´ CALCULO INTEGRAL Desarrollo de habilidades del pensamiento matem´ atico
Dra. Josefina de las Mercedes Cribeiro D´ıaz Dr. Humberto Madrid de la Vega ´ s Morleth Mota M.C. Cinthya de Jesu M.C. Oziel Arellano Arzola
Diseño de portada: Alejandro Madrid Morelos
Universidad Autónoma de Coahuila Boulevard Venustiano Carranza Colonia República, C.P. 25280 Saltillo, Coahuila
ISBN: 978-607-506-144-3
Impreso en México
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Presentación Una preocupación central del personal del C.I.M.A. en estos años, ha sido la de investigar el “Problema General de la Enseñanza de las Matemáticas”; y producir materiales basados en un nuevo método fundamentado en el Constructivismo, para dejar atrás el método tradicional que es fuente de muchos males en el proceso educativo. Hoy, la tecnología, en particular la computadora y las Hojas de Trabajo hacen posible este cambio; sin embargo se requieren crear las condiciones materiales, de capacitación de profesores e institucionales para impulsar la superación de las viejas dolencias en el área de la matemática educativa. Estos libros al incluir el uso de la computadora para el proceso de enseñanza aprendizaje, están cambiando radicalmente el modelo tradicional de enseñanza de las matemáticas. Si antes el principal actor era el profesor que exponía verbalmente y en el pizarrón un concepto, los métodos o algún tema para que el alumno lo memorizara, con el uso de la tecnología el alumno conduce sus propias acciones para aprehender el contenido, guiados por lo que el profesor diseñó para cumplir los objetivos. El estudiante ya no está pasivo, tratando de memorizar lo que el profesor verbaliza en un lenguaje abstracto, ahora el propio alumno se enfrenta al problema que plantea la Hoja de Trabajo, ejecuta las acciones necesarias, explora, visualiza y en definitiva piensa soluciones y las calcula para obtener resultados, ejecutando los procesos lógicos del raciocinio lo que fortalece su pensamiento matemático. Este es el camino para eliminar los fantasmas y los mitos sobre la disciplina, así como lograr más y mejores metas en la educación matemática. La Doctora Josefina de las Mercedes Cribeiro Díaz encabezando un equipo de trabajo del C.I.M.A., con su larga experiencia académica y su amplio esfuerzo, como resultado de un proyecto de investigación apoyado por FOMIX-COECYT aporta suficientes Hojas de Trabajo para el aprendizaje de cálculo diferencial, integral y multivariable en un paquete de tres libros dedicados a los alumnos de matemáticas aplicadas, ingeniería y áreas afines. Por eso sus contenidos fueron ajustados y probados en sesiones experimentales con estudiantes de la Facultad de Sistemas de la U.A. de C.. También forman parte de una serie de libros para maestros y alumnos, publicados con anterioridad. Con ello el CIMA aporta a la comunidad un valioso instrumento para que sumado a otros esfuerzos, se contribuya a mejorar sustancialmente la matemática educativa en nuestra institución y en la región. El éxito depende mucho del impulso a un programa para que los profesores hagan suyo el método constructivista basado en la tecnología, con base en los materiales que estos libros pone a su disposición.
Francisco Javier Cepeda Flores
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ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 5 I. Diferencial .................................................................................................................................... 8 Hoja de trabajo 1. Diferencial ..................................................................................................... 9 II. Integral Indefinida ..................................................................................................................... 28 Hoja de trabajo 2. Integral indefinida ....................................................................................... 29 Hoja de trabajo 3. Método de integración por partes .............................................................. 40 Hoja de trabajo 4. Método de integración por sustitución trigonométrica ............................. 45 Hoja de trabajo 5. Método de integración con funciones trigonométricas.............................. 52 Hoja de trabajo 6. Método de integración con fracciones racionales ...................................... 59 III. Integral Definida ....................................................................................................................... 64 Hoja de trabajo 7. Integral definida. Propiedades ................................................................... 65 Hoja de trabajo 8. integral definida. Teoremas. ...................................................................... 77 Hoja de trabajo 9. Cambio de variables en la integral definida. ............................................... 88 IV. Integral Impropia ..................................................................................................................... 93 Hoja de trabajo 10. Integral impropia ....................................................................................... 94 V. Aplicaciones de la integral ...................................................................................................... 103 Hoja de trabajo 11. Aplicaciones. Área y volúmen................................................................. 104 Hoja de trabajo 12. Otras aplicaciones ................................................................................... 112 Bibliografía .................................................................................................................................. 121
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INTRODUCCIÓN Como resultado de años de investigación en diferentes instituciones de Educación Superior a fin de determinar la forma en que los estudiantes enfrentan el aprendizaje de las matemáticas, sus hábitos de estudio y las dificultades que presentan con temas ya tratados en el nivel anterior, el colectivo de autores sacan a la luz tres libros vinculados con Cálculo Diferencial Cálculo, Integral y Cálculo Multivariables, con el objetivo de desarrollar habilidades del pensamiento matemático. Estos tres libros son resultado del proyecto financiado por FOMIX-CONACYT “Incidencia de las tecnologías de la información en el aprendizaje de las ciencias exactas para los programas de estudio de ingeniería relacionados con las tecnologías de la información” aplicado en la Facultad de Sistemas de la Universidad Autónoma de Coahuila. Se realizaron encuestas para determinar la forma de estudio y el desarrollo de capacidades de los estudiantes. Se estableció un diagnóstico de las características de los estudiantes, la forma de impartición de las clases y el sistema de evaluación utilizado. A partir del diagnóstico se diseñaron Hojas de Trabajo, las cuales se aplicaron a dos grupos de estudiantes de la Facultad de Sistemas de la U. A. de C. El diseño sigue la metodología de Cribeiro [6] bajo el marco teórico de la Teoría de la activación de Aprendizaje por etapas de Galperin [9] bajo el enfoque histórico cultural de Vigotski [22] en el marco teórico del constructivismo. En cada Hoja de Trabajo se establece un título, se declaran los objetivos y se transita por las diferentes etapas de construcción del conocimiento, por ello cada objeto de estudio comienza a tratarse a partir de los elementos básicos sobre los cuales se debe de anclar el nuevo conocimiento. Se construyen los conceptos a partir de preguntas y razonamientos geométricos, mediante exploraciones de las características del objeto matemático que se estudia, posteriormente se pide que expresen en lenguaje español y en lenguaje matemático las ideas, las comuniquen, discutan, sinteticen, concluyan, generalicen dichas ideas y se integre el nuevo conocimiento derivado de conocimientos anteriores. En todos los casos se busca que los estudiantes apliquen los conocimientos a situaciones nuevas. Dependiendo del tema, la longitud de cada Hoja de Trabajo varía entre diez a quince cuartillas, como promedio. Constan de seis partes: Conceptos a recordar, construcción del concepto, sintetizar ideas, ejercicios y problemas, trabajo independiente y conclusiones CONCEPTOS A RECORDAR. Esta parte debe ser trabajada en equipo, con el aporte de todos los miembros del equipo. Las Hojas de Trabajo comienzan tratando los elementos básicos que deben de servir de ancla a los nuevos conocimientos, a partir de los elementos básicos necesarios para la comprensión del concepto a tratar. Esta parte corresponde la base orientadora de la actividad, donde se busca orientarse en las acciones que se deben de realizar. CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO. Esta parte debe ser trabajada en elaboración conjunta profesor y estudiantes, en la forma tradicional de enseñanza es la parte en que el 5
profesor explica. En la fase de diseño, a partir de los conocimientos básicos, mediante preguntas y razonamientos geométricos se trabaja con las características del concepto que se desea construir, las propiedades del concepto o el método que se debe de proponer. Es una fase exploratoria, donde se trabaja con las diferentes representaciones y el paso de una a otra, la geométrica, la algebraica, la expresión en lenguaje español y en lenguaje matemático. En esta parte se busca desarrollar las capacidades de observar, identificar propiedades, interpretar enunciados, clasificar, analizar, expresar ideas en lenguaje español, expresar ideas en lenguaje matemático. Es una etapa de exploración donde se trabaja con apoyo material de libros, notas de clase, computadora y software adecuado, apoyo del docente y apoyo de los compañeros. SINTETIZAR IDEAS. Esta parte debe ser trabajada en equipo para exponer los resultados. Una vez construido el concepto, declaradas las propiedades o propuesto el método de trabajo, se pide que se haga un análisis del trabajo realizado, se inter relacionen los diferentes aspectos en las diversas representaciones y se sinteticen los resultados principales para aplicar los conocimientos a situaciones nuevas. En esta parte se tiene como objetivo desarrollar la capacidad de analizar, reflexionar y de sintetizar ideas. Se trabaja con apoyo material de libros, notas de clase, apoyo del docente y participación de los compañeros. EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Esta fase debe ser trabajada en equipo discutida y expuesta en el grupo. Se plantean ejercicios a resolver para reafirmar los conocimientos. En cada tema se presentan problemas para resolver. En esta parte se tiene como objetivo desarrollar la capacidad de resolver problemas. Se trabaja con apoyo material de libros, notas de clase, computadora y software adecuado, apoyo del docente y apoyo de los compañeros. El uso del lenguaje ayuda a hacer consciente el proceso y a la internalización del conocimiento para pasar de la etapa externa a la etapa interna. TRABAJO INDEPENDIENTE. En esta etapa los estudiantes deben de trabajar en forma independiente, solos en casa, respondiendo en forma reflexiva para contestar y entregar la Hoja de Trabajo. A partir de los diferentes casos particulares se busca que los estudiantes lleguen a la generalización y la abstracción. En esta etapa se tiene por objetivo la independencia total del alumnoy que el proceso pase a la etapa mental sin apoyo material. Se trata de desarrollar la capacidad de generalizar y abstraer. CONCLUSIONES. El final de cada Hoja de Trabajo es un resumen a modo de conclusiones, el cual sintetiza en forma breve todos los resultados obtenidos para recordar a fin de utilizarlo en el futuro. Debe ser elaborado en forma independiente por cada estudiante y discutida después en el grupo. Cada uno de los libros no pretende sustituir los libros de texto sino ser un complemento de los mismos que ayude a los estudiantes a construir el conocimiento pasando de visualizaciones geométricas y casos particulares a generalizar ideas y conceptos. Además 6
pasar de situaciones generales a aplicar en casos particulares, su objetivo es lograr conjuntamente con la adquisición de conocimientos, desarrollar en los estudiantes las capacidades de observar, identificar propiedades, clasificar, analizar, interpretar enunciados, expresar ideas en lenguaje natural, expresar ideas en lenguaje matemático, sintetizar, concluir, generalizar, integrar conocimientos, aplicar conocimientos en situaciones nuevas. Con ello formar y fortalecer el pensamiento matemático. Este libro consta de doce Hojas de Trabajo, la primera trabaja el concepto de diferencial porque es la base de la comprensión del concepto de integral. La segunda Hoja de Trabajo trata el proceso inverso de la diferenciación, la integral indefinida y las integrales inmediatas de funciones compuestas. Las Hojas de Trabajo tres, cuatro, cinco y seis trabajan los métodos básicos de integración: método de integración por partes, método por sustitución trigonométrica, métodos de funciones trigonométricas, método de integración con fracciones racionales. Estas cuatro Hojas de Trabajo tienen como objetivo el que los estudiantes busquen alternativas para hallar la familia de primitivas, haciendo modificaciones en la función integrando para lograr transformar la función en funciones que se integran de forma inmediata. Las Hojas de Trabajo siete, ocho y nueve trabajan el concepto de integral definida, su relación con la integral indefinida, teoremas básicos de integración definida y la afectación de los cambios de variable, en el intervalo de integración. La Hoja de Trabajo diez trata la integral impropia. Las Hojas de Trabajo once y doce tratan las aplicaciones de la integral definida. Por constituir una forma diferente de trabajo en el proceso de aprendizaje-enseñanza, donde lo fundamental es el individuo que aprende y las acciones que realiza para lograr el aprendizaje al mismo tiempo que madura su pensamiento, se necesita que cada estudiante sienta deseos de aprender y sea consciente de cada acción que ejecuta. Por esta razón se necesita de un trabajo institucional de apoyo para garantizar las horas de laboratorio necesarias, promocionar las ventajas del método y capacitar a los profesores en el contenido matemático, en el uso de software y en teorías de aprendizaje. Las Hojas son una guía para transitar por cada una de las etapas de aprendizaje, pero pueden ser desvirtuadas en caso de que los docentes las conviertan en explicaciones simplistas carentes del trabajo de los estudiantes para desarrollar sus capacidades.
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I. DIFERENCIAL
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HOJA DE TRABAJO 1. DIFERENCIAL VISUALIZACIÓN E IDENTIFICACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS ESENCIALES DEL CONCEPTO DE DIFERENCIAL DE FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
I. OBJETIVOS 1. Visualizar la posibilidad de determinar el incremento de una función en una cierta vecindad de un punto, mediante el uso de la tangente en esa vecindad del punto. 2. Identificar el concepto de aproximación lineal con el diferencial de una función real de variable real, por medio de tablas, gráficas y representaciones analíticas para dar solución a problemas que involucren dicho concepto. 3. Identificar las propiedades del concepto de diferencial para funciones de
una
variable mediante la visualización del comportamiento de la función en una cierta vecindad del punto. I.-CONOCIMIENTOS PREVIOS: CONCEPTOS A RECORDAR
Dada la siguiente función, observe su gráfica. f ( x) 0.1x 2 1.5x 2
Tomemos una recta secante (que corta a la curva en dos puntos), y une los puntos P y Q.
9
Ahora observa que podemos etiquetar las distintas partes de nuestro gráfico, y por medio de esto encontrar ciertas dimensiones (representadas por variables).
Llamémosle Δx a la diferencia x2-x1. Representa por medio de una expresión la pendiente de la recta que corta a los puntos P y Q.
II.- CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE DIFERENCIAL 10
Observa las siguientes figuras:
1
→
2
3
4
→
→
5
¿Qué pasa con la línea recta (según lo observado en la secuencia de figuras anteriores), si se mueve el punto Q sobre la curva acercándose cada vez más hacia el punto P?
11
A partir del análisis visual determina si es posible aproximar el incremento de la función por el incremento de una recta secante en el punto P. Explica tu razonamiento.
Identifica en cada caso, una vecindad donde sea válida la aproximación y justifica la validez
¿Cuál es la mejor aproximación? Explica tu criterio
¿Qué sucede con la diferencia
cuando Q se acerca a P?
¿Cuál es la expresión de la pendiente de la recta secante, llamémosle ms?
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Llamémosle mt a la pendiente de la recta tangente en el punto P. ¿Qué relación existe entre ms y mt cuando Q se acerca mucho a P?
¿Cuál es la relación entre pendiente de una recta tangente a una curva y la derivada de una función?
¿Cómo relacionas a la pendiente de la recta con el concepto de derivada?
¿Qué relación encuentras entre continuidad y derivabilidad?
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II.-
CONSTRUCCIÓN
DEL
CONCEPTO
DE
DIFERENCIAL.
Identificar,
interpretar y analizar a) Observa y analiza la siguiente figura: y
Q R
P M
x
0
La recta L es tangente a la función f en el punto P
b) Contesta las siguientes preguntas con respecto a la ilustración anterior. Expresa el incremento de la función en [
]
[
Explique con sus propias palabras qué representan
]
.
CONSTRUCCIÓN DE Construye una expresión algebraica para
utilizando los lados del triángulo rectángulo
formado por los puntos P,R y M.
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De la expresión para
que se obtuvo anteriormente, ¿cuál es el valor que representa la
pendiente de la recta L?
Observa nuevamente la gráfica inicial. En la expresión algebraica a la que llegaste en (4), substituye el valor al que es igual ̅̅̅̅̅
Si se sabe que el valor de determina el valor de
̅̅̅̅̅ respectivamente?
es infinitesimal. ¿Cómo quedaría la expresión que
?
CONSTRUCCIÓN DE Observa ahora el valor que representa
en la ilustración del inciso a).
Construye una expresión algebraica que determine el valor de
.
Conclusiones sobre la semejanza entre los valores de
cuando
Una vez que se tiene una expresión algebraica para representar los valores de
y se
sabe el significado que tienen en la grafica mostrada en la ilustración del inciso a). Responde lo siguiente: ¿Qué pasa con el valor de
cuando
(o sea se hace más pequeño)?
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¿Qué pasa con el valor de
cuando
(o sea se hace más pequeño)?
¿Qué pasa gráficamente entre la recta L y la curva que describe la función f a medida que ?
¿Qué relación existe entre la pendiente de la recta L y la derivada de la función f en el punto P?
Según lo anterior ¿A qué valor se aproxima ¿Qué puedes concluir del valor de
Cuando
?
en relación a
es aproximadamente igual
cuando
, al valor de
?
se designa por
y representa
el diferencial de la variable dependiente de una función f. ¿Cómo determinarías valores de para los cuales son aproximadamente iguales y otros en los que difieren mucho?
III. SINTETIZAR LAS IDEAS PRINCIPALES Utilizando los conocimientos que hasta ahora tienes del diferencial de una función. Expresa con palabras la forma de definir el concepto del diferencial de una función
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Expresa el diferencial de la variable dependiente de la función f.
Establece las condiciones para las cuales, una función es diferenciable en un punto y explica si el concepto solo involucra al punto, toma en cuenta una vecindad del punto, ó es un concepto global del dominio de la función.
IV.
ACCIONES EN EL AULA.SOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Utilizando el apoyo de un software que te permita visualizar compara el valor de relación al i)
ii)
Cuando
en
. Para diferentes puntos de las siguientes funciones y = x2
y = 2 sen (x)
los incrementos de la recta tangente y de la función se asemejan mucho.
A partir del uso del programa en las dos funciones y de lo observado por ti respecto a responde de acuerdo a tu análisis personal:
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Los valores de
para los que se pueden considerar que los incrementos de L y f son
prácticamente iguales, se debe a:
una decisión personal arbitraria
las características del crecimiento de la función
las características del problema que se esté considerando
todas las anteriores
otra razón que usted considere
1. Problemas
1.- Analiza si las propiedades que se cumplen para la derivada se cumplen para el diferencial. Justifica de acuerdo a los conceptos de derivada y diferencial
¿Toda función continua en un punto es derivable en el punto?
¿Toda función derivable en un punto es continua en el punto?
¿Derivable en un punto implica diferenciable en el punto?
¿Diferenciable en un punto implica derivable en el punto?
¿Se cumplen para diferenciales las operaciones que se cumplen para derivada?
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2.- Determinar la aproximación por medio de una recta tangente de
F ( x) 1 senx en el punto (0,1). Utilizar una tabla para comparar los valores lineal con los de F(x) en un intervalo que contenga a x=0. Observe la figura.
L(0) =
F(0)=
X0= 0
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y de la función
3.-Sea y=x2, determinar
y
cuando x = 1 y dx = 0.01.
i) ¿Consideras que para este valor Δx = 0.01 el incremento de la función y el incremento de la recta son casi iguales?
ii) Explica tu respuesta y señala cuál es la diferencia entre ambos
iii) Si en lugar de utilizar el incremento de la función, considero el incremento de la recta ¿qué error estoy introduciendo?
4.- Se encuentra que la medición del lado de un cuadrado es igual a 12 pulgadas, con un posible error de 1/64 de pulgada. Usar diferenciales para aproximar el posible error propagado en el cálculo del área del cuadrado.
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5.- Se mide el radio de una bola de un cojinete y se encuentra que es igual a 0.7 pulgadas, como se muestra en la siguiente figura. Si la medición no tiene un error mayor a 0.01 pulgadas, estimar el error propagado en el volumen V de la bola del cojinete.
V. TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE 6.- En algunos libros aparece como enunciado “Encuentre la diferencial de las siguientes funciones”. De acuerdo al enunciado pareciera que todas las funciones que se dan se pueden diferenciar en todos los puntos y además que el diferencial se puede utilizar en cualquier vecindad del punto.
¿coincide o difiere de la idea de que una función es
diferenciable en cualquier punto y que se puede hacer uso de la diferencial en cualquier vecindad del punto? Argumenta tus ideas. a) y x 2 b) y 2senx c) y d)
6 x2
x 1 2x 1
e) y x 1 x 2 f) y
sec 2 x x2 1
g) y 1 cos 6x 1 3
2
21
i) Señala puntos donde algunas de las funciones anteriores no es diferenciable y argumenta tu respuesta.
ii) Para cada uno de los incisos, señala valores de Δx para los cuales no tiene sentido aplicar el diferencial de la función.
Explica por qué motivo carece de sentido su
aplicación
Síntesis de las ideas principales Si graficas la función y
6 x2
determina si puedes hallar la recta tangente a la función en
el punto i) (1,1) ii) (0,0) iii) (1,6) iv) (0,3) Justifica en cada caso.
Señala en cual vecindad del punto se puede considerar que el valor del incremento de la función es similar al incremento de la recta tangente en el punto de tangencia. ¿Puedes considerar otra vecindad? Justifica.
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a) Para diferentes valores del incremento de x determine el error que se comete. b)
c) Si se acerca aún más al (1,6). ¿Qué sucede con los valores de
y
?
¿Qué representa la siguiente expresión?
dy f ' ( x)dx
Describir con palabras, mediante una representación geométrica y mediante una expresión matemática, la relación entre dy y Δy cuando Δx está disminuyendo.
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Con tus propias palabras define lo que es el diferencial de una función.
Hacer uso de los resultados, comentando en grupo sus conclusiones sobre el tema del diferencial, para llegar a conclusiones generales sobre el concepto de diferencial
Lee cuidadosamente y responde lo indicado. Si consideramos que
a) Determina
para los valores indicados de
.
TABLA (1)
Función
Y
x error
2
0.5
2
0.5
8
1
4
1
√
√
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b) Dibuja la gr谩fica de cada una de las funciones y los segmentos de recta indicados cuyas longitudes son
.
c) Para cada funci贸n de la tabla (2) calcula lo siguiente: a) b) c) TABLA (2) Funci贸n
Y
X
error
2
0.03
-1
0.02
-2
-0.1
3
-0.2
1
-0.5
-1
0.1
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Completa lo que falta en la tabla (3):
TABLA (3) Función
Y
X
error
2
0.03
2
0.02
3
-0.1
3
-0.2
1
-0.5
1
0.1
Para cada función de la tabla señala cuál fue el error al hallar el incremento de la función mediante el diferencial. Explica en cada caso si es aceptable y a que se debe el error.
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En base a las condiciones de diferenciabilidad de una función, determina los puntos donde las funciones siguientes son diferenciables y donde no lo son, calcula dy.
√
( )
√
VI. CONCLUSIONES
Señala bajo cuales condiciones, una función es diferenciable.
Expresa si el concepto de diferenciabilidad es un concepto puntual, local o global. Explica y argumenta. Señala ejemplos.
Explica el concepto de diferencial a partir de la idea geométrica y de aproximación de una función.
Escribe la definición de diferencial mediante expresiones matemáticas.
Enumera y explica las propiedades de la diferencial de una función.
Señala diferentes situaciones en las que se puede aplicar el concepto de diferencial.
Explica el significado matemático del error que se comete al hallar el diferencial de una función en lugar del incremento de la función
Explica el significado de la afectación real del error que se comete al hallar el diferencial de una función en lugar del incremento de la función.
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II. INTEGRAL INDEFINIDA
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HOJA DE TRABAJO 2. INTEGRAL INDEFINIDA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA
OBJETIVOS:
Establecer mediante situaciones reales los problemas inversos de diferenciación e integración.
Establecer el concepto de integral como proceso inverso de la diferenciación.
Establecer la diferencia entre el concepto de primitiva y el de integral indefinida.
I.- CONOCIMIENTOS PREVIOS: CONCEPTOS PARA RECORDAR i) Consulta en diferentes medios
Concepto de derivada Concepto de diferencial. Reglas de derivación.
ii) Responde lo que interpretes : a).- derivada
¿Por qué se dice que la derivada es una razón de cambio? ¿Cómo interpretas la derivada de una función, gráficamente? ¿Qué es un cociente de incrementos? ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que una función sea derivable?
b).- diferenciales
¿Qué es el incremento de una función? ¿Qué diferencia hay entre el incremento de la función y su diferencial? Bajo qué condiciones el incremento de una función se aproxima a su diferencial
Discute con tus compañeros de equipo hasta que todos lleguen a tener ideas comunes. En caso de que existan diferencias de criterio, consulten con otros equipos y con el profesor.
c).- reglas de derivación
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Resuelve los siguientes ejercicios utilizando las reglas de la derivación F(x)
dF(x)
x 3x 2 2
(2 x 3)dx
x 3 3x 2
x arctan
1 x
x cos x sec x tan x
sec 2 x (2 x 2 3x 1) 3 x2 2 x2 2
x 2e x 2 x ln x 2 1 x
II.- CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE INTEGRAL. Identificar, interpretar y analizar. A partir de los conceptos recordados, observa, analiza y plantea como se resuelven los siguientes problemas Problema 1.. Un cultivo tiene inicialmente un número 10 de bacterias. Para t = 1 hora, el número de bacterias medido es de 15. Si la rapidez de reproducción se supone proporcional al número de bacterias presentes en un momento dado, determinar el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique
Para pequeñas poblaciones es conocido que la rapidez con que cambia la población en cualquier instante de tiempo es directamente proporcional al número de elementos de la población. 30
Recuerda que: 1) Rapidez es sinónimo de derivada 2) A es directamente proporcional a B si A = kB Analiza con cuidado y trata de explicar la formulación matemática del problema. Sea t = tiempo N(t) = Número de bacterias del cultivo en el instante t dN kN dt Con N (0) 10 N (1) 15
Lo que buscamos es el tiempo t que debe pasar para que N (t ) 30
Observa que hay necesidad de conocer a N (t ) , conocida su diferencial dN
Solución:
N (t ) 10e kt
donde k 0.405465
y
x
31
Problema 2. Cuando una enfermedad contagiosa se propaga, por ejemplo, el virus de la gripe o influenza, es razonable suponer que la rapidez
dx con la cual la enfermedad se dt
propaga no solo es proporcional al número de personas x(t ) que la han contraído, sino también, el número de personas y (t ) que aún no se han expuesto al contagio. Esto es,
dx kxy dt En donde k es la usual constante de proporcionalidad. Si una persona infectada se introduce en una población fija de n personas, entonces x y y se relacionan por
x y n 1 Por lo que dx kx(n 1 x) dt Con x(0) 1
Observa la necesidad de encontrar x(t ) conocida su diferencial dx(t )
Problema 3. En cualquier punto (x,y) de una curva particular la recta tangente tiene una pendiente igual a 4x – 5. Determina la familia de curvas para la cual se tiene el mismo diferencial dy. Si la curva contiene al punto (3,7) halla su ecuación.
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En general existen muchos problemas donde, conocida la diferencial de una función se requiere encontrar la función, es decir estamos hablando del proceso inverso de la diferenciación, el cual se llama integración y se denota por el símbolo
Analiza el siguiente diagrama
Notación:
(Proceso directo)
(Proceso inverso)
Diferencial
Integración
d
____________________________ f ( x)
f ( x) ______________________________ df ( x)
Trabajar en equipos para dar respuestas a los siguientes preguntas
I.- Construcción del concepto de primitiva e integral indefinida.
Para las siguientes funciones, calcule dF
1)
F ( x) x 3
2)
F ( x) x 3 1
3)
F ( x) x 3 5
4)
F ( x) x 3 2
En base a lo que obtuviste contesta las siguientes preguntas.
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a) ¿Qué puedes decir en cuanto a F (x) = x 3 y F (x) + c , respecto a su diferencial ?. Respuesta___________________________________________
b) ¿Será válida esta respuesta para cualquier función F(x) y F(x) + c?. ___________________Argumenta y justifica tu respuesta
c) Halla la diferencial de las siguientes funciones 1) 2) 3) 4) 5) 6)
F(x) = 5 x3 F(x) = ln x F(x) =5 x F(x) = (5x + 2)3 F(x) = (sen x)3 F(x) = (5x2 + 2)3
- A partir de sus diferenciales, expresa la forma de recuperar la función F(x) original. Utiliza las notaciones adecuadas para indicar lo que deseas hacer. -Señala la diferencia entre las diferenciales de las funciones que son potencias de una variable y las que son potencias de funciones compuestas (Ejercicios 4, 5 y 6). -Señala un procedimiento adecuado para recuperar cualquier potencia de una función y utiliza una notación apropiada que contemple todos los casos.
d) Si F(x) expresa la función original y la función f(x) es su derivada, entonces F’(x) = f(x). Expresa dF(x) en términos de la función f(x) e) Utiliza el símbolo
para indicar que deseas recuperar la función F(X) a partir de
f(x) 34
III. SINTETIZAR LAS IDEAS PRINCIPALES Consultar en diferentes medios:
Buscar los conceptos de primitiva y de integral indefinida en diferentes libros,
Comparar ambos conceptos, determinar la diferencia entre ambos y expresarla.
IV. ACCIONES EN EL AULA. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS Ejercicios:
Determinar las siguientes integrales indefinidas y señalar una primitiva
1) 4dx 2) x 2 dx 3) cos xdx
1
4)
x dx
5)
(4 x
3
3x 6)dx
Sabemos que
2 x dx
x3 d x3 C , ya que ( ) x2 3 dx 3
¿Cuál es el d (x3) = ________? Expresa la diferencia entre la derivada de x3 y su diferencial
¿Será cierto entonces que
2 (5x 2) dx
(5 x 2) 3 C ? 3
________
Justifica tu respuesta. Sugerencia: -Halla el diferencial de (x + 2)3 y el diferencial de (5x + 2)3 . ¿En que difieren? 35
-Observa que te hace falta para tener el diferencial de (5x + 2)3 -¿Qué puedes hacer para tener lo que necesitas?
u3 -Si representas u (5x 2) ¿puedes entonces decir que u 2 du C ? 3
¿Será cierto entonces que
3 3 (7 x 2 x) dx
(7 x 3 2 x ) 4 C ? _______ 4
Justifique su respuesta: -Encuentra el diferencial de F(x) + C y conteste lo anterior.____________________
d (7 x 3 2 x ) 4 (7 x 3 2 x) 3 (21x 2 2) -Observa que dx 4 -Por lo que -
3 3 2 (7 x 2 x) (21x 2)dx
(7 x 3 2 x ) 4 C 4
¿Si se considera u (7 x 3 2 x) que representa (21x 2 2) respecto de u? _____________________
-¿Puede expresarse entonces que u 3 du
u4 C ? 4
Si pensamos en una generalización de la formula ¿será correcto expresarla en la forma siguiente?
u n1 u du n 1 C n
Discutir en equipos cómo se puede obtener las generalizaciones de las formulas directas, en el caso que se tengan funciones compuestas f(u), donde u representa la función interna u=g(x), hacer uso de la regla de la cadena para derivar las funciones compuestas. Hallar la diferencial de las funciones compuestas y llenar la siguiente tabla.
36
Formulas directas
Formulas compuestas
f ( x) c f ' ( x) 0
0du C
0du C
f ( x) x f ' ( x) 1
dx x C
du u C
f ( x)
x n1 f ' ( x) x n n 1
n x dx
f ( x) e x f ' ( x) e x
f ( x) ln x f ' ( x)
1 x
f ( x) senx f ' ( x) cos x f ( x) cos x f ' ( x) senx
f ( x) tan(x) f ' ( x) sec 2 ( x) f ( x) cot(x) f ' ( x) csc 2 ( x) f ( x) sec( x) f ' ( x) sec( x)tg ( x) f ( x) csc( x) f ' ( x) csc( x) cot(x) f ( x) sh( x) f ' ( x) ch( x) f ( x) ch( x) f ' ( x) sh( x) f ( x) tgh( x) f ' ( x) sec h 2 ( x)
f ( x) arcsen( x) f ' ( x) f ( x) arctg ( x) f ' ( x)
1 1 x2
1 1 x2
f ( x) arg sh( x) f ' ( x) f ( x) arg ch( x) f ' ( x) f ( x) arg tgh ( x) f ' ( x)
1 x2 1 1 x 2 1 1 1 x2
37
x n1 C n 1
n u du
u n1 C n 1
V.
TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE
Hallar las siguientes integrales utilizando la integración inmediata de funciones compuestas
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
dx dx dx
38
∫
∫√
√
dx
VI. CONCLUSIONES
Señala diferentes situaciones donde sea necesario obtener la función que se tenía antes de diferenciar.
En
general
si
F ' ( x) f ( x)
se
dice
que
F
es
_____________________________________de la función f (x) .
Al conjunto de todas las primitivas de una función se le llama la _________________________________y se denota como
La integración es el proceso inverso de ___________________________________
En el caso de tener funciones compuestas y hallar su diferencial, ¿de qué forma identificas en el proceso inverso que te encuentras en el caso de una función compuesta?
Haz un resumen de las integrales inmediatas y discútelas con tus compañeros de equipo.
Crear 5 ejemplos, cada miembro del equipo, donde se utilicen las integraciones inmediatas de funciones compuestas. Intercambiar con todo el equipo.
39
HOJA DE TRABAJO 3. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES OBJETIVOS: Conocer diferentes métodos de solución de integrales indefinidas
Lograr habilidades para aplicar la técnica de integración por partes.
I.-CONOCIMIENTOS PREVISO: CONCEPTOS A RECORDAR Responde lo que tu recuerdes: Para responder individualmente los alumnos del equipo.
Escribe el diferencial de los siguientes productos
i)
D [ x3 * ln (x) ]
ii)
D [ x5 * sen (x) ]
iii)
D [ x6 * ex ]
iv)
D [ x7 * tan (x) ]
v)
D [ ex * cos (x) ]
vi)
D [ x * csc (x) ]
vii)
D [ sen (x) * cos (x)]
viii)
D [ e3x * sen (4x)]
ix)
D [x * (5x -7)1/2 ]
40
II.- CONSTRUCCIÓN DEL MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES. Identificar, interpretar y analizar
Escribe el diferencial del producto de dos funciones. D[f(x).g(x)]
Integra cada miembro de la ecuación y explica el significado de esta integración.
Haz los siguientes cambios de variable u = f(x); v = g(x) y expresa las diferenciales du y dv
Expresa la integración de la ecuación en términos de los diferenciales du y dv. Describe la expresión y denótala por *
Si te aparecen en el integrando dos funciones cuál consideras como la función u y cuál como el diferencial de v dv = g’ (x) dx. Explica tu elección en base a la expresión denotada por *
i)
[ x3 . ln (x) ]
ii)
[ x5 . sen (x) ]
iii)
[ x6 . ex ]
iv)
[ x7 . tan (x) ]
v)
[ ex . cos (x) ]
vi)
[ x . csc (x) ]
vii)
[ sen (x) . cos (x)]
viii)
[ e3x . sen (4x)]
1. Discutir con los compañeros del equipo del equipo i)
La elección hecha para u y para dv en cada caso.
ii)
Expresar entre todos los estudiantes, el método de trabajo a seguir en cada caso. 41
iii)
Expresar una forma de trabajo común para todos los casos.
iv)
Escribir un algoritmo para los casos donde aparecen el producto de dos funciones.
v)
Señalar los casos de productos de funciones en que no aplicarían ese algoritmo y explicar por qué no lo aplicarían. III. SINTETIZAR LAS IDEAS PRINCIPALES
Busca en cualquier bibliografía de Cálculo y expresa las características de:
- Método de integración por partes
Expresa un procedimiento de trabajo para este método de integración.
Resume en forma breve como identificas que tienes que utilizar este método de integración, es decir, bajo cuáles características del producto de dos funciones debes de utilizar este método y bajo cuáles no es necesario hacerlo.
¿Cuándo tienes que aplicar este método más de una vez? ¿Cuántas veces tienes que aplicarlo? Justifica tu respuesta.
42
IV. ACCIONES EN EL AULA. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS
A partir de los conceptos, observa y analiza cuando debes de aplicar el método de integración por partes. Explica tus ideas. Clasifica las integrales de acuerdo al método que tu consideras debes de utilizar.
x cos(x)dx
x2 cos(x)dx
x2 sen(x)dx
x2 ln(x)dx
ex cos(x)dx
x2 cos(5x3 + 2)dx
x2 ex dx
x2 (3x3 + 4 )dx
x2 (x3 + 6)dx
x f(x)dx
x cos(4x2 - 5 )dx
x e3x dx
x 3x dx
x2 e3x dx
sen (x) ln(cos x) dx
sen 2x e-3x dx 43
ln (x + 2)dx
(1 - e3x) e3x dx
x 3 (1 – x2)1/2 dx
e3x sen nx dx
x p (lnx)q dx
V. TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE
-Halla las integrales del inciso anterior.
-Discute con tus compañeros de equipo los métodos utilizados y compara los resultados.
VI. CONCLUSIONES - Resume en forma breve como identificas que tienes que utilizar el método de integración por partes, es decir, bajo cuáles características del producto de dos funciones debes de utilizar este método y bajo cuáles no es necesario hacerlo.
-¿Cuándo tienes que aplicar este método más de una vez? ¿Cuántas veces tienes que aplicarlo? Justifica tu respuesta.
-Expresa el procedimiento de trabajo para el método de integración por partes
44
HOJA DE TRABAJO 4. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
OBJETIVOS:
Identificar cuando utilizar el método de sustitución trigonométrica para hallar una integral indefinida.
Identificar cuando se puede hallar la integral indefinida directamente sin utilizar sustitución trigonométrica.
Desarrollar habilidades para aplicar la técnica de integración por sustitución trigonométrica en la búsqueda de la integral.
I.
CONOCIMIENTOS PREVIOS: CONCEPTOS PARA RECORDAR
i.
Escribe el diferencial de las funciones trigonométricas. D[f(x)]
ii.
Crea tu propia tabla de integración para las funciones trigonométricas
Función y su derivada
Integrales inmediatas
Integrales compuestas
f ( x) cos x f ' ( x) senx f ( x) senx f ' ( x) cos x
f(x) = tanx
f(x )= secx
f(x) = cotx
f(x) = cscx
45
de
funciones
iii.
Escribe las principales identidades trigonométricas
II. CONSTRUCCIÓN DEL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA. Identificar, interpretar y analizar. Utilizando las identidades anteriores haz los siguientes cambios de variable apropiados x = a sen (t), x = a sec(t); x = a tg(t) con el objetivo de eliminar la raíz y obtener una función trigonométrica. Halla en cada caso las diferenciales dx Raíz
Cambio de variable
√
√
√
46
diferencial
Expresa la integral en términos de las funciones trigonométricas halladas en el inciso anterior.
Integral con expresiones
Integral con integrando de funciones trigonométricas
que contienen radicales
1.- ∫
2.- ∫
3.- ∫
4.- ∫
5.- ∫
6.- ∫
√
√
√
√
√
√
47
iv.
Utiliza las técnicas de integración conocidas para funciones trigonométricas. En caso de ser necesario usa las identidades trigonométricas que te faciliten llegar a las integrales inmediatas.
Busca en cualquier bibliografía de Cálculo y expresa las características de:
- Integración de funciones algebraicas mediante sustitución trigonométrica
Expresa un procedimiento de trabajo para este método de integración.
Resume en forma breve como identificas que tienes que utilizar este método de integración.
Clasifica los diferentes métodos que debes de utilizar cuando tienes expresada la integral con funciones trigonométricas.
48
A partir de los resultado obtenidos al integrar en el inciso VI) expresa las funciones trigonométricas en términos de la variable x, de acuerdo al cambio de variable efectuado: x = a sen (t); x = a sec(t); x = a tg(t)
Integral
respuesta
sustitución triángulo
1
2
3
4
5
6
49
Respuesta en función de x
IV.
ACCIONES EN EL AULA.
SOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y
PROBLEMAS Observa y analiza los pasos que debes de seguir para resolver una integral con fracciones que tienen raíces de las formas señaladas en el apartado A). i)
Clasifica los tipos de integrales trigonométricas que se pueden presentar y la forma de resolverlas
ii)
Para cada uno de ellos establece una forma de hacer la integración.
f ( x) arcsen( x) f ' ( x) f ( x) arctg ( x) f ' ( x)
1 x2
1 1 x2
f ( x) arg sh( x) f ' ( x) f ( x) arg ch( x) f ' ( x) f ( x) arg tgh ( x) f ' ( x)
50
1
1 x2 1 1 x 2 1 1 1 x2
V.
TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE
Resolver las siguientes integrales 1.-∫ √ 2.-∫ √ 3.-∫
√
4.-∫ 5.-∫
√ √
6.- ∫ √ 7.-∫
√
8.- ∫ √ ∫
√
∫ √ 11.- ∫ √ VI.
CONCLUSIONES
Expresa la forma de reconocer cuando utilizar sustitución trigonométrica, cuando se utiliza integración inmediata y cuando integrar como potencia de una función.
Señala el tipo de sustitución trigonométrica a utilizar de acuerdo a las características del integrando.
Señala el tipo de integrando que queda una vez hecha la sustitución
Una vez que se halla la integral, señala los pasos que debes de dar para expresar el resultado en función de las variables originales.
51
HOJA DE TRABAJO 5. MÉTODO DE INTEGRACIÓN CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVOS:
Conocer diferentes métodos de solución de integrales indefinidas donde aparecen funciones trigonométricas en el integrando. Lograr habilidades para aplicar diferentes técnicas de integración utilizando identidades trigonométricas.
I.-CONOCIMIENTOS PREVIOS: CONCEPTOS A RECORDAR Para responder individualmente los alumnos del equipo.
Escribe el diferencial del producto de dos funciones. D[f(x)*.g(x)]
Integra cada miembro de la ecuación y explica el significado de esta integración.
Integra cada miembro de la ecuación y explica el significado de esta integración.
Haz los siguientes cambios de variable u = f(x); v = g(x) y expresa las diferenciales du y dv
Expresa la integración de la ecuación en términos de los diferenciales du y dv. Describe la expresión y denótala por *
En la expresión [f(x)*.g(x)] realiza los siguientes cambios de variable, u = f(x); u´ = g(x) y expresa la diferencial du
Expresa la integración de la ecuación en términos del diferencial du expresión y denótala por **
Compara las expresiones * y **. Explica la diferencia entre los dos resultados a partir del producto de dos funciones.
52
Describe la
Escribe el diferencial de las siguientes funciones i) D [cos(x)] ii) D [sen (x)] iii) D [tan(x)] iv) D [cotan (x)] v) D [ sec (x)] vi) D [ csc (x)]
Si te aparecen en el integrando dos funciones cuál consideras como la función u y cuál como el diferencial de u du = u’ (x) dx. Explica tu elección en base a la expresión denotada por **. Establece la diferencia con los productos en los que usas integración por partes. En cada caso calcula la integral.
i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) x) xi) xii) xiii) xiv) xv) xvi) i) ii) iii) iv) v)
[ sen (x) . cos (x)] [cos(4x). sen (4x)] [cos(4x). sen (x) ] [ x6 . ex ] [ x7 . tan (x 8) ] [ ex . cos (x) ] [tan3(x).sec2(x)] [ x . csc (x) ] [ sen3 (x) . cos (x)] [cot(5x).csc7(5x)] [ e3x . sen (4x)] [ x . cos (x2 ) ] [tan(x).sec2(x)] [cos5(x).sen(x)] [tan(x).sec8(x)] [x4cos(6x5)] Discutir con los compañeros del equipo del equipo La elección hecha para u y para dv o du en cada caso. Expresar entre todos, el método de trabajo a seguir en cada caso. Expresar una forma de trabajo común para todos los casos. Escribir un algoritmo para los casos donde aparecen el producto de dos funciones. Señalar los casos de productos de funciones en que no aplicarían ese algoritmo y explicar por qué no lo aplicarían.
53
Busca en cualquier bibliografía de Cálculo y expresa las características de:
- Método de integración de funciones trigonométricas
Expresa un algoritmo de trabajo para cada uno de los métodos de integración.
Resume en forma breve como identificas que tienes que utilizar uno u otro método de integración, es decir, bajo cuáles características del producto de dos funciones debes de utilizar cada método y bajo cuáles no es posible hacerlo.
Recordar las principales identidades trigonométricas para ser utilizadas en el cálculo de las integrales
sen2(x) = cos2(x) = sen(2x) = 2sen(x)cos(x) sen(a+b) = sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) sen(a-b) = sen(a)cos(b)-cos(a)sen(b) cos (2x) = cos2(x) – sen2(x) cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) sen(mx)cos(nx) = sen(mx)sen(nx) = cos(mx)cos(nx) =
[
]
[
]
[
]
54
II.- CONSTRUCCIÓN DE MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Identificar, interpretar y analizar
A partir de los conceptos recordados, observa y analiza cuando debes de aplicar el método de integración por partes y cuando integración trigonométrica. Explica tus ideas. Clasifica las integrales de acuerdo al método que tu consideras debes de utilizar.
sen5 (4x) cos(4x)dx
x2 cot(x 3)dx
ex cos(x)dx
x2 sen(x 3)dx
x2 ln(x)dx
ex cos(x)dx
∫
x2 cos(5x3 + 2)dx
∫
x2 ex dx
∫
x2 cos (3x3 + 4 )dx
∫
x2 √
dx
dx 55
x cos(4x2 - 5 )dx
x e3x dx
∫
∫
∫
x 3x dx
x2 e3x dx
sen (x) ln(cos x) dx
sen( 2x) e-3x dx
ln (x + 2)dx
∫
(1 - e3x) e3x dx
∫
x 3 (1 – x2)1/2 dx
∫
e3x sen nx dx
x p (lnx)q dx
x arcsen x dx 56
III. SINTETIZAR LAS IDEAS PRINCIPALES
Escribe las integrales inmediatas trigonométricas
Escribe todas las posibilidades de tener una función trigonométrica elevada a potencia, multiplicada por su diferencial. Halla las integrales de esas expresiones.
Escribe potencias impares de sen(x) en la forma sen2k+1(x) = sen2k(x). sen(x) = [sen2(x)]k .sen(x) = [1 – cos2(x)]k.sen(x) halla la integral de sen2k+1(x)
Escribe potencias pares de sen(x). Señala la identidad que utilizarías para llegar a una integral inmediata
∫
∫
Escribe productos de la forma senm(x)*cosp(x) y considera las diferentes variantes que se pueden presentar para m y p par; m y p impar; una par y otra impar. Establece las estrategias a seguir para hallar ∫
en cada uno de
los casos.
Establece las estrategias para hallar ∫
para i) m par; ii) m impar
Establece las estrategias para hallar ∫
para i) m par; ii) m impar
Establece las estrategias para hallar ∫
para i) m par; ii) m impar
Establece las estrategias para hallar ∫
para i) m par; ii) m impar
A partir de los casos particulares del inciso II señala planteamientos generales de sustituciones mediante identidades trigonométricas para transformar en integrales inmediatas
IV.
ACCIONES EN EL AULA.
SOLUCIÓN DE
EJERCICIOS Y
PROBLEMAS
-Halla las integrales de los incisos II y III anteriores.
-Discute con tus compañeros de equipo los métodos utilizados y compara los resultados.
57
VI.
TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE
A partir de los ejercicios resueltos en la Hoja de trabajo. Reflexiona y clasifica los diferentes situaciones que se pueden presentar. Establece métodos generales para hallar las integrales de funciones trigonométricas.
VII.
CONCLUSIONES
- Resume en forma breve como identificas que tienes que utilizar el método de integración por partes, hacer sustituciones de identidades trigonométricas, ó hacer la integración de una función trigonométrica elevada a potencia.
Es decir, bajo cuáles características del
producto de dos funciones debes de utilizar cada método y bajo cuáles no es posible hacerlo.
-¿Cuándo tienes que aplicar el método de integración por partes más de una vez? ¿Cuántas veces tienes que aplicarlo? Justifica tu respuesta.
-Expresa el algoritmo de trabajo para cada uno de los métodos de integración
58
HOJA DE TRABAJO 6. MÉTODO DE INTEGRACIÓN CON FRACCIONES RACIONALES
OBJETIVOS:
Utilizar sumas de fracciones simples para hallar integrales indefinidas
Lograr habilidades para reconocer la técnica de integración a utilizar para llegar a integrales inmediatas.
I.
CONOCIMIENTOS PREVIOS: CONCEPTOS A RECORDAR
Para responder individualmente los alumnos del equipo.
Escribe la suma de las dos funciones racionales
A partir del resultado trata de llegar nuevamente a las fracciones simples que tenías al principio. Si tienes el cociente de los dos polinomios, lo podrás expresar como suma de fracciones simples, pero no puedes saber cuáles eran las constantes que tenías al principio. Llámalas A y B
Efectúa la suma expresada anteriormente.
59
Dado que las fracciones obtenidas en el inciso anterior son iguales y sus denominadores son iguales, sus numeradores tienen que ser iguales. Escribe la igualdad de los numeradores,
Si dos polinomios son iguales, los coeficientes de las variables elevadas a igual grado tienen que ser iguales. Establece la igualdad entre los coeficientes de las variables con el mismo grado
Al igualar los coeficientes en el inciso anterior quedaron dos ecuaciones con dos incógnitas A y B. Halla los valores A y B resolviendo el sistema de ecuaciones.
II.- CONSTRUCCIÓN DEL MÉTODO DE FRACCIONES RACIONALES. Identificar, interpretar y analizar
Discutir con los compañeros del equipo
Si tuvieses el cociente de los polinomios siguientes
¿Consideras que es correcto expresar la descomposición en la forma siguiente? Justifica tu respuesta
Efectúa la suma de i)
ii)
60
Analiza la forma de proceder y plantea la forma de descomponer un cociente de dos polinomios en fracciones simples.
Expresar una forma de trabajo común para todos los casos.
Escribir un algoritmo para los casos donde aparecen el cociente de dos polinomios.
¿Es válido sumar una misma cantidad en ambos miembros de una igualdad? Si sumas y restas la misma cantidad a una expresión, ¿se altera la expresión? Explica tu razonamiento.
¿Consideras como estrategia válida multiplicar y dividir por una misma expresión? Explica tu razonamiento
III.
SINTETIZAR LAS IDEAS PRINCIPALES
Busca en cualquier bibliografía de Cálculo y expresa las características de:
- Método de integración por fracciones racionales simples
Expresa un algoritmo de trabajo para este método de integración.
Resume en forma breve como identificas que tienes que utilizar este método de integración, es decir, bajo cuáles características del cociente de dos polinomios debes de utilizar este método y bajo cuáles no es posible hacerlo.
¿Bajo qué condiciones tienes que aplicar más de un método? Justifica tu respuesta.
61
IV.
ACCIONES
EN
EL
AULA.
SOLUCIÓN
DE
EJERCICIOS
Y
PROBLEMAS
A partir de los conceptos recordados, observa y analiza cuando debes de aplicar el método de fracciones racionales. Explica tus ideas. Clasifica las integrales de acuerdo al método que tu consideras debes de utilizar.
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
62
-Halla las integrales del inciso anterior.
V. TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE
-Discute con tus compañeros de equipo los métodos utilizados y compara los resultados.
-Establece un procedimiento general para resolver integrales donde aparece el cociente de dos polinomios.
considera el grado del polinomio P es n y el grado del polinomio Q
es m. Caso 1 m < n ; caso 2 m = n ; caso 3 m > n
-Explora, trabaja y utiliza el software libre sobre matemática que permite el cálculo simbólico y numérico de integrales
http://sagemath.org/
VI. CONCLUSIONES
- Resume en forma breve como identificas que tienes que utilizar el método de integración por fracciones racionales, es decir, bajo cuáles características debes de utilizar este método y bajo cuáles no es necesario hacerlo. -¿Cuándo tienes que aplicar este método? -Expresa el algoritmo de trabajo para el método de integración por fracciones racionales -Señala las integrales que se hallan en cada caso independientemente del valor de las constantes.
63
III. INTEGRAL DEFINIDA
64
HOJA DE TRABAJO 7. INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES .
OBJETIVOS:
Identificar y analizar las características del concepto de integral definida.
Visualizar el concepto de integral definida en forma geométrica.
Aplicar el concepto y las propiedades de la integral definida.
Aplicar el teorema fundamental del Cálculo.
I.
CONOCIMIENTOS PREVIOS: CONCEPTOS A RECORDAR
El área de un rectángulo está dada por
Se llama partición de un intervalo a
Expresa con palabras el concepto de límite
¿En qué se diferencia el valor del límite de una función cuando la variable x se acerca a un valor c del valor de la función evaluada en el punto c?
Considera el intervalo cerrado [a,b] = [ 0,2] y divide el intervalo en 4 partes iguales. Grafica en ese intervalo la función f(x) = x2. Busca una forma de hallar el área entre la función y el eje de las x.
Discute tu estrategia con los compañeros del equipo.
Formulen una estrategia para hallar el área comprendida bajo una curva positiva cualquiera y el eje de las x.
Justifiquen su estrategia de trabajo.
65
II.-
CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO. Identificar, interpretar y analizar
1. INTEGRAL DEFINIDA Grafica una función cualquiera en un sistema cartesiano, que sea continua, creciente y positiva; selecciona un intervalo en el eje x. Por ejemplo f(x) = x2 en el intervalo [0,1.5]
Divide el intervalo en a) 2, b) 4, c) 8, d) 16, e) 32 partes iguales.
i)
En cada uno de los incisos considera los rectángulos que tienen por base los subintervalos en los que ha sido dividido el intervalo original y por altura la imagen de la función en el extremo inferior del subintervalo.
ii)
Evalúa la función en el extremo inferior de cada subintervalo, y halla el valor de la longitud de cada subintervalo.
iii)
Calcula las áreas de cada uno de los rectángulos.
iv)
Suma las áreas de cada uno de los rectángulos
Observa cuál es el área que se obtiene al unir todos esos rectángulos. Expresa cómo va cambiando el área a medida que aumenta el número de divisiones. ¿Geométricamente a qué área se acerca cuando se hace muy grande el número de divisiones? ¿Cuál crees que sería el valor de esta área?
v)
En cada uno de los incisos considera los rectángulos que tienen por base los subintervalos en los que ha sido dividido el intervalo original y por altura la imagen de la función en el extremo superior del subintervalo. 66
vi)
Evalúa la función en el extremo superior de cada subintervalo, y halla el valor de la longitud de cada subintervalo.
vii)
Calcula las áreas de cada uno de los rectángulos.
viii)
Suma las áreas de cada uno de los rectángulos
Observa cuál es el área que se obtiene al unir todos esos rectángulos. Expresa cómo va cambiando el área a medida que aumenta el número de divisiones. ¿A qué área se acerca cuando se hace muy grande el número de divisiones?
ix)
En cada uno de los incisos considera los rectángulos que tienen por base los subintervalos en los que ha sido dividido el intervalo original y por altura la imagen de la función en un punto intermedio del subintervalo.
x)
Evalúa la función en un punto interior de cada subintervalo, y halla el valor de la longitud de cada subintervalo.
xi)
Calcula las áreas de cada uno de los rectángulos.
xii)
Suma las áreas de cada uno de los rectángulos
Observa cuál es el área que se obtiene al unir todos esos rectángulos. Explica cómo va cambiando geométricamente el área a medida que aumenta el número de divisiones del intervalo. ¿A qué área se acerca cuando se hace muy grande el número de divisiones? Con el auxilio de un graficador puede hacerse este trabajo, por ejemplo con Winplot. En la opción 2d (dos dimensiones) de la primera ventana de Winplot,
ingresa una función, en la opción (Ecua) explícita,
67
Selecciona integración, determina el intervalo, y establece el número de intervalos. Cambia el número de subintervalos
Observa cómo se puede visualizar el área bajo la curva
68
Para el caso de una función que es creciente en parte del intervalo y decreciente en otra parte se tiene el siguiente resultado. Observa el gráfico y explica lo que ocurre.
∑ El valor de da el áre a baj o l a cu rva f (x ) que se consi d ere y s e denot a po r ∫ , l o cual i ndi ca el ár ea l i m i t ada superi orm en t e por l a funci ón f( x ) e i nferi orm ent e por el ej e de l as x desde el punt o a hast a el punt o b. ∑ = ∫ C am bi a l a funci ón f(x ) y obse rva que e l proceso para hal l a r el área baj o es t a fun ci ón es anál ogo p ara f(x ) = x 2 ; f(x ) = - (x -2) 2 + 4 ó cual qui er ot ra funci ón que se escoj a. B ) FU NCIÓ N INT E G RAL : S ea f(t ) una fun ci ón cont i nua en el i nt erval o [ a,b] . A part i r de es t a funci ón se de fi ne l a funci ón i nt egral : F(x ) = ∫
69
que depende d el l í m i t e superi or de i nt egraci ón x , es deci r para c ada val or de x s e obt i ene un área di fe rent e . Obse rva en l a fi gur a que si x se m ueve ent re a y b, a cada val or de x l e corresponde un área di f erent e baj o l a curva f (t ). P ara evi t ar con fusi ones cuando se hac e refe renci a a l a vari a bl e de f, se l a l l am a t , pero si l a re feren ci a es a l a va ri abl e de F, se l a l l am a x . Geom ét ri cam ent e l a funci ón i nt e gral F( x ), represent a el ár ea del r eci nt o l i m i t ado por l a curv a y = f(t ) , el ej e d e absci sas y l as r ect as t = a y t = x .
La funci ón F(x ) es creci ent e porque a m edi da que aum ent a el val or de x , crece el á re a baj o f(t ) porque el i nt er val o [ a,x] se hace m a yo r. A l a funci ón i nt egra l , F(x ), t am bi én se l e l l am a funci ón de á reas de f en el i nt erval o [ a, b] . C) PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA:
A part i r de un anál i si s vi sual de l as gráfi c as y del conc e pt o de i nt egral defi ni da
com o
límite
de
sum as
de
re ct án gul os,
ut i l i z ando
cas os
part i cul ar es y c on a yu da d e W i npl ot ó de ot ro gr afi c ador , ar gum ent a por qué s e cum pl en l as s i gui ent es propi edad es .
1 . El val or de l a i nt egr al defi ni da cam bi a de si gno si se perm ut an l os l í m i t es de i nt egr aci ón. 70
∫
∫
2 . S i l os lí m i t es que i nt egr aci ón coi nci den, l a i nt egral defi ni da val e cero . ∫ 3 . S i c es un punt o i nt eri or del i nt e rval o [ a, b] , l a i nt e gral defi ni da s e descom pone com o una sum a de dos i nt egr al es ex t endi das a l os i nt erval os [ a, c] y [ c, b] . ∫
∫
∫
4 . La i nt e gral d efi ni da de un a sum a de f unci ones es i gual a l a sum a de i nt egral es· ∫ [
]
∫
∫
5 . La i nt e gral del product o de una const ant e por una funci ón es i gual a l a const ant e por l a i nt egral de l a funci ón. ∫
∫
D) ÁREA ENTRE DOS CURVAS Al hallar el área entre dos curvas ¿qué propiedades de la integral definida necesitas utilizar? F(x)
G(x)
71
Expresa los pasos a seguir para hallar el área entre dos curvas. Señala las propiedades que utilizas.
E) CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN f(x) PARA QUE SE PUEDA CONSIDERAR EL ÁREA BAJO LA CURVA. Analiza el gráfico siguiente y explica si puedes hallar el área bajo la curva ó no, en el intervalo i) [-4,4] ; ii) [0,4]; iii) [1,4]. Especifica las características de esta función en cada uno de los intervalos.
III.
SINTETIZAR IDEAS PRINCIPALES Busca en cualquier bibliografía de Cálculo y expresa las características de:
Concepto de integral definida Propiedades de la integral definida Función integral Interpretación geométrica de la integral definida Área entre dos curvas Función integrable
Compara los resultados obtenidos en el apartado II con lo que hallaron en los libros.
72
IV.
ACCIONES EN EL AULA DE CÓMPUTO.
SOLUCIÓN DE
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
a) Con ayuda de un graficador plantea la forma de hallar el valor de la integral definida como suma de rectángulos, interpreta el significado de lo que haces y justifícalo teóricamente. i)
Plantea la forma de hallar el valor de las siguientes integrales
6
2 (3x 2) dx 3
4
2
4 w 3 w 4 6dw
x( x 2)dx
1
3
t 1 (1 t )3 / 4 dt ;
10
/4
1
7 csc 5 xdx 2
/8
ii)
1 1
5 x 1dx
;
1 e t cos( / 3)tdt 2
1
senx cos xdx 0
Sea el gráfico de la función f(t) =
5
sen(5x)dx
3
.
Considera el intervalo [1,1.5], t se encuentra variando en este intervalo, es decir 1 ≤ t ≤ 1.5 Señala en el gráfico los valores donde varía t.
73
iii)
Señala gráficamente la función integral F(x) F(x) = ∫
Recordando que la derivada de una función F , es la variación instantánea (en un punto) de una función respecto de la variable independiente ¿Cómo se interpreta en el caso de la función integral F(x) = ∫ ? ¿Cómo se interpreta en el caso de la función integral F(x ) = ∫ los siguientes casos particulares ?
i v)
s
d 4 x 6 dx ds 0 x
d 1 dt dx x 5 t 2 d dt
5
senx dx
t
d dx
x2
3x
d sen(t 4)dt dx 2
t 2 1dt
1 x2
x
d 1 9 dt 2 dx x t 1 d dx
d t 5 dt dx x
x5
en
x
5
d tsen (t 2 3)dt dx 0
t 2 1dt
1
b) Utilizando un software adecuado halla las integrales definidas planteadas en el inciso a) de esta Hoja de Trabajo. c) Plantea la forma de hallar el área comprendida entre las curvas dadas 1)
y = - x2 +1 ; y = (x +1)2
2)
y2 = 3x + 3; y = x + 2
3)
y = x3 – 4x2 + 4x ; y = x2 – 2x
4)
x = y 2 – y ; x = 6 – y2
5)
x = y2 - 1; x = 2y -3
6)
y = 3x3 – 18x2 + 27x ; y = 2x2 + 4x
7)
y = x - 1 + 3 ; y = -1; x = -1 ; x = 3
74
8)
y = sen x ; y = x2 -1
9)
y=
x 1 ; y = 0 ; x = 2; x = 8
V. TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE Concepto de integral definida. Busca el concepto de integral definida en tres libros de texto, compara las definiciones, relaciónalas con las sumas superiores, sumas inferiores, sumas de Riemann. Trabaja el concepto para un intervalo donde la función es: i) ii) iii) iv) v)
Positiva y creciente Positiva decreciente Negativa creciente Negativa decreciente Combinación de las cuatro variantes anteriores
Analiza cómo influyen las características de la función en el resultado que se obtiene de la integral definida. Relaciona el concepto con la interpretación geométrica. Propiedades de la integral definida. Escribe las propiedades de la integral definida y explica el significado con palabras y gráficamente. Función integral Justifica el concepto de función integral, es decir por qué esa integral es una función. Explica con palabras y gráficamente. Considera diversas características de f(t)en el intervalo [a,b] : creciente, decreciente, positiva, negativa, todas ellas. Área entre dos curvas Escribe un procedimiento para hallar el área entre dos curvas. Utiliza las propiedades de la integral definida. Considera la variante cuando es más conveniente utilizar dx y cuándo dy, explica y justifica ambas variantes con ejemplos buscados en diferentes libros. Función integrable Explica las dificultades que se presentan cuando la función integrando no está definida ó no es continua en algunos puntos del intervalo de integración.
75
VI. CONCLUSIONES
En honor al matemático alemán George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) se da el nombre de sumas de Riemann a ____________________________________
Se denomina partición de un intervalo a
Se denomina partición regular de un intervalo a
La interpretación geométrica de la integral definida está dada por
La integral definida se define como
La notación de integral definida es
¿Cuál es la relación entre las sumas de Riemann y la definición de integral definida?
¿Qué propiedades se cumplen para la integral definida?
¿Qué condición se le pide a la función f(x) para que sea integrable en el intervalo cerrado [a,b]? Da ejemplos de funciones que no sean integrables en un intervalo
¿Cuál es la definición de función integral?
¿Cómo se interpreta
en el caso de la función integral F ( x ) = ∫
?
La integral definida se puede utilizar para hallar el área entre dos curvas f(x) y g(x); b
de forma general se puede expresar como A = ( ________)dx a
Explica las características que deben de tener f(x) y g(x)
La integral definida se puede usar para resolver problemas en los que ________ ___________________________________________________________________
76
HOJA DE TRABAJO 8. INTEGRAL DEFINIDA. TEOREMAS. CONCEPTO DE LA INTEGRAL DEFINIDA UTILIDAD DE LOS TEOREMAS. RELACIÓN ENTRE INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA.
OBJETIVOS:
Analizar y aplicar el concepto, las propiedades y principales teoremas de la integral definida.
I.-CONOCIMIENTOS PREVIOS: CONCEPTOS A RECORDAR a) Responde lo que recuerdes, busca en un libro aquellas cosas que no recuerdes :
En honor al matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) se da el nombre de sumas de Riemann a ____________________________________
Se denomina partición de un intervalo a
Se denomina partición regular de un intervalo a
La interpretación geométrica de la integral definida está dada por
La integral definida se define como
La notación de integral definida es
¿Cuál es la relación entre las sumas de Riemann y la definición de integral definida?
¿Qué propiedades se cumplen para la integral definida?
¿Qué condición se le pide a la función f(x) para que sea integrable en el intervalo cerrado [a,b]? Da ejemplos de funciones que no sean integrables en un intervalo
77
II.
CONSTRUCCIÓN DE CONCEPTO. Identificar, interpretar y analizar A) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE TEOREMAS.
TEOREMA 1
Observa el gráfico de las funciones f(x) = xsen(x) g(x) = -x2 + 2 en el intervalo [-0.5,0.5] g(x) = -x2 + 2
f(x) = xsen(x)
i.-Observa las funciones f y g; explica por qué puedes decir que son integrables en el intervalo cerrado [-0.5,0.5] ii.-¿Cuál de las dos funciones permanece por encima de la otra en todos los puntos del intervalo [-0.5,0.5] iii.- Considera el área bajo la curva f(x) y el área bajo la curva g(x). ¿Cuál consideras que sea mayor? iv.- Expresa las áreas bajo las curvas utilizando integrales v.-Explica con tus palabras por qué puedes expresar lo que ocurre en la siguiente forma: Las funciones f y g son integrables en el intervalo cerrado [-0.5,0.5]; g(x) ≥ f(x) para toda x en [-0.5,0.5], entonces ∫ ∫ v.-Analiza si esta propiedad se cumple para cualesquier par de funciones integrables en un intervalos cerrado [a,b] donde una esté por encima de la otra. Explica tu conclusión. Teorema 1: Si las funciones f y g son integrables en el intervalo [a,b] y si g(x) ≥ f(x) para toda x en [a,b], entonces ∫ ∫
78
TEOREMA 2
Sea la función f(x) = (x/2)sen(x) + 1 en el intervalo [ a , b ]
M
m
a
b
i.-m es el menor valor de la función en el intervalo [a, b]; M es el mayor valor de la función en el intervalo [a,b], por lo tanto m ≤ f(x) ≤ M para toda x en [a,b] o sea para a ≤ x ≤ b. Aplica el teorema 1 anterior para las funciones m, f(x) y M ii.-Señala las tres áreas bajo las funciones y explica la relación entre dichas áreas. iii.-Expresa la relación entre las áreas utilizando integrales. iv.-Halla el valor de la integral ∫
y el de ∫
v.-Trata de expresar las ideas de los incisos i a iv en forma de un teorema y explica el significado con tus palabras.
Teorema 2: Sea la función f continua en el intervalo cerrado [a,b]. Si m y M son respectivamente los valores de mínimo absoluto y máximo absoluto de f en [a,b], m ≤ f(x) ≤ M para toda x en [a,b], a ≤ x ≤ b. Entonces m(b – a) ≤ ∫ ≤ M(b – a)
79
TEOREMA 3
Hallar gráficamente un punto c intermedio del intervalo [a,b] a < c < b , de modo que el área del rectángulo f(c)(b – a) sea igual al área bajo la curva f(x) en el intervalo [a,b] i.
Para f(x) = x + 1 [a,b] = [-1,1] f(c) = c + 1 b – a = 2 por lo cual se busca encontrar un punto c entre los valores -1 y 1 de modo que el área comprendida entre la función x + 1, el eje de la x y los valores de x= -1 y x= 1 sea igual al área del rectángulo de base b –a y altura f(c). Sugerencia: Comienza a mover c entre [-1,1] hasta hallar el valor f(c) que cumpla la igualdad entre las áreas.
ii.
Utilizando un graficador cambia la función f(x) y el intervalo [a,b] y señala aproximadamente el punto c en forma gráfica. Justifica tu respuesta.
iii.
¿Qué condición debe de cumplir la función f(x) para poder establecer la propiedad como un teorema? Explica tu criterio.
iv.
Para la función f(x) = 1/x [a,b] = [-3,3] ¿puedo hallar ese punto intermedio c? Argumenta tu respuesta
v.
Para la función f(x) = 1/x [a,b] = [1,3] ¿puedo hallar ese punto intermedio c? Argumenta tu respuesta.
Teorema 3: (Teorema del valor medio para integrales) Si la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces existe un número c en [a,b] tal que ∫ 80
TEOREMA 4
Sea por ejemplo f(t) = t2 en el intervalo [0,1.5]
F(x) == ∫ Para cada x entre 0 y 1.5 0 ≤ x ≤ 1.5 obtengo un área diferente Por ejemplo: Si x = 0.5 se tiene la siguiente área bajo la curva t2
Si x = 1 se tiene otra área bajo la curva t2
F(0.5) = ∫
F(1) = ∫
Para un valor arbitrario de x dentro del intervalo [0,1.5] se tiene el valor F(x) = ∫
Hallar quiere decir hallar F’(x) lo cual se interpreta como la variación del área ∫ bajo la función al variar el valor de la x. Teorema 4: Primer Teorema fundamental del Cálculo Sea f(t) una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea x cualquier número de [a,b]. Si F(x) = ∫ entonces F’(x) = f(x) ⇔ ∫ 81
TEOREMA 5
Sea f(x) = x2 en el intervalo [0,1.5] a. Divide el intervalo en 4 partes iguales y halla el valor de la sumas de las áreas de los rectángulos formados considerando la altura como la función evaluada en: i) Extremo inferior del subintervalo ii) Extremo superior del subintervalo iii) Punto medio del subintervalo b. Divide el intervalo en 8 partes iguales y halla el valor de la sumas de las áreas de los rectángulos formados considerando la altura como la función evaluada en: i) ii)
Extremo inferior del subintervalo Extremo superior del subintervalo
iii) Punto medio del subintervalo c. Divide el intervalo en un número n de partes iguales y halla el valor de la sumas las áreas de los rectángulos formados considerando la altura como la función evaluada en: i) Extremo inferior del subintervalo ii)
Extremo superior del subintervalo
iii) Punto medio del subintervalo d. Halla el valor del límite de la sumatoria del inciso c.
Teorema 5. Segundo teorema fundamental del Cálculo Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea g una función tal que g’(x) = f(x) para toda x en [a,b]. Entonces ∫ Explica lo que interpretas del enunciado del teorema. Revisa antes de responder la Hoja de Trabajo anterior.
82
B) APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS a)
Halla el valor de las siguientes integrales utilizando uno de los teoremas. Especifica el teorema utilizado.
6
4
2 (3x 2) dx
2
3
4 w 3 w 4 6dw
x( x 2)dx
1
3
t 1 (1 t )3 / 4 dt ;
10
/4
1
0
5
sen(5x)dx
3
Halla la derivada de la función integral F(x) utilizando teoremas
s
d dx
d 4 x 6 dx ds 0
x2
3x
d sen(t 4)dt dx 2
t 2 1dt
1 x2
x
x
d 1 9 dt 2 dx x t 1
d 1 dt dx x 5 t 2 5
d dx
senx dx
t
c)
1 e t cos( / 3)tdt 2
senx cos xdx
/8
5 x 1dx
;
1
2
d dt
1
7 csc 5 xdx b)
1
d t 5 dt dx x
x5
x
5
d tsen (t 2 3)dt dx 0
t 1dt 2
1
Hallar el área comprendida entre las curvas dadas. Señala los teoremas y propiedades utilizados 2
y = - x2 +1 ; y = (x +1)2
83
3
y2 = 3x + 3; y = x + 2
4
y = x3 – 4x2 + 4x ; y = x2 – 2x
84
5
x = y 2 – y ; x = 6 – y2
Para este tipo de funciones integrar respecto de x se hace complejo porque se tienen la suma de varios intervalos con diferentes funciones superior e inferior en cada uno de ellos, es más fácil hacerlo respecto a y, es decir los rectángulos serán de la forma h(y)dy en lugar de q(x)dx. ¿Cómo expresas h(y)?
6
x = y2 - 1; x = 2y -3
7
y = 3x3 – 18x2 + 27x ; y = 2x2 + 4x
8
y = x - 1 + 3 ; y = -1; x = -1 ; x = 3
Utiliza el teorema apropiado para demostrar que se cumplen las desigualdades siguientes
1.- 0 < ∫ 2.-
∫
3.-
∫
4.-
∫
85
C)
A partir de los conceptos, teoremas, propiedades y el valor de la integral definida hallada anteriormente. Interpreta el significado de lo que haces y justifícalo teóricamente y gráficamente. Compara con el trabajo hecho en la H.T. 7 anterior, explica la diferencia del trabajo realizado entre las dos Hojas de Trabajo.
III.
SINTETIZAR IDEAS PRINCIPALES
Busca en cualquier bibliografía de Cálculo y expresa las características de:
Teoremas sobre la integral definida Teorema del valor medio para integrales Primer Teorema fundamental del cálculo Segundo Teorema fundamental del cálculo IV.
ACCIONES EN EL AULA DE CÓMPUTO.
Con ayuda de un graficador interpreta gráficamente el significado de los teoremas utilizados en II. B)
A partir del enunciado expresa matemáticamente como resolver el problema enunciado. Explica tu planteamiento en base a la teoría de la integral definida (definición, propiedades, interpretación geométrica y teoremas) y discute tus ideas en el equipo. 1. Si una inversión produce un interés a una tasa de 100r(t)% compuesto continuamente durante un período de T años, entonces la tasa de interés promedio 100R(t)% durante T años está definida por
d r (T ) R(T ) R(T ) dt T
T
1 R(T) = r (t )dt T 0
Demuestra que
dS 2(t 1) 2 / 3 dt donde S millones de pesos es el ingreso bruto de las ventas a partir del momento que comienza a recibir los ingresos. Si el ingreso bruto de las ventas del año en curso es de 8 millones de pesos. ¿Cuál debe de ser el ingreso bruto de las ventas dentro de 2 años a partir de ahora?
2. Una compañía estima su ingreso bruto por ventas mediante
86
V.
TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE
Realizar una búsqueda en diferentes libros de ejercicios y problemas donde sea necesario aplicar los teoremas. Seleccionar los que considere más interesantes y discutirlos con los compañeros de equipo.
VI. CONCLUSIONES
La integral definida se puede utilizar para hallar el área entre dos curvas f(x) y g(x); b
de forma general se puede expresar como A = ( ________)dx a
Explica las características que deben de tener f(x) y g(x)
Considera que f(x) g(x) para x [a,c] y que f(x) g(x) para x [c,d]. Plantea la forma de hallar el área entre las dos curvas en el intervalo [a,b]
La integral definida se puede usar para resolver problemas en los que
Enuncia el teorema del valor medio de integrales, interprétalo geométricamente y explica para qué puede ser útil.
Enuncia el primer teorema fundamental del cálculo, interprétalo geométricamente y explica para qué puede ser útil.
Enuncia el segundo teorema fundamental del cálculo, interprétalo geométricamente y explica para qué puede ser útil.
Considera que f(x) g(x) 0 para x [a,b]. Determina el área bajo la curva f(x), respecto a g(x) en el intervalo [a,b]. Exprésalo mediante la integral definida. b
Utiliza
f ( x)dx . a
87
HOJA DE TRABAJO 9. CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DEFINIDA. OBJETIVOS: Utilizar diferentes métodos para integrales definidas
Lograr habilidades para aplicar diferentes técnicas de integración y estrategias para llegar a integrales inmediatas. Identificar y realizar los cambios de los límites de integración cuando se realizan cambios de variables. Interpretar el Teorema fundamental del Cálculo y poder utilizarlo.
I.-CONOCIMIENATOS PREVIOS: CONCEPTOS PARA RECORDAR Responde lo que tu recuerdes :
Escribe los diferentes métodos de integración que conoces
Expresa el procedimiento a seguir en cada uno de los métodos.
Enuncia el teorema fundamental del Cálculo. Señala la forma de utilizarlo para hallar el valor de una integral definida.
Justifica teniendo en cuenta los conceptos. Explica el significado de : i) “Al hallar una primitiva obtienes una función que tenías antes de diferenciar” ii) “Al hallar una integral indefinida obtienes una familia de funciones” iii) “Al hallar una integral definida obtienes un número real
88
II.
CONSCTRUCCIÓN DEL CONCEPTO. Identificar, interpretar y analizar
Al hacer un cambio de variable, por ejemplo t = sen (x) ¿existe cambio del conjunto donde varía la nueva variable? Es decir cuando x varía en el conjunto [0,2π] en qué conjunto varía t?
Discutir con los compañeros del equipo
Al hacer los cambios de variable indicados explica como se modifica el conjunto donde varía la nueva variable. Cambio variable
de Conjunto donde varía antigua variable
Cambio de los valores Conjunto donde varía la extremos del intervalo para la nueva variable la nueva variable
x y= tan (x)
[0,π/4]
y
0 π/4 x
z=(x-2)3
[3,20]
z
3 20 x
z2= ex-1
[0.ln(2)]
z
0 ln(2)
t=sen(x)
x= t
2
x=2t-1
x
t
t
x
[√2/2,1]
[0,4]
[1,3]
89
z=tan(t)
[π/4, π/2]
y = cos(x)
[π/3, π/2]
t=arcsen(x/2)
[0,2]
y=arctan(x/4)
[0,4]
t x=g(t)
[a,b]
x
a b
¿Para hallar la integral definida utilizas los mismos métodos de integración que para la integral indefinida?
Señala los casos donde necesitas hacer cambio de los límites de integración. Explica y justifica.
Escribir un procedimiento de trabajo para hallar la integral definida que incluya todos los casos de métodos de integración.
III.
SINTETIZAR LAS IDEAS PRINCIPALES
Busca en cualquier bibliografía de Cálculo y expresa las características de:
Métodos para integral definida
¿Bajo qué condiciones tienes que aplicar más de un método? Justifica tu respuesta.
90
IV.
ACCIONES
EN
EL
AULA.
SOLUCIÓN
DE
EJERCICOS
Y
PROBLEMAS
CLASIFICA LAS INTEGRALES DE CONSIDERAS DEBES DE UTILIZAR.
ACUERDO
AL
MÉTODO
QUE
TU
Integral con expresiones
Integral con integrando de funciones trigonométricas y
que contienen radicales
límites de integración cambiados
1.- ∫
√
2.- ∫
3.- ∫
4.- ∫
5.- ∫
√
√
√
√
91
6.- ∫
√
-Halla las integrales del inciso anterior. -Discute con tus compañeros de equipo los métodos utilizados y compara los resultados. -Explora, trabaja y utiliza el software libre sobre matemática que permite el cálculo simbólico y numérico de integrales
http://sagemath.org/ V.
TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE
Realiza Una búsqueda bibliorgráfica de ejercicios sobre integral definida donde necesitas hacer cambio de variable para calcular la integral. Señala en cada caso el cambio de los límites de integración y explica con palabras y gráficamente la necesidad de cambio de los límites de integración.
VI. CONCLUSIONES
- Resume en forma breve como identificas que tienes que utilizar el método de integración porsustitución, es decir, bajo cuáles características debes de utilizar este método y bajo cuáles no es necesario hacerlo.
-¿Cuándo tienes que aplicar este método?
-Expresa el algoritmo de trabajo para el método de integración
92
IV. INTEGRAL IMPROPIA
93
HOJA DE TRABAJO 10. INTEGRAL IMPROPIA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE LA INTEGRAL IMPROPIA
OBJETIVOS:
Establecer el concepto de integral impropia a partir del concepto de integral definida. Interpretar gráficamente la aplicación de las integrales impropias mediante el estudio de la función, haciendo énfasis en el dominio de definición y sus posibles puntos de discontinuidad. Interpretar el resultado obtenido en una integral impropia bajo la perspectiva de convergencia o divergencia. Conjeturar los teoremas típicos de la integral impropia. Argumentar las demostraciones de los teoremas de la integral impropia. Aplicar los teoremas típicos de integral impropia.
I.-CONOCIMIENTOS PREVIOS: CONCEPTOS A RECORDAR Responde lo que tu recuerdes :
¿Qué es un intervalo? Ejemplos.
¿Cuál es la diferencia entre intervalo finito e intervalo infinito? Ejemplos.
¿Cuál es el concepto de “límite”’? Ejemplos.
¿Cuándo se dice “diverge”?
Señala las diferencias existentes entre un límite lateral por la izquierda y otro por la derecha.
¿El álgebra de límites regulares es aplicable a la de límites unilaterales? Explicar verbalmente.
que el límite de una función “converge” y cuándo
94
¿Qué condiciones tienen que cumplirse para que una función sea continua en punto?
¿Qué tipos de discontinuidad se presentan?
¿Cuándo se presenta una discontinuidad infinita?
¿Cómo se define el concepto de discontinuidad infinita? ¿Cuándo tiene lugar una discontinuidad de tipo infinito?
¿Qué es una forma indeterminada?
¿Bajo qué condiciones es aplicable la regla de L´Hôpital?
Se denomina partición regular de un intervalo a
La interpretación geométrica de la integral definida está dada por
La integral definida se define como
La notación de integral definida es
Algunas de las aplicaciones da la integral definida son:
¿Qué propiedades se cumplen para la integral definida?
¿Qué condición se le pide a la función f(x) para que sea integrable en el intervalo cerrado [a,b]? Da ejemplos de funciones que no sean integrables en un intervalo
En la teoría de integral definida, ¿qué plantea el teorema fundamental del cálculo? En los siguientes incisos se presenta la indeterminación 0/0, ¿Cómo rompes la indeterminación en cada caso? grafica en una calculadora y observa el comportamiento gráfico bajo las condiciones dadas, explica lo que observas en cada caso.:
95
x 2 3x 2 (a) Limite 3 , x 0 2 x 2x 1 x 2 (b) Limite , x 1 1 x
x3 1 (c) Limite 3 , x 1 4x x 3 8x 2 (d) Limite , x 0 cos( x) 1
En cada uno de los inciso siguientes (1 al 20)
a) Grafica la función integrando. Determina si se cumplen las hipótesis del segundo teorema fundamental del cálculo. En caso de no cumplirse alguna de las hipótesis, señala cuál b) A partir del teorema y del concepto de integral definida, interpreta el significado de las integrales, ¿identificas algún problema?, ¿cuál?, ¿cómo lo resolverías?: (Sugerencia para facilitar tu trabajo agrupa las que tienen el mismo integrando y diferentes límites de integración. Observa las diferentes situaciones y clasifica los problemas que se presentan por no cumplir alguna de las hipótesis del teorema fundamental del cálculo)
1.
dx 1 x 2
6.
dx 2 (x 1) 2 7.
1
12.
1
2.
2
1
dx x2
dx x
13.
18.
1
dx x
dx 1 x 2 0
3. 8.
dx 14. x 1
1
dx x 2
2
19.
1
0
dx x 2 1
dx x2
0
e
2x
dx 1 x 3 1
9.
dx
dx x 3 1
4.
15.
5
1
20.
96
1
e 2 x dx
dx x3
5.
10.
dx x 1
0
5
1
dx x 1
dx 1 x 3 0
16.
11.
dx 2 (x 1) 2
2
1
0
dx x3 17.
Busca en cualquier bibliografía de Cálculo y expresa las características de:
Límites laterales Regla de L´Hôpital Intervalo. Intervalo finito. Intervalo infinito. Continuidad. Discontinuidad. Límite. Discontinuidad infinita. Convergencia. Divergencia. Integral definida. Integral impropia de primera clase Integral impropia de segunda clase
II.- CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO. Identificar, intrpretar y analizar Identifica la función de la figura siguiente
Si se intenta encontrar el área bajo la curva, desde 1 al infinito , nos daremos cuenta que tiende a infinito.
97
Explique a que se debe eso
¿Se puede aproximar a un valor real?
Ahora si se hace girar sobre el eje x, y se calcula el volumen se obtiene el valor de pi.
b
V = [ f ( x)]2 dx a
Lla figura es “conocida como la trompeta de Gabriel”
¿Como explicas el resultado?
¿Cómo es posible que el área trasversal de dicho sólido no pueda ser calculada y el volumen sí?
98
En cada inciso (1 a 23):
a) Determina si la función es continua o discontinua en el intervalo [a,b], si es discontinua en uno de los puntos extremos, ¿cómo puedes lograr un punto interior para el cual puedas aplicar el teorema fundamental del cálculo?
b) Si es discontinua en un punto interior, ¿cómo puedes resolver el problema de la discontinuidad?, ¿qué propiedad de la integral definida utilizarías?
c) Plantea de forma única la forma de resolver el problema de las discontinuidades a fin de aplicar el teorema fundamental del cálculo
d) En caso de que uno de los extremos de integración sea infinito, ¿qué puedes hacer para aplicar el teorema fundamental del cálculo?
e) Determina si la integral es convergente o divergente.
dx 1 x 2 1
1.
6.
dx 2 (x 1) 2
2.
2
dx 0 x3 1
7.
1
dx 1 x 2 0
16.
dx 2 (x 1)2 17.∫
21.
11.
12.
1
2
1
dx x3
dx x
22. ∫
dx x
3.
dx x 1
4.
e
dx x2
9.
dx 1 x 3
2
1
8.
13.
0
18.
dx x 1 2
1
dx x2
23. ∫
99
14.
0
2x
dx
1
0
e
19.
2x
1
dx
dx x 2
5.
1
10.
15.
dx x 1
5
0
1
dx x 1
5
1
20.
dx x3
1
dx x3
IV. ACCIONES EN EL AULA.SOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Halla las integrales impropias planteadas en tu hoja de trabajo.
PROBLEMAS DE CONTEXTO.
Determina si es posible asignar un número finito para representar la medida del área de la 1 región limitada por la curva definida por la función f ( x) y el eje X. Exp ( x) Exp ( x) Si se puede asignar tal número, búscalo. (a) En la clase de ayer, Hugo le dijo a Ricardo que las siguientes integrales son 2 2 xdx iguales: y 4 x 2 dx , sin necesidad de evaluarlas. Ricardo no 2 2 4 x2 le creyó y apostaron la cena. ¿Quién pagó la cena? (b) Nuestra intuición nos dice que si el volumen de un cuerpo geométrico es finito, así ocurre con su superficie, es decir, es finita. Pero…esto no es correcto del todo, por ejemplo, consideremos la Trompeta de Gabriel, la cual corresponde a la generación del sólido de revolución asociado a la función 1 f ( x) , donde x 1 . ¿Cuánto vale el volumen? ¿Cuánto vale la x superficie? Comenta con tus compañeros los resultados obtenidos suponiendo que te encargaran pintar dicha superficie con 3.14 litros de pintura, ¿será suficiente la pintura? (c) En ciertas aplicaciones que surgen en ciencia y tecnología surgen integrales
del estilo L( s) f (t ) * Exp (st )dt , donde f (t ) es una función continua. 0
Calcula L(s) si f (t ) 1 , f (t ) t , f (t ) cos(t ) .
(d) La regla de L´Hôpital es de utilidad en el cálculo de ciertas integrales impropias, por ejemplo, calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar f(x) alrededor del eje X la función: x * ln( x), 0 x 2 f ( x) . x0 0 (e) Otro ejemplo donde la aplicación de la regla de L´Hôpital es necesaria es 1
este: ln( x) dx . Calcúlala. Será de utilidad que realices la gráfica de la 0
función señalando el área de interés. 100
(f) Ciertas integrales que parecieran no tener relación con otras, aparecen de manera natural en el proceso de solución de determinados problemas. Por ejemplo, muestra que
0
1
Exp ( x 2 ) dx
0
ln( y) dy . Este ejemplo te
puede servir en el curso de Probabilidad, en relación con la Distribución Normal. (g) Introduciendo la función Gamma. La función Gamma se define como
(n) x n1 * Exp ( x)dx , 0
donde
n 0.
Calcula
lo
siguiente:
(1), (2), (3), (4), (5). Sin hacer el cálculo ¿podrías dar el valor de (6) ? ¿Has manejado estos valores en relación con alguna otra materia u otro contexto? Si es así, ¿con cuál? V.
TRABAJO INDEPENDIENTE EXTRA CLASE
Realiza una revisión de los ejercicios, problemas y teoría de los epígrafes anteriores, analiza la parte que consideras importante para tener como referente en cualquier situación nueva que se te presente y discute con tus compañeros de equipo tus criterios.
VI.
CONCLUSIONES
La integral definida se puede utilizar en múltiples aplicaciones, para las integrales impropias se puede aplicar el teorema del valor medio, considerando la continuidad de la función en un intervalo cerrado adecuado. i)
Si la función es discontinua en el extremo inferior del intervalo, se tiene b
I = ( ________)dx = a
ii)
Si la función es discontinua en el extremo superior del intervalo se tiene b
I = ( ________)dx = a
iii)
Si la función es discontinua en ambos extremos del intervalo, se tiene I b
= ( ________)dx = a
101
iv)
Si la función es discontinua en un punto intermedio del intervalo se tiene b
I = ( ________)dx = a
v)
Si la función f(x) es continua en pero el límite inferior es -, se tiene b
que I =
( f ( x))dx
=
vi)
Si la función f(x) es continua en pero el límite superior es , se tiene
que I =
f ( x)dx = a
vii)
Si la función f(x) es continua en pero el límite inferior es -, el límite superior + se tiene que I =
f ( x)dx =
Expresa de forma única los casos anteriores, explicando en que consiste la idea de evitar la discontinuidad en un punto del intervalo, o los extremos infinitos.
102
V. APLICACIONES DE LA INTEGRAL
103
HOJA DE TRABAJO 11. APLICACIONES. ÁREA Y VOLÚMEN. APLICACIONES DE LA INTEGRAL. CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES
OBJETIVOS:
Relacionar los elementos básicos de integral definida en la construcción de las aplicaciones
Resolver problemas contextuales en los que se utilice el cálculo de áreas y volúmenes
Plantear el cálculo de volúmenes por el método de los discos
I.-CONOCIMIENTOS PREVIOS: CONCEPTOS A RECORDAR
Se denomina partición regular de un intervalo a
La interpretación geométrica de la integral definida está dada por
La integral definida se define como
La notación de integral definida es
¿Qué propiedades se cumplen para la integral definida?
¿Qué condición se le pide a la función f(x) para que sea integrable en el intervalo cerrado [a,b]? Da ejemplos de funciones que no sean integrables en un intervalo
¿Cómo planteas hallar el área de una región plana? 104
Al hallar el área entre dos curvas ¿qué propiedades de la integral definida necesitas utilizar?
¿Cómo puedes determinar los puntos de intersección de ambas curvas?
¿Cómo sabes cuál es la función que está por encima de la otra, sin graficar la función?
¿Bajo qué características de las funciones conviene más usar la forma d
[ f ( y) g ( y)]dy para hallar el área entre dos curvas? c
Si deseas hallar el volumen de un cuerpo cilíndrico y conoces el área de la base ¿podrías hallarlo mediante una integral definida? Explica tus ideas.
Si deseas hallar el volumen de un cuerpo ¿podrías hallarlo mediante la suma de áreas por una integral definida? Explica tus ideas.
105
Si tienes una curva y la haces girar alrededor del eje x, o de una recta cualquiera ¿Cómo plantearías hallar el volumen del cuerpo generado utilizando una integral definida?
b) Busca en cualquier bibliografía de Cálculo y expresa las características de: Concepto de integral definida Propiedades de la integral definida Interpretación geométrica de la integral definida Teoremas sobre la integral definida Area bajo una curva Volumen de un cuerpo a partir de sumas de áreas Volumen de un cuerpo de revolución
II.- CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO. Identificar, interpretar y analizar
i)
HALLA EL VALOR DE LAS ÁREAS DE LAS SIGUIENTES REGIONES LIMITADAS POR CURVAS PLANAS INDICADAS.
y = x2 – 4x, el eje de las x y las rectas x = 2 y x = 6
y = x3 – 2x2 - 5x + 6, el eje de las x y las rectas x= - 2 y x = 2
y = x2 - 4 ; y = - x2 +2x – 4
y2 = 2x – 2; y = x – 5
y = x3 – 6x2 + 8x ; y = x2 – 4x
y2 = x – 1; x = 3 106
y= 2x3 – 3x2 – 9x; y = x3 – 2x2 – 3x
y = sen(x); y = -sen(x) ; x = -π/2 ; x = π/2 b
ii)
HALLA EL VALOR DE LOS SIGUIENTES VOLÚMENES
A( x)dx a
iii)
Cilindro circular recto de altura h y un radio de base de r unidades
Una pirámide de altura h y base cuadrada de lado de s unidades
Una esfera de radio r unidades
Un cono circular recto de altura h unidades y radio de la base a unidades.
HALLA EL VOLUMEN DEL SÓLIDO DE REVOLUCIÓN GENERADO
POR:
la curva f(x) alrededor del eje x en el intervalo [a,b]. b
V = [ f ( x)]2 dx Justifica este planteamiento, a partir del inciso i) a
¿Cómo se plantearía si se gira alrededor de una recta paralela al eje x?
¿Cómo plantearías el volumen de revolución de una región limitada por dos curvas f(x) y g(x) , que gira alrededor del eje x?
¿Cómo cambia el planteamiento si se gira alrededor del eje y?
107
iv)
¿Cómo cambia el planteamiento si se gira alrededor de una recta paralela al eje y?
Calcula el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por la curva y = x2 , el eje x y las rectas x= 1 y x = 2, gira alrededor del eje x
Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3
Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor de la recta x = 1, la región limitada por la curva (x – 1)2 = 20 – 4y, y las rectas x =1, y = 1, y = 3, a la derecha de x =1
Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta región limitada por las dos parábolas y = x2 y y = 1 + x – x2
y = - 3, la
CALCULA LOS VOLÚMENES DE LOS SIGUIENTES SÓLIDOS
a)
-
¿ Cuál es la altura del cilindro?
-
Al realizar un corte transversal al cubo con un ángulo de 30 grados se tiene la siguiente vista plana. Determina el volumen del cubo cortado
108
b)
¿Cuál es el volumen del cilindro mayor? Si tiene 4 unidades de diámetro, y el menor 1 unidad de diámetro Ambos con longitud de 6 unidades c) ¿Qué volumen se tendrá? si el cilindro mayor fuese sustituido por una barra de base cuadrada de 1 x 1 d)
Un terreno que tiene la forma anterior se desea dejar plano, y obedece a la ecuación que se muestra en la figura.
¿Qué cantidad de materia se requiere retirar o agregar
para llevar a cabo esta tarea? 109
iii)
A partir del enunciado expresa matemáticamente como resolver el problema
enunciado. Explica tu planteamiento en base a la teoría de la integral definida (definición, propiedades, interpretación geométrica y teoremas) y discute tus ideas en el equipo.
Un tanque petrolero tiene la forma de una esfera con un diámetro de 60 pies. ¿Cuánto petróleo contiene el tanque si la profundidad del petróleo es de 25 pies?
Dos cilindros circulares rectos, cada uno de radio r unidades tienen ejes perpendiculares. Calcula el volumen de la pieza.
Calcula el volumen de una botella que tú traigas al aula y comprueba si coincide con lo que se declara en el envase.
Diseña una botella que contenga 1 litro de volumen.
III.
SINTETIZAR IDEAS PRINCIPALES
Método de trabajo para calcular el área de una figura plana
Método de trabajo calcular el volumen de un cuerpo i)
De revolución
ii)
De forma irregular
IV. ACCIONES EN EL AULA. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS
Utilizando un software adecuado halla las integrales definidas planteadas en tu hoja de trabajo.
Clasifica los ejercicios en grupos de forma tal puedas establecer un método de trabajo para cada tipo de ejercicios
Establece el método de trabajo para hallar áreas y volúmenes
V. TRABAJO INDEPENDIENTE Revisa los ejercicios, problemas y teoría de los epígrafes anteriores, analiza la parte que consideras importante para tener como referente en cualquier situación nueva que se te presente y discute con tus compañeros de equipo tus criterios. 110
VI. CONCLUSIONES
La integral definida se puede utilizar para hallar el área entre dos curvas f(x) y g(x); b
de forma general se puede expresar como A = ( ________)dx a
Explica las características que deben de tener f(x) y g(x)
Considera que f(x) g(x) para x [a,c] y que f(x) g(x) para x [c,d]. Plantea la forma de hallar el área entre las dos curvas en el intervalo [a,b]
Expresa en que casos es conveniente hallar el área utilizando el incremento en x A = b
( ________)dx a
Expresa en que casos es conveniente hallar el área utilizando el incremento en y A = d
(_____________)dy c
La integral definida se puede utilizar para hallar el volumen de un cuerpo, de forma b
general se puede expresar como V = ( ________)dx a
La integral definida se puede usar para resolver problemas en los que se busca i)
determinar
ii)
conociendo
111
HOJA DE TRABAJO 12. OTRAS APLICACIONES APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN EL CÁLCULO DE
LONGITUD DE UNA CURVA, DE
MOMENTO, CENTRO DE MASA Y TRABAJO.
OBJETIVOS:
Relacionar los elementos básicos de integral definida en la construcción de las aplicaciones
Plantear y resolver problemas contextuales en los que se utilice el cálculo de longitud de una curva, de momento, centro de masa y trabajo.
I.-CONOCIMIENTOS PREVIOS: CONCEPTOS A RECORDAR
Se denomina partición regular de un intervalo a
La interpretación geométrica de la integral definida está dada por
La integral definida se define como
La notación de integral definida es
¿Qué propiedades se cumplen para la integral definida?
Considera que te dan una curva como la que aparece en la figura y te piden calcular su longitud en el intervalo [a,b]. ¿Cómo hallarías su longitud? 9 Estirando la curva y midiendo. 10 Dividiendo el intervalo y considerando en cada subintervalo una aproximación lineal Pi Pi+1 11 Mediante otra estrategia que tu sugieras.
112
b
a
b
En caso de elegir la opción a) del inciso anterior, ¿Cómo logras estirar una curva cualquiera?
En caso de elegir la opción b) , ¿Qué tipo de partición del intervalo sugieres?, justifica tu elección ¿Cómo puedes hallar el valor del segmento de recta Pi Pi+1? Y ¿Cómo expresas la suma de todos los segmentos? ¿Consideras que puedes utilizar el concepto de integral definida para hallar la longitud de la curva? Justifica tu respuesta y explica tu idea.
En caso de elegir la opción c) Expresa matemáticamente tu estrategia.
b) A partir de conceptos físicos, relaciona estos con la integral definida.
El concepto de masa de una barra de longitud L con una densidad lineal en un punto situado a x metros del origen, dada por (x), se da como n
M = lim
(wi) i(x)
i 1
Expresa este concepto como una integral definida y explica por qué puedes hacerlo, su interpretación matemática y física. Considera uno de los extremos en el origen.
El momento de masa de una barra de longitud L considerando uno de sus extremos n
en el origen se define como
M0 = lim
i 1
113
wi (wi) ix
Expresa
este concepto como una integral definida y explica por qué puedes hacerlo, su interpretación matemática y física. El momento de masa con respecto al eje x, de una placa delgada de masa distribuida en forma continua (a esta placa se le llama lámina) , de dos dimensiones está dado n
por Mx = lim
1/2 k f(wi) ix
donde se considera que la densidad
i 1
de área es constante e igual a k kilogramos por metro cuadrado. La lámina se encuentra limitada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a, x = b. Expresa este concepto como una integral definida y explica por qué puedes hacerlo, su interpretación matemática y física.
En física se utiliza el término trabajo para caracterizar la energía de movimiento de un cuerpo cuando éste es movido cierta distancia debido a la fuerza que actúa sobre él. Si f(x) unidades de fuerza actúan sobre un objeto en el punto x del eje x, W unidades es el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se desplaza de a a n
b, entonces
W = lim
f(wi) ix Expresa este concepto como una integral
i 1
definida y explica por qué puedes hacerlo, su interpretación matemática y física.
Compara los conceptos físicos anteriores y establece la similitud de todos ellos en cuanto a su expresión matemática y la diferencia del concepto físico en si. ¿Cómo puedes expresar de manera general la conclusión a la cual has llegado?
c) Busca en cualquier bibliografía de Cálculo y expresa las características de:
Concepto de Longitud de arco del gráfico de una función Concepto de momento de masa Concepto de centro de masa Concepto de centroide Concepto de trabajo
114
II.- CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO. Identificar, interpretar y analizar A partir del enunciado expresa matemáticamente el problema enunciado y plantea como resolverlo. Explica tu planteamiento en base a la teoría de la integral definida (definición, propiedades, interpretación geométrica y teoremas) y discute tus ideas en el equipo.
1) CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS PRINCIPALES PARA CONTROLAR EL ÁNGULO DE FASE DE UNA FUNCIÓN SENOIDAL. A partir de la razón dV/dt = i/c para obtener la apertura de fase de una función senoidal, aplicando la integral definida para obtener una escala lineal. La relación dV/dt es la variación del voltaje con respecto al tiempo y i/c es la razón de la corriente con respecto a la capacitancia cuya razón se utiliza para controlar el ángulo de fase de una función senoidal.
i) Utiliza el tiempo de 8.33ms i= 398e-03 y c= .33e-6. para obtener el valor máximo de voltaje V, que representara el máximo ángulo de apertura. ii) Utiliza el tiempo de 2.33ms y observa el nuevo punto de trabajo y haz lo mismo con 1.33, 3.33 y 5.33. iii) A partir de la razón dV/dt = i/c halla el diferencial de V ¿Que resultado importante se obtiene? Para encontrar v(t) a partir de dv/dt = i/c es necesario acotar el intervalo de operación de la función senoidal para calcular el ángulo de apertura Q, la cual se muestra en la figura
dv/dt
Figura . Función senoidal con dv/dt indicado. 115
- La relación dv/dt es la variación del voltaje con respecto al tiempo y i/c es la razón de la corriente con respecto a la capacitancía. - El tiempo de 8.33 ms es la base de tiempo de cada semiciclo, siendo i= 398e-03 y c= .33e-6. - Son importantes tus propias ideas, los resultados se discutirán en clase. A.- Pregúntate lo siguiente. - ¿Qué es un diferencial? - ¿Que es una región acotada? -
¿Una integral definida representa integrar a un diferencial determinado cuyos límites
son los dos puntos que acotan la región de interés? - Haz un ejemplo de una integral definida y muéstrala gráficamente enunciando aspectos importantes. B.- Preguntas del problema de aplicación. -¿Cuál es la solución general de v(t) y que representa fisicamente? -Encuentra el valor de voltaje v(t) que representa el máximo ángulo de apertura. -¿Cuál es la solución general de v(t) y que representa fisicamente? -Utiliza el tiempo de 2.33 ms y observa el nuevo punto de trabajo y haz lo mismo con 1.33 ms, 3.33 ms y 5.33 ms. -Haz una grafica donde se vean los puntos de apertura, siguiendo la figura 1. Comenta y desarrolla tus propias conclusiones
III. SINTETIZAR LAS IDEAS PRINCIPALES
Cada problema que se considere tendrá un contexto diferente, con términos físicos, químicos, biológicos o técnicos diferentes, pero desde el aspecto matemático todos tienen una idea común.
Analiza la relación entre la integral definida y sus aplicaciones en
diferentes situaciones contextuales. Explica tu idea.
116
IV. ACCIONES EN EL AULA. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS
2) Se requiere 0.05 joules (newtons-metro) de trabajo para estirar un resorte desde una longitud de 8cm a 9cm. Y otros 0.10 joules para estirarlo de 9 cm a 10cm. Evalúa la constante del resorte y encuentra la longitud natural del resorte. 3) De acuerdo con la ley de Torricelli, la razón de cambio del volumen V, de agua con respecto al tiempo en un tanque que se está vaciando es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad del agua. Un tanque cilíndrico de radio 10/√π cm y 16 cm de altura, inicialmente lleno, tarda 40seg en vaciarse. a) Escribe una ecuación diferencial para V en el instante t y las condiciones correspondientes. b) Resuelve la ecuación diferencial c) Encuentra el volumen del agua después de 10 seg 4) La temperatura dentro de mi congelador es de -16°C y la temperatura del cuarto es constante e igual a 20°C . A las 11 pm. se interrumpe la corriente eléctrica durante una tormenta. A las 6 am. de la mañana siguiente veo que la temperatura del congelador se elevó a -10°C. ¿A qué hora alcanzará la temperatura en el congelador el valor crítico 0°C si aun no hay corriente eléctrica? 5) Un fabricante de focos quiere producir bombillas que duren alrededor de 700 horas pero, por supuesto algunas se quemarán más rápido que otras. Sea F(t) la fracción de bombillas producidas por la compañía que se queman antes de t horas, de modo que F(t) siempre se encuentra entre 0 y 1. a) Haga un esquema aproximado de lo que podría ser la gráfica de F(t) b) ¿Cuál es el significado de la derivada r(t) = F’(t)? c) ¿Cuál es el valor de ∫0∞ r(t) dt? ¿Por qué? 6) De acuerdo a la ley de Coulomb, dos cargas eléctricas iguales se repelen entre sí con una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Si la fuerza de repulsión es de 10 dinas (1 dina = 10-5 newton) cuando están separadas 2 centímetros, encuentre el trabajo realizado para llenar las cargas de una separación de 5 centímetros a una separación de 1 centímetro. 7) La función de costo marginal esta definida por C´(x)=6x , donde C(x) es el número de cientos de u.m. del costo total de x cientos de unidades de cierto articulo. Si el costo de 200 unidades es 2000 u.m. obtenga: a) la función de costo total b) los gastos generales
117
8) El costo de una cierta pieza de maquinaria es 700 dólares y su valor se reduce con el tiempo de acuerdo con la formula
dV
/dt = -500 (t + 1)-2, donde V dólares es su valor t
años después de su compra. ¿Cuál será su valor 3 años después de su compra?
ii) Plantea la forma de determinar lo que se pide en cada problema. Utiliza los conceptos físicos mediante el uso de la integral definida .
Halla la longitud de arco de la curva 9y2 = 4x3 desde el origen hasta el punto P: (3, 2 3)
Determina la longitud del arco de la curva 8y = x4 + 2x-2, desde el punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 2 Calcula la longitud de un cable que pende en forma de catenaria entre dos postes distantes 300 mts , el punto más bajo del cable se encuentra a 200 mts sobre el x suelo. Una ecuación de la catenaria es y = 200 cosh ( ). Se 200 sugiere elegir el origen de coordenadas en el centro entre los dos postes.
La longitud de una barra es de 3 pies y la densidad lineal de la barra en un punto ubicado a x pies de un extremo es (5 + 2x) slugs/pie. Calcula la masa total y el centro de masa de la barra.
La longitud de una barra es de 10 m y la medida de la densidad lineal en un punto es una función lineal de la medida de la distancia del punto al extremo izquierdo de la barra. La densidad lineal en el extremo izquierdo es de 2 Kg/m y en el extremo derecho es 3 Kg/m. Calcula la masa total y el centro de masa de la barra.
La medida de la densidad lineal en un punto de una barra varía directamente proporcional como la tercera potencia de la medida de la distancia del punto a un extremo. La longitud de la barra es de 4 pies y la densidad lineal es de 2 slugs/pie en el centro. Calcula la masa total y el centro de masa de la barra.
Una barra tiene 6 mt de longitud y 24 kg de masa. Si la medida de la densidad lineal en cualquier punto de la barra varía directamente como el cuadrado de la distancia del punto a un extremo, determine el valor más grande de la densidad lineal.
Obtener el centro de masa de cuatro partículas cuyas masas son de 2,3,3 y 4 kg, las cuales están ubicadas en los puntos (-1,-2), (1,3), (0,5) y (2,1), respectivamente.
118
La coordenada y del centro de masa de cuatro partículas es 5. Las partículas tienen masas de 2, 5, 4 y k Kg las cuales están ubicadas en los puntos (3,2), (-1,0), (0,20) y (2, -2) respectivamente. Determina k.
Determine el centroide de la región limitada por las fronteras indicadas
ii) iii)
y = x3 y y = 4x en el primer cuadrante y = x2 – 4 y y = 2x – x2
Determina el valor de a si el centroide de la región limitada por la parábola y2 = 4px y la recta x = a, está en el punto (p,0)
¿El centroide de una región plana es necesariamente un punto dentro de la región? Justifica la respuesta mediante la definición de centroide, analizando todas las posibles variantes, inventa un ejemplo para ilustrar la respuesta.
Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulg. Si una fuerza de 20 lb estira el resorte 1/2 pulg, calcula el trabajo realizado al estirar el resorte de 10 a 12 pulg y el trabajo al estirarlo de 12 a 14 pulg. Señala dos situaciones que conozcas en la que ocurra el estiramiento de resortes.
Un resorte tiene una longitud natural de 12 cm. Una fuerza de 600din lo comprime a 10 cm. . Determina el trabajo realizado al comprimirlo de 12 cm a 9 cm. La ley de Hooke se cumple tanto par el estiramiento como para la compresión. Señala dos situaciones que conozcas en que ocurra la compresión de resortes.
Un tanque lleno de agua tiene forma de paralelepípedo rectanguar de 5 pies de profundidad, 15 pies de ancho y 25 pies de largo. Determina el trabajo requerido para bombear el agua del tanque hasta un nivel situado 1 pie por arriba del tanque.
Un tanque de forma de cilindro circular recto tiene 12 pies de profundidad y radio de 4 pies, se encuentra lleno de aceite hasta la mitad, el peso del aceite es de 60lb/ pie3 . Determina el trabajo realizado al bombear el aceite hasta una altura de 6 pies por arriba del tanque.
Un cable de 200 pies de longitud pesa 4 lb/pie y pende verticalmente. Si se suspende un cuerpo cuyo peso es de 100lb del extremo inferior del cable, determina el trabajo efectuado al subir el cable y el cuerpo hasta el extremo superior del cable. Señala tres ejemplos que tu conozcas donde se presente esta situación.
119
V.
Conforme se levanta un saco de harina hasta una altura de 9 pies, la harina se escapa a una razón tal que el número de libras perdidas es proporcional a la raíz cuadrada de la altura alcanzada. Si el saco contenía originalmente 60 lb de harina y perdió un total de 12 lb mientras se levantó 9 pies, calcula el trabajo al levantar el saco. TRABAJO INDEPENDIENTE
Realiza una búsqueda bibliográfica para seleccionar problemas de aplicación de la integral definida. Relaciona los problemas seleccionados con los que aparecen en la sección IV. Establece clasificaciones y métodos de trabajo para las diferentes clasificaciones. Discute tus resultados con los compañeros de equipo.
VI. CONCLUSIONES
Revisa todos los planteamientos de los problemas y busca la similitud entre cada uno de los planteamientos.
Determina los planteamientos comunes y la diferencia entre cada uno de los planteamientos.
Enlista y resume las aplicaciones que has hecho de la integral definida. En cada caso explica el concepto físico, económico y de otro tipo que has utilizado.
Explica por qué se puede utilizar el concepto de integral definida en tan variada gama de problemas.
Identifica las características que se deben de tener para aplicar la integral definida en un problema.
Explica el significado matemático en cada uno de los casos.
120
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122
Primera Edici贸n:
13 de septiembre de 2013 con un tiraje de 320 ejemplares
123