Apuntes impresos de Mate 1 by jose hernández

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE COAHUILA Escuela de Bachilleres “Sr. Urbano Riojas Rendón”

Apuntes Impresos

Matemáticas 1 www.redeburr.blogspot.com

PRESENTACIÓN

¿Qué es formación de competencias en bachillerato? Es un enfoque didáctico que pretende desarrollar en el estudiante conocimientos, habilidades de pensamiento, destrezas, actitudes y valores que le permitan incorporarse a la sociedad de una forma inteligente, consciente, propositiva, activa y creativa; y que en un momento dado, las utilice para enfrentarse a una situación de vida concreta, resuelva problemas, asuma retos, etc.

En la actualidad, es una exigencia ofrecer una educación de calidad que logre la formación y consolidación del perfil de egreso en el bachiller de tal forma que pueda contar con los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollarse en un mundo cambiante, globalizado, competitivo y complejo; por lo que el proceso educativo debe caracterizarse por presentar estrategias que contemplen actividades de aprendizaje en diversos contextos y escenarios reales, donde pongan en juego, movilice y transfiera las competencias desarrolladas.

Este material dirigido al estudiante, es producto de la participación de los docentes en los cursos de instrumentación didáctica de los programas de estudio que se desarrollaron en el marco de la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), donde pusieron de manifiesto su experiencia, conocimiento y compromiso ante la formación de los jóvenes bachilleres

Contenido Unidad 1. Aritmética y Álgebra ................................................................. 1 Aritméticas Básica .................................................................................. 1 Cálculo de Porcentajes........................................................................ 1 Proporción Directa e Inversa................................................................ 3 Proporción Inversa ............................................................................ 5 Ejercicios:........................................................................................ 5 Lenguaje Algebraico .............................................................................. 9 El Álgebra ....................................................................................... 9 Signos del Álgebra ............................................................................. 9 Signos de Operación .......................................................................... 9 Signos de Relación .......................................................................... 10 Signos de Agrupación ....................................................................... 10 Notación Algebraica ......................................................................... 10 Términos semejantes ........................................................................ 11 Reducción de términos semejantes: ...................................................... 12 Ejercicios:.......................................................................................14 Reducción de dos términos semejantes con signo diferente ........................14 Reducción de más de dos términos semejantes de distinto signo. ................ 15 Valor numérico ................................................................................ 16 Unidad 2. Operaciones Algebraicas Básicas ................................................... 17 Suma de Polinomios .............................................................................. 17 Ejercicios .......................................................................................... 18 Resta de Monomios y Polinomios ........................................................... 19 Ejercicios: ......................................................................................... 19 Ley de Signos ................................................................................... 20 Ley de los Exponentes ........................................................................ 20 Ejercicios: ........................................................................................ 22 Monomio por Polinomio: ..................................................................... 22 Ejercicios: ........................................................................................ 23 Polinomio por un polinomio:................................................................. 23

División de Monomios y Polinomios ........................................................ 24 División de Monomio entre Monomio ..................................................... 25 División de Polinomios entre Monomio .................................................... 25 División de Polinomio entre Polinomio .................................................... 26 Unidad 3. Productos Notables ................................................................ 29 Producto Notable: ............................................................................... 29 Binomio al cuadrado (a+b)2: ................................................................... 29 Binomios Conjugados ........................................................................... 30 Binomios al Cubo: .............................................................................. 30 Binomios con Término Común ................................................................ 31 Ejercicios: ......................................................................................... 31 FACTORIZACIÓN ................................................................................. 33 Factorización por Agrupación. ............................................................... 34 Factorización de un trinomio al Cuadrado Perfecto .................................... 35 Factorización de una Diferencia de Cuadrados. ............................................. 37 Factorización de un cubo perfecto............................................................ 38 Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx +c....................................40 Unidad 4. Ecuaciones Lineales. ................................................................ 42 Ecuaciones Simultaneas de 1er. Grado con dos incógnitas ............................... 44 Ecuaciones de 1er Grado simultaneas con tres incógnitas................................ 45 Ecuaciones Cuadráticas (de 2do Grado) ..................................................... 47 Ejercicios: ........................................................................................ 48 Ecuaciones de 2° Grado incompletas ......................................................... 49 Ejercicios ......................................................................................... 49 De la forma ax2 + bx = 0...................................................................... 50 EVALUACIÓN SUMATIVA DE LA Unidad I y II ........................................... 51 EVALUACIÓN SUMATIVA DE LA UNIDAD 3 y 4 ........................................ 54 Bibliografía ......................................................................................... 57

Propósito de la Unidad. El alumno constata la necesidad del álgebra como una forma de generalización de la aritmética, utiliza el lenguaje algebraico para construir ecuaciones y a través del trabajo en grupos colaborativos logra la integración con sus compañeros.

Unidad 1. Aritmética y Álgebra Aritméticas Básica

Cálculo de Porcentajes. A menudo los resultados en razones y proporciones se relacionan con porcentajes (tanto por ciento), ya que ésta es otra forma de expresar qué parte es una cosa de otra. El porcentaje de una unidad determinada simboliza las partes que se toman de ésta como si estuviera dividida en 100 partes iguales. Si dividimos un número en cien partes, cada una de ellas representa el uno por ciento del mencionado número. El tanto por ciento del número de centésimos que tomamos de ese número.

Ejemplos: 1.- Si una tarea la terminamos en 50 minutos y hasta este momento llevamos solo 25 minutos ¿Qué porcentaje de trabajo hemos realizado? 25 min = 1 = 0.5 50 min 2 Esta razón indica la parte de la tarea que ya hemos realizado. Pero como el porcentaje considera el total dividido en 100 partes iguales, entonces el porcentaje es la razón de 25 a 50, expresado como parte equivalente de 100, por lo que esta razón debe multiplicarse por 100 25 min 50 min

(100) = 50%

Desde que analizamos el ejemplo dedujimos que solo llevamos el 50 por ciento (50%), pero necesitamos un método para generalizar los porcentajes.

2.- Hallar el 20% de 64 Se hace una regla de tres simple en la que se establece que el 100% de 64 es 64; el 20% de 64 que es lo que se busca será x. 100% = 64 20% = x Entonces: x = 64 x 20 = 12.8 1003. - ¿De que número es 48 el 24%? La regla de tres que se establece es: El 24% del número que se busca es 48; el 100%, o sea el número buscado será x. 24% -- 48 100% -- x Entonces: x= 48 x 100 = 200 24

Ejercicios: 1. ¿Qué porcentaje de los siguientes símbolos químicos tienen vocales? ¿Qué porcentaje de los símbolos no tienen vocales? H, Li, Be, He, B, C, N, O, Ne, Na, Mg, Al, Si, P, S, Ca, Fe, Ni, Cu, Au, Nota la suma de ambas porcentajes debe ser 100%, ya que se considera el total dividido en 100 partes iguales.

2. En la clase de matemáticas hay 50 alumnos, y solo 35 de ellos aprobaron ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron?

3. Si tenemos un listón de 60 centímetros de largo y cortamos 12 centímetros para una esfera y 36 para una canasta: a) ¿Qué porcentaje de listón se utilizó en la esfera? b) ¿Qué porcentaje de listón se utilizó en la canasta?

c) ¿Qué porcentaje de listón sobró?

4. Durante los juegos olímpicos celebrados en la Ciudad de México en 1968, se entregaron 98 medallas de oro. Estados Unidos recibió 45 medallas, URSS 29, Hungría 10, Japón 11 y México 3. ¿Qué porcentaje de medallas recibió cada país? 5. En nuestro colegio hay 2300 alumnos, de los cuales 1350 son hombres. ¿Qué porcentaje de mujeres hay en el plantel?

Proporción Directa e Inversa Proporción: Se llama proporción a la igualdad de dos razones, y se dice que las cantidades que intervienen en una proporción son proporcionales. Por ejemplo: 2 = 4 o bien 3 6

2:3 :: 4:6

Esta proporción se lee: dos es a tres (2:3) como (::) cuatro es seis (4:6) Proporción Directa Dos son directamente proporcionales a otros dos, cuando la razón de las dos primeras es igual a la razón de los dos últimos. Esto significa que si aumenta una de las cantidades entonces aumenta la otra y viceversa. Ejemplos: 1.- Si cuatro cuadernos de dibujo cuestan 26 pesos y queremos saber el costo de dos ¿Qué debemos hacer? Cuadernos 4 2

Costo 26 X

X = ($26) (2) 4

X=13

2.- Si 20 lapiceros cuestan 60 pesos y solo tengo 45 pesos ¿cuantos lapiceros puedo comprar? Lapiceros Costo 20 60 X = ($45) (20) = 900 = 15 lapiceros X 45 60 60

3.- Si la edad de Patricia es de 21 años y la de Susana es de 24 años, ¿Cuál es la razón de la edad de Patricia respecto a la de Susana? Demostrar el resultado:

Razón de la edad de Patricia respecto a la de Susana: 21 = 7 24 8

Esta razón nos dice que Patricia tiene 24 años: 7 de 24 = 7 x 24 = 21 8 8 4.- La razón de la edad de Pedro respecto a la de Juan es de 1 a 3(es decir

1 ) y que 3

Juan tiene 30 años, ¿Cuál sería la edad de Pedro? 1 3 Significa que Pedro tiene un tercio de la edad de Juan y si este tiene 30 años, entonces Pedro tiene 10 años. 30 p= = 10 10

Si la razón de la edad de Pedro (p) respecto de la de Juan es

Ejercicios: 1. Cierta cantidad de playeras cuesta 600 pesos. Después compre 3 y me costaron 90 pesos ¿Cuántas playeras compre la primera vez?

2. Un médico examina a un enfermo y encuentra que su corazón late uniformemente 20 veces en 15 segundos ¿Cuántos latidos detecta el médico en un minuto?

3. Si 35 libretas cuesta 420 pesos. ¿Cuánto costaran 10 libretas?

4. Si tenemos un globo a presión constante con un volumen de 200 litros y sabemos que es directamente proporcional a su temperatura de 273 grados kelvin ¿Cuál es el volumen que ocuparía a una temperatura de 330k? 5. Si 20 lápices cuestan 60pesos ¿Cuánto cuestan cinco lápices?

Proporción Inversa Dos números son inversamente proporcionales a otros cuando la razón de los primeros es igual a la razón inversa de los últimos. En otras palabras, dos cantidades son inversamente proporcionales cuando una decrece si la otra aumenta. Ejemplo: 1. Si cuatro obreros terminan un trabajo en días, ocho carpinteros ¿Lo terminarán en menor o mayor tiempo?  

Obreros 4 8

Al aumentar el número de carpinteros se reduce el tiempo que necesitan para concluir el trabajo: más carpinteros requieren menos tiempo. Estas cantidades son inversamente proporcionales, pues al aumentar una cantidad la otra disminuye. Días 10 X

x= (10) (4) = 5 días 8

2. Una pila tarda en llenarse dos horas con tres surtidores; si se requiere llenarla en 30 minutos ¿Cuántos surtidores necesitaremos? Con 3 tarda 2 horas Con 6 tarda 1 hora Con 12 tarda 30 minutos

Ejercicios: 1. En una fábrica 15 obreras cubren un pedido de faldas en nueve días de trabajo, ¿Cuántas empleadas más tendrán que contratarse para que el pedido será entregado en solo tres días?

2. En un albergue hay 240 refugiados y tienen comida para 30 días, pero si el número de refugiados aumenta a 360, ¿Cuántos surtidores necesitamos?

3. Si una pulgada equivale a 2.54 centímetros, ¿Cuantos centímetros hay en 320 pulgadas? 4. Una bicicleta antigua tiene en su rueda un metro de diámetro y con ella nos tardamos 40 minutos en recorrer una distancia determinada, ¿Cuánto tiempo tardaremos en recorrer la misma distancia en una bicicleta cuya rueda tiene un diámetro de 25 centímetros?

5. Un avión viaja a una velocidad de 900 km/hr y normalmente se tarda 4 minutos en recorrer cierta distancia; si el avión se tardo una hora ¿Cuál fue la velocidad real utilizada en recorrer la misma distancia?

Actividades de Aritmética: 1) 8  4  2 2) 5  7  3 3) 12  9  3 4) 6  4  5 5) 4 2  3 6) 6 2  14 7) 5  6  3  4 8) 9  7  5  6 9) 14  2  3  10 10) 13  1  5 *13 11) 14  2 3  9 12) 14  5  2 3 13) 6  32  7 14) 18  5  32 15) 32  2 2  3  2 16) 18  37 

17) 29  2  5 18) 68  3  12 19) 15  7  1  3 20) 16  13  15  4 21) 3   5 22) 6   7  23)  4   5 24)  12   12 25)  6  7 26)  5   10 27)  17   3  29 28) 13  62   38 29)  25   31  24  19 30)  3   12   15 31) 7  14 32) 6  9 33)  7  2 34) 7   2 35) 3   4 36)  9   3 37)  7   4 38) 4   14 39) 3   24 40)  14   7 41) 9 27  42) 8 40 43)  5  23

44)  6  38 45) 5  7   2 46)  657 47)  9 92 48)  8 7 4 49)  14 9 50)  33 22 51) 12   6 52) 0   7  53) 18   3 54)  72   9 55)  64   8 56)

72 3

57)

 98 7

58)

200 5

59)  128  4 60)  200  8

Lenguaje Algebraico El Álgebra Algunas definiciones de la palabra álgebra que encontramos en los diccionarios, son los siguientes: “generalización de la aritmética que, en lugar de emplear números concretos como ésta, representa las cantidades mediante símbolos”, o bien “parte de las matemáticas que estudia las operaciones en las que hay cantidades conocidas representadas por números y otras desconocidas representadas por letras o símbolos” Signos del Álgebra Los signos empleados en el álgebra son de tres clases: Signos de Operación, Signos de Relación y Signos de Agrupación. Signos de Operación 

El signo de suma es +, que se lee “mas”, así: a + b se lee a mas b



El signo de resta es –, que se lee “menos”, así: a – b se lee a menos b



El signo de multiplicación es * que se lee “por”, así: a * b se lee a por b La multiplicación también se representa de las siguientes maneras: Con un punto entre dos literales a.b, colocando los factores entre paréntesis (a)(b) o simplemente dos literales seguidas ab.



El signo de la división es ÷ que se lee “entre” así: a ÷ b se lee a entre b



El signo de la elevación a una potencia es el exponente que es un numero pequeño colocado arriba a la derecha de una cantidad el cuál indica las veces que la cantidad llamada base se toma como factor así: a3 = a * a * a b3 = b * b * b cuando una letra no tiene exponente este es 1.



El signo de raíz es llamado signo radical y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz así: a equivale a la raíz cuadrada de a.

y equivale a la raíz quinta de y.

Signos de Relación Se emplea para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son: = que se lee igual a. < que se lee menor que. > que se lee menor que Signos de Agrupación Nos indica que la operación

Notación Algebraica Los símbolos usados en álgebra para representar cantidades son los números y las letras. Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto (a, b, c, etc.). Las cantidades desconocidas se representan con las últimas letras del alfabeto (w, x, y, z). Expresión Algebraica: Es la representación de un signo algebraico de 1 ó más operaciones algebraicas. Ejemplo: a, 5x, (a+b)c, etc Término: Es una expresión algebraica separada de otra por un signo positivo o negativo.

Partes de un término:      

Signo (+), (-) Coeficiente numérico: son los que se encuentran entre el signo y las letras Parte Literal: Son las palabras sin exponente Grado Individual: con respecto a una letra. Absoluto: con la suma de todos los exponentes del término.

Ejemplo: -15a2dc a) – b) 15 c) a, b, c d) Grado absoluto: 4° Grado Grado Individual: a= 2° grado, b= 1er grado, c= 1er grado

Ejercicios: Determinar las partes de los siguientes términos: 1) 12x2y 2) 40abc2 3) –xy

4) 5

5) a Dependiendo de la cantidad de términos que tiene una expresión, ésta recibirá su nombre así:

Número de términos Con un término Con dos términos Con tres términos Con uno o más términos

Nombre Monomio Binomio Trinomio Polinomio

Ejemplo -5x3y2 5a + 3b2c -5x3y2 + x2y – y3 -2xy2 – 5xy + 3z2 + 3z2

Ciertamente cada signo de más o menos indica un nuevo término. Términos semejantes Antes de continuar, es importante entender con claridad algunas palabras que son clave: Reducir: es hacer algo más pequeño menos largo. En matemáticas es hacer más sencilla una operación o una expresión. Término Algebraico: es la misma parte de una expresión algebraica, tiene signo, coeficiente y parte literal, pero no separadas por signos de suma o resta.

Semejante: Quiere decir que es parecido pero no idéntico. Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir las mismas letras con los mismos exponentes. Ejemplos: 3a – a, -5x2y + 6x2y.

Reducción de términos semejantes: Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más términos semejantes en uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes: Caso 1. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo. Regla: Términos semejantes del mismo signo se suman y el resultado sigue con el mismo signo Ejemplos: 1. 3a + 2a = 5a 2. – 5b – 7b = - 12b 3. – a2 – 9a2 = 10a2 4. 3ax-2 + 5 ax-2 = 8 ax-2 5. – 4xm+1 – 7xm+1 = -11xm+1 6. 1 ab + 2 ab = 7 ab 2 3 6 7. 5x + x + 2x = 8x 8. – m – 3m – 6m – 5m = – 15m

Caso 2. Reducción de dos términos semejantes de distinto signo. Regla: Términos semejantes de distinto signo se restan y el resultado lleva el signo del mayor. Ejemplos: 1. 2a – 3a = -a 2. 18x – 11x = 7x 3. – 20ab + 11ab = – 9ab

4. – 8ax + 13ax = 5ax 5. 25ax+1 – 54ax+1 = – 29ax+1 6. 1 a – 2 a = – 1 a 2 3 6 7. 3 a2b + a2b = 4 a2b 7 7 x-1 x-1 8. – 5 a + 3 a = – 1 ax-1 6 4 12

Caso 3. Reducción de más de dos términos semejantes de distinto signo. Regla: Se reducen a un solo término los positivos, se reducen a un solo términos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior. Ejemplos: Reducir 1. 5a – 8a + a – 6a + 21a Reduciendo los positivos: 5a + a + 21a = 27a Reduciendo los negativos: – 8a – 6a = –14a Aplicando la regla del caso anterior: 27a – 14 a = 13a

2. 2 bx + 1 bx + 3 bx – 4bx + bx 5 5 4 Reduciendo los positivos: 1bx + 3bx + bx = 39 bx 5 4 20 Reduciendo los negativos: – 2 bx – 4bx = – 22bx 5 5 Aplicando la regla del caso anterior: 39 bx – 22 bx = – 49 bx 20 5 20

Ejercicios: Reducir los términos semejantes 1) x + 2x =

2) 8a + 9a =

3) 11b + 9b = 4) -b – 5b = 5) -8m – m = 6) -9m – 7m =

7) 4a2 + 7a2 = 8) -7m – 9m – 8m =

9) 4m + 8m + m = 10) a2b + 6a2b + 4a2b + 12a2b + 5a2b =

Reducción de dos términos semejantes con signo diferente El signo será de aquel que tenga coeficiente mayor. El coeficiente resultante se obtiene al restar estos, y las literales son las mismas. Ejemplo: 2a – 3a = -a -18x + 11x = -7x 1a–2a=3a–4a=-1a 2 3 6 6

1) Determinar el signo (el término que tenga mayor coeficiente) 2) Se restan los coeficientes 3) Se nota la parte literal

Ejercicios: Reducir los términos semejantes 1) 8a – 6a =

2) -14xy + 32xy = 3) -25 x2y + 32 x2y 4) 40x3y - 51x3y 5) 2a – 2a =

6) -9ax + 10ax = 7) 3y – 1y = 4 2 8) m2n + 6m2n = 9) 3z – 9z =

Reducción de más de dos términos semejantes de distinto signo. Procedimiento  Se suman los positivos  Se suman los negativos  Se restan y el signo será el mayor Ejemplos: 5x – 8x + x – 6x + 21x = 27x – 14x = 13x 9y – 3y + 5y = 14y – 3y = 11y

Ejercicios: 1) 9a – 3a + 5a = 2) -8x + 9x – x = 3) 12mn – 23mn – 5mn = 4) –x + 9x – 18x = 5) 19m – 10m – 6m = 6) -11ab – 15ab + 26ab = 7) -5ax + 9ax – 35ax = 8) -24ax-2 – 15ax-2 + 39ax-2 =

Valor numérico Es el resultado de sustituir las literales por valores numéricos previamente establecidos y efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo: Valor numérico de 5ab para a=1, b=2 5ab = 5(1) (2) = 10 Ejercicios: 1) a2 + b3 + c4 para a=2, b=3, c=4

2) 3ab para a=1, b=2 3) 5a2b3c para a=1, b=2, c=3 4) b2mn para b=2, m=5, n=10

Propósito de la Unidad. El alumno resuelve operaciones algebraicas, utilizando los algoritmos adecuados, construye y resuelve sistemas de ecuaciones de dos y tres variables, aplica estos conocimientos a la resolución de problemas de la vida real, además se compromete con el trabajo en grupos colaborativos ejercitando el valor de la responsabilidad.

Unidad 2. Operaciones Algebraicas Básicas Suma de Polinomios Signo igual se suman los coeficientes y se conserva el mismo signo Signos diferentes se restan los coeficientes y se escribe el signo del coeficiente mayor Ejemplo 1) 2a – 5b + 3c ; 4a – 2b – 3c

Respuesta

+2a – 5b + 3c +4a – 2b – 3c 6ª – 7b

2) ab + bc + cd ; -8ab – 3bc – 3cd; 5ab + 2bc + 2cd

Respuesta

ab + bc + cd -8ab – 3bc – 3cd 5ab + 2bc + 2cd – 2ab

3) Sumar 5a , 6b , 8c . 5a  6b  8c

4) Sumar 3a 2 b , 4ab 2 , a 2 b , 7ab 2 , 6b 3 . 3a 2 b  4ab 2  a 2 b  7ab 2  6b 3  4a 2 b  11ab 2  6b 3

5) Sumar 3a ,  2b . 3a  2b

5) Sumar 7a ,  8b ,  15a , 9b ,  4c , 8 . 7a  8b  15a  9b  4c  8  8a  b  4c  8

Ejercicios 1. 3a + 2b – c; 2a + 3b + c 2. 4a – 4ab +5c: 7a + ab – 6c 3. 7x+3y3 –4xy; 3x–2y3 +7xy ; 2xy–5x–6y3 4. 9x – 3y + 5; -x – y + 4; -5x + 4y – 9 5. a + b – c; 2a + 2b – 3a; - b + 3c

6. 7x -4y +6z; 10x -20y -8z; -5x +24y +2z

7. ab +bc +cd; -8ab +3 dc -3cd; 5ab +2bc +2cd 8. 3x2 -4xy +y2; -5xy +6x2 -3y2; 6y2 -8xy -9x2 9. –am +6mn -4s; 6s –am -5mn; -2s -5mn +3mn 10. -8a +3b –c; 5a –b +c; -a –b –c; 7a –b +4ac

Resta de Monomios y Polinomios La resta o sustracción es una operación que tiene por objeto dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de los sumandos (sustraendos) hallar el otro sumando (resta o diferencia) Ejemplo: Resta $20.00 de $50.00 = -20.00 + 50.00 = 30.00 Resta 4xy de -2xy = -4xy – 2xy = -6xy Resta -4 a2b de 5a2b = 4a2b + 5a2b = 9a2b De 8a restar  4a 8a  4a  12a De  5xy 3 restar  3xy 3  5xy 3  3xy 3  2 xy 3

1 3 De  ab restar ab 2 4

1 3 23 5  ab  ab    ab 2 4 4 4

Ejercicios:

Nota: Al monomio o polinomio que se encuentra después de la palabra restar o signo de menos, se le cambiará el signo a todos sus términos.

1) Resta (3x -4y) de (5x +2y)= 2) Resta (2a2 -5a +2) de (-4a +5 -3a2)= 3) Resta (-4m +8mn -2n) de (-4a +5 -3a2)= 4) Resta (2tu + u +t2) de (-2t2-4tu)= 5) Resta (5x2 –y3) de (-3y3+8x2)= 19

6) a  b restar a  b 7) 2 x  3 y restar 4 x  3 y 8) 8a  b restar  3a  4 9) x 2 3x restar  5x  6 10) a 3  a 2 b restar 7a 2 b  9ab 2

Ley de Signos (+) (+)= + (-) (-) = + (+) (-) = (-) (+) = -

Ley de los Exponentes a2 * a5 = a2+5 = a7 (En una misma base se suman los exponentes de bases iguales) Reglas para multiplicar: Aplicar la ley de los signos. Se multiplican los coeficientes Se anotan las literales en orden alfabético Al multiplicar potencias de bases iguales se suman sus exponentes Si hay potenciales que no se repitan se escribe como están.

Nota: en cuanto a la literal que no tiene exponente, recuerda que le corresponde el número 1, pero que tampoco se escribe, ejemplo: m1 = m Ejemplos: 1) (2a2) (3a3) = 6a5 2) (-xy2) (-5mx4y3) = 5mx5y5 3) (-ab2) (4ambnc3) = -4am+1bn+2c3 4) (a) (a) = a2

2a 3a   6a

 xy  5mx y   5mx







7) 3a 2 b  4b 2 x  12a 2 b 3 x

8) 9)

 ab 4a b c   4a b  a b  a b   a 2

m1 n  2





m1 n  2 3

m2

2n 4

2 m1 3n  2



10) a x1b x2  3a x2 b 3  3a 2 x3b x5

Ejercicios: 1) (4x2y5)(-3x3y2) = 2) (3a2b)(-4b2x) = 3) (ax+1bx+2)(-3ax+2b5) = 4) (-5x2y3z5)(-2xy2) =

5) (2t)(tu) = 6) (-3ab)(-2a2) = 7) (3a2b)(-abc) = 8) (-5x2y3z5)(-2xy2) = 9) (a2b3)(3a2x) = 10) (-x2y3)(-4y3z4) =

Monomio por Polinomio: Pasos: 1) Se identifican los tĂŠrminos del polinomio 2) El monomio se multiplica por cada uno de los tĂŠrminos del polinomio, aplicando el concepto de producto 3) Aplicar la ley de los signos

Ejemplo: Multiplicar 3x2 -6x +7 por 4ax2 3x2

-6x

+7 -4ax2

por

-12ax4 + 24ax3 -28ax2

Ejercicios: 1) 3x2 -x2 por -2x = 2) 8x2y -3y2 por 2ax2 = 3) (-a2b)(-3ª +5ab2 –c) = 4) (3x2y)(-2x4y3 –x3z +4y2) = 5) (2a2b -3ab +5)(-4ab2) =

Polinomio por un polinomio: Regla: 1. Tomamos un término de uno de los polinomios (segundo factor) y éste se multiplica por cada uno de los términos del otro polinomio (primer factor), se aplica la “ley de los signos” y, si son potencias de bases iguales, se suman sus exponentes. 2. el proceso anterior se repite para cada término del segundo factor. Se deben acomodar los términos semejantes en la misma columna para facilitar la suma. se efectúa una suma de los términos semejantes si los hay. Por lo general, el polinomio con mayor cantidad de términos es el primer factor. En otras palabras, es el que acomodamos primero al hacer la multiplicación. Por ejemplo, si multiplicamos 23 por 123,456, primero escribimos el más grande, 123,456 y después el número pequeño, 23; lo mismo se hace en el álgebra.

Ejemplo: 1. Realiza la siguiente operación 2x – 3y por x2 - 2xy - 3y2 x2 – 2xy – 3y2

Primer factor Segundo factor

por

2x – 3y

-3x2y + 6xy2 + 9y3 -4x2y – 6xy2 + 2x3 Resultado

-7x2y

-3 por cada término del primer factor +2 por cada término del primer factor

+ 9y3 + 2x3

Ordenando el polinomio de forma descendente (de mayor a menor exponente) respecto a x, tenemos: Resultado ordenado

2x3 – 7x2y + 9y3

Ejercicios: 1) a2 -4a +6 por 7a2 -5a -2

2) 3x -2y por 6x +4y 3) x + 5 por x – 4 4) x2 +xy +y2 por x –y 5) a2 +b -2ab por a –b 6) a3 –a +a por a -1

División de Monomios y Polinomios Ley de los Exponentes: para dividir exponentes, se deja la base y sus exponentes se restan algebraicamente.

División de Monomio entre Monomio Ejemplos: 1. 24x3y2z = 4xyz2

6x2y z

2. -16 a4b6 = 2a3b4 -8ab2c c

Ejercicios: 1) 4x2y5 = -3x3y2

2) 3abc2 = -2a3b2c4

3) -4x2y = 3xy2

4) 3rs3 = 2r2s4

División de Polinomios entre Monomio Ejemplo: 4a3b2 + 16ab -4a2 = 4a3b2 + 16ab + -4a2 = -2ab – 8 + 2 -2a2b -2a2b -2a2b -2a2b a b

1) Dividir 3a 3  6a 2 b  9ab 2 entre 3a 3a 3  6a 2 b  9ab 2 3a 3  6a 2 b  9ab 2  3a   a 2  2ab  3b 2 3a





2) Dividir 2a x b m  6a x1b m1  3a x2 b m2 entre  2a 3b 4 2a x b m  6a x 1b m1  3a x  2 b m2 3  a x 3b m4  3a x 2 b m5  a x 1b m6 3 4 2  2a b Ejercicios: 1) 4ab3 -3a2bc +12a3b2c4 entre 2ab2c3 = 2) 4a4 -12a3 +4a entre -4a2 = 3) a4b2 +a3b3 –a2b4 entre –a2b4 = 4) a3bc –ab3c –abc3 entre –abc = 5) 3a2b -3ab2 entre 3ab= 6) x2yz –xyz2 entre –xyz=

División de Polinomio entre Polinomio Para resolver este tipo de divisiones es necesario el uso de la galera, pues no existe otra forma posible para su resolución. 1. Ordenar dividendo (va dentro de la galera) y divisor (fuera de la galera), según las potencias descendentes (de mayor a menor) de una misma literal que aparezcan en ambos polinomios. 2. Si el dividendo no cuenta con todas sus potencias continuas, debemos dejar debemos dejar un espacio en blanco en donde éstas falten. 3. Para obtener el primer término del cociente, dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

4. Multiplicamos este primer término del cociente por todo el divisor y se resta algebraicamente del dividendo. 5. El residuo obtenido se trata como un nuevo dividendo y se repiten los pasos 3 y 4 6. Continuamos con este proceso hasta que el residuo del exponente de la literal que escogimos sea menor que el exponente de la misma literal en el divisor. Ejemplo: 1. Realiza la siguiente operación: (3x2 +4x -8) entre (x -2) 3x + 10 x – 2 3x2 +4x - 8 3x2 +6x 10x - 8 -10x +20 12 2 2. Dividir x  5x  6 entre x  2

x3

x  2 x  5x  6 2

 x 2  2x 3x  6  3x  6 0

3. Dividir 3x 2  2 x  8 entre x  2

3x  4

x  2 3x 2  2 x  8  3x 2  6 x  4x  8 4x  8 0

4. Dividir 28x 2  30 y 2  11xy entre 4 x  5 y 7x  6 y

4 x  5 y 28 x 2  11xy  30 y 2  28x 2  35xy 24 xy  30 y 2  24 xy  3 y 2 0

Ejercicios: Divide (4x3 +10x2 +3) entre (x +3) Divide (2m3 -10m +8m2 -4m4) entre (m â&#x20AC;&#x201C;m2 +1)

Propósito de la Unidad. El alumno deduce, discrimina y elige métodos de solución de productos notables y factorización, además distingue estos procesos como operaciones inversas; así mismo fortalece sus relaciones interpersonales, ejercitando los valores de flexibilidad y paciencia en el trabajo de equipo.

Unidad 3. Productos Notables Producto Notable: El producto es el resultado de una multiplicación. Es notable porque destaca entre los demás. Binomio al cuadrado (a+b)2: Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el proceso para obtener un resultado. La solución a un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre de trinomio al cuadrado perfecto. El cuadrado del primer término más o menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Para recordar: Binomio al cuadrado es igual al trinomio al cuadrado.

Ejemplos (a+b)2 = a2 +2ab +b2

(a-b)2=a2 -2ab +b2

Ejercicios: 1) (2x +3y)2 = 2) (m + 3)2 = 3) (5 + x)2 =

4) (2x – 3y)2 = 5) (4a2 – 2b)2 = 6) (5m3 + 3n2)2 =

Binomios Conjugados El producto de la suma de dos primeros números (a+b) por su diferencia (a-b) es un producto notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto recibe el nombre de diferencia de cuadrados. (a+b) (a-b) = (a+b)(a) +(a+b)(-b) = a2 +ab –ab – b2 = a2 – b2 A partir de aquí podemos generalizar la regla par obtener el producto de binomios conjugados. Los binomios conjugados son iguales a: El cuadrado del primer término del binomio menos el cuadrado del segundo término del binomio. Ejercicios: 1) (2x +3y) (2x – 3y) = 2) (4a2 + 5b) (4a2 – 5b) =

Para recordar: Binomio conjugados = diferencia de cuadrados 2 2

3) (2x y + 3xy) (2x y – 3xy) = 4) (x + 3) (x – 3) =

Binomios al Cubo: Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso para su solución. Esto significa que el binomio está multiplicándose por sí mismo tres veces. (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) El cubo de un binomio es igual.  El cubo del primer término.  Mas / menos, el triple producto del cuadrado del primer término por segundo término.  Mas el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término.  Mas / menos el cubo del segundo término. Ejemplos: (a + b)3= (a)(a)(a) + 3(a)(b)(b) + (b)(b)(b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3= (a)(a)(a) + 3(a)(a)(-b) + 3(a)(-b)(-b) + (-b)(-b)(-b) = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Ejercicios: 1. (2x + y)3= 2. (3a – 2b)3= 3. (m2 – 2)3=

Para recordar: Binomio al cubo = cubo perfecto

4. (x – 3)3= 5. (4x + 5)3= 6. (a2 – 2b)3=

Binomios con Término Común Este tipo de binomios con término común se puede generalizar de la siguiente forma: (x + a)(x + b) = x(x+b) + a(x+b) = x2+xb+ax+ab En donde: x es el término común y su coeficiente debe ser uno, y tanto a como b son números enteros (positivos o negativos). Regla para obtener el producto de binomios con término común es:  Cuadrado del término común, más producto de la suma algebraica de los no comunes por el común, más el producto de los no comunes.  Recuerda que x es factor común literal con coeficiente uno; a y b con números enteros (positivos o negativos)

Ejemplos: (x+3)(x+2)= x(x+2) + 3(x+2) = x2 + 2x + 3x + 6= x2 + 5x + 6 (y+3)(y-5) = y(y-5) + 3(y-5)= y2 – 5y + 3y – 15= y2 – 2y – 15

Solución en forma directa: PARA RECORDAR: las características de un trinomio de la forma x2 + bx + c son: 2

(y + 3)(y – 5) = y2 + (+3 – 5) y + (3)(- 5) = y2 -2y -15

1. El primer término (x ) es cuadrático (tiene raíz cuadrada exacta y debe tener como coeficiente el numero uno. 2. El término central (bx) esta formado por un coeficiente y la literal del primer término, por su exponente es uno. 3. El tercer término (c) es independiente, es decir no tiene una parte literal; es solo un número.

Ejercicios: 1) (m – 5)(m – 4) = 2) (b – 3)(b + 5) = 3) (n – b)(n – 5) = 4) (x + 7)(x – 2) = 5) (x + 6)(x – 7) = 6) x 2  7 x  10 7) y 2  5 y  6 8) x 2  3x  10 9) a 2  a  2 10) y 2  y  3 11) 12  8n  n 2 12) x 2  10 x  21 13) a 2  7a  18 14) m 2  12m  11 15) x 2  7 x  30

FACTORIZACIÓN La factorización es un proceso contrario a la multiplicación y su objetivo es simplificar las expresiones algebraicas. Factorizar significa encontrar los factores que pueden originar una cantidad. Si te pregunto ¿Qué factor puede originar el numero 18?, tenemos que encontrar que números, al multiplicarse, den como producto este número. (1)(18) o (2)(9) o (3)(6) o (2)(3)(3) ¿Qué factores originan la expresión 10x2y? (5)(2)(x)(x)(y) Factorización de Polinomios Caso I, Factor Común Es un factor que está en todos los términos. Si un polinomio tiene un factor común es posible factorizarlo aplicando la propiedad distributiva. Ejemplos: 1. 2. 3. 4.

5x +5y = 5(x+y) ax –bx +cx = x(a –b +c) 10b -30ab2 = 10b(1-3ab) 10a3 -5a +15a3 = 5a(2a2 -1 +3a2)

Ejercicios: 1- 8m2 -12mn = 2- 15 c3d3 +60c2d2 = 3- X2y –x2y = 4- a2 +ab = 5- b + b2 = 6- 2a2x +6ax2 =

Si se nos olvida la propiedad distributiva, tenemos otro camino para encontrar la solución a) Identificamos visualmente cuál o cuáles son los términos comunes en el polinomio. Esté será nuestro factor común b) Dividimos el polinomio entre nuestro factor común y así obtenemos el otro factor. Ejemplo: 4x2 – 8xy +2y a) Términos comunes; letra “y”, el factor común es 2y Dividimos: 4x2y -8xy +2y = 2x2 -4x +1 2y El resultado es 2y (2x2 -4x +1)

Ejercicios: 1. 15a2bc3 + 18a2b – 9a2c = 2. –2x2(m-n) + 3xy3(m-n) – (m-n) = 3. a2(x-y)3 – b2(x-y)2 + c(x+y) = 4. (5x2+4y)(a-b) – (-4x2+6y)(a-b) – (x2-y)(a-b) =

Factorización por Agrupación. Cuando tenemos polinomios que no tienen un solo factor común pero algunas literales se repiten en el, podemos aplicar la propiedad asociativa y conmutativa estos términos semejantes y factorizar. Ejemplo: Caso 1 ac + ad +bc +bd (ac +ad) + (bc +bd) a(c+d) +b(c+d) (a+b)(c +d) Caso 2 -5a2 + 3ax -10a + 6x 34

(-5a2 - 10a) + (3ax + 6x) a(-5a - 10) + x(3a + 6x) 3x(a + 2) -5a(a – 2) (3x – 5a) (a + 2)

Ejercicios: Factoriza por el método de agrupación. 1. ax2 + ay2 –bx2 +cy =

2. -2am +6bn -9cn +5dm -3n= 3. 4a2 + ab -4a –b = 4. m2 –b2 +m –b2m = 5. 2x2 -3xy -4x +6y =

Factorización de un trinomio al Cuadrado Perfecto En el tema anterior desarrollamos un binomio al cuadrado obteniendo como resultado un trinomio que recibe el nombre de trinomio al cuadrado perfecto. Ahora finalizaremos el trinomio cuadrado perfecto. Es decir tenemos que encontrar los valores que lo originaron. Ya sabemos que factorizar es el proceso contrario de un producto. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Factorizar el trinomio a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2 Antes de factorizar un trinomio al cuadrado perfecto se debe identificar que realmente lo sea. Para que el trinomio sea cuadrado perfecto, deberá ser ordenado en forma descendente respecto a una literal y debe cumplir lo siguiente:

1. Los coeficientes del primer y tercer término deben ser positivos y tener raíz cuadrada exacta: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, etc. 2. Los exponentes del primer y tercer término deben ser pares; 2, 4 ,6, 8, 10, etc. 3. Si cumple con los puntos anteriores, entonces debemos verificar que el segundo término sea el doble producto se las raíces del primer y tercer término. Ejemplos: ¿Es un trinomio al cuadrado perfecto 9x4 +12x2y +4y2? = símbolo de raíz cuadrada 1.

x4 = 3x2

2. 4 y2 = 2y 3. 2(3x2)(2y) = 12x2y Después de identificar sin error un trinomio al cuadrado perfecto, pasaremos a estudiar el proceso de factorización propiamente dicho. 1. Extraemos raíz cuadrada al primer y tercer término del trinomio. 2. con estas raíces formamos un binomio que tendrá el signo del segundo término del trinomio. 3. Este binomio será la raíz cuadrada del trinomio y deberá multiplicarse por si mismo o elevarse al cuadrado. Ejemplo: Factorizar el siguiente trinomio al cuadrado perfecto Debe ser el signo del segundo término

9a2 + 12a + b2 = ( 9a2 + b2) ( = (3a+ b) (3a+ b) = (3a +b)2

Este paso generalmente se omite

9a2 +

b2)

Binomio al cuadrado

Ejercicios: 1. 9x4 +12x2y +4y2 = 2. 4x4 – 12x2y +3y2 = 3. 16m6 -24m3y2 +9y4 = 4. 64m4 +16m2 +1 = 5. 49a2 -14a +1 = 6. a 2  2ab  b 2 36

7. x 2  2 x  1 8. y 4  1  2 y 2 9. 16  40 x 2  25x 4 10. 16  8m2  m4

Factorización de una Diferencia de Cuadrados.

En el tema anterior demostramos que al multiplicar la suma de un binomio por su diferencia (binomios conjugados) obtenemos como resultado una diferencia de cuadrados (ver pag. 15). Ahora invertiremos este proceso; es decir si tenemos una diferencia de cuadrados, ¿Cómo obtener el producto de una suma por su diferencia (binomios conjugados)? Esto quiere decir que encontramos el par de factores que originaron la diferencia de cuadrados. Antes de factorizar una diferencia de cuadrados se debe verificar que realmente lo sea. 1. Se deben presentar dos términos que estén restando y 2. Que tenga raíz exacta Ejemplo: 16m2 – 25n2 16m2 = 4m

–

25n2 = 5n

Si es una diferencia de cuadrados

Factorización. Pasos: 1. Se extrae la raíz cuadrada del primer y segundo términos. 2. Se multiplica la suma de estas raíces por su diferencia Ejemplo:

16m2 – 25n2 = (

16m2 +

25n2) (

16m2 -

25n2) =4m +5n) (4m -5n)

Ejercicios: Factoriza las siguientes diferencias de cuadrado directamente: 1. 49x8 -81y6 = 2.9x4 – 4y2 = 3. 81m8 -1 = 4. 64x8y4 -1 = 5. x2 – y2 = 6. a2 – 1 = 7. 4 – y2 = 8. m2 – 16 = 9. 25a2 – 9 = 10. a – b2 =

Factorización de un cubo perfecto En el tema anterior demostramos que un binomio al cubo da como resultado un polinomio de cuatro términos que recibe el nombre de cubo perfecto. (ver pag 16). Ahora invertiremos este proceso; es decir, si tenemos un cubo perfecto (polinomio de cuatro términos), cómo obtener el binomio al cubo que generó. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Cubo perfecto

Factorización.

Binomio al cubo

Pasos: 1. Se extrae la raíz cúbica al primer y ultimo término. 2. La factorización será el cubo de la suma o la diferencia de las raíces cúbicas de estos términos. Ejemplo: 27a3 -54a2b +36ab2 -8b3 = (3a -2b)3 3 27a3 = 3a -3

8b3 = -2b

Ejercicios: 1. x3 +3x2 +36x -1 = 2. 8 -12x + 6x2 –x3 = 3. 125 -75x2 +15x4 –x6 4. -m6 +3m4n +3m2n2 +n3 = 5. a3 -3a2b +3ab2 –b3 =

Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx +c Identificación: Para que sea un trinomio de la forma x2 + bx +c 1. Premier término es una literal que debe tener exponente 2 y además coeficiente 1, siempre es positivo 2. El segundo término está formado por un coeficiente y la misma lateral del primer término, pero el exponente es 1 (no se escribe). Puede ser positivo o negativo. 3. El tercer término es un número que puede ser positivo o negativo.

Ejemplo: a2 + 5a + 6 1. a2 = tiene exponente 2 y coeficiente 1.

2. 5a = misma literal que el primer término.

3. 6 = término independiente

Factorización. Pasos: 1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada 2. los dos términos que siguen deben cumplir con las condiciones que siguen: Su producto debe ser igual al tercer término del trinomio (c) La suma algebraica de éstos ha de ser igual al coeficiente del segundo término del trinomio (b). Ejemplo: x2 +5x +6 = (x + 3) (x + 2) Dos números cuyo producto sea +6 y su suma sea 5

Ejercicios: 1. x2 + 16x +63 = 2. y2 -12y +32 =

3. n2 -2n -80= 4. m2 +6m -40 = 4. y2 -11y +24 =

Propósito de la Unidad. El alumno aplica la factorización en la simplificación de fracciones, y como un método de solución de ecuaciones cuadráticas, identifica diferentes formas para distinguir ecuaciones cuadráticas con soluciones reales e imaginarias, resuelve problemas de aplicación que involucren a las mismas, utilizando el método adecuado, además mediante su relación con sus compañeros y maestro ejercita los valores de respeto y tolerancia.

Unidad 4. Ecuaciones Lineales. A las ecuaciones de primer grado también se les llama ecuaciones lineales. Antes de resolver una ecuación debes verificar su grado, si el exponente mayor que existe en la incógnita es 1, es una ecuación lineal, por lo que nuestra incógnita sólo podrá tener una solución. Recuerda que la incógnita debe quedar en el miembro de la izquierda y los valores conocidos, o constantes a la derecha, y que cuando un término pasa al otro miembro, debe pasar realizando la operación inversa. Ejemplo: 1. Encuentra el valor de la incógnita en la siguiente ecuación: 3x + 2 = x -4 3x – x = -4 -2 2x = -6 x= -6 2 x= -3 Nota: Cuando se ha encontrado el valor de la incógnita se puede verificar si es correcto substituyendo la incógnita por el valor encontrado, comprobando la igualdad. 3x + 2 = x – 4 (-3) + 2 = -3 -4 -9 +2 = -7 -7 = -7

Ejercicios 1. 2y -5 (2y +3) = 2y +5

2. 4x + 2x +3 =27

3. 5x -8x -3 (x-2) = -6 4. –t +2 = -5 + 4(t -2) 5. 12 + 4(m -3) = 6(5 –m)

Solución de problemas que originan ecuaciones lineales Hay ecuaciones cuyo planteamiento deriva de problemas del lenguaje común. En tal caso, es necesario interpretarlas correctamente para encontrar la solución al problema, Ejemplo: 1. Si Juan tiene el doble de dinero que Pedro, y ambos reúnen 60 pesos, ¿Cuánto dinero tiene cada uno? , ¿Cómo plantear la ecuación que representa este problema? Para asignar la incógnita a alguna de las dos personas nos preguntamos: ¿Quién tiene más dinero? Como Pedro tiene menos dinero, entonces a él le corresponde la incógnita x. Juan tiene el doble de dinero que Pedro, entonces le corresponde 2x, de esa manera la ecuación queda 2x +x =60 2x + x =60 3x =60 x= 60 3 x = 20

Ecuaciones Simultaneas de 1er. Grado con dos incógnitas Método de Reducción: se hacen iguales los coeficientes de una incógnita y signo contrario. Ejemplo: 7x + 4y = 13 5x – 2y = 19 1. Multiplicar

2. Realizar la Suma

(1) 7x + 4y = 13 (2) 5x – 2y = 19

7x + 4y = 13 10x – 4y = 38 17x = 51 x = 51 17 x=3

3. Sustituir “x” en algunas de las dos ecuaciones originales 7x + 4y = 13 7(3) + 4y = 13 21 + 4y = 13 4y = 13 – 21 4y = -8 y = -8 4 y = -2 44

4. Sustituir los valores de las incógnitas en alguna de las dos ecuaciones para verificar igualdad. 5x – 2y = 19 5(3) – 2(-2) = 19 15 +4 = 19 19 = 19

Ejercicios:

1. x + 2y = 5 x+ y=4

2. 3x + 2y = 7 3x + y = 4 3. 3x – y = 4 x + 3y = -2

4. 10x + 4y = 3 40x – 10y = 8 5. 4x – 5y = 2 5x + 3y = 21

Ecuaciones de 1er Grado simultaneas con tres incógnitas. Ejemplo: Ec. 1. x +4y –z = 6 Ec. 2. 2x +5y -7z = -9 Ec. 3. 3x -2y +z = 2

Escoger dos ecuaciones para tratar de eliminar una incógnita por el método de suma y resta.

Ec. 1 y Ec. 2 Realizar la suma -(2) x +4y –z = 6 -2x -8y +2z = -12 (1) 2x +5y -7z = 2 2x +5y -7z = 9 -3y -5z = -21

Se originó una 4ta Ec.

Ec. 1 y Ec. 3 (-3) x +4y –z = 6 (1) 3x -2y +z = 2

Se originó una 5ta Ec.

-3x -12y +3z = -18 3x - 2y + z = 2 -14y +4z = -16

Realizar la suma de la 4ta y 5ta Ec. para tratar de eliminar una incógnita. (4) -3y -5z = -21 -12y - 20z = -84 (5) -14y +4z = -16 -70y +20z = -80 -82y = -164 y = -164 - 82 y=2 Sustituir el valor encontrado en la 4ta o 5ta Ec. En la 4ta Ec. y despejar “z” -3y -5z = -21 -3(2) -5z = -21 -6 -5z = -21 -5z = -21 +6 -5z = -15 z = -15 -5 z=3 Sustituir los dos valores encontrados En alguna de las 3 ecuaciones originales x + 4y – z = 6 x + 4(2) -3 = 6 x+8–3=6 x +5 = 6 x=6–5 x=1

Sustituir los tres valores encontrados para verificar la igualdad x + 4y –z = 6 1 + 4(2) -3 = 6 1+8–3=6 9–3=6 6=6

Ejercicios: 1. x + y + z = 6 x - y + 2z = 5 x - y - 3z = -10

2. x + y +z = 12 2x – y + z = 7 x + 2y – z = 6 3. x – y + z = 2 x+y+z=4 2x +2y - z = -4 4. 2x + y – 3z = -1 x – 3y – 2z = -12 3x – 2y – z = -5

5. 2x + 3y + z = 1 6x – 2y – z = -14 3x + y – z = 1

Ecuaciones Cuadráticas (de 2do Grado) Cuando en una ecuación tenemos en nuestra incógnita un exponente 2, sabemos que se pueden encontrar valores que satisfagan la ecuación, estas ecuaciones se llaman de segundo grado o cuadráticas y la forma general para estas es: E. de 2° grado completa: ax2 + bx +c = 0 Resolución de Ec. de 2° graso por formula general. x = -b 

b2 – 4ac 2a

Ejemplo: 3x2 – 7x +2 = 0 a= 3 b = -7 c= 2 x= -(-7)  (-7)2 – 4 (3) (2) 2 (3) x=7 

49 - 24 6 25

x=7  6 x1= 7 + 5 = 2 6 x2= 7 – 5 = 1 6 3

Ejercicios: 1. x2 + 5x – 6 = 0

2. x2 + 3x – 28 = 0

3. x2 + x – 42 = 0

4. x2 – 2x – 63 = 0

5. x2 + 3x – 54 = 0

Ecuaciones de 2° Grado incompletas De la forma ax2 + c = 0 Pasos: Se despeja x2 Ejemplos:

1. 2x2 -18 = 0 2x2 = 18 x2 = 18 2 2 x =9 x= 9 x= 3 x1 = 3 x2 = -3

Ejercicios 1. 3x2 – 4 = 0 2. 4x2 – 16 = 0 3. 3x2 – 27 = 0 4. 3x2 – 9 = 0 5. 2x2 – 400 = 0 6. 9x2 – 81 = 0 7. 3x2 + 4 = 0

De la forma ax2 + bx = 0 Pasos: Se factoriza para despejar x. Ejemplo: 1. 5x2 + 3x = 0 x=0 x(5x + 3) = 0 x1 = 0 x=0 y 5x + 3 = 0

5x + 3 = 0 5x = -3 x = -3 5 x2 = -3 5

Ejercicios: 1. 2x2 – x = 0 2. 4 x2 – 32x = 0 3. x2 + 5x = 0 4. 8 x2 – 2x = 0 5. 7 x2 + 21x = 0 6. 11 x2 – 44x = 0

EVALUACIÓN SUMATIVA DE LA Unidad I y II I. Resuelve los siguientes porcentajes: 1. En la tienda “Del Sol” ofrecen 30% de descuento en artículos para el hogar; el precio marcado en una Olla de Presión es de 520 pesos, ¿Cuánto pagara por la olla?

2. En la clase de matemáticas hay 50 alumnos, y solo 35 de ellos aprobaron, ¿Qué porcentaje de alumnos reprobaron?

II. Resuelve los siguientes problemas; primero verifica si son directa o inversamente proporcionales para que se lecciones el procedimiento correcto. 1. Un médico examina a un enfermo y encuentra que su corazón late uniformemente 20 veces en 15 segundos. ¿Cuántos latidos detectará el médico en 1 min?

2. En una fábrica 15 obreras cubren un pedido de faldas en nueve días de trabajo, ¿Cuántos empleados más tendrán que contratarse para que el pedido sea entregado en tan solo tres días?

3. Si 20 cuadernos cuestan 160 pesos ¿Cuánto costaran 10 cuadernos?

4. Un avión viaja a una velocidad de 500 km/hr y normalmente se tarda 45 mins en recorrer cierta distancia; si el avión se tardó una hora, ¿Cuál fue la velocidad real utilizada en recorrer la misma distancia?

III. ALGEBRA 1. Reduce los siguientes términos semejantes. (Escribe las operaciones) a) – 20m + 40m – 10m – 10m = b) – 3f – 5f – f – 6f = c) m2n + 6m2n = d) 40x3y – 50x3y = e) 19m – 10m – 6m =

2. Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores dados. a) 2x2 – 3x + 4 =

Cuando x = – 1

b) – 3x(x + 1) – 2x =

Cuando x =

c) 4xy – 2y2 –x2 =

Cuando x = – 2;

y=3

d) 2x + 2a =

Cuando x = 6;

a=4

3. Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios a) 3a + 2b – c; 2a + 3b +c b) – am + 6mn – 4s; 6s – am – 5mn; – 2s – 6mn + 3mn c)3x2 – 4xy + y2; – 5xy + 6x2 – 3y2; 6y2 – 8xy – 9y 52

d) Resta (5x2 – y3) de (– 3y3 + 8x2) e) Resta (2tu + u + t2) de (– 2t2 – 4tu)

4. Realiza las siguientes operaciones (productos y divisiones) a) 3x – 2y por 6x + 4y

b) a2 + b – 2ab por a - b

c) x + 5 por x – 4

d) – 4x2y = 3xy2

e) 3rs3 = 2r2s4

EVALUACIÓN SUMATIVA DE LA UNIDAD 3 y 4 Contesta correctamente los siguientes ejercicios, realizando correctamente las operaciones. Binomio al cuadrado (a + b)2 1. (m +3)2 =

2. (2x – 3y)2 =

3. (5m3 + 3n2)2 = Binomios conjugados (a + b) ( a – b) 4. (2x + 3y) (2x – 3y) = 5. (x + 3) (x – 3) = 6. (4a2 + 5b) (4a2 – 5b) =

Binomio al cubo (a + b) 3 7. (2x + y)3 =

8. (3a – 2b)3 =

Binomios con Término Común (x + a) (x + b) 9. (b – 3) (b +5) =

10. (x + 6) (x – 7) =

Factorizar Trinomio al Cuadrado Perfecto 11. 9x4 + 12x2 + 4y2 = 12. 16m6 – 24m3y2 + 9y4 = 13. 4x4 – 12x2y +9y2 = Factorización de una Diferencia de Cuadrados. 14. 49x8 – 81y6 = 15. 9x4 – 4y2 = 16. 81m2 – 1 =

Factorización de un Cubo Perfecto 17. 27a3 – 54a2b + 36ab2 – 8b3 = 18. 125 – 75x2 + 15x4 – x6 = Trinomio de la forma x2 + bx + c 19. y2 – 12y + 32 = 20. y2 – 11y +24 =

Ecuaciones Lineales con 1 Incógnita 21. 5x – 8x -3(x – 2)

Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas de la forma ax2 + c = 0 22. 4x2 – 16 = 0

23. 3x2 – 27 = 0

Ecuaciones Cuadráticas (2do Grado) 24. x2 + 5x – 6 = 0

Bibliografía Álgebra con aplicaciones, Elizabeth P. Philips, Thomas Butts, Michael Shanghessy. Ed Harla. Elementos del Álgebra para bachillerato, Irving Drooyan, Catherine Franklin. Ed. Limusa. Álgebra didáctica para preparatoria, Alejandro Perez Romero Álgebra Contemporanea, Paul K. Rees, Fred W Sparks, Charles Sparks Rees, Ed. Mc.Graw Hill Matemáticas Basicas, John C. Peterson. Ed. CECSA Algebra Fredw. Sparks Edit. Reverte Algebra, Aurelio Edit. Patricia Algebra Superior, Aracely Reyes, Edit. Thomson

Recursos. Anexo 1: Se agrega la liga de un sistema de 3 x 3 por el método de determinantes. http://internetaula.ning.com/video/sistemas-de-ecuaciones-1 http://www.youtube.com/watch?v=ZBot29AaZg8&feature=channel_page Anexo 2: Otro método para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales http://www.vadenumeros.es/primero/sistemas-gauss.htm Anexo 3: Video para mostrar la solución de un sistema de tres ecuaciones lineales. http://www.cibermatex.com/?page=free_article&id_article=473