EL PAÍS DE LAS OTRAS MATEMÁTICAS by José Quintero

EL PAÍS DE LAS OTRAS MATEMÁTICAS O EL ARTE DE CONTAR SEMILLAS

JOSÉ MANUEL QUINTERO ECHEVERRI

UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO FACULTAD DE EDUCACIÓN PROGRAMA DE MATEMÁTICAS EPISTEMOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS ARMENIA 2009

CONTENIDO

Pág. 1. LAS MATEMÁTICAS MÁS ANTIGUAS DE LA INDIA

2. LAS ENIGMÁTICAS CONCEPCIONES MATEMÁTICAS DE LOS JAINAS

3. LOS MATEMÁTICOS HIDÚES DEL MEDIOEVO Y SU “ARTE DE CONTAR SEMILLAS”

4. EL GENIO INTUITIVO DE RAMANUJAN Y LAS MATEMÁTICAS CONTEMPORÁNEAS HINDÚES 9 BIBLIOGRAFÍA

EL PAÍS DE LAS OTRAS MATEMÁTICAS O EL ARTE DE CONTAR SEMILLAS

Resumen Al dar un vistazo a través de la literatura relacionada con la historia de las matemáticas no se puede pasar por alto el hecho de que diferentes formas de pensar y de ver la realidad conducen a las más interesantes conclusiones y soluciones a problemas prácticos o puramente abstractos. Cada civilización, encabezada por sus mentes más brillantes, ha adoptado rumbos ligeramente diferentes en la, generalmente tortuosa, navegación a través de los números. La cultura hindú es un interesante y destacable ejemplo de ingenio y originalidad, cuyos aportes al conocimiento matemático tal vez no han sido suficientemente valorados hasta nuestros días.

1. LAS MATEMÁTICAS MÁS ANTIGUAS DE LA INDIA Los pueblos más antiguos de los que se tiene alguna referencia en el gran subcontinente indio se encontraban localizados en territorio de la actual República de Paquistán, a orillas del río Indo; se trata de las culturas de Harappa y Mohenjo Daro. De ellas se conoce relativamente poco pero, gracias a los hallazgos arqueológicos, los expertos han podido deducir que se trataba de grupos humanos que lograron una gran madurez económica, cultural y social, en la misma época de los constructores de pirámides del Antiguo Egipto, unos 3000 años a. C. Sorprende de ellos su avanzada ingeniería urbana, con ciudades diseñadas de manera reticular, dotadas de edificios espaciosos, calles principales en el sentido de los vientos, graneros, piscinas y sistemas de alcantarillado domiciliario subterráneo, además de escasos rastros de actividad bélica. Se sabe que poseían un sistema de pesas y medidas bien desarrollado, que les servía para sus actividades comerciales, pues estas dos comunidades, la de Harappa y Mohenjo Daro, aunque distanciadas 600 Km a lo largo del Indo, mantenían un intenso intercambio de mercancías. Infortunadamente no se han encontrado registros escritos de estos pueblos, en gran medida debido a las condiciones climáticas de los lugares, que no han permitido la preservación del papel en que escribían, razón por la cual no hay registros sobre sus conocimientos matemáticos, solo se puede especular acerca de ellos a partir de su logros en otras áreas.

La vanguardista concepción urbanística de la cultura de Harappa se evidencia gracias a las excavaciones arqueológicas realizadas en la década de 1920

El hallazgo de patrones de peso y de longitud presume una normalización de los sistemas de pesas y medidas Esta civilización decayó hacia 1500 a. C., probablemente debido a las invasiones arias, las cuales iniciaron un nuevo capítulo en la historia india, conocido como el período védico, durante el cual la población nativa se enfrentó a los invasores, que en última instancia terminaron dominando vastos territorios e imponiendo sus creencias, cultura y

tradiciones, aunque no sin un alto grado de sincretismo. Una nefasta consecuencia de la conquista aria de la India sigue vigente hasta la actualidad; se trata del sistema de castas impuesto por la clase sacerdotal dominante y que tenía origen en la diferencia entre el color de la piel de los invasores (blancos) y de los indios autóctonos (morenos). Es precisamente gracias a los sacerdotes y a las creencias religiosas imperantes en aquel entonces que se han obtenido las primeras referencias escritas acerca de las matemáticas hindúes, ya que entre sus prácticas se encontraba presente la realización de rituales de sacrificio en altares especialmente construidos para tal fin y una de las condiciones para que la ofrenda tuviera efecto sobre los dioses era que el altar cumpliera con ciertas características constructivas y geométricas específicas. Con el transcurso del tiempo estas “normas” se hicieron cada vez más complejas, a tal punto que solo los especialistas podían interpretarlas. El conjunto de los rituales sagrados de los sacrificios fue codificado alrededor del año 1000 a.C. en unos escritos en verso, llamados Vedas (Sabiduría), a los cuales, siglos después, se les añadieron unos apéndices conocidos como Vedangas, que trataban sobre fonética, ritual, gramática, etimología, métrica y astronomía. Son estos dos últimos temas los que introducen al conocimiento explícito de las matemáticas indias antiguas, pues los Vedangas (conocidos como sulvasutras o reglas de las cuerdas, por los cordeles con los que se medían las longitudes), contenían las instrucciones precisas sobre la contrucción de los templos y altares, con problemas tales como trazar un altar con una forma y un área determinados, obtener un círculo de área igual a un cuadrado conocido o un cuadrado de área dos veces mayor que otro cuadrado dado. Para esta época los matemáticos hindúes ya conocían el teorema de Pitágoras, una aproximación del número pi y cómo calcular la diagonal de un cuadrado, entre otros aspectos; pero al contrario de los griegos que abordaron estos problemas desde la geometría, sus métodos eran de naturaleza algebraica; una gran diferencia. Uno de los problemas relacionados con el estudio de las antiguas matemáticas indias es que existe una gran cantidad de vacíos en el tiempo, es decir, que solo se dispone de datos aislados y textos separados por siglos; significa ésto que tal vez se ha perdido mucha información valiosa. Esta falta de continuidad nos lleva a un salto hasta el s. IV d. C., época en la que aparecen los Siddhantas o sistemas astronómicos, durante el florecimiento de la llamada dinastía Gupta (establecida por reyes hindúes). El contenido de estas obras es en su mayor parte trigonometría, abordada, de nuevo, desde una perspectiva diferente a la de otros pueblos, básicamente porque en el caso del referente griego, que es la astronomía de Tolomeo, la trigonometría se basaba en la relación funcional entre las cuerdas y los correspondientes arcos de una circunferencia. En los Siddhantas se considera la relación funcional entre las semicuerdas y la mitad de los arcos. El antepasado de la función seno nace precisamente en esta consideración.

Altar de base cuadrada 2. LAS ENIGMÁTICAS CONCEPCIONES MATEMÁTICAS DE LOS JAINAS El jainismo fue fundado en la India por el filósofo Mahāvīra en el siglo VI a. C.; se trata de una religión nastika (no teísta), que no reconoce la autoridad de los textos Vedas ni de los brahmanes. Ya en este punto sorprende al hombre occidental el concepto de una religión sin dios, pero sus concepciones van más allá, pues uno de los aportes más interesantes de los jainas a la matemática es la noción de infinito y su manera de concebirla en una época tan remota. Consiste en una especulación de carácter metafísico, la cual parte de la afirmación de que el tiempo no tiene principio ni final, pues hace parte de los ciclos cósmicos, que no han sido creados ni acabarán. La rueda que representa el tiempo está compuesta por seis radios o ciclos ascendentes y descendentes. Por ejemplo, el primer ciclo descendente, llamado la “edad extremadamente maravillosa” dura 400 billones de océanos de años, donde un océano de años equivale a cien millones de veces cien millones de palyopamas, término que a su vez designa un período de incontables años. El palyopama es en realidad una aproximación a la noción de infinito, pero a su vez, hay otros infinitos superiores, como el océano de años. Obviamente estas cifras desbordan incluso los datos actuales sobre la edad del universo y deben ser asumidas con carácter alegórico. Al respecto, el estudioso español Salvador Paniker afirma: “Los tecnicismos matemáticos de la cosmografía india no pretenden describir científicamente el universo, sino que miran de describirlo cosmológicamente. Es decir, no tratan de descubrir las leyes abstractas de la estructura del universo, sino de proveer de un marco, un contexto en el que la vida y el camino espiritual de las personas puedan insertarse. El jainismo habla siempre de un universo moral en el que se establecen simetrías con la progresión espiritual...” [1].

En la matemática jaina existe una clasificación de los números “numerables” o contables: los mínimos, los intermedios y los máximos, que se aproximan, éstos últimos, al concepto de número transfinito definido por George Cantor en el s. XIX. Después de los números contables están los “innumerables” y aún más, después de los innumerables existen los infinitos, que se dividen en casi finitos, verdaderamente finitos e infinitamente infinitos. El número infinito se define en la literatura jaina como: “Aquel número que no se agota por la sustracción continua por un tiempo sin fin” [1]. Una verdadera concepción del infinito, que occidente tardó más de mil años en abordar con propósitos muy diferentes a aquellos de los jainas.

La rueda del tiempo hindú

En este punto es interesante señalar que buena parte de los conceptos matemáticos de los jainas parecen tener un origen diferente al de los Vedas, ya que no se basan en la construcción de templos ni altares; es éste el caso de una obra del matemático jaina Umaswati, en la que relaciona correctamente los elementos de la círcunferencia y obtiene un valor del número pi igual a 3,162, más aproximado que el de 3, conocido en aquella época.

3. LOS MATEMÁTICOS HIDÚES DEL MEDIOEVO Y SU “ARTE DE CONTAR SEMILLAS” En la India, alrededor del siglo V d.C. se desarrolló un sistema de matemáticas que permitía hacer cálculos de manera sencilla. Al inicio, su aplicación fue limitada a la astronomía, ya que sus pioneros fueron astrónomos. Los cálculos astronómicos eran complejos e involucraban muchas variables que representaban cantidades desconocidas. El álgebra como método de cálculo se adapta muy bien a estos requisitos, pues resume mucha escritura y por esta razón sustituyó a los cálculos aritméticos convencionales. En la India antigua las matemáticas convencionales conocidas antes del álgebra se denominaban Ganitam, por lo que a esta última se le denominó Bijaganitam, donde el término Bija significa ‘otro’, ‘en segundo lugar’ o ‘semilla’ y Ganitam significa ‘matemáticas’ o ‘cuenta’. El hecho de que haya sido elegido este término para este sistema de cómputo implica que fue reconocido como sistema paralelo, pero diferente al convencional. Así, las otras matemáticas (o el arte de contar semillas), nacieron en la India alrededor del s. V d. C. Después de la aparición de algunos de los matemáticos más importantes de la historia hindú, como son Aryabhata (cuya obra, Aryabhatiyam (499 d.C.), incluye problemas sobre series, permutaciones y ecuaciones lineales y cuadráticas), Brahmagupta (con su Brahmasiddhānta (628 d.C.), que contiene una regla para resolver ecuaciones cuadráticas), Mahavira (quien en el Ganita-Sāra Sangraha (850 d.C.), incluye un largo número de problemas que involucran series, radicales y ecuaciones) y Bhaskara (en el Bija Ganita (1150 d.C.), extiende su trabajo a través de las ecuaciones cuadráticas), vendrá un largo período de sucesivas invasiones, el cual no terminará hasta el s. XX. Esta época inicia con los árabes, quienes difundirán por Europa los amplios conocimientos matemáticos de los hidúes, entre ellos el bijaganitam, al que llamarán al-yabr y el sistema de numeración decimal posicional, que recibirá también sus aportes. Recientemente, investigadores de la Universidad de Manchester (R.U.), confirmaron que durante el s. XIV, en plena época de invasiones, matemáticos de la Escuela de Kerala (famosa por sus estudios revolucionarios sobre el cálculo), identificaron las series infinitas, entre ellas una serie del número pi, con la cual pudieron calcular el valor de esta constante con aproximación a 17 decimales. Gracias a este descubrimiento puede afirmarse que los sabios hindúes se adelantaron unos tres siglos a Newton y Leibniz. Es bastante probable que estos conocimientos hayan sido transmitidos a misioneros jesuitas en la India durante el s. XV, de quienes, muchos años después, el mismo Isaac Newton ha de haberlos obtenido. "Los inicios de las matemáticas modernas son vistos usualmente como un logro europeo, pero los descubrimientos en la India medieval entre los siglos XIV y XVI han sido ignorados

u olvidados. El esplendor del trabajo de Newton a finales del siglo XVII resiste cualquier posible disminución, sobre todo cuando analizamos los algoritmos de cálculo. Pero otros nombres de la Escuela de Kerala, en particular Madhava y Nilakantha, merecen valorarse a la misma altura que él, ya que descubrieron el otro gran componente del cálculo, las series infinitas”, afirma George Gheverghese Joseph [2].

4. EL GENIO INTUITIVO DE RAMANUJAN Y LAS MATEMÁTICAS CONTEMPORÁNEAS HINDÚES Cerca de setecientos cincuenta años después de la muerte de Bhaskara, se conocería de otro personaje que, de alguna manera, heredaría la poderosa capacidad intuitiva de sus coterrános matemáticos y que se igualaría al primero en ingenio, falta de orden en sus trabajos y desinterés por la geometría. Se trataba de Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920), matemático autodidacta de origen humilde que estuvo a punto de pasar desapercibido por la historia, de no ser porque el también matemático G. H. Hardy decidió en último momento leer una carta que éste le había enviado, en la cual adjuntaba unas 120 fórmulas, muchas de las cuales superaban los conocimientos del mismo Hardy. Ramanujan fue un matemático excepcional, pertenecía a la casta hindú de los Brahmin, cuyo nivel de espiritualidad es muy elevado e impone una forma de vida bastante austera. Solía afirmar que sus teoremas, que abarcan todo un abanico de temas y áreas de las matemáticas, eran una inspiración onírica de la diosa Namagiri. Pues si así lo fue, esta deidad local del distrito de Namakkal ha sabido muy bien como mantener ocupados a muchos matemáticos de todo el mundo con sus creaciones, legadas a la humanidad a través de su discípulo más destacado. Y aunque varios de sus numerosos teoremas no son correctos (no se haga extraño ésto, ya que los dioses hindúes son falibles como nosotros), sus aplicaciones son tan amplias, que van desde la arquitectura de los computadores hasta la investigación del cáncer. Se afirma que la obra de Ramanujan representa la culminación de la teoría aritmética de los números, iniciada, miles de años atrás, por los antiguos pitagóricos, ya que profundiza en los misterios más abstractos de la noción del número, y particularmente de los números primos. Tal vez solo algunos en la historia han hecho tanto con tan poco. Tendrían que pasar casi 90 años más para que el ingenio matemático hindú se hiciera de nuevo evidente en la persona de un homónimo del anterior, Srinivasa S. R. Varadhan, quien en el año 2007 recibió el premio noruego Abel (el equivalente en matemáticas del Nobel sueco), por su aporte a la teoría de la probabilidad y en particular por la creación de una teoría unificada sobre grandes desviaciones. Al respecto de este trabajo Kristian Seip, Presidente del Comité Internacional Abel, declaró: “El trabajo de Varadhan, tiene una gran

fuerza conceptual y una belleza eterna. Sus ideas tienen una gran influencia y continuarán estimulando durante mucho tiempo, a la investigación”.

Srinivasa Ramanujan El indologista australiano A.L. Basham, afirma en su obra ‘La maravilla que fue la India’, que “... el mundo debe la mayoría del reino de las matemáticas a la India, que fueron desarrolladas en el período de Gupta a una etapa más avanzada, no alcanzada por ninguna otra nación de la antigüedad. El éxito de las matemáticas indias era debido principalmente al hecho de que los hindúes tenían una concepción clara del número abstracto, a diferencia de la cantidad numérica de objetos o extensión espacial.” [2] Cabe preguntarse, ¿Cómo se consideraría la obra de Bashkara si éste hubiese nacido en la Grecia Antigua?, ¿en qué pedestal del trono de los sabios estaría? Seguramente sería tan famoso como Aristóteles, Pitágoras o Arquímedes. Por otro lado, ¿cuál habría sido la suerte de Ramanujan de haberse desarrollado en una sociedad occidental moderna, con todas las posibilidades de obtener una educación de más alto nivel? Es probable que se le considerase universalmente como uno de los matemáticos más brillantes de todos los tiempos y hasta un estudiante de secundaria reconocería su nombre. Tal vez llegue el momento de reivindicar a los “maestros del infinito”, a los especialistas en el “arte de contar semillas” y a los “inspirados por los dioses”, lo cual puede ocurrir en la

medida en que progresen las investigaciones, se descifren los textos escritos en lenguas olvidadas y se supere el prejuicio frente a los logros de culturas no europeas, con las cuales la humanidad entera tiene una gran deuda histórica.

BIBLIOGRAFÍA 1 http://personal.us.es/cmaza/india/geografia.htm#Geograf%C3%ADa%20e%20Historia 2 www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-1-1-india.pdf 3 “Wikipedia”, (wikipedia.org), disponible: http://es.wikipedia.org/wiki/Escuela_de_Kerala (Consultado: 2009, abril 07) http://en.wikipedia.org/wiki/Namakkal (Consultado: 2009, abril 07) http://en.wikipedia.org/wiki/ Namagiri (Consultado: 2009, abril 07) http://es.wikipedia.org/wiki/Jainismo (Consultado: 2009, abril 09) 4 COLLETTE, Jean-Paul. Historia de las matemáticas.2ª ed. México: Siglo veintiuno editores, 1986. 347 p. 5 http://www.bibliotecapleyades.net/retorno_brujos/retorno_brujos07f.htm (Consultado: 2009, abril 16)

6 http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_mathematics.html(Consultado: 2009, abril 15) 7 http://india.coolatlanta.com/GreatPages/Sudnneer/maths.html (Consultado: 2009, abril 15)