Historia Física cuántica by jnl arquitecto

HISTORIA DE LA FISICA CUANTICA

Heisenberg, imprecisión y revolución cuántica A sus 32 años, Werner Heisenberg fue uno de los científicos más jóvenes entre los galardonados con el Nobel. Tras uno de los principios fundamentales de lafísica, se halla una historia de ambición y feroz competencia David C. Cassidy

ntre los muchos logros científicos del siglo xx, quizás el fundamental sea la mecánica cuántica. Ideada por un puñado de físicos europeos de mente preclara, la ciencia del átomo exige transformaciones profundas y controvertidas en nuestra comprensión de la naturaleza. La materia puede consistir en ondas o en partículas, según como la observemos; la causa y el efecto ya no están íntimamente conectados. Esta interpretación de la mecánica cuántica -las prescripciones sobre el cómo y el cuándo de su uso y sobre qué nos dice del mundo físico- fue elaborada en Copenhague en 1927. Debido a la difusión que le dieron sus creadores y al éxito sorprendente que obtuvieron sus partidarios, la interpretación de Copenhague adquirió ya en los años treinta el prestigio de que goza hoy. Pero una "interpretación" no es más que eso. Su origen, defensa y aceptación pudieron haber sido, en aspectos importantes, fruto de circunstancias históricas y preferencias personales, tanto como de su validez científica. El papel desempeñado en la ciencia por el talante del hombre queda ejemplificado, quizá como en ningún otro caso, en uno de los principales inventores y más activos defensores de la interpretación de Copenhague, Werner Karl Heisenberg. Ocurrió en febrero de 1927, Y tenía 25 años, cuando este asistente posdoctoral de Niels Bohr formuló lo que constituye su contribución más famosa en el dominio de la física y es elemento clave para la interpretación de Copenhague: el principio de imprecisión o indeterminación. Como la interpretación de Copenhague, este principio puede considerarse el resultado de la búsqueda de un método coherente de 6

conectar el mundo cotidiano dellaboratorio con ese mundo, nuevo y extraño, propio del minúsculo átomo. Dicho brevemente, el principio de imprecisión afirma que la medida simultánea de dos variables llamadas conjugadas, como la posición y el momento lineal de una partícula en movimiento, impone necesariamente una limitación en la precisión. Cuanto más precisa sea la medida de la posición, tanto más imprecisa será la medida del momento, y viceversa. En el caso extremo, la precisión absoluta de una de las variables implicaría imprecisión absoluta respecto a la otra. (N. del T.: Se traduce sistemáticamente por imprecisión el término inglés uncertainty, con el que vino a expresarse el adjetivo original alemán unscharf. Se pretende con ello eliminar toda acepción psicológica, de estado de la mente, que conlleva el término castellano incertidumbre. Tal acepción es totalmente ausente tanto en Heisenberg como en Cassidy.) Esta indeterminación no debe achacarse al experimentador, sino que se trata de una consecuencia fundamental de las ecuaciones cuánticas y es característica de todo experimento cuántico. Más aún, Heisenberg declaró absolutamente inevitable el principio de imprecisión, en la medida en que fuera válida la mecánica cuántica. Era la primera vez, desde la revolución científica, que un físico de primera línea proclamaba una limitación al conocimiento científico. Junto con las ideas de Bohr y Max Born (otras lumbreras), el principio de imprecisión de Heisenberg constituía el sistema lógicamente cerrado de la interpretación de Copenhague, que Heisenberg y Born proclamaron completa e irrevocable ante una reu-

nión de los principales físicos cuánticos en octubre de 1927, con motivo del quinto congreso Solvay sobre física fundamental celebrado en Bruselas. A las pocas semanas de ese acontecimiento, Heisenberg fue nominado para la cátedra de física teórica de la Universidad de Leipzig. Con sólo 25 años, era el catedrático más joven de Alemania. a extrema juventud de Heisenberg L en el momento de su obra más significativa señala un rasgo característico que habría de definir a toda su investigación de primera hora: el ansia casi insaciable de éxito académico y la necesidad de destacar como el mejor en todo lo que hacía. De ese estado de ánimo podemos rastrear su explicación hasta el entorno familiar. Los Heisenberg eran una familia muy culta y ambiciosa, que fue escalando peldaños hasta instalarse en la clase media alta de la sociedad germana. La unificación de Alemania bajo Otto von Bismarck hacia finales del siglo XIX, con el vigoroso crecimiento consiguiente de la economía, había creado una apremiante necesidad de burócratas, diplomáticos, jueces, abogados y empresarios. En consecuencia, las nuevas universidades y escuelas conocieron un espectacular despegue. Y se prestigió el reconocimiento y la remuneración económica de los docentes y de sus alumnos más brillantes. Tanto el padre de Werner, August, como su abuelo materno, Nikolaus Wecklein, se habían remontando desde sus orígenes humildes hasta la cumbre de la alta burguesía alemana mediante logros académicos. Wecklein era director de un renombrado instituto (Gymnasium) de Munich, y August en 1910 fue nombrado profeTEMAS3!

1. WERNER HEISENBERG realizó sus principales aportaciones a la física cuando apenas contaba ventitantos años de edad. La fotogra-

FENÓMENOS CUÁNTICOS

fía se tomó hacia 1924, en la Universidad de Gotinga. donde impartió la clase que le habilitó para una cátedra.

'"......

;l>

>-3 tn 3:

•

~~g~:~g~~L~~~~~~~~'d~~ÁG~~j\~'~,~,~~~~~~~ ~~~~RB~~A~~~~~~~~I~~~N~J V:~~7~~~~~~~ CA

W , NIELS BOHR PHOTO L1BRARY (e);

ll:l

sor de filología bizantina en la Universidad de Munich. Ambos contrajeron matrimonio dentro de su nueva situación social. Desde su mismo nacimiento en 1901, la familia de Werner decidió que él persistiera también en ese nivel privilegiado mediante una cómoda situación académica. Creyendo que la competencia alentaría el éxito en los estudios, August estimuló la rivalidad entre Werner y su hermano mayor, Erwin. Durante años los dos muchachos pugnaron sin cuartel, hasta que un día la lucha acabó en una pelea violenta con las sillas como armas. Llegados a la edad adulta, cada uno siguió su propio camino - Erwin se trasladó a Berlín y se hizo químico- y, fuera de esporádicas reuniones familiares, tuvieron poco contacto. a ambición de Werner por alcanzar la cumbre se evidencia con L claridad durante el período comprendido entre julio de 1925, cuando desarrolló, con sus colegas Born y Pascual J ordan, una descripción matemática de la mecánica cuántica, y febrero de 1927, cuando formuló las relaciones de imprecisión. La confluencia de dos procesos convirtió en determinante ese afán durante dicho intervalo. En primer lugar, varias cátedras de física teórica quedaron de repente vacantes en la Europa central de lengua alemana. Esos cargos constituían una gran oportunidad para un académico ambicioso como Heisenberg, que ya se había habilitado en la Universidad de Gotinga, es decir, había sido reconocido apto para ocupar una cátedra de enseñanza universitaria. En segundo lugar, y quizá más importante, fue la aparición de una descripción matemática nueva y rival de la mecánica cuántica. Heisenberg y sus colegas habían desarrollado en 1925 un formalismo de la mecánica cuántica, basado en las matemáticas abstractas del cálculo matricial. Para sus autores, esta "mecánica matri-

cial" incardinaba su voluntad de fundarse, de manera exclusiva, en magnitudes observables en el laboratorio. Sostenían puntos esenciales como la existencia de saltos cuánticos y discontinuidades en los átomos, y rechazaban la idea de modelos atómicos visualizables (anschaulich). Erwin Schrodinger, un físico vienés de 39 años que trabajaba entonces en Zurich, atacaba los enigmas de la física atómica desde un punto de vista totalmente distinto y con objetivos enteramente otros. En una serie de artículos publicados durante la primera mitad de 1926, Schrodinger presentaba una ecuación de ondas cuántica, basada en una hipótesis que había propuesto el doctorando francés Louis de Broglie. La idea, recibida favorablemente por Einstein, era que toda materia en movimiento podía considerarse como ondas. Schrbdinger, sirviéndose de esa noción, aducía que las "ondas de materia" del electrón excitaban modos armónicos de vibración en el interior del átomo. Estos armónicos reemplazaban los estados atómicos estacionarios de la teoría matricial; en vez de saltos cuánticos discontinuos, había transiciones continuas de un armónico a otro. Si eso era verdad, Schrbdinger tornaba inútiles los puntos fundamentales de la mecánica matricial de Heisenberg. La mayoría de los físicos acogieron con satisfacción el enfoque más familiar de Schrbdinger, a tendiendo poco a su manera de interpretarlo. Esta situación cambió bruscamente en mayo de 1926, cuando Schrbdinger publicó una prueba de que los dos formalismos rivales eran, de hecho, matemáticamente equivalentes. Heisenberg y sus colegas matriciales repusieron su causa y lo hicieron en términos que fueron adquiriendo por ambas partes tonos emocionales crecientes. Schrbdinger no se mostraba muy cooperador. En su artículo sobre la equivalencia no pondera por igual los dos esquemas opuestos, sino que resaltaba la superioridad del suyo

2. PERSONAS QUE INFLUYERON en la vida de Heisenberg. Debemos empezar por su abuelo, Nikolaus Wecklein (a), y su padre, August, que aparece con su esposa, Anna, y sus hijos, Erwin (de pie) y Werner (b). Abuelo y progenitor inculcaron afán de triunfo académico en los dos muchachos. Heisenberg estudió con Niels Bohr (e), con quien más tarde desarrolló la interpretación de Copenhague. Uno de los primeros rivales de Heisenberg fue Erwin Schrtidinger (d), cuyo formalismo ondulatorio constituía un reto a la mecánica matricial, elaborada por Heisenberg con Max Born (e) y Pascual Jordan (f, a la derecha). Wolfgang Pauli (g) fue una fuerza de primer orden, que ayudó a Heisenberg a elaborar el principio de imprecisión en 1927. En 1929 Heisenberg se embarcó en una vuelta al mundo docente para difundir el "espíritu de Copenhague", llegando a los Estados Unidos, Japón, China y, finalmente, la India (h).

FENÓMENOS CUÁNTICOS

propio. En una famosa nota al pie, llegó a escribir: "No veo ninguna conexión genética de ningún tipo [entre el trabajo de Heisenberg y el mío propio]. Por supuesto que conocía su teoría, pero me sentía desanimado, por no decir repelido, por los métodos de álgebra trascendental, que a mí me parecieron difíciles, y por la falta de visualizabilidad [Anschaulichkeit]." En carta a su íntimo colega Wolfgang Pauli, Heisenberg respondía en el mismo tono: "Cuanto más pienso en el aspecto físico de la teoría de Schrbdinger, más repulsiva la encuentro ... Lo que escribe Schrbdinger sobre la visualizabilidad de su teoría 'probablemente no es del todo correcto' [eco de una expresión típica de Bohr], en otras palabras, es basura [Mist]." La única ventaja del método de Schrbdinger, decía a quien quisiera oírlo, es que permite un cálculo simple de las probabilidades de transición atómicas, o probabilidades de saltos cuánticos, para poder insertarlas en las matrices de la mecánica cuántica. Pauli estaba de acuerdo. na lectura detenida de las observaciones nos revela que lo que U provocó el conflicto no era la equivalencia (Pauli la había probado sin más ni más un mes antes), sino lo que cada bando sacaba de ella. Heisenberg y su escuela matricial se habían empeñado a fondo en las propiedades de la naturaleza que creían existir y estar incorporadas en su mecánica matricial. Habían apostado su futuro en ese enfoque. Schrbdinger había arriesgado su reputación en eliminar la discontinuidad y los saltos cuánticos al parecer irracionales, resucitando la física de los movimientos ondulatorios, racionales, causales y continuos. Ninguno de los dos bandos estaba dispuesto a conceder al otro la superioridad, y su probable consecuencia -el predominio profesional-. Se debatía nada menos que la naturaleza de la orientación futura de la mecánica cuántica. Este desacuerdo espoleó aún más la ambición académica de Heisenberg. Una semanas antes de que Schrbdinger publicara su prueba de la equivalencia, Heisenberg había renunciado a una plaza de profesor en Leipzig, en favor del puesto de asistente de Bohr en Copenhague. El incrédulo abuelo de Werner, Wecklein, se apresuró a viajar a Copenhague para disuadir a su nieto de tomar dicha opción, justamente cuando aparecía el artículo de Schrbdinger sobre la equivalencia. La presión renovada 9

---

IIl.m-.nrra . _

•

... ~ .••..4

¿..~-

3. CARTA ESCRITA por Heisenberg a Wolfgang Pauli, en que deriva las relaciones de imprecisión para p y q, donde P, = V2 !i.p Yq, = V2 !i.p. Este fragmento, tomado de una carta de 14 páginas, fue la base de su artículo sobre el principio de imprecisión.

de Wecklein y el desafío de Schrbdinger a las bases de la física matricial redoblaron los esfuerzos de Heisenberg por producir un trabajo de tan alta calidad, que pudiera adqui· rir amplia reputación profesional y le permitiera, en última instancia, hacerse con alguna otra cátedra vacante. Pero al menos tres sucesos de 1926 ahondaron el profundo abismo intelectual entre sus propias ideas y el punto de vista de Schrbdinger. El primero fueron las conferencias de Schrbdinger en Munich sobre su nueva física, a fines de julio. Allí, mezclado en una audiencia multitudinaria, eljoven Heisenberg objetaba que la teoría de Schrbdinger dejaba sin explicar diversos fenómenos. No logró convencer a nadie, y abandonó desalentado la sala. A continuación, durante la reunión de otoño de los científicos y médicos alemanes, Heisenberg fue testigo del soporte abrumador -y a su juicio desquiciadoen favor de las concepciones de Schrbdinger. Por último, en octubre de 1926 se produjo un tenso debate, aunque en último término inconcluso, entre Bohr y Schrbdinger en Copenhague. El resultado final de la disputa fue el reconocimiento de que no se disponía de ninguna interpretación enteramente aceptable, ni del uno ni del 10

otro formalismo cuántico. Quien encontrara tal interpretación, fuera persona o bando, podría dar cumplimiento, expresaba Bohr abiertamente, a sus "deseos" de cómo debiera ser la física del futuro. uestas en marcha estas diversas P motivaciones -personales, profesionales y científicas-, Heisenberg creyó, en febrero de 1927, haber dado de repente con la interpretación necesaria: el principio de imprecisión. Su progreso intelectual hacia esta idea, a finales de 1926 y principios de 1927, se apoya en la investigación de sus colegas más próximos, especialmente de J ardan y de Paul A. M. Dirac, quienes formularon a la vez la "teoría de transformaciones", una amalgama de matemática ondulatoria y matricial. El objetivo para Heisenberg y sus aliados era, en aquel momento, descubrir un método irrefutable para incorporar las discontinuidades en el formalismo de Dirac y Jordan. De Pauli recibió Heisenberg un impulso vigorosísimo para la nueva interpretación. En una carta de 19 de octubre de 1926, al tiempo que le informaba de una cátedra vacante en Leipzig, Pauli aplicaba los estados atómicos estacionarios al primer estudio de Born de ondas electrónicas libres. Según sus resultados, han de elegirse variables continuas para el

momento lineal p y la posición qde un electrón atómico, pero en su comportamiento cuántico se manifestaba un "punto negro": "Ha de darse por sentado que las variables p están controladas y las q incontroladas. Esto es, sólo se pueden calcular las probabilidades de determinados cambios de las variables p, para unas condiciones iniciales dadas, y promediando sobre todos los valores posibles de las variable q". Por tanto, no se puede hablar de un determinado '''camino' de la partícula", escribía Pauli, ni "se puede preguntar simultáneamente sobre el valor de la variable p y la variable q". Heisenberg respondió que estaba "muy entusiasmado" con la carta de Pauli y con ese punto negro, sobre el que hubo de reflexionar una y otra vez durante los meses siguientes. El entusiasmo de Heisenberg culminó en una carta de 14 páginas, enviada a Pauli el 23 de febrero de 1927. En ella presentaba prácticamente todos los elementos esenciales del artículo, que enviará a publicar un mes más tarde, titulado "Sobre el contenido intuitivo [anschaulichJ de la cinemática y la mecánica teórico-cuánticas": el artículo de Heisenberg sobre la imprecisión. Habiendo deducido las relaciones de imprecisión a partir de razonamientos matemáticos y a partir de experimentos mentales, Heisenberg consideró la concordancia entre ambas deducciones como una prueba de la validez universal de la imprecisión. El argumento matemático comenzaba con una función de ondas correspondiente a una curva en forma de campana o, dicho matemáticamente, a una distribución de probabilidad gaussiana, para la variable q. El error en el conocimiento del valor exacto de q (llamado la desviación estándar) es delta q, que escribimos !i.q. Usando el formalismo desarrollado por Dirac y Jordan, transformó Heisenberg la distribución gaussiana en la de su variable conjugadap. Al hacerlo, descubrió que, como consecuencia matemática, las desviaciones estándar de las dos distribuciones -es decir, las imprecisiones en los valores de q y p- están en relación inversa una respecto a otra. Este carácter inverso puede generalizarse y expresarse mediante la relación h 4rc '

donde h es la constante de Planck. A continuación demostró que este

TEMAS

resultado no es mero constructo matemático, sino enteramente compatible con cualquier experimento imaginable que implique la medición simultánea de pares de variables conjugadas, como posición y momento lineal, o energía y tiempo. La compatibilidad con el experimento se basaba, sin embargo, en diversas innovaciones que Heisenberg introducía al objeto de incorporar la discontinuidad y las partículas. Una de ellas era la redefinición del término alemán anschaulich (intuitivo) que aparecía en el mismo título de su artículo, para significar "físico" o dotado de significado empírico, más que "visualizable" o pictórico. Con este cambio pretendía neutralizar las críticas de Schrodinger, de que una física de partículas discontinua es esencialmente irracional y unanschaulich (no-intuitiva). Lo que se hallaba en íntima relación con otra innova-

ción: una redefinición de conceptos clásicos, como posición, velocidad y trayectoria de una partícula atómica, en función de las operaciones experimentales usadas para medirlas, una forma de operacionalismo. Sólo lo que el físico puede medir tiene significado real, y estas mediciones manifiestan siempre las relaciones de imprecisión.

rac-Jordan, declaraba, el formalismo cuántico queda completo y resulta inalterable; las relaciones de imprecisión son verdaderas e irrefutables, porque son una consecuencia directa del formalismo. Todas las observaciones experimentales anteriores y futuras de fenómenos atómicos están así sometidas a tal interpretación. Más aún, razonaba, aunque la física cuántica contenga un elemento estadístico básico, éste no es una propiedad de la naturaleza misma. Aparece en virtud de la perturbación causada por los intentos del físico para observar la naturaleza. Finalmente, presentaba su primera afirmación explícita sobre la consecuencia más profunda de la imprecisión: un desafío a la causalidad. El principio de causalidad requiere que todo efecto sea precedido por una causa única. Esta idea había servido durante más de un siglo como hipó-

ara eljoven Heisenberg, el princiP pio de imprecisión culminaba y completaba la revolución cuántica, una revolución que incorporaba sus compromisos personales con los fundamentos que él mismo había ayudado a establecer. Y, como para hacer callar toda objeción sobre este punto, concluía su artículo publicado con algunas pretensiones que iban mucho más allá del razonamiento matemático y el experimento mental. Con la teoría de transformaciones de Di-

El experimento mental con el microscopio de rayos gamma ara demostrar el principio de imprecisión, Heisenberg ofreció un experimento mental. Usando un microscopio cuya resolución era alta, por basarse en rayos gamma para su iluminación, intentó mostrar que la posición y el momento lineal del electrón obedecían al principio de imprecisión. Aunque Heisenberg logró los resultados correctos, Bohr le señaló que el experimento original descuidaba dos puntos esenciales: el poder de resolución del microscopio y la dualidad onda-corpúsculo. En la versión correcta, un electrón libre está directamente debajo de la lente (el objetivo) del microscopio. El objetivo circular forma un cono de ángulo 2e con vértice en el electrón. El electrón es iluminado por un rayo gamma proveniente de la izquierda. Según un principio de óptica ondulatoria, el microscopio tiene capacidad de resolución para objetos de hasta un tamaño !'>.x, relacionado con e y con la longitud de la onda, y 'A., mediante la expresión

!'>.x =

~sene

longitud de onda del rayo gamma desviado, h es la constante de Plank (que relaciona la frecuencia del fotón con su energía), y

es el momento lineal total del fotón rayo

gamma, según lo definen los principios cuánticos. En el otro extremo, el rayo gamma se dispersa hacia atrás, impactando justamente en el borde izquierdo de la lente. En este caso, el momento lineal total en la dirección x es

p "x -

El momento lineal final en la dirección x ha de ser en ambos casos igual al lineal; por consiguiente,

e sen - =" p x P'x + Th

LENTE-OBJETIVO DEL MICROSCOPIO

En el momento en que la luz se difracta en el objetivo del microscopio, el electrón retrocede hacia la derecha. Después de la colisión, el rayo gamma observado podría haberse dispersado con un ángulo cualquiera dentro del cono 2e. En el caso extremo de dispersión hacia adelante hasta tocar el punto del borde más a la derecha de la lente, el momento lineal en la dirección xsería

P ,x + Th sen e-, donde p'x es el momento lineal del electrón en la dirección x, 'A., es la

FENÓMENOS CUÁNTICOS

h sen e-. ""'i:

h ""'i:

sen e- .

Si e es pequeño, entonces es 'A., - 'A." - 'A., p'~

- p'x

Puesto que

!'>.Px !'>.x =

T2h

sene.

'A.. '2 sene, eXIs-

te una relación inversa entre la imprecisión mínima en la medida de la posición del electrón a lo largo del eje xy la de su momento lineal en la dirección x:

}-+-+-f--~----::::O>;X.

Para imprecisiones mayores que ese mínimo, puede introducirse una desigualdad !'>.Px •

/';,x ~

que aproxima la relación de imprecisión de Heisenberg.

tesis básica de prácticamente todas enviárselo a Einstein, cumpliendo el berg era tan sólo un caso particular las formas de investigación racional. ruego de Heisenberg, Bohr se le que- de lo que Bohr iba llamando ya comSe le reconoce al matemático francés jaba de que el enfoque del autor pe- plementariedad. Laplace la definición quizá más sim- caba de excesiva estrechez y que el ple de causalidad, en su aplicación a microscopio de rayos gamma era falso eisenberg estaba en vehemente la mecánica newtoniana: Si sabemos de arriba abajo, aunque el resultado desacuerdo. Insistiendo en el con exactitud la posición y el momento fuera correcto. Para Bohr, las rela- empleo primordial de partículas y lineal de una partícula en un ins- ciones de imprecisión no surgían sólo discontinuidad, rechazó de plano la tante dado, conociéndose además del formalismo, de las re-definiciones sugerencia que le hizo Bohr de retitodas las fuerzas que actúan sobre la de los conceptos clásicos y de la pri- rar su artículo; lo había enviado en partícula, su movimiento queda en- macía de la discontinuidad y los cor- el ínterin a su publicación. Heisenberg tonces completamente determinado púsculos sobre las ondas continuas. no podía tolerar un uso extensivo de por las ecuaciones mecánicas para También eran decisivas la dualidad ondas o de nociones de mecánica ondulatoria, ni podía dejar de todo el futuro. El principio de imprepublicar su propia y más cisión, asevera Heisenimportante contribución berg, niega eso. "En la foral debate de la interpretación. La subsiguiente mulación estricta de la ley batalla con Bohr se hizo causal -si conocemos el tan intensa que, según se presente, podemos calcudice, durante uno de estos lar el futuro- no es falsa la conclusión, sino la preencuentros Werner estamisa." Los valores inicialló en lágrimas e incluso consiguió ofender al imles del momento lineal y perturbable Bohr con alla posición no pueden ser gunas observaciones dusimultáneamente mediras. Evidentemente había dos con absoluta precisión. muchas cosas en juego Razón por la cual, sólo puede calcularse una gapara el joven de 25 años: sus nuevas concepciones, ma de posibilidades para sus planes académicos y la posición y el momento lineal de la partícula en un quizá también su deseo de paridad intelectual con cierto tiempo futuro. Del sus mentores. En mayo movimiento real de la partícula resultará, sin emapareció su artículo en una de las principales rebargo, una única posibilidad. La conexión causal vistas de física alemanas, sin ninguna revisión; sí entre presente y futuro se agregaba un breve postpierde, y las leyes y prescriptum, donde admitía dicciones de la mecánica cuántica resultan de natuel error del microscopio y raleza puramente proballamaba la atención del lector sobre algunos punbilística, o estadística. tos esenciales del razoEl artículo de Heisennamiento de Bohr. berg sobre el principio de Cuatro meses más tarimprecisión era profundo 4. HEINSEBERG a los 65 años, de vuelta a Leipzig para impartir un curso y trascendental en casi de conferencias como profesor invitado. Cayó enfermo años más tarde de, Heisenberg había enjugado ya sus ojos y camtodos sus aspectos. Ade- y murió de cáncer en 1976. más de satisfacer estricbiado de tono: parecía estar agradecido por la tamente sus propósitos, el artículo de Heisenberg estaba "corta- onda-partícula y, en el microscopio de crítica de Bohr. Tras ofrecer Bohr su do a su medida". Cuando su mentor, rayos gamma, la dispersión de ondas primera presentación de la comBohr, le señaló un error en el argu- de luz sobre el electrón dentro del plementariedad ante una audiencia mento, Heisenberg defendió su posi- objetivo del microscopio. reunida en el lago Como en septiemLas imágenes ondulatoria y cor- bre de 1927, Heisenberg, antes tan ción obstinadamente en una batalla que en la primavera de 1927 degeneró puscular eran complementarias una seguro de su imprecisión, brindó a en lo que Heisenberg llamó "gran de otra, descripciones mutuamente Bohr el primero de sus generosos remalentendido personal". El error exclusivas pero conjuntamente esen- conocimientos. En la versión publiimplicaba la confianza absoluta de ciales. Bohr objetaba que el experi- cada de la discusión que siguió al arHeisenberg en la discontinuidad y mentador ha de elegir o la imagen tículo de Bohr en Como, Heisenberg los aspectos corpusculares del cuanto ondulatoria o la corpuscular, para le agradeció por esclarecer la imprede luz, en uno de sus experimentos analizar con ella el experimento. El cisión "en todos sus detalles" y por mentales básicos, el llamado micros- precio a pagar por dicha opción pro- enunciar lo que vino a conocerse como ducía una restricción sobre lo que la interpretación de Copenhague. copio de rayos gamma. El cambio de corazón en Heisenberg Bohr, que había estado de va- podía enseñarnos el experimento, caciones en la nieve, se encontró so- limitación que venía representada pudo haberse iniciado con la realibre la mesa, a su regreso, el borra- por las relaciones de imprecisión. zación de su ambición. Porque el dor del artículo de Heisenberg. Al Para Bohr, el argumento de Heisen- mismo mes del congreso de Como, se

TEMAS

enteró de su inminente llamada a la cátedra de Leipzig. Al menos habíase cumplido esa meta. Al apaciguarse en Heisenberg el deseo de demostrar su capacidad y sus aportaciones a la mecánica cuántica, surgió en él otro que ahora incluía a Bohr: la voluntad de crear en Leipzig un programa de investigación permanente y de primera línea, basado en la física. Además de reforzar lo defectuosamente argumentado sobre la imprecisión, las explicaciones de Bohr proporcionaban un punto de apoyo para los seguidores del danés que, como Heisenberg, estaban ansiosos por una física completa que poder propagar desde sus cátedras recién adquiridas y explotar en sus artículos. Heisenberg y otros discípulos de Bohr ya no prestaron su fidelidad a programas y descubrimientos individuales, como la mecánica matricial o la imprecisión, sino al "espíritu de Copenhague". Heisenberg y otros consiguieron asegurar la aceptación de su interpretación, a pesar de las prolongadas objeciones de Einstein y Schrbdinger. Durante la media década que siguió a la reunión de Como y el ulterior congreso Solvay, Heisenberg y su instituto produjeron teorías cuánticas muy importantes: cristales de estado sólido, estructura molecular, dispersión de radiación por núcleos, y la estructura neutrónico-protónica de los núcleos. Con otros expertos, dieron pasos de gigante hacia una teoría cuántica de campos relativista y sentaron los fundamentos de la investigación sobre física de altas energías. Tales éxitos atrajeron a los mejores alumnos hacia institutos como el de Heisenberg. Esos estudiantes, amamantados con la doctrina de Copenhague, formaron una nueva generación de físicos, predominante, que difundieron por todo el mundo esas ideas, cuando el ascenso de Hitler al poder, en los años treinta, les obligó a emigrar y dispersarse. Heisenberg y otros de la escuela de Copenhague no consumieron mucho tiempo en explicar su doctrina a los que no viajaron a los institutos europeos. Aquél, en particular, encontró en los Estados Unidos un campo fértil para el proselitismo. Durante una vuelta alrededor del mundo con Dirac en 1929, Heisenberg impartió en la Universidad de Chicago unas clases sobre la doctrina de Copenhague que tuvieron un enorme impacto. En el prólogo a la publicación de esas clases, escribió: "El objetivo de este libro me parece que quedará alcanzado, si FENÓMENOS CUÁNTICOS

contribuye de alguna manera a la difusión de este Kopenhagener Geist der Quantentheorie ... [espíritu de Copenhague de la física cuántica... J, que ha dirigido todo el desarrollo de la moderna física atómica." El suministrador de ese espíritu retornó a Leipzig con sus primeros compromisos científicos, esta vez ampliamente aceptados por una profesión que le proporcionó posiciones prominentes en el aspecto institucional y en el aspecto científico. En 1933 la profesión le otorgó a Heisenberg, con Schrbdinger y Dirac, el reconocimiento supremo de su trabajo: el premio Nobel. unque se le celebre, con todajusticia, como uno de los físicos más eminentes de los tiempos modernos, no han faltado voces que le han criticado su comportamiento tras la subida de Hitler al poder. No militó nunca en el partido nacionalsocialista, pero ocupó cargos académicos de altísimo rango y se convirtió en interlocutor de la cultura alemana en los territorios ocupados. Rechazando repetidos ofrecimientos de emigración, dirigió el principal esfuerzo de investigación sobre la fisión del uranio para el Tercer Reich. Después de la guerra ofreció diversas explicaciones de sus actividades, que empañaron aún más su reputación en el extranjero. La enigmática yuxtaposición de ese comportamiento cuestionable y una física brillante refleja los delicados compromisos del científico y la ciencia durante un siglo turbulento y a veces brutal. Hijo leal de Alemania, Heisenberg, que veía tan profundamente en la naturaleza, encontró difícil distinguir y aceptar cuán trágicamente se había descarriado su país. Murió de cáncer de riñón y vesícula biliar en su casa de Munich en 1976.

LA SEGUNDA LEY P.

ATKJNS

Un volumen de 22 x 23,5 cm y 230 páginas, profusamente ilustrado en negro y en color.

SUMARIO

• Disimetría de la naturaleza • El indicador del cambio • Colapso en el caos • Cuenta y razón del caos • Potencia del caos • Transformaciones del caos • Potencias de la temperatura • Caos constructivo • Estructuras del caos

BIBLlOGRAFIA COMPLEMENTARIA

• Aspectos formales

THE SHAKY G AME: EINSTEIN, REALISM AND THEQUANTUMTHEORY. ArthurFine. University of Chicago Press, 1986. SCHRÓDINGER: LIFE AND THOUGHT. Walter 1. Moore. Cambridge University Press, 1989. NIELS BOHR's TIMES: IN PHYSICS, PHILOSOPHY AND POLITY. Abraham Pais. Oxford University Press, 1991. UNCERTAINTY: THE LIFE AND SCIENCE OF WERNER HEISENBERG. David C. Cassidy. W. H. Freeman and Company, 1991.

• Juegos

Prensa Científica, S. A.

Dirac y la belleza de la física Prefería la teoría bella a la corroborada con hechos pero fea porque, advertía, los hechos cambian. Ello le llevó a predecir la existencia de antimateria R. Corby Hovis y Helge Kragh

los físicos distinguidos que visitan la Universidad de Moscú se les pide que dejen en cierta pizarra una sentencia para la posteridad. Niels Bohr, el padre de la teoría cuántica del átomo, escribió allí la divisa de su famoso principio de complementariedad: "Contraria non contradictoria sed complementa sunt" ("los contrarios no son contradictorios sino complementarios"). Hideki Yukawa, el pionero de la moderna teoría de las fuerzas nucleares fuertes, grabó con tiza la frase: "La naturaleza es, por esencia, simple". Paul Adrien Maurice Dirac eligió el epígrafe: "Una ley física tiene que poseer belleza matemática". Hace exactamente 40 años Dirac escribía en Scientific American: "Dios es un matemático excepcional, que usó matemáticas muy avanzadas para construir el universo."[Véase "La concepción física de la naturaleza",

TEMAS DE INVESTIGACIÓN y CIENCIA,

número 10]. Inspirado por las concepciones de Albert Einstein y Hermann Weyl, Dirac llegó a preocuparse, más que cualquier otro físico moderno, de la ide,a de "belleza matemática" como rasgo intrínseco de la naturaleza y como guía metodológica para su investigación científica. "Una teoría con belleza matemática es más probablemente correcta que otra fea, aunque ésta case con unos cuantos datos experimentales", aseguraba. La preocupación de Dirac por la estética y la lógica de la física matemática,junto con su reticencia e introversión legendarias han hecho de él una de las figuras más enigmáticas entre los grandes científicos del siglo xx. Desgraciadamente, su racionalismo exagerado parece haberle conducido también a desviaciones estériles, tras unos años iniciales de éxito asombroso. Entre los 23 y los 14

31 años Dirac descubrió una original y potente formulación de la mecánica cuántica, una teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación por los átomos (una versión primitiva pero importante de la electrodinámica cuántica), la ecuación de ondas relativista para el electrón, la idea de antipartículayuna teoría de monopolos magnéticos. Con todo, muy pocas de sus contribuciones ulteriores tuvieron valor perdurable, y ninguna el carácter revolucionario de su obra inicial. irac había nacido en 1902 en Bristol, como el segundo de tres hijos, D en el seno de una familia que hoy tildaríamos de disfuncional. La calamidad de la familia era su cabeza, Charles Adrian Ladislas Dirac, que había emigrado de Suiza a Inglaterra hacia 1890, y había encontrado y tomado por esposa allí a Florence Hannah Holten, la hija de un capitán de barco. Charles se ganaba la vida enseñando su lengua nativa, el francés, en el Instituto Técnico Merchant Venturers' de Bristol, en el que fue tristemente famoso por imponer una rígida disciplina. El hogar Dirac era gobernado por él según los mismos principios de organización militar. Obviando toda manifestación de sentimientos e identificando amor paterno con disciplina, aprisionó a sus hijos en una tiranía doméstica que les aisló de la vida social y cultural. No pudiendo o no queriendo sublevarse, Paul se refugió en la seguridad del silencio y se distanció de su padre. Esos años de infelicidad le marcaron para toda la vida. Al morir Charles Dirac en 1936, Paul no se afligió. "Me siento ahora mucho más libre", le escribía a su mujer. Paul poseía un rico mundo interior donde refugiarse. A una edad muy temprana mostró su aptitud por las

matemáticas. A los 12 años se inscribió en el Merchant Venturers', centro que, a diferencia de la mayoría de los demás de su tiempo, no ofrecía una educación clásica en latín y griego, sino un plan de estudios moderno, con ciencias, lenguas modernas y oficios. Estos estudios se adecuaban muy bien a Dirac, pues, según él mismo dijo, "no apreciaba el valor de las culturas antiguas". Una vez acabado este programa de nivel secundario, pasó a otra institución ubicada en los mismos edificios, la escuela de ingeniería de la Universidad de Bristol. Allí se preparó en la especialidad de electricidad, no por tener gran interés en la ingeniería, sino por creer que eso daría gusto a su padre. El plan de estudios de ingeniería excluía toda materia que no fuese física aplicada o matemáticas. A pesar de estas omisiones, Dirac sintió la fascinación y obtuvo pronto el dominio de las nuevas teorías einsteinianas del espacio, el tiempo y la gravitación -las teorías de la relatividad especial y general. uando Dirac se graduó en 1921, C con las máximas clasificaciones, la depresión económica de la posguerra parecía que iba a dejarle sin trabajo. Le salvó una beca para estudiar matemáticas en Bristol, tras la cual, en el otoño de 1923, comenzó sus estudios de posgrado de matemáticas y física teórica en la Universidad de Cambridge, constituida por entonces en centro de científicos consumados (JosephLarmor, J. J. Thomson, Ernest Rutherford, Arthur Stanley Eddington y James J ean) y de jóvenes estrellas (James Chadwick, Patrick Blackett, Ralph Fowler, Edward Milne, Douglas R. Hartree y Peter Kapitza). A Dirac se le asignó Fowler como director de tesis, y de él aprendió teoría atómica

TEMAS

y mecánica estadística, materias que no había estudiado anteriormente. De estos días recordará más tarde: "Me encerraba totalmente en el trabajo científico, y perseveraba en él muy a gusto día tras día, excepto los domingos, en que descansaba y, si el tiempo era bueno, me daba un largo paseo solitario por el campo". A los seis meses de su llegada a la universidad, publicaba Dirac su primer artículo científico, y en los dos años siguientes publicó 10 más. Al momento de concluir su tesis doctoral, en mayo de 1926, había descubierto una formulación original de la mecánica cuántica, y había impartido un curso de mecánica cuántica, el primero ofrecido en una universidad británica. Al cabo de sólo 10 años . de pisar Cambridge, recibirá el Nobel de física, por su "descubrimiento de nuevas y fructuosas formulaciones de la teoría de los átomos ... y por sus aplicaciones".

lo. Muchos físicos sospechaban que esos tres sistemas eran meras representaciones particulares de una teoría más general de la mecánica cuántica. Durante una estancia de seis meses en el Instituto de Física Teórica de

Copenhague, Dirac encontró esa teoría general que tantos investigadores habían esperado -un sistema que subsumía todos los esquemas particulares y proporcionaba reglas definidas para transformar un esquema en otro. Esta "teoría de trans-

os ocho años de esplendor de Dirac L comenzaron un buen día del mes de agosto de 1925, en el que recibió de Fowler las pruebas de imprenta de un artículo aún no publicado de Werner Heisenberg, un joven físico teórico alemán. El artículo trazaba las bases matemáticas de una revolucionaria teoría de los fenómenos atómicos, que será pronto conocida como "mecánica cuántica". Dirac se dio cuenta inmediatamente de que el trabajo de Heisenberg abría una vía enteramente nueva de contemplar el mundo a una escala ultramicroscópica. Durante el año siguiente reformuIó la intuición básica de Heisenberg, estableciendo una teoría original de la mecánica cuántica, que fue conocida como álgebra de "números-q", por denominar así Dirac las magnitudes físicas "observables", tales como posición, momento o energía. Aunque este trabajo le ganó pronto a Dirac un reconocimiento internacional, muchos de sus resultados habían sido obtenidos simultáneamente por un potente grupo de físicos teóricos que trabajaban en Alemania, entre ellos Heisenberg, Max Born, Wolfgang Pauli y Pascual Jordan. Dirac competía abiertamente con ellos. Born, Heisenberg y J ordan elaboraron el esquema inicial de Heisenberg mediante el álgebra de matrices. Luego, en la primavera de 1926, el físico austríaco Erwin Schrodinger elaboró otra teoría cuántica, la mecánica ondulatoria, que conducía a los mismos resultados que las teorías más abstractas de Heisenberg y Dirac, y se prestaba más fácilmente al cálcu-

FENÓMENOS CUÁNTICOS

1. "ERA ALTO, macilento, desmañado y extremadamente taciturno", escribió el físico y biólogo alemán Walter Elsasser. "Había logrado que todo lo que en él había se pusiese en un solo afán. Era hombre de altísima categoría en un campo, pero al que había quedado poco interés y competencia para otras actividades humanas... En otras palabras, era el prototipo de mente matemática superior. Mientras que en otros ésta había coexistido con una multitud de intereses, en el caso de Dirac todo confluía hacia la realización de su gran misión histórica, el establecimiento de la nueva ciencia, la mecánica cuántica, a la que probablemente contribuyó como el que más."

Hechos memorables En 1931, siendo profesor en Cambridge, Nevill Mott escribía a sus padres: "Dirac se parece mucho a la idea que nos hemos formado de Gandhi. Le hemos tenido aquí a cenar ... Ha sido una cenita estupenda. pero estoy seguro de que no le habría preocupado si no le hubiéramos dado más que 'porridge' (gachas de avena). Se va a Copenhague por la ruta del mar del Norte porque piensa que debe curarse a sí mismo de los mareos en barco. Es totalmente incapaz de aparentar que piensa algo que realmente no piense. En la época de Galileo habría sido un mártir muy satisfecho". Dirac asistió una vez a un almuerzo con Eugene Wigner y Michael Polanyi.

Eugene Wigner

formaciones" de Dirac,junto con otra teoría semejante elaborada al mismo tiempo por Jordan, proporcionó la base de todos los ulteriores desarrollos de la mecánica cuántica. 126 de diciembre de 1927 el físico inglés Charles G. Darwin (nieto del famoso naturalista) escribía a Bohr: "He estado en Cambridge hace pocos días y he visto a Dirac. Acaba de obtener un sistema de ecuaciones completamente nuevo para el electrón, que proporciona el espín correcto en todos los casos, y parece ser 'la cosa'. ¡SUS ecuaciones son ecuaciones diferenciales de primer orden, y no de segundo!". La ecuación de Dirac para el electrón era realmente "la cosa", pues satisfacía inmediatamente las exigencias de la teoría especial de la relatividad, y daba cuenta del "espín" del electrón experimentalmente observado, que puede tomar uno de los dos valores, +1/2 o -1/2, "arriba" o "abajo". La ecuación original de Schrodinger no había logrado hacer esto, porque no era relativista, y su extensión relativista, la ecuación de

ha dicho que sabía francés? Contestación concisa de Dirac: "Usted nunca me lo preguntó". Cuando Dirac pasó por Berkeley camino del Japón en 1934, J. Robert Oppenheimer salió a su encuentro y le ofreció dos libros que le ocuparan durante el viaje. Dirac cortésmente los rechazó, diciendo que el leer libros impide pensar. Una vez el físico ruso Peter Kapitza dio a Dirac una traducción inglesa de Crimen y castigo, de Dostoievski. Pasado cierto tiempo, Kapitza le preguntó si había disfrutado. A lo que respondió: "Es un libro bonito, pero en uno de los capítulos el autor comete un error. Describe el sol saliendo dos veces en un mismo día."

J. Robert Oppenheimer Se entabló allí una viva discusión sobre ciencia y sociedad, durante la cual Dirac no dijo una palabra. Interpelado para que interviniera y diera su opinión, respondió: "Siempre hay más gente dispuesta a hablar que dispuesta a escuchar". Un físico francés que a duras penas hablaba inglés acudió en cierta ocasión a visitarle. Dirac le escuchaba pacientemente mientras el pobre hombre se esforzaba por encontrar las palabras inglesas correctas con que exponer su asunto. En ese momento entró en la habitación su hermana y le preguntó a Dirac algo en francés, a lo que él contestó también en un fluido francés. Naturalmente el visitante se puso furioso, y le preguntó indignado: ¿Por qué no me

Klein-Gordon, no podía dar cuenta del espín. El uso de derivadas sólo de primer orden era crucial por dos razones. En primer lugar, Dirac deseaba conservar la estructura formal de la ecuación de Schrodinger, que contenía una derivada de primer orden en el tiempo. En segundo lugar, necesitaba satisfacer las exigencias de la relatividad, que ponen en pie de igualdad espacio y tiempo. La difícil reconciliación diraquiana de los dos criterios era a la vez bella y funcional: al aplicar la nueva ecuación al caso de un electrón que se mueve en un campo electromagnético, salía automáticamente el valor correcto del espín del electrón. Esta deducción de una propiedad a partir de primeros principios impresionó a los físicos, que aludían a la ecuación como "un milagro" y "una absoluta maravilla", y se dedicaban a analizar sus sutilezas. Esta línea de investigación condujo al nacimiento del análisis espinorial -potente herramienta matemática para analizar problemas de prácticamente todas las ramas de la física- y condujo también al desarrollo de la ecua-

Peter Kapitza

ción de ondas relativista para partículas con espín distinto de 1/2. Otro éxito consistió en que Dirac y otros, aplicando esta ecuación al átomo de hidrógeno, lograron reproducir exactamente las líneas observadas en su espectro. Al cabo de un año escaso de su publicación, la ecuación de Dirac se había convertido en lo que sigue siendo hoy: una piedra angular de la física moderna. demás de adorador de la lógica matemática, Dirac era maestro consumado de la intuición. Estos rasgos intelectuales de contradictoria apariencia destacaron, más que en ningún otro asunto, en su desarrollo de la teoría de los "agujeros" entre 1929 y 1931. Con dicha teoría alumbró todo un mundo que había escapado al conocimiento de los físicos. La teoría surgió cuando Dirac se dio cuenta de que su ecuación no sólo tenía soluciones correspondientes a los electrones de energía positiva, sino también otras correspondientes a electrones de energía negativa. Tales partículas deberían mostrar propiedades muy peculiares. Además,

TEMAS

Porque se lo aconsejaron, leyó también Guerra y paz de Leon Tolstoi; tardó dos años en acabar la novela. Dirac rehuía la publicidad. En un primer momento, se sintió tentado de no aceptar el Nobel. El día en que se anunció su nombramiento para la cátedra Lucasiana, se escapó al zoo para evitar las muchas felicitaciones. Rechazó todos los doctorados honoris causa -por más que se le otorgaran muchos en su ausencia, y por lo que parece sin su aceptación. Alrededor de 1950 se le asignó la tutoría del doctorado en Cambridge de Dennis Sciama. Cierto día, entró éste entusiasmado en el despacho de Dirac: "Profesor, se me acaba de ocurrir un método de relacionar la formación de las estrellas con las cuestiones cosmológicas. ¿Quiere que se lo cuente?" Respuesta de Dirac: "No". Se acabó la conversación, Parece que Dirac no se daba cuenta de que su brevedad y franqueza podía percibirse como descortesía o insolencia. En sus clases se esforzaba por presentar su manual con la máxima lucidez y claridad. Consideraba absurdo modificar esas frases cuidadosamente elegidas sólo porque no hubiesen sido entendidas, Más de una vez alguien de la audiencia le pidió repetir un pasaje que no se había entendido, dando a entender que le agradaría oír una aclaración ulterior, En tales casos Dirac repe-

tía exactamente lo que acababa de decir, usando las mismísimas palabras. Escribía en 1977: "De todos los físicos que he conocido, creo que ninguno me ha parecido más estrechamente semejante a mí que Schrodinger. Con él me ponía de acuerdo antes que con ningún otro. Creo que la razón de ello es que Schródinger y yo teníamos en común un enorme aprecio por la belleza matemática... Para nosotros era una especie de acto de fe que cualesquiera ecuaciones que describan leyes fundamentales de la naturaleza tienen que encerrar en sí una gran belleza matemática,"

las partículas de energía positiva deberían ir cayendo constantemente a esos estados de energía negativa, ¡provocando así el derrumbe de nuestro mundo circundante! A finales de 1929 encontró una escapatoria al enigma creado por la aparente necesidad de que se den en la naturaleza electrones de energía negativa. Imaginó que el vacío constituía un "mar" uniforme de estados de energía negativa, todos llenos de electrones. Puesto que el principio de exclusión de Pauli prohíbe que dos electrones ocupen el mismo estado cuántico, los electrones de energía positiva se mantendrían por encima del mar invisible, formando los estados "excitados" que observamos en la naturaleza. Un estado excitado podría crearse también inyectando suficiente energía positiva para extraer del mar un electrón, proceso que dej aría un "agujero" en el que podría caer otro electrón de energía negativa. "Estos agujeros serían objetos de energía positiva, y por consiguiente serían en este respecto semejantes a las partículas ordinarias", escribía Dirac a principios de 1930.

FENÓMENOS CUÁNTICOS

Erwin Schriidinger

Pero, ¿con qué partícula podría identificarse un agujero? En aquel tiempo, dos eran los candidatos imaginables, y ambos fueron considerados por Dirac: el protón y el electrón positivo. Su primera elección, el protón, se enfrentó casi inmediatamente con dos serias dificultades. En primer lugar, era de suponer que un electrón podría caer ocasionalmente dentro de un agujero y llenarle, en cuyo caso ambos se aniquilarían produciendo un destello de luz (rayos gamma). Pero tales aniquilaciones protón-electrón no se habían observado nunca. En segundo lugar, resultaba evidente que el candidato correcto tenía que ser idéntico al electrón en todos los aspectos, salvo en la carga eléctrica; sin embargo, la masa del protón, como era bien sabido, multiplicaba unas 2000 veces la del electrón.

cir una entidad nueva e inobserva'da. Además, si los protones podían ser interpretados como estados de energía negativa no ocupados por electrones, el número de partículas elementales se reducía a una, el electrón. Tal simplificación era "el sueño de los filósofos", según declaraba Dirac. Pero las objeciones a esa interpretación inicial de los agujeros resultaron pronto abrumadoras, y en mayo de 1931 Dirac se decidió, a su pesar, por el segundo candidato a agujero, el antielectrón: "Un nuevo tipo de partícula, desconocido de la física experimental, que tiene la misma masa que el electrón y carga opuesta". La total simetría en esta teoría entre cargas positivas y negativas le impulsó a admitir también el antiprotón en el ámbito de la existencia teórica. Dirac doblaba así el número de partículas elementales que había de admitirse, y fijaba las bases para especular sobre mundos enteros hechos de antimateria. Dirac defendía también la existencia de otra partícula hipotética, el monopolo magnético, que tendría una carga magnética aislada, como tienen carga eléctrica el electrón o el protón. Ni aun hoy contamos con una prueba experimental concluyente en favor de los monopolos. En septiembre de 1932 fue elegido para la cátedra Lucasiana de Cambridge, la famosa cátedra de matemáticas que en su tiempo había ocupado Newton durante 30 años, y en la que Dirac permanecerá 37 años (actualmente la ocupa Stephen W. Hawking). Ese mismo mes, Carl D. Anderson, un joven físico experimental del Instituto de Tecnología de California, enviaba a Science un artículo en el que describía la detección, en los rayos cósmicos, de "una partícula cargada positivamente que poseía una masa comparable a la del electrón". Aunque el descubrimiento no estaba en modo alguno inspirado por la teoría de Dirac, la nueva partícula, apodada "positrón", será universalmente identificada con el antielectrón de Dirac. En diciembre de 1933, al recibir su premio Nobel en Estocolmo, Dirac, a los 31 años, daba su conferencia sobre la "Teoría de electrones y positrones". Tres años después Anderson, también de 31 años, recibía el premio Nobel por haber sacado la partícula de Dirac del ámbito de lo hipotético.

on todo, llevado del deseo de simplicidad, Dirac estaba a favor del a electrodinámica cuántica (EDC) C protón como agujero. En 1930 elec- L es el nombre dado a la teoría cuántrón y protón eran las únicas partí- tica del campo electromagnético. culas fundamentales conocidas, y no le apetecía lo más mínimo introdu-

Hacia mediados de los años 30, los intentos de formular una teoría cuán17

tica de campos relativista satisfactoria habían alcanzado una situación de crisis, y muchos físicos llegaban a la conclusión de que era necesario cambiar drásticamente ideas físicas fundamentales. Dirac había hecho contribuciones pioneras a la EDC al final de los años 20, y se dolía de los defectos del esquema teórico existente, construido en torno a una teoría propuesta por Heisenberg y Pauli en 1929. Dirac llamaba a esa teoría ilógica y "fea". Además, los cálculos realizados con ella conducían a integrales divergentes -infinitos- a las que no cabía atribuir ningún sentido físico. En 1936, Dirac elaboró una teoría alternativa en la que no se conservaba la energía. Aunque esta propuesta radical fue pronto refutada por los experimentos, Dirac siguió . criticando la teoría de HeisenbergPauli, y buscando -casi obsesivamente- una mejor. En una mirada retrospectiva a su carrera, escribía en 1979: "Me he pasado la vida intentando sobre todo encontrar ecuaciones mejores para la electrodinámica cuántica, hasta ahora sin éxito, pero continúo trabajando en ello". Un camino lógico hacia una EDC mejor consistiría en utilizar, como trampolín, una teoría clásica del electrón más perfecta. En 1938 Dirac siguió esta estrategia, y construyó una teoría del electrón clásico-relativista, que perfeccionaba mucho la antigua teoría elaborada por H. A. Lorentz a principios de siglo. La teoría de Dirac daba como resultado una ecuación de movimiento exacta para el electrón, tratado como partícula puntual. Puesto que la teoría eliminaba los infinitos y los términos mal definidos, pare-

~ b~~

CI4

cía plausible que condujera a una EDC libre de divergencias. Pero el crear una versión mecánico-cuántica satisfactoria de la teoría clásica resultó ser más engorroso de lo que Dirac había previsto. Luchó -en vano- con este problema a lo largo de más de 20 años. urante el bienio 1947-1948 surgió una nueva teoría de EDC que resolvía, en un sentido práctico, la dificultad de los infinitos que habían arruinado anteriormente los cálculos. Los iniciadores de la nueva teoría -Sin-itiro Tomonaga en Japón, y Richard Feynman, Julian Schwinger y Freeman Dyson en Estados U nidospropusieron un procedimiento de "renormalización", en el que los infinitos que resultaban en los cálculos teóricos se reemplazaban por expresiones de los valores de la masa y la carga del electrón experimentalmente medidos. Este procedimiento de sustraer cantidades (de hecho) infinitas permitía hacer predicciones enormemente precisas, y los muchos triunfos experimentales de la teoría convencieron a los físicos de que la renormalización debía aceptarse como el método de hacer EDC. Dirac, sin embargo, se resistió a aceptar el método de renormalización, juzgándole tan "complicado y feo" como el viejo de Heisenberg y Pauli. Una teoría que opera con trucos matemáticos ad hoc no dictados directamente por principios físicos básicos -argüía- no puede ser buena, por bien que concuerde con los resultados experimentales. Pero sus objeciones solían dejarse de lado. Al final de su vida no tuvo más remedio

Q,~ ~dv-T~ ~,~

~ ~ ti.. ~ ~~ (l.~. ~ t. ~ -~ ~

t4fU ~~)

:.....t¡.I1:-.

't~)

tN.

G'\t,

~ «),.,.,

2. EL CONCEPTO DE ANTIMATERIA, que introdujo Dirac en 1931, surgía directamente de su teoría de los "agujeros", bosquejada aquí en una carta a Niels Bohr con fecha 26 de noviembre de 1929, que ilustra, en pulcra escritura, la claridad y concisión que le definían.

que admitir, no sólo que se había qiIedado aislado en la comunidad científica, sino también que ninguna de sus muchas propuestas para reconstruir la EDC había tenido éxito. La lucha de Dirac por una teoría cuántica de campos distinta obtuvo, no obstante, algunos subproductos valiosos. Uno de ellos fue la importante teoría clásica del electrón antes mencionada. Otro fue una notación para la mecánica cuántica conocida como el formalismo de "bras" y "kets" (del inglés "bracket", paréntesis), que introducía elegantemente en la física cuántica las potentes matemáticas de espacios vectoriales (o "espacios de Hilbert", como se les designa a veces). Este formalismo se difundió ampliamente a través de la tercera edición (1947) de su prestigioso libro de texto Principios de mecánica cuántica, y ha sido desde entonces el lenguaje matemático preferido para este tema. Por lo general, Dirac sólo había trabajado en áreas de la teoría cuántica muy especializadas. Resultó por ello algo sorprendente que en 1937 se aventurara a entrar en la cosmología con una idea nueva, y que luego la desarrollara hasta obtener un modelo concreto de universo. Su interés por este tema había sido inspirado en gran parte por dos de sus antiguos profesores de Cambridge, Milne y Eddington, y por discusiones con un brillante joven astrofísico indio, Subrahmanyan Chandrashekhar, cuyo trabajo de doctorado en Cambridge había dirigido en parte Dirac. Al principio de los años 30, Eddington se había embarcado en un programa de investigación ambicioso y heterodoxo, que pretendía deducir las constantes fundamentales de la naturaleza enlazando teoría cuántica y cosmología. Esta búsqueda de una "teoría fundamental", según la llamaba Eddington, extendió la investigación racional hasta introducirla en el ámbito de la especulación metafísica -produciendo, según acusaba un crítico, una "combinación de parálisis de la razón con intoxicación de la fantasía". Dirac era escéptico respecto a las pretensiones imaginativas de Eddington, pero estaba impresionado por su filosofía de la ciencia, que subrayaba la potencia de un razonamiento puramente matemático, y por su idea de una conexión fundamental entre el microcosmos y el macrocosmos. En su primer artículo sobre cosmología, Dirac concentraba la atención en los números "puros" (o sin dimensiones físicas) muy grandes que pueden construirse mediante combinación algebraica de constantes físicas

TEMAS

fundamentales (como la constante de gravitación, la constante de Planck, la velocidad de la luz, y las cargas y masas de electrón y protón), de forma que sus unidades de medida se cancelen en la división. Sostenía que sólo esos grandes números tenían significado profundo en la naturaleza. Por ejemplo, era bien sabido que la razón de la fuerza eléctrica entre un protón y un electrón a la fuerza gravitacional entre esas dos mismas partículas es un número muy grande, del orden de 10 39 . Es curioso, notaba Dirac, que este número se aproxime a la edad del universo (tal como era estimada entonces), si esta edad se expresa mediante una unidad de tiempo apropiada, como es el tiempo que necesita la luz para atravesar el diámetro de un electrón. irac sabía de varias correlaciones de este tipo entre números puros grandes, pero en vez de considerarlas meras coincidencias, mantenía que constituían la esencia de un nuevo e importante principio cosmológico, que bautizó como la Hipótesis de los Grandes Números: "Dos cualesquiera de los números muy grandes sin dimensiones que ocurren en la naturaleza estarán conectados por una relación matemática simple en la que los coeficientes son del orden de magnitud de la unidad". A partir de este principio, Dirac concluía fácilmente -yen forma muy discutible- que la "constante" gravitacional G es inversamente proporcional a la edad del universo, y por tanto ha de estar disminuyendo continuamente con el tiempo cósmico. Hacia 1938 Dirac había derivado diversas consecuencias empíricamente contrastables de la Hipótesis de los Grandes Números, y había bosquejado su propio modelo de universo, basado en ese principio. Pero la mayoría de los físicos y astrónomos -que comenzaban a estar muy molestos por ese planteamiento racionalista de la cosmología- desecharon sus ideas. Sólo décadas más tarde, en los años setenta, volvería Dirac a ocuparse de la cosmología, principalmente a partir de su teoría original. Defendió su Hipótesis de los Grandes Números y su predicción de una constante gravitacional variable, contra las objeciones basadas en observaciones, e intentó modificar su modelo para acomodarlo a nuevos descubrimientos, como las microondas de la radiación cósmica de fondo. Sus esfuerzos no llegaron a obtener reconocimiento, y se convirtió -en cosmología como en EDC- en una figura

FENÓMENOS CUÁNTICOS

Predicciones de la raya alfa del hidrógeno a raya alfa del espectro de hidrógeno ilustra bien los avances de la teoría atómica desde que Niels Bohr la explicara en 1913 como el resultado de una sola transición cuántica. Cuando experimentos más perfeccionados revelaron una estructura fina en esa raya, Arnold Sommerfeld combinó la teoría atómica de Bohr con la teoría de la relatividad especial de Einstein para explicar las componentes de la raya como resultado de transiciones distintas. Los intentos de derivar el resultado de Sommerfeld a partir de la nueva mecánica cuántica fracasaron hasta 1928, año en que la teoría del electrón de Dirac logró mostrar que reproducía exactamente la vieja ecuación de Sommerfeld. Medidas ulteriores demostraron una estructura todavía más fina, que recibió justificación teórica en las postrimerías de los años cuarenta, a través de la moderna electrodinámica cuántica de Julian Schwinger, Richard Feynman y Sin-itiro Tomonaga. A Dirac no le gustaba esta nueva teoría, porque no era, decía, "más que un conjunto de reglas que funcionan", no una verdadera teoría edificada sobre una base "firme y bella".

BOHR (1913)

DIRAC (1928)

SCHWINGER·FEYNMAN· TOMONAGA(1947-48)

ü5

FRECUENCIA

distanciada de la corriente central de investigación. Dirac estaba casado con su trabajo, y sus colegas le habían tenido desde siempre por un solterón empedernido. Por eso produjo una enorme sorpresa que en 1937 tomase por esposa a Margit Wigner, hermana del famoso físico húngaro Eugene Wigner. Margit era viuda, con un hijo y una hija de su matrimonio anterior; de Paul tuvo dos niñas. No es de extrañar que éste permaneciera distanciado de la vida familiar. "Es la ironía de la vida: Paul sufrió terriblemente por parte de su padre y éste había tenido con su fami1ia las mismas dificultades que él", ha escrito Margit. "Paul, aunque no fuera un padre dominante, se mantuvo excesivamente apartado de sus hijos. Que la historia se repite, es la mayor de las verdades en la familia de Dirac." Dirac no mostró nunca interés por el arte, la música o la literatura, y rara vez fue al teatro. Las únicas aficiones a las que dedicó mucho tiempo eran caminatas por la montaña y viajes. Era un caminante infatigable, y en las excursiones demostraba con frecuencia una resistencia que asombraba a los que sólo le conocían de congresos y convites. Sus viajes le llevaron a dar por tres veces la vuelta

al mundo, y escaló algunos de los más altos picos de Europa y América. n septiembre de 1969 Dirac sejubiló de su cátedra Lucasiana. Al año siguiente decidió con Margit trasladarse de Inglaterra al templado clima de Florida, donde aceptó un puesto de profesor en la universidad del estado en Tallahassee, ciudad donde falleció en octubre de 1984.

BIBLlOGRAFIA COMPLEMENTARIA THE HISTORlCAL DEVELOPMENT OF QUANTUM THEORY, Vol. 4, Parte 1: THE FuNDAMENTAL EQUATIONS OF QUANTUM MECHANICS, 1925-1926. Jagdish Mehra y Helmut Rechenberg. Springer-Verlag, 1982. PAUL ADRlEN MAURlCE DIRAc. R. H. Dalitz y Sir Rudolf Peierls en Biographical Memoirs ofFellows ofthe Royal Society, vol. 32, págs. 137-185; 1986. REMINISCENCES ABOUT A GREAT PHYSICIST: PAUL ADRlEN MAURlCE DIRAC. Dirigido por Behram N. Kursunoglu y Eugene P. Wigner. Cambridge University Press, 1987. DIRAC: A SCIENTIFIC BIOGRAPHY. Helge Kragh. Cambridge University Press, 1990.

Cien años de misterios cuánticos La mecánica cuántica cumple cien años combinando éxitos espectaculares con enigmas persistentes Max Tegmark y John Archibald Wheeler

ANNALE~

pl:lis1K. ....-- .. - : : ; : : : ' _.. ~1ol

...... t&At.··~~J.,:'Of.O •.

_..__

..,0 1•

1!....~

c.QuIII<:&'"

,.~.::e"~~:;~..&.

Ecuación de Schrodinger; interpretación de Copenhague (1926)

-==~

..--

-~-~.~-

l'leL DlI tlBE .

..............

Teoría de los espectros atómicos de Bohr (1913)

Planck explica la radiación del cuerpo negro (1900)

Principio de exclusión de Pauli (1925)

Electrodinámica cuántica y renormalización (1948)

Principio de indeterminación de Heisenberg (1927)

Ecuación del electrón de Dirac (1928)

Predicción de la condensación de Bose-Einstein (1924)

Descubrimiento de la superconductividad (1911) Artículo del gato de Schrodinger; artículo de Einstein, Podolsky y Rosen sobre el realismo local (1935) Descubrimiento de la superfluidez (1938)

LAS BASES de la mecanlca cuántica se sentaron entre 1900 y 1926, gracias en buena medida a los siete físicos de la derecha. A lo largo del último siglo, la mecánica cuántica no sólo nos ha permitido ahondar en nuestra comprensión de la naturaleza, sino que nos ha proporcionado también numerosas aplicaciones técnicas. Pero quedan por resolver algunos enigmas fundamentales. MAXPLANCK (1858-1947)

ALBERT EINSTEIN (1879-1955)

NIELSBOHR (1885-1962)

TEMAS 31

n unos pocos años habremos determinado con una buena aproximación las grandes constantes de la física, y ... la única ocupación de los hombres de ciencia será extender las medidas a un nuevo decimal." Recién llegados al siglo XXI, en plena celebración de los logros anteriores, estas palabras resultan familiares. Pero la frase fue pronunciada por James Clerk Maxwell en 1871, en la clase magistral que impartió con motivo de su incorporación a la Universidad de Cambridge; expresaba el sentir común por aquel entonces (aunque él no lo

compartiera). Treinta años después, el 14 de diciembre de 1900, Max Planck anunció su fórmula para el espectro del cuerpo negro y dio así el disparo de salida de la revolución cuántica. Abordamos aquí los primeros cien años de la mecánica cuántica, prestando especial atención alIado misterioso de la teoría, para culminar en el debate abierto sobre cuestiones que van de la computación cuántica a la naturaleza misma de la realidad física, pasando por la conciencia y los universos paralelos. Nos sorprenderíamos de la cantidad asombrosa de

Interpretación de la onda piloto de Bohm (1952)

.¡ .

Descubrimiento del quark cima (1995)

,,~.~

\.' ~ ~.'~ 't._. ( , "\'1:

Interpretación de estado relativo o de muchos universos (1957) Teorema de Bell sobre variables ocultas locales (1964) •

aplicaciones científicas y prácticas de la mecánica cuántica. Alrededor del 30 % del producto interior bruto de los Estados Unidos depende de inventos basados en la mecánica cuántica; por citar algunos: semiconductores de los chips de los ordenadores, láser de los lectores de discos compactos o aparatos de formación de imágenes por resonancia magnética de los hospitales. En 1871, los científicos tenían buenas razones para sentirse optimistas. La mecánica clásica y la electrodinámica habían impulsado la revolución industrial, y sus ecuacio-

Descubrimiento de la partícula Z (1983) Efecto Hall cuántico fraccionario (1982)

Escáner de resonancia magnética (1973)

1960

Teoría delteletransporte cuántico (1993)

1970

• Invención del láser (1960) Descubrimiento del leptón tau (1975) Teoría de la superconductividad (1957) Teoría de aforo (gauge) de Yang-Mills (1954)

LOUIS DE BROGLIE (1892-1987)

FENÓMENOS CUÁNTICOS

Unificación electrodébil (1973)

Superconductores de altas temperaturas (1987)

Descubrimiento de condensados Bose-Einstein (1995)

Refutación experimental de las variables ocultas locales (1982)

Teoría de la decoherencia (1970)

ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)

MAXBORN (1882-1970)

WERNER HEISENBERG (1901-1976)

Naipes cuánticos. La caída del naipe da pie a un misterio cuántico egún la física cuántica, un naipe ideal en equilibrio perfecto sobre uno de sus bordes caerá en ambos S sentidos a la vez; es lo que se conoce como superposición. La función de onda cuántica del naipe (azu~ varía continuamente, sin saltos, desde el estado de equilibrio (izquierda) hasta el misterioso estado final (derecha), en el cual parece que el naipe esté en dos lugares a la vez. Aunque el experimento no es factible con un naipe real, se han puesto de

manifiesto situaciones análogas en ocasiones innumerables con electrones, átomos y objetos mayores. Uno de los retos más persistentes y fundamentales de la mecánica cuántica consiste en comprender el significado de tales superposiciones y saber por qué no las vemos nunca en el mundo que nos rodea. A lo largo de varias décadas, los investigadores han desarrollado diversas ideas para resolver este enigma, entre las que se cuentan las interpretaciones rivales de Copenhague y de los muchos universos, sobre la función de onda, y la teoría de la decoherencia.

A\ A\ A ~..\ _ _~.L 111

nes fundamentales parecían bastar para describir todas las propiedades de los sistemas físicos. Algunos detalles insignificantes empañaban la imagen. Así, el espectro calculado para la luz emitida por un objeto incandescente no coincidía con las observaciones. La predicción clásica se conocía como la catástrofe ultravioleta, porque según ella una intensa radiación ultravioleta, acompañada de rayos X, debería cegarnos al contemplar el elemento incandescente de una estufa.

El desastre del hidrógeno n su artículo de 1900 Planck consiguió deducir el espectro correcto. Mas, para ello, hubo de introducir una hipótesis tan extraña, que estuvo años sin creer realmente en ella: toda la energía se emitía en cantidades discretas, o cuantos. Esta enigmática hipótesis resultó ser acertada. En 1905 Albert Einstein avanzó un paso más, al proponer que la radiación sólo podía transportar energía en pequeños paquetes, o "fotones", y explicar de esta manera el efecto fotoeléctrico, gracias al cual funcionan hoy las baterías solares y los sensores de imagen de las cámaras digitales. La física volvió a pasar apuros en 1911. Ernest Rutherford argumentó de manera convincente que los áto-

mos consistían en electrones que orbitaban en torno a un núcleo dotado de carga positiva, a la manera de un sistema solar en miniatura. Según la teoría electromagnética, sin embargo, los electrones en órbita emitirían radiación continuamente y se precipitarían sobre el núcleo en una billonésima de segundo. Pero los átomos de hidrógeno eran muy estables. Tal discrepancia representa el error cuantitativo más grave de toda la historia de la física, ya que estima a la baja la vida media del hidrógeno en unos 40 órdenes de magnitud. En 1913 Niels Bohr, que había ido a la Universidad de Manchester para trabajar con Rutherford, dio con una explicación que nuevamente implicaba a los cuantos. Postuló que el momento angular de los electrones sólo podía tomar ciertos valores definidos, que confinarían a los electrones en un conjunto discreto de órbitas. Los electrones sólo podrían emitir energía saltando a una órbita inferior y emitiendo un fotón. Al alcanzar la órbita más cercana al núcleo, el electrón no tenía donde saltar y se formaba un átomo estable. La teoría de Bohr daba cuenta también de muchas de las líneas espectrales del hidrógeno, es decir, las frecuencias específicas de la luz emitida por los átomos excitados. La teoría

1.1 A::::

funcionaba con el átomo de helio, pero sólo si se ignoraba uno de sus dos electrones. De vuelta a Copenhague, Bohr recibió una carta de Rutherford que le instaba a publicar sus resultados, pero el danés respondió que nadie le creería a menos que explicara el espectro de todos los elementos. Rutherford insistió que, si explicaba el hidrógeno y el helio, el resto no plantearía problemas. Pese a los éxitos de la idea de los cuantos, los físicos todavía no sabían qué pensar de estas reglas extrañas y aparentemente arbitrarias. En 1923, Louis de Broglie propuso una respuesta en su tesis doctoral: los electrones y otras partículas actúan como ondas estacionarias, ondas que, cual vibraciones de una cuerda de guitarra, adoptan ciertas frecuencias discretas (cuantizadas). La idea se salía tanto de lo normal, que el tribunal de tesis tuvo que recabar la ayuda de Einstein, que emitió un informe favorable. En noviembre de 1925 Erwin Schrtidinger dio un seminario en Zurich sobre el trabajo de De Broglie. Al terminar, Peter Debye le preguntó que, tratándose de ondas, dónde estaba la ecuación de ondas. Schrtidinger dedujo entonces la ecuación que lleva su nombre, donde se encierra la llave de buena parte de la física moderna, al tiempo que Max Born, Pascual

TEMAS

J ordan y Werner Heisenberg proponían una formulación matricial equivalente. Gracias a esta sólida fundamentación matemática, la teoría cuántica realizó progresos espectaculares. En pocos años, los físicos explicaron multitud de resultados experimentales, desde los espectros de átomos más complicados hasta las propiedades de las reacciones químicas. Pero seguía sin saberse qué era esa "función de ondas" que verificaba la ecuación de Schrbdinger. Es el interrogante central de la mecánica cuántica, que permanece abierto. A Born se le ocurrió que la función de onda podía interpretarse en clave probabilista. Cuando los físicos experimentales miden la posición de un electrón, la probabilidad de hallarlo en una región determinada depende de la magnitud de la función de onda en esa región. Esta interpretación concedía al azar un papel fundamental en las leyes de la naturaleza, una conclusión que inquietaba profundamente a Einstein, quien expresó su preferencia por un universo determinista con la célebre frase "No puedo creer que Dios juegue a los dados". Gatos curiosos

y naipes cuánticos ampoco Schrbdinger se sentía satisfecho. Las funciones de onda podían describir combinaciones de distintos estados, las llamadas superposiciones. Un electrón, por ejemplo, podía estar en una superposición de distintas posiciones. Para Schrbdinger, si los átomos y otros cuerpos microscópicos podían estar en extrañas superposiciones, por qué no iban a estarlo los objetos macroscópicos, hechos de átomos. E ideó un ejemplo rebuscado: el famoso experimento mental en el que un dispositivo perverso acaba con un gato si un átomo radiactivo se desintegra. Puesto que el átomo radiactivo se halla en una superposición de desintegrado y no desintegrado, produce un gato que está a la vez vivo y muerto, en superposición. El recuadro "Naipes cuánticos" muestra una variante sencilla de este experimento mental. Consiste en tomar un naipe con un borde impecable y colocarlo en equilibrio sobre una mesa. Según la física clásica, el naipe permanecerá en equilibrio indefinidamente. Según la ecuación de Schrbdinger, caerá a los pocos segundos aunque esté perfectamente equilibrado, y lo hará en ambos sentidos, a derecha y a izquierda, en superposición. Si acometiéramos ese experimento

FENÓMENOS CUÁNTICOS

ideal con un naipe de verdad, concluiríamos sin duda que la física clásica está equivocada y que el naipe cae; siempre lo veríamos caer al azar a la derecha o a la izquierda, nunca en ambos sentidos a la vez, como pretende la ecuación de Schrbdinger. Semejante contradicción aparente está relacionada con uno de los misterios originales y más persistentes de la mecánica cuántica. La interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica, que se fraguó en los intercambios que mantuvieron Bohr y Heisenberg a finales de los años veinte del siglo xx, aborda este misterio a partir del carácter especial de las observaciones o las mediciones. Mientras no observamos el naipe en equilibrio, su función de onda evoluciona de acuerdo con la ecuación de Schrbdinger; se trata de una evolución continua y gradual que recibe el nombre matemático de "unitaria" y que tiene diversas propiedades interesantes. La evolución unitaria produce la superposición en la cual el naipe ha caído tanto a la izquierda como a la derecha, pero el acto de observarlo provoca un cambio brusco en la función de onda, lo que se conoce como un "colapso": el observador ve el naipe en un estado clásico determinado (cara arriba o cara abajo) y a partir de ese momento sólo subsiste la parte correspondiente de la función de onda. Es como si la natu-

raleza seleccionara un estado al azar, de acuerdo con las probabilidades que determina la función de onda. La interpretación de Copenhague permitió calcular en detalle, con sorprendente eficacia, el resultado de los experimentos, pero no eliminó la sospecha de que alguna ecuación debía describir cuándo y cómo se produciría el colapso de la función de onda. Para muchos físicos, el no disponer de esta ecuación significaba que la mecánica cuántica era intrínsecamente defectuosa, y que pronto la sustituiría una teoría más fundamental que incluiría dicha ecuación. Por ello, en lugar de debatir las implicaciones ontológicas de las ecuaciones, la mayoría de los físicos se dedicó a desarrollar las numerosas aplicaciones de la teoría y a ocuparse de los problemas acuciantes que planteaba la física nuclear. Este enfoque pragmático cosechó grandes éxitos. La mecánica cuántica permitió predecir la antimateria, comprender la radiactividad (y los fundamentos de la energía nuclear), dar cuenta del comportamiento de los semiconductores y explicar la superconductividad, amén de describir las interacciones entre la luz y la materia (que llevó a la invención del láser) o entre las ondas de radio y el núcleo (que condujo a la formación de imágenes por resonancia magnética nuclear). Muchos de los éxitos

La interpretación de Copenhague IDEA: Los observadores ven un resultado aleatorio; la probabilidad viene dada por la función de onda.

VENTAJAS: Sólo se da un resultado, que coincide con lo que observamos. INCONVENIENTES: Precisa el "colapso" de la función de onda, pero ninguna ecuación especifica cuándo se producirá. uando se mide o se observa una superposición cuántica, vemos al azar una u otra de las dos alternativas, con probabilidades que vienen dadas C por la función de onda. Si una persona ha apostado que el naipe caerá cara arriba, la primera vez que lo mira tiene un 50 % de posibilidades de alegrarse por haber ganado la apuesta. Esta interpretación ha sido aceptada en la práctica por los físicos durante mucho tiempo, pese a que exige un cambio brusco o colapso de la función de onda que contradice la ecuación de Schrbdinger.

Interpretación de los muchos universos IDEA: Las superposiciones aparecerán como universos alternativos paralelos

a sus habitantes. VENTAJAS: La ecuación de Schrbdinger se cumple siempre; la función de onda

no se colapsa jamás. INCONVENIENTES: Idea arriesgada que todavía plantea problemas de

carácter técnico. i las funciones de onda nunca se colapsan, la ecuación de Schrodinger predice que la persona que conS templa la superposición del naipe entrará en una superposición de dos posibles resultados: ganar o perder la apuesta. Estas dos partes de la función de onda total (de la persona y del naipe) evolucionan independientemente, como dos mundos paralelos. Si se repite el experimento muchas veces, la gente que habita la mayoría de los universos paralelos verá que el naipe cae hacia arriba aproximadamente la mitad de las veces. Los naipes apilados de la derecha muestran los 16 universos que genera el dejar caer un naipe cuatro veces.

lID 4/4

3/4

2/4

1/4

0/4

PROBABILIDADES DE GANAR SI SE DEJAN CAER CUATRO NAIPES

+ LAURIE GRACE

de la mecánica cuántica implican a su extensión, la teoría cuántica de campos, que se halla en la base de la física de las partículas elementales desde sus orígenes hasta los actuales experimentos con las oscilaciones de neutrinos y la búsqueda de la partícula Higgs y la supersimetría.

Muchos universos mediados del siglo pasado era evidente que los sucesivos éxitos de la mecánica cuántica no podían ser fruto de una teoría provisional e improvisada. En el ecuador de los años cincuenta, un alumno de la Universidad de Princeton, Hugh Everett III, decidió dedicar su tesis doctoral a revisar el postulado del colapso. Everett llevó las ideas cuánticas al límite al plantearse qué pasaría si la evolución temporal del universo entero fuera siempre unitaria. Después de todo, si la mecánica cuántica bastara para describir el universo, el estado actual del universo estaría representado por una función de onda (una función extraordinariamente complicada). Según el planteamiento de Everett, tal función de onda evolucionaría siempre de forma determinista, excluyendo todo desplome misterioso no unitario o la posibilidad de que Dios juegue a los dados.

En lugar de desplomarse por las mediciones, las superposiciones microscópicas se amplificarían vertiginosamente en complicadas superposiciones macroscópicas. Nuestro naipe estaría realmente en dos lugares a la vez. Además, una persona que lo contemplara entraría en una superposición de dos estados mentales distintos, cada uno de los cuales percibiría uno de los dos resultados. Si hubiéramos apostado que el naipe caería cara arriba, acabaríamos en una superposición de alegría y desengaño. Everett intuyó genialmente que los observadores de este universo cuántico, determinista pero esquizofrénico, percibirían la realidad con la que estamos familiarizados y, lo que es más importante, percibirían que el azar aparente obedece las reglas de probabilidad correctas (véase el recuadro "Interpretación de los muchos universos"). Al punto de vista de Everett se le conoce en la academia por formulación de estado relativo. Más famosa es su denominación popular de "interpretación de los muchos universos" de la mecánica cuántica; en efecto, en su seno cada componente de la superposición del observador percibe su propio universo. La formulación de Everett simplifica la teoría subyacen-

te porque elimina el postulado del colapso, pero a un precio elevado: el que le lleva a la conclusión de que todas estas percepciones paralelas de la realidad son igualmente reales. El trabajo de Everett pasó sin pena ni gloria durante cerca de veinte años. Muchos físicos seguían confiando en el advenimiento de una teoría fundamental que mostraría que el mundo es, después de todo, clásico, y que en él no caben absurdos como el de la bilocación de un objeto grande. Pero una nueva serie de experimentos dio al traste con estas esperanzas. ¿No podría sustituirse la aparente aleatoriedad cuántica por algún tipo de variable desconocida propia de las partículas (las variables ocultas)? J ohn S. Bell, físico teórico del CERN, mostró que en tal caso las magnitudes que se podían medir en ciertos experimentos de difícil realización, mostrarían una discrepancia inevitable con las predicciones estándar de la mecánica cuántica. Muchos años después, la técnica permitió ejecutar los experimentos y eliminar, así, la posibilidad de la existencia de variables ocultas. U no de nosotros (Wheeler) propuso en 1978 un experimento de "selección diferida" (delayed choice). Realizado con éxito en 1984, mostró otro TEMAS 31

Decoherencia: el cuanto se hace clásico IDEA: La menor interacción con el ambiente hace que se disipe rápidamente el peculiar carácter cuántico de las superposiciones. VENTAJAS: Contrastable experimentalmente. Explica por qué el mundo en torno parece "clásico" y no cuántico. ADVERTENCIA: La decoherencia no elimina por completo la necesidad de adoptar una interpretación, ya sea la de Copenhague o la de los muchos universos. a indeterminación de una superposición cuántica es distinta de la incertidumbre de la probabilidad clásica, como la que se da al lanzar una moneda (derecha). Un objeto matemático denominado matriz de densidad ilustra la distinción. La función de onda del naipe cuántico se corresponde con una matriz de densidad con cuatro máximos. Dos de estos máximos representan la

L (izquierda)

probabilidad (50 %) de cada resultado, cara arriba o cara abajo. Los otros dos indican que estos dos resultados pueden, en principio, obstruirse entre sí. El estado cuántico todavía es "coherente". La matriz de densidad de un lanzamiento de moneda sólo tiene dos máximos, lo que significa, por convención, que la moneda está realmente cara arriba o cara abajo, aunque no la hayamos mirado aún.

INCERTIDUMBRE CLA51CA

INDETERMINACION CUANTICA

SUPERPOSICION COHERENTE

Interferencia Cara arriba

LANZAMIENTO DE MONEDA Cara abajo

La teoría de la decoherencia muestra que la menor interacción con el entorno, como la colisión de un fotón o una molécula de gas, transforma rápidamente una matriz de densidad coherente en una matriz de den-

sidad que, a todos los efectos, representa las probabilidades clásicas como las de un lanzamiento de moneda. La ecuación de Schrodinger controla el proceso entero.

DECOHERENCIA

Cara arriba

Cara abajo

Interacción en el entorno

CUANTICO

FENÓMENOS CUÁNTICOS

CLASICO

Dividir la realidad esulta instructivo dividir el universo en tres partes: el objeto consiR derado, el entorno y el estado cuántico del observador, o sujeto. La ecuación de Schrbdinger que rige el universo en su totalidad puede dividirse en términos que describen la dinámica interna de cada uno de los tres subsistemas y términos que exponen las interacciones entre ellos. Estos términos ejercen efectos muy distintos desde el punto de vista cualitativo. El término que describe la dinámica del objeto suele ser el más importante; por ello, para saber qué hará el objeto, los teóricos pueden empezar ignorando el resto de los términos. En el caso de nuestro naipe cuántico, su dinámica predice que caerá a derecha e izquierda en superposición. Cuando nuestro observador mira al naipe, la interacción entre sujeto y objeto extiende la superposición a su estado mental, produciendo una superposición de alegría y tristeza por haber ganado y perdido la apuesta. Pero el observador nunca percibe esta superposición, porque la interacción entre el objeto y el entorno (que incluye el choque de las moléculas de aire o los fotones contra el naipe) conduce rápidamente a una decoherencia que hace que la superposición no pueda observarse. Aun en el caso de que nuestro observador consiguiera aislar completamente al naipe de su entorno (por ejemplo, haciendo el experimento en una cámara oscura en el cero absoluto de temperatura) las cosas no serían muy distintas. Por lo menos una neurona del nervio óptico entraría en una superposición de activarse o no activarse cuando el observador mirara el naipe; los cálculos recientes cifran en 10-20 segundos el tiempo en que la decoherencia haría mella en esta superposición. A poco que los complejos procesos de excitación de las neuronas de nuestro cerebro tengan que ver con la conciencia y con la formación de nuestro pensamiento y percepciones, la decoherencia de las neuronas garantizará que nunca percibiremos una superposición cuántica de estados mentales. En esencia, nuestros cerebros relacionan inextricablemente sujeto y entorno, imponiéndonos la decoherencia.

~ SUJETO

OBJETO

aspecto cuántico de la realidad que desafía la descripción clásica: no sólo puede un fotón estar en dos lugares a la vez, sino que los experimentadores pueden escoger tras el experimento si el fotón estaba en los dos sitios o sólo en uno. 26

El sencillo experimento de interferencia de la doble rendija, en el que luz o electrones pasan a través de dos rendijas y producen un patrón de interferencia, y que Richard Feynman ensalzó como la madre de todos los efectos cuánticos, fue repetido con

éxito con objetos cada vez mayores: átomos, pequeñas moléculas y, recientemente, buckybolas de 60 átomos. Tras este logro, el grupo de Anton Zeilinger en Viena comenzó a plantear la posibilidad de realizar el experimento con un virus. El veredicto experimental es inapelable: nos guste o no, la rareza del universo cuántico es real.

La censura cuántica:

la decoherencia os progresos experimentales de L las últimas décadas se acompañaron de notables avances en la comprensión teórica. El trabajo de Everett había dejado sin responder dos cuestiones cruciales. A tenor de la primera, si el mundo contiene realmente extrañas superposiciones macroscópicas, ¿por qué no las percibimos? La respuesta la aportó en 1970 H. Dieter Zeh, de la Universidad de Heidelberg, en un artículo seminal. Mostraba que la propia ecuación de Schrodinger comportaba decoherencia, cierta forma de censura. Así vino en designarse tal fenómeno porque de la superposición ideal prístina se predica la coherencia. El concepto de decoherencia sería depurado por Wojciech H. Zureck, Zeh y otros en las décadas siguientes. Hallaron que las superposiciones coherentes sólo persisten mientras permanecen ocultas al resto del mundo. Nuestro naipe cuántico recibe constantemente el impacto de moléculas de aire y fotones que comprueban si ha caído hacia la derecha o hacia la izquierda, destruyendo ("decohesionando") la superposición y hurtándola a la observación (véase el recuadro "Decoherencia: el cuanto se hace clásico"). Es como si el entorno sustituyera al observador, provocando el hundimiento de la función de onda. Supongamos que una persona mirara al naipe sin decirnos de qué lado ha caído. Según la interpretación de Copenhague, su medida fuerza la superposición en un resultado determinado, y nuestra mejor descripción del naipe pasa de una superposición cuántica a una representación clásica de nuestra ignorancia de lo que aquella persona vio. Los cálculos de la decoherencia muestran, pues, que no es precisa la intervención de un observador humano (o el colapso explícito de la función de onda) para obtener prácticamente el mismo efecto; bastaría con una molécula de aire que rebotara en el naipe caído. A efectos prácticos, una interacción ínfima torna la superposición en una

TEMAS

situación clásica, en un abrir y cerrar de ojos. La decoherencia explica por qué no solemos ver las superposiciones cuánticas en el mundo que nos rodea. No se debe a que la mecánica cuántica se ciña, por principio, a objetos mayores que cierta talla mágica, sino a la cuasiimposibilidad de mantener aislados los objetos macroscópicos como los gatos o los naipes en el grado necesario para evitar la decoherencia. Los objetos microscópicos, en cambio, pueden ser aislados de su entorno para que retengan su comportamiento cuántico. La segunda pregunta sin respuesta planteada por Everett, más sutil aunque de igual importancia, inquiría por el mecanismo que selecciona los estados clásicos (cara arriba y cara abajo, en el caso del naipe). Si los consideramos estados cuánticos abstractos, no tienen nada de particular, comparados con las innumerables superposiciones posibles de arriba y abajo en distintas proporciones. ¿Por qué respetan los muchos universos la separación estricta entre arriba y abajo con la que estamos familiarizados, y nunca otras alternativas? La decoherencia responde también a esta cuestión, ya que los cálculos muestran que los estados clásicos como arriba y abajo son precisamente los más resistentes a la decoherencia. Con otras palabras, las interacciones con el entorno no afectarían a los naipes cara arriba o cara abajo, pero harían que toda superposición de arriba y abajo desembocara en una de las dos alternativas clásicas.

La decoherencia y el cerebro e lejos les viene a los físicos su D tendencia a analizar el universo dividiéndolo en dos partes. En termodinámica, los teóricos separan un cuerpo material de todo cuanto le rodea (el "ambiente"), que proporciona las condiciones prevalentes de temperatura y presión. Tradicionalmente la física cuántica separa del aparato de medición clásico el sistema cuántico. Si se toman en serio la unitariedad y la decoherencia, resulta instructivo dividir el universo en tres partes descritas por sendos estados cuánticos: el objeto considerado, el ambiente y el observador, o sujeto (véase el recuadro "Dividir la realidad"). La de coherencia causada por la interacción entre el ambiente y el objeto o el sujeto es la responsable de que nunca percibamos una superposición cuántica de estados mentales.

FENÓMENOS CUÁNTICOS

Además, nuestros cerebros están inextricablemente ligados con el ambiente, de forma que la decoherencia de las neuronas excitadas es inevitable y esencialmente instantánea. Como ha hecho notar Zeh, estas conclusiones justifican el que en los libros de texto se use el postulado del colapso de la función de onda como una receta práctica que recomienda "callar y calcular": se deben calcular las probabilidades como si la función de onda se desplomara cuando observamos el objeto. Pese a que, según Everett, la función de onda no llega nunca a hundirse, los investigadores están de acuerdo en que la decoherencia produce un efecto que tiene el mismo aspecto que un "colapso". El descubrimiento de la decoherencia, junto con los experimentos cada vez más refinados que ponen de manifiesto las perplejidades cuánticas, no han dejado indiferentes a los físicos. La principal motivación para la introducción de la noción de colapso de la función de onda era explicar por qué los experimentos producían resultados determinados y no extrañas superposiciones de resultados. Esta motivación ha dejado de existir. Además, llama la atención que nadie haya sugerido una ecuación determinista contrastable que especifique con exactitud el momento en que se supone debe producirse el colapso. De una encuesta informal realizada enjulio de 1999 durante un congreso sobre computación cuántica en el Instituto Isaac Newton de Cambridge se desprende que la percepción de los físicos está cambiando. De los 90 físicos encuestados, sólo ocho declararon que su punto de vista implicaba el colapso explícito de la función de onda. Treinta prefirieron "muchos universos o historias consistentes (sin colapso)". (A grandes rasgos, el enfoque de historias consistentes analiza secuencias de medidas y reúne grupos de resultados alternativos que formarían una historia "consistente" para un observador.) Pero la imagen resultante no es clara: 50 de los investigadores respondieron "ninguna de las anteriores o indeciso". Puede que la confusión lingüística reinante haya contribuido a un número tan alto. No es raro encontrar dos físicos que afirman subscribir la interpretación de Copenhague y discrepan, sin embargo, en qué entender por tal. Dicho esto, la encuesta plantea sin ambages la necesidad de poner al día los manuales de mecánica cuántica. Aunque estos libros incluyan, sin

excepcIOn, en uno de los primeros capítulos el colapso no unitario como un postulado fundamental, la encuesta sugiere que muchos físicos (especialmente los cada vez más numerosos que se dedican a la computación cuántica) no toman este postulado en serio. La noción de colapso seguirá siendo útil como receta de cálculo, pero una advertencia adicional de que probablemente no se trata de un proceso fundamental que viola la ecuación de Schrodinger ahorraría muchas horas de confusión a los estudiantes más avispados.

Mirando al futuro ras 100 años de ideas cuánticas, T ¿qué nos depara el futuro? ¿Qué misterios quedan por resolver? ¿Qué hemos de pensar o hacer con los cuantos? Aunque las cuestiones relacionadas con la ontología y la naturaleza última de la realidad aparecen recurrentemente en los debates sobre la interpretación de la mecánica cuántica, puede que la teoría no sea sino una de las piezas del rompecabezas. Podemos agrupar las teorías en árboles genealógicos de forma que, al menos en principio, cada una de ellas esté basada en las teorías más fundamentales que la preceden. Muy en lo alto del árbol hallamos la teoría de la relatividad general y la teoría cuántica de campos. En el siguiente nivel aparecen la relatividad especial y la mecánica cuántica, que a su vez comprenden el electromagnetismo, la mecánica clásica, la física atómica, etc. Disciplinas como la informática, la psicología o la medicina aparecen en las ramas inferiores. Todas estas teorías tienen dos componentes: las ecuaciones matemáticas y la prosa que explican la relación entre ecuaciones y observación experimental. La mecánica cuántica enseñada en los manuales presenta ambos componentes: algunas ecuaciones y tres postulados fundamentales enunciados con palabras del lenguaje ordinario. En cada nivel de la jerarquía de teorías se introducen nuevos conceptos (por ejemplo, protones, átomos, células, organismos, culturas) porque son convenientes y porque captan la esencia de los fenómenos, sin tener que recurrir a las teorías de niveles superiores. La proporción entre ecuaciones y prosa decrece a medida que descendemos por el árbol de teorías, y aquéllas terminan por desaparecer llegados a la medicina o la sociología. Las teorías de la copa del árbol, en cambio, están fuertemente matematizadas, y los físicos siguen esforzándose por com27

COLABORADORES DE ESTE NUMERO Asesoramiento y traducción: Manuel García Doncel: Heisenberg, imprecisión y revolución cuántica y Dirac y la belleza de lafísica; Xavier Roqué: Cien años de misterios cuánticos; Ramón Pascual: Reglas para un mundo cuántico complejo, Trampa de láser para partículas neutras, Puntos cuánticos y Electrodinámica cuántica en cavidades; Ma Victoria Gracia: Computación cuántica con moléculas; Juan Pedro Campos: Teletransporte cuántico, El límite clásico del átomo y El condensado de Bose-Einstein; Julio A. Alonso: El láser monoatómico Portada: Ian Worpole

INVESTIGACION y CIENCIA DIlRECTORGENERAL José M. a Valderas Gallardo DIRECTORA FINANCIERA Pilar Bronchal Garfella EDICIONES Juan Pedro Campos Gómez PRODUCCIÓN M.a Cruz Iglesias Capón Bernat Peso Infante SECRETARíA Purificación Mayoral Martínez ADMINISTRACIÓN Victoria Andrés Laiglesia SUSCRIPCIONES Concepción Orenes Delgado OIga Blanco Romero EDITA Prensa Científica, S. A. Muntaner, 339 pral. l.a 08021 Barcelona (España) Teléfono 934 143344 Telefax 934 145413 www.investigacionyciencia.es

SCIENTIFIC AMERICAN EDITOR IN CHIEF John Rennie EXECUTIVE EDITOR Mariette DiChristina MANAGING EDITOR Michelle Press ASSISTANT MANAGING EDITOR Ricki L. Rusting NEWS EDITOR Philip M. Yam SPECIAL PROJECTS EDITOR Gary Stix SENIOR WRITER W. Wayt Gibbs EDITORS Mark Alpert, Steven Ashley, Graham P. Collins, Carol Ezzell, Steve Mirsky y George Musser PRODUCTION EDITOR Richard Hunt VICE PRESIDENT AND MANAGING DIRECTOR, INTERNACIONAL Charles McCullagh PRES¡DENT AND CHIEF EXECUTIVE OFFICER Gretchen G. Teichgraeber CHAIRMAN Rolf Grisebach

DISTRIBUCION

para España:

GM Publicidad Edificio Eurobuilding Juan Ramón Jiménez, 8, l.a planta 28036 Madrid Tel. 912 776 400 - Fax 914 097 046

LOGISTA, S. A. Aragoneses, 18 (PoI. Ind. Alcobendas) 28108 Alcobendas (Madrid) Tel. 914 843 900 para los restantes países: Prensa Científica, S. A. Muntaner, 339 pral. l.a 08021 Barcelona Teléfono 934 143 344

Cataluña: QUERALTO COMUNICACION Julián Queraltó Sant Antoni M: Claret, 2814.° 3.a 08041 Barcelona Tel. y fax 933 524 532 Móvil 629 555 703

Copyright © 2003 Scientific American Inc., 415 Madison Av., New York N. Y. 10017. Copyright © 2003 Prensa Científica S.A. Muntaner, 339 pral. la 08021 Barcelona (España) Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción en todo o en parte por ningún medio mecánico, fotográfico o electrónico, así como cualquier clase de copia, reproducción, registro o transmisión para uso público o privado, sin la previa autorización escrita del editor de la revista. El nombre y la marca comercial SCIENTIFIC AMERICAN, así como el logotipo correspondiente, son propiedad exclusiva de Scientific American, Inc., con cuya licencia se utilizan aquí. ISSN: 1135-5662 Dep.legal: B. 32.350 - 1995 Imprime Rotocayfo-Quebecor, S.A. Ctra. de Caldes, km 3 - 08130 Santa Perpetua de Mogoda (Barcelona) Printed in Spain - Impreso en España

prender los conceptos codificados en las fórmulas que utilizan. El objetivo último de la física es dar con lo que popularmente se conoce como una teoría del todo, a partir de la cual se deduzca el resto. De existir una teoría así, ocuparía el lugar más alto del árbol genealógico, lo que querría decir que tanto la teoría de la relatividad general como la teoría cuántica de campos se deducirían de ella. Los físicos echamos de menos algo en lo alto del árbol, porque carecemos de una teoría consistente que incluya la gravedad y la mecánica cuántica, mientras que el universo contiene ambos fenómenos. U na teoría del todo puede que no debiera contener ningún concepto, ya que de otro modo nos veríamos obligados a buscar una explicación para esos conceptos en términos de una teoría más fundamental, y así sucesivamente en un proceso sin fin. En otras palabras, la teoría debería ser pura matemática y no incluir explicaciones ni postulados. Un matemático infinitamente inteligente podría deducir todo el árbol genealógico de teorías a partir de las ecuaciones, e inferir así las propiedades del universo que estas ecuaciones describen, junto con las propiedades de sus habitantes y sus percepciones del mundo. El primer siglo de mecánica cuántica nos ha regalado técnicas muy poderosas y ha contestado a muchas preguntas. Pero la física ha planteado nuevas cuestiones tan importantes como las que preocupaban a Maxwell cuando impartió su lección inaugural, cuestiones relacionadas con la gravedad cuántica y con la naturaleza última de la realidad. Si la historia nos enseña algo, la centuria que iniciamos nos deparará más de una sorpresa.

BIBLlOGRAFIA COMPLEMENTARIA ONE HUNDRED YEARS OF QUANTUM PHYSICS. Daniel Kleppner y Roman Jackiw, en Science, vol. 289,págs. 893-898; 11 de agosto de 2000. BEAM LINE. Número especial dedicado al siglo cuántico. Volumen 30,número 2 (veran%toño 2000). Disponible en la red en www .slac .stanford.edu/pubs/beamline/ pdf/OOii.pdf. MAX PLANCK: THE RELUCTANT REVOLUTIONARY. Helge Kragh, en Physics World, vol. 13, n.o 12, págs. 31-35; diciembre de 2000. THE QUANTUM CENTENNIAL. A. Zeilinger, en Nature, vol. 408, págs. 639-641; 7 de diciembre de 2000.

TEMAS 31