13고등확률과통계교과서 by Jiwan Yang

13고등수학확률과통계(001~007) 2013.8.14 10:11 AM 페이지1

Mac_06

고│등│학│교

확률과 통계 우정호

박교식

이종희

박경미

김남희

임재훈

권석일

남진영

김진환

강현영

이형주

박재희

전수철

오혜미

김상철

설은선

황수영

김민경

최인선

고현주

이정연

최은자

김기연

윤혜미

천화정

머│리│말

수학의 오랜 역사는 수학이 고

오늘날 수학은 자연 및 사회 현상의 체계적인 탐구와 과학 기술의 혁

금(古今)을 통하여 학문과 진

신적 개발에 없어서는 안 되는 핵심적인 도구로 인정받고 있습니다. 이

리의 전형으로 간주되어 왔다

때문에 수학은 고도 정보화 사회를 맞이하여 그 중요성이 더욱 커지고

는 것을 말해 줍니다.

있습니다. 고등학교에서는 중학교 수학을 바탕으로 한층 더 심화된 내용을 배우 게 됩니다. 이러한 내용은 주변의 많은 현상을 수학적으로 관찰하고 표 현하는 데, 그리고 합리적이고 창의적으로 문제를 해결하는 데 기본적으 로 중요한 원천이 됩니다. 수학을 공부하면서 수학적 사고 능력과 문제 해결 능력, 창의력을 갖추게 되어 지력(知力)이 강해질 수 있습니다. 수 학을 공부하는 것은‘정신 체조’ 로 비유할 수 있습니다. 수학을 어떻게 공부해야 할까요?‘배우면서 생각하지 않으면 얻는 것 이 없다.’ 는 옛 성현(聖賢)의 말씀이 있습니다. 스스로 현상을 탐구하고 생각할 때, 그리고 문제를 스스로 해결해 보고자 노력할 때 수학은 비로 소 자신의 것이 됩니다. 다양한 수학적 주제에 관해 자신의 의견을 적극

적으로 피력(披瀝)하고 친구들의 의견을 신중하게 경청하며 친구들과 활발하게 토론하는 것도 수학을 공부하는 좋은 방법입니다. 관심을 갖고 의욕적으로 수학을 공부하면 여러분의 지적 호기심이 깨어날 것 입니다. 또, 스스로의 힘으로 수학을 이해하고 구사(驅使)하며, 문제를 합리적이 고 창의적으로 해결할 수 있는 자신의 모습을 발견하게 될 것입니다. 이러한 경 험은 여러분의 장래에 두고두고 요긴한 자산이 될 것입니다. 친숙한 상황을 소재로 수학에 대한 흥미와 호기심을 느낄 수 있고, 수학 학습 에서 자신감을 기르며, 수학적 사고를 충실하게 경험하는 가운데 자연스럽게 수 학적 능력과 태도를 기르게 되기를 바라면서 이 책을 썼습니다. 이 교과서의 안 내에 따라 차분히 수학을 공부하면서, 수학적으로 세상을 바라보고, 문제를 해 결하고, 의사소통할 수 있는 미래 사회의 주역이 되기를 바랍니다. 지은이 씀

이 교과서의 구성과

특징

첫째

시작

단원의 학습 목표를 확인하고, 단원과 관련된 흥미로운 이야기로 학습을 시작한다. ● 단원 도입 사회, 과학, 역사, 예술 등의 다양한 분야에 걸친 수학 이야 기를 통해 학습할 내용에 대한 흥미와 관심을 가질 수 있다.

둘째

본문

관심과 의욕을 갖고 학습하여 수학적 추론 능력, 의사소통 능력, 문제 해결력을 기른다. ● 생각해 봅시다 / 탐구해 봅시다 / 활동해 봅시다 다양한 실생활 소재, 이미 학습한 수학 내용의 고찰 등을 통 해 학습 내용에 대한 관심과 흥미를 높일 수 있다.

● 예제 /` 문제 개념 이해에 필요한 기본적이고 핵심적인 내용을 예제, 문제 를 통해 확인할 수 있다.

● 생각 나누기 친구들과 함께 문제를 해결하는 과정에서 서로 의견을 나눔 으로써 수학적 의사소통 능력과 인성을 함양할 수 있다.

● 사고력을 키우는 수학 ‘문제 해결’ ,‘추론’ ,‘의사소통’ ,‘문제 만들기’ 를 통해 수학 적 사고력을 기를 수 있다.

● 탐구하는 수학 /` 이야기가 있는 수학 본문 내용 중 잘못 생각하기 쉬운 부분, 소개한 방법 이외의 방법, 본문 내용에 대한 상세한 설명 또는 다양한 분야의 흥 미로운 이야기 등을 제시한다.

4 이 교과서의 구성과 특징

셋째

마무리

단원에서학습한내용을정리하며수학의가치를이해하고수학에대한긍정적인태도를기른다. ● 수학 실험실 컴퓨터 프로그램이나 스마트폰 애플리케이션 등을 이용하여 학습 내용을 탐구할 수 있다.

● 창의 연구실 미완성된 풀이를 완성하거나 다른 방법의 풀이를 모색하는 등의 활동을 통해 수학적 창의력을 신장시킬 수 있다.

● 확인 학습 문제 중단원별로 배운 개념을 정리하고, 각 문항의 난이도를 확인 하여 자기 수준을 파악할 수 있다.

● 마무리 평가 자기 주도적 학습이 가능하도록 대단원별로 다양한 유형의 문제를 제시하고, 자기 평가표를 작성하여 자신의 실력을 파 악할 수 있다.

● 창의・인성을 높이는 프로젝트 창의적인 모둠 활동을 제시하여 수학의 가치를 이해하며, 타 인의 의견을 배려하고 존중하는 태도를 기를 수 있다.

넷째

부록

교과서 학습으로 부족한 기본 문제를 부록으로 한번 더 풀어 봄으로써 기본을 다질 수 있다. ● 기본을 다지는 문제 학생들의 기초력 향상을 위해 중단원별로 기본 문제를 제공 하여 기본을 탄탄히 다질 수 있다.

이 교과서의 구성과 특징 5

이 교과서의 차례

순열과 조합 1 경우의 수

1 확률의 뜻과 활용

01 경우의 수

01 확률의 뜻

•확인 학습 문제

02 확률의 덧셈정리

107

•창의 연구실

•확인 학습 문제

114

•수학 실험실

117

2 순열

확률

01 순열

02 원순열

2 조건부확률

118

01 조건부확률

120

03 중복순열

02 사건의 독립

126

04 같은 것이 있는 순열

•확인 학습 문제

132

•확인 학습 문제

•창의 연구실

135

•수학 실험실

•마무리 평가

136

조합

•창의・인성을 높이는 프로젝트

139

01 조합

02 중복조합

•확인 학습 문제

•수학 실험실

4 분할과 이항정리

01 분할

02 이항정리

•확인 학습 문제

•창의 연구실

•마무리 평가

•창의・인성을 높이는 프로젝트

6 이 교과서의 차례

III 통계 1 확률분포

142

•정답 및 풀이

219

144

•수표

236

02 이산확률변수의 기댓값과 표준편차 152

•찾아보기

238

03 이항분포

160

•출처

240

04 정규분포

169

•확인 학습 문제

180

•수학 실험실

183

01 확률변수와 확률분포

2 통계적 추정

부록 기본을 다지는 문제

184

01 모집단과 표본

186

02 모평균의 추정

196

03 모비율의 추정

202

•확인 학습 문제

210

•창의 연구실

213

•마무리 평가

214

•창의・인성을 높이는 프로젝트

217

•직업 속 수학

218

이 교과서의 차례 7

순열과 조합 1 경우의 수 2 순열 3 조합 4 분할과 이항정리

학습 목표 •합의 법칙과 곱의 법칙을 이해하고, 이를 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다. •순열, 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구할 수 있다. •조합, 중복조합을 이해하고, 그 조합의 수를 구할 수 있다. •원소가 유한개인 집합을 서로소인 몇 개의 집합의 합집합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다. •자연수를 몇 개의 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다. •이항정리를 이해하고, 이를 이용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

우리는 살아가면서 지속적으로 선택과 의사 결정의 상황에 직면하게 된다. 이러한 상황에서 적절한 선 택을 하기 위해서는 선택해야 할 대상들을 빠뜨리지 않고 열거할 필요가 있다. 수학자들은 경우의 수를 세는 방법에 대해 지속적으로 관심을 가져왔다. 프랑스의 수학자인 파스칼 (Pascal, B.; 1623~1662)은 파스칼의 삼각형을 생각해 냈는데, 이것은 경우의 수를 알아내는 방법과 연결된다. 파스칼의 삼각형에 대해서는 중국, 인도, 아라비아 등의 수학자 들도 관심을 가지고 있었다. 특히, 14세기 초 중국의 주세걸(朱世傑; ? 1270~? 1330)은 파스칼보다 300년 이상 먼저 파스칼의 삼각형과 동일 한 수 배열을“사원옥감(四元玉鑑)” 에 수록하기도 했다.

경우의수 음양오행에 기초한 우리 민족의 색채 의식 한 민족의 역사를 보면 색과 문화가 밀접하게 관련되어 있음을 알 수 있다. 우리 선조 들은 음양오행(陰陽五行)을 바탕으로 독특한 색채 의식을 형성해 왔다. 음양오행은 음 양과 오행을 아울러 이르는 말로, 음양과 오행의 균형 있는 통합을 이루어야 세상의 질 서가 유지된다는 뜻이다. 음양오행에서는 어둡고 수동적인 음(陰)과 밝고 능동적인 양 (陽)의 조화를 추구한다. 역사적으로 볼 때 우리나라는 이러한 음양오행의 영향을 받아 오방색(五方色)을 선호해 왔다. 오방색은 오정색(五正色)과 오간색(五間色)으로 이루어진다. 오정색은 삼라만상의 기본을 이루는 청(靑)색, 백(白)색, 적(赤)색, 흑(黑)색, 황(黃)색 으로, 다섯 방위인 동쪽, 서쪽, 남쪽, 북쪽, 중앙에 각각 대응한다. 실생활에서 오정색을 이용한 예는 다양하다. 풍수지리에서 사용 하는 좌청룡, 우백호, 남주작, 북현무는

10 Ⅰ. 순열과 조합

한 개의 주사위를 던질 때, 나오는 눈의 수가 4 이하인 경우의 수를 구하여라.

1부터 10까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 공 10개가 들어 있는 주머니에서 한 개의 공 을 꺼낼 때, 3보다 작거나 5보다 큰 수가 적힌 공이 나오는 경우의 수를 구하여라.

오정색과 그 방향을 따라 만든 것이고, 건축물의 단청도 오정색을 이용한 것이다. 남성적인 양의 기운을 지닌 오정색과 대비되는 것이 여성적인 음의 기운을 지닌 오간 색이다. 오방색의 다섯 가지 색 사이에 음의 색을 배치한 오간색은 청색과 황색의 간색 인 녹(綠)색, 청색과 백색의 간색인 벽(碧)색, 적색과 백색의 간색인 홍(紅)색, 흑색과 적 색의 간색인 자(紫)색, 흑색과 황색의 간색인 유황(硫黃)색이다. 우리 선조들은 나쁜 기운을 물리치고 복을 바라는 마음으로 오방색을 용도와 신분에 맞게 구분하여 사용하였다. 색동저고리의 색동은 적, 청, 황, 백의 4가지 오정색에 오간 색 중 몇 가지 색을 택하여 만드는데, 이때 이렇게 택한 색을 배열하는 경우는 다양하 며, 이 중 색의 조화를 고려하여 적절한 경우를 선택한다. 또한, 태극기의 태극 문양이 나 전통 결혼식에서 신부가 입는 녹의홍상(綠衣紅裳)에서는 붉은색과 푸른색을 결합하 여 음양의 조화를 추구하였다. 이처럼 우리 선조들은 단순히 색의 조화뿐만 아니라 색 의 의미까지 고려하여 색상을 선택하였다.

두 사람이 가위바위보를 할 때, 일어나는 모든 경우의 수를 구하여라.

학급 임원 후보에 오른 4명의 학생 중에서 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수를 구하 여라. 1. 경우의 수 11

경우의 수 학습 목표 │ ● 합의 법칙과 곱의 법칙을 이해하고, 이를 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다.

합의 법칙 생각해 봅시다

역사 동아리에 가입한 국환이는 동아리 발표 대회에서 고려 시대 또는 조선 시대의 발 명품 중 한 가지를 조사하여 발표하려고 한다. 국환이가 살펴본 고려 시대의 발명품은 “직지심체요절” 과‘화포’ 이고, 조선 시대의 발명품은‘자격루’ 와‘혼천의’ ,‘거중기’ 이다. 이 중에서 국환이가 발표할 발명품 한 가지를 택하는 경우의 수를 구해 보자. 조선 시대 발명품 고려 시대 발명품

자격루

직지심체요절

혼천의

화포 거중기

1에서 9까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 9장의 카드 중에서 한 장을 뽑을 때, 2의 배수 또는 5의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우는 다음과 같다. ⁄ 2의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우 2, 4, 6, 8의 4가지

¤ 5의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우 5의 1가지

12 Ⅰ. 순열과 조합

2의 배수가 적힌 카드

5의 배수가 적힌 카드

여기서 ⁄, ¤의 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 2의 배수 또는 5의 배수가 적 힌 카드를 뽑는 경우의 수는 4+1=5 이다.

이와 같이 동시에 일어나지 않는 두 사건에 대하여 다음과 같은 합의 법칙이 성립 한다.

합의 법칙 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A와 사건 B가 일어나는 경우의 수를 각각 m, n이라고 하면 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 m+n 이다.

■참 고│일반적으로 3개 이상의 사건에서 어느 두 사건도 동시에 일어나지 않으면, 합의 법칙은 성립한다.

보기

한 개의 주사위를 던질 때, 3의 배수의 눈이 나오는 경우는 3과 6, 두 가지이고, 4의 배수 의 눈이 나오는 경우는 4로서 한 가지이다. 따라서 3의 배수 또는 4의 배수의 눈이 나오는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 2+1=3 이다.

문제

지윤이의 필통에는 서로 다른 볼펜 2자루와 서로 다른 연필 3자루가 있다. 이때 지윤이가 필 기구 한 자루를 택하는 경우의 수를 구하여라.

문제

어느 분식점에서는 오른쪽 차림표와 같이 김밥 4 가지, 면 3가지, 덮밥 3가지를 판매하고 있다. 이 중에서 주문할 음식 한 가지를 택하는 경우의 수 를 구하여라.

차/림/표 김/밥/류

면/류

덮/밥/류

•치즈 김밥

•라 면

•김치 덮밥

•참치 김밥

•우 동

•소고기 덮밥

•김치 김밥

•칼국수

•버섯 덮밥

•야채 김밥

1. 경우의 수 13

예제

서로 다른 2개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 4 또는 9가 되는 경우의 수를 구하여라.

풀이

서로 다른 2개의 주사위 A, B를 동시에 던질 때, A와 B 주사위에서 나오 는 눈의 수가 각각 1과 3 인 것을 순서쌍 (1, 3)으

⁄ 눈의 수의 합이 4가 되는 경우 (1, 3), (2, 2), (3, 1) ¤ 눈의 수의 합이 9가 되는 경우 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)

로 나타낸다.

⁄, ¤의 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 3+4=7 7

문제

한 개의 주사위를 두 번 던져 나온 눈의 수를 차례로 각각 a, b라고 할 때, a+b>10을 만족 하는 a, b의 순서쌍 (a, b)의 개수를 구하여라.

문제

네 자연수 1, 2, 3, 4가 각각 하나씩 적힌 4장의 카드에 서 2장을 동시에 뽑아 두 자리의 자연수를 만들 때, 그

수가 짝수가 되는 경우의 수를 구하여라.

문제

3 4

다음 표는 제`23회 평창 동계올림픽대회의 설상 경기장과 빙상 경기장에서 개최될 경기를 조 사한 것이다. 설상 경기장 또는 빙상 경기장에서 관람할 경기 한 가지를 택하는 경우의 수를 구하여라. 설상 경기장

경기명

스키

빙상 경기장

경기명

스케이팅

바이애슬론 아이스하키 봅슬레이 루지

14 Ⅰ. 순열과 조합

컬링

곱의 법칙 생각해 봅시다

지호는 용돈을 모아 은행에 적금을 들려고 한다. 적금에는 매달 일 정 금액을 정해진 시기에 납입하는‘정기 적금’ 과 금액과 시기 의 제약이 없는‘자유 적금’ 의 두 종류가 있다. 그리고 그 각각에 대하여 1년, 2년, 3년으로 기간을 정할 수 있 다. 지호가 적금을 택하는 방법에 대하여 생각해 보자.

위의 생각해 봅시다에서 지호가 적금의 종류와 기간에 따라 적금을 택하는 방법을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

종류

정기 적금

기간

(종류, 기간)

1년

(정기 적금, 1년)

2년

(정기 적금, 2년)

3년 1년 자유 적금

순서쌍으로 나타내면

▶

(정기 적금, 3년) (자유 적금, 1년)

2년

(자유 적금, 2년)

3년

(자유 적금, 3년)

2가지 종류의 적금에 대하여 각각 3가지 종류의 기간을 짝지을 수 있으므로, 적금 의 종류와 기간에 따라 지호가 적금 한 가지를 택하는 경우의 수는 2_3=6 이다.

이와 같이 잇달아 일어나는 두 사건에 대하여 다음과 같은 곱의 법칙이 성립한다.

곱의 법칙 두 사건 A, B에 대하여 사건 A와 사건 B가 일어나는 경우의 수를 각각 m, n이 라고 하면 두 사건 A, B가 잇달아 일어나는 경우의 수는 m_n이다.

■참 고│일반적으로 잇달아 일어나는 3개 이상의 사건에 대해서도 곱의 법칙은 성립한다.

1. 경우의 수 15

보기

남학생 4명, 여학생 3명 중 남학생 1명을 택하는 경우의 수는 4이고, 여학생 1명을 택하는 경우의 수는 3이다. 따라서 남학생 1명과 여학생 1명을 함께 택하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 4_3=12이다.

문제

완도 관광을 떠난 희경이네 가족은 문화재로 장도 청해진 유적지, 완도 법화사지, 완도 향교 중 한 곳 을 먼저 관광하고, 전시관으로 산림 박물관, 어촌 민속 전시장 중 한 곳을 관광하려고 한다. 희경이네

산림 박물관 산림 산림박물관 박물관 산림 박물관

장도청해진 청해진유적지 유적지 장도 청해진 유적지 장도

완도 법화사지 완도 완도법화사지 법화사지 완도 법화사지 완도 향교 완도 완도향교 향교

가족이 완도 관광을 하는 방법은 몇 가지인가? 어촌 민속 전시장 어촌민속 민속전시장 전시장 어촌 어촌 민속 전시장

예제

72의 약수의 개수를 구하여라. 풀이

특별한 언급이 없는 한 약

72를 소인수분해하면

수는 자연수의 범위에서

72=2‹ _3¤

생각한다.

이므로 72의 약수는 2μ _3« (m=0, 1, 2, 3, n=0, 1, 2)

3¤

1_1

1_3

1_3¤

2_3

2_3¤

2_1

2¤

2¤ _1 2¤ _3 2¤ _3¤

2‹

2‹ _1 2‹ _3 2‹ _3¤

으로 나타낼 수 있다. 이때 m을 택하는 경우의 수가 4이고, n을 택하는 경우의 수가 3이다. 따라서 72의 약수의 개수는 곱의 법칙에 의하여 4_3=12(개)

문제

다음 수의 약수의 개수를 구하여라. ⑴ 108

문제

⑵ 175

다음 식을 전개한 다항식의 항의 개수를 구하여라. ⑴ (x+y+z)(a+b+c)

16 Ⅰ. 순열과 조합

12개

⑵ (a+b)(x+y)(p+q+r)

문제

어느 문서 편집 프로그램에서 쪽 번호를 매길 때, 사용할 수

쪽 번호 매기기

? ×

번호`위치

있는 번호 위치에는 상단의 왼쪽, 중앙, 오른쪽과 하단의 왼

넣기 취소

쪽, 중앙, 오른쪽의 6가지가 있고, 번호 모양에는 인도-아라 비아 숫자, 로마 숫자, 한글, 알파벳의 4가지가 있다. 번호

-1-

위치와 번호 모양을 고려하여 쪽 번호를 매기는 경우의 수

번호`모양 1, 2, 3 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 가,나,다 A,B,C

를 구하여라.

어느 문구점에서 판매하는 볼펜에는 뚜껑의 유무, 색, 가격에 따라 각각 2가지, 4가지, 3가지 종류가 있다. 이 문구점에서 판매하는 볼펜의 종류는 모두 몇 가지인지 서로 이야기해 보자. 이 문구점에서 판매하는 볼 펜의 종류는 합의 법칙에 의 하여 2+4+3=9(가지)야.

곱의 법칙에 의하여 2_4_3=24(가지) 아닐까?

합의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여 문제를 해결해 보자.

예제

서울에서 제주로 가는 방법이 오른쪽 그림과 비행기

같을 때, 서울에서 제주로 가는 방법은 몇 가 지인가? (단, 같은 지점은 중복하여 지나지 않 는다.)

비행기

서울

여수

비행기

제주

KTX 배 버스

풀이

서울에서 제주로 가는 방법은 다음과 같다. ⁄ 여수를 거치는 방법 서울에서 여수로 가는 방법은 비행기, KTX, 버스 이용의 3가지이고, 여수에서 제주로 가는 방법은 비행기, 배 이용의 2가지이다. 따라서 서울에서 여수를 거쳐 제주로 가는 방 법은 곱의 법칙에 의하여 3_2=6(가지) ¤ 곧바로 가는 방법 서울에서 제주로 곧바로 가는 방법은 비행기 이용의 1가지이다. ⁄, ¤의 방법은 동시에 일어날 수 없으므로 서울에서 제주까지 가는 방법은 합의 법칙에 의하여 6+1=7(가지)

7가지

1. 경우의 수 17

문제

오른쪽 그림은 4개의 도시 A, B, C, D 사이의 도로망 을 나타낸 것이다. 도시 A에서 출발하여 도시 D로 가

는 방법은 몇 가지인가? (단, 같은 지점은 중복하여 지 나지 않는다.)

```

``문제

한국간행물윤리위원회에서는 문학, 과학, 예술 등의 분야에서 청소년 권장 도서를 매달 선정 하여 소개한다. 이번 달에 선정된 문학 분야의 책 6권, 과학 분야의 책 4권, 예술 분야의 책 5권 중 서로 다른 두 분야에서 각각 1권씩 의 책을 택하는 경우의 수를 구하여라.

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

다음과 같이 합의 법칙을 이용하여 구한 경우의 수와 곱의 법칙을 이용하여 구한 경우의 수가 서로 같도록 두 문제를 만들고, 만든 문제를 풀어 보자. 합의 법칙을 이용

곱의 법칙을 이용

하나의 주사위를 두 번 던질 때, 두

하나의 주사위를 두 번 던질 때,

눈의 수의 합이 4의 배수인 경우의

두 눈의 수의 곱이 홀수인 경우의

수를 구하여라.

풀이│합의 법칙에 의하여

풀이│곱의 법칙에 의하여

3+5+1=9

18 Ⅰ. 순열과 조합

3_3=9

■ 자동차 번호판의 변천사 ‘자동차의 이름표’ 로 불리는 자동차 번호판에 적혀 있는 수에는 어떤 의미가 있을까? 서로 다 른 번호판은 총 몇 개나 만들 수 있을까? 무심코 지나치기 쉬운 자동차 번호판에는 차의 종류와 용도에 이르기까지 다양한 정보들이 숨어 있다. 전 세계에서 최초로 자동차 번호판을 의무화한 국가는 프랑스이다. 1893년 파리 경찰은 차량 주인의 이름과 주소, 차량 등록번호를 기재한 철판을 자동차의 앞 왼쪽에 달도록 하였다. 우리 나라에서는 1904년에 처음으로 자동차 번호판을 붙이기 시작했다. 1세대 번호판([그림 1])은 1973년에 지역 명과 일련번호를 함께 넣는 방

서울2

가

식으로 처음 만들었으며, 2003년까지 제작되었다.

1234 [그림 1]

2세대 번호판([그림 2])은 2004년에 지역 명을 뺀 전국 번호판으로 제 작되었다. 시도 표시를 없애자던 취지와는 달리 서울은 01~16, 부산은 17~20 등으로 번호를 배정하여 번호판의 수를 보고 지역 구별이 가능해 비판을 받기도 했다. 3세대 번호판([그림 3])에서는 크기와 글자가 모두 새롭게 바 뀌었다. 자동차 번호판의 맨 앞의 두 자리의 수는 자동차의 종

12가

1234 [그림 2]

12 가 1234

류를 뜻한다. 01~69는 승용차, 70~79는 승합자동차,

[그림 3]

80~97은 화물자동차, 98~99는 특수자동차를 나타낸다. 또, 두 자리의 수 다음의 글자는 자 동차의 용도를 나타내는데, 자가용의 경우에는 29가지의 글자를 사용한다. 따라서 자동차의 종류가 승용차이고 자동차의 용도가 자가용일 때, 자동차 번호의 맨 앞의 두 자리의 수와 글자 한 자로 만들 수 있는 경우의 수는 69_29=2001이다.

1. 경우의 수 19

1 경우의 수 상│

중│

■`합의 법칙

■`곱의 법칙

두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A와

두 사건 A, B에 대하여 사건 A와 사건 B가 일어나는

사건 B가 일어나는 경우의 수를 각각 m, n이라고 하

경우의 수를 각각 m, n이라고 하면 두 사건 A, B가

면 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는

잇달아 일어나는 경우의 수는 m_n이다.

m+n이다.

기본을 다지고 싶다면

하

부록 241쪽

서로 다른 유리컵 3가지, 플라스틱 컵 2가지 중에서 하

1부터 20까지의 자연수 중 4로 나누었을 때의 나머지가

나의 컵을 택하는 경우의 수를 구하여라.

홀수인 것은 모두 몇 개인지 구하여라.

2 한 개의 주사위를 던질 때, 2의 배수 또는 5의 배수인 눈이 나오는 경우의 수를 구하여라.

5 다음 그림과 같은 정사면체 ABCD의 꼭짓점 A를 출 발하여 모서리를 따라 꼭짓점 D까지 가는 방법은 몇 가

지인가? (단, 한 번 지나간 꼭짓점은 다시 지나지 않는다.) A

수희는 1부터 5까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 5장 의 카드를 가지고 있고, 영민이는 6부터 10까지의 자연 수가 각각 하나씩 적힌 5장의 카드를 가지고 있다. 두 사람이 자신이 가지고 있는 카드 중에서 한 장씩 택하

였을 때, 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 7의 배수인 경 우의 수를 구하여라.

20 Ⅰ. 순열과 조합

15고등수학확률과통계(008~023) 2014.9.12 8:33 PM 페이지21

Mac_05

정답 220쪽

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 눈의 수의

24의 약수의 개수를 구하여라.

합이 5 이하 또는 10 이상이 되는 경우의 수를 구하여 라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

5g, 10g, 15g짜리 저울추가 각각 10개씩 있다. 이 세

852와 216의 공약수의 개수를 구하여라.

종류의 저울추를 각각 한 개 이상 사용하여 50g을 만드 는 경우의 수를 구하여라. (단, 무게가 같은 추는 구별하 지 않는다.)

문학 분야 잡지 2권, 과학 분야 잡지 3권이 있다. 두 분

다음 그림과 같이 P와 Q, Q와 R 사이에 각각 2개의

야에서 각각 1권씩의 잡지를 택하는 경우의 수를 구하

스위치가 달려 있는 회로가 있다. P와 R 사이에 전류가

여라.

흐르게 하는 경우의 수를 구하여라. 과학과

a `과학 소설과시

c R

Q b

1. 경우의 수 21

자연수 1, 2, 3, 4, 5 중에서 두 수를 동시에 택하여 더

a, b, c, d, e의 5개의 문자 중에서 3개의 문자를 차례

한 합이 홀수가 되는 경우의 수를 구하여라.

로 택할 때, 자음과 모음을 교대로 택하는 경우의 수를 구하여라.

60의 약수 또는 90의 약수는 모두 몇 개인지 구하여라.

300부터 700까지의 홀수인 자연수 중에서 각 자리의 숫자가 모두 다른 수의 개수를 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

다음은 디지털미디어시티역에서 서울역까지 대중교통을

50원, 100원, 500원짜리 동전이 각각 3개, 2개, 4개가

이용하는 방법을 나타낸 것이다. 대중교통을 이용하여

있다. 0원을 지불하는 것은 제외하고 동전을 전부 또는

디지털미디어시티역에서 서울역까지 가는 방법은 몇 가

일부 사용하여 돈을 지불할 수 있다. 금액이 같은 동전

지인가? (단, 같은 지점은 중복하여 지나지 않는다.)

은 구별하지 않을 때, 물음에 답하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

신촌역

⑴ 지불할 수 있는 경우의 수 ⑵ 지불할 수 있는 금액의 수 디지털미디어시티역

서울역

홍대입구역

22 Ⅰ. 순열과 조합

버스 지하철 경의선 철도 공항 철도

여러 가지 방법으로 풀어 보자. 두 쌍의 쌍둥이 형제 성빈, 우빈이와 민한, 민현이가 있다. 두 쌍의 쌍둥이들이 일렬로 설 때, 형제끼 리는 이웃하지 않게 서는 경우의 수를 구해 보자. 지혜의 방법으로 풀어 보자.

쌍둥이 성빈, 우빈 중 한 사람이 첫째 자리에 설 때, 형제끼리는 이웃하지 않게 서는 경우는 다음과 같이 4가지이다. 성빈

민한 ─ 우빈 ─ 민현 민현 ─ 우빈 ─ 민한

우빈

민한 ─ 성빈 ─ 민현 민현 ─ 성빈 ─ 민한

같은 방법으로 쌍둥이 민한, 민현 중 한 사람이 첫째 자리에 설 때는 …….

지훈이의 방법으로 풀어 보자.

쌍둥이 성빈, 우빈을

, 쌍둥이 민한, 민현이를

라고 하자.

형제끼리 이웃하지 않게 서는 경우는 다음과 같이 2가지이다.

이때 형제끼리 자리를 바꾸는 경우가 각각 2가지씩 있으므로, 곱의 법칙에 의하여 …….

1. 경우의 수 23

순열 바코드에서 QR 코드로 진화한다. 판매원이 제품의 바코드를 판독기로 스캔하면 그 제품의 품목과 가격이 자동으로 입 력된다. 길거리 광고판에서 정사각형 모양의 QR 코드를 스마트폰으로 촬영하면 제품 과 관련된 다양한 정보를 얻을 수 있다. 최근 들어 정보를 나타내는 방법은 바코드(Bar code)에서 QR 코드(Quick-Response code)로 빠르게 진화하고 있다. 바코드는 굵기가 서로 다른 검은 줄과 흰 공간을 배열하여 숫자를 암호화한 것이다. 예를 들어 오른 쪽 그림은 어느 바코드의 일부로 8개의 영역에 검은 줄 3개가 그어져 있다. 이때 각 영역의 검은 줄은 0 을 나타내고 흰 공간은 1을 나타낸다. 즉, 8개의 영 역 각각은 0 또는 1을 나타낼 수 있으므로 모두 2° 가 지의 경우가 가능하다. 이와 같이 바코드에서 줄의 수가 늘어남에 따라 나타낼 수 있는 경우의 수는 2의 거듭제곱으로 늘어나게 된다.

집에서 학교까지 운행하는 마을버스는 2가지, 시내버스는 4가지이다. 등교할 때 버스를 이용하는 경우의 수를 구하여라.

2 24 Ⅰ. 순열과 조합

한 개의 주사위를 던질 때, 2의 배수 또는 5의 배수의 눈이 나오는 경우의 수를 구하여라.

바코드는 편리함과 정확성 때문에 널리 활용되었으나, 숫자 정보만 담을 수 있 다는 한계가 있었다. 따라서 더 많은 정보를 담을 수 있는 코드가 필요해졌고, 이에 따라 정보를 가로, 세로 두 방향의 2차원으로 기록할 수 있는 QR 코드가 탄생하였다. QR 코드는 2차원으로 구성되기 때문에 바코드보다 훨씬 많은 정보를 담을 수 있고, 정보의 종류도 숫자, 문자, 동영상, 인터넷 주소(URL) 등으로 다양 하다. QR 코드에는 3개의 위치 찾기 기준이 있어서 거꾸로 촬영해도 정 보를 읽을 수 있고, 오류 복원 기능도 있다. 또한, 바코드는 판독하는 기 계를 통해서 정보를 알 수 있지만, QR 코드는 스마트폰으로 누구나 코드를 판 독하여 정보에 접근할 수 있다. 순서를 고려하여 배열하는 경우의 수를 알게 되면, 바코드와 QR 코드를 좀 더 잘 이해할 수 있게 된다.

빵 2종류와 음료수 3종류가 있을 때, 빵과 음료수를 각각 1종류씩 택하는 경우의 수를 구 하여라.

자연수 1, 2, 3, 4가 각각 적힌 4장의 카드에서 2장을 동시에 뽑아 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수를 구하여라. 2. 순열 25

순열 학습 목표 │ ● 순열의 뜻을 알고, 순열의 수를 구할 수 있다.

순열 생각해 봅시다

학교 축제의 연출을 맡은 태헌이는 축제 프로그램에 2개의 음악 동아리 공연을 넣으려고 한다. 음악 동 아리로 현악 4중주, 클래식 기타, 팝송, 힙합 동아

- 프로그램 -

리의 4개가 있다. 이 중에서 2개의

개회식 ⋮ 음악 동아리 공연 점심 음악 동아리 공연 ⋮

음악 동아리만 뽑아 점심시간 전후 에 한 동아리씩 공연하도록 프로그 램을 만드는 방법에 대하여 생 각해 보자.

서로 다른 대상들 중에서 몇 개를 택하여 배열해야 할 때, 그 순서를 고려하여 배열 하는 경우의 수에 대하여 알아보자. 1, 2, 3이 각각 하나씩 적힌 3장의 카드 중에서 2장을 뽑아 두 자리의 자연수를 만 들려고 한다. 이때 십의 자리에 올 수 있는 카 드는

의 3가지이고, 그

십의 자리

일의 자리

두 자리의 자연수

각각에 대하여 일의 자리에 올 수 있는 카드는 십의 자리에 이미 있는 2

카드를 제외한 2가지이다. 따라서 만들 수 있는 두 자리의 3

자연수는 곱의 법칙에 의하여 3_2=6(가지) 이다. 26 Ⅰ. 순열과 조합

일반적으로 서로 다른 n개에서 r(nær)개를 택하여 일렬로 배열하는 것을 n개에 서 r개를 택하는 순열이라 하고, 이 순열의 수를 기호로 «P®

«P®의 P는 순열을 뜻하는 Permutation의 첫 글

와 같이 나타낸다.

자이다.

순열의 수 «P®를 구하는 방법을 알아보자. 서로 다른 n개에서 r개를 택하여 일렬로 배열할 때, 첫째 자리에 올 수 있는 것은 n가지이고, 그 각각에 대하여 둘째 자리에 올 수 있는 것은 이미 첫째 자리에 놓인 것을 제외한 (n-1)가지이다. 이와 같은 방법으로 계속하면 r째 자리에 올 수 있는 것은 이미 택한 (r-1)개를 제외한 n-(r-1), 즉 (n-r+1)가지이다. 자리 가짓수

첫째

둘째

셋째

↑

n-1

n-2

r째

n-(r-1)

↑

따라서 순열의 수 «P®(0<r…n)는 곱의 법칙에 의하여 다음과 같다. «P®=n(n-1)(n-2)_y_(n-r+1) 위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

순열의 수 (1) 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 순열의 수는 9

{

(

«P®=n(n-1)(n-2)_y_(n-r+1) (단, 0<r…n) r개

보기

문제

⑴ ∞P£=5_4_3=60

다음 값을 구하여라. ⑴ ∞P¢

문제

⑵ ¢P¢=4_3_2_1=24

⑵ §P£

다음 등식을 만족하는 자연수 n의 값을 구하여라. ⑴ «P™=12

⑵ «P¢=3_«P£ 2. 순열 27

계승 생각해 봅시다

축구에서 전・후반전 90분과 연장전 30분으 로 승부를 가리지 못하면 각 팀에서 5명씩 선 수를 선발하여 승부차기를 하게 된다. 승부차 기 선수로 선발된 5명의 순서를 정하는 경우 의 수에 대하여 생각해 보자.

서로 다른 n개에서 n개 모두를 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수는 다음과 같다. «P«=n(n-1)(n-2)_y_3_2_1 n!은‘n 팩토리얼

이 식의 우변에 있는 1부터 n까지의 자연수의 곱을 n의 계승이라 하고, 기호로 n!

(factorial)’ 이라고 읽는다.

과 같이 나타낸다. 즉, n!은 다음과 같다. n!=n(n-1)(n-2)_y_3_2_1 0<r<n일 때, «P®를 계승을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. «P®=n(n-1)(n-2)_y_(n-r+1) n(n-1)(n-2)_y_(n-r+1)(n-r)(n-r-1)_y_3_2_1 «P®= 11111111111111111111111111111 (n-r)(n-r-1)_y_3_2_1 n! «P®= 11123 (n-r)! n! n! 여기서 r=n일 때, (좌변)=«P«=n!이고 (우변)= 12 이므로 «P®= 11123 이 0! (n-r)! 성립하도록 0!=1로 정의한다. n! 또한, r=0일 때, «Pº= 11123 이 성립하도록 «Pº=1로 정의한다. (n-0)!

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

순열의 수 (2) n! (단, 0…r…n) 1. «P®= 1111 (n-r)!

2. «P«=n!, 0!=1, «Pº=1

28 Ⅰ. 순열과 조합

보기

4! 4_3_2_1 ⑴ ¢P™= 11123 = 111113 =12 (4-2)! 2_1 ⑵ ∞P∞=5!=5_4_3_2_1=120

문제

안에 알맞은 수를 구하여라.

9! ⑴ ªP∞= 112

예제

⑵ ¶P∞=

_¶P¢

1…r…n일 때, «P®=n_«–¡P®–¡이 성립함을 증명하여라. 증명

(n-1)! n_«–¡P®–¡=n_ 111111112 {(n-1)-(r-1)}! n! n_«–¡P®–¡= 1111 =«P® (n-r)! 따라서 «P®=n_«–¡P®–¡이 성립한다.

문제

예제

1…r<n일 때, «P®=«–¡P®+r_«–¡P®–¡이 성립함을 증명하여라.

6개의 수 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 서로 다른 2개의 수를 배열하여 만들 수 있는 두 자리의 자 연수는 모두 몇 개인가? 풀이

직접 만들어 보면 …….

구하는 두 자리의 자연수는 다음과 같다.

준영

구하는 두 자리의 자연수

순열을 이용하면 …….

12, 13, 14, 15, 16,

의 개수는 6개의 수 1, 2,

21, 23, 24, 25, 26,

3, 4, 5, 6 중에서 2개를

31, 32, 34, 35, 36,

택하여 일렬로 배열하는 순열의

41, 42, 43, 45, 46,

수와 같으므로

51, 52, 53, 54, 56,

○○§P™=6_5=30(개)

61, 62, 63, 64, 65

아름

따라서 구하는 두 자리의 자연수는 모두 30개 이다.

30개

2. 순열 29

문제

4개의 알파벳 M, A, T, H 중에서 서로 다른 3개를 택하여 일렬로 배열하는 경우의 수를 구하여라.

문제

0부터 4까지의 수가 각각 하나씩 적힌 5장의 카드에서 서로 다른 3장의 카드를 택하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수 중

에서 짝수의 개수를 구하여라.

예제

서원이네 학교에는 오른쪽 그림과 같이 일렬로 배열된 5대의 도서 검색대가 있다. 서원, 소영, 아름, 민우, 희경의 5명이 각각 한 대씩 도서 검 색대를 사용하려고 할 때, 물음에 답하여라. ⑴ 서원이와 소영이가 이웃하게 앉아 도서 검색 대를 사용하는 경우의 수를 구하여라. ⑵ 아름이와 희경이가 양 끝에 앉아 도서 검색대 를 사용하는 경우의 수를 구하여라. 풀이

⑴ 서원이와 소영이가 이웃하게 앉아야 하므로 2명을 묶어 한 사람으로 생각하면 4명이 일 렬로 앉는 경우의 수는 ¢P¢=4!=4_3_2_1=24 ⑴ 이때 서원이와 소영이가 서로 자리를 바꿀 수 있으므로 그 경우의 수는 2!이다. 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 24_2=48 ⑵ 먼저 양 끝에 아름이와 희경이가 앉는 경우의 수는 2!이다. ⑴ 그 각각에 대하여 가운데에 나머지 3명이 일렬로 앉는 경우의 수는 £P£=3!=3_2_1=6 ⑴ 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 2_6=12 ⑴ 48 ⑵ 12

30 Ⅰ. 순열과 조합

문제

회장 1명, 부회장 1명을 포함하여 6명의 학생을 일렬로 세울 때, 다음 경우의 수를 구하여라. ⑴ 회장과 부회장이 양 끝에 오는 경우 ⑵ 회장과 부회장이 서로 이웃하지 않는 경우

문제

영화‘피에타’ 는 제`69회 베니스 국제 영화제에서 우리나라 영화로서는 최초로 영화제 최고 영예인 황금사자상을 수 상하였다. 시상식 단상에서 감독, 여주인공, 남주인 공, 영화제 관계자 2명의 총 5명이 관중을 바라보며 일렬로 설 때, 감독, 여주인공, 남주인공 3명이 이웃하게 서는 경우의 수를 구하여라.

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

오른쪽 그림과 같이 6개의 청소 도구를 일렬로 걸 수 있는 청소 도구 함이 있다. 이 청소 도구함에 서로 다른 6개의 청소 도구를 걸 때, 물 음에 답하여 보자. ⑴ 청소 도구 6개 중 2개를 먼저 걸고, 나머지 4개를 거는 경우의 수를 구해 보자. ⑵ 청소 도구 6개 중 3개를 먼저 걸고, 나머지 3개를 거는 경우의 수를 구해 보자. ⑶ 위의 ⑴과 ⑵를 이용하여 «P«=«P˚_«–˚P«–˚임을 설명해 보자. (단, 0…k…n) 2. 순열 31

■ «P®=n(n-1)(n-2)_y_(n-r+1)

난이도│중

29쪽의 예제 1에서는 순열의 수 «P®를 이용하여 «P®=n_«–¡P®–¡을 알아내었지요? 선생님

이번에는 거꾸로 «P®=n_«–¡P®–¡을 이용하여 순열의 수 «P®를 구해 보겠습니다.

아, 그럼 «P®=n(n-1)(n-2)_y_(n-r+1)을 알아낼 수 있는 것인가요? 수진

네. 먼저 «P®를 통해 «–¡P®–¡의 의미를 알아볼까요? 선생님

서로 다른 n개에서 r개를 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수 «P®를 다음과 같이 구할 수도 있다. y 첫째 둘째 셋째 자리 자리 자리

r째 자리

위의 그림에서 첫째 자리에 올 수 있는 것은 n가지이다. y

이어서 이어서

둘째 자리

셋째 자리

에 남은 것을 일렬로 배열하는 경우의 수는 첫째 자리에 놓인 것을 제 r째 자리

외한 (n-1)개에서 (r-1)개를 택하여 일렬로 배열하는 경우의 수, 즉 «–¡P®–¡과 같다. 이로 부터 곱의 법칙에 의하여 다음이 성립한다. «P®=n_«–¡P®–¡ 이제 «–¡P®–¡, «–™P®–™, y에 대하여 차례대로 위와 같은 방법으로 생각하면 다음이 성립한다. «–¡P®–¡=(n-1)_«–™P®–™ «–™P®–™=(n-2)_«–£P®–£ ⋮ «–®≠™P™=(n-r+2)_«–®≠¡P¡ «–®≠¡P¡=n-r+1 위의 등식들을 좌변은 좌변끼리, 우변은 우변끼리 곱하면 «P®_«–¡P®–¡_y_«–®≠¡P¡ =(n_«–¡P®–¡)_{(n-1)_«–™P®–™}_y_(n-r+1) 이것을 정리하면 다음을 얻는다. «P®=n(n-1)(n-2)_y_(n-r+1)

32 Ⅰ. 순열과 조합

원순열 학습 목표 │ ● 원순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구할 수 있다.

원순열 생각해 봅시다

수미네 학교에서는 생활복 착용 여부에 대해 네 명의 학생이 토론을 하려고 한다. 처음 계획 은 전교생이 모인 강당의 단상에서 직사각형 모양의 탁자에 앉아 토론하는 것이었으나, 방송 실에 있는 원 모양의 탁자에 둘러앉아 토론하는 모습을 생중계하는 것으로 변경하였다. 물음 에 답하여 보자.

[그림 1]

[그림 2]

1. [그림 1]과 같이 직사각형 모양의 탁자에 네 명이 앉는 경우의 수를 구해 보자. 2. [그림 2]와 같이 원 모양의 탁자에 네 명이 둘러앉는 경우의 수를 구해 보자. 3. 위의 1과 2의 결과를 비교해 보자.

서로 다른 대상을 원형으로 배열하는 경우를 알아보자. 네 사람 A, B, C, D가 원 모양의 탁자에 둘러앉을 때, 다음 그림에서와 같이 첫째 배열을 차례로 회전시켜 보면 네 사람의 위치 관계가 서로 같다. 이때 이 네 가지 배 열은 네 사람의 위치 관계가 같기 때문에 같은 배열로 본다. A B

D D

C C

B B

A D

이와 같이 서로 다른 대상을 원형으로 배열하는 순열을 원순열이라고 하며, 원순열 에서는 회전하여 일치하는 경우를 모두 같은 것으로 정한다. 2. 순열 33

원순열의 수를 구하는 방법을 알아보자. 네 사람 A, B, C, D를 일렬로 배열하는 경우의 수는 ¢P¢=4!이고, 이 각각을 원 형으로 배열하면 그 전체에는 같은 것이 4가지씩 있다. 따라서 네 사람 A, B, C, D가 ¢P¢ 4! 원 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 133 = 13 =3!=6이다. 4 4 일반적으로 서로 다른 n개를 일렬로 배열하는 순열의 수는 n!이고, 이 각각을 원 형으로 배열하면 그 전체에는 같은 것이 n가지씩 있으므로 서로 다른 n개를 원형으 로 배열하는 원순열의 수는 다음과 같다. n! 13 =(n-1)! n 위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

원순열의 수 서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 (n-1)!

문제

예제

원 모양의 탁자에 7명의 학생이 둘러앉는 경우의 수를 구하여라.

오른쪽 그림과 같이 부모와 3명의 자녀로 구성된 5명의 가족이 놀이 공원에서 반구 모양의 회전 컵을 탈 때, 부모가 이웃하여 앉는 경우의 수를 구하여라.

풀이

이웃하여 앉은 부모를 한 사람이라고 생각하면 4명이 원형으

부

모

로 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!이다. 그 각각에 대하여 부모끼리 자리를 바꿔 앉는 경우의 수가 2!이므로 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여

자녀3

자녀1 자녀2

3!_2!=12 12

34 Ⅰ. 순열과 조합

문제

리듬 체조 단체전에 참가하는 6명의 선수 A, B, C, D, E, F 가 원형을 만들어 동작을 하려고 한다. 다음을 구하여라. ⑴ 두 선수 A, B가 이웃하는 경우의 수 ⑵ 두 선수 A, B가 마주 보는 경우의 수

문제

혈액형이 A형인 사람 4명과 B형인 사람 4명의 혈액을 채취하 여 혈장을 분리하려고 한다. 8개의 시험관을 원 모양으로 꽂을 수 있는 원심분리기에 A형과 B형의 혈액이 담긴 시험관을 교대 로 배열하는 경우의 수를 구하여라.

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

세 쌍의 부부가 원 모양의 탁자에 둘러앉을 때, 부부끼리 이웃하여 앉는 경우의 수 를 구해 보자.

실마리 단순화하여 생각하기

한 쌍의 부부를 한 사람으로 생각한다.

2. 순열 35

■ 원이 아닌 다른 도형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수

난이도│상

6명이 원 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 (6-1)!=5!이다. 마찬가지로 정육각형 모양 의 탁자의 각 변에 1명씩 앉는다면 6명이 둘러앉는 경우의 수는 (6-1)!=5!이다.

원이나 정육각형이 아닌 다른 도형 모양의 탁자에 6명이 둘러앉는다면 어떻게 될까? 오른쪽 그림과 같이 정삼각형 모양의 탁자에 6명이 둘러앉는 경우의 수 를 구해 보자.

풀이

6명을 일렬로 배열하는 경우의 수는 6!이다. 그런데 그 각각을 정삼각형 모양으로 배열하면 정삼각형 모양의 탁자의 각 변에 2명씩 앉게 되므로, 그 전체에는 같은 것 이 3가지씩 있다. 6! 따라서 구하는 경우의 수는 14 =240이다. 3

오른쪽 그림과 같이 직사각형 모양의 탁자에 6명이 둘러앉는 경우 의 수를 구해 보자.

36 Ⅰ. 순열과 조합

■ 토의와 토론의 자리 배치 토의와 토론은 비슷하면서도 구별되는 특징을 갖는다. 일반적으로 토의는 어떤 문제를 해결 하기 위해 다양한 해결 방안을 모색하는 과정이고, 토론`은 어떤 주제에 대한 찬성과 반대의 주 장을 내세우며 상대편의 주장을 반박하는 과정을 통해서 결론을 도출하는 과정이다. 그러면 토 의와 토론에서의 대표적인 자리 배치에 대하여 알아보자. 토의에 참가하는 사람들이 다양한 의견을 제시하고 그로부터 해결 방 안을 찾는 것이 목적이라면 [그림 1]처럼 원형으로 자리를 배치하는 것 이 바람직하다. 이때 n명을 원형으로 자리 배치를 하는 방식은 원순열 이므로, 그 경우의 수는 (n-1)!이다. 찬성 팀과 반대 팀으로 구성된 토론에서 각 팀에 토론자와 전문가가

[그림 1]

각각 1명씩, 모두 4명이 있을 때, [그림 2]와 [그림 3]의 자리 배치가 가능하다. 사회자

사회자

찬성

반대

찬성

반대

찬성

반대

찬성

[그림 2]

[그림 3]

[그림 2]는 서로 동일한 의견을 가진 토론자와 전문가가 이웃하여 앉는 경우이다. 찬성 팀과 반대 팀이 각각 사회자의 오른쪽이나 왼쪽에 같이 앉는 경우의 수는 2!이다. 이때 찬성 팀 내에 서 토론자와 전문가가 이웃하여 앉는 경우의 수가 2!이고, 반대 팀의 경우의 수 역시 2!이다. 따라서 모든 경우의 수는 2!_2!_2!=8이다. 한편, [그림 3]은 서로 상반된 의견을 가진 토론자와 전문가가 이 웃하여 앉는 경우이다. 찬성 팀 토론자와 반대 팀 전문가가 이 웃하여 앉는 경우의 수는 2!이고, 반대 팀 토론자와 찬성 팀 전문가가 이웃하여 앉는 경우의 수도 2!이다. 이때 사회자 의 오른쪽이나 왼쪽에 같이 앉는 경우의 수는 2!이므로 모 든 경우의 수는 2!_2!_2!=8이다.

2. 순열 37

중복순열 학습 목표 │ ● 중복순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구할 수 있다.

중복순열 생각해 봅시다

소영이는 학교 게시판에 과제를 제출할 때, 게시 글의 비밀번호를 네 개의 숫자

비밀번호

로 설정하려고 한다. 중복을 허용하여 키보드의 숫자키 10개 1 , 4 ,

5 ,

6 ,

7 ,

8 ,

2 ,

3 ,

9 ,

으로 게시 글의 비밀번호를 설정하는 방 법에 대하여 생각해 보자.

서로 다른 대상에서 중복을 허용하여 택하는 순열의 수를 알아보자. 2개의 수 1, 2를 사용하여 세 자리의 자연수를 만들 때, 같은 수를 중복하여 사용하 면 다음과 같이 8개의 자연수를 만들 수 있다. 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222 이때 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에 올

백의 자리

십의 자리

일의 자리

2가지

수 있는 수는 각각 1, 2의 두 가지씩이다. 따라서 만들 수 있는 세 자리의 자연수는 곱 의 법칙에 의하여 2_2_2=2‹ =8(가지) 이다.

P는 곱을 뜻하는 Product 의 첫 글자인 P에 해당하 는 그리스 문자로‘파이’ 라고 읽는다.

일반적으로 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 택하는 순열을 중복순열이 라 하고, 이러한 중복순열의 수를 기호로 «P®

와 같이 나타낸다. 38 Ⅰ. 순열과 조합

중복순열의 수 «P®를 구하는 방법을 알아보자. 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 중복순열에서 첫 번째, 두 번째, 세 번째, y, r 번째 택할 때마다 택할 수 있는 것이 각각 n가지씩이다. 첫 번째

두 번째

세 번째

n가지

r 번째 ... n가지

따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 | 9

{

(

«P®=n_n_n_y_n=n® r개

이다.

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

중복순열의 수 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 중복순열의 수는 «P®=n®

보기

문제

⑴ ™P£=2‹

⑵ ¢P£=4‹

다섯 개의 문자 a, b, c, d, e에서 중복을 허용하여 3개를 택하여 일렬로 배열하는 경우의 수를 구하여라.

순열의 수 «P®와 중복순열의 수 «P®에서 n과 r 사이의 대소 관계를 비교해 보자.

«P®는 nær일 때 구할 수 있으니까`…….

«P®에서 n과 r는`…….

2. 순열 39

예제

어느 로봇 박물관에는 로봇을 작동해 볼 수 있는 체험 교실 이 마련되어 있다. 3명의 학생이 각각 A, B, C, D 네 개의 체험 교실 중 한 교실을 택할 수 있을 때, 3명이 체험 교실을 택하는 경우의 수를 구하여라.

풀이

체험 교실은 A, B, C, D의 4개이므로 3명이 체험 교실을 택하는 경우의 수는 4개에서 3개 를 택하는 중복순열의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 ¢P£=4_4_4=4‹ =64

문제

건우는 책을 읽다가 중요한 쪽에는 3가지 색의 견출지 중 1 장을 붙인다. 중요한 다섯 쪽에 견출지를 붙이는 경우의 수 를 구하여라.

문제

5개의 수 0, 1, 2, 3, 4에서 중복을 허용하여 자연수를 만들려고 할 때, 다음을 구하여라. ⑴ 한 자리의 자연수부터 네 자리의 자연수까지의 개수 ⑵ 네 자리의 자연수 중 짝수의 개수

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

수학 방과후 수업이 3개반, 영어 방과후 수업이 4개반 개설되었다. 5명의 학생이 수학 방과후 수업 한 개 반을 택하고, 영어 방과후 수업 한 개 반을 택하는 경우의 수를 구해 보자.

실마리 경우를 나누어 생각하기

중복을 허용하는 대상이 무엇인지 살펴본다.

40 Ⅰ. 순열과 조합

■ 도로 명 코드의 수는 중복순열로 구할 수 있다. ○○동 ○○번지와 같은 지번 주소 체계가 도로 명 주소로 바뀌어, 2014년 1월 1일부터 시행되었다. 도로 명 주소에서 도로는 폭과 길이에 따라 대로(폭 8차선, 길이 4km 이상), 로(폭 2~7 차선, 길이 2km 이상), 길(대로, 로 이외의 도로)의 3가지로 분류된다. 도로 번호는 도로의 진행 방향을 기준으로 왼쪽으로 갈라진 도로에는 홀수가, 오른쪽으로 갈라진 도로에는 짝수 은 1이 홀수이므로 학동로에서 왼쪽으로 갈라진 작은 도 가 붙는다. 예를 들어‘학동로 1길’ 로를 뜻한다. 건물 번호 역시 도로 왼쪽에는 홀수, 오른쪽

학동로

에는 짝수를 붙이며, 20m마다 2씩 올라간다. 예를 들어

학동로 4번 건물과 10번 건물은 도로 진행 방향에서 오른 쪽에 위치하며 두 건물은 약 60m 정

학동로 1길

학동로

도로 떨어져 있다.

이 건물의 주소는

}학동로 3번

학동로

영동대로

학동로

학동로 1길

학 동 로

길

학 동 로

학동로

약 60m

이와 같은 도로 명 주소를 더욱 간편하게 도로 명 코드로 나타내기도 한다. 도로 명 코드 는 12자리로, 처음 5자리는 시군구 코드이고 나머지 7자리는 도로 명 번호이다. 예를 들어 대전광역시는 30이고, 대덕구는 230이므로 대전광역시 대덕구의 시군구 코드는 30230이 된다. 또한, 도로 명 번호 7자리 중 첫째 자리는 도로의 위계를 나타낸다. 고속도로는 1, 대로는 2, 로는 3, 길은 4 또는 5가 배정된다. 나머지 6자리에는 0부터 9까지의 숫자가 중복을 허용 하여 배열된다. 도로 명 번호는 첫째 자리에 5가지, 나머지 6자리에 0부터 9까지의 10개의 숫자에서 중복을 허용하여 배열할 수 있으므로 총 5_10ﬂ 개를 만들 수 있다. 도로 명 코드(12자리)

시군구 코드(5자리)

위계 코드(1자리)

도로 명(6자리) 도로 명 번호(7자리, 총 5Y10ﬂ 개)

2. 순열 41

같은 것이 있는 순열 학습 목표 │ ● 같은 것이 있는 순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구할 수 있다.

같은 것이 있는 순열 생각해 봅시다

한글이 한 글자씩 적혀 있는 카드 3장을 일렬로 배열하여 단어를 만들려고 한다. 물음에 답 하여 보자.

,‘집’ ,‘합’ 이 하나씩 적힌 카드 3장을 일렬로 1.‘교’ 배열하는 경우의 수를 구해 보자. ,‘집’ ,‘합’ 이 하나씩 적힌 카드 3장을 일렬로 2.‘합’ 배열하는 경우의 수를 구해 보자.

3. 위의 1과 2의 결과를 비교해 보자.

두 문자 a, b에 대하여 3개의 a와 2개의 b를 모두 사용하여 일렬로 배열하는 순열 의 수를 알아보자. 먼저 구하는 순열의 수를 k라 하고, 이 중에서 하나의 순열 aaabb를 생각해 보자. 이때 문자 a를 각각 a¡, a™, a£이라 하고, 문자 b를 각각 b¡, b™라고 하면 순열 aaabb에 대하여 다음과 같은 3!_2!가지의 서로 다른 순열을 생각할 수 있다. a¡ a™ a£

a¡ a™ a£ b¡ b™

a¡ a™ a£ b™ b¡

a¡ a£ a™

a¡ a£ a™ b¡ b™

a¡ a£ a™ b™ b¡

a£ a¡ a™ b™ b¡

a£ a™ a¡

a£ a™ a¡ b¡ b™

a£ a™ a¡ b™ b¡

42 Ⅰ. 순열과 조합

3!가지

_ 2!가지

3!_2!가지

a£ a¡ a™ b¡ b™

a£ a¡ a™

a™ a£ a¡ b™ b¡

{

a™ a£ a¡ b¡ b™

b™ b¡

a™ a£ a¡

(

a™ a¡ a£ b™ b¡

a™ a¡ a£ b¡ b™

{

b¡ b™

(

a™ a¡ a£

이와 같은 3!_2!가지의 서로 다른 순열이 구하려는 순열 k가지 각각에 대하여 생 기므로, a¡, a™, a£, b¡, b™로 만들 수 있는 순열의 수는 yy ①

k_(3!_2!) 이다.

한편, a¡, a™, a£, b¡, b™를 일렬로 배열하는 순열의 수는 다음과 같다. yy ②

∞P∞=5!

따라서 ①, ②로부터 다음을 알 수 있다. k_(3!_2!)=5! 여기서 k의 값을 구하면 5! k= 1113 =10 3!_2! 이다.

일반적으로 같은 것이 있는 순열의 수는 다음과 같다.

같은 것이 있는 순열의 수 n개 중에서 같은 것이 각각 p개, q개, y, r개씩 있을 때, 이들을 모두 택하여 일 렬로 배열하는 순열의 수는 n! 1111113 (단, p+q+y+r=n) p!q!_y_r!

보기

⑴ 4개의 수 1, 2, 2, 2로 만들 수 있는 네 자리의 자연수의 개수는 4! ○○1115 =4 1!_3! ⑵ 5개의 문자 a, a, b, b, b를 일렬로 배열하는 경우의 수는 5! ○○1115 =10 2!_3!

문제

7개의 기호

`, (`,

`, △`,

`, )`,

`를 일렬로 배열하는 경우의 수를 구하여라. 2. 순열 43

예제

민지네 집에서 학교까지 가는 도로망이 오른쪽 그림과 학교

같다. 민지네 집에서 출발하여 학교까지 최단 거리로 가 는 경우의 수를 구하여라. 민지네 집

풀이

민지네 집의 위치를 A, 학교의 위치를 B라고 하자. 오른쪽으로 한 칸 가는 것을 a, 위쪽으로 한 칸 가는 것을 b로 나타내면, A

에서 B까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 3개의 a와 2개의 b

b A

를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같다.

따라서 구하는 경우의 수는 5! 1113 =10 3!_2!

문제

오른쪽 그림과 같은 도로가 있을 때, 다음을 구하여라. ⑴ A 지점에서 출발하여 P 지점을 지나 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수 P

⑵ A 지점에서 출발하여 P 지점을 지나지 않고 B 지 점까지 최단 거리로 가는 경우의 수

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

두 집합 X={1, 2, 3}, Y={1, 2, 3, 4, 5}에 대하여 다음을 구해 보자. ⑴ X에서 Y로의 함수의 개수 ⑵ X에서 Y로의 함수 중 모든 x¡, x™<X에 대하여 x¡<x™이면 f(x¡)<f(x™)인 함수의 개수

실마리 정의를 생각하기

정의역의 각 원소에서의 함숫값으로 가능한 것을 모두 구해 본다.

44 Ⅰ. 순열과 조합

■ 점자에 포함된 순열 점자는 시각 장애인을 위한 문자이다. 시각 장애인들은 손가락 끝의 촉각으로 볼록 튀어나온 점을 읽는데, 점자를 구성하는 점의 수와 위치에 따라 나타내는 글자가 달라진다. 점자는 세로로 3개, 가로로 2개, 총 6개의 점이 직사각형으로 배열되어 있다. 6개의 점 각각에 대해 볼록하게 튀어나와 있거나 그렇지 않은 2가지 경우가 있

으므로, 점자로 표현이 가능한 경우를 중복순열로 구하면 2ﬂ =64(가지)이다.

점자는 [그림 1]처럼 왼쪽 위에서 아래로 1, 2, 3, 오른쪽 위에서 아래로 4, 5, 6 의 번호를 붙이고, 튀어나온 점들의 번호를 이용하여 이름을 붙인다. 예를 들어

[그림 1]

라고 부른다. 초성 ㅋ의 경우 튀어나온 점들의 번호를 이용하여‘1-2-4 점자’

1 4개의 점 1, 2, 4, 5 중 튀어나온 점 2개로 만들 수 있는 한글 낱자는 모두 몇 가지일까?

4개의 점 1, 2, 4, 5 중에서 튀어나온 점 2개, 튀어나오지 않은 점 2개를 택하는 경우이므로 4! 같은 것이 있는 순열을 이용하면 12152 =6(가지)이다. 이에 해당하는 것은 한글 자음 중 2!_2! 초성인 ㄴ, ㄷ, ㅁ, ㅂ의 4가지와 종성인 ㄴ, ㅂ의 2가지이다. 2 4개의 점 1, 2, 4, 5 중 튀어나온 점 3개로 만들 수 있는 한글 낱자는 모두 몇 가지일까?

4개의 점 1, 2, 4, 5 중에서 튀어나온 점 3개를 택하는 경우이므로 같은 것이 있는 순열을 4! 이용하면 12 =4(가지)이다. 이에 해당하는 것은 한글 자음 중 초성인 ㅋ, ㅌ, ㅍ, ㅎ의 4가 3! 지이다. 한글 자음의 점자표 (●는 튀어나온 점) 자음 초성

ㄱ

ㄴ

ㄷ

ㄹ

ㅁ

ㅂ

ㅅ

ㅇ

ㅈ

ㅊ

ㅋ

ㅌ

ㅍ

ㅎ

(없음)

종성

2. 순열 45

2 순열 상│

■`순열

⑴ 순열: 서로 다른 n개에서 r(nær)개를 택하여 일렬

다음 값을 구하여라.

로 배열하는 것

중│

하

⑴ ¢P¢

⑵ 서로 다른 n개에서 r(0<r…n)개를 택하는 순열의 수는

⑵ ∞P™ ⑶ §Pº

○○«P®=n(n-1)(n-2)_y_(n-r+1)

■`계승 ⑴ 계승: 1부터 n까지의 자연수의 곱 ○○n!=n(n-1)(n-2)_y_3_2_1 n! ⑵ «P®= 1111 (단, 0…r…n) (n-r)!

⑶ «P«=n!

서로 다른 10권의 책 중 r권을 뽑아 책꽂이에 일렬로

⑷ 0!=1

꽂는 경우의 수가 90일 때, r의 값을 구하여라.

⑸ «Pº=1

■`원순열 ⑴ 원순열: 서로 다른 대상을 원형으로 배열하는 순열 ⑵ 서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 ○○(n-1)!

3 1…r…n일 때, 등식 «P®=(n-r+1)_«P®–¡이 성립함 을 증명하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

■`중복순열 ⑴ 중복순열: 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 택하는 순열 ⑵ 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 중복순열의 수는 ○○«P®=n®

■`같은 것이 있는 순열 n개 중에서 같은 것이 각각 p개, q개, y, r개씩 있을 때, 이들을 모두 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수는 n! ○○ 1111112 (단, p+q+y+r=n) p!q!_y_r! 기본을 다지고 싶다면

46 Ⅰ. 순열과 조합

같은 반인 남학생 3명과 여학생 3명이 교실에서 출발하 여 도서관으로 갈 때, 남학생 3명이 연달아 도착하는 경 우의 수를 구하여라. (단, 2명 이상의 학생이 도서관에 동시에 도착하는 경우는 없다.)

부록 243쪽

정답 222쪽

10개의 의자가 일렬로 놓여 있을 때, 다음을 구하여라.

선생님 1명과 남학생 2명, 여학생 3명이 원 모양의 탁

⑴ 두 사람이 의자에 앉는 경우의 수

자에 둘러앉을 때, 여학생 3명이 이웃하여 앉는 경우의

⑵ 두 사람이 이웃한 의자에 앉는 경우의 수

수를 구하여라.

⑶ 두 사람 사이에 빈 의자를 하나 두고 앉는 경우의 수

9 부모와 4명의 자녀로 구성된 6명의 가족이 원 모양의

6 오른쪽 그림과 같이 사등분한 원 에 빨강, 파랑, 보라, 노랑의 4가

식탁에 둘러앉을 때, 다음을 구하여라.

⑴ 부모가 마주 보고 앉는 경우의 수 ⑵ 부모가 이웃하지 않게 앉는 경우의 수

지 색을 모두 사용하여 칠하는 방 법은 몇 가지인지 구하여라.

10 10명의 학생들을 두 반 A, B에 배정하는 경우의 수를 구하여라. (단, 각 반에 1명 이상의 학생을 배정한다.)

7 오른쪽 그림과 같이 중앙에 원 모양을 포함하는 정육각형 모양 의 접시가 있다. 총 7개 부분으 로 나누어진 이 접시에 7종류의 과자를 한 부분에 한 종류씩 담 는 경우의 수를 구하여라.

(단, 원 모양을 제외한 나머지 6개 부분의 모양과 크기

6개의 수 1, 2, 3, 4, 5, 6에서 중복을 허용하여 만들 수

는 모두 같다.)

있는 네 자리의 홀수는 모두 몇 개인지 구하여라.

2. 순열 47

모스 부호 •와 -를 배열하여 •-, ••--와 같이

다음 그림과 같은 도로망이 있다. A 지점에서 출발하여

100가지의 신호를 만들고자 한다. 이 기호를 최소 몇

B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수를 구하여라.

개까지 배열해야 하는지 구하여라.

(풀이 과정을 자세히 써라.) B

8이 2개 있는 네 자리의 자연수의 개수를 구하여라.

ISOSCELES라는 단어를 이루는 9개의 알파벳을 모두

(풀이 과정을 자세히 써라.)

사용하여 일렬로 배열할 때, 다음을 구하여라.

⑴ 일렬로 배열하는 경우의 수 ⑵ 같은 문자끼리 모두 이웃하는 경우의 수 ⑶ 양 끝에 모음이 오는 경우의 수

다섯 명의 선수 A, B, C, D, E가 달리기 시합을 한다.

재희가 10단의 계단을 오르는데 한 걸음에 한 단 또는

A가 B보다 먼저 결승선을 통과하는 경우의 수를 구하

두 단을 오른다고 한다. 재희가 10단의 계단을 오르는

여라. (단, 어떤 두 사람도 동시에 결승선을 통과하지 않

경우의 수를 구하여라.

는다.)

48 Ⅰ. 순열과 조합

스프레드시트를 사용하여 순열의 수 구하기 n! 순열의 수 «P®는 «P®=n(n-1)(n-2)_y_(n-r+1)= 1111 이므로, n이 큰 수이고 r (n-r)! 도 큰 수라면 «P®의 값은 매우 커져서 계산하기 어려워진다. 계산기를 사용할 수 있지만, 여러 번으 로 나누어 입력해야 하는 번거로움이 있고 그 과정에서 오류가 발생할 수 있다. 이때 스프레드시트 를 사용하면 «P®의 값을 쉽게 구할 수 있다. 스프레드시트를 사용하여 순열의 수 £•P£™의 값을 계산해 보자. 1 메뉴에서 [수식]-[함수 삽입]을 선택하면 함수 마법사 창이 나타난다. 2 범주 선택에서‘통계’ 를 선택하고 함수 선택에서‘PERMUT’ 를 선택한 후 확인을 누르면

PERMUT 도구 상자가 나타난다.

3 도구 상자의 Number에는 38을, Number_chosen에는 32를 입력한 후 확인을 누르면 도

구 상자 아래에 £•P£™의 값인 7.2642_10› ⁄ 이 나타난다.

2. 순열 49

조합 화려한 불꽃놀이를 위한 최상의 조합 경사스러운 일을 축하할 때나 기념 행사에 빠지지 않는 것이 밤하늘을 화려하게 장식하는 불꽃놀이다. 불꽃놀이는 발사포에 포함된 화약에 불 을 붙여 그 폭발력으로 화공품을 공중으로 쏘아올린다. 이 화공품을‘연 화(煙火)’ 라고 하며, 연화의 불꽃반응과 크기에 따라 다양한 색깔과 형태의 불꽃놀이가 가능해진다. 첫째, 연화의 불꽃반응에 따라 색깔이 달라진다. 어떤 금속 물질을 겉불꽃 속에 넣었 을 때 독특한 불꽃색을 나타내는 것을 불꽃반응이라고 한다. 불꽃반응에서 색깔은 금속 물질이 포함하는 원소에 따라 결정된다. 바륨은 황록색을 나타내고, 리튬은 빨간색, 칼 슘은 주황색, 나트륨은 노란색, 칼륨은 보라색을 나타낸다. 또한, 나트륨과 칼륨을 혼합 하면 갈색이 되는 것처럼, 원소들을 선택하여 혼합하면 또 다른 색을 나타낼 수 있다.

세 사람 A, B, C 중 행사 도우미 2명을 뽑는 경우의 수를 구하여라.

서로 다른 3종류의 편지지와 서로 다른 2종류의 편지 봉투가 있다. 편지지와 편지 봉투를 각각 한 종류씩 고르는 경우의 수를 구하여라.

50 Ⅰ. 순열과 조합

둘째, 연화의 크기에 따라 불꽃의 형태와 소리가 달라진다. 연화가 커질수록 불꽃은 더 높이 올라가고 더 넓게 퍼지게 되어 더욱 아름답고 화려해진다. 또한, 연화를 어떻게 구성하느냐에 따라 소리의 시간차를 조절할 수 있다. 즉, 사람들은 소리를 통해 모양과 색으로 느낄 수 없는 불꽃놀이의 화려함 을 느낄 수 있다. 서로 다른 대상들 중에서 순서를 고려하 지 않고 몇 가지를 택하는 방법을 이용하면, 화려한 불꽃놀이를 위한 최상의 조합을 만들 수 있다.

네 사람 A, B, C, D 중 2명을 택하여 일렬로 세우는 경우의 수를 구하여라.

다섯 개의 수 1, 2, 3, 4, 5에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수를 구하여라. 3. 조합 51

조합 학습 목표 │ ● 조합의 뜻을 알고, 조합의 수를 구할 수 있다.

조합 생각해 봅시다

동현이는 방학 동안 국토의 동서남북 방향으로 독도, 가거도, 마라도, 백령도의 4개의 섬 중 2개의 섬을 여행하려고 한다. 물음에 답하여 보자.

백령도 백령도 백령도 백령도 독도 독도 독도 독도

가거도 가거도 가거도

마라도 마라도 마라도

1. 여행 순서를 정하여 2개의 섬을 택하는 경우의 수를 구해 보자. 2. 여행 순서를 정하지 않고 2개의 섬을 택하는 경우의 수를 구해 보자. 3. 위의 1과 2의 결과를 비교해 보자.

서로 다른 대상들 중에서 순서를 생각하지 않고 몇 개를 택하는 경우의 수에 대하 여 알아보자. 네 개의 자연수 1, 2, 3, 4 중에서 순서를 생각하지 않고 두 개를 택하는 경우는 다 음과 같이 6가지이다. 순서를 생각하지 않으므로

(1, 2), (1, 3), (1, 4),

(1, 2)는 (2, 1)과 같다.

(2, 3), (2, 4), (3, 4) 52 Ⅰ. 순열과 조합

«C®의 C는 조합을 뜻하는

일반적으로 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r(`nær)개를 택할 때, 이것을

Combination의 첫 글 자이다.

n개에서 r개를 택하는 조합이라 하고, 이 조합의 수를 기호로 «C®

와 같이 나타낸다.

순열과 조합의 관계를 이용하여 조합의 수 «C®를 구할 수 있다. 네 개의 문자 a, b, c, d에서 세 개를 택하는 조합에서 그 각각에 대하여 순서를 정 하여 배열하는 순열에 대하여 생각해 보자. 예를 들어 a, b, c를 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수를 생각하면 3!이고, 그 경 우는 다음과 같다. abc, acb, bac, bca, cab, cba 네 개의 문자에서 세 개를 택하는 ¢C£가지의 조합 각각에 대해 세 문자를 일렬로 배열하는 경우는 3!가지이다. 순열 ¢P£

조합 ¢C£

(a, b, c)

abc, acb, bac, bca, cab, cba

(a, b, d)

abd, adb, bad, bda, dab, dba

택한 것을 일렬로 배열하기

(a, c, d)

acd, adc, cad, cda, dac, dca

(b, c, d)

bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb

따라서 서로 다른 네 개에서 세 개를 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수는 ¢C£_3!=¢P£ 이므로, 서로 다른 네 개에서 세 개를 택하는 조합의 수는 다음과 같다. ¢P£ 4_3_2 ¢C£= 125 = 1111 =4 3! 3_2_1 ¢C£

¢P£

a, b, c, d 중에서 세 개를 택하는 경우의 수

택한 세 개를 일렬로 배열하는 경우의 수

a, b, c, d 중에서 세 개를 택하여 일렬로 배열하는 경우의 수

곱의 법칙

3. 조합 53

일반적으로 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 조합의 수는 «C®이고, 그 각각의 조합 에 대하여 r개를 일렬로 배열하는 순열의 수는 r!이다. 그러므로 서로 다른 n개에서 r개를 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수는 «C®_r!이다. 그런데 이 값은 «P®와 같으므로 «C®_r!=«P® 이다. 따라서 다음이 성립한다. «P® n(n-1)(n-2)_y_(n-r+1) «C®= 11 = 111111111111111 r! r!

바스카라(Bhaskara, A.; 1114~1185(1193 ?))

n! «C®= 11111 r!(n-r)!

인도의 수학자로 순열과 조합을 최초로 연구하였 고, 원소가 n개인 집합에 서 r개를 택하는 경우의 수가

n! 여기서 r=0일 때, «Cº= 11111 이 성립하도록 «Cº=1로 정의한다. 0!(n-0)!

n(n-1)_y_(n-r+1) 1111111114545 r(r-1)_y_2_1

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

임을 알고 있었다.

조합의 수 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 조합의 수는 «P® n! «C®= 11 = 11111 (단, 0…r…n) r! r!(n-r)!

보기

문제

∞P™ 5_4 ⑴ ∞C™= 11 = 112 =10 2! 2_1 8! 8_7_6 ⑵ •C∞= 1131 = 1111 =56 5!_3! 3_2_1 «P« n! ⑶ «C«= 11 = 12 =1 n! n!

다음 값을 구하여라. ⑴ £C™

문제

⑶ ¢C¡

다음 등식을 만족하는 n의 값을 구하여라. ⑴ «C™=66

54 Ⅰ. 순열과 조합

⑵ §C£

⑵ «C¢=«–¡C£

예제

0…r…n일 때, «C®=«C«–®임을 증명하여라. 증명

n개 중에서 r개를 택하는 경우의 수와 (n-r)개를 택하는 경우의 수는 같다.

n! «C®= 11111 r!(n-r)! n! n! «C«–®= 1111111111 = 11111 (n-r)!{n-(n-r)}! (n-r)!r! 따라서 «C®=«C«–®

문제

다음 등식이 성립함을 증명하여라. (단, 1…r<n) ⑴ «C®=«–¡C®–¡+«–¡C®

예제

⑵ r_«C®=n_«–¡C®–¡

집합 {a, b, c, d, e}의 부분집합 중에서 원소가 3개인 것은 몇 개인가? 풀이

직접 찾아 보면`…….

집합 {a, b, c, d, e}의 부분집합 중 원

원소가 3개인 부분집합의 개

소가 3개인 것을 구하면 다음과 같다.

수는 5개의 원소 a, b, c, d,

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e},

e 중에서 3개를 택하는 조합의

{a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e},

수와 같으므로

{b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}

조합을 이용하면`…….

5! ∞C£= 1114 =10(개) 3!_2!

따라서 구하는 부분집합은 10개이다.

10개

지혜

문제

성민

오른쪽 그림과 같이 원 위에 6개의 점 A, B, C, D, E, F가 있다.

다음을 구하여라. ⑴ 두 점을 잇는 선분의 개수

⑵ 세 점을 연결하여 만들 수 있는 삼각형의 개수 C

3. 조합 55

예제

자매결연 학교를 방문한 10명의 학생들이 교내 동아리 활 동을 체험하려고 한다. 10명 중 2명은 서예 동아리 활동을 하고, 3명은 영상 동아리 활동을 하고, 5명은 수학 동아리 활동을 하도록 배정할 때, 배정하는 경우의 수를 구하여라. (단, 모든 학생들은 반드시 한 개의 동아리 활동에 참여한다.)

풀이

10명 중 서예 동아리 활동을 할 2명을 배정하는 경우의 수는 ¡ºC™ 남은 8명 중 영상 동아리 활동을 할 3명을 배정하는 경우의 수는 •C£ 남은 5명 중 수학 동아리 활동을 할 5명을 배정하는 경우의 수는 ∞C∞ 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 10_9 8_7_6 ¡ºC™_•C£_∞C∞= 1124 _ 11312 _1=2520 2_1 3_2_1

문제

2520

오른쪽 그림과 같이 3개의 평행선과 4개의 평행선이 서로 수직 으로 만나고 있다. 이 직선들로 만들어지는 사각형의 개수를 구 하여라.

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

서로 다른 12송이의 꽃을 다음과 같이 나눌 때, 경우의 수를 구해 보자. ⑴ 7송이, 5송이씩 2묶음으로 나누는 경우 ⑵ 4송이씩 3묶음으로 나누는 경우

실마리 숨어 있는 조건 찾기

송이의 수가 같은 묶음에 대하여 생각한다.

56 Ⅰ. 순열과 조합

■ 조합을 이용하여 조 편성하기

난이도│중

운동 경기의 대전 방식 중‘승자 진출전(토너먼트)’ 에서는 경기를 거듭할 때마다 진 팀은 제 외시키고 이긴 팀끼리 겨루어 최후에 남은 두 팀이 우승을 가린다. 조합을 이용하여 다음과 같 은 승자 진출전의 서로 다른 대진표는 모두 몇 가지인지 알아보자. 1 5팀이 [그림 1]과 같이 경기를 할 때

5팀 중 부전승 팀을 택하는 경우의 수는 ∞C¡, 나머 지 4팀 중 결승에 가기 위해 부전승 팀과 겨루는 2팀 을 택하는 경우의 수는 ¢C™, 그리고 결승에 가기 전 에는 부전승 팀과 만나지 않는 2팀을 택하는 경우의 수는 ™C™이다. 따라서 서로 다른 대진표는 ∞C¡_¢C™_™C™=30(가지)이다.

부전승 팀

[그림 1]

2 4팀이 [그림 2]와 같이 경기를 할 때

4팀 중 왼쪽에 배정할 2팀을 택하는 경우의 수는 ¢C™, 나 머지 2팀은 오른쪽에 배정되므로 서로 다른 대진표는 ¢C™_™C™=6(가지)라고 생각할 수 있다. 그런데 이 6가지 중 에 왼쪽의 2팀과 오른쪽의 2팀이 서로 바뀌어도 같은 대진표 인 경우가 있다. 예를 들어 A, B, C, D 4팀이 있을 때, 다음

[그림 2]

그림의 두 대진표는 서로 같다.

1 따라서 서로 다른 대진표는 ¢C™_™C™_ 13 =3(가지)이다. 2!

3. 조합 57

중복조합 학습 목표 │ ● 중복조합의 뜻을 알고, 그 조합의 수를 구할 수 있다.

중복조합 생각해 봅시다

유자차, 생강차, 국화차, 메밀차, 율무차의 5종류의 전통차를 판매하는 상점이 있다. 지훈이가 이 상점에서 전통차를 고를 때, 물음에 답하여 보자.

1. 서로 다른 종류의 전통차 3개를 고르 는 경우의 수를 구해 보자.

2. 종류의 중복을 허용하여 전통차 3개를 고르는 경우의 수를 구해 보자. 3. 위의 1과 2의 결과를 비교해 보자.

서로 다른 대상들 중 중복을 허용하여 택하는 조합의 수를 알아보자. 두 개의 숫자 1, 2에서 중복을 허용하여 세 개를 택하는 조합은 다음의 4가지이다. (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 2, 2) 이와 같이 서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 택하는 조합을 n개에서 r개 를 택하는 중복조합이라 하고, 이 중복조합의 수를 기호로 «H®에서 H는 동차를 뜻하

«H®

는 Homogeneous의 첫 글자이다.

와 같이 나타낸다.

중복조합의 수 «H®를 구하는 방법을 알아보자. 세 문자 a, b, c에서 중복을 허용하여 네 문자를 택하는 조합은 다음과 같다.

58 Ⅰ. 순열과 조합

a, a, a, a

a, a, a, b

a, a, a, c

a, a, b, b

a, a, b, c

a, a, c, c

a, b, b, b

a, b, b, c

a, b, c, c

a, c, c, c

b, b, b, b

b, b, b, c

b, b, c, c

b, c, c, c

c, c, c, c

앞의 각 조합에 대하여 문자를 나타내는 4개의 ●와 세 문자 a, b, c의 경계를 나타 내는 2개의 로 된 순열을 만든다. 예를 들어 a, a, b, c는 ●● ● ●로 나타낸다. 즉, 첫째 의 왼쪽 2개의 ●는 a, 첫째 와 둘째 사이의 ●는 b, 둘째 의 오른쪽 ●는 c를 나타내며, 이와 같은 방법 으로 앞의 각 조합을 나타내면 다음과 같다. a를 4개 택하는 조합인 a, a, a, a는 ●●●● 로 나타내고, b를 1개, c 를 3개 택하는 조합인 b, c, c, c는 나타낸다.

● ●●●로

●●●●

●●● ●

●● ●●

●● ● ●

●● ●●

● ●●●

● ●● ●

● ● ●●

● ●●●

●●●●

●●● ●

●● ●●

● ●●●

●●●●

이것은 2개의 와 4개의 ●를 모두 일렬로 배열한 것이므로 같은 것이 있는 순열이 6! 고, 그 순열의 수는 1131 =15이다. 2!_4! 따라서 세 문자 a, b, c에서 중복을 허용하여 네 문자를 택하는 조합의 수 £H¢는 2개 6! 의 와 4개의 ●를 모두 일렬로 배열하는 순열의 수 1131 과 같다. 2!_4!

일반적으로 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 중복조합의 수는 (n-1)개의 와 r 개의 ●를 모두 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로 다음과 같다. (n-1+r)! «H®= 1131132 =«≠®–¡C® (n-1)!r!

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

중복조합의 수 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 중복조합의 수는 «H®=«≠®–¡C®

보기

⑴ «Hº=«≠º–¡Cº=1 5_4 ⑵ ¢H™=¢≠™–¡C™=∞C™= 112 =10 2 ⑶ «H£=«≠£–¡C£=«≠™C£ 3. 조합 59

문제

다음 등식을 만족하는 n의 값을 구하여라. ⑴ £H£=«C£

문제

⑵ ™H∞=«C¡

다섯 개의 문자 a, b, c, d, e에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 경우의 수를 구하여라.

조합의 수 «C®와 중복조합의 수 «H®에서 n과 r 사이의 대소 관계를 비교해 보자.

«C®는 nær인 경우를 다루지만`…….

예제

«H®에서 n과 r는`…….

(x+y+z)› 을 전개할 때 생기는 서로 다른 항은 모두 몇 가지인지 구하여라. 풀이

(x+y+z)› 을 전개할 때 생기는 항은 xå y∫ zç (단, a+b+c=4, a, b, c는 음이 아닌 정수) 으로 나타낼 수 있다. a+b+c=4이므로 3개의 문자 x, y, z에서 중복을 허용하여 4개를 택하고 그 곱을 만드는 것과 같다. 따라서 (x+y+z)› 을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H¢=£≠¢–¡C¢=§C¢=15(가지)

문제

60 Ⅰ. 순열과 조합

(a+b+c+d)‹ 을 전개할 때 생기는 서로 다른 항은 모두 몇 가지인지 구하여라.

15가지

예제

방정식 x+y+z=5에 대하여 물음에 답하여라. ⑴ 음이 아닌 정수해는 모두 몇 가지인가? ⑵ 양의 정수해는 모두 몇 가지인가? 풀이

⑴ 예를 들어 x=3, y=1, z=1인 경우를 xxxyz와 같은 중복조합의 경우로 생각할 수 있다. 따라서 방정식 x+y+z=5의 음이 아닌 정수해의 개수는 3개의 문자 x, y, z에서 5개 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ○○○○£H∞=¶C∞=21(가지) ⑵ x=1+a, y=1+b, z=1+c로 놓으면 방정식 a+b+c=2의 음이 아닌 정수해의 개 수와 같다. 따라서 방정식 a+b+c=2의 음이 아닌 정수해의 개수는 3개의 문자 a, b, c에서 2개 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ○○○○£H™=¢C™=6(가지)

문제

⑴ 21가지 ⑵ 6가지

방정식 x+y+z+w=10에 대하여 물음에 답하여라. ⑴ 음이 아닌 정수해는 모두 몇 가지인가? ⑵ 양의 정수해는 모두 몇 가지인가?

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

유진이와 태호는 (1+x+x¤ )‹ 을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수를 각각 다음과 같이 구하였다. 두 학생 중 서로 다른 항의 개수를 잘못 구한 학생은 누구인가? 또, 잘못 구한 학생의 말 중 틀린 부분에 대 하여 이야기해 보자. (1+x+x¤ )‹ 을 전개할 때 생기는 서로 다른 항은 3개의 항 1, x, x¤ 에서 중복을 허용하여 3개를 택하면 되니까 £H£=∞C£=10(개)야.

유진 유진 유진

어? (1+x+x¤ )(1+x+x¤ )(1+x+x¤ )을 전개하였더니 서로 다른 항의 개수는 xﬂ +3xﬁ +6x› +7x‹ +6x¤ +3x+1에서 7개인 것 같은데`…….

태호 태호 태호 태호

3. 조합 61

■ 최단 거리로 가는 경우의 수

난이도│중

다음 문제를 여러 가지 방법으로 해결해 보자. 오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. A 지점에서 출발하여 B

지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수를 구하여라.

합의 법칙을 이용하여 풀어 볼까?

각 지점에 도달할 수 있는 경우의 수는 오른쪽 그 아름

림과 같이 합의 법칙에 의하여 구할 수 있으므로 A

지점에서 출발하여 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 10이다.

조합을 이용하면`…….

오른쪽으로 가는 길을 각각 1 , 2 , 3 , 위로 가 지훈

는 길을 각각 a , b 라고 하면 A 지점에서 출발하

여 B 지점까지 가는 길은 1 2 3 a b , 1 a 2 b 3 , a b a

1 2 3

, y과 같이 나타낼 수 있다. 1 , 2 , 3 과

, b 는 순서가 정해져 있으므로 5개의 위치

` ` ` ` ``에

1 b

2 b

1 a A

3 b

2 a

B b

3 a

서 숫자나 알파벳의 위치를 택하는 경우의 수를 구하면 ∞C£=∞C™=10이다. 중복조합을 이용해도 될 것 같은데?

왼쪽에서 오른쪽으로 가는 길을 아래에서부터 각 수진

각 1 , 2 , 3 이라고 하자. 예를 들어 빨간색 화살

표 방향으로 가는 길은 1 1 1 이 되고, 파란색 화살표 방향 으로 가는 길은 1 2 3 으로 나타낼 수 있다. 그러면 A 지점 에서 출발하여 B 지점으로 가는 길을 1 2 3 , 2 2 2 , 2 2 3

, y과 같이 나타낼 수 있다. 이와 같이 세 수를 배열할 때 같은 수가 중복되어도 되

며, 오른쪽의 수는 왼쪽의 수보다 작을 수 없으므로 순서는 정해져 있다. 즉, 1 , 2 , 3 으 로부터 중복을 허용하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H£=∞C£=10이다.

62 Ⅰ. 순열과 조합

■ 접시의 종류가 같을 때와 다를 때 서로 같은 종류의 과자 5개를 3개의 접시에 담으렴.

…….

난이도│중

접시의 종류에 따라 경우의 수가 다른가요?

접시의 종류가 서로 다른가와 접시를 모두 사용하는가에 따라 경우의 수가 달라진단다.

서로 같은 종류의 과자 5개를 3개의 접시에 담을 때, 경우의 수는 다음에 따라 달라진다. •서로 다른 종류의 접시인가, 서로 같은 종류의 접시인가? •접시를 모두 사용해야 되는가, 일부만 사용해도 되는가?

1 서로 같은 종류의 3개의 접시에 담는 경우

① 접시를 모두 사용하는 경우 모든 접시에 과자를 1개씩 담아 놓고 경우의 수를 생각한다. ⇨ (1, 1, 3), (1, 2, 2)의 2가지 ② 접시를 일부만 사용해도 되는 경우 사용하는 접시의 개수를 1개, 2개, 3개로 늘려가면서 경우의 수를 생각한다. ⇨ (0, 0, 5), (0, 1, 4), (0, 2, 3), (1, 1, 3), (1, 2, 2)의 5가지 2 서로 다른 종류의 3개의 접시에 담는 경우

① 접시를 모두 사용하는 경우 모든 접시에 과자를 1개씩 담아 놓고 각 접시에 추가로 담을 과자의 개수를 각각 x, y, z라고 할 때, 방정식 x+y+z=2, xæ0, yæ0, zæ0을 만족하는 모든 해의 순서 쌍 (x, y, z)의 개수와 같다. ⇨ £H™=¢C™=6(가지) ② 접시를 일부만 사용해도 되는 경우 각 접시에 담을 과자의 개수를 각각 x, y, z라고 할 때, x+y+z=5, xæ0, yæ0, zæ0을 만족하는 모든 해의 순서쌍 (x, y, z)의 개수와 같다. ⇨ £H∞=¶C∞=¶C™=21(가지)

3. 조합 63

3 조합 상│

■`조합

■`중복조합

서로 다른 n개에서 r개를 택하는 조합의 수는

서로 다른 n개에서 r개를 택하는 중복조합의 수는

중│

하

«H®=«≠®–¡C®

«P® «C®= 11 r! n! = 11111 (단, 0…r…n) r!(n-r)!

기본을 다지고 싶다면

부록 245쪽

다음 값을 구하여라.

등식 «C£=120을 만족하는 n의 값을 구하여라.

⑴ •Cº

⑵ •C§

⑶ £H™

⑷ £H£

걷기, 자전거 타기, 수영의 3가지 유산소 운동 중에서 2

여학생 7명, 남학생 6명 중에서 여학생 3명과 남학생 2

가지를 택하는 경우의 수를 구하여라.

명을 뽑는 경우의 수를 구하여라.

1부터 20까지의 자연수 중에서 서로 다른 4개의 수를

1부터 30까지의 정수 중 서로 다른 3개의 정수를 뽑을

순서에 관계없이 뽑아 1등 당첨 번호를 정한다고 할 때,

때, 홀수와 짝수가 모두 포함되어 있는 경우의 수를 구

가능한 1등 당첨 번호의 가짓수를 구하여라.

하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

64 Ⅰ. 순열과 조합

정답 223쪽

어느 문구점에서는 A 회사의 세 종류, B 회사의 네 종

10명의 학생을 3명, 3명, 4명씩 나누어 세 개의 모둠을

류, C 회사의 다섯 종류, D 회사의 여섯 종류의 볼펜을

만들려고 한다. 이들 중 특정한 2명을 같은 모둠에 배정

팔고 있다. 이 중에서 세 종류의 볼펜을 선택하여 사려

하려고 할 때, 그 경우의 수를 구하여라.

고 할 때, 선택한 세 종류의 볼펜이 모두 같은 회사 제

(풀이 과정을 자세히 써라.)

품인 경우의 수를 구하여라.

8 오른쪽 그림과 같이 4개 의 평행선과 6개의 평행 선이 서로 만나고 있다.

이 직선들로 만들어지는

8명의 학생 A, B, C, D, E, F, G, H 중 5명을 선택할

평행사변형의 개수를 구

때, 다음을 구하여라.

하여라.

⑴ 3명의 학생 A, B, C를 모두 포함하는 경우의 수 ⑵ 2명의 학생 A, B는 모두 포함하고, 학생 C, D는 포함하지 않는 경우의 수

9 오른쪽 그림과 같이 한 변의

길이가 1인 정사각형 ABCD 가 있다. 동전을 던져서 앞면이 나오면 2만큼씩, 뒷면이 나오 면 1만큼씩 별 모양의 말을 화

살표 방향을 따라 정사각형의 변 위를 움직이기로 한다.

동전을 3회 던져서 말을 이동하였을 때, 꼭짓점 A에서

4개의 문자 a, b, c, d로 만들 수 있는 계수가 1인 서로

출발하여 꼭짓점 A에 도착하는 경우의 수를 구하여라.

다른 삼차의 단항식은 모두 몇 가지인지 구하여라.

3. 조합 65

5명의 학생이, 학생회장 후보로 나온 3명 중 한 명에게

한 개의 주사위를 5번 던질 때, k번째 나오는 눈의 수

무기명으로 투표를 할 때, 표가 나올 수 있는 가능한 경

를 a˚(k=1, 2, 3, 4, 5)라고 하자. 이때 다음을 만족하

우의 수를 구하여라. (단, 기권이나 무효표는 없다.)

는 경우의 수를 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

⑴ a¡<a™<a£<a¢<a∞ ⑵ a¡…a™…a£…a¢…a∞ ⑶ a¡…a™=a£…a¢…a∞

14 등식 §H¢=«C∞를 만족하는 n의 값을 구하여라.

18 15

방정식 x+y+z=8에 대하여 물음에 답하여라.

⑴ 음이 아닌 정수해는 모두 몇 가지인가?

(a+b+c+d)‡ 을 전개할 때 생기는 서로 다른 항은 모

⑵ 양의 정수해는 모두 몇 가지인가?

두 몇 가지인지 구하여라.

⑶ xæ1, yæ2, zæ3인 정수해는 모두 몇 가지인가?

16 바닐라, 초콜릿, 딸기, 민트, 녹차의 5종류 맛의 아이스크림을 판매하는 가게에서 8개의 아이스크림을 고를

때, 5종류 각각의 맛이 적어도 한 개

방정식 x+y+z+w=22에 대하여 그 해가 모두 홀수

는 포함되는 경우의 수를 구하여라.

인 경우의 수를 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

66 Ⅰ. 순열과 조합

스마트폰 애플리케이션을 사용하여 조합의 수 구하기 «P® n! 조합의 수 «C®는 «C®= 11 = 11111 (단, 0…r…n)이므로 n과 r가 모두 큰 수라면 «C®의 r! r!(n-r)! 값은 매우 커져서 계산하기 어렵다. 등식 «C®=«C«–®를 이용할 수 있지만, n과 r의 차에 따라 계산 이 어려운 경우도 있다. 이때 스마트폰 애플리케이션을 사용하면 «C®의 값을 쉽게 구할 수 있다.

조합 계산이 가능한 애플리케이션을 사용하여 조합의 수 ¢ºC™º의 값을 계산해 보자.

1 기호 C 앞에 있는 수 40을 먼저 입력한다.

2 조합의 수를 계산해 주는 버튼(

)을 누르

면 화면 왼쪽 상단에 기호‘nCr’ 가 나타난다.

3 기호 C 뒤에 있는 수 20을 입력한다.

4 등호 버튼을 누르면 화면에 계산 값인

137846528820이 나타난다.

3. 조합 67

분할과이항정리 피겨 스케이팅 대회에 담긴 분할의 아이디어 피겨 스케이팅 대회로 동계 올림픽, 세계 선수권, 유럽 선수권, 4대륙 선 수권, 그랑프리 시리즈, 그랑프리 파이널 등이 있다. 선수들은 자신이 속한 지역 또는 전년도 성적에 따라 다음과 같이 대회에 참가한다. 첫째, 선수들은 자신이 속한 지역에 따라 유럽의 선수들은 유럽 선수권 대회에, 아시 아, 아메리카, 아프리카, 오세아니아의 선수들은 4대륙 선수권 대회에 참가한다. 전 세 계를 유럽과 그 외 지역으로 분할하여 두 대회가 개최되고 있는 것이다. 둘째, 선수들은 자신의 전년도 성적에 따라 미국, 캐나다, 중국, 러시아, 프랑스, 일본 의 6개 국가에서 연간 한 번씩 총 6회 개최되는 그랑프리 시리즈 대회에 참가한다. 이때

68 Ⅰ. 순열과 조합

서로 다른 5자루의 색연필 중에서 2자루를 고르는 경우의 수를 구하여라.

서로 다른 상의 3벌과 서로 다른 하의 4벌 중에서 각각 1벌씩 고르는 경우의 수를 구하여라.

선수들은 6개의 대회 중 2개의 대회에만 참가할 수 있다. 강한 선수끼리 같은 대회에서 대결하는 것을 막기 위해 선수들을 실력에 따라 시드(seed)라는 집합에 배정한 후 여러 대회에 분산해서 출전하도록 한다. 전년도 세계 선수권 대회 성적을 기준으로 1위, 2위, 3위 선수들에게는 1번 시드를, 4 위, 5위, 6위 선수들에게는 2번 시드를 배정한다. 그리고 각 그 랑프리 시리즈 대회에 는 1번 시드에서 1명의 선수와 2번 시드에서 1명 의 선수가 참가한다. 다시 말해 전년도 대회 성적에 따라 만들어진 시드라는 집 합에 속한 선수들을 적당하 게 분할한 후 모아서 그랑프 리 시리즈 대회라는 또 다른 집합을 구성한 것이다. 피겨 스케이팅뿐만아니라 각종 오디션 프로그램도 지역별로, 분야별로 겹치지 않도 록 나누어 실시하여 우수한 사람을 선발한다. 이처럼 우리는 일상생활에서 전체로 묶일 수 있는 대상을 몇 개의 집합으로 분할하는 경우를 쉽게 볼 수 있다.

안에 알맞은 수를 구하여라.

⑴ ¡¡Cª= C™

⑵ §P =∞P¢+4_∞P£

서로 다른 볼펜 7자루와 서로 다른 연필 4자루가 있다. 볼펜 3자루와 연필 2자루를 택하 는 경우의 수를 구하여라. 4. 분할과 이항정리 69

분할 학습 목표 │ ● 원소가 유한개인 집합을 서로소인 몇 개의 집합의 합집합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다. ●

자연수를 몇 개의 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 구할 수 있다.

집합의 분할 생각해 봅시다

은희는 재활용 나눔 장터에서 서로 다른 8개의 물건을 구매하였다. 이 물건을 서로 같은 종류의 친환경 가방 2개에 나누어 담는 방법에 대하여 생각해 보자.

교집합이 공집합인 두 집 합을 서로소인 집합이라 고 한다.

집합 {a, b, c}를 공집합이 아닌 몇 개의 서로소인 부분집합으로 나누어 보자. ⁄ 3개의 부분집합으로 나누는 경우 집합 {a, b, c}를 공집합이 아닌 3개의 서로소인 부분집합으로 나누는 경우는 다 음 그림과 같이 1가지이다.

¤ 2개의 부분집합으로 나누는 경우 집합 {a, b, c}를 공집합이 아닌 2개의 서로소인 부분집합으로 나누는 경우는 다 음 그림과 같이 3가지이다.

70 Ⅰ. 순열과 조합

‹ 1개의 부분집합으로 나누는 경우 집합 {a, b, c}를 1개의 부분집합으로 나누는 경우는 다음 그림과 같이 1가지이다.

따라서 ⁄, ¤, ‹에서 집합 {a, b, c}를 공집합이 아닌 서로소인 부분집합으로 나 누는 경우는 모두 5가지이다.

이와 같이 원소가 유한개인 집합을 공집합이 아닌 몇 개의 서로소인 부분집합으로 나누는 것을 집합의 분할이라고 한다. 이때 원소가 n개인 집합을 k(1…k…n)개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수를 기호로 S(n, k)

와 같이 나타낸다. 일반적으로 원소가 n개인 집합을 분할하는 모든 경우의 수는 S(n, 1)+S(n, 2)+S(n, 3)+y+S(n, n)이다. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

집합의 분할 원소가 n개인 집합에 대 하여

원소가 n개인 집합을

1. k(1…k…n)개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수는 S(n, k)이다.

○○S(n, 1)=1, ○○S(n, n)=1

2. 분할하는모든경우의수는 S(n, 1)+S(n, 2)+S(n, 3)+y+S(n, n)이다.

이다.

보기

집합 A={a, b, c}에 대하여 S(3, 1)=1, S(3, 2)=3, S(3, 3)=1 이고, 집합 A를 분할하는 모든 경우의 수는 다음과 같다. S(3, 1)+S(3, 2)+S(3, 3)=5

문제

집합 {a, b, c, d, e}를 4개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수를 기호로 나타내고, 그 값을 구하여라. 4. 분할과 이항정리 71

예제

집합 {a, b, c, d}를 2개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수를 구하여라. 풀이

조합으로 생각하면`…….

S(4, 2)는 원소의 개수에 따라 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다. ⁄ 원소가 각각 1개, 3개인 부분집합으로 분할하는 경우 ⁄ 4개의 원소 중에서 1개를 택하고, 남은 3개의 원소 중에서 3개를 택하면 되 므로 경우의 수는 ⁄ ○○○○¢C¡_£C£=4_1=4 ¤ 원소가 각각 2개, 2개인 부분집합으로 분할하는 경우 ⁄ 4개의 원소 중에서 2개를 택하고, 남은 2개의 원소 중에서 2개를 택하면 된 원소 a, b를 택한 후 원소 c, d를 택하는 경우와 원 소 c, d를 택한 후 원소 a, b를 택하는 경우가 중 복되는 경우이다.

다. 그런데 두 부분집합의 원소의 개수가 같으면 중복되는 경우가 2!개씩 나

지훈

타나므로 경우의 수는 1 4_3 1 ⁄ ○○○○¢C™_™C™_ 13 = 113 _1_ 113 =3 2! 2_1 2_1 따라서 ⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 4+3=7 S(4, 2)는 원소 a를 기준으로 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다. ⁄ 원소 a가 다른 원소와 함께 하나의 집합을 이루는 경우

집합의 특정 원소에 대하여 생각하면`…….

⁄ 집합 {b, c, d}를 2개의 부분집합으로 나누고, 원소 a를 각 집합에 넣으면 된다. 즉 ⁄⁄ {b}, {c, d}

{a, b}, {c, d} 또는 {b}, {a, c, d}

⁄⁄ {c}, {b, d}

{a, c}, {b, d} 또는 {c}, {a, b, d}

⁄⁄ {d}, {b, c}

{a, d}, {b, c} 또는 {d}, {a, b, c}

⁄ 이므로 경우의 수는 6이다. ¤ 원소 a로만 하나의 부분집합을 이루는 경우는 {a}, {b, c, d}이므로 경우의

수진

수는 1이다. 따라서 ⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 6+1=7

위의 예제 1의 수진이의 풀이에서 원소 a가 아닌 다른 원소 b, c, d 중 하나를 기준으로 나누 는 경우에 대하여 이야기해 보자.

아름

72 Ⅰ. 순열과 조합

원소 a가 아닌 다른 원소를

원소 b가 다른 원소와 함께

기준으로 나누어도 경우의

하나의 집합을 이루는 경우

수가 같을까?

는`…….

성민

문제

예제

원소가 5개인 집합을 2개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수를 구하여라.

유럽 연합 회원국들은 단일 화폐로 유로화를 사용한다. 유로화 동전의 앞면은 동일하지만, 동 전의 뒷면은 유로화를 발행한 국가에 따라 모두 다르다. 수희가 갖고 있던 1유로 동전 6개를 뒤집어 보니, 다음과 같이 뒷면이 모두 달랐다.

오스트리아 (모차르트)

벨기에 (알베르트 2세)

룩셈부르크 (앙리 대공)

모나코 (알베르크 2세)

네덜란드 스페인 (베아트릭스 여왕) (후안 카를로스 1세)

이 1유로 동전 6개를 서로 같은 종류의 2개의 액자에 나누어 보관할 때, 빈 액자가 없도록 보 관하는 경우의 수를 구하여라. 풀이

서로 다른 1유로 동전 6개를 서로 같은 종류의 2개의 액자에 나누어 보관할 때, 빈 액자가 없도록 보관하는 경우의 수는 S(6, 2)이다. 이때 S(6, 2)는 원소의 개수에 따라 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다. ⁄ 원소가 각각 5개, 1개인 부분집합으로 분할하는 경우의 수는 ⁄⁄⁄⁄§C∞_¡C¡=6_1=6 ¤ 원소가 각각 4개, 2개인 부분집합으로 분할하는 경우의 수는 6_5 ⁄⁄⁄⁄§C¢_™C™= 113 _1=15 2_1 ‹ 원소가 각각 3개, 3개인 부분집합으로 분할하는 경우의 수는 1 6_5_4 1 ⁄⁄⁄⁄§C£_£C£_ 13 = 11312 _1_ 131 =10 2! 3_2_1 2_1 따라서 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 ⁄⁄⁄⁄S(6, 2)=6+15+10=31

문제

매년 10월 경상북도 안동에서 개최되는 안동 국제 탈춤 페스티벌에서 는 탈 만들기 교육 프로그램을 운영한다. 은지는 탈 만들기 행사에 참 여하여 각시탈, 양반탈, 백정탈, 할미탈, 중탈, 주지탈 6개의 탈을 만들 었다. 은지가 6개의 탈을 서로 같은 종류의 4개 이상 6개 이하의 선 물 상자에 나누어 담는 경우의 수를 구하여라.

4. 분할과 이항정리 73

자연수의 분할 생각해 봅시다

2개의 공 보관함에 4개의 공을 나누어 넣으려고 한다. 물음에 답하여 보자.

1. 농구공, 배구공, 축구공, 피구공을 각각 1개씩, 모두 4개의 공을 서로 같은 종류의 공 보관함 2개에 나누어 넣는 방법에 대하여 생각해 보자.

2. 서로 같은 종류의 농구공 4개를 서로 같은 종류 의 공 보관함 2개에 나누어 넣는 방법에 대하여 생각해 보자.

자연수 5를 순서를 고려하지 않고 몇 개의 자연수의 합으로 나타내어 보면 5=5

1개의 자연수의 합

=4+1=3+2

2개의 자연수의 합

=3+1+1=2+2+1

3개의 자연수의 합

=2+1+1+1

4개의 자연수의 합

=1+1+1+1+1

5개의 자연수의 합

과 같다. 이와 같이 어떤 자연수를 순서를 고려하지 않고 몇 개의 자연수의 합으로 나타내는 것을 자연수의 분할이라고 한다. 이때 자연수 n을 k(1…k…n)개의 자연 수로 분할하는 경우의 수를 기호로 P(n, k) 와 같이 나타낸다. 일반적으로 자연수 n을 분할하는 모든 경우의 수는 P(n, 1)+P(n, 2)+P(n, 3)+y+P(n, n)이다.

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

자연수의 분할 자연수 n에 대하여 ○○P(n, 1)=1, ○○P(n, n)=1 이다.

74 Ⅰ. 순열과 조합

자연수 n을

1. k(1…k…n)개의 자연수로 분할하는 경우의 수는 P(n, k)이다. 2. 분할하는모든경우의수는P(n, 1)+P(n, 2)+P(n, 3)+y+P(n, n)이다.

보기

자연수 5에 대하여 P(5, 1)=1, P(5, 2)=2, P(5, 3)=2, P(5, 4)=1, P(5, 5)=1 이고, 자연수 5를 분할하는 모든 경우의 수는 P(5, 1)+P(5, 2)+P(5, 3)+P(5, 4)+P(5, 5)=7 이다.

문제

예제

자연수 6을 2개의 자연수로 분할하는 경우의 수를 기호로 나타내고, 그 값을 구하여라.

서로 같은 종류의 구슬 6개를 서로 같은 종류의 유리병 3개에 나누어 넣을 때, 빈 유리병이 없도록 넣는 경우의 수를 구하여라. 풀이

P(n, k)는 서로 같은 종 류의 대상 n개를 서로 같 은 종류의 상자 k개에 나 누어 넣는 방법의 수와 같 다.

서로 같은 종류의 구슬 6개를 서로 같은 종류의 유리병 3개에 나누어 넣는 경우의 수는 P(6, 3)이다. 이때 3개의 유리병에 각각 구슬을 1개씩 넣으면 3개의 구슬이 남으므로 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다. ⁄ 남은 구슬 3개를 1개의 유리병에 모두 넣는 경우의 수는 ○○○○P(3, 1)=1 ¤ 남은 구슬 3개를 2개의 유리병에 모두 넣는 경우의 수는 ○○○○P(3, 2)=1 ‹ 남은 구슬 3개를 3개의 유리병에 모두 넣는 경우의 수는 ○○○○P(3, 3)=1 따라서 ⁄, ¤, ‹에서 구하는 경우의 수는 ‹ ○○○○P(6, 3)=P(3, 1)+P(3, 2)+P(3, 3) =1+1+1=3

문제

서로 같은 종류의 과자 7개를 서로 같은 종류의 접시 3개에 나누어 놓을 때, 빈 접시가 없도 록 놓는 경우의 수를 구하여라. 4. 분할과 이항정리 75

```

``문제

2008년 방화로 전소되었던 국보 1호 숭례문의 복구 작업이 완 료되었다. 이를 기념하여 우정사업본부에서는 2013년‘숭례문 복구 기념우표’ 를 제작하였다. 지웅이는 아래 그림과 같이 나란 히 붙어 있는 우표 8장을 절취선을 따라 잘라 몇 개의 부분으로 나누려고 할 때, 다음을 구하여라.

⑴ 세 부분으로 나누는 경우의 수 ⑵ 두 부분으로 나눌 때, 각 부분에 적어도 2장 이상의 우표가 포함되는 경우의 수

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

다음에서 두 수를 선택하여 집합의 분할에 대한 경우의 수 S(n, k) 또는 자연수의 분할에 대한 경우의 수 P(n, k)를 이용하는 문제를 만들고, 만든 문제를 풀어 보자.

2, 3, 4, 6, 7, 9

76 Ⅰ. 순열과 조합

■ 자연수의 분할을 그림으로 설명하기

난이도│중

자연수 n의 분할을 n개의 점을 이용하여 그림으로 나타내면 여러 가지 성질을 알아낼 수 있다. 1 5의 한 분할인 3+2를 오른쪽 그림과 같이 나타낼 수 있다. 이 그

분할한 자연수의 개수

림에서 가장 긴 가로줄의 점의 개수는 분할한 자연수의 개수를, 가장 긴 세로줄의 점의 개수는 분할에서 가장 큰 수를 뜻한다.

3+2 분할에서 가장 큰 수

2 3을 분할하는 모든 경우는 다음 그림과 같이 점을 이용하여 3가지로 나타낼 수 있다. 3

2+1

1+1+1

위의 각 그림마다 아래의 그림처럼 검은색 한 점을 추가하면 4를 분할하는 모든 경우가 5가 지임을 확인할 수 있다. 4

3+1

2+2

2+1+1

1+1+1+1

3 7의 한 분할인 3+2+1+1을 나타낸 그림에서 가로줄의 점의 개수 4, 2, 1을 차례로 더하면

4+2+1로 7의 또 다른 분할이 된다. 가로줄의 점의 개수를 더하면

4 + 4 이하의 2 + 자연수의 합 1

3+2+1+1 4개의 자연수의 합

즉, 7을‘4개의 자연수의 합’ 인 3+2+1+1을 나타낸 그림에서 가로줄의 점의 개수를 더하 인 4+2+1이다. 면‘4 이하의 자연수의 합’ 으로 나타내는 경우는 자연수 n 이와 같이 그림을 이용하면 자연수 n을‘k개의 자연수의 합’ 을‘k 이하의 자연수의 합’ 으로 나타낼 수 있다.

4. 분할과 이항정리 77

이항정리 학습 목표 │ ● 이항정리를 이해한다. ●

이항정리를 이용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

이항정리 탐구해 봅시다

다음 그림과 같이 세 개의 주머니 ㈎, ㈏, ㈐`에 a가 적힌 공과 b가 적힌 공이 각각 한 개씩 들어 있다. 각 주머니에서 공을 하나씩 꺼내어 그 공에 적힌 문자를 곱할 때, 물음에 답하여 보자.

b ㈎

b ㈏

b ㈐

1. 다음은 곱을 만들 수 있는 모든 경우이다. 빈칸을 채워 보자. 주머니 ㈎

주머니 ㈏

주머니 ㈐

문자의 곱

a‹

a¤ b

2. 문자의 곱을 모두 더하여 간단히 정리한 후 인수분해해 보자.

조합을 이용하여 (a+b)‹ 의 전개식을 구해 보자. (a+b)‹ 은 곱셈 공식을 이용하여 다음과 같이 전개할 수 있다. (a+b)‹ =(a+b)(a+b)(a+b) =(aa+ab+ba+bb)(a+b) =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb =a‹ +3a¤ b+3ab¤ +b‹ 위의 전개식에서 항 a¤ b의 계수 3은 세 개의 인수 a+b, a+b, a+b 중 2개의 인 수에서 a를, 나머지 1개의 인수에서 b를 택하여 곱한 경우, 즉 aab, aba, baa를 합 하여 3이 된 것이다. 78 Ⅰ. 순열과 조합

이때 항 a¤ b의 계수는 오른쪽 그림에서

(a+b)(a+b)(a+b)

보듯이 세 개의 인수 중 한 개의 인수에서 b를 택하는 경우의 수 £C¡=3 과 같다. 같은 방법으로 생각하면 항 a‹ , ab¤`, b‹ 의 계수는 각각

a a a b a b b b

a a b a b a b b

a‹ =£Cºa‹

a b a a b b a b

3a¤ b=£C¡a¤ b

3ab¤ =£C™ab¤ b‹ =£C£b‹

£Cº, £C™, £C£ 과 같음을 알 수 있다. 따라서 (a+b)‹ 의 전개식을 조합을 이용하여 나타내면 다음과 같다. (a+b)‹ =£Cºa‹ +£C¡a¤ b+£C™ab¤ +£C£b‹

일반적으로 (a+b)« 의 전개식

( \ { \ 9

(a+b)« =(a+b)(a+b)_y_(a+b) n개

에서 우변 (a+b)(a+b)_y_(a+b)의 n개의 인수 중 r개의 인수에서 각각 b를 택하고, 남은 (n-r)개의 인수에서 각각 a를 택하여 곱하면 a« —® b® 이 된다. 여기서 그 계수는 n개의 인수 중 r개의 인수에서 b를 택하는 경우의 수 «C®와 같다. 이때 r=0, 1, 2, y, n에 대하여 각 항의 계수는 «Cº, «C¡, y, «C®, y, «C« 이고, 따라서 다음과 같은 전개식을 얻을 수 있다. (a+b)« =«Cº a« +«C¡ a« —⁄ b+y+«C® a« —® b® +y+«C« b«

위의 내용을 정리하면 다음과 같고, 이를 이항정리라고 한다.

이항정리 n이 자연수일 때 ○○○○(a+b)« =«Cº a« +«C¡a« —⁄ b+y+«C® a« —® b® +y+«C« b« =;R+n ) «C®a« —® b®

4. 분할과 이항정리 79

다항식 (a+b)« 의 전개식에서 각 항의 계수 «Cº, «C¡, y, «C®, y, «C« 을 이항계수라 하고, (r+1)째 항 «C® a« —® b® 을 일반항이라고 한다. 이때 «C®=«C«–®이므로 두 항 a« —® b® 과 a® b« —® 의 계수는 서로 같다.

보기

예제

(a+b)‹ 의 전개식에서 이항계수는 £Cº, £C¡, £C™, £C£이고 일반항은 £C®`a‹ —® b® 이다.

이항정리를 이용하여 (2a+b)›``을 전개하여라. 풀이

(2a+b)› =¢Cº(2a)› +¢C¡(2a)‹ b+¢C™(2a)¤ b¤ +¢C£(2a)b‹ +¢C¢b› =16a› +32a‹ b+24a¤ b¤ +8ab‹ +b› 16a› +32a‹ b+24a¤ b¤ +8ab‹ +b›

문제

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하여라. ⑴ (x+y)›

예제

⑵ (a-2b)‹

{x¤ -;[@;}ﬁ 의 전개식에서 x› 의 계수를 구하여라. 풀이

{x¤ -;[@;}ﬁ``의 전개식에서 일반항은 ∞C®(x¤ )ﬁ —® {-;[@;}® =(-1)® ∞C®2® x⁄ ‚ —‹ ® 여기서 10-3r=4이므로 r=2 따라서 x› 의 계수는 (-1)¤ ∞C™ 2¤ =40 40

문제

80 Ⅰ. 순열과 조합

1 {2x+ 13 }ﬂ 의 전개식에서 x‹ 의 계수와 상수항을 각각 구하여라. x¤

이항정리의 활용 이항계수의 배열과 그 특징에 대하여 알아보자. n=0, 1, 2, 3, 4, 5, y일 때, (a+b)« 의 전개식은 각각 다음과 같다. n=0일 때, (a+b)‚ =1 n=1일 때, (a+b)⁄ =1a+1b n=2일 때, (a+b)¤ =1a¤ +2ab+1b¤ n=3일 때, (a+b)‹ =1a‹ +3a¤ b+3ab¤ +1b‹ n=4일 때, (a+b)› =1a› +4a‹ b+6a¤ b¤ +4ab‹ +1b›` n=5일 때, (a+b)fi =1afi +5a› b+10a‹ b¤ +10a¤ b‹ +5ab› +1bfi ⋮

파스칼`(Pascal, B.; 1623~1662) 프랑스의 수학자로 등식 «–¡C®–¡+«–¡C®=«C®를

위에서 전개한 각 항의 이항계수를 다음과 같이 삼각형 모양으로 배열할 수 있다.

수학적 귀납법으로 증명

이와 같은 수의 배열을 파스칼의 삼각형이라고 한다.

하였다.

1 ™Cº £Cº ¢Cº

∞C¡=∞C¢, 즉 «C®=«C«–®임을 확인할

∞Cº

£C¡

¢C¡

∞C¡

™C¡

¢C™

∞C™

™C™

£C™

£C£

¢C£

∞C£

수 있다.

¢C¢

∞C¢

∞C∞

2 3

1 3

6 10

...

오른쪽 그림에서

¡C¡

1 4

1 5

...

¡Cº

이때 각 수는 그 수의 왼쪽 위와 오른쪽 위에 있는 두 수의 합과 같고, 각 행의 수는 좌우 대칭이다. 즉, «≠¡C®=«C®–¡+«C®이고, «C®=«C«–®이다.

문제

파스칼의 삼각형을 이용하여 다음 식을 전개하여라. ⑴ (x+y)ﬁ

⑵ (2a-b)›

이항정리를 이용하여 (1+x)« 을 전개하면 다음과 같다. (1+x)« =«Cº+«C¡ x+«C™x¤ +y+«C« x « 이 전개식을 이용하여 이항계수의 여러 가지 성질을 알아보자. 4. 분할과 이항정리 81

예제

다음 등식이 성립함을 증명하여라. «Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2« 증명

이항정리에 의하여 (1+x)« =«Cº+«C¡x+«C™x¤ +y+«C« x« 이 식에 x=1을 대입하면 2« =«Cº+«C¡+«C™+y+«C« 이다.

문제

다음 등식이 성립함을 증명하여라. ⑴ «Cº-«C¡+«C™-y+(-1)« «C«=0 ⑵ «Cº+«C™+«C¢+y=«C¡+«C£+«C∞+y=2« —⁄

문제

다음 값을 구하여라. ⑴ ¶Cº-¶C¡+¶C™-¶C£+¶C¢-¶C∞+¶C§-¶C¶ ⑵ ªC¡+ªC£+ªC∞+ªC¶+ªCª

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

두 학생이 (a+b)› 을 각각 전개하였다. 다음 대화를 읽고, 여학생의 마지막 말을 완성해 보자. 나는 (a+b)› =¢Cºa› +¢C¡a‹ b +¢C™a¤ b¤ +¢C£ab‹ +¢C¢b› 으로 전개했어. 너는?

나는 (a+b)› =¢Cºb› +¢C¡ab‹ +¢C™a¤ b¤ +¢C£a‹ b+¢C¢a› 으로 전개했는데`…….

각 항이 모두 다르네.

아니야, 결국 전개식은 같아. 왜냐하면`…….

82 Ⅰ. 순열과 조합

■ 파스칼의 삼각형에서 발견할 수 있는 정리

난이도│중

파스칼의 삼각형에서 수의 배열을 잘 살펴보면 여러 가지 특징을 발견할 수 있다.

0행 1행 2행 3행 4행 5행 6행 7행 8행 9행 10행

1 1 1 1 1 1 1 1 1

6 7

8 9

4 5

2 3

1=2‚

8=2‹

1 4

10 10

2행 3행

4=2¤

2=2⁄

5행

128=2‡

1 8

36 84 126 126 84 36

64=2ﬂ

28 56 70 56 28

32=2ﬁ

1 6

21 35 35 21

16=2›

15 20 15

7행

256=2°

512=2·

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10

1024=2

1 10

1 각 행에 적힌 수의 합은 2의 거듭제곱이다.

7 8

3 4

1 2

1 3

2의 배수 3의 배수

1 4

10 10

1 5

15 20 15

5의 배수

1 6

21 35 35 21

28 56 70 56 28

7의 배수

1 8

36 84 126 126 84 36

1 9

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10

2 제`n행에서 n이 소수이면, 제`n행에서 1을 제외한 수들은 모두 n의 배수이다.

1 1 1

1_4_3=1_6_2 1 1 1 1 1 1 1

6 7

4 5

2 3

1+2=3

1 1

1+4+10=15

1 3

10 10

1 5

15 20 15

1 1

1+7+28+84=120

1 6

21 35 35 21

1 7

28 56 70 56 28 36 84 126 126 84 36

1_6_28=1_21_8

1 8

1 1

1 9

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10

1 1

8 9

6 7

2 3

4 5

1 1 3 6

1 4

10 10

1+5+15+35+70=126

1 5

15 20 15

1 6

21 35 35 21

1 7

28 56 70 56 28 36 84 126 126 84 36

1 8

1 9

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10

1 1

3 위의 그림과 같이 하나의 수를 둘러싼 6개의

4 위의 그림과 같이 1부터 1이 아닌 수가 있는

수 중에서 별 모양의 두 삼각형을 그릴 때,

오른쪽(왼쪽) 아래 방향으로 n개의 수를 더

각 삼각형의 꼭짓점에 놓인 세 수의 곱이 항

한 결과는 (n+1)째 수의 왼쪽(오른쪽)에

상 서로 같다.

있는 수와 같다.

파스칼의 삼각형에서 수의 배열의 또 다른 특징을 찾아서 설명해 보자.

4. 분할과 이항정리 83

4 분할과 이항정리 상│

■`집합의 분할

⑴ 집합의 분할: 원소가 유한개인 집합을 공집합이 아닌

다음 값을 구하여라.

몇 개의 서로소인 부분집합으로 나누는 것 ⑵ S(n, k): 원소가 n개인 집합을 k(1…k…n)개의

⑴ S(7, 1)

⑵ S(8, 7)

⑶ P(9, 8)

⑷ P(10, 2)

중│

하

부분집합으로 분할하는 경우의 수 ⑶ 원소가 n개인 집합을 분할하는 모든 경우의 수: S(n, 1)+S(n, 2)+S(n, 3)+y+S(n, n)

■`자연수의 분할 ⑴ 자연수의 분할: 어떤 자연수를 순서를 고려하지 않고 몇 개의 자연수의 합으로 나타내는 것 ⑵ P(n, k): 자연수 n을 k(1…k…n)개의 자연수로 분할하는 경우의 수 ⑶ 자연수 n을 분할하는 모든 경우의 수: P(n, 1)+P(n, 2)+P(n, 3)+y+P(n, n)

2 집합 {1, 2, 3, 4}를 3개의 부분집합으로 분할하는 경우 의 수를 기호로 나타내고, 그 값을 구하여라.

■`이항정리 ⑴ 이항정리: n이 자연수일 때 (a+b)« =«Cºa« +«C¡a« —⁄ b+y+«C®a« —® b® +y+«C«b« =;Rn+) «C® a« —® b® ⑵ 이항계수: 다항식 (a+b)« 의 전개식에서 각 항의 계수 ○○«Cº, «C¡, y, «C®, y, «C«

■`이항정리의 활용 (1+x)« =«Cº+«C¡x+«C™x¤ +y+«C«x« 에서 ⑴ «Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2«

⑵ «Cº-«C¡+«C™-y+(-1)« «C«=0

원소가 6개인 집합을 3개의 부분집합으로 분할하는 경 우의 수를 구하여라.

기본을 다지고 싶다면

84 Ⅰ. 순열과 조합

부록 247쪽

정답 225쪽

원소가 7개인 집합을 5개 이상의 부분집합으로 분할하

자연수 7을 5개 이상의 자연수로 분할하는 경우의 수를

는 경우의 수를 구하여라.

구하여라.

30030=2_3_5_7_11_13일 때, 다음을 구하여라.

서로 같은 종류의 공 7개를 서로 같은 종류의 3개 이하

⑴ 30030을 순서를 고려하지 않고 1보다 큰 세 자연

의 상자에 나누어 넣을 때, 각 상자에 넣은 공이 4개 이

수의 곱으로 나타내는 경우의 수

하가 되도록 하는 경우의 수를 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

⑵ 30030을 순서를 고려하지 않고 세 합성수의 곱으 로 나타내는 경우의 수

자연수 4를 k(1…k…4)개의 자연수로 분할하는 모든

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하여라.

경우의 수를 기호로 나타내고, 그 값을 구하여라.

⑴ (a-3b)‹

서로 같은 종류의 지우개 5개를 서로 같은 종류의 필통

3 {x- 1 }› 의 전개식에서 상수항을 구하여라. x

3개에 나누어 넣을 때, 빈 필통이 없도록 넣는 경우의

⑵ (a+b)ﬂ

수를 구하여라.

4. 분할과 이항정리 85

(1+2x)ﬂ (1-x)의 전개식에서 x› 의 계수를 구하여라.

원소가 10개인 집합의 부분집합 중 원소의 개수가 홀수

(풀이 과정을 자세히 써라.)

인 집합의 개수를 구하여라.

13 파스칼의 삼각형을 이용하여 (x+1)› +(x+1)ﬁ 을 전 개하여라.

1 1

1 1 1

2 3

4 5

6 10

1 4

1 5

(2+3x)⁄ ‚ 의 전개식에서 계수가 가장 큰 항의 차수를

...

구하여라.

14 파스칼의 삼각형을 이용하여 ™Cº+™C¡+£C™+¢C£의 값 을 구하여라.

1 ¡Cº ¡C¡ ™Cº ™C¡ ™C™ £Cº £C¡ £C™ £C£ ¢Cº ¢C¡ ¢C™ ¢C£ ¢C¢ ...

∞Cº ∞C¡ ∞C™ ∞C£ ∞C¢ ∞C∞

86 Ⅰ. 순열과 조합

17 (3x¤ -x-1)⁄ ‚ 을 전개한 식이 aº+a¡x+a™x¤ +y+a™ºx¤ ‚ 일 때, ;

n=1

여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

a™«의 값을 구하

여러 가지 방법으로 풀어 보자. 자연수 n에 대하여 다음 등식이 성립함을 보여라. ○○○○«C¡+2«C™+3«C£+y+n«C«=n_2« —⁄ 조합의 식을 이용한 성진이의 방법으로 설명해 보자.

n! n! k«C˚=k_ 11111 = 11111112 k!(n-k)! (k-1)!(n-k)! (n-1)! k«C˚=n_ 11111112 =n «–¡C˚–¡ (단, kæ1) (k-1)!(n-k)! 이므로 k«C˚=n«–¡C˚–¡이 성립한다. 이때 k «C˚=n«–¡C˚–¡임을 이용하여 주어진 등식의 좌변에 «C¡=n«–¡Cº, 2 «C™=n «–¡C¡, y, n «C«=n «–¡C«–¡을 대입하면…….

수학적 귀납법을 이용한 수영이의 방법으로 설명해 보자.

자연수 n에 대하여 ⁄ n=1일 때, (좌변)=¡C¡=1이고, (우변)=1_2‚ =1이므로 주어진 등식은 성립한다. ¤ n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 ˚C¡+2 ˚C™+3 ˚C£+y+k˚C˚=k_2˚ —⁄ 이다. 주어진 등식의 좌변에 n=k+1을 대입하면 ˚≠¡C¡+2˚≠¡C™+3˚≠¡C£+y+k˚≠¡C˚+(k+1) ˚≠¡C˚≠¡이므로 «C˚=«–¡C˚–¡+«–¡C˚이고, ˚Cº+˚C¡+˚C™+y+˚C˚=2˚ 임을 이용하면…….

4. 분할과 이항정리 87

1개의 주사위를 2번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로

3개의 모양 ♠, ♥, ♣ 중에서 중복을 허용하여 1개부터

x, y라고 할 때, x+y인 경우의 수를 구하여라.

4개까지 택한 후 일렬로 배열하여 무늬를 만들려고 한다. 만들 수 있는 무늬의 종류는 모두 몇 개인지 구하여라.

2 (a+b+c)(p+q)(x+y+z)를 전개하였을 때, p를 포함하는 항의 개수는?

① 7

② 8

④ 10

⑤ 11

③ 9

6 ‘3・6・9 게임’ 은 참가자들이 돌아가며 자연수를 1부 터 순서대로 말하되 3, 6, 9가 들어가 있는 수는 말하지 않는 게임이다. 예를 들어 3, 13, 60, 396, 900 등은 말 을 할 때, 1부터 999 하지 않아야 한다.‘3・6・9 게임’ 까지의 자연수 중 말하지 않아야 하는 수의 개수를 구 하여라.

3 9개의 수 1, 2, 3, y, 9 중에서 5개를 택하여 만든 다 섯 자리의 자연수 중 짝수 번째 자리에는 짝수가 있는 자연수의 개수를 구하여라.

7 다음 그림과 같은 도로망이 있다. A 지점에서 출발하여 B 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수를 구하여라.

학생회 회의를 위해 원 모양의 탁자에 선생님 3명, 학생 회 임원 4명이 앉을 때, 선생님과 선생님 사이에 적어도 한 명의 학생회 임원이 앉는 경우의 수를 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

88 Ⅰ. 순열과 조합

Ⅰ. 순열과 조합 정답 226쪽

오른쪽 그림과 같이 가로, 세로

일을 사려고 한다. 세 종류의 과일이 적어도 1개씩 포함

방향으로 간격이 일정하게 9개의 점이 놓여 있다. 이 중 세 점을 연결하여 만들 수 있는 삼각형의 개수는?

① 68

② 72

④ 80

⑤ 84

사과, 배, 감 3종류의 과일을 파는 가게에서 10개의 과 되도록 사는 경우의 수는?

① 10

② 24

④ 36

⑤ 40

③ 30

③ 76

9 1부터 20까지의 자연수 중에서 서로 다른 세 수를 택하 여 더할 때, 그 합이 3의 배수가 되는 경우의 수를 구하

여라.

네 개의 수 1, 2, 3, 4 중에서 서로 다른 두 개의 수를 사용하여 11122, 23233, 41114와 같은 다섯 자리의 비 밀번호를 만들려고 한다. 만들 수 있는 비밀번호는 모두 몇 개인가?

① 175

② 180

④ 190

⑤ 195

③ 185

10 5켤레의 신발 10짝 중에서 6짝을 택할 때, 이 중 2켤레 가 짝이 맞는 경우의 수를 구하여라.

부등식 x+y+z…4를 만족하는 음이 아닌 정수해는 모

원소가 8개인 집합을 2개의 부분집합으로 분할할 때, 각

두 몇 가지인지 구하여라.

부분집합의 원소가 3개 이상인 경우의 수를 구하여라.

마무리 평가 89

서로 같은 종류의 꽃 10송이를 서로 같은 종류의 꽃병

다음은 두 자연수 m, n(m<n)에 대하여

4개에 나누어 꽂으려고 한다. 빈 꽃병이 없도록 나누어

μCμ+μ≠¡Cμ+μ≠™Cμ+y+«Cμ의 값을 이항정리를

꽂는 경우의 수는?

이용하여 구하는 과정이다.

① 5

② 6

④ 8

⑤ 9

③ 7

x가 0이 아닌 실수라고 하면 μCμ은 다항식 (1+x)μ 의 전개식에서 xμ 의 계수이다. ⋮ «Cμ은 다항식 (1+x)« 의 전개식에서 xμ 의 계 수이다. 따라서 μCμ+μ≠¡Cμ+μ≠™Cμ+y+«Cμ은 다 항식

㈎ 의 전개식에서 xμ 의 계수이므로

μCμ+μ≠¡Cμ+μ≠™Cμ+y+«Cμ=

㈏

이다. 위의 과정에서 ㈎, ㈏`에 알맞은 것을 순서대로 적은 것

16 (1+x)« 의 전개식에서 x°`, x·`, x⁄ ‚ 의 계수가 이 순서대 로 등차수열을 이룰 때, 양의 정수 n의 값을 모두 구하 여라.

은?

(1+x)« ±⁄ -(1+x)μ ① 1111111112 , «≠¡Cμ≠¡ x (1+x)« ±⁄ -(1+x)μ ② 1111111112 , «≠¡Cμ x ③ (1+x)« ±⁄ -(1+x)μ , «≠¡Cμ (1+x)« ±⁄ -1 ④ 1111113 , «≠¡Cμ≠¡ x (1+x)« ±⁄ -1 ⑤ 1111113 , «≠¡Cμ x

맞은 개수

틀린 개수 성취도

17 «C¡ «C™ «C« a«=«Cº- 123 + 123 -y+(-1)« 123 일 때, 2 2¤ 2« ;Nm+! a«과 1의 차가 0.01보다 작게 되는 자연수 m의 최 솟값을 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

90 Ⅰ. 순열과 조합

자기 평가 이 단원에서 배운 용어는 잘 이해하고 있나요? 이 단원에서 배운 개념은 잘 이해하고 있나요? 틀린 문제를 다시 확인 학습했나요?

보충 계획 세우기

실생활의 유용한 번호 체계 탐구하기 다음은 수진이네 모둠에서 서울 지역 버스 번호의 체계를 조사한 자료이다. 이와 같이 실 생활에서 숫자나 문자를 배열하여 경우를 구별하는 사례를 모둠별로 조사하고, 그 사례가 어떤 면에서 유용한지 설명해 보자.

창의・인성을 높이는 프로젝트 91

확률 1 확률의 뜻과 활용 2 조건부확률

학습 목표 •통계적 확률과 수학적 확률의 의미를 이해한다. •확률의 기본 성질을 이해한다. •확률의 덧셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다. •여사건의 확률의 뜻을 알고, 이를 활용할 수 있다. •조건부확률의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다. •확률의 곱셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다. •사건의 독립과 종속의 의미를 이해하고, 이를 설명할 수 있다.

정거장에 도착하자마자 바로 버스가 오거나, 기다리지 않고 바로 지하철을 타는 기분 좋은 우연 을 경험한 적이 있는가? 일상에서 일어나는 이런 우연한 사건은 확률과 관련된다. 스위스의 수학 가문으로 열 명이 넘는 탁월한 수학자를 배출한 베르누이 일가는 확률 연구에도 크게 기여하였다. 야곱 베르누이(Bernoulli, J.; 1654~1705)는 수학적 확률을 최초로 연구하였 고, 그 조카인 니콜라스 베르누이(Bernoulli, N.; 1687~1759)는 확률 이론의 기초를 세웠다. 이렇게 발전하기 시작한 확률론은 사회와 자연에서 일어나는 여러 가지 현상을 수학적으로 분석 하고 설명하는 데 매우 중요하게 사용된다.

확률의뜻과활용 보험도 확률 계산으로부터! 화재, 도난, 질병, 사고 등 다양한 종류의 위험에 대비하기 위해 사람들은 오래전부터 보험 제도를 만들었다. 보험은 예기치 않게 일어나는 손해를 공동체 전체가 나누고 협 동하여 해결하는 전통에서 생겨났다. 보험에 관한 최초의 기록은 기원전 1750년쯤 고 대 메소포타미아의 함무라비 법전에서 찾을 수 있는데, 이는 바다 무역을 하는 배와 그 화물의 위험에 대비하기 위한 것이었다. 수학을 활용하는 현대적 의미의 보험은 17세기에 발생한 런던 대화재를 계기로 만들어졌다. 이때 만들어진 영국의 화재 보험이 큰 인기를 끌면서 유럽 각지로 퍼져 나갔다. 오늘날에는 화재 보험뿐만 아니라 그 보장 내역에 따라 자동차 보험, 해상 보험, 생명 보험 등 다양한 종류의 보험 이 있다.

민영이와 준희 두 사람이 가위바위보를 할 때, 준희가 이길 확률을 구하여라.

주머니 속에 노란 공 3개, 파란 공 2개, 빨간 공 4개가 들어 있다. 이 중에서 임의로 한 개 의 공을 꺼낼 때, 다음을 구하여라. ⑴ 파란 공이 나올 확률 ⑵ 노란 공 또는 파란 공이 나올 확률

94 Ⅱ. 확률

보험료는 어떤 사고가 발생할 확률을 바탕으로 산출하므로 보험료를 정하려면 그 사고가 발생할 확률을 알아야 한다. 예를 들어 화재 보험료 를 책정하려면 불이 날 확률을 알아야 하는데, 이를 직접적으로 알아내기 힘들기 때문에 과거의 통계를 활용한다. 즉, 오랫동안 발생한 화재를 분석 하여 불이 날 확률을 예측하고, 이에 기초하여 보험료를 정하게 된다. 또한, 생명 보험료를 책정하려면 피보험자별 위험도를 알아야 하는데, 이를 예측 하기 위하여 과거에 나타난 사망률을 이용한다. 일정 기간의 개인 보험 계약자의 성 별, 연령과 함께 변화하는 사망률을 관찰하고 분석하여 작성한 것이 생명표이다. 생 명표에는 연령별, 성별, 직업별 기대 수명과 질병 발생률이 실리게 되는데, 이러한 확률을 바탕으로 생명 보험료가 정해진다. 보험에 가입할 때도 자신에게 발생할 확률이 가장 높은 사고를 대비할 수 있는 상 품에 가입해야 하므로 보험과 확률은 불가분의 관계를 이룬다.

남학생 3명과 여학생 2명을 일렬로 세울 때, 남학생 3명이 이웃하는 경우의 수를 구하여라.

서로 같은 종류의 사탕 5개를 3명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수를 구하여라.

1. 확률의 뜻과 활용 95

확률의 뜻 학습 목표 │ ● 수학적 확률과 통계적 확률의 의미를 이해한다. ●

확률의 기본 성질을 이해한다.

시행 생각해 봅시다

오른쪽 그림은 인터넷에서 음악을 재생하여 들을 수 파일(F) 편집(E) 조절(C) 영상(V) 효과(A) 고급(A) 도움말(H)

있는 프로그램의 화면이다. 이 화면의 하단에 있는

검색

음원

곡명

분류

피가로의 결혼

클래식

꿈

가요

사계

클래식

즉흥환상곡

클래식

목록에 오른쪽 그림과 같이 8개 곡이 있을

Love

팝송

호두까기 인형

클래식

때,

겨울

가요

너와 나

가요

버튼을 누르면 재생 목록에 있는 곡 의 순서가 임의로 바뀌게 된다. 현재 재생

현재 재생 목록 내가 담은 음악 내 앨범 내가 구입한 음악

버튼을 눌러 첫 곡이 어떻게 바뀌

는지 관찰하려고 한다. 물음에 답하여 보자.

1. 관찰 결과로 나올 수 있는 첫 곡의 모든 경우를 집합 A로 나타내 보자. 2. 관찰 결과 첫 곡이 클래식이 되는 경우를 집합 B로 나타내 보자. 3. 두 집합 A, B 사이의 포함 관계를 생각해 보자.

주사위나 동전을 던지는 것과 같이 같은 조건에서 여러 번 반복할 수 있고, 그 결과 가 우연에 의하여 좌우되는 실험이나 관찰을 시행이라고 한다. 그리고 어떤 시행에서 표본공간은 공집합이 아

일어날 수 있는 모든 경우의 집합을 표본공간이라 하고, 그 부분집합을 사건이라고 한다.

닌 경우만 생각한다.

예를 들어 한 개의 주사위를 던지는 행위는 시행이고, 이 시행에서 일어날 수 있는

즉, S+⭋

눈의 수의 모든 경우는 1, 2, 3, 4, 5, 6이므로 표본공간을 S라고 하면 S={1, 2, 3, 4, 5, 6} S 3

이다. 이때 홀수의 눈이 나오는 경우를 집합 A라고 하면

A 1

A={1, 3, 5}

와 같이 나타낼 수 있고, A,S이다. 따라서 위 시행에서 홀수의 눈이 나오는 경우인 집합 A는 하나의 사건이 된다. 또 한, 사건 A가 일어난다는 것은 이 시행에서 1, 3, 5의 눈 중에서 하나가 나오는 것을 말한다. 96 Ⅱ. 확률

문제

500원짜리 동전 1개를 두 번 던지는 시행에 대하여 다음을 구하여라. (단, 앞면은 H, 뒷면은 T 로 나타낸다.) ⑴ 표본공간 ⑵ 두 번 모두 앞면이 나오는 사건

두 사건 A, B에 대하여‘A 또는 B가 일어나는 사건’ 을 A'B로 나타낸다. 마찬 가지로‘A와 B가 동시에 일어나는 사건’ 을 A;B로 나타낸다. 특히, 어떤 시행에서 두 사건 A, B 중 어느 한 사건이 일어나면 다른 사건은 일어 나지 않을 때, 즉 A;B=⭋일 때, A와 B는 서로 배반이라 하고 이 두 사건을 서로 배반사건이라고 한다.

또, 어떤 사건 A에 대하여 A가 일어나지 않는 사건을 A의 여사건이라 하고, 기호 로 AÇ 와 같이 나타낸다. 이때 사건 A와 그 여사건 AÇ 에 대하여 A;AÇ =⭋이므로 이 두 사건은 서로 배반사건이다. S

S A

A AÇ

배반사건

보기

여사건

한 개의 주사위를 던지는 시행에서 소수의 눈이 나오는 사건을 A, 4의 배수의 눈이 나오 는 사건을 B라고 하면 A={2, 3, 5}, B={4}이다. 이때 A;B=⭋이므로 A와 B는 서 로 배반사건이다. 또, A의 여사건은 AÇ ={1, 4, 6}이다.

문제

1부터 10까지의 자연수가 각각 적힌 공 10개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임 의로 한 개의 공을 꺼내는 시행에서 홀수가 적힌 공이 나오는 사건을 A, 짝수가 적힌 공이 나오는 사건을 B, 4의 배수가 적힌 공이 나오는 사건을 C라고 할 때, 물음에 답하여라. ⑴ A, B, C 중 서로 배반사건이 되는 것을 찾아라. ⑵ A, B, C 중 서로 여사건이 되는 것을 찾아라.

서로 다른 2개의 동전을 던지는 시행에서 두 개 모두 앞면이 나오는 사건을 A라고 할 때, 사 건 A의 여사건 AÇ 와 사건 A의 배반사건 B를 모두 찾고, AÇ 와 B 사이의 관계에 대하여 이야기해 보자. 1. 확률의 뜻과 활용 97

수학적 확률 생각해 봅시다

어느 고등학교에서는 매년 교내 창의력 경진 대회를 실시하고 있다. 올해 이 대회에 다영이 를 포함한 13명이 참가하여 오전에 7명, 오후 에 6명이 각자 15분간 발표할 계획이다.

창의력 경진 대회 일시: 00월 00일 오전 10시 / 오후 2시 장소: 과학실 주제: 수학, 과학, 인문, 사회 분야의 자유 주제 ※ 당일 추첨으로 발표 순서를 정함.

발표 순서를 추첨으로 정할 때, 다영이가 오후에 발표할 확률에 대하여 생각해 보자.

어떤 시행에서 사건 A가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것이 사건 A가 일어날 확 률이고, 이것을 기호로 P(A)

P(A)의 P는 확률을 뜻 하는 Probability의 첫 글자이다.

와 같이 나타낸다. 한 개의 주사위를 던지면 1, 2, 3, 4, 5, 6의 눈 중에서 하나가 나오고, 이 6개의 눈 중에서 어떤 눈이 나올 것인가는 우연에 의하여 정해진다. 정육면체 모양의 주사위 에서는 각각의 눈이 나올 가능성이 같다고 기대할 수 있으므로, 각 눈이 나올 확률은 ;6!;이라고 할 수 있다.

일반적으로 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 n이고, 각 경우는 일 어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대된다고 할 때, 사건 A가 일어나는 경우의 수가 베르누이`(Bernoulli, J.;

r이면 사건 A가 일어날 확률 P(A)는

1654~1705)

r P(A)= 1 n

스위스의 수학자로 수학 적 확률을 최초로 연구하 였다.

이다. 이와 같이 정의된 확률을 수학적 확률이라고 한다.

보기

주사위 한 개를 던지는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6가지이 다. 이때 짝수의 눈이 나오는 사건 A가 일어나는 경우는 2, 4, 6의 3가지이다. 따라서 사 건 A가 일어날 확률은 P(A)=;6#;=;2!;이다.

98 Ⅱ. 확률

문제

100원짜리 동전 1개와 500원짜리 동전 1개를 동시에 던질 때, 모두 앞면 또는 모두 뒷면이 나올 확률을 구하여라.

예제

어느 가수 선발 프로그램에서는 예선을 통과한 최종 10명 만 생방송 본선 무대에 진출할 수 있다고 한다. 생방송 본 선 무대에 진출한 A, B를 포함한 10명의 공연 순서를 임 의로 정할 때, A가 첫 순서로, B가 마지막 순서로 공연할 확률을 구하여라.

풀이

생방송 본선 무대에 진출한 A, B를 포함한 10명의 공연 순서를 정하는 경우의 수는 10!이다. A가 첫 순서로, B가 마지막 순서로 공연하는 경우는 A와 B를 제외한 나머지 8명의 공연 순서를 정하는 경우와 같으므로 그 경우의 수는 8!이다. 8! 따라서 A가 첫 순서로, B가 마지막 순서로 공연할 확률은 11 =;9¡0;이다. 10! ;9¡0;

문제

남학생 3명과 여학생 2명을 일렬로 세울 때, 여학생 2명이 이웃하여 설 확률을 구하여라.

문제

어느 도시에서는 지방세 성실 납세자의 자긍심을 고취하 고 자진 납세 분위기를 확산시키기 위해 지방세 성실 납 세자 중 추첨을 통해 경품을 지급할 계획이다. 이 도시에 서 A, B 두 명을 포함한 지방세 성실 납세자 52명 중 5 명을 임의로 추첨하여 경품을 주려고 할 때, A와 B가 모두 경품을 받을 확률을 구하여라. 1. 확률의 뜻과 활용 99

통계적 확률 활동해 봅시다

다음 표는 누름 못 한 개를 던지는 시행을 여러 번 반복할 때, 침 부분이 위로 나온 횟수를 기록한 것이다. 물음에 답하여 보자. 시행 횟수(n)

100

150

200

250

300

350

400

침 부분이 위로 나온 횟수(r«)

112

141

162

184

r« 상대도수`{ 14 } n

r« 1. 상대도수 14 을 구하여 위 표의 빈칸을 채워 보자. (단, 상대도수는 반올림하여 소수 둘 n 째 자리까지 구한다.)

)

은선 그래프로 나타내 보고, 시행 횟수 n이

상 0.6 대 0.5 도 수 0.4

(

r« 2. 시행 횟수 n과 상대도수 14 의 관계를 꺾 n r« 점점 커짐에 따라 상대도수 14 이 어떻게 n

0.3

변하는지 예상해 보자.

0.1

0.2

50 100 150 200 250 300 350 400 (시행 횟수)

수학적 확률은 각 경우가 일어나는 것이 모두 같은 정도로 기대되는 시행에서 정의 되었다. 그러나 특정한 시기에 비가 올 확률, 어느 야구 선수가 안타를 칠 확률 등에 서는 각 경우가 일어나는 것이 같은 정도로 기대된다고 생각하기 어렵다. 이와 같은 경우에는 여러 번의 시행을 반복함으로써 얻어지는 상대도수가 어떤 일정한 값에 가 까워지는 것을 보고 어떤 사건이 일어나는 전체적인 경향을 알아볼 수 있다. 페르마`(Fermat, P.; 1601~1665) 프랑스의 수학자로 해석 기하학의 발전 및 정수론, 확률론에 공헌하였다.

일반적으로 같은 시행을 n번 반복하였을 때의 사건 A가 일어난 횟수를 r«이라고 r« 할 때, n이 충분히 커짐에 따라 상대도수 15 이 일정한 값 p에 가까워지면, 이 값 p를 n 사건 A의 통계적 확률이라고 한다. 그러나 실제로 통계적 확률을 구할 때에는 n의 r« 값을 한없이 크게 할 수 없으므로 n이 충분히 클 때의 상대도수 15 으로 통계적 확률 n 을 대신한다. 한편 사건 A가 일어나는 수학적 확률이 p일 때, n을 충분히 크게 하면 r« 상대도수 15 은 수학적 확률 p에 가까워진다는 것이 알려져 있다. n

100 Ⅱ. 확률

예제

흰색과 붉은색인 두 종류의 꽃을 교배하여 얻은 꽃의 색깔이 분 홍색이었다. 이 분홍색 꽃끼리 다시 교배하여 얻은 꽃의 색깔을 조사한 결과가 다음 표와 같았다. 흰색 꽃과 붉은색 꽃을 교배하 여 얻은 분홍색 꽃끼리 교배시켰을 때, 분홍색 꽃이 필 확률을 반올림하여 소수 첫째 자리까지 구하여라. 관찰한 그루 수

200

400

600

800

1000

분홍색 꽃이 핀 그루 수

102

194

303

396

501

상대도수

0.510

0.485

0.505

0.495

0.501

풀이

위의 표에서 관찰한 그루 수가 많아짐에 따라 분홍색 꽃이 핀 그루 수의 상대도수가 0.5에 가까워지는 것을 볼 수 있다. 따라서 구하는 확률은 0.5라고 할 수 있다.

문제

0.5

경주 안압지에서 출토된 목제주령구(木製酒令具)는 육각형 모양의 면 8개와 정사각형 모양의 면 6개로 이루어진 십사면체 모양의 전통 놀이 기구로 각 면에는 재미있는 벌칙이 쓰여 있 다. 이 목제주령구를 500번, 800번, 1000번 굴렸을 때 벌칙이 나온 횟수가 다음과 같다고 하 자. 목제주령구를 한 번 굴릴 때, 물음에 답하여라. 벌칙 내용

횟수`(번)

시 한 수 읊기

소리 없이 춤추기

여러 사람이 (벌칙자의) 코 두드리기

그외

393

630

787

합계

500

800

1000

목제주령구

⑴‘시 한 수 읊기’벌칙이 나올 확률을 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하여라. ⑵‘시 한 수 읊기’ ,‘소리 없이 춤추기’ ,‘여러 사람이 코 두드리기’이외의 벌칙이 나올 확 률을 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하여라.

문제

다음 표는 통계청에서 발표한 2011년 우리나라에서 출생한 남, 여 각 10만 명의 예상되는 연 령별 생존자 수를 나타낸 생명표이다. 2011년 우리나라에서 출생한 남자와 여자가 각각 80 세까지 생존할 확률을 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하여라. 2011년 생명표

100 이상

남자

100000

99263

97595

89363

52508

882

여자

100000

99462

98502

95428

75167

3873

연령(세) 생존자 (명)

1. 확률의 뜻과 활용 101

확률의 기본 성질 탐구해 봅시다

영진이네 학교 학생들은 백혈병 어린이를 돕기 위해 헌혈을 하기로 했다. 수혈을 할 때에는 면역 반응이 일어나지 않도록 아래 그림과 같이 혈액형 사이의 수혈 관계를 따라야 한다. 영진이네 학교 전체 학생들의 혈액형을 조사한 결과는 오른쪽 표와 같다고 한다. 이 중

혈액형별 학생 수

혈액형

학생 수`(명)

367

181

172

에서 임의로 한 학생을 선택할 때, 이 학생이 환자의 혈액형에 따

280

라 수혈이 가능한 학생일 확률에 대하여 생각해 보자. (단, 조사한

합계

1000

학생들은 모두 Rh+형이다.) 수혈 관계

수혈 불가

소량 수혈 가능

수혈 가능

다량 수혈 가능

1. 환자의 혈액형이 Rh+ O형인 경우 2. 환자의 혈액형이 Rh+ AB형인 경우 3. 환자의 혈액형이 Rh-형인 경우

각 경우가 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대되는 시행에서 성립하는 확률의 기본적인 성질을 알아보자. 어떤 시행의 표본공간을 S, 절대로 일어날 수 없는 사건을 ⭋이라고 하면, 임의의 사건 A에 대하여 ⭋,A,S이므로 n(A)는 사건 A가 일어

0…n(A)…n(S)

나는 경우의 수이다.

가 성립한다. 따라서 양변을 n(S)로 나누면 다음과 같다. n(A) 0… 1132 …1, 즉 n(S) 0…P(A)…1 102 Ⅱ. 확률

또, 반드시 일어나는 사건은 S와 같으므로 n(S) P(S)= 1132 =1 n(S) 이고, 절대로 일어날 수 없는 사건 ⭋에 대하여 n(⭋) P(⭋)= 1132 =0 n(S) 이다.

위의 내용을 정리하면 다음과 같은 확률의 기본 성질을 얻는다.

확률의 기본 성질

1. 임의의 사건 A에 대하여 0…P(A)…1

2. 반드시 일어나는 사건 S에 대하여 P(S)=1

3. 절대로 일어날 수 없는 사건 ⭋에 대하여

콜모고로프

P(⭋)=0

(Kolmogorov, A. N.; 1903~1987) 러시아의 수학자로“확률 론의 기초 개념” 을 지었

■참 고│반드시 일어나는 사건을 전사건, 절대로 일어날 수 없는 사건을 공사건이라고 한다.

고, 공리론적 확률론에 공 헌하였다.

보기

한 개의 주사위를 던질 때 ⑴ 홀수 또는 짝수의 눈이 나오는 사건 A에 대하여 A={1, 2, 3, 4, 5, 6}이므로, 사건 A 가 일어날 확률은 P(A)=1이다. ⑵ 7의 눈이 나오는 사건 B에 대하여 B=⭋이므로, 사건 B가 일어날 확률은 P(B)=0 이다.

문제

1부터 7까지의 자연수가 각각 적힌 카드 7장이 들어 있는 상자에 서 임의로 2장의 카드를 동시에 꺼낼 때, 다음을 구하여라. ⑴ 2장 모두 5의 배수가 나올 확률 ⑵ 2장 모두 7 이하의 자연수가 나올 확률

1 4

2 5

1. 확률의 뜻과 활용 103

문제

우수 회원이 2만 명인 어느 인터넷 상점에서는 다음과 같은 고객 사은 행사를 진행한다.

우수 회원 2만 명 모두에게 음료 교환권증정! 하나 더~! 추첨을 통해 경품 추가 증정! 경품 안내

① 우수 회원 감사 경품: 음료 교환권(2만 명) ② 추첨 경품: 상품권, 블루투스 이어폰, 놀이 공원 이용권, 휴대 전화, 다이어리, 영화 예매권, 케이크, 무료 통화권 (경품당 250명씩)

해연이가 이 인터넷 상점의 우수 회원일 때, 다음을 구하여라. ⑴ 해연이가 경품으로 음료 교환권을 받을 확률 ⑵ 해연이가 경품을 하나도 받지 못할 확률 ⑶ 해연이가 경품으로 상품권을 받을 확률

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

합창 동아리 회원 남자 7명과 여자 13명 중 ㉠`대표 2명을 뽑을 때, ㉡`남자 1명과 여자 1명이 뽑힐 확률을 구해 보자. ⑴ ㉡을 바꾸어 문제를 만들고, 만든 문제를 풀어 보자.

⑵ ㉠과 ㉡을 모두 바꾸어 문제를 만들고, 만든 문제를 풀어 보자.

104 Ⅱ. 확률

■ 도형을 이용한 확률 구하기

난이도│중

오른쪽 그림과 같이 모두 같은 크기의 영역으로 나누어진 원 모양의 회전판을 돌렸을 때 화살표가 노란색 영역을 가리키게 될 확률은 얼마 일까?

오른쪽 그림과 같이 회전판의 반지름의 길이를 r라고 하면 화살표 는 원의 둘레 위의 어느 곳도 가리킬 수 있으므로 그 가능성도 모두 같

은 정도로 기대된다. 이때 화살표가 원의 둘레 위의 각 점을 가리킬 가 능성이 같으므로 호의 길이를 이용하여 확률을 구할 수 있다. 화살표가 노란색 영역을 가리킬 확률은 원의 둘레의 길이에 대한 노 란색 영역의 호의 길이의 비율로 볼 수 있으므로 화살표가 노란색 영역을 가리킬 확률은 다음 과 같이 구할 수 있다. 2pr_;3¢6∞0; (노란색 영역의 호의 길이) 11111111111 = 11111 =;8!; (원의 둘레의 길이) 2pr 동전이나 주사위를 던지는 시행에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 유한하다. 하지만 위와 같이 어떤 구간이나 영역에 속한 점이 무한한 경우도 있다. 이와 같이 무한히 많은 점이 시행 의 결과로 나올 수 있는 상황에서는 길이, 넓이 등을 이용하여 확률을 구할 수 있다.

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 4인 원의 내부에서 임의로 한

점 P를 택할 때, 원의 중심 O와 점 P 사이의 거리가 1 이상 3 이하 일 확률을 구해 보자. (단, 원의 내부에서 임의로 각 점을 택할 가능성

은 같다.)

1. 확률의 뜻과 활용 105

■ 역사 속의 주사위 확률을 설명할 때 빠지지 않고 등장하는 것이 주사위이다. 인류 역사에 언제 주사위가 처음 등장했는지는 확실하지 않지만, 이집트에서는 이미 기원전 10세기 이전에 상아나 동물의 뼈로 라 된 주사위가 있었다고 전해진다. 기원전 49년에 율리우스 카이사르가“주사위는 던져졌다.” 고 선언한 후, 루비콘 강을 건너 로마로 진격했다는 이야기로 미루어 볼 때, 카이사르 시대에 이미 주사위가 널리 이용되고 있었음을 알 수 있다. 우리나라 유물 중에도 다음과 같이 다양한 주사위가 있다. 1 통일신라 시대의 주사위 •정육면체 모양의 주사위

경주 안압지 북쪽 지역의 우물에서 출토된 주사위는 오른쪽 그림과 같 이 정육면체 모양이다. 이 주사위는 현대의 주사위와 마찬가지로 6개의 면에 각각 1개부터 6개까지의 눈이 새겨져 있다. 이 주사위의 6개의 면 은 모두 합동인 정사각형 모양이므로 주사위를 던졌을 때, 각 면이 나올 확률은 같다.

주사위

•십사면체 모양의 목제주령구

경주 안압지 연못 바닥에서 출토된 목제주령구는 6개의 정사각형 모 양의 면과 8개의 육각형 모양의 면으로 이루어진 십사면체 모양이다. 십사면체 자체는 정다면체가 아니지만, 목제주령구를 던졌을 때, 각 면이 나올 확률은 거의 같다고 한다.

목제주령구

2 조선 시대의 윤목

조선 시대 양반 자제들이 널리 즐기던 민속놀이인 승경도 놀이에 서 사용한 윤목은 길이가 10~15cm인 오각기둥 모양으로, 5개의 모서리에는 각각 1개부터 5개까지의 홈이 파여 있다. 윤목은 5개 의 옆면이 바닥에 닿게 될 확률이 같으므로, 홈이 있는 5개의 모서 리가 위를 향하게 될 확률도 같다.

106 Ⅱ. 확률

윤목

확률의 덧셈정리 학습 목표 │ ● 확률의 덧셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다. ●

여사건의 확률의 뜻을 알고, 이를 활용할 수 있다.

확률의 덧셈정리 생각해 봅시다

어느 교향악단은 다음 표와 같이 현악기군과 관악기군, 타악기군으로 편성되고, 관악기군은 다시 목관악기군과 금관악기군으로 구성된다. 편성 악기 중 임의로 1종의 악기를 선택하려 고 한다. 물음에 답하여 보자.

관악기

악기군

편성 악기

현악기

바이올린, 비올라, 첼로, 더블베이스, 하프

목관악기

플루트, 오보에, 클라리넷, 바순

금관악기 타악기

호른, 트럼펫, 트롬본, 튜바 팀파니, 큰북, 작은북, 트라이앵글, 심벌즈, 실로폰

1. 선택한 악기가 목관악기일 확률을 구해 보자. 2. 선택한 악기가 금관악기일 확률을 구해 보자. 3. 선택한 악기가 관악기일 확률을 구해 보자.

일반적으로 어떤 시행의 표본공간 S의 부분집합인 두 사건 A, B에 대하여 A, B가 일어나는 경우의 수를 각각 n(A), n(B)라고 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다. n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) 이 식의 양변을 n(S)로 나누면 n(A;B) n(A) n(B) n(A'B) 11112 = 111 + 111 - 11112 n(S) n(S) n(S) n(S) 이므로 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)

A;B=⭋이면 P(A;B)=0이다.

이다. 특히, A, B가 서로 배반사건일 때에는 A;B=⭋이므로 P(A'B)=P(A)+P(B) 이다. 1. 확률의 뜻과 활용 107

앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.

확률의 덧셈정리 두 사건 A, B에 대하여 사건 A 또는 B가 일어날 확률 P(A'B)는 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) 특히, A, B가 서로 배반사건이면 P(A'B)=P(A)+P(B)

예제

기찬이네 반 학생 34명을 대상으로 통학 방법을 조사 하였더니 버스를 이용하는 학생이 18명, 지하철을 이 용하는 학생이 7명, 버스와 지하철을 모두 이용하는 학생이 2명이었고, 나머지 학생은 걸어서 통학하였 다. 기찬이네 반 학생 중 임의로 한 명을 뽑을 때, 이 학생이 통학 방법으로 버스나 지하철을 이용하는 학 생일 확률을 구하여라. 풀이

버스를 이용하는 사건을 A, 지하철을 이용하는 사건을 B라고 하면 버스와 지하철을 모두 이용하는 사건은 A;B이므로 P(A)=;3!4*;, P(B)=;3¶4;, P(A;B)=;3™4; 따라서 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) P(A'B)=;3!4*;+;3¶4;-;3™4;=;3@4#;

문제

지윤이네 반에서 P`사의 SNS(소셜 네트워크 서비스) 가입자 는 전체의 ;4#;, Q`사의 SNS 가입자는 전체의 ;5!;, P`사와 Q`사 의 SNS에 모두 가입한 학생은 전체의 ;6!;이다. 지윤이네 반에 서 임의로 한 명을 선택할 때, 이 학생이 P`사 또는 Q`사의 SNS에 가입한 학생일 확률을 구하여라.

108 Ⅱ. 확률

;3@4#;

예제

필통에 빨간색 색연필 6자루, 파란색 색연필 4자루가 있다. 이 중 임의로 두 자루를 꺼낼 때, 두 자루 모두 같은 색의 색연필일 확률을 구하여라. 풀이

두 자루 모두 빨간색 색연필인 사건을 A, 모두 파란색 색연필인 사건을 B라고 하면 A;B=⭋이므로 A와 B는 서로 배반사건이다. 이때 §C™ ¢C™ P(A)= 11 =;3!;, P(B)= 11 =;1™5; ¡ºC™ ¡ºC™ 이므로 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여 P(A'B)=P(A)+P(B)=;3!;+;1™5;=;1¶5;

문제

;1¶5;

오른쪽 그림은 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져

울산

인천

대구

그 눈의 수의 합만큼 화살표 방향으로 말을 이동하는 게 임의 놀이판이다. 두 개의 주사위를 동시에 한 번 던졌

독도

부산

을 때, 출발점에 있는 말이 놀이판을 한 바퀴 돌아 섬에

제주도

대전

도착할 확률을 구하여라.

서울

출발

광주

여사건의 확률 생각해 봅시다

승용차 요일제는 평일 중 쉬는 날을 정하여 해당 요일에는 차를 운행하지 않는 교통 문

일

화 실천 운동이다. 이 운동에 동참한 주연이 네 가족은 매주 목요일 차를 운행하지 않는 다. 오른쪽 그림은 어느 해 4월 달력이다. 이 달의 평일 중 임의로 하루를 택할 때, 물

월

화

수

목

금

토

음에 답하여 보자.

1. 승용차 요일제에 따라 주연이네 가족이 차를 운행하지 않을 확률을 구해 보자.

2. 승용차 요일제에 따라 주연이네 가족이 차를 운행할 확률을 구해 보자. 3. 위의 1과 2의 결과 사이에는 어떤 관계가 있는지 생각해 보자.

1. 확률의 뜻과 활용 109

사건 A의 확률 P(A)를 알고 있을 때, 그 여사건 AÇ 의 확률을 구해 보자. A;AÇ =⭋이므로 두 사건 A와 AÇ 는 서로 배반사건이다. 따라서 확률의 덧셈정리에 의하여 다음이 성립한다. P(A'AÇ )=P(A)+P(AÇ ) 이때 시행의 표본공간을 S라고 하면 A'AÇ =S

S A AÇ

이므로 P(A'AÇ )=1 이다. 따라서 다음이 성립한다. 1=P(A)+P(AÇ ) 이것으로부터 P(AÇ )는 다음과 같이 구할 수 있다. P(AÇ )=1-P(A)

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

여사건의 확률 사건 A의 여사건 AÇ 의 확률은 P(AÇ )=1-P(A)

예제

6개의 통곡물 과자와 4개의 초콜릿 칩 과자 중 임의로 3개를 고를 때, 초콜릿 칩 과자가 적어 도 한 개 포함될 확률을 구하여라. 풀이

‘적어도’ 가 있을 때에는

초콜릿 칩 과자가 적어도 한 개 포함되는 사건을 A라고 하면 그 여사건 AÇ 는 초콜릿 칩 과

여사건의 확률을 생각해 본다.

자가 하나도 포함되지 않는 사건이므로 1 §C£ P(AÇ )= 11 = 1 6 ¡ºC£ 따라서 초콜릿 칩 과자가 적어도 한 개 포함될 확률은 P(A)=1-;6!;=;6%; ;6%;

110 Ⅱ. 확률

문제

정육면체 모양의 어떤 주사위의 여섯 면에 1, 1, 2, 2, 2, 2가 각각 적혀 있다. 이 주사위를 두 번 던질 때, 적어도 한 번은 2가 적힌 면이 나올 확률을 구하여라.

문제

heritage의 8개의 문자를 일렬로 배열할 때, 같은 문자가 이웃하지 않을 확률을 구하여라.

여사건을 이용하여 확률을 계산하면 편리한 상황에 대하여 서로 이야기해 보자. 적어도 한 번 나올 확률을 구하면`…….

전체 확률 1에서 …….

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

어느 한・중・일 친선 수영 대회에 한국 선수 5명을 포함하여 16명의 한・중・일 세 나라의 수영 선수가 출전하였다. 이 중 8명을 임의로 뽑아 예선 A조로 배정하고, 나머지 8명을 예선 B조로 배정하려고 한다. 이때 적어도 2명 이상의 한국 선수가 예선 A조에 배정될 확률을 구해 보자.

실마리 경우를 나누어 해결하기

한국 선수가 0명, 1명, 2명, 3명, 4명, 5명 뽑히는 사건에 대하여 생각한다.

1. 확률의 뜻과 활용 111

■ 확률의 덧셈정리

난이도│중

두 사건 A, B에 대하여 사건 A 또는 B가 일어날 확률은 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이에요. 특히, A, B가 서로 배반사건이 면 P(A'B)=P(A)+P(B)이에요.

선생님

그럼 세 사건 A, B, C에 대하여 사건 A 또는 B 또는 C가 일어날 확률은 P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A;B;C)인가요? 준영

그렇게 생각하기 쉽지만 실제로는 그렇지 않아요. 함께 생각해 볼까요? 선생님

세 사건 A, B, C에 대하여 A'B'C=A'(B'C)이므로 P(A'B'C)=P(A)+P(B'C)-P(A;(B'C)) 이다. 이때 확률의 덧셈정리와 집합의 연산법칙에 의하여 다음과 같다. P(A'B'C)=P(A)+P(B'C)-P(A;(B'C)) P(A'B'C)=P(A)+{P(B)+P(C)-P(B;C)}-P((A;B)'(A;C)) P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(B;C) -{P(A;B)+P(A;C)-P((A;B);(A;C))} P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A;B)-P(B;C)-P(C;A) +P(A;B;C) 특히, 세 사건 A, B, C가 서로 배반이면 A;B=⭋, B;C=⭋, C;A=⭋ 이고, 이로부터 A;B;C=⭋이므로 P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C) 가 성립한다.

세 사건 A, B, C에 대하여 P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A;B)-P(B;C)-P(C;A) +P(A;B;C) 이다. 특히, 세 사건 A, B, C가 서로 배반이면 P(A'B'C)=P(A)+P(B)+P(C) 이다.

112 Ⅱ. 확률

■ 도박에서 시작된 확률 역사적으로 볼 때 확률론은 도박과 관련이 있다. 17세기 프랑스의 유명한 수학자 파스칼 (Pascal, B.; 1623~1662)의 친구 중에는 드메레(de Mere)라는 도박사가 있었다. 드메레는 상당한 수학적 지식을 가지고 있었기 때문에 도박에서 성공을 거두는 일이 많았다. 그러나 드 메레는 다음 상황과 같이 예상했던 것과 다른 결과가 나오는 탓에 손해를 보는 일이 있었다.

한 개의 주사위를 4번 던졌을 때 적어도 한 번 6의 눈이 나오는 것에 내기를 거는 경우는 유리 한데, 두 개의 주사위를 24번 던졌을 때 적어도 한 번 두 개의 주사위 모두 6의 눈이 나오는 것 에 내기를 거는 경우는 왜 불리할까?

드메레는 6가지 경우가 있는 주사위 한 개를 4번 던지는 것과 36가지 경우가 있는 주사위 두 개를 24번 던지는 것은 6:4=36:24이므로 주사위 한 개를 4번 던져 적어도 한 번 6의 눈 이 나오는 것과 주사위 두 개를 24번 던져 적어도 한 번 두 개의 주사위 모두 6의 눈이 나올 확 률은 같다고 보았다. 그러나 실제로 내기에서는 예측과 다른 결과를 얻었기 때문에 드메레는 친구인 파스칼에게 이 문제를 의뢰하였고, 파스칼은 여사건을 이용하여 다음과 같이 해결해 주었다. 한 개의 주사위를 4번 던졌을 때 적어도 한 번 6의 눈이 나올 확률은 1-{;6%;}› 으로 약 0.518 이고 이 값은 0.5보다 크기 때문에, 이를 선택하는 경우는 유리하다. 그러나 두 개의 주사위를 24번 던졌을 때 적어도 한 번 두 개의 주사위 모두 6의 눈이 나올 확률은 1-{;3#6;% }¤ › 으로 약 0.491 이다. 이 값은 0.5보다 작기 때문에 이를 선택하는 경우는 불리하다.

1. 확률의 뜻과 활용 113

1 확률의 뜻과 활용 상│

중│

하

■`시행과 사건

⑴ 시행: 같은 조건에서 여러 번 반복할 수 있고, 그 결과

주머니 속에 1부터 5까지의 자연수가 각각 적힌 구슬이

가 우연에 의하여 좌우되는 실험이나 관찰 ⑵ 표본공간: 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 집합

5개 들어 있다. 임의로 구슬 1개를 꺼내는 시행에서 짝 수가 적힌 구슬이 나오는 사건을 A, 3이 적힌 구슬이 나오는 사건을 B라고 할 때, 물음에 답하여라.

⑶ 사건: 표본공간의 부분집합

⑴ 사건 A의 배반사건을 모두 구하여라. ⑵ 사건 B의 여사건을 구하여라.

■`배반사건과 여사건 ⑴ 배반사건: 두 사건 A, B 중 어느 한 사건이 일어나면 다른 사건은 일어나지 않을 때, 즉 A;B=⭋일 때, 두 사건 A, B를 서로 배반사건이라고 한다. ⑵ 여사건: 어떤 사건 A에 대하여 A가 일어나지 않는 사 건을 A의 여사건이라 하고, 기호로 AÇ 와 같이 나타 낸다.

2 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 3의 배수의 눈이 나 오는 사건을 A, 홀수의 눈이 나오는 사건을 B라고 할

■`확률의 기본 성질 ⑴ 임의의 사건 A에 대하여 0…P(A)…1

때, 사건 A;B의 여사건을 구하여라.

⑵ 반드시 일어나는 사건 S에 대하여 P(S)=1 ⑶ 절대로 일어날 수 없는 사건 ⭋에 대하여 P(⭋)=0

■`확률의 덧셈정리 ⑴ 두 사건 A, B에 대하여 P(A'B)＝P(A)+P(B)-P(A;B) ⑵ A, B가 서로 배반사건이면 P(A'B)=P(A)+P(B)

3 표본공간 S의 부분집합인 두 사건 A, B가 서로 배반 사건이고 사건 A의 여사건을 C라고 하자. 다음 보기 중 옳은 것을 모두 찾아라. 보기

ㄱ. A;B=⭋

■`여사건의 확률 사건 A의 여사건 AÇ 의 확률은 P(AÇ )=1-P(A)

기본을 다지고 싶다면 부록 249쪽, 251쪽

114 Ⅱ. 확률

ㄴ. A'C=S ㄷ. C,B

정답 228쪽

흰 공 3개, 검은 공 2개가 들어 있는 주머니에서 임의로

서랍 속에 검은색 양말 1짝, 파란색 양말 7짝, 노란색

2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 2개의 공이 서로 다른 색일

양말 4짝이 들어 있다. 이 서랍 속에서 임의로 두 짝의

확률을 구하여라.

양말을 동시에 꺼낼 때, 모두 같은 색의 양말이 나올 확 률을 구하여라.

5 1부터 10까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 3개의 수를 뽑을 때, 가장 큰 수가 7일 확률을 구하여라.

9 남녀 합하여 36명인 반에서 청소 당번 2명을 제비뽑기로 뽑을 때, 2명이 모두 남학생이거나 여학생일 확률이 ;2!;이 라고 한다. 이때 남학생은 모두 몇 명인지 구하여라. (단, 남학생의 수는 15명보다 많다.)

6 1, 2, 3, 4, 5의 수가 각각 적힌 5장의 카드가 있다. 이 중에서 임의로 한 장씩 뽑아서 순서대로 늘어놓아 네 자리의 자연수를 만들 때, 다음을 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

⑴ 짝수가 될 확률 ⑵ 4200보다 클 확률

10 어느 고등학교 학생 150명을 대상으로 토요 프로그램 참여 실태를 조사하였더니 교과 관련 학습 프로그램과 예체능 관련 프로그램에 참여하는 학생들이 각각 102 명, 84명이었고, 두 프로그램 중 어느 것에도 참여하지

않는 학생은 20명이었다. 이 조사에 참여한 학생들 중

1부터 6까지의 자연수가 각각 적힌 주사위 1개와 앞면

때, 그 학생이 교과 관련

에 2, 뒷면에 4가 적힌 동전 1개를 동시에 던질 때, 나

학습 프로그램과 예체능

오는 두 수에 대하여 다음을 구하여라.

관련 프로그램에 모두 참

⑴ 두 수의 합이 4의 배수일 확률

여하는 학생일 확률을 구

⑵ 두 수의 곱이 4의 배수일 확률

하여라.

임의로 한 명을 택하였을

1. 확률의 뜻과 활용 115

어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 집합을 S라

오른쪽 그림과 같이 네 면에 1,

하고, 두 사건 A, B가 S의 부분집합일 때, 다음 보기

2, 3, 4가 각각 적혀 있는 정사면

중 옳은 것을 모두 찾아라.

체 모양의 상자를 두 번 던질 때,

보기

ㄱ. 0<P(A)<1

밑면에 적혀 있는 수의 합이 7 이하가 될 확률을 구하여라.

ㄴ. 0…P(A)_P(B)…1 ㄷ. P(S)=P(A)+P(AÇ )

12 두 사건 A, B가 서로 배반사건이고,

3P(A)=P(AÇ ), P(B)=;3!;일 때, P(A'B)를 구 하여라.

16 집합 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}의 부분집합 중에서 임의로 하나의 부분집합을 택할 때, 원소의 합이 4 이상일 확률 을 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

13 6명의 남자와 4명의 여자 중 3명의 대표를 뽑을 때, 여 자가 적어도 한 명 뽑힐 확률을 구하여라.

할아버지, 할머니, 아버지, 어머니, 채윤이, 지홍이 6명

서로 다른 세 개의 주사위를 동시에 던졌을 때, 나온 눈

의 가족이 일렬로 설 때, 채윤이와 지홍이가 서로 이웃

의 수를 차례로 a, b, c라고 하자. 이때

하지 않을 확률을 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ >0일 확률을 구하여라.

116 Ⅱ. 확률

통계적 확률과 수학적 확률의 관계 어떤 사건의 통계적 확률은 그 사건에 대한 시행 횟수를 충분히 크게 하면 할수록 수학적 확률에 가까워진다고 알려져 있다. 컴퓨터 프로그램을 사용하여 주사위를 100번 던졌을 때보다 1000번 던 졌을 때에 주사위의 각 눈이 나올 통계적 확률이 수학적 확률 ;6!;에 더 가까워진다는 것을 확인해 보자.

1 주사위를 여러 번 던졌을 때 나오는 주사위의 눈에 대한 자료 만들기

⑴

메뉴에서 [Table]을 선택하여 표를 만든 후 <new> 에 dice를 입력한다.

⑵ [Edit] 메뉴에서 [Edit Formula]를 선택한 후 randomInteger(1, 6)을 입력하고, [Collection] 메뉴에서 [New Cases]를 선택한 후 시행 횟수를 입력한다. 2 상대도수의 분포를 나타내는 히스토그램 만들기

⑴

메뉴에서 [Graph]를 선택하여 1 에서 얻은 자료에 대 한 그래프를 그린 후 그 모양을 히스토그램으로 바꾼다. 그리 고 [Graph] 메뉴에서 [Scale], [Relative Frequency]를 차례로 선택하여 도수를 상대도수로 바꾼다.

⑵ 수학적 확률 ;6!;을 표시하기 위해 [Graph] 메뉴에서 ⑵ [Plot Function]을 선택하여 ;6!;을 입력한다. 위의 방법으로 주사위를 100번([그림 1]), 1000번([그림 2]) 던진 결과를 나타내면 다음과 같다.

[그림 1]

[그림 2]

위의 결과를 보면 주사위를 100번 던졌을 때보다 1000번 던졌을 때에 주사위의 각 눈이 나올 통계적 확률이 수학적 확률 ;6!;에 더 가까워짐을 알 수 있다.

1. 확률의 뜻과 활용 117

조건부확률 선택을 바꿀 것인가? 말 것인가? 우리 주변에는 어떤 조건이 주어져 있을 때의 확률을 다루는 경우가 많다. 어떤 조건이 주어졌을 때의 확률과 관련하여 유명한 것이 몬티 홀 문제이다.‘몬티 홀 문제’ 는 미국의 유명한 TV 쇼 프로그램으로 40여 년간이나 방송된‘거래를 합시다 (Let’ s make a deal)’ 의 사회자인 몬티 홀(Monty Hall)의 이름에서 유래한다. 이 문제의 상황은 다음과 같다. 쇼 프로그램의 무대 위에는 세 개의 문이 있다. 세 개 중 하나의 문 뒤 에는 승용차를, 나머지 2개의 문 뒤에는 염소를 놓고 출연자에게 한 개 의 문을 선택하게 한다. 출연자가 승용차가 있는 문을 선택하면 승용차를 경품으로 받지만, 염소가 있는 문을 선택하면 아무것도 받지 못한다.

2 118 Ⅱ. 확률

한 개의 주사위를 던지는 시행에 대하여 다음을 구하여라. ⑴ 표본공간 S

⑵ 홀수의 눈이 나오는 사건 A

⑶ 짝수의 눈이 나오는 사건 B

⑷ 6의 눈이 나오는 사건 C

위 1의 세 사건 A, B, C 중 서로 배반사건인 것을 말하여라.

그런데 쇼 프로그램 사회자는 출연자가 하나의 문을 선택한 후, 선택되지 않은 두 개 의 문 중 염소가 놓인 문을 열어서 보여 주면서 선택을 바꿀 기회를 준다. 이때 출연자 는 원래의 문에서 사회자가 열어 주지 않았던 제3의 문으로 선택을 바꾸는 것이 유리할 까? 바꾸지 않는 것이 유리할까? 위의 상황에서 출연자는 자신이 선택하지 않은 나머지 2개의 문 중 하나의 문에 염소 가 있다는 사실을 알게 되었고, 이처럼 새로운 정보를 알게 된 후 어떤 선택을 하는 것 이 유리할지 판단하게 된다. 즉, 특정한 조건 하에서 승용차를 경품으로 받을 확률을 생 각하게 된 것이다. 어떤 조건이 주어졌는지 주어지지 않았는지 에 따라 특정한 사건이 일어날 확률은 달라질 수 있다. 그러므로 우리는 주어진 상황을 정확하 게 해석해야 합리적인 결정을 할 수 있다.

다음을 구하여라. ⑴ 크기가 서로 다른 2개의 주사위를 동시에 던질 때, 큰 주사위의 눈의 수가 작은 주사 위의 눈의 수의 2배일 확률 ⑵ 동전 1개와 주사위 1개를 동시에 던질 때, 동전은 뒷면, 주사위는 소수의 눈이 나올 확률

3개의 주황색 공이 포함된 10개의 탁구공 중에서 임의로 2개를 동시에 뽑을 때, 적어도 1 개가 주황색 공일 확률을 구하여라. 2. 조건부확률 119

조건부확률 학습 목표 │ ● 조건부확률의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다. ●

확률의 곱셈정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

조건부확률 생각해 봅시다

어느 여론 조사 기관에서 제주시에 거주하는 10대와 20대의 행복 지수를 조사하려고 한다. 다음 표는 2010년 통계청에서 발표한 제주시에 거주하는 10대와 20대의 인구 수이다. 제주시 2010년 인구 수

성별

(단위: 명)

남자

여자

합계

10대

42034

38294

80328

20대

31379

28465

59844

합계

73413

66759

140172

연령대

여론 조사 기관에서는 이 중에서 임의로 한 명을 선택하여 전화 조사를 하고 선택된 모든 사 람이 전화 조사에 응답한다고 할 때, 물음에 답하여 보자. (단, 확률은 분수로 구한다.)

1. 전화를 받은 사람이 여자일 확률을 구해 보자. 2. 전화를 받은 사람이 10대 여자일 확률을 구해 보자. 3. 전화를 받을 사람이 여자일 때, 그 여자가 10대일 확률을 구해 보자.

어떤 시행에서 표본공간 S의 두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어났을 때, 사건 B가 일어날 확률에 대하여 알아보자. S 4

B 2 6

1 3

한 개의 주사위를 던졌을 때 표본공간을 S, 짝수의 눈이 나오는 사건을 A, 6의 약 수의 눈이 나오는 사건을 B라고 하면 A={2, 4, 6}, A;B={2, 6}이다. 짝수의 눈이 나왔을 때 이것이 6의 약수일 확률은 짝수의 눈 중에 포함된 6의 약수 n(A;B) 의 눈의 비율과 같으므로 그 확률은 111125 =;3@;이다. 그런데 이것은 n(A) P(A;B) n(A;B) n(A) ○○○○ 111123 = 111125 ÷ 111 =;6@;÷;6#;=;3@; P(A) n(S) n(S) 와 같다.

120 Ⅱ. 확률

이와 같이 확률이 0이 아닌 두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어났을 때, 사건 B가 일어날 확률을 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률이라 하고, 기호로 P(B|A)

n(A) n(A;B) 와 같이 나타낸다. 이때 P(A)= 1124 , P(A;B)= 11112 이므로 n(S) n(S) n(A;B) n(A;B) n(A) P(A;B) P(B|A)= 11112 = 11112 ÷ 1133 = 111134 n(A) n(S) n(S) P(A) 이다.

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

조건부확률 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률은 P(A;B) P(B|A)= 111125 (단, P(A)>0) P(A)

■참 고│사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률은 A 안에서 A;B가 일어날 확률을 뜻한다.

예제

1부터 10까지의 자연수가 각각 적힌 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 공 한 개를 꺼내려고 한다. 꺼낸 공이 홀수가 적힌 공일 때, 그것이 소수일 확률을 구하여라.

1 3

4 6 10 7

8 5

2 9

풀이

홀수가 적힌 공이 나오는 사건을 A, 소수가 적힌 공이 나오는 사건을 B라고 하면 A={1, 3, 5, 7, 9}, B={2, 3, 5, 7}, A;B={3, 5, 7}이므로 P(A)=;1∞0;, P(B)=;1¢0;, P(A;B)=;1£0; 따라서 구하는 확률은 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률이므로 n(A;B) P(B|A)= 111125 n(A)

P(A;B) P(B|A)= 111133 =;1£0;÷;1∞0;=;5#; P(A)

P(B|A)=;5#; 으로 구해도 같은 결과를

;5#;

얻는다.

2. 조건부확률 121

문제

1부터 8까지의 자연수가 각각 적힌 흰색 카드 8장과 9부터 15까지의 자연수가 각각 적힌 검 은색 카드 7장이 들어 있는 상자에서 임의로 카드 한 장을 뽑으려고 한다. 뽑은 카드가 검은 색 카드일 때, 그것이 3의 배수가 적힌 카드일 확률을 구하여라.

예제

2013년 3월 우리나라에 입국한 외국인을 대상으로 여행 목적을 조사하였다. 그 결과 이 조사 에 참여한 사람 중 50대가 전체의 14%이고, 관광을 목적으로 우리나라에 온 50대는 전체의 12%이었다. 이 조사에 참여한 사람 중에서 임의로 뽑은 한 명이 50대일 때, 그 사람이 관광 을 목적으로 우리나라에 왔을 확률을 구하여라.

풀이

임의로 뽑은 한 명이 50대인 사건을 A, 관광을 목적으로 우리나라에 온 사건을 B라고 하면 ○○○○P(A)=0.14 ○○○○P(A;B)=0.12 따라서 이 조사에 참여한 사람 중에서 임의로 뽑은 한 명이 50대일 때, 그 사람이 관광을 목 적으로 우리나라에 왔을 확률 P(B|A)는 P(A;B) 0.12 6 ○○○○P(B|A)= 111133 = 1342 = 1 P(A) 0.14 7 6 1 7

문제

어느 회사에서 직원들이 출근할 때 이용하는 교통수단을 조사 하였더니 대중교통을 이용하는 직원이 전체의 60%이고, 대중교통을 이용하는 남자 직원은 전체의 20%이었다. 이 회사 직원 중에서 임의로 뽑은 한 명이 대중교통을 이용할 때, 그 직원이 남자일 확률을 구하여라.

122 Ⅱ. 확률

확률의 곱셈정리 조건부확률을 이용하여 두 사건 A, B에 대하여 A;B가 일어날 확률을 구해 보자. P(A)>0, P(B)>0일 때, 조건부확률 P(B|A), P(A|B)에 대하여 P(A;B) P(A;B) ○○○○P(B|A)= 111134 , P(A|B)= 111134 P(A) P(B) 이므로 다음을 알 수 있다. ○○○○P(A;B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

위의 내용을 정리하면 다음과 같은 확률의 곱셈정리를 얻는다.

확률의 곱셈정리 P(A)>0, P(B)>0일 때, 사건 A;B가 일어날 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

예제

시디(CD) 보관함 안에 영화 CD 4개와 음악 CD 3개가 들어 있다. 이 중에서 임의로 한 개씩 2개의 CD를 꺼낼 때, 첫 번 째에는 영화 CD를, 두 번째에는 음악 CD를 꺼낼 확률을 구 하여라. (단, 한 번 꺼낸 CD는 다시 넣지 않는다.) 풀이

첫 번째 꺼낸 CD가 영화 CD인 사건을 A라고 하면 P(A)=;7$; 첫 번째 꺼낸 CD를 제외 하면 6개의 CD가 남는 다.

두 번째 꺼낸 CD가 음악 CD인 사건을 B라고 하면 첫 번째 꺼낸 CD가 영화 CD일 때, 두 번째 꺼낸 CD가 음악 CD일 확률은 P(B|A)=;6#;=;2!; 따라서 확률의 곱셈정리에 의하여 P(A;B)=P(A)P(B|A)=;7$;_;2!;=;7@; ;7@;

2. 조건부확률 123

문제

4개의 당첨 제비를 포함하여 10개의 제비가 들어 있는 주머니가 있다. 현경이와 수민이가 차 례로 한 개씩 제비를 뽑을 때, 두 사람 모두 당첨 제비를 뽑을 확률을 구하여라. (단, 한 번 뽑 은 제비는 다시 넣지 않는다.)

문제

어느 공장에서는 두 기계 A, B로 각각 전체의 60%, 40%의 제품을 생산하며, 제품 중 각각 2%, 4%가 불량품이다. 한 개의 제품을 조사하였더니 불량품이었을 때, 그 제품이 기계 A에 서 생산된 제품일 확률을 구하여라.

문제 7

3 + =

0 00 .

통계청에서 조사한 2012년 청소년 통계에 의하면 우리나 라의 13세 이상 19세 이하의 청소년 39.4%가 직업의 선 택 요인으로 적성과 흥미라고 응답하였으며, 이 중에서 여 학생이 차지하는 비율이 55.1%이었다. 이 조사에 참여한 13세 이상 19세 이하의 청소년 중 임의로 한 명을 뽑을 때, 이 청소년이 직업의 선택 요인으로 적성과 흥미라고 응답한 여학생일 확률을 반올림하여 소수 셋째 자리까지 구하여라.

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

A 주머니에는‘진실’ 이 적힌 1장의 카드와‘거짓’ 이 적힌 2장의 카드가 들어 있고, B 주머니에는 1부터 9까지의 자연수가 각각 적힌 9개의 공이 들어 있다. A 주머니에서 1장의 카드를 임의로 뽑을 때,‘진실’ 이 적힌 카드를 뽑은 사람은 진실만을 말하고‘거짓’ 이 적힌 카드를 뽑은 사람은 거짓만을 말한다고 한다. 선유가 A 주머니에서 1장의 카드를 뽑은 후, B 주머니에서 1개의 공을 꺼낸다고 하자. 선유가 홀수가 적 힌 공을 꺼냈다고 말했을 때, 그 공이 진짜 홀수가 적힌 공일 확률을 구해 보자.

실마리 경우를 나누어 해결하기

‘진실’ 이 적힌 카드를 뽑은 후 홀수가 적힌 공을 꺼냈다고 진실을 말할 경우와‘거짓’ 이 적힌 카드를 뽑은 후 홀수가 적힌 공을 꺼냈다고 거짓을 말할 경우로 나누어 생각한다.

124 Ⅱ. 확률

■ 독감으로 판정받은 사람은 실제로 모두 독감에 걸렸을까? 2009년 전 세계를 강타한 신종 플루는 수많은 감염자와 사망자를 발생시켰다. 당시 신종 플 루 바이러스의 감염 여부를 확인하는 검사를 실시하고 그 결과에 따라 항바이러스제를 투여했 다. 그런데 그때 감염자로 판정받은 사람은 모두 실제로 신종 플루에 걸렸을까? 간단한 예를 생각해 보자. 어떤 바이러스에 감염된 사람을 감염자로, 감염되지 않은 사람을 비감염자로 옳게 판정하는 확률이 0.99인 검사법이 있다고 할 때, 이 검사법에 의해 감염자로 판정받은 사람이 실제 감염 자일 확률은 얼마나 될까? 아마도 많은 사람들은 그 확률이 0.99라고 성급하게 생각할지도 모 르지만 실제 확률은 훨씬 낮다. 예를 들어 어느 지역의 인구가 10만 명이고, 그 지역에서 실제 감염된 사람이 100명이라고 가 정해 보자. 검사에 의한 판정이 정확할 확률이 0.99라고 하면 다음 표를 얻을 수 있다. (단위: 명)

감염자로 판정된 사람

비감염자로 판정된 사람

합계

실제 감염자

99(=100_0.99)

1(=100_0.01)

100

실제 비감염자

999(=99900_0.01)

98901(=99900_0.99)

99900

합계

1098

98902

100000

위의 표에서 검사 결과 감염자로 판정받은 사람은 1098(=99+999)명이고, 이 중 실제 감 염자는 99명이다. 따라서 이 검사법에 의해 감염자로 판정받은 사람이 실제 감염자일 확률은 ;10(9(8;, 다시 말해 약 0.09에 불과하다. 즉, 바이러스 검사를 통해 감염자로 판정받은 사람이 실제로 감염자일 확 률은 예상보다 낮다. 그렇기에 한 가지 검사로 감염이 의심된다면 다른 검사를 추가로 받을 필 요가 있다. 이러한 예에서 보듯이 확률은 일상생활에서 큰 착각을 불러일으키는 경우가 있다. 우리는 이 런 오류를 범하지 않기 위하여 주어진 확률을 정확하게 해석하는 능력을 갖출 필요가 있다.

2. 조건부확률 125

사건의 독립 학습 목표 │ ● 사건의 독립과 종속의 의미를 이해하고, 이를 설명할 수 있다. ●

독립시행의 확률을 이해한다.

사건의 독립과 종속 생각해 봅시다

매일 규칙적으로 운동을 하지 않는 것이 당뇨 질환 발생에 영향을 미치는지 알아보기 위해 2000명을 대상으로 설문 조사를 하여 다음과 같은 결과를 얻었다. (단위: 명)

당뇨 질환 유무 있음

없음

합계

유산소

매일 30분 이상

1033

1100

운동

그외

333

567

900

400

1600

2000

합계

이 조사에 참여한 사람 중 임의로 1명을 선택할 때, 물음에 답하여 보자.

1. 선택된 사람이 당뇨 질환이 있을 확률을 구해 보자. 2. 선택된 사람이 유산소 운동을 매일 30분 이상씩 하지 않는 사람일 때, 이 사람이 당뇨 질환이 있을 확률을 구해 보자.

3. 위의 1과 2의 결과를 토대로 유산소 운동을 매일 30분 이상씩 하지 않는 것이 당뇨 질 환 발생에 영향을 준다고 볼 수 있는지 생각해 보자.

한 개의 동전을 2번 던질 때, 첫 번째에 앞면이 나오는 사건을 A, 두 번째에 앞면이 나오는 사건을 B라고 하면 사건 A는 사건 B가 일어날 확률에 영향을 주지 않는다. 이처럼 두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어났다는 조건 아래에서 사건 B가 일 어날 확률이 사건 B가 일어날 확률과 같을 때, 즉 P(B)=P(B|A)이면 P(B)=P(B|AÇ )도 성립한다.

P(B|A)=P(B) 일 때, 사건 B는 사건 A에 대하여 독립이라고 한다. 사건 B가 사건 A에 대하여 독립이면 P(A;B) P(A)P(B|A) P(A)P(B) P(A|B)= 111134 = 11111124 = 1111155 =P(A) P(B) P(B) P(B) 이므로 사건 A도 사건 B에 대하여 독립이다.

126 Ⅱ. 확률

이와 같이 두 사건 A, B에 대하여 P(B|A)=P(B) 또는 P(A|B)=P(A) 일 때, 두 사건 A와 B는 서로 독립이라 하고, 서로 독립인 두 사건을 서로 독립사건 이라고 한다. 또, 두 사건이 서로 독립이 아닐 때, 두 사건은 서로 종속이라고 하며, 서로 종속인 두 사건을 서로 종속사건이라고 한다. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 확률의 곱셈정리에 의하여 P(A;B)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) 가 성립한다. 역으로 P(A;B)=P(A)P(B)이고, P(B)>0이면 P(A)P(B) P(A;B) P(A|B)= 111134 = 1111155 =P(A) P(B) P(B) 로부터 두 사건 A, B는 서로 독립이다.

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

독립사건의 곱셈정리 두 사건 A, B가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 P(A;B)=P(A)P(B) (단, P(A)>0, P(B)>0)

예제

한 개의 주사위를 던질 때, 짝수의 눈이 나오는 사건과 3 이상의 눈이 나오는 사건이 서로 독 립인지 종속인지 판별하여라. 풀이

짝수의 눈이 나오는 사건을 A, 3 이상의 눈이 나오는 사건을 B라고 하면 A={2, 4, 6}, B={3, 4, 5, 6}이므로 P(A)=;6#;=;2!;, P(B)=;6$;=;3@; A;B={4, 6}이므로 P(A;B)=;6@;=;3!; 따라서 P(A;B)=P(A)P(B)이므로 두 사건 A, B는 서로 독립이다. 독립

2. 조건부확률 127

문제

각 면에 1부터 12까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 정십이면체 모양의 주 사위가 있다. 이 주사위를 한 번 던질 때, 짝수의 눈이 나오는 사건을 A, 3의 배수의 눈이 나오는 사건을 B, 홀수의 눈이 나오는 사건을 C라고 하자. 이때 다음 두 사건은 서로 독립인지 종속인지 판별하여라. ⑴ A와 B

⑵ B와 C

⑶ A와 C

두 사건 A와 B가 서로 독립이고, 두 사건 B와 C가 서로 독립일 때, 두 사건 A와 C도 서 로 독립인지 예를 들어 이야기해 보자.

두 사건 A, B가 서로 독립, 두 사건 B, C가 서로 독립이면 두 사건 A, C도 서로 독립 아닐까?

음`……. 과연 그럴까?

독립시행 생각해 봅시다

동전을 던져 다섯 번째까지 모두 앞면이 나 아름

왔으니 여섯 번째에는 뒷면이 나올 거야! 타율이 2할 5푼인 타자가 3번 연속 안타를

성민

못 쳤으니 이번에는 안타를 칠 확률이 높아!

두 사람의 예상이 올바른지 이야기해 보자.

어떤 시행을 같은 조건에서 되풀이할 때 각 시행의 결과가 그 다음 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않을 경우, 즉 매회 일어나는 사건이 모두 서로 독립인 경우 그 러한 시행을 독립시행이라고 한다. 128 Ⅱ. 확률

예를 들어 한 개의 주사위를 던지는 시행을 3회 반복할 때, 1의 눈이 2번 나올 확률 을 구해 보자. 한 개의 주사위를 1회 던질 때, 1의 눈이 나오는 사건을 A라고 하면 P(A)=;6!;, P(AÇ )=;6%;

시행 1회 경우

이다. 이 시행을 3회 반복할 때 1의 눈이 2번 나오는 경우

㈎

의 수는 £C™=3이고, 각 경우는 오른쪽 표와 같다.

㈏

2회

3회

_ _ _

㈐

이때 각각의 시행은 서로 독립이므로 ㈎의 확률은 확률 의 곱셈정리에 의하여 ;6!;_;6!;_;6%;={;6!;}¤ _;6%; 이다.

또한, ㈏, ㈐의 확률도 ㈎와 모두 동일한 확률을 가지며 ㈎, ㈏, ㈐의 경우는 서로 배반이므로 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여 다음과 같다. £C™_{;6!;}¤ _{;6%;}=;7∞2;

일반적으로 독립시행에 대하여 다음이 성립한다.

독립시행의 확률 1회의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p일 때, n회의 독립시행에서 사건 A가 r회 일어날 확률은 «C®p® (1-p)« —® (단, r=0, 1, 2, y, n)

예제

평소 서브 성공률이 70%인 배구 선수가 서브를 3번 시도하여 2번 성공할 확률을 구하여라. 풀이

이 배구 선수의 서브 성공률이 70%이므로 서브를 시도하여 성공할 확률은 ;1¶0;, 실패할 확률은 ;1£0;이다. 서브를 3번 시도하여 2번 성공할 사건을 £C™는 서브를 3번 시도하 여 2번 성공하는 경우의 수이다.

A라고 하면 구하는 확률은 독립시행의 확률이므로 P(A)=£C™_{;1¶0;}¤ _{;1£0;}=;1¢0¢0¡0;

;1¢0¢0¡0;

2. 조건부확률 129

문제

서로 다른 동전 2개를 동시에 던지는 시행을 5회 반복할 때, 앞면이 1개 나오는 사건이 4번 나올 확률을 구하여라.

문제

윷놀이에서 윷을 던질 때, 윷의 볼록한 면이 위로 갈 확률은 ;5#;이 고, 아래로 갈 확률은 ;5@;라고 하자. 이 윷 네 개를 동시 에 던질 때, 도가 나올 확률을 구하여라.

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

두 사건 A, B가 서로 독립일 때, 다음은 두 사건 A와 BÇ 그리고 두 사건 AÇ 와 BÇ 가 서로 독립인지 종 속인지 알아보는 과정이다.

안에 알맞은 것을 써넣어 보자. (단, 0<P(A)<1, 0<P(B)<1)

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A;B)=P(A)P(B)이다. ⑴ P(A;BÇ )=P(A)-P( =P(A)(1-

)=P(A)-P(A) )

=P(A) 이므로 두 사건 A와 BÇ 는 서로

이다.

⑵ P(AÇ ;BÇ )=P((A'B)Ç )=1-P(

)

=1-P(A)-P(B)+P(

)

=1-P(A)-P(B)+P(A) ={1-P(A)}{

}

=P(AÇ ) 이므로 두 사건 AÇ 와 BÇ 는 서로

130 Ⅱ. 확률

이다.

■ 배반사건과 독립사건의 의미

난이도│중

다음은 P(A)+0, P(B)+0인 두 사건 A, B에 대하여 A, B가 서로 배반사건일 때와 서 로 독립사건일 때를 각각 정리한 것이다. A와 B는 서로 배반사건이다. 의미

A와 B는 동시에 일어나지 않는다.

관계식

P(A;B)=0

A와 B는 서로 독립사건이다.

A와 B는 일어날 확률에 서로 영향을 주지 않는다. P(A|B)=P(A), 즉 P(A;B)=P(A)P(B)

두 사건 A, B가 서로 배반사건이면 A, B는 서로 독립사건일까? 종속사건일까? 수진

A, B가 서로 배반사건이면 P(A;B)=0이다. 그런데 P(A)+0, P(B)+0이므로 P(A)P(B)+0이다. 따라서 P(A;B)+P(A)P(B)이므로 A, B는 서로 독립이 아니다. 즉, A, B가 서로 배반사건이면 A, B는 서로 종속사건이다.

두 사건 A, B가 서로 독립사건이면 A, B는 서로 배반사건일까? 아닐까? 지훈

명제‘A, B가 서로 배반사건이면 A, B는 서로 종속사건이다.’ 가 참이므로 이 명 도참 제의 대우인‘A, B가 서로 독립사건이면 A, B는 서로 배반사건이 아니다.’ 이다.

위의 내용을 정리하면 다음과 같다. P(A)+0, P(B)+0인 두 사건 A, B에 대하여

1 A, B가 서로 배반사건이면 A, B는 서로 종속사건이다. 2 A, B가 서로 독립사건이면 A, B는 서로 배반사건이 아니다.

표본공간 S={1, 2, 3, 4, 5}에 대하여 다음 두 사건 A, B가 서로 독립사건인지 종속사건인 지 조사해 보자.

⑴ A={1, 2, 3}, B={4, 5}

⑵ A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5}

2. 조건부확률 131

2 조건부확률 상│

■`조건부확률

중│

하

P(A)>0일 때, 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건

두 사건 A, B에 대하여 P(A)=0.4, P(B)=0.8,

부확률은

P(A'B)=0.9일 때, 다음을 구하여라.

P(A;B) P(B|A)= 11112 P(A)

⑴ P(A;B) ⑵ P(A|B) ⑶ P(B|A)

■`확률의 곱셈정리 P(A)>0, P(B)>0일 때, 사건 A;B가 일어날 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A) =P(B)P(A|B)

2 다음 표는 어느 여행사 전체 직원 60명을 대상으로 나

■`사건의 독립과 종속

이와 성별을 조사하여 정리한 것이다.

⑴ 두 사건 A, B에 대하여 한 사건이 일어나는 것이 다

(단위: 명)

른 사건이 일어날 확률에 영향을 주지 않을 때, 즉

40세 미만

40세 이상

합계

○○P(B|A)=P(B) 또는 P(A|B)=P(A)

남자

일 때, 사건 A와 B는 서로 독립이라고 한다.

여자

합계

⑵ 두 사건이 서로 독립이 아닐 때, 두 사건은 서로 종속 이라고 한다.

이 직원 중 임의로 한 명을 뽑을 때, 40세 미만일 사건 을 A, 여자일 사건을 B라고 하자. 이때 P(A|B)를 구 하여라.

■`독립사건의 곱셈정리 P(A)>0, P(B)>0일 때, 두 사건 A, B가 서로 독립 이기 위한 필요충분조건은 P(A;B)=P(A)P(B)

3 야구 선수인 동선이는 소속 팀에서 경기에 4번 타자로

■`독립시행의 확률 1회의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p일 때, n회의

칠 확률이 0.5라고 한다. 동선이가 속한 팀이 오늘 경기

독립시행에서 사건 A가 r회 일어날 확률은

를 한다고 할 때, 동선이가 경기에 4번 타자로 출전하여

«C® p® (1-p)n-r`(단, r=0, 1, 2, y, n)

기본을 다지고 싶다면

132 Ⅱ. 확률

출전할 확률이 0.6이고, 4번 타자로 출전했을 때 안타를

안타를 칠 확률을 구하여라. 부록 253쪽

정답 229쪽

두 사건 A, B에 대하여 P(A)=0.5,

어느 지역에서 비가 온 다음

P((A'B)Ç )=0.3, P(B|A)=0.6일 때, P(A|B)

날에 비가 오지 않을 확률은

를 구하여라.

0.4이고, 비가 오지 않은 다음 날 비가 오지 않을 확률은 0.75라고 한다. 이 지역에서 월요일에 비가 왔을 때, 같 은 주 수요일에 비가 올 확률을 구하여라.

5 주머니 A에는 흰 공 1개, 검은 공 2개가 들어 있고, 주 머니 B에는 흰 공 2개, 검은 공 3개가 들어 있다. 주머 니 A와 B에서 임의로 각각 하나의 공을 꺼내었더니 흰 공이 1개, 검은 공이 1개이었을 때, 그 흰 공이 주머니

8 서로 독립인 두 사건 A, B에 대하여 P(A)=;4!;,

B에서 나왔을 확률을 구하여라.

P(A'B)=;3!;일 때, P(B)를 구하여라.

어느 의사가 치매에 걸린 사람을 치매라고 진단할 확률

채윤이네 반은 안경 쓴 남학생 18명, 안경을 안 쓴 남학

은 0.95이고, 치매에 걸리지 않은 사람을 치매가 아니라

생 6명, 안경을 쓴 여학생 12명, 안경을 안 쓴 여학생 x

고 진단할 확률은 0.9라고 한다. 이 의사가 실제로 치매

명으로 구성되어 있다. 채윤이네 반 학생들 중 한 명을

에 걸린 사람 100명과 실제로 치매에 걸리지 않은 사람

임의로 뽑을 때, 뽑힌 학생이 남학생인 사건을 A, 안경

900명을 대상으로 치매에 걸렸는지 여부를 진단하려고

쓴 학생인 사건을 B라고 하자. 두 사건 A, B가 서로 독

한다. 이들 1000명 중 어떤 사람이 치매에 걸렸다고 진

립일 때, x의 값을 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

단을 받았을 때, 그 사람이 실제로는 치매에 걸리지 않 았을 확률을 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

2. 조건부확률 133

다음은 어느 학교의 양궁 선수 5명의 10점 명중률이다.

민서와 준희가 가위바위보를 3번 할 때, 민서가 3번 모

5명이 각각 1개의 화살을 쏘았을 때, 적어도 한 명이 10

두 이길 확률을 구하여라.

점에 명중할 확률을 구하여라. 선수

10점 명중률

;3@;

;4#;

;5$:

;6%;

;7$;

14 한 개의 주사위를 6번 던질 때, 3의 배수가 2번 나올 확 률을 구하여라.

11 어느 기계는 독립적으로

작동하는 두 개의 부품 A, B로 구성된다. 두 개

의 부품 중 적어도 하나가 작동하면 이 기계가 작동을 한다고 한다. 부품 A, B가

15 3개의 동전을 동시에 던질 때, 앞면이 나오는 동전이 1 개 이하인 사건을 A, 동전 3개가 모두 같은 면이 나오 는 사건을 B라고 하자. 다음 중 옳은 것을 모두 찾아라.

각각 고장날 확률이 0.2, 0.3일 때, 이 기계가 작동할 확 률을 구하여라.

ㄱ. P(A)=;2!; ㄴ. P(A;B)=;8!; ㄷ. 사건 A와 사건 B는 서로 독립이다.

12 컴퓨터 게임에서 캐릭터 A와 B가 자동차 경주를 할 때,

A가 이길 확률은 ;3@;라고 한다. 두 경기를 먼저 연속해

두 개의 동전을 동시에 던져서 모두 앞면이 나오면 1점,

서 이기는 경우 우승한다고 할 때, 4경기 만에 A가 우

그렇지 않으면 0점을 얻는 게임이 있다. 이 게임을 5번

승할 확률을 구하여라. (단, 비기는 경우는 없다.)

시행하여 3점을 얻을 확률을 구하여라.

134 Ⅱ. 확률

여러 가지 방법으로 풀어 보자. 휴대 전화를 사용하는 청소년의 40%가 Y`회사의 제품을 사용하고 있다. 이 회사의 제품을 사용하는 청소년의 60%가 LTE`서비스를, 다른 휴대 전화 회사의 제품을 사용하는 청소년의 50%가 LTE`서비 스를 사용한다. 임의로 뽑은 한 명의 청소년이 LTE`서비스를 사용하였을 때, 그 청소년이 Y`회사의 제 품을 사용할 확률을 구해 보자. (단, 1명당 1대의 휴대 전화를 사용한다.) 아름이의 방법으로 풀어 보자.

청소년이 Y 회사의 제품을 사용하는 사건을 A, LTE`서비스를 사용하는 사건을 B라고 하자. 임의로 뽑은 한 명의 청소년이 LTE`서비스를 사용하였을 때, 그 청 소년이 Y`회사의 제품을 사용할 확률을 구하는 것은 P(A|B)를 구하는 것과 같아. 그런데 P(B)=P(B;A)+P(B;AÇ )이고, P(A;B) P(A|B)= 11111 이니까``……. P(B)

준영이의 방법으로 풀어 보자.

휴대 전화를 사용하는 청소년을 100명이라 생 각하고, 문제 상황을 벤 다이어그램으로 나타내

휴대 전화를 사용하는 청소년(100명)

Y 회사의 제품`사용자

LTE 사용자

어 보면 오른쪽 그림과 같아. 이제 각 집합의 원 소의 개수를 구해 보면`…….

2. 조건부확률 135

서로 다른 2개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의

원 모양의 화단에 일정한

수의 합이 4 이하일 확률은?

간격으로 산세비에리아, 앤

① ;6!;

② ;4!;

④ ;2!;

⑤ ;3@;

③ ;3!;

슈리엄을 포함한 6종류의 화분을 진열하려고 한다. 산세비에리아, 앤슈리엄 화 분이 이웃하여 진열될 확률을 구하여라.

1부터 20까지의 자연수가 각각 적힌 20장의 카드 중 임

바둑판 위에 6개의 흰 돌과 4개의 검은 돌 중에서 임의

의로 한 장의 카드를 꺼낼 때, 그 카드에 적힌 수가 2의

로 2개의 돌을 택하여 흰 돌은 검은 돌로, 검은 돌은 흰

배수인 사건을 A, 3의 배수인 사건을 B라고 하자. 표

돌로 바꾸었다. 검은 돌의 개수가 흰 돌보다 많을 확률

본공간을 S라고 할 때, S의 부분집합이고 두 사건 A,

을 ;qP;라고 할 때, p+q의 값은? (단, p와 q는 서로소인

B와 모두 배반인 사건 C의 개수를 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

자연수이다.)

① 3

② 4

④ 6

⑤ 7

한 개의 주사위를 2번 던져 첫 번째 나온 눈의 수를 a,

오른쪽 그림과 같은 정팔각형

두 번째 나온 눈의 수를 b라고 할 때, x에 관한 이차방

의 8개의 꼭짓점 중에서 임의

정식 x¤ +ax+ab=0이 실근을 가질 확률은?

로 세 점을 선택하여 삼각형

① ;1¡8;

② ;1¡2;

을 만들 때, 이 삼각형이 직

④ ;6!;

⑤ ;4!;

136 Ⅱ. 확률

③ ;9!;

③ 5

각삼각형일 확률을 구하여라. D

Ⅱ. 확률 정답 230쪽

1, 2, 3, 4, 5가 각각 적힌 5장의 카드 중에서 임의로 한

어느 마술 동호회의 회원을 조사하였더니 전체의 80%

장씩 뽑아 세 자리의 자연수를 만들려고 한다. 이 자연

가 20대이고, 남자인 20대는 전체의 60%이었다. 이 마

수가 120 이상인 사건을 A라고 할 때, P(A)를 구하여

술 동호회의 회원 중에서 임의로 뽑은 한 명이 20대일

라. (단, 한 번 뽑은 카드는 다시 뽑지 않는다.)

때, 그 회원이 남자일 확률을 구하여라.

수린이와 유동이를 포함한 10명의 친구들 중 임의로 뽑

상자 A에는 노란 구슬 3개와 파란 구슬 3개, 상자 B에

힌 2명이 빵을 사 오기로 했다. 수린이와 유동이 중 적

는 노란 구슬 2개와 파란 구슬 4개가 각각 들어 있다.

어도 한 명이 빵을 사러 갈 확률은?

두 상자 A, B 중에서 한 상자를 임의로 택하고 그 상

① ;5$;

② ;4@5*;

④ ;4!5&;

⑤ ;5!;

③ ;1¶5;

자에서 2개의 구슬을 임의로 꺼냈더니 파란 구슬 2개가 나왔다. 택한 상자가 A일 확률을 구하여라.

흰 공과 검은 공이 총 12개 들어 있는 주머니에서 임의

어느 공항에서 가방을 보안 검색대에 통과시켰을 때, 의

로 2개의 공을 꺼낼 때, 적어도 한 개가 흰 공일 확률이

심되는 가방으로 판정되는 확률은 0.1이고 의심되는 가

;3!3(;이다. 이때 이 주머니에 들어 있는 검은 공의 개수를

방 15개 중 4개의 비율로 위험한 물건이 발견된다고 한

구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

다. 임의의 1개의 가방을 보 안 검색대에 통과시킬 때, 의심되는 가방으로 판정되 어 위험한 물건이 나올 확률 을 구하여라.

마무리 평가 137

세 사건 A, B, C에 대하여 A, B는 서로 독립이고, B와

동전 한 개와 주사위 한 개를 동시에 던지는 시행을 다

C는 서로 배반사건이다. P(A)=0.5, P(A;B)=0.3,

섯 번 반복할 때, 동전의 앞면과 주사위의 6의 약수의

P(B'C)=0.8일 때, P(C)는?

눈이 동시에 나오는 횟수가 3일 확률을 구하여라.

① 0.1

② 0.2

④ 0.4

⑤ 0.5

(풀이 과정을 자세히 써라.)

③ 0.3

17 준영이와 민희는 순서대로 번갈아 가며 주사위를 던져 5 이상의 눈이 2번 먼저 나오는 사람이 이기는 게임을

하기로 하였다. 두 사람이 주사위를 던진 횟수를 합쳐서

1부터 30까지의 자연수 중에서 임의로 1개의 수를 선택

다섯 번 만에 준영이가 이길 확률은? (단, 준영이가 먼

할 때, 홀수의 눈이 나오는 사건을 A, 2의 배수의 눈이

저 주사위를 던진다.)

나오는 사건을 B, 3의 배수의 눈이 나오는 사건을 C라 고 할 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 골라라. 보기

ㄱ. A와 B는 서로 배반이다.

① ;24$3;

② ;24*3;

④ ;2£4™3;

⑤ ;2§4¢3;

③ ;2¡4§3;

ㄴ. A와 B는 서로 종속이다. ㄷ. B와 C는 서로 독립이다. ㄹ. A와 C는 서로 독립이다.

맞은 개수

틀린 개수 성취도 자기 평가

이 단원에서 배운 용어는 잘 이해하고 있나요? 이 단원에서 배운 개념은 잘 이해하고 있나요?

틀린 문제를 다시 확인 학습했나요?

두 사건 A, BÇ 가 서로 독립이고, P(A'B)=1,

보충 계획 세우기

P(A)=2P(B)=x일 때, 실수 x의 값을 구하여라.

138 Ⅱ. 확률

신문 기사 속 확률 찾기 신문 기사를 보면 정치, 의학, 과학 기술, 스포츠 등 다양한 분야에서 확률이 이용되고 있 음을 알 수 있다. 다음은 신문 기사의 일부이다.

러 인공위성 추락 예고! 한반도에 추락할 확률은? 러시아 코스모스 1484 위성 추락 관련 현황

수명을 다한 무게 2.5톤의 러시아 위성(코스모스 1484)이 28일을 기 점으로 지구에 떨어질 것으로 예측 된 가운데 정확한 추락 지점이 분 명치 않아 주의가 요구된다. 27일 한국천문연구원에 따르면 이 위성이 한반도에 떨어질 확률은

2013년 1월 27일 09시 00분 00초(KST) 위성의 위치와 지상 궤적

5200분의 1이다. 또, 사람이 위성 잔해물에 맞을 확률은 1조분의 1이다.

위의 기사를 보고 다음 활동을 해 보자.

1 인공위성이 지구 어느 지점에 떨어지는 사건을 표본공간 S, 인공위성이 한반도에 떨어 지는 사건을 A, 사람이 위성 잔해물에 맞는 사건을 B라고 하자. 이때 P(A)와 P(B) 를 각각 구해 보자.

2 한반도에 있는 사람이 이 위성 잔해물에 맞을 확률이 50조분의 1일 때, 위의 1을 이용 하여 다음 확률을 구해 보자. ⑴ 두 사건 A와 B가 서로 독립인지 종속인지 판별하여라. ⑵ 인공위성이 한반도에 떨어졌을 때, 사람이 위성 잔해물에 맞을 확률을 구하여라.

3 위의 신문 기사와 같이 확률을 이용하여 보도한 신문 기사를 찾아 스크랩한 후, 다음 순 서에 따라‘신문 기사 속 확률 찾기’과제를 수행해 보자. ① 스크랩한 기사 내용 중 확률이 이용된 부분을 찾는다. ② 위의 1과 같이 표본공간과 사건을 정의한 후, 각각의 확률을 구한다. ③ 위의 2와 같이 기사 내용을 이용하여 구할 수 있는 확률을 계산해 본다.

창의・인성을 높이는 프로젝트 139

III 통계

1 확률분포 2 통계적 추정

학습 목표 •확률변수와 확률분포의 뜻을 안다. •이산확률변수의 기댓값(평균)과 표준편차를 구할 수 있다. •이항분포의 뜻을 알고, 평균과 표준편차를 구할 수 있다. •정규분포의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다. •모집단과 표본의 뜻을 알고, 표본평균과 모평균의 관계를 이해한다. •모평균을 추정하고, 그 결과를 해석할 수 있다. •표본비율과 모비율의 관계를 이해하여 모비율을 추정하고, 그 결과를 해석할 수 있다.

‘통계를 알면 세상이 보인다.’ 라는 말이 있듯이, 통계를 이해하고 활용하는 능력을 키우면 방대 한 자료를 객관적인 방법으로 분석해서 의미 있는 정보를 찾고 합리적인 의사 결정을 할 수 있다. 현대 통계학의 지평을 연 사람은 영국의 통계학자 피어슨(Pearson, K.; 1857~1936)이다. 피어 슨은 유전 현상을 통계학적으로 분석하는 분야를 개척하였으며, 런던 대학에 세계 최초로 통계학과 를 개설하였다. 현대 사회에서 정보의 양은 폭발적으로 증가하고 있으므로, 자료를 분석하여 적절 한 정보를 찾아내는 통계의 중요성은 더욱 커지고 있다.

확률분포 신은 주사위 놀이를 하지 않는다? 상대성 이론과 양자론을 주축으로 하는 현대 물리학은 뉴턴(`Newton, I.; 1642~1727)의 역학을 기초로 하는 고전 물리학과 단순히 시기상으로만 구분되는 것 이 아니라 본질면에서도 확연히 차별화된다. 현대 물리학의 출발점이 된 아인슈타인 (`Einstein, A.; 1879~1955)의 상대성 이론은 아인슈타인의 천재적인 발상이 담 긴 유용한 이론이지만, 원자 단위 이하를 다루는 미시 세계에서는 맞지 않는 부분이 있다. 이런 미시 세계를 설명할 때 유용한 것이 보어(`Bohr, N. H. D.; 1885~1962), 하이젠베르크(`Heisenberg, W. K.; 1901~1976) 등이 내놓은 양자론이다. 양자론이 나타나기 이전에 사람들은 원자 주위의 전자가 정해 진 궤도를 따라 원자의 핵 주위를 돈다고 생각했다. 그러나 양자 론에 따르면 원자의 핵 주변에 전자가 분포하는 것은 확률적으로 만 나타낼 수 있다고 생각했다. 다시 말해 전자의 위치를 정확하 게 나타내는 것은 불가능하다.

서로 다른 세 개의 동전을 동시에 던질 때, 모두 같은 면이 나올 확률을 구하여라.

다음을 기호 ¡를 사용하여 나타내어라. ⑴ x¡p¡+x™ p™+x£ p£+y+x«p« ⑵ (x¡-m)¤ p¡+(x™-m)¤ p™+(x£-m)¤ p£+y+(x«-m)¤ p«

142 Ⅲ. 통계

전자의 분포를 그림으로 나타내면 그 모양이 마치 구름과 같기 때문에‘전자구름’ 이라고도 한다. 이때 전자구름에 찍힌 점은 전자를 나타내는 것이 아니라 전자가 존재할 가능성이 있는 곳을 나타낸다. 따라 서 점이 많이 있는 곳은 전자가 발견될 확률이 높은 곳이고, 점이 적게 찍 힌 곳은 전자가 발견될 확률이 낮은 곳이다. 사실 아인슈타인은 끝까지 미시 세계에서의 현상을 확률의 분포로 설명하 는 이 양자론을 받아들이지 않았고, 그런 생각을 담아“신은 주사위 놀이를 하지 않는다.” 라는 말을 남기기도 했다. 그렇지만 양자론이 없었다면 현 재와 같은 첨단 과학 기술의 발전은 실현되지 않았을 것이다.

(a+b)⁄ ‚ 의 전개식에서 aﬂ b› 의 계수를 구하여라.

다음은 지윤이네 반에서 헌혈한 경험이 있는 학생 20명의 헌혈 횟수에 대한 자료이다. 이 학생들의 헌혈 횟수의 평균과 표준편차를 각각 구하여라. 헌혈 횟수`(번)

합계

학생 수`(명)

1. 확률분포 143

확률변수와 확률분포 학습 목표 │ ● 확률변수와 확률분포의 뜻을 안다.

이산확률변수 활동해 봅시다

주사위를 던지는 시행에서 나오는 눈의 수만큼 점수를 받는 게임 을 한다. 예를 들어 나오는 눈의 수가 1이면 받는 점수는 1점 이다. 물음에 답하여 보자.

1. 다음 표를 완성해 보자. 표본공간의 원소 점수 X

점수 X를 받을 확률

;6!;

2. X는 어떤 값들을 취할 수 있는가? 3. X의 각 값에 그 점수를 받을 확률이 하나씩 대응하는가?

한 개의 동전을 두 번 던지는 시행에서 앞면을 H, 뒷면을 T라고 할 때, 이 시행의 표본공간 S는 피셔`(Fischer, R. A.; 1890~1962) 영국의 통계학자로 현대 통계학의 기초를 세우고, 실험의 계획과 분석에 대 한 근대적인 방법을 발전 시켰다.

S={(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)} 이다. 이 시행의 결과로 나오는 앞면 H의 횟수를 X라고 하면 X는 0, 1, 2의 값을 취 하는 변수이다. 이때 표본공간 S의 각 원소에 X의 값이 각각 다음과 같이 대응한다. (H, H) 1⁄ 2, (H, T) 1⁄ 1, (T, H) 1⁄ 1, (T, T) 1⁄ 0 이때 X가 0, 1, 2의 값을 취할 확률은 각각 ;4!;, ;2!;, ;4!;이다. S

확률

(H, H)

1 4

(H, T) (T, H) (T, T)

144 Ⅲ. 통계

1 2

이와 같이 어떤 시행의 결과에 따라 변수 X가 취하는 값과 그 값을 취할 확률이 정 해질 때, 이 변수 X를 확률변수라고 한다. 특히, 확률변수 X가 취할 수 있는 값이 유 이산확률변수는 자연수처

한개이거나 자연수처럼 셀 수 있을 때, X를 이산확률변수라고 한다. 또, 확률변수 X

럼 무한개의 값을 가질 수 도 있지만 여기에서는 유 한개의 값을 가지는 경우 만 다루기로 한다.

가 어떤 값 x를 취할 확률을 기호로 ○○○○P(X=x) 와 같이 나타낸다.

보기

한 개의 동전을 두 번 던지는 시행에서 앞면이 나오는 횟수를 X라고 하면 X는 확률변수 이고, 특히 X는 0, 1, 2의 값을 취하므로 X는 이산확률변수이다. 이때 확률변수 X가 각 값을 취할 확률은 P(X=0)=;4!;, P(X=1)=;2!;, P(X=2)=;4!;이다.

일반적으로 이산확률변수 X가 취할 수 있는 값이 x¡, x™, x£, y, x«일 때, X가 그 값을 취할 확률을 각각 p¡, p™, p£, y, p«이라고 하면 P(X=x‘)=p‘ (`i=1, 2, 3, y, n) 로 나타낼 수 있고, 이때 x¡, x™, x£, y, x«과 p¡, p™, p£, y, p« 사이의 대응 관계를 이산확률변수 X의 확률분포라고 한다. 또, 이 확률분포를 나타내는 함수 P(X=x‘)=p‘ (i=1, 2, 3, y, n)를 이산확률변수 X의 확률질량함수라고 한다. 이산확률변수 X의 확률분포는 다음과 같이 표로 나타낼 수 있다. X

x¡

x™

x£

x«

합계

P(X=x‘)

p¡

p™

p£

p«

확률질량함수는 다음 성질을 갖는다.

확률질량함수의 성질 이산확률변수 X가 취할 수 있는 값이 x¡, x™, x£, y, x«이고 X가 그 값을 취할 확률이 각각 `p¡, p™, p£, y, p«일 때, X의 확률질량함수 P(X=x‘)=p‘`(i=1, 2, 3, y, n)에 대하여

1. P(X=x‘)=p‘æ0

2. ;I+n ! p‘=1

j P(X=x˚) 3. P(x‘…X…xΔ)=;K+I

1. 확률분포 145

보기

한 개의 동전을 두 번 던지는 시행에 서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 할 때, X의 확률분포를 표로

합계

P(X=x)

;4!;

;2!;

;4!;

나타내면 오른쪽과 같다.

( ;4!; (x=0, 2) 또, 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)= “ 이다. ;2! ; (x=1) 9

예제

다문화 교육 프로그램에 참가한 남학생 2명, 여학생 5명 이 김장 담그기 체험을 하려고 한다. 이 학생들 중 절임 배추에 김치 속재료를 넣는 일을 할 3명을 임의로 뽑을 때, 뽑힌 학생 중 여학생의 수를 확률변수 X라고 하자. 물음에 답하여라. ⑴ X의 확률질량함수를 구하고, X의 확률분포를 표로 나타내어라. ⑵ 여학생이 2명 이상 3명 이하로 뽑힐 확률을 구하여라. 풀이

⑴ 남학생이 2명뿐이므로 확률변수 X가 취할 수 있는 값은 1, 2, 3이다. 따라서 X의 각 값에 대한 확률은 다음과 같다. ∞C¡_™C™ P(X=1)= 1111 =;3∞5;=;7!; ¶C£ ∞C™_™C¡ P(X=2)= 1111 =;3@5);=;7$; ¶C£ ∞C£_™Cº P(X=3)= 1111 =;3!5);=;7@; ¶C£ ∞CÆ_™C£–Æ 이때 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)= 111123 (`x=1, 2, 3) ¶C£ 또, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X

합계

P(X=x)

;7!;

;7$;

;7@;

⑵ 여학생이 2명 이상 3명 이하로 뽑힐 확률은 P(2…X…3)이므로 ○○○○P(2…X…3)=P(X=2)+P(X=3)=;7$;+;7@;=;7^; ∞CÆ_™C£–Æ ⑴ P(X=x)= 111123 (`x=1, 2, 3), 위의 표 참조 ⑵ ;7^; ¶C£

146 Ⅲ. 통계

문제

어느 고등학교의 봉사 동아리는 매주 노인 요양원을 찾아 봉사를 한다. 이 동아리는 1학년 학생 7명, 2학년 학생 8명 으로 구성되어 있으며, 이 중에서 2명의 대표를 임의로 선 출하려고 한다. 대표로 선출되는 2명 중에서 2학년 학생의 수를 확률변수 X라고 할 때, 물음에 답하여라. ⑴ X의 확률질량함수를 구하고, X의 확률분포를 표로 나타내어라. ⑵ 확률 P(0…X…1)을 구하여라.

문제

지윤이네 반은 제비뽑기를 통해 자리를 정한다. 지윤이네 반 학

교탁

생 25명 전체가 번호 순서대로 제비뽑기를 하여 A 자리를 뽑 을 때까지의 제비뽑기 횟수를 확률변수 X라고 할 때, 확률 P(1…X…2)를 구하여라.

연속확률변수 생각해 봅시다

다음 두 시행의 표본공간을 각각 집합으로 표현하고, 두 표본공간의 차이점을 이야기해 보자.

1. 올해 12월의 달력을 보고 임의로 하루를 선택할 때, 선택한 날의 요일을 관찰하는 시행 2. 10분 간격으로 운행되는 통학 버스를 타려고 할 때, 정거장에서 버스를 기다리는 시간 을 측정하는 시행

1. 확률분포 147

지금까지는 동전의 앞면이 나오는 횟수, 주사위의 눈의 수와 같이 취할 수 있는 값 이 유한개이거나 자연수처럼 셀 수 있는 이산확률변수를 다루었다. 이제 길이, 시간, 무게와 같이 어떤 구간에 속하는 임의의 실숫값을 취하는 확률변수와 그 확률분포에 대하여 알아보자.

오른쪽 그림과 같이 일정한 간격으로 눈금이 정해진 원 9

판의 중심을 축으로 하여 자유롭게 회전할 수 있는 바늘이

0(10)

있다고 할 때, 이 바늘을 회전시킨 후 바늘이 저절로 멈춘 곳에 해당하는 값을 X라고 하자.

이때 X는 0에서 10까지의 모든 실숫값을 취할 수 있고,

X가 그 값을 취할 수 있는 것은 같은 정도로 일어난다고 기대할 수 있다. 이와 같이 어떤 범위에 속하는 모든 실숫값을 취할 수 있는 확률변수 X를 연속확 률변수라고 한다.

위에서 바늘이 a와 b(0…a…b…10) 사이에서 정지할 확률, 즉 연속확률변수 X 에 대하여 a…X…b가 될 확률을 P(a…X…b) 로 나타내면 이 확률은 호의 길이에 정비례한다고 볼 수 있다. 이때 P(0…X…10)=1이므로 b-a P(a…X…b)= 112 (0…a…b…10) 10

f(x) 1 10

P(a…X…b) f(x)=

1 10

임을 알 수 있다. [그림 1]에서 색칠한 부분

이 확률 P(a…X…b)는 [그림 1]에서 색칠한

의 넓이는 b-a (b-a)_;1¡0;= 112 10

부분의 넓이와 같다.

[그림 1]

[그림 1]에서 f(x)는 연속확률변수 X가 0…X…10인 범위에서 정의되며, 그 범위에서 f(x)=;1¡0;æ0 함수 f(x)=;1¡0;의 그래프와 x축 사이의 넓이는 1 인 성질을 갖는 함수이다. 148 Ⅲ. 통계

일반적으로 연속확률변수 X가 a…X…b인 범위에서 임의의 값을 취할 수 있고 이 범위에서 함수 f(x)가 다음과 같은 성질을 가질 때 함수 f(x)를 연속확률변수 X 의 확률밀도함수라 하고, X는 확률밀도함수가 f(x)인 확률분포를 따른다고 한다.

확률밀도함수의 성질 연속확률변수 X가 a…X…b에 속하는 모든 실

y=f(x)

숫값을 취할 때, X의 확률밀도함수 f(x)(a…x…b)에 대하여

1. f(x)æ0

O a

x¡

x™

b x

2. 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이다. 2와 3으로부터 P(a…X…b)=1

3. P(x¡…X…x™)는 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=x¡, x=x™ 로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. (단, a…x¡…x™…b)

이다.

보기

연속확률변수 X의 확률밀도함수

y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같

y=f(x)

을 때, 확률 P(200…X…250) 은 색칠한 부분의 넓이와 같다. O

50 100 150 200 250 300 350 400

X가 연속확률변수일 때, 다음이 성립하는지 이야기해 보자. P(x¡…X…x™)=P(x¡…X<x™)=P(x¡<X…x™)=P(x¡<X<x™)

P(x¡…X…x™) =P(x¡…X<x™)+P(X=x™)

P(X=x™)는 …….

1. 확률분포 149

예제

연속확률변수 X가 취하는 값의 범위가 0…X…2이고, 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x)=kx일 때, 상수 k의 값과 확률 P(0…X…1)을 구하여라. 풀이

y=f(x)의 그래프와 x축,

f(x)=kx (0…x…2)는 확률밀도함수이므로

f(x)

직선 x=2로 둘러싸인 부

f(x)=kx

;2!;_2_2k=1에서 k=;2!;

분의 넓이는 1이다.

또, P(0…X…1)은 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이 O

와 같으므로

○○○○P(0…X…1)=;2!;_1_;2!;=;4!; k=;2!;, P(0…X…1)=;4!;

문제

연속확률변수 X가 취하는 값의 범위가 0…X…2이고, 확률변수 X의 확률밀도함수가 x (0…x…1) f(x)=[ 2-x (1…x…2) 로 주어질 때, 확률 P{;2!;…X…2}를 구하여라.

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

연속확률변수 X가 취하는 값의 범위가 -1…X…1이고, 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x)=a(x-1)일 때, 확률 P(0…X…1)을 구해 보자. (단, a는 상수)

실마리 그림을 그려 해결하기

a의 값에 관계없이 항상 지나는 점을 찾아 확률밀도함수의 그래프를 그려 본다.

150 Ⅲ. 통계

■ 확률밀도함수의 성질

난이도│중

오른쪽 표는 어느 호수에 있는 물고기 100마리의 길이를

계급(cm)

도수

상대도수

18 ~` 10

0.05

10이상~` 12미만

0.13

12이상~` 14미만

0.21

14이상~` 16미만

0.31

16이상~ `18미만

0.17

18 ~ `20

미만

0.08

20이상~ `22미만

0.03

0.02

100

이상

조사한 후 계급의 크기를 2cm로 하여 각 계급의 상대도수를 나타낸 것이다. 각 계급의 상대도수를 계급의 크기로 나눈 값을 구하여 히 스토그램으로 나타내면 [그림 1]과 같고, 각 계급의 상대도수

이상

미만

는 히스토그램의 각 직사각형의 넓이가 된다. 예를 들어 물고기의 길이가 14cm 이상 16cm 미만일 때

이상

미만

22 ~ `24

의 상대도수 0.31은 히스토그램에서 색칠한 직사각형의 넓

합계

이 0.155_2와 같다. 또, 상대도수의 합은 1이므로 히스토그 램에서 모든 직사각형의 넓이의 합은 1이다. (상대도수) (계급의 크기) 0.155

(직사각형의 넓이) (상대도수) =(계급의 크기)_ 1111123 (계급의 크기) =(상대도수)

8 10 12 14 16 18 20 22 24 (cm)

[그림 1]

이제 물고기의 수를 100마리에서 1000마리로 늘려 조사한 결과를 계급의 크기를 1cm로 좁게 하면 [그림 2]와 같이 조밀한 히스토그램과 도수분포다각형이 된다. 이 과정을 계속하 면 도수분포다각형은 [그림 3]과 같은 부드러운 곡선에 가까워진다. (상대도수) (계급의 크기)

(상대도수) (계급의 크기)

8 10 12 14 16 18 20 22 24 (cm)

[그림 2]

8 10 12 14 16 18 20 22 24 (cm)

[그림 3]

이때 이 곡선은 항상 x축 위에 있고, 이 곡선과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 항상 1이 된다. 이것은 확률밀도함수의 성질과 일치한다.

1. 확률분포 151

이산확률변수의 기댓값과 표준편차 학습 목표 │ ● 이산확률변수의 기댓값(평균)과 표준편차를 구할 수 있다.

이산확률변수의 기댓값(평균)과 표준편차 생각해 봅시다

어느 수목원에서 나무 사랑 기금을 마련하기 위하여 방문객을 대상으로 다음 표와 같은 상금이 걸려 있 는 녹색 복권 1000장을 발행하였다. 물음에 답하여 보자. 상금`(원)

1000

5000

10000

합계

복권 수`(장)

400

300

200

100

1000

1. 상금의 총액과 복권 수를 이용하여 복권 1장을 살 때 기대할 수 있는 상금의 평균을 구 해 보자.

2. 위의 1과는 다른 방법으로 복권 1장을 살 때 기대할 수 있는 상금의 평균을 구하는 방법 이 있는지 생각해 보자.

다음 표와 같이 상금과 당첨 제비 수가 정해진 제비가 있다.

(상금의 평균) (상금의 총액) = 111121 (총 제비 수)

상금`(원)

1000

5000

10000

합계

제비 수`(장)

100

위의 100장의 제비 중 한 장을 뽑을 때 기대할 수 있는 상금의 평균은 다음과 같다. 0_40+1000_30+5000_20+10000_10 1111111111111111112 100 =0_;1¢0;+1000_;1£0;+5000_;1™0;+10000_;1¡0;=2300(원) 이때 제비 한 장에 대한 상금을 X원이라고 하면 X는 0, 1000, 5000, 10000의 값 을 취하는 이산확률변수이고, 그에 대응하는 제비의 상대도수를 확률로 생각할 수 있으므로 X의 확률분포를 다음과 같이 표로 나타낼 수 있다.

152 Ⅲ. 통계

1000

5000

10000

합계

P(X=x)

;1¢0;

;1£0;

;1™0;

;1¡0;

이로부터 앞에서 구한 상금의 평균은 확률변수 X가 취하는 각각의 값과 그에 대응 하는 확률을 곱하여 더한 것과 같음을 알 수 있다. 일반적으로 이산확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같을 때 X

x¡

x™

x£

x«

합계

P(X=x‘)

p¡

p™

p£

p«

x¡p¡+x™p™+x£ p£+y+x«p«=;In+!x‘ p‘ 를 이산확률변수 X의 기댓값 또는 평균이라 하고, 기호로 E(X)

E(X)의 E는 기대를 뜻 하는 Expectation의 첫 글자이다.

와 같이 나타낸다.

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

이산확률변수 X의 기댓값(평균) 이산확률변수 X의 기댓값(평균) E(X)는 E(X)=x¡p¡+x™p™+x£ p£+y+x«p«=;I+n !x‘p‘

예제

서로 다른 500원짜리 동전 두 개를 동시에 던져서 앞면이 나오 는 동전의 금액의 합을 확률변수 X라고 할 때, X의 기댓값 E(X)를 구하여라. 풀이

확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X

500

1000

합계

P(X=x)

;4!;

;2!;

;4!;

따라서 X의 기댓값 E(X)는 E(X)=0_;4!;+500_;2!;+1000_;4!;=500(원)

문제

500원

한 개의 주사위를 던질 때, 나오는 눈의 수 X의 기댓값 E(X)를 구하여라. 1. 확률분포 153

이산확률변수 X의 평균을 E(X)=m이라고 할 때, 편차 X-m의 제곱의 평균 E((X-m)¤ )=(x¡-m)¤ p¡+(x™-m)¤ p™+(x£-m)¤ p£+y+(x«-m)¤ p« E((X-m)¤ )=;In+!(x‘-m)¤ p‘ V(X)의 V는 분산을 뜻 하는 Variance의 첫 글 자이다. r(X)의 r는 표

를 이산확률변수 X의 분산이라 하고, 기호 V(X)로 나타낸다. 또, 분산의 양의 제 곱근, 즉 "√V(X)를 X의 표준편차라 하고, 기호 r(X)로 나타낸다.

준편차를 뜻하는 standard deviation의 첫 글자 s에 해당하는 그 리스 문자이고‘시그마’

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

라고 읽는다.

이산확률변수 X의 분산과 표준편차 이산확률변수 X의 분산 V(X)와 표준편차 r(X)는 각각 V(X)=E((X-m)¤ )=;In+!(x‘-m)¤ p‘ r(X)="√V(X)

예제

흰 공 3개와 검은 공 2개가 들어 있는 주머니에서 동시에 2개의 공을 임의로 꺼낼 때, 꺼낸 공 중 검은 공의 개수를 확률변수 X라고 하자. 이때 X의 분산과 표준편차를 각각 구하여라. 풀이

확률변수 X가 취할 수 있는 값은 0, 1, 2이고 각각의 확률은 ™Cº_£C™ ™C¡_£C¡ P(X=0)= 1111 =;1£0;, P(X=1)= 1111 =;5#; ∞C™ ∞C™ ™C™_£Cº P(X=2)= 1111 =;1¡0; ∞C™ 이므로, X의 확률분포를 표로 나타내면 오른쪽과 같다.

합계

P(X=x)

;1£0;

;5#;

;1¡0;

이때 X의 평균은 E(X)=0_;1£0;+1_;5#;+2_;1¡0;=;5$; 이므로, X의 분산과 표준편차는 각각 다음과 같다. V(X)={0-;5$;}¤ _;1£0;+{1-;5$;}¤ _;5#;+{2-;5$;}¤ _;1¡0;=;2ª5; 9 r(X)=Æ¬ 13 =;5#; 25

154 Ⅲ. 통계

V(X)=;2ª5;, r(X)=;5#;

문제

한 개의 동전을 3번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 할 때, X의 분산과 표준 편차를 각각 구하여라.

이산확률변수 X의 분산은 ;In+!p‘=1, ;In+!x‘p‘=m임을 이용하여 다음과 같이 구할 수도 있다. V(X)=;In+!(x‘-m)¤ p‘=;In+!(x‘¤ -2mx‘+m¤ )p‘ V(X)=;In+!x‘¤ p‘-2m;In+!x‘ p‘+m¤ ;I+n !p‘=;In+!x‘¤ p‘-2m¤ +m¤ V(X)=;In+!x‘¤ p‘-m¤ =E(X¤ )-{E(X)}¤

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

이산확률변수 X의 분산 이산확률변수 X의 평균 E(X)를 m이라고 할 때, X의 분산은 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =;I+n !x‘¤ p‘-m¤

보기

예제 2에서 E(X)=;5$;이고, E(X¤ )=0¤ _;1£0;+1¤ _;5#;+2¤ _;1¡0=1이므로 분산

V(X)는 다음과 같이 구할 수도 있다. ○○○○V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =1-{;5$;}¤ =;2ª5;

문제

우리나라는 1996년 11월부터 교통 혼잡 지역에서 두 사람 이 하가 탄 차량에 통행료를 부과하는 제도를 부분적으로 실시 하고 있다. 어느 구간에서 이 제도를 실시하는 것이 적절한지 판단하기 위해 이 구간을 통과하는 승용차를 대상으로 탑승 자의 수를 조사하였다. 조사한 탑승자의 수 X의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 확률변수 X의 분산과 표준편차를 각각 구하여라. X

합계

P(X=x)

0.5

0.2

0.15

0.1

0.05

1. 확률분포 155

확률변수 aX+b의 평균과 표준편차 생각해 봅시다

다음은 어느 공예품 작업실에서 6명이 하루 동안 수작업으로 완성 한 작품의 개수이다. 완성한 작품의 개수

(단위: 개)

사람

평균

작품 개수

그런데 작품을 완성하는 데 시간이 지나치게 오래 소요되기 때문에, 이 작업실에서는 생산 효 율성을 높이기 위하여 기계 공법을 도입하여 기존의 수작업과 병행하였다. 그 결과 수작업으 로만 할 때보다 완성한 작품의 개수가 각 사람마다 10개씩 늘었을 때, 물음에 답하여 보자.

1. 수작업과 기계 공법을 병행하였을 때 각 사람이 완성한 작품의 개수를 구하고, 그 평 균을 구해 보자.

2. 위의 1과 다른 방법으로 평균을 구할 수 있는 방법이 있는지 생각해 보자.

확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 일차식 Y=aX+b (`a, b는 상수)로 정해지는 확률변수 Y의 평균과 분산을 각각 구해 보자. X

x¡

x™

x£

x«

합계

P(X=x‘)

p¡

p™

p£

p«

P(Y=y‘)=P(X=x‘)=p‘ (i=1, 2, 3, y, n)이므로 Y의 확률분포는 다음과 같다.

;In+!x‘p‘=E(X) ;In+!p‘=1

y¡

y™

y£

y«

합계

P(Y=y‘)

p¡

p™

p£

p«

따라서 E(Y)=E(aX+b)=;In+!(ax‘+b)p‘=a;In+!x‘ p‘+b;In+!p‘=aE(X)+b 여기서 E(X)=m, E(Y)=M으로 놓으면 M=am+b이므로 V(Y)=V(aX+b)=;In+!(y‘-M)¤ p‘ V(Y)=;In+!{(ax‘+b)-(am+b)}¤ p‘ V(Y)=a¤ ;In+!(x‘-m)¤ p‘=a¤ V(X) r(Y)="√V(Y)="√a¤ V(X)=|a|r(X) 이다.

156 Ⅲ. 통계

앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.

이산확률변수 aX+b의 평균과 표준편차 이산확률변수 X와 임의의 상수 a, b에 대하여 aX+b의 평균, 분산, 표준편차는 각각

1. E(aX+b)=aE(X)+b 2. V(aX+b)=a¤ V(X) 3. r(aX+b)=|a|r(X)

보기

확률변수 X의 평균이 5, 분산이 4일 때, 확률변수 Y=-2X+3의 평균, 분산, 표준편차 는 각각 다음과 같다. E(Y)=E(-2X+3)=-2E(X)+3=-2_5+3=-7 V(Y)=V(-2X+3)=(-2)¤ V(X)=(-2)¤ _4=16 r(Y)=r(-2X+3)=|-2|r(X)=2_'4=4

문제

확률변수 X의 평균이 7, 표준편차가 ;3@;일 때, 다음을 구하여라. ⑴ E(-3X+2)

예제

⑵ r(-3X+2)

확률변수 X의 확률분포가 오른쪽 표와 같을

합계

때, 확률변수 Y=10X+5의 평균과 분산을

P(X=x)

0.2

0.3

0.2

각각 구하여라. 풀이

E(X)=0_0.2+1_0.3+2_0.3+4_0.2=1.7 V(X)=(0¤ _0.2+1¤ _0.3+2¤ _0.3+4¤ _0.2)-1.7¤ =1.81 따라서 E(Y)=E(10X+5)=10E(X)+5=22 V(Y)=V(10X+5)=100V(X)=181 E(Y)=22, V(Y)=181

문제

주사위를 한 번 던져서 나오는 눈의 수를 확률변수 X라고 할 때, 확률변수 2X+3의 평균 과 표준편차를 각각 구하여라. 1. 확률분포 157

문제

X-m 확률변수 X의 평균이 m, 표준편차가 r일 때, 확률변수 T=10{ 1114 }+50의 평균과 표 r

준편차를 각각 구하여라.

문제

어느 농장에서 생산하는 감귤의 주간별 1kg당 국내 가격 X의 평균과 표준편차가 각각 960원, 80원이라고 한다. 이 농장에서 어느 국가로 수출하는 감귤의 주간별 1kg당 수출

수출 가격은 국내 가격에 운송비와 통관비 및 기타

가격 Y에 대하여 Y=;4%;X+250의 관계식이 성립할 때,

비용을 더한 후 환율을 적 용하여 정한다.

확률변수 Y의 평균과 표준편차를 각각 구하여라.

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

아래 각 줄의 10개의 수에 대한 평균과 표준편차를 각각 구하려고 한다. 수

평균

표준편차

:¡2¡:

'∂33 113 2

다음 대화를 보고, 철수는 어떤 방법으로 문제를 풀었을지 서로 이야기해 보자. 철수야, 넌 왜 안 풀고 놀고 있어?

158 Ⅲ. 통계

이미 다 풀었어.

벌써? 어떻게?

처음 것을 이용하면 간단히 해결 돼!

■ 기댓값이 알려 주는 선택의 비법 영화“21” 은 수학 천재들이 블랙잭이라는 카드 게임으로 카지노의 딜러와 겨루어 이기는 내용을 담고 있다. 블랙잭 은 딜러가 참가자에게 2장의 카드를 수가 보이게 나누어 주고, 딜러의 카드는 1장만 수를 공개한다. 그리고 참가자 에게 카드를 더 받을 것인지, 그만 받을 것인지를 결정하도 록 한다. 최종 결정 후에 딜러의 카드와 비교하여 수의 합 이 21을 초과하지 않으면서 21에 더 가까운 사람이 이기는 것이다. 블랙잭에서 카드 A는 자신에게 유리하게 1 또는 11로, 카드 K, Q, J는 10으로, 그밖에 10 이하의 카 드는 그 수대로 계산한다. 만일 참가자가 가진 두 장 의 카드에 적힌 수의 합이 11이고 딜러의 공개된 카 드에 적힌 수가 9이면 참가자는 카드를 더 받는 것 이 유리할까, 그만 받는 것이 유리할까? 또, 처음 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 17이고 딜러가 공개한 카드에 적힌 수가 6일 때에는 어느 쪽이 더 유리할까? 영화에서의 주인공은 경우의 수를 예 측하고 기댓값을 계산하여 어느 쪽이 유리한지를 판단한다. 다음과 같이 간단한 예를 통해 기댓값을 계산하여 선택을 하는 경우를 살펴보자. 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수에 비례하여 상금을 받거나, 두 번 던져서 두 번째 나 온 눈의 수에 비례하여 상금을 받는다고 하자. 주사위를 한 번만 던질지 두 번을 던질지를 선택할 수 있다고 할 때, 주사위를 몇 번 던지는 것이 유리할까? 주사위를 한 번 던지는 시행에서 1부터 6까지의 자연수가 나올 수 있으므로 주사위를 한 번 던질 때 기대할 수 있는 눈의 수는 다음과 같이 3.5이다. ○○○○;6!;_(1+2+3+4+5+6)=3.5 즉, 처음에 주사위를 던져서 1 또는 2 또는 3의 눈이 나오면 두 번째 던질 주사위의 기댓 값이 그보다 높은 3.5이므로 주사위를 한 번 더 던지는 것이 유리하고, 처음에 주사위를 던 져서 4 이상의 눈이 나오면 두 번째 던질 주사위의 기댓값이 그보다 낮은 3.5이므로 더 이상 던지지 않고 멈추는 것이 더 많은 상금을 받을 수 있는 합리적인 선택이다.

1. 확률분포 159

이항분포 학습 목표 │ ● 이항분포의 뜻을 알고, 평균과 표준편차를 구할 수 있다.

이항분포 생각해 봅시다

어느 야구 선수는 네 번 타석에 들어설 때마다 한 번 꼴로 안타를 친 다고 한다. 이 선수가 타석에 다섯 번 들어서서 안타를 치는 횟수를 X라고 할 때, X의 확률분포를 다음 표에 나타내 보자. 0

합계

P(X=x)

독립시행에서 일어나는 사건의 확률에 대하여 생각해 보자. 예를 들어 한 개의 주사위를 세 번 던질 때, 1의 눈이 나오는 횟수를 X라고 하면, X는 0, 1, 2, 3 중에서 어느 하나의 값을 가지는 이산확률변수이다. 이때 1회의 시행 에서 1의 눈이 나올 확률은 ;6!;이고, 나오지 않을 확률은 ;6%;이므로 X의 확률분포는 독립시행의 확률에 의하여 P(X=0)=£Cº{;6!;}‚ {;6%;}‹ , P(X=1)=£C¡{;6!;}⁄ {;6%;}¤ P(X=2)=£C™{;6!;}¤ {;6%;}⁄ , P(X=3)=£C£{;6!;}‹ {;6%;}‚ 이다. 즉, X의 확률질량함수가 P(X=x)=£CÆ{;6!;}≈ {;6%;}‹ —≈ (x=0, 1, 2, 3) 이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

160 Ⅲ. 통계

합계

P(X=x)

£Cº{;6%;}‹

£C¡{;6!;}⁄ {;6%;}¤

£C™{;6!;}¤ {;6%;}⁄

£C£{;6!;}‹

일반적으로 1회의 시행에서 사건 A가 일어날 확률을 p, 일어나지 않을 확률을 q(=1-p)라 하고, n회의 독립시행 중 사건 A가 일어나는 횟수를 X라고 하면 X 는 0, 1, 2, y, n의 값을 가지는 확률변수이고, X의 확률질량함수는 P(X=x)=«CÆ p≈ q« —≈ (x=0, 1, 2, y, n) 이다. 따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다. X

합계

P(X=x)

«Cºq«

«C¡p⁄ q« —⁄

«C™p¤ q« —¤

«C«p«

위 표의 각 확률은 이항정리에 의하여 (p+q)« 을 전개한 다음 식의 각 항과 같다. (p+q)« =«Cºq« +«C¡p⁄ q« —⁄ +«C™ p¤ q« —¤ +y+«C«p« 이와 같은 이산확률변수 X의 확률분포를 이항분포라 하고, 기호로 B(n, p)

B(n, p)의 B는 이항분포 를 뜻하는 Binomial distribution의 첫 글자 이다.

와 같이 나타낸다. 여기서 n은 시행 횟수이고, p는 1회 시행에서 사건 A가 일어날 확률이다. 이때 이산확률변수 X는 이항분포 B(n, p)를 따른다고 한다.

보기

동전 한 개를 200번 던질 때, 뒷면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 하면, 1회의 시행에서 뒷면이 나올 확률은 ;2!;이므로 X는 이항분포 B{200, ;2!;}을 따른다.

예제

클레이 사격은 점토로 만

어느 클레이 사격 선수의 표적 명중률이 80%라고 한다. 이 선수가 3발을 쏘아 2발 이상을 명중시킬 확률을 구하여라.

든 접시 모양의 표적을 공 중에 방출하여 총으로 맞 히는 운동 경기이다.

풀이

표적 명중 횟수를 확률변수 X라고 하면, X는 이항분포 B{3, ;5$;}를 따른다. 이때 3발을 쏘아 2발 이상을 명중시킬 확률은 P(Xæ2)=P(X=2)+P(X=3) P(Xæ2)=£C™{;5$;}¤ {;5!;}⁄ +£C£{;5$;}‹ P(Xæ2)=;1!2!5@;

;1!2!5@;

1. 확률분포 161

문제

서로 다른 두 개의 동전을 동시에 던지는 시행을 5번 반복할 때, 두 개 모두 앞면이 나오는 횟수가 2번 미만일 확률을 구하여라.

문제

1, 2, 3, 4, 5가 각각 적힌 다섯 개의 공이 들어 있는 주머니에서 임 의로 공을 하나 꺼내 적힌 수를 확인하고 다시 주머니에 넣는 시행을 4번 반복할 때, 적어도 한 번 짝수가 나올 확률을 구하여라.

1 3

2 5

이항분포의 평균과 표준편차 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때, X의 평균과 표준편차를 구해 보자. 예를 들어 어떤 확률변수 X가 이항분포 B(3, p)를 따르면 X의 확률분포는 다음 표와 같이 나타낼 수 있다. (단, q=1-p) X

합계

P(X=x)

£Cº q‹

£C¡ p⁄ q¤

£C™p¤ q⁄

£C£ p‹

여기서 X의 평균과 분산을 구하면 각각 다음과 같다. E(X)=0_£Cº q‹ +1_£C¡ p⁄ q¤ +2_£C™p¤ q⁄ +3_£C£ p‹ =0_q‹ +1_3pq¤ +2_3p¤ q+3_p‹ =3p(p+q)¤ =3p V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =(0¤ _q‹ +1¤ _3pq¤ +2¤ _3p¤ q+3¤ _p‹ )-(3p)¤ =3p(p+q)(3p+q)-(3p)¤ =3pq

일반적으로 이항분포 B(n, p)를 따르는 확률변수 X의 평균, 분산, 표준편차는 각 각 다음과 같다.

이항분포의 평균과 표준편차 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때 X의 평균, 분산, 표준편차는 각각

1. E(X)=np 3. r(X)='∂npq (단, q=1-p)

162 Ⅲ. 통계

2. V(X)=npq

보기

이항분포 B{20, ;5!;}을 따르는 확률변수 X의 평균, 분산, 표준편차는 각각 다음과 같다. E(X)=20_;5!;=4 V(X)=20_;5!;_;5$;=;;¡5§;; 4'5 r(X)=Æ¬20¬_;5!;_;5$;= 11 5

문제

예제

이항분포 B{4, ;6!;}을 따르는 확률변수 X의 평균과 분산, 표준편차를 각각 구하여라.

정답이 하나씩만 있는 오지선다형 문항이 25개 있다. 각 문항마다 임의로 답을 하나씩 택하여 쓸 때, 정답을 맞힌 문항 수의 평균과 표준편차를 각각 구하여라. 풀이

오지선다형이란 주어진 5

오지선다형 문항에서 임의로 답을 하나씩 택하여 정답을 맞힐 확률은 ;5!;이고, 각 문항마다

개의 답지 중에서 정답지 를 택하는 문항의 유형을

임의로 답을 택하는 것은 독립시행으로 볼 수 있으므로, 25개의 문항 중 정답을 맞힌 문항의

말한다.

수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B{25, ;5!;}을 따른다. E(X)=25_;5!;=5 r(X)=ÆΔ25_¬;5!;_;5$;=2

문제

E(X)=5, r(X)=2

불량률이 2%인 어떤 제품을 100개 검사하였을 때, 불량품의 개수를 확률변수 X라고 하자. 이때 X의 평균과 표준편차를 각각 구하여라.

문제

다음은 어느 백화점에서 판매하고 있는 등산화에 대한 제조 회사별 고객의 선호도를 조사한 표이다. 제조 회사

합계

선호도(%)

100

192명의 고객을 대상으로 선호도를 조사할 때, C 회사 제품 을 택하는 고객의 수를 확률변수 X라고 하자. 이때 X의 평 균과 표준편차를 각각 구하여라. 1. 확률분포 163

큰 수의 법칙 생각해 봅시다

다음 대화를 보고, 수학적 확률과 상대도수 사이에 어떤 관계가 있을지 생각해 보자.

가위바위보를 1번 할 때, 이길 확률은 ;3!;이야. 성민

가위바위보를 3번 하면 1번, 300번 하면 100번을 이긴다는 말인가? 아름

글쎄……. 그런데 가위바위보를 하는 컴퓨터 프로그램에서 시행 횟수를 10에 서 300으로 늘려갈 때, 이긴 횟수를 조사했더니 다음 표처럼 나왔어. 준영

시행 횟수`(회)

100

300

이긴 횟수`(회)

102

가위바위보에서 수학적 확률과 상대도수 사이에는 어떤 관계가 있을까? 아름

한 개의 주사위를 n회 던지는 시행에서 1의 눈이 나오는 횟수를 X라고 할 때, 상 X 대도수 13 와 한 개의 주사위를 1회 던질 때 1의 눈이 나올 수학적 확률 ;6!; 사이의 n 관계를 알아보자. 다음 [그림 1]은 n=10, 20, 30, 40, 50일 때, 이항분포 B{n, ;6!;}에서의 확률 P(X=x)=«CÆ {;6!;}≈ {;6%;}« —≈ (x=0, 1, 2, 3, y, n) 을 각각 표와 그래프로 나타낸 것이다. 이항분포 B(n, p)에서 p 가 일정할 때, 그 확률분 포의 그래프는 n이 커짐 에 따라 점차 좌우 대칭인 종 모양의 곡선에 가까워 짐을 알 수 있다.

[그림 1] 이항분포 B{n, ;6!;}의 표와 그래프

164 Ⅲ. 통계

X [그림 1]의 표를 이용하여 상대도수 13 와 수학적 확률 ;6!;의 차가 0.1보다 작을 확률 n X P{| 13 -;6!;|<0.1}을 구해 보자. n X X n 4n | 13 -;6!;|<0.1 HjK -;1¡0;< 13 -;6!;<;1¡0; HjK 13 <X< 13 n n 15 15 이므로 시행 횟수 n에 따른 값은 다음과 같다. ⑴ n=10일 때 X P{| 13 -;6!;|<0.1}=P{;3@;<X<;3*;}=P(X=1)+P(X=2)=0.614 10 ⑵ n=30일 때 X P{| 13 -;6!;|<0.1}=P(2<X<8) 30 =P(X=3)+P(X=4)+y+P(X=7)=0.784 ⑶ n=50일 때 X P{| 13 -;6!;|<0.1}=P{:¡3º:<X<:¢3º:} 50 =P(X=4)+P(X=5)+y+P(X=13)=0.946 X 이로부터 확률 P{| 13 -;6!;|<0.1}은 n이 커짐에 따라 1에 가까워짐을 알 수 있 n 다. 이 결과는 0.1을 0.01, 0.001, y과 같이 임의의 작은 양수로 바꾸어 놓아도 성립 X 한다. 이는 주사위를 던지는 횟수 n이 커짐에 따라 1의 눈이 나오는 상대도수 13 는 n 수학적 확률 ;6!;에 가까워지는 경향이 있음을 의미한다. X 이와 같이 상대도수 13 와 수학적 확률 p 사이에 성립하는 다음과 같은 성질을 큰 n 수의 법칙이라고 한다.

큰 수의 법칙 어떤 시행에서 사건 A가 일어날 수학적 확률이 p일 때, n회의 독립시행에서 사건 A가 일어나는 횟수를 X라고 하면, 아무리 작은 양수 h를 택하여도 확률 X P{| 14 -p|<h}는 횟수 n이 커짐에 따라 1에 가까워진다. n

1. 확률분포 165

X 큰 수의 법칙에 의하면 시행 횟수 n을 충분히 크게 하면 상대도수 13 는 수학적 n 확률에 가까워지는 경향이 있으므로, 수학적 확률을 모를 때는 시행 횟수를 충분히 X 크게 하여 얻은 사건 A의 상대도수 13 를 사건 A가 일어날 확률 P(A)로 사용할 n 수 있다. 그러므로 자연 현상이나 사회 현상에서 수학적 확률을 구하기가 곤란한 경 우에는 통계적 확률을 이용할 수 있다.

문제

앞의 [그림 1]의 표를 이용하여 주사위 한 개를 던지는 횟수 n의 값이 10, 30, 50일 때, X 확률 P{| 12 -;6!;|<0.05}를 각각 구하여라. 또, n의 값이 점점 커질 때, n X 확률 P{| 12 -;6!;|<0.05}가 어떻게 변하는지 서로 이야기해 보아라. n

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

2012년 우리나라 고등학생 전체의 남녀 성비는 1.12：1이다. 학급 수가 6개 이하인 소규모 고등학교와 학급 수가 30개 이상인 대규모 고등학교를 각각 하나씩 임의로 택하여 남녀 성비를 조사할 때, 남학생 수 가 여학생 수의 1.3배 이상 될 확률이 높은 학교는 두 곳 중 어디일지에 대하여 학생들이 토론하고 있다. 다음 중 옳을 가능성이 가장 높은 의견을 말한 학생은 누구인가?

남학생 수가 여학생 수의 1.3배 이상 될 확률이 높은 학교는 소규모 고등학교일 거야.

성준 성준 성준

166 Ⅲ. 통계

아니야, 남학생 수가 여학생 수의 1.3배 이상 될 확률이 높은 학교는 대규모 고등학교일 것 같은데.

지호 지호 지호

에이, 무슨`……. 남학생 수가 여학생 수의 1.3배 이상 될 확률은 두 학교가 같아.

가영 가영 가영

■ 이항분포의 평균과 분산

난이도│상

앞에서 확률변수 X가 이항분포 B(3, p)를 따를 때 E(X)=3p, V(X)=3pq가 됨을 알아 보았다. 일반적으로 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때 X의 확률질량함수 P(X=x)=«CÆ p≈ q« —≈ (q=1-p, x=0, 1, 2, y, n) 과 이항정리를 이용하여 E(X)=np, V(X)=npq 임을 알아보자. 1 E(X)=np

E(X)=;?n+)x P(X=x)=;?n+)x «CÆ p≈ q« —≈ n! n(n-1)! 이때 x«CÆ=x_ 111114 = 1111111111115 =n «–¡CÆ–¡이므로 x!(n-x)! (x-1)!{(n-1)-(x-1)}! E(X)=;?n+!n «–¡CÆ–¡ p≈ q« —≈ =np;;?n+!«–¡CÆ–¡ p≈ —⁄ q(n-1)-(x-1) E(X)=np(p+q)« —⁄ =np 2 V(X)=npq

E(X¤ )=;?n+)x¤ P(X=x)=;?n+)x¤ «CÆ p≈ q« —≈ E(X¤ )=;?n+){x(x-1)+x}«CÆ p≈ q« —≈ E(X¤ )=;?n+)x(x-1)«CÆ p≈ q« —≈ +;?n+)x«CÆ p≈ q« —≈ n! n(n-1)(n-2)! 이때 x(x-1)«CÆ=x(x-1)_ 111114 = 1111111111115 x!(n-x)! (x-2)!{(n-2)-(x-2)}! =n(n-1)«–™CÆ–™이므로 E(X¤ )=n(n-1)p¤ ;?n+@«–™CÆ–™ p≈ —¤ q(n-2)-(x-2)+;?n+)x«CÆp≈ q« —≈ E(X¤ )=n(n-1)p¤ (p+q)« —¤ +np E(X¤ )=n(n-1)p¤ +np 따라서 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =n(n-1)p¤ +np-(np)¤ =np(1-p)=npq

1. 확률분포 167

■ 큰 수의 법칙 다시 보기 동전을 다섯 번 던져서 다섯 번 모두 뒷면이 나왔다. 여섯 번째 던진 동전은 어떤 면이 나올 확 률이 더 높을까? 큰 수의 법칙에 따르면 동전을 던지는 횟수가 많아질수록 앞면이 나올 통계적 확률은 ;2!;에 가 까워지므로, 여섯 번째 던진 동전은 앞면이 나올 확률이 더 높아야 되는 것이 아닐까? 그러나 동 전 던지기는 독립시행이기 때문에 이전 결과와 관계없이 동전의 앞면이 나올 확률은 여전히 ;2!; 이다. 큰 수의 법칙은 동전을 던지는 시행 횟수를 늘려 갈수록 앞면이 나올 확률이 ;2!;에 가까워 진다는 것이지 앞면과 뒷면이 나오는 횟수의 차가 점점 줄어든다는 것을 의미하는 것은 아니다. 예를 들어 동전을 10번 던졌을 때 앞면이 3번, 뒷면이 7번 나왔다면 동전을 던져 앞면이 나오 는 상대도수는 `;1£0;이고, 뒷면과 앞면이 나오는 횟수의 차는 4이다. 이제 동전을 100번 던져서 앞면이 40번, 뒷면이 60번 나왔다면 동전을 던져 앞면이 나오는 상대도수는` ;1¢0º0;=;5@;이고, 뒷 면과 앞면이 나오는 횟수의 차는 20이다. 만일, 동전을 1000번 던져서 앞면이 450번, 뒷면이 550번 나왔다면 동전을 던져 앞면이 나오는 상대도수는 ;2ª0;로 ;2!;에 더 가까워지겠지만 앞면과 뒷면이 나오는 횟수의 차는 100으로 훨씬 더 커진 것을 알 수 있다.

168 Ⅲ. 통계

시행 횟수

앞면

뒷면

(뒷면)-(앞면)

앞면이 나오는 상대도수

;1£0;

100

;5@;

1000

450

550

100

;2ª0;

정규분포 학습 목표 │ ● 정규분포의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.

정규분포 생각해 봅시다

다음은 어느 고등학교 학부모 500명을 대상으로 자녀와의 하루 평균 대화 시간을 조사하여 히스토그램으로 나타낸 것이다. [그림 1]과 [그림 2]의 계급의 크기는 각각 2분과 1분일 때, 물음에 답하여 보자. (명)

(명)

37 39 41 43 45 47 49 51 53(분)

[그림 1]

37 39 41 43 45 47 49 51 53(분)

[그림 2]

1. 계급의 크기를 계속하여 작게 하면 히스토그램의 모양은 어떻게 변할지 생각해 보자. 2. 조사한 결과를 히스토그램으로 나타내었을 때 위의 [그림 1], [그림 2]와 비슷한 모양 이 되는 자료에는 어떤 것이 있을까?

키, 몸무게, 측정 오차 등 자연 현상이나 사회 현상에서 나타나는 여러 가지 통계 자 료를 정리하여 히스토그램을 그리면, 오른 쪽 그림과 같이 좌우 대칭인 종 모양의 곡선

에 가까워지는 경우가 많다. 오른쪽 그림의 곡선은 함수

f(x)=

(x-m)¤ 1 1111 f(x)= 112 e— 2r¤ 의 그래프를 나타 '∂2pr

1 e— (x-m)¤ 2r¤ '∂2pr

낸 것이다. 여기서 e는 2.718281y인 무리 수이며, m과 r(r>0)는 상수이다.

1. 확률분포 169

(x-m)¤ 1 1111 함수 f(x)= 112 e— 2r¤ 의 그래프는 다음과 같은 성질을 지니고 있음이 알려 '∂2pr

져 있다. ⑴ 직선 x=m에 대하여 대칭이다. 1 ⑵ x=m일 때 최댓값 112 을 갖는다. '∂2pr ⑶ x축을 점근선으로 한다. ⑷ 곡선과 x축 사이의 넓이는 1이다. ⑸ m의 값이 일정할 때, r의 값이 커지면 곡선의 중앙 부분이 낮아지면서 옆으로 퍼 지고, r의 값이 작아지면 곡선의 중앙 부분이 높아진다. ⑹ r의 값이 일정할 때, m의 값이 변하면 대칭축의 위치는 변하지만 곡선의 모양은 일정하다. f(x)

r=0.8 r=1

f(x) m=1

m=0

m=4

r=2

-3 -2 -1

m=0이고, r의 값이 변할 때

-2 -1

r=1이고, m의 값이 변할 때

연속확률변수 X가 모든 실숫값을 취하고, 그 확률밀도함수가 (x-m)¤ 1 1111 f(x)= 112 e— 2r¤ '∂2pr

일 때, X의 확률분포를 정규분포라 하고, X는 정규분포를 따른다고 한다. 정규분포 를 따르는 확률변수 X의 평균과 표준편차는 각각 m, r임이 알려져 있다. 정규분포 에서 확률밀도함수 f(x)는 m과 r에 따라 결정되므로, 평균이 m이고 표준편차가 r, 즉 분산이 r¤ 인 정규분포를 기호로 N(m, r¤ )의 N은 정규분

N(m, r¤ )

포를 뜻하는 Normal distribution의 첫 글자 이다.

P(a…X…b) y=f(x)

과 같이 나타낸다. 정규분포 N(m, r¤ )을 따르는 확률변수 X에 대 하여 확률 P(a…X…b)는 오른쪽 그림과 같은 정 규분포의 곡선에서 색칠한 부분의 넓이이다.

170 Ⅲ. 통계

표준정규분포 (x-m)¤ 1 f(x)= 1123 e— 15111 2r¤ '∂2pr

에서 m=0, r=1을 대입

평균이 0, 표준편차가 1인 정규분포를 표준정규분포라 하고, 기호로 N(0, 1)과 같 이 나타낸다. 표준정규분포 N(0, 1)을 따르는 확률변수 Z의 확률밀도함수는

하고 x 대신 z를 사용하면

z¤ 1 15 f(z)= 115 e— 2 '∂2p

z¤ 1 2 이다. f(z)= 112 e— 152 '∂2p

f(z)

이며, 확률변수 Z가 0…Z…a인 범위에 있을 확률 P(0…Z…a)

1 '∂2p

1 e— z¤2 f(z)= '∂2p

P(0…Z…a)

는 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이이다. 이 넓이는 236쪽의 표준정규분포표에 주어져 있다. 예를 들어 오른쪽 표준정규분포표에서

0.00

0.03

⋮

.3907은 P(0…Z…z)에서 z=1.23일 때,

.3907

1.2

P(0…Z…1.23)=0.3907임을 나타낸다.

⋮

■참 고│함수 f(z)의 그래프가 직선 z=0에 대하여 좌우 대칭이므로 P(Zæ0)=P(Z…0)=0.5이고 P(0…Z…a)=P(-a…Z…0)이다.

예제

확률변수 Z가 표준정규분포 N(0, 1)을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구 하여라. ⑴ P(Z<1.5)

⑵ P(1.96…Z…2.58)

풀이

⑴ 표준정규분포표에서 P(0…Z…1.5)=0.4332이고 표준정

f(z)

규분포의 곡선은 직선 z=0에 대하여 대칭이므로 P(Z…0)=0.5 P(Z<1.5)

P(Z<1.5)=0.5+P(0…Z…1.5)

=P(Z…1.5)

1.5

=0.5+0.4332=0.9332

=P(Z…0) +P(0…Z…1.5)

⑵ 표준정규분포표에서

f(z)

P(0…Z…2.58)=0.4951 P(0…Z…1.96)=0.4750 이므로 P(1.96…Z…2.58)

1.96 z 2.58

=P(0…Z…2.58)-P(0…Z…1.96) =0.4951-0.4750=0.0201

⑴ 0.9332 ⑵ 0.0201

1. 확률분포 171

문제

확률변수 Z가 표준정규분포 N(0, 1)을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구하여라. ⑴ P(Z…-1.4)

⑵ P(|Z|…2)

확률변수의 표준화 생각해 봅시다

평균이 60, 표준편차가 3인 확률변수 X에 대하여 물음에 답하여 보자.

1. 확률변수 Y¡=X-60의 평균과 표준편차를 각각 구해 보자. X-60 2. 확률변수 Y™= 111 의 평균과 표준편차를 각각 구해 보자. 3

3. 확률변수 X가 정규분포를 따를 때, Y¡, Y™ 중 표준정규분포를 따르 는 것은 어느 것인가?

X가 이산확률변수일 때, 새로운 확률변수 Y=aX+b(`a, b는 상수)에 대하여 E(Y)=aE(X)+b, V(Y)=a¤ V(X) 가 성립함을 알고 있다. 이와 마찬가지로 연속확률변수 X에 대하여 확률변수 Y=aX+b에 대해서도 다 음이 성립한다. E(Y)=aE(X)+b, V(Y)=a¤ V(X) X-m 이것을 이용하여 확률변수 X가 정규분포 N(m, r¤ )을 따를 때 Z= 1115 의 평 r 균과 분산을 각각 구해 보자. E(X)=m, V(X)=r¤ 이므로 확률변수 Z에 대하여 1 1 X-m E(Z)=E{ 1115 }= 1 E(X-m)= 1 {E(X)-m}=0 r r r X-m 1 1 V(Z)=V{ 1115 }= 15 V(X-m)= 15 V(X)=1 r r¤ r¤ 이므로 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 이와 같이 정규분포 N(m, r¤ )을 따르는 확률변수 X를 표준정규분포 N(0, 1)을 따르는 확률변수 Z로 바꾸는 것을 확률변수 X를 표준화한다고 한다. 172 Ⅲ. 통계

정규분포 N(m, r¤ )에 대 하여 정규분포표가 주어

한편, 확률변수 X가 정규분포 N(m, r¤ )을 따를 때 x¡-m X-m x™-m P(x¡…X…x™)=P{ 1115 … 1114 … 1115 } r r r

져 있지 않으므로 표준화 하여 확률을 구한다.

x¡-m x™-m P(x¡…X…x™)=P{ 1115 …Z… 1115 } r r 이므로, 표준정규분포표를 이용하여 확률 P(x¡…X…x™)를 구할 수 있다.

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

정규분포의 표준화 확률변수 X가 정규분포 N(m, r¤ )을 따를 때 X-m 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 1. 확률변수 Z= 1114 r x™-m x¡-m …Z… 1122 } 2. P(x¡…X…x™)=P{ 1122 r r

예제

확률변수 X가 정규분포 N(60, 10¤ )을 따를 때, 확률 P(45…X…80)을 구하여라. 풀이

확률변수 X가 정규분포 N(60, 10¤ )을 따르므로 확률변수 X-60 Z= 1113 10 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 45-60 X-60 80-60 P(45…X…80)=P{ 1113 … 1114 … 1113 } 10 10 10 =P(-1.5…Z…2) =P(0…Z…1.5)+P(0…Z…2) =0.4332+0.4772 =0.9104

문제

0.9104

확률변수 X가 정규분포 N(10, 4¤ )을 따를 때, 다음 확률을 구하여라. ⑴ P(X…13)

⑵ P(Xæ4)

⑶ P(9…X…12) 1. 확률분포 173

확률변수 X가 정규분포 N(m, r¤ )을 따를 때, X의 값이 m-r, m+r이면 X-m Z= 111 의 값은 각각 -1, 1이다. 따라서 r P(m-r…X…m+r) =P(-1…Z…1)=2P(0…Z…1) =2_0.3413 =0.6826 이다. 같은 방법으로 다음을 얻는다.

m-3r m-r m m+r m+3r x m-2r m+2r 68.26% 95.44% 99.74%

P(m-2r…X…m+2r)=0.9544 P(m-3r…X…m+3r)=0.9974

문제

어느 회사가 자사의 김치 냉장고를 사용하는 소비자를 대상으로 김치 냉장고 구입 후 교체하 기까지의 기간을 조사하였더니 평균 108개월, 표준편차 12개월인 정규분포를 따르는 것으로 나타났다. 이 회사의 김치 냉장고 사용자 중 구입한 지 8년에서 11년 사이에 교체한 사용자 는 전체의 몇 %인지 구하여라.

예제

어느 회사에서의 영업 사원 개인별 연간 판매 목표 달성률은 평균 78%, 표준편차 10%인 정 규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서는 개인별로 연간 판매 목표 달성률이 85% 이상이면 해외여행의 기회를 제공한다고 할 때, 영업 사원 500명 중 이번 연도에 해외여행의 기회를 얻 을 수 있는 영업 사원은 몇 명인지 구하여라. 풀이

영업 사원 개인별 연간 판매 목표 달성률을 확률변수 X라고 하면 X는 정규분포 X-78 N(78, 10¤ )을 따르므로 확률변수 Z= 1114 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 즉 10 X-78 85-78 P(Xæ85)=P{ 1114 æ 1113 } 10 10 =P(Zæ0.7)=0.5-P(0…Z…0.7) =0.5-0.2580=0.242 따라서 영업 사원 500명 중 해외여행의 기회를 얻을 수 있는 영업 사원은 500_0.242=121, 즉 121명이다.

174 Ⅲ. 통계

121명

문제

어느 제약 회사에서 만드는 원형 알약의 지름의 길이는 평균 8mm, 표준편차 0.2mm인 정규분포를 따른다고 한다. 이 알약 2000개 중 지름의 길이가 7.6mm 이상 8.2mm 이하인 것은 몇 개인지 구하여라.

문제

어느 지역의 농업 기술 센터에서는 이 지역 농가에서 재배하는 블 루베리 나무 중 한 그루당 수확량이 1500g이 되지 않는 나무를 대 상으로 영양 수액을 공급하기로 하였다. 10000그루의 블루베리 나무를 재배하는 어느 농장의 한 그루당 수확량은 평균 1800g, 표준편차 200g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장의 블루 베리 나무 중 농업 기술 센터로부터 영양 수액을 공급받을 나 무는 몇 그루인지 구하여라.

성민이와 아름이가 다니는 학교의 남학생과 여학생의 키는 각각 정규분포를 따른다고 한다. 다음 성민이와 아름이의 메신저 대화를 보고, 정규분포를 따르는 확률변수 X를 표준화하는 이유에 대하여 이야기해 보자.

아름아, 오늘 신체검사 때 키가 몇 나왔어? 난 175cm. 남학생 중에서 키가 평균 정도 되는 것 같아.

그래? 난 170cm.

내가 너보다 5cm나 더 크네!

하지만 난 여학생 중에서 키가 큰 편이야.

성민

아름

1. 확률분포 175

이항분포와 정규분포의 관계 이항분포에서 시행 횟수 n이 커지면 확률을 계산하기 어렵다. 예를 들어 주사위 한 개를 720번 던질 때, 1의 눈이 120번 이상 140번 이하가 나올 확률을 구해 보자. 1의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B{720, ;6!;}을 따르 므로, 구하는 확률은 독립시행의 확률에 의하여 다음과 같다. ¶™ºC¡™º{;6!;}⁄ ¤ ‚ {;6%;}fl ‚ ‚ +¶™ºC¡™¡{;6!;}⁄ ¤ ⁄ {;6%;}fi · · +y+¶™ºC¡¢º{;6!;}⁄ › ‚ {;6%;}fi ° ‚

이와 같이 시행 횟수 n이 커짐에 따라 복잡해지는 이항분포 B(n, p)에서의 확률 을 간단하고 편리하게 구할 수 있는 방법을 알아보자. 한 개의 주사위를 n회 던져서 1의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B(n, p)를 따른다. 즉, X의 확률질량함수는 P(X=x)=«CÆ{;6!;}≈ {;6%;}« —≈ (x=0, 1, 2, 3, y, n) 이다. 이때 n의 값이 10, 30, 50, 100인 경우의 이항분포를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

드무아브르 (de Moivre, A.; 1667~1754) 프랑스의 수학자로 이항 분포의 확률이 근사적으 로 종 모양의 분포를 이룬

위의 그림으로부터 이항분포 B(n, p)의 그래프는 횟수 n이 커짐에 따라 좌우 대 칭인 종 모양의 정규분포의 곡선에 가까워짐을 알 수 있다.

다는 사실을 발견하였다.

확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때, 평균 m과 분산 r¤ 은 각각 m=np r¤ =npq(q=1-p) 이므로, 이항분포 B(n, p)를 따르는 확률변수 X는 n이 충분히 크면 근사적으로 정 규분포 N(np, npq)를 따른다. 176 Ⅲ. 통계

앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.

이항분포와 정규분포의 관계 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르고 n이 충분히 클 때, X는 근사적으로 정규분포 N(np, npq)를 따른다. (단, q=1-p)

■참 고│이항분포 B(n, p)에서 npæ5, nqæ5이면 n이 충분히 큰 것으로 생각한다.

보기

동전 한 개를 100번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B{100, ;2!;}을 따른다. 이때 n=100은 충분히 크므로 이항분포 B{100, ;2!;}은 정규분포 N(50, 5¤ )으로 근사시킬 수 있다.

예제

어느 제약 회사에서 개발한 여드름 연고를 바를 때, 여드름 완 치율이 50%라고 한다. 여드름 증상이 있는 400명의 환자가 이 여드름 연고를 바를 때, 이 중 210명 이상이 완치될 확률 을 구하여라.

풀이

여드름이 완치되는 환자의 수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B(400, 0.5)를 따르 므로 그 평균과 분산은 각각 E(X)=400_0.5=200 V(X)=400_0.5_0.5=100 이때 환자의 수 400은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(200, 10¤ )을 X-200 따르며, Z= 11142 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 10 따라서 210-200 P(Xæ210)=P{Zæ 11131 } 10 P(Xæ210)=P(Zæ1)=0.5-P(0…Z…1) P(Xæ210)=0.5-0.3413=0.1587

문제

0.1587

주사위 한 개를 180번 던질 때, 3의 눈이 30번 이상 40번 이하 나올 확률을 구하여라.

1. 확률분포 177

문제

어느 테니스 선수의 서브 성공률이 80%라고 한다. 이 선수가 서브를 100번 할 때 90번 이 상 성공할 확률을 구하여라.

문제

휴대 전화, 인터넷 등의 발달로 열차 승차권을 구매할 때, 창구 를 이용하지 않고 스스로 구매하는 비율이 점점 늘어 2013년 1월 어느 날은 64%를 기록하였다고 한다. 이날 열차를 이용 한 100명을 임의로 뽑아 승차권 구매 방법을 조사하였을 때, 승차권을 스스로 구매한 사람이 70명 이상이었을 확률을 구하여라.

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

국제 배드민턴 대회에서 사용할 수 있는 셔틀콕의 무게는 4.74g~5.5g이다. 세 회사 A, B, C에서 생산한 셔틀콕의 무게는 각각 정규분포를 따른다. 다음은 세 회사에서 생산하는 셔틀콕의 무게의 평균과 표준편차를 나타낸 것이다. 세 회사 A, B, C에서 생산하는 셔틀콕을 임의로 하나씩 뽑을 때, 무게가 5.5g 이상일 확 률 PÅ, Pı, PÇ가 부등식 PÅæPıæPÇ를 만족한다. 이때 m의 최댓값과 r의 최 솟값을 구해 보자. (단, m, r는 양의 실수) 회사명

무게의 평균

4.9

5.2

무게의 표준편차

0.6

실마리 주어진 상황을 식으로 표현하기

확률변수를 표준화하여 주어진 조건에 맞는 부등식을 만들어 본다.

178 Ⅲ. 통계

■ 정규분포를 생각해 낸 수학자들 정규분포를 따르는 연속확률변수 X의 확률밀도함수는 매우 복잡한 식으로 되어 있다. 어떻 게 이런 복잡한 식을 생각해 내게 되었을까? 정규분포를 처음 제시한 수학자는 프랑스의 드무아브르(de Moivre, A.; 1667~1754)이다. 드무아브르는 이항분포의 확률 계 산을 쉽게 하는 방법을 연구하던 중 정규분포의 확률밀도함수를 발 견하였다고 한다. 예를 들어 동전을 100번 던져 앞면이 50번 나오는 경우의 확률 ¡ººC∞º{;2!;}⁄ ‚ ‚ 과 같이 이항분포에서 n과 k의 값이 클 때 의 확률 «C˚p˚ q« —˚ 의 값은 계산하기가 매우 복잡한데, 드무아브르는

드무아브르

(x-m)¤ 1 - 11131 2r¤ «C˚p˚ q« —˚ 의 값은 n의 값이 커지면 f(x)= 1134 e (단, m=np, r¤ =npq)의 값에 가 'å2pr

까워진다는 사실을 알아냈다. 이를 통해 문제를 해결하는 실마리를 찾게 된 것이다. 한편, 독일의 수학자 가우스(Gauss, K. F.; 1777~1855)는 다른 방법으로 정규분포의 확 률밀도함수를 유도했다. 가우스는 각종의 물리학 실험을 수행할 때, 관측값들의 측정 오차를 작게 하기 위하여 최소제곱법이라는 방법을 사용하였다. 이때 측정 오차에 대한 확률분포로서 정규분포를 제시하였다.

예전 독일 마르크화에 새겨진 가우스의 초상화와 가우스 분포 곡선

1. 확률분포 179

1 확률분포 상│

중│

하

■`이산확률변수, 연속확률변수

⑴ 확률변수 X가 취할 수 있는 값이 유한개이거나 자연

확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 확률

수처럼 셀 수 있을 때, X를 이산확률변수라고 한다.

P(Xæ2)를 구하여라.

⑵ 어떤 범위에 속하는 모든 실숫값을 취할 수 있는 확률 변수 X를 연속확률변수라고 한다.

합계

P(X=x)

;6!;

;3!;

■`이산확률변수의 평균과 표준편차 ⑴ 확률변수 X의 평균과 분산, 표준편차는 각각 ① E(X)=;In+!x‘p‘ ② V(X)=E((X-m)¤ )=E(X¤ )-{E(X)}¤ ③ r(X)="√V(X) ⑵ 확률변수 Y=aX+b`(`a, b는 상수)의 평균과 분산, 표준편차는 각각 ① E(Y)=aE(X)+b ② V(Y)=a¤ V(X)

③ r(Y)=|a|r(X)

흰 공이 4개, 검은 공이 3개 들어 있는 주머니에서 동시 에 2개의 공을 임의로 꺼낼 때, 나오는 검은 공의 개수 X의 확률질량함수를 구하여라.

■`이항분포의 평균과 표준편차 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때 X의 평균과 분산, 표준편차는 각각 ① E(X)=np ② V(X)=npq ③ r(X)='ƒnpq (단, q=1-p)

■`정규분포 ⑴ 확률변수 X가 정규분포 N(m, r¤ )을 따를 때, 확률변 X-m 수 Z= 1114 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. r ⑵ 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르고 n이 충 분히 클 때, X는 근사적으로 정규분포 N(np, npq) 를 따른다. (단, q=1-p) 기본을 다지고 싶다면 부록 255쪽, 257쪽

180 Ⅲ. 통계

3 연속확률변수 X가 취하는 값의 범위가 -1…X…1이 1-x 고, 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x)= 113 일 때, a 상수 a의 값과 확률 P(X>0)을 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

정답 232쪽

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9가 각각 적혀 있는 9개의 공이

확률변수 X의 확률질량함수가

들어 있는 주머니에서 임의로 하나씩 공을 꺼낼 때, 1이

○○P(X=x)=•¡CÆ{;3!;}≈ {;3@;}° ⁄ —≈ `(x=0, 1, 2, y, 81)

적혀 있는 공이 나올 때까지 꺼내야 하는 공의 개수를 확률변수 X라고 하자. 이때 X의 기댓값을 구하여라.

일 때, X의 평균과 분산을 각각 구하여라.

(단, 꺼낸 공은 다시 주머니에 넣지 않는다.)

8 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르고 E(X)=15, E(X¤ )=235일 때, p의 값을 구하여라.

5 다음은 확률변수 X의 확률분포를 나타낸 표이다. ;7$;, a, b가 이 순서로 등비수열을 이루고 X의 평균이 24일 때, 상수 k의 값을 구하여라. X

합계

P(X=x)

;7$;

9 흰 공 6개, 검은 공 a개가 들어 있는 상자에서 한 개의 공을 꺼내는 시행을 b회 되풀이하였을 때, 검은 공이 나 오는 횟수 X의 평균이 2이고, 분산이 1.2라고 한다. 이 때 a, b의 값을 각각 구하여라. (단, 꺼낸 공은 다시 상 자에 넣는다.)

10 6

원점 O를 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P가 있다. 한 개의 동전을 던져서 앞면이 나오면 양의 방향으로 2

확률변수 X에 대하여 E(X)=10, V(X)=20일 때,

만큼, 뒷면이 나오면 음의 방향으로 1만큼 각각 이동한

E(aX+b)=30, V(aX+b)=80을 만족하는 양수 a,

다. 한 개의 동전을 10회 던졌을 때, 점 P의 좌표를 확

b의 값을 각각 구하여라.

률변수 X라고 하자. 이때 X의 평균을 구하여라.

1. 확률분포 181

단추를 누르면 1에서 19까지의 자연수들 중 하나가 나

확률변수 X가 평균 46.08,

P(0…Z…z)

타나는 장치가 있다. 이 장치에서 n이 나타날 확률은

표준편차 2.65인 정규분포를

1.5

0.4332

따를 때, 오른쪽 표준정규분

2.0

0.4772

포표를 이용하여 확률

2.5

0.4938

3.0

0.4987

;19N0;(n=1, 2, 3, y, 19)이라고 한다. 한편, 주사위 하 나를 한 번 던져 나오는 주사위의 눈이 짝수이면 100 점, 홀수이면 0점을 받는 놀이가 있다. 이제, 단추를 한 번 눌러 나오는 수가 n이라면, 위의 놀이를 n번 독립적

P(38.13…X…51.38)을 구하여라.

으로 반복하기로 한다. 이때 받을 점수의 기댓값을 구하여 라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

어느 고등학교의 학생들은 5명에 1명 꼴로 하루에 한 번 이상 도서관을 방문한다고 한다. 이 학교 학생 중 임의로

확률변수 X가 정규분포 N(m, r¤ )을 따르고

100명을 택할 때, 그중 하루

○○P(m-r…X…m+2r)=a,

에 한 번 이상 도서관을 방문

X-m ○○P{| 111 |æ2}=b r 라고 할 때, 확률 P(Xæm+r)를 a, b로 나타내어라.

P(0…Z…z)

0.5

0.1915

하는 학생의 수가 14명 이상

1.0

0.3413

일 확률을 오른쪽 표준정규

1.5

0.4332

분포표를 이용하여 구하여라.

2.0

0.4772

13 오른쪽 표는 지영이의

과목

국어, 수학, 영어, 과학

국어

과목의 점수와 전체 학

수학

서로 다른 동전 두 개를 동

P(0…Z…z)

생들 성적의 평균, 표준

영어

시에 300번 던질 때, 두 개

1.0

0.3413

과학

모두 앞면이 나오는 횟수가

1.5

0.4332

이다. 전체 학생들의 각 과목의 성적은 정규분포를 따른

60번 이하일 확률을 오른쪽

2.0

0.4772

다고 한다. 전체 학생들의 성적과 비교할 때, 상대적으로

표준정규분포표를 이용하여

2.5

0.4938

지영이의 성적이 우수한 과목을 차례로 구하여라.

구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

편차를 각각 나타낸 것

182 Ⅲ. 통계

점수

평균 표준편차

동전의 앞면이 나올 확률 동전 1개를 40번 던져서 앞면이 20번 나올 확률과 동전 1개를 100번 던져서 앞 면이 50번 나올 확률은 같을까? 20은 40의 ;2!;이고 50도 100의 ;2!;이니 두 확률이 같을 것으로 생각할 수도 있다. 계산기를 이용하여 두 확률을 계산하고 그 값을 서로 비교해 보자. 먼저 동전 1개를 40번 던져서 앞면이 20번 나올 확률을 알아보자. 동전 1개를 40 번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 하면 `

P(X=20)=¢ºC™º{;2!;}¤ ‚ {;2!;}¤ ‚

이다. 이를 공학용 계산기를 사용하여 계산하면 다음과 같다.

Formula

Operation 40C20_(1÷2)¤ ‚ _(1÷2)¤ ‚

¢ºC™º{;2!;}¤ ‚ {;2!;}¤ ‚

0.1253706876

40 OPTN F6 (▷) F3 (PROB) F3 («C®)20 / 2 ∧ 20 / 2 ∧ 20 EXE

위와 같이 동전 1개를 40번 던져서 앞면이 20번 나올 확률은 약 0.1254이다. 동전 1개를 100번 던져서 앞면이 50번 나올 확률도 아래와 같이 공학용 계산기를 사용하여 같은 방법으로 계산하면 약 0.0796임을 알 수 있다.

Formula

Operation 100C50_(1÷2)ﬁ ‚ _(1÷2)ﬁ ‚

¡ººC∞º{;2!;}ﬁ ‚ {;2!;}ﬁ ‚

100 OPTN F6 (▷) F3 (PROB) F3 («C®)50

0.07958923739

/ 2 ∧ 50 / 2 ∧ 50 EXE

계산 결과를 살펴볼 때, 동전 1개를 40번 던져서 앞면이 20번 나올 확률이 동전 1개를 100번 던 져서 앞면이 50번 나올 확률보다 더 크다.

1. 확률분포 183

통계적추정 출구 조사는 투표 결과를 미리 예측하는 기술 제18대 대통령 선거 투표가 마감된 2012년 12월 19일 오후 6시, 일제히 방송 3사의 당선 예측 결과가 발표되었다. 아직 개표를 시작도 하지 않았는데 어떻게 당선을 예측 할 수 있을까? 이는 선거 결과를 예측할 수 있는 출구 조사 덕분이다. 출구 조사는 투표소에서 투표를 막 마치고 나오는 유권자들 중 일부를 선정하여, 이 들이 어느 후보를 선택하였는지 조사한 자료를 토대로 선거 결과를 예측하는 여론 조사 의 일종이다. 출구 조사는 1967년 미국 CBS 방송국이 처음으로 도입했고, 우리나라에 서는 1995년 처음으로 실시하였다.

검은 공이 2개, 흰 공이 2개 들어 있는 주머니 속에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 나오는 검은 공의 개수를 확률변수 X라고 하자. 이때 X의 확률분포를 표로 나타내어라.

확률변수 X에 대하여 E(X)=10, V(X)=2일 때, 다음을 구하여라. ⑴ E(-2X+30)

184 Ⅲ. 통계

⑵ V(-2X+30)

⑶ r(-2X+30)

우리나라 역대 출구 조사 중 정확성이 가장 높았던 때는 2002년 대선으로, 출구 조사 와 실제 개표 결과의 차이는 약 0.2%포인트에 불과하였다. 2010년 지방 선거에서도 출 구 조사와 실제 개표 결과의 차이는 0.4%포인트이었다. 이와 같이 출구 조사 결과와 실제 선거 결과가 매우 유사한 경우도 있으나 항상 그런 것은 아니다. 예를 들어 2012년 제18대 대선의 출구 조사는 매우 낮은 정확도를 보였 다. 방송 3사 공동 출구 조사에서는 두 후보가 1.2%포인트 차이의 초박빙인 것으로 나 타났으나, 실제 개표 결과에서는 3.6%포인트 차이가 나서, 출구 조사와 실제 개표 결 과 사이의 차이가 2.4%포인트나 되었다. 일부의 유권자를 통해 전체의 투표 결과를 미리 예측하는 출구 조사처럼 일부를 보고 전체를 꿰뚫어 보는 기술은 통계의 산물이다.

한 개의 주사위를 던지는 시행을 200회 반복할 때, 3의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률 변수 X라고 하자. 이때 X의 평균과 표준편차를 각각 구하여라.

확률변수 X가 정규분포 N(10, 4¤ )을 따를 때, 오른쪽 표준 정규분포표를 이용하여 확률 P(6…X…14)를 구하여라.

P(0…Z…z)

0.5

0.1915

1.0

0.3413

1.5

0.4332

2.0

0.4772

2. 통계적 추정 185

모집단과 표본 학습 목표 │ ● 모집단과 표본의 뜻을 안다. ●

표본평균과 모평균의 관계를 이해한다.

모집단과 표본 생각해 봅시다

TV 시청률은 주어진 시간에 얼마나 많은 사람들 이 특정 TV 프로그램을 시청하는지를 백분율로 나타낸 것이다. 한 시청률 조사 회사에서는 여 러 기준에 따라 선정된 4000여 가구를 조사하 여 시청률을 발표한다. TV 시청률을 조사하기 위해 전국의 모든 가구를 조사하 는 것과 선정된 일부 가구를 조사하는 것의 장점과 단점을 생각해 보자.

통계 조사 중에는 조사 대상이 되는 집단 전체를 빠짐없이 조사하는 전수조사와 조 사하려는 대상 중에서 일부분만 택하여 조사하는 표본조사가 있다. 우리나라 전체 인구의 동향을 파악하기 위하여 국민 전체를 대상으로 실시하는 인 구 조사는 전수조사이다. 전수조사를 하면 자료의 특성을 정확히 알 수 있지만, 조사 에 많은 시간과 비용이 소요된다. 한편, 전구의 수명 조사나 자동차의 충돌 안전성 조사와 같이 전수조사를 할 수 없 는 경우도 있다. 이와 같은 경우에는 표본조사를 한다.

표본조사에서 조사의 대상이 되는 집단 전체를 모집단이라고 한다. 조사를 하기 위하여 모집단에

서 뽑은 일부분을 표본이라 하고, 표본에 포함된 대상의 개수를 표본의 크기라고 한다. 모집단에서 표본을 뽑는 것을 추출이라고 한다. 186 Ⅲ. 통계

모집단 표본 추출

보기

⑴ 여성가족부는 전국의 중・고교생 2500명을 임의로 선정하여 다양한 인종, 종교, 문화 가 어울리는 문화 공존에 대한 의식을 조사하는‘청소년 다문화 수용성 조사’ 를 실시 하였다. 이때 모집단은 전국의 중・고교생 전체이며, 표본은 조사 대상으로 추출된 2500명이다. ⑵ 어느 공장에서 한 달간 생산한 통조림 중에서 임의로 100개를 추출하여 통조림의 무게 를 조사하였다. 이때 한 달간 이 공장에서 생산한 통조림 전체가 모집단이고, 무게를 조사한 100개의 통조림이 표본이다.

다음을 조사할 때, 전수조사와 표본조사 중 어느 것이 더 적합한지 자신의 생각을 이야기해 보자. ⑴ 태블릿 PC의 낙하 충격 시험 ⑵ 지하수 수질 검사 ⑶ 병무청에서 실시하는 징병 검사

임의추출 생각해 봅시다

지민이네 모둠은 우리나라의 역사 인물 중 우리 학교 학생들이 가장 존경하는 인물을 알아보기로 하였다. 이를 위하여 표본조 사를 실시할 때, 다음 중 누구의 방법이 가장 합리적인지 생각

1 0 5

3 8 4

4 18 2

해 보자.

난수 주사위는 정이십면 체 모양으로, 각 면에 0부 터 9까지의 수를 두 번씩 적은 것이다.

준영

수진

성민

역사 동아리 학

조사받고 싶은

상자에 전교생 각각의 명단이 적힌 쪽지

생들을 대상으로

학생들을 대상으

를 넣은 후, 이 상자에서 쪽지를 뽑아 나

조사한다.

로 조사한다.

온 명단의 학생들을 대상으로 조사한다.

표본을 추출할 때, 조사자의 주관을 배제하고 모집단의 각 대상이 추출될 확률이 동일하게 되도록 추출하는 것을 임의추출이라고 한다. 임의추출을 할 때에는 난수표, 제비뽑기, 난수 주사위, 공학용 계산기, 컴퓨터 소프 트웨어 등을 사용할 수 있다. 2. 통계적 추정 187

난수표와 난수 주사위를 사용한 임의추출 방법에 대해 알아보자. 난수표는 0부터 9까지의 수를 임의의 순서로 나열한 수표로서 좌・우, 상・하, 대각선 방향 중에서 어느 쪽을 택하여도 각각의 수가 나올 수 있는 확률이 ;1¡0;이 되도록 작성한 것이다.

난수표 1 2 3 4 5

67 67 78 32 45

6 7 8

74 93 17 80 38 45 17 17 73 11 54 32 82 40 74 47 94 68 61 71 34 18 43 76 96 49 68 55 22 20

11 41 26 19 72

09 90 74 10 14

48 15 41 89 75

96 23 76 41 08

29 62 43 50 16

94 54 35 09 48

59 49 02 06 99

84 02 07 16 17

41 06 50 28 64

68 93 86 87 62

38 25 92 51 80

99 43 48 87 78 08

난수표를 사용하여 100명의 학생 가운데 10명의 대표를 임의추출해 보자. 50명의 학생 가운데 10명 을 임의추출할 때에는 2 개씩 택한 수의 열에서 50 보다 큰 수와 중복되는 수 는 버리고, 앞에서부터 차

① 100명의 학생에게 0부터 99까지의 번호를 부여한다. ② 난수 주사위를 사용하여 난수표에서 출발할 행과 열을 정한다. 예를 들어 5행 4 열이 나오면 5행의 4번째 수부터 오른쪽으로 2개씩 수를 택해 나간다. 21, 47, 50, 81, 64, 89, 91, 76, 46, 28

례로 10개의 수를 택하여 그 번호에 해당하는 학생

③ 그 번호에 해당하는 학생을 뽑는다.

을 뽑는다.

난수표를 사용하여 우리 반 학생 중에서 5명을 임의추출하는 방법에 대하여 이야기해 보자.

모집단에서 표본을 추출할 때 한 번 추출된 자료를 되돌려 놓고 다음 추출을 하는 것을 복원추출이라 하고, 추출된 것을 되돌려 놓지 않고 다음 자료를 추출하는 것을 비복원추출이라고 한다. 복원추출은 임의추출이며, 모집단의 크기가 표본의 크기에 비해 매우 클 때에는 비복원추출도 임의추출로 볼 수 있다.

보기

1, 2, 3, 4, 5가 각각 적힌 5개의 공이 들어 있는 주머니에서 2개의 공을 복원추출하는 경 우의 수는 5_5=25이고, 비복원추출하는 경우의 수는 두 사람이 각각 한 개씩 순서대로 뽑으면 ∞P™=5_4=20이고, 한 사람이 동시에 2개를 뽑으면 ∞C™=10이다.

문제

1에서 6까지의 수가 각각 적힌 6장의 카드를 모집단으로 하여 표본의 크기가 3인 표본을 추출하려고 한다. 다음과 같이 표본을 추출하는 경우의 수를 구하여라. ⑴ 복원추출하는 경우 ⑵ 비복원추출로 세 사람이 각각 한 장씩 순서대로 추출하는 경우 ⑶ 비복원추출로 한 사람이 동시에 3장을 추출하는 경우

188 Ⅲ. 통계

모평균과 표본평균 탐구해 봅시다

경기도의 행정 구별 고등학교 수

오른쪽 표는 2012년 경기도의 행정 구별 고등학교 수를 조사한 것이다. 물음에 답하여 보자. 연천 포천 동두천 파주 김포

고양

가평

양주 의정부 남양주 구리

하남 부천 광명 과천 성남 광주 안양 시흥 군포의왕 안산 수원

화성 오산 평택

용인

양평

여주 이천

안성

1. 경기도의 행정 구별 고등학교 수의 평균을 구해 보자.

행정구

학교 수

행정구

학교 수

수원시

김포시

성남시

이천시

부천시

안성시

안양시

여주군

과천시

양평군

안산시

고양시

용인시

남양주시

군포시

구리시

의왕시

의정부시

시흥시

파주시

평택시

동두천시

화성시

양주시

오산시

포천시

2. 크기가 5인 표본을 임의추출하여 그 평균을 구

광명시

가평군

하고, 위의 1에서 구한 평균과 비교해 보자.

광주시

연천군

하남시

3. 친구들이 구한 2의 결과를 모아 그 평균을 구하 고, 위의 1에서 구한 평균과 비교해 보자.

모집단의 어떤 특성을 나타내는 확률변수 X의 평균 m, 분산 r¤ , 표준편차 r를 각 각 모평균, 모분산, 모표준편차라고 한다. 예를 들어 1, 3, 5가 각각 적힌 3개 의 공을 주머니에 넣고 1개의 공을 임

합계

P(X=x)

;3!;

의추출할 때, 공에 적힌 수를 X라고 하면, 확률변수 X는 오른쪽 표와 같은 분포를 이룬다. 이때 확률변수 X의 모평균 m, 모분산 r¤ , 모표준편차 r를 각각 구하면 m=1_;3!;+3_;3!;+5_;3!;=3 r¤ =1¤ _;3!;+3¤ _;3!;+5¤ _;3!;-3¤ =;3*; 2'6 r= 11 3 이다. 2. 통계적 추정 189

한편, 모집단에서 크기가 n인 표본 X¡, X™, y, X«을 임의추출하였을 때, ;n!;(X¡+X™+y+X«)=;n!;;In+!Xi 를 표본평균이라 하고, 기호로 X’ 와 같이 나타낸다. 또, 1 1 112 {(X¡-X’)¤ +(X™-X’)¤ +y+(X«-X’)¤ }= 112 ;In+!(Xi-X’)¤ n-1 n-1

표본분산은 모분산과 달 리 편차의 제곱의 합을 n-1로 나눈 것으로 정의

을 표본분산, 표본분산의 양의 제곱근을 표본표준편차라 하고, 기호로 각각

하는데, 이것은 모분산과

S¤ `, S

의 오차를 줄이기 위한 것 이다.

와 같이 나타낸다. 모집단에서 크기가 같은 표본을 임의추출하였을 때, 표본평균은 추출한 표본에 따 라 다른 값을 가진다. 따라서 표본평균 X’도 역시 확률변수이다.

이제 표본평균 X’와 모집단의 평균, 분산, 표준편차를 비교해 보자. 앞의 예에서와 같이 1, 3, 5가 각각 적힌 3개의 공을 주머니에 넣고, 크기가 2인 표 본을 복원추출하여 추출한 공에 적힌 수를 각각 X¡, X™라고 하면 표본 (X¡, X™)는 (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5) X¡+X™ 의 9가지이다. 이들의 표본평균 X’= 11333333 는 각각 다음과 같다. 2 표본 (X¡, X™) (1, 1) 표본평균 X’

(1, 3)

(1, 5)

(3, 1)

(3, 3)

(3, 5)

(5, 1)

(5, 3)

(5, 5)

따라서 표본평균 X’는 표본에 따라 다른 값을 갖는 확률변수이고, X’의 확률분포 를 표로 나타내면 다음과 같다.

표본분산은 표본에 따라

X’

합계

P(X’=x)

;9!;

;9@;

;9#;

;9@;

;9!;

이때 표본평균 X’의 평균 E(X’)와 분산 V(X’)를 각각 구하면

다른 값을 갖는 확률변수

E(X’)=1_;9!;+2_;9@;+3_;9#;+4_;9@;+5_;9!;=3

이고, 표본평균의 분산은 상수이다.

V(X’)=1¤ _;9!;+2¤ _;9@;+3¤ _;9#;+4¤ _;9@;+5¤ _;9!;-3¤ =;3$; 이다. 190 Ⅲ. 통계

이것을 앞에서 구한 모평균, 모분산과 비교하면 표본평균 X’의 평균 3은 모평균 3 과 같다. 또, 표본평균 X’의 분산 ;3$;는 모분산 ;3*;을 표본의 크기 2로 나눈 것과 같다.

일반적으로 표본평균의 평균, 분산, 표준편차에 대하여 다음이 성립한다.

표본평균 X”의 평균, 분산, 표준편차 모평균 m, 모표준편차 r인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 표본 평균 X’의 평균, 분산, 표준편차는 각각

1. E(X’)=m r¤ 2. V(X’)= 15 n r

3. r(X’)= 12 'n

보기

모평균이 10, 모분산이 4인 모집단에서 크기가 25인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 X’ 의 평균, 분산, 표준편차는 각각 E(X’)=10, V(X’)=;2¢5;, r(X’)=Æ¬;2¢5;=;5@; 이다.

문제

모평균이 80, 모분산이 9인 모집단에서 크기가 100인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 X’의 평균과 분산, 표준편차를 각각 구하여라.

모평균 m, 모표준편차 r인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 모집단 r¤ 의 분포가 정규분포이면 n의 크기에 관계없이 표본평균 X’는 정규분포 N{m, 14 } n 을 따른다. 특히, 표본의 크기 n이 충분히 크면 모집단의 분포가 정규분포가 아니더라도 표본 r¤ 평균 X’는 근사적으로 정규분포 N{m, 14 }을 따른다는 사실이 알려져 있다. n 2. 통계적 추정 191

앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.

표본평균 X’의 분포 모평균 m, 모표준편차 r인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 표본 평균 X’에 대하여 다음이 성립한다. r¤ } 1. 모집단이 정규분포 N(m, r¤ )을 따르면 표본평균 X’는 정규분포 N{m, 14 n 을 따른다.

2. 표본의 크기 n이 충분히 크면 모집단의 분포가 정규분포가 아니더라도 표본평 r¤ 균 X’는 근사적으로 정규분포 N{m, 14 } 을 따른다. n

■참 고│일반적으로 표본의 크기 n이 30 이상이면 충분히 큰 것으로 본다.

예제

어느 과수원에서 상품으로 출하되는 수박의 당도는 평균 이 11브릭스, 표준편차가 2브릭스인 정규분포를 따른다고

브릭스(Brix)는 당도를 나타내는 단위로, n브릭 스는 용액 100g에 ng의 당이 있음을 나타낸다.

한다. 이 과수원에서 상품으로 출하되는 수박 중에서 25개 를 임의추출할 때, 그 당도의 표본평균이 12브릭스 이상일 확률을 구하여라.

풀이

표본평균 X’의 평균과 표준편차는 각각 2 E(X’)=11, r(X’)= 11 =0.4 '∂25 이므로 표본평균 X’는 정규분포 N(11, 0.4¤ )을 따른다. 따라서 구하는 확률은 X’-11 12-11 P(X’æ12)=P{ 1114 æ 1114 } 0.4 0.4 P(X’æ12)=P(Zæ2.5) P(X’æ12)=0.5-P(0…Z…2.5) P(X’æ12)=0.5-0.4938 P(X’æ12)=0.0062 0.0062

192 Ⅲ. 통계

문제

어느 공장에서 생산하는 접착제로 1분 동안 벽에 접착할 수 있 는 물체의 최대 무게를 조사하였더니 평균이 45.4kg, 표준편차 가 3.6kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산하는 접착제 중 36개를 임의추출할 때, 1분 동안 벽에 접착할 수 있 는 물체의 최대 무게의 표본평균 X”에 대하여 확률 P(44.2…X”…46)을 구하여라.

문제

어느 건강 마라톤 대회에서 참가자들의 기록은 평균이 4 시간 5분, 표준편차가 30분인 정규분포를 따르는 것으로 나타났다. 이 마라톤 대회 참가자 중 100명을 임의추출할 때, 마라톤 기록의 표본평균이 3시간 59분 이내일 확률을 구하여라.

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

다음과 같이 모집단의 평균 m, 표준편차 r와 표본의 크기 n을 정하여 표본평균 X’에 대한 확률 P(a…X’…b)를 구하는 문제를 만들고, 만든 문제를 풀어 보자. 예

어느 자동 세차기를 이용하여 1대의 차량을 세차하는 데 걸리는 시간은 평균이 8분 20초, 표준편차 가 20초인 정규분포를 따른다고 한다. 이 자동 세차기를 이용하여 세차한 100대의 차량을 임의추출 할 때, 세차 시간의 표본평균이 8분 17초 이상 8분 22초 이하일 확률을 구하여라.

2. 통계적 추정 193

■ 표본평균의 평균, 분산, 표준편차

난이도│중

모평균 m, 모표준편차 r인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 X’의 평 균, 분산, 표준편차는 각각 다음과 같음을 알아보자.

r¤ r E(X’)=m, V(X’)= 14 , r(X’)= 12 n 'n

모평균 m, 모표준편차 r인 모집단에서 크기가 n인 표본 X¡, X™, y, X«을 임의추출하였을 때, X¡, X™, y, X« 각각의 확률분포는 모집단의 확률분포와 같다. 즉 E(X¡)=E(X™)=y=E(X«)=m V(X¡)=V(X™)=y=V(X«)=r¤ 따라서 표본평균 X’=;n!;(X¡+X™+y+X«)에 대하여 표본평균 X’의 평균은 E(X’)=E[;n!;(X¡+X™+y+X«)] E(X’)=;n!; {E(X¡)+E(X™)+y+E(X«)} E(X)=;n!;(m+m+y+m)

E(aX+b)=aE(X)+b V(aX+b)=a¤ V(X) (단, a, b는 상수)

E(X’)=;n!;nm=m 표본평균 X’의 분산은 V(X’)=V[;n!;(X¡+X™+y+X«)] 1 V(X’)= 14 {V(X¡)+V(X™)+y+V(X«)} n¤ 1 V(X’)= 14 (r¤ +r¤ +y+r¤ ) n¤ 1 r¤ V(X’)= 14 nr¤ = 14 n n¤ r¤ r 따라서 E(X’)=m, V(X’)= 14 , r(X’)= 12 n 'n 를 얻는다.

194 Ⅲ. 통계

독립시행에서 E(X¡+X™)=E(X¡)+E(X™) V(X¡+X™)=V(X¡)+V(X™) 임이 알려져 있다.

스프레드시트를 사용한 임의추출 스프레드시트를 사용하여 크기가 100인 모집단에서 크기가 5인 표본을 임의추출해 보자.

1 모집단에 속한 100개의 대상에 각각 1에서 100까지의 번호를 부여한다. 2 [데이터] 메뉴에서 [데이터 분석], [난수 생성]을 차례로 선택한 후 확인을 누른다. 3 [난수 생성] 창에서 변수의 개수에는 1, 난수의 개수에는 5를 입력하고, 모수의 시작과 종

료에는 각각 1, 100을 입력한 후 확인을 누른다.

4 새로운 시트에 5개의 수가 나타나면 [홈] 메뉴의 [자릿수 줄임]을 이용하여 자연수로 만든

후 그 수로 부여받은 대상을 추출한다. 예를 들어 5개의 수 39, 11, 60, 90, 89가 나왔다면 이 수들을 부여받은 대상 5개가 추출된 표본이다.

2. 통계적 추정 195

모평균의 추정 학습 목표 │ ● 모평균을 추정할 수 있다.

모평균의 추정 생각해 봅시다

지훈이와 아름이는 세계의 70%가 물 부족 국가라는 보도를 본 후 전 교생을 대상으로 1인당 하루 물 사용량을 알아보기로 하였다. 전교 생 중 75명을 임의추출하여 1인당 하루 물 사용량을 조사하였더니 표본평균이 365L이었다. 다음 대화를 읽고, 전교생의 1인당 하루 물 사용량의 평균을 추측하기 위해 표 본평균 이외에 어떤 정보가 더 필요한지 생각해 보자.

지훈: 모평균도 표본평균과 같은 365L라고 해도 될까? 아름: 모평균은 표본평균과 다를 수도 있으니 표본평균에 가

까운 값이라고 생각하는 것이 좋겠어. 지훈: 예를 들어 365-a…m…365+a처럼 모평균이 어떤 범위에 속할 것이라고 추측할

수 있을 거란 말이지? 아름: 맞아. 그런데 표본평균만 가지고는 모평균을 제대로 추측하기 어렵겠는걸?

표본조사의 목적은 모집단 전체를 조사하지 않고, 그 일부인 표본을 조사하여 얻은 정보를 바탕으로 모집단의 특성을 알아보려는 데에 있다. 이와 같이 표본에서 얻은 정보를 이용하여 모집단의 특성을 확률적으로 추측하는 것을 추정이라고 한다. 모평균 m을 모를 때, 표본조사를 통하여 모평균 m을 추정하는 방법을 알아보자. 모집단이 정규분포 N(m, r¤ )을 따를 때, 크기가 n인 표본을 임의추출하면 표본평균 r¤ X’-m X’는 정규분포 N{m, 14 }을 따르므로, 확률변수 Z= 1115 은 표준정규분포 n r 12 'n N(0, 1)을 따른다. 이때 표준정규분포표에서 P(-1.96…Z…1.96)=0.95이므로 X’-m P -1.96… 1115 …1.96 =0.95 r ª º 12 'n 196 Ⅲ. 통계

r r 즉, P{-1.96 12 …X’-m…1.96 12 }=0.95 'n 'n r r P{X’-1.96 12 …m…X’+1.96 12 }=0.95 'n 'n 이다. 여기서 모집단으로부터 크기가 n인 표본을 임의추출하여 실제로 얻은 표본평 네이만`(Neyman, Jerzy; 1894~1981) 폴란드 태생의 미국 통계 학자로 1937년 신뢰구간 의 개념을 창안하였다.

균 X’의 값을 x’라고 할 때, r r x’-1.96 12 …m…x’+1.96 12 'n 'n 를 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이라고 한다. 마찬가지로 P(-2.58…Z…2.58)=0.99이므로, 모평균 m에 대한 신뢰도 99% 의 신뢰구간은 다음과 같다. r r x…m…x+ ’ 2.58 12 ’ 2.58 12 'n 'n 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하는 일을 되

x¡ x™

풀이하면, 추출되는 표본에 따라 표본평균이 달라지고 그

x£

[그림 1]에서 x”¡, x”™, x”£을

간 중에는 [그림 1]과 같이 모평균 m을 포함하는 것과 포

사용해서 계산한 신뢰구간 은 m을 포함하지 않는다.

xk-1 xk

사용해서 계산한 신뢰구 간은 m을 포함하고, x”¢를

...

에 따라 신뢰구간도 달라진다. 이렇게 해서 구한 신뢰구

x¢

함하지 않는 것이 있을 수 있다.

모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이라는 말은

[그림 1]

크기가 n인 표본의 임의추출을 되풀이하여 신뢰구간을 구하는 일을 반복할 때, 구한 신뢰구간 중에서 약 95%가 모평균을 포함할 것으로 기대된다는 것을 뜻한다.

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

모평균 m의 신뢰구간 모집단의 분포가 정규분포 N(m, r¤ )을 따를 때, 크기가 n인 표본을 임의추출하 여 구한 표본평균을 x’라고 하면, 모평균 m에 대한 신뢰도 95%, 99%의 신뢰구 모평균의 신뢰구간을 구 할 때 실제로는 모표준편 차 r를 모르는 것이 보통 이다. 이러한 경우 표본의 크기 n이 클 때`(næ30) 에는 r 대신 표본표준편

간은 각각 다음과 같다. r r …m…x+ 1. 신뢰도 95%: x’ 1.96 12 ’ 1.96 12 'n 'n r

r …m…x’+2.58 12 2. 신뢰도 99%: x’-2.58 12 'n 'n

차를 사용한다.

2. 통계적 추정 197

예제

어느 고등학교 학생의 1일 수면 시간은 표준편차가 80분인 정규분포를 따른다. 이 고등학교에서 학생 100명을 임의추 출하여 1일 수면 시간을 조사하였더니 평균은 380분이었다. 이 고등학교 전체 학생의 1일 평균 수면 시간에 대한 신뢰 도 95%의 신뢰구간을 구하여라.

풀이

표본의 크기 n=100이고, 표본평균의 평균은 380분, 모표준편차가 80분이므로 모평균 m 에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은 80 80 380-1.96_ 112 …m…380+1.96_ 112 '∂100 '∂100 즉, 364.32…m…395.68이다.

문제

364.32…m…395.68 (단위: 분)

어느 경마 대회에 출전하는 경주마의 속력은 표준편차가 시속 6km인 정규분포를 따른다고 한다. 경주마 36마리를 임의추 출하여 속력을 측정하였더니 평균 속력은 시속 67km이었다. 이 대회에 출전하는 경주마의 평균 속력에 대한 신뢰도 99% 의 신뢰구간을 구하여라.

문제

정부는 국민들의 인터넷 중독의 실태를 파악하여 적절한 정 책을 수립하기 위해 매년 인터넷 중독 실태를 조사하고 있 다. 2011년에 임의추출한 우리나라 국민 10000명의 1일 인 터넷 사용 시간을 조사하였더니 평균이 2시간이었다고 한다. 2011년 우리나라 국민의 1일 인터넷 사용 시간은 정규분포 를 따르고, 표준편차가 30분이라고 할 때, 그 해의 우리나라 국민의 1일 평균 인터넷 사용 시간에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하여라.

신뢰구간의 길이는 구간의 양 끝 값의 차를 말한다. 일반적으로 크기가 n인 표본을 임의추출하여 모평균 m에 대한 신뢰도 95% 또는 신뢰도 99%의 신뢰구간을 구할 때, 신뢰구간의 길이는 각각 다음과 같다. r r 2_1.96 12 , 2_2.58 12 'n 'n 198 Ⅲ. 통계

예제

어느 식품 회사의 냉동 만두 1봉지의 무게는 표준편차가 10g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 식품 회사의 냉동 만두 1봉지의 평 균 무게를 신뢰도 95%로 추정할 때, 그 신뢰구간의 길이를 2 이 하로 하려면 표본의 크기를 얼마 이상으로 하면 되는지 구하여라.

풀이

r 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간의 길이는 2_1.96_ 12 이므로 'n 10 2_1.96_ 12 …2 'n 따라서 næ384.16이므로 표본의 크기를 385봉지 이상으로 하면 된다. 385봉지 이상

문제

어느 회사에서 생산하는 음료수 1병에 담긴 비타민 C 성분의 함유량은 표준편차가 6.8mg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 음료수 1병에 담긴 비타민 C의 평균 함유 량을 신뢰도 99%로 추정할 때, 그 신뢰구간의 길이를 3.4 이하로 하려면 표본의 크기를 얼 마 이상으로 해야 하는지 구하여라.

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

다음 세 명제 ㈎, ㈏, ㈐의 참・거짓을 각각 판별하고, 그 이유를 말하여 보자.

㈎ 신뢰도가 일정할 때, 표본의 크기가 클수록 신뢰구간의 길이는 짧아진다. ㈏ 신뢰구간의 길이는 표본평균 x에 ’ 따라 달라진다. ㈐ 표본의 크기가 같을 때, 신뢰도 95%의 신뢰구간의 길이는 신뢰도 99%의 신뢰구간의 길이 보다 짧다.

2. 통계적 추정 199

■ 여러 가지 신뢰도의 신뢰구간

난이도│중

표준정규분포표에서 P(-1.96…Z…1.96)=0.95, P(-2.58…Z…2.58)=0.99이다. 이 를 이용하여 모표준편차가 r이고 크기가 n인 표본의 표본평균이 x일 ’ 때 모평균 m에 대한 신 뢰도 95%, 99%의 신뢰구간이 각각 r r r r x’-1.96 12 …m …x’+1.96 12 , x’-2.58 12 …m …x’+2.58 12 'n 'n 'n 'n 임을 살펴보았다. 그렇다면, 95%, 99%가 아닌 다른 신뢰도의 신뢰구간은 어떻게 구할 수 있을까? 일반적인 경우로 신뢰도 100(1-a)%의 신뢰구간을 구해 보자. 여기서의 a는 통계 분야에 서 확률적 정밀도를 나타낼 때 사용되는데, 예를 들어 신뢰도가 95%일 때 a=0.05가 된다. f(z)

오른쪽 그림과 같이 표준정규분포의 곡선에서 a 라고 하면 P(|Z|…z)=1-a를 만족하는 z의 값을 z 14 2

x’ m …z a =1-a P 1115 14 2 º r ≠ ª ≠ 12 'n

a 2

1-a -z a2

z a2

가 성립한다. 즉, r r a _ 12 …m…x+z a _ 12 }=1-a P{x’ z 14 ’ 14 2 2 'n 'n 이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 100(1-a)%의 신뢰구간은 r r a _ 12 …m…x+z a _ 12 x’-z 14 ’ 14 2 2 'n 'n 로 구할 수 있다. a 의 값을 나타낸 것 오른쪽 표는 각각의 신뢰도에 해당하는 z 14 2

이다. 이 표를 이용하면 신뢰도 100(1-a)%에서 1-a의 값이 a 의 값이 1.645이므로 신뢰도 90%의 신뢰구간은 0.90일 때 z 14 2

r r x’-1.645 12 …m…x’+1.645 12 'n 'n

1-a

신뢰도

a z 14

0.90

90%

1.645

0.92

92%

1.75

0.95

95%

1.96

0.99

99%

2.58

a 의 값이 1.75이므로 신뢰도 92%의 신뢰구간은 이다. 또한, 1-a의 값이 0.92일 때 z 14 2

r r x’-1.75 12 …m…x’+1.75 12 'n 'n 임을 알 수 있다.

200 Ⅲ. 통계

스프레드시트를 사용한 모평균의 추정 스프레드시트를 사용하여 모평균에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하는 방법에 대하여 알아 보자.

[그림 1]

[그림 2]

1 [수식] 메뉴에서 [함수 삽입]을 선택한 후 [그림 1]과 같이 정규분포를 이용하여 모평균의 신

뢰구간을 나타내는 CONFIDENCE를 선택한다. 2 [그림 2]와 같은 대화 상자에서 Alpha에 {100-(신뢰도)}÷100의 값인 0.05를,

r Standard_dev에는 표준편차 r를, Size에는 표본의 크기 n을 입력하면 1.96 12 의 값이 'n 출력된다. 이 값을 이용하면 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구할 수 있다.

다음은 198쪽의 예제 1을 스프레드시트를 사용하여 해결한 것이다. 예제

어느 고등학교 학생의 1일 수면 시간은 표준편차가 80분인 정규분포를 따른다. 이 고등학 교에서 학생 100명을 임의추출하여 1일 수면 시간을 조사하였더니 평균 380분, 표준편차 80분이었다. 이 고등학교 전체 학생의 1일 평균 수면 시간에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간 을 구하여라. 이 값을 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구한 신뢰구간의 양 끝 값은 ○○380-15.68=364.32 ○○380+15.68=395.68 따라서 모평균 m의 신뢰구간은 ○○364.32…m…395.68 (단위: 분)

2. 통계적 추정 201

모비율의 추정 학습 목표 │ ● 표본비율과 모비율의 관계를 이해하여 모비율을 추정하고, 그 결과를 해석할 수 있다.

표본비율의 분포 생각해 봅시다

다음은 어느 고등학교 전교생이 최근 1년 동안 가장 즐겨 한 스포츠 활동의 비율을 그래프 로 나타낸 것이다. 물음에 답하여 보자.

인 라 인

트 이 케 스

거 전 자

구 축

구 농

기 넘 줄

영 수

도 권 태

타 기

1. 이 고등학교 학생들이 최근 1년 동안 가장 즐겨 한 스포츠 활동은 무엇이며, 그 비율은 전체의 몇 %인가?

2. 이 고등학교에서 한 반을 임의추출한 후 그 반 학생들이 최근 1년 동안 가장 즐겨 한 스포츠 활동을 조사하여 위의 그래프와 비교하면 어떤 결과를 기대할 수 있을지 생각 해 보자.

취업률이나 실업률, TV 프로그램의 시청률, 어느 의약품 회사에서 개발한 의약품 의 치유율, 어느 공장에서 생산한 제품의 불량률 등과 같이 모집단에서 어떤 성질을 가진 것의 비율을 생각할 수 있다. 이와 같이 모집단에서 어떤 성질을 가진 것의 비율을 모비율이라 하고, 기호로 p와 같이 나타낸다. 한편, 모집단에서 임의추출한 표본에서 어떤 성질을 가진 것의 비율을 표본비율이 p^은‘피햇’ 으로 읽는다.

^과 같이 나타낸다. 크기가 n인 표본에서 어떤 성질을 가진 것이 추 라 하고, 기호로 p

X 출된 횟수를 확률변수 X라고 할 때, 표본비율은 p^= 13 이다. n 202 Ⅲ. 통계

앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.

^ 표본비율 p 크기가 n인 표본에서 어떤 성질을 가진 것이 추출된 횟수를 확률변수 X라고 할 ^은 때, 표본비율 p

보기

X ^= 13 p n

어느 도시의 인구 10만 명 중 혈액형이 A형인 사람이 5만 명이면 A형인 사람의 비율, 즉 50000 모비율은 p= 1115 =0.5이다. 또, 표본으로 이 도시의 인구 1000명을 임의추출하여 100000 ^=;1¢0§0º0;=0.46이다. 조사한 결과 혈액형이 A형인 사람이 460명이었다면, 표본비율은 p

문제

발광다이오드(LED) 신호등을 생산하는 공장에서 생산된 제품 중 500개를 임의추출하여 검사한 결과 불량품이 3개이었다. 이때 표 ^을 구하여라. 본의 불량률 p

X 표본비율 p^= 13 에서 확률변수 X는 크기가 n인 표본에서 어떤 성질을 가진 것이 n 추출된 횟수이다. 따라서 X가 취할 수 있는 값은 0, 1, 2, y, n이다. 한편, 모집단에서 그 성질을 가진 것의 비율을 p라고 하면 확률변수 X는 어떤 사 건이 일어날 확률이 p인 시행을 n번 독립시행하였을 때 그 사건이 일어난 횟수이며, 이항분포 B(n, p)를 따른다. 그러므로 확률변수 X의 평균과 분산은 각각 E(X)=np, V(X)=npq`(q=1-p) 이고, 이로부터 표본비율 p^의 평균과 분산 및 표준편차를 구하면 다음과 같다. X E(p^ )=E{ 13 }=;n!;E(X)=;n!;_np=p n pq X 1 1 V(p^ )=V{ 13 }= 15 V(X)= 15 _npq= 13 n n n¤ n¤ pq r(p^ )="√V(p^ )=æ≠ 13 n 2. 통계적 추정 203

일반적으로 표본의 크기 n이 충분히 클 때, 이항분포 B(n, p)를 따르는 확률변수 pq ^)=p, V(p ^)= 13 이므로 X는 근사적으로 정규분포 N(np, npq)를 따르고, E(p n pq X p^= 13 도 근사적으로 정규분포 N{p, 13 n }를 따른다. 따라서 표준화된 확률변수 n 고셋`(Gosset, W. S.; 1876~1937) 영국의 통계학자로 표본 의 통계지표를 이용하여

p^-p Z= 1123 는 근사적으로 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. pq æ≠ 13 n

모집단의 여러 관계를 고 찰하는 추론통계학의 개

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

척자이다.

^의 분포 표본비율 p pq ^은 근사적으로 정규분포 N{p, 13 }를 표본의 크기 n이 충분히 클 때, 표본비율 p n p^-p 따르고 Z= 1123 는 근사적으로 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. (단, q=1-p) pq æ≠ 13 n

■참 고│npæ5이고, nqæ5이면 표본의 크기 n이 충분히 큰 것으로 본다.

예제 7

어느 학교에서는 학생의 60%가 소지품 보호와 학생 안전 등 을 위하여 교내 CCTV 확대 설치 방안을 지지한다고 한다.

3 + 0 00 . =

이 학교 학생 중에서 150명을 임의추출할 때, 교내 CCTV 확대 설치 방안을 지지하는 학생의 비율이 64% 이상일 확률 을 구하여라. 풀이

150명 중에서 교내 CCTV 확대 설치 방안을 지지하는 학생의 비율을 p^이라고 하면 모비율 p=0.6이고, 표본의 크기 n=150이므로 p^의 평균과 분산은 각각 0.6_0.4 ^)=0.6, V(p^)= 1111 E(p =0.04¤ 150 이다. 즉, p^은 근사적으로 정규분포 N(0.6, 0.04¤ )을 따른다. ^-0.6 p^-p p p^-0.6 또, Z= 111 = 111112 = 1112 은 근사적으로 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. 0.04 pq 0.6_0.4 æ– 12 æ≠ 1111 n 150 따라서 구하는 확률은 0.64-0.6 P(p^æ0.64)=P{Zæ 11113 }=P(Zæ1)=0.1587 0.04

204 Ⅲ. 통계

0.1587

문제

우리나라는 국민을 여러 위험 상황에서 보호하기 위해 4대 사회 보험 제도를 운영하고 있다. 어느 사업장의 조사 결과,

우리나라의 4대 사회 보 험은 연금 보험, 건강 보 험, 고용 보험, 산재 보험

지난 5년 동안 4대 사회 보험에 가입한 사람들 가운데 현재 까지 이 보험을 계속 유지하는 사람의 비율이 72%라고 한다. 이 사업장에서 지난 5년 동안 4대 사회 보험에 가입한 사람

이다.

들 중 350명을 임의추출할 때, 현재까지 이 보험을 계속 유지 하는 사람의 비율이 66% 이상 78% 이하일 확률을 구하여라.

모비율의 추정 생각해 봅시다

2012년에 전국의 고등학생 중 1만 90명을 임의추출하여 실시한 설문 조사에 따르면 학생들이 가장 선호하는 직업은 교사이고, 그 비율은 9.3%이었다. 이 결과를 보고 전국의 고등학생 전체가 가 장 선호하는 직업은 교사라고 말할 수 있을까?

전국의 고등학생 중 가장 선호하는 직업 으로 교사를 선택할 학생의 비율은 9.3% 근방일 것 같아.

표본평균을 이용해 모평균을 어떤 범위로 추정했던 것처럼, 모비율도 어떤 범위로 추측할 수 있지 않을까?

앞에서 알아본 바와 같이, 어느 모집단에서 임의추출한 크기 n인 표본에서 어떤 성 질을 가진 것이 추출된 횟수를 확률변수 X라고 할 때, n이 충분히 크면 확률변수 ^-p p Z= 1123 는 근사적으로 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다. (단, q=1-p) pq æ≠ 13 n pq 또한, n이 충분히 크면 p^의 표준편차 æ≠ 13 에서 p, q에 각각 p^, q^을 대입한 확률 n ^-p p 변수 Z= 1123 도 근사적으로 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다는 사실이 알려져 ^q^ p æ≠ 13 n ^) 있다. (단, q^=1-p 2. 통계적 추정 205

^-p p 이때 P(-1.96…Z…1.96)=0.95이므로 Z에 1123 를 대입하면 ^ p^q æ≠ 13 n ^ ^ ^ ^ p^q pq p-p ^-1.96æ≠ 13 …p…p^+1.96æ≠ 13 `}=0.95 P -1.96… 1123 …1.96 =P{p n n ª º ^ p^q æ≠ 13 n 이다. 여기서 모집단으로부터 크기가 n인 표본을 임의추출하여 실제로 얻은 표본비 율을 p^이라고 할 때 ^q ^ ^q ^ p p p^-1.96æ≠ 13 …p…p^+1.96æ≠ 13 n n 을 모비율 p에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이라고 한다. 마찬가지로 P(-2.58…Z…2.58)=0.99이므로 모비율 p에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간은 다음과 같다. ^q ^ ^q ^ p p p^-2.58æ≠ 13 …p…p^+2.58æ≠ 13 n n ^ p¡

모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하는 일을 되풀 이하면, 추출되는 표본에 따라 표본비율이 달라지고 그에

^™, p^£을 [그림 1]에서 p^¡, p

에는 [그림 1]과 같이 모비율 p를 포함하는 것과 포함하지

사용해서 계산한 신뢰구 ^¢를 간은 p를 포함하고, p

않는 것이 있을 수 있다.

사용해서 계산한 신뢰구간 은 p를 포함하지 않는다.

^ p£

^ p¢

...

따라 신뢰구간도 달라진다. 이렇게 해서 구한 신뢰구간 중

^ p™

p^k-1

p^k p

모비율 p에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이라는 말은 크

[그림 1]

기가 n인 표본의 임의추출을 되풀이하여 신뢰구간을 구하는 일을 반복할 때, 구한 신뢰구간 중에서 약 95%가 모비율을 포함할 것으로 기대된다는 것을 뜻한다.

위의 내용을 정리하면 다음과 같다.

모비율의 신뢰구간 ^이라고 하면, 모비율 p에 모집단에서 크기가 n인 표본으로부터 구한 표본비율을 p ^) 대한 신뢰도 95%, 99%의 신뢰구간은 각각 다음과 같다. (단, q^=1-p ^q^ p

^q ^ p

^q^ p

^q ^ p

^+1.96æ≠ 13 …p…p 1. 신뢰도 95%: `p^-1.96æ≠ 13 n n ^+2.58æ≠ 13 …p…p 2. 신뢰도 99%: `p^-2.58æ≠ 13 n n

206 Ⅲ. 통계

예제

어느 고등학교에서 학생들의 건강 상태를 알아보기 위하여 100명을 임의 추출하여 조사하였더니 비만인 학생이 20명이었다. 이 고등학교 학생 중 비만인 학생의 비율에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하여라.

풀이

표본의 크기 n=100, 표본비율 p^=;1™0º0;=0.2이다. ^-p p 이때 n이 충분히 크므로 Z= 111 는 근사적으로 표준정규분포를 따른다. 모비율 p에 대 p^q^ æ– 12 n 한 신뢰도 95%의 신뢰구간의 양 끝 값을 구하면 각각 다음과 같다. ^ p^q 0.2_0.8 p^-1.96æ– 12 =0.1216 n =0.2-1.96æ– 1111 100 ^ p^q 0.2_0.8 p^+1.96æ– 12 =0.2784 n =0.2+1.96æ– 1111 100 따라서 구하는 신뢰구간은 0.1216…p…0.2784이다.

문제 7

3 + =

0 00 .

0.1216…p…0.2784

어느 은행의 특별 판매 적금 상품에 가입한 고객 중 2500명을 임의추출하여 조사한 결과 500명이 만기 이전에 적금을 해약 하였다. 이 은행의 특별 판매 적금 해약률에 대한 신뢰도 99% 의 신뢰구간을 구하여라. (단, 신뢰구간의 양 끝 값을 반올림하 여 소수 셋째 자리까지 구한다.)

^ ^q^ p^q p ^-1.96æ≠ 13 …p…p ^+1.96æ≠ 13 에서 모비율 p에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간 p n n ^=p ^(1-p^) p^q ^-;2!;}¤ +;4!; =-{p

^q ^ ^q ^ p p ^=q ^=;2!;에서 신뢰구간의 길이는 2_1.96æ≠ 13 이다. æ≠ 13 은 n의 값이 일정할 때, p n n 1 최댓값 æ≠ 13 을 갖는다. 그러므로 모비율 p에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간의 가능한 4n 1 최대 길이는 2_1.96æ≠ 13 이다. 4n 마찬가지로 모비율 p에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간의 가능한 최대 길이는 1 2_2.58æ≠ 13 이다. 4n 2. 통계적 추정 207

예제

우리나라 50대 여성 중 골다공증 환자의 비율을 신뢰도 95%로 추정하려고 한다. 신뢰구간의 가능한 최대 길이를 0.16보다 작게 하려면 몇 명 이상을 조사해야 하는가? 풀이

모비율 p를 신뢰도 95%로 추정할 때, 신뢰구간의 가능한 최대 길이가 0.16보다 작아야 하 므로 1 2_1.96Æ¬ 12 <0.16 4n 이 식을 풀면 n>150.0625 따라서 표본의 크기는 151명 이상이어야 한다.

문제

151명 이상

어느 암벽 등반 동호회 회원 중 50개 이상의 암벽 등반 코스를 경험한 회원의 비율 p에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하고자 한다. 이 동 호회 회원 중 100명을 임의추출하여 신뢰구간을 구했더니 그 길이가 l이었다. 신뢰구간의 길이를 ;2L; 이하로 하려면 표본의 크기는 얼마 이상으로 해야 하는가?

문제 해결│추론│의사소통│문제 만들기

다음은 학생들이 어느 모집단에서 표본을 추출하여 모비율을 추정하는 것과 관련된 대화이다. 누구의 의견 이 타당한지 토론해 보자. 모비율에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구했더니 0.137…p…0.224이었어.

만약 크기가 300인 표본을 반복적으로 추출하면 표본비율의 95%는 13.7%와 22.4% 사이에 있다는 뜻이야.

그럼 모비율이 13.7%와 22.4% 사이에 없을 확률은 5%라고 할 수 있겠네.

연수 연수 연수 연수

기영 기영 기영

208 Ⅲ. 통계

정민 정민 정민 정민

글쎄, 모비율은 13.7%와 22.4% 사이에 있을 수도 있고 없을 수도 있을 것 같은데.

■ 모비율의 추정이 사용된 예 모비율의 추정은 선거 때 지지하는 후보를 조사하거나 특정한 사안에 대한 국민들의 의견을 묻는 일 등 여러 가지 여론 조사에서 널리 활용된다. 신문 기사나 TV 뉴스 등에서 쉽게 볼 수 있는 모비율의 추정에 대하여 살펴보자. 다음은 어느 여론 조사 결과를 다룬 기사의 예이다.

1000명 중 83.1%가 음식물 쓰레기를 줄이기 위해 종량제가 필요하다에 찬성하였다. 이 조사는 신뢰수준 95%에 표본오차 —3.1%이다.

여기서 표본오차 —3.1%란 말은 무슨 뜻일까? 표본오차는 자료 전체가 아니라 일부인 표본을 뽑아 조사함에 따라 발생하는 오차를 말하는 ^q^ p ^=;2!;일 때의 1.96_æ≠ 13 의 최댓값 것으로 보통 모집단에 대한 사전 정보가 많지 않은 경우, p n 1 1.96_Æ¬ 12 을 사용한다. 4n 위 기사에서 표본의 크기는 1000이고 신뢰도는 95%이므로 표본오차는 1 1.96_Æ¬ 11123 =0.03099…이고 이는 약 3.1%임을 알 수 있다. 4_1000 따라서 위의 기사가 의미하는 바는, 표본을 달리하여 이러한 조사를 100번 반복할 때 95번 정 도는 모비율과 표본비율의 차가 표본오차 3.1%보다 크지 않다는 것이다.

2. 통계적 추정 209

2 통계적 추정 상│

중│

하

■`모집단과 표본

⑴ 모집단: 조사의 대상이 되는 집단 전체

다음을 조사할 때, 전수조사와 표본조사 중 어느 것이

⑵ 표본: 조사를 하기 위하여 모집단에서 뽑은 일부분

적합한지 말하여라.

⑶ 표본의 크기: 표본에 포함된 대상의 개수

⑴ 전국에 등록된 자동차의 수 ⑵ 올해의 쌀 예상 수확량

■`표본평균 모평균 m, 모표준편차 r인 모집단에서 크기가 n인 표본 을 임의추출할 때, 표본평균 X”에 대하여 r¤ r ⑴ E(X”)=m, V(X”)= 13 , r(X”)= 11 n '∂n

⑵ 모집단이 정규분포 N(m, r¤ )을 따를 때 또는 모집단

확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같은 모집단에서

의 분포가 정규분포가 아닐 때에도 표본의 크기 n

크기가 4인 표본을 복원추출할 때, 표본평균 X’의 평균

r¤ 이 충분히 크면 X”는 정규분포 N{m, 15 }을 따른다. n

과 분산을 각각 구하여라. X

합계

P(X=x)

;4!;

;2!;

;4!;

■`모평균의 신뢰구간 모집단의 분포가 정규분포 N(m, r¤ )을 따를 때, 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 x ’라고 하면, 모평균 m에 대한 신뢰도 95%, 99%의 신뢰구간은 각각 다음과 같다. r r 11 11 …m…x +1.96 ⑴ 신뢰도 95%: x -1.96 ’ ’ '∂n '∂n r r 11 …m…x +2.58 11 ⑵ 신뢰도 99%: x -2.58 ’ ’ '∂n '∂n

3 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2의 수가 각각 적힌 8개의 구슬 중 에서 복원추출로 2개의 구슬을 꺼낸다. 2개의 구슬에 적힌 수의 평균을 X’라고 할 때, 표본평균 X’의 평균과 분산을 각각 구하여라.

■`모비율의 신뢰구간 모집단에서 크기가 n인 표본으로부터 구한 표본비율을 p^ 이라고 하면, 모비율 p에 대한 신뢰도 95%, 99%의 신뢰 구간은 각각 다음과 같다. (단, q^=1-p^) p^q^ p^q^ ^+1.96æ≠ 13 ⑴ 신뢰도 95%: p^-1.96æ≠ 13 …p…p n n p^q^ p^q^ ^+2.58æ≠ 13 ⑵ 신뢰도 99%: p^-2.58æ≠ 13 …p…p n n

기본을 다지고 싶다면

210 Ⅲ. 통계

부록 259쪽

4 모평균이 50, 모표준편차가 10인 모집단에서 크기가 n 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 X’의 표준편차가 0.5 이하가 되게 하는 n의 최솟값을 구하여라.

정답 234쪽

어느 양계장에서 나온 달걀 노른

모평균이 m, 모표준편차가 r인 정규분포를 따르는 모

자의 무게는 평균이 16g, 표준편

집단에서 크기가 n¡인 표본을 임의추출하여 구한 표본

차가 4g인 정규분포를 따른다고

평균을 X’, 크기가 n™인 표본을 임의추출하여 구한 표

한다. 이 양계장에서 나온 달걀 4

본평균을 Y’라고 할 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두

개를 임의추출할 때, 그 달걀 노른자의 무게의 표본평균

골라라.

을 X’라고 하자. 이때 E(X’ ¤ )을 구하여라.

보기

ㄱ. E(X’)=E(Y’) ㄴ. n¡<n™이면 V(X’)>V(Y’) ㄷ. n¡=2n™이면 r(X’)=2r(Y’)

6 정규분포 N(50, 10¤ )을 따르는 모집단에서 크기가 16 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 X”라고 할 때,

확률 P(X”æ45)를 구하여라.

모평균이 10, 모표준편차가 2인 정규분포를 따르는 모 집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평 균을 X’라고 하자. f(n)=P(10…X”…12)라고 할 때, f(n)의 최솟값을 구하여라.

7 어느 대형 마트에서 판매되는

P(0…Z…z)

과일 음료의 용량은 모평균

1.0

0.3413

150mL, 모표준편차 5mL인

2.0

0.4772

정규분포를 따른다고 한다. 이

3.0

0.4987

대형 마트에서 과일 음료 100개를 임의추출하여 그 표본

표준편차가 1인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가

평균을 X’라고 할 때, 위의 표준정규분포표를 이용하여

n인 표본을 임의추출하여 신뢰도 95%로 모평균을 추

확률 P(149…X’…151)을 구하여라.

정할 때, 신뢰구간의 길이를 1 이하가 되도록 하는 n의

(풀이 과정을 자세히 써라.)

최솟값을 구하여라.

2. 통계적 추정 211

어느 광산에서 채취한 원석의 비중은 표준편차가 2.4인

어느 공장에서 생산한 제품 중

정규분포를 따른다고 한다. 이 광산에서 채취한 원석 64

100개를 임의추출하여 검사하

개를 임의추출하여 비중을 측정하였더니 평균이 8이었

였더니 불량품이 10개이었다.

다. 이 원석의 평균 비중에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구

이 공장에서 생산한 제품 전체

간을 구하여라.

의 불량률에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하여라.

표준편차가 1인 정규분포를 따르는 모집단의 평균을 표

어느 지역의 고등학교 학생 중 300명을 임의추출하여

본의 크기가 16인 표본을 이용하여 추정하였더니 신뢰

조사한 결과 치아 질환이 없는 학생이 75명이었다. 이

구간의 길이는 2이었다. 같은 신뢰도로 모평균을 추정

지역의 고등학교 학생 중 치아 질환이 없는 학생의 비

할 때, 신뢰구간의 길이가 1이 되도록 하는 표본의 크기

율에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간을 구하여라.

를 구하여라.

어느 회사의 입사 시험에서 지

P(0…Z…z)

한 음반 회사가 발라드에 대한 20대의 선호율을 신뢰도

원자들의 성적을 알아보기 위

1.0

0.34

95%로 추정하려고 한다. 20대 1000명을 임의추출하여

하여 임의추출한 64명의 지원

1.5

0.43

조사한 결과 640명이 여러 음악 장르 중 발라드를 가장

자의 점수를 조사하였더니 평

2.0

0.48

선호하는 것으로 나타났다. 신뢰도 95%로 모비율 p와

균이 240점이었다. 이 회사의 입사 시험에 지원한 전체

표본비율 p^의 차이가 0.01 이하가 되도록 추정하기 위

지원자들의 점수는 표준편차가 16점인 정규분포를 따르

해서는 표본의 크기를 얼마 이상으로 해야 하는지 구하

고, 평균 m을 신뢰도 a%로 추정하였더니 신뢰구간이

여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

237…m…243이었다. 이때 위의 표준정규분포표를 이 용하여 a의 값을 구하여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

212 Ⅲ. 통계

여러 가지 방법으로 풀어 보자. 주머니 속에 1, 2, 2, 3, 3, 3의 수가 각각 적힌 공 6개가 있다. 이 주머니에서 크기가 2인 표본을 복 원추출할 때, 공에 적힌 수의 표본평균을 X’라고 하자. E(X’ ¤ )을 구해 보자. 지혜의 방법으로 풀어 보자.

표본평균 X’에 대한 확률분포를 표로 만들어 보면`……. X”

P(X”=x)

;6!;_;6!;=;3¡6;

1.5

2.5

합계

준영이의 방법으로 풀어 보자.

이 주머니에서 임의로 1개의 공을 꺼낼 때 공에 적힌 수를 X라고 하자. 모집단의 확률변수 X의 확률분포를 표로 만들어 모평균을 구하면`……. X

합계

P(X=x)

2. 통계적 추정 213

확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 확률

0…X…4인 범위에서 임의의 값을 취하는 확률변수 X의

P(X¤ -X-2<0)은?

확률밀도함수가 f(x)=;4!;일 때, t에 관한 이차방정식

-1

합계

P(X=x)

;3!;

;4!;

① ;2!;

② ;3@;

④ ;5$;

⑤ ;6%;

③ ;4#;

t¤ -2xt+2x¤ -1=0이 실근을 가질 확률은?

① ;4!;

② ;3!;

④ ;3@;

⑤ ;4#;

다음은 확률변수 X의 확률분포를 나타낸 표이다. X의

어떤 질병에 대한 치유율이

평균이 3일 때, X의 분산을 구하여라.

90%인 의약품으로 10명의 환

합계

P(X=x)

;8!;

;2!/

③ ;2!;

자가 치료를 받고 있다. 치유될 환자의 수를 확률변수 X라고 할 때, X의 평균과 분산을 각각 구하여라.

3 연속확률변수 X가 취하는

값의 범위가 -1…X…2

y=f(x)

이고, 확률밀도함수 y=f(x)의 그래프가 오른

-1

2 x

6 어느 기계에서 생산하는 제품의 불량률은 20%이다. 이

쪽 그림과 같을 때, 확률 P(|X|…1)은?

기계로 100개의 제품을 생산할 때, 나오는 불량품의 개

① ;5#;

② ;8%;

수를 X라고 한다. X¤ 의 평균은?

④ ;6%;

⑤ ;8&;

214 Ⅲ. 통계

③ ;3@;

① 410

② 412

④ 416

⑤ 418

③ 414

Ⅲ. 통계 정답 235쪽

확률변수 X, Y, Z가 각각 이항분포 B{n, ;2!;},

어느 과자 공장에서 생산하는 과자 A의 무게는 평균

B{n, ;3!;}, B{n, ;4!;}을 따를 때, V(X)：V(Y)：V(Z) 를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.

800g, 표준편차 14g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서는 생산 시스템의 이상 여부를 점검하기 위하 여 하루에 생산된 과자 A 중에서 크기가 49인 표본을 임의추출하여 과자의 무게에 대한 표본평균 X”를 계산 한다. 이때 X”가 상수 c보다 작으면 생산 시스템에 이상 이 있는 것으로 판단하고 생산 시스템을 점검한다. 이 공장에서 생산 시스템에 이상

8 모집단의 확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같다.

P(0…Z…z)

이 있다고 판단될 확률이 0.02

1.85

0.468

라고 할 때, 오른쪽 표준정규분

1.95

0.474

포표를 이용하여 상수 c의 값을

2.05

0.480

구하여라.

2.15

0.484

이 모집단에서 크기가 25인 표본을 복원추출하여 그 표 본평균을 X”라고 할 때, X”의 분산은? X

합계

P(X=x)

;4!;

① 0.2

② 0.4

④ 0.7

⑤ 1

③ 0.5

11 어느 산부인과 병원의 신생아 몸무게는 표준편차가 0.5kg인 정규분포를 따른다고 한다. 이 병원에서 신생아 100명을 임의추출하여 몸무게를 조사하였더니 평균이 3.2kg이었다고 한다. 이 병원의 신생아 몸무게의 평균에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하여라.

9 주사위 1개를 던져서 6의 눈이 나오면 5점을 얻고 그

외의 눈이 나오면 1점을 잃는 게임을 한다. 처음 0점에

연희네 고등학교 전체 학생을 대상으로 아침 식사 여부

서 시작하여 이 게임을 720번

를 조사한 결과 60%의 학생들이 아침 식사를 거르는

P(0…Z…z)

0.5

0.19

가 60점 이상이 될 확률을 오

1.0

0.34

을 때, 이 중 아침 식사를 거르

P(0…Z…z)

른쪽 표준정규분포표를 이용하

1.5

0.43

는 학생이 87명 이상 96명 이

0.5

0.1915

여 구하여라.

2.0

0.48

하일 확률을 오른쪽 표준정규

1.0

0.3413

분포표를 이용하여 구하여라.

2.0

0.4772

독립적으로 시행한 후의 점수

(풀이 과정을 자세히 써라.)

것으로 나타났다. 전체 학생 중 150명을 임의추출하였

마무리 평가 215

어느 20km 경보 대회에서 완

대학수학능력시험의 영어 과목에 응시하려는 수험생 중

주한 참가자들의 완주 시간은

2400명을 임의추출하여 조사하였더니 1440명이 영어

평균 2시간, 표준편차 20분인

과목의 A형을 선택한다고 응답하였다. 수험생 중 영어

정규분포를 따른다고 한다. 이

과목의 A형을 선택하는 수험생의 비율에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하여라.

대회에서 완주한 참가자 중 임 의추출한 100명의 완주 시간의 평균이 1시간 56분 이상 2시간 3분 이하일 확률을 오른쪽 표 준정규분포표를 이용하여 구하

P(0…Z…z)

0.5

0.1915

1.0

0.3413

1.5

0.4332

2.0

0.4772

여라. (풀이 과정을 자세히 써라.)

16 정규분포 N(m, 2¤ )을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 7인 표본과 크기가 10인 표본의 표본평균을 각 각 X”, Y”라 하고, X”와 Y”의 분포를 이용하여 추정한 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을 각각 a…m…b, c…m…d라고 하자. 보기에서 옳은 것을 모 두 고르면? 보기

ㄱ. X”의 분산은 Y”의 분산보다 크다.

ㄴ. P(X”…m+2)<P(Y”…m+2)

어느 고등학교에서 특정한 제품을 선호하는 학생의 비

ㄷ. d-c<b-a

율 p를 알아보기로 하였다. 이 학교 학생 중에서 n명의 ^을 학생을 임의추출하여 그 제품을 선호하는 표본비율 p

① ㄷ

② ㄱ, ㄴ

구하였다. 비율 p의 신뢰구간에 대한 보기의 설명 중 옳

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③ ㄱ, ㄷ

은 것을 모두 골라라. 보기

ㄱ. n=100이고 p^=;5!;인 경우 비율 p의 신뢰도 95%의 신뢰구간은 0.1216…p…0.2784이다. ㄴ. 100명의 학생을 임의추출하여 비율 p를 추 정한 신뢰구간은 400명의 학생을 임의추출 하여 비율 p를 추정한 신뢰구간을 항상 포함 한다. ㄷ. 같은 표본으로 추정할 때, 신뢰도 99%인 신 뢰구간은 신뢰도 95%인 신뢰구간을 포함한 다.

216 Ⅲ. 통계

맞은 개수

틀린 개수 성취도 자기 평가

이 단원에서 배운 용어는 잘 이해하고 있나요? 이 단원에서 배운 개념은 잘 이해하고 있나요? 틀린 문제를 다시 확인 학습했나요?

보충 계획 세우기

생활 속의 통계적 추정 다음은 세원이네 모둠에서 자료를 만들고, 통계적 추정을 하는 과정이다. 이와 같이 표본 평균이나 표본비율을 이용하여 모평균이나 모비율을 추정할 수 있는 예를 찾아 설문 조사 를 실시하고,‘생활 속의 통계적 추정’ 이라는 주제로 발표해 보자. 1단계 설문 조사지 작성

⑴ 조사 내용 선정 음악을 듣는 시간, 좋아하는 음악 장르, 듣는 매 체, 듣는 장소 등의 내용을 조사한다. ⑵ 조사 대상 선정 학교의 전체 학급 중에서 임의추출한 A반의 학 생 32명을 대상으로 조사한다.

2단계 자료 분석

⑴ 평균에 대한 자료 분석하기 A반 학생의 하루에 음악을 듣는 평균 시간은 69 분, 표준편차는 20.2분이다. ⑵ 비율에 대한 자료 분석하기 A반 학생 중 발라드 음악을 좋아하는 학생의 비 율은 37.5%이다.

3단계 통계적 추정을 이용한 결론 도출

⑴ 전교생이 하루에 음악을 듣는 평균 시간을 신뢰도 95%로 추정

20.2 …m…69+1.96_ 20.2 69-1.96_ 114 114 '∂32 '∂32 이때 반올림하여 소수 첫째 자리까지 구하면 62.0…m…76.0 따라서 A반을 표본으로 전교생의 하루에 음악을 듣는 평균 시간을 신뢰도 95%로 추정 하면 62분 이상 76분 이하이다. ⑵ 전교생 중 발라드 음악을 좋아하는 학생 비율을 신뢰도 95%로 추정

0.375_0.625 …p…0.375+1.96_æ≠ 0.375_0.625 0.375-1.96_æ≠ 11111235 11111235 32 32 이때 반올림하여 소수 셋째 자리까지 구하면 0.207…p…0.543 따라서 A반을 표본으로 전교생 중 발라드 음악을 좋아하는 학생의 비율을 신뢰도 95% 로 추정하면 20.7% 이상 54.3% 이하이다.

창의·인성을 높이는 프로젝트 217

여론조사전문가와마케팅조사전문가 이 단원에서 배운 통계적 추정을 필요로 하는 직업 중의 하나가 조사 전문가이다. 대표적인 조사 전문가로 여론 조사 전문가와 마케팅 조사 전문가를 들 수 있다. 여론 조사 전문가는 사 회 현안에 대해 여론을 수집・분석한다. 마케팅 조사 전문가는 기업의 상품・광고 등에 대해 소비자가 어떻게 생각하고 있는지를 알아보는 소비자 조사를 주로 한다. 예를 들어 특정 상품 이 얼마나 시장성이 있는지, 얼마나 잘 팔리는지를 조사한다. 조사 전문가가 되려면 일차적으로 통계학에 대한 지식이 필요하며, 경영학, 사회학, 심리학 에 대한 지식도 필요하다. 여론 조사 전문가는 사회・정치・경제 전반에 걸쳐 다양한 관심을 가질 필요가 있으며, 마케팅 조사 전문가는 마케팅・기업 경영에 대한 지식을 지녀야 한다. 그 뿐만 아니라 조사 전문가는 조사 의뢰자가 무엇을 원하는지를 파악해 낼 수 있는 감각, 적절한 조사 방법을 채택하는 능력, 자료 수집 결과를 종합하여 보고서를 작성하는 분석력, 결과를 고 객에게 설명하는 의사소통 능력 등이 필요하다. 조사 전문가와 관련된 자격증으로는 통계청에서 발급하는‘사회 조사 분석사 (survey analyst) ’ 라는 자격증이 있다. 여론과 마케팅 조사 전문가는 주로 전문 조사 회사에서 활동하며, 그 밖에 광고 회사의 마케팅 부서, 정당, 각 사 회단체, 방송국, 신문사 등에서도 근무한다. 마케팅 조 사에 대한 기업의 인식이 높아지고 있고, 조사 결과에 근거한 합리적 경영을 확대하는 추세여서 조사 전문가 의 수요는 더욱 늘어날 것으로 전망된다.

Ⅲ. 통계 Ⅲ. 통계 통계 218 218 Ⅲ. Ⅲ. 통계 218

정답및풀이 I

순열과 조합 1. 경우의 수 2. 순열 3. 조합 4. 분할과 이항정리

확률 1. 확률의 뜻과 활용 2. 조건부확률

III 통계 1. 확률분포 2. 통계적 추정

20쪽`~`22쪽

I 순열과 조합 1. 경우의 수

10개

5가지

⁄ 눈의 수의 합이 5 이하인 경우 눈의 수의 합

10쪽`~`11쪽

준비 학습 1 4

2 7

3 9

4 12

순서쌍

(1, 1)

(1, 2), (2, 1)

(1, 3), (2, 2), (3, 1)

(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)

따라서 구하는 경우의 수는 10이다.

경우의 수

¤ 눈의 수의 합이 10 이상인 경우

12쪽`~`18쪽

눈의 수의 합 생각해 봅시다

3개

6가지

⑴ 12개

⑵ 6개

⑴ 9개

⑵ 12개

10 14가지

순서쌍

(4, 6), (5, 5), (6, 4)

(5, 6), (6, 5)

(6, 6)

따라서 구하는 경우의 수는 6이다. 우의 수는 합의 법칙에 의하여

……`➌ 채점 기준

➊ 눈의 수의 합이 5 이하인 경우의 수 구하기 ➋ 눈의수의합이10 이상인경우의수구하기 ➌ 합의 법칙을 이용하여 경우의 수 구하기

11 74

1부터 20까지의 자연수 중에서 3 이하 또는 16 이상인 자연

8개

6개

수의 개수를 구하여라.

[풀이] 3 이하인 수는 1, 2, 3의 3개, 16 이상인 수는 16,

16개

12가지

3+5=8(개)이다.

[모범 예시] - 곱의 법칙을 이용한 문제

⁄ 백의 자리가 홀수인 경우

[모범 예시] - 합의 법칙을 이용한 문제

17, 18, 19, 20의 5개이므로 합의 법칙에 의하여

……`➋

⁄, ¤의 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 경 10+6=16

문제 만들기

……`➊

배점 40% 40% 20%

자연수 1, 2, 3, 4, 5 중에서 서로 다른 2개의 수를 동시에

일의 자리에 올 수 있는 수는 홀수 중 백의 자리의

택하여 만들 수 있는 두 자리의 자연수 중에서 짝수의 개수

수를 제외한 4개이고, 십의 자리에 올 수 있는 수는

를 구하여라.

백의 자리와 일의 자리의 수를 제외한 8개이다. 이

[풀이] 일의 자리에 올 수 있는 수는 짝수이어야 하므로 2, 4

때 백의 자리에 올 수 있는 홀수는 3, 5의 2개이므

의 2개이고, 십의 자리에 올 수 있는 수는 일의 자리의 수를

로

제외한 4개이므로 곱의 법칙에 의하여 2_4=8(개)이다.

4_8_2=64(개)

220 정답 및 풀이

……`➊

¤ 백의 자리가 짝수인 경우

생각해 봅시다

⋯

⋯5_4_3_2_1=120

일의 자리에 올 수 있는 수는 1, 3, 5, 7, 9의 5개이 고, 십의 자리에 올 수 있는 수는 백의 자리와 일의 자리의 수를 제외한 8개이다. 이때 백의 자리에 올

⑴ 24

(n-1)! (n-1)! «–¡P®+r_«–¡P®–¡= 111112 +r_ 1111 (n-r)! (n-r-1)!

수 있는 짝수는 4, 6의 2개이므로 5_8_2=80(개)

(n-1)!(n-r+r) = 1111121113 (n-r)!

……`➋

⁄, ¤에서 64+80=144(개)

……`➌

채점 기준

➊ 백의 자리가 홀수일 때의 개수 구하기 ➋ 백의 자리가 짝수일 때의 개수 구하기 ➌ 합의 법칙을 이용하여 홀수의 개수 구하기

⑵3

배점 40% 40% 20%

⑴ 50원짜리 동전은 0, 1, 2, 3개를 사용할 수 있으며

n! = 1111 =«P® (n-r)!

⑴ 48

⑵ 480

그 각각에 대하여 100원짜리 동전은 0, 1, 2개, 500

추론

원짜리 동전은 0, 1, 2, 3, 4개를 사용할 수 있다. 이때 0원을 지불하는 경우는 제외해야 하므로 지불 할 수 있는 경우의 수는 4_3_5-1=59

30개

⑴ 720

⑵ 720

n! (n-k)! ⑶ «P˚_«–˚P«–˚= 1111 _ 1111 =n!=«P« (n-k)! 0!

……`➊

⑵ 지불할 수 있는 금액의 수는 50원짜리 동전 7개, 500원짜리 동전 4개가 있을 때와 같고, 0원을 지불 하는 경우는 제외해야 하므로 8_5-1=39

……`➋ 채점 기준

➊ 지불할 수 있는 경우의 수 구하기 ➋ 지불할 수 있는 금액의 수 구하기

배점 60%

원순열

02 생각해 봅시다

⋯

~ `35쪽 33쪽`

⋯1 24

720

⑴ 48

144

40%

23쪽

⑵ 24

8 문제 해결

2. 순열 준비 학습

~ `25쪽 24쪽`

1 6

2 4

3 6

4 12개

36쪽

순열 ~ `31쪽 26쪽`

⑴ 120

⑵ 120

⑴4

⑵6

360

중복순열 ~ `40쪽 38쪽`

125

243

⑴ 624개

⑵ 300개 문제 해결

12ﬁ 정답 및 풀이 221

따라서 나머지 두 자리에는 8을 제외한 9개의 숫자

같은 것이 있는 순열

가 올 수 있으므로

42쪽`~`44쪽

……`➊

3_9¤ =243(개)

생각해 봅시다

1260

⑴ 60

¤ 천의 자리가 8이 아닌 경우 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0과 8을 제외한 8개 이고 나머지 세 자리에 8이 위치하는 경우의 수가 3

⑵ 66

이다. 따라서 나머지 한 자리에는 8을 제외한 9개의 숫자가 올 수 있으므로

문제 해결

⑴ 125개

……`➋

8_3_9=216(개)

⑵ 10개

⁄, ¤에서 243+216=459(개) 채점 기준

➊ 천의자리가 8일때의자연수의개수구하기 ➋ 천의 자리가 8이 아닐 때의 자연수의 개수 구하기 ➌ 합의 법칙을 이용하여 자연수의 개수 구 하기

46쪽`~`48쪽

⑴ 24

(n-r+1)_«P®–¡

⑵ 20

⑶1

배점 40% 40% 20%

A에서 P, Q, R를 거쳐 B까지 최단 거리로 가는 경우 의 수를 구하면 된다.

n! =(n-r+1)_ 111111 {n-(r-1)}!

……`➊

n! = 1111 (n-r)!

……`➋

=«P® 채점 기준

배점

n! ➊ «P®= 1111 임을 이용하여 우변을 (n-r)! ① 전개하기 ➋ 식을 정리하여 좌변과 같음을 보이기

Q R

……`➊

60%

A에서 P를 거쳐 B까지 최단 거리로 가는 경우의 수는

40%

6! 5! 1113 _ 1113 =200 3!_3! 3!_2! A에서 Q를 거쳐 B까지 최단 거리로 가는 경우의 수는

144

⑴ 90

6가지

⑴ 24

⑵ 72

1022

⑵ 18

6개

⁄ 천의 자리가 8인 경우

⑶ 16

840

648개

나머지 세 자리에 8이 위치하는 경우의 수가 3이다. 222 정답 및 풀이

……`➌

6! 5! 1113 _ 1113 =75 2!_4! 4!_1! A에서 R를 거쳐 B까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 6! 1_ 1113 =6 1!_5!

……`➋

따라서 구하는 경우의 수는 200+75+6=281 채점 기준

➊ 중간 지점 P, Q, R 정하기 ➋ P, Q, R를 거쳐 최단 거리로 가는 경우의 수 각각 구하기 ➌ 합의 법칙을 이용하여 경우의 수 구하기

……`➌ 배점 20% 60% 20%

⑴ 30240

⑵ 720

⑶ 5040

⑴ 15개

18개

⑵ 20개

문제 해결

⑴ 792

⑵ 5775

3. 조합 50쪽`~`51쪽

준비 학습 1 3

2 6

3 12

4 125개

58쪽`~`61쪽

1 10

생각해 봅시다

조합

중복조합

⑴5

20가지

⑴ 286가지

2 35 ⑵6

⑵ 84가지

52쪽`~`56쪽 의사소통

1 12

생각해 봅시다

⑴3

⑵ 20

⑴ 12

⑵4

⑴ «–¡C®–¡+«–¡C®

잘못 구한 학생은 유진이다. 예를 들어 x› 의 경우에 1을 한 ⑶4

번, x¤ 을 두 번 택하거나 x를 두 번, x¤ 을 한 번 택하여 만들 수도 있다. 즉, 1, x, x¤ 의 곱에 의하여 만들어지는 항이 항 상 다른 것은 아니기 때문이다.

(n-1)! (n-1)! = 111111111111 +1111113 (r-1)!{(n-1)-(r-1)}! r!(n-1-r)!

64쪽`~`66쪽

(n-1)! (n-1)! = 11111112 + 1111113 r!(n-r-1)! (r-1)!(n-r)!

⑴1

1 1 (n-1)! = 111111111 { 112 + 1 } r (r-1)!(n-r-1)! n-r

n (n-1)! = 111111111 _ 1111 r(n-r) (r-1)!(n-r-1)!

4845가지

n! = 11111 r!(n-r)!

525

홀수 2개와 짝수 1개를 뽑는 경우의 수는

=«C® n! ⑵ r_«C®=r_ 11111 r!(n-r)! n(n-1)! =r_ 111111122 r(r-1)!(n-r)!

⑵ 28

⑶6

⑷ 10

……`➊

¡∞C™_¡∞C¡=105_15=1575 짝수 2개와 홀수 1개를 뽑는 경우의 수는

(n-1)! =n_ 11111112 (r-1)!(n-r)!

¡∞C™_¡∞C¡=105_15=1575

=n_«–¡C®–¡

1575+1575=3150

……`➋

따라서 구하는 경우의 수는 ……`➌ 정답 및 풀이 223

채점 기준

배점

➊ 홀수 2개, 짝수 1개를 뽑는 경우의 수 구 하기 ➋ 짝수 2개, 홀수 1개를 뽑는 경우의 수 구 하기 ➌ 합의 법칙을 이용하여 경우의 수 구하기

➊ 조합을 이용하여 경우의 수 구하기 ➋ 6개의 수에서 5개를 택하는 중복조합의 수 구하기

40% 40%

➌ 6개의 수에서 4개를 택하는 중복조합의 수 구하기

20%

⑴ 45가지

90개

x, y, z, w가 홀수이므로

특정한 2명의 학생을 3명의 모둠에 배정하는 경우의 수는

⑵ 21가지

배점 30% 30% 40%

⑶ 6가지

x=2i+1, y=2j+1, z=2k+1, w=2l+1 (단, i, j, k, l은 음이 아닌 정수) 이라고 하면 주어진 방정식은

……`➊

•C¡_¶C£_¢C¢=280

2i+1+2j+1+2k+1+2l+1=22이므로

특정한 2명의 학생을 4명의 모둠에 배정하는 경우의 수는 1 •C£_∞C£_™C™_ 12 =280 2!

……`➊

i+j+k+l=9

……`➋

따라서 해가 모두 홀수인 경우의 수는 i, j, k, l의 4개 에서 9개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

따라서 구하는 경우의 수는

12_11_10 ¢Hª=¡™Cª=¡™C£= 111113 =220 3_2_1

……`➌

280+280=560 채점 기준

배점

➊ 특정한 2명의 학생을 3명의 모둠에 배정 하는 경우의 수 구하기

40%

➋ 특정한 2명의 학생을 4명의 모둠에 배정 하는 경우의 수 구하기 ➌ 합의 법칙을 이용하여 경우의 수 구하기

……`➋

채점 기준

배점

➊ x, y, z, w가 홀수임을 이용하여 등식 구 하기 ➋ 중복조합의 수 구하기

40%

60% 40%

20%

⑴ 10

20가지

120가지

1 10

2 12

3 ⑴ 11

⑵4

⑴ a¡<a™<a£<a¢<a∞인 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6

4 210

⑵4

4. 분할과 이항정리 68쪽`~`69쪽

준비 학습

에서 5개를 택하여 작은 수부터 크기순으로 나열하 면 되므로 §C∞=6

……`➊

⑵ a¡…a™…a£…a¢…a∞인 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6 에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 §H∞=¡ºC∞=252

……`➋

⑶ a¡…a™=a£…a¢…a∞인 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6 에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 §H¢=ªC¢=126 224 정답 및 풀이

……`➌

분할 70쪽`~`76쪽

S(5, 4), 10

P(6, 2), 3

⑴5

⑵3

문제 만들기

의사소통

[모범 예시] - 집합의 분할에 대한 문제

«C®=«C«–®이므로 ¢Cº=¢C¢, ¢C¡=¢C£이다.

서로 다른 종류의 과일 4개를 같은 종류의 바구니 2개에 나누

따라서 다음과 같이 두 전개식은 같다.

어 담을 때, 빈 바구니가 없도록 담는 경우의 수를 구하여라.

(a+b)› =¢Cº a› +¢C¡ a‹ b+¢C™ a¤ b¤ +¢C£ ab‹ +¢C¢ b›

[풀이] 구하는 경우의 수는 S(4, 2)이므로

(a+b)› =¢Cº b› +¢C¡ ab‹ +¢C™ a¤ b¤ +¢C£ a‹ b+¢C¢ a›

1 S(4, 2)=¢C¡_£C£+¢C™_™C™_ 13 =4+3=7 2! 84쪽`~`86쪽

[모범 예시] - 자연수의 분할에 대한 문제

서로 같은 종류의 종이 6장을 같은 종류의 봉투 2장에 나누

⑴1

[풀이] 구하는 경우의 수는 P(6, 2)이므로

S(4, 3), 6

6=5+1=4+2=3+3에서 P(6, 2)=3

162

⑴ 90

P(4, 1)+P(4, 2)+P(4, 3)+P(4, 4), 5

서로 같은 종류의 3개 이하의 상자에 나누어 넣어야 하

어 넣을 때, 빈 봉투가 없도록 넣는 경우의 수를 구하여라.

이항정리 78쪽`~`82쪽

⑵ 28

⑶1

⑷5

⑵ 15

므로 상자의 개수는 1개 또는 2개 또는 3개이다.

1 차례로 a¤ b, ab¤ , a¤ b, ab¤ , ab¤ , b‹ 2 (a+b)‹

탐구해 봅시다

그런데 각 상자에 넣은 공이 4개 이하이어야 하므로 상 자의 개수는 2개 또는 3개이다. ⁄ 상자의 개수가 2개인 경우

⑴ x› +4x‹ y+6x¤ y¤ +4xy‹ +y›

……`➊

(4, 3)의 1가지

⑵ a‹ -6a¤ b+12ab¤ -8b‹

¤ 상자의 개수가 3개인 경우

x‹ 의 계수: 192, 상수항: 240

⑴ xﬁ +5x› y+10x‹ y¤ +10x¤ y‹ +5xy› +yﬁ

따라서 ⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는

⑵ 16a› -32a‹ b+24a¤ b¤ -8ab‹ +b›

1+3=4

(4, 2, 1), (3, 3, 1), (3, 2, 2)의 3가지

이 식에 x=-1을 대입하면 «Cº-«C¡+«C™-y+(-1)« «C«=0

⑵ 이항정리에 의하여

이 식에 x=1을 대입하면 ……`㉠

이 식에 x=-1을 대입하면 «Cº-«C¡+«C™-y+(-1)« «C«=0 ㉠+㉡을 한 후 양변을 2로 나누면 «Cº+«C™+«C¢+y=2« —⁄ ㉠-㉡을 한 후 양변을 2로 나누면 «C¡+«C£+«C∞+y=2« —⁄ ⑴0

⑵ 2° =256

40% 20%

⑴ a‹ -9a¤ b+27ab¤ -27b‹ ⑵ afl +6afi b+15a› b¤ +20a‹ b‹ +15a¤ b› +6abfi +bfl

(1+x)« =«Cº+«C¡ x+«C™ x¤ +y+«C« x« «Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2«

배점 40%

➊ 상자의 개수가 2개인 경우 구하기 ➋ 상자의 개수가 3개인 경우 구하기 ➌ 경우의 수 구하기

(1+x)« =«Cº+«C¡ x+«C™ x¤ +y+«C« x«

……`➌ 채점 기준

⑴ 이항정리에 의하여

……`➋

(1+2x)ﬂ 의 전개식에서 일반항은 ……`➊

§C®(2x)® ……`㉡

이때 (1+2x)ﬂ (1-x)의 전개식에서 x› 의 항은 다음 두 가지 경우가 있다. ⁄ §C£(2x)‹ _(-x)=20_8_(-1)_x› =-160x› ¤ §C¢(2x)› =15_16_x›``=240x›

……`➋

따라서 x› 의 계수는 -160+240=80

……`➌

정답 및 풀이 225

채점 기준

➊ (1+2x)ﬂ 의 전개식에서 일반항 구하기 ➋ x› 의 항 구하기 ➌ x› 의 계수 구하기

xﬁ +6x› +14x‹ +16x¤ +9x+2

(3x¤ -x-1)⁄ ‚ =aº+a¡x+a™x¤ +y+a™ºx¤ ‚

512개

배점 20%

88쪽`~`90쪽

70% 10%

6 ……`㉠

㉠의 양변에 x=1을 대입하면

1 30

2③

3 2520개 4 풀이 참조

5 120개

6 657개

7 48

10 120

11 35가지 12 ④

15 ⑤

16 14, 23

8③

9 384

13 ②

14 91

17 풀이 참조

18 ①

학생 4명이 원 모양으로 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6

……`㉡

1=aº+a¡+a™+y+a™º

학생 사이의 4개의 자리에 선생님 3명이 앉는 경우의

㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 ……`㉢

3⁄ ‚ =aº-a¡+a™-y+a™º

수는 ¢P£=24

……`➋

따라서 구하는 경우의 수는 6_24=144

……`➌

㉡+㉢에서 2(aº+a™+y+a™º)=3⁄ ‚ +1 3⁄ ‚ +1 aº+a™+y+a™º= 111 2

……`➊

(3x¤ -x-1)⁄ ‚ 의 전개식에서 상수항은 aº=1이므로

……`➋

채점 기준

배점

➊ 전개한 식의 양변에 x=1, x=-1을 대 입하여 aº+a™+y+a™º의 값 구하기

60%

➋ ;N1 +! 0 a™«의 값 구하기

40%

채점 기준

배점

➊ 학생 4명이 원 모양으로 둘러앉는 경우의 수 구하기

40%

➋ 학생 사이에 선생님이 앉는 경우의 수 구 하기 ➌ 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수 구하기

;N1 +! 0 a™«=a™+a¢+y+a™º 3⁄ ‚ -1 3⁄ ‚ +1 = 111 -1= 111 2 2

……`➊

40% 20%

(a+b)« =«Cºa« +«C¡a« —⁄ b+y+«C«b«` 에서 a=1, b=-;2!;인 경우가 a«이므로 1 a«={1-;2!;}« = 14 2«

……`➊

1 1 ;Nm+! a«=;2!;+ 15 +y+ 14 2μ 2¤

87쪽

[성진이의 방법]

n(«–¡Cº+«–¡C¡+«–¡C™+y+«–¡C«–¡)

……`㉠

등식 (1+x)« =«Cº+«C¡ x+«C™ x¤ +y+«C« x« 에 x=1 과 n 대신 n-1을 대입하면 2« —⁄ =«–¡Cº+«–¡C¡+«–¡C™+y+«–¡C«–¡

……`㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 n_2« —⁄ 이므로 주어진 등식이 성립한다.

1 1 1{1-14} 1 2 2μ =1- 14 ;Nm+! a«= 11111 1 2μ 1-1 2

……`➋

1 1 1 |{1- 14 }-1|= 14 < 12 10¤ 2μ 2μ 2μ >100 따라서 자연수 m의 최솟값은 7이다.

……`➌

[수영이의 방법]

˚≠¡C¡+2 ˚≠¡C™+3 ˚≠¡C£+y+k ˚≠¡C˚+(k+1) ˚≠¡C˚≠¡에서 ˚≠¡C˚≠¡=˚C˚이므로 ˚Cº+˚C¡+2(˚C¡+˚C™)+3(˚C™+˚C£)+y +k(˚C˚–¡+˚C˚)+(k+1)˚C˚ =(˚C¡+2 ˚C™+3 ˚C£+y+k ˚C˚) +{˚Cº+2 ˚C¡+3 ˚C™+y+k ˚C˚–¡+(k+1)˚C˚} =k_2˚ —⁄ +(˚C¡+2 ˚C™+3 ˚C£+y+k ˚C˚) +(˚Cº+˚C¡+˚C™+y+˚C˚) =k_2˚ —⁄ +k_2˚ —⁄ +2˚ =k_2˚ +2˚ =(k+1)_2˚ 226 정답 및 풀이

채점 기준

➊ a«을 이항정리를 이용하여 정리하기

배점 40%

➋ ;Nm+! a«을 간단히 하기

40%

➌ 자연수 m의 최솟값을 구하기

20%

)

상 0.6 대 0.5 도 수 0.4

(

0.3

확률

0.2 0.1 0

1. 확률의 뜻과 활용

(시행 횟수)

94쪽`~`95쪽

준비 학습 1 ;3!; 2 ⑴ ;9@;

50 100 150 200 250300350 400

⑵ ;9%;

2 0.46에 점점 가까워진다. 6

⑴ 0.07

남자: 0.53, 여자: 0.75

1 ;2¶5;

탐구해 봅시다

3 36 4 21

⑵ 0.79

⑴0

⑴1

30 ⑵1 ⑶ ;8¡0;

⑵0 문제 만들기

[모범 예시]

⑴ 모두 남자가 뽑힐 확률

확률의 뜻

¶C™ 125 =;1™9¡0; ™ºC™

96쪽`~`104쪽

⑵ 회장 1명, 부회장 1명을 뽑을 때, 모두 여자가 뽑힐 확률

생각해 봅시다

A={피가로의 결혼, 꿈, 사계, 즉흥환상곡,

¡£P™ 124 =;9#5(; ™ºP™

Love, 호두까기 인형, 겨울, 너와 나}

2 B={피가로의 결혼, 사계, 즉흥환상곡, 호두까

105쪽

기 인형} ;2!;

3 B,A 1

⑴ {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)} ⑵ {(H, H)}

⑴ A와 B, A와 C ;1§3;

생각해 봅시다

;2!;

;5@;

;66%3;

활동해 봅시다

⑵ A와 B

0.46

1 ;1™1; ;9*;

2 ;1¢9; 2

;6$0&;

생각해 봅시다

1 차례로 0.5, 0.4, 0.44, 0.48, 0.45, 0.47, 0.46,

107쪽`~`111쪽

1 ;1¢9;

생각해 봅시다

확률의 덧셈정리

3 ;1•9;

;1¡2;

2 ;1ª1; 4

;4#;

정답 및 풀이 227

로 서는 사건이다.

문제 해결

6명이 일렬로 서는 경우의 수는 6!이므로

;7^8&;

5!_2! P(AÇ )= 1112 =;3!; 6!

P(A)=1-;3!;=;3@;

⑴ ⭋, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}

채점 기준

⑵ BÇ ={1, 2, 4, 5}

➊ 서로 이웃하지 않고 일렬로 서는 사건 A 의 여사건 AÇ 알기 ➋ P(AÇ ) 구하기 ➌ P(A) 구하기

{1, 2, 4, 5, 6}

ㄱ, ㄴ

;5#;

;8!;

⑴ 5장의 카드 중에서 4장을 뽑아 네 자리의 자연수를 만드는 경우의 수는 ∞P¢=120

30% 40% 30%

집합 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}의 부분집합 중 원소의 합이 4 이상일 사건을 A라고 하면 그 여사건 AÇ 는 원소의 합이 3 이하인 사건, 즉 원소의 합이 0, 1, 2, 3인 사건 이다.

™P¡_¢P£=48

……`➊

집합 S의 부분집합은 2ﬂ 개이고,

따라서 구하는 확률은

⁄ 원소의 합이 0인 경우는 ⭋이므로 확률은

;1¢2•0;=;5@;

……`➊

1 15 =;6¡4; 2ﬂ

인 경우의 수는 ¢P£=24

인 경우의 수는 £P™=6

¤ 원소의 합이 1인 경우는 {1}이므로 확률은 1 15 =;6¡4; 2ﬂ ‹ 원소의 합이 2인 경우는 {2}이므로 확률은

따라서 구하는 확률은 24+6+6+6 111111 =;1¢2™0;=;2¶0; 120 채점 기준

1 15 =;6¡4; 2ﬂ

……`➋

› 원소의 합이 3인 경우는 {1, 2}, {3}이므로 확률은 배점 50%

➊ 짝수가 될 확률 구하기 ➋ 4200보다 클 확률 구하기 ⑴ ;4!;

배점

;1!6%;

가 짝수이어야 하므로 그 경우의 수는

……`➌

이때 만든 자연수가 짝수가 되려면 일의 자리의 수

⑵5

……`➋

따라서 구하는 확률은

114쪽`~`116쪽

……`➊

2 15 =;3¡2; 2ﬂ

50%

⁄~›에서 P(AÇ )=;6¡4;+;6¡4;+;6¡4;+;3¡2;=;6∞4;

⑵ ;4#;

……`➋

따라서 원소의 합이 4 이상일 확률은

;2ª2;

21명

;7@5*;

ㄴ, ㄷ

;1¶2;

;6%;

채윤이와 지홍이가 서로 이웃하지 않고 일렬로 서는 사 건을 A라고 하면 그 여사건 AÇ 는 서로 이웃하여 일렬

228 정답 및 풀이

P(A)=1-;6∞4;=;6%4(; 채점 기준

➊ 원소의 합이 4 이상인 사건 A의 여사건 AÇ 알기 ➋ P(AÇ ) 구하기 ➌ P(A) 구하기

;3#6%;

……`➌ 배점 30% 40% 30%

2. 조건부확률

132쪽`~`134쪽 118쪽`~`119쪽

준비 학습 1 ⑴ S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

⑵ A={1, 3, 5}

⑶ B={2, 4, 6}

⑷ C={6}

2 A와 B, A와 C 3 ⑴ ;1¡2;

⑵ ;4!;

⑴ 0.3

;1!4#;

0.3

;5#;

;7$;

실제로 치매에 걸린 사람 100명 중 치매에 걸렸다고 진

⑵ ;8#;

⑶ ;4#;

단 받은 사람 수는

4 ;1•5;

……`➊

100_0.95=95(명)

실제로 치매에 걸리지 않은 사람 900명 중 치매에 걸렸

다고 진단 받은 사람 수는

조건부확률

1 ;1§4§0¶1∞7ª2;

생각해 봅시다

2 ;1£4•0™1ª7¢2;

……`➋

900_(1-0.9)=90(명)

120쪽`~`124쪽

따라서 1000명 중 치매에 걸렸다고 진단 받은 사람 수

3 ;6#6*7@5(9$;

는 95+90=185(명)이므로 이 사람이 실제로는 치매 에 걸리지 않았을 확률은

;7#;

;3!;

;1™5;

;7#;

0.217

90 1112 =;1ª8º5;=;3!7*; 95+90

문제 해결

;1∞3;

사건의 독립 126쪽`~`130쪽

……`➌

채점 기준

배점

➊ 실제로 치매에 걸린 사람 중 치매에 걸렸 다고 진단 받은 사람 수 구하기

30%

➋ 실제로 치매에 걸리지 않은 사람 중 치매 에 걸렸다고 진단 받은 사람 수 구하기

30%

➌ 치매에 걸렸다고 진단 받은 사람이 실제로 는 치매에 걸리지 않았을 확률 구하기

40%

0.46

채윤이네 반 전체 학생 수는

;9!;

……`➊

18+6+12+x=36+x(명)

1 ;5!;

생각해 봅시다

2 ;1£0¶0;

⑴ 독립이다.

;3∞2;

⑵ 독립이다.

24 뽑힌 학생이 남학생일 확률은 P(A)= 111 , 36+x ⑶ 종속이다.

;6@2!5^;

30 안경 쓴 학생일 확률은 P(B)= 111 , 36+x 18 안경 쓴 남학생일 확률은 P(A;B)= 111 이다. 36+x

추론

……`➋

⑴ A;B, P(B), P(B), P(BÇ ), 독립

두 사건 A, B가 서로 독립이므로

⑵ A'B, A;B, P(B), 1-P(B), P(BÇ ), 독립

P(A;B)=P(A)P(B)에서 30 24 18 111 = 111 _ 111 이다. 36+x 36+x 36+x

131쪽

⑴ 종속사건이다.

⑵ 종속사건이다.

따라서 18(36+x)=720에서 x=4

……`➌

정답 및 풀이 229

채점 기준

➊ 채윤이네 반 전체 학생 수 구하기 ➋ P(A), P(B), P(A;B) 각각 구하기 ➌ x의 값 구하기

12개의 공 중 2개의 공을 고르는 경우의 수는 ¡™C™=66

배점 20%

주머니에 들어 있는 검은 공의 개수를 n이라고 할 때,

40% 40%

n개의 검은 공 중 2개의 검은 공을 꺼내는 경우의 수는 n(n-1) «C™= 11114 2

;8*4#0(;

0.94

;8•1;

;2¡7;

n(n-1) 11114 132

;2•4º3;

ㄱ, ㄴ, ㄷ

n(n-1) 즉, 11114 =;3!3$;에서 132

;5¢1∞2;

따라서 2개 모두 검은 공일 확률은 ……`➋

n¤ -n-56=0이므로 (n-8)(n+7)=0 그런데 n은 자연수이므로 n=8 따라서 검은 공은 8개가 들어 있다. 135쪽

채점 기준

;9$;

➊ 2개 모두 검은 공일 확률 구하기 ➋ 검은 공의 개수를 n이라고 할 때, 2개 모 두 검은 공일 확률 구하기 ➌ 주머니에 들어 있는 검은 공의 개수 구하기

136쪽`~`138쪽

2 풀이 참조 3 ②

4 ;5@;

5②

6 ;7#;

8④

9 풀이 참조 10 ;4#;

11 ;3!;

12 ;7™5;

13 ②

14 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

15 1

16 풀이 참조

사건 A와 배반인 사건은 사건 AÇ 의 부분집합이고, 사 건 B와 배반인 사건은 사건 BÇ 의 부분집합이므로 사 ……`➊

즉, 홀수이면서 3의 배수가 아닌 수는 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19이므로 사건 C는 집합 {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 의 부분집합이다. 따라서 사건 C의 개수는 원소가 7개인 집합의 부분집

채점 기준

➊ 사건 C의 원소의 조건 구하기 ➋ 사건 C의 개수 구하기

……`➋ 배점 40% 60%

적어도 한 개가 흰 공일 확률이 ;3!3(;이므로 2개 모두 검 은 공일 확률은 1-;3!3(;=;3!3$;

230 정답 및 풀이

40% 40%

는 사건을 A라고 하면 사건 A가 일어날 확률은 ……`➊

따라서 5회의 시행 중 사건 A가 3회 일어날 확률은

17 ④

합의 개수와 같으므로 2‡ =128(개)이다.

배점 20%

동전의 앞면과 주사위의 6의 약수의 눈이 동시에 나오

P(A)=;2!;_;6$;=;3!;

1①

건 C는 AÇ ;BÇ 의 부분집합이다.

……`➌

……`➊

∞C£_{;3!;}‹ _{;3@;}¤ =;2¢4º3; 채점 기준

➊ 동전의 앞면과 주사위의 6의 약수의 눈이 동시에 나올 확률 구하기 ➋ 독립시행의 확률을 이용하여 확률 구하기

……`➋ 배점 40% 60%

III

생각해 봅시다

통계 준비 학습

;2&;

'3 V(X)=;4#;, r(X)= 124 2

V(X)=1.5, r(X)='∂1.5

생각해 봅시다

2 ⑴ ;In+! x‘p‘

⋯

⋯1

번 4 평균: 2번, 표준편차: 113 5 '∂35

F 평균

작품 개수 22

사람

⑵ ;In+! (x‘-m)¤ p‘

3 210

⋯1 2300원

~ `143쪽 142쪽`

1 ;4!;

활동해 봅시다

⋯

~ `158쪽 152쪽`

1. 확률분포

이산확률변수의 기댓값과 표준편차

⑴ -19

'∂105 E(2X+3)=10, r(2X+3)= 1241 3

E(T)=50, r(T)=10

E(Y)=1450, r(Y)=100

⑵2

의사소통

확률변수와 확률분포 ~ `150쪽 144쪽`

평균

표준편차

⋯

⋯1 차례로 3, 4, 5, 6, ;6!;, ;6!;, ;6!;, ;6!;, ;6!;

E(X)=:¡2¡:

'∂33 r(X)= 115 2

⋯

⋯2 1, 2, 3, 4, 5, 6

E(2X)=2E(X)=11

r(2X)=2r(X)='∂33

⋯

⋯3 하나씩 대응한다.

E(X+1)=E(X)+1

'∂33 r(X+1)=r(X)= 115 2

=:¡2£:

•CÆ_¶C™–Æ ⑴ P(X=x)= 11111 (x=0, 1, 2) ¡∞C™

E(2X+1)=2E(X)+1

합계

P(X=x)

;5!;

;1•5;

;1¢5;

r(2X+1)=2r(X) ='∂33

=12

⑵ ;1!5!;

2 생각해 봅시다

⋯

⋯1 {일, 월, 화, 수, 목, 금, 토}

⋯

⋯2 {t분|0…t…10, t는 실수}

생각해 봅시다

~ `166쪽 160쪽`

⋯

⋯차례로 ∞Cº{;4!;}‚ {;4#;}ﬁ , ∞C¡{;4!;}⁄ {;4#;}› , ∞C™{;4!;}¤ {;4#;}‹ ,

⋯

⋯∞C£{;4!;}‹ {;4#;}¤ , ∞C¢{;4!;}› {;4#;}⁄ , ∞C∞{;4!;}ﬁ {;4#;}‚

;8&;

;1•2¡8;

'5 E(X)=;3@;, V(X)=;9%;, r(X)= 12 3

문제 해결

;4!;

이항분포

;2™5;

;6%2$5$;

정답 및 풀이 231

E(X)=2, r(X)=1.4

E(X)=48, r(X)=6

X n=10일 때, P{| 12 -;6!;|<0.05}=0.291 10

1-x f(x)= 113 에 대하여 a

f(x) 2 a

2 f(-1)= 1 , f(1)=0이므로 a 2 ;2!;_2_ 1 =1에서 a

X n=30일 때, P{| 12 -;6!;|<0.05}=0.537 30

-1

……`➊

a=2

또, P(X>0)은 위의 그림에서 색칠한 부분의 넓이와

X n=50일 때, P{| 12 -;6!;|<0.05}=0.660 50

같으므로

X n의 값이 점점 커질 때, 확률 P{| 12 -;6!;|<0.05}는 n

P(X>0)=;2!;_1_;2!;=;4!;

1에 가까워진다.

채점 기준

➊ a의 값 구하기 ➋ 확률 P(X>0) 구하기

의사소통

큰 수의 법칙에 따르면 시행 횟수가 클수록 상대도수는 수

……`➋ 배점 60% 40%

학적 확률에 가까워지는 경향이 있으므로 소규모 고등학교

보다는 대규모 고등학교의 남녀 성비가 1.12 : 1에 가까울

가능성이 더 높다. 따라서 옳을 가능성이 가장 높은 의견을

a=2, b=10

말한 학생은 성준이다.

E(X)=27, V(X)=18

;3!;

a=4, b=5

주사위를 n회 던져서 R회 짝수가 나올 때의 득점을 Y라

04 1

정규분포 169쪽`~`178쪽

⑴ 0.0808

⑵ 0.9544

1 평균: 0, 표준편차: 3 2 평균: 0, 표준편차: 1 3 Y™

생각해 봅시다

고 하면, 짝수가 나오는 횟수 R는 이항분포 B{n, ;2!;}을 따르므로

⑴ 0.7734

81.85%

1637개

668그루

0.4772

0.0062

0.1056

⑵ 0.9332

⑶ 0.2902

……`➊

E(Y)=E(100R)=100E(R) n =100_ 1 =50n 2

……`➋

따라서 구하는 기댓값은 n ;N1 +! 9 50n_ 124 =;1∞9;`;N1 +! 9 n¤ 190

문제 해결

m의 최댓값: 5, r의 최솟값: 1.2

19_20_39 =;1∞9;_ 111131 6 180쪽`~`182쪽

;2!;

£CÆ_¢C™–Æ P(X=x)= 111124 (x=0, 1, 2) ¶C™

232 정답 및 풀이

n E(R)=n_;2!;= 1 2

=650 채점 기준

➊ 주사위를 n회 던졌을 때, 짝수가 나오는 횟수의 기댓값 구하기 ➋ 짝수가 나올 때의 득점의 기댓값 구하기 ➌ 받을 점수의 기댓값 구하기

……`➌ 배점 40% 30% 30%

1-a-;2B;

영어, 국어, 과학, 수학

0.9759

0.9332

두 개의 동전을 동시에 던질 때 두 개 모두 앞면이 나올

01 생각해 봅시다

확률은 ;2!;_;2!;=;4!;이다. 이때 두 개 모두 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 하면 X는 이항분포 B{300, ;4!;}을 따르므로

……`➊

E(X)=300_;4!;=75

모집단과 표본 186쪽`~`193쪽

성민이의 방법이 가장 합리적이다. ⑴ 216

⑵ 120

⑶ 20

1 약 13.97

탐구해 봅시다

E(X”)=80, V(X”)=;10(0;, r(X”)=;1£0;

0.8185

0.0228 문제 만들기

V(X)=300_;4!;_;4#;=7.5¤

표본평균 X’의 평균과 표준편차는 각각 E(X’)=500,

따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(75, 7.5¤ )을 따른 다.

……`➋

20 r(X’)= 211 =2이므로 표본평균 X’는 정규분포 '∂100 N(500, 2¤ )을 따른다.

P(X…60)=P(Z…-2) =P(Zæ2)

따라서 구하는 확률은

=0.5-P(0…Z…2)

P(497…X’…502)

=0.5-0.4772

502-500 497-500 =P{ 11112 …Z… 11112 } 2 2

……`➌

=0.0228 채점 기준

➊ X가 따르는 이항분포 구하기 ➋ X가 근사적으로 따르는 정규분포 구하기 ➌ 정규분포를 표준화하여 확률 구하기

배점 40% 30%

=P(-1.5…Z…1) =0.7745

30%

02 2. 통계적 추정

합계

P(X=x)

;6!;

;3@;

;6!;

2 ⑴ 10

⑵8

3 E(X)=:™;3);º:, r(X)=:™3º: 4 0.6826

⑶ 2'2

196쪽`~`199쪽

64.42…m…69.58 (단위: km/h)

119.412…m…120.588 (단위: 분)

107병 이상

184쪽`~`185쪽

준비 학습

모평균의 추정

추론

신뢰도 a%, 표본의 크기 n일 때의 신뢰구간의 길이를 l이 라고 하면 r l=2_k_ 12 (P(|Z|…k)=a_0.01) 'n ㈎ 신뢰도가 일정할 때, 표본의 크기 n이 커지면 신뢰구간 의 길이는 짧아진다. (참) ㈏ 신뢰구간의 길이는 표본평균 xÆ에 따라 달라지지 않는다. (거짓) 정답 및 풀이 233

P(149…X”…151)

㈐ 표본의 크기가 같을 때, 신뢰도를 높이면 k의 값이 커지 므로 신뢰구간의 길이는 길어진다. (참)

149-150 X’-150 151-150 =P{ 11112 … 1111 … 11112 } 0.5 0.5 0.5 =P(-2…Z…2) =2_P(0…Z…2)

=2_0.4772=0.9544

모비율의 추정 202쪽`~`208쪽

채점 기준

➊ 표본평균이 따르는 정규분포 구하기 ➋ 정규분포를 표준화하여 확률 구하기

1 축구, 23.1%

생각해 봅시다

;50#0;

0.9876

생각해 봅시다

가장 선호하는 직업은 교사라고 말할 수 없다.

배점 50% 50%

ㄱ, ㄴ 0.3413

0.179…p…0.221

7.412…m…8.588

400명 이상

모평균 m의 신뢰도 a%의 신뢰구간은

의사소통

……`➋

16 16 240-k_ 11 …m…240+k_ 11 '∂64 '∂64

모비율 p에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 0.137…p…0.224라는 것은 표본을 반복적으로 임의추출할

(단, P(|Z|…k)=a_0.01)

때 구한 신뢰구간의 95%가 모비율을 포함한다는 의미이다.

……`➊

이므로 237…m…243과 비교하여 k=1.5라는 것을 알

따라서 모비율은 13.7%와 22.4% 사이에 있을 수도 있고

수 있다.

없을 수도 있다는 정민이의 의견이 타당하다.

……`➋

이때 주어진 표준정규분포표로부터 P(|Z|…1.5)=2_0.43=0.86 이므로 a=86

……`➌ 채점 기준

210쪽`~`212쪽

➊ 신뢰도 a%의 신뢰구간을 구하는 식 세우기 ➋ 주어진 신뢰구간과 비교하여 k의 값 구하기 ➌ 주어진 표준정규분포표를 이용하여 a의 값 구하기

배점 20% 40%

⑴ 전수조사

E(X”)=2, V(X”)=;8!;

E(X”)=1, V(X”)=;4!;

400

260

이므로 신뢰도 95%로 추정한 모비율 p의 신뢰구간은

0.9772

0.64_0.36 0.64_0.36 ^-1.96æ≠ 11111 ^+1.96æ≠ 11111 p …p…p n n

모집단의 분포는 정규분포 N(150, 5¤ )을 따르므로 크

⑵ 표본조사

기가 100인 표본의 표본평균 X”는 정규분포 N(150, 0.5¤ )을 따른다. 따라서 구하는 확률은 234 정답 및 풀이

40%

0.0412…p…0.1588

0.1855…p…0.3145

^=0.64 1000명 중 표본 640명의 비율인 표본비율이 p

……`➊ ^|…0.01이어야 하므로 이때 |p-p

……`➊

0.64_0.36 0.64_0.36 -1.96æ≠ 11111 …p-p^…1.96æ≠ 11111 n n

0.64_0.36 에서 1.96æ≠ 11111 …0.01 n

따라서 구하는 확률은

……`➋

P(Xæ130)=P(Zæ1)=0.5-P(0…Z…1)

이 식을 정리하면

……`➌

=0.5-0.34=0.16

1.96_0.48 næ{ 11111 }¤ , 즉 næ8851.0464 0.01

채점 기준

따라서 표본의 크기를 8852명 이상으로 해야 한다. ……`➌ 채점 기준

배점

➊ 모비율에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간 구 하기 ➋ 모비율 p와 표본비율 p^의 차 |p-p^|의

40% 30%

범위 구하기 ^|…0.01을 만족하는 표본의 크기 ➌ |p-p 구하기

30%

배점 40%

➊ 확률변수의 범위 구하기 ➋ 확률변수가 따르는 정규분포 구하기 ➌ 정규분포를 표준화하여 확률 구하기

40% 20%

m=120, r=20, n=100이므로 X”는 E(X”)=120, 20 r(X”)= 1145 =2인 정규분포를 따른다. '∂100

……`➊

따라서 구하는 확률은 P(116…X”…123) 123-120 116-120 =P{ 11114 …Z… 11114 } 2 2

213쪽

=P(-2…Z…1.5)=0.4772+0.4332

:¡1º8£:

……`➋

=0.9104 채점 기준

➊ 표본평균이 따르는 정규분포 구하기 ➋ 정규분포를 표준화하여 확률 구하기

배점 50% 50%

214쪽`~`216쪽

1②

2 ;4%;

3④

5 E(X)=9, V(X)=0.9 7 36:32:27 8 ①

4① 6④

9 풀이 참조

11 3.102…m…3.298 (단위: kg)

10 795.9

12 0.5328

13 풀이 참조 14 ㄱ, ㄴ, ㄷ 15 0.5804…p…0.6196 16 ⑤

720번의 시행 중 5점을 얻는 횟수를 X, 1점을 잃는 횟 수를 Y라고 하면 X+Y=720

……`㉠

점수가 60점 이상인 경우는 5X-Yæ60

……`㉡

㉠, ㉡에서 Xæ130

……`➊

이때 X는 이항분포 B{720, ;6!;}을 따르므로 E(X)=720_;6!;=120, V(X)=720_;6!;_;6%;=100 즉, X는 근사적으로 정규분포 N(120, 10¤ )을 따른다. ……`➋ 정답 및 풀이 235

표준정규분포표 f(z) f(z)=

zº

1 e— z¤2 '∂2p

P(0…Z…zº)는 왼쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이이다.

zº

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

.0000 .0398 .0793 .1179 .1554

.0040 .0438 .0832 .1217 .1591

.0080 .0478 .0871 .1255 .1628

.0120 .0517 .0910 .1293 .1664

.0160 .0557 .0948 .1331 .1700

.0199 .0596 .0987 .1368 .1736

.0239 .0636 .1026 .1406 .1772

.0279 .0675 .1064 .1443 .1808

.0319 .0714 .1103 .1480 .1844

.0359 .0753 .1141 .1517 .1879

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

.1915 .2257 .2580 .2881 .3159

.1950 .2291 .2611 .2910 .3186

.1985 .2324 .2642 .2939 .3212

.2019 .2357 .2673 .2967 .3238

.2054 .2389 .2704 .2995 .3264

.2088 .2422 .2734 .3023 .3289

.2123 .2454 .2764 .3051 .3315

.2157 .2486 .2794 .3078 .3340

.2190 .2517 .2823 .3106 .3365

.2224 .2549 .2852 .3133 .3389

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

.3413 .3643 .3849 .4032 .4192

.3438 .3665 .3869 .4049 .4207

.3461 .3686 .3888 .4066 .4222

.3485 .3708 .3907 .4082 .4236

.3508 .3729 .3925 .4099 .4251

.3531 .3749 .3944 .4115 .4265

.3554 .3770 .3962 .4131 .4279

.3577 .3790 .3980 .4147 .4292

.3599 .3810 .3997 .4162 .4306

.3621 .3830 .4015 .4177 .4319

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

.4332 .4452 .4554 .4641 .4713

.4345 .4463 .4564 .4649 .4719

.4357 .4474 .4573 .4656 .4726

.4370 .4484 .4582 .4664 .4732

.4382 .4495 .4591 .4671 .4738

.4394 .4505 .4599 .4678 .4744

.4406 .4515 .4608 .4686 .4750

.4418 .4525 .4616 .4693 .4756

.4429 .4535 .4625 .4699 .4761

.4441 .4545 .4633 .4706 .4767

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

.4772 .4821 .4861 .4893 .4918

.4778 .4826 .4864 .4896 .4920

.4783 .4830 .4868 .4898 .4922

.4788 .4834 .4871 .4901 .4925

.4793 .4838 .4875 .4904 .4927

.4798 .4842 .4878 .4906 .4929

.4803 .4846 .4881 .4909 .4931

.4808 .4850 .4884 .4911 .4932

.4812 .4854 .4887 .4913 .4934

.4817 .4857 .4890 .4916 .4936

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

.4938 .4953 .4965 .4974 .4981

.4940 .4955 .4966 .4975 .4982

.4941 .4956 .4967 .4976 .4982

.4943 .4957 .4968 .4977 .4983

.4945 .4959 .4969 .4977 .4984

.4946 .4960 .4970 .4978 .4984

.4948 .4961 .4971 .4979 .4985

.4949 .4962 .4972 .4979 .4985

.4951 .4963 .4973 .4980 .4986

.4952 .4964 .4974 .4981 .4986

3.0 3.1 3.2 3.3

.4987 .4990 .4993 .4995

.4987 .4991 .4993 .4995

.4987 .4991 .4994 .4995

.4988 .4991 .4994 .4996

.4988 .4992 .4994 .4996

.4989 .4992 .4994 .4996

.4989 .4992 .4995 .4996

.4990 .4993 .4995 .4996

.4990 .4993 .4995 .4997

236 수표

난수표 1 2 3 4 5

67 67 78 32 45

11 41 26 19 72

09 90 74 10 14

48 15 41 89 75

96 23 76 41 08

29 62 43 50 16

94 54 35 09 48

59 49 02 06 99

84 02 07 16 17

41 06 59 28 64

68 93 86 87 62

38 25 92 51 80

04 55 06 38 58

13 49 45 88 20

86 06 95 43 57

91 96 25 13 37

02 52 10 77 16

19 31 94 46 94

85 40 20 77 72

28 59 44 53 62

6 7 8 9 10

74 54 34 04 38

93 32 18 70 69

17 82 43 61 83

80 40 76 78 65

38 74 96 89 75

45 47 49 79 38

17 94 68 52 85

17 68 55 36 58

73 61 22 26 51

11 71 20 04 23

99 48 78 13 22

43 87 08 70 91

52 17 74 60 13

38 45 28 50 54

78 15 25 24 24

21 07 29 72 25

82 43 29 84 58

03 24 79 57 20

78 82 18 00 02

27 16 33 49 83

11 12 13 14 15

05 97 23 32 67

89 11 04 88 33

66 78 34 65 08

75 69 39 68 69

80 79 70 80 09

83 79 34 00 12

75 06 62 66 32

71 98 30 49 93

64 73 91 22 06

62 35 00 70 22

17 29 09 90 97

55 06 66 18 71

03 91 42 88 78

30 56 03 22 47

03 12 55 10 21

86 23 48 49 29

34 06 78 46 70

96 04 18 51 29

35 69 24 46 73

93 67 02 12 60

16 17 18 19 20

81 77 57 25 50

87 53 89 67 51

77 75 89 87 45

79 79 98 71 14

39 16 26 50 61

86 52 10 46 58

35 57 16 84 79

90 36 44 98 12

84 76 68 62 88

17 20 89 41 21

83 59 71 85 09

19 46 33 51 02

21 50 78 29 60

21 05 48 07 91

49 65 44 12 20

16 07 89 35 80

05 47 27 97 18

71 06 04 77 67

21 64 09 01 36

60 27 74 81 15

21 22 23 24 25

30 60 36 45 69

88 49 45 71 63

39 39 19 08 12

88 06 52 61 03

37 59 10 71 07

27 20 42 33 91

98 04 83 00 34

23 44 86 87 05

00 52 78 82 01

56 40 87 21 27

46 23 30 35 51

67 22 00 63 94

14 51 39 46 90

88 96 04 07 01

18 84 30 03 10

19 22 38 56 22

97 14 06 48 41

78 97 92 94 50

47 48 41 36 50

20 08 51 04 56

26 27 28 29 30

41 09 57 82 17

82 85 71 06 95

06 92 05 47 30

87 32 35 67 06

49 12 47 53 64

22 06 59 22 99

16 34 65 36 33

34 50 38 49 89

03 72 38 68 27

13 04 41 86 84

20 08 57 87 65

02 76 91 04 47

31 61 61 18 78

13 95 96 80 11

03 04 87 66 01

92 84 63 96 86

86 93 24 57 61

49 09 45 53 05

69 84 17 88 05

69 05 72 83 28

31 32 33 34 35

70 97 31 30 98

55 93 55 92 05

98 30 49 80 49

92 87 69 82 50

19 84 17 37 04

44 49 12 16 94

85 28 22 01 71

86 29 20 46 34

65 77 41 81 12

73 84 50 22 49

69 31 45 48 85

73 09 63 80 82

75 35 52 55 82

41 59 13 77 67

78 41 46 99 17

51 39 20 11 38

05 71 70 30 22

57 46 72 14 86

36 53 30 65 15

33 57 57 29 93

36 37 38 39 40

00 74 63 48 20

86 76 84 12 60

28 84 36 39 42

06 09 95 00 30

39 68 80 88 95

03 33 28 05 71

29 73 36 86 77

04 25 19 29 03

84 97 26 37 14

41 71 50 96 88

20 65 72 18 81

84 34 55 85 15

01 72 80 07 91

97 55 54 95 68

53 62 55 37 38

50 50 68 06 07

90 50 58 78 45

12 59 94 96 47

94 01 96 32 37

67 93 50 89 75

수표 237

찾아 보기

ㄱ 계승

●

ㅇ

여사건

곱의 법칙 기댓값

●

153

●

연속확률변수 원순열

●

독립

●

126

독립시행

●

128

148

●

145

이산확률변수

ㄷ

●

이항계수

●

이항분포

●

161

이항정리

●

임의추출

●

187

ㅁ 모분산

●

189

모비율

●

202

모집단

●

186

자연수의 분할

모평균

●

189

전수조사

●

186

정규분포

●

170

모표준편차

●

ㅈ

189

조건부확률

ㅂ 배반사건

●

조합

●

종속

●

127

수학적 확률 순열

●

시행

●

신뢰구간 신뢰도

238 찾아보기

●

중복조합

●

집합의 분할

●

ㅊ

197

121

중복순열

ㅅ

추정

●

196

기호

ㅋ 큰 수의 법칙

●

165

«P®

●

«P®

통계적 확률

●

«H®

100

28 ●

«C®

ㅌ

27 38

●

S(n, k)

●

P(n, k) P(A)

ㅍ 표본

●

186

표본분산

●

190

표본비율

●

202

표본조사

●

186

표본평균

●

190

P(B|A)

●

E(X)

●

V(X)

●

r(X)

154

N(0, 1)

190

X’

표준정규분포

171

S¤

●

S ^ p

●

145

154 ●

N(m, r¤ )

●

172

●

121

●

153

B(n, p)

표본표준편차

●

표준화

●

P(X=x)

파스칼의 삼각형

190 190

161 ●

●

170

171

190

202

ㅎ 합의 법칙

●

확률밀도함수

●

149

확률변수

●

145

확률분포

●

145

확률질량함수

●

145

찾아보기 239

사진 자료 출처 •2018 평창 동계올림픽대회 조직 위원회│ 14쪽

•연합 뉴스│ 14쪽, 125쪽, 147쪽, 156쪽, 184쪽, 193쪽

•광화문 희망나눔 장터│ 70쪽

•영화 21 홈페이지, http://www.sonypictures.com/

•김치 박물관│ 146쪽

•대한 체육회│ 35쪽, 111쪽, 129쪽, 216쪽 •두산동아 자료실│ 10쪽, 12쪽, 14쪽, 15쪽, 18쪽, 19쪽, 24쪽,

homevideo/21/index.html│ 159쪽 •우정사업본부│ 76쪽

•음성군청│ 192쪽

25쪽, 38쪽, 49쪽, 50쪽, 56쪽, 67쪽, 70쪽, 73쪽, 74쪽, 76쪽, 87쪽,

•이미지 코리아│ 35쪽, 45쪽, 92쪽, 93쪽, 95쪽

91쪽, 99쪽, 100쪽, 105쪽, 107쪽, 108쪽, 115쪽, 120쪽, 122쪽,

•이미지 클릭│ 140쪽, 141쪽

123쪽, 124쪽, 128쪽, 144쪽, 153쪽, 155쪽, 158쪽, 163쪽, 167쪽,

•중앙 선거관리 위원회│ 185쪽

168쪽, 172쪽, 175쪽, 178쪽, 187쪽, 189쪽, 194쪽, 198쪽, 199쪽,

•한국천문연구원│ 139쪽

207쪽, 213쪽, 218쪽

•i22│ 8쪽, 9쪽, 37쪽, 40쪽, 42쪽, 48쪽, 57쪽, 66쪽, 69쪽, 92쪽,

•씨네 21 홈페이지, http://www.cine21.com/movie/info/

movie_id/23673│ 159쪽

93쪽, 95쪽, 99쪽, 101쪽, 104쪽, 118쪽, 126쪽, 128쪽, 133쪽, 137쪽, 142쪽, 175쪽, 177쪽, 198쪽, 208쪽, 212쪽, 214쪽

인용 자료 출처 •9쪽│ Ravi Vakil(조정수외 11인 역), 수학의 모자이크, 경문사, 2010 (106쪽, 107쪽) •10쪽, 11쪽│ 이재만, 한국의 색, 일진사, 2005 (22쪽~27쪽, 37쪽 ~41쪽) •19쪽│남계명・노범규, 자동차 관련 법규집, 건기원, 2012 (361쪽~374쪽) •24쪽, 25쪽│ 박은숙・박윤선, 소셜 모바일 시대 QR 코드 마케팅 전략, 한빛미디어, 2011 (22쪽~26쪽) •41쪽│ 새 주소 안내 시스템, http://www.juso.go.kr •45쪽│ 점자 세상, http://www.braillekorea.org •50쪽, 51쪽│ Charles H. Corwin(화학교재편찬위원회 편), 일반 화학: 개념과 적용, 탐구당, 2010 (217쪽~225쪽) •54쪽│ David Burton, The history of mathematics; An

•113쪽│ 이경화, 확률과 통계의 역사, 한국초등수학교육학회지 제1 호, 1997 (55쪽) •118쪽, 119쪽│ 이영직, 선생님 숫자가 참 좋아요, 스마트주니어, 2011 (72쪽) •122쪽│ 관광지식정보 시스템, http://www.tour.go.kr •139쪽│ 한국천문연구원, http://www.kasi.re.kr •141쪽, 176쪽, 179쪽│ 스티븐 스티글러(조재근 역), 통계학의 역사, 한길사, 2010 (188쪽~198쪽, 302쪽~307쪽, 563쪽~568쪽) •142쪽, 143쪽│ YOUNG AND FREEDMAN(김용은 역), 현대 물 리학, 청문각, 2009 (184쪽, 185쪽) •144쪽, 197쪽│ 허명회외 5인, 통계학사 콜로키움, 자유아카데미, 1991 (제4부 11장, 12장) •155쪽│ 국가기록원, http://www.archives.go.kr

introduction, McGraw-Hill Science / Engineering /

•178쪽│ 한국철도공사, http://www.korail.com

Math(7ed), 2010 (375쪽)

•184쪽, 185쪽│ 류제복, 출구 조사의 역사와 개선 방향, 한국조사

•68쪽, 69쪽│ 국제 빙상 연맹, http://www.isu.org •81쪽│ Steven G. Krantz (남호영・장영호 역), 문제해결로 살펴 본 수학사, 경문사, 2012 (253쪽~256쪽) •91쪽│ 서울특별시 교통국, http://traffic.seoul.go.kr •93쪽, 98쪽, 100쪽, 103쪽│ Boyer, C. B. (양영오・조윤동 역), 수학의 역사 하, 경문사, 2000 (543쪽, 565쪽, 573쪽~576쪽, 589쪽, 677쪽, 678쪽, 682쪽~684쪽, 1018쪽) •94쪽, 95쪽│ 오창수・김경희, 최신 보험 수리학, 박영사, 2011 (112쪽, 113쪽) •101쪽, 106쪽│ 왕문옥외 2인, 민속수학과 목제주령구의 확률 연 구, 한국수학사학회지 제18권 제4호, 2005 (71쪽, 72쪽) •101쪽, 120쪽, 124쪽, 169쪽│ 통계청, http://www.kostat.go.kr

240 출처

연구학회지 제4권 1호, 2003 (32쪽~37쪽) •187쪽│ 여성가족부, http://www.mogef.go.kr •189쪽, 205쪽│ 교육통계 서비스, http://cesi.kedi.re.kr •196쪽│ 국제 인구 행동연구소,

http://www.populationaction.org •198쪽│ 한국정보화진흥원 인터넷중독대응센터,

http://www.iapc.or.kr •204쪽│ David Slasburg(박중양 역), 통계학의 피카소는 누구일 까, 자유아카데미, 2011 (38쪽~44쪽) •209쪽│ 환경부, http://www.me.go.kr •218쪽│ 커리어넷, http://www.career.go.kr

Ⅰ. 순열과 조합

기본을 다지는 문제

1. 경우의 수

[01~02] 한 개의 주사위를 던질 때, 다음을 구하여라.

[07~08] 다음을 구하여라.

3의 배수 또는 5의 배수의 눈이 나오는 경우 의수

홀수 또는 짝수의 눈이 나오는 경우의 수

[03~04] 1부터 10까지의 자연수가 각각 적힌 10장의

십의 자리의 수는 짝수, 일의 자리의 수는 홀 수인 두 자리의 자연수의 개수

십의 자리의 수와 일의 자리의 수가 모두 홀 수인 두 자리의 자연수의 개수

[09~10] 다음 수의 약수의 개수를 구하여라.

카드 중에서 1장을 뽑을 때, 다음을 구하여라.

200

4의 배수 또는 5의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우의 수

소수 또는 7의 배수가 적힌 카드를 뽑는 경우 의수 [11~13] (a+b)(p+q+r)(x+y+z)를 전개하였을 때, 다음을 구하여라.

모든 항의 개수

a를 포함하는 항의 개수

p를 포함하지 않는 항의 개수

[05~06] 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 다음을 구하여라.

자르는 선

나오는 눈의 수의 합이 2 또는 3인 경우의 수

나오는 눈의 수의 합이 5 또는 10인 경우의 수

부록 241

242 부록

Ⅰ. 순열과 조합

기본을 다지는 문제

2. 순열

[01~03] 다음 값을 구하여라.

[08~10] 다음 값을 구하여라.

¢P£

∞P™

§P§

£P£

∞Pº

™P¢

[04~05] 5개의 수 1, 2, 3, 4, 5가 각각 적힌 5장의 카드에 대하여 다음을 구하여라.

서로 다른 5장의 카드를 택하여 만들 수 있는

[11~12] 다음을 구하여라.

문자를 택하여 일렬로 배열하는 경우의 수

다섯 자리의 자연수의 개수

서로 다른 3장의 카드를 택하여 만들 수 있는

3개의 수 1, 2, 3에서 중복을 허용하여 4개를 뽑아 만들 수 있는 네 자리의 자연수의 개수

세 자리의 자연수의 개수

[06~07] 다음을 구하여라.

2개의 문자 a, b에서 중복을 허용하여 3개의

[13~14] 5개의 수 1, 1, 2, 2, 3에 대하여 다음을 구 하여라.

자르는 선

5명의 학생이 원 모양의 탁자에 둘러앉는 경 우의 수

5개의 수를 일렬로 배열하는 경우의 수

4명의 학생이 원 모양의 탁자에 둘러앉을 때,

5개의 수를 일렬로 배열할 때, 양 끝에 1이

특정한 2명이 이웃하여 앉는 경우의 수

오는 경우의 수

부록 243

244 부록

Ⅰ. 순열과 조합

기본을 다지는 문제

3. 조합

[01~03] 다음 값을 구하여라.

[10~12] 다음 값을 구하여라.

£C™

™H£

§C™

£H¢

∞C∞

∞H∞

[13~14] 다음 등식을 만족하는 n의 값을 구하여라. [04~05] 다음 등식을 만족하는 n의 값을 구하여라.

04 05

«C™=28

«C£=35

¢H™=«C™

«H£=¶C£

[15~16] 사과, 배, 감, 포도의 4가지 과일 중에서 중 [06~07] 10명의 학생이 있을 때, 다음을 구하여라.

대표 2명을 선출하는 경우의 수

대표 4명을 선출할 때, 특정한 1명은 반드시 선출되는 경우의 수

복을 허용하여 택할 때, 다음을 구하여라.

4가지 과일 중에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 경우의 수

4가지 과일 중에서 중복을 허용하여 5개를 택하는 경우의 수

자르는 선

[08~09] 볼펜 4자루가 포함된 서로 다른 10자루의

[17~18] 다음 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수를

필기구 중에서 3자루를 고를 때, 다음을 구하여라.

구하여라.

3자루가 모두 볼펜일 경우의 수

x+y=5

1자루만 볼펜일 경우의 수

x+y+z=7

부록 245

246 부록

Ⅰ. 순열과 조합

기본을 다지는 문제

4. 분할과 이항정리

[01~04] 다음 값을 구하여라.

[09~12] 이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하여라.

S(3, 2)

(a+b)›

S(5, 4)

(x-2)›

P(3, 2)

1 {x+ 1 }ﬁ x

P(5, 4)

1 {x- 1 }ﬁ y

[05~06] 원소가 4개인 집합에 대하여 다음을 기호로 나타내고, 그 값을 구하여라.

3개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수

[13~16] 다음을 구하여라.

(x-2)ﬂ 의 전개식에서 상수항

(2x-3y)ﬁ 의 전개식에서 x› y의 계수

2 {x- 1 }ﬁ 의 전개식에서 x의 계수 x

3 {x¤ - 1 }ﬂ 의 전개식에서 x‹ 의 계수 x

2개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수

[07~08] 자연수 7에 대하여 다음을 기호로 나타내고, 그 값을 구하여라.

자르는 선

2개의 자연수로 분할하는 경우의 수

5개의 자연수로 분할하는 경우의 수

부록 247

248 부록

Ⅱ. 확률

기본을 다지는 문제

1. 확률의 뜻과 활용 ⑴

[01~03] 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던지는

[09~10] 남자 6명 중 임의로 대표 2명을 뽑을 때, 다

시행에서 다음을 구하여라.

음을 구하여라.

두 눈의 수의 합이 6일 확률

남자 2명이 뽑힐 확률

두 눈의 수의 차가 1일 확률

여자 2명이 뽑힐 확률

두 눈의 수의 곱이 홀수일 확률 [11~12] 검은 바둑돌이 15개가 들어 있는 주머니에 서 임의로 한 개의 바둑돌을 꺼낼 때, 다음을 구하여라.

[04~06] 남학생 2명과 여학생 3명을 일렬로 세울 때,

흰 바둑돌이 나올 확률

검은 바둑돌이 나올 확률

다음을 구하여라.

여학생 3명이 이웃하여 설 확률

남학생이 양 끝에 설 확률 [13~15] 1부터 4까지의 자연수가 각각 적힌 카드 4

장 중 임의로 2장의 카드를 동시에 꺼내어 두 자리의

여학생이 양 끝에 설 확률

자연수를 만들 때, 다음을 구하여라.

12 이상일 확률

[07~08] 5명의 학생 A, B, C, D, E 중 임의로 대표 3명을 뽑을 때, 다음을 구하여라.

자르는 선

A가 포함될 확률

43 이하일 확률

C와 D가 모두 포함될 확률

44 이상일 확률

부록 249

250 부록

Ⅱ. 확률

기본을 다지는 문제

1. 확률의 뜻과 활용 ⑵

[01~02] 두 사건 A, B에 대하여 P(A)=;4!;,

[07~08] 다음을 구하여라.

P(B)=;3@;일 때, 다음을 구하여라.

P(A;B)=;3!;일 때, P(A'B)

P(A'B)=;4#;일 때, P(A;B)

[03~04] 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던지는 시행에서 다음을 구하여라.

서로 다른 2개의 동전을 동시에 던질 때, 적 어도 1개는 뒷면이 나올 확률

서로 다른 3개의 동전을 동시에 던질 때, 적 어도 1개는 앞면이 나올 확률

[09~10] 남학생 4명, 여학생 2명 중 임의로 대표 2명 을 뽑을 때, 다음을 구하여라.

두 눈의 수의 합이 5 또는 두 눈의 수의 차가 3일 확률

남학생이 적어도 1명 포함될 확률

두 눈의 수의 합이 6의 배수일 확률

여학생이 적어도 1명 포함될 확률

[05~06] 1부터 40까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 40장의 카드 중에서 임의로 한 장을 뽑을 때, 다음을 구하여라.

자르는 선

4의 배수 또는 7의 배수가 적힌 카드가 나올

[11~12] 검은 공 4개와 흰 공 3개가 들어 있는 주머 니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 다음을 구 하여라.

확률

적어도 1개의 공이 검은 공일 확률

5의 배수 또는 9의 배수가 적힌 카드가 나올

적어도 1개의 공이 흰 공일 확률

확률

부록 251

252 부록

Ⅱ. 확률

기본을 다지는 문제

2. 조건부확률

[01~03] 1부터 10까지의 자연수가 각각 적힌 10장의

[09~11] 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 짝수의

카드 중 임의로 한 장의 카드를 뽑으려고 한다. 뽑은

눈이 나오는 사건을 A, 홀수의 눈이 나오는 사건을

카드가 짝수가 적힌 카드일 때, 다음을 구하여라.

B, 6의 약수의 눈이 나오는 사건을 C라고 할 때, 다

음의 설명이 맞으면

, 틀리면 ×를 하여라.

그것이 3의 배수일 확률

두 사건 A와 B는 서로 독립이다.

(

)

두 사건 A와 C는 서로 종속이다.

(

)

두 사건 B와 C는 서로 독립이다.

(

)

그것이 소수일 확률

그것이 5 이하일 확률

[04~05] 두 사건 A, B에 대하여 P(A)=0.3, P(B)=0.5, P(A|B)=0.4일 때, 다음을 구하여라.

P(A;B) [12~14] 한 개의 주사위를 1번 던지는 시행에서 5 이

P(B|A)

상의 눈이 나오는 사건을 A라고 할 때, 다음을 구하 여라.

P(A)

주사위를 4번 던지는 시행에서 사건 A가 2

[06~08] 두 사건 A, B에 대하여 P(A)=0.2, P(B)=0.6, P(A'B)=0.7일 때, 다음을 구하여라.

P(A;B)

번 일어날 확률

07 자르는 선

P(A|B)

14 P(A|BÇ )

주사위를 6번 던지는 시행에서 사건 A가 4 번 일어날 확률

부록 253

254 부록

Ⅲ. 통계

기본을 다지는 문제

1. 확률분포 ⑴

[01~03] 다음은 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타

f(x)=kx (0…X…3)

f(x)=k|x| (-1…X…1)

낸 것이다. 다음을 구하여라. X

합계

P(X=x)

;8!;

;2!;

;4!;

a의 값

P(X=3)

P(1…X…2)

[11~12] 확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같을 때, X의 평균, 분산, 표준편차를 각각 구하여라.

합계

P(X=x)

;4!;

;2!;

;4!;

-1

합계

P(X=x)

;5!;

;5@;

[04~07] 검은 공 2개와 흰 공 3개가 들어 있는 주머 니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내는 시행에서 나 오는 검은 공의 개수를 확률변수 X라고 할 때, 다음 을 구하여라.

P(X=0)

P(X=1)

[13~15] 확률변수 X에 대하여 E(X)=10, V(X)=9일 때, 다음 확률변수의 평균, 분산, 표준편

06 07

P(X=2)

차를 각각 구하여라.

Y=X+4

Z=-X+1

W=3X-10

확률질량함수

[08~10] 연속확률변수 X가 취하는 값의 범위와 확률 자르는 선

변수 X의 확률밀도함수 f(x)가 다음과 같을 때, 상 수 k의 값을 구하여라.

f(x)=k (0…X…3)

부록 255

256 부록

Ⅲ. 통계

기본을 다지는 문제

1. 확률분포 ⑵

[01~04] 확률변수 X가 다음과 같을 때, X의 평균,

[08~10] 확률변수 X가

P(0…Z…z)

분산, 표준편차를 각각 구하여라.

정규분포 N(50, 10¤ )을

0.5

0.1915

따를 때, 오른쪽 표준정규

1.0

0.3413

1개의 주사위를 180회 던질 때, 3의 눈이 나

분포표를 이용하여 다음

1.5

0.4332

오는 횟수

확률을 구하여라.

2.0

0.4772

[11~12] 한 개의 주사위

P(0…Z…z)

P(Xæ60)

P(40…X…55)

P(30…X…65)

1개의 동전을 36회 던질 때, 앞면이 나오는 횟수

발아율이 80%인 씨앗을 250개 뿌릴 때, 발 아하는 씨앗의 개수

어느 홈쇼핑에서 판매하는 제품 중 구매 취 소율이 10%인 어느 제품의 주문자가 1000 명일 때, 구매를 취소하는 사람의 수

[05~07] 확률변수 X에 대하여 E(X), r(X)가 다

를 720회 던져서 1의 눈

0.5

0.1915

음과 같을 때, X가 따르는 정규분포를 기호로 나타내

이 나오는 횟수를 확률변

1.0

0.3413

어라.

수 X라고 할 때, 오른쪽

1.5

0.4332

표준정규분포표를 이용하

2.0

0.4772

E(X)=8, r(X)=1

자르는 선

E(X)=20, r(X)=3

E(X)=30, r(X)=4

여 다음 확률을 구하여라.

P(Xæ130)

P(100…X…125)

부록 257

258 부록

Ⅲ. 통계

기본을 다지는 문제

2. 통계적 추정

[01~04] 다음과 같이 모평균 m, 모표준편차 r인 모

[08~10] 다음과 같이 모표준편차가 r인 모집단에서

집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 표본평균

크기가 n인 표본을 임의추출하였더니 표본평균이 X”

X”의 평균, 분산, 표준편차를 각각 구하여라.

이었다. 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간을

m=10, r=4, n=4

m=16, r=6, n=9

구하여라. (단, P(|Z|…1.96)=0.95로 계산한다.)

r=6, n=9, X”=17

r=20, n=16, X”=60

r=40, n=100, X”=120

m=25, r=12, n=16

m=300, r=35, n=49

[05~07] 정규분포

[11~13] 인구가 10만 명인 도시에서 다음과 같이 n z

P(0…Z…z)

N(50, 10¤ )을 따르는 모

0.5

0.1915

집단에서 크기가 25인 표

1.0

0.3413

본을 임의추출할 때, 표본

1.5

0.4332

평균 X”에 대하여 오른쪽

2.0

0.4772

표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구하여라.

자르는 선

P(X”æ52)

P(46…X”…53)

P(48…X”…54)

명을 임의추출하여 어느 정책의 찬반을 묻는 여론 조 사를 실시하였더니 찬성하는 비율이 p^이었다. 전체 시 민의 찬성률 p에 대한 신뢰도 99%의 신뢰구간을 구 하여라. (단, P(|Z|…2.58)=0.99로 계산한다.)

^=0.6 n=24, p

^=0.8 n=400, p

^=0.7 n=2100, p

부록 259

260 부록