Calculodiferencial pensamientomatematico by Jose Luis Fraga Almanza

´ CALCULO DIFERENCIAL Desarrollo de habilidades del pensamiento matem´ atico

Dra. Josefina de las Mercedes Cribeiro D´ıaz Dr. Humberto Madrid de la Vega ´ ndez Cuevas M.C. Ariana Carolina Herna ´ n Galindo M.C. Cristina Ariatna Guzma

Dise˜ no de portada: Alejandro Madrid Morelos

Universidad Autónoma de Coahuila Boulevard Venustiano Carranza Colonia Rep´ ublica, C.P. 25280 Saltillo, Coahuila Dra. Josefina de las Mercedes Cribeiro D´ıaz Dr. Humberto Madrid de la Vega M.C. Ariana Carolina Hernández Cuevas M.C. Cristina Ariatna Guzmán Galindo

ISBN: 978-607-506-145-0

Hecho en M´exico

´ PRESENTACION Una preocupación central del personal del C.I.M.A. en estos a˜ nos, ha sido la de investigar el “Problema General de la Ense˜ nanza de las Matemática”; y producir materiales basados en un nuevo método fundamentado en el Constructivismo, para dejar atrás el método tradicional que es fuente de muchos males en el proceso educativo. Hoy, la tecnolog´ıa, en particular la computadora y las Hojas de Trabajo hacen posible este cambio; sin embargo se requieren crear las condiciones materiales, de capacitación de profesores e institucionales para impulsar la superación de las viejas dolencias en el área de la matemática educativa. Estos libros al incluir el uso de la computadora para el proceso de ense˜ nanza aprendizaje, están cambiando radicalmente el modelo tradicional de ense˜ nanza de las matemáticas. Si antes el principal actor era el profesor que expon´ıa verbalmente y en el pizarrón un concepto, los métodos o alg´ un tema para que el alumno lo memorizara, con el uso de la tecnolog´ıa el alumno conduce sus propias acciones para aprehender el contenido, guiados por lo que el profesor dise˜ nó para cumplir los objetivos. El estudiante ya no está pasivo, tratando de memorizar lo que el profesor verbaliza en un lenguaje abstracto, ahora el propio alumno se enfrenta al problema que plantea la Hoja de Trabajo, ejecuta las acciones necesarias, explora, visualiza y en definitiva piensa soluciones y las calcula para obtener resultados, ejecutando los procesos lógicos del raciocinio lo que fortalece su pensamiento matemático. Este es el camino para eliminar los fantasmas y los mitos sobre la disciplina, as´ı como lograr más y mejores metas en la educación matemática. La Doctora Josefina de las Mercedes Cribeiro D´ıaz encabezando un equipo de trabajo del C.I.M.A., con su larga experiencia académica y su amplio esfuerzo, como resultado de un proyecto de investigación apoyado por FOMIX-COECYT aporta suficientes Hojas de Trabajo para el aprendizaje de cálculo diferencial, integral y multivariable en un paquete de tres libros dedicados a los alumnos de matemáticas aplicadas, ingenier´ıa y áreas afines. Por eso sus contenidos fueron ajustados y probados en sesiones experimentales con estudiantes de la Facultad de Sistemas de la U.A. de C.. También forman parte de una serie de libros para maestros y alumnos, publicados con anterioridad.

Con ello el CIMA aporta a la comunidad un valioso instrumento para que sumado a otros esfuerzos, se contribuya a mejorar sustancialmente la matemática educativa en nuestra institución y en la región. El éxito depende mucho del impulso a un programa para que los profesores hagan suyo el método constructivista basado en la tecnolog´ıa, con base en los materiales que estos libros pone a su disposición.

Francisco Javier Cepeda Flores

´ INTRODUCCION Como resultado de a˜ nos de investigación en diferentes instituciones de Educación Superior a fin de determinar la forma en que los estudiantes enfrentan el aprendizaje de las matemáticas, sus hábitos de estudio y las dificultades que presentan con temas ya tratados en el nivel anterior, el colectivo de autores sacan a la luz tres libros vinculados con Cálculo Diferencial Cálculo, Integral y Cálculo Multivariable, con el objetivo de desarrollar habilidades del pensamiento matemático. Estos tres libros son resultado del proyecto financiado por FOMIX-CONACYT “Incidencia de las tecnolog´ıas de la información en el aprendizaje de las ciencias exactas para los programas de estudio de ingenier´ıa relacionados con las tecnolog´ıas de la información” aplicado en la Facultad de Sistemas de la Universidad Autónoma de Coahuila. Se realizaron encuestas para determinar la forma de estudio y el desarrollo de capacidades de los estudiantes. Se estableció un diagnóstico de las caracter´ısticas de los estudiantes, la forma de impartición de las clases y el sistema de evaluación utilizado. A partir del diagnóstico se dise˜ naron Hojas de Trabajo, las cuales se aplicaron a un grupo de estudiantes de la Facultad de Sistemas de la U. A. de C. El dise˜ no sigue la metodolog´ıa de Cribeiro [6] bajo el marco teórico de la Teor´ıa de la activación de Aprendizaje por etapas de Galperin [9] bajo el enfoque histórico cultural de Vigotski [22] en el marco teórico del constructivismo. En cada Hoja de Trabajo se establece un t´ıtulo, se declaran los objetivos y se transita por las diferentes etapas de construcción del conocimiento, por ello cada objeto de estudio comienza a tratarse a partir de los elementos básicos sobre los cuales se debe de anclar el nuevo conocimiento. Se construyen los conceptos a partir de preguntas y razonamientos geométricos, mediante exploraciones de las caracter´ısticas del objeto matemático que se estudia, posteriormente se pide que expresen en lenguaje espa˜ nol y en lenguaje matemático las ideas, las comuniquen, discutan, sinteticen, concluyan, generalicen dichas ideas y se integre el nuevo conocimiento derivado de conocimientos anteriores. En todos los casos se busca que los estudiantes apliquen los conocimientos a situaciones nuevas. Dependiendo del tema, la longitud de cada Hoja de Trabajo var´ıa entre diez a quince cuartillas, como promedio. Constan de seis partes: Conceptos a recordar, construcción del concepto, sintetizar ideas, ejercicios

y problemas, trabajo independiente y conclusiones. CONCEPTOS A RECORDAR. Esta parte debe ser trabajada en equipo, con el aporte de todos los miembros del equipo. Las Hojas de Trabajo comienzan tratando los elementos básicos que deben de servir de ancla a los nuevos conocimientos, a partir de los elementos básicos necesarios para la comprensión del concepto a tratar. Esta parte corresponde la base orientadora de la actividad, donde se busca orientarse en las acciones que se deben de realizar. ´ DEL CONCEPTO. Esta parte debe ser trabajada en elaboCONSTRUCCION ración conjunta profesor y estudiantes, en la forma tradicional de ense˜ nanza es la parte en que el profesor explica. En la fase de dise˜ no, a partir de los conocimientos básicos, mediante preguntas y razonamientos geométricos se trabaja con las caracter´ısticas del concepto que se desea construir, las propiedades del concepto o el método que se debe de proponer. Es una fase exploratoria, donde se trabaja con las diferentes representaciones y el paso de una a otra, la geométrica, la algebraica, la expresión en lenguaje espa˜ nol y en lenguaje matemático. En esta parte se busca desarrollar las capacidades de observar, identificar propiedades, interpretar enunciados, clasificar, analizar, expresar ideas en lenguaje espa˜ nol, expresar ideas en lenguaje matemático. Es una etapa de exploración donde se trabaja con apoyo material de libros, notas de clase, computadora y software adecuado, apoyo del docente y apoyo de los compa˜ neros. SINTETIZAR IDEAS. Esta parte debe ser trabajada en equipo para exponer los resultados. Una vez construido el concepto, declaradas las propiedades o propuesto el método de trabajo, se pide que se haga un análisis del trabajo realizado, se inter relacionen los diferentes aspectos en las diversas representaciones y se sinteticen los resultados principales para aplicar los conocimientos a situaciones nuevas. En esta parte se tiene como objetivo desarrollar la capacidad de analizar, reflexionar y de sintetizar ideas. Se trabaja con apoyo material de libros, notas de clase, apoyo del docente y participación de los compa˜ neros. EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Esta fase debe ser trabajada en equipo discutida y expuesta en el grupo. Se plantean ejercicios a resolver para reafirmar los conocimientos. En cada tema se presentan problemas para resolver. En esta parte se tiene como objetivo desarrollar la capacidad de resolver problemas. Se trabaja con apoyo material de libros, notas de clase, computadora y software adecuado, apoyo del docente y apoyo de los compa˜ neros. El uso del lenguaje ayuda a hacer consciente el proceso y a la internalización del conocimiento para pasar de la etapa externa a la etapa interna. TRABAJO INDEPENDIENTE. En esta etapa los estudiantes deben de trabajar en forma independiente, solos en casa, respondiendo en forma reflexiva para

contestar y entregar la Hoja de Trabajo. A partir de los diferentes casos particulares se busca que los estudiantes lleguen a la generalización y la abstracción. En esta etapa se tiene por objetivo la independencia total del alumno y que el proceso pase a la etapa mental sin apoyo material. Se trata de desarrollar la capacidad de generalizar y abstraer. CONCLUSIONES. El final de cada Hoja de Trabajo es un resumen a modo de conclusiones, el cual sintetiza en forma breve todos los resultados obtenidos para recordar a fin de utilizarlo en el futuro. Debe ser elaborado en forma independiente por cada estudiante y discutida después en el grupo. Cada uno de los libros no pretende sustituir los libros de texto sino ser un complemento de los mismos que ayude a los estudiantes a construir el conocimiento pasando de visualizaciones geométricas y casos particulares a generalizar ideas y conceptos. Además pasar de situaciones generales a aplicar en casos particulares, su objetivo es lograr conjuntamente con la adquisición de conocimientos, desarrollar en los estudiantes las capacidades de observar, identificar propiedades, clasificar, analizar, interpretar enunciados, expresar ideas en lenguaje natural, expresar ideas en lenguaje matemático, sintetizar, concluir, generalizar, integrar conocimientos, aplicar conocimientos en situaciones nuevas. Con ello formar y fortalecer el pensamiento matemático. El presente libro de Hojas de Trabajo de Cálculo Diferencial consta de cinco cap´ıtulos, el primero sobre conceptos básicos de n´ umeros reales y los otros cuatro, con catorce Hojas de Trabajo sobre funciones, l´ımites y derivadas. Las seis primeras Hojas de Trabajo del cap´ıtulo dos, tratan el concepto de función de variable real, sus operaciones y propiedades. El cap´ıtulo tres tiene cinco Hojas de trabajo sobre el concepto de l´ımite, sus propiedades y cálculo. El cap´ıtulo cuatro tiene dos Hojas de trabajo sobre el concepto de derivada y su cálculo. El cap´ıtulo 5 trata las aplicaciones de la derivada

´INDICE ´ PRESENTACION

´ INTRODUCCION

´ 1. CONCEPTOS BASICOS 7 1.1. N´ umeros Reales R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Trabajo con winplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Relaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2. FUNCIONES 2.1. H.T. 1. Funciones. Relación entre variables independientes y dientes. Dominio e imagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. H.T. 2. Función de una variable. Conceptos básicos. . . . . . 2.3. H.T. 3. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. H.T. 4. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. H.T. 5. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. H.T. 6. Función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. LÍMITES 3.1. H.T. 7. Introducción a l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. H.T. 8. L´ımites unilaterales. Existencia del l´ımite. . . . . 3.3. H.T. 9. L´ımite de una función no definida en el punto . . 3.4. H.T. 10. No existencia de l´ımite . . . . . . . . . . . . . . 3.5. H.T. 11. No existencia del l”imite. Función no definida en

29 depen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

29 45 57 63 72 76

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . el punto.

. . . . .

95 95 102 121 138 159

4. DERIVADAS 175 4.1. H.T. 12. Derivadas. Relación con los conceptos y propiedades de función y l´ımite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.2. H.T. 13. Cálculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5. APLICACIONES DE LA DERIVADA 189 5.1. H.T. 14. Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Cap´ıtulo 1 ´ CONCEPTOS BASICOS 1.1.

N´ umeros Reales R

I. OBJETIVOS Expresar diferentes conjuntos en forma extensional y en forma intensional Expresar las caracter´ısticas de cada uno de los conjuntos numéricos reales. Expresar la diferencia entre los n´ umeros racionales y los irracionales en su representación en forma decimal, a fin de poder distinguir entre ambos. Identificar y diferenciar propiedades, relaciones y operaciones de los n´ umeros enteros, racionales e irracionales, argumentando las respuestas. Comparar los diferentes n´ umeros en una relación de orden creciente y/o decreciente. Expresar diferentes notaciones de los n´ umeros reales. Representar los n´ umeros reales en la recta numérica. Clasificar los conjuntos numéricos identificando los subconjuntos. Expresar las caracter´ısticas de los intervalos y vecindades de puntos en la recta numérica. Representarlos en diferentes notaciones. II. CONJUNTOS Un conjunto es una colección arbitraria de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman elementos y se acepta que hay una relaci´ on de pertenencia entre elementos y conjuntos. También se acepta un conjunto universo previamente definido donde se encuentran todos los elementos necesarios para un estudio determinado.

La relación de pertenencia ∈; cumple la condición de que dado un elemento x del universo y un conjunto cualquiera A, x pertenece a A es una proposición lógica o sea que siempre es verdadera o falsa, cuando es verdadera se representa: x ∈ A, cuando es falsa se utiliza x ∈ / A. C es subconjunto de A si todos los elementos de C son también elementos de A. Representaci´ on de un conjunto: Es costumbre representar a los conjuntos utilizando may´ usculas y min´ usculas para los elementos i) Forma extensional Una forma usual de representar conjuntos es con los elementos separados por comas entre llaves. Por ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}, S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}, C = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, A˜ nil, Violeta}, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .}Conjunto de los n´ umeros primos. Expresa tres conjuntos en forma extensional

ii) Forma intensional Tambi´en pueden representarse los conjuntos expresando las propiedades que cumplen los objetos. Por ejemplo: B = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 8}, P = {x ∈ N : x es primo}. Expresa tres conjuntos en forma intensional

´ CONJUNTOS NUMERICOS

C Complejos

              

   

     

 

N Naturales Cero Q Racionales  R Reales Enteros negativos      Fraccionarios    Irracionales I Imaginarios Z Enteros

N´ umeros Reales

Reales R

                  

  Primos      Naturales N   Compuestos    Enteros Z Cero   Racionales Q  Negativos     Fracci´on propia    Fraccionarios Fracci´on impropia Irracionales

´ III. CARACTERIZACION Y RECONOCIMIENTO DE LOS DIFER´ ENTES NUMEROS NATURALES ´ DE LOS NATURALES CONSTRUCCION N = Conjunto de los N´ umeros Naturales N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . El conjunto de los N´ umeros Naturales surgi´o de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios. Este conjunto se caracteriza porque: • Tiene un n´ umero ilimitado de elementos,

• Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor, 9

• El sucesor de un n´ umero natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1), • Cualquier subconjunto de los n´ umeros naturales tiene un elemento m´ınimo (por ejemplo, el subconjunto formado por los n´ umeros pares tiene como elemento m´ınimo a 2). ´ CONSTRUCCION DE LOS ENTEROS A PARTIR DE LOS NATURALES Aparici´on de los n´ umeros negativos. Los n´ umeros enteros son una generalizaci´ on del conjunto de n´ umeros naturales que incluye n´ umeros enteros negativos (resultados de restar a un n´ umero natural otro mayor), adem´ as del cero. El hecho de que un n´ umero sea entero, significa que no tiene parte decimal. Los n´ umeros enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representaci´on de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros. Este conjunto se caracteriza por:

FRACCIONARIOS Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del a˜ no 1000 a. C. La necesidad de dividir un objeto en diferentes partes y tomar algunas de esas partes da lugar a los n´ umeros fraccionarios. Por ejemplo dividir en dos partes iguales y tomar una, dividir en cuatro y tomar una, dos, tres o cuatro partes 12 ; 13 ; 14 ; 43 .

Al dividir una barra de chocolate, una pizza, o alguna fruta y comenzar a tomar porciones se tienen las fracciones de la unidad considerada. Considerando que la

unidad se divide en q partes y que p indica el n´ umero porciones que se van a p tomar, la relación q expresa el n´ umero p de porciones que se toman de las q en que se dividió el objeto. Comenzando con q = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . . y se van tomando p = 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . En este proceso se pasan de situaciones concretas particulares con objetos espec´ıficos, a la descontextualización y simbolización matemática generalizada, logrando la abstracción conceptual fuera de cualquier contexto que representa la relación numérica representada por pq . Este conjunto se caracteriza por:

´ DE NUMEROS ´ APARICION QUE NO SON FRACCIONARIOS - IRRACIONALES Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los n´ umeros irracionales intentando escribir la ra´ız de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometr´ıa). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, as´ı que es irracional. Un n´ umero es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se puede expresar en forma de fracción. El n´ umero irracional más conocido es π, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. π = 3,141592653589 . . . Otros n´ umeros irracionales son: El n´ umero e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. e = 2,718281828459 . . . El n´ umero áureo, φ, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dal´ı,..) en las proporciones de sus obras. √ 1+ 5 φ= = 1,618033988749 . . . 2 Este conjunto se caracteriza por:

´ GRAFICA ´ IV. REPRESENTACION La recta num´ erica real o recta de coordenadas es una representaci´on geom´etrica del conjunto de los n´ umeros reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un n´ umero real.

Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una l´ınea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al n´ umero 1. Esto establece la escala de la recta num´erica. 1. Represente en la recta num´erica los siguientes n´ umeros racionales: a.

3 2

7 2

Soluci´on:

c. − 12

d.− 25

2. Represente en la recta num´erica los siguientes n´ umeros racionales: a.

4 3

Soluci´on:

8 3

c. − 23

d.− 37

´ V. SUBCONJUNTOS NUMERICOS El conjunto de los n´ umeros enteros (Z) est´a conformado por tres subconjuntos que son: Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} son los enteros positivos. {0}, Conjunto unitario ¸cero”. Entero que no se considera positivo ni negativo. Z+ = {−1, −2, −3, −4, −5, −6, −7, . . .} son los enteros negativos. Ejercicios: a) Escribe los siguientes subconjuntos de los enteros que cumplan las condiciones indicadas en cada caso: • Mayores que -5 y menores que 7

• Mayores que -8 y menores que -1 • Menores que 3 y mayores que -6

• Mayores que -4 y menores que 10 b) Ordena de menor a mayor las siguientes cantidades. • 8, 9, 3, - 5, - 1, 9, - 9, 0, 6.

• 6, - 7, - 1, 8, 2, 1, - 10, - 4, - 2, 7.

• -12, 14, - 3, - 5, 10, - 15, - 8, 7, 0, 9, - 1, - 2, 6. VI. INTERVALOS Y VECINDADES Intervalos: Los intervalos num´ ericos en R son conjuntos de n´ umeros reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados: Intervalos acotados: Intervalo abierto (a, b). Est´a formado por los n´ umeros reales x comprendidos entre a y b, excluidos ambos. Se expresa: a < x < b. {x ∈ R : a < x < b}. Intervalo cerrado [a, b]. Est´a formado por los n´ umeros reales x comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se expresa a ≤ x ≤ b. {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. 13

Intervalo abierto a la derecha [a, b). Est´a formado por los n´ umeros reales x comprendidos entre a y b, incluido a. Se expresa a ≤ x < b. {x ∈ R : a ≤ x < b}. Intervalo abierto a la izquierda (a, b]. Est´a formado por los n´ umeros reales x comprendidos entre a y b, incluido b. Se expresa a < x ≤ b. {x ∈ R : a < x ≤ b}. Vecindades de un punto: V r(c) = {x ∈ R : d(x, c) ≤ r}.

1.2.

Trabajo con winplot

I. OBJETIVOS Expresar diferentes conjuntos en forma extensional y en forma intensional Expresar las caracter´ısticas de cada uno de los conjuntos numéricos reales. Expresar la diferencia entre los n´ umeros racionales y los irracionales en su representación en forma decimal, a fin de poder distinguir entre ambos. Identificar y diferenciar propiedades, relaciones y operaciones de los n´ umeros enteros, racionales e irracionales, argumentando las respuestas. Comparar los diferentes n´ umeros en una relación de orden creciente y/o decreciente. Expresar diferentes notaciones de los n´ umeros reales. Representar los n´ umeros reales en la recta numérica. Clasificar los conjuntos numéricos identificando los subconjuntos. Expresar las caracter´ısticas de los intervalos y vecindades de puntos en la recta numérica. Representarlos en diferentes notaciones. ´ II. ELEMENTOS BASICOS DEL TRABAJO CON WINPLOT Al dar click en el programa se despliega la siguiente ventana con un men´ u de dos opciones, ventana y ayuda.

Al dar click en la ventana se despliega un men´ u con ocho opciones. Como se va a trabajar en dos dimensiones se da click a 2-dim y se despliega una nueva ventana con los ejes cartesianos y un men´ u con ocho opciones: archivo, Ecua, Ver, Btns, Una, Dos, Anim, Misc.

Trabajaremos con la opción Ecua, la cual permite graficar funciones. Al dar click en Ecua se despliega un nuevo submen´ u. Por el momento se utilizará la forma expl´ıcita. Al dar click en Expl´ıcita aparece una nueva ventana f (x) = . . .. donde se expresa la función que se desea graficar y el intervalo deseado xinf; xsup. También aparece el color y el grueso del trazo. Al dar click en ok aparece el gráfico y una nueva pantalla

con 12 submen´ us: editar, borrar, duplicar, copiar, tabla, familia, gráfica, ecuación, nombre, derivar, red, cerrar. Al dar editar aparece la ventana anterior donde se da la función y el dominio donde se grafica.

I. Varias gr´ aficas en una misma ventana Para presentar varias gr´aficas en una misma ventana se da click en duplicar, aparece una nueva ventana que pregunta si se desea borrar la original, suponemos que no queremos borrarla y damos click en no, entonces aparece la ventana con la funci´on que tenemos graficada. Por ejemplo f (x) = x∧ 2.

A) Se desea visualizar el efecto que se tiene cuando a la función original se le a˜ nade una constante y determinar cómo se modifica el conjunto de las imágenes de la función. i) k positiva Se escribe f (x) = x∧ 2+1 y se da click en ok. Si se desea se puede cambiar el color para esta nueva gráfica. Se cambió el grueso del gráfico (ancho de lápiz ) a 2 y el color a azul a fin de distinguirla de la original. En la ventana de la derecha aparece en color azul y con dos grueso del gráfico f (x) = x∧ 2 + 1 y f (x) = x∧ 2 + 2. Se puede repetir el gráfico para diferentes valores positivos de k y finalmente analizar el efecto que le causa a una función que pasa por el origen cuando se le suma una constante k positiva.

ii) k negativa Repitiendo el proceso descrito en el inciso i) para f (x) = x∧ 2 − 1 y f (x) = x∧ 2 − 2 el color verde y dos gruesos del gráfico (ancho de lápiz) se obtienen las gráficas de la ventana derecha. Explique el efecto que causa en la función original f (x) = x∧ 2 que tiene su vértice en el origen el sumar i) una constante positiva, ii) una constante negativa. Considere otras funciones y = x; y = x∧ 3; y = ln(x); . En todos los casos graficar f (x) + k para k positiva y k negativa. Expresar el efecto que produce en la función original f (x) el parámetro k. Explique además como se

modific´o el conjunto imagen para cada valor de k.

B) Se desea visualizar el efecto que produce en la función f (x) el restar una constante h a la variable x y analizar como influye en el dominio de la función. Consideremos f (x − h) para valores de h positivo y negativo. i) h positiva Para h igual a 1 y 2 se tiene (x − 1)∧ 2 y (x − 2)∧ 2, se da color verde y dos valores diferentes para el ancho de lápiz. ii) h negativa Para h igual a -1 y -2 se tiene (x + 1)∧ 2 y (x + 2)∧2, se da color azul y dos valores diferentes para el ancho de lápiz. Siguiendo el mismo procedimiento que en el inciso A) se comienza haciendo el gráfico de la función y = x∧ 2 y luego en el orden en que aparecen en la tabla siguiente

Explique el efecto que causa en la funci´on original f (x) = x∧ 2 que tiene su v´ertice en el origen el restar a la variable independiente x i) una constante positiva, ii) una constante negativa.

Considere otras funciones y = x; y = x∧ 3; y = ln(x); En todos los casos graficar f (x − h) para h positiva y h negativa. Expresar el efecto que produce en la función original f (x) el parámetro k. Explique además como se modificó el conjunto dominio para cada valor de h.

Tabla. Al dar click en tabla aparece la tabla de la funciÂ´on que se ha definido

Nombre. Es posible poner el nombre de una funci´on dando click en nombre

II. Una funci´ on con dominio dividido Utilizando la forma de trabajo dada en I se puede poner en una misma ventana funciones definidas para intervalos diferentes, por ejemplo y = 2 aparece definida para [−5, 5], y = 1 aparece definida para [1, 4]. El punto (1, 1) aparece destacado con un c´ırculo, lo cual se logra dando click en la opci´on punto del men´ u de Ecua y dar los valores x = 1; y = 1.

Se pueden ver las coordenadas de cualquier punto del plano cartesiano, en particular de la curva, situando el cursor en el punto deseado y dando click.

Se puede expresar f (x) para

0 ≤ x ≤ 1 como x∧ 2 1 ≤ x ≤ 3 como 2 3 ≤ x ≤ 5 como − x.

¿es una funci´on, la relaci´on de dominio dividido dada anteriormente?

¿De que forma tendr´ıa que definirla para lograr un trazo continuo y que la relaci´on fuese una funci´on?

1.3.

Relaciones entre conjuntos

I. OBJETIVOS

Expresar diferentes conjuntos en forma extensional y en forma intensional. Identificar las caracter´ısticas en cada uno de los conjuntos numéricos reales. Expresar la diferencia entre los conjuntos de pares ordenados de la relación de acuerdo a los pares de conjuntos considerados, poder distinguir entre ellos. Identificar y diferenciar propiedades, relaciones y operaciones teniendo en cuenta los diferentes conjuntos numéricos enteros, racionales, irracionales, reales, argumentando las respuestas. Comparar las diferentes representaciones de las relaciones para cada par de conjuntos A y B. Analizar las diferentes situaciones que se presentan cuando se cambia uno o los dos conjuntos de trabajo (no existe v´ınculo entre los conjuntos, existe v´ınculo pero no se cumple una de las propiedades, se cumplen las dos propiedades). Representar las relaciones en el plano y argumentar las diferencias de acuerdo a los pares de conjuntos. II. A partir de la relaci´ on entre los conjuntos A y B, determinar si la relaci´ on cumple las propiedades 1 y 2. Hallar el dominio y el recorrido. Propiedad 1: Todo elemento de A se relaciona con un elemento de B (A1 == A) Propiedad 2: A cada elemento de A le corresponde uno y sólo uno elemento de B Relaci´ on xRy

y = (x − 7)3

y = x3 − 6

x∈A

y∈B

Dominio A1 A1 parte de A relacionada con elementos de B

{2, 3, 5} N N R {2, 3, 5} {2, 3, 5} N N R {2, 3, 5} {2, 3, 5} N N R

{8, 27, 125} R− N R {8, 27, 125} {−8, −64, 125} R− N R {8, 27, 65} {2, 31, 119} R− N R

Recorrido B1 B1 parte de B relacionada con elementos de A

P1 A1 == A

Relaci´ on

y = −4x3

y = (4x)3

1 x

1 x−4

−3 x−4

1 x2 −4

√ y=±2x √ y = −2 2 x y=

√ 2

−2x

x−4 x−4 x+5

x∈A {2, 3, 5} {2, 3, 5} R+ N R {2, 3, 5} N R {1, 2, 4, 5} N R {1, 2, 4, 5} N R {1, 2, 4, 5} N R {1, 2, 4, 5} N R {1, 2, 4, 5} N R {−1, 0, 2, 4} N R {−1, 0, 2, 4} N R {−1, 0, 2, 4} N R {−1, 0, 2, 4} N R {−1, 0, 2, 4} N R {−1, 0, 2, 4} N R

y∈B {32, 27, 65} {−32, −108, 56} R− N R {512, 627, 8000} N R { 12 , 41 , 1, 2} N R 5 {3, 2 , 7, 9} N R 1 {− 2 , 1, 7, 8} N R {−3, 1, 32 , 4} N R 1 1 {− 3 , 21 , 2, 3} N R {0, 1, 2, 3} N R {−4, 0, 1, 3} N R {0, 1, 2, 3} N R {−4, −2, 0, 1} N R {0, 1, 2} N R {2, 3, 4, 5} N R

Dominio A1

Recorrido B1

Relaci´ on y=

√ 2 x2 − 12

√ 2 −x +

1 √ 2 2+x

y = ln x

y = ln(x − 2) y = ln x − 2 y = ln(2x)

y = 2 ln x

y = exp(x)

y = −3exp(x) y = exp(−3x)

y = exp(x − 2) y = sen(x) y = sen(2x) y = 2sen(x) y = sen(x) + 4 y = sen x +

π 2

x∈A {−1, 0, 2, 4} N R {−1, 0, 2, 4} N R {−1, 0, 1, 2} N R {−1, 0, 1, 2, 3} N R {−1, 0, 1, 2} N R {−1, 0, 1/2, 2} N R {−1, 0, 1, 2} N R {−3, 0, 1, 2} N R {−3, 0, 1, 2} N R {−3, 0, 1, 2} N R {−3, 0, 1, 2} N R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R

y∈B {0, 1, 2} N R {2, 3, 4} N R {0, 1, 3} N R {0, 1, 4, 6} N R {−2, 0, 1} N R {0, 1, 2} N R {0, 1, 2} N R {−3, 0, 1, 2} N R {−3, −3e, 0, 2} N R {1, 2, 3} N R {−2, 0, 1} N R [−1, 1] R [−1, 1] R [−3, 3] R [−1, 6] R [−1, 1] R

Dominio A1

Recorrido B1

Relaci´ on y = cos(x) y = cos( x2 ) y = cos(x − π) y = cos(x) − 4 y = −3 cos(x) y = tan(x) y = −2 tan(x) y = tan(−x) y = tan(x) + 5 y = tan x +

π 3

y = csc(x) y = −2 csc(x)

y = csc(x) − 2 y = csc x −

π 3

y = csc(−x)

y = sec(x) y = sec(−x) y = −3 sec(x) y = sec(x) − 1 y = sec(x + π) y = cot(x) y = cot(−x)

x∈A [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [−π, π] R [−π, π] R [−π, π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R

y∈B [−1, 1] R [−2, 1] R [−1, 2] R [−5, 5] R [−4, 4] R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R

Dominio A1

Recorrido B1

Relaci´ on y = −4 cot(x) y = cot(x) − 1 y = cot x +

π 3

x∈A [0, 2π] R [0, 2π] R [0, 2π] R

y∈B (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R (−∞, ∞) R

Dominio A1

Recorrido B1

II. Hacer el gráfico de cada una de las relaciones dadas en la tabla para todos los pares de conjuntos A y B. Se˜ nalar en el gráfico el Dominio en color rojo, el Recorrido en color azul y los pares ordenados que forman la relación en color verde. III. Analizar y explicar como influye en el dominio y el recorrido: i) El multiplicar la variable independiente por una constante c, es decir f (cx). ii) El multiplicar la función f (x) por una constante d, es decir df (x). iii) El restar una constante h a la variable independiente. iv) El restar una constante k a la función f (x). IV. Hallar el valor de la función evaluada en los puntos se˜ nalados en la tabla y = f (x) y = x3 y = (x − 7)3 y = 4x3 y = x1 1 y = x−4 3 y = x−4 y = x21−4 √ y = √n x − 5 n y= x2 − 2 √ 1 2 y = −x + √2 2+x y = ln(x) y = ln(x − 2) y = ln(x) − 2 y = ln(2x) y = 2 ln(x) y = exp(x) y = −3exp(x) y = exp(−3x) y = exp(x) − 3 y = exp(x − 3)

f (−1)

f (0) f (4) f (6) f (−x)

Cap´ıtulo 2 FUNCIONES HOJA DE TRABAJO 1 2.1.

H.T. 1. Funciones. Relaci´ on entre variables independientes y dependientes. Dominio e imagen.

I. OBJETIVOS Relacionar las variables independientes y dependientes con su entorno familiar y con problemas de actualidad en ciencia, econom´ıa y/o tecnolog´ıa. Observar las caracter´ısticas de las variables independientes y de las dependientes. Identificar las variables independientes, las dependientes y las leyes que las relacionan. Determinar los conjuntos donde var´ıan las variables independientes y dependientes. Representar en forma gráfica, algebraica, tabular, simbólica, verbal y pasar de una representación a otra. Construir el concepto intuitivo de función a partir de las caracter´ısticas, diferentes conjuntos y diferentes leyes que los relacionan. Formular el concepto. ´ II. PROBLEMA DETONANTE DE LA MOTIVACION

Problema 1: D´olares

Pesos Pesos (1er. d´ıa ) (2do. d´ıa ) 1 10 20 2 20 40 3 30 60 4 40 80 5 50 100 6 60 120 7 70 140 8 80 160 9 90 180 10 100 200 11 110 220 12 120 240 13 130 260 14 140 280 15 150 300 16 160 320 17 170 340 18 180 360 Establecer intercambio de ideas sobre las ventajas de estas dos representaciones. Considerar valores racionales y destacar las diferencias y analog´ıas de los diferentes casos. Problema 2 La comisión federal de electricidad establece diferentes tarifas de cobranza de acuerdo al consumo de energ´ıa eléctrica. Se establecieron las siguientes tarifas: Para consumos menores a 50 kwh se establece una tarifa de consumo m´ınimo en el cual pagan $32,45 más el 16 % de IVA. ¿Entre que valores deberá estar el consumo de energ´ıa para seguir pagando la tarifa m´ınima?

a) Escribe una expresi´on matem´atica para calcular el pago de energ´ıa de acuerdo a su consumo en la tarifa de pago m´ınimo:

b) Realiza el gr´afico para la tarifa de consumo m´ınimo y los kilowatt horas permitidos.

Para consumidores mayores de 50kwh hasta 150 kwh pagan la tarifa de servicio básico que consta de pagar $0,649 por cada kwh más el 16 % de IVA. c) ¿Entre que valores deberá estar el consumo de energ´ıa para seguir pagando el servicio básico?

d) Escribe una expresión matemática para calcular el pago de energ´ıa de acuerdo a su consumo en esta tarifa de servicio básico:

e) Realiza el gr´afico para la tarifa de servicio b´asico y los kilowatt horas permitidos en dicha tarifa.

Para los consumidores mayores de 150 kwh hasta los 400kwh pagan un servicio intermedio el cuál consta del pago servicio básico por los primeros 150 kwh más un pago adicional de $0,763 por cada kwh extra más el 16 % de IVA.

f) ¿Entre que valores deber´a estar el consumo de energ´ıa para seguir pagando este servicio intermedio?

g) Escribe una expresi´on matem´atica para calcular el pago de energ´ıa de acuerdo a su consumo en esta tarifa de servicio intermedio:

h) Realiza el gr´afico para la tarifa de servicio b´asico y los kilowatt horas permitidos en la tarifa intermedia.

Si el consumo de energ´ıa entre los 400 y 500 kwh en promedio de los 6 bimestres anteriores, pagarán una tarifa intermedia-alta seguirán pagando tarifa intermedia más un 45,6 % del pago total y su correspondiente IVA.

i) ¿Entre que valores deber´a estar el consumo de energ´ıa para seguir pagando este servicio intermedio-alto?

j) Escribe una expresi´on matem´atica para calcular el pago de energ´ıa de acuerdo a su consumo en esta tarifa de servicio intermedio-alto:

k) Realiza el gr´afico para la tarifa de servicio b´asico y los kilowatt horas permitidos en la tarifa intermedio-alto.

l) Escribe de manera resumida una funci´on en base a las tarifas de consumo de energ´ıa. Suponiendo a la variable x como la cantidad de kwh consumida durante el bimestre.

f (x) =

 32,45 + (32,45)(,15)      

si 0 < x ≤ 50 si 0 < x ≤ 50 si 50 < x ≤ 150 si

m) Realiza el gráfico en el cual se resuma la información sobre las diferentes tarifasde consumo de energ´ıa eléctrica desde 0 hasta los 650 kwh.

n) ¿Como se llama esta funci´on ?

Problema 3 Dado un cuerpo cualquiera, por ejemplo una botella, tomar mediciones que permitan dibujar y hallar la relaciÂ´on entre variables a fin de determinar finalmente el volumen de su contenido.

Problema 4 Preguntar a profesores de la especialidad ejemplos de funciones utilizadas en la especialidad. II. CONOCIMIENTOS PREVIOS:

1. Seleccionar material y observar:

Escribe el concepto de conjunto: Escribe el concepto de relación entre conjuntos: Escribe el concepto de función: Cuáles son las partes que caracterizan a una función:

i) Analiza y contesta lo siguiente: Sean A y B dos conjuntos tales que:

Ropa = {playera, pantal´on, camisa}

Color={negro, blanco}

Forma el conjunto R de todas las relaciones entre la ropa y color:

Analiza las siguientes relaciones y determina si a cada elemento del conjunto de Ropa le corresponde un u ´ nico color: ´ RELACION R1={(playera, blanco)} R2={(playera, blanco), (playera, negro)} R3={(pantal´ on, blanco), (camisa, blanco)} R4={(playera, blanco), (camisa, blanco), (camisa, negro)} R5={(playera, negro), (camisa, negro)}

¿POR QUE?

De acuerdo a los conjuntos dados, establece el grafico de las siguientes relaciones, tomando en cuenta al conjunto A como conjunto de partida y el conjunto B como conjunto de llegada. Determina el conjunto A1 de A relacionado con B y el subconjunto B1 de B relacionado con A: 36

´ RELACION

´ GRAFICA

y = 3x − 1 tal que A = {x = 2n con n = 0, 1, 2, 3, . . .} B = {y ∈ R} A1 = { } B1 = { }

y = 3x − 1 tal que A = {x ∈ R−} y B = {y ∈ R} A1 = { } B1 = { }

y = 3x − 1 tal que A = {x ∈ N} y B = {y ∈ N} A1 = { } B1 = { }

y = 3x − 1 tal que A = {x ∈ R−} y B = {y ∈ N} A1 = { } B1 = { } 2. Identificar, interpretar y analizar a) Construcción del concepto de función. A partir de los siguientes ejemplos considerar y = f (x) √ y = x, y = kx, y = x + a, y = x2 , y = kx2 , y = (x − h)2 , y = x + k, y = x, y = kx3 , y = ln(x), x2 + y 2 = r 2 , 4x2 + 9y 2 = 36, con diferentes valores de a, h, k, r. Se recomienda utilizar Winplot para ver la influencia de los parámetros

1. Establecer la representación gráfica a partir de la forma tabular, teniendo cuidado de considerar para la misma ley de formación conjuntos de los naturales, de los enteros, de los reales, esto es para evitar la confusión de que dado un conjunto finito de puntos aislados se llega a una gráfica continua. Destacar la diferencia entre {f (x)} y el de los pares {(x, f (x))}. Visualizarlo en la gráfica, con notación de conjuntos y con un diagrama de flechas.

Con este ejercicio se logra trabajar con 4 representaciones, tabular, gráfica, algebraica y diagrama de flechas, falta la forma verbal expresando las caracter´ısticas o propiedades que se cumplen para tener una función. √ a) ¿Qué sucede con los casos y = x, x2 + y 2 = r 2 , 4x2 + 9y 2 = 36? En los demás casos a un valor de x le corresponde un valor de y o f (x), pero en estos casos a

un valor de x le corresponden dos valores de y. Exprese el concepto de relación entre variables y el de función, se˜ nale en qué se diferencian. Discutir en equipo y expresarlo en la siguiente clase. b) Buscar el concepto de función en diferentes libros, comparar los enunciados y relacionarlos con el trabajo indicado en el inciso a). Expresar las condiciones que se tienen que cumplir para tener una función. c) Expresar la forma en que se contribuye a desarrollar las habilidades de seleccionar material, observar, identificar, interpretar y analizar. d) En muchos problemas reales se hacen mediciones de algunos valores y a partir de estos datos se hace un ajuste de curvas para elegir un modelo y graficarlo. Es necesario trabajar esta situación utilizando diferentes problemas contextuales y el uso de un software adecuado para hacer el ajuste de curvas. En base a las propiedades que se dan a continuaci´ on, contesta si las relaciones dadas para los diferentes conjuntos cumplen con las propiedades 1 y 2. 1. Para cada elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B. 2. No es posible que un elemento del conjunto de A esté asociado con dos o más elementos del conjunto B. ´ RELACION

f (x) = ln(x − 3)

f (x) = 8 − 2x

Conjunto A R (−∞, 3] (4, ∞) (3, ∞) (0, ∞) {−2, 0, 1, 4, 9, 10} {−2, 0, 1, 4, 9, 10} N {−4} R

B R R R R+ N R N R+ {0} N

Cumple propiedades 1 2

3. Problemas de contexto En cada uno de los ejemplos y problemas de contexto Buscar (identificar) las variables cuyos valores dependen de los valores que tome otra variable y cu´ales no.

¿Qué sucede si aumentas el conjunto de valores que toma la variable libre? ¿Existe alguna relación entre el aumento de valores de la variable libre y los valores que toman la variable subordinada o dependiente? Compara las diferentes representaciones y explica cómo se relacionan los dos conjuntos de valores en cada caso. Al variar la variable independiente, ¿Cómo es la variación de la variable dependiente? (1) Una fábrica de yogurt produce 2500 cuartos a la semana. La ganancia neta por cada cuarto de este producto que se vende es de $ 0.40, mientras que los que no se venden se desechan con una pérdida de $ 0.70 por cuarto. Construye una fórmula que exprese la ganancia de la fábrica en términos del n´ umero de 1 cuartos de yogurt. Representación con variables No. De cuartos vendidos No. De cuartos no vendidos Venta Pérdida Diferencia

500 1000 1500 2000 2500 variable

(2) La siguiente tabla muestra la poblaci´on aproximada (expresada en millones de una colonia de bacterias. El registro se hace cada hora. Hora Bacterias

0 1 2 6 12 24

3 4 5 48 96 192

i) ¿Cuántas bacterias habrá después de 8h?, ¿Después de 10 horas? ii) ¿Cuántas bacterias habrá una hora antes de la observación? iii) Encuentra la expresión anal´ıtica que permita calcular el n´ umero de bacterias para cualquier hora. iv) Haz la representación gráfica.2 (3) La función de producción de la empresa HATCO se ha comportado de la forma que se observa en la tabla y la figura en los u ´ ltimos 5 meses del pasado a˜ no y los 5 primeros de este a˜ no. Interpretar la gráfica del comportamiento de la empresa, explicar en lenguaje natural, con tabla y por medio de las caracter´ısticas de la función matemática y la de producción. 1

P´ ag. 56 “El desarrollo de habilidades matemáticas en situaci´ on escolar” Santiago Ramiro Velásquez 2 P´ ag .57 “El desarrollo de habilidades matemáticas en situaci´ on escolar” Santiago Ramiro Velásquez

(4) Función de dominio dividido y su aplicación en circuitos eléctricos. La función de Heaviside H está definida por 1 t≥0 H(t) = . 0 t<0 Se usa en el estudio de los circuitos eléctricos para representar la onda repentina de corriente eléctrica, o de voltaje, cuando un interruptor se cierra instantáneamente. a) Grafique la función de Heaviside. b) Trace la gráfica del voltaje V (t) en un circuito si el interruptor se cierra en el instante t = 0 y se aplican instantáneamente 120 volts al circuito. Escriba una fórmula para V (t) en términos de H(t). c) Grafique el voltaje V(t). 4. Sintetizar las ideas principales Se˜ nalar las caracter´ısticas del dominio y las de la imagen. Expresar las caracter´ısticas presentes en el concepto de función. 5. Establecer conjetura Formular el concepto de función. Formular los conceptos de dominio e imagen. IV. ACCIONES EN EL AULA Integrar al grupo en equipos

Asignar a cada equipo una serie de ejercicios diferentes de un tipo en particular. Dar solución mediante Excel a diferentes ejemplos y a los problemas de contexto vistos. Relacionar la solución gráfica con la algebraica. Exposición de trabajo y generar discusión. Determina si las siguientes expresiones algebraicas representan a una relación que van de R a R. Justifica tus respuestas: ´ RELACION

PROPIEDAD

CUMPLE PROPIEDADES

´ ¿POR QUE?

AMBAS

f (x) = 9x − 3 f (x) = ln(x √ − 3) g(x) = ± 2x y = tan(x); h π π i x ∈ 0, ∪ ,π 2 2 x2 + y 2 = 16 u = 5x3 + 9 − 6x2 x(v) = [a + bsen(v)] cos(v)

f (x) = ln(3 − 2x); f

[3, ∞) → R+

R + ∪{0} → R   10 − x 0 < x ≤ 10 f (x) = 1 10 < x ≤ 20  21 − x x > 20

1. De las siguientes figuras determina cu´ales cumplen con ambas propiedades que van de los n´ umeros reales a los n´ umeros reales:

´ FUNCION

´ NO ¿POR QUE?

V. TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE En cada uno de los ejemplos vistos, expresar como A al conjunto de las variables independientes; B al conjunto de las variables dependientes y f : la ley que los relaciona. Represente todos los casos como f : A → B, donde A={

}, B = {

Transita por las diferentes representaciones indicando en cada una de ellas las caracter´ısticas que lo identifican como función. VI. CONCLUSIONES De manera individual contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Cómo definir´ıas al conjunto de llegada y de partida de una función?

2. ¿C´omo definir´ıas el dominio y la imagen dentro de una funci´on?

3. ¿Crees que todo grafico representa a una funci´on? Justifica tu respuesta:

4. Al cambiar los conjuntos de partida y llegada ¿se obtiene la misma grafica? Para contestar esta pregunta observa el inciso iv) de la PREPARACION PREVIA.

HOJA DE TRABAJO 2 2.2.

H.T. 2. Funci´ on de una variable. Conceptos b´ asicos.

I. OBJETIVOS Explicar el concepto de función a través de diversas representaciones. Utilizar las propiedades de una función. Determinar el dominio y la imagen dentro de una función. Desarrollar la capacidad de encontrar el dominio e imagen de una función con diferentes conjuntos de partida y de llegada, aclarando como influyen estos conjuntos de partida y llegada en la modificación de los dominios e imágenes respectivas. Concientizar sobre la diferencia que existe entre el contexto real y el contexto matemático en un problema. Desarrollar la habilidad para trabajar en grupo o en equipo. ´ II. PROBLEMA DETONANTE DE LA MOTIVACION En el proceso de purificación del agua por cloración se requiere que el hipoclorito de sodio este alrededor del 4.5 % al 5.5 % de la capacidad del tanque, para eliminar la mayor cantidad de bacterias, virus, hongos y algas presentes en el agua y un tiempo m´ınimo de 30 minutos y no mayor de 35 minutos. a) Determina cómo son los valores del nivel de hipoclorito continuos discretos Porque: b) Determina entre qué valores el nivel de hipoclorito deberá estar para que el producto este dentro de la normas de especificación:

c) Determina como son los valores para el tiempo m´ınimo de purificaci´on

d) continuos Porque:

discretos

Los siguientes datos fueron obtenidos de una muestra: Nivel de cloro: Cl = {0,045, 0,048, 0,006, 0,0051, 0,0049, 0,0049, 0,0052, 0,0048, 0,047, 0,0041}. Tiempo m´ınimo T = {32, 30, 33, 31, 30, 31, 31, 32, 34, 32}. e) Ordena los datos como parejas ordenadas (x, y) de tal manera que x pertenece al nivel de cloro y y pertenece al tiempo de purificaci´on

R = {(x, y) tal que x ∈ Cl, y ∈ T }

e) Qué valores no están dentro de la normas de especificación:

e) De los datos anteriores establece un nuevo conjunto de datos que cumpla con las normas de especificaci´on del nivel del hipoclorito: NIVEL HIPOCLORITO

TIEMPO

Tabla 1.b Llamemos a los elementos de la Muestra al nivel de hipoclorito como CONJUNTO DE PARTIDA y al tiempo como CONJUNTO DE LLEGADA y a los elementos de la Tabla 1 al nivel de hipoclorito DOMINIO y al conjunto del tiempo IMAGEN. ¿El conjunto de partida es igual al dominio? Porque:

¿El conjunto de llegada es igual al conjunto imagen? Porque:

Coloca en el c´ırculo interior los elementos que pertenecen a ambas tablas y en el c´ırculo exterior los elementos faltantes:

PROPIEDADES 1. Para cada elemento del dominio le corresponde un elemento de la imagen. 2. No es posible que un elemento del conjunto dominio est´ e asociado con dos o m´ as elementos del conjunto imagen.

En base a las propiedades para que una relaci´ on entre dos conjuntos sea una funci´ on contesta las siguientes preguntas. Establece si se cumple lo siguiente en la relaci´ on entre el nivel de hipoclorito y su tiempo m´ınimo sea una funci´ on: 1. A cada nivel le corresponde un u ´ nico valor de tiempo de purificaci´on de agua:

2. Se pueden obtener dos niveles de cloro al mismo tiempo de la misma agua:

3. Entonces la relaci´on representa a una funci´on: si

Porque:

Utilizando el software Excel grafica los datos de la tabla 1:

CONCEPTOS PREVIOS De manera individual contesta las siguientes preguntas utilizando tus propias palabras: 1. Escribe el concepto de conjunto de partida: 2. Escribe el concepto de conjunto de llegada: 3. Escribe el concepto de dominio: 4. Escribe el concepto de imagen o recorrido: 5. Enuncia las diferentes representaciones de una funci´ on matem´ atica: ACCIONES EN EL AULA

En la ciudad se contamin´ o recientemente uno de los pozos de agua con tricloroetileno, un agente cancer´ıgeno. Debido a que en una antigua planta qu´ımica se derramo qu´ımicos en el agua. Una propuesta enviada al comit´ e de ecolog´ıa indica que el costo de eliminaci´ on de x porcentaje del contaminante t´ oxico, en millones de pesos est´ a dado por: C(x) =

0,5x . 100 − x

Determina a quién corresponde el conjunto de partida y el conjunto de llegada: Conjunto de partida: nivel de descontaminación costo de descontaminación Conjunto de llegada: taminación

nivel de descontaminaci´on

Escribe el conjunto de partida:

Escribe el conjunto de llegada:

costo de descon-

Matem´aticamente C(x) =

0,5x 100−x

para qu´e valores de x est´a definida:

Seg´ un el contexto del ejemplo para que valor de x est´a definido:

Establece el dominio matem´atico de C(x):

Escribe el dominio del nivel de descontaminaci´on:

Escribe la imagen del costo de descontaminaci´on:

Completa la siguiente tabla: Nivel de descontaminaci´ on 0 9 99.99 99.999 100

Costo de descontaminaci´ on

Contesta las siguientes preguntas en base a las propiedades que determinan si una relaci´ on entre dos conjuntos representa a una funci´ on:

La relación entre el nivel y el costo de descontaminación representa a una función.

Realiza tus anotaciones aqu´ı Propiedad 1:

Propiedad 2:

Conclusi´on:

¿Cu´anto dinero se necesitan para descontaminar al 100

¿Cuál será el nivel máximo de descontaminación del agua?

Completa el siguiente cuadro utilizando los datos obtenidos en los incisos anteriores:

Conjunto partida

Dominio

Conclusi´ on: ¿El Dominio de la funci´on est´a contenido en el conjunto de partida?

Conjunto llegada

Imagen

¿La imagen de la funci´on est´a contenida en el conjunto de partida?

En base a la siguiente tabla grafica la funci´on:

Conjunto Partida

{−10, −8, −6,

Dominio

{−10, −8, −6, −4,

−4, −2, 0, 2,

−2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}

4, 6, 8, 10}

Funci´ on:

Gr´ afica:

{(−10, 100),

(−8, 64), (−6, 36),

(−4, 16), (−2, 4), (0, 0), (2, 4), (4, 16), (6, 36), (8, 64), (10, 100)}

Conjunto llegada

{−100, −50, −25,

0, 4, 10, 16,

Imagen

{0, 4, 16, 36,

64, 100}

20, 24, 36, 40, 64, 70, 100}

Conjunto Partida

{−100, −50, −25,

0, 4, 10, 16,

Dominio

Funci´ on:

{0, 2, 4,

{(0, 0), (2, 4),

6, 8, 10}

20, 24, 36, 40,

(4, 16), (6, 36), (8, 64), (10, 100)}

64, 70, 100}

Conjunto llegada

{−100, −50, −25,

0, 4, 10, 16,

Imagen

{0, 4, 16,

36, 64, 100}

20, 24, 36, 40, 64, 70, 100}

Gr´ afica:

Conjunto Partida R

Conjunto llegada R

Dominio

Funci´ on:

R+

f = x2 tal que f : R+ → N

Imagen

Gr´ afica:

TRABAJO INDEPENDIENTE Plantea un ejemplo de contexto real y determinando el conjunto de partida y llegada as´ı como su dominio e imagen

Completa el siguiente cuadro determinando los elementos que faltan, en caso de no existir la funci´ on, justifica tu respuesta: Conjunto Conjunto Funci´ on Expresi´ on Partida

√ √

x−3

Llegada

Dominio Imagen {(x, y); x ∈ D, y ∈ I}

N Q R+

N Q R−

{−2, −1, 0, 1, 2}

N R− R Z− R + \(1, 2) R + \(1, 2) R + \[1, 2] R + \(1, 3)

N R− R Z R+ N R R+

Gr´ afica

CONCLUSIONES CONCLUSION INDIVIDUAL

1. ¿C´omo defines una relaci´on entre dos conjuntos cualesquiera?

2. ¿C´omo defines una funci´on?

3. ¿Todas las relaciones son funciones? si

Porque:

4. ¿Qu´e caracter´ısticas o propiedades deben cumplir las relaciones para ser una funci´on?

5. ¿Todo grafico representa a una funci´on? ¿Por qu´e?

6. ¿Es igual el conjunto de partida de la funci´on que el dominio para cualquier funci´on? Justifica tu respuesta

7. ¿Es igual el conjunto de llegada que su imagen para cuales quiera funci´on? Justifica tu respuesta

8. ¿Cómo debe ser el dominio de una función en relación (mayor, menor o igual) a su conjunto de partida?

9. ¿Cómo debe ser la imagen de una función en relación (mayor, menor o igual) a su conjunto de llegada

10. Siempre el dominio e imagen de una función en matemáticas es igual al dominio e imagen de la vida real ¿Por qué?

CONCLUSION GRUPAL ´ DE RELACION ´ DEFINICION

´ DE FUNCION ´ DEFINICION

´ DE DOMINIO DEFINICION

´ DE IMAGEN DEFINICION

HOJA DE TRABAJO 3 2.3.

H.T. 3. Desigualdades

I. OBJETIVOS Utilizar las propiedades de las desigualdades. Representar gráficamente las funciones y las desigualdades. Interpretar las desigualdades en la gráfica. Hallar el conjunto solución de las desigualdades. Relacionar la parte grafica con la algebraica. ´ II. PROBLEMA DETONANTE DE LA MOTIVACION Problema con software Este archivo en software le permite visualizar tres funciones lineales, donde cada una representa una empresa y sus ventas en el tiempo. Si modifica el tiempo podrá observar cuáles empresas se encuentran con mejores ingresos en ese tiempo A partir de la gráfica determinar la parte del dominio de la función para la cual: i) 3x + 2 > 2x + 1 Se˜ nalarlo en el gráfico y escribir en forma de intervalo y en notación de conjunto en forma intencional. ii) 2x + 1 ≥ x + 0,5 Se˜ nalarlo en el gráfico y escribir en forma de intervalo y en notación de conjunto en forma intencional. iii) 3x + 2 ≤ x + 0,5 En este caso llamar c al valor en el eje x y se˜ nalarlo en el gráfico y escribir en forma de intervalo y en notación de conjunto en forma intencional. iv) Hallar el valor de c en forma algebraica. v) Hallar en forma algebraica, el conjunto solución de los planteamientos de los dos primeros incisos. Preguntas: 1. ¿Cuál es el dominio en cada caso? 2. ¿Qué conjunto de valores representa la imagen? 3. ¿Que empresas ganarán al pasar el tiempo y por qué?

4. ¿De que manera justifica los puntos de intersección en las funciones? 5. ¿Qué sucede con las empresas cuando la función correspondiente está por debajo de el eje x, y cuando lo corta? 6. La empresa HATCO produce un art´ıculo (reproductores de DVD). Al hacer un estudio de mercado comprobaron que no tienen posibilidad de vender mas de 5000 video caseteras en el a˜ no. Si la función de producción en base a insumos está dada por (x-1)(x-2)+100 ¿cómo expresas la restricción de venta de la empresa? 7. La empresa TAHCO está compitiendo con la HATCO y la COHTA. Para hacer los análisis de producción y venta se comparan las funciones de producciones de las tres empresas y las de ventas mensuales del a˜ no anterior. Las funciones de producción son: 5t +7; t + 1 y 2t + 3 respectivamente, donde t representa el tiempo. Las funciones de venta están dadas por 2t+1 ; t+1/2 y ¿Cómo har´ıas el análisis de las tres empresas para saber cuál tuvo mejores resultados? Sugerencia: Haz la comparación de producción y venta por empresa, compara las tres funciones de producción y las tres de venta. ´ PREVIA III. PREPARACION

1. Seleccionar material y observar Buscar las propiedades de valor absoluto, diferenciar las propiedades de desigualdades, aplicar la fórmula general de la ecuación cuadrática. Expresar con s´ımbolo de > ; < ; ≤ ; ≥ ejemplos donde se utilicen las propiedades con la estatura y la edad de alumnos, docentes y familiares. ax2 + bx + c = (x − x1 )(x − x2 ) donde los valores x1 y x√2 se obtienen de la 2 fórmula general de la ecuación de segundo grado x = −b± 2ab −4ac . La función valor absoluto se define como x si x ≥ 0 f (x) =| x |= . −x si x < 0 Grafica la función |x|. 2. Identificar, interpretar y analizar: Si P entonces Q 1. Si a < b y b < c, entonces a < c 4 < 5 y 5 < 6, entonces ¿ ? 2. Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d 4 < 5 y 6 < 7, entonces ¿ ? 3. Si a < b y k es cualquier n´ umero real, entonces a + k < b + k Desarrolle un ejercicio dando valores para a, b y k ¿Qué diferencia encuentras entre la propiedad 2 y 3? Explica las propiedades 1, 2 y 3 Representa en forma gráfica las propiedades. 4. Si a < b y k > 0, entonces ak < bk 2 < 3, dar valor a k, de acuerdo a la condición y comprobar el teorema 5. Si a < b y k < 0, entonces ak > bk 1 2

< 3 y dar un valor para k de acuerdo a la condici´on Analizar con sus compa˜ neros de equipo la diferencia entre los teoremas 4 y5

6. Si x < a y x < b, entonces x < min(a, b) Si x < 2 y x < 4, entonces x < 2 Si x < −5 y x < −10, entonces x < −10

Representa los casos anteriores en la recta num´erica.

7. Si x > 1/5 y x > 3/5, entonces x > 3/5 Si x > 6 y x > 17, entonces x > Si x > −5 y x > −10, entonces x > Si x > a y x > b, entonces x > 3. Problemas A) Grafica los siguientes pares de funciones en una misma gr´afica: y = x + 2; y = 2x − 1 y = (x − 1)(x − 2); y=0 2 ; y=3 y = x−1 B) Halla el dominio y la imagen de las funciones graficadas en A).

C) ¿C´omo interpretas las desigualdades siguientes? 1) x + 2 ≤ 2x − 1; 3) |x − 1| < 2; 5) (x − 1)(x − 2) > 0; 2 7) x−1 < 3;

2) x + 2 ≥ 2x − 1; |x − 1| > 2; (x − 1)(x − 2) > 0; 2 8) x−1 > 3.

4. Sintetizar las ideas principales 1. ¿Que elementos existen a) En com´ un en los problemas 1 y 2? b) Diferentes en los problemas 1 y 2? 2. Al graficar el valor absoluto y la recta en los problemas 1 y 2 como visualizamos los intervalos en los que la recta está sobre la gráfica del valor absoluto, y en los que la gráfica del valor absoluto está sobre la recta.

3. Relacionar el dominio en las desigualdades en los problemas 1 y 2. 4. ¿Cuál es el valor en que la imagen es la misma para ambas desigualdades? 5. ¿Qué significado tienen estas desigualdades en cuanto a la imagen y cómo las puedes expresar? 6. ¿Qué pasos tienen en com´ un la solución algebraica de los problemas 1 y 2? 7. ¿Cómo relacionas la parte gráfica y la parte algebraica? 8. Repetir los pasos con los problemas 3 y 4, 5 y 6. 9. ¿Qué relación puedes hallar entre la solución gráfica y algebraica en los distintos problemas? 10. ¿A qué conclusiones llegas al solucionar los distintos problemas de desigualdades y cuáles propiedades y conceptos has utilizado? 5. Establecer conjetura Establece un algoritmo de trabajo basado en las propiedades de desigualdades de III.2 para el caso de: i) Desigualdades que tienen funciones lineales ii) Desigualdades que tienen funciones lineales en el denominador iii) Desigualdades que tienen la función módulo iv) Desigualdades que tienen funciones cuadráticas IV. ACCIONES EN EL AULA Dar solución mediante un software graficador a diferentes ejemplos de III.3.C y a los problemas de contexto vistos en la sesión de motivación de desigualdades. Hallar la solución algebraica de cada uno de los problemas y de los ejemplos de III.3.C. Relacionar la solución gráfica con la algebraica. Proponer cada equipo 8 ejemplos similares a los vistos en III.3.C Exponer el trabajo y generar discusión V. TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE

Distinguir y expresar en notación de conjuntos, en qué parte del dominio una función queda por debajo de la otra. Distinguir y expresar en notación de conjuntos, en qué parte del dominio una función queda por encima de la otra. Describir los pasos que realizas para hallar el conjunto solución de cada uno de los problemas en particular (los cuatro casos considerados en III.5 y de todos en general. Expresar en forma sintética el esquema general de trabajo para cualquier caso. VI. CONCLUSIONES Explicar en forma resumida los aspectos fundamentales de la Hoja de Trabajo, tomando en cuenta: i) Aplicaciones en la especialidad ii) Propiedades de trabajo con desigualdades iii) Forma de hallar el conjunto solución de las desigualdades en forma gráfica iv) Forma de hallar el conjunto solución de las desigualdades en forma algebraica v) Explicación del significado de hallar el conjunto solución vi) Algoritmos de trabajo particulares para los cuatro casos vistos vii) Algoritmo general de trabajo para hallar el conjunto solución

HOJA DE TRABAJO 5 2.4.

H.T. 4. Funciones trigonom´ etricas

I. OBJETIVOS

Relacionar las funciones trigonométricas con su entorno familiar y con problemas actuales en ciencia, econom´ıa y/o tecnolog´ıa. Observar las caracter´ısticas de las variables independientes y de las dependientes. Identificar las variables independientes, las dependientes y las leyes que las relacionan. Determinar los conjuntos donde var´ıan las variables independientes y dependientes. Representar el c´ırculo trigonométrico, tabular y graficar las funciones trigonométricas. Identificar el dominio y la imagen de las funciones trigonométricas en el c´ırculo y en el plano cartesiano. Representar en forma gráfica, algebraica, tabular y pasar de una representación a otra. Construir el concepto de función trigonométrica a partir de un triángulo rectángulo situado en el c´ırculo unitario.

´ II. PROBLEMA DETONANTE DE LA MOTIVACION Buscar en Google sobre el movimiento de un pist´on.

El sistema biela-manivela de una máquina motriz (máquina de vapor, motor térmico) se compone de una biela AB cuyo extremo A llamado pie de biela, se desplaza a lo largo de una recta, mientras que el otro extremo B, llamado cabeza de biela, articulado en B con una manivela OB describe una circunferencia de radio OB. El pie de biela está articulado en una pieza denominada pat´ın solidaria con el pistón que se desplaza entre dos gu´ıas. El pistón describe un movimiento oscilatorio que como vamos a ver no es armónico simple, aunque se puede aproximar bastante a éste. Descripci´ on del movimiento

Supongamos que la manivela tiene radio r, y la biela tiene una longitud l (l > 2r). La manivela gira con velocidad angular constante ω, y el pistón oscila. La posición del pistón respecto del centro de la rueda es √ xe = r cos θ + l2 − r 2 sen2 θ + d. 64

Si situamos el origen en la posición en la posición del pistón para θ = 90◦ √ x0 = l2 − r 2 + d. Posici´ on del pist´ on x = xe − x0 = r cos θ +

√

l2 − r 2 sen2 θ −

√

l2 − r 2 .

Si la manivela se mueve con velocidad angular ω constante, la posición del pistón en función del tiempo es p √ x = r cos(ωt) + l2 − r 2 sen2 (ωt) − l2 − r 2 . El valor máximo se obtiene para ωt = 0, y vale √ x = r + l − l2 − r 2 . El valor m´ınimo se obtiene para ωt = π, x = −r + l −

√

l2 − r 2 .

En la figura, se representa la posición x del pistón en función del tiempo (color azul) y el MAS (color rojo) π = r · cos(ωt). x = r · sen ωt + 2 El valor máximo se obtiene para ωt = 0, y vale x = +r. El valor m´ınimo se obtiene para ωt = π, y vale x = −r.

Preguntas 1. ¿Que representa el dominio en este sistema?

2. ¿Que representa a la imagen este sistema? 3. ¿Dónde se mueve la variable independiente? 4. ¿Dónde se mueve la variable dependiente? 5. ¿Cuál es la relación entre las variables que representa en el movimiento del pistón? 6. ¿Cómo modificas la amplitud de la onda? 7. ¿En la onda sinusoidal que caracter´ıstica de ella indica el sentido del desplazamiento del pistón? ´ PREVIA III. PREPARACION 1. Seleccionar material y observar Buscar en Internet. Función trigonométrica. Observar la relación de las ondas con el comportamiento de las funciones seno y coseno. Bajar de internet el software GeoGebra. 2. Identificar, interpretar y analizar a) Construcción del concepto de función trigonométrica. Trabajo con GeoGebra

En la barra del men´ u aparece gráficamente el punto, la recta, la relación entre rectas, la circunferencia, el ángulo. En la parte inferior derecha de cada rectángulo aparece una pesta˜ na que al dar click despliega un submen´ u de opciones.

Al dar click en la pesta˜ na del u ´ ltimo rect´angulo se desplaza un submen´ u que permite desplazar la posici´on de los ejes coordenados.

Al dar click en la circunferencia se puede dibujar una circunferencia se˜ nalando circunferencia con centro y punto que cruza. Con el ratón se sit´ ua el cursor para marcan dos puntos, el centro y otro punto por ejemplo el (0, 1). En el rectángulo donde aparece la recta se puede tomar la opción recta que pasa por dos puntos. Situar el cursor en (0, 0) y dar click y luego dar click en un punto de la circunferencia. Al fijar solamente el primer punto se tiene una recta libre que se puede mover, al fijar el segundo punto C la recta queda fija. En el rectángulo donde aparece el punto se puede seleccionar la opción de nuevo punto y situar un punto D sobre la recta.

Se puede observar como en el lado izquierdo aparecen los objetos dibujados en el plano cartesiano.

El siguiente esquema puede realizarse con Geogebra.

Con ayuda de GeoGebra dibuje una circunferencia de radio unitario, seleccione un punto P1 de coordenadas (x, y) = (A1 , B1 ). Dibuje otras circunferencias concéntricas de radios 2, 3, 4 y 5 respectivamente. Desplace el punto P1 a lo largo de la recta OA1 , hasta encontrar los puntos de intersección con las circunferencias P2 , P3 , P4 y P5 respectivamente. Forme los triángulos rectángulos OA1 P1 ,. . . , OA5 P5 . Escriba con ayuda de GeoGebra los valores de los lados de los triángulos rectángulos y las razones entre sus lados. Observe qué sucede. Mueva ahora el punto P1 sobre la circunferencia y observe qué sucede con las razones entre los lados del triángulo.

Expresar en el triángulo rectángulo la definición de senα = cos α = tan α = sec α = csc α = cot α =

cateto opuesto , hipotenusa cateto adyacente , hipotenusa cateto opuesto , cateto adyacente hipotenusa , cateto adyacente hipotenusa , cateto opuesto cateto adyacente . cateto opuesto

Identificar en cada caso cuáles son las variables independientes y dependientes y el conjunto donde var´ıa cada una de ellas. ¿A cada ángulo que se escoge le corresponde una u ´ nica razón o varias razones? ¿Al cambiar el ángulo cambia el valor de la razón? Se˜ nalar el dominio y la imagen de cada función en el c´ırculo unitario y en el plano. ¿Qué sucede al pasar de la representación en el c´ırculo unitario a la representación de las funciones en el plano cartesiano? ¿Cómo interpretas la relación entre ambas representaciones? Analizar el signo de cada una de las funciones en cada cuadrante a partir de la representación gráfica del triángulo en el c´ırculo unitario. Deducir las identidades trigonométricas principales a partir del teorema de Pitágoras en el triángulo del c´ırculo unitario. b) Buscar el concepto de función trigonométrica en diferentes libros, comparar los enunciados y relacionarlos con el trabajo indicado en el inciso a). Expresar las condiciones que se tienen que cumplir para tener una función. Observar la deficiencia de la literatura respecto a que no destacan las caracter´ısticas esenciales de función en el concepto de función trigonométrica. c) Expresar la forma en que se contribuye a desarrollar las habilidades de seleccionar material, observar, identificar, interpretar y analizar.

d) En muchos problemas reales se hacen mediciones de algunos valores y a partir de estos datos se hace un ajuste de curvas para elegir un modelo y graficarlo. Es necesario trabajar esta situación utilizando diferentes problemas contextuales y el uso de un software adecuado para hacer el ajuste de curvas. 3. Problemas Desde la torreta de un faro con 150 metros de altura, el ańgulo de depresión (ángulo por debajo de la horizontal) de un barco en el mar es 4.2 grados. ¿Cuántos kilómetros hay desde el punto situado al nivel del mar directamente debajo del observador hasta el barco. El área de un paralelogramo está dada por la fórmula A = b · h, donde b es la longitud de la base y h es la altura. Dos lados adyacentes del paralelogramo tienen 16 y 20 pulgadas de longitud y el ángulo interno mide 50 grados. Encuentre el área con aproximación a décimos de pulgada cuadrada. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden 50 grados y cada uno de los lados iguales tiene 25 pulgadas de longitud. Determine la longitud del tercer lado. Construya para cada función trigonométrica una tabla con los valores de los ángulos notables en los cuatro cuadrantes y dibuje el gráfico. Observe que sucede cuando se da más de una vuelta a la circunferencia. Extienda el gráfico en los ejes cartesianos. Con ayuda de GeoGebra o Winplot observe que sucede con los valores de las imágenes de las funciones y = senx; y = 2senx; y = 3senx; y = 21 senx; y = Asenx: y = Af (x). Repetir el análisis para cada una de las funciones trigonométricas. Se suspende un cuerpo de un resorte, el cual vibra verticalmente. Sea s cent´ımetros la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central, o de reposo, después de t segundos de tiempo. Un valor positivo de s indica que el cuerpo está por encima de su posición central. Si en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares se marcan los valores de s para valores espec´ıficos de t, y si la fricción no se toma en cuenta, entonces la gráfica resultante tendrá una ecuación de la forma f (t) = asenb(t − c).

Las constantes a, b y c están determinadas por el peso del cuerpo y el resorte, as´ı como la forma en que se pone en movimiento al cuerpo. Por ejemplo, cuanto mas se tire el cuerpo hacia abajo antes de liberarlo, tanto mayor será a, la amplitud del movimiento. Además, cuanto mas r´ıgido sea el resorte, tanto más rápido vibrará el cuerpo, de modo que el menor valor será el per´ıodo del movimiento. Darle a a, b y c valores espec´ıficos y ver el cambio de los gráficos

4. Sintetizar las ideas principales Explicar por que las funciones trigonométricas son funciones. Se˜ nale para cada función trigonométrica el conjunto de partida donde se mueve la variable independiente y el dominio de cada una de ellas, el conjunto de llegada para la variable dependiente y el contradominio de cada una. Explique la relación entre variables y explique si se cumple cada una de las propiedades 1 y 2. 5. Establecer conjetura A partir de los gráficos en Winplot y Geogebra, observar como influyen los parámetros (a, b, c, A) en el comportamiento de las funciones. Sugerencia darle diferentes valores y luego establecer la conjetura para cada una de las funciones. IV. ACCIONES EN EL AULA Integrar al grupo en equipos. Asignar a cada equipo una serie de ejercicios diferentes de un tipo de función en particular y su rec´ıproca. Construir mediante GeoGebra el concepto de función trigonométrica. Relacionar la solución gráfica y tabular con la expresión de la razón. Exposición de trabajo y generar discusión. V. TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE Responder la H.T. Copiar en la H.T. las gráficas de Geogebra y Winplot. Discutir con los compa˜ neros de equipo y enviar por correo. VI. CONCLUSIONES Escribe un resumen de toda la Hoja de Trabajo, buscando solo los datos principales que debes de recordar para poder hacer uso de las funciones trigonométricas en cualquier problema.

HOJA DE TRABAJO 5 2.5.

H.T. 5. Operaciones con funciones

I. OBJETIVOS Identificar los diferentes tipos de operaciones con funciones. Relacionar las representaciones gráficas con sus representaciones algebraicas. este efecto es la parte más dif´ıcil pues hay que considerar los intereses, capacidades y desarrollo de habilidades de los estudiantes. Además de tener en cuenta el plan de estudios, objetivos de la asignatura, contexto, las caracter´ısticas el objeto de estudio, condiciones en que se desarrolla el proceso de ense˜ nanza aprendizaje y las preconcepciones erróneas que puedan tener los estudiantes. ´ PREVIA III. PREPARACION 1. Selecci´ on del material y observar La orientación para estas acciones están encaminadas a buscar los antecedentes básicos para poder entender el nuevo objeto de estudio y establecer el v´ınculo de unión entre esos conocimientos y el que va a formarse. 2. Identificar, interpretar y analizar Hacer el gráfico de las funciones básicas conocidas por ti, recta x, parábola x2 , parábola c´ ubica xn 3, hipérbola equilátera x1 , función logaritmo ln(x), función exponencial ex , ax , funciones trigonométricas. (i) f (x) = x, −f (x), f (−x), f (x + 3), f (x − 3), f (6x), f 13 x . (ii) g(x) = x2 , −g(x), g(−x), g(x + 3), g(x − 3), g(2x), f (x) + 3, g(x) − 3.

(iii) h(x) = x3 , −h(x), h(−x), h(x + 2), h(x − 2), h(5x)

(iv) Hacer el mismo análisis de iii) para h(x) = senx y h(x) = ln x. (v) A partir de los gráficos, observar que sucede con las imágenes de las funciones al sumar o restar una constante, al multiplicar la imagen por −1, por otra constante, al multiplicar la variable independiente por una constante, al sumar o restar una constante a la variable independiente. Exprese sus conclusiones a partir del análisis hecho.

(vi) ¿El dominio se modificó en cada uno de los casos? ¿y la imagen? ¿qué relación existe entre g(x) y g(−x), g(x + h), g(kx), kg(x)? (vii) Hacer los ejercicios 11 a 24 del 1.2 del libro de Leithold.

Hallar las siguientes funciones compuestas f (g(x+3)), g(f (x+3)), h(f (x+3)), hallar los dominios e imágenes de cada una de ellas, graficarlas. Indique el significado que tiene la composición de tres funciones y la relación entre sus dominios e imágenes. Represente gráficamente el paso de la función simple a la compuesta y de esta a la doble composición. (x) , sus dominios e imágenes en los Hallar f (x) + g(x), f (x) − g(x), f (x)g(x), fg(x) ejercicios 1 a 10 del 1.2 del libro de Cálculo de Leithold.

A partir de los gráficos se˜ nale la función que le corresponde, explique su elección. Si no aparece la función de alg´ un gráfico, exprésela. Si no aparece el gráfico, caracterice el tipo de función a la que corresponde y hágalo con una graficadora. Relacione las curvas básicas con las trasladadas. y y y y y y y

= x3 = (x + 1)3 = −2x + 1 =x+9 = 2x3 = x2 = 2sen(3x)

y y y y y y y

= (x − 4)2 = −(x − 8)2 + 2 = −(x − 8)2 − 2 = x3 − 1 = ln(x) = sen(x) + 3 = 3sen 2x + π6

y y y y y y y

= 2sen(x) = sen(2x) = tan(x) = ex = ln(x + 2) = ln(x) − 1 = 5x3 + 3x2 − 2x

En cada uno de los gráficos trace rectas tangentes a las curvas e identifique si las pendientes de estas rectas son positivas, negativas o cero. Observe la relación entre el crecimiento de la función y el signo de la pendiente de la recta tangente. 3. Problemas de contexto La b´ usqueda de problemas heterogéneos, lleva a tomar conciencia de los eslabones de la actividad, ayuda a establecer conjeturas y a generalizar. Elabore un problema donde utilice las operaciones de funciones en el contexto de su especialidad. 4. Sintetizar las ideas principales Establece un resumen de todo lo aprendido por ti hasta este momento, establece los conceptos básicos, notaciones, gráficos y resultados principales. 5. Establecer conjeturas A partir de todas las acciones realizadas sobre el objeto de estudio y una vez sintetizada las ideas principales, cada estudiante debe de realizar sus propias consideraciones y emitir un juicio. El docente debe de guiarlos para que lleguen a ver la caracter´ıstica de la traslación en el eje de las x, y el de las y, la reflexión. La composición y las operaciones con funciones. Los estudiantes deben de identificar las formas f (x), f (x + h), f (x − h), −f (x), f (x) + k, f (x) − k, f (mx), mf (x), sus relaciones, sus representaciones gráficas y los cambios producidos en sus dominios y/o imágenes. Exprese algunas tareas para los estudiantes a fin de que puedan orientarse para llegar a establecer las conjeturas sobre traslación, reflexión, simetr´ıa y modificación de los dominios e imágenes al multiplicar por constantes.

´ IV. ACCIONES EN EL AULA Y CENTRO DE COMPUTO Integrar al grupo en equipos. Asignar a cada equipo una serie de ejercicios y problemas de un tipo en particular. Dar solución mediante un software a diferentes ejemplos vistos en la preparación previa y a los problemas de contexto vistos en la etapa de motivación. Relacionar la solución gráfica con la algebraica, anal´ıtica o numérica. Exponer trabajo y generar discusión. Establecer la conjetura grupal a partir de los casos particulares, buscando generalización.

HOJA DE TRABAJO 6 2.6.

H.T. 6. Funci´ on compuesta

I. OBJETIVOS Determinar el dominio y la imagen dentro de una función. Desarrollar la capacidad de encontrar el dominio e imagen de una función con diferentes conjuntos de partida y de llegada, aclarando como influyen estos conjuntos de partida y llegada en la modificación de los dominios e imágenes respectivas. Determinar la propiedad fundamental para la existencia de la composición de una función. Destacar la diferencia que existe entre el contexto real y el contexto matemático en un problema. Desarrollar la habilidad para trabajar en grupo o en equipo. ´ II. PROBLEMA DETONANTE DE LA MOTIVACION Una empresa dedicada a la producci´ on de juguetes crece a un ritmo de 50 piezas por semana y el costo del producto aumenta a $ 100 cuando la producci´ on aumenta en una pieza. Contesta las siguientes preguntas:

a) Escribe una expresión matemática que describa la producción de juguetes por semana.

x(s) =

b) Escribe una expresión matemática que describe el costo de producción por unidad.

C(x) =

c) ¿Determina si x(s) expresa a una funci´on matem´atica? si

Porque: d) ¿Determina si C(x) expresa a una funci´on matem´atica? si

Porque: e) Determina el dominio e imagen matem´atico de x(s):

f) Determina el dominio e imagen matem´atico de C(x):

g) Determina el dominio e imagen de x(s) seg´ un el contexto del problema:

h) Determina el dominio e imagen C(x) seg´ un el contexto del problema:

i) Escribe una expresión matemática que describa el costo de producción por semana:

II. CONCEPTOS PREVIOS Conteste las siguientes preguntas utilizando tus propias palabras: a) Escribe el concepto de dominio:

b) Escribe el concepto de imagen o recorrido:

c) Escribe el concepto de funci´on:

d) Escribe las propiedades para que una relaci´on sea funci´on:

III. PROBLEMA DE CONTEXTO ´ “MOVIMIENTO DE UN PISTON” Actividad 1. Contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Qu´e es un pist´on?

2. Escribe la ecuaci´on del movimiento de pist´on respecto al centro de la rueda.

3. ¿La ecuaci´on es una funci´on?

4. Escribe cu´al es la variable dependiente en dicha ecuaci´on.

5. Escribe qui´en es la variable independiente en dicha ecuaci´on.

6. El ´angulo es una variable en la ecuaci´on.

Actividad 2.

1. Lee cuidadosamente las indicaciones del programa “movimiento de un piston.fig” 2. Analiza sus gr´ aficos de la velocidad, modificando el ´ angulo del pist´ on y contesta las siguientes preguntas.

1. A qué función trigonométrica se parece el movimiento vertical del pistón.

2. A qué función trigonométrica se parece el movimiento vertical de la velocidad del pistón.

´ DE LOCOMOTORA PISTON Un pistón está dise˜ nado como en la figura donde la rueda tiene un metro de radio y la varilla que la une al pistón tiene 4 metros. La rueda tiene un movimiento uniforme de radio 1, es decir, que da una vuelta completa en 2π segundos. Si suponemos que el ángulo θ vale 0 en el instante inicial, θ es igual a t. Por razones de seguridad se quiere conocer la velocidad y la aceleración del pistón en el cilindro.

Actividad 3. Utiliza el graficador del Software Geogebra

y realiza los siguientes gr´aficos.

Sustituyendo la variable t = x con la condici´on de que t > 0 Gr´afica de f (t) = OP = cos(t) +

Dominio:

p 16 − sen2 (t).

Imagen:

Grafica la velocidad: cos(t)

v(t) = −sen(t) 1 + p 16 − sen2 (t) 81

Dominio:

Imagen:

Grafica la aceleraci´on a(t) = p

Dominio:

sen(t) 16 − sen2 (t)

cos2 (t) 16 − sen2 (t)

− cos(t) 1 + p

Imagen:

cos(t) 16 − sen2 (t)

IV. ACCIONES EN EL AULA

Contesta la siguiente actividad: En un estudio realizado en el ´area de ingenier´ıa se observo el siguiente comportamiento en la energ´ıa:

Se sabe que el eje x está asociado con el tiempo en segundos y el eje y está asociado con el nivel de energ´ıa donde 0 indica que se parte del reposo. 1. Escribe cuál es la función que se está estudiando en este ejemplo:

2. Determina el dominio matem´atico de dicha funci´on f (x):

3. Determina el dominio tomado para el ejemplo f (x):

4. Determina la imagen de la funci´on f (x):

El consumo de energ´ıa se desarrolla de la siguiente manera:

Donde el eje x indica los segundos de uso de la energ´ıa y el eje y indica el consumo en energ´ıa kwh. 1. Escribe cuál es la función que se está estudiando en este ejemplo:

2. Determina cuál esel dominio matemático de dicha función g(x):

3. Determina cu´al es el dominio tomado para el ejemplo g(x):

4. Determina cu´al es la imagen de la funci´on g(x):

El modelo de conducci´on de energ´ıa se define como la composici´on del comportamiento de la energ´ıa con su consumo. a) Grafica en GeoGebra las funciones f (x) y g(x) y dib´ ujalas en el siguiente espacio.

b) Escribe la funci´on compuesta de h(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)).

c) Grafica la funci´on compuesta

Determina su dominio

d) Determina la imagen:

Analiza el caso siguiente: a) Forma la funci´on p(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)).

b) Determina el dominio de la funci´on p(x)

c) Determina la imagen de la funci´on p(x)

Grafica en Geogebra la funci´on p(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)). 86

d) ¿Qu´e observas visualmente en la gr´afica en el intervalo 2π, 4π)?

e) ¿Por qu´e crees que pasa eso en la gr´afica?.

Recapitulando del ejercicio a) ¿Cu´al es el dominio de la funci´on f (x)?

b) ¿Cu´al es la imagen de la funci´on g(x)?

c) ¿Cómo está la imagen de la función g(x) en relación al dominio de la función f (x)? (totalmente contenida, no contenida, contenida e igual).

Imageng

Dominiof

d) ¿Cu´al es el dominio de la funci´on g(x)?

e ¿Cu´al es la imagen de la funci´on f (x)?

f ¿Cómo está la imagen de la función f (x) en relación al dominio de la función g(x)? (totalmente contenida, no contenida, contenida e igual).

Imagenf

Completa la siguiente tabla: q x x f (x) = sen 2 p(x) = sen 0

Dominiog

x 2

π 2

π 3π 2

2π 5π 2

3π 7π 2

4π ¿Por qué la función p(x) no está definida en el intervalo (2π, 4π)?

¿Cu´al es la imagen de la funci´on f (x) en el intervalo (2π, 4π)?

¿C´omo son los valores de la imagen de la funci´on f (x) el intervalo (2π, 4π)? positivos

¿La funci´on g(s) =

√

negativos

nulos

x est´a definida el intervalo (2π, 4π)? Justifica tu respuesta:

¿El intervalo (2π, 4π) est´a contenido en el dominio de la funci´on g(x)? Justifica tu respuesta.

¿Crees que para que exista la función compuesta p(x) = sen x2 en el intervalo (2π, 4π), la imagen de√la función f (x) = sen x2 debe estar contenida en el dominio de la función g(s) = x?

¿Crees que se cumpla para otras funciones esa condici´on?

Porque:

V. TRABAJO INDEPENDIENTE Analiza los siguientes casos, utilizando el software Geogebra y justifica tus respuestas de acuerdo a tus observaciones analizando sus dominios e im´ agenes: 1) y = f (x) = 2x y z = g(y) = 3y encuentra f (g(x)) =

y g(f (x)) = .

y = f (x) = 2x Dominio 0,1,2,3,4 f (g(x)) Dominio

Imagen

z = g(y) = 3y Dominio 0,2,3,4,5,6,7,8 g(f (x)) Dominio

Imagen

Grafica las funciones f (g(x)) y g(f (x)) en Geogebra si existen:

Expresa mediante Diagramas de Venn los dominios e im´agenes de la funciones.

Imagen de g(x): La imagen de g(x) est´a contenida f (x).

Dominio de f (x): si no en el dominio de la funci´on

Por lo tanto la funci´on compuesta f (g(x)) (si/no):

Imagen de f (x):

existe.

Dominio de g(x):

La imagen de f (x) est´a contenida g(x).

no en el dominio de la funci´on

existe.

Por lo tanto la funci´on compuesta g(f (x)) (si/no):

Completa la siguiente tabla y establece si existe la composici´ on de funciones: f (x) g(x) f (x)

g(x)

x2 +1 x2

√

Dominio f (x)

Dominio

f (x) ln(x + 1)

Imagen Dominio

Imagen

gf ((x))

Dominio

Imagen

g(x)

f g((x))

x−1

Imagen Dominio

Imagen

g(x)

Dominio f g((x))

Imagen Dominio

Imagen

gf ((x))

Dominio

Imagen Dominio

Imagen

f (x) sen(2x)

2x2 + 1

g(x)

Dominio

Imagen Dominio

f g((x))

gf ((x))

Dominio

Imagen Dominio

f (x) x x−1

1−x 2

Imagen

g(x)

Dominio

Imagen Dominio

f g((x))

Imagen

gf ((x))

Dominio

Imagen Dominio

¿En la mayor´ıa de los casos es igual f (g(x)) que g(f (x))?

Imagen

Porque:

Entonces la composici´on de funciones es conmutativa

´ VI. CONCLUSION La funci´ on compuesta h(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) y p(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) En general la composici´ on de funciones para casos particulares h(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x))

es conmutativa, excepto

p(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)).

Si f es una funci´ on de una variable y g es una funci´ on de variable real, entonces la funci´ on compuesta h(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) de variable real existe si y solo si: “El dominio de la funci´ on f (x) est´ a g(x)”

en la imagen de la funci´ on

Si g es una funci´ on de una variable y f es una funci´ on de variable real, entonces la funci´ on compuesta p(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) de variable real existe si y solo si: “El dominio de la funci´ on g(x) est´ a f (x)”

en la imagen de la funci´ on

Cap´ıtulo 3 L´IMITES HOJA DE TRABAJO 7 3.1.

H.T. 7. Introducci´ on a l´ımites

I. OBJETIVOS Comprender la diferencia entre tendencia y función en el punto. Identificar diferentes casos de tendencia a cero. Interpretar el concepto de l´ımite. Calcular l´ımites utilizando diversos recursos algebraicos. Utilizar los l´ımites especiales algebraico y trigonométrico. ´ II. PROBLEMAS DETONANTES DE LA MOTIVACION Problemas detonantes con ayuda visual. Grafique una función cualquiera en un sistema coordenado. Seleccione dos puntos cualesquiera de esa función P1 (x1 , f (x1 )); P2 (x2 , f (x2 )) y grafique la recta secante a la función que pasa por esos puntos, i) Halle la pendiente de esa recta; ii) Mueva el punto P2 acercándolo a P1 , trace la recta secante y halle la pendiente de esa recta; iii) observe que sucede con la recta secante cuando P2 se acerca mucho a P1 y diga a que valor se acerca la pendiente de esa recta. Limite de una secante Si se mueve el punto x2 = x + h, se observa como al acercarse al punto X1 ( lo cual es igual a decir que h tiende a cero) la secante se acerca a la tangente en el

punto P1 ¿Como explicar este movimiento en término de las pendientes de las rectas secantes y la pendiente de la recta tangente? Expresarlo verbalmente y utilizando el concepto de pendiente. El volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta. A la temperatura de 175◦ el gas ocupa 100 m3 . Exprese el volumen como una función de la temperatura. Determine los l´ımites de temperaturas admisibles en caso de tener un recipiente cuyo volumen es de 80 m3 . Haga un gráfico que represente temperatura contra volumen y diga que pasará cuando T > 140 y el recipiente de 80 m3 . Una planta generadora de energ´ıa eléctrica tiene una capacidad C0 para poder brindar servicio, si en un momento la demanda de la población es > C0 , que sucede? Expréselo gráficamente. Un saltador atado a una cuerda elástica se lanza ¿cuál es el l´ımite de su ca´ıda? Expl´ıquelo con palabras y haga un dibujo que simule la trayectoria. ¿Cuál es la posición l´ımite de un péndulo? Expl´ıquelo con palabras, expréselo mediante la función de movimiento y graf´ıquelo. Un automóvil se desplaza por una carretera recta que finaliza en un gran a´rbol de una arboleda ¿cuál es el l´ımite de la trayectoria del automóvil? Sea An el área del pol´ıgono de n lados inscrito en una circunferencia. Grafique varios pol´ıgonos y observe lo que sucede cuando n crece ¿cuál es el valor al que se acerca el área cuando n se hace muy grande?

Esta operación se puede efectuar con el sistema GeoGebra cuando se genera un pol´ıgono regular, con ello se puede ver como al aumentar el n´ umero de lados del pol´ıgono, el área se acerca mas al área de la circunferencia. Para un n´ umero grande de lados ya no es perceptible al ojo humano la diferencia entre las áreas. Grafique una función creciente positiva cualquiera en un sistema cartesiano, seleccione un intervalo en el eje x. Divida el intervalo en i) 2, ii) 4, iii) 8, iv) 16, v) 32 partes. En cada uno de los incisos considere los rectángulos que tienen por base los subintervalos en los que ha sido dividido el intervalo original y por altura la imagen de la función en el extremo inferior del subintervalo. Observe cuál es el área que se obtiene al unir todos esos rectángulos. Diga como va cambiando el área a medida que aumenta el n´ umero de divisiones. ¿A que área se acerca cuando se hace muy grande el n´ umero de divisiones? Observe como se puede visualizar esto en un sistema de software Winplot.

En la opción 2d, ingrese una función, en la opción uno, seleccione integrar,

determine el intervalo, y establezca el numero de intervalos. Un tanque de volumen V 00 comienza a llenarse a un volumen de entrada de l´ıquido V (t) ¿Cuál es el l´ımite de la función de llenado? Un muelle con un peso colgado comienza a vibrar. ¿Cuál es el l´ımite de esas vibraciones? ´ PREVIA: III. PREPARACION 1) Seleccionar material y observar. 2) Identificar, interpretar y analizar. a) Construcción del concepto de l´ımite y los conceptos de infinito, indefinido e indeterminado. En cada uno de los ejemplos complete la tabla y haga el gráfico de la variación de la imagen de la función en una vecindad de radio δ = 1 del punto indicado del dominio V1 (x0 ) = {x t.q. − 1 < x − x0 < 1}. • Seleccione no menos de cinco puntos a la derecha e igual n´ umero a la izquierda de x0 . • Halle F (x0 ) en los casos en que sea posible y justifique los casos en que no es posible hallarlo. • Seleccione varios radios r para V r(F (x0 )) = {y t.q. −r < y −F (x0 ) < r}, observe en los gráficos la relación entre los puntos de ambas vecindades. • Fije ahora un radio r = ε y observe los puntos en esa vecindad. Son imágenes de puntos de la vecindad de x0 con radio δ =?‘?. • Cuando cambia ε puede encontrar siempre una vecindad con radio δ, para la cual los puntos x de Vδ (x0 ) tienen sus imágenes en V (F (x0 ))? • Escriba sus observaciones expresándolo con palabras en términos de vecindades y relación entre puntos del dominio y sus imágenes. • ¿Qué diferencia existe entre los casos cuyas imágenes se acercan al mismo valor tanto por la derecha como por la izquierda de x0 , de aquellos que se acercan a valores diferentes por la derecha y por la izquierda de x0 ?

1. 2.

2x2 + x − 3 (2x + 3)(x − 1) = x−1 x−1 2x + 4 si x 6= 2 F (x) = x0 = 2 5 si x = 2 F (x) =

x0 = 1

3. 4. 5.

F (x) = −x3 + 5 x0 = 0   x − 5 si x > 3 0 si x = 3 F (x) =  2 X si x < 3 2x + 3 x0 = 1. F (x) = x−1

x0 = 3

• Analizar y comparar los siguientes casos: 1. Suponga que se celebra el aniversario de la formación de una Institución y se quiere dividir el pastel entre su personal, solo que no hay pastel ¿qué cantidad alcanzara cada persona de pastel? textrmpastel Exprese el problema textrmpersonal con n´ umeros. 2. Considere que una persona no tienes hijos a´ un, tiene cuatro carros y se los quiere regalar a los hijos ¿Cuántos carros le corresponden a cada hijo? Interpretar el problema matemáticamente. 3. Si tiene un pastel y lo divides entre todos los ciudadanos de la Republica mexicana ¿Qué cantidad te corresponderá del pastel? Interpretar el problema matemáticamente. 4. Realizar las operaciones de las siguientes fracciones 11 , 11 , 11 , 11 , 11 2

1025

Discutir con los compa˜ neros de equipo qué sucede con el valor del resultado cuando: i) el denominador se hace mas grande ii) cuando se hace mas peque˜ no. 5. Si se tiene el cociente de dos expresiones y ambas se hacen cada vez más peque˜ nas a qué valor se acerca el resultado. Expresar matemáticamente. 2

4x −5 4x −5 • Mediante la graficación de 2xs umero N tal que 2xs 2 +1 encuentre un n´ 2 +1 > 1,9 cuando x > N. Explique con palabras el significado. ¿Qué pasa si se cambia el valor 1,9 por 1,99? Cambie los polinomios de la función racional manteniendo ambos el mismo grado y observe lo que sucede.

b) Buscar el concepto de l´ımite en diferentes libros, comparar los enunciados, relacionarlos con el trabajo realizado en el inciso a). c) Expresar la forma en que se contribuye a desarrollar las habilidades de seleccionar material, observar, identificar, interpretar y analizar. 3) Problemas de contexto

Expresar un problema de su especialidad que lleve involucrado el concepto de l´ımite. iv) Sintetizar ideas principales Enumere y exprese las principales ideas del concepto de l´ımite unilateral. Enumere y exprese las principales ideas del concepto de l´ımite cuando x tiende a x0 . Enumere y exprese las principales ideas del concepto de l´ımite cuando x tiende a infinito. Exprese mediante palabras los conceptos y las diferencias de infinito, indefinido e indeterminado. ¿Cuál es la diferencia entre el l´ımite de una función y la función evaluada en un punto? ¿Puede existir el l´ımite y no estar definida la función en el punto? Argumente y ejemplifique. ¿Puede estar definida la función en un punto y no existir el l´ımite? Argumente y ejemplifique. v) Establecer conjetura IV. ACCIONES EN EL AULA Identificar en los siguientes ejercicios los casos de indeterminación, indefinidos e infinitos. Explicar las diferencias en forma verbal y gráfica. 1. i) f (x) =

x3 −1 x−2

para x = 2;

x3 −1 . x→2 x−2

ii) Hallar l´ım

1 2. x→1 (x−1)

2. l´ım

x2 −4 . 2 x→2 x +x−6

3. l´ım

x3 −1 . x→2 x−2

4. l´ım

5. g(x) =

x−3 x2 +3

para x = 3.

Calcular los siguientes limites a partir de los l´ımites unilaterales, representar gr´aficamente cada funci´on y el significado del l´ımite y de los l´ımites unilaterales. x2 −25 . x→5 x−5

1. l´ım

100

x−5 . 2 x→5 x −25

2. l´ım

x3 −1 . 2 x→1 x −1

3. l´ım

x3 +1 2 −1 . x x→1

4. l´ım

x3 +1 . 2 x→−1 x +1

5. l´ım

x2 −2x 2 −4x+4 . x x→2

6. l´ım

x2 −x−30 . x−6 x→6

7. l´ım

V. TRABAJO INDEPENDIENTE Seleccionar una lista de ejercicios para complementar la ejercitación de los aspectos deficientes detectados en cada uno de los estudiantes del equipo. Confrontar con los otros equipos del grupo los aspectos principales del tema. VI. CONCLUSIONES 1. Seleccione ejercicios dónde la expresión queda de la forma cero sobre cero. 2. ¿Qué indica la forma cero sobre cero? 3. Cuando el l´ımite es indeterminado, ¿tienes una respuesta del valor del l´ımite?, ¿puedes garantizar que existe el l´ımite, o que no existe? 4. Encuentre en cada uno de los casos el valor del l´ımite, si existe. 5. Analice qué pasa con los ejemplos que quedaron de la forma cero sobre cero antes de hallar el l´ımite. 6. Qué concluye de todo el trabajo realizado. 7. Proponga ejemplos dónde quede la forma cero sobre cero y exista el l´ımite. 8. Proponga ejemplos dónde quede la forma cero sobre cero y no exista el l´ımite. 9. Proponga ejemplos dónde el l´ımite sea cero. 10. Proponga ejemplos para los cuáles la función no esté definida en un punto. 11. Halle el l´ımite de la función cuando x se acerca al punto donde la función no está definida. 12. Compruebe que en algunos casos existe el l´ımite finito y en otros no.

101

HOJA DE TRABAJO 8 3.2.

H.T. 8. L´ımites unilaterales. Existencia del l´ımite.

I. OBJETIVOS Visualizar la forma de acercarse a un punto en el eje x. Determinar el l´ımite de una función a partir de los l´ımites laterales. Comprender el concepto de l´ımite de forma intuitiva. Comprender la diferencia entre el l´ımite de una función en un punto y la función evaluada en ese punto. Determinar la relación entre vecindades de la imagen con las del dominio. Interpretar el concepto de l´ımite en el sentido de vecindades. Visualizar, interpretar, clasificar, comparar, relacionar, analizar, argumentar, resolver problemas, sintetizar, establecer conjeturas, comunicar, exponer, debatir, trabajar en equipo, abstraer y concluir. Usar tecnolog´ıa computacional para la comprensión del concepto de l´ımite. Promover la responsabilidad de su propio aprendizaje. Promover el respeto y tolerancia hacia las ideas y el trabajo de sus compa˜ neros. ´ II. MOTIVACION Instrucciones: Con el apoyo del maestro responde a las preguntas. Una vez contestadas disc´ utelas con tus compa˜ neros. Abre el archivo de Cabri Juego de guerritas y encontrarás una interface similar a la siguiente:

102

Con una velocidad inicial fija, encuentra el ´angulo para el cual se logra dar en el blanco, anota en la tabla 1 los valores de los ´angulos usados y las distancias obtenidas. Tabla 1 ´ Angulo Distancia

¿Quién le dio al blanco? ¿Con qué valor del ángulo? ¿Qué pasa si aumenta un grado el valor del ángulo? ¿Qué pasa si disminuye un grado el valor del ángulo? Ahora considera que el ca˜ nón dispara un proyectil con un ángulo de elevación y una velocidad inicial de 100 m /s sobre un terreno horizontal. Encuentra el ańgulo de elevación del ca˜ nón para que el proyectil de en un blanco localizado a una distancia de 900 m. Abre el archivo de Excel Ca˜ nón y completa la tabla 2.

103

Tabla 2 Distancia a que cae el proyectil

θ 27◦ 28◦ 29◦ 30◦ 31◦ 31◦ 32◦ 33◦ 34◦ 35◦

A partir de la tabla 2, responde: ¿A qué ángulo de elevación del ca˜ nón se acerca θ para dar en el blanco ubicado a 900 m? ´ PREVIA: III. PREPARACION 1) Conocimientos b´ asicos Con el apoyo del maestro realiza lo que se pide a continuación. 1. Determina el dominio y rango de las siguientes funciones: a) f (x) = x2 b) f (x) = c) f (x) =

1 x−2

√

x−1

2. Completa la tabla 3 evaluando en la funci´on f (x) = x2 − x + 2 los valores de x x 3 −1 1 2

2 −4

Tabla 3 Evaluaci´ on Valor de la funci´ on en x 2 f (3) = 3 − 3 + 2 = 5 5 f

1 2

1 2 2

− 12 + 2 =

5 4

3. Completa la tabla 4 como se indica en la primera fila, donde x representa un punto dentro de la vecindad indicada.

104

Texto Vecindad alrededor de 2 de radio 1

Notaci´on V1 (2)

Tabla 4 Gr´ afica

Intervalo (2 − 1, 2 + 1) = (1, 3)

Conjunto V1 (2) = {x| d(2, x) < 1}

V3 (−1) Vecindad alrededor de 4 de radio 2 V 1 (−2) 2

2) Identificar, interpretar y analizar Con el apoyo del maestro y utilizando el Software GeoGebra efect´ ua la siguiente actividad. Abre el archivo grafica1 y encontrar´as una interface similar a la siguiente:

105

f (x) =

x3 −1 x−1

si x 6= 1 : si x = 1

funci´on graficada

“X” punto móvil en el eje x. 1. En el eje x ¿de cuántas formas puedes acercar el punto X a 1? “Y ”: imagen del punto “X” en la función f (x).

2. Acerca el punto X a 1 por la izquierda, ¿a qu´e n´ umero se acerca Y ? l´ım f (x): L´ımite lateral izquierdo. Es la imagen a la que se acerca Y

x→1−

cuando el punto X se acerca a 1 por la izquierda.

3. Completa ahora l´ım− f (x) = x→1

4. Acerca el punto X a 1 por la derecha, ¿a qu´e n´ umero se acerca Y ? l´ım f (x): L´ımite lateral derecho. Es la imagen a la que se acerca Y cuando

x→1+

el punto X se acerca a 1 por la derecha.

5. Completa ahora l´ım+ f (x) = x→1

6. ¿Para que exista l´ım f (x) deben existir los l´ımites laterales izquierdo y derecho x→1 y ser iguales? SI o NO ¿Por qu´e?

7. ¿Cu´al es el l´ım f (x)? y ¿Por qu´e? x→1

106

8. Halla f (1) en la funci´on f (x) =

x3 −1 x−1

si x 6= 1 . si x = 1

9. Compara el valor de f (1) con el valor del l´ım f (x). Iguales o diferentes. x→1

10. Explica la diferencia entre f (1) y el l´ım f (x). x→1

Para realizar lo que se pide en el inciso 11 toma en cuenta el recuadro siguiente y el archivo grafica1.

Completa la tabla 5, moviendo el punto X dentro de la vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d)

107

1 ε

2 δ

3 VECINDAD Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b)

Tabla 5 4 VECINDAD Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d)

(4 − 3, 4 + 3) = (1, 7)

(1 − 2, 1 + 2) = (−1, 3)

5 ¿Todas las im´ agenes Y de los puntos X est´ an en (a, b)? NO

6 ¿ Siempre se cumple que d(1, X) < δ? S´I

6 ¿ Siempre se cumple que d(4, Y ) < ε? NO

0.8 0.5 1.4 0.9 0.4

11. Contesta, observando las columnas 3, 4 y 5 de la tabla 5: ¿Cuáles vecindades Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) tienen las imágenes Y dentro de la vecindad Vε=3(4) = (4 − 3, 4 + 3) = (1, 7)? y ¿qué radios δ tienen?

¿Cuáles vecindades Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) tienen las imágenes Y dentro de la vecindad Vε=2(4) = (4 − 2, 4 + 2) = (2, 6)? y ¿qué radios δ tienen?

12. Considera una vecindad Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b) donde el radio ε sea menor a 3 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las im´agenes Y de los puntos X de la vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

13. En general, ¿todos los puntos X dentro de la vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) cumplen con d(1, X) = |X − 1| < δ? SI o NO ¿Por qu´e?

108

14. En general, ¿todas las im´agenes Y dentro de la vecindad Vε (4) = (4−ε, 4+ε) = (a, b) cumplen con d(4, Y ) = |Y − 4| < ε? SI o NO ¿Por qu´e?

15. Como el l´ımite de la función es 4 cuando “X” se aproxima a 1, entonces para cualquier vecindad Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b) ¿siempre es posible encontrar una vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) en donde los puntos “X”, excepto X = 1, tienen sus imágenes “Y ” dentro de la vecindad Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

Si tu respuesta es SI entonces debes tener en cuenta la siguiente afirmaci´on. El que el l´ımite de la funci´on sea 4 cuando “X” se aproxima a 1, es decir l´ım f (x) = 4, nos indica que para cualquier vecindad Vε (4) = (4−ε, 4+ε) = (a, b) x→1

siempre es posible encontrar una vecindad Vδ (1) = (1−δ, 1+δ) = (c, d) de forma tal que los puntos X dentro de la vecindad Vδ (1) = (1−δ, 1+δ) = (c, d) , excepto X = 1, tienen sus imágenes Y dentro de la vecindad Vε (4) = (4−ε, 4+ε) = (a, b). Para simplificar lo escrito en el recuadro se pueden sustituir algunas expresiones como: “Para cualquier vecindad” es lo mismo que “Para toda vecindad’ “Siempre es posible encontrar una vecindad” es lo mismo que “existe una vecindad” “los puntos X dentro de la vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d)” se puede remplazar por “d(1, X) = |X − 1| < δ” “Tienen sus imágenes Y dentro de la vecindad Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b)” se puede remplazar por “entonces d(4, Y ) = |Y − 4| < ε” 16. Escribe de nuevo la afirmación remplazando las expresiones del cuadro anterior.

109

A´ un se puede simplificar m´as con el uso de s´ımbolos. “Para toda vecindad Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b)” se puede escribir “∀ ε” “Existe una vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d)” se puede escribir “∃ δ” 17. Remplazando la simbolog´ıa del cuadro anterior, expresa de nuevo la afirmaci´on que escribiste en el inciso 16.

3) Problemas Resuelve los siguientes problemas de contexto:

Un saltador atado a una cuerda elástica se lanza ¿cuál es el l´ımite de su ca´ıda? Expl´ıquelo con palabras y haga un dibujo que simule la trayectoria. Un tanque de volumen V0 , comienza a llenarse a un volumen de entrada de l´ıquido V (t) ¿Cuál es el l´ımite de la función de llenado? Grafique una función cualquiera en un sistema coordenado. Seleccione dos puntos cualesquiera de esa función P1 (x1 , f (x1 )); P2 (x2 , f (x2 )) y grafique la recta secante a la función que pasa por esos puntos, • Halle la pendiente de esa recta; • Mueva el punto P2 acercándolo a P1 , trace la recta secante y halle la pendiente de esa recta; • Observe qué sucede con la recta secante cuando P2 se acerca mucho a P1 y diga a qué valor se acerca la pendiente de esa recta.

110

Si se mueve el punto x2 = x + h, se observa cómo al acercarse al punto x1 (lo cual es igual a decir que h tiende a cero) la secante se acerca a la tangente en el punto P1 . ¿Cómo explicas que los dos puntos se sobre pongan y la secante desaparezca? 4) Sintetizar ideas principales Si l´ım f (x) = L, donde la función f (x) está definida en el punto a. x→a

Responde a las siguientes preguntas: Cuando el punto x se acerca por la derecha y por la izquierda al punto a¿a qué valor se acercan las imágenes de la función f (x)? ¿este valor es el l´ımite de la función f (x)? SI o NO ¿Por qué? ¿Cuál es la diferencia entre el l´ımite de la función f (x) en el punto a, es decir “L” y la función evaluada en el punto a, es decir “f (a)”? Como el l´ımite de la función es “L” cuando el punto x se acerca al punto a, entonces para cualquier vecindad Vε (L) = (L − ε, L + ε) ¿siempre es posible encontrar una vecindad Vδ (a) = (a − δ, a + δ) de forma tal que los puntos x dentro de esa vecindad, excepto quizás para x = a, tienen sus imágenes dentro de la vecindad Vε (L) = (L − ε, L + ε)? SI o NO ¿Por qué?

111

5) Establecer conjetura Si l´ım f (x) = L ¿qu´e ocurre entre las vecindades Vε (L) = (L − ε, L + ε) y x→a

Vδ (a) = (a − δ, a + δ)?

IV. ACCIONES EN EL AULA Integrar al grupo en equipos. Asignar a cada equipo las actividades 1 y 2. Dar soluci´on mediante el software GeoGebra. Exponer los resultados y generar discusi´on. Actividad 1 1. Completen las siguientes tablas utilizando calculadora. x menor a 1 f (x) = x2 + x + 1 0,9 0,99 0,999 0,9999 x mayor a 1 f (x) = x2 + x + 1 1,1 1,01 1,001 1,0001 Con base en los valores de las tablas, determinen: l´ım f (x) =

x→1−

l´ım f (x) =

x→1+

l´ım f (x) =

x→1

112

2. Abran el archivo graf1 encontrar´an una interface similar a la siguiente:

En el eje x acerquen el punto X por la derecha y por la izquierda al punto 1 y completen: l´ım f (x) =

x→1−

l´ım f (x) =

x→1+

l´ım f (x) =

x→1

3. Encuentren f (1) en f (x) = x2 + x + 1

4. Comparen f (1) con el l´ım f (x). Iguales o diferentes x→1

5. Expliquen la diferencia entre el l´ım f (x) y f (1) x→1

113

6. Consideren una vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) donde el radio V es menor a 1.5 ¿a partir de que radio δ pueden garantizar que las im´agenes Y de los puntos X de la vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

7. Como el l´ımite de la función es 3 cuando “X” se aproxima a 1, entonces para cualquier vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) ¿siempre es posible encontrar una vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) de forma tal que los puntos “X” dentro esa vecindad, excepto X = 1, tienen sus imágenes “‘Y ” dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

8. Como l´ım f (x) = 3, ¿qu´e ocurre con las vecindades Vε (3) = (3−ε, 3+ε) = (a, b) x→1

y Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d)?

Actividad 2 Verifiquen si el valor del l´ımite es correcto mediante las gr´aficas de las funciones. Para graficar cada una de las funciones utiliza el software GeoGebra. l´ım 6 = 3

x→6

l´ım −1 = −1

x→−2

Si c y b son n´ umeros reales ¿ser´a cierto que l´ım b = b? ¿Por qu´e? x→c

114

l´ım x = 4

x→4

l´ım x = −5

x→−5

Si c es un n´ umero real ¿ser´a cierto que l´ım x = c? ¿Por qu´e? x→c

l´ım x2 = 4

x→2

l´ım x3 = 8

x→2

Si c y n son n´ umeros reales ¿ser´a cierto que l´ım xn = cn ? ¿Por qu´e? x→c

l´ım (3)x2 = 12

x→2

l´ım (−1)x3 = −8

x→2

Si c y b son n´ umeros reales y l´ım f (x) = A ¿ser´a cierto que l´ım bf (x) = bA? x→c x→c ¿Por qu´e?

l´ım (x2 − x) = l´ım x2 + l´ım x = 4 + 2 = 6

x→2

l´ım (x3 − x2 ) = l´ım x3 − l´ım x2 = 8 − 4 = 4

x→2

Si c es un n´ umero real y l´ım f (x) = A y l´ım g(x) = B¿ser´a cierto que x→c

x→c

l´ım(f (x) ± g(x)) = A ± B? ¿Por qu´e?

x→c

l´ım (x2 x) = l´ım x2 l´ım x = 4 · 2 = 8

x→2

l´ım (x3 x2 ) = l´ım x3 l´ım x2 = −1 · 1 = −1

x→−1

x→2

115

Si c es un n´ umero real y l´ım f (x) = A y l´ım g(x) = B¿ser´a cierto que x→c

x→c

l´ım(f (x) · g(x)) = A · B? ¿Por qu´e?

x→c

l´ım x2 x→2 x

3 l´ım x x→−1 4

2 4

= 8 4

1 2

Si c es un n´ umero real y l´ım f (x) = A y l´ım g(x) = B¿ser´a cierto que x→c

(x) l´ım fg(x) =

x→c

A B

x→c

si B 6= 0? ¿Por qu´e?

V. TRABAJO INDEPENDIENTE Propiedades del l´ımite Si b, c, n, A y B son n´ umeros reales, siendo f y g funciones tales que l´ım f (x) = A y l´ım g(x) = B, entonces:

x→c

1. 3. 5. 7.

x→c

l´ım b = b

l´ım bf (x) = bA

l´ım(f (x) · g(x)) = A · B

x→c

x→c x→c

l´ım x = c

x→c

l´ım(f (x) ± g(x)) = A ± B

x→c

l´ım f (x) x→c g(x)

A B

si B 6= 0

x→c

Con ayuda del profesor en los incisos del 1 al 26 a) Calcula el l´ımite de la funci´on dada utilizando las propiedades del l´ımite. b) Construye una tabla para calcular el l´ımite de la funci´on dada y luego compara el resultado con el obtenido en el inciso a. 1) l´ım (x2 + x − 6). x→−3

Por la propiedad 7, l´ım x2 = (−3)2 = 9.

x→−3

Seg´ un la propiedad 2, l´ım x = −3.

x→−3

116

Por la propiedad 1, l´ım 6 = 6.

x→−3

Finalmente, de la propiedad 4, l´ım (x2 + x − 6) = l´ım x2 + l´ım x − l´ım 6 = 9 − 3 − 6 = 0.

x→−3

Por tanto, l´ım (x2 + x − 6) = 0.

x→−3

En la siguiente tabla presentamos los valores de f (x) que corresponden a varios valores menores y mayores de x cercanos a -3. x menor a −3 f (x) = x2 + x − 6 x mayor a −3 f (x) = x2 + x − 6 −3,1 0,51 −2,9 −0,49 −3,01 0,0501 −2,99 −0,0499 −3,001 0,005001 −2,999 −0,004999 −3,0001 0,00050001 −2,9999 −0,00049999 En la tabla observamos que cuando x se acerca -3 los valores de f (x) se aproximan a cero. Estas dos maneras de calcular el l´ımite indican el mismo resultado. 2) l´ım f (x), donde x→1

f (x) =

4−x x<1 . 4x − x2 x ≥ 1

Debido a que la funci´on est´a definida a trozos, se estudian los l´ımites laterales. Para x < 1 y por las propiedades 1, 2 y 4, l´ım f (x) = l´ım− (4 − x) = l´ım− 4 − l´ım− x = 4 − 1 = 3.

x→1−

x→1

y para x > 1 y por las propiedades 2, 3, 7 y 4, l´ım f (x) = l´ım+ (4x − x2 ) = l´ım+ 4x − l´ım+ x2 = 4 − 1 = 3.

x→1+

x→1

Puesto que existen ambos l´ımites laterales y son iguales a 3, tenemos l´ım f (x) = 3.

x→1

En la siguiente tabla presentamos los valores de f (x) que corresponden a varios valores menores y mayores de x cercanos a 1.

117

x menor a 1 0,9 0,99 0,999 0,9999

f (x) = x2 + x − 6 x mayor a 1 f (x) = x2 + x − 6 3,1 1,1 3,19 3,01 1,01 3,0199 3,001 1,001 3,001999 3,0001 1,0001 3,00019999

En la tabla observamos que cuando x se acerca 1 los valores de f (x) se aproximan a 3. Estas dos maneras de calcular el l´ımite indican el mismo resultado. 3) l´ım f (x), donde x→−3

f (x) =

x2 −9 x+3

−1

x 6= −3 . x = −3

Para x 6= −3 y por las propiedades 1, 2, 7 y 4, obtenemos l´ım x2 − l´ım 9 x2 − 9 (−3)2 − 9 9−9 0 x→−3 x→−3 l´ım f (x) = l´ım = l´ım = = = , x→−3 x→−3 x + 3 x→−3 l´ ım x + l´ım 3 −3 + 3 −3 + 3 0 x→−3

x→−3

lo que no tiene sentido. Al factorizar y simplificar resulta (x + 3)(x − 3) x2 − 9 = l´ım = l´ım (x − 3) = −3 − 3 = −6. x→−3 x→−3 x→−3 x + 3 x+3

l´ım f (x) = l´ım

x→−3

Por tanto, l´ım f (x) = −6.

x→−3

En la siguiente tabla presentamos los valores de f (x) que corresponden a varios valores menores y mayores de x cercanos a -3 . x menor a −3 f (x) = x2 + x − 6 x mayor a ,3 f (x) = x2 + x − 6 −3,1 −6,1 −2,9 −5,9 −3,01 −6,01 −2,99 −5,99 −3,001 −6,001 −2,999 −5,999 −3,0001 −6,0001 −2,9999 −5,9999 En la tabla observamos que cuando x se acerca −3 los valores de f (x) se aproximan a −6. Estas dos maneras de calcular el l´ımite indican el mismo resultado.

x2 − 1 , x→0 x + 1

4) l´ım

5) l´ım (10x + 7), x→5

118

6) l´ım (x2 − 3x + 6), x→2

7) l´ım f (x), donde f (x) = x→0

x2 x < 0 ., 8x3 x ≥ 0

9) l´ım f (x), donde f (x) = x→2

x2 − 7x + 12 11) l´ım , x→3 2x − 8

x3 −8 x−2

15) l´ım f (x), donde f (x) = x→−3

x3 −3x2 −x+3 x−1

√ x− 3x , 20) l´ım x→−8 2x + 10 10x , 2x + 5

5x2 , 24) l´ım x→−4 x + 3

1 , x−1

x 6= −3 ., x = −3

2x − 5,

x 6= 1 ., x=1

x3 −3x2 −13x+15 x+3

x→2

3x − 4 , x→−1 6x + 2

x→10

x→6

√

x→0

17) l´ım f (x), donde f (x) =

x2 − 4x + 6 x < 2 ., −x2 + 4x − 2 x ≥ 2

19) l´ım (x − 4)99 (x2 − 7)10 ,

18) l´ım

22) l´ım

10) l´ım

13) l´ım 1 −

x−6 12) l´ım1 2 , x→ 2 x − 9

x→1

x 6= 2 ., x=2

14) l´ım f (x), donde f (x) =

x , 16) l´ım 2 x→−2 x + 4

8) l´ım (2x3 + 5x2 − 2x − 5),

x→3

21) l´ım f (x), donde f (x) =

23) l´ım f (x), donde f (x) =

x→1

x→0

25) l´ım f (x), donde f (x) = x→1

x3 −1 x−1

x 6= 1 ., x=1

x2 + 1 x 6= 0 ., 2 x=0

x x≤1 ., 2−x x>1

  −x x < −2 x + 4 x > −2 . , 26) l´ım f (x), donde f (x) = x→−2  3 x = −2

VI. CONCLUSIONES

A partir de todo el trabajo individual realizado en la Hoja por ti, de la discusi´on con tus compa˜ neros de equipo y de la discusi´on en asamblea en el aula, responde las preguntas siguientes:

119

¿Cómo se determina que el l´ımite de una función en un punto existe? ¿Cuál es la diferencia entre el l´ımite de una función en un punto y la función evaluada en ese punto? Si el l´ımite de una función en un punto existe ¿cuál es la relación entre las vecindades de la imagen con las del dominio? Al finalizar comparte las respuestas con tus compa˜ neros para analizar las similitudes que encontraron, y posteriormente escribir una conclusión grupal.

120

HOJA DE TRABAJO 9 3.3.

H.T. 9. L´ımite de una funci´ on no definida en el punto

I. OBJETIVOS Visualizar la forma de acercarse a un punto en el eje x. Determinar el l´ımite de una función a partir de los l´ımites laterales. Comprender el concepto de l´ımite de forma intuitiva. Comprender la existencia del l´ımite de una función en un punto aunque la función no este definida en ese punto. Determinar la relación entre vecindades de la imagen con las del dominio. Interpretar el concepto de l´ımite en el sentido de vecindades. Visualizar, interpretar, clasificar, comparar, relacionar, analizar, argumentar, resolver problemas, sintetizar, establecer conjeturas, comunicar, exponer, debatir, trabajar en equipo, abstraer y concluir. Usar tecnolog´ıa computacional para la comprensión del concepto de l´ımite. Promover la responsabilidad de su propio aprendizaje. Promover el respeto y tolerancia hacia las ideas y el trabajo de sus compa˜ neros. ´ II. MOTIVACION Instrucciones: Con el apoyo del maestro responde a la pregunta. Una vez contestada compártela con tus compa˜ neros. Sea An , el área del pol´ıgono de n lados inscrito en una circunferencia de radio constante. Grafique varios pol´ıgonos y observe lo que sucede cuando n crece ¿cuál es el valor al que se acerca el área cuando n se hace muy grande?

121

1 x−3

b) f (x) =

7 x

c) f (x) =

√

x+1

2. Completa la tabla 1 evaluando en la funci´on f (x) =

x 1 −2 2 1 5

−3

4 x−2

los valores de x

Tabla 1 Evaluaci´on Valor de la funci´on en x 4 f (1) = 1−2 = −4 −4 f

1 5

4 1 −2 5

= − 20 9

3. Completa la tabla 2 como se indica en la primera fila, donde x representa a un punto dentro de la vecindad indicada.

122

Texto Vecindad alrededor de 3 de radio 1

Notaci´on V1 (3)

Intervalo

Tabla 2 Gr´ afica

(3 − 1, 3 + 1) = (2, 4)

Conjunto V1 (3) = {x| d(3, x) < 1}

V2 (−1) Vecindad alrededor de 5 de radio 2

2) Identificar, interpretar y analizar. Con el apoyo del maestro y utilizando el Software GeoGebra efect´ ua la siguiente actividad. Abre el archivo grafica2 y encontrar´as una interface similar a la siguiente:

123

f (x) =

2x2 − x − 3 : x+1

funci´on graficada

“X” punto móvil en el eje x. 1. En el eje x ¿de cuántas formas puedes acercar el punto X a -1? “Y ”: imagen del punto “X” en la función f (x). 2. Acerca el punto X a -1 por la izquierda, ¿a qué n´ umero se acerca Y ? l´ım f (x): L´ımite lateral izquierdo. Es la imagen a la que se acerca Y

x→−1−

cuando el punto X se acerca a −1 por la izquierda. 3. Completa ahora l´ım − f (x) = x→−1

4. Acerca el punto X a -1 por la derecha, ¿a qu´e n´ umero se acerca Y ? l´ım f (x): L´ımite lateral derecho. Es la imagen a la que se acerca Y

x→−1+

cuando el punto X se acerca a −1 por la derecha. 5. Completa ahora l´ım + f (x) = x→−1

6. ¿Para que exista l´ım f (x) deben existir los l´ımites laterales izquierdo y derex→−1

cho y ser iguales? SI o NO ¿Por qu´e?

7. ¿Cu´al es el l´ım f (x)? y ¿Por qu´e? x→−1

8. ¿Puedes hallar f (, 1) en f (x) =

2x2 −x−3 x+1

124

SI o NO ¿Por qu´e?

9. ¿Puedes comparar el valor de f (−1) con el valor del l´ım f (x)?. SI o NO ¿Por x→−1

qu´e?

Para realizar lo que se pide en el inciso 10 toma en cuenta el recuadro siguiente y el archivo grafica2.

Completa la tabla 3, moviendo el punto X dentro de la vecindad Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d)

125

1 ε

1.8

0.7

2 δ

3 VECINDAD Vε (−5) = (−5 − ε, −5 + ε) = (a, b)

Tabla 3 4 VECINDAD Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d)

1.5

(−5−1,8, −5+ 1,8) = (−6,8, −3,2)

(−1−1,5, −1+ 1,5) = (−2,5, 0,5)

1 0.8 2 1.3 0.5

5 ¿Todas las im´ agenes Y de los puntos X est´ an en (a, b)? NO

6 ¿ Siempre se cumple que d(−1, X) < δ? S´I

6 ¿ Siempre se cumple que d(−5, Y ) < ε? NO

10. Contesta, observando las columnas 3, 4 y 5 de la tabla 3: ¿Cuáles vecindades Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d) tienen las imágenes Y dentro de la vecindad Vε=1−8 (−5) = (−5 − 1,8, −5 + 1,8) = (−6,8, −3,2)? y ¿qué radios δ tienen?

¿Cuáles vecindades Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d) tienen las imágenes Y dentro de la vecindad Vε=0,7 (4) = (−5 − 0,7, −5 + 0,7) = (−5,7, −4,3)? y ¿qué radios δ tienen?

11. Considera una vecindad Vε (−5) = (−5 − ε, −5 + ε) = (a, b) donde el radio ε sea menor a 1 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las imágenes Y de los puntos X de la vecindad Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d) estén dentro de la vecindad Vε (−5) = (−5 − ε, −5 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ = 12. En general, ¿todos los puntos X dentro de la vecindad Vδ (−1) = (− − δ, −1 + δ) = (c, d) cumplen con d(1, X) = |X − (−1)| < δ? SI o NO ¿Por qué?

126

13. En general, ¿todas las im´agenes Y dentro de la vecindad Vε (−5) = (−5 − ε, −5 + ε) = (a, b) cumplen con d(−5, Y ) = |Y − (−5)| < ε? SI o NO ¿Por qu´e?

14. Como el l´ımite de la función es −5 cuando “X” se aproxima a -1, entonces para cualquier vecindad Vε (−5) = (−5 − ε, −5 + ε) = (a, b) ¿siempre es posible encontrar una vecindad Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d) en donde los puntos “X”, excepto X = −1, tienen sus imágenes “Y ” dentro de la vecindad Vε (−5) = (−5 − ε, −5 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

Si tu respuesta es SI entonces debes tener en cuenta la siguiente afirmaci´on. El que el l´ımite de la funci´on sea −5 cuando “X” se aproxima a -1, es decir l´ım f (x) = −5, nos indica que para cualquier vecindad Vε (−5) = (−5 −ε, −5 +

x→−1

ε) = (a, b) siempre es posible encontrar una vecindad Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d) de forma tal que los puntos X dentro de la vecindad Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d), excepto X = 1, tienen sus imágenes Y dentro de la vecindad Vε (−5) = (−5 − ε, −5 + ε) = (a, b). Para simplificar lo escrito en el recuadro se pueden sustituir algunas expresiones como: “Para cualquier vecindad” es lo mismo que “Para toda vecindad’ “Siempre es posible encontrar una vecindad” es lo mismo que “existe una vecindad” “los puntos X dentro de la vecindad Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d)” se puede remplazar por “d(1, X) = |X − (−1)| < δ” “Tienen sus imágenes Y dentro de la vecindad Vε (−5) = (−5−ε, −5+ε) = (a, b)” se puede remplazar por “entonces d(4, Y ) = |Y − (−5)| < ε” 15. Escribe de nuevo la afirmación remplazando las expresiones del cuadro anterior.

127

A´ un se puede simplificar m´as con el uso de s´ımbolos. “Para toda vecindad Vε (−5) = (−5 − ε, −5 + ε) = (a, b)” se puede escribir “∀ ε” “Existe una vecindad Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d)” se puede escribir “∃ δ” 16. Remplazando la simbolog´ıa del cuadro anterior, expresa de nuevo la afirmaci´ on que escribiste en el inciso 16.

3) Problemas Resuelve los siguientes problemas de contexto: Un automóvil se desplaza por una carretera recta que finaliza en un gran a´rbol de una arboleda ¿cuál es el l´ımite de la trayectoria del automóvil? Grafique una función creciente positiva cualquiera en un sistema cartesiano, seleccione un intervalo en el eje x. Divida el intervalo en i) 2, ii) 4, iii) 8, iv) 16, v) 32 partes. En cada uno de los incisos considere los rectángulos que tienen por base los subintervalos en los que ha sido dividido el intervalo original y por altura la imagen de la función en el extremo inferior del subintervalo. Observe cuál es el área que se obtiene al unir todos esos rectángulos. Diga como va cambiando el área a medida que aumenta el n´ umero de divisiones. ¿A que área se acerca cuando se hace muy grande el n´ umero de divisiones? Observe como se puede visualizar esto en un sistema de software Winplot.

128

En la opción 2d, ingrese una función, en la opción uno, seleccione integrar, determine el intervalo, y establezca el n´ umero de intervalos. 4) Sintetizar ideas principales Si l´ım f (x) = L, donde la función f (x) no está definida en el punto a. x→a

Responde a las siguientes preguntas: Cuando el punto x se acerca por la derecha y por la izquierda al punto a¿a qué valor se acercan las imágenes de la función f (x)? ¿este valor es el l´ımite de la función f (x)? SI o NO ¿Por qué? ¿Cómo explicas la existencia del l´ımite independientemente de que la función no está definida en el punto? Como el l´ımite de la función es “L” cuando el punto x se acerca al punto a, entonces para cualquier vecindad Vε (L) = (L − ε, L + ε) ¿siempre es posible encontrar una vecindad Vδ (a) = (a − δ, a + δ) de forma tal que los puntos x dentro de esa vecindad, excepto quizás para x = a, tienen sus imágenes dentro de la vecindad Vε (L) = (L − ε, L + ε)? SI o NO ¿Por qué?

129

5) Establecer conjetura Si l´ım f (x) = L ¿qu´e ocurre entre las vecindades Vε (L) = (L − ε, L + ε) y Vδ (a) = x→a

(a − δ, a + δ)?

IV. ACCIONES EN EL AULA Integrar al grupo en equipos. Asignar a cada equipo las actividades 1 y 2. Dar soluci´on mediante el software GeoGebra. Exponer los resultados y generar discusi´on. Actividad 1 1. Completen las siguientes tablas utilizando calculadora. x menor a 1 f (x) = 0,9 0,99 0,999 0,9999 x mayor a 1 f (x) = 1,1 1,01 1,001 1,0001

x2 −x x−1

Con base en los valores de las tablas, determinen: l´ım f (x) =

x→1−

l´ım f (x) =

x→1+

l´ım f (x) =

x→1

2. Abran el archivo graf2.1 encontrar´an una interface similar a la siguiente:

130

En el eje x acerquen el punto X por la derecha y por la izquierda al punto 1 y completen: l´ım−

x2 −x x−1

l´ım+

x2 −x x−1

x→1

x2 −x x→1 x−1

l´ım

3. ¿Pueden encontrar f (1) en f (x) =

x2 −x ? x−1

SI o NO ¿Por qu´e?

x2 −x . x→1 x−1

4. ¿Pueden comparar el valor f (1) con el l´ım

SI o NO ¿Por qu´e?

5. Consideren una vecindad Vε (1) = (1 − ε, 1 + ε) = (a, b) donde el radio V es menor a 1 ¿a partir de que radio δ pueden garantizar que las im´agenes Y de los puntos X de la vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (1) = (1 − ε, 1 + ε) = (a, b)?

131

Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

6. Como el l´ımite de la función es 1 cuando “X” se aproxima a 1, entonces para cualquier vecindad Vε (1) = (1 − ε, 1 + ε) = (a, b) ¿siempre es posible encontrar una vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) de forma tal que los puntos “X” dentro esa vecindad, excepto X = 1, tienen sus imágenes “‘Y ” dentro de la vecindad Vε (1) = (1 − ε, 1 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

7. Como l´ım f (x) = 1, ¿qu´e ocurre con las vecindades Vε (1) = (1−ε, 1+ε) = (a, b) x→1

y Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d)?

Actividad 2 1. Completen las siguientes tablas utilizando calculadora. x menor a −1 f (x) = −1,1 −1,01 −1,001 −1,0001 x mayor a −1 f (x) = −0,9 −0,99 −0,999 −0,9999

3x2 +2x−1 x+1

Con base en los valores de las tablas, determinen: l´ım f (x) =

x→−1−

132

l´ım f (x) =

x→−1+

l´ım f (x) =

x→−1

2. Abran el archivo graf2.2 encontrar´an una interface similar a la siguiente:

En el eje x acerquen el punto X por la derecha y por la izquierda al punto −1 y completen: l´ım−

3x2 +2x−1 x+1

l´ım+

3x2 +2x−1 x+1

x→1

l´ım

x→1

3x2 +2x−1 x+1

3. 3. ¿Pueden encontrar f (−1) en f (x) =

3x2 +2x−1 ? x+1

SI o NO ¿Por qu´e?

3x2 +2x−1 . x+1 x→1

4. 4. ¿Pueden comparar el valor f (−1) con el l´ım

133

SI o NO ¿Por qu´e?

5. Consideren una vecindad Vε (−4) = (−4 − ε, −4 + ε) = (a, b) donde el radio V es menor a 0.5 ¿a partir de que radio δ pueden garantizar que las im´agenes Y de los puntos X de la vecindad Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (−4) = (−4 − ε, −4 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

6. Como el l´ımite de la función es -4 cuando “X” se aproxima a 1, entonces para cualquier vecindad Vε (−4) = (−4 − ε, −4 + ε) = (a, b) ¿siempre es posible encontrar una vecindad Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d) de forma tal que los puntos “X” dentro esa vecindad, excepto X = 1, tienen sus imágenes “‘Y ” dentro de la vecindad Vε (−4) = (−4 − ε, −4 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

7. Como l´ım f (x) = −4, ¿qu´e ocurre con las vecindades Vε (−4) = (−4 −ε, −4 + x→−1

ε) = (a, b) y Vδ (−1) = (−1 − δ, −1 + δ) = (c, d)?

V. TRABAJO INDEPENDIENTE Propiedades del l´ımite Si b, c, n, A y B son n´ umeros reales, siendo f y g funciones tales que l´ım f (x) = A y l´ım g(x) = B, entonces:

x→c

1. 3. 5. 7.

x→c

l´ım b = b

l´ım bf (x) = bA

l´ım(f (x) · g(x)) = A · B

x→c

x→c x→c

l´ım x = c

x→c

l´ım(f (x) ± g(x)) = A ± B

x→c

l´ım f (x) x→c g(x)

x→c

Con ayuda del profesor en los incisos del 1 al 26

134

A B

si B 6= 0

a) Calcula el l´ımite de la funci´on dada utilizando las propiedades del l´ımite. b) Construye una tabla para calcular el l´ımite de la funci´on dada y luego compara el resultado con el obtenido en el inciso a. x2 −25 . x→−5 x+5

1) l´ım

Por las propiedades 1, 2, 7 y 4, obtenemos l´ım x2 − l´ım 25 (−5)2 − 25 25 − 25 0 x2 − 25 x→−5 x→−5 l´ım = l´ım = = = , x→−5 x + 5 x→−5 l´ım x + l´ım 5 −5 + 5 −5 + 5 0 x→−5

x→−5

lo que no tiene sentido. Al factorizar y simplificar resulta x2 − 25 (x + 5)(x − 5) = l´ım = l´ım (x − 5) = −5 − 5 = −10. x→−5 x + 5 x→−5 x→−5 x+5 l´ım

Por tanto, x2 − 25 ) = −10. x→−5 x + 5 l´ım

En la siguiente tabla presentamos los valores de f (x) que corresponden a varios valores menores y mayores de x cercanos a -5. x menor a −3 f (x) = x2 + x − 6 x mayor a ,3 f (x) = x2 + x − 6 −5,1 −10,1 −4,9 −9,9 −5,01 −10,01 −4,99 −9,99 −5,001 −10,001 −4,999 −9,999 −5,0001 −10,0001 −4,9999 −95,9999 En la tabla observamos que cuando x se acerca −5 los valores de f (x) se aproximan a −10. Estas dos maneras de calcular el l´ımite indican el mismo resultado. x2 −3x+2 . 2 x→2 x+ +x−6

2) l´ım

Por las propiedades 1, 2, 7 y 4, obtenemos l´ım x2 − l´ım 3x + l´ım 2 x2 − 3x + 2 (2)2 − 3(2) + 2 0 x→2 x→2 x→2 l´ım = l´ ım = = , 2 2 2 x→2 x + +x − 6 x→2 l´ ım x + l´ım x − l´ım 6 2 +2−6 0 x→2

x→2

lo que no tiene sentido. Al factorizar y simplificar resulta 2−1 1 (x − 2)(x − 1) x−1 x2 − 3x + 2 = l´ım = l´ım = = . 2 x→2 (x + 3)(x − 2) x→2 x + 3 x→2 x + +x − 6 2+3 5 l´ım

135

Por tanto, x2 − 3x + 2 1 l´ım = . x→2 x +2 +x − 6 5

En la siguiente tabla presentamos los valores de f (x) que corresponden a varios valores menores y mayores de x cercanos a 2. x menor a −3 f (x) = x2 + x − 6 x mayor a ,3 f (x) = x2 + x − 6 1,9 0,21568 2,1 0,18367 1,99 0,20159 2,01 0,19839 1,999 0,20015 2,001 0,19983 1,999 0,20001 2,0001 0,19998 En la tabla observamos que cuando x se acerca 2 los valores de f (x) se aproximan a 15 . Estas dos maneras de calcular el l´ımite indican el mismo resultado. 3) l´ım

x→0

√

x+1−1 . x

Por las propiedades 1, 2, 7 y 4, obtenemos √ √ √ l´ ım x + 1 − l´ım 1 0 x+1−1 0+1−1 x→0 x→0 = l´ım = = , l´ım x→0 x→0 x l´ım x 1 0 x→0

lo que no tiene sentido. Al factorizar y simplificar resulta √ √ √ (x + 1) − 1 x+1−1 x+1−1 x+1+1 √ = l´ım √ l´ım = l´ım x→0 x→0 x x x + 1 + 1 x→0 x( x + 1 + 1) l´ım 1 1 1 1 √ x→0 = l´ım √ = =√ = . x→0 2 x+1+1 l´ım x + 1 + l´ım 1 0+1+1 x→0

x→0

Por tanto, l´ım

x→0

√

x+1−1 1 = . x 2

En la siguiente tabla presentamos los valores de f (x) que corresponden a varios valores menores y mayores de x cercanos a 0. x menor a −3 f (x) = x2 + x − 6 x mayor a ,3 f (x) = x2 + x − 6 −0,1 0,51316 0,1 0,48808 −0,01 0,50125 0,01 0,49875 −0,001 0,50012 0,001 0,49987 −0,0001 0,50001 0,0001 0,49987 136

En la tabla observamos que cuando x se acerca 2 los valores de f (x) se aproximan a 51 . Estas dos maneras de calcular el l´ımite indican el mismo resultado.

3x2 + 2x − 1 , x→−1 x+1

x2 − x , x→1 x − 1 7) l´ım

x→4

10) l´ım

x→0

√

x−2 , x−4

x+3− x

√

x2 − 3x + 2 , x→2 x−2

5) l´ım

4) l´ım

x−1 13) l´ım 2 , x→1 x + x − 2 x2 + 7x , 16) l´ım x→0 x x3 , x→0 x4 + 2x3

19) l´ım

x2 + x − 2 22) l´ım , x→1 x2 − 1

6) l´ım

8x5 + 12x4 , x→0 x4

x−3 , x→3 x2 − 9

8) l´ım

9) l´ım

x2 − 2x − 3 , x→3 x2 + x − 12

12) l´ım √

11) l´ım

x→0

√ x − 3x − 2 15) l´ım , x→2 x2 − 4

x2 − 6x 14) l´ım 2 , x→6 x − 7x + 6 17) l´ım

x→0

√

x2 + 9 − 3 , x2

x2 − 81 20) l´ım √ , x→9 x−3

2x + 6 , x→−3 4x2 − 36

18) l´ım

x2 + x − 6 , x→−3 x+3

21) l´ım

16 − x2 23) l´ım , x→−4 4 + x

x2 − 6x + 5 , x→5 x2 − x − 20 VI. CONCLUSIONES

x , 1 + 3x − 1

x3 − 8 24) l´ım , x→2 x − 2

x3 + 1 . x→−1 x + 1

25) l´ım

26) l´ım

A partir de todo el trabajo individual realizado en la Hoja por ti, de la discusión con tus compa˜ neros de equipo y de la discusión en asamblea en el aula, responde las preguntas siguientes: ¿Cómo se determina que el l´ımite de una función en un punto existe? ¿Cuál es la diferencia entre el l´ımite de una función en un punto y la función evaluada en ese punto? Si el l´ımite de una función en un punto existe ¿cuál es la relación entre las vecindades de la imagen con las del dominio? Al finalizar comparte las respuestas con tus compa˜ neros para analizar las similitudes que encontraron, y posteriormente escribir una conclusión grupal.

137

HOJA DE TRABAJO 10 3.4.

H.T. 10. No existencia de l´ımite

I. OBJETIVOS Visualizar la forma de acercarse a un punto en el eje x. Determinar la no existencia del l´ımite de una función a partir de los l´ımites laterales. Comprender la no existencia del l´ımite de forma intuitiva. Determinar la relación entre vecindades de la imagen con las del dominio. Interpretar la no existencia del l´ımite en el sentido de vecindades. Visualizar, interpretar, clasificar, comparar, relacionar, analizar, argumentar, resolver problemas, sintetizar, establecer conjeturas, comunicar, exponer, debatir, trabajar en equipo, abstraer y concluir. Usar tecnolog´ıa computacional para la comprensión de la no existencia del l´ımite de una función. Promover la responsabilidad de su propio aprendizaje. Promover el respeto y tolerancia hacia las ideas y el trabajo de sus compa˜ neros. ´ II.MOTIVACION Instrucciones: Con el apoyo del maestro determina lo que se pide a continuación. Una vez terminado disc´ utelo con tus compa˜ neros. Los cargos de embarque se basan frecuentemente en una fórmula que proporciona el cargo m´ınimo por libra conforme el cargamento se incrementa.

138

Suponga que los cargos de embarques son los siguientes: $2,20 por libra si el peso no excede 50lb; $2,10 por libra si el peso es mayor que 50lb pero no excede $200lb. Si C(x) representa el costo total de un embarque de x libras, entonces 2,2x si 0 < x ≤ 50 C(x) = 2,1x si 50 < x ≤ 200 Determina el costo total de un embarque cuando x se aproxima a 50lb mediante valores menores y mayores a 50lb. ´ PREVIA: III. PREPARACION 1) Conocimientos b´ asicos Con el apoyo del maestro realiza lo que se pide a continuaci´on. 1. Determina el dominio y rango de las siguientes funciones:

a) C(x) =

3 + x para x ≤ 2 , x2 + 1 para x > 2

b) C(x) =

2. Completa la tabla 1 evaluando en la funci´on x para x ≤ 1 f (x) = 1 − x para x > 1 los valores de x.

139

x3 + 1 para x < 1 x + 1 para x ≥ 1

Tabla 1 Evaluaci´on Valor de la funci´on en x f (2) = 1 − 2 = −1 −1

x 2 5 −3 0 4

f (−3) = −3

3. Completa la tabla 2 como se indica en la primera fila, donde x representa a un punto dentro de la vecindad.

Texto Vecindad alrededor de 1 de radio 1

Notaci´on V1 (1)

Intervalo

Tabla 2 Gr´ afica

(1 − 1, 1 + 1) = (0, 2)

Conjunto V1 (1) = {x| d(1, x) < 1}

V2 (−4) Vecindad alrededor de 6 de radio 3 V1

1 2

2) Identificar, interpretar y analizar Con el apoyo del maestro y utilizando el Software GeoGebra efect´ ua la siguiente actividad. Abre el archivo grafica3a y encontrar´as una interface similar a la siguiente:

140

f (x) =

5 − x para x ≤ 2 : 2x − 3 para x > 2

funci´on graficada

“X” punto móvil en el eje x. 1. En el eje x ¿de cuántas formas puedes acercar el punto X a 2? “Y i”: imagen del punto “X” en la función f (x) cuando X ≤ 2. 2. Acerca el punto X a 2 por la izquierda, ¿a qué n´ umero se acerca Y i? l´ım f (x): L´ımite lateral izquierdo. Es la imagen a la que se acerca Y i

x→2−

cuando el punto X se acerca a 2 por la izquierda.

3. Completa ahora l´ım− f (x) = x→2

4. Acerca el punto X a -1 por la derecha, ¿a qu´e n´ umero se acerca Y d?

141

“Y i”: imagen del punto “X” en la funci´on f (x) cuando X ≤ 2. l´ım f (x): L´ımite lateral derecho. Es la imagen a la que se acerca Y d

x→2+

cuando el punto X se acerca a 2 por la derecha. 5. Completa ahora l´ım+ f (x) =

x→2

6. ¿Para que exista l´ım f (x) deben existir los l´ımites laterales izquierdo y derecho x→2 y ser iguales? SI o NO ¿Por qu´e?

7. ¿Existe l´ım f (x)? SI o NO ¿Por qu´e? x→2

8. ¿Es posible que el l´ımite de la funci´on sea igual a 3? SI o NO ¿Por qu´e?

9. ¿Es posible que el l´ımite de la funci´on sea igual a 1? SI o NO ¿Por qu´e?

10. Encuentra el valor de la funci´on 11. f (x) =

5 − x para x ≤ 2 2x − 3 para x > 2

evaluada enx = 2, es decir, f (2)

142

12. ¿Puedes comparar el valor de f (2) con el valor del l´ım f (x)?. SI o NO ¿Por x→2 qu´e?

Para realizar lo que se pide en el inciso 12 toma en cuenta el recuadro siguiente y el archivo grafica3A.

143

Completa la tabla 3, moviendo el punto X dentro de la vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d)

1 ε

0.6

2 δ

3 VECINDAD Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b)

0.9

(3 − 1, 3 + 1) = (2, 4)

Tabla 3 4 VECINDAD Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d)

(2 − 0,9, 2 + 0,9) = (1,1, 2,9)

5 ¿Todas las im´ agenes Y de los puntos X est´ an en (a, b)?

6 ¿ Siempre se cumple que d(2, X) < δ?

S´I

6 ¿ Siempre se cumple que d(3, Y i) < ε y d(3, Y d) < ε? NO

0.5 0.3 0.8 0.4 0.2

13. Contesta, observando las columnas 3, 4 y 5 de la tabla 3: ¿Cuáles vecindades Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) tienen las imágenes Y i y Y d dentro de la vecindad Vε=1 (3) = (3 − 1, 3 + 1) = (2, 4)? y ¿qué radios δ tienen?

¿Cuáles vecindades Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) tienen las imágenes Y i y Y d dentro de la vecindad Vε=0,6 (3) = (3 − 0,6, 3 + 0,6) = (2,4, 3,6)? y ¿qué radios δ tienen?

14. Considera una vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) donde el radio ε sea menor a 1,5 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las im´agenes Y i y Y d de los puntos X de la vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

144

15. En general, ¿todos los puntos X dentro de la vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) cumplen con d(2, X) = |X − 2| < δ? SI o NO ¿Por qu´e?

16. En general, ¿todas las im´agenes Y i y Y d dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) cumplen con d(3, Y ) = |Y − 3| < ε? SI o NO ¿Por qu´e?

17. Como el l´ımite de la función no es 3 cuando “X” se aproxima a 2, ¿puedes encontrar una vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) para cualquier vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) de forma tal que los puntos “X” dentro de la vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) no tengan sus imágenes “Y i” y “Y d” dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

Si tu respuesta es SI entonces debes tener en cuenta la siguiente afirmaci´ on. El que el l´ımite de la función no sea 3 cuando “X” se aproxima a 2, nos indica que existe una vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) spara cualqui9er vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos X dentro de la vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d), tienen sus imágenes “Y i” y “Y d” dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b). Ahora abre el archivo grafica3b y encontrarás una interface similar a la siguiente:

145

18. Considera una vecindad Vε (1) = (1 − ε, 1 + ε) = (a, b) donde el radio ε sea menor a 1,7 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las im´agenes Y i y Y d de los puntos X de la vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (1) = (1 − ε, 1 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

19. Como el l´ımite de la función no es 1 cuando “X” se aproxima a -1, entonces para cualquier vecindad Vε (1) = (1 − ε, 1 + ε) = (a, b) ¿siempre es posible encontrar una vecindad Vδ (2) = (2−δ, 2+δ) = (c, d) en donde los puntos “X”, tienen sus imágenes “Y i” y “Y d” dentro de la vecindad Vε (1) = (1−ε, 1+ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

Si tu respuesta es SI entonces debes tener en cuenta la siguiente afirmaci´ on.

146

El que el l´ımite de la función no sea 1 cuando “X” se aproxima a 2, nos indica que existe una vecindad Vε (1) = (1 − ε, 1 + ε) = (a, b) spara cualqui9er vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos X dentro de la vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d), tienen sus imágenes “Y i” y “Y d” dentro de la vecindad Vε (1) = (1 − ε, 1 + ε) = (a, b) . 3) Problemas La función de Heaviside, H, está definida por: 0 t<0 . H(t) = 1 t≥0 Se usa en el estudio de los circuitos eléctricos para representar la onda repentina de corriente eléctrica, o de voltaje, cuando un interruptor se cierra instantáneamente. a) Grafica la función de Heaviside b) Determina l´ım H(t) t→0

c) Traza la gráfica del voltaje V (t) en un circuito si el interruptor se cierra en el instante t = 0 y se aplican instantáneamente 120 volts. d) Escriba una fórmula para V (t) en términos de H(t) e) Determina l´ım V (t) t→0

4) Sintetizar ideas principales Responde a las siguientes preguntas: Cuando el punto x se acerca por la derecha al punto a las imágenes de la función f (x) se acercan a L1 , mientras que si se acerca por la izquierda las imágenes se acercan a L2 , ¿existe l´ımite de la función f (x) en el punto a, es decir l´ım f (x)? SI o NO ¿Por qué? x→a

Si el l´ımite de la función no es “L1 ” cuando el punto x se acerca al punto a ¿puedes encontrar una vecindad Vε (L1 ) = (L1 − ε, L1 + ε) para cualquier vecindad Vδ (a) = (a − δ, a + δ) de forma tal que algunos puntos x dentro de la vecindad Vδ (a) = (a − δ, a + δ), excepto quizás para X = A, no tengan sus imágenes dentro de la vecindad Vε (L1 ) = (L1 − ε, L1 + ε)? SI o NO ¿Por qué? Si el l´ımite de la función no es “L2 ” cuando el punto x se acerca al punto a ¿puedes encontrar una vecindad Vε (L2 ) = (L2 − ε, L2 + ε) para cualquier vecindad Vδ (a) = (a − δ, a + δ) de forma tal que algunos puntos x dentro de la vecindad Vδ (a) = (a − δ, a + δ), excepto quizás para X = A, no tengan sus imágenes dentro de la vecindad Vε (L2 ) = (L2 − ε, L2 + ε)? SI o NO ¿Por qué? 147

5) Establecer conjetura Si l´ım f (x) no es L ¿qu´e ocurre entre las vecindades Vε (L) = (L − ε, L + ε) y x→a

Vδ (a) = (a − δ, a + δ)?

IV. ACCIONES EN EL AULA Integrar al grupo en equipos. Asignar a cada equipo las actividades 1 y 2. Dar soluci´on mediante el software GeoGebra. Exponer los resultados y generar discusi´on. Actividad 1 1. Completen las siguientes tablas utilizando calculadora, para 4 − 2x x ≤ 1 f (x) = 4x − x2 x > 1 x menor a 1 f (x) 0,99 0,999 0,9999 x mayor a 1 f (x) 1,01 1,001 1,0001 Con base en los valores de las tablas, determinen: l´ım f (x) =

x→1−

l´ım f (x) =

x→1+

l´ım f (x) =

x→1

2. Abran el archivo graf3.1a encontrar´an una interface similar a la siguiente:

148

En el eje x acerquen el punto X por la derecha y por la izquierda al punto 1 y completen: l´ım f (x) =

x→1−

l´ım f (x) =

x→1+

l´ım f (x) =

x→1

3. Encuentren f (1) en f (x) =

4 − 2x x ≤ 1 4x − x2 x > 1

4. Comparen el valor f (1) con el l´ım f (x) x→1

5. ¿Pueden comparar el valor f (1) con el l´ım f (x). SI o NO ¿Por qu´e? x→1

149

6. Consideren una vecindad Vε (2) = (2 − ε, 2 + ε) = (a, b) donde el radio V es menor a 1 ¿a partir de que radio δ pueden garantizar que las im´agenes Y de los puntos X de la vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (2) = (2 − ε, 2 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

7. Como el l´ımite de la función no es 2 cuando “X” se aproxima a 1, ¿pueden encontrar una vecindad Vε (2) = (2 − ε, 2 + ε) = (a, b) para cualquier vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X” dentro de la vencindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) tienen sus imágenes “Y i” y “Y d” dentro de la vecindad Vε (2) = (2−ε, 2+ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

8. Como l´ım f (x) no es 2 ¿qu´e ocurre con las vecindades Vε (2) = (2 − ε, 2 + ε) = x→1

(a, b) y Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d)?

Ahora abre el archivo grafica3.1b y encontrar´as una interface similar a la siguiente:

150

9. Considera una vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) donde el radio ε sea menor a 0,6 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las im´agenes Y i y Y d de los puntos X de la vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

10. Como el l´ımite de la función no es 3 cuando “X” se aproxima a 2, ¿pueden encontrar una vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) para cualquier vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X” dentro de la vencindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) tienen sus imágenes “Y i” y “Y d” dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

11. Como l´ım f (x) no es 3 ¿qu´e ocurre con las vecindades Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = x→2

(a, b) y Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d)?

151

Actividad 2

1. Completen las siguientes tablas utilizando calculadora para −3x x > −2 f (x) = 2x x ≤ −2 x menor a −2 f (x) −2,01 −2,001 −2,0001 x mayor a −2 f (x) −1,99 −1,999 −1,9999 Con base en los valores de las tablas, determinen: l´ım f (x) =

x→−2−

l´ım f (x) =

x→−2+

l´ım f (x) =

x→−2

2. Abran el archivo graf3.2a encontrar´an una interface similar a la siguiente:

152

En el eje x acerquen el punto X por la derecha y por la izquierda al punto 2 y completen: l´ım f (x) =

x→−2−

l´ım f (x) =

x→−2+

l´ım f (x) =

x→−2

3. Encuentren f (−2) en f (x) =

−3x x > −2 2x x ≤ −2

4. Comparen el valor f (−2) con el l´ım f (x) ¿Iguales o diferentes? x→−2

5. ¿Pueden comparar el valor f (−2) con el l´ım f (x). SI o NO ¿Por qu´e? x→−2

153

6. Consideren una vecindad Vε (6) = (6 − ε, 6 + ε) = (a, b) donde el radio V es menor a 3 ¿a partir de que radio δ pueden garantizar que las im´agenes Y de los puntos X de la vecindad Vδ (−2) = (−2 − δ, −2 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (6) = (6 − ε, 6 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

7. Como el l´ımite de la función no es 6 cuando “X” se aproxima a -2 ¿pueden encontrar una vecindad Vε (6) = (6 − ε, 6 + ε) = (a, b) para cualquier vecindad Vδ (−2) = (−2−δ, −2+δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X” dentro de la vencindad Vδ (−2) = (−2 − δ, −2 + δ) = (c, d) tienen sus imágenes “Y i” y “Y d” dentro de la vecindad Vε (6) = (6−ε, 6+ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

8. Como l´ım f (x) no es 6 ¿qu´e ocurre con las vecindades Vε (6) = (6 − ε, 6 + ε) = x→−2

(a, b) y Vδ (−2) = (−2 − δ, −2 + δ) = (c, d)?

Ahora abre el archivo grafica3.2b y encontrar´as una interface similar a la siguiente:

154

9. Considera una vecindad Vε (−4) = (−4 − ε, −4 + ε) = (a, b) donde el radio ε sea menor a 0,6 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las im´agenes Y i y Y d de los puntos X de la vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (−4) = (−4 − ε, −4 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

10. Como el l´ımite de la función no es −4 cuando “X” se aproxima a 2, ¿pueden encontrar una vecindad Vε (−4) = (−4 − ε, −4 + ε) = (a, b) para cualquier vecindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X” dentro de la vencindad Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d) tienen sus imágenes “Y i” y “Y d” dentro de la vecindad Vε (−4) = (−4 − ε, −4 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

11. Como l´ım f (x) no es -4 ¿qu´e ocurre con las vecindades Vε (−4) = (−4 −ε, −4 + x→2

ε) = (a, b) y Vδ (2) = (2 − δ, 2 + δ) = (c, d)?

155

V. TRABAJO INDEPENDIENTE Propiedades del l´ımite Si b, c, n, A y B son n´ umeros reales, siendo f y g funciones tales que l´ım f (x) = A y l´ım g(x) = B, entonces:

x→c

1. 3. 5. 7.

x→c

l´ım b = b

l´ım bf (x) = bA

l´ım(f (x) · g(x)) = A · B

x→c

x→c x→c

l´ım x = c

x→c

l´ım(f (x) ± g(x)) = A ± B

x→c

l´ım f (x) x→c g(x)

A B

si B 6= 0

x→c

Con ayuda del profesor en los incisos del 1 al 14 a) Calcula el l´ımite de la funci´on dada utilizando las propiedades del l´ımite. b) Construye una tabla para calcular el l´ımite de la funci´on dada y luego compara el resultado con el obtenido en el inciso a. 1) l´ım f (x), donde x→1

f (x) =

4 − 2x x ≤ 1 4x − x2 x > 1

Utilizamos los l´ımites laterales: Para x ≤ 1 por las propiedades 1, 2, 3 y 4 l´ım f (x) = l´ım− (4 − 2x) = l´ım− 4 − l´ım− 2x = 4 − 2(1) = 2,

x→1−

x→1

y para x > 1 por las propiedades 2, 3, 7 y 4 l´ım f (x) = l´ım+ (4x − x2 ) = l´ım+ 4x − l´ım+ x = 4(1) − (1)2 = 3.

x→1+

x→1

Puesto que los l´ımites laterales son diferentes, tenemos l´ım f (x) no existe.

x→1

156

En la siguiente tabla presentamos los valores de f (x) que corresponden a varios valores menores y mayores de x cercanos a 1. x menor a −3 f (x) = x2 + x − 6 x mayor a ,3 f (x) = x2 + x − 6 0,9 2,2 1,1 3,19 0,99 2,02 1,01 3,199 0,999 2,002 1,001 3,1999 0,9999 2,0002 1,0001 3,19999 En la tabla observamos que cuando x se acerca a 1 por valores menores a 1 los valores de f (x) se aproximan a 2, mientras que cuando x se acerca a 1 por valores mayores a 1 los valores de f (x) se aproximan a 3. Debido a que los valores de se aproximan a distintos n´ umeros el l´ımite de no existe. Estas dos maneras de calcular el l´ımite indican el mismo resultado.

2) l´ım f (x),

donde f (x) =

x→−2

3) l´ım f (x),

donde f (x) =

x→3

4) l´ım f (x), x→6

x→0

6) l´ım f (x), x→3

7) l´ım f (x),

8) l´ım f (x), x→−2

9) l´ım f (x), x→3

−3x x ≥ −2 2x x < −2

1 x≥3 −1 x < 3

√ 2x − 3 x > 6 donde f (x) = √ x + 10 x ≤ 6

5) l´ım f (x),

x→1

donde f (x) =

5x − 1 x < 0 x3 − x x ≥ 0

donde f (x) =

x+2 2 12−2x 3

x>3 x≤3

0 x≤1 2 x>1

donde f (x) =

7 − 3x2 x < −2 4x2 − 1 x ≥ −2

donde f (x) =

√

157

1 x−2

x>3 2x + 3 x ≤ 3

10) l´ım f (x),

donde f (x) =

x→−1

11) l´ım f (x), x→2

12) l´ım f (x), x→3

donde f (x) =

13) l´ım f (x), x→1

14) l´ım1 f (x),

donde f (x) =

x x≤2 x2 x > 2

2−x x<3 −x + 8x − 14 x ≥ 3 2

donde f (x) =

x→ 2

−x x ≥ −1 9 x < −1

2x2 −3x+1 x x3 −3x2 +4 x2

2 3x2 1 (2x)3

x>1 x≤1 x≥ x<

1 2 1 2

VI. CONCLUSIONES A partir de todo el trabajo individual realizado en la Hoja por ti, de la discusión con tus compa˜ neros de equipo y de la discusión en asamblea en el aula, responde las preguntas siguientes: ¿Cómo se determina que el l´ımite de una función en un punto no existe? ¿La no existencia del l´ımite de una función en un punto depende de si la función está definida en ese punto? SI o NO ¿Por qué? Si el l´ımite de una función en un punto no existe ¿cuál es la relación entre las vecindades de la imagen con las del dominio? Al finalizar comparte las respuestas con tus compa˜ neros para analizar las similitudes que encontraron, y posteriormente escribir una conclusión grupal.

158

HOJA DE TRABAJO 11 3.5.

H.T. 11. No existencia del l”imite. Funci´ on no definida en el punto.

I. OBJETIVOS Visualizar la forma de acercarse a un punto en el eje x. Determinar la no existencia del l´ımite de una función a partir de los l´ımites laterales. Comprender la no existencia del l´ımite de forma intuitiva. Determinar la relación entre vecindades de la imagen con las del dominio. Interpretar la no existencia del l´ımite en el sentido de vecindades. Visualizar, interpretar, clasificar, comparar, relacionar, analizar, argumentar, resolver problemas, sintetizar, establecer conjeturas, comunicar, exponer, debatir, trabajar en equipo, abstraer y concluir. Usar tecnolog´ıa computacional para la comprensión del concepto de l´ımite. Promover la responsabilidad de su propio aprendizaje. Promover el respeto y tolerancia hacia las ideas y el trabajo de sus compa˜ neros. ´ II. MOTIVACION Instrucciones: Con el apoyo del maestro responde a las preguntas. Una vez contestadas disc´ utelas con tus compa˜ neros. Contaminaci´ on del agua En la ciudad se contaminó recientemente uno de los pozos de agua con tricloroetileno, un agente cancer´ıgeno. Debido a que una antigua planta qu´ımica derramó qu´ımicos en el agua.

159

Una propuesta enviada al comité de ecolog´ıa indica que el costo de eliminación de x porcentaje del contaminante tóxico, en millones de pesos está dado por: C(x) =

0,5x 100 − x

0 < x < 100.

¿Cuál es el costo de eliminación del contaminante a un 50 %? ¿Cuál es el costo aproximado de eliminación del contaminante al 75 %? ¿Cuál es el costo aproximado de eliminación del contaminante al 99 %? ¿Se podrá eliminar al 100 % la contaminación del pozo de agua? ¿Cuánto será su costo aproximado para eliminar el contaminante al 100?

160

´ PREVIA: III. PREPARACION 1) Conocimientos B´ asicos De manera individual realiza lo que se pide a continuaci´on 1. Determina el dominio y rango de las siguientes funciones a) f (x) =

1 , x

b) f (x) =

1 . x2

2. Completa la tabla 1 evaluando en la funci´on f (x) = x −3 −1 0 2 1

1 x2

los valores de x.

Tabla 1 Evaluaci´on Valor de la funci´on en x 1 1 1 f (−3) = (−3)2 = 9 9

f (2) =

1 22

1 4

3. Completa la tabla 2 como se indica en la primera fila, donde x representa a un punto dentro de la vecindad indicada. Texto Vecindad alrededor de 1 de radio 2

Notaci´on V2 (1)

Intervalo

Tabla 2 Gr´ afica

(1 − 2, 1 + 2) = (−1, 3)

Conjunto V2 (1) = {x| d(1, x) < 2}

V3 (0) Vecindad alrededor de -2 de radio 1

2) Identificar, interpretar y analizar Con el apoyo del maestro y utilizando el Software GeoGebra efect´ ua la siguiente actividad. Abre el archivo grafica4 y encontrar´as una interface similar a la siguiente:

161

f (x) =

1 : x

funci´on graficada

“X” punto móvil en el eje x. 1. En el eje x ¿de cuántas formas puedes acercar el punto X a 0? “Y ”: imagen del punto “X” en la función f (x). 2. Acerca el punto X a 0 por la izquierda, ¿a qué n´ umero se acerca Y ? l´ım f (x): L´ımite lateral izquierdo. Es la imagen a la que se acerca Y

x→0−

cuando el punto X se acerca a 0 por la izquierda.

3. Completa ahora l´ım− f (x) = x→0

4. Acerca el punto X a 0 por la derecha, ¿a qu´e n´ umero se acerca Y ? l´ım f (x): L´ımite lateral derecho. Es la imagen a la que se acerca Y cuando

x→0+

el punto X se acerca a 0 por la derecha.

162

5. Completa ahora l´ım+ f (x) =

x→0

6. ¿Para que exista l´ım f (x) deben existir los l´ımites laterales izquierdo y derecho x→0 y ser iguales? SI o NO ¿Por qu´e?

7. ¿Existe l´ım f (x)? y ¿Por qu´e? x→0

8. ¿Es posible que el l,”imite d ela funci´on sea igual a 3? SI o NO ¿Por qu´e?

9. ¿Puedes hallar f (0) en f (x) =

1 x

SI o NO ¿Por qu´e?

10. ¿Puedes comparar el valor de f (0) con el valor del l´ım f (x)?. SI o NO ¿Por qu´e? x→0

Para realizar lo que se pide en el inciso 11 toma en cuenta el recuadro siguiente y el archivo grafica4.

163

Completa la tabla 3, moviendo el punto X dentro de la vecindad Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d)

1 ε

2 δ

1.5

Tabla 3 3 4 VECINDAD VECINDAD Vε (3) = Vδ (0) = (3 − ε, 3 + ε) = (0 − δ, 0 + δ) = (a, b) (c, d) (3 − 2, 3 + 2) = (1, 5)

(0 − 1,5, 0 + 1,5) = (−1,5, 1,5)

5 ¿Todas las im´ agenes Y de los puntos X est´ an en (a, b)? NO

0.9 0.7 1.7 1.3 0.5

11. Contesta, observando las columnas 3, 4 y 5 de la tabla 3: ¿Cuáles vecindades Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d) tienen las imágenes Y dentro de la vecindad Vε=2(3) = (3 − 2, 3 + 2) = (1, 5)? y ¿qué radios δ tienen?

164

¿Cuáles vecindades Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d) tienen las imágenes Y dentro de la vecindad Vε=1 (2) = (3 − 1, 3 + 1) = (2, 4)? y ¿qué radios δ tienen?

12. Considera una vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) donde el radio ε sea menor a 1 ¿a partir de que radio δ puedes garantizar que las im´agenes Y de los puntos X de la vecindad Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

13. Como el l´ımite de la función no es 3 cuando “X” se aproxima a 0 ¿puedes encontrar una vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) para cualquier vecindad Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X” dentro de la vecindad Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d) no tengan sus imágenes “Y ” dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

Si tu respuesta es SI entonces debes tener en cuenta la siguiente afirmaci´ on. El que el l´ımite de la función no sea 3 cuando “X” se aproxima a 0, nos indica que existe una vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) para cualquier vecindad Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos puntos “X” dentro de la vecindad Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d), excepto X = 0, no tienen sus imágenes “Y ” dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b). 14. ¿Existirán otros n´ umeros, aparte del valor 3, que no sean l´ımites de la función f (x) = x1 ? SI o NO ¿Por qué?

15. ¿Es posible que alg´ un n´ umero sea el l´ımite de la funci´on f (x) = x1 ? SI o NO ¿Por qu´e?

165

3) Problemas de contexto Resuelve los siguientes problemas de contexto: Si C(t) dólares es el costo total por hora de luz en una fábrica con n lámparas fluorescentes, cada una con un promedio de vida de t horas, entonces r epk C(t) = n , + t 10000 donde r dólares es el costo de renovación, e es la constantes de eficiencia comercial, p watts es la potencia de cada lámpara, y k dólares es el costo de la energ´ıa por cada 1000 watts. Determine l´ım+ C(x), si existe. x→0

De acuerdo con la teor´ıa especial de la relatividad de Einstein, ninguna part´ıcula con masa positiva puede viajar m´as r´apido que la velocidad de la luz. La teor´ıa especifica que si m(v) es la medida de la masa de una part´ıcula que se mueve con una velocidad de medida v, entonces m0 m(v) = q 2 , 1 − vc

donde m0 es la medida constante de la masas de la part´ıcula en reposo relativa a alg´ un sistema de referencia, y c es la medida constante de la velocidad de la luz. Determine l´ım m(v), si existe. v→c

4) Sintetizar ideas principales Responde a las siguientes preguntas: Si las imágenes de la función f (x) no se acercan alg´ un n´ umero cuando el punto x se acerca por la derecha y por la izquierda al punto a, ¿existe l´ımite? Si el l´ımite de la función f (x) no es “L” cuando el punto x se acerca al punto a ¿puedes encontrar una vecindad Vε (L) = (L−ε, L+ε) para cualquier vecindad Vδ (a) = (a − δ, a + δ) de forma tal que algunos puntos x dentro de la vecindad Vδ (a) = (a − δ, a + δ), excepto quizás para x = a, no tengan sus imágenes dentro de la vecindad Vε (L) = (L − ε, L + ε)? SI o NO ¿Por qué? 5) Establecer conjetura Si l´ım f (x) no es L ¿qué ocurre entre las vecindades Vε (L) = (L − ε, L + ε) y x→a

Vδ (a) = (a − δ, a + δ)?

166

IV. ACCIONES EN EL AULA Integrar al grupo en equipos. Asignar a cada equipo las actividades 1 y 2. Dar soluci´on mediante el software GeoGebra. Exponer los resultados y generar discusi´on. Actividad 1 1. Completen las siguientes tablas utilizando calculadora. x menor a 1 f (x) = 0,9 0,99 0,999 0,9999 x mayor a 1 f (x) = 1,1 1,01 1,001 1,0001

1 x−1

Con base en los valores de las tablas, determinen: l´ım f (x) =

x→1−

l´ım f (x) =

x→1+

l´ım f (x) =

x→1

2. Abran el archivo graf4.1 encontrar´an una interface similar a la siguiente:

167

En el eje x acerquen el punto X por la derecha y por la izquierda al punto 1 y completen: l´ım f (x) =

x→1−

l´ım f (x) =

x→1+

l´ım f (x) =

x→1

3. ¿Pueden encontrar f (1) en f (x) =

1 ? x−1

SI o NO ¿Por qu´e?

1 . x→1 x−1

4. ¿Pueden comparar el valor f (1) con el l´ım

SI o NO ¿Por qu´e?

5. Consideren una vecindad Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b) donde el radio V es menor a 3 ¿a partir de que radio δ pueden garantizar que las im´agenes Y de los puntos X de la vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b)?

168

Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

1 no es 4 cuando “X” se aproxima a 0 6. Como el l´ımite de la función f (x) = x−1 ¿pueden encontrar una vecindad Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b) para cualquier vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) de forma tal que algunos “X” dentro la vecindad Vδ (1) = (1 − δ, 1 + δ) = (c, d) no tengan sus imágenes “Y ” dentro de la vecindad Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

7. Como l´ım f (x) no es 4 ¿qu´e ocurre con las vecindades Vε (4) = (4 − ε, 4 + ε) = x→1

(a, b) y Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d)?

8. ¿Existirán otros n´ umeros, aparte del valor 4, que no sean l´ımites de la función 1 ? SI o NO ¿Por qué? f (x) = x−1

9. ¿Es posible que alg´ un n´ umero sea el l´ımite de la funci´on f (x) = ¿Por qu´e?

Actividad 2 1. Completen las siguientes tablas utilizando calculadora.

169

1 ? x−1

SI o NO

x menor a 0 f (x) = −0,1 −0,01 −0,001 −0,0001 x mayor a 0 f (x) = 0,1 0,01 0,001 0,0001

x+2 x2 −2x

Con base en los valores de las tablas, determinen: l´ım f (x) =

x→0−

l´ım f (x) =

x→0+

l´ım f (x) =

x→0

2. Abran el archivo graf4.2 encontrar´an una interface similar a la siguiente:

En el eje x acerquen el punto X por la derecha y por la izquierda al punto 0 y completen: l´ım f (x) =

x→0−

170

l´ım f (x) =

x→0+

l´ım f (x) =

x→0

3. ¿Pueden encontrar f (0) en f (x) =

x+2 ? x2 −2x

SI o NO ¿Por qu´e?

x+2 . 2 x→1 x −2x

4. ¿Pueden comparar el valor f (1) con el l´ım

SI o NO ¿Por qu´e?

5. Consideren una vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) donde el radio V es menor a 3 ¿a partir de que radio δ pueden garantizar que las im´agenes Y de los puntos X de la vecindad Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d) est´en dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b)? Radio elegido ε = Radio encontrado δ =

1 no es 3 cuando “X” se aproxima a 0 6. Como el l´ımite de la función f (x) = x−1 ¿pueden encontrar una vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b) para cualquier vecindad Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d) de forma tal que alg8unos “X” dentro la vecindad Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d) no tengan sus imágenes “Y ” dentro de la vecindad Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = (a, b)? SI o NO ¿Por qué?

7. Como l´ım f (x) no es 3 ¿qu´e ocurre con las vecindades Vε (3) = (3 − ε, 3 + ε) = x→1

(a, b) y Vδ (0) = (0 − δ, 0 + δ) = (c, d)?

171

8. ¿Existirán otros n´ umeros, aparte del valor 3, que no sean l´ımites de la función x+2 f (x) = x2 −2x ? SI o NO ¿Por qué?

9. ¿Es posible que alg´ un n´ umero sea el l´ımite de la funci´on f (x) = NO ¿Por qu´e?

x+2 ? x2 −2x

SI o

V. TRABAJO INDEPENDIENTE Con ayuda del profesor en los incisos del 1 al 16 a) Calcula el l´ımite, si existe, mediante la gráfica de la función dada. b) Construye una tabla para calcular el l´ımite de la función dada y luego compara el resultado con el obtenido en el inciso a. 2 . x→1 x−1

1) l´ım

La gr´afica de la funci´on f (x) =

2 x−1

es:

172

Las im´agenes de la funci´on f (x) en los valores cercanos al punto 1 no se aproximan a alg´ un n´ umero y no existe el 2 . l´ım x→1 x − 1 En la siguiente tabla presentamos los valores de f (x) que corresponden a varios valores menores y mayores de x cercanos a 1. x menor a 1 0,9 0,9 0,999 0,9999

f (x) x mayor a 1 −20 1,1 −200 1,01 −2000 1,001 −20000 1,0001

f (x) 20 200 2000 20000

En la tabla observamos que cuando x se acerca a 1 por valores menores a este los valores de f (x) se vuelven cada vez m´as peque˜ nos, en cambio, cuando x se acerca a 1 por valores mayores a este los valores de f (x) se vuelven cada vez m´as grandes. Debido a que los valores de f (x) no se acercan a alg´ un n´ umero el l´ımite de f (x) no existe. Estas dos maneras de calcular el l´ımite indican el mismo resultado.

1 , x→0 x2

2) l´ım

5 , x→0 x3

5) l´ım

8) l´ım

x→6

4 , (x − 6)2

2 , x→−4 (x + 4)3

11) l´ım

2x , x→−1 x + 1

14) l´ım

2+x , x→1 1 − x

3) l´ım

3 , x→5 5 − x

6) l´ım

9) l´ım

x→1

4) l´ım

x→0 x2

6 , x→7 x − 7

x , x→1 (x − 1)2

15) l´ım

1 , x→2 (x − 2)3

7) l´ım

1 , (x − 1)4

12) l´ım

x , −x

10) l´ım

x→−3

1 , x+3

x , x→2 x − 2

13) l´ım

2x . x→−3 (x + 3)2

16) l´ım

173

¿Cómo se determina que el l´ımite de una función en un punto no existe? ¿La no existencia del l´ımite de una función en un punto depende de si la función no está definida en ese punto? SI o NO ¿Por qué? Si el l´ımite de una función en un punto no existe ¿cuál es la relación entre las vecindades de la imagen con las del dominio? Al finalizar comparte las respuestas con tus compa˜ neros para analizar las similitudes que encontraron, y posteriormente escribir una conclusión grupal.

174

Cap´ıtulo 4 DERIVADAS HOJA DE TRABAJO 12 4.1.

H.T. 12. Derivadas. Relaci´ on con los conceptos y propiedades de funci´ on y l´ımite.

I. OBJETIVOS Comprender el concepto de derivada como variación instantánea de: movimiento (rectil´ıneo, parabólico, armónico simple, vibratorio); volumen; corriente eléctrica; temperatura; venta; ingreso; utilidades; oferta; producción; acidez de una solución (ph); crecimiento de una población; crecimiento de una epidemia, extracción de (petróleo, agua, cobre, etc.); descarga de archivos. Diferenciar conceptualmente y en aplicaciones entre variación instantánea y variación promedio. Obtener a partir de la definición las propiedades y reglas de derivación. Aplicar las reglas de derivación. ´ II. PROBLEMA DETONANTE DE LA MOTIVACION Hallar un problema que produzca este efecto es la parte mas dif´ıcil pues hay que considerar los intereses, capacidades y desarrollo de habilidades de los estudiantes. Además de tener en cuenta el plan de estudios, objetivos de la asignatura, contexto, las caracter´ısticas el objeto de estudio, condiciones en que se desarrolla el proceso de ense˜ nanza aprendizaje y las preconcepciones erróneas que puedan tener los estudiantes. Los estudiantes deben de buscar dos problemas de aplicación y exponerlos en clase.

175

´ PREVIA III. PREPARACION Incluye un sistema de tareas donde se realicen las acciones que se indican a continuación y formen una base orientadora para realizar la actividad y la representación en el plano externo de un esquema de trabajo. 1) Selecci´ on del material y observar Buscar en la biblioteca en libros de cálculo y de la especialidad problemas que planteen variaciones de funciones. Reconocer en cada uno de los casos cuando la variación es promedio y cuando la variación es para un cambio despreciable en la variable independiente. 2) Identificar, interpretar y analizar a) Construcci´ on del concepto de derivada. • En cada uno de los problemas hallados identifique la función modelada, el tipo de función, el punto x0 alrededor del cual va a observar la variación de la imagen de la función. • De acuerdo con las funciones modeladas clasif´ıquelas como lineales, cuadráticas, c´ ubicas, exponenciales, logar´ıtmicas, trigonométricas, etc • En cada uno de los problemas de contexto, seleccione diferentes valores h del incremento de la variable independiente. Interprete el significado que tiene la variación de las imágenes y la variación de la variable independiente f (x0 + h) − f (x0 ); h.

• Analice e interprete desde el punto de vista de cada problema el significado del cociente de estas dos variaciones.

• Grafique en cada uno de los problemas la variación de la imagen y la variación de la variable independiente. Indique el significado que tiene desde el punto de vista geométrico ambas variaciones y el cociente de ambas. ¿Qué interpretación le da desde el punto de vista geométrico cuando h → 0? • ¿Cuál es la diferencia que usted encuentra entre el caso cuando h tiene un valor significativo h 6= 0 y cuando h → 0? • En el caso que se tiene una recta constante paralela al eje de las x ¿Cuál es su variación?

• Si tiene una recta de pendiente m = 3, ¿Cuál es su variación? ¿Cambia de acuerdo al punto seleccionado? • ¿Cómo var´ıan las funciones y = x2 ; y = sen(x) en diferentes puntos? Anal´ıcelo gráficamente y tabularmente.

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b) Buscar el concepto de derivada en diferentes libros, comparar los enunciados, relacionarlos con el trabajo realizado en el inciso a) • Hallar las reglas de derivación a partir de la definición en los siguientes casos particulares y = c; y = x; y = kx; y = x2 ; y = sen(x). • A partir de la definición hallar las principales propiedades de la derivada. c) Expresar la forma en que se contribuye a desarrollar las habilidades de seleccionar material, observar, identificar, interpretar y analizar. 3) Problemas de contexto La b´ usqueda de problemas heterogéneos, lleva a tomar conciencia de los eslabones de la actividad, ayuda a establecer conjeturas y a generalizar. (i) En cada uno de los siguientes problemas identifique cuándo tiene que hallar la derivada de la función modelada f ′ (t∗ ), cuándo se pide hallar f (t∗ ) y cuándo el cociente incremental. Observe que en todos los casos se pide utilizar desde el punto de vista matemático el mismo concepto, aunque desde el punto de vista del problema real la interpretación sea diferente. Explique ambos. (ii) Dar respuesta a cada uno de los incisos de los siguientes problemas. Entregar los problemas a los estudiantes sin clasificar y solicitar que ellos los clasifiquen. Estos problemas deben de ser presentados a los estudiantes después de que hayan llegado al concepto de derivada, tienen por objetivo primero vincular el concepto con diferentes contextos reales, después lograr la desvinculación del marco real para abstraer el concepto como estructura matemática independiente del contexto real. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Una part´ıcula se desplaza a lo largo de una recta horizontal de acuerdo a la ecuación s = t3 − 12t2 + 36t − 24, t no negativo representa el tiempo en segundos. Determine los intervalos de tiempo en los que la part´ıcula se está moviendo a la derecha y en los que se mueve hacia la izquierda. También determine el instante cuando la part´ıcula cambia de sentido. Halle la posición de la part´ıcula a los 3 segundos de haber comenzado su movimiento. Hallar la velocidad instantánea a los 3 segundos y la rapidez de desplazamiento a los 4 segundos. En este problema se busca distinguir entre rapidez, velocidad instantánea, función evaluada en un punto, crecimiento y decrecimiento de la función, puntos de reposo y las vinculaciones de estos conceptos con la derivada.

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´ MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Se suspende un cuerpo de un resorte, el cual vibra verticalmente. Sea s cent´ımetros la distancia dirigida del cuerpo desde su posición central, o de reposo, después de t segundos de tiempo. Un valor positivo de s indica que el cuerpo está por encima de su posición central. Si en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares se marcan los valores de s para valores espec´ıficos de t, y si la fricción no se toma en cuenta, entonces la gráfica resultante tendrá una ecuación de la forma f (t) = asenb(t−c). Las constantes a, b y c están determinadas por el peso del cuerpo y el resorte, as´ı como la forma en que se pone en movimiento al cuerpo. Por ejemplo, cuanto más se tire el cuerpo hacia abajo antes de liberarlo, tanto mayor será a, la amplitud del movimiento. Además, cuanto mas r´ıgido sea el resorte, tanto más rápido vibrará el cuerpo, de modo que el menor valor será el per´ıodo del movimiento. Si a = 8, b = 13 y c = 0 a) Determine la velocidad y la aceleración del movimiento para cualquier t; b) Muestre que el movimiento es armónico simple; c) Determine la amplitud, el per´ıodo y la frecuencia del movimiento; d) Simule el movimiento hacia arriba y hacia abajo del resorte en la graficadora e) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento. Este problema carece de interés para los estudiantes si se les da el enunciado solamente, en cambio si se le hace el experimento y ellos pueden comprobar el cambio de a, b y c, se les hace muy interesante. Si se ha estudiado la función asenb(t − c) cuando se trabajó con funciones y se ha visto la forma en que influyen las constantes en el comportamiento de la función les será muy interesante ver una aplicación. Es más, se debe dar la aplicación en ese momento y ahora sólo la parte de derivadas. En caso de que no haya sido tratado antes faltan los subsunsores necesarios para el anclaje de este nuevo conocimiento y la aplicación se convierte en algo complejo y poco atractivo, ya que se necesitan además los conceptos de amplitud, frecuencia y per´ıodo, además del de movimiento armónico simple. Utilizando Cabri se puede observar el movimiento:

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Para este caso el sistema de resortes es dominado por una variable t, tiene la variante que amortigua y tiende a estabilizarse. Preguntas del problema. 1. ¿Cuál es el comportamiento del resorte de acuerdo a la función planteada originalmente? 2. ¿Cuál es la imagen de la función? 3. ¿Cambia esta función al multiplicarla por una función g(t)?, escoger diferentes funciones y plantear que pasa en cada caso. 4. ¿Cómo deber´ıa serg(t) para que el resorte se comporte como amortiguador? ´ TASA DE VARIACION En un circuito eléctrico, si E volts es la fuerza electromotriz, I amperes es la corriente y R ohms es la resistencia, entonces de la ley de Ohms I.R = E. a) Si se supone que E es una constante positiva, demuestre que I decrece a una tasa proporcional al inverso del cuadrado de R. b) ¿Cuál es la tasa instantánea de variación de I con respecto a R en un circuito eléctrico de 90 volts cuando la resistencia es de 15 ohms?

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Si R(x) pesos indica el ingreso total por la venta de x art´ıculos y la función de ingreso total está dada por R(x) = 300x − 12 x2 . Determine a) La función de ingreso marginal. b) El ingreso marginal cuando x = 40; c) el ingreso real por la venta del art´ıculo 41. La ley de Boyle para la expansión de un gas es P V = C, donde P unidades de fuerza por unidad cuadrada de área es la presión4, V unidades c´ ubicas es el volumen del gas y C es una constante. A) Muestre que V decrece a una tasa proporcional al inverso del cuadrado de P , b) Determine la tasa instantánea de variación de V con respecto a P cuando P = 4 y V = 8. La temperatura de una persona es f (t) grados Fahrenheit t d´ıas después de adquirir una enfermedad que dura 10 d´ıas, donde f (t) = 98,6 + 1,2t − 0,12t2 para 0 < t < 10 a) ¿Cuál es la temperatura del enfermo el d´ıa 0 y el d´ıa 10? b) Determine la tasa de variación de f (t) con respecto a t cuando 0 < t < 10, c)¿Cuál es la temperatura de la persona y la tasa de variación de la temperatura cuando la persona ha estado enferma por 3 d´ıas, y por 8 d´ıas, d)Trace la gráfica de la temperatura f (t), estime en qué momento la temperatura es máxima y el valor máximo de la temperatura. Una bacteria tiene forma esférica. Determine la tasa de variación del volumen de la bacteria con respecto al radio cuando éste mide a) 1.5 micras, b) 2 micras. Se vierte arena en un mont´ıculo de forma cónica de modo que la altura de éste es el doble de su radio. Determine la tasa de variación del volumen del mont´ıculo con respecto al radio cuando la altura es de 4 m. Se está extrayendo petróleo de un pozo, el volumen después de t minutos de iniciada la extracción es de V (t) litros, donde V (t) = 250(1600 − 80t + t2 ) a)Determine la tasa promedio de la salida de petróleo durante los 5 primeros minutos, b) ¿Cuán rápido sale el petróleo después de 5 minutos de iniciada la extracción? El costo de fabricación de x art´ıculos en cierta fábrica está dado por C(x) = 1500 + 3x + x2. Determine a) la función de costo marginal, b) el costo marginal cuando x = 40, c) el costo real de fabricación del art´ıculo 41. Cierta compa˜ n´ıa inició sus operaciones el 10 de abril del a˜ no 1990. Las utilidades anuales brutas de la compa˜ n´ıa después de t a˜ nos de operación son de p pesos, donde p = 50, 000 + 18, 000t − 600t2 . Determine a) la tasa a la que crecieron las utilidades brutas el 10 de abril de l995, b) la tasa relativa de crecimiento de las utilidades brutas el 10 de abril de 1995 con aproximación del 0.1 %, c) las tasas a las que crecerán las utilidades brutas el 10 de abril de 2008, la tasa relativa de crecimiento prevista de las utilidades brutas el 10 de abril de 2008 con aproximación del 0.1 %.

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MIXTOS Una pelota es arrojada directamente hacia arriba, a lo largo de un a´rbol. Llega justo a la altura del árbol y cae de regreso al suelo. Permanece en el aire 4 seg. ¿Cuál es la altura del árbol?

Observar cómo al manipular el punto p de la pelota, el tiro representa varias situaciones, como tiro parabólico y como tiro vertical. Preguntas del problema 1. Analizar el dibujo y observar como se puede explicar a los alumnos 2. ¿Cómo se pueden manipular las variables independientes y dependientes? 3. Si en ambos tiros se tiene la misma velocidad de salida, ¿se modifica la altura en el tiro parabólico si el ángulo es distinto? 4. ¿Qué pasa con la distancia recorrida? Se deja caer una pelota desde lo alto de un edificio de 960 pies de altura. ¿Cuánto tarda la pelota en llegar a la calle y con que velocidad la golpeará? Una pelota es arrojada directamente hacia arriba desde el suelo, con velocidad inicial de 96 pies/seg. ¿A qué altura llega y cuánto tiempo tarda? Se aplican los frenos de un carro cuando éste se mueve a 60 km/h y producen una desaceleración constante de 40m/seg. ¿Cuánto viajará el carro antes de que acabe de detenerse?

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Un globo suspendido a una altura de 800 pies deja caer una pelota. Directamente debajo del globo, se dispara un dardo hacia la pelota, 2 seg después de que es dejada caer la pelota. ¿Con que velocidad inicial debe de dispararse el dardo para que golpee la pelota a una altura de 400 pies? 4) Sintetizar ideas principales Clasifique los problemas seg´ un el tipo de variación, variación de movimiento, variación económica, variación de comportamiento de una población, variación de comportamiento de una solución qu´ımica, variación de temperatura, etc. En cada uno de los casos distinga entre derivada en un punto y cociente incremental. Explique la interpretación de cada uno de ellos. Interprete el significado real de cada uno los grupos de problemas. Exprese las principales reglas de derivación y explique la forma de demostrarlas. 5) Establecer conjetura A partir de las ideas de comportamiento de los grupos de variaciones, establezca una idea general válida para cualquier caso expresada en términos reales, en términos de comportamiento de una función y en términos geométricos. Exprese el concepto de derivada. En el caso de tener una composición de varias funciones, determine a partir de la derivada de funciones compuestas, cual función debe de derivar primero, en que función queda expresada y el orden de derivación de cada una de las funciones. Escr´ıbalo primero utilizando cambio de variables y luego directamente. IV. ACCIONES EN EL AULA Integrar al grupo en equipos. Asignar a cada equipo una serie de ejercicios y problemas de un tipo en particular. Dar solución mediante un software a diferentes ejemplos y a los problemas de contexto vistos en la etapa de motivación. Relacionar la solución gráfica con la algebraica, anal´ıtica o numérica. Exponer trabajo y generar discusión. Establecer la conjetura grupal a partir de los casos particulares, buscando generalización.

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V. TRABAJO INDEPENDIENTE Las fases de validaci´on e institucionalizaci´on requieren de otro sistema de tareas individuales extra clase.

VI. CONCLUSIONES Deben ser individuales y discutidas en asamblea.

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HOJA DE TRABAJO 13 4.2.

H.T. 13. C´ alculo de derivadas

I. OBJETIVOS Derivar funciones algebraica y trascendentes. Aplicar la regla de la cadena. Derivar funciones trigonométricas inversas y funciones impl´ıcitas. Aplicar la derivación logar´ıtmica o de Bernoulli. Calcular las derivadas sucesivas de una función. Definir función hiperbólica y obtener sus derivadas. Interpretar y aplicar el teorema del valor medio y el teorema de Rolle. ´ II. PROBLEMA DETONANTE DE LA MOTIVACION Hallar un problema que produzca este efecto es la parte mas dif´ıcil pues hay que considerar los intereses, capacidades y desarrollo de habilidades de los estudiantes. Además de tener en cuenta el plan de estudios, objetivos de la asignatura, contexto, las caracter´ısticas el objeto de estudio, condiciones en que se desarrolla el proceso de ense˜ nanza aprendizaje y las preconcepciones erróneas que puedan tener los estudiantes. Los problemas fueron vistos en la Hoja de Trabajo anterior. ´ PREVIA: III. PREPARACION 1) Selecci´ on del material y observar Buscar las reglas de derivación de funciones algebraicas y trascendentes. Buscar la regla de la cadena. Buscar la regla de derivación de funciones inversas. Buscar la regla de derivación de funciones impl´ıcitas. Buscar la definición de funciones hiperbólicas. Buscar las propiedades de los logaritmos. Buscar en los libros las principales reglas de derivación y las propiedades de las derivadas. Hacer su propia tabla de derivación.

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2) Identificar, interpretar y analizar Los estudiantes no saben realizar estas acciones, se necesita planear una serie de preguntas y tareas que lo lleven a realizarlas en forma eficiente. Poco a poco deben aprender la forma de hacerlo sin ayuda. Al planear el sistema de tareas se debe interactuar con diferentes representaciones semi´oticas y mentales, buscando identificar caracter´ısticas esenciales y sistema de condiciones necesaria y suficientes. La tecnolog´ıa computacional y hojas de trabajo brindan gran ayuda para alcanzar esos objetivos. Antes de derivar, identificar la diferencia en los siguientes ejercicios respecto de: (x)2 = (x)(x). a) Completar: (senx)2 cos4 x senx2 cos(2x + 3)2 cos2 (2x + 3) sen3 (x2 + 3x) (cos3 x2 )3

= = = = = = =

sen2 x = cos4 x (cos x)2 (cos x)2 = sen(xx) cos(4x2 + . . .)

sen5 (x2 + 3x) 3 = (tan2 x3 )4 = b) Identificar en cada uno de los ejercicios del inciso a) la función externa, cada una de las intermedias y la función interna. ejemplo : f (x) = sec4 (2x3 + 2)3 función externa : potencia de la función trigonométrica (cuarta) función siguiente : secante del ángulo función siguiente : potencia del ángulo (c´ ubica) 3 función siguiente : ańgulo (2x + 2) c) Derivar utilizando la regla de la cadena los ejercicios anteriores. Funciones impl´ıcitas, tratadas mediante funciones compuestas. Para las funciones que están dadas en forma impl´ıcita se tiene una fórmula sencilla para calcular las derivadas. Sin necesidad de aprenderse la fórmula, se puede derivar considerando que una de las variables es función de la otra, por ejemplo, y es dy función de x en este caso se halla dx , Cada vez que aparezca y se utiliza la regla de la cadena, dado que es una función de x aunque no aparece expl´ıcitamente su forma.

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a) Identifique los productos, cocientes, potencias y funciones cuyo argumento dependa de y. Exprese el orden en que debe ser derivado cada caso. i) ii) iii) iv) v) vi) vii)

x2 + y 3 − 4 = 0 y 6 − xy − x3 = 0 y − x − 14 sen(y) = 0 ln(y) + x4 y − x2 = 0 x cos(y) + sen(x) = 0 xy 5 + csc(y) − tan(x) = 0 cot2 (xy)+xey y3

b) Aplique estas ideas para derivar los ejercicios del inciso a). Función exponencial compuesta. Sea y = [f (x)]g(x) . Considerando que v = f (x) y w = g(x) y aplicando logaritmo en ambos miembros se tiene que ln(y) = ln(v w ). Entonces el tratamiento de la derivada de una función elevada a otra función, se hace muy simple considerando la propiedad de logaritmo neperiano ln(v w ) = wln(v) y la regla de la cadena. Al sustituir después de aplicar logaritmo se obtiene ln(y) = g(x) ln(f (x)). a) Aplicar la propiedad del logaritmo en cada uno de los ejercicios siguientes: i) ii) iii) iv)

y y y y

= [sen(x)]x = [cot(x)]ln(x) = [x3 ]cos(x) = [ex ]sen(x)

b) Calcular la derivada

dy dx

en cada uno de los ejercicios del inciso a).

El aplicar propiedades de logaritmo simplifica extraordinariamente los c´alculos cuando se tienen expresiones donde aparecen productos y cocientes de funciones compuestas. a) Aplicar propiedades de logaritmo en cada uno de los ejercicios siguientes. p i) y = (x + 1)2 (x − 1) ii) y = (x + 4)3 ex √ (x+1)2 (x−1) iii) y = (x+4)3 ex 1 5 2 3 iv) y = sen (x + 3x) (5x4 + 3x2 )

b) Derivar los ejercicios del inciso a)

Hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas a partir de la fórmula de la derivada de la función inversa. A partir de la definición de las funciones hiperbólicas calcular sus derivadas.

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a) Senh(x) = 12 (ex − e−x )

b) cosh(x) = 12 (ex − e−x ) c) tanh(x) = ¿?

d) coth(x) = ¿? 3) Problemas de contexto La b´ usqueda de problemas heterogéneos, lleva a tomar conciencia de los eslabones de la actividad, ayuda a establecer conjeturas y a generalizar. Cuando se ejercita el cálculo de derivadas no es necesario utilizar los problemas de contexto porque además desv´ıa la atención en dos direcciones diferentes. Modelaje y habilidad de cálculo. 4) Sintetizar ideas principales

5) Establecer conjetura A partir de todas las acciones realizadas sobre el objeto de estudio y una vez sintetizada las ideas principales, cada estudiante debe de realizar sus propias consideraciones y emitir un juicio. ´ IV. ACCIONES EN EL AULA Y CENTRO DE COMPUTO Asignar a cada equipo una serie de ejercicios y problemas de un tipo en particular. Dar solución mediante un software a diferentes ejemplos y a los problemas de contexto vistos en la etapa de motivación. Relacionar la solución gráfica con la algebraica, anal´ıtica o numérica. Exponer trabajo y generar discusión.

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Establecer la conjetura grupal a partir de los casos particulares, buscando generalización. ACCIONES EN EL AULA a) Indicar el orden en el cual se debe efectuar la derivación de la función 1) f (x) = 4(x2 + senx3 ),

2) f (x) = 4 + (2x sec x3 )2

4) f (x) = x(x2 + csc x3 )

3) f (x) = 4(x2 − sen3 x) 3 ,

6) f (x) = ln(tan5 (x2 + 3x))

5) f (x) = 2 ln(cos 3x), 7) f (x) = ln x cot 2x3 + 1, 8) f (x) =

8) f (x) = ln(x cos(2x3 + 1))

ln(x3 + 2x) − sen3 x2 , (xx + x + 3)4

10) f (x) =

(x + csc(x2 + senx3))3 sen4 x + 3x

V. TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE Las fases de validación e institucionalización requieren de otro sistema de tareas individuales extra clase. VI. CONCLUSIONES Deben ser individuales y discutidas en asamblea. Utilizar la notación de derivadas para funciones compuestas para indicar el orden de la derivación en cada caso, y posteriormente efectuar la derivación indicada. a) En cuáles casos se dificultaba mas el cálculo de las derivadas. b) ¿Por qué? c) ¿Cuándo se requiere derivar primero como potencia y por qué? d) ¿Cuándo se necesita derivar primero una función trigonométrica, exponencial o logar´ıtmica y por qué? e) Existe alg´ un caso que no se pueda realizar con las formulas de derivación buscadas, por qué? f) En qué casos se necesita utilizar una derivación a un cociente primero, porque?

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Cap´ıtulo 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA HOJA DE TRABAJO 14 5.1.

H.T. 14. Aplicaciones de la derivada

I. OBJETIVOS Es necesario plantear los objetivos que se pretende debe alcanzar el estudiante. Estos var´ıan de acuerdo al nivel de partida y nivel a alcanzar. Definir y hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a una curva. Definir los intervalos en los que la funcin es creciente y decreciente. Explicar y utilizar los criterios de la primera y segunda derivada para determinar los máximos y mnimos de una funcin. Definir y hallar los intervalos de concavidad y convexidad de una funcin. Explicar el concepto de punto de inflexión y utilizar los criterios necesario y suficiente para hallarlos. Resolver problemas de optimizacin y cinemtica. ´ II. PROBLEMA DETONANTE DE LA MOTIVACION Hallar un problema que produzca este efecto es la parte más dif´ıcil pues hay que considerar los intereses, capacidades y desarrollo de habilidades de los estudiantes. Además de tener en cuenta el plan de estudios, objetivos de la asignatura, contexto, las caracter´ısticas el objeto de estudio, condiciones en que se desarrolla el proceso

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de ense˜ nanza aprendizaje y las preconcepciones erróneas que puedan tener los estudiantes. De acuerdo al desarrollo los ejemplos discutidos en las sesiones anteriores pueden aplicarse en este tema, explorando las caracter´ısticas del funcionamiento, los ejemplos de cabri tienen la particularidad de ser dinámicos y visualizar sus cambios. Esta aplicación visual, permite graficar por incrementos las graficas de la función primitiva, la primera derivada y su segunda derivada al mismo tiempo, los coeficientes de la función primitiva pueden variarse con los c´ırculos azules, con un intervalo más o menos adecuado. Al cambiar las funciones primitivas, el estudiante puede observar los signos de las primeras y segundas derivadas y llegar a establecer conjeturas sobre el crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad de la función a partir del signo de la primera y segunda derivada.

Un ejercicio interesante aplicado a funciones y derivadas es la graficaci´on: de rectas tangentes y secantes, m´aximos y m´ınimos.

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Dominio Observar la pendiente de la tangente en los puntos de máximos y m´ınimos Observar los Intervalos donde la pendiente de la tangente es positiva y negativa. Relacionar el signo de la pendiente con el crecimiento y decrecimiento de la función. Establecer criterios . ´ PREVIA: III. PREPARACION Incluye un sistema de tareas donde se realicen las acciones que se indican a continuación y formen una base orientadora para realizar la actividad y la representación en el plano externo de un esquema de trabajo. 1) Selecci´ on del material y observar La orientación para estas acciones están encaminadas a buscar los antecedentes básicos para poder entender el nuevo objeto de estudio y establecer el v´ınculo de unión entre esos conocimientos y el que va a formarse

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2) Identificar, interpretar y analizar Los estudiantes no saben realizar estas acciones, se necesita planear una serie de preguntas y tareas que lo lleven a realizarlas en forma eficiente. Poco a poco deben aprender la forma de hacerlo sin ayuda. Al planear el sistema de tareas se debe interactuar con diferentes representaciones semióticas y mentales, buscando identificar caracter´ısticas esenciales y sistema de condiciones necesarias y suficientes. La tecnolog´ıa computacional y hojas de trabajo brindan gran ayuda para alcanzar esos objetivos. ¿Para qué valores de la variable independiente x, son paralelas las rectas tangentes a las curvas y = x2 ; y = (x − 2)3 ? Determinar el método de trabajo a seguir y escribirlo en forma de pasos, justificar cada paso. x , x 6= − 12 . Determinar la ecuación de la recta Dada la función g(x(= 1+2x tangente y la recta normal a la curva en el punto 14 , − 12 .

Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la curva x3 + y 3 = 6xy en el punto (3; 3).

Dada la ecuación y 2 = 5x4 − x2 . Encuentra una ecuación de la recta tangente a esta curva, en el punto (1; 2). Sea f (x) = x2 + ax + b para todo x real. Hallar valores de a y btales que la recta y = 2x sea tangente al gráfico de f en el punto (2, 4). Determinar los pasos necesarios para lograrlo. Un fabricante produce rollos de tela con un ancho fijo. El costo de producir x metros de esta tela es C = f (x) pesos. • Responder si está de acuerdo o no con la siguiente afirmación: “La derivada f ′ (x) es la razón instantánea de cambio de C con respecto a x; es decir, f (x) denota la razón de cambio del costo de producción con respecto al n´ umero de yardas.” • ¿Cuáles son las unidades de f ′ (x)? 192

• Responder si está de acuerdo o no con la siguiente afirmación: f ′ (1000) = 9 significa que, después de fabricar 1000 metros de tela, la razón a la cual aumenta el costo de producción es de 9 pesos/metros. (cuandox = 1000, C se incrementa 9 veces más rápido que x). El consumo de combustible (medido en galones por hora) de un automóvil que viaja a una velocidad de v millas por hora es c = g(v). a) ¿Cuál es el significado de la derivada g ′(v)? b) ¿Cuáles son las unidades de g ′ (v)? c) Escribir una oración que explique el significado de la ecuación: g ′ (20) = −0,05. Intervalos de Monoton´ıa 1. Observe el signo de las pendientes de las tangentes a la curva dada en cada uno de los 5 puntos que se muestran. Observe la relación existente entre el signo de las pendientes y el crecimiento o decrecimiento de las funciones. ¿A qué conjetura llega?

2. El gr´afico siguiente corresponde a la funci´on f (x) = xu − 3x4 − 5x3 + 15x2 + x − 12.

(A) Utilizar una graficadora para hallar las im´agenes siguientes:

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a) b) c) d)

f (0) = f (0,5) = f (1,3) = Observa que 0,2 < 0,5 < 1,3. Ordenar las im´agenes de los incisos a), b) y c) en orden creciente

e) ¿Se corresponde el orden de las imágenes con el orden de sus abscisas? Como el gráfico de f en el intervalo [−0,13, 1,5], cuando sus abscisas aumentan también lo hacen sus imágenes, decimos que la función es en ese intervalo. f) Observar el gráfico de f en el intervalo [−2, −1,6] ¿Es creciente la función f en este intervalo? Justificar con el valor de las imágenes y con el signo de la derivada. ¿En qué otro intervalo se cumplen las mismas condiciones? (B) Utilizar una graficadora para hallar las imágenes siguientes a) f (−1,5) = b) f (−1,2) = c) f (−0,5) = . Observar que −1,5 < −1,2 < −0,5. d) Ordenar las imágenes de los incisos a), b) y c) en orden creciente: e) ¿Se corresponden el orden de las imágenes con el orden de sus abscisas? SI NO . Como el gráfico de f en el intervalo [−1,6, −0,13], cuando sus abscisas aumentan sus imágenes disminuyen (cambian la en ese intervalo. relación), se puede decir que la función es f) Observar el gráfico de f en el intervalo [1,5, 2,6] ¿Es decreciente la función f en este intervalo? SI NO . 3. Consideremos el gráfico de la función f (x) siguiente:

a) Entre A y B, y entre C y D, las rectas tangentes tienen pendientes positivas, por lo cual f ′ (x) > 0. El gr´afico de la funci´on en los intervalos DECRECIENTE . [a, b] y [c, d] es CRECIENTE

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b) Entre B y C, las rectas tangentes tienen pendientes negativas, por lo cual f ′ (x) < 0. El gr´afico de la funci´on en el intervalo [b, c] es CRECIENTE DECRECIENTE . En resumen: Si f ′ (x) > 0 en un intervalo, entonces f es

en ese intervalo.

Si f ′ (x) < 0 en un intervalo, entonces f es

en ese intervalo.

4. Se sabe que el gr´afico de la derivada f ′ de una funci´on f es como se muestra en la figura siguiente:

a) Indica los intervalos donde la funci´on derivada f ′ es positiva y donde es negativa. b) ¿Qu´e puedes decir de f en esos intervalos respecto a su monoton´ıa (creciente o decreciente)?.

c) Si se sabe que f (0) = 0, trace un gr´afico posible de f . 5. Dada la funci´on f (x) = determinar:

x3 3

+ x2 − 3x, x ∈ R. Utilizar una graficadora para

Intervalos donde f es creciente: Intervalos donde f es decreciente: 6. Dada la funci´on g(x) =

1 . (x2 −2x−5)4

Utilizar una graficadora para determinar:

La derivada de la funci´on,

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Intervalos donde g es creciente, Intervalos donde g es decreciente,

7. Se˜ nalar en el gráfico los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y se˜ nalar el signo de la derivada en dichos intervalos. Observar y expresar el valor de la derivada en los puntos donde la función alcanza un máximo o m´ınimo local. ¿Cómo es el signo de la primera derivada a la izquierda y a la derecha de esos puntos?

Extremos locales 1. Observa el gr´afico de la funci´on f (x) = x5 − 3x4 − 5x3 + 15x2 + 4x − 12, x ∈ R

a) ¿Existe un punto en el intervalo [−2, −1] donde la funci´on alcanza su imagen mayor (valor mayor)? SI NO b) ¿Existe un punto en el intervalo [1, 2] donde la funci´on alcanza su imagen mayor (valor mayor)? SI NO

196

En resumen: El valor de f (c) es un valor máximo local de f si, f (x) ≤ f (c) para todo x suficientemente próximo a c. c) ¿Existe un punto en el intervalo [−1, 1] donde la función alcanza su imagen menor (valor menor)? SI NO d) ¿Existe un punto en el intervalo [2, 3] donde la función alcanza su imagen menor (valor menor)? SI NO En resumen: El valor de f (c) es un valor m´ınimo local de f si, f (x) ≥ f (c) para todo x suficientemente próximo a c. Un extremo local es un valor de f que es máximo o m´ınimo local de f . 4

2. Use la calculadora para graficar la siguiente función g(x) = x4 − x3 − x2 . (es recomendable tomar xmax = 5, xmin = −5, ymax = 5 y ymin = −5). Seg´ un lo que observas en la pantalla: a) ¿Para los puntos cercanos a x = 2, la función tiene un valor m´ınimo? SI NO b) ¿Para los puntos cercanos a x = 0, la función tiene un valor máximo? SI NO c) ¿Para los puntos cercanos a x = -1, la función tiene un valor m´ınimo? SI NO Determina g ′ (x): d) Resuelve la ecuación g ′ (x) = 0. e) Atendiendo a la siguiente afirmación “Un punto cr´ıtico de una función f es un n´ umero c en el dominio de f tal que f ′ (c) = 0 o f ′ (c) no existe.” Diga si los valores de x encontrados en el inciso e) son puntos cr´ıticos de g. SI NO ¿Por qué? f) Determina en qué puntos la pendiente de la recta tangente al gráfico de 3 4 la función g(x) = x4 − x3 − x2 es paralela al eje x. (Recuerda que la pendiente de una recta paralela al eje x es cero)

197

g) De acuerdo a los resultados del inciso h estas de acuerdo con la siguiente afirmación, “Si f tiene un máximo o un m´ınimo local en c y si f ′ (c) existe, entonces f ′ (c) = 0.” SI NO 3. Considere la función f (x) = uación.

x3 3

+ x2 − 3x, x ∈ R, cuyo gr´afico se da a contin-

a) ¿Es la funci´on creciente en el intervalo (−∞, −3]? SI b) ¿Es la funci´on decreciente en el intervalo [−3, 1]? SI

NO NO

c) ¿Existe en x = −3 un valor de máximo local de la función? SI Determina el valor de máximo local, f (−3) = d) ¿Es la función creciente en el intervalo [1, +∞)? SI

e) ¿Existe en x = 1 un valor de m´ınimo local de la funci´on? SI Determina el valor de m´ınimo local, f (1) =

4. Considera ahora la función f (x) = x3 , x ∈ R. a) Encuentra los puntos cr´ıticos de f : b) Utiliza la calculadora y gráfica la función. ¿En x = 0, existe un extremo de la función? SI NO c) Seg´ un lo que observas en la pantalla, ¿cómo es la función en relación a su monoton´ıa, antes y después del punto x = 0? CRECIENTE DECRECIENTE d) ¿Puedes asegurar que si f ′ (c) = 0 entonces en x = c existe un extremo local? SI NO ¿Por qué? e) ¿Qué crees t´ u que hace falta, además de que f ′ (c) = 0 para que en c exista un extremo? 5. Dada la función f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 198

a) Usa la calculadora para determinar los puntos cr´ıticos de f , recuerda que debes resolver la ecuaci´on f ′ (x) = 0.

b) Usa la calculadora y factoriza f ′ (x), después utiliza la regla de los signos para determinar en qué intervalos f ′ (x) > 0 y en cuáles f ′ (x) < 0.

c) Indica los intervalos de monoton´ıa: Creciente sobre: Decreciente sobre: d) Indica en qué puntos la función tiene un m´ınimo local e) Indica en qué puntos la función tiene un máximo local f) Encuentra los valores (imágenes) de máximos locales y de m´ınimos locales. Utiliza la calculadora para hallar las imágenes de los puntos encontrados en d) y e) g) Representa gráficamente la función dada en la pantalla de la calculadora y comprueba si tus resultados se corresponden con lo que estas observando. h) ¿Estás de acuerdo que para determinar los extremos locales de una función se puede proceder de la siguiente manera? (Lee con detenimiento el recuadro siguiente antes de contestar). Criterio de la primera derivada a) Se encuentran los puntos cr´ıticos de la función. b) Se determina el signo de la derivada (tipo de monoton´ıa) antes y después de cada punto cr´ıtico. c) Si la derivada antes del punto cr´ıtico es positiva (la función crece) y después es negativa (la función decrece), entonces en el punto cr´ıtico hay un máximo de la función. Si la derivada antes del punto cr´ıtico es negativa (la función decrece) y después es positiva (la función crece), entonces en el punto cr´ıtico hay un m´ınimo de la función. 6. Identifica cuál de los dos gráficos corresponde a una función f para la cual f (0) = 0, f ′ (0) = 3, f ′ (1) = 0 y f ′ (2) = −1 199

7. Determina los extremos locales (máximos y m´ınimos locales) de la función siguiente. f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 15, x ∈ R. a) Sigue los pasos del recuadro anterior. b) Utiliza la compuladora para graficar la función. c) Compara los resultados obtenidos con lo que observas en la pantalla y expresa si se corresponden tus resultados con el gráfico de la función En caso de que no exista correspondencia revisa de nuevo el procedimiento y tus cálculos. Extremos absolutos 1. A continuación se presentan los gráficos de las funciones f (x), g(x) y h(x) definidas cada una para todas las x del intervalo cerrado [a, b] (a ≤ x ≤ b)

a) Indica cuáles son las abscisas de los extremos locales (máximos y m´ınimos locales) de cada una de ellas. De f : . De g: . De h: . Observación: En los puntos extremos del intervalo no puede haber extremos locales)

200

b) Indica las abscisas de los puntos del intervalo [a, b], donde cada función alcanza su mayor valor (mayor imagen). De f : . De g: . De h: . El valor mayor de una función se denomina m´ aximo absoluto y al menor valor m´ınimo absoluto, cuando nos referimos a los dos decimos extremos absolutos. c) Observa los gráficos anteriores y responde si estas de acuerdo con la siguiente conclusión: “Los puntos de máximos absolutos o m´ınimos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado se alcanzan en el interior del intervalo o en los extremos del intervalo. 2. Considera el gráfico de la función f (x) definido en el intervalo cerrado a, b], siguiente.

a) Indica las abscisas de los puntos donde existe el valor de máximo absoluto de la función f (x). ¿Cuántos puntos hay? b) Indica el valor máximo de la función f (x). máximos hay?

¿Cu´antos valores de

c) Indica la abscisa del punto donde existe el valor de m´ınimo absoluto de la función f (x). ¿Cuántos puntos hay? d) Responde si estas de acuerdo con la siguiente afirmación: Los extremos absolutos (máximos o m´ınimos absolutos) de una función continua en un intervalo cerrado, pueden existir muchos, pero valores (las imágenes) de extremos absolutos, solamente hay uno (uno de máximo y uno de m´ınimo) 3. Usa la calculadora para encontrar el gráfico de la función f (x) = x1 , x 6= 0. seg´ un lo que observas en la pantalla, responde: a) ¿La función es siempre decreciente? SI

201

b) ¿Tiene extremos locales la funci´on f (x)? SI

c) ¿Tiene extremos absolutos la funci´on f (x? SI

. .

4. Considera los gr´aficos de f (x) y de g(x) definidas en el intervalo [0, 2].

a) Determine por el gr´afico el m´ınimo absoluto de f : b) ¿Toma la funci´on f el valor 3? SI

c) ¿Tiene un valor de m´aximo absoluto la funci´on f ? SI

d) ¿Tiene un valor de m´aximo absoluto la funci´on g? SI

e) ¿Tiene un valor de m´ınimo absoluto la funci´on g? SI

f) ¿Son las funciones f y g continuas? SI NO . Cuando la funci´on no es continua no se garantiza la existencia de los valores de extremos absolutos. 5. Utiliza la computadora para encontrar el m´ınimo absoluto de la funci´on f (x) = 3x4 − 16x3 + 18x2 , x ∈ R. a) ¿Que observas en la pantalla:

b) El gráfico de esta función es el que aparece a continuación, se corresponde el valor que encontraste en la computadora con lo que observas en el gráfico SI NO .

Si la respuesta no coincide con x = 3, debes haber cometido un error.

202

c) ¿Tiene m´aximo absoluto la funci´on cuando x ∈ R? SI

d) ¿Es f (0) = 0 un m´ınimo local de la funci´on? SI

e) ¿Es f (3) = −27 un m´ınimo local de la funci´on? SI

f) Entre los dos m´ınimos locales f (0) = 0 y f (3) = −27, ¿cu´al es el menor? .

g) ¿Es f (1) = 5 un m´aximo local de la funci´on? SI

h) Si consideramos la función definida en el intervalo [−2; 4,8]. ¿Es f (−2) = 248 un máximo absoluto de la función? SI NO . f (−2) = −248, es un máximo absoluto por ser el mayor valor que toma la función en el intervalo −2 ≤ x ≤ 4,8. Este máximo absoluto no es un máximo local porque se presenta en un extremo. i) Observe el gráfico y diga cuál es la imagen del punto de abscisa x = 4,8: . 3) Problemas de contexto La b´ usqueda de problemas heterogéneos, lleva a tomar conciencia de los eslabones de la actividad, ayuda a establecer conjeturas y a generalizar. 4) Sintetizar ideas principales Casi siempre los estudiantes tienen dificultad en identificar las ideas principales, por lo cual se necesitan algunas preguntas que lo ayuden a sintetizar. 5) Establecer conjetura A partir de todas las acciones realizadas sobre el objeto de estudio y una vez sintetizada las ideas principales, cada estudiante debe de realizar sus propias consideraciones y emitir un juicio. ´ IV. ACCIONES EN EL AULA Y CENTRO DE COMPUTO Integrar al grupo en equipos. Asignar a cada equipo una serie de ejercicios y problemas de un tipo en particular. Dar solución mediante un software a diferentes ejemplos y a los problemas de contexto vistos en la etapa de motivación. Relacionar la solución gráfica con la algebraica, anal´ıtica o numérica.

203

Exponer trabajo y generar discusión. Establecer la conjetura grupal a partir de los casos particulares, buscando generalización. V. TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE Las fases de validación e institucionalización requieren de otro sistema de tareas individuales extra clase. Explorar los ejercicios sugeridos de cabry -winplot para sugerir aplicaciones. En los siguientes ejercicios y/o problemas se˜ nale las habilidades que se pueden formar, indique las orientaciones adecuadas para el estudiante. Exprese un método de trabajo para estimar los valores siguientes. Use una aproximaci´ a las curvas,: √ √on lineal gráfica, utilizando rectas tangentes y secantes 20,1 ; 20,4 ; 0,99; tan(32◦ ); sen(43◦ ) ; 30,005 ; ln 0,5; ln 1,3; 1,01. En la tabla se da la producción en una fábrica de un equipo. Los datos de los a˜ nos 2004 y 2005 se perdieron por errores de manejo de la información. Con una aproximación lineal estime la producción en los a˜ nos 2004 y 2005. t S(t)

1999 2000 2001 2002 2003 28 29 28 27.5 30

En la figura se muestra la gráfica de la producción de una empresa durante el a˜ no, utilice una aproximación lineal para predecir la producción después de 14 y 16 meses, ¿cuál de los pronósticos considera mas exacto y por qué? Suponga que la u ´ nica información que se tiene de una función de producción es que f (1) = 5 y la gráfica de la derivada es como se muestra en la figura; i) Use una aproximación lineal para estimar f (0,9); f (1,1) ; ii)¿Sus estimaciones son grandes o peque˜ nas? Explique lo que esto indica.

El jugo de fruta fluye a una raz´on constante hacia un tanque esf´erico. Sea V (t) el volumen del jugo en el tanque y H(t) la altura del jugo en el mismo

204

tanque en el instante t. i) ¿Qué significan V ′ (t) y H ′ (t)? ¿Estas derivadas son positivas, negativas o cero?; ii)¿V ′′ (t) es positiva, negativa o cero? Explique; iii) Sean t1 , t2 , t3 los instantes en que el tanque está lleno hasta la cuarta parte, hasta la mitad y hasta sus tres cuartas partes respectivamente. ¿Los valores de H ′′ (t1 ), H ′′ (t2 ), H ′′ (t3 ) son positivos, negativos o cero? Explique. Un automóvil viaja durante la noche por una carretera en forma de parábola, con su vértice en el origen. El auto parte de un punto 100 m al norte del origen y viaja en dirección este. Hay una estatua ubicada 100 m al este y 50 m al norte del origen ¿ En cuál punto de la carretera los faros del automóvil la iluminarán? La unidad de destello (flash) de una cámara opera por el almacenamiento de carga de un capacitor y su liberación repentina al disparar la unidad. Los datos que se dan en la tabla describen la carga Q que permanece en el capacitor (medida en microcoulombs) en el tiempo t (medido en segundos). Use los datos para dibujar la gráfica de esta función y estime la pendiente de la recta tangente en el punto donde t = 0,04 [ La pendiente de la recta tangente representa la corriente eléctrica que fluye del capacitor al bulbo del flash (medida en microamperes)]. Sugerencia: Forme una nueva tabla con puntos y halle las pendientes de las rectas de pares de puntos, utilice calculadora y graficador. Explique su estrategia. ¿Considera que se debe de dar la sugerencia?, ¿La dar´ıa en otra forma o considera que esta es adecuada? Justifique su respuesta en base a la teor´ıa de los ep´ıgrafes 1 y 2. t 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

Q 100,00 81,87 67,03 54,88 44,93 36,76

Los datos experimentales de la tabla definen a “y” como funci´on de x. x 0 1 2 y 2.6 2.0 1.1

3 4 5 1.3 2.1 3.5

a) Si P es el punto (3, 1,3), encuentre las pendientes de las rectas secantes P Q, cuando Q es el punto de la gr´afica con x = 0, 1, 2, 4 y 5 b) Estime la pendiente de la recta tangente en P hallando el promedio de las pendientes de dos rectas secantes.

205

c) Use una gráfica de la función para estimar la pendiente de la recta tangente en P . Se usa un monitor card´ıaco para medir la frecuencia cardiaca de un paciente después de cirug´ıa. El aparato recopila el n´ umero de latidos card´ıacos después de t minutos. Cuando se sit´ uan los datos de la tabla en una gráfica, la pendiente de la recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos por minuto. T (min) latidos

36 38 40 42 44 2530 2661 2806 2948 3080

El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Use los datos para estimar la frecuencia cardiaca del paciente, despu´es de 42 min. Usando la recta secante entre a) t = 36 y t = 42; t = 44.

b) t = 38 y t = 42;

c) t = 40 y t = 42;

d) t = 42 y

Exprese sus conclusiones desde el punto de vista matemático y desde el punto de vista de interpretación de la realidad para cualquier problema. √ √ El punto P (4, 2) está sobre la curva x; a) Si Q es el punto (x, x), use su calculadora con el fin de hallar la pendiente de la recta secante P Q. El punto P (1, 0) está sobre la curva y = sen 10 πx .

a) Si Q es el punto x, sen 10 πx , encuentre la pendiente de la recta secante P Q (correcta hasta cuatro cifras decimales) para x = 2; 1.5; 1.4; 1.3; 1.2; 1.1; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8;0.9 ¿Parece que las pendientes tienden a un l´ımite? Explique y justifique conceptualmente su respuesta.

b) Use una gráfica de la curva para explicar por qué las pendientes de las rectas secantes del inciso a) no están cercanas a la pendiente de la recta tangente en P . c) Mediante la selección de las rectas secantes apropiadas estime la pendiente de la recta tangente en P . d) Halle la pendiente de la recta tangente en P y exprese en que casos se halla la pendiente de la recta y en que casos se estima. Justifique. Halle la ecuación de la recta tangente en P y la ecuación de la recta normal en P. A partir de la gráfica de la función, responda a las preguntas y justifique sus respuestas haciendo uso de la teor´ıa matemática necesaria. La gráfica muestra la función de producción de una fábrica respecto al tiempo. ¿Cómo cambia la razón de aumento de la producción respecto al tiempo?, ¿Cuándo es mas

206

alta esa razón?, ¿En qué intervalos se tiene una aceleración de la producción positiva y en qué intervalo de tiempo es negativa? Trace una gráfica posible de una función que satisface las siguientes condiciones: i) f ′ (x) > 0 en (−∞, 1), f ′ (x) < 0 en (1, ∞);

ii) f ′′ (x) > 0 en (−∞, −2) y (2, ∞), f ′′ (x) < 0 en (−2, 2); iii)

l´ım f (x) = −2, l´ım f (x) = 0.

x→−∞

x→+∞

Se vierte l´ıquido en un evaporador a una razón constante (medida en volumen por unidad de tiempo). Trace una gráfica aproximada del espacio ocupado por el l´ıquido como función del tiempo. Explique la forma de la gráfica en términos de la concavidad. ¿Cuál es el significado del punto de inflexión? Sea k(t) la medida de la información que usted almacena en su computadora en t horas al hacer su informe de trabajo para una asignatura. ¿Cuál piensa que es mayor k(8)−k(7) o´ k(3)−k(2)? ¿La gráfica de k es cóncava hacia arriba o hacia abajo? Justifique de acuerdo a la situación real y a sus conocimientos matemáticos. i) Grafique una función cuya primera y segunda derivada siempre sean negativas; ii) Grafique una función cuya primera derivada sea positiva y la segunda negativa; iii) Grafique una función cuya primera y segunda derivadas sean positivas; item[iv)] Grafique una función cuya primera derivada sea negativa y la segunda sea positiva. La tabla siguiente ofrece la acidez de un l´ıquido a lo largo del tiempo i) Describa cómo var´ıa la razón de cambio de la acidez; ii) Estime los puntos de inflexión de la gráfica. ¿Cuál es el significado de esos puntos? t 1 2 P h(t) 0.1 0.6

3 4 5 6 2.5 4.6 4.8 3.5 207

7 3.0

En la figura se muestra la gráfica de la función velocidad de un automóvil. Trace la gráfica de la función de posición Interprete el movimiento del automóvil

Una part´ıcula se mueve a lo largo de una recta horizontal. La gráfica de su función de posición (la distancia a la derecha de un punto fijo como función del tiempo) aparece a continuación. i) ¿Cuando se mueve la part´ıcula hacia la derecha y cuándo se desplaza hacia la izquierda?; ii)¿Cuándo tiene aceleración positiva y cuándo negativa?

A partir de la gráfica de la función se˜ nale los intervalos donde la derivada es positiva, negativa, nula y donde la función no es derivable. Indique el significado real de ese comportamiento considerando que la gráfica corresponde a i) una función de producción, ii) el desplazamiento de un móvil, iii) la temperatura de un objeto, iv) el ph de un l´ıquido.

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VI. CONCLUSIONES Deben ser individuales y discutidas en asamblea.

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Primera EdiciÂ´on: 13 de Septiembre del 2013 con un tiraje de 250 ejemplares

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