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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Para 2 cifras : (11)2 = 121

I. MÉTODO DE DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN En este capítulo analizaremos formas de solución para problemas aparentemente complicados, pero que con un poco de habilidad matemática e intuición práctica llegaremos a soluciones rápidas; haciendo uso de métodos de inducción y deducción o propiedades básicas de la matemática.

2. MÉTODOS: 2.1. MÉTODO DEDUCTIVO: Consiste en aplicar un caso general ya comprobado en casos particulares.

También se dice que es un método por el cual se procede de manera lógica de lo universal a lo particular.

Deducción

10

Para 3 cifras : (111) 2 = 12321

Inducción

1)2

Para 4 cifras : (1111)2 = 1234321   cifras = 16 = ( 1+1+1+1 )2 analiza Se concluye :  Cifras = (1+1+ . . . +1)2 = 192 19veces   cifras = 361 2) Halla la suma de las cifras de “E” si: E = (1030 + 1) (10 30 – 1 ) Solución: E = (1030 + 1)(1030 - 1) = 1060 - 1

4(10) + 3 + 5(10) + 6

1) Halla la suma de cifras de : E = (11111 . . . 111)2 19 cifras Solución: Analizaremos casos particulares y después de hallar alguna ley generalizamos, ¿qué método? ¡si es inducción!

99

a) 18 d) 52

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº01 - Resuelve : ( 2pts. c/u) NIVEL I 1).- Calcula y da como resultado la suma de sus cifras: E = (135)2 + (85)2 + (65)2 + (145)2 a) 5 d) 12

b) 7 e) 15

E = 99 . . . . 9

c)8

752 = (70)(80) + N 2

c) 32

b) 23 d) 51

9).- Calcula la suma de las cifras de : P = 11 + 11 2 + 113 + 114 + 115

R=

b) 1 d) 5

b) 26 d) 20

a) 4 c) 16

1111 5 113 .1013

b) 12 d) 20

e) 24

NIVEL II

2 2 R = 43  27 2

Solución: (99 . . . . 99) 2 = 99 . . . 9 8 000….001 11 veces

11 veces

 9(11) + 8 + 11 (0) + 1 99 + 8 + 1 = 108

11 veces

b) 23 e) N.A

4).- Halla el valor de:

12 veces

4) (666 . . . .66) 2

b) 4 d) 6

a) 0 c) 2

e) 1

10).- Calcula la suma de las cifras de “R”

R = (4321)(4321) – 8640 - 43202

Luego : E = 9(60) = 540

12 veces

a) 18 c) 43

3).- Halla el valor de “R”

60 cifras

b) 4 d) 2

8).- Halla la suma de las cifras de : A = (99995) 2

a) 22 c) 24

a) 3 c) 5

60 cifras

123456789 2468

7).- Halla la suma de las cifras del resultado de: E = 752 + 852 + 952

40 + 3 + 50 + 6 =

M= a) 5 c) 3

2).- Halla “N” si:

3) (99 . . . . 99)2

PROBLEMAS RESUELTOS

10

Luego, la suma de las cifras es :

E = 1000 . . . . 0 – 1

Caso general

6).- Halla la suma de las cifras del resultado al efectuar:

(66 . . . . 66) 2 = 44 . . . .4 3 55 . . . . 5 6

Casos particulares

2.2. MÉTODO INDUCTIVO: Consiste en analizar casos particulares para conseguir ciertos resultados que al analizarlos nos permitan llegar a una conclusión, que llamaremos caso general.

Casos particulares

  cifras = 4 = (1 + 1) 2

  cifras = 9 = (1 + 1 +

1. INTRODUCCIÓN

Caso general

Solución:

38 18

a) 1 c) 3

1).- Calcula la suma de cifras de la siguiente cantidad: M = 1234565432 1

2

b) 2 d) 4

5).- Calcula la suma de las cifras al efectuar: P = (1234567)2 - (1234556)2 a) 7 c) 24

b) 9 d) 27

e) N.A

a) 5 d) 6

b) 25 e) N.A.

c) 4

2).- Da la suma de las cifras de :     333 E =  333 ..........       10 cifras  

2

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) 9 c) 15

b) 10 d) 90

e) 80

a) 15 d) 20

3).- Da la suma de las cifras de:     M =  999 999 ..........       12 cifras  

a) 40 c) 214

2

b) 16 e) 50

a) 10 d) 25

4).- En cuántos ceros termina:     E =  1200 00 .......... .    102 cifras  

10

c) 100

b) 20 d) 30

6).- Halla la suma de las cifras de:

0,000051   0,0000017  0,003 . 0,001 b) 10 e) 10 5

c) 103

8).- Calcula “a + b”, si:

a) 5 d) 3

b) 0 e) 6

b) 7 e) 6

9).- Calcula:

b) 0 e) 6



c) 2

c) 2 M=

c) 2

a) 5 d) 625

4

1  124(5 3  1)(5 6  1)

b) 25 e) N.A.

c) 125

10).- Halla el valor de :

4).- Halla la suma de las cuatro últimas cifras luego de efectuar:

2 (999 ...... 999   )

c) 18

1999 factores

5n1  5n2  5n3  5n4  780 a) 1 d) 3

b) 20 e) 16

(1 x 3 x 5 x 7 x ........)4 = .......ab

2).- Halla el valor de ”n”

a) 1 d) 3

b) 316 d) 184

2

5

K=

CLAVES DE RESPUESTAS

1234565432 1  11111 2

NIVEL I

P= 1.2.3.4.5.6........97.98

16 cifras

a) 1 d) 3

b) 144 d) 243

b) 0 e) 6

c) 2

c) 3

4a2  3a  a2  3a  2  2a  1 a) 1 d) 3

b) 0 e) 6

a) 2 d) 6

b) 5 e) 8

c) 3

1) d 3) b 5) d 7) b 9) b

NIVEL II

2) c 4) a 6) a 8) c 10) c

NIVEL III

5).- Halla el valor de “a” en: 8).- Halla la suma de las cifras, luego de efectuar: (1000001)2 – (999999) 2 b) 2 e) 5

Calcula : TE.DEJE

3).- Efectúa: (79-1)(78-2)(77-3).............(2-78)(1-79)

2

7).- Halla la suma de las cifras de:

a) 1 d) 4

DEJE.T  37420

a) 10 d) 13

25 cifras

a) 16 c) 216

DEJE.E  29936

Halla la suma de las cifras del resultado.

a) 1 d) 10 7

10 cifras

a) 225 c) 24

c) 12

1).- Efectúa:

S = 3 + 33 + 333 +.....+ 33 ......

33  

(333 ...... 333   )

b) 20 e) 16

7).- Si:

c) 20

NIVEL III

5).- Calcula la suma de las cifras de :

a) 17 c) 10

a) 10 d) 13

b) 15 e) 30

K

b) 10 e) 10000

c) 52

10).- Calcula y luego da la suma de sus cifras de : (100 + 101 + 102 + 103 + 104)2

b) 108 d) 56

a)5 d) 1000

6).- Si: PAZ.999  ........1648 Calcula: P + A + Z

9).- Halla la suma de las cifras: (999995)2

c) 2

1) d 3) b 5) d 7) c

2) b 4) b 6) a 8) b

9) c

10) b

1) d 3) b 5) d 7) b 9) c

2) d 4) d 6) a 8) d 10) d

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

II. PLANTEO DE ECUACIONES

Solución :

2. CRITERIOS 1° Leer bien el problema antes de empezar a resolver.

2° Determinar un proceso ordenado de solución (asignar incógnitas).

3° Establecer la ecuación (mucho cuidado con los signos de puntuación en la redacción de los problemas).

3).- Yo tengo el triple de la mitad de lo que tú tienes, más S/.10. Si tú tuvieras el doble de los que tienes, tendrías S/.5 más de lo que yo tengo. ¿Cuánto me quedaría si comprara un articulo que cuesta la cuarta parte de lo que no gastaría?

Solución:

 El doble de la edad de Coco, aumentada en 6 años.

2C + 6

4).- Un regalo envuelto cuesta 13 soles y sin envolver cuesta 11 soles más de lo que cobran por envolverlo. ¿Cuánto cobran por envolverlo?

Solución:

PROBLEMAS RESUELTOS 1).- El número de naranjas excede en 16 al número de manzanas si además el doble del número de naranjas es igual al triple del número de manzanas. Calcula el número de naranjas y manzanas.

5).- Si Rosa recibe S/12, tendría el doble que si hubiera recibido S/.2. ¿Cuánto tiene Rosa?

Solución:

Solución :

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02 2).- En una fiesta hay tantos hombres como mujeres. Si se retiran 5 hombres y 10 mujeres, éstas serían los 2/3 de los hombres. ¿Cuántos hombres quedan?

c) 99

a) 12 d) 15

b) 10 e) 16

c) 8

3).- Dos números son consecutivos, tal que la tercera parte del mayor excede en 15 a la quinta parte del menor. El número mayor es : a) 110 d) 111

b) 109 e) 54

c) 55

4).- Se tiene dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero más los cinco tercios del segundo. El consecutivo de la suma de los números es :

Ejem :  El doble, de la edad de Coco aumentada en 6 años.

2(C + 6) = 2C + 12

b) 105 e) 107

2).- Si al cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma me quedaría S/. 120. ¿cuánto tengo?

1. CONCEPTO Plantear una ecuación, es traducir un problema del lenguaje escrito u oral al lenguaje matemático (ecuaciones).

Una relación entre incógnitas y datos nos lleva a formar una ecuación.

a) 211 d) 209

1).- La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 424. Halla el mayor de ellos.

a) 18 d) 20

b) 17 e) 21

c) 19

5).- A una iglesia asisten 399 personas entre hombres, mujeres y niños. El número de hombres es el quíntuplo del de mujeres y el de mujeres es el triple que el de los niños. ¿Cuántos hombres hay? a) 367 d) 298

b) 98 e) 315

c) 234

6).-¿Cuánto mide el largo de un rectángulo de 30 cm. de ancho, tal que al quitarle 2 cm en ambas direcciones su área disminuye en 196 cm2? a) 30 d) 98

b) 65 e) 70

c) 6,53

7).- La tercera y la cuarta parte de una canasta de frutas son naranjas y manzanas respectivamente. Halla el número de frutas que contiene la

canasta si la suma de naranjas y manzanas es 21. a) 24 d) 48

b) 72 e) 36

c) 39

8).- Con S/.1296 se han comprado igual número de vasos de tres clases distintas, siendo los precios respectivos de cada clase de vaso 7, 8 y 12 soles. ¿Cuántas docenas de vasos se compraron? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 9).- Manuel compra la mitad de un rollo de alambre menos 12 metros. Diego compra un tercio del mismo rollo más 4 metros por lo cuál recibe 8 metros menos que Manuel. ¿Cuántos metros compró Manuel? a) 52 72 d) 44

b) 60

c)

e) 50

10).- Un niño tenía 20 bolas, unas rojas y otras azules. Si pierde 4 bolas de cada color, entonces el triple del número de bolas azules equivaldría al número de las bolas rojas. ¿Cuántas bolas rojas tenía? a) 14 12 d) 13

b) 7

c)

e) 11

11).- Dos personas tienen S/.3680 y S/.2560 respectivamente. Los dos gastan la misma cantidad de dinero, de tal manera que lo que le queda a la primera es el triple de lo le queda a la segunda. ¿Cuánto gastó cada una? a) 1900 d) 1000

b) 4240 e) 2000

c) 2100

12).- Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta 1200 soles. El dinero que

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántos participaron en la compra? a) 18 d) 12

b) 36 e) 20

c) 6 a) 18 d) 3

13).- En una granja se tiene pavos, gallinas y patos. Sin contar las gallinas se tienen 5 aves, sin contar los pavos tenemos 7 aves y sin contar los patos tenemos 4 aves. Luego el número de pavos es: a) 3 d) 2

b) 1 e) 0

c) 4

14).- Un número es cuádruplo de otro. Si se aumenta a cada uno seis, el producto aumenta en 456. Calcula dichos números y dar como respuesta la suma de ellos. a) 70 d) 56

b) 14 e) 98

c) 42

15).- Una caja contiene 2240 soles en billetes de 20 y 100 soles, hay doble número de los primeros que de los segundos billetes. ¿Cuántos hay de cada clase? a) 32 y 16 c) 31 y 15 e) 30 y 15

b) 24 y 12 d) 48 y 24

16).- Una caja de lápices contiene una tercera parte más de lápices que una segunda caja. Si esta última tiene 3 lápices menos. ¿Cuántos lápices tendrá la primera caja? a) 18 d) 12

b) 9 e) 15

c) 6

17).- Alberto tiene 2 veces más de lo que tiene Juan, si Alberto le da S/.15 a Juan entonces tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tenían entre los dos? a) 40 d) 100

b) 60 e) 120

18).- Un número excede al 5, como el 13 excede al número. ¿Cuál es el número?

c) 90

b) 6 e) 9

c) 12 a) 5 d) 4

19).- Disminuyendo el doble de un número de 25, se obtiene 1. ¿Cuál es el número? a) 15 d) 13

b) 12 e) 11

b) 12 e) 11

c) 16

21).- Se tenía 400 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si se retiran 4 niños, los restantes reciben 5 caramelos más.

Cuántos niños había inicialmente. a) 20 d) 15

b) 16 e) 30

b) 11 e) 50

c) 30

23).- Un regalo envuelto cuesta 13 soles y sin envolver cuesta 11 soles más de lo que cobran por envolverlo. ¿Cuánto cobran por envolverlo? a) S/.1.50 c) S/.0.75 e) S/.0.50

c) 8

25).- En un taller hay 25 vehículos entre autos y motos. Si tienen 70 ruedas en total. ¿Cuántos autos hay? a) 15 b) 10 c) 20 d) 18 e) 17 26).- Si Juan recibe S/. 5 tendría el doble que si hubiera gastado S/. 5. ¿Cuánto tiene Juan? a) S/. 18 d) S/. 10

b) S/. 15 e) S/. 5

c) S/. 9

27).- Un alambre de 28m se cortan en 3 partes, tal que cada parte es el doble del anterior.¿Cuánto mide la parte mayor? a) 8m d) 16m

b) 4m e) 12m

c) 18m

c) 25

22).- Yo tengo el triple de la mitad de lo que tú tienes, más S/.10. Si tú tuvieras el doble de los que tienes, tendrías S/.5 más de lo que yo tengo. ¿Cuánto me quedaría si comprara un articulo que cuesta la cuarta parte de lo que no gastaría? a) 10 d) 44

b) 6 e) 9

c) 16

20).- Disminuyendo el doble de un número en 25, se obtiene 1. ¿Cuál es el número? a) 15 d) 13

24).- En un corral hay 13 animales entre conejos y gallinas. Si tienen 42 patas en total. ¿Cuántos conejos hay?

b) S/.2.00 d) S/.1.00

28).- La suma de 2 números es 36. Si uno de ellos es el doble del otro.¿Cuál es el mayor de estos números? a) 12 d) 18

b) 24 e) 15

c) 9

b) S/.36 e) S/.18

III.

c) S/.12

30).- El perímetro de un rectángulo es 40cm.Si el largo mide 4cm más que le ancho. ¿Cuánto mide el largo?

b) 8m e) 16m

c) 10m

PROBLEMAS SOBRE EDADES

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 03 1).- Si el triple de la edad que tengo, le quito mi edad aumentado en 8 años, tendría 16 años. ¿Qué edad tengo? a) 8

b) 9

c) 10

d) 12 e) 14

2).- Si al cuádruple de la edad que tienes; le agregas tu edad disminuido en 6 años, tendrías 74 años. ¿Qué edad tienes? a) 12

b) 14

c) 16

d) 18 e) 20

3).- Tres veces el producto de la edad de Roxana disminuido en uno, con su edad aumentada en tres es igual a 63. Halla dicha edad. a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

4).- Dos veces el producto de la edad de María disminuido en dos, con su edad aumentada en cinco es igual a 736.

Halla dicha edad. a) 16

29).- Hugo, Paco y Luis recibieron cierta cantidad de dinero cada uno.

Hugo recibió el doble que Paco y éste S/.12 más que Luis. Sin entre los 3 han recibido S/.60. ¿Cuánto ha recibido Paco? a) S/.6 d) S/.24

a) 12m d) 15m

b) 18

c) 20

d) 24

e) 30

5).- El ¼ de la edad de “B” es 35 años menos que la edad de “A” y el doble de la edad de “A” excede en 50 años a la edad de “B”. Halla ambas edades. a) A= 40; B=45 B=40 c) A=30; B=35 B=35 e) A=50; B=45

b)

A=45;

d)

A=40;

6).- La edad en años del director del Colegio 200 Millas Peruanas es mayor en 11 que el cuadrado de un número “P”

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO y menor en 8 que el cuadrado del número siguiente a “P”. ¿Cuántos años tiene? a) 80

b) 81

c) 90

d) 92

e) 68

7).- La edad del profesor de “RM” es mayor en 7, que el cuadrado de un número “Q” y menor en 4, que el cuadrado del número siguiente a “Q” ¿Cuántos años tiene?. a) 24

b) 32

c) 36

d) 40

e) 48

8).- Juan tiene 2 años más que su hermano Roberto y la edad del padre es el cuádruplo que la de su hijo Roberto. Si hace 5 años la suma de las edades de los tres era 47 años. ¿Cuántos años tiene actualmente Juan? a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

9).- El menor de 3 hermanos tiene 3 años menos que el segundo y la edad del mayor es el duplo de la edad del segundo. Dentro de 6 años la suma de las edades será 47 años. ¿Qué edad tiene el mayor? a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

b) 10

c) 12

d) 14

b) 14

c) 16

d) 18

e) 10

14).- Un padre tiene “a” años y su hijo “b” años, ¿dentro de cuántos años tendrá el padre el cuádruple de la edad de su hijo? a) a+4b d)

b) a-4b

a  4b

e)

3

c)

a  4b 2

a  4b 3

15).- Jaime tiene 40 años, su edad es el doble de la edad que tenía Juan cuando Jaime tenía la tercera parte de la edad que tiene Juan. ¿Qué edad tiene Juan? a) 40

b) 45

c) 50

d) 55

e) 60

16).- Jorge le dice a Ana: “Yo tengo 20 años, mi edad es la mitad de la que tendrás, cuando yo tenga la edad que tú tienes. ¿Qué edad tiene Ana?. a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

e) 16

11).- La edad actual de un hijo es los 4/9 de la edad de su padre, si dentro de 5 años, la mitad de la edad del padre sería igual a la del hijo. ¿Cuál es la edad del padre?. a) 40 b) 45 c) 50 d) 60 e) 75 12).- La edad de un padre excede a la de su hijo en 24 años. Calcula la edad del padre, sabiendo que dentro de 10 años la suma de las edades será de 68 años. a) 32 b) 34 c) 36 d) 38 e) 40 13).- Un padre le dice a su hijo: hace 8 años mi edad era el cuádruplo de la edad que tú tenías, pero dentro de 8 años únicamente será el doble. ¿Cuál es la edad actual del hijo?

a) 20

b) 40

c) 50

d) 60

e) 30

21).- Hace “m” años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de “n” años. ¿Cuántos años tengo? a) 2m -n b) m + n c) m.n d) 2m + n e) 2n + m 22).- Hace 2 años tenía la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 22 años. ¿Dentro de cuantos años tendré el doble de la edad que tenía hace 4 años? a) 4 b) 2 c) 6 d) 5 e) 7 23).- César tiene a2 más que su hijo, calcula la edad de César, sabiendo que dentro de “ab” años la suma de sus edades será (a + b)2 a)

a2  b 2

b)

2a 2  b 2 2

c)

a2  b2 2

d)

a2  b2 2

a2  b2 3 24).- Hace 44 años Pablo tenía la quinta parte de la edad que tiene actualmente. ¿Cuántos años tiene Pablo? a) 75 b) 64 c) 55 d) 42 e) 60 e)

e)16

10).- Julia tiene 3 años más que Maria. Si el duplo de la edad de Julia menos los 5/6 de la edad de Maria da 20 años. ¿Que edad tiene Maria?. a) 8

a) 12

17).- Pedro es 3 años mayor que su hermano Antonio. Si dentro de 9 años la edad de Antonio sería los 8/9 de la de Pedro. ¿Qué edad tiene Pedro? a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 18).- La edad de Juan es 4/5 de la edad de Raúl, si hace 3 años, los 3/4 de la edad de Raúl era igual a la edad de Juan. ¿Cuántos años tiene actualmente Juan? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 19).- Fiorella tuvo su primer hijo a los 17 años y 4 años después tuvo a su segundo hijo. Si en 1996 las edades de los tres sumaban 49 años. ¿En qué año nació Fiorella? a) 1970 b) 1976 c) 1967 d) 1968 e) 1969 20).- ¿Qué edad tengo, si la edad que tenía hace 10 años es a la edad que tendré dentro de 50 años, como 1 es a 4?

25).- Yo tengo 20 años, mi edad es la tercera parte de la edad que tú tendrás cuando yo tenga la edad que tú tienes. ¿Qué edad tienes? a) 20 b) 40 c) 60 d) 70 e) 30 26).- Él tiene 32 años, su edad es el cuádruple de la edad que tú tenías cuando él tenía el triple de la edad que tienes. ¿Qué edad tienes a) 12 b) 15 c) 20 d) 10 e) 16 27).- Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la octava parte de la edad que tienes y cuando tengas el triple de mi edad, la suma de nuestras edades será 68. ¿Qué edad tienes?

a) 20 d) 14

b) 12 e) 19

c) 16

28).- Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando cumplí 23 años. Si nuestras edades suman 55. ¿Qué edad tengo? a) 30 b) 31 c) 32 d) 34 e) 40 29).- Tu tienes 16 años, pero cuando tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 44 años. ¿Qué edad tengo? a) 20 b) 16 c) 18 d) 22 e) 19 30).- Ana tuvo su primer hijo a los 17 años y 4 años después tuvo a su segundo hijo. Su en 1996 las edades de los 3 suman 49 años. ¿En qué año nació Ana? a) 1970 b) 1969 c) 1968 d) 1967 e) 1966

CLAVES DE RESPUESTAS 1) d 5) b 9) e 13)c 17)b 21)d 25)b 29)a

2) c 6) d 10)c 14)d 18)c 22)b 26)d 30)d

3) b 7) b 11)b 15)b 19)b 23)b 27)c

4) b 8) c 12)c 16)d 20)e 24)c 28)d