Betão armado e pré esforçado by Joana De Castro Cortesão

ESTRUTURAS DE BETÃO I FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 1 INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO DAS ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO

Coordenação: José N. da Camara

Ano Lectivo 2012/2013

Introdução Estes apontamentos têm como objectivo facilitar o acompanhamento das aulas e correspondem, em geral, à sequência e organização da exposição incluindo, ainda, a resolução de problemas. São apontamentos de síntese que não dispensam a consulta dos restantes apontamentos da disciplina e da bibliografia. Estes apontamentos foram elaborados com base em textos anteriores da disciplina para os quaiscontribuíram os docentesque têm vindo a leccionar o Betão Estrutural, muito especialmente o Prof. Júlio Appleton que foi, nesta escola, nos últimos 30 anos, o responsável por esta área da engenharia de estruturas. No ano lectivo 2008/2009 adoptaram-se no ensino integralmente as normas europeias (Eurocódigos), já aprovados na versão definitiva (EN). No entanto, estamos num período de transição, pois não houve ainda uma aprovação formal, sendo possível utilizar, no âmbito profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação europeia (Eurocódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão). Deve-se, no entanto, realçar que o essencial do ensino do betão estrutural é a transmissão do conhecimento sobre as características do comportamento estrutural e fundamentação dos modelos de cálculo, aspectos que se repercutem depois, naturalmente, nas prescrições normativas, com algumas variações. Refira-se que, sendo esta disciplina integrada na área da engenharia de estruturas, é fundamental que os alunos tenham uma boa percepção do comportamento das estruturas, em geral, e, de uma forma “quase imediata”, das estruturas isostáticas. No ano lectivo 2012/2013 os docentes são: José Manuel da Camara (Responsável da Disciplina) João Fernandes de Almeida João Sérgio Cruz IST, Setembro de 2012

ÍNDICE

COMPORTAMENTO DO BETÃO ESTRUTURAL ............................................................... 1 1.1.

ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS ........................................................ 1

1.2.

ELEMENTO DE BETÃO ARMADO ......................................................................................... 3

1.3.

CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO .............................................. 4

1.4.

CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO ............................................................. 8

1.5.

DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO/ESTRUTURA..................................................... 9

CONCEITO DE SEGURANÇA NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS ................ 10 2.1.

OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL ............................. 10

2.2.

FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES

ÚLTIMOS ................................................................................................................................... 12 2.3.

FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES

DE UTILIZAÇÃO .......................................................................................................................... 14

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1.1 .................................................................................................. 18 ALÍNEA A) .................................................................................................................................. 20 ALÍNEA B) .................................................................................................................................. 21 3.

MATERIAIS ......................................................................................................................... 22 3.1.

CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES ...................................................................................... 22

3.1.1.

Tensões de rotura do betão ................................................................................. 22

3.1.2.

Módulo de elasticidade do betão ......................................................................... 23

3.1.3.

Valor característico da tensão de rotura do betão à compressãofc ..................... 23

3.2.

CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS ............................................................................... 23

3.2.1.

Classificação das armaduras para betão armado ............................................... 24

Estruturas de Betão I

1. Comportamento do Betão Estrutural

Notações: f – resistência do material fc – tensão de rotura do betão à compressão fct - tensão de rotura do betão à tracção Ec – módulo de elasticidade do betão fy – tensão de cedência do aço fu – tensão de rotura do aço Es – módulo de elasticidade do aço

1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS

Considere-se a viga de betão simples ilustrada na figura seguinte, bem como os diagramas de esforços correspondentes a uma carga pontual genérica P aplicada a meio vão. P 0.50 0.20 5.00

P/2 DEV

P/2

P/2 (+) (-)

P/2

DMF

(+) PL/4

Como se sabe, o maior momento flector ocorre a meio vão, estando, na hipótese de comportamento elástico, esta secção sujeita ao seguinte diagrama de tensões normais:

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Estruturas de Betão I

σ2

Tensões: σ =

M×y M Ic ; σmáx = W c

h/2 G

I em que Wc = y máx

(módulo de flexão)

h/2

σ1

bh 2 bh Para uma secção rectangular, Wc = 12 × h = 6

Para um determinado nível de carga P ocorrerá uma fenda, em princípio próximo da secção de meio vão (por ser a secção mais esforçada) e, na sequência a rotura da viga.

Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e cargadeslocamento que ilustram o comportamento desta viga, desde o início do carregamento até à rotura, verificando-se que esta é frágil. a) Diagrama momento-curvatura

b) Diagrama carga-deslocamento

P EI (rigidez de flexão)

1/ R

Este comportamento resulta da lei de comportamento do material betão:

σ fc

(20 a 80 MPa)

Índice c – “concrete”

fc – tensão de rotura do betão à compressão

Ec (≈30 GPa)

fct – tensão de rotura do betão à tracção ≈ 3.5‰

Ec – módulo de elasticidade do betão

f ct (2 a 5 MPa)

Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um material que possui um bom comportamento e resistência à compressão, com uma resposta “quase linear” para níveis de tensões baixos a médios, e uma baixa resistência à tracção (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistência à compressão). Esta última característica é responsável pela fendilhação do betão armado e, neste caso de betão simples, pela rotura.

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Estruturas de Betão I

Cálculo do momento de fendilhação Admite-se fct = 2.0 MPa M M×v bh2 σ= W = I e Wc = 6 (para uma secção rectangular) c c Deste modo, o momento de fendilhação pode ser calculado pela expressão: Mcr = fct×W c = 2 × 103×

0.20 × 0.502 = 16.7 kNm 6

A carga P que provoca o início da fendilhação está associada ao momento de fendilhação podendo ser calculada, para esta estrutura e carregamento, através da seguinte relação: 4Mcr 4 × 16.7 PL = 13.4 kN Mcr = 4 ⇒ P = L = 5

Conclusão: Uma viga de betão simples não explora, minimamente, a capacidade resistente do material em compressão, pois a máxima tensão que se pode mobilizar é igual, ou da mesma ordem de grandeza, da resistência à tracção. O comportamento fica, assim, associado a uma baixa capacidade de carga, condicionada pelo aparecimento de uma fenda, e a uma rotura frágil. Solução: Introduzir um material com boa resistência à tracção nas regiões onde é necessário, ou seja nas zonas traccionadas das peças ⇒ Ao faltar a capacidade do betão para resistir à tracção mobilizam-se as armaduras de aço. Evita-se a rotura frágil e explora-se muito melhor a capacidade resistente do betão à compressão, pois passa a haver a possibilidade de equilibrar compressões elevadas com tracção nas armaduras. Tem-se, assim, o Betão armado (betão +armaduras de aço). 1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO

Armaduras de aço: material dúctil com bom comportamento à tracção, mas também àcompressão, e que permite, pela sua disposição em varões, um bom envolvimento pelo betão.

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Estruturas de Betão I

(200 a 800 MPa)

fu fy

Índice y – “yeld” (cedência) Es (≈200 GPa)

fy ≈ fy +

2.5 a 10%

Com a introdução destas armaduras no betão obtém-se um comportamento conjunto com boa ligação entre os materiais e extremamente eficiente em termos da resposta estrutural. De facto, com o aparecimento das fendas,as tracções passam para as armaduras o que permite garantir o equilíbrio na secção para cargas muito superiores. Nas figuras seguintes podem observar-se diagramas tipo, de momentos-curvaturas médias e carga-deslocamento, respectivamente, para elementos e estruturas de betão armado, desde o início do carregamento até à rotura. Verifica-se que, com o início das fendas (1), há alguma perda de rigidez mas que a capacidade resistente máxima só se atinge para cargas superiores depois de verificada a cedência das armaduras (2) e explorada, depois, a ductilidade (3). Ao longo desta disciplina analisar-se-ão estas características do comportamento e o seu enquadramento nas disposições regulamentares para assegurar os níveis de segurança e de qualidade de comportamento necessários.

a) Diagrama momento-curvatura I

(2)

b) Diagrama carga-deslocamento P

II (3)

(2)

(3)

(1) - fendilhação do betão

(1)

(2) - cedência das armaduras (3) - rotura

1/ R

1.3. CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO

Para se compreender o comportamento global acima descrito comecemos por analisar a resposta ao nível de uma secção de betão armado, tomando-se a secção apresentada.

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Estruturas de Betão I

Admita-se: As = 10.0 cm d

0.50

d = 0.45 m (altura útil da armadura) Ec = 30 GPa

0.20

(i)

Es = 200 GPa

Avaliação simplificada da quantidade de armadura mínima necessária para substituir o papel das tensões de tracção no betão quando se forma uma fenda. (Análise em Estado não fendilhado - Estado I – desprezando as armaduras) A força de tracção no betão quando se forma a fenda deve, então, ser menor que a força máxima passível de ser absorvida pelas armaduras, tal que: σ Fc

h 1 Fs≥ Fct⇔ As, min× fy≥ b × 2 × 2 fct⇔ Fct

h/2 ⇔ As, min≥ 0.2 × 0.5 × 2×103×

1 4 2 3 × 10 = 1.25 cm 400×10

fct

(ii)

(Refira-se que a armadura admitida é de As = 10cm >> 1.25cm )

(antes de fendilhar)

Cálculo do estado de tensão na secção imediatamente após a fendilhação do betão

Hipóteses consideradas paro o denominado Estado II − O betão não resiste à tracção − As secções mantêm-se planas após a fendilhação εc

σc (Fc)

(-)

x LN

z (+)

εs

σs

M cr

(Fs)

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Estruturas de Betão I

Cálculo da posição da linha neutra Através da determinação do centro de gravidade da secção homogeneizada, x=

∑Ai xi bx × x/2 + As× Es/Ec× d Es  x Es = ⇔x bx + As× = bx × + As× ×d⇔ Ec  2 Ec bx + As× Es/Ec  ∑Ai bx2 Es Es bx2 Es bx2 + As× E × x = 2 + As× E × d ⇔ = As× (d - x) 2 Ec c c

⇔

(equação que traduz a igualdade de momentos estáticos)

Para a secção em estudo, 0.2x2 200 -4 2 -3 2 = 10×10 x 30 (0.45 - x) ⇔ 0.1x + 6.67×10 x - 0.03 = 0 ⇒ x = 0.143 m x 0.143 z(braço das forças resultantes) = d - 3 = 0.45 = 0.40 m 3

Cálculo da tensão no betão (σc) Por equilíbrio: Mcr = Fs× z = Fc× z =16.7 kNm Fc =

σc× x × b 2

Mcr 16.7 ⇔ Fc = z = 0.40 = 41.8 kN

2Fc 2 × 41.8 ⇔σc = bx = = 2923 kN/m2≅ 2.9 MPa 0.20 × 0.143

Cálculo da tensão nas armaduras (σs) Fs 41.8 Fs = σs× As⇔σs = A = = 41800 kN/m2 = 41.8 MPa 10 × 10-4 s Cálculo das extensões máxima no betão e nas armaduras (εc e εs)

ε  σ = E ×ε⇒ ε 

σc 2923 = E = = 0.097×10-3≅ 0.1‰ 30×106 c 41800 σs = 0.2‰ = E = 200×106 s

εc x d-x 0.45 - 0.143 = d - x ⇒εs = x εc= × 0.097×10-3 = 0.2‰ 0.143 εs εc = 0.1‰ 0.143

-2.9

(-)

M = 16.7 kNm (+)

εs = 0.2‰ ε

41.8

σ [MPa]

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Estruturas de Betão I

Cálculo da curvatura 1 εc + εs 0.1×10-3 + 0.2×10-3 = = = 6.67×10-4 m-1 R d 0.45

Antes da fendilhação, 2.0

εc (-)

εc =

σc 2.0 = = 6.67×10-5 Ec 30×103

M = 16.7 kNm

1 2 × 6.67×10-5 =2.67×10-4 m-1 R= 0.5

(+)

2.0

εc

σ [MPa]

Verifica-se, assim, que, para esta secção e com esta armadura, se verifica uma perda 1/RII de rigidez, quando se perde a participação do betão traccionado, de: 1/R ≅ 2.5 . I Estas curvaturas podem ser directamente calculadas dividindo o momento pelas rigidezes homogeneizadas, se for o caso, nos referidos Estados I e II, tal que: M 1 Estado I sem considerar as armaduras: R = E I c c c Estado I com consideração das armaduras:

Estado II:

1 M = RΙ Ec IΙ

1 M = RΙΙ Ec IΙΙ M

I E c IΙ

E c IΙ

II Ec IΙΙ

1 /R

Ic, IΙ e IΙΙ, são respectivamente, a inércia de secção só de betão, de betão e armaduras homogeneizada no betão em situação não fendilhada (valor de IΙ ≈ Ic) e fendilhada (IΙΙ), sem considerar o betão à tracção.

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Estruturas de Betão I

1.4. CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO

Em estado II (secção fendilhada sem participação de betão à tracção) a linha neutra é invariável, pelo que, a um acréscimo do momento flector irá somente corresponder um aumento de curvatura com consequente aumento de tensões, i.e., com o braço entre as resultantes das forças de compressão e tração a se manter constante. εc

σc1 σc2

(-) LN

M (+)

σs1 σs2

εs

M2 > M1

A continuação da aplicação do momento M conduz, portanto, ao aumento das tensões nas fibras, podendo, para níveis superiores de carga, o betão entrar numa região de comportamento não linear. σc 1

σc2 Fc

M 1 < M2

F s1

F s2

A variação do braço é, no entanto, pouco significativa (z1 ≅ z2), pelo que a avaliação do momento de cedência se pode fazer tomando para a força F a força correspondente à cedência das armaduras, tal que: My ≅ z × Fy

com

Fy = Asfsy

Cálculo do momento de cedência da secção σs = fy = 400 MPa⇒Fy = 400×103× 10×10-4 = 400 kN z = 0.40m ⇒My = 0.4 × 400 = 160 kNm Verifica-se que, para esta secção, a diferença entre os momentos de fendilhação e de cedência é significativa, de 16.7 kNm para 160 kNm, o que mostra bem o papel das armaduras.

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1.5. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO/ESTRUTURA As estruturas são compostas por inúmeras secções sendo que só algumas fendilham. Nestas secções há uma perda de rigidez brusca (aumento de deformação significativo) que, como mostra o gráfico a), corresponde à passagem do Estado I ao II. No entanto, considerando o comportamento médio num elemento estrutural (por exemplo,um troço de viga, com um comprimento igual à altura), como se ilustra no gráfico b) vai-se verificar uma diminuição mais gradual da rigidez média. Este efeito de atenuação da importância da perda de rigidez, a quando da fendilhação, é ainda mais notório, quando se analisa a resposta da estrutura no seu conjunto.

a) Secção

σ My Mcr

(2)

b) Elemento I

(3)

(2)

(1)

Mcr

(3) R

(1)

1 /R

De facto, ao nível da deformação global da estrutura, não se chega a notar um aumento pontual da deformação. Verifica-se, isso sim, uma diminuição da rigidez para cargas superiores ás do início do processo de formação de fendas (zona do diagrama carga-deslocamento de (2) para (3)) – ver figura seguinte. P (2)

(3)

(1)

Para um certo nível de carga a zona da viga passível de ter fendas é aquela em que os esforços sejam superiores aos de início da fendilhação, como se mostra na figura seguinte.

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Estruturas de Betão I

DMF

Região onde ocorre fendilhação para Pmáx

Mcr Mmáx Refira-se que, como referido anteriormente, à medida que se verifica o incremento de carga as tensões nos materiais aumentam até que se atinge, em princípio na secção mais esforçada, a cedência do aço, ou seja o momento de cedência - (ponto (2) dos diagramas). Este nível de carga corresponde, “grosso modo”, à capacidade máxima da carga, verificando-se, a partir daí, só um ligeiro aumento de carga, associado a um grande aumento de deformações. É a zona de comportamento associada ao comportamento na rotura à flexão do betão armado.

2. Conceito de Segurança no Dimensionamento de Estruturas 2.1. OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL

Há dois objectivos fundamentais a considerar pelos engenheiros de estruturas para assegurar, à sociedade em geral, um nível de segurança adequado às construções. Seguidamente referem-se esses dois objectivos gerais, particularizando-se, para cada um deles, o tipo de verificações em causa. 1) Garantir um bom comportamento das estruturas em situação de serviço, ou seja, na utilização corrente

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos Estados Limite de Utilização:

Limitar a deformação (Para as estruturas, em geral, e não só de betão)

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Estruturas de Betão I

De acordo com as recomendações mais recentes, e para o caso de pisos de edifícios, a deformação final ou o incremento de deformação após a execução de paredes de alvenaria, deve ser limitada, para as acções com carácter de permanência, respectivamente, a: δserviço≤δadmissível≅

L L ou 500  250 

Trata-se no primeiro caso de uma questão de aspecto e funcionalidade e no segundo caso para evitar fendas nas alvenarias.

Limitar o nível de tensões máximas no betão e no aço

Segundo as disposições regulamentares mais recentes o nível máximo das tensões no aço e no betão deve ser limitado, em serviço. Estes limites dependem do tipo e nível das acções, como se verificará no curso.

Controlar as aberturas de fendas (Aspecto claramente específico ás estruturas de betão armado): ωserviço≤ωadmissível (0.2 a 0.4mm)

Sendo a existência de fendas uma situação normal no Betão Armado, há que limitar a sua abertura, em geral, para um nível de acções com carácter de permanência.

Garantir um adequado comportamento dinâmico (estruturas em geral)

Este aspecto da verificação do comportamento em serviço das estruturas, só será analisado na disciplina de uma forma indirecta, devendo ser aprofundado posteriormente no curso. No fundo trata-se de controlar as frequências próprias de vibração das estruturas, de tal forma a evitar situações de ressonância com a frequência das acções. Exemplo: Nas pontes de peões verificar que a frequência principal de vibração vertical da estrutura não se aproxima da frequência da excitação, neste caso, as cadências dos passos dos utilizadores.

2) Assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinadas situações de rotura (rotura local ou global da estrutura)

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Estruturas de Betão I

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos Estados Limite Últimos Para além de assegurar um comportamento adequado da estrutura nas condições da sua utilização, o engenheiro de estruturas tem de, com um nível de confiança muitíssimo superior, poder garantir que não há possibilidade de qualquer tipo de rotura, seja localizada, por falta de capacidade resistente, como por exemplo numa viga, por:

Flexão

Esforço Transverso

Torção

Zonas particulares de apoios e/ou introdução de cargas

Seja global, por perda de equilíbrio conjunto da estrutura, como o derrubamento de um muro de suporte. As características de comportamento do betão estrutural e as hipóteses admitidas para avaliação das capacidades resistentes acima referidas e das estruturas, no seu conjunto, serão analisadas nos Módulos seguintes. 2.2. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

Para garantir o objectivo acima enunciado, da não rotura, a regulamentação das estruturas, em geral, tem vindo a introduzir, a partir dos anos 60, uma filosofia de segurança que, tendo em conta a variabilidade das características dos materiais, do valor das acções eda avaliação da resposta estrutural,assegura uma probabilidade de rotura de 1x10-5, ou seja, quase nula. Este formato baseia-se, de uma forma simplificada, na avaliação de valores característicos para os materiais e acções, e ainda à adopção de coeficientes parciais de segurança adequadamente definidos. Vejamos, então, com algum pormenor, essa valoração. 1) Definição de valores característicos para:

Valores das acções Ssk (95% de probabilidade de não serem excedidos)

Resistências dos materiais SRk (95% de probabilidade de serem superiores).

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Estruturas de Betão I

2) Adopção de coeficientes de segurança parciais que:

Majorem as cargas, consoante o tipo de acção: •

Acções permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida útil da estrutura (ex: peso próprio, equipamentos fixos, etc.)

γg = 1.0 ou 1.35 (consoante a acção for ou não favorável) •

Acções variáveis: variam durante a vida útil da estrutura (ex: sobrecarga, vento, sismo, variação de temperatura, etc.)

γq = 0.0 ou 1.5 (consoante a acção for ou não desfavorável) •

Acções acidentais: muito fraca probabilidade de ocorrência durante a vida útil da estrutura (ex: explosões, choques, incêndios, etc.) γa = 1.0

Minorem as resistências dos diferentes tipos de materiais: •

Armaduras (γs = 1.15)

•

Betão (γc = 1.5)

Exemplo: fyd =

fyk fck ;f = γs cd γc

3) Estabelecimento de combinações de acções, conforme especificado no RSA Exemplo: Ssd = γgSg + γq (Sq + Σψ0iSqi)

(ψ0i≤1 –coeficiente de combinação da acção variável i)

Sq – acção variável de base Sqi – restantes acções variáveis 4) A Avaliação dos efeitos estruturais das acções na estrutura é usualmente realizada com base numa análise elástica linear da mesma, com eventuais adaptações para ter em conta o comportamento efectivamente não linear do betão estrutural (como constatado nos parágrafos anteriores). Para obtenção dos denominados momentos de cálculo ou dimensionamento,com uma única carga variável,tem-se: Msd = γg Mg + γqMq 5) Avaliação das capacidades resistentes (forças ou esforços) fyk Exemplo para o momento resistente: MRd = As×1.15 ×z 6) Verificação da condição de segurança geral: SSd≤SRd Exemplo para os momentos: Msd≤MRd

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Estruturas de Betão I

No caso do exemplo anterior, e considerando só a sobrecarga (γq = 1.5), tem-se: M=

PL 5 400 ⇒Msd = 1.5 × P × ≤ MRd = 10×10-4× × 103× 0.40 4 4 1.15

Donde resulta, como carga que verifica o nível de segurança necessário, em relação à rotura por flexão (ou seja, verifica a segurança ao Estado Limite Último): P ≤ 74.2 kN O procedimento de verificação da segurança acima resumido pode ser ilustrado com base nos diagramas de distribuição probabilística dos efeitos das acções e da avaliação das resistências, como indicado na figura seguinte.A partir de valores característicos, superiores e inferiores, respectivamente para as acções e materiais, majoram-se e minoram-se esses valores, com coeficientes parciais de segurança, para só depois estabelecer a condição de segurança. Percebe-se que a margem de segurança disponível que se obtém com este procedimento é muito grande. Repare-se na diferença entre os valores médios expectáveis das acções e das resistências. No entanto, a justificação da garantia da probabilidade de não rotura ser de 1x10-5,como acima referida, está fora do âmbito destes elementos.

Ssm

Ssk

Ssd

SRd

SRk

Acções ou efeitos das acções

SRm Resistência

2.3. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO

Para assegurar o comportamento adequado nas condições de serviço, pretende-se avaliar, agora, tão bem quanto possível, a resposta efectiva da estrutura quando em utilização. Com esse objectivo faz sentido tomar valores de acções que se esperam efectivamente actuem a estrutura (e não valores característicos superiores e/ou majorados) e valores médios para o comportamento dos materiais (certamente que não valores característicos inferiores e/ou minorados).

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Estruturas de Betão I

Esta formulação conduz a que a probabilidadede serem excedidos os valores admissíveis seja da ordem de 1x10-1.

Vejamos então, em termos práticos, com que bases se fazem estas verificações:

1) Definição dos valores da acção que actuam na estrutura adoptando, por um lado, para os pesos próprios dos materiais estruturais e/ou de outros revestimentos utilizados densidades médiase, por outro lado, valores de sobrecargas com probabilidades reais de virem a actuar as estruturas (percentagens mais pequenas do valor característico têm mais probabilidade de ocorrerem). 2) Estabelecimento de combinações de acções, conforme preconizado no RSA:

Combinação quase permanente de acções: Estado limite de longa duração (≥ 50% do tempo de vida da estrutura)

Combinação frequente acções: Estado limite de curta duração (≥ 5% do tempo de vida da estrutura)

Scqp = G + Σψ2iQi

Sfreq = G + ψ1 Q + Σψ2iQi

Combinação característica: Estado limite de muito curta duração (algumas horas no período de vida da estrutura)

Sraro = G + Q + Σψ1iQi

(ψ2<ψ1< 1.0) Q – acção variável de base Qi – restantes acções variáveis 3) Avaliação dos efeitos estruturais das acções, considerando, em geral, uma análise elástica linear e as propriedades médias dos materiais por forma a estimar o comportamento previsível. Em geral, é necessário considerar, de uma forma simplificada, os efeitos da fendilhação (perda de rigidez) e da fluência do betão nas características da resposta, como se verá no curso. 4) Posteriormente há que fazer as verificações de segurança, atrás mencionadas, como a limitação da deformação e o controlo do nível de tensões nos materiais e das aberturas de fendas. Estas verificações são estabelecidas nos regulamentos, para certas combinações de acções. Refira-se que um certo limite é dependente da duração de tempo em que possa subsistir.

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Estruturas de Betão I

Por exemplo, para o caso da deformação, é importante garantir a sua limitação para a situação quase-permanente, mas não para a eventualidade de, numa ou várias situações na vida da estrutura, se ter uma sobrecarga maior. Assim: δcombinação quase permanente ≤δadmissíve

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Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 1.1

Considere a estrutura de um piso estrutural, a construir com os materiais indicados e as acções previstas referidas, representado pela planta seguinte:

4.00

Materiais: C25/30, A400 Acções: Peso próprio Revestimento=2.0 kN/m Sobrecarga = 3.0 kN/m

10.00

Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5 Coeficientes de combinação:

3.00

ψ1 = 0.4 ;ψ2 = 0.2 Secção da viga: 0.30×0.85 m

Espessura da laje: 0.15m

a) Determinar, para as secções S1 e S2 da viga, os valores dos esforços, para a verificação da segurança à rotura. b) Calcular, para as mesmas secções, os esforços para as combinações em serviço, rara, frequente e quase-permanente.

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Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1.1

1. Modelo de cálculo: Modelo para o cálculo da viga

Corte transversal à viga

rev, q

g, q S2

0.15

10.00

0.70 3.00

0.30 4.00

Comentários ao modelo de cálculo, escolhido, com algumas simplificações: −

Consideram-se as vigas como contínuas, i.e., desprezou-se a continuidade na ligação aos pilares;

−

Considera-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais.

2. Cálculo das acções na viga

2.1. Carga permanente •

Peso próprio pp = γbetão× Área = [4 × 0.15 + (0.85 - 0.15) × 0.30] × 25 = 20.3kN/m

•

Revestimento rev = 2.0 × 4.0 = 8.0kN/m

cp = pp + rev = 20.3 + 8.0 = 28.3kN/m

2.2. Sobrecarga sc = 3.0 × 4.0 = 12.0kN/m

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Estruturas de Betão I

3. Diagrama de esforços para uma carga unitária (poder-se-ia considerar logo à partida considerar o valor das cargas)

p=1 kN/m S2

10.00

3.00

DEV [kN]

4.55

3.0

(+)

(+) (-) x 5.45

DMF [kNm]

4.5 (-) (+) 10.25

(i) Cálculo das reacções de apoio 13 ΣMA = 0 ⇔ 10 × RB- 1.0 × 13 × 2 = 0 ⇔ RB = 8.45kN ΣF = 0 ⇔ RA + RB = 13 ⇒ RA = 13 - 8.45 = 4.55kN (ii) Cálculo do momento flector a ½ vão 3 MB = - 1 × 3 × 2 = - 4.5kN/m M½vão = 1 ×

102 4.5 = 10.25kNm 8 2

pL2/8 L/2

L/2

(ii) Cálculo do momento flector máximo 4.55 + 5.45 10.0 = x ⇒x = 4.55m 4.55 Mmáx =

4.55× 4.55 = 10.35kNm 2

⇒M½vão≅ Mmáx

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Estruturas de Betão I

ALÍNEA A)

Secção S1

Secção S2

MS1 G = – 4.5 × 28.3 = - 127.35 kNm

MS2 G = 10.25 × 28.3 = 290.1 kNm

MS1 Q = – 4.5 × 12.0 = - 54 kNm

MS2 Q = 10.25 × 12.0 = 123.0 kNm

VS1 G = –5.45 × 28.3 = 154.2 kN VS1 Q = –5.45 × 12.0 = 65.4 kN

Valores de cálculo dos esforços S1 S1 MS1 sd = 1.5 ×(M G + M Q ) = 1.5 × (-127.35 - 54) = -272.0 kNm S2 S2 MS2 sd = 1.5 ×(M G + M Q ) = 1.5 × (290.1 + 123) = 619.7 kNm S1 S1 VS1 Sd = 1.5 ×(V G + V Q ) = 1.5 × (-154.2 - 65.4) = -329.4 kN

Consideração de alternância de sobrecarga

A sobrecarga, sendo uma acção variável, pode actuar em qualquer tramo. Assim, para cada caso, há que verificar a hipótese de carga mais desfavorável. Chama-se, desde já a atenção, para que na consola e sobre o apoio adjacente, os esforços só dependem das cargas na própria consola e, portanto, os valores máximos são os avaliados anteriormente. Por outro lado, se se considerar apenas a actuação da sobrecarga no tramo apoiado, o momento flector obtido a meio vão desse tramo será superior ao calculado considerando a sobrecarga a actuar em toda a viga (calculo anterior). Deste modo, q g

MS2 Q =

12 × 102 = 150 kNm ; MS2 G = 10.25 × 28.3 = 290.1 kNm 8

⇒ MS2 sd = 1.5 × (290.1 + 150) = 660.2kNm

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Estruturas de Betão I

ALÍNEA B)

Secção S1 Mc rara = MG + MQ = -127.35 - 54 = - 181.4kNm Mcfreq = MG + ψ1 MQ = -127.35 - 0.4 × 54 = -149.0kNm Mcqp = MG + ψ2 MQ = -127.35 - 0.2 × 54 = – 138.2kNm Vc rara = VG + VQ = 154.2 + 65.4 = 219.6kN Vcfreq = VG + ψ1 VQ = 154.2 + 0.4 × 65.4 = 180.36kN Vcqp = VG + ψ2 VQ = 154.2 + 0.2 × 65.4 = 167.3kN Secção S2 Mc rara = MG + MQ = 290.1 + 123.0 = 413.1kNm Mcfreq = MG + ψ1 MQ = 290.1 + 0.4 × 123 = 339.3kNm Mcqp = MG + ψ2 MQ = 290.1 + 0.2 × 123 = 314.7kNm

Verifica-se também que o nível de esforços considerados para a verificação da segurança à rotura são significativamente superiores aos correspondentes das combinações de acções em serviço, e que estes são tão menores, quão a probabilidade de ocorrência seja maior.

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Estruturas de Betão I

3. Materiais 3.1. CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES

Os betões são, em termos regulamentares, classificados por classes de resistência, como certamente analisaram na disciplina de materiais. As classes de resistência estão definidas de acordo com os valores característicos de tensão de rotura à compressão aos 28 dias de idade, referidos a provetes cúbicos ou provetes cilíndricos, apesar destes últimos serem aqueles que se consideram como referência na avaliação da segurança estrutural. No quadro seguinte apresentam-se, para as várias classes de resistência do betão, os valores característicos e de cálculo das tensões de rotura à compressão (fck e fcd), bem como o valor médio da tensão de rotura à tracção (fctm) e módulo de elasticidade aos 28 dias (Ec, 28) Classe

B15

B20

B25

B30

B35

B40

B45

B50

B55

C12/15

C16/20

C20/25

C25/30

C30/37

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

8.0

10.7

13.3

16.7

20.0

23.3

26.7

30.0

33.3

1.6

1.9

2.2

2.6

2.9

3.2

3.5

3.8

4.1

27.0

cub.

fck

cil.

[MPa] fcd [MPa] fctm [MPa] Ec,28 [GPa]

3.1.1. Tensões de rotura do betão

A partir dos valores característicos das tensões de rotura à compressão ou à tracção, definem-se os valores denominados de dimensionamento ou de cálculo à rotura: fcd =

fcil. ck γc

, fctd =

fctk γc

com

γc = 1.5(fckcil≈ 0.8 fckcubos)

O valor médio da tensão de rotura do betão à tracção pode ser estimado pela expressão: fctm = 0.30 fck2/3 Nota: o valor de fcd é definido a partir da resistência em cilindros, dado que estes provetes são mais representativos da resistência do betão em peças longas.

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Estruturas de Betão I

3.1.2. Módulo de elasticidade do betão Na análise de estruturas é usual admitir um comportamento elástico, como atrás já referido, considerando-se, em geral, o módulo de elasticidade secante do betão aos 28 dias de idade. Este módulo de elasticidade, tal como a figura seguinte indica, encontra-se definido para σc = 0 e σc = 0.4 fck. Refira-se a propósito, que este tipo de hipótese é adoptada, na prática da engenharia, com muita frequência, considerandose, posteriormente, formas mais ou menos directas de ter em consideração o efectivo comportamento não linear do betão armado, quer em condições de serviço, quer, por maioria de razão, próximo da rotura.

σc Ec fcm

0.4 fck

εc 3.1.3. Valor característico da tensão de rotura do betão à compressão fc

A partir de um certo número de resultados de ensaios, é possível avaliar o valor característico do betão. Assim: fck = fcm - λ Sn ,

Sn – desvio padrão das resistências das amostras λ – parâmetro que depende do número de ensaios

1.87

1.62

1.48

3.2. CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS

As armaduras a utilizar no betão estrutural podem dividir-se em:

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Estruturas de Betão I

armaduras para betão armado

armaduras de pré-esforço

As primeiras são também denominadas de armaduras passivas, pois só são solicitadas em resposta a acções exteriores. As armaduras de pré-esforço são compostas por aços com capacidade resistente da ordem de 3 a 4 vezes superiores às passivas e são chamadas de activas, pois são traccionadas antes da actuação das solicitações exteriores. Nestes elementos referem-se unicamente as primeiras pois o pré-esforço é introduzido na disciplina de Estruturas de Betão II.

3.2.1. Classificação das armaduras para betão armado Os aços são classificados tendo em consideração o processo de fabrico, a rugosidade da superfície e a sua capacidade resistente. Assim temos:

processo de fabrico •

aço natural (laminado a quente)

(N)

•

aço endurecido a frio

(E)

aderência •

alta aderência (superfície rugosa ou nervurada) (R)

•

aderência normal (superfície lisa)

(L)

resistência •

(A235), A400, A500

O aço A235 foi utilizado na construção em Portugal, em geral com varões lisos, mas já não é produzido actualmente. As armaduras designam-se, assim, com a seguinte simbologia base: Designação das armaduras: A500 fyk

aderência processo de fabrico

ductilidade especial

Os aços de dureza natural A400 NR e A500 NR produzidos em Portugal, apresentam apenas duas famílias de nervuras – ver figura abaixo. Nos aços A400

MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado

Estruturas de Betão I

todas as nervuras de uma família são paralelas ao passo que no A500 as nervuras têm alternadamente inclinações diferentes, pelo menos de um dos lados. A diferenciação, entre aços com ductilidade especial (SD), recomendados em zonas sísmicas, e os correntes, é ilustrada na figura, sendo que, no essencial, os SD tem as mesmas nervuras nas duas faces. Tipo A400NR

Tipo A500NR

Tipo A400NR SD

Tipo A500NR SD

Identificação do tipo de aço

Os aços endurecidos a frio (E) são produzidos por laminagem com impressão de um perfil nervurado, constituído por três famílias de nervuras dispostas em 3 planos.

As características resistentes dos aços serão referenciadas no Módulo 2.

MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado

BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO PRÉ ESFORÇADO I

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL DESPREZÁVEL

Ano Lectivo 2012/2013

ÍNDICE

1. VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA À ROTURA POR FLEXÃO ..................................................... 19 1.1. RELAÇÕES TENSÃO-EXTENSÃO DOSMATERIAIS PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS E.L. ÚLTIMOS 19 1.1.1. Betão ................................................................................................................................... 19 1.1.2. Aço ....................................................................................................................................... 20 1.2. ANÁLISE DA SECÇÃO. MÉTODO GERAL ........................................................................................... 21 1.3. MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR........................................................................................... 22 1.3.1. Cálculo de MRd ..................................................................................................................... 22 1.4. RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS .................................................. 31 1.5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES – GRANDEZAS ADIMENSIONAIS ........................................... 33 1.5.1. Método Geral ....................................................................................................................... 33 1.5.2. Método do Diagrama Rectangular Simplificado .................................................................. 35 1.5.3. Utilização de Tabelas .......................................................................................................... 36 1.6. ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE ......................................................................................... 38 1.7. PARÂMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE ............................................. 40 1.8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS ........................................................................................... 41 1.8.1. Recobrimento das armaduras ............................................................................................. 41 1.8.2. Distância livre mínima entre armaduras (s) ......................................................................... 42 1.8.3. Agrupamentos de armaduras .............................................................................................. 43 1.8.4. Dobragem de varões ........................................................................................................... 44 1.8.5. Posicionamento das armaduras .......................................................................................... 44 1.8.6. Princípios a ter em atenção na pormenorização das armaduras ........................................ 45 1.9. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS EM VIGAS – ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXÃO .......................... 45 1.9.1. Quantidades mínima e máxima de armadura ..................................................................... 45 1.9.2. Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade ............................................... 46 1.10. DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES EM “T” ...................................................................................... 47 1.10.1. Largura efectiva ................................................................................................................. 47 1.10.2. Dimensionamento de secções em “T” por tabelas ............................................................ 49 1.10.3. Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento à flexão simples ................. 50 2. INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS DE BETÃO.............. 56 2.1. - ANÁLISE ELÁSTICA SEGUIDA DE REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS ................................................... 56 2.2. - APLICAÇÃO DIRECTA DO CÁLCULO PLÁSTICO (TEOREMA ESTÁTICO) ............................................... 60

Estruturas de Betão I

1. VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA À ROTURA POR FLEXÃO Para a avaliação das capacidades resistentes das secções de betão à flexão, no âmbito da filosofia de segurança em relação à rotura, começa-se por mostrar como se caracterizam os comportamentos dos materiais a adoptar naquela avaliação. Posteriormente, e a partir de hipóteses admitidas para a deformação da secção na rotura, mostra-se como se avaliam os esforços resistentes de flexão.

1.1. RELAÇÕES TENSÃO-EXTENSÃO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS E.L. ÚLTIMOS

1.1.1. Betão A partir da relação tensão-extensão característica do betão, apresentada no módulo 1, é definida uma relação simplificada, com base numa parábola e num rectângulo com um valor máximo de resistência, o qual é obtido do valor característico, pela aplicação do correspondente coeficiente parcial de segurança de 1.5.

σc

fcd = α

f ck

fck , γc = 1.5 γc

0.8 ≤α≤ 1.0 para0≤εc≤εc2

σc = αfcd

f cd

para εc2≤εc≤εcu2

Para as classes de resistência até C50/60,

εc2

εc2[‰]

εcu2[‰]

2.0

3.5

2.0

εcu2 εc

(Diagrama parábola rectângulo)

Na avaliação do valor de fcd, para além do coeficiente parcial de segurança, aparece o coeficiente α. Este parâmetro tem em consideração a diminuição da tensão de rotura do betão quando sujeito a tensões elevadas prolongadas. De facto, se o betão for solicitado com constância, durante um certo período, a uma tensão um pouco inferior à máxima (entre 85% a 100% de fc) acaba por atingir a rotura. De acordo, por exemplo, com o REBAP, a tensão máxima no betão está limitada a 0.85 fcd, ou seja considerando α = 0.85. No entanto, o EC-2 propõe, para casos correntes, 1.0 fcd, pois nas condições de carregamento com persistência o betão estará, em geral, solicitado MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

a níveis de tensões bem inferiores às acima referidas, tendo-se considerado demasiado penalizante tomar esse efeito na verificação da segurança à rotura. Na disciplina, e na prática da engenharia em geral no futuro, tenderá a utilizar-se a hipótese proposta no EC2. No entanto, e para já, o mais importante é perceber a razão do sentido físico deste coeficiente.

1.1.2. Aço Para a verificação da segurança aos E.L. Últimos pode ser considerada uma das duas relações constitutivas indicadas pelo EC-2, e presentes na figura seguinte, i.e., considerando ou não (hipótese muitas vezes admitida como simplificação) algum incremento de resistência a partir da cedência, quantificado pelo coeficiente k. s

fyd =

2 k f yk f yk

fyk , γs = 1.15 γs

εud = 0.9 εuk

k f yd

f yd

Es =200 GPa

fyk

fyd

εyd

[MPa]

[×10 ]

A235

235

205

1.025

A400

400

348

1.74

A500

500

435

2.175

Classe

-3

O valor da extensão máxima convencional do aço, εud (igual a 90% do valor característico εuk), a considerar depende da classe de ductilidade das armaduras. No quadro seguinte são indicados os valores característicos das extensões últimas, para as diferentes classes de ductilidade, que são da ordem dos 25 a 75 ‰, portanto, muito superiores aos do betão de 3.5 ‰.

Classe de

≥1.05

≥1.08

εuk [%]

≥2.5

≥5.0

ductilidade

C ≥1.15 <1.35 ≥7.5

Refira-se que o REBAP limita a 10‰ a extensão última convencional de dimensionamento, εud, valor claramente inferior aos acima referidos. No entanto, uma MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

vez que para este valor de extensão, o aço se encontra bem na cedência, as repercursões em termos da avaliação das Capacidades resistentes à flexão, são praticamente nulas, como se verá no sub-capítulo seguinte. Em Portugal os aços são denominados por NR, ER ou NR SD, como referido no módulo 1, onde é explicada a simbologia e a forma como se pode proceder à sua identificação superficial. Para a construção corrente é normal utilizarem-se ferros NR, sendo em zonas de maior sismicidade, a utilização de aços SD fundamental. Estas classificações actuais dos aços em Portugal, correspondem às características de ductilidade das classes B (NR) e C (NR SD) definidas no EC2 e acima mencionadas.

1.2. ANÁLISE DA SECÇÃO. MÉTODO GERAL Hipóteses adoptadas na rotura convencional de dimensionamento 1- Apesar da complexidade do estado de deformação do betão armado, próximo da rotura, a Hipótese de Bernoulli é considerada. 2- A situação última é atingida, quando se verifica uma das extensões últimas seguintes: -

εc- = 3.5‰ (Deformação máxima de encurtamento no betão)

εs=εud(Deformação máxima de alongamento nas armaduras)

3- A participação do betão à tracção não é considerada: -

σc = 0 se εc> 0 ⇔o betão à tracção tem tensão nula

εc ≤ 3.5‰ Fc

(-)

MRd

(+)

εs ≤ εud

Com base nas relações constitutivas dos materiais e das hipóteses anteriores, estabelecem-se as equações de equilíbrio na secção. Assim, se as expressarmos em função das resultantes das tensões de tracção e compressão, tem-se:

MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

Equações de Equilíbrio: •

Equilíbrio axial (Esforço axial nulo): Fs = Fc

•

Equilíbrio de momentos: MRd = Fs × z

1.3. MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR Neste método simplifica-se a forma de distribuição das compressões no betão e despreza-se a participação do aço à compressão, o que permiteresolver as equações anteriores, de forma simples. εc

α fcd

(-)

σc

α f cd

≅

0.8x

σ f cd

−0.7‰

−3.5‰ εc

Deste modo, εc

α f cd

(-)

0.8x

0.4x

LN d

z = d - 0.4x (+)

εs

1.3.1. Cálculo de MRd Se forem conhecidos a geometria da secção, a quantidade de armadura e as resistências dos materiais, a avaliação da capacidade resistente segue os seguintes passos (trata-se um problema dito de análise pois a secção e armaduras estão totalmente definidas): i) Admitir que σs = fyd (εs ≥ εyd), ou seja, que as armaduras estão em cedência ii) Determinar posição da linha neutra Por equilíbrio axial, Fc = Fs ⇔ fcd Ac (x) = As fyd ⇒ x = ? iii) Calcular o momento resistente Por equilíbrio de momentos, MRd = As fyd (d - 0.4x) MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: εs ≥ εyd

εc = 3.5‰ Rotura convencional: εc = 3.5‰ ou εs = εud

(-)

A partir da posição da linha neutra anteriormente calculada, se admitirmos que a rotura se dá pelo betão, obtém-se a (+)

extensão ao nível da armadura.

εs

• Se εs ≥ εyd ⇒ a hipótese considerada inicialmente, de admitir o aço em cedência está correcta. • Se εs < εyd ⇒ Fs < As fyd, trata-se de uma situação não desejável pois nem se estaria a tirar partido da resistência máxima do aço.

A posição da Linha Neutra para essa situação limite pode ser avaliada para os aços A400 e A500 por:

Posição da LN para εc = 3.5 ‰ e εs = εyd (início da cedência do aço) c

A400: εyd = 1.74 ‰

= 3.5‰ (-)

x d

x d = 3.5 3.5 + 1.74⇒x = 0.67 d

(+)

ε s = ε yd

A500: εyd = 2.175 ‰ x d 3.5 = 3.5 + 2.175 ⇒x = 0.62 d

Deste modo, se x ≤ 0.67 d no caso de se utilizar aço A400, ou se x ≤ 0.62 d no caso de se utilizar aço A500, pode se concluir logo que o aço está em cedência.

Por outro lado, conhecida a posição da Linha Neutra, é possível confirmar se a rotura convencional se dá pelo betão. Exemplifica-se, seguidamente, para aços das classes B (NR) e C (NR SD).

MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

Para um aço de Classe C: Posição da LN para εc = 3.5‰ e εud = 0.9 × 75‰ = 67.5‰

εc = 3.5‰ (-)

x d

d x = ⇒ x = 0.05 d 3.5 71

(+)

εud

Deste modo,

εc< 3.5‰ se x < 0.05 d (situação pouco corrente)⇒ εs = εud εc = 3.5‰ se x > 0.05 d ⇒ εs < εud

(rotura pela armadura)

(rotura pelo betão)

Se tratasse de um aço de Classe B ter-se-ia para este limite x = 0.072 d Constata-se, assim, que, para uma grande gama de possíveis posições da Linha Neutra, a rotura convencional dá-se pelo betão e o aço está em cedência. Esta diferenciação (rotura convencional pelo aço ou betão), nem é importante pois de qualquer maneira a capacidade máxima do aço é explorada. No entanto, é importante no dimensionamento das secções de betão armado controlar melhor a posição da Linha Neutra por uma razão essencial: Um elemento de betão armado deve apresentar ductilidade em situação de rotura, i.e., deve poder evidenciar deformações apreciáveis por cedência das armaduras, sem perda de capacidade resistente. Esta característica é fundamental nas estruturas e, para tal, é importante assegurar valores x/d limitados, pois verifica-se, experimentalmente, que aquele é um parâmetro que influencia directamente a ductilidade do elemento. A Ductilidade ou Capacidade de Deformação Plástica das Secções é medida pela relação (1/R)u/(1/R)y, i.e., a relação entre as curvaturas última e de cedência, como ilustrado na figura seguinte e referido,anteriormente, no Módulo 1.

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Estruturas de Betão I

MRd As4 (x4;εs4;menor ductilidade) As3 (x3;εs3) As2 (x2;εs2)

εcx = -3.5‰ 1 R

(2) As1 (x1;εs1;maior ductilidade)

(1)

(-)

As1 < As2< As3 < As4

(+)

εs

(1 / R) y

1 εcx R =- x

(1 /R) u (1 / R)

(1) εs=εsyd (2) Rotura da secção por esmagamento do betão comprimido (εc≈ 3.5‰) ou menos correntemente, por deformação de armaduras (εc = εud)

Para garantir um nível mínimo de ductilidade disponível deve procurar garantir-se que, pelo menos, x ≤ 0.4 a 0.5 d, portanto com x/d claramente na zona de cedência do aço. É importante referir que no dimensionamento à rotura dos elementos estruturais se deve sempre avaliar as vertentes de resistência e de ductilidade. A situação mais corrente com que o engenheiro se defronta na prática, depois de ter feita a análise estrutural, ter avaliado a distribuição de esforços actuantes, ter defenido uma geometria para a secção e escolhido os materiais, é a de querer avaliar a quantidade de armadura a considerar para verificar a segurança (trata-se um problema dito de dimensionamento. Dimensionamento das armaduras:

Dados: geometria da secção, fcd, fyd, Msd f cd Fc

0.8x

x LN d

Msd

i) Admitir que σs = fyd (εs ≥ εyd), ou seja, que as armaduras estão em cedência ii) Determinar posição da linha neutra Por equilíbrio de momentos, Msd = Fc × z = αfcd b 0.8 x (d - 0.4x) ⇔ x = ... ⇒ Fc = ... MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

iii) Calcular a área de armadura necessária Por equilíbrio axial, Fc = Fs ⇔ αfcd b 0.8x = As fyd ⇒ As= ? iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: εs ≥ εy

MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

Exercício 2.1 Considere a viga representada na figura seguinte e adopte γG = γQ = 1.5

q 0.55 3φ20

0.30

5.00

Materiais: C25/30 (fcd = 16.7MPa) A400 (fyd = 348MPa) Calcule a máxima sobrecarga q que pode actuar com segurança sobre a viga.

Resolução Método do diagrama rectangular simplificado 0.85 fcd Fc

0.8x

0.4x

LN d

M Rd

1. Cálculo do MRd

Equações de equilíbrio (flexão simples) ΣF = 0 ⇔ Fc = Fs

(1)

ΣM = 0 ⇔ MRd = Fs × z = Fs × (d - 0.4x)

(2)

(Este exercício está resolvido com α = 0.85) Fc = 0.8x × b × 0.85 fcd = 0.8x × 0.30 × 0.85 × 16.7 × 103 = 3406.8x Fs = As × fyd = 9.42 × 10-4 × 348 × 103 = 327.8kN (As(3φ20) = 9.42cm2)

MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

(1) Fc = Fs⇔ x =

327.8 = 0.096m ⇒ z = d – 0.4x = 0.55 – 0.4 × 0.096 = 0.51m 3406.8

(2) MRd = Fs × z = 327.8 × 0.51 = 167.2kNm

Verificação da hipótese de cedência do aço (εs ≥ εyd) c

3.5‰ εs = ⇒εs = 16.6‰>>εyd 0.096 0.454

= 3.5‰ (-)

0.096

εyd = 0.55 0.454 (+)

εs

fyd 348 = = 1.74‰ εs 200×103

x 0.096 d = 0.55 = 0.175

Ductilidade da secção (como critério mínimo é desejável que x/d ~ (0.4 a 0.5) ou, ~ equivalentemente, εs > 4‰ a 5‰,

3. Cálculo da sobrecarga máxima (Msd ≤ MRd) Msd =

8 × 167.7 psd× L2 ≤ 167.7kNm ⇒ psd ≤ = 53.7kN/m 52 8

53.7 psd = 1.5 (g + q) ⇒q = 1.5 - 0.30 × 0.60 × 25 = 31.3kN/m

MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

Considere a estrutura da figura seguinte: Materiais: C25/30, A400 4.00

4.00

Acções: Peso próprio Revestimento = 2.0kN/m2 S2

10.00

Sobrecarga = 3.0kN/m2

Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5 S1

Coeficientes de combinação: ψ1 = 0.4 ;ψ2 = 0.2

3.00

Secção da viga: 0.30 × 0.85m2 Espessura da laje: 0.15m

a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão da viga (Secções S1 e S2) a.1) utilizando o método do diagrama rectangular simplificado a.2) Fs × z a.3) com recurso a tabelas a.4) pormenorize as armaduras de flexão

MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.2 ALÍNEA A) 1. Modelo de cálculo:

g, q S2

0.85

10.00

3.00

0.30

2. Envolvente do diagrama de esforços 272.0

DMF [kNm]

(-)

(+) 660.2

ALÍNEA A.1)

+ = 660.2 kNm) Secção S2 (Msd 0.85 fcd Fc

0.8x

x LN 0.80

M sd

0.30

Resolução com α = 0.85: Fc = 0.85 fcd × 0.8x × b = 0.85 × 16.7 × 103 × 0.8x × 0.3 = 3406.8x Fs = As × fyd = As × 348 × 103 Equilíbrio de momentos: ΣMAS = Msd ⇔ 3406.8x × (0.8 - 0.4x) = 660.2 ⇔ x = 0.282m ⇒Fc = 3406.8 × 0.282 = 960.7kN Equilíbrio de forças: Fs = Fc ⇔ As × 348 × 103 = 960.7 ⇔ As =

960.7 × 104 = 27.6 cm2 348×103

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Estruturas de Betão I

Verificação da hipótese de cedência do aço

εc = 3.5‰

Admitindo que εc = 3.5‰

(-)

0.282

εc = 3.5‰ 0.282 = 0.518⇒εs = 6.43‰ > εyd = 1.74‰ εs

0.518

x = 0.35 d

(+)

εs

∴ A armadura está em cedência e a secção tem um nível de ductilidade aceitável.

- = 272.0 kNm) Secção S1 (Msd 0.30

0.80

M sd

LN x

0.8x 0.85 f cd

Equilíbrio de momentos: ΣMAS=Msd⇔3406.8x×(0.8–0.4x)=272.0⇔x=0.105m⇒Fc=357.7kN Então x/d = 0.13 ⇒ Bom em termos de ductilidade disponível Equilíbrio de forças Fs = Fc ⇔ As × 348 × 103 = 357.7 ⇔ As =

357.7 × 104 = 10.28cm2 348×103

Verificação da hipótese de cedência do aço Admitindo que εc = 3.5‰ tem-se:

εs 0.695 3.5‰ = 0.105 ⇒ εs = 23.2‰ >>εyd

1.4. RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS Na figura seguinte apresentam-se os diagramas de deformação de uma secção de betão armado, para quatro áreas de armadura distintas (área de armadura crescente).

MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

M Rd,1

M Rd,2

εc (-)

M Rd,3

εc

(-)

εc

(-)

M Rd,4

(-)

x4 M Rd (+)

(+)

εs

(+)

εs

(+) s

εs

(As muito pequeno)

(As maior)

(...)

Apresentam-se, em seguida, as relações constitutivas do aço e do betão, com indicação qualitativa da evolução das tensões e extensões dos dois materiais, com a variação da armadura. σc

σs 3 e 4

α fcd

f syd

1 e 2

1 4

−2‰

−3.5‰ εc

εud

εsyd

εs

Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos níveis de armadura, existe proporcionalidade entre a área de armadura e o momento resistente da secção. À medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relação deixa de ser linear, ou seja, o aumento da armadura traduz-se em acréscimos menores de momento resistente. Este comportamento deve-se à sucessiva diminuição do braço do binário (z) com o aumento da área de armadura, até que a armadura deixa de poder estar em cedência (caso 4) e, portanto, o aumento de armadura perde toda a eficiência.

M Rd

M4 M3 M2 M1

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Estruturas de Betão I

1.5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES – GRANDEZAS ADIMENSIONAIS 1.5.1. Método Geral

εc εs2

As2

σc Fs2

(-)

Fc = ψfcd b x

λx

Fs2 = σs2 As2

M Fs1 = σs1 As1

d (+) As1

εs1

Fs1

ψ fcd =

⌠ ⌡Ac σc dA bx

; λx =

⌠ ⌡ σc y dA ⌠ ⌡ σc dA

ψ – coeficiente que define a relação da resultante das tensões de compressão no betão pela força de uma compressão uniforme com fcd, em toda a zona comprimida. λ – coeficiente que define a posição da resultante das tensões de compressão no betão, função de x.

Equações de Equilíbrio •

Equilíbrio axial: Fc = Fs ⇔ ψ fcd bx + σs2 As2 = σs1 As1

•

Equilíbrio de momentos: ΣMAs = M ⇔ M = ψ fcd b x (d - λx) + σs2 As2 (d - d2) (2)

(1)

(Equações não lineares)

Cálculo por iterações

x i) Fixar εc = 3.5‰ e um valor de x (por exemplo, tal que, d = 0.5) ii) Calcular as forças axiais F • Se |Fc + Fs2| > Fs1 ⇒

εc ≤ 3.5‰ (-)

(a LN tem de subir para diminuir FC, tendo uma das extensões, εc ou εs, o valor máximo e, a outra, um valor igual ou inferior ao limite.

d (+)

εs≤εud

É necessário diminuir o valor de x até que ΣF = 0

MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

εc = 3.5‰

• Se |Fc + Fs2| < Fs1⇒

(-)

(a LN tem de baixar para aumentar Fc) (+)

εs

É necessário aumentar o valor de x até que ΣF = 0.

ii) Calcular MRd Definida a posição da LN e o diagrama de extensão, calculam-se as tensões e o valor de MRd Nota: Este é um processo de cálculo moroso. Na prática recorre-se a programas de cálculo automático ou a tabelas de cálculo. Para elaborar tabelas é necessário trabalhar com grandezas adimensionais, por forma a que sejam aplicáveis a secções com qualquer geometria.

1.5.1.1. Grandezas adimensionais

Equações de Equilíbrio •

ψ fcd bx = σs1 As1 - σs2 As2

(1)

•

M = ψ fcd b x (d - λx) + σs2 As2 (d - d2)

(2)

Substituindo (1) em (2), M = σs1 As1 (d - λx) - σs2 As2 (d - λx) + σs2 As2 (d - d2) = σs1 As1 (d - λx) + σs2 As2 (λx - d2)

(3)

Considerando As2 = β As1 e σs = fyd, a equação (3) toma a forma M = As1fyd d 1 - λ



x  x d2  d  + β As1fyd d λ d - d 

Transformando esta equação numa forma adimensional (dividindo todos os termos por b d2fcd), resulta M As1 fyd  x As1 fyd  x d2  b d2 fcd = b d fcd 1 - λ d  + β b d fcd λ d - d  ⇔ d2 ⇔ µ = ω (1 – λk) + βωλ k - d    MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

Definem-se, assim, os parâmetros µ, w e k, de uso corrente na concepção e dimensionamento de estruturas de betão: µ=

M b d2 fcd

(Momento flector reduzido);

ω=

As1 fyd b d fcd

(Percentagem mecânica de armadura)

x d

(Posição da L. Neutra adimensional)

1.5.2. Método do Diagrama Rectangular Simplificado 1.5.2.1. Grandezas adimensionais εc x

(-)

α Fc

0.8x

0.4x

MRd

(+) As

εs

MRd = Fs × z = Fs (d - 0.4x) Admitindo que o aço está na cedência, MRd = As × fyd (d - 0.4x) Transformando a equação anterior numa forma adimensional, resulta MRd As fyd  x As fyd  x = 1 0.4 = 1 0.4 2 b d fcd b d fcd  d b d fcd  d⇔µRd = ω (1 - 0.4k) MRd x µRd = b d2 f (momento flector reduzido); k = d cd As ω= bd

fyd fcd

(percentagem mecânica de armadura)

As fyd Fc = Fs⇔0.8 ⋅ (kd) ⋅ b⋅αfcd=Asfyd⇔k = 1.47 b d = 1.47 ω(α =0.85)085).85) αfcd Visto que µRd = ω (1 - 0.4k) e substituindo o resultado anterior, obtém-se a seguinte expressão para cálculo do momento flector reduzido em função da percentagem mecânica de armadura: µRd = ω (1 - 0.588 ω )

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Estruturas de Betão I

1.5.3. Utilização de Tabelas As tabelas podem ser utilizadas para: i) Determinar o momento resistente de uma secção, dadas as armaduras; ii) Determinar as armaduras, dado o momento solicitante 1.5.3.1. Determinação da capacidade resistente (Análise) Tabelas Dado As1 e As2 determina-se ω e β → µ → MRd = µ b d2fcd (β,ω) 1.5.3.2. Dimensionamento de armaduras Msd Tabelas fcd Dado Msd determina-se µ=b d2 f → ω1 → As1 = ω1 bd f → As2 = β As1 cd yd (µ,β)

Refira-se que as tabelas da disciplina foram desenvolvidas para α = 0.85 Notas: (i) No dimensionamento de uma secção, a posição da L.N. deve ser controlada por forma a que se tenha a garantia de um nível de ductilidade adequado. Caso isso não aconteça, será conveniente dispor de armaduras de compressão específicas ou modificar a secção da viga (aumentar a altura é mais eficiente que adaptar a largura, no entanto, na prática do projecto, a altura está muitas vezes mais condicionada). (ii) Numa viga, existe, de qualquer forma, sempre armadura de compressão, por razões construtivas, em geral, com um nível não inferior a β = 0.1. Directamente através dos valores adimensionais do momento (µ), e não considerando o papel da armadura de compressão, é possível ter, para uma dada secção, uma noção do nível de esforço actuante e da potencial ductilidade.

Momento elevado ⇒ k próximo de 0.668 (A400) ⇒ εs próximo de εyd µኚ 0.30 (secção pouco dúctil)

Momento médio ⇒ k< 0.5 (secção dúctil, dimensionamento adequado) µ ≅ 0.10 a 0.25

Momento pequeno ⇒ µ ≤ 0.10 (situação aceitável, a secção estará “folgada”)

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Estruturas de Betão I

IMPORTANTE: Estes valores devem ser tomados como referência para um dimensionamento adequado e não como imposições regulamentares ou outras. Por exemplo, é possível ter valores de µ mais elevados e ter-se, ainda, um nível de ductilidade adequado, com utilização de armadura de compressão. No quadro seguinte, e para a flexão simples, apresentam-se as relações de dimensionamento ω - µ relativas à aplicação do REBAP (α = 0.85) e do EC2 (α = 1) com relações constitutivas dos aços de acordo com as Classes A, B e C.

µ 0,35 0,30 0,25 0,20 EC2 - k=1,00 EC2 - Classe A - k=1,05 EC2 - Classe B - k=1,08 EC2 - Classe C - k=1,15 EC2 - Classe C - k=1,35 REBAP

0,15 0,10 0,05 0,00 0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

Verifica-se que as diferenças nos valores resistentes são pouco significativas, sendo a maior entre o REBAP (linha inferior) e o EC2, tomando a classe de aço C com k = 1.35 (linha superior). As diferenças mais importantes são devidas à consideração do aumento da resistência do aço para além da cedência (coeficiente k). Refira-se que na prática seria sempre desajustado tomar para o aço C um valor superior a k = 1.15 pois, havendo a possibilidade deste variar entre 1.15 e 1.35, ter-se-ia que tomar, sempre, o menor. O facto de se adoptar para o betão o coeficiente α 0,85 (em vez do 1), só tem influência relevante para esforços elevados, pois aí começa a ter alguma influência a diminuição do braço das forças, devido ao aumento da zona das compressões.

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Estruturas de Betão I

1.6. ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE Fc

Para momentos de ordem de grandeza pequena a média verifica-se que, para secções rectangulares, é razoável admitir, de umas forma simplificada : z ≅ 0.9 d. M M = Fs×z≅ Asfyd 0.9 d ⇒ As = 0.9 d f

De facto, pela observação das tabelas de flexão simples (pág. 9), com β = 0, verificase que: •

para µ = 0.15, z ≅ (1 - 0.4 k) d = (1 - 0.4 x 0.247) d = 0.9 d

•

para µ < 0.15, z > 0.9 d, portanto a hipótese anterior é conservadora para o dimensionamento da armadura.

•

para µ > 0.15, z < 0.9 d, então a hipótese referida, com pouca armadura de compressão, pode ser menos conservadora. No entanto, mesmo para um valor de µ da ordem de 0.25 e para um β = 0.4 tem-se também k = 0.247, e, por conseguinte, z ≅ 0.9 d.

CONCLUSÃO IMPORTANTE: Verifica-se, assim, que dentro da gama de valores de momentos, correntemente recomendados e utilizados na prática, esta hipótese simplificativa permite uma rápida e eficiente estimativa dos momentos flectores resistentes. Para a resolução de problemas em geral e para a prática de projecto, formas simples de avaliação e controlo de resultados são de inestimável valor.

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Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.2 (CONT.)

ALÍNEA A.3)

+ Secção S2 (Msd = 660.2 kNm)

Msd µ = b d2 f = cd

660.2 = 0.206 ⇒ ω = 0.241; k = 0.351 0.3×0.82×16.7×103

fcd 16.7 As = ωbd f = 0.241 × 0.30 × 0.80 × 348 × 104 = 27.76 cm2 yd

µ=

- = 272.0 kNm) Secção S1 (Msd 272.0 = 0.085 ⇒ ω = 0.091; k = 0.163 0.3 × 0.82× 16.7×103

16.7 fcd As = ωbd f = 0.091 × 0.30 × 0.80 × 348 × 104 = 10.48cm2 yd

ALÍNEA A.2) Fs = As× fyd  M ⇒ M ≅ 0.9 d fyd As⇒As = 0.9 d f yd  z ≅ 0.9d + = 660.2kNm ⇒ A = Msd s

660.2 × 104 = 26.34cm2 0.9 × 0.8 × 348×103

- = 272.0kNm ⇒ As = Msd

272.0 × 104 = 10.86cm2 0.9 × 0.8 × 348×103

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1.7. PARÂMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE

Armadura de tracção

2Fc M Rd

z As

<z 2As

2Fs

O momento resistente é quase proporcional à área de armadura, para momentos não muito elevados. Para momentos elevados, a variação é menos significativa.

Armadura de compressão Fc

M Rd

z As1

F s2

As2

F s1

>z F s1

As1

A influência da armadura de compressão no valor do momento resistente, apenas é importante para esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, a variação é pouco significativa.

Largura da secção Fc

z As

M Rd As

A influência da largura da secção no valor do momento resistente, apenas é importante para esforços elevados. Para esforços habituais, em que geralmente a área comprimida é limitada, a variação é pouco significativa.

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Classe do betão

M Rd

A influência do aumento da classe do betão tem uma influência equivalente à dos parâmetros anteriores, largura da secção e/ou armadura de compressão, portanto só se torna importante para esforços mais significativos, aliás de uma forma equivalente ao facto de se considerar ou não o coeficiente α = 0.85.

1.8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS Armaduras principais: Asseguram a resistência do elemento estrutural relativamente à segurança à rotura (não só de flexão, como vimos neste sub-capítulo, mas também ao outros efeitos) e contribuem para assegurar um comportamento adequado nas condições de serviço, como vamos ver noutro Capítulo do curso. Armaduras secundárias: Têm como função ajudar a rigidificar as malhas de armaduras, para a sua colocação em obra, assegurando o posicionamento correcto e estável das armaduras durante a betonagem. φest = 6 ou 8 mm (o diâmetro de 6 é muito pouco utilizado em obras de média ou alta dimensão) 10 a 12 mm (para vigas mais importantes)

φlong = 12 a 16 mm (para vigas menos solicitadas) = 20 a 25 mm (para vigas mais robustas)

s b

c – recobrimento Obtém-se como estimativa da altura útil: φlong Altura útil: d = h - c - φest - 2

1.8.1. Recobrimento das armaduras O recobrimento das armaduras desempenha as seguintes funções:

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Estruturas de Betão I

(i) mecânica: Destina-se a garantir que há betão suficiente a envolver a armadura, e assim garantir a sua aderência por forma a que se verifique uma eficiente transmissão de forças entre o betão e o aço (c ≥ φ ou φeq) (ii)

durabilidade:

protecção

contra

entrada

dos

agentes

agressivos

consequentemente dificultando que o processo de corrosão das armaduras se possa verificar (recobrimento definido em função da agressividade do ambiente de exposição e da compacidade do betão) (Consultar Módulo 6 – Apontamentos Complementares)

1.8.2. Distância livre mínima entre armaduras (s) A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para permitir realizar a betonagem em boas condições, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo betão e as necessárias condições de aderência e protecção. No caso de armaduras para betão armado, temos, em termos regulamentares os seguintes valores: smin = {φmaior, φeq maior, (dg + 5 mm), 2 cm} onde dg representa a máxima dimensão dos inertes. No entanto, se estes são valores mínimos, deve-se projectar, pretendendo espaçamentos com folga em relação a estes. A distância livre entre uma camada de armaduras longitudinais numa viga, igualmente espaçadas, pode ser calculada pela expressão: s=

b - 2c - 2φest - n ×φlong , n – número de varões n-1

É necessário, na pormenorização garantir que a distância entre varões assegura o espaço necessário para introdução do vibrador do betão (aconselhável: 4 a 5 cm junto à face inferior e 7 a 10 cm junto à face superior). Nalguns casos, em particular na face superior é normal que não se adoptem espaçamentos iguais entre ferros para assegurar este objectivo. Nas figuras seguintes apresentam-se dois exemplos de pormenorização de uma viga que dá apoio na parte superior a uma laje, nas zonas mais solicitadas à tracção nas faces inferiores (vão) e superiores (apoio).

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1.8.3. Agrupamentos de armaduras Os agrupamentos de armaduras devem ser evitados sempre que possível, dado que prejudicam a aderência aço/betão. No entanto, se essa for a forma de garantir uma malha muito apertada de ferros é, sem dúvida, uma solução justificável. Regulamentarmente definem-se algumas restrições aos agrupamentos. Assim: O agrupamento de varões com diâmetros diferentes pode ser adoptado desde que o quociente dos diâmetros não exceda o valor 1.7. Relativamente ao número máximo de varões que é possível agrupar, temos: - Para o caso de armaduras verticais comprimidas ou numa zona de emenda de varões, n ≤ 4 - Em todos os restantes casos, n ≤ 3 Em qualquer direcção não pode haver mais que 2 varões em contacto. O diâmetro equivalente de um agrupamento pode ser calculado pela expressão φeq =

Σφ2i ≤ 55mm

Exemplos:

(mais indicado)

(aceitável)

(desaconselhável)

Evidentemente que soluções que incluam varões isolados e outros agrupados são possíveis, tentando sempre seguir as indicações gerais referidas, em especial, não dificultar a betonagem e o bom envolvimento das armaduras pelo betão.

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1.8.4. Dobragem de varões Em muitas situações as armaduras têm de ser dobradas, como as armaduras longitudinais nas extremidades das vigas e, em geral, as armaduras transversais. Condições a satisfazer: - Não afectar a resistência do aço; - Não provocar o esmagamento ou fendilhação do betão quando a armadura for traccionada. O diâmetro mínimo de dobragem para não afectar a resistência do aço depende, no essencial, do diâmetro do varão e são indicados no quadro seguinte do EC2. Estes valores são considerados mínimos havendo que ter precauções complementares no que diz respeito ao risco de esmagamento e de fendilhação inconveniente do betão, em particular se as dobragen se verificarem junto à superfície da peça, como indicado com detalhe, por exemplo, no EC2. Quadro – Diâmetro mínimo do mandril a fim de evitar danificar a armadura Diâmetro do varão

Diâmetro mínimo do mandril para cotovelos, ganchos e laços

φ≤ 16 mm

4φ

φ> 16 mm

7φ

1.8.5. Posicionamento das armaduras O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, é assegurado pelos seguintes elementos:

Espaçadores – garantem o recobrimento das armaduras c

Cavaletes – garantem o correcto posicionamento das armaduras superiores nas lajes

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Estruturas de Betão I

Varões construtivos (armaduras secundárias) – Colocados de tantos em tantos metros (dependente da rigidez do ferro em causa) garantem o espaçamento vertical dos varões longitudinais principais, durante a betonagem.

1.8.6. Princípios a ter em atenção na pormenorização das armaduras A escolha do tipo de pormenorização no que respeita ao número de varões e diâmetros a adoptar deve ter em atenção os seguintes factores, que apontam, eventualmente para opções contraditórias: -

custo da mão de obra ⇒ menor número de varões

facilidade de betonagem ⇒ menor número de varões

liberdade de dispensa ⇒ maior número de varões

mais eficiente limitação da fendilhação ⇒ maior número de varões

Na pormenorização das armaduras longitudinais das vigas só os três primeiros aspectos são significativos, havendo que ganhar experiência e ter bom senso nas escolhas, sendo certo que não há que procurar a solução óptima, mas sim uma BOA SOLUÇÃO.

1.9. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS EM VIGAS – ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXÃO 1.9.1. Quantidades mínima e máxima de armadura A quantidade mínima de armadura a adoptar numa viga, neste caso definida no EC2, é dada pela seguinte expressão: fctm As,min = 0.26 f bt⋅ d yk onde bt é definida, como sendo a largura média da zona traccionada em flexão. Esta quantidade de armadura tem a ver com a necessidade de assegurar um mínimo de robustez aos elementos de betão armado, em especial garantir, com uma certa reserva, que, ao se dar a fendilhação, a quantidade de armadura é suficiente para

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Estruturas de Betão I

reter as tracções que se libertam do betão sem cedência do aço, garantindo um comportamento dúctil. Chama-se, desde já a atenção para que, numa viga em T, com banzo traccionado é mais prático separar, por um lado, a alma, com a sua largura, bw, ou, se esta for variável, com seu valor médio, para aplicar a expressão anterior e, por outro lado, os banzos, como elementos traccionados, com uma armadura mínima, a distribuir nas duas faces do banzo, tal que; As × fsy k > Ac,banzo × fctm, ou seja As,min = Ac,banzo × fctm/fsyk A questão da armadura mínima, como forma de controlar a fendilhação, em termos do comportamento em serviço, para situações de efeitos de deformações impostas, será retomado no Módulo 4. A quantidade máxima de armadura a adoptar, fora das secções de emenda, é dada em termos regulamentares por: As,máx = 0.04 Ac onde Ac representa a área da secção de betão. No entanto, em termos práticos, esta limitação tem pouca relevância, pois os critérios de dimensionamento à rotura atrás apresentados, com limitação dos valores de momento reduzido e posição da linha neutra (garantia de ductilidade) conduzem a quantidades de armadura bastante inferiores.

1.9.2. Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade Sempre que existir ligação monolítica entre uma viga e um pilar de extremidade, e caso esta ligação não tenha sido considerada no modelo de cálculo, deverá adoptarse uma armadura superior dimensionada, pelo menos, para um momento flector igual a 15% do momento flector máximo no vão. Deste modo, –

As,apoio = máx {As,min, 0.15 As,vão}

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1.10. DIMENSIONAMENTO DE SECÇÕES EM “T” 1.10.1. Largura efectiva 1.10.1.1. Definição No dimensionamento de vigas com banzos ou com ligação a lajes, pode tirar-se partido da existência dos banzos, principalmente se se situarem na zona comprimida da secção. hf d0

Neste caso, a distribuição de tensões no banzo não é uniforme: as zonas laterais deformam-se menos que a zona central da alma (devido à deformação por corte) – efeito de “shearlag”, tal como se pode observar na planta e corte ilustrados de seguida. Simplificadamente, considera-se uma largura efectiva (bef) onde se admite que a distribuição de tensões é uniforme

ε Fc b ef

σx,max

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1.10.1.2. Cálculo da largura efectiva (i) Banzo comprimido bef bef2

bef1 hf

Para o caso genérico apresentado na figura anterior, a largura efectiva pode ser obtida através da expressão: bef = Σbefi + bw≤ b Temos, assim, a largura da alma e um valor complementar de cada lado, tal que: befi = 0.2 bi + 0.1 L0 ≤ 0.2 L0, com befi ≤ b L0 representa a distância entre pontos de momento flector nulo e pode ser avaliado por: L1

L0 ≈ L1+0.15L2

0.7 L2

0.15(L2+L3)

0.85 L3

Evidentemente que, em termos práticos é possível simplificar esta avaliação, desde que se estime um valor inferior, pois é conservativo e pouco significativo em termos do resultado. (ii) Banzo traccionado No caso de se tratar de um banzo traccionado, é proposto tomar, para além da alma da viga, uma largura função da espessura do banzo dada por 4hf (hf – espessura do banzo) em que as armaduras de tracção podem ser distribuídas. No entanto, se for possível, em termos de pormenorização, uma solução com todas as armaduras de cálculo na largura da alma é preferível. De qualquer maneira, deve se procurar sempre ter pelo menos, 50 a 60 % da armadura de cálculo na alma.

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1.10.2. Dimensionamento de secções em “T” por tabelas Exemplo: b hf bw = 5 ; d = 0.125 hf/d = 0.10 → ω1

b =4 bw

  ωa 

hf/d = 0.15 → ω

hf/d = 0.10 → ω3

b bw = 6

  ωb 

hf/d = 0.15 → ω4

    

Casos particulares: Dado que se considera que o betão não resiste à tracção, o dimensionamento de uma secção em “T” pode ser efectuado como se esta se tratasse de uma secção rectangular nos seguintes casos: (i) se a linha neutra estiver no banzo, caso este esteja comprimido (acontece na generalidade dos casos) – secção rectangular de largura bef; b ef

b ef Fc

LN M

(ii) se a linha neutra estiver na alma e o banzo estiver traccionado – secção rectangular de largura bw b ef Fs

As M

Fc bw

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RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.2 (CONT.) ALÍNEA B) Dimensionamento das armaduras considerando a contribuição da laje – Viga em “T” b ef

hf = 0.15 m

h = 0.85m h

bw = 0.30m

bef = Σbefi + bw = 1.22 × 2 + 0.30 = 2.74 m 3.7 bef1 = 0.2 b1 + 0.1 L0 = 0.2 × 2 + 0.1 × 0.85 × 10 = 1.22 m ≤ 1.7m 0.2 L0 = 0.2 × 0.85 × 10 = 1.7 m Hipóteses para o dimensionamento da secção: (i) Se a L.N. estiver no banzo da secção, o dimensionamento pode ser efectuado como se a secção fosse rectangular, de largura bef. (ii) Se a L.N. estiver na alma da secção, o dimensionamento terá de ser efectuado com base em tabelas de secção em “T” (ou recorrendo ao método do diagrama rectangular simplificado). Para verificar se a L.N. está no banzo, MSd = 660.2kNm ⇒ µ =

660.2 = 0.023 ⇒ k = 0.076 2.74×0.82×16.7×103

x = k × d = 0.076 × 0.8 = 0.06 m < 0.15 m ⇒ a LN está no banzo fcd 16.7 µ = 0.023 ⇒ ω = 0.024 ⇒ As = ω b d f = 0.024 × 2.74 × 0.8 × × 104 = 24.77cm2 348 yd

1.10.3. Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento à flexão simples 1) Secção real

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2bw

⇔

2) Secção real

2bw

⇔ b

3) Secção real

⇔ b

Secções a considerar no dimensionamento à flexão 1) b

2bw

⇔

(se a LN estiver no banzo)

Nota: Se a LN estiver na alma da secção, o dimensionamento poderá ser efectuado com base numa secção em T (considerando a existência do banzo que estiver comprimido, e desprezando o banzo traccionado) 2) e 3) MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

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⇔ bw M

(se a LN estiver na alma)

(se a LN estiver no banzo)

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Exercício 2.3

Considere a estrutura da figura seguinte: sc cp S2 3.50

10.00

3.50

0.20

Materiais: C20/25, A400 Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m 1.00

sobrecarga = 40.0 kN/m 0.15

Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5

1.00

a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão da viga (secções S1 e S2) b) Pormenorize as armaduras de flexão.

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RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.3

ALÍNEA A) 1. Esforços de dimensionamento p sd

3.50

10.00

3.50

551.3

DMF [kNm]

551.3

(-)

(-) (+) 573.8

psd = 1.5 × (20 + 40) = 90 kN/m MsdS1 = MsdS2

psd× L12 90 × 3.52 = = -551.3 kNm 2 2

psd× L22 90 × 102 S1 = - Msd = - 551.3 = 573.8 kNm 8 8

2. Determinação das armaduras (E.L.U. flexão)

+ = 573.8 kNm) Secção S2 (Msd

0.20

LN M sd

1.00

⇔

1.00

0.40

573.8 Msd = 0.120 ⇒ ω = 0.131 µ = bd2 f = 2 0.40 × 0.95 × 13.3×103 cd fcd 13.3 As = ωbd f = 0.131 × 0.40 × 0.95 × 348.0 × 104 = 19.03 cm2 yd

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- = 551.3 kNm) Secção S1 (Msd

Hipótese: a LN encontra-se no banzo da secção

M sd LN

⇔

1.00 LN

1.00

551.3 Msd = 0.046⇒k = 0.112 µ = bd2 f = 1.0 × 0.952× 13.3×103 cd x k = d ⇔ x = k ×d = 0.112 × 0.95 = 0.106 ⇒ LN está no banzo µ = 0.046 ⇒w = 0.048 fcd 13.3 4 2 As = ωbd f = 0.048 × 1. 0 × 0.95 × 348.0 × 10 = 17.42cm yd

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2. INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS DE BETÃO Como ilustrado no Módulo I, o comportamento do betão armado é não linear desde o início da fendilhação, que se verifica para níveis de carga relativamente reduzidos. Verificou-se que o betão estrutural tem um comportamento dividido, no essencial, em 3 fases, antes da fendilhação, no processo fendilhado antes da cedência do aço e daí até à rotura. Da hipótese de admitir, na resolução de estruturas hiperstáticas, a linearidade, resulta, desde logo, uma “aproximação”, para o nível de acções de serviço, e, por maioria de razão, próximo da rotura. No entanto, para analisar os efeitos da acção de cargas, o fundamental no desenvolvimento do projecto de estruturas é considerar uma solução de distribuição de esforços equilibrada (o que naturalmente a solução elástica respeita). Assim, pode ter-se como referência a solução de distribuição elástica, mas ao mesmo tempo ter presente que é natural haver variações (mantendo sempre o equilíbrio). Por exemplo numa viga contínua de betão armado, mesmo em condições de serviço, é natural haver, logo devido às perdas de rigidez por fendilhação, variações dos valores de momentos entre o vão e apoio de mais ou menos 10%, tomando-se, no entanto, no projecto a distribuição elástica. Por outro lado, na fase próxima do esgotamento da capacidade resistente, a distribuição de esforços depende directamente da distribuição das resistências, ou seja das armaduras, adoptadas no projecto, i.e., a distribuição de esforços tem tendência a se adaptar às resistências disponíveis. Para os efeitos de deformações impostas, como os resultantes, por exemplo, de variações de temperatura ou assentamentos diferenciais de apoios, a perda de rigidez associada à não linearidade do comportamento faz diminuir drasticamente os esforços, se houver ductilidade disponível, que se poderão praticamente anular. No que se segue analisa-se, para o caso de cargas verticais, como e quando se pode ter em conta o comportamento não linear do betão estrutural, na obtenção da distribuição de esforços para o dimensionamento à rotura.

2.1. - ANÁLISE ELÁSTICA SEGUIDA DE REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS Como acima referido, a partir da distribuição elástica é possível, e por vezes mesmo aconselhável, tomar para o dimensionamento uma outra, respeitando, na mesma, o equilíbrio.

MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

Na figura seguinte esquematiza-se este possível procedimento, que permite “passar” parte dos esforços do apoio para o vão, respeitando sempre o equilíbrio. Resulta, neste caso, uma menor necessidade de armaduras sobre o apoio e um aumento no vão. Esta opção pode muito útil na região do apoio, pois: • Pode melhorar as condições de ductilidade. • Pode facilitar a pormenorização de armaduras.

p Li

Li+1

MEL MELR = δ MEL

DMF

∆M = MEL - δ MEL = MEL(1 - δ) − autoequilibrado

Refira-se que, apesar de ser em geral menos interesante, é também possível considerar a redistribuição de esforços em sentido contrario, do vão para o apoio. Em termos regulamentares são referidas, em geral, algunas limitações, tais como: Para 0.5 ≤

li ≤2 li+1

xu δ ≥ 0.44 + k2 d

para fck ≤ 50 MPa

k2 = 1.25

≥ 0.7 para os aços das classes B e C, correspondentes aos aços NR e NR SD utilizados em Portugal. Verifica-se, assim, como ilustrado na figura seguinte, que esta possibilidade depende da posição da Linha Neutra na rotura, que, com vimos, é o parâmetro principal de medida da ductilidade, ou da capacidade de deformação plástica disponível.

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1.0

0.208

0.448

xu/d

Na figura abaixo ilustra-se, para uma viga contínua, como a redistribuição de esforços é implementada, sendo equivalente a somar um diagrama de esforços autoequilibrado.

MEL (-)

(-) (+)

(+)

+ (+)

∆M = (-) (+)

MELR (-)

(+)

Refira-se que para uma viga bi-encastrada, a aplicação de uma redistribuição de δ = 0.75 corresponde a passar os momentos no apoio e vão de, respectivamente, (pl2/12) e (pl2/24) (metade do anterior), para valores iguais de (pl2/16). Isto mostra o relativamente largo espectro de possibilidades que são possíveis, para a distribuição dos momentos de dimensionamento, e com os ajustes correspondentes nos outros esforços. Dito isto, é importante mencionar que esta possibilidade não é, evidentemente, obrigatória, constituindo uma opção de projecto, com as eventuais vantagens anteriormente salientadas. A justificação e/ou quantificação desta possibilidade pode ser compreendida, de uma forma simplificada, se se tomar a distribuição elástica e se considerar uma rótula na secção a partir da qual se quer redistribuir os esforços. Então, aplicando aí o valor do momento a redistribuir, obtem-se o valor da rotação plástica necessária, θrqd (ver a figura abaixo).

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θrqd =

2 ∆M 3EI l

Assim, esta rotação tem de ser inferior à capacidade de rotação plástica da zona, neste caso sobre o apoio, por sua vez dependente, como salientado, princioalmente da posição da Linha Neutra na rotura: θrqd < θadm O valor da capacidade de rotação plástica θadm não é facilmente quantificável. Na figura do EC2 abaixo representada, são indicados esses valores em função de xu/d, e das características do aço e betão. Estes valores são em geral conservativos, sendo essencialmente resultantes das campanhas experimentais realizados ao longo das últimas décadas. Os valores de redistribuição possível (coeficiente δ atrás indicado) estão calibrados de forma a respeitar estes procedimentos de verificação da capacidade de rotação disponível, pelo que podem ser implementados sem esta avaliação directa.

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θpl,d (mrad) 35 30

≤ C 50/60

25 20

C 90/105

Classe C

Classe B

≤ C 50/60

C 90/105

0 0

0,05

0,10 0,15

0,20 0,25

0,30 0,35

0,40 0,45

(xu/d) 2.2. - APLICAÇÃO DIRECTA DO CÁLCULO PLÁSTICO (TEOREMA ESTÁTICO) A regulamentação de estruturas de betão permite igualmente a utilização directa do teorema estático da teoria da Plasticidade, que assegura que: i)

considerando uma distribuição de esforços em equilíbrio com as cargas de dimensionamento;

ii) e que, em nenhuma zona, a capacidade resistente seja ultrapassada, a carga de rotura é superior à considerada. Evidentemente que este teorema é extremamente eficiente e útil, mas deve ser usado com alguma precaução nas estruturas de betão, uma vez que: a. como anteriormente analisado, a ductilidade das secções de betão armado é limitada; b. como se discutirá posteriormente, para afastamentos muito importantes em relação à solução elástica, é importante verificar o impacto deste procedimento sobre o comportamento em serviço, em particular o controlo da fendilhação. No entanto, dentro da gama de variações de momentos analisada, havendo o cuidado de assegurar no dimensionamento uma boa ductilidade, como vimos neste Módulo, os princípios baseados na Teoria da Plasticidade podem ser considerados, como se ilustra nos exemplos que se seguem.

MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

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Exemplo 1: Estrutura analisada com alternância de sobrecargas A alternância de sobrecargas deve ser considerada na verificação da segurança, sempre que exista a possibilidade desse tipo de carregamentos. Ora, na sua aplicação a estruturas hiperstáticas, a consideração do comportamento elástico da estrutura, implica normalmente aumento dos esforços máximos actuantes e, consequentemente, de armaduras. Como ilustrado na figura seguinte, no segundo caso de carga o momento elástico do vão mais carregado é maior e o do apoio menor, quando comparados com o primeiro (HC1). No entanto, como indicado na figura, se para o segundo caso de carga se aplicar uma redistribuição do vão para o apoio, obtém-se uma envolvente de esforços em que os esforços máximos no vão mais carregado e apoio são coincidentes com os do 1º caso de carga. Nestas circunstâncias, o facto de se considerar a alternância das sobrecargas afecta a envolvente de esforços ao longo do vão, mas não os valores máximos no vão e apoio, valores estes que condicionam as quantidades máximas de armaduras a adoptar.

2) Hipótese de carga 2 (HC2)

1) Hipótese de carga 1 (HC1)

pl 2 /8

DMEL

pl 2 /8

DMEL

HC1

HC2

∆M

DMELR

HC1, HC2

HC1 HC2

pl 2 /8

De referir dois aspectos em relação a este exemplo: −

Se se considerasse um 3º caso de carga, carregando só o 2º vão com a sobrecarga, o procedimento seria equivalente obtendo-se uma envolvente simétrica.

MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

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−

Haveria, neste exemplo, a possibilidade de, em alternativa, redistribuir os momentos do 1º caso de carga, ou mesmo, dos dois casos de carga, fixando um mesmo valor de momento no apoio, por exemplo, um valor intermédio.

A conclusão seria, sempre, que a consideração da alternância alternância afectaria a envolvente de esforços mas não os valores máximos no apoio e no vão. Refira-se, por último, que, para cargas verticais, a distribuição de esforços para verificação da segurança aos Estados Limites de Utilização deve ser a distribuição elástica. Nestas condições, há que verificar se o nível de tensões nas armaduras em serviço é aceitável, na zona onde foi aplicada a redistribuição no dimensionamento à rotura, em termos do controlo da fendilhação, como atrás mencionado e se discute com mais detalhe no Módulo 4.

Exemplo 2 - Determinação da carga última de uma estrutura existente. Os princípios da Teoria da Plasticidade são particularmente úteis quando se pretende avaliar a capacidade resistente de uma estrutura existente. Nesses casos, as capacidades resistentes e as características de ductilidade são avaliadas com base na caracterização possível dos materiais e quantidades de armadura presentes. A partir destes valores pode ser estimada a máxima carga que pode ser suportada pela viga, como esquematizado na figura seguinte.

pRd = ?

MRd

DMF (-) (+) 2

pRd L /8

+ MRd

Para a avaliação da capacidade última admite-se que na rotura é mobilizada, em cada tramo, a capacidade resistente máxima das secções de vão e apoio. Então por simples equilíbrio pode determinar-se a carga última, tal que: MÓDULO 2 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial desprezável (vigas)

Estruturas de Betão I

l2 MRd + PRd ≈ + MRd 8 2 Rigorosamente (porque o momento máximo não ocorre a meio vão) pRd seria obtido das equações: l MRd x= 2 pl + -M- x MRd Rd l PRd = Lx x2 2 - 2 Será, evidentemente, necessário estar certo da ductilidade disponível na estrutura existente. Apresenta-se, para terminar, um problema semelhante para duas cargas concentradas aplicadas nos meios vãos das vigas.

PRd

L/2

PRd

L/2 L

MRd

DMF (-) (+)

+ MRd

Neste caso a carga P resistente de dimensionamento, PRd, seria obtida a partir da expressão: l MRd + PRd × 4 = 2 + MRd

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BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO PRÉ ESFORÇADO I

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 3 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO. PORMENORIZAÇÃO DE ARMADURAS

Ano Lectivo 20012/2013 200

Estruturas de Betão I

ÍNDICE 1.

ESFORÇO TRANSVERSO ................................................................................................. 73 1.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO E MODELO DE COMPORTAMENTO NA ROTURA ............................ 73 1.2. POSSÍVEIS MODOS DE ROTURA ............................................................................................ 80 1.2.1. Rotura pelos estribos ................................................................................................ 81 1.2.2. Rotura por compressão na alma ............................................................................... 83 1.2.3. Influência do esforço transverso nas compressões e tracções da flexão ................ 86 1.2.4. Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de extremidade ........ 87 1.2.5. Armadura longitudinal no vão.................................................................................... 89 1.2.6. Apoio de continuidade ............................................................................................... 90 1.2.7. Quantidade mínima de armadura transversal ........................................................... 91 1.2.8. Espaçamento entre estribos e sua pormenorização ................................................. 91 1.3. AMARRAÇÃO DE ARMADURAS .............................................................................................. 96 1.3.1. Comprimento de amarração...................................................................................... 96 1.3.2. Comprimento de emenda .......................................................................................... 99 1.4. ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA ............................................................................... 111 1.5. ARMADURA DE SUSPENSÃO ............................................................................................... 113 1.5.1. Carga distribuída aplicada na parte inferior da viga ............................................... 113 1.5.2. Apoios indirectos ..................................................................................................... 114 1.6. CARGAS CONCENTRADAS JUNTO AO APOIO ........................................................................ 120 1.7. ARMADURA INCLINADA ...................................................................................................... 124 1.8. - SECÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL ................................................................................. 125 1.9. FORÇAS DE DESVIO .......................................................................................................... 125

2. TORÇÃO ............................................................................................................................... 127 2.1.1. Torção de equilíbrio ................................................................................................. 128 2.1.2. Torção de compatibilidade ...................................................................................... 128 2.2. TORÇÃO ANALISADA COMO ESFORÇO TRANSVERSO NA LARGURA EFECTIVA DE HEF .............. 129 2.3. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES SUJEITAS A UM ESFORÇO TRANSVERSO .......................... 133 2.3.1. Compressão ............................................................................................................ 133 2.3.2. Armadura transversal de torção .............................................................................. 133 2.3.3. Armadura longitudinal de torção ............................................................................. 133 2.4. EFEITO CONJUNTOTORÇÃO / ESFORÇO TRANSVERSO......................................................... 137 2.5. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS RELATIVAS A ARMADURAS DE TORÇÃO ................................... 137 MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

Estruturas de Betão I

2.5.1. Armadura transversal .............................................................................................. 137 2.5.2. Armadura longitudinal ............................................................................................. 138 2.6. DIMENSIONAMENTO CONJUNTO DA SECÇÃO ....................................................................... 138

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

Estruturas de Betão I

ESFORÇO TRANSVERSO

Apresenta-se, seguidamente, as principais características do comportamento de vigas de betão armado quando submetidas, para além da flexão, ao esforço transverso e depois à torção. Mostra-se, neste capítulo, como se desenvolve o processo de fendilhação e explica-se o encaminhamento das cargas ao longo das vigas, em situações próximas à rotura. O modelo base adoptado para o dimensionamento ao Estado Limite Último é apresentado e são derivadas as expressões que corporizam as verificações de segurança correspondentes. Os aspectos referentesà pormenorização das vigas, que derivam desta formulação geral e outros relacionados, como os da suspensão de cargas, são apresentados neste módulo. 1.1. COMPORTAMENTO ELÁSTICO E MODELO DE COMPORTAMENTO NA ROTURA Numa viga simplesmente apoiada submetida a duas cargas concentradas, com comportamento elástico, definem-se trajectórias principais de tensão, de tracção e compressão, como indicado na figura seguinte. σ

τ +

trajectórias das compressões principais trajectórias das tracções principais

Elemento A t

σc

Quando σt = fct, inicia-se a fendilhação por esforço transverso

Se, na zona de corte junto aos apoios, se tomar um elemento A, verifica-se que o Estado de tensão é o que está representado, com as direcções principais de tensão inclinadas.É natural que, ao se atingir, na direcção das tracções principais, o valor da resistência do betão, fct, surjam fendas inclinadas em relação ao eixo. A fendilhação que se desenvolve terá um andamento aproximado ao desenhado no MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

Estruturas de Betão I

esquemaseguintecom as fendas a se formarem, formarem, no essencial, perpendicularmente perpendicular àsdirecções de tracção, quer na zona de flexão pura quer na de flexão/corte. flexão/corte

Flexão +

Flexão

Esforço transverso

Flexão + Esforço transverso

Com o aumento da carga, a, a fendilhação desenvolve-se, desenvolve prolongando-se se as fendas até próximo da zona comprimida. comprimida Verifica-seque as fendas “cortam”” a possibilidade de encaminhamento das tracções inclinadas de acodo com o comportamento elástico. Nestas condições, se forem dispostos, dispostos na zona de corte, armaduras transversais verticais (estribos) as tracções são re-encaminhadas re encaminhadas nessa direcção. Podemos então compreender,, neste caso, a transmissão ransmissão de tensões ou forças na viga, entre a carga aplicada e a reacção de apoio, como representado no esquema seguinte. Verifica-se se que se formam dois campos de tensões de compressão, compressão em forma de leque, ligados por um campo de tracções correspondente aos os estribos estribo colocados entre as carga e a reacção de apoio. apoio A carga aplicada transmite-se, transmite assim, por compressão à parte inferior da viga, é transferida á parte superior por tracções nos estribos e, finalmente é encaminhada para o apoio por compressões inclinadas que se concentram, finalmente, na largura do apoio.

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

Estruturas de Betão I

É de referirque este tipo de mecanismo de transmissão de carga em elementos de betão armado submetidos à flexão com esforço transverso havia sido compreendido, por Ritter e Morsch, desde os primeiros ensaios experimentais com o betão armado, como identificado nas imagens abaixo reproduzidas, datadas do final e princípio dos séculos XIX e XX, respectivamente.

Ritter (1899)

Mörsch (1909, 1922) Na figura que se segue, também dessa época, mostram-se modelos curiosos de avaliação da distribuição das forças no betão e armaduras (nessa altura lisas e portanto sempre terminadas em gancho), numa zona fendilhada de betão armado junto a um apoio. Refira-se que, neste caso, as armaduras transversais não eram estribos mas sim parte da armadura longitudinal que era dobrada a 45º, quando deixava de ser necessária para a flexão. Até aos anos 60/70, era corrente repartir as necessidades de armadura para o esforço transverso entre estribos e armaduras longitudinal dobrada.

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Estruturas de Betão I

Mörsch (1922) No caso mais geral de uma viga sujeita a cargas uniformemente distribuídas o comportamento esquemático numa zona com esforço transverso é mais uniforme. Se admitirmos, como representado na figuraseguinte (a) que a inclinação das compressões se mantém constante, podemos interpretar e compreender o esquema de transmissão das cargas ao longo da viga, com a representação dos campos de tensões. Notem-se os campos de compressão em leque, atrás referidos, junto ás reacções dos apoios, e os campos de tensão paralelos, com inclinação θ, no restante da viga. Saliente-se que os campos de compressões incluem uma zona de betão com várias fendas e os de tracção um conjunto de estribos, o que se pode compreender ao analisar em conjunto os dois esquemas (a) e (b). a)

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Este modelo contínuo de transmissão de tensões poderá assemelhar-se a ummodelo discreto, equivalente a uma treliça, onde as armaduras transversais e longitudinais funcionam como tirantes e o betão comprimido entre fendas inclinadas como escora ou biela, com resultante igual ao campo de compressões que representa (ver figura seguinte). Neste modelo também as cargas aplicadas nos nós correspondem à resultante das distribuídas na zona de influência respectiva.

θ z cotg θ

z cotg θ

bielas comprimidas (resultante da zona de compressões correspondente) tirantes (resultante das forças de tracção nos estribos no comprimento z cotgθ)

Assim, neste modelo de treliça, cada barra vertical e inclinada representa, respectivamente, a resultante de um campo de tensões de tracções e compressões, numa largura de z cotg θ (ver figura seguinte). Por outro lado, refira-se que as barras longitudinais, inferior e superior, representam, no essencial, os “banzos” traccionados e comprimidos por flexão. (1) Campo de tracções verticais

z cotg θ

(2) Campo de compressões inclinadas

z cotg θ

estribos verticais (ou inclinados)

bielas inclinadas

(1) Campo de tracções e compressões paralelas ao eixo compressão

tracção

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Com base nesta modelação ver-se à que é possível relacionar os esforços (M e V) com as tensões nos diferentes elementos, ou seja, nas armaduras transversais, armaduras longitudinais e bielas comprimidas (inclinadas ou longitudinais). Antes porém convém chamar a atenção que este modelo com origem, como se viu, nos primórdios do betão armado, sendo estáticamente válido e representando as características principais do comportamento, só corresponde a uma aproximação da modelação da resposta do betão armado. Ao longo das últimas dezenas de anos têm sido propostas diferentes adaptações ao modelo base de Ritter/Morsch sujeito a várias adaptações. A figura seguinte, sintetiza os resultados de inúmeros ensaios experimentais de medição das capacidades resistentes por esforço transverso obtidos em diferentes laboratórios. Indica-se a relação experimental entre o valor de esforço transverso último (apresentado numa forma adimensional, v =

Vu ) e a quantidade de b z fc

Asw fy estribos (representada nas ordenadas pela percentagem mecânica, w = s b . f ) c verificando-se uma importante dispersão e sem obedecer a uma relação linear. Estes parâmetros reduzidos são equiparáveis aos da flexão e, como se verá adiante, o nível de esforço transverso máximo de dimensionamento, para uma dada geometria e betão, corresponde aproximadamente a vRd = 0.30.

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Compreende-se então, que não sendo um problema simples, ao longo destes anos tenham sido propostos diferentes modelos para umamais fiável avaliação. No entanto, um bom modelo, para aplicação prática, deve ser sempre simples e de fácil compreensão física. Uma das questões relevantes que se coloca é a influência que o corte entre os agregados ao longo das fendas inclinadas tem na influência na inclinação das compressões na alma da viga, que não são as mesmas das fendas principais, como se realça seguidamente. O escorregamento entre o betão nas faces das fendas gera tensões de corte e compressão, que induzem no betãoentre fendas um estado de tensão que, sobreposto ao da treliça pura, modifica as inclinações das compressões principais deste, com tendência para diminuir aquela inclinação e verifica-se assim que não há coincidência perfeita entre as inclinações das fendas e das compressões principais. ATRITO ENTRE AGREGADOS (Décadas de 80 / 90)

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A INCLINAÇÃO DO CAMPO DE COMPRESSÕES ( θ ) É INFERIOR À DA “FENDA” ( β r )

O modelo proposto presentemente no EC2 baseia-se na treliça dando liberdade ao projectista de definir o angulo θ de inclinação das compressões, desde que cotg θ se situe entre 1 (θ θ = 45°°) e 2.5 (θ θ = 22°°). Uma vez tomada a opção, em todo o processo de dimensionamento, que se apresenta seguidamente, há que ser consistente com essa escolha. Esta liberdade baseia-se no método estático da Teoria da Plasticidade, segundo o qual, se se adoptar uma solução equilibrada em que a resistência não seja ultrapassada em nenhum elemento a capacidade resistenteda peça é superior ou igual à considerada. A limitação imposta tem a ver com a maior ou menor capacidade de adaptação da distribuição de tensões ás resistências disponíveis. Na disciplina propõe-se que se adopte, em geral, um valor intermédio, por exemplo 30º. Por outro lado, aconselha-se a tomar valores superiores para níveis elevados de esforço transverso e/ou em caso da presença de um esforço axial de tracção e inferiores nas hipótese contrárias (níveis baixos de esforço transverso ou esforço axial de tracção). 1.2. POSSÍVEIS MODOS DE ROTURA Com base no modelo de campos de tensões, com um ângulo de inclinação das compressões constante, ou do seu modelo simplificado de treliça, vamos analisar, seguidamente, os modos de rotura possíveis e avaliar as capacidades resistentes correspondentes. MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

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Nas figuras seguintes ilustra-se: (i)

A rotura do campo de tracções vertical, ou seja dos estribos.

(ii)

A rotura por esgotamento da resistência das compressões do campo comprimido de tensões. (i)

Rotura dos estribos

(ii) Rotura por esmagamento do betão (nas bielas comprimidas)

Há ainda que considerar, como veremos: (ii) Rotura por arrancamento da armadura inferior do apoio (amarração insuficiente) ou rotura da armadura (armadura insuficiente) O esquema seguinte mostra as zonas onde se pode verificar a rotura, ou seja, as tracções nas armaduras transversais, as tensões principais de compressão no betão (é interessante notar também o pormenor do desvio das tensões do banzo superior para as biela inclinadas da alma) e, ainda, da força necessária na armadura longitudinal no inferior no apoio.

1.2.1. Rotura pelos estribos A rotura pelos estribos verifica-se se a capacidade resistente à tracção do conjunto dos estribos, colocados no comprimento z cotg θ,for o “elo mais fraco”, isto é, se a força resultante (representada na figura anterior por um traço mais traço forte) for insuficiente para transmitir a carga do banzo inferior ao superior.

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Ora a força a que este conjunto de estribos está sujeita é igual ao esforço transverso da viga, avaliado a uma certa distância distânci do apoio, Vsd (x), como indicado nos esquemas seguintes, para um apoio de extremidade e outro de continuidade. cargas que se transmitem directamente para o apoio

cargas que se transmitem directamente para o apoio

z cotg θ

DEVsd

z cotg θ

Vsd(x) x

x Vsd(x) zona do diagrama de esforço transverso que interessa para efeitos de dimensionamento da armadura transversal

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Assim, e como claramente apresentado no esquema seguinte, a força de tracção, Fs, necessária para evitar a rotura pela “fenda” diagonal, é igual ao esforço transverso avaliado à distância x do apoio. Então, a quantidade de armadura necessária vezes a tensão de dimensionamento do aço, fyd, terá de ser superior áquela força.Se dividirmos a área desses estribos pelo comprimento z cotg θ, obtem-se a quantidade de armadura, Asw, por cada alinhamento de estribos com afastamento s, dada por Asw/s.

Vsd (x)

Fs≥ Vsd⇔Asw× fyd≥ Vsd (x)⇔ Asw Vsd (x) Asw Vsd (x) ⇔ s fyd≥ ⇒ ≥ s z cotg θ fyd z cotg θ

Asw b

z cotg θ

b x = 2 + z cotg θ; z ≅ 0.9d

Asw s - área de aço por unidade de comprimento (armadura distribuída por m). Vsd (x) - força vertical por unidade de comprimento. z cotg θ Assim, definido o valor de θ, passa a se poder estabelecer uma relação directa entre o esforço transverso resistente e a quantidade de armadura transversal, como proposto no Eurocódigo 2. EUROCÓDIGO 2: O valor do esforço transverso resistente, condicionado pelas armaduras transversais é dado pela expressão (1) tal que:

VRd,s =

Asw Asw Vsd s z fywd cotg θ⇔ s ≥ z cotg θ fywd

(1)

onde fywd representa o valor de cálculo da tensão de cedência da armadura de esforço transverso. 1.2.2. Rotura por compressão na alma Ora a capacidade resistente deste sistema de transmissão de forças pode, também, ser condicionado pela capacidade resistente do betão à compressão na zona da alma, ou seja, no campo de tensões com a inclinação, θ. A avaliação do nível da tensão de compressão no campo paralelo de tensões pode ser deduzido como se segue, a partir da força Fc, com componente vertical igual a Vsd.

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Fc a

sen θ = z cotg θ

sen θ = σc =

Vsd

Vsd Vsd ⇒ Fc = Fc sen θ Fc σc = b a w

a ⇔ a = (z cotg θ) × sen θ = z cos θ = z cos θ z cotg θ

Vsd (x) Vsd ⇒σ σc = 0.9d bw sen θ cos θ sen θ× bw× z cos θ

Refira-se que, devido ao efeito bidimensional favorável com concentração das compressões na zona do apoio, anteriormente referido, a eventual rotura do betão não se verifica no campo de tensões “em leque”, mas sim no campo de tensões paralelo adjacente áquele, como indicado no esquema seguinte.

Rotura z cotg θ R

Saliente-se a bem conhecida influência, na resistência do betão à compressão, do estado de tensão nas direcções perpendiculares. É o efeito favorável de uma compressão transversal, denominado efeito de confinamento ou cintagem, que melhora a resistência (e aliás também a ductilidade), como se verifica nos diagramas das relações tensão-extensão do betão, com e sem compressão transversal.

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Por outro lado, se existir tracção na direcção transversal às s compressões, com fendilhação como indicado no esquema seguinte, e como se verifica nas almas das vigas com fendilhação inclinada, a capacidade resistente à compressão fica comprometida. É este outro efeito que está representado no elemento de betão armado abaixo indicado e nas relações tensão/extensão do betão, no caso de existir ou não, a referida tracção transversal, transv com fendilhação associada. Verifica-se Verifica existir, neste caso, uma perda significativa de resistência axial.

As tensões de tracção nos estribos originam uma diminuição da resistência à compressão do betão, da ordem de 50 a 60%, que se quantifica, quantifica em termos regulamentares, por uma expressão do tipo: σc≤0.6 1 -



fck  f 250  cd

Assim, definido o modelo de calculo e o ângulo θ,, passa a se poder estabelecer uma relação directa entre o esforço transverso resistente e a compressão máxima admissível na alma, como proposto no Eurocódigo 2. EUROCÓDIGO 2 O valor do esforço transverso resistente, condicionado pela resistência do betão na alma, é dado pela expressão (2) tal que: MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

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VRd,max = αcw bw z ν1

fcd cotg θ + tg θ

(2)

onde αcw = 1 para estruturas sem pré-esforço e ν1 = 0.6 1 -



fck  250 

Então, esta expressão pode ser escrita na forma: fcd VRd,max (cotg θ + tg θ) 1 - fck f ⇔ = 0.6 z bw  cotg θ + tg θ  250 cd

fck VRd,max = bw z 0.6 1 - 250



⇔

VRd,max fck = 0.6 1 - 250fcd, equivalente às deduções acima descritas. z bw sen θ cos θ  

Refira-se que o máximo valor de Vrd se verifica para o caso do ângulo θ ser de 45º, e que neste caso o valor reduzido de esforço transverso, já atrás referido, é dado por Vrd vrd = b df e toma no máximo um valor de 0.3. w cd Este pode então ser considerado como o maior valor de esforço transverso reduzido que pode ser

resistido para uma dada secção e resistência de betão,

independentemente da quantidade de armadura. Finalmente, na zona do apoio, se este se verificar por uma chapa, haverá que verificar a adequabilidade das dimensões desta, o que de uma forma simplificada, se consegue limitando a tensão a fcd. 1.2.3. Influência do esforço transverso nas compressões e tracções da flexão Numa zona intermédia da viga, se consideramos a actuar os esforços M e V, a resultante das tensões axiais têm naturalmente de ser nula, pois não há esforço axial. Deste modo, para equilibrar a componente horizontal da força inclinada na biela, Fc, e acima avaliada, têm de se verificar, tracções na direcção longitudinal, nos “banzos” superior e inferior da viga. Estas provocam, assim, uma variação nas compressões e tracções devidas ao momento flector, M. Este efeito pode ser compreendido pelo esquema abaixo indicado. V cotg θ 2 Vsd

θ V cotg θ 2

= Fc cos θ = FV T

Vsd

θ FT

V cos θ = V cotg θ sen θ

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A componente horizontal das compressões inclinadas no betãoimpõe, por equilíbrio axial, a necessidade de uma força de tracção,FV , que se distribui igualmente pelos T banzos comprimido e traccionado, por forma a não alterar o momento aplicado à secção. Considerando a sobreposição dos efeitos de flexão e esforço transverso, verifica-se então, como abaixo esquematizado, que haverá no banzo traccionado um incremento de tracção e no comprimido um alívio das compressões. Refira-se que na zona de momento nulo de uma viga, com esforço transverso diferente de zero, geram-se tracções superiores e inferiores. FM M FM

FV +

FV M

V M FM = z ; FV = 2 cotg θ Este efeito deve ser considerado na pormenorização das armaduras, como se verá na análise da dispensa longitudinal das armaduras de flexão. 1.2.4. Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de extremidade Analisemos, agora, o sistema de transmissão de forças junto ao apoio simples, referindo-nos às figuras seguintes, com representação dos campos de tensões ou só das suas resultantes. Verifica-se que, por um simples equilíbrio de nó de treliça, se gera uma tracção na armadura longitudinal, FT, dependente da reacção do apoio e da inclinação da resultante do campo de tensões em leque, θ1.

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θ1

z cotg θ

b + z cotg θ 2 2 Fc

R = Fc sen θ1⇔ Fc =

θ1

R sen θ1

FT = Fc cos θ1⇒ FT = R

cos θ1 = R cotg θ1 sen θ1

b z 2 + 2 cotg θ b cotg θ1 = = 0.5 z + 0.5 cotg θ z Como FT depende da largura do apoio, pode tomar-se tomar se por simplificação: 1) Apoio pontual (b = 0) R 2) cotg θ1 = 0.5 cotg θ⇒ ⇒FT = 2 cotg θ 3) z ≅ 2b

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cotg θ1 =0.5

b + 0.5 cotg θ = 0.25 + 0.5 cotg θ ⇒FT =R (0.25 + 0.5 cotg θ) 2b

Aproximadamente, e de uma forma conservativa, pode tomar-se: FT= 1.20 R (θ1≅ 40°) Refira-se que a área de armadura longitudinal inferior a adoptar nestes apoios sem continuidade deverá ser sempre, pelo menos, 25% da área de armadura adoptada na zona do meio vão. 1.2.5. Armadura longitudinal no vão Considera-se, agora, a análise da situação corrente de uma viga simplesmente apoiada, como a representada na figura seguinte, e com base no modelo acima descrito, definem-se os diagramas da força de tracção na armadura longitudinal.

FT M/z

+ V

FT V/2 cotg θ

= M+V

M/z + V/2 cotg θ Verifica-se que a variação da força de tracção ao longo do vão tem uma menor variação ao longo do vão não sendo nula junto ao apoio (ver §1.2.4) e que na zona do vão não é afectadaem relação à da flexão, no vão central. Em termos práticos, verifica-se, ser mais conveniente, para determinar a tracção necessária em vez de somar as duas forças, avaliar a distancia, x (ver esquema a seguir), segundo o eixo longitudinal, processo que se denomina de translacção do diagrama de momentos.

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α=

d  M  1 dM V = = dx  z  z dx z

por outro lado, α≅ tg α =

V/2 cotg θ x

V 1 V z ⇒ 2 cotg θ× x = z ⇒ x = 2 cotg θ

flexão

M/z

V/2 cotg θ necessária

Refira-se que a análise da dispensa de armadura longitudinal será, na prática, efectuada, não a partir do diagrama de momentos flectores, mas deste, depois de efectuada esta translacção, no valor dez/2 cotgθ. 1.2.6. Apoio de continuidade A análise da zona de um apoio de continuidade é extremamente interessante pois, trata-se de uma região com momento flector e esforço transverso significativos, à esquerda e direita. Geram-se dois campos de tensão em leque a partir do apoio, verificando-se que, com base no modelo de escoras e tirantes, a tracção superior tem tendência a formar um patamar constante, com valor dependente só do momento flector (ver figura em baixo). De facto a influência do esforço transverso, ou seja da inclinação das compressões na força de tracção, só se faz sentir a uma certa distância do apoio, não influenciando o valor máximo de força de tracção devida à flexão, mas tão só alargando essa zona. FT = const.

M +V cotg θ z 2

θ θ z cotg θ

θ1

M -V cotg θ z 2 z cotg θ

DFT V cotg θ 2 M/z

Define-se assim, também na zona de momento negativos, um diagrama de flexão com translacção, a partir do qual deve ser definida a dispensa de armaduras. MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

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1.2.7. Quantidade mínima de armadura transversal A área mínima de armadura transversal, que se justifica pela mesma razão da flexão, pode ser quantificada através da imposição de uma percentagem de armadura, dada, no EC2, por: ρw,min =

0.08 fck fyk

A percentagem geométrica de armadura transversal é definida através da expressão: ρw,min =

Asw s × bw

1.2.8. Espaçamento entre estribos e sua pormenorização Por forma a evitar que a fenda se forme entre estribos, o espaçamento máximo entre estribos deverá respeitar a condição: s ≤ 0.75 d (1 + cotg α), onde d representa a altura útil do elemento e α a eventual inclinação da armadura transversal. Usualmente utilizam-se espaçamentos entre 0.075 e 0.30 m (ou, preferencialmente, para vigas correntes, entre 0.10 e 0.25 m), não devendo ultrapassar-se, em geral, 0.5 d. A armadura transversal é em geral, formada por um ou mais estribos, cada um com dois ramos, que deverão em princípio, serem fechados. O EC2 abre, no entanto, a possibilidade a outras hipóteses. O espaçamento transversal entre ramos de estribos deve ser tal que: st≤ 0.75 d ≤ 600 mm Assim para vigas largas, com mais de 60 cm, ou menos largas mas pouco altas, é, por razões de eficiência na transmissão das compressões das bielas aos estribos verticais, necessário ter mais do que um estribo (2 ramos) – ver figura seguinte.

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Verifica-se que as tensões de compressão tendem a se apoiar nos cantos dos estribos (onde também existem ferros longitudinais) e que, como se percebe, não devem estar muito afastados para uma maior uniformidade da transmissão de forças.

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EXERCÍCIO 2.4

Considere a estrutura da figura seguinte: q = 12kN/m g = 25kN/m 0.60 0.30 5.00

Materiais: C25/30, A400NR Responda ás seguintes questões, tentando compreender e interpretar as implicações de adoptar diferentes ângulos de inclinação das bielas decompressão:

a) Calcule as armaduras transversais admitindo, para inclinação das bielas de compressão, ângulos de 30° e 45°. b) Verifique, para ambas as situações, a tensão máxima de compressão nas bielas. c) Calcule, para ambas as situações, os efeitos na armadura longitudinal. d) Pormenorize a armadura longitudinal ao longo da viga.

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RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.4

ALÍNEA A) 1. Determinação dos esforços psd = γg× g + γq× q = 1.5 (12 + 25) = 55.5 kN/m Msd =

pL2 55.5 × 52 = = 173.4kNm 8 8

Vsd =

55.5 × 5 = 138.8 kN 2

2. Cálculo das armaduras transversais para θ = 30° z cotg θ = 0.9 d × cotg θ = 0.9 × 0.55 × cotg 30° = 0.87m Vsd (z cotg θ) = 138.8 – 0.87 × 55.5 = 90.5kN Asw Vsd 90.5 ≥ = × 104 = 3.0 cm2/m s z cotg θ fyd 0.87 × 348 × 103 3. Cálculo das armaduras transversais para θ = 45° z cotg θ = 0.9 × 0.55 × cotg 45° = 0.5m Vsd (z cotg θ) = 138.8 – 0.5 × 55.5 = 111.1kN Asw 111.1 2 s = 348 × 103× 0.5 = 6.39cm /m

ALÍNEA B) i) θ = 30° σc =

Vsd 90.5 = = 1393kN/m2 0.9 d bw sen θ cos θ 0.3×0.5×sen 30°×cos 30°

ii) θ = 45° σc =

111.1 = 1481kN/m2 0.3 × 0.5 × sen 45°× cos 45°

fck 25 σc≤0.6 1 - 250  fcd = 0.6 1 - 250 × 16.7×103 = 9018 kN/m2    

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ALÍNEA C) 1. Armadura no apoio de extremidade i) Considerando um apoio pontual R cotg θ 2

b = 0 ⇒ Fs =

138.8 × cotg 30° = 120.2kN 2

138.8 × cotg 45° = 69.4kN 2

θ = 30°⇒ F  θ = 45°⇒ F

ii) Considerando a largura do apoio Fs = 1.2 R = 1.2 × 138.8 = 166.6kN Fs ⇒ As≥ f = yd

166.6 × 104 = 4.79cm2 348×103

Comentário: menor θ ⇒ maior área de armadura nos apoios

2. Cálculo do comprimento de translacção 0.5 z θ = 30°→ x = 2 cotg θ = 2 cotg 30° = 0.43m z 0.5 θ = 45°→ x = 2 cotg θ = 2 cotg 45° = 0.25m Comentário: menor θ ⇒ maior comprimento de translacção

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1.3. AMARRAÇÃO DE ARMADURAS 1.3.1. Comprimento de amarração Considere-se um varão de aço embebido, num determinado comprimento, no interior de um bloco de betão, conforme ilustrado na figura seguinte e admita-se uma tensãode corte entre o betão e o aço, com distribuição constante.

f bd Fs = As σsd lb,rqd fbd – tensão de aderência de cálculo (b- bond ; d- design) Nestas condições é possível definir o valor do comprimento necessário lb,rqd para que, quando o varão for submetido a uma força de tracção, não haja escorregamento entre os dois materiais. Deste modo, FRc≥ Fs⇔ Ac× fbd≥ Fs , onde Ac = πφ lb e representa a área de betão em contacto com a armadura. πφ2 Ac× fbd≥ Fs⇔πφ lb,rqd fbd = Asσsd⇒πφ lb,rqd fbd = 4 σsd De onde resulta lb,rqd =

φ σsd (Comprimento de amarração base) 4 fbd

O valor da tensão de aderência (fbd) pode ser calculado, segundo o EC2, através da seguinte expressão: fbd = 2.25 η1η2 fctd onde, fctd representa o valor de dimensionamento da resistência do betão à tracção; η1 é um coeficiente que depende da qualidade da aderência e da posição do varão durante a betonagem (η1 = 1.0 para boas condições de aderência; η1 = 0.7 para outras condições de aderência); η2 é um coeficiente que depende do diâmetro do varão (η2 = 1.0 para φ ≤ 32 mm; η2 = (132 - φ) / 100 para φ ≥ 32 mm).

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Os varões dizem-se em condições de boa aderência se verificarem uma das seguintes condições:

formem com a horizontal um ângulo entre 45º e 90º;

estejam integrados em elementos com espessura (na direcção da betonagem) inferior ou igual a 25 cm; quando a espessura excede 25 cm, os varões estão em boas condições de

aderência se se situarem na metade inferior do elemento ou a mais de 30 cm da sua face superior. O comprimento de amarração necessário lbd pode ser avaliado através da expressão: lbd = α1α2α3α4α5lb,rqd≥ lb,min onde, α1

é um coeficiente que tem em conta a forma do varãona zona da amarração;

α2

é um coeficiente que tem em conta o recobrimento do varão;

α3

é um coeficiente que tem em consideração o efeito do cintagem das armaduras transversais à amarração;

α4

é um coeficiente que tem em consideração o efeito de varões transversais soldados ao longo do comprimento de amarração;

α5

é um coeficiente que tem em consideração o efeito favorável da existência de tensões de compressão transversais ao plano de escorregamento, ao longo do comprimento de amarração.

Sendo clara a influência de todos estes factores no comprimento de amarração, na prática tomam-se, em geral, opções simplificativas que devem ser conservativas. De qualquer forma, há que assegurar, um comprimento de amarração mínimo lb,min, tal que:

varões traccionados: lb,min = máx {0.3 lb,rqd; 10φ; 100 mm}

varões comprimidos: lb,min = máx {0.6 lb,rqd; 10φ; 100 mm}

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Simplificadamente, e para varões traccionados com amarrações curvas tem-se lb,eq =α1lb,rqd = 0.7 lb,rqd ou

≥ 5φ α

lb,eq lb,eq (α≥ 90°)

Esta redução é válida se a distância livre entre varões e/ou o recobrimento na direcção perpendicular à amarração forem superiores a 3φ. Por exemplo para varões comprimidos ou traccionados com barras transversais soldadas (situação não muito corrente) o EC2 propõe:

lb,eq =α4 lb,rqd= 0.7 lb,rqd φt ≥ 0.6φ

≥ 5φ

lb,eq

Para se ter uma rápida avaliação dos comprimentos de amarração é extremamente útil ter o multiplicador do diâmetro tal que: lb = k φ, como expresso na tabela seguinte, sem considerar os coeficientes α, e admitindo σs = fyd.

VALORES DE k = lb / φ , para σs= fyd

A400

A500

C20/25

C25

C30

C35

C40

C45

C50

η1 = 1

η1 = 0.7

η1 = 1

η1 = 0.7

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

Estruturas de Betão I

EXEMPLO Calcular o comprimento de amarração necessário de um varão φ16 solicitado por uma força de 45kN.

Materiais: lb,rqd

C25/30 A400NR

45 kN

RESOLUÇÃO: 1.8 fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 1.0 × 1.0 × 1.5 = 2.7 MPa φ σsd φ 223.9 lbd = lb,rqd = 4 f = 4 2.7 = 20.7 φ = 0.33 m bd Este valor é inferior ao da tabela pois o nível de tensão é menor que fyd. σsd =

45 = 223.9 MPa 2.01×10-4

1.3.2. Comprimento de emenda As emendas dos varões das armaduras ordinárias devem, se possível, ser evitadas e caso sejam necessárias, devem ser efectuadas em zonas em que os varões estejam sujeitos a tensões pouco elevadas. As emendas de varões podem ser realizadas por sobreposição, por soldadura, ou por meio de dispositivos mecânicos especiais (acopladores, por exemplo). As emendas por sobreposição devem satisfazer os seguintes critérios:

Não localizar as emendas nas zonas de maiores esforços;

Procurar manter a simetria;

A distância livre entre armaduras não deve ser superior a 4φ ou 50 mm, caso contrário o comprimento de emenda deve ser acrescido de (s – 4φ);

A distância longitudinal entre duas emendas adjacentes não deverá ser inferior a 0.3 l0;

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

Estruturas de Betão I

No caso de duas emendas adjacentes, a distância livre entre varões não deve ser inferior a 2φ ou 20 mm;

A percentagem de varões a emendar numa mesma secção transversal pode ser de 100% caso os varões estejam dispostos numa única camada, ou de 50% se os varões estiverem dispostos em várias camadas.

O comprimento de emenda (l0) deve ser calculado, de acordo com o EC2, com a expressão:

l0 F

F l0 = α1α2α3α5α6 lb,rqd≥ l0,min

onde os coeficientes α, são os definidos anteriormente e α6 é um coeficiente que tem em conta a relação entre a secção dos varões emendados e a secção total dos varões existentes na mesma secção transversal. Normalmente há que considerar valores mínimos do comprimento de emenda, que o EC2 define como sendo l0,min = max {0.3 α6 lb,rqd;15φ;200mm} Para que duas emendas possam ser consideradas em secções diferentes há que respeitar as seguintes indicações:

≥0.65 l0 ≥0.65 l0 Nas zonas de emendas geram-se tensões de tracção na direcção transversal que podem recomendar a disposição de armaduras específicas se aquelas forem elevadas. Nesse sentido as necessidades de reforço na zona da emenda (dispensável

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

100

Estruturas de Betão I

no caso φ ≤ 20 mm ou se a percentagem de varões emendados seja inferior ou igual a 25%) é dada, no EC2, por: a) Armadura em tracção

a) Armaduras em tracção

b) Armadura em compressão

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

101

Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.4 (CONT.) Materiais: C25/30, A400NR

q = 12kN/m g = 25kN/m 0.60 0.30 5.00

ALÍNEA D) 1. Cálculo da armadura necessária a meio vão Msd Msd = 173.4kNm ⇒µ = bd2 f = cd

173.4 2 3 = 0.114 ⇒ω = 0.124 0.3×0.55 ×16.7×10

fcd As = ω b d f = 9.84cm2 yd Adoptam-se 2φ16 + 2φ20 (10.3cm2) ≥ 4.79cm2 , é possível dispensar 2φ16 Visto que Aapoio s 2. Cálculo do MRd correspondente a 2φ20 (6.28cm2) fyd 6.28 × 10-4 348 = × fcd 16.7 = 0.079 ⇒µ = 0.075 0.3 × 0.55

As ω= bd

MRd = µ× b d2 fcd = 0.075 × 0.3 × 0.552× 16.7×103 = 113.7kNm 3. Determinação da secção de dispensa de armadura 55.5 kN/m

x2 M(x) = 138.8 × x – 55.5 × 2 = = 138.8 x – 27.75x2

138.8 kN

Msd= MRd⇔ 138x -27.75x2 = 113.7 ⇔ x = 3.97m ∨ x = 1.03m

DMF (+) M(x)

1.8 fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 1.0 × 1.0 × 1.5 = 2.7 MPa MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

102

Estruturas de Betão I

6.28 φ σsd 0.016 212.2 σsd= × 348=212.2MPa⇒lbd= f = =19.6φ=0.31m 10.3 4 bd 4 2.7 aL =

z cotg θ = 0.43m 2

Secções de dispensa de armadura: x1 = 1.03 – aL – Lb.net = 1.03 – 0.43 – 0.31 = 0.29 m x2 = 3.97 + aL + Lb.net = 3.97 + 0.43 + 0.31 = 4.71m

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

103

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 2.5

Para a estrutura já analisada no Exercício 2.1 determine: a) As armaduras transversais necessárias ao longo da viga b) A distribuição de armaduras longitudinais ao longo da viga c) Pormenorize as armaduras na viga

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.5 ALÍNEA A) 1. Determinação do esforço transverso solicitante p=1 kN/m

10.00

DEV [kN]

3.00

4.55

3.0

(+)

(+) (-) 5.45

Considerando alternância de sobrecarga, p=1 kN/m

DEV [kN]

5.0 (+) (-) 5.0 p=1 kN/m

3.0 (+)

DEV [kN] ( )

0.45

A Vsd = 1.5 × (28.25 × 4.55) + 1.5 × (12 × 5) = 282.8kN

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

104

Estruturas de Betão I

VB.esq = 1.5 × (28.25 × 5.45) + 1.5 × (12 × 5.45) = 392.0kN sd VB.dir = 1.5 × (28.25 + 12) × 3 = 181.1kN sd i) Envolvente do diagrama de esforço transverso 282.8

282.8

181.1

(+)

329.0 181.1

⇒

(-)

329.0

ii) Determinação de Vsd (z cotg θ) Considerando θ = 30°, d = 0.80m ; z ≅ 0.9 d = 0.72 m z cotg θ = 0.72 × cotg 30° = 1.25 m Vsd,A (z cotg θ) = 282.8 – 60.4 × 1.25 = 207.3 kN Vsd,B esq (z cotg θ) = 329 – 60.4 × 1.25 = 253.5 kN Vsd,B dir (z cotg θ) = 181.1 – 60.4 × 1.25 = 105.6 kN

2. Verificação das compressões i) Bielas comprimidas σc

máx

Vsd(zcotg θ) 253.5 2 = =2710.3kN/m ≅2.7MPa zbwsenθcosθ 0.72×0.30×sen 30°×cos30°

fck 25 σcmáx≤0.6 1 - 250  fcd = 0.6 1 - 250 ×16.7×103 = 9018 kN/m2     ii) Apoio R σc = A ≤ 0.85 fcd ap B = 329.0 + 181.1 = 510.1kN Rsd σc =

510.1 = 5667.8kN/m2≅ 5.7MPa 0.3 × 0.3

0.85 fcd = 0.85 × 16.7 = 14.2MPa

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105

Estruturas de Betão I

3. Cálculo da armadura transversal nos apoios i) Apoio A 207.3 Asw Vsd (z cotg θ) = = × 104 = 4.78cm2/m s z cotg θ fyd 0.72×cotg 30°×348×103 ii) Apoio B (esq.) Asw 253.5 4 2 s = 0.72×cotg 30°×348×103 × 10 = 5.84cm /m

iii) Apoio B (dir.) 105.6 Asw 4 2 s = 0.72 × cotg 30°× 348×103 × 10 = 2.43cm /m iv) Cálculo da armadura mínima ρw,min =

0.08 fck 0.08 25 = = 0.001 fyk 400

Asw 1 Asw ρw,min = 0.001 ⇔ s  × b = 0.001 ⇔ s  = 0.0010×0.30×104 = 3.0cm2/m  min w  min (adoptam-se estribos φ8//0.25) 4. Determinação da zona da viga em que se adopta (Asw/s)min i) Cálculo de VRd, min Estribos φ8//0.25 ⇒ 4.02 cm2/m Asw VRd= s ×zcotgθ×fyd=4.02×10-4×0.72×cotg30°×348×103=174.5kN 329.0

282.8 1 174.5

181.1

60.4

x1 =

282.8 - 174.5 = 1.79m 60.4

;

x2 =

329 - 174.5 = 2.56m 60.4

ALÍNEA B) Aapoio → 4φ16 + 2φ12; Avão → 6φ25 s s

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106

Estruturas de Betão I

1. Cálculo do comprimento de translacção z 0.72 aL = 2 cotg θ = 2 cotg 30° = 0.62m 2. Armadura inferior i) Plano de dispensas: 6φ25 → 4φ25 → 2φ25 ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas Armadura

As [cm2]

MRd [kNm]

4φ25

19.63

0.170

0.154

493.8

2φ25

9.82

0.085

0.080

256.5

x4 272.0

256.5

256.5 493.8

660.2

493.8

iii) Cálculo das coordenadas x Carregamento correspondente ao máximo momento no vão sc=12.0 kN/m cp=28.3 kN/m

10.00

3.00

282.8 kN

DMF [kNm]

(-) (+) x

60.4 kN/m M(x)

x2 M(x)=282.8×x–60.4× 2 =282.8×x–30.2x2

282.8 kN

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

107

Estruturas de Betão I

MSd=493.8kNm⇔282.8 × x – 30.2 × x2=493.8 ⇔ x3=7.04m ∨ x2 = 2.32m MSd=256.5kNm⇔282.8 × x – 30.2 × x2=256.5⇔x4 = 8.35m ∨ x1 = 1.02m

iv) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura

Dispensa de 6φ25 → 4φ25 x2’ = x2 – aL – Lb.net = 2.32 – 0.62 – 0.54 = 1.16 m x3’ = x3 + aL + Lb.net = 7.04 + 0.62 + 0.54 = 8.20 m 1.8 fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 1.0 × 1.0 × 1.5 = 2.7 MPa 4 φ σsd 0.025 232 σsd = 6 × 348 = 232 MPa ⇒ lbd= 4 f = 4 2.7 = 0.54 m bd

Dispensa de 4φ25 → 2φ25 x1’ = x1 – aL – Lb.net = 1.02 – 0.62 – 0.40 = 0.0 m x4’ = x4 + aL + Lb.net = 8.35 + 0.62 + 0.40 = 9.37 m 2 φ σsd 0.025 174 σsd = 4 × 348 = 174 MPa ⇒ lbd= 4 f = 4 2.7 = 0.40m bd

v) Verificação da armadura no apoio 1) Considerando pilares 0.30 × 0.30 [m2]: b 0.30 FT=Rcotgθ1=R×0.5× z +0.5cotgθ = 282.8×0.5×0.72+0.5cotg30°=303.8kN



As =







303.8 × 104 = 8.73cm2< As (4φ25) = 19.63cm2 348 × 103

2) Considerando indirectamente a dimensão do pilar FT = 1.2 R = 1.2 × 282.8 = 339.4 kN ⇒ As = 9.75cm2 < 19.63cm2 3) Considerando um apoio pontual R 282.8 FT=2cotgθ1= 2 ×cotg30°=244.9kN⇒As=7.04cm2<19.63cm2 3. Armadura superior i) Plano de dispensas: 4φ16 + 2φ12 → 4φ16 → 2φ16 ii) Capacidade resistente da viga após as dispensas MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

108

Estruturas de Betão I

Armadura

As [cm2]

MRd [kNm]

4φ16

8.04

0.070

0.066

211.6

2φ16

4.02

0.035

0.034

109.0

272.0 211.6 211.6 109.0

109.0 x2 x1 x4

iii) Cálculo das coordenadas x Carregamento correspondente ao máximo momento negativo no apoio e no vão à esquerda do apoio: sc=12.0 kN/m cp=28.3 kN/m

= 60.4kN/m pconsola sd = 1.5 × 28.25 = 42.4kN/m pvão sd = 3.0 × (12 + 28.25) × 1.5 = 181.1kN Vdir sd Vesq = (5.45 × 28.25 + 0.45 × 12.0) × 1.5 = 239.0kN sd Consola 60.4 kN/m

272 kNm

x Msd(x) = 60.4 × x × 2 – 181.1 × x + 272.0 = Msd(x)

30.2x2 – 181.1x + 272.0

181.1 kN

Msd = 211.6kNm ⇔ 30.2 x12 – 181.1x1 + 272.0 = 211.6⇔x1 = 0.35m Msd = 109.0kNm ⇔ 30.2 x32 – 181.1x3 + 272.0 = 109.0⇔x3 = 1.10m

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

109

Estruturas de Betão I

Vão 42.4 kN/m 272 kNm

x Msd(x) = 42.4 × x × 2 – 239.0 × x + 272.0 =

Msd(x)

21.2x2 – 239x + 272.0

x 239.0 kN

Msd = 211.6kNm ⇔ 21.2 x22 – 239 x2 + 272.0 = 211.6 ⇔ x2 = 0.26m Msd = 109.0kNm ⇔ 21.2 x42 – 239 x4 + 272.0 = 109.0 ⇔ x4 = 0.73m Msd = 0 ⇔ 21.2 x52 – 239 x5 + 272.0 = 0 ⇔ x5 = 1.28 m 4) Cálculo dos comprimentos para dispensa da armadura

Dispensa de 4φ16 + 2φ12 → 4φ16

x1’ = x1 + aL + Lb.net = 0.35 + 0.62 + 0.43 = 1.40 m x2’ = x2 + aL + Lb.net = 0.26 + 0.62 + 0.43 = 1.31 m 1.8 fbd = 2.25 η1η2 fctd = 2.25 × 0.7 × 1.0 × 1.5 = 1.89 MPa 8.04 φ σsd 0.012 271.6 σsd= 8.04+2.26 × 348 =271.6MPa⇒lbd= 4 f = 4 1.89 = 0.43m bd

Dispensa de 4φ16 → 2φ16

x3’ = x3 + aL + Lb.net = 1.10 + 0.62 + 0.36 = 2.08 m x4’ = x4 + aL + Lb.net = 0.73 + 0.62 + 0.36 = 1.71 m x5’ = 1.28 + 0.62 + 0.22 = 2.12m 2 φ σsd 0.016 174 σsd = 4 × 348 = 174 MPa ⇒ lbd= 4 fbd = 4 1.89 = 0.37m Lb,min = 10 φ = 0.16 m

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

110

Estruturas de Betão I

1.4. ARMADURA DE LIGAÇÃO BANZO-ALMA Como referido na flexão de secções em T as compressões no banzo distribuem-se neste, não ficando limitadas à alma. O sistema base de resistência ao esforço transverso desenvolve-se na alma, que distribui, então, as compressões (ou tracções se se tratar de um banzo traccionado) para os banzos. A compreensão deste mecanismo não é imediata e para a facilitar é fundamental a representação gráfica como a que se reproduz na figura seguinte, com indicação dos campos de tensão no plano das almas e dos banzos e respectivas forças resultantes. Na figura está representado um modelo em que, numa análise a partir da reacção de apoio, se verifica que as tensões na alma do campo em leque ao atingirem o banzo dispersam neste, para um e outro lado, gerando tracções de equilíbrio transversais no banzo, numa zona já mais afastada do apoio. Tal verifica-se, depois, para os restantes campos paralelos de tensões, obtendo-se a distribuição de compressões no banzo da zona do vão, prevista na flexão.

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

111

Estruturas de Betão I

Se se definirem dois ângulos para as treliças da alma e do banzo, θ1 e θ2, respectivamente, é possível avaliar as forças em causa a partir de um campo de tensões paralelo na alma como apresentado de seguida.

Fc'

1 tg θ z co

θ2 f c '

θ1

Fc 1 tg θ z co

Onde, fc

representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas da alma

fc’

representa as forças distribuídas nas bielas comprimidas do banzo

Fc e Fc’ representam as resultantes dessas forças distribuídas Em planta, a avaliação da força FT z cotg θ1

Fc cos θ1

seguida: Fc sen θ2 FT = Fc' × sen θ2 = 2 cos θ1× = cos θ2

Fc'

θ2

pode ser estimada como se apresenta de

Fc = 2 × tg θ2× cos θ1 FT Asf FT Fc sen θ1 Asf = f ⇒ s = = z cotg θ f 2 z cotg θ2 fyd syd 1 yd

Como Fc =

V Asf V ⇒ = s 2 z cotg θ2 fyd sen θ1

Se se considerar, como é razoável que θ1 = θ2 ⇒ A armadura de ligação banzo-alma deve ser igual ou superior a metade da armadura de esforço transverso

 Asf  = 1  Asw .  s  2  s 

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

112

Estruturas de Betão I

Refira-se que, em geral, numa viga pertencente a uma laje vigada, a armadura da laje é normalmente suficiente para absorver as forças de tracção na ligação banzo-alma, pelo que não se justifica a determinação de armadura específica, nesses casos. 1.5. ARMADURA DE SUSPENSÃO Analisámos a transmissão de forças ao longo das vigas de betão armado, em situações próximas da rotura para as situações em que a carga é transmitida ao banzo superior da viga, como são as situações correntes. No entanto, há casos em que tal não se verifica havendo que prevêr mecanismos de transmissão de carga adequados e dimensionar as armaduras correspondentes. São, por exemplo, os dois casos que vamos analisar, a saber: • A situação de uma transmissão contínua da carga à parte inferior da viga, como por exemplo de uma viga invertida, com a laje apoiada no banzo inferior. • As situações de apoio de uma viga noutra, denominadas de apoios indirectos, em que a carga é transmitida pela biela comprimida da viga secundária, à parte inferior da viga principal. 1.5.1. Carga distribuída aplicada na parte inferior da viga Como se esquematiza nas secções transversais abaixo indicadas a laje apoia-se na parte inferior da viga pelo que tem de ser transmitida para a face superior da através de uma armadura de suspensão. Este processo de “suspensão” deve ser efectuado ao longo da viga para a carga distribuída transmitida pela laje, psd/m. No fundo a armadura deve ser dimensionada para absorver a carga suspensa por metro, tal que: psd/m As/m > f yd Para a aplicação de carga excêntrica é judicioso admitir a suspensão só com um ramo.

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

113

Estruturas de Betão I

Naturalmente, que a quantidade de armadura necessária para transmitir a carga ao banzo superior tem de ser adicionada à de esforço transverso (correspondente ao processo de transmissão das cargas do banzo superior da viga aos seus apoios). 1.5.2. Apoios indirectos Denomina-se de apoio indirecto de uma viga à situação desta se apoiar noutra, em vez de directamente num apoio rígido ou pilar. Nestes casos, numa viga de betão armada com fendilhação desenvolvida, temos que: 1- A carga da viga I (ver esquemas seguintes) é transmitida pelas bielas comprimidas à parte inferior da viga principal (viga II neste esquema). 2- A partir daì a carga é suspensa para o banzo superior da viga II, através de estribos a colocar próximo da zona de ligação das vigas. 3- A carga transmitida de uma viga à outra é encaminhada para os apoios da viga I.

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

114

Estruturas de Betão I

O modelo de cálculo, para o caso de duas vigas, está abaixo representado, assim como as zonas de disposição dos estribos. Refira-se que, no caso geral de uma grelha, a armadura de suspensão é calculada para a diferença de esforço transverso à esquerda e direita das vigas, havendo que identificar qual é a principal.

A viga transmite as cargas à viga

através das bielas comprimidas.

V h2 A carga transmitida à viga principal terá de

ser transmitida para a face superior através de estribos de suspensao As =



V fyd

Nota: A armadura calculada deve ser adicionada à armadura de esforço transverso. A distribuição dos estribos de suspensão deve ser feita da seguinte forma: ≤ h1/2 ≤ h1/3 1

≤ h2/3

≤ h2/2

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

115

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 2.6

Considere a estrutura da figura seguinte: sc cp S2 3.50

10.00

3.50

0.20

Materiais: C20/25, A400 Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m 1.00

sobrecarga = 40.0 kN/m 0.15

Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5

1.00

a) Para a estrutura já analisada no Exercício 2.3, verifique a segurança ao Estado Limite Último de Esforço Transverso e pormenorize as armaduras transversais na secção.

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

116

Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.6

ALÍNEA A) 1. Verificação da segurança ao E.L.U. de Esforço Transverso i) Determinação de Vsd psd = 1.5 × (20 + 40) = 90kN/m DET [kN]

450.0

315.0

(+) (-)

(-) (+)

315.0

450.0

θ = 30º ⇒ z cotg θ = 0.9 × 0.95 × cotg 30° = 1.48m Vsd, dir (z cotg θ) = 450 – 1.48 × 90 = 316.8.5kN Vsd, esq (z cotg θ) = 315 – 1.48 × 90 = 181.8kN ii) Verificação das compressões na alma σc =

Vsd (z cotg θ) 316.8 = = 2139.2kN/m2 z×bw×sen θ×cos θ 0.9×0.95×0.40×sen 30°×cos 30°

20 fck σc≤0.6 1 - 250  fcd = 0.6 1 - 250 ×13.3×103 = 7342 kN/m2     iii) Cálculo da armadura transversal junto aos apoios Asw Vsd (z cotg θ) s = z fyd cotg θ 316.8  Asw  = × 104 = 6.15cm2/m  s dir 1.48 × 348×103 181.8  Asw  = × 104 = 3.53cm2/m  s esq 1.48 × 348×103

2. Cálculo da armadura de suspensão Nota: Admite-se que a sobrecarga está a actuar no banzo inferior

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117

Estruturas de Betão I

cp* = cp–ppalmas= 20 –(0.20×1.0×2)×25=10kN/m Força de suspensão: Fs = 1.5 (10 + 40) = 75.0kN/m cp*+sc

75.0  As  = × 104 = 2.16cm2/m s  suspensão 348×103 (a adicionar à armadura de esforço transverso)

dir

As  Asw   As  + = 6.15 + 2.16 = 8.31cm2/m = s s  TOT  dir  s susp esq

 As   Asw  +  As  = 3.53 + 2.16 = 5.69m =  s TOT  s esq  s susp 3. Cálculo da armadura transversal mínima ρw,min =

0.08 20 0.08 fck = = 0.0009 fyk 400

Asw 1 Asw 4 2 ρw,min=0.0009 ⇔ s  × b =0.0009 ⇔ s  = 0.0009×0.40×10 =3.6cm /m  min w  min

4. Cálculo da armadura de ligação banzo-alma Asf Vsd s = 2 z cotg θ2 fsyd 1 Asw Asf θ1 = θ2⇒ s = 2  s   

 As dir = 6.15 = 3.08cm2/m ;  As esq = 3.53 = 1.77cm2/m 2 2  s   s  5. Armadura transversal de flexão no banzo

cp* + sc = 10 + 40 = 50 kN/m cp*+sc

psd = 1.5 × 50 / 0.6 = 125.0 kN/m2

0.80

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118

Estruturas de Betão I

pL2 125×0.802 = = 6.7kN/m 12 12 0.80 pL2/12

Msd 6.7 µ=b d2 f = 2 3 = 0.035⇒ω=0.037 cd 1.0×0.12 ×13.3×10 fcd 13.3 As=ωbdf =0.037×1.0×0.12× ×104=1.70cm2/m 348 yd

pL2/24

(AsTOT/ramo)dir = 

3.08  + 1.70 = 3.24cm2/m  2 

1.77 (AsTOT/ramo)esq =  2  + 1.70 = 2.59cm2/m  

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119

Estruturas de Betão I

1.6. CARGAS CONCENTRADAS JUNTO AO APOIO De acordo com os princípios gerais de comportamento de uma viga de betão armado fendilhado sujeita a um efeito de corte, é natural que, no caso de uma carga concentrada próximas do apoio, se verifique a sua transmissão, ou pelo menos de parte dela, directamente para o apoio, através de uma biela de compressão, isto é, sem necessidade de armadura transversal. No esquema junto mostra-se como uma parcela, F1, da carga se transmite directamente para o apoio e a restante, F2, exige armadura transversal no seu processo de encaminhamento até ao apoio. aF a1 F F1

M=F x a

T=C

a F

Geralmente admite-se, no processo de dimensionamento, que:

As cargas que actuam junto ao apoio podem ser transmitidas directamente para este, através de uma biela inclinada (a < z/2)

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120

Estruturas de Betão I

As cargas afastadas do apoio são transmitidas pelo mecanismo de treliça (a > 2z)

Numa zona intermédia, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e a outra parte é transmitida pelo mecanismo de treliça.

Em termos de verificação da segurança as orientações do EC2 são as seguintes:

a < z/2

A carga é transmitida directamente para o apoio (não é necessário acréscimo de armadura transversal).

a>2z

A carga é totalmente transmitida pelo mecanismo de treliça (considerar a totalidade do esforço transverso para o dimensionamento da armadura).

z/2 < a < 2 z

Para o dimensionamento da armadura transversal apenas deve ser considerada a parcela da carga, F1 = 

2a  1  z - 1 3 F,

que, na sua transmissão ao apoio, requer transferência de carga do banzo inferior ao superior.

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121

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 2.7 Considere a estrutura seguinte.

0.65

0.40 0.40 0.40

0.40 5.00

Calcule as armaduras transversais necessárias, considerando apenas a actuação da carga Psd = 300kN.

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122

Estruturas de Betão I

Resolução do Exercício 2.7 Neste caso, z z = 0.9×0.60 = 0.54m e a = 0.8m ⇒ = 0.27m < a < 2 z = 1.08m, 2 pelo que, parte da carga é transmitida directamente para o apoio e a outra parte é transmitida pelo mecanismo de treliça. 1. Determinação da parcela da carga considerada para o dimensionamento da armadura transversal 300 kN A

B 0.80

4.20 RB=48 kN

RA=252 kN

ΣMA=0 ⇔ -300×0.8 + RB×5.0 = 0 ⇔ RB = 48kN

DEV [kN]

252 (+)

RA = 300 – 48 – 252kN (-)

2 × 0.8 1 P1.Sd =  0.54 - 1 × 3 × Psd = 0.65 Psd   2. Cálculo da armadura transversal As≥

0.65×252 As 4.7 × 104 = 4.7cm2⇒ s = 0.40 = 11.75cm2/m 348×103

11.75 = 5.88cm2/m 2 3. Cálculo da armadura longitudinal

Rsd,1

Rsd,1 = 0.65 × 252 = 163.8 kN

Rsd,2

Rsd,2 = 0.35 × 252 = 88.2 kN Fsd = Rsd,1 cotg θ1 + Rsd,2 cotg θ2 =

θ1

ASL =

θ2

Fsd

0.4 0.8 = 163.8 ×0.54 + 88.2 ×0.54 = 252kN

252 × 104 = 7.24cm2 348×103

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123

Estruturas de Betão I

1.7. ARMADURA INCLINADA Nos casos em que a armadura de esforço transverso for constituída por armadura inclinada (e não vertical), há que adaptar o modelo de treliça apresentado anteriormente.

Apresenta-se,

seguidamente

dedução

das

expressões

dimensionamento para esses casos. Fs V z

θ z cotg θ

z cotg α

z cotg θ + z cotg α bielas comprimidas tirantes

F Fs

Asw× fyd≥ Vsd

Vsd Vsd ⇔ Asw≥ sen α sen α

Vsd Asw ⇔ s = sen α

⇔

1 fyd ⇔

1 1 × f ⇔ z (cotg θ + cotg α) yd

Asw Vsd = s z (cotg θ + cotg α) sen α fyd

Barras horizontais: Ft Fs

Vsd Vsd FT=Fscosα+Fccosθ= cosα + cosθ sen α sen θ

⇔FT = Vsd (cotg θ + cotg α)

Compressões na alma: σc =

Vsd (1 + cotg2 θ) fck ≤ 0.6 1 - 250 fcd bw z (cotg θ + cotg α)  

ou (cotg θ + cotg α) fck Vmax = bw z 0.6 1 - 250 fcd rd (1 + cotg2 θ)   Verifica-se que, naturalmente, estas expressões são equivalentes às deduzidas anteriormente se α = 90°.

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124

Estruturas de Betão I

1.8. - SECÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL Nos casos em que as secções apresentam largura variável, bw considera-se, para efeito da avaliação das compressões nas bielas de compressão, a menor largura numa zona compreendida entre a armadura traccionada e ¾ da altura útil. bw d

3/4 d bw

No caso de secções circulares, poderá considerar-se, para efeitos da verificação da segurança ao esforço transverso, uma secção rectangular equivalente, com as seguintes características:

AsL

⇔ AsL/2 be≈0.9D

D de = 0.45D + 0.64 d - 2  (expressão aferida experimentalmente)   1.9. FORÇAS DE DESVIO Apresenta-se

seguidamente

alguns

aspectos

que

são

necessários

ter

consideração na pormenorização de armaduras longitudinais em situações de mudança de direcção das armaduras ou da superfície do betão. Quando um varão de uma armadura traccionada possui um ponto anguloso, gera-se uma força de desvio nesse ponto, tal como ilustrado na figura seguinte. Fs FD

Nestes casos, há que ter em atenção a posição do varão e o valor e sentido da força de desvio da armadura. Se essa força é no sentido do interior da peça é facilmente absorvida. Pelo contrário se a força tem o sentido do interior para o exterior da peça, poderá provocar a rotura local da camada de betão de recobrimento.

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125

Estruturas de Betão I

(a) Situação em que não ocorre rotura

(b) Situação em que poderá ocorrer rotura

Para contrariar este efeito há que tomar disposições de pormenorização que a seguir se referem dependentes da maior ou menor variação angular. i) α>15° -- Solução muito usual de “amarrar” a armadura de um e outro lado do desvio angular, evitando-se a força de desvio para o exterior.

ii) α<15° --- Situação possívelde manter a armadura contínua e “suspender” a força de desvio, amarrando-a na face contrária. Secção A-A

A M

Por outro lado, poderá haver situações em que a força de desvio se verifica do lado das compressões, gerando-se a tendência para o canto de betão “saltar” devido à menor resistência do betão à tracção.

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126

Estruturas de Betão I

Nestes casos pode-se “agarrar” a força de desvio da zona comprimida do betão amarrando-a, com estribos, na face oposta. FD Fc

2. Torção A torção gera um efeito equivalente ao funcionamento de uma hélice que, em termos estáticos, pode ser comparada à soma dos momentos devidos às resultantes de corte que se geram nas faces do contorno vezes os braços ao centro de rigidez (ver o esquema abaixo). Veremos, neste capítulo, que a torção pode ser considerada, em termos de dimensionamento, como o efeito de esforços transversos a actuar junto às faces.

Por outro lado, como se analisa de seguida, em várias situações de dimensionamento prático verifica-se que é possível equilibrar as cargas sem torção, através de uma determinada redistribuição de esforços, solução que se adopta correntemente. Para tal

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

127

Estruturas de Betão I

é importante, desde já, destinguir as situações de torção de equilíbrio e de compatibilidade.

2.1. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO A distribuição de esforços tem de incluir a torção para o equilíbrio da estrutura, ou seja, não é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a existência de momentos torsores. Exemplo simples:

DMT [kNm] (-)

A barra longitudinal tem necessariamente de ter torção, pois trata-se de uma estruturura isostática. 2.2. TORÇÃO DE COMPATIBILIDADE Ao se verificar a fendilhação por torção a perda de rigidez é muito mais significativa do que por efeito da flexão. No diagrama abaixo constata-se essa importante perda de rigidez de torção. Na mesma figura verifica-se também como a capacidade resistente à torção de uma viga cheia ou oca é equivalente.

Se a estrutura é hiperstática a distribuição de esforços depende, como é conhecido, da relação entre a rigidez de flexão e torção. No caso limite de se considerar uma rigidez

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

128

Estruturas de Betão I

de torção nula é possível obter uma distribuição de esforços equilibrada sem a existência de momento torsor na estrutura. Como se referiu, a redução de rigidez de torção é muito significativa, após a fendilhação, pelo que a estrutura tende a equilibrar as cargas com poucos esforços de torção. Assim, nesses casos, em muitas situações admite-se, na verificação da segurança à rotura, uma distribuição de esforços sem torção, com base na tendência natural do comportamento e no método estático da Teoria da Plasticidade. Exemplo:

Como se compreende é possível equilibrar, com ou sem esforços de torção na barra transversal, as cargas aplicadas a esta estrutura. De facto, se a rigidez de torção da barra transversal for nula, a barra longitudinal apoia-se na transversal sem transmitir momento negativo.

2.3. TORÇÃO ANALISADA COMO ESFORÇO TRANSVERSO NA LARGURA EFECTIVA DE HEF No que se segue apresenta-se os mecanismos de funcionamento estrutural de peças submetidas à torção, próximo da rotura, em elementos de betão armado. Nos esquemas juntos, e para uma secção fechada, chama-se a atenção para o facto do momento torsor que se gera nos comprimenntos próximas aos apoios, entre estes e as cargas aplicadas, ser equivalente a 4 esforços transversos.

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129

Estruturas de Betão I

Verifica-se, como ilustrado na figura que se segue, que a torção pode ser equiparada, em termos de dimensionamento a 4 modelos de esforço transverso nas 2 almas e nos 2 banzos com a necessidade de verificar a segurança nos mesmos campos de tensão correspondentes. Há, assim, necessidade de avaliar a armadura transversal necessária, verificar a limitação das compressões, e particularmente neste caso, calcular a armadura longitudinal que se desenvove nas ligaçõe das “paredes” da secção.

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130

Estruturas de Betão I

Para a análise de uma secção de betão armado sujeita a um momento torsor, pode definir-se, então, uma secção oca (secção oca eficaz), conforme ilustrado na figura que se segue. Refira-se que, mesmo para uma secção compacta, é conhecido, do comportamento elástico aprendido na disciplina de Resistência de Materiais, que as zonas do contorno são as mais eficientes na resposta à torção. Tal tendência é reforçada num elemento de betão armado fendilhado por torção pelo que se propõe, em geral, na verificação da segurança um mecanismo resistente, desprezando o betão da zona central da peça.

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

131

Estruturas de Betão I

de torção

2c’ ≤ hef≤

A u

onde,

hef

c’ = c + φestribo

A – área da secção de betão u – perímetro da secção bm

secção oca eficaz

Representando a secção oca eficaz pela sua linha média, é possível determinar, de acordo com o comportamento elástico, as tensões tangenciais, equivalentes ao momento torsor actuante, nas paredes da secção. Em secções de parede fina, τ =

T 2Ωe

Ω – área interior à linha média da secção e – espessura da parede

T pelo que, neste caso, τ = 2 hm bm hef

A resultante de cada uma destas tensões tangenciais não é mais que um esforço de corte em cada parede da secção. VH

VH = τ× hef× bm =

T 2 hm

VV = τ× hef× hm =

T 2 bm

Assim podemos dizer que a torção é equivalente a esforços transversos no contorno. MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

132

Estruturas de Betão I

2.4. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES SUJEITAS A UM ESFORÇO TRANSVERSO Considerando, portanto, o modelo de treliça com θ a definir pelo projectista, e partindo das verificações de esforço transverso temos o seguinte. 2.4.1. Compressão Tomando uma parede vertical da secção: σc =

Vv T = hef hm cos θ sen θ 2 bm hm hef cos θ sen θ

⇒σ σc =

Tsd fck ≤0.6 1 - 250  fcd , Aef = bm× hm 2 Aef hef cos θ sen θ  

(parede horizontal: conclusão semelhante) 2.4.2. Armadura transversal de torção numa parede vertical, Ast Tsd Ast Vv T s = hm cotg θ fyd = 2 bm hm hef cotg θ fyd⇒ s = 2 Aef cotg θ fyd (área de cada ramo do estribo) É importante referir que se tomasse uma parede horizontal as expressões de dimensionamento, dfunção directa do momento torsor seriam as mesmas. 2.4.3. Armadura longitudinal de torção Como se verificou na verificação de segurança ao esforço transverso o equilíbrio da treliça só é possível com tracções longitudinais de valor FT = V cotg θ a distribuir igualmente nos banzos superior e inferior. No caso do esforço transverso com flexão verificou-se que esse incremento de força no banzo traccionado podia ser resolvido aravés de uma translacção do diagrama de flexão e que no outro banzo correspondia, em geral, a um efeito favorável de alívio da compressão. Neste caso da torção tem, no entanto, de ser considerado explicitamente.

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

133

Estruturas de Betão I

Numa parede vertical, VV

' = Vv× cotg θ ASL fyd

'' = VH× cotg θ Numa parede horizontal, ASL fyd (FT = V cotg θ)

VH bm

Nas quatro paredes, ASL = 2 [Vv + VH]

cotg θ T  cotg θ  T fyd = 2 2 bm + 2 hm fyd =

Tsd cotg θ uef uef cotg θ 2 (bm + hm) cotg θ , ou fyd = T 2 Aef fyd ⇒ASL = 2 bm hm 2 Aef fyd

ASL Tsd cotg θ uef = 2 Aef fyd É interessante verificar que para θ igual a 45º as quantidades de armadura transversal e longitudinal por unidade de comprimento são iguais como seria normal na torção.

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134

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 2.8

Determine o momento torsor resistente da secção indicada na figura. 4φ20

Materiais: C25/30 Est. φ8//0.15

0.40

A400 Recobrimento = 2.5cm

0.40

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135

Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.8

1. Determinação das características da secção oca eficaz A 0.42 hef≤ u = = 0.1 m 4 × 0.4 hef≥ 2c' = 2 × (2.5 + 0.8) = 6.6 cm bm = hm = 0.40 – 2 × (0.025 + 0.008 + 0.01) = 0.31m ⇒ hef = 0.09m Aef = bm× hm = 0.31 × 0.31 = 0.096 m2 uef = 0.31 × 4 = 1.24 m Ast 2 s = 3.35 cm /m

;

ASL = 12.57 cm2

2. Verificação das compressões (Adopta-se θ = 30°) σc =

fck Tsd ≤0.6 1 - 250  fcd⇔   2 Aef hef cos θ sen θ

⇔Tsd≤ 0.54 fcd× 2 × Aef× hef× cos θ × sen θ⇔ ⇔ Tsd≤ 0.54×16.7×103×2×0.096×0.09×cos 30°×sen 30° = 67.5kNm 3. Armadura transversal Ast Tsd≤ s ×2×Aef×cotg θ fyd=3.35×10-4×2×0.096×cotg 30°×348×103⇔ ⇔ Tsd≤ 38.7kNm 4. Armadura longitudinal ASL×2×Aef×fsyd 12.57×10-4×2×0.096×348×103 Tsd≤ = = 39.1kNm cotg 30°×1.24 cotg θ uef ⇒ TRd = 38.7kNm

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136

Estruturas de Betão I

2.5. EFEITO CONJUNTOTORÇÃO / ESFORÇO TRANSVERSO Quando a torção está associada ao esforço transverso, há que ter em conta o seu efeito conjunto, como se esquematiza seguidamente. Q3

T/2hm V/2

V/2

T/2bm +

Em que osesforços de corte totais nas diferentes paredes da secção são dados por: V T V T T Q1 = 2 + 2 b ; Q2 = 2 - 2 b ; Q3 = Q4 = 2 h m m m

2.6. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS RELATIVAS A ARMADURAS DE TORÇÃO Específicamente em relação às disposições de armadura de torção refere-se o seguinte. 2.6.1. Armadura transversal O espaçamento máximo da armadura transversal deve ser, de acordo com o EC2, tal que: 1 smáx = min 8 uef,b,h





A recomendação da figura para que s seja inferior a 12 vezes o diâmetro longitudinal é também importante.

Evidentemente se houver sobreposição com o esforço transverso as disposições condicionantes devem prevalecer.

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

137

Estruturas de Betão I

A armadura transversal deve ter o fecho dos estribos bem amarrados (ver figura seguinte), em particular os comprimentos dos ganchos de amarração.

2.6.2. Armadura longitudinal Devem-se seguir as seguintes orientações: (i) Espaçamento máximo da armadura longitudinal: smáx = 35 cm (ii) Disposição da armadura na secção transversal: Armadura disposta ao longo do contorno interior das cintas. Em cada vértice da secção deverá existir, pelo menos, 1 varão e esses cantos devem ter, se possível, um reforço de armadura em relação ao restante.

2.7. DIMENSIONAMENTO CONJUNTO DA SECÇÃO Chama-se particularmente a atenção para a consideração, na verificação da segurança, da sobreposição das compressões, quando se tem presente esforço transverso e torção, que limita o conjunto dos valores máximos esforço transverso/momento torsor. Também ao nível da pormenorização das armaduras há que considerar em conjunto as armaduras transversais de torção e esforço transverso e de torção e flexão. Finalmente, apresenta-se, em termos esquemáticos, as dependências, em termos de quantidades de armadura e/ou verificações das compressões máximas, entre as diferentes verificações de segurança.

Msd AsL

Vsd

σc

Asw s

compressão no banzo armaduras longitudinais

Tsd

σc

Ast s

AsL

σc

compressão nas bielas inclinadas

armaduras transversais

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

138

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 2.9

Verifique a segurança ao estado limite último da viga indicada na figura, na secção dos apoios.

30 kN/m

0.15

psd 0.15

0.50 0.30

1.00

5.00

(os apoios impedem a rotação da viga segundo o seu eixo)

Materiais: C25/30; A400 Recobrimento = 2.5cm

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139

Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2.9 1. Determinação dos esforços 30 kN/m

pL2 30 × 52 Msd = 8 = = 93.8kNm 8

DMF [kNm]

Vsd =

(+)

pL 30×5 = = 75kNm 2 2

93.8

DET [kN] 75.0 (+)

5 Tsd = 30×0.15 ×2 = 11.25 kNm (-) 75.0

11.25 (+) (-) 11.25

2. Características da secção oca eficaz bm = 0.20m; hm = 0.40m Aef = 0.20 × 0.40 = 0.08m2 uef = 2 × (0.2 + 0.4) = 1.2m 0.3 × 0.5 A hef≤ u = 2 (0.3 + 0.5) = 0.09 m hef≥ (2.5 + 0.6) × 2 ≅ 6 cm 3. Verificação da compressão (admite-se θ = 30°) Torção: σc≤

Tsd 11.25 = =2706kN/m2 2Aefhefcosθsenθ 2×0.08×0.06×cos 30°×sen30°

Esf.Transverso:σc=

Vsd 75 = = z×bw×sen θ cos θ 0.9×0.45×0.30×sen 30°×cos 30° = 1425.6 kN/m2

1 - fck  f = 9018 kN/m2 σTOTAL = 2706 + 1425.6 = 4131.6 <0.6 c 250  cd  4. Cálculo da armadura transversal Ast Tsd 11.25 Torção: s ≤ = ×104=1.17cm/m2 2 Aef cotg θ fyd 2×0.08×cotg 30°×348×103

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

140

Estruturas de Betão I

(por ramo) Asw Vsd 75 Esf.Transverso: = = ×104=3.07cm2/m s zcotgθfyd 0.9×0.45×cotg30°×348×103 3.07 2 Ast + Asw s  /ramo = 1.17 + 2 = 2.71cm /m s 5. Cálculo da armadura longitudinal (i) Torção ASL =

Tsd× cotg θ× uef 11.25 × cotg 30°× 1.2 = × 104 = 4.20cm2 2 Aef× fyd 2 × 0.08 × 348×103

(Armadura a ser colocada ao longo do perímetro uef) (ii) Armadura de flexão a ½ vão: Msd = 93.8kNm ⇒µ = 0.092 ; ω = 0.099 ⇒ As = 6.39cm2 (iii) Armadura no apoio Esf. Transverso: As =

1.2 Rsd 1.2 × 75 = × 104 = 2.59cm2 fyd 348×103

4.2 Torção: ASL = 4.2cm2⇒ ASL/face = 4 = 1.05cm2 Face inferior →ATs = 2.59 + 1.05 = 3.64cm2

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites últimos de esforço transverso e torção. Pormenorização de armaduras

141

ESTRUTURAS DE BETÃO I

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 4 DURABILIDADE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO

Ano Lectivo 2012/2013

Estruturas de Betão I

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 142 2. MECANISMOS DE DETERIORAÇÃO .............................................................................. 143 3. MICROAMBIENTE............................................................................................................. 144 4. PERÍODO DE INICIAÇÃO E PERÍODO DE PROPAGAÇÃO .......................................... 148 5. DESPASSIVAÇÃO DAS ARMADURAS ........................................................................... 150 6. CORROSÃO DAS ARMADURAS ..................................................................................... 152 7. EFEITOS DA DETERIORAÇÃO ....................................................................................... 154 8. METODOLOGIAS PARA A GARANTIA DA DURABILIDADE ........................................ 155 9. OUTROS ASPECTOS IMPORTANTES PARA A GARANTIA DA DURABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES..................................................................................................................... 159 9.1. CONCEPÇÃO E PROJECTO ................................................................................................... 159 9.2. EXECUÇÃO ......................................................................................................................... 159 9.3. MANUTENÇÃO..................................................................................................................... 160

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

141

Estruturas de Betão I

1. Introdução Neste módulo definem-se as principais causas de deterioração das estruturas de betão armado, explicam-se os respectivos mecanismos de degradação e definem-se as disposições construtivas e de qualidade de materiais para contrariar o desenvolvimento desses processos. Estas disposições são enquadradas no que se denomina de garantia da durabilidade. Durabilidade de uma Estrutura – Aptidão de uma estrutura para desempenhar as funções para que havia sido concebida durante o período de vida previsto, sem que para tal seja necessário dispender custos de manutenção e reparação imprevistos. Evidentemente que os objectivos requeridos de durabilidade dependem do período de vida previsto para a estrutura, a sua importância e custos de investimento associados, definindo-se 5 categorias como apresentado no quadro seguinte

Categorias para

Valores indicativos

Exemplos

o período de

do período de vida

vida

(anos)

10 a 25

Partes estruturais substituíveis (apoios, ...)

15 a 30

Estruturas para agricultura ou similares

Estruturas de edifícios e outras estruturas comuns

100

Monumentos, pontes e outras obras públicas

Estruturas temporárias (1)

(1) Estruturas que podem ser desmontadas para serem reutilizadas não são consideradas temporárias

Verifica-se assim que para obras mais correntes a categoria a adoptar é a 4 correspondente a um período de vida de 50 anos.

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

142

Estruturas de Betão I

2. Mecanismo de Deterioração Referem-se seguidamente as causas principais de deterioração das estruturas de betão.

Carbonatação (exemplo na figura) Corrosão das armaduras  Cloretos 

dos sulfatos Ataque Reacções álcalis-agregados (exemplo de um Viaduto)  Ataque químico do betão Ataque dos ácidos, águas puras e sais de amónio e magnésio Acção da água do mar Arco

Pilares

Viaduto Duarte Pacheco em Lisboa antes da reparação.

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

143

Estruturas de Betão I

Biológico Ataque Desgaste por erosão, abrasão e cavitação Outros Ciclos de gelo-degelo Acção do fogo Cristalização de sais Reacções químicas mais significativas: • Reacção dos sulfatos com os aluminatos da pasta de cimento Reacção expansiva • Reacção dos álcalis com os agregados reactivos do betão Reacção expansiva • Reacção dos ácidos, sais de magnésio, sais de amónio e águas puras sulfatos com a pasta de cimento Perda das propriedades ligantes 3. Ambiente de Exposição Consoante as condições de exposição dos elementos estruturais, naturalmente que os riscos de deterioração são diferentes. Em termos regulamentares definem-se então diferentes classes de exposição como indicado no quadro a seguir apresentado.

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

144

Estruturas de Betão I

CLASSES DE EXPOSIÇÃO Designação da Descrição do ambiente classe

Exemplos informativos de condições em que podem ocorrer as classes de exposição

1 Nenhum risco de corrosão ou ataque

Para betão sem armadura ou elementos metálicos embebidos: todas as exposições excepto em situação de gelo/degelo, abrasão ou ataque químico Para betão com armadura ou elementos Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente muito baixa metálicos embebidos: muito seco

2 Corrosão induzida por carbonatação XC1

Seco ou permanentemente húmido

Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente baixa Betão permanentemente submerso em água

XC2

Húmido, raramente seco

Superfícies de betão sujeitas a contacto prolongado com água Um grande número de fundações

XC3

Humidade moderada

Betão no interior de edifícios com uma humidade do ar ambiente moderada ou elevada Betão exterior protegido da chuva

XC4

Alternadamente húmido e seco

Superfícies de betão sujeitas a contacto com água, não incluídas na classe de exposição XC2

3 Corrosão induzida por cloretos XD1

Humidade moderada

Superfícies de betão expostas a cloretos transportados pelo ar

XD2

Húmido, raramente seco

Piscinas Elementos de betão expostos a águas industriais contendo cloretos

XD3

Alternadamente húmido e seco

Elementos de pontes expostos pulverizações contendo cloretos

Pavimentos Lajes de parques de estacionamento 4 Corrosão induzida por cloretos presentes na água do mar XS1

Exposto ao sal transportado pelo ar mas Estruturas próximas da costa ou na costa não em contacto directo com a água do mar

XS2

Permanentemente submerso

XS3

Zonas sujeitas aos efeitos das marés, da Elementos de estruturas marítimas rebentação e da neblina marítima

Elementos de estruturas marítimas

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

145

Estruturas de Betão I

5. Ataque gelo/degelo XF1

Saturação moderada em água, sem Superfícies verticais de betão expostas à produto descongelante chuva e ao gelo

XF2

Saturação moderada em água, com Superfícies verticais de betão de produto descongelante estruturas rodoviárias expostas ao gelo e a produtos descongelantes transportados pelo ar

XF3

Saturação elevada em produtos descongelantes

XF4

Saturação elevada em água com Estradas e tabuleiros de pontes expostos produtos descongelantes ou com água do a produtos descongelantes mar Superfícies de betão expostas a pulverizações directas contendo produtos descongelantes e expostas ao gelo

água,

sem Superfícies horizontais de betão expostas à chuva e ao gelo

Zonas sujeitas aos efeitos da rebentação de estruturas marítimas expostas ao gelo 6. Ataque químico XA1

Ambiente químico ligeiramente agressivo, Terrenos naturais e água no terreno de acordo com a EN 206-1, Quadro 2

XA2

Ambiente químico moderadamente Terrenos naturais e água no terreno agressivo, de acordo com a EN 206-1, Quadro 2

XA3

Ambiente químico altamente agressivo, Terrenos naturais e água no terreno de acordo com a EN 206-1, Quadro 2

Nota: Este quadro é parte integrante da EN1992-1-1 (EC2) – Capítulo 4. A composição do betão afecta quer a protecção das armaduras quer a resistência do betão aos ataques. O Anexo E dá classes de resistência indicativas para as diferentes classes de exposição. Tal pode conduzir à escolha de classes de resistência mais elevadas do que as que seriam necessárias ao cálculo estrutural. Neste caso, deve adoptar-se o valor de fctm associado à resistência mais elevada para o cálculo da armadura mínima e para o controlo da largura de fendas (ver 7.3.2 a 7.3.4).

Apresentam-se seguidamente dois exemplos com a indicação das classes de exposição consoante os ambientes a que os elementos estruturais estão expostos.

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

146

Estruturas de Betão I

Exemplo 1: Ambiente exterior afastado da orla marítima

Ambiente Exterior – microambientes possíveis

Ambiente XC/XD – Risco de corrosão induzida por carbonatação ou de cloretos de origem diversa da água do mar, respectivamente Zonas 1 e 3 – XC4 – Betão sujeito a contacto pouco prolongado com a água Zona 2 – XC2/XD3 – Betão sujeito a contacto prolongado com a água e com o risco de pulverizações contendo cloretos Zona 4 – XC3 – Betão exterior protegido da chuva Zona 5 – XC2 – Ambiente húmido raramente seco como correntemente nas fundações

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

147

Estruturas de Betão I

Exemplo 2: Ambiente marítimo

Zona atmosférica

Zona de rebentação Zona de maré

Zona submersa

Ambientes XS – Corrosão indizida por cloretos na água do mar XA – Ataque químico Zona Atmosférica – Corrosão das Armaduras (XS1 – Sal transportado pelo ar mas sem contacto directo com a água) Zona de Rebentação – Corrosão das Armaduras (XS3 – Zona das marés) Erosão do Betão Zona de Maré – Ataque Químico do betão (XS3, XA) Corrosão das armaduras Erosão do Betão Ataque Biológico Zona Submersa – Ataque Químico do Betão (XS2 – zona permanentemente submersos) Ataque Biológico

4. Período de Iniciação e Período de Propagação A estrutura pode estar sujeita a um nível de contaminação elevado sem que haja sinais visíveis de deterioração (fase de iniciação)

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

148

Estruturas de Betão I

NÍVEL DE DETERIORAÇÃO

VIDA ÚTIL LIMITE ACEITÁVEL

TEMPO INICIAÇÃO

PROPAGAÇÃO

Num problema de corrosão de armaduras o fim do período de iniciação representa a despassivação das armaduras e o período de propagação corresponde ao desenvolvimento da corrosão. Há que programar acções de inspecção, mesmo que não existam sinais de deterioração visíveis, por forma a permitir realizar operações de manutenção antes que os mecanismos de deterioração mais severos se desenvolvam. Os custos de reparação de uma estrutura que se apresente na fase de propagação são sempre elevados. Uma forma de aumentar o período de iniciação, mesmo em ambientes agressivos, é através da garantia de um recobrimento eficiente e betão com boa compacidade, como explicitado nas figuras seguintes.

Influência do recobrimento na profundidade de carbonatação

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

149

Estruturas de Betão I

Recobrimento mínimo e qualidade (resistência) do betão – Valores de referência 5. Despassivação das Armaduras No betão não contaminado as armaduras encontram-se protegidas contra a corrosão devido à elevada alcalinidade do meio.

  Hidróxido de sódio e potássio 

Hidróxido de cálcio

→ pH ≈ 12.5 a 13.5

Nestas condições forma-se à superfície da armadura uma barreira de protecção (película passiva) que impede a sua corrosão. A rm adura

Película passiva (γγ F e 2 O 3 ) pH ≥ 12,5

A corrosão não é possível

Protecção das armaduras no betão Quando o pH desce para valores inferiores a 10 - 11, ou o teor de cloretos ultrapassa o valor crítico, ocorre a destruição da película passiva. MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

150

Estruturas de Betão I

A despassivação das armaduras origina o início do mecanismo da corrosão

Carbonatação pH < 9

Cloretos Cl > valor crítico -

Dissolução da película passiva

A corrosão é possível Corrosão das armaduras após a dissolução da película passiva •

Profundidade da carbonatação − Interesse

relacionar

profundidade

carbonatação

com

recobrimento. − Pode ser realizado em carotes de pequeno diâmetro (ver figura) ou furos (ensaiando o pó extraído do furo ou o próprio furo em profundidades crescentes até se deixar de verificar a carbonatação).

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

151

Estruturas de Betão I

6. Corrosão das Armaduras O mecanismo da corrosão é um processo electroquímico, i.e. envolve reacções químicas e correntes eléctricas gerando situações como as ilustradas nas fotografias. Para que a corrosão se possa desenvolver é necessário a presença dos seguintes elementos: Ânodo

Zona da armadura despassivada

Cátodo

Zona da armadura com acesso ao oxigénio

Conductor eléctrico

Armadura

Electrólito

Betão

Modelo de uma célula de corrosão

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

152

Estruturas de Betão I

Cl-

CO2

H2O

Fe++

H2O O2 2e

ÂNODO

CÁTODO

DISSOLUÇÃO DO AÇO

REDUÇÃO DO OXIGÉNIO

Fe Fe++ + 2e-

1/2

O2 + H2O + 2e- 2OH-

PRODUTOS DA CORROSÃO

+ 2OH Fe (OH)2

Volume relativo dos produtos da corrosão (Aumento percentual)

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

153

Estruturas de Betão I

Situações em que não ocorre corrosão significativa: • A armadura não está despassivada ⇒ não existe ânodo • Em elementos submersos não há disponibilidade de oxigénio ⇒ não existe cátodo • Em elementos situados em ambientes secos o betão tem uma condutividade baixa ⇒ não existe electrólito 7. Efeitos da Deterioração Efeitos de corrosão das armaduras • Fendilhação/Delaminação/Descasque do betão de recobrimento • Perda de aderência aço/betão • Perda de secção e ductilidade do aço A figura mostra um muro de umas docas marítimas com um nível de descasque do betão de recobrimento num estado muito avançado de degradação, essencialmente devido ao efeito de cloretos.

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

154

Estruturas de Betão I

8. Metodologia para a Garantia da Durabilidade A garantia da durabilidade é naturalmente um problema estatístico. Os parâmetros associados à avaliação destes fenómenos (ex: corrosão) têm uma determinada distribuição. A avaliação não pode ser feita com base em valores médios. Deve ser feita em termos de probabilidade de ocorrência. Por exemplo de 10%, para um certo período de vida. Avaliação da Probabilidade de corrosão: Z=R–F R – Distribuição do recobrimento F – Penetração do teor crítico de cloretos F (t) Pf = ∅ [- µz/σz] = ∅ (- β) µz – valor médio de Z 2 R

σz Desvio padrão de Z: σ + σ

(

2 F

)

1/2

β – índice de fiabilidade

No entanto da dificuldade estatística foi possível definir valores de recobrimentos e características dos betões de tal forma a assegurar a durabilidade necessária (período de vida) para as diferentes classes de exposição. Refira-se que em Portugal e para um período de vida de 50 anos a classe a adoptar é a S4. Apresentam-se seguidamente os quadros para avaliação daquelas características. Armadura Ordinária Requisitos relativos à condição de exposição ambiental para Cmin,dur (mm) Classe Estrutural

Classe de exposição de acordo com o Quadro X0

XC1

XC2/XC3

XC4

XD1/XS1

XD2/XS2

XD3/XS3

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

155

Estruturas de Betão I

Armaduras Pré-Esforçadas Requisitos relativos à condição de exposição ambiental para Cmin,dur (mm) Classe

Classe de exposição de acordo com o Quadro

Estrutural X0

XC1

XC2/XC3

XC4

XD1/XS1

XD2/XS2

XD3/XS3

Classe Estrutural Criterio

Condições de exposição de acordo com o quadro X0

XC1

XC2/XC3

XC4

XD1

XD2/XS1

XD3/XS2/ XS3

Período de vida útil

aumentar

aumentar 2

de 100 anos

2 classes

classes

Classe de

≥ C30/37

≥ C35/45

≥ C40/50

≥C40/50

≥ C40/50

≥C45/55

resistência

reduzir 1

classe

reduzir 1

classe

Controlo de

reduzir 1

qualidade especial

classe

Elemento tipo laje (se a posição das

armaduras não for afectada pelo processo construtivo)

para a produção do betão

*a ou C50/60 – CEM I/IIA

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

*b ou C60/75 – CEM I/IIA

156

Estruturas de Betão I

O valor a indicar nos desenhos é o do recobrimento nominal. Cnom = Cmin + ∆C ∆C – Tolerância (rigor) no posicionamento das armaduras (10mm) Para além do recobrimento a EN206 estabelece os requisitos da qualidade dos betões para as várias condições de agressividade ambiental:

Tipo de cimento Classe de

CEM I (Referência); CEM II/A

XC1

XC2

(1)

CEM II/B ; CEM III/A (2) CEM V/A

(1)

XC3

XC4

XC1

XC2

(2)

; CEM IV

XC3

(2)

;

XC4

exposição Mínimo recobrimento

0.65

0.60

0.65

0.55

240

280

260

300

Mínima classe

C25/30

C30/37

C25/30

C30/37

de resistência

LC25/28

LC25/28 LC30/33

LC30/33

LC25/28

nominal (mm) Máxima razão água/cimernto Mínima dosagem de cimento, C 3

(kg/m )

LC30/33 LC30/33

(1) Não aplicável aos cimentos II/A-T e II/A-W e aos cimentos II/B-T e II/B-W, respectivamente (2) Não aplicável aos cimentos com percentagem inferior a 50% de clínquer portland, em massa

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

157

Estruturas de Betão I

Limites da composição e da classe de resistência do betão sob acção de cloretos, para uma vida útil de 50 anos Tipo de cimento CEM IV/A (Referência); CEM IV/B; CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM (1) II/B ; CEM II/A-D Classe de

(1)

CEM I; CEM II/A

XS1/XD1

XS2/XD2

XS3/XD3

XS1/XD1

XS2/XD1

XS3/XD3

0,55

0,50

0,45

0,40

320

340

360

380

Mínima classe

C30/37

C35/45

C40/50

C50/60

de resistência

LC30/33

LC35/38

LC40/44

LC50/55

exposição Mínimo recobrimento nominal (mm) Máxima razão água/cimento Mínima dosagem de cimento, C 3

(kg/m )

(1) Não aplicável aos cimentos II –T, II-W, II/B-L e II/B-LL

Limites da composição e da classe de resistência à compressão do betão sob ataque químico, para uma vida útil de 50 anos Tipo de cimento CEM IV/A (Referência); CEM IV/B; CEM III/A; CEM III/B; CEM V; CEM (1) II/B ; CEM II/A-D (2) (2) Classe de XA1 XA2 XA3

CEM I; CEM II/A

(1)

XA1

XA2

(2)

XA3

(2)

exposição Máxima razão

0,55

0,50

0,45

0,50

0,45

320

340

360

340

360

380

Mínima classe

C30/37

C35/45

C40/50

de resistência

LC30/33

LC35/38

LC40/44

água/cimento Mínima dosagem de cimento, C 3

(kg/m )

(1) Não aplicável aos cimentos II-T, II-W, II/B-L e II/B-LL. (2)

Quando a agressividade resultar da presença de sulfatos, os cimentos devem satisfazer os

requisitos mencionados na secção 5, nomeadamente no Quadro 10, aplicando-se ao betão as exigências estabelecidas neste quadro para o CEM IV.

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

158

Estruturas de Betão I

9. Outros aspectos importantes para a garantia da durabilidade das

construções 9.1 Concepção e Projecto Forma Estrutural •

Adoptar sempre que possível formas simples que minimizem a área de exposição ao ambiente

•

Evitar saliências e cantos Adoptar formas arredondadas

Dono de Obra Critério de Projecto Caderno de Encargos Projecto Concepção – Robustez Pormenorização Especificações Técnicas 9.2 Execução Controlo Técnico de Execução Recobrimentos Qualidade do Betão Cura MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

159

Estruturas de Betão I

9.3 Manutenção, Inspecções e Eventuais Reforços Inspecção e ensaios Conservação. Medidas preventivas Muitas vezes na sequência de avaliação de estruturas durante a sua vida útil pode resultar a necessidade de uma reparação. Nas figuras seguintes apresenta-se uma tal situação. Inspecção (avaliação de uma situação de reacção álcalis-agregados) e início da reparação/reforço

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

160

Estruturas de Betão I

Solução de reparação/reforço (encamisamento e tinta impermeabilizante) e aspecto final

MÓDULO 6 – Durabilidade de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado

161

ESTRUTURAS DE BETÃO I

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 5 VERIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO EM SERVIÇO (ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO – SLS)

Ano Lectivo 2012/2013

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 160 1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO .......................................................... 160 1.2. ACÇÕES ........................................................................................................................... 160 1.3. MATERIAIS........................................................................................................................ 161 1.3.1. Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de utilização ............................................................................................................................ 161 1.3.2. Efeitos diferidos no tempo do betão ........................................................................ 163 2. ESTADO LIMITE DE ABERTURA DE FENDAS ................................................................. 167 2.1. MECANISMO DA FENDILHAÇÃO E ABERTURA DE FENDAS .............................................. 168 2.1.1. Determinação do valor máximo da largura de fendas ............................................ 176 2.1.2. Cálculo de tensões com base na secção fendilhada e sua limitação ..................... 180 2.2. ARMADURA MÍNIMA............................................................................................................ 185 2.2.1. Tracção.................................................................................................................... 185 2.2.2. Flexão ...................................................................................................................... 187 2.3. LIMITES ADMISSÍVEIS DE FENDILHAÇÃO RELATIVOS AO ASPECTO E À DURABILIDADE ...................... 196 2.4. CONTROLO DA FENDILHAÇÃO SEM CÁLCULO DIRECTO (EC2) ............................................... 196 3. ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO ................................................................................. 199 3.1. LIMITES DE DEFORMAÇÃO ................................................................................................. 199 3.2. QUESTÕES NA AVALIAÇÃO E NA LIMITAÇÃO DA DEFORMAÇÃO .............................................. 200 3.3. AVALIAÇÃO DIRECTA DA DEFORMAÇÃO ............................................................................... 205 3.3.1. Cálculo da curvatura em estado I............................................................................ 205 3.3.2. Cálculo da curvatura em estado II .......................................................................... 206 3.3.3. Cálculo das deformações ........................................................................................ 207

Estruturas de Betão I

1. Introdução No Módulo I discutiram-se as características fundamentais do comportamento à flexão do betão armado e foi explicada a fundamentação base das verificações de segurança das estruturas. Nos Módulos 2 e 3 apresentaram-se e aplicaram-se os modelos para garantia da segurança à rotura de elementos lineares, sem esforço axial (vigas). Neste Módulo 4 apresentam-se os princípios e a aplicação para a verificação da segurança em serviço das estruturas de betão armado, ou seja, da Verificação dos Estados Limites de Utilização. 1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Como enquadrado anteriormente, na avaliação destes Estados Limites de Utilização, há que ter como principal objectivo: Garantir um bom comportamento das estruturas em situações correntes de serviço, assegurando um nível de fendilhação aceitável (através do contolo da abertura máxima de fendas), limitar a deformação a valores funcionalmente aceitáveis para os objectivos da construção em causa e tornar a eventual sensibilidade das estruturas à vibração, limitada a valores que não gerem desconforto. Por outro lado, nas verificações da segurança aos Estados Limites de Utilização, e como discutido no Módulo 1,as acções tomam valores de actuação expectável (não são majoradas e as sobrecargas podem não actuar com todo o seu valor) e o comportamento dos materiais é simulado através da utilização de propriedades médias (não minoradas). 1.2. ACÇÕES Como vimos temos, então, nas verificações aos estados limites de utilização, combinações de acções com diferentes probabilidades de ocorrência:

Combinação rara: Situação de carregamento com pequena probabilidade de ocorrência apropriada para analisar um estado limite de muito curta duração – algumas horas no tempo de vida da estrutura. Gm + Qk + ∑ ψ1i Qik i

Combinação frequente: Caso com probabilidade de ocorrência superior ou igual a 5% do tempo de vida da estrutura, e aplicável a estados limites de curta duração.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

160

Estruturas de Betão I

Gm + ψ1 Qk + ∑ ψ2i Qik i

Combinação quase-permanente: Situação de solicitação com probabilidade de ocorrência superior a 50% do tempo de vida da estrutura, portanto adequada para analisar estados limites definidos como de longa duração. Gm + ∑ ψ2i Qik i

Refira-se que é para este nível de acções que o comportamento em termos de deformação e controlo da abertura de fendas é, em geral, importante. Nestas expressões o significado das variáveis é a seguinte: Gm – valor médio das acções permanentes Qk – valor característico da acção variável base Qik – valor característico das restantes acções variáveis 1.3. MATERIAIS Estes terão naturalmente um comportamento elástico, havendo no entanto que considerar o facto do betão fendilhar, e ainda, as suas características de comportamento ao longo do tempo, ou seja a fluência e a retracção. Referem-se seguidamente estas características de uma forma necessariamente resumida, havendo que consultar outros elementos para a sua mais correcta quantificação. 1.3.1. Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de utilização Com base no diagrama médio esperado (no desenho referido como “real”) de comportamento do aço, enquadra-se a resposta característica, de cálculo à rotura e, indica-se, ainda, a zona esperada em termos do comportamento em serviço.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

161

Estruturas de Betão I

(i) AÇO

σs curva real curva característica curva de cálculo

f yk f yd

curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos

Es E.L. Utilização

εs

0.2%

f yd

Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, temos, portanto, simplesmente a relação esquematizada, tendo como limite absoluto a tensão de cedência (ver §2.1.2.2):

σs

Es = 200 GPa

εs

Para o betão as características das relações tensões – extensões do betão são indicadas na figura seguinte, vendo-se que o módulo de elasticidade é definido, aproximadamente, com a rigidez secante para uma tensão de 40% do valor resistente para a curva média do comportamento.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

162

Estruturas de Betão I

(ii) BETÃO

σc

fcm

fck curva real

curva característica

curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos

0.85 fcd 0.4 fcm

2‰

εc

3.5‰

εc

Assim, para a verificação da segurança aos estados limites de utilização, o comportamento do betão é considerado, para acções de curto prazo, como sendo elástico e linear, limitado ao valor resistente de tracção e tendo a compressão limites regulamentares referidas em §2.1.2.2.

σc

εc f ctm

O betão, ao longo do tempo, por efeito do fenómeno da retracção, ou da fluência, se estiver submetido a um nível de tensão permanente, aumenta a sua deformação. Estes efeitos têm implicações nas estruturas ao nível das deformações, mas também podem causar, ao longo do tempo, em estruturas hiperstáticos, esforços, naturalmente auto-equilibrados. 1.3.2. Efeitos diferidos no tempo do betão Analisa-se, então, seguidamente, as características do comportamento do betão no tempo que depende de dois efeitos: −

Fluência, dependente da actuação de tensões aplicadas com permanência.

−

Retracção, que se verifica independentemente de outros efeitos.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

163

Estruturas de Betão I

1.3.2.1. Fluência A fluência pode ser definida como sendo o aumento da deformação no tempo, sob a acção de um estado de tensão constante (resultado, essencialmente, da variação de volume da pasta de cimento que envolve os agregados). No esquema seguinte ilustra-se o efeito desta característica do comportamento: (a) Instante de aplicação da carga (t0)

(b) Tempo t∞

εc(to)

σc (t0) εc (t0) = E (t ) c

εc(to) εcc(t∞,to)

εcc (t∞, t0) = ϕ (t∞, t0) εc (t0)

onde, εcc (t∞,t0) representa a deformação por fluência ϕ (t∞,t0) representa o coeficiente de fluência (quociente entre o incremento de extensão, εcc, no intervalo de tempo [t∞, t0] e a extensão inicial, εc (t0)) A fluência do material betão depende, no entanto, de muitos parâmetros que não são neste contexto, analisados. São eles: −

idade do carregamento (t0)

−

período do carregamento [t, t0]

−

humidade relativa do ambiente (> humidade ⇒< fluência)

−

temperatura relativa do ambiente (> temperatura ⇒>fluência)

−

composição do betão

−

consistência do betão

−

forma da secção

Para idades de carregamento usuais, a partir dos 14 a 28 dias após betonagem, este coeficiente toma valores tal que, ϕ (t∞, t0) ≅ 2 a 4. Para casos correntes, e na falta de MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

164

Estruturas de Betão I

outros dados poderá utilizar-se, como primeira referência, o valor de ϕ ≅ 2.5 e para avaliações mais detalhadas pode recorrer-se a muitos modelos existentes, em particular o referido no EC2. Avalia-se, agora, o efeito da fluência, na deformação do betão e, posteriormente, de uma viga de betão armado não fendilhada. Determinação da deformação a longo prazo (t∞) tendo em consideração o efeito da fluência: t∞ = 10 000 dias (≅ 27 anos) εc (t∞, t0) = εc (t0) + εcc (t∞, t0) = εc (t0) + ϕ (t∞, t0) εc (t0) =

σc (t0) σc (t0) + ϕ (t∞, t0) ⇔ Ec (t0) Ec (t0)

σc (t0) ⇔εc (t∞, t0) = E (t ) (1 + ϕ) = εc (t0) (1 + ϕ) c

σc Ec ⇒εc (t∞, t0) = * , com Ec* = Ec 1+ϕ A fluência é linear com o nível de tensão, desde que esta esteja limitada (§2.1.2.2). Este efeito afecta directamente a deformação de uma estrutura, podendo ser considerado, de uma forma simplista, como uma perda de rigidez no tempo, devido ao abaixamento do módulo de elasticidade. Para o caso de uma viga simplesmente apoiada, não fendilhada, apresenta-se seguidamente o efeito da fluência na deformação com base no princípio dos trabalhos virtuais, em que se chama a atenção para a dependência da flecha dos valores e distribuição das curvaturas na estrutura. p

1 δ = fR

 

pelo P.T.V., δ = ⌠

⌡L

1 M. R dx

Como se pode observar na figura seguinte, a fluência do betão provoca ao nível da secção um aumento das extensões do betão e, consequentemente, um aumento da curvatura.

εc(to)

εcc(t,to) εc(to)

(-)

1 |εc (t0)| + |εcc (t, t0)| + εs ≅ R (t) = d

(-)

d (+)

εs

(+)

εs

≅2

εc (t0) + |εcc (t, t0)| h

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

165

Estruturas de Betão I

Chama-se desde já a atenção para que as armaduras contribuem, um pouco, para restringir o aumento de deformação por fluência do betão. No entanto, no comportamento em Estado I, não fendilhado, essa restricção não é muito significativa. 1.3.2.2. Retracção A retracção do betão impõe uma diminuição da dimensão de uma peça de betão no tempo, independentemente do estado de tensão da peça, portanto mesmo na ausência de outras acções, variações de temperatura ou cargas aplicadas. Seguidamente ilustra-se o efeito da retracção do betão ao nível de um prisma de betão e, como acção, num tabuleiro contínuo de ponte. Neste exemplo, chama-se a atenção para que o valor de retracção do betão pode tomar valores diversos, mas que a sua ordem de grandeza varia entre 0.2 a 0.4‰, podendo ser melhor avaliado recorrendo às indicações, por exemplo, do EC2.

εcs(t∞,to) to

t∞

εcs (t∞, t0) ≅ - 200×10-6 a - 400×10-6 = - 2.0×10-4 a - 4.0×10-4 100 m

∆L ε = L ⇒∆L = ε× L ∆L=-4.0×10-4×100m=-0.04m

Para um tabuleiro de uma ponte de 100m seria de esperar, aproximadamente, um encurtamento ao longo do tempo devido ao efeito da retracção, com um valor da ordem de 4cm, distribuído em partes iguais pelos dois apoios, se estes forem móveis longitudinalmente. A retracção pode ser tratada como o efeito de uma diminuição de temperatura com um valor equivalente de, ∆Tequivalente, como se pode verificar: α = 10-5/°C – coeficiente de dilatação térmica do betão εcs = -2 × 10-4 a -4 × 10-4 ⇒ ∆Tequivalente = -20°C a -40°C (ε∆T = α × ∆T = 10-5/°C × (-20° a -40°) = -2 × 10-4 a -4 × 10-4) MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

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Estruturas de Betão I

Refere-se, desde já, que, se a retracção livre for impedida, por restrições ao nível da secção ou da estrutura, isto é, se houver hipersticidade, produzem-se tensões de tracção que poderão contribuir para a ocorrência de fendilhação. A retracção do betão depende de, inúmeros factores, de uma forma semelhante à fluência, dos quais se podem destacar: –

Humidade e temperatura relativa do ambiente

–

Consistência do betão na altura da betonagem

–

Forma da secção (espessura fictícia do elemento)

Além de poder afectar o estado de tensão na secção, a retracção pode também contribuir para um incremento de deformação ao longo do tempo, como se ilustra, de seguida, para uma viga não fendilhada.

εc

(-)

Curvatura:

1 εc - εs = R d

εs De facto, numa secção de betão de uma viga, com distribuição de armadura não simétrica, a retracção do betão provoca uma curvatura na peça, por efeito da restrição à deformação provocada pela armadura. Essa curvatura será assim tendencialmente positiva na zona do vão e negativa na zona dos apoios, contribuindo, em ambas as situações, para o aumento da flecha das vigas.

1 δ = fR

 

– 1 pelo P.T.V., δ = ⌠ M. dx R ⌡L

2. Estado Limite de Abertura de Fendas A análise e compreensão do fenómeno da formação de fendas e da sua evolução até à sua estabilização, incluindo o processo de transmissão de tensões entre o betão e as armaduras, e, finalmente, a forma de estimar as aberturas das fendas, não é simples. Têm sido desenvolvidos inúmeros modelos, mais ou menos sofisticados, para a sua explicação e avaliação das variáveis em jogo. No que se segue descreve-se de uma forma simplificada as características principais do mecanismo de fendilhação, para depois explicar a formulação da avaliação das

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167

Estruturas de Betão I

aberturas de fendas e do seu controlo indirecto a partir dos parâmetros mais condicionantes. 2.1. MECANISMO DA FENDILHAÇÃO E ABERTURA DE FENDAS Para a apresentação do processo de fendilhação vamos tomar o elemento estrutural mais simples que é o de uma barra de betão armado sujeita à tracção. N

σc

Antes de fendilhar, Estado I, a distribuição de tensões segue o comportamento elástico tendo-se, aproximadamente: N σc = A c σs = εsEs ; σc = εcEc Como εs = εc ⇒

σs Es Es = E ⇔σs = E σc σc c c

Es ⇔ σs = ασc , com α = E c

Quando se tiver σc = fctm há-de surgir uma fenda numa dada secção, que por uma razão ou outra esteja mais enfraquecida, passando o esforço axial nessa secção a ser resistidosó pelo aço. Há assim um brusco aumento de tensão no aço, maior ou menor, consoante a quantidade de armadura presente. De facto, com o aparecimento da 1ª fenda, ou seja, na passagem para a secção fendilhada, o incremento de tensão na armadura, ∆σs, pode ser avaliado por:

Ac σc = fct ⇒ fct Ac = As ∆σs ⇔ ∆σs = A fct s ⇒ ∆σs =

1 As f , com ρ = A (% de armadura) ρ ct c

A tensão total, a seguir indicada, é calculada em Estado II, sendo a de Estado I, αfct, em geral muito inferior.

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168

Estruturas de Betão I

σs σs = α fct + ∆σs fyk

∆σs α fct ρmin

As Refira-se que, como tem sido referido neste curso, ρmin = A é a % mínima de c armadura para que, quando se forma a 1ª fenda, a armadura não atinja a cedência (não plastifique). Para quantidades de armadura superiores o nível de tensão instalado na fenda estará no domínio elástico, havendo, por efeito da aderência aço/betão, na região adjacente à fenda, uma transferência de tensões do aço para o betão. A uma distância, s, como indicado na figura, restabelece-se um estado de tensão com tracções no betão que permitem condições para se poder formar outra fenda. σc τm

N σc = A = fct ⇔ N = fct Ac c s

Esta distância, s, é considerada como a distância mínima, para que se possa formar outra fenda. Assim, a distância mínima entre fendas (s), para um tirante, pode obter-se através de: Nmáximobetão = Naderencia ⇔ fct Ac = τm × Acontacto ⇔ fct Ac = τm × u × s ⇒ smin = As As πφ2 Como, ρ = A ⇔ Ac = = ρ 4ρ c ∴ smin =

fct Ac × τm u

Ac πφ2 1 φ u = πφ ⇒ u = × = 4ρ πφ 4ρ

fct φ × 4ρ ρ τm

Caso se trate de um problema de flexão, em particular para vigas com alturas pequenas e lajes, a zona traccionada de transmissão de tensões entre o aço e o betão é triangular.

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169

Estruturas de Betão I

τm fct

1 Dado que nestes casos Nmácximo betão = fct × Ac × 2 , esta distância tem tendência a ser metade:smin =

fct 1 φ × 2 × τm 4ρ ρ

Em geral para peças com uma maior dimensão, a transmissão de tensões do aço para o betão ocorre apenas numa zona restrita em torno da armadura, como representado na figura abaixo indicada, definindo-se uma área efectiva, Ac,ef.

d h c,ef A c,ef

Ac,ef representa a área efectiva de betão mobilizada por aderência, sendo a altura hc,ef definida através de: hc,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2] Poderá definir-se então uma percentagem de armadura (ρp,ef) relativa à área de betão efectiva, calculada de acordo com a expressão As ρp,ef = A

c.ef

Deste modo, a distância mínima entre fendas poderá ser calculada através de: smin = 0.25 k1 k2

φ ρp,ef

Comparando com a expressão anterior verifica-se que é equivalente sendo que k1 representa a problemática das condições de aderência e k2 a forma do diagrama de extensões na zona de transmissão de tensões ao betão. De acordo com o EC2, estes tomam os seguintes valores: k1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões, e que toma os seguintes valores:

0.8 para varões de alta aderência (nervurados ou rugosos)  1.6 para varões lisos

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170

Estruturas de Betão I

k2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção, e que toma, em geral, os seguintes valores: 1.0 para a tracção 0.5 para a flexão de lajes ou vigas pouco altas Nos casos de tracção excêntrica ou de flexão de vigas mais altas, valores intermédios de k2, podem ser avaliados pela expressão: k2 = M

ε2

ε1 + ε2 2 ε1

1.0 ⇐ε1 = ε2 (tracção pura) k2 =  0.5 ⇐ ε2 = 0

ε1 A c,ef

Nota: Quando forem utilizados, na mesma secção transversal, varões com diâmetros diferentes, deve ser utilizado na expressão um diâmetro equivalente (φeq), dado por φeq =

n1φ12 + n2φ22 n1φ1 + n2φ2

Refira-se que, uma vez estabilizada a formação de fendas na zona traccionada, isto é, quando não houver condições para a formação de mais fendas, a distância entre elas deverá ser variável, teoricamente, entre o valor mínimo e duas vezes esse valor. Na figura seguinte ilustra-se o ensaio de uma viga de secção em I à flexão, em que se mostram dois pormenores da zona central, um em que se está no processo de fendilhação de fendas e outro em que o processo de fendilhação estabilizada já se encontra definido. Refira-se que na viga estão marcados com traços a cores o andamento das fendas à medida que a carga evoluiu.

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Estruturas de Betão I

Por sua vez o Eurocódigo 2 define uma distância máxima entre fendas a ser calculada através da seguinte expressão que corresponde a 1.7 vezes o valor anterior acrescido do termo complementar 2c, tal que:

 

sr,max = 1.7 2c + 0.25 k1 k2

φ  φ = 3.4c + 0.425 k1 k2  ρp,ef ρp,ef

E onde c representa o recobrimento das armaduras e o termo 2c contabiliza o facto da abertura de fendas na superfície ser um pouco maior que junto à armadura.

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Estruturas de Betão I

Estado I εc1=εs1

Fissura

c N=Nf

hef

Ac,ef

σc1=fct

Escorregamento

l Pode constatar-se da análise da expressão que: Maior quantidade de armadura ⇒ menor distância entre fendas

Naturalmente que com uma maior densidade de armadura a transmissão de tensões para o betão é mais eficiente. Menores φs ⇒ menor distância entre fendas

Fisicamente compreende-se pois, para a mesma quantidade de aço, com diâmetros menores a relação entre a superfície dos varões e a área de aço é maior. Para a avaliação da abertura de fendas é preciso, para além da estimativa da distância previsível entre fendas, determinar o valor médio da diferença entre a extensão do aço (que é maior naturalmente) e a extensão do betão, na zona da fenda. Então vejamos qual seria a abertura de fendas num elemento fendilhado de betão armado, sem mobilização de aderência aço/betão. N

∆L w εs = L = s

⇒w = s εs w - abertura de fendas s - distância entre fendas s

σs N εs = E e σs = A s s

As aberturas de fendas seriam avaliadas, naturalmente, pelo produto da extensão do aço, uma vez que o betão não teria tensões, vezes o comprimento de influência de cada fenda.

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173

Estruturas de Betão I

Na realidade o cálculo da abertura de fendas baseia-se neste princípio só que há que contabilizar, por um lado, a menor extensão do aço fora da secção das fendas e, por outro lado, a extensão do betão, que contribui um pouco para diminuir a abertura da fenda. Há assim necessidade de avaliar a extensão relativa média entre o aço e o betão que pode ser determinada pela seguinte expressão: εsrm = εsm – εcm Na figura seguinte pode compreender-se o sentido desta expressão pois representase, em termos médios, a distribuição de tensões e extensões no aço e no betão ao longo de um elemento fendilhado de betão armado, com fendilhação estabilizada. L L0 N

srm

σs

σc εs;εc εsm εcm

εsr

εsrm

Onde, ∆L L - L0 εsm = L = L (deformação média da armadura) 0 0 εsr – extensão relativa entre o aço e o betão εsrm – extensão média relativa entre o aço e o betão (i) Determinação da extensão média do aço Como se pode observar no gráfico seguinte, que representa a extensão média do aço em função do esforço axial, aquela é inferior à extensão do aço em estado II (εsII), pois

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174

Estruturas de Betão I

na zona entre fendas o betão retém parte da força de tracção aplicada. Denomina-se, em geral, a este efeito a contribuição do betão entre fendas que está esquematicamente representado na figura seguinte. Verifica-se que a força média no aço entre fendas, é inferior à avaliada na secção fendilhada e, por conseguinte, a extensão média do aço é inferior à de Estado II puro. N

I II

N Contribuição do betão entre fendas

Ncr

εsI

εsm εsII

εsm

Deste modo, σs As - kt fct,ef Ac,ef σs fct,ef Fs - Fc = E - kt εsm = E A = E A Esρp,ef s s s s s Onde, σs representa tensão no aço calculada com base na secção fendilhada; kt é um factor de integração da distribuição de extensões, e que tem em conta a duração ou a repetição das cargas (kt = 0.6 para acções de curta duração; kt = 0.4 para acções de longa duração); fct,ef representa o valor médio da tensão resistente do betão à tracção, em geral igual fctm; ρp,ef representa a percentagem de armadura relativa à área de betão efectiva 

As  Ac.ef

(ii) Determinação da extensão média do betão Ora, a extensão média no betão é dada pela deformação média do betão entre fendas que é devida precisamente à mesma força retirada ao aço. σc Fc kt fct,ef Ac fct,ef εcm = E = E A = E A = kt E c c c c c c

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175

Estruturas de Betão I

Deste modo, a extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada pela diferença entre ambos, ou seja: εsm - εcm =

fct,ef fct,ef σs fct,ef  Esρp,ef σs - kt - kt E = E - kt 1+ E  Es  Esρp,ef Esρp,ef  c s c

σs fct,ef ⇒ εsm - εcm = - kt (1 + αeρp,ef) Es Esρp,ef

Es com αe = E c

2.1.1. Determinação do valor máximo da largura de fendas O valor máximo da abertura de fendas obtém-se, então, através da expressão: wk = sr,max×εsrm = sr,max (εεsm - εcm)

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

176

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 3.1

Considere a estrutura representada na figura seguinte.

γg = γq = 1.5 sc = 12 kN/m cp = 20 kN/m

6.00

ψ1 = 0.6 ; ψ2 = 0.4 Materiais: C25/30 A400NR

3.00

Recobrimento:2.5cm Secção do tirante: 0.25 × 0.25 m2

a) Verifique o estado limite último de tracção no tirante. b) Calcule a abertura característica de fendas no tirante para uma combinação frequente de acções.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

177

Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.1

ALÍNEA A) 1. Determinação dos esforços p=1 kN/m

ΣMA = 0 ⇔ RB×6 – 1 × 9 × 4.5 = 0 6.00

3.00 RB

⇔ RB = 6.75kN (reacção no tirante)

psd = 1.5 × (20 + 12) = 48 kN/m Nsd.tirante = 6.75 × 48 = 324 kN (tracção pura) Nsd 324 As = f = × 104 = 9.31 cm2⇒ Adoptam-se 8φ12 348×103 yd ALÍNEA B) 1. Cálculo da distância máxima entre fendas Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

φ ρp,ef

(i) Determinação de ρp,ef As 9.05 × 10-4 ρp,ef = A = 0.0583 = 0.0155 c.ef

0.0925 0.065

φL 0.012 h - d = rec + φest + 2 = 0.025 + 0.006 + 2 = 0.037m 2.5 (h - d) = 2.5 × 0.037 = 0.0925 m Ac.ef = 0.25 × 0.25 - 0.065 × 0.065 = 0.0583 m2

(ii) Cálculo de sr,max Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

φ 0.012 = 3.4 × 0.025 + 0.425 × 0.8 × 1.0 × 0.0155 = 0.348 m ρp,ef

(k1 = 0.8 – varões nervurados; k2 = 1.0 – tracção simples) 2. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão

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Estruturas de Betão I

εsm – εcm =

fct,ef σs - kt (1 + αeρp,ef) = Es Esρp,ef

202.9×103 2.6×103 (1+ 6.56 × 0.0155) = 6.45 × 10-4 6 - 0.4 200×10 200×106× 0.0155

Nfr = Ncp + ψ1Nsc = 6.75 (20 + 0.6 × 12) = 183.6kN σs =

Nfr 183.6 = = 202.9 MPa As 9.05×10-4

kt = 0.4 – acções de longa duração Es 200 αe = E = 30.5 = 6.56 c 3. Cálculo do valor característico da abertura de fendas wk = sr,max (εsm - εcm) = 0.348 × 6.45 × 10-4 = 0.224×10-3m = 0.2 mm

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Estruturas de Betão I

2.1.2. Cálculo de tensões com base na secção fendilhada e sua limitação No caso de se tratar de um problema de flexão, para a avaliação da abertura de fendas na zona traccionada há então que avaliar o nível de tensão nas armaduras na zona da fenda e aplicar a formulação atrás apresentada. Se Mactuante > Mcr (= w × fctm) para o cálculo de tensões na secção, é necessário considerar a secção fendilhada. No estado II a posição da LN, poderá ser obtida através da igualdade dos momentos estáticos das zonas comprimidas e traccionadas e, posteriormente, a distribuição de tensões, como analisado no Módulo 1, ou directamente, através de tabelas. Refira-se que o valor do módulo de flexão deve ter em consideração de uma forma indirecta o efeito da fluência pois, como se viu, pode definir-se um módulo de elasticidade equivalente, tal que: Ec* =

Ec . De facto a diminuição do módulo de 1+ϕ

elasticidade aumenta a zona comprimida e, consequentemente, também aumenta um pouco a tensão no aço por diminuição do braço de forças. Em geral toma-se um valor de ϕ de 0.5 a 1.5 (α = 10 a 15) para as combinações frequentes de acções e para as quase-permanentes ϕ de 2 a 2.5 (α = 18 a 22). 2.1.2.1. Cálculo de tensões através de tabelas c

A s2

σ s2 x

Valores a avaliar: β = As2/As1; d2/d Parâmetros a calcular: Es AsL Ms α = E ; ρ = b d ; es = N c

A s1

Ms N

σ s1

Ms – Momento actuante na secção em relação à armadura As1

–

es Flexão simples → N = 0 ⇒ d = ∞

–

es Ms/N Flexão composta → N ≠ 0 ⇒ d = d

Cs Em função dos parâmetros αρ e es/d ⇒ Cc Ms σc σs1 = αCs b d2 ; σs2 = α (x - 0.1d) ; x Ms σc = - Cc b d2 ;

Cc x = (C + C ) d c s

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

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Estruturas de Betão I

2.1.2.2. Limitação das tensões em serviço Refira-se que as tensões devem ser limitadas em serviço, sendo que as disposições do EC2 são as seguintes: • No Aço − Para a acção de cargas e para a combinação característica: σs ≤ 0.8 fyk − Para a acção de deformações impostas, a tratar no parágrafo seguinte: σs ≤ fyk Estas disposições têm em consideração a garantia da não cedência do aço, pois nesse caso, a abertura de fendas pode tomar valores grandes e de valor não controlável. No caso da deformação imposta, e como se verá no próximo parágrafo há uma maior certeza que o esforço desenvolvido está limitado (neste caso ao de fendilhação), por isso admite-se fyk que corresponde ainda a uma reserva em relação a fym. • No Betão − Para as acções características de acções: σs ≤ 0.6 fck − Para as acções quase permanentes: σs ≤ 0.45 fck O 1º limite tem a ver com o risco de se gerar, para este nível de acções alguma fendilhação transversal e o 1º limite justifica-se para limitar a possibilidade de se poder ter uma maior fluência, deixando de haver um regime proporcional, tensão-deformação a longo prazo

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181

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 3.2

Considere a estrutura da figura seguinte (exercício 2.2):

Materiais: C25/30, A400NR

Acções: 4.00

4.00

Peso próprio Revestimento=2.0 kN/m Sobrecarga = 3.0 kN/m

10.00

Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5

3.00

Coeficientes de combinação: ψ1 = 0.4 ; ψ2 = 0.2

Secção da viga: 0.30×0.85 m

Espessura da laje: 0.15m

a) Determine a abertura de fendas na secção S1 para uma combinação frequente de acções.

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182

Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.2

1. Cálculo dos esforços pfrequente = cp + ψ1sc = 28.25 + 0.4 × 12 = 33.1kN/m pfr S2

10.00

3.00 S1

M fr

DMF (-)

S1 fr

pL 33.1 × 3 =149kNm 2 = 2 2

(+)

2. Cálculo do momento de fendilhação (Mcr) M bh2 0.30 × 0.852 σ = w ⇒ Mcr = w × fctm = 6 × fctm = × 2.6×103 = 93.9 kNm < MS1 fr 6 fctm (C25/30) = 2.6MPa Deste modo, para combinação frequente, a secção do apoio está fendilhada 3. Cálculo de tensões em estado II (Tabelas) 5φ16

As1 = A (5φ16) = 10.05cm2 As2 = A (2φ25) = 9.82cm2 M

As1 10.05 × 10-4 = 0.0042 ρ = bd = 0.3 × 0.8 As2 9.82 β = A = 10.05 = 0.98 ≅ 1

2φ25

0.30

d2/d≅ 0.05 ;α = 15

Nota: para ter em conta o efeito de fluência pode tomar-se α ≅ 15 ou 18 α ≅



Es  Ec/(1 + ϕ)

Cs = 17.35 αρ = 15× 0.0042 = 0.063 → (pag.120) Cc = 6.03 Cc 6.03 Posição da LN: x = C + C d = 6.03 + 17.35× 0.8 = 0.21m c s Mfr 149 = 202 MPa Tensão na armadura: M = Mfr⇒σS = αCs b d2 = 15 × 17.35 × 0.3 × 0.82 MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

183

Estruturas de Betão I

4. Cálculo da distância máxima entre fendas Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

φ ρp,ef

(i) Determinação de ρp,ef ρp,ef =

10.05 × 10-4 As = = 0.027 0.0375 Ac.ef Ac,ef

hc,ef = min [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2]

hc,ef

h - d ≈ 0.05 m ⇒ 2.5 (h – d) = 2.5 × 0.05 = 0.125 m (h - x)/3 = (0.85 - 0.21) / 3 = 0.21 m h/2 = 0.85 / 2 = 0.43 m

⇒ Ac.ef = 0.30 × 0.125 = 0.0375 m2 (ii) Cálculo de sr,max Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2

0.016 φ = 3.4 × 0.03 + 0.425 × 0.8 × 0.9 × = 0.283 m 0.027 ρp,ef

k1 = 0.8 (varões nervurados) 0.125

ε1 ε2

k2 =

ε1 + ε2 ε1 + 0.8 ε1 = = 0.9 2 ε1 2 ε1

ε1 ε2 = ⇔ 0.85 - 0.21 0.85 - 0.21 - 0.125 0.21

⇔ ε2 =

0.515 ε1 = 0.8 ε1 0.64

5. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão fct,ef σs (1 + αeρp,ef) = εsm-εcm = E - kt Esρp,ef s =

202.0 × 103 2.6 × 103 (1+ 6.56 × 0.027) = 7.8 × 10-4 6 - 0.4 200 × 10 200 × 106 × 0.027

kt = 0.4 – acções de longa duração Es 200 αe = E = 30.5 = 6.56 c 6. Cálculo do valor característico da abertura de fendas wk = sr,max (εsm - εcm) = 0.283 × 7.8 × 10-4 = 0.22 × 10-3m = 0.22 mm

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

184

Estruturas de Betão I

2.2. ARMADURA MÍNIMA Nesta fase do curso já se referiu a necessidade de quantidades de armadura mínima à tracção, à flexão, ao esforço transverso, etc, com o objectivo de assegurar, no essencial, que, em caso de rotura, esta não seja frágil. No que se segue, a problemática é bem diferente, apesar de poder conduzir a resultados quantitativos que, nalgumas situações, são coincidentes. Neste contexto pretende-se, principalmente, obter quantidades mínimas de armaduras distribuídas nos elementos estruturais de tal modo que, se se formarem fendas, por efeitos de cargas ou de deformações impostas, tais como a própria retracção do betão ou uma variação de temperatura (em situações de restrição a essa deformação livre), as aberturas, em condições de serviço se encontrem dentro de limites controlados. 2.2.1. Tracção Considere-se o tirante de betão armado representado na figura seguinte, mas agora submetido ao efeito de uma força ou de uma deformação imposta. N

fct

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

185

Estruturas de Betão I

A diferença principal é a de que num caso se aplica a força e mede a deformação e, noutro, aplica-se a deformação e mede-se a força. Se em termos de comportamento elástico são situações equivalentes, nas estruturas de betão armado devido ao seu comportamento não linear a curto prazo, por fendilhação, e a longo prazo, por fluência do betão, as respostas podem ter características bem diversas. Verifica-se que, em ambos os casos, até à formação da 1ª fenda, o comportamento é elástico e equivalente mas, após a fenda, surgem duas respostas distintas: 1- Para o caso de aplicação da carga verifica-se um aumento da deformação global do conjunto devido à perda de rigidez na abertura de cada nova fenda. Assim, se não estiver presente uma quantidade de armadura suficiente para equilibrar a carga de fendilhação, verifica-se uma rotura frágil do tirante. É com base nesta situação que se define a armadura mínima devido ao efeito de cargas, como referido nos Módulos 1 e 2, tal que: Ncr = Ac × fct ⇒ Ac × fct ≤ As fyk ⇒ As.min = Ac

fct , por tracção fyk

2 - Para o caso da deformação imposta a perda de rigidez por formação de cada nova fenda faz com que a carga diminua. Neste enquadramento, a formação da 1ª fenda não é preocupante, pois o esforço diminui. No entanto, com o crescimento da deformação imposta, se a capacidade das armaduras é inferior ao esforço necessário para se formar a 2ª fenda o tirante plastifica na zona da 1ª fenda (ver figura a) seguinte). Assim, não se formam mais fendas, concentrando-se toda a deformação imposta naquela fenda, que atinge, rapidamente, valores inaceitáveis.

σs2

I Patamar de cedência

σsr,1

fy II

σsr,n σsr,1

σsr,n = 1,30 a 1,35 σsr,1

fy Formação de fendas

˜ 0,10

Fendilhação estabilizada

ε imp

ε imp w1 wn

a) ρ ρmin,y

wn = 1,20 w1 b) ρmin,w = ρmin (wadm) > ρmin,y

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186

Estruturas de Betão I

No caso da deformação imposta, permitir a formação de várias fendas, as aberturas são mais aceitáveis (ver figura b) anterior), chegando-se à conclusão que a quantidade mínima de armadura para garantir este comportamento é equivalente à necessária de não fragilidade, por efeito de cargas (situação 1). 2.2.2. Flexão O caso da flexão é, em parte, equivalente ao da tracção na medida em que a zona traccionada da secção funciona como um tirante. A diferença é que a distribuição de tensões antes da fendilhação é triangular e não uniforme, como se mostra seguidamente, e já referido no Módulo 1.

σc (-)

M h h/2 b

bh Área de betão traccionada: Act = 2 ⇒As.min = 1 Força de tracção no betão: FT = 2 fct Act

(+)

f ct

1 fct A 2 ct fyk

De acordo com o Eurocódigo 2, a expressão para o cálculo da área de armadura mínima, em termos do comportamento em serviço, e tendo como base, as características da resposta a deformações impostas é dada pela seguinte expressão: As.min = kc k Act

fct.ef σs

Em que a quantidade de armadura é avaliada admitindo que, durante o processo de fendilhação, o esforço máximo mantém-se constante, da ordem de grandeza do esforço de fendilhação, e se limita o nível de tensão nas armaduras aσ σs . Naquela expressão: As,min representa a área mínima de armadura a colocar na zona traccionada; Act representa a área de betão traccionada; σs representa a tensão que se desenvolve na armadura imediatamente após a formação da fenda, podendo ser, no limite, igual a fyk. fct,ef representa o valor médio da resistência do betão à tracção na idade em que se espera que ocorram as primeiras fendas;

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187

Estruturas de Betão I

k é um coeficiente que considera, para deformações impostas em parede espessas, o efeito de tensões auto-equilibradas não uniformes (diminuição da resistência efectiva à tracção devido à instalação de estados auto-equilibrados de tensões), cujo valor varia com a espessura (ou altura) do elemento, de acordo com o gráfico seguinte: k 1.0

0.65

0.3

0.8

h [m]

Para fendilhação devida a cargas aplicadas, k = 1.0 kc é um coeficiente que tem em conta quer a forma da distribuição de tensões na secção, imediatamente antes da fendilhação, quer a alteração do braço da força.

Para tracção simples: kc = 1.0

Para flexão simples kc = 0.4

Para banzos traccionados de secções em caixão ou em “T” Fcr kc = 0.9 A f ≥ 0.5 ct ct,ef

Em que Fcr representa o valor absoluto da força de tracção no banzo, no instante que antecede a fendilhação, devida ao momento de fendilhação (Mcr calculado utilizando o valor de fct,ef). Como simplificação é natural considerar para estes casos kc = 0.9 ou mesmo uma situação de tirante puro, k = 1.0.

Para flexão composta, o EC2 propõe a generalização destes princípio tal que: σc kc = 0.4 1- k (h / h*) f  ≤ 1.0  1 ct,ef Onde, σc representa a tensão média actuante no betão, na secção rectangular ou na alma da secção, se tiver outra forma (σc = NEd / b h), sendo NEd o esforço normal actuante para a combinação de acções considerada (compressão com sinal positivo);

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188

Estruturas de Betão I

k1 é um coeficiente que considera o efeito dos esforços normais na distribuição de tensões: k1 = 1.5 se o esforço normal for de compressão; k1 = 2h*/3h se o esforço normal for de tracção; h* = min (h; 1.0 m); A variação de kc da tensão média na secção é a ilustrada para 3 secções no gráfico seguinte. 1,00

Estimativa do coeficiente kc

0,80

0,60 Caso 1 - 1,50x0,50 Caso 2 - 1,00x0,40

0,40

Caso 3 - 0,20x1,00

0,20 Tensão média [kN/m2]

0,00 -7500

-6000

-4500

-3000

-1500

1500

3000

4500

Esta é uma forma de aumentar ou diminuir a armadura mínima de flexão consoante haja um esforço axial, respectivamente, de tracção ou compressão. Apresenta-se seguidamente a exemplificação de algumas destas disposições. (i)

Armadura mínima para situações de tracção devidas a deformações impostas restringidas. Muro de suporte

Nestes casos o encurtamento por retracção ou abaixamento de temperatura diferencial entre a fundação e a parede vertical do muro geram, na parede, um estado de tensão de tracção bastante aproximado ao de um tirante especialmente se o muro for tal que l/h ≥ 4. Assim a armadura mínima de tracção deve ser disposta longitudinalmente e nas duas faces. Note-se que não interferem com as armaduras necessárias para suporte das terras, dispostas na vertical.

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Estruturas de Betão I

fct.ef As.min = kc k Act σs Em que: fct,ef = 2.9 MPa ; fyk = 500 MPa kc = 1.0 (efeito de tracção) k = 1.0 se h ≤ 0.30 m e k = 0.65 se h ≥ 0.80m (efeito da diminuição do esforço de fendilhação da parede devido à deformação imposta por causa das tensões autoequilibradas) Problema: fendilhação no muro, pelo facto da sapata φ16 / 0.15

φ16 / 0.15

(betonada anteriormente) constituir um impedimento ao livre encurtamento do muro por efeito da retracção e temperatura.

h = 0.50

necessário

adoptar

armadura

mínima

direcção

horizontal: As.min/face = kc k Act

fct,ef h fct,ef 2 = 1.0 ×k(h) × 2 × f [cm /m/face] σs yk

k = k(h) (deformação imposta) ≅ 0.85 kc = 1.0 (tracção pura) 0.5 Act= 1.0 m 2 = 0.25 m 2.9 2 Asmin = 100 ×25×1.0× 0.85 ×500 = 12.3 cm /m (φ16//0.15)

Varanda (consola) Um caso semelhante, mas agora devido a uma retracção ou abaixamento de temperatura diferencial entre o exterior e interior de um edifício, é o de varandas. Problema: fendilhação na consola, pelo facto da laje interior h = 0 .2 0

constituir

impedimento

livre

encurtamento da consola devido a variações de temperatura e/ou retracção.

É necessário adoptar armadura mínima na direcção paralela ao apoio: As.min = kc k Act

fct,ef fct,ef = 1.0 × k(h) × h × f [cm2/m] σs yk

k = k(h) (deformação imposta) = 1.0

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Estruturas de Betão I

kc = 1.0 (tracção pura) 0.2 Act = 1.0 × 2 = 0.10 m 2.9 As,min = 100 × 1.0× 1.0 × 500 = 5.8cm2/m (φ10//0.125) (ii)

Armadura mínima de flexão simples (considerando Act =Ac/2)

Expressão geral: As.min = k kc Act

fct.ef σs

Esta armadura mínima é necessária, por exemplo, para o caso de uma deformação imposta que gere um efeito de flexão em serviço, como um assentamento diferencial de apoio numa viga hiperstática. Então temos: Ac 3 As,min = 1 × 0.4 × 2 × 400 = 0.15% Ac Verifica-se que, como seria de esperar e já foi atrás referido, é da mesma ordem de grandeza do definido no Módulo 2 para secções rectangulares também de acordo com o EC2, para assegurar uma rotura dúctil de flexão. Naquela expressão considerou-se: k = 1.0 (situação de deformação imposta sem gerar tensão auto-equilibrada) σc kc = 0.4 1- k (h / h*) f  = 0.4 (para secções rectangulares sem esforço normal)  1 ct,ef fct,ef ≈ 3 MPa σs = fyk = 400MPa (A400) (iii)

Armadura mínima em banzos traccionados

Quando uma viga de betão armado com banzos traccionados fendilha, aos banzos é imposta uma deformação, e mesmo que na alma exista armadura suficiente para garantir a segurança á rotura, as zonas laterais vão fendilhar e precisam de ter uma armadura mínima (ver figura) para que as fendas sejam repartidas e com aberturas aceitáveis. Pode também, em secções em caixão, haver deformações impostas relativas entre banzos e almas de espessuras diferentes, que geram distribuições de tracções semelhantes aos das consolas (i). Havendo essa possibilidade é exigido também, por essa via, a disposição de armadura mínima.

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191

Estruturas de Betão I

Num caso e noutro a deformação de comportamento entre ter essa quantidade de armadura ou não está representado na figura seguinte.

Apresenta-se seguidamente a avaliação das armaduras mínimas para este tipo de elementos no caso da acção de um momento positivo. σ (-)

M (+)

quase tracção pura

As.min = kc k Act

fct,ef fct,ef = 1.0 × 0.9 × Act× f (cm2) ⇒ Asmin/m = 1.0 × 0.9 × 100 × σs yk

h fct,ef 2 2 fyk (cm /m/face) k = 1.0 (efeito de uma carga) Fcr kc = 0.9 A f ≈ 0.9 (para banzos, caso se considere, simplificadamente, que o ct ct,ef diagrama de tensões ao longo do banzo é quase constante) Se h = 0.25 m; fct,ed = 3 MPa e fyk = 500 MPa ⇒ Asmin/m/face = 7.5 cm2/m/face ⇒ φ12//0.15 (iv)

Armadura de alma (para vigas com h > 1m)

É conhecido que, nas almas de vigas altas, se se tiver uma distribuição só com armadura na zona inferior, a fendilhação nesta zona é distribuída, mas com tendência

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

192

Estruturas de Betão I

a concentrar-se na alma (fenómeno denominado, em geral, por arborescência) originando aí fendas com aberturas maiores e não aceitáveis (esquema seguinte).

Para controlar estas fendas, há que colocar uma armadura mínima que pode ser calculada por metro a distribuir nas duas faces da alma. Este é um fenómeno semelhante ao dos banzos traccionados mas numa zona restringida superior e inferiormente, respectivamente, pela compressão e armadura principal, sendo, portanto, mais favorável. O EC2 propõe adoptar uma percentagem de armadura um pouco inferior, ou seja com k kc = 0.5: As.min = kc k Act

fct,ef σs

= 0.5 × Act ×

bh fct,ef 2 2 × fyk (cm ) ⇒ Asmin/m = 0.5 × 100 ×

b fct,ef 2 2 × fyk (cm /m/face) Se h = 0.30 m; fct,ef = 3 MPa e fyk = 500 MPa ⇒ Asmin = 4.5cm2/m/face ⇒ (φ10//0.15) A armadura calculada, deverá, em princípio e por simplificação, ser extendida a toda a alma, visto que, numa viga contínua a zona traccionada da alma está em baixo na zona do vão, e em cima nos apoios.

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193

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 3.3

Considere a estrutura da figura seguinte: sc cp S2 3.50

10.00

S1 3.50

0.20

Materiais: C20/25, A400 Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m 1.00

sobrecarga = 40.0 kN/m 0.15

Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5

1.00

a) Para a estrutura já analisada, calcule as armaduras longitudinais mínimas e pormenorize a secção transversal.

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194

Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.3

ALÍNEA A) 1. Armadura mínima de flexão k = 1.0 (cargas aplicadas) kc = 0.4 (para secções rectangulares ou almas sujeitas a

Act

flexão simples) 0.20 × 1.0 2.2 fct.ef = 0.4 × 1.0 × × 400 × 104 = 2.2cm2 a colocar junto à face As.min = kc k Act 2 σs inferior de cada alma 2. Armadura no banzo

k = 1.0 (cargas aplicadas) kc = 0.9

(para banzos, considerando que o diagrama de

tensões ao longo do banzo é constante) Act

0.15 2.2 As.min/m = 0.9 × 1.0 × 1.0 × 2 × 400 × 104 = 2.23 cm2/m/face ⇒ (φ8/0.20) 4.46 cm2 / 2 faces = 2.23 cm2/face 3. Armadura de alma

A ct

kkc = 0.5 [valor médio proposto no EC2]

h/2

fct.ef 0.20 2.2 As.min/m = kc k Act ⇒ Asmin/m = 0.5 × 2 × 1 m × 400 × 104 = 2.75 cm2/m/face ⇒ σs (φ8/0.15) Embora para um momento com um dado sinal a armadura de alma não seja necessária junto à zona comprimida, sob o ponto de vista prático essa armadura é disposta em toda a alma sendo mais fácil calculá-la por metro (de altura).

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195

Estruturas de Betão I

2.3. LIMITES ADMISSÍVEIS DE FENDILHAÇÃO RELATIVOS AO ASPECTO E À DURABILIDADE Na ausência de requisitos específicos (impermeabilização, por exemplo), para elementos de betão armado, o EC2 estabelece os seguintes limites, de aberturas de fendas, em função do ambiente envolvente (as classes de exposição estão clarificadas no Modulo 4):

Classe de exposição X0, XC1

Valores recomendados de wmax [mm]

0.4

XC2, XC3, XC4 XD1, XD2

0.3

XS1, XS2, XS3

Estes limites resultam dos conhecimentos actuais que apontam para que fendas com aberturas, não superiores a valores da ordem de 0.3 a 0.4 mm, não são prejudiciais no processo de contrariar o desenvolvimento de degradação por corrosão das armaduras. O limite mais folgado de abertura de fendas definido para o caso das classes de exposição X0 e XC1, é apresentado como um limite, apenas para garantir um aspecto aceitável do elemento. Por outro lado, para casos especiais de tanques com necessidades de garantir certos níveis de estanquidade, disposições mais exigentes são requeridas (ver EC2 – 3). A abertura máxima de fendas deve ser calculada para a combinação de acções quase-permanentes, que actuam a estrutura quase constantemente ao longo do tempo. 2.4. CONTROLO DA FENDILHAÇÃO SEM CÁLCULO DIRECTO (EC2) É possível, em geral, limitar as aberturas das fendas a valores aceitáveis como os acima referidos, e evitar uma fendilhação com valores de aberturas não controladas, caso se utilizem as disposições e quantidades mínimas de armadura atrás referidas, e, ainda, de acordo com o EC2, que:

para fendilhação provocada, essencialmente, por deformações impostas impedidas, se limitem os diâmetros dos varões a utilizar em função da tensão na armadura no instante após a fendilhação (Quadro 7.2N);

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196

Estruturas de Betão I

para fendilhações causadas principalmente por cargas aplicadas se limitem ou os diâmetros dos varões (Tabela 7.3N) ou o espaçamento entre varões (Tabela 7.3), ambos função da tensão na armadura, para os esforços correspondentes à combinação de acções em causa.

Na página seguinte apresentam-se os Quadros do EC2 sobre esta matéria e os comentários associados. Para cargas aplicadas poderá estimar-se, numa 1ª aproximação, a tensão nas armaduras para uma combinação em serviço, considerando que:σs≈

Mcomb.serviço × fyd. MRd

Está a se admitir para a combinação fundamental de acções, uma tensão fyd, e que o braço em serviço é o mesmo. Evidentemente que σs deve ser melhor avaliado como indicado no §2.1.2.1. Para deformações impostas a armadura mínima obtém-se, efectivamente, considerando σs = fyk. No entanto, se o diâmetro das armaduras não satisfizer o estabelecido na tabela 7.2N, para assegurar a abertura máxima de fendas requerida deverá adoptar-se o par (σs, φ) que respeita o controlo indirecto daquele valor. Por outro lado, a armadura necessária deverá ser calculada através da expressão de As,min considerando esse valor de σs. De notar que os Quadro foram definidos para certas hipóteses de valores dos parâmetros e que se são referidas duas expressões, para a tracção e flexão, de correcção para outras condições. Refira-se, finalmente, que nos casos da restrição à deformação imposta se verificar só ao longo dos bordos, como no caso do muro e da varanda, atrás exemplificados, a avaliação de armadura não é um problema tecnicamente resolvido. No entanto, aconselha-se, neste momento, a sua avaliação, como apresentado nos exemplos.

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Estruturas de Betão I

Quadro 7.2N – Diâmetros máximos dos varões φ s para controlo da fendilhação 2 Tensão no aço Diâmetros máximos dos varões [mm] [MPa] wk= 0,4 mm wk= 0,3 mm wk= 0,2 mm 160 40 32 25 *

200

240

280

320

360

400

450

NOTAS: 1. Os valores indicados no quadro baseiam-se nas seguintes hipóteses: c = 25 mm; fct,eff = 2,9 MPa; hcr = 0,5 h; (h-d) = 0,1h; k1 = 0,8; k2 = 0,5; kc = 0,4; k = 1,0; kt = 0,4 2. Para as combinações de acções apropriadas 1

Quadro 7.3N – Espaçamento máximo dos varões para controlo da fendilhação Tensão no aço [MPa]

Espaçamento máximo dos varões [mm] wk=0,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm

160

300

200

300

250

150

240

250

200

100

280

200

150

320

150

100

360

100

Para as Notas, ver o Quadro 7.2N.

O diâmetro máximo dos varões deverá ser modificado como se indica a seguir: Flexão (com pelo menos parte da secção em compressão): k c hcr

∗

φs= φ s (fct,eff /2,9)

2(h- d)

(7.6N)

Tracção (tracção simples): ∗

φs = φ s (fct,eff/2,9)hcr/(8(h-d))

(7.7N)

em que: φs ∗

diâmetro modificado máximo dos varões; s

h hcr

diâmetro máximo dos varões indicado no Quadro 7.2N; altura total da secção; altura da zona traccionada imediatamente antes da fendilhação, considerando os valores característicos do pré-esforço e os esforços normais para a combinação quase-permanente de acções;

altura útil ao centro de gravidade da camada exterior das armaduras;

Quando toda a secção está sob tracção, h - d é a distância mínima do centro de gravidade das armaduras à face do betão (no caso em que a disposição das armaduras não é simétrica, considerar-se as duas faces).

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

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Estruturas de Betão I

3. Estado Limite de Deformação As estruturas sob a acção das diferentes solicitações deformam-se havendo necessidade de limitar essa deformação a limites aceitáveis do ponto de vista do aspecto, da funcionalidade da estrutura e do controlo de danos em elementos não estruturais, assentes sobre a estrutura. Assim, não são facilmente aceitáveis: - Pelos utilizadores, pavimentos cuja deformação seja visível, em particular em obras com níveis superiores de exigência. - Para o bom funcionamento dos sistemas de drenagem das coberturas dos edifícios, flechas que dificultem ou inviabilizem o esquema previsto. - Fendas bem visíveis nas alvenarias de fachada ou interiores em edifícios, ou de danos em caixilharias, acabamentos, etc., sinais de menor qualidade de construção e, no caso das paredes exteriores, definindo caminhos preferenciais de entrada de humidades.

3.1. LIMITES DE DEFORMAÇÃO Os limites a definir para a flecha numa estrutura não são facilmente definíveis pois a fronteira do que é ou não possível aceitar não é absoluta. Resulta, em muito, do que tem sido observado, ao longo dos anos, em situações de deficiente e bom comportamento. A norma ISO 4356 apresenta, de uma forma exaustiva, valores limites para diferentes tipos de utilização dos pisos. De qualquer maneira, para os casos correntes de edifícios de escritórios, comerciais ou de habitação, o EC2 (parágrafo 7.4.1), seguindo as recomendações da norma acima referidas, define os seguintes objectivos máximos de deformação, em função do vão:

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Estruturas de Betão I

L para a deformação total devida combinação de acções quase-permanentes 250 L para o incremento de deformação após construídas as paredes de alvenaria das 500 divisórias. Este limite pode ser adaptável face à sensibilidade da solução construtiva. Refira-se que estes valores de deformação se referem ao diferencial entre os pontos e apoio e o ponto de flecha máxima. Isto é, em particular nos pisos elevados de um edifício, a deformação dos pilares deve ser descontada, apesar de, em geral, não ser muito significativa. Refira-se que, para pontes, os limites usuais, embora não limitados de forma absoluta, apontam para valores da ordem de L/1000. Note-se o facto dos limites de deformação estarem associados à dimensão do vão, limitando-se, assim, a inclinação da deformada. Um aspecto importante salientar é que, como estratégia de dimensionamento, se devem prosseguir objectivos, com alguma folga, em relação aos limites acima referidos. 3.2. QUESTÕES NA AVALIAÇÃO E NA LIMITAÇÃO DA DEFORMAÇÃO Para a avaliação das deformações em estruturas de betão armado há que ter, em particular atenção as suas características de comportamento em serviço. Ora enquanto não fendilhadas e para efeitos de comportamento a curto prazo, a deformação das estruturas de betão dependem do módulo de elasticidade do betão, com uma pequena influência das armaduras (ver esquema abaixo). M

p EI I

1/r

1 M curvatura: r = EI I – 1 – 1 deslocamento: a = ⌠ r M dx a = EI ⌠ ⌡L M M dx ⌡L I

(P.T.V.)

– M − diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

200

Estruturas de Betão I

No entanto, compreende-se que, a fendilhação, correspondente a uma perda de rigidez, embora localizada numa zona, afecta a deformação global. Ora, como já discutido no Módulo 1, coloca-se desde logo a necessidade de:

Avaliar as relações momentos-curvatura das zonas fendilhadas.

Considerar uma distribuição de curvaturas ou, equivalentemente, de rigidezes, tendo em conta o comportamento ao longo dos elementos.

Na figura que se segue mostra-se como nas zonas fendilhadas (submetidas a esforços superiores aos de fendilhação) as curvaturas definidas, com base em relações médias, são maiores do que as esperadas para um comportamento em Estado I. p

Estado I EII

Estado II

M EIII Mcr

Mcr

1/r

1 r

Por forma a se ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma curvatura média para cada zona do elemento, que os ensaios experimentais mostraram estar entre os conhecidos Estados I e II. Esta resposta era expectável pois a participação do betão à tracção entre fendas faz com que a deformação seja inferior à do Estado II em que se despreza todo o betão à tracção. Uma constatação interessante dos resultados experimentais é a perda de rigidez muito significativa logo após a fendilhação, no denominado processo de formação de fendas, a que se segue uma certa nova rigidificação depois da fendilhação estabilizada até ao início da cedência do aço. A

curvatura

média

que

proposta

tem

andamento

que

reproduz,

aproximadamente, as características principais do comportamento experimental.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

201

Estruturas de Betão I

EII

II EIII

M Mcr

(1-τ)s

τs

(1/r)I

(1/r)m (1/r)II

1/r

Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura média pode ser calculada através de uma ponderação entre as curvaturas em estado I e II, considerando para isso um coeficiente de repartição (τ): 1 1 1 = (1 - τ) +τ rm rI rII σsr  2   σs 

com τ = 1 - β1 β2 

Este coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples, pode ser obtido através da seguinte expressão, devido à relação directa momentos-tensões. Mcr 2 τ = 1 - β 1 β 2   para M > Mcr M onde, β1 – coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões (β 1 = 1.0 para varões de alta aderência; β 1 = 0.5 para varões aderência normal); β2 – coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (β2 = 1.0 para uma única carga de curta duração; β2 = 0.5 para cargas actuando com permanência ou para vários ciclos de cargas); σsr – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação; σs – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante da actuação do valor da carga para a qual se pretende calcular a flecha. 1 1 Notar que se M < Mcr ⇒ τ = 0 ⇒ r = r m I

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

202

Estruturas de Betão I

Verifica-se, então, que a avaliação da deformação de uma estrutura de betão armado pode se basear na resposta elástica a curto prazo, considerando a secção não fendilhada de betão, com uma posterior correcção. Esta pode ser conseguida por um coeficiente, bem calibrado, que tenha em consideração as perdas de rigidez conjunta por fendilhação e fluência do betão. Essa é uma opção possível e prática, que dá origem ao denominado método dos coeficientes globais, que temos vindo a propor na disciplina. Antes de expor a metodologia para avaliação dos coeficientes globais é interessante realçar os principais parâmetros que afectam a deformação das estruturas em geral, e dos sistemas vigados, com ou sem continuidade, em particular. Como se ilustra na figura seguinte e verifica na expressão base de avaliação das flechas, ac = K

pL4 EI

a defomação depende das condições de fronteira, associada ao parâmetro, k, e tem uma fortíssima dependência do vão e da inércia, em particular da altura pois, tem-se, por exemplo, para uma secção rectangular, a seguinte relação flecha/vão: bh3 ac 12 p L 3 I = 12 ⇒ L = K b E  h    p

ac L

Relembre-se que o coeficiente, k, toma os valores de 5/385, 1/184.6 e 1/385, respectivamente, nos casos de vigas simplesmente apoiadas, apoiadas/encastradas e bi-encastradas, o que mostra a importância do grau de continuidade de uma viga na deformação. Tendo em consideração as condições de fronteira, a esbelteza e, ainda, as influências da fendilhação, fluência do betão e da sua retracção, foi possível definir, no âmbito do EC2, e de forma mais ou menos equivalente ao feito noutros códigos, um quadro que permite o controlo indirecto (sem cálculo explícito) dos limites de deformação atrás referidos, pela consideração de uma esbelteza, (L/h), mínima.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

203

Estruturas de Betão I

Quadro 7.4N – Valores básicos da relação vão/altura útil para elementos de betão armado sem esforço normal de compressão Sistema estrutural

Betão fortemente solicitado

Betão levemente solicitado

ρ = 1,5 %

ρ = 0,5 %

1,0

1,3

1,5

1,2

0,4

Viga simplesmente apoiada, laje simplesmente apoiada armada numa ou em duas direcções Vão extremo de uma viga contínua ou de uma laje contínua armada numa direcção ou de uma laje armada em duas direcções contínua ao longo do lado maior Vão interior de uma viga ou de uma laje armada numa ou em duas direcções Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje fungiforme) (em relação ao maior vão) Consola

NOTA 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, e o cálculo poderá frequentemente revelar que é possível utilizar elementos mais esbeltos. NOTA 2: Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão. NOTA 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem, para a flecha a meio vão, a uma limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.

Assim, para um dado vão e condições tipo de continuidade, é possível ter um valor mínimo de altura para assegurar condições de deformabilidade aceitáveis, desde que, tenham sido adoptadas quantidades de armadura que verifiquem as condições de segurança à rotura. Verifica-se no quadro que para maiores percentagens de armadura (situação usual nas vigas) o limite de esbelteza é mais exigente (menor) do que nas lajes (menores percentagens de armadura). Quando na rotura se precisa de mais armadura, a zona comprimida é maior, e para um nível equivalente de tensões no aço em serviço, a curvatura é maior e, portanto, mais desfavorável para a deformação.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

204

Estruturas de Betão I

Naturalmente que os valores resultantes da aplicação do quadro devem ser conservativos e, portanto, são possíveis, soluções mais esbeltas, desde que a deformação seja devidamente avaliada. No entanto realce-se que o limite de esbelteza para controlo da deformabilidade é muito mais condicionante para as lajes do que das vigas. Para estas, como se pode ver no Quadro, para valores de l/h correntes em edifícios, entre 8 a 14, e independentemente das condições de fronteira, está-se na banda de valores aceitáveis, deste ponto de vista. Conclui-se, então, que as dimensões das vigas são, por um lado, condicionadas em geral pela verificação da segurança à rotura e, por outro lado, as vigas são extremamente eficientes como elementos estruturais de limitação das deformações nos pisos estruturais. 3.3. AVALIAÇÃO DIRECTA DA DEFORMAÇÃO No que se segue explicar-se-á o essencial para a avaliação explícita da deformação de uma viga ou de uma laje de betão armado, de acordo com o método dos coeficientes globais, atrás referido, começando-se por analisar a avaliação das curvaturas em Estados I e II. 3.3.1. Cálculo da curvatura em estado I No Estado I a influência das armaduras não é muito significativa na deformação das estruturas de betão armado, quer a curto prazo, quer no que respeita aos efeitos da fluência e da retracção. No entanto, na realidade as armaduras rigidificam um pouco a secção, sob a acção de cargas e, se a sua distribuição não for simétrica, contribuem para o aumento da deformação por efeito da retracção. Cada um destes efeitos foi matematicamente expresso e depois representado graficamente em trabalhos do Comité Europeu do Betão (CEB) nos inícios dos anos 80, estando reproduzidos, em detalhe, no Volume das Tabelas da disciplina. A curvatura em estado não fendilhado pode ser avaliada através da expressão: 1 1 1 1 = ks1× r + kϕ1 × ϕ × ks1 r + r , rI c c cs1 Onde, 1 1 M – curvatura base elástica:  r = E I  rc  c c c ks1 – coeficiente que considera, a acção das armaduras, a curto prazo, sendo naturalmente inferior a 1, e tanto menor quanto maior a % de armadura.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

205

Estruturas de Betão I

ϕ – coeficiente de fluência que dá o incremento da deformação de curto prazo, se não houvesse armaduras. kϕ1 – coeficiente que quantifica o grau de restrição que a armadura oferece ao incremento de deformação por fluência do betão (efeito equivalente ao ks1, mas agora ao incremento de deformação a longo prazo) 1

-

rcs1  rcs1

εcs = kcs1 d  

Esta parcela é independente das restantes pois não tem nada a ver com as cargas, e permite a avaliação da curvatura por retracção, que depende, no essencial, da maior ou menor simetria na distribuição das armaduras na secção. 3.3.2. Cálculo da curvatura em estado II Para o Estado II, isto é, secção fendilhada sem considerar o betão à tracção é possível proceder exactamente ás mesmas hipóteses e definir coeficientes equivalentes. Desta forma pode escrever-se a equação: 1 1 1 1 = ks2× r + kϕ2 × ϕ × ks2 r + r , rII c c cs2 Com  r



1 cs2

εcs = kcs2 d  

De notar que ks2 é, naturalmente maior que 1, pois representa a relação entre a curvatura da secção do Estado II com a avaliada só com betão (ver gráfico exemplificativo)

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

206

Estruturas de Betão I

Este gráfico representa a perda de rigidez, que é significativa, função da quantidade de armadura, do Estado I para o II, sendo tanto maior quanto menor a quantidade de armadura. Saliente-se que para uma percentagem, ρ, de armadura de flexão principal de 0.75% (aproximadamente, 5 vezes a mínima), αρ vale 0.052 a que corresponde uma relação de rigidezes III/Ic da ordem de 1/5. Os restantes coeficientes têm um significado semelhante sendo que kϕ2 é necessariamente muito pequeno pois, numa secção fendilhada, a restrição ao aumento da deformação ao longo do tempo é grande. Repare-se que a zona traccionada só pode, quando muito, ajustar um pouco a sua deformação, pois é só aço e este não flui. 3.3.3. Cálculo das deformações Tendo a distribuição de momentos, para uma dada combinação de acções e podendo avaliar a curto ou longo prazo a curvatura média em qualquer zona da viga, a deformação resulta directamente do integral (ver também a figura):

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

207

Estruturas de Betão I

a=⌠

1 – M dx ⌡L r

1 M

Mcr

1 r

No entanto, em termos de implementação mais rápida definem-se seguidamente dois métodos, o método bilinear que é referido no EC2, ou o dos coeficientes globais, que resulta daquele e que permite uma avaliação mais directa da deformação, mediante hipóteses simplificativas que se descrevem. 3.3.3.1 Método Bilinear

Trata-se de avaliar a deformação das vigas, por um lado, como não fendilhadas e, por outro lado, em Estado II, sem betão à tracção. Conhecidos os materiais e a distribuição de armaduras é possível determinar os coeficientes atrás definidos para uma secção determinante. i) Cálculo dos coeficientes ks1, kϕ1, kcs1, ϕ e

ks2, kϕ2, kcs2

ii) Cálculo do coeficiente de repartição, τ A hipótese considerada é de tomar um momento intermédio na zona fendilhada para efeitos da avaliação do coeficiente de repartição, tal que: Mcr M = MD Mcr ⇒ τ = 1 - β1 β2 M = constante D

onde MD representa o momento na secção determinante, ou seja o maior na zona.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

208

Estruturas de Betão I

Sabendo que a flecha no vão depende das curvaturas no vão, mas também do que se passa sobre os apoios, podemos tomar um valor ponderado, tendo em consideração essas zonas, como se mostra nos seguintes exemplos. Secções determinantes (secções de momentos máximos) τ = τvão τ = τapoio τ=

2 τvão + τapoio 3

τ=

τapoio 1 + 2 τvão + τapoio 2 4

A flecha pode então ser obtida função da dos Estados I e II tomando τ constante. iii) Cálculo de flechas L 1 – L 1 1 – τ = constante ⇒ a = ⌠ r M dx = ⌠ (1 - τ) r + τ r  M dx = ⇔ ⌡0 m ⌡0  I II  L1 – L 1 – ⇔ a = (1 – τ) ⌠ r M dx + τ ⌠ M dx ⇔ ⌡0 I ⌡0 rII

com

a = (1 - τ) aI + τ aII

L 1 εcs – aI = ⌠ ks1 (1 + kϕ1ϕ) × r + kcs1 d  M dx  ⌡0  c L 1 εcs – aII = ⌠ ks2 (1 + kϕ2ϕ) × r + kcs2 d  M dx  ⌡0  c

Tomando uma secção como determinante, ter-se-iam coeficientes constantes e portanto: L 1 – – εcs aI = ks1 (1 + kϕ1ϕ) ⌠ r M dx + kcs1 d ⌠L M dx ⌡0 c ⌡0 L 1 – – εcs aII = ks2 (1 + kϕ2ϕ) ⌠ r M dx + kcs2 d ⌠L M dx ⌡0 c ⌡0

Em que o integral associado à curvatura elástica, corresponde à deformação elástica da viga, ac. Este é o método bilinear, que para mais fácil implementação pode ser proposto na forma do método dos coeficientes globais, como se mostra de seguida. Assim, desprezando a parcela da retracção tem-se:

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

209

Estruturas de Betão I

aI = ks1 (1 + kϕ1ϕ) ac e

aII = ks2 (1 + kϕ2ϕ) ac

Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a a = (1 - τ) aI + τaII = (1 - τ) ks1 (1 + kϕ1ϕ) ac + τ ks2 (1 + kϕ2ϕ) ac ⇔ ⇔ a = [(1 - τ) ks1 (1 + kϕ1ϕ) + τks2 (1 + kϕ2ϕ)] ac = k ac Neste caso define-se, portanto, um coeficiente global, k, que afecta directamente a deformação elástica, tal que: a = k ac Este coeficiente, k, foi avaliado para diferentes valores de armaduras, ρ, e níveis de fendilhação, Mcr/MD, tendo sido desenvolvidos gráficos de fácil consulta para a avaliação, como o indicado seguidamente admitindo uma situação de curto prazo e 1º carregamento, k0, e outra de longo prazo, kt, para um coeficiente de fluência de 3.5. Para outras situações e para a consideração da retracção, outros gráficos são disponibilizados nas Tabelas da disciplina.

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

210

Estruturas de Betão I

Então para a aplicação do Método dos Coeficientes Globais temos então que: a) Cálcular o deslocamento ac considerando um modelo elástico linear e rigidez de flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas. b) Avaliação de coeficientes K para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a fluência, para as secções determinantes. Deslocamento instantâneo (t = 0): a0 = k0 ac (h/d)3 Deslocamento a longo prazo (t = ∞): at = η kt ac (h/d)3

(tabelas pág. 97) (tabelas págs. 98 e 99)

ac – flecha base (por exemplo tabelas páginas 154 e 155 ou cálculo elástico de estrutura) k0 – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da fendilhação (função de d/h, αρ, Mcr / MD ). kt – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da fendilhação e da fluência (função de ϕ, d/h, αρ, Mcr/MD) em que α é sempre avaliado com o módulo de elasticidade instantâneo do betão. η – coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de compressão (função de ρ’/ρ, αρ, ϕ) – ver volume de tabelas

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

211

Estruturas de Betão I

c) Definição de um coeficiente global único por uma ponderação equivalente á definida para o coeficiente de repartição, tal que: k = kvão k = kapoio k=

2 kvão + kapoio 3

kapoio 1 + 2 kvão + kapoio 2 4

E, avaliação da deformação, a curto ou a longo prazo, tal que: a0 = k0 ac

at = kt ac

Refira-se que, para avaliar o incremento de deformação ao longo do tempo, após a colocação das paredes de alvenaria ou outra solução de comportamento frágil, há que subtrair à avaliação da deformação total prevista a deformação a curto prazo para o peso próprio e das cargas actuantes nessa fase. Portanto as verificações regulamentares serão: Em geral: at (g + ψ2 q) = kt ac (g + ψ2 q) ≤ L/250 Com paredes de alvenaria ou outros acabamentos frágeis: at (g + ψ2 q) = kt (g + ψ2 q) - k0 ac (pp + par.) ≤ L/500

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

212

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 3.4

Considere a viga representada na figura seguinte (viga do exercício 2.1)

p 0.55 3 φ20

0.60 0.30

5.00

Materiais: C25/30 A400 NR Calcule a flecha para a combinação frequente de acções (pfreq = 20 kN/m)

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

213

Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.4

1. Cálculo da flecha elástica

a) Pelo P.T.V., pfr

pL 20 × 5 = 62.5 kNm 8 = 8 2

DMF [kNm]

Mmax =

(+)

62.5

D 1/R

1 M R = EI

DMF [m]

Mmax =

PL 5 4 = 4 = 1.25 m

(+) 1.25m

– 2 ⌠ MM 1 5 1 – 1 + 2.52  = 9.88 × 10-4m ⌠  M dx = dx = × × 62.5 × 1.25 × a= EI 3 5   ⌡L r ⌡L EI (tabelas pág. 153) E = 30.5 × 106 kN/m2

 ⇒ EI = 164700 kNm2 0.3 × 0.6 4  I= = 0.0054 m 12  3

b) Por tabelas (pág. 154) 5 pL4 5 20 × 54 -4 -4 δ = 384 × = × EI 384 164700 = 9.88 × 10 m ⇒ ac = 9.9 × 10 m 2. Cálculo da flecha a longo prazo (método dos coeficientes globais) (Considera-se ϕ = 2.5) Es 200 α = E = 30.5 = 6.6 c 9.42 × 10-4 As = 0.0057 ρ = bd = 0.3 × 0.55

 ⇒αρ = 0.038  

MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

214

Estruturas de Betão I

bh2 0.30 × 0.602  × f × 2.5 × 103 = 45kNm  Mcr ctm = 6 6 ⇒ Mfr = 0.72  Mfr = 62.5kNm > Mcr

Mcr = W × fctm =

(ϕ = 2.5) ⇒ kt = 3.75 ρ’ =

As' = 0 ⇒ ρ’/ρ = 0 ⇒ η = 1 bd h 3 0.60 3 η kt ac =  × 3.75 × 9.9 × 10-4 = 0.0048 m = 4.8 mm d  0.55 

at = 

3. Cálculo da flecha instantânea αρ = 0.038   (Acções repetidas) ⇒ k = 2.3 Mcr 0  Mfr = 0.72  0.60 3 h 3 a0 =  d  k0 ac =  0.55  × 2.3 × 9.99 × 10-4 = 0.003 m = 3 mm









MÓDULO 5 – Verificação do comportamento em serviço (estados limites de utilização – SLS)

215

ESTRUTURAS DE BETÃO I

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 6 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL NÃO DESPREZÁVEL

Ano Lectivo 2012/2013

ÍNDICE 1. FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA ................................................................................... 216 1.1. RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA.................................................................................... 216 1.1.1

DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA............................................................... 216

1.1.2

DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES .......................................................... 217

1.2. FLEXÃO DESVIADA ............................................................................................................ 221 1.2.1. Rotura convencional ................................................................................................ 221 1.2.2. Determinação dos esforços resistentes .................................................................. 221 1.3. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES .......................................................................... 224 1.3.1. Armadura longitudinal ............................................................................................. 224 1.3.2. Armadura longitudinal ............................................................................................. 225 1.3.3. Armadura transversal .............................................................................................. 225 2. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES ISOLADOS AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS .................................................................................................................................. 232 2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS .................................................................... 232 2.2. ESBELTEZA....................................................................................................................... 232 2.3. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS ........................................................................................... 233 2.3.1. Excentricidade inicial ............................................................................................... 234 2.4. IMPORTÂNCIA DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM E TIPOS DE ROTURA ASSOCIADOS ........................ 235 2.5. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM ....................................................................... 237 2.5.1. Métodos de análise simplificados............................................................................ 238 2.5.2. Método da curvatura nominal .................................................................................. 240 2.5.3. Método da rigidez nominal ...................................................................................... 246 2.6. DISPENSA DA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ENCURVADURA .... 247 3. ESTRUTURAS EM PÓRTICO .............................................................................................. 257 3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS ..................................................................................... 257 3.2. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA ..................................................................................... 258 3.3. EFEITOS DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS EM ESTRUTURAS PORTICADAS OU MISTAS ......... 260 3.4. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS ...................................................................... 260 3.4.1. Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados ........................................................................ 261 3.4.2. Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de segunda ordem não possam ser desprezados ................................................................. 261 3.4.3. Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados............... 262

Estruturas de Betão I

1. Flexão Composta e Desviada O comportamento do betão armado em flexão composta (flexão + esforço axial) em seviço e na rotura (como vamos analisar no que se segue) não é mais do que a generalização da flexão simples. A flexão desviada, por sua vez, corresponde à situação de se poder verificar a flexão, simultaneamente nas duas direcções principais. 1.1. RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA A capacidade resistente de um elemento de betão armado á flexão composta, como se verá de seguida ou à flexão desviada (flexão em duas direcções, com ou sem esforço axial) como se analisará posteriormente, é baseada na definição de extensões máximas para o betão ou para o aço. Os critérios de deformações limites para a secção são os mesmos da flexão simples, sendo que, naturalmente, com um esforço axial de compressão, a tendência seja para que a zona comprimida de betão seja maior. Assim temos:

εs ≤ εud

εc(-) ≤ 3.5‰

Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰ Extensões uniformes σc

Extensões não uniformes

εc

f cd

2‰ ≤ εc ≤ 3.5‰

εc = 3.5‰

f cd

2‰ (-)

(-)

2‰

1.1.1

(-)

DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA

Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5 zonas com diagramas associados à rotura: Compressão

Tracção

εud

3.5‰ 2‰ 0

As2

2 1

N 3

As1

2‰

εsyd

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

εud 216

Estruturas de Betão I

Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (εs1 = εud, εs2≤εud) Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (εs1 = εud, εc ≤ 3.5‰) (-)

Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (εyd≤εs1≤ 10‰, εc = 3.5‰) (-)

Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (εs1≤εyd, εc

(-)

Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2‰ ≤εc

= 3.5‰)

≤ 3.5‰)

máx

De uma forma equivalente ao referido para a flexão simples podemos referir que:

Zonas 1, 2 e em parte da zona 3 a rotura tem boas características de ductilidade. Parte da zona 3 e zonas 4 e 5 com rotura tendencialmente mais frágil. Esta característica pode ser contrariada, como referiremos mais tarde, com a adopção de armadura transversal, dita de confinamento. Com bom confinamento, o betão interior às cintas pode ter deformações bem superiores aos 3.5‰ e, assim, melhora a ductilidade global.

1.1.2

DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES

Ora, definidos os inúmeros diagramas de extensões a que representam situações últimas, pode-se, para cada um deles, conhecer a distribuição de tensões e, posteriormente, determinar o par de esforços (Mrd, Nrd) correspondente. Esse procedimento para um determinado diagrama de rotura, de uma secção com dois níveis de armadura (As1 e As2) está representado na figura seguinte.

As2

As1

εs2 MRd NRd

εc

Fs2

(-)

(+)

εs1

Fs1

ys2 ys1

A coordenada, y, pode ser definida em relação ao centro geométrico da secção ou em relação ao nível da armadura inferior, sendo mais conveniente adoptar a primeira hipótese, pois é em relação a esse ponto que são, em geral, referidos os esforços actuantes. Equações de Equilíbrio: •

Equilíbrio axial: Fc + Fs2 - Fs1 = NRd

•

Equilíbrio de momentos: Fc × yc + Fs2 × ys2 + Fs1 × ys1 = MRd

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

217

Estruturas de Betão I

Assim, para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço NRd - MRd Se generalizar o procedimento, para todos os possíveis diagramas de rotura, obtem-se (ver figura seguinte): (i) O diagrama de interacção NRd - MRd (fig. a) para aquela secção e quantidade de armadura. (ii) Os diferentes diagramas de capacidade resistente (fig. b), se repetirmos o processo para várias quantidades de armadura.

NRd

(-) Rd

(-)

MRd

M Rd

a) Diagrama de interacção, NRd - MRd para

uma dada distribuição de armaduras,

quantidades de armadura

Diagrama

interacção

para

várias

Em termos práticos, o diagrama de interacção representa a envolvente resistente da secção de tal maneira que, para qualquer par de esforços actuantes, Nsd - Msd, no contorno ou interior a essa envolvente, a segurança está verificada. Se, de uma forma equivalente ao desenvolvido para a flexão simples, se escreverem as equações de equilíbrio em termos de grandezas adimensionais obtêm-se as denominadas curvas de dimensionamento, que são definidas para certas distribuições tipo de armaduras nas secções. As grandezas adimensionais que se definem são as seguintes: − Esforço normal reduzido:

NRd ν= bhf cd

− Momento flector reduzido:

MRd µ = b h2 f cd

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

218

Estruturas de Betão I

− Percentagem mecânica de armadura: ωtot =

Astot bh

fyd fcd

Refira-se que o esforço axial reduzido corresponde à relação entre as tensões média actuante e de resistência de cálculo do betão. Por outro lado, para o momento reduzido toma-se agora a altura total, h, e não a altura útil, considerada na flexão simples. Na figura da página seguinte apresenta-se um desses diagramas tipo, dito de dimensionamento, admitindo uma distribuição uniforme de armadura no contorno. Em termos de avaliação da quantidade de armadura, para verificar a segurança, para um parde esforços (Nsd, Msd) calculam-se os esforços reduzidos,νsd e µsd, e, consultando os ditos diagramas de dimensionamento, determina-se a % mecânica de armadura necessária, ωtot, e de seguida o valor de As,tot. Esta quantidade de armadura deve ser distribuído na secção de acordo com o admitido no diagrama de dimensionamento. É interessante chamar a atenção, desde já, que a máxima capacidade resistente se verifica para um nível de esforço axial reduzido de 0.4. Para compreender o efeito de uma compressão moderada na resistência à flexão da secção, considerese o seguinte diagrama de interacção ν - µ, bem como os diagramas de tensão na rotura para as situações A e B ilustradas. ν As2 h A s1 b

0.4

Fs2,A

Fc,A

As1 fyd

Fs2,B Fc,B

MRd,A

As1 fyd

NRd MRd,B

MRd,A< MRd,B MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

219

Estruturas de Betão I

Compreende-se que a existência de um esforço axial aumenta as resultantes de compressão (Fc e Fs2) e, consequentemente, o MRd apesar da diminuição do braço de Fc. Este efeito é verificado até níveis moderados de esforço axial.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

220

Estruturas de Betão I

1.2. FLEXÃO DESVIADA A flexão desviada corresponde à actuação simultânea de um esforço axial e de flexão segundo os dois eixos principais. 1.2.1. Rotura convencional Os critérios de rotura mantêm-se, tal que:

εs ≤ εud

εc(-) ≤ 3.5‰

Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰

A questão que se coloca de diferente neste caso é que a linha neutra na rotura não é paralela a nenhum eixo principal da secção. 1.2.2. Determinação dos esforços resistentes Considerada uma dada orientação e posicionamento para a linha neutra de uma secção de betão armado é definido o diagrama de extensões correspondente à rotura, como indicado na figura seguinte. ε

My (+)

Fs1 Fs2

(-)

σc

Definido o diagrama de extensões é obtido o de tensões e, consequentemente, através das equações de equilíbrio, os esforços (NRd, MRd,y, MRd,z). Ora: (i) Se para cada orientação da Linha Neutra, se “varrer” a secção com todos os possíveis diagramas de rotura. (ii) Se se repetir o trabalho anterior para todas as orientações possíveis da Linha Neutra. Obtém-se um diagrama de interacção tridimensional (NRd, MRd,y, MRd,z) – ver figura seguinte, para aquela quantidade de armadura. Representa-se também um corte para um dado nível de esforço axial actuante.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

221

Estruturas de Betão I

Se se repetir o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de base para o dimensionamento e verificação da segurança. De facto, como na flexão composta, podem estabelecer-se as equações de equilíbrio através de grandezas adimensionais: − Esforço normal reduzido: ν =

NRd b h fcd

MRd,y MRd,z − Momentos flectores reduzidos: µy = b h2 f ; µz = b2 h f cd cd Astot − Percentagem mecânica de armadura ωtot = b h

fsyd fcd

Nas figuras que se seguem mostra-se como representando a calote tridimensional por cortes para igual esforço axial, se podem obter valores de quantidades de armaduras para esforços actuantes, νsd, µy,sd e µz,sd. Poderiam ser realizados, em alternativa, cortes para determinadas relações µRd,y/µRd,z.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

222

Estruturas de Betão I

Simplificadamente, é possível, para um dado esforço axial, Nsd, fazer a verificação da segurança em flexão desviada, utilizando só o cálculo em flexão composta, em cada uma das duas direcções, e verificar no final a seguinte condição: α

 Msd,y  +  Msd,z  ≤ 1.0  MRd,y   MRd,z  MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

223

Estruturas de Betão I

onde α é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os seguintes valores: •

Secções transversais circulares ou elípticas: α = 2

•

Secções transversais rectangulares

Nsd / NRd

≤ 0.1

0.7

1.0

1.5

2.0

Refira-se que NRD corresponde à capacidade resistente da secção submetida unicamente a esforço axial de compressão. 1.3. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES As armaduras dos pilares devem seguir disposições que correspondam a soluções estruturalmente eficientes, económicas e construtivamente viáveis. Os regulamentos, por sua vez, definem disposições mínimas em termos de quantidades, afastamentos e diâmetros de armaduras longitudinais e transversais. No que se segue referem-se as disposições do EC 2, para estruturas em zonas de pouca sismicidade, referindo-se, que em termos práticos em Portugal, há que ter em atenção, em particular nestas disposições, as indicações do EC8. 1.3.1. Armadura longitudinal (i) Quantidades mínimas e máximas de armadura As quantidades mínimas de armadura em pilares, variam consoante o tipo de aço utilizado e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a seguinte expressão (EC2): As, min =

0.10 Nsd ≥ 0.002 Ac fyd

Trata-se de um valor dependente do valor do esforço axial, que no mínimo pode valer 0.2%. Refira-se que, em zonas de maior sismicidade o EC8 impõe um mínimo bastante superior de 1%, o que será, em geral, mais adequado. A quantidade máxima de armadura é dada por sua vez por: As, máx = 0.04 Ac (fora das secções de emenda) Nota: Nas secções de emenda, poderá ter-se uma armadura até 0.08 Ac.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

224

Estruturas de Betão I

Valores desta ordem de grandeza devem ser evitados, pois além de serem difíceis de implementar em termos construtivos, correspondem a soluções potencialmente de baixa ductilidade. É importante referir que as emendas das armaduras longitudinais devem ser preferencialmente, na zona intermédia do pilar, sendo essa disposição obrigatória em zonas sísmicas (ver pormenor na página seguinte). (ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento Apresentam-se agora algumas disposições mínimas para as armaduras nos pilares. 1.3.2. Armadura longitudinal Quanto a disposições mínimas ao longo do perímetro temos:

1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou

4 varões em secções circulares ou a tal assimiláveis (É recomendável adoptar pelo menos 6 varões)

O diâmetro mínimo dos varões longitudinais, de acordo com o EC2 é de 8 mm, no entanto, não se deve adoptar em pilares diâmetros inferiores a 12 mm, excepcionalmente, 10 mm. 1.3.3. Armadura transversal É importante referir que a armadura transversal dos pilares têm várias funções que se salientam seguidamente:

Cintar o betão, em particular nas extremidades, onde se concentram os maiores efeitos de flexão.

Resistir ao esforço transverso que num pilar é constante ao longo do seu comprimento.

Contrariar e impedir a encurvadura localizada dos varões longitudinais.

Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e betonagem;

Refira-se que, em zonas com alguma sismicidade, as cintas devem ser mantidas na zona dos nós de ligação com as vigas (ver no desenho).

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

225

Estruturas de Betão I

PORMENOR DOS ESTRIBOS ESC. 1/10

1 - Varões do pilar inferior fora do perímetro da secção do pilar superior 2- Varões que não se interrompem no nó 3- Varões do nível superior com amarração no pilar inferior

Exemplos de disposição de armaduras com variação de dimensões do pilar em altura Exemplo de disposição de armaduras longitudinais num pilar

a) variação pequena < 5 cm b) variação superior

Espaçamento das cintas de acordo com o EC2: smáx = min (20 ×φL,menor; bmin; 40 cm) O espaçamento indicado deve ser reduzido a 0.6 smáx nos seguintes casos: -

Nas secções adjacentes a vigas ou lajes, numa altura igual à maior dimensão do pilar; Esta disposição tem em consideração melhorar a cintagem do betão e, portanto a ductilidade da secção, nas zonas de maiores esforços de flexão.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

226

Estruturas de Betão I

Nas secções de emenda de varões longitudinais, caso o diâmetro destes varões seja superior a 14 mm. Deverão existir pelo menos três cintas ao longo do comprimento de emenda. Esta disposição tem a ver com a resistência às tracções que se geram perpendicularmente às emendas de varões, como apresentado no Módulo 2.

Refira-se que as disposições do EC8 nesta matéria são bastante mais exigentes, em particular nas zonas junto às extremidades, propondo aí como mínimo, para o espaçamento de cintas, 8 × φL. Diâmetro φcinta = max (6 mm; 0.25 φL,maior) – Recomendável: 8 mm Forma da armadura / cintagem mínima As formas das armaduras transversais devem seguir disposições apertadas para garantirem eficiência de cintagem e de contrariar o risco de encurvadura dos varões isolados.

Os varões longitudinais situados nos cantos da secção devem ser abraçados por armadura transversal.

Em zonas comprimidas, é necessário cintar todos os varões longitudinais que se encontrem a mais de 15 cm de varões cintados (ver pormenor das secções transversais).

8Ø20+4Ø16 3 Cintas Ø8//0.15

8Ø20+8Ø16 2 Cintas Ø8//0.15

4Ø20+8Ø16 2 Cintas Ø8//0.15

12Ø20+12Ø16 3 Cintas Ø8//0.15

Exemplos de disposição de armaduras transversais em secções rectangulares de pilares MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

227

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 6.1

Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme indicado. Dimensione e pormenorize a secção. Nsd = -1200 kN As/2

M sd N sd

0.50

Msd = 150 kNm

As/2

Materiais: A400NR

0.30

C20/25

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6.1 Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas) d1≅ 0.05m  d1 = 0.10 ; A400 ⇒ h = 0.50m  h Nsd -1200 Esforço normal reduzido: ν = b h f = = -0.60 0.30 × 0.50 × 13.3 × 103 cd Msd 150 Momento flector reduzido: µ = b h2 f = = 0.15 0.30 × 0.502 × 13.3 × 103 cd fcd 13.3 ωtot = 0.20 ⇒ Astot = ωtot b h f = 0.20 × 0.30 × 0.50 × 348 × 104 = 11.47cm2 yd

  

rotura pelo betão εc2 -3.5 Na rotura = 0 a 1 ⇒ armaduras traccionadas não atingem a cedência εs1 Zona

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

228

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 6.2

Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msd =250 kNm Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6.2 d1 d1 = 0.05 ⇒ h = 0.10 ν=

-1400 Nsd = = -0.427 π× 0.252 × 16.7 × 103 π r2 fcd

µ=

MSd 250 = = 0.152 2π r3 fcd 2 × π× 0.253 × 16.7 × 103

 ⇒ ω  

tot

= 0.30

fcd 16.7 4 2 Astot = ωtot×πr2 × f = 0.30 × π× 0.252 × 348 × 10 = 28.3cm yd

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

229

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 6.3

Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo indicados. Nsd = -1200 kN

Msd,y = 150 kNm Msd,z = 100 kNm

0.50

Materiais: A400 C20/25

0.30

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6.3

Flexão desviada com esforço axial (Tabelas) M sdz

Astot/4 M sdy

Nsd -1200 ν= bhf = = -0.60 0.30 × 0.50 × 13.3 × 103 cd µy =

Msdy 150 b h2 fcd = 0.30 × 0.502 × 13.3 × 103 = 0.15

Msdz 150 = 0.167 µz = b2 h f = 2 0.30 × 0.50 × 13.3 × 103 cd Como µz > µy ⇒ µ1 = µz = 0.167 e µ2 = µy = 0.15 ν = -0.6 µ1 = 0.167 µ2 = 0.15

 ⇒ ω 

tot

= 0.60

fcd 13.3 ⇒ Astot = ωtot b h f = 0.60 × 0.30 × 0.50 × 348 × 104 = 34.4cm2 syd

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

230

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 6.4

Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msdz = 150 kNm; Msdy = 200 kNm Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 6.4

Msd = 1502 + 2002 = 250 kNm ⇒ Flexão composta d1 d1 = 0.05 ⇒ h = 0.10 ν=

Nsd -1400 = = 0.427 π r2 fcd π× 0.252 × 16.7 × 103

MSd 250 µ= = = 0.152 2π r3 fcd 2 ×π× 0.253 × 16.7 × 103

 ⇒ ω  

tot

= 0.30

16.7 fcd = 0.30 × π× 0.252 × 348 × 104 = 28.3cm2 Astot = ωtot×πr2 × f syd

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231

Estruturas de Betão I

2. Verificação da segurança de pilares isolados aos estados limite últimos A verificação da segurança dos pilares pode não depender só dos efeitos das acções avaliados com a estrutura não deformada. Neste capítulo analisamos, para os pilares de betão armado, as recomendações regulamentares para se ter em consideração os efeitos das deformações estruturais nos esforços actuantes de dimensionamento. 2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS Nos elementos de betão armado não solicitados por cargas axiais, os esforços são, em geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem). Nestes casos a influência da deformação da estrutura nos esforços actuantes é desprezável. Sempre que as imperfeições geométricas ou as próprias deformações da estrutura possam ter um efeito importante nos esforços solicitantes (em particular no caso de pilares esbeltos), as condições de equilíbrio devem ser estabelecidas na estrutura deformada (Teoria de 2ª ordem). Vimos, assim que a esbelteza dos pilares é um parâmetro importante para a avaliação destes efeitos. Revemos seguidamente esse conceito e exemplificamos em casos simples. 2.2. ESBELTEZA A esbelteza de um pilar é dada por:

l0 λ= i

onde: l0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada)

 

i representa o raio de giração da secção i =

I   A 

É fundamental compreender que o momento de inércia da secção a considerar é o referente ao eixo perpendicular ao plano de encurvadura. Quanto maior for a esbelteza maior é a sensibilidade aos efeitos da influência do esforço axial nos esforços de flexão, apresentando-se, seguidamente, a avaliação do comprimento de encurvadura, para casos tipo de condições de fronteira.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

232

Estruturas de Betão I

Elementos contraventados

l0 = 0.7L l0 = L

l0 = L/2

Elementos não contraventados

l0 = 2L

l0 = L

l0 = 2L

2.3. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS O efeito desfavorável de possíveis desvios na geometria da estrutura ou posição do carregamento deverá ser tido em consideração no dimensionamento. Os efeitos das imperfeições geométricas poderão ser avaliados de forma geral considerando a estrutura inclinada de um ângulo θi. Para elementos isolados, estes efeitos poderão ser considerados de forma simplificada através de uma excentricidade inicial ei ou através de uma força horizontal equivalente Hi.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

233

Estruturas de Betão I

N Hi

≅

L = l0/2 θi

θi

a) Elementos não contraventados

b) Elementos contraventados

2.3.1. Excentricidade inicial Com base na estrutura inclinada de θi a excentricidade inicial poderá ser calculada através da seguinte expressão ei = θi l0 / 2 onde l0 representa o comprimento efectivo de encurvadura. A inclinação θi pode ser calculada através da seguinte expressão: θi = θ0⋅αh⋅αm onde, θ0 representa o valor de inclinação base que pode ser tomado igual a 1/200; αh representa um coeficiente de redução relacionado com o comprimento do elemento (αh = 2 /

l e 2/3 ≤ αh ≤ 1);

αm representa um coeficiente de redução relacionado com o número de elementos verticais existente na estrutura (αm =

0.5 (1 + 1/m), onde m representa o número

de elementos verticais). Caso se tratem de colunas isoladas em estruturas contraventadas, poderá considerarse simplificadamente que ei = l0 / 400. A análise dos efeitos da imperfeição geométrica podem ser avaliados considerando uma força horizontal equivalente que deverá actuar na posição em que provoque o máximo momento flector e pode ser obtida através das seguintes expressões: (i) Elementos não contraventados: Hi = N θi (ii) Elementos contraventados: Hi = 2 Nθi

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

234

Estruturas de Betão I

N Hi

Hi L = N ei⇒Hi = N ei/L ⇒Hi = N θi θi Mi = N ei

Mi= Hi L

θi

Mi = N ei

Hi L/4 = N ei⇒Hi = N (4ei/L) ⇒Hi = 2 N θi

=≅

Mi = Hi L/4

2.4. IMPORTÂNCIA DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM E TIPOS DE ROTURA ASSOCIADOS No que se segue ilustram-se os efeitos de 2ª ordem mostrando-se que as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas na estrutura deformada, depois de aplicadas as cargas.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

235

Estruturas de Betão I

Exemplos: N

Teoria de 1ª ordem: M=N×e

v L

Teoria de 2ª ordem: M = N (e + v) ⇔ M = N × e + N × v N × e – momento de 1ª ordem

N × v – momento de 2ª ordem

l0 Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares, λ = , como se representa i seguidamente. N

Ne Ne

1 Nv

- λ pequeno ⇒ efeitos de 2ª ordem desprezáveis (Teoria de 1ª ordem)

- λ médio/elevado ⇒ efeitos de 2ª ordem relevantes (Teoria de 2ª ordem) Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis M

se: M2ªordem ≤ 0.10 M1ªordem (⇔ N × v ≤ 0.1 N × e)

A rotura de um pilar terá, em geral, uma rotura por esgotamento da sua capacidade resistente, com influência ou não de efeitos de 2ª ordem, como exposto, mas poderá ter, em caso de uma esbelteza elevada, uma instabilidade elasto-plástica antes da rotura da secção, como se ilustra de seguida.

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236

Estruturas de Betão I

1 e1

2 e2

e1 e 2 e1

N N

Ne 1 Ne 1 Ne 1

Nu, Mu Ne 2

NC , 2

Nu,

u 3

Ne 2

Nu, Mu 3

NC ,

3 C

Relação N - M para e2=0 Elemento pouco esbelto: análise de 1ª ordem - Mu = Nu e1 ⇒ rotura da secção

Relação N - M para e2 ≠ 0 Elemento com esbelteza moderada: análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1 + e2) ⇒ rotura da secção

Relação N - M para e2≠ 0 Elemento com esbelteza elevada análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1 + e2) ⇒ rotura por instabilidade 2.5. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM O cálculo rigoroso dos efeitos de 2ª ordem obriga a estabelecer as condições de equilíbrio na estrutura deformada considerando o comportamento não linear do betão armado. Isto significa a realização de análises não lineares da estrutura tendo em conta as não linearidades geométricas da deformada e as não linearidades físicas dos materiais. Este método é designado por Método Geral sendo válido para qualquer tipo de elemento estrutural ou estrutura submetida a qualquer tipo de carregamento. Trata-se de uma metodologia que envolve um esforço de cálculo significativo e a sua utilização no projecto de estruturas apenas se justifica em algumas situações particulares.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

237

Estruturas de Betão I

Tendo em conta a complexidade deste tipo de análises a regulamentação permite a utilização de métodos simplificados para quantificar os efeitos de 2ª ordem. 2.5.1. Métodos de análise simplificados O EC2 contempla a utilização de dois métodos simplificados para calcular os efeitos de 2ª ordem: - Método da curvatura nominal Este método consiste em estimar a curvatura (1/r) na secção mais esforçada para efeitos do cálculo da deformada de 2ª ordem da estrutura a partir da qual é calculado o momento de 2ª ordem. - Método da rigidez nominal O método consiste em estimar a rigidez de flexão EI do elemento estrutural a qual é utilizada na análise linear de 2ª ordem. Os dois métodos apresentam a mesma fundamentação conforme se demonstra a seguir. Considerando uma coluna bi-articulada sujeita a um esforço axial N e a uma carga transversal (ou a uma imperfeição geométrica) o momento total actuante incluindo os efeitos de 2ª ordem é obtido de acordo com a seguinte expressão: N

r v

1/r

M = M0 + M 2

M = M0 + M2 = M0 + N v = M0 + N

1 r

l02 c

em que: M – momento total M0 – momento de 1ª ordem M2 – momento de 2ª ordem MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

238

Estruturas de Betão I

v – deslocamento associado à curvatura 1/r l0 – comprimento do elemento (comprimento de encurvadura) c – factor que depende da distribuição da curvatura O deslocamento v pode ser obtido pela integração das curvaturas ao longo da coluna, admitindo uma distribuição proporcional à dos momentos: – ⌠ MM – 1 ⌠ M 1 – M dx =  dx = MM dx= EI ⌡l0 EI ⌡ l0 r ⌡l0 EI

v=⌠

l02 1 c = r

l02 c

Em que c tem os seguintes valores função da distribuição do momento flector ao longo da coluna: distribuição parabólica:

c=9.6

distribuição uniforme (constante):

c= 8

distribuição triangular simétrica:

c=12

Sendo M e 1/r o momento e a curvatura na secção mais esforçada do pilar. A diferença entre os dois métodos reside nas hipóteses admitidas para a consideração de um valor de curvatura ou, o que pode ser equivalente, de um valor para a rigidez fendilhada. De seguida apresentam-se as hipóteses base consideradas em ambas as metodologias. - No método da curvatura nominal a curvatura 1/r é a associada à deformada do elemento correspondente ao momento de cedência. Admite-se, para a curvatura base, que as armaduras de compressão entram em cedência simultaneamente com a de tracção (ver fig. seguinte). De acordo com o EC2 este valor é depois modificado para poder ter em conta o nível de esforço axial e a fluência do betão, como veremos. syd

εsyd

(+) (-)

1 εsyd + εsyd εsyd = = r 0.9d 0.45d 0.9d

A razão pela qual a curvatura de cedência é considerada neste cálculo pode ser compreendida tomando uma relação momento curvatura tipo de uma secção em flexão composta. Se se representar o crescimento do momento de 2ª ordem com a curvatura, percebe-se que a máxima resistência disponível para o momento de 1ª

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

239

Estruturas de Betão I

ordem deve ser avaliada para a fase de perda significativas de rigidez da secção com a cedência da armadura (ver figura seguinte). N

M 1ª ordem

≅ M yd M Rd,max

v (1/r)

(1ª ordem)

M 2ª ordem = N v (1/r)

1/r

M 1ª ordem N

- No método da rigidez nominal a curvatura 1/r é expressa em termos de rigidez nominal à flexão: 1 M r = EI Nesta proposta de metodologia a rigidez EI é definida como se verá tendo em conta, explicitamente, a influência da fendilhação e da fluência. Importa referir que neste tipo de análises o comprimento l0 deve ser considerado como um comprimento que traduz a forma da deformada final do elemento estrutural. Dado que os métodos simplificados se baseiam na análise de uma coluna biarticulada, o comprimento l0 pode ser considerado como o comprimento de um pilar simplesmente apoiado cujo comportamento traduz o do pilar em causa e cujas extremidades coincidem com as secções de momento nulo deste pilar. 2.5.2. Método da curvatura nominal Método de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª ordem, corrigindo os esforços actuantes para ter em conta os efeitos de 2ª ordem, ou seja da própria deformada da estrutura.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

240

Estruturas de Betão I

v e N

e+ e2 N

Msd = Nsd (e + e2) De acordo com o EC2, e como já explicado, a excentricidade 2ª ordem pode ser calculada com base numa curvatura nominal através da seguinte expressão: e2 =

1 r

l02 c

onde c representa um factor que depende da distribuição da curvatura ao longo do elemento. Normalmente adopta-se c = 10, excepto se o momento de primeira ordem for constante, situação em que se poderá adoptar c = 8. A curvatura (1/r) pode ser determinada a partir da expressão: 1 1 r = Kr⋅ Kϕ⋅ r0 onde, Kr

representa um factor correctivo que tem em consideração o nível de esforço axial;

Kϕ

representa um coeficiente destinado a ter em conta o efeito da fluência;

1 / r0 representa a curvatura base 

yd   r0 ≅ 0.45d .

O coeficiente Kr destina-se a ter em conta o facto de, em determinados casos, a maior perda de rigidez se dá antes da armadura atingir a extensão de cedência, o que conduz a uma curvatura inferior ao valor base. Este factor de redução pode ser determinado através de: Kr =

νu - ν ≤ 1.0 νu - νbal

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

241

Estruturas de Betão I

representa o valor do esforço normal reduzido;

νbal

representa o valor do esforço normal reduzido na zona do máximo momento resistente (em geral, νbal ≈ 0.4);

νu

= 1 + ω, com ω = As fyd / (Ac fcd).

O efeito da fluência é considerado através da introdução do coeficiente Kϕ, que pretende corrigir os casos em que a curvatura base seria inferior à curvatura real devido ao facto de não se considerar o efeito da fluência. Assim: Kϕ = 1 + βϕef≥ 1.0 M0cqp ϕef representa o coeficiente de fluência efectivo  ϕef= ϕ (t∞, t0) M ;  0sd  β

= 0.35 + fck / 200 - λ / 150;

M0cqp

representa o momento de primeira ordem para a combinação quasepermanente de acções;

M0sd

representa o momento de primeira ordem para a combinação fundamental.

O efeito da fluência poderá ser desprezado, o que equivale a assumir que ϕef = 0, caso sejam verificadas as três condições seguintes: ϕ (∞, t0) ≤ 2; λ ≤ 75; M0sd / Nsd ≥ h Os efeitos de 2ª ordem poderão ser considerados, tal como no caso das imperfeições geométricas, através de uma força horizontal equivalente. Esta força poderá ser uma força concentrada ou outra força equivalente, que produza os mesmos esforços que o efeito de 2ª ordem (ver exemplos seguintes).

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

242

Estruturas de Betão I

- Elementos não contraventados N

∆H

L 0

θ2

≡

l0 M = ∆H 2

M2 = N e2 l0 ∆H 2 = N e2

⇒

e2 ∆H = 2N l 0

⇒

∆H = N θ2

- Elementos contraventados

≡

∆H

θ2

M2 = N e2 l0 ∆H 4 = N e2

⇒

e2 ∆H = 4N l 0

l0 M = ∆H 4 ⇒

∆H = 2N θ2

Procede-se seguidamente à verificação do estado limite último de flexão composta na secção crítica (secção mais esforçada), tendo em consideração este método. MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

243

Estruturas de Betão I

Assim tomemos os seguintes esforços: Nsd Msd = M0sd + Nsd e2 em que: M0sd = M0e + Nsd ei Secção crítica: (i) Elementos contraventados A localização da secção crítica depende do diagrama de Msd conforme se pode observar na figura seguinte. Nesta figura considera-se uma coluna genérica e representam-se os esforços relativos às cargas actuantes e ao efeito de 2ª ordem. M 02 N

≡

M1 N

M TOT = M1 + M 2

M 01

Verifica-se que, em geral, a secção crítica se localiza numa zona intermédia e que a sua determinação requeria um certo esforço de cálculo. O EC2 ultrapassa esta dificuldade indicando uma metodologia simplificada para estimar o momento máximo. Essa metodologia consiste em tomar para o momento associado às cargas actuantes um valor constante, avaliado numa zona intermédia do pilar, o qual é somado directamente aos momentos relativos às imperfeições geométricas e aos efeitos de 2ª ordem.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

244

Estruturas de Betão I

MSd = M0e + Nei + N e2

N e2

N ei

0.6 M02 + 0.4 M01 M0e = máx  0.4 M02

MSd

θ2

θi

M0e

com : |M02| ≥ |M01|

Todavia, como é possível verificar na primeira figura, os efeitos da imperfeição geométrica e de 2ª ordem também se fazem sentir nos nós pelo que o momento máximo pode, eventualmente, ocorrer numa das extremidades do elemento. As dificuldades atrás referidas poderiam ser ultrapassadas se os efeitos das imperfeições geométricas e de 2ª ordem forem considerados através da força horizontal equivalente de acordo com exposto anteriormente. (ii) Elementos não contraventados Nos elementos não contraventados os esforços máximos ocorrem nos nós como se pode observar na figura seguinte pelo que não se coloca a problemática atrás referida. M 02 N

M1 N

M TOT = M1 + M 2

M 01

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

245

Estruturas de Betão I

2.5.3. Método da rigidez nominal Considerando a coluna bi-articulada definida em 2.5.1 com comprimento l = l0, o momento de 2ª ordem pode ser calculado da seguinte forma: 1 M2 = N v = N r

l02 M = N c EI

l02 l02 = N c c EI (M0 + M2)

onde M0 é o momento de 1ª ordem e c é um parâmetro que depende da distribuição da curvatura (assume-se que a distribuição das curvaturas de 1ª e 2ª ordem são proporcionais ao longo do vão). Desenvolvendo a expressão anterior em ordem a M2, tem-se: N l02 c EI M2 = M0 l02 1 - N c EI

1 1 = M0 c EI = M0 N B N -1 l02 / N - 1

em que: c EI π2 EI NB = l 2 ≈ l 2 0 0

(carga crítica do pilar)

O momento total do pilar pode ser calculado, então, da seguinte forma: 1  M = M0 + M2 = M01 + N  B 1   N   O parâmetro

1 N 1- N B

⇒

M0 N 1NB

é o conhecido factor de amplificação do momento de 1ª ordem,

em problemas associados à instabilidade de estruturas. - Rigidez nominal A rigidez de flexão EI a usar no cálculo de NB deve ter consideração o efeito da fendilhação e da fluência. O EC2 considera a seguinte expressão para cálculo da rigidez nominal: EI = Kc Ecd Ic + Ks Es Is em que: Ecd

valor de cálculo do módulo de elasticidade do betão, Ecd = Ecm/γcE, com γcE = 1.2

momento de inércia da secção transversal de betão

módulo de elasticidade do aço das armaduras,

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

246

Estruturas de Betão I

momento de inércia das armaduras, em relação ao centro da área do betão

coeficiente que toma em conta os efeitos da fendilhação e da fluência,

coeficiente que toma em conta a contribuição das armaduras.

- Em geral: Ks = 1 Kc = k1 k2 / (1 + ϕef) em que: ρ

=As/Ac

ϕef

coeficiente de fluência efectivo;

é um coeficiente que depende da classe de resistência do betão: k1 =

fck / 20 (MPa)

é um coeficiente que depende do esforço normal e da esbelteza: k2 = ν .

λ ≤ 0,20 170

- Nos casos em que ρ ≥ 0,01, no EC2 propõe-se, para simplificar: Ks = 0 Kc = 0,3 / (1 + 0,5ϕef) Note-se que Kc introduz uma perda de rigidez, muito significativa, da ordem de 4 a 6, em relação à rigidez de cálculo da secção só de betão. A dificuldade na aplicação mais precisa desta proposta pode residir no cálculo da rigidez nominal a qual, para ter em consideração as armaduras, exige um processo iterativo. 2.6. DISPENSA DA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE ENCURVADURA

Para o caso de elementos isolados, os efeitos de segunda ordem poderão ser desprezados se for satisfeita a condição

λ ≤ λlim =

20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C ν

onde,

λ = l0 / i e representa o coeficiente de esbelteza (i representa o raio de giração da secção transversal não fendilhada); MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

247

Estruturas de Betão I

A = 1 / (1 + 0.2 ϕef ) (se ϕef for desconhecido pode adoptar-se A = 0.7); B =

1+2ω

(se ω for desconhecido pode adoptar-se B = 1.1);

C = 1.7 - rm; ϕef representa o coeficiente de fluência efectivo; ω = Asfyd / Acfcd e representa a percentagem mecânica de armadura; rm = M01 / M02 onde M01 e M02 representam os momentos de primeira ordem nas extremidades de um elemento, sendo |M02| ≥ |M01|; ν = Nsd / (Ac fcd) e representa o esforço normal reduzido O parâmetro C é o que apresenta, nos casos correntes, uma maior variação (entre 0.7 e 2.7) pelo que é fundamental a sua correcta avaliação, dado ter uma influência significativa no valor de λlim.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

248

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO 6.5

Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços: N

Secção transversal

0.40 0.30

3.00

Esforços característicos: Ng = 550 kN; Nq = 250 kN Hq = 20kN (ψ1 = 0.6; ψ2 = 0.4) Materiais: C25/30; A400NR

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

249

Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO6.5

1. Cálculo da esbelteza L0 2 × 3.0 λ = i = 0.0866 = 69.3 i=

I = A

9 × 10-4 bh3 0.4 × 0.33 = 0.0866 m; I = = = 9 × 10-4 m4 12 12 0.30 × 0.40

2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas ei = θi l0 / 2 θi = θ0⋅αh⋅αm αh = 2 / αm =

3.0 = 1.15 < 1.0 ⇒ αh = 1.0

l =2/

0.5 (1 + 1/m) = 1.0

1 θi = 200 l0 6.0 ei = 400 = 400 = 0.015 m

3. Determinação dos esforços de dimensionamento Nsd = 1.5 × (550 + 250) = 1200 kN; M0sd = 20 × 3 × 1.5 + 0.015 × 1200 = 108.0 kN 3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar a condição seguinte: λ = 69.3 ≤ λlim =

20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C ν

C = 1.7 - rm = 1.7 rm= M01 / M02= 0 Nsd ν=A f = c cd

1200 = 0.599 0.30 × 0.40 × 16.7 × 103

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

250

Estruturas de Betão I

λlim =

20 × 0.7 × 1.1 × 1.7 = 33.8 0.599

⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis 3.2. Quantificação dos esforços de cálculo Nsd = 1200 kN Msd = M0sd + Nsd e2 (ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem 1 e2 = r

L02 c

1 1 = K r⋅ Kϕ⋅ r r0 1 εyd 1.74 × 10-3 = = = 1.55 × 10-2 m-1 r0 0.45d 0.45 × 0.25 Kr =

νu - ν 1.5 - 0.6 = 1.5 - 0.4 = 0.82 ≤ 1.0 νu - νbal

Nsd 1200 ν= A f = = 0.60 0.30 × 0.40 × 16.7 × 103 c cd νu = 1 + ω≈ 1 + 0.5 = 1.5 Estima-se em 0.5 a percentagem mecânica de armadura. Refira-se que este parâmetro tem influência reduzida no valor de Kr. Kϕ = 1 + βϕef ≥ 1 M0cqp 33.8 ϕef= ϕ(t∞, t0) M = 2.5 × = 0.78 108 0sd M0cqp = 20 × 3 × 0.4 + 0.015 × (550 + 0.4 × 250) = 33.8 kNm fck λ 25 69.3 β= 0.35 + 200 - 150 = 0.35 + 200 - 150 = 0.013 Kϕ = 1 + 0.013 × 0.78 = 1.01 ≥ 1 1 1 -2 -1 = K r⋅ Kϕ⋅ r r0 = 0.82 × 1.01 × 1.55 × 10 = 0.013 m 1 e2 = r

L02 62 = 0.013 × c 10 = 0.047 m

Msd = M0sd + Nsd e2 = 108 + 1200 × 0.047 = 164.4 kNm MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

251

Estruturas de Betão I

4. Cálculo da armadura (flexão composta) Nsd -1200 ν= bhf = = -0.60 0.3 × 0.4 × 16.7 × 103 cd Msd 164.4 µ= = = 0.273 b h2 fcd 0.4 × 0.32× 16.7 × 103

 ⇒ω  

tot

= 0.62

d1 0.05 h = 0.3 = 0.167 ≅ 0.15 ; A400 fcd 16.7 Astot = ωtot × bh × f = 0.62 × 0.30 × 0.40 × 348 × 104 = 35.7cm2 syd

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

252

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO6.6

Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços: N

Secção transversal 0.25 0.25

Esforços característicos: Ng = 380 kN; Nq = 220 kN 5.00

(ψ1 = 0.4; ψ2 = 0.2) Materiais: C20/25; A400NR

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

253

Estruturas de Betão I

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO6.6

1. Cálculo da esbelteza λ=

5 L0 = = 69.3 0.0722 i

I = A

b h3 0.254 3.255 × 10-4 = 0.0722 m ; I = 12 = 12 = 3.255 × 10-4 m4 2 0.25

2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas ei = θi l0 / 2 1 θi = θ0⋅αh⋅αm = 200 × 0.89 = 0.0045 αh = 2 /

5.0 = 0.89 ; αm =

l =2/

0.5 (1 + 1/m) = 1.0

5.0 ei = θi l0 / 2 = 0.0045 × 2 = 0.011 m

3. Esforços de dimensionamento Nsd = (380 + 220) × 1.5 = 900 kN; M0sd = 0.011 × 900 = 9.9 kNm 3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar condição seguinte: λ = 69.3 ≤/ λlim =

20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C 20 × 0.7 × 1.1 × 1.7 = = 25.2 n 1.083

C = 1.7 – rm = 1.7 rm= M01 / M02= 0 Nsd 900 ν= A f = = 1.083 0.25 × 0.25 × 13.3 × 103 c cd λlim =

20 × 0.7 × 1.1 × 1.7 = 25.2 1.083

⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

254

Estruturas de Betão I

3.2. Quantificação dos esforços de cálculo Nsd = 900 kN; Msd = M0sd + Nsd e2 (ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem 1 e2 = r

L02 c

1 1 = Kr⋅ Kϕ⋅ r r 0 εyd 1.74 × 10-3 1 = 0.45d = = 1.93 × 10-2 m-1 r0 0.45 × 0.20 Kr =

νu - ν 1.5 - 1.083 = 1.5 - 0.4 = 0.38≤ 1.0 νu - νbal

Nsd 900 ν= A f = = 1.083 2 0.25 × 13.3 × 103 c cd νu = 1 + ω≈ 1 + 0.5 = 1.5 Kϕ = 1 + βϕef 4.7 M0cqp = 2.5 × 9.9 = 1.2 ϕef= ϕ(t∞, t0) M 0sd M0cqp = 0.011 × (380 + 0.2 × 220) = 4.7 kNm fck λ 20 69.3 β= 0.35 + 200 - 150 = 0.35 + 200 - 150 = -0.012 Kϕ = 1 - 0.012 × 1.2 = 0.99 ⇒ Kϕ = 1 1 1 -2 -1 r = Kr⋅ Kϕ⋅ r0 = 0.38 × 1.0 × 1.93 × 10 = 0.0073 m 1 e2 = r

L02 52 = 0.0073 × c 10 = 0.0183 m

Msd = M0sd + Nsd e2 = 9.9 + 900 × 0.0183 = 26.4 kNm

3. Cálculo da armadura (flexão composta) d1 0.05 h = 0.25 = 0.20 ; A400 → Tabelas pág. 45

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

255

Estruturas de Betão I

Nsd -900 ν= bhf = = -1.083 0.252 × 13.3 × 103 cd Msd 27.9 µ = b h2 f = = 0.127 0.253 × 13.3 × 103 cd

  ⇒ω  

tot

= 0.65

13.3 fcd = 0.65 × 0.252 × 348 × 104 = 15.5cm2 Astot = ωtot× b h × f syd

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

256

Estruturas de Betão I

3. Estruturas em Pórtico 3.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS Uma vez que os esforços de 2ª ordem dependem da deformabilidade lateral dos pórticos convém classificar as estruturas relativamente a esta característica.

Estruturas contraventadas: estruturas com elementos verticais de grande rigidez com capacidade resistente para absorver a maior parte das acções horizontais.

paredes ou núcleos

Neste tipo de estruturas a deformação lateral é condicionada pelos elementos de contraventamento sendo este o tipo estrutural mais comum. A deformação lateral global da estrutura pode ou não ser desprezável consoante a rigidez dos elementos de contraventamento e as cargas actuantes. Embora a deformação global da estrutura possa ter significado, a deformação relativa entre pisos consecutivos é desprezável. Deste modo para os pilares há apenas que verificar se há ou não que considerar efeitos locais de 2ª ordem para o dimensionamento de cada um deles, admitindo a estrutura contraventada. Por outro lado no dimensionamento dos elementos de contraventamento os efeitos globais de 2ª ordem devem ou não ser considerados, consoante os deslocamentos laterais são significativos ou desprezáveis, respectivamente.

Estruturas não contraventadas: estruturas sem elementos de contraventamento

Nestas estruturas, que devem sempre que possível ser evitadas, a deformação lateral é, em geral, significativa. Os pilares e paredes devem ser dimensionados para os efeitos globais de 2ª ordem sendo ainda necessário verificar se os efeitos locais são condicionantes.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

257

Estruturas de Betão I

3.2. COMPRIMENTO DE ENCURVADURA O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado pela expressão: l0 = ηl onde l representa o comprimento livre do elemento e η é um factor que depende das condições de ligação das extremidades do elemento Estruturas contraventadas

Estruturas não contraventadas

l0 ≤ l (η ≤ 1)

l0 ≥ l (η ≥ 1)

O comprimento de encurvadura de acordo com o EC2 é obtido pelas seguintes expressões (calibradas com recurso a análises não lineares): - Elementos contraventados



l0 = 0,5l⋅ 1 +



   k1 k2  ⋅ 1 +  0,45 + k1   0,45 + k 2 

- Elementos não contraventados

 

l0 = l⋅ max  1 + 10 ⋅

k1, k2

 k1 ⋅ k 2 k   k  ; 1 + 1  ⋅ 1 + 2  k1 + k 2  1 + k1   1 + k 2 

  

são parâmetros relativos às extremidades do pilar que traduzem a rigidez relativa à rotação dos nós:

= (θ / M)⋅(EΙ / l)

θ/M

rigidez à rotação dos elementos que concorrem no nó que restringem a rotação desse nó;

EΙ

rigidez de flexão do pilar;

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

258

Estruturas de Betão I

altura livre do pilar entre ligações de extremidade

A rigidez θ/M pode ser definida aproximadamente por: θ/M = 1/(4 EI/L) para elementos com ligações de continuidade nas extremidades θ/M = 1/(3 EI/L) para elementos rotulados na extremidade oposta à da ligação em análise Nos casos gerais em que apenas as vigas contribuem para a restrição à rotação dos nós tem-se:

∑(EI / L) pilares ki = ∑(αEI / L) vigas

nó i: viga pilar

Em que α toma o valor de 3 ou 4 consoante os casos atrás referidos. O parâmetro k pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó: Maior rotação ⇒ maior deformação ⇒ maior l0 ⇒ maiores efeitos de 2ª ordem. Exemplo de cálculo de l0: Determinar o comprimento de encurvadura do pilar indicado na figura.

3.00

2 0.6

0.5 0.3

0.3

3.00

0.3

1 0.5 0.3

0.4 0.3 4.00

6.00

5.00

Classificação da estrutura: Estrutura não contraventada 0.34 1 0.34 1 12 × 4 + 12 × 3 ∑(EI / L) pilares ∑(I / L) pilares k1 = = = = 0.117 3 3 ∑(4EI / L) vigas ∑(4I / L) vigas 0.3 × 0.5 × 4 + 0.3 × 0.4 × 4 12 6 12 5 MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

259

Estruturas de Betão I

1 0.34 × ×2 3 12 k2 = = 0.074 3 0.3 × 0.6 4 0.3 × 0.53 4 × + × 12 6 12 5

  k1 ⋅ k 2 k   k  l0 = l⋅ max  ;  1 + 1  ⋅  1 + 2   1 + 10 ⋅ k 1 + k 2  1 + k1   1 + k 2  

  

l0 = l . max (1.20; 1.18) l0 = 3 × 1.2 = 3.60 m 3.3. EFEITOS DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS EM ESTRUTURAS PORTICADAS OU MISTAS Em estruturas porticadas ou mistas (com pórticos e paredes) os efeitos das imperfeições geométricas podem ser avaliados considerando a estrutura inclinada de um ângulo θi. Uma metodologia alternativa consiste na aplicação de forças horizontais ao nível dos vários pisos do pórtico que conduzam ao mesmo efeito da inclinação θi.

θi

≡

Hi = N θi

3.4. EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS Para o caso de estruturas porticadas com elementos de contraventamento (por exemplo: paredes ou núcleos de betão armado), os efeitos globais de segunda ordem poderão ser desprezados se for satisfeita a condição Fv,sd≤ k1

∑Ecd Ic νs L2 νs + 1.6

onde, Fv,sd representa a carga vertical total; νs

representa o número de pisos;

representa a altura total do edifício acima do nível a partir do qual os deslocamentos horizontais estão restringidos;

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

260

Estruturas de Betão I

Ecd

representa o valor de dimensionamento do módulo de elasticidade do betão (Ecd = Ecm / γcE = Ecm / 1.2);

representa o momento de inércia da secção transversal dos elementos de contraventamento (em estado não fendilhado);

é um coeficiente que em geral toma o valor 0.31, ou o valor 0.62 caso se verifique que os elementos de contraventamento não estão fendilhados em estado limite último.

Esta expressão é válida caso se verifiquem as condições seguintes: -

Estrutura aproximadamente simétrica;

Deformações globais por corte desprezáveis;

Rotação da base dos elementos de contraventamento desprezável;

Elementos de contraventamento com rigidez aproximadamente constante em altura;

Cargas verticais semelhantes nos vários pisos.

3.4.1. Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados Caso os efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados apenas há que verificar os efeitos locais de 2ª ordem. Assim os pilares devem ser analisados, como elementos isolados de acordo com o definido em 2.6/2.7, tendo em consideração 3.2. Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª ordem. 3.4.2. Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de segunda ordem não possam ser desprezados Nestes casos, embora os deslocamentos globais da estrutura sejam significativos (deslocamentos entre o topo e a base do edifício), os deslocamentos entre pisos são desprezáveis dada a elevada rigidez dos elementos de contraventamento, desde que estes apresentem em planta uma disposição aproximadamente simétrica. É razoável admitir que os elementos contraventados têm deslocamentos horizontais limitados, pelo que há apenas que verificar os efeitos locais de 2ª ordem nos pilares, de acordo com 2.6/2.7, tendo em consideração 3.2. Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª e 2ª ordem.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

261

Estruturas de Betão I

Elementos de contraventamento (paredes) Os efeitos de 2ª ordem podem ser avaliados por uma metodologia idêntica à referida para as imperfeições geométricas.

θ2

∆H ≡

∆H = N θ 2

A inclinação θ2 é calculada com base no comprimento de encurvadura e este pode ser estimado como se apresenta seguidamente.

comprimento de encurvadura do elemento de contraventamento 0

3.4.3. Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados No caso de estruturas em que os efeitos globais de segunda ordem tenham que ser considerados, a análise de pilares isolados em estruturas introduz alguns problemas: −

A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade de 2ª ordem em todos os pilares.

−

Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por equilíbrio, conduzem a um aumento de esforços nas vigas adjacentes. A análise de pilares isolados não tem em conta este efeito.

Desde modo, verifica-se que a análise dos pilares isolados não é adequada pelo que a metodologia a adoptar deve contemplar o comportamento global da estrutura.

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

262

Estruturas de Betão I

Formas mais correctas de ter em conta os efeitos de2ª ordem 1. Análise da estrutura inclinada (deformada)

2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços provocados pelos efeitos de 2ª ordem. ∆H 2

∆H 1 θ

Esta metodologia em pórticos com muitos pisos perde sentido, por ser muito desfavorável. No que se segue é ilustrada a análise de um pórtico simples de um piso. Considere-se o pórtico na posição deformada: δ

P2 P1

L θ

1 0

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

2 0

263

Estruturas de Betão I

O ângulo θ e o deslocamento δ podem ser determinados com base no comprimento de encurvadura l0 e na excentricidade e2 da seguinte forma: θ=

e2 2 e2 = 1 l 10 l0 2

;

δ = Lθ = 2L

e2 l 10

O momento global de 2ª ordem é: = (N1 + N2) δ MTOTAL 2

→

= (N1 + N2) 2L MTOTAL 2

e2 l 10

e2; l0 → parâmetros relativos ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência (pilar condicionante) A força horizontal equivalente que conduz ao mesmo momento global nos pilares pode ser calculada da seguinte forma: e2 MTOTAL = ∆HL → ∆HL = (N1 + N2) 2L l ∆H 0

∆H

e2 → ∆H = 2 (N1 + N2) l 0

l0; e2→parâmetros relativos ao pilar condicionante Definição do Pilar Condicionante: Considerando que o deslocamento horizontal no topo dos pilares é idêntico, as características que determinam qual o primeiro pilar a atingir a curvatura de cedência são a altura da secção, as condições de fronteira e o nível de esforço axial actuante. As duas primeiras características caracterizam a rigidez do pilar, a terceira determina a extensão máxima na armadura. Considere-se a seguinte metodologia para definir um único parâmetro que tenha em consideração as características atrás referidas: 2 1 l0 - a excentricidade de 2ª ordem e2 é função da curvatura de cedência do pilar: e2 = r 10

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

264

Estruturas de Betão I

+ -

1/r 1 1 r ≅ r0

n e2

0.4 n

1 r0

0.4

m N

A curvatura base é definida pela seguinte expressão:

1 εyd εyd r0 = 0.45d ≅ 0.4h

A curvatura de cedência pode ser estimada de forma aproximada, a partir da curvatura base, pela seguinte expressão: 1 εyd 0.4 εyd r = 0.4h ν = ν h l0 sendo: e2 = θ 2

→

⇒

e2 =

2 εyd l 0 ν h 10

2 θl0 εyd l 0 = 2 ν h 10

com ν≥ 0.4

⇒

1 l0 1 l0 L θ = 5 εyd ⇒ δ = 5 εyd νh νh

δ é o deslocamento do pórtico associado ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência:

⇒ δ = δi,mínimo

Donde se conclui que o pilar condicionante é o pilar com menor relação

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

L l0 νh

(ν ≥ 0.4)

265

Estruturas de Betão I

EXERCÍCIO6.7 G2

g, q

W P2

5,0 0.3

0.3 0.4

0.6

10,0

C25/30

g = 17kN/m

ψ0 = 0.4

A500 NR

q = 13.5kN/m

γG = 1.35

Rec: 3cm

G1 = 600kN

γQ = 1.5

G2 = 400kN W = ± 100kN Dimensionamento dos pilares —

Estrutura não contraventada l0 Esbeltezas λ = i l0 = 2l = 2 × 5 = 10m

P1:

0.6 = 0.115m 12

→

10 λ = 0.115 = 87

P2:

0.6 = 0.173m 12

→

10 λ = 0.173 = 58

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

266

Estruturas de Betão I

—

Efeito das imperfeições geométricas θi = θ0 αh αm αh = θi =

;

2 2 = = 0.894 l 5

1 θ0 = 200 ; αm =

0.5 1 +



1 200 × 0.894 × 0.87 = 0.0039 ;

1 = m

1 0.5 1 +  = 0.87 2 

ei = 0.0039 × 5 = 0.0194m

0.0194

0.0039

Força horizontal equivalente: Hi = Nθi Combinação que envolve a acção do vento Sd = 1.35 Sg + 1.5 ψ0 Sq ± 1.5 SW N = N1 + N2 =1.35 (600 + 400) + 10 (1.35 × 17 + 1.5 × 0.4 × 13.5) = 1660kN Hi = 1660 × 0.0039 = 6.47kN H i = 6.47

EI1 L31

0.43 H1 = 0.43 + 0.63 6.47 = 1.49kN EI2 1 3 + 3 0.23 L1 L2

R1 = EI

R2 = Hi - R1 = 4.98kN R1

Esforços de 1ª ordem P1

→ W1 = 0.23 × 100 = 23kN 10 Nsd = 1.35×400 + 2 (1.35 × 17 + 1.5 × 0.4 × 13.5) = 695kN M0sd = 1.5 × 23 × 5 + 1.49 × 5 = 180kNm

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

267

Estruturas de Betão I

→ W2 = 100 - 23 = 77kN

Nsd = 1.35 × 600 +

10 (1.35 × 17 + 1.5 × 0.4 × 15) = 965kN 2

M0sd = 1.5 × 77 × 5 + 4.98 × 5 = 602,4kNm - Efeitos de 2ª ordem Pórtico não contraventado ⇒ necessidade de considerar os efeitos de 2ª ordem Excentricidade de 2ª ordem A excentricidade de 2ª ordem é calculada para o pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência (pilar condicionante) - pilar condicionante: pilar com menor relação P1 - ν =

695 = 0.35 0.3 × 0.4 × 16700

P2 - ν =

965 = 0.32 0.3 × 0.6 × 16700

l0 L νh

(ν ≥ 0.4)

Pilar P1:

l0 L = 10× 5 /(0.4 × 0.4) = 312.5 νh

(ν = 0.35)

Pilar P2:

l0 L = 10 × 5/(0.4 × 0.6) = 208.5 νh

(ν = 0.32)

(condicionante)

O pilar condicionante coincide, em geral, com o pilar mais rígido como é possível observar na figura seguinte. δ1

δ2

o o ε

1/r0

1 1 ⌠ 1− δ1 = δ2 =  r M ⇒ r = r ⌡ 1 2 1 1 e2→ r = r k1 k2 0 ⇓ εyd 0.45d

Para um determinado deslocamento horizontal δ o pilar mais rígido (P2) atinge primeiro a cedência donde se conclui que e2 é condicionada pelo pilar mais rígido. P2

2 1 l0 → e2 = r 10 ;

1 1 r = k r k φ r0 ;

1 εyd r0 = 0.45d

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268

Estruturas de Betão I

1 2.175 × 10-3 -3 r0 = 0.45 × 0.55 = 8.79 × 10 /m kφ= 1 + βφef ≥ 1.0 fck λ 25 58 β = 0.35 + 200 = 0.35 + = 0.088 150 200 150 24.9 M0cqp = 4.98 × 5 = 24.9kNm → φef = 2.5 602.4 = 0.1 M0sd = 602.4kNm

M0cqp φef = φ M 0sd

kφ = 1 + 0.088 × 0.1 ≅ 1.0 kr =

νn - ν ≤ 1.0 ; νn - νbal

Nsd ν = A f ; νu = 1 + w c cd

ν= 0.32 ; νbal = 0.4 ; w ≈ 0.5 (estimativa) 1.5 - 0.343 kr = 1.5 - 0.4 = 1.05 ⇒ kr = 1.0

(ν ≤ 0.4 ⇒ kr = 1.0)

102 e2 = 8.79 × 10-3 10 = 0.0879m Força horizontal equivalente: ∆H = ∆H = 1660 ×

2N e2 l0

;

e2 l0 = 2l ⇒ ∆H = N e2/l = (N1 + N2) l

0.0879 = 29.18kN 5

Momento de 2ª ordem P1

→ M2 = 0.23 × 29.18 × 5 = 33.56kNm

→ M2 = 0.77 × 29.18 × 5 = 112.34kNm

Esforços de dimensionamento P1

Nsd = 695kN →  Msd = M0sd + M2 = 180 + 33.56 = 213.56kNm

ν = 0.35 ; µ =

213.56 = 0.266 → w = 0.44 0.3 × 0.42 × 16700

Astot = 20.3cm2 Msd 213.56 Vsd = l = = 42.7kN 5 Asw Vsd 42.7 2 Asw s = z cotg θ fyd = 0.9 × 0.35 × 2 × 43.5 = 1.56cm /m →  s min

MÓDULO 6 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos com esforço axial não desprezável

269

0,3

Estruturas de Betão I

4φ20 + 4φ16

(ρ = 1.7%)

Cintas φ6//0.15

0,4 P2

ν = 0.32 Nsd = 965kN → →  → w = 0.76 Msd = 602.4 + 112.34 = 714.74kNm µ = 0.396 Astot = 52.5cm2 Asw 2 s = 3.32cm /m

2φ20 4φ25

2φ16

714.74 = 142.9kN 5 4φ25 2φ20

Vsd =

0,3

8φ25 + 4φ20 Cintas φ8//0.15

(ρ = 3.1%)

0,6

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