T3. Matemáticas by Jhoselyn

MATEMÁTICAS

ARITMÉTICA

LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN Gracias a los sistemas de numeración podemos expresar todos los números mediante una cantidad reducida de vocablos y símbolos. Por ejemplo, en el sistema más utilizado actualmente empleamos únicamente diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos podemos escribir cualquier número por grande que éste sea.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL A lo largo de la historia han existido diferentes sistemas de numeración. En el sistema del Antiguo Egipto, por ejemplo, el símbolo valía siempre diez, independientemente de la posición en la que estuviera colocado. Un sistema de numeración de estas características se denomina no posicional. En la figura 1 vemos el número 249 en el sistema de los antiguos egipcios. En cambio, en nuestros días utilizamos sistemas posicionales en los que el valor de un símbolo varía dependiendo de la posición que ocupa. Así, por ejemplo, en el numero 55555 el cinco del centro vale quinientos y el de la derecha simplemente cinco (figura 2). Entre todos los sisteSímbolo mas posicionales preferimos el sistema de numeración deciValor 1 10 mal debido a que tenemos diez dedos en las manos. El sistema de numeración decimal, tal y como su Figura 1 nombre indica, es un sistema de numeración de base diez, lo que significa que son necesarias diez unidades de un determinado orden para formar una unidad del orden inmediato superior. Así, para la expresión escrita de todos los números, este sistema de numeración se sirve de diez símbolos o cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Los números expresados con una sola de las diez cifras de que disponemos consti2

tuyen las unidades de primer orden, frecuentemente denominadas tan sólo unidades. Si no hay unidades se indica con la cifra cero; y si disponemos de diez unidades ya formamos una cifra de segundo orden o decena. Así, el número diez (10) indicaría que disponemos de una unidad de segundo orden y ninguna de primer orden (figura 3). El número cien ya constituye una unidad de tercer orden, también llamadas centenas, que equivale a diez decenas o bien a cien unidades. Si disponemos de unidades de orden superior al tercero entonces las agrupamos de tres en tres y cada agrupación

100

1.000

Figura 3

Figura 2

LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN

de tres unidades de órdenes consecutivos recibe el nombre de clase. Así, las unidades de primero, segundo y tercer órdenes constituyen la llamada clase de las unidades. El número mil indicaría que tenemos mil unidades de primer orden, o bien cien de segundo orden o bien diez de tercer orden, y constituye ya una unidad de cuarto orden, también llamada millar o unidad de mil, ya que formaría parte de la clase de los millares. En esa misma clase tendríamos la decena de millar que es la unidad de quinto orden y la centena de millar que es la de sexto orden. Los tres siguientes órdenes ya constituirían la clase de los millones y así, sucesivamente. Ejemplo: 6.172.354, esto es, seis millones, ciento setenta y dos mil, trescientas cincuenta y cuatro unidades, es decir, dispone de cuatro unidades, cinco decenas y tres centenas, constituyendo la clase de las unidades; dos unidades de mil, siete decenas de mil y una centena de mil constituyendo la clase del millar y, finalmente, seis unidades de millón. Obsérvese que al aparecer más de una clase, éstas quedan separadas por un punto. Del mismo modo que disponemos de órdenes, también podríamos tener subórdenes. Los órdenes forman la parte entera del número y los subórdenes la parte decimal. Una unidad de primer orden la forman diez unidades del primer suborden, también llamadas décimas; cada décima está formada por diez unidades del segundo suborden o centésimas, y así, sucesivamente. Ejemplo: 25,713 es el número formado por dos decenas, cinco unidades, siete décimas, una centésima y tres milésimas. Podemos ver que la parte entera u órdenes quedan separados de la parte decimal o subórdenes por una coma.

sado en una base distinta a diez, se ha convenido escribir ésta como subíndice del número, mientras que si se omite el subíndice se sobrentiende que trabajamos con el sistema de numeración decimal. Así, por ejemplo, 3125 está escrito en base 5. Figura 4 Uno de los sistemas de numeración más utilizados, después del decimal, es el de base dos o sistema de numeración binario, que es con el que trabaja un determinado tipo de máquinas electrónicas, en particular las computadoras. Este sistema de numeración, del mismo modo que todos los demás, trabaja con tantas cifras o símbolos como su base indica, en este caso dos: 0 y 1 (figura 4). Así, el número cero se escribe 02, el número uno 12, pero el número dos significa que disponemos de dos unidades de primer orden que forman ya una unidad de segundo orden, por ser dos la base, y se expresaría: 102. El número tres se representaría por 112, el cuatro por 1002, etcétera. Por ejemplo, el sistema de numeración de base cinco trabaja con cinco cifras: 0, 1, 2, 3 y 4. Así, el número cinco se expresaría por 105, el seis por 115, el siete por 125, etcétera.

CONVERSIÓN AL SISTEMA DECIMAL Para expresar un número dado en un sistema de numeración no decimal al decimal, tan solo hemos de calcular la cantidad de unidades de primer orden de que dispone. Para ello hemos de tener en cuenta que, sea cual fuere la base con la que se trabaja, ésta indica la cantidad de unidades de un cierto orden que forman una unidad del orden inmediato superior o, dicho de otra manera, cualquier unidad de un orden superior a 1 forma una cantidad de unidades de un orden inmediato inferior equivalente a la base del sistema. Pero mejor veámoslo con un número concreto. Ejemplo: Pensemos en expresar el número 42.0378, dado en el sistema de numeración de base 8, tal y como indica su subíndice, en el sistema de numeración decimal: 4 unidades de quinto

EL SISTEMA BINARIO O DE BASE DOS Si en vez de tener diez como base, lo cambiamos por cualquier otro número natural, obtendríamos los distintos sistemas de numeración no decimales. Para indicar que un determinado número está expre3

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Sistema de numeración no decimal

ARITMÉTICA

orden equivalen a 4 8 = 32 unidades de cuarto orden, que junto con las dos que dispone ya el número dado, hacen un total de 34 unidades de cuarto orden. De esta manera iríamos reduciendo el orden hasta obtener la cantidad total de unidades de primer orden:

Base 2

Base 3

Base 4

Base 5

Base 6

100

101

1010

101

1111

120

10100

202

110

Sistema de numeración decimal

4 8 = 32; 32 + 2 = 34 unidades de cuarto orden. 34 8 = 272; 272 + 0 = 272 unidades de tercer orden. 272 8 = 2.176; 2.176 + 3 = 2.179 unidades de segundo orden. 2.179 8 = 17.432; 17.432 + 7 = 17.439 unidades de segundo orden. Concluimos, pues, con la equivalencia: 420378 = = 17.439.

Figura 5

mos de pasar a través del decimal, es decir, hemos de efectuar el proceso de los dos apartados anteriores. Ejemplo: Escribir el número 5217 en base dos. 5 7 = 35; 35 + 2 = 37 unidades de segundo orden. 37 7 = 259; 259 + 1 = 260 unidades de primer orden. Por tanto: 5217 = 260

CONVERSIÓN A UN SISTEMA NO DECIMAL Para expresar un número dado en el sistema de numeración decimal en uno no decimal hemos de efectuar el proceso inverso al anterior apartado. Empezaremos pues, con las unidades de primer orden, e iremos aumentando a órdenes superiores. El método consiste en hacer grupos de tantas unidades como indique la nueva base. Ejemplo: Expresemos el número 523 en el sistema de numeración de base tres: 523 : 3 = 174 grupos de 3 unidades y sobra 1 unidad de primer orden. 174 : 3 = 58 grupos de 9 unidades y no sobra ninguna unidad de segundo orden. 58 : 3 = 19 grupos de 27 unidades y sobra 1 unidad de tercer orden. 19 : 3 = 6 grupos de 81 unidades y sobra 1 unidad de cuarto orden. 6 : 3 = 2 grupos de 243 unidades y no sobra ninguna de quinto orden. Por tanto: 523 = 2011013

260 0

2 130 0

65 1

32 0

16 0

8 0

4 0

2 0

Por lo tanto: 5217 = 1000001002 En la tabla de la figura 5 podemos observar las distintas expresiones de algunos números al variar la base del sistema de numeración con el que se trabaja.

AUTOEVALUACIÓN

CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UN SISTEMA NO DECIMAL A OTRO NO DECIMAL

1. Cuál de las siguientes expresiones decimales del número 234 es la correcta: a) 23, b) 11, c) 2310 2. Encuentra la expresión binaria del número 13 3. Calcula cómo se escribe 558 en base 3

Para expresar un número dado en un sistema de numeración no decimal a otro no decimal he4

NÚMEROS ENTEROS En nuestros días empleamos números negativos con cierta frecuencia, por ejemplo para referirnos a una temperatura bajo cero o a la profundidad de una sima marina. Al ampliar el conjunto N de los números naturales con los correspondientes números negativos, obtenemos el conjunto Z de los números enteros.

AMPLIACIÓN DEL CONJUNTO N

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Para interpretar numéricamente una deuda monetaria, o bien conseguir que todas las ecuaciones del tipo a + x = b, donde a y b son números naturales cualesquiera, tengan solución, necesitamos, además de los números positivos, el cero y los negativos. Así, definimos el conjunto Z de los números enteros como el conjunto formado por todos los números naturales, también llamados enteros positivos, y por los números enteros negativos:

Las únicas operaciones internas que podemos definir con el conjunto de los números enteros son: la suma, la resta y el producto. Sólo si sumamos, restamos o multiplicamos dos números enteros cualesquiera, el resultado es otro número entero. Si dividimos un número entero entre otro número entero, no podemos asegurar que el resultado caiga dentro de Z. Antes de definir dichas operaciones, veamos unas definiciones previas.

Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} (figura 6) Segmento unidad

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Q –4

–3

Definimos la suma de números enteros de la siguiente manera:

P –2

–1

0 Figura 6

a) La suma de dos números enteros (figura 7) de igual signo se obtiene sumando los valores absolutos de ambos, y se deja el signo que tenían VALOR ABSOLUTO ambos sumandos. DE UN NÚMERO ENTERO Ejemplo: 4 + 3 = 7; –5 –8 = –13 b) La suma de dos números enteros de distinDefinimos el valor absoluto de un número entero to signo es igual a la diferencia m, como el número natural que se obde los valores absolutos y se detiene al suprimirle el signo, y se repre15 2 9 4 ja el signo de mayor valor absosenta por: m . El valor de m , que es luto. evidentemente siempre positivo, coin15 7 5 3 c) El número 0 es neutro ya que: cide con el mayor de los números m y a + 0 = 0 + a. –m. Ejemplo: 7 + (–5) = 2; 6 + (–9) = Definimos el opuesto de un número 15 6 1 8 = –3 entero m, como el número entero Si no podemos realizar la suma de igual valor absoluto que m, 15 15 15 15 15 mentalmente debido a que las cantipero de signo contrario, y lo repreFigura 7 dades son demasiado grandes, opesentaremos por –m. raremos como vemos en el ejemplo Ejemplo: El valor absoluto de –5 es –5 = siguiente (figura 8): El peso total de un camión, = 5, que coincide con su opuesto. Mientras que el que vacío pesa 1.538 kilos, y lleva una carga de valor absoluto de 3 es él mismo, 3 = 3, pero su 4.913 kilos de manzanas, será: opuesto es –3. 5

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ARITMÉTICA

Primer sumando Signo de la suma

a) Si en una expresión hay sumas y restas solamente, sin paréntesis, se opera de izquierda a derecha. Ejemplo: 7 + 4 – 2 + 3 = 12 b) Si en una expresión únicamente aparecen productos de números enteros, no se necesitan paréntesis y se opera de izquierda a derecha. Ejemplo: 7 · 3 · 2 = 42, 7 · (3 · 2) = (7 · 3) · 2 = =7·3·2 c) Cuando en una expresión hay sumas o restas y multiplicaciones o divisiones, combinados sin paréntesis, se efectúan primero las multiplicaciones y divisiones, operando de izquierda a derecha, y después las sumas y restas. Ejemplo: 3 + 15 : 5 · 8 – 7 = 3 + 3 · 8 – 7 = = 3 + 24 – 7 = 20 d) Los paréntesis ( ), corchetes [ ] y las llaves { }, indican la prioridad con que se han de efectuar las operaciones que encierran, aunque en algunas ocasiones podría operarse eliminando los paréntesis (corchetes o llaves), de acuerdo con las reglas usuales. Ejemplo: 12 – (3 + 2) = 12 – 5 = 7 También podemos efectuar la operación eliminando el paréntesis: 12 – (3 + 2) = 12 – 3 – 2 = 7 Si nos encontramos varios paréntesis incluidos unos en otros se empieza efectuando los de dentro y siempre siguiendo la jerarquía indicada. Ejemplo: 7 – 4 · [2 + 3 · (8 – 5 · 6)] = = 7 – 4 · [2 + 3 · (8 – 30)] = 7 – 4 · [2 + 3 · (–22)] = = 7 – 4 · [2 – 66] = 7 – 4 · (–64) = = 7 + 256 = 263 e) Si una expresión dispone de potencias junto a las sumas o restas y las multiplicaciones o divisiones la potenciación tiene prioridad absoluta frente a las demás operaciones. Ejemplo: 3 : (4 – 5)2 – 2 · 33 – 5 · (6 + 2 · 72) = = 3 : (–1)2 – 2 · 27 – 5 · (6 + 2 · 49) = = 3 : 1 – 54 – 5 · (6 + 98) = 3 – 54 – 5 · 104 = = 3 – 54 – 520 = –571

1 1 1.538

Cantidades que llevamos

+ 4.913

Segundo sumando Resultado de la suma

6.451

Figura 8

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS La resta de dos números enteros puede considerarse como un caso particular de la suma de enteros, ya que se define como la suma del primero con el opuesto del segundo. Ejemplo: 3 – 15 = 3 + (–15) = –12

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar números enteros hemos de recordar el producto de números naturales, pues se multiplican sus valores absolutos, y la llamada regla de los signos figura 9 que se define así:

Figura 9

0 · (+m) = 0 · (–m) = 0, (+m) · (–n) = (–m) · (+n) = – ((+m) · (+n)), (–m) · (–n) = (+m) · (+n) que escrita de forma esquemática es: (+) · (+) = (+) (+) · (–) = (–) · (+) = (–) (–) · (–) = (+)

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La división de dos números enteros no da siempre un número entero, por lo que no se puede definir en Z, pero sí podemos definir la llamada división euclídea: a todo par de números enteros m y n, siendo n > 0, podemos asociar dos únicos enteros c y r, llamados, respectivamente, cociente y resto, tales que: m=n·c+r y 0 r n Ejemplo: 7 = 2 · 3 + 1; –9 = 4 · (–2) + (–1)

i AUTOEVALUACIÓN

4. ¿Qué resultado se obtiene al realizar la suma de los números 426 y 395? 5. ¿Cuál es el resto de la división 57 : 4? 6. Efectúa las siguientes operaciones combinadas: 15 – 3 · 22

EL ORDEN DE LAS OPERACIONES Veamos una serie de convenios referidos al orden que se ha de seguir al efectuar las operaciones cuando hay más de una. 6

LA DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROS ENTEROS El número cinco no contiene al número dos una cantidad exacta de veces; en cambio el número cuatro le contiene exactamente dos veces. Decimos que cuatro es múltiplo de dos y lo representamos así: · 4 = 2. También podemos decir que cinco no es un múltiplo de dos.

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

La relación ser divisor de cumple las siguientes propiedades: – Reflexiva. Todo número es divisor de sí mismo a| a. – Antisimétrica. Si a es divisor de b y b es divisor de a se cumple que a y b son iguales:

«Ser múltiplo de» es una relación de orden definida en el conjunto de los números enteros Z, ya que cumple las siguientes propiedades: – Reflexiva. Todo número es múltiplo de sí mismo: a = a· – Antisimétrica. Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de a se deduce que a y b son iguales: a = b· ⇒a=b b = a·

}

a |b ⇒a=b b |a – Transitiva. Dados tres números a, b y c, si a es divisor de b y b es divisor de c, se cumple que a es divisor de c:

}

a |b ⇒ a |c b |c

– Transitiva. Dados tres números a, b y c si se cumple que a es múltiplo de b y también que b es múltiplo de c, se cumplirá que a es múltiplo de c: a = b· ⇒ a = c· b = c·

De estas propiedades se deduce que la relación «ser divisor de» definida en Z también es una relación de orden.

}

NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS DIVISORES DE UN NÚMERO A partir de la relación R = «ser múltiplo de», definida en Z se define una relación R –1 = «ser divisor de», que es la inversa de la anterior, se representa como a |b y se lee como a divide a b o a es divisor de b. Se dice que un número a es divisor de otro b, a |b, cuando el número b contiene al a un número exacto de veces. Ejemplo: 4 es un divisor de 12 porque al dividir 12 entre 4 la división es exacta, da resultado 3 y resto 0 (figura 10).

Figura 10

Al estudiar los múltiplos y divisores de los números enteros se puede ver que los múltiplos de cualquier número son infinitos pero el número de divisores es finito y que estos divisores nunca pueden ser mayores que el propio número estudiado. Desde el punto de vista de los divisores que poseen, los números enteros se pueden divi-

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ARITMÉTICA Tabla de números primos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dir en dos grupos: los nú– Divisibilidad por dos. meros primos y los comSon divisibles por dos 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 puestos. todos los números en 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Se llama número primo a los que su última cifra todo número entero masea cero o par. 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 yor que cero que sólo tiene Ejemplo: 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 por divisores a él mismo, la 128 es divisible por dos unidad y sus respectivos porque su última cifra, 8, 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 opuestos, mientras que si es par. tiene más divisores de los – Divisibilidad por tres. 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 nombrados se le llama núSon divisibles por tres 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 mero compuesto. los números en que la Ejemplos: suma de los valores ab81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 3 es un número primo porsolutos de las cifras que 91 92 93 94 95 96 97 98 99 que sólo es divisible por 1, lo componen son múlti3 y sus opuestos. plos de tres. Figura 11 6 es un número compuesto Ejemplo: 426 es múltiporque es divisible por 1, 2, 3, 6 y sus opuestos. plo de tres porque la suma de los valores absoPara formar una tabla de los números primos (filutos de las cifras que lo componen, 4 + 2 + 6, gura 11) que existen en los cien primeros númeda como resultado 12 que es un múltiplo ros se procede de la siguiente manera: de 3. – Divisibilidad por 4. Un número es divisible por – Se tachan todos los números pares, contando 4 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forde dos en dos. man un número divisible por 4. – Se tachan los múltiplos de tres, contando de tres Ejemplo: 528 es divisible por 4 porque el número en tres. formado por sus dos últimas cifras, 28, es múlti– Se tachan los múltiplos de 5 y de 7, de igual maplo de 4. nera. – Divisibilidad por 5. Son divisibles por 5 aquellos números que acaban en 0 o en 5. En esta tabla una vez eliminados los números citaEjemplo: 8.250 es divisible por 5 porque acaba dos quedan: en 0. – Divisibilidad por 6. Un número es divisible por 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 6 cuando lo es a la vez por 2 y por 3. 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91 y 97. Ejemplo: 3.456 es divisible por 6 porque es divisible por 2 al ser par y al mismo tiempo es diviEn general, para saber si un número es primo sin sible por 3 porque la suma de los valores absoutilizar la tabla, se divide sucesivamente por todos lutos de sus cifras, 3 + 4 + 5 + 6 = 18, es los números primos 2, 3, 5… tomados en orden múltiplo de 3. creciente hasta llegar a un número primo que dé – Divisibilidad por 8. Un número es divisible por en la división un cociente menor que el divisor. En 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forel caso de que no sea divisible por ninguno de man un número divisible por 8. ellos, se dice que este número es primo. Ejemplo: 45.000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros. – Divisibilidad por 9. Un número es divisible por 9 cuando el resultado de la suma de los valores REGLAS DE DIVISIBILIDAD absolutos de las cifras que lo forman es múltiplo de 9. Para saber si un número es divisible por otros o para Ejemplo: 1.359 es múltiplo de 9 porque el resultadescomponerlo en factores primos existen lo que do de la suma de los valores absolutos de las cifras se llama criterios de divisibilidad, que son unas reque lo componen, 1 + 3 + 5 + 9 = 18, es múltiplo glas sencillas a utilizar para resolver este tipo de de 9. ejercicios. Éstas son: 8

LA DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROS ENTEROS 180 l

84 l – Divisibilidad por 10. Un número es divisible por 10 cuando acaba en 0. Ejemplo: 350 es divisible por 10 porque acaba en 0. 12 l 12 l 12 l 12 l 12 l 12 l 12 l 12 l – Divisibilidad por 11. Un número es divisible por 11 cuando el resultado de la 12 l 12 l 12 l 12 l 12 l 12 l 12 l 12 l suma de los valores absoluFigura 12 tos de las cifras que ocupan lugar par menos el de la suma 180 2 84 2 de los valores absolutos de las 90 2 42 2 cifras que ocupan lugar impar 45 3 21 7 es igual a 0 o a un número di15 3 3 3 visible por 11. 5 5 1 Ejemplo: 337.414 es divisible 1 por 11 porque el resultado de 2 . 2 . 2 la suma de los valores absolu- a = 180 = 2 3 5 b = 84 = 2 . 7 . 3 Figura 13 tos de las cifras que ocupan lugar par, 1 + 7 + 3 = 11, me90 nos el resultado de la suma de los va180 lores absolutos de las que ocupan lu60 10 14 6 gar impar, 4 + 4 + 3 = 11, es 0. 20

tes del 2 es 2 y el menor de los exponentes del 3 es 1 por tanto el MCD (180,84) = = 22 · 31 = 4 · 3 = 12. Del mismo modo el 12 l 12 l 12 l mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el 12 l 12 l 12 l menor de los múltiplos que tienen comunes. Sean los números a = 24 y b = 8 (figura 15). Si hacemos una representación de los conjuntos de sus infinitos múltiplos de una forma esquemática como muestra la figura 16 en la que sólo hemos incluido algunos de ellos, se ve que existen algunos múltiplos que son comunes a los dos, zona de intersección, el mcm es el más pequeño de todos ellos, en nuestro ejemplo mcm = 24. Para hallar el mcm de una forma práctica se 12 30 28 descomponen los nú42 84 Figura 14 meros en factores priMÁXIMO COMÚN DIVISOR mos, en nuestro caso figuY MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 8 2 24 2 ra 14, y el mcm viene dado por 4 2 2 12 el producto de factores tanto comunes Sabiendo que todo número com2 2 6 2 como no comunes afectados por el mayor puesto puede descomponerse en un 1 3 3 de los exponentes, en el ejemplo, a = 23 · 3 producto de factores primos y que 1 esta descomposición es única, se y b = 23 por tanto 2 es un factor común a 3 3 puede hallar el máximo común dilos dos números y el exponente más alto al c = 24 = 2 · 3 d = 8 = 2 visor (MCD) de dos o más números. que está afectado es 3, y 3 es Figura 15 El MCD entre varios números es el un factor no común y el mayor de sus divisores comunes. Tomemos exponente más alto que 96 72 como ejemplo dos números a = 180 y le afecta es 1 por tanto el 32 24 b = 84 (figura 12) que descomponemos en mcm (24,8) = 23 · 31 = 64 120 216 factores primos según la figura 13. Forma= 24. mos los conjuntos de sus divisores. En la figura 14 hemos representado esquemáticaFigura 16 mente algunos de ellos y vemos que tienen dos divisores comunes de los cuales el mayor es el 12. AUTOEVALUACIÓN Por tanto MCD (a,b) = 12; MCD (180,84) = 12. En la práctica para mecanizar el proceso cuando 7. ¿Cuándo podremos asegurar que un número es divisible los números son grandes el MCD se obtiene como entre tres? el producto de los factores comunes afectados 8. Calcula el máximo común divisor de los números por el menor de los exponentes. 10, 60 y 36 En el ejemplo planteado teníamos a = 180 = 9. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de los números = 22 · 32 · 5 y b = 84 = 22 · 7 · 3 tienen como fac25 y 30? tores comunes el 2 y el 3, el menor de los exponen9

NÚMEROS RACIONALES Nos ocuparemos ahora de una nueva ampliación del conjunto de los números. Si anteriormente introducíamos el cero y los negativos para que la resta se pudiera realizar siempre, ahora introduciremos las fracciones para que la división de dos números siempre se pueda efectuar.

EL NÚMERO RACIONAL COMO CONJUNTO DE FRACCIONES EQUIVALENTES

clases de equivalencia recibe el nombre de número racional. Como un número racional está formado por un conjunto de fracciones equivalentes, llamaremos representante canónico a la fracción irreducible de denominador positivo. Ejemplo: De entre las siguientes fracciones equivalentes que forman un único número racional:

Sea el conjunto F = {a/b} donde a y b pertenecen a Z (conjunto de los números enteros) y con b 0. Estableceremos la siguiente relación en F, dos fracciones son equivalentes, y lo simbolizaremos mediante (⇔) cuando el producto de sus términos medios es igual al producto de los términos que ocupan la posición de los extremos.

{

3 6 –6 9 –9 ––, ––, –––, ––, ––– 1 2 –2 3 –3

}

el representante canónico es 3/1 de este número racional.

a c –– es equivalente a –– cuando a · d = b · c b d Esta relación cumple las propiedades siguientes:

SUMA DE NÚMEROS RACIONALES

– Reflexiva. Una fracción siempre es equivalente a sí misma.

El resultado de cualquier operación con números racionales es independiente de los representantes elegidos. Para facilitar el cálculo se acostumbra a escoger el representante canónico. Para realizar la suma de fracciones se ha de tener en cuenta que ésta sólo se puede realizar cuando todas tienen el mismo denominador. De no ser así, se tendrá que hallar previamente el mcm de los denominadores y después buscar el numerador que, con el nuevo denominador, corresponda al mismo número racional en cada una de las fracciones que intervengan. Ejemplo: Hallar las fracciones equivalentes a:

a a –– es equivalente a –– porque a · b = b · a b b – Simétrica. Si una fracción a/b es equivalente a otra fracción c/d esta segunda fracción es equivalente a la primera. a c c a –– ⇔ –– ⇔ –– ⇔ –– b d d b a · d = b · c tanto como b · c = a · d – Transitiva. Si una fracción a/b es equivalente a otra c/d, y esta c/d es equivalente a otra m/n, se cumple que a/b es equivalente a la última m/n. a c –– ⇔ –– b d c m –– ⇔ –– d n

2 7 5 ––, –– y –– 5 3 4 que tengan como denominador el mcm de los denominadores. El mcm de los denominadores es 3 · 4 · 5 = 60, por tanto las nuevas fracciones serán:

a m –– ⇔ –– b n

Esta relación de equivalencia en F divide al conjunto en clases de equivalencia y cada una de estas

24 2 140 7 75 5 ––– ⇔ ––, –––– ⇔ –– y ––– ⇔ –– 60 5 60 3 60 4 10

NÚMEROS RACIONALES

– Elemento neutro. Existe una fracción, 0/1, que actúa como elemento neutro para la suma de fracciones y sumada a cualquier otra no la modifica.

Como forma práctica para hallar el nuevo numerador, se divide el nuevo denominador entre el antiguo y el resultado se multiplica por el numerador, en nuestro caso:

0 a a –– + –– = –– 1 b b

60 : 5 = 12 y 12 2 = 24 nos daría el numerador de la primera fracción. 60 : 3 = 20 y 20 7 = 140 numerador de la segunda fracción. 60 : 4 = 15 y 15 5 = 75 numerador de la tercera fracción.

– Elemento opuesto. Para toda fracción a /b siempre es posible encontrar otra (–a/b) que actúa como elemento opuesto ya que sumada a la anterior el resultado es el elemento neutro.

( )

a a 0 –– + – –– = –– = 0 b b 1

Una vez que todas las fracciones que intervienen tienen denominador común el resultado de la suma de varias fracciones es otra fracción que tiene el mismo denominador y por numerador la suma de todos los numeradores.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

a b c d –– + –– + –– + –– = f f f f a+b+c+d = –––––––––––– f Ejemplo: sumar las fracciones del ejemplo anterior:

El resultado del producto de dos o más números racionales es otro número racional que tiene por numerador el producto de todos los numeradores y como denominador el producto de todos los denominadores.

2 7 5 –– + –– + –– 5 3 4

a c a·c –– · –– = ––––– b d b·d

Como sabemos que esa suma es equivalente a sumar:

Si intervienen números racionales negativos el signo del resultado vendrá dado por la regla de los signos. Ejemplo (figura 17):

24 140 75 ––– + –––– + ––– 60 60 60 el resultado será: 24 + 140 + 75 239 ––––––––––––– = –––– 60 60 que ya es irreducible.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS RACIONALES

3 — 7

– Conmutativa. El orden de los sumandos no altera el resultado. a c c a –– + –– = –– + –– b d d b

4 — 9 1 —– 63

– Asociativa. La suma de varios números racionales no depende de la forma en que éstos hayan estado agrupados:

12 —– 63 Figura 17

(––ba + ––dc ) + –––mn = ––ba + (––dc + –––mn )

3 4 3·4 12 4 –– · –– = ––––– = ––– = ––– 7 9 7·9 63 21 11

MATEMÁTICAS

ARITMÉTICA

5 —– 4

1 – —– 8 –3

–4

–2

–1

Figura 18

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES EN UNA RECTA

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES – Conmutativa. El orden de los factores no altera el resultado de un producto: a c c a –– · –– = –– · –– b d d b

Cada punto representado en la recta de la figura 18 se corresponde con un número racional que tiene por representante canónico un número entero. Entre estos puntos quedan grandes espacios vacíos, algunos de los cuales están ocupados por puntos que representan a números racionales cualesquiera. Se pueden plantear dos casos: Cuando el denominador es mayor que el numerador el punto siempre está entre el 0 y el 1, o entre el 0 y el –1 si es negativa (figura 19). Para representarlas se divide la unidad entre tantas partes como indica el denominador y se cogen tantas como indica el numerador. Cuando el numerador es mayor que el denominador. Primero se descompone el número fraccionario en un número compuesto por una parte entera y una fraccionaria. La parte entera nos indica a partir de qué unidad hemos de hacer la representación y la parte fraccionaria se trata igual que en el primer caso sólo que en la unidad señalada.

– Asociativa. El producto de varios números racionales no depende de la forma en que éstos hayan sido agrupados:

(––ba · ––dc ) · ––mn = ––ba · (––dc · ––mn ) – Elemento neutro. Existe una fracción, 1/1, que actúa como elemento neutro para el producto de fracciones y multiplicando a cualquier otra no la modifica: 1 a a –– · –– = –– 1 b b – Elemento inverso. Para toda fracción a/b siempre es posible encontrar otra b/a que actúa como elemento inverso ya que multiplicando a la anterior el resultado es el elemento neutro (excepto en el caso del elemento neutro para la suma 0/1, ya que su inverso 1/0 = ∞ no pertenece al conjunto de los números racionales):

16 Ejemplo: representar ––– 3 En primer lugar se realiza la división, 16 : 3 = 5 y queda de resto 1. Este tipo de números se ponen de la forma 5 1/3 donde 5 es el número de unidades

a b 1 –– · –– = –– = 1 b a 1 – Distributiva del producto respecto de la suma. La aplicación de esta propiedad permite transformar el producto de una fracción por una suma indicada en una suma de productos:

(

)

1 —– 7

4 —– 7

3 —– 7

5 —– 7

6 —– 7 1

–2

a c m a c a m –– · –– + ––– = –– · –– + –– · –– b d n b d b –1 n

(

2 —– 7

–1

3 – —– 5

4 – —– 5

)

a c m a c a m –– · –– + –– = –– · –– + –– · ––– b d n b d b n

2 – —– 5

1 – —– 5 Figura 19

NÚMEROS RACIONALES 15 —– 3

16 —– 3

17 —– 3

1 —– 3

18 —– 3

2 —– 3

Figura 22 1 —– 4

2 —– 4

Figura 20

–2

–1

6 1 3 2 —– – —– = —– 4 4 4

Ordenación en Q Menor

Figura 21

–3

Mayor 5 – —– 4

–2

1 —– 2

2 – —– 3 –1

7 —– 3 1

5 50 3 45 7 42 – –– = – –––, –– = –––, –– = ––– 3 30 2 30 5 30

enteras y 1/3 la parte fraccionaria. La representación gráfica se hace igual que en el caso anterior sólo que se ha de realizar entre el 5 y el 6 (figura 20).

y aplicando los criterios dados queda: 50 42 45 – ––– < ––– < ––– 30 30 30

COMPARACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Otra forma de ordenarlos consistiría en hallar los números decimales equivalentes a esos racionales y compararlos. En primer lugar expresamos los tres números en forma decimal:

Si se observa la posición de los números racionales en la recta real se puede deducir que un racional es más grande cuanto más a la derecha está colocado en ésta (figura 21). Pero es más práctico comparar los números racionales según los siguientes criterios:

5 3 7 – –– = – 1,6666…; –– = 1,5; –– = 1,4 3 2 5 El número – 1,6666… es negativo, luego es menor que cualquiera de los otros dos. El número 1,4 es menor que 1,5, ya que ambos tienen una unidad, pero el primero sólo cuatro décimas y el segundo cinco. Por consiguiente: 5 7 3 –1,6666… < 1,4 < 1,5 o bien – –– < –– < –– 3 5 2

– Cuando tienen el mismo denominador. A su vez se nos presentan dos casos: Si se trata de números positivos es mayor el que tiene el numerador más grande (figura 22). 2 1 Ejemplo: ––– > ––– 4 4 Si se trata de números negativos es mayor el que tiene el numerador más pequeño.

AUTOEVALUACIÓN

10. Reduce a común denominador las fracciones siguientes: 3 –––, 2 ––– 5 –––, 4 3 6 11. Efectúa la suma de fracciones y simplifica el resultado: 2 + ––– 1 ––– 5 10 12. Multiplica los números racionales siguientes: 2 · ––– 4 ––– 3 5 13. Ordena de menor a mayor los números racionales siguientes: 1 5 ––– 7 –––, – –––, 4 3 2

2 1 Ejemplo: – ––– < – ––– 4 4 – Cuando tienen denominador distinto. En primer lugar se buscan los representantes de los números racionales que tienen el mismo denominador (se reducen a común denominador) y a continuación se utilizan los criterios dados en el primer apartado. 5 3 7 Ejemplo: ordenar – ––, ––, –– 3 2 5 En primer lugar se reducen a común denominador, que en este caso es 30, con lo que: 13

NÚMEROS DECIMALES Cuando hablamos de un centavo de dólar o de un céntimo de euro, nos estamos refiriendo a la centésima parte de dichas monedas, es decir, a la fracción 1/100. En este caso, como en otros muchos, resulta más cómodo expresar el número en forma decimal: 0,01.

OBTENCIÓN DE LA EXPRESIÓN DECIMAL

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES

El número decimal que corresponde a cada número racional a/b se obtiene simplemente dividiendo el numerador a por el denominador b. Ejemplos: – (expresión racional) 14/5 = 2,8 (expresión decimal) que se lee dos coma ocho o 2 unidades y 8 décimas. – (expresión racional) 13/4 = 3,25 (expresión decimal) que se lee tres coma veinticinco o 3 unidades, 2 décimas y 5 centésimas. Así pues, un número decimal es una suma indicada de enteros y fracciones con denominadores que son potencias sucesivas de 10.

Cuando se expresa un número racional en su forma decimal pueden pasar dos casos:

Ejemplo:

a) Que la división sea exacta, es decir, el resto sea cero, con lo cual se tiene un número decimal exacto o limitado. Ejemplo: 13 ––– = 13 : 5 = 2,6 5 y el resto es cero, con lo cual el número decimal que obtenemos tiene un número finito de cifras, en este caso un solo decimal. b) Que la división no sea exacta, no se acabe nunca y a partir de un determinado momento se vayan repitiendo grupos de cifras que llamaremos período y por tanto de restos. A este tipo de números los llamaremos decimales periódicos que a su vez pueden ser de dos tipos: – Periódicos puros, cuando el período aparece inmediatamente después de la coma y se repite indefinidamente. Ejemplo:

2 8 4,28 = 4 + ––– + ––––– 10 100

2 5 13 = 13 : 8 = 1,625 = 1 + ––– 6 + –––– ––– + –––––– 8 10 100 1.000 Si un corredor de motos ha dado 2 vueltas de un total de 50, habrá recorrido 2/50 = 0,04 del circuito, es decir, el 4 % (figura 23).

41 –––– = 41 : 33 = 1,2424… = 1,24 33 El grupo de cifras que compone el período se remarca mediante un arco sobrepuesto que lo abarca. – Periódicos mixtos, cuando después de la coma hay un grupo de decimales que no pertenecen al período antes de aparecer éste. Ejemplo: 13 ––– = 13 : 6 = 2,1666… = 2,16 6 Toda fracción obligatoriamente da lugar a un nú -

Figura 23

NÚMEROS DECIMALES

– Elemento opuesto. Dado cualquier número decimal a siempre existe su elemento opuesto, –a tal que su suma da como resultado el elemento neutro para la suma, 0. En efecto,

mero decimal exacto o a un decimal periódico ya sea éste puro o mixto.

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES EXPRESADOS EN FORMA DECIMAL

a + (–a) = a – a = 0

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Entre las operaciones internas que se pueden definir en el conjunto de números decimales, cuyo resultado pertenece al mismo conjunto, nos detendremos en dos, la suma y la multiplicación.

El producto de dos números decimales tiene como resultado otro número decimal. La operación se realiza exactamente igual que si se tratara de números enteros, solamente al final se ha de tener en cuenta que al resultado se le ha de poner la coma que indica la parte decimal de forma que el resultado tenga tantos decimales como multiplicando y multiplicador juntos.

SUMA DE NÚMEROS DECIMALES La adición o suma de dos o más números decimales tiene como resultado otro número decimal. Se ha de tener la precaución al realizar la operación de hacer concordar en la misma columna aquellas cifras cuyo valor relativo coincide, tanto en la parte entera como en la parte decimal del número. Ejemplo: 4,32 + 6,211 = 10,531

Ejemplo: 2,71 3,123 = 8,46333 El multiplicando tiene dos decimales, el multiplicador tres, por tanto el resultado cinco. En la práctica cuando la suma de decimales entre multiplicando y multiplicador es excesiva para que el resultado sea operativo se realiza la operación con todas las cifras decimales pero el resultado se expresa con el número de decimales con el que se esté trabajando.

La operación suma de números decimales tiene las siguientes propiedades: – Conmutativa. El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma ya que dados dos números decimales a y b se cumple que:

Ejemplo: 3,17423 51,23523 = 162,6324.

a+b=b+a Ejemplo: 3,5 + 2,4 = 2,4 + 3,5 = 5,9

A pesar de que la suma de decimales entre multiplicando y multiplicador es de diez, el resultado se ha expresado solamente con cuatro cifras para evitar trabajar con números poco operativos. Para realizar este tipo de operaciones podemos Figura 24 contar con la ayuda inestimable de una calculadora (figura 24).

– Asociativa. El resultado de la suma de varios números decimales no depende de la forma en que se agrupen, porque dados tres números decimales a, b y c se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) Ejemplo: (4,32 + 6,1) + 2,3 = 10,42 + 2,3 = 12,72 4,32 + (6,1 + 2,3) = 4,32 + 8,4 = 12,72 – Elemento neutro. Existe un número decimal que es el 0 que actúa como elemento neutro para la suma. Si sumamos 0 a cualquier número decimal el resultado es este mismo número decimal, dado cualquier número decimal a se cumple que:

FRACCIÓN GENERATRIZ Determinar la fracción generatriz de un número decimal equivale a reconstruir el número racional del cual procede. Se nos pueden plantear 3 casos:

a+0=a

MATEMÁTICAS

ARITMÉTICA

Figura 25

Figura 26

que simplificado queda: 16 X = ––– 11

– Fracción generatriz de un decimal exacto. Llamando X a la fracción generatriz del decimal exacto a que queremos obtener e igualándole a éste, X = a se multiplicarán ambos lados de esta igualdad por un uno seguido de tantos ceros como decimales tenía el número. A continuación se despeja X y se simplifica la fracción resultante hasta llegar a la irreducible. Ejemplo: Hallar la fracción generatriz de 2,68.

Por ejemplo: si un jugador marcó 16 goles en 11 partidos, por tanto, reali gozó una media de 1,45 les por partido (figura 26). – Fracción generatriz de un decimal periódico mixto. Obtendremos el método para hallar la fracción generatriz de un número periódico mixto mediante el siguiente ejemplo: Hallar la frac . Llamando X a su fracción generatriz de 1,213 . Se ción generatriz nos queda X = 1,213 multiplican ambos lados de la igualdad por un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal del número antes de llegar al período, en nuestro caso una, por tanto multiplicare = 12,13 (3), ammos por diez 10 · X = 10 · 1,213 bos lados de la igualdad (3) se multiplican por un uno seguido de tantos ceros como cifras componen el período, en nuestro caso dos, multiplicare , efectuanmos por 100, 100 · 10 · X = 100 · 12,13 do se obtiene 1000 · X = 1213,13 (4), restando miembro a miembro de la igualdad (4) la (3) nos – 12,13 , opequeda 1000 · X – 10 · X = 1213,13 rando 990 · X = 1201 por tanto:

Si llamamos X a la fracción generatriz de 2,68 se podría establecer la igualdad X = 2,68, multiplicando a izquierda y derecha del igual por 100 nos quedaría: 100 · X = 100 · 2,68; 100 · X = 268. Despejando X:

268 67 X = –––– = ––– 100 25

que sería la fracción generatriz de 2,68. Un ejemplo concreto: si repartimos 67 euros entre 25 personas cada una de ellas recibirá 2,68 euros (figura 25). – Fracción generatriz de un decimal periódico puro. Obtendremos el método para hallar la fracción generatriz de un número periódico puro mediante el siguiente ejemplo: Hallar la . Llamando X a su fracción generatriz de 1,45 (1), mulfracción generatriz nos queda X = 1,45 tiplicamos a izquierda y derecha de la igualdad por un uno seguido de tantos ceros como cifras = 145,45 tiene el período, 100 · X = 100 · 1,45 (2), restando miembro a miembro de la igualdad – 1,45 , (2) la (1) nos quedaría 100 · X – X = 145,45 con lo que podemos eliminar los infinitos decimales de los períodos ya que se restan entre sí y nos queda 99 · X = 144 por tanto:

1201 X = ––––– 990 que ya es irreducible.

i AUTOEVALUACIÓN

14. Efectúa la suma de los siguientes números racionales: 2,15 + 38,234 15. Expresa con cuatro cifras decimales el resultado de la siguiente multiplicación: 6,273 · 27,13 16. Encuentra la fracción generatriz del número 2,15 17. ¿Qué fracción irreducible da lugar al número ? periódico 7,325

144 X = –––– 99

NÚMEROS REALES La existencia de números decimales no periódicos es conocida desde tiempos remotos. El número áureo, por ejemplo, que se obtiene al calcular la relación existente entre la diagonal de un pentágono y el lado del mismo, fue descubierto en la antigua Grecia y se ha utilizado después profusamente, tanto en la ciencia como en el arte. Su valor aproximado es: 1,618034... Figura 27

DIBUJO DE LOS NÚMEROS REALES EN UNA RECTA

EXISTENCIA DE NÚMEROS IRRACIONALES 2

No es difícil idear números con infinitas cifras decimales que no están compuestos por ningún período como 3,1010010001… número que se ha formado añaFigura 28 diendo después de cada 1 un cero más que en el caso anterior –1 con lo que no hay ninguna posibilidad de que se forme un período. Del mismo modo, si aplicamos el teorema de Pitágoras al cálculo de la diagonal de un cuadrado de lado uno, 2 obtenemos: d = 1 + 12 = 2 (figura 27). Este número tampoco es racional, ya que no puede ponerse en forma de fracción. A este conjunto de números que tienen infinitos decimales pero que no tienen período se les llama números irracionales (I) y al conjunto formado por todos los números racionales más todos los irracionales se le llama conjunto de los números reales (R).

Figura 29 –2

–1

9 4

3,1

3,2

3,17

3,18

3,175

3,176

3,1754

3,1755

3,17543

3,17544

Si se dibuja una recta y sobre ella un punto que llamaremos 0 a la izquierda de este cero 2 se considerarán los números 1 negativos y a la derecha los positivos. Tomando porciones de la 1 2 recta iguales a iz1 2 quierda y derecha de 0 y marcándolas, se tendrían los números enteros y dividiendo cada una de estas unidades en tantas partes iguales como fuera necesario, se podrían representar los números racionales y aun así quedaría una enorme multitud de huecos que son los que vendrían rellenados por los que se han denominado números irracionales. Algunos de ellos son fáciles de representar, como 2 trazando un cuadrado sobre la primera unidad de la recta real se dibuja su diagonal y se traza un arco con el compás de centro O y radio d y el lugar en el que caiga sobre la recta real será el punto que representa a 2 (figura 28). En el caso de un número real cualquie4 5 ra no racional la única forma de representarlo consiste en acotar intervalos cada vez mas pequeños en la recta real, mediante sucesivas ampliaciones de ésta en la zona adecuada. En la figura 29 se puede observar el proceso seguido para representar 3,175431… Está claro que con esta forma de representar los números mediante la recta real cualquier número tiene un punto sobre la recta que lo representa y cualquier punto de la recta real es la representación gráfica de un número, ya sea éste racional o irracional.

MATEMÁTICAS

ARITMÉTICA

Las propiedades del producto en R coinciden con las dadas para el producto en Q.

LA APROXIMACIÓN EN LAS OPERACIONES

Podría parecer que el hecho de trabajar con núINVERSO DE UN NÚMERO REAL meros con infinitos decimales y que además no DISTINTO DE CERO presentan ninguna regularidad (período) complica Sea el caso de 7 si se quiere hallar su inverso 1/ 7 enormemente el cálculo. Lo y partiendo de cinco cifras deque en realidad sucede es que cimales el valor buscado po2,64575 7 2,64576 hemos de renunciar a la exactidríamos expresarlo del modo 1,73205 3 1,73206 tud y fijarnos con qué grado de siguiente: 4,37780 7 + 3 4,37782 error queremos trabajar (qué número de decimales exactos Figura 30 nos interesa conocer para llevar Figura 31 a cabo de forma adecuada el trabajo que estemos realizando). Sea la suma de los números reales 7 = 2,645751… y 3 = 1,732050…, es evidente que si cogiéramos 5 cifras decimales el valor exacto de los números escogidos estaría entre los valores citados. Situados éstos tal como indica la figura 30 y sumados miembro a miembro resultaría que el resultado de la suma 7 + 3 estaría entre 4,37780 y 4,37782, por tanto si para nuestros cálculos necesitamos saber 4 decimales exactos podríamos asegurar 1 1 1 que 2 + 3 = 4,3778… teniendo la certeza que –––––––– ––––– –––––––– 2,64575 2,64576 7 las cifras significativas que ofrecemos son exactas. Para aumentar el número de cifras significativas por tanto: exactas debemos de partir de más decimales en 1 los sumandos que intervienen. 0,377963… ––––– 0,377964… 7 Las propiedades de la operación suma en el conjunto R coinciden con las del conjunto Q de los con lo que podríamos afirmar que: números racionales. 1 Al igual que ocurría en el caso de la suma, al ope––––– = 0,37796… 7 rar con números irracionales no podemos esperar resultados exactos, sino que tan sólo podemos fijar como siempre si se necesitaran más cifras decimalas cifras decimales significativas exactas que podeles significativas se debería de partir de más cifras mos obtener (figura 31). Se ha de hacer notar que decimales en el número estudiado. en el producto de números reales se pierde exactitud mucho más rápidamente que con la suma por AUTOEVALUACIÓN lo que si se necesitan en el resultado varios decimales exactos se ha de partir de un multiplicando y un 18. ¿Cuántas cifras puede tener el período de un número multiplicador con muchos decimales conocidos. En irracional? el ejemplo anterior si se disponen de la misma for19. Si tomamos un rectángulo de lados dos y tres y trazamos ma, pero se multiplican podemos encontrar que el su diagonal, ¿qué número irracional obtenemos?: resultado de 7 3 se encuentra entre 2, b) 3, c) 13 a) 4,5825713… y 4,5826151 por lo que podemos de20. Encuentra la fracción generatriz del número cir que 7 3 = 4,582… y que los tres decimales 4,040040004… dados son cifras significativas. Al igual que en el 21. ¿Con cuántas cifras decimales tenemos que tomar dos caso de la suma si se necesitaran más decimales con números irracionales si queremos que su suma tenga cifras significativas tendríamos que partir de un muldos cifras decimales exactas? tiplicando y un multiplicador con más decimales. 18

POTENCIAS Y RADICALES Cada vez que se produce un nacimiento, el bebé puede ser un niño o una niña. Si queremos saber, por ejemplo, la probabilidad de que en seis nacimientos nazcan dos niños y cuatro niñas, necesitaremos calcular, entre otras cosas, el número de ramas que tiene un árbol como el de la figura 32 al cabo de seis pasos. Para ello emplearemos una operación llamada potencia, que no es más que una multiplicación repetida.

LA POTENCIACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Las potencias se utilizan desde hace miles de años como lo demuestran los papiros egipcios (figura 33), como por ejemplo el papiro de Rhind. En él puede leerse: «Una finca tenía siete casas, cada casa siete gatos, cada gato cazaba siete ratones, cada ratón comía siete espigas, cada espiga habría producido siete medidas de trigo. ¿Cuántas medidas se perdieron?»

Como vamos a ver en este capítulo, el concepto de potencia se puede extender al conjunto de los números racionales Q. Se puede comprobar que estos conceptos y sus propiedades son las mismas que rigen para los números enteros Z, excepto cuando el exponente es también racional, en este caso nos introducimos ya en el conjunto de los números reales R.

POTENCIAS CON EXPONENTE NATURAL Respondamos ahora a la pregunta que habíamos planteado antes (figura 32). En dos nacimientos habrá: 2 · 2 = 4 posibilidades. En tres: 2 · 2 · 2 = 8 y en seis habrá: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64 Esta operación que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces se denomina potencia y se escribe:

Figura 33

26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 La potencia 26 se lee «dos elevado a la sexta». El número 2 es la base de la potencia y el número seis el exponente, que indica el número de veces que hay que multiplicar a la base por sí misma para efectuar la operación.

Figura 32

Para responder a esta pregunta hay que calcular la potencia 75, es decir, hay que multiplicar el número siete cinco veces por sí mismo. Como el procedimiento puede resultar largo, sobre todo si el exponente es un número grande, es conveniente saber efectuar las potencias con la calculadora de bolsillo. Las calculadoras científicas (figura 34) disponen de la tecla XY que permi-

MATEMÁTICAS

ARITMÉTICA

te realizar el cálculo con facilidad. Pulsaremos:

Ejemplo:

7X 5=

7·7·7·7·7 75 —–3 = ——————– = 7 · 7 = 7 5 – 3 = 72 7 7·7·7

y en la pantalla aparecerá el resultado, que es 16.807 medidas de trigo.

– El resultado de elevar una potencia a un nuevo exponente es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es el producto de los dos exponentes, es decir: (a n) m = a n · m Ejemplo: (103)4 = 103 · 103 · 103 · 103 = 103 + 3 + 3 + 3 = = 103 · 4 = 1012 – Para elevar un producto de varios números a una potencia, se eleva cada uno de los factores a dicha potencia, es decir:

Figura 34

(a · b · c · d) n = a n · b n · c n · d n

OPERACIONES CON POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL

Ejemplo:

En muchas situaciones de la vida empleamos potencias de exponente natural. Por ejemplo, las utilizamos cuando medimos la cantidad de un medicamento en centímetros cúbicos (figura 35). – El resultado de multiplicar dos potencias de la misma base es otra potencia de igual base y cuyo exponente es la suma de los dos exponentes, es decir: n

a ·a =a

(2 · 7 · 13)3 = (2 · 7 · 13) · (2 · 7 · 13) · (2 · 7 · 13) = = 2 · 2 · 2 · 7 · 7 · 7 · 13 · 13 · 13 = 23 · 73 · 133 – Con un cociente sucede lo mismo: a —ba = —– b n

Ejemplo: 7·7·7 7 = —– —72 = —72 · —72 · —72 = ———– 2·2·2 2

n+m

3 3

Ejemplo: 53 · 54 = (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5 · 5) = = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 53 + 4 = 57 – El resultado de dividir dos potencias de la misma base es otra potencia de igual base y cuyo exponente es la resta de los dos exponentes, es decir:

Intentemos ahora, por ejemplo, calcular el resultado de la operación: (54 · (–1/2)3)2 No es muy difícil. Sólo hay que combinar adecuadamente las propiedades anteriores:

(54 · (–1/2)3)2 = (54)2 · ((–1/2)3)2 = 54 · 2 · (–1/2)3 · 2 =

an –— = an – m am

= 58 · (–1/2)6 = 58 · (–1)6/26 = 58/26 = 390.625/64 Hemos tenido en cuenta que: (–1)6 = (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = 1

Figura 35

En general, y debido a la regla de los signos, todo número negativo elevado a una potencia impar da un resultado negativo, mientras que, si lo elevamos a una potencia par, resulta positivo. Hemos hablado de la multiplicación y la división de potencias, pero no de la suma 20

POTENCIAS Y RADICALES

vocar un concurso entre sus súbditos para ver quién le mostraba el juego más interesante. Ninguno de los juegos que le presentaron al rey logró cautivar su interés hasta que un sabio le enseñó a jugar al ajedrez (figura 36). El rey quedó tan entusiasmado que decidió conceder al sabio todo lo que le pidiese. Humildemente, el sabio pidió al rey que se conformaría con llevarse el trigo que cupiera en el tablero de ajedrez de modo que hubiera un grano de trigo en la primera casilla, 2 granos en la segunda, 4 en la tercera, 8 en la cuarta, y así, sucesivamente. El rey quedó muy sorprendido ante tan extraña petición, pero como había empeñado su palabra, ordenó a sus sirvientes que complacieran el deseo del sabio. Desgraciadamente, pronto comprobaron que no había suficiente grano en todo el reino para pagar la recompensa solicitada.

Figura 36

ni de la resta. Con estas operaciones hay que tener mucho cuidado. Hay que tener en cuenta que para realizar la operación: (3 + 2)3. En primer lugar tenemos que efectuar el paréntesis: 53 = 125. Si lo hiciéramos al revés: 33 + 23 = = 27 + 8 = 35 obtendríamos un resultado mucho menor que el verdadero. Como conclusión podemos decir que, en general: (a + b) n a n + b n (a – b) n a n – b n

POTENCIAS CON EXPONENTE ENTERO

Sin embargo, con la multiplicación: (3 · 2)3 tanto si efectuamos en primer lugar lo que hay entre paréntesis: 63 = 216 como si aplicamos una de las propiedades anteriores: (3 · 2)3 = 33 · 23 = 27 · 8 = = 216 obtenemos el mismo resultado, lo que significa que podemos hacerlo de la forma que deseemos. En matemáticas, a veces suceden cosas curiosas, como ocurre con la siguiente serie de igualdades:

La forma de operar con potencias de exponente entero es muy semejante a la que hemos empleado para efectuar operaciones con las potencias de exponente natural. Sin embargo, al dividir dos potencias de la misma base, si el denominador tiene un exponente mayor que el numerador, pueden aparecer exponentes negativos al restar los dos exponentes: 35 –— = 35 – 7 = 3–2 37

12 = 13 (1 + 2)2 = 13 + 23

Veamos el significado de dichos exponentes negativos:

ya que la parte izquierda vale: (1 + 2)2 = 32 = 9 y la parte derecha: 13 + 23 = 1 + 8 = 9. Ya habíamos dicho que no es cierta la igualdad: (1 + 2)2 = 12 + 22 pero lo curioso del caso es que es cierta con los cubos. Se puede comprobar fácilmente que también son ciertas las igualdades:

35 3·3·3·3·3 1 1 –— = ———————––––– = —–— = –—2 37 3·3·3·3·3·3·3 3·3 3 Como el resultado de ambas expresiones tiene que ser el mismo, concluimos que: 1 3–2 = –— 32

(1 + 2 + 3)2 = 13 + 23 + 33 (1 + 2 + 3 + 4)2 = 13 + 23 + 33 + 43

En general:

y así sucesivamente. Y, hablando de cosas curiosas, una leyenda hindú relata que un rey se aburría mucho y decidió con-

1 a –n = —– an

MATEMÁTICAS

ARITMÉTICA

––ba = –––ba e

Por otra parte:

1 1 a —– = —– = 1 · —– = a n a –n —– 1 1 an De todo lo anterior podemos deducir la siguiente regla general: una potencia de exponente negativo situada en el numerador equivale a colocar la correspondiente potencia de exponente positivo en el denominador y viceversa. Otro caso especial es el del exponente cero, que aparece cuando dividimos dos potencias iguales:

Ejemplo: 4 64 = –––– ––45 = ––45 · ––45 · ––54 = ––– 5 125 3

– Exponente negativo. Para los números racionales se debe emplear el mismo concepto de exponente negativo que para los números enteros a–e = 1/a e. Por tanto, un número racional elevado a un exponente negativo es igual al inverso de dicho número elevado a dicho exponente pero positivo.

––ba

Acabamos de demostrar una cosa que puede parecer sorprendente: que cinco elevado a cero es uno. Esto sucede cualquiera que sea la base de la potencia:

–e

1 b = ––––e = –– a a –– b

Ejemplo:

2 –2 1 3 2 –– = ––––2 = –– 3 2 2 –– 3

a0 = 1 Ahora aplicaremos las reglas anteriores, a modo de ejemplo, para intentar simplificar la fracción:

OPERACIONES CON POTENCIAS

(–5)4 · 5 · 5 · 7 · (–7)6 54 · 5 · 5 · 7 · 76 ———————–—— = —————–——— = 25 · 50 · 5–2 · 72 · 49 52 · 50 · 5–2 · 72 · 72

Como la base racional y el exponente pueden ser tanto positivos como negativos nos encontramos con que se ha de tener en cuenta el signo a la hora de efectuar las operaciones. Ya se ha visto cómo afecta el signo negativo en el exponente en el apartado anterior, pero si por el contrario este signo negativo se encuentra en la base las reglas a seguir serán las siguientes:

= 54 · 5 · 5 · 5–2 · 50 · 52 · 7 · 76 · 7–2 · 7–2 = = 54 + 1 + 1 – 2 + 0 + 2 · 71 + 6 – 2 – 2 = = 56 · 73 = 5.359.375

POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO

– Si el exponente es par: el resultado de la potencia será positivo. Ejemplo:

Vamos a distinguir dos casos: – Exponente natural. Cuando la base es una fracción tenemos una potencia de base racional:

(–2) 4 = –– – ––23 = ––––– 9 3 2

––ba = ––ba · ––ba · ––ba · … · ––ba donde e

3 3

625 54 1 = —— = —– = 54 – 4 = 50 625 54

Ejemplo:

– Si la potencia es impar: el resultado de la potencia será negativo. Ejemplo:

a = base –– b e = exponente

(–3) –27 27 = –––– = – ––– – ––43 = ––––– 4 64 64 3

––45 = ––54 · ––54 · ––54

A continuación detallamos las operaciones más frecuentes:

Por consiguiente para elevar un número racional a una potencia se eleva a esta potencia su numerador y su denominador.

– Producto de potencias. El resultado del producto de varias potencias con la misma base es

POTENCIAS Y RADICALES

Ejemplo:

otra potencia con la misma base y con exponente la suma de los exponentes.

a a e a f –– · –– = –– b b b

3 –– 4

e+f

3 = –– 4

3·2

3 = –– 4

IGUALDADES NOTABLES

Ejemplo 1:

––34 · ––34 = ––43 2

2+5

3 7 = –– 4

Existen algunas expresiones que se dan con mucha frecuencia en el cálculo y que conviene saber desarrollar de inmediato sin tener que realizar las operaciones pertinentes: son los llamados cuadrados notables.

Ejemplo 2:

––34 · ––34 = ––43 3

–5

3 + (–5)

3 –2 = –– 4

– Cuadrado de un binomio. El desarrollo del cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo más o menos (según sea una suma o una resta de términos) el doble del primero por el segundo (figura 37).

– Cociente de potencias de la misma base. El resultado es otra potencia con la misma base y con exponente resultante de la diferencia de los exponentes:

––ba : ––ba = ––ba e

e–f

Ejemplo:

––52 : ––25 = ––52 5

5–2

2 = –– 5

– Potencia de exponente 0. Cualquier base racional elevada a 0 da como resultado 1.

a 0 –– = 1 b

b a·b

– Potencia de exponente 1. Cualquier base racional elevada a 1 permanece invariada.

––ba = ––ba 1

– Potencia de un producto. La potencia de un producto de factores es igual al producto de las potencias de esos factores.

a c e a e c e –– · –– = –– · –– b d b d

a·b

b Figura 37

Ejemplo:

(a + b)2 = a2 + b2 ± 2 · a · b

––23 · ––15 = ––32 · ––51 4

Ejemplo: (2x + 3)2 = (2x)2 + 32 + 2 · 2x · 3 = = 4 · x2 + 9 + 12 · x

– Potencia de una potencia. La potencia de una base racional elevada a una determinada potencia es otra potencia de base la misma y de exponente el producto de los exponentes.

––ba = ––ba e f

– Suma por diferencia. El producto de una suma por una diferencia da lugar a una diferencia de cuadrados.

e·f

(a + b) · (a – b) = a2 – a · b + b · a – b2 = a2 – b2

MATEMÁTICAS

ARITMÉTICA

Ejemplo: 2

– Cociente de raíces con el mismo índice. El cociente de dos raíces con el mismo índice es otra raíz con ese índice, y radicando el cociente de los radicandos:

(3x + 5) · (3x – 5) = (3x) – 5 = 9x – 25

RADICALES

n a a ––– = n –– n b b

Dada la ecuación x n = a donde x y a son números reales y n es un número natural. Para conocer los posibles valores de x se ha de introducir el concepto de radical x = n a donde se ha de tener en cuenta que si n es un número par a no puede ser negativo, de lo contrario la solución obtenida no es un número real, ya que no existe ningún número real que elevado a una potencia par dé un número negativo.

Ejemplo: 7 4 4 ––– = 7 –– 7 3 3

– Radical elevado a una potencia. El resultado de un radical elevado a una potencia es otro radical del mismo índice con el radicando elevado a esa potencia.

( )

n p a = n ap – Raíz cuadrada. En el caso particular de que la ecuación planteada sea x2 = a, la solución será x = ± a. Vemos que Ejemplo: la solución es doble, una positiva y 7 4 5 = 7 54 otra negativa (al igual ocurre con cualquier raíz de índice par). Al término a se le llama radical cuadrá– Introducción de factores dentico o raíz cuadrada de a. Así, por tro de un radical. Para introduejemplo, la longitud del lado de un cir un factor dentro de un radical cuadrado es la raíz cuadrada del se ha de elevar éste a una potenárea (figura 38). cia igual al índice del radical. – Raíz cúbica. Si la ecuación planteab · n a = n bn ·a da es x3 = a, la solución sería x = 3 a, Figura 38 Ejemplo: que en este caso es única, si a es positivo 3 a es un número real positivo y si a es negativo 3 a es un nú5 · 3 2 = 3 53 · 2 = 3 250 a recibe el nombre de raíz mero real negativo. 3 – Extracción de factores dentro de un radical. cúbica de a. Para extraer un factor fuera de un radical éste ha de estar elevado a una potencia igual o superior Del mismo modo se podría ir resolviendo la ecuaa la del índice de la raíz. Se procederá de la sición x n = a e iríamos obteniendo los radicales de a guiente forma: se divide la potencia del factor de índice superior a 3. por el índice de la raíz y se obtiene el cociente y el resto. Fuera de la raíz quedará el factor elevado al cociente y dentro el factor elevado al resOPERACIONES CON RADICALES to, permaneciendo los otros factores del radicando invariados. – Producto de raíces con el mismo índice. El producto de dos raíces con el mismo índice es Sea n otra raíz con ese índice, y radicando el producto a p · b y p > n, de tal manera que p : n da p de los radicandos: cociente c y resto r, se podrá decir que n a ·b= c n r = a · a ·b. n n n a · b = a·b Ejemplo: Ejemplo: 3 8 2 · 5 = 22 · 3 22 ·5 5 5 5 5 2 · 3 = 2 · 3 = 6 porque 8 : 3 da cociente 2 y resto 2

( )

POTENCIAS Y RADICALES

– Raíz de una raíz. La raíz de una raíz es otra raíz del mismo radicando e índice el producto de los índices:

do elevado a una potencia igual a la diferencia entre el índice de la raíz y la potencia original de éste:

a = np a

n n–p n n–p n n–p n n–p a a a a 1 –––– · –––––– = –––––––– = –––––– = –––––– n p n n–p n n–p+p n n a a a a a

n p

Ejemplo:

Ejemplo: Racionalizar

2 = 3 · 4 2 = 12 2

3 4

2 –––– 7 3 5 Siguiendo los pasos indicados se multiplica numerador y denominador por 7 57 – 3 = 7 54 de manera que queda:

RACIONALIZACIÓN La racionalización es un proceso que se debe efectuar (si es posible) cuando nos aparecen radicales en el denominador de una fracción y consiste en eliminarlos del denominador aunque nos aparezcan los mismos radicales u otros en el numerador. Cuando el divisor de un cociente es un número irracional (y muchos radicales lo son) esta operación resulta incómoda y da lugar a errores de precisión en el resultado. Los casos más frecuentes que se nos pueden presentar son: – Denominador formado por una raíz cuadrada, 1/ a (o por el producto de un número por una raíz cuadrada):

7 4 5 = ––––––– 2 · 7 54 = ––––––– 2 · 7 54 = 2 · –––– –––– 7 3 7 7 7 54 5 5 7 53 + 4

2 · 7 54 = ––––––– 5 que será la expresión racionalizada. – Cuando en el denominador hay una suma o resta de raíces cuadradas: 1 –––––––– a + b o la suma o resta de un número y una raíz cuadrada:

1 –––––– a b ·

1 –––––– c + d

Se multiplica numerador y denominador por esa misma raíz cuadrada:

Se multiplica numerador y denominador por la resta o suma de las raíces cuadradas, conjugado del denominador (para utilizar la propiedad de la suma por diferencia).

1 · ––– a = –––––––– a a = –––– a ––– = ––––– 2 a a a · a a ( a ) a = ––––––––– a a a 1 · ––– = ––––––– = –––– o b––––– · · a a b · a a b · ( a) b · a

1 a – b = ––––––––––– a – b = ––––––– a – b –––––––– · –––––––– 2 2 a – b a + b a – b ( a ) – ( b)

Ejemplo: Racionalizar 1/2 · 3 se multiplica por 3 numerador y denominador y mediante el siguiente proceso:

Ejemplo: Racionalizar 1 ––––––– 7 –2

1 · ––– 3 = ––––––––– 3 3 3 = ––– 3 ––––– = ––––––– = –––– 2 · 2·3 6 2 · 3 3 2 · 3 3 2 · ( 3) que sería la expresión racionalizada. – Cuando en el denominador hay un radical de índice cualquiera:

se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador 7 + 2 y operando de la forma indicada queda: 7 + 2 = –––––––––– 7+2 = 1 ––––––– · ––––––– 7–2 7 + 2 ( 7 )2 – (2)2

1 –––– n p a

7+2 7+2 = ––––––– = ––––––– 7–4 3 que es la expresión racionalizada.

y p < n, se multiplica numerador y denominador por un radical del mismo índice y con el radican25

MATEMÁTICAS

ARITMÉTICA

POTENCIA EQUIVALENTE A UN RADICAL Es muy habitual y en algunos casos facilita el cálculo el uso de potencias de exponente fraccionario en lugar de radicales. Para el cálculo con este tipo de potencias se emplearán las mismas propiedades y normas que se utilizan en el caso de exponente entero. En general, utilizaremos n a p = a p/n, y en el caso de que el radical esté en el denominador se utilizará:

maremos conjunto de los números complejos C que engloba al conjunto de los números reales R y dentro del cual es posible encontrar solución a las raíces sea cual fuere su índice. Los saltos de agua, por ejemplo, se utilizan para generar corriente eléctrica (figura 39). En el cálculo de su potencia se aplican los números complejos. El diagrama de la figura 40 muestra el comportamiento de la potencia.

Figura 39

(–)

p 1 = a– — n –––– n p a

Lámpara

Batería Corriente

Ejemplo 1: Poner en forma de potencia 7 54, de la forma indicada:

(+)

Potencia abandonando el circuito

54 = 54/7

(–)

Corriente

Ejemplo 2: Poner en forma de radical 3–5/7, de la forma indicada:

Generador

1 3–5/7 = ––––– 7 5 3

Batería

(+)

Potencia entrando en el circuito Figura 40

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

En general, los números complejos tienen la forma a + b · i dónde a es la parte real y b · i la parte imaginaria y donde a y b son números reales. Cuando a = 0 el número es imaginario puro, cuando b = 0 el número es real puro. Dos números complejos son iguales solamente en el caso de que coincidan su parte real y su parte imaginaria. Las propiedades del cálculo con números reales son aplicables al de números complejos.

Anteriormente se ha visto que cuando teníamos raíces de índice par no se podía permitir que el radicando fuera un número negativo ya que entonces no existía solución en el conjunto de los números reales R. Para solucionar esta situación se introducen los llamados números imaginarios, de tal manera que se designará con la letra i a un número no real tal que elevado al cuadrado da como resultado: –1, i 2 = –1.

i AUTOEVALUACIÓN

De esta manera se puede obtener la raíz cuadrada de cualquiera de los números negativos ya que siempre se podrá poner de la forma b · i, donde b es un número real cualquiera. Ejemplo:

22. Desarrolla el cuadrado siguiente: (2x – 3)2 23. Simplifica la fracción: (–2)3 · 2 · (–3)4 –––––––––––––– 4 · 30 · 92 24. Reduce a un único radical la expresión siguiente: 2 2 2 25. Racionaliza la expresión: 1 ––––––– 3–2

–25 = 25· (–1) = 52 · i2 = 5 · i Se crea por tanto un conjunto de números que lla26

ÁLGEBRA

TEORÍA DE CONJUNTOS Un conjunto es una colección de objetos que puede definirse perfectamente. Por ejemplo, el conjunto de los autobuses de una empresa determinada. Es lo que llamamos definición por comprensión. En otros casos, para definir el conjunto citamos todos sus elementos. Es lo que denominamos definición por extensión.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS Cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto recibe el nombre de elemento del conjunto. Por lo general, se utilizan letras mayúsculas para representar los conjuntos y letras minúsculas para representar los elementos de los conjuntos. Para expresar que un determinado elemento a es de un cierto conjunto A, decimos que el elemento a pertenece al conjunto A y escribimos: a A. Si por el contrario a no es de A, decimos que a no pertenece a A o bien que el conjunto A no contiene al elemento a, y escribimos a A. Diremos que un conjunto viene determinado por extensión A cuando se enumeran todos y 1 cada uno de los elementos que contiene. Ahora bien, 2 podemos expresar todos esos elementos entre llaves o bien recurrir a la representa3 ción gráfica mediante los llamados diagramas de Venn, que consiste en representar los elementos Figura 41 a partir de puntos que quedan dentro de una curva plana cerrada que representa el conjunto. Ejemplo: A = {1, 2, 3} es un conjunA to dado por extensión, que se re1 presenta gráficamente por el diagrama de Venn de la figura 41. Diremos que un conjunto viene 2 determinado por comprensión cuando se expresan una o más 3 propiedades que verifican todos sus elementos y sólo ellos.

Ejemplo: el mismo conjunto A del ejemplo anterior podría determinarse por comprensión de las siguientes maneras: A = {x N/0 < x < 4}, o bien: A = {x N/2 x2 + 1 10}, etcétera. Decimos que dos conjuntos A y B son iguales, esto es A = B, cuando contienen exactamente los mismos elementos, es decir, si todo elemento de A es también de B y todo elemento de B también lo es de A. En caso contrario: A ≠ B. Definimos el conjunto vacío, que representamos por Ø, como aquel que no contiene ningún elemento.

SUBCONJUNTOS Decimos que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B cuando todo elemento de A también pertenece a B, entonces también se dice que A está incluido en B, o bien que A es una parte de B, y se escribe: A B. Por el contrario, si A no está incluido en B, escribiremos A B, que vendrá a decirnos que por lo menos uno de los elementos de A no pertenece a B. Ejemplo: Observando los diagramas de Venn de la figura 42 y, refiriéndonos a los conceptos antes definidos, podemos afirmar lo siB guiente: 5

6 7

Figura 42

a) Es evidente que el número de elementos, o cardinal, de A, es igual que el de B, así escribiremos: card A = card B.

MATEMÁTICAS

ÁLGEBRA

b) A B, B A y obviamente A ≠ B. c) 4 A y {4} A; cuando un elemento forma parte de un conjunto decimos que pertenece a él, mientras que si es un conjunto el que forma parte de otro se dice que está incluido en ese otro. Observa, además, la diferencia entre 4 y {4}. Si escribimos 4 nos referimos a él como elemento, mientras que si aparece entre llaves estamos considerando el conjunto formado por el elemento 4.

tra los conjuntos unión según estas tres posibilidades. Veamos algunas propiedades básicas de la unión de conjuntos: 1) Propiedad de idempotencia: A A = A 2) Propiedad conmutativa: A B = B A; ya que el orden de los elementos dentro de un conjunto no tiene importancia. 3) Propiedad asociativa: A (B C) = (A B) C. 4) A A B y B A B.

Definimos el conjunto de las partes de un conjunto A como aquel cuyos elementos son todos los posibles subconjuntos de A, y lo denotaremos por (A). Sabemos que si el conjunto A dispone de n elementos entonces el conjunto (A) está formado por 2n elementos. Ejemplo: Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, el conjunto de las partes de A tiene 24 = 16 elementos, (A) = {Ø, [1], [2], [3], [4], [1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4], [1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 3, 4], [2, 3, 4], [1, 2, 3, 4]}.

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B, definimos la intersección de los conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos que tienen en común dichos conjuntos, y lo representamos por: A B. Ejemplo: Si consideramos los conjuntos representados gráficamente por los diagramas de Venn de la figura 43, los conjuntos intersección según las tres distintas posiciones de los dos conjuntos que intervengan pueden verse representados por la parte rayada de las figuras 47, 48 y 49. Decimos que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen elementos en común, es decir, cuando la intersección es vacía, A B = Ø. Veamos algunas propiedades en las que interviene la intersección de conjuntos:

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Dados los conjuntos A y B, definimos la unión de los conjuntos A y B como el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a 1) Propiedad de idempotencia: A A = A. ambos a la vez, y lo representaremos por: A B. Ejemplo: Dados los siA guientes conjuntos: A A = {a, b, c}, B = B a = {c, d, e, f } y C = {e, f }, a d d representados en la figuc c f e ra 43, podemos observar C f e las tres distintas posiciob b nes en que se puede encontrar un conjunto resFigura 43 A B = {a, b, c, d, e, f} pecto a otro, esto es, los Figura 44 conjuntos A y B tienen A A algún elemento en coB mún, los conjuntos A y C a a d no tienen absolutamente d c ninguno, mientras que c C f e f e los conjuntos B y C tienen todos los elementos b b de C en común, es decir, C está incluido en B. Así, A C = {a, b, c, e, f} B C = {c, d, e, f} la parte rayada de las fiFigura 45 Figura 46 guras 44, 45 y 46 mues28

TEORÍA DE CONJUNTOS B

d c

d e

A B = {c}

b c f

Figura 47 A B C = {c, f} B

A = {a, b, c, d}

A (B C) = {a, b, c, d, f}

d A B = {a, b, c, d, e, f}

A C = {a, b, c, d, f, g}

(A B) (A C) = {a, b, c, d, f} Figura 53

2) Propiedad conmutativa: A B = B A. 3) Propiedad asociativa: A (B C) = (A B) C. 4) A B A y A B B. 5) A B A B; evidente con sólo observar los diagramas de Venn de las figuras 50, 51 y 52. 6) Propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección: A (B C) = (A B) (A C). 7) Propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión: A (B C) = (A B) (A C). Las figuras 53 y 54 muestran de qué manera se verifican las propiedades 6 y 7, respectivamente, en un caso concreto. 8) card (A B) = card (A) + card (B) – card (A B). Ahora bien, si A y B son disjuntos entonces card (A B) = 0, en consecuencia y sólo en este caso: card (A B) = card (A) + card (B).

A C= Figura 48

A B

d c e

b B C = {e, f} Figura 49

A B A B

A B Figura 50

B A A B A B

Figura 51

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B, definimos la diferencia A – B como el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A que no pertenezcan a B, es decir, todos los elementos de A excepto los que tiene en común con B, esto es: A – B = A – (A B). Los diagramas de Venn de las figuras 55, 56, 57 y 58 muestran los conjuntos diferencia según las posibles posic i o n e s re l a t i v a s d e los dos conjuntos B que intervengan. Dados dos conjuntos cualesquiera A y B, definimos la diferencia simétrica A ∆ B A B como el conjunto forA B= A B mado por todos los eleFigura 52 mentos de A y de B ex29

MATEMÁTICAS

ÁLGEBRA

A B

a B

A A–B

C d

A–B

Figura 56 Figura 55

B C = {b, c, d, e, f, g} A = {a, b, c, d} A B = {c, d} A C = {b, c}

A (B C) = {b, c, d} A

A–B

(A B) (A C) = {b, c, d} Figura 54 A–B=

cepto los que tienen en común A y B, esto es: A ∆ B = (A B) – (A B), que también podría expresarse como: A ∆ B = (A – B) (B – A). En las figuras 59, 60, 61 y 62 aparecen representados los conjuntos diferencia simétrica según la posición de los conjuntos que intervengan. A estas alturas de la exposición de estas materias estamos ahora en condiciones de introducir un nuevo concepto: conjunto complementario, pero necesitamos una definición previa. Llamamos conjunto universal al formado por B todos los elementos de todos los conjuntos con los que, en ese momento, trabajemos. Por ejemplo, si trabajamos con un dado, el conjunto universal sería el formado por todos los posibles resultados: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Siendo U un conjunto universal y A uno de sus subconjuntos, definimos el conjunto complementario de A, con respecto a U, como aquel formado por todos los A A elementos que pertenecen a U pero no a A, y lo representamos por: A, aunque podríamos encontrarnos otras notaFigura 63 ciones: CU A, CUA. Tal y como hemos definido A es evidente que se obtiene al efectuar una diferencia de los conjuntos, es decir: A = U – A, pero esa diferencia sólo tendrá sentido si A U. La figura 63 muestra gráficamente el conjunto A incluido en un conjunto universal U que por lo general se representa por un rectángulo. A continuación veamos algunas igualdades interesantes en las que interviene el conjunto complementario: 30

Figura 58

Figura 57

A B B

A B

Figura 60

Figura 59

A B A

A B Figura 61

Figura 62

1) U =Ø y Ø =U = 2) A = A 3) car (A) = card (U) – card (A) 4) A A =U y A A =Ø 5) Leyes de Morgan: A B =A B A B =A B

Las figuras 64 y 65 muestran un ejemplo concreto en el que puede comprobarse que efectivamente se cumplen las leyes de Morgan. Dados dos conjuntos A y B, definimos el producto cartesiano de A por B como el conjunto formado por todos los pares ordenados cuya primera componente es un elemento del conjunto A y la segunda un elemento del conjunto B, y lo representamos por A B, es decir:

A B

TEORÍA DE CONJUNTOS

1 U

A B=A B

A B = {1, 2, 3, 4}

A B = A B = {5, 6}

A = {1, 2, 3}

B = {3, 4}

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

B 5

Figura 64 A = {4, 5, 6} B = {1, 2, 5, 6} U A B

U A B=A B

A 1

1 B

A B = {2, 3}

3 4

U A

A B = A B = {1, 4}

A = {1, 2, 3} B = {2, 3}

U = {1, 2, 3, 4}

4 Figura 65 A = {4} B = {1, 4}

A B = {(a, b)/a A y b B} Ejemplo: Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 3, 5, 7}, podemos definir el producto cartesiano A B, que sabemos tendrá 3 4 = 12 elementos, de la siguiente manera: A B = {(1,1), A

(1,3), (1,5), (1,7), (2,1), (2,3), (2,5), (2,7), (3,1), (3,3), (3,5), (3,7)}. Observad que (1,3) y (3,1) son dos elementos distintos del conjunto, es decir, el orden de los elementos dentro de cada par es importante, de ahí el nombre de par ordenado. Las figuras 66 y 67 muestran dos maneras distintas de representar gráficamente el conjunto A B.

B 1

(1,1)

(1,3)

(1,5)

(1,7)

(2,1)

(2,3)

(2,5)

(2,7)

(3,1)

(3,3)

(3,5)

(3,7)

A 3 2 5 3 7

Diagrama cartesiano de A B

Diagrama sagital de A B Figura 66

Figura 67

MATEMÁTICAS

ÁLGEBRA

CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES

con ellos, es decir, los elementos que constituyen la segunda componente de los pares ordenados de G. Para llegar a definir aplicación y función necesitaEjemplo: Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y mos varios conceptos previos. Llamamos relación B = {6, 7, 8}, si consideramos el grafo G = {(1,6), R entre elementos de dos conjuntos A y B a una (1,7), (2,7), (4,6)}, entonces el conjunto de definipropiedad que caracteriza a los elementos de un ción es {1, 2, 4} y el conjunto imagen es {6, 7}. subconjunto G del producto cartesiano A B. Al Definimos aplicación f de un subconjunto G se le denomina B conjunto A en otro B, siendo A y grafo de la relación R. 2 3 1 A B cualesquiera, como una coEjemplo: Supongamos los con(4, 2) rrespondencia tal que a cada juntos A = {4, 5, 6} y B = {1, 2, 3}. 4 (1, 7) (4, 1) elemento de A le corresponde Podemos definir la relación «ser (2, 5) 5 (2, 7) (5, 1) un único elemento de B, y se múltiplo de», cuyo grafo sería el suele denotar: f : A → B. Por tansiguiente: (6, 2) (6, 3) 6 (6, 1) to, es evidente que cuando trabajemos con aplicaciones, el G = {(4,1), (4,2), (5,1), (6,1), Figura 68 conjunto de salida coincide con (6,2), (6,3)} el conjunto de definición. Por lo general, para indicar que un elemento x de que quedaría representado por el diagrama cartesiano de la figura 68. A está relacionado con un elemento y de B, cuanUna correspondencia f entre dos conjuntos A y B, do se trata con aplicaciones se dice que la imaviene definida por dos conjuntos A y B y un subcongen de x es y por la aplicación f, y escribiremos: junto G de A B, y la representaremos por: f = (A, f(x) = y. También puede decirse que la antiimagen de y es x. B, G), donde A recibe el nombre de conjunto de saEjemplo: Consideremos los conjuntos A = {1, 2, 3} lida de f, B conjunto de llegada de f y G grafo, o y B = {a, b, c}. Supongamos dos correspondencias gráfica, de f. f1 y f2 cuyos grafos son los conjuntos G1 y G2, resLlamamos conjunto de definición de una correspondencia (A, B, G) al subconjunto de A formado pectivamente, que se muestran en las figuras 69 y por los elementos que están relacionados con uno 70. Mientras que f1 sí es una aplicación, ya que de o más elementos de B, es decir, los elementos que todo elemento de A sale una y sólo una flecha lo constituyen la primera componente de los pares que indica que todo elemento de A tiene una única ordenados de G. imagen, f2 no es aplicación ya que hay un elemento Llamamos conjunto imagen de una corresponque tiene dos imágenes. dencia (A, B, G) al subconjunto de B formado por Observemos que la definición de aplicación impoelementos tales que alguno de A está relacionado ne una condición sobre los elementos del conjunf2

f1 A

B 1

c G1 = (1,a), (2,a), (3,b)

G2 = (1,a), (1,b), (2,c), (3,c)

Figura 69

Figura 70

TEORÍA DE CONJUNTOS

f(x) = 2x A 2

3 2 4

6 f(1) = 2; f(2) = 4; f(3) = 6 G = (1,2), (2,4), (3,6) Figura 71

to de salida pero no sobre los del de llegada. Pues bien, el estudio de la cantidad de elementos de A que se relacionan con cada uno de los de B nos permitirá hacer una clasificación de las aplicaciones.

A –1

Ejemplo: Consideramos la aplicación g(x) = x2 del conjunto A = {–1, 0, 1, 2} en el conjunto B = {0, 1, 4}, cuya representación gráfica apareB ce en la figura 72. Esta aplicación es exhaustiva ya que todos los elementos de B tienen por lo menos una antiimagen, es decir, el conjunto de llegada coincide con el conjunto de imagen. Ahora bien, g no es una aplicación inyectiva. c) Aplicación biyectiva: es aquella que todo elemento del conjunto de llegada tiene exactamente una antiimagen, es decir, es a la vez inyectiva y exhaustiva. Ejemplo: El caso más sencillo de aplicación biyectiva es la llamada aplicación identidad definida de un conjunto en sí mismo, g(x) = x2 se escribe por: f(x) = x y su representación gráfica coB rresponde a la figura 73. 0

0 1 1

FUNCIONES Y GRÁFICAS

Definimos función f de A en B, siendo A y B dos 2 conjuntos cualesquiera, a) Aplicación inyectiva es como una correspondenaquella que todo elecia tal que no existe ning(– 1) = g(1) = 1; g(0) = 0; g(2) = 4 mento del conjunto de llegún elemento de A que esté Figura 72 gada tiene como máximo una relacionado con más de un antiimagen. elemento de B, es decir, f(x) = x Ejemplo: Definimos la aplicación f todo elemento de A A A del conjunto A = {1, 2, 3} en el contiene como máximo junto B = {2, 3, 4, 6} de la siguienuna imagen en B. a a te manera: f(x) = 2x, es decir, a Observemos que una cada valor de A le corresponde su aplicación es un caso b b doble. Su representación gráfica particular de función, se muestra en la figura 71, en la ya que en una función c c que podemos observar que todo el conjunto de defielemento de A tiene una única nición es un subconimagen, por lo que f es aplicación, junto del conjunto de y todo elemento de B tiene una o salida, ahora bien, poninguna antiimagen, por tanto f es dría llegar a coincidir el Figura 73 una aplicación inyectiva. conjunto de definición b) Aplicación exhaustiva (o suprayectiva o con el conjunto de salida y epiyectiva), es aquella que todo elemento del en este caso se trataría de una aplicación. Así, poconjunto de llegada tiene como mínimo una andemos decir que toda aplicación es una función, tiimagen. pero no toda función es una aplicación. Ejemplo: La aplicación f(x) = 2x que muestra la Cuando se trabaja con funciones, el conjunto de figura 71, no es exhaustiva ya que hay un eledefinición se acostumbra a llamar dominio y al mento de B, el 3, que no tiene antiimagen. conjunto imagen se le llama recorrido. 4

MATEMÁTICAS

ÁLGEBRA

de abscisas y el vertical es el eje de ordenadas. Sobre el eje de abscisas se sitúan los valores de x, y sobre el eje de ordenadas los valores de y correspondientes. De esta manera, a cada par de números x e y le podemos asignar un punto (x,y) del plano, cuya primera componente será la abscisa del punto y la segunda la ordenada del punto. Ejemplo: Considerando la tabla de valores del ejemplo anterior, su representación gráfica correspondería a la que se muestra en la figura 75. Observamos que si unimos todos los puntos obtenidos aparece dibujada una recta, cuyos puntos se conseguirían dando distintos valores reales a la x, y calculando los correspondientes valores de la y. Dicha recta recibe el nombre de gráfica de la función f. De forma generalizada, todas las funciones de la forma f(x) = ax + b, donde a y b son números reales cualesquiera, se representan gráficamente me-

Ejemplo: Consideremos la función f(x) = 3x + 5. Es evidente que el dominio de esta función es el conjunto de números reales, Dom f = R, ya que todos los números reales puedo multiplicarlos por 3 y luego sumarles 5, es decir, f es una función que hace corresponder a cada número x, el que se obtenga al multiplicarle por 3 y sumarle 5 que designaremos por f(x), o bien y. Así, podemos escribir los siguientes pares dispuestos en dos columnas formando lo que denominaremos tabla de valores: x y = f(x) ––––––––––––––––––––––––––––––––––– –3 f(–3) = 3(–3) + 5 = –9 + 5 = –4 –2 f(–2) = 3(–2) + 5 = –6 + 5 = –1 –1 f(–1) = 3(–1) + 5 = –3 + 5 = 2 0 f(0) = 3(0) + 5 = + 5 = 5 1 f(1) = 3(1) + 5 = 3 + 5 = 8 2 f(2) = 3(2) + 5 = 6 + 5 = 11 3 f(3) = 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14

y (3,14)

De esta manera, podemos decir que la imagen de –3 es –4, la imagen de –2 es –1, etcétera. Cualquier tabla de valores podemos representarla gráficamente mediante un gráfico cartesiano, para ello emplearemos dos rectas que se cortan perpendicularmente en un punto. Esas rectas reciben el nombre de ejes de coordenadas y dicho punto es el origen de coordenadas (figura 74). Cada uno de los ejes recibe un nombre: el horizontal es el eje

(2,11)

(1,8)

(0,5)

(–1,2) y x (–2,–1) Ejes de coordenadas

Figura 75

(–3,–4) Eje

y de

Eje

de ordenadas

(0,0)

abscisas Or

ige

x ec

rde

f(x)

f(x) = 3

y = f(x)

–1

f(–1) = 3

f(0) = 3

f(1) = 3

–1

Figura 74

Figura 76

x 1

TEORÍA DE CONJUNTOS y

f(x) = – 2x x –1

y = f(x) f(–1) = – 2 (– 1) = 2

f(0) = – 2 0 = 0

f(1) = – 2 1 = – 2

Figura 77

diante una recta y reciben el nombre de funciones afines. Ahora bien, las funciones afines podemos clasificarlas según se anulen o no los valores de a y b. Si a = 0, es decir, las funciones de tipo f(x) = b se denominan funciones constantes y se representan gráficamente mediante

y = f(x) = x2

x –2

f(– 2) = (– 2)2 = 4

–1

f(–1) = (– 1)2 = 1

f(0) = 02 = 0

f(1) = 1

f(2) = 4

una recta paralela al eje de abscisas (figura 76). Si b = 0, esto es, las funciones del tipo f(x) = ax, se denominan funciones lineales y su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas (figura 77). Otro tipo de funciones son aquellas cuyos gráficos son parábolas; todas ellas son de la forma: f(x) = ax2 + + bx + c, donde a, b y c son números reales cualesquiera, pero mejor veamos unos casos concretos. Ejemplo: Consideremos las siguientes funciones f(x) = x2 y g(x) = = –x2 – x + 2 cuyas tablas de valores corresponden a las figuras 78 y 79, respectivamente, y cuyos gráficos se muestran en las figuras 80 y 81, respectivamente.

Figura 78

y = g(x) = – x2 – x + 2

–2

g(– 2) = – (– 2)2 – (– 2) + 2 = – 4 + 2 + 2 = 0

–1

g(– 1) = – (– 1)2 – (– 1) + 2 = – 1 + 1 + 2 = 2

g(0) = – 0 – 0 + 2 = 2

g(1) = – 12 – 1 + 2 = 0

g(2) = – 22 – 2 + 2 = – 4

1 –— 2

2 – 1 + 2 = —— –1 +— 1 + 2 = ———–—— – 1 + 2 + 8 = —– 9 1 = – —— g – — –21 – —— 2 2 4 2 4 4

(0,0) Vértice de la parábola

Figura 79

Figura 80 – 1 , —– 9 Vértice de la parábola: —– 2 4

AUTOEVALUACIÓN

26. Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 8}, calcula su intersección. 27. El cardinal del conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9} es: a) 1, b) 5, c) 9 28. Dado el conjunto C = {1, 2, 3}, ¿cuántos elementos tendrá el conjunto de las partes de C? 29. Escribe un par que pertenezca y otro que no pertenezca al producto cartesiano de los conjuntos A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} 30. Calcula f(–1), siendo f(x) = –x2 + 3 31. ¿Una aplicación es una función?: a) siempre, b) algunas veces, c) nunca.

Figura 81

MONOMIOS Y POLINOMIOS El espacio recorrido por un móvil que lleva una velocidad constante durante un cierto tiempo se puede expresar utilizando un polinomio de primer grado. Esto sólo es un ejemplo de un hecho más general: las funciones matemáticas que más se emplean tanto en las ciencias experimentales como en las ciencias sociales son las funciones polinómicas.

MONOMIOS

Ejemplo: 2x2 3x2 + –––– 5

Llamaremos monomio a una expresión algebraica de un solo término formada por el producto de números y letras, elevadas éstas a un número natural. Ejemplos:

sacando factor común:

2 17x2 = 3 + –– x2 = –––– 5 5

–2x 4a, –––––, –3y, 5a2b 5 En este capítulo usaremos las expresiones del tipo a · xn donde:

En general: axn + bxn = (a + b)xn

– a es un número racional llamado coeficiente del monomio, – n es un número natural que determina el grado del monomio, – x es la indeterminada.

La suma de monomios verifica las propiedades conmutativa y asociativa y tiene elemento neutro como puede verse en los ejemplos siguientes: a) 2x4 + 3x4 = (2 + 3)x4 = 5x4 3x4 + 2x4 = (3 + 2)x4 = 5x4

Llamaremos monomios semejantes a aquellos que tienen la misma indeterminada y el mismo grado. Ejemplos:

1 1 1 b) (x3 + 2x3) + –– x3= (1 + 2)x3 + –– x3 = 3x3 + –– x3 = 2 2 2

1 7 = 3 + –– x3 = ––x3; 2 2

–1 2x3, ––– x3 3 Llamaremos monomios opuestos a aquellos que son semejantes y sus coeficientes opuestos. Ejemplos:

1 x3 + 2x3 + –– x3 = 2

1 5 5 7 = x3 + 2 + –– x3 = x3 + –– x3 = 1 + –– x3 = –– x3 2 2 2 2

5x4, –5x4

c) 0x2 + 3x2 = (0 + 3)x2 = 3x2 Para restar dos monomios semejantes será necesario sumar al minuendo el monomio opuesto del sustraendo, obteniendo así otro monomio semejante cuyo coeficiente es la resta de los coeficientes.

OPERACIONES CON MONOMIOS La suma de monomios semejantes es otro monomio semejante a los sumandos tal que su coeficiente es la suma de los coeficientes. 36

MONOMIOS Y POLINOMIOS

Ejemplo:

1 1 1 –8 –– x2 – 3x2 = –– x2 + (–3x2) = –– + (–3) x2 = ––– x2 3 3 3 3

c) x0 · 2x = (1 · 2) · x0 · x1 = 2x 3x2 · x0 = (3 · 1) · x2 · x0 = 3x2

En general: axn – bxn = a + (–b) xn = (a – b)xn

Para dividir dos monomios dividiremos sus coeficientes y escribiremos la misma indeterminada con grado igual al resultado de restar los grados del dividendo y el divisor. Ejemplo:

Para multiplicar dos monomios con la misma indeterminada multiplicaremos los coeficientes y escribiremos la indeterminada elevada a la suma de los grados de los factores. Ejemplo:

12x5 12 5 – 2 = ––– x = 4x3 12x5 : 3x2 = –––– 3x2 3

3x4 · 4x5 = 3 · 4 · x 4 · x 5 = 12 · x 4 + 5 = 12x 9

En general: a axn : bxm = –– xn – m, con b 0 y n m b

En general: ax n · bx m = a · b · x n + m

Obsérvese que el coeficiente del divisor nunca puede ser cero pues no podríamos dividir. Asimismo debe observarse que el grado del divisor ha de ser menor o igual que el del dividendo, en caso contrario el resultado daría un exponente negativo y no se trataría de un monomio. Si queremos calcular la potencia de un monomio debemos hacerlo como la potencia de un producto y obtendremos un nuevo monomio de coeficiente igual a la potencia del coeficiente de la base y de grado igual al producto del grado de la base por el exponente de la potencia. Ejemplo:

Si se trata de multiplicar monomios de distinta indeterminada debemos multiplicar los coeficientes y escribir las dos indeterminadas a continuación. Ejemplo: 1 2 1 2 1 –– x3 · –– y2 = –– · –– · x3 · y2 = –– x3y2 2 3 2 3 3 Obsérvese que el grado del monomio resultante es la suma de los grados de cada indeterminada. En el ejemplo anterior 3 + 2 = 5. En general:

(5x3)2 = (5)2 · (x3)2 = 25x6

ax n · by m = a · b · x n · y m, grado n + m

En general: (ax n)m = a mx n · m

El producto de monomios verifica las propiedades conmutativa y asociativa y tiene elemento neutro como puede observarse en los ejemplos siguientes:

POLINOMIOS

a) 2x3 · 3x4 = 2 · 3 · x3 · x4 = 6 · x3 + 4 = 6x7 3x4 · 2x3 = 3 · 2 · x4 · x3 = 6 · x4 + 3 = 6x7

Llamaremos polinomio a una suma algebraica de monomios. A cada sumando monomio lo llamaremos término del polinomio. Ejemplos:

1 1 3 b) –– x · 3x2 · x3 = –– · 3 · x · x2 · x3 = –– x3 · x3 = 2 2 2

1 3 = –– · 3 · x · x5 = –– x6 2 2

2x2y + 3x – 5y3 3x3 – x2 + 4x + 2

3 3 = –– · 1 · x3 · x3 = –– x6 2 2

tiene 3 términos tiene 4 términos

Para desarrollar este tema usaremos los polinomios de una sola indeterminada, es decir, las sumas algebraicas de monomios de igual indeterminada.

1 1 1 x · (3x2 · x3) = –– x · (3 · 1) · x2 · x3 = ––x · 3x5 = –– 2 2 2

MATEMÁTICAS

ÁLGEBRA

Ejemplo:

Ejemplo: 1 –– x + 2x2 – 6 + 5x 3 3

P(x) = 2x3 + 5x – x3 + 3x + 2 P(x) = (2x3 – x3) + (5x + 3x) + 2 P(x) = x3 + 8x + 2

Según el número de monomios que formen el polinomio daremos a éste un nombre distinto:

Hemos agrupado los términos semejantes y el polinomio ha quedado ordenado de forma decreciente, si lo queremos ordenado de forma creciente tendremos:

– Si tiene un solo término lo llamaremos monomio. – Si tiene dos términos lo llamaremos binomio. – Si tiene tres términos lo llamaremos trinomio. – Si tiene cuatro o más términos lo llamaremos polinomio. Por ejemplo, conocida la cantidad de alumnos matriculados en un colegio a lo largo de seis cursos consecutivos, podemos obtener un polinomio interpolador de quinto grado que nos permita vaticinar la matrícula de dicho colegio en el futuro (figura 82).

P(x) = 2 + 8x + x3 El polinomio anterior no tiene monomio de grado 2, es decir, desde el término de mayor grado hasta el término de grado cero no tiene un monomio de cada grado por lo que diremos que es incompleto. Si tuviese todos los monomios lo llamaríamos polinomio completo. Ejemplo: Q(x) = x4 + 2x3 – 3x2 + x – 1 Llamaremos grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo forman. El polinomio Q(x) es de grado 4. El valor de un cargamento de verduras, por ejemplo, se puede expresar mediante un polinomio de segundo grado en función del tiempo transcurrido desde la recolección (figura 83). Figura 83

Figura 82

Para indicar un polinomio usaremos una letra mayúscula y la indeterminada correspondiente, entre paréntesis. Ejemplo: P(x) = 3x + 2x2 + 6x3 – 5 Q(x) = 2x – 3

OPERACIONES CON POLINOMIOS Para facilitar la lectura agruparemos todos los monomios semejantes en uno solo obteniendo así la forma reducida del polinomio. Además ordenaremos los términos del polinomio según su grado. Lo podemos hacer de forma creciente o decreciente, de grado menor a grado mayor o al revés, respectivamente.

Para facilitar todas las operaciones con polinomios es conveniente escribirlos en forma reducida y ordenada decreciente. En el caso de la suma de polinomios los escribiremos de manera que los monomios semejantes queden en columna y después los sumaremos como ya vimos. 38

MONOMIOS Y POLINOMIOS

Ejemplo: P(x) = 2x3 + 5x2 – 7,

Para facilitar la notación se puede escribir de la siguiente forma: 1 5x3 – x + –– 2 7x2 ––––––—––––––––—–––––––––––– 7 P(x) · Q(x) = 35x5 – 7x3 + –– x2 2

Q(x) = x3 – 3x2 + x + 9

2x3 + 5x2 –7 + x3 – 3x2 + x + 9 –––––––––––––––––––––––––– P(x) + Q(x) = 3x3 + 2x2 + x + 2

El polinomio resultante tiene por grado el resultado de sumar los grados de los factores. En el ejemplo anterior 3 + 2 = 5. Para multiplicar dos polinomios multiplicaremos todos los términos del multiplicando por los del multiplicador y sumaremos algebraicamente los productos, reduciendo, si es necesario, los términos semejantes. Ejemplo:

Obtenemos pues otro polinomio cuyos términos son el resultado de sumar los términos de los dos polinomios, agrupando los términos semejantes. El grado del polinomio suma coincide con el mayor de los grados de los polinomios sumandos. La resta de polinomios deberemos considerarla como una suma tomando el polinomio opuesto del sustraendo. Ejemplo: 1 x – 6x2 + 8x3 – 2, P(x) = –– 2 Q(x) = 4x2 + 5x3 – 7 + x

P(x) = x3 + 2x2 – 5x + 3,

Q(x) = x2 – 2x

P(x) · Q(x) = (x3 + 2x2 – 5x + 3) · (x2 – 2x) = = (x + 2x2 – 5x + 3) · (x2) + (x3 + 2x2 – 5x + 3) · (–2x) = = (x5 + 2x4 – 5x3 + 3x2) + (–2x4 – 4x3 + 10x2 – 6x) = = x5 + 2x4 – 2x4 – 5x3 – 4x3 + 3x2 + 10x2 – 6x = = x5 – 9x3 + 13x2 – 6x 3

P(x) – Q(x) = P(x) + (–Q(x)) 1 + –– x – 2 2 + –5x3 – 4x2 –x + 7 ––––––––––––––––––––––––––––––– 1 P(x) – Q(x) = 3x3 – 10x2 – –– x + 5 2 8x3 – 6x2

Podemos escribirlo, ordenadamente, de la siguiente forma: x3 + 2x2 –

5x + 3 x2 – 2x –––––––––––––––––––––––––––––——– x5 + 2x4 – 5x3 + 3x2 – 2x4 – 4x3 + 10x2 – 6x –––––––––––––––––––––––––––––——– x5 – 9x3 + 13x2 – 6x

Obtenemos así otro polinomio cuyos términos son el resultado de sumar al minuendo los términos del sustraendo con los signos cambiados. Para tratar el producto de polinomios estudiaremos los distintos casos que pueden presentarse: Si se trata de multiplicar un polinomio por un monomio es necesario multiplicar cada término del polinomio por dicho monomio, es decir, aplicar convenientemente la propiedad distributiva obteniendo así otro polinomio. Ejemplo: 1 P(x) = 5x3 – x + —, 2

El producto de polinomios verifica las propiedades conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro y distributiva respecto de la suma, como puede verse en el ejemplo siguiente:

M(x) = 7x2

a) P(x) = 3x2 + 7x + 5, Q(x) = x + 3 P(x) · Q(x) = (3x2 + 7x + 5) · (x + 3) = = (3x3 + 7x2 + 5x) + (9x2 + 21x + 15) = = 3x3 + 16x2 + 26x + 15

1 · 7x2 = P(x) · M(x) = 5x3 – x + –– 2 1 = 5x3 · 7x2 – x · 7x2 + –– · 7x2 = 2

Q(x) · P(x) = (x + 3) · (3x2 + 7x + 5) = = (3x3 + 9x2) + (7x2 + 21x) + (5x + 15) = = 3x3 + 16x2 + 26x + 15

7 = 35x5 – 7x3 + –– x2 2 39

MATEMÁTICAS

ÁLGEBRA

b) P(x) = 3x2 + 7x + 5, Q(x) = x + 3, R(x) = x2 – 1

Hemos dividido el primer término y hemos obtenido un primer resto que se puede volver a dividir por 2x:

(P(x) · Q(x)) · R(x) = = (3x3 + 16x2 + 26x + 15) · (x2 – 1) = = (3x5 + 16x4 + 26x3 + 15x2) + + (–3x3 – 16x2 – 26x – 15) = = 3x5 + 16x4 + 23x3 – x2 – 26x –15

4x3 + 2x2 – x + 4 –4x3 –––––––––––––––––––––– 0 + 2x2 – x + 4 – 2x2 –––––––––––––––––––––– 0 – x + 4

P(x) · (Q(x) · R(x)) = (3x2 + 7x + 5) · ((x + 3) · (x2 – l)) = = (3x2 + 7x + 5) · (x3 + 3x2 – x – 3) = = (3x5 + 7x4 + 5x3) + (9x4 + 21x3 + 15x2) + + (–3x3 – 7x2 – 5x) + (– 9x2 – 21x – 15) = = 3x5 + 16x4 + 23x3 – x2 – 26x –15

4x3 + 2x2 – x + 4 –4x3 –––––––––––––––––––––– 0 + 2x2 – x + 4

c) R(x) = x – 1, N(x) = 1 R(x) · N(x) = (x2 – 1) · 1 = x2 – 1 N(x) · R(x) = 1 · (x2 – 1) = x2 – 1

| 2x

2x2 + x – 1/2

– 2x2 ––––––––––––––––– 0 – x + 4 + x ––––––––––– 0 + 4

d) P(x) = 3x + 7x + 5, Q(x) = x + 3, R(x) = x – 1 P(x) · (Q(x) + R(x)) = = (3x2 + 7x + 5) · ((x + 3) + (x2 – 1)) = = (3x2 + 7x + 5) · (x2 + x + 2) = = (3x4 + 7x3 + 5x2) + (3x3 + 7x2 + 5x) + + (6x2 + 14x + 10) = 3x4 + 10x3 + 18x2 + 19x + 10

En este caso el resto es de grado menor que el divisor por tanto no podemos seguir dividiendo. El polinomio 2x2 + x – 1/2 es el cociente de la división y el monomio 4 el resto. Como puede observarse, el grado del polinomio cociente es la diferencia entre los grados del dividendo y el divisor, en el ejemplo anterior 3 –1 = 2. Para dividir dos polinomios los colocaremos en la forma habitual de la división, completando con espacios en blanco el dividendo si le faltan términos. Empezaremos dividiendo el primer monomio del dividendo por el primero del divisor, el monomio obtenido lo multiplicaremos por el divisor y restaremos el resultado al dividendo, obteniendo así el primer resto parcial. Será necesario repetir este proceso hasta que el grado del resto sea menor que el del divisor. Ejemplo:

(P(x) · Q(x)) + (P(x) · R(x)) = = ((3x2 + 7x + 5) · (x + 3)) + + ((3x2 + 7x + 5) · (x2 – 1)) = = (3x3 + 16x2 + 26x + 15) + ((3x4 + 7x3 + 5x2) + + (–3x2 – 7x – 5)) = (3x3 + 16x2 + 26x + 15) + + (3x4 + 7x3 + 2x2 – 7x – 5) = = 3x4 + 10x3 + 18x2 + 19x + 10 Para tratar la división estudiaremos los distintos casos que pueden presentarse. Empecemos por la división de un polinomio por un monomio, para ello será necesario dividir cada término del polinomio por el monomio, y esto será posible sólo si el grado del divisor es menor o igual que el grado del dividendo. Para facilitar la notación escribiremos el polinomio y el monomio en la forma habitual de una división. Ejemplo: P(x) = 4x3 + 2x2 – x + 4,

2x2 + x

El nuevo resto aún se puede volver a dividir:

| 2x

P(x) = 4x4 – 6x3 + 2x – 1,

Q(x) = 2x

4x3 + 2x2 – x + 4 | 2x –4x3 2x2 ––––––––––––––––––——––––– 0 + 2x2 – x + 4

S(x) = 2x3 + x – 2

4x4 – 6x3 + 2x – 1 | 2x3 + x – 2 4 2 –4x – 2x + 4x 2x –––––––——–––––––––––––––––––––– 0 – 6x3 – 2x2 6x – 1 40

MONOMIOS Y POLINOMIOS

El resto obtenido nos permite seguir dividiendo:

4x4 – 6x3 + 2x – 1 | 2x3 + x – 2 4 2 –4x – 2x + 4x 2x – 3 ––––——–––––––––––––––––––––––––– 0 – 6x3 – 2x2 6x – 1 + 6x3 + 3x – 6 ––––––––––––––––––——–––––– 0 – 2x2 + 9x – 7

1 2 1

–1

Repetimos este paso hasta llegar al último coeficiente, la suma final será el resto de la división: 1 2

Vamos a estudiar un caso particular, el de la división de un polinomio por un binomio del tipo x – a, siendo a un número racional cualquiera. Ejemplo:

–1

17 Resto = 17

Con los restantes coeficientes obtenidos construimos el polinomio cociente, recordando que tendrá un grado menos que el dividendo pues el divisor era de grado 1:

P(x) = x3 + 2x2 – x + 3, S(x) = x – 2 Si realizamos la división siguiendo el procedimiento habitual no encontraremos ninguna dificultad, aunque podemos simplificar el trabajo si usamos la llamada regla de Ruffini, que se expone a continuación. Tomemos los coeficientes del dividendo, completados con ceros si es necesario, y el número a = 2 y dispongámoslos como sigue:

–1

La suma obtenida la multiplicamos por 2 y sumamos el resultado al coeficiente siguiente:

REGLA DE RUFFINI

–1

2 1

El polinomio cociente es el Q(x) = 2x – 3, y el resto el R(x) = –2x2 + 9x – 7. El grado del cociente es la diferencia de los grados del dividendo y el divisor, 4 – 3 = 1. En general se verifica: P(x) = Q(x) · S(x) + R(x) En los ejemplos estudiados, el resto de la división siempre ha sido un polinomio no nulo, en estos casos diremos que la división no es exacta. Por tanto llamaremos división exacta de polinomios a aquella que nos dé resto cero.

Q(x) = x2 + 4x + 7 R(x) = 17 En los cálculos que hemos escrito usando este método no hemos expresado la indeterminada en ningún momento simplificando así la notación. Realicemos ahora la división habitual para comprobar que el resultado es el mismo:

x3 + 2x2 – x + 3 – x3 + 2x2 ––––––––––––––––––––––– 0 4x2 – x + 3 – 4x2 + 8x ––––––––––––––––––– 0 + 7x + 3 – 7x + 14 –––––––––––––– 0 17

a=2

Bajando el primer coeficiente, 1, lo multiplicamos por 2 y el resultado lo sumamos al segundo coeficiente. 41

|x – 2

x2 + 4x + 7

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ÁLGEBRA

TEOREMA DEL RESTO

FRACCIONES ALGEBRAICAS

El resto que se obtiene al dividir un polinomio P(x) por un binomio del tipo x – a coincide con el valor numérico de P(x) cuando x = a. Ejemplo:

Llamaremos fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios con la misma indeterminada. Ejemplos: 2x2 + 3x x–1 ––––––––, –––––– 5x – 2 x+9

P(x) = x3 + 2x2 – x + 3, S(x) = x – 2 Para simplificar una fracción algebraica será necesario descomponer factorialmente el numerador y el denominador. Una vez calculada la factorización dividiremos los dos polinomios por el factor o factores comunes. Ejemplo:

Se trata del ejemplo anterior, al dividirlos el resto obtenido era 17. Si calculamos ahora el valor numérico de P(x) para x = 2, según el teorema, nos quedará el mismo valor: P(2) = 23 + 2 · 22 – 2 + 3 = 8 + 8 – 2 + 3 = 17

3x – 3 3(x – 1) 3(x – 1) 3 ––––––––– = ––––––– = ––––––––––– = ––––– (x – l) (x – 1) x–1 x2 – 2x + 1 (x – 1)2

Este teorema nos facilita estudiar si un polinomio es divisible de forma exacta por un binomio del tipo x – a: Calculando el valor numérico del polinomio para x = a debemos obtener resto 0, en caso contrario la división no es exacta.

Con las fracciones algebraicas se puede realizar todo tipo de operaciones, se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia, reducir a común denominador, etcétera, usando procedimientos similares a los empleados para realizar estas operaciones con fracciones numéricas. Ejemplos: a) 3x 5x2 – 1 3x + 5x2 – 1 5x2 + 3x – 1 ––––– + ––––––– = ––––––––––– = ––––––––––– x+2 x+2 x+2 x+2

DESCOMPOSICIÓN DE UN POLINOMIO EN FACTORES PRIMOS La factorización o descomposición factorial de polinomios consiste en expresarlos como producto de otros polinomios de grado menor o igual que ellos. Esto no siempre es posible, interesa, pues, destacar algunos casos que nos ayudarán a realizarla: a) Si es posible sacaremos factor común o, lo que es lo mismo, aplicaremos la propiedad distributiva convenientemente. b) Comprobaremos si el polinomio dado, o uno de sus factores, es del tipo: 2

2x + 1 x (2x + 1) · x 2x2 + x –––––– · ––––– = ––––––––––––– = –––––––– x – 1 x + 1 (x – 1) · (x + 1) x2 – 1

x – 2 2 (x – 2)2 x2 – 4x + 4 ––––– = ––––––– = –––––––––– 2 3x (3x) 9x2

AUTOEVALUACIÓN

a + 2ab + b = (a + b) a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 – b2 = (a + b) · (a – b)

32. Multiplica los monomios siguientes: (3x2y) · (5x2y2) 33. Dados los polinomios P(x) = x2 – x – 1 y Q(x) = x – 2, calcula P(x) · Q(x) 34. Efectúa la siguiente división, aplicando la regla de Ruffini: x3 + 3x + 4 ––––––––––– x+1 35. ¿Qué resultado se obtiene cuando se sustituye el valor x = 2 en el polinomio x3 – x + 10? 36. Descomponer en factores primos el polinomio siguiente: x 4 – 3x3 – 3x2 + 11x – 6 37. Simplifica la fracción: x2 – 3x + 2 ––––––––––– x2 – 5x + 6

entonces se puede sustituir por la expresión correspondiente. c) Comprobaremos si el valor numérico del polinomio es nulo para algún valor de x = a, entonces se puede escribir como (x – a) · Q(x), haciendo la división o aplicando Ruffini. Ejemplo: P(x) = 2x3 – 8x = 2x · (x2 – 4) = 2x · (x2 – 22) = = 2x · (x + 2) · (x – 2) 42

ECUACIONES Muchos problemas que resultan complicados se pueden resolver fácilmente con el uso de ecuaciones. Llamamos ecuación a cualquier igualdad que contiene cantidades desconocidas, denominadas incógnitas, y que se cumple sólo para algunos valores de éstas, que reciben el nombre de soluciones.

PRIMERAS DEFINICIONES

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Se llaman miembros de una ecuación a las dos expresiones algebraicas que están separadas por el signo igual. El que está situado a la izquierda de la igualdad decimos que es el primer miembro y el que está situado a la derecha, segundo miembro. Cada miembro de una ecuación está formado por términos que son las cantidades relacionadas por los signos +, – o =. Los valores que al sustituirlos en las incógnitas hacen verdadera la igualdad reciben el nombre de soluciones de la ecuación. Llamaremos grado de una ecuación a la suma de los exponentes de las incógnitas en el término en que sea mayor. Ejemplos: 2x + 5x = 7x es una igualdad, cierta para cualquier valor de x 3x + 4 = x – 2 la ecuación se verifica para x = –3 y es de grado 1 x2 + 1 = x2 – 1 no se verifica para ningún valor de x y es de grado 2

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita se pueden reducir a expresiones de la forma ax = b mediante transformaciones algebraicas elementales. Estas expresiones son fáciles de resolver despejando la x. Para obtener esta expresión simplificada debemos buscar ecuaciones equivalentes haciendo lo siguiente: a) Sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros de la ecuación, o, lo que es lo mismo, pasar un término de un miembro a otro cambiándole el signo. Lo llamaremos transposición de términos. b) Multiplicar o dividir por una misma cantidad los dos miembros de una ecuación, o, lo que es lo mismo, eliminar denominadores y, si es necesario, cambiar de signo a todos los términos. En algunas ocasiones será necesario agrupar previamente todos los términos que tengan el mismo grado y eliminar los signos de agrupación o paréntesis, efectuando las operaciones que están indicadas en la ecuación.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Para calcular el tiempo en que un guepardo recorre un espacio determinado, conocida la velocidad del movimiento, hay que resolver una ecuación de primer grado. Llamaremos ecuaciones de primer grado con una incógnita a aquellas que tienen una sola incógnita y de exponente uno (figura 84).

Figura 84

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Ejemplo: 2(x – 2) – 3(x + 1) = 3x + 5 2x – 4 – 3x – 3 = 3x + 5 –x – 7 = 3x + 5 –x – 3x = 5 + 7 –4x = 12 4x = –12 x = –12/4 x = –3

Encontramos dos casos: Si es del tipo y = ax + b, con a y b constantes, su representación es una línea recta que no pasa por el origen de coordenadas. Si es del tipo y = ax, con a constante, se denomina función lineal y su representación es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Ejemplos: Representar gráficamente: a) y = 2x – 1, b) y = –3x Es suficiente calcular dos pares de puntos para situar una recta (figura 85).

Ecuación inicial Eliminar paréntesis Agrupar términos Trasponer términos Agrupar términos Cambiar de signo Despejar la incógnita Solución de la ecuación

Las ecuaciones de grado mayor que uno presentadas en forma de producto de factores de primer grado igualado a cero podemos resolverlas ya que sabemos que un producto de factores es cero si alguno de ellos lo es. En este caso diremos que hemos reducido la ecuación a otras de primer grado. Ejemplo: Resolver la ecuación de tercer grado x (x + 3) (x – 1) = 0 Si x = 0 entonces la solución es x = 0 Si x + 3 = 0 entonces la solución es x = –3 Si x – 1 = 0 entonces la solución es x = 1 Las tres soluciones de esta ecuación de tercer grado son: –3, 0 y 1. Las ecuaciones que tienen solución, como la anterior, reciben el nombre de compatibles determinadas. Encontraremos ecuaciones que no tendrán solución y recibirán el nombre de ecuaciones incompatibles, por ejemplo x = x + 1, nos da 0 = 1 que no tiene sentido. Existen además otras ecuaciones que admitirán cualquier solución, no son más que identidades, y las llamaremos compatibles indeterminadas, por ejemplo x = x, que siempre es cierta.

–1

x y = 2x – 1

–3

y = – 3x a

Figura 85

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita son del tipo ax2 + bx + c = 0 con a 0 y a, b y c números reales. Si la ecuación de segundo grado tiene todos los coeficientes distintos de cero diremos que es completa. Si b, c, o los dos coeficientes son nulos diremos que la ecuación es incompleta.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO

Empezaremos resolviendo las incompletas pues son más fáciles. En el caso ax2 = 0 tenemos a 0 y por tanto x = 0 es la solución para cualquier ecuación incompleta de este tipo. En el caso ax2 + c = 0 hay que transponer el término independiente c, dividir los dos miembros por a y despejar la x, obteniendo dos soluciones:

Tomemos ahora una ecuación de primer grado con dos incógnitas, por ejemplo x + y = 0, al intentar resolverla observamos que aparecen infinitas soluciones: x = 2, y = –2, x = –1, y = 1, etcétera. Para calcularlas despejaremos una de las incógnitas y daremos valores a la otra, obteniendo así el valor de la primera. Si dibujamos todos los pares de soluciones en un plano con coordenadas cartesianas, obtendremos una recta. La representación gráfica de las funciones polinómicas de primer grado es siempre una línea recta.

ax2 + c = 0 ax2 = –c x2 = –c/a x = ± – c/a 44

ECUACIONES

Las soluciones serán reales siempre que a y c tengan signos opuestos. En el caso ax2 + bx = 0, sacaremos factor común x y nos quedará reducida a ecuaciones de primer grado: ax2 + bx = 0 x (ax + b) = 0

Ejemplo: Resolver la ecuación 2x2 + 3x – 2 = 0 Tenemos a = 2, b = 3 y c = –2, sustituyendo convenientemente obtenemos: –3 ± 32 – 4 · 2 · (–2) –3 ± 9 + 16 x = ––––—–––––––––––––––– = –––––––––––––– = 2·2 4

Si x = 0 entonces x = 0 es solución. Si ax + b = 0 entonces x = – b/a es solución. Las soluciones son x = – b/a y x = 0, para cualquier ecuación de este tipo. Para resolver la ecuación completa de segundo grado ax2 + bx + c = 0 debemos observar si el primer miembro corresponde al desarrollo del cuadrado de un binomio, en ese caso se resolverá descomponiéndola en factores de primer grado, como ya hemos visto antes. Si no se trata de este caso habrá que aplicarle las fórmulas siguientes: – b + b2 – 4ac x = –––––––––—–––– 2a

–3 ± 25 –3 ± 5 = ––––––––– = –––––– = 4 4

–3 + 5 2 1 –––––– = –– = –– 4 4 2

/ –3 – 5 –8 \ –––––– = ––– = –2 4 4

Las soluciones de la ecuación son x1 = –2 y x2 = 1/2. Si nos fijamos en las soluciones anteriores y las sumamos nos queda x1 + x2 = –2 + 1/2 = –3/2, este valor coincide con el cociente, cambiado de signo, de los coeficientes b y a de la ecuación. Si realizamos ahora su producto obtenemos x1 · x2 = = –2 · 1/2 = –1, valor que coincide con el cociente de los coeficientes c y a. Veamos que estas relaciones son ciertas para cualquier ecuación de segundo grado:

– b – b2 – 4ac x = ––—––––––––––– 2a

Mediante estas fórmulas puede resolverse un gran número de problemas. Por ejemplo el tiempo necesario para que un cuerpo en caída libre recorra una distancia conocida (figura 86). Éstas son las dos soluciones de la ecuación. La expresión b2 – 4ac, que llamaremos discriminante de la ecuación y denotaremos por ∆, nos permite decidir cuántas soluciones tendrá una ecuación de segundo grado: Si el valor de ∆ = b2 – 4ac es positivo obtendremos dos soluciones distintas. Si su valor es cero obtendremos una única solución doble. Si el valor de Figura 86 b2 – 4ac no es positivo o cero no tendremos soluciones reales, diremos entonces que no tiene soluciones. Para resolver una ecuación concreta de segundo grado no es necesario desarrollar todo este procedimiento, hay que emplear las fórmulas obtenidos sustituyendo en ellas, convenientemente, el valor de los coeficientes a, b, c de la ecuación.

2 2 – b + b – 4ac – b – b – 4ac x1 + x2 = –—–––––––––––– + –––—–––––––––– = 2a 2a

–2b b = –––– = – –– 2a a 2 2 – 4ac – b – b – 4ac – b + b x1 · x2 = –—–––––––––––– · –––—–––––––––– = 2a 2a

b2 – (b2 – 4ac) c = –––––––––––– = –– a 4a2 Una vez comprobadas las relaciones anteriores podemos escribir las ecuaciones de segundo grado, en función de sus soluciones, de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 x2+ b/ax + c/a = 0 Dividimos por a: x2 – (x1 + x2) x + (x1 · x2) = 0 45

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Ejemplo: Representar la gráfica de la función y = –3x2 + + 6x + 2. Para resolverla calcularemos el vértice y una tabla de valores (figura 89).

ax2 + bx + c = a(x2 + b/ax + c/a) = = a[x2 – (x1 + x2)x + (x1 · x2)] = = a(x2 – x1x – x2x + x1x2) = = a[x(x – x1) – x2(x – x1)] = a(x – x1) (x – x2)

REDUCCIÓN DE ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO Para representar gráficamente una función polinómica de segundo grado no resulta suficiente calcular una tabla de valores pues desconocemos el comportamiento de estas funciones. Se trata de parábolas, es decir, curvas simétricas respecto a un eje y con un punto destacable llamado vértice. Empecemos por los casos más sencillos:

En el caso de las ecuaciones del tipo xn ± a = 0 conviene descomponerlas en producto de factores de grado uno y dos para usar los métodos anteriores. Ejemplo: Resolver la ecuación x3 – 8 = 0 Para x = 2 la ecuación se verifica y podemos usar Ruffini para encontrar la descomposición factorial. De este modo nos queda:

– La gráfica de una función del tipo y = (x – a)2 es una parábola con el vértice en el punto (a, 0). Ejemplo: Representar la gráfica de la función y = (x – 3)2 (figura 87). – La gráfica de una función del tipo y = (x – a)2 + + b, es una parábola con el vértice en el punto (a,b). Ejemplo: Representar la gráfica de la función y = (x – 2)2 – 3 (figura 88). – En general, la gráfica de una función cuadrática y = ax2 + bx + c, tiene el vértice hacia abajo de la gráfica si a > 0 y hacia arriba de la gráfica si a < 0. La parábola será más o menos alargada dependiendo del valor del coeficiente a. Las coordenadas del vértice son:

–1

–2

–3

–2

y = (x – 2)2 – 3

Figura 88 x

–1

–7

y x 1

–b 4ac – b2 v = –––,–––––—–– 2a 4a

Sustituimos los valores. Obsérvese que en estas condiciones podemos descomponer el trinomio de segundo grado, que determina la ecuación, en factores lineales:

y = (x – 3)2

y = –3x2 + 6x + 2 Figura 89

Figura 87

ECUACIONES

(x – 2) (x2 + 2x + 4) = 0

Comprobemos la solución:

5 – 1 – 2 = 4 –2=2–2=0

Si resolvemos cada una de las ecuaciones obtenidas, igualando a cero por ser producto de factores igual a cero, tenemos las soluciones de la ecuación:

Si la incógnita aparece en el denominador de la expresión habrá que eliminarlo multiplicando la ecuación por dicho denominador o, si es posible, por el mínimo común múltiplo de los denominadores. En este proceso pueden aparecer soluciones falsas, es necesario pues comprobarlas antes de acabar el ejercicio. Ejemplo: Resolver la ecuación:

x1 = 2, x2 = –1 + –3, x3 = –1 – –3 En el caso de las ecuaciones del tipo ax2n + bxn + c = = 0 usaremos las de segundo grado de la siguiente forma: a(xn)2 + b(xn) + c = 0 Reescribimos la ecuación:

x+1 ––––– = 6 x–2

ay + by + c = 0 Hacemos cambio de variable y = xn:

Multipliquemos por x – 2 los dos miembros:

y1 e y2

x + 1 = 6(x – 2)

Calculamos soluciones de la nueva ecuación:

Nos queda la ecuación:

xn = y1 y xn = y2

x +1 = 6x – 12 Resolviéndola obtenemos:

Despejamos el valor de x buscado. Ejemplo: Resolver la ecuación x4 – 6x2 + 8 = 0 Tomemos (x2)2 – 6x2 + 8 = y2 – 6y + 8 = 0 Resolviendo la nueva ecuación por el método habitual obtenemos y1 = 2, y2 = 4 Igualando a x2 y resolviendo nos queda x2 = 2, x2 = 4, por tanto x1 = 2, x2 = – 2, x3 = 2, x4 = –2, soluciones de la ecuación inicial.

1 + 12 = 6x – x, 13 = 5x, x = 13/5 Comprobemos la solución: 13 18 ––– + 1 ––– 5 5 ––––––––– = –––– = 6 13 3 ––– – 2 –– 5 5

ECUACIONES RACIONALES E IRRACIONALES

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Si la incógnita aparece bajo el signo de un radical será conveniente eliminar dicha raíz, despejándola en un miembro de la ecuación y elevando los dos términos a la potencia indicada por el índice de la raíz. Al realizar esta operación pueden aparecer soluciones extrañas y para evitarlo es preciso comprobarlas antes de dar por acabado el ejercicio. Ejemplo: Resolver la ecuación x – 1 – 2 = 0 Aplicando el razonamiento anterior tenemos:

Dadas dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas estaremos delante de un sistema, para resolverlo será necesario encontrar todas las soluciones de las dos ecuaciones que coincidan.

RESOLUCIÓN GRÁFICA Si queremos resolver gráficamente un sistema de este tipo debemos calcular aquellos puntos comunes de ambas rectas. Para ello representaremos gráficamente y sobre unos mismos ejes las solu-

x – 1 = 2, ( x – 1 )2 = 22, x – 1 = 4, x = 5 47

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ciones de las dos ecuaciones. El punto de corte de ambas rectas será la solución del sistema. Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema: 3x + y = 5 –x + 2y = 3

4–x y = ——— 2 2

– 2x y = ——— 4 0

–1

Calculando dos valores de cada una y dibujándolas observamos que se cortan en el punto (1,2) por lo que la solución del sistema será x = 1 e y = 2 (figura 90).

x x + 2y = 4 Figura 91

y = 5 – 3x

x 1

3+x y = ——— 2 2

–1 1

y=1–x

2x + 4y = 0

2 – 2x y = ——— 2 1

–x + 2y = 3 (1,2)

x 3x + y = 5 x Figura 90 x+y=1 Figura 92

2x + 2y = 2

TIPOS DE SISTEMAS Si consideramos las posiciones relativas de dos rectas en el plano es fácil darse cuenta de que existen tres posibilidades:

sistema. Diremos que el sistema es compatible indeterminado. En este caso podemos observar una proporción entre los coeficientes de las dos ecuaciones. Ejemplo:

– Que las rectas se corten en un punto. – Que las rectas sean paralelas. – Que las rectas sean coincidentes.

2x + 2y = 2 x+y=1

Si las rectas se cortan en un punto el sistema tiene una única solución. Diremos que es compatible determinado. Si las rectas son paralelas no se cortan en ningún punto y el sistema no tendrá solución. Diremos que es incompatible. Ejemplo: 2x + 4y = 0 x + 2y = 4

(figura 92)

MÉTODOS ALGEBRAICOS El método gráfico no siempre resulta preciso, sobre todo si las soluciones no son números enteros. Vamos a estudiar tres métodos algebraicos para resolver los sistemas de ecuaciones. Nos interesa pasar del sistema de dos ecuaciones de primer grado y dos incógnitas a una ecuación de primer grado con una incógnita que sea equivalente a las del sistema. Resolvamos un mismo sistema por los tres métodos y podremos observar la diferencia entre ellos:

(figura 91) Si las rectas son coincidentes tenemos infinidad de puntos en común, por tanto infinitas soluciones del 48

ECUACIONES

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Resolvamos el sistema:

x – 2y = 4 2x + y = 8

x –2y = 4 2x + y = 8

Aprovecharemos la x de la primera ecuación para despejarla y después sustituir la expresión resultante en la segunda ecuación:

Necesitaremos despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones para poder igualar los dos resultados y resolver la ecuación que obtenemos:

x = 4 + 2y 2(4 + 2y) + y = 8 8 + 4y + y = 8 5y = 0 y=0

x = 4 + 2y, x = 1/2 (8 – y) 4 + 2y = 1/2 (8 – y) 8 + 4y = 8 – y 4y = –y 5y = 0 y=0

Una vez obtenida la solución de esta nueva ecuación sustituiremos el resultado, esta vez en la primera ecuación, para obtener la solución de la otra incógnita:

Sustituyendo el valor encontrado en una de las ecuaciones con la x despejada, obtenemos su valor: x=4+2·0=4 x=4

x=4+2·0=4 x=4

La solución del sistema es: x = 4, y = 0 No es fácil decir cuál de los métodos es más rápido pues dependerá del sistema de ecuaciones que debamos resolver. Los tres métodos son equivalentes y proporcionan las mismas soluciones.

La solución del sistema es: x = 4, y = 0

MÉTODO DE REDUCCIÓN Resolvamos el sistema: x – 2y = 4 2x + y = 8

SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Queremos conseguir, al sumar miembro a miembro las dos ecuaciones del sistema, una ecuación con una sola incógnita. Para conseguirlo multiplicaremos, si es necesario, una de las ecuaciones, o las dos, por aquellos valores que nos permitan obtener coeficientes opuestos en una de las incógnitas:

Para resolver sistemas de ecuaciones donde aparecen ecuaciones de segundo grado usaremos los métodos estudiados anteriormente, observando que en estos sistemas aparecen mayor número de soluciones y habrá que calcularlas todas. Si el sistema está formado por una ecuación de primer grado y otra de segundo grado, despejaremos una incógnita en la primera ecuación y la sustituiremos en la segunda. Resolviendo la última ecuación obtenida encontraremos las soluciones de una de las incógnitas, sustituyendo los resultados en la primera ecuación obtendremos todas las posibles soluciones. Si el sistema está formado por dos ecuaciones de segundo grado lo resolveremos como si fuese de primer grado y al final calcularemos todas las soluciones de la expresión de segundo grado que resulte.

2x + y = 8, 2(2x + y = 8), 4x + 2y = 16 Sumando: x – 2y + 4x + 2y = 4 + 16 5x = 20, x = 4 Sustituyendo: 4 – 2y = 4 –2y = 0, y = 0 La solución del sistema es: x = 4, y = 0 49

MATEMÁTICAS

ÁLGEBRA

Estos sistemas pueden resolverse también gráficamente dibujando todas las funciones polinómicas asociadas a las ecuaciones del problema y observando los puntos de intersección de las gráficas obtenidas. Ejemplos: Resolver los sistemas de ecuaciones siguientes: a) x2 – 2x – y = 2 –x + y = 2

a) Podemos despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en las demás. Éste es el principio del método de sustitución. b) Podemos sustituir una ecuación por una combinación lineal de ella misma y las otras. Éste es el principio del método de reducción. c) Podemos eliminar una ecuación si ésta es combinación lineal de las otras.

b) x2 – 6x – y = –9 x2 – 6x + y = –7

Se trata pues de usar ordenadamente los métodos ya conocidos.

a) Despejemos y en la ecuación de primer grado y sustituyamos el resultado en la de segundo grado. Después resolveremos la ecuación resultante: y = 2 + x

INECUACIONES Dada una serie de números racionales podemos ordenarlos y decidir si son unos menores, mayores, o iguales que otros y para ello usamos los símbolos <, >, =, respectivamente. Pueden darse los casos y en algunos conjuntos de números, pero reciben el mismo tratamiento: Sean a y b dos números racionales cualesquiera, se verifica:

x2 – 2x – (2 + x) = 2, x2 – 2x – 2 – x = 2, x2 – 3x – 4 = 0, x1 = 4 y x2 = –1 Entonces: y1 = 2 + 4 = 6

y2 = 2 + (–1) = 1

Las soluciones del sistema son los pares: a < b es equivalente a b – a > 0 x1 = 4, y1 = 6, y x2 = –1, y2 = 1

a > b es equivalente a b – a < 0

b) En este caso restando las dos ecuaciones obtenemos el valor de y, sustituyéndolo después en una de ellas y resolviendo la ecuación de segundo grado obtenido tendremos las soluciones buscadas:

a b es equivalente a b – a 0 a b es equivalente a b – a 0

x2 – 6x – y – x2 + 6x – y = –9 + 7, –2y = = –2, y = 1 x2 – 6x – 1 = –9, x2 – 6x + 8 = 0 x1 = 4 y x2 = 2

En cualquiera de las relaciones anteriores, se puede observar que el orden de los números no se altera si sumamos o restamos un mismo valor a los dos lados de la desigualdad, lo mismo pasa si multiplicamos o dividimos por un número positivo. En el caso de multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido para mantener el orden natural de los números negativos. Ejemplo:

Entonces x1 = 4, y1 = 1, y x2 = 2, y2 = 1 son las soluciones.

OTROS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

–3 < –0,5 < 1 < 5/4 < 8 –3 + 1 < –0,5 + 1 < 1 + 1 < 5/4 + 1 < 8 + 1 –3 · 2 < –0,5 · 2 < 1 · 2 < 5/4 · 2 < 8 · 2 –3 · (–1) > –0,5 · (–1) > 1 · (–1) > 5/4 · (–1) > 8 · (–1)

Para resolver sistemas de n ecuaciones y m incógnitas, n y m naturales, podemos usar los mismos métodos estudiados para los sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas. Nos interesa obtener sistemas equivalentes con ecuaciones más sencillas de resolver. En general usaremos las transformaciones siguientes:

Llamamos inecuaciones a las expresiones que resultan de cambiar el signo = por <, >, , en una ecuación. Resolver una inecuación consiste en encontrar todos los valores que la verifican. 50

ECUACIONES Y SISTEMAS

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Intervalo

Ejemplo

Desigualdades

Descripción

Abierto

] 1, 2 [

1<x<2

Los números comprendidos entre el uno y el dos, salvo el uno y el dos

Cerrado

[ 1, 2 ]

1≤x≤2

Los números comprendidos entre el uno y el dos incluidos ambos

1<x≤2

Los números comprendidos entre el uno y el dos, salvo el uno

1≤x<2

Los números comprendidos entre el uno y el dos, salvo el dos

Para encontrar todas las solucio] 1, 2 ] nes de una ineSemiabierto [ 1, 2 [ cuación de primer grado con una incógnita es necesario escribirla de forma simplificada como: x < a, x > a, x a o x a. Las soluciones de estas expresiones son todos los valores que indica cada expresión. Se pueden escribir las soluciones en forma de intervalos, pero no resulta imprescindible. Para obtener estas formas simplificadas podemos sumar a los dos miembros de la inecuación un mismo número, y de esta manera dejar las incógnitas a un lado de la inecuación y los números al otro. Además, se pueden multiplicar los dos miembros por un mismo número para eliminar los posibles denominadores (atención a los números negativos). De hecho, estamos usando los mismos métodos que se emplean en la resolución de ecuaciones. Ejemplo: Resolver la inecuación:

Figura 93

Ejemplo (figura 94): En la inecuación x + y < 0 comprobar si se verifica y < –x, dibujamos la recta y tomamos la región del plano donde se encuentra la solución.

x –1 –1

4 – 5x –12 – x

Figura 94

4 – 5x + 12 + 5x –12 – x + 12 + 5x 16 4x 16 · 1/4 4x · 1/4 4 x AUTOEVALUACIÓN

Son solución todos los números más pequeños o iguales que cuatro. Como hay infinitas soluciones, se las suele representar con un intervalo. En este caso: ] – , 4]. En la figura 93 vemos los diferentes tipos de intervalos.

38. Resuelve la ecuación: 3(x – 3) – x = x – 7 39. Encuentra las dos soluciones de la ecuación: x2 – 2x = 0 40. Calcula las coordenadas del vértice de la parábola siguiente: y = –x2 + 2x – 1 41. Resuelve la ecuación: x4 – 29x2 + 100 = 0 42. Resuelve el sistema de ecuaciones: x–y=5 2x – 3y = 8

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Una inecuación con dos incógnitas es una desigualdad en la que intervienen dos variables, sus soluciones son puntos del plano y para resolverlas es conveniente dibujarlas.

i {

GEOMETRÍA

GEOMETRÍA PLANA A veces prescindimos de las características de un cuerpo físico y sólo consideramos dos de ellas: su extensión y su forma. Trabajamos entonces con un esquema ideal, una abstracción a la que denominamos cuerpo geométrico. La geometría plana se ocupa sólo de las figuras que pueden dibujarse sobre una superficie plana.

PUNTO, RECTA Y PLANO

un grano de arena, etcétera. Se representa el punto en el papel mediante el punto de ortografía o dos trazos que se cortan y se designan mediante una letra mayúscula, A, P, M', etcétera.

Una figura geométrica en el plano posee únicamente dos dimensiones, a saber, largo y ancho. En cambio, un cuerpo geométrico en el espacio posee tres dimensiones: largo, ancho y alto. Los cuerpos que están contenidos en un plano carecen de altuLÍNEA RECTA ra. Si imaginamos seres que vivieran pegados a la Tierra, éstos no podrían concebir la diUna línea es una extenmensión altura. sión de una sola diUna superficie carece de altura o espemensión. Tiene longiLínea sor. Nos da idea de una superficie geotud pero carece de quebrada métrica una hoja de papel, el techo de anchura y altura. Pouna habitación, etcétera. Así mismo, demos considerar decimos que una recta posee una sola que está engendrada dimensión. En geometría hay una serie al moverse un punto de conceptos que no se pueden defien el espacio. La línea nir, tales como el punto, la recta y el puede ser recta, curplano, que son intuitivos. Podemos hava o combinaciones blar de ellos y establecer las propiedade ambas (figura 95). des de los mismos y describirlos pero no Da idea de una línea llegarán a constituir una definición de los recta un hilo tirante, el mismos. Cualquier explicación que canto de una regla, etc. Las Línea curva se intente dar de ellos oscurece rectas se designan mediante letras Línea recta el concepto. Son conceptos minúsculas r, s, t…, o por dos lede la geometría que no se tras mayúsculas AB, MN. pueden definir. Éstos constituyen la base de toda la geometría, ya que a partir PLANO de ellos ésta se va construyendo. Una superficie geométrica es una extensión de dos dimensiones, largo y ancho. Entre las superficies geométricas cabe desPUNTO tacar el plano que es una superficie geométrica tal que si Un punto no tiene dimenuna recta tiene en común con siones. Nos da idea de un ella dos puntos, dicha recta estapunto la seña que deja en el rá contenida en esa superficie. papel la punta de un lápiz, Figura 95 52

GEOMETRÍA PLANA

Semirrecta

d) Por tres puntos no situados en línea recta pasa un solo plano. e) Si una recta no está contenida en un plano tiene con él, como máximo, un punto común.

Semirrecta

Figura 96

Generalmente los planos se representan mediante un paralelogramo y se suelen nombrar escribiendo tres de sus puntos no alineados, ABC, o bien con una letra griega , , , , etcétera.

B A

Semiplano

PROPIEDADES – Propiedades de las rectas (figura 96). La línea recta tiene las siguientes propiedades: B A

a) Es ilimitada en ambos sentidos. b) Un punto A cualquiera de la misma la divide en dos partes llamadas semirrectas y tienen el punto A común. c) Dos puntos cualesquiera determinan una recta, es decir, dados dos puntos existe una y sólo una recta que pasa por ellos (propiedad fundamental de la recta).

Podemos deducir de todo ello que por tres puntos alineados pasarán infinitos planos y que dos planos no pueden tener únicamente un punto de intersección. Ejemplo: ¿Por qué los taburetes o las mesas de tres patas siempre son estables, nunca se mueven, y sin embargo las de cuatro sí? La solución es muy sencilla. Como tres puntos no situados en línea recta determinan un único plano que los contiene, si la mesa es de tres patas los extreSemiplano mos de éstas siempre estarán en un plano. Sin embargo, si el número de ellas es cuatro, tres determinarán un plano pero la cuarC ta, en general, no estará en el mismo plano, con lo que la mesa no estará fija en el suelo y Figura 97 se moverá.

AUTOEVALUACIÓN 43. ¿Cuáles son los elementos básicos de la geometría? 44. ¿Cuántos puntos son necesarios para determinar un plano? 45. ¿Qué nombre recibe cada una de las partes en las que un punto divide a una recta? 46. ¿Cuántas rectas diferentes pueden pasar por dos puntos? 47. Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: Los puntos se designan con letras griegas , , , , etc.

– Propiedades de los planos (figura 97). El plano goza de las siguientes propiedades: a) Es una superficie ilimitada en todos los sentidos. b) Una recta que tenga dos puntos comunes con el plano está contenida en él, es decir, tiene todos sus puntos en el plano (propiedad fundamental del plano). c) Una recta cualquiera que esté contenida en un plano divide a éste en dos partes llamadas semiplanos. 53

SEGMENTOS Y ÁNGULOS En la geometría plana medimos fundamentalmente tres cosas: longitudes de segmentos, ángulos y superficies. En este tema nos dedicaremos a desarrollar estos conceptos y a enumerar los diferentes sistemas de unidades que nos permiten expresar los resultados de tales medidas.

DEFINICIÓN DE SEGMENTO

c Si tenemos dos segmentos, podemos querer compararlos, para lo que debemos saber cuándo son iguales y cuándo no. Deci- O a mos que dos segmentos son iguales cuando al llevarlos uno sobre otro los extremos coincib–a a den. En caso contrario se dice b que son distintos. Para sumar dos o más segmena tos se llevan uno a continuación del otro, sobre la misma recta soporte, de manera que el extremo del primero sea el origen del segundo y así sucesivamente. El segmento que se obtiene se dice que es el segmento suma, a + b + c = OR. Para restar dos segmentos se ponen uno sobre otro de manera que uno de los extremos coincida. Los otros dos extremos nos darán la diferencia entre ellos. Multiplicar un segmento por un número, es sumar dicho segmento tantas veces como indica el número (figura 98).

Para nombrar el ángulo se escribirá AOB, poniendo el vértice entre las dos letras de las semirrectas. A veces, cuando no pueda dar lugar a confusión, se representan únicamente con la le^ tra de su vértice, O, y, a veces, con una R letra griega , , b c a+b+c etcétera. Decimos que dos ángulos son iguales, cuando sub–a perpuestos coinciden. ^ Si desde el vértice O trazamos una circunferencia a a de radio cualquiera, al 3a arco que está comprendiFigura 98 do entre los lados del ángulo se le llama arco correspondiente al ángulo. A uno de los lados de un ángulo se le suele llamar lado origen del ángulo y al otro extremo. Los ángulos tienen asimismo un sentido. Se consideran ángulos positivos aquellos que al recorrer el arco correspondiente desde el lado origen al extremo lo hacemos en contra del movimiento de las agujas del reloj y negativos si lo hacemos a favor.

EL CONCEPTO DE ÁNGULO

MEDIDA DE SEGMENTOS

Si en el plano fijamos un punto, O, y a partir de él dibujamos dos semirrectas, OA y OB, dicho plano quedará dividido en dos regiones (figura 99). A cada una de las regiones en que el plano queda dividido por dichas semirrectas es a lo que se llama ángulo. Al punto común de las dos semirrectas se le denomina vértice del ángulo, y O a éstas, lados.

Figura 99

Como hemos visto antes, podemos saber si un segmento es igual o diferente a otro. Para poder medir un segmento se ha de definir una unidad de medida cualquiera. La medida de un segmento será las veces que dicho segmento contiene a la unidad de medida. Al principio, se tomó como unidad de medida el palB mo, la mano, el codo, la pulgada,

SEGMENTOS Y ÁNGULOS

Podemos observar que cada unidad de longitud es etcétera, todas esas medidas relacionadas con didiez veces mayor que su inmediata inferior. Así pues, ferentes partes del cuerpo. No eran medidas objetivas y variaban según quien hacía la medición. Para evitar estos proble1 km = 10 hm = 100 dam = 1.000 m = 10.000 dm = 100.000 cm = 1.000.000 mm mas y unificar criterios, se estable1 hm = 10 dam = 100 m = 1.000 dm = 10.000 cm = 100.000 mm cieron unas unidades internaciona1 dam = 10 m = 100 dm = 1.000 cm = 10.000 mm les. A la unidad de longitud, en el 1m= 10 dm = 100 cm = 1.000 mm Sistema Internacional, se la denomi1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m = 0,0001 dam = 0,00001 hm = 0,000001 km na metro. Al metro se le ha defini1 cm = 0,1 dm = 0,01 m = 0,001 dam = 0,0001 hm = 0,00001 km do de muy diversas maneras a lo lar1 dm = 0,1 m = 0,01 dam = 0,001 hm = 0,0001 km go de la historia. Al principio se 1 m = 0,1 dam = 0,01 hm = 0,001 km llamó metro a un segmento cuya longitud era la diez millonésima parte de la longitud de un cuadrante de meridiano En los países anglosajones (figura 100) se utiliza terrestre. Esto equivalía a decir que un meridiano otro Sistema de Medidas: milla, yarda, pie, pulgaterrestre tenía 40 millones de metros. Desde 1889, da, cuyas equivalencias con el Sistema Métrico se guarda en París, una barra de platino iridiado Decimal son: cuya longitud es igual a 1 metro. A partir de 1960, 1 milla = 1.609,34 m 1 pie = 30,48 cm la XI Conferencia de Pesas y Medidas estableció la 1 yarda = 0,9144 m 1 pulgada = 2,54 cm definición considerándose un metro como la longitud de un segmento igual a 1.650.763,73 veces la longitud de onda, en el vacío, de la radiación coComo instrumentos de medida se suelen utilizar la rrespondiente a la transición entre los niveles 2p10 regla y el compás. Hay otros instrumentos como son el pie de rey, el tornillo micrométrico, etcétera. y 5d5 del átomo de kriptón 86.

UNIDADES DE MEDIDA DE SEGMENTOS

SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS

Para medir segmentos utilizamos el Sistema Métrico Decimal que es el conjunto de pesas y medidas que se derivan del metro. La unidad principal de longitud es el metro (m), mientras sus múltiplos son: el decámetro (dam) que equivale a 10 metros; el hectómetro (hm) que equivale a 100 metros y el kilómetro (km) que equivale a 1.000 metros; y sus submúltiplos, el decímetro (dm) que equivale a 0,1 metro, el centímetro (cm) a 0,01 metro y el milímetro (mm) a 0,001 metro.

Igual que hacíamos para medir segmentos, deberemos elegir una unidad de medida de ángulos. La medida de un ángulo será entonces el número de veces que contiene a la unidad de medida. Distinguiremos para ello tres sistemas: – Sistema sexagesimal. En este sistema tomamos como unidad el grado sexagesimal (°), es decir, que si dividimos la circunferencia en 360 partes, el ángulo que tiene como vértice el centro de la circunferencia y su arco correspondiente abarca cada una de dichas partes es un ángulo de 1 grado sexagesimal (1°). Si cada ángulo de 1° sexagesimal lo dividimos en 60 partes, cada una de ellas será un ángulo de un minuto sexagesimal (') y si cada ángulo de un minuto sexagesimal lo dividimos en 60 partes, cada uno de dichos ángulos será de un segundo sexagesimal (''). Así: 1° = 60'; 1' = 60''; 1° = 3.600''

Figura 100

– Sistema centesimal. En este sistema dividimos la circunferencia en 400 partes. El ángulo con 55

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA

Obtuso

vértice en el centro de la circunferencia y que abarca una de dichas partes diFigura 101 remos que es un ángulo g de un grado centesimal ( ). Si el ángulo de un grado centesimal (1g) lo dividimos en 100 partes, cada una de ellas será un ángulo de un minuto centesimal (1m) y si cada ángulo de un minuto centesimal lo dividimos en 100 partes, cada una de ellas será un ángulo de un segundo centesimal (1s). Así: 1g = 100m; 1m = 100s; 1g = 10.000s

Agudo

B O B

O Suplementarios Llano A

Recto Complementarios O Figura 102

– Sistema circular. Otra unidad de medida de ángulos es el radián que definimos como la amplitud de un ángulo que teniendo como vértice el centro de una circunferencia abarca un arco de la misma de longitud igual a su radio. Si sabemos la longitud del arco correspondiente de un ángulo podremos calcular el ángulo en radianes dividiendo el arco entre el radio. Así pues, si el arco correspondiente mide 12 cm y el radio mide 4 cm, el ángulo será de 3 radianes. Viendo las anteriores equivalencias tendremos: 360° = 400g = 2 radianes. Además podemos deducir los factores de conversión que nos servirán para pasar de un sistema a otro. Así:

– Ángulos agudos. Son aquellos ángulos cuya medida es inferior a 90°. – Ángulos obtusos. Son aquellos ángulos cuya medida es superior a 90°. – Ángulos cóncavos. Son aquellos ángulos cuya medida está comprendida entre 180° y 360°. – Ángulos convexos. Son aquellos ángulos cuya medida está comprendida entre 0° y 180°. – Ángulos consecutivos. Son aquellos ángulos que tienen un lado común que separa los dos ángulos. – Ángulos adyacentes. Son aquellos ángulos que son consecutivos y que además la suma de los mismos es 180°. – Ángulos complementarios. Son aquellos ángulos cuya suma es un ángulo recto. – Ángulos suplementarios. Son aquellos ángulos cuya suma es un ángulo llano. – Ángulos llanos. Son aquellos ángulos cuya medida es igual a 180°. Es el ángulo que forman dos semirrectas en prolongación. – Ángulos rectos. Son aquellos ángulos cuya medida es igual a 90°. Es el ángulo que mide la mitad de un ángulo llano. – Ángulos completos. Son aquéllos cuya medida es igual a 360°.

De grados sexagesimales a radianes: rad/180° De radianes a grados sexagesimales: 180°/ rad De grados centesimales a radianes: rad/200g De radianes a grados centesimales: 200g/ rad De grados centesimales a sexagesimales: 9°/10g De grados sexagesimales a centesimales: 10g/9°

Para medir ángulos se emplea el transportador de ángulos o semicírculo graduado, que es una lámina de material diverso cortada en forma de semicircunferencia con su diámetro. La semicircunferencia está dividida en grados o medios grados (figura 101). Ejemplo: rad 3 135° = 135° · –––––– = –––– rad = 180° 4 3 200° = –––– rad · ––––– = 150° 4 rad

i AUTOEVALUACIÓN

48. Expresa en cm la longitud siguiente: 3 km, 2 m y 6 dm. 49. ¿Cuántos radianes mide un ángulo de 30°? 50. ¿Cómo se denominan dos ángulos que suman 180°?

TIPOS DE ÁNGULOS Los ángulos se clasifican en (figura 102): 56

RECTAS La recta es uno de los elementos básicos de la geometría plana. A partir de sus segmentos se pueden delimitar polígonos muy utilizados como el triángulo o el rectángulo. Cuando tomamos dos rectas en el plano sólo pueden suceder dos cosas: que sean paralelas o que se corten, en cuyo caso decimos que son secantes. En este tema estudiaremos también los diferentes ángulos que pueden formar las rectas entre sí.

TIPOS DE RECTAS SECANTES

corte la recta. Con centro en los puntos de intersección Q1 Q2 y con el A B 1 mismo radio se trazan dos arcos. ÉsSe dice que dos rectas se cortan o tos se cortarán en el primer punto, P, que son secantes, cuando tienen C 1 2 y en otro situado en el otro semiplaun único punto en común. Evino, M, y al unirlos nos determinarán dentemente, si dos rectas se corC la recta perpendicular pedida, PM. tan, será posible encontrar un plaLlamamos mediatriz de un segno que contenga a ambas. Entre 1 4 A B mento AB a la recta perpendicular las rectas secantes cabe desta3 2 a dicho segmento que pasa por su car las rectas perpendiculares que punto medio. La mediatriz de un son aquellas que se cortan formanD 1= 2 = 3 =4 segmento equidista de los extredo cuatro ángulos iguales y, por Figura 103 mos del mismo. tanto, rectos (figura 103). Se reprePara trazar la mediatriz del sentan con el símbolo ( ), AB P =2 =3 =4 = 90° en segmento AB, (figura 105) CD. Se verifica 1 se traza, con centro en A el caso de perpendiculares. Las rectas un arco de radio cualque se cortan sin formar ángulos rectos quiera. Con el mismo se llaman oblicuas. En este caso 1 2. radio y centro en B se Dos rectas son paralelas cuando, perteQ2 r Q1 traza otro arco. Ambos neciendo al mismo plano, no se cortan arcos se cortan en P y Q por mucho que las prolonguemos. Se que determinan la merepresentan mediante el símbolo ( ). diatriz PQ del segmento Para decir que las rectas r y s son paraleAB. las pondremos r s. Figura 104 Para trazar una recta r' paEntre las propiedades de las rectas cabe citar: M ralela a una dada r que pase por un punto exterior a la misma P, (figura 106), elegimos un punto O cualquie1) «Por un punto exterior a una P ra de la recta y con radio OP trazamos una recta se puede trazar una circunferencia que cortará a la recta dada paralela a ella y sólo una y en A y B. Con centro en B trazamos un una perpendicular a ella y arco de radio AP que cortará a la circunsólo una». A B M ferencia anterior en P' · r' será la recta Para construir una recta PP'. perpendicular a otra dada 2) Dos rectas perpendiculares a una terque pase por un punto excera son paralelas. terior (figura 104), se traza 3) Si dos rectas son paralelas, toda recta con un compás un arco de que corte a una corta también a la otra. circunferencia de centro P que Figura 105 Q 2

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA B

Figura 108

3 D

r A

Figura 106

C P

4) Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí. 5) Si dos rectas son paralelas toda perpendicular a una es perQ O pendicular también a la otra. M 6) Si por un punto exterior a una recta se trazan varias rectas secantes a la misma se verificarán las siguientes afirmaciones (figura 107): P' a) El segmento que determina una recta perpendicular es menor que el segmento que determina cualquier oblicua (PO < PR). b) Los segmentos que determinan las oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular, son iguales (PM = PR). c) De dos segmentos que determinan dos oblicuas, cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular, es mayor el que más se aparta de dicho pie (PS > PR).

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS PARALELAS Y UNA SECANTE Si cortamos dos rectas paralelas con una recta secante, las tres rectas determinan entre sí ocho ángulos que, según su posición, reciben los nombres siguientes (figura 108): – Ángulos internos. Los ángulos 2, 3, 5, 8. – Ángulos externos. Los ángulos 1, 4, 6, 7. – Ángulos correspondientes. Los pares de ángulos 4 y 8; 1y 5; 3y 7; 2y 6. Son iguales. – Ángulos alternos internos. Los pares de ángulos 3y 5; 2y 8. Son iguales. – Ángulos alternos externos. Los pares de ángulos 1y 7; 4y 6. Son iguales. – Ángulos colaterales internos. Los pares de ángulos 3y 8; 2y 5. Son suplementarios. – Ángulos colaterales externos. Los pares de ángulos 4y 7; 1y 6. Son suplementarios. – Ángulos opuestos por el vértice. Son aquellos que los lados de uno son prolongaciones opues-

Figura 109 R

B N

Figura 107

tas de los lados del otro. Los ángulos 1y 3 son opuestos por el vértice así como el 2 y el 4. Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. También son iguales o suplementarios los ángulos que tienen sus lados paralelos y los que tienen sus lados perpendiculares. Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que pasando por su vértice lo divide en dos ángulos iguales. Los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del mismo. Para trazar la bisectriz de un ángulo O (figura 109), se dibuja, con centro O y radio cualquiera, un arco que cortará a los lados del ángulo en A y B, respectivamente. Con centro en A se traza un arco de radio cualquiera y con centro en B otro arco con el mismo radio. Ambos arcos se cortarán en C. La recta OC será la bisectriz pedida.

i AUTOEVALUACIÓN

51. ¿Qué ángulos forman dos rectas que se cortan perpendicularmente? 52. ¿Qué nombre recibe la perpendicular a un segmento en su punto medio? 53. ¿Cómo son dos rectas paralelas a una tercera? 54. ¿Cuál es mayor: el segmento que determina una recta perpendicular a otra desde un punto exterior o el que determina una oblicua? 55. ¿Cómo son los ángulos opuestos por el vértice?: a) iguales, b) suplementarios, c) complementarios.

POLÍGONOS Para poder explicar qué es un polígono necesitamos algunos conceptos previos. Un segmento, como ya sabemos, es un subconjunto de una recta comprendido entre dos puntos llamados extremos. Si tomamos dos segmentos de manera que tengan un extremo común diremos que están concatenados. Una línea poligonal está formada, a su vez, por varios segmentos concatenados.

PRIMERAS DEFINICIONES

Decimos que un polígono es cóncavo cuando una D C recta que lo corte puede haC B E cerlo en más de dos puntos. Una línea poligonal Si cualquier recta que lo puede ser abierta si E D corta lo hace únicamente quedan dos extremos de F G F en dos puntos el polígono los segmentos sin unir o A se llama convexo (figucerrada si todos los exLínea poligonal cerrada Línea poligonal abierta ra 112). tremos de los segmentos La suma de los ángulos inteestán unidos (figura 110). riores de un polígono convexo es igual a (n – 2) · Llamamos polígono a toda figura plana limitada · 180°, siendo n el número de lados del polígono. por una línea poligonal cerrada. A los segmentos La suma de los ángulos exteriores de un polígono que forman la línea poligonal se les denomina laconvexo es igual a cuatro ángulos rectos (360°). dos del polígono. Se llaman vértices de un polígoDecimos que un polígono es equiángulo no a los puntos en que se corB cuando todos sus ángulos son iguales y tan cada dos lados del Figura 111 equilátero si son iguales todos sus lamismo. Ángulo dos. Cada dos lados que A C Decimos que un polígono es reguconcurren en un vértiVértice lar cuando tiene todos sus lados y ce forman un ángulo Dia go nal todos sus ángulos iguales. al que se llama ángulo interior del políC gono. B F Q D Los ángulos exterioA D res de un polígono son los ángulos adyacentes a P E los interiores. Se obtienen al E F prolongar los lados en el mismo Polígono convexo sentido. Figura 112 S Un polígono tendrá el mismo número de ángulos B C que de lados. Llamamos diagonal de un polígono a la recta que R A Q D une dos vértices del mismo no consecutivos (figuE ra 111). Si un polígono tiene n lados el número de P diagonales del mismo será: n(n – 3)/2. F Llamamos perímetro de un polígono a la suma G Polígono cóncavo de las longitudes de todos sus lados. Figura 110

Lado

l na go Dia

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA

Figura 113

A C C C

A A Triángulo

D Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Trapezoides, si no tienen ningún lado paralelo; trapecios, si tienen dos lados paralelos y los otros dos no, y paralelogramos, si tienen los lados opuestos paralelos entre sí. En los trapecios los dos lados paralelos se denominan bases del mismo y la perpendicular común a ellas altura. Los paralelogramos a su vez se dividen en: cuadraCLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS dos, que son los que tienen los cuatro lados iguales Los diferentes polígonos se clasifican en: triánguy también los cuatro ángulos, que serán los, cuadriláteros, pentágonos, herectos; rombos, que tienen los cuatro xágonos, heptágonos, octógoCuadriláteros lados iguales pero no los ángulos; nos, eneágonos, decágonos, rectángulos, que son paraleloendecágonos, dodecágonos, gramos que tienen los cuatro ánetcétera, según tengan tres, gulos iguales, por tanto rectos, cuatro, cinco, seis, siete, pero no los lados; y romboides, ocho, nueve, diez, once, que tienen los lados opuestos doce, etcétera lados (figuiguales y también los ángulos ra 113). Trapecio Trapezoide opuestos pero no los contiguos. La base de un paralelogramo es cualquiera de sus lados. La altura CUADRILÁTEROS es la perpendicular desde un vértice de la base al lado opuesto. Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Paralelogramo Como polígono, al aplicar la PROPIEDADES fórmula de la suma de los ánDE LOS PARALELOGRAMOS Paralelogramos gulos interiores, tendremos: 1) En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales y también Si = (n – 2) · 180° = los ángulos opuestos. 2) Las diagonales de un paralelo= (4 – 2) · 180° = gramo se cortan entre sí en par= 2 · 180° = 360° tes iguales. Rectángulo Cuadrado 3) Las diagonales del rectángulo La suma de los ángulos inteson iguales riores de un cuadrilátero es 4) Las diagonales del rombo son 360°. La suma de los ángulos perpendiculares y bisectrices de externos también será 360°. los ángulos opuestos. 5) Las diagonales de un cuadrado CLASIFICACIÓN son iguales y perpendiculares DE LOS CUADRILÁTEROS Romboide y bisectrices de los ángulos Los cuadriláteros se dividen opuestos. en (figura 114): Rombo Figura 114 Se llama centro de un polígono regular a un punto interior del mismo que equidista de todos sus vértices. Se llama apotema de un polígono regular al segmento que une el centro del polígono con el punto medio de uno de sus lados.

POLÍGONOS

TRIÁNGULOS

nen los tres lados iguales (también tienen los tres ángulos iguales), isósceles, los que tienen dos lados iguales y uno desigual y escalenos, los que presentan los tres lados desiguales. Atendiendo a sus ángulos, se dividen en: acutángulos, los que tienen sus tres ángulos agudos; rectángulos, los que tienen un ángulo recto y dos agudos y obtusángulos, los que tienen un ángulo obtuso y dos agudos.

Llamamos triángulo a la región del espacio limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. A los puntos en que se cortan dichas rectas se les llama vértices del triángulo. Se suelen nombrar los vértices de un triángulo con letras mayúsculas, y al triángulo se le nombra con dichas tres letras, ABC. Los vértices de un triángulo determinan tres segmentos que son los lados del triángulo. Se suelen nombrar éstos con las dos letras mayúsculas de los vértices que contienen, o bien con la misma letra que el vértice opuesto pero minúscula. AB = c; AC = b; BC = a. Los lados de un triángulo determinan tres ángulos interiores del triángulo. Éstos se nombran con la misma letra que el vértice correspondiente, A, B, C. Llamamos perímetro de un triángulo a la suma de las longitudes de sus lados. Se representa así:

B Acutángulo

IGUALDAD DE TRIÁNGULOS B

A Rectángulo

B Obtusángulo Figura 115

a) Que tengan iguales un lado y dos ángulos. b) Que tengan iguales dos lados y el ángulo comprendido. c) Que tengan iguales los tres lados.

2p = a + b + c

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS Los triángulos, o polígonos de tres lados, son los polígonos más sencillos. La suma de los tres ángulos internos de un triángulo vale Si = (n – 2) · 180° = = 180°. La suma de los exteriores es 360°. Los triángulos verifican también que un lado de un triángulo es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia: a < b + c; a > b – c Otra propiedad de los triángulos es que un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. m

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Los triángulos se clasifican (figura 115), atendiendo a sus lados, en: equiláteros, aquellos triángulos que tie-

Decimos que dos triángulos son iguales cuando superpuestos coinciden. Cuando dos triángulos son iguales tienen los tres lados y los tres ángulos correspondientes iguales. No obstante, para poder asegurar que dos triángulos son iguales solamente necesitamos comprobar uno de los tres casos siguientes:

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Anteriormente hemos visto que la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. Una mediatriz, por tanto, equidista de los extremos del segmento. Si un triángulo tiene tres lados, posee tres meB diatrices. Éstas se cortan en un punto C llamado circuncentro. Debido a la propiedad de las mediatrices, el circuncentro equidista de los vértin ces del triángulo, por tanto, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (fiO C gura 116). El circuncentro P puede ser interior o exterior Figura 116 al triángulo. De hecho, si un 61

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA

triángulo es obtusángulo, el circuncentro es exterior. En un triángulo rectángulo se encuentra en el punto medio de la hipotenusa. Hemos visto también que la bisectriz de un ángulo es la recta que N divide al mismo en dos ángulos iguales. Si un triángulo tiene tres P ángulos, tiene tam- A C M bién tres bisectrices. Figura 117 Éstas se cortan en un punto al que se le llama incentro. Como las bisectrices equidistan de los lados del ángulo, el incentro equidista de los tres lados del A B triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (figuN P ra 117). El incentro siempre es un punto O interior del triángulo. A C Las alturas de un Figura 119 triángulo son las rectas que pasan por un vértice del triángulo y son perpendiculares al lado opuesto o a su prolongación. Un triángulo, por tanto, tiene tres alturas y éstas se cortan en un punto llamado ortocentro. En caso de que el triángulo sea acutángulo el ortocentro es un punto interior al triángulo, en caso de rectángulo, el ortocentro A coincide con el vértice en que se enb cuentra el ángulo c recto y si el triánguc a lo es obtusángulo, B el ortocentro es exteFigura 120 rior al triángulo (figura 118). Las medianas de un triángulo son rectas que pasan por un A vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesb c to. Hay, por tanto, tres medianas. Éstas se cortan en un punto que es siempre interior B a al triángulo y que se llama Figura 122 baricentro. El baricentro de 62

un triángulo tiene la propiedad que dista de cada vértice las dos terceras partes de la longitud de la mediana (figura 119).

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS Al construir triángulos se pueden dar los siguientes casos: P N a) que conozcamos los O tres lados, b) que conozcamos dos lados y el ángulo comprendido, c) que C M conozcamos un Figura 118 lado y dos ángulos y d) que conozcamos dos lados y un ángulo no comprendido. B

a) En el primer caso, si dibujamos con la regla el lado a, de extremos B y C, por B trazamos con el compás un arco de radio c y por C un arco de radio b, donde se corten será el vértice A, con lo que podremos dibujar el triángulo (figura 120).

b Figura 121 C C' a' C

b b

C Figura 123

POLÍGONOS

Para dibujar un octógono se trazan los diámetros b) En el segundo caso, supongamos que conoceperpendiculares a los lados del cuadrado de la mos los lados b y c y el ángulo A. Se difigura anterior. Éstos, junto con los anbuja el lado b, cuyos extremos serán A teriores, cortarán a la circunfereny C. En A, con el transportador se A cia en los vértices del octógodibuja el ángulo A. Sobre la recno (figura 125). Si quisiéramos ta que determina se lleva con el dibujar un polígono de 16 lacompás el lado c. El extremo de dos, trazaríamos los diámetros éste será el vértice A, con lo que perpendiculares a los anteriodibujaremos el triángulo (figuD C res, y así sucesivamente para ra 121). construir polígonos de 32, 64,… c) En el tercer caso, supongalados. mos conocidos el lado a y los y C (sería lo mismo Para dibujar un hexágono reguángulos B lar se toma con el compás el raotros dos ya que conocidos dos dio de la circunferencia. Con ángulos, se conocen los tres). B centro en cualquier punto de Llevaremos el lado a y por sus Figura 124 la misma, se lleva dicho raextremos B y C, se dibujan, con el dio. Los puntos que transportador, los ángulos B y C resquedan determinados pectivamente. Donde se cortan las rectas sobre la circunferencia que determinan será A (figura 122). son los vértices del hed) En el cuarto caso, supongamos conocixágono (figura 126). Si dos los lados b y c y el ángulo B . Dibujamos • dibujamos los diámepor ejemplo el segmento c, de extremos A tros perpendiculares a y B. Por B dibujamos el ángulo B . Por A tralos lados de la figura zamos un arco de radio a. Éste cortará el anterior, éstos cortalado dibujado anteriormente en el punto rán a la circunferencia C. Puede ser que corte en en los vértices de un dodos puntos, en uno o en Figura 125 decágono regular. Así suninguno, con lo que cesivamente obtendríamos tendremos dos, una o los polígonos de 24, 48,… lados. ninguna solución (fiEn el caso del hexágono, si en lugar de unir gura 123). cada punto señalado sobre la circunferenO cia hubiéramos unido los alternos, habríamos obtenido un triángulo equilátero. CONSTRUCCIÓN 60°

DE POLÍGONOS REGULARES 60°

60°

i AUTOEVALUACIÓN

La construcción de polígonos regulares Figura 126 con regla y compás, en general, ofrece muchas dificultades. No obstante hay algunos casos en que suele resultar muy sencilla su construcción, sobre todo si recurrimos a polígonos inscritos en una circunferencia. Así pues, construir un cuadrado sería muy sencillo. Se dibuja una circunferencia y dos diámetros perpendiculares de la misma. Los puntos en que éstos cortan a la circunferencia serán los vértices de un cuadrado ADBC (figura 124).

56. ¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un pentágono? 57. Indica si la afirmación siguiente es verdadera o falsa: Las diagonales de un rombo son iguales. 58. ¿Qué nombre recibe el punto en el que se cortan las mediatrices de los lados de un triángulo? 59. ¿Cómo se construye un hexágono? 60. ¿Cómo se denomina un polígono de once lados?: a) eneágono, b) endecágono, c) decágono.

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO El conjunto de los puntos que se encuentran situados a la misma distancia de un punto, denominado centro, forman una figura plana a la que llamamos circunferencia. La superficie plana contenida dentro de la circunferencia recibe el nombre de círculo.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y DEL CÍRCULO

M Arc o Cue rda

rona circular

Debido a que todos los puntos de una cirDiámetro cunferencia equidistan del centro, podeC mos llamar radio, figura 127, al segmento que une el centro con cualquier punto Semicírculo de la circunferencia. Llamamos cuerda un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Si dicha Semicircunferencia Figura 129 cuerda pasa por el centro se llama diámetro Figura 127 de la misma. La medida del diámetro es igual al doble de la del radio. Flecha Seg gura 129) a la región del plano comArco es cada una de las dos partes me nto circ prendida entre dos circunferencias en que una cuerda divide a una cirular concéntricas. cunferencia. Trapecio circular es la región del El arco de circunferencia que plano limitada por dos circunfeabarca el diámetro se denomina rencias concéntricas y dos radios. semicircunferencia. Sector circular No debe confundirse circunferencia, que es una línea, con círculo, que es una superficie. POSICIÓN RELATIVA DE Llamaremos semicírculo a la región UNA RECTA CON RESPECTO del plano limitada por una semicircunA UNA CIRCUNFERENCIA Figura 128 ferencia y su diámetro. Se llama segmento circular (figura 128) a la región Dadas una recta y una circunferencia pueden predel plano limitada por un arco y su cuerda. Llamasentar las siguientes posiciones relativas (figura 130): mos flecha de un segmento circular al segmento que une el punto medio de la cuerda con el r r punto medio del arco. La flecha será perr pendicular a la cuerda. Se denomina sector circular a la región del plano limitada por un arco de circunferenC C C cia y los radios relativos a sus extremos. Circunferencias concéntricas son aquellas que tienen el mismo centro pero distinto radio. Se llama corona circular (fiFigura 130 64

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

a) Secantes, si la recta corta a la circunferencia en dos puntos. b) Tangentes, si sólo tienen un punto común. En esta posición, tienen la propiedad de que dicha recta tangente es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia. c) Recta exterior a la circunferencia cuando R no tiene ningún punto común con ella.

POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS Dos circunferencias situadas en el mismo plano pueden ocupar las siguientes posiciones relativas:

Si tenemos una circunferencia podríamos pensar en rectificarla, esto es, «cortar» dicha línea por un punto y extenderlo. La medida del segmento que se nos formará será la longitud de la circunferencia. r d Ya desde muy antiguo se constató que la relación que hay entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su Figura 131 diámetro es constante. Los egipcios, ya dos mil años antes de nuestra era llegaron a dar un valor a dicha constante. Arquímedes, en el siglo III a. C., dio el valor 3,1416. Dir cho número es un número irraciod nal del que actualmente se saben aproximaciones con 100.000 cifras decimales. A dicho número se le deFigura 132 signa con la letra griega .

a) Exteriores (figura 131), cuando no tienen ningún punto común y la distancia entre los centros es mayor r R que la suma de los radios. Todos los puntos de una son exteriores a la otra. b) Tangentes exteriormente Figura 133 (figura 132), cuando tienen un punto en común y además la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. Los puntos de una son exteriores a la otra excepto uno. d c) Secantes (figura 133), cuando tienen dos puntos comunes. R d) Tangentes interiormente (figura 134), cuando tienen un punto en común y la distancia entre los centros Figura 134 es igual a la diferencia de los radios. Los puntos de una son interiores a la otra excepto uno. e) Una interior a la otra (figura 135), cuando no tienen ningún punto en común y la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios. Los puntos de una son exteriores a la otra excepto uno. Un caso especial son las circunferencias concéntricas (figura 136), que tienen el mismo centro. 65

= 3,14159265… Hemos visto que L/D = , donde L es la longitud y D el diámetro de una circunferencia, luego L/2R = y de aquí: Lcircunferencia = 2 R que es la fórmula de la longitud de la circunferencia. r

TRAZADO DE UNA CIRCUNFERENCIA Veamos que por tres puntos se puede trazar una circunferencia que los

Figura 135

Figura 136

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA Figura 137

contenga (figura 137). Sean A, B y C dichos puntos. El problema resi- r de en buscar el centro y el radio de la circunferencia. El centro equidista de A y de B, por lo que estará en la mediatriz del segmento AB. También equidistará de B y C por lo que pertenecerá a la mediatriz de BC. La intersección O de ambas mediatrices es el centro de la circunferencia y el radio será el segmento OA (o bien OB u OC). De aquí se deduce que dos circunferencias no pueden cortarse en más de dos puntos pues entonces habría una circunferencia que los contendría y todos serían comunes.

tes en cuyo caso diremos que el ángulo es circunscrito. c) El ángulo es inscrito a la cirC cunferencia (figura 140), cuando el vértice del mismo es un punto de la circunferencia. Sus lados son secantes a la circunferencia. d) Ángulo semiinscrito es un ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, un lado es secante y el otro es tangente a la misma. B

•

D C

A' B'

ARCOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Figura 138

Si tomamos dos puntos de una circunferencia, A y B, ésta queda dividida en dos partes. A cada una de estas partes se le denomina arco. Un arco de circunferencia es la parte de circunferencia limiFigura 139 tada entre dos puntos de la misma. A los arcos se les nombra con las letras de sus extremos tomando como sentido positivo el contrario al del movimiento de las agujas de un reloj. Se escribe AB. Se dice que dos arcos son iguales si al superponerlos coinciden.

Figura 140

ÁNGULO CENTRAL B'

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Un ángulo y una circunferencia pueden tener las siguientes posiciones relativas: a) El ángulo es interior a la circunferencia (figura 138), cuando el vértice del ángulo es interior a la circunferencia. Los lados son secantes. b) El ángulo es exterior a la circunferencia (figura 139), cuando el vértice del mismo es exterior a la circunferencia. Sus lados serán secantes, o uno secante y otro tangente o los dos tangen66

Se llama ángulo central a un ángulo interior que tiene el vértice en el centro de la circunferencia (figura 141). Los lados de dicho ángulo cortan la circunferencia en los puntos A y B. Decimos que el ángulo central AOB abraza un arco AB. A dicho arco se le llama arco correspondiente al ángulo central. Es el B arco comprendido entre sus lados. RecíprocaO D A mente, se llama ángulo central correspondiente a un arco al ánC gulo cuyo vértice está en el centro de Figura 141 la circunferencia y sus lados son los radios que pasan por los extremos del arco. – Longitud de un arco. Sabemos que la longitud de la circunferencia es L = 2 R. Para obtener la

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

longitud de un arco de circunferencia debemos seguir los siguientes pasos: sabemos que un ángulo central de 360° abarca un arco de longitud la longitud, a su vez, de la circunferencia, es decir, 2 R, por tanto podemos deducir que la longitud de un arco de 1° será 2 R/360 = = R/180, con lo que la longitud de un arco, cuyo ángulo central correspondiente mida n°, será 2 Rn/360 = Rn/180. Si la amplitud la medimos en radianes, como una circunferencia completa tiene 2 radianes, tendremos:

1̂

2̂ 2̂

1̂ B

2̂ B

Figura 145

(BOD + DOC) BOC = ––––––––––––– = ––––– 2 2 C

B D

Figura 143

c) Si el centro de la circunferencia está fuera del ángulo (figura 144). En este caso se puede descomponer el ángulo A en dos ángulos BAD y CAD que cumplen el apartado a. BOD COD A = BAD – CAD = ––––– – ––––– = 2 2 (BOD – COD) BOC = –––––––––––– = ––––– 2 2

– La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central correspondiente al arco comprendido entre sus lados. Distinguimos tres casos posibles:

Figura 142

1̂

MEDIDA DE ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

A iˆ

2· ·R·n L = ––––––––––– = R · n 2· – Amplitud de un arco. Se llama amplitud de un arco a la medida del ángulo central correspondiente.

– La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones (figura 145). En efecto, si el ángulo A = i es el ángulo interior, como i es el ángulo exterior del triángulo ABD, i = 1 + 2. Pero 1 y 2 son ángulos inscritos.

a) Si un lado del ángulo pasa por el centro (figura 142). El ánguC D lo BOC, es un ángulo central que Figura 144 abarca el mismo arco que el ángumed (DE) med (BC) med 1 = ––––––––– y med 2 = ––––––––– lo A = 1. Se sabe, además, que 1 = 2 2 2 pues el triángulo AOC es isósceles. Por una o sea: propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo: med (DE) med (BC) med A = med i = ––––––––– + ––––––––– = 2 2 BOC BOC = 1 + 2 = 2 · 1 = 2 · A. Luego A = ––––– med (DE + BC) 2 = –––––––––––––– 2 b) Si el centro de la circunferencia está dentro – La medida de un ángulo exterior es igual a la del ángulo (figura 143). Se puede descompomedida de la semidiferencia de los arcos comner el ángulo A en dos ángulos BAD y DAC prendidos entre sus lados (figura 146). que según el apartado a: Si el ángulo A = e, el ángulo exterior, como 2 es BOD DAC el ángulo exterior del triángulo ADC, 2 = 1 + e; A = BAD + DAC = ––––– + ––––– = e = 2 – 1. Pero 1 y 2 son ángulos inscritos. 2 2 67

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA D 1̂

1̂

A', B, B' en que los ejes cortan a la elipse, se les llama vértices. AA' es el eje mayor y BB' es el eje menor de la elipse. A la distancia entre B y B' la designamos por BB' = 2b y entre A y A', AA' = 2a.

B A

ê D

2̂2̂

RELACIÓN ENTRE LOS ELEMENTOS DE LA ELIPSE

A E H Figura 146

Figura 147

Aplicando la definición de elipse se puede ver que la constante que aparece en la misma es precisamente 2a. Si suponemos que BB' = 2b como BF = BF' (figura 149), tenemos BF + BF = 2a, luego BF = a. Aplicando el teorema de Pitágoras:

med (BD) med (CE) med 1 = –––––––––; med 2 = ––––––––– 2 2 o sea: med (CE) med (BD) med A = med e = ––––––––– – ––––––––– = 2 2

a2 = b2 + c2, o bien b2 = a2 – c2; c2 = a2 – b2

med (CE – BD) = ––––––––––––– 2

EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE

Los ángulos semiinscritos son un caso particular de ángulos inscritos y su medida es la mitad del arco que abarcan.

Se llama excentricidad de una elipse al cociente c/a. Como c es menor que a, el cociente es siempre menor que 1: e = c/a; 0 e 1. Teniendo en cuenta que:

– Arco capaz de un ángulo A respecto a un segmento es un arco de circunferencia que tiene por cuerda dicho segmento y tal que todos los ángulos inscritos en él son iguales al ángulo dado (figura 147). – Potencia de un punto respecto de una circunferencia es el producto de las medidas de los segmentos determinados por dicho punto y los de intersección de cualquier secante a la circunferencia, que pase por el punto dado. Dicho producto es constante para cada punto.

a2 – b2 ) c ( e = –– = ––––––––– a a

LA ELIPSE Figura 148

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del mismo, llamados focos, es constante (figura 148). A la recta que determinan los focos, FF' se le llama eje principal o eje focal de la elipse. La distancia entre F y F', FF', es la distancia focal a la que se designa por 2c. El punto medio del segmento FF', O, es el centro de la elipse. A la perpendicular al eje focal por el centro O se le llama eje secundario. A los segmentos MF = d y MF' = d' se les llama radios vectores del punto M. A los puntos A,

a b A' F'

A F

Figura 149

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

F = F'

cia entre F y F' es la distancia focal y se le suele designar por 2c. El punto medio del segmento FF', O, es el centro de la hipérbola. La mediatriz de FF' se llama eje secundario o imaginario. A los segmentos MF = d y MF' = d' se les llama radios vectores del punto M. A los puntos A y A' en que la hipérbola corta al eje principal se les llama vértices de la hipérbola. A la distancia entre A y A' se le designa por AA' = 2a.

e=1 2

Figura 150

e=0

e=1

e=3 4

RELACIÓN ENTRE LOS ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

se puede deducir que los valores extremos son: – Si e = 0, c = 0, a2 = b2, por A' tanto a = b. Los semiejes son iguales. Se trata de una circunferencia. – Si e = 1, c = a, luego b = 0, por tanto se trata de un segmento AA'.

Aplicando la definición hipérbola, deducimos que la constante es 2a. El eje imaginario no corta la hipérbola. No obstante, consideraremos los puntos B y B', de forma que c2 = a2 + b2. A

Figura 151

EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA

La excentricidad nos da idea del achatamiento de la elipse. Cuanto mayor es la excentricidad, más achatada es la elipse (figura 150).

Se llama excentricidad de una hipérbola al cociente c/a. Como c es siempre mayor que a, el cociente es siempre mayor que:

TRAZADO DE LA ELIPSE

2 c c ( a + b2 ) 1 · e = –––; e 1 · e = ––– = ––––––––– a a a

Si conocemos 2a y 2c, o lo que es lo mismo, los focos F y F' y los vértices A y A' podemos tomar un punto cualquiera M entre O y F (figura 151) y trazamos dos arcos de radio AM, uno con centro F y otro con centro F'. Se repite lo mismo, pero ahora con radio A'M. Se cortarán con los anteriores en cuatro puntos. Estos cuatro puntos pertenecen a la elipse. Si elegimos otro punto N podemos hallar otros cuatro puntos de la elipse, y así sucesivamente.

luego, los valores extremos serán:

B c b

LA HIPÉRBOLA

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos del mismo, llamados focos, es constante (figura 152). A la recta que determinan los focos, FF' se le llama eje real o principal de la hipérbola. La distan-

B' Figura 152

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA

– Si e = , c = , los focos están en el infinito. Se trata de dos rectas paralelas que pasan por A y A', respectivamente. – Si e = 1, c = a, luego b = 0, por tanto se trata de dos semirrectas de extremos una A y otra A'. La excentricidad nos da idea de la forma de una hipérbola. Cuanto mayor es la excentricidad, más verticales son las ramas (figura 153)

F F'

e=1

F O

e=4

e=앝

TRAZADO DE LA HIPÉRBOLA

Figura 153

Suponemos conocidos 2a y 2c, o lo que es lo mismo, A' A F' O F los focos F y F' y los vértices A y A'. Tomamos un punto Figura 154 cualquiera M exterior al segmento FF' (figura 154). Trazamos dos arcos con radio AM, uno con centro en F y otro en F'. Se repite lo mismo, pero ahora con radio A'M. Se cortarán en cuatro puntos. Estos cuatro puntos pertenecen a la hipérbola. Si elegimos otro punto N podemos hallar otros cuatro puntos de la hipérbola, y así sucesivamente.

lamos el foco F (figura 156). Dibujamos el punto medio del P1 segmento DF que será el vértice de la M 1 M2 M3 parábola. Partiendo A e de A, vamos toF mando puntos M1, M2, M3, … y trazaQ1 mos por ellos paraQ2 lelas a la directriz, Q3 Figura 156 m1, m2, m3, … Haciendo centro en F, trazamos arcos de radio M1D, M2 D, M3 D que cortarán a m1 en P1 y Q1, a m2 en P2 y Q2, a m3 en P3 y Q3,… De esta maneF ra obtendremos puntos de la parábola. P3

LA PARÁBOLA

O e=2

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija, llamada directriz (figura 155). La distancia que los separa DF se representa por p y se llama parámetro de la parábola. La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. Al punto A en que la parábola corta al eje se le llama vértice de la misma. Al segmento que une un punto M cualquiera de la parábola con el foco se le llama radio vector del punto.

Figura 155

AUTOEVALUACIÓN

61. Calcula la longitud de una circunferencia de radio 12,32 cm. 62. ¿Cuánto mide un ángulo inscrito que abarca un arco de 72°? 63. Calcula la excentricidad de una elipse cuyos semiejes miden 5 y 4 cm respectivamente. 64. ¿Qué nombre recibe el conjunto de los puntos del plano que equidistan de un foco y de una directriz? 65. Halla la distancia focal de una hipérbola cuyos parámetros son a = 3 m y b = 4 m.

TRAZADO DE LA PARÁBOLA Trazamos una recta que será la directriz y una perpendicular a ella que será el eje. Sobre ésta seña70

ÁREAS DE POLÍGONOS Y DE FIGURAS CIRCULARES Entendemos por área de una figura plana la medida de su superficie, es decir, de su extensión. Para poder medir una superficie, tenemos que acordar previamente el valor de una superficie básica que tomaremos como unidad. Posteriormente, el resultado de la medición de una superficie será el número de veces que dicha superficie contiene a la unidad

100 dm2. Teniendo en cuenta esto, podemos observar que cada unidad de superficie contiene 100 unidades de orden inmediatamente inferior. Así:

UNIDADES EMPLEADAS PARA MEDIR ÁREAS

Para construir la unidad de superficie, partimos de 1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2 la unidad de longitud y construimos un cuadrado cuyo lado tenga dicha longitud. La superficie de di1 km2 = 100 hm2 = 10.000 dam2 = 1.000.000 m2 cho cuadrado será la unidad de áreas. Por ejemplo, 1 m2 = 0,01 dam2 = 0,0001 hm2 = 0,000001 km2 en la figura 157 si tomamos como unidad de super1 mm2 = 0,01 cm2 = 0,0001 dm2 = 0,000001 m2 2 ficie el cuadrado de lado 1u (u ), el área del rectángulo de la figura será 28u2. Si el lado del cuadrado Para pasar de una unidad de superficie a otra inmelo tomamos de 1 cm, a la unidad se le llama centídiatamente inferior se multiplica la primera por 100. metro cuadrado y se representa cm2. Sin embarPara pasar de una unidad de superficie a otra inmediatamente superior se digo, si consideramos como vide la primera por 100. longitud del lado 1 dm, la Hay otras medidas que unidad será el decímetro 1u2 1u suelen utilizarse en agricuadrado (dm2), si la lon1u cultura (figura 158) como gitud es de 1 m, el metro 2 1u son la hectárea = 1 hm2, cuadrado (m2), etc. Tomaremos, pues, como el área = 1 dam2 y la cenunidad de superficie el tiárea = 1 m2. metro cuadrado que seFigura 157 ría la medida de la extensión de un cuadrado de ÁREA DE LOS lado un metro, y sus múltiPOLÍGONOS plos, el decámetro cuadrado (dam2), el hectómetro Si queremos calcular la cuadrado (hm2), el kilómemedida del área de una figura geométrica tentro cuadrado (km2), y subdremos que ver las veces múltiplos, el decímetro que contiene al área unicuadrado (dm2), el centídad. En el caso de un recmetro cuadrado (cm2) y tángulo es fácil observar el milímetro cuadrado que si sabemos cuántas (mm2). Como cada metro unidades de longitud tieequivale a 10 dm, un mene la base y cuántas tiee tro cuadrado contendrá Figura 158 71

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA B

la altura, el área contendrá tantas como el producto de ambas. Así pues tendremos: Área del rectángulo = base altura

es el producto de los dos lados desiguales. Ejemplo: Para hallar el área de un rectángulo cuya diagonal mide 75 cm y sus lados están en la razón 3 a 4, primero habremos de hallar los lados, b y h.

D F

E Figura 160

h 3 3b –– = ––, luego h = –––, además, b2 + h2 = 752, b 4 4

gulo se ve claramente que es dos veces el área del rombo. Así pues:

9b2 luego b2 + –––– = 5.625; 25b2 = 90.000, 16

Arectángulo = d d' = 2 Arombo.

con lo que b2 = 3.600; b = 60 cm; h = 45 cm; A = 45 · 60 = 2.700 cm2

(d d) luego: Arombo = –––—–– 2 (diagonal mayor diagonal menor) Área del = –––—––––––––––––––––––––––––––– rombo 2

En el caso del cuadrado, como es un rectángulo cuya base mide lo mismo que su altura:

Ejemplo: El área de un rombo cuyas diagonales miden 20 y 8 cm será:

Área del cuadrado = lado lado = lado2

(20 · 8) A = –––––––– = 80 cm2 2

– Área de un romboide. Sea el romboide ABCD (figura 159). Supongamos que AD = b es la base del paralelogramo y que BE = h es la altura del mismo. Tenemos que el área del romboide ABCD será igual a la del rectángulo BCFE, pues este último se ha obtenido del romboide quitándole el triángulo ABE y poniéndolo a la derecha, DFC. Luego el área del romboide ABCD = área rectángulo EBCF = b h. En consecuencia:

– Área del triángulo. Sea el triángulo ABC (figura 161). Trazamos por A una recta paralela al lado BC y por C una recta paralela al lado AB. Dichas rectas se cortarán en el punto D. Sea h la altura correspondiente al lado AB. Se nos ha formado un paralelogramo ABCD en el cual una diagonal es el lado AC. AC divide al paralelogramo ABCD en dos triángulos iguales. Luego el área del triángulo ABC será la mitad del área del paralelogramo ABCD. Así:

Área romboide = base altura B

(AB h) Atriángulo = –––––––– 2

luego: (base altura) Área del triángulo = ––––––––––––– 2

C A

F D

Figura 159

– Área del rombo. Si dibujamos un rombo ABCD (figura 160) si las diagonales son AC = d y BD = d', y por cada vértice del mismo trazamos una recta paralela a la diagonal, se nos formará el rectángulo EFGH, cuya base vale EF = AC = d y cuya altura vale EH = BD = d'. El área de dicho rectán-

B A

Figura 161

ÁREAS DE POLÍGONOS Y DE FIGURAS CIRCULARES C

triángulos isósceles iguales. La altura de cada uno de ellos será a, que coincidirá con la apotema del polígono. El área de uno de los triángulos será: (l a) AAOB = –––––––. 2

h h

Como hay n triángulos iguales: A

(n l a) Apoligono = n AAOB = –––––––––– 2

Figura 162

pero el perímetro P = n l, luego:

– Área del trapecio. Sea el trapecio ABCD (figura 162). Tracemos la diagonal AC. Se nos ha formado el triángulo ACD cuya altura es h, y el triángulo ABC de altura también h.

(P a) Apolígono = ––––––– 2 Área polígono = semiperímetro apotema

(AD h) (BC h) AACD = –––––––––; AABC = –––––––––, 2 2 luego:

Ejemplo: Para hallar el área de un hexágono regular de lado 6 cm, tendremos que hallar primero la apotema. Si nos fijamos en la figura 163, a = 62 – 32 = 36 – 9 = 27 = 3 3 cm. El área será A = 6 · 6 · 3 3 /2 = 54 3 cm2 Para hallar el área de un polígono no regular, se trianguliza y se hallan las áreas de cada uno de los triángulos. La suma será el área del polígono.

(AD h) (BC h) AABCD = AACD + AABC = ––––––––– + ––––––––– = 2 2 (AD + BC) h = –––––––––––––– 2 luego: Área del trapecio = semisuma de las bases altura

ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES Ejemplo: El área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 4 y 8 cm y la altura 3 cm será:

– Área del círculo. Al considerar el círculo como un polígono con infinitos lados se ve claramente que el perímetro del polígono pasa a ser la longitud de la circunferencia, y la apotema del polígono se convierte en el radio del círculo. Así pues, el área del círculo será:

(4 + 8) · 3 A = ––––––––– = 18 cm2 2 – Área de un trapezoide. Para hallar el área de un trapezoide se divide éste en dos triángulos y se hallan las áreas de los dos. La suma de ambas áreas será la del trapezoide. – Área de un polígono regular. Sea el polígono regular ABCDEF (figura 163) del cual podemos suponer E que tiene n lados y cada uno de dichos lados mide l. El perímetro del mismo será P. Si descompone- F O mos el polígono en triángulos uno de cuyos vértia ces esté en el centro del polígono y los otros sean A l los vértices del mismo, se Figura 163 nos habrán formado n

perímetro · apotema Acírculo = ––––––——––––––––– = 2 2· ·R·R = ––––––––––– = · R2 2 D

Ejemplo: El diámetro de una circunferencia es 16 dm, la longitud de la misma será L = 16 · · 3,14 = 50,24 dm y el área, A = 3,14 · 82 = = 200,96 dm2. – Área del sector circular (figura 164). El área de un círculo de radio R es A = R2. El área de un sector circular de 1° de amplitud será unas trescientas sesentava parte, R2 /360. Por tanto el área de un sector de n° de amplitud será:

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA B

n° l

R O

n° R O Figura 165

A B

Figura 164

· R2 · n Asector = ––––––––– 360 Como el arco base del sector tiene una longitud:

Figura 166

· R · n luego A · R2 · n = = ––––––––– Larco = ––––––––, sector 180 360 Larco · R = –––––––– 2

Figura 167

– Área de un trapecio circular. Si el trapecio circular tiene n° de amplitud

Es decir, que puede considerarse el sector circular como un triángulo cuya base es un arco de circunferencia y la altura el radio. Ejemplo: Si queremos hallar el área de un sector circular de amplitud 30° que pertenece a un círculo de 6 cm de radio, haremos:

· (R2 – r2) · n Atrapecio = ––––––––—––––– 360 Ejemplo: El área de una corona circular limitada por dos circunferencias, una de radio R = 15 cm y otra de radio r = 8 cm, es A = (R2 – r2); A = · (225 – 64) = 161π cm2 505,8 cm2. Si en dicha corona consideramos el trapecio circular de 45° de amplitud, el área del mismo será:

· R2 · n 3,14 · 62 · 30 A = ––––––––– con lo que: A = ––—–––––––– = 360 360 = 9,42 cm2 – Área del segmento circular (figura 165). El área de un segmento circular será igual al área del sector circular correspondiente menos el área del triángulo formado por los dos radios y la cuerda, AOB. – Área de la corona circular (figura 166). Para hallar el área de la corona circular restaremos al área del círculo exterior el área del círculo interior.

161 · · n 161 · 45 A = –––––—––––– = –––––—–––– = 360 360 161 = ––—––– cm2 63,22 cm2. 8

Acorona = Ae – Ai = · R2 – · r2 = · (R2 – r2)

i AUTOEVALUACIÓN

66. Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 4 dm respectivamente. 67. La superficie de un trapecio mide 16 cm2, su base mayor 10 cm y su altura 2 cm. ¿Cuánto mide su base menor? 68. Un sector circular tiene una superficie 450 m2 y abarca un ángulo de 45°. Calcula su radio.

Ejemplo: Si en el centro de una plaza circular (figura 167) de radio 50 m, está situado un monumento circular de radio 5 m, el resto mide: Acorona = · 502 – · 52 = (502 – 52) = = (2.500 – 25) = · 2.475 7.771,5 m2 74

SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD La semejanza es una consecuencia de la proporcionalidad entre las longitudes de los segmentos que a su vez es un caso particular de la proporcionalidad entre magnitudes cualesquiera.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE MAGNITUDES

Así, por ejemplo, si un segmento x mide 100 dm y otro segmento y mide 60 cm, la razón será x/y = = 100/60 = 5/3. Dos segmentos x, y son proporcionales a los segmentos p, q cuando:

Decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando a cada cantidad de la primera corresponde una y sólo una cantidad de la segunda de manera que si multiplicamos o dividimos una cantidad de la primera magnitud por un número, la cantidad correspondiente de la segunda magnitud queda multiplicada o dividida, a su vez, por el mismo número y si sumamos dos cantidades de la primera las cantidades correspondientes de la segunda quedan sumadas. Por ejemplo, son magnitudes diFigura 168 rectamente proporcionales el peso de una determinada mercancía y el precio, el interés producido por un capital y dicho capital (figura 168), la distancia que recorre un automóvil que lleva velocidad constante y el tiempo que emplea en recorrerla, pero no serán proporcionales, por ejemplo, la velocidad que lleva un coche con movimiento uniforme para recorrer una distancia y el tiempo empleado, ya que, por ejemplo, si aumentamos la velocidad al doble, el tiempo se divide por dos. Ya en la antigüedad, se estudiaron las relaciones entre segmentos proporcionales. Tales de Mileto (630–546 a.C.) calculó la altura de la famosa pirámide de Keops en Egipto utilizando la relación entre su bastón y la sombra proyectada por éste en la arena del desierto y la de la pirámide. Estableció el teorema que lleva su nombre. Llamamos razón entre dos segmentos al cociente de sus medidas expresadas en las mismas unidades.

(medida x) (medida p) ––––—–––––– = –––—–––––––. (medida y) (medida q)

TEOREMA DE TALES Supongamos que tenemos dos rectas, r y r' que se cortan en el punto O (figura 169). Sobre cada una de ellas tomamos segmentos iguales interceptados por rectas paralelas AA', BB', CC', DD'. Los segmentos AB = BC = CD; A'B' = B'C' = C'D'. Se puede observar en la figura que, O A' B'

A B'' B

C' C''

D' D''

r' D r

Figura 169

BD AD BD 2 en la recta r, –––– = 2; –––– = 3; –––– = –– AB AB AD 3 B'D' A'D' B'D' 2 en la recta r', ––––– = 2; ––––– = 3; ––––– = –– A'B' A'B' A'D' 3 BD B'D' así pues, –––– = –––– AD A'D' 75

Página 76

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA

BD = –––– AD o bien, –––– B'D' A'D'

segmentos dados a y b, a un segmento x que cumple la condición: a/b = b/x. Para construir una a tercera proporcional (figura 172) se b dibujan dos semiX rrectas concurrenFigura 172 x tes en O. Sobre C b las semirrectas se a b trazan los seg- O A B mentos OA = a, AB = b, OC = b. b C x B A Se traza la recta AC y por B una paralela a la anterior que determinará el segmento CX = x buscado. Ejemplos: Si queremos hallar la cuarta proporcional a los segmentos a = 6 cm, b = 5 cm, c = 60 cm, como sabemos que x ha de cumplir a/b = c/x; 6/5 = 60/x luego x = 50 cm. Para hallar la tercera proporcional a los segmentos a = 27 dm y b = 9 dm, tendremos que x cumplirá a/b = b/x, 27/9 = 9/x, luego despejando:

Se puede hacer lo mismo con cualquiera de los otros segmentos. Teorema de Tales: «Los segmentos determinados en dos rectas concurrentes por varias rectas paralelas, son proporcionales» AB BC CD ––––– = ––––– = ––––– A'B' B'C' C'D'

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES División de un segmento en partes iguales. Es una aplicación del teorema de Tales (figura 170). Dibujamos el segmento AB que queremos dividir en 6 partes, por ejemplo, y a continuación, por el extremo A dibujamos una semirrecta que forme un ángulo cualquiera con la primera. En esta semirrecta, con el compás, llevamos seis segmentos iguales, uno a continuación del otro. Unimos el último extremo B' con el último del primer segmento B y por los puntos G', F', E', D', C', trazamos B' paralelas a la recta G' Figura 170 BB' utilizando la reF' gla y la escuadra. E' Los segmentos D' en que dividen C' estas paralelas al segmento A B C D E F G AB, según el teorema de Tales, son iguales al serlo los segmentos que hemos dibujado con el compás.

x = 81/27 = 3 m. Triángulos en posición de Tales. En la figura 173 tenemos los triángulos ABC y AB'C', donde BC y B'C' san paralelos. Por el teorema de Tales, AB/AB' = AC/AC'. Si trazamos la recta CM, paralela a AB, por Tales otra vez, tenemos: AC/AC' = = BC/BM, ahora bien, BM = B'C', por ser segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas, luego AC/AC' = BC/B'C' y junto con la obtenida anteriormente, podemos poner: AB/AB' = AC/AC' = = BC/B'C'. Si en un triángulo dibujamos una paralela a uno de sus lados, se obtiene un nuevo triángulo que diremos está en posición de Tales respecto del pri-

Construcción del cuarto proporcional a tres segmentos. Llamamos cuarto proporcional a tres segmentos dados a, b, c a un segmento x que cumple la condición a/b = c/x. Para construir el cuarto proporcional (figura 171), dibujamos dos semirrectas concurrentes en O. Sobre ellas trazamos a los segmentos OA = a, AB = b, b OC = c. Se traza AC y luego la c paralela a ésta por B, BX que determinará el segmento CX = x buscado. Construcción del tercero proporcional a dos segmentos. Se llama tercero proporcional a dos

Figura 171

Figura 173

c O

b A

SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD

mero. Si dos triángulos están en posición de Tales, tienen sus lados proporcionales.

pueden poner en posición de Tales. Por tanto serán semejantes. – Segundo caso: Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido entre ellos. En este caso los podremos poner en posición de Tales sin más que hacer coincidir el ángulo igual. Por tanto serán semejantes. – Tercer caso: Dos triángulos son semejantes cuando tienen los tres lados proporcionales. Si los dos triángulos tienen los tres lados proporcionales, tendrán los tres ángulos iguales, con lo que se podrán poner en posición de Tales y por tanto serán semejantes.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Decimos que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados proporcionales. Es decir, cuando se pueden poner en posición de Tales (figura 174). Si los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes podemos mover uno de ellos de manera que queden en posición de Tales. A los laA A' dos que se oponen a ángulos iguales en triánCasos de semejanza de triángulos rectángulos. gulos semejantes se En el caso de los triángulos rectángulos como ésles llama lados hoC' B'' tos siempre tienen un ángulo igual, el recto, y comólogos. Así, en la B' C nocidos dos lados queda determinado el tercero, figura 175, serán Figura 174 podemos resumir los anteriolados homóloB res casos de semejanza gos los pares Figura 175 de la siguiente forma: de lados AB y B' C A'B', BC y B'C' B – Primer caso: Dos y AC y A'C'. triángulos rectánDos triángulos semejantes tendrán gulos son semepues los lados proporcionales. Al coC A' C jantes cuando ciente de dos lados homólogos, se le A tienen un ángulo llama razón de semejanza: agudo igual. AB AC BC – Segundo caso: Dos triángulos rectángulos son ––––– = ––––– = ––––– = k A'B' A'C' B'C' semejantes cuando tienen proporcionales dos lados homólogos. Así, si los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes lo indicaremos mediante el símbolo ∼ y pondremos ABC ∼ A'B'C'. Se verificará: POLÍGONOS SEMEJANTES Diremos que dos polígonos son semejantes cuando sus lados homólogos sean proporcionales y sus ángulos homólogos iguales. Si dos polígonos son semejantes se pueden descomponer en triángulos que serán así mismo semejantes. Si tenemos dos polígonos semejantes (figura 176) tendremos que la razón de semejanza será el cociente entre los lados homólogos. Si además aplicamos una propiedad de las proporciones tendremos: AB BC CD ––––– = ––––– = ––––– = … = A'B' B'C' C'D'

AB AC BC A = A'; B = B'; C = C'; ––––– = ––––– = ––––– A'B' A'C' B'C' Criterios de semejanza de triángulos. Dados dos triángulos, para saber si son semejantes los moveremos uno sobre el otro y veremos si pueden ponerse en posición de Tales. Si es posible diremos que los triángulos son semejantes (figura 174). – Primer caso: Dos triángulos son semejantes cuando tienen iguales dos ángulos: A = A; B = B '. Como A = A' y B = B', A + B = A' + B', con lo que, = 180° – (A' como C = 180° – (A + B ) y C' + B ') nos queda C = C'. Es decir, que los dos triángulos tienen los tres ángulos iguales, con lo que se

AB + BC + CD + … P = –––––––––––––––––––– = ––– = k A'B' + B'C' + C'D' + … P' 77

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA

proyección será un punto D' = E'. Si el segmento es oblicuo, B'C' < BC. Si en un triángulo rectángulo BAC, recto en A, trazamos la altura relativa a la hipotenusa (figura 178), se nos forman otros dos triángulos rectángulos, BHA y AHC. Los tres triángulos son semejantes: BAC ∼ BHA ∼ AHC. Para probarlo, como los tres son rectángulos, únicamente hará falta probar que tienen un ángulo agudo igual, según el primer criterio de semejanza de triángulos rectángulos. BAC ∼ BHA pues tienen el ángulo B común. BAC ∼ AHC ya que tienen el ángulo C común. Luego los tres son semejantes. Se dice que un segmento x es media proporcional entre otros dos, a y b, cuando a/x = x/b o lo que es lo mismo, x2 = a · b.

B Figura 176 B'

I C

A II

A' II '

III E

III ' D

o sea, que la razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de semejanza. Si queremos hallar la razón entre las áreas de dos polígonos semejantes: a P ––– área 2 P a –––– = ––––––––– = –––––– = área a' P' a' P ––– 2

TEOREMA DE LA ALTURA En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa. En efecto, en la figura 178, los triángulos rectángulos BHA y CHA son semejantes según hemos visto, luego los lados serán proporcionales:

P a = ––– ––– = k k = k2 P' a' Es decir, la razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. Ejemplo: Los lados de un triángulo miden 12, 8 y 5 cm respectivamente. El perímetro de otro triángulo semejante al anterior mide 75 cm. Queremos hallar los lados de este último. Como P = 25 cm y P' = 75 cm, k = P/P' = 25/75 = 1/3, Luego, a/a' = = 12/a' = 1/3, a' = 36 cm; b/b' = 8/b' = 1/3, b' = = 24 cm; c/c' = 5/c' = 1/3, c' = 15 cm.

h n ––– = –––, o sea h2 = m · n m h

TEOREMA DEL CATETO En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. En efecto, en la figura 178, los triángulos BHA y BAC son semejantes, según hemos visto anteriormente, luego los lados homólogos son proporcionales: a/c = c/m, por tanto: c2 = a · m. Lo mismo podemos hacer con el otro triángulo, CHA, y queda:

APLICACIÓN DE LA SEMEJANZA A LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Proyección (figura 177). Llamamos proyección ortogonal de un punto A sobre una recta r al pie A' de la perpendicular trazada desde el punto Figura 177 a la recta. A' es la proyección de A. La recta sobre la que se proyecta se llama eje de A B proyección y la perpendicular AA' es la proyectante. La proyección de un segmento sobre un eje es la parte de eje limitada por las proyecciones de los puntos extremos. Si el segmento AB es paralelo al eje de proyección, AB = A'B'. Si AB es perpendicular al eje de proyección, su A' B' 78

D' E'

SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD b

Figura 178

APLICACIÓN DE LA SEMEJANZA A LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y OBTUSÁNGULOS

n a

– Cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo. En todo Figura 179 triángulo se verifica que el cua1 2 1 c c c drado del lado opuesto a un án2 a gulo agudo es igual a la suma de a los cuadrados de los otros dos 3 lados, menos el duplo del proa ducto de uno de ellos por la prob b b a b yección del otro sobre él. a 4 4 – Cuadrado del lado opuesto a 3 un ángulo obtuso. En todo c c b c b triángulo obtusángulo se verifica (1) (2) (3) que el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadraa b dos de los otros dos lados, más el duplo del produc––– = –––, luego b2 = a · n b n to de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras y los dos anteriores que acabamos de ver, podemos afirmar TEOREMA DE PITÁGORAS que el cuadrado de un lado de un triángulo es meEn todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hinor, igual o mayor que la suma de los cuadrados de potenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, según que se oponga a un ángulo agulos catetos. do, recto u obtuso. Recíprocamente, un ángulo de En efecto, del teorema del cateto se deduce que: un triángulo es agudo, recto u obtuso, según que el c2 = a · m, b2 = a · n cuadrado de su lado opuesto sea mayor, igual o menor que la suma de los cuadrados de los otros dos. Así pues, para saber si un triángulo es rectángulo, y sumando ambas igualdades: acutángulo u obtusángulo, si a es el lado mayor, c2 + b2 = a · m + a · n = a · (m + n) = a · a = a2 resulta lo siguiente: c

a) Si a2 = b2 + c2, el triángulo es rectángulo. b) Si a2 < b2 + c2, el triángulo es acutángulo. c) Si a2 > b2 + c2, el triángulo es obtusángulo.

ya que m + n = a. Se puede expresar también de la forma: a = b2 + c2; b = a2 – c2; c = a2 – b2 Veamos gráficamente el teorema de Pitágoras (figura 179). Tenemos dos cuadrados de lado b + c. Ambas figuras son equivalentes pues tienen la misma área. Dibujamos un triángulo rectángulo de hipotenusa a y catetos b y c. Disponemos cuatro triángulos como el dado (2) según la figura. La parte más clara habrá de ser igual en ambos cuadrados. Esta parte, (1) es un cuadrado de lado a y en (3) dos cuadrados de lados uno b y el otro c. Luego el área del primero es igual a la suma de las áreas de los otros dos, por tanto:

i AUTOEVALUACIÓN

69. Calcula la longitud de un segmento que sea cuarto proporcional a otros tres, que miden 12, 6 y 4 dm respectivamente. 70. Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes.Verdadero o falso. 71. Los lados de un triángulo miden 3, 4 y 5 mm respectivamente. Calcula las longitudes de los lados de otro triángulo semejante de perímetro 24 mm. 72. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8 m respectivamente. Halla la longitud de la hipotenusa.

a2 = b2 + c2 79

CUERPOS GEOMÉTRICOS La diferencia fundamental entre los cuerpos geométricos en el espacio y las figuras planas es la dimensión. Las figuras planas tienen sólo dos dimensiones ancho y alto. En cambio, los cuerpos geométricos tienen tres, ancho, alto y profundo. En este capítulo estudiaremos los cuerpos geométricos que subdividiremos en dos grandes grupos: los poliedros y los cuerpos redondos.

NOCIONES BÁSICAS

V = vértice AVC, BVA, CVB, = caras

La región del espacio limitada por tres planos que se cortan en un punto recibe el nombre de ángulo triedro. Llamamos vértice del triedro al punto de intersección de los tres plaA nos. Dichos planos se cortan dos a dos formando rectas a las que denominamos aristas del triedro. Por último, las superficies planas contenidas entre las aristas se denominan caras del triedro (figura 180). Cada par de caras consecutivas forman un ángulo diedro. Los ángulos y las caras del triedro se miden en grados. Llamaremos ángulo poliedro a la región del espacio limitada por varios planos con un punto en común, es decir, varios ángulos con vértice común es el vértice del ángulo poliedro (figura 181). Cada dos ángulos consecutivos, o caras, tienen un lado común llamado arista. Cada dos caras consecutivas forman un ángulo diedro. Obsérvese que un triedro es un ángulo poliedro con tres caras. Si cortamos un ángulo poliedro por una arista obtenemos su desarrollo plano, observándolo vemos que la suma de las caras de un ángulo poliedro debe ser inferior a 360° (figura 182).

D V

A B V = vértice B

Figura 180

AVB, BVC, CVD, DVA = caras Figura 181

do la superficie original. Esa imagen nos da la idea de poliedro (figura 183). Llamaremos caras a los polígonos que limitan el polieFigura 182 dro. Los vértices y lados de los polígonos serán los vértices Figura 183 y las aristas del poliedro. Cada dos caras concurrentes en una arista forman un diedro y las caras concurrentes en un mismo vértice un ángulo poliedro (figura 184). 6 caras 8 vértices 8 ángulos poliedros 12 ángulos diedros

Figura 184

POLIEDROS POLIEDROS REGULARES

Un cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos recibe el nombre de poliedro. Podemos pensar en un sólido limitado por polígonos, por ejemplo un dado o un tronco de árbol al que hemos corta-

Un poliedro cuyas caras son todas polígonos regulares iguales y en cada vértice concurren el mismo 80

CUERPOS GEOMÉTRICOS

ángulo mayor de 360°, lo que nos indica que no se trata de un ángulo poliedro. Lo mismo nos pasa si queremos tomar más cuadrados o más pentágonos por vértice, obtenemos 360 o más grados y por tanto no podemos hablar de ángulo poliedro. Si intentamos formar poliedros regulares con polígonos de 6, 7, 8, o más lados tampoco obtenemos ángulos poliedros por el mismo motivo, ya que solamente tomando tres polígonos por vértice obtenemos 360° o más.

número de caras formando ángulos poliedros iguales recibe el nombre de poliedro regular. Solamente existen cinco poliedros regulares formados por triángulos equiláteros, cuadrados o pentágonos regulares, veamos cuáles son: Figura 185

– Tetraedro regular. Poliedro formado por cuatro triángulos equiláteros de manera que en cada vértice se unen tres aristas. En un tetraedro encontramos cuatro caras, cuatro vértices y seis aristas (figura 185). – Octaedro regular. PolieTetraedro dro formado por ocho triángulos equiláteros de Figura 186 manera que en cada vértice concurren cuatro aristas. En un octaedro encontramos ocho caras, seis vértices y doce aristas (figura 186). – Icosaedro regular. Poliedro formado por veinte triángulos equiláteros de maOctaedro nera que en cada vértice se unen cinco aristas. En un icosaedro encontramos veinte caras, doce vértices y treinta aristas (figura 187). – Hexaedro regular o cubo. Poliedro formado por seis cuadrados de maIcosaedro nera que en cada vértice conFigura 187 curren tres aristas. En un cubo encontramos seis caras, ocho vértices y doce aristas (figura 188). – Dodecaedro regular. Poliedro formado por doce pentágonos regulares de manera que en cada vértice se unen tres Hexaedro aristas. En un dodecaedro enFigura 188 contramos doce caras, veinte vértices y treinta aristas (figura 189). Obsérvese que no existe ningún otro poliedro regular distinto de éstos, pues si tomamos más triángulos equiláteros concurrentes en un mismo vértice obtenemos un

PRISMAS Un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos a modo de bases y con paralelogramos en sus caras laterales recibe el nombre de prisma (figura 190). Distinguiremos dos tipos: los prismas rectos, que serán aquellos cuyas aristas son perpendiculares a los planos de las bases y los prismas oblicuos, en caso contrario. En un prisma recto las caras laterales son rectángulos. Llamaremos prisma regular a un prisma recto cuyas bases sean polígonos regulares. Destacaremos el prisma llamado paralelepípedo, cuyas bases son paralelogramos. Si se trata de un paralelepípedo recto con rectángulos como bases lo llamaremos ortoedro y si sus bases son cuadrados hexaedro o cubo. Figura 190

PIRÁMIDES

Dodecaedro Figura 189

Un poliedro limitado por un polígono cualquiera como base y por triángulos como caras laterales recibe el nombre de pirámide (figura 191). Según sea la base, un triángulo, un cuadrilátero, un pentá-

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA

gono, etcétera, la pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal, etcétera. Obsérvese que la pirámide triangular no es más que el tetraedro y en ella se puede considerar cualquier cara como base.

Figura 191

CUERPOS REDONDOS ÁREAS DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMÉTRICAS

Llamaremos cuerpos de revolución a los que se obtienen al girar 360° una figura plana alrededor de un eje. Trataremos sólo los llamados cuerpos redondos, es decir, el cilindro, el cono y la esfera.

En el caso de los poliedros regulares es fácil calcular su área pues se trata de calcular el área de uno de los polígonos que lo limitan y multiplicar por el número de caras que tenga:

– Cilindro. Si tomamos un recC O tángulo y lo hacemos girar A 360° alrededor de uno de sus lados obtenemos el cuerpo de revolución llamado cilindro (figura 192). El lado del rectángulo usado D como eje recibe el nombre de O' altura del cilindro y el lado B opuesto al eje el de generatriz Figura 192 de la superficie lateral del cilindro. Los otros lados del rectánO gulo son radios del cilindro y de los círculos que forman las bases. – Cono. Si tomamos un triángulo rectángulo y lo hacemos girar 360° alrededor de uno de sus catetos obtenemos el cuerpo B de revolución llamado cono O' (figura 193). A La longitud del cateto usado Figura 193 como eje recibe el nombre de altura del cono, el otro cateto engendra un círculo llamado base del cono, cuyo radio es el cateto y la hipoP tenusa es la generatriz o apotema. – Esfera. Si tomamos un semicírculo y lo hacemos girar 360° alrededor de su diámetro obtenemos el cuer- A O po de revolución llamado esfera (figura 194). La medida del radio de la esfera coincide con la del semicírculo al igual que la del P' diámetro. Figura 194

Área tetraedro = 4 · Área triángulo Área octaedro = 8 · Área triángulo Área icosaedro = 20 · Área triángulo Área cubo = 6 · Área cuadrado Área dodecaedro = 12 · Área pentágono Recordemos ahora el área del triángulo equilátero, del cuadrado y del pentágono para poder sustituir y encontrar la relación final. Para el triángulo (figura 195):

a Figura 195

a·h A = ––––– 2 Pero: h=

2 2

3a a 3 = ––––– a – ––2a = –––– 4 2

Entonces: a 3 a · ––––– 3 3 2 a2 · A = ––––––––– = –––––––– = ––––– a2 2 4 4 De donde: 4 · 3 3 a2 Área tetraedro = ––––––– = 4 · a2 B

8 · 3 3 a2 Área octaedro = ––––––– = 2 4 · a2 20 · 3 3 a2 Área icosaedro = ––––––– = 5 4 · a2

Para el cuadrado (figura 196): A = a2. 82

CUERPOS GEOMÉTRICOS a

De donde: Área cubo = 6 · a2 = 6a2 a

perímetrobase · apotema + áreabase Áreatotal = –––––––––––———–––––– 2

En el caso de los cuerpos de revolución hay que tratarlos por separado:

Para el pentágono (figura 197): perímetro · apotema A = ––––––———––––––––– = 2 5a · apotema = –––––——––––– 2 De donde: Área dodecaedro =

a Figura 196

– Cilindro. El área total de un cilindro se obtiene sumando al área lateral el área de las bases. El área lateral corresponde a la de un rectángulo cuya base es el perímetro de la circunferencia y cuya altura es la del propio cilindro llamada generatriz. El área de las bases es la de dos círculos de radio el del cilindro.

5a · apotema = 12 · ––—–––––––– = 30a · apotema 2

Árealateral = 2 r · g; Áreabase = r2

Apotema

Figura 197 En el caso de los prismas el área se calcula sumando al área lateral el área de cada una de las bases. Recordemos que las caras laterales son rectángulos y su área es conocida, al igual que el área de las posibles bases que son polígonos.

Áreatotal = 2 rg + 2 r2 = 2 r (g + r) – Cono. El área total de un cono se obtiene sumando al área lateral el área del círculo base. El área lateral corresponde a la de un sector circular cuyo radio es la generatriz del cono y el arco que equivale a la longitud de circunferencia de la base, su perímetro.

Área = árealateral + 2áreabase = = perímetro · altura + 2 áreabase Para un ortoedro de dimensiones a, b, c será (figura 198):

L·g 2 r · g Árealateral = –––––– = ––––––– = rg 2 2

Área = 2a · b + 2a · c + 2b · c

Áreatotal = rg + r2 = r (g + r) – Esfera. El área de la superficie esférica de radio r viene dada por la expresión:

Áreatotal = 4 · r 2 b

a Figura 198

VOLUMEN DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMÉTRICAS

En el caso de las pirámides regulares hay que sumar al área de la base el área de cada uno de los triángulos que forman las caras laterales:

Para calcular el volumen de un prisma regular cuadrangular supondremos que el espacio que ocupa está formado por cubos de 1 cm3 de volumen (figura 199). La base del prisma se puede dividir en cuadrados iguales de 1 cm de lado por Figura 199 tanto en la base ca-

b·h Áreatriángulo = ––––– 2 b·h Árealateral = n · ––––– (n triángulos) 2 b·h Áreatotal = n · ––––– + áreabase 2 También se puede escribir en función del perímetro de la base y la apotema de la pirámide: 83

MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA

Figura 201

a En resumen, un tercio del área de la base de la pirámide por h1 su altura, expresión generalizable a cualquier pirámide. a — En el caso del tetraedro, 2 pirámide triangular regular, necesitamos conocer la altura de la pirámide. Sabemos que el pie de la altura coincide con el baricentro del triángulo base, busquemos esta altura (figura 201):

brán tantos cubos de 1 cm como cuadrados tengamos. Encima de ellos podemos colocar otros cubos del mismo tamaño hasta completar la altura del prisma. El volumen total se obtendrá multiplicando el área de la base por la altura: Volumenprisma = áreabase · h Este razonamiento es válido para cualquier otro prisma por tanto será la expresión del volumen de cualquier prisma regular. En el caso del cubo, poliedro regular con seis caras iguales, cuadrados de lado a, obtenemos: 2

a 2 2 a – –– 2

Volumencubo = áreabase · h = a · a = a

En el caso del ortoedro de lados a, b, c, habrá que multiplicar sus aristas:

a2 2

a – –––4 =

h1 =

a 3a2 –––– = ––– 3

Figura 202

Observemos que la altura buscada h es un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la arista a y su otro cateto es 2/3 de h1, tenemos pues (figura 202):

Volumenortoedro = a · b · c H Para calcular el voluG F men de una pirámi- E h de consideraremos un cubo en el que a O situaremos seis piráh mides cuadrangulaD res regulares iguaC les, de manera que A B sus bases coincidan Figura 200 con las caras del cubo y sus vértices con el centro (figura 200). De esta forma el volumen de cada una de las pirámides ha de ser 1/6 del volumen del cubo:

2 2 2

a – ––3 h 1

2 — h1 3

2 a 3 2

2 2 2

3a = a – –––– = a – ––––– 3 9

6a2

a = ––– 6 –––– 9 3

De donde el volumen del tetraedro será: 1 1 ah1 Volumentetraedro = ––– áreabase · h = ––– –––– h= 3 3 2

1 · volumen Volumenpirámide = ––– cubo 6

1 a2 a 6 a33 2 a3 2 3 ––––– = –––––––– = ––––––– = ––– ––– 3 4 3 3·4·3 12 Para calcular el volumen del octaedro, como está formado por dos pirámides cuadrangulares regulares cuyas caras laterales son triángulos equiláteros iguales, es necesario multiplicar por dos el volumen de una de las pirámides (figura 203):

Como la altura del cubo es doble que la de la pirámide nos queda: 1 · volumen Volumenpirámide = ––– = cubo 6 1 · área = ––– ·a= base 6

2 Volumenoctaedro = ––– áreabase · h 3

1 1 = ––– · áreabase · 2h = ––– · áreabase · h 6 3 84

Figura 203 a h D

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Pero la altura h de una de las pirámides coincide con la mitad de la diagonal D del cuadrado de la base común: D = 2h, h = D/2. a 2 a2 + a2 = a 2, entonces: h = ––––– Como: D = 2 Nos queda: Volumenoctaedro = 2 a 2 a3 2 = ––– a2 ––––– = –––––– 3 2 3 Para calcular el volumen del cilindro consideraremos un prisma regular inscrito en su interior. Al aumentar el número de caras del prisma su volumen se acercará al del cilindro. La altura del cilindro coincide con la del prisma y el área de la base tiende a ser el área del círculo base del cilindro (figura 204). Obtenemos:

Figura 206

El volumen de la esfera será la suma de los volúmenes de todas las pirámides que la forman. Atendiendo a ello, nos queda: Volumenesfera = volumenpirámide + 1

+ volumenpirámide + … =

Figura 204

1 1 = –– · r · áreabase + –– · r · áreabase + … = 1 2 3 3 1 = –– · r · (áreabase + áreabase + …) 1 2 3 Observemos que la suma de las áreas de las bases de las pirámides tiende al área de la superficie esférica por lo que obtenemos:

Volumencilindro = = áreabase · h = r2h

1 4 Volumenesfera = –– · r · 4 · r2 = –– · · r3 3 3

Para calcular el volumen del cono consideraremos una pirámide regular inscrita en él. El volumen de la pirámide se aproxima al del cono si auFigura 205 mentamos el número de caras. La altura de la pirámide coincide con la del cono (figura 205). El área de la base de la pirámide tiende a ser el área del círculo base del cono, por tanto:

Para calcular el volumen de otros cuerpos geométricos será necesario descomponerlos en cuerpos conocidos y aplicar las fórmulas estudiadas.

AUTOEVALUACIÓN 73. El lado de un tetraedro mide 2 m. Calcula su superficie. 74. Halla la superficie de una esfera de radio 8 mm. 75. El radio de la base de un cilindro mide 2 dm y la altura 7 dm. Calcula su superficie. 76. Las aristas de un ortoedro miden 1, 2 y 3 cm respectivamente. Calcula su volumen. 77. Calcula la altura de un cono sabiendo que su volumen es 20 m3 y el radio de la base 2 m.

1 1 Volumencono = ––– áreabase · h = ––– r2h 3 3 Para calcular el volumen de la esfera consideraremos en su interior una gran cantidad de pequeñas pirámides cuya altura coincida con el radio de la esfera y cuyas bases se apoyen en la superficie esférica (figura 206). 85

ESTADÍSTICA

ELEMENTOS BÁSICOS El proceso estadístico contiene tres fases. De la primera de ellas se ocupa la denominada estadística descriptiva y consiste en recoger una serie de datos que corresponderán a descripciones numéricas del conjunto que se estudia, clasificarlos y agruparlos.

POBLACIÓN Y MUESTRA

VARIABLE ESTADÍSTICA

El conjunto del que se extraen los datos suele ser Llamamos variable estadística a la característica una pequeña parte de un gran grupo, pues bien, que poseen todos los elementos que forman la una segunda fase denominada inferencia estadíspoblación y que constituye el objetivo de nuestro tica se ocupa de predecir un resultado válido para estudio. Por ejemplo, si se pretende estudiar la altodo el grupo a partir del estudio de los datos de tura de los estudiantes del primer curso universiuna parte de él, además de calcular el margen de tario, el conjunto formado por todos ellos sería la error que se está cometiendo. En una tercera fase, población, mientras que la altura sería la variable se analizan y interpretan los resultados obtenidos. estadística. Llamamos población al conjunto objeto de estuEntre todas las variables estadísticas, se distinguen dio, es decir, cualquier agrupación de datos o eledos grandes grupos: variables cuantitativas y vamentos con características comunes que se deseriables cualitativas. Mientras que las cuantitativas an analizar. Así, una población podría estar son el resultado de una medición, como la altura formada por las personas de un determinado país, de una persona o la calificación de un examen, las los alumnos de un curso (figura 207), las tempecualitativas no son medibles, como el color de piel raturas de una localidad, etc. o la profesión de una persona. En la mayoría de los casos, en lugar de trabajar Las variables cuantitativas, a su vez, se agrupan en con toda la población, se elige sólo una parte de variables discretas y variables continuas. Una vaella, denominada muestra. Las razones por las riable es discreta si los datos obtenidos forman un que se suele trabajar con una muestra en vez de conjunto finito de elementos y por tanto un conla población son muy diversas, pero las más frejunto de valores aislados; en caso contrario la vacuentes son: el excesivo tamaño de la población o riable es continua. Por ejemplo, la edad de un grubien que el estudio de la población suponpo de personas es una variable discreta, mientras dría su destrucción. Por que el tiempo de espera a la llegada de unos treejemplo, si se prenes es una variable continua. tende estudiar las inclinaciones políticas de EL CONCEPTO un país es imDE FRECUENCIA pensable preguntar a todos Llamamos frecuenlos individuos que cia absoluta de un valor lo forman y tampoco de la variable estadística tendría sentido estudiar los (X), al número de veces efectos de un choque frontal en que aparece ese valor enlos automóviles, destrozándolos todos. tre todos los datos obteAhora bien, la elección de la muestra ha de nidos de la población o ser realmente representativa de toda su de la muestra, y lo reFigura 207 población. presentamos por F. 86

ELEMENTOS BÁSICOS

Definimos frecuencia relatiLa frecuencia relativa de un vava acumulada de un valor oblor de la variable estadística es X F f servado, como el cociente enel cociente entre la frecuencia 1 0,05 0 tre la frecuencia absoluta absoluta de ese valor y el nú3 0,15 1 acumulada de dicho valor y N mero de datos disponibles (N), 1 0,05 2 (el número de datos disponiy se representa por f. Es decir, 4 0,2 3 bles); y se representa por h. Es f = F/N. La frecuencia relativa 3 0,15 4 decir, h = H /N. Por tanto h nos da, pues, la proporción 3 0,15 5 2 0,1 6 coincide con la suma de todas con que se ha representado un 0,05 1 7 las frecuencias relativas de los valor de la variable. 0,05 1 8 valores observados menores o Supongamos una población 0,05 1 9 iguales a dicho valor consideraformada por 20 estudiantes y 0 0 10 do. Por ejemplo, el valor 4 tiene una variable estadística que N = 20 1 como frecuencia relativa acuserá la calificación obtenida Figura 208 mulada 12/20 = 0,6 o de forma por cada estudiante en un equivalente, 0,05 + 0,15 + examen. Los siguientes núme+ 0,05 + 0,2 + 0,15 = 0,6. ros corresponden a las notas de los 20 estudianLa figura 209 muestra la tabla completa de fretes: 1, 6, 3, 3, 5, 7, 1, 5, 4, 3, 2, 8, 0, 3, 1, 6, 9, 4, cuencias de las anteriores calificaciones de los 4, 5. 20 estudiantes. La variable en este caso toma diez valores que corresponden a los enteros desde 0 hasta 10. Por ejemplo, podemos observar que hay tres de los 20 estudiantes que han obtenido la calificaH X f F h ción de 4. Se dice entonces que el valor 4 de la variable tiene como frecuencia absoluta 3 y 1 1 0,05 0 0,05 4 3 0,15 1 0,2 como frecuencia relativa 3/20 = 0,15. 5 1 0,05 2 0,25 El conjunto formado por todos los valores que 9 4 0,2 3 0,45 toma la variable estadística, acompañados de 12 3 0,15 4 0,6 sus respectivas frecuencias, recibe el nombre 15 3 0,15 5 0,75 de distribución de frecuencias. Ésta suele 17 2 0,1 6 0,85 18 1 0,05 7 0,9 expresarse mediante lo que llamamos tablas 19 1 0,05 8 0,95 de frecuencias, que consiste en disponer los 20 1 0,05 9 1 datos en columnas tal y como se muestran en 20 = N 0 0 10 1 la figura 209 que corresponde a las anteriores N = 20 1 calificaciones de los 20 estudiantes. Figura 209 Ahora bien, podría interesarnos conocer la cantidad de la variable, o bien, la proporción de población, que están por debajo o por encima de un determinado valor, y para ello se introduce GRÁFICOS ESTADÍSTICOS el concepto de frecuencia acumulada. Definimos frecuencia absoluta acumulada de Además de la tabla de frecuencias podemos reun valor observado, como la suma de todas las frepresentar los datos recogidos mediante lo que llacuencias absolutas de los valores observados memamos representaciones gráficas estadísticas que nores o iguales que dicho valor, y se representa por en muchos casos nos permiten tener una visión H. Por ejemplo, de los datos de la tabla de frecuenmás amplia e intuitiva del comportamiento de la cias de la figura 208, el valor 4 tiene como frecuenvariable estudiada. Existe una amplia gama de cia absoluta acumulada 1 + 3 + 1 + 4 + 3 = 12, gráficos estadísticos a elegir, aunque a veces resuldato que resulta muy útil ya que indica la cantidad te uno más idóneo que otro. Algunos de los más de calificaciones menores o iguales a 4 y ésta cofrecuentes son los diagramas cartesianos, los polírresponde a la cantidad de exámenes suspendidos gonos de frecuencias, los histogramas y los dia(ya que no se observa ningún valor entre 4 y 5). gramas de vectores. 87

ESTADÍSTICA

DIAGRAMAS CARTESIANOS

La distribución de frecuencias de la figura 209 podemos representarla gráficamente mediante un diagrama cartesiano de frecuencias absolutas (figura 210), o de frecuencias relativas (figura 211) o de ambas frecuencias conjuntamente (figura 212). También podemos optar por un diagrama de barras trazando segmentos vertica4 les a partir del diagrama cartesiano tal 3 y como muestran las figuras 213 y 214. 2 Tanto los diagramas cartesianos como de barras sólo se 1 utilizarán cuando trabajemos con variables 0 discretas. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frecuencia absoluta (n.º de personas)

Frecuencias absolutas acumuladas

Figura 211 0,1 0,05 0 2 3

4 5

0,5

10 8 6

0,25 4

9 10

Figura 212 3

0,15

0,1

0,05

Frecuencia relativa

0,2

0 1 2 3 4 5

6 7

8 9 10

Figura 214 A partir del diagrama cartesiano también podemos construir un polígono de frecuencias si unimos los puntos obtenidos (figuras 215 y 216) Los datos observados pueden presentarse mediante una distribución no agrupada como muestra la figura 209, pero con variables continuas conviene recurrir a lo que llamamos distribución agrupada tal y como se muestra en la figura 217, donde los datos recogidos corresponden a las alturas de 80 personas. Por ejemplo, nos indica que hay 2 individuos cuya estatura está entre 150 y 155 centímetros, y su marca de clase 152,5 representa el valor medio del intervalo considerado.

0,15

0 3

9 10

0,2

0,15

0,1

0,05

Frecuencia absoluta

Frecuencias absolutas

0 1

Frecuencias relativas

Frecuencia relativa

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

0,2

Frecuencia absoluta

0,75 14

Figura 210

0 1

0,2

0,15

0,1

0,05

0 0 1 2 3 4 5 6 7 Calificaciones

8 9 10

3 4 5 6 7 8 Variable (calificaciones) Figura 215

Figura 213

Frecuencias relativas acumuladas

MATEMÁTICAS

12,5

0,5

7,5

Frecuencia relativa acumulada

0,75

0,875

0,75

0,625

0,5

0,375

0,25

0,125 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 Valores de la variable (alturas en cm)

Figura 219 0,25

HISTOGRAMA

2,5

Cuando la distribución es agrupada se suele representar mediante un histograma, que consiste en reflejar los datos mediante áreas de rectángulo cuyas bases corresponden a las amplitudes de los intervalos de clase. Las figuras 218 y 219 muestran los histogramas de la distribución de frecuencias de la figura 217.

Variable (calificaciones) Figura 216

0,25

0,1875

0,125 0,0625

Frecuencia relativa

Frecuencia absoluta (alumnos de 16 años)

Frecuencia absoluta acumulada

17,5

Frecuencia relativa acumulada

Frecuencia absoluta acumulada

ELEMENTOS BÁSICOS

Figura 218

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 Valores de la variable (alturas en cm)

Intervalos de clase

Marcas de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia abs. acumulada

Frecuencia rel. acumulada

[150, 155)

152,5

0,025

[155, 160)

157,5

0,125

0,15

[160, 165)

162,5

0,1625

0,3125

[165, 170)

167,5

0,2375

0,55

[170, 175)

172,5

0,2

0,75

[175, 180)

177,5

0,1125

0,8625

[180, 185)

182,5

0,0625

0,925

[185, 190)

187,5

0,0375

0,9625

[190, 195)

192,5

0,0375

80 = N

N = 80

1 Figura 217

MATEMÁTICAS

ESTADÍSTICA

Mujeres

Edad 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Es evidente que el trabajo estadístico no se concibe sin una gran cantidad de datos, lo que evidentemente entraña una gran dificultad; por ello recurriremos a las llamadas medidas numéricas descriptivas, es decir, resumiremos todos los datos recogidos en unos pocos valores que describan lo más aproximado posible la muestra observada. De entre estas medidas destacamos las mediadas de posición. Son los valores hacia los que tiende a agruparse el conjunto de datos observados. Las más utilizadas son la media aritmética, la mediana y la moda.

Hombres

Cantidad de individuos Figura 220

Un ejemplo muy típico de histograma es la conocida «pirámide de población», que podemos considerar que está formada por dos histogramas adosados donde cada uno de ellos estudia la variable edad (figura 220).

Sector

1996

MEDIA ARITMÉTICA Definimos la media aritmética como la suma de todos los datos observados dividida por el número total de éstos, y se indica con una x siendo X la variable estadística estudiada. La cantidad media de vehículos que recorren una autopista se utiliza para estimar la probabilidad de que ésta quede colapsada en un momento determinado (figura 223). Supongamos ahora que queremos saber qué nota final corresponde a un alumno con las calificaciones de 4, 6 y 7 obtenidas en tres exámenes con igual importancia, hemos de recurrir a la media aritmética:

2006

Agricultura

10 %

6,7 %

Industria

37,5 %

31,3 %

Servicios

52,5 %

62 %

4+6+7 17 x– = ––––––––– = ––– = 5,67 3 3

Figura 221

Ahora bien, imaginemos que de esos tres exámenes los dos primeros suponen, cada uno, el 20 % de la nota final y el último un 60 %. En este caso, lo que calcularemos es la media aritmética ponderada de la siguiente manera:

DIAGRAMA DE SECTORES

Otro tipo de gráfico estadístico, al que se suele recurrir cuando la variable es cualitativa, es el diagrama de sectores, que consiste en representar la población mediante un círculo, y a cada una de las categorías de la variable se le asigna un sector de dicho 1996 círculo cuya área sea proporcional a su frecuencia. 37,5 % La figura 221 muestra las tres Industria categorías de una variable cualitativa, con sus respectivas fre52,5 % cuencias absolutas, sus porcenServicios tajes y el ángulo del sector que correspondería a cada una. Se obtiene así el diagrama de sectores de la figura 222. 90

2006

10 % Agricultura

31,3 % Industria 6,7 % Agricultura 62 % Servicios

Figura 222

ELEMENTOS BÁSICOS

aparece más veces que el resto de las observaciones, es decir, el valor con mayor frecuencia absoluta, y se indica por medio de Mo. Por tanto, resulta lógico pensar que una distribución pueda disponer de más de una moda. Ahora bien, si todos los valores tienen la misma frecuencia absoluta, se considera que la distribución no tiene moda. Por ejemplo, la distribución que se muestra en la figura 215 tiene por moda Mo = 3.

CÁLCULO DE LA MODA PARA LAS DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS

Figura 223

Este caso es realmente sencillo: basta con observar el valor o valores con mayor frecuencia absoluta. Por ejemplo, si los datos disponibles son 3, 5, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 135, 420, se trata de una distribución bimodal, Mo1 = 4 y Mo2 = 7. Como se puede observar en este mismo ejemplo, la moda o modas pueden estar localizadas lejos del centro de la distribución; por ello, aunque la moda sea una medida de centralización, no aparece como tal, pero es indudable que sí constituye una medida descriptiva del conjunto de datos. Sin embargo, las situaciones que quedan mejor descritas por la moda son las que corresponden a distribuciones en las que la variable estadística es cualitativa.

4 · 20 + 6 · 20 + 7 · 60 620 x–p = ––––––––––––––––––––– = ––––– = 6,2 100 100

MEDIANA Definimos otra medida central, la mediana, como el valor que ocupa el valor central de toda la distribución de frecuencias, suponiendo los datos ordenados en forma creciente, y se representa por Me. Por ejemplo, la mediana de los valores 4, 6 y 7 es evidentemente 6. Pero en el supuesto caso de tener un número par de datos, por ejemplo: 4, 6, 7 y 9, la mediana no coincidirá con ninguno de los valores observados, y será: 6+7 –––––– = 6,5 2

i AUTOEVALUACIÓN

es decir, la media aritmética de los dos valores centrales. La mediana es una medida más representativa de la muestra observada que la media aritmética, si se presentan valores extremos de la variable, es decir, valores muy alejados de la mayoría de los datos observados.

78. ¿Qué tipo de variable estadística es el número de hermanos de una persona?: a) discreta, b) continua, c) no es una variable. 79. Halla la media aritmética del conjunto de valores siguiente: 6, 10, 11, 15. 80. Dados los valores 1, 3, 5, 7, calcula su mediana. 81. Indica si la afirmación siguiente es verdadera o falsa: Una distribución de datos puede tener varias modas.

MODA La moda es otra medida de centralización que se define como el valor de la variable estadística que 91