 2 hrs. conceptos en Practicas diferentes formas: 1 hr. numérica, Examen geométrica, algebraica, Total: 16 hrs trascendente y verbal. Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

• Construir funcionesMediante un ejemplo algebraicas de cada concretar el concepto de uno de sus tipos. función inversa y • Construir funcionesalgoritmo para la trascendentes, determinación. trigonométricas Se les pide a los circulares y funciones estudiantes que exponenciales relacionen diferentes haciendo énfasis enmarcos, gráfico, las de base e. numérico y algebraico. • Reconocer lasExponer el concepto de gráficas de lasfunciones cuyo dominio funciones son los números trigonométricas naturales y arribar a los circulares y gráficasconceptos de sucesión y de funcionesserie. exponenciales de base e. • Graficar funciones con más de una regla de correspondencia. • Graficar funciones que involucren valores Absolutos.

Actividades de aprendizaje • Realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. • Reconocer el cambio gráfico de una función cuando ésta se suma con una constante. • Mediante un ejercicio utilizar el concepto de función biyectiva para determinar si una función tiene inversa, obtenerla, y comprobar a través de la composición que la función obtenida es la inversa. • Identificar la relación entre la gráfica de una función y la gráfica de su inversa.

Actividades de enseñanza

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas 8

Actividades de aprendizaje

• Proponer funciones

con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales. • Plantear diversos arreglos ordenados de números reales y reconocer cuáles de ellos corresponden a una sucesión. A partir de ecuaciones reconocer funciones que implícitamente estén contenidas en ellas.

Actividades de enseñanza

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas

Instrumentación Didactica Unidad No. 3 Limites y Continuidad Comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y mostrar gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

Aplicación de una • Proponer una evaluación diagnóstica que sucesión de tipo nos indique el nivel de las geométrico competencias previas. o una progresión Encuadre del curso. aritmética o Realimentación geométrica y Exposición del concepto de determinar el valor al número real y su que converge la representación en la recta sucesión cuando la numérica. variable natural tiende Exposición de las a infinito. propiedades de los números reales. • Extrapolar el Números Reales.docx concepto de límite de una función de variable natural al de una función de variable real.

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas

Procesar e 5 hrs te Oricas interpretar datos. Representar e 2 hrs. interpretar conceptos en Practicas diferentes formas: 1 hr. numérica, Examen geométrica, algebraica, trascendente y Total: 8 hrs verbal. Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

• Calcular “de manera práctica” el límite de una funciónResolución en el pizarrón de desigualdades lineales, (sustituyendo cuadráticas y con valor directamente el valor al absoluto. que tiende la variable). Explicación de las prácticas I y • Calcular el límite deII y demostración del uso de una función utilizando los software a utilizar las propiedades básicasDesigualdades.docx de los límites. • Plantear una función que requiere para el cálculo de un límite, el uso de límites laterales. • Identificar límites infinitos y límites al infinito. • Reconocer a través del cálculo de límites, cuándo una función tiene asíntotas verticales y/o cuándo asíntotas horizontales. • Plantear funciones donde se muestre analítica y gráficamente diferentes tipos de discontinuidad

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas 8

Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético. Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de información. Resolución de problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Optimizar soluciones. Toma de decisiones. Reconocimiento de conceptos o principios integradores. Argumentar con contundencia y precisión

Instrumentación Didáctica Unidad No. 4 Derivadas. Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y analiza la variación de una variable con respecto a otra.

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

de una • Mostrar con unaAplicación situación real elevaluación diagnóstica que nos indique el nivel de las concepto de incremento de unacompetencias previas. Encuadre del curso. variable. Realimentación • Reconocer el Exposición del concepto de cociente denúmero real y su incrementos de representación en la recta dos variables comonumérica. una razón de cambio. Exposición de las • Reconocer a lapropiedades de los números derivada como elreales. Números Reales.docx límite de un cociente de incrementos.

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas

Procesar e5 hrs te interpretar datos. Oricas Representar e 2 hrs. interpretar conceptos enPracticas diferentes formas: 1 hr. numérica, Examen geométrica, algebraica, trascendente yTotal: 8 hrs verbal. Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

• Mostrar que el valor de la pendiente de la tangente a una curvaResolución en el pizarrón de lineales, en un punto se puede desigualdades cuadráticas y con valor obtener calculando la absoluto. derivada de la funciónExplicación de las prácticas que corresponde a laI y II y demostración del uso curva en dicho punto. de los software a utilizar • Mostrar con unaDesigualdades.docx situación física o geométrica el concepto de incremento de una variable. • Mostrar gráficamente las diferencias entreΔx y dx así como entre Δy y dy. • Definir la diferencial de la variable dependiente en términos de la derivada de una función.

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas 8

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

• Demostrar, recurriendo a la definición, la derivadaResolución en el pizarrón de lineales, de la funcióndesigualdades cuadráticas y con valor constante y de la absoluto. función identidad. Explicación de las prácticas • Calcular derivadasI y II y demostración del uso de funciones de lade los software a utilizar forma f(x)=xn. Desigualdades.docx • Reconocer las propiedades de la derivada y aplicarlas para el cálculo de funciones. • Plantear una expresión en la que se tenga una función de función y calcular la derivada mediante el uso de la regla de la cadena. • Reconocer la fórmula que debe usarse para calcular la derivada de una función y obtener la función derivada.

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas 8

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

• Calcular la diferencial haciendo uso de fórmulas deResolución en el pizarrón de desigualdades lineales, derivación. cuadráticas y con valor • Establecer una absoluto. función que requieraExplicación de las prácticas para el cálculo de suI y II y demostración del uso derivada el uso de de los software a utilizar derivadas laterales. Desigualdades.docx • Calcular la derivada de funciones definidas por más de una regla de correspondencia. • Graficar la función derivada. • Calcular las derivadas de orden superior de una función. • Reconocer, en el cálculo de límites, una forma indeterminada de “tipo L´Hôpital”. • Aplicar el teorema de L´Hôpital para evitar indeterminaciones.

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas 8

Instrumentación Didáctica Unidad No. 5 Aplicaciones de la derivada. Aplicar el concepto de la derivada para la solución de problemas de optimización y de variación de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximaciones. Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

de una • Utilizar la derivadaAplicación evaluación diagnóstica que para calcular la pendiente de rectasnos indique el nivel de las tangentes a una curva competencias previas. Encuadre del curso. en puntos dados. Realimentación • Aplicar la relación Exposición del concepto de algebraica que existe número real y su entre las pendientesrepresentación en la recta de rectas numérica. perpendiculares paraExposición de las calcular, a través de propiedades de los números la derivada, lareales. pendiente de la rectaNúmeros Reales.docx normal a una curva en un punto.

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

• Determinar si dos curvas son Resolución en el pizarrón de ortogonales lineales, en su punto dedesigualdades cuadráticas y con valor intersección. absoluto. • Aplicar el teoremaExplicación de las prácticas de Rolle en funciones I y II y demostración del uso definidas en un ciertode los software a utilizar intervalo y explicar Desigualdades.docx su interpretación geométrica. • Aplicar el teorema del valor medio del cálculo diferencial en funciones definidas en un cierto intervalo y explicar su interpretación geométrica. • Determinar, a través de la derivada, cuándo una función es creciente y cuándo decreciente en un intervalo. • Obtener los puntos críticos de una función.

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas 8

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas 8

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

• Explicar los conceptos de punto máximo, puntoResolución en el pizarrón de lineales, mínimo y punto dedesigualdades cuadráticas y con valor inflexión de una absoluto. función. Explicación de las prácticas • Determinar cuándoI y II y demostración del uso un punto crítico es un de los software a utilizar máximo o un mínimoDesigualdades.docx o un punto de inflexión (criterio de la primera derivada). • Explicar la diferencia entre máximos y mínimos relativos y máximos y mínimos absolutos de una función en un intervalo. • Mostrar la importancia del teorema de Rolle para la existencia de un máximo o de un mínimo en un intervalo.

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas 8

Actividades de aprendizaje

Actividades de enseñanza

• Mostrar, a través de la derivada, cuándo una en el función es cóncava haciaResolución pizarrón de arriba y cóncava hacia desigualdades lineales, abajo. cuadráticas y con valor • Determinar, mediante elabsoluto. criterio de la segundaExplicación de las derivada, los máximos y los prácticas I y II y mínimos de una función. demostración del uso • Analizar en unde los software a utilizar determinado intervalo lasDesigualdades.docx variaciones de una función dada: creciente, decreciente, concavidades, puntos máximos, puntos mínimos, puntos de inflexión y asíntotas. • Resolver problemas de tasas relacionadas. • Resolver problemas de optimización planteando el modelo correspondiente y aplicando los métodos del cálculo diferencial. • Resolver problemas de aproximación haciendo uso de las diferenciales.

Desarrollo de competencias genéricas

Horas teorico‑ prácticas 8

Evaluación Descripción de los indicadores del alcance, para cada nivel de Desempeño 􀀹 Se adapta a situaciones y contextos complejos. Esto implica que puede trabajar en equipo, reflejar sus conocimientos en la interpretación de la realidad. Inferir comportamientos o consecuencias de los fenómenos o problemas en estudio. Incluir más variables en dichos casos de estudio. 􀀹 Hace aportaciones a las actividades académicas desarrolladas. Pregunta ligando conocimientos de otras asignaturas o de casos anteriores de la misma asignatura. Presenta otros puntos de vista que complementan al presentado en la clase. Presenta fuentes de información adicionales (Internet, documentales), usa más bibliografía, consulta fuentes en un segundo idioma, entre otras 􀀹 Propone y/o explica soluciones o procedimientos no vistos en clase (creatividad). Ante problemas o casos de estudio propone perspectivas diferentes para abordarlos correctamente sustentados. Aplica procedimientos aprendidos en otra asignatura o contexto para el problema que se está resolviendo. 􀀹 Introduce recursos y experiencias que promueven un pensamiento crítico. Ante temas de una asignatura, introduce cuestionamientos de tipo ético, ecológico, histórico, político, económico, etc. Que deben tomarse en cuenta para comprender mejor, o a futuro dicho tema. Se apoya en foros, autores, bibliografía, documentales, etc. para apoyar su punto de vista. 􀀹 Incorpora conocimientos y actividades interdisciplinarias en su aprendizaje En el desarrollo de los temas de la asignatura, incorpora conocimientos y actividades desarrollados en otras asignaturas para logra la competencia propuesta sobrepasando la calidad o prestaciones del producto o evidencia requerida. 􀀹 Realiza su trabajo de manera autónoma y autorregulada. Es capaz de organizar su tiempo y trabajar sin necesidad de una supervisión estrecha y/o coercitiva. Aprovecha la dosificación de la asignatura presentada por el docente (avance programático) para llegar a las clases con dudas o comentarios de la temática a ver. Investiga o lee y en consecuencia es capaz de participar activamente en clase. Se debe tomar en cuenta que el nivel de madures del estudiante aumenta gradualmente conforme avanza en la carrera.

Evaluación Unidad No. ! Números Reales

Ponderación de las Evidencias para la evaluación Evaluación escrita 50% Tareas 3 Trabajo por equipo 10% Prácticas por equipo Bitácora 20%

tema subtema 1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

y/0

Examen

presentación

10% 10%

teoría

problema rio

Contenido Unidad No. 2 Funciones presentaci贸n 2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

teor铆a

problemario

Contenido Unidad No. 3 Límites y Continuidad presentación 3

3.1

3.2

3.3

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

teoría

problemario

Contenido Unidad No. 4 Derivadas presentaci贸n 4

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

teor铆a

problemario

Contenido Unidad No. 5 Aplicaciones de la Derivada presentaci贸n 5

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

teor铆a

problemario