Análise Dimensional e Teoria da Semelhança v
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
Problema 3 Considere um reservatório de grandes dimensões, com um orifício de pequenas dimensões numa das paredes laterais. Pretende-se determinar a velocidade média na secção contraída do jacto, sabendo que é função da carga no eixo do orifício (H), das características do líquido (ρ) e que o escoamento ocorre devido à ação das forças da gravidade. Deduza a expressão da velocidade na secção contraída aplicando o Teorema dos ππ. Problema 4 A galeria de desvio do caudal do rio Guadiana, para construção da Barragem do Alqueva, tem aproximadamente um comprimento de 450 m e 8 m de diâmetro. Pretende-se construir um modelo reduzido em laboratório. Sabendo que o diâmetro não deve ser superior a 0,5 m e inferior a 0,2 m e que o comprimento disponível é de 20 m, determine o caudal a utilizar no modelo para representar o caudal no rio de 50 m3/s.
Manuel Rijo
Hidrocinemática
Aula nº 5 16/10/2012 Cap 3. Hidrocinemática 3.1 Noções e parâmetros hidrocinemáticos 3.2 Tipos de escoamentos 3.3 Equação da continuidade Exercícios
Hidráulica I
Hidrocinemática
Variáveis a considerar no estudo do fluido em movimento
Na maioria dos problemas práticos de Hidráulica os processos são considerados isotérmicos, ou seja em que a variação de temperatura é desprezável em termos de resultados obtidos e o fluido mais estudado é a água que é considerada como incompressível. Assim o número de variáveis a estudar fica reduzido a quatro: a pressão e as três componentes da velocidade
de escoamento em cada ponto do domínio fluido. Hidráulica I
Hidrocinemática
Noções e parâmetros de carácter hidrocinemático Representação do vetor velocidade Variáveis de Lagrange Estudo do comportamento de cada partícula ao longo do tempo. É registada a história de cada partícula.
Variáveis de Euler Estudadas as características das partículas que passam numa dada posição do domínio fluido, ao longo do tempo
Hidráulica I
Hidrocinemática Trajetória de uma partícula:
o lugar geométrico da posição dessa partícula ao
longo do tempo.
As trajetórias são definidas para as partículas e a sua representação é no tempo e no espaço
Hidráulica I
Hidrocinemática Linhas de corrente definem-se no domínio fluido, para um dado instante. São as curvas que têm em cada ponto, como tangente o vector velocidade de cada partícula localizada nesse ponto em cada instante
Hidráulica I
Hidrocinemática Trajectória de uma partícula e Linha de corrente num domínio fluido Propriedades: 1 - As linhas de corrente, para um dado instante, são tangentes às trajectórias das partículas no ponto onde estão as partículas nesse instante. 2 - No caso de escoamentos com velocidade constante no tempo, as trajectórias das partículas coincidem com as linhas de corrente.
Linhas de filamento: lugar geométrico , num dado instante, das partículas que passaram ou virão a passar num dados ponto
Hidráulica I
Hidrocinemática Tubo de fluxo: superfície geométrica definida pelas linhas de corrente apoiadas no contorno fechado chama-se tubo de fluxo
A propriedade principal do tubo de fluxo é que as suas paredes não são atravessadas pelo fluido, já que a velocidade de todas as partículas de fluido localizadas na parede só têm componente tangencial.
Hidráulica I
Hidrocinemática Caudal e Velocidade média de escoamento Num tubo de fluxo: Caudal (Q): volume de fluido que, na unidade de tempo, atravessa uma dada secção transversal. O volume do fluido que atravessa a área elementar dA com a velocidade v no intervalo de tempo dt, é:
Componente da velocidade normal a dA
O caudal elementar, através da área elementar dA, é:
Hidráulica I
Hidrocinemática Caudal e Velocidade média de escoamento O caudal através da superfície A é igual ao integral do caudal elementar, a toda a superfície:
Velocidade média: velocidade fictícia, constante na secção, que transporta o mesmo caudal num tubo com iguais características geométricas.
Q = U.A Hidráulica I
Hidrocinemática CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS FLUIDOS Classificação quanto à variação das grandezas no tempo Permanentes: num ponto, a velocidade é constante ao longo do tempo Variáveis: num ponto, a velocidade varia com o tempo Classificação quanto à variação das grandezas no espaço Uniformes: a velocidade mantém-se constante no espaço Variados: a velocidade varia no espaço Hidráulica I
Hidrocinemática CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS FLUIDOS
Turbulento
Experiência de Reynolds
Classificação quanto ao comportamento relativo das partículas Laminar
Na passagem de regime laminar para regime turbulento define-se o regime de transição. Número de Reynolds:
Hidráulica I
Hidrocinemática Equação da Continuidade Representa o Princípio da Conservação da Massa aplicado a um dado volume do domínio fluido dentro de um tubo de fluxo e limitado por duas secções transversais. Seja P1 o peso de líquido (=G1) que entra na secção 1 do trecho de um tubo de fluxo, no intervalo de tempo dt. Seja P2 o peso de líquido (=G2) que sai na secção 2 no mesmo intervalo de tempo dt. Então:
γ1.A1.U1
e
P1 P2
γ2.A2.U2
Se o movimento for permanente: P1 = P2 e γ1.A1.U1 = γ2.A2.U2 Hidráulica I
Hidrocinemática Equação da Continuidade Se o líquido for incompressível: γ1 =γ2 Então:
A1.U1 = A2 .U2
sendo Q = U.A,
logo Q1 = Q2 UA = const
P
1 onde: P2 Q - caudal; U - velocidade média na secção; A - área da secção transversal.
Exemplo: No escoamento permanente de um líquido incompressível, através de uma conduta com secção constante ou variada, é possível relacionar a velocidade média em duas secções dessa conduta, aplicando a equação da continuidade: a)
b) Hidráulica I
Hidrodinâmica
Aula 7 30/10/2012 Hidrodinâmica Teorema de Bernoulli aplicado a líquidos perfeitos. Linha piezométrica e linha de energia. Tubo piezométrico e tubo de Pitot. Teorema de Bernoulli aplicado a líquidos reais. Resolução de problemas.
Hidráulica I
Hidrodinâmica TEOREMA DE BERNOULLI O Teorema de Bernoulli representa o Princípio da Conservação da Energia e relaciona as diferentes formas de energia mecânica ao longo de um escoamento: a energia de posição, a energia de pressão e a energia cinética.
Dedução do Teorema de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente Pressupostos: • o líquido perfeito, sem viscosidade • o movimento permanente • o líquido incompressível
Aplica-se a Equação Fundamental da Dinâmica a um dado volume de líquido, no instante t. Hidráulica I
Hidrodinâmica Dedução do Teorema de Bernoulli As forças exteriores que actuam sobre um dado volume de fluido sujeito à acção da gravidade são: - a força de massa ou volume (peso próprio, G) - as forças de contacto ou de superfície • normal - Pressão, Π • tangencial, Ft (Ft = 0 , porque se trata de um líquido perfeito) As componentes no sentido do escoamento, ou seja, segundo a direcção da linha de corrente são:
Hidráulica I
Hidrodinâmica Dedução do Teorema de Bernoulli
Dividindo por (– dA ds), vem:
A componente segundo a linha de corrente do vector aceleração é dada por:
Hidráulica I
Hidrodinâmica Dedução do Teorema de Bernoulli
Tendo em conta que: cos – representa a variação da cota topográfica com a variação da distância segundo a direcção da linha de corrente: cos = z/s ; vs – componente da velocidade segundo a direcção da linha de corrente, coincidindo com o vector velocidade: vs = v ; e g – são constantes; então: Hidráulica I
Hidrodinâmica Equação de Bernoulli – líquidos perfeitos
/s - variação ao longo da linha de corrente; z - cota relativamente a um dado plano horizontal de referência: energia potencial de posição por unidade de peso do fluido; p/ - altura piezométrica: energia potencial de pressão por unidade de peso do fluido; v2/2g - altura cinética: energia cinética por unidade de peso do fluido; z + p/ - cota piezométrica relativamente a um dado plano horizontal de referência; (z + p/ + v2/2g) - energia mecânica total por unidade de peso do fluido ou carga, relativamente a um dado plano horizontal de referência (= H); -1/g v/t - força de inércia local por unidade de peso do fluido: variação da quantidade de movimento por unidade de tempo. Hidráulica I
Hidrodinâmica Equação de Bernoulli – líquidos perfeitos + escoamento permanente -1/g v/t = 0
“para líquidos perfeitos e movimentos permanentes a energia mecânica total por unidade de peso de liquido é constante ao longo de cada trajectória”. Ou seja, “a carga total associada a uma partícula fluida é igual em qualquer ponto da sua trajectória” H/s = 0 Hidráulica I
Hidrodinâmica Linha piezométrica e linha de energia Linha piezométrica - representação da cota piezométrica; Linha de energia - representação da energia mecânica total por unidade de peso do fluido. Exemplo para um escoamento permanente de um líquido perfeito, ao longo de uma linha de corrente:
Hidráulica I
Hidrodinâmica Linha piezométrica e linha de energia Significado físico da linha piezométrica e da linha de energia A linha piezométrica pode ser representada fisicamente pela linha que une a superfície livre em tubos piezométricos instalados ao longo da linha de corrente.
A linha de energia representada fisicamente que une a superfície livre pitot instalados ao longo corrente.
pode ser pela linha de tubos de da linha de Hidráulica I
Hidrodinâmica Linha piezométrica e linha de energia Significado físico da linha piezométrica e da linha de energia A associação do Tubo Piezométrico com o Tubo de Pitot, instalados na mesma posição da linha de corrente, permite determinar a altura cinética da partícula do escoamento localizada nessa posição. Conhecida a altura cinética é possível determinar a velocidade de escoamento da mesma partícula.
Aplicação: Tubo de Pitot
Hidráulica I
Hidrodinâmica Equação de Bernoulli – líquidos reais Os líquidos reais comportam-se como perfeitos quando fortemente acelerados, tornando-se desprezáveis as tensões tangenciais. A Equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente aplicada a líquidos reais e escoamentos variáveis, toma a seguinte forma:
j - trabalho realizado pelas forças resistentes ao longo da linha de corrente, por unidade de peso do fluido e por unidade de comprimento, designado por perda de carga unitária. Para o caso particular de escoamento permanente, a variação da velocidade com o tempo anula-se e a Equação de Bernoulli aplicada a líquidos reais escreve-se:
Hidráulica I
Hidrodinâmica Equação de Bernoulli – líquidos reais A integração entre dois pontos 1 (a montante) e 2 (a jusante) da linha de corrente, ou seja, de uma trajectória, permite obter:
é a perda de carga total entre os pontos 1 e 2 da linha de corrente. 1
2
1
2
1 2 1
Hidráulica I
2
Hidrodinâmica
Aula nº 10 20/11/2012 Cap 4. Hidrodinâmica Aplicações do Teorema de Euler
Hidráulica
Hidrodinâmica TEOREMA DE EULER OU DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Permite determinar as forças que actuam sobre um volume de fluido. Aplicando a Equação Fundamental da Dinâmica a um dado volume de fluido, vem:
A força de inércia é representada por:
Aplicando a definição de aceleração e assumindo um sistema de eixos cartesianos oxyz, vem: Hidráulica
Hidrodinâmica
Forças de inércia local
A equação
Variação da quantidade de movimento, mv, no volume de fluido em estudo, por unidade de tempo
transforma-se em:
que representa o Teorema da Quantidade de Movimento ou Teorema de Euler Hidráulica
Hidrodinâmica
Teorema da Quantidade de Movimento ou Teorema de Euler: Para um dado volume no interior de um fluido é nula, em cada instante, a resultante das seguintes forças: G - peso próprio do fluido; Fc - resultante das forças de contacto que actuam no fluido através da fronteira; I - a força de inércia local; Me - a quantidade de movimento entrada, por unidade de tempo; Ms - a quantidade de movimento saída, por unidade de tempo No caso particular de escoamento permanente, I = 0, logo: Hidráulica
Hidrodinâmica Aplicação: Determinar a resultante das forças da água sobre a parede da curva
A resultante das forças da água sobre a parede da curva é simétrica à força de contacto exercida pelas paredes da curva sobre o líquido, e agrega as forças de impulsão e forças tangenciais das paredes laterais da curva, ou seja, , logo:
Hidráulica
resultante das forças da água sobre a parede da curva
Hidrodinâmica Cálculo das forças Peso: G = Vol Forcas de contacto: Fc • componente normal : = p A • componente tangencial: ou se anula ou coincide com a força simétrica à força incógnita. A quantidade de movimento por unidade de tempo numa secção: M • Para uma secção elementar dA: • Para a área A, admitindo = const: Hidráulica
Hidrodinâmica O integral na área A da velocidade ao quadrado ( ) só será possível resolver se conhecido o diagrama de velocidades. Como este não é conhecido é definido um parâmetro designado por Coeficiente de Quantidade de Movimento (’):
que reflecte a relação entre a quantidade de movimento por unidade de tempo do escoamento real e a quantidade de movimento por unidade de tempo do escoamento fictício em que a velocidade é constante e igual à velocidade média. Relação com o coeficiente de Coriollis: A quantidade de movimento na secção, vém: Hidráulica
Hidrodinâmica Campos de aplicação do teorema da quantidade de movimento • Determinação das forças que os líquidos (em movimento ou repouso) exercem sobre as superfícies com que contactam • Acção exercida por uma jacto sobre uma superfície plana • Resultante das forças exercidas por um líquido numa curva de uma conduta (maciço de amarração)
Hidráulica
Hidrodinâmica Passos a seguir: 1º Definir o volume a aplicar a equação (volume de controle) 2º Definir o sistema de eixos a considerar. 3º Verificar quais as forças da equação do T. Euler que estão presentes e marcá-las no desenho do volume de controle. 4º Escrever a equação vectorial. 5º Resolver a equação através das componentes segundo os eixos coordenados.
Hidráulica
Hidrostática A Hidrostática estuda os fluidos em repouso desde que a sua massa volúmica se possa considerar constante (aplicação fundamentalmente aos líquidos) Aplicando a lei fundamental da dinâmica a um dado volume de massa fluida: Fe = m.a No caso dos líquidos em repouso: Fe = 0 As forças exteriores que actuam sobre um dado volume de fluido em repouso e sujeito à acção da gravidade são: - a força de massa ou volume (peso próprio, G), e - as forças de contacto ou de superfície (resultante da componente normal – Pressão, Impulsão), Π A resultante da componente tangencial das forças de contacto ou de superfície não se manifesta porque o líquido está em repouso. Hidráulica
Hidrostática G+Π=0
Se se considerar uma força F aplicada perpendicularmente a uma superfície com área A, define-se o escalar pressão, p, aplicada pela força sobre a área, pela seguinte relação: p = F/A
Hidráulica
Hidrostática Equação fundamental da hidrostática (princípio de Stevin) “a diferença de pressão em dois pontos no seio de um líquido em equilíbrio é igual ao produto da peso volúmico do líquido pela diferença entre as profundidades consideradas”. pB - pA = γ h (pB – pA) = γ (hB – hA) (pB/γ + hB) = (pA/γ + hA) Equação fundamental da hidrostática: (p/γ + h) = constante h – a profundidade do ponto, ou seja, a altura relativamente ao plano de referência da superfície livre do líquido (p/γ + h) – designada por cota piezométrica em relação a um plano horizontal de referência Hidráulica p/γ – altura piezométrica
Hidrostática Aplicações: Relação entre as pressões do ar e de vários pontos no interior de um reservatório: (1) a pressão a uma dada profundidade é igual ao produto do peso volúmico do fluído pela profundidade; (2) a pressão aumenta linearmente com a profundidade; pA = γ . hA , pB = γ . hB (3) para os pontos situados à superfície livre do líquido, a pressão (p/γ + h) = constante correspondente é igual à exercida pelo gás ou ar sobre ela existente; se a superfície livre estiver ao ar Diagrama de pressões na atmosférico, a pressão correspondente parede do reservatório. será a pressão atmosférica, Hidráulica
Hidrostática Pressão absoluta e pressão relativa
pressão relativa = pressão absoluta – pressão atmosférica as pressões absolutas são sempre positivas as pressões relativas podem ser negativas, se prel < patm em termos relativos, a pressão à superfície livre do líquido, será zero. Altura representativa da pressão (alt. piezométrica): h = p/γ (mc.a.) Hidráulica
Hidrostática Princípio de Pascal “O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido”. Se através de um êmbolo comprimirmos o líquido, produzindo um aumento de pressão, então todos os pontos do líquido, sofrerão o mesmo acréscimo de pressão. Exemplo: o elevador de automóveis usado nas garagens. O ar comprimido, empurrando o óleo no tubo estreito, produz um acréscimo de pressão (p), que, pelo princípio de Pascal, se transmite integralmente para o tubo largo, êmbolo do elevador, onde se encontra o automóvel. F1/A1 = F2/A2 Sendo p1 = p2 e lembrando que p = F/A: como A > A , temos F > F , ou seja, a 2
Hidráulica
1
2
1
intensidade da força é directamente proporcional à área do tubo.
Hidrostática Princípio de Arquimedes “Todo o corpo mergulhado num líquido sofre da parte deste, uma impulsão vertical, de baixo para cima, igual ao peso do volume de líquido deslocado pelo corpo”. Para calcular o valor da impulsão exercida sobre um corpo, basta calcular o peso do volume de líquido deslocado pelo corpo. Para saber o que ocorre com o corpo de peso G, basta estabelecer a sua relação com a impulsão, Π Caso 1: G > Π - o corpo afunda-se até atingir o fundo. Caso 2: G = Π - o corpo fica parado, onde for abandonado no seio do líquido. Caso 3: G < Π - o corpo sobe no líquido, ficando a flutuar Hidráulica
Hidrostática Manómetros de líquidos A medição da pressão num ponto, relativamente à pressão atmosférica local é feita através da instalação de um manómetro simples. O manómetro simples mais elementar é o tubo piezométrico, que permite medir a pressão no ponto onde foi instalado. Medição da diferença de pressões entre dois pontos: pA’ = psup + γ h pB’ = psup + γ hB (pA’ – pB’) = γ (hA – hB) Hidráulica
Hidrostática Manómetros simples Medição de pressões com valores baixos pA = psup + γ h Medição de pressões negativas pA = psup - γ h
Medição de pressões com valores elevados pA = psup + γ’(h1 + h2) - γ h2 Hidráulica
Hidrostática Manómetros diferenciais Pressões muito elevadas em A e B pA’ = par + γ h pB’ = par + γ hB (pA’ – pB’) = γ (hA – hB) Diferença de pressão muito elevada entre A e B pA’ = p1 + γ 1 hA pB’ = p2 + γ 1 hB p1 = p2 + γ 2 (hB – hA) (pA’ – pB’) = γ 2 (hB – hA) + γ 1 (hA – hB) pA’ – pB’ = (γ 2 – γ 1 )(hB – hA) Hidráulica
Hidrostática Impulsão hidrostática - Resultante das forças de pressão que actuam sobre uma superfície (“mergulhada” no fluido) Aspectos a considerar: as forças distribuídas sobre a superfície têm uma resultante Direcção Sentido Módulo Ponto de aplicação quando a superfície é plana e horizontal, o contacto com o fluido em repouso dá origem à uma força resultante (ou impulsão) que corresponde ao produto da pressão (p) pela área da superfície (A): FR = Π = pA = hA Hidráulica
Hidrostática Impulsão hidrostática sobre uma superfície inclinada A pressão varia de ponto para ponto, sobre a superfície, função da profundidade. Direcção: perpendicular à superfície premida Sentido: de compressão Módulo: ??? Ponto de aplicação: ???
Hidráulica
Hidrost谩tica M贸dulo Profundidade do centro de gravidade:
s M贸dulo da resultante
Hidr谩ulica
Hidrostática Ponto de aplicação Centro de impulsão, Xci
s No caso particular de uma superfície premida horizontal, em que a abcissa do centro de gravidade é infinita, anula a segunda parcela do membro direito e a abcissa do centro de impulsão coincide com a abcissa do centro de gravidade. No caso geral de uma superfície plana não horizontal, o centro de impulsão localiza-se sempre abaixo do centro de gravidade, já que o segundo termo do membro da direita é sempre positivo. Hidráulica
Hidrostática Posição do centro de gravidade (G), Momento de inércia (IGG’) e Área de formas geométricas comuns.
Hidráulica
Hidrostรกtica
Hidrรกulica
Hidrostรกtica
Hidrรกulica
Hidrostรกtica
Hidrรกulica
Hidrostรกtica
Hidrรกulica
Hidrostática Impulsão hidrostática sobre uma superfície curva O sistema de forças de pressão elementares que actuam sobre uma superfície curva qualquer normalmente não admitem resultante, com excepção de formas regulares como superfícies cilíndricas ou esféricas. Duas componentes: vertical, dFv horizontal, dFh
Hidráulica
Hidrostática Módulo A resultante da componente vertical das forças de pressão:
s Componente vertical da impulsão: peso do volume do líquido limitado pela superfície, a superfície livre do líquido e as projectantes verticais que passam no contorno da superfície Hidráulica
Hidrostática Módulo A resultante da componente horizontal das forças de pressão:
Componente horizontal da impulsão: calculada do mesmo modo s que a impulsão sobre uma superfície plana sendo essa superfície plana a projecção da superfície curva sobre um plano vertical. Hidráulica
Hidrostática Impulsão hidrostática sobre a superfície curva Módulo:
Direcção: Sentido: compressão da superfície Ponto de aplicação: tal que a linhas de acção da impulsão hidrostática passa no centro geométrico da superfície curva
Hidráulica
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão
Aula nº 12 Leis de Resistência dos escoamentos permanentes uniformes Conceitos fundamentais. Escoamentos laminares uniformes. Tubos de secção circular (Fórmula de Hagen - Poiseuille)
Escoamentos turbulentos uniformes. Escoamento em tubos circulares comerciais. Equação de Colebrook-White. Ábaco de Moody. Equações empíricas.
Hidráulica I
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Perda de carga unitária, J Causa da ocorrência de J: - gradiente de velocidades (rugosidade da fronteira; viscosidade do líquido) Diagramas de velocidades variam com o regime de escoamento, laminar ou turbulento, dando origem a leis de resistência diferentes
O gradiente de velocidades na secção transversal dá origem à tensão tangencial de arrastamento que realiza trabalho → perda de carga unitária Hidráulica I
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Escoamento em regime permanente uniforme Condutas de eixo retilíneo e secção constante (suficientemente compridas)
Trajetórias rectilíneas e paralelas
A perda de carga unitária, J (mc.a/m), depende: - velocidade, U (ou caudal, Q) - diâmetro, D - natureza do material, k Q ou U D Como constantes J = constante k Hidráulica I
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Escoamento em regime permanente uniforme A linha de energia é rectilínea. J = constante A linha piezométrica é paralela à linha de energia, pois
Para regime uniforme, U e α = cte.
Hidráulica I
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Escoamento em regime permanente uniforme No caso de escoamentos permanentes e uniformes em pressão, a perda de carga unitária pode ser determinada instalando dois tubos piezométricos em duas secções da conduta afastadas de um dado comprimento, L
Escoamento em regime laminar uniforme Tubos de secção circular
Fórmula de Hagen-Poiseuille
J é função da: - velocidade média, - do diâmetro da conduta, - das características físicas do fluido. Não se manifesta a influência da natureza do material do tubo.
Hidráulica I
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Escoamento em regime laminar uniforme Tubos de secção circular A equação de Hagen-Poiseuille pode ser apresentada de um modo adimensional através da introdução do factor de resistência ou factor de Darcy- Weisbach, f,: Forma adimensional de J
+
= N.º de Reynolds
Hidráulica I
Forma adimensional da fórmula de Hagen-Poiseuille
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Escoamento em regime laminar uniforme Tubos de secção não circular R – raio hidráulico N = N(forma, R)
Secção circular N = 2
Hidráulica I
P – perímetro molhado
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Escoamento turbulento em tubos circulares comerciais A maioria dos escoamentos de água em circuitos hidráulicos fazem-se em regime turbulento. Equação de Colebrook-White (válida para todo o domínio dos escoamentos turbulentos): (Forma adimensional) Necessário a aplicação de um método numérico para a sua resolução (ex: Método das Substituições Sucessivas).
ou
k – rugosidade absoluta equivalente ao efeito conjunto das asperezas de vários tipos e dimensões que se encontram na parede de um tubo comercial. Hidráulica I
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Material
Equação de Colebrook-White
A rugosidade absoluta equivalente de diferentes materiais está tabelada (catálogo do fabricante; válida para os tubos comerciais):
Aço comercial novo
0,045
Aço laminado novo
0,04 a 0,10
Aço soldado novo
0,05 a 0,10
Aço soldado limpo, usado
0,15 a 0,20
Aço rebitado novo Aço rebitado em uso
1a3 6
Aço galvanizado, com costura
0,15 a 0,20
Aço galvanizado, sem costura
0,06 a 0,15
Ferro forjado
0,05
Ferro fundido novo
0,25 a 0,50
Ferro fundido velho
3a5
Ferro fundido centrifugado
0,05
Ferro fundido com revestimento asfáltico
PVC (policloreto de vinilo) PEAD (polietileno de alta densidade
k (mm) Rugosidade absoluta equivalente
0,12 a 0,20
Ferro fundido oxidado
1 a 1,5
Cimento amianto novo
0,025
Betão centrifugado novo
0,16
Betão armado liso, vários anos de uso PVC, PEAD Hidráulica I
0,20 a 0,30 0,0015 a 0,010
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Ábaco de Moody Ábaco universal que possibilita o cálculo rápido de um valor aproximado da perda de carga unitária e a identificação das características dos diferentes tipos de escoamento que se verificam no transporte de um fluido através de um tubo. Tem os eixos graduados em escala logarítmica e representa a variação do factor de resistência ( f ) em função da variação do nº de Reynolds (Re) para tubos com diferente rugosidade relativa. A rugosidade relativa é a rugosidade absoluta equivalente (k) adimensionalizada com o diâmetro interior do tubo (k/D). Hidráulica I
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão
- escoamento laminar - escoamento turbulento liso: quanto a sua lei de resistência segue a lei dos tubos lisos, (k=0), ou seja f depende apenas de Re.
- escoamento turbulento rugoso: quando f depende unicamente da rugosidade relativa, k/D.
- escoamento turbulento de transição: quando f depende de k/D e Re. Hidráulica I
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Equações empíricas Só devem ser aplicadas para condições idênticas àquelas para que foram deduzidas. Equação de Blasius – regime turbulento liso
Equação de Manning-Strickler – escoamentos turbulentos rugosos A perda de carga unitária é diretamente proporcional à potência dois da velocidade média R – raio hidráulico (R = A/P), no caso do tubo circular é R=D/4; Ks – coeficiente de Manning-Strickler, depende da natureza do tubo e do diâmetro. Hidráulica I
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Equações empíricas Equação de Chézy: sendo o valor de C calculado por: fórmula de Bazin : fórmula de Kutter: Equação de Hazen-Williams: Regimes turbulentos de transição
Hidráulica I
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Equações empíricas Equações de Scimemi (aplicadas a tubos de secção circular e escoamento de água):
Compatibilidade entre as fórmulas empíricas e a fórmula de Colebrook-White - Fórmula de Colebrook-White → J avaliada com rigor - Fórmulas empíricas → J pode não ser avaliada com rigor -Fórmulas empíricas → em rigor, as fórmulas de Chézy e de Strickler só são válidas para o regime turbulento rugoso Hidráulica I
Manning-
Leis de resistência dos escoamentos permanentes e uniformes em pressão Conclusões - o escoamento da água dá-se em regime turbulento com excepção de algumas situações de início de escoamento, paragem ou escoamento variável; - a avaliação rigorosa da perda de carga unitária em regime permanente e uniforme deve basear-se na aplicação da Equação de Colebrook-White; - uma avaliação aproximada da perda de carga pode ser feita através da aplicação de equações empíricas escolhida de acordo com as suas condições de aplicação; - em qualquer caso de dúvida na escolha da equação empírica a aplicar deve ser aplicada a Equação de Colebrook-White; - o Ábaco de Moddy pode permitir averiguar uma primeira aproximação do valor do factor de resistência num dado escoamento; - o coeficiente de rugosidade equivalente, ou uma equação empírica para aplicação no cálculo de um dado tubo deve ser fornecido pelo fabricante do mesmo. Hidráulica I
Leis de resistĂŞncia dos escoamentos permanentes e uniformes em pressĂŁo
HidrĂĄulica I
Leis de resistĂŞncia dos escoamentos permanentes e uniformes em pressĂŁo
0,0178
HidrĂĄulica I
Redes de condutas
Aula nº 14 Escoamentos permanentes uniformes Redes de condutas Redes ramificadas Redes malhadas Método de Hardy-Cross
Hidráulica I
Redes de condutas Nó – intersecção de 3 ou mais condutas Malha – circuito fechado de 3 ou mais condutas em série Distribuição de percurso – conduta com variação do caudal ao logo do seu percurso Tipo
Descrição
Ramificada
só com condutas em série
Malhada
Mista
só com malha
com condutas em série e em malha
Distribuição de percurso
Regime permanente
sem
uniforme
com
variado
sem
uniforme
com
variado
sem
uniforme
com
variado
Hidráulica I
Redes de condutas Dimensionamento Objetivos i) atribuição de um diâmetro comercial em função de - caudal máximo em cada conduta; - critério económico (velocidade “económica”: intervalo de referência com valores da velocidade que correspondem ao transporte de caudais elevados sem produzir desgaste precoce nas condutas). ii) determinar os caudais de projeto no ano horizonte de projeto através da verificação das equações de movimento nas condutas. iii) verificar se as pressões atingidas nos nós da rede, para os caudais de projeto, estão conformes com o regulamentado/recomendado. Hidráulica I
Redes de condutas •Redes ramificadas Geralmente têm distribuição de percurso – variação do caudal ao longo do percurso – regime permanente variado. Dimensionamento (normalmente) de jusante (onde são conhecidos os caudais) para montante. Caudal (consumo) unitário de percurso (q) – traduz a variação média do caudal ao longo da conduta (L/s m). q
Qm Q j
Qm Q j q L L Caudal de Percurso (P) – caudal a distribuir em casa trecho de conduta (L/s).
P qL Hidráulica I
Redes de condutas Perdas de carga em cada trecho – variação da velocidade ao longo do trajeto – variação (linear) do coeficiente de perda de carga – variação parabólica da linha de energia. Caudal equivalente (Qe) – caudal fictício que, em movimento uniforme, para o mesmo diâmetro e tipo de material da conduta, conduza ao mesmo valor da perda de carga que a verificada, na realidade, em regime permanente variado, considerando os respetivos caudais (L/s).
Qe Q j 0,55 q L Q j 0,55 P Notas: - o caudal equivalente serve para a determinação das perdas de carga, mas não para atribuição do diâmetro da conduta; - o diâmetro da conduta é determinado pelo caudal de montante Qj; - em redes ramificadas mesmo que Qe < 1 L/s considera-se sempre a perda de carga para esse valor mínimo; Hidráulica I
Redes de condutas Redes malhadas São normalmente conhecidos os seguintes parâmetros: - o comprimento das tubagens; - a cota topográfica em cada nó; - os caudais de saída e de entrada nas malhas; O dimensionamento deve obedecer às leis de conservação da massa e da quantidade de movimento 1ª) Lei da Continuidade (ou lei dos Nós): em cada nó os caudais afluentes (+) devem igualar os caudais efluentes (-) (n = nº de condutas ligadas no nó) n
Q i 1
0
i
2ª) Lei de Energia (ou lei das Malhas): numa malha a soma algébrica das perdas de carga em todas as condutas deve ser nula P
H i 1
Hidráulica I
i
0
Redes de condutas Resolução de uma rede malhada - Método de Hardy-Cross 1º) Identificar e numerar todos os nós da rede; 2º) Arbitrar o sentido (positivo) de escoamento nas malhas; 3º) Arbitrar uma distribuição de caudais iniciais que satisfaça a Lei dos Nós, valida para a primeira iteração; 4º) Atribuir um diâmetro às condutas (através de um critério de velocidade “económica” ou limitação da velocidade máxima) tendo por base o caudal máximo (caudal de montante) em cada conduta; Critério de velocidades económicas de condutas (exemplo) Dint. (mm)
60
80
100
125
150
175
200
>200
Uecon. (m/s
0,70
0,75
0,75
0,80
0,80
0,90
0,90
1,00
Qmax. (l/s)
2,0
3,8
5,9
9,8
14
22
28
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Hidráulica I
Redes de condutas 5º) Calcular as perdas de carga continuas [J = f (D, Q)] considerando os sinais correspondestes ao sentido de circulação dos caudais; 6º) Verificar a lei das Malhas em cada malha; 7º) Caso a lei não se verifique (6), determinar a correção de Cross [Q] para cada malha: Q
H H 2 Q i
i
i
8º) Reinicia-se o processo na iteração seguinte com Q’i = Qi + Q , até que H i 0 0,5m Q 0 0,1 ls 1 (ou outro critério de paragem) Notas: - nas condutas comuns a duas malhas a correção é feita somando algebricamente a correção da própria malha e subtraindo a correção da malha adjacente - havendo distribuição de percurso nas condutas da malha deve ser seguida a metodologia referida para as redes ramificadas Hidráulica I