Edukacja matematyczna w klasie I

Praca zbiorowa pod redakcj¹ Edyty Gruszczyk-Kolczyñskiej

Edukacja matematyczna w klasie I Ksi¹¿ka dla nauczycieli i rodziców

Cele i treœci kszta³cenia, podstawy psychologiczne i pedagogiczne oraz opisy zajêæ z dzieæmi

Edukacja matematyczna w klasie I Ksi¹¿ka dla nauczycieli i rodziców

Cele i treœci kszta³cenia, podstawy psychologiczne i pedagogiczne oraz opisy zajêæ z dzieæmi Autorzy: Edyta Gruszczyk-Kolczyñska (rozdzia³y od 1 do 18; 21 i 22) Ewa Zieliñska (rozdzia³y 5; 7; 8; 9; 14; 15; 17; 20; 21 i 22) Ewa Swoboda (rozdzia³ 16) Ma³gorzata Kupisiewicz (rozdzia³ 19) Recenzja naukowa: dr hab. Stanis³aw Domoradzki, prof. Uniwersytetu Rzeszowskiego Korekta: Iwona Górny Sk³ad: Wojciech Wolak Ilustracje: Paulina Gregorczyk Rysunek motylka: Aleksandra Bu³hak Copyright © by CEBP 24.12 sp. z o.o.

Wszystkie prawa zastrze¿one Wydanie I ISBN 978-83-64631-12-2

Wydawca: CEBP 24.12 Sp. z o.o. ul. Kwiatowa 3 30-437 Kraków tel. 12 631 04 10 www.matematyka-pierwszaklasa.pl

Czêœæ pierwsza Merytoryczne i organizacyjne problemy edukacji matematycznej ze wspomaganiem rozwoju umys³owego dzieci w klasie I 1. Dlaczego trzeba wydzieliæ edukacjê matematyczn¹ z kszta³cenia zintegrowanego.

O co zadbaæ i czego unikaæ, aby dzieci lubi³y uczyæ siê matematyki i odnosi³y sukcesy w dalszej edukacji

13

2. Regu³y planowania przebiegu edukacji matematycznej w klasie I. Jakie treœci kszta³cenia mo¿na i trzeba realizowaæ w kolejnych miesi¹cach nauki szkolnej

22

3. Jak kszta³towaæ wiadomoœci i umiejêtnoœci matematyczne korzystaj¹c ze zwyczajnych przedmiotów, liczmanów i zeszytów w kratkê.

O redagowaniu przez dzieci ksi¹¿ki Moja pierwsza ksi¹¿ka matematyczna

32

4. Dlaczego dzieci maj¹ uk³adaæ i rozgrywaæ gry w ramach dzia³alnoœci matematycznej.

Kiedy i jak nauczyciel mo¿e korzystaæ z zeszytów æwiczeñ, kart pracy oraz Naszego elementarza w edukacji matematycznej w klasie I

41

napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska

napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska

napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska

napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska

Czêœæ druga Cele i treœci kszta³cenia oraz metodyka edukacji matematycznej ze wspomaganiem rozwoju umys³owego dzieci 5. Orientacja w przestrzeni i kszta³towanie umiejêtnoœci spo³ecznych dzieci

47

napisa³a E. Zieliñska

5.1. Podstawy psychologiczne i pedagogiczne

47

5.2. Kszta³towanie orientacji przestrzennej i umiejêtnoœci spo³ecznych dzieci.

Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

51

6. Rytmy. Wdra¿anie dzieci do wychwytywania prawid³owoœci i korzystania z nich w nabywaniu umiejêtnoœci matematycznych

58

napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska

6.1. O znaczeniu rytmów w rozwoju umys³owym i w edukacji matematycznej dzieci

58

6.2. Wdra¿anie dzieci do wychwytywania prawid³owoœci i korzystania z nich.

Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

61

5

7. Liczenie. Kszta³towanie umiejêtnoœci liczenia w mo¿liwie szerokim zakresie napisa³y E. Gruszczyk-Kolczyñska i E. Zieliñska

65

7.1. Jak kszta³tuje siê umiejêtnoœæ liczenia u dzieci?

O co trzeba dbaæ w kszta³towaniu umiejêtnoœci liczenia

65

7.2. Kszta³towanie umiejêtnoœci liczenia: uœwiadamianie dzieciom regu³, które stosuje siê przy liczeniu, wspomaganie ich w sprawniejszym liczeniu i dostrzeganiu regularnoœci dziesi¹tkowego systemu liczenia.

Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

71

8. Rachowanie. Kszta³towanie umiejêtnoœci dodawania i odejmowania od poziomu manipulacji przedmiotami poprzez liczenie na zbiorach zastêpczych, a¿ do rachowania w pamiêci napisa³y E. Gruszczyk-Kolczyñska i E. Zieliñska

80

8.1. Jak dzieci ucz¹ siê dodawaæ i odejmowaæ?

80

8.2. Kszta³towanie umiejêtnoœci dodawania i odejmowania w klasie I. Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

85

9. Klasyfikacja w edukacji matematycznej dzieci

94

napisa³y E. Gruszczyk-Kolczyñska i E. Zieliñska

9.1. Jak klasyfikuj¹ dzieci? Sposoby wspierania dzieci w precyzyjnej klasyfikacji

94

9.2. Wspieranie dzieci w stosowaniu klasyfikacji w trakcie nabywania wiadomoœci i umiejêtnoœci matematycznych.

Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

97

10. Wspomaganie dzieci w rozwoju operacyjnego rozumowania: zakres potrzebny do kszta³towania pojêæ liczbowych napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska

105

10.1. O operacyjnym rozumowaniu na poziomie konkretnym potrzebnym dzieciom do rozumienia aspektu kardynalnego, porz¹dkowego i symbolicznego liczby naturalnej

105

10.2. Wspieranie dzieci w rozwoju operacyjnego rozumowania w zakresie aspektu kardynalnego liczby naturalnej.

Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

108

10.3. Wspieranie dzieci w rozwoju operacyjnego rozumowania w zakresie aspektu porz¹dkowego liczby naturalnej.

Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

116

11. Kszta³towanie pojêcia liczby naturalnej: liczby pierwszej i drugiej dziesi¹tki napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska

120

11.1. Krótko o kszta³towaniu pojêæ liczbowych w edukacji wczesnoszkolnej

120

11.2. Liczby pierwszej dziesi¹tki. Metodyka, treœci kszta³cenia i opisy zajêæ z dzieæmi

122

11.3. Liczby drugiej dziesi¹tki. Metodyka, treœci kszta³cenia i opisy zajêæ z dzieæmi

127

12. Rozumowanie przyczynowo-skutkowe i przewidywanie, co mo¿e siê zdarzyæ.

Przybli¿anie dzieciom sensu równoœci i nierównoœci oraz przemiennoœci w dodawaniu napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska

12.1. Jak dzieci ³¹cz¹ przyczynê ze skutkiem. Krótko o Pedagogice pytañ i rozumowaniu przyczynowo-skutkowym w dzia³alnoœci matematycznej dzieci

133

133

12.2. Wspomaganie dzieci w rozumowaniu przyczynowo-skutkowym. Przybli¿anie dzieciom sensu równoœci i nierównoœci.

Ustalanie, czy suma nie ulegnie zamianie po przestawieniu sk³adników.

Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji 139

6

13. Uk³adanie i rozwi¹zywanie nieco bardziej z³o¿onych zadañ z treœci¹

145

13.1. Jak dzieci rozwi¹zuj¹ zadania z treœci¹ w szkole.

O przyczynach nadmiernych trudnoœci w rozwi¹zywaniu zadañ z treœci¹.

Co trzeba zrobiæ, aby temu przeciwdzia³aæ

145

13.2. Etapy wdra¿ania dzieci do uk³adania i rozwi¹zywania zadañ.

Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

151

napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska

14. Rozszerzanie zakresu liczenia oraz rachowania do 100 i dalej napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska i E. Zieliñska

155

14.1. Dlaczego dzieci maj¹ liczyæ w mo¿liwie szerokim zakresie ju¿ w pierwszym pó³roczu klasy I

155

14.2. Wspomaganie dzieci w liczeniu i rachowaniu w mo¿liwie szerokim zakresie.

Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

157

15. Kszta³towanie umiejêtnoœci mierzenia d³ugoœci i stosowanie ich w rozwi¹zywaniu zadañ i w sytuacjach ¿yciowych napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska i E. Zieliñska

162

15.1. O wspomaganiu dzieci w operacyjnym rozumowaniu i nabywaniu umiejêtnoœci mierzenia d³ugoœci

162

15.2. Wspomaganie dzieci w rozumieniu pomiaru d³ugoœci.

Kszta³towanie tych umiejêtnoœci i rozwi¹zywanie zadañ.

Treœci kszta³cenia i komentarze metodyczne

164

16. Wspomaganie dzieci w rozwijaniu intuicji geometrycznych: figury geometryczne i organizowanie przestrzeni p³askiej napisa³a E. Swoboda

171

16.1. O kszta³towaniu pojêæ geometrycznych w umys³ach dzieci.

Uwarunkowania psychologiczne i pedagogiczne

171

16.2. Wspomaganie dzieci w rozwijaniu intuicji geometrycznych: figury geometryczne oraz rytmiczne organizowanie przestrzeni p³askiej. Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

174

17. Kszta³towanie umiejêtnoœci wa¿enia

181

napisa³a E. Zieliñska

17.1. Wspomaganie dzieci w kszta³towaniu czynnoœci intelektualnych potrzebnych do rozumienia pomiaru ciê¿aru.

Jak wykonaæ wagê razem z dzieæmi

181

17.2. Wspomaganie dzieci w rozwoju operacyjnego rozumowania w zakresie ustalania ciê¿aru (masy) i kszta³towanie umiejêtnoœci wa¿enia. Treœci kszta³cenia i komentarze metodyczne

184

18. Czas: dni i noce, pory roku, dni w tygodniu, miesi¹ce w roku.

Obliczenia kalendarzowe i zegarowe

189

18.1. Dlaczego dzieciom trudno orientowaæ siê w up³ywie i pomiarze czasu, jak mo¿na sobie z tym radziæ

189

18.2. Pomiar czasu, obliczenia kalendarzowe i osadzanie wydarzeñ w czasie.

Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

192

18.3. Pomiar czasu, obliczenia zegarowe. Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

198

napisa³a E. Gruszczyk-Kolczyñska

7

19. Obliczenia pieniê¿ne i ma³a, domowa ekonomia

203

napisa³a M. Kupisiewicz

19.1. Prawid³owoœci wprowadzania dzieci w œwiat pieni¹dza i w problemy ma³ej, domowej ekonomii

203

19.2. Wspomaganie dzieci w rozumieniu sensu kupna i sprzeda¿y, w poznawaniu gradacji pieni¹dza i wartoœci nabywczej.

Proste obliczenia pieniê¿ne, pojêcie d³ugu i koniecznoœæ sp³aty.

Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

210

20. Kszta³towanie umiejêtnoœci pomiaru p³ynów

216

napisa³a E. Zieliñska

20.1. Jak dzieci dochodz¹ do wniosku, ¿e iloœæ p³ynu jest sta³a, chocia¿ obserwuj¹ zmiany sugeruj¹ce, ¿e jest go wiêcej lub mniej

216

20.2. Wspomaganie dzieci w rozwoju operacyjnego rozumowania w zakresie ustalania sta³oœci iloœci p³ynów.

Kszta³towanie umiejêtnoœci pomiaru p³ynu. Treœci kszta³cenia i sposoby ich realizacji

220

21. Zakoñczenie, czyli o sprawdzaniu wiadomoœci i umiejêtnoœci matematycznych uczniów z klasy I. Tak¿e o tym, dlaczego trzeba by³o napisaæ tê ksi¹¿kê 224 napisa³y E. Gruszczyk-Kolczyñska i E. Zieliñska

22. Bibliografia

232

opracowa³y E. Gruszczyk-Kolczyñska i E. Zieliñska

8

Edukacja matematyczna w klasie I Ksi¹¿ka dla nauczycieli i rodziców

Cele i treœci kszta³cenia, podstawy psychologiczne i pedagogiczne oraz opisy zajêæ z dzieæmi

Czêœæ pierwsza

Merytoryczne i organizacyjne problemy edukacji matematycznej ze wspomaganiem rozwoju umys³owego dzieci w klasie I

1. Dlaczego trzeba wydzieliæ edukacjê matematyczn¹ z kszta³cenia zintegrowanego.

O co zadbaæ i czego unikaæ, aby dzieci lubi³y uczyæ siê matematyki i odnosi³y sukcesy w dalszej edukacji

W maju 2014 roku co trzeci maturzysta nie zdał matury z matematyki1, chociaż w ocenie maturzystów i dydaktyków matematyki zadania maturalne nie były zbyt trudne. Szukając przyczyn wskazuje się między innymi na złą jakość edukacji matematycznej już na poziomie wczesnoszkolnym. Od wielu lat nauczyciele matematyki z poziomu wyższego niż wczesnoszkolny skarżą się na słabe efekty edukacji matematycznej w klasach początkowych. Potwierdzają to, niestety, wyniki Ogólnopolskiego Badania Umiejętności Trzecioklasistów2 w roku 2013, wskazujące jednoznacznie na niezadawalające efekty edukacji matematycznej.

Jednocześnie z badań3 nad uzdolnieniami matematycznymi wynika, że więcej niż połowa dzieci polskich przed rozpoczęciem nauki w szkole wykazuje się uzdolnieniami, a co czwarte wysokimi uzdolnieniami matematycznymi. Niestety już po 8 miesiącach nauki w szkole – w miesiącu kwietniu – tylko co ósme dziecko manifestuje wysokie uzdolnienia matematyczne. Osiem miesięcy nauki w szkole wystarcza też, aby dzieci traciły radość uczenia się matematyki, poczucie sensu i stawały się mniej twórcze4. W rezultacie w klasach starszych już tylko 3 lub 4 uczniów wykazuje się uzdolnieniami matematycznymi, a przecież na początku nauki szkolnej takich dzieci jest więcej niż połowa.

Z przytoczonych danych wynika, że konieczne są zasadnicze zmiany w organizacji edukacji wczesnoszkolnej, w doborze treści matematycznego kształcenia uczniów oraz metod prowadzenia edukacji matematycznej począwszy od pierwszych tygodni szkolnego nauczania. Ponieważ w książce tej zajmujemy się edukacją matematyczną w klasie I, uzasadnię szerzej konieczność wprowadzenia takich zmian od początku nauki w szkole.

1) Z informacji podanych przez Centralną Komisję Egzaminacyjną wynika, że ponad 76,4 tys. maturzystów przystąpi do sesji poprawkowej w sierpniu 2014 r. Większość, bo ok. 65,135 tys. osób, będzie poprawiać egzamin z matematyki.

2) Por. Ogólnopolskie Badanie Umiejętności Trzecioklasistów Raport OBUT 2013, red. A. Pregler, Instytut Badań Edukacyjnych, Warszawa 2013 (publikacja współfinansowana przez UE w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego). Na s. 7 tej publikacji podano informację „Średni wynik ucznia piszącego test matematyczny wyniósł 10,62 punktu na 18 możliwych”. Na s. 8 znajdują się dane: tylko 3,3% badanych uczniów rozwiązało bezbłędnie wszystkie zadania, 8,1% badanych uzyskało 14 punktów (na 18 możliwych), 8% otrzymało 13 punktów (na 18 punktów możliwych), 7,8% zdobyło 15 punktów, 7,7% otrzymało 12 punktów, a 0,5% uczniów uzyskało 0 punktów.

3) Są przedstawione w publikacji O dzieciach matematycznie uzdolnionych. Książka dla rodziców i nauczycieli, red. E. Gruszczyk-Kolczyńska, Wydawnictwo Nowa Era, Warszawa 2012, rozdział 5.

4) Wynika to z badań przedstawionych w cytowanej wcześniej publikacji. Potwierdzone są w badaniach K. Skarbek Losy matematycznie uzdolnionych dzieci warszawskich szkół na początku nauki szkolnej, niepublikowana rozprawa doktorska, napisana pod kierunkiem E. Gruszczyk-Kolczyńskiej, Akademia Pedagogiki Specjalnej, Warszawa 2014.

13

Argumenty przemawiające za koniecznością wydzielenia edukacji matematycznej z kształcenia zintegrowanego Edukacja matematyczna pierwszoklasistów ma być realizowana w wymiarze co najmniej cztery godziny lekcyjne w rozliczeniu tygodniowym. W tym czasie nauczyciel i jego dzieci mają zajmować się edukacją matematyczną. Niestety kilkuletnia praktyka szkolna dowodzi, że realizacja edukacji matematycznej w obecnie realizowanej konwencji zintegrowanego kształcenia przynosi więcej szkody niż pożytku. Matematycznemu kształceniu dzieci nie sprzyja proces nauczania regulowany porami roku i wydarzeniami społecznymi, w których one uczestniczą. Zajmowanie się kilkoma sprawami na jednych zajęciach, w istotny sposób przeszkadza dzieciom skupić się na działalności matematycznej. Ponadto nauczyciele nagminnie skracają czas przeznaczony na edukację matematyczną, ograniczając ją nader często do rozwiązywania zadań z zeszytów ćwiczeń. Potwierdzeniem tego są następujące pułapki zintegrowanego kształcenia5.

Autorzy pakietów edukacyjnych – zafascynowani ideą nauczania zintegrowanego – dbają o to, aby łączyć historyjki zadań tekstowych na przykład z tematyką przyrodniczą. W pewnym pakiecie edukacyjnym na stronach poświęconych przemienności dodawania umieszczono kolejno zadnia o krokodylach, słoniach, żyrafach. Dzieci – jak to dzieci – całą uwagę skupiły na zwierzętach, bo widziały je w ZOO i nie dostrzegły w tych zadaniach problemu matematycznego – że można dla wygody liczenia zmieniać kolejność dodawanych składników. Nie pomogły starania nauczycielki – dla dzieci nadal najważniejsze były zwierzęta, a nie dane zawarte w zadaniach z treścią i pytania końcowe.

Inna pułapka tego typu. Nauczycielka – integrując edukację przyrodniczą i matematyczną – omawiała przygotowywanie się zwierząt do zimy na przykładzie wiewiórki. Pokazała dzieciom obrazek z wiewiórką i przedstawiała zadanie: Wiewiórka rano znalazła 4 orzechy, a po południu jeszcze 3.

Ile orzechów wiewiórka zebrała? Oczekiwała, że dzieci skupią się na rachowaniu, ale one opowiadały o tym, że widziały podobną wiewiórkę w parku, że nie chciała jeść ciastek, że uciekała na drzewo itd.

Specyfika uczenia się dzieci sprawiła, że koncentrowały się tylko na jednym wątku edukacyjnym – na zwierzątku, bo wywołało wesołe skojarzenia.

Pułapki dotyczące czasu edukacyjnego. W poniedziałek, w pewnej klasie I zajęcia koncentrowały się wokół zmian przyrodniczych towarzyszących nastaniu zimy. Sprzyjał temu śnieg, który spadł w nocy. Na pierwszych zajęciach dzieci zastanawiały się, co sprawiło że pada śnieg, wykazując się imponującą wiedzą. Potem lepiły bałwana na boisku i rzucały do celu śnieżkami. Wróciły do klasy i uczyły się piosenki Zima zła. Po przerwie była pogadanka o zabawach zimowych zakończona układaniem i zapisywaniem zdań o takich zabawach. Nauczycielka spojrzała z niepokojem na zegarek i realizację treści matematycznych ograniczyła do... ustalenia, z ilu kawałków węgla dzieci zrobiły bałwankowi oczy i guziki. Na więcej nie było już czasu. Z czterech godzin lekcyjnych na edukację matematyczną poświęciła dosłownie cztery minuty. Na dodatek policzenie węgielków było dla dzieci banalne. Można mnożyć podobne pułapki, bo zintegrowanemu kształceniu towarzyszy permanentne skracanie czasu przeznaczonego na edukację matematyczną.

5) Wiele z tych pułapek jest spowodowanych tym, że integrowanie matematyki z innymi treściami jest możliwe tylko w niektórych obszarach. Ale nawet tam jest potrzebne bardzo dobre wyczucie nauczyciela i odpowiednie przygotowanie. Niestety nie ukazały się dotąd opracowania metodyczne wspomagające w tym nauczyciela, nie są oni też odpowiednio kształceni w tym kierunku.

14

Inne, równie ważne argumenty, przemawiające za wydzieleniem edukacji matematycznej z kształcenia zintegrowanego, przedstawię omawiając ważniejsze ustalenia badawcze ukazujące związki pomiędzy rozwojem umysłowym dzieci a nabywaniem wiadomości i umiejętności matematycznych oraz specyfiką uczenia się.

O konieczności zmiany poglądów odnośnie do kształtowania u dzieci umiejętności liczenia i rachowania Powodem są badania naukowe6 dotyczące dziecięcego liczenia i rachowania. Na ich podstawie ustalono modele rozwojowe tych ważnych umiejętności oraz skuteczną metodykę ich kształtowania7. Jeżeli dorosłym – rodzicom i nauczycielom – zależy, aby dzieci opanowały te ważne umiejętności, muszą przestrzegać tych prawidłowości. Dotyczy to wychowania przedszkolnego i edukacji szkolnej.

Tymczasem wielu nauczycieli i autorów pakietów edukacyjnych zachowuje się tak, jakby badań tych nie było. Nadal są przekonani o konieczności ograniczenia dzieciom zakresu liczenia do 10 w przedszkolu i na początku nauki szkolnej8. Nie przyjmują do wiadomości, że obraca się to przeciwko rozwojowi umysłowemu dzieci i nie sprzyja doskonaleniu tej ważnej umiejętności. Dzięki liczeniu w coraz szerszym zakresie, mogą one zdecydowanie lepiej ustalać reguły, których trzeba przestrzegać podczas liczenia, dostrzegać regularności dziesiątkowego systemu liczenia i korzystać z nich w rachowaniu, w mierzeniu długości, pojemności, ciężaru itd.

Z badań nad kształtowaniem się umiejętności rachunkowych wynika, że dzieci kształtują je przechodząc stopniowo: yy od oceniania na oko zmian typu dodać (jest więcej) i odjąć (jest mniej); yy przez przeliczanie obiektów (liczą je tak, jak potrafią) po każdej wykonanej lub obserwowanej zmianie typu dodać lub odjąć; yy poprzez dodawanie i odejmowanie na zbiorach zastępczych, aż do rachowania w pamięci.

Podczas ustalania sum i różnic dzieci muszą mieć do dyspozycji liczmany i liczydła (różnego typu), nie można im też ograniczać zakresu rachowania. Wykonane działania mają zapisywać w zeszycie w kratkę, bo sprzyja to matematyzacji. Trzeba też cenić naturalne sposoby stosowane przez dzieci w trakcie przekraczania progów dziesiątkowych9.

6) Chodzi o badania naukowe opublikowane przez R. Gelman i C.R. Gallistel (The child’s understanding of number. Harvard University Press 1978) i R. Gelman (What young children know about numbers „Education Psychologist” 1980, vol. 14), a także o badania, którymi objęto dzieci polskie prowadzone przez E. Gruszczyk-Kolczyńską (Intuicje matematyczne dostępne dzieciom przedszkolnym „Kwartalnik Pedagogiczny” 1989, nr 1; Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki. Przyczyny, diagnoza, zajęcia korekcyjno-wyrównawcze, WSiP, Warszawa 1992, rozdział 2).

7) Jest przedstawiona w rozdziałach Liczenie. Kształtowanie umiejętności liczenia w możliwie szerokim zakresie oraz Rachowanie. Kształtowanie umiejętności dodawania i odejmowania od poziomu manipulacji przedmiotami poprzez liczenie na zbiorach zastępczych, aż do rachowania w pamięci tej książki, a w przypisach podane są informacje, w jakich publikacjach znajduje się jej szersze omówienie.

8) Są przekonani, że dzieci odczuwają trudność wraz z rozszerzaniem zakresu liczenia. Żeby się „nie przemęczały”, nie zachęcają do liczenia w szerszym zakresie. Ci sami nauczyciele nie mają oporów, aby oczekiwać od tych samych dzieci stosowania skomplikowanych zapisów symbolicznych, jeżeli zakres dodawania i odejmowania mieści się w 10. Same nieporozumienia! Rozszerzanie zakresu liczenia jest dla dzieci czymś naturalnym i nietrudnym, w przeciwieństwie do „wspinania się” po stopniach od konkretów do abstrakcji, od rachowania na konkretach do zapisów symbolicznych wykonywanych działań.

9) Nie trzeba się spieszyć z wdrażaniem dzieci do przekształceń symbolicznych, tak jak to ma miejsce w tradycyjnej metodzie uczenia się sposobu przekraczania pierwszego progu dziesiątkowego. Przekształcenia te wymagają bowiem stosowania zaawansowanego operacyjnego rozumowania, które stosują dopiero uczniowie klasy II lub III.

15

Z analizy działalności matematycznej starszych przedszkolaków wynika, że dysponują już intuicjami mnożenia i dzielenia, i posługują się nimi z powodzeniem w codziennych sytuacjach.

To, że w szkole uczy się tych umiejętności dopiero na początku klasy II jest zapewne jedną z przyczyn poważnych trudności w opanowaniu mnożenia i dzielenia10. Dlatego warto w klasie I organizować dzieciom sytuacje zadaniowe, w których mogą posługiwać się intuicjami mnożenia i dzielenia.

O konieczności zmiany poglądów odnośnie do kształtowania pojęć liczbowych w klasie I Chodzi o monograficzne opracowanie liczb pierwszej i drugiej dziesiątki. Tradycyjnie nauczyciele zajmują się tym przez więcej niż pół roku. W tym czasie faktycznie zawężają dzieciom zakres liczenia i rachowania stosownie do opracowywanej monograficznie liczby11. Na przykład, w trakcie kształtowania pojęcia liczby 3 dzieci ustalają równoliczność zbiorów trzyelementowych, numerują szeregi złożone z trzech obiektów, odmierzają trzy kroki i dodają lub odejmują tylko w zakresie trzech. Podobnie dzieje się w trakcie opracowania monografii liczb 4, 5, 6 itd.

Bywa też, że reprezentacje liczb zamieszczane w publikacjach dla dzieci „pokazują” daną liczbę na zegarze, na monetach12.

Nauczycielom umyka to, że w czasie monograficznego opracowania liczb pierwszej dziesiątki dzieci swobodnie posługują się znacznie większymi liczbami w aspekcie kardynalnym, porządkowym, arytmetycznym i miarowym, nie myląc się. Zapominają też, że monograficzne opracowanie liczb z założenia polega na tworzeniu syntezy operacyjnej z tego, co dzieci już potrafią13. Nie trzeba na monografię kolejnych liczb przeznaczać tak dużo czasu edukacyjnego. Tym bardziej, że dzieci nie mają większych trudności z rozpoznawaniem cyfr, a także doskonale orientują się, co oznaczają znaki =, <, >, +, – i potrafią posługiwać się nimi w trakcie zapisywania działań. Oczywiście na poziomie ucznia klasy I. Efekty edukacyjne będą większe, jeżeli równolegle do monograficznego opracowania liczb naturalnych nauczyciele zechcą organizować dla dzieci sytuacje zadaniowe, w których mogą one rozszerzyć zakres liczenia i doskonalić umiejętności rachunkowe przekraczając kolejne progi dziesiątkowe14. Nieporozumieniem jest też to, że na rozszerzanie takich umiejętności do 100 przeznacza się tradycyjnie około trzech miesięcy, bo tyle czasu zostaje od opracowania monograficznego liczb drugiej dziesiątki do końca nauki w klasie I. W tak krótkim czasie nawet najzdolniejsze dziecko nie spełni oczekiwań, chyba że wcześniej nauczyło się liczyć i rachować w tak szerokim zakresie.

10) Wiele też wskazuje na to, że wprowadzanie mnożenia jako – cytuję – „skrócony sposób dodawania jednakowych składników” jest nieporozumieniem. Z analizy zachowań przedszkolaków wynika, że mnożenie i dzielenie to osobne sprawności rachunkowe.

11) W takich poglądach utwierdzają nauczycieli autorzy pakietów edukacyjnych i kart pracy. Na stronach poświęconych monograficznemu opracowaniu np. liczby 5 nie ma ani jednego zadania, którego rozwiązanie wymagałoby liczenia i rachowania w szerszym zakresie.

12) Tak jest w Naszym elementarzu. Uzasadnienie tego błędu metodycznego znajduje się w rozdziałach Czas: dni i noce, pory roku, dni w tygodniu, miesiące w roku. Obliczenia kalendarzowe i zegarowe oraz Obliczenia pieniężne i mała, domowa ekonomia tej książki.

13) Każdy, kto choć trochę rozumie proces wspomagania dzieci w tworzeniu pojęć wie, że nie można jednocześnie kształtować umiejętności klasyfikowania i wymagać, aby posługiwały się ledwo ukształtowanymi czynnościami klasyfikowania w tworzeniu pojęć. To tak, jakby oczekiwać od człowieka, który dopiero nauczył się nawlekać oczka na druty, wydziergania skarpety.

14) Uzasadnienie w części drugiej tej książki, w rozdziale Rozszerzanie zakresu liczenia oraz rachowania do 100 i dalej.

16

Uzasadnienie zmian w kształtowaniu u dzieci rozumienia sensu pomiaru i umiejętności mierzenia Z badań naukowych nad rozwojem umysłowym dzieci wynika, że kwestią kluczową jest tu wspomaganie dzieci w operacyjnym wnioskowaniu o stałości długości, pojemności i ciężaru15. Gdy dzieci dojdą już do wniosku, że np. zwinięcie sznurka i rozwinięcie go (tasiemki, paska papieru) nie ma wpływu na jego długość, bez większego trudu opanują umiejętność mierzenia długości. Podobnie jest z kształtowaniem rozumienia sensu pomiaru płynów. Dzieci muszą dojść do wniosku, że ilość wody nie zmienia się, jeżeli przeleje się ją z wąskiego do szerokiego naczynia, chociaż woda wygląda inaczej i sięga niżej (wydaje się, że jest jej mniej). Dopiero wówczas widzą sens w umowach dotyczących jednostek pomiaru płynów.

Nieco bardziej złożone jest rozumienie sensu pomiaru ciężaru, którego przecież nie widać.

Na szczęście dzieci mogą łatwo skonstruować wagę (z patyka), zgromadzić odważniki (np. klocki) i ustalać ciężar obiektów. Momentem przełomowym jest tu oderwanie cechy ciężaru od wielkości obiektów i sformułowanie wniosku, że pod względem ciężaru nie ma różnicy pomiędzy przysłowiowym kilogramem pierza i kilogramem żelaza. Ponieważ obiekty mniejsze nie muszą ważyć mniej od większych, ustalono jednostki ciężaru, którymi trzeba posługiwać się podczas ważenia.

Trzeba pamiętać, że rozumowanie operacyjne w zakresie wnioskowania opisanych stałości kształtuje się w umysłach dzieci w określonej kolejności. Chociaż znaczące są tu także ich osobiste doświadczenia logiczne16, to jednak większość małych uczniów rozumuje operacyjnie w zakresie stałości długości wcześniej niż w zakresie stałości ilości płynów i pomiaru ciężaru. W edukacji matematycznej nie można tego lekceważyć i kształtować u dzieci wnioskowania o stałości ilości płynów wcześniej niż wnioskowania o stałości długości itd. A tak przecież bywa w wielu pakietach edukacyjnych.

Dodam jeszcze, że do wniosków o stałości wielkości ciągłych dzieci dochodzą w trakcie działania, a nie omawiania obrazków, na których jest przedstawiona waga, linijka i baniaki z napisami 1 l, 5 l itd. Ponadto łatwe z pozoru stwierdzenia „to jest 5 litrów (lub 2 metry, 3 kilogramy itd.)” to w istocie posługiwanie się liczbami mianowanymi: ile – pięć, czego – litrów. Dlatego proste z pozoru obliczenia typu 5 m + 6 m są dla dzieci skomplikowane. Wymagają bowiem rozumowania: pięć (czego?) metrów dodać sześć (czego?) metrów, to razem dziewięć (czego?) metrów17.

Z ustaleń tych wynikają ważne wnioski do właściwego planowania edukacji matematycznej dzieci . Wspomaganie operacyjnego rozumowania w zakresie ustalania stałości musi poprzedzać kształtowanie umiejętności mierzenia w zakresie danej wielkości ciągłej. A wszystko razem nie może być zbytnio rozciągnięte w czasie. Kwestie te zostaną omówione w drugiej części książki.

18

15) Wynika to z badań nad przyczynami niepowodzeń w uczeniu się matematyki przedstawionymi przez E. Gruszczyk-Kolczyńską w publikacji Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki..., rozdział 3.

16) W swoim modelu rozwoju operacyjnego rozumowania J. Piaget (Studia z psychologii dziecka, PWN, Warszawa 1966) określa czas, w jaki większość dzieci wnioskuje o stałości wielkości nieciągłych i ciągłych. Podkreśla też, że znaczące są doświadczenia dzieci w zakresie obserwowania zmian w trakcie np. przelewania płynów.

17) Na trudne problemy wdrażania dzieci do posługiwania się liczbami mianowanymi zwraca uwagę L. Jeleńska (Metodyka arytmetyki i geometrii w pierwszych latach nauczania, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa 1957, wyd. 2, opracowane przy pomocy A.M. Rusieckiego).

18) Szczegółowe informacje o planowaniu edukacji matematycznej – przydatne w opracowaniu rozkładu materiału – znajdują się w drugim rozdziale tej książki.

17

Krótko o tym, dlaczego dzieci z takim trudem orientują się w pomiarze czasu i jak to można zmienić na lepsze Kłopoty edukacyjne w tym obszarze edukacji matematycznej wynikają z tego, że nie można zobaczyć czasu, a upływ czasu odczuwa się w zależności od osobistej aktywności – gdy jesteśmy na nudnym zebraniu, czas dłuży się niepomiernie, a mija szybko, gdy śpieszymy się z wykonaniem czynności. Takie doznania mają się nijak do pomiaru czasu. Ponadto słowo tydzień ma dwa znaczenia: tydzień to kolejne dni poczynając od poniedziałku do niedzieli włącznie (ważne są tu kolejne nazwy dni) oraz tydzień to siedem kolejnych dni, niezależnie od którego dnia zaczynamy je liczyć (ważna jest liczba dni). Dwa znaczenia ma też słowo rok, gdyż: rok to dwanaście kolejnych miesięcy poczynając od stycznia do grudnia włącznie (ważne są kolejne nazwy miesięcy) oraz rok to też dwanaście miesięcy, niezależnie od którego miesiąca zacznie się je liczyć (ważna jest tylko liczba miesięcy).

Skomplikowane są też obliczenia kalendarzowe, gdyż dni w tygodniach liczy się w układzie siódemkowym (bo tydzień ma 7 dni), a miesiące w kolejnych latach w układzie dwunastkowym (bo w roku jest 12 miesięcy). Dotyczy to też obliczeń zegarowych, bo minuty i sekundy liczy się w systemie sześćdziesiątkowym, a godziny w dwunastkowym itd. Na dodatek obliczenia kalendarzowe i zegarowe wymagają posługiwania się liczbami mianowanymi, np. 2 h, 30 min. Tego wszystkiego trzeba nauczyć dzieci w tym okresie edukacji, gdy z trudem opanowują liczenie i rachowanie w dziesiątkowym systemie liczenia19.

Problem w tym, że tych komplikacji edukacyjnych nie dostrzega się dotąd w realizowanej edukacji matematycznej dzieci. Dlatego trzeba było opracować taką metodykę kształtowania w umysłach dzieci rozumienia sensu pomiaru czasu, w której omija się zawiłości niedziesiątkowych układów liczenia. Taka metodyka została opracowana po wielu latach doświadczeń pedagogicznych i jest przedstawiona w rozdziale 17. tej książki.

Konieczność przywrócenia właściwego miejsca geometrii w edukacji dzieci Od wielu lat geometria zajmuje żenująco mało miejsca, szczególnie w pierwszym roku szkolnego nauczania. Trzeba to koniecznie zmienić, gdyż geometria jest jedną z najlepszych dziedzin wprowadzania dziecka w świat matematyki. Dzieci skupiają uwagę na tym, co regularne, a to prowokuje do tworzenia intuicji geometrycznych i stopniowego przekształcania ich w pojęcia geometryczne.

W ostatnich latach opracowano model takiego przekształcania20, a zawarte w nim ustalenia stanowią podstawę metodyki stosowanej w pierwszym roku szkolnej edukacji. Zostanie ona przedstawiona w rozdziale 15. tej książki, z nadzieją, że geometria zajmie odpowiednio ważne miejsce w edukacji dzieci.

19) Mały uczeń musi przecież orientować się, w które dni chodzi do szkoły, o której godzinie zaczynają się zajęcia, jak długo trwają, że trzeba przestrzegać punktualności itd.

20) Podstawą są ustalenia naukowe zawarte w publikacjach M. Hejný’ego (Rozwój wiedzy matematycznej, „Dydaktyka matematyki”, 19, Seria V, Kraków, 1997) i E. Swobody (Rozumienie podobieństwa figur przez uczniów młodszych klas szkoły podstawowej, „Dydaktyka Matematyki’ 1992 nr 14 oraz Przestrzeń, regularności geometryczne i kształty w uczeniu i nauczaniu dzieci, Wydawnictwo Uniwersytetu Rzeszowskiego, Rzeszów 2006).

18

Rozszerzenie edukacji matematycznej dzieci o problemy małej, domowej ekonomii Od czasu nowej Podstawy programowej trzeba dzieci wprowadzać w problemy małej, domowej ekonomii, a nie ograniczać się do zapoznawania ich z gradacją pieniądza i obliczeń pieniężnych21.

Ten mały – ale ważny – fragment rozumowań ekonomicznych trzeba stopniowo kształtować u dzieci, poczynając od przedszkola, przez wszystkie lata edukacji wczesnoszkolnej i zapewne jeszcze dłużej. Wprowadzanie dzieci w problemy małej, domowej ekonomii dostępnej pierwszoklasistom wymaga zastosowania innej metodyki. Nie sposób uczyć dzieci gradacji pieniądza, jego umownej wartości i gospodarowania pieniędzmi, gdy dzieci siedzą przy stolikach i manipulują kartonowymi liczmanami, na których są przedstawione monety i banknoty.

W rozdziale 19. tej książki są omówione treści kształcenia w zakresie wychowania ekonomicznego i sposoby ich realizacji22 w porządku edukacyjnym zaczynającym się od wymiany w sytuacji kupna i sprzedaży, do zapoznawania dzieci z gradacją i umowną wartością pieniądza oraz kształtowania umiejętności obliczeń pieniężnych. W następnej kolejności dąży się do uświadomienia dzieciom, że pieniądze dostaje się za pracę, że rodzice mają ograniczoną ich ilość i muszą nimi rozumnie gospodarować. Stopniowo dzieci przekonują się do pożytków z oszczędzania i konieczności spłaty długu. Taki zakres kształcenia jest niezbędny do wprowadzania dzieci w bardziej złożone problemy małej i większej ekonomii w następnych latach edukacji szkolnej. Są to ważniejsze argumenty przemawiające za koniecznością rozszerzenia zakresu kształcenia matematycznego dzieci oraz respektowania prawidłowości rozwoju umysłowego i modeli edukacyjnych, według których dzieci nabywają wiadomości i umiejętności matematycznych.

Jakie szkody dla rozwoju umysłowego dzieci powoduje zła jakość szkolnej edukacji matematycznej W wieku przedszkolnym i w pierwszych latach nauki szkolnej dzieci mają optymalną wrażliwość23 na rozwijanie sprawności intelektualnych, które są angażowane w nabywanie wiadomości i umiejętności matematycznych. Jest to także najlepszy okres kształtowania i odporności emocjonalnej oraz zdolności do podejmowania wysiłku umysłowego24. Jeżeli w tym czasie nie zadba się należycie o wspomaganie rozwoju umysłowego dzieci, nie można tego nadrobić w następnych etapach edukacyjnych.

21) Na dodatek obliczenia pieniężne traktują jako sposób wdrażania dzieci do liczenia i rachowania z uwzględnieniem regularności dziesiątkowego systemu pozycyjnego.

22) Podstawą są ustalenia naukowe M. Kupisiewicz, Edukacja ekonomiczna dzieci. Z badań nad rozumieniem wartości pieniądza i obliczeniami pieniężnymi, Wydawnictwo Akademii Pedagogiki Specjalnej, Warszawa 2004.

23) Chodzi o okresy szczególnej podatności na proces uczenia się wyznaczone optymalną gotowością centralnego układu nerwowego do kształtowania tego, co psycholodzy nazywają umysłowymi schematami lub reprezentacjami. Psycholodzy (np. M. Przetacznikowa, Podstawy rozwoju psychicznego dzieci i młodzieży, WSiP, Warszawa 1978, rozdział Problem okresów krytycznych w ontogenezie) posługują się określeniem okres krytyczny lub okres szczególnej wrażliwości na uczenie się rozpatrując dopasowanie procesu uczenia do możliwości umysłowych dziecka, z uwzględnieniem wyjątkowej jego skuteczności. Tę optymalną gotowość do uczenia się L.S. Wygotski (Wybrane prace psychologiczne, PWN, Warszawa 1971, s. 351–365, 517–530) nazwał strefą najbliższego rozwoju, podkreślając jej znaczenie w dynamice rozwoju umysłowego i w skuteczności edukacyjnej.

24) Uczenie nie przynosi spodziewanych efektów, gdy dorosły kształtuje umiejętności, do opanowania których dziecięcy umysł nie jest jeszcze gotowy. Na przykład – jeżeli dziecko ustala sumę i różnicę obiektów przeliczając je po każdym zsunięciu lub rozsunięciu, nie będzie dodawało i odejmowało w pamięci. Dorosły nie zmieni tego ani groźbą, ani prośbą.

19

Dotyczy to zdolności do: yy wychwytywania regularności i korzystania z nich; yy precyzyjnego klasyfikowania i tworzenia wiedzy pojęciowej; yy wiązania przyczyny ze skutkiem i przewidywania, co może się zdarzyć.

Ustalono też, że efekty kształtowania pojęć liczbowych, umiejętności rachunkowych i pomiaru wielkości ciągłych zależą od precyzji rozumowania operacyjnego na poziomie konkretnym.

Konieczne jest więc też intensywne i systematyczne wspomaganie rozwoju takich możliwości intelektualnych u dzieci na styku wychowania przedszkolnego i edukacji wczesnoszkolnej.

Taki zakres działalności pedagogicznej udało się wprowadzić do praktyki wychowania przedszkolnego25, ale ciągle nie są do tego przekonani nauczyciele edukacji wczesnoszkolnej i autorzy programów edukacyjnych26. Milcząco przyjmują, że uczniowie rozpoczynający naukę w szkole sprawnie rozumują na poziomie operacji konkretnych. Jeżeli któreś dziecko ma z tym kłopoty, winne jest ono, bo przecież... zachowuje się tak, jakby niczego nie rozumiało.

Problem w tym, że okres szczególnej wrażliwości na rozwijanie opisanych zakresów rozumowania rozciąga się na pierwsze lata edukacji szkolnej27. Jeżeli zaniecha się wspomagania dzieci w rozwijaniu i doskonaleniu sprawności umysłowych na początku nauki szkolnej, skutkuje nadmiernymi trudnościami i niepowodzeniami w nauce matematyki. Wynika to jednoznacznie z badań nad niepowodzeniami w nauce matematyki28. Dla dalszych losów dzieci niebywale groźny jest mechanizm nakładania się przyczyn wtórnych na pierwotne towarzyszący tym niepowodzeniom.

Zaczyna się w pierwszych dniach pobytu dzieci w szkole i narasta w szybkim tempie w następujący sposób: yy każdego dnia dziecko widzi jak inne dzieci – te, które dobrze rozumują – dostają słoneczka i są chwalone. Chcąc otrzymać takie wyróżnienia powtarza usłyszane wypowiedzi, chociaż nie rozumie ich sensu; yy całą swoją energię zużywa na to, aby otrzymać gotowe rozwiązanie zadań zamiast samodzielnie do tego dążyć. W domu wymusza tak daleko idącą pomoc, że dorośli rozwiązują zadania a ono jedynie kopiuje; yy obawiając się przykrości ukrywa przed nauczycielem „że nie umie”: demonstruje zbolałą minę w nadziei, że nauczyciel spyta inne dziecko, „zapomina” zeszytów ćwiczeń itd.

25) Jest to zasługa koncepcji Dziecięca matematyka opracowanej przez E. Gruszczyk-Kolczyńską i E. Zielińską. Jest ona stosowana w większości przedszkoli w Polsce dzięki takim publikacjom, jak Program dla przedszkoli, klas zerowych i placówek integracyjnych (WSiP, Warszawa 1999), Dziecięca matematyka. Książka dla rodziców i nauczycieli (WSiP, Warszawa 1997), Dziecięca matematyka. Metodyka i scenariusze zajęć z sześciolatkami w przedszkolu, w szkole i w placówkach integracyjnych (WSiP, Warszawa 2000).

26) Świadczy o tym choćby to, że organizują dzieciom pojedyncze sytuacje zadaniowe wymagające już np. klasyfikowania na poziomie operacji konkretnych. Problem w tym, że żadne dziecko nie opanuje tego po wykonaniu jednego, czy dwóch zadań.

27) Wynika to z okresów rozwoju operacyjnego rozumowania opracowanych przez J. Piageta i jego współpracowników. Więcej informacji podają J. Piaget (Studia z psychologii dziecka, PWN, Warszawa 1966; Dokąd zmierza edukacja, PWN, Warszawa 1977; Równoważenie struktur poznawczych, PWN, Warszawa 1981), J. Piaget i B. Inhelder (Operacje umysłowe i ich rozwój [w:] P. Oleron, J. Piaget, B. Inhelder, P. Greco Inteligencja, PWN, Warszawa 1967; Psychologia dziecka, Wydawnictwo Siedmioróg, Wrocław 1993), M. Przetacznikowa (Podstawy rozwoju psychoruchowego dzieci i młodzieży, WSiP, Warszawa 1973), E. Gruszczyk-Kolczyńska (Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki..., rozdział 3).

28) Przeprowadziła je E. Gruszczyk-Kolczyńska i przedstawiła w książce Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki...

20

Takie funkcjonowanie powoduje blokadę w uczeniu się matematyki. Dziecko nie rozwiązuje zadań matematycznych, nie gromadzi doświadczeń, z których jego umysł tworzy pojęcia i umiejętności matematyczne.

Z chwilą pojawienia się takiej blokady dziecko przestaje korzystać z edukacji matematycznej i bardzo trudno mu pomoc. Powodem jest zniszczona samoocena (jestem gorszy, mniej zdolny), utrata motywacji do nauki (nie chcę), niechęć do wysiłku umysłowego (demonstracyjne ziewanie, przeciąganie się, pokładanie się na stole) itd. Wszystko to dosłownie rozlewa się na inne obszary edukacyjne. Powoduje to drastyczne zmniejszenie doświadczeń logicznych gromadzonych przez ucznia i... zwolnienie tempa jego rozwoju intelektualnego29.

Opisane nieszczęścia są udziałem co czwartego ucznia, różny jest jedynie czas i nasilanie manifestowania mechanizmów obronnych: u jednych ma to już miejsce w klasie II i III, u innych dopiero w klasie IV, a jeszcze u innych w gimnazjum i liceum.

Z ustaleń tych wynika, że na początku edukacji szkolnej dzieci tworzą fundamenty kompetencji matematycznych i rozwijają się ważne sprawności intelektualne. Na nich budują swój system wiadomości i umiejętności w kolejnych latach edukacji. Jeżeli fundamenty te są kiepskie, można postawić lichą chatynkę. Gdy są mocne, zbuduje się na nich solidny gmach służący pokoleniom.

W kolejnych rozdziałach części drugiej tej książki wyjaśnię, jak wspomagać dzieci w rozwijaniu sprawności intelektualnych oraz kształtowaniu pojęć i umiejętności, których są solidnymi fundamentami dla edukacji matematycznej w kolejnych latach matematycznego kształcenia.

29) Na to zjawisko zwróciła uwagę H. Spionek (Zaburzenia rozwoju uczniów a niepowodzenia szkolne, PWN, Warszawa 1973, część druga, rozdział 1 i E. Gruszczyk-Kolczyńska (Dzieci ze specyficznymi trudnościami..., rozdział 3. i 5.).

21